# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Work: https://leibnizlegible.com/work/851708439
# Title: [Johannis Wallis S. T. D. Geometriae Professoris Saviliani, in Celeberrima Academia Oxoniensi, De Algebra Tractatus; Historicus & Practicus. Anno 1685 Anglice editus; Nunc Auctus Latine. Cum variis Appendicibus; Partim prius editis Anglice, Partim nunc primum editis] Johannis Wallis S. T. D. Geometriæ Professoris Saviliani, in Celeberrima Academia Oxoniensi, De Algebra Tractatus; Historicus & Practicus. Anno 1685 Anglice editus; Nunc Auctus Latine. Cum variis Appendicibus; Partim prius editis Anglice, Partim nunc primum editis (shelfmarks Leibn. Marg. 100:1/2, Stück 2; Leibn. Marg. 100:1/2)
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=851708439
# Lines: 52,695 recognised on 909 of 909 pages, mean confidence 0.87
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio  -  — 851708439:0001
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 2 lines, status machine
  t nte et    t    tt  t t  tu ta 
111

## Folio  -  — 851708439:0002
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 4 lines, status machine
e vn. larg. 100: 1d
iodessua sietre 
LondestriBtBAih
onumim anarcant

## Folio  -  — 851708439:0003
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 2 lines, status machine
:112. L0itn. 1
arc

## Folio  -  — 851708439:0004
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 5 lines, status machine
u i s s at t
C
nibele spoco dut 6
1ar9. 109: 112. Leibn. Nar9. 100: 112, SIICK2.
 2L

## Folio  -  — 851708439:0005
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000005.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 15 lines, status machine
channis allis S. T. D.
Geometrix Protestoris SAVIL.TAN,
in Celeberrima ACadeMIa OXONPRNSF,
i
D F
ractatus:
a A
HISFORLCUS E PRACTTCUS.
Anno 1685 Anglice editus; Nunc Auctus Latine.
Cum rariis
2P P L N D IC I B I 5,
Partim prius editis Anslice, Partim nunc primum editis.
Operum Mathematicorum V olumen alterum.
OXONI A,
H. LHEA TLO SALLDONLANO NDCXCITI.

## Folio  -  — 851708439:0006
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000006.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 14 lines, status machine
Deuacu,
Z. 28, 1693.
Tricto
decicliteL. ade
sitetit
u
P
non
luc
se
l
2t
1
la

## Folio  -  — 851708439:0007
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000007.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
Rationem hujus operis LectOr exigat; hanc habeat.
Sub finem mex Matheseos Dniversalis, Ceu Operis Srithme-
rici, anno 1657 incunte editi, insinvareram, in animo mitri
tunc esse alium propediem cdere de Asebra Ceu Analytica
tractatum: Sed alia interrenerunt negoria, quo factum est
ne id catim Aeret. Fujus ego quasi promissi aliquoties po-
Aulatus, hujulmodi cractatum seripseram, miseramque Londinum An-
no 2676 prelo subjiciendum. Cum rero perendinatum acthue fuerit
aliquandii (incerim aliquanto auctum,) anno tandem 1683 prelo Sub-
jectum cs; annoque sequente 1684, opus inteorum absolverant Opera,
cum rariis subjunetis Appendicibus, prout in editione Anglicana com-
paret; cui Bibliopolis. (promore suo) risum est adscribere (mox incun-
FeM) ANnUII 1685.
Idemque (in Fixterorum Gratiam) Latinum jam Factum, Anno 1692,
erelo iterum commisi quod Anno praelenti 1693 est absolutum, et
non parum auctum.
Ouippe multa incerserenda erant suislocis, partim ut quorundam
Objectis responderetur, partim ut fusius aliqua traderentur quo sc-
rent explicatiora, aliaque hic intermista quae ante fuerant alibi (par-
sim tradita, atque aliquot capita ad calcem (ubjuncta.
Frinc factum cst ut aliqua Capita, propter haec Additamenta, vide-
antur prae cateris lonsiuscula; praesertim ubi tanca fuerine Addita-
menta uc nora dici Capita mereri rideantur: quod ec factum foret,
Si res esset inceora. Verum id ferendum potius duxi, quam ut noris
adscriptis numeris turbarem seriem capitum prout exant in Pditione
Anglicana; quod eis incommodo foret sigui in excerptis Cuis aut cit-
tionibus secuti fuerint ordinem priorem, quibus non responderet
novus ordo. Sed quae ad calcem subjuncta sunt suos habent noros ad-
SCriptos mumerOS.
Opere hoc mihi propolicum fuit, ut Originem, Prosresus, rarinoue
de tempore in tempus Incrementa traderem (quatenus id astequi d-
cum CsF) Artis Analyticae, quam (nomine ab Arabibus aCCCPEO) Aec-
bram nunc dicimus; et quibus passibus eo perrenerit quo jam prorecta
eAt.
Flanc Graecos olim habuisse non est quod dubitemus, sed Audio ce.
latam, nec temere propalandam.
Fujus Exempla quaedam apud Fuclidem comparent, apud Theonem
saltem in sua Fuclidis F. ditione. Apud P’appum alia. Fjusque (utut clam
celatae) eectus Patis conspicui apud Archimedem, apollonium, aliolque.
Primus aurem ex Grxecis (quem Scio) Diophantus eam ex proteto
tractat. Ouem Xylander Latine primum edidie; et post Bachetus Crace
e Latine, cum rariis de suo Addicamentis; et jam nuper recudi cura-
vic D. Termatius, aliisirem de suo Addicis.
duod

## Folio  -  — 851708439:0008
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000008.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
 F. C. 7
OR F M
Ouod apud srabes olim inusu fuerie, traud minus certum ridetur,
(citius Fortasse quam apud Cxaecos a Diophanto tradita:) quam eos ac.
cepisse credibile est (non tam a Cxaecis, quam) a Persis, et hos ab Indis.
Ab Arabibus (per Saracenos, Naurosre) in Frispaniam allata erat, in-
deque in Aneliam (una cum Aleorismo (eu Ficurarum Numeralium usu.
aliisque Matheseos partibus, et speciatim Astronomia,) prius quam Dio-
phantus videtur nobis fuisse cognitus: Indegue nOMeN AL CL BR P aCcC.
PIMUS; eE ALGORLSMLPariter, Pro Praxi Arithmetica per FiguraS
Numerales.
A quibus icidem aCCCDIUS LIECFAEUER GFRCA Maximam ParTCM;
Euclidis utique, Ptolemai, aliorumque Graecorum, Latinas rertiones,
Prius a versionibus trabicis, quam d Craecis originalibus accepimus.
Forumque Arorismus, seu Praxis Arichmerica per Fiouras Nume.
rales, (quam non prius habuerune Craci,) magnum est ad Algebram
adjumentum.
Videntur hae Figura, in oras noctras adrenisse, seculo Palcem Vn
decimo, seu potius Decimi Seculi medio; Caltem in rebus Astronomi-
cis: DEut nonnulli hand ance seculum Decimum certium id factum
Tenserint; nec forre mulco cirius in rulsares ulus fuerine admista.
Archimedes (in Srenario) hujusmodi Computarionis Functamenta vide
tur posuise; ucut Nocationem eidem accommodam non appoluerit.
Fractiones Sexaresimales (a Ptolemaeo ineroduetx) defectum hunc ali-
quatenus supplere ridebantur, sed Patis imperfecte.
Sed illae Lisurae Numerales, postquam ab Puropais acceprae fuerine,
duas nacta lunt Accestiones latis notabiles: Duarum aliera eAt Partium
Decimalium: altera, Loeariihmorum.
Partes Decimales introduxisse ridetur Regiomonianus (neseio an omni
um primus) tacite quidem et inobserrate in luo Canone Frisonometrico,
circiter Annum 1450: Duas simon Stevinus, Fenrious Brigoius, aliique
Promoverunt.
et
Oux quidem methodus cum sc quam illa per partes Sexagesimales
lonseporior; Brieeius, Gelibrandus, aliique ex nostris, eandem introdu-
cere lategerunt etiam in eis casibus ubi Sexagesimalium methodus ac
huc obcinet: Ouod et magna ex parte Factum eAt; Foretque absolure
Factum, nisi quod Vecerum Fabularum calenius secunduem priorem me-
thodum, necestarium FaciaE UE Ca quacAnEENUS FCLInCaCUE.
Locarichmorum ulum (in calculis Astronomicis aliisque Triconometricie
maxima utilicatis) a D. Nepero (Merchistoniae apud Seotos Domino)
primo introductum, et felicirer inchoacum, junctis operis promore.
runc noltri Brisrius, et Celibrandus.
Dua quidem, utIE Acebrae Partes FOrte dicenda HON SinE, ad ejus
tamen expeditiorem praxiu multum conducunt, eoque nomine d no-
bis explicantur.
Primus autem (quemseio) qui de Mebra Tractatum, Erxis acltue
editum extribuit, cA Fucas Pacciolus, Sive Lucas de Burgo dictus, FFaler
Minorita; qui lingua scalica Fractacum cdidit Venetiis Anno Falcem
2499 (Paulo post invencam Artem Frpographicam,) qui et ibidem,
paucis post annis icerato prodiit.
SMemorat quidem ille Leonardum Pisanum, alic lque se antiquiores,
a quibus didicerat, sed quorum opera nondum (qued Sciam) haben-
tur Erois edica.
Flabet hic Prater Lucas (praerer alia ipsius qua exTaHE OPCFA) in
libro

## Folio  -  — 851708439:0009
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000009.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
libro cui Titulus Summa Srichmetica e Geometrica, perfectam PraxCCS
Arithmerica traditionem, omnibus suis partibus absolucam; in In
teeris, Fractis, Surdis, Binomiis, 8C. FF Raccum Fxtractionem, Oua
draticae, Cubicae, _C. Regulalque de Proportione, Societate, Compuris exDe-
diendis, Allicatione, et (qua dicitur) Falsa posirione: aliisque qua act
rrem (quam vOCAE) Minorem spectant. Oux omnia tam plene sunt
apud cum tradita, ut omnino parum sit quod in his ad hunc usque
diem fuerit superadditum.
Pot haec, Artem quam rocat Mlajorem, quae Mlcebra dicitur. fusira
cractit, aliaque ad hanc speccantia: Puta de Surdis Radicibus, Duantita-
tibus Necativis, Binomialibus, Residualibus, Radicibus Dniversalibus,
Signilque Plus, Minus, Seu + =, corumque ulu: Pocaque Aeebra quo-
ulque percinsant sEquationes Quadratica.
TTanc Artem ab Trabibus acceptam tradie (et NTomen ip (um;) NuI.
la Diophanti (aliusre Scripeoris Crxci) mentione Facta: uE quae tum
temporis, ridetur, noltris plane ignotus.
Hlunc Secutus eAe Scipbelius, aliique ab ipto citati; sed qui ultra A:
quationes Quadraticas non procesterunt.
Pandem Scipio Ferreus, Cardanus, Tartalea, aliique (superiori se.
culo) ad (nonnullas) sEquationes Cubicas rem perduzerunt.
Bombellius item AE quationes Biquadraticas (ODC Cubicae) ad Ouadraticas
reducendas docuit.
Nonnius (Peu Nunnes) lingua TTispanica; Ramus, Schonerus, Salisna
cus, Clavius, aliique, lingua Latina: Recordus, Dissius, aliique ex no-
Aris, lingua Anslicana, eodem seculo rem eandem excoluerune; sed
(plerique) rix ultra Mmacleaticas Aqationes prOBFOHI.
Interea temporis Diophantus, a Xylandro primum L atine cditus, de-
inde a Bacheto Craece et Latine, in lucem prodiie: Oui alia plane
methodo quam Arabes (quos priores illi secuti Tunt) cem exponit.
Nec mihi Paris constar quo rixit tempore Diophantus. Corte Craecis
anciquioribus non e accensendus, Sed porius aliquot post natum
Chriltum seculis rixisse creditur, Supersolidorum nomina non adhibet,
Duadratorum e Cuborum nominibus inter se compositis Poteltates om
nes delionans.
Atque tractenus rix alix quam senorae Quantitates Colebant certis
Nocis seu Sembolis Algebraicis delignari; Led Cognita, Piguris po-
tius Numeralibus.
Sed Anno circiter 2590 Speciosam quam vocant Prichmeticam intro-
duxit Vieta: Receptis pridem Operationibus Algebricis, commodio-
rem inducens Notationem. Cujus ope, tocius Procestus lonoioris re-
stigia, breri Synopsi exhibentur Oculo. Vnde, quae latebant prius,
Fclicius detesantur.
Introduxit item Numerosam quam rocat afectarum Aquationum
Eeresin. Onameue in Quodratis, Cubis, ee aliis Potestatibus Sineularibus,
eridem exercebant Radicis Extractionem, ampliac ille (quod rix auc
TaTO ante FaCtUM CTaL) ad Pocestates Connexns, quas Affectas A quatio-
nes vocant. In potestatum autem Nomenclatura, Diophantum sequitur,
non (ut priores) Arabas.
Fundem sccutus est Ougheredus nocter, in Tua Clavi Nathemarica, Anno
263F Primum cdita. Famque Mechodum insigniter promorit; Brevi
quidem sed perspicua Tractarione, summatim exhibens qua prius fue.
ranc magnis Voluminibus tradita. Poque tractatu, aliisque aliquot
txacta.

## Folio  -  — 851708439:0010
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000010.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
N
tractatiunculis, Medullam extribet tocius fere Veteris Cieometriae;
riamque Hernit eidem propasandae. Frujulque excerpta quaedam meis
inserui.
Fujus ego restisiis insistens, subjunxi (speciminis loc0) de Sectio-
nibus Ancularibus tractatum. Non quidem ipsius Algebra corpori in-
Tertum (ne nimis rerum ordinem curbaret,) sed cum alus Appendi-
cibus ad calcem Operis.
Outhtredo COnTCPOTANCUS CxaE FParriotus item noster; Ced aliquanto
Tenior, _ prius quam Ouxheredus mortuus. Plurima reliquit ille Scripta
Mathematica, e quidem quod dicitur Eximia: Sed quae vel latent
Plexaque, vel perierune; Onico Caltem superctite. ITujus nimirum 4.
nalytice, cum ipse per decem annos tuerat demoreuus, d Waltero War-
nero edita, eodem Anno prodiit cum Ouxheredi Claris 263T. Opus qui-
dem Poctliumum, sed plane Aureum.
Nocationem, a Vieta e Oucheredo usurpatam, in aliam mutarit com
modiorem.
Aquationes Superiores omnes, docet ille (ex quidem omnium pri-
uS) ex Simplicibus inter se Mulciplicatis Componi; adeoque in cas esse
Relolubiles. Grande quidem Analyseos myiteririm.
Indeque collisit, quot quae que Radices (aut Reales aut quas vo
cant Imaginarias) habere censenda eA; atque, ex quibus Membris
Componitur Coefficientium quantitatum quaelibet, in quoque ARectio
nis gradu.
Octendic, quomodo Radices (adhue incoonitae) augeri minuire
Dostine, aut data Masnitudine, aut in data Ratione: Indeque destrui
Posle Terminorum aliquot intermediorum; et Radicumm aliquot aut
ex Aftirmatiris teri Negatiras, ex contra; aut etiam destrui: Aliaque
plurima quae in Analsseos praxi magno sint adjumento.
Docecque non tantum Quadraticas, Ced et Cubicas omnes Aiquationes
Resolucum iri; etiam eas quarum Radices ab aliis pro deplorato
censitae fuerint, ut plane lnexplicabiles e tantum Imarinariae: Potum-
que illud (ex quidem plus e0) quod est pure Alsebricum, in Meebra
quae haberi Colet Cartesiana, DaUCIS ACHOCUM CxCCPEIS.
Tlaec autem Algebrica, quomodo ad Geometriam aliare subjecta
parcicularia sine accommodanda, non hujus operis insticutum exat,
(quo pura Algebra abstracte traditur;) Sed aliorum ipsius seriptorum
opus exac, quae periisse dolemus.
Hlanc eso Farrioti Analyticen eo fusius in sequentibus insinuan-
dam putari, quo liquidius pateat in quem catum ille Algebram Per-
duxerat dum in viris crat, jam ance annos quali Octosinta. Duo
nemo Felicius (eo prior) quationum Composiciones expoluit.
Atque in hac icerata Pditione, adjicienda exant nonnulla in LTarrioti
vindicias; quo quorundam Carillis respondeatur; quos male habet,
vel quod CCarriorus olim haec scirerit seriplexicque i Cartesco Prior;) vel
quod (eo mortuo) Warnerus haec ediderir, rel denique quod Lgo
hiaec facta meminerim, quae mallent ipsi potius ienorari: dum inte-
rim haec sic esse Facta, Scripta, edita, ne ips quidem (s oculis suis
veline Fidere) postunt dubitare. Ouod aurem ad lites, simultates, aut
altercationes altinet, quas incer suos aiune (me nelcio) vel olim
fuisse motas, rel etiamnum esse, Num inde sua haulerit Cartess; c50
me non incerponam arbitrum. (Viderint iphi.) Vri nec me arbitrum
interponerem siquis pertinaciter negareric, ab Luclide didicisse Carre-
siumo

## Folio  -  — 851708439:0011
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000011.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
sium, Trianculi rectilinei tres anculos aequales esse duobus rectis. Fijeri r
test ut non ab Fuclide, Ccd ab Sristotele, aut torte a Clavio, didicerit;
aut etiam non didicerit. Sed certum est; id Fuclidi prius Fuisse no-
tum, et istiraec PParrioto. Acque hoc Pat etto dictum D. Bailleto ad ca
quae (in sua Cartesi vita) de me habet hac in re. (Ouem c90 non
videram, cum Presteto relpondi, nec ante quam hoc torum opus ab-
Tolrerant Frposraphi.) Oui utrumque legerit (ex rite comparare-
riE) FTarriorum volo _ Cartesium, Tudicet (per me licet) prout ipsi vi-
sum fuerit, (sed e mihi pariter liceat,) num hic inde habuerit. (Mtihi
NCqLe SOTIEUL, NEGNC MEtItuE.) Ac nolim interim ut irascantur mihi,
qui dixerim (quod nec ipsi postunt inticias ire,) Apud Clarriotum prius
extitisse quam Cartesium, qux sunt utrique communia. FF, Siquid lau-
dis Carcesio debeatur quod haec tandem scirerit: certe non minus de
bebitur Clarrioto, qui ante plus minus riginti annos (aut eo pluIes)
Tcriplerit, quae ante sex laltem annos (Cartesio prius) edidit WVarnerus.
Ouod in Gallia tum fuisse notum le speciatim Parisis) certum eAt.
Sualerim cgo Amicis Cartesu (cui non sum inimicus c50) ut hac de re
taceant: Sat est Cuae laudis Cartesio, ut non sE cur inrideant Plarrioto
TuaS. (Sed vide quae mox addenda sunt. 
Polt Fharriotum, ad D. Johannis Pellii Nethodum explicandam ac-
ceditur; quam ille sibi peculiarem habet, notando (ad Marginem)
quibus passibus procedit quaeque Demonstratio, et a quibus ante Do-
ltis arouitur. Cujus guidem methodi Fxempla quaedam ex ipso in-
Teruncur, aliaque ad illorum imitationem. Simulque ostenditur, ca
methodo, innumeras haberi solutiones Ouaectionum Indeterminata-
rum, ubiasni Geometra vel Onam exhribuiste, rem masnam puta-
verint.
Atque, hac occatione, de Questionibus Indeterminatis aliquanto Fu-
hus agitur, carumque Limitarionibus; e speciarim de Regula qux
Allicationis dicitur: item de Locis Geometricis olim dictis; quae con-
similis naturxe Cunt cum hujusmodi Ouaectionibus Indeterminatis, Cunt-
que talium Constructiones Gcometrica.
Post asitur, de Quadratis Nezativis, corumque Radicibus; adeoque
(Prout dici Colent) Radicibus Imarinariis Aquationum Impossibilium.
aut pro talibus habitarum. Ouid nimirum rcaple designant hujus-
modi Radices Imaginarix, quique sic carum usus: nec semper inde
concludi posse, casus ese omnino impossibiles ubi OCCUrRuNE; cum
rariis Constructionibus Geometricis eo spectantibus, tum in guadra
ticis tum in Cubicis X Biquadraticis A quationibus.
Roitur deinde de Exhaustionum methodo; tum Veceribus cum RC.
centioribus ulitata; e, quo nititur Lundamento.
Indeque de (Cavallerii) Ceometria Indivisibilium; cujus genuina NO-
eio exvlicatur; nec aliam esse (rem ipsam quod spectat) ostenditur,
quam illam Veterum Fxhaustionis methodum, breriori Forma adhibi-
tam; eodem cum illa fundamento nixam, indeque demonstrabilem:
ut non sic cur suspecta habeatur (recte intellecta) aut Ccometria
adrerla.
Finc ad Prithmeticam Infinitorum cransitur, quae et ipla nititur Fx-
Baustionum methodo. Ouippe, quae ita continuo conversunt ut (citra
infinitatem) distent dato minus, ea in infinitum continuata censenda
sunt aequalia. Demonstrandi methodus inibi usitata, detenditur; et
a quorundam Excextion bus rindicatur: aliquanto fusius quam in Fdi-
tione priori.
Etuic

## Folio  -  — 851708439:0012
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000012.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
Huic Tuperttructa est Doctrina de Seriebus Infinitis (pront dici (0-
IenE) Ceu Convergentibus, e continue Appropinquantibus; a Divisione et
Radicum Fxtractione pocissimum oriundis, in infinitum (seu quantum
opus ridebitur) continuandis, etiam in Speciebus. FTanc dudum in-
xroduxit D. Tsaacus Nemton, quam prosecuti (unt Nicolaus Mercator, D.
Feibnirius, aliique. In hunc finem, Nemtoni, Raphsoni, &t Davidis Creco-
rii norx quaedam methodi exhribentur, pro Facilicandis Extractioni-
bus, e colligendis Scriebus.
Frujusque methodi Exempla multa exhibentur, pro Lineis curois
Rectificandis, Ficuris curvilineis Duadrandis, aliisque in Geometria Ouae si-
tis intricatioribus, praelertim quae in Proportionem Determinatam non
exeunt.
Inseritur, hac occasione, de Progressionibus Geometricis Infinitis Tra
Ctatus. Oux quidem Progressio (Infinita) Decrescens, requipolleat Fini-
tae Magnicudini. De qua (primus credo omnium) Archimedes, et ex
Recentioribus, Torricellius, San.Vincentianus, Tacquetus, aliique, parcius
Cserunt. Flic, res ea fusius ex univertalius eradiene; taliumque plurium
Proprectionum, tum inter se, tum cum Crescentibus Compositarum,
Productum consideratur, atque ad Lxamen reducitur.
Aliague subjunsuntur Capicula, qua si ad Alscbram non directe
spectant omnia, non tamen aliena prorlus; quae partim ante fuerant
spartim edita, praesertim lingua Anglicana; partim antea non c
dita.
Ad calcem tandem subjunguntur Appendices rarixe; quae quamvis
Aloebram pleraeque spectant, ne tamen Digrectiones Forent justo ma-
jores quam ut Cuis locis inserantur, huc ablegantur.
Talis est ea quae est de Combinationibus, alternationibus, et Partibus
Aliquotis: De quibus cgerunt Schootenius, Pellius, Kersaeus, aliique.
Ttem, de Sectionibus Ancularibus; _ qua hue spectant. De quibus
egerat Victa aliique; aeque inter eos Ouchtredus; unde mihi dudum
facta est occatio rem hanc aggrediendi, ut Ouchtredianae Methodi lpe-
cimen.
Ttem, de Aneulo Contactus C Semicirculi Fractatus, (aliunde huc
trancumpeus;) ejulgue Defensio, a quorundam Objectionibus, (ali-
quanto fusior quam in Edirione Anslicana;) de Notuumitem Compo-
sitionibus, aliisque non absimilibus. In quibus defenditur Peletarius;
contra Clarium aliolque.
Tum, de Postulato Euinto Fuclidis; ejulque Desinitione Duinca lib. 6.
Oux nunc primum prodit Dissertario, in Fuclidis rindicias, de his im
merito insimulati.
Cono-cuneus dein, Peu COrpUS PATEIM COnUM PArFIML CUNCUM rePEX
sentans, expenditur; ejusque sectiones plano factae, ad inctar Coni-
sectionum considerantur, e exponuntur in plano.
Seguitur de Cravicate C Gravitatione Dilceptatio Phrsico. Ceome
erica, Anglice prins edica nunc reddiru T acine, ex in hunc locum re-
lata. In qua detenelicur ee explicatur Catilei, Forricellu, ee aliorum Do-
etrina, de Contrapondio Aeris, Pro Veterum Fusa V’acui.
De sta Maris item Hypothesis Nova; Anelice priclem edita, nunc
facta Latina: ex Communi Perrx Lunxque Centro Craritatis pe-
tita.
Taudem Commercium Epistonun peidem carun l Cctam trans-
fertur: seu Epistolarum Collectio, quae inter nos Anglos (D. Vice
comitem

## Folio  -  — 851708439:0013
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000013.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
comitem Brouneker una mecum, ad id prorocatos,) et quoldam Nobiles
Callos (D. de Fermat _ D. Freniclium) intercelterunt (mediante D. Re-
nelmo Dieby Liguite Anslo;) de Ouaectionibus quibusdam Mathemati-
cis, hinc inde disceptatis.
Denique (quae etiam in Fditione Anglicana accesserat) Trigonome-
eria (Plana et Sphaerica) ordinem claudit (aliquanto quam prius lima-
tior) Authore Johanne Casivell luccincte tradita.
In opere Alsebrico, id mihi potissimum ab oculos crat, non tam
ut Aloebra Praxin docerem (quanquam hoc etiam,) quam ut Flicto
riam contexorem, (quatenus allequi potuerim,) Oua Origine et Oui-
bus Passibus, ad cum catum processerit Algebra, ubi jam consistit.
Supplendo interim de meo (ubi defectum animadrerterim) quod vi-
debatur deeste: Suisque locis inserendo (quod pastim Fic) quae ad AISC.
bram promorendam conterre possint.
Non interim censeri relim, omnia sic undecunque me corrasisse ex
eis Authoribus qui hac de re scriplerunt, ut nullum restet spicilesium
aliis inde collisendum, (praelertim quatenus ca sit aur Geomecriae aut
aliis lubjectis particularibus accommodanda, vel etiam accommodata
Fuerit:) Sed ad ipsos Authores Lectorem ablegari, ubi Fusius ca sinE
habenda, quorum coo specimina quaedam extribuisse contentus fuerim.
In quem finem, Tualerim ut consulat Vietam, Ourhtredum, Plarriotum,
Cartesium, Schootenium, Slusium, aliosque; et ex nostris (praeter alios)
Kersaeum nostrum, qui duobus Voluminibus inteoram Aloebra tracta-
tionem extribuit, tuse quidem et perspicue traditam. Ouo nemo feli-
eius duaestiones Diophanteas clucictarit.
22. Fulii 1693.
De TTarrioto Addenda.
Ddoramen (cum ita velic) ex ipso Bailleto de Fharrioto nolro nonnulla: qui
D in Cua Cartesii vita, P25. 540 Rc. haec habet. Non potest (inquic) necari, quin
facile fuerit Cortesio dum in Lollandia vixit ex Anslia sibi communicatam habere
hujusce libri Flarriori notitiam. (Ouod quidem verum est: praesertim cum ex eo-
dem Baillero alibi certum lic, Cartesium cum nostris, de rebus Machemaricis, tum
remporis hahuiste communicationem.) Quae quidem (inquic) consideratio, una cum
illorum conformitate in exponenda Aquationum Natura, censeri possit (une prejusC
raisonable) praesumendi areumentum non improbable, cur quis credat C’arte scum hac
in re nonnibil Tarrioro debuisse, ueut id non fuerit publice professus. (Onod iri
dem rerum est; praelertim cum non intrequens sic Cartesio, quibus ulus est Autho-
ribus non indicare.) Ouid ad haec Bailletus; cur praejudicium illud geronat.
Nempe narrat ex Pellii quactam ad Mersennum F. pistola; F.X nostris aliquos (Hac
non obstance contormitare) favorabiliter de Carrelio judicasse; (quibus, si libets
etiam Me annumeret; qui de Cartesio non cancum favorabiliter  ponoritue ceu
seo, centui, de locucus sum.) Ouodnam sic illud favoradta puierum exo nelet
qui Peshi quas citat Literas non vidi. Putarunr illi torte non vitio dandum elle
Cartesio, quod FCarriori cradira luis utibus accommodarett, nec intelieiter. Certe
nemo omnium judicaverit, haec ante ab FCarrioro non lule exadita. Ouid Petlius
ipse senseric, ego aliquatenus intelliso; ur qui me hac de re lapius compellarit;
ec ex cujus ore descripsi quod hac de re dixi; eique postquam erat deseripeum,
octendi, (examinandum, immurandum, emendandum pro arbicrio tuo, liquid alias
dictum malic) ancequam preto subjiceretur, corumque illud quod inde prodiies
altentiente et approbance P ellio dictum cst.

## Folio  -  — 851708439:0014
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000014.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
sL
En autem aliud praejudicium (seu pixelumendi argumentum) acthue Fortius, ex
eodem Bailleto pecitum, pac. 229, 230. Ouipre non modo tacile tuit, dum in
FCollanaia vixie, ex Aneha libi communicatam habere LTarriori mechodum (quod
jam dictum est) Sed Cartesius ipse, ex FTollandia concessit in Aneliam, Philotophos
noltros ee Machematieos consuleurus; inltituirque Londini, et n ricinia, l’aperi
menta Maenetica didicirque ex nostris mucatam Acus, Maeneticae dectinationem:
quam nostri cum nuper omnium primi obserratent Londini; rem cune noram,
nec alibi anre obserratam, ex quam non indionam censuie Cartesius disgnititione
Tua. Ouod ex Cartesii ad Mersennum liceris ibidem citar Bailletus. Indeque con-
eludic, Omnino dubitari non posse quin rum Londini fuerit Cartesius. Ouod con-
rigisse ibidem docet Bailletus, non quidem anno 2630 quod primum statuerat C ar-
resius, Ced anno sequente 163Y; nimirum eo iplo anno quo cum Ouchtredi Clavis,
Mathematicae, cum FCarrioti Acebra, prodierunt Londini. Lequis autem credat
Cartesium (qui cam ledutus erac hujulmodi rerum explorator, quique in hunc f
nem ex Lollandia concetsir in Anstiam) ienorare voluille, Cui libri Machema-
eici, dum ille aderat, prodibant Londini, aut etiam sub prelo crane.
Verum eso haec de meo non dixeram, (Bailleti Lunc.) Ouippe nesciebam eso,
nec eram Collicitus, aue ubi cerPaTuM vixCrIE Cartesius, auc quid fecerie, aue qui-
bus ulus est Auchoribus. Nudam Listoriam (quod inlticuri mei racio postulabat)
contentus extribere. Nempe, Duod ea apud FTarriotum comparebant quae ibicem
comperi. Dixeram quidem, Apud Cartesium similia reperiri (nec diftirerur Baille-
cus masnam ucriusque Conformitatem:) sed, unde habuerie, non dixeram; nihil
de Plasio, auc quod huc spectet. Pe quidem de industria carebam nequid dicerem
de Cartesio Concumeliolum, aut etiam Derogatorium; (Palcem nisi illud sic dero-
facorium, Apud FCarriorum prius exricille quae sunc ucrique communia.
Ouanca aurem lic ea urriusque Conformitas, coactus cums jam denuo, et magis
speciarim exhibere; Morlandi liceris ea de re postulatus. Quod secisse londiciu,
ad rocatum cujuspiam (quem non nominat, nec c8o scio,) qui Cartesii Vitam
cum scripturus eras. Fecique, ut LTarrioto fuctus ellem, non Cartesio Injurius.
Sed querendo persit Bailletus pa8. 240, ecc. Ouod propier hanc ucriulque Con-
Formitatem, tum Robervallius, cum Tesuita nelcio quis, concra Cartesium. quid ob-
jecerinc, quo minuerent Carte sii famam. Sed quid hoc ad me: Num me monence
hoc tecerune aurme Conseio. Hloc autem neignoraret Cartesius, Curavit (in-
quic) D. de Carcavi (lteris ad eum scriptis) Cartesio notum facere. Sed quid ad
hoc Cartesius Num nesat ille rem ita este puta, Tharriori cradita se Cuis ulibus
accommodasse . Non quidem. Ouid ergo d il n’y eut que l’indienité de la conduite
de M. de Roberval qui empecha MI. des Carces de répondre sur ce point. Hloc CA, (s
ego recte conjicio) Jndiene Forsan culit, hoc Libi vitio datum a Robervallio (quod
Farrioti cradiris ulus tuerim) rem autem iplam non negarit, sed Parius esse duxit
nit respondere. Nec credo negaturus Foret, si jam in vivis cHlet. Ouortum enim 3
Ouippe non magis illi foret dedecori, hine Didicilse, quam Tgnoralle; cum id aliis
jam ance riginu annos nocum tueric. Ante annos inquaM LIBinH. OuipDe Cum
MOrtuUS (IL LCarriOTS ANNO X62F, nec ance scripseric Carcosius QuaL aHHO 2637
nec existimandum sic TTarriorum Lupremis cancum vitae diebus haec meditatum clle:
Sed mulcorum porius annorum stucium fuiste, rem in cum ordinem redegisté: mo-
delle dixi ante visinti annos, cum forre fuerint Duadrasinta. Neleimus enim
quoto. xetacis anno ea scriplerit.
Unicum achue Cuperelt, e Bailletum dimictam. Remjam decisam esse rule in
l’avorem Cartes. Quam rem. P Num PTarrioro non tuisse prius cogmita quae Tunt
uerique communia. Haud pucarerim. Sed, d quibus cA decila. Ab Fluddenio, in
guiI, e Presteto. De P resteto alibi dictum est, (Cap. 53.) nec repeto: Ouid Lud-
demus dixerie, examinemus. LOcus quem cirai, clt in Luddenii Fpistola Geome
Quod aurem dieir, Hloc est. Reculam Bane (de LGtattone Biguiadracica in duas
Scripsa meo inqu gudicro, non verseme scactut ixsa ba ais alus authoribus.
aliorum scripiis non desumpsisse Cartesium. Sed quid de reliquis omnibus, quae
Cartesio
triae Cartestuna inerta. Flabetur aurem pas. 490, 4dF.
Ouactraticas Lelotrenda) quam D. ae Cartes pas. 19, 60, , Jna ometriae de-
ut nonnulli opinantur, desumpsisse. Pucarque Schooremum Paricer sentire, non esse
Ilem macrum restimonium. Thanc Onam Reculam (exiltimar Fluddenius) ex
verisimile, illum Thanc Reductionis Reculam ex aliorum seriptis ad se transtulisse.

## Folio  -  — 851708439:0015
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000015.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
Cartesio Tunt cum Flarrioto communia d Ne rei guidem. Ouidni et me citet in can-
dem sententiam; qui toto Capite 55. Contendo Thanc ipsam Resulam nec esse qu
Flarrioto desumptam, nec cum FCarrioto communem; sed (quancum video) suam
este Cartesi.
Non urgeo, quod Warneri nomen Faciar Wihetmum cum Fuerit Walterus:
 LLarrIOEU MONLUIIM AnNO 1622, cum fuerii AnO 162F; quia leria suNE:
Sed rectificanda, ne (exPAL CFTOT.
Fharriotus autem quam fuerie vir non contemnendus quo pateat, libet Haec
POTTO enarrare. Nacus esse perhibetur Ononiae Anno 2560; ibique post educz-
tus in sula quae dicitur sanctae Maria; Obi Gradibus Academicis initiatus est
AnnO F579. Alcims est paulo post (ob Tuam in Machemacicis peritiam) in ta-
miliam Celebraristimi Equiris D. Walteri Parelech, ue ipsum (horis Tubleciris)
in Machemarieis institueret. Ixlum comitatus clt (AnnO 2584) expeditione sua
Prima in Vireiniam; Locique Popographiam aliaque quae eo spectant descriptit,
Parelecho incrante; quod opustum Anslice, um Latine, ctiamnum extat. PoH-
quam cum Pareles ho rediverit in eliam; adseicus cst. in tamiliam FTonoraristimi
Flenrici Comitis Northumbriae; qui cum alebar domi sux, eique concessit hono-
rificam Pentionem annuam librarum x20 Anglicarum, ob eximiam ejus in Ma-
chematieis periciam. Rxac enim Fonoratistimus ille Comes Matheleos peritus
et Ledulus PTOMOTOT; acque in cum tinem (praeter FParriotum noltrum) alebat
etiam domi ux ec pentionibus annuis donaric duos alios Mathematieos, W alterum
W’arner, et Pobertum TTues; ec paulo Post. Nicolaum Torperley, quali Crmnasium
Mathemaricum in Cuis redibus: Inter quos eminebat TTarriotus, et post cum
Warnerus, exterique non incelebres crant Machematiei. Cumque in CarCereM
conjectus est ille Comes (in Furre Londinen(i) anno 2606, ibi durante vica de
tinendus; perpetuos sibi focios habere roluit (suis sumpribus mensa splendida
alendos) Tharriorum. Warnerum, e Truesium: quibuscum nunc singutis nunc
conjunetis verlabatur. (EE Pareleghus parirer ibidem incarceratus.) Quantus vir
fuerie in Machemaricis, cum Fharriotus cum ejus editor Warnerus, ex ip (0 opere
Paris constat: quod qui legerie, mirabitur quod ca aetate tancos proprettus fecerie
Mathemariea _x Speciatim Alsebra. Onantusque Fuerit in alia Philosophia, aliunde
constat; Led non est hujus loci. Ouanco in honore tuerit apud Simmystas suos
Machemarieos; in Lunere cestabaneur. NTorrns est 2 Tulii 162F, et in Lcclepa
quae dicitur S. Christophori (Londini) sepulcus; A Machematieis Londinen.
sibus, magna Tolennitare pompa Funebris deductus: eique monumentum honori-
ficum ibidem erectum cst, cum hoc (inter alia) elosio, Omnes scientias cat
luit, e in omnibus excelluit, Mathematicis, Philosophicis, Theoloeicis; Veritatis
indaeator studiosissimus, Dei Trinitatis cultor pissimus. Se non tam despicabi-
lis tueris, quin ab eo disnari potuerine etiam Viri Maeni nonnulla didicille. Scd
de his hactenus.

## Folio  -  — 851708439:0016
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000016.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
ELKACHOS CONTENTOROM
De ALG EBR A Tractatus, Frittoricus et Practicus; Ejuldem Ori-
sinem et Proeressus rarios omtendens.
F. Aleebrae natura, variisque ejus Nominibus.
TI. De Deebra prout apud Fuelidem, Pappum, Diophantum, e
Scriptores Arabicos habetur.
TII. De Fieuris Numeratibus quibus nunc utimur; e a quibus illas accexi-
mus.
IV. Duam Antiquus sit harum in his Regionibus Ficurarum Numeralium
UsuS.
V. De usa Fieurarum Numeratium.
VI. De Archimedea methodo pro desienandis maenis numeris.
VII. De Partibus Sexaresimalibus; Cum Tabella pro earum Mulriplicatione.
23
VTII. De Partibus Decimalibus: carumque usu in variis operationibus Arith
meticis.
LX. Duam antiquus sit Fractionum Decimalium usus.
Z. De Fractionum,  Rationum, Reductione ad minores Torminos, servato quam
potest proxime valore.
XI. Fejusdem Praxis, in ratione Diametri ad Perimetrum Cireuli.
XII. De Losarichmis; eorumque Inventione _Osu. Lbique de desiderato Anci-
Logarichmorum Canone, monitum.
XIII. De Loonardo Pisano, Fuca Paciolo Nonio, Bombellio, alisque qui
sebra scripserunt Vietaeo priores.
XIV. De Franciseo Vieta; ejusque Nrithmetica Speciosa.
XV. De Cuilielmo Ouhtredo; ejusque Clavi Mathematicae.
XVI. De Additione, Subtractione, Mulsiplicatione, Divisione, e Ra
tractione, in Arithmetica Speciosa.
ZVII. Operationum traditarum F. xplicatio.
ZVTII. Paedem Operationes in Fractionibus.
ZIX. De Ratione, seu Proportione: Niquanto fusius quam in Fditione priori. 85
XX. De Rationum Compositione, aliisque eo spectantibus Operationibus.
ZXI. De Proeressione Arihmetica e Geometrica.
XXII. Natura e Compositio Quacratorum, Cuborum, e caeterarum Potesta-
tum.
203
XXIII. De Extractione Radieis Quadratica, Cubicae,  caeterarum Poresta-
cum
XX IV. De FNractionibus Mixiis; sive Aiquationum Affectarum Radieibus
inquirendis.
ZXV. De Radicibus Surais.
ZXVI. Fariae Lieaturae, seu Characterum Compendia. Fiorumque Osus.
ZXVII. De Aiquationum Natura: carumque Praeparatione.
ZXYTII. De Resolutione Squationum. Duadraticarum.
ZZIZ. Accommodatio Meebrae, ad Geomerriam, aliaque Subjecta.
ZXX, De Thoma TTarriot: Jua que Aeebrae Sectione Prima.
ZXXI. De Charriori Sectione Secunda; P speciarim de Aquationibus Simpli-
cibus  Compositis; e quo modo ex illis hae formentur.
ZXXII. De Aiquationibus Quadraticis.
XXXIII. Sqnationum Cubicarum Derivatio.
ZZXIV. Aiquationum Biquadraticarum Derivatio.
XXXV. Miarum A. quationum similis Derivatio; _ Formatio C anonicarum ex
Orieinalibus.
249
ZXXVI. De Compositis Squationibus Dissolvendis. Oi de LEuddeni Reculis
in eum finem:  Merraei carundem Demonstrationibus nondum edivis.
ZLX VII. Coefficientium C ompositio.
249
6
AXAVIII. De Mutandis Sadicibus Necativis in saffamativos, e Affirmativis
in Necatious.
XXXIX. De
I1.
Cap.
122
24

## Folio  -  — 851708439:0017
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000017.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
ELENOHOS COHTENTOROM
XXXIX. De Parrioni Sectione Tertia: Ft S quationibus Canonieis Secum
dariis.
XL. De Tharrioti Sectione Duarta; Deque numero Radieum Realium.
ZI. I. De Tlarriori Sectione duinta: Et Aequationibus Communibus.
XI. LI. De Charriori Sectione dexta: Lbique de Mulsiplieandis e Dividendis Ra
dicibus ienotis; Adeoque de Fraciis Surdisque vitandis.
XL TII. De Additione  Subductione, Radisibus Tenotis facienda: Adeoque au
Ferendo Secundo Termino.
ZI NV. Fujus usus, pro Resolvendis Aquationibus Duadraricis.
ZI. V. Ejuidem usus ad Resolvendas Aiquationes Cubicas.
XL. VI. Alia Methodus Resolvendi Cubicas Aiquationes.
ZI. VII. Fxtractio Radicis Binomii Cubi.
ZL. VIII. Idem exienditur ad Radices creditas Tnempticabiles.
ZL. IX. De reliquis Radicibus A quationis Cubica.
L. Fxtractio Radicis aliorum Binomiorum.
LI. Resianum Sectionis Sextae Tharrioti; De SE quationibus Biquadratiers.
d
TII. De FTarriori Parte Secunda: Duae est de Numerosa Resolutione Aquationum
Affectarum. In qua habentur varia Paradiemata Aiquationum Inferiorum
ex quibus altiores componantur, e in quas Resolvi possint.
T. TTI. Recapitulatio ductorum de Fharriori Alcebra: Statuque ad quem eam ille re-
duverat. Morlandi duaesiro satisfit. Prestero Respendetur. Savilius vindi-
catur.
LIV. Aecommodatio ejusdem ad particulare subjectum.
L.V. Carresi Reculam de Aiquationis Biquadratica in duas duadratieas reso.
lutione.
LVI. De Reeutis Fluddenii Merraei Bartholini, alisque
L.VII. De Deebra D. Johannis Pel: e speciatim de Problematis imperfecte
determinatis.
L. VIII. De Allicationis Reeula: prout ea vuleo tradi solet,  prout a Bacheto
perficitur.
LIX. Methodi Pellianae Specimen.
J. X. Specimen aliud Methodi Pelliana.
L.XI. Idem alias explicatum.
L. XII. Generatis Inquisitionis accommodatio ad casum praesentem.
L. XIII. Alia Methodus pro eisdem duaestionibus.
TXIV. De eis quae Loca dixerunt Veteres.
L.XV. Faempla Locorum alia.
LXVI. De Quadratis Necativis; corumqne Radieibus dictis Tmaeinariis.
LXVII. Forundem Fvemptisicatio in Geometria.
LXVTII. Sfectiones Ceometricae his accommodatae.
LXIX. Alia quae huc spectant N quationes Geometricae.
T.XX. SEquationum Cubicarum B Biquadraticarum Constructio Geometrica
nostra e Bakeri. Ft D. Thoma Scrodi Constructio duadratiearum.
T.XXI. De Padicibus Impossibilibus Miorum S quationum.
TXXII. Recapitulario dictorum de Solutione Aiquationum Quadraticarum es
Cubicarum.
LXRXTIT. De Methodo F Xhaustionum.
LXZIV. De Cavallerii Methodo Indivisibilium.
LXXV. De Arichmetica Infinitorum.
L.XXVI. Fhajus ad Comisectiones Accommodatio; aliaque Solida plano secta.
310
J. XXVII. Fjusdem ad Rectifiandas Curvas Lineas,  Superfieres Curvas Com-
Complanandas, accommodatio. Obi, de D. Fermatii novis Curvis.
LXXVTII. De Demonstrationibus in Arichmetica Insinitorum adhibitis.
323
L. XXIX. D. Fermatii Exceptionibus Respendetur: Tiemque Clar. Scurmit qua-
sitis.
LXXX. De Clar. Bullialai Tractatu Ad Arithmeticam Infinitorum.
330
34F
LXXXI. De duabus aut pluribus Seriebus Connexis. Cui subjuneitur D. Johan-
nis Casvet scriptum, de hoC necotio.
344
LXXXII. De Radieibus Oniversalibus Serierum Connexarum: in ordine ad Qua-
draturam Circuli ex Flipseos.
2
160
68
22C
Ldtlt. dctan

## Folio  -  — 851708439:0018
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000018.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
ELENCHOS CONTENTOROM
LXXXTII. Quacratura Circuli, non desienanda secundum ullum antea receptum
numeros Notandi modum.
L.XXXIV. Fadem per Interpolationem exhibica, continue Approximando,
LXXXV. Approximandi Methodus D. Tsaaci Veretoni.
LXXXVI. Methodus Approximandi secundum Archimedem.
LXXXVII. Approvimatio per Divisionem ee Radicum Fxtractionem.
TXXZVIII, Evempla Serierum a Divisione oriundarum.
LXXXIX. Flujus collatio cum Reductione Fractionum ad Desimales, e deb
desimales.
ZC. Fjusdem accommodatio ad Duadraturam =Iyperbola.
ZCI. Doctrina Serierum Insinitarum ulterius a D. Veretono promota.
ZCTI. Fhujus applicatio ad Circulum e FIlipsin.
XCITI. Fjusdem applicatio ad Typerbolam. Et Nereoni methodus paulo fusius
quam prius explicata. Stemque D. Davidis Crecorii methodus exhibitam suis
verbis.
XCIV. Nova methodus Neretoni, extrabendi Radices cum Simplicium rum Asse-
ctarum Aquationum.
587
ZCV. FLujus Fxempla variis Casibus accommodata. Pluraque ex Neretoni Li pi-
Stolis (quam quae fuerant in priori Fditione) exhibentur juis verbis. Fit Raph-
soni Methodus subjunsitur. Nostraque de Lancentibus Methodus, aliunde buc
transfertur.
ZCVI. De Infinitis Proeressionibus Ceometricis.
383
403
ZCVII. Fxemplisicatio Methodi praecedentis. Vbi P. Berteti Quaesuis respon
detur.
4. 10
ZCVTII. Mechodus approximandi, in Duaestionibus Numeratibus; occasione Pro-
blematis Fermatiam.
ZCIX. Fadem porro continuata.
titc
C. De Charta Nautica, ut ab Fdardo Wricht emendata: Ft Meridianorum
ibidem Divisione. Simulque de Secantium, Tansentium, e Sinuum collectione
Dißertario
CI. De Mensura. Resistentiae Medii in Motu Projectorum.
CII. De Sole, Lunave, prope Florizontem apparente Majore, quam in situ altiori.
Disguisicio Optica.
CTII. De viribus Memoria, satis intentae, Fxperimentum.
CIV. De Juliana Periodo, Disquisitio Chronoloeica.
CV. Pro Distantiis Cometarum investieandis, Problema.
CTI. Divisio Arcus in limbo duadrantis, per Circulos Concentricos e Rectun
Diaconalem, Fipistola ad D. Flevelium.
VII, De Chordis Musicis Fxeperimentum.
OVIII. De Scellarum Lixarum Parallaxi observanda.
CIX. Perforatio Cabi, alterum ipsi aequalem recipiens.
CX. Crcloidis Seementum, aequale Fieurae Rectitinea.
CXI. De Complicatis Annulis; Cardanus explicatus.
CXII. Problema Floreniinum; de mira Templi Festudine Duadrabili.
De Combinationibus. Alcernationibus, et Parcibus Aliquoris, Tractatus. 483
Cap. L. J.) P. Variecate Flectionum, in Sumendis B Relinquendis Ono aut Puri-
bus, certo numero Propositorum.
H De Nternacionibus, seu mniari Ordinis variecatibus, rerum certo numero pro-
positurum.  astammatismis.
III. De Divisoribus, e Parribus Niquoris, numeri propositi.
IV. D. Fermatii Problemata, de Divisoribus e Parcibus Aliquoris.
De Sectionibus Angularibus, Tractatus.
Cap. I. ) S Dupheatine  Balectione Arous vel Anuli.
PTI. De Triplicatione e Trisectione Aeus vel Aneuli
III. De Quadrupicatione  Quadrisectione Areus vel Ansuli.
Se
364
366
368
4.29
52

## Folio  -  — 851708439:0019
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000019.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
ELENCHOS CONTENTORUM
IV. De Duintuplatione e Quinquisectione Arcus vel Aneuli.
V. De Sexruplatione  Sextisectione Areus vel Anculi. Aiisque consequentibus
Mulciplicationibus e Sectionibus.
VI. De varia Proporsione Basis ad Crura Frianeuli, pro diversiate Anect in
Pertice.
VII. Praecedentium Applicatio ad parciculares Casus.
VIIT. De Canone Subiensarum e Sinuum: Fansentium ilem  Secantium. 
Fairsaxii Problema de Projectionibus
IX. De Aeulorum cum Areubus quibus insistunt Comparatione.
X. De Problemate quodam Callic ano.
XI. De tribus Problematis e Beleiomissis.
De Angulo Concactus e Semicireuli, Fractacus.
Cap. T. R Nsa e status Controversiae.
LII. Controversiam ab Fuctide dirempiam non esse.
TII. euli Plani Natura e Definitio explieantur.
IV. Dreumentum Primum, ab Anguli Z lam natura petitum.
V. Areumentum secundum; Oi de Anculorum ouoyereies.
VI. Fxceptionibus Clavii Respondetur
TTI. Aneulorum Planorum ouoverere confirmatur.
VTII. D. Flenrici Savitii Festimonium hac in re.
IX. Arsumentum Tertium; ab aequalibus Sesmentorum Similium Angulls de
Sumptum.
X. Similium Scementorum Aneulos aequales esse, ulterius confirmatur.
XI. Objectioni in contrarium R espondetur.
XII. Areumentum Duarcum, seu Treumentorum Classis quarta; Duia, quod omne
positiva quantitate minus est, est non- quantum.
XIII. Areumentum duintum; FX Proportione Lvanescente deduitum.
XIV. Areumentum Sextum: PN Optieis petitum,  Sectionibus Conicis.
XV. Clavii Corollariis Respondetur.
Ejuldem Fractarus Detentio.
Cap. L. X Nnentus Conractus, est Nallius Maenicudinis.
TI. Objectionibus Clavii Respondetur.
TII. Objectionibus Leotandi Respondetur.
IN. Tdem plenius Mustratum.
V. De Compositione Maenitudinum.
VI. Inceptrva Maenitudinum.
VII. De Compositione Motuum.
euc
DE Poltulato Oninco; et Ominta Detinitione L 1B. C
Euclidis; Disceptatio Ceometrica.
FF. 5. I. 6. Fmetidis vindicatur.
Postulatum duntum vindicatur.
Nasaradimi Arabis, ejusdem Demonstratio.
Demonstratio nostra.
Quod non sit iniquum Postulatum.
Tentans, Creometrice Contideratum
Ocept Occasio; in Epistola ad D. Robertum Morar
DCono Cunei Sectiones variae, Plano exhibitae.
ane
Cono. Cuneus; seu Corpus partim Conum parrium
De Crraritate e Craritatione, Dilquitutio Cicomet
609
679
62F
625
627
620
630

## Folio  -  — 851708439:0020
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000020.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
ELENCHOS COMTENTOROM
De ACu Maris; Hypochelis Nova.
Distola Prima.
. Fpistola Secunda.
Fpistola Terria.
Commereium F. pistolicum; De Oucaeltionibus quibusetam Machemarieis sd oull. 35)
Raesatio ad D. Kenelmum Dieby.
Sipistola L. Vice Comitis Brouncker ad W allisum.
TI. W allisii ad Vice Comitem Brouncker.
TII. Vicc. Comilis Brouneker ad W allisium.
IV. D de Fermat, ad D. Kenehmum Disby
V. allisii ad Diebaeum.
VI. Diebaei ad Wallisium.
VII. Wallisii ad Diebaeum.
VIII. Brounckeri ad W allisium.
IX. Wallisii ad Diebaeum.
Z. Brounckeri ad Waltisium.
XI. Fermati ad Diebaeum.
XII. Fermatii ad Diebaeum.
XIII. Brounckeri ad W adlisuum: Cum xermatii Animadversionibus.
XIV. Brounckeri ad W allisium.
XV. Wallisii ad Brounckerum.
XVI. Wallisi ad Diebaeum.
ZVII. WVallisii ad Brounckerum.
ZVIII. Wallisii ad Diebaeum.
XIX. W allisii ad Brouncherum.
ZX. Brouncheri ad Wallisium.
XXI. Diebaei ad Wallisium.
XXII. Frenich ad Diebaeum
XXIII. Waltisi ad Diebaeum.
XXIV. Brounekeri ad Wallisium.
XXV. Diebaei ad Wallisium.
ZXVI. Frenict ad Diebaum.
XXVII. Brounteri ad Disbaeum.
XXVTTI. Wallisii ad Diebaum.
XXIX. Wallisii ad Brounkerum.
XXX. Brounteri ad Wallisium.
XZZI. Frenictii ad Diebaeum.
ZXXII. Wallisit ad Brounkerum.
ZXZIII. Schootenii ad Wallistum.
XZXIV. Brounteri ad Walisum.
XXXV. Diebaei ad Brouneerum.
XXXVI. Diebaei ad Wallisium.
XXXVII. Fermatii ad Diebaeum.
XXXVIII. Frenichii ad Diebaeum.
ZXXIX. Walbisi ad Diebaeum.
ZL. Wallisii ad Brounteerum.
XI. I. Diebaei ad Th0. W hite.
XLII. Diebaei ad Wallisium.
ZLIII. Frenichi ad Diebeum.
XT. IV. Wallisii ad Diebaeum.
XIV. Diebaei ad Wallisium.
XL VI. Fermarii ad Diebaeum.
XL. VII. Wallisii ad Brounterum.
FRTGONOML. LALM LLANACSIHAKICA: N Cnset
Riconometria PJana. c13
Trieonometria Sphaerica.
Sc
812
81G
815
82C
823
82
82C
8:
82
8

## Folio 1 — 851708439:0021
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000021.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
tat
AISTOKTCDS, et PR ACFLC65:
F. S U S D E M
Originent a Frosrestus rarios octendens.
De AIsebra natura variisque ejus Nominibus.
L vulgo diei solet ALGF BRA; etiam, CiracO nomine
ysis aut malytica dicitur, (avaenvors, aveenomin) ut qua
Resolutionem Teu Dissolutionem illius sixniticet quod (C Com
poni incellisitur ut casus poltularerit.
Ouod nomen itaque non incommode acribui potest variis
vulsaris Rrichmeticae operationibus; puta Subductioni, Di
visioni, e Fatractioni Radicum, Quadratiea, Cubica, Sc.
Ntam Subductio nil aliud est quam Distoturio illius quod
 supponitur Addendo componi. Fet Dirisio, illius quod Mul-
ciplicando. Extractio item Radicis (Ouadrarica, Cubicare) illius quod Oua-
drando rel Cubicando supponitur componi.
Ouipue cum ex numerO 5 Subducendus cst 3, e petitur quid restet: Supponi-
tur numerus s ex partibus componi, quarum altera Cic numerus 3, altera quam
(donec innoreleat) rocemus A (aliore nomine ad arbicrium Lupro) et quaeri-
tur quis Tit ille alter numerus A (nempe, qui simul cum 3 conlticuie 5: ) HoC
est, posito 5 = 3 f A (hOC est, numerum 5 aequari duobus, 3 et A Simul sumpris,
quaericur quis sit A. Flas enim parces prius ineste oporcet numero 5, quam di
relli postint.
Similiter, ubi numerus 12 per 4 Diridendus est; supponitur numerus aliquis
(quem A VOcemS) quater Cumprus (seu per 4 mulciplicatus) constituere 12.
Lc quaeritur quis sc ille numerus A. HTOC eA, PoTITO 12 =- 4 A, quaritur quis
Sic A; nempe, qui quater sumprus conticiat 12.
Trem, ubi extrahenda est Radix Quactratica numeri 26; praesumitur numeris
aliquis in se ductus (hoc est, tories sumptus quotus ipse est) conticere 16: e
quaeritur, quis SII. Puta, Posito 12 = AA, leu Ax A, quaritur quis siC A; nem.
De, qui per se mulciplicatus conticiat 16.
Cumque ex F25 extrahenda cst Radix Cubica; praesumitur numerus aliquis ut A,
qui in se cubice ductus (hoc est, qui primo sciplum mulciplicet ut fiai AX A,
iterumque hunc productum, uc fiac Ax A X A) conticiat 125. HIOC est, Dolito
AX Ax A = F25; quaritur quis sic A. Ec limiliter in aliis Porestacibus.
Ouae quidem Inquisitiones, rice peractae, extibebune iptius A valorem, primo
catu 2; lecundo, 3; terrio, 4; quato, 5. Acque in aliis calibus PTOUT res
exegerit.
Adeoque

## Folio 2 — 851708439:0022
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000022.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
A L G E B R A.
Adeoque Aaditio, Muscipticario, Constitutio Potestatum (Ouadratica, Cubiex, _c.)
Funt operationes Syntheticae Peu Compositorix: Subductio, Divisio, Radicum lX
tractio, lunt operationes Anatytica, Peu Reloluroriae. Aeque in aliis limiliter.
Verum hujulinodi operationes (quia faciles Tunc) quanquam sint revera Maty-
ticae, non tamen illae Cune quas poristumum delignac haec appellatio: led alia, quarum
Compositio est perplexior acque incricatior, carunque Relolurio propterca diffici.
lior. Flarumque perplexiorum compositionum artiticiola relolurio, ca elt quae
Alcebrae Ceu Analycices nomine Colei intinuari.
Analyseos inventionem Platoni adseribit T heo (Taltem (I Theonis ea Tint qua
Tub inicium lib. 23. Fuctiais habentur huc spectancia;) quae d Theone Sic detini-
tur (interprete Vieta) Assumptio quaesiti tanquam concessi, per consequentia ad
verum concessum. Et (vice verla) Synthesis detinitur assumptio concessi, per
consequentia ad duaesiti finem es comprehensionem. FF Pappus Timiliter in Col-
lectaneis, Tub inicium libri 7. Nempe illic, d constructis recrocedicur ad ca unde
constructio incaepisse praelumitur: hic vero, a concestis proceditur ad ca quae inde
funt construenda:
Arabibus dicitur Aejabr W al mutabala; indeque ab illis ad nos derenit no-
men Acebrae. Arabibus, Verbum s’abara (eo Tono quem Icali scriberent sjabara,
Angli jabara) signiticat Resticuere leu redinteerare: e speciacim dici tolet de
Fractis Ossibus aut luxaris, in justum ordinem restitmendis: (estque attine FIe
brxo verbo Gabar, quod cst F’ortem esse:) indeque delcendit Nomen Il ejabr.
Verbum kabala (unde descendit Nomen al mukabala) signiticat (apud Arabes)
Opponere comparare, aut contraponere, Teu ex adverso ponere. Adeoque illorum
Il Ejabr W atmucabalam cancundem erit acque, ArS Restitutionis e Comparationis.
scu contrapositionis; aut etiam, ArS Resolutionis e Squationis. Ft quidem
Lucas de Bureo (ex Alsebristis Furopaeis ediris, omnium quos seio anriquissi.
mus) Restitutionis e Oppositionis Resulam interpretatur. Rut etiam s ejabara
interpretemur componere, es kabala interpretemur opponere Peu contrariari; non
male exponas alsjabr ’al mucabala per compositionem ejusque contrarium; hoc
eAt Synthesin es nalysin.
Ejus (inter alia) hoc unum munus est. Ouanticas aliqua, seu Magnicudo, 2d-
huc incognita, sed inquirenda (quam Radicem rulso dieunt) supponitur (per
additiones, subductiones, mulciplicationes, diritiones, alialque operationes indica-
ta5) lic immutari, uc eandem aequalis frat nocx cuidam quantitati; quam ei con-
craxonune seu cum illa comparant conteruntre: quam collationem seu Contrapoli.
tionem, voCanE SEquationem. Ouam quidem Aiquationem resolrendo, Radix
illa (sic pridem mucata, detormata, ec quasi luxata,) jam quasi in juctum ordi-
nem Restimitur, ejusque ralor innoceleis. Ouod innuere videtur Arabica ap.
Dellatio.
In Gohi Lexieo Rrabico exponieur, Reductio partium ad totum, seu fractio
num ad inteeritatem. Quasi Illud signiticet quod vulso diei Colet Reductio fra-
ctionum.
Acquo sic non raro res este porest. Duca, Si numerus incognitus de quo qua-
ritur dicatur A; qui supponiur (verbi gracia) in eres partes aequales diridi
(quarum itaque quaelibet erit Z A;) harumque una duplicari (qua Fat Ita que ; A;)
acque cum demum hic criens duplicacus aequalis esse denNCIETK NUMeTO 16: ee
quaerater tandem, quis isicur elt ille numerus A. Ouod huc candem redic; Po-
sico quod Z A = 26 (hoc CH, quod duo crientes numeri A (nE 16) quantus est
ille Atotus. Oui re bene perpensa, reperietur numerus 24: (quippe cujus duo
rientes Tunc 16.) Adeoque ex cognito valore parcis, collisitur valor incexri.
Sed exisca palo haec est arris AIGCbrA; uE quXe. Se ad Rcsoluriones longe. diftici.
Tau oeant Regulam rer  census. Ouae enim Diophanto Tune aeduds. Subape.
nieo. (Leddique lolent Lallne, Numerus, Potestas, Cubus; auc L atus, Duadra-
cum, Cddas; aut Kacra Luaaratum, Cubus:) Tralis dicebantur Res, census, cu
bus: Adeoque Resula ret e census, tancundem illis es atque Resula radicis e
Forro; cum quae alias Raca dici soler, illis dicatul. es, quae in eorum lin-
Sua est cosa, (qua ron a Latinorum causa detormata videtur, ue et Gallorum
chose eodem sentu;) hine tir ue numeri qui dicuntur Denominativi, (ut sune
Radix,
liores calendic.
quadratu leumaris es quaaralt.

## Folio 3 — 851708439:0023
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000023.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
A L. C L. B L 1
Radix, Ouactratus, Cuibus, reliqua que qua lequuntur L’oteltates leu Dionitatco
dicancur item numeri Cossici: ip laque qux de his asit Alsebra, Recula Cosse Leu
Cossae teu Cosae dicatur; hoc elt Regula Rei: Sumpra denominatione à voce Cosa-
quam pro R Peu Radice DonUnE.
Similiter, cum illi Censum (hoc eA, proventum) rocent, quod alias duadra
cum aut Potestas dicitur; hinc voce Barbara Zenzus pro quadrato dicebatur; et
ractiX LEnZICA, PIO Quacactea, Zenzizenzica, Deo quadratoquadratica; Zenzieu
Pro re zenzo, cubo, surdosolido, tuerm ulurpati; hoc es pro Radice, Duadrato
Cubo Supersonao. L X V (a literis r deformati) Factae funt Nocae radi-
calituris.
vica pro quadratocubica; similesque alix appellationes.
Elinc clt quod Characteres 28 5 eB8 (ab initialibus literis r & Cs deriraci
seguitur) Lucas de Bulet clalice dixerit P’arre masjore; quo nomine hranc ili
concradiltinsus qua ell de mersatorum computis, quam vocat l’arte minore. Alii-
que aliis nominibus, prour cuique ritum est, hrane Arcen appellarunt.
Cardanus hanc appellat Artem magnam: Prout jam ante (quem trac in re
De eru prout apud Euclidem, Paprum, Diophan
cum,  scriptores Arabas habetur.
AThi quidem extra omne dubium est, receribus cognicam Fuiste, ee utu com
L probacam, istiusmodi artem aliquam Inrestisandi, qualis est ea quam nos
ebram dicimus: Indeque deriratas esse qua apud eos conspiciuntur prolixiores
e intricata Paris Demonstrationes. Aliosque ex recentioribus mecum hac in re
sencire comperio. Ouod in Schotenii aliorunque scriptis pastim ridetur. Sic
Omhtredus nostras, in Pratatione ad suam Clavem Mathematica. Ilabuitque
(quod mihi narratum) Barrovius nolter Diltercationem (nondum cditam) de Ar
chimedis methodo investieandi; ubi concludie, Alsebram jam cum fuille in utum
receptam. Atque in Savitiana Bibliocheca Machematica, inter libros Manuseripros
ticulum Palcem comperio Libri, qui ipse excitus et, Liber de Arte nocoria secun-
dum spolloniuim, dictus. Oui num tale quid concinuerie, ignoro: an (quod pu-
carerim) hiaec Ars notoria fueric Masicum quid; et per Spollonium intellisatur,
non Pereaeus ille Machematieus, Sed Magicus Fyanaeus.
Flanc autem Arcem Inrestisandi Veteres occuluerunt sedulo: contenti, ver
demonstrationes spasoeicas. (ad absurdum seu impossibile ducentes si quod alte.
runc negetur) actentum cosere; porius quam directam mechodum indicare, qua
fuerine inventa propolitiones illae quas ip( aliter et per amibases demonstrant.
Flac de re sic conqueritur Nunes seu Nonius in Algebra lua Itispanice edita
Anuerpia AnnO 2567. Fol. XT4. b. O quam bene foret, si qui in seientiis Ma-
thematicis scripserint Auchores, scripta reliquissent inventa sua eadem methodo, e
per eosdem discursus, quibus ipsi in ea primum inciderunt; e non, ut in Mecha
nica loquitur Aristoteles, de Artisicibus, qui nobis foris ostendunt suas quas fecerint
machinas, sed ariificium abscondunt, ut maeis appareant admirabiles. Fst utique
Inventio, un arte qualibet, diversa multum dFraditione: neque putandum est
plurimas Fuchis C chedis propositiones, fuisse ab illis ea via inventas qua
que Bopoeo lIb. 13. Lellato sde juldlem in Cilavii paraptrali; sed in ec
HOnC CraCa; atque eriam in anciqua versione Lacina quae ex Arabica facta elt.
unde constat et apud Arabes excitisse. Et quidem quae ibidem habencur, non
tam Fuchdis Fuisle censentur, quam vel Theonis, vel alius cujuldam Scholiacta.
Sec utuc lien anciquas este cercum ett, et Arabiea versione anriguiores. Mia
que istiusmodi apud Pappum habentur.
nodis Elli ipsas tradiderunt.
Paucas tamen istiusmodi inrestisationes eriamnum habemus ad primores quin.
Sec

## Folio 4 — 851708439:0024
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000024.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
L G F B R A.
Sed praecipuum eorum quae de Alsebra habemus apud Grxeos scriptores, est
apud Diophantum Alexandrinum; qui de ea libros ireldecim scriptiste pertribe
tur; quorum adtue habemus Arithmeticorum libros sex; aliumque De numeris
mulcanentis: Reliquolque (ut miti faltem nunctatum elt) exiltimat doctilsi.
uS Taacus Possius in MS. extare inter opera Leonis imperatoris in Bibliocheca
Regia Parisiis
AbuL Phararius, Fristoricus Arabs (d Doctistimo Pocockio nostro Arabice et
Farine editus) Diophantum hunc ee Themistium existimat, circa Juliani. APO-
Ctatae cempora vixille, circa annum Domini 360. Joannes Gerardus Vossius alii-
que quos ille citat, (in sadendis ad librum de scientiis Mathematiois) viricte
Diophantum pucat circa tempora Imperaroris Antonini, eodem circiter tempore
cum Claudio Pcolemao, adeoque circa annum Domini 250, eumque exiscimat (non
Cebrum qui multos post annos vixie) primum inventorem Alcebrae: hoc est (sic
enim cum incelligo) primum qui Algebram in eam mechodume edegit: rem enim
iplam multo antiquiorem, ec Platoni aleriptam, supra dictum est. Idemque alibi
(Cap. 10.) Mahometem ben Mosis, Acabem, primum hujus inventorem innuit;
hoc est (sic enim incelliso) primum apud Arabas. Cardanum in hoc seguutus,
qui (de subtilitate, lib. 26. Sc in AIgebra Cua) ejus inventionem huic Arabi al
cribit; cumque ob hanc arrem Cebrum Fuisse dictum putat. (Au l P haraeius
hunc Mohammed ben Musa vixisse Dutat cirea annum Chricti, 900. Futrchius,
circa annum 850.) Et quidem. (ucur Cardanus in eo laplus Force Fuerit, dum
Mohammed illum inde Gebrum dictum pucarerit) crac Tub idem tempus (centuria
nona) Creber quidam Arabs in Altronomia celebris; qui in Prolemaei AIma.
eltum scriplic commentaria, (Patine Dost edica Noriberea, AnnO 1533.) An
aucem idem tuerit cum Mohammede ben Musan aur tueru in Algebra celebris
haud astirmarerim.
Scevinus (in Greograptria sua, ubi de Firvaito seculo asic, aut Riecte saee,
existimat, tum hanc cum alias Matheleos parres, apud Orientales Fuisle multo re
cuctiores omni quam d Craeeis habuerun Pruditione: nec Diophantum tantum,
Sed ee Fuclidem, Ptolemaum, ETipparchum, muleo posteriores Fuisle Tuo seculo
erudito; Tuamque ex ictius seculi religuiis (Dostquam peaecipua istius aeri monu
menta perierinc) eruditionem craxiste. De qua re illius lire rationes sire con-
jecturas loco citato videas.
Orcunque sic: haud improbabile est hos rabas, qui ab Ludis figuras numera-
rias acceperint (Graecis isnotas,) simul inde didicisse cum earum utum, eum
protundas de illis speculationes, quas neque Latini neque etiam Craeci prius nOve.
ranc quam ab Arabibus tandem tuerint edocti.
Ah Indis iisdem etiam accepisse porverint Asebram suam, potius quam à Dio-
phanco, (qui Tolus Gracorum, quantum scimus, de ea scriplic; idque lero, et in
mechodo mulcum dirersa ab ea qua est Arabum.) Cercum enim est, multur
cruditionis habuisse Arabas, Praeter eam quam d Oraecis acceperune, ec quidem
Paris vecultam. Ft quidem cum tam Colicite curarent Saraceni, AUIHOTES GIEXCOS
praltancistimos, plerosque omnes, in drabicam linguam craducendos, quo corum
doctrina torenc parricives; non dubitandum cst. quin Persarum, Lndorum, alio-
rumque Orierucalium doctrinam pariter ambiverine; quorum icem linsua ab illa
Arabum minus ditterebanc. Nomenque iptum (A Sjabr Wa l mocabala) cum
Craeco nomine nullam videtur astinitatem retinere; quod camen altectare vide.
bancur in eis quae a Cirxcis acceperant: ue liquer in vocibus il macesti, Il eo-
rismus, aliisque; quas a urrisu et aecuos descendissé non dubitem. Sed ad Dio-
phantum redeo.
Appellationes a Diophanto usitatae, sunc, vords, aedudss suvarus, nibes, suva uo
Suvaepus, nobonobo. c. HIS nOTS ACAIBNALX p. 3 5,
Dux
Latine ab interprecibus reddica, sunc unitas, numerus, quadratus, cubus, qua
dratoquadratus, Gudaratocrbus, cabocubus, sc. notisque his (excepra unitate
quae indisere noca non videbatur) designata, N Q, C, , C, CC, dc
Ubi ee, temper innuic dimentares duas; Cy tres; adeoque Q, quatuor; O Cy
nomen adexia est. Non quidem a Ciebro aliquo, iptus inventore, prout con-
jectati
quinque; C. C, (Cx; dc
Post Diophantum aurem (R non e ante,) doctrinam hanc prolecuri sunt

## Folio 5 — 851708439:0025
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000025.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
A L. C F B 
jectari sune aliqui, (sed absque omni quam hactenus vidi conjecturae ratione.
praeter sonum ipsum, si saltem aliquando Fuerit Geber Algebrista;) Sed, ut supra
dictum elF, ab Rrabico nomine Aejabr W al mucabala.
Multos tuisse, dicitur, in ea linsua de Alsebra Ccriptores. A quibus ((Z
Diophanto acceperine illi). Diophanci denominationes Lune MULaLE. LL PEaeteF
Radicis Ouadrari, Cubi, denominationes; Cive Numeri, Potestatis, Cubi, ( qua
Colas acttibet, Pol Onicarem, Diophantus,) incerteruntur super solidorum lu
jam loquimur) primi, secundi, certiis pluriumre, denominationes; quas ionora
ric Diophantus. Verum cgo pocius pucarerim Arabas, sire iplos inveniste, sive
ab aliis (aliunde quam a Ciraecis) Algebram Cuam accepiste, jam ante Diophanti
tempora. Iplaque potestatum alia nomina, aliumque in recensendis ordinem, e
supersolidorum insertionem, (ne plura nomineM,) arGUMEHIA PULO NON COn
temmenda, aliunde illos quam d Diophanto Algebram accepisse fuam.
Apud Arabas holce Machematiea disciplinx, omnis generis, longo tempore
Aorverunt, rariaque sulceperun incrementa, cum apud FuropaeOS crant ane
ignOTat PenituS auc nestecta. Inter eos erant Maimon, Umeon, Alchindus
Albumasar, Alfracanus, Alfarabius, Ceber, Mabometes Baedadinus. Mahometes
ben Musa Thebit, Faly, Alehabitius, Albazen, aliique Arabes: Ouibus accen-
Seamus quosdam Persas e Tateros, ut Al suphi, Nasir eddin, Shah coleium, Oles
beie, ec. quorum Pabula Astronomiea etiam nunc extant.
Ab his Arabibus, accepta sune nomina Amasest, Aximuth, Amucanter, Zenitt
Nadir, Almanach, Asorismus, Alsebra, ec. Alixque mulrae roces Arabiea (jam
deluetae) habentur apud Resiomontanum, Purbachium, aliosque eis luperiores
qui authores Arabicos in Larinum cranstulerunt, aut luam inde doctrinam derira
FunE. Alia(que multas reperio in codicibus MISS. de sstrolabio (cujus partes Ara-
bicis nominibus notari Tolent) aliisque rebus Machematieis.
Franctulerum illi (ex Craeco in Arabicum) Fuctidem, Ptolemaum, Aristo
celem, aliolque authores CiracOS: arque ex his rerlionibus Arabicis, nos primas
trabuimus Lacinas cranllationes Fuclidis, Prolemai, aliorumque Cirxcorum, mul
to prius quam illas ex Cirxco immediate. Oux et res cst nocoria, acque hoc
(polt D. Fienricum Savitium) dilerte restatur Johannes Gerardus Vossius: Fu
elidem Latini transtatum habuerunt prius ex Arabico quam ex Craco fonte. Duem
admodum e ante ducentos, es infra, annos, non alia Aristotelis, Caleni, P tole-
maei aliorumque multorum, interprecatio in manibus erat, quam ex Arabica ver-
Sione, Fatine, aut semi barbare pocius, expressa. Acque, anre illum, Mlustristimus
Fiques Lenricus Savilius, in secunda cua in Liuclideur Lccturan idem cildem fere
verbis dixerat.
Acque ab cisdem nos accepimus, non tantum Algebram nottram, sed reliquas
literatura Machematicae partes: a Mauris in Flispaniam primum incroductas
circa Annum Christi +10O, auc cirius: indeque in reliquam Furopam propa-
3ataS.
Flac occatione, multos reperio ex Ciente nostra (in Scholasticorum philo Coptris
non laris acquiescentes) cirea Centuriam Duodecimam et Decimamcertiam, in
liceraturam Arabicam, ee res Machemaricas in ea cracitas, solicice inquisiriste.
Inter quos erac Adelardus (Monachus Bathoniensis) qui in hunc tinem pe-
recrinatus CM in Fispaniam, A: syprum, Arabiam, alque (ut retert Lossis) fiu
chdem (alio (que libros Arabicos) ex Arabieo in Lacinum cranctulic. 170c (in
quic) anno (T13O) Athelardus, seu Adelardus, Anetus, Monachus Bathoniensis.
Fuclidis Ceometriam ex Arabieo verrit Latine. Nec Arabice seivisse, mirandum:
quando Calliam, Cermaniam, Italiam, adiil; sed etiam Lsispaniam, Aroyptum
Arabiam ipsam.
Trem Robertus Recinensis (hoc est ni Fallor, VoberF OE Hedoing) qui in Lispa
niam pereorinatus, rerum Mathematicarum caula, ibidem ex Rrabico in Lacinum
transtulic Alsoranum, anno (F4 3. UE ex ictius cranllationis P piloso liquer, e
praetixa praelacione Petri Clumacensis.
Circa hoc item tempus (aut paulo citius) Culielmus de Conchis (wiuliam Shenlev)
in Fhispaniam Peregrinatus, Linsuxe Arabicae ee Studiis Machemarieis se applicui,
rariolque lihros Arabicos inde in Anctiam reculit
Nec multo Dot Daniel Merlacus (Dorlex) circa annum F280, in Pispaniam
aliquories percxrinatus, ibidem in urbe Loleto, Arabicis e Machiematieis Audiis
incubuit:

## Folio 6 — 851708439:0026
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000026.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
  F
B R 1.
incubuit: quae quidem doctrina (d Mauris adrecta) ibidem Aornie, dum alibi in
Furopa rix innocuerit. Aique hi quidem duo crudicionem hanc mature admo.
dum in Angliam adrexerune, librosque Rrabieos aliguammulos.
De duobus hisce (Gutielmo de Conchis, &e Daniele Mertaco,) Cuisque icineribus,
crat non ita pridem conspicienda parricularis narracio, in duabus Pextationibus
praetixis duobus illorum libris Mannseripiis in Bibliocheca Collegii Corporis Christi-
Oxonia, sed nuper (ignoca manu) excila acque lurrepix sunc pratationes illae.
In quarum altera facta irem erac mentio itinerum Athelardi Bathoniensis; qua
uaque hoc nomine ciratur a Gerardo Lossio. Si cui in manus inciderint Pratatio.
nes illa, omnino exorandus cst, uc rel illas ipsas, rel carum Falcem aposrapha re-
Ptituat, aut alia saltem racione publiei juris taciat, ne pereat penitus cum celebre
monumencum.
Eodem circiter tempore, Johannes Saristuriensis, Roeerus Infans, (Hoser CGilo)
aliique de gence nostra vixerunc, hujusimodi Rtuciis incenti.
Ac anre haec tempora, dum non Arabiea tancum sed de Graeca lingua periria
erat in his Furopae parcibus admodum rara: studia icem Machematica FaTA erAN,
ec parum culta.
Hlabuimus quidem in Anelia, Athelmum Eive Adelmum, quem collocat Possius
ad annum Chrilti 680; e Walatridum Ripponensem (Tumpro nomine de oppido
Dippon) quem collocat idem ad annum 000; se venerabilem Bedam (ca Xerare
maxime celebrem) circa annum 730; ec albinum Tive Alcuinum (Bedx discipu-
lum) quem memorat idem ad annum 760. Sed Fuclides et Ptolemaeus crant
plane incornici: Boethius ucique et S. Ausustinus habCbAnCUT HaRUM FETUI PEX.
cipui masiltri.
Sed post ea tempora, cum ab Arabibus nacti Ferant vertiones LatinaS, FU
elidisque Ftolemaei, Pristorelis, aliorumque ex GTracis; una cum aliis accestionibus ad
Philosoptriam, Astronomiam, Geomerriam, aliasque Matheleos partes, crererunt
mirum in modum haec studia, ec speciatim in Anglia, rariaque susceperune in-
crementa, a plurimis exculta. Inter quos (praetex ance memoratos) à Vessio
recensentur, Clemons Lansthon ad annum L170; Cervasius Filburiensis (e ervaS
DE LtIBuEP) ad annum Z2 FO; Johannes de sacro Boseo (DGn DE BalIFAF) ad
annum 1232. Fossius ei nomen Facic Dalx. 1000D: nec ommino male, sed minus
apte nam Balx dicebatur olim quod jam holx dicimus pro sancto; (unde Valp.
eude Boule Seoris etiamnum dicitur Canobium jancta crucis; nam hale seu hole
cA sanctus, et rude seu rooo dicebatur olim quod jam eross dicimus pro cruce:)
e Boscus Peripcoribus nostris Lacino barbaris olim e etiamnum, pro sylva dici-
tux leu arboreto (a ooD) ut Gallis bois: de hu etramnum dicimus Anglice
Pro arbusto (unde olim torre desumpta est rox buB de hine Boscus,  bois;
sed e pro reprium auc rirgultorum plexu seu cinno, arbustum reterente; d
mecaphorice, pro cincinno seu implexis crinibus, (a buh vel lock DE BaiE,) qui
Fax aut Eex olim dicebatur (quod olim a salee dictum conjicias; unde nomen
Cencilicium Xair. Fax quod exponune de pulchra caesarie, quali Fair. IOcH. Ouam-
vis itaque de facro Bosco non male reterar nomen Dalv. LVDOD; cum tamen co-
dem signiticatu dicatur DalIEax, quod elt celebri apud fiboracenses in Anelia op.
pidi nomen; non dubium est quin inde dictus Cc Johannes de Lrali fans Ceu de
sacro boseo. Sed haec obiter. Recensetur item, sub idem tempus, Roberius Ln
comiensis (ab Lipiscopali sede nomen FOrrituS) Peu Robertus Crostheact (a cxacto
capite cognominatus.) Trem Roserus Bacon CirCa annum 1225; ob rariam exu-
dicionem, d reconditiorem, celebris. Johannes Peccam (Johannes C. antvariensis
irem dictus,) ad annum 1276. Odinetonus, aet annum 1280. Johannes Bacon
dorpius (Baconus item dictus) ad annum (330. Robertus LLalot (live de Nor-
thamptma) ad annum 1340. Zohannes sistreooit (de Ashenden) circa annum
2347. Climitonus Lanoley, Cirea annum 1350. Nicolans Linvensis (de Linna
cirea annum 1355. Johannes KillinereoriB, 1360. Risardus Lavincham 23.70
Simon Bredon, 1386. Johannes Sommer (an Sumner) +390. Johannes W al
Eer, 2400. Willienmus Barecomb 1426. Willictmus Butioner, 1460. Ouorum
plerique saltem, ut in alia literatura, sic speciatim in Machematica fuerunt cele-
bres; ut ex libris illotum MSS. in Bibliochecis adhue latencibus, necdum editss,
liguet.
Sed et alii tuerunt tub ea rempora mulci, a Possio non mêmorari, incer quos
Adamus

## Folio 7 — 851708439:0027
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000027.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
A L G F B R
Aanus de Mariseo (adam BBarth) Roberio Crosthead (Lincolniensi Fpilcopo)
ContempOTanCUS  Familiariter nOtuS. Trem Bradvardinus, et Readus, alijoue
DIureS.
Opus autem modo dicti Johannis sastreood (Teu Fstrevod Fsood F seid.
schurde,) de Ashenden, (Jeu Fsenden, stemdene, Astenton, Aysden, toc enim
modis scripium inrenio) Venetiis edicum comperio, anno 1480; cum hac in
seriptione, summa astroloeia fudicialis de accidentibus mundi, quae Anelicana
valeo nuncupatur, Johannis Psehuidi viri Anelici, peritissuni scientiae Astroloeiae:
(Quod repeto propter nomen ejus aliter ibidem scriprum quam in libris aliquor
Manuseripris.) Aitatem aurem ejus quod spectar; in duobus codicibus AISS
(Sariliano alcero, altero Bodleiano,) ad calcem Fractatus secundi sic Seriprum
comperio, Completa est haec compilatio tractatus secundi summae Judicialis de
Accidentibus Mundi, +8 die mensis septembris, anno Cbristi +348: (quae verba
Auchoris esse puco; et non (qua verba Librarii seu Fxscriptoris existimo,
Faplicit summa Judieialis de Accidentibus mundi, secundum Masistrum Johan-
nem de stemdene quondam socium Aulae de Merton in Ononia
Conjicio autem (nOn CerEuS tamen) Robertum de LToleot, (d Vossio memora-
cum) cundem esse atque Robertum de Northampiona, (cujus tractatus aliquot
manuseripei, in re Machematica, habentur inter codices Sarilianos;) quoram
in aero Vorthamtoniensi reperio villam Fsoleot dictam, sex circirer milliaribus
Anolicanis ab oppido Vorthamton distantem, ad Boream vertus; aliamque LLucot
tantundem inde diltancem, ad meridiem; in qua, non ante multos annos visse
quidam (ue mihi dictum et) nomine ulcot, cujus item ancecelsores iBicem
rixCranE a longo tempore; d quorum Fortan aliquo aut villae nomen Pactum ct.
aut ipsis a villa, (nam utrumque apud nos Caepe contingit:) nimirum, eis rem
poribus, (quibus Familiarum nomina sencilicia minus crant in ulu, culue
defectum lupplere lolebant aclacione facta nomini proprio sire a loco sire ab
aliis Circumltanciis) non elt Mmprobabile quin a villa sua dicatur Robertus de
TTOlCOE, (FTulROL, auE FLOIRB) lacinque à Comitatus ejusque adjacente oppido
principali, dicatur de Noribamtona.
De Fieuris numerariis quibus nunc utimur; es
a quibus illas accepimus.
Nter ea quae d Mauris _ Arabibus acceximus Macheseos incrementa, de
speciarim Rrichmetiea; Fieuras Numerarias vulso dictas, (carumque ulum,)
locum si non primum, laltem non ultimum obtinere centeo.
Sunt aurem numero decem; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, 0. Ouarum primores no-
vem, fieurae sienificasiva dictae, delignant numeros, unum, duo, triam quatuor.
quinque, sex, sextem, octo, novem, ulcima vero, non sienificativa, et ciptra dicta
detionat nullum; loeoque supplendo porissimum inserric, ut quae signiticatira
Tunc deticam sedem occupeni et ralorem illi ledi competentem.
Acque hae quidem, quamris non iptissimos habeant characteres qui punc in
utu sune apud Arabas; rancillo tamen inde differunt, uc non dubium sic quin
inde fuerine (plerique Falrem) derirati. Fr quidem qui ante aliquor secula
apud nos in usu fucrune characteres, (Doltquam a Mauris illas nuper acce-
PeramIS,) minus achuc ab Arabicis distabant quam quibus jam utimur, a ve
cultioribus illis (in MISS achuc comparentibus) paulatim succedentibus secutis
destexi.
Ft quidem quos habet Maximus Planudes, in Rrichmeriez sin Giaece sexipta
(cujus in Bodleiana Bibliochoca habemus duo exemplaria MISS.) ipsissimi fere Punt
cum Arabicis. Vixic autem ille, ut Possio videtur, cirea annum Christi 1370:
Sed Rireherus, in Prichmoloeia Tua, cencum annis eum prius rixiste putat at
que ex seripris suis aliquot imperatori Michaeli P alaoloso dedicate.
Sec

## Folio 8 — 851708439:0028
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000028.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
A L G F B R A.
Sed cum figuras eas ab Arabibus nos accepiste dico; non tam de iptis Cha-
racterihus id intellectum volo, (quamquam ec hoc criam:) quam de Mechodo
per hujulmodi tiguras Computandi: Nimirum, quod praecer tuum quem habet
earum quaelibet reculiarem Valorem; aliam insuver adsciscune Denominationem
prour primo, secundo, certio, aliore Tubinde JOco BOnUntuT. Puta, Agura 3
(verbi gracia;) quae sive per le sola, sire primo (ad dextram nostram) loco po.
dica, signiticat tres Monadas seu Onitates; eadem secundo loco posita tres de
cadas tigniticar; tertio, eoridem Centurias, e sic porro, continua provortione
decupla procedendo. Ouippe dum hoc serretur, perinde est sire eadem iplae
retineantur figurae, sire (quod in ipsis licerarum tormis ridemus) in rariis le-
culis ec variis resionibus sensim rarientur.
ance has incroductas Figuras numerarias; numeros nocandi methodus fuit
apud Latinos, Per liceras qualdam numerarias NIDCL XVI, (quos Numeros Roma-
nos vocane, et concradistinsuunt aliis quos rocant Barbaricos.) Nimirum, Per I
(lineam Limplicem,) nocabant num: per Z (duas lineas decustatas) Décem;
(perque ejus dimidium Tuperius V, semislem denarii, Suingue;) per C leu L
Centum: (perque ejus interius Teomencum P. Duinguasinta, Cencenarii semissem:)
per M seu clo, Mille; (perque ejus parcem posteriorem L seu D, semistem mil-
lenarii, Rainsenta:) Per caldem liceras conjunctas et repititas, numeros inter
medios delignabant; uc norius cst quum uc inulcis verbis opus FII.
Fluic non absimilem Formam habuerunt etiam Ciraci, Paltem posteriores; ut
apud Fserodianum videre ct, ab FTen. Stephano ad calcem tui PBesauri Graecae
ineua edicum, ejusque Abbreriatore Johanne Scapula. Nimirum per L, Er unum;
Der C, SEna decem; DeT H, Eraror centum, per X, Zinca mille; per M, uera my-
riadem, delignabant; item per N verro quinque; perque literas a II X M literX H
inctulas; quinquasinta, quincenta, quinquies mille, qu’inque myriadas: Perque
casdem repetitas es compolitas, numeros intermedios.
Sed receptior apud Craecos modus designandi numeros, erat, per omnes AIpha-
beti literas, intermiltis item (pro liverarum defectu) nocis aliquor aliis: nimi-
rum per a B y SE5 C nO notabant numeros monadicos F234 56789; per
In A p rSOT L, denarios, 202030405060708090;. Der P0 rv 8 X it ca .
centenarios, 100200300 400500600700800900; deinde per caldem literas
virgula nocatas, millenarios, ut a P, y eC. mille, bis mille, ter mille ec. Perque
conjunctas lIteraS, numerOS CompOLIIOS.
Fademque jam ante tuerat axud FTebraeos, aliosque Orientales, numeros no-
tandi Forma, per luas Alphabeti literas; nimirum per primores aliquot nocabant
monadas; per sequences toridem, decadas; perque reliquas, quatenus sufficiebant,
cencurias; ec, ubi deticiebant litera, cencurias reliquas delignabant sive per fina-
lium formas, sire per repetiras centenarii notas; uc nocum est eis qui Llebraeo-
rum liceracuram callent.
Obi obiter monendum judico, hrane notandi formam FRebraeis prius quam CIrX-
cis ulicatam tuisse, idque hinc tore manilectum; nimirum, FTebrai per luas nOrem
primores liceras Aleph, beth, chimel, daleth, he, vau, zain, beth, teth, exprimunt
numeros monadicos novem, disitos rulso dictos; quibus sinsulis, excepra vau
relpondent Cirxcorum a B y S EC n D eodem signiticatr; Sed cum detit, in Graecis,
quae Flebraeorum lirerae vau respondear, concti sunt Crxci, praeter Alphabeei lui
ordinem, sinserere, quod otionuor Bar appellant (quasi insertam nocam Loc0 vau)
quo liceris Febraeis (numerando) respondeant altines craca; acque cum demum
Der 1 n N H SC. eas decactas detignant, quas HTebraei designaverant per attines
jod, caph, lamed, mem, ecc. Ouod certe non fecissent si iplis fuisset res ince-
era (et non ab Hebrais jam PrXOCCUPaLA) per primores suas novem literas de
signare monacas, atque tum demum per a (nOn 1) decadum inchoare nOtatO.
nem. Sed cum Febexi priores Tuis liceris numeros altignaverane, malebant Grae.
ci hranc inserrionem lacere, quam non cognatis liceris eoldem numeros delignare;
Falcem donec (Dost u r quae respondent Hebraorum liceris mem nun) nimis
curbatus erat lirerarum suarum ordo, quam ut id commode in reliquis Faciendum
Elebraeos securi Cune, in numeris notandis, Arabes a Perta; coldem numetos
coollatis lieris designantes. Gllanvis enim Arabes, praeter Flebraeorum literas, plu-
res alido spllactu iud nectelderine; et plures achue Perlae: has tamen infiicias
liceras
Ducaverint.

## Folio 9 — 851708439:0029
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000029.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
A L G F B R A.
liceras designandis numeris non aethibent; sed eas quae Febraeis cognatae sunt, idque
in eodem ordinc.
Ft quamris in Grammaricis quas nunc habemus Rrabicis et Persicis, alio plane
ordine disponantur literae quam in Febraicis; (quibus id pocistimum affectari
ridetur, uc illae litera juxta POnantur, quarum characteres caerera similes solis
punctis diacriticis distinguuntur:) non dubito tamen alium illis olim fuiste li-
cerarum ordinem, e Plebrao contormem: proprer cundem eciamnum in de-
tienandis per eas numeris ordinem.
AE vero dum non alia erac numeros notandi methodus, quam illa Lacino
Tum, (per PauCaS LITCTAS MUIMETATIAS,) aut etiam (qua tamen lonse potior c)
illa Graecis Flebraeis aliisque Orientalibus utirata, per plUTES: OMIHO manCa Crat
Arichmetica Practicae racio, in numeris praeserrim grandioribus, prae ea quae jam
Der FSUTAS MUMeraTIAS CXCFCCHIE.
Ouod manitesto parebit si consulamus Futocium (in commentariis fuIS ad
Archimeais libellum de Dimensione circuli, a nobis cditis Oxonia, anno 1676,
una cum Archimeais Arenario,) aliosre ex receribus; ve videamus quam illis la-
boriola res crat, in numeris grandioribus, Mulciplicationem, Dirisionem, Se Ra-
dicum Fxtractionem exercere; praesercim ubi intermiscentur numeri Practi.
Similiter si Bedam consulamus, aliosque, apud quos rideamus quam prolixis
opus crat Regulis, pro operationibus hujusmodi perasendis, quxe jam levissimo
nesotio pertieintr.
Idemque videre est in Frasmento MS. libri secundi Collectionum Mathema-
ticarum Pappi, (quod inter eodices savilianos habemus, eltque a nobis nuper
edicum Oxoniae, anno 1688, una cum Tristarchi Samii libro, cum primum Ciraece
cdito:) quod constat torun ex Regulis rariis pro Mulciplicatione in majoribus
numeris rite exercenda; non absimilibus illis qua apud Bedam habentrir; sed
quibus jam absque. magno incommodo carere poltumus.
Aut etiam, li (ne consultis quidem illis Auchoribus) contideremus apud nos:
Ti exponendus ellet numerus ejusmodi grandiusculus, qualem nos decem aut vi
sinti locis jam scriberemus; quam nos inire riam oporteret, uc Illum nOtareMUS
Primo, ec deinde ejuldem radicem quadraticam cubicamre exiraheremus; dum-
modo non alius suppeteret numeros designandi modus quam per Romanos (quos
VOCaNE) numerOS, NDCLXVI
Verum quidem est (quod modo diximus) etiam apud Arabes fuisse, e etiam.
num ete, ethodum delisnandi numeros (per AIphaberi literas) non absimi-
tem illi quam habene Ciraeci et Elebraei: camque pro minoribus numeris (cen
tenarium Palcem non excedentibus) latis commodam.
Sed praeter eam (quae in magnis numeris latis Foret molesta) aliam habent
mulio expeditiorem, per numeros Barbaricos dictos (quo a Romanis diltinonan-
TUT,) aur Cipbras Saracenicas sire Arabicas dictas, (quod ab srabibus, Sarace
nis, aut Mauris illas acceptas habeamus;) puta cum Annum Christi 1676 de
Tienamus, qui Foret Romanis numeris MDCL XXVI.
Ouamdiu autem apud Arabes, Persasque, in usu fuerine hae figurx; miti
cerre non constat: led diurius apud eos tuisse quam apud nes (qui ab illis
CaS aCCCBHIIUS) CCTLIII CI.
Ac neque Arabes ipsi praecendunt se illas primicus inveniste; scd ab Indis se
accepisse. Oua de re insisne testimonium (in meo opere Rrichmerico, cap. 32.)
habetur, ex commencariis doctissimi M. sephaci, in poema Toerair; ubi Indis
aleribie Pria quorum se Inventores fuille gloriantur: nempe Librum Colaila
Wa damna dictum (ejusdem natura cum Fabulis S sopicis:) Ludumque Scac
chii live Lacrunculorum; et Fieuras Numerarias, de quibus jam agitur. Nec
ille ipsorum sloriacioni quicquam detractum it.
EF Mavimus Planudes (Graeco opere jam citato) hane Arictimericae Praxin
appellat Nonsirur Trcharv, _ Xneopiar na LdEs hoc C Inderum Compurandi me-
ibidum: Diterce porro dicens, Là si giuara iy ovri lostra B. Ipsaque Fieurae
sunt Lndica.
Acque eorichni cractatuis Johannis de sacro Boseo, vertibus seripris, (Falcem
qui iptius tractatui solura oracione seripro subjungitur, coque ele haud minus
vetultuo, ut qui in ilo cicauuc,) sie ineipies
Cap. TII.

## Folio 10 — 851708439:0030
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000030.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
aec Aeorismus ars praesens dicitur; in qua
Talibus Indorum fruimur bis quinque Freuris; eec.
quae tunc ibidem adscriptae.
Adeoque extra dubium esse judico, nos eas figuras ab Arabibus accepiste; tum
Per Craciam (ut quas a Maximo Planude, Graco, habemus) cum per Fispa-
niam (e quidem cirius) a Mauris eo introductas; qui ab Trabibus aut Sara-
cenis eas acceperant; iique rel ab Inais immediate, rel Paltem immediate à P er-
sis, iique ab Lnais
Mihique consencientem habeo Johannem Gerardum Possium (cap. 8. de scien-
riis Mathematiois,) pocius quam Dasypodio, qui ab Alphaberi Graei liceris de-
riratas censuic. Panque ibidem regulam actignac Possius, quae rem manifesto deter-
minabit: Nimirum, Siqui ex Orientalibus lieras aut figuras habent quae has no-
stras proxime repraelentent, eorum has tuisse putandum est. Id aurem de Ara-
bum fieuris maniteltum ell. Ouas nottris cam similes esse liguet, vE, ( eas nO.
risset Vasipodius, ne ipse de eo dubitastet. In quem tinem, cas hic appingere
placet, cum Prout apud ArabES CLIAMNUI UTUIEPANEUIE, cum ut eaS in Planudis co.
dicibus manuleripeis reperio, cum uc nos eas jam adhibemus, cum demum ut eas
in MSd. Johannis de sacro Bosco e in Fabulis AMtronomicis jam ante annOS qua
dcingenios manuseripris.
Arab.
Planud.
Nostr.
Fab. 15. S. 2
 sacr. Bos.
F 3 e 4 0 A 8d 0
Fipuras halce Vossius (loco eirato,) Siphras appellat (Barbaras numerorum
notas quas Siphras dicimus, ec.) arque per S porius seribit quam per C vel Z
quali ab Febraeorum Saphar (numeravit, descripsit,) eamque his appellationem
inditserenter omnibus actribuit: idemque aliis non paucis factum reperio, quibus
Trabicae aut Saracenica Siphrae seu Ciphrae dicuneur. Arque apud noltrates Ci-
phrare (to Cipher) auc Computare (ED CAM ACCDUME) promiseue dici Tolene de
praxi Arichmerica per has nOtaS. Acque ad hanc laxiorem signiticationem rocis al-
lusum credo, quod Johannes Baprista Porta libro Tuo, de occulre Scribendi ra-
tione, ciculum fecerit De Zipheris sive Furcivis lterarum notis; dicimus pastum,
to Cixyer. seu eo torite in Cipher, pro ejusmodi occulta seriptione; e ID D eo
cipher de ejusdem per nocam scriptionem explicatione.
Sec, quicquid sic de hac Synechdochica vocis significatione, certe rox Ciphra
primitus et ab origine soli 0 auributa est, quae est nullius noca, e speciarim
Ciphra diei soler, nonnullis Zero. Arabibus (unde nos habemus) Z siphra seu
Sipheron dicta; ab Arabico T saphara (quod est vacuum esse, aut inane esse;
ee relponder Hebraorum Z saphar, Der Q sade, quod est avolavit;) non ab AFa-
bico Sapbara, (quod respondet Hebraeorum Saphar, per Samech, quod cst nu-
meravit.) Ec Maximus Planudes eam Toli nullius nocae diserre actribuit: Doll.
quam enim novem ticuras, sienifisativas dictas, deseriplerat; addI Zideaot se er.
eor n guu d nNOI TGipar nAT lrdis onuairor Odstr. Addunt inquit (ancedictis
novem) feuram aliam, Lxipbram dictam, quae secundum Indos denorat Nullum.
Trerumque, H se rCiou deaverat irs 0, TLsphra, inquie, sie scribitur 0.
Ft proinde non minus recte (ne dieam rectius,) per C. Scripeam existimo,
quam per S. Nam litera C. (Taltem apud nos Anslos) ante rocales e et i
limilem quidem led forriorem sonum indicare Colet quam litera S, (Faltem duo.
rum Tonorum quos habet S, fortiorem imitatur C, non molliorem illum quo
nos 2 proterre, Tolemus.) Adeoque, eo price (actimare appreciare) to praite
(Lauclare) co oppeale (paciticare) en pleale (placere) io Dipleale (displicere)
to Custite (Sucticere) io Pacritile (Pacriticare) Fetible (quod tacere quis porest)
aliaque mulca (quia moltius proterri Toleni) per sScrihimus, quamris a lid
rinis
t
B ed +D 4V

## Folio 11 — 851708439:0031
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000031.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
aLLA A.
tinis per c seripris descendane: Led pPICB (Prectm) vence (Pacem) limiliaque
(quia Fortius seu durius prolata) per c leribimus: idque a multis non raro lC
bI a Latinis per sScripeis delcendunt; ut lence (Tentus) tence, detence (de
tensio) ervence (expenlus) advice (contilium, daVlamentum) lecompence (com
penlatio) aliaque multa: sed quae rectius per s’Scribuntur; nam et s habet For-
tiorem illum sonum ut senuinum, cum mollior ilte sonus nostra z rectius con-
venige; unde etiam prize. Curvrize, revrize, lcribimus, quamquam a Latimorunt
prenso seu porius Tcalorum preso descendant. Oux cum ita tinc; Arabum Sad
Seu Hebraorum Z sade, hoc est is; Latine per C potius quam S exprimendum
pucaverim: adeoque Ciphram pocius quam Siphram Ceribendum. Sed haec
obiter.
Ieu Ieorithmi nomen tecerunt; (et huic ni tallor, Lon actributum;) Quod ab
Arabibus, cum ipta arte, acceptum puro: Factumque ab Arabico articulo l
cum Ciraca voce apssuos contlato: ue cum Ptolemai ouvroEis urann live usisu,
rabico, quod ab Arabibus et rem ee nomen habuerimus. Ouamris enim Abacus
alio sensu anciqua rox fuerit, Lacinis noca; hic ramen peculiari. sensu Lumprus
Abacus ee Aleorithmus cancundem significabant.
Huic per halce notas Lella a sas MeCd, PecuaC M
apud eos accepit nomen al masesti, aude e apud nos Umarestum dicatur.
Idem etiam dacus cevatu OMMIH. Duam vocem purat Lucas de Brueo
Contiguissimus, quem habemus cdirum, harum rerum (criptor) corrupte dici pro
P.
Duam antiquus sit harum in his resionibus Fieurarum
Numeralium usus.
LFmpus quod spectat quo primum his regionibus in utum accepiae fuerin
Fisurae Numerariae, varii rarie centuerunt.
Johannes Fossius (loco Drius citato) non ulera annos 350, aut Caltem 400
in ulu tuisse censuit. Non nisi anni sunt (inquic) CCCL, saltem infra dua
arineentos, quod eas Sifras accepimus. Sicripeus autem est ille liber, (ue ex
Fpistola pratixa liquet) cirea annum Christi 1650: Adeoque cancundem elt ac si
scripserit, non ante annum 2300, Saltem (vel maxime) non ante annum 1250
fuiste in utu.
Verum eso aliquanto anciguius tuisse in ulum acceptas (eriami his rexioni
bus) omnino centeo: si non ad utus ordinarios, falcem ac Tabulas Astrono.
icas describendas. Ouippe in hujusmodi describendis Fabulis primitus avuet
nos ulurpatas exiltimo; quas nempe a Mauris de Arabibus transcriptimus in
Linguam Latinam verlas; e serius adhue ad alios ulus accommodatas: donec
randem ad omnes operationes Arictimericas achibica fuerine, ut quae his pera
sendis mulio fuerine apriores quam ullus ante utitacus numeros designandi
oduS.
Non ienoro, in Boethii, Beda, aliorumque antiquiorum editionibus quas jam
habemus quibusdam, figuras hujusmodi comparere: Ac non credendum est i
in Pucoeraphis contisisle, aue recultioribus Codd. NSS. Sed numeros Latinis
liceris tuiste descripios; (quod in nonnullis ipse ridi:) Adeoque non hine
arsuendum puto, has nocus tunc in utu apud nos tuille, quando ipsi rixe
rint.
Anciguiores tamen fuiste quam censuie Vossius, his rarionibus existimo.
Inter Codices MSS. Savilianos, plures invenio (et quidem Paris retustos) in
onibus hae comparent Agura (in aliis perpetuo, in aliis Patis FrEgnenteT.) Et
speciatim duo Tabularum Astronomicarum de Mocibus Calestibus completa Vo
lumina: duoque de Compuro Fcctesialtico Calenclaria; in optima Pergamena
pulchre deleripra. Oux ex variis circunltanciis conjicio non mulio post an-
num 1200 descripra, ladrem ance annum 2250. Aliolque cactacus AstrOnO.
micos

## Folio 12 — 851708439:0032
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000032.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
A L G F. B R
micos ex Arabico in Latinum sermonem convertos, quae parem anciguicatem
Prae se Ferre videntur.
Fa aurem dico non mullo post annum 1200; nescio annon putandum lic
etiam prius fuisse seripta: praeservim Fabulas illas Altronomicas. Sunt enim Ar-
zachelis Pabula, quem in Flispania Aoruisse Ducar Possius circa annum 1080.
Sed secundum alios, exat adhrue anciquior. Stadius in lua Astronomia historia
Pabulis suis praetixa, Colonia Aerippinae impressis ANNO 156O, paC. 2L. HaC
tratee, Abateenus post Ptolemaum 750 annis, a nato Christo 880. Arzahet
Frispanus, duobus fere seculis Mbateenio posterior. Adeoque circa annum 1080.
Aecommodantur ejus Fabulae ad Meridianum Zoleti in Lsispania. Ft Arabice
Fuiste Scriptas puto; (cum ipse ni tallor Maurus fuerit; iplaeque Anno Arabico
Tune accommodata;) Sed Lacine convertas, acque in Anoliam allaras a nostro-
rum aliquo, qui in Fsispaniam Deresrinacus fuerar hujulmodi crudirionis Graria
quae non alibi Aoruic, nec ab aliis quam Mauris d Scriproribus srabicis De
cenda erar. Oui quidem Auchores haud crane incelligendi, aut eorum Tabrilx
in Lacinum verrenda, ab(que harum Nocarum Arabicarum (sen Tndicarum po-
eius) coenirione: quae in vertionibus Lacinis (sed aliquantum mutatx) reti
nentur. Ot non dubirem quin eo cempore, a Mauris Paliem in Lispania
elurparentur hae nora.
Cunque ex nostra gente plures (ut de aliis caceam) hac de causa in Iispa
niam concelterine; ut Adelardus cirea annum 1230; _ Retinensis, 114O; 8
De Conchis, FL45; _ Merlacus, 118O: non dubicandum videtur quin hasce
nOtaS, carumque usum, in Angliam actulerine, multo ante annum 1250: et qui-
dem has nocas eodem tempore cum Arabica liceratura in ulum venisle.
Ouique Scriptores Arabicos in Latinum verrerunt, (inter quos Johannes ispa-
nicus Teu Sispalensis, qui Alfracanum, et Forte alios, Latine reddidic) necesse
est ut has nocas incellexerint; casque retentas reperio in recustistimis (quas cgo
vici) istorum Aucorum Codicibus MSS. nec dubico quin iua fuerine in istarum
vertionum Autographis.
Ft quidem non tantum illarum Fabularum Aucosrapta, sed ipta quae trabe.
mus Apoorapha, anriquiora credo Tabulis Alphonsinis; quas primum editas era-
dic Fossius anno 1270, alii 2252. Guoniam post has editas, deluelcere caepe.
runt Srsachelis Tabula. Ouique rellene tam Colicie tantisque sumptibus ele-
sancer deseribi Tabulas AAronomicas, putandum elt recentissimas et emenda-
rissimas quae cum extarent deseribi relle.
Certum item est Johannem de Saero Bosco, (quem Possius memorat ad an-
num 1232, quique anno 1256 morcums ct,) reliquille de Aleorisino tractatum
unum auc alterum. Ubi harum tigurarum ulum exponie in lingulis Arichme
tieae parcibus; quas ille novem Facit, Numerationem, Additionem, Subtractionem,
Mediationem, Duplationem, Multiplicationem, Divisionem, Proeressionem, e LX
tractionem Radieum, Duadratica Cubiceque; quas omnes eodem fere modo
peragie, quo nunc dierum peraguntur; de Meorismi nomen huic Arri apprO-
priat. Duo hujus operis habemus exemplaria MSS. alterum in Boalerana, alte.
rum in Saviliana Bibliorheca. Ft utrique exemplari, oratione soluta Ceripto
Tubjunsitur (pro more illorum temporum) similis cractatus versibus conscriptus.
quem itaque ejusdem Johannis fuisse judico, vel Calcem ipto non recentiorem;
nam Metricus hic, in altero Toluta oratione Peripro ciratur.
Cunque mortus hie fuerit, aetace Patis matura, de his Audiis bene exercita-
EUS, anHO 1256: purandum videtur, tractacns hosce seribi pocuisse etiam ance
annum 1250. Taliem, Artem hanc jam ance illud tempus tuite cultam. Fis
quamris de aliis libris in quibus hae occurrant nora, dubitari non raro posit
annon ab spiore fuerine postmodum inserra, ubi haberentur in Autogra
pho numtets Lomani, (quod de Boethii de Beda libris supra diximus:) in tris
camen ue dubuandum et quin fuerine ipsi Aucographo coarx; cum hic
Et ubicunque in scripiore alquo Aleorismi nomen reveritT; certo conclu
Libei Leopus LIE, ut Mace CIS expOnaEuT.
Aas Fiouras halce ca alate Me COrnITaS.
In alio ejusdem. Johannis ae Sacro Boseo libTO, GuL C de Computo Kcte-
siastio (cujus verultum lladeus Rxemplar MIS. in quo hujusmodi occurrunt
Esucx) expresse dicic (quod ieratis quo primum scriprus est manitettum est
inai

## Folio 13 — 851708439:0033
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000033.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
Cap. IV
AL G F B R
indicium) Ab incarnatione Domini elapsi sunt 1235 anni. Oui icaque recustior
eAt anNO 130O, aut etjam anNO 1250.
In ractacu nem Roberti Ccrostheadt (F vileoxi olim Lincolniensis) qui est de
Computo Lcclesrastico; e adjuncto Calendario in Persamena pulchre deseripio.
liquet etiam eas ca xlare qua Aoruic ipse tuiste in utu. Pactus aurem ost. ille
APIICOpUS Lincolmiensis, anNO (235; e MOTEIS aNNO 1253.
Et Roeerus Baco (quem collocat Possius cirea annum domini 1255) cum
fuerie protundae crudirionis rir, ec recondicioris literatura sedutus Serutator, Au
diisque hujusmodi admodum iiencus, in Arabica irem liceracura rerlacus, ri
risque modo dictis non isnocus; non pucandus est hujus aeris ignarus.
Icem Mlexandrum de Villa dei Dolensem, vixisse memorat Possius cirea annUI
T240, deque Sithmetica et Computo Lcclesiastico Ceriplisse. Cujus libros non me
mini me ridisse (falrem non Tub eo nomine.) Non dubico camen quin et
ipse his Nocis utus fuerie; ut qua tunc in ulu fuerint (ut aliunde constat
tuerincque ad rem suam maxime accommodae; ut non pucandus sic, his neste
ctis, liceras rancum numerales achibuisse.
Habemus item, inter Codices Savilianos, Tor dani tractatum MS. de Aleorismo:
quem Possius vixisse tradie circa annum 1200, tuilleque contemporaneum C’am
pano illi qui de Computo Feclesiastico Ccripsic. Cui cicutus est, Aeorismus Tor.
dani, tam in inteoris quam in fractis; demonstratus. In quo cum harum ulus
cum methodus per iltas computandi, multo cum acumine delcribitur et demon
Ptratur. Dui quidem ejus Peorismus, alius plane est ab ejus Arithmetica, quam
cdidit et illustrarit L’aber Scapulensis. Ita tamen ut, ex modo demonstrandi
Facile conjicias ejusdem Auchoris opus esse. Iplumque Codicem NiS facile cogno-
Icas (ex literarum e figurarum tormis ipsoque operis incuitu) vecustum ele
Ec in eodem MS Codice, habentur alii aliquor Practatus Machematici, at
que ad calcem (ut in racua pusella) adseribuntur duo Schemata Caelestia, 2d
annum 7226 Spectantia. Nimirum; fieura Anni dicitur altera, Caeli volitio
nem oltendens ad diem Marrii 22. T216. Altera, Fieura Conjunctionis Saturni
 Martis; Colorum potitionem oltendens quo tempore contisit haec conjun
Stio, Oetobris 4. 7276. Vrraque per has fouras numerarias deleribitur; de re
risimile est circa id ipsum tempus fuisse descripra, in ordine ad praedictiones
aliquas astrologicas inde derirandas. Neque male contisit, ut haec vacua pa
Zina, libri ulcima, su relidua pars iltius membrana qua inceperat ille Alooris
mus demonstratus: quem itaque prius scripium fuille conttat quam ca Sche
mata: adeoque non mulio polt annum 1200.
In tractatu irem de Computo Fcctescastico, versibus scripto, cui riculus Massa
Computi; cujus plura vidi exemplaria BISS. (velcio an exier eypis. editus: ) cu
jus versus ab aliis compurictis paltim citantur. Duo Auchore Seriprus sit, ne
Scio; Sed qua atate, opus ipsum indicar. Nam ubi docetur, quomodo Solstiria
et Aquinoctia pro ea xtate inrenienda sunc: dicitur, Recrocedere ea uno die
in annis 120; cumque fueric, nascente Christo, Solstirium hibernum iplo Naca
litiorum die; jam aurem praeterierint decies anni 120 (hoc cst, anni 1200:
rerocessit Solstirii dies dDecembri die 25, ad diem 15. Ilis versibus,
doesticium quinis boram praecedit in annis.
Cunque diem faciant vieinti quattuor hora
Annis vieinti centumque dies datur una
Solsticium lesimus, Cihristo nascente, suisse
Centum vieinti, decies jam praeteriere,
mni, sic denis praecedit meta diebus.
In quo quidem Fractatu, Paltu Occutu Ad nocae Numerariae. Dec ia
men inde certo concludendum puro (h non alia luppeterent argumenta) tancae
anriquiratis esse has figuras. Quamris enim de antiquitare operis latis conttet
Fieri tamen porest uc primo ejus Aulosrapho desionarentur illi nunl 
Latinis, qui in his Axographis scribuncur his notis Tnaiois. (Quod de Deda
dibris de Computo, supra dictum est.) Imo, in horum exemplarium uno, nu-
meros Patinis literis scriptos reverio. Cum tamen in aliis scribantur Figuris
his NumetariIs; quas et aliunde contlat rum tuisse in ulum receptas; Tinique
Htuic

## Folio 14 — 851708439:0034
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000034.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
A L G F B R A.
huic utui maxis commodae: puraverim porius eas etiam hic fuiste primicus ac-
tribitas. Ira tamen, uc etiam Numeri Romani, ea xtace, in usu fuerine; ut et
eciamnum funt.
Praeter libros antedictos, invenio item Pabulas Astronomicas MISS. Roberti Ce.
Strensis, secundum Ulbateeni sracensis doctrinam compositas, Meridiano Lon-
ainensi aptatas, ad inicium anni 2250, ejusque primum diem Martii; (ne
Scilicet intercalares in Februario dies, ubi contingerent, curbarent numerum
dierum:) Prout se dicir similes ance construxiste Pabulas, pro Meridiano 70-
letano, (secundum doctrinum ben esrae seu Abenarsa, quem in illis secuts
est,) inchoatas a L dic Fanuarii, anni Fr40. Ouod argumento ct, eum circa
id tempus rixisse, acque has figuras numerarias cum tiriste in usi. Nam numeri
Romani nullo modo commodi sunt hujusmodi tabulis Altronomicis; neque ul-
las, credo, ejusmodi Fabulas eis numeris scripeas fuisse. Fuerune quidem ali-
qua olim seripeae Cracis Literis (uc sune illae Ptolemaei:) qua quamvis mi
nus commoda sunc quam lixe nota Indicae; mulco tamen commodiores (unt Nu
meris Romanis.
Non ienoro quidem, Balaeum inter seripiores incerti remporis, quendam recen-
Pere Robertum de Cestria, quem aic Lelandum putalte circa tempus noltri Richar di
secandi rixiste: hoc elt, circa annum 1380. Scd vel alius erac ille ab hoc
Roberto Cestrensi, vel errat Lelandus de ejus xtare. Non enim veritimile ct,
E vixerit circa annum 1380, Fabulas cum inchoase relle 2. TemPOTC LOL ant
annis clapso: nempe cas pro Meridiano Toleti, ab initio anni TT4O: Calque
pro Meridiano Londini, ab ejusdem tine: Sed porius (ut in hisce calibus tieri
Iolet) à tempore aliquo quo rixic ille. (Ouod tecit Prophatius Fudaeus, qui Ta
bulas suas inchoat ab anno 1300, quo ipse vixit.) Sed neque ullam inibi men
cionem tacit Tabularum Aphonsinarum; aliarumque aliquor qua priores lue
rant anno 1380; Sed Abateenii tancum et Aben ezrae, quorum illum rixisse
tradit Possius circa annum 888, hunC vero circa anNUM FT45.
Putarem porius eum tuisse, quis ab W illielmo Conquestore dicto, Factus cst
Fvileopus Cestriae, anno 1085 (ut vult Simeon Dumelmensis,) aut 1087 (ut
vult Robertus de Diceto,) auc 1088 (ut rult Godrvinus:) quem recentet Du-
nelmensis, Tub nomine Robersi Cestrensis, uc praesentem in Concilio Tub Ar-
chiepiicopo inselmo, annO 1TO2. Sed Godrvinus eundem nominat Robertum
de Limeser, dicicque mortuum cum esse anno TTT6; quod aliquanto citius cst.
quam ut huic negotio conveniat. Nec ullam apud eos mentionem video de
iplius in rebus Machematieis peritia. Non aurem pucandus cst ille (qui mor-
tuS eAF anNO TFTS) cabulas condidisse ab anno IT4O auE 1250 inchoandas:
Sed ejus nominis alius aliquis qui rixerit circa anNUI 175O. OuO cemporC HaS
notas isitur in ula tuisle constat.
Nec dubico quin, qui in libeos nostros cirea illam xtatem MSS. inquitire.
ric, reperier mulia figurarum harum specimina cencuria Calcem duodecima, Li
non et citius.
Elis addo, quod nuper vidi in villa Fsclmaon aeri Norchampioniensis, in
aedibus D. Nillielmi Kichards, Rectoris illius Rccleliae. In cujus conclari, ad
Froncem camini, suppolica est crabs lignea, (aetate de timo nigra et indurata,
Patis elesanter (pro ea aetate) seulpta; in cujus medio eriamnum conspicienda
manet haec inseriprio (nec deleta nec deFOrmAta) A DO M 133. literis pro-
miventibus acque anciquae tormae, eam aecatem praeterencibus. (Cujus ilem am.
plior Facta ett mencio in Actis Philosophicis, Condimensibus, Dum. 254.) prO
mense Decembri, 1683. Ve non dubitem quin, apud nos in Anglia, harum
ulum tiuisse faltem ab anno FY33: neque id in Colis Fabulis AAtronomicis (qua-
rum occatione tuerunt primicus introductae) sed et alibi. Hoc elt, annis sere
250 Cutus quam censui Possius.
Nec quemquam moveat, quod hujus mmeri FF33 pars ancerior literis Romanis
Seribatur Mo (qua est, vocis Mellesimo abbreviatura) ee Cola pars posterior
Horis Indicis 133: nam ejusimodi scripcura d olim tuic, et ctiamnum elt, passim
conspicienda. Sic in Robersi Cestrensis modo memorati tractatu, sic seriptum
invenio, Annus namque Solaris in tercentum 65 dies atque unius diei quartam
partem distinenitur: Trerumque Quious omnibus executis, hos omnes dies in 3C
mulciplica, e multiplicationis summam per decem mullia 6or divide. Obi
habemus

## Folio  -  — 851708439:0035
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000035.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 19 lines, status machine
niti dicemus a die Sept. 25. novum inchoacum indictionis numerum, inanna
sequence concinuandum. Ouod aliquando factum ee, non sEPer, nOtat Co-
dem Capite P. Mabillon.
Sed argumentum hoc conjecturale rantum est, non certum: quia neseinnus au
in ipso Autographo, an in aliquo inde descripio Apoprapho hateretur illud Li
pro undecima. Ipleque P. Mabillon id non animadvertiste videtur. Nam J ib. II.
Cap. XXVIII. S. X. haec habet; Convenit hoc loco quaedam adjiere de notis nu
meriois, quae in consienandis Diplomatum calculis adhibita sunt ab antiquis.
Ila nocae duplicis sunt generis, nempe numeri Romani,  Arabiei, quas vul
eus Ciphras appellat. Recentior est harum ciptrarum usus, quas Arabes ab
Inais seculo Z FLispanos ab Arabibus seculo XIII accexisse, cum aliis, censet
Athanasius. Rircberus in Arithmoloera suam (part. L. CaD. 4.) Addit Papebrochius
in Propylaei num. 20. earum usum ante bella sacra non fuisse. Fieo vero nul-
tum deprehendi ante seculum XIV. Elactenus Mabillon
Figo vero, ob rationes ance dictas, mulio antiquiorem centeo, etiam in Py
ropa nostra, earum ulum. Non Forte in Signandis Dixlomatibus, aliique rebus
Forenlibus, (in quibus, apud nos, etiamnum rix obtinent, sed recineri solent
numeri Romani:) sed in Fabulis falcem Astronomicis, e NBorictumicis ope
rationibus:

## Folio  -  — 851708439:0036
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000036.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 19 lines, status machine
ille
pl
15
11I
sisqe
11ICM
Ca
1OV
il
11I
o
ZHHHHIHHHHHITHHTHHHTHHIII
Algebra pag. 14.
Figurae Indicae Hodiernae ex Ctinerario Tavernieri. lib. 2. p. 23.
Fig. Ind. a Z E 8 Y
5t
3 9
64 9.. 9.0. 9.... 9......
1 2 3 4 G 6 7 B 9 13 130 200020000 100008

## Folio  -  — 851708439:0037
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000037.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 8 lines, status machine
   s s   sa  isi
lII
III
CI
TFRIED WILHELM LEIBNIZ BIBLIO
IEDERSACHSISCHE LANDESBIBLIOTHEK
eeeee eeeeeeee ea
gnatur: Leiton. Mar9. 100: 112. LOion. Mar9. 100: 112, SUICK 2,

## Folio  -  — 851708439:0038
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000038.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 20 lines, status machine
nON _ CUIS.
His addo, quod nuper vidi in villa Fetmdon aori Norchampioniensis, in
redibus D. N illielmi Richards, Rectoris illius Rceletiae. In cujus conclari, ad
trontem camini, suppolica et trabs lignea, (aetate de Fumo nigra e indurata,)
Patis eleganter (pro ea atate) sculpra; in cujus medio eriamnum conspicienda
manet hac inscriprio (nec deleta nec deFormata) A DO M 133. Literis prO.
minentibus acque anriguae Formae, eam aerarem praeterentibus. (Cujus item am.
plior facta est mencio in Actis Philosophicis, Londimensibus, Num. 254.) PrO
mense Decembri, 1683. Ve non dubirem quin, apud nos in Anglia, harum
ulum tirisse saltem ab anno FF23: neque id in Colis Fabulis ACtronomicis (qua-
rum occatione tuerunt primitus ineroductae) sed et alibi. Hoc est, annis fere
250 cirius quam centuu F ossius.
Nec quemquam moreat, quod hujue mumeri LF33 Dars anterior liceris Romanis
Scribatur Mo (quae est, vocis Millesimo abbreviatura) et Cola pars posterior
nocis Indicis 133: nam ejusmodi scripcura ee olim tuic, ee etiamnum est pastim
conspicienda. Sic in Robersi Cestrensis modo memorari tractatu, sic scriptum
invenio Annus namque Solaris in tercentum 55 dies atque unius diei quartam
partem distinenitur: Lrerumque duious omnibus executis, hos omnes dies in 30
mulciplica, e mulciplicationis summam per decem millia 692 divide. Obi
habemus

## Folio 15 — 851708439:0039
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000039.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
A L G F B R A
habemus tercentum 65 PrO 365; ut et decem millia 63L prO 2063L. Acque
alibi similiter.
trem in Censorino, De die Natali, Jlamburei Cdico 1624, habetur (p25. 93, et 96,
Sex millia DCCCCKL, prO 60+0; et (PaS. 04.) duum millium CCC. L. XX XIY
PrO 2384; e desem millium C.C. M, PrO 2080O; e (D. LXI.) mille, DC, PrO
1600.
Irem in Boethii Mulica, Basilea impretta, Der Fenric petrum, 5546 lib. 2
Cap. 28. tabemus 200 508 6, prO 256: e ducentorum 43, PrO 243. Ttem
in Stadii historia Astronomix, tabulis luis praetixa, anno 1560. Colomia Aerip-
vina imprella, p2e. 14. Z recenti 65, pro 365. Or non sic mirum, simile con-
Tixisse ad caminum hunc.
Supparis tere anciguicatis est Inscriprio, quam Reverendus Vir D. Thonas
Smith, S. T. P. Collesii Masdalenen(is Oxonia Socius (curiosus antiguiratum
obserrator, non doni tamen, sed pereore, in Graecia, Constantinopoli, et alibi,
Bristolia in Anelia se oblerralte mihi nunciarie; ad collesii ihidem portam.
quae S. Ansustini dicitur: his rerbis, RkX LILNTRICOS SFEDNDOSVT DO.
MINOS ROBERTOS FTL NOS HERDINOI FILII REOIS DACIA HVIOS
MONASTERIS FONDATORES FXSTITERONT. Adscripio anno Domini
(ad calcem, nescio, an ad oram, aut alibi juxta) TIPO. VBr etiam adnocaric
Pro 4 Dolutam esse contrario situ F: Sed utraque figura pariter respondee an
Eiquae Z. Oux retusta figurae Forma contirmat magis quam Cuspicandam reddie
interipcionis vetustarem. Id magis obest, quod annus Frgo contigerit, nondum
regnante Lenrico secundo, sed praecettore luo Srephano; ut volterior aliquanto
Fuerie Inscriptio, quam F’undatio Monasterii.
Postquam ea qua praecesTerunt seripta sunt; invenio in P. Mabillonii tra-
ctam de re Diplomatica ParisIIS anno LOBZ cdito; lib. TI. Cap. XXV. S. V
Nentionem factam Diplomaris cujusdam Papa Stephani IX, (ex Tehelli, Trahia
sacra, TOm. I. Col. 455. Cicaci) cum hac Rpisraphe, Data anno Incarnationis
MEVTI, Inaictione XC. Cum hrac Mabillonii noca. Obi pro XI, ponitur 21
vitro librarii qui pro Romanis numeris crabicas ciptras male expressit.
Vehelli verba haec Tunt, Scriptum per manus Ciresorii notarii  Camerarii
Sanctae Apostolicae sedis, in mense Novembris die T0, indictione 2. Datum
Roma 20 Kalendas Decembris per manus Fhumberti dicti Fpiscopi Silvae Can-
didae  Bibliothecarii Sancta Komanae e Mostolica sedis, anno Deo propitio
2057. Pontisicatus Domini Stephani noni primo, Indictione 2. Thi existimae
P. Mabillon, Ceripeum Fuiste (utroque 10c0) Indict. TT. (figuris Arahicis) pro
Ondecima; Sed a librario (numeros Romanos fuisse raro, secundam signantes
per 2 reddidisse. Ft quidem si in ipso Aucographo sic scriptum Fueric, 2)
pro undecima; arsumento est manifesto, notas hâs live Indicas sive Arabicas
jam cum in uli tuisse (licet rarius Fortan) Anno 1057. Faltem anno 1058
Nam de Forte sic Scriptum eratu nempe ML VIII, ec ultima nota polt exciderat
aut d Librario tuerat neslecta. Nam anno 1057 congruit Indictio (O, nON FY.
nili dicemus d die Sept. 25. novum inchoatum Indictionis numerum, in anno
seguenre concinuandum. Ouod aliquando factum ese, nOn sePEr, nOtaL CO-
dem Capite P. Mabillon.
Sed argumentum hoc conjecturale tantum est, non certum: quia neseims an
in ipso Rucoerapto, an in aliquo inde deseripio Apoprapho haheretur illud EY
pro undecima. Ipleque P. Mabillon id non ammadrerusse videtur. Nam L ib. II.
Cap. ZX VTTT. S. X. haec habet; Convenit hoc loco quaedam adjicere de notis nu
mericis, quae in consienandis Diplomatum calculis adhibitae sunt ab antiquis
Tla nocae duplicis sunt generis, nempe numeri Romani, e Arabier, quas vul
eus Ciphras appellat. Recentior est barum cipbrarum usus, quas srabes ab
Indis seculo L, FLispanos ab Prabibus seculo XILL accexisse, cum aliis, censet
Athanasius. Kircherus in Lrithmoloeia sua, (Daxt. T. CaD. 4. ) Addit P apebrochius
in Propylaei num. 20. earum usum ante bella saera non fuisse. F. e0 vero nul-
tum deprehendi ante seculum XIV. Flactenus Mabillon.
FgO vero, ob rationes ante dictas, multo antiguiorem censeo, etiam in Py
ropa notra, earum ulum. Non Forre in Signandis Diplomacibus, aliisque rebus
Forensibus, (in quibus, apud nos, etiamnum rix obtinent, sed recineri solent
numeri Romani:) sed in Fabulis laliem Actronomicie et Nsorictimicis ope
rationibus.:
a

## Folio 16 — 851708439:0040
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000040.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
A L, G F B R A.
Cap. I
rationibus; unde sentim deveneruni alibi etiam in utum. Arabas autem eas
jam ante seculum X habuisse pocius putaverim.
Fallor autem annon ermannus Contractus dictus, (quem collocat Possius
Circa annum 105O, D. Henricus Savillius, in MS. quodam LuO, circa annum
2040,) carum ulum habuie, aliosque docuit, tuo rempore. Sed characteres Forre
Tuis alii fuerine ab iis quibus nunc ucimur; ee dicuntur d Chaldaeo aliquo seri-
Peore mutuati, corumque nomina elle Chaldaicae originis. Verum hic non de
iplis Formis Figurarum (quae indies variantur, uE S Literarum,) Sed de me-
chodo ipsas adtibendi. Aujusque LTermanni mentionem reperio in quodam
Bibliochecae BOclCianX MIS. ubi dicitur quod ab Termanno  Prodocimo di-
dicerint Abacum, hoc est (alio nomine) Aeorisimum. Neque tam periti erant,
ea aetate, linsuarum Oriencalium, quin ue tacili errore scripior Chaldaeus PrO
Arabieo PerEram BONCretuIT.
Arque ex hactenus dictis facile conjecerim, quati medio seculi undecimis hoc
elE inter annos 200O _ F20O, apud nos Kuropaeos in usum venisse (cum alia
liceratura Arabica) has notas numerarias; e primo quidem in Labulis ACtrO-
nomicis, librisque Machematicis: ec post in praxi communiori.
Sed altiori inquisitione facta, reperio eas etiam adhue este anciguiores. FL
Gerbertum quendam seu Ccrebertum, carum fuisse peritum, calque ex Lispa-
nia in Calliam acculiste, ipsa Centuria decima. Or paret ex variis Lpiltolis
iplius quae adtue excant (hoc citulo Gerberti Fipistolae) Parisiis editis anno
FOTF (numerO 260;) cum subjuncta ejuldem Vitae narratione. Tcerumque arino
2636 (ubi nUMETaNEuY 1BT:) cum secunda item aliarum collectione, nu-
MCTO 55.
Firat ille educatione, Mnachus Floriacensis in Gallia (de Floriaco Teu Fleury:
ordinis Benedictini, (UE patet Fp. 70.) Factus post Abbas Caenobii Bobiensis
(qui ipsi erant Benedictini,) ut alicubi dictum video: aue, ue alibi, abbatiae
S. Columbami, in Lcalia. VE patet P P, 2, 3, 43 5, T2, F43 18, 24, 83, 230. Sed
saepe queritur se male ibidem hrabitum tuille; ut L. P. 5, 7 ZE, 12, 24, 16, 29,
23, 34335,40, 46, 84, 91, 929 527, F28, 243, d alibi. Appellar se Scholarem,
sive Scholasticum, lire quondam Scholasticum, FD. 7 12, 148, 167.
Factus est postea (ut apud Baronium _ alios liquet) Rhemensis Archie.
PisCoDuS, anno 992: E pole, Ravenna, anno 906; _ tandem Pontitex Roma-
nus, anno 998 dut 909, nomine Splvestri secundi; morcuusque est annO 2003
Onde vertus ille, quem (cum leri aliqua mutatione) reperimus apud plerosque
corum qui de ipso scriplerunt.
Scandit ab R. Cerbertus adt R. post Papa vieens R.
Erat ille, ut videtur, dilisens Fibrorum SCxULatOT; variolque auc enit ille
auc exteribi curarit luis sumpribus, ad instruendam Bibliochecam: quod innui
videmus LP. 7, 8, 9, 26, L7243 25, 26, 38, 40, 4445, 56, 65, 69, 72, 729 73, 82.
87,92, 92, 96, (03, 104, (05, 108, [16, 12.3, 130, 132, 134 248, 252, 153, 154, e IM
secunda collectione Lp. 9, L3, 28. Ft speciarim Mathematicorum et AAroloBi
corum cum Librorum cum InstrUmenEOrUM; UE L.P. 8, T7, 24, 25, 7F, OE, 92, T30.
134, (48, 1527 153, 254 ec in sccunda collectione P. p. o. Fc in hunc tinem
Ciosbertq quodam uluis ridetur (quem ab Archiiepi(CoPO T revir ensi MUEUatIS CTaE)
quem et xore dimisit; ut FP. 38, 56, 69, 127.
Ouodque speciarim Abaci Teu Aeorisini curiosus eratu (hoc est, praxCOS A-
cichmetica per has nocas numerarias,) liquet ex FP. T7. De Multiplicatione e
Divisione, libellum a Josepho Fsispano editum, Abbas Cuarnerius penes vos reli-
quil; ejus exemplar in commune roeamus. FF FP. 25. De Multiplicatione e
Divisione numerorum, Josephus Sapiens sententias quasdam edidut: eas Pater
meus Adelbero, Remorum Srebiepiscopus, vestro stadio habere cupit. Oui quidete
Josexbus Fispanus (cu Josexhus Sapiens, videtur aut Mauris tuisté aur alius quisu
in Fsispania, harum rerum peritus.
Ferum quidem est, etiam ante incroductas has notas numerarias, suisse aliquate
numerorum Mulciplicationem e Divisionem; deque his, Regulas aliquas. Sec
ea de qua hic tam curiose quaerir methodus; videtur non suilte ea quae cum
fuerat antiquitus recepta, es communiter nota; sed nora quaedam cum nuper
introducta, ee paucis cosnita: adeoque verisimiliter, ea qua est per has Reu-
ras numerarias: UE quae es Mulciplicandi et Dividendi mechoctus mulco expe-
dirior,

## Folio 17 — 851708439:0041
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000041.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
A L G F B. R A.
ditior, quam per Romanas literas numerarias, et digna de qua tam esses Tolici-
cus. Duodque eo magis est veritimile, quoniam ex Lhispania Petenda crac; ubi
a Mauris culta crat haec lireracura, indeque in alias resiones propasata.
Lx ne de hoc dubitemus, in Rp. 28. Sccundae collectionis, dilerre habetur vor
Abacus ubi ad Orhonem Imperatorem seribens (qui fuorum in hac arce disci-
pulorum unus fuille perhibetur,) resticuionem ab eo vecens alicujus quod ab
eo ante collatum fuerat, sed ab alio nescio quo sublacum, haec habet, JTinc a
vobis liberaliter collata, sed a quodam nescio cur ablata restitui sibi petiit ve
per G. (Gerbertus) Lixtremus numerorum Abaci, vestrum definiat (tupple de
cretum leu mandatum.) Obi dum de Vocac, extremum numerorum baci
sensu Metaphorico; manitestum est, sensum proprium (unde haec sumpra elb
Mecaptiora) e tunc in utu elle, iplique Imperatori Orboni tertio (cui haec Ceri-
DunEuE) nocum.
Sed omnium quae in his Epistolis occurrune, id maxime rem hane contirmat,
quod habetur in Lpiltola 160 leu (in posteriori cdicione) 1Or, ultima pimi-
rum prima collectionis. Obi non tancum haber rationes numerorum Abaci
(hoc est ratiocinium seu computationem secundum numeros Abaci,) led Spocia-
rim Disitos e Articulos memorat; atque in hoc Ctudio se versacum fuiste per
aliquoc ante Lustra; methodumque hanc verbis quidem brevem sed prolixan
sententiis, hoc ett, mulea in paucis exprimentem; eseque menturationibus ap
erime commoctam. Lpiltola lic le habet; Constantino suo Gerbertus Scholasti-
cus. Vis amicitiae pene impossibilia redieit ad possibilia. Nam quomodo rationes
Abaci explicare contenderemus, nisi te adbortante, mi aulce solamen laborum
Constantine. Ttaque cum aliquot lustra jam transierint, ex quo nec librum nec
exercitium harum rerum habuerimus; quaedam repetita memoria eisdem verbis
proferimus, quaedam eisdem sententiis. Nec putet, Philosophnis sine literis, har
alicui arti vel sibi esse contraria. duid, enim dieit articulos, Dieitos, minutam
qui Auditor majorum fore dedienatur. Vult tamen videri solus seire, quod me-
cum ienorat, ut ait Flaceus. Duid cum idem numerus modo simplex, modo
compositus; nunc Dicitus, nunc constituatur ut Articulus FTabes erso, (talium
dilisens investieator) viam Rationis; brevem quidem verbis sed proxam sen
tentiis; e ad collectionem intervallorum e distributionem, in Actualibus Creo-
metrici Racii secundum inclinationem e crectionem, in speculationibus e actua-
libus simul dimensiones Cceli e Ferrae plena side comparatam.
Flanc Lpistolam conjicio (ex cirulo, quem libi fecit Scholastici) cum ab c0
seriptam tuisse dum simpliciter Monachus tuerit (non vel Papa, vel Episco-
puS, aut etiam AbbaS;) adeoque aliquot Caltem annis anre annum 990. Dicit
autem se jam cum per aliquot lustra (PIITa IO aUT T5 annOS) ab his Cudiis
vacasse (ue nec librum nec exercitium eorum interim habuerit;) sed ante ca
rempora de hac Ratione seu computandi methodo aliquid seriptilse, (quod pu-
cenius itaque circa annum 970 aut cicius tuiste:) quod (d Constantino r002
tuS) e mêmoria sua, parrim iptis verbis, parrim eodem sentu repetic: e cum
hac Epistola ad ipsum mittit. Acque ad ea relpondet qua non nemo (quem
vocat Philosexbum sine literis) carillatus est: minuriora repurans, de Dieitis
e srriculis dicta, dum ad majora non attendat: ee ut sibi contradictoria caji-
latus, eandem notam numerumre nunc digitum esse nunc articulum, (puta to-
tidem monacas, decadas, centurialre, eec, signiticare, prour loco primo, lecuudo,
aut consequenti aliquo Donatur.) Sed e brevem verbis, prolxam sententiis,
esse tradic: e tum speculationibus cum mensurationibus, Caeli Terraeve maxi
me accommodatam. Oui tam accuraciis est hujus arris Character, uc pemo du-
bicet quin de ea dicta (InE.  1
Sed et de tempore quo rixerit, dubitars non porest, cum Gerbertus tie idlem
Et qui poltea Papa Sylvester secundus. Adeoque truic cognitam fuisse hanc ar-
rem ec in Calliam allatam, non dubicemus, cirea medium seculi decimi (puta
annum 360, aut 070, aut citius;) e in Tispania (unde ipse habueric) pri
Cap. IV
us adhuc nocam.
Ouodque ante conjiciebam, (caclat  eum hac Lpucola Fuiste
millus) contirmatum habeo inspeenC prima (in quario) anni IOTI.
Obi huic ad Constantinum Lpiltola, haec Edicoris Noca subjunsitur; Jac
Fixistola praficitur libello suo, de Numerorum Divisione; cui muitium est. De
simptc

## Folio 18 — 851708439:0042
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000042.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
A Y. G F B R A.
Cap
simplici. Si mulciplicaveris singularem numerum per sineularem, dabis unicui
que Disito sinsularem, es omni Articulo Decem: diserte scilicet,  conver-
sim 8C. Hlujusque primus Fdicor Johannes Baptista Massonus, opus Ilud MS.
se habuisse dict.
Ouid de luo illo De numerorum Divisione libello jam Factum SIE, aue nun-
cubi extet, nescio. Sed ex his qua dicuntur (praesereim li quae post dicenda
Fune adjungas,) non dubitandum est, quin Fuerir ille rerum harum perituS. AE
que de Epistolis Ciis tractenus. Videamus alia.
Cutielmus Malmesburiensis, in Cua De Cestis Angtorum Fistoria, lib. 2. P25. 54.
Francosurti edita, anno 160r, Seripta aurem circa annum L250. Hlac item
habet de eodem Gerberto, (sed perperam cum Facir cundem ac Papam Johan-
nem ZV, cum fuerie revera Sylvester II.) Fx Gallia natus, Monachus a puero
apud Floriacum adolevit: Moxque cum Pythacoricum bivium attisisset, seu tae-
dio Monachatus, seu etoriae cupiditate captus, nocte profueit Tispaniam, animo
praecipue intendens ut astroloeiam e id cenus artes à Saracenis addisceret.
Aa hos Gerbertus proveniens, desiderio satisfecit. Ibi vicit scientia Ptole-
maeum in Astrolabio, Alandrum (lego Mchindum) in Astrorum interstitio
Fulium Firmicum in Fato. De Srichmetica, Musica, e Geomerria, nibil
altinet dicere, quas ita ebibit ut inferiores ingenio suo ostenderet,  maona in-
dustria revocaret in Calliam, omnine ibi jam pridem obsoletas. Abacum certe
primus a Saracenis rapiens, Resulas de dit quae a judantibus Abacistis vix in
rellicuntur.
Idem cum narrat (post redicum in Calliam) cum rariis riris cruditis haec
studia communicaste; inter quos nominat Constantinum Abbatem S. Maximini
ad quem edidit Resulas de Abaco. Fundem credo acque Constantiu Peu C on
stantinum illum cujus tacta est mentio Ep. 84, 92, T4 2, T62, et (sccurdae col.
lectionis) FP. 33. (qui fuerat, ue videtur, Scholasticus Floriacensis, e volt factus
AbbaS S. Maximini:) Cualque Reculas de Abaco, ealdem puro quas innuit ejus
Epistola, 160, seu 26r, lupra memorara, ad Constantinum.
Hlac arte plures instinue (ut dicitur) viros MaenOS; inter quos cranE Ro
vertus (Raperius, Roabertus, Roibertus, toc enim modis hoc nomen scripium
reperio,) Filius Fugonis Capet, e (Polt eum) Rex Galliae; item Imperator
Oiho seu Oro cerTUS: (d quorum alIErO prOmOtIS crac ad Archiepiseopatum
Remensem, ab altero ad Ravennensem, ee Pontificatum. Romanum.) Huic Fa-
vere videntur Epp. 253, 254; ab Imperatore ad iptum, ec ab iplo ad Impe.
ratorem, de hujulmodi rebus.
Ouodque in Fsispania Fuerir, animumque habuerie eo iterum redeundi, in-
nuunE EpP. 45, 46, 23. Adeoque hactenus Pacis convenie incer antedicta, sua-
que in Exiltolis seripca.
Sune aurem ee alia de eo a Matmesburiensi cradita, quae tabulola videantur,
quae returanda suscipie prior Epistolarum Pducor; e Baronius cciam, qui camen
videtur alias Gerberio patum ainieus
Fadem plane de Cerberto habet Vincentius Belovacensis in Tuo Speculo LLi-
storiat, circa annum 1250 Scripio. Oui (ue notat Possius, de Scripioribus La-
sinis,) magnam parrem sui speculi ZTistorici ex Cuilielmo Malmesburiensi Lran-
Seripsir. Sed qui illi viciole dicitur ubique Cnislerinus: (Nempe Cuilletmus leu
Cnillermus, Tumpro in pro m, hic Gnillerinas:) neque id mirum, cum liber
ille, prouc editum habemus, est admodum mendosis. (Vr utri seribicur Bac.
chus Pro Abacus: se Filia, pro FSispat Peu Sevilia; e Rex Anslix Cuilielmus
E iph Meltur Cuillerius: aliaque mulra mendole sexipta.
Fiacemque ex utroque exleriplerunt Cencuriatores Masdeburgici (quibus Cer-
berrus hic, Ceras NHE.) FTorum item non parum habet Johannes
Prompion, Lepco nstus; aliique. Omnibus in hoc consentiencibus, quod
fuerit ille rerum Alueesedrum aliarumque Machemaricarum. peritus (quod ea
aetate rarum crat)  speciarim abaci; quem a Saracenis in Fispah (Peu Se-
vilia) ispaniae dicerat; Reculasqué de Abaco ad Constantium Teu C’onstan
Cur autem his, licet aliguanco lerius scribentibus, de iptrus ca xtate in A
eorismo seu Abaco, pericia, tirmius creclam; id maxime Facit, quod in ipsis illius
piltolis ioE habeancur gde huic tareant. Secus enim, le nihil illic haberetur,
auE
einum Teripserit.

## Folio 19 — 851708439:0043
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000043.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
L e L B R
aut A sripeis aliis BA CONCEPOTATIS; tiers Pollet ut quin de Cerberti in A
rithmeticis veritia, post uulis aut alterum secutum Scriplerint, quando voces
notxe tuerine Lmas a uas, us abusi fuerine, pro srithmetisa
0
cabulis: ver FlolepHM seu Lipationem ulurpatis. Sed cum ipta vox ba
cus, hoc senli occurrac aliquories in seripris luis: non dubium cst quin ipti
cum noca LierIE hxeC AIS, adeoque (uc supra arguimus) circa medium Decimi
scculi; atque cum ab eo in Galliam ex. Flispania ineroductam, ririsque recon-
dicioris liceratura (in Altronomicis pralertim) Audiolis cognicam Factam. Ouam-
diu autem tum ance taerac, in Tispania, noca Mauris, aue ( quibus ipsi zc.
CCDCTANE) SaraCenS aUE LraIS Cs HIVENCOTIBUS: non lioVet
Primus autem (quem Seio) qui hac la le gusetam Pypis edidic, cst Ju
cas de Bureo, Tcaluis, Anno 149I (dum Ars Typoeraphica crar achue nova:
_ DOst CM (ut nadiE Bureo in Loerstica sua) Stephanus a ADDC, CatUS; e
(quem una cum ce memorat Stifelrus in Rrictimetiea (ua) Adam Risen (Te
Aaum bieas) Cesas. Dus ses, Cu ormo o, criam sileebram
conjungil.) Quamris enim Aermanus Contractus, Prodocimus de Padua,
Johanias de Sacro Bosco, Fordanus Nemerarius, Leonardus Pisaiasus alqe de
ea ance seripserine; non camen erant corum scripta ante cypis edtita. C quam
quam alqua hOrum excant leripra; neleio an qua de trac se le ipserint sine ad
huc erpIo Cdita. Sed vel nON CXFAHE vel II AISi MLLLHL.
Sed Praeter antenominatos (e anre corum plerosque) est Fudoeus Clichto-
veus, qui AnnO F5O3 (iterunque annO F522) Fractat CaIIH sa Labri
Staxalensis (cujus ance tuerat dilcipusus) cur ticulus sipitome jeu brevis in-
troductio in Boetu Prithmeticam, cum luis in eam CoMMCMCatHS. SL MIC
cractatur speculatiro, luam subjunxit Practicam Arithmericam, cus ACIS, LPastS
numerandi, quem Abacum vocant. Aliumque multu antiguiorem (AuchOTIS LIBI
ACOSMI) cui Ticulus Opusculum de Praxi numerorum quoi   MuM Do-
cant. Cujus quidem polterioris opusculi, exemplar inrenio MS. II BiBstotheca
Saviliana, lubjunctum algorismo fohannis de Sacro Boseo; ql ejuldem ita-
que anciqustaris existimo, cirea annam 1250; Oa espis acthue lidito-
cums aliquissimum. Obi nocandum cA (ne de eo dubitemus) uerumque no-
men, Abaci et Aeorismi, eodem signiticatu (apud Clichtoveum) pro Pravr
Numerorum per hasce nocas Numerales uturpacum.
D s aat lumeralium.
FOcarum harum numericarum (quas ab Arabibus acceximus, ui ab Lndis
N illi) commodissimus usus cst in omnibus Rrichmeriex parribus, sive Pra.
eticae sive Theoreticae. FAque haec tam commoda numerorum Notacio, ut post
quam ea fuerit introducta, nullam jam habemus aliam Praxeos Arichmctiex ra-
tonem. Panque expedita elt, uc, qui eam jam incellisimus, merito miremur,
qui potuerine Ancigui numeros grandiusculos tractare. Certumque est, tam va
Aos numeros quales nunc dierum contideramus, non poruisse illos ulla com-
moda methodo tractare, dum non aliam habuerint nocandi methodum quam
Per numerales LItEFAS MDCL XVI.
Verum quidem est, trabuisse Veteres eandem numerorum Distributionem quan
nOS habeMUS; per Monadum in Decadas, Decactum in Centurias, hurumque in
Millia, Milliumque in Myriaclas collectionem; ee Sic porro usque ad Myriactum
Mylactad.
banE; ut Postquam ad Millia aut Myriactas PErVeNtum siE haud commodius nu-
meros delignarent quam prolatis (Pro Nocarum detectu) iplis NNumeTOrum nO-
minibus.
et Po a tabicum est PacadosO (ut ex srchimedis Arenario liguet )
cam
Sed huie Distribucioni commodam Notationem correspondencem non labe.

## Folio 20 — 851708439:0044
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000044.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
A L G F. B R A.
cam erandem numerum designari polte, qui aquet (necum SuPereL) Lictoris
Siculi arenas. Cum tamen ille justa demonstratione octendit, tor Arenas quot
non modo Littus Siculum, led omne spacium illud compleant, quod Mundus
habet ad ulque Fixarum Sphaeram, etiam secundum Hypochietin cristarehi.
hoc est (uE nos jam loguimur) non modo secundum Ptolemaicam Led e Co
pernicanam hypochesin; non majori numero fore quam quem nos jam deligna-
remus, per Onitacis nocam cum lubjunctis Ciphris 53. Puta
1000,000010000,0000 100000000 (0000,00000000,0000;00000000(0000000010000,0000.
Oualem nos, nune dierum, ab(que ulla difticulcare cractamus.
Verum quidem est, harum notarum ulum non esse Aeebrae peculiarem, sed
omnibus paricer Arichmeriea Practiea partibus communem: VE videamue FOrre
nonnullis a prasenti scopo nimium digressi, dum de illis in Acebra jaM aSI
AUS.
Sed, utut Aloebrae peculiares non Eint hX noc, sunt tamen ad eam com-
mode exercendam, tam utiles Faltem, si non de necellarix, ut huic promorenda
illarum utus plurimum inferriat.
Onde est, quod Vossius nocat (cirato in eam sententiam Stevino) non po-
inisse Graecos aut Romanos perfectos este Prithmeticos (nedum Aeebristas) pro
notarum harum defectu. Videntur Craeci e Romani, non potuisse perfecti esse
rithmetici, aut Asebrae onari, propcer defectum notarum Arrthmeticarum, quas
ab Arabibus accepimus. Sine illis enim non valuere Decimarum periodos ex
primere. Joh. Ger. Vocus, in Addendis ad cap. 9. de Scientiis Mathematicis.
Ex quidem ad nos ab Arabibus simul ee semel reniste ridetur Algebra (uE jam
ostentum cst) cum Nocis hisce Numerariis.
Oua ratione adhibendae sunt illa, in fingulis Rrichmetiex Practiea parribus.
cum in numeris Incegris cum in Fractis, lingulatim ostendere; nimia videre
cur hic Dioressio. Neque id necellarium elt, cum haberi possit in rulsaribus
Arichmerica Practica libris: notumque merico praesumi porelt iis qui Agebram
aggrediuintur.
Varia item incrementa nacla  sae Aeorismi ars, Poltquam nos cam ab
Arabibus accepimus; inrentis quoclie Regulis compendiariis quae ipsius praxin
multunt sacilitent. Verum ed omnia hie recentere non ett animus; sed vul-
Bares LoS Arichmeticos leseubus onserranda permitto. Quaedam tamen in
careio.
1I.
reguentibus obiter occurrent.
AC duo sunt prae careris insignia, Tub finem praccenus mniuque plae-
sentis seculi adinrenta, inrentis Arabum superaddica, quae speciarim hie recen-
senda judico. Nempe de Partibus Deimalibus e Loearithmis. Ouod Factu-
bus Sexacesimalibus (in quatum locum succedune partes Decimates) expli
rus sum postquam Archimedis mechodum pro desionandis numeris majoribus;
(in cujus locum (uccedunt NOca CIICX:) e Prolemai methodum de parti
De Archimedea methodo pro desenandis
maenis Numeris.
Vamris non habuerine Craeci (ut dictum cst) nec olim Larini Nocarum LH
dicarum (quas jam habemus) usum, (aut quae sint Lal suPVates.) HOL
decrat tamen illis modus (faltem rerbis) exprimendi toS lat valtos. Muod
docet Archimedes (eujus illud credo inventum erat) in libro cui rauuims Are-
narius nomen est. Duem exo (mendis, quibus scarebat innumeris, purvatum
anre aliguor annos Cirace et Larine edendum curari, AnnO 1676 OXOniX.
Duemmodum, etiam ante, se cradidille dieir, in libro ad Zeuxippum scripio, eti
riculus fuerac Cut Videt) Aexe Principia. Out qu  dxpum lbet.
quamrio

## Folio 21 — 851708439:0045
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000045.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
CaP.
A VC L _ L A.
guamris hodic (ereuo nneate, esuo lae Lumma nobis contervata cA in A
renario luo (u  meis ad illum Noris liquet.) Llque hujusmodi.
Supponit ille primo seriem Numerorum ab r. continue provortionalium (quales
nunc vocamus Proeressionem Creometricam, CUjUIS PPIUS LEKIINUS (IE L.) ut a B3
E_C.
nums Mulciplicator) duos guoiris numeros invicem mulciplicatos, alium in ea
dem serie producere, cujus ordo in ea serie (inclusire numerandus) denomine
cur 2 numero qui aqualis sic mulciplicatorum illorum denominatoribus simul
sumpris, minus Dno. Verbi gratia. 3 (qui terrius est) in e (qui est quintus)
producien (septimum,) CujuS EXPOHENS 7, ae quat 3 f 5 = +.
muS; atque hrujusinoet notis describere, T. N. 9. C. OO. Ccc. auLF. A. A9. AC. A99.
Fistque id ipsum quod nos Numeris Cossicis (uc loguuntur) denominare Sole
Ccc. Vet T. r. rr. 23. re Cl. U POIL dICetUT.
Ouo vosito, demonstrar, Prosreltionis ujus (Guaqu uclatO seu com-
Seu (quod tantundem valet) Ei (exeluso primo termino a Peu L)nE
quilibet per ejus a primo distanciam; Fxponens seu Denominator l’acti, aequatur
denominatoribus utriusque Lacss anus sumpus. Puta, pe in rt eAt ps (proxter
2 + 4 == 6. ) Hloc clerrAtI =
Lltque hic Denominator, id quod jam dicitur Losarithmus (hoc elt, abzcor a pl P. B.
seu numerus rationum inibi compositarum; uc puca li rationis cujuspiam exponens
seu denominator lit a, erit ana exponens compolitae ex cribus hujusmodi rationi
buS.) Nam Losarictimi, Tunc Fxponentes locorum Creometricae Progrectionis: seu
Numeri sumpei in Progreltione Arichmetica, aliis in progrectione Cicometrica poli
eis respondentes. Unde tii, quod illorum summa, respondeat F’acto ex his. Ouod
Praecipuum elt Logarichmorum mysterium: ut polt ucetut.
Elis aurem generacim posiris (de Geometrice proportionalibus, in quacunque ra-
tione:) eadem speciarim accommodat progrestioni in poc acuta, qua
nempe dilponi lolene Numeri. Vr jam a B y sc ecc. Tmbus li beus centano
mille, myrias, Scc. Ft Sic POrro (prour opus Fueric) secundum numerum termino.
rum in procrestione, qui relpondet LOCOrU (quOS YOCANE) numerO in nOca-
E PEt Alldo LeltCas.
aos ucloquuntum, u  aba Der Myrradad, mpriadum
Ovi vero nos numerare solemus, per Milliau dt Aillena milliau dec. (Dex P rit
myriadas, c. adeoque per Periodos quatuor locorum.
Tum vero (majoribus pastibus procedendo) Mrriadem Myriadum (hoc est
prour nunc seribimus, Onicatem in loco nono, scu Onitarem cum 8 ciphris (C
quentibus) Numeros primos appellat, (nos numerorum primam etassem roce
merorum secundorum, (hoc est secunda classis;) atque SiC pOrro, per octonos lo.
cos, ad tertiorum numerorum (seu terria claTIS) Onitatem. EF sic deinceps ac
mus;) eOnitatem illam (hoc est myriadum myriadem) appellat Onitatem nu-
clalsem quartam, quintam, de sequentes, ulque ad hujulmodi elastium Myriadem
myriadum, quarum classis quaelibet octonis locis constat. IToc est (ut nunc 10-
quimur) ad F cum CxBar sequa nstractibns mgthacia. C
Ciphris 8,0000,0000.

## Folio 22 — 851708439:0046
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000046.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
L G P. B R
a
Et quidem, s hic numerus nondum rideatur fac magnus, vocetus, suue le
omnes prima periodus; cotidem que loci sequentes secunda periodus, et lic porro ad
dorum, quarum quaeliber habeat locos 8,0000,0000. Suat  tus (HOC
rundem l acque (in nocatione noltra) Lcum cipbris se qunis 6,006,0000
libus, aut lex locorum pro Miltionibus (eu Millenis Mudious,) LC Cipistes se-
quentibus 80,000;000,000;000,000. HIoc cA, r cum ciphratu us nns
millionibus millionum. Se non detuerit ArCat S EX PLHBCHaL LatM Valta
masnitudinis numeros.
Muod aurem numerus hic sic raltae magnicudinis, aue immense magnus, ostendie
rchimedes, demonstrando (qui illius libri Scopus est) quod mille myriades nu
merorum septimorum, hoc est (ut nos jam seribimus) E cum 63 ciphris, abunde
Tufficiat numerandis Trenulis (tam minuris ue carum decem milla non aequent
unum semen Papaveris) qua molem conticerent majorem quam cAt totus Mundus,
etiam lecuncum Tristarchihypochelin, scu (ue jam loquimur ) us e loper-
nicana. Duxe supponit maenum Orbem quo (secundum cos) Ferra circa So-
lum tertur, seu (secundum alios) Sol circa Terram, esse Puneti instar, seu inten-
Sibilis magnicidinis, si ad Orbem Lixarum comparetur: nimirum, ur le habet Or-
BiS Lelluris ad illum Masnum Orbem, sic ille magnus orbis ad orbem Fixarum.
Ouod siminimus numerus locorum 64 major lic quam ioc ejutmodi Arenularum
quae rantam molem conticerent; eequid erit ille numerus qui lic (uc jam logui-
mux) Locorum 80,0000,0000 qui quidem major cst quam Arenularum numerus
qua ejusmodi mundorum conticerent 7o mille milliones millionum.
Finjusmodi numeros, dum medioeres lune (poluo  seu, teuMo plo.
riade, quod ante receptas nocas Indicas Lles Loevat) hc exhuberene Craet.
Deriodun Tertiam, quartam, ec. ulque amsuso s st Pelto.
CAOnamprias myriadum, Classis myrio myresima, myrio myresimae Periodi,) can-
0000,0000. Hloc elts LCum occomsanim istucu ingrat instcundus et
Phrarum. Scu (ut nos distinguere Cotcuo, pet peosam locor piM
9,999
999,5990
in seu M NF, NV
dLDMV. 693
d, E8 328, Ceu LDN. d. 3iB
999930999
160,000000 aeles Mhes aeen Mcu au inena Millia.
82 2. 619G0. au 1OFlC 6792M. 619G M.
1,0000,000O M M. HOC CH nvecinis popia, leu
Atque hactenus Patis dite illa tempora provitum tuisse, censuit Archimedes.
Sed ad exprimendos numeros tris lonse ampliores, necesTarium FOVCL UEMo PrO
Monactibus e M. pro Myriactibus, Sic Characteres alios comminiscendos elle pro
Classibus et Periodis delionandis.
Archimedis doctrina (Pro numerorum hac Nemenclatura) ad nollram nOta-
tionis Formam reducta, sic toret;
primae perioce
Onitas, primorum numerorum (Leu prima clacTIs)
Myrias Lyriadum, primorum numerorum, qua et
Ontas selundorum numeroru (seu secundae clasTIS)
Otas Auerorum certiorum
Onitas numerorum quartorum
0000,0000
F10000,000010000,0000
1Jo1601,000010000,0000
Onitas numerum quintorum, sextorum, septimorum, octavorum, nonorum; ec
cum CtDIS 373 40, 48, 50, 64 ec
Onicas numerorum nst stestmorum a cinssoo tsestma) Pemma
Periocl.
cum ciptris 7,9999,9992
Mrrias Mgriadum nUICIOru Myrio myresut  peribat, qua Ell
Onitas

## Folio 23 — 851708439:0047
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000047.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
2
A L _ F B R
Omctas, primorum numerorum secundae periodi.
F cum ciphris 8,0009,00000.
E eum ciphris 8,0000,0006.
Onitas, tertiorum numerorum, secundae periodi
E cum ciphris 8, 0000, 0010.
Onitas numerotum quartorum, quintorum, sextorum, c. secundae periodi,
Aprias myriadum, nuneto Mrrio myresimorum, secundae periodi; quae est
Arrias myriadum, numerorum M rio myresimorum, periodi Myrio meyresima,
Fcum ciptris 8(0000,00000006,0000. Teu (ur nos distribuimus
2 cum ciphris 80, 000;000,000;000,000. hoc est (ur nos proterimus)
Aque hactenus procedit Archimedis numerorum Nomenclatura ibidem indicata.
(cum noltra eju. demt Lecan.) Ouam nulli non ului abinde susticientem esse
non elt qui dubicet: Lul elcam, liquis ampliorem adtrue vellet. Myriadi myria
dum Periodorum, norum imponar nomen; ee sic concinue in intinitum.
Onitas, secundorum numerorum, secunda periodi,
E Cum CIpATIS 24, 327 40, CC. TUPFA 8, 0000,0000.
Onicas, Arrio mrresimorum numerorum secundae periodis
Cum Ciphris [5,9999,9992.
 cum ciphris 7,9099,0002, Tupra 8,0000,0000; hoc est
Onitas, primorum numerorum, tertiae periodi,
2 cum ciptris 26,0000,0000.
Omcas primorum numerorum, periodi quarta, quintae, dc.
F Cum CiPhTIS 24,0000,000b. 32,0000,0000. c
Unitas, primorum numerorum, periodi Myrio mpresima,
F Cum eAptrIS 7, 9999,9992,6000,0000.
E Cum ciphriS 7,9099,099939999,9992.
Onitas, Myrio myresimorum numerorum, periodi Nyrio myresima,
 Cum octoeies mille Miltionibus Millionum ciphrarum.
A L. VTT
De partibus Sexacesimalibus.
PFteres cum (ance inetductum abacum seu figurarum numeralium Aeoris
mum) sentopctolam invenerine Fractiones variarum Denominationum de
atC e commode cractare, praesertim cum fuerine numeris majusculis ex
primendae; numerosque item Inceeros, cum majusculi fuerine: Commodum duxe.
runt Inteorum in partes Serasinta Partire, quas signanter, uoipas dicebant (nos
sexacesimas dicimus;) et harum quamlibet. (( opus Foret) in minitiores sexa-
einia, sCu nemoi; et Sic porro ur res poltularerir, donec ad parriculam merito con-
remmendam deventum (c. Nos scrupulos leu Minura dicimus; prima, secunda. ter
eia, ec. corumque proprettionem, parces sevacesimales. Sic P rolemaus olim, de
Forre omnium pritmus: ec post cum alii.
EF pariter, quo numeros prandiores vicarene, sexaginta incegrorum collectio
nes Sevagenas vocabant (lalrem polleriores,) ex harum toridem sexarenas secun
das, d Lic porro quoties opus Tuerit.
Sic, verbi gratia pro integri cujuspiam (pura Borae, diei, Zradus, dc.) parse
quarca, PonebanE L5 (hoc elt 25 minusa prima:) pro e seu parte octava, Pone.
banc 7, 30. (hoc est minusa prima, et 30 secunda:) quae cantundem ralem
praecise. ProZ seu parte seprima, cum ea parcibus lexapelimalibus exhiberi Dra
eile non posset, ponebant S (quod prope quidem accedir, sed est justo minus,
ant 5 (quod adtue propius elt, sed justo majus: ) aut (si majore accuratione Opus
Fc) 8 34, aur (adhue exactius) 8 34’ 7; de sic porro, liopus si, donce per-
veniatur ad parciculam pro parritare tua neslisendam.
Flave in Sevagesimales partitionem (Ptolemaum Securi) retinuerunt ex CrX
eisalii; et polt eos Arabes; quam et hodie rerinemus.
Similicer

## Folio 24 — 851708439:0048
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000048.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 75 lines, status machine
Similiter prO 227025 (qui est numerus dierum quibus Mabum P. PCa, LL3 Aa
dicta, serius incipit quam nostra Annorum Christi P. Pocha Dionyscuna,) POnunE
8.35: hoc est + sevaeenam tertiam, 3 sexacenas secundas, 3)snas p
mas,; ec 35 dies: Ouam computandi rationem habemus in Pabulis pishs, e
(nuper) in Lansbereianis.
ap. V
A L C F B R A.
Dexasenis, Tabulas hujusmodi condiderunt.
Pro expediendis autem Mulriplicationibus e Diritionibus in his Sexagesimis e
2
3
+
2OPer
60
1. 40
50;
d2.00
2. 10)
c.
C+5. B
EC FaciC D 25. 30C
(10.50
16. 0 C
20 ver 3
50 per
24
C
Facit
40
0
20
.10)
Duas Pabulas in contractiorem formam recissebant (lire uaculat rC LIsaII-
sularem) ab s ad 60 continuatam; ad iultar tabulx (Pxthasoriea dictx) pro
Mulciplicationibus et Dirilionibus, ab P ad T0 continuata. Oux conspicienda est
in libris Arichmericis, ubi de Fractionibus Physicis, aut. Astronomicis agituIT.
Arquetum, pro denominationibus decerminandis, hujulmodi conciderunt rabet.
l25 alias;
Et Sc Porro ac _ 160 lactt 0000.
Prima)
Inteora, in Secundat
minuta Tertia
Ouarta)
9C.
(Prima
erima, in DSecundat
Tertia
Ouarta)
146.
Prima
Secundal Faciune
Sccunda in Z Tertia
(Ouarra 3
36.
Tertia
Ouarta C
Ouinca
Sexta.
19c.
Onarum summa, huc redic. Kxponens Facti (incellige, ulrimam ejus partem)
aquatur Pxponentibus uriusque Lactoris, Cumul sumptIS. Puta YO In IY FacIE
150 FCTO in 12 tacit 20. Irem 10 in 20 tacit r 40. 8c.
Duod sic intellectum volo; Flabuerun, (Dost introductas Figuras numerarias)
Tabellas ejusmodi Fisuris numerariis deseripla, us s eo Muterariis,
Puta
(Cl
secen
DLertia 
uatia
Secunda.
extia
Faciunt 3 DuartaC
COuinca
dC.
laciune

## Folio 25 — 851708439:0049
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000049.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
Cap. VI.
A. T  L. B R
IP in TII Facit VV
TTI in IV FacieZTr
IV in TII FaciCXII.
(HOc est, 4 Sexagena in 3 secunda minuta, Faciune L2 minuta prima: propter
ZVI in Z tacit CI X; hoc eAt Ir, ZI
(duod statim patebit, inspecta Sexaectimalium Pabella pro mulciplicatione.
Ouippe inventis XVI in Tummo, e X ad latus, habebitur in communi arca
TIXL.) SiC
XIN in LIV facie XI. Ye
Iujusmodi Proceltiis, per Seragelimalium Mulciplicationem ecc. habetur ele-
santer descripeus, et Creometrice demonstratus, in crudiro simut et accurgta
Fractatu Crxco Barlaami Monachi; aorssun (Loeistica) dicta; quem Vossius
(cap. 14. de Scientiis Mathematieis) relere ad Annum Christi 1350; (sed
perperam pucat tuisse de Ileebra Practacum.) Hunc Johannes Chambers (S to-
nensis Collesii focius) cum Vertione Latina, suisque in cum Commentariis edi-
dic Anno 160O. Ad hoc ab Fonorarissimo Lquire Tenrico Savilio incitacus,
qui Exemplas MS peregre nactus, Tua manu transeriptum in Aneliam reculic.
Tabeta pro Mattixheatione Deracenaria: Duum in memibra dissecuimus, quo
intra pacinarum limites recipiatur.
20] 1F] 22. ]13 (2
L160. 61(00.0200.0300.0400.05(00.0600.0700.0800.0900. 1000. 1100. 1200, 1300. 1400. 1
2 (00. 0400.0600.0800. 1000. F200. 2400. 16,00. +800. 2000. 2.2,00. 2400. 2600. 2.800. 30
3 00.0900. 1200. 5500. 1800. 2.200. 24.,00. 2700. 3000. 33+0,3600. 3900.4200. 45
4 00. 1600.2000. 2400,. 2800,. 3200. 3600,4500.4400,4800, 5250,5602.00
00. 2500. 3600. 3500,4000. 4500. 5000, 5502. 0002. 0502. 2902. 75
6 (00. 3600.4200. 4800. 5402. 9002. 0602. 2205. 2807. 2407. 30
7 100. 4900.5602. 030r. 2002. 17 02. 2402. 3401. 3807. 45
8 (02. 0402, 220L. 2002. 2602. 3602, 4402. 5202.00
9 (02. 2205. 3002. 3902. 480T. 5702,0602. 15
10 (07. 4001.5002. 0002. 5002. 2002. 30
2 (02. 0202. 2202. 2302.3402.45
12. 02. 2402. 3602. 4803.00
3 02. 4903,0203. F5
(4 (23. 1603,. 30
25 (03.45
16 (27 1 28 (29 120 ] 22 ]22 (23 24 (25 126 727
128 5 29
100. 1600. 1700. 1800. F900. 2000. 2. , V. 2 4V. 2300. 2400. 2500. 2600. 2700.2800.2900.30
200. 32OC1. 34, t. 5bpel. 39el. 40. 4.200. 44)b. 40b. 4600.5000.5200.5400.5600.5802.00
300. 4860. 5200. 5400, 570r,0002. 0302. 0602.0902. 5207. 1502. 18,0T. 2502. 2407. 2702.30
40T. 0401. 06(01. 126L. 10(L.2. 24, . 20(1. 3 = L. 500L. 40OT. 44 OT. 4807. 5202.5602.00
501. 2001. 25(05. 300r. 350T. 40C2. 45,01. 500F. 5502.0002. 0502. 5002. 15(02. 2002. 2502. 30
602. 3601. 4 202.4807. 5402. 0002.0602. 1202. 1802. 24,02. 3002. 3603. 4202. 48,02. 5403,. 00
202. 5-l. 5902.0602. 2302. 2002. 2702. 34, 02. 4. 12. 40,62. 5503. 0203,0903. 16,03. 2303. 30
802. 0802. 2602. 2402. 3202. 4002. 48, 02. 5603. 04,03. 12, 03,. 2003. 28,03.3603. 44,03, 5204. 00
902. 2402. 3302. 4202. 5203,0003,09,63. 1603,. 2703,3603. 4503. 5404 0304 12,04. 21 04. 30
2002.4002. 5003,05103. 1003. 2003, 30,03.4003. 5004. 0004. 1004. 20,04. 36,04. 4004. 5005. 00
2202.5603,0703. 1803, 2903,4003. 5204. 0204. 1304. 2404. 3504. 4664. 5705. 0805. 4905, 30
7203. 1203. 2403. 3603. 4804. 0004. 1204. 2404. 3604. 4805. 0005. 1205. 2405. 3605. 4806.00
2303. 2803. 4203.54, 04. 0704. 2004. 3304. 4504.5905. 2205. 2505. 38,05. 5206. 0406. 2706. 30
2403. 4403. 5804. 22. 04. 2604. 4004. 5405. 0805. 2205. 3605.5006.0466. 2806. 3206. 4607.00
15P4. 006+. 15.04. 3091. 45105 0065, 1565. 30.05. 45106.00136. 15(063006 45137. 9007. 1507. 30)

## Folio 26 — 851708439:0050
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000050.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
Cap. VII.
20
3E ]32 133)34 (353637 (38139) 40 )42 )42) 45  1
200. 3500.3200. 3300.3,+,00, 3500. 36,0037,00. 3800. 3900. 4010. 4 5 30. 4200. 4300. 44.00. 4.5
201.0201. 0407.0602. 0805, 7005. T20T. 240T. 160T, T80Y. 2002. 2202. 2402. 2602. 2802. 3C
302,3301. 3605. 3901. 42.01. 45OT. 48OT. 5FOT. 540T. 5702.0002.0302.0602.0902. T202. 25
402. 0402.0802. 5202. 1602. 2002. 2402. 2802. 3202. 3602. 4002.4402. 4802. 5202.5603,00
502. 3502.4002. 4502. 5002.5503,C903,0503, 1003, 2503, 2003.2503. 3003,3503, 4003. 45
603.0003. 2203. 1803. 24.03. 3003,3603.42,03,4803.5404. 0004. 9604. 2204. 1804. 2404. 30
03.3703.4403. 5203. 58,04. 0504. 2204. 1904. 2604. 33,04. 4004 47,04. 54,05. 0205.0805. 15
804.0804.2604. 2.4 04. 32, 04.4004. 4804. 5005,0405. 4205. 2005. 2805. 3605. 4405. 5206. 00
904. 3904. 4804. 5705,0605. 2505, 2.4,05. 33,05. 4205, 5206.0006. 0906. 28,06. 2706.3606.45
2005. 2005. 2005. 3005. 4905. 5906.0006. 1008. 2006. 3006. 4006. 5007. 0007. 2007. 2007. 30.
2105. 4105. 5206.0306. 2406. 2506,36064706.5807. 0907. 2007. 3207. 4207. 5308. 0408. 25
7206. 5206. 2406. 3606. 4807.0007. 1207. 2407. 3607. 4808.0008. 4208. 24.08. 3608. 4.8c9. 00
2206, 4.206,5607.0907, 2207.3507. 4808. 0108. T408. 2708. 4008. 5309,0609, 2909. 3209. 45
2407. 2407 2807. 4207. 5608. 1008. 2408. 3808. 5209,0609, 20(09. 34 09. 48 FOO2 2O, 2620, 30
25(07. 45108. 0008. 25)08. 3003. 45,09, 0009. 1509,. 3009. 45 20. 0010. 25120. 30170. 45122. 00) 22. 25)
46 1 47 1 481 43 150 ]5F 1 52 5354 155 156 157 158 1 591 60
200. 4600. 4700. 4800. 4300. 5000.5100. 5200.5300.5400.5500. 5600.5700.5800.5902.00
20T, 3202. 3402. 36,02. 3807. 4002.4207.4402. 4602. 4802.5002. 5202.5402.5652.5802.00
302. 1802. 2+02. 2402. 2702. 3002. 3302, 3602. 3902. 4202.4502. 4802. 5102. 5402. 5703.00
403. 04,03,0803, 12,03, 1603. 2003. 2403, 2803. 3293. 3603. 4003,. 4403. 4803. 5203. 5604.00
503,.5003. 5504.0004. 0504. 5004. 15,04. 2004. 2504. 3004. 3504. 4004. 4504. 5004. 5505.00
604. 3604. 42, 04. 4804. 5405. 0005,0605, 1205. 1805. 2405. 3005. 3605. 4205. 4805.5406.00
705. 22,05. 2905. 3605. 4305.5005. 5706. 0406. 7406. 2806. 25,06. 3206. 3906.4606.5307.00
806. 0806. 2606. 2406. 3206. 4006. 4806. 5607. 0407. 2207. 2007. 2807. 3607. 4407. 5208.00)
906. 5407,0307, 1207. 2407. 3007.3907. 4807.5708.0008. 1508. 24,08. 3308. 4208. 5109,00
1007, 4007.5008.0008, 2008, 2008, 3008. 4008.5009.0009. 2009, 2009, 3009. 4009.5010.00
2208. 2608. 3708. 4808. 5909. 1009. 2109. 3209.4309. 54 10,051C. 2650, 2750.3810, 49+1.00
7209, 1209. 2409. 3609.48 10,0010. 5220. 24 10,3620. 48 LL. 0OFF. 122c. 24, L L. 3025.4852. 00
2309. 5820. LF 1O, 24. 10, 37F0,5OTT, O3TF, I6 TT, 29TT, 42FZ, 55 12. 08+2, 2. L X2. 34, F2. 47 F3,00
2420. 44, 10. 58LL. 12, 2c. 26,1F. 40 L1. 5422.0812. 2212, 3052. 5013. 04 13. 18, 13. 3223,4624.03
25LL. 30C2. 45(12. 00,12. 25122. 3022. 45) 23, 9043. 15123, 3023, 451 24. 0024. 25(2 4. 30. 14. 45,15. 00)
26 (27 128 ] 19 1 20 121]22 123 124 125 126 127 128 129130
26 04. 1604. 3204. 48, 25. 0405. 2005. 3905.5206. 0806. 2406. 4006.5607. 2207. 2807. 4408.00
27 04 4905. 06,05, 2305, 4005. 5706. 1406. 3206. 4807. 0507. 2207. 3907.5608. 4308. 30
18 (05. 2405. 4206.0006. 1606. 3606. 5407. 5207. 3007. 4808.0608. 2408. 4209.00
19 (06. 0+06.2006. 3906. 5 807. 2707.3607. 5508. 2408. 3308.5209. 22 09. 30
20 (06.4007.0007. 2007. 4008.0008. 2008.4009.0009. 2009. 40, 10.00
2.F (07. 2107. 4208.0306. 24,66. 43509.6003. 2.7(69.46, 16.0910. 30
22 08. 0408. 2608. 4809. 5009. 3209. 54, 10. 2610, 38LZ. 00
23 (08. 4909. 2209. 35, 09.58,10. 2. 2 20. 4412. 0722. 30
24 (09. 36 20, 00, 10. 24 20, 4822, 22T2, 3612.00
25 (10. 2520.502F. 152I. 40T2. 0512. 3C
26 (1L. 26 CF. 42 X2. 0812. 34 43.90
27 (12.0922. 3613. 0313. 30
28 (23. 04 L3. 32 24.00
29 14. 02 24. 3C
30 (25. 0C
Ad num. Le8C
2243 00. 36
2746 02. 42
29X2504. 43
4TXE 00. 4
59X2 OT.58)
4821672.40)
52423(L9. 33
Emenlanda in hec Tabella
A L, G F B R A.

## Folio 27 — 851708439:0051
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000051.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
Cap.
A L G F B R A.
13c 1320(33134 (35- 13613738130 140 4c) 4211314+ 74
2608. 2608. 3208. 48, 09. 0409, 2009, 3699, 5220,08, +0. 24 204010. 5622, 2252. 28,22. 44 12. 00
27(08. 4709.0409. 22,09.3809.55 10, 12.10. 2910, 4612. 0325. 20)22. 37 c2. 54 42. 21 12. 28, 1245
2809. 1809, 3609. 54, 10. 2210, 3070. 4811.06)Tc. 24 T1. 42 12. 0012. 18,12. 36, 12.5413. 12.13. 3C
2909,491006 10. 2711046+l. 05 2F. 74. LC. 43, C2, 02)12. 22(22.4012. 59 13, 28, 13,. 3723. 56 24. 15
2010. 25 59.4015. 00T1. 20)2 1. 40c2. 9012. 20, 12. 40 13, 0023, 2023,4024. 0014. 2024. 4025. 00
2+ 10. 52 LY, 42 L9. 33,22. 54 13. L 5, 12, 36 L2. 5743. 28,23. 3914.0024. 2 2, 24. 42 C5. 03)L5, a. 4. L5. 45
22 +1. 22, 12. 44, 22. 06,22. 28, 27, 50, 13, 12, 23, 34, 23.5624. 18, 24. 4025. 021. 5. 24, 25 46,26,0816, 3C
2322. 53, (3. 2612. 3943.0213. 2523. 46, L4. L2 14. 34 14. 57 +5. 2025. 4346. 9626. 29 16.52,27. 25
24 +2. 2472,48, +3. 12, 13, 3054, 00 24. 24, 24. 48, 25. [2 25, 3626.00+6. 24 76.4827, 22,17. 3618,00
2512. 55 +3, 20,23. 45 14. 20, 24. 3525. 0025, 2525,5026. 2526.4017,0551.3027. 5528.2018.43
26132623,. 5244. 26 24. 44 75 1015. 3616, 0218. 2826,. 54. 27.2027 4618. 2218. 3849,04, 19, 3C
27c3, 57(24. 34, 24.5F25. L8, 15. 45, L6. L2L6, 3927,06L7. 33,18.9018. 27 28.54 +9.2. L 29. 4620. 15
2824. 26(24. 56 25. 24 25. 52,16. 20,16. 48, 17. 2627. 4428, 12, 28. 4019.08,19, 3620.04.20. 32 21,00
29 14. 59, L5. 2825. 57 16. 26,16,. 5527. 24, 27,5328. 2228.5219,20194920. 2820. 4721. 1621. 45
3015, 3018.00)76, 3017,0017. 3028.00,+8. 3079,0019,3026,00120. 3021. 902.1. 3922,0077. 30
46 1 47 1 48 ) 43 ]50] 5F,52 153 (54 155 156 157158)5960
2622. 26 12,. 32 23. 48,23,. 04 23. 2023. 36, 13.52 +4. 08, L4. 24 24. 49 14. 56 L5. 1225. 28 25. 44 26. 0C
27L3,0223,. 1923, 3615, 5324. 50 24. 27 24. 44, 25,. 02, 25. 2815. 35,25. 5216.0916.2626.43,17.00
28,23. 4.8 24. 06 24. 24 14. 42 25. 0025, 18,25, 3625. 54. 26. 12,26, 3026. 4827.9677. 24 17. 4218.00
2924. 34 14. 53 L5. 22E5, 37 45. 5026. 0926. 28,26. 47 27. 0627. 2527. 44 28. 0318. 22)28. 4 229.00
2025. 20c5. 4076. 0026. 2016. 4027.0027. 20 17. 40, c8. 0018. 2018. 40(59.0029,20 19.4020.00
2126.0626. 27 26. 48,27,0927. 3077,5228, T228, 33,28.5429. 25,29, 3629,5720. 2820, 3927. 0C
2216.5227. 1427. 3627,. 5828. 2018.4229,0429, 26,29. 4820. 2020, 3220.5422. 2622. 38,22. 00
23)17. 38)c8, 0258. 24 28. 4759,. 50F3. 3329.56(20. 5920. 422.5. 0521. 282.5.55,22. 1422. 3723.00
2428. 24c8. 48 29. 5259, 3620.0020. 24 20. 4822. 2322. 3622. 0022. 24 22. 4823. 12,23. 3624. 00
2519. 20(19.35 (20. 002C. 25 20. 5022. 252. 1. 4022. 0522, 3022. 5523. 20 23. 4524. 20, 24. 3525. 00
2619.5620. 2220. 482 2. 24 2. 2. 40, 22. 96, 22. 3222. 5823. 2423. 5024. 2624. 42 25. 0825. 34 26.00
27204222.0921. 3622.0322. 3022. 5723. 2423,5224. 1824. 45,25. 1225. 3926. 96,26.3327.00
282+ 28 21.56)22. 2422. 52 23. 20 23. 48, 24. 26, 24. 44 25. 1225. 4026. 08,26. 3627.04 37. 3228.00
2922. 14 22. 43 23. 12 23. 44 24. 10 24. 39,25. 0825, 37 26. 0626. 35,27. 04.27. 3328. 02 28. 3 129. 00
3023. 00)23, 3024.0024. 3625. 00,25, 30(26. 0026. 3027. 0027. 3028.002.8. 3029. 0029. 3030.00
3E 132 133 (34 135 136 (37 (38 (33)4 (4c 1 42 1431 4t ) 45
32(26.02, 26. 3227. 0327. 34 c8.05, 18. 3619.0759, 3820.0920, 40 22. 22 22. 4222. 23 22. 44 23, 25
32 17. 0427. 3618.0818. 4059. F2) F9, 44. 20. 1620. 48,2. L. 2021.52,2.2. 2422.5623. 2.824.00
33 28. 0918. 42, 19. 1529. 4820. 2120.54 21. 2722. 0022,3323,0623, 3924. 1224. 45
34 29. 16+9,. 5020. 2420. 5821. 32,22. 0622. 40,23. 14 23. 4824. 2224. 5625. 30
35 20. 2521. 6022. 3522. 2022. 4523. 2023,5524. 3025. 0525. 4026. 25
36 (21. 3622. 12,22. 4823, 2424. 0024. 3625. 1225. 4826. 2427.00)
37 (22. 4323,. 26 24.0324. 4025. 2725. 54,26. 3227,. 9827. 45
38 (24. 04 24.4225. 2025,5826. 3627. 1427,5228. 30
39 (25. 2426. 00 26. 3927. 2827. 57 28. 3629. 25
40 (26.4027. 2026.0028. 4029. 2030,00
4+ (28. 0228. 4229. 2330. 0430. 4 5)
42 (29. 24 30.0630. 483T. 30
43 304935. 3232. 15
14 (32. 1633,00
45 33. 451

## Folio 28 — 851708439:0052
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000052.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
CaP.
46 1 47 1 48 140 (50 15+ 1 52 153 54 (55 56(57158 155
3723. 4624. 2724. 4825. 2925.5026. 2126,5227. 23 27.5428. 2528.5629. 2729.5630. 2931.00
3224. 3225, 0425. 3626.0826. 4027. 7227. 4428. 1628. 482.9. 2029.5230. 2430,5632. 2832.00
3325. 2825. 5226. 2426. 5727. 3028. 0328.3029. 0929. 4230. 2530.4837. 2. 132. 5432. 2733.00
3426. 0426. 3827. F227.4628. 2028.5429.2830.02,30.3631. 1032.4432. 2832,.5233, 2634.00
3526.5027. 2528. 0028. 3529. 2029. 4530. 2030.5537.3032.0532. 4033. 2533,5034. 2535.00
3627.3628, 2228. 48,29. 24 30. 9030. 3637. 2232. 4832. 2433. 0033,. 3634. 2234.4835. 2436. 00
3728. 2228. 5929. 3630. 1330.5032. 2732.04 32. 4. 1 33, 2833. 5534.3735.0935.4636.2337.00
3829. 0829. 4630. 24 32.C232. 46 32. 1832. 5633, 3434. 1234.5035. 2836. 0636. 4437. 2238. 00)
3929. 5430,. 3332. [231.5232. 3033,0933.4834. 2735. 0635.4536. 2437. 0337. 4238.2139.00
4030. 4035. 2032. 0032.4033. 2034. 0034. 4035. 2036.0036. 4537. 2038.0038.4039. 2040.00
4232. 2632.0732. 4833. 2934. 1034.5135. 3236. 1336.5437. 3538. 1638.5739.3840. 2942.00
4232. 2232.5433. 3634. 1835,0035. 4236. 24370637. 4838. 3039, 2239.5440,3645. 2842.00
4332.5833. 4534. 2435. 0735.5036. 3337. 2637. 5938.4739. 2540.0840. 5242.34, 42. 2743. 00
4433. 44 34. 2835. 2235.5636. 4037. 24 38.0838.5239.3640. 2042. 04 42. 48, 4 2. 32.43. 26 44. 90
45(34. 3035. 25(36.0036. 4537. 3038. 25139. 30(39. 45)40. 304c. 2542. 0042. 4543,. 3044. 2545.00
46 ) 47 148 (49 150) 5r(52 53)54) 55 156] 57158159 160
16(35. 1636.02,36. 4837. 3438. 2039, 0639.5240. 384 2. 24 42. 20 4 2. 5643. 4 2 4+ 4. 28, 45. 24 46. 00
47 36. 4937.3638. 2339. 2039.5740. 444. c. 3142. 1B43. 0543, 5244.3945, 2646. 2347.0C
48 38. 2439. 1240. 0040. 484 1. 3642. 24 43. 1244. 00 44. 4845, 3646. 24 47. 2248. 00
43 140. 0240. 50 4 1. 3942. 26 43, 1744. 0644. 55 45. 44 46. 3347. 224 8. 2249.00
30 142. 40 42. 30, 43. 2044. 1645. 0045. 5046. 4047. 3048. 2049. 1050.00
5X (43. 2 + 44. X2 45. 0345. 5446. 4547. 3648. 2749. 2850.0952.00
52 45. 0445. 56,46. 4847. 4048. 3249. 2450. 1652. 0852.00
53 46. 4947. 4248. 3549. 2859. 2152. 24 52.0753.00
54 48. 3649. 3050. 24 52. +852. 2253. 0654. 00
55 (50. 255T. 2052. 2553. 1054. 0555.00
56 (52. 1653. 2254.0855. 0456. 00)
57 (54. 0955. 0656. 0357.00
58 (56. 0457. 0258.00
59 (58. 0759,00
60 160.00
Ed haec Sexagelimalium Mulciplicatio, e Diritio, tam perplexa es operola
Dreperta est (etiam dum praesto elt ejusmodi Mulciplicationis Fabella) ut (post
incroductas Pixuras Indicas, quibus commode cractari possint magni numeri
expedicius pucarerine (cum Mulciplicatione aut Diritione opus T) membra
omnia ad intinam denominationem reducere; acque tum (pott Mulciplicationis
aut Diritionis opus peractum) quod hinc habetus nora reductione in Formam
priltinam rellituere.
Puta; Polico Lumari Mense Synodico (a Noritunio ad Novilunium) secun-
dum Lunae mocum medtium, 20 77 44 3 LO proxime; Ouxratur, quantum
a Sole pracee Lolluran diebus 6, horis 5 14 16 35. Non ignoro plures
Tabellas Astronomicas jam este conditas, pro hujulmodi calculo expediendo
(quas hic omito;) scd, absque ejulmodi Fabellis praeparatoriis, sic insti.
cuenda erit operatio.
L 6 5 14  35 (hoc est 2 29 14 16 351
IZ O F B R
Si 29 12 44 3 20 (hoc elt 11 40 44 5 10)
Vanc 360 grad. (hoc cAt 6 o. lex Sexazena gradtuum)
Dabune Ouid.
Onam opcrationem si per Sexagelimalium Fabellam Mulciplicationis velim
perazere, tant opctora  bleta leo sotet, ul sibit libeat cami he extribele.
Sed reducendi porius sune proporiionum termini primus e terrius, ad intinam
denominationem, id est (hoc casu d ad Minuca cerria. Hloc modo.
2

## Folio 29 — 851708439:0053
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000053.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
29 12 44 3 F0
3t 44310
14.9R 14 2635
160
8958 16 3
42460
42524 5 50
160
2551440
2551448 10
753086580
+
253086590
Adeoque sc consiltet proporrio,
Si 253086590 L’ertiam dant 360 gracus.
Tum 32235395 Tertiam danc eradus quot?
FE Mulciplicato termino terrio per secundum, ee divisione facta per primum.
habebitur quaesitus numerus Graduum intexrorum, cum adjuncta tractione com
muni; qua tractione communi ad Seragelimalem reducta, habebitur Relponsum in
Cradibus, minurisque primis, secundis, certis ec.
Auc etiam, S reducatur item terminus secundus graduum 360 in minuta
cerria; (quod tactu opus esser si sraditurs 360 achaererent minuta prima, se
cundam _ certia:) Eacta ui prius Mulciplicatione d Divitione, habebitur relpon-
sum in minutis sertiis; qua reducenda demum forent in gracus ec. F L limi-
liter in aliis operationibus consimilibus.
Dui quidem procectus quamvis lac operolus sic, expeditior tamen est (post
introductas figuras numerarias quas xtate Prolemaei ignorabant) quam per Sexa-
selimatium Mulciplicationes ee Diritiones.
Sccundum hanc sevacesimalium methodum, Prolemaus Ractium Circuti in
partes 60 diridebat (aceoque Diametrum in 120:) et harum quamlibet in 60
minuta prima, e quodliber horum in toridem secunda, et Sic deinceps ue fuerie
ruS. Ft similicer Areum seu Peripheriam, huic chordx respondentem, (hoc
eht parrem sextam corius Peripherix, cujus chorda aequatur Ractio,) in 60 par-
tes (uoras) quas gradus dicimus; (adeoque toram peripheriam in gradus 360:)
e quemlibet gradum in 60 minuta prima, primumque in 60 secunda, et lic
conrinue.
tc consequenter ad haec, Tabellam Chordarum seu subtentarum construit
(in Raclii parcibus et hacum minuris primis, sccundis, ecc.) exposiris Accubus
respondentium.
Hlujus Joco, ineroduxerunt srabes (ut expediriorem) Tabellam sincum (qui
Tunc lemi chordae arcuum duplorum,) Arcuhus respondentium Gimili Lexagena-
ria partitione designatis. Quod magis ad imitationem Ptolemai (in dividen-
dis arcubus) factum puro, quam quod illud factu necesse Foret, post incroductas
tiguras numerarias quas non habebat Prolemaeus, Led habuerunt Trabes.
Arzachet a Prolemaeo tactenus differe, quod quam divilerat Prolemaus Dia-
metrum in partes +20, diridat ille I ParreSs 390; uc minus opus foret subdi.
rilionibus.
cur aurem voluerine Amrigui fractiones omnes ad unam aliquam denomi-
nationem
124C
S0

## Folio 30 — 851708439:0054
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000054.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
LL L. ( _ B R A.
nationem (uE Sexacesimarum) reducere, causa est manitesta; nempe ue mole
Piam cricarent tractiones rariarum denominationum addendi, lubducendi alinsre
computandi; qua certe magna erac, dum numeros majusculos commode tractare
non potuerint. Adcoque maluerunt non raro approximationes admittere, quam
omnimodam accurationem sectari. Fc quamris hoc pacto, cum medioeri laltem
accuratione opus fuerie necesse erat ad Fractionum Fractiones descendere, (ut
in minutis secundis, tertiis, caeterisque,) quod in Mulciplicationibus et Diri.
Sionibus (minutiarum per mrinurias) cecaret molestiam; in Additionibus tameM
et Subductionibus (quae FreGUentIOTeS CranE opCrationeS) et quidem in MuI-
riplicationibus e Dirisionibus per mumeros integros, ditticultas nOn CTaL
magna.
Cux autem Sexacesimas Dex alsis denomtationes cleserint, causa cA, Duo.
niam S r2 aliumre minuculum numerum pro communi denominatore LupHII.
sent, pluribus opus toret subdiritionibus, quam Cumpto numero 60. HO au
tem multo majorem haud commode tractare poruerunt; cum etiam in hoc CatIS
sic difticulraris. Fx non majoribus aurem, hic eaeteris pocior videtur, quoniant
plures admirtie dirilores; nimirum (ex primores nMeTOS 1, 253, 4, 5, 6, FOtI
demque his relpondentes 10, 12, 25, 20, 30, 60, adeoque omnino ducuccum.
cum nultus lic numerus eo minor, qui roc admicrit; nec qui plures admittie
ullus qui non hujus falrem duplus F (puta 120.) Quod de nullo iterum dici
Poterit, donec ad 360 vencum ellu quem tecerunt numerum Gradtuum in inte.
Sra Peripea.
exteraque) praelertim in partibus Arcuum, Angulorum, lemporum, Mocuum.
que caeteltium; rCIMueTuE Arabes (GraCOS imIati) e nOS Pot IlOS etiam.
num.
Cap. VIII.
Aique hranc divisionem sexagetimalent (u tnura prima, secunda, tertia.
De Fractionibus Decimalibus; earumque usit in variis
perationibus Srithmeticis.
POAt introductum apud Luropaeos Ligurarum numeralium Aeorisinum, cujus
ope numeros lat magnos commode tractare postine; Intesrorum Sevasena
(quamris non penitus rejecerint, proprer Pabulas Aphonsinas aliasque aliquoc,)
parems achibent. Maluncque PrO XI 3 3350 dicere 227015. Aique lic
anCC nOS, Arabes
levenumero decimas, emesimas, _C. quas partes Decimales dicimus. Ouod
Arabes Fecisse non puco; led eorum leorismo hanc accessionem. tecimus Lu-
ropxi scculo fallem supertore.
Cuipre cum Pigurarum slaluu qualibet, quocunque loco poula, aecuptum
valorem habeat ejus quem labitura esset loco proxime inferiori (ad dextram
nollram,) Subdecuptum vero (seu partem decimam) ejus quem habitura esset
loco proxime superiori (ad sinistram nostram: ) Prout isitur locus supra cum
gui Onicacis est primus, secundus, certius, et sequences, innuun Onitatum De-
cades, centurias, millia, ut sic deinceps; ita par est ut qui lunt intra Unitaris
locum primus, secundus, terrius, ec sequentes, signiticent Onicacis partes deci-
Tinalibus) Scriblttas 5, 12.5; hoc ct 3, 126; leu 3 unitates integra, cum 125
unitatis parcibus milletimis.
dem plane modo, et pari tacilicate jam tractentur Fractiones cum Numeris
Inteoris.
Non quod traclonu biutum valor volli al a praecile extIBCTI
(quippe
Pro dexacesimis aucem (quas tamen eriamnum (xDe retinemus) Substitmimus
mas, centesio olscas  lC demccDs.
Sie, pro 36 (per tractionem ordinariam) seu 3 7. 30 lin partibus Sexaxe.
Parcium Decimalium, Pra Sexasetimalibus, Docma CIL exCelentia 9uod es

## Folio 31 — 851708439:0055
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000055.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
Ca
L G F B R A
0. 33353
(.quippe id nec in his nec in Sexagelimalibus fieri semper Potest,) sed quod id
laepe quidem tiac (ut 8 = 0. 125,) e quando id non tuc, ita tamen (ut in
Seragelimalibus) ad jultum ralorem appropinquare licet, ut quamlibet minime
inde ditterat: uE Z == 0. 33, aut (E major accuratio requiratur)
aut etiam 3 == 0. 33333,55555,  eb achue, E libet, accuratius
Cum igitur axpibcia Mathemarica reguiritur, adhibendae erunt tractiones or-
dinariae, auc etiam (si opuS Cic) numeri utcunque surdi: cum aurem sulticere
Doltic approximat (i Pro vero lumatur rero proximum) Facilict Cu llaC
methodus e latis ad eos ulus accuratd.
Foret, absque hoc auxilio, id praectare: et guidem, cum laclum fuerit, difficilius
la aurem hac natou i espeaie fiet.
mens assequetur ralorem sic designacum uc accuratio Machemarica postularet.
123 =
12, 33333
O. 26
17 = 03. 45433
103 = = 10.
2 = O2. 4. l 4. 2. L1
V 2 = = OT. 25928 7
Siuta = 29. L4. 1511
Tinc tguris numerariis habeti postet.
HoC CR 29_ proxime. Ouod lacilius mene alteguitur quam si scriberetur
26, 836. + V2 + V: 3 = V2. Seu haec delignacio multo est commodior quam
Ouodque de Additione dictum est, paricer de Subductione intellisatur. Puts
S ex T0Z Subcrahendum sIt 3,7. Auc ex axpresato prius potico Tubirahere opOr.
reac 3. Ouod sic pelticiendum ett;
103 = 10.5
2824137
32 = 03.43433=
Lchid. = 07.04545 7
Retid. = 28. 96537 4
Si autem summma lupramemorata, Mulciplicanda Foret per q, hoc est per
4. 18596 + aur 4. 18597 -: Id hc tacile het ut in numeris intesris.
2924. 1377
4. 18597-
20468050
263172.33
T. 4620685
2. 3393096
2. 924. T37
176, 96548
122.4034075789
Ded he maxime carendum erie, i sius cuique loco ralor conserretur, relle
Duoe sant in utrogue Factore (live aequales illi fuerine sive in ́quales) loci
partium decimatium, tolidem reputandi sunt in Facto.
Prout enim, in communi Mulciplicatione, I P’actor alter vel uterque Ciphris
Cuna vel pluribus) cerminetur; his sepoltis, peragenda est in reliquis sGurIS
operatio, acque tandem ior reponenda Cuphra quor erant in uroque tactore.
(Puta 200 I 3000 Faciu 600000.)
Pariter in partibus decimalibus. Puta, in propolito exemplo; Cu LuIC t 
Factore parrium decimalium loci 5, ee in altero itidem s; erunt in Producto,
Joci 10. Adeoque posteriores loci r0, tunc puncto Peu linea Separatrice separandi
pro locis partium decimalium; relictis iribus reliquis pro Intexrorum locis.
N
que actignetur Unitatum locus. Ouod ut tiat, haec docebit resula

## Folio 32 — 851708439:0056
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000056.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
L C L B L 1.
Cap.
mativo FL, T27 Y3, aC. Gui delignet quoro loco lic supra Onitatum locum; aut
nesativo - 1, = 2,- 3, ecc. qui delignet quoto loco lit infra Unicatum locum; ipli
que Onitatum loco = O: Fxponens enjusque particularis P acti Ccu Producti, est A8.
sresatus exponencium utriusque Pactoris; hoc elt Mulciplicandi et Mulciplican.
15.
Sic M exemplo propolito, 7 in 7 (quorum uerrusque L. X PONCII CHL = 5) Facit 45
cujus exponens est -20; qui itaque pertinet ad decimum locum partium decima-
lium, intra Onicatum locum. Idemque in mulciplicatore (cujus Lxponens - 5
in 3 musesplicanat HSurat (Cusets EsPbhenS 4) tacit 2F cum exponente =9;
qui itaque (cum 4. hiue transterendo à priori numero) percinet ad nonum par-
rium decimalium locum; e sic de Cxeteris. Adeoque idem 7 (cum exponente - 5
in mulciplicandi figuram loci supremi 2. (cum exponente f +) Facit 14, cum Cx.
Donente 4. (quia = 5 Y 2 = = 4,) qui cum 6 hruc transterendo ab ancecedente
numero Facit 20 pro quarto loco partium decimalium; hoc est 2 pro loco partium
decimalim TertIO. L. F LIC LCIBeE.
Ploductus itaque numerus, cst, 122. 4034975 709, hoc ctt, 1234034873183. Atque hic
quidem praecile Foret Producti ralor, li l’actores tuerint accurare delexipti.
Vet (ut docet Onshrredus) assignato cuique loco Fixponence Tuo; pura affir-
CerEI RaDCTCTOIEI U Hunc julto major, nunc julto minor lic: (prout, in PExesenci
Sed quoniam in hujusnodi casibus, ma ura utriusque F’actoris aliquid in-
calu, ulcima figura Mulciplicandi altyclallo minor cst, ultima Mulciplicamris ali-
quanto masor quam oporieat:) necelle eisicul ue quatenus haec incercicudo aHt
eic Lloduetum (quod hic tc in parcium decimatium loco quinto et seguentitus)
catenus Productus ipsc incertus fit. Adeoque hic nihil ulera certum est quam quod
Productus (c 122. 40350 F, Leu x2248858 proxime.
Acque ob hranc causam (cum reliquum operis lic inueile) cuI aboerauca
erit operatio, rescisso quod est incertum, recmta Caltem una aut altera ex incertis
tixura ut inde conjectura tiat quid ex locis seguencibus in eum qui rerinendus erit
transierendum sit. Vi  Plall
20. L 4. 13.7 
s16.90)48 u
24. L3
L. 339310
620
(22. 40350 =
3581225 FVu: 528604) - 1674. 25580535. Quod Machematicus risor poltularet: led quod
neque sic Pollet expedite delinnari ab(que tourarum numeralium ulu. Ouod Catis
persencileet qui hoc explicatum irerir rel prolaris rerbis, rel liceris numeralibus
ante receptis.
Hoc aurem mulio tacilius allequetur animus quam si Scriberet LFF, 3o, 31 f V
Et quanquam valor hic, partibus decimalibus expreus, l2L. 4033 =  l
summo Lisore accuratus; a justo tamen cantillo difteri e  sats
In Divisione limiliter; Si Dirilor non sic aliquota pars Dirueu (ut Duoriens
Tit numexloe;) loco Fractionis ordinatta S achaerere solita (posito
nimirm cirisionis Reliduo pro Numeratore, speue Birore Pro Denominatore
Fracttomis) habebitur UbHlenS COnCIatIS in ParcOIS MCMatS. ACEI LUB.
Junelto Diridendo (Poll Onitacum locum) quocdet Co, Coaa. CtL
operario in partibus Decimalibus, ut ance in integris; donec habeatur in partibus
Decimalibus Ouoriens acculacito ret qut a cu a   
merito sic negligenda.
Idemque Paciendum est in reducendis tractionibus. ordinariis ad Decimales.
ubi. Custicu approximatio. Au HMajorem aanu accacio  SaDCL
Poterie det lbrlum concnuatis da Pues socoS sS ab  eattONIBUS.
Suppe, cum scactionio eralor tic villat Dividenee et Derommnator nllas lt.
dttltt

## Folio 33 — 851708439:0057
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000057.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
L G F B R A.
vicoris; subjunctis Numeratori (ut Diridenu) Ma Onttacum locum quortibet
continuanda) hrabebitur fractionis ratet  malibus, vel accuratus, vel ad
cum quamlibet proxime accedens.
E
Ciptris, ee peracta per Denominatorem (la Dirilorem) diritione (quoulque libet
Sic numerus 2846498 per 8F225 Cro MoMe CXIIDCL 3381225 au (M dC
cimalibus) 35. 0416045. Irem t’ractiones , et s, ad decimales reducta Lunt 0. 28,
a b. 3333337
2846498. (35.0446045
8T225
243675
409748.
81225.
406125.
3623.0
3122.5
000
3623.00
8T2, 25
3249.00
374.000
81, 225
324. 900
49, F000
8. 1225
18. 7350
.36500
81225
900
365000
8T225
.324900
407000
87225
406725
-5T25
Regula pro determinando unitatum loco in Ouorience, haec esto: Ouamdiu Di.
visoris (utcunque promoti) locus Onicatum Cubest Diridendi loco alicui Inteoro.
rum, Fisura Duociencis (huic sirui conveniens) est numerus inceser (iltius quidem
loci:) Sed cum promoci Dirisoris locus Onitatum Cubest Joco alicui (in Diriden
do) partium Decimalium, figura Ouocientis (huic Cicui debitus) est pars decima-
lis, et istius loci.
Duippe Regula generalis este Ouicunque sic Dividendi locus supra Divisoris 10
cum Onitatum, iltius loci cst figura Ouorientis huic posirioni conveniens.
Elinc Fiet, ut, Poc fucuri linc parcium Decimalium loci in Dirilore simul et
Duoriente, quor sunt in Diridendo.
Sed et hic (ut in Mulciplicatione) non parum laboris omiui poreric in Diri.
tione continuanda, si vel non tana prxeatione opus TC, quantam tot locorum
partes decimales suppedirane; rel etiam, s aut Diridendi aur Diritoris ulcima fi-
sura sit (quod Cxepe contingit) aliquatenus incerta; (aliquanto major auc mi-
nor justo:) nam quicquid est ultia hune locum, eriam incercum exic, decoque
negtigendum.
Duo casum post subjunctam ciphram unam aue alteram, (quo melius innocescat
quid ex locis secuturis lit ad anrecedentes rransterendum) pars operis retiqua omitur
Pocerit, ec gradatim amputari cum Diridendi cum Diriloris pars Dosterior.
Sic (in exemplo jam propolico) si Diridendi ulcima Figura B in incexco sic (num
aliquanto
379360
86R4 ZBGTC
48974388688C
2846498. 888488 (35. 1446045.-
BZR R. Y 8 RGG82 7
BXR. 2. R. B
7
280
7. 880 (0, 28
X. F0OBL 58 (0. 33333337
333

## Folio 34 — 851708439:0058
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000058.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
aliquanto major, an aliquanto minor justo,) quicquid ulita hunc locum coc
exIE Pariter in inCertO. RuE etiam si Diriloris ultima TVuTa 5 Sic in incerto; erit
etiam in incerio quicquid Figuram 9 (illi Supraperla) legullur. Adeoque quic.
quid id TE, omicti turo poterit ur inutile, niti gualenus illo opus etil ad altimandum
quid a locis sequentibus huc cransterestelum lt.
87225) 2846498. 0(35.0446
243075.
409748.
1123.
3023. 0
6249. C
14. C
4.
+9. F
8. 7. +
379.36
362.4. 88+
4F3743. 3
BXZZ 8
DXR R
3X
1846498. 00 (35. 0446
t
ap. VIII.
Adeoone de Ouociente nihil ulera constabit quam quod sic 35.044 proxrme:
ononiam quicquid est ulera dirielendi ultimam tisuram 8 (incertam) incertum est.
Ec quidem s incerca sic ulcima tigura diriloris 5, non ulera comllabit (ob eandem
cautam) quam quod duoriens fc 35.044. +.
Dec Ouehiledus  Iua Clari Mathematica) In COMBLITALIOMLDIS FIIHOnOmICIS.
Verbi gratia; OF 100000 (fInuiS tOLIS) ad 39875 (linum 23 30 maximae de
clinationis Solis; ) sic 80002 (finus longicudinis Solis in 8 24) ad quaelicum B-
num declinationis Solis ibidem. Oui inde reperitur 32260, linus 18 40 F3
proxvime. Ubi, quoniam in mulciplicandis 80002 per 39875, praetumitur ultima
ueriusque tioura incerta; aut etiam, si certa Forent, postrema quinque Figurx Pro-
ducti amputanda essent propter diritionem per 100000: omitti potelt id opera-
cionis quodtiguras eas sire incerras sive relecandas spectat; retenris eis tiguris quae
utui sune Fucura.
Operatio toca,
80902
39875
404510
566314.
647, 216
728178
42706
32259)67250 (32260 prOximC. 32260 p Oxime.
Frusulmodi Abbcerationum Mulciplications e o eempla Plara exti-
Abbreriata 80502
59675
24271-
164+
Inhunc tnem: adchunc sensum tradit Reoulam; Tub eummurcplicandi locum
que . Macue rctio ec ual C qua ett e tixura S) Lettes latisule HSi.
ras Teribe ordine Contrario.
de quo securus este velis, (qui hic est, sexcus à Fine, propter amputandos quin-
SIC 80902
1893
Vel Sic Potiu
0092
SLdSE
L. 42 7F
281
647
Algiie tum mulciplicantis sigura quaelibet mul.
ciplicationem incipier ab ca mulciplicantis A.
Sura qua ipsi eminet: habica tamen ratio.
ne istius quod huc cransterendum foret a locis
leguentibus.
222bo t
i Fius verbatxee lun, Slacues unicatis locum minoris numeri, sub ea fieura ma
Soedq

## Folio 35 — 851708439:0059
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000059.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 75 lines, status machine
LB _ F B R A.
ad illam ficuram majoris numeri, quae est supra eam ficuram minoris, qua multi-
plicatur: habita tamen tta dtEn, quoit eis subsequentibus fieuris majoris
Simil er; 7 137638 (tansens srac. 5. py quae est lonsiindo iolis iin E 24.) act
97R. G
R348. 8
(3 136) LRBZ2 3. 8 (9T706.)
237638
23764 -
1376
226223 ( tinsentem rectae alcentio.
niS s+ 36 43) sic 100000 (racti-
uS) ad Lo lirun maxima dectin.LI.
OmiS. Dui hinc reperitur Or 706, li-
nus grac. 66, 30, Teu Cotinus (hoc
elt, tinus complementi) grad. 23, 3c
quae estmaxima Solis declinatio, seu
obliguitas Zodiaci.
Duod su in operacionibus hujulino.
dius non tuerit Racius unus termino.
rum in quaeltione; abbreriatio du
Dlex Foret: altera in Mulriplicando, altera in Diridendo.
Jam rero, quoniam in divisionibus, e in reducendis Fractionibus ordinariis ad
decimales, laeve quidem concingit (nec semper tamen) uc iptiltimus valor prae-
eise exhiberi polsic in parcibus decimalibus (puta 3 =O. L25:) Paepe autem non
nili per continuam approximationem, (uc 3 = 0. 3333 etc:) non foret hic incom
modum docere, quo calu id, quo casuhoc, concinsir. Verum id ad alium locum
reservandum duxi, ubi de Seriebus infinitis agCTUT.
Paritis Decimatium usus est, in extrahendis Surcis Radieibus, (quadraricis,
cubicis, aliisque.) Nimirum, ubi numerus aliquis non est sui generis figuratus
(hoc elti non quadratus, quando proponitur extrahenda radix quadratica; aut
non cubus, quando extrahenda proxonicur radix cnbica; et lic de cxteris:) adeo-
que polt operationem in intesris peractam supertit aliquod reliduum: PoltumuS ta-
men, Decimalium ope, approximando ira procedere, ur Onitatis parte decima, cen
celima, millelima, aur adtiue minori non erretur. Ouod tiet, subjunetis (intra
Inicacum locum) quoc opus ridebitur ciphrarum (ut loquuntur) P’unctationi
bus; (puca, binatim pro radice quadratica: cernarim pro cubica; es Tic deinceps
pro careris; ) acque cum operatione concinuara uc in inceeris. Indeque habebitur qua
lica radix in parcibus decimalibus (inteoris achaerencihus) quamlibet approximando.
Verbi sracia V2 (hoc est, numeri 2 Turda radix quadrarica) inrenietur major
quam F, Led minor quam 2: item major quam x,3, Sed minor quam F, 3; iterum
que major quam F a Sed minor quam Li; et lic porro quousque liber: puta
T. 4. T42 +.
trem; V: 3 - V2. (hoc est, radix univertalis numeri ? dempra radice quadrariea
numeri 2; hoc M; numeri 3 dempra 1. 4. 142. +: hoc cst, numeri 1.5858-,) re-
perietur 1. 2592 f, leu 1. 2593 =: e T. 2593 proxime.
X 638
X. 4298426
R. FPBBBFBB (1. 4. T42. +
X X. 48XL. 48 F.
R. R.BSR
  
detp
jorisqe cujus index aequalis sit numero fieurarum vel absoindendarum in imeeris
vel relinguendarum in partibus decimalibus: Et reliquas feuras minoris numeri
suo numero majore, ordine inde contrario. Tum, in mulsipticando, incipies ubique
numeri suppeditatur.
2. (L. 4242.7
6400
60400
28282
56564
1830
= T. 4. L 1 2. F
2. 5858
25858 (1. 2592 +
(433+43C
2.86887β84. (l. 2. 592.4
X RL 438982
&X
7100C
182
50364
3C
Similites,

## Folio 36 — 851708439:0060
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000060.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
I 
Similiter, si extrahenda sic radix numeri Fracti, seu intes H Cum sallo. L dela
A.
CaP. VIII.
reductione ad partes decimales, procedatur ut prius. Sic numeri 3 = 0. 28,
radix quadrarica elt 0. 52Or , led 0. 5292 =, e 0. 5292 proxime. Numeri
PTORIIE.
que 205 = 20. 5, radix qualaed Clb 3. 2403 Y, lelt 3. 2464 3 lb 3. 2464
0. 28 (0. 529L1
300
02
0600
2045
X5.
3965959
0. 28000000 (6.5291. 4
3BL4GBX
XX488
10.50 (3. 2403
0
2o
64
240000
64853
294400
455OC
Verum hic nocandum (prout de Divisione ante monicum cst) Si ulcima pro.
positi numeri figura (quod (xepe Fc) non sic praecile vera (sed aliquanto ma-
jor aur minor julto ralore,) incertum item est quicquid est ulera locum illum:
poceltque isicur opus abbreriari, omisso quod sic incertum est; nitr quatenus ex-
vedire videbitur unum auc alterum locum recinere, quo conster quid ex locis se-
cucuris sic huc transterendum.
Idemque tiat, etiamsi de ultima tioura certi simus, modo non necelle vin
deacur ultra cercum locorum numerum procedere.
Sic, ubi ante sumptum crat 3 = V 2 ==2.5858, cujus uleima figura aliguianto
major est justo; sutticit ad cum locum operationem producere (radicem inve-
Ctisando) amputatis roliguis, ut quae erronea Forent. Irem pro V Z inresti.
sanda, Patis lecure procedatur, ampucata parce posteriore prolixa operationis,
dummodo retincatur quod susticiat ad quaelitam tiguram dererminandam.
XX7 
89e
1.86778 D (3. 2403Y
Z RBL455OL
3 tt+682
25900
1050T
5379
658 (1238
x 63090-
4298436
XBX4
282BX
BLB
26
L. PEBBB (2. 4 +4 21356 P.
Cubiea, Biquacraciea, aliisque incelligendum et: subjunctis scilicet punctationi.
bus (quor opus ridebitur ) ciptirarum, pro cuba ce,  sacalica,
Quodque de radice quadrarica octentum est, idem (servata proportione) de
quaternarum; et lic deinceps pro reliquis: et continuata operatione, prout cujus-
que radieis extra  petutat.

## Folio 37 — 851708439:0061
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000061.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
A L. TZ
Duam antiquus sit Fractionum Decimalium usus.
So primum rempore, in Sexagesimalium locum, adnila sine Paries Deci-
males, auc d quo primitus tuerine introductae, hand Facile dixerim
Sexasena, alixque similes Unitatum collectiones, jam ciro desyeleere
cceperune, polt incroductum Arabum Deorismum. Or ex Arzachelis cabulis A.
Bronomicis liquer, et Canonibus sire Praecepiis in hujus Se aliorum Pabulas. F. 1
guamvis non stacim fuerint venicus rejectae Sevasena (sed in Fabulis Aphonsinis.
aliisque aliquot retenta;) limul ramen adhibuerune numeros decupla ratione col
rectos latis grandes, ad plura Millium, aur Miltenorum millium, (quod Miltiones
jam dicunc) loca porrectos. Cumque libuit masnos numeros in Seracenas e
Sevagenarum Sevasenas (e lic deinceps) nonnunquam dittrinsere; docuerunt
tamen quomodo erant illi in numeros (quos rocabant) collectos compinsendi, ut
masis apti ticrent operacionibus Arichmerieis (pura Mulciplicationibus, Dirisioni-
bus, Sec.) subcundis.
Sexagesima tamen (seu parres Sexagelimales) eriamnum magna ex parce re
cinencur. Praesertim in Arcuum et Anoulorum mensuris (uc cum Gractus dividi
cur in minuta prima, secunda, certia, et sic deinceps,) Temporisque (ue cum
Flora temporis, limulicer in minuta distribuitur,) et aliorum quandoque Inteoro-
rum. Onod non tam necellicare aliqua factum cA, quam ex obsequiosa imitatione
PtolEaI, AIOEUIQUE EX VeLCTIbUS, eE DETLINACI ARCIGNI MIOTIS YCIENLIONE, UTUE M
nus commodi.
Sed opcrosa quae est molestia in Sexasesimalium mulciplicatione, divisione, ee
radicum inde excractione, aliisque similibus operationibus, fecit ue Brieeius, Gc
brandus, Ouebrredus, aliique ex nottris, fualerinc ut Sevaresimarum loco fubstitu.
aneur Centesima, Millesimae, alixre partes Decimales.
FE speciarim in Frisonometria Pricannica dicta, quam inchoarit Briegius, eo
que morcuo Gellibrandus pertecit e cdidie, condica sunc Pabula pro Crraduum
Centesimis ee Millesimis, quales ance tuerant pro minuris primis, secundis, cerciis
ve. FCWineatus, Baterus, Kersaens, aliique ex nostris, in Arichmerieis Luis lin-
sua Anelicana editis, oltendunt quomodo id Faciendum torer in aliorum item In-
regrorum partibus; pura Ponderum, Monetarum, Mensurarum; _c.
Primus quidem qui true spectet conatus (quem c8o faltem oblerrari) est
orgachelis, qui Prolemaei lemidiametrum, partium 50, dividit in partes 300.
Oux quamvis Decimales non sinc, cum ramen in plures parres dividat diame.
erum, minus inde opus est subdiritionibus. Sed, ubi subdiritionibus opus, Sexa
gelimalem deinde methodum prolequitur et ipse.
Post cum Johannes Mullerus Recromentanus cirea annum x464. (ut docet
Possius) seriplic librum de Trianeulis; in quo (ue subdirisionibus opus non
SIc) Racium seu Semidiumetrum Facit parrium 60, 000,000. Obi retencam P10-
lemaei diritionem in partes 60, continuat ille parcibus decimatibus; Tabylam-
que Sinuum hie Raaio accommodat.
Sed idem ille, secundis cosicarionibus, (neglecta Veterum in 60 varces divi-
Tione,) Ractiam secir partium 10, 000, 000. Or docet Valentinus OiBo, In Pra-
tacione sua at Opus Palatinum de Frianeutis; quod (a Joachimo betieo iM.
choacum) pertecu ipte. Arque huic Racii divitioni, postinodum accommodatae
lune Pabula Sinuum l’ansentium ee Secancium dictx.
Oux quidem Radii in partes x0, 000, 000, diritio (aliumre partium nume.
rum, Der = cum ciphris quortibet delignarum) quamris non exprelle dicta fue
ric parcicio in partes decimales; est ramen revera rancundem, E Racus pOnatuE F,
seu unum incexrum.
Ou

## Folio 38 — 851708439:0062
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000062.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
C L c
E B R A.
ap. 1X.
Ouippe tantundem est Facere Radium - -- = 1609,000
Et Sradt. 30. Sinum -
Fangentem
Sccancem - - . -- 2154. 1005
Aique Facere Racium  -
Sinum
Tangentem
= 5.0000000
-500000
 d13503
Sccanrem - - = 2. 154 7005
Algue hunc eeo repuco primum procettum intigniorem ad parcium decima.
lium utum.
Scd disertius adhue habetur in Perri Rami Rrichmerica, Scripta (ut videtr)
cirea annum 2560 aut cirius, (nam anno 5572 periie ille in Parisiensi La
niena crucidatus,) d Lazaro Schonero edita anno Caltem 1586, (neleio an prius.)
Ubi docet, in extrahenda radice quadraciea, cubicare, (s quod residuum sIE
Dost inceororum operationem,) eoc punctationes ciphrarum subjungere quor opus
videbitur, et operacionem prolequi uc in incepris, quo habeatur radix in inceoris
cum adjunctis partibus decimalibus.
Idem jam ance a noctrare factum invenio Gnihelmo Bactao (XBuCHIBB:) CH-
jus crichmelicam Memorativam (rertu conseripiam) Cubjunctam video setoni
Lorica, edita Cantabrisia anno 163T, (neleio an et ante.) Ouis aurem fuerie,
ee quando vixit, in praetatione ibidem dicitur. Patria Lichfeldensis, Studio Can-
tabrisiensis, in Collesio Resio: Obi decursis scientiarum e bonorum ACademico-
rum curriculis, amicorum non iniquis (ane pollicitationibus, in Aulam evocatus
est. Tlio vero cum aliquantisper constitisset, tam charus  duardo seato (feli-
eis memoriae Reci) Proceribusque (miraculum illum naturae, propter admirabi-
lem Mathematicarum disciplinarum peritiam, appellantibus) esse caepit, ut faris
appropinquantibus, maenum sui desiderium morcuus retiquerit. Onde liquer, cum
eodem tempore vixiste cum Roberso Recordo nottro, celebri cum cemporis Ma-
chematico; de circa annum 2550 Fuisse mortuum, (regnance F duardo sexto-
qui obiir anno 2553.) Flabemus autem apud cum (intex alia5) hasus ae ex
cractione radieis quacracicaus in tractis regulad.
HIOC ett V
Badicis quadratie entractio in Fractis.
Dieut in inteeris, radices erue fractis,
di modo quadrat numeri sint fracti; alioquin
Frastra radices veras quaerendo labores.
Racieco veris proximas, in tractis elicere.
Mlulciptica numeratorem per denominantem:
Producti ractiae numerator erit novus; ille
Denominatorem recta subseribe priorem.
V
Duod Facit, ut vicetur secunda extractio radieis qua
deatica (guxe overosa censebatur) pro noro denominatore. Fum sequitur (quana
hic pociltimum specto) haec alcera,
Idem cxacetius cam in tractis, quam in inceeris praestare.
0000
5C
3303
Quadrato numero, jenas praesterto ciptouo.
Producti quadri radia, per mille secetur.
Integra dat duotiens; ex pars ita recta manebit
Radici ut verae ne pars millesima desit (Tubintellis e Onis).
(Hic

## Folio 39 — 851708439:0063
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000063.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
Cap. LLC.
Hlic aurem resticuo Euadrato numero pro eo quod mendole imprestum est
duadrando numero: Trem Produeti quadri quod mendose fuerat Productum qua
ara. Oux, inter alia plurima menda, irreptille puco, cranseripiorum incuria, dum
Opus Crat nondum cditUM.
Nempe hoc rulc. Fsto, verbi gratia, propotica Fractio 38, cujus extratenda Sic
radix quadratica. Cujus (ad minimos terminos reducta) si cum Numerator cum
Denominator sine numeri quadraci, horum radices quadrariea lune numerator et
denominator quaesita radicis. Sin eorum vel alter vel uterque lic non quadra-
cuS (qui est casuS exPOLILIS) Frustra quaeras exactam radicem. Radix autem vero
prexima ut habeatur, sic docet. Nimirum, (ne duabus opus su extractionibus,
altera pro quaelito numeratore, altera pro denominatore) Mulciplicetur, inquil
mumerator per denominatorem, tierque 1288 = 23X56. Cujus radix (prope
vera) est 36: cui si Tubleribatur pristinus denominator 56, habebitur quasita
radix 32 (hoc elt 2) Prope rera. Vel (quam uc pociorem rationem docet)
numero 1288 (cujus exrrahenda elt radix) Cuttise sex ciptrras; es prodeuncis
2288000000, radix quadrarica est aliquanto, major quam 35888, ee paulo minor
quam 35889 (ut operatione insticuta patebit,) qua per 1000 dirila, extribet
numeri T288 radicem, majorem quatm 35, EES, MINOTeM rerO quam 35, 888, UC d
jucto minus errecur quani 10, seu millelima parte unius. (Ouod ipsiltimum
est quod jam sic in Arichmeciea decimalium.) Cui Si subseribatur denominator
56, eric quaelita ractix tractionis 35.38 aut 3388B vero proxima. Quod si plures
quam sex ciphra sustigantur, radix inde magis adhuc accurata elicietr.
Fandem item regulam reperio in Poberri Recordi nostratis Alcebra, cui tactus
ClE riculus Cos incenii (Ehe WBeCIONe DE WIt) eo capite quo aricur de Pxtractione
Radicis, Duadraticae Cubicaeque. Ouam Londini imprimebat Johannes KineSton
annO F557. DEjam tum fuerit Decimalium usus nostris haud ineoonits.
Primus aurem quihac de re expresse cractationem cdidir (primus lalcem quem
eso Scio) cique Disime Ccu Decimalium nomen impotuit, est Simon Stevinus
cractam Crallieo (cui Disme nomen fecit) Arithmeticae luxe subjuncto, Zue duni-
Batavorum edito (eypis Plantinianis) anno 1585. Sed prius Belsice lcripio
(nelcio an impresso) indeque Callice verso.
AEGUO EX eOtempOre, hac Decrmatium methodus passim recepta, et in praxin
reducta, e indies promora; in eis saltem catibus quibus MNathETALICUS XISOT AUE
non requiritur, aut non haberi potest.
t quidem optandum est ui sepoliris Sexacesimalibus, in praxin reciperentur
partes Decimales, in Arcubus, Angulis, similibusque altimandis, (cujus lpecimen
ediderum, in Trisonometria Britannica Tua, Brissius et Gelibrandus,) prouc in
caxandis Sinibus, Pangencibus, ee Secantibus sam obtinene univerlim. Ouod d
Stevinus (in Ccographia lua ubi de seculo sapiente, Teu siecte sage, agitur) jam
olim (apud sndos alio sque Orientales) concisisse Dutat, multo anre ineroductas
Aorpriorum Senasesimales.
Cum aurem Sexase simatium, methodus a multis adtue, multis in calibus retinea
tur; et treguens inde sir occatio reclusendi parres sevacesimales ad decimales, d
tas ad illaS: Oushrredus (in Clavi Tua cap. 6.) mechodum docet, qua ejutmodi
convertiones expedite perasantur. Nempe ad hunc sensum:
Si Inceoris annexx sint partes Sexaselimales (DULa 1277 32, 001,091, 45’)
Ctacuantur illae sub inteoris descentu obliquo; ita nimirum ut quaelibet sic (quam
proxime Superior) uno loco promotior, ad dexeram nostram, (quod aequipollet
diritioni per 10,) acque tum (quo compleatur divitio
Per 60) diridatur quaeque per 6, (incipiendo ab imo;)
quorulque superiori ordimi accenleatur in parcium de-
cunalium loctS: (et sic continue donec ad iniesros
perreneris.) Atque sic reperiencur illae omnes his de-
cimalibus aequales proxime, 127. 5333784722.
Contra verO, SI decimales (DuTa 127. 5333784722
32.602. 960533
reducendae lint ad sexagesimates; hac omnium continua mulciplicatio per 6 (in-
cipiendo a summo,) ee separencur incesra (in quoquo ordine sexaselimalium)
obliquo ub prius descensu. Arque sic reperiencur decimales illae his lexaselima.
libus proxime aequales, 727, 32900,09, 4511
Ouxe est expedica reductio harum ad illas, acque illarum ad nao
c
527.53339847285
LI G F B R L
V. 1625
6975

## Folio 40 — 851708439:0064
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000064.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
De Fractionum e ationum Reductione ad minores
termanos ser date quu potest proxime valore.
Riusquam hanc de Decimatibus doctrinam dimitto, rarii (que commodis in quo-
tidiana praxi hinc oriundis: libet hic subjungere methodum reducendi Fra-
Etiones e Rariones adminores terminos lerrato quam porelt proxime ralore.
Ouodmihi solrendum Problema, circiter annum si memini (66Z auF F664, (per sc.
nerum Cuum rirum Rererendum D. Thomam LampiushS. Pheologix, tum Docto.
rem, polt Epilcopum Pvoniensem, tandem Lboracensem Archiepiscopum) milit RC
verendus Vir D. Farvardus Davenant, S. Theolosix Doctor, e licclelia Saris-
buriensis cum Canonicus Relidentiarius; magnae eruditionis e modeltix Vir, et
in rebus Machematieis sectulus, carumque bene gnarus; mihi lalcem tama d Per
liceras nots, Seriprisque ex Tuis aliquor quae iplo mortuo ridere contisit.
Misit ille mihi Fractionem cujus cum Numerator cum Denominator tuerac sex
auc seprem locorum; petens, uc huic proxime aequalem extiberem quae Denomi-
natorem haberet non majorem quam 909.
Scilicarem hujulmodi inquilitionis hoc specimine conjiciamus.
Racionem Diametri ad Perimetrum Circuli extribuit Archimedes, numeris par-
vis, ut7 ad 22 proxime. Nec porest ea numeris non majoribus propius extriberi.
Duoniam verores sape poltuler, uc cum majore accuratione habeatur ca ratio
Archimedeam mechodum prosecuri lune alii in majoribus numeris, 2d majorem
adhue accurationem. Orliquet ex Futoeri Commentariis in Archimedis libeum de
Dimensione Circuli.
Fandem rem prolecuri sune Ludovieus Y an Culen, Willebrordus Snellius, A
crianus Romanus, aliique, in numeris saltem Locorum 36; neseio an majoribus.
Inter alios, Adrianus Metius, rem eam prolecutus, rationem illam extihet uE
223ad 355: quae cHt, quam Archime dea accuratior, minoribus tamen numeris quam
Culenii, ee Patis cractabilis; nec pocest numeris non majoribus accuratius extri-
beri.
Nonnullos, Geometrix non ignaros, miratos video, qua arte in hane rationem
inciderit Metius. Er conjicio quidem id ipsum Davenantio contigisse, cumque
hac de causa misisse mihi lotrendum id Problema. Cujus solutionem (ante plures
annos) ad ipsum misi; eamque subjunxi Schedialmatis quibuldam posthumis Ze-
remia Fhorroceii, quae mex curx commendarunt Societas Regia Londinensis, in Or-
dinem diserenda e edenda. Sed de Davenantius (quod post intellexi) methodum
habuit iple hujusmodi approximationes, non omnes quidem, sed praecipuas inrelti-
Bandi.
Tractatus mei cum cdiri (quia non rideo quempiam eandem rem ex profecto
ractase) Cynoplin hic luibjiciendam duxi.
LROBL. L. I L.
Feri polIC) aequalem exhibere, aur ea saltem proxime rel majorem, vel minorem,
quae numeris non majoribus quam 990 exhriberi pocest; idque in cerminis minimis.
ti M M Z
Data Fractione (Teu Rarione) quavis, ei quam polest prexnne aequalem extii-
vere, in nutratis daro non majoribus, e in minimis terminis.
Puta, ExpOlita F ractione 35n 1B (seu Ratione 2684769 ad 8376571,) huic (Fi
opus Tit demonstratu) hoc Lemma
Si Fractionis duo termini (Numerator  Denominator) aequalter que
In ordine ad hanc inquisirionem pramicio, (lalquan atis  aut lac 
multiblcentur, idem qut Pcs manet fractionis valor: R vero naequaliter, valor
variatur.

## Folio 41 — 851708439:0065
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000065.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
id. LL.
Sire (quod codem sectuu)
fractionis Valor: Aueciur vero. st Latutors duemencato un duementum De
nominatoris, majo emrationem sucut, au sudet pse Lumeraror ad Denomina-
torem: Minuitur, s minorem.
Ouodque de. Numeratore L Denomatore Factonis aletum est, limiliter incel.
lisendum est de Rationis Antecedente e Conlequente, e pariter in lequentibus.
A I G F B R A.
variatur. Ft quidem Aucetur, si majore multiplicatore mulciplicetur Numerator
quam Denominator: Minuitur, si contra.
Si Fractionis auo termini, LutaraoDenomnaior, uu aadenad alee
antur ambo, ut auomenta sint Exss Tes proportionalia; idem qui prius manet
2
His praemillis; li datae tractionis, ad minimos terminos (communi dirisione
per maximam communem mensuram) reducta, tum Numerator, cum Denomina-
Tor, dato numero non lic major: tic quod imperatur. Ouippe F’ractio est in mi-
nimis cerminis, ec qualis requuiritur.
Sin Fractionis, sic reducta, terminus vel alter rel nterque sit expolito numero
major: quaerenda est Fractio qua sit quam expolica vel proxime major, vel provi-
me minor, cerminos habens expolico numero non majores; ea quae lequitur me-
Mhodo.
Pro Proxime. Majori.
Pro invenieitua ponte Majori, sic procedo
Denominatorem Fractionis expolitae (aut ejus ad quam reducitur, R praeccsCK
reductio,) Des Numeratorem divido; ut habeam, qui Numeratori F respondeat.
Denominatorem, in incegris cum annexis parcibus decimalibus, cam accuratum
quam ridebitur expedire.
Puca, 2604730)83)05IL (3. 12003416.
NNam, ut 2684.7692d 8376571, L au 3. 120054. 107.
Adeoque, pro expolita tractione 3334753, hane habeo ei (quam prope censehitur
nem primam complotam appello; candemque, neslectis parribus decimatibus, s
appello fractionem primam truncaram. Ljulque partes decimales abscictas,
0. 12003416, Appendicem roco, sire Mancissam tractionis prime, seu Mancissam
primam.
ee a jullo mur, et de selquto . ue ex julto majoribuous popuo du
verum ralorem accedere porest ullus, nili aucto numeratore 1.
necellarium) aeguipoll 312003416f ja meatosem abet l. Ouam Fractio-
EAtque haectruneata Fractio;, tum julto major (propter denominatorem justo
minorem, urpore partibus decimalibus muletatum;) cum proxime major, omniuur
habentium numeratorem r, de denominatorem incegrum, (nam ? est adhue major
LOC0

## Folio 42 — 851708439:0066
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000066.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 75 lines, status machine
A L C
E B R A.
Cap
X
Loco itaque numeratoris T, sumptis succestire numeratoribus 2, 3, 4 ecc
Fractioneshis convenientes, erunt; Completae quidem 31240068323
BioraB, 12 (a83
64
Scc. Truncatae vero 3, 3, 12, 8ec. Dux quidem hactenus lune ejuldem valoris
e au Pa 3, dipore in quibus denominator est cocuplus denomina
coris 2, quomplus est numerator, numeratoris L. Adeoque necdum
propius ad reritatem acceditur.
Austre hoc cousque tuturum este manitestum clt, donec ita mul-
tivlicetur tractionis prima numerator r, ut Cimili mulciplicatione
12,48013064 denominatoris completi 3. 72003416, aliquid ex partibus decimali.
(5(60017080 bus, transeat ad sedem inteororum.
Cum primum aucem cali mulciplicatione aliquid ex partibus
decimalibus Denominatoris primi Compleci transteratur ad sedem
inteororum, habebitur (in Fractione cruncata) plus quam eguimulciplum deno-
minatoris 2, (ranto scilicet quantum est illud quod lic transic:) Adeoque (per
Lemma praemiltum) minuetur cruncata Fractio, (sed justo adhuc ajor, PrOBEE
cruncatum denominatorem) adeoque tt vero propior.
Ouaerendum isitur (quod diritione Het) quocu primum mulciplicatione de
nominatoris primi 3, 12003416, tranteratur aliquid ex partibus decimalibus ac
numeros integros. Diriloque T, (Teu 1.00000000)
O. 120034.16) T. (8. 33096 + Per 0. 12003416, habebitur quoriens 8. 33F
Liquet isitur (hoc catu) o esse minimum
numerum inceorum, qui Denominatorem primum 3. 220034. 16 mulciplicans, ali-
quid de parcibus decimalibus cransserer ad ledem incegrorum. Fet quidem Man-
ciAde ∞, 12003416 noncuplum, vel laltem iptius octuplum cum additamento fuf-
ficiente, hrabendum esse, quo ex parribus decimalibus transteratur X ad inteoros.
O. +20034. 16
096027328
0.03072672
1.00000000
 3+2003426
Fst urique ipsius octuptum, nonnisi 0.96027328; adeoque
decst Taltem 0. 0397 2672 (quod Complementum apvello) ad F
IntegruME.
Neglectis itaque mumeratoribus 2, 3, 4, 5, 6, 7 8, (ut qui
tractionem cruncatam nihilo accuratiorem extibituri sint
quam est cruncaca prima Z:) numetatori 9 = + L 8 apto de
nominatorem, qui sit denominatoris primi noncuplus; vel
qui ip( 3. 12003416 denominatori primo, luperaddat ipsius
8. 2496027328 Octuplum, 24. 96027328. Nempe 28.,08030744. Oni Fra-
9. 2808030744 ctioni quam Secundam appello, compleram exhibet 28l odosora;
Fruncatam . Hoc est = F E
3 + 25
Ouam de justo majorem
ce constat (proprer denominatorem truncatum,) et truncara prima 5 minorem,
(propier minorem rationem ausmentorum 8 ad 25, quam terminorum X ad 3)
adeoque vero proxiorem. Sed et (per idem lemma) major est cadet, 3 =
+ 25
quam B; proprer majorem racionem auxmencorum = ad 3, quacr terminorum
ad 25. Cui simile in sequentibus saepius animadrertendum OCCUTTeL.
Pari ratione, Post fractionem truncatam secundam , restisendi funt nuiera
EOrES SCpTen SEqueHLES XO, TL, L2, L3, 24y 15, F6; qui nu-
9. 2808030744 pmeratori 9, Superaddume, 2, 29 3, 4, 5, 6, 7. Cum enim re-
70. 3F 20034260 quiratur (ue dictum cs) plusquam octuplum mancistae pri-
2F. 34 32037576 ma quo transteracur + ad locum incesrorum; Manitestum
22. 3744040992 est, Mancillie primae, Sexcuplum (nedum quae hoc minora
C 
Tune muleipla) una cum Mamilla tractionis Secundae 0. 08030744
(qnam Mantista vrima minorem fore cerrum cst) id nomriguam praestare. Lt
Propterea (cum nihil ex partium decimatium locis accedat) Ausmenta termi-
norum TractiOnIS IrANCAIX , erunt in ratione F ad 3; (quipue quoties t ad-
dicur numeratori, o, cories addicur 3 denominatori 28:) Duxe quidem Augmen-
torum ratio 2 acl 3, cum major sic ratione terminorum d ad 28; ausebitur
hac accestione (non minverur) fcactio , , qua camen ipsa eAt justo major.
Sumpto autem Numeratore 17 = 9. f 8; Denominacori ( qui numeratori d
responder) 26.08030714, addendum erit Denominatoris primi Octuptum,
3 72003416
6 24006052
9,36010248
Bc.

## Folio 43 — 851708439:0067
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000067.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 85 lines, status machine
Cap. X.
T. C
F B R
A
2496027328 (quod continuum Tnerementum axpello:) Ouo-
eum Mancillae simul additae cum superent F integrum, (est u-
tique prior, major quam posterioris complementum,) transte.
retur F ad ledem integrorum. Unde habebitur Fractio, (quam
Tertiam voco,) Completa 53lonoso2; Fruncara vero 33, hoc est
9. 28108030744
8. 24. (96027328
27. 53104058072
2 +E. Ouae rum julto major est (propier denominuorem ceuneaum;) cum
praecedence minor (per Lemma nostrum;) adeoque vero propior. Sed et (per
Idem Lemma) major quam 33
Arque hoc cousque repetendum erit (cisdem de causis,) quamdiu proxime re-
perca tractionis Mancilla canca fueric, uc, Octuplo manuitae primae addica, trans.
Ferar F ad Inceoros: Floc el, quamdiu proveniens mancilla laltem non minor tue
rir iltius Octupli (seu concinui incremenci) Complemento supra dicto 0.03973672
Adeoque, post Fractionem Tertiam 3z; neslectis proxime sequentibus septem
nempC 18, 29, 20, 2T, 22, 23, 24, (tanquam inucilibus, ob caulas jam craciias;
sequenti 25 = 17 F 8, Denominatorem uc prius apto, (sup.
verut urique tractionicerria, Mancissa, Complemento Octupli 27. 53,04058072
primae major.) Fritque tractio, quam Quurram appello, Com- 8. 2406027 328
Pleca Jolamonoo; Truneaca 18 - 27 + 8. Oux cum justo ma. 25. 78,00085400
53 F 23
Jor est (ob denominatorem LUnCaTIM;) Ium praeccdente t minOr, per Lem-
Ma NOIEEUM; (PEODECI RuomentOrum rationem 8 ad 25, minorem ratione Ter-
minorum 17 ad 53; adeoque rero ralori propior. Sed e (pex idem L emma)
major quam, 3
Sed cum eo derentum tueric, ut Ntancista fractionis proxime repertae, minor
Fuerit dicto Complemento Octupli prima; huic Fractionum Ordini terminus im-
Ponitur. Ouippe jam, non Octaro quidem, Sed Nono demum loco, transibii F ad
InteoroS; quo truncata tractionis Denominator augeatur.
Adeoque, cum tractionis Ouarta (primi Orainis) Manista 00008540O, mi-
nor sit necellario Complemento 0. 03972672; adeoque Manriltae Octypli tractio.
nis prima addita non efticiat + inceorum, ad sedem intesrOrUI
cransterendum: Ilaec Quarca tractio, erit primi Orainis ultima
Ocippe jam, non modo (ut prius) qui lequuntur numeratores
septem (26, 27, 28, 29, 30, 31, 32,) inuriles crunt; lcd nec, qua
0.00085400
0.96027328
0. 96172728
Octavo loco sequitur (33) urilis erit. Prodiret urique tractio Completa
reibri; TrunCata, 1BE; hoC est 2 . Ouxe itaque(cum. 25, C78]00085400
78 +2
ratio augmentorum 8 aet 24, hoc est F ad 3, major sic racio.
ne terminorum 25 ad 78,) major cst, (adeoque d vero remo-
tior) quam praecedens 38.
Verum quidem est, in loco sequente, sumpto numeratore
34) cranlicurum esse F (in denominatore) ad numeros inte
erOS. Fric urique tractio, Completa eblobrioum; Fruncara
rebi hoc elt=, g. p. 29. Sed hic, cum ratio auementorum 9 ad
28 (eadem cum ratione terminorum fractionis secundX) ma-
jor licratione terminorum (Tractionis quarta) 25 2d78; ma-
jor est et Fractio, et (adeoque a rero remotior) quam 38
8.
24 96027328
33, 202 96F+2728
34u 106,O8F1614.4
23
3
8.
L OO187
1. 13104243472
(eltque ejusdem plane raloris cum tractionererria 13.) Adeoque PrOpOtico non
convenit.
3513s.
Lodem modo oltendetur, neque, urilem eAe nUMETAIOrEM 25: 48,00085400
42= 34 + 8- 25. f 17; ubi icerum cransseretur L. ad numerOS
intescos. Dui fcactionem irunealam exhibet S
25  173
53
majorem ipla 38 Propter rationem ausmeneorum 17 ad 5:
(eandem cum ratione terminorum fractionis certise) majo.
rem racione cerminorum 25 ad 78.
42 23Lpti 
30.. td dtt. ABc
22003416
78]00085400
2608030744
34, 206,08T16244
F.7. (153(0405805)2
8. 2406027328
Deque

## Folio 44 — 851708439:0068
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000068.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 77 lines, status machine
L L. C E B K A.
Neque ulla prodioie cuneata Fractio, volt 1b, ulque ad i-
non Sit major ipla 38; adeoque d vero remotior.
2
78-
qua
Pric autem quae numeratori 50 = 25 = 25 convenit tractio truncara, non
25, 78100085400
25, 7800085400
major quidem quam 38, at neque minor; sed ejusdem plane
valoris, (proxter terminorum auementa ipsis terminis pro-
portionalia.) Majorem camen Mancistam habet, nempe
50. 156100170800 O.90F7,0800: Sed non tancam ue, mantilla prima octuplo
0. 96027328 addita, conticiat r incegrum, (ipore hujus
complemento 0.03072672 minorem:) adeoque nec octaro post hunc loco, tranfi.
Dit F ad interros; sed Taltem loco nono, ut post numeratOreM 25.
Post numeratorem isitur 50, ulque 2d 75 = 50 f 25 = 25 f 25 + 25, muil
lam prodire tractionem cruncatam, qua non sit major quam 33, seu 138; Codem
modo ottendetur, quo, de numeratoribus qui iplis 25 et 50 incersecti funE,
ostenditur. Et limiliter in sequentibus interrallis.
SuMpTO aULEM NUMETATOTC 75 = 50 + 25 =25X3, eadem iterum prodit
50, 75600170800
25.
78,00085400
75. 23400256200
truncata tractio; nempe . 3 = 38: sed cum majore adhue
mantilsa (nempe tripla mantistâ tractionis quarrae,) sec
qua nondum sutticit; (minor utique cst complemento
necestario 0.03972672.) Fx Similiter de numeratore
200 = 75 + 25 dicendum exir. tc sic deinceps, additis
25. 78]00085400 continue 25 numeratori praecedenti; donec tandem (uppe
100. 31200341600 ric mancilla, qua non sic minor necellario complemento
Bc. ec.
0.03972672; (ur nempe oetuplo manciltae prima addita
compleac r incesrum.) Duippe cum, octaro deinceps loco
transibit F ex parcibus decimalibus ad Sedem integrorum.
Ouando aurem hoc concineet; Dirisione inguiricur. Dirito icaque (comple.
mento iIlO) 0.03972672, per 0000854100
0.00085400)003972672 (46.52 - (mancictam tractionis quariae 38,) habetur
quoriens 46.52 -. Fractionis itaque
lainoo (quam Primi Orainis ultimam modo diximus, atque Drainis secundi
25. 28100085400
primam jam consticuimus,) iurique termino, addendus
eric sui mulciplus per 46. Nempe, Numeratori 25, nu
+150, 358803928400 MerHS TF5O = 25X 46; Q Denominatori 78.00085400.
1175, 3666,040τ3800 numerus 3588. 03928400, qui est ejuldem mulciplus per
24, 9602.7328
46. Unde habetur tractio Completa BEIoisBo; FFIN
2183. 3601 (00042128 Cata i1E: ejuldem quidem raloris eum 36, led cum majore
mancilla 0. 04053800: Oux, cum major sit quam
003972672; eadem mancistie primae Octuplo addita, conticiet faltem L in-
cegruM.
SUIMPTO ItagnC NIMETatOTC T783 = TF75 f 8 = 25 + TZ58; habebitr ei
correspondens denominator 369r, 000g2+28. Oui fra
25. 78100085400 ctionem (quam Secundi Orainis Secundam appello)
7158. 3672 90955728 Completam exhibet 5 lo 1; Fruncatam, 365Z; HoC elt
1283, 36070004 1+28 2175 + E
3666 + 25
ser
25 = 1T58
N 78 + 3673
Ouxe cum justo major elt,
(Propter denominatorem truncatum;) cum minor quam 3165 = 78) (PTOPtCE Fa-
tionem ausmentorum 8 ad 25, majorem ratione terminorum 1175 ad 3666.
seu 25 act 78, ut supra dictum est; adeoque _e ausmenOruM L158 ad 3613
majorem ratione cerminorum 25 ad 78:) major autem quam 3ts
Acque S huic Tractioni Mancilla tanca supPerereL, UE, MantilIX 0. 99955728
addita, conticeret r incegrum; idem repetendo, a tractione hac Secunda ad J’ ex-
tiam hujus Ordinis procedendum: (acdiris nempe F258 Numeratori, et 36T2.
99955728 Denominaiori; quod voco Continuum Tnerementum Ordinis secundi:)
Ouippe rum, in Fractione cruncata, Augmentorum rario estet 1158 ad 3623,
qua (ut dictum cM) minor est ratione terminorum F183, ad 369Z; adeo
que minuererur tractio. t lic deinceps, quamdiu sufticiens Mancita su,
pereAet.
2
.
felB.

## Folio 45 — 851708439:0069
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000069.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 81 lines, status machine
Cap. L-.
A L G F B R A.
Ononiam autem Mantista 0, 03O4 FF28, minor est quam ut hoc
praeltet, (esset urique saltem non minor quam 0. 00044272; quod
est Secundi hujus ordinis necectarium Complementum:) Secunca
haec Fractio est. Secundi ordinis ultima, eademque (si inquisitionem
ulterius prosequi libeat) erit Tertii ordinis prima; cui secunda
D0DOAFF2D
0.09055728
aptanda exie eodem modo quo in secundo ordine. Ft Sic deinceps; 8. 99055728
quonlgue opus exit.
Sed, cum Fractio jam ulcimo reperta 3537, denominatorem ha- 2. 0000000O
beat imperato lonse majorem; neque polt 38, ante hanc, alia
VerO prOpIOE OCCurraL: Paret iplam 7S Fractionem imperatam cAe; quae nempe
vero provime major Ci, denommatorem habens numero 999 non majorem: H. L
quidem, in cerminis minimis; quippe li in minoribus actiue terminis, ejusdem
raloris tractio haberi pollet, ea prius occurriltet,
Pro Pravime Minori.
Fractionem ProximeMinorem data cujus Termini datum numerum pon ex
cedant; eadem plane methodo, qua proxime majorem, inquiro: nisi quod,
quae illic de Numeratore dicta sune, Sunt hic Denominatori applicanda; de
rice versa.
Nimirum; Diridendus jam est Numerator per Denominatorem, quo habeatur.
in partibus decimalibus, Numerator Denominatori L conreniens, qui Fractionem
(quam Primam voco) compleat, expositx Patis accurate (seu quatenus expe
dire videbitur) aequalem.
Diriso icaque expolita tractionis 2584753 NuMeratOrC 2684769, per Denomi-
natorem 837657F; Duociencem habeo (in parribus decimalibus) 0. 3205093F +
fatis accuratum: Adeoque fractionem pri-
mam 4( 320OBBI; quam itagUE PrO exPOTIca 8376575) 2684769 (0.3205093F.+
Tubstituo, ut ipE (Caris accurate) aequalem.
Deinde (guia tractionis truncatae ralor non rariatur, donec, aequalicer mul
ciplicando uirumque cerminum, aliquid ex parribus decimalibus rransteratur ad
numerOS inTCSTOS;) Diridendo L, seu
20000000D, per Manciltim 0. 3205093T; 0. 32050937) 1. 00000000 (3. 12. +
quotientem habeo 3. F2 +. Onde liguet,
Dlus quam criplum requiri, quo transeat L ad integrOS.
Adeoque (neglectis denominatoribus, 2, 3,) terminis tra-
ctionis prima, addo eorundem respectire eriplum; (quod
Continuum Tncrementum appello:) Nempe denominatori L,
addo 3; ut habeatur norus denominator 4 = X = 3: 8
numeratori 0. 3205093L, addo hujus criplum, 0. 96752.703
uc hrabeatur novus numerator, adeoque habetur tractio se
Cunda (primi Ordinis) Completa ; p282o312a; Truneata  =
Ouxe quidem justo minor est (propter truncatum nume
racorem,) sed major quam cruneata prima 5, adeoque vere
PrOVIOT. MinOr camen quam
Hujusque secundi numeratoris Manrista, cum major l
quam 0.0384, 20) Complementum eripli man-
cilla prima, leu concinui Inerementi; adeo.
que huic criplo addita, constituat Caltem F in-
teorum: Idem repeto; nempe secundo deno-
minatori 4, addo criplum primi 3; et secundo
0.9615270
0.0384720
2, 90000DDC
MIMCTaLOPI T. 28203724, addo primi criplum 0.96152793
unde prodic tractio Fercia, Complera Z oteli; Fruncaca
+ + 3. Duae justo minor ellus sed major praecedence ;
adeoque vero proxior. Sed minor quan L
Cumque adhue supperic sufticiens Maucilla; idem repeto. 0(96252793
Produque lractio Quarca, Compleca 3ese; Pruncata 2oi
justo quidem minor, sed major prxcedenr .
810127327
0.99990850
0.00044 272
03205093
0(9625279
2820372.
9625279
019625279
62050931C
D9625279
4(26662, F03
0(06252793
5(T2814890
0196252793
6108067685
00675270)
7(05+2048
Idem

## Folio 46 — 851708439:0070
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000070.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 119 lines, status machine
A L C F B R A.
C.aD. X.
Idemque lapuis repotendo, obtiteo sequentes F’ractiones (truncacas) quintam
seatam, septimum, oct avam, nonam: 163 2) 167 193 227 35; COnLIMUE VETO PFOPIOTeS
Ouoniam rero quae nonae superelt Mancilta 0. 012732475, minor elt quam ul
continuo Ineremento seu rriplo mantissa primae addica constimar L incegrum
(upote ipsius complemento 0.03847207 minor;) Fractionem hanc nonam (ob
caulas superius cracticas) conctudo Ordinis Primi ultimam elle; eandemque pri-
mam Ordinis secundi.
Erquoniam (ut ex supra tradicis Facile est obserratur) post hanc Ordinis primi
8(0F2732 75 25
8(01273275 2
75(0254655050
8(0127325525
24(038198257
96.
140
tractionem Ocimam- E, non alia occurrat qua non lit d Verore.
motior, ulque 2d =6- 8 +
50 25. +25i quae est ipsi E equalis; sed
cum majori mancilta, (nempe prioris dupla,) quae tamen ipsa
cl intusticiens (quia minor necellario complemento
003847207;) e sic deinceps, per intervalla, donec tandem
prorenit Mancilla, qua non lic minor debito illo complemento:
Duaro, quoties repetenda exit illa Mantilla 0. 07273275, hu-
jus Ordinis prima, ut complementum illud aquet superetre.
Cumque Complementum illud0, 03847207
001273275)0.03847207 (3. 02 + ver mancillam 5.0r273275 dividendo, Ouo-
81072733175 25
24 03819825 75
tiencem habeo 3. 02 Y; rideo plusquam eri.
plum requiri.
Ideoque Fractionis 3 soimer urrique termino, sui Triplum
3205093100 200 addo; habeoque L’ractionem 3) ooia, ipsi quidem aequalem,
696252793 3
33(01245893 10:
2+ (038+9825
096152793
ee cum susticienre Mantilla; qua nempe, Mancisla prima
primi Ordinis Triplo (iltius Ordinis continuo incremen-
10) addita, conticiat faltem Lintegrum, aut eo adhuc ma-
jus
Triplumque hoc, continuo incremento prioris Ordinis
24.99972618 78 addicum, Pacic secundi Ordinis continuum Tnerementum.
Stimpto ilaque Denominatore 103. = 100 f 3 = 25 + 7 8; huic respondet Nu-
24.99972616
3301245893
2490972618
5801218511
24908] 2018
1 83,DF79L[29
2080L16374.
2330L150365
c2580+108987
32499972618
283610876O7
5 2400972618
20801054219
merator 33. 07245893; Adeoque tractio (quam secundi
25 Ordinis secundam appello) Complera, 3.solass Frunca-
1a 83; hoc est 32  = seu
100. + 3
F25 Ouaetum justo mi-
25 = 78
nOr CAL (PFOPIET nUMETATOrEM TunCatum,) tum major
quam, 3== (Propter rationem augmentorum L ad 3,
majorem ratione terminorum 32 ad 100, seu 8 ad 25:
adeoque ec rationem augmentorum 25 ad 78, majorem
ratione cerminorum 8 ad 25;) ideoque vero PropiOT.
Minor alcet GuatiL 78.
Tcerumque (quia Lusticiens Mancisa Suppetit,) adcicis
continue cildem augmencis, (Teu Ordinis secundi contr.
nuo Tucremento,) nempe Denominatori 78, et Numera-
tOri 24. 90972628; habentur Fractiones hujus Ordinis
tertia, quarta, quinta, ec. _ he deinceps, lonsa leric:
quamdiu suppecir sutticiens Mancista; hoc elt quxe mi
nOr non (IC quam 0. 00027 382, Comple
menti mancilla 0. 00072628 ad F inte
Erum. Oua quidem tractiones Frunca
0.99972618
0.00027382
Ta continue propius accedunt vero. Pu- 1. 0000000O
an 18 233 o a  a 8 33 2 64 4273 2 38 3o, 1 . usque
E; cujus quidem Manicilla 0. 00013703, minor elt
quam 0. 00027382; adeoque ipla est hujus Secundiorai-
nis ulcima: Ordinisque Persii prima.
96E 12 358(00889927
2499372678
TTZ7
8
c. 36300862545 7295
24999726L8
68
103
c
TBF
30800944697
24074010
33300917309
24 399]2618
1039
50127327
3
3
49
2499972678
2490972618
2499972618
258(00909455
249997262C
2830097207
2499973618
5
8
805
803
24009726+8
233]0102605
2409972618

## Folio 47 — 851708439:0071
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000071.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 139 lines, status machine
Cap. X.
658(0056134. 3
24 99972618
6830053396
24 9097262
70800506575
24 99972618
73300479197
24, 99972618
7580045L8F5
24 999726LE
78300424433
2+ 9997261
80800397052
24 99972618
83300369669
24 99972618
85800342287 2677
2499972618
43300807782
2499972618
45800780309
24999726+8
1352
8
1428
483007530171 2507
2499972618
78
50800725635 1585
2499972618
78
53300698253 7663
2499972628
d
5.580067087F, T74. Y
2490072678
78
58300643489 LBF9
2490972618
60800626207 1897
e
63300588725 1975
2499972618
78
7C
88300314905 2755
24 99972618
78
2499972616
2458(00073703 3623
(Oi aurem concinsae unius Ordinis tam lonsa series; non incommodum erit per
Salcus seu interralla procedere, uc in aliis calibus Arichmericae Progrectionis.)
Acque eodemmodo (si approximationem libeat ulretius prosequi,) quaerendum
eric Fertui Ordinis concinuun Luerementum; reliquaque prolequenda, uc in Ordi-
ne secundo. Nempe, dirilo 0.00027382 C oM-
Plemento Mantissae continui Tnerementi 0.00013703)0.90027382 (1. 908. +
Ordinis (Eccundi) proxime praecedentis,
Der OOOOF3 7O32 Mantissam fractionis primae Ordinis bujus (certiii) Ouocientem
habeo 1. 908. Y Adeoque (neglectis partibus decimalibus Inceoro achaerentibus
per E (Quotientis numerum Enteerum, quotiente justo proxime minorem) mulci
plico urumque cerminum fractionis prima Ordinis hajus Fertii: Factisque addo
relpectire, continuum Incrementum Ordinis praeceden-
ris. Onde habetur continuum Enerementum Ordinis hu
jus Terrii. Nempe, Denominatoris continuum inere.
mentum erit 369T = 3673 778; et huic respondens,
2258,009Z3703
24 00972628
3613
T182 (90086327 3691
2282. 90086327, continuum Incrementum Nymeratoris. Oux quidem Fractio.
nis primae Ordinis hujus terminis respectire addita, ex
hiber terminos fractionis secunda tercii Ordinis. FL Sic
deinceps, quandiu supperic Mancista lutticiens; nempe
1158,00073703 3613
T78290086322 3607
quae minor non sic complemenco manciltae continui In. 234+ (00000024 7304
crementi hujus Ordinis. Obi aurem non suppetit mancista sufticiens; habeturtu
jus ordinis tractio Otrima; cademque Prima lequenris.
Ouoniam aurem, (in calis prae senti) ubi ad Ordinis secundi Fractionem decimam
Guariam 33 pervencum est, habetur Denominacor imperato major, (ut qui tres to.
cos excedit:) concludo, proxime praecedeniem 3s Fractionem expolita proxime
minorem esse, cujus Denominatos dacum numerum 999 non excedic; e quidem
in terminis minimis.
Duoeque ie hac Practione expolica factum est; in alia quaris, muracis nus
tandis, Peragendum exic.
Symna Praceptorum huc redic.
dsc
Si qudlaractio Denominatorem habens dato Pumero non majorem, quae
sc expolica Tractione pronime Major; Diricatur expolicae D enominator per Lame-
ratorem.
205
E
9080028752
2499072618
9330026074
2499972628
9580023275
2499972618
9830020537
2499972618
200800T7799
249997261c
1033001500L3
24999726+8
705800123231
2499972618
1005095849
Je
283.
2917
2980
306,
3ca
3223
7E
2737
2209
7E
2287
78
23 98
X.443
R52I
78
330C
40800835163 7273
76
3373
3457
499972618
12080000640)
2499972616
l1330004106)
e
3535
24900) 2020
2499972628
2599

## Folio 48 — 851708439:0072
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000072.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
ratorem. St, qua proxime Mnor: Numerator per Denominatorem: Ve habeatue
Duoriens, per Parres Decimales continuatus, Pacis accuratuS. Oui quidem Ouori
ens, ubi proxime Major quaeritur, Sic Denominator, Numeratori L respondens; utri
provime Minor, lic Numerator, respondens Denominatori L: Fractionem, expositx
tacis accurare aequalem, complens. Duam Fractionem Primam Completam appel.
lo: Fandemque, Mantissa parcium decimalium mulctatam, Fractionem Primam.
Truncatam.
Deinde, per Mancillam hanc Fractionis primae, Dirico F integrum: et per nu-
merum Integrum, Ouociente illius Diritionis accuraro proxime minorem (incel-
lise, Ouotientem adhaerence tractione, seu manrisa partium decimalium, liguam
habear, muletatum; vel, li nullam habet, muletatum integra unitate; ee lic alibi:)
Mulciplico fractionis prima complecae urrumque terminum, cum Numeratorem sei-
licet, tum Denominatorem: L’actumque hac multiplicatione numerum respectire
apvello Continuum Incrementum corundem relpectire cerminorum. Ouodque
Mantissa partium decimalium, huic continuo Ineremento adhaerenti, declt ad +
inceorum; appello, Mancissae continui lnerementi Complementum.
Ructo deinde cum Numeratore cum Denominatore Fractionis primae, luo respe.
etire continuo Tucremento; habentur Termini Fractionis secundae: Aeque hi fI
milicer cildem continuis incremenris aucci, Ferminos extribent fractionis Tertia:
e Sic deinceps, quamdiu suppecit provenienti Fractioni Mancista, quae minor non
sic quam Mancisae continui inclementi Complementum.
Ouamprimum aurem Mancista sic proveniens, sic illo Complemento minor: Fra
ctionem cui illa comperie manistâ minor, consticuo, Primi ordinis Orimam:
candemque Secundi Primam.
Per hujus aurem Fractionis (ordinis Secundi Primxe) Mantissam; Dirido
Complementum illud Manciltae continui incrementi ordinis praecedentis: Ft, Per
numerum incegrum accurato Ouoriente proxime minorem, Mulciplico Fractio
nis prima hujus ordinis urrumque Terminum: P’actumque respectire nume.
rum, continuo Incremento Ordinis proxime praecedentis respectire auctum, con-
Sticuo Bujus (Secundi) Ordinis relpectire continuum Lucrementum. Ouodque
hujus (decundi) Incremenci concinui Manristae dec ad L incesrum, appello (ut
DEIUS) ejusdem Complementum.
Fractionis demum (hujus Secundi Ordinis) primae cerminis, continuo hujus
Ordinis Incremento (respectiro) contistue auctis; habentur, succestire, termini
Fractionis (hujus Ordinis) Secunda, Tertia, e Sic deinceps; quamdiu scilicet
Suppetie Mancilla Cufticiens, (qua nempe Complemento Nancilta continui Tn-
crementi hujus ordinis non sic minor:) Obi aucem Manclla Sufticiens primum
deticit; est illa Fractio praesentis Ordinis Orima, _ Prima sequentis.
Ft lic deinceps, quousque opus fuerit. Factis scilicet (ut dictum cst) cu-
jusque Ordinis continuis Incrementis, ex Terminorum Fractionis (iltius Ordi-
nis) primx Multiplis, respectiro ordinis praecedentis continuo Incremento auctis:
sinsulisque Ordinibus cousque continuaris, quameiu Mancissà suppetie Comple-
mento Mancillae continui Incremenei Cui non minor. Adeoque, cum minor prO-
venit; minor hac Mancissa, diridens Complementum illud, indicat Ouociente
Tuo (adhaerencibus parribus siguae Sine, vel, l nullx sine, unitare mulctato) quam.
mulciplum cerminorum L ractionis prima sequentis Ordinis, concinuo hujus in
crenenao allctum, fucurum sic lequens ordinis continuum Incrementum.
Fractiones autem sic inventx (quas dico Primam Secundam, Tertiam, ec
Ordintio primi, sccundi, terEI; C L cICepS:) Mancilta pascium decimalium
mulelatum Gllas. Itaque Truncaras appetIO;) masis masilque ad jultum expo-
lita Laciteu valorem continue appropuiquant: Larunique lingula, vel proxi-
dix.) F.X quibus si Celisatur ea guae Denominatorem habet maximum qui dato
Duodque de Denominatore datum NLMCLL HOM EACCEHC, aictuI CIE; aC
NuCratOTC daTIM NUMETUM nON CACCCE,   Verum CxII. Tocsque
que de Fractionum (sire ppriarum sire impropriarum) NuMETaIOTE AuE De
nomiatore
Li Ce L B L A.
ceminis scriptarum: (neque sune, A Meris, Approximationes ulla interme
numero major non sic: habetur quaesitum.
eScectus, non minus conrenie expoluis lacidus Impropriis (quae Nume
me majores sunc, vel proxime minores (uc dictum est) omnium non majoribus
ratorem habent DenOminatore majoreM) quam Propriis tractionibus. Ouod

## Folio 49 — 851708439:0073
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000073.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
L G F B R A.
nomnatore dictum est; pariter accommodandum est Rationum terminis Ante.
cedenci e Consequenci.
Verum hic omnino nocandum est; quod, in Fractionibus primis (unee qua
sequuntur omnia dependent) diritione quarendis, continuanda est divitio ad
decimalium partium loca salcem bis cocidem (auc eriam plura) quoc sune loce
illius numeri qui non excedendus proxonitur. Puta, si proxonatur uc termin
inveltisandi non excedane tria loca (seu numerum 090;) curandum cst ut
primi quocientes illi continuentur ad 6 aut 8 loca parcium decimalium.
NC
Scilicet exiguus error loci ulcimi (rories mulciplicatus) in loca ancecedencia se
insinuet eaque inticiat.
A P. XV
CapiLLl.
Ejuscan Fraxis, in Ratione Diametri ad Perr
metrum circuli.
Rocellus Capitis anrerioris Exempla plura dudum extribuimus in Practatu
ante memorato. Ouorum hic unieum repetemus; de ratione Diametri
ad Perimetrum circuli.
Rationem Diametri ad Perimetrum circuli (uc supra dictum clt) determina-
vic archimedes, uc 7 ad 22 proxime; (nimirum tam prope, uc numeris non
majoribus propius exponi non poltic:) Metius, aliquanto accuracius (numeris
majoribus) uc FF3 ad 355, proxime. Ludovicus van Kulen, _ post cum alu
eandem numeris grandiorihus accurarius extribuit. Nescio an Adrianus Roma
nus (cujus scriptum ea de re prae manibus non cst) rem eam achue accura-
tius Fuerit proleeutus.
FSO ex Culeneis numeris, (methodo jum iradica,) ordine deduco APproxi
mationes omnes, quibus ad Racionem lic exposium masis masilque accedic,
augendo numeroS quibus exPONatur.
Racio haec ab illis expolita (numeris lonsinsculis) sic eti;
Diameter 7.00000,00000,00000,00000,00000,00000,00000.
Perimeter 53. 14450, 26535, 89703, 23846, 26433, 83279, 50288, +
Puta
23. 24759, 26535, 69793, 23846, 26433, 83279, 50289,-
3. 24259, 26535, 89793, 23846, 26433, 83279, 50288.
Ubi, polica Diametro ue X cum Ciptris sequencibus, parrium decimalium
loca occupantibus: Perimeter exir 3, cum tiguris sequencibus in partium deci-
malium locis; ita quidem, ut si loco ultimo sic 8, numerus justo minox eric;
Si 9, jucto major: NoS (uc intermedium) ponimus 83; quo d jucto non aber.
retur dimidio uinicatis loci ulcimi
Fst aurem (ut Dividendo pacebic) Diametri ad Perimetrum.
Racio
huic aequalis
seu =
F.00000,00000,00000,00000,00000,00000,00000
3. +4 159, 26535, 89793, 23846, 26433, 83279,50288:
0. 31830, 98861, 83790, 67153, 77679, 26745, 028) 2, 4 proximen
T. 90000,00000,00000,60000,00000,00000,00000,0
0.31830, 98861, 83790, 67 153, 77679, 26745, 02872, 4 proxime.
Fadem (Proxime) Ratio, ad minores cerminos reducta, (continue approxi-
mando, tractionum instar, prouc crescunt numeri,) calis apparebic uc mox di-
CeTUIT.
Incerim monendum est; In utraque Inquisitione, Ferminos illos qui (pra-
ter numeros incesros) annexas habent parces decimales, (nempe, qui Perimetro
CUNE

## Folio 50 — 851708439:0074
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000074.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
P. G F, B R A.
C ap. L1.
Tunc analosi, in inguisitione priori; quique Diametro lunc analosi, in porte.
rioxi;) Mancissa partium decimalium Pruncatos exhriberi. (Nisi quatenus tan-
tundem inde mutuetur, quantum, mantilla concinui incrementi addlirum, com-
Pleat P inteorum, in locum incesrorum cransmictendum; unde incrementum com-
Dleci termini sic auctum, fic incremencum termini cruncati.)
Ouamquam enim nohis crat necelsarium, in inquilitione prosequenda, Nantilsas
illas, sire Appendices, serupulosius considerare, (ut inde innoreleat quando
transcundum esset ab Ordine ad Ordinem;) Fectorem tamen non morandum
duximus, tam vastos numeros cum taedio tories repetendo.
Ouam tamen Mancissam Facile est cuiquam ubiris reltituere, ficubi id quif
Diam delideret. Nimirum, in Inguisitione priore, si terminus quilibet Diametro
analogus, multiplicetur in primum terminorum Perimetro analosorum; puta in
3. T425O, Sc. (incellise, in numerum 3, cum mancissa partium decimalium,)
habebitur respectirus cerminus completus Perimetro analogus: Fx similiter, in
inquilitione polteriore, li terminus quilibet Perimetro analogus mulciplicetur in
primum terminorum Diametro analogorum; (puta, in 0. 32830_c.) habebitur
respectirus terminus completus Diametro analosus. (Unde etiam patebic, quam
prove qualibet rationum minoribus cerminis extribitarum, ad rationem propoli
tam appropinquat.) Oux camen Mancista lic invenca, eousque tantum pro ac
curata habenda eric, quatenus errorculus exerema fisurx, Mancista prima sic
mulciplicatae, (hac Nulciplicacione auctus) se non intinuat in facti figuras ali-
quas Posteriores.
Trem (quo procestus clarius percipiatur) Primis cerminis cujusque Ordinis
(in ucraque Inquiticione) praetiso Ordinis numerum (ut I, II, TII, ecc. PrO Or-
dine primo, secundo, tertio, Scc.) Simulque brerem indicationem (primo incuitu
conspiciendam) quomodo. iltius Ordinis continuum Incrementum constituitur.
Puta, I. X3 Tnorem. Tigniticar, Primi Ordinis comtinuum Incrementum (quod
linea proxima conspicitur, regulis inclutum; quo a Racionum cerminis ibidem
persequendis diltinguatur) tactum esse ex primis respectire terminis istius Or-
dinis Multiplicatis per 3. Trem, TI. X 25, F. Tnerem. innuic, Ordinis Secundi
primos terminos Mulsiplicatos per 25; acque intuper Addito concinuo Tnere-
mento Ordinis proxime praecedenris, extibere (iltius secundi Ordinis) conci-
nuum Inerementum; (quod ibidem sequicur regulis inclusum.) Item TIL. X292, +.
Increm. innuie, Ordinis Tertii, primos terminos Multiplicatos per 292, Addito
praecedentis Ordinis continuo incremento, exhibere iltius Pertii Ordinis Incre-
mentum, ibidem adscriptum. Pc in reliquis limiliter.
Nocandum item (quod conspectu vatet) quae sunc in Inguisitione priore
Concinua Tnerementa, Tune in altera Termini Rationum: eC, vice verta, quae TUnE
in Polteriore continua Inerementa eadem, in priore, inter Rationum quaelita-
cum Terminos habentur. Verbi oratia; 7. 22 8 723. 355, quae in priore in-
quisitione sunt continua Tucrementa Primi e Secundi Ordinis: cadem, in Do.
Eeriore, Cunc Rarionum cermini, (illarum seilicet quae sune unius Ordinis D)
timae et lequentis Prima:) Er quidem prior illa (qua est ratio Archimedea
elt utrima primi Ordinis, ec prima secundi; altera (qua est Metiana) cst WI
timia Secundi de prima Terrii. Et Pariter ubique in uiraque inquisirione.
Nocandum porro; vicistim sibi relpondere, Numerum rationum (Primam in-
sequentium) in quolibet ordine Prioris Inquisitionis; de Nulciphcatorem (PrO
continuo Incremenco constimendo) in Ordine correlpondence Pollerioris inqui-
sicionis: e vice verla. Verbi oratia; In Ordine Ondecimo, Polterioris Ingui
sicionis, Rationes (post primam, antecedenei ordini communem,) habentur nu
mero 84. (toties addito continuo Ineremento:) FL, In PPIOrIS Ondecimo, con
tinuum Inerementum (praeter illud praecedentis orainis) concinet lui ordinis
primos terminos Multiplicatos per 84: (prout ibidem liguet ex XL. X84, +
Et limilirer ubique. Lu vice verta, H C Secundo prioris Inquisicionis,
habentur Rationes (POlt primam) numero 292: idemque numerus 292 eAt, in
inquilitione posteriore, Mulciplicator pro continuo Incremento (non secundi qui-
ct Lec) Leri ordmis. tix sic ubique. Lete, qui numerat rationes (polt
Primam) in quoris ordne P’olterioris inguilitons, numerus idem est Multiplica-
Tor in Ordine coenomine Prioris: Ouique in hoc Prioris ordne numerat rariones;
idem, in Posterioris ordine seguente est Mulciplibator. t lic Temper.
Atque

## Folio 51 — 851708439:0075
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000075.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 75 lines, status machine
C. aP. A l.
 L. C F. B R
Arque haec continue eoulque contingere reveriuntur; donec, propter Rationes
quae ab orisinc supponuntur aquales, nec tamen tunt aequales accurate, sed quam
Proxime, (ut 5. on 8c. et 218 c. quarum alceram sequitur inguiliio PriOE.
alteram Posterior;) eo perveniatur uc exigua taec disterencia fiat notabilis, prove
macque Racio, qua sic earum altera major, altera minor. (Ouod hic Fucurum
et si praesenues Inquilitiones uno adhuc Ordine promoreremus.) Ouippetum,
non tanquam eadem urraque utrobique ratio, sed pro dirertis habendae Exune.
Nocandum denique; ex postremis terminis, utriulque Inquilitionis, reperiri ali-
quot qui incra allisnatoslimites sublictunt. Hoc est, quin Polita Diametro F. Cx-
tribebune Perimetrum, majorem quidem quam 3. 14. [59, 26535, 89793, 23646,
26433, 83279, 50288; mInOrem verO quam 3. T4T59, 26535, 89793, 23646,
26433, 83279, 50289: Orobique scilicer proxime acceditur ad 3. F4. 259, 26535,
89793, 23846, 26433, 87279, 50288,5; qui limiribus est incermedius. Scd non
propierea concludendum exiu, hos accurarius exhibere rationem Perimetri ad Dia-
metrum, quam ucrumris limitum: Niti constaret (quod non constac) veritatem
iplam praecise mediam clle inra politos, aue huic Calrem quam proximam. Ouippe
eo collimat nostra inquilitio, ut eam rationem extibeamus quam proxime, quae est
praecile media; hoc elt, qua pro tigura terminali 8, vel 9, habcat 83, leu 8, 5.
Fieri aurem porest (nili quid aliunde constet.) uc tiguram terminalem postulet
majorem quam 8, sed propius ad eam accedenrem quam ad 83; aurminorem quam
O led provius ad eam accedentem quam ad 83
Oux aurem sic intra alsignatos lumites consistune sunc, in inquisitione priore,
Raciones poltremse quatuor; in inguiticione polteriore, Cola ultima. Si enim in
Lingulis his insticuatur analogia; ut terminus Diameero analogus, ad terminum
Perimetro analosum, sic F, ad quartum; reperietur quarcus ille terminus 3. T4159,
ec. Sed in quo, pro tigura cerminali 8 rel o, prodibir, illic quidem plus quam 6.
Sed minus quam 8=; hie vero, plusquam Bs, led minus quam o. Praecedentes au-
cem in utraque inquilitione omnes, Tunt exera limites. De quo liquis dubitet;
porerit ille libi tidem lacere, modo relit quemlibet terminorum Peximetro analo.
gorum (Cixtris quot opus erir in locis partium decimalium continuatorum) per
respectirum terminum Diametro analogum dividere; operationem cousque conci-
nuando, donec Ouocientem laris longum nactus tuerit.
Pa vero qua hic ance monuimus, quamris vim Cuam habeant (mutacis mutan-
dis) in aliis similibus inquilirionibus; ea tamen hic porius monenda pucabam.
quam in tinc praecedencis Cupitis; quoniam ea in cam lonso piocellum maxis LUNE
conspicua.
Seguuntur ipla Racionum axproximationes, tuo quaeque ordiue.
Batio Diametri ad Perimetrum Circuli; justo Major, sed conti-
nue Decrescens: Teu, Perimetri ad Diametrum: jucto Minor,
Sed continue Crelcens: donec intra attignatos limites consistat:
Obique tamen tam accurare exhibita, quam heri poreA numeris
non majoribus.
Diam. Perim.
Lautb. Perim.
Diam. Perim.
FOTO
TT23
236
3T73
2
1528
2818
2252
2366
5885
38
4593
494
530
5658
60T2
6368
6723
107E
3C
2462
157
289
1688
28OF
2924
2027
2140

## Folio 52 — 851708439:0076
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000076.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 200 lines, status machine
10273
10628
10983
72048
12403
12758
13T13
23468
24+78
25243
15598
18083
F9248
19503
19858
20223
20568
21278
21633
21988
33868
24828
25183
Diam. Derim.
6208
11 6434
5668 20923
 6373
316886
3 3564
12 17790
7903
8242 25693
8355 26248
8468 26603
858F 26958
8694
27313
27668
25538
8807
Cid . L2 1
Diam. Perim.
2536F 48258
25474
15587
L200
48672
E G F B R A.
Dam. Perim.
8920 28023
9033
9259
20050
10163
10276
20389
20502
2084. +
T1406
11632
11858
72197
X2370
12536
28378
T2649
+2762
12875
+2988
23FOT
28733
29088
23214
13327
23440
2944.
13892
E4XT8
F4232
F4344
14457
14683
24796
14909
31628
32283
32638
32993
30038
25022
34768
36543
36898
51608
36288
38328
38673
39028
39383
39738
404. 4 8
40603
40093
4F+58
4T5F3
4. +868
42. 2.23
42578
42933
43288
43643
43998
44353
44702
45062
454. F8
46228
46483
46838
47193
15135 47548
45240 47903
48968
49678
4932.3
758+3
15926
26252.
26265
16378
2649T
26604
26777
26830
26943
17282
77960
18186
F84. F2.
18525
28638
1875L
28864
18977
T9090
79203
79376
19429
19542
1963)
79706
79881
29994
20107
20220
20333
20440
20672
20785
20898
2FOFX
2. F2. 37
51800
5074
51098
51453
52518
1ad
54648
58298
58553
5890E
59263
59618
60328
60683
61038
67393
62748
62103
62458
628T3
63768
63638
64232
64588
64943
65298
6565:
66008
66363
66728
21350
21463
67073
67428
21576 67783
21689 68150
Diai.

## Folio 53 — 851708439:0077
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000077.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 200 lines, status machine
 L G E B R A.
aP. XI.
Diam. Perim.
c 21802 68493
2T975
22028
C22. T4. F
 22254
22367
22480
22593
22706
22879
 (22932
C (23045
c123+58
23277
1023384
23497
23610
25722
oe23835
c0d 23949
24062
2386
244OL
30 24524
24627
21853
c24966
C 25079
tC 25792
25305
254 +8
2553F
25644
∞ 25870
25983
26096
26209
26322
ec 26435
dd 26548
2666+
26774
26887
27000
27226
27452
27565
27678
27792
27904
28017
88018
28230 8533
60648
69203
69558
69973
70266
70623
70978
12333
77688
72043
72398
7275:
73108
73463
73818
74 173
74528
74882
75238
7559.
75948
76303
76658
77013
77368
78078
18432
8788
79243
79408
79853
80208
80563
80928
81273
87628
81985
62338
62693
bddq
63405
05750
64++3
84468
04025
85178
85888
86243
86508
86953
87308
87663
28243
28356
Perimo
8628
37859
37972
52085
32650
32763
12C 32876
32989
TCx, +. 33202
Tnerem. 133275
TR. XF, + 66322
Encrem. 199532.
89436
89793
90T4C
9050.
90858
dT2T2
92568
97923
92278
92632
92988
9405.
94400
94763
95TT8
95828
96183
96530
96893
d7248
97603
97958
98373
98668
99025
99378
9973
100088
200443
200798
TOTT53
1OT508
20T863
102218
10257
202928
103283
703638
103993
204348)
20834.C
322689)
165840 521030
26538F
833728
Cnerem. (364973 22404081
630204 4980127
995207 322653)
YL. XI, F [360T20 4272943
Lmerem. 12725033 5419351
Diam.
28582
28808
29034
2914.
28469
28695
2092+
29486
29599
29712
29825
29938
30204
29260
30390
30503
30626
50729
50842
30955
37068
3TT8F
3L294
32633
85746
89083

## Folio 54 — 851708439:0078
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000078.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 112 lines, status machine
L L C L B R A.
Cap. XI
Perimeter.
9692294
25TT164
20530996
25950347
32369698
36789049
42208400
4762775.
53047102
58466453
63885804
69305155
74724506
8024363
iameter.
3085253
4810286
6535219
8260252
0985285
TTZFO3T8
1343535F
25160384
26885417
28620450
20335483
22060516
23785545
25510582
152746797
98256779
I131002976
209259755
340262731
1821528438
TT5T79T769
1963379607
14738167652
6702487255
1567663097408
574364584667
X242027682075
12709690779483
2857728461558
144485467702853
473372861644 TF
97822653867264
136308T2F57OT17
12826492048214374
195279976968449T
19527687726852338
22580486896536829
2+208174623389167
1657070651
245850922
4c25579871
657408909
2068960896
25494927791
3678456075
62679504)4
14885392687
21053343141
17833662165321
28044F9559672
3587785776203
537TT579927345
8958937768937
1397552285267891
2487T4256295726
288469374822525
428224593349304
570667493206774. 51
6734899525457045
30246273033735922)
36381T72559752966
66627445592888887
1736876735467187340 4300209465910692431
258084910090576507 496638392183958τ30
294961645557763847
9266493387750273737
43583838102495T287 1356660285366096616
568725T16492738527 278667T237957165859
905591857959325867 2216682178548235102
LL. X 1, F. 842468587426513207 2646693125139304345
1979345322893700547 30767040717303735881
1821B13910320213754 5723397196889677933
VII. X2,
eteM.
NIIT. X
Lnerem.
+X. X 2, +.
Tnerem.
X. X29 +.
Tnerem.
XT. X84, +
Lnorem.
Tnerem.
XII. X
XITI. 225, +
Tnerem.
XIV. X13, +
Cnerem.
XV
Ratio
Tnerem.
XNT. X6
enerem.
Lnerem.

## Folio 55 — 851708439:0079
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000079.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 104 lines, status machine
Cap. XI.
A L G F B R A.
Latio Diametri ad Perimerrum Circuli; justo Minor, Led continue Crescens: Peu Perimetri
ad Diametrum; jucto Major, sed continue Decrelcens: donce inera altionatos limites con-
siltat. Obique tamen cam acclrate ebilas Eal Ae le tento non majoribus.
Diameter. Perimeter.
Zuorem
de
03183080
Tnerem.
TLT. X 292
Tuerem.
V. X2,
Inerem.
7. X
Tnorem.
YI. 2.
Tnerem.
YII. XL4
Tnerem.
Znerem.
TL. X 2, +
Tnerem.
X. X2,-
Tnorem.
123320362
137002976
1340262732
471265707
812528438
11963379607
2774848043
XI. X X, F. DC 4738167652
Increm.  1670r487258
124396549TI
(T8T4TT42T70
124842629429
37544. F16688
38245603947
44947097206
51648578465
0+ 58350065724
65051552983
7T753040242.
784545275OF
185156014760
92857502079
98558989278
205260476537
ETL961963796
28663451055
P.
m.
Prop. Meric. 135.
2
312689
5408
(2943
035+
802438571
85563208
265707065
2458509721
4X2557987
20089668961
1480524883
2548487777
67679504541
872744223
14885392687
2105334314Y)
35938735828
56992078969
78045422120
99098765251
T2OT52108393
24+20545F533
262258794674
T83312737815
204365480956
225458824097
24 6472167238
267525540379
288578853523
309632196661
330685539802
35F738882943
372792226084.
223
33702
33275
166317
99532
1265382
364923
(1360120
172503:
1I. X 25, +.
VTII. XL
2723)C
321 4619)
116236779
1d
Diam.

## Folio 56 — 851708439:0080
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000080.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 120 lines, status machine
Diameter.
12536
938374
13206642557
1387679T2832
24546940009Y
T5277088735C
258872374605
265573861868
27227534972.7
278976836386
185678323645
F92379810904
T990B1298163
205782785422
212484272681
229285750940
225887247299
232588734458
245995708976
252693796235
259394683494
266096170753
272797658072
270409245277
266200632530
292902+19789
Perimeter.
39384556922
4248989T236C
595225550
157005598648
478058947789
499T+2284330
520T65628072
54. T2 189712T2
562272374353
583325657494
604379000635
6254. 3234.3776
646485686977
667539030058
688592373199
709645716340
730699059481
251752402622
772805745763
793859088904
8F49T2432045
835965775186
857OT9FT8327
87807246+468
899725804609
920179T47750
94.T232490897
962285834032
983339T77173
2004392520314
T025445863455
1046499206596
2067552549737
7088605892878
T209659236019
T1307T2579160
(251765922302
T17281926544 2
1793872608583
214925951724
1235979294865
7257032638006
727808598F24;
1299239324288
T320792667429
F34 T246070570
T362299353721
2383352696852
2404406039993
1425459383F34
L4465T2726275
140, 660694 26
F48861941255)
2509672755698
1330726098839
755T77944T98C
2572B32785T2I
7593886T28 LlL
239290221717
299603607048
306305094307
373006561566
329708068825
326409556084
3337T1043345
3398727506-2
346524017861
853215505120
359926992379
366628479650
373379966697
38002+454156
38672294. 14. 15
393424428674
406827403192
4+3526690452
426931864969
433035352220
487243250300
49394637553
500646224010
400125975935
44 334039467
447036326746
4537378F4005
46043930+264
46724078852. 3
473842275782
48054376304 +
4.2C 236377710
101 34d1ta
Diam.

## Folio 57 — 851708439:0081
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000081.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 124 lines, status machine
ZIV. X3, +
Lucrem.
XV. X. X, +
Tnerem.
XVT. X2, +
Inerem.
Diameter.
L
F B R
Perimeter
2624939471403
2635992814544
2657046157685
1678099500826
2699T5284.3967
2720206187108
274F259530249
17623T2873390
1783366216531
3587785776203
5372452992734
8958937768937
24330089767671
23289027530608
32247965299549
4. T206903068482
50765840837479
59T24778606356
68083716375293
27042654 T44230
86001597973767
94960529682704
10397946745204. 1
FF2878405219978
721837342988955
730796280757852
139755218526780
428224593349304)
514051299336
520752686595
527454173854
53475566TTT3
540857148372
547558635631
554260722890
560961610T49
567663097408
17242027682075
1709690779483
12851718461558
456140924F042
7423127702599
20264846264157
13116564625725
15968283087273
2882000T54883Y
21671720070389
245234 3847294.7
27375156933505
30226875395063
33078593856621
359303723+8179
38782030779737
4263374924T295
44485467702853
(23630872157OT77
180793589272970
3T720T71084 3087
4534098324.53204
589727953983321
726026075553438
862334F97T23555
998642318693672.
2234950440263789
1271258561833906
1407566683404023
2543874804974240
1680282926544257
1876492048F24374
12952799269684401
3769290217798865
5722089387483356
7674888557267847
9627687726852338
(2F208774623380767
30835862350242505
52044036973630672
732522T7597079839
94460386220409006
125668560843798173
XVIL. X6, F 136876735467187340
Tnorem. 1842468587426573207
979345322893700547
XTL. X2, +.
Tnerem.
XIII. XE, t
MMedem.
5679798T7876093
906204405225397
T4244289985747Or
2852653597924005
2280878185273309
2709102778622613
373732737T97T977
356555796532T221
3993776558670525
442200TT52019829
485022574536973:
5278450338718437
570667493206774. 2
61348995254 17045
2184T574457484.786
27976473982901831
24122373508318876
30246273033735921
6662744559288888)
96873718626624808
16350T2642795+3695
230F286098+2402582
296756055405297469
56338350099818035
230070946592069243
26466931252393043451
3076704072730373560.

## Folio 58 — 851708439:0082
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000082.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
L G F B R A.
A I
DeLOGARL LHMIS; corumque Inven.
tione  sto
Trera quam innuebant Accestionem, Aleorismo Arabum (postquam eune
ab uIS acCCPCTatc) factam, CM Locarichmorum ulus: Atare noltra,
Hlos plimus omnium (Nemhine, quod seiam, praecunte) invenie, Johannes Nep-
perus, Baro de Merchiston, in Scoria. Duos typis cdidie sderiburei, AnnO 16T4.
ec ita mulio polt (altrmpeo Socio operis Lenrico Bries, Geometria Proteltore
publico; Loncum primum, in Collesio Grestamensi; ec, polt, Ononiae;) in melio-
Invencum lane ceresium; quod aride quidem (nec immerito) amplectebantur
D. Flenricus Prieeius, Post Primum cdicum ejusdem specimen, in Scoriam Clacim
properabat; ut Auchoretm ca de re contiilerer, senla lua exponeret, Tociamque ope
ram impertiret in conticiendis Pabulis. Duod magni laboris opuserat, magnaeque
Cubcilicaris: P.dicum ANNO 1624
Idem amplexictarim Tunt, et promorebane foris, Benjaminus Orstitius, Johan-
nes Kepplerus, Adrianus Vlaccus, Petrus Cruserus, aliique; uc ex seripris luis edi-
eis, qua etiamnum extant, liquet.
Domirem eam ledulo promorebat Lenricus Gellibrand, qui Trisonometriam Pri-
tannicam complerit, edidirque. Ouam inchoarerat Briesius, sed (morte impedi-
tS) reliquie impertectam.
Adeoque, breritempore, passim innotuie, arideque receptum est hoc inventum,
tanquam apprime ucile; praelencim tacilicando es expediendo Caleulo Trisonome.
trico.
Fundamentum totius negorii, hoc elt.
Si seriei Terminorum, in Progrestione Geometrica, ab F continue proportiona.
lium: DuIa
sente Britanna, inventus.
rem Formam redactos, complerit.
Viri in Mathematieis cruditi.
. 16. 32. 64. ec.
Accommodetur series Indicum leu Exponentium, in Progrectione Arictimetica,
ab 0 concinue procedentium; pura,
4. 5. 5. _c.
Manisestum est, pro quaque Terminorum inter se Multipheatione  Diorsione:
parem respondere sixponentium inter le stionem e Substractionem
respective sumpris, numerus 2 IPL 5 Baccus al 3. Aique ut 32 per 8 Divisus
dac. 4. Bes d5 subduetus 3, relinqui 2. VL LC UlSiG1C.
Termini-
Fxponentes
4. 8. 16. 37. 68
Nam PTOUL, in Terminis, 4 Det 0 mamplicatus Facit 32: SIC, in Fxponentibu
Fundamencum.
(Pariter ac jam supra oltendimus, ex Archimedis Aenario; de an B, y, 8, Rc. 1s
continua Prosrettione Cicometrica ab r; quae Fxponentes habeane corresponden-
tes, in Progreltione Arichmerica. Idem urique elt uuliue Procettus conie
Ldemque paritee Valelus ies lillel duos ejulmou eEraou hiletponamuo lte
plurave

## Folio 59 — 851708439:0083
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000083.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
Cap. XII.
A L G F B R A.
plurare media Proportionalia; et inter corum F.xponentes, cocidem media Arich.
metica.
Pura: Si inter 4 8 8, (Seu 2 _ 26,) interponamus Medium Proportionale V 32.
(cu 4. V 2; AEque inter 2 et 3 (seu L ec 4) Medium Arichetieum, 25. Ouippe
tum, uc 4. V 2 Der 8 Facit 32 V 2. (medium proporcionale inter 32 e5 64:) Sic, ad
diris Fxponencibus, 2= e 3, tic 53 (medium Arichmericum inter 5 et 6.) LL Sic
ubique.
Ec univertaliter (quicunque sint valores rece,) si fint
Termini, L. r. rr. r. r. r. r. _c.
EXPOHENLES, O. C. 20. 30. 40. 50. 6C. _C.
FUM, BTOUE. I X N3 = Y3. ec rrVrXir =Y
Sic
20 +30 = 50. 8 230 + 3C = 530.
Ft Sicubique. Ftquidem sire sic e numerus positirus sire negatirus: Lioc est,
sire crelcendo sire décrescendo procedat Logarichmus.
Et consequenter; Oualecunque, inter ejusmodi Terminos, interponimus Medi.
um Proportionale; E, inter lixponentes Tuos, tale incerponamus Medium Arich.
meticum: (pura, si illud sic Primum aut Secundum duorum Mediorum Provortio-
nalium, hoc icem tut similiter Primum aut Secundum duorum Mediorum Arichme.
cieorum; Cillud sic Sccundum ex Ouinque Mediis Proportionalibus, hoc item (IF
Secundum ex toridem Mediis Arichmeticis; e in aliis timiliter:) Tum, Singulis
horum inter se Additionibus ex Subductionibus; Similes respondebunt illorum Mul.
ciplicationes ee Diriliones.
Arque SI PrO O, e, 20, 30, 8c. (Dotito e = F) DOnamuS O, T, 2, 3, ecc: tum extii.
bebic Fxponens ille, numerum Racionum seu Dimensionum in eo Termino cujus
CE LxPONCHS.
E. r. rr: rr. H. Y3. e6. ec.
2.
2
4. 5. 6. 8c.
(Ut3 inr, 8 in re d sie ubique.) Seu (quod tancundem est) octendic quam-
multiplicata elt ratio re ad r, rationis r ad E. (incellige, quo sentu detinitur Rg.
tio rationis Multiplicatam ab Fuclide deF. 20. F. I. 5.) Hoc cst, Ouoc Rationes p 2d
Z compotita laciant re ad F, (juxta deF. 5. F. I. 6. Fuctidis) nempe 6. Cui avte
respondet nomen Loearithmus, hoc elt nogur aecsuos, Ceu numerus rationum Lc com
Dolicarum.
Hoc polico Funclamento; Ouem sibi proposuerunt Scopum in Logarichmis con-
Pruendis, hic est. Selecta concinue proporcionalium serie illa (uc commodistima)
quae est in Rarione Decupla: REMPC,
7. 10. 200. 2000, 2000D, 10000D, 100000O
Exponentes huic accommocdabant (in Arictumeriea proprestione)
2.
(Fx consequenter, Fractioni, quae minor sit quam L, debebitur, Pro Fxponente
Numerus negacirus.) Arque cum demum, pro singulis numeris interjectis, puca in-
TET F _ 1O, Inter FO et 10O, et sic de Cateris, (Ut 2, 3, 4, eC; 22, 12, 13, ec;
Ouxrebant (inter O_ F, inter F et 2, dc.) fixponentem (partibus Decimalibus
exprimendum) quod cale sic Medium Arichmericum, quale est Medium Ceometri.
cum (seu Medium Proportionale) numerus ille cui sic altignandus.
FIOS Fxponentes appellabane Lorarithmos; Dui itaque lune Numeri Arciticiales
Numeris Nacuralibus ita respondentes, ur horum Addirio et Subductio, nacuralium
Mulciplicacioni ee Dirisioni respondeant.
Oua Arce hos inrestieabant Fxponentes seu L oBarichmos, et quanco Caleuti la-
bore, tulius ostendic Briceius (in Tua Arichmetica Locarithmica) allique. Ad quos
remitto curiolos; nec hic repeto.
Sed

## Folio 60 — 851708439:0084
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000084.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
A L B P B R A.
ap. XII.
Sed postquam contectae sune horum Labuta, seu Cat LaLIEIICI;
Nusciplicationis de Dirisions opcrattones, Acditione a Sucse (magno
compendio) DCTaGNNET: EE Consegnenter, Ouadratio e Cubatio, Duplacione de
Triplatione; _ L xcractio Radieis Ouadraticae Cub: eaque, Bilcetione et Prise-
ctione; de de reliquis Poreltacibus similiter pro cujulque Poceltaris ordinc.
FIOTUMI LDSALHLIIHOTAI Labuao HaVEMUIS Cdiras, Pro Numeris singulis ulque
ad Cenries Mille. Leu Ciorhadas Centum. Adco uc,  auo Me, 161O 100.000
non majores, inter se Mulciplicandi aue Diridenci prOPONanEUE, (auc etiam plu-
res continue mulciplicandi aut diridendi;) Ouaerendi lunc (in edito Canone L0-
sarichmico) illorum Logarichmi; iique lic Addici aut Subdueti, ut CTanE CXPO-
Rici numeri Mulciplicandi aur Diridendi, exhribebune Logarichmum illius, numeri
qui sic Musciplicando aut Diridendo quaerendus crat; numerulque huic L.O
sarichmo conreniens (in Canone quaerendus) elt ipse numerus quielitus. AEque
ejusmodi Losarichmi Duplus auc Priplus, est Ouadrari Cubire Logarichmis;
e similiter de aliis Poceltacibus. Ouod, in magnis numeris, magnum est Com-
Dendium.
Ft quamvis cdita (quas diximus) Fabulae non ultra YO9 OOO extendaNEuT;
ad numeros tamen longe majores, absque nocabili errore, Facile accommodari
Poltunt; ducto numero Chalacleriltico, et Cumpra parte proportionali, uc in Pra
Ouonium autem praecipuus Scopus hujus Canonis Logarichmici, cst, ad tac
licandum calculum Altronicum, seu Trigonometricum: Propter Logarichmos
Numerorum in nacurali lerie continue sequentium: habemus icem editas Pabulas
Seu Canones Sinuum, Lalselteu, ee Sccantium, artificialium, seu numerorunt
Cocarithmicorum; quoru  de Subductio respondent, Naturalium (Siitit-
um, Tangentium, et Sccau,) Mulciplicationi e Diritioni. Quod cum in-
sione Compendium est pro expediendo Calculo; tum non minus accuratum, quam
est per Nacuralium linuum, canscucium, ec secantium
Tabulas procetus.
Sic, rerbi gratia, in Friangulo plano ABC, daris
Angulis A grad. 60, B grad. 50. (Ec consequenter C
grad. 70,) Latereque AB paltuum 31323: Pro inve-
niendo Lacere ACy leu BCi; hanc habemus proporrio.
nem.
VE Sinus C, grad. 70.
Ad Sinum B, grad. 50.
Sic Latus AB, Paltuum.
Ad Lacus A C, pastium.
Aaeoque mulciplicandus eric numerus 7660444 per 31323, sactusque divi-
dendus per 9306926; indeque prodibic 25535 fere, pro nunero palluum L
CeLIS A C, quaetiti. Trem.
Se Sinus C, gracl. 70.
Ad Sinum A, Grad. 60.
Sic Lacus AB, passuum.
Ad Lacus BC, Paltuum.
Adeoque malciplicandus erir 8660254 Der 3F323; Factusque per 9396926 di-
videndus; ut hrabeatur Lacus BC. quaesirum, pattuum 26867 = proxime.
Ouarum quidem Mulciplicacionum s Diritionum radium, per Losarictimos
9390920
1000444
3132
25537
3396926
8660254
T32.3
288673
ceptis ad ejusmodi Canones lloceri Tolet
Sc vitabitur.
L.OBaCALA. DIUIS C Frad. 70.
L08. Sin. B, grad.
50.
L08. AB, Lumeri 31323.
L.08.  Cy Lent 25535.
9.9729858
+ 9. 884254
4. 4358633
4. 4077373

## Folio 61 — 851708439:0085
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000085.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
Cap
LL G F B R A.
Ooq Sutducto Losaruhmo primo, ex aggresato secundi de tertii, habetut La
richmus quarTIIS. CiuI respONdeI (IN CanONC QuaTCNAUS) RUIOTUIS 25553.SetC, Gu
ell numerus paltuum Laceris quaeliei AC. Ltem
F03. Sin. Cy Gracl. 70
L05. Sin. A, grad. 60
LOS, AB, nMIIB. 3F323
LOS. BC, nuM. 28867
+ 4. 4604081
Obi Subducto Logrrichmo primo, ex secundo ee terrio simul addicis, habetur
QuartIS. Cui respondet in Canone 28862, numerus paltuum L aceris quaeliri BC
Oux elt mulio expedirioi operacio quam quae per Mulciplicationem ee Diritionem
Verasitur.
Pariter in Friangulis Sphaericis: Nisi quod, hic, sumendi erune LoBarichni
omnes ex Canone Sinuum, Fangencium, et Secantium; qui, in exemplo praecedente
desumpei sunt partim inde, Parrim ex Canone Numerorum. Sed cadem urrohique
est expeditio.
Ouibus aurem pastihus processerat hoc Logarichmorum nesatium, breviter indi
care Lbet.
Inrencum hoc primo publicarit (eju(dem Auchor) D. NVepperuS; AnnOL6L4
libro cui Piculus Mirisieus Locarithmorum Canon. Cajus Deleriptionem et VTum
ibidem cradidit: sed Construetionem es Demonterationem relerrarit in pollerum
cradendam. Ononiam hoc Speciminis loco tunc cdidit, uc Virorum Doctorum de
co judicium perlentilceret, et quam de co terrent sentenciam.
Habetur ibidem Canon Sinuum, cum Nacuralium cum Logarichmicorum, ad Fin-
sulos Duadrantis Gractus, corumque Minuta.
Cumque ipli liberum fuerit, cui voluerit numero Logarichmum Facereo; inde-
que vel Crelcendo vel Decrelcendo procedere: poluit ille, pro arbitrio (uo, 0 L0.
sarichmum Sinus torius, 1000OOO; ideo nempe ut quories, per Radium
torum, instimenda esset aut Mulciplicatio auc Dirisio (quod in Calculo Frisono-
metrico Expius occurrit; ) posset illud ab (que ullo labore tieri, cum nihil hic aliud
requiratur quam Additio aut Subductio ciphrra, 0
Ft quoniam Sinus, numerosque, toro Sinu seu Radio minores, frequentius occurtii-
ros putandum erat, quam Sccances auc Pansences aliolre numeros Radio majores
Placuie, minoribus numeris Logarichmos altignare affirmativos (Losarichmos, al
Oi continue augendo, pront minueretur Sinus;) quos Losarichmos Abundantes
vocabat: adcoque Logarichmos Negatiros (quos Defectivos vocabat) numeris
Majoribus; IIIoS nota F, hoSnOTa =, deSignaLOS.
Simulque oltendii, quomodo har Sinuum Pabulas (cum Dilterentiis ibidem ad
Seriptis) pro Pabula Tangencium et Secantium inserrire pollet: Or tuerit hie
Compleus Canon, cum Sinaum Nacuralium; tum L. ogarichmicorum Sinuum, T2y.
sentium, e Secancium.
Ostendit icem, quomodo hic idem Canon adhiberi postic pro quaerendis L. oeapich.
mis Numerorum Absoluorum. Sed cum illud operolius aliquanio cller; pleniorem
hujus explicationem tractatui post cdendo reserrarit.
AnnO auTeM 16F9, D. Johanne Neppero tum mortuo, filius ejus Robertus Nep.
perus, idem iterato edidit: Simulque Posthumos Parris sui cractatus aliquor, de L0
Parichmorum Constructione: Propolicoque suo (post communicata consilia cum
D. Fenrico Briesio) mutandi Formam L. ogarichimorum; polito o pro. F ogarich-
MO numeri F: adCoque 1, 2, 3, _C. PTO L OBATIChIIS MUIMETOTUM 1O, 700, 100O.
Sec. (Ouod prius item inlinuarerat Pater, in Praelatione ad Rabdoloeiam Tuam, AN
n0 F6FZ Cditam.) Aliaque item Frigonomeiriam spectantia; cum Prieeii lueu-
brationibus nonnullis eodem spectantibus.
Sed, Johanne Neppero jam demortuo; torum quod reltabat overis in Flenricum
Brieerum derolucum est. Oui (prout inter eos conclutum tuerat) numeri L, L0.
Barichmum FaciCbat O. FFMUETOTUM X0, 100, 1000, _C, T DOrIChOS L, 2, 3, dc
Ouos Indices appellabat, _ Characteristicos, (nOS, MLMeTOS TntCErOS REDIITEIUS,
cum annexis Ciphris quatuerdecim; (nos pro locis parcium decimalium repuremus,
intra Onitatis Leu Inteerorum locum, aur locum Characteristicorum:) Pilque In-
cermedios Loxarichinos astienabat pro incermediis numeris.
-9. 9729858
f 9. 9375300
1 4. 1333

## Folio 62 — 851708439:0086
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000086.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 75 lines, status machine
A L. C F B R A.
Cap. AIL
Et consequenter, cum Logarichmusnumeri X, Bonatur O; neceste est ut nume.
rorum tractorum, uno minorum; seu inter F eco incerjectorum, Logarichmi Cint
numeri Negatiri seu Ablaciri, minores quam o: Duos Logarichmos Defectivos
appellat; ec praetixa = (negatiONIS NOT) delignabat.
Duobus aurem modis detirnari possine hi L. ogarichni Defectiri; Nimirum, vel
ita ut negationis nota corum atticiat Logarithmum: Vel ita ut Characterilticum
tantum alticiat reliquo L. ogarichmi manente actirmaciro.
Exempli gratia; In Fractione 3, seu (quae huic aequipollet) 0.375: Supponitur
L03.3
1.08.8.
numerator 3, per denominatorem 8 diridi. Quod, in
O. 477T2F2 Logarihmis, tic, Cuberahendo Locarichmum numeri 8, Cx
6. 9030899 Loharichmonumeri 3; reliduulque erit Logarichmus nu-
L.08,8. -0. 4259687 numeri 3: qui itaque erir numerus nesatirus- 0. 425968,
Vel lic: Cum Logarichmus numeri 375, (dummodo
Pro Inceoro habeatur) sic 2. 5740312: Pjusque numeri deprestio, ad primum, (c.
L.08
L.O3
LOE
L05.
cundum, tercium, aliumve deinceps locum partium
3750 3.57403F2 decimalium, nil aliud sic quam (eildem figuris ma-
LO5. 0,375
L08. 0,0375
2.57403+2 nencibus) ejusdem divitio per 1O, 10O, T00O, etc;
T.57403r2 Quod in Logarichmis, tic, Tuberahendo 1, 2, 3, ecc.
0.5740312. a characteriltico, seu loco Vnitatum, (eo quod F, 2
2.5740312
3, dec, tinc eo in loco Logarichmi numerorum 10,
2.5740312 100, 1000, _c:) Hlaec valoris immutatio (figuris
manencibus) tie, mutaco characteriltico Logarictimi,
exteris figuris manentibus. Oui iraque Characteristicus (ubi ita deprimitur ut mi
nor cractat quam +, cujus Characterilticus est 0,) tiet characterilticus Negatirus,
manentibus tisuris reliquis ACtirmaciris. Ouem itaque solene, hoc casim siperne no-
care signo Plegationis =, ne censeatur negatio ad reliquum item Locarichmi perti-
nere.
Oux dux Formae, fractiones delignandi, quamvis dirertae videantur, (poltic.
T.9000000
+05740372
O. 4259687
que quilibet aut hanc aut illam pro arbierio achibere; autetiam
nunchanc, nunc illam, prout expedire ridebitur; ) cancundem
valene, poltunique inditterenter acthiberi, uc operatione ad mar-
sinem liquet.
Canonem Locarichmicum, ad hanc formam compositum, cdi-
dic Brisgius anno 1624; pro numerorum absolucorum Chiliadibus 20 primoribus
ab T, ad 20,000.) aliilque 10 (ab 90, 000, aet 100, 000.) aliamque porro addi-
dit Chiliadem supernumerariam (ab 200, 000. ad 10T, 000.) adeoque cdidit omni-
no zr Chiliades
Duibus praefixie Tractatum, de Natura et Constructione Canonis Logarichmici;
ejusque Vlibus. Monstraco item, quomodo suppleri postent Chiliaces intermedix.
Pocique Factus est Ficulus Prithmetica Locarithniba.
Idem icerato edidir, Anno 1628, Adrianus Jacq (Teu Flaceus) suppletis (ue
docuerat Priesius) Chiliadibus intermediis prius omisis: ut jam habeantur Ciri-
liactes omnino 100, cum una (ut ante) supernumeraria: Sed in brerioribus nu-
meris, uc qui ad 20 cancum loca continuentur, intra Characteristicum, scu Onita-
tis locum. Subjungit item Canonem Logariclimicum sinuum, Fansentium, et Se-
cancium, (cocidem locorum,) pro lingulis Ouacranuus Cracibus et Minuris primis.
Procellerat item Brieeius ad calculum Logarichnici Canonis Prigonometrici, l0-
corum (intra Characteristicum) Ouaruordecim; uc crat ille pro numeris ablolutis.
Cumque prius computarerat Canonem nacuralium Sinuum, Fangenrum, et Secan-
rium, (locorum 25) pro Ciradibus, ec gradtuum Cenretimis; huic item accommo-
davit Canonem Logarichmicum Sinuum _ Tansentium, (omillis Secantibus ve
minus necelsariis:) pramisto irem Fractatu de Canonis hujus constructione, aliil-
que ad rem eam spectancibus; aliumque POrrO Tractarum incenderat de horum
omnium usu.
Sec morce praepedicus, Tractarum illum ultimum non absolrie, neque edidic
Dracedentes. Ouem polt suppleric LSenricus Gehibrand, e cum reliquis edidit,
anno 1633, Tub nomine Lrieonometriae Britannicae. Cur lubjunctus irem est Ca
non alius Logarichmicus sinuum ex Tansentium Acriani Placci (locorum 10, PEX
ter Characteristicum) pro Crracibus, minutis primis, ee denis secundis, Brieoiique
20 Chiliactes L. og arichmorum pro numeris absoluris.
Adeoque

## Folio 63 — 851708439:0087
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000087.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
Cap. XI
L C P B R A.
Adeoque jam cora doctrina Logarichmorum Patis videretur completa, eum Ca
nonibus seu Tabulis eo spectantibus, in numeris magnis. Cujus irem ratIONEM
expOnit Petrus Crugerus, in Praesatione ad Tuam Praxin Prieonometriae Locarith
micae, anno 2634 editam. Cum suis irem Pabulis Logarichmicis, sed in breriori
bus numeris.
Fabulasque Locarichmicas ante memoratas, (pro Chiliadibus 100 mumerorum
absolurorum, atque pro Sinibus e Tangencibus ad Ciradus lingulos, graduumque
Centesimas;) eodem anno 1633, in breviorem Formam contraxit Nathaniel Roe
(Suftolcienlis, Anglus:) sed in brerioribus numeris: Nempe, qui mumeros ablo.
lutos spectant, ad loca 7 continuaris, (praeter Characteristicum;) acque ad loca
20, qui Sinus et Pangenies spectant. Subjunctis item L. dmundi W ineate, breri-
bus indicationibus de illorum ulibus, in Priconometria, Geometria, Astronomia,
Geoeraphia,  Navicatione.
Interea temporis, Pabulas item Logarichmicas edidit Beniaminus Orsinus anno
2628; iterumque anno 1625, in Friconometria (ua. Trem Johannes Kepplerus, in Tua
Zocarichmrrum Chiliade; quam L abulis Rudolphinis luis accommodat, anno 1627
eduis. Irem Claudius Batschius, Cub idem rempus, aut paulo Dost. PF Georeins Ludovi
cus Frobenius, anno 2634. Lx Corlan alii quos cgo non ridi. Sed horum plerique, sI
non omnes, breribus numeris, eisque primo Lepperi specimini accommodatis; non
illi torma quam ipse sccundis cositarionibus, et polt communicata cum Brissio
contilia, pociorem habuit; quae et polt a plerisque recepta ctt.
Ab eo tempore, non mulcum accestie Doctrina Losarichmica. Scd nec opus
Crat: cum res ea jam latis absoluta rideatur.
Si tamen, dlaca aliqua occalione, necessarii videantur Logarichmi, cum majori
accuratione, ee longioribus numeris, quam in Pabulis hactenus ediris tabeantur:
Oltendit Nicolaus Mercator in Loearithmotechnia lua, (breri cractatu, led acuto,
anno 1668 Londini cdito;) quomodo id tieri pottu, numeris quancumvis longis,
multoque quam hactenus expeditius; et Jacobus Crecorius in Geometricis PVercita-
tionibus.
Oui plura de Loparichmorum constructione aut Osu desiderat; adear Auchores
ante nominatos; praelertim Brieeii Arithmeticam Locarithmicam: Brieenique et
Celibrandi Frisonometriam Britannicam; quae que de his tratene Adrianus Flaceus,
e Petrus Crueerus.
Enum aurem etiamnum decste videatur, ad commodam Canonis Logarichmici
tractationem. Nimirum; cum habeatur Canon Logarichmorum pro numeris na
turalibus ordine continuo ab Fad F00,000; ut Colo Canonis inspectu haberi pos-
snc inde Logarichmi: Non tamen, qui expolito Logarichmo conveniat numerus
nacuralis cadlem tacilicare haberi porest; sed inventis (in Canone pro ordine Nu-
merorum) Losarichmis urinque proximis, corrigendi sunt illi Per ParteM prO-
porcionalem, ut numeris adleripiis intermedius inveniatur qui L. OsarichnniO COnprIAE.
Cui uc obrietur incommodo, deliderandus ridetur, Canon Anci. Loearithmicus.
In quo, politis Losariihmis continuo ordine sequencibus, ab 0 ad 100, 000; ad
scribancur numeri naturales his respondentes. Po Finc, ut qua Facilitate ex Ca-
none quem habemus pro dato numero habetur Logarictmus; cadem ex Canone sc
condendo, pro dato Losarichmo habeatur Numerus.
Et quidem a mulcis jam annis, hujulmodi Canonem constructum habemus, sed
nondum editum.
Canonem illum neseio an inchoarerie D. Zhomas FParriot; Cujus Schedialinata
nactus D. Nalierus Narner, inde edidic ejus Algebram, AnnO 163L; ec spem FC.
eic ejus se plura editurum. Idemque Wainerus non ita mulio pott (si non et
ipse primus inchoarerie, salcem) Canonem illum absolvie, et prelo pararic; jam
ante annos, credo, Ouinquaginta circiter (sinon et plures.) Ouod mihi nuxer
indicarie D. Johannes P ell; qui de Warnero tuerat tamiliariter nOtuS; eique tue
rat auxilio, partem laboris Calculi subeundo. Oous illud memini me vidisse (de
quidem lolummodo ridille) inter alia sive TTarrioti Pire W’arneri Schedialmata,
jam ante annos tere Friginca. Ouid de illis voltea taetum tierii, nesciri; donec
a Pellio nuper reseirerim, ea jam esse penes celeberrimum Virum D. Richardum
Busber S. T. D. qui celebri Schola Westmonasteriensi a Lonso tempore lumma
cum laude praetuie, jam valde senex. Oui e mihi soem tecir, opus illud breri
prodicurum cura D. Pellii; Talcem s vellem eso (cui non difticilis annuebam)
Pellio

## Folio 64 — 851708439:0088
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000088.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 91 lines, status machine
A I.  H B R A
Cap. XII.
Pellio I ea cura Succedere, Modo concingeret eum incepto opere, necdum tinito,
MOrEuUM FOrC. Sed Pellius jam morinus est, Tenex, anno 1685; Edirionis opere
ne quidem inchoato. Fe mecuo ne moriente Busbeio breri periturum sic opus il-
lud: eo praelercim, quod non sic, qui rolet impensas L dicionis sustinere.
Logarichmorum Olum quod spectat; Ouamris ad tacilicandum calculum Friso-
nometrieum fuerint primitus exeogitaci; (unt tamen et alias ului, uhi Mulciplica
tionis aut Diritionis incerrenit operatio.
Sic innegotio Aatocisini leu Fcenoris compotuui. Puta in ratione 6 per 100
PronnO anno. Ouippetum Crit; uE 20O ad 206; Seu F ad T.06, hoc clt, ad L106:
sic Cumma capitalis seu principalis, ad Tummam toenore auctam pro uno anno. Adeo-
que mulciplicanda erir Tumma principalis per L. 06; PrO anno primo. Ouodque
hinc prodie, multiplicandum Crit per T. 06; pro anno sccundo. FE Sic Continue prO
annorum numero, ut habeatur cumma oriunda in fine tor annorum.
Pro quibus concinuis mulciplicationibus; per Logarichmos sic proceditr. L0.
sarichmo cumma principalis, addendus est Logarichmus numeri T. 06 toties; hoc
elt, iltius Logarichmi cocuplum, quoc sunt anni: uc habeatur Logarichmus Cum-
mae post tor annos emergentis. Cui correspondens numerus absolutus, est Cumma
Quaelita.
Vecor Slatia. FCto Tumma principalis, 25 librae, 27 solidi, e6 denarii. NonciX
1F 30(2354096 +
Anslicana: hoc est (in partibus decimalibus) librae 25. 875.
FE ratio Lcenoris 6 per 1OO, PTO UnO anNO: Der annOS 12
in ca ratione concinuandi. Numerus ergo 15. 875 est per
2.06 continue mulciplicandus duodecies. Unde tandem pro-
dibic 3T. 94362 =. HIOcCH, lib. 31. Sol. 18. den. 203 tere.
Idem per Losarichmos lic tlat hrerius: Numeri L.06 (pro
ratione taeneris expotui) Logarichmus elt.
Fujus duo decuplum (pro numero annorum est.
Summa principalis 25. 875 Losarichmus est.
0.0253058
0.3036696
1. 2007137
Ouiduo simul juncti Faciunt LoBarichmum. T.5043833
Cui respondet quaelitus numerus ablolutus.
32. 943562 proxime. Hoc elt, 31. I. 18. f. 105. d. Fere; uE
PPIUS.
Contra vero; s dato tempore, et Foenoris ratione, (ut
Prius,) cum Cumma oriunda 3F. 94362 -; quaeratuE, a qua
lumma principali oriretur ea: liix oriundae Logarichmo
T. 5043833, S Tubtrahatur 0. 3036696. (duo-
decuplum Logarichmi numerI L.06) relta- 7.5043833
bic P.2007237 Logarichimus quae sitx Tum- 0. 3036606
mae principalis.
Sin ex codem x. 5043833 Tuberatiacur
2. 2007237, reliqui 0: 3036606 pars duode
CIMIa (PrO anNOTUM MUMETO) 0.0253058
CA Losarichimus MMCrI T. OO prO rationC
T. 2007137
7. 5043833
T. 2007137
0. 3036606
Lacque Fellau 0. 3036646, per L0, 0.0253058 (12
sarichmum 00253058 (pro ratione fceno.
12 323436190 - bit 12, qui est numerus anno. 0.0253058)0. 3036696 (12
rum; nempe, in quibus, ex ta.
li principali secundum hanc scenoris rationem, calis proveniret Cumma
Simili Forma (mucaris mutandis) solruncur alix quaectiones Anacocismum spe
Ctantes. Ouas luccinete tradie Ouchtredus in subjunelis lux Clavi Mathema-
lica.
Pariter, in voca illa quaestione, De Vnicace continue duplicanda. Ouae jactari
Toler, De siquo rendendo secundum numerum Clarorum 24, quibus sustisi Colent
Ungulis suis solea terrex. Policonimirum exiguo precio pro elavo primo, ejul
que duplo pro secundo, hujusque icidem duplo pro tertio; et lic continue du-
plando, pro claris singulis: Ad quam immensam candem cummam pervenia-
Tur.
Cujus
e
15187
8525
1682
18
009650c
3372
70229
3444
2004. 28.
22025C
2T2443310-
5
22 518
23
25
26
922
57
T808T294 -
Toenoris.
2842970
riS) diritum; Ouocientem da-

## Folio 65 — 851708439:0089
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000089.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
Cd
L A.
Cujus quidem Ouxstionis occationem primam, eam fuisse existimo, glas ex
Al sephau Scripiore Ltabico, i Commentatus illlo de Carien Loerau, in meo
Opere Crithmetico cap. 3T. CITaVI. NVIMIEUI, CUM desa quidam, Indus, Ludum
Scacchii Cre Latrunculorum invenerie primus, Regique luo Shehramo indicare
FIT: A Rese (cui summe placuIE) jullus, pramium quod vellet inventionis lux
pecere; perrir ille, ut pro Abact Luloru areola pa caletur Lritiei sranum unum:
pro secunda duo; et sic continue duplicando secundum arcolarum 64. nume
rum. Ciunque hoc Regi, qui pramium amplum dacum ir rellet, dulplicuerie
quod tam exiguum petierie; le hoc exisuo contentum tore dixit dessa. Ouod
itaque cum Rex dari jusserat: miratus elt Lummoxere, ubi ad tam Ctupendlam mo-
lem hoc excrescere deprehencerir, uc per unirerlum cerrarum orbem cancundem
Pritici non Suppeteret.
Ouancus sic tucurus horum granorum numerus, inrestisabitur, numerum +
contnue duplando ricihus 63, ut habeatur numerus loco ulrimo debitus; et una
porro vice, uc habeacus  Lua. Cuipre duplum ulumi (uno minus)
est omnium Lumma.
Id autem per Logarichmos expedirius Fer, (dt quidem Patis accurate pro hoc
negorio;) nimirum, si ipli 0. (La tatis,) addatur numeri binarie
LDSaLtmuIS 3. 3020290 per 64. musiplicatus; hoc elt 19. 2650736: Cut Con-
venit numerus absolutus, major quidem quam 18446,00000,00000,00000; sed
inOF quam 18447,90000, 00000,0000O.
 A P. XITI.
De Tconardo Pilano, Luca Paciolo, Tartalea, TTonio.
Bombello, aliisque qui de Acebra scripserunt Vie-
taeo priores.
B arabibus aut Saracenis, una cum COrUM AorismO DEK FiBuTAS NI
merarias, aliisque Macheleos parcibus, accepimus item eorum Alcebram:
quae in has Sipropa partes incroducta e, parrim per Craeciam, Cuc ex eis con-
Itat qux à Maximo Planude hrabemus,) Parrim per Mauros in Lsispania. Ouo
concelterunt (cirea centuriam duodecimam) ex Anslia noltra plures, rerum Ma
chematicarum curioli; eo tine ut, non Arabicam literaturam tantum d Mauris
ediscerent, sed speciarim Astronomiam, aliasque Macheleos partes; _, cum reli-
quis, Acebram proculeubio suam. Duamvis (ut rerum tacear) non memini
me hactenus incidisse in nostrorum ulla scripra, iltius scculi, qua Acebram (ve
ciacim memorant.
Antiquistimus quem hac de re vidi scriptor, typis editus, est Lucas P aciolus
Teu de Bureo Sancti Sepulchri dictus, Fracer Minorita, Ordinis Franciscani; Tta
lice edicus eneriis, Anno 2494 (cum Ars Typosraphica jam nora erat, ec vix
ante annos 30 nota:) icerumque AnnO 1523: cui Piculus, Summa Arithme-
ticae e Ceometria, Proportionumque e Proportinalicatum. Diei Solitus, Fra-
ter LucaS, auE Lucas de Bureo, eoque nomine paltim citatus.
Dicic ibidem ille (sub finem Ouincae distinctionis, Partis prima,) se quatuor
hujusmodi Tractatus anre scrip(ille, Annis 1476, 148F, 1470, et 2487, (an FY
pis edici fuerine, nescio:) primores tres, antequam factus est Franciscanus; quar-
tum poltea. Memoratque tres continue succedentes ProTeslores l’epetiis, harum
(UE VidetuT) FerUM PeritOS; Pautum de Pergola,  (qui proxime LuCCCHHIE)
Dominicum Bracadinum (cujus ipse fuerat dilepulus,) et Antonium Cornarum,
qui luus tuerat  rdeaano condiscipulus.
Scriphic praecerea Volumen alierum, De Divina proporrione Mathemalicae dis-
ciptina, Venetiis editum Anno 1509; (quod, ut ex Epistola praetira liquer, jam
ante fierat semel imprestum:) Ona cum Practatu de Duinque Corporibus Reeu-
laribus; icemque de julta proportione Lierarum, P’acierum, Columnarum, eec.
Aeque

## Folio 66 — 851708439:0090
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000090.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
A I. C F B R A.
C aP. L
AIque (ut ex eadem liquer Epistola) Fdiderat Tralicam Fuclichs vertionem.
In Summae tuxe Parte prima, complecum habet Prithmetica Cystema; cm
(uE in Summario prXHZO Monet) ecundum vereres Fuctidem es Boetium; tum
sccundum Noros (eos rulc qui srabum seu Tudorum Alsoriimum securi Tunt)
Leonardum Pisanum, Fordanum, Biacio de Parma (Teu Blasium Parmensem,
fohannem de Sacro Bosco, e Prodocimum de Padtua. FX quibus hunc Fracta-
tum se collcgisse dicie.
Leonardum de Pisa collocat Possus circa anmum 2400, aut eriam cieius; cum-
que dicit (ex Blancano) primum tuisle ex modernis, qui de Meebra scriplie.
sed opus ejus nondum elle eduum: acque ex illo Fr. Lucam de Burso (quod et
ipse innuic) mulcum Arichimerica (UIX MUCUREUI.
Prodocimum, E FTermannum (eum puto, qui Contractus dicebatur) Simul no-
minatos inrenio (in receri MS. Bibliochecx Bodlciana) ut d quibus didicerint
Methodum de Abaco: hoc est, Alsorismum.
De. Tordano, atque Johanne de Saero Bosco, jam diximus. Blasius de Parma
quid feceric, nondum invenio.
Neque ita incellisendum puro Fucam de Barso, quati ii quos ipse memorat,
Scriplerint omnes speciatim de Alcebra; Sed Caltem de Srithnetica Moderna, hoc
est de Aeorismo, Seriplerine ii omnes; et de Asebra nonnulli.
Fx illis quae ab ip(is desmpserar, Suisque R quae Cune addicionibus, plenam
ille nobis extribet Aeorismi craditionem, Teu Praxeos srithmeticae per fieuras
numerarias, in parcibus ejus univertis. Ias (inquic) Johannes de Sacro Bosco-
ee Prodocimus de Beldemandis de Padua aliique Arictimetici, numerarunt No-
vem, (inter quas Duplatio e Mediario sunt duxe;) ille aurem ad Septem re-
ducit Numerationem, Additionem, Subtractionem, Multiplicationem, Divisio-
nem Proeressionem, e Fxtractionem Radicum, (reductis, ut par crat, Dupla-
tione e Mediatione ad Multiplicationem es Divisionem:) carumque Praxin tuse
ostendit cum in numeris Intecris, tum in Fractis.
Oltendit iem Proportionum Regulas, (modosque de Proporrionibus arguendi
Fuclidis libro quinto contormes;) Regulas item Societatis dictas; aliaque ad
(quam VOCAI) Arrem Minorem spectanua; hoc ellu ad rarias compulationes Mer-
catorum.
Trem tum demum Regulas exponit, quas vocat Felcataim; quod nomen Ara-
bicum esse dieir, pro Regulis falsae positionis. Aeque Operationes de Numeris
Surdis, Radicibus Oniversalibus, Binomiis, Apotomis, Trinomiis, _c. eorum vi
delicet Additionem Subductionem, Nulciplicationem, Diritionem, Radicum RX
tractionem, dec. Aliague spectantia ad (quam rocat) Artem Majorem; quam
eam este dieit quae vulso dici Colet Recula de Cosay item Meebra e Amuca
bala: quae nomina docet esse srabica, quae tancundem signiticant acque Restau-
rationis e Oppositionis Reculam.
Aique hic Mechodum docet, Praeparandi alque Resolvenai A quationes omnes
Ouadraricas; (etiam quae radices hrabeant Planas, Solidas, aur alciores his;)
aliasque quae ad Ouadraricas reduei postunt. Aliaque omnia qua ad Alcebram
spectane, quousque procedunt Ouadratiea Aquationes.
Acque haec omnia dicic LN fonte Srabico Petita. Nulla mentione tacta Cire
Diophanti, Cire Algebrictarum quorumris Graecorum. De quibus nullam ulpiam
mentionem factam invenio, ulque dum Zylander ex Grxco cranstulit Diophan-
tum; quae vertio (mulio post ea tempora) primum cdita est AnNO 1575.
Denominationes quas achibet Frater Lucas, Tune Cosa, Censo, Cubo, Relato
(primo, secundo, cerrio, _c.) pro quibus ab aliis dici solent Ractia, uadra-
tum, Cubus, Sursolidus, (primus, secundus, cerrius, _C.) Nocasque horum seu
AbbrerIatuTAS FaciE, C0. C. a. C. H. RC. Trem p. m. Pro Signis PIuS, MinuS. FX N
pro noca Radicalicaris.
Post Lucam de Bureo: AnnO T5Z5 (TCLCL  essio) AIgebram PeripIIL
Tua lingua, Franciscus Caliearius vel Pelacatus, Florencinus. Duem non vidi
AnnO 1544. Michaet Sciselius (cum Arithmeriea Lua) edidie Acebram La
cine, (d reterente Possio, in lineua item Cmanica.) Apud quem passim ci-
rantur Christophorus Rudolphus (uc qui ance iptum seriplerit) d Adamus Risen
(Teu Adamus Cisas,) e Cardani Prichmetica. Noris utitur 2 8 ∞ (8. AF.
tenique hanc appellaru nunc Reculam Acebrae, nunc Reculam Gebri, ut qui pu
raverie

## Folio 67 — 851708439:0091
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000091.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
Cap. LL1LL.
A L G F B R A.
carerit Actronomum Cebrum hujus suiste Auchorem. Sed nihil hactenus ab
illis addicum comperio eis qua iradiderat Lucas de Bursa tanquam ab Arabico
fonte derirata.
Anno 2545 Fhieronmus Cardanus, tractatum edidic de Aeebra cui nomen.
Ars Maena, quam vulso Cossam vocant, seu Resulas Aleebra. Memoratque Ma-
hometem filium Mosis, Arabem, ut hujus Auchorem: FL Leonardum Pisaurien-
sem (cundem, credo, cum Leonardo Pisano:) Et Lucam Paciolum (alias Lu
cam de Bareo dictum;) de quibus jam diximus. Aeque cum demum Scixione
Ferreum, Bononiensem; quem ait primum invenisse duas Resulas, Pro Tolven-
ais quibusdam Squationibus Cubicis; quas Regulas Cardani VOCAHE, (MEpOTC
Cardano primum cditas, sed a Scipione Ferreo inventas.) Aique hanc pri-
mam Accectionem Algebra Faclam repuro postquam eam ab Arabibus accepimus.
Faldem, retert Cardanus, etiam Partaleam invenisse (luo marte) iplique (rO-
Banci) communicaste. Ouibus et ipse nonnulla addidic, aliaque (dilcipulum
Tuum) Luaoricum Ferrarium addidisse dicit. Puta, mechodos aliquas compen-
diarias, auc novos demonstrandi modos, aliaque hujusmodi: Nam, rem iptam
quod spectat, non video quod Ars ipla quicquam hactenus promora trierit ut-
ira quod a Luca de Burentraditum Fuerat, praeter duas illas Regulas Scipionis Ferrei
AnnO 2554 Johannes Scheubelius e facobus Peletarius (eodem uierque anno)
tractatus item de Aleebra ediderunt.
Annoque 2557, Robertus Recora, Anglus, tractatum edidie de Algebra, in
linoua Anglicana; cui nomen tactum est X he vuer. Hone Dt H, hoc eA Cos
ingenii; allutione, credo, lacta ad Regulam Cosa (Ehe IIIe DE CDB,) e nume
EoS Cossicos. Qnam ociam vocat Secundam partem Arithmeticae; ue qui Vul
sarem Arichmecicam alio cractatu anre cradiderat, cui Ticulus (in polterioribus
daltem editionibus) Fundamentum Artium (EBe BBTONnO DE AEtB;) Nelcio an
non Semitam Artium primitus dixeric. Ouippe quam alicubi (in Core) vide
eur hoc nomine citare: ubi aliqua se ante in Semita (ehe Vathmax) docuiste
dicit. Procedit autem, quousque pertingunt A quationes quadratica. L L RobertuS
Norman circa annum 1560. FF Leonardus Dieses, (Kantianus AnsluS,) in libro
cui nomen Stratioricos, Anglice edito anno 1579, incer alia, Aeetram succincte
cradidir. Aliusque nescio quis WV. P. anno 1596, in libro cui nomen ihe Wathvar
to inomleore tradic item Alsebram, lingua Anglicana. Sed Luspicor rertionem
hanc esse libri in alia lingua leripei. Pt errore quali perpemo simile dicit pro
Aquali. Pc quidem Aiquationes BClOX Vocant Verchehickinehen.
AnnO 255O, Johannes Buteo, Loeisticam Tuam edidie Lacine; in qua (ub
tinem etiam Acebram tradic; sed quam ille (nescio quare) Quadraturam av
pellat. Cirat ille, Praeter Lucam de Burso (quo nullum antiquiorem se vidisse
dicie,) Scephanum a Pupe, Lusdunensem, quem ait, de ea Gallice scriptiste; dt
Cardani opus perfectum; aliosque innuic, sed non nominat. Verum hi (quan-
tum seio) ultra Ouacraricas Aiquationes non procedunt: Regulasque de A qua-
rionibus Cubicis non actingunt.
AnnO 2567 (neleio an e prius) Pedro Nunnes (hoc est, Petrus Nonius-
Salaciensis, Macheseos in Conimbra ProtesTor,) Alxebram suam cdidic LTispanice.
Dicicque in Fpistola praetixa (anno 2564 scripca) librum illum ab annis 30
scriprum esse (sed non editum) dialecto Porrusalica; sed quem ille post recen-
suit cumque aliis de ca re scriptoribus conculic, de tandem in dialectum Casti-
Lianam (ue communiorem) eranstulic, cdidicque. Citat ille Lucam de Burso
uc primum de his rebus seripiorem edicum. Cardanum ilem. Pt T orsolea Ab
sebram: In qua non pauca reprehendic. Memorat ilem Richardum H entreorih
anelum; et Scipionem Perreum, Bononiensem; et Antonium Mariam Ploridum
Venetum; ut harum rerum peritos; (numquid aurem de his cdiderint non di
cit.) Concencus est (ur reliquorum plerique) Aquationes Onadraticas (et quae
harum similes Tunc) exponere: Cubicas non aecinsit: nisi sub finem, in Parta
Jeam Ca de sC adrertens:
Petrus Ramus, Tub idem tempus, uE vicletr, (MOxEIIS enim eH, AnnO 1572
in laniena Parisiensi) Aleebram icem seriptic; quam (cum ejus drithmetica) cdi-
dit Fazarus Schonerus, anno faltem 1586.
AnnO 2579, Raphaet Bombelli, Algebram edidie linoua Tratica; in qua (ub
ance Cardanus e Tartatea) ad Cubicas eriam AEquationes procedit. Rt pOrrO
docet

## Folio 68 — 851708439:0092
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000092.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
A L G F B R A.
Cap. XII.
docet (primus quod sciam) Aquationem Biquadraticam, ad duas Ouadraticas
reducere, ope Cubicae AiquationiS.
Bernardus Salienacus, anno 1580: Simon Stevinus, in Arichmerica lua, anno
2585; Christophorus Clavius, anno 1608; Cieoreius enesehius, anno 1609,
(aliique ex Co rempore) Algebrae cractatus cdiderunt: Oui tamen, plerique, ul
tra Ouadraticas Aguationes non procedunt. Ouorum Doltremos duos hic no-
mino (quamris editos post ediram Vreta NOVaM AIGCbTAM, ANNO FSOF,) quia
cractatus suos torte scripserane (si non e ediderinc) priusquam Tuam cdiderit
methodum Vieta; ejulque illi nullam mentionem tacumt, sed reterem prose-
quuntur.
Ouid horum ante memoratorum quisque peculiare habet in Aleebra fua; aue
quibus illi quaeltionitus eam applicuerine; quas item quisque Abbreriationes Cal-
culi, aliare compendia inrenerit aue adtibuerit; aue qua methodi ee demonstra.
tionis perspicuitare ee Pasacitate processerie; aliaque iltiusmodi: praeter institutr
mei rationem cst, particulatim exponere, sed apud Authores iplos quaerendum re
linguo; iplam Artis promotionem tradere contentus, d quibus pallibus ea pro-
cellerir. Ouam, ab Arabibus acceptam, tradidit Lucas de Bureo latis completam,
(cum tora Surdorum tractatione; Radicum extractione; signorum plus, minus,
utu; Radicibus Secundis: aliisque eo spectantibus,) quousque percinsunt qua-
tiones omne genus Ouadraricx; eriam quae habent Radices planas, Tolidas, aut plu-
rium adhuc dimentionum. Ouibus addiderune Scipio Ferreus, Cardanus, ec l’ ar-
talea, Aiquationum Cubicarum, non omnium quidem, sed quarundam solutio-
nes. FF Lombellus candem, Biquadraricarum in binas Ouadraticas resolutionem,
ove Aquationis Cubica.
Plures Forrasse Fuerum nonnulli qui de his rebus rum scripserint, quos eso ret
non ridi vel non memini; quibus ego nihil inde derogatum vellem, led mex po-
eius nescientia imputatum quod (Ligui funt) eos non memoraverim.
Ii omnes hactenus, Arabes securi, à quibus Artem hanc acceperane, (e ple-
rique ante Diophantum nobis cognitum,) Arabum Denominationes poceltacum
ubique retinent; a Diophanteis ejusque expolitorum nonnihil diver(aS.
Nam Post Radicis (Peu Numeri,) Duadrati, Cubi, et Quadratoquadrati (Teu
Biguadrati) denominationes (quas habene cum Diophanteis communes) potelta-
tem sequentem (quinque dimentionum) Sursolidum (Peu Supersolidum) appel-
lanc (aut simiti aliqua denominatione,) nori generis compolitionem innuentes,
suxra eam quae est Solidorum; ut Solidorum, est supra eam quae est Ouadrato.
rum; e haec, supra Radicem. Lt similiter, cas quae sunt dimensionum Septem,
Ondecim Tredecim, aliaeumque quae a numero Primo seu incompotito nume
Tantur; quae Sursolda Secundan Fertiam Quarta, Bc. dicuntur. LIS autem qua-
rum dimentiones numero composito numerantur; denominationes faciune com-
volitas, numeris componentibus consruas. Puta; porectatem sex dimentionum
(prOPEr 6 = 2X 3) appellant Quadratum Ccbi, aut Quadrati Cnbum, aut Qua-
arato cubum: Fam quae est octo (PrOPIET 8 = 2 X 2 X 2) Duadrato quadrato qua
aratum: Fam quae esL nOvEM (DFOPEEF D = 3 X3) Cubi cubum: Pam qux decem
dimensionum (PFOPTeE 2O = 2 X 5) Duadratum primi Supersoliai: e Timiliter in le-
quencibus. Nocalque pro Radice, duadrato, e poceltaribus continue sequenti
bus, has Faciunc (aut his aequipollentes) 28. 8. ∞. 88. s8. 8P. B8. 555. ∞∞
 CB. dec. Ouas apud Stifelium, Recordum, Clavium, aliolque videas. Sed
Supersolidorum denominationes omnes omittii. Diophantus, quique cum lequun-
CIE. Ouibus Quacratocabus, non est Duadratum Cabi (hoc est, Cubus in se
ductus) sed factum ex duadrato in Cubum ducto: quod quidem (mea senten-
Flabent item + seu plus, pro Addirionis seu acirmationis aut Policionis nota
e = lcu minus prO nota Subtractons seu Nesationis aur Ablationis; e V pro
noca Kadicalitatis; (ut V2. pro luca radice numeri 2; V 3 Dro Surda radice nu-
meri 3; SC.) Vb. aut V u. Pro Radice Compoturi ex duobus auc pluribus mem-
bris: V P. pro Relidui Leu sPoromes radice: = pro noca Aqualicacis: alia sque
cia) nclilto alcliciole taciunt Duophantei
hujusmodi.
Acque hactenus uluacum erat, lolas Ouantitares ndeacto, Catunque Potellateo,
Guibut otS (Cos cleo) detirnare. Coenitas autem in qualtione quancita
teo (ee qua ex ulto ditu) cogniris et ulicacis numerorum chasacteribus.
Dura

## Folio 69 — 851708439:0093
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000093.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
L G F B R A.
Puta; SI quaeratur, Quis numerus sit qui ductus in se quaternarie auctum, a
ciat 2 T: HToC Cst, inguiune, (polito 2 pro numero quae sito) 2e ductus in 2 + 4
Faciac 2 T. Id est, (mulciplicato 28 in 28 +4,) 5 + 47 = 2T. (Nam 2e in 2
AEs, quadracum numeri quaelici; et 2e in 4 est 4 28, quadcuptum numeri quae
lici; sed 4. _ 2 r, numeri noci, nocis fisuris delignantur.) Soluta autem Aqua
cione (ut post docebitur) seperietur 28 =V u: 24 f T, - 2. hoc est V 25 =
hoc est 5. =2, hoc est 3, numerus quaesius. Ouippe quacracus numeri 3 cst 9; et
quadruxlus numeri 3, cst 12; qui additi Faciunt 21.
A P.
XIV
CaFIV
De Francisco Vieta, ejusque Arithmetica Speciosa.
OAtquam huc ulque procesterat Alsebra, apud Furopaos nOStrOS; ut ad A.-
quationes cujuscunque generis Ouadratieas extenderetur, (quo pertiserant
Arabes;) led e ad Cubicas aliquammultas, e Biquadraticas: Noram
Porro accectionem fecit Francisens de Vieta, circa Annum F590; Tneroducendo, quam
Vocant, Trithmeticam Speciosam. Oua non modo quaesitae quantitati ignoix (ut
prius) liuum impoluit nomen; ut A, (seu aliam pro libitu nocam:) sed ec corni.
ris scu daris in quaestione quantitatibus, tua paricer indidit nomina, ut B, Cy D, CC.
quas Species appellabat. Aeque in his Speciebus, abstracte Cumpris, omnes exer-
CriE opcrationes Rrichmericas, ut in Figuris ante Numerariis.
Verbigratia; in quaestione modo proxotica, duis numerus sit, qui ductus in se
quaternario auctum, faciat 2F: Non modo numerum quaelicum designaret litera
A aliare quaris, (uc pridem, noca 2) sed et datum 4, litera B; et dacum 2F, li
tera A; (aliare ad libicum; pariter ac Puchdes, aliire Creometrae, Puncta, Li
neas, Ansulos, Figuras, ecc. liceris delignabant, una vel pluribus, ut res poltula
verit.) Pura, duis sit numerus R, qui ductus in le numero B auctum, faciat A.
Ft quamris rideatur cantundem esse, sire A lire 20 detionet quaelicum nume
rum; uemque sive 4, 2T, SreB, A, designent datos: Duplex tamen hinc orcum
est commodum. Primum; quod ad alias item magnitudines lic extendantur hu-
julmodi Operationes Arichmetiex, Paricer ac ad Numeros: acque in numeris qui-
dem solutio habeatur generalis, quae alias particularis Foret. Alterum; quod to-
tius procettus restisia maneant achue conspieua in Colurione, quae alias ablorbe
rentur in numerorum contusione: indeque facilius cruancur Resulae pro Racioni.
bus seu proportionibus ordinandis.
Sic, in quaeltione jam propolita; Si A in A F B Faciat A; hoc est (prOpter A,
in A + B, = A A + B A,) AA f BA = A, (seu A quadratum DluS B in A plan.
aequet A planum;) Solura hac aequatione (sic ur post docebitur) habebitur, Vu:
EBquacrat. + A. plan: minus = B. aequalis ipsi A quaelico. Hoc et, si quacretur
numerus B datus, ejusque sic quacrari parri quartae addatur datus ; Factique la
cus quadraricum eruacur; indeque auteratur lemistis dari B: habebitur A quaetiuis.
Ouicunque demum sint expolui B, A; non minus quam li sin (ut nunc expo.
BUnEuY) 43 2T.
Verum quidem est, jam ance Vielae rempora, praerer Characteres Cossicos di-
ctosue in ulu fuiste siteras Alphabeti, A, B, C, ecc. pro Radicibus (ur loquebantur)
secundis, tertiis, _c.
Sie verbi oratia, in Buteonis Losistica, (sub finem libri cercii, in sua Regula
Quanticaris dicta,) varias quaesicas quancitates, lireris A, B, C, _c. designat, codem
plane modo quo ealdem designaret Vieta. Obi (inter alias consimiles) hane
proponit quaeltionem; Inrenire tresnueTOS, quorum primus cum cerria parte re-
liguorum, Faciet 24: Secundus cum reliquorum quadrante, taciet 8: Ferrius cum
reliquorum parte quinta, faciet item 8.
Onam sic prolequitur. Sunco numeri A, B, C. Fx conseguenter

## Folio 70 — 851708439:0094
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000094.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
1 F 4 B
F FB L 3C1 - 40
HOc cst 3 A F EB F FC. = 42
.
Tum, mulciplieatis secundis _ cerriis per 3; Factisque subductionibus, quo
destruatur A; (eodem modo ello docet P ellius nuper in Alsebra lua:)
3 A = 3B415C. = +DC
 lbit Lci 4
2 BF 14. C  10
3 L
A. 7
CB = 2C. =54
Forum ope, Pariter cetruitur B: muliplicatis altero in FF, altero in 2, e
utrobique habeatur 22 B; et subductione tacta aboleatur.
--858
22 B-
EB.
250C =750. Adeoque C = 5
Tum, opC C costu habeatur B; _ ope uiriusque, candem A.
=A F LB F5 C.40
+5C =29
Habentur itaque (eodem modo quo nunc; in Arichmetica Speciola,) A = LF.
5. Adeoque F A f Z B. F 3C = TF + 3 = 24. TB Y = A + =C =
3 =8. TC. +
A F sB = 5 + 23 =8. VE CTaE IMPCTaLIM.
Verum hic, numeri lotummodo ignoci literis A B C delignantur; non item no-
ti ut nunc in Arichmerica Speciola.
Nomen autem Priihmeticae Speciosae (nequis de eo sic Solicitus) Factum puco
ab ea lignificatione rocis Species, quae apud Cirilis Juris Contultos occurrir. Ouip-
De, prout Turistae nostrates Tolent Calus exponere lub nominibus fohannis de Duercib,
fohannis de Repaeulo, Johannis de Duno, Se similibus, (quibus intelliguntur, in-
detinite, quique homines sic affecti;) breriusque nuper literis J C, TR, D ecc; aut
adhuc brerius lireris A, B, C, _c. Turista Ciriles Casus similiter exponere Polent
nominibus Titii, Sempronii, Caii, Mavii, ecc. quas Species appellane. Pariterque
Notas, Siena, Symbola, seu Characteres, A, B, C, Scc. quibus jam desionantur NTu-
meri, aliaere Maenitudines, (uc apud Fuctidem Lceris an B, 7, Xc.) Vieta Species
appellabat; indeque nomen factum est Arithmeticae speciosae.
Adhane Speciolam Arichmericam, accommodarit Vieta, ec post illum alii, non
modo vulgaris Arichmerieae Operationes; Sed de Regulas Aloebrae, ab aliis Algebri
Itis ante craditas: a quibus non cam reipla distert (quippe exdem sunt Regula
Veceris e Norx Aloebra) quam modo designationis. Sed. eisdem Regulis, nova
forma delignatis, alia superaddit ille inventa siua, pro Regulis illis commodius ex
plicandis, earum originibus indicandis, cisque ad rarias de novo quaeltiones accom-
modandis. Uc fulius in ejus Operibus, palsim noris, est videre. Ouxe quia sunt
in omnium manibus, parcius hic repeto.
Verum hic oppido nocandum csF (ne ambignus verborum usus incauris imponat)
Vietam, in Denominacionibus Cossieis usurpandis, sequi Diophantum; omistis Sur-
solidorum leu Supersolidorum nominibus, qua Furopaei nostri tactenus (ArabaS
securi) adtibuerunt: Solisque Rachcis, Ouadrati, e Cubi nominibus (sire tan-
tundem tere Signiticantibus) contentum, quaeque ex his componuntur. (Ideo For-
Tan, quoniam apud Fuclidem, numeros P lanos, e Solidos, nominatos riderat: nOn
aurem plurium dimentionum compositos. Adeoque Quadrato cubus apud illum,
non est (ut apud alios) Duadratum Cubi, sex dimentionum; sed (utaond Dio
phancum) factum ex Quadrato in Cubum ducto, dimentionum quinque: quod alii
Sursolidum vocant, auc Supersohaum, (nam Crallorum Sur, est Latinorum Super,)
aue

## Folio 71 — 851708439:0095
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000095.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
L L O F B R A.
au (minus apee) Suraesolidum. Forum Duacratum Cubi, sex dimentionum, est
ip Cubi cabus. FF, Sepcensdimentionum, Supersolidum secundum: est ilti qua
drato quadrato cubus. Lorcque loco octaro Suadrato quadrato quadratus e
ZenL. ZenZI ZenZUS, est III Quadrato cubi cubus. H.L pariter in legueMs. NVemDe
dux aurem vel ab ode ad au mnacis Tulius craduntur, liVe de plans
quories repetitur Ruacratum seu Planum, coties numerandX sune dimentiones
binae: quories Cabus auE Solidum, roties numerandae Cunc terna dimentiones.
ranis sire de resolrendis qualoo, L.  Cacen la pus lepetam) pari
culacim recensendis altinco; uque dui a eua Ca  EsPOSTuTUS, qui
ua o ab Cis Tractra act breriorem ee commodiorem Lynoplin redegit.
De Cculielmo Ouoheredo, ejusque Cilari Ma.
chematica.
Oialmus Ouxhtredusqu AnIuS, in Tua Clari Mathematiea, anno 263+
Primum edita; in Denominationibus Cossicis adhibendis, Vietam lequi-
tur; ut ille Diophantum. Adeoque Supersolidis nominandis abltinet,
Radicis, Duadrati, Cubiquo nominibus (_horum compositis) COntentS.
Sed Vietae Characteres seu Species abbreviat; literas g. c. pro Duadrato e Cubo ad.
hibeus; qua Vieta rerbis ipsis productis expressit. FF quidem cum Speciosam
Arichmeticam Vieta primum ineroduxic, uc rem novam ec nondum utu comproba
tam; magis expedire videretur, rem noram, inceoris rocabulis detionare: Oueh
tredus aurem (qui breritarem aftectabat, mulcumque in paucis cradere, et quantum
licuir breri synoptirem cocam oeulissimul conspiciendam exhibere) malebat tin-
Bulis liceris roces eas sieniticare.
Adeoque quod Pietae Forer, 2Q uadrarum in B cabum. se quatur FC plano:
c Dus beredus exhiberet l ABC
C.D F Solid.
=FC.
Et quo melius, primo incuit, quancitates nocx ab ignoris discernerentur; iono-
ras Vocalibus, nocas Consonantibus ue plurimum designat. Ouod e anté ieta
tecerat.
Sed d (magno quidem commodo) plures Lieaturas, seu Noras compendiarias
adhibet, quibus delignat duarum pluriumre maenicudinum summas, Disserentias
Rectaneulam ee limilia. Verbi gracia. Duorum magnicudinumt, quarum A major;
F. minor, Summam vocar Z, Differentiam X, Rectansulum A, Summam duadra-
corum D, Differentiam Quadratorum Z Rectansulum Duadratorum A gF. q seu
A q dummam cuborum 7. Differentiam cuborum X. Cuborum Restaneulum
ACF C, seu SR. C. Aliaque limiliter, ut fert occalio.
Duxe cum eandem sere signiticationem perpetuo terane, magna hinc rerborum
circumlocutio Caepe vitatur; singulis liceris Detinicionum vices Tubeuntibus. Sed
e inde, magno emolumento, plurium operationum Paris intricatarum orioines de
reguncur, ex rariis Parrium, carumque Summarum, Disterentiarum, de Rectansulo.
rum compolitionibus oriundarum; (quarum maena copia habetur in Clavis sUX
Cap. FL. 16: 18. 19. ec alihi.) Ouae absque hujulmodi Pipacuris, haud facile dere
Serentur; Sed, harum ope, tiunt ipsi aspectui lacis obriae.
Flarum ope (cum aliis ejusmodi Delignationum compendiis) magnam habet.
in Clavi tua, rerum Geometricarum copiam in breri spacio conseltam; ut vix ali-
um inveneris eo priorem, qui cancundem rerum harum cam pavcis rebis TAHCA Per-
Spicuitate cradiderit.
Sune (seio) qui hocnomine Clavem ejus ineulant ut obscuram, quia brerem.
Sed immeruo. Cuippe reiba lua Plena tunc, sed non Redundancia; ut id can.
cum opus habeat Lector, uc lingulorum verborum rim et Eyncatin accente per.
Dendat;

## Folio 72 — 851708439:0096
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000096.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
A L C F B R A.
Cap. XV.
pendat; invemetque paucis verbis, sed selectis, cancundem subelse rei signiticatae,
quancum alii prolixa oratione rix absolverent. Quodque cum lemel menre con-
cipitur, Facilius rerinetur, quam si protulis verbis seriberetur: ubi selectione opus
Toret, ur utilia a supertuis separentur
Norisque illis, ante memoratis ego paltim utor; addoque (quo tractiones vicen-
TUT) S = ZZ Dro semi summa, et V = = L pro semi differentia.
tr illarum adminiculo, derexi primum genuinam illarum pro solrendis Cu-
bieis Aquationibus Regularum compositionem, quae Cardani Resula dici Lolenr:
neleins tum temporis eas ab aliis ance firisse excogitatas. Ouod olim exposui in
Praetatione ad D. Vicecomirem Brounker, praetixa cractatui qui Meibomium spectat,
anno 1657. Cujus ee hic intra, suo loco, tier opporcuna mentio.
Ft quidem cxo, magno ului esse comperio, in delionandis quanticatibus, No-
tarum seu Specierum delectum facere, quae memorix scu phanta (Ix QuadanTENUS
repraesentent res eis signiticatas.
Sic, ubi de Circutis agicur; R ut plurimum designat racium, D diametrum
P peripheriam, A arcum, C chordam, S sinum rectum, V versum, I tancen
tem ec.
Obi de Proeressione Arichumeriea de Geomerrica agitur; A terminum primum
seu minimum lienitieat; V ultimum scu maximum: I terminorum numerum:
E excessum, seu difterenciam communem; R rationis communis Fxponentem,
seu communem mulciplicatorem; 5 summam cerminorum omnium sec.
TBi quicur de Sectionibus Conicis; delienat D diametrum interceptam, P trans
versam, L. lacus rectum seu Parametrum, LL ordinatam in LSyperbola, P. I L. llipsi
P in parabola; _c.
Suamvis enim Nocarum delectus nullarenus alticit Demonstrationis rim;
Ptrancalix tamen e Memorix opiculatur; quae alias Notarum multitudine ob.
rucretus; praelertim s in pluribus propolicionibus concinue sequencibus, cadem
Noca nunc hoc, nunc aliuc, Cigniticaret.
E absque hujusmodi adminiculo, tieri non posset ut in meis Prop. 13. 24. 75
26. T7. 18. T9, 20. 2T, 22. Cap. V. de Motu, cam perplexas Computariones pere-
Gerim, sine magna e contutione d prolixitace, li non, jurandx memorix
causa, lingulis quantitaribus desienandis, apta selegerim Symbola seu NOtaS, ciF
que per torum illud raciocinium, eodem lignificatu fuerim perpetuo usis.
VEOx item nOn TarO (nec Temper ramen) literis Majusculis leu Capitatibus,
pro designandis quantitatibus quae (pro natura subjecti) Stantes lunt, sire Con
ltances: Minusculis pro eis quae ad lingula puncta variantur. Verbi gratia; Or-
dinacarum in Hyperbola, vel Fllipsi, quadraca detieno d L. L = d d = Bb, ec:
Ouoniam in eadem Hyperbola, vel Fllipli; L, Y, constantes sune seu Perma-
menes quancitates; sed a B, e, pro singulis diametri punctis rariantur.
Haec adminicula (aliaque ejusmodi, prour in rariis subjectis postulat occatio,)
utui ese comperio, (prxserrim uti magno numero occurrun (ymbola,) PrO
Ptancalia Memoriaque adjuranda; e rem toram in breviorem conspectum redu.
cendo, masisque incellisibilem, quam si cum quantitares ipsee, tum de illis ope-
raciones, longa periptira(i deseriberentur.
Sed a Ouchtredum Ledeo, ejusque Clavem
Persequicur ibidem ille, Aquationum (uc plurimum) Ouadraticarum Solu-
tiones: 2d Cubicas auc his superiores parcius procedens. Or qui hanc in AIgC.
bram Introductionem eatenus destinaverat. Relerrata superiorum A. quationum
cractatione, alio opere cradenda: nimirum in P resesi Numerosam scu Affectarum
Squationum solucione; quam (iteratis P ditionibus) Clavi subjunxit. Sunt tg-
men in Clavi nonnulla quae eo spectane spartim tradica; Draelertim Cap. 16.
In solutionibus item, Radices cantum Aftirmarivas seu Positivas persequitur:
omistis eis quae Nesativa seu Ablativa dicuntur; cisque quas Lmacinarias seu
Impossibiles vocant.
Acque in Aequationibus smbienis dictis (ut qua plures habent radices Af
firmativas;) non plures (si recte memini) quam acias notat Radices AFirma-
ciras. Ouoniam in aequaionibus ouactraricis (quas ille praetercim iractac) non
habeneur

## Folio 73 — 851708439:0097
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000097.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
L G F B R A.
habentur plures auabus. In Cubicis aucete LcaiBUS tres elle pollunt d
in superioribus actrue plures, radices attirmatirae. Ouod e Viecae nocum tuilse
diguet ex nonnuls esu el.  ct Bactum clte.
De Raditione Substractione, Multiplicatione, Divisione
C Radicum Fxtractione, in Trithmetica speciosa.
DRaxiS Mrithmeticae speciosae, eadem tere est, quae in Aeebra Sumerosa pri-
dem recepta crat. Quam cum non alibi succinctius quam apud Ouchtredum
craditam comperio; in hunc locum reculi, ad mentem ejus, breviter es-
ponendam. Oui aurem plura deliderat exempla, aut Fuliorem explicarionem; adeat
licet aut meum Opas Arithmetieum, aut Francisei Schotenii Principia Matheseos
Universatis, aliorumre qui de his egerunt.
Numeri, aliaere Magnitmaines Peu Ouantitates cujuscunque generis detionan-
tur, non tancum Numerariis Fisuris (quod tamen, ubi expedire ridebitur, tieri
Porest; pura linea lonsa sexrem uncias, nota 2:) Sed liceris quibulvis Alphabericis
Caliitre nocis) tire singulis, uc A, B, C, etc; sire conjunctis, un AB, BC, C. D, _C.
prout in delionandis Lincis, Angulis, Planis, aliisque Magnicudinibus, apud Ru.
Elidem, aliotre Geometras tieri lolet. Ita tamen ut recordari oporteat, quam
maenicudinem qua Pitera seu specie Sgnemus. Et quidem Ouehtredus, data
opera, in exemplis tuis nunc tingulis liceris, nunc conjunctis, uritur; quo Lector
uerilque altuelcat.
Ftis Nocis, Symbolis, seu Speciebus, pratixi Tolene Siena + = (Teu plus,
minus:) quorum illud Positionis, Affirmationis, seu Additionis Signum est: TIOc,
Defectus, Necationis, Peu Substractionis: proue magnitudo, tali lpecie delignata,
supponitur vel adesse, vel Deesse. Obi autem nullum comparei sionum, pra-
Lumitur Ptaonicudinem illam Attrmari: seu Sionum. L. Cmbincellioi.
Suncque haec Signa, sentu inricem contrario incellisenda. Puta; Vhi Signum 
innuit Sursum, Prorsum, Fucrum, Tncrementum, Supra, Ante, Additionem, ec.
Ibidem Sisuum=innuit Deorsum, Recrorsum, Damnum Decrementum, Infran
Post, Subtractionem, ec. UBi = haec delignai, contraria delignat
Trem X est Mulciplicationis noca; = qualitatis; et:: Proportionalitaris ....
continue proporcionalium; Y radicalisaris noca: Aliaeque, ut res postulat, nonnun-
quam achibeneur.
(Fic quidem quories magnicudo simplex per timplicem augenda, minuenca auc
mulciplicanda elt, uritur ille (uc plurimum) Signis + = x: quocies aucem lim.
plex per compolitat (Teu plurimembrem) auc composica per simplicem, aut etiam
compolica per compolitam; signis seu vocibus pl: mi: in. iplamque magnitudi-
dem compolitam punetis urrinque poticis (auc linea superne ducta) includic col-
lixatre, (ne ambisendi locus sic quousque pertingere censenda est magnicudo illa
compotita:) sic A F B: pl: C. = D: aut A f B: mi: C - D: auc A f B: in
C. - D: innuir toram magnicudinem A. F. B, cota magnicudine C -- D augenctam,
minuendam, aut mulciplicandam esse: Pariterque S Scriberetur A = B in C= D,
aue simititer.)
ero Speciebus pluribus Aadendis; si sinc Diverta species, connectuncur Sienis
F =; E Similes, in unam summam collisendae sune, iplaeque summae, Signis f-
connectenda. De quibus haec est Oushtredi Regula;
Additio Spesiosa conjuneit omnes Magnitudines datas, servatis Sienis. L. XCm
Pli Gratia.
Ad
Adde
Summa
HToc est
Subduretion.

## Folio 74 — 851708439:0098
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000098.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
L L _ F. B R A.
Cap. XVI.
Subductionis Regula, haec est: Subductio Speciosa, conjuneit maenicudines da-
tas, mutatis omnibus Signis maenitudinis Subducendae. V
FX
Tolle
Rectar
Hoc et
Ec ubi in Addirione ee Subductione plura membra occurrune Signis +=
connectenda; perinde est quo ordine ponantur, dummodo cuum cujusque Signum
recincatur. Adeoque sic ordinari porerune ut expedire ridebitur. Puta A- B FC
aut A + C -. B, aut C F A = B, aut C = B F A, aut = B F A f C, auE
B ) C F A; cancundem valent.
Mustiplicationis haec est Regula: Multiplicatio Speciosa connectit Maenitudi-
nes datas, cum noca in, vel X: lvel plerumque absque nota, si maenitudines de-
notentur unica licera:)
Ft, si siena sint similia, producta maenicudo erit affirmata, sin diversam necatam
etextur autem Dec in.
Duc A A f F. I A = F. I A f F. F F) B + F
n
3A) A F. ) AF.
FI A XF BA F BE. BA BE L A F Z. L. F Z. I BA + A, OA A, A A R, A AL. F.
Seu A F.
6A 9A gF. A gF. 4
Acque hic quidem (uc in communi Arictmerica) singula Mulciplicanris meni.
bra ducenda tunc in lingula Mulciplicandi.
Duta A F F.
In A  F
A9 F AF.
IAF. f. F9
A. FF I AB F CD
A F.
AB L CD
A9. F AF. AB9 F AB. CD
AK. E9 + ABrCDFCDg
AB CD
AB CD
AB9 AB.CB
ABKCDFCD9
Fir A9+ ZAF F EgI A9 Eg 1ABg + 2AB,CDFCD9) ABG- 2AB, CDF CD9)
Ouando Magnitudo aliqua in se ducenda sicu ut inde tac Ouadratum, Cubus
aut superior aliqua Poteltas; Plerumque pro repetendis Speciebus, ponuntur q
ee c. Puta A9 pro Ain A aue AX 1. EL AC auc A3, Pro A in A in A,
Icu AX AX A, Peu A4Q, Ceu A9A, Teu A+9. Trem AAAA rancundem est ac
AC Teu 44C, Tcu 1949. Tcu 199, Teu 1+. FE AAAA cantundem ac
ACA9, Teu A9AC, Teu 199, teu A99, Teu A9C, seu A. TIem AAAA A
leu A cancundem ac ACAC, Peu A9949, Teu A9CA Teu ACC, FF limili
cer in aliis. Nempe q seu quadrarum innuie ubique duas dimentiones; et c scu
cubus, dimentiones cres, illius magnicudinis cui additur. FF ubi dimentiones
mulcae lunc commodius id municur suspensa ad troncem minuscula fisura: ut
A Pro AAAAAA; auc a pro avanaa.
Divisionis; haec est Reoula: Divisio speciosa Staruit maenituainem Dividen
tem sub Dividenda cum lineola interjecta, (eo modo quo in rulsari Arithme
rica notantur Practiones; quipre Fractionis Numerator Diridendum reprelentat;
Denominator, Dirilorem; et tora Fractio, Ouorientem:) tum considerat, an
maemitudo aliqua utramque communiter multiplicaverit; atque ipsam utrobique
expunsit. Divisio acutem (licuc Mulciplicatio) in usdem sienis, dat +; in
diversisus . Lttercur aurem per ad.
ApPlICa AE IBA CB A F A , B A - CMG
Ad
OrITuE Li B
Prouc enim, in ordinariis Fractionibus, si cum Numerator cum Denomina-
tor, per eundem numerum aut mulciplicetur aur diridatur, idem manet valor:
GIC
A A
-5 a 5 a 7 3  

## Folio 75 — 851708439:0099
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000099.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
Ciap. (XVI
 le a a.
sic hic, Ei per eandem magnicudinem. Adeoque li rora magnicudo Diridens, Cit
Mulciplicans in Diridenda; Perasitur Dirisio eandem expunsendo, (ut in exem
plis exposicis.) Sin minus; manebit Ouociens in forma Fractionis. Puta B AC
Per AD divila, tic =
4
Acque hic eriams (ut in vuleari Arictimetica) si plures aue Mulciplicationes.
aut Diritiones, aut uerxeque, linc continue perasondae; nihil retert, quo ordine
perasantur, dummodo successire perasantur omnes. Nam, prour Illic, 4 Per 3
mulciplicata, aut 3 per 4 tancundem ralent: Tremque 6 per s mulciplicaca, fi-
etumque per 3 dirilum; cancundem elt acque 6 ver 3 dirila, orcumque in 5
ductum. Sic hic, A in B, tancundem est acque B in A: Trem A in B, dirisum
per C (seu ad C applicatum) cancundem est atque a per C diritum, orcumque
in B ductum: aliore quoris ordine, dummodo operationes omnes inccettire De.
rasanCUE.
rulgari prichmetica. Puta,
_ Sic Porro donee tota exhauritur dirsllenda.
inrenio certium membrum P. P: Edetaque ut prius mulciplicatione ee lubductione.
mul rellat. Ouce Heet A A A = L. P. F. per A = F. dirilam, exhibere A A +
Contingit autem non raro, ubi magnitudines sunt plurimembres, COMMUNe
latere mulciplicatorem (seu menturam communem quae magnimdines lub ee lupra
Dositas menturet) quae non ltatim appareat; led reperiri poltie pari methodo ac in
Invento primum uno Ouocientis membro; hoc in magnicudinem diridentem
ductum, sabducatur ex Diridenda: de Reliduxe ope, reperiatur membrum aliud:
Sic, sI A A A - F F B diridenda SIC per A - F: quaero primum, quae magni-
dua,) numirum AA; qua in A - L. ducla, Comes A A A = AAF; atque
hac ab expolica A A A = R. H. H. lublata, relguse p a at - t. t. t. Tum
AE. F F. F.
ido ducta in A (primum membrum Diridentis) conticiet A A A. (primum diri
quaro, Oua magnicudo in A ductas conticiet A AF: repercamque A H, duco in
A F; factam que A AF. - A F. F, Tubduco: opeque resdua AR. H. = H H H
Dividens. Dividenda.
LA A -- A
A AH. = AF. V
AF F =F.
AL = L. F. H.
Orta.
A = F. )
AAA = P E F. CA A, + AF, +F P.
F A AF. = H. F. F
Pariterque li eadem AA A - H. eL atridenda forer per A F l.: nisi quod
tunc Ouoriens, seu Orcira quantitas, FOreCA A -- AF. F F. P: (Ouod experienti
patebit.) Fr in aliis similiter, prour res conrixerit. Obi tamen lagacitare nonnun-
dratum seper reputandum et, vis cocidem habere dimentiones quot habet Racix:
Cubus, ter coridem; similicerque in superioribus Poreltacibus, respectu habito ad
cujusque numerum dimentionum.
quant OpuS CxII.
Iu cadicum extractione speciola; linnet lethono uleHauu Cric. Ouippe Oua-
traheant numero pares; habebune, in radice Guadrarica, dimensionum numerum
subduptum: liqua vero habea, in quadiato, umero impares huie pralixenda
exit
Adeoque, si exposicx maenicudinis species componentes singula, dimentiones

## Folio 76 — 851708439:0100
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000100.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
L O F B R A.
Cap. XV l.
eric Y (racticalitatis nOta,) vel hujus Calrem ei parri quae dimidiari non pocelt,
Prxmillo semi numero reliquarum dimensionum.
Ouadrati A9
RacIX
Seu,
a
A9414 A9B9I A I A AB 1 2 A gB4 la2 I at B3
A9
2 AB VAIYA AB YZ A9B4) a I Vaeb.
AVB I ABV2 1aebVBI
Similiter proradice Cubica; nisi quod, hic, numeros dimentionum in radice,
sit eriens numeri dimentionum in cubo; et liqua species in cnbo non habeat di-
mentionum numerum criparcibilem, praetipenda erie VC (noca radicalitatis Cu-
Bica;) Sc consonanter in sup. rioribus vorestaribus, habita ratione numeri dimen.
sionum in qualibet.
Cubi AcIACCIBACBCI A j ACB I 4 ACBC 1a5 I a B
Rac A A9 2 AB (YC. A, YACB, YC. q ACBC a YC a b
Seu
AVC. B ABVC. 4 avcb
Cujus procestus racio haec est: nimirum, quia V A, seu V gA, cancundem est
acque semidimensio ipLius A; _ V C A, quali eriens unius dimentionis ipsius A:
paricerque in aliis cujulcunque magnitudinis dimentionibus. OuippC SI DONaTUIE
una dimentio ipsius A, eadem cum duabus dimentionibus ipsius L; (hoc est.
A = = F F,; ) CrIC V A = =F. Sin ponatur una dimentio iplius A, eadem cum cri
bus iptius L, (puca A = F F F;) erit Y C A = F. ex in reliquis porectaribus (i.
militer.
Obi vero exposica magnicudo est (non tantum ex pluribus componentibus, sed
Cc) Plurimembris; quaerenda erit Radix membratim, seu per partes: prour in vul-
Pari Arichmetica. Ouod si non reperienda lic ejusmodi radix: contentos esle opor-
ec notam Radicis universalis cori praetisere; aur lalcem eis componentibus qua
Sic resolri non poltunt, praetiris religuarum radicibus radicalicatis notis.
Sic, pro exrrahenda Radice quadratica hujus magnicudinis Ag F 2 A F. f F. 9:
quaero primum Radicem iptius Ag; quae elt A: cujus quadrarum A g cum abstu-
lero; duplum ipsius A, Scu 2 A, uc Dirilorem achibeo; quaroque, qux magni-
cudo in 2a ducta conticiet proximum membrum 2 A; qua est P: hanc itaque
pro methodo extrahendi radicem quadraricam) ductam cum in se, tum IN 2 A;
tactaque subductione, nihil reltat: unde liquet Expositx magnicudinis radicem
quadraricam ete A F F.
A9. F 2 A F. F P. 4 (A F F
F2aL F C.9
Ld Lal
Dc
Pariterque li expolicum quadratum Fuisset A g - 2 A F, L F. 9: nisi quod tunc
reliduum primum Toret = 2 A F. F F. 9; adeoque quarendum Foret, qua magni.
iudo ducta in 2 A, conticeret = 2 A F; quae Foret (non ut prius L L, Sed) =L:
torerque radix A - F.
cum hujus radix incegra sic exguiri non possic, concentoselle oporteret lic de
Signare Y u: 4R gA9 - Ag9: aur Caltem A V u: 4 R 4 = A 9.
Parilisgu aciBCS CtM ProCHU pO superiorum Docestatum radicibus ex
quirendis; respectu hrabito ad cujusque Compositionem.
Sed haec omnia; quae Radicum extractionem spectant, melius percipientur, post.
quam suo loco de Compoticione et Relolurione Ouacrati, Cubi, ee reliquarum po.
celtatum, ex proteto contiderandum fuerit. Suneque hic loci cancum per anticipa-
tionem cradita, pro ea quam habent cum ancecedencibus contorruicate.
Si dulem quadratum expolicum (cujus quaeritur racX) Luerit 4 R9 A 9 -- A99

## Folio 77 — 851708439:0101
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000101.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
A P. XVI.
Operationum traditarum Fxplicatio.
Dehrredi Regulas, jam cradicas, aliquanto tusius explicare visum est, dua-
bus de caulis. Prima elt, quod conquerantur nonnulli obscuras cas esse
de incellectu ditticiles, eo quod breres lint de verbis non muleis tradiex. De
quo tamen immerito conqueruntur, cum breritas ipla pocius laudanda TIE; nec
Iiud eo nomine postulant, quam ur cum debica actentione lesantur. Altera cs
non hisce peculiaris, sed aliis icem: aliorum in Rrichimetica cractiris communis. NI
mirum, quod qui praxin prichmeticae addiscune plurimi, ucur veris reoulis in-
Arueti, eam camen iplasque regulas eito obliriscuntur. Ouod quidem verum elt
hac praeserrim de caula; nimirum, quia regulas memoriter tantum cdocti, de re
rularum rationibus haud sunt soliciti. Ouod li procestium rationes rire perpen-
dissent, (judicio pariter ac memoria instrueti,) cum tirmius acharerent resulae:
cum eas, si quando sint clap(x, ret ipsi facile reltiruerent, vel aliasmente sua lub.
Sticuerent iplis suppares. Neque enim mirum est, si eorum quae non ractieitus in
celligimus ciro simus immemores.
Regularum jam cradicarum rario, in plerisque saltem, est per se laris obria; vul-
sarem Arichimericam incellisentibus, casque attente perpendentibus: de licubi liib.
obscurx videantur, conabimur elucidare.
In Rdditione, manifestum est (ex rulparis Arichmeriea communi notione) Ei
ad 3 addantur 2, fient5: quacunque tuerint res lic addicxe: (dummodo unius sc.
neris sint ex addirionis capaces.) Puta, (3 vitulis addantur 2 vituli, trunt 5 vi
culi; Si 3 agnis addantur 2 aeni, tiencs agni. Atque eadem ratione, s ipliS Z A
addantur 2 A, tienc 5 A; quodeunque sit quod per A designetuE, di
dem Cir urrobique Cieniticanus Pariterque,  defectui trium A (seu 3 defectibus
A) addatur defectus duorum A, (Peu 2 detectus A,) fier defectus quinque A (Teu
5 defectus A:) HIOC est, Si iplis - 3 A addantur - 2 A, FenE = 5 A. IIOc elt
Propter sisua urrobique similia, tic duarum Specierum Asgregatum eum communi
Tiono.
Si vero signa sinc distimilia (in altero f, in alcero -,) res lecus est. Puta, si
iptis5 A (sen + S A) addamuS = 3 A, HE 5 A - 3 A, leu 5 A dempris 3 A, hoC
est 2 A. (Duippe defectum trium subjungere, tancundem est acque tria tollere.) Pa
riterque, (i ip(is = 3 A adelamus = 5 A, Fit 3 A = 5 A; hoc est = 2 A. ( Ouip.
De, dempris duobus pluribus quam aderanc, delime duo.) Puta siquis habet 3 mi-
nas, Led debets minas, hunc ralere dicimus -2 minas, seu duatus minis minus
quam nihil. Ouod, explicire prolatum, tancundem est ac dicere, duabus minis
Alus debere quam habeat. Siroque catu, proprer diltimilia signa, habetur Spe.
cierum ditterentia, cum ligno majoris.
Dico, Specierum differentia; hoc est, ditserentia magnicudinum Sectutis tienis:
Nam, si signorum irem racio habeatur; habetur urique Maenicudinum Aeresa
Tum.
Si veco Species ip(x sine direrta (sire Timilia sint, sire distimilia, siona) non
alirer connectende sune, quam per ligua + e =, recentis iplis divertis speciebus.
VEputa, (i 3 viculis addantur 2 agni, adesse Forre dixeriss: non autem vel 5 vi-
tulos, vel 5aenos; sed 3 vitulos  2 aenos: puta 3 A F 2 F. Dixeris torte,
adeste 5 brura; quia brusum est urrisque commune nomen; (quod cancundem
est acque dicere 3B F 2B = 5B:) Verum hoc aliud est quam quod ex specicbus
iptis uc expolitis liguet. Aliunde enim (non hinc) constabit, ipsum Bcommu-
ne nomen este iplis A _ F.
Pariter, licribus Ftoris, addantur duae semi horae, (puta 3 A _t 2F.:) nec 5b0-
ras adeste rite dixeris, nec 5 semi horas: Sed 3 Boras e 2 semi horas, (puta
3A = 2F.) Verum quidem elt, non male dixi 4 boras: Sed hoc tit provier ali-
unde cognitam aequalitatem quam habent 2 semi hora, e T Bora. Pariterque, sI
aliunde cognoscamus, quae sit racio iplius A ad F, (BUITA Z F. = A,) alcerum pro
aILErO

## Folio 78 — 851708439:0102
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000102.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
A F C F B R A.
edp. AVIL.
altero recte Tubltituas, (puta, 3 A F 2F, hoc est 3 A = A, = 4. A.) Sed dum.
modo ipsius A ad F Patio est incoonica, vel consideratur uc incognita, non alirer ad.
das licet, quam retentis Speciebus cum fuis cujusque Signis, 3 A F 2 F. Pariter.
que li iptis 3 A seu f 3 A, addendum elet -2 l.; ABPTCSAEUM CFL 3 A = 2 l
seu - 2. F. = 3 A.
Iplis
Adde
La 3et, I
A
ta
+ 3 A j = 3 A
3 22
t 
= 3A
Ll
Summa +51 = 5I F 5AI = 5 AI + 2 A] = 2 A (3A F2F. 13A - 2F.
In Subductione similicer; Manifestum est, ex principiis rulsaris, Arictmerica:
Si Cx5 collantur 3, manebune 5 = 3 (seu, quinque dempris cribus) hoc clt 2
quippe cancundem cs tria demere, ac lubjungere defectum trium.) Si Cx L 5
Lubducantur = 3, Fime f 5 + 3, hoc est L 8: (omippe cancundem elt, tollere
defectum erium, acque Supplere quae desunt tria. Si ex -5, deantur- 3, ma-
nebunE = 5 F 3, hoc est = 2, (quippe jam desectus esE FribUIS minOr quam ante
tuit, qued cancundem cA acque supplere eria.) Si ab - 5 collantur f 3, fet - 5
2, hoc Cs - 8: (quippe cum anre decrant 5, EL porro 3 tollas, jam decrune
8.) ParIteF; FX SA, Si collas 3 A, rcltabUINES A = 3 A = 2 A: SI toIlaS
=3 A, manebUnE5 A F3 A = B A: si f 3 F, maniebunES A = 3F: (I - 3F
manebunt 5 A - F 3F. F. X - 5 A, li collas F 3 A, restabune - 5 A-
=8 A: S collas = 3 A, xcCtabunE = 5 A F 3 A = = 2 A: Si = 3 F, reltabUINE
5A = 3F: Si = 3F, rellabune 5 A = 3L.
Noite
Relt. 5-35+:
Seu
2+3
f- 5 A ]+ 5 A
=3A
3 A
+ 5
5 - 3 5a-3a 5a + GA p a - 3 C a 73C
2 A
Nam, positivum tollere, idem est acque tantidem defectum substituere: e tol
lere defectum, elt tantundem supplere. FE, urrobique, subjunsere subducendum
mutato siene.
In Mulsiplicatione; nonnihil difficultaris causantur cirones, propter illam Re.
sulam, Siena similia (sire Sine + in F, Sive = in =;) faciunt +; sed dissi-
milia (puta F in =, aue = in F,) faciunt .. Pralerrim quoad membrum
illud = in - Facic f. Tnexpectarum urique ridetur, quod duo Ablacira in.
vicem ducta prodtucerent Poluirum. Nulciplicationis autem naturam rite per-
Pendenribus, hoc non videbitur incongruum.
Nam Mulciplicationis vera nocio, haec est; Mulsiplicandum (Peu rem Mulci-
plicandam, quaecunque Fuerit,) soties ponere quot sunt in Multiplicatore unitates.
Adeoque li Mulciplicator Lic r. Mulciplicandum semel ponitur, (nec auctum
nec diminutum.) Si Mulciplicator SIE major quam X (pura 2) Mulciplicandum
Dlulquam semet ponituir (puta bis) adeoque ausetur. Si minor quam F (DuTa
2,) Denuur Mulciplicatum minus quam semel. (puta nuvoanis, seu dimictio unius
vicis, hoc est ejuldem semistis,) adeoque minuitur. Acque hoc, quodcunque il
Jud lic quod sic Mulriplicatur; sire Policirum sE, Sire Necacirum, aut Ablacirum
Nam Prour Magnicudlo per 2 Mulciplicata, sic dupla Magnicdo; Sic Defectus
per 2 Musriplicats, sic duplus Detectus. Ouippe = 2 a non minus est du-
plum ipsius = A; quam f 2 A, ipsius L A. Inde patee rario cum hujus re.
sulae + in F Facic F; tum hujus - in + facic -. En quibus Mulriplicator
est policira magnicudo.
Sic
FaCIt 2A) - 2 _) e I = A(E A)= 3 A(F A B A B( LA B(= 2AB
Obi aurem Mulciplicatos et detectus aliguis, leu Mastuecuo Lesatira; puta
2: loco ponendi Mulciplicandum aliquoties, idem intellisas aliquories tollen-
aum. Nam ubi + 2 sipmilicat bis ponere, ibidem = 2 el bis sollere, seu vis
ponere

## Folio 79 — 851708439:0103
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000103.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
Cap. XV II.
A L G F B R A.
ponere contrarium, (Eire posicirum sire negatirum sit illud mulciplicandum.)
Sic polcirum A per = 2 mulciplicare, est A bis collere, Facicque = 2 A; (adeo.
que  in =, Facit --.) COntra VerO, = A Per - 2 mulciplicare, cAt bis 10)-
Pere = A, seu detectum = A bis supplere, quod est L A bis ponere, Facicque
L 2 A, (adeoque = in = Facit f.) Indeque patet ratio tum hujus reoulae
 in = Facit =; cum hujus, - in = tacit +. In quibus Mulriplicator cs
quaneicas negatira.
Sic
Facie = 2 A) = 2 a] = A) + A] = 5 A( F = A] A B) f A
Cum icaque idem sic, detectum cories collere, atque cantundem tories supplere;
tam = in =, quam f in +, facier +: Cumque idem sir, tancundem collere,
ee tancidem defectum creare; tam = in +, quam  in -, Faciet -. HI00 eAt,
siena similia Faciune +, e dissimilia 
In Divisione res eodem recidit. Quippe cum (ex vulgari Arichmetica) no-
cum sic, Mulciplicationem et Diritionem ita esse inter se comparatas, ut haec (c
illius dissolutio; quodque est (in Mulciplicatione) Factum, idem elt (in Diri-
Tione) Diridendum; quique erant (in Mulciplicatione) L’actores duo, (Mul
ciplicandus et Mulciplicator) iidem sunc (in Dirisione) Dirisor et Ouoriens
(ieu quantitas diridens ex ortira:) Cumque isitur (ex ante tradiris de Mulcis
plicacione) si Diridendi (quod prius fuerat Pactum) signum sc. =, Dirisor et
Quotiens (qui fuerane L’actores) habebune ligna similia: Sn fuerie illius lignum
horum crunt signa Dissimilia: Propterca, _ Y per F dividatur (seu ad ]
applicetur,) Ouocientis signum eric L: E. F per - diridatur, Ouocientis item
Sienum CxIE -=; (ut hujus es diridentis siena sint Cimilia:) Cin - per.  di-
vidatur, orietur -; si per = orietur +, (uc dividentis ee quocientis ligna snE
dissimilia.) Hoc Cst, F per F, aut - per = dirisum, reddic f: sed F per -
aue = ver = dirisum, reddit -. Hoc est, signa similia, reddunc t: signa
dissimilia, -.
F A) F AB C
a) = A B E+ B
= A) + A B ( B
i A) - A B (- B
Contonanter ad haec: In Fnractione ractieis, E Ouadrari lignum sit H, Rg.
dicis signum erit inditterenter vel  vel -: Ouoniam, rerbi gracia, tam = 2
in = 3, quam F 3 in = 3, Faciet f 9; cum signa uerobique linc similia. Sin
Ouadrati lignum ponatur =; radicem habebit quam vocant Imacinariam. Puta,
quadrari - 9, radicem nec dicas f 3, nec - 3; nam harum utraris in se ducta
tacier + o, non -0. Cum enim Ouadratum tieri suxponatur ex radice in se
ducta; nulla ractix (sire signum habeat L Sive =) in le ducta Poterit (provter
signa Limilia) quadratum tacere nesatirum. Adeoque V = o, eric radix imagi-
naria quadrati negatiri.
Idem (eadem ratione) incellisendum est de radice Biguadrari negativi, ainsre
voreltatis habentis dimentionum numerum parem. Nam similia ligna, ctiam ne.
satira, numero paria, semper facient productum. L.
Cubus aurem, aliere poreltates quae dimentiones habent numero impares; sI
aftirmatae sinc, radicem habebune altirmatiram; s negatxe necariram, Ouippe
bina quaeque in se ducta dabunt F; adeoque et binarum quortiber factum:
quod itaque in ulcimam loco impari ductum, si ea tignum habeat L, faciet (ex
omnibus productum) F: Sin =, facier (ex omnibus productum) .
= A in + A in + A in + a in + A = + A9 in + A9 im F A = f AgagA = f A5.
A in = A in - A in - A in - A = + A9 in + AG in - A - A9A9a = - A5.

## Folio 80 — 851708439:0104
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000104.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
AVII
laedem operationes in tractionibus.
dem operationes in Lracllonibus (seu magnicudinibus in Practionum For-
nta expolitis) paricer in Speciebus perticiuncur, (et pari de cauta) ac in rul-
Reducuntur ad minimos terminos minutiae, parres, seu tractiones vulgo dictie,
diridendo cum numeratorem cum denominatorem per maximam communem men-
Turam; hoc est, per maximam quancitarem quae utrumque metiatur.
Aq A
CA 2
2 AC
4. ACC
6494
2A9
FE (gux dicitur) Improxria Fractio (seu quae major sit quam unum inceorum)
ad Inceora reducitur (’aur ad magnicudinem ex inteoris et Fractione compoli.
tam) dividendo (uc in rulsari Prichmerica) numeratorem per denominatorem
2 BA
BA = C.
Sari Arichmetica in LMIerIS.
Haec aurem Communs mensura, invenicur in vulsari Rrichmetica, (per pr. Y.
lib. 7. Fi.I. Fuclidis) dividendo majorem numerum per minorem, cumque divi-
Torem ver (siquod AC) residuum, e sc continue, usque dum reliduum nullum
Sic. Olcimusque qui sic occurrit dirisor, est expolitorum maxima communis men-
Tura. (Ouod Si, qui sic occurrir dirisor, sic L; expolici illi numeri jam lune in
minimis terminis; Peu, ue lognitur Ruelides primi inter se.) Sic numerorum
modo xpolitorum 899 et 744, maximus communis dirilor (scu maxima com-
munis enCura) inVenItF 3L. RC MUMETOTUI 435O_C LFZF, maximus com
munis diritor cst 3.
3F 124 255
32) X24) X88) 744) 699 (Z (4 (Z (4.
XK4 XX 4 62B 744
22 24 24F 265 966
3) RX) XGZ) 26G) 96G) Xx3Z) 4389 (3 (F (5 (F (5 (T (7.
RX XRF XAZ BE8 9BB 3393
Potest autem non raro haec opcratio multum abtreriari, ea mechodo quam
non memini me apud ullum me priorem vidisse. Nimirum, quories numerus in
aliqua divitione reliduus major esse conciserit quam diritoris semis, notando
Pro hoc reliduo) id quod deest ad proxime sequens mulciplum; (Teu id quo
hic residuus est dirisore minor,) et hunc defectum loco illius relidui achibendo.
EF in exemplo proxime expolito: pro reliduo 066 (quo diridendus luperac tri-
plum diritoris,) sumo 165 (quo diridendus detieit d dirisoris quadruplo) pro
dirisore proximo. (Fr le porro prour se tert occalio.) Unde ad hane For.
mam prodibit exemplum illud;
2
= 165
3) 24 20 4+CHC1.
 X68 XYG8 4824
Aigue

## Folio 81 — 851708439:0105
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000105.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 29 lines, status machine
Cap. XNIII.
Acque Lic lemper sumentuo Guotee velo prour (sre lc julto major
Bre justo minor) difterentiamque d mulciplo inde denominato (sire excestiram
Tire detectiram) pro proximo dirisore. Sed hoc obiter.
Fademque (pro numeris) mechodus, adhiberi non raro porest pro communi
mentura in Speciebus exquirenda. Sed Pagacitate aliqua opus erit hac in re
pro diritionibus rire ordinandis, se electione quorientum. Hujus exempla rideas
apud Franciscum Schotenium, in fuis Principiis Mathesios Oniversalis.
Fractiones (divertinomines) ad communem denominationem reducuntur, diri
dendo primitus (si opus Fueric) ucrumque denominatorem per eorum commu-
nem menturam; acque cum, per alternos quotos mulciplicando urriusque tex-
minOs.
Aique in tractionibus sic ad communem denominationem reductis, Additio aut
Subductio instimitur, addendo aut subducendo carum numeratores, Tubseripio
denominatore communi jam inVento. FF, Si incesri parcibus linc immixti, scor-
tim tamen sunt numerandi.
la 2 l 2. b a L1.
eta, relina
16
Sie, Si aedendae sine = et 2. -, sent 3 -. Aque haC TumMA ex C = Subdu-
2
Et in Speciebus similiter.
Notandum tamen, quod, de Denominatoribus per maximam communem men
furam primitus dividendis, dictum .  LCMIe opus esse. Lc quod
etiam, ubi cali reduetione locus e pole ca ret cullo omnu ret penp. Mul-
riplicatis leilicet utriulgue tractlonto cuugue terminis, in alce aio
rem, arque tum addendo auc tubducendo noros numeratores, u n
deno-
non raro, jam sint in minimis leo  cale seductionen paltantu. Lun

## Folio 82 — 851708439:0106
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000106.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
L. C+ F B R.
aP. LVI
denominalore. Et tum tandem (Ei ridebitur, eique Locus SII,) reducendo Fum-
mam auc ditterentsam, lic inventam, aa mnimos terMHOS. Luld
BCiF FDC. A
CF CCAF.
BE +DA
C A F.
EE quidem, nune haec, nune prior mectodus elt porior. Prior, rem peragit in
minoribus numeris; sed novam non raro postulabie reductionem (pott acta.
nem auc subtluctionem. peractam) si summa seu differentia liC repetta (Guo Laepe
contingit) nondum CE in minimis terminis.
Tocus processus ratio latis paret. Ouippe E Fractiones dux (rel etiam plures)
eandem habeant denominationem, Addicio Subductiore instimenda erie in Nu-
meratoribus. Manifestum utique et, 3 quadrantes _ 2 quadrantes, non minus
Facere squadrantes, quam 3 incegra e 2 inceora Faciunt s integra. Trem 3 qua-
drantes dempris 2. quadrancibus, Fiunt L quadrans, non minus guatus IIesra
nomimalione.
dempris Z integciS, LiuaC F inteerum. Paruerque in alia quavis communi de
Ouippe, cum tae illis sine aequipolsences, harum item Cumma seu differentia;
illarum summae leu culerencae, parues aquiposlebit.
Ouod Si Fractiones expositx denominatores habeant diversoS; puta Z ec 3: sub.
Cticui poltunt, earum loco, ejusdem raloris alixe qua line cognomines; puta 3 _ 3
A C( AD BC AD F BC
cornomines; (i, prioris denominator, ducatur in polterioris utrumque terminum,
e vice verta. Omippe cum (ex vulgari. Arichmetica) nocum sit, cundem esle
tractionum valorem, urcunque dirersis numeris scriprarum, dummodo eadem sit
in utraque numeratoris ad denominatorem ratiO sIVC prOPONtIO, (pT 3 = 2 = 8_C
quoniam, in omnibus, numerator est denominatoris lemissis;) certum icidem est,
idem contingere, si tractionis cujutris uterque terminus, ducacur in communem
mulciplicatorem. Adeoque, uc (in exemplo proxime propolito) s cum A tum B
ducatur in D; eadem manet ratio AD ad BD, quae fuerat A ad B: itemque
ductis tum C tum D in B; eadem ratio BC ad BD, quae Fuerat C ad D: adc0.
que ejuldem valoris, tractiones, norx, cum ancepolris; exdenque (PTOPter BD
res, quamris non idem plane Lunc tamen (ue Loguuncur) Commumeantes; AOC
ests Communem admimune divilorem, qui urriusque composiionem ingreditur. Ve
in exemplo prius expotuco, ubi Numeratores B et D, denominatores habent C. A
_ C E, quorum ucrumque ingreditur C. Ouippetum (quo communis habeatur
denominator) non opito et ul tous C. A ducatur in tOTu CiP, sed (propter C.
utrique communem d uc Ci A ducatur in F, et C. P. in A, C quo habeatur ucrobique
GAF,) adeoque ec respectiri numeratores sic itidem crunt ducendi; nempe B in
E CMC AIICTaC ejuS AENOMIaIOE C. A,) ee D in A, (a uu uss denominatOL
CF..) Ouod rult ea regula, de dividendis numeratoribus per maximam commu-
nem mensuram;  multiplicandis terminis per alternos quotos. Puta, dividen
d0 C A e C. L. per C, 8 Der quOrOS A ec F. mulciplicandO alErnOS terminos, hoc
Hlabentur aurem hujulmodi (quae LUBLEILIANEuX) illis aequipollentes, inter se
leu DB colluuinem denolunatorem) inter le cognomines.
Sed abbreviari non raro porest haec opelacto. Nimirum, quocies denominato.

## Folio 83 — 851708439:0107
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000107.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
Cap. AY IIL. A L G E B R A.
est alcerius tracuionis terminos; puta Bc A Ci per l, acque D ee C K. per A; ut in
exemplo illo superius expolito factum elt.
Duod autem nora tandem reductione nonnunquam opus fuerit (post additio-
nem auc subductionem peractam) exemplo hoc ridebitur; ubi i5 F 20 = 2, Z,
De Mussiplicatione e Divisione Fractionum, has eradit Oucheredus Regulas.
Plulciplicatio comparat heterologos terminos (hoc es reducir ad minimos) e
Mulciplicat homolosos. Dirilio comparar homolosos terminos, ee mulciplicat
hecerolosos. Fc li incesri parcibus sinc immixti, relolrendi sunt incegri in partes.
Per terminos homologos, inrellisit, duarum tractionum expoticarum, duos nu-
meratores, aut duos denominatores: per heterolosos, numeratorem unius et de-
nominatorem alterius. Praesumit aurem, expotiras tractiones, leparatim Cumpras,
jam reductas (per ance tradita) ad minimos terminos; adeoque nihil hic praeci
Dic, de ejuldem tractionis terminis sicreducendis.
Fxempla Mulciplicationis haec exhibet.
2F
20 5
in = Hc -. = in = Fic -. = in 3 = H1
27 22 d
7 I
8
es
AB CC AC
Sic in - fit -: sexcriuis in hecerotosis terminis BB e CC.
CD BF DF
Divisionis exempla,
28
 a ZA CG
in BHE A. = in ZFC -. - in - FC-
16 28 
BC.
ID A9 A9 A Bl   B B9C
1
B, BC. CiA
AC, BC BCC AB, AC C6.
C D DAC CD DE lBE
Dux autem praecipiuntur in Mulcpllealione de Diritione reductioneo lapata
Forix (excritis, illic in cerminis heterologis, hic in homologis, communbus, in
qui sini, mulciplicaroribus;) non ut plane necellarixe praecipiuntur (quae omitri
non turo possent;) Sed ut salcem commodae lubi nihil in contrarium (uadCat) quo
brevioribus terminis sexibatur ortum, nec trustra Scribancur licera post delendx. Puta.
P

## Folio 84 — 851708439:0108
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000108.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
A L G F B R A.
Cap.
S AB CC ABCC AC AB AG ACDC CC
CD BF CDBE DE CD DE ABDF BF
Reliqui procestus ratio (cum idem sic qui in rulgari Arichmetiea) non magna
indiget explicatione. Sie tamen breriter.
Si multiplicanda sic Fractio, aue dividenda, per numerum inceorum; maniteltum
est id teri sic mulciplicando aut diridendo numeratorem, (nam 4 quintae non mi-
nus est duplum 2 guintarum, quam 4 integra 2 integrorum; ee Cimiliter 2 quin.
ta lemictis 2 quintarum, non minus quam F interrum, 2 integrorum:) ubi autem
non porest ita diridi numerator; tantundem est si sic multiplicetur denominator;
(nam 2 decimae, pariter cA semistis 2 quintarum, ac est. F. quinca; nam mulcipli
catio denominatoris, cancundem ralet ac dirisio numeratoris.)
4
A
Si autem Fractio per Fractionem mulciplicanda sic aut dividenda; id Fc (ut prius)
per hujus numeratorem quali eNet inreser; acque cum per denominatorem institu-
enda eAt contraria opcrario: (Cuippe qui mulciplicarver Z; mulciplicat per 2
tactum que divicir pet 3, scu dupli crieniem tumil. Ouique per Z diridit; diridie
ver 2, resticuique semiltis criplum.)
A
2
10B
D
C ARC AC C A
D BRD BD D B BKC BC
A B AB A B A AD C A AB A
al
D BD D D B B9 B B BC C
S. DX (C
Hoc est: Fractio per Tractionem mulciplicatur, ducendo numeratorem illius in
numeratorem hujus, s denominatorem in denominatorem; seu multiplicando ter-
minos homoloeos. Fractio per tractionem diriditur; ducendo denominatorem illi-
us in numeratorem hujus, illiusque numeratorem in denominatorem hujus; le
multipticando terminos heteroloeos. Et C qua SiC Futura sIc magnicudo cum supra
cum intra lineam: porest ea vel utrinque port acleri, vel ante omitti, quo in
minimis cerminis habeatur oriunda tractio. Aique hoc elt, quod innuit ea regulam
de comparandis seu ad minimos reducendis) Terminis heteroloeis in multiplicationt
ut hemolosis in Divisione. Duippe sic praecaretur, ne seribantur, quae mox delenda
Tunt.
Radicum Earractio in Speciebus, similiter peragitur ur in Arictmetica vulgari.
Nimirum, Radix numeracoris, tic numeracor radieis; et Padix deneminatoris, tic
denominator radicis.
e
AC VCAC
BC
c
Vq
F.
Duo.

## Folio 85 — 851708439:0109
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000109.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
Cid . 2 L L.
A L. G F B R A.
Ouomodo aurem vel numeratoris rel denominatoris radix exquirenda sic; parrim
ante dictum est, partim post dicetur fuliuS (uo locO.
Ouod autem de Fractionibus (aut masnicudinibus ad tractionum Formam de-
Seripris) dictum est; pariter intelligendum cMt de Racionibus auc Proporrionibus
(Seu harum Exponentibus auc Denominatoribus) qua ad Fractionum Formam de
Scribi Tolent, ec pariter cum illis Reducuntur, Adctuntur, Subducuncur, Mulcipli-
cantur, Diriduncur, ec Radicum extractionem patiuntur.
Nam Fractiones, seu Numeri ad Fractionum tormam expotiti, ee quidem Ouori-
tientes omnes, haud aliud sunc quam rationum aut proporrionum Fxponentes leu
Denominatores. Puta2, 3, 4, ec. Ceu 7, 7, 4, ec. racionis Dupla, Priplae, Quacrupla, ec.
Fr S, S ec seu ri ra ec, Sesquiterciae, Selquiquastae, c. FL = (quoriens maeni.
iudinis a per b dirisae exponens rarionis a ad B, quaecunque ca fuerit
Acque ob hane caulam Oushiredus (Pacis mechodice) doctrinam de Proporiio.
ne praemiccir doctrinae de Fractionibus.
A P. LCIX.
De Ratione sive Proportione.
OR tradicas incesrorum Nocationem, Addicionem, Subductionem, Mulci
plicationem, ec Diritionem; incerponit Ouehtredus, (priulquam de Par-
tibus seu Fractionibus agic) de Proportione tractaciunculam; succinctam
quidem, sed plenam. Oua Rationis lire Proportionis naturam exponit, variolque
de illa argumentandi modos, (quales habet Elementorum liber Ouincus,) aliaque
istiusmodi.
Per Racionem seu Proporrionem, eam incelligit duorum numerorum (aliarum.
re magnicudinum homogenearum) unius ad alterum habicudinem leu relatio-
nem; quae oritur ex divitione antecedentis per consequentem. Per antecedentem,
incelligendo cum cerminum cujus exponenda est proxorcio: Per consequentem,
cum ad quem hranc habere dicitur proxortionem. Losiei vocane Relatum et Cor-
relatum. Craecis scriptoribus (saltem recencioribus) rocatur, ille aoponozer, hic
rore.
Nam prouc Subductione quaerimus prioris supra posleriorem excessum, (quante
major sic ancecedens consequente, seu minuendus minuente:) Sic Divisione qua-
rimus Rationem Leu Proportionem antecedentis ad consequentem; (quotuptus FIE
hujus ille, auc etiam quantuplus, si quotus non lic numerus integer. ) Aique ab
hoc quoto denominatur Racio. Duca S Ouorus (antecedentis per consequentem
diviti) sic 2, dicicur Dupla; E3, Tripla; _ 4 Ouadrupla, dec. Si Z, Tubdup1a
(dimidium denocans sire semissem;) Siz, Cubtripla, (criencem denotans, scu par.
rem certiam;) (13, Seu +Z, ratio selquialiera, (seu ab 13 denominata;) (13, Peu 12
sesquicerria (seu ab ss denominanda:) Pc, unirerlalicer, ratio iptius A ad B, est qua
denominatur ab ==; hoc est, a quotiente ipsius A per Bdirisi.
Fponens hic, seu Denominator (Rationis,) aut Quotiens (antecedentis per
consequentem divisi,) Fuctidi dicicur mamorms, (det. 3. Lib. 5, e def. 5, lib. 6.
quam plerique Incerpretes quantitatem exDONUnE; quae per quotuplieitatem seu
quantuxticitatem aptius exponeretur: ut qua exponi, quotuplum auc quammul
riplum Tc ancecedens consequentis; seu quor vicibus (vel etiam quoc et quibus
unius ricis partibus) censendus sit antecedens in se Continere CONSequenLEM. EF
Scholialtes (quem ex Dasypodio citat Meibomius, in luo de proportionibus Dialoeo,
PaS. 12.) Kuctiai dictum cen set manomla porius quam noorura (quancuploeitatem
porius quam quosuplicitatem) ut ad Proporriones omnes, uicunque irrationales,
extenderetur; non minus quam ad Mulsiplices, alialre rationales, in quibus ante.
cedens ad consequentem est ut numerus ad numerum, integer ad integrum.
Et nod qeois in det. 3. lib. 5. quod ab Incerprecibus exponi solec quaedam relation
auE

## Folio 86 — 851708439:0110
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000110.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
A L C F B R A.
Cap. XIX.
aut corra relatio, (quali fuerie geos ris,) exponendum porius erat qualiter se habent.
am roios non est quidam leu aliquis, led qualis aut aliqualis..
Foraque Rationis Peu Proportionis detinicio illa, nbz i So vedr duozercor n ne
nuduvorulae adeis emnnae notae geors, tie porius reddenda est; Ratio est, duarum maenitu
dinum homoeenearum ea relatio, qua dicitur qualiter se habet earum una ad alteram
secundum quantuplicitatem considerata. Hloc c, quor ricibus, aur etiam qua vel
quanta parte unius ricis, altera alteram contineat.
Lacinorum Quocuplum seu Duammultiplum, ee noltrum VOt. manv. EoID; rem
Paris explicat quonlque se CxTeNdeRCL GERCOTUM nOOOMS, a nea (quot) dictum:
puta ad ea qua (Atricto sen (u) Mulsipla detinit Fuctides, det. 2. lib. 5. Hoc elt,
ad rariones quae a vero numero (interro) denominantur; ut sunt dupla, cripla
quadrupla, alixque mulciplae; quibus ad roounis (quot vicibus) numero incegro
respondetur; sive (uc loquuntur Arichmerici) ubi Quotiens elt numerus inteser.
Sed quoniam rationes alia sunt innumerx a numeris tractis; Turditre, denomi-
nandae; sive alias uccunque delignandae: GrXCOrum nooos, e Latinorum quo
cuplum, ec noltrum Bommanv. Tolo, non sunt stricte accipienda; sed in ea L a-
ticudine qua Arichmericorum Quotiens (nunc dicrum) laciltimo sentu intellectus,
ia designat quod ex magnicudinis cujusris per quamris homosencam diritione
Oritur. Adeoque Puchah dicitme mmainoms porius quam noooms. cui responderet
Lacinorum quantuplum pocius quam quotuxtum, (Eaque vocC, ut ut mius FOrte
lacina nonnullis censeatur, ucitur in Lexico luo TTen. Stephanus, e polt cum
Joh. Scapula.) Ft noltrum (li ita loqui liceac) Bom. much. Tolo, Pocius quam
Bo2. monv. Folo. Scd cancundem cst, li Quoriens, Duotuplum, Vo manx. Colo, dcc.
secundam eam lacicudinem incellisanuI: nec de rocibus Liciganctum exic, ubi
de sensu conrenit
Graecorum nozo (hoc sensut) Tacinis Mathematieis Ratio plerumgne diei lo-
lec, aut etiam (Latinius, cum Cicerone, Loquencibus) Proporrio. Nos utraris
voce promileue uimur, aur etiam viraque; licur et nottris Pase e Proportion
cantundem Funt.
Hinc Fic, quod ubi manorus illa (exponens, denominator, leu quotiens,) major ete,
ea est major racio; ubi minor, minor; ubi aequalis, aequalis: Item, ubi rationa-
lis elt (pura, verus numerus, integex tractusre,) Rationalis dicitur (erros, en-
pumo.) ubi Trracionalis (puta, numerus urcunque Curdus) dici solet Trracio
nalis (aoz, aeerros, aremporos.) Ne cui autem Colacilmum Capere rideacur noyor
dore (ratio irrationatis,) nocandum est hoc crenire proxter ambiguam signi-
Ficationem rocis abze, qua de rationem ligniticat d orationem; (lire propor-
tionem e sermonem.) Secundum priorem Cgnificationem dicitur noyo (ratio
seu proportio;) secundum posteriorem, anorer, (hoc elt, aeeros, arexpcerrros,) adeo-
que rectius exponerecm inessabilis, Ecu inexplicabilis, quam irrationatis: atque
poro anoe, proporcio non explicabilis veris numeris; Peu, qua non est ut verus
numeTIS ad veruM nuIEEUM. Alixque rationum atectiones, pariter Ex Ouo-
riemis seu Esponentis (muniruros) direrticace dependent; suncque inde expli
canda.
Proportiones quas Rationales vocane, (SIve UE CCt mumeriis ad numerum) Cua
Cortiuntur diltincta nomina, à Oraeeis Larinisque scriproribus imposica: durius.
cula quidem nonnulla, sed quae in rocabulis artis sunc ferenda; Palcem non in
commodum et ui Gua VeL ui sic loquuntur incellisaus.
Si Exponens scu Duociens (r L; dicitur ratio Aiqualitatis, Teu rato simpla:
10oros noye.
Si Ft2, 3, 4, aliusre ex numeris inceoris, uno masoribus, dicitur rario MuL
ripla, (dicerem eso Polcus Lalsore Mussipti, nisi mos alirer obtinuerit,) pura
dupta tripian quadrupla, l. os honaate simorer recma, esanst , ec.
Fr his concraria, cu, submulsipia subdupla subtripla subquadrupta, ec
LtoDONAe OIC) CrcmaE. Lvo, oSa O. Sie ratio 2 ad 2
3 ad F, 4 ad F, dec. e racio dupli, pripti, quadtrupii, ec. ratio F ad 2,
E ad 3
ad 4, ec. ratio subduptim sabtpu subquadruxti, dec. Lire semissis, trieniis, qua-
drantis, _c. aut partis dimicha, letha, quartae, etc. quas partes Aliguotas vo-
canc, a numero incesro denominatas; ut quae aliquoties Tumptae totum aequant.
Si exponens sE E cum aliquora parce; puta 127 15, Y2, _c. seu (quod
canundem et) 3, 3, 2, dc. dieirue superparsicularis, lorbere) ut sesquialtera
sesqui

## Folio 87 — 851708439:0111
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000111.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
L G F B R
sesquitertiam sesquiquaria, _c. iuince, Sirecros, Srrerasros, _c. FC hiS Contra.
ria subsaperparcieularis, subsesquialtera, subsesquiteriiam subsesquiguaria c e
uOeO, TOnPIIONIC, EITTOS, C.
Si exponens sit + cum pluribus partibus aliquoris; Duta 13, 13, 13, _c. di-
citur Superpartiens; (Srucsis) ue superbipartiens tertias, supertripartiens quartas
superbipartiens quintas, ec. e his concrarix subsiperpartiens, subsuperbixarcienis
tertias, sub supertripartiens quartas, sub superbipartiens quintas reemurens, u
Si exponens sie numeriis integer unO major (uE 2 3, 4, _c.) cum annexa
parte aliquota; dicitur multipler superparticularis: Duta 23, dupla sesquialtera
33 tripla sesquitertia; 343 tripla sesquiquaria, ec. Fx his contraria, submuli
pla superparticularis, subdupla sesquialtera, subcripla sesquitertiam subcripta ses
quiguartam ac.
Si exponens sic integer uno major (u 2, 3, 4, _c.) cum pluribus parcibus
aliquoris; dicitur multiplex superpartiens: Duta 23, 343 35, (eu 3, 18, 27, ec
dupla superbipartiens tertias, tripla supertripartiens quartas, cripla superbipar-
tiens quintas; ecc. Et his concrarix submultiplex superpartiens, sub dupla su
perbiparciens tercias, suberipla supertripartiens quartas; suberipla superbipartiens
quintas, eec. Sic ratio 37 ad 7, (PrOPter 37 = 47) est quadrupla supertripartiens
septimas; es huic contraria 7 ad 3r, C subquadrupla supertripartiens seplimas
Acque sub harum aliqua compellatione, nulla non censebitur ratia essabilis,
Peu UE mumerUS ad numerum.
Ft quidem nonnunquam ad plures reterri posse rideatur: pura 2 F ad 6 (proprei
) dici Porest cripta supertripartiens sextas, auc etiam cripla sesqui
altera. Sed hoc casu, posterior denominatio pocior cst, quia limplicior, et in
minoribus numeris
Verum ex his nonnulla, commodius extribentur in iptis numeris (Talrem ad
minimos in ea ratione reductis) quam per has compellariones. Malimque di
CerE, in ratione 3F ad 7 aut, 7 ad 3T; quam in quadrupla supertripartiente
septimas, aut subquadrupla sipercripartiente seprimas. FEt similicer in aliis; Pra
sertim ubi compellatio est compolita.
Flinc cst quod Kaclides, post quam definirerat Rationem, universim Cumpram,
Der MAIOTOS rOCeM; ut quae ad omnes omnino Rationes exrendere, (def. 3
lib. 5.) e Proportionalia (seu eandem rationem habencia) per affectionem Cacis
perplexam (quo poltit ad omnes rationes, etiam maxime inesfabiles, extendi,
det. 6. lib. 5. Idem tamen Numeros proportionales (quibus, proprie dictis, Tola
competit essabitis ratio) aliter detinie; det. 20. lib. 7. Numeri proportionales
sunt, quum primus secundi, ex tertius quarti, aequimultiplen est (uc in mulci-
plis) vel eadem pars (uc in submulciplis) vel eadem partes (uc in reliquis
proporcionibus minoris inaqualitatis:) Ouam, ut corruptam, indeque maneam
sic supplet Cdarius, vel certe cum primus secundum, e tertius quartum, aequa
liter continet, eandemque insuxer illius partem vel parces, (ut in Tuperparrieu
laribus, et superpartiencibus; auc ctiam mulciplis superparcicularibus et mulci.
plis superparciencibus.) Barrovius lic brevius, sed eodem sentu; Numeri pro-
portionales sint, cum primus secundi, des tertius quarti, aequimultiplex est vel
eadem pars; vel denique cum pars primi secundum, e eadem pars tertu aeque
metitur quartum; vel vice versa.
PropOrtiOneS auceM quas. vocanE. Zneffabiles; UE qua nOn TINE UE numeruS
ad numerum, sed uc magnicudives incer se incommenturabiles; (quarum caula
masnoruros rocem pocius quam mosuros ab Fuclide usurparam innuie Scholiastes)
Deculiaria nomina non lune adepix; led delignari Colene per ipsos sui certi-
nos, aut alios in eadem ratione constitutos. Pura, ut A ad B, uE Wt F ad V 2:
auc per eoldem ad tractionis formam policos (ut Quorienrem repraelencent, an.
cecedentis per consequenrem diriti) = aut = ec. Hoc elt, proporrio ab = (cu -
denominata. F.c quidem, quae maxime sunt etlabiles, sic Caepe numero (nec male)
exhibentur. Oc dupla, tripla, quadrapla, _c. Der 4, 2, 4, ec. Qua deliona-
tione ut plurimum ucitur Oncheredus; Taltem ubi compellatio non elt (ut in
dupta, tripla, quadrupta, sec.) aclmodum simplesi.
Cumque haec Relatio, quam Rationem Leu Proportionem dicimus, ita lic (uE
dictum
Cap. XIX.

## Folio 88 — 851708439:0112
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000112.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
A L C E B R A.
Cap. XIX.
dictum est) a Ouoriente seu Exponence determinata: ubi Ouoriens idem est seu
aequalis; cadem est seu aequalis Ratio; (urcunque inter magnicudines seu quan-
cicates diversi generis.) Ex magnitudines (ut ur diversi generis) in cadem pro-
portione constiturae, Proportionales elle dicuntur; seu (ut loquitur Fuctides)
ardnozor 2, seu arà noyor hoc est ara i auror noyor secundum eandem rationem
seu proporrionem. Posteriores tamen pro urrcdn ara noyor (adrerbialiter) dicunt
non raro (adjectire) uegedu aranoza.
Sic ( lic, ut A ad B, sic a ad B; hoc est, E magnicudo A per B dirila cun-
dem extribeat quocientem quem a dirila per B; seu - = -: dicentur ilIX Ma.
onitudines provortionales; licer AB sine numeri, ee aB linex alixre magni.
cudines. Duamris enim masnitudines AB (inter se homogenex, adcoque ra-
tionis capaces) sinc ipsis a B (homogeneis irem inter sc) magnicudines hetero.
genex; Racio tamen rationi est cadem.
HIoc Cst; Si SIt - = -: TunE A B ipLS aB proportionales, lire in eadem
ratione. Solentque sic detignari,
A. B:: a. B
Ft rise verla, li tiae sunc provorcionales, illa sunt aequales. HIoc et, A A. B :: a. B;
num - = -. Ouam c8o pro Desinitione Proportionalium habeo; loco illius
quam cradie Fuctides, det. 6. lib. 5.
Similiter, Ei cres (Dluresre) sine masnicudines, litque uc prima ad secun.
dam, lic sccunda ad certiam, (et sic POrrO:) dicuneur Continue proportionales;
Tolenrque sic norari,
A. B. C. D = hoc est, A. B:: B. C:: C. D. ec.
Ilinc sequitur, si numerus duos numeros multiplicet, (aliasre duas magni-
cudines inter se homogeneas,) facta erunt multiplicatis proportionalia. Similicer-
que si numerus duos numeros dividat (duasré magnicudines inter se homoge.
neas) Orta erunt divisis proportinatia.
lan
Adeoque nA. nB:: A. B: : -. -
Idem incellise, E dux magnicudines in communem magnicudinem ducantur,
aut ad communem magnituainem applicentur. Quamris enim magnicudinis in
magnicudinem ductus, auc ad magnicudinem applicatio, non idem plane sic cum
(proprie dicta) muleplicatione aue dirisione per numerum: (Nam linea in nu-
merum ducta, seu per numerum mulciplicata, Facie adhue lineam; in data ra
tione: Sed linea in lineam ducta, Facic superticiem; duarum dimentionum.
Idem tamen hac in re praestanc. Verbi gratia; si rectae AB,
adsciseant communem altitudinem n; eadem erit ratio rectan-
guli n A ad n B, quae crat rectae A ad B. Puta, n A rectan
sulum cories comcinebic. nB rectangulum (proper communem
alcicudinem) quories A recta continet B rectam. Similiterque lI
nA nB rectangula applicentur ad n communem alcicudinem
Paricerque si pland n nB, adscileane porro communem craltiriem m; atque ad.
huc communem ponderolitatem (seu intensivam graritatem, seu gravitaris gra
dum; cravitatem specisicam jam dicune, minus apte; pura p. FrunE adhuc pro.
Portiotalo;
A. B:: n L. n B: : mn A. mn B: : mn D P. M H P B.
Item, Quatuor proportimatium, factum ab extremis aequatur facto a mediis.
367) AB =B0.
Duippe si A. B: : a. B; adeoque - = -: erie icem (utrinque mulciplicando per
E

## Folio 89 — 851708439:0113
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000113.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
CaD. XIX.
A L G F. B R A.
E_ Trium continue proporcionalium, Factum ab extremis aequatur Duadrato me-
dii. Ouippe Li A. B. C :: Hoc est A. B:: B. C. Erit AC =BB =B9
Acque hinc sequitur, qua dici solet, surea Resula; Peu Regula proporrionis
auc proxortionalium; aut Regula De Pri (ue loquuntur aliqui) hoc est De Frit
bus. Nimirum; Duatuor Proportionatium, datis tribus invenire Duartum. Nem
DC; Si, e tribus numeris datis, (aliilre terminis provorcionalibus) rectaneulum
sub secundo e tertio, applicetur ad primum; (HIoc est, E Sccundus mulciplicet ter-
cum; de primus dirictat Factum;) Duorus erit tribus datis quartus proportionalis.
Ouipoc sI A. B: : a. B. Adeoque (ut jam olten sum) Ba== AB: diritis ucrisque
Ba
Per A, siet = =- B: vel, dirisis per B, FCC = = A. Similiterque - = a, FF - = B.
Adeoque, dacis quibulris tribus, invenitur quartus.
Trem Frium continue proportionalium, si uadratum medii per primum divida-
cur (seu ad primum applicetur) prodibit tercius proportionalis. Ouippe li A. B.
C. .. adeoque (uc jam ostensum ct) Bg = AC; dirisis utrisque per A, tic
B4
B
= = C: auc, per C. dirisis, fit = = A. Sed _ (PrOPtE AC = B9) erit V AC =B.
Adeoque datis horum duobus quibulris, habetur reliquus.
Sunt itaque continue proportionales, A, AB, ABB, ABBB, Ecc. Iam quilibet
antecedens in B ductus, extribet consequentem: et quilibet consequens per B diri.
us, exhibet ancecedentem; itemque quilibet consequens per antecedentem dirisis,
extrihet quocientem B: et quilibet ancecedens per consequentem dirisus, extibet
quorientem =: Irem cujulris incermedii quadratum, diritum per anceccdencem,
extribet consequentem; e, per consequentem dirisum, extribet ancecedentem.
Similirer oltenderur, continue proportionales este,
Bb BBB B 35
aa a at
_c.:
Obi continuus mulciplicator est -.
Ex eildem principiis, intert Oushrredus omnes eos de Proportionibus argumen-
candi modos quos habet Fuctides lib. 5. Flementorum; Duca, Si quaruor maeni-
cudines sunt Proportionales, (A. a:: B. B.) etiam alterne,  inverse, e composite,
 divisim, e converse, e mintim, proportionales erunt.
Ouosego, nonnullis additis, lic recenseo:
Modi de Proporcionalibus arsumentandi.
D, Oportio F.xpOlica ) 2) A. a:: B. B. JId est = =.  (X e. (7) A B = e. 
AIcernA
Inverla p
2 A. B:: a. B. AB = aB. A a
3 a. A:: B. D
4 B. A:: B. a
SA F a. a:: B =B. B.
27 6A + B. B:: a =B. B.
3
7 a FA. A:: BFB. B.
 8B = A. A:. P. + a 
LC
22
E
A + a
Comporita 
Divila
Alterma

## Folio 90 — 851708439:0114
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000114.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 104 lines, status machine
A I C E B R A. Cd f. LL1L2.
AIernA 5, 9A = a. B = B:
6 20A = B. a = B:
TT a = A. B=B
21
+
B. A.
8 16 A. B F A:
10 18 a +
TT~ 79 BF B.
X2∞ 20B F. a. B F
Conrerta T. ZL A. A = a::
A
2
B
B F
A. B
22~ 26 A.
2
ae
24 28 B. b
8. a = B
:: A + a. B L C
:: A + B. c
:: a = A. B = B
vide 10.
vide 13
ide 14
vide 11.
dc 12.
ride 9.
a. B. j: : A. B: : A = 8. P L 8.
B
. P
Invella
5
2∞ (22
3
23∞ (27
Mrerla 2T~ 20- a.
23
24
25
26 34
7
e
2836 B. B
HIXta T= 37 A  d. A -
:. B = e. D = 4
2 38 A F B. A- B:: a-
8 39  A. a A:: B F B. B- B
4 40B.  A. B A:: B qu e. B a
Alterna 37 4c A f a. B. F B:: A- - a. B B.
38 42 A. f B. a = B:: A. B. a B.
39 (4.3 a - A. B  B:: a A. B B.
40 44. B. F. A. B F a:: B A. B e.
Inverta 372 45 A - a. A f a:: B B. B L B.
38- 46 A. B. A ]B:: a B. a FB.
39 47 a A. a F A:: B- B. B F B.
40 48B A. B  A:: B. a. B. f a.
42 40B F B. A f a:: B B. A- a
42 50 a. F B. A F B:: a - B. A. B.
43 5E B+ B. a F A:: B B. a- A.
44 52 B f a. B F A:: B. a. B A.
Acteoque, s in trorum uno aliquo ralet proportio; valet de in tingulis.
Probationes breviter subjunctae, sume iniellectu non disticiles. Ad primam subo
jungitur explicatio; nempe A. a:: B. B, cancundem est (per detimitionem propor.
cionalium) ac = = - (quod paricer incelligendum est ubique): e (ductis uiris.
que in a B,) AB = aB, tactum ab extremis aequale facto ex mediis: quod pariter
libique valet.
Ad 2. PTOPTer AB = a B (quod jam ostensum est) divitis utrisque Per BB,
Fc - = -; hoc est A. B:: a. P. Aique haec alternatio semet probata; pariter intel
ligenda est in omnibus Alcernis post cicacis.
Ad 5. Pcoper = = - (per primam) eric (utrinque adelico vel tublato 2, )
B. B= B
_ B = a
e
B. B= B.
B. B+ B
:: B F A. B +c
D
25
+ B.
Per alternam g: quia a. B:: A. B. Sed
52B. F A. B
1 L B.
:: B F B. B
:: B = a.
B
:: B + B. A + a.
B. A + B
B. a :: B+ B. a F A.
A
Alcerna 21.
22 30 A =B.
33
B. A
. A
vlele 16.
la 230
-
FrC
a B. +B
B-

## Folio 91 — 851708439:0115
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000115.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
Cap. XIX.
IL L G F B R A.
A =a BFB
+  = = L c. Hoc est (per Fcationum reductionem) =
Pariter.
que SI PFO L. BonatmE 2, 3, aliutre numerus: quod rocant vis componendo; aut
bis dividendo, ecc. Compolicionem et Dirisionem junctim expono (alreram per F,
alteram per =,) propier parem utriusque rationem.
Ad 3. PcOpteE a B = AB (uc jam oltentum est); Dirisisuurisque per, AB, fic
= -. Mique haec Iuvertio temel probaca, pacirer valet in omnibus tnversio
Dost Citatis.
Ad o (quae est alterna guinca,) subjungimr explicario (utilis ad seguencia):
Nempe; pCO:: a. B, substicuiur:: A. B (qua per secundam aequipollet;) adeo.
que pariter: A. B:: A F a. B = B.
Ad 2F. Proprer nonam sic expolitam;. Probatur inde (per alternationem,) qua
dicitur Conrerlio; cum in hac, cum in sequentibus Conrertis. Acque haec COn-
versa, cancundem quasi est cum proporcione L5; Cumpris A F a ec aF A, pro dua
rum magnitudinum A, a Cumma ec ditterentia, ucrarisillarum fuerir major; limi-
literque B FB ee B =B. Et pariter in sequentibus Conrersis.
Ad 37. PrOpteF:  = - -- (per 2L) et - = - - (per 13) erunc ( duo
A- - 8 B. -β
A + a B. f B
Prima duobus postremis) -=
A- - a 1
.Ubi proportio est aliquanco perplexior; Colent gractatim arguere: Puta (pro
DTODOTtIONE +2,) Si A. a:: B. B; erit (alternando) A. B:: a. B: e (invertendo
B. A:: B. a; _ (diridendo) B A. A:: B 8. a; iterumque (in vertendo) A. B
A:: a. B - a. AUE etiam (breriS) Si sIc A. a:: B. B; erit (alternando, in verten-
do, diridendo, iterumque inverrendo) A. B = A: : a. B - 8. FF in aliis pariter,
veres tulexit.
cu Postimt autem illi modi ad pauciores sic reduei:
Si sit ut unus antecedens, ad suum consequentem; sie alter ad suum: sic erit
e summa vel differentia ancecedentium, ad summam vel differentiam consequen-
Linm. Zdemque Alerne, e Inverse.
Trem; ut summa ad differentiam primorum; sie summa ad differentiam secun-
dorum. Fdemque Ulterne, e Inverse.
duod ex subjecto dchemace parebir: collatione tacta cum ante readiris qui hie
citancur numeris supra ec intra policis.
2. F. 23. 25. 27
A. a: : B. B:: A + a. B + B
13. 25, 17. 10.
29. 37.33.35.
22. 24. 26. 28.
6. 8. 20. T2.
A. B.:: a. B:: A F B. a = B
1 24. 16, 18, 20.
30. 32. 34. 36
Oux autem de Proportionatibus, sive in aequali proportione potirie, craduntur;
eadem ad ea Facile accommodantur quxe sunt majori minorire proporrione polita.
Pura; si A. a = :: B. B (S A ad a sic in majori proportione quam B ad B) erit
(alternando) A. B = : : 8. B. (HOc eltu R = = -; ductis utrisque in aB, exit
B7. 39. 4.T. 4.3
A +. c. A s e:: B = B. B s B
45. 47. 48. 5r.
38. 40. 42. 44
A = B. A s B.:: a F B. a-
46. 48. 50. 52.
b= ab; deus ceritio verit que Bet bb ; hoc ell. A.  in i l d Ediala
verc

## Folio 92 — 851708439:0116
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000116.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
 Y. G F B R A.
LidP. L1
vero - = = ; hoc est B, P = . : A. a. Pariterque a. B =;: A. B. F simulicer in alis
Inversontous.
Tlem; DEOpter AB = a. B, adeoque a B = AB; dixitis utrisque Per AB, erit
L =; hoc est a. A =: : P. B: Oux est Tuversio. Paricerque ( dirisis cildem
per a A )eric B. A L:: P. c. ( in
B
vat A
Sup B
Et Componendo, leu Dividendo; Propter - = -, adeoque = + 1 = - + L seu
A F a BLB
; eic A F a. a =:: B + B. 8.
e B
ss ta ss c
.Cesc
Cumque sic (invercendo) - = =; adeoque r. f = = 1 + =, C propter mi-
A F ∞ B F B
A
adsit B
nus additum) teu  = - = hoc est A + a. A =: : B. + B. B: erit (ile
rum invercendo) A. A F a =:: B. B. F B. Oux est Conversio rationis per viam
Compositionis.
COntrA verO; 2 = = = L =- (propier minus ablacum,) seu -- =
hoc est A - e. A =:: B  B. B: iterumque invertendo, A. A = a : : B. B -- B.
Oux est Conversiorationis per viam Divisionis.
Cumque GC (per convertionem rationis - -- =   ; _ C per inversam
 sC) ett s sit si um e. :al et si (A + a B  B
compositxe) -- = --: F.ric (Propter minus ablatum d majori COcO) Retiduum
A f a B FB
5
A F B. L B
Hoc est A - a. A f a = :: B = B. B F B. F. L (invertendo) A. + a
=:: B. +. B. B - 6
Hoc est; Si FE A
Alternando A.
Invercendo Z.
Componendor a ta
Rric L Fc dividendos A +B
A.
Convertendo ) A. A
c
B
a - B
.. B. B
:: a. a = 1
B. B
C
Mixrim
:: d. a - b
A +a. A- a -:: B LB. B B
EA F B. A BC:: a+B. a
Ft parsex in rellquis; quod inquirenris sagacicas facile inveltixabic: VE nOn SiE
opus id lingulatim ostendere.
Sed nec alios iridem arxumentandi modos (ab his deriratos) opus erie parrieu-
lacim ostendere: Sultieir urique eos enumerasse qui lunc praecipui, ee Frequentioris
utus. Paucos tamen ab Ouehcredo tradicos libet hic subjunsere; qui praecedenti
schemati non commode ilererentur.
Si quodibet magnitudines lint proportionales, (Puca L. . . b. .. l. 3: :d.
_cC.) eriu ut unus antecedens, ad suum consequenrem; sic lumma anrecedemtium
ad summam consequentium. Puca A. a:: A FB f C F D etc. 8 f B. + y + d dc.
quoreunque tuexin.
Nami
:: 8.
:: B. B
=:: B +B
+B

## Folio 93 — 851708439:0117
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000117.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
L C F.  R A.
CaD. 1 2L.
FE propterea, in concinue proporcionalibus; puta a. b. 6. d. _c.:. (quorum a
Sic primus seu minimus, et u ulcimus seu maximus, et Z. summa omnium; adeoque
Cu omnes antecedentes, et Z a omnes consequentes; exit a. b.: 2. - v. Z. - a
(ut unus ancecedens ad lium consequentem, sic omnes antecedentes ad omnes con-
leguentes.) Ouare a Z. = au = b Z. = b u e (tran sponendo) bZ. aT. bu aa
Oude obiter liquer invencio summx concinue proporrionalium, seu proerectionis
11O Set SIOE
bi-aa
Geometrica; per hanc Regulam; 
a
Z
Si plurium proportionalium ancecedentes sint aequales; eriis ut unus antecedens
ad summam suorum consequentium, sic alter ancecedens ad summam Cuorum. Puta
A A. B:: a. B; e A. C :: 8. 3  e A. D:: a. 8: erit A. B Y C f D:: a. B f y q s
Liquet ex priori demonstratione, terminis alterne politis.
Puta A. a:: A F B F C. 8 f B f y. FrSO A. A + B + C1:: a. a f B- F y
Si binarum rationum consequentes tunt aequales; sunt uc anrecedontes. Si vero
anrecedentes sine aequales; lunt reciproce ue consequentes. Puta 7. 2 : : 7. 9. FE. L
3. 7:: 7. 9.
Si bis quatuor magnitudines sint similiter proportionales; ipsarum etiam tum
tumma cum differentix proportionales erunt.
A. nR:: a. n a
e
B. _B.
A. a:: B. P. adeoque (aliernando ee componendo)
Nam = A F B. a f b.. (B. B::) C. γ. F.
A + B F C. a = B fy:: (C. 3::) D. 8. dec.
A =b. MA =M B.. C = B. M ∞ = AB.. L. H.
Si quatuor magnitudines proportionales, per alias quatuor magnicudines pro.
porcionales, mulciplicentur rel dividancur; etiam facta rel quotae proporrionales
exut.
A. MA:: a. m a.
b. 1B:: B. nB.
Ab. MH LB.. a B. Bon cB.. C. 11.
ma
mB
a ma
B _B
Rocio antecedentis ad consequentem componiuur; vel ex ratione antecedenris aet
cercium ec rerrii ad contequenrem: vel ex rarione certii ad consequenem et an.
recedentis ad tertium.
Prior dicitur (apud Puctidem) Pil aequo in ordine directo; Polterior, ex aequa
in ordine perturbato.
Sec de racionum compoluione plura dicencur capire sequente.

## Folio 94 — 851708439:0118
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000118.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
A L G F B R A.
aP. XX
De Pationum Compositione, dusque quae  an
perationiol.
5
rem jam ante dictum lic, ea quae de Fractionibus cradica fuerane, de Ra
tionibus leu Proporciolibus pariter intelligenda este: Postet hoc totum
CaDHIE CUTO PEaterirI, II quod animadrerterim, direrlas hac de re d
diverlis leptoribus loques tormulas usurpatas, errandi, aur rem ipsam perpe-
Ratio compolita (noyo oujnciuo) ab Fuclide (def. 5. lib. 6.) Sic detinitur
A6yO En Noycor orynelaa Néroru esur cc Z Noycor MRIMETTES, nodandaorelodetod Hodor He
Hloc est, Ratio ex rationibus componi dicitur, quando illius Lxponens, ex harum
Exponentibus inter se mulciplicatis conficitur.
Puta; cum Tripli ec Dupli, exponentes 3 e 2, invicem mulciplicati Faciant
3X 2 = 6; quod hinc denominatur (puca Sexruplum, seu Tripli duplum) di-
cetur ex Tripso e Duplo componi. Seu Ratio Sextupti, componi ex rationibus
Dupti  Tripti eo quod sexcuptum suc Dupli criptum. Quod mulciplicationis
opus esle, nemo non ricet.
FE quidem ea formula loquendi, Duptum Tripli, multo aptius intellioeretr
(secundum vulsarem loquendi morem) quam. Compositum ex duplo e triplo
(quod cantundem ralere rult haec detinitio,) si Pariter recepta etene omnium
rationum nomina, ac lunt Dupsi, Tripli, aliorumque Mulciplorum.
Sed cum non omnibus pariter suxpererent nomina, quo diceretur (verbi gratia)
=pum = pli; (cujus exponens si = i = ductum:) aliam loquendi Loc-
mulam achibet Fuetides (omnibus pariter applicabilem) nempe, compositum ex
8-
Hoc ettu ex ratione cujus exponeris fit =, et ea cujus exponens sit
Ci AC
AC
 Compotiia dicetur ea racio cujus exponens (ic = r -, seu -; sive quae lic ab -
BD
denominato. Oui planus est Pacilisque sensus Detinicionis Fuclides.
BD
Ac vero, cum Compesitionis vOx axud Fuclidem nonnunquam pro Aaditione
Occurrat (ut puca,  dicatur A B C recta CX rC
Ei ctis AB, BC, componi:) Hlinc factum est quod jam
olim nonnulli hanc composirionem dixerint rationum
Aadirionem: camque loquendi tormulam (iplOS le-
curi) eciamnum recinene plurimi. Fujusque compositionis dissolurionem, ro-
canc rationum Subductionem. Cum aptius dicenda Foret illa Mulciplicatio; haec
Divisio.
Arque hinc disticiles comminiscuntur Ouxstiones; Ouomodo sieri Posic, ut
Ratio per rationis Addirionem tat minor FE Racio, ex duabus addicis tacta,
tiat minor uxaris. Oc puta, cum ex addicis subdupla et Suberipla, tiac Sub-
Sexcupla, (proprer
S;) Sitque haec ucraris minor, per prop. 3. lib. 5. Ku-
clidis. Duae quidem solueu ditticilis esset quaestio, A rerera Lorer AddIO: Suippe
cum utraris Partium Foret Poco major.
Considerandum aurem erac, quod per Compositionis rocem Fuclides nonnun-
euam, nec semper tamen, Additionem incellisit; uc jam dictum est: alibi tamen,
Der Compositionem incellisit Mulciplicationem. Sc puta uti de numeris Primis
et Compositis asicur; nem de numeris inter se primis et inter se compositis
Sic 273, 5, 7 Ec. dicuntur numeri primi seu incompositi; quia nullius numeri
incesri) mulciplicacione tiunc quam sui iplius e UnIIatiS: Sed 6, nueTUS
com
ram inteltisend, aas sCCHIC.

## Folio 95 — 851708439:0119
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000119.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
Cap. XX.
LL G F B R A.
compositus; quia fc ex mulciplicatis incer se 2 e 3. Si autem per Composi
tionem intelliseret Saditionem; non minus essent numeri compolu 3, 5, 7, et
quam 4, 6, 8, ec. Nam 5 (addendo) componieur Cx 2 et 3; ec 7 Cx 3 e 4
Nec quilquam dubicat quin Fuclides (ejusqué Interpretes) ibidem, Der Composi.
tionem, incelligat Muliplicationem.
Cum icaque manifestum sic, quod duplex apud Fuctidem occurrat Compositio:
altera per saditionem (ut cum 2 + 3 = 5,) altera per Mulciplicarionem (ut
cum 2X 3 ==6:) considerasse oportuit, de utra duarum intellisenda esset Ra
eionum Compositio. Cunque diterre diceretur, de ea Compositione incellixendam
esse, quae fic ex mussipticatis inter se simplicium exponentibus quo Heret exDO-
pens composita: non oportuit (sensu directe adverso) Additionem appellare.
Consideraste item oportuit, etiam Rationum compolitionem Fuclidi dupli
cem cne: alteram per Additionem, qua ouvseors noyo detininr, def. 24. lib. 5
diverlam plane ab ea quxe per Mulciplicationem detinitur neyes orrnéde
aes. 5. lib. 6. Priori loco, esto simplex ratio A ad a; cujus exponens est
: ea quae componendo tu, erit A F e ad a cujus exponens cst - -, (eu  + L
Et quidem, Si pro antecedente A F a, pOnatur A F 2 a, aut A = 5 a (quod
incer demonstrandum paltim occurric;) eriamnum de eadem Compoliione (ouvrdirn)
incellisencur; nili quod exponens Composica jam lucura sic = = 29 aut = +3
Oux est rationum compoticio per Aaditionem exponentium; mericoque dicenda
TIE Rasionum Aaditio. Sed ca compoticio de qua jam asitur, cum trat per Mut
siplicationem Lxponentium, dicenda Pocius eec Rationum Multiplicatio, quam
Addicio.
Cumque apid probatos AULOTES OCCUFTAL UITOquE SenSI NOX C ompositiO; F. 30
quidem (Ei quando errandi lic periculum) alteram appellare loleo Compositionem
per Additionem, alteram Compositionem per Multiplicationem: ne de lentu sc
ambigendum. Sic, ex cupla de cripla, addendo componetur duintupla (Propter
3F2 = 5:) Ced Mulriplicando componetur Sexrupla: PrOpter 3 X 2 =
=6
Acque jam eraneleit protinus ea qua censebatur difticultas. Duomodo fieri
POsHE ut Racio Compolica sic alcera vel ucraris componentium minor: Ouam.
vis enim, Audendo, tieri non poltuc ut Tocum sic cua parce minus (dummodo
pars urraque sic Dolitira, uccunque exigua:) Mulciplicando tamen, nihil impedit
guin Productum, sire Factum, tic altero vel utroque Factore minus. Ouppe
si e Factoribus alcer sic unitace minor, prodibit F’actum reliquo minus: ec qui
dem Si uterque sit minor quam F, Productum fiet uirovis minus. Cum enim
(ex mulciplicationis natura) Numerus Productus tories censetur continere N(I
riplicandum quot sunc in Mulciplicante Onitares: Si Musciplicator (seu e facto.
ribus alter) sic minor quam Z, Productus concinebir Mulciplicandum (Teu reli-
quum factorem) minus quam semel. Adeoque, utur inconoruum sic dictu, Sum-
mam seu Aesresatum Subdupli ee Suberipli (hoc est E F 3 sire Subdurlum
ec Subiriplum,) eorum altero minus este (pura minus quam Z aut Z:) Sacis c.
men commode dicetur, Factum ex his (hoc est =X 3, sire Subduxlum Subtripli,
aut erientis dimidium) utroris minus esle. Fequis enim dubitat quin Semi trien.
iis ratio (sire quae ex Semistis d Prientis rationibus componitur) minor sit
quam vel Semiltis vel Prientis ratio.
Elis ita praemiltis, manisesto sequitur, de demonstratu facile, (quod admodum
disticile demonstratu caulantur multi,) Si duobus quibusvis terminis (ut A, L
guollibet interponamus medios (puta B, C, D, P.) uteunque constitutos (puta ret
omnes majores, vel omnes minores, altero vel utroque, aut parrim majores par.
tim minores;) ratio extremorum componitur ex rationibus omnibus intermediis
continue sumpris; puca primi ad secundum, secundi ad certium, et sie concinue
usque ad utcimum.
Cum

## Folio 96 — 851708439:0120
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000120.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
A L G F B R A.
Cum enim intermedii cermini, reperiantur omnes, cum intra cum supra inter.
sectam lineam; mulciplicando, se perimune, relictis tancum primo et ultimo
Fsinc sequitur Fuchidis arsumentatio es 1s0, (ex aequo Tive et aequat:) li SIE
iptorum A, B, C, D, Sc. quilibet ad consequencem Tuum, uc Tunt pLOTI
an B, y S, Sc. quilibet ad Cuum: eric ut illorum primus ad ultimum,  AOI.
Cap. XX.
HOc elt
Aquabie = x = x =, hoc est -
Ouippe cum Factores illi sint nis aequales, eriam factus Facto aquabitur.
Pariterque (ut loguuntur) in ordita pehhurbato: li erium A, B, C tocidemque
B7 3; TIE UE A ad B sic (nOn a ad B, Scd) B ad 7; e ut B ad C, sic a adB:
erit ctiamnum ut A al   d all 3. Hoc cAt,
exit = x -- = - x -; HoC est - -
Ouamris clum non comparentur eodem ordine, (cum sint B B lecundus _ ter-
rius terminus in priore comparatione, led BB primus et quartus in polteriore
se tamen mutuo destruune num BB in mulciplicatione priore, cum BB in poste.
riore. Neque aliud hoc est, quam E illic ponatur triplum duph, hic rero du
plum tripli; uctovrsue proc sexsuptum.
Idemque continget s plures adhue sine utrobique termini in ordine pertur
bato, dummodo ICCIMM omnes fiant tum antecedentes tum consequentes ra-
BC B0
tionum. PUtA, ABCiD et aB7d
BCD y5
AIque HX d proPOSItiOneS (qua LuI PrP. 22. 8 23. lib. 5. Fuclidis) de
arGUeNEatIONC ex aequo, lire l ordine directo tire in ordine perturbato, le
ciunc (rationis) compositionem per multiplicationem.
Fa vero quae sequitur (nimirum prop. 24. lib. 5.) eam composiionem respicit
quae elt per Aaditionem. Nimirum,
Si lit ut A ad a sc B ad B; atque ut C ad an sic D ad B: tum eric ut A. F C
2c an Hc B (D ac B. LloC etbus
dntta 
C
Similisque aa ACHEH paltin apu Luclidem aliolque.
inricem similes leu aequales; (lincque; verbi praria, nulc l 293,  BeVC;) ea qua
componendo oritus, diei (oler unius earum suplicata, criplieata, quadruplicata aliatre
mulciplicata pro numero similium ratIONUM SC COMPOHENEIUIM. SIC raLIOMIS
A ad B, (cujus F. xponenS est =,) duplicaca, criplicalan quadruplicata, dc. tunt
A
Si in ea per mulciplicationem compotulone rationum, rationes componendae sint

## Folio 97 — 851708439:0121
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000121.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
C. aP. LL. Ld.
AA a BB, A. ad B, A dd B ec. quarum exponentes lunt
A
t
A A A A
=x = x -, ecc. hoc cst -
BB B
= _c. Vel, Si Fxponens Cimplicis
sic r; duplicata, triplicata, quadruplicatae, ecc. Exponentes cxune rr, r3, rt, ecc
(Foc est prour jam loqui aman, simplicisr, quadratus, cubus, biquadratus, ec:)
Duo spectat Fuclidis, def. 20. lib. 5. Oux est ad hunc sentum; si tres pluresvé
maenitudines sint continue proportionales (Duta F, a a, a, at, ecc.) prima ad ter-
iiam, quariam, quintam, ec. (E ad a, a, a, ecc.) rationem habere dicetur du
plicaram, tripticatam, quadruplicatam, eec. illius quam habet ad secundam: (F ad a.)
Lec (invercendo) tercise, quarcae, quintae, ecc. ad primam; est duplicata, eripli
cata, quadruplicata, ecc. illius quam habet secunda ad primam. HoC Cst, sI
ia
a
2
 seu =, SIC exponens simplicis; -, -, -, cc. TCu -, -, -, _C. CPUnL
aa a
ae
exponentes duplicacae, eriplicatae, quadruxlicatae, _c.
Dicuntur autem apud Fuchdem, (nOn noyO Sndo, renI, TESnA, _CC.
ratio dupla, tripla, quadrupla, c. (Cd) Srnaoicor. recmdasicor, Teraotcor, Ec. du
plicata, Triplicata, quadruplicata, ecc. Quamris enim (Crammaticam ( Spectes)
dupla ee duplicata, tancundem videantur: in usu camen Machematieo diltinoui
TOlenE. SEqualis, Dupla Tripla Quaarupla Ecc. Tunc UE, 1, 2, 3, 4, _c. ad T.
Sed, Simplex, Duplicata Triplicatam Quadrupticata, _c. Tunt ut a a, a, at, c
ad F. Duxeque jam dici solent radix, quadratum, cubus, biguadratum, ecc. ab
Fuclide detiniri censenda sunc, ubi exponitur ratio simplex, duplicata, Triplicata
quadruplicata, esc. Adeoque qua jam dici Colent Duadratum, Cubus, Biquadra-
Tum, _c. Tunt quidem nora Nomina, sed non novx Notiones Teu senificata
ab eis quae ab Fustide detiniuntur quando rationem Duplicatam, Priplicatam.
Quacruplicatam, detinit, det. 20. lib. 5.
Esis ita explicatis, jam Paris liguet quid relim cum dixerim, operationes Arich.
meticas in Rationibus, seu carum Lxponentibus, similiter peragendas, atque in
Fractionibus. Nimirum,
Rationum Addirio (seu composicio per additionem) Fic Addicis earum Lxpo-
mencibus, quo habeatur ABBreSati exponens. Ou cum duplum ec triplum Facit
quincuplum; Propter 3 + 2 = 5. Et Subductio Cimilirer, quo habeatur expo-
vens reliqua. OE cum Duincuplum dempto Priplo, Fac Duplum. Sic S rariani
A ad B, addenda C auc subducenda, ea quae et Ci adt B, aut C ad D; addiris
auc subductis his exponencibus, habetur exponens Aggregati vel Relidui.
A - C A
ADFBC
A L G F B R A.
a L C A
Rationum Musciplicatio (seu composicio per mulciplicationem, quam ramen
Additionem multi rocant,) tic mulciplicaris inter le exponentibus, quo tabeatur
COMDOTEX expOnenS. OI cum Dupli Friplum, sic Sexcuplum; Propter 2X 3 =6.
Fc Dirilio similiter (seu compolix dissolurio per diritionem) tu diridendo ex
ponentem compositae per exponentem diridencis; (quam tamen Subductionem
rationis nonnulli vocant.) OI, cum subduplum tripli, sic Pesquialterum; proptex
22; Seu 2) 3 (Y3. Adeoque Si ratio A ad B, mulciplicanda sir seu diridenda
in ratione C au B, aue C ad D; inveltisandurs id eric, mulciplicando aue di-
videndo exponentes.
AC A C
AC C A
C
A, AL
D BD B B BC C D B BC
Obi item nocandum est; rantundem CHC Mridere in ratione lad D, _ mul-
cipticare in ratione (huic contraria) D ad C. Acque hine est quod Puclides
Ca

## Folio 98 — 851708439:0122
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000122.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
LL   E B R A.
CaD. XX.
 ad
Quadratio, Cubanio, eaeteraeque rationum lurostiones; hoc elt, ractortum Si
MILIUML COIMMUaTIO (LCV COMPOMC per multiplicationem) duarum, crtum, plu.
riumre: dicuntur Fuctidi, Duplicario, Priplicatio, eec. Puta; Duplum dupti, de
Triplum eriplis ecc. dicuntur esse in ratione duplicata dupla, aut tripla, ec
Fiuntque quadrando, aut cubando, ecc. exponentem simplicis. FC Lrolurio hu-
jusmodi Inrolutionis, tic extrahendo radicem Ouadratieam, Cubicam, dc. expo.
nemtis propolita: quo habeatur exponens Subduplicata, Subtriplicata, eec. Puta
rationis A ad B, ratio duplicata, eriplicata, _c. et ratio A9 ad B9, AC ad BC, ec.
Et Subduplicata, Subtriplicata, etc. eAt ratio YA ad VB, VCA ad VCB, eC
VcA
VcB
Dacionis ad Dationem ratio, ea est quae exponentium. Ratio major ea est cu-
jus exponens est major; minor, cujus minor; de in ca ratione major et minor.
Pura, Duplum ac Friplum, in ratione 2 ad 3. Fc de aliis sumiliter.
Sed Duplicata ad Triplicaram, est ut Ouadratus ad Cubum. Ft similiter in
aliis rarionibus Mulciplicatis, et Submulciplicatis. FF proinde Ouadratus, Cubus.
Biquadratus, ecc. continue crescunt aur decrescunt prout Radix major elt aut
minor quam F: (puta si Radix Cit 2, quadratus, cubus, biquadratus, ecc. Tunt
1, 8, 16, ecc. continue crelcentes: Led 4, 8, 16, continue decrelcentes,  ra-
dix lic Z:) Pariter, si expolita Racio simplex, sic (quae dicitur) Majoritatis ratio-
Seu major quam L ad r; duplicata, eriplicara, exteraeque lequenres, continue cre
Scunc: (nam dupli duplum, hujusque duplum, ecc. item cripli criplum, hujusque
triplum; hoc cst, quadcuptum, octuplum, sedecuptum, ecc. item noncuplum, vi
sincisepcuplum, ecc. Cunt continue majora quam duplum, aue eriplum.) Sin ea
tuerit Minoritatis ratio, Leu minor quam aequalitatis, P ad T: continue decrescunt
duplicata, eriplicata, exteraeque. Nam subdupli subduplum, sire semissis semis
cM semille minor, hujusque lemis etiam actiue minor; tremque suberipli sub
iriplum, sire crientis criens, est criente minor; ejulque eriens, minor adhue; et
in aliis pariter. Nec interim quidquam absurdi elt, rationem duplicatam minorem
esse quam est ea cujus est duplicata; es triplicaram adhue minorem utraris:
(nimirum, in rationibus minoritatis:) non magis, inquam, quam ut numerus
quadracus sit radice minor, et cubus achue ucroris; nimirum, quum radix mi
nor est quam F
Arque hic Fuclidem intellipendum este (def. X0. lib. 5.) manilectum est: ubi
Oetiru, Trium pluriumve maenitudinum, continue proportionatium, (sive crescen.
cium lire decrescentium; puca E, 2, 4 8, ecc. aut L, 27  8, dC;) primae ad terti
am (2 ad 4, Teu + ad Z) rationem esse duxlicatam, ejos quae est primae ad secun
dam; (Duta, F ad 2, auE F ad Z;) primaque ad quartam (+ ad 8, aut L act 5
ejusdem esse criplicatam: e sic continue: Dum tamen + ad 8, (rationem triplica
cam) minorem esse certum elt, quam x ad 4 (duplicatam,) e urramque minorem
elle quam F ad 2, cujus altera est duplicata, altera criplicata.
Haec aurem Fulius explicanda duxi, eo quod muteos viderim Luclidis tentum
traud Patis intellexisse, mulcunique inde calioinis exorrum in rationum doctrina
recnncoioron incerlic: neque incer rationum compotirionem per addicionem, et per
mulciplicationeM.
tes, proxter hanc quincam libri lee desnitionem, Luta ea rationibus compont
ret Propolicio Demonstrabilis, non cmenua. Non adrercune hi naluri riri quict
lic apud Fuclidem Desinire. Aluelurigue est apud Enelidem Postulare ( uc posi-
bile) Seu Praesumere lut rerum) dum cradic tua airiucara et voves erroiasi, ( vb1
culpan.
(def. 5. lib. 6.) contentus elt detinire Rationum Compositionem (per Mulcipli
cationem,) ablque alia detinirione Lions (ver Diritioie.) Ouoniam Fa
eile dictu est (liqua fert occalio) multiplicare in ratione subaupla pro dividere
in ratione dupla: e componere lato taone  ad li, Do excare rationeM
Denique; Cum nonnullos Finelidem reprehenaessues rulcb aut cuspe inimulan-
mcitur, quando ex mullipheatis mut se ponenio Lxponens, quasi haec F0.

## Folio 99 — 851708439:0123
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000123.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
LL G F B R A.
Figuram, caleque in illa Cen a CCLa CatcHI. Seu PosiCa ErI poste
incellectum velic per Propocon cnationem, Inversionem, noys ouseoir d
aiecom quid per argumentatione EE 108 In OxaInE Directo, aut LerturDat; NON
sic detiniendo Afirmat, aur Praesumit, eas arguendi tormas esse leoitimas; lell
Postmodum Demonstrat inter propoltiones demonstrabiles istius libri. Pariterque
in hrac detinitione quinta libri lexri, exponit quid Der noyor orgnciueror incellectum
velit, ubi rationem ex rationibus componi dicit, nempe cujus Lixponens (muaomS)
tic ex illarum Rxponentibus inter se multiplicatis. Nempe, Duplam tripli (cujus
exponens est 2 per 3, Teu 2X 3,) dicatur, inquic, in ratione composita ex dupla e
cripla (quarum Lxponentes (unt 2 ec 3.) Requid aurem hieculpae intimulandum
est, Sdixerie sic intellectum iri phrasin illam, ratio ex rationibus componi. Puta, II
A sic duxium iplius B, e Bcriptum ipsius C, (adeoque A duplum tripli iptius C.)
dicatur, inquie, haec racio (cripla dupla) componi ex dupla  tripla: (hoc ele
per compositam ex dupta ex tripla, incellisit duxlam triplae,) acque talem este sen-
Tum istiulmodi phraleos ubicunque occurrat. Non isitur culpae inlatas ett
Ciap. XXI
culpandus est E Postulet auc Prasumat quod non est ultro concedendum, sed P5d.
bandum:) Aliud vero Definire, dunt os CP, aippehoc nil aliua elt quam
Explicare quid per Voces do e oee Limulao (ectao nic) incellectum
velit. Num autem qua I cu les habet Posu, Ca ceno non ammal, lea
quid per vocem illam sic incellisendum. Cum Prianculum detinie, ficuram planam
cribus rectis terminatam, non altirmat talem tiguram construi polle, sed postea do
cet (inter provolitiones demonstrabiles) quod et quomodo construi postit (prov
2. _C 22. LIb. L.) Cumqne Circulum detinit ficuram planam a cujus puncto medio
(quod Centrum vocant) ad perimetrum (quam vocant Peripheriam) ducta re
etae omnes sunt inter se aequales; non sic detiniendo astirmat talem haberi poste
Poltulat, in terrio Postulato. Cumque incer definiriones libri quinri exponii quid
rint quia l OHC.
Fuclides quod lic detinirerie, sed illi portus smulandi ignorancix quod nescive
a A L. XXI
De Procresione Trithmetica  Geometrica.
OA Pationem seu Proporrionem hactenus consideratam; de Praressione jam
dicendum: Arithmetica praelertim et Creometrica.
Obi eadem Ratio per plures continue Terminos repetitur; diei Colent illi
continue Proportionales, Ceu Termini in continua proportione. Puta, Cum Sit ut pri-
mus ad secundum, sic secundus ad rerrium, et hic ad quarcum, et lic deinceps. Ja.
lisque cerminorum series Proeressio diei Colet.
Verum quidem est, quod vox Noyor (quam nunc Rationem, nunc Proportio
nem IntErPECTaUE,) apud Fuctidem, reliquosque ex Vereritus GiCOmCTTaS, nOn
proalia Ratione, (quanium memini) occurrit ulxiam; quamm pEO ea quam vocamu
Geometricam: Duo sensu Rationem detinit ille 3 def. Duinti Flementorum. Nem
De quxe eam innuit Magnicudinis Relationem (ad aliam sibi homogeneant) quae
ex Ouociente (illius per hane dirisae) denominari (olet. Or cum unam alcerius
dicimus duplam, criplam, sesquialteram, dec; prour eam concineat bis, ter, semet
cum semisse, dec. Duo sensu Rationis vocem in praecedencibus ulurparimus, (PrO-
ut ee alii solene ut plurimum, ubi non subjunsicur rox distinctira, ut proporrio
Arichmetiea, Flarmonicam ecc.) Ft quem eso lubens perpetuo retinerem, nili quod
Recentiorum mos loguendi rocis signiticatum ampliarerit.
Sed praecer cum Racionis seu Proporrionis lignificatum (famoliorem;) alias
item Proportionalitates inrexerunt Recentiores (Arichmericam, Tlarmonicam, ali
alque; quarum magnum numerum apud Clavium rideas; eoque priores Boethium,
Fordanum, alio (que Scriptores Lacinos.) Ouas d Mechetares rocant nonnulli. RF
communi Proeressimum nomine haud incommode dicamus.
Proeressio Prihmetica, Jeu cermini in concinua proportione Arichmetica; diei (0-
lents

## Folio 100 — 851708439:0124
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000124.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
LL G E B R A.
Cap. X X.
lenes quando per aequales Difserentias continue proceditur, (Ere crescendo, Are
decrescendo, et in quocunque genere quantitatis.) Or
4. 6. 8. 10. 12.. 14. a
23. 25. c
16. 14. 12. 10. 8. 6. 4. c.
In duabus prunoribus Progrectionibus, 2 est continuum Incrementum; in tertia,
continuum Decrementum. Dicique Colet communis Differentia, Ceu communis FX
cessus.
Eu univertaliter, Si Donatur A primus terminus, e F. communis excestus seu
disterentia: Termini Cunt,
CreICentes, A. A FF. A F 2F. R F 3F. A. f gF. _C.
Decrescentes, A. A- F. A- 2F. A 3F A- 4F. ec.
Sed Arichmetiea Progrectio simplicistima, et maxime naturalis, est quae incipic ab 0.
6.
F, 2F. 3F. 4F.. _c.
D. = F. . - 2F.. = 3F.. - 4F.. _C.
Obi aurem ab alio quovis termino inchoatur, (uc ab a in antememoratis;) est
revera duarum porius prosrestionum Aggregatio; Duta squalium, A. A. A. _EC.
aliaque addica demprare, O. H. 2 F. ec.
2 1
A. _C.
3F. 4.F. eC.
A. A FF. A = 2 F.. A F 3F. A F 4 F. _c.
Dehummodi erogressionibus Arichmeticis, proponi Colent varixe Ouastiones.
Teu Problemata. Puta,
Dato Primo termino A, e communi Fxcessu P; invenire quemvis alium ter-
minum in data a Primo distantia d. Puta duodecimum a primo; A F +2 F. Seu
a F dF.
Trem, Dato termino primo A; cum communi F. xcessu F. e numero terminorum
c = d + 2; invenire Y ultimum; e 5 summam omnium. Puta A=d A =V.
RF A L V = 
e
Aliaque mulia Problemata; ubi ex A. F. 1. V. S; daris quibuldam, alia inresti.
ZanEUT.
Onam rem cum ego Futius prolecutus sum in Opere Pribmetico Cap. 25. 26. 27.
28. Non hic repeto.
Proeressio Ceometrica, Peu Termini in concinua proportione Geometrica, dici (0.
lene, quando per aequales Rationes (proprie dictas) continue proceditur. Fiunt
que continue Mulciplicando per communis rationis Fxponentem; Teu continuum
Malciplicatorem. Crescendo quidem, _ concinuus ille mulciplicacor luc major quam
C; Decrelcendo, si minor. Puta
it
48. 96. _cc
32. 16. 6. 4. ec
In duabus primoribus, communis Mulsipticator est 2; in tercia, Z: seu (quod
eancundem elt.) 2 est communis Divisor.
Ft universaliter, Si ponatur A primus terminus; _ R communis Mulciplicator,
seu exponens communis Racionis; Termini erunt
+
3. 16. 32. 64. ec
2.
28
A, AR. ARR. ARRK. AHKKL. a
l22
AR. e
AR. AR =
ae

## Folio 101 — 851708439:0125
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000125.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
Cap. XXI.
A N _ D B R A
Auc etiam (si continue per R dividendo procedatur, aut mulciplicando per X
a
R
R2
R. R+
Sedt Ccometriea Propiestio simplicistima, ee maxime nacuralis, est, quae ab L in.
ChOAEE. VE.
F. R. R2. R3. Ra. R3. ec.
Si ab alio cermino incipiae, (ut pridem ab A;) tancundem est alque composica
ab A qualium proprettione (A, A, A, ec.) in illam ducta: aut per illam dirita.
a.
A
R+
P3
ec.
ec
A. AR. ARZ. AR.. AR. AR.. eec.
ac.
Flujusmodi Progrestioni Ccometriea, accommodare solent contormem Ariitune.
ticam; Fxponentes (cu Indices terminorum Greometrice proportionalium exhiben.
tem.
Fponentes, 0.
+
2
3
4. 5. dc.
Termini, 2. R. R. R3. Ra. R3. ec.
Ouorum quidem Frponentium magnus ulus est in rariis operationibus quae Pro-
Erelliones spectant. Ouippe Addicio ec Subductio in sixponentibus, relpondet
Mulciplicationi _ Diritioni in ipsis Terminis scometrice proporcionalibus. Puta,
Uc 2 f 3 ==5. Sic R= XR = R. FF Sic ubique.
Atque hinc, tanquam a vero principio, tota Locarithmorum doctrina deriratur.
Si aurem Series Lxponencium non id
tionalium, non ab F: Post exponencium addicionem, facienda es lubductio primi:
ec post proportionalium mulciplicationem, diritio per primum. Tiem, Post expo.
nencium Subductionem Facienda est Additio primi: elt polt Proporcionalium Di-
visionem, mulciplicacio per primum. Puta.
Faponentes 3.
Termini prop. 2.
54.
162.
23
ec
486. c
Sett A. AR. ARZ. AR:. AR+. AR3. eC
Vbi; u 7 + 9 =3 = 13. Sic 2) 18 ~54 (486. EL A) AR= XAR. (AB,
Tcemg; ut 13 - 9 f 3 = 7. Sic4d, X2 = 18. AR3) AR3, XA (AR3
De Proerectione Geometrica, rariae icem proxoni solent Quactiones seu Proble
mata. Puta,
Daro primo termino A, e communi mulciplicatore seu exponente communis Ra-
cionis R; invenire alium quemvis terminum in daia a primo distantia d. Nimi-
TUM AR.
Trem Dato primo termino A communi multipticatore R, es numero terminarum
t = d + F: Envenire V, ultimum; e S summam omnium. Nimirum A Rd=
1.
R- A
Aliaque mulca Problemata; ubi ex A. R. L. V. S. datis quibusdam, alia inresti.
BantuT.
Ouam rem Fulius prosecutus lum, Opere Arithmetieo cap. 25. 3F. 33. 34. neque
hicrepeto.
Sune

## Folio 102 — 851708439:0126
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000126.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
A L G F. B R A.
Cap. XXI.
Sune autem de alixe Proeressionum Formae; sed quas hic particularim prosequi
nolo; contemtus celebriores duas Arichmeticam et Geometruam dictas, breriter
expoluiste.
OLarmomce (Leu Mulice) proportionalium: Iloc et claen Mmestread)
quando ut terminus primus ad quartum, sic differentia primi e secundi, ad diffe-
rentiam tertii es quarii
Prta 5, 8, F2, 30. G1Ia 5. 30:: 8- 5. 30 = 12:: 3. 18.
Iem A, BG, N, F; AI SIE A. F: : M - A. P. - N. Adeoque AF = AN = W F AB.
e
eA V
NI
a - 1
Hluc releras Reciprocos terminorum Acuuneile proporcionadium.
Puta,
Au
Ett
Nam hi sunccontinue proporrionales Farmonice.
HToc cst -
3C
Propter factum ab extremis aequale lacto a mediis.
BB BB  BB BB
HTocCst-
Dei
2CC 3CC 4CC 6CC.
SBB 2BB
BB, 266 b6
6CC 6CCbelide d
Ex he ubique.
Aliae sunt Proprectiones secuindum numeros Ouadratos, Cubos, Biquadratos _c;
Seu in Arichmetice proportionatium rarione Duplicata, Triplicata, Ouadruplicata,
ec. Or Tunc ordinaiae in Parabolarum et Paraboloidium Complementis.
Vel uc Radices Ouadratiex, Cubiex, Biquadrarica, ecc. aut in ratione subduplicata,
lubiriplicara, Tubquadruplicata, Scc. arictimerice proporcionalium: Oc Tunt ordina-
exe in Parabolis et Paraboloidibus.
Progrectiones ilem ex hujusmodi pluribus compositxe: OE ex Progrectione Arich.
metica, addica vel dempta prosrestione Ouadratieorum: Ut sunt Ouadrata ordina.
carum in tlyperbola, FIlipl Circulore.
Aucin horum racione lubduplicaca: Oe sunc ipsae Ordinacae in Hyperbolas FI.
lipli, Circulore.
liene, secundum numeros Friangulares (qui sume ut Ouacteaca ordinacarum in
Hyperbola aequilacera,) Pyramidales, FriangulI. Friangulares, dec.
Eex mille alia Proeressionum seu Serierum Forma. Duarum alibi aliquas per-
pendimus; pluiel que poieric quiliber pro arbicrio lu0.
C. (2C 2C. 3C

## Folio 103 — 851708439:0127
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000127.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
 A P.
X
Nlatura e Compositio duadratorum. Cuborum, e cae-
terarum Potestatum.
Nus Duadratum, Cabus, exteraque Potestates Teu (ut loquuntur aliqui)
 Dienitates; nomina Cua mumantur ab tixcentionibus Geometricis, Locum
respiciencibus. Linea Ceu Latus dimentionem habet unicam, nimirum Lonoi-
iudinem. Duadratum, Peu Planum, aut Superficies, dimentiones habet duas; L On-
sicudinem, et Laticudinem. Cubus, aut Solidum, dimentiones tres; Longicudi.
nem, Lacicudinem, e Protundiratem, sire Crassiciem. Vltra quas extentio 10-
calis non procedit. Ouippe natura Loci, Spatiire, non plures patitur; cum lix
cotam Spacii eapacitarem compleant.
Sed Aleebrae natura magis est Abstracta: non ad locales extentiones adstricta,
Sed ad omnia (cujuscunque TunE natuIEX) Se exrendens quae Racionum Ieu PFO-
Vortionum lunt capacia. Puta, Lineam, Superticiem, Solidum, Tempus, Pondus,
Notum. Vim, Numerum, aliamre quamris (ut lognitur Ruclides Maenitudi-
nem, seu (ut loguuntur Recentiores) Quantitatem. Hoc clt, ad omne illud de
quo per duam interrosari Tolet; ut, quam Lonsum, quam Latum, quam Am-
plum, quam Craltum, quam Crande, Ouancum seu quam Mulcum, Ouoc seu
quam Mulca: ecc. Ouippe haec omnia aliquid habere Maenicudinis seu duan-
sitatis necesse est; unde aliud alio (ejusdem generis) Majus, minus, auc aequale
dicatur: de qua per Adrerbium comparationis Duam incerrosari Polet: Rique ho-
rum omnium, docet Fuctides (3 det. quinci) Rationem ole: acque hranc (ab-
Stracte) perpendit Alsebra, ad omne genus magnitudinum accommodandam.
Flx aurem Potestates Peu Dienitates (utur nomina mutuentur a Localibus
extentionibus; eo quod Fuctides Numerorum Planorum ec Solidorum, ilem Oua-
dratorum ec Cubicorum, aliquando faciat mentionem:) non aliud luntu proprie
loquendo, quam Series sire Proprectio concinue proporrionalium Ceometrica, ab
 inchoatorum.
Cujus quidem Proprestionis, s Ponatur L Cunum seu monas) cerminus pri-
mus, terminus secundus erit Racix Peu Latus Cunde decerminatur communis
Patio prooressionis, seu communis Mulciplicator;) Duadratum, Cubus, Biqua-
aratum, et quae seguuncur Porestates; tunc ejuldem Progrettionis termini, Jer
tius, Ouartus, Ouintus, _c.
Mnoniam rero, primus cerminus L (Peu Vnitus) nullam in se continet Radi.
eis dimensionem; Radix, unam; Ouadratum duas; Cubus, tres, Biquadratum
quatuor; et sic deinceps: his accommodari Tolene Fsponentes (in progrectione
Arichmetica) ab o inchoati, qui indicent, quot in quaque porestate lint Radi.
eis dimentiones, sire ad quem illa Gradum eleretur, aut quoco lic, ab 1, l0c0.
Fmponentes; O. 2. 2
. ec.
Potestates; L. A. AA. AAA. AAAA. AAAAA. etc.
Arque hoc ipsum est (quamvis non memini id ab aliis nocari solere) quod
rult Fuctides, ubi detinit Rationes, seu Proporriones, expolica duplicatam, tri
plicatam, quadruxticatam, et sic deinceps, (det. 20. lib. 5.) Quivve s A (TCu
A ad F) sic exponens (seu denominator) rationis expolirae; eric A A exponens
duplicatae; AAA, triplicara; e sic deinceps.
UE jam non sIc, cur nos decerreant Formidanda nomina ouadrato quadrati
Sapersoliai, e lequentium; ut plures innuentia dimentiones L ocales quâm Sparii
natura patieur: Ouippe nihil grarius innuune hac dura nomina, quam Cieo-
metricam Progrestionem, seu Rationem eandem tories repetitam; quod, absque
limite, fieri posse, nemo dubitat. Nihil utique elt, in nacura, Solaecismi; ut Onum
aliquod seu (expolita quantitas) Dupletur, duplumque iierum dupletur, atque
hoc

## Folio 104 — 851708439:0128
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000128.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
L G F B
hoc certio dupletur, e sic porro quoulque opus erit; sen Fripletur, iterumque
triplerur, ec tertio iidem, et Sic porro. Quod nihil aliud cAt quam Radix, Oua-
deatum, Cubus, ecc. in ejusmodi Progrestione, Raclicem habente 2 aur 3. FF II
militer in aliis.
Neque hoc alirer dittert ab aliis Dationum Composicionibus, nisi quod haec
Sit similium rationum compolitio. Ouippe, Si Corpus aliquod (exteris paribus
lt altero loneius in ratione A == 2, laciuis in ratione B = 3, crallius in ratione
i
=4 et intensive prarius in ratione D = 5: pondus ejus erit, ad pondus 2l
terius, in ratione ABCD = 2 X ZX4X 5 = +20. Si vero EF tum lonoins, tum
latius, cum crassius, tum incentire grarius, in cadem ratione A = 2: erit pon
derolius (seu extensire gravius) in ratione AAAA = 2X 2X2 X2 = 76. HIOC
est, in quadruplicata ratione iplius A, seu uc Biguadratum ipsius A, ad T.
Post nacuram Progrectionis hujus in Porestatibus seu Gradibus sic explicatam.
(quibuscunque nominibus appellentur;) carundem consideranda cs Notatio, seu
varia Nocandi torma: quae sunt, apud alios, alia acque alia.
Simplicissima norandi forma, (modernis, post FTarriotum, uEitata,) Cl, per nI
dam indicationem, quotus Radieis Gradus sic, seu quot ejus Dimentiones ineludat.
Verbi gratia; Sexta porestas radicis A, hoc est (sic utique intellectum volo
Textus Polt unitatem gradus seu locus in proerestione Geometrica ab L inchoata
cujus secundus terminus (scu primus polt 2) Tic A: nocari COeE 1AAA
Teu aaaana; Teu (brevicaris Gratia) 25, aut a
Arabes, eolque securi (ante Vietam) Furopai Cà Mauris Cdocti) hanc PO
testatem vocarent Duadro cubum, (hoc ell Quadratum Cubi, aut Quaarati Cubum,
quam lic notanc S∞ auI DC, (aliare nocatione quae tancundem valeat;) Ouip.
Dc cum Cubus habeat dimentiones tres, hujus duadratum habebit bis eres, hoc
elt sex. Ouippe poretaci praecedenti (dimentionum quinque) Sursolidi, leu Su-
per-solidi nomen secerune. Fx similiter ubi dimentionum numerus lic septenus,
aut undecenus, aliutre numerus primus seu incompolicus, Supersolidum secun-
dum aut certium dicebant, et sic deinceps. Ubi aurem Comvoticus Tu dimen
Tionum mumeruS; nomen fecerunt d componencium nominibus compolicum; e
Characterem similiter: Pura; dimentionum novem, Cubi cubum x∞: dimentio.
num decem; quadratum primi supersolidi, 8B8: ec in reliquis timiliter.
Ouchtredus aurem, Vietam secutus; ut ille Diophantum; nullam habet super-
solidorum curam; Sed omnes (post Radicem) Potestates Solis Ouadrari et Cubi
nominibus (salcem inter se compotiris) exponit. Adeoque pro Suxersolido, po-
teltatem quinque dimentionum vocat Euadrato cubum; non quod lit Quadratum
cubiu aut Ouadrati cubus (ue locuri lunt srabes) sed factum ex Ouadrato in
Cubum ducto: Progue Arabum Quadrato Cubi, (Tex dimentionum Potestate
Cubi cubum dicunt; hoc e, Factum ex Cubo in Cubum; cum Cubi- cubus Arabum
sic norem dimentionum poceltas; nimirum, Cubus Cuti; seu Cubus Cubice mul-
ciplicatus
Huic apud Diophantum (cumque secutos) denominandi methodo, antam de
disse puco; Ouod apud Fuctidem viderit Diophantus numerorum Duadraticorum
e Cubicorum mentionem; sire numerorum Planorum et Solidorum; sed non
item Dluries compotitorum.
Ouod iptum mihi arsumento cst, srabes (qui Supertolida interponunt) Tuan
Algebram, non à Diophanto, aut Cirxcorum alio, primitus accepille; sed ab In.
dis pocius, unde Figuras numerarias habuerunt.
Hlinc elt quod Oncheredus gractum quincum designat A9c, et lextum ACC:
et in reliquis pariter: Per a tres dimentiones innenS; per q duas. Et Sic Semper
Adeoque, post L, Si cerminus proximus (Tcu Radtix) Donacu A; Duadratum
erit A A, seu A9: Cubus A A A, seu A g A, vel AC: Biquadracum, A A A A,
seu A g A9, Seu ACA, vel A A C: Gractis quincusu A A A A A, sCu A9A gA
seu ACA q, seu AgC. Fr similicer in aliis.
Nec idmen ita se ad hane nocationem adstrinsit semper; quin aliquande
2) (3) (4) (5) (6) ecc. achibeac ad Tignisieandum dimentiones 2, 2, 3, 45, 6, eec
Secundum eas Cal AuIaS, duas contet Ouchtredus Tabulas, pro Genel
et Analysi potestatum: Ouarum P R LO R Potestates d. Radice singulari (qua
unica tigura seu noca numeraria constet) contectas collisit: POS Y K RIOR
Formam Pocetacum a Raciee Binomia conficienctarum.
Labula

## Folio 105 — 851708439:0129
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000129.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
Cap. XXII.
A L G F B R A.
Labula PRIOR, Ldsta  ari
A49C
AgCC
B2
125 625 3225
Hil
1630
25625 78125
65530
390625
216+2967776 46656 279036 1679616
343 2401 16807 227640 823543 576480Y
5124096 32768, 262144 2097152 26777216
729(6564159049 1531442 4782969(43046721)
Obi continetur, in columna prima Radix, Latus, seu Numerus (quippe his
omnibus nominibus dici contuerit) quousque excendune fisurae norem singula
res. In secunda; corundem Ouadratum Census, Cradus sccundus, seu secunda
Poceltas, (quae ec simpliciter, Poteltas dicitur.) In tertia; Cubus, Cradus tertius,
seu tertia Pocestas. Et sic porro ad Octaram usque. Mcerius, AI ODus lIC,
continuanda.
Acque hinc Tumas (absque ulteriori molestia) Readicem (Ouadraticam, Cu-
bicam, esc.) reso proximam, cujutris numeris cujus radix non plures exisic quam
tiguram sinsularem: Ruc etiam cujulris figurae lingularis Poceltarem imperatam;
quousque scilicet haec se extendit Pabella.
Sed quoniam in majorum numerorum radicibus exquirendis, opus erit id
particularim tacere (prour ctiam in Diritionis exercitio Polet ticri:) Radicem
ille in sequentibus considerat, quali ex Binis membris constancem, A + F. (quam
vocat Radicem Binomiam:) Guorum primum supponic vel jam inveltisatum,
vel ope Prioris Pabulae inveltisandum: alterum (achiue isnotum) Posterioris ope
Fabula exquirendum.
Onam ut construat; Radicem Binomiam in se mulciplicat, ut hrabeatur Ou2-
dracum; Hloc irem in Radicem, ut habeatur Cubus; Cubumque in Radicem, uc ha-
beatur Ouacratoquadratum. Peu Biquadratum: e sic concinue. Quo constet
quacenus utraris pars radicis in Poreltare continetur. Atque sic exponit Genesin
Eotestatum a Radive Linoria.
36
40
64
A FC. Kadix.
A9 F AF.
AF. + F.G
l.
A9 F 2 AH. f fi. 9. Ouadratum.
a
Ac = 2 A9F. F LF9
AGF F 2 AF9 F H. C
AC + 3  13ACI LC. Cubub.
a99. f 3 AcF.  3 AgFg. F AFC
ACF F 3 AGFq f 3 AFC + H. cC
A99 F 4 ACH. f 6 AgL9 F 4 AC C Y L99. Bignadratum
t t
Ouo

## Folio 106 — 851708439:0130
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000130.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
Od
la l. ce l  a A.
Cap. XAII.
Ouo processu, statim innoreseit; verbi gratia, Macratum ex quatuor membris
bum vero, ex membris Octo; Cubo iptus  Cud plius t Fribus solidis ex
A9in F. Poridenque TOlidis Cx A In H, 9. F.t PaLITCL M ACGMLME. DuS PBRLaTIbUS.
Nembrorum hOTII CXEreMa (uE A9 Rq in quaclato,  CD, e SIC
in reliquis) Diaeenia dici Colent, seu Disonalia: (quali jurra Aeulos Dolita:)
Intermedia rero Complementa (uE qua Cu asas  COMPLEME:) Ca
que Complementa una cum Diagonalium allcto, cmmon dici Tolet.
Ouorum nominum ratio est in Cuacralo ag obria: in reliquis, cum re-
spectu ad hoc aCCOMMOdaNtUE NOMIIa.
conttare; Ouadrato iplius A, quadrato spHS R a Binis rectangulis AF. Cv-
Ouippe, secto Ouadrati latere quoris in duo ses.
menca A, F; ductisque per sectionum puncta rectis
quae sint laceribus parallela, aream in quatuor legmenta
diridentibus: conspicientur, ad oppolitos angulos, A9
.Gi quibus adjacent duo Parallelosramma totum Com-
Plencias AL. AP. sux duo complementa cum uno
Biasonallum (exempto scilicet altero Diagonalium)
eam tiguram complent quxe dici Colet Cnomon. Neque
laterum sic sectorum puncta CranSCHMHBuS. Suippe cum ad angulos conspicien.
TE AC F.C; ec duum generum complementa: nunirum, tria Parallelepipeda qua
batin hrabeant A 9 ee altiuamens ti, aliaque eria qua balin habeant l. q ee alricu-
dinem A: HOC cA, 3 A gF. 3 AL. 9. Oux complementa sex cum uno Diaso-
analogiam tamen ad has sectiones corporales; Similia imponuntur nomina mêm-
bris per mulciplicationem speciolam tactis a radice binomia. Atque ex cali mut.
riplicatione, conticitur Posterior Tabula.
nibus, ad cam Formam lectis.
Simulter in Cubro ostendetur, si planis secetur externis Faciebus parallelis, per
hoc in Ouadratis cancuum sell in Parallelogrammis om-
nalium, nomon icidem dici Tolet.
Et Guamris idem in aliis Porestatibus limiliter oltenar non Pouesi, (cum non
Permittat natura spatii plurium quam erium dimentionum compolitionem:) pex
Tabula Posterior, a Radice Binomia.
20 AccCt
A
A9FC
Atq
det
AG9F.
5 ACFG9
F AGF.9C
2B ACCF
S6 AgCF
OAggF4
56 ACF.4C
28 AgFCC
86 AG9CF C
120 LsCC
84. ACCFd
+26A9CL. 49
45 AGCCL.G
B AF. 9C
cc
L +O ACLI. 99
252 AGC.GC
26 AgGB. 9C
210 AGGFCC
T2O ACF g9C
+5 AgFgCC
2OAFCCC
84 ACFCC
36LGl.990
DAEG
es
Fadtem
tati

## Folio 107 — 851708439:0131
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000131.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
A L G F B R A.
Eadem Tabula, omistis literis g0, paricer exhibebitur apvensis, pro numero di-
mentioum, figuris numerariis.
C
TOA
Pnifestum ett, in hac Tabula, primo intuitu; Sineila membra cujusque Po-
restaris dimentionum esse numero aequalium: nimirum cocidem quoc tunc iltius po-
celtatis dimentiones.
Ttem, eadem esse continue proportionalia. Ouippe quam (descendendo) amir-
cit A unam dimensionem, eam acquirit F. Adeoque superius quodque ad proxime
Tubjectum, est ut A ad P: ec interius quodque ad proxime luperius elt ut L ad A.
Ee tacile lit haec membra pro quaque poceltare extribere.
Maniseltum item est, Pari icuicu; membra sensula cujusque potestatis superio-
ris, contici, ox binis membris pocestatis pracedentis unrinque proximis, inricem
ductis: nempe ex A porestate superioris, et F poreltate interioris.
Trem; praetixos numeros, quibus ostenditur quories sumendum est membrum
quoeque (quao Cincias appellat) aecresaros ette ex binis praecedentis poceltatis nu-
meris, utrinque adjacencibus.
Verbi gracia: in Ouinca Porestacis membro cerrio r0 N P, cui in porestate
quarca utrinqué adctant 4 A. P, 6 A F2: sumplo ex praecedemis superiori A, e
interiori P2, Fic N E3: junctisque numeris 476, Fic 20. Adeoque FO A3 F2 debe.
tur illi loco in porectate quinta. Vc facile sic, incceptam Tabulam, pro libiui
continuare.
Siena vero quod spectat +. = sineulis membris cujusque Porellacis praetisenda:
Si radieis membra AP. sinc ureaque Afirmacira, pura F A F l; lisna omnia sunt
Altirmacira. Ouia  in + semper tacie .
Si vero alcerium hrabeat sionum =; puca. f A = E. Tum ubi partis negatirx
F, dimentionum numerus est par, sienum erio +; (quia  in - Pacir item ;
adeoque quories OCCUTTUnE signa = numero paria:) Sed si dimentionum ejusdem
KEMEFUS Lic impas, SignuI erIC -: Ouia num f i -, tum = in L, tacic -
adeoque quories occurrunelisna = numero imparia. Ouippe cum factum ex binis
omnibus sic L; hoc in unum adhue , tacier. Adeoque alternis membris oc
currunt -
Si denique uirumque cadicis membrum su negacirum pn = A - F: Oua.
deatum, Biguadeacum, exeterxque porestares dimentionum numero parium, hrabe.
buncsigna omnia f: sed Radix, Cubus, Superlolidum, eaceraque poreltates di
mentionum numero imparium, habebunc omnia signa .. Ouoniam illie ducta sunt
invicem

## Folio 108 — 851708439:0132
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000132.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
L. 6 l. B. l 
Cap. XXII
occuxtam gna. 
invicem tigna - numero paria; hic vero, imparia. Adeoque alternis potestatibus
Fxemplo res erit manitesta. Fx de primo casu f A F F, liquet ex mulciplica.
cionibus lupra tradicis. De reliquis sic liquet;
F RadiX.
LF. = F.9
AL + F. 4. Ouadeatum.
AF.
ZAGE L AFC
AgC. F 2 AF. 9. = F. C
292. F 3AF. 9 = F. C. Cubus
AC +SRGC.A- 3 AF C F L. 90
tA99 = 3ACF. F ZAGF g - AF. C
+A44
4 ACk +0+4L. 4 4 A F. c. F B. 99. Biqualtratum.
e. Radir.
c
 AF
AF. + P. g
F A9 + 2 AF. + P. 9. Ouadr.
AgF. = 2 A H. 9
lC
=sAgF. - 3AF. 4 = F. C. Cubus.
FA94 Y SACL = 3AGF. 9 F AEC
AcL F3agF9 + 3AF C F F. 99
+ A99 + 4 ACF F 6AgF9 F 4 AF C F F 99. Biquadratum.
eC.
=AC = 2AgF. = AF. 9
Tioner eriam ex continne proportionalium natura, qua lede locandum st quod-
vis membrum cujusque porestatis. Supponendo (quod ulu renire (olet) radicem
binis Fiouris scriptam, quarum altera dicatur A, altera F.
Ouamris enim Radix in qualvis duas partes pro libitu direlli postic; puta, y in
4. = 3; uE SIE A = 4, E = 3: Nam etiam BC A9 = 16, f 2 AF = 24, f F. 9
9: Lacienc 49 = 7 4
Actamen, in usirara Radieum extractione (quo res haec poristimum spectar,) ubi
Radix binis nocis seribitur, puca 57; prior censeri solet A, posterior L; ut 5
(hoc elt 50) sC A; et 7, F.
Cum itaque, in radice, siF A =5, Sed Tubincellecta ciphra sequente; A 5.
sedesiplius s’erie locus secundus, seu supra monadtum lOcum prIIIS: F. 7
Sed7 (propter nullam hic Cubincel lectam ciphram) sedem habet in ip lo mo.
nadtum loco.
Trem in guadrato; Cum st A g = - 5X5 = 25; hOC
Cs, (propter ciphras duas Fubinte llectas) 50x 50 -
2500: Sedes quadrati 25, criilocuscercius, (qui est su-
pra monadum locus (ecundis.) Sed A F = 5 X 7
hoc est (propter unam ciptram Cuhincellectam) 50x7
350, adeoque 2. A = 700; Sedes ipLIuS AF = 35,
adeoque 2 AF = 70, erit in loco decadum, seu primo
supra Onitacum locum. Denique F g = 7 x7 = 4
(Dropter
E
Gnomon

## Folio 109 — 851708439:0133
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000133.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 81 lines, status machine
CaP. LLLII.
IL L C F B R A.
(vropter nullam hic subincellectam ciptram) locum capestet Vnitatum. Adeoque
membrorum luis locis politorum aggresatum 3249 cltradicis 75 Guadratum.
Similiter; pro ejuldem Cubo. Cum (C Ac =
SX 5 X 5 = +25, hoc elt, 50X5OX5O = F25000. Sc.
des ipsis AC = F25, erit LOCUS QULARHIS. EF A gF =
SX5X7 = F75, (hOC est, 5OX5OX 7= 17500,) adeo
que 3 A gF = 525 (hoc cst 52500,) Sedem capesser
Loco tertio. Similiterque AF 9 = 5X7X7 = 245
hoc est5OX 7X7 = 2450.) Adeoque 3 AF9 = 73
Joco secundo; Ft F C = 7X 7 X7 (proprer nullam hic
Tubincellectam ciphram) iplo Onitatum loco. Omni-
ningue sc politorum summa 185293, est radicis 57 Cubus.
Et pariter in aliis poceltatibus.
Hoc iaque in omnibus obserrandum erit, inter sedes Diasonalium (ut A g.
Eq pro quadrato; AC, P. C, pro Cubo; et sic in exteris;) cor reliquenda sunt lo-
ea intermedia, quot sune intermedia in quaque porestare Proportionalia membra,
leu complementa; qua haec intermedia loca capeltant. Hloc elt, in Guadrato,
unus locus intermedius; in Cubo, duo; in Biquadrato, tres; et sic deinceps.
Quodque de Radice ex noris binis dictum est; pariter intellivendum de radice ex
tribus, pluribulre; gradatim procedendo; ut tieri solet in exirahendis Radticibus;
quo haec pocistimum spectant.
Verbi gratia. Pro Radieis 5r209 Ouadrato: Posito primum 5 == A, erit Ag =
25; sed cum sequentibus octo locis racuis;
proxter Tubince llectas ciphras bis quatuor. P0.
Ticoque 7 ==F, 2 A P = 70; Sed cum sequen-
tibus locis racuis septem; propter Cubintet
lectas in A = 5, ciptras quatuOT, e eres in
E = 7. EEFG = 7X7 = 40; Sed cum leX
locis racuis, propter lubintellectas ciphras bis
eres. Dux complent quadratum radicis s
uc prius 3249. Hloc est (propter sex loca ra-
Cua) 3249000000, quadratum radicis 57000.
Deinde; Polito a =57 (cum tribus locis
vacuis) Peu 57... cujus inrentum est qua-
dratum A9 =- 3249. . . ... Sumpioque F = 2
(cum duobus racuis Locis;) FFIt Z A F=
51 71 2] 0) 0) Radix.
25
. .).-
AC
lao.:.l.. l EgF Cnomon.
82 40
22(8
.. 1.. 1 Ag
l.. 12 A F
.. F qSCnomOn.
32 71 841. . 1.. 1
327T6400).. I AG
20296]0. (2 A F
(8T) Fgs Cinomon.
228 cum quinque locis vacuis, (propter sub. 32 72, 86 95 81) Ouadeacum.
intellectas ciphras in 57, tres; d in 2, du-
25:) seu 228... .. EFE g = 2+2 = 4, cum quacuor locis racuis (propter fub.
incellectas eiphras bis duas.) Dux complent quadratum 327184 radicis 572; seu
327284... . Tadicis 572..
Tum propter sequencem ciphram o in radice; nihil hinc mucatum est, praeter
addicas in quadrato duas ciphras 00.
Denique, Polico 5720. =A, cujus quadratum jam inventum cst, Ag =
32758400 (Led cum duobus locis racuis, proprer unum racuum in radice:) Tum-
Pcoque E = 9. Erit Z AP = 102960. (cum uno lOCO vacuO, Propter Ciphiram
in A Tubincellectam:) EtF. G = BF, in unicacum loco; (proprex nullam hic sub.
incellectam Ciphram.) Oua complent 3272 86 96 81, Quactratum radicis 57 209.
Ec similicer in aliis. Nempe, promotio unius loei in Radice, tacie promocio.
nem duorum in quadrato. Singulaque membra tunt uno loco promoriora quam
proxime praecedentia, propter una pauciores Ciptras subince llectas.
Similiter; proejuldem radicis Cubo. Nimirum, Cumpro primum A = 5, (hOC
elt, 50000, proprer lequentia loca quatuor;) Cubus ejus est AC = +25, (cum lo-
eis racuis +2, nempe ter cocidem quoc subincellisuntur in radice ciphra: Seu 50000
X50OOOY50OOO = T25 O00OODDDODOD.) SUMPIOque F. = 7 (hoc est 7000)
Cubus hujus est 7 x 7 X7 = 343 (cum 9 locis vacuis.) Trem 3 AgF = 525 (cum
locis vacuis EF, propter bis quauor subincellectas Ciphras in A A, _ treS In F.)
Et 3 AE 9 = 735 (cum locis racuis L0, PTOPter quacuor Ciphras suhintellectas in
a, et bio ieo in LF.) Dux omnias complemt 185193 (cum 9 locis VaCLIS) prO Cu.
BAF.9
735. CGMOmOn.
343
93
Lunus
bo radicis57.

## Folio 110 — 851708439:0134
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000134.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
uis Locto coo) Auppels ut par
Cnomon
20
249 2+8 (cum Led locis vacuis) pro
Cubo racteto 572..
187 248
287 249248000)... )AC
603396060.. (349C
Ec
3899,00. (3AL. gE Gnomion
Tum, DOlito A =57 (cum locis va
cuis cribus;) Cumpioque F-2. (cum
est singulis membris; habebimus 18
Tum, polito A=572.. Sumptoque
cubo prius invento subjungenda
su deo Ciphra (cum cribus achue
Cocis racuis;) pro Cubo racClS 5720
Denigue, Po A=5720 (cum uno
loco racuo) Cumptoque L ==0 (nul-
la hie subincellecta ciphra) habebieur
28iy 237607580320, pro Cubo radi
C1S 51209
Similiterque Fiee in compotitione a
liarum Poceltatum, pro cujusque na-
non pollet poteltas quaris continua radicis mulciplicatione (locundum recepias
mulciplicandi methodos) procreari; E nihil ultra incendererur. Sed lingula mem-
bra componentia, hic diltincte provonuncur; ut hine dirisamur, ubi Analy siS in-
Riuenda elu qe    a
inveltisanda.
187 237601 580 329) Cubus.
cura, in praemissa Pabula deleripta.
Oux non ita incelligenda cunt, quati (cun loca Lac  ad  Ca)
A P
De extractione Rachsis Quadraticae. Cubicae,  cate
ratam Lotestatum.
Z Compositione seu Genehi Ouadrari, Cutsi, et exterarum Pocestatum; de
Corivanda est carundem Analytis, Resolutio, seu Radicis exractio, Compoli
tioni conformis.
Id cum (in Numeris) Faciendum est; commodum est distinguere (puta, pun-
Etis superne aut interne positis, aue alias) expotitum numerum in sua menibra,
pro natura Porestatis resolvendae. Hloc est, Ouadratum in membra duorum lo
corum; Cubum, erium; Biquadratum, Ouatuor locorum; et sic deinceps: inicio
facto a loco unicarum. Verbi gratia; Guacratum imodo inrentum, sic punctan.
dum erit, 3272 86 96 8F: Cubus autem sc, 187 237 601580329. FC quidem,
quor tunc (in quaque porestate) hujusmodi Punctationes, seu membra sic punctis
distincta; coridem tucurae sune in quaesita Radice tgura.
Racio hujus evidens est, ex poteltatum constinitione Capite praecedente tra-
550000.
530000.
25,0000,0000.
5,9600.
225, 9006,00G9,9600
dita. Itam, Polita radice (ut illic) 57209: Ouoniam
tipura 5 Post se habet in radice loca guatuor; habicurum
elE hujus Ouadratum, Joca post se bis quatuor, hoc est
octo; e Cubus, ter quatuor, hoc est duodecim. Guippe
numerus 5 cum quatuor ciptris, ductus in 5 cum quatuor
Curis, tacit 25 cum ciphris oeto; acque hic itidem in 5
cu
similiter ubique. Nempe, quotcunque Dost se habeat ra.
dicis tixura quaeris ciptiras, seu loca; bis coridem post se habebit ejusdem qua-
dratum; e ter roridem Cubus; ee quater coridem Biguadrarum; e sic deinceps.
Atque huie contormes ltacuuntur punctationes.
Si ilague ex numero ex polio ziriBSgoBi, extrahenela Ac Radix Guactralica:
Cum

## Folio 111 — 851708439:0135
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000135.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 84 lines, status machine
Cap. L AIII.
A L G F B R A
Cum Binomii quadrati consticurio, superius tradica, sic A g. F 2 AF. f F. g: PrI
mam ejus (ad sinistram meam) punctationem 32. perpendo (sire ca Fit, ut tric
duorum locorum; sire, ut aliquando contingat, unius; perinde elt:) Ouis nempe
tic maximus in 32 nutmerus Quadratus. Inrenioque (hre mente mea, sire ope
Prioris tabulae Capiris pracedentis) cum ese 25, (quipre 36, quadratus proxime
ajor, in 32 nOn habetur.) Sumo itaque 25 A q ejusque radicem5
Pro prima figura quaelita radticis. (Oux toc habitura est Post se fguras in ra-
dice, quot tunt polt 32 punctationes in Ouacrato: nEPE qUatVOT.) Ouippe
pro 50000, in radice, habebitur in Guadrato 25,0000,0000: qui quidem in
hujus loci (hoc cst, in 32,0000,0000,) haberi porest; non autem major qua
dratus hujus loci. Nam si (prO 5) Sumeretur in radice 6; (hoc clt 6,0000:
Onadratus hujus 36, (hoc clt 36,0000,0000,) in 32, (hoc est in 32,0000,0000,)
haberi non Dotelt.
Eic itaque 25 = A 9 Subductus (loco suo debito) ex quadrato expOTito, re
linguit (prO integrO CnOmONC) 7,728c. Oui itaque jam considerandus cst
UE 2 AF + F. g: adeoque F uc radicis pars relidua; puta 7209.
Sed parciculatim exquirendus cA numerus F. Adeoque primo TUMATUE F
Pro ejus ea figura qua proximo polt5 loco ponenda elt: quaerendo, quam ca
magna poltic clle.
Cunque AE, adeoque 2AF, Sedem suam habeat
(ver ante tradica) Loco vost 25 = Aq proximo: CIF.
que (ut jam invenimus) A =-5, adeoque 2 A -=1O
et 2AF == LOF: Ouarendum est (ut in Dirisiore)
quories in 27 (numero supra polito) habeatur (di
vilor) 10. Ec quidem lepries haberi polle liquer
(cum nocabili reliduo,) Sed non octies, (nam LOX B
=80, major est quam 77.) Adeoque, Pott 5, ad
seribo in Quoriente, (pro tigura proxima) 7 =F.
Signanter autem dictum est, cum notabili residuo.
Ouippe si praecile septies haberi posset 2 R in Lupra-
Dolicis, sed nihil sic reliduum (aut non sufticiens
unde subduci icidem posset Fq; moderandus esset
ille quoriens, 8 Pro Z minor numerus scribendus.
Duod et in seguencibus incellisendum erie ubi tale
Quid OCCUTTAE.
Subscribo itaque (Tub 10,) 70- 2 AF; e, 10c0
sequente (Der ante cradita) 49 = -7 X7 = Fg. Ouo-
rum Cummâ 749 est Onomon (huic loco debitus
qui (cum 25 = Aq jam Cubducto) complet quadra-
cum radicis 57. Flic itaque ex priori Reliduo 772
Subductus; relinquit 23 pro noro (loci hujus) resi
duo. Cui subjungo punctationem sequentem 86, pro
radicis tigura proxima inreltisanda.
Fsto dein (quod jam invenimus) A =5 7, adc0-
que 2A = ZFq. Et (Bolito F pro radicis fipura
prOxima) 2AF =LF4 F; cujus sedes est Loco Post
punctum jam expedicum proximo. Et quaerendum;
quories, in suprapolitis figuris 238, haberi postit (no-
32172(86 106)8L (57203
25I 1C
7172)dc. Reliduum.
20. )2 A Dirisor.
7C. (2. Ll
LL 84 CMOtAA.
202(90) cC. KCHa
x24 4. (2A Divit
20296(8F) Relia
XL 44 0. (3A 1V.
202960. 2 A L.
8.
F9
LO2 96BE) Cnom.
000 Relid.
rus diritor) T24, ut inde constet, quae Sic P. Figura proxima. Liguet aucem,
bis haberi posse, sed non rer: adeoque prius inrenris 57 tubjunso (in quo-
riente) 2 ==F
Cumgue jam (ex numero primims expOLito) Sublatum est quadratum ipsiue
A =57 (hoc est habita loci ratione, iptus 57, 000;) auterenda porro erunt (suis
respectire locis) 2AF-=228, _ Fg==4: HlOC ett Cinomon 2284 qui (cum illo
Oiacrato) complet quadratum ipsius 572. Et relinguetur (pro hujus loci re
siduo) 102. Cui subjunso (pro radieis figura proxima inrectisanda) sequen.
tem punctarionem 96.
Potito itaque jam A- 572, adeoque 2A = 1x4 _ 2 AF = LT44 F; OuXrO,
pro fguTa PTOXIMA F; quories 2244 continentur in (supra potitis) 2020
Cumque nullies reperiatur, (adeoque 2 AF F Fg jam nihil sir, adeoque nihil
Tubrra-
A2 + l
7401 Ginomon.
23]86)8c. Relid.
TL4. I2 A DirisOT.
22 8. 2 AF
C

## Folio 112 — 851708439:0136
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000136.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
lL G F B R 
C
Luberatiendum,) Radiei prius inveniae subjunso o; Residuoque priori, subjungo
sequentem punctationem; habeoque Residuum 102968L: EF PrOPter 2A = LT410:
quaero, quocies hic novus Dirilor habeatur in Lupra politis 102068; reperioque
novies haberi posse, cum aliquo reliduo; (sed, an tanto ve inde subduci otiam
Pollit P.q, adhue prospiciendum: secus enim, minuenda erie haec Figura.) P0-
Siro itaque in quoriente g. = F; habeo 2 AF, = 202960. _ (in loco proXimO)
8T = Fq: Adcoque CInOMOnem FO2968T: Oui cum, ex priori Residuo, TuberabI
Pollic, nec quicquam rester: Cst 57209 expoliri Ouadrati radix accurata.
Flac ita particulatim explicari, uc vera proceltus ratio rectius incelligatur.
Sed in communi praxi, expedirius perasi porest haec operatio, eodem tere
modo quo Diritio. Polica nimirum, pro primo diritore, Radicis figura prima:
Pro secundo; prioris duplo cum subjuncta figura secunda: Pro cerrio; idem
nisi quod secunda figura jam dupletur, ee subjungatur terria. FF Sic POrrO. FB
divilores linouli, uno loco promori uc in divitione, mulciplicandi sunt in luam
respectire tisuram Duorientis; Factumque subducendum, et reliduum nocatum
ub in Diritione.
72302
327286968I (57205
Sic, rerbi gratia, in casu praesenti; Diritor primuss
(Tub 32) ductus in 5, e ex 32 subductus, relinquit y
Primique duplus (uno gradu pTOOtS) 10, cum sub
juncto 2, tc secundus diritor; qui ductus in Z,  Sub
ductus ex 772, relinquit 23. Tum duplaro 7 (reliquis
manentibus) e Tubjuncto 2; Tc certius dirilor 1F42
qui duccus in 2, ec Tubductus, cx 2386, relinquit 102
Tum (religuis manentibus) duplato 2 (proxime Liib.
juncto) e jam subjuncto o (quia nullies reperitur di-
ritor ille in suprateripris numeris) sic quartus divilor
1T440. Dui cum nullies repertus lic, adeoque nihil hic
subducendum; promotus hic dirisor, noraque subjuncta
figura 9; novus hic dirisor in cundum o ductus; e
Subductus ex supraposicis, nihil relinquic.
Similis procellus achibendus ett pro radice Cabica ex-
trahenda; Sed sc mutatus ut dirersa Cubi consticurio
Dostulat.
Verbi gratia; In cubo prius invento, 187 237 60i
52)286968T 580329, Sic punctato ut prius dictum. (Unde constat
fixuras Radicis fore quinque.) Cum Binomii Cubi con-
Sticurio, Tuperius cracita, sic AC f 3 A gF f 3 A F g f EC. OUTOG prO A C,
in punctatione ad linistram meam prima, (lire ea pertecta sic, trium tigurarum;
sire impertecta duarum vel unicx; prout contigeric:) quis sic in 187 cubus
maximus? quem (sire mente mea, lire ope praemicta Tabulx) reperio 125 == AC;
cujus cubicam racicem A =5, constituo primam radicis fguram.
Cuboque hoc (sua sede) subducto; reltabit (pro hoc inceoro Cnomone)
62237 ec. = 3AGF F 3AF. 9 F F. C.
Ouem ue particulatim inguiram, sumatur F. (non pro ioro radicis relique,
Sed) Pro radicis Figura (polt 5) proxima.
Hanc uc exquiraum: jam cognitum habeo A = 5; adeoque 3 A9 = 75, e
A = 15; _ PEOPtCrCA 3AgE = 75F. _ ZAFg = E5 F 9. OuarO (ut in
divisione) quancus Cum PolTiC L, ut hic ductus in 75, ejulque quactratum in 25,
iptusque cubus E. C, poltine (lingula suis sedibus) in supraseripris tiguris ha-
beri. Videoque poste quidem 75 octies sumi in 622, prO 3 AgF: sed cum
non supperet unde eciam habeatur 2 AF g. Adeoque F MInOT est quam 8.
Sumpto autem L. = 7 res succedet. Polito itaque (Dost 5) in quoriente, 7-- F:
facta mulciplicatione, habeo 3AgF. = 525, 3AF. 9 = 735, et EC = 343.
Forumque (suis respectire sedibus Dotitorum) ABBreBatum 60τ93, est Cnomon,
qui (cum AC jam subducto) complet Cubum radicis 57. Oui (ex suvra
policis subductus) reliduum extribet (hujus Loci) 2244: cur (pro similiter
inguirenda figura proxima) subjunso seguentem punctationem 602
Sumproque jam, secunta rice, (uc jam coenicum) A=57: Policoque F. pro
radicis
107
242
T2440
T74409
tc
d

## Folio 113 — 851708439:0137
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000137.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 116 lines, status machine
ee
1a
lete
12
devi
P
(1120
uu
sub.
1101
tie
icto
d
ue10
60
AC
C.aP. LLCLV.
radicis figura proxime lequente. GuaerO, ut
prius, quantus esse postic numerus K, ut 3 AgF
=974 7H _C, ZAF 9 = LZF F G, _EF C, (FIn-
Sula luis locis) in supro Polico Residuo ha-
beri postine. Invenioque (facto examine) su-
mi posse F. = 2, nOn aUTeM F= 3. Polito igi-
tur2 in Onorience; factisque mulciplicationi-
buS uE OpOrCIIE; habeo 3 AgF = 29494, 8
BA F 9 = 684, e 8 =F C; qua (Cingula Cuis
Locis) addica, conticiunt 2956248 Cinomonem
complentem cubum radicis 572. Eoque sub.
ducto, reltat 88353 eC. PrO Cnomone se
quente.
Pro invenienda itaque quarta figura E: Sum
DEo jam A =572, adcoque 3 A9 = 981552
e 3A = 1716: Ouaro (hujus dirisoris oDC)
quantus esse potelt F. Cumque, ne lemel qui-
dem (in Cupra teripto 88353 ecc.) haberi postie
98255 ec. Polito in quoriente o, (unde ni-
2
hil erie Subducendum,) Reliduum habeo (pro
proxima punctatione) 88353580329.
Sumpio itaque jam A = 57 20: Adeoqué
3 A9 = 98T55200, e 3A = 77160. FIjUS
opc Diriloris, invenio (ultimo loco ponen-
dum) F = 9. Factilque Nulciplicationibus et
Ablationibus (suo loco Fingulis) nihil rectat.
Indeque liquer, exposici numeri, jultam radi
cem cubicam esse 57209.
Simili methodo utendum erie in exrrahen.
dis radicibus aliarum Potestatum: Punctarioni.
hus Dirisoribus, S Gnomonibus, sic ordinatis
ut cujusque Dorectatis consticurio poltulat.
In extrahenda autem hujusmodi radice qua-
piam; Postquam (ue hic) ad Onicacum locum
(in Ouociente) perrentum et; siquod achue
Ketiduum cst (quod certo Het SI mumerUS CX-
pOsieuS non sit sui seneris figuratus; hoc est
Ti numerus cujus radix quadratica extrahenda
Clt, non lic Ouadracus; aut non Cubicus ubi
50353560326) Chom.
0c0000 Ret.
quaeritur radix Cubica; et in reliquis similiter:) Continuanda erit operatio (sI
major accuracio requiratur) in locis parcium Decimalium; Subjunctis, quot ODuS
videbicus, ciptrarum punctationibus, et similiuer procedendo (uc in inteoris)
pro parcibus decimalibus radici jam inventae subjungendis.
Fildem principiis nicendum est in Extractionibus Mixris; Sire (ut loguuntur)
in Aquationum ARectarum radicibus inguirendis. Quod proxime dicendum est.
8 ilezi 1602 580 32s (57209
251
2 (2317
C
ac. Lcliduum.
A9
A
65.
13
60 T9
04416
Divilor
3AgF.
C
Cinomon.
AFC
Cel. Meniclie.
3AG
3AgF
Tuomon.
00 353(580) Retid.
08 1552.
8
a
17236. 1
3AC
3A
Divitor
3535801320) Retic.
08255200..) 3Aq
d
385390bO.. 3AgF
1577 60
3 AF. 9
976
Birisor.
SILL. 4
94d
981569F60.) Diris.
L C
A L G D B R A.
2
De Farractionibus Mintis, sive A.quationum Affe-
Clarum raclibios Ciicet edclbo.
R9, aNE 187 F49248 =RC; _ quaeratur radix R.
St Vero vorestas ea lic aliqualicer attecta: Puta, SI ExPONALIE nIexUS
qui sic non uni Ouacrato Cavor aequalis, Sed Ouadrati aut Cubi duplo, cripio
aue Tiruliter, (Oc654360 =2.l9, auc 562447744 = 3 RC;) ee quaratur va
tor radicis R. Duplici id mechodo tat.
F. Pocelraribus paris resolrendis jam dictum est: puta, Si pOnatuIF 327184
PriOL

## Folio 114 — 851708439:0138
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000138.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
E G F B R A.
Cap. XX
celtatem alticit,) reducatur aa puram Poteltatem. Ouippe, (1654368 == 2 R 9
erir (diridendo per 2,) 327184 == R9. Et (561447744 = 3HC, erir (dirr.
denda per 3,) 187F49248 = R c. Cujus radix exerahemda uE prius.
Altera est aliquanto magis incricara, Led (xepe neceltaria, in Aiguationibus (uE
Loguuntur) Affectis resolvendis. Nimirum, sumendo, separarim, lingulorum
membrorum tocuplum, quocuplum, Porestatis est id quod relolrendum provonitr.
Puta, Cura pONItuE R = A f K, erit Rg = A 9 F 2 A F F F g: adeoque 2R 9
=2 A 9 f 4 A F. F 2F 9. Irem R c = AC f 3 A9F F 3 AF g. f R. C, Scd 3RC
3AC F oAgF f OAF 9 F 3LC. Et universaliter, li R9 = A9 F 2 AF
LE G CrIE nR G = n A9 F 2n A F I n F 9; e limiliter nR C =n A C = Zn
A gF F Zn A F. 9 Y n F C. Pariterque in aliis Porectatibus.
Estque hac polterior mechodus necellaria in eis Aiquarionibus quas Affectas
VOCaNE. In quibus, non poceltas una proponitur relolvenda, sed duxe plurclve
Der Bigna  aut=connexa quibus (sic connexis) numerus aequalis datur.
Sic, verbi gracia, si DOnatuT 3 R C f OR9 = 563420848: PoTTumus quidem
omnia per 3 diridere (ut R C Simplex Lic) puta R C F 2R 9 = 187803616: Sed
R g adhue atticitur numero 2. Quaerenda ssitur cMt Radix R; cujus cubus RC, cum
quadrari duplo 2 R q Conticiat 187803616.
Similiter, S ponatur 3 R C = 6R g =- 559484640: HIoc est (divitis omnibus
Per 3,) RC - 2R9 = 186404880. Ouarenda eM Radix R; cujus Cubus RC,
dempro quadrari duplo 2 R 9, Tu 186494880.
Nec mirum incerim cuiquam videatur, quati Ouadrata, Cubos, aliatve Potesta-
ces inter se addendo aut subducendo, adclamus, aut Tubducamus Ouancitates Iete-
rogeneas, (qua nec additionis, nec subduetionis, nec rationis ad inricem capaces
Tunt:) Ouamris enim Lacera, Ouadrata, e Cubi, proprie sumpra, (nimirum
ProLneis, Superticiebus, de Solidis,) sine revera Ouantitates (seu Magnicudines)
Fleterogenex, (adeoque talis inter le comparationis incapaces:) Numeri tamen
(Facerales, Ouadratici, Cubicique dicti) Cunc Flomozenei omnes; nec nisi tigu-
ratire aut metaphorice dlicuntur larera, Ouadrata, Cubi, _c.
acque hinc elt, quod, quamris natura retusiat plures quam tres dimentiones
Locales; lonsicudinem, lacicudinem, et protunditarem, (uc qua toram spatii ca-
Pacitatem complent:) Alsebra tamen dimensiones (metaphorice dictas) admirtit
quamlibet multas. Guoniam Numerus quilibet porest in se duci, ut trac quadra-
ticus, acque in hunc iterum ut fiat cubicus, et in hunc denuo uc trat biquadraricus,
Et sic concinue, ab sque termino.
Verum hactenus eam analoiam solemus rerinere; ut omnia membra sic addita,
ablata, ee similiter comparata, repurentur totidem dimentionum omnia. Adeoque
licubi deesse videatur dimentio una ant altera; putatur ea in Coetticiente Peu PEX
tixo numero suppleri. OI, in casu praesenti; cum videatur Rc crium dimentio-
num; sedt R q seu 2 R g auF N R q duarum: putanda est tertia suppleri in PrX
sIXO numero 2, scu coefticiente N, qua repucanda est unius dimentionis. Nume
rulque ablolucus (quod Fromoeeneum Comparationis YOCanE) FB Sc. dimensionum
irium. Adeoque RC - 2 R g = 186494680, repucandum quali FOTeT R RR -
NRR = BBB, auc B C D. Porest enim numerus quilibet (criam Vnicas) quor
libet dimentionum FepULaxI. PUILA L = TXL = LX LXF = LX LXLXF, _EC. LI
X2 == LXEX LX2, eC. Atque hoc quidem, obicer MC monitum;
luum habebit utum in sequentibus: ut luo loco dicetur.
Cum itaque proponitur hujulmodi Aquatio ARecta; PUTA R C -2R9 =
186494880: Duo exquiratur R; semina adhibenda eric Punetandi forma, (et ptu-
resacthue, li plurium membrorum tuerit;) altera pro R C, altera pro R9; Scd 20.
cidem utrobique punctationes; illic quidem, trium locorum; hic vero, duorum:
(acque altera, si placet superne; altera, interne; uc vicetur contutio:) Duo
luus cuique membro, utriusque poteltatis, locus rice allignetur. Puta RC - - 2. R 9
Tum exquirenda elt (eodem tere modo quo t LCtoC limp LICIS POrestaLIS)
Radicis Figura prima. Puta (in praesenti catu) Ouis sic maximus cubus in prima
ad linistram nostram) punctatione 186: quem repexIEMVS T25; cujus radI 51
sumenda est pro quaelitae radieis tigura prima.
Verum
PFIOE, ee simplicior, est: ut dirione Mtituta (per eum numerum qui po-
186494880.

## Folio 115 — 851708439:0139
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000139.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 88 lines, status machine
aesta
lete
pacci
nirum
lineo
camet
(1 tiB
10
Imui
raci
CaP. XXI
A L G F B R A.
Verum hic monendum est; nonnunquam difticulcatem aliquam hie occurreret
cum in altignando Punctationum numero, cum in radieis figura prima ex-
quirenda. Praterrim ubi interioris Pocestatis (unius pluriumre) Coefticiens ma-
Enus est. Ouipue si (verbi gratia) praeter RC, plura forene R q de cum siono
, quae icaque linc (Luo, loco) auterenda; tieri porestuc 125 sic cubus justo ma-
Jor, quam polsic, cum illis icidem quadratis, hic haberi; adeoque non 5, sed nu-
merus eo minor Ouocienti debeatur; aur eriam o, ur jam derolucio tactened t ad
proximam punctationem, aut etiam ulera illam. Si aurem Cocheiens magnus sic
cum signo =: tieri icidem potelt (propter hanc quadratorum relticurionem faci
endam post ablationem cubi) ut +25 lic crbus jutto minor; adcoge non 5, scd
major aliguis numerus Ouocienci deteatur: ec quidem tanEIS UE major H quam d,
2deoqne aliam postule punctarionem (nedum plures) ex ciphris praetisendam.
Or moderamine non raro urendum lt. Oua de re post dicetur.
Sed, in praesenti calu, proprer Coefticientm 2 nOn maenU, nuIerIS 5, PrO
prima Duocienris fgura, latis conrenit.
Sumpro itaque A = 5 hoc in loco, (hoc cA rerera A = 500,) Adeoque AC =
725, (hoc elti habica loci rarione, AC = F25.
000,000,) subseribo, pro Ae, sub prima ad Li. Resolvendum.
nistram punctatione Cubiea, hoc elt (quod hic
magis respiciendum) retrortum à dextra com-
Durando terria, 125 = AC: et, Tub tertia iri
dem recrortum punctatione Guadratica, =s0
== 2 A 9, (PTOPTer A9 == 25, acCOquC 2 Ag =
50; hoc est, habica loci ratione 50, 00, 00.) Et
(proxter expolicum Rc- 2 A9) illud cum Liono
Y, hoc cum ligno=. Florumque aggresatum
(locorum e signorum ratione habita) 12450
... ex supra Dotitis 18649.... subductum.
Reliduum exhribet 6299.. .. scu (suppleris re.
liquis locis) 62994880, Cinomonem integrum.
Posto autem P pro radicis figura proxima;
Cinomon partialis huc spectans; quatenus RC
spectat, cst 3 AGF F 3AF 9. F FC; hoc est
(PrOPtCE A ==5, ) 75H + 15F9 F TF C. F
quatenus spectat = 2R 9 CA = ZX2 AF,-
2F 9; hoc cst - 20F - 2F 9. Aggresatis ita-
que (suis respectire locis) numeris nocis, his
utor Pro Dirilore; cujus ope (contideratione
habita) invemio P. = 7, (hoc estu habita ratio.
ne loci, 70.) Indeque (mulciplicationibus rite
peractis) habeo (luis locis reponenda) 3 A gF
L3AF9 F F C - 4 AF - - 2 P q Cnomonem
nunc complencia. Eoque subducto; reliduum
habeo Cnomonem reliquum 1951680.
Sumptoque jam A = 57. (hoc ell 570,) P0.
Teoque P. Dro radicis figura proxima; Cinomon
erit (prOpter RC,) 3AgF = 3 AF. 9 f F. C
FL (prO = 2R4,) = 4 AF = 26.9. HIOC
CIE (DFODEEE A = 25,) 9747F F 27TF9 L F
FC = 228F. = 2F. 9. Ouaroque (cogniti di-
vitoris ope) valorem F; inrenioque (contide.
ratione habita) F =2. Indeque (mulciplicatio.
nibus rice peractis, singutisque suo loco potutis,)
Cnomonem compleo: Duo subducto, nihil re-
Stat. Onde ligner Aiguationis justam radicem
eAC 572. ==R.
Facllk
2861494 1880] (572
123,
Si quod veco tuister Residuum (de majori abhue aecuratione opus eltet;) con-
rinuanda esset operacio, subjunctis quodibet Ciphrarum punctationibus, tum Cu-
bicis, cum Ouadraticis, (aliisque si plures eene conjuncta potellares) lic intra
unicacum locum prortum sumendis, ut tumpex sunt ha ab eodem loco retrortum.
Foc nimirum quor in radice desiderantur loci tractionum decimalium.
Acque
Ablaricium.
tc
627l994 1860 ACIUM.
iritor.
Ablaticium
Reliduum
Diviior.
3AgF.
AF C
95F, 680) Ablaticium.
000, 000) Residuum.

## Folio 116 — 851708439:0140
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000140.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
A L G F B R A.
Acque ad eandem tormam (mutaris murandis) procedendum erit; quorennone
tine in expolita squatione Poceltates, Signis L  utcunque connexa. Lltque
haec (quae dici (olet) Affectarum Sequationum Lxecesis numerosa.
Notandum aurem hic est (quod e ante monitum) prone magna est varictas
Aftectarum sEquariorum, tum ratione ipsarum Pocestatum, plurium aut. paucio.
rum; cum Coefticiencium, majorum minorumre; cun Sienorum- rarie mi-
Storum: Tta non medioeris inde srieur difficultas, non raro, in Radicis seu Ouo-
tientis tixuris altirhandis, praelerrim prima e secunda.
Nonenim id hic semper obtinet (ut in simplicis porltatis resolutione) toc este
in Radice tiguras quor sunc (pro luprema porestate) Punctationes:
Sec, ubi inferiores porestares conjunctae plures Tunt, eaque magnis Coeficienti-
bus attectae, praetertim (I de lieno  afticiantur omnes: tieri omnino potelt, ut
quamris in prima (ad Cinistram) Punctarione, SIIpPCCAE NuMerUS Pro LIIPreMA pO-
celtate subdiicenda, tamen pro poreltatibus interioribus (lingulis in Cuis locis) iti-
dem subducendis non suppetat; uc punctatio prima (sinon ec sequentium una
Pluretre) nullam Ouocienci tisuram suppeditent. Juem Devolutionis casum vo-
CanL.
Contra vero; liligno- alticiantur illae porestares interiores; fieri porest ut ita
praeraleant illae prae porestate suprema, ue (proprer resticutionem hinc laciendani)
Praetisenda sint una pluretre punctationes Ciphearum; uc plures jam Cinc in Ra
dice tiourae quam prima tronce rideretur. Ouem Anticipationis catUI Vocant.
Ouippe cum inferiorum Poceltacum Coetticentes mulei Tune ee magni; interio
res illa Poreltates (in Ractice exquirenda) praepollent nonnunquam LUprCME po-
celtati. Pralerum, cum suprema (quod uc plurimum tic) praeparacoria (li opus
lic) OperatiIOnC ita reducatus, ur limplex sI, seu non alia (quam L) coetticiente
atticiatur.
Alixque etiam difticultates, in hajulmodi extractionibus mixris, oriri postune,
quae Casacitatem inquirentis exerCeant: OT taceam (id quod plurimi non lacis
accendille ridentur) ejusdem Aiquacionis, plures Radices elle posles Oua de re
tulius dicendum erit in sequentibus.
His obriandis aue sublerandis difticultaribus (prour rarii concigerine calus)
Vieta, Ouchtredus, TCarriotus, aliique, ucilia multa Praecepta. Monicaque nobis
Suppeditarune; plura quam hie loci repetere ritum est; ab illis itaquo quaerenda.
Feo autem, ubi talis aliqua difticulras occurrit, hac obria facilique methodo
uti solco: Nimirum; Fxplorando, num posita RactiCe, F, 10, 100, (d Sic deinceps)
res succedat. (Ouod tic, politis coefticientibus non mucaris; in cali loco singulis,
qualem illae suppositiones postulant) donec inde paceae quae suxpolitio radicem
Donat justa majorem, quae julta minorem; unde Sedes prima figura innocescat:
acque cum (centaminibus aliquot Factis) innocescet, quanam sic illa Figura priman
hac sedeponenda.
Sic in pratenei catu (in quo canien non magna est dilticrilcas.)
Si R = L: Fum RC= 2R9 = 1 - 2
Si R = LO: Tum RC - 2R 9 = 100O- 200.
Si R = 100: Tum RC = 2R9 = 100000O-20000.
Oux ilaque potiriones justo minores sunt. Foret utique = +86494880.
Sin R = 100O: Tum RC = 2R9 = 100090000O- 1000ODO.
Cum itaque haec ultima posirio nimia Lic; concludo primam Radicis figuram, aed
locum centuriarum Paltem ascendere, non autem Millium.
Ouxe autem suc hic loci tigura ponenda; tenaminibus aliquoc factis, inrenio
5 Tumi poste; sed non 6. Adeoques concludo radieis tixuram primam, cen-
curiarum loco ponendam.
Verum quidem est, in hoc catu, non multum opus esse hac methodo: eo quod
connexa poreltas interior, unica sIC; ejusque coefticiens numerus nOn magnUS,
qui icaque supremam punctationem non turbat; ue de lede prima figura non
tic ambixendum. Sed ubi res perplexior elt, ue Derolucionis aue Anricipatio
no sic pecieulum: Pacile hoc est, ee capedicum, adminiculum.

## Folio 117 — 851708439:0141
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000141.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
ctat)
10
opu
pence
Nimes
(a1I
alu
a
p
Cap. XXV.
A L G E B R A.
Obi aurem (quod ante monitum est) Aiquations Radices plures esse vos-
poltunt quidem illa singula hac methodo inrestisari. Sed commodius, est (ui
Volt docebitur) poss sic inventam radicem unam, quationem (ejus OpC) ad
inferiorem foran cpte reena Bionima. Le forto pront
Optto Fueric.
Ouvove de Aguiationibus affectis jam craditum est; incellisendum est pra
(uc loguuntur) sub radice allcclis; Pollor in lequencibus cracetur methodus.
cipue de cis qua unt Ouacraiet aloteo. o Mdcraltets enim, ureunque
De Radicibus Surdis.
F numerus cujus proponitur excrahenda Radix, nOn SIE (UE LOquUntE)
Tui generis tgUTacS: HIOC Ct non Ouadratus, ubi extrahenda est radix
quadratica; aut, non Cubus, ubi Cubica: (ee sic de exreris:) Non Porest,
hoc catu, exacta Raclix exhiberi, numeris absoluris, sire Inregris sire lractis,
(decimalibus, aliitre.) Duo catu (pro radicibus justis) contentos nos esse o.
portet Approximationibus, (qua, mechodo jam tradica, haberi, poltume quam.
libet prope ad justum valorem.) Auc etiam (quod icidem fieri (olet) prae-
fixa noca Radicalicatis, id quali factum innuicur, quod in numeris accurare tieri
non porelt. Puta V2, Seu V9z, pro radice quadrarica numeri 2; Irem VC 3.
oro radice Cubica numeri 3. Oux quidem suppoliciria radices lic designata,
non postune numeris (ut loquuneur) effabilibus exprimi: Cum nultus sic nu-
merus (integer tractulre) qui in se mulciplicatus Ouadratice, Caciat 2; au
Cubice, Faciat 3. Dicique lolent Radices Surda.
FIx tamen Radices Surcae, quamris non polline veris numeris exprimi, sune
tamen capaces operationum Arichmeticarum; pura Additionis, Subductionis, Mtul-
riplicationis, Diritionis, ecc. Onarum operacionum cum in Alsebra praxi fre-
quens sE utus: quomodo illae tunc peragendae, jam exponendum est.
Sed e veri numeri (uccunque CMabiles) non raro ad candem Formam de
SiBnantur. VE VA VO, V2, VCB, VC27, V998T, ec. Ouippe Va (radix qua
dratiea numeri 4) elt 2, (quia 2 X 2 =4.) Item V9 = 3, 12 = 3, VC8 =2
NC 27 = 3, V9q8F = 3. etC.
Si numerus figuracus, musciplicetur aue diridatur per alium ejuldem generis
Figuratum (ut, quactratus per quadratum, cubus per cubum, d lic de Cxeteris,)
producitur ejusdem generis figuratus; cujus radix fic per similem aut mulcipli.
corionem aui dirisionem radicum corundem numerorum. Puta q mulciplicatus
per 9 (qui sunt quactrati radicum 2 ee 3) Facic 36 (qui est quadratus numeri
6 = 2X3.) Et 8 divitus per 27 (qui lune cubi radieum 2 es 3) fic 3 (qui
est cubus racticis 7.) Lii univertaliter, AA X F F = AAFF, cujus ractix quadra.
AAA
AAA
riea eIt AF. FL - -, est cubus radicis - = Vc -. Ouippe ( = (it r2.
FFF
A A A AAA AC
dix, hujus cubus est -
= X
F F FFF
Ec
F FF
Atque in aluis paritet.
Et consequenter; (i surda radix per ejusdem generis radicem surctam, mus-
riplicetur auc divicatur, prodibit racdix similis, cujus poreltas sIC ex CatuM DO-
rectaribus sic mulciplicatis aut divilis. Puta, VZ X V3 = V6. OuipDC _ 2X 3
(qui simo quacleati racticum V2, V 3,) Faciune 6 (qui est quadracus iplius V6:)
eriam Y2 x Y3 (quae sunc iplorum quadracorum 2, 3, radlices,) taerunc 16 (ra
VC2
dicem iptius 8 quadraci.) Pncicerque
Ve
=Yez. Fe, univertaliuer VA a rF

## Folio 118 — 851708439:0142
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000142.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
=VAE, et
A E G F B R A.
= = Y -. Nam, BOlico, verbi Gracia A = bb, _ E = 5f: exI
isitur V A = VBB = b, _ VE = YFf = f: AdeoquC, ut A XF.:
sic (radices) VAKNE = bF = V BBFF = VAE. Pariterque
= V =. EE similiter in aliis quibulris Radicibus Homogeneis. VE, Si A = Bbb,
e E = fFF: tum est AE = BBBFFF, _ YCARVCF = Bf = V cbbbfff
=VCAL. FE SC de CXTETIS.
Ideoque radicem Curdam Ouadrare aut Cubare (ee similiter de aliis porecta-
tibus,) est porestatem iplam quadrare aut cubare, retenta eadem Radicalicatis nOta.
PaTa, O: V3: = V3XV3 =19 = 3. EFC: V3: = VZRVZXV3 =V: 3X3X3:
V27. Vel etiam (cum tieri potelt) bisecando aut trilecando exvonentem
radicalitatis. Or G: V993: = V93 = C: V9993. Et quidem, s imperata
Pocestas, parem habet denominationem cum radicalicare, delendo nocam radica-
litatis. Or G: V43: = 3. Et C: VC3. =
Contra vero, Surda radicis (numerire similiter norari) radicem quadraticam,
cubicam, aliamre extrahere; M radicalicaris exponentem duplare, triplare, alial-
ve (prout imperatum est) mulciplicare. Sic iplius V 92, vel Vc3, radix, qua-
dratica ct V 992, vel Vcc3. Aur (ubi tieri porelt) ex ipla poceltare cui
praetisitur radicalicatis noca, radicem imperatam exirahere, retenta quae erat radi-
caliraris nota. Sic iptius V C 9, radix quadrarica est Y C3. Nam S ipsius V C3
quadratum, hoc cAt V c3X V C3, tic (ut oltentum cAt) V c9; erit hujus qua-
dratica radix V CZ
Si Radices hujulmodi (numerire ad radicum Formam notati) Feterogenex
lint: reducendae prius erunt ad idem genus, quam insticuatur ca Mulciplicatio
aue Dirisio. VF 2V 3 Tcu 2 X V 3, hoc cA V 4 x V 3, cAt V (4 X3:
T2. FV
2V C3, Teu 2 X V c3, hoc cA V C8xV C3 =VC (8x3 =) 24. EC V92XVC3
=V9g98XVCCO = Y99972 = VCC72.
Ouehtredus radices heterogeneas ad idem genus reducendas docet, Dividendo
indices seu exponentes utriusque potestatis propositae, per maximam eorum com-
munem mensuram: es multiplicando tum indices per alternos quotos, tum ipsas
potestates in species alternis quoris coenomines. Sic V gqA X V CCB9 = Y cCCC
ACXVCCCCBgq = VccCCACBgq. HlOc cst VA AXVSB9 = VZACXVEB49
V2 ACB99. Nam 2) 4 (2, 8 2) 6(3. Trerumque 4X 3 = 12 = 2X6: Cu-
busque (seu certia poreltas) iptius A, elt AC; et quadratum (seu secunda po.
celtas) iptius B4 est B99:
2) V A X V B9 = s2 A Cx Vu B94 = p AcB49.
Sic Y44 FOXVCC7 = V cCCCLOOOKVCCCC4O = Y cccC 40000.
Similiter Faciendum est, Si Radlix (tive lurea Fit sire non Curca) sic duplanda,
dimidianda, auc alias mulciplicanda rel diridenda, per numerum ettabilem, in.
cegrum vel tractum;
VE 2YC32 = 2aY C32 = V CBRVC32 =V c256.
Ec ZNC32 = = 2 V C32 = Y CSRVC32 = Y C8 =YC4.
Sed in hujusmodi catibus; malim exo (niti cum ratio particularis contrarium
Tuadeac) partem rationalem seu estabilem servare separatam, ex radicalicaris liea
(quam vocant) exempram. Adeoque pro V c 256, malim seribere 2. V c 32, vel
achuc pocius 4. V c4.
Acque in hunc tinem poteltatem soleo diridere per (quam postum) maxi-
mum iltius generis numerum tiguratum; (hoc est, per maximum quadratum, (I
Tic radix quadratica; auc maximum cubum, si cubica; alque in aliis similiter,)
Muscnsile
aP. XAV

## Folio 119 — 851708439:0143
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000143.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
aut
qua
Cut
qud
Yet
eet
(21O
Cap. XXV.
hujusque Radicem nota radicalitaris praexonere, poltpolito Ouociente. AUE, LL
incerreniat tractio; in ea qua videatur commodissima Forma. Or 3V 3, E V 37
3V 3, _c. PrO V27 12,
Addirio de Subductio surdarum radicum, magis incrieata est quam earum Mu)-
ciplicatio et Dirilio. Oux causa elt cur de carum mulciplicatione ee diritione
prius dixerim, quam de additione de subductione.
Cum Curdarum radicum instituenda est Additio aut Subductio, prospiciendum
primo num Commensurabiles TIE, necne; Peu, (ut loguuntur aliqui) Commy-
nicantes auc non Communicantes. HIoc est, num sint ad inricem ut numerus
adt nuMErUM, aUE nOn LInE. Ouippe SI LInC; cu _E CarUM CI SUMIA EUIM
Ditterentia, erit ad utramris ut numerus ad numerum: adeoque delignari pos-
sune urramris mulciplicando aur diridendo, sccundum talem numerum.
Sune aurem commensurabiles, radices Curda, quando ipsarum potestates (seu
numeri quibus praetisuntur radicalitatis nocx) ad minimos terminos reductae,
fiunt veri sui generis numeri sicurati. Ouippe E poceltaces iplae sint, verbi era-
eia, ut numerus quadratus ad quadratum, leu uc cubus ad cubum; crune earum
respectirae radices, ut numerus ad numerum, (nimirum ut carundem poceltatum
Fadices) adeoque commenturabiles.
Ouo catu carum additio ane Subductio facilis est. Nam prout ea commu-
nis mentura, ducta in illos numeros (figuratorum radices) produeir illas radi.
ces lurdas; lic eadem mentura communis, ducta in illorum summam vel ditte.
rentiam, producie surdarum Cummam vel ditterentiam.
Sic Y 4T2 _ V 4 +47 (E per V93 diridantur) reperientur ut V 94 e
V940; hoc est ut 2 et 7 Trem V C40 _ V C17T5 (per V C5 divilX)
uE Y CB et YC343; HOc cst, ut 2 e 7. Adeoque (sire harum sive illarum)
summa ut 9; et ditterentia uc 5. F consequenter.
De
2 ad 9: se Y4+2 ad 2 V 4 12, summam.
EFVE 2ad5: Sic V g Z2 ad Z V g +2 disterenciam.
Vel, Vc7 ad O: Sic V g 247 ad 3 V 247 Summam.
Et OE 7 ad 5: Sc Y 4 247 adt 3 V 147, disterentiam.
ErSO V4247 F V9 +2 = 2Y 4+2 =2Y 9247 = Y4243.
Y4247 = V9+2 = 3V4T2 = 3V9547 = 14 75
Ouxhtredus exempla sua sic extribet.
LL L L B LL A.
924) (Va+.
N431q 12(144. 2
VCSIYCEIS (Y
4 VC d. L
lc
V9 75 Y423. d
asere r 62) VC125:5
19243 V. 487. 9 summa VC3645 YC729.8
ti
V.
Sumilique methodo alii Alscbruta (cum aute cum pole Ouchtreaum acls
ee subducendas docent radices lurdas commen surabiles.
Malum cgo, lurdas (ut modo chetum) de minumam (quam por slaliona.
litatem reducere, eximendo ex lisa quod racionale cst. Ouippe cum catum pacebit
num commensurabiles sint, necne: (quipre E Tic, pars surda componens, cadem
erit:) Simulque, quae sic earum summa aut ditterentia.
L cilaus

## Folio 120 — 851708439:0144
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000144.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
L G F. B R, A.
Cap
Pata Y9+2 =2143, e VqFAZ = 7V3. Freoearum Tumma oY 3, e diste
rentia 5V3.
Sic Vc17I5 =7VC5, et VC40 = 2VC5. Ergo Tumma 9Y C5, et disterentia
5VC5.
LteM VF2 = 2V3, e 121 =2V3. Ergo Lumma ZV3, disterenia V 3.
Sic N223 = 3V
V3 =WVS. Er∞O Tumma SV3 differentia EV3. Seu, summa
4V3 ditterentia 3V3. Vel (mulciplicando Curdam per 3 = V0, quo tollatur tra-
etio; adeoque praetixum numerum per 3 diridendo,) Cumma 3V 15, ditterentia
IVI5.
Acque hactenus de surdis commenturabilibus.
Raclices Curda Incommenturabiles, Addi e Subduci solent per Signa + et-
VEr97 = Y43, V97 =V93. Sic VCTO=VCS. FEVg245 =V9F4Z; hoc ct,
7V95F7V93. Icem 2 = V3. Pe similia.
Duo incommenturabilia lic connexa, si per signum F, dici Colent Binemia:
li per - Apotoma, Ieu Residualia. Sitria, plurare, connectantur; dicuntur Tri-
nomia, Quadrinomia, esc. pronumero membrorum.
Hujusmodi Binomiorum, seu Relidualium, Radices; dici Colent Radices Oni-
versales; es Tienorari, Vu: (ractia universatis,) VB: Cradia vinomii,) VF: (ra-
dix Residualis:) aut linea superne ducta compotiia quancitati: auc (quod toler
Ouchiredus) duobus utrinque punctis compolutam quancicarem amplectencibus:
aut limili indicio (pro cujusque arbirrio) quo innuatur, qua sic ea quantitas
quam ea respicie radicalicaris nota. (Pc similicer alibi, uhi quancitas ex pluribus
compotica, quati pro una habeatur.) Or Vb: 2 = V3. VF: 2 13. Vu: 2 =V3.
V 2 = V3. V: 2 = V 3: ec.
Fgcudes (decimo elementorum libro) sex enumerat Binomiorum genera: 10-
eidemque Aporomarum seu Relidualium: (signis F - jam connecti (olita;) quo-
rum ille membra vocar Rasionalia: hoc eA (ut ille ibidem detiniendo exponit)
quorum saltem duadrata Cunt commensarabilia sive ut numerus ad numerum. (Sic
utique Rationale ibidem axud Finclidem Bonificat: quamris nunc dierum Trratio-
nalia dici Colent, quae ipla fune incommensurabilia.
Sed praeier ea (quorum membra sic sunc racionalia) alia dicit esse (quod e
res elt) innumera Prracionalium agpregata.
De lexhisce Binomiis, e Residualibus, (totoque illo libro decimo) succinctum
hrabet Ouxhtredus tractatum; quam rocat Flementi decimi Fuclidis Declarationem
Sed e de his Binomiis _ Relidualibus, eorumque radicibus, agic icem (inter alia)
Claris cap. 16. Sect. 10, LT. Mechodumque generalem exhibet (quam intra rideas)
pro eorum omnium radicibus inreniendis.
Exempla horum, sire Binomiorum sire Relidualium, cum siris Radicibus; haec
C MMIBET.
NV. V7 = Y20. Cujuo radix, Y. 3 a. Ps. auEmi: VE. 3 = 1Z. = V: Y7 = V20.
V. V20 = 4. Cujus radix, Vb. V5 F L. pl: auEmi: Vr. Y5. = 5. =V: V2O =4.
VI. V20+Y8. Cujus radix V. V5. = V3. Pl: auc mi:. VC. 15 = 13. = V: 120 =18.
Ouomodo haec inter se Binomia dilterune, et quibus nominibus distineni Folent:
apud cum et Kuclidem videas.
Duomodo hujulmodi Radices Oniversales, sint Addenda, Subducendae, Mulci-
plicanda, Diridendae, Ecc. Tulius docent Alsebrista. Sed eildem nicuncur princi.
piis cum eildem operationibus in simplicibus surdis.
Cura tamen achribenda est. Nimirum, ubi noca racticaticatis Binomium aliudre
aegregatum alticit; tocum illue ageregatum sic est muluiplicandum, diridendum,
aue similiter rractandum, uc Foret lmplex quancitas, si talem atticeret.
Puta; ZV: V20 + 4: = V: à V 20 +g: = V: VZ
=Y: 13. f F. F.L IN
aliis lumiliter. Uc noris praeceptis opusnion fc; sed cura et actentione.
Exempli gracia. Si jam exposicorum Binomiorum seu Relidualium cujusris L. a-
tu
l. 27 =1704. Cujusradix, 4 = VFF = V: 27 = V304.
HI. Y2 L6. Cujus radix, V99 12 = 19423 = Y: Y23 +6.
TII. V225 = 180. Cujus radix, V9423 = V9425 = Y: p2c = 180.

## Folio 121 — 851708439:0145
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000145.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 89 lines, status machine
Mcicad
iribuS
+Y3.
10
quo
polse
Trratio
uod
inctus
ionC
+
Mulo
rine
Cap. X2 1
A L G F B R A.
cus scu Radix, Donatur A . f F, auc A = F: Ouadratum hu-
jus Lateris (quod estiplum Binomium li connectatur per+;
aut Residuale, SI per =,) cAt A9. F F. 9 F 2 AF; aut A9
L F 9 -- 2 AF
Manifectum jam est (PTOPEeF A _ F. Potestate commen.
Turabilia; hoc est, corum quadrata unt commenturabilia;)
quod Ag f F. 9 pottum in unum (quod VOCANE) Nomen
=2 A L. compinsi: (Fsto B = A g. f F. 9.) Reliquumque Nomen
(huic non commenturabile) erit 2 A F. Adeoque tocum Bi-
nomium, ex duobus Membris seu Nominibus constabit: quorum Majus ct. Z,
Minus 2 A F. Ouod sic in linsulis comparebit.
A F F.
+ = VEL
LVII
26 = 4VIF
=4V22 F lL
27 LBVIF
Hloc ell L) L V704
E2
l
Vgq+2 = V9q.
in 19972 +194
g22 = V940
V474 =1998
2V 3 = 3
3 +6
 uet +6
FF.
A9 = AF
LLL  H. C
A9. F F. 9 + 2 AF.
b =2 AF.
+
TII. V43 -V4415
n Y 9933 = V 4915
85 = 14440c
+ Y 925 =Y 44400
Hoc et V 93 FV 9 20
+ Y 993 =Y4 20
TIOc est AV 4 3
1932
Hoc est 7V 9 3 = 2V9 20
Deu Y9245 = V 9 80
= 2AF.
A F F.
TZAF.
F
NV. VB: 3 = V22. -V+
n, VB:
Hoc est, 7 =2 Y (3 =) 5
Seu 7 =V20
+2AF
- V 2
tV F. Y C. 2. ∞. Y33.
5. Vb: 15 +
in Yb: V5 + x: F Vr: 15 = 1
5+ F: FV(5 = x=) 4
FV5 = T: + V (5 -
Hoc est V 5 F F: =2
15 -
F: = 2
HocCst, 2V 5 = 4
Seu V 20 -4
B =2AF
14
Onomodo aucem, Propolico hujusmodi Binomio auc Relicuati, invenalu es.
dem Latus seu Radix: non hujus loci ell, led post cradetur livo loco.
F VF: V5 = 2:
VI. YB: V5 F V3: = VF: V5-
in vones
=1L. 15 13.
Hloc est 2V5 = 2V2
Deu Y20 = Y8.
F ZAF.

## Folio 122 — 851708439:0146
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000146.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
L L. XX
Variae Ficaturae, seu Charachetat
pendia; eorumque us.
Onnimus jam anrem Ficacuras qualdam, seu Matacterum Compendia
Ouchtredo tamiliaria; quorum ulus ex trequens est e eximius: indeque
lione, aur tacili obriaque Additionis, Subductonu Mprcactonis, Dirisionis.
aliarumque operationum arichmelcat Cescitio. Quarum specimen extribet
Ille Cap. TI. Clavis; e alibi.
T. Sunto duo numeri (seu magnitudines) quorum A major, F. minor, A C0.
rum lectangulum, Z umma, Z differentia, Z G summae quadratum, Z9 differen
rix Guadratum, Z Cumma quadratorum, eletentia quadratorum, 7 Tumma cu-
borum, o ditterentia cuborum, ec.
Ouibus poticis; hujusmodi proponit problemata, quorum solurio est obria; in-
deque Theoremata uritistima sponce enalcentia. Pura,
2. Sune duo numeri (lire magnicudines) quorum major HI, MINOF F: Ou
2.
inliones ucitistimasque propositiones deriratas, nuda terminorum expo.
nam est iplorum Tumma: quae ditterentia: quod sub ipsis rectansulum ? quae qua
drarorum cuma: Qua quactratorum ditterentia: quae lumma d Mcrenla iplo-
rum Cumma: quae lumma ec disterentix iplorum disterea. Guou suma C diF
serenca splorum rectansulum: quod lummae quadracum: quod differentix qua-
dratum: quae quadratorum lummae ec ditterenia cumma: quae quadratorum Cum-
X. = AF.
ma ec disterentix ditterentia. quod quadratum rectansuli . Duibus haec subdit re-
lponta.
Aq = A9F. 9
X
3. Sune duo numeri (sire magnimmdines) Guorula lmimia est Z, et major ex
iptis Donitur A. Ouinam eIE minoEs qua spo aisterentia Quod sub iptis re
etangulum? Quae Guacitacetn cicula. Quae quadratorum disterericia.
Si rero minor ex iptis ponatur F:
A = Z. A - AG
=2. 2
F.C
21
 = Z F. = F. C
=L9
ex iptis ponitur A. Cuutnam est minor d quae ipsorum summa? quod sub ipsis re.
clangulum. quae quadratorum summa d qua quadrarorum ditterentia.
. Siint duo numeri (sire magnitudines) quorum disterentia est X, de majon
= X
B= 2A g= 2X a F X9
6 = 2 X A - Z
A = A9- Z A

## Folio 123 — 851708439:0147
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000147.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
11112C
qua
ee di
ibdict
Cap. LXVI.
Si vero minor ex iplis DOnatUE L:
A =- F L X
= 2 F F Z
B = 2F. 4 + 2XP + X9
5. Sunt duo numeri (seu magnicudines) quorum major ad minorem, racionem
habet R ad S, EE major ex iplis ponitur A. Ouilnam est minor qua iptorum
Tumma quxe iptorum difserencia ? quod sub ipsis rectangulum ? quae quadratorum
Tumma. Quae quadratorum disterentia.
5A 1
R A. FSA
A9
L le le ti   L
A. =- F. 9 F Z F
∞ = 2XC + X9
2GA4. F ogae
Si vero minor ex ipsis ponatur F:
RF
RL F SF
AA- dL
RgA9 - 5914
F
L = 5L
R
Rgtiq - SaF4
54
6. Sunt duo numeri (lire magnitudines) quorum rectangulum est A, _ ma-
jor ex iptis ponitur A. Ouisnam est minor: quae iporum summa. qux iplorum
ditterencia? Quae quadratorum summa. quae quadratorum disterentia :
A9. F A.
A9 - A.
A99 - , 4
RF. C
a94 F  4
A4
Ac
+ SgF9
Si VerO MInOT ex ipLIs PONatuE F:
LGF C49
A Lt
t
 = P. 9
A. 9 - F.44
F
7. Ex his comparatis, mulca aequationes oriuntur. Cap. 11, e 18, ab ipso
MEMOTaTK. OE
A = 3Z. + 3X = Z -F =
A RF
4
SA
E. = 32. = 3Z = 7. = A = A
E. = A = (. - 2.4 - L - 2F. + X
L fid
E.
A. f F4 R A F SA

## Folio 124 — 851708439:0148
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000148.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
124
A L C F B R A.
id P. L 1.
X = A = F = 2A - Z = Z
RF. =S
Ag - A. AE = F q RA = SA
B
E.9 =
B- A9 = A9
A. = =Z9.
:=
∞ = A9.
E
4
2L.4 F 2 LG 2C
A = AGE F AF9. Z A = A gF = AFg
A9 = Z A = _. = = A + _. = ; 2 A +; XA = 9: Z - E: = 9: F. +. X:
Eq = ZF - A, = A = ZF = ZZ F. = =ZF =O: Z = A: = O: A - Z.
2Z. F + 3XL
EL. F22: 3X
9 = 2 2 E. = 2 X A = X9
AC = AC = 344C F3AC4 = F C= ∞ = 3X A.
(Onde exo alibi deduco mechoctum meam resolvendi Cubicas aequationes.)
XT + BX = 2 8
L = ∞ R = 2C d. XZ = BX = 2X A.
Aliaeque muliae, ibidem et alibi, apud eum conspiciendae.
Ad hanc Formam (in Clavis TuX Cap. F9. Fditionis prima) exponit (inter
alia) cum Inventionem cum Demonstrationem primorum Decem propolitionum
lib. 2. Elementorum (quarum magnus usus est in Opcrationibus Analyricis) per
audum tere cerminorum multiplicationem.
EC2. Si 2 = A f F + F, eric ZB = BA f BE L BF. Ouod pacebie mul-
riplicando ucrumque cerminorum in B, et similiter fere in propolitionibus se.
quencitus.
2C2. Si Z = A L E, erit Z9 = Z A L Z E.
3C2. Si Z = A - f F, CrIE Z A = A g F AE, _ ZE = AF f F g.
C2. Si Z = A F F, erit Z 9 = A g f F 9 f 2AF = Z + 2AF. Oux
est Regula Ouadrarionis lacerum criam irracionatium.
5 C2. Si recta biseCeTUE _ seCUS (Z = 25 = A f F) Ouadratum Bisegmenti
minus Rectangulo sub segmentis inaqualibus (Sq = AF) aequatur Ouadrato In.
terlesmenti, seu semiditterencia sesmentorum inaequalium. (9: 5= L: =
. 5:=
X.) Hoc est B Z. = A F E, dt X = A = F, exir a L. 4 = a X9
= A E, ∞ aT. 4 - A E = = X9. NTam.
X9 = Z A = Ag = Z F = E 4 = A9 = ZA = F. q + X F
LA - =X
g. FE. g = Z 9- 2A. = 2A. + Xg = ZC + XA = Z A = XF = 2:
e A
X9= E A = Z F =(XA + XC = Z A F XF. =2 A = X A + 2. A
LC= AC F Z A gF F 3A F 9 F FC = 7 + 3Z. A
Z A. = ACF F AF. C. X A = ACF = AFC.
s. = Z A = AC f AGF + AF. 9 F FC.
X =  = R A = AC = AGF f AF g - F C
∞Z = ∞7 f X A = AC F AgF - AF 9 --FC
XX=  - Z A = AC = AGF - AF q F F c.
L AX 2e
-
=2 XF
LG(= Q: A + F
19( 8:1
I
A9. F F. g. L 2 AF
G l.9- 2 a l
4 - X9 = 4 AL.
l.9- +X 9= AF.
L.4 AF = : X9 OEX-9: 3Z F O: A- 52.
texmenri (F 9) plus reclangulo sub cora aucta e auBentO (Z F. f. X in X)
aequatur quactraro bisesmen auctu (= O: F + X:)
6C2. Si recta bilecta (R = 2 F) augCatur (augmentO X,) quadratum Bi-
2. F

## Folio 125 — 851708439:0149
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000149.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
(intet
OnU
L G F B R A.
C.aP. 1.
2F = X
Eg: PI: 2EX + Z9 = F 9 + 2E X + Z9.
AEque ex his duabus propolitionibus, (5 e 6 c 2) deducit ille, ibidem Tolutio.
nes omnium Aguationum Ouadraticarum.
C 2. Si recta urcunque secta multiplicetur in alterutrum suum segmentum;
rectanontum illud duplicam, plus quadrato alterius legmenti, aequale erit qua-
draco torius ee segmenei mulciplicancis. IIoc est, Si 2 = A f F: exit 2Z A f F 9
Z9. f Ag: e 2Z F Y Ag = Z9 + F9
8 c2. Si L = A F F: CrIt O: Z + A: = 4Z A f F 9. Et O: Z F F:
4ZF +
c
9c2. Si 2 (=- 28) = A FF, _ X (= 2V) = A = C; erit A9 + F9
259 + 2. V 9scu 5Z 9. = =X9
20C2. Si recta bisecta (R = 2 F.) augeatuT (AUGMentO Z): Ouadrata 10.
eius auctae (Z 9 = J: 2F. Y X:) ee augmenti (X9,) Tunt simul dupla qua
dratorum biscgmenti, et bilegmenti aucti; (= 2L. 4 + 29: P + Z.)
2F. + X
2A 2 F. F X
4 C. 9 = +E X F X9
X 9
E 9. = 2 F. X + Z9
F F 9
+P 4 + 4 F X + 2X g = Duxlo hujus, 2F 9. F 2F X + X. 4
Reliqua ejusdem libri proposiciones, aliaque plures, ibidem ostendunur, sed
procetu paulo magis intricato. De quibus post aBCtuIX.
Hlabetur item cum ihidem, cum aliquanto tusius in posteriorum cditionum C
Dire 28, pulcherrima Collectio (breri synopli exhribica) Theorematum Proble.
matumgue (ex Fuclide e aliunde) ad arrem hanc maxime ucilium, quam vocat
Penum Anarticam. Non quidem ita ut sint ca omnia ad artem hanc absolure
necessaria, e in prompeu temper habenda, ur sine quibus non polIE OpuS proce
dere (quod nonnullos perperam existimalle audio;) Ced ue coenitu urilia, unde
nunc tac nunc illa (prout Tert occatio) tanquam ex uberiori penu depromas
operationibus aliis Facilicandis.
Priusquam aurem hoc caput dimirtam, exhribenda est (quam ance posticits
sum) Analysis Binomii quadrati; sive P.xcractio Radieis quadratica Binomii, auc
etiam (quod tere cancundem est) APOtOMeS.
Regula est; pro Binomio, Z + 2 R. = L 9
pro ApOrome, B 2A = X9
Hoc est; Duorum Nominum (sire membrorum) Majus, est Z (= AgfF9)
summa quadratorum; Minus, est 2 N, duplum rectanguli; duorum membro.
rum quae radicem constituum. Copulantur autem ea membra (tum in quadrato,
cum in radice) in Binomio per signum F; in Apotome, per signum-
Ouod aurem nomen majus, est summa quadratorum; e duplum rectanguli,
nomen minus; ommino patet, propter B --2 A. = X 9.
Sed et jam ante ostentum ett, Z. 9 - X 4 = 4 A; adcoque : Z 9 - 1 X 9 = A
 Z g - A = = X g: HIOC Ct = O: A F R: - A.
L+
Ouare, si pro A S P, (quae poltunc esse quaeliber magnicudines) sumantur
iptarum quadvata A g et F. 9: exic ; : A9 F H.g: = AgF. 9 = ; O: A9 = F. 9.
HOc est, 2B9- A.g - = X 9.
Ex quo Theoremale, pro Analy li Binonii Seu Aporomes, deducicur haec Rexrta,
+2
t
to =ert a
duipre

## Folio 126 — 851708439:0150
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000150.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
20
A L G F B R A.
Cap. XXVI.
Suppe cum lit +79- A g = = ∞9: erit (Tumpris radicibus) V4: a6 - A9:
(V + 19 =) 5 ∞. FC Z Z F Z ∞ = A G e ZB = 3 ∞ = l. 9. HIOC cAt, dua
rum magnicudinum Aq, P. g; lemisumma cum semidifferentia, ele carum major;
semisumma dempca semidisterentia, est carum minor. Ideoque cum data Cine
(in Binomio proposito) tum Z, cum A; adeoque (hOrum ODC) ∞ = A9 F. 9
dabuntur icidem =Z = = ∞; hoc cst AG, F g; quorum radices quadrariea funt
A, P bina membra quaelicae radicis, A FP. Nempe
 + (X =) V: 29 +F9: 2 (X) V: 29 - 4 F9:
=vaqF VEq A FF.
Aique ad hane normam exigir ille (ex Binomia (ante MeMOTAT) Cum COTUI
Aporomis; Radices eorum exquirendo: Ad hanc fere Formam.
I. 27 = V 704y est B = 2 A.
ErgO, Z9 = 729. 4 A. 9 = 704.
B9 = 4 A. g = (729 - 704 =) 25. V: D - 4 A. 9: = 5 = 8.
+ 2 = 27 +5 = 32 = 2 A 9. Z - X = 27
22. = 2. F q
ArgO A9 = 16. F g = ET. A =4. E = V FT. A FF = 4 FV EF. RadIX quXTTA.
Dicicurque Binomium primum.
TI. V242 = 6, est Z F 2 A.
FrCO Z9 = 7. 4 A, 9 = 36.
29 = 4 A. 9 = (192 - 36 =) 3. V: Z9 - 4 A. 9: = 12 = 2 V3 = X.
B + ∞ = V 2 + 12 = 2Y3 = L Y3 = 4 V 3 = V48 = 2 Ag
B-- X = 1243 -
Ergo, AG = 2Y3 = V12. l. 9 = ZV3
3
V 27 = 2. P. 9
A = Y9912. F = Y992. A L F. = Y99 12 =Y992. Radix qualica.
Diciturque Bimediale prius.
TTI. 1245 + V 80, est Z F 2A.
ErgO, B9 = 243. 4. A, 9 = 80.
B9- 4 A g = (215.- 80 =) 3. V: 69 = 4 . 9: = 13 = X.
B + X = Y243
B.- Z = 12a
13 = 713 + Y3 = 813 = V326 = 2 A 9
(3 - 13 = 613 = 1.83 = V60 = 2 P. 4.
ErgO, A9 = 413 = 183. F 9 = 3V3 = 103 = V15.
A = V9933. F. = V 4425. AFF = Y 9933 = V9925. Radix quaesita.
Dicicurque Bimediale posterius.
IV. 7 F V 20, est Z = 2 A.
FxBO, Z.9 = 49. 4A. 9 = 20.
B9 - 4 . 9 = 49 = 20 = 29. V: Z9 - 4 A. 4: = V 29 = X.
 + 2 =
7- V20 = 2A9. B
KrgO, A9 = 1 F ZV 29 =3. F 2
.
20 = 7 = V 29 = 2 F. 9.
F. 9 = 2
V 29
122.
A = V: Z = V2: F = V: 3 V3: AFF = V: 2 + 123: + V. 3- 13.
V
HOC ett-
14 = 2Y29: = V: 24 = 2V29.
Diciturque Major.
V. V20 = 4 ct Z = 2 A.
Frso, B4 = 20. 4 . 9 = 26.
Radix qualira.
B9 - 4 A. 9 = 20- 16 = 4. V: Z9 - 4F 9: = Y 4 = 2. = 8
sit X = Y20+2 = 2Y5 +2 = 2A9. Z ∞ = Y20 =2 =215 - 2 = 2P4.
Frgo, Ag = V5 F I. B. 9 =
A = Y: 15. + 1. C. = Y: 15- 2. A+ F = Y: 15+C: LV. V5= 2. Radixe quaesica.
Diciturque Potens ratimale cum mediali.
VI. V20 + V8, est B =2 A.
Freo Z9 = 20. 4. AF. G = 8
B9- 4 A. g = 20 - 8= 12. V: Z9 - 4 A. 9: = V 22 = 2V3 = 5o
b +=Y20 = Y 12 = 215 + 2Y3 =2A4.

## Folio 127 — 851708439:0151
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000151.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
uada
u
L G F B R
B-
FrBO, A9 = V
L V
Diciturque Potens duo oe
∞ = V 20 - Y 12 = 2V5 = 2V3 = 2E. 9.
lia-
V: 15 + 13. F.  Y: Y5-V3. A= C V. VTY3. = V: V5 - V3. RadiX quIXSICa
Atque ad eandem Formam radices exquirentur aliorum Binomtaltum de Res
dualium, quorum membra sunt incommenturabilia, sed horum quadrata commen-
Turabista.
a A P. XAVI
De Sgtionum natura; earumque Praeparatione.
Fiertam (u Miechodum) Aeebrae generalem, Ouxbtredus (Cap. 16.)
Ouoriescunque problema aliquod (Icu quaestio) proponitur: Pura
praelticum esse quod postulatur: aptaque achibita ratiocinatione, pro quaesita
magnitudine ponatur A (vel alia aliqua Vocalis:) pro magnicudinibus aurem da-
eS, Consonantes: quo facilius magnitudines datae ab incertis (ipso Ctarim in.
ruitu) dignotcantr.
Deinde; magnicudines, eam datae quam quaesitae, secundum conditionem quae-
Pioni conrenientem, ettormentur atque comparentur; addendo, subtratiendo.
mulciplicando et diridendo; donec randem aliquid inveniatur magnicudini de
qua quaeritur, vel sua, ad quam ascendit, potestati aequale.
Ec quia in omni fere aequatione, ubi primo ex inrolueris qualtionis estulset, nota
cum isnocis contunduntur: termini ipsius ita lune ordinandi; u qua in data
habentur mentura, faciant unam partem; ec, qua isnota quaeruntur, alteram.
Flanc utique Formam Ouchtredus, Vieta, acque ante illos alii, commodistimam
censuerunt; nimirum ut magnitudines adhuc ignorx, unam aequationis parrem
occupene; reliquam, absolute noix, quod Fomoeeneum Comparationis vocar Vie-
2a. Alii, post eos (quibusdam salrem in calibus.) aliam nonnunquam ordinatio
nem (uc tuo loco dicetur) instituere maluerunt.
Duo aurem arcitieio haec tiat Praeparatio, quinque Regulis docet Ouehtredus.
Ouas, quia breres Funt, nec expeditiores alibi reperio; hic exhibebo.
Primo, Si magnitudo quasita, vel aliquis ejus gradus, sir in Fractione: Fiac omni-
um magnicudinum ad unam denominationem reductio: uc, omisso illo communi
denominatore, in tolis numeratoribus aequatio censeatur. VE
A.
A9 = B9
+B +C; erit DA = DC = A9. =F B9. F DB L BC.
Secundo, Si, qua in data hrabeneur mentura, immilceantur cum quaesicis; fiat
transpositio maenitudinum ex una parte in aliam sub contrario sieno. (Oux eti-
am regula, de contrario sieno, in omni transpositione serranda est. ) VF, DA DC
A9 + B9 = DB + DC: Ec cran polIIS DC et A9, exit D A = Ag = 2DC.
F DB. + BG
Terrio, Si species alissima quaelicae magnicudinis ducatur in magnicudinem ali-
quam daram: tiac omnium magnicudmum aequationis ad illam communis applica-
1i0. VTBA9 F BgA = Z C, e A9 F BA = -
Ouarro, Si contingat omnes datas magnicudines duei in gradtum aliquem
magnicudinis quasitx; fiat omnium, per applicationem ad minimam speciem le
cundum ordinem cabellae, communis depretlio. VI, A99 F BAC = Z qA9, erit
A9 F BA = Z 9 expuncto in lingulis AG. Atque hoc modo aequatio quaelibet
propolita poterit deprimi, sire reduci ad minores species; li cerminorum omnium
tiat ad eundem gradum communis applicatio. VE A C F X A9 = NC, dirila Pet
sic proponit.

## Folio 128 — 851708439:0152
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000152.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
e
dc
A, Het A g f Z A = -; ac dirisa per A G, Ret A. f Z = - -. OUX GuideM
operatio, in numerosa altectarum aeguationum resolutione, ulus erienon contem-
nendi: quia lacus quaesitum facilius aectimatur in minoribus porestatibus, quam in
majoribus.
Ouinco, Simagnitudo aliqua sic lacus Turdtum: aequatio in ipsis porestatibus est.
insticuenda. VEV gB A F B = C: rel, per cranspolicionem, Y 4B A = C. = B.
Fdeoque ipsorum quadrata, B A = C 9 - 2CB. F B9; vel A =
Ci9 - 2. C. B. F BG
irem Vu: B A F CA: = D = B. Vel Vu: BA F C. A: = D F. B. Ideoque et
iptorum quadrata, BA f C. A = B9 F 2BD F Dg: vel A =
A
B9 + 2BD. + D9
Denique V4 = = Ve2A: vel V. CC -- =VCC4 AG. OIATE AC = TOBAG. FL A = 108.
Ouanticas absolute cornita, prxesumitur AHirmatira, seu Policira. Adeoque, S-
quando secus continsat, redditur ACtirmacira, mucando omnia Pigna: Seu transpo.
licis partibus cum contrariis signis. Ve, si habeatur A4 - B A = - Z, 9: erit
item - A 9 ] B A = + Z9; (en Z 9 = BA - A9.
a A L. ALV FLI.
De Resolutione aequationum guadratiaorum.
Ouatione sic ue dictum est praeparata: Si quaesita magnitudo reperiatur
aequalis datae; Puca A == 108; patet, rem qualitam jam esse invencam.
Puta 100, Vatorem esse quantiratis A quae sicum.
st ejuldem aliqua POuIu, AC ReGueTUE: respectira radix quantitatis datae, est
quaesita quantitas. PUTa A A9 = τ08, Seu A C = ZOB; CrIt A = V9FOB, aut
A = V C2O8. Et lumliter in aliis porestaribus.
Si intex quantitatem cognitam, ee incognitae supremam potestatem, occurrat in-
termedia potectas: diei Tolet Affecta aequatio. Puta, S A 9 = 2 A = 108
Aquationes (.sic affectae) in quibus sune (ue loquitur) tres species aequali-
ter in ordine seala ascendentes; hoc est, in quibus quaelitae quancitatis dimentio-
nes habeant exponentes in progrectione arichmetica constituros; (DuTa Aq A, F
QVE A G1s +t G t; nL A CC, AC, t, _C: UbI eXPONenCeS CMnE, 29
0:
693,0; ec.) Aquationes Quaaraticae dici Tolent: Sed si media porestas lic, non
quidem A, Sed AG, AC, Scc. dicuntur quadratiea ex radice plana, auc solida, 
Elas aequariones Quadratisas resolvendi methodum cradic ille; seu radicem in
singulis unam pluretre (ut contigerit) investigandi. Affirmativas intellige. Ouip.
Decalibus acqureseit ille; neglectis (Siquae Sint) Negatiris, ranquam non praesen.
eis instituti
Eitii aurem tres species dicit: non hoc ia Incellisendum cst, quali non plura
Forent aliquando hujulmodi xquationim membra: quippe lingulae Species postune
plurium clMeMBTOrum; ut
MAg F A9 f BA = CA = F9 F TI9 =NN
Obi Membra quidem seprem tunc; sed species tres: Secundum criplicem contidera-
tione aentionu quaelII quantitaLIS, quarHINL CSpOnenteS LIINE2, F, 0. Ouippe
Poceltaris altissimae M Ag. F A q exponens ell 2, iplamque speciem dicit A9, 8
M-T ejus coesticientem. Intermediae porcstatis B A- Ci A, exponens clt L, ipla
que Species A (unius dimentionis,) e B. C ejusdem coefticiens. Pocestatis in-
tima (quxe est quancas aorure cognita ab Onitate denominata,) F9 
Etq MN, exponens elL et Loprer nullam hic comparentem quaesicae quancicatis
l.
Cap. XX
 2a et u a  120
dimensionem.
Dum

## Folio 129 — 851708439:0153
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000153.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
uspo
exit
veriatus
enian
lata
eat   do
A I. G F B R A.
Dum autem hos Fxponentes actiono, ut2, F, 0; Peu 4, 2, 0; Cet similiter,
ubi intinus ese o: non hinc excludo alios in progrestione arichmetica; puta 4, 3, 2
au, 5, 3, T, similetre: Sed hos recentere, non crat necesse; quoniam hujusmodi
aequationes sunt (per ante tractita pracepta) ad tales reducenda. Puta A90
B A C == Z 9A 9 (ubi exponences Tunt 4, 3, 29) ad hanc A9 + B A = Z9(∞
jus exponentes Tunc 2, F, 0,) dirilis omnibus per A9. Tum AgC F B9Ac =
L ggA (ubi exponentes sunc 5, 3, F,) ad hane A99 = B9Ag =Z 44 (cujus
expOnenteS TUNE 4, 2, 0,) dirilis omnibus per A. Fex in aliis similiter.
Alias aurem affectas aequationes (in quibus species aut plures fune, aut non a,
qualiter in scala ascendentes,) non hic considerat; sed ad alium Fractatum relere
Clavi Subjunctum) de squationum Affectarum Resolutione in numeris.
Ouadracicas has aequaciones (in quibus tres species aequaliter alcendunt) redu-
cir omnes ad has tres Formas; pro signorum. F = variatione.
A. = L A = A 9, TCU A = Z F = FO
2. Rg- BR = A. HOC elt Z A9- X A = A.
F. Ld. = BR = RG. 
In quibus exponentes incognitae magnicudinis (R, Peu, A, F,) FUnE2, F, 0.
Neque ab his alirer difterunt quae exponentes habent 4, 2, 0; 6, 3, 0; _cc. quam
quod radicem habeant planam, Tolidam, eec. hoc cA, duarum, trium, pluriumre
dimentionum: uc mox docebitur.
In his omnibus: magnicudinem absolute cognitam, Ai, ostendit esse, duarum
Cincognitarum) Rectaneulum, quarum majorem vocat A, minorem f. FF B
coetticientem termini medii) elle, in prima Forma, carundem Summam (pura
== A  F;) in sccunda e certia Disserentiam, (X = A - F. ) FC R radicem
attirmaciram incellise) in prima, de ucraris (inditferenter) exponi A, vel B,
(quas itaque aequationes ambieuas rocat;) In secunda, de A: In tercia, de F.
Hoc demonltrarille, in Ediione prima (cap. 29.) ex pCOP. 5 e 6 secundi PIC.
mentorum.
In cditionibus sequentibus (cap. 16.) idem sic demonstrat (unirersaliter) ex
propriis Algebra principiis, (non adrocaris in auxilium Creomerricis illis; qua de
Lineis Speciarim agunt.) Aequationum, in quibus sunc eres species aequalirer In
ordine scala ascendenres, consticurio liquet. Nam, quia
T. Z = A = P.: duCatuE Utraque ParS in A.
L = P. = A: ducatur utraque pars in F.
A = X =-P: ducatur utraque pars in A.
3. E F X = A: dueatus utraque parS I F.
Et similiter Tat in B et 2, _c.
Atque, ex hac mulciplicatione, hujusmodi orientur aequationes.
3. Rg ] BR = A. 3
7. A = A9 = A.
BAG - A99 = AP. 9.
LDC = ACC- LC.
ec.
ZF = Eq = A.
  a ddde
BEg- F9q = A9.
TFC LCC = LC.
A 9 = Z A = A.
AGG = 1AG-= LI. G
A CC _  - A. C.
3. E. 4 Y A L. = sC
F99 F XCg= A9
FCC + xfe = A.
c
la alcendentibus: Cogltabis magnicudinem abloluram datam, esse rectansulum lub
duabus magnicudmibus quaesitis, sire latera line, sire guadrata, sire cubi, ec. qua-
lis sellicet elt Poleltas mediae speciei. In medlia aurem specie, si alcistima species
Tic nesata, coefficientem esse summam maenicudinum qualicarum; e speciem iptam
de viraque exponi Ac, si altistima species lic attirmaca, coefticienrem elte magni-
cudimunt
Ouociescunque igitur proponitur aequatio ex tribus speciebus aqualiter in sca

## Folio 130 — 851708439:0154
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000154.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
A F G F B R A.
Cap. ZXVTII
cndinum quaesitarum difterentiam; ipsam autem speciem exponi de majore, nega-
cam; vel de minore, aftirmatam.
Manifeltum urique est, ex consticutione erium formarum, quodnam suctinet mu-
nus quaeque magnicudo. Nempe, in prima, termini medii coeHicienem Z = A fP
este lummam duarum magnitudinum, quarum inter se mulciplicatione tuc ablolura
quantitas data, A.: iplamque gualicam aequationis radicem, carum utramris este,
A vel C. In secunda e tertia: coetticienrem Z = A - F, carundem esse differen.
tiam: et quaelitam radicem else, in secunda (carundem majorem) A; in tercia,
(minorem) F.
Verum quidem est, in Forma secunda, ubi aftirmatira radix est A, aliam adhue
elte nesaciram = P: e, in cerria, ubi radix attirmatira est F, aliam esse negaciram
A. (Or post docchitur tuo l0c0.) Scd has negatiras ille neslisit, de AAirma.
ciris tantum Colicicus.
Arque ob eandem rationem neslisir omnino Formam quarcam,
4. A = = BR = R 9. HIOC est, A. = - Z A = A g Sen R = - ZF = F. 9
Oux quidem duas habet radices, sed negaciras amtras, -- A, - F.: AFirmativam
Ermacirum A, duobus negatiris
=BR = R 9 aequari non porcst, licum B cum R (ablolure lumpra) lint (pro.
nibil illi aequale
esse quod estptusquam nihil.) Sin R ( quod praelumitur altirmatirum) sIc rerera
negacivum CDuta = N,) cum = BKK (hoc est = BX = W) quod videtur ne
paurum, elt rerera altirmacirum, (nempe. F BN; ) quod, cum =R q conjun.
ctum; aequare possir attirmacirum A. Sed R = = A, aut R = = B, nON CUTAE
ille; adeoque nec hanc formam quartam. Sed de rribus illis, sic vergit;
Tum datis duarum magnicudinum cumma et rectansulo (uc in calu primo)
datur carundem ditterentia: vel, data differencia ee rectangulo (ut in secundo e
cerrio) dacur lumma. Nam (quod ante ostenderac)
9: 32: - _. = 9: 2X: 2 quase SV: 4 2. 9 - A.: = : X
J: ZX: + A. = : ZL: S
CV: 3X9 = A: = 32.
Denique, datis binarum magnicudinum : Z. _ Z Z (semi summa de semi disteren.
lia,) dantur ipsa magnicudines; his duabus regulis,
LRes. 3Z = Vu: 32. 9-_: (3X) = F
IIReS. Vu: = X9 + A: (3Z) =Z X: = A
Luise sa lunc dua regula pro loluvione aequationis cnjulque, in qua tunt ilco
species aqualiter in ordine scalae ascendentes.
Ouod aliquanto FusuS SIC explICCmUS. Cum SIC Z 9 = A 9 F 2 A L. F L.  ∞
Xg = Ag - 2 A F F g: ut ex ipsa operatione liguet.
AG Y AF.
AF
L
A
L = A4F 2AC. F F. 9.
29= A9 2AC  LL
Adeoque Z. 9 = X4 = 4 R. EL, 7. 9 - a X 9 = A.
29 = A 9 F 2AL F F4
m: A9 = A9 = 2AF. + F. 9.
lo 9. Z9 = 4 A H.
A
Ideogue a L. 9 = A.  a  4. Lc : X4 + A. = à C 

## Folio 131 — 851708439:0155
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000155.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
nes2C
11
1
ElC AC
conjun
iOn CuI
prit
cunC
i dille
Cap. XXVIII. A E G F B R A.
Ergo (Cumpris racheiblo) rl. 4 Ll = 22. LbV. - il sl: = =C
Cognitis itaque Z, Z, (lumma e ditterentia,) seu (earum LemiIHDLS) 3 2, = Z:
habentur ipsa A, E, magnicudines. Nepe ZL + ZZ = A, C 3 L. -
Fx quibus R (radis attirmatira) et in Forma verria, F: in secunea, A; in
prima, utcaris, A vel F. Adeogue
In prima; 32 = V: 2Z, 9 = R: = 32. + 5X = 1.
Vel, 32 - V: 429 - N: = 3Z - 3X = F.
In secunda, V: 2Z9 Y A: F Z Z =- ZZ Y ZX == A.
In cercia, V: iXG F :  1X = 12 -1 X =F.
Arque sic extibentur Radices (aftirmatirxe) Aquationum omnium quadratica
rum, Stricte sic dictarum; puca, cujus alristima porestas elt quadratica.
Sed cum hac caucione. In prima Forma, ubi habenr V: L Z 9 = A: FerI POTCAE
ut calus c Impossibilis. Nempe, quories A major AF quam : Z 9. Ouoniam, hoc
catu aL. 9 = N. Foret quadtratum nesatirum; cujus (striete Loguendo) L atuS
Peu Radix haberi non pollet. Ouippe radix omnis, sire alturmatira Cire nesacira,
in se ducta; quadratum extribebu Altirmacirum, (quia cam = in -, quam ( in 
mulciplicando facit +.) Adeoque, hoc calu V: a A4. R: Cl ractia mmrasinaria
quadrati negacivi.
Quacratiea alix; puta quarum radix est placia, solida, aut achuc magis com-
Dolita:: TTOC CAt, ubi SDCcieS FUnC Ag9, A9 F: ACC, AC, F; _c. quarum ex-
DOnenteS TUnE 4, 2, 0; 6, 3,0; ec. a primariis non aliter difterunt quam quod
ipsa Radix jam plures habeat dimentiones; toc nempe quor habet media (pecies.
Nam (posito, quod line, ita ut dictum est, xorliter in ordine scala alcenden-
1e5) lvecies altillima Ag9 aut ACC, non minus est quadrata media A9 aut
AC, quam c A9 iptuis A. Ouippe, ut te, duae magnitudines TunE A, F.
quarum summa Z. = A F F, ditterentia X = A =, - P, rectangulum AF; pariter
si ponantur illae magnicudines A9 F. g, eric harum summa B = Ag ] F 9.
difterentia X = A9 = F. 9 rectangulum AgF 4 seu A. 9: SI PONantE maBnI.
indines AC, F. C, summa eric 7 = A C F EC, ditterentia ∞ = AC = F. C, rect.
angulum ACF. C seu A. C. De quibus non minus ralet argumentatio, quam de
A, E, Z, X, A.
Td Taliem incerest, ut poltiquam inventa est aequationis radix A9 auL F9;
vel AC aut PC: Ei porro velim iptius A aur F. valorem habere, excratenda
erit hujus radieis radix quadratiea, cubica, aliare ut calus poltulat.
Puca, si in quadratica aquatione prima formae hrabeatur;
=Rg F 10R = 21. HOc est = R q. + BR = A
tlabebimus R = = B = V: + B9 = . HOc elt, 5 = V: 25 -2E. Hoc C 5 =LY4.
HOc CAt 5 = 2; Hoc cst 7 aut 3, quorum uerris est valor iptius R.
Sin ponatus,
=R99 F r0R9 = 21. Hoc est = R 99 f BR9 = R. 4.
FTahebimus R g = =B + V: = B9 - R. 9. HIOC cIL 5 = V: 25 - 2T. HIoc ellu 5 F V4.
Hoc est, 5 F2. Hoc est (aequationis radix) 7, aut 3: (ut priuS. ) = R 4.
Adeoque R = V 7, aut R = V 3.
Similiter, sI DONatuIE,
RCC

## Folio 132 — 851708439:0156
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000156.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
B R A
Et in aliis formis similiter.
RCc F 2ONC == 2I. LoC C.
Tabebicur idem valor iptius Re, qui prius ipsius R. Nimirum RC = 7, auc
RC = 3, quae est aequationis radix. Sed R = V C7, aut R = 1 C3
a L2 L. LLL
Accommodatio Sebrae, ad Ceometriam, aliaque
subsecta.
VX SIE Ouxhtrec Mectiodus pro Tolvendis aequationibus, ejulque Functa-
mentum; jam extribuimus: Variaque cheoremata et problemata, summa
tim collecta; quorum, in re Analycica, trequens sic et coregius usus.
Ouxe tamen ille ut Specimen exhibet plurimorum, qua sedutus Analysta, ex lua
Praxi et observatione, cumulatim libi luppediter.
EtaBEE ilIC (Praeter tractatus varios Clavi subjunctos;) in Clavis ulrimo Ca
pice, Exempla raria (rariorum generum,) de achibenda Algebra (sic explicata)
ad Invenienda ee Demonstrarda varia problemata et theoremata; tum qua olim
lummo cum plausu et admiratione tuerant recepta; tum qua ipse jam primo
suppeditat. Duo minus posttac miremur antiquorum inventa; cum videamus
quomodo postimus ipti recta via eo perrenire; aliaque (iptis non minus mi-
randa) pro occasione data, postimus inveltisare.
Non aurem id mihi jam propono, ue masnam hic collectionem extribeam Co
Tuum parcicularium, quibus, seu receres, seu recentioreo, Algebram acthibuerunt:
infinitum enim cHet. Sed Artem iplam explicare, quae apta est sic achiberi; e
quibus passibus ad statum, quem jam nacta est, pervenerit.
Pauca tamen non prarabor ex illo exempla exhibere, ex tacilioribus praeserrim:
quo quadancenus percipiatur ilsjus mechodus procedendi. Oui plura desicerat, e
difficiliora; apud ipsum quaerat.
Iptius inventionem et demonstrationem proposicionum decem ex primoribus
Secundi elementorum Fuctidis, jam extribuimus, ex ipsius editione prima.
Caput ulcimum (sequencium edirionum) orditur ab inventione de demonstra-
tione reliquarum quatuor ejusdem libri. Iloc elt, oltendit ille, si tuerine acttue
ionoratae, quomodo posseni (hoc artiticio) directo procestu e invenri e de
monstrari. Et (sicubi opus) Creometricam constructionem aclapcat, vestieiis Ana-
Iy(eos contormem.
Inrentio prop. TT. Lb. 2. Elementorum; nimirum, Datam rectam B, su se-
care, ut rectaneulum sub tota B e minore seemento, aequetur quadrato majo-
ris sesmenti. Hoc est (prour alibi detinitur) in extrema  media ratione
secare.
Ponatur majus sexmentum A; minus eric B - A. Ducatur B = A in B. Fiet
que B9 = BA = Ag. Vel A9. F B A = B9. (Oux est certia tOrma aequatIO.
num quadraticarum.) Ouare Vu: B9 F =B9: = =B = A. Ouod Theorema
verbis enunciatur, L.C: Si quadrato lineae datae, addâtur quadrati ipsius quadrans:
e latere quadraco summae, collatur semis linea data: reliquim erit sesmen-
tum majuts.
Obi obiter monendum duco, nequis hareat; quod, quamris A ponatur n2-
jus sexmentum lineae datae; cst tamen minor duarum magnicudinum quas respicit
haec (certiae FOrma) aequacio; quarum rectansulum  Bq aequarionis exposux
memoruu absolucuim.)
Ceome

## Folio 133 — 851708439:0157
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000157.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
que
luI
suu
x 1
0Ca
olii
ideam
eruII
clercim
derat
5al
e
Cap. XXI. A L G F B R A.
Geometrice autem conttruetur, sic. Fiac AB = B:
eique ad anoulos rectos Patuatur BC = = B. F.C du-
catur hyporenusa AC = Vu: B9 f = B9. Abscindatur
CD = BC. Frirque residuum AD = Vu: B9  a B9
Z P. Denique, MenTUTCtUIE AF = AD, PrO majore
Seomento.
Inrentio +2. C 2. Nempe, Comparatio basis obtusi an
culi, cum lateribus.
Esto triangulum BCD; cujus angutus incerior ad B, Sit obtuS. Hujus ba.
siS est DC; e latera BD, BC. Lsic (per 47 C +) BC9 = BA9 = C. AC
=DCq (=D A9 =) - BD9 = 2BD X BA = BA9: (Der 4 C 2, HaI DA est
BD F BA.) Ouare BCq F BD9 =DC9 = 2BD XBA.
(Nempe, extricis urinque aequalibus, ec cransposirione Facta.)
Ouod Theorema rerbis enunciatur, (IC: Qn amblyconis tri-
aneulis, quadratum subtendentis obtusum ansulum, excedit
summam quadratorum laterum, duplice rectaneulo sub uno
laterum circa obtusum ansulum, e seemento ipsius (continuati)
inter obtusum anculum e perpendiculum.
Inventio 13 C 2. Nempe, Comparatio basis acuti anguli, cum lateribus. Fsto
criansulum BC.D; cujus ansulus interior ad B Eic acurus. Flujus balis eAt C D:
_ latera BC, BD. TTICBC9BA 9 = C A g = DC 9 (- VF
F2BD x B A = B A 9 (nam D A =BD - = B A. ) Ouare BC 9 + BD9
=DCq F 2BD x B A. (Fodem modo procedet demonstratio, (I D PONALIIE
inser B et A; quippc jam D A = B A = B D, _ D A q, uE priu S.) In verbis, SC:
In trianculis obsiquaneulis (sire sine acutangula, sive obtulansula) quadratum
lateris subtendentis acurum aneulum, minus est quam summa quadratorum la-
eorum, duptice rectaneuto sub uno laterum circa acutum aneulum, e scemento
ipsius inter acurum illum aneulum e perpendiculum.
Fla dux propositiones tunt apud Fuclidem Theoremata, atque ut talia de
monstrantur. Elic autem proxonuntur ut Problemata: quo constet, quomocio ca
Pheoremata pocuiltent inveniri.
Inventio 14 C 2. Nempe, duadrati aequatis rectaneulo AB X BD. E. AO
AB F AD = 2BMI. Ouare BD sccatur aequalicer in M, et inaequaliter in A.
erit IBItUIE, Per 5 C 2, ABX AD = BMg = AM9. Jam SUPPONatIE AC9
ABX AD. Fiacque triangulum M AC, cujus hyporenusa C. MI-- BNI sC
misummae laterum. Cachetus erie AC latus quadraci quaesici, per 48 C F.
Complura habet ille exempla alia, (acute Patis expolita, in
varia materia,) quae apud illum quaerat Lector. Fgo unicum
adhuc axponam, quod est omnium ultimum; ubi, in unico
eroblemace, (Probl. 26.) brerem Cynoptin exhibet sectionum
meularium.
Numirum; De angulorum (inguie) sive peripheriarum bi
sectione, irilectione, quinquilectione, seprisectione, eec. Pauca
etiam, ad Analyrices praeltanriam, ulumque admirandum, ostendendum appo.
nat.
Distin.

## Folio 134 — 851708439:0158
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000158.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
lE G F B R A. Cap. XXIX.
Distinguantur in peripheria septem equales partes, ab O fine diametri, lite.
ris ABC DF P C. Dueantur Tubcen(x, sicut tu in Schemate. Sumatur (in
OZ R MI diamCtTO) MX =MB. Ducantur etiam AX et XB recta, ex dia-
meteF NYR A. FF ad OE. perpendicularis CiF; es ad OE perpendicularis P. R.
Ouoniam AB = AX Curpore qua sunt criangulorum similium es aequalium
AMB, AMX, homolosa lacera:) erunt criansula BMX, OR A, O AX, FI.
OA9
milia. Fdeoque -- =OX. Sunt etiam triansula O AB, A RM, Timilia. FE
Rad.
per 47 CF, NIA = V 9: 4 Ract g - O A9.
FS sic praemissIS; erit R A. M A (HOC cst, Ract. V 9: 4 Rad 9 - O A4)::
4.Rad 4X O A9 = OA494
OA. OB. ErgO
Rad. 9
=OBg9. Ouxe est anguli Duplica-
1in. (Hoc est; dato Radio, de O A subcensa arcus simpli, inrenire O B Subtentam arcus
dupli.)
Et 4 Rad. guO Ag =O Agq = Rgd qr OB9. Ouxe est anguli Bisectio.
(Hoc est; daco Radio, et OB subcensa arcus dupli, inrenire O A lubtensam lim-
eli; retolrendo hanc aequationem.)
Dcinde; quia OS =O A, d SA = OX, _t NS =MZ =MB. ErSO, Per
ASZSA
35C3,-
ve
OAq OAg
05 = SC. Hoc est, 2 Rad - - , in - -, divisa per OA,
2. Ract gXOA =O AC
Rac 9
3Rad gXO A =OAC
Radg.
Rad. Rac.
=SC. Et, E addatur (O5 =) O A, Fer
=OC. Oux est anguli Fripticario.
Ex ZRad gXO A -O AC = Rad grOC. Oua est anguli Trisectio.
Tre; quid 2F Y F CB =OF. EF (MO. MB:: OC. OT. HOC est,) 2. Rad.
2 Rad-
OAG 3Radq R OA OAC 6Rad g9XOA = S Rad gXOAC F OAgC
::-
Rad. Rad g
2 Rad 94
sRad g9XOA =SRad g XOAC F OAgC
=OT. F cujus duplo S collatur DA; restabit,
=OF. Oux est anguli duintuplatio.
Rad99
Et OA9C = 5Ract qXO AC F 5 Rad 49XO A = Rad ggXOF. Oux est
ansuli duinguisectio.
Atque

## Folio 135 — 851708439:0159
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000159.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
Iie
ilium
4)
aplib 
1416
sit
2Rd
OAq
01
Cap. ZXIX
A L G F B R A.
Alque hac Forma progredi licet ad Septifectionem inveniendam. Nempe
Rad CCKOA T4. Rad. g9XOAC f7 Rad. GXO AGC FO A99C = Rad. CCXOC.
(LC Sic porro si opus est.
Nam MO. MB:: OE. OK. EFZOK =OC =OC. Unde interantur re
ligua.
Verum si (quod ille Facit) Raclius ponatur F, (quae in mulciplicatione et di-
vitione nihil mucat,) Chordaeque ad hanc menturam caxentur: Idcirco, in hisce
omnibus aeguationibus, Radius cum omnibus fuis poceltatibus omitti poterie
Sed quo arcificio iltiusmodi operolae aequariones (in quibus non sunt tan-
cum tres species aequaliter in ordine scala aCcendentes) Solrantur, non ee di-
cit hujus insticuri docere: sed ad Afectarum siquationum Colutionem nume.
rolam retert.
Cum ego haec (de sectionibus angularibus) in Ouehtredi Clavi (tum ceniis
Algebrista) primum leserim: vitum crat (vires rentandi sraria) ibi procedere
ubi delicrar ille: Tuamque methodum imitatus, conserip(i (AnnO 1648) de Sectio-
nibus sneularibus cractatum. Ouem eodem anno communicari cum D. Johanne
Smith (cum Collesii Recinensis apud Cantabrisienses Socio, iltiusque Academiae
Macheseos Profellore, qui et prius mihi Fuerat oyzeore in Smanuelis Collegio:)
Simulque mechodum meam pro solrendis Cubicis aequationibus, (quam polt re-
Deri cum Cardani Regulis coimcidere:) aliaque nonnulla miti cum comperta:
quae videbantur illi minime contemnenda. Varixeque de his rebus inter nos in-
tercesserune Licerae mensibus Octobri e Novembri iltius anni.
Ec quidem literis ejus Novemb. 28. 2648, dacis, (quas apud me adtue habeo)
et poltmodum aliis: obnixe peciit ut ea rellem Pypis edere. Ouod et alir
Postea Petierunt. Sed cum cgo id cum neglexerim; variis post occationibus in-
terreniencibus praepedicus eram ne id facerem. Poltquam autem ea tamdiu fire-
rinc sepolica, multa eorum qua cunc nora riderentur, nunc torte masis nota
censebuntur quam uc prodire debeant. Adeoque abstinuinrem planc, nili etiam-
num fuerine qui editionem urgerent.
Cuinque (quo illis obremperarem) putarerim hic eorum summam inscrere.
(ut Specimen methodi Onchrredianae:) veritus tamen ne nimia Digrestio vide.
retur, pocius putabam ad Calcem hujus (inter alia) Practatum eum de Sectio.
nibus Ancularibus rejicere.
In quo quamvis occurrant non pauca, aliunde nota: non injucundum tamen
erit, eorum cum aliis connexionem oblerrare, mucuamque inter se coharentiam.
Sed e aliis alsebristis documento esse poteric, quo pacto postint (uE Fert OC
calio) de timili subjecto Generalem Inquisitionem prolequi, alia ex aliis con-
tinue interendo.
Id autem (inter alia) mihi minime displienic: quod, ipso operis proceltiu, ne-
cellarium deprehenderim (quod ante sulpicabar;) In luperioribus aequationi
bus, non duas tantum (ut in quacraricis) Sed plures adtuc Radices comcineri
Dolle.
Verum quidem est, FTarriorum (ut post dicetur) et (post eum) Cartescum
hoc disereim astirmare; idemque Vieta non ienorum tuisse deprehendo. Sed
hos ego non legeram, nec cram, in hisce, ultra Oushereci clarem doctus.
Apud quem binas radices (in aequationibus ambisuis) notatas rideram: non
plures.
Ocor aurem in hac disquititione (ut primario tundamine) ea Ptolemai pro-
politione; Duadrilateri, cireulo inseripti Rectaneulum sub caseniis, aequate est
binis rectansulis sub lateribus oppositis. Onam per eoram dilquisicionem pro
sequor. Vi ipso tractatu liguet.

## Folio 136 — 851708439:0160
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000160.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
ap. XXX
SLIa ClarriOE; suae que Aeebra
dectione Prima.
JOntEPOTANCUIS CraL Ouchtredo jam memorato, Thomas FTarriot, item AN-
slus; et Algebra periciltimus; acque eo Senior. Num sibi fuerine familia-
id ritate conjuncti, plancnescio. Morenus est FTarriotus, die 2 Fulii, Anno
262F. annorum circirer Sexaginta; (adeoque natus anno 256O circiter:) SepultIs
Londini, in Fcclesia S. Christophori dicta. Or ex ejusdem Fpicaphio liquet; quod
apud Johannem Store habetur, in Tua Londini Descriptione. Oushtredus autem
nacus elt anno 2573 circiter. Ouod liquer ex picturâ lua quam apud me habeo,
ex aere exculam; Cui sic adseribitur nomen ejus; Gulielmus Oushtred, elus: ex
Aademia Cantabriciensi: Anno Aitatis 73. 2646. WV. TTollar ad virum delinca-
rit 2644; Fecirque Ancuerpia 1640
Vixic aurem, valde senex, annorum quasi 87: nempe ad annum DOm. 7660.
quando Mense Maio mortuus est; extasi Tubitanea correptus, prae nimio saudio
cum primum audiverat, d Conventu Parlamentario Westmonasterii conclusum elle
quod istius mentis primo die factum est) de reducendo ResCCarolo TI. FF in
Eccletia Cua Adeburia (in AerO Surreiensi) cujus a multis annis Rector crat, se-
Dulcus jacet.
Num Ousbrredus aurem an Farrioins, prior scriplie Meebram Cuam; eso plane
nescio: (Certum autem est quod eorum uterque jam a multis ante annis scriple.
rit quam ex prelo prodierit ucriulris opus.) Ouehtredum aurem eso priore loco
memorari; cum quia prius prodiit iplius Claris, (sed eodem anno 163F; ) tum
Pocistimum, quia propius acthaeret ille Vietae methodo qui praecesserat. Cui in-
tienem Accestionem Fecit Tharriotus, quam Ouchtredum credo non ridiste, cum
Tuam ediderit Clavem.
Hoc Farriori de Aebra Teu Analyrica opus posthumum, cdidic W altercas I ar.
ner (sed celato suo nomine) anno 163T, (Ptatim Post edicam Ousheredi Clarem
eodem anno.) Oui ab Ouchtredi ec Vietae methodo in plurimis recedit: magnam-
que huic Arti accestionem secie: eaque poluit Fundamenta quibus Cartesius 
non corum, Palrem maximam partem Alsebrae seu Cieometrix luae (celato FTarrioti
nomine) Cuperstruxit; quae anno 1637 primo prodiie, e quidem Gallice.
Er quoniam hic incomparahilis Alsehrista (quamvis AnNO Z63 F Farine editus)
pareius exteris innoceseit: operae pretium eAte judico, accestiones ab eo tactas (Ut
uc aliis nominibus jam circumterri caeperunt) Fulius Cnarrare.
In Fharriosi Ineroductione, e praetixa Praetarione Warneri, accurate craditur
Alsebra leu malytices natura: ejusque partes; Letetican Poristica,  FNesetiba;
earumque ulusspeciales. Oux hic non reveto.
Sectio prima, primx Parris; exponit operationes srithmetica Speciesa, quam
ille (apro nomine) Loeisticam Speciosam appellat.
ExpOnit item Aquationum Praeparationem, Ceu ad lesirimam formam Redu-
ctionem: Duasica, praeriis operationibus, ordinandas docet, ut supremus Cradus
ionOE Ouancicaris ponacur Affirmativus; omnisque Affectionis immunis; (hoc
elt, non in aliam quanticarem, quam r, ductus:) Membraque Sc disponantur, ut
ea in quibus habecur ignora quancitas unam aequationis parcem constiruant; reli-
quam vero illud quod est absolure cognitum; quod Lhomoseneum comparationis
aDelae Vieta
In his aurem non mulcum addic eis quae ab aliis sune ante cradita: nisi quod
Norationem ante receptam monnihil immutet: In his praelertum duobus,
Primo; Symbola leu Species quas Vieta e Ouchrredus liceris Majusentis ut plu-
rimum sienabant; delignat ille Minuseutis: ut quae minorem locum occupent;
pralertim ubi (aepius reperenca veniunt.
Sccundo:

## Folio 137 — 851708439:0161
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000161.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
linea
660:
dio
Ui I1
C aP. XX L.
A L G F B R A.
Secundo; Quadrari, Cubi, similesque denominationes, in designandis Speciebus
omictie, literasque q c, carum Indices: et (harum loco) Radieis characterem 10-
ties repetit quoc sume dimentiones.
Aique hoc facto, collic (primo) Ambisuicarem quam in nonnullis porestatum
denominationibus incroduxic rarius variorum loquendi modus. Verbi gratia.
Quadrato cubus, est Diophanto, Viera, Ouehtredo, aliisque aliquor; quinque di
mentionum: sed Prabibus, e plerisque (ante Vietam) Furopaeis: Paciolo, Sti-
phelio, Nonio, Bombello, Tartalea, Cardano, Recordo, Clavio, ec. led et Post Yie
tam non paucis; elt dimentionum Sex. Oux nominis ambiguicas collitur, li seri-
batur proaltero aa a aa seu a: pro altero a a a a a a leu ao.
Trem (secundo) ad oculum Ctacim oltendic, genuinam iltarum Potestatum com-
politionem: Oux nil aliud innuunt quam Pationem tories Compositam seu repeti-
tam, quocies repecitur ea litera qua Radicem notac: Ab (que ullo in rei natura tun-
damine, cur binatim aut ternatim distinguantur dimensiones, magis quam sinsu
latim, quaternatim, auc secundum alium quemris numerum.
Facitque (certio) ut sentim desueleat animus a prava consuetudine, conside.
randi Rationes seu Proportiones (quae Tune pure Arichmericae Speculationis,) qua
Si dimentiones pure Greometricas inrolrerent; propter Duadrati, Cubique homina a
Ceometria mucuata: ut caceam ea nomina, d quibus abhorret Geomerria, Duadri.
quadratorum, Supersolidorum, duadri cuborum, dec.
Ouippe cum rei nacura, proprie loquendo, non plures admiuir quani Zres (la-
cales) dinentiones, (lonsicudinem, lacitudinem, ee protundiatem; in Lineis, Su-
verticiebus, e Solidis;) incongruum plane videatur (de quod mens non capit,
ut (quod erium eltdimentionum) Solidum, adseiseat porro quarcam, quintam,
seuram, aut plures achuc dimentiones.
Linea quidem in lineam ducta, planum taciet Ceu superficiem: suverfieres lxe
in lineam ducta, Solidum facier: Verum, si Solidum hoc in lineam porro ducendum
GE; aue superficies illa in supersiciem; Ecquod inde orietur num (ut Loguun-
CUT) Plano planum: Ac hoc est, in rei natura, immane Monstrum; omni Chimae-
ra leu Centauro magis impossibile. Nam Lonsicudo, Lacitudo, e Protunditas, 10-
num illud quicquid est Spatii complent. Necimaginari poterit Phancalia, quomo-
do rribus his Superrenire porest quarta dimentio localis, nedum adhuc plures.
Verum si Numeri nacuram consideremus; nihil impedit quin postit numerus per
se mulciplicari, tactusque iterum per cundem, ee lic continue quoulque libet; nec
unquam eo perrenietur quin achuc postit aut per eundem auc per alium quemris
pumerum mulciplicari. P’ariterque in Rationibus seu Proportionibus; Docelt expo-
sica quancicas auplari, atque hoc duplum iterum duplari, iterumque hoc duplari; d
sic porro quories libet: Atque hoc demum duphi auplum duplicatum, triplari pore
rie, e triplum hoc triplcari: Ox tiac (Dolito a pro 2, et b Dro 3,) a a a bb. Ne-
que ulla est auc in re impossibilicas, auc ditticulcas quo minus hoc mens concipiat.
Aenullo modo voceric mens concipere ACB9; hoc est, ue Corpus Cubicum cu-
I Patus A, ducatur in Superticiem Quactraram cujus lacus B. Nec ullo modo tieri
Docelt hujuliriodi Dimentionum supertaetatio.
Adeoque pro A, Aq AC, A94 A9C, Sc. Substicit ille (ut natuEX magis Con
Tonum) a aa aa a a a a a Sc. Eire (quod cancundem cst) ay d W
a a, etc.
Idemque nonnunquam innuit Oushcredus; ut in Clavis Cap. 15. Ubi pro redus
cendis ad unam denominationem Radlicibus Hleteroseneis ut V gq A et V cCBG
(hoc elt V+A ec VBB) jubet Cubari poceltatem primam, ec Ouadrari secundam,
auctis pariter Radicalitatis exponentibus; quo illis aequipollentes habeantur V2 A
et 2 Ba: (PFOPTer cum 4 X 3 tum 6 x 2. cantundem ac 12.) Nulla habita racione
nocarum 96, Sed rancum numeri dimensionum.
AI FEoque PriOT Diceesius nolter, in Strariorieo Tuo (cui inserie Aeoram)
:pro notis 2e= ∞ 88B dcc. maluic alias a tiguris numerariis x 2 3 415 ees Deri
vatas, auc quae illas repraesencent, (nulla vel uacratis vel Cubi imsinuarione in il
Iis tacta.) Ouas apud ipsum videas.
PototsC
1sLIII
In his utrisque (ponendo liceras Minusculas pFO. Majusculis, et a an prdoN q
ecc.) Tharriotum seguitur Carcessus, in AlSebra Peu Geomeiria sua, Gallice primum
celia a1mo 1637. C voll La Pianes leo dedoenio) Larne, ano ed; peranque
anino 2659. 11

## Folio 138 — 851708439:0162
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000162.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
a ide ent. l.
UEB, C D, _cc. _ prO IBnOHS ocales u HL, L, L, e. Cartesius, pro nous, liceras
~: Trem ∞ pro = Aiqualicaris noca. Iplamque = peo nota Dilterencia duarum
D.. pocat eas esse continue proportionales, sire A. B:: B. C:: C. D. ) Ttem, ube
duo plurare membra junctim contideranda reniune, quasiunum Forene; duestre-
dus uerinque ponit Colon punctum; quod alii linea luperins ducta delignane. PUTd
Ferieonius in Tuo Cursa Aabu, ano 1644 ccluo, alia habet signa Sibi
pecuitiaia: alique delan quae apud ipsos videantur.
Obi aucem Vieta ee Oncheredus pro notis quancicatibus Consonantes Tublimune,
Alphaberi primores substituie, ut a, b, C, _c. _ pro ignous, Polteriores, uc X, y
ditterentet pro a  b aut b - a Pot a t aet ACL II.
FlaOtUS IteM (PrXTeF anTC receptaS L=i = Additiors, sumluctionis
Radicalitatis, e Aqualitatis nocas,) alele aprais Signum = (majus quam,
e Minoritaris = (minus quam.) Pro quibus Onsheredus habet B. -3.
Onreans ItCM, PEXTeF ante TCCCDIaS  = = V, RaDeC CCaL Hotam Mulii-
quantitatum, quarum vera majox sIE, non liquec: P’uta a == B (UE e3O a ~ B) in
elt, ut A aa D, AiC Cin ad D:) LF continue proportionatium (Duca A. B. C
plicationis X Peu in. PL:: notam Proportionaticatis: (PUEa R. B:: C. D; HOC
V: a a  dc: lcu Vaa = b6, PrO Radice CONHHCIA quaHCILaLS a a F bC. TLEM
Vu: a a Foc. dut Vb: aa = bc, Pro Radiee Snversali, Teu Radice vinomit;
aa = bc. PF VP: a a = bc: Pro Radice Residuir Leu Apotomes, a a = bc.
Johannes Pellius (ut Post dicetur) reliquis addic -.- prO DGonS nOta (UE
a=-D hoc clt a per b divisum, seu vc alii loquuntur, a ud applicatum.) Liem
Involutimis notam O, (pro Duadrando, Clbatiuo, Cl.) EL Lvolutionis, uv; DrO
Kxetractione Radicis, Duadratiea, Cubica, ec. e Ponoris quancicaribus liretas
actac Majulcutas; minulculas Db HbS: Quae uc proxreltu operis innoie.
scune, Pro majusculis mucantur.
Ouxe omnia quamvis tuis etiam locis occurrats pracut AC suAla PonerC, ut V4.
riorum varia notationes inricem COMParenEE.
De Plarrioci Sectione Secunda: E speciatim de Aqua
tionibus simplicibus, e Composiris; e qu
modo ex illis haefor.
Raeter ante memorata Notationis commoda (quae minoris momentires est;
In decesenda senuina Siquationum nacura (quod praecipuum est in A
Gebra mysterium) inlignes seoir progroltus, ulera quod ab aliis tuerac, ant
perleguiu;) Leco ono aco ePent at ato Ub PLEVI
mamneglectas.
vocabulo d Privativas radices rocas, Cartesius appeltar (mimus apue) radices l’al
saci Cium camen ipla linc, in tuo senere, (non minus quam Aar) Rac
Ces verae.
tradicum: Delesondo genuinam compositarum Atiquarionum originem; cas ad Ori
Sialeo illas rechcendo. Mod deeu sectione secunda.
Atque hic, primo Prater Radices Posirivas leu Assirmativas (quas praecipue
ue M AR. ea re (Ut in aluS) LEGuItIE Cartescas: MuOd quas ille (apte
Duppe cum Guancitates Nesativae seu Privativan b ussim
conentu admirei lolenr in contiu eorum qua actat at aB:
uc quae rancundem innuunt in contrarias partes sumprum: puca li + 3 innual
tres passus prorsum, =3 innuec cocidem retrorsum:) l’ieri pocelt, ut Radix, i
quaelita (ut achuc incognica) detienet non minus aliquando punctum aliquod a
netro, quam alias punctum aliquod ab ante. Quo catu a8 non mius el vera
ractin, quam alias a = + 3. Ex quidem si quaeratus LOO aa = 9 quis elt nu
mcruo a. Inditterencer relpdanus  3, alil = 3. A lat hues quam ille
numerusi

## Folio 139 — 851708439:0163
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000163.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 74 lines, status machine
AMo
1
Si
Cap. XXXI.
A F O F B R A
numerus, in se ductus, facit = d. Drereue igitur numerus est Radiii vera; sed
alera positiva, altera privativa.
Deinde; Ouo. veram Aquationum Compolicarum naturam investixet, simplal
que detegac d quibus componuntur, et in quas itaque resolvi voltunc: A quatio
nem Simplicem ica ad unas parces disponit, ut tota aequetur o, seu nibile; dua (que
aut plures sic disposicas invicem mulciplicat, uc quod prodit etiam aequetur mihito.
Verbi Bratia; Si a = = b, e a = = c; Fent (transpotico termino uteimo 11
concrario Ligno) a - b = 0, e a F6 = 0. Oua
tiincer se mulciplicentur, prodibi aa = b a + Ca
=b0 =00. Ouam vocae squationem Orieinalem.
Acque cum, tran spolua in concraria Partem quan.
titate cognita bc; hanc inde deducit, a a -- b a
quam vocat Aquationem C anonicam.
Ca- bc:
Franc aurem, pocius quam illam alieram, Cano-
nicam vocat: Tum quia Vieta, aliique tactenus.
A quationem cum rite dispolicam roluerunt, quando
t
aa ba
c4 65-0.
ionota quantitates omnes ita ad unam parrem separantur, ut aequales fians quanti
cati absolure corniex ad alteram partem; et radieis quaelica lupremus gractus (UE
aa) ab omni altectione immunis: Tum, pocissinum, quia squationes SC Cano.
nicas dictas, post achibet ut Canones leu Parachiemata, ad quOTUM HOEMAM CN2.
minet Aquationes Communes; prout forte obtingunt.
Hoc Arrisicium (quod ipsi dehemus) ille ue Clavem adhibee pro relerandis e
decegendis Aquacionum Compositarum Mysteriis. Puta, quor habeat Radices quae-
que: e Ouales illa sinc, Aftirmatira aut NegatirX; e, ex qualibus parcibus
constent Coefficientes, hoc eAt, nocx quancitates cujusque porestatis intermedix.
Verbi gracia; in Aquatione Compolica jam expolita; maniteltum est (ex ipsa
compositione) Radices duas contineri, B _ 6; C quarum utraris ponitur ipsi 
aequalis;) quarum rectangulum est BC cum BenO =; (ad eoque ipTaTUM LgNA SUNE
diltimilia:) ee Coesticiens (seu pars noca) medii termini; elt duarum radticum
(mutatis lionis) agoregarum: quod quidem (propter signa distimilia) est racti-
cum (seclulis lirnis) disterentia: quxe ip(x (propter cognita cum rectangulum
cum differentiam) inde cosnolcentur: Et (ex praeralentia signorum - aut L in
coefticiente) cognoscetur utra duarum est astirmatira auc nesatira. Eclimiliter,
mutatis mutandis, de aliis quationibus judicabitur.
Acque in his item PCarriorum sequitur Carcesius. Onam et ego existimo maxi-
mam in AIgebramysteriorum patetactionem quam praesens xtas tulic.
Fest quidem, concra hunc procestum, Objectio laris speciola (quam cgo mitri
jam pridem feci) qua Respontionem exisere videatur.
Nempe: Verum quidem est; politis (verbi gracia) urisque radlicibus A Airm
tiris: puta a = b, et a = c: hinc fieri a -- b =0, ee
a = c =-0. Sed de pariter rerum est; quando ex his inrer
se mulciplicatis tir aequario composita  ba 6a + b6 = 0;
illam a quae in priori simplicium aequat b, non esse candem aa - ba
a quae in polteriori aequatc: Sed divers valoris. Et, Con-
lequenter, cum mulciplicatur a prior in polteriorem a, quo
= ca +d6 8
fac (in xquatione compolita) àa; non est hoc (uc oportuic) utriulris raloris
Ouadratum, sed utriusque Rectangulum. Ex similiter, cum in potestace media sit
ba =ca; illa a quae mulriplicata in b Facie ba, non est cadem quae in c mut
ciplicata tacit ca: uE ex ipla operatione liguer. Cum ramen, in illa sEquatione
quadrarica, supponitur a ejuldem raloris per rotam. Hoc est; quemcunque duo-
cum ralorum supponitur ahabere; idem ralor in le ductus (a a) dempro codem
ducto in b etc; (= b a - ca) una cum rectangulo bc (. F BC:) Supponuntur ni-
bilo aequari. Sic urique intelligenda est ea A quatio.
Duod et magis siec conspicuum, sipro a (ambisui raloris) in utraque aequa-
cione; Tubstituamus (quo distinguatur ambiguiras) a in
priore, e c in posteriore. Ouippe cum prodibit aequacio in
variis luis parcibus mulcum diverla ab ea qua prius (provres
ambiguitatem) ridebatur.
Sec quicumque rem ram scrupulose perpendic, ut hanc la
aa ba t Ca b6 - 00.
aa ba
1bt--bC.
-- b-
1a + bc-0

## Folio 140 — 851708439:0164
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000164.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
A L G F B R A. C ap. XXXI.
leat Objectionem Facere: inveniet, Ei idem paulo acencius perpendai candem Eibi
ipsi lacistacere. Nam ipsa valoris a ambisuitas in aequationibus simplicibus, id
iplum cst quod aequationem composicam tacit esse anibiguam, es duarum Radi-
cum capacem. Ineicatque, haec Mulciplicario, modum conticiendi s quationem.
cujus Radix ita Sic ambigua.
Duod partim Patebre ex ipsa substitutione duarum a e pro ambiguo ralore ipsi
uS a. Nam, PFOPIeE a = B, AEUE a C = B C Le mutuo destrUanE; itemique -Ca
=bc: adeoque totum nihilo XquetUT. Ee Similiter, PrOPtEF C =C, FC uE a C = c a
se mutuo destruant; itemque = be-BC: unde iterum totum aquetur nibilo. LF
quidem, proprer cum a ==b, tum e = c, Fit ut quatuor membra a C, b e, C a, bc,
ejuldem sine vatoris omnia: quorum cum duo aftirmentur, et duo negentur, se
mutuo perimunt omnia, tiuntque nihilo aequalia.
Acque hoc in anibisua Aquatione Ouadratica necessario fieri, manifectum cst.
Cum enim, propter a = b, (uc jam ostentum est) ac - be semucuo destruant;
id pariter Het s utrobique PrO C POnAtIEa hoC CA a a = ba; (quod complet
aequationem quadraticam a a = b a = ca f bc =- 0, pro valore ipliris a = b.
Trerumque, cum propter e =0, etiam ac - c a se mucuo destruant; idem tiet li
utrobique pro an Ponatur e; hoc clt e0 = cc: (quod complet aequationem qua-
draticam ee -b e cc f b0 ==0; pro valore ip(uS e = c.) Constabit itaque
Duadratica A quatio secundum utrumris ralorem.
Lciam porro manitestum exit, (pariter constare quadraticam illam aequationem,
Tumpto per toram uroris ralore iptius a auc c:) Tubstituro ubique vel b velc,
DTO a aUT C.
Ouippe in hac aequatione
Si pro a substituatur B, Het
Si pro a Cubsticuatur c, tiet
aa = ba - ca + bc =0.
bb - bb - cb = b6 =0.
c6 - b0 - 66 + b5 = 0.
Adeoque, utroris modo, termini se muuo destruune. Inde constac; urovis Tum.
Dio ralore radieis an quadraticam illam aequationem recte contictere.
Idem pariter constabit, si utcunque rarientur (quos jam potuimus astirmativos
ambos) ralores illi amibisuxe radicis a: Pura, li lic alcer alturmacirus, alter ne-
sacirus, aue eriam uterque negatirus. Nam posito
= = b, ec a = - c. Quibus inter se mulciplicatis ha-
betur aequario Ouadratica,
aa ba + Ca b6 - 0.
Potitoque, proa, ubique f b, tet bb- bb +6b- b6= 0.
Et Polico, proa, ubique - c, tiet c0+ b6- 66 - bc-=0.
Terminis, urrovis modo, se manifeste destruentibus.
Similiter; Fi a =
b, e
a = -c. Ouippe cum tce,
mulciplicando,
aa t ba LCa f bc- .
EF, DOtO - B, lOa II bb bb- cb + b0-0
Politoque = 6, PrO an Fiet C6 - b0 - c5 + bc--0.
Terminis etiamnum se mutuo destruentibus. Onde liquet ucrumvis ralorem a
bisux radicis a, indisterenter lumi posle.
Idemque pariter conspicietur, in quibulris Aquationibus compoliis, quoteun-
que ractieum; sumpro per totam, pro ambigua radice, quoris ejus ralore. Vnon
Ec mecuendum; ne nobis imponat hic proceltus.
-b-
tca B6-0.
C

## Folio 141 — 851708439:0165
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000165.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
c 11G
cionet
velo
vis la
1a
Icet
1O1CV
91
Cap. X
s. A L C E B R A.
 AL P. XXZ e1
De Aquationibus Quadraticis.
Fcundum Methodum jam expolitam: Ostendit FCarriotus, In quaris aqua-
e tione Ouadratica, modo sic possibilis, (hoc est, modo calus proposits, non
sic impossibilis catus,) duas Temper esse Radices, reales; (tor nimirum quot
Lune dimentiones in ejus lupremo gradu) ue quae tiac ex duabus aequationibus
Simplicibus inter se mulciplicacis. Nempe, vel dux Atirmacirae; vel dux NC.
sacirae; (eaeque rel aequales rel inaequales;) vel dux quarum altera SiC ACIr-
maciran altera Degacira; acque, ex his, nunc Afirmacira major estr nunc Ne
fatira, nunc inter se lunc aequales. Ouippe omnes hi casus occurrere pollunen
in duabus aequationibus simplicibus, sic incer se mulciplicandis. Verum (I ca-
Tus expolita aequationis sic Imposlibilis; Radices illa dux non Reales erunt,
sed qua dici Colent Lmacinariae.
Exponic item, singulorum horum catuum Exempla; dualque simplices inter
se musciplicando, ostendie, Oualis sic, in quoque calu, quae inde relultat aequa
eio Compolita. E consequener; expolic aquatione compolira, ex quibus lI.
uctous oriri centenda TE.
Exposici catus Fres Tunt,
d=-0.
 = O.
Vide dect. 4. proP. 2. 22 - ba
=ca = Bc. = 0.
Leacticco; Fb c
Vide Sect. 4. Pr. 2.
=
=0
c =0.
d a = - ba
u Ca = b6 = 0.
d. b = 0.
a = 6 == 0.
aa Fb a
F ca F b6 =0.
In casu horum primo, radix utraque est AFirmatira. In sccundo; altera
AAirmatira, alcera Negatira: Sed non apparet, in hac Forman uira duarum ma-
Jor sir. In cerrio; utraque est Negacira.
His cribus, duos alios addic (in procestu operis) catus speciales, quas A qua.
tiones rocat Camonitas Secundarias,
IV. aa = +B5. 44 - b0 =0.
V. aa = - bc. aa F BC =0.
Radices; = V bC, = VbC.
Radices; = V - BC, - 1 - bc.
Oiarum prior, est Specialis sub casu Secundo; posterior, sub casu Primo vel
PextIO.
FX primoribus illis Casibus cribus; Patet, In Quadrarica squatione (nOn
impossibili) auas este Radices; quas appellabimus b, c.
Et quancitatem absolure cognicam (bC, in omnibus; radicum illarum Rectan.
sulum elle, seu Factum ex carum inter se mulciplicatione.
Foraque aequatione sic ad unaS pArtES FeVOCata, ut nihilo aquetur; de lupre.
mus radicis practus attirmatirus, et ab attectione immunis; prout in aequacio.
nibus
Radices; =b- 6.

## Folio 142 — 851708439:0166
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000166.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
A F G F B R A.
Cap. XXXII.
nibus Originatibus lupponicur: Si BC (nota quancitas) (ic ACtirmatira (= BC,
auacu Facieum signa lune similia, (ueriusque F, aUE vTiusque =: ) WE L
calibus primo d tertio
Et Coeticiens Medii termini est duarum summa, mutatis signis. Adeoque
Si Coefticiencis signum Sic =; Radix ucraque eAt Affirmativa, Cur in ca lu Primo.
Si Coefficientis lignum (ic F; Radix utraque cst Necativa; ue in calu Pertio.
Si vero (Aquatione sic disposita) b0 st Negatira, (- bc,) Radicum Pigna
Tunt Dissimilia: (adeoque earum alcera Actirmacira, altera Negacira) ut in catu
Decundo.
Et Coetticiens medii cermini (= B f c) est duarum radicum AGgregatum
cum contrariis signis. Fr consequenter, sectuso signo; est duarum (scclulis Lignis)
Differentia.
Adeoque S Coefsicientis, integre sumpiae, (hoc est, uirisque parcibus in unam
Speciem contulis,) sionum ( ; radicum major est Acirmacira: Si F; major
elt Negacira (nam = b  c, si b. Luc major, est quantitas Negacira; sed atir-
matira S1 c Ec. major: adeoque prour = aut  praeralet, ica b aut c major elc.)
Duippe, ab origine, b ponitur attirmatira cadix, e c negacira; quamrisi hic,
tigna lune concraria. Si vero delir terminus medius, seu lic nihilo aequalis, cum
B _c Tunt inter se xquales: unde Fic = b f 0 = =0, adeoque  B a F c a =- 0.
Acque hane originem Facit aeguationum Ouadraricarum omnium. F.X quibus
cae selioir (par. 27.) uc poriori consideratione dignas, qua auc alteram auE
urramque radicem hrabene altirmatiram. Et paricer in A quationibus alrioribus
Se itaque pracio 2 Summam, et x Ditterenriam duarum bc (sectutis Lignis)
Catu L. a4 -- 2a + bc== 0.
CaTu II. aa F X a = b6 = 0.
Radices, = B, F c.
Radices, = b, c.
C= _ a quando B major clt.
Nimirum Z F e an quando c major est.
... 0, quando tunc aequales.
Catu TIT: aa F 2a = BC =0.
Radices, = b, - c.
Foca seur diftieuleas resolrendi aequationes Ouadraticas (postibiles,) huc re-
dic: Datis 2, BC (summa ee rectangulo duarum b, c) invenire a (carum diste-
rentiam,) ut in calibus primo et certio: Vel, datis x et bc (difterentia e rect.
ansulo) invenire e (earum summam) ut in catu secundo. Nam cogniris 2 e _
(Tumma ee disterentia) habentur ip(a b, 6. Nam
32. = 3 v est duarum Major.
22 = ZX Cs duarum MTInOT.
Num autem haec aut illa, dut utraque aue veura, sic actirmacira, au alia;
res huc redic.
ex jam dictis ligua.
Eaque dittieutcas  Iolritur.
MajoE 22 F Z iby Oucla 
Minorem 32 - 3 ay Edeit
Rectangulum Z 22 - = N N =- bc.
Et contequentex d 2Z - BC = = ~ N.
0b  = ∞ ∞ = 4
Hoc est. Si ex ), 2 2 (quarra parte Duacdraci Summe, seu semi summe Ouadrato)
Tuberahatur b0 (Reclansutu) habetur = N N (paro Glalla Gulacract Ditlerentia
tert ellacalu. Sc e) Cujus radx quactalea et : a (lemi ditteren.
cla.  palels H ab a  C Clarcam parrem quadiali temla, sec et
difterentia

## Folio 143 — 851708439:0167
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000167.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
pribu
signis
MB
Cap. XXXII.
A L G F B R A.
ditserentixe quadratum) addatur B0 (rectangulum, ) habetur L Z Z (pars quapta
quadrari summae, seu semi summae quadratum:) cujus radix quadrarica, est ipla
semiTumma. Adeoque datis 2, bc, inrenitur x; aut datis N, b6, inrenitur Z
Sieut d dacis Z, N, InvenitF. bC.
Reo cota, huc redit.
Catus.
T. a a -- 2 a + Bc = 0.
II. a a F X a = b0 = 0.
TII. aa = 2a + b0 = 0.
Radices.
+ 32 = V: 422 - b0: = + 38 =3.
=3 a = v: 2 ~ x = BC: = = 3 X + 32.
2∞ = V: 428 = b0: = 38 = Z_
Frinc Porro notandum occurric; In lecundo casu, li desit xun hoc cAt, E 
(diterentia) nulla sic; tum = = X = V: 2 _x = BC: cancundem est aique V bC. FV
consequenter, Aiquationis (a a - bc =0) radices dux, tunt iplius bc radices
quadraticae Attimatira et Negacira. Puta, R bC = 9; adeoque a a = 9 = 0
auc a a = 9: duae radices an an Tunt = 3, et = 3; quae sunt iplius f 9, dua r2.
dices quadratica.
Patet item, in catibus Primo _ Terrio, (i : 22 (quadratum semi coeficien-
tis) sic ipsi be (Rectangulo seu Ouantitati absolute notx) aequale; tum (his
se mucuo perimencibus) V: 22 2 - bc: aequabitur nibilo, seu cranelcet; Crunt.
que duae radices incer le aequales. Sed in catu primo, utraque AHtirmativa, = 32,
L=2: in tertio, ucraque Negacira,
2
erum tin in eruno auc Pertio catus concinont L 2 ~ (quadeatum lemi eoesti.
cientis) minas elle quam B0 (quancitas absolure cognita;) casus ille est Im
possibilis: caque aequatio hullas habet (quas vOcanL) radices Peales; Led 1olas
Tmacinarias.
Ouoniam, hoc catu, 2 22 - bc erit Onancitas Necariva; ejusque radix qua-
dratica V: = 2~ = bc: Toret propterca, Radix quadratica Lecativa quantitatis.
Duod tieri non porest. Nam quaecunque fuerit Radix, lire Actirmatira sive
Nesacira; Ouadracum nrcunque erit Acirmatirum. Verbi sracia; quamris o
duas habeat radices, ( = 3, 8 = 3:) attamen-0, radicem quadraticam nullam
habet. Ouippe si radix ejus Doneretur vel = 3, vel = 3; neutra harum in le
ducta Faceret = 9, sed f 0.
AdeOque lI HAC PrOPOMERLEK Xquatio, L na I B a  25, Sei aa = 8 a + 25 =0
Cujus itaque radix Foret a = 4 FV: 16 - 25: Flanc aequationem dicimus esse
imposlibilem; quoniam V: 16 = 25: hoc elt V: = 9: est Imaginaria cancum
non realis quaticicas, (puca, neque attirmativa, neque necatira,) quae itaque
nec addi porett nec Tubirati numeto 4, quo tiuc vel 4. + V = d, vel 4.
qua ixlae itaque crunc radices imasimariae.
Hue etiam reserencae sunc aequationes hujutmiodi au = - b c, seu aa = bc = 0
Dux percipene ad calum Primum aur Feccium, deticienie cermino medio,
02 + b5 =0.) Ouibus radlix Foret, 0 + Y: 0- b0
Sed utcunque sinc Tmaxinariae, auc impolsibiles, aquaciones hujusmodi: non
eamen nulliys psus sunt: lect, suos habene ulus non concemmendos, ut post, do.
csbicur Tuo l0co.
Oumppe olcendune illae, non modo catum illum impossibilem esse, qui ad has
impostibiles equaciones deducit: sed ostendunt etiam eracium impossibisitatis,
Teu quoulque tunt impostibiles; et qua mucacione lacta cradent pollibiles
Olui item sunc in componendis Alcioribus AEquarionibus: quae quamris quoad
has raclices sune impossibiles, possime camen quoad alias inibi concentas potti.
viles. esse.
Aique has, imaeinarias radices, Farriotum nostrum contideratte reperimus;
speciarim in solvendis Cabicis s quarionibus: Fxemplo 13, sectionis 6, PaS. 100.
De quo post dicendum crit.
Verum ea quae jam diximus, de Relolrendis Lquationibus Ouadraticis; Di-
srectio tuve, ab eis fux de FCarriori aequationum Compositionibus eaDeram CnaE.
rare. Ouamquam enim d Compotitione directe consequuntur; erantque ci pe.
micus perspecta; acgue ab aliis (rem iptam quod spectat) ane rradira: Ile
ramen

## Folio 144 — 851708439:0168
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000168.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
A L G F B R A.
tamen aliam habet libi peculiarem methodum resolvendi Ouadraricas aequationes.
De qua plura post dicenda erume, ad Fxempla TF, 22, 13, sectionis lexLX.
Ea summarim hac est. A: quationi Ouacraticae (sic ab co ex po(iL_) au = 2ba = =c0:
utrique parti Addic quadratum semi coefficientis medii cermini, bb. Adeoque com-
plec quadratum in speciebus, quod erat (in ignota parre) impertectum; illudque
exhihet dato aequale; a a = 2b a F bb = =6c = b b.
Adeoque illius radix quadratica exir hujus radici aequalis. a =b = V: =66 + 6b.
Onde iptius a valor innoreseit.
Sic, in lingulis Formis.
T. aa- 2ba = + cc. aa 2ba + bb = + cc f- bb. a b = = V: + cc + 6b.
Adeoque a == F B = V: = cc = Bb.
2. aa + 2ba = = c0. aa + 2ba F bb = + c0 + Bb. a + B = = V: + cc + bb.
Adeoque a = - b = Y. c0 +60.
3. aa 2ba = = cc. aa 2ba + Bb = = cc + bb. a b = = V: = cc + bb.
Adeoque a = = b = V: - cc + 3b.
4. aa f 2ba = = cc. aa + 2ba = BB = = cc = bb. a + b = = V: = cc = BB.
Adeogue a = -b = V: - cc + bb.
Fandemque mechodum in suis plerumque sequicur Johannes Pelluss
Sed quicunque tuerit procestus; puta, vel hic, complendo quadratum; ret
quem ante expoluimus; vel terrius (quem post Cumus expolituri) eximendo
lecuncum terminum: eodem res redibic; ut poll expolicuri sumus, ad ejus
ProD. FI. Sect. 6.
D.
XXLLII.
Siquationum Cubicaul tbutio.
Xposita (uc dictum est) Aquationum Ouadracieatum Origine de Compo.
lsicione; idem in Cubicis similiter proleguitur Carrious. Laldem compo.
nendo, vel ex Fribus Paceralibus (sen simprieious Masnationibus, Cin
tormam Binomii reductis, aeque tum inter se Conc mulipliCatIS:) Vel, ex
Lacerali et Ouadrarica; Ouae quidem Cacratica ( Suvrea lic inserta) reti
nec (quantum ad illas quas in se continee Lalces) cacem Accidentia seu AHe.
ctioneo (possibilicaris, imposibilicacis, alallo altoo, aequaliauS, M.
qualicatis, ecc.) quae ante habebat.
Le seguitur; A quationes Cubicas omnes, Radices Habete (TCallo aut IIId-
ginarias) omnino Fres; nimirum vel alularas omnes, vel e aa
vel parum has parcim illas.
dudu quidem neleio au ante FTarriorum quispiam decexerit. Duem hiie eriam,
ut in alc lequieur (celato ejus homine) Cartesius.
Cubiend i qacromes ejuo lic derirat.
d
caa = b aa
Vide eju
cda - bc d = 00c
Sect. 4. Pr. 3

## Folio 145 — 851708439:0169
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000169.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
aet
2
1
n 
Co1
con
Ven
Cap. XX
A L G F B R A.
a - B = 0.
1 - c = 0.
F a = = 0.
Radices; + b, + c, - d.
aa a = ba a = bca Vid. Sect. 4. Pr. 4.
caa bda
+daa = c d a. + Bc d = d00.
a = b = 0.
a = c =0. Radices; - b, = 0, + d.
a = d - 0.
a a a = ba a = BCa
FCaa = b da
Sect. 4. pr. 3.
=da a 6d a - bc d =000.
a F b ==0.
a Fc = 0. Radices; -b, - 6
a  a = 0.
aaa F Baa FBCa
F caa = b d a
+ a a a-= Ca a f bcd = 000.
s
EIS addit plures casus speciales. Prae caeteris quatuor sequentes A quariones quas
vocat ReciprocaS. Fas aurem sic vocat, in quibus quantitas Absolute cognita, ft
ex continuia mulciplicatione Coesticientium cognitarum: Ft incornux gradus su.
premus, simili mulciplicatione reliquorum graduum. Ot hic, bc d = bcX d, e
2aa = a aXa.
V. aa = = bc.
a
VI. aa = = Bc.
-
aa - b0 = 0. Radices. = VBC. = YBc. + d.
0
aua daa - bca + Bcd = 0.
aa = B0 =0. Radices. = V - Bc. - Y - Bc. f d.
a- a = - 0..
aa a dac + bic a - Bc d = 0. Sect. 4. Pr. 18.
VHI. aa = F Bc. aa -- Bc = 0. Radices. + V b6. = Ybc. = d.
Vel a
a + a =0
aa a = dua = Bc a = bc d =0.
a. = b = 0. Racices. - B. + 6. - c.
aa = = C6. aa - c6 =0.
aa u = baa CCa - bCC = 0. Sect. 4. pr. 19.
VIII. aa = - b0. aa F. B0 = 0. Radices. f V -- bc. - V - Bc. - d.
=
a = a =- 0.
aa a + dau + bc a = BC d = 0.
Velis a = = b. a = B = 0. Radices. + B. + c. = c. 
aa =  CC. aa -- CC =-0.
aaa = baa cca = b0c = 0. dect. 4. pr. 20.
Ouibus has tres addie aequationes; ex parcitione simplieis quaneitatis in Formam
Binomii oriundas.
IX. r = a = + g. rrr - 3rr a F 3raa = a aa = + 999. alie 119.
HocClt a - r + g =-0. aaa- 3raa + 3rra = rrr = 0.
+992
II. a = - b
NV. a = - b.

## Folio 146 — 851708439:0170
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000170.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
A L O F B R A. Cap. XXXIV.
2. r+ a = + g. Y + 3rra + 3raa + aaa = = 499. Radix, + g - r.
hoc est a. + r -g -0. aa a + 3r aa +3rr a F rrr =0.
292
ZL. a - r = + 9. aaa = 3raa + 3rra = rrr = + 999. Radix, + g +
Hoc est, a - r = 9 --0. aa a - 3r aa + 3rr a = rrr = 0.
Vel; ut tas aequationes post repetie,
=492
IX. B a- - +c. a = B - c. aaa = 3baa = 3 bba = = bbb -cc5. Radix, - c.
Sect. 4. DC. 12.
Z. a +B = +c: a = + c - B. aaa. + 3 baa = 3bba = - bbB. f Ccc. Radix, C- v.
Sect. 4. PF. 10.
XT. a B -- +6. a = = B + c. aaa -- 3 baa + 3bba = + B6B. + ccc. Radix, b + 5.
Sect. 4. PF. ZI.
= 2b. a b - 1b. aaa = 3ba a + 366 a =2bbb. Sect 4. pr. 13. Radtis 28.
e A C. ARAIV
Aqato tab  Mbtodabi.
abinis Laceralibus.
Ouationes Biquadratieas similiter derirac: Vet ex quatuor Laleralibus;
rel ex binis Quadraticis; vel a Laterali et Cubica, vel a Quadratica e
Radices; =B, F C, = c F 5.
2a4a - ba4 a = bCaa
aaa = b da a
daaa =cd a a - bc d a
Faaa  bF aa - bcFa
+cFaa - b aFa
+afaa - cdf a + bcaf=
Sect. 4. Pr. 20.
aa a = baaa F BCa
a aa = bd
daaa + cda a = Bcd a
Faa a- b5aa F bCfa
cFaa = baF a
dfaa + c dfa - bcdf 0.
dices, = B, + 6, + d, - f.
Sect. 4. BI. Lu
TII.
146
lc
1

## Folio 147 — 851708439:0171
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000171.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
9+
e
e
di
dix 26.
ralibus
ratica
1
CaP. XXXIV. A L G F B R A.
ElI. a =-
3 =c
2. = C =c
+ =0
aaaa Fbaaa FBCaa
caa a = b da a
d a aa = cd a a = bc a a
Faaa - bFaa = bcFa
faa-
dfa - cdf a - bcdf = 0.
t
a - b =0
= 6 =0
a + a =-0
c
aa aa = baa a F BCaa
Ca a a -- bc
Radices; - b, - c,
t
Sect. 4. PP. 2F
Racices; F b, +6, = c s.
= aa a a = c d a a = bC d a
dcll. 4. PP. 23.
Faaa  b7a0+ 667a
CFaa - b dfa
+afaa = cdf a + bca5 = 0.
Radiced; = b7 = 67 = d, -)
O.
Caaa = b da a
aaaa = cdaa = bc d a
faca =bf a a + bcf a
o ace ao LcipZOCaS.
Vel a = + b.
aa a = + 66C.
cFaa = bafa
2faa +cdf a + bcdf = 0.
aaa = cdf = 0.
b
0.
a
Sect 4. PF. 40.
aua = baca Cdf a =Bc df = .
a - b = 0. Radices. + B. + c. +C. +. c.
aaa = 660 = =0. vel + b. + 6. = c. = c.
aaa = baa = 666a +6666 = 0. Sect. 4. pP. 40.
VII. aaa = = cd5. aaa = cd5 = 0.
b.
a L B = 0.
aaaa = baa = cdf a = bcdf = 0.
a = B =0. Radices. = B. f c. + c. +6.
aaa = F CCC. aa a = 666 = 0. vel -- b.  c, - c - 6.
aaaa FBaBA = CCCa - BCCC = 0. Sect. 4. pr. 39.
VIII. aa a = = cd5. aaa + Cas = 0. Radices; L B, Bcas, L VCas, L veas.
+. b.
a - - b = 0.
vel +B, Bcas. Vcas, Vcat.
aaaa = baaa = CdF a = BCds = 0.
1B. aaa = = cdf. aa a +02f. = O. Radices: B, Vcas, L V Caf L B3C 
a + b =0. vel -b; Vcas, Vcas. VCas.
aaaa + baaa + cdf a =F Bcaf = 0.
Atque
aaaa =Baca FBCaa
VI. aa a = +6df.
sel

## Folio 148 — 851708439:0172
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000172.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
148
AL G F B R A. CaP. XFXIY
Atque tas alias.
=a =0.
c
Radices; + B, +, cy = Vas, - Y as.
=aa = 0.
= + at
bcas = b df a F a7 aa F b a a a
6dFa = bcaa +Caaa = aaa a = 0.
=a = 0.
6 - a = 0
a + aa=- 0.
Raleles; = B, + c, + V - as,  V - a5.
ba daaFa)aa = baaa
=5dfa = bc4a = Caaa = a a 4 4 =. 0.
 a -0
a) ac= - 0.
Radices; - b, - c, = Vas,- Y a5.
beds = baf a + af aa = baaa
=ca5 a = b5 4a = c a a a = a a a a = 0.
3 = a = 0.
c + a = 0. Racices; F B, - c, + V - a5, - V - af.
af a2= 0.
veas +. bd5 a = dfaa F ba aa
cdfa = bCaB = C aa a = a a a a = 0.
a)-aa- 6.
Radices; - 3, + c, = Vas,- VaS.
bcas - bd) a- d) aa + baaa
+cdFa = bCaB = Ca4a = a a aa =0.
b + a =0.
c = a = 0. Radices; = B, - 6, + V - a5,- V - dF.
as aa = 0.
veasBafa + afaa F Baaa
FcafaL bcaaLcaaa Faaaa = 0.
s =a = 0. Radices; + VBC, = VBC, + Vas, - Vas.
beas - aFaa
bcaa  aaaa=.
1
FII. B = - a.
ac
XIII. B = + a.
+ad
XIV.
AV. b = -
= = ab
XVI. bc. F aa
a= + ac
b + a = 0
bC i- 0
XVII. bc=  aa
a
Utbo
bc un -0.
a F aa = O. RaciCes; F VbC, 160, = V= 3 V as.
beds = a) at
2VIII. 66-- au
at = aa = 0. Radiceo; V- b0,  asVas.
beas + afaa
Fbcaa = aa a a-
Obu ona.
bc + aa = 0.
a A P.
ea

## Folio 149 — 851708439:0173
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000173.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
aP.
XX
L C L B R A.
li IL L. LLLL=V.
Aliarum Aiquationum similis Derivatio: e Formatio
Cianonicarum ex Orisinalibus.
TH Aquationes Composita jam memoratae, derirantur, vel a Laceralibus
Vel laltem a multus Compoticis: Pariter quae magis actue compotiex LunE
eodem modo à limplicioribus poterunt derirari.
acque in hunc tinem; extibet FCarriotus (P. 49. Scc.) Cacalosum plurium A-
quationum, in rarus Tormis, eo spectantium
Fumque, in hac methodo (Componendi Aquationes, altiores ex minus compo.
SItIS,) lequitur, ut in reliquis, Cartesius.
FXtis Originalibus, Format LCarriotus (quas vocat) Canonicas; transponendo
quancicarem limplicirei cognitam, in alceram A.quarionis parcem. Puca ab hac Ori.
dinali,
aa = ba
F6a - bc =0.
FIanCFOrMAE CanONICaMI aa = B a = b6.
F Ca
Et paciter in exteris. Ouas suidem, ille particulatim exponit: Ted, cum res obris
Radices cujusque Aiquationis (aut Reales aut Imaginarias) EOL FEPULAL, guoF
dimentiones habet Radieis gradus lipremus. Quor autem ex illis sine Iffirmativae
e quaenam illae sint in quoque catu (quia norio haec tum nora crat, libique pecu-
liaris;) demonstrar ille singulacim, Sectione Tua quarta, (locis illis quos ego ad
Capita praecedentia nocari.) Sed ego (ne nimius hic Lim) non repeto: Plura di-
eturus, Tuo loco, cum ad cam Sect. 4. PerVeNETO.
TII, Lectorem eis recenlendis morandum non censui.
2 P.
De Compositis Aequationibus dissolvendis.
P Mulciplicarione, LI CA LEANOTAVIS, LEIaLIONES L OmpOSIIE: SiC.
Divitione, in simpliciores illas distolruntur. Fx ProuL, cali Mulcipli-
catione, eleratur AEquatio ad superiorem gradum: sic, Dirisione, ad
Inferiorem deprimitur. Cxemptis, ex Composita, una rel pluribus Componencium.
Nocum utique Dirisiou Lesolri quod Mulciplicatione Componitur. Datogne Pr9.
ducto Musciplicationis, cu que ex Factoribus, habebicur Diridendo Religuilo.
Sic, verbi gracia: Cubrearum Aquationum primus Calues
aaa - baa + BCa - BC d = 0,
caa = bda
daa =c d a
Cum Cic exhis Lateralibus commotita
 m .
quxe duas reliquas continet radices,)
Si Del s upilelum aliguaus Lilam aridatut, Pomo auaea
a a  ba
c4 = b6= 0.
Ouippe

## Folio 150 — 851708439:0174
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000174.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
1.22 2+ L= 
Ouippe cum oriatur illa Cubrica, ex hac quadraria l  = cula. A Der
alreram diridatur, reliqua prodibit.
Sic, si exponatur (in ea FOrma) haec AEquatio
a a a = τ0 a a + 32a - 30 = 0.
(quamris non hic appareane cujusque CoetticleM GIId LICHOIa, LC COK U
Tolummodo agoregata;) S quocunque modo cus radieis ralor innoreleat, Duca
 = d = 2; diritione tacta per a = 2 = , lpuuu Cubica ad Duacraricam.
a = 20aa Y 3Ta - 30-(a 6d11) =
Trerumque; si alcerius porro radicis valor innoteleat, BuCa a =. 3; quadrati
cam illam per a-3 =0 diridendo, prodibir L.aceralis,
= 3 =0) aa - 8a + 25 =0 (a - 5:
Acque hanc etiam oxerationem (Post Fharriotum) imicantur Cartesius aliique
Ft nominatim Johannes LEuddenius, Belsa, in Regulis luis, pro Aquationi-
bus Compositis in suas Componentes dissolrendis; quas lux Geometria Carte-
siana interuie Franciscus Schotenius (sed sine Demonstrationibus,) AnnO 1659,
Lusduni editx.
Ealdem ingeniose prosecutus est multis abtrinc annis D. Herrey AnoluS, una
cum annexis lingularum Demonstrationibus; (Nempe, Formas cas quas ibidem
habet Schotenius a pagina 439; ad pa5. 458.) Tn Opere MS. nondum edito.
Ouod purarerim aliquando (quoniam iple mortuus cst) ut hujus operis ap
pendicem, ad calcem subjungere.
Sed metuo ne id nimis lonsum censeatur. Ouamris enim ille catus singulos
(cum luis demonstrationibus) luccincte exponat; cum tamen illi mulei Lint, in
librum per se non contemnendae magnicudinis exerescerent.
Contentus igimr ero, specimen aliguod ejus hic extribere, methodique qua
Procesic: librum ipsum MIS. (prout ipsum a Merrao mihi, cradidic Zoh. C. olli-
nius) in Saviliana Bibliocheca Oxonia (ne Pereat) repoliturus: ubi liquando
quis cum edere voluerie, haberi portit.
Occalio seripei hujus haec crat. Franciseus Scbotenius in Ceometria Carte
sianae Tux Parte prima, PaS. 4Or, Scc. interuit tractatum quendam fohannis LIud
denir (Cre van Ludde) de Reductione Aequationum; anNO TIM PTOXINC PEX
cerito, Belsice (ni male conjicio) ab fuddenio conseripeum; e a Schotenio L a
iine redditum et in cum ordinem consestum quo jam comparet.
Obi Post reductionis regulas alias, Deculiaribus calibus accommodatas, acce
dic pa5. 439: ad Resulam Ondecimam; nempe dua modum docet reducendi
omnes aequationes, sive licerales: sive numerales, quae produci possunt ex multi-
plicatione duarum aliarum, in quarum alterutra unus plure sve termini defieiunt.
In hunc tinem; supponir ille, sinsulas aequationes (tum compoticas, tum com
Donentes) ita ad unam partem revocaras ut nihilo aquenur; et radicem, seu
quancitarem quaelicam, nocacam lirera a; primumque terminum (quo a pluri
mas habet dimentiones) astirmatire positum, omnisque aftectionis immunem, (qui
non aliam habeat coetticienrem quam L;) terminumque ultimum (quo nulla
habetur

## Folio 151 — 851708439:0175
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000175.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
10
aliie
121i01
Cap. XXL I. A L G F B R A.
habetur ipsuS X dimensio) absolure cognirum; e quidem adeste sEMper; (nON
abesse, seu nihilo aequalem esse; quippe si hoc torei, deprimenda Foret aequatic
2d gradtum inseriorem:) e co efficientem seu quantiratem cogniram termini se
cundi (quo numerus dimensionum x s uno minor quam in primo) aftectam
suo signo + aur , dici p; Tercii (quo numerus dimentionum x SIE unO ad
huc minor, et Sic in Cateris) q; quarii, r; quinci s, acque sic deinceps; adeo-
que
9. = r, - si aec. ealdem designare quancicates contrariis signis
aHFectas. 
Exempli gracia; in hac aquatione t = 2 a ∞3 + 3b ∞ = 4 b b v N + 6 ab x
= 2 a ab ∞ = 4 at == O; FxiC - 2 a + 3b = p, - 4 bb = 9, + 6abb. + 2a ab = r.
44 = s. Adeoque = 2a - 3b =
P, + 4 bb=
gue ec.
Hlac constructione generali praemissa, (omistis tormis aequationum lateralium
ec quadraticarum, ut latis COgnITIS,) Regulas quae Formas sequentes (quxe sex
dimensiones nOn excedant) Spectane, in quinque partes aistinguic. Guarum hXC
prima cAt;
Si aliqua aequatio 6ant pausiores dimensiones habens, produei possit ex mul-
siplicatione duarum aliarum, quarum altera sit unius dimensionis, altera vero
uno pluribusve terminis careat; erit ejus formula aliqua ex sequentibus: e
poterit dividi vel per unamquamque aequationum sibi adjunctarum, vel per ali-
quam earum. Nlimirum per unamquamque, uti hae aequationes, seu diritores
copulancur per voculam es; per aliquam vero, ubi divjunguncue per vocu
lam vel.
Pex a = p = 0. Xc N Y
Per X + p = 0. vel v 
=c
0.
Dex x + p = 0. _ x + = = 0.
Ber X + p = 0. e x=
Dex X + = = 0. 
N P N N, QN3 Y, =C
a, B X3, q X X, Y Xy sy =c
, PN,  YX Sy =0
2 P~, qX ~  5, =0
db9 3  ib ib9  ibgs 63c 
EE SIC pOrrO, Per tres paginas, continentes omnino Formulas 42.
Arque cum procedit ad parrem secundam, terriam, reliquasque; quarrim quae.
libet multas continet Formulas.
Sed qua merhodo ad has relolutiones perveneric, non dicit; nec ullas carum
exhibet demonstrationes. Sed cum invenisse praelumo singulas, omnes conside.
rando hujusmodi composicionum tormulas poltibiles; indeque factis obserracio.
nibus neceltariis.
Has formas singulas, reliquasque ordine sequences; codem quo eas ordine
poluerat Fudaenius (quo aprius tieri pollent comparariones) perpendie Mer-
raeus, carumque cum inventionem, cum (ubi opus CAL) demonstrationem, octen-
dit; ad hane tere tormam:
n
1-
=0.
Ideoque _ f P = 0. e 1=0
-
a3 FB∞X X + d X + bd =c
Wicul

## Folio 152 — 851708439:0176
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000176.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
A L G F B R A. C ap. XXXVI.
Nimirum, cum sic p (coefficiens sccundi termini) = b, Cicque  = B =0; erit
icem x f p = 0. Trem, cum FC r = b d, 8 g = d, adeoque = = B; sirque
x = B =0; erie item  f = = 0. EF Similirer in aliis casibus. OuX cum sine
Etie ot servaru obria; notare non centuir necestarium sed legentis lagacitaii
permittie.
coile
1. _3 F C∞ + a = 0.
N + b =0
o + b ∞3 = cx x f dx = bd = 0.
lecoque v. + p = 0.
Vel ad + cx:
+ B=0
 bC
+d =0.8
n + ex +bcx  + d x + b d = 0.
Ideoque x f - =-0.
ML. von n + d =0. E
∞  B =- 0.
M +B∞ = + a v = b d = 0.
Tdeoque x + p = 0. e v + - = 0.
IV. 43  - x + a = 0. c 2
x + b =0.
∞h + B ∞3 - X X  + bd = 0.
Ideoque x F p = 0. _ x + V - =0
Conste. p2 (P = b. Frg (per hypoch. ) a F B =0. Aquat. L.
Contr. 2 = b d = - 5. e 9 =
2. 3 Bb = - e V -- - 1.
3. hyp. 4  + Y -- = 0. _Gd. 2.
lid

## Folio 153 — 851708439:0177
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000177.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
CaP. XXXVI.
L E G F B R A.
Vel ad : - 4 -
=0
12 - B4d - X X = = bd = 0.
Ideoque x L p - 0. _ N V - - =0.
Constr. + (p = -- b. ergo per hyp. x L. p = 0. Aqu. 1.
Constr. (2 5 =- b d. 8 g = - -. 8 - = - 6b. 8 - =. bb
3. hyP. 4 ∞ = Y - - = 0. Aqu. 2.
V. 43 - B ∞ v = + d = 0. E
b
1.
=
V - = b. e - V-
v.  b =-0
Nt = bb N N F a N F ba -0.
Ideoque x. + - = 0. _ X L Y = q = 0.
ConEr. 1F, B d =- 5.
Constr. 2 d =- r.
3. hyp. 4 ~ + - = O. A qu. F.
Constr. (5 - 9 = bb.
5. 6 V
q= = b.
6. Hyp. 17) X = V = g = 0. Aq1. 2.
Nec aliter exit Si ~ = B ~ ~ = d = 0. 2
X
b =0
M. = Bb ~ X av + Bd -0.
Ex pari modo reliquas prosequicur formas omnes, quibus eso (eum mulce
Tinc) repetendis superledeo.
Proceltum hunc (ab illo succincte tradicum) paulo futius explicare visum est,
quo melius eum lector percipiat.
Cum suxponatur, in omnibus, una componentium aequationum unius este di-
mentionis, puca x f b = 0, (nam de hujulmodi solis aoie haec regula;) unus-
que saltem in altera terminus intermedius deesse: certum est, in aequatione cu-
bica, unicum esse catim. Ouippe cum altera componentium praetumatur late.
ralis, reliqua erit quadratica; qua cum terminum intermedium habeat unieum,
calum irem unicum admitrit, qui est caluum hie memoratorum primus. In
quo li componences incex se mulciplicentus, prodibir composica, (ut mulriplicando
Patebit.)

## Folio 154 — 851708439:0178
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000178.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
A I. C L B L.
3. + B ~ v + d x. F Ba = 0.
Hoc est x3 F B  x + q v + r = 0.
pariterque in aliis casibus.
Hlic autem vel ipso incuicu manitestum est, quod p b; adeoque ~ + p = n + b -0.
Tterumgue, PrOprer bd -1, & g - a, adeoque - - - - b: exic r + - = v. + b -0.
Cum ixitur horum urrumque accicta tic cophlacio per e. Nimirum x L p = 0,
et X f - -0.
Verum in Biquadratica, (ubi, praeter componentem laceralem, religua est eu-
bica, (duos habens cerminos intermedios,) oriuntur eres catus; quivpe rel prior,
vel posterior, vel uterque intermediorum deelle potelt.
Si prioe desic; ipso patet incuicu, quod p = b, adeoque v + p = x = b = 0.
Si Posterior desic; cum s. = B d, _ r = dy 8 - - - = b: Adeoque x + -
Cumque horum merque easus reterendus sic ad nostram Formam secuncam
12 F p ~3 -f q_ _ F r N F 5 =0; Potest uroris modo hac Forma prodire; nunc
hoc, nunc illo, sed nON UETOGUe: COnjuNSUNTu isitur per vel. Nimirum
x. = p = 0 (ut in priori) vel (ue in posteriori) v f - = 0.
Si incermediorum uterque desit; prodibit (quod mulciplicando parebic) For.
ma cerria. Ubi (aspectu patet) cum p = B, tum = = b; Adeoque v f p = v + -
= x = B = 0. CopulantX erGO Pex Cg; nimirum x F p = 0, dc ∞, + - =0.
Acque hactenus procestus tam est apectui obrius, ut ulceriori demonstratione
non opus esse putarerit.
Sed in composiiae forma quarca, ubi deest cerminus quartis seu penultimus;
adeoque r =0: Hloc non alio modo contingere pocest, quam, vel laciendo d =0
in Forma cerria, aut posteriori casu formae secunda; (quod fieri non porest;
quia sic Foret etiam B d =-0): Vel (in priori catu secunda FOrmX) . d = bc = 0:
Adeoque d =bc sed cum contrariis lignis. Ouod uc tac, ica qualiticanda eltc
(in priori calu illius Formae) ue hoc prodeat. Fit aurem, substimendo - - PrO6.
Ouipre tum, sire sic = a sive = d, adeoque = B aut = B, (uc in duobus ca.
Sibus FOrnX quartae,) res succedit.
Ouippe, Ci prius Ponatur: rem sic demonstrat; paret intuitus P = b, adeoque
x f p = ∞ F b = 0; quae e aequarionum adjunctarum prior. Irem - b d = - 5
et g = - - adeoque BB = - -, a V -  = b: R prOPterea N  V - = ∞ + B
=0: qua est aequationum adjumetarum Solterior. Copulantur ilaque per eg.
Si posterius ponatus (Dura = d, ec =b,): sic pariter demonstrat; Patet in-
tuiru p = - b; adeoque x + p = v -- b =0; quae est aequationum adjunda.
rum prior. TIem 5 = b c e 9 - - -; adeoque - = - 36, 8 -- = Bb, 8
Cap. XXXVI.
1 - - = b, e - 1 - - - - - b: _ prOPLeTCa N = V - - - v - b = 0; qua

## Folio 155 — 851708439:0179
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000179.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
nda
iune
nirum
Cap. XXXVI.
A L G F B R A.
est adjunctarum equationum posterior. Copulantur itaque Pex e; nimirum
x = P =0, _ x F V - =0.
In quinca forma; ubi declt cerminus secundus, adeoque p. = 0: Floc non alio
modo porest continsere, quam, Vel ponendo b =0, in cerria Forma, aut primo
casu secundxe, (quod tieri non porelt, quia cum foret irem b d =0): Vel (in
secundo casu torma secundxe) ponendo = b F c =0; adeoque b =c Sed cum
contrariis lignis. Ouod fiet, rel Substituendo = B pro c (manente (uo loco. F B)
rel LB pro c et lubstimuendo = b pro = b loco posteriore; qui sunt duo
casus quincae forma: Ouorum utrumris sic demonstrat;
Conspectu stacim patet b d == 5, et = d ==r, (hoc est, F a = r in priori catu,
e = a = r in posteriori,) adeoque - = = B, 8 x + = = v F B = 0; guX est
adjunctarum aequationum prior. IIem q = - BB seu = g = bB; adeoque
1 - g = =b, ee x F V = g = N Fb = O; qua est carum POsteriOr. Conjun-
Suntux itaque per es; nimirum x f - =0, et x = V - 9 = 0.
atque hi quidem sunt calus omnes quos contingere posse supponamus in
Aiquationibus Cubicis et Biguadraricis; dummodo componentium altera lC unius
tantum dimentionis, ec in reliqua desit unus pluretre termini intermedii.
Sune aurem, in aequationibus quinque aut sex dimentionum, casus multo plu-
res; quibus itaque (ne nimius sim) reperendis abstineo. Sed COrum OMnIUM
decerminationes apud Fluddenium conspicienda Tunc, carumque apud Merraeum
demonstrationes, breriter quidem (ut in his) indicatae, led qua (Per explicatio-
nem jara datam) Facile intelligantur.
Sed monendum porro est; etiam in his quas expoluimus, non putandum est,
quod aequationes diritira omnino omnes, qua sinc in lingulis calibus poltibi-
les, hic extribeantur: aut quod hri sint ommino omnes characteres qui POssint
altienari pro hujusmodi compoticionum Formis.
Ntam (ne lorigius abeam) in ipsa Forma prima, manifestum elt, quod non
tantum r = p = 0, et r + = = 0, eam divicent; scd ctiam X. N + = =- 0. Nam,
prOptex B d = r, _ B = p, erit - = - = d; adeoque X N + - = v∞ f d =0.
Verum hoc non est intra seopum hric designatum; qui est, ut reperiatur, in aliis
lireris, valor ipsius x fB; non aurem ipsius x x. F d quod ad hujus recuix
parcem secundam pertinct.
Irem, unus ex characteribus maxime obriis in hac compoticionis Forma, est
g = r. (propter p = b, e g = d, adeoque pg =. b d = r;) quem pro hac
Forma characterem extribet LCarriotus; ut qua eadem est cum iptius quinca,
Texca, seprima, e Octara, Tuarum aequationum cubicarum, (quas reciprocas ro-
Cat, Cap. 32.) quae non alirer differune quam quod iplarum b d d una vel
utraque, hic meludere supponancur sua siona + aut -. Sed nec hic character
praelenti scopo convenic; qui fuerat, ut modo in singulis uniformi delignare.
tur componens aequatio simplex. Sed et hic character vircualiter includitus in
illa forma ubi exhribetur r + - = 0; auc = = p = b, adeoque pg = r.
Similiaque in aliis iiem Formis obserranda reniant.

## Folio 156 — 851708439:0180
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000180.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
a L L. 2L L= V L
Coefficientium Compositio.
Z Aquationum Compositionibus jam expolicis: Patis constat, non modo
Suoc in quague reputandae lunt Radices (tor nempe quoc dimentiones ha-
Lsbec Lupremus Kadieis gradtus:) sed eriam, P. X quibusmembris constat Co.
etticienetum qualibet. Ouod (olo inspectu liquer
Nimicum: Cum um cujusque Radicis muretur, dum ea in Laterali A. qua-
cione cransponitur in alteram parrem (quod ubique suppono) quo toca Aquatio
aequetur nibilo:
Coelticiens Sccundi (a Supremo) cermini est ABBresatum Radticum omnium quoE.
quoc sune, cum signis lic mutatis.
Et consequenter, E omnes limul Negarirx (seclusis Tionis) omnibus simul AF.
tirmatiris aeguentur (quamris non lingulae Cingulis respectire Cumpeis,) terminus
secundus decst, scu nihilo aequatur, (se mucuo perimencibus ACirmatiris e Ne.
satiris. ) Ec vice rerla, si delic secundus cerminus; AHirmatira Plegatiris xquan.
Ur.
Coefticiens cermini Perrii, est Aggregatum omnium Rectangulorum; qua fiune
ex quibuscunque Binis radicibus, cum lignis lic mutatis: quorcunque modis por
linc Binx Cumi: Hoc elt; in quadratica, unius; in cubica, trium; in biquadra-
tica, lex rectangulorum; in aequatione quinti gradus, rectangulorum decem: de
Sic deinceps, pro ratione numerorum Priancularium dictorum. Ouippe TOL quoL
dictum est binarum combinationes haberi poltune, ubi radices lunt numero Pres,
Ouatuor, Ouinque, dc.
Fc consequenter, si omnia simul rectangula Negatira (seclutis signis) omnibus
limul Attirmatiris aequentur: dect terminus TerrIUIS. FL, Si hic desit, aequantur
illa.
Coetticiens Ouarti termini, cst, Aggregatum omnium Solidorum, quxe fiunt ex
quibuscunque Ternis radicibus (lignis sic mutatis) continue mulciplicatis; quor
cunque modis radicum Pernio lumi porest: Hoc est; in Cubica, unius; in BI-
quactratica, quatuor; in aequarione quinti gradus, solidorum decem; et lic conti-
nue, proratione numerorum Prramidatium.
EL consequenter, li omnia timul hujusmodi Colida Negatira (sectusis signis)
simul omnibus Astirmaciris aquencur: decst cerminus Ouarrus: e, si hic decst,
xequamur illa.
Et Sic porro: Coesticientes sequentium graduum scu cerminorum, Tune AGBrC.
sata factorum ex concinua mulciplicatione radicum Ouaternarum, Ouinarum, eec.
quoreunque modis tieri postune, (pro radicum numero in quaque xquatione) ejul
modi Ouaternarum, Oumarum, Sec. Combinationes. Ouando aurem F’acta ejus-
modi Negacira limul omnia (sectusis signis) aequantur simul omnibus Atirmaci.
ris; alnus ille dectt: _, l dect  Terminus, illa siC RquantUT.
Ouxe omnia, ipso Compolitionum incuitu, sunt manitesta: corumque obserra-
tio (quam Flarrioto debemus) magno emolumento est in decesendis Aquationum
mylteriis. Aque ex hac consideratione LLuddemus, Merrius, et liqui alii Re.
Sulas suas deduxerun pro dissolvendis A quacionibus compoluis.
Ouoc autem tunc Combinationes Binarum, Fernarum, Ouacernarum, _c. in
expolico quoque Raclicumnumero, (quod hic graris attirmatur ablque demonstra.
tione) Demoustrabicur in Llactatu de Combinationibus ex parcibus Aliquosis, quem
M Appendicem resecimus.

## Folio 157 — 851708439:0181
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000181.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
X1II
X Tium
5
a
L G F. B R
a A P. XXXV
1L
De mutancis Radicibus Lecativis in Affirmativas, es
Affirmativis in Necativas.
X eadem Compositionum inspectione, Pacim liquet, Onam murationem in-
 ducac in siquatione compolica, mutacio lionorum in una vel pluribus Ra-
dicum simplicium; aut in uno vel pluribus membris Aquationum quarum.
vis componencium: mutato scilicet AFirmaciro in Negatirum, aurhoc in illud.
Pater enim, ipso incuicu, in quo membro cujusque termini quaelibet Radix sepe.
riatur; ec quid inde mutationis accideret ex mutato iltius radieis signo.
Patet etiam, speciatim; Si, in ejusmodimembro quoris, Dux, GWacuor, Sex, aut
alius radieum numerus par, membrum illud comporentium, lignum habeane mu-
tacum; nihil inde mucacionis oricurum in signo compolui: (ilam musciplicando
 in F, aut - in -, tancundem fic; ee similiter = in Y, auc F in -: AdCO.
qye guiequid prima mutatione alceratum est, secunda restiruitur; quodque in ter-
EIa mutatur, restiuitur in quarta; e sic semper.) Si verovna, Pres, Ouinque,
aliutre radicum numerus impar, Pionum habeanemutarum: murtatur compolici seu
Facti signum. (Ouipue cum utationes Dux, Ouatuor, Sex, aut alia numero
pares, idem quod ab inicio signum relinquunt; quae supervenit loco impari, illud
mutatum reddic.)
Fe consequenter, li simul omnium ligna utata volumus, (quo radices neza-
cirae tiane affirmatirae, ee altirmatira tiant negatirae;) tiet inde lignorum munario
in terminis Secundo, Ouarto, Sexto, aliisque in locis paribus: (quoniam, in his,
Coefticientis membra singula radices ingrediuntur 1, 3, 5, _c.) Sed in Primo
Tertio, Ouinto, aliisque locis imparibus, (ubi radices sinsula membra componen.
LeS TUnENUMCTO O, 2, 4, _C.) nulla tiec inde tignorum mutario.
Ouodque in uno cujusque Coefticiencis membro contingit, pariter continsit (ob
eandem caulam) in omnihus, adeoque in (membrorum aggresato) Coetticiente,
Adeoque, S in locis sccundo, quarto, sexto, reliquilque paribus, mutentur
Coetticientium signa; led non icem in primos tercio, quinco, reliquisque impari-
bus: Afirmacira qua tuerant radicestiunt Negacirae; ee Nogacira, liune ARIE
matira. (Incellise; si suxpleantur loca omnia, vel ita numerentur quae implen-
tur, acsi implerentur reliqua.) PL, Si raclices su mucatas volumus; tic mucanca
une illa Signa.
Hujusmodi mucationum exempla videas, in Ouacracicarum aequationum casibus Pri-
mo, et Ferrio; et Cubicarum, Primo e Ouarro; icemque Secundo, et P’errio; pariter.
que Nono et Decimo; et in Biquadraricarum Primo et Ouinto, itemque Secundo et
Perrio. Ex Similicer (hresrice perpendacur) in Cubiearum Duinto dt Seprimo, (nem-
De si in alcero incellisatur  b0 tieri ex F b in F C; in alterO Cx = b in =C:)
1.
cem in carundem catu Sexto  Octaro, (sitieri incelligatur = b c, in altero ex L b
in = c. in altero, ex = b in F c.) Lremque in Sexto et Nono catu Biquadratica-
rum, (Facto L cd f ex F C, + a, + f in altero; _ = c af in alterO, ex  C, + d
;aut cum simili aliqua rariatione; quod in aequationitus, ubi desune aliqui
termii, Feri variis modis potest.) Pr (simili suppositione) in Septimo et Octaro
ibidem. Ec (ne plures nominem) idem ubique continget (ob causas jam expo.
Litas) Si singulae radicum simplicium (ipsi a aequalium) Signa habeane, in amo,
contraria eis quae in altero. Verum si ita contingat (ob aliqua Loca tacuas aut
aliunde,) quod aliquarum racticum signa maneane indeterminata (quod modo inti-
nuatum eAt de f66, -=bC; HC d5, = c df; ubi non liquet, num iplaeum b, c,
d s, Signa Tinc F auc -:) idem pariter indeterminacum manebic post mutationem
factam. Ouippe cacenus haec in altero determinantur, quatenus in altero.
Aique hoc pacto (in quacunque aequatione expolica) licebit (ienoris achue ra-
dicum valoribus) radices omnes Astirmacivas in Nexaciras, et Nesaciras En Asir
Cumigue
matiras, MuTare.

## Folio 158 — 851708439:0182
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000182.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
AL G F B R A. Cap. XXXIX.
terminatur, Ouor unc (reales) Negactra. Scce, Lol quot torent Attirmaci-
Cunque FParriotus (sectione LIa quarta) daris Regulis determinat, OUDE (UNE
in quaque sEquatione Radices (reales) Attirmatira: Fildem Regulis pariter de-
rae si ralis tieret mucatio. Adeoque no lunc Reales, de quor lmagima-
Ei A P
IX
utae lantum.
De Clarriori Dectione Tertia:  Sequationibus
Cianonicis Secundariis.
e Secttone sua Fettia; ab A quationibus Canonicis jam constituris; alias de-
rival Charriotus, Quas rocac Canonicas Secundarias; in quibus deest terminus
unus plurelre. Oux nempe ab illis resultant, sie condirionatis, ut omnia
Membra Nesatira (in una pluribusre Coesticientibus) sint (Sectusis Signis) omni-
bus simul Aftirmaciris aequalia: Adeoque (propter contraria Ligna) se mutuo pe-
rimant: Indeque cermini (unus pluxesre) in cali aequatione delint; radicum
ralore non mutaco.
Fujus cei haec extribentur exempla.
T. Aquationum Ouadraticarum Canonica secunda:
Oux non aliter dittere ab Orisinali sua, nisi quod
quancitas absolute cognita in oppolitam aequationis par-
aa - ba = = bc.
rem (Loco iptius 0) cum contrario sieno cranstertur. (Ex Cimiliter de sequenribus
reliquis incelligendum est.)
Suppolito jam b =c: lubstierit ubique B PrO C; aa - b a - ( bb.
mediumque terminum sic destruie: unde haec resultat
secuncaria Canonica;
aa = bb. Cujus Radices, L V bb, = V bb.
+ ba
In hoc exemplo, procestus est Patis obrius: Led in sequentibus aliquor est magis
intricats. IIle procellum parricularim exponit in omnibus. Ouod cum in omni-
bus parcicularim repetere, caedio Foret: Fgo Caltem (exempli gratia) in Se-
cundo et Decimo id tacere contentus; de caeteris, Lectori permicto rel id ex Lar-
rioto petere; vel, ad horum Formam, rem calculo explorare.
TI. Cubicarum secunda (quam tuo loco in antecedentibus videas,) Si suppona-
tux b + c= d: posico ubique b fc pro a, adeoque excidente termino secundo, re.
liquisque rite ordinatis; ad hanc reducetur;
A  = Bb a = = BBc. Radtices, F B, F c, (UE antC,) _ =D l, PrO= a.
6a
Vid. Sect. 4. PF. 6.
Procettus hic est. AE quatio prOPO.
sita est
ubique B f C prO d tiet
=Cad = bda
ba
bca = bcc.
Tum (proflet 6a) polo
Onde, deleris membtIS Glta LC MU.
tuo destruune tc
ad d = Dd d +b6a   8bd.
aa baa.
Bca=
Caa - b ba
FDaa - bca
-bbc
= BCC.
dat- 6da
FCa4- bCa
6C
a aa - 60 = 006
BCa
BC1
Ea
TII. Eadem

## Folio 159 — 851708439:0183
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000183.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
BIIS
11
caclic
VCHIIO
bc
i1
Cap. XXXIK. A L GF B R A.
TIT. Fadem cubiea; Suppotico B0 = b a F C d, (adeoque. -  - = d; ) deleto ter-
mino tertio: et, pro du substicuro ubique ejus ralore; reductisque omnibus ad
communem denominatorem; et rejectis qua se muruo destruum: ad hanc reducitur;
aa a - Bb a a = - bBCC
=cc
B +c
b+6
Radices; + B, +. C, Ct (P20 = 4)
Sect. 4. Pr. 8.
IV. Cubicarum Fertia (quam videas (uo 10c0.)
aaa F baa F Bca = = bcd.
Caa - b da
=daa = 6d a
046
Polico v. H c = d Cadeoque substicuro ubique B. + c. pro d de deleris quae se mu-
cuo destruunt) reducitur ad hanc;
aaa - bba = + bb5 Radices; - b, - c, dc (pro + 4) + B. +6.
= b0a + b06.
CCa
Sect. 4. pr. 8.
c
V. Eadem; Polico 30 = B d F ca; adeoque - = d; recucitur (pariler ur in
harum reductarum secunca) aet hanc;
aa a = Bba a = = BBCC.
0+c
= BCaa -  Radices; - b, - 6, 8 (prO + 4) -
+ +ccaa 1 B +c
b +c
Sect. 4. PT. 9.
VI. Nona Cubicarum; (quam supra videas.)
aa a = 3baa = 3bb a = = 3bB =cCC.
Retumpto (ex constructione) B -a = = c; ad hanc reducitur;
aaa = 3bCa = = bbb -c6c. Radix, a = b - 6.
VII. Decima Cubicarum.
Sect. 4. Dr. 24.
aaa = 3b aa + 36ba = - bbb = CC5.
Desumpto a F b = = c, reducitur ad hanc;
ac a + 3b0a = - b0b +60c. Radix, a = b - 5.
Sect. A. PT. 16.
b+
Obi noces; Harum Secundam, Tertiam, e Sextam; caldem este ac Guartam,
Ouintam, et Seprimam; nisi quod Radicum signa tunc contraria; de aequationum
Signa locis paribus (Snon detine) mutantur.
Idemque post obserres in Nona e Duodecima; item in Decima de Decimaterria;
Pariterque in Ondecima S Decimaquarra; ee ubicunque timiles occurrunt calus.
VIIT. Ondecima Cubicarum;
aa a - 3b aa. + 3Bba = + BBB +656.
RetumpCO a -B = c; ad hanc reducitur;
aa a -- 3bca = = bbB Radlix, a. = f B. Fc.
+c66. Sect. 4. Pr. 15.
NNE

## Folio 160 — 851708439:0184
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000184.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
A L. G F B R A. C aP. 2 111.
Sect. 4. Pr. 17.
AUFHanC aa B - 36ba = 2066. Radix, a = 2.B.
EX. Sccunca Biguadraticarum ( quam viceas tuo loco;)
a aaa =- baa a + bc a a - bc 44 = = B5df.
Caaa F ba aa = bcFa
auda +cad a + bdFa
faca- bfa a = cdfa
CFaa
et 1b1b
Potito B F c. = a = f; ad hanc reducitur.
aa. d bb44 + bb6. d = = bbc d Raclices; F b, + 6, F an c (b10- 13
cCaa  bBda = bcc d
ddaa = bcca = bcd d
BCaa  ccda
b aaabcclb
+2bc d a
-b - c - d.
Sect. 4. Dr. 25.
b d a a = b d d a
bc +ba +ca
b +c + a
X. Fadem; polico f b0 = b d + cd = + bf + 0f  df; adeoque
=f: ad hanc reducitur:
Radices, = B, 10, F an 
bd-
aaaa - bbaaa F BBCCa = F BBCCd.
adaatccdda = bcCdd
oenaa +bcd d a
Ccaaa = bb dda = bbCdd
b +c +d
(D1d- 1)
bdaaat bccda b +c + d decti +. Pr. 26.
b. + c- + d
Cdaaa + bbcda
Proceltis ratio, haec est. Cum Aquatio exposica, LI,
aa a a = ba a a = bc a a = bc d a = F DC a5.
Caaa - baaa- 66) a
daaa + cda a = bdf a
saaa baaFCd) a
CFaa
eu
Polito bc F Ba. = cd = Bf. F cf. F a5, unde cerminus certius destruitur; haec ma-
net;
aa aa = ba a a - bc d a = = bc 4).
=C a a a  bCFa
aaaa = b dfa
Faaa + cdFa
Tum,
dil

## Folio 161 — 851708439:0185
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000185.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
P
(010-
1b2t
6
LL L  L D L a.
Lid . Llc2.
c = ba 1Ca
Lum PIOPICE
oritur.
b +c + a
Fitubibieale ubutitles seddeate talcteu ilat
 BCaca = bCCa a
LBdaaa = bbc d a
Fcdaaa = bb dda
B +c F a = bc d d a
+ BCCda
Fb0d da
+c6d da
b + 6 F d
= BBCad
Lbccdd.
b +c. = a
Hoc est (reductis baa a caaa, d a a  bc dan ad communem denominatorem
b +6 =a)
aaa = Baaa = bC d a = = Bbcc d
C a aa
adud dobCa
FbbCd a
aa  a = BBa_ a = BBC a a = = bbcc d
Bd
b064
= bbcdd
=b0dd + bccd d.
F bbcc
FbbCa
FBCC.
 bbca
F bbd a
FbCd d
F BCCa
F bCad
FC6d d
6 6 a
bc
Acquecum cancem, deleris quae le mucuo desruune.
aa aa == bb a a a F bBCCa = = BbCC d
= bbca d
F bccd = bccd d.
L BBCd
BBda
bcda
ecad
 C = d
Similigue procettu uritur in aliis reductionibus, uc tert occatio. Verum ego il.
lis particularim sepecendis (ne nimius sim) abistinco: Lectori permiiens ut id
apud PCarriotum quaerat, aut Cua lagacitate exquirat.
XI. Fadem aequatio; polito bc d = bc f F b af. + ca5; adeoque
ad hare reducitur,
aaaa = BBCaLa = bbCC a4 = = bBCCdd.
= bbad
+66dd
+ bcdd
bcd
bc + batca
bbd
ebcd
= bCCd
+ bbcd
Bc + Ba. + cd
Racticed, F 6, + l  En c
( 5)vc +Bd FCa
Sect. 4. DF. 2.7.
21L. t

## Folio 162 — 851708439:0186
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000186.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 78 lines, status machine
2
XII. Biquadratiearum Terciam
aaaa = baaa = bc a a = bc d a = = b5a5.
Fcaaa: = bda a -- bcf a
Ydaaa = cd a a = b dFa
Faaa -- bfa a - cdF a
essaa
aa 2 a - bb a a - bbCa = = bbc d
bbd
CCa
dd
cd. d
26c d
AE CF B R A. CaP. XXXIX.
POLito B F c F a = = f; ad hanc reducitur,
LBCCa
Radices, - 3, -c,
b0c + b0dd.
dus e
b+ c + d = +s.
ielb. 4. PL. 26.
XIII. L. adtem squaio; Polico Bc. + B a + cd = v f. + cf. + as; adleoque
6c. + ba + 5d
b =c. = dSi ad hanc reducitur;
aa aa = BBaaa = BbCCa = = Bbc0d Radices; = B, - c, - d, e
66.
=bba4 = bbCa a bc + bd F cd
+dd - ccdd + bccdd. B +. c + d
=bc
+bd
= bcdd
= bccd
FCd - bbc d
3+ c + d
Scct. 4. pr. 29.
Bcd
XIV. Eadem Aquatio; Bosico BC d = b5F + B a f. + 5 ds, adteoqe vc + bd.  cd
=f; ad hanc reducitur:
aa aa + Bbcaaa = bBcCa4 = = BbCCdd.
+ bBd = bbad
+bcC = ccdd
Lccd
 et et
+ bcdd
66be
obei
=cad
 2bca
db1da F6d
Radices, - B, - c, - d, 8
L bCd
Be + bd FCa
Sect. 4. Pr. 30.
aaaa = baaa F Bcaa = bc d a = = bc af.
Caaa bdaa  BCFa
daaa- cdaa- bdfa
Faa a bfaa- cd5a
cfaa
dfaa
Polico b. +c = a + 5; adeoque B + c - a = s; ad hianc redueitur;
aaaa + bd aa. = BBCa = = BBCd
Lcd
LBcc
= bcCd
Fcdd
=b0
c0
da
bda
e
=bbd
b b a
et
+bCaa
Racices; F b, f c,- d e
-c  a
Sect. 4. Pr. 31.
lo ilar.

## Folio 163 — 851708439:0187
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000187.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 85 lines, status machine
se
adeo
d.
Bet
da
+)
XVI. Factem; polito b0 F af = b d Fca F 6f Fcf; adeoque b6- b a G4
=25 +cf - as; et
bd cd
c - d
=5; ad hanc reducitur;
Cap. XXXIX. A E C E B R A.
aaaa = BBaaa = BBCCa = = BBCCd
b
 bbaa
LBCad
F66dd
bbcd
c
=bccd
d
= bbcad
= BcCd d
Radices; F B, = c,
d
Db Da-6a
c- d  7
Scct. 4. PI. 32.
XVII. Tadem; volico as-cs - Vs - bc - b d -cd; adeo que Bc bd cd
ad nave reducicur;
aaaa = BBaaa = BBCCa = = BBCd4
-b0
L66
Bbad = bccdd
obul
1-c - b
esO
is
d
cc dd
ODca
Racicco; = B, = C, = d, 8
=d6 F 6a -=c d
06bd
ei
6
et
oecl. 4. Pr. 33.
XVIIT. Eadem; polico bc d+BCF -bdFcas; adeoque bed -bas t cas -Bes.
bcd
B d F Ca - Be =s; ad hanc reducitur,
aaa a = bBCa a4 - bbCC4a = - bbCCd d.
1- BCC
FBad
Cdd
-Bba
-ccd
-2bc d
=-bbdd
=Bcad
=cc dd
= BBCa
= bccd
Bd =ca - bc
Radiced; = 6, 467 = an 
bcd
XIX. Fadem; potitis cum B + 0 = a F f; cum BB = Bc + 5c = a5; ad hanc
reducitur,
aaa - bbb a = - bbbc
Radices; = b, + 6, e
= bbc - bbc6
-b66 bCC6
6c0
b c+ Y:  36b- 2b6- 36c:
Sect. 4. Pr. 35.
Imaginarix radices (aa. =. B a = - Bb
- b- c- Y. 360- 2bc- 300: 1
hujus aequationis, vic.  +6a = bc
66
XX. Fadtem; posicis cum Bc + df = bd = cd F bf + cs; tum a. + 5. -
bb6 = BcC
Bb. = bc +65 reducitur ad hanc;
AAAa
bd + cd - b
Sect. 4. Pr. 34.

## Folio 164 — 851708439:0188
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000188.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
A L G F B R A. C ap. XXXIZ.
ib = DDbaa a == = bbbCCC. Radices; f b, +c, et bina radices
:. bb F bc FCC
BujuS aQuatiOnIS aa Y bbca = bb06
Sect. 4. pr. 36.
Fb0C
bb F Bc = CC,
XXI. Cacdem; posiris cum B. + c = d. + f, tum 30 = ds; redtucitur ad hanc;
aa a a - bba a = - bbC5: Radices; F B, + 6, = b, = 6.
60
Sect. 4. pr. 37.
In cribus trio postremis exemplis, nocat editor Warnerus, deeste aliquid in
Parrioti aurographo; cujus camen ipse restitutionem non elt apgrestus, sed sic
edidir uc ibidem comparebat. Prat aurem ea, in sinsulis, posterioris limicatio.
nis omiltio, (quae, puco, cranseribendo exciderat;) quam itaque ad LTarriosi men-
tem restituo.
Exempla haec Fharriotus Futius exponit; quae ego in compendium redesi.
Pluraque poruisset ipse (aut porerie guispiam) limili proceltu extribere; quo-
rum haec sune specimina. Et sinili Fundamine nicuntur Luddenii, Merrii, et
aliorum regulae pro dissolrendis compolicis squacionibus.
FTis expolicis; subjungicur harum Siquationum Canonicarum Reductitiarum
(hoc caxire tradicarum) Recollectio. (Tuam CBO nOn repeto.) Irem Collectio.
nes aliae quae hic seguuntur.
Collectio Aquationum aliquarum Camontearum cum rali disposiione ut de
Paeiti appareat Generacio aliorum sublimiorum gractuum.
F BC == = b a = a a.
pc
cc
+ bbc = 0du = a a a.
 bcc + bca
F6Ca
LbbCC
L BbCa
+bccc = BCCa
+ bbdc- obdunu
FCCCa
1VVobC  bboba
+ 800bC = = BBBBa = aa a a.
+ bbccC = bbcca
+60066 + bc6ca
Ec cadem in intinicum methodo.
+ bbc6. = = bba d = d d a.
FbcAa
FCCaa
FC
Fc
LBbbCC:
+bb6cc
+c
LBBBaA = a c to .
+BcCaa
toccaa
= bbcaa
tC
= 3bbbCC

## Folio 165 — 851708439:0189
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000189.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
est
c
redes.
YIIIaIE
ollatio
1C;
Varii
re
10
+ bb6666
+c
F BBBBCC = = bbbbaa = a aaa a.
 bCCCaa
F CCCCaa
b +c
Ft eadem in intinitum mechodo.
= BbBCCC = = bbbaAa = a a a aa.
6b + Bc F cC = bbcaaa
L BCCaaa
FCCCa4a
bb + bc F cC
+b60066.6 = + bbbbaa a = aa aaa.
FbbbCCCC = bbbCaaa
bb + bc =66
 bbCCaaa
F BCCC444
FCCCCaa a
bb = Bc + 6C
Et sic de exceris eddem in intinicum mechodo.
=BbbBCCCC = = BBBBAAAA = BAAQ~.
1bb + bbc. + bcc + cec = BbBCa a a
LBbCCA a4a
+bcCCaa a a
LCCECAAaa
vbb + bbc + bcc Hcec
Et Sic de exeteris eadem in infinitum methodo.
Alia Collectio et Peries Canonicarum.
= Bca = + Bca - baa + aa a.
+bda- caa
Fcda= daa
+ bbCa = (0bca - bb a a. + a a 4a.
cbca =Bba a = CCAa
ab0d +ccba- adaa
C6da -- bc a a
a aba - b d aa
Fadca- cdaa
+2bcda
F66062 = + bbcca = bbaa a = aB AA
+ babed bbdda = ccaaa
+64b6d +ccdda - adaaa
b+b+
= bb6da = b6 a a a
= Cbcd a = b d a aa
abccda cdaaa
b +c + a b +c F d
=b5abca = = bbCCaa = B bCa a a = a 4 4a.
bc + bd F Cd
+bbddaa -- bb daa a
CCdd a a =- Cc b a a a
 BbC4aa - CC da aa
=cbcdaa - aabaaa
ab5daa - adc a a a
Bc fbd + cd 2bCdaaa
b5 + ba + cd
Cap. XXIR. A L GF B R A.
F Bb6666 + bbbca a
+ BbcbCa

## Folio 166 — 851708439:0190
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000190.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
E C 
B R A.
=bbCbC a = = bbbCCa = BbB a aa = a a a a 4.
F bbabcd
FCcbbCd
cCabcd
 a2bbcd
ddcbca
F 2 bCdbcc
b + c + d
 bbbada = C66 4 a a
FCCcbba = addaaa
 bbbcda = bbc a a a
+cccd d a - bb d a a a
-cc0b da = cc b a a a
dd dbba-ccda44
addcca
b
aa
addbca- ddcaaa
F 2 bcb cba = bc d a a a
= 2b abeba
=2b abcda
b+c +
c + d
a
C A P. XI.
DeFTarrioti Sectione quarta: Deque numero
Radicum Realium.
NSectione quarta, de Radicibus Affirmarivis speciarim agitur: Ibique de
monstrat arriotus, in plerisque omnibus casibus jam memoratis, toc e tales
Me Radices (assirmativas incellise) quor ante declaratum est.
Ouodque de Astirmatiris oltensum est, de Negatiris pariter ostendetur. Ouippe
mutatis lionis (ut supra ostensum est) qua jam lunc Nesatirae, cum tiene Altirma-
tirae; adeoque quoc cum fucurx funt Affirmatirae, tocidem ee tales jam lunt Nega-
cira. Indeque constabie, quoc tunc omnino Reales; e cOnlEgUENtEE, quOT LunE
tancum Imaginaria.
In Canonieis Primariis; id ex ipsa Constructione constat: Caltem, eas esse Ra-
dices; quamvis non eam liquet (absque demonstratione) non plures este. De Se-
cundariis Canonicis, id ex ejus demonstratione Hc eridens.
Demonstrationes ejus, pro lingulis calibus, (quamvis Tubtiles Patis) non omnes
repetam. Ratus utique susticere, quod ad aequationes supra memoratas (plerasque
Taltem) ad oram cicarerim eam sectionis quartae propolitionem, ubi demonstran-
tur Radices illa. Ouas Lector, si libet contulat. Paucas camen, uc reliquarum
Demonstracionum specimen, hic Tubjunsam.
T. AEguatio hujus Forma,
radicem habet a == b.
 b lb nn b6d
Nam, potito ubique B pro a; lixec prodibie, 6b -bb
in qua aequalicas est manitesta.
+cb = bc.
Sed non alia quaevis (affirmativa.) Nam A C, (aucalia quaevis, puta d.) proa
substimuatue; habebitur,
Cc = bc
=F Cc = Bc.
 Ca =60
HIOC  cc + c0 = bc. = BC. auc dd. L cd = B d LBC.
Adcoque (dividendo illam per c. + C, aue hanc per a. H 5,) 5. = B, aut d = b.
Nimirum, c. +6 = c +c
in c. In b.
vel a +c = d +c
in d. in b.
Adeoque c = b. _t a = b. non aliaa b ve supponitur.
auE ad - bd
TI. Aqua-

## Folio 167 — 851708439:0191
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000191.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
quC de
de rale
Ouist
AII
101
De
A9
Cap. XL.
II. Aquationis hujus Forma,
Radices Tunt B, _C6, = a
Nam substicuta utraris pro an habebitur,
BB = bb
= b0 = - bc
bum = b6.
auE C6 - 0b
c0 = - b6.
HOC Cst bB - bC = b6 - BC. AUE CC -BC =C5 - BC.
Obi aequatio est manifesta.
Sed non alia quaeris, puta d: quia
cum, potico a pro an prodibie
dd - bd
=cd = - bc.
HIoe est, d d = c d = b d -- B6. Aut a d - B d = c d - BC.
HOc Cst d = c = d = c AVE d --b = a - B
in d. in b.
in d. In c.
Adeoque a = b: aut d = c. Non ab iptis radix direrta.
TII. In hac Forma Radlix
Castirmatira) est d = a.
aaa = ba a = bca = = bc d.
Fcaa -- b d a
aaa  cda
Nam (posiro ubiris d Proa) ad a + ba d + b0d = + vcd.
prodibit
Cad - bad
add-c dd
HToc est (deletis quae Ei mutuo destruunt) b6d = bc d.
Sed non rel b, vel c, Ouippetum
bbb + b0B + BcB = + Bca. ccc + B00 + BCc = = BCd.
= cbB = bab
= abb = cab
= c66 = bdc
d6c - cd6
HOc ett 2bbB + 2c30 =2 abb +2bc4. 2005. + 2b50 = 200 a + 2.bc d.
Hoc est 2bb + 2.b. c = 2 bb + 2.bc. 20c + 2bc =200 + 2. Bc
in
in
in
Adeoque b = d. EF C = d. Non radix diver (a.
in
Sed nec alia quaeris; pucae eec + Bec + bcC = BCd.
Ouippecum
+6CC = bde
dec -cde
Hoc ot, cec + bec +0ec + b00 = eed + be d + cea + Bcd.
HHoc est, ec fbc. +6e + b0 = ec + bc Fcc = bc.
in
3
Adeoque e = a: non radix direrta.
IV. In hac Forma,
aaa Fbaa =- bCa = = = bcd.
Caa = bda
daa +cda
A E G E B R A.
dd-ba
Radices Cunt c e a. Onippe, Dolita utraris pro a, ex deletis quae le mutuo deltru-
une, aqualitas est manitecta.
ecC

## Folio 168 — 851708439:0192
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000192.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
L aL bL A.
dt . 2L12.
a a a bdd - bc d = -- bc d.
=cdd -- b ad
adaCaa
6b6. = bCC = bC6 = - bc d.
56C -- b dc
d0c + cdc
Non autem B, aut alia quaeris, ut c. Onippe cum
bbb. F bbb = bcb = - bcd. eec + bCc = bcC = = bc d.
cec - bde
dec +cde
EOC ClE 2bbb -2bba = 2cbb -2cbd. Adeoque b =c.
AE 2bbb-2bb0 =2abb -2abc. Adeoque b = d.
Trem ccc +bee= dec -bde = c ec = cb0 = 6 de - cb d. FL C = c.
AU eec + bee = ceC = cb0 = dec + ab c - dc c - dcb. Ft e = a.
V In hac Forina
aa a - b a a = bc a = = bc d.
caa + b d a
=da a + c d a
Padices sume b, c, et d. Ouippe harum quaris potica PrO ay aequalicaS exiE Ma.
nitelta.
Sed non alia quaeris, puta f: Ouippe cum similiter reperietur;
ssF = cs5 + caf - a5f = bff - bcf + BCd = bas. EL f = b.
Ve fff - bf5 + bas - aff = cf5 - cbf + cb d - cdf. ELf = c.
Vel fff - bff + bcf - cfF = aFf - abf + abc = acf. FLF = d.
Adeoque f non est diverta radix ab b, c, e d.
Similemque methodum fule prolequitur (per totam illam Sectionem quartam,)
oltendens Radices AHirmatiras, eas else, e non alias, in magna siquationum ra-
rietace, cocidem distinetis propolicionibus; prour eas ance cicarimus luis locis.
666 - 6ab
a00+cdb
AP. XL T.
DeHarriori Sectana Lumu  Aiquatio
cedic Farriorus Sectione Dunta, ad A. quationes quas rocat Communes.
In ca nempe torma consiutas qua losent ulu communi occurrere Aquatio
diltincta comparene, led simul omnia in uno AgGresatO contula
nibus Communibus.
nes: in quibus Membra quX nOtaS quantitates contieMBE non Cuc in Canonicis)
Otquam s quationes quas vocat Camonicas Sc Ctatuerat ut dictum cAt: PFO.
Docetque, (Communes cas cum Canonicis rie lelectis comparando) quomodo
in illis Radicum numerum determinemus; Ouorque ex illis Reales sunE, d quor
Imasinaria; Duor irem ACirmatirx de quoc Negatira.
In hunc idetu, hoc lupponie tundamentum: Oxlibet A quario communis tOF
licer alsecta, et rite conditionata.
Rire condicionatam rocac, quando ita se habent omnes partes cosa, (hoc ett,
Coelticientes omnes, et Absoluta quanticas,) debla Comparatae, (hoc est, dirita
qualibet per cum numerum qui est numerus membrolc in respectira parte Cano-
niex; atque tum ad talem sracum promora ut ueraque abeat cundem dimensionum
nUmerum;) PartES ((ic PrOmOTE de mutuo comparac) linr respectire vel aequa
les, vel majores, vel minores, in una atque i aliela Aquarione.
habet racies ce lattat alleclas, cl respectira Canonica imilier graduata, Limi-
Eloc

## Folio 169 — 851708439:0193
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000193.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
CxIC M
quaria
onum
locis.
P.91
101
Cap. XI
L F. C F B R A.
Hoc quo melius incellisacur; considerandum est, quod Ouantitales quae sunt in-
ter se vel Addendae rel Subducenda, vel uccunque secundum aequalitatem aut in-
aequalitarem comparandae, FTomogeneas esse supponendum est. Ouod esse non po-
teltus nili idem sic dimentionum numerus in unoquoque membro: (Si Numeros
faltem excipias; quorum quilibet supponi pocelt cot dimensionum quor quisque
volct. )
Adeoque, rerbi gracia, in Aiguarione Cubica,
aaa = b a a = Cc a = a d d = 000.
Cummembrum quodque Fres habeat dimentiones: In termino secundo Cutii a a
dnas dimentiones occupat) Coefticiens b habebit Onicam: In termino terrio (ubi
radieis a dimentio est unica) Coetticiens c0 (tire unica sive Binis liceris nocata
perinde est,) repucanda elt duarum dimentionum: Et absoluta quaneiras d a d
(ubi radieis a nulla est dimentio) reputanda est dieNSIONLIM CTIIIM; nuM verO
una, duabus, aut eribus liceris (aut etiam pluribus) nocetur perinde est.
Et consequenter, ipsins cc radix quadrariea, iphusque d a d radix Cubiea, eum
ipsa b quancirare conterendae lunt; cum b tic unius dimentionis; cc duarum, e
d dderium dimentionum.
Verum E contingar radices illas (quadraticam, cubicamre) Surdas esse: colta-
tio ea commodius tiet in carum Poceltaribus ad aequalem dimentionum numerum
promotis. Puta; iptius ee Cubus (hocest, 000600,) cum iplius a d a quadrato
(addddd,) ipliusque b gradtu sexro (bbbb bb) conterendus eric. Ouippe jam
(ab sque Radicum extractione) idem habebitur in omnibus dimensionum numerus.
TTinc est quod LTarriorus (quamris id non Er necestarium,) quo res cridentior
compareat, ior liceris Leleat quancitacem quamliber designare, quor habet illa di.
mentiones.
Fxempla hac habet.
T. In A quatione communi, aaa = 3bba = = 2cc6.
Dirita. Coelticiente per 3, ec Abloluta quantitate per 2, (quia toc membrorum
Tunt Coefticiens ee Absolura quancitas Aiquationis Canoniea cum qua compara-
EUT;) Si c lit major quam b: Onicam esse oltendir radicem AHIrmatiram (praeter
duas Imaginarias Negatiras, quas hic nesligit, ut in casibus irem sequentibus;
quae duae lmasinariae simul sumpeae, supponuncur unam illam ACtirmatiram aequa.
re, indeque destrui terminum secundum.)
Ouoniam Sic est in Canonica,
aa a- 3r9a = + rrr. + 999.
Ouxe est aequationum Reducticiarum Octara; d Cubiearum Ondecima dexiraca
Nam, praeterquam quod lit similiter Craduata, ee similiter Affecta, (upote
quae in singulis respectire parribus, cundem habet radicis a gradum; Timiliaque
respectire signa f =,) quod parec: cM irem rire condicionata. Ouod lic osten-
dicur.
Si Caibus iplius rq (quae estcertia pars Coelticientis in hac aequatione Canoni-
ca et duarum dimensionum) conseratur eum Duadrato iptius r r Y F. 292
C qui
est semiltis quanticatis absolurae, de dimensionum trium;) Cubus ille est hoc Oua.
drato minor: (Ouod ibidem ille demonstrat, sed CsO nOn repetO.)
Acque ica est in exposita aequatione Communi. Duippe cum b sIC (ex hypo-
chesi) minor quam e; Cubus iptius bb (5 Coefficientis) minor eric quam Oua-
deatum ip(iuS CEC (= absolurae quanciratis;) hoc et, b b b b bb MInOF quaMC55C66.
TI. Fadem, quoad formam, aequatio si ita
conditionata (E, ut C sic minor quam b: V.
nam habet radicem Aftirmatiram (praeter
a aa - 3bb a = = 2666.
Ayas reales Negatiras, quae simul sumpea sunt uni illi AAirmatirae aequales, unde
destruitur secundus terminus; sed quas hic negligit, et in sequentitus similiter.)
Ouoniam ica ett in Canonica, (similicer Pradtuaca et similiier attecta)
aan = 992 = + 997
a
+Grr.

## Folio 170 — 851708439:0194
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000194.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
AL C F B R A.
idf. 2211.
Oux et Aquacionum Reducticiarum Ouarra (a Ferria Cubicarum derirata.)
Oui Cubus ipsius 22 F gr = 11, mojor est quam Duadraum ipsuo 2 91 + qr2
(Ouod ibidem ille demonitrat:) Ommino ut, hie, Cubus iptus Bb (hoc csF Bbbbbb)
major quam (555005) Ouadracum ipsius 500. Proprer b ex hypochesi majo.
rem quam c.
TIT. Fadem, quoad Formam aequatio,
aa a - 3b b a =- 2bbb.
Si ita conditionata (ic, ut sit C ipsi b aequalis; Enicam habet ABirmaciram ra-
dicem, (praeter duas Negaciras aequales, quarum utraque aeguatur dimidio aftir.
macira, indeque destruitur secundus terminus.)
Ouoniam ita est in (Reductiriarum Octara, qua 2 Cubicarum Vndecima.
deriratur.)
a2- 3992 =2999
Oi cubus iptus 99, aequatur quadraco iptius 999.
NV. Communis Aquario
aa a = 3bb a = = 2. CC6.
A pracedencibus quond tormanu non alicer distere, quam quod Abtolura quan-
Titas, qui cE tErInUIS quartus, e (propier detectum secundi). Tolus qui in loco
par
cranc Attirmacirae, hic Tunc LlegaCIrR; quaeque Hic Negatirae, hic Cunt AA,
MacIVX.
Si ita conditionata sic, ue b sic major quam c: Duas habet radices AAtirma.
tiras (praeter unam Negatiram, Simul utrique aqualem; quaque in Casu secundo,
Fuerat AHurmatira.)
Ouoniam sic ett in (sccunca Reducticiarum, à Secunda Cuubicarum derirata.)
a
9qu=
Oi cubus iptius 22 FQ F, major elt quam Ouadratum iptius 221 F91
(quoe ibidem. demonstrat ille;) Prouc hic est (ex hypocheti) Cubus iptius bV
major quadrato iptins cCC.
Similirer ostendetur; Si (in eadem FOrma) B SIF ipLC aequalis; radiceS CFUIME
duxe altirmatirae aequales, quae simul aequent unam negativam; prout, in cau
Perrio, duae negatirae inricem aequales, simul aequabunc unam AHirmariram.
Ouippe quae hic sine actirmatira, illic crant negatira: e vice verla.
Si autem b sic minor quam c: nulla erit radix AHirmativa realis; sed una
Nexatira (quae casu II, tuerat altirmatira,) duabus simul Imaginariis AAirma.
rivis aequalis; unde secundus terminus destruitur.
Y. Communis Aequatio,
aaa - 3b aa + 3cc a = + d ad.
Si b sit major quam c, e major icem quam a: Fres habet radiees altirmacivas:
Ouia HC est in,
4aa + pra
raa Fg1i
aaa - paa + Pga = = pQr
lquae M Pria Cubleatum in aliis liceris.) Ob. Quadeatum ip ius L 
majus est quam Q F Pr + 4r; e cubus ejuldem P. t Q  major quam Pgr,
(quae demonstrat ille: ) Prout hie BB c majol quam 66; et Bbb major
quam d d d.
VL. Aualto

## Folio 171 — 851708439:0195
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000195.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
C1b
Racie
AIII
Cap. XL I.
VI. Aquatio Communis
a a a a = 4 8bb a = -- 36666.
Si B lit major quam c: Duas habet AAirmatiras (coridemque tmaginarias Ne.
Satiras; quae Simul ip(iS ACirmativis XGUANEI.)
Ouia lic est in Decima Nona Reduetitiarum,
(quae a quarta Biquadraricarum deriratur.)
Nam uttaque cum simiticer graduata est, cum
Similiter attecta uc patet: L. Aque (quod ibidem
a a 2a = 66ba = - bbbc
CCC
demonttrae) Biquaditrarum iplius  t bbe + bec + ccc majus quam Cubuo iplius
bbbc + bbcC = b566. (Ni Biquadracum quancicacis Frium dimentionum, et
Cabus quanciraris Ouatuor dimentionum; ita promorentur ue coridem habene
dimensiones; DFOPTeI 3X4 = 4 X 3 = 12.) Prout cA (ex hypochesi) in aequa
cione proxolica. Ouippe cum b sit major quam c; etiam Biquacracum ipsius
bbb, majus erit Cubo ipsius c000; hoc est B12 quam c12.
Fodem modo, in quacunque Aquatione Communi, Ei cum Canoniea Timilicer
Sradtuata e similiter affecta comparetur, quae similiter Conditionata sit quoad
Majoritatem, Minoritarem, aue  qualicarem partium cognitarum lic uc dictum est
comparatarum; hinc comparebis, quor es qualiter aftectas radices reales liabet.
Priusquam aurem hrine discedam; contiderandum porro erie, Ouod, cum nu-
merus Radicum (aut Realium aut Imaginariarum) ex numero Dimentionum in
Supremo termino determinetur (ue jam supra ostensum cst:) Ouoc ex illis lint
Altirmacira, es quot Negacira, (dun
latione cum Canonica limiliter Graduata e similicer Afecta.
Nam Aquationes omnes, similiter Graduatae de similiter attectae, praesumuntur
toridem radices AAirmatiras, es cocidem Nesaciras, habere; donec quid in con-
trarium appareat.
Reperietur aurem. (inspectis variis Formis lupra tradicis) quod (Aiquationis
terminis omnibus ad unam partem rerocaris, ut nihilo aequentur, ibique ordinc
naturali secundum numerum dimensionum radieis in quoque cermino dispolitis,)
quocies, in ordine signorum, F = transitur ab + in -, aut ab - in f; tOC
esse Radices ACirmariras: Quocies autem ab f in  cranlitur, aut ab- in-
tor este Radiees Negatiras: Incellise, si loci omnes compleantur, rel ita Caltem
numerentur ac s complerentur. Quocies aurem urumris tiatu ipso conspectu
Patis liguet.
Sed Regula haec, cum hac salcem Cautione incelligenda est; Dummodo Radi.
ces illae sunt Reales omnes, non Zmaeinariae tantum. Nam de Radicibus Ima-
einariis ductis, res adhuc elt in incertO.
Ouoc autem Reales Lune,  quor Imaginaria, ex illa altera in LCarriori re
outa limicacione; nimirum, quod A.quariones comparatae line rite conditionata,
secundlum Majoricarem, Mimoricarem, auc Aqualicatem partium coegnicarum, inter
Se sic ut dictum est collatarum.
De horum priore, Cartesium consentientem hrabenns, (sed absque C’autione
illa perperam omissa, quam incerponere debuistet:) De polteriore ( si bene me.
mini) plane silet.
Fx tis contiderationibus, rarixe deduci possint Regulae, pro limitandis A qua
tionibus; sive quoad radices Reales, sive quoad ACirmatiras.
Aliguid hac in re praesticit Prasmus Barcholinus, parrim ex luie varrim ex
D. de Beanne obserrationibus. Ellque res ea plurium adhue accessionum capax.
Sed lonsum opus ellet, et nimia foret digrestio, S id hic aggrederer.
Sed Cautionem illam quod spectat (uc ad radices Reales limitetur Regula;
certum estu vel eam, vel ejus loco aliam interponendam cste; sccus enim Falset
Regula.
Cum itaque Cartesius in Geometria Lua, (a Tola Forsan inspectione catuum
ab FTarrioto enumeratorum, absque ulteriori examine,) hanc (sine limitatione)
habet regulam (lib. 3. D.) vimirum, Fot in Onaquaque aequatione haberi posse
radices veras (hoc est, altirmatiras) quol variationes reperiuntir sienorum + 
A L G F B R A.
bbca
bcca
bb0
BcCC.

## Folio 172 — 851708439:0196
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000196.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
E.
F B R 
iena =, ver duo siena -, quae se invicem sequamtut. Ommino crracum elt.
Onde Schodienius (ad cum Jocum) solal manlan esse regutam ad eas aequa-
Cap. ABII.
rem limicanda Bulo, quae raclices omnes pabla reulbou bit, naattao latt.
tm.
Ouod quo manisestum fiac, hanc Expono aquationem,
2t + 643 F TZF ∞ F 7993 X = 35878 =0.
ductam in ~ = +8 =0.
quae Pacie 23 = 12 ~2 + 3 43 - 5 ~ r F 4.5 - 645804 = 0.
Prima harum, per eam regulam, Quatuor haberet radices Pegatiras; Secunca,
unam Afirmaniram; adeoque Terria (ex binis illis composita) haberet, unam
Attirmaciram, et quatuor Negatiras. Sed d, per eandem regulam, hae quinque
Forent ACirmacirae omnes; (quia cocidem lune cransitus a f in -, et a - in F.)
Regula igitur erac Limitanda.
Sed, lic limicata, nondum viceo quin vera sic. Sed Demontlrarione in.
diset.
 Loi faisas (hoc est, negariras) quot vieibus ibidem deprehenduntur duo
tiones quae producuntur ex suis radicibus in se invicem ductis. F80 ac cas Cal
Ci A P. XLII.
De Parriori sectione sexta; Nique de Mulsiplicandis
es Dividendis radicibus ienotis: adeoque de
 Radicis nondum cognitae mutari postit ralor (mulciplicando auc diridendo)
L in quacunque ratione. Ouent _ in hoc lequituT Cartesius.
Dico, multipheando aut dividendo: uamis enim solam Mulciplicationem di-
serte nominet; utramque tamen incendic: quoniam idem est Diridere Per 3,
et Mulciplicare per 3: Sicue idem est. Suberahere 3, _ Addere - 3.
Et similiter Fuchdes, Racionum Compositionem explicat, non autem carun-
dem Divisionem aut (ut loquuntur alii) Diminutionem aut Subductionem:
Duoniam ex ratione expolica, puca = seu a ad B, F. ximere rationem c ad d, tan.
rundem est ac Componere cum ratione d ad c.
Fractis Surdisque vitandis.
rEctione Sexta (quae est primae partis ulcima) Ostendit (primo) Ouomodo
Parriori mechodus hac in re, Exemplis melius parebit.
Sit expolica aequario aa = Ba = c0.
TIOC clb 2) +0  tC
Si mulciplicanda sid usus kadix per 2: Musciplicat  LGulos tujus ter-
minos per tor respectire numeros continue proporrionaleo i Propolta ratIONE
AE

## Folio 173 — 851708439:0197
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000197.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
∞1
Candl
10
uomu
viden
Cap. XL II.
A L G F B R A.
Cum vero hac mulciplicatione destruitur aequalitas; candem
relticuic, concraria mulciplicatione per eoldem numerOS, in-
verso ordine.
Ouippe jam LXZX4 = 2 42 = 4 XL XT. Adeoque partes sineula in racione qua
PrimItus.
Tum, sumpta nora radice, e = 2a; adeoque +] 3
4) Hloc est
ee =4aa; nora prodii aequatio; in qua radix e 1 + b = c0. ec + 2. b0 = 4 cc.
est dupla radicis a.
Similicer pro criplicanda radice Aquationis Cubier.
aua +baa + 50a = d ad. HOc cst. B  d
Adeoque 1) +2 + 58 = d d d.
a a a a a
a
FL F)
2 = 3 + cc) = ddd.
auaos ac
POFLOquE e = Za CC == OAA, CCC =27 a a a
2 L 3 +00) = aud. HoC est, eec + 3bec + oCCC = 27 dad.
ee el eel et
Idem Faciendum erit in alia quaris AEquatione, per quemeunque numerum
Mulciplicanda tuerir radix; puca per Y, Tumpris cOE numeris quot opus exit in
COnEINUa propOrtiORE L ad Y.
Puta, aaaa + baaa = ccaa = add a = ffFF.
Hoc est, 2) + 3; + c0; + ada - 555s.
aaa a aaa aa
Fr8O
FI r) prI
ge qeg qua
+ + 3+60 + ad a -5555.
aaaa aa a aa
EE
2) r) rri
reri
2 + B +c6, = a d d = f5sf.
aa a a aaa a a
rererer er
Adeoque (POLIO e =ray Ce =rraa eeC =rrraLa ec.)
F
et ret rer rerr
2l+ d +C0, + adas - s(ss. Hoc C aece trbece + mecec + v a, o- ps.
ecceece ce
Obi e ad a est ut r ad 1.
Hoc eso cum explicite declarandum centui, ut procestiis ratio paleat. Ouae
aurem inde oritur Regula, hac elt.
Mulciplicetur quilibet respectire cerminus aequationis (incipiendo a Radicis
Gradu Supremo) per seriem continue proportionalium ab F orsam, in ratione
imperaca: Ex provenientis siquacionis radia, eam habebis rationem ad radicem
expolica aequationis.
Hoc aurem arciticium (quamris alias veile FC) excogicarie Tlarriorus, pro
amorendis aue praecavendis numeris Fractis Surditre; qui vel jam fune, vel
Fuboriruri Forent, nisi tali remedio CaVCTetT.
Eungue

## Folio 174 — 851708439:0198
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000198.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
A F. G F B R A.
(Fanique hac M re, sed Tubobseure, sequitur Cartesins.)
Verbi gratia; S Occurrat aequatio
Oux rite dispolita, haec erit
Sed, quo fractiones ritentur, mulciplico terminos
; Tubtticuo que Cut commodius) e P1O an
Gecque
Ohi valores iptius e dupti erunt ralorum a. Fisque invencis, corum seniltes e.
runt radices a quaelica.
Sa, PrO
HIOC Cst pro
aa a F a a V 3 = 28V 3.
aaa + a a V 3 +04 = 23V 3.
Mulciplico cerminos respectire per I, V 3, 3, 3V 3, ec.
tlabeoque
eec +3e0 +00 =20.
Ec in aliis similiter.
Ci A P. XLIII.
De Aaditione  Subductione radicibus lenotis facien-
da; adeoque auserendo secundo termino.
Ocet proxime; Radicum adhuc incognitarum ralores Augere auE Minue.
re, Addica rel Subducta data quantitate.
Et consequenter (si id opus Sit) Negatiras (vel aliquas vel omnes)
Acirmatiras reddere; aut Astirmatiras reddere Negatiras.
Sed Radices Imaginarixe, neque per Mulciplicationem aue Divisionem (ut in
Capice praecedente,) neque per Addirionem aut Subductionem Cut in hoc capite)
tient Rcales.
Ft vice rersa; quamris AFirmatirae in Negatiras, aut hae in illas, mutari pol-
sune; (adeendo scilicet aut Tubducendo, sed non mulciplicando aut diridendo:)
Realestamen, sire AFirmatirae sire Negatira, neurro modo tient Imaginaria.
Hloc Artiticium (quamris e alias usui (IL) in hunc praecipue tinem introduxit
Fharriotus, ue terminorum intermediorum unus aue plures tollantur, (praeserrim
Secundus:) auc etiam (si id requiratur) lupplCantur.
(Onem _ hac etiam parte sequitur Cartestus.)
Exempla (quibus res melius incelligatur, quam praeceptis,) haec extribet FLarriotus:
I. In Aquarione,
a a a -- 3b a a =- + C66.
Si valorem radicis aminutum velit (verbi gratia) magnitudine B (tercia parte Co.
efficientis;) aut aliam substituere racicem e = a -- b:
Ponit
c+ B= a.
Et consequenter ee + 2b c + Bb = a a.
Et. eec + 3bec + 3bbc + bbb = 444.
Adeoque Aquationem ad hanc Formam redueics
eec + 3bec + 3bBC + B0B = + a4a 2 = = C66.
(36CC- 6bbc = 36bb = -364a
HOc est (deleris quae le muruo destruune, reliquisque rite ordinatis,)
eec = 36bc = +c00. + 2BbB.
Cujus Radix e = a -- b. Hoc est; Ouilibet ralos racteis en in hac aequatione,
aequar resrectirum ralorem a = b in praecedente.

## Folio 175 — 851708439:0199
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000199.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
mulleo
Facie
Minus
Jomen
oc Cot
icari
send
14
st
Cap. XLHII. AE C F BR A.
Vel ponit
- c + B = a.
Et ConSequenter  ee -2bc + 3B = a a.
Ft  - eec + 3b ec - 30be + bbb = a a 2.
Adeoque = eec + 30ec = 3bBC = bbb = + a aa 2
3bec. +66bc- 360b =- 3baa 5 = + 660.
Hoc C eec - 36bC = C66 - 2b6b.
Cujus radix e = = B = a.1
Ourni Aquarionem, si radicem ACtirmatiram Spectemus (de quibus hie agit)
impollibilem este octendic. Hoc C ( quamris Radicem Nexatiram habent) nullana
admiccit radicem AFirmatiram,
Verbi eracia; Eso a = 10, d b = 3.
Adeoque xquatio a - 3644 = + 666;
Eadem cum hac 1. a4a = 9a a =- f 200.
Posito jam a = c f B
Adeoque.
e = (a - b = a - 3 = +0 - 3 =)
A.quatio cec = 36b0 = +000 + 2b0b,
Erit eec = 270 = + 100 +54 = 754
Cujus radix c = + 7.
Sed, Potico a = - c = B,
Adeoque  = (B - a = 3 = +0 =) -
A. quario cec - 3060 = = c0c = 2 BVb,
HIoc Cst cec = 27C - = 100 = 754,
Radicem nullam habebic AAirmairam ( quod ibidem demonstrat ille;) sed, iptius
Joco, Negatiram, e=
Adeoque (hoc proceltu) mucacur radix Afirmacira an in Nexatiram seu Prira.
tivam e.
II. Aquario au a = 3baa = + c55.
POsito a = e - b,
Adeoque + ecc - 3bec + 3630 -30B = + a a a 2
+ 3bee=6bbc + 366b = + 366a5 = +666
FIt, eec = 3bbe = +566 -266b. Cujus ractix e = a. +. b.
TTL. Aguatio at = 3ba == - 66C,
Posito a =- b - e;
Ft conseguenter = cec + 5Bcc - 3bbC + 30B = + a a a 2 = = e5C
-3bec +66b0 = 3666 = - 3ba a 5
Fit eec = 3bb0 = + cc5 = 2bbb. Cujus radix e = b - a.
Vet, polico a = b. + c
11P19B
110B
AdCOque

## Folio 176 — 851708439:0200
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000200.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
A L C F B R A. C ap. XF III.
Adeoque ecc + 3Bec + 3Bbc = bbb = = a aa 3 = - sCC,
=3bec - 6bbc 366b = - 3b44
Fit eec -3bbe = = 000 + 2666. Cujus radix o = a - b.
Oux pocest esse AAirmatira aut Pegatira, prout a aue B major est: Vel SI X
aequalis, radix craneseit. (Idemque alibi incellisas, ubi tale quid occurrit.) Adeo
que, cum politionum altera protert Negatiram, proteret altera ACirmatiram. Car-
celius autem, dum hujusmodi binarum positionum alteram adhibet, reliquam (ut-
uc non minus urilem) neglisit; nusquam habet seinam. ib ai
IV. Aquatio aaa + 3ba a + 4d a = + 50C, 1  oii cp
Potito a = e - b,
y 31 301
Adeoque Fecc = 3beC = 3BbC = bbB = = a a a)
Fit
= 3bec = 6bbc = 3bbb = = 3baa  = = 6c6.
+ ade - dab = + d da
d ab
V. Aquatio a∞4 = 3b a a = d d a = - 565,
Adeoque -cec = 3bec = 3bb0 + bbb = = a aa)
=3bec + 6bbc - 3bbb = = 3baa = = - 566,
dde + ddb =  d d a
eee = 3bB0 = + c5c. Cujus radix e = b - a.
Vel Polito
adc - 2bbb
+d +b
a = e +b,
Adeoque + eec + 3bec + 3bb0 + bbb = + aa a)
Fit
91dB1)
+ eec - 3bb0 = + ccc. Cujus radix e= a = B.
 adc = 2666
POFitO a =b - e
Fit
0
-3bec - 6bbc - 366b = - 3baa  =- = 666,
 adc + d db = + dda)
eec = 3bbe = - 66c. Cujus radix e = a - b.
 da c = 266b
d ab.
VI. Aquatio a aa = 3Baa - a d a = F CCC,
POGtO a = c - b,
Adeoque + ecc = 3b ec = 3bbe - bbb = + a aa7
+ 3bec -6bb c + 3bbb = + 3baa  = = CCCy
ad c + dab =- ada
ee0- 3bb0 = +c0c. Cujusradix e = a. + b.
ddc - 266b
dab
VII. A quacio 2a a = 3b a a = 2 2a = - 566,
Potito a = b - c,
Adeoque = eec = 3bC0 = 3bb0 = BBB = F a 4 7
3600 + 6bbc - 3bbb - - 36a f = - 666,
ade - dab = - d d a)
Fit
10
cop
1
De

## Folio 177 — 851708439:0201
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000201.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
Cap. XL NI. A L C E B R A.
Fit
eeo - 3bb0 = + 0cc. Cujus radis c = B - 4.
adc - 266b
dab
Vet DOsito a= c + B,
Adeoque ccc + 3bec + 3BbC = BbB = + aa a)
Fit
3b ec -- 6bbc -- 366b - - 3baa  = - C66.
= dde = ddb = - d da
cec - 3bb0 = -00c. Cujus radix e = a - b.
ade + 2bbb
 dab.
VIII. Aguario aaa = 3baa = dda = = ccC,
Potico a = e = b,
Adeoque eec3bec = 3bbC + bbb = = aa a)
Pit
-3bec -6bbc - 3b6b = - 3baa  = + 666;
dde - ddb = -d da)
cec = 3bbe = =ccc. Cujus radix e == a - b
ddc + 266b
+ a ab
Vel posito a = b - e,
Adeoque = ecc + 3b eC = 3bb C + bbb = + aa a)
Fic
-3bec + 6bbc - 36bb = - 3baa E = + 566.
ade - d ab = - d da)
ece = 3bb0 = - cc6. Cujus radix e = b - 4.
adc - 266b
aab
IX. Aquacio aaa 3baa = ada = - ccc.
POFito  = - e - b,
Adeoque - eec - 3bec = 3bbC - bbb = + a aa)
Fit
+3bec +68bc + 366b = + 3baa E = - 66c.
dde +ddb = dd a
cec = 3bbe = + 666. Cujus radix e = = a = b.
adc + 260b
d ab
Vel potico a = e - b,
Adeoque Fecc = 3bec + 3bBC - Bbb = + aaa)
Fit
+ 3bec- 6bbc + 3b6b = + 3baa  = = 0cc.
ade + ddb = ada
eec - 38b0 = -c0c. Cujus racdtix c = + a + B.
dac = 266b
d db
Z. Aquatio a a _ - 3ba a + d da = +666;
Polico a =c = b,
Adeoque cec + 3bec + 3bbC + bbb = = aaa)
3bc0 --6bbe - 366b = = 3baa  = = 656.
ade + d db = + dd a)

## Folio 178 — 851708439:0202
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000202.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
eec - 3bbe = +606.
ade +
1.
Cujus radix e = a - B.
Vels Potito
Adeoque  006 + 36e0 - 3600 + 666 = 4 a a a
Fit
a = - c+ d
=3bec 66be- 3600-- -
eec = 3bb0 = = 0c6. Cujus FaciIX C = b = a
ade
3baa E = + 56c.
dac + ddb = + dda
1aab
XI. Aquaio aa a = 3ba a + d d 2 = - 556;
POTito a = = e = b,
Adeoque = cec -3beC - 3bbc -- bbb = + a a a)
+ 3bec +6bbc + 366b = + 3baa  = - c66:
ade ddb =  d d a
eec --3bb0 = = ccc. Cujus radix c = = a - b.
Vel, potico
+ adc + 2bbb
a = + 0 -- b.
db
Adeoque F ecc - 3bec + 30be - bbb = + a aa)
Fid
= 3beC - 6bbc + 366b = f - 3baa C = - c60
ade = d ab =  d d a)
eec = 3bb0 = = cc0. Cujusradix e = + a f B.
 ade - 266b
F a ab
In quibus omnibus (aliisque) Aquationibus Cubicis, Addendo vel Subducendo
a radice (aut radicem inde) Prientem Coefticientis secundi termini (prout res
Dostular,) Secundus terminus (in sguratione nova) destruitur, eju lque locus va-
Cat.
Hoc Cst; Si exponatur aequario a a 4 = 3 b aa _c. ponendum a = = B + C;
(ad eoque e = a - b, aut e = B = a.). Si Lic a aa F 3 b a a _c. Ponendum
-b = e, (aceoquee = + a = b, aut0 = = a - b:) Nam ueroris modo Sc.
cundus terminus in nora aequatione deRrVIEr.
Cur aucem in harum Aquarionum aliquibus, seminam ponir suppositionem; cau-
Pa elt, ut conserraret radicem Afirmatiram: Nam radices illae qua secundum alie
ram luppolicionem Forent Aftirmatira, Forent secundum alteram Nesacirae; et vice
verla. Sed non in omnibus; quoniam, in nonnullis, potitionum alcera Colam Ne.
saciram radicem extriberet. Ouod ipse ad primam aequationem diserre monet.
Cartesius harum suppolicionum non nili unam docet (non ut LTarriotus duas:)
Nempe, Addendo vel Subducendo Radici crientem Coetficiencis lecundi termini,
non item crienti radicem,) adeoque non Pacis prospicit de Raclice AAirmarira
lemper habenda.
Suod aucem hie dictum est de parre certia coelicientio, in equatione Cabica;
pariter intelligendum est de parre quarta in Biquadratica; et parte quinta in aequa
tione quinti orcs; ee sexca in sexsi ordinis aquatione; d limiluer in sequen-
cibus. (Ouoniam hujulmodi numeri, in consticurione aequarionis cujusque d ra-
dice binomia, semper alticiune secundum cerminum in lua cujusque aquatione.)
Ac
hibemus in capire proxime seguente; reserracio aliarum aequacionum exemplis ad
capila post sequentia.
AF
Pit
ju

## Folio 179 — 851708439:0203
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000203.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
Cap. ZL. IV. A L O E B R A.
C A P. XL IV.
Fujus usus, pro Resolvendis aequationibus Quadraticis.
OC axtificio (de Addirione _ Subductione instimenda in radicibus non-
dum cognicis, adeoque Tublatione secundi cermini) aequationes Ouadra-
ciex Atectae, ad quactratieas simplices reducuntur: OE Tola radicis qua-
drarica extractione vorro opus HI. Exempla haec LUME.
AEquario aa - 2ba = + cc;
POTito a = e = b; Adeoque f ee = 2BC + BB = + a a 2
Fit
=2b0 = 2bb = = 2b a5 = + c6.
ee = + bb +66. Cujus radix e = = V: + bb + cc.
Adeoque a (=  + e) = b = V: + bb + c6.
Ftorunique valorum radicis a reperietur alier Actirmatirus, alter Negatirus:
co quod V: bb. = cc: major ct quam B = V bb.
Aquario, aa + 2b a = + cc;
Pohito a = e - b; adeoque ee = 2BC = Bb = + aa 2
Fic
= 2bC - 2bb = + 2ba5= +66;
ce = + 33 +00. Cujus radix (ut prius) e = LV: + Bb + cc.
adeoque a (= - B + c) = - 3 + V: + 3B + cc.
Ouorum valorum (ue prius) alter AAirmativus est, altex Negacirus (ob cau-
sam modo dictam.) Sed hoc calu, Major est Nexarirus; in priore, Minor.
Aquatio aa -- 2ba = = cc.
Potico a = e = b; Adeoque ec + 2bC + BB =
Fit
aa2
= 2bc = 2bb =- 2ba5 = c6
ee = = bb =cc. Cujus radix e = = V: L bB - cc.
adeoque a (= = B. + c) = + B = V: + Bb-cc.
Ouorum valorum a (modo sit postibilis) ucerque est AHirmativus: (propter
V: bb =cc: minus quam B = V bb.) Sed Fieri Potelt, ut calus sic Impossibi-
lis, adeoque radix a Imaginaria. Nimirum, Si c major sic quam b; adeoque
bb -cc negatira quanticas; quae radicem quadraticam non admitrit.
Aiquatio
aa = 2ba = = C6;
POtO a = e - b; Adeoque e0 = 2bc. + bb = + aa2
Fic
+ 2be - 2. bb = + 2ba
ec = = bb - cc. Cujus radix, e - + v. + bb - cc.
Adeoque a (= - b + C) = - b =V: + bb - 05.
Ouorum

## Folio 180 — 851708439:0204
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000204.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
A L C E B R A.
Cap. XL IV.
Ouorum ralorum a (modo sie possibilis) uterque est NegatirS; (propter
J: = bb - c0: minus quam b = Y bb.) Sed (ob causam modo dictai) uier-
que Imaginarius, si c major Tc quam b.
Ouod Sufticie resolvendis omnibus aequationibus Ouacraticis.
IIle aurem hane Polurionem non Polet adhibere; led pocius illam alteram
(ut ec post cum, Pellius) complendo Ouadratum. Ouam ille Mechodum mox
achibet ad AEquationes ZIF _ ZIII mox sequentes; et nos supra expolui-
IUS.
Sed quacunque sit processus Forma; sire complendo quactratum, sire 10l.
lendo secundum terminum; sre quam ego supra primo loco memoravi; leu
quaeris alia: res eodem redic (quacunque ria eo Derreniatur;) Nempe,
Agnationum,
Radices.
a a = 2 b a = F c6. a = = B = V: bb + Cc. Major AHirmatira.
aa = 2b a = = cc. a = - b = V: bb f 66. MInOT ATirmativA.
aa = 2ba = = cc. a = = b = V: bb = 5c. Viraque AFirmatira.
aa = 2 ba = -- 0c. a = - b = V: bb =cc. Viraque NegatIVA.
Attamen: Oroniam Coeficiens (quam nos 2b dicimus,) quamris Fractio
umc
nOn (IE, Possit camen esse nil
Ouando hoc concingit; commodius eric (pro vicandis Fractionibus in procettu
operis) rem lic delignare (polico f pr0 2b.)
Aquationum,
Duplae radtices.
aa - fa = +66. 2a = + f F V: ff + 4cc.
aa +fa = +C6. 2a = - f = V: ff. + 4Cc.
aa - fa = - cc. 2a = + f = V: 5f - 4Cc.
aa +fa = - c6. 2a = - f+ V. 55 = 4CC.
Duplaeque radicis sic inrentx, dimidium sumere pro valore a. Hoc es a =
s= V. F5 + 45C.. pocius quam a = + 3 f = V:  55. + c5. Ft similicer in rC.
liguis.
Acque ob eandem rationem; Ouando suprema potestas radicis a altecta fue.
rit coesticiente; puta ma a - 18 a = f n d d: E m calis FIE, ue non divictat s
a
_ n d d absque Fractione, quo tiant S. =f e  = ec numeri integri: Com-
modius omiatur solica praeparatio (dividendo omnia per m, quo fiat a a ab
altcctione immunis,) rem ica delignando;
Aquationum,
maa = 13a = = n a d.
maa = 15a =, + n d d.
m a a - 18 a = - n d d.
Mulcipla radicum.
2m a = = 18 = V: II88 + 4m n d d.
2m a = - 18 = Y: 2188 + 4mn dd.
2.m a = = 18 = V: 1188 = 4.M n d d.
maa + 1ea = = nad. 2m a = - 18 = Y: 1185 4mnad.
Acque cum eandem radicis mulciplum diridendo per 2 m, quo habeatur ralor
I188, n dd
amm m
2M
E V.
Ouamvis enim valor utrobique idem ; operis tamen pro.
cectus sic minus erit impectitus.
Alque hactenus de quadracieis ARectis, ad quadratieas simplices reducendis,
Tublato secundo termino.
CAP.

## Folio 181 — 851708439:0205
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000205.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
Pract
Piracti
10cet
s
Cap. XL. V
A F G H B R.
a.
G A P. XLV.
Fjusdem usus, ad resolvendas aequationes Cubicas.
N Aquationibus Cubicis (eisque altioribus) res operotior est quam in Oua-
dratieis. Onamvis enim, in his, pariter acque in illis tollatur secundus ter-
 minus; hoc tamen Tublato, reltat alius porro intermedius (li non ee plures)
adhue collendus, ut prodeat aequatio simplex.
HOC ve tiat, in Cubicis; tublato uc jam dietum est (siquis adsic) termino
secundo; sic prosrcdiue ille (etemplis XII e XIII.)
XII. AEquatio aaa = 3bba = + 2656.
POTito,
a - ee
Adcoque Feceeee = 3bbecec + 3bbbb ec = bbbbbb
Fit
Hoc est
3bbecee = 36bbbee
Leccece = =bbbb0b +2c0cceC.
+ecec = 26CC e eC = = bbbbbb.
Oux est A quatio Onadratica aftecta, Tolidam radicem habens eee.
FIxC ut reducatur ad quadraricam simplicem; hac (pro more Tuo) utitur
methodo: Nimirum; Ouadeatum semi coetticientis termini medii, addit utrique
parti aequationis: (quo pars prior tiai Quadracum in Speciebus.)
eccoce = 206cecC = CCCCCC = bbbbbb =CCCC6C.
Adeoque radix trujus.
eec = cc0 = =V: = bbbbbb =CCC2CC.
(Ubi ralor altirmatirus aue negatirus locum trabet, prout cec minor est aut
major quam eec. Adeoque, hoc calu, valor altirmatirus; quoniam, Cx PrO.
celtu hactenus praeterito, jam liquet, e majorem este quam c.)
Adeoque eec = +000 = V: = 3b8bbB = CCCCCC.
FF
e = 1C. + 0cc = V: + bbbbbB. + CCCCCC:
Tum, quoniam (ex constructione) a Xqua C 
dum valorem iptius; notat eec. bbB.
306200
leue -: Ad exquiren.
eeo. elle quancicales concinue
proportionales. Adeoque et carum radices cubicas c. b. 
Indeque protae,  = Y C. - 506 = V: bb6bbb + e66666.
26
(Nam

## Folio 182 — 851708439:0206
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000206.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
HeC
A L G E BR A. CaP. XL. 1.
=ccc = V: BbbBBB = CCCCCC:
= cec. + V: BbbbbB +CCCCCC:
BBbbbB.
aq
BBBBE
Adeoque, cum prior aequet cec; volterior aquabit =
cec
P intex quas bBb
est media proportionalis; ejusque radix cubica aequabit ..)
Et consequenter; valor ipsius a (= c -2):
VC. =CcC = Y: B0bBBB =CCCCC5. - 1C. = c5c. = V: bbbbbb = CCCCCC.
EAtque haec una earum, quae diei tolent Reculae Cardani. Hujus solurionis,
haec exhibe in Numeris, Exempla.
20 =6a. + aaa. a = VC: VY108 F 10. =YC. Y108 = 10. = 2.
26 = 9a = aaa. a = VC. Y 106 + 13. = YC. Y196 -13. = 2.
3 = 6 a + aaa. a = Y C. Yo F 3. = YC. Y 3 = 8. = 2.
hoc est, a = Y C. 2 + 3. = YC. 3 - 3. = Y5. 8. = 1c. L. = 2 = 2 = L.
ZIII. Aquationem aa a - 366a = = 2Ccc.
distinguie ille in tres calus: Prout c est Major, auc qualis,s aut Minor quam B.
T. Si c sic major quam B:
Tum, Bolico a = e c. +6b
Adeoque Hececeet3bbeecet3 bbbbect bbbbbb- + aaa
Fit
HIoc est
=3bbceec = 3bbbb ec = - 3bba: = +26cc.
e
cecece +bbbbbb = = ZCCCCCC.
Ceeece - ZCCCeCC== - bbbbbb.
Additoque (quo compleatux quadratum) c55C5C utrinque
Cecc = 2CCeCC= CCCCCC = = BbBbbB =CCCC56.
Vet (Proxter B minus quam C) pOLico + d d d a a d = + cccCCC = B83BBb.
eccecc = 200ceeC +CCCCCC= = ad d d d d.
Fc raclix quadratiea, cec =ecC = d d d. Hoc et eee = Ccc. + d d d.
Ft C = YC. CCc + add. = Y C. ccc = V: CCCCCC = bbbBbB.
bbbbbb
Tum, propter ecc. bbb. ec. concinue proportionales: Adeoque e. B. . Co.
enicis jam valoribus ecc X BbB: otendic  db bb = ec0 - Y: + cececc - 00b lbb:
=0c0 - 4 ad.
ee
Adeoque
(Nam A
mulciplicetur in

## Folio 183 — 851708439:0207
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000207.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
Eet
f26
C6.
Cap. XI V.
Adeoque
+
YC: Ccc + Y: 50CCCC = bbbbb0: + YC. CCC = Y: CCCCCC = bbbbbb.
seu VC. ccc + aad. + YC. ccc - dadd.
Oux est Regularum Cardani alcera.
Hujus Exempla extribet in Numeris,
40 = = 6a = aaa. a = VC. 20. +. Y 392. + VC. 20 - Y 392.
72 = = 24 a + aaa. a = Y C. 36 f V 784. = YC. 36 -Y 784. = 6. 
9 = = 6a + aaa. a = YC. 2 + Y .3. + YC. 2 = 1 02, = 3
hoc est a = Y C. 3 + 3. + YC. 3 - 3 =1C. 8. + YC. 1. = 2 + L =3
2. Si (in eadem FOrMA) C sic aequalis ipt b:
TUM prOPIer Y: CCCCCC =BBBBBB: =O: Hac parte eranescente EI
a = V C. c00. = YC. c0c. =c +6 = 26.
Emngue in his Tolurionibus (ut alibi) Sequitur Carsescus: (Sed absque ulla
indicatione quomodo hx Resula inveniantur:) Tub nomine Resularum Car-
dani. Ouarum inventionem Cardanus alcritit Scipioni Ferreo-
Num has Cardani Reculas noverit Hharriotus; mihi non liguer. Sed (sire
Tic, Tive non,) ab. iplius FTarriosi methodis perspicue derirantur, indeque de-
monstrantur; mulcum diverlis a Cardani methodis.
Neque mirum est, utrisque methodis ad idem perreniri. Sire enim Carsani
mechodo, sire Tharriori, lire mea post tradenda Tuo loco, sire alia demum qua-
cunque aut antehac reperta aur polthac reperienda, res exquiratur: eodem per-
vencum iri (modo reia (Ic) neceste cA, sem iplam _ spectemus; ucut aliie
rerbis, aliare nocatione delisveM.
3. Sed alius superest calus, ejusdem torma,
aaa = 30ba = = 25cc.
Nimirum, AC sic minor quam b.
Ouo calus 5556CC = b bbbbb erit quanticas Degatira; adeoque Y: CCCCCC
=bbbbbb: Padix quacratica nesacirae quantitaris; Duta V = d d d d a d.
Ouam itaque volunc este quancitacem Imaginarium, non Rcalem: adeoque l A
quationis hujus radicem non este in Speciebus explicabilem (secundum ullam hac.
tenus receptam Nocationem,) alirer quam admiciendo ejulmodi imaginariam quan-
riacem;
min a = VC. 00c + Y = a da add. L VC CCC = Y = d a d d d d.
Fstque hoc (quantum seio) ab Farrioto primitus derectum: quem in hoc (ut
in aliis) Carcescus sequitur. Nescio enim an quilpiam, LParrioro prior, oltende.
rie non posse hujusmodi aequationis radices (ulla recepta norationis TOrmA) Spe.
ciebus explicari, alier quam per has Imaginarias quantitates.
Oux quidem Imaxipariae quancitates, ubi occurrunt, haberi solent pro indieio
Casus Impotibilis. Atque sic docere Colent Algebrictae.
Non tamen pucandus est FCarriotus, hos calus ut impoltibiles centuiste. Nam
anre demonstrarerat (exemplo secundo sectionis quinrae) sEquationem hujusmo
dius Radicem habere fimativam Realem; (praeter, quas ibiomon quaerebât, Ne.
Fatiras dua5.)
Estque
+= L C L D R A.

## Folio 184 — 851708439:0208
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000208.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
I G F. B R A.
CdD. LL.
Estque hocitem, interres ab eo subriliter detectas, non levis momenti. Ouipve
jam ance censebatur (eratque a pluribus Algehristis aperre pronunciatum,) quod
quocies (in Analyseos procellii) ad Constructionem Impolsibilem pervencum cst
(qualis censebatur Radix quactratica quancicaris Negatira,) indicio id Cset, pro.
volitum illum Casum esse impossibilem. Cujus concrarium hic patet.
Verbi gracia. A quario hac au a -7a =. 6.
hane haberet radicem,
a = YC. 3 = Y - 23. = VC. 3 = Y - 10.
qui habicus est pro exsu impostibili.
Elabet tamen radicem realem altirmatiram, a = + 3. Praetex duas icem Nesati.
radu a
Ec quidem, si numeri absoluri sienum muremus, (qui solus est terminusu l0c0
Paris non vacuus;)
Aquario aaa - 7 a = - 6.
duas habebit AHirmacivas a = F 2, a = = 2; DEXtex Negativam a = = 3
Fe similicer alix ejuldem Forma, sic conditionata,
aa a -- 3bb a = - = cCC.
Dui catus cst, Frempli IV, Sectionis quinta.
Non ilaque tam dexloraius est hic easus, quam olim trabicus est (etiam ab ipto
Carcesio.) Et, quomodo ejus exquirendae lunt radices; Intia docetitur (uo l0c0.
Incerim; haec alia, A.quationum prius expositarum, Fexempla in numeris extri
bec Tlarriotus; in quibus Radices Cubiex, extrahendae, tunc Binomix.
12. = = 5a f d 8a. a = 5 + VC: 26 + V675: = 2. + V3. 2 =
e4
 + YC: 26 - 1675: =2 - V3. 5 +
270 = = du a a a. a = 5 + YC: 118252. + 135: = Y 12 + 3. 2 =0
40 = od + a
VC: Y18252- 235: = Y22,3.3
c + VC: 20 = V 392: =. 2 + V2.
E. = YC: 20 - V 392: =2 - V2.
4
20 = +6a. + a aa. a = 5 = VC: Y108 + 10: = 13 + 2. 2 = 2.
NC: V108 - 20: = 13 = L.
121632-6a Laaa. a = 5 = VC: V5408 F V5400: = V8 + V6. 
2= YC: V5408= 15400: = Y8 - 16.5 = 132.
+ VC. V62720 + 162208: -V20 = VI2.
Y248832 +24a + aaa. a 2- YC. V62120- 162208: = Y20 - Y12.5 V48.
Ononiam vero non oltendie ille, qua Mechodo invenerie Radieco Binomias, Bi.
nomii Cubi: FBO meam mOX exponam methodum (quoniam apriorem hactenus
nOn reDeTI) jam ante multos annos excogicacam.
Sed prius incerponam (digrestione Facta ab eis quae de PParrioro rradicurus exam)
mechodum mcam Relolvendi Cubiens sqaciones; e quibus paltibus ad illam per.
venerin.

## Folio 185 — 851708439:0209
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000209.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
iP
loc0
ap. X
 l. l l a
a A P. Z
Aha methodus Desolvendi Cubicas Aquationes.
Jam tuxia pollicius lum Mechodum exhibere meam Resolvendi Cubicre
ANnO. 1647, Seu incunte 2648, (cum norus Alsebrista) incidi in Oueh
tredi Clavem, anno F63F Cditam: quam avidus perlesi; pancilque seprimanis,
non magna cum ditticultare, Mihi visus sum incellisere non male.
Cumque Cubicarum Aquationum mentionem ibi factam videram; nec tamen
ille regulas BLO  (u Pro Ouadraticis) relolvendis dederat: crat mihi animus
(Algebra praxin exercendi gratia) experiri, num poruerim ipse quicquam dete
vere, quod harum Polutioni lubserriret.
Fst (apud cum) Duarum magnitudinum, A major, P minor, A. rectangulum,
Z. Cumma, X differentia, Z summa quadratorum, ∞ differentia quadratorum, T.
Tumma cuborum, a difterentia cuborum.
Ex pluribus aurem A. quacionibus (ab ipso Cap. 18. memoraris,) has duas selexi
(ut huic negorio accommodas)
Z C = 7. = 3N. Z. ZC = Z  = 3 A X.
Conanus eas ad Formam Guadraticearum reducere. Nec res male Succettit.
Ouippe cum Cubus iptius Z. = A f F. sc Z C = AC + 3 AAF +S AEE + Fc.
Hoc est (compendiose nocatum) ZC =  F 3A. Z: Adeoque ZC = 3A. 2 = 7:
Deprehendis In Cubica aequatione hujus Formae, Cocticientem 3A esse, Jri-
Dlum Rectanguli duarum magnicudinum A, F.; e ab solutam quanticatem Z, sum-
nam Cuborum, carundem.
Trem; Cum Cubus ipsius X = A = F, SILXC = AC = 3AAF f 3AFF = PFF:
Hoc est (compendiosC notatum) XC = X = 3 A. X: Adeoque X C = 3A. X = g:
Perrehendi similicer; In Cubica aeguacione hujus Formae, 3 A. este criptum Re
ctanguli (uc prius) iplarum A, F; quarum ellet x disterentia Cuborum.
(FOrma aurem, ZC = 3 A. 2. = - 7; _ ZC. + 3 A. X = - 7:
In quibus = 7, = X sunc Negatirae quanticates: non aliter disterunt ab illis
alteris, quam quod qua in illis est radix AHirmatira; in his, est Negacira; de vice
verla: propter mucacum sienum cermini Quarri; quin racance secundo, est Tolus
terminus reliquus in loco pari.)
Cumirague Cubieu A. quationes omnes, reduci possint (sublato, si quis sic, ter.
mino secundo) ae harum cormarum alceram;
2c - 3N. 2. = + 7. Xc + 3A. X = = 8
FOta Gu rellat dicticulras, haeC est: Datis duarum maenicudinum Rectaneulo, cum
carundem Cuborum vel Summa vel Differentia: invenire ipsas Maenicudines:
adeoque iplarum Summam aue Differenciam.
Duod tic, Resolvendo Quadraticam Aiguationem, ex Radice solida.
A. C
aquationes; hic expediam.
A. C
Namm, - - 1.
tat. d A t dit 
Trem

## Folio 186 — 851708439:0210
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000210.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
Ttem; - = A.
A L G F B R A.
A. C
A. C
 = AC. - - F FC= (AC F F C =) L.
F C
Ec
Adeoque; ductis omnibus in AC, aue E. C, _ transposiris terminis; fic,
ACC- Z AC= = A C = P CC- QP. C.
Cujusradices sunei
24 = Y: 224 - R. c: = AC, F. C.
Simili procestir ostendetur;
AC-
A. C
A. C
 = (AC =FC =) 4. -- =EC=(AC= F. C. =) X
AC
EC
Adeoque ACC = g AC = F A C = FCC F ~FC.
Cujusradices Y: 4X 4. f A c: + 3∞. = AC. P. C.
FTorunque RC, E C, radices Cubica, Tunt ipla A, F: harumque Summa ee DiE.
terencia, tunc ipla L = A + F, X = A = E, A quationum Cubicarum Radices
quaelitae. NemPC
rC. +32 + V: 244 = A. c. + VC.  2- V: 2 7q. - A. c. = A L F = 2.
VC. F ZX F V: 2 X 9 + A. C. = YC. - 3∞ + V: + q + A. C. = A - F = X.
(Si vero, in Aquacionibus Cubicis, habeantur = 7. - X; Radices eruNE
A - F = - Z, 8 - A + F = - Z.
Verum quidem ct, quod in Forma priori (Z c =3 A. Z = = 9,) nOn ParO
continsit, AC, EC, elle (quas rocant) Duantitates Lmasinarias, (nempe, quo-
eies A C major est quam = Z q; ) prout in aliis Ouadracieis Aquationibus, similis
Formae, tieri Tolet. (Oui catus idem est cum LTarrioti F xemplo ZIII. ance memo-
rato, quando c minor est quam b.) Dua de re nonnihil dictum elt; et plura Post
dicentur.
Monendum interim est (ne id nesciisse ridear;) ubi ego separatim, tum A, tum
E exquitiri; sutticeret salrem eorum unum extribuisse, (cum A. per ucrumris
dirilum exhiberet alrerum;) Puta
VC. 27. + V: 74- Ac.
rC. 22 = Y: 24 - R C.
YC. 22, Y. 24 = Ac +YC. 2Z. Y: 24 -. c. - = + F = a + F = 7
YC. Y: 3~ 4 + A. c: + 32
YC. Y: 4 4 = Aic: - 37.
A
VC. Y: X4 + _c: + ; X.
YC. V. 3 ∞9. + Rc: - 2X. -
Sed cum utraque A, F, sint eadem facilitace reperienda: Seligebam eam porius
Nocacionem, ut elegantiorem. Vel sic, Si malis,
YC. 22 + V: 42.  - R. C.  VC. 34 - Y: : 44 = A.C. = A + F. = 2.
YC. Y: + 4 4 + A. c: + 3 ∞. VC. Y: + 82 + ~c: = 24. = A = F = X.
Aut sic etiam,
vCZ. + Y: 24 - 4 A C: + vcZ. - v: 29 - 4. R. C; = a + F - 7
CV: X4 + 4.  c: + X - sc. V: X 4. + 4. R. C - 8 = A - F. = X.
C. . l
=
X.
. =  L. X.
86
FIaS

## Folio 187 — 851708439:0211
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000211.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
11
Cap. LL, VLI. AL O. F B R A.
Flas ego Regulas (tum nOvaS FatIIS) Anno 1648 indicabam D. Joanm Smit h
(in Academia Cantabrisiensi Macheseos cum Protellori publico; et Collegii Reci
mensis ibidem Socio:) literis ad eum seripris, quibus e8o fuis ad me respondebam, de
hujusmodi rebus quibusdam me contulencibus: Una cum mechodo extrahendi 12
cus ex Cubis Binomiis, (de qua MOx aSCCIT.) Nec muleo polt, caldem indica.
bam D. Franciseo Schootenio, Macheleostum. Protestori, Lueduni Batavorum. An
nogue 2657, publice cdidi; in Fpiltola ad D. Vicecomiiem Brouneker, praetixa
Practatui de Proporcionibus.
Sune autem hae regulae, rem iptam quod spectat, exdem ipEae eum Regulis C. ar-
dani dictis, (quas cso cum plane nesciebam, nec de illis quiequam inaudireram,
quum meas exeositari.) Cum hoc Calcem discrimine;
Cardanus (Si bene memini) de Sublatione Secundi Fermini, nihil docet, (nec
Scio, an quispiam LCarrioro prior: ) Adeoque Cubicas eas aquationes quae hunc ha-
bene, sub suis Resulis non adigit.
Sed nec eas qua sunt hujus Forma, Zc - 3N. 7 - - 9, auc ZC + 3A. X  ∞.
sed cas solas quae habent  , + ; Puta, ZC - 3. Z = + 7, XC ) A X = + ∞
Fc quidem, in Forma Z C -- 3 Ai. L. == F, , eas Colas comprehendic quibus M. C
non ele major quam =7, 9. Ouippe, quocies A. C major est quam +7 9; tum ille,
cum Dost illum alii, calim cum pro deplorato habent: e Cartesius iple, lub Reon.
lis illis cosinon posse docet; lib. 3. L. Et Schootenius ad cum locum, ee in lub
juneta Appendice.
Fc ego quidem (Fatcor) hoc in negorio, haerebam aliquandiu cunctabundus,
proxter Imasinariam radicem Negatira Ouancitaris. Nec displicebat tamen, quod
Cartesium viderim in eodem hraerere rado: non tam ab hebecudine animi, quam
ex cel difticultate, id provenire reputanti.
Sed post deprehendi etiam hunc casum meis Tubeste regulis: Adeoque Cu-
bicas aequationes omnino omnes sic solucum iri
Demontrationem quod spectat: est ea Carcani, cam perplexa et incricata, ut
non parri sic laboris eam examinare. Nec multoemelior Bombelli, latis item
perplexa. Orerque scilicet per corpora solida in plano expolita, rem explicare
TaTaGIE. Partaleae, quXe TVeraL, aut Scipionis Ferrei, cgo plane nelcio. Carte-
scus, Nullam habet. Parriori quae fuerit, jam vidimus. Mea vero, tum In-
restigatio,  onstracio, cam simplex est, et incellectu obria, ut pociorem
hiaud speret quispiam.
Fatractio Radicis, Binomii Cubi.
X. C Aiquationis Cubiex Resolurio, aliam sugxestic Investigationem ipsi
neceltariam; de F. Xerahenda Racice Binomii Cubi. Omippe cum eo rem
redire jam ostensum sic, ut Binomii de Aporomes Radices Cubiex, rel
addendae sint, rel haec ab illa subducenda; omnino opus esse censui, hac de re
Sollicitum esle; mechodumque excositari has radices exquirendi. Ouam rem ali
cubi cractat Franciseus Scboetenius, in ejus iterata editione Ceometriae Cartestanae;
Anno 1650. Fdenque in Cartesii Epistolis habetur, post cdiris. Sed ca rum cem-
poris nondum extabant, quum cgo neam methodum excositabam.
Mechodoque tune excositata (quia commodiorem nondum comperi) etiam.
num UCOT. Nimirum;
Si Cubus Binomius sic Numeris tractis, aut Turdis, impeditus; illum reduco
notis mechodis (quales superius tractidimus) ut illis, quam fieri potest, libe
retuT.
Aique nun, si pars alcera, vel utraçue, sic adhuc irrationalis; eximo (quod
aiunc) ex lisa liquod ibi sit rationale: Diriso numero non quacrato, per qua-
deatum quam potest maximum; hujusque radice nocae Radicalicatis praetirâ, uo-
vientem eidem nocae poltxono. (Quod e Oueheredus pattim laeic.)
2. Sic.

## Folio 188 — 851708439:0212
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000212.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
la li ee l ed au cei
2. Sic, in Exemplorum ance positorum uno;
Pro V392, Tubltituo T4V2.
Cap. XI. V.
VC. 20 = V 392:
Hoc est, PrO VBba Substituo BV a.
(Fademque merhodo mor in Radicum Surdarum Addirione e Subductione.
Onde Catim liguer, num line commensurabiles, Beenc. VE in V FX7 = V 52
hoc ClL ZVFZ = 2V23: quas commenturabiles esse Ptatim liguer; carumque Tum-
mam esse, 5N 2Z; ditterentiam F V 23: Led in V 24 = V 18, hoc cA 2V6 = 3V2
incommenturabiles eas esse liquet; quia sIC LuNE V6 _ YZ; adeoque in LOrMZ
Binomii aue Apocomes connectendas.)
Reducto autem, ut dictum est,
VC. 20 =V392. ad V C. 20 = 24V2.
manifestum est radieis Binomix (siqua sic) parrem unam este, vel V2 vel hu-
jus mulciplum per numerum rationalem. (Ouippe sI V2 non ingrediatur Ra-
dicem, neque insrederetur Cubum.) Duam radicis partem axpellabinus Ve, aut
fV e; reliquam a.
Cum itaque Radix sit in hac Forma
Cubus erir
a = V e:
aaa =3 a ave + 3ac= eY c.
Obi aaa = 3ac est aes rationalis; _ 3 a a V e = ev e, irrationalis.
FIOc. Cst (in prasentI CaTuI) S una pars radicis sit
Tum est
Adeoque
VC = Y2.
3aaV C + eV e = 3a a Y 2 + 2V2 = 14V 2.
3a a V 2 =12V2. 3aa = 22. aa = 4. a = 2
Ft consequenter, pars rationalis,
aaa = 3a c = 8 f 12 = 20.
Ouod cum hypocheli conreniat, radicem habeo;
a = V e = 2 = V2.
Adeoque YC. 20 f V 392. = VC. 20 - Y 392. = 2 + Y2 pluS 2 - 12. = 4
Si vero hoc non LuCCeITBEE tenLameM; tm, PrO V 2, Substimistem f Y2
dando ipsi f majorem auc minorem ratorem quam L, prour tentamen illud
indicarerie.
2. Paritex in exemplorum altero YC. Y +8252 + 135. HOC et, VC. 78Y3FY35.
Polito Y3 =V a; iplaque radice dV a = e.
Cubus eries
Fxirque
adda Y a = 3d dac = 3decV a = eec.
aa d ava + 3dceY a = 78V3 = 3d d d V 3 = 3d cCV 3.
HOc eAt (posito a = L:) 78 = 3 + 3C6. 75 = 3C0. 25 = ec. 5 == c.
Et pars rationalis,
eec + 3ddac = 125 + 45 = 170.
Ouod cum nimium sic, (Foret enim +35,) Batet d sumprum este justo minorem.
SuMptO Itaque d =2. adeoque dV a = 2 V3.
ExIE addava t3dec Y a = 24 Y 3 F 6ec Y 3 =78Y 3.
Adeogue
24 + 6c0 = 78. 6ce =54. ec = 9. e = 3.
EE pars racionalis cec = 3dd ac = 27 + 508 = +35; ut oportuie.
Radix ergo ct
2V 3+ 3.
Adeoque YC: Y 18252 + 135: = YC: Y 18252 =235:
scu YC: 78Y3 + 135: - YC.: 78Y3 - +35: = 21 3 + 3, minus, 21 3- 3, =6.
Si in secundo hoc tentamine, pro 235, provenittet adhuc numerus major:
pateret sumprum raloremr d este adtue julto minorem, adeoque sumendum ad.
huc majorem.
Sin pro 235, provenistet numerus minor; pateret valorem d = 2, ette julto
majorem: sed d =r, julto minorem; adeoque sumendum incermedium a = 13
Duo Tumpco, s res non recte successeric: Pateret inde, expolui Cubi Bino-
miam radicem, qualis quaeruue, nullam eAfe.
cute

## Folio 189 — 851708439:0213
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000213.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
Malto.
2-
rst
Cap. XIVII. A L G F B R A.
Ouipue valor ipsius a in hoc negorio, semper ese debet, vel numerus in-
Eeger; vel salcem inceori dimicius, quon seminatus, tiac integer.
EF (ne vasa conjectura multiplici Opus TIc) semper ele debet aliquora pars
iltius numeri qui praetigicur surdae radiei, qui hie ett 78. Ouippe 78 = dada t3 dec,
est dirisibilis per a. Ft Tunilicer in aliis casibus.
3. Pariter; in hoc alio; ubi pars utraque surda est.
YC. Y5408 = Y5400. HIOC est VC. 52V2 = 30V6.
POlito aVa pro membro majori; et fV e, Pro minori;
Radix exit av a =fY e,
Adeoque Cubus d dav a =3 d d a YC +3 aff e a =555 et c.
Tum, Dotito Va =Y 2, et V e = Y6. Sumptoque f = +:
Eric 3ddafVC + fff ev e = 3 d d aV6 + 6Y6 = 30V6.
Adeoque 3dd a V6 = , 24V6. 3d da = 24. ad a = 8.
RE (PFOPTCF a = 2,) d d = 4. d = 2.
Ideoque membrum alterum; addav a = 3 affeN a = 16Y 2 f 36Y2 -=52Y2. uE OportuiE.
Ergo Radix Cubica, dV a = fV C = 2V2+16 = V8=V6.
Et YC: V5408 F V5400: = VC: V5408 - V 5400: = V8. + V6 plus
V8 - 16 = 2V8 = V 32.
Vel etiam, ordiri licuistet ab V a = V 2. Sumproque d = +, Foret
addava + 3 asser a = ara = 3ffer a = 2V2 +3f er 2 = 2V2 + 18f(V2 =52V2.
Adeoque 18ff 12 = 5012. 28f5 -50. 28 = ff = 23: f =
Hoc aurem (praeterquam quod nec sic inteser, nec incesri dimidius)
Extriberet (sfeY e = 3d d afV e = 3116.
Dui nimius est: (Foret enim 30 V 6.) adeoque sumptus est a justo minor.
Sumpeo itaque (secunda vice) a = 2,
habebitur addava = 3afseY a = 1612 + 36ffY2 = 52Y2.
Adeoque 36ffV2 = 36V2. e f5 = 2 = ].
Ideoque memibrum alcerum; f5 5 erc + 3 d daf Y e = eY e = 3 ad aY e = 616
= 24 V 6= 30 V6. ut oportuit.
FrsO, radix aV a = fV C = ZY 2 = V6. Caeteraque ut prius.
4. Similicer, si proponatur aeguatio rrr + Or = 270.
Oui casus est A.quationis XII. F jusque Radix, per has regulas,
r = YC: = 85 = V (7225 + 27 =) 9252: - YC: - 85 + Y7252.
Hoc est, rC: = 85 = F4. V 37: - VC: - 85 + 24 V 37.
Posico jam Ve = 137, Tumproque f = 2; toret eV e = 37 V 37:
Ouod fieri non porell. Ouipre non plus habetur quam 24V 37.
Sumpco ilaque f. = 3. (Est urique E, semistis incegri.)
Eric Ss feV C = 38 V 37. Duod subductum ex 24. V 37 = 25 V 37:
Relinguie, 3 V 37 = 34a fV0 = 3 aa f Y 37 = 2a a V 37.
Adeoque 23 = 3 a a. 2Z = a a. 3 = a.
Ideoque aaa = 3 asse = 135 f 38 = 8 = 85. VE OpOrtuiE.
ErGO VC: 85 = V 7252: = a = fY e =3 = = V 37.
Ex Ractix aequarionis r = + 3 = 3 V 3D minus = 3, F 3 V 37, = 5.
5. Similiter, Ei proponatur aequatio;
rrr-Or =80.
Dui et calus Fxplicabilis, squationis XII. Ejusque radin,

## Folio 190 — 851708439:0214
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000214.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
sL L G F. B R A.
Cap. XL. VIC
Policoque Ve = V 13. Maniteltum est, f minus ese quam L. Nam 13 V L3
=e V e plus est quam EF V L3: quod FOret minus.
Sumpro isitur f = Z: Elabetur ff fC V C = 8V 13.
Duod Subductum ex LF V 13 = 35V 13:
Relinguit 28V 13 = 3aaf Y e = 3aaf V 13 = 3a a V 23.
Adeoque 13 =3a a. 22 = aa. 3 = a.
Tdeoque aaa = 3 a ff0 = 133 +13 =3 = 40. OT opOrtuIE.
Ergo YC: 40 = V 1573: = a = f V C = 3 F ZV 13.
Ec aequacionis radia, r = h + Z V 23, plus, 3 = = V 13, =5.
C A P. XL VIII.
Idem extenditur ad Radices cre ditas Tnexplicabiles.
Ddo Porro; Ouod haec methodus extendit se, non tantum ad catiis A.
quationis ZIT; aa a + 3bb a = f 2600: eosque Aquationis XTIY
L aca = 3bba = + 256C caluis, ubi B minor est aut aequalis ipli c. Sed
ad cos eriam ( qui pro deploratis haberi Tolent) ubi b major est quam c. 2de0.
que V: 5066C6 = bbbbbb; Ceu V - ddddad; Radix quadratica Negacirx
Ouancitatis.
Ouamris enim, uriusque Radicis membrum, VC: c0c = V - d a d d dd; &e
NC: 66C- V= dddd dd; inrolrere rideatur Aiquationem Quadraticam Im-
pessibilem, proxier inexplicabilem radicem Ouadrati Negatiri V = d d d d d d, (de
quo Tarriotum incellisendum puto, cum eam dicit (Seect. 6. pr. 13.) Impossibi-
tem, propter Tneaplicabilitatem radicis V - a a a d d d.) Non tamen Impoltibilis
eAt ea Aquatio; Led Radicem Reatem habet. Ouod ante oltenderat TParriotus ad
prop. 2 et 4. Sectionis 5. Dux radix, non alia est ab ea quam hac nocatione de-
Signat,
YC. c0c = V - a d a d ad. = VC. c00 -Y - d a d d a d.
Ouodque tingulis membris videtur impossibile, mutua connexione destruitur.
Sic in Aquatione Cubica . . . . . rrr - 63r = 162.
Obi b = V 3 = Y 2F, major est quam c = VC. 157 = YC. 8T. (Ouod patebit Oua-
drando BT, ee Cubando 27.) Radix aurem (per eas regulas)
r = YC. 8E = Y (656E -9262 =) = 2.700. = VC. 8F - Y = 2700.
HOC CA VC. 8F + 30Y - 3. = VC. 8F - 30Y -- 3.
Padicum Cubicarum torma, a = f V = e.
Et quadrarum ipsius fY = e, cst - ft e.
Iptiusque a + fY -e
Cubus aaan = 3a afV = e, = 3a55e, - f5FeY = c.
Iptinsque a - fV = e,
Cabus aaa = 3aafV = e,
Adeoque, in praetenti casum
3assen  ffer=
aa a = 3 af f0 = BL. acque 3a a fV = e, = sCY B= 30V
FOC Cst, POsicO V = e =V. = 3; Tumptoque f = L;
34af -f550 = 34a - e = 3a a - 3 = 30.
r = YC: 40 = Y (+600 - 27 =) 2573: +. YC: 40 = Y 2573.
Hoc clt VC: 40 F ZFV F3: F VC: 40 = EEV 13.
Adedque

## Folio 191 — 851708439:0215
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000215.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
IlCS.
Cap. ZL. VIII. A E O E B R A.
AdCoque 34 a = 33, aa = TT. a = V EI. Quod non succedit.
Nam (praecerquam quod an proxter formam Cubi, Foret rationalis, non furda) Lie
Prodiret a a a = 3affC = 2VTF, DEOBT.
Manence igicur V = e = V = 3; TumatUF f = 
Sic erie 3aaf -f55C = 2a a- 8 = 30 = 2
Adeoque 340 = 283. aa =  . a = 2
Ideoque au = 3 affe = 13 - 03 = eg = 81. Vr oporcuit
Ergo a + fY = e = 2 = ZV = 3.
EL r = 2 = EV = 3, p aSu 2 ZV = 3. = d.
Ec Similicer in aliis eju sdem Formx.
Ouicquid isitur dicatur; de ueroris membro, VC. 8r f V = 2700; Et VC
8F = V = 2700; hoc cMt, 2 f EV - 5, 3 - =V = 3, (qua Tunt Imaginaria
Radices, hujus Aguarionis Guadrariex impoltibilis, a a --9a = = 2T;) aur etiam
imaginaria radice Lurda V = 3; (de quibus post dicendum exie suo loco:) AF
Taltem AgGregatum,
VC. 82 = V = 2700. = VC. BF -V - 2700.
est Realis quanricas, iplique 9 aequalis.
Similiter de antE MEOTata, a a a =7 a = 6.
(Dux eadem est cum jam expotica; nisi quod illius radis sic hujus tripla;) Cujus
radix est
FToc est
Hoc est.
Hloc est
Seu
rC. 3 + Y - 18. + VC. 3 - V - 13.
YC. 3 = 18Y - 3. + VC. 3 = 9V -3.
YC. 83 + 33V - 3. = NC. 3, - 39 V - 3.
YC. 8L + 30Y =3. = VC. 81 = 30V - 3.
3a = VC. 8F + 30V - 3. = VC. 8+ = 30V - 3. = 9.
Si Aquationes illae, Sic Fuistent propolx,
rer - 63r = - 162. EF aaa = 2a = - 6.
(Obi magnicudines ab(olutae - 162, et - 6, Tunt NeGatiVX; )
Proceltus omnino idem forei, nisi quod radices Forent Negatire,
r = - 9. Et a = - 3.
aanilectum ixitur est, hujusmodi Radices Binomias, Cuborum Binomiorum
qui harum capaces Tunc,) eodem plane modo derexi, acti nullum interreniret
Ouadratum Negacirum; Adeoque sEquationes anretiac pro deploraris habicae, et
Tnexplicabilibus, jam perfecte resolvuntur.
FE quidem jam ance plures annos D. Johannes Collins (dum in rivis erat) literis
ad me scripris, indicarir cale quid a Belea quodam, Kinthuysen nomine, decectum
esC.
Cum icaque Aquationes omnes Cubicxe, poltint (dempio secundo cermaino)
ad harum Formarum alteram reduei;
aaa = 3bba = = 2666.
aa  - 3bba = = 26CC.
Hoc est, ad hacum alteram (quae sunt FCarriosi AE quationes X IY et X III fectio.
nis TCXIX)
aa a = 3bba = = 266c.
aa a = 3bba = = 2666.
vel saltem harum (quae ab illis non aliter disterunt quam quod quae in illis
sunt Radices Attirmatira, sunc hic Hexatirae; et viee verlar)

## Folio 192 — 851708439:0216
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000216.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
Cap. Xt L.
L G F B R A.
aa   30a = = 2666.
a a a = 366a =  2666.
Cumque jam ostenderim; (partim ex Tlarrioso, partim ex eis quae nos adeidi-
mus) quomodo aequationes lae Cubicx Afectae, ad Cubicas simplices reduci pot-
snc; sive sc b minor, Cire aequalis, sive major quam c:
Sufficiane haec ad pertectam Solutionem aquarionum omnium Cubicarum;
Taltem quoad Radicum Onam.
Cum vero A quationes Cuhieae, omnino Fres radices habeant: Ouanam sunt
illae Dux reliquae, proxime dicendum cst.
22 20, LlX
De reliquis Raca s Guas Cubicae.
e Aiguarioms Cubiex Radices, omnino tres tunt (aut Reales aut sa-
tem Imasinarix) quarum unam jam investioarimus: FTujus ope, haben-
eue Dux religux. Nimirum; Diridendo expoticam Cubicam, per L.a
teralem jam invencam; unde proditir Guadratiea aequatio, qua dux reliquae con-
cinencur Radices.
Verbi Bracia: In Aquatione modo expolica.
rer - 63r = 162. HIOC est prr = 63r - +62 =0.
Si hanc per jam invencam r = 9, hoc est r = 9 = o, dividamus; prodibie Oua.
dratiea rr + or +18 =0.
r - 9) rer = 63r = 262 (rr, + 9r, + 18, =0.
per-
L opr - 63
= Orr =BFr
= 18r- 162
18p = 162
00 00
Cujus aequationis quadrarieae, binae sunt Radices Negatira,
iiss
or 3 L. 5. Hoc sst r = - 3,  r = - 6.
Et in illa aliera,
ad a =  a = 6. HOc est, a aa = 7 a - 6 -0.
Si haec per jam inventam a = 3; hoc est a - 3 =0 diridatur:
Prodihit aa + 3a F 2 =0.
Cujus Radices; a = = +, a =
oSi aurem, in his, pro = 262, _ = 6, POnerentE = 162, e L 6: Onde
pro radicibus f 9, e F 3, prodirent - 9 et - 3. Tum (facta diritione)
prodirent Ouadratiea,
 a vr = or + 28 =0.
Px radices Astirmaeire; r = + 3, 1. = + 6. 8 a = = 1, a = + 2.
ee a a = 3a + 2 =0

## Folio 193 — 851708439:0217
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000217.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
et
traber
cot
A L G F B R A.
Capt. LL.IL.
Similiter Faciendum M els alletto,  Guibus non occurrit (in prima radi-
quisitione vicatur, occutet in sccunda Ouactracum Nexatirum. EL emergentis
Ouadrarieae Radices erunc Imasinaria.
DE in illa aaa = 6a = 40 = 0. auE rrY = 6r = 40 = 0.
Ouam si dividamus, per r = (2. + Y2, + 2 - Y2, = ) 4 auc r - 4. = 0.
Prodibit rr + 4r + 10 =0.
r - 4) rrr = 6r - 40 (rr, + 4r, + 10, =0.
prr = 4Y
EE Sic quidem continget, in casibus omnibus Capitis praecedentis, in ouibus
Radix videbatur nexplicabilis, propter Ouadratum Negatirum. Ouippe in Bi
omnibus, radices BX alla temper lune Reales
eis inreltisatione) quadracum illud esacirum. Sed cum, quod in prima in-
A pY - 6
+rr = 261
COY-
7Or - 40
O0 O0
Cujus Ouacratiea Impolsibilis, Radices (Tmaginariae) Negatira, sunt
Sic in illa altera,
-6. r = - 2 - V - 6.
rer L or = 270 =0.
Onam si diricamus Der r = (V 22. = 3 minus V +2 - 3 =) 6. Feu r = 6 = 0.
Prodibit rr + 6r + 45 =0.
r - 6) rrr. + or = 270 (rr, f 6r, + 45, =4
rrp - 6rp
+. 617 + 9+
e 50
45p.
J
431 2. 7C
D0
60
r = - 3 + Y = 30. ∞ r = - 3 - Y - 36. Yct - 3 +6Y - +
Idemque continset in aliis ejuldem Forma omnibus.
Idem accidit in Cubicis aequationibus Simplicibus. Nam et hae habent Fres
Radices; ut simplex Ouadrarica, duas.
Puta
Si itague
Quacratica
rrr = 8. Cujus radix r = 2.
rrr = 8 =0, per r - 2 =0, dirictamus; prodibie impostibilis
rr + 2r + 4. =0.
r - 2) rrr = 8 =0 (rr, + 2r, + 4 = 0
1
=2 pr
Cujus Imaginariae radices negatirae, sunt
e0d
Cujus imaginarix radices negatirae, sunt.
6 = 2 +. Y=3. ab p-
Idemque

## Folio 194 — 851708439:0218
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000218.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
A L G F B R A.
act do 10
Idenque contingeret si poneretur rrr = = 8, cujus radix r =
2: LVIII
quod cum, imaginariae radices, Forene aftirmatirae. Ouippe l, per r L 2 = 
diridamus rrr. f 8 =0; prodibit rr = 2r t 4 == 0.
Cujus radices,
r = = F + V - 3. r = + F - Y - 3.
Sed, ne opus sic hujulimodi divitionem in singulis aequacionibus sigillatim
instituere: Idem sic Facilius habebitur.
Cum Radix prima (verbi gratia) AFirmatira (invenca ut prius) dicatur 2;
cui (propter tublatum sccundum terminum) aequales sunt an es simul; Led cum
contrario signo. Cunque sic, in Cubica, quancitas absoluta = z a e; cadem
per 2 dirila, tiet ae, absolura quancitas in Ouactratica; iplaque 2, Coetticiens
medii termini.
Sic in modo expolita aequatione rrr -63r = 262 ==0.
Cujus inventa radix 9 = 2, e 363 = +8 = a c.
Adeoque quactratica rr f Or + 18 =0.
Cajus radices
HToc cs; Polita aequarione Cubica
Cujus maxima radlix attirmarira,
rer
r = 2
Fric Aquacio quactrariea, rr + 2r. + = =0.
Cujus dux radices Negarivaen = 32 F V: 3 22--
10
P. L
atractio cullicis aliorum Bin 
EModus jam exstibita, pro inrenienda radice Binomii Cubi: aliis item
Binomiis limiliter accommodabitur, S rite adhibeatur secundum veram
L cujusque Poceltacis compositionem.
E. Duca; in radice Binomii Ouacrati
Cujus radicem Donamus
V: 29= 813.
a = Y e aue a = fV C.
Cujus Ouadracum est aa = c = 2 a Y c. aut aa + 550 = 2 a f Y0: = 19 + 8Y3.
Obi aa + ff0 = 19: _ 2 af Y c = 813.
Potito ilague
Erit
Adeoque
Ve = Y 3. Sumptoque f = Y.
2 af = 2a = 8. a = 4
aa + ffe = aa + e = 16 +3 = 29, ut oporcuie.
Ideoque Radix,
2. Trem; in
Polito
4 =F V3.
V: 22 + 12 V2.
Ve = V2. Sumproque f = c.
Frit 2a5V = 2. aY c =12Y2. 2a = 12. a = 6.
Adeoque
aa + fse = aa + e = 36 + 2. = 38.
Ouod nimium est. Foret enim 22.
Sumpto ilaque f = 2, (ut gux est aliquoca pars ipsius L2.)
Adeoque
2af = 4. a = 12. a =
Tdeogue aa + fse = 9 = 8 = 17. AC este debuit, 22.
Sumpto

## Folio 195 — 851708439:0219
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000219.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
t
C.ap. L.
A L G F B R A.
Sumpio itaque f =3, (ut quae etiam est aliquota pars iptius F2.) 
Adeoque
Ideogue
2af =6a = - F2. a = 2.
aa. + 5se = 4. = +8 = 22. ut oportuiE.
Ergo Radis V: 22 = L2V2: = a + fV2 =2 =3V2.
Vet (prOpter 3 V 2 majus quam 2,) 3V 2 + 2.
3. Similiter, in V: 38+ TZY +0:
POTito VC =V FO. Sumptoque f =L.
FACt 2af = 2a = 12. a = 6.
Adeoque
aa. +f5C = a a = e = 36. + 20 = 46. Sect elté debuir, 38.
Sumptoque
f= 2.
FREt 2a5 = 4a = 12. a = 3.
Adeoque aa + ffe = 9 + 40 = 49. Adhuc nimium.
Onde Suspicandum videtur, Y 10, nec este V ay nec V es Sed porins Vac.
Adeoque Forman radicis esse a V a =fV e;
Iplumque quadratum d d a = ffe = 2 dfV ac.
Ergo ac = 10 = FXIO = 245.
(nec plures composiciones, in incegris, admittie numerus 10.)
Et
225 =+2. af = 6 = 2X6 =2X3.
Sed ay en non pottine ette 2, +0; quia V L non etet Curca.
Sunt er80 2, 5, DT V a = Y 2, d V0 =Y5.
Atque tum, Si d = F, adeoque f =6.
FOret, dda + ffe = 2 + 180 = 182. Sed cllet 36.
Si a =6, adeoque f = T.
Erit
Si
Eric
da a +55C = 72. + 5 = 77. Ouod. eet 36.
2 = 2. adeoque 5 = 3
ada + 5sC = 8 + 45 = 53. Justo majus.
Si denique C.  a == 3, adeoque f = 2.
Frit ada + 55e = 18 + 20 = 38. ut OpOrtuIE.
Freo, Radix aV a = VC =3Y2 =2Y5.
Acque ica post aliguoc rentamina, radixe hujutmodi Binomin (liqua sic) cetto
deregetur. Sin nulla talis compareat, traud limplieius res desienabicur, quam
per Radicem Oniversalem: Ut V: 2 F V 2
Sed aliam habet Ousheredus mechodum (Clavis Cap. 16. P. FT. ) pro eflra
hienda radice Binomii Quactiaci. Dux maxis Arciticialis est, quia directe pro,
Cedit, _C nON PeT VIAL TCMLAMIMIS.
Sed haec non roro expedicior: Nec plane rejicienda, quali illegicima, quia pet
modum Tenraminis; Duoniam, in operationibus Reloluciris, perpetuo, adnuii
solet hujusmodi methodus. Ve, in excratendis Radicibus (quadratica, cubica, _c.)
iolaque Divitione: Obi lingula membra Ouociencis, Tencando investisanle:
Et maxis adhuc in, Afectarum Aiquarionum, Resolutione numerola. Ouippe
in his omnibus (aliisque paltim operationibus) tentando exploramuis, quis NH-
merus admiuni postic, aut non postic: Acque, si numerus tentatus, reperiacus justo
major, minorem tencamus; s julto minor, majorem: Donec, tactis rencaminibus,
Onehiredi mechodus (ut ance declararum est suo loco) est hujusmodi: leni
de jucto constet.
Cum Radicis Binomix (sub qua et Relidualem intellectam volo) AY F,
Ouadratum sC Ag. F F g F Z AE, hoc cst Z F 2 A: Binomit Ouadrati, majus
nomen  L = A 9. + P. g summa Cuactiacerum; ec minuo nomen 2. A, dui
pium Rectangali; iptarum A, L.
3b
Cungue

## Folio 196 — 851708439:0220
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000220.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
Cap. L1
Cumque =Z9 - AgE 9 = = ∞9 (quadratum lemi lummae, dempro rectan-
sulo, aequale quadrato lemi difterentia, duarum magnicudinum; guacunque illa
tuerine, sire Ouadrata sire magnicudines alixe:) Fr8O, V: 169 = A. 9: = 32
est semi difterentia Ouactratorum.
Oux ieaque Addira e Dempra semi summx; extribet ip(a Ouadrata,
A9 = 3Z + V: 129 - A. 9
F 9 = 52 - V: 324. A. 4.
Forumque radtices, A, F, sunc duo nomina Binomiae radieis.
2. Sic, in V: x9= 8V3: Si ab 35 = 27 9 (quactrato semissis Z9) autCraTE
18 = A 9 (quadratum lemistis ipsius 8+Z = 2 A,) ReSiduum est 361 - 192
16
a X 9. Aujusque radix quadratiea 13 = 3 X. Ouxe addira dempraque ipli
==B: Fxtibet 13 f 23 = T6 = A9, _ 13
=E 4. Radieumgue,
summa ee disterentia, sunc 4 = V3 = A F R = V: X9 = 8Y3
2. Trem in V: 22 = T2V 2. Si ab F2Z (quadrato Semistis 22,) auteratur 732
(quadratum semitis T2V2,) reliduum est 43; cujus radix quadratiea 7; addica
dempraque ipsi IX; extribet 18 = A9, 4 = F. 9. EreO V18 +2 = 3V2 +2
=A FF. = V: 22 =T2V 2.
3. Similiter, in V: 38 =+2V20. Si ab 362 (quadrato ipsius 19) auteratur
360 (quadrarum iplius 6 V 20.) Relidaum ct X; ejulque radix iridem I: qua
addita demptaque ipsi 20; exhibet 20 = A9, 18 = L 4. FrgO N 20 L Y 18
= 2 V 5F3V 2 = A F H. == V: 38 FT2V 10
Fademque regula locum haber, cciamliradix quae lica non sic simples Binomium;
sed duorum summa aut differentia.
4. Puta, V: 7 = Y 20: sen V: 9 = hVC. Si ex 12 (quadraco semistis ivtius
auteratur 5 (quadratum Lemiss 2V5,) Resduum et 28. Cujus radix ZV20, addita
demprague ipsi Z; exhibet  F 12 = A9, 3 122 = Fg. Adeoque Y Z = Y 25
+V
V23 =A +F = Y: 7 + Y20.
Si autem, in quoris horum catuum, sumatur minus nomen pro Z, de majus
nomen pro 2 A (contra quadrari naturam; urpote in quo partium, lumma qua-
dratorum, minus esse non porest duplo carundem Rectarisulo:) tacir hoc,
Quadracum Monstrosum seu impostibile; exuque Radix, ea quae dici solet Ra
dix Tmacinaria Negaciri quadrari
Du in catu primo: si ab 48 (quadrato semistis BV3) auteratur 36 (quadra
rum Temiltis 29) reliduum clt - +53: cujus radix quadrarica 13 V = F, addica
dempeaque ipti 4Y 3, extribet 4Y 3 = 2Y = 2 = A 4 _ 4Y 3 = 3Y = Z = Fg
Florumque radices, ip(a A, F.
Atque de Radice Binomii Ouadrati, hactenuis.
Radix Binomii Biquadrati; quamvis simul et semel reperiri polTie, L quod
Tir, mea methodo, post aliquoc centamina: commodius tamen id feri rideatur,
una vel altera methodo propolitarum, inquirendo Radicem quacraticam, acque
Radicis hujus (siqua lIE) radicem.
Similiterque de sex dimentionum Binomio; inguirendo radicem quacraticam,
acque hujus demum radicem cubicam: duc etiam, primo loco tadicem cubicam.
acque hujus demum quadraticam. Secundum ucramvis mechodum jam eractica
rum. Atque eodem modo de aliis ubi dimentionum numerus elt composicus.
Obi aurem dimentiones Tune, 5, 3 FF, auc alio quoris numero primo seu
incomposiro numerata; (qux supersolida diei solene primum, secundum, ter-
rium, _c.) Radix Binomia (Liqua lic) post aliquot rentamina certo deregetur
timili modo ac in Binomio Cubo. Ouippe V an auE V e, auc uiraque, inspectu
ctacim parebic, acque cum à ee f pro cujusque compolicionis ratione
Sic in Supersolido, seu quinei ordinis Binomio. Polica Radice dV a = fY c:
Supersolidum erie, dadd daav a = 5 d d dd f aaVe =0dd d5fac V a =
20ddfffaeVC +5aFFFeerat555Ff eeY
La l   a A.
Adteoque

## Folio 197 — 851708439:0221
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000221.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
LaP. .
Adeoque nomen unum, dd dadaa
10adaFFaC Va.
+5 affffeed
Alterum,
Obis post an en manisestas; a, 5, facile detegentur.
Auc etiam, s non uraque, sed altera Calrem pars sit surda: puta a = f Y e:
Superlolidum erit
aaaant saaaas vetroaaasfe= ronassse vetsafe  e e E.
Fc nomen unum aaada Allerum, Safe.
= 10aa aFfC.
5affs fCc.
L T0aaFFFeV C.
fsfseeVe.
CBi, post e seu Ve manitestam; s, an cencando pacetient. Es similiter in aliis
potestatibus.
Verum haec omnia, de Binomiis Ouadraricis, Biguadraticis, et Superiorum
Poteltarum; lune Digrellio hic loci: Tumpra occatione ab inrestigatione radicis
Binomii Cutri, ad pertectam Colutionem Aiquationum Cubicarum. Oua de re
perpendimus quae iadiderat Fharriotus ad propoliciones XIL et XIII. Aliaque
nos addidimus qua crant necellaria.
Dua leguunts quaciones, lune Biguachracica.
C A F. FL.
Resiamm decclonis Seutae Tlarrioci; de Squationibus
Biguadraticis.
rOuaciones reliquae sectionis SexIX Tharriori (Pos eas quas jam tra-
didimus) Tune Biguadratica.
Ouarum quamris ille pertectam solutionem in Speciebus non exti-
Beat (ut nec alii ante illum Algebrista;) nisi quatenus (diridendo) selolvi
potunt in simpliciores, ex quibus (mulciplicando) componuntur. (De quo
jam dictum elt.) In ordine tamen ad faciliorem carundem Solutionem, collit
ille (ex carum plurimis) cerminum secundum: Ouod similirer in aliis (liquas
omictit ille) fieri Porerie.
IIIx aurem hae sunt.
XIV. Aquatio aa aa + 4b a2a = =5566.
Potico a = + e - B; Adeoque
eccc = 4Becc + 6bb ec = 4bbbc. + bbbb =  aaaat
L+Bece = 12bb eC + 12bbbC - 4bbbB = = qBaa 4C= + C66C.
Hit ecce -6bbec + 8bbb0 = +000c + 3bbbb. Cujus radix e = + a +b.
XV. Aquario acaa 4b4aa = + 6666.
eotiro a = F c = B; Adeoque
eecc + 4b ecc + 6bbec  4bbbe = 66bb ==  aaa 
4becc = +2bbeC - 12.bbbe = 4bbbb = - 4b4445 = =6ccc.
Fit eeec = 6bb ec = 8bbbe = FC66C + 366bb. Cusus talla 6 = a - b.
l e   a 
5ddddfaa
10995aC
Vel.

## Folio 198 — 851708439:0222
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000222.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
d li le Li de d
Velus Dotito a== - e F B, Adeoque
eece - 4becc = 6bb ec = 4bbbc. + 6bbb = + aa a a d
=4becc = +2bb cc + T2 bbbc = 4 bbbb = - 4 ba 4 a5 = = cc0c.
Fit cece -6bbec + 8bbb0 = +c05c + 36686. Cujus Radix e = - a t b.
XVI. Aquatio a aa a = 4b aa a = - 6666.
PoTito a = F e Fb; Adeoque
cece +4becc+ 6bb ec + 4bbbc = BBbb = f aaaa
=4b eec = 22bb ec = +2. bbbe = 4bbbb = - 4 Ba445 = = 6606.
Fit cecc = 6bBeC = 8BBBC = = eccc = 3bbBB. Cujus Racis, e = + a- b.
Veh Potico a = - c. + b; Adeoque
eece - 4becc + 6bvec = 4bbbc = Bbbb = + aaaa
+ 4b eec = 12 bbec + 126bbc - 4 bbbb = = 4 ba a 45 = = ccc6.
Fit eecc =6bbec. + 8bb00 = = cc05. + 36b60. Cujus Radix e = a + b.
XVII. Aquacio aaaa + 4 ba4 a = = 6506.
PoTto a = e - b; Adeoque
cece = 4becc + 6bbec = qBBBC. L BBBD = = aa aa
=4bec0 = 12bb ec + 12. bbbe - 4bbbb = + 4b aa a5 = 6600.
Fit eecc = 6bbec + 8bbBC = = c505. + 3bbbb. Cujus Radix, e = + a + B.
XVIHI. Aquatio aa aa + 4 baa a + d a d a = =550C.
POFIto a = e -B: Adeoque
eeec = 4becc = 6bb eC = 4bbb C + b0bb = + aaaa3
1 +4bec0 - 22bb ec + 12bbbC - 4b6bb = + 4baa a = =CCC6.
 adde- bddd = + addad
Fit cecc -6bbeC + 8bbb0 = + c00c. Cujus Radix e = + a + v.
 addo, + 3bbbb
bddd
ZIX. A quatiO aa a = 4 Baa 4 - ddda = + c5C0.
Posito a = - c + b: Adeoque
cece = 4beec + 6bb ec = 4bbBc = B0bb = + aca a)
F 4bcec - +2bb CC = 12bbbC = 4Bbbb = = 4baa ac = = CCCC.
adde = bdda =- addad
Fit cece =6bbec + 8bbb0 = f cccc. Cujus Radi e = - a + b.
addc + 3bbbb
 badd BA
Vel, Polico a = = c + 3, Adeoque
ap. L I.
becc + 4be00F 666e6+ 4bbb c + bb00 = 1 aal a)
4beeC = 12bbce - 12bbbC - 4b66b = = 4 baca = + C666.
dade - bdd== dd d a)
Fit
d
XV
edine
in
ee

## Folio 199 — 851708439:0223
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000223.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
Cee
aet
1
C ap. L. L.
A L C F B R A.
Fitus eecc = 6Bbec = 8bbb0 = = cccc. Cujus radix c = a = 
 addc + 3bbbb
= b a d d
XX. Aquatio aaaa + 4b a aa + 5f a 4 = + 5500.
PoTito a = = e -- b. Adeoque
ccce - 4bccc + 60b ec - 4bbbc = bbbb = + a a a a)
4b ecc = +2bb ec + 12, Bbb c - 4b68b = + 4 baaa E = = 566C.
+ fsec = 2bffe + bbff = + fsaa
Fit cece = 6Bbec = 8bbbe = F cCCc. Cujus racix c = f a. f B.
+ fsec = 2bffC = 366bb
bb ff
XXT. Aquatio a a a a - 4 b a a a = f5 a a = + 6666.
Potito a = - c = b: Adeoque
cece = +becc = 6bb ec = 4bbb c = bbBb = = a. a. a. a)
4beec = +2bb ec + 12bbbc - 4b660 = - 4baaa = + 6566.
fsec - 2bffe + bbff = Ffaa)
Fit eccc = obBec. + 8bbBC = = cc05. Cujus radix e = - a. +. B
 Isec = 2bFFC + 3b3BB
665)
Velu Dotito a = f e F b. Adeoque
eece =+becc + 6bb ec F 4bbbC F bbbb = = aa aa)
=4 becC = +2 BBCC = ZZ BBBC = Abbbb == = 4 bana  = = 6656.
 ssec  2bffe + bbf5 = + f(a0)
Fit cccc =6bBCC =8bbBC = + 5056. Cujusradix e = - + a - b.
Ssec +2bFsC + 36066
bbf)
XXII. squario aaaa + 4 B aaa + 5s aa  a dda = + ccC0.
POTito a = = e - B: Adeoque
cece = 4becc = 60b ec = 4bbbc = bbBb = + aa a
F 4beec - 12bb cc = +2bbb e - 4666b = + 4 baaa l
 ssec = 2bffe + bbff = + ff aaC = + C606.
 ad de - bdda =  d d d a)
Fit cccc - 6bbec + 8vbb0 = = ccc0. Cujus radix, e = + a. F. b.
= fsec = 2b5f0 + 3bbbb
 adde - bbff
bdda
ZXIIT. A quatio, a a a a = 4 baaa + 5fa a - a 4da = + CCCC.
POTito a = - e + b: Adeoque
eeee = 4becc + 6bb ec = 4bbDe F bbbb = + aa a a,
4b eec = +2bb ec + 12bbb e - 4bbbb = - 4 baa = F C666.
 ffec- 2bfFe + bbff = + ffa a
adde= bdad- a ad a)
Fi

## Folio 200 — 851708439:0224
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000224.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
A L G F B R A.
CaD. L..
Fit cece = 6bbec +8b6b0 = +0556. Cujus radix, e = = a +. b.
 fsec = 20ffe. = 3bbbb
 dade - bbff
Lbadd
Vel, Posiro a = f e F b. Adeoque
eece +4beec + 6bb ec + 4bbbc- F bbbb = + a a a a)
4BCCC = +2. bbC C = +2 bbbC - 4b0bb = - 4baaa  = + 566C.
L fsec + 2bffe + bBFf = + ffaaC
dd de - b d d d - - d d d a)
Fit cece -6bbec -8b6b0 = + 6c0c. Cujus radix e = F a - b.
+ fsec + 2bffe + 366bb
ddde - bbff
Bddd
ZXIV. Aquacio, aa aa = 4 b a a a + 55a a = d d d a = = c0Cc.
Potito a = + c + b. Adeoque
eecc + 4beec. + 6bbcc + 4bbbc. + bbbb = = aaaa
4bCCC == 12 b b ec -- 22. bbbc -- 4bbbb = - 4baaa (
+ fsec + 2bffC + bbff = + ffaa = = c6C6.
adde - bd dd - d d d a)
Fit ecce = 6bb ec - 8bbbe = = c560. Cujus radis, c =. + a - b.
+ fsec + 2bffe + 366bb
adde = bBFF
Bada
Vet volico a = = c + B. Adéoque
eecc = 4Becc. + 6BBeC = 4bbbc. = BBBB = = a a. a. a
= 4b eec = +2 bb ec = 12. bbb c - 4 66bb = - quaaa
+ fsec = 2bffe + bbff = = f5aa = - cC0C.
+ ddde - b d d d. - - d d da)
Fit cecc - 5bb ec + 8bBBC = - 550c. Cujus radix, e = = a. + b.
ffec - 2bffe = 36bbb
 dddc = bbff
 bada
ZXV. AE quatio a a aa = 4ba aa - 55 a a = d 2 d a = + 65c6.
Potito a = F C -B: Adeoque
eecc - 4be ec = 6bbec = 4bbbc = BBBB = + a a a a
 4 bCcc - 12 bb c c. + T2bbbc - 4bbbb = + 4 beac
ffec + 2bffC -- b
fa a
 adde = b dd a + ad d a)
= + 6606.
Fit cecc =6bbec +8bbBC = FccCC. Cujus radis, e = + a = b.
00 + 2bffc - 3666b
dade + bBff
Fbd d a
XXVI. Rquaio au a a. + 4baa a + f5 ac - adda = F 5500.
Polico, a = + e -- b: Adeoque
eCet
die

## Folio 201 — 851708439:0225
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000225.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
+ 61
1
Cap. Lil.
A L C F B K A.
ceec = 4b eec = 6bb ec = 4bbbc = bbbb = + a a a a
=+becc = =2bbCC + T2BbBC = 4bbbb = = 4 baaal
+ fsec = 2bffC +bbff = + ffaaC = +66660
adde + bdd - d d a 4)
Fit cccc = 6bBec +8BbBC = = 6CC6. Cujus radix c = + a = b.
 fsec = 2bffe + 3666b
adde. = bbf)
bada
ZXVII. AE quatio a aa a = 4 ba a a = 5fa a + a a da = = 6566.
Potito a = = c = b. Adeogue
eece + 4bec + 6bb ec = 4bbbC = Bbbb = = a aa a
= 4 b eee = 12 bb eC = +2. bbbc - 4bbbb = - 4. baaa l
 ssec + 2b55C + bb55  +Ffa aC = + 6666.
adde + bddd =  dd da)
Fit cecc = 6bbec = 8bBb0 = +c555. Cujus racdix e =  a = b.
+ ffec + 2bffC + 3b6bb
ddde - bbf)
bada
Vch, Polico a = = e = b. Adeoque
eecc = 4becc + 6bbec = 4b2bc + 3bBB = + a a aa
= 4bCeC= 12bbCC + +2 bbbC= 4b66b = - 4 Baaa = = CCCC
+ Ssec - 2b55e + bb5) = + 5s a ac
adde = bddd =  a d a 4)
Fit ecco = 6bbec + 8bbBC = =c5CC. Cujusradix e = - a. f. B.
 fsec = 2b550 = 3bbbb
adde -- bbff
=bdda
ZXVIIT. A quacio a a aa + 4ba aa =F( a a = aa da = + c550.
POtito, a = e = b: Adeoque
eece - 4Becc + 6bbec = 4bbBc = BbbB = = a a a a)
= 4 becc = 12 bb cC = T2bb b C - 4bbbb =  qbaaa 
fsec + 2bffe - bbf5 = - fFa a= + 666.
aade + badd =- ddda)
Fit cece -6bbeC = 8bbb0 = +6556. Cujus radlix e =. + a = b. sii
=fsee = 2bffe + 3b6bb
dadc. F bbff
badd
XXIX. A quatio, a a a a = 4. baaa - 55aa + a a d a = +6C6C.
POtico a = F c = b. Adeoque
eece + 4beec + 6bbec + 4bbbc = bbbb = + a a aa)
4b ecc - 12bb ec = +2. bbb 0 - 4606b = - 4baaal = + CC6c.
ffec = 2bfFe- bbff -  fFaa
ddde +bddd= + dadad
1053
Fit cecc = 6bb ec =8bbbC = =6CCC. Cujus radix, e = + a - b.
Vel
1Tec = 26ffC  366bb
 adde +bbff
bddd

## Folio 202 — 851708439:0226
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000226.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
A Y C F B R A.
Vels POsito a = = e f b. Adeoque
eeco = 4b eec = 6bbec = 4bbbc = bbbB = + a aaa)
4beec-- 72 bb e c = T2 bbb e - 4bbbb = - q baaa C
ffec  2bffe - bbff - - fF a aC = C6C6.
adde +bddd =  ddda)
Fit ceco -6bb eC + 8bbb0 = + 50CC. Cujus radia, e = - a f B.
ffec + 2bffC = 3bbbb
addc + bbff
bddd
XXX. Aquatio aa a a = 4baaa - 5F a a = d a d a = + 555C.
Polico a = = e + b. Adeoque
ecco +4beec = 6bbec = 4bbbc = Bbbb = + aaaay
4be00 = 72 bbeC = +2. bbbe = 4 bbbb = - 4baaal = = cCCc.
ffec = 2bffe - bbff = - FFa aC
ad de - b d d d = - d d d a)
82
FIt CCCC =6BBCC =8bbBC = + cCC
c. Cujusractix, c = + a - b.
aade Lbbff
+bddd
Vel, Potito a = - e = b. Adeoque
eecc - 4Beec = 6bb ec = 4bbbc = bbbb = + aaaa)
= 4 becc = +2 bbCc -  +2bbbC - 4bbbb -  4 baaal
ffec + 2bFFe - bbff = - fF a aC = + 6666.
 adde - bddd - ddd a)
Fit eccc = 6bbec + 8bbbe = = cccC. Cujus radix e. = - a + b.
ffee + 2bffC  3bbbB
 ddde = bbff
F bddd
ZXXI. A quatio a a a a + 4 ba a a - ffa~ = +6C66.
POTito a = f e - b. Adeoque
cecc = aBeec. + 60bcC = 4bbbc = BBbB = F a a a a)
+ 4beec = 12bbec = +2bbbc - 4666b = + 4 baaa C = = CCCc.
ff ect 2bffC - bbfF = - ffa a)
Pit cece =6bbec + 8BbbC = = cccc. Cujus radix e =. + a + B.
FFec +2bff0 + 366bb
+66f5
XXXII. AquatiO, a 4aa - 4baa a - 5F4 a = + 0c06.
POTico a = F e = B. Adeoque
cece +4becc = 6bbec + 4bbBc = BBBb = =aaa4)
4be e0 - 12. bb eC = 12bbbe = 4bbbb = - 4 baaa = = CCC6.
(sec = 2bffe - bbff = = FFaa)
Fit cece =6bb CC = 8bBBC = FCC5C. Cujus radix e = = a - b.
f(e0= 26550 + 3bbbb
bb
Veh rotio a = - e + b. Adeoque
Cap. Lil.
Cd
2X
Potue
d

## Folio 203 — 851708439:0227
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000227.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
+66
+160
Cap. L. II.
A L G F B R A.
eecc = 4beec + 0bbec = 4BBBc. = bbB0 = (1 d. l. a )
46600 = 1200b6 126bbC = 46666=- 4baaa
SCc + 2bffe = bbff = - FFa a
Fit eceo = 6Bbec + 8BbB0 = + 555C. Cujus racix, e = - a f B.
(sec = 2bffC + 366bb
 bbff
ZXXIII. Aquatio, aaa a + 4baa a = a a da = + 556C.
Potico a = = e = b: Adeoque
eece = +becc = 6bb ec = 4Bbbc = BBbB = - = a a a a)
+ 4 beee - 1266e c + 12bBb c - 46666 = + 46aaaC = = 6666.
ad de F bd d d =- d d da)
Fit cecc- 686ec +86660 = =5c00. Cujus radix, c = f a + B.
dd de + 36663
badd
XXXIV. Aquario, 244a - 4b a a a. + d a d a = + c06c.
POtIto, a = + e f b. Adeoque
ccce. + 4Becc + 66bec + 4bbbe = Bbbb== = a a a 4)
4beec = 22. 6b ec = +2 bBbc - 4666B = - 4BaaaC = + 6666,
+ adde + bdad=  ddda
Fit cccc -666cc - 86660 = +5556. Cujus radix, c = + a - 6.
 dade + 36666
bddd
Aliaque muica exempla potuillent acdi ( aut etiamnum postunc, si cui libet id
prosequi:) sed haec sutticiune ut quae calus trequentiores alcingunt; viamque
montrane plura deliderantibus.
FIa autem Biquadratiexe, non (ut Ouadratiexe Cubicaque) ad simplices redtu-
cuntur; adeoque nec perfecte Tolruntur: sed Terminus tantum secundus abjici
cur. Ouod et similiter tiet in Aquationibus acthrue altioribus. Atque sic delinie
Algebrae TCarrioti pars prima.
Pertectam aurem alciorum Aquacionum Retolurionem, retert ille (ut anre il.
lum Oushireauis ee Pieca) ad luam F.resesin Numerosam, quam parre secunca
tractat.
P.
+CCCC.
De FTarrioci parte Secunda:; Quae est de numerosa
Resoluitione Agnum AffeCtarum.
EGebra Flarriosi pars secunca, verlaur in Pregesi Numerosa; Lve Fx
tractione Radicis Afectarum Aquationum in Numeris, qualem in simpli
L cibus Aiquationibus achibere Colent. Cujus quidem intienis usus est
praelercum in A. quacionibus acioribus, qlae duttreus admicune alids teclolrendi
Regulas.
tionibus Simplicibus: praeserrim pro extrahenda Radice Ouactratiea, Cubicaque;
Craco alibs.) Fam aucem sequacionibus ARectis (neleio au) Pioca primus omnium
2
adhibuie
Fac Exegelis Numerosa, jam olim cognica est, et pastim achibita, pro Aqua-

## Folio 204 — 851708439:0228
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000228.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
Cap. L.il IL.
Adeoque Si libeat P (aliamre similem) Pro Nota Radicalitaris in Aquationi
O
Ouippe, urroque casu, per Numerolam Pxegetin exhibebitur vel accurace, vel
De hac autem jam supra actum ell, u de fxractionibus mixtis egimus. A
qua cum Mechodus FCarrioti non nucum est dirersa; eam hic non repeto.
Sed cum ea magna rarietatis res sic, multisque calibus de disticultatibus obnoxia,
Scripleruur, rariaque extribuerun esempla: Oualia e ego in sequentibus, pro
04
Extenditur ea ad omnes cujuscunque gracuts Aquationes AFectas; non minus
quam ad Simplices. Ec radicis ralor iM slectis non minus vere siC extibetr
LL G F B R A.
adhribuic: F  Post eum FCarriotas, et Ousbcredus; addiris regulis, quo id expe.
dicius AaF.
quam in limplicibus. Accurate quidem; ubi numerorum natura paritur: es, in aliis,
concinua laltem approximatione; ue in lurdis Radicibus (Y2, Y3, etc.) per nume.
ros abloluros quam proxime exponendis.
bus Attectis achibere, uc V in Simpsets: puta B. aa a = 7a - 6 =0. non
minus lic indicabitur radicis a valor, gua V2, (eu V: a a = 2. autB. a a -
quamlibec proxime, radicis ralor.
data occasione, sum exhibliu.
(qua Exemplis melius quam PrXCEPHS EXPOHeNEE) Lectorem ad Auctores illos
remitto (Vietam, Ouchtredum, Farriotum, _ E quos alios) qui de ca re fusins
Recapitulatio dicoro uot sab
aco Geto Cumilbe recuoberat.
fectiones Cieometricas, Ille in hoc opere non aingit: quales Chetaldus
L extubet in Tuo De Compositione  Resolusione Mathermatiea Practatu: Oueh
Deque ADCbram IWam DECIMasI atre u Subjecto applieat; Ere Geometrico, Sire
alii Se quq in hoc tractatu, Algebram simpliciter e nude consicerat, suis ipstus
principis nixam ablque ulla a puris Creomerricis dependentia, auc cum illis con-
nexione.
Fujus ad Ccometriam aliaque lubsecta Decularia accommodatae, Exempla pluri
ma dederun Vieta, Ouehlredus, allique ex modernis plurimi; ne et Veteres no
minem. Sed non erat illud hoc in overe FTarrioti negotium.
Ouacenus le ille tecerat in aluis luis Operibus, mihi non liquet: ut quae nonduim
edita sune, neleto an aliquando cdenda; nec laris seio nuncubi jam eXtanE.
Ouod Tuctse quidem iptius seripea aliqua multa, rariori crudicione reterta
Pacis innuit (qui eam edidic) H arnerus, in Pratatione _ Fpiloso iptius Alseora
quam ut Proaromum aliorum Port cuc Praemisie, quo ea melius incelligeren.
Tur. Cus auten illa alia non sequerentur, isnoro.
Sed puram Mcebram, Prout ea Rarionum Computationem et Fractationem ab.
Soluce considerai, ab omni particulari subjecto Abstractam; nulluS CO DrIOF aut 2C.
curatius auc plenius cradidur; 2 propriis, genuinis, verisque principiis deductam.
Ouxque Cartescus (qui suam inde Algebram mutuatus videtur) aliique post ad-
diderunt; jactis ab EB LIINCaIHEHCS (CeLL HOH LidetOribus) nitunEuT.
Old de Le, Non importunum erie, Parrationem hic altexere quam a D. Johanne
Pellio nuper accepi, de D. Carolo Cavenayb L. Gulle Aurato, (Tratre unico Cniti-
emi cum Comitis, DOs Ducis, de Novo C.astro.) Vir ille Nobilis, Macheleos
CCa verItIS; Parrsus cum vertabatur. Et Coroquio habito cum D. Robervaltio,
de Carressi illo opere tum nuper ediro: Mos c (inquit Robervallius) C’arte-
sit locionem illam de tota AEquatione in undu Paltem rerocanda, ue nihilo xque
FIr: S quomodo in hanc inciderit. Cur istur admiraris (inquie Hlonoratistimus
Egues) elt, quod Gallus es; quipre si Fores elus detineres mirari. Ouid ita:
inquic Robervallius. Ouoniam (reponic Lques) nos Ansli seimus unde habuerii:
nempe
Xpoluimus jam praecipua quae tunc in FTarrioti AISebra.
tredus item in Clavi lua; aliique.

## Folio 205 — 851708439:0229
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000229.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
lug
Cap. L. .II.
A L G F B R A.
nempe, ex Fharriori nostratis AIgebra. Eequis (inquit Rovervallins) est ille
Liber Fgo non vidi. Cum proxime (respondet Eques) domum meam ac
cesteris, eso tibi illum ostendam. Ouod paulo Dolt contisit. Libroque in
specto _ eroluro; IIP a veu. ZP a veu (vidic: profecto vidic :) FXclamat
Drocinus Robervallius: Cum ea ip(e apud Fharriotum invenerit quae in Cartesse
prius miratus erat: non dubitans quin ea inde habuerit Carresius. Iaec ab ip(0
Eguire Cavendisio accepta, mihi dictavit (ab ejus ore exleribenci) Pellius; r0
lurtque ut hic insererem.
Accestiones ilaque ab LTarrioto (ut jam dictum clt) AlBebrae Factas, has po.
cilsimum reputo.
Ficeras Minusculas pro Majusculis substicie, in designandis speciebus;
vexore minus spaciim occupantes: praeserrim cum lxepius repetendae veniune.
3. Ouadratorum, Cuborum, Supersolidorum, ecc. denominationes dectinat; cil-
que detignandis achibet (naturalius) racticis notam tories repetitam, quor ejus
innuuntur Dimentiones. Puta; an a an a a a a a a a, eC. prO A, A9, AC, A99, ec
Ouarum numerus, cum plures sunt, compendiolius appensa tirura numerali in-
nuitur: ut a, a, a, eC. DEO aaa, aaa aaaa eC.
3. Aquationem inteoram, ad unas partes rerocat; nihilo aequalem Faciens.
Acque (in quem tinem id tactum clt.)
4. Oltendit inde, veram originem A quationum superiorum, ex Composirione
Laceralium (Taltem simpliciorum) Aequationum. Oux Clavis elt intignis pro
relerandis abstrusioribus in Alechra mysteriis. Ouam ipsi, credo, primicus e in
Tolidum debems.
5. Finc determinat, Oude sunt in quaque Aquatione Radices; (AFirmatira,
Vegacirae, aut Imaginaria dicta;) Nempe; coc quoc sunt in radieis supremo ter-
mino dimentiones.
6. Hinc iem deregit, reratu Guancirais Abtoture caenicx ( quod Zlomoee
neum Comparationis vocat Vieta) constructionem: Nempe, ex omnibus quot-
quor Tunt radicibus continue mulciplicatis.
7. Trem Coefficientium omnium consticurionem; nimirum, ex quot _ quali-
bus membris quaeque Coetticiens consistic; et, ex qua radieum inter se muscipli-
catione componitur quodque membrum.
8. E (divisione) resolvicur Aquatio compotica, in simpliciores illas, ex qui-
bus (mulciplicando) constitmitur.
O. Determinat item Caequationes communes, cum Canonicis, comparando,)
Ouoc lunt in quaque aequatione Râdices Reales (non imaginarix tancum,) quor
que ex illis sune AlFrmativae, _ quoc Negatirae
20. Reducie aequationes Conditionatas, ad simpliciores tormas; ex suppositione
quarundam aequalitarum seu provorrionum, radicum inter, se comparatarum:
Onde prodeant loca quaedam racua, aut caliter conditionata.
+r. Adeoque, ex locis sic vocantibus, auc sic conditionatis, tales radicum col-
ligic incer le rel aequalitates ret proporriones, ipore unde loci sic vacances
aue sic conditionati proveniant.
12. Convercie pro acbicrio (muratis signis locorum pacium) radices omnes
Necaciras in ACtrmativas, e ACirmatiras in Negaciras.
13. Mulciplicat icem Diridicque, in ratione daca, aequationis Radices, eliam.
num INCOBNHaS.
74. Hhoc arcilicio, Coeticientes a Fractionibus ee Surdis liberat.
25. Auget item, minuicque, radieis nondum cognicae valorem, data magni-
tudine.
26. Eoque artilicio, s sert occatio, ex radicibus Negatiris (unam pluretre)
Facie ANrmatiras; au ex AFirmatiris, Negatiras.
27. Fodem artificio, cerminum unum pluretre, ex incermediis, Aquationi
demit; camque reddie pauciorum terminorum aequationem.
18. FL speciarim, secundum terminum demic; augendo auc minuendo raclicis
ralorem aliquoca parte Coefficientis, quae a numero dimentionum lupremi ter-
mini denominetur.
79. SEquationes Ouacrarieas aftectas, Lic redueir ad Ouadraticas simplices.
20. Similicer squariones Cubicas ARectas, aet duas formas redueir omnes
ulceriori relolucioni ralde commocas.
LL. Redueir

## Folio 206 — 851708439:0230
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000230.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
A L. C F B R A.
Cap. I. I.
2Y. Reducit porro casdem Cubicas AFectas, ad simplices Cubicas; quatenus
recepta SpeciCrUM nOTaLIO PaLIEE.
22. Detegit eas Cubicas AFectas, quae talem designationem non pariuntur.
absque Imaginaria radice Ouadrati Nesaciri. Panque incapacitatem demon-
Crat.
23. Ostendie interim (quod ante haud credebatur) aequationes illas, Radices
habere Reales, e non tantum Imaginarias.
24. Peculiarem ostendie methodum (ralde commodam) reducendi Ouadea-
licas Attectas, ad quadraticas simplices: complendo Quadratum in speciebus.
25. Aignationum afectarum Fxegetin numerotam, a Vieta incroductam,
promoret ille et expediciorem reddir: expolitis ad eam rem variS ParadIS
matis.
Hlaec omnia vel sunc ab illo explicite tradita, vel ex ejus tradiris stacim inno-
telcune, ipsi quasi inspectui obria. Laque, s non omnia, pleraque Faltem ab
ipso videntur excoxitara: utut, in paucis Forte, praecesserit Vieta, aliire.
Acque ad hunc lacum reduxit Algebram, Posthumum illud LCarrioti ODUS,
anno 163F cdirum: sed multo prius conseripium; cum Fuerit ipse anNO X62 F
MOrTIUS.
Postquam haec tuerant anslice cdita; a Viro quodam Frudito interrogatS.
de eis quae de Carresio hic dixeram, Respontum incerroxanci praeltici, quod (cum
ejuldem Epistola) hic sequitur.
Reverendo C Inclytissimo VIrO, D. TOTAMML WVALLIS
T. D. Geometriae Professori Publico. Oronia.
Tan. 8. 1683.
Ronam spem habeo (quae Ma est humanitas) Te aqui bonique con-
Tulcurum intespellationem hancce, ab homine obseuro, ribique proxsis
Eionoco, datam. Ne longis e Faltidiols ambasibus ce detineam, Oc.
catio scribendi haec ett. Lesi aliquo tempore abhinc in Libro tuo elegan-
cristimo, planeque aureo, que de rebus Algebraicis conseripleras, Cartesium il.
tum Philocophum decantatittinum, eoque nomine praecipue, quod nullis utuS
Tublians Systema eam concinauu proprio Marre excudere pocuerit: illum, in-
quam, in Geometricis lucem maximam mutualle ab Onehtredo ee TTarrioso no-
Aris; corumque vestioiis institisse licet corum nomina industrie suppreserit
Cum haec inter fermones conserendum Proteltori cuidam Vltrajectensi (ubi
cminc ver(ox) retuleram; Rosaric ut eso pasinas ueriusque Auchoris subin-
dicarem, ex quibus appareret rera esse acculatio. Fateor me non pocuilse:
Ouippe cui Carcesii Ceometria non Paris tamiliaris fuerit, licet in Ouehtreds
medioeriter sum verSatS. ROZO ergO a FC, ut hoc laboris Fibi imponi sulti
CneaS; Caltem ut ad ea loca in utroque authore me remittas, ex quibus com
parandis discerni melius porerit Cartesir Plasium. Post veniam suppliciter de
precatam, ec voca pro telicitate tua et in seculo et in secuta leculorum tacta,
enihil habeo quod aedam nili me ellem
Summum Diccatis e Eruditionis
Caliorem et admiratorem,
SANDELEM MOELANDOM
Eguiris Aurati nepotem ejusdem nominis;
Scieniis Machemacieis acddictitimum.
Vir Rererende de Tnelycissimen
06
Cui sic respontum elt.
Clarissimo

## Folio 207 — 851708439:0231
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000231.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
N
A L. G F B R A.
ClarmO VirO D. SAMDELL NTORLAND, Otraject
Clarissime VH,
Oxoniae Martii L2 2688, Scilo neliae.
Treras mas Orajecti datas Zan. 8. 4688. (neleio quo stilo) Accepi OxO-
nia Marrii 7, 2688, Ctilo Anglix; hoc est, Marrii 27, 2689, stilo novo
Ouaris inibi de Plagio Carresii. Verum c9o Plaeil nomen Cartesio
(ne parum urbanus videar) nusquam impingo. Hoc saltem dico; Ejus AI
gebrae pleraque (si non omnia) tuisse ab alus ance, tradita, (Flarristo praeser-
eim nostro,) quibus eamen nominandis abstinet.
Ouod Alsebra rebus Ceometricis accommodari possit, soleatque; res nOVX
non elt. Id Fecerunt (ne aneiquiores nominem) Vieta Chetaldus, Dueheredus,
aliique Cartesio priores. Cui, Alsebra Ope, et Arichmeriea Speciola, Proble
mata plurima Creometrica expoluerune; alii alia, ut Cartesius fua. Novaque PrO
blemata, veteri arce, indies excositari, aut aliter quam ante explicari, nemo neleit.
Sed non jam asitur de Alsebrae ad Geomeriam Applicatione (qua res retus
cA) Sed de ipla Asebra Cartesiana, pure considerata.
Oncheredi Claris Machematiea (ipso rirente,) de Farriori Algebram Peu Ana-
lytice, (opus posthumum, quod, ipso ante decem annos mortuo, cdidit W al
terus arner, Sed suo Fditoris nomine celato,) prodierune primum, ANNO 163F.
Ghetalai opus posthumum, De Compositione e Resolutione Mathematica, PrO
diit Faltem Anno 163O; (nescio au prius; tuerunt enim plures ejus editio-
nes; cratque ile mulco ance scripeis Machematicis celebris.) Pieta his omni-
buS PrioT. Carresii Geometria (quam c0o Alsebram porius dicerem) non ante
annu 1637, acque tum Crallice: Sed Latine postea, à Francisco Schootenio
edica, Annis 2649 et 1659. Quam es0 (juxta editionem 1659) sic ordine
DeTCUTTO.
Pac. Y. Ouod Operationes Arichmetiea, Addicio, Subtractio, Musciplicatio,
Diritio, et Radicum Fxtractio; juxta Speciolam Arichmeticam, d Vieta intro-
duetam, superiori seculo; rebus Greometricis accommodari Toleant; liquis du-
Bitet; Vietaum consulat, Ghetaldum, aut Oushtredum, (ne alios memorem:
Obi rideac passim, ODux quibus operacionibus cicomctricis respondeant opera
tiones Arichietica SDCCIOCX. LI Post Problemata Arichmetice expolica, Oueh.
credus Fere semper subjicit (prout res patitur) Fffectiones Greometricas.
Pac. 2. Inventio quareae tribus datis proportionalis, aut datis duabus terrix
continue proporcionalis, aut media proporrionalis, in Lineis, (quae Mulciplica-
tioni, Diritioni, Aurea Regula, e Radicis quadrarica Extractioni, in Ariitime
rica Speciola, respondent,) res esse noras nemo judicareric; sed olim tritas.
FaIGuE UE seS TIIaS MCMOTAL OuehtredUS, PrOP. 18. Cap. 29. Prima Pditionis:
item Probl. 5, 6, 7. Cap. 18. Sequentium Editionum
Pac. 2. Substicutio nocarum A, B, C, _c. aut a, b, C, dc. Pro rectis, aliitre
maeniudinibus Ceometrieis, (auc quibulris aliis,) post introductam arictmeti-
cam Speciolam; res nOra non Cst. Sed es ante obcinuit mos ille, utue minus
Freguens. Signaque = = V eec. jamdudum ante in ulu fuerant. Cur autem,
pro antiguicus recepia Aqualicais nOta =, noram Tubsticuerit Carretius x, non
video. Frat enim illa Dotior.
3
Pac. 3. Onitatem, Radicem, Ouadeacum, Cubum, exteralque Porestates; Hoc
est, F, A, AA, AAA, AAAA; Feu T, a, aaqe aaam aaaa, eeC. Contine proPOrciIONa
lesu seu in progrestione Ccometrica contticutas ce, omnibus est nocm; et res
ipta patet. Adeoque posse, vel per Literas (c Politas, vel etiam (Si Libet) per
rectas continue proportionales exponi; aut ctiam per alias quastibet homogeneas
magnicudines continue proporrionales; quarum prima ponatur i, secunda Ra
dix, cerria madracum, _ sic deinceps. Sed in Rrichmetica Speciola, Per noram
aliquam Liceralem plerumque nocari (olent. Neque haec res nova cst.
In hunc utum, Vieta, Cheraldus, Ouehtredus, aliique, liceras Majusculas ple-
rumque acthibebane; Duta A, AA, AAA, ec. B, BB, BBB, _c.
Carcesius malic liceras Minusculas achibere. Sed neque hoc norum est; sed id
ante tececat Flarriotus, per cocum librum luum; puca a aa, aaa, ec. b, 6b, bbb, ec
Ouehtre.
Cap LHI

## Folio 208 — 851708439:0232
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000232.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
LidP. L
A, AG AC, A9q, ecc. (ubi q semper innuit duas dimensiOneS; 6, eres;) sic docet
ille Cap. 4. Sect. 8. prima Fditionis: et Sect. 6. Dolteriorum. Dlec multo alirer
Sed d dimensionum numerum, altoi, Ousheredus fisura numerali indicat. Sic
Cap. T2. Sect. L. e sII utraque Lavella ejusdem Capiris, (EdirioniS rum peima
cum posteriorunt,) G ,Gq Cll. POTIIS 29 3, 4, ec. Trem prO 19, 16, 199
Ec. Potitis V 13, V _. aV,V, pro radice poteltatis sextae, et duodecima,
Cap. 25. SCCt. TF. Acque jam olim Bombellius, aliique.
Ntalit Carrescus, notas qc, omittere; ee dimensionum numerum indicare tories
repetica noca radicis; puta, an aan aaau ec. Sed e id fecerat Lharriotus, pex l
brum Puum cocum.
Sed et cum nota pluries reperenda venit, id (abbreriando) innuit adjuncta Fi.
sura numerali; puta a, at, a, ecc. Pro aaa, aaaa aaaaa _c. Ouod _ ante fece.
rat Oueheredus (ut modo dictum elt;) Led d Stevinus, FTerieonius, aliigue.
Paz. 3. Ouod ejuldem Aguationis membra elent Flomogenea; docnerat TTar-
riotus, Sect. 5. Pa8. 72. ec cg0 ex illo, Cap. q. F. Scd _c olim Vieta, Cap. 2. T(2808C5.
Pa8. 3. Duomodo ad Aguationem perreniendum sic: jam olim cradiderant AI-
sebra Sexipiores; e speciauim Onshrredus, Cap. 26. Claris. Aliique qui de . qua-
tionibus praeparandis, ex ordinandis, (proue cuique ritum ct expedire, ) scripse
runc. Sire aucem Donatur, verbi gracia, 22 -- - a 2 + bb, CIrC 2~ + a 2
perinde est; vet nunc hac, nunc illa Forman prour cuique libuerie, aur expedire
visum AC.
ietau Ehetaldus, Ouxhtredus, aliique, in Aquationibus ordinandis, solent ple
rumque (nec semper tamen) illas ita reducere uc quantitas absolure cognita unam
occupet Aiquationis pariem; incognitae, reliquam: PuIa, 2B = a 2 =- b b. EF SIC
Fharriocus in Aquationibus quas Canonicas rocat. Cardanus, Bombellius, aliique
sie plerumque membra distribuune, ut uerinque Attirmatira conspiciantur
Omnia; puta 22 f a 2 = bb; _, pro 2Z = a 2 = b b, SIC POtiUS 22 - F a2 F bb
Cartesius malic quantitarem absolure incognitam seortim POnCrC, Ut 22 +42 (6b.
Et sic (xpe Bombellus ou aique. Oi neque hoc sic norum.
Pac. 5. Problemata Plana quae dicenda sInE; quae, Solida; quaeque Altiora; jam
olim docuit Pappus. Nempe (ut id verbis jam receptis exponam.) OuX (rite
PExparata) ad aequationem Ouadraticam rerocanda lunc, sunc Plana; quae ad Cu-
bicam, Solida; quae altiores postulane aequationes, sunt magis adhue composita.
Acque ad hunc sensum loquuntur Alsebrista omnes. Ec quidem Plana, ca elle.
quae Colis Circulis e Rectis lineis construantur; Solida, ad quae requiritur Coni.
sectio; et Alriora, ad gla obus est Curra magis composita.
Fas. 6. 7. Ouomodo relolrancur problemata Plana, seu Aquariones omnes Oua-
draciex, ostenditur (ut ab aliis, sic) speciarim ab Ouchtredo, Sect. 5, 6. C ap. 79.
Primae Editionis; ubi reducuntur omnes ad prop. 5, 6. Sccundi Fuctdis. In poste-
rioribus Edirionibus, habentur, fect. 9. Cap: +6. Ec constructiones Gcometriea
his consonx, habentur pastim, in Cap. 20. primae Editionis; et Cap. τ9. Polterio.
rum. Ceriorem Fdicionem cico, quoniam elt Carcesi (eripris anriquior: Postex1o.
res, ne PriOr non sit ad manum.)
Et quidem Constructio Scometrica aquationis quadraciexe cujuscunque, est res
tam trita, apud Pietam, Cihetalaum; Ouohtredum, aliolque Carresio Priores, UE
piseat loca citare. Si aurem (quod putat Cartesius) hac non ammadverterine
receres (quod ego non dixerim: ) Certe Recentiores id, ante Cartesium, animad-
verterunt: Et constructiones has Ceomettieas non ienoracunt. Adeoque nihil ha.
ctenus novum cst.
Num aurem heC ex Freta, Chetaldo Scevino, Ousheredo, aliore, tauserie Car
resius, haud direrim, (tunc enim plerisque communia.) Cerre nora non lunc;
sed jam eum trita.
Reliquum libri primi, ee torum secundi, impendicur in Applicatione jam tradi
corum ad quandam Ouxltionem Pappi (quam lace proleguitur, et latisaeure,) cum
Sed non jam agicur de Algebrae Accocallone du Les speciarim Cicometricas:
Libro Tercio, pas. 63.. Ad ASeb lea tec, _ Aquationum nacuram
expendic. Et Carriotum quali per omnia sequitur.
1
L 6L  L 1.
Pietam Chetaldus, aliique.
Oushiredus, quando eadem licera lapius repetenda venit, rem sic abbreviat
aclo quibusdam non absimilibus.
ed de Algebra ipla per se considerata

## Folio 209 — 851708439:0233
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000233.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 78 lines, status machine
Cap. L III.
A E G E B R A.
Pac. 69. DoceC Aquationem toram (quando id expedire videbitur) commode
Polse ad unam partem rerocari, ut tiat aequalis Wihilo. (Oux quidem maoni mo-
menti res est, S maximae utilitatis. ) Puta, PrO N =2, _ = 3, _c. ponendo
=2 =0, ∞ = 3 =0. Indeque elicir nacuram Compolitarum A quationum.
Sed id ante tecerat (in eundem Finem) Fharriotus; coca sua sectione secunda;
PaB. T2 C legg. PULa, prO a = F B, a = =- c, _C. POnIL a - b = 0, a c =0
Ouas vocat ille squationes Orieinales. Indeque alias, quas Canonicas vocat, de-
ducit: tranctata parce cognita in alteram parrem A quationis.
Pac. 60. Hlabet Carcestus, Praeter Radices quas Veras rocat, (hoc est, Actirmati-
vas, Ieut POLITraS,) ut V = = 5; radices quaS vocat Falsas, WL X = = 5, adeoque
x L5 = 0. Sed e Tarriotus ealdem ante nocarerat; led aptiori vocabulo Pri-
vativas appellat, pas. 27. Nam non minus Verae sunt hae; quam illae altera. Cur
itaque Carrelius Falsas dixerit, non rideo.
Pas. 60. Carresius, ex duabus hujusmodi aequationibus simplicibus; Duta
r = 2=-0, e x - 3 = 0, incer se mulciplicatis, elicit Compositam vx - 5X + 6 -0
quae binos habeat ralores iplius x; nempe 2 e 3. Oux si porro multiplicetur in
x = 4 =  0, Het ~ = O~ N f 26 X = 24 = O: in qua valores _ SUINE TCS 2, 3,
1. Ouodsi haec porro mulciplicetur in x f 5 == 0, prodibit a2 = 4 ∞ - 19 NX
F 706 ~ = +2O =0: quae radices habCAE GLaTIOF, 2, 3, 4, = 5. Indeque colli-
Situ Sciendum ilaque quod incoenita quantitas (in Qualibet aequatione) tot diver-
las Radices seu diversos Palores habere possit, quot ipsa habet Dimensiones.
Noto aurem, Cartesium ralores hos
in Numeris hic extribere, (non in Spe.
ciebus.) Ouod contulco tactum esse non
dubito; ne Membra cujusque Coeftici-
entis ad oculum compareant; quorum
Compoticionem celare maluic. Regulas
X = 2 -c
Nx - 5 v + 6 = 0.
qualdam inde deducens, quae magis vi- x3 = 9 vx + 26 N = 24 =0.
O
deantur mirandae, propter celatos fontes
 +5 =
unde AmunE. Ouos itaque, _ tradito- _t - 4 N - +9~N f 106 N = +20-70.
rum Demonstrariones, Lectori permit.
tit luo Marte investisare, pas. 85, 96, de 106.
Sed hoc totum ante docuerat Fharriorus, (e creco, omnium prius,) Magnum-
que ita Mysterium Aquationum primus patetecit.
Fltque hic praecipuus Cardo, quo vercitur Aquationum doctrina; tum apud
Fcarriocum primo, cum (post illum) apud Carcesium. Nimirum A quationes
Alciores, ex Simplicioribus componi: adeoque in has Relolvi posse.
Idque in Speciebus perasit FTarriotus, quo Tingulorum
membrorum compotitiones ad oculum pateant. Puta, Cx
a - b = 0, et a = c = 0, inter se mulciplicatis, Fieri
aa - ba
= ca. = B0 = 0. Cujus radices sine (ut in componen-
ribus) a = = b, et a = = c.
Atque si haec denuo in a a =0
mulciplicetur, habebitur A qua
eio Cubica; tres habens radices
(casdem eum cribus radicibus
componentium) a =
2 == + c., a = = d. AIque S1
haec ina Lf = c mulciplicetur;
habebitur aequatio Biquadrati.
ca, cujus radices TunE quatuOr;
= B, F c, F d - f. (Oui est,
apudcum, lecundus CaTuS A
quarionum Biquadracicarum, pas.
23. ) Et SIC POTTO auGerI PO.
rest, tum Dimentionum tum Ra.
dieum numerus, quousque libet.
C=c
- c4 f. bC= 0.
2a a - b.
bca - bc d =c
da
aa + cda
baaa = bcaa
caaa = bd a a
daaa = cd aa - bcd a
Faaa- bfaa + bcfa
-
a = Cdf a = bcdf =0.
Undem
aaa

## Folio 210 — 851708439:0234
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000234.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
A L Ce F B R A.
Cap. I
Onde, S Kadicum lina pluretre cognoseantur; adcoque una pluretre com.
ponencium aequationum: Expoluca aequatio (Dirisione) ad interiorem deprime
cur. Nam, si a f f =0 compolicam dirider; cum elt HAC, Una COIMBONCHEIUM:
Oreaque reliquas concinebit, una pauciores quam prius
Have rem ample prolequitur Fharriotus, per cocam illam Scctionem sccundam,
in aequationibus Ouacratieis, Cubicis, Biquacraticis; et c80 ex illo, W Aeebrae
mea C.ap. 3F, 32,33334, 35, 36, 377 38.
Pa5. 69. Duo numerus Radicum aequalis sic numero Dimentionum; docet
Carrestus, praeter radices AFtirmatiras (quas Veras vocat) admirrendas Me quas
rocat Fassas; hoc est Nesaciras seu Priratiras. Et recte quidem.
Sed addidisse eriam oportuic,, quas vocane smasinarias; quae calus Impossibi.
les putantur indicare. Nam nili has irem accenteat, non temper erunc 10t ta
dices quor sunc Dimentiones. Sed excusandus est, quia id ivse post agnoleit
pa5. 76. Mirum incerim quod Radices hujusmodi Lmacinarias et Impossibiles.
ibidem ille radicibus Veris annumeret, dum Necativas (urut Reales) pro Fal
sis habeat. Tulc enim, ibidem, cum F’allas, cum Veras eriam, nonnunquam este
nonniss Imasimarias.
Farriotus, (quo justum Radicum numerum suppleat) etiam has accenset:
ponendo, non tancum a f f == 0, adeoque a = = f: sed ctiam a a + df ==0
(PaC. 14, T5.) adeoque a a = - af, de a = =V- a f. quae TunE (uE lOquunEuE
Lmaeinariae; e Impossibiles habica.
Re tieu ut dictum est, ab Carrioto expOlita: FR, ipso Ctarim conspectu, ma-
niteltum; Masnicudinem absolucam (seu Fromogeneum Comparationis) tieri ex
concinua mulciplicatione radicum omnium inter le. Puta =- bcdf (in aequatione
jam expolita,) ex = b in - c in - d in + f incer se mulciplCaus; tCTVALS
signis Radicum uc in aequatione cransposicarum quo tora FaL = 0
Patet item, ex quot membris, e qualibus, intermediorum terminorum Cocst
cientes constant. F.A enim termini secundi Coetticiens - b - 6= d + f aggre
satum omnium Radicum, retentis signis radicum ue sic transpolitarum; HOC est
contrariis justi valoris signis. Perrui coefticiens, et, Asgresatum omnum tacto-
rum ex quibusque Binis radicibus, (recentis signis uE PPUIS.) Ouarci Coetticiens
asgrepatum tactorum ex Ternis quibusque. Ouinti, ex Ouaternis. FF Bc de
inceps, Si plures Tint. Ec Licubi membra Nesacira aequipollent Astirmatiris, cra
neleu ille cerminus: sin minus, retinetur signum praepollentium.
Foc itaque sune membra primi Coefticientis, quot sunt Radices singulares:
Toc secundi membra, quor modis sumi postune radices Bina: FOF terru, quo.
ties lumi poltune Pernx: Pt Sic de caeteris.
Et quidem cujusque Coelticientis singula Membra, sectulis signis, cacem sune
quaecunque linc radicum signa f aut =. Sisna VerO CUIquE ICMBTO PEAPO
nenda, ea tunc quae Mutciplicationis speciolae leges postulant: pura = b in -
in = d Facie = bcd; sed = b in - c in ff Tacu F BCS. Oux omnia ipto
conspecta patent.
Patet item, quomodo, pro variais radicum signis, varianca sune signa cu-
jusque membri; nempe, prouc illae mulciplicandi leges postulant. Sic, verbi Sra-
tiaq ex = b in = c In = a Fiet = bc d: sed (s radicis d Eignu muTatuM re
lim, ut prO = a habeatur F d) ex = b in -- c i. f d Fieret = b0 d
Si vero plurium radicum, idem aliquod membrum componentium, lsna Mu
cata fuerine, sincque illa numero Impares; mutabicur signum stus membri; ma-
nebit aurem si illa sine numero Pares, quia etiamnum siena erunt limilia vel
dissimilia ut prius.
Et quidem si velimus omnium radicum signa mucari: Coetticiencium mem
bra facta ex radicibus binis, quacernis, aliisve numero paribus, (qualia lunt ter
minorum certii, quinci, altorce socis imparibus policorum,) eadem obcinebunt
c in = d in
 - bcdf = + b ir
F0 in F a in = f: Sed lacta ex ternis, quinis, aliitre numero imparibus
qualia sunc cerminorum secundi Guarri, aliorumre locis paribus poluorum) ha-
in L c i1
t =
b0d; sed  b in +c
b It = c in - f = + dbf; sed + b in L c i1
cf. Ntam ica Dolculane mulriplicandi noix leses in Arichmerica
speciolam (lecundum quas + in t, auc - in  taciune +; sed F in-
2u
b in
tigna qua PEIUS; PUTa
bebune tiona contraria, puta
 f
 b6d: Iten

## Folio 211 — 851708439:0235
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000235.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
Cap. LIII.
A. L G F B R A.
aut = in =, taciunt -;) quas nemo harum rerum pericus neteit
Pocum aucem hoc nesorium, quod est in TCarrioto conspicuum (exposita ad
oculum cujusque membri compolitione in Speciebus) quod quidem maximi momenti
res est; maluie Carresius (omnibus in numero contulis) celare. Nec camer
tam ienoraste censendus est (prOpCer ea qua mox dicentur) quam porius apud
Charriorum vidisse, e dissimulasse.
Pac. 69, 70. Docet, quomodo Diminui Bossic Dimensionum numerus, connice
radicis uno ralore; e, qua ratione indasari potsic, num data quancitas sic unus
valorum. Nempe (per modo tradita) Si a == b =0 diridat aequationem com
policam, cum est ea una componentium; et aequatio diridendo orta, continebit ra-
dices una pauciores.
Pac. 70. Docere Patasit Carresius, Ouot haberi postine, in Onaquaque A91
tione radices Vera; et quor l’alla: (hoc cst, Ouoc AHirmatirae e quor NC
datira:) Nimirum, FOC esse veras seu astirmatiras, quor variationes reperiun-
Tur signorum f ec -: _ tor falas, quoc ricibus deprehenduntur duo signa +,
vel duo -, qua se inricem sequuntur.
Ac ille Regulam hanc non Demonstrat, (sed praesumpsisse videtur, uc alias
aliquas, ex inspectione quarundam Aquationum FCarrioti.) Sed neque vera elt.
Ouod ego demonstro Cap. 4. I. Ptam (secundum hanc Regulam) hujus A quatio.
nis, d -f 6 ∞ -F TTZ N X -f 2993 ∞ F 35878 =0, radices ellene Negatirae qua-
tuor; cademque ducta in N - +8 =0 (cujus radix unica est aftirmatira) pro
duceret compositam, cujus radices essent una AFirmatira, et quatuor NegatIrX.
Eed, quae LIC COmPONIHIE, est ∞3 - +2 a4 -f 3 ∞3 - 5 ∞ X + 4 X = 645804 = 0
Cujus (per eandem Regulam) Radices essent ACtirmatirae Ouinque. Erso Fallit
Resuta.
Elunic laptum Schootenius animadrercilte vicetur: de (in Noris Tuis) interpretamenco
quodam palliare Catasit; De eis tantum aequationibus regulam exponens, qua
producuntur ex suis radicibus in se invicem ductis, quemadmodum pas. 69 e7C
re.
es. Sciendum
est, inquit, quod incoenita quantitas, in dualibet squatione, tot diversas raci-
ces seu diversos valores habere possit, quot ipsa habet dimensiones. Et pas. 7
Aperre dicit, In Quacanque seqnatione tot esse radices reras ee tot FallaS. lL
ne dubitemus inter has non annumerandas radices Zmasinarias; aperte dicie
pas. 76. quod ha radices tam Verae quam Falsae non semper sunt Reales, sed
aliquando rantum Tmacinariae. Fallic erso Regula.
Farriotus certiores habet Regulas hac de re, sectione sua Ouarta e Ouinta:
et ego ex illo Cap. 40, 4. F.
Pas. 70. Ostendit Cartesius, Duomodo tractari posstit Aequatio, ut quae jam
sunt radices Falla cracant vera; et verae, tala: Hoc ct, ue Negatira cractane
Actirmatirae, es contra. Nimirum mucando signa +- in loco sccundo, quarro,
sexto, aliisque paribus; reliquis manentibus.
Hujus ille Regulx nullam racionem reddic. Patet autem ex FParriori doctrina
modo expolica (quam recicet Cartesius;) Ouia singula membra coetticiencium
in eis locis, componuntur ex factoribus numero imparibus; quorum sI signa
omnia mucancur, mutabicur F’acti signum; adeoque Ageresari ex membris Lc
factis. Secus antem ubi l’actores sunt mumero Pares.
PaC. 7X, 72, 24. Oltendit quomodo Augeri Minuire possint Aiquationis Ra
dices, etiam nondum cornita. HIOc ett (prout eso rem explicandam seniio)
A. quatio alia Formari, cujus Radices omnes sint data magnicudine majores aur
minores, quam expolicae aequationis radices nondum cognita. Puta, pro S qua
tione cujus Radix seu isnor quantitas sit a, ejulque torre valores (nondum
coenici) = 2, + 3, = 4 = 5, Ausendi sine numero 3; alia substimatur cujus
iBnOTA quantitas sic y = N F 3; ad eoque y = 3 = N. CF, DEO B, AX, NN , eC
ubique Tubstituantur pares poreltates ipsius y = 3. Fruntque squarionis hinc
emergenis, radieis y ralores, = N + 3. Hoc est (licer id nondum innocescat
2
F 3 + 3, f 4 = 3, - 5  3; FIOc CAt,  5,  6, + 7,
2. Sin
Minnendi sine valores numero 3; PONATE y = ∞ -3, adeoque Y  3 = X
unde prodibunt, norae radicis Y, valores, = 2-
hoc est = 2, =0, F F, -8. Onde tiet, ue radices Aucta liant, vel majores
atirmacirae, vel minus deficientes, rel ex negaciris tiane altirmacire, vel eraneleat
uma

## Folio 212 — 851708439:0236
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000236.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
L G F B R A.
Una, PrONL LES CONLISeTI: de Mmuta, Fiant, rel astirmatirae minores, vel ex altir
maciris tiane negacirx, vel magis deficientes, rel craneleat una, seu tat aequalis
nihilo. Ec quidem li Addirio sic lacis magna, tient ralores omnes Afirmaciri:
Si Subductio sic Patis maena, Fene omnes Pegatiri
Sed hoc tocum ante docuerat LTarriotus, Sectione (exta; et ego ex illo, cap. 43
15. 72, 73. Oltendir, Ouomodo tolli possu aequationis Sccundus Terminus.
Nimirum, Augendo vel Minuendo radicem, aliquota parte Coefficientis secundi
termini.
Sed hoc idem ibidem oltenderat Fharriorus; _ eso ex illo. FF Vieta du-
dum, De Emendatione Aquationum, cap. Y.
Pas. 72. Obi dieir, Dum Verae radices Augentur, Falsas (hoc est, Negatiras
eadem quantirate Diminui: dixiltet porius minus desiientes. tieri. Sed minus
deficiens, est major quantitas.
Pac. 74. Ubi dici, Radices omnes Fieri veras (hoc est, altirmatiras,) dum
ralor ausetur quancirate majore Aliqua ex Fallis; Pro aliqua, dicendum crat
quacunque.
Pas. 74, 75. Oltendie, Ouomodo Ausere poltimus dimentionum numerum.
Nempe; Si mulciplicetur, verbr gratia, aequatio Cubica supra tradira in a L f. =0
tiet Biquadratica; ut supra oltentum est ex Farrioto: ec li haec porro mulciplice
tur in a = e =0, tiet requatio Cuinque dimentionum: e sic quousque libet.
Trem; Ouomodo Repleri possint liqua sine loca racua. Cum autem (ut Cripra
oltensum elE ex FCarrioro) ideo lic locus vacuus quia membra Negacira aequivo)
lene Aftirmatiris; Fequis non videt, quod Si tancillo augeaneur aut minuantur radi
cum valores, altera alteris praepollebunt.
Pac. 75. Octendic quomodo Mulciplicari aut Diridi possine Aquationum Radi-
ces adhue incognitx: EF, hujus ope, collantur numeri Practi e Surdi. Sed id
ante docuerat Larriotus, sectione sexta; _ ego ex illo, cap. 42. _ dudum Vieta
Pae. 76. Docet, Radices nonnullas aliquanao esse tantum Lmasinarias. Ft recte
quidem. Sed id ante dicendum erat, pas. 69. ue supra monicum. Et his prospici.
endum crat pas. 70 ubi radices Veras _ L alsaS MUMCTAE.
Pa5. 76. Oltendic, quomodo Dollic aequatio Cubica nonnunquam reduci ad Oua
dracicam. Nempe, siqua reperiri poltit Aquatio limplex quae cam diridat; un su-
Pra monicum cl. Id autem exploratur examinando lingulos Dirilores Vlcimi ter-
mini. Cum enim (uE ex FTarrioro ostensum est) terminus IIrimus fat ex conti
nua mulciplicatione omnium radicum; Radix absolura (liqua SIc) exit unus Di
rilorum hujus termini.
Pa5. 77,78. Oltendic, Ouomodo ejusmodi Diritio instimi vocest. Nempe, Dex
noram praxin Arichmeriex Speciola.
Pag. 70. Ostendit, Ouaenam Problemata, quando aequario est Cubica, dicenda
sine Solida. Nempe ca jua I son poltunt ad Mnadraricam reduci.
Pas. 70. Octendic item, Aquationem Biquadracicam reduci nonnunquam poste
ad Cubicam. Nempe, S reperiri pottu aequatio simplex quae ipsam dividat.
Suntque hi, catus aliqui parriculares, generalis Merhodi supra cradix, DirI
dendae aequationis Compositxe, per unam Componentium.
Pa8. 79, 80,8T, 82. Ostendit methodum (e bellam quidem) reducendi aequa
tionem Biquadratieam, ad duas Ouadraticas, ope Cubica. Oua apud Farriotum
non habetur. Ouomodo aurem illa, ex LCarriori cractiris deduci pottic; oltendi exo
Cap
Sed similes methodos ante ostenderat Bombellius, pas. 353, e SCqq. Edirionis
(579, ex Ludovico Ferrario. Et Vietam Cap. 6. de Fmendatione Aquationum.
Rdit. AnNOL6T5.
Pat. 8T. Obi tres radices Faltas (hoc cll, negatiras) recenter, V7 - 2, 2 f Y
2 - V2. Et Tumilicer
Pad. 83, 84. Accommodancur txe Reductiones ad Problema quoddam Ceome
tricum. Oux contideratio non est hujus loci. Nam hic pure Algebrica Con-
lideramus.
a5. 84. Dicie, (quod rerum ell, c ab al Lecpu) Lationes qua BL
quadralleam excedunt, nec poe ad inferiores deprimi; reterendas este ad PrO.
blemaca maxis compotica quam quae solida dici soleut. Sed hoc norum non est.
V2; dixerim cso poriu
ubi calia OCCUTRUNE. Nam quas IlC recepset Tunt AHirmativx

## Folio 213 — 851708439:0237
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000237.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
LL.  F B R A.
P48. 85, 86, 87, 80, 89, 90, 97, 92. Ostendit Geometricam Constructionet
Problematum sohaorum, ope Parabolae: e speciarim, Inventionem duarum Ne
diarum Proporcionalium; et, Frisectionem Anguli. Atque ad haec duo reducit
constructionem omnium Problemacum solidorum, (hoc cst, aequationes omnes
Cabicas et Biguaeraticas.) EF SIC Vieta, PrOP. 25. SupPlemenLI GCOmetriX
AnnO 25O3 cditi. Sed neque hoc est praelenris considerationis.
Pac. 03. Aquationes omnes Cubicas, redtucie ad eres Formas; abjecto secundo
termino. Ouod ante fecerat PTarriotus, sectione lexta, pas. 89, 8 legg. Aliique.
Pa2. 93, 94, 95. Fxpendit Regulas Cardani dictas; quae sunt pure Algebrica.
Ouas Scipioni Ferreo tribuie Cardanus. Aique per has, Solvendas ette dicit aqua
tiones Cubicas nonnullas. Ouas itidem Tolverat LTarriotus per Regulas his aequi-
Dollentes, Sect. 6. probl. T2, F3, pas. 98, 99.
Alias autem, quae per Resulas Cardani (inquit pax. 95) exprimi nequeunt, ad
Teisectionem anguli amandat (quae est construetio Cicometrica, non AlSCbrica,)
uc Algebrica solucionis incapaces.
Verum c80, etiam FTas, ostendo, Tub Caraani Regulis cadere. Oe habean-
tur omnium Aiquationum Cubicarum, adeoque e Biquadraticarum, solutiones
Algebrica. Ouod cum feri non posse purarerit Cartesius, reponere liceat (quod
hrabet ille P28. 79,) non minus vitium est, quam ad constructionem illorum, in
quibus nonnisi Circulis opus est, Sectiones Conicas adhibere: Siquidem quie-
quid ienorantiam aliquam testatur, peccatum diei meretur.
Et Larriotus ibidem, par. 99, 100, idem docet, si admictatur radix Ouadrari
Negaciri V - ad dd dd. Ouodque Radices calium Aiquationum non lint ali-
rer impossibiles, quam quatenus ejusmodi Radix Ouadrari Nesatiri inexplicabilis
centeatur; ostenderat ille, Drop. 2 ec 4 Sectionis quintu, pas. 8F e 83. Ouod
Pal. 36. Et quae sequuntur, Constructiones Geometricas spectane, et non lunc
Acsle haec sunt qua aul quaetita tua subito reponenda centuic,
Tuus ad ofticia,
Cap. L TII.
c8o moneo Cap. 45.
praelentis conliderationis.
VOTTAANLS NAELZS
ec e. e Ltcitat elsorsa
Fuit 4. 1692.
OAtquam ea quae praecedunt scripta sunt, erantque sub Preto: Mihi nun-
ciatum est quendam D. Johannem Prestet, Callum, in iterata sua file
mentorum Mathemaricorum Fditione, nonnulla habere qua me spectant;
in Praelatione quactam tua, qua secundo Volumini praetigitur.
Tibrum illum eso non videram, et apud Bibliopolas nostros Fcustra quaefi-
m. miseramque Londinum ut apud Londinenses Bibliopolas quXTCTCTT, Sed
d hoc trustra; Cum mihi tandem dictum est, taud spem superesse aliunde me
comparaturum, quam ab eruciro quodam Viro Gallo, D. Je Coq (miti quidem
ignotO) apud quem ejuldem exemplar (quod putatur Onicum in Aslia extare)
haberetur. Ab illius icaque humanicate (incervencu Forerii Viri Calli D. Justell,
e D. Thomae Smith S. P. P. Ansli) obrinebam ictius ulum miti concettum in
aliquot dies.
Invenio ibidem D. Prestet male habere, quod eso (in Meebra mea Anelice
edita, Anno 1685.) Farrioto noltro alleruerum (PrOut res est) eorum Pluxuna
(puram Aeeiram Spectantia) quae in Cartesii Geometria comparent: Ouodque
id (ut aic) vaniis conjecturis tecerim, praeque Jnvidia e Simulatione Calli-
canae Cloria in rebus Mathematiois. Duodque ita renovatum iverim (DTOuE
ille loquitur) ridiculam illam accusatinem. Cui (cum eso absque ulla proba-
tione id dixerim) non esse rule credendum. Ad quae linsulacim respondendum
censul.
Duod

## Folio 214 — 851708439:0238
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000238.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
ea e ee L B R a
Ouod csd m alorum Invidus sloria, nemo de me (qul C nOVerIE) lact
dixerit. Oui in coto illo opere, summa qua potui tidelitare, Tolicicus cram sua
cuique tribuere; et quibus passibus, quibusque auchoribus, eo perrenerie AIsC
bra ubi jam consistie, indieare. Nec scio me inibi uspiam laptum etse (certe
non sponce laplum) nisi qui Forre sint (quod omnino fieri Dorest) quos eso
nescirerim.
Ouodque Gallorum prae exteris Cloriae Fuerim invidus, nemo certe conjectare
debet, qui viderie quantum ego inibi D. de Pieta (homini Callo) in se Ma-
chematica (ec speciarim Algebra) cribuerim; de quo nuspiam non honoritice
tuerim Locutus. Deque Midoreio limiliter aliilque Gallis.
Fec quidem de Cartesio (quem lasum insinvatum it P restetus) mollissime semper
Fuerim locurus; nec ulquam durius quam (quod res est) quod ea Fuerint LTar
rioto prius cognita, et in ejusdem opere posthumo (cum ille per decem annos
mortius Fuerat) a Warnero edita, (et quidem Lacinc) per complures annos
antequam Cartesius de his cdiderie quidpiam. (Paque laude FParriotum Traudare
non debui.) Duod nemo dubitare poterit qui utrumque viderit. Ecquid enim
est eorum qua c8o FTarrioso cribuo, quae in ejus opere non comparent; (vel
apertis verbis tradita, vel Caltem oculo conspicua.) Fequis icem Puspicari possIL
Farriorum haec a Cartesri seripeis didicille, qui per annos plus minus Vivinci
(nescio an plures) Scripserir, fuerirque jam ante lexdecem annios MOrtIUS, quam
Tua scripserit Cartesius. Cujusque opus posthumum a Narnero cdicum clt Anno
Domini F63L (Lacine,) cum Cartosir nihil quiequan de lis extabat (ne qui-
dem GaHlice) ante annum 1637; nec Latine ante annuM 1649.
Si Cartestum exo Plagii acculaveram, auc aperre dixeram haec ipsum ab TTar-
rioto lutturacum; esset torte cur ille me durius locutum quereretur: Cum vero
eso nihil durius de ipso dixerim, quam, quod haec ante fuerint ab LTarrioto
tradica, Cartesiumque illum fuiste secutum: (certe non praecestic: ) cequid cso
possem mollius cixisse. Ouod quis de his judicium fuerie facturus, penes quem-
que elt. Mihi quidem videbatur (acque criamnum videtur) Cartesius ab LTarrioio
hiaec mutuasle, (crat utique FTarrioti liber per plures annos editus, et Parisiis
nOtuS;) Idemque credo aliis visum iri qui utrumque conculerit. Sed Cuum libi
Talrum lic cuique judicium. L.g0 M Posincio.
Certe nollet a me dictum (Palcem ego nollem dicere) nil tale ab FLarrioto t-
isse Ccriprum, aut a W arnero edicum: eo quod Prestetus maluerit hoc ignora-
FUM.
St rellet me saltem tacuisse, ne hoc madis Innocelceret: Pocniltem quidem pari-
ter reticere eos omnes qui (Post Diophantum) ante Victam excoluerine Algebram:
quo centeretur Vieta (quod vult Frestetus) omnium hominum Primus qui polt
Dicxhantum, (Guem Torie nemo eorum ruletl a Mauris cdoctorum,) ruinis
Aeebrae LUIDVENCTII. Pocullem item torum illum soum non edidille; quo Pre
Steto Faveretur. Sed cum ego Fsistoriam luceperim harum rerum; omnino inti-
dus forem, si lans intisnem Alsebrae procictionem, ab Larrioto factam, recseuil-
lem; Ne lalrem Presteto (qui mitri non masis erat de nomine nOtuS, quam es0
Uli) displicerem.
Cumque non dissiceatur Prestetus (Sed aperte protitetur,) quin cum ille, cum
Cartesius etiam, subsidia nactus fuerit a viris doctis qui ipsum praecesserint; nec du-
bitet quin tum velerum ana ita (ipsi probe nota) facem illi prae
sulerint, eaque detenerint un de potuerit ipse Cartesins (peu a Deu) paulatim res it
hausiste pubetitto, aplle quos ea quae hr habent ante comparebane.
Ouh Prestetus non ea viderit apud Charriorum ipse, sed apud Cartesium
quxe Cartessus inde compilarerat; perinde est. Et quidem si ne Carcesus (quod
vule Prestetus) Carriotum ipse legerie, led ab alio forte quoxiam acceperic, quis
quae abu Charriocum leserat, ipsi denunciaret, eodem plane res redit.
Ouppenon jam aguur, cujus incerventu habuerie rel ipse rel Carresius, Led an
non ea tuerine ab PCarrioto ance cradita.
primis principiis justo ordine derirata; qua LI ap Cuthesium obleura, con
fula, hinc inde corrata, et indigelta, ut non sit (quod queritur ipse Prestetus
cuju sque hominis ea intelliscre. lbique laudi pucei quod sibi multum facesserit ne-
eoti

## Folio 215 — 851708439:0239
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000239.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
Cap. L
L G F B R A.
sorii eorum principia exquirendo, (quae nullo negorio ridiltet apud FTarriotum.
Ouis inquam, hoc perpenderit, (uE Prestesi verbis POrrO UtaY) riteque attenderit
quam sit immanis differentia e disproportio inter ipsorum scripta; omnino mirabi-
cur quod ausit quispiam borum tam diversos genios invicem conferre, quorum alter
alterum tam lonso superat intervallo, (cancoque rempore pracelteric.) Nec ullat
video caulam cur hiac in re Prestetus Carcesium praetulerit LTarrioto, niti quod (ux
Tiis achuc utar verbis) inviderit Centi nostrae eloriam in Mathematicis.
Tix quidem eso Cartesio eam non iniguus tum ut id Onicum hujusmodi quod in
Carresio habetur, nec erat in Fharrioro, (Nempe Regulam de resolvenda. Aiquatio-
ne Diquadratieam ope Cidibica, in duas Quadraticas,) Cso Cartesio nominatim (nec
sise laude) alcripierim; et (cum illud ipse non teceric) ejuldem orixinem et De-
monstrationem appoluerim. Sc reram elsé ostenderem, undeque deriretmr.
Ouamvis enim Timile praesticerine Bombellius olim, et nuperius Vieta; non era
ratus sum Tuam Carte sio laudem concedere.
Verum ee ille Farrioro tam aequus esse debet, ut hanc ipsam Regulam agnolcat
ex FCarriori cradicis facile derirari. Duippe cum ille doccat duas Guadraricas inter
se mulciplicaras efticere Biquadraricam; Lequis non ridet hanc in illas relolri
Polle. Dluc utique spectane iplius aequationes Biquadraticae primores Ouinque
(. quas eso cap. 34. expono.) Cum enim in harum lingulis fint Aquationes Lace.
rales Ouatuor; hoc elt, bis bina; hae binatim Cumpex conticiune duas Ouadraticas.
quae compolicae taciune Biquactraticam. Nec multo aliter, squatio X, cum sc.
quentibus.
Ouum autem in Cartesio hoc unicum esse dieo quod in FTarrioto non habetI
vel expressis verbis, vel ipsa oculo conspicuum,) eam excipio Regulam quam
habet Cartessus pro astimando numero Radicum Aftirmatarum, ec Negatarum, in
Quacunque A quatione (nempe, quories t sequitur =, aut = seguituE L, EOL
elle radices Aftirmaciras; contra vero, quovies f Seqnicur =, aut- sequiiur
cor esse radices NegaciraS.) Flanc Regulam agnolco in Tharrioro non haberi. Car
resanum utique hoc est. Sed Falsum est. FTaberque LParriotus regulas certiores.
Fxcivio irem quod alibi habet de Cardani Regulis: per quas selolri poste vulc
Aquationes Cubicas nonnullas (quod dubicarerie nemo) non Omnes; lcd, alias
esse quae per Cardani Reeulas exponi nequeunt, (quod Faltum est,) quas itaque
Cartesius ad menli Trisectionem amandai, ut Algebrica Construetionis incapaces.
FsO concra ostendo, etiam illas sub Cardani resulis contineri; idemque PTarrioto
cornitum; admissa radice Ouadrari Negaciri, V-addaad.
Dum autem causatux me vanis conjecturis, nullaque probatione dixisse (apud
Farriorum ea prius extare quam Cartesium;) miror c9o qua tronte hoc dicere
SisFinuCriL. Annon prolaris Pabulis id dixerim d octenderimque ubi apud LCarrio-
tum habeaneur linsula. Num hoc est ex vanis conjecturis, de nulla probatione lo-
qui; cum possit quilibet loca consulere, suisque oculis Fidere: Cur non etiam pro-
pationem exigat, li claro meriaie dixerim splendere solem . quum id omnium ocu-
li contestantur.
Ouodque cadem tuerine jam dudum apud Tuosnota, et Cartesio objecta, agno-
sciciose: non enim eaulacur me jam primum excosicalse, sed renovatum ire hane
acculationem.
Quod autemait, Parriori famam ad cum nunquam pervenilte, imo nec vel No-
men cujuspiam eorum omnium ex elis quos eso recenteo (ne Omius quidem)
audicura sibi, quum liber ille meus fuit ei primum indicatus: Id neque LTarrioto
neque mitii, impurandum est. (Audirerunc alii e Noltrorum scripra cestantur.)
Vn nec Fiuctiai aue Archimedi impurandum Foret A Prestetus eorum nomina nOn
audirerie.
Pati jure loquicur quum aic (Post Diophantum) Vietam esse omnium Primum
qui aleebrae ruimam reparaverit, idque nostro seculo. Certe Frater Lucas de Bur-
50 Bombellius. Nannes seu Nonius Salaciensis, Stifelius, Cardanus, Tartalea,
Ramus, (ne Diecesium, ee Recordum noltros memorem,) aliique multi, tum crant
Alsebra probe onari, eamque scripris luis (qua etiamnum extant) excoluerunt
SE DFOMOVCTUNE: cum eranE Vietaeo PriOres. (Nec tam a Diophanto quam an ara
vibus, Maurisve in Fhispania doctrinam Tuam hanserune.) Ouos si nescirerit
Prestetus, Tualerim uc eos ance lesat, e probe intelligat, quam de eis judicium le
rac. Et quossiante non habuistemus (halrem aliquor eorum) meruo uchabuisse.
Motc.
duod

## Folio 216 — 851708439:0240
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000240.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
C. F. B R A.
ap. T. III.
alius veneror, nolimque Cartesio, quod facit Prestetus, pollxonere:) led praecipi
rem Presteti rocam Cuslaminare. Oui de eis pronunciat qua non novie
E, si ad posteriores descendamus, Cavallerius, _ Torricellius, (quibus debe
mus Ceometriam Endivisibilium, cui eso superstruxi meam srichmeticam Insini
Forum,) Stusius, Flugenius, aliique (quibus nihil detiric quin fuerine Magni viri
nisi quod non tuerine Galli,) Fuerune Algebrae periti, eaque penicius inttructi
Addonis (ne nostros nominem) Franciseum Schootenium Beleam, virum mode.
Itum, industrium, in Algebricis pericistimum, cui plus debet Gcometria (qua di
citur) Cartesiana, quam ipli Cartesio: Sed Pauperem Force, aut lalcem non DIVI
tem, quique eonomine non dedignacus est Carresio suppetias terre, ejusque lub-
serrire Cama. Adeoque iptius lacerum opus ee indigeltum, nulloque ordine dilpo-
licum, edendum suscepir et excolendum; Lacinum reddidie, Nocilque doctiltimis
ilustrarie; aliorumque multorum seripta (Cartesiano vociora) Tub nomine Geo
metriae Cartesianae cdidit, quo Patroni sui tama consileret Cujus quidem Carte
siana Ceometriae, qui conliderai, quancilla pars lit id quod a Carcesio Teriprum
pertribetur, laudabir forte Forcunam magni Viri, cuitxe omnia deculie Schootenius
Ouod nitecitter; tuerirque cum in viris LParriotus, _ Schotenium pariter obstrinx.
eru benetieiis, meliori jure diceretur LTarriotiana Alsebra, quam Ccometria C arte
siana. Sed lic olim; Novus Orbis, quem Columbus detexit primus, Americae nO
ineu Cortitus elt ab Americo r espusio qui sequebatur.
Fc quidem, si ad Callos deveniendum cst, exo Bachetum, Midoreium, Pascali
um Derconvillium (si is Sic alius d Pasealio,) Robervallium, Bullialdum, l’er
matium, Frenictium, aliolque, Cartesio (in Macheli) haud omnes poltpoluero. 10-
limque ue Prestetus, quo Cartesium Tuum illustret, Gassendum alsolque uos Cal
Nosobscuratum eac; quasi ipu mulsa pals Ant Gloriae Gallicanae.
Duae non dicta sunc quasi mihri gratum Lic Cartesium depretiare, (quippe eso
eruditorum scripta laudare multo malint quam lugillare,) led coactus tacio; ne
Prestetus pea le terat, Cartesium _ seipsum Colos Capere. F50 quidem Gieometri
um quam vocat Carcesianam, non minus Forre incelligo quam Prestetus iple; sed
eam ab Ouchtredo, FCarrioto, Schootenio, magis didici, quam rel a Cartesio, vel a
Presteto. Et relim Pallacus  s aslolcere per quos protecerim.
Incerim cgo nollem Carcesium justa sua laude traudare. Prat urique subrili, Ca-
saci ec aeri vir ingenio (quod non cgo ulpiam inficiacum iverim.) Alsebramque,
quam ante excoluerant alii, rebulque Creometrieis accommodaverane, noris ille
propolitionibus accommodat, e lacis teliciter: nec Tolustamen, sed de aluitum
ante, cum poltillum, tumlia praltiterunt. Nec eso Prestetum culpo quod Carte-
dic, (Gccul selicirer in omnibus, non dses;) Scd et Cassenaus ccram ex liis
nelciverim id Presteti este,  t  pucatu etus cum nomen ejus non ad.
leriprum tuerit.) Tnibl te xeram plurima quae apucl alios sexiptores ( DFX
serrim
Ouod non codictum est quod velim Vietae quiequam derogare, (quem si quis
sium praedicet, ed Gube Hunc solum; altes Mes habens despicatur ec vili pendens:
quali cum aluu, cum eriam Cat reliqui, mhie paesticerine: qua li Cartesius nitul isno
raverit; alsique nihil noverine, nili quacenus ab illo cdocti. Nec Machematicis
Tolis suam admovir manum Cartesius, Led e Naturali Philosophiae operam impen
nec inter luos Callos Paris convenitucer c sic praeponendus. Oua dere, viderins
ipli: L.8o me arbicrum non interpono. Al certe, in Nacurali Philoloptia, Catilaec
 Porricellio debemus Contrapondium sers quo illi Vererum Fueam Vacui tus2
ruNI. Duod in Aqua primum derexie autaas; e, post, in Lydrarerro alulque
liquidis experius ell Lorrucelhus (cui Lxperimemdn quod dicitur P’orricelhanum
debenstto,) qua re nihil granduis in P’hilolopat Nacuralem incroduxic Cartesius.
Tildemque debensuo Leses Statieas Naturali Phulo, ophiae accommodatas. Et quidem
si non haburetus (in Traha) Catilaeum, d (in Anelia) D. Franciscum Baco
num (Etulamium dictum) Forre nec trabuulemus Carresium, Cassendum, coramque
(quam Vocan) Lovam Philosophiam. Ouippe ilsi luus Functamenca poluerunt prini
Sed hoc omne clt extra praelens negorium. Omppe de puris Meebricis jam asitur
num ab Flarrioto an Cartesio priuS CraclITA FVCFINI, QuIX LUNE UETIQUC COmMUIMIA
Verum aliud etE quod Prestetum male habere Video. Inter alios. lcriptores nu
Peros de Alsebra quos memorari, dixcram prOcIIIIC TM NUPEE (ne Queniquam PTX
terire vellem) librum cur ciculus Flemens des Malsatiques, cur non adleripcum
crat Auchoris nomen, sed apud nos ferebatur tub omne D. Malbranche. (S1 C80

## Folio 217 — 851708439:0241
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000241.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
Cap. L. TII.
A L G E B R A.
Cerrim post Vieta cempuIS) Sparsim habentur. Ouod non malo animo dietume
erat; Sed, s ille mallec non dictum, per me licet expungat. E90 id ei laudi fore
pucabam, non ricuperio. Sed dixeram etiam (quod rerum elt) quod Lectorem
non detimnerit recitandis nominibus eorum apud quos illa traberentur, (nisi quod
Vietam _ Cartesium aliquando nominarerit) nec mulcum de Tuo acdiderit novi
quod non suerac ab aliis ance tradicum. Dieic, me pocuisse quosdam alios addi
diste; Sec, quinam illi alii tuerine, non dicir ille, nec eso memineram aut etiam
nuM rCCOrdOT. Ouod aurem de novis additis dictum elt: Mihi cerre non rideba
tur id prae se ferre istius libri Author, Sed porius, Nota cradere, Tua mechodo. Cum-
que coo librum illum eo animo pertesi (non admodum scrupulose quidem, led
cursim porius,) uc liquid deprehenderem nori quod artem ipsam promoreret, id
execeris ante obterratis adjungerem: nihil quicquam occurrebat quod mihi vide
batur norum. (Sin forre occurrebantnora Fsempla veceris Resula leu proces
sus; autu ante coonita, noro jam ordine dispolica, id eso novam Artis promotionem
non existimarem: Id urique intinicum Foret; eAque Artis L vercitium, potius quam
Ar5.) Numquid Nori habeat haec iterata F. ditio; ego nec scio, nec sum Colicits; ne
que jam racat (eurrente prelo) inquirere; cum liber inera paucos dies lic restituendus.
Obi aurem de se gloriari ridetur, quasi canta indolis fucric ipse, ut (libris non
consuleis, aue Caltem praeter Cartesium paucistimis) pocuerit ille, ante quatuor an
nos (aut eo minus) ex quo se primum applicuir as lludia primorum Analy seos e
Geometria principiorum, librum illum prelo mandare; (eum cgo annos quinqua
sinta his studiis impenderim:) Passinque (in hac Praetatione) infinuac quanto
ipse melius rem perasic, quam auc Vieta aut Cartesius ipse: Si vellem c8o (pari-
ter gloriabundus) quanta eso quantillo rempore (postquam me ludiis hisce le
dulo applicuerim) pereserim, recenlere; duorum torte Thralonum relitationem
rideret Lector. Ouicquid aurem id Sic, Lectorum esto judicium. Oui nottra torte
legerint eo tempore quo Prestetus ne unum quidem ex nostris rel de nomine audi
verit.
Ouod aurem ille me aenoseat, lauderque, ur clarum  perspieuum in rebus ab-
strusis tradenais e exphicandis, cgo illi grates habeo.
Sed quicquid de Mésic, vel Presteto, aut etiam Cartesio: Sive Carcesius Tlar-
riotum legerit, aut non leserit, aut non totum leserit, aut ab aliis qui legerant ac.
ceperii, aut luo seripio non nemo subjunxerit aur inseruerit ea quae ipl TunE, eu
Fharrioto communia, aut undecunque factum sic quod apud ucrumque paria habcan.
tur; Cerrum elt ea ab Carrioco prius fuisse cracica quam d Cartesio, meque nulli
ee injurium qui dixerim rem ita elle.
arque de hiS haCTENUS.
Priusquam autem Presterum dimittari, libet cum remittere ad nuperum Scrivto-
rem Callum (ipsi Forre metius nocum quam mitis) de cujus Nomine (quod
scripto suo non cst adseripium) nolim hic conjecturam facere, (ne tortan ile
rum queratur Prestetus me alii adseribere quod ipse sibi rendicet;) Fum volo
qui seriplit De la Recherche de la Verité. Oui capite Seprimo lecundae partis
libri secundi, sub Averrois nomine, Prestetum describit cam vivis coloribus ut
nemo rectius. Ubi de Commentatorum quorundam praeoccupatione verba Faciens, qui
erga eos in quos seribune commentarios eo animo lunt attecti, ue non pottint eos
non immodice laudare, e hyperbolice praedicare; ue Adulari magis vicleaneus
quam Pardare: Averroem iniroducit de sristotele ita loguentem, ac s Logicam
Moralem phitosophiam,  Metaphysicam, invenerit primus, alque ad completam
perduverit perfectionem. Complevit, inquie, quia nullus corum qui secuii sunt
eum usque ad hoc tempus, quod esi mille e quineentorum annorum, quiaquam
addidit; nec invenies in ejus verbis errorem aleujus quantitatis; e talem esse
vircutem in individuo une, miraculosum e extraneum existit; e haec dispositio
cum in uno homine reperitur, dienus est esse divinus masis quam humanus.
Tcerumque, Laudemus deun qui separavit hunc virum ab atiis in persectione.
appropriavitque ei ultimam dienieatem humanam, quam non omnis homo potest
in quacunque aetate altineere. Pt alibi, Aristotehs doctrina est Summa Veri-
tas; quoniam ejus intellectus fuit finis humani intellectus; quare bene dicirur
de illo, quod ipse fuit creatus e datus nobis divina providentia, ut non ienore-
mus pessibilia seire. Fx porro alibi Aristoleles fuit princepsi per quem persi
ciuntur

## Folio 218 — 851708439:0242
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000242.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
L. G H B R A.
ciuntur omnes sapientes, qui fuerant post eum; licet differant inter se intelli-
eendo verba ejus, e in eo quod sequitur ex eis. Videat interim Prestetus annon
ipse Pariter praeoccupatus centendus sic, qui ira deperit Cartesium, e ita Pra
dicat, acti hic Onieus CIE Gallicana Centis Gloria; Prae quo (ne exteros nomi-
nem) Vieta, Bachetus, Midoreius, Cassendus, Pascalius, aliique Cadti rileleunt:
FL quali piaculum fuerit FParrioro cadem ante scirisse (aliolque ex illo) qua
POst Cartesius Forte Foret craditurus, (aut Forte, li secus, non Foret traditurus:)
e quali quiequid sic in posterum proditurum, Geometria Cartesiana c dicenda,
ut tune ea omnia quae crastis aliquot Voluminibus Schootenius edidit (sub eo
nomine) quorum minima pars e Cartesi.
At vero mirari Cubic, qua praeoccupatio, aut Tudillandi prurioo tecit, ut Scriptox
idem, taliter praeoccupatis, Honoracislimum Eguitem FILNRLGOM SAVLL IOM
accenseret. Frant cerce cum sristoteles cum Puctides, Tua atate, Maeni Viri
(acque ut tales tactenus centiri, es olim censebuntur.) Pieri quidem porelt ut
quod Prorertio dici Tolet) Bernaraus non viderit omnia; Num igicur con-
remmendi Cunt d aur despicanu habendi Apase Sed non id hie asitur ut vel
Tristotelem vel Fuclidem ezo jam laudem: (nec mea quidem laude indisent.)
De Fuchde tamen (quoniam hie spcciatim nominatur in Savilii nesorio) re
Decam quod de eohabet Petrus Ramus vir Gallus (qui cum de Sristorele cum
de Kuclide Fuie, dara opera, latis sererus Centor,) nempe, se ne ullum in totis
Flementis Mathemaricum Fuclidis Ferrorem proponere. Nullus (inquie) para
loeisimus, nulla tasozeaeia, in totis Flementis nobis, quamquam severe inquirenti-
bus, animadverti potuit: Duam landem (inquic) singularem esse prositeor: quam
que nulli adhue neque Grammatico, neque Rhetori, neque LociCO, concedere potui-
ut in Crammatiea Rhecorisa Loeica nibil fassi docuisset. Oux quidem ab Ad.
versario (Patis ocularo _ lacis serero) Contellio, clt Pestimonium haud contem-
nendum. Putat quidem ille, potuisse fuctidem, aut etiam debuisse, (ex Force vel
let, A jam esset in riris, prout res nunc funt) alio ordine, mechodoque pociori,
nonnulla disposirisse, (qu’a de re alii alicer centere solent, ut rix duo in ordine
dicendorum per omnia consentiane;) AE certe violatas Methodi lesges non debet
quiloiam suclici objicere, qui C’artesii laudat Geometriam. Scd quicquid de hoc
sc: Ouid hoc savitium spectat. Num ille aut Pristotelem aut Fuctidem immo-
dice laudarit aut de hoc illa dixit qua rera non sint. Non hoc ait hic Accu
Tacor. Ouid iritur est quod imputat cur in Fuclidis tarorem Praoccupatus cen
leretur Savihus de quidem co ulque ut inde in srrorem inciderit; (nam de
tali praeoccupantia ibidem axic hic ScripTOr, quae Frrorem inducit.) Nempe quod
cautacur, hoc elt; Dignatus est V ir Iustris (prO Ca qua exat in Fuctidem, ut
huic Seripiori videtur, proventione) Praelectiones tresdecem habere, in princi-
pium Plementorum. Fuclidis; quibus ejusdem explicat Definitiones, Petitiones,
communes Sententias, e octo primores Propositiones libri primi, caetera post ve-
mentibus relcturus. Hoc utigue ab inicio dicit savitius Cibi tuille propositum
acque hoc tandem in Hine le absolvisse dicit. F. s0. F quidni hoc TaCereL. quidni
diCeret. Mt (inquit hie Scripior erat ille vir inter eruditos ustris (acque
erat quidem:) callebat lineuum Craecam, (et quidem optirme:) debemus illi oxe-
rum Chrysostomi editionem Craecam (debemus omnino, sed et alia.) Freait ille
duas Cathedras, Astronomiae e Genmerria: (grati agnoleims.) Sed clto. Fuerit
ille alia liceracura instructistimus (ee quidem erat insructissimus;) Num igitur
illi ricio dendum est quod Mathesin ilem intellexexit. Pieri quidem potest (in
quit hic) ut ille veteres leserit Geometras. (Omnino Fieri potest. Sed e Factum
CA. Nec Geometras tancum, sed et alios Matheseos Scriptores; Veteres,  MO-
dernos; tum leserat cum incellexit probe: deque illis pocuic lacis acure judicium
terro. Ouod I nesciat hic Scripror, nos cerri scimus, qui plura vidimus volu-
mina iptius manu sexipia, reconditiora Macheseos continentia. Fracque in re
Machemariea, xetate tua, rix ulli secundus: Sed quid POrrO.) Nullam aliam
sabesse posse causam; putat hie Seripror, quam Praeoccupationem, atque inordina
ram de Luclide aestimationem, cur voluerit ille hanc operam ponere, tanquam in
re dissiciliu cum ea non sint tam incellectu difficilia. LaeC summa est accuta
lionis.
Sed omnino Falsus et ru ecultus. Necenum ob immoderatam Puctidis aestr.
mationem,
1.

## Folio 219 — 851708439:0243
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000243.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
Cap. LII.
A L G F B R A.
mationem, neque ut in re diffieiti, ponebat operam. Ouod ipte, credo mecum ju
dicabie ubi ex me (E ante nescireric) rem geltam audiet.
Fxat Savilius (quod ait ille) inter Viros Cruditos illustris; CTatque tuM TerII
acendarum Prudencia, cum varia Liceracura instruetus; P’amilia fua, Locoque quem
occupabat insignis. Scudia rerum Machemariearum (quarum ipse peritus erac, et
aquus estimator,) putabas ille nimis neslecta. Cui rei ue subreniret, duos cura
vic instimendos Mlacheleos Protestores, suis sumpribus alendos. (Ouod, spero
non ut partem Criminis recitat hie Peripeor, Ced Polummodo ue ejus Regravationem.
Ciumque co res processerat uc jam inchoanda torent Praelectiones; ille, non cati
Fuclidem, quam Praefectos Academix, colque qui aderane illustres Viros, hoc ho-
nore dignandos censuie ue Praelectiones iIlC Sias (Vir SumUS) inchoaret pri-
mus. Cumque id in Schola Ceometriae plaeuit ordiri, 2 quo porius quam ab Xu
elide ordiendum crac. Fanque delesit sibi cractandam, Luclidis portionem, non
ut difficilem, led ue primam; eacera relicturus Protellori Tuo Greometrico prose
quenda. Cunque hoc Speciminis loco Fecerit Vir Magnus, honorem extribicurus
cum Academix, e Ilultri qui tunc aderar Auditorum caetui; eum huic quam crexit
Cachedrae: Dequid hic eAt Indecori? aut, quod susillare debeat hic SCriptor D F.gO
nihil Criminis video. Frat quidam Magni Viri ournara Baors, quod roluerie Cathe
dram, quam crexerat, ipse cohoneltare: Sed ricio dandum, nego. Ouid ab illo
ibidem temporis, expectatum vellet; id iptis sub inicium (quod SOlent GiCOCEE
indicabat: Non ut illis ostentaret quam magnus ipse fuerie Cieometra, non ut ille
ardua Creometrixe jam aggrederetur, sed prima quadam principia, Speciminis loco:
(cum quia haec primo reniebant exponenda, rum quod quae de his dicturus crat
Pucarerie his Audicoribus Force Fucura magis grata;) Ouibus absoluris, dixic (pro
more Ceometrarum) se quod lulceptum crat absolvisse. L. a(que Pralectiones (tum
quod cisdem Audiroribus sracum fore persenciebat, cum in hujus cohoneltamenti
memoriam,) prelo permilit. Ilinc illa Lacryma. Hlinc ea (quam scriptor hic ad.
Ornat) Trascedia.
AE (inquie) poruerit mediveris insenii Vir, vel sue Marte, vel Cicometrae eu
juspiam ope, intra unius borae sparium has Definitiones, Aviomatam Postulata, e
octo Propositiones intellicere. St non sit tanto opus apparatu. Fui. Quam (a82ces
Tune, qui volune in scirpo nodum quaerere.
Audirit (credo) Scriptor hic, non raro, Concionatorem aliquem, cum ad po-
pulum Sermonem habicurus elt Lemmate quodam (pro cextI) Cumpto (nec lonso
fortan nec incellectu difticili) concionem ordiri; Puta,
Duae veliris ut vobis faciant homines, vos illis facite.
Ouod Thema nec adeo lonsum est, nec ejus rerba incellectu adeo disticilia. DC
illis tamen ad populum habiturus force est Concionator Sermonem bene lonoum.
nedum plures. Num hanc ille Concionem propterea perhibebit Ridiculam: eo quod
um Thematis Verba singula, cum incesram Sencentiam, Auditorum nemo non in-
cellienc, quamprimum audiveric. Non cerre; (modo quae dicta sunE, Sine Pana
omnia, ad rem pralencem laris apta, et cognitu urilia; ) imo Se pocius Ridendum
exponeret qui lic arguerit.
Pariter Savilius, cum Conciones habiturus erac (non Sacras quidem, Sed) Ma-
chemaricas, ad Populum Academicum: Si (poltquam ea praetatus tuerie quae fint
canis Auditoribus debita, praesentis convenius rationem expotueric, caulamque
cur ille ad promorenda Ctueia Machemarica cuas crexerie Protectorum cartiedras,
aliaque dixerit quae Machetin generarim spectene,) illis. Speciatim expotuerii, Ouis
tirerit Fuctides, Oua alace rixeric, e Ubi loci; Ouid demum sic quod Flementa
dicimus; Ouid cum per Desiniciones Tibi volune Machematiei; Ouid per Aviomata
seu communes Nosiones; Ouie, per Postulata; Ex quomodo haec ab illis ditserunt;
In quemusum item haec interriune apud Machemaricos, ec cur pramiui Loleane:
Trengue particulatim exposuerie Detinitiones illas Trieinta quingue, Poctulaca
Ouinque de Novem Axiomata: Procesteritque dein ad Propositiones, tum Proble-
mata cum Theoremaca; oltendericque quid haec intertic; Ouomodo item. Constru-
enda sint Problemata, e Theoremata Demonstranda; nequid delici aue redun-
det; acque ex Ancecedencibus prohanda omnia: Tum Propositiones illas primores
Octo parciculatim Construat et Demonteret; Oltenderitque qu’id in Conseructionibus
e Demonstrationibus Fuclideis (qua quis Forte non animadrerteric) sint oppido
notanda: Passimque interponat (ex recondiriori Liceratura) multa cognitu fu
cunda

## Folio 220 — 851708439:0244
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000244.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
L C F B I
cinca, et plane Srilia de quae nollet quis isHoTalC. Ae haec omnia Predecim
Praelectionibus abEolvat; In quibus quae craduneur omnia, Cana Cunt, et lolida, act
praelens negorium appoliciltima, nec indecore protula (quod non ditticecur hic
Scripcor: )Lequis erii (non iniguus rerum aL) quede Ho Calilet PO-
eius quam Susillet. (Sin possic hic Scriptor anias iser a spulxec omnia telicire,
expedire, putarerim ego hanc fToram bene collocatam. Sit sal relte Lesomnia;
Porest id Momenco fieri.) Ouod si randem (Prae tam Venerabisl CaetuS reveren.
tia) modeste dixerit Vir summus, se haec pro modulo suo absolrule (Guoce tum
elt Scripiorem hunc carpere voluisse) cgo Pane hanc MOICKCal (_ SI HOMIe
Gallo) non culparerim. Acque de Savitio hactenus.
Verum ego hunc Virum Frudicum (hac occatione data, ueur id SIC CACLA pEX-
lens Aegorium,) serio monuero, (nec malo animo,) Ve sedare secuin aguandur
cogitare velic, Num non (prour ille loquitur) Praeoccupario aliqua (sive Cx in.
rellrata Consuecudine, sire ex More hominum quibuleum verlatur, live ex Superio-
rum rererentia, live aliunde,) in Trrores ipsum abduxerie plures, ibique derinueric;
oculolque ipsi perstrinxerit ne lucem videat, vilamque agnoleat; qua, si abeAet
praejudicium, lacis torei conspicua. Atque (sepoliris aliquantisper arbitris, et Pra
judiciis,) res nudas perpendat, in Christiano Orbe controvertas. Pt tieri quidem
Dorest, uc (cum omnem praeoccupationem Sepoluerit) secus aliquando senturus liE
quam jam sentit; in rebus Grarionos, Guat unt nolla uSX.
Sed ad Fharriorum redeo.
Acommodatio ejusdem ad particulare subjectum.
Om Algcbram suam TTarriorus muidam expotueric; nullis addicis Fxem-
plis de ejuldem ad parciculare Cubjectum applicatione: libet hic subjun-
sere exemplum, unum aut alcerum, unde patear, non modo duas aut
tres propoliciones sic in unam compinsi posse, led et integros tractatus. Cujus
hoc tentamen jam dudum teceram, anno 1649, aut 1650, cum mihi nova tuIE
illa methocus.
Nocaveram, apud Ferisonium (Cursus sui Machematiei, rolumini primo sub
junctam) Synoptin crium Willebrorai Snellii tractatuum: quorum Primus dici
TUE, Apollonii Pereaer, de Determinata Sectione, Cecmetria: Secundus, Apollonit
Pereaei. de Proportionis Sectione, Geometria: Tertius, Apollonii Perear, de Spatio
Sectione, Geometria, (à Willebrordo Snellio restituta.) Oui tinsuli plura con
cinene Problemata, quibus ille cocidem Singulares Solutiones extribet.
F8o ex illis unum selisebam (urpore in quo reliqua tere concineri vide
bancur, ut speciales calus; aue inde, leri muratione, derirari potsent:) nimirum
Fractatus secundi, Problema Ferrium. Duod, ad hanc mechodum exploracum.
videbam ette Ouacuor Solutionum capaz. Ouod ostendit, Smellui Lolutionem
(Palrem uc cam extribet Lerisonius) utut Veram, Impertectam camen clle. Idem
que limilicer oltendi pocest in Variorum solucionibus Problemacum: quae vere
quidem lolruncut, led non pertecte.
Problema illud est (aliis verbis) ad hunc sentum; Duabus in eodem planc
Rectis (uE BL, CHI,) positione datis. Se duobus inibi assienatis punctis (N
B, C:) per datum in eodem plano punctum (ut D,) rectam ducere (uc IDHL;
quae datarum sesmenta abseindat (punctis assienatis adjacentia) in data ratione
Puca, C FL ad BI, in ratione r ad s; leu porius (quo in Speciebus ricetur nocatio
tracti Formis) uer ad I.
Supponamus BL, C. th, recta, sitieri poltic, (hoc ell, modo non sine parallelae)
eote in A.
Larumque alteri (pura ipBL) paralletan DH, allecalt u l’Allate.
Ponamus hem AB - d. l = b. D = d. lC. = J. Cbr expomenrem ralio.

## Folio 221 — 851708439:0245
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000245.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
A L G F B R A.
Cap. L. IV.
legmenta) BI = 2: AdcoC C11 = 1 a.
nis clacae. (Ouae omnia daca sune, cum suis respectire sienis f. -. ) FC Cqua sita
Cumque ex Datis non constet, num sumendum sit P ulera B (in ipsius AB
continuatione,) auc citra B (vertus A:) Supponemus ulera Bjacere; (adeoque,
si concrarium esse rerum continsat, id Facta Tolutione patebit ex radieis a ralore
negatiro.) Adeoque AI (= AB F BI) = B + a.
Tcerunque, utracunque fierie ipsius L positio (ultra vel cirra B,) puncti H
posicio porest esse vel similis (pura ulera vel ciera C prout L est ulera vel citra B)
vel contrarius (Duca II citra C, ( L sic ulera B; vel CI ulera C, I sic citra B.)
Priori catu;ra idem habebic sionum cum a. Adeoque, cum ponatur A T =- B F a
erit AHI (= AC, f CHI) = c F ra; ECPHI (FC + CII)=
Sed catu polteriori; ra concrarium habebit signum illi quod habet a. Adcoque,
cum ponatur AI = b F a; erir AH = C, Ya. ET FH = f = ra
Tum (propter similia Priangula) erit
1
Ot AI, ad AT: sic FFL, adt F D. B cr. loci
FIoc est; c = ra. B = a:: f+ ra l. d.
Adcoque (factum ab excremis aequale facto a mediis)
dc =rda = bf. + fa F rb a =raa.
Ouod, rice ordinatum, duas exhibebir Ouadraticas equationes, (duobus illis cati.
bus conrenientes. ) Ft (quia Problema neurrum. exeludit catum) utramque uti
lem. Malo aurem ucranque separatam conserrare, quam ambas in Biquadratica
contundere: quippe si hoc lacerem, nesorium miti tacelserem, caldem poltea sc.
parandi.
Oxe priorem calum respicic, (ubi L, II, similem Corriuncur policionem) haec elt;
e
+B
Cujus radices duae, suneduo ralores iptius a = B I. Nimirum
rb. + ra -s = V. rrbb. + rrdd + ff- 2 rrbd - 2 raf - 2 1bs + 4rac:
Oux casum posteriorem respicit (ubt L, F, Contrarium habent Ltumt) Hal. CII.
111 3
aa  ba = - d 6.
Cnsus

## Folio 222 — 851708439:0246
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000246.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
A E G E B R A.
Cujus duae radices sume alii duo valores ipsius a = BL. Nimieum
=rb - rd - f L V. 1rbb + 1rdd + ff - 2 ribd + 2 raf + 2. 1bf= 4rde.
Ex quibus quatuor radicibus, quor et quaenam sunt Astirmatirae, Negacira
Reales, aut Tmaginariae, dependet ex dirertis magnicudinibus, diversilque signis, da-
tarum quancitacum, b, 6, a, f, r. Verbigratia.
L. Sisie AB = b = 24. AC = 6 = 33. FD = 4 = 20. FC =5 = 21. r = 2
duxe conveniunc cribus tisuris primoribus. ) Fum erit
A: quacio PrioE, a a + 46 a = + 312.
Cujus dux radices sunt. a = - 23 +29.
Hoc est a = + 6. FL a = = 52. Alcera AStirmatira; altera Negatira.
Aquacio posterior, aa + 38a = - 312.
Cujus dux radices (unE a = F 19 + 7.
Hoc est, a = - + 26, _ a = + 12. Vecaque A Airmaciva.
Adeoque; E prorsum a B Tumatur B I, =5, aur 26, aut 12; aut recrortum à B.
BF = 52: Singulis his calibus habebicur punctum J, unde ducta L D HI praestabir
quae TIcI.
Obi norandum est; Anguli A magnitudinem, accunque muracam, (dummodo
B, C, du F, Y, eadem IAnCNE) non mutare valorem radicis: (eo quod Anguli ma-
gnicudo non ingreditue requationem.) Se patet in praemistis Piguris tribus. In
quibus, anguli maonitudo diversa est, (quae rectarum L FI in diverlis tiguris diver-
las reddie longicudmes, sed quae in qualtione nOn quarUNET:) Sed rectae BT e2F-
dem habene in omnibus lonsscudines: (adeoque et C HL rectae.) Fas nempe quas
reterune expolici ralores.
Idem incellivendum de puncto P, sre Tupra sive intra punctum A contingat
(dummodo non sic alcius quam C.) Ouamvis enim sicuistet punctum P delignare
ver iplius ab A distanciam; in hoc tamen procestu, Species f delignat, non quam
sic supra punctum a, sed quam sic intra C. Pocest aurem intra C concingere, lire
sit supra lire intra punctum A. Nec quiequam hinc nori concingit, quam quod, (I
SIC F’infra A, erit fmajor quam 6.
Sin supra C. caderet D, habebie f valorem negarirum, (quipue iptius intra C.
distantia, erie inor quam 0.) Sin F et C coincicant, eranelCet f (DTOPIEE LC:
f = 0,) adeoque ecbf.
Similiter; si D, quod hic praesumieur ad easdem cum B parces ipsius A C cadere,
ad concrarias ejus partes altignetur, habebic a valorem negacirum: (quippe jam
ejus inde distancia ad has parres; minor exir quam nulla; hoc elt, contingec ulira,
quod praesumitur ciera.) Sin altienecur ubiris in A C. recta (uicunque producta)
vancleit d, (propter FD = d == O:) adeoque et ac.
Ouod si tum dc cum bf craneseat utraque, aux sine incer se aequales, l’undle po-
sterior pars uriusque aequationis sit = 0.) Deprimentur duxe Ouacratiex (Der a
dirila) ad duas Laterales.
Si puncta B e A coincidan: eranetcer B (pr Oprer AB = b = 9) adeoque
Si C. A coincicant; eranescet C (PTOPtex A C = 5 ==O;) adeoque dc.
Et quidem in duobus hisce easibus postremis; problema reddicur simplicius.
Ouipue jam habemus, afienaca duo puncta B C, in eadem recta; A C auc A B.
Pront aurem, in variis catibus, rariantur magnicudines de signa datarum quan-
cicacum, magna constructionum orierur rarietas. Cujus acttue alia extiibemus spe.
cimina.

## Folio 223 — 851708439:0247
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000247.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 21 lines, status machine
B1 Ca
deli
Cap. INV. A L G E B R A.
haceri eepa 
TT. Si Si B = 7. c = 3. a = 6. f. = 5. r = 3. (quieunque Sit Angulus ad A)
Aquationes erunt,
ccc FC
CYLCt dib
aa = 26a = = fY. e a a  t4a = f 55. 5B  + eA 3ol1
Prioris radices crunE a = - 8 = V 13.
HOc est, a = - 44, e a = -= 21, 6, fere.
Posterioris radices, a = f 7 F10.
HOC est,s a = = 17, d a = - 3.
HIT. Si B = 4. 0 = 8. 2 = - 3. f = 2. r = +. A quatiOneS CrUNE
a a + 9a = - 32. _ aa + 5a = = 32
Radices prioris, a = - 4, 5 = V - 2Y, 75; utraque Imaxinaria.
Posterioris, a = = 2,5 = Y 138. HOc est, + 3, 685. 8 = 8, 685. fere.
V. St b = 16. 6 = 8. a = = 3. 5 = 3,5. r = 3. A quatiOnes erun,
ac + 26a = - 160. 8 a a = 12 a = F 100.
Radices - 73F3. e = 6=14.
Hoc est, - 10. = 26. 48. = 20.

## Folio 224 — 851708439:0248
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000248.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
224
A L GGF. B R A.
V. Si b = 2. 6 = r. d = 3. f = - 4. r = +. Aiquationes exuHIL
A 1 2aa 17a = + 44.) et a a f 15a-7 - 44.  - . 5 = 8
Radices, f8, 5 =V L16, 25.
e =7,5 F335.
Hoc ee = 29, 282, 8 - 2, 282) fere. Acque  11, et = 4.  d +
C
D. F. IV.
6 = 8. 311118 C3 Bbit ee
0t
vintia
V L Eet ciroiis ritse s
311
VI. Si B = 6. 6 = 4. a = - 4. 5 = - 8. r = 2. A QuatIONES CTMNE,
aa = 6a = = 26. 8 aa + 14 a = - 76.
Radices, - 3=5. 8 - 7 = V 33.
HOc est, f 2. -8. _ - 2, 25. = 12,75. fere.
Acque his sex catibus, figuras aptaViMUS.
VII. Si B = 28. 6 = 80. a = 35. f = 40. r = 3. Aquationes erune,
aa + 73a = + 3360.  a a - 87 a = - 3360.
Radices, = 36, 5 +68, 5. Hoc Cst, F 32. = 105.
Trem, 43, 5 = V = 2467, 75. Imaginaria.
VIII. Si B = 28. 0 = 80. d = 25, 5. 5 = 40. r = 2, A quatiOneS CruNE.
a a = 85, 5a = = 1360.. et aa - 74, 5 a = - 1360.
Radices, = 427 75 = V 3187,5625. HOc est, = 23, 7. e = 39,2. fere.
Trem, =3725 +5, 25. Hoc ett, = 42,5. e + 32.
IX. Si b = 8. c = 6. a = 2, 4. f - - 2. r = x. A quationes eruNE
aa + 3, 6a = + 30,4. de a a + 7, 6a = = 30, 4.
Radices, 2,8 =5, 8. Hoc est f 4. 8t = 7 6. Reales.
Trem, - 3, 6 =V = 25, 96. ImaginaxIX.
X. Si b = 49. c = 140. 4 = 45. f = 76. r = 3. Aquationes erunt.
aa + 156a = + 5152. _ aa = 248a = -- 5152.
Radices,
dece

## Folio 225 — 851708439:0249
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000249.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
Cap. L. IV.
Radices,
Trem,
A L G F B R A.
= 78 = 106. Hoc est, + 28. = 184.
+ 74. +28. HoC ct, + 92. + 56.
XI. Si B = 7. 0 = 20. 4 = - 2, 5. f = 23. r = h. Aquationes erune,
Radices,
Ttem,
aa. = 35, 5 a = = 282. 8. a a = 16, 5 a = = 282.
= 17, 75 =5, 75. HIOc estu = 12. = 23,5.
= 8, 25 =Y 350, 0625. HOc cst, + 26, 96. = 10, 46. fere.
XIT. Si B = 77. 0 = 220. d = 65. 5 = 264. r = 1.- Aquationes Crunt
Radices,
Tremn
aa = 276a = = 6028. e a4 - 2524 = + 6028.
= 238 = V 13016. HOC CAt, =23, 92. =252,09. fere.
= 126 =248. HIOc cst, = 274. = 22..
XIII. Si b = 7. 0 = 24. a = 8. f =8, 5. r = 5. Aiquationes erun,
Radices,
Trem,
aa = 24, 5a = = 257,5. _ a4 - 26, 5a = - 157,5.
= 12, 25 = Y 307, 5625. Hoc et, + 5, 3. 8 =29, 8. fere.
= 13, 25 =4, 25. HOc est, = 17,5. 8 9.
Et Similiter in calibus aliis. Ouibus Fguras Facile accommodes.
Verum, Si recta C HI, BI, (positione datae,) sint Parallela: adeoque puncta
AF non habeantur, (quae ex luppoli
blema jam tic simplicius, nec nili duas radices admictic. Ouxe sic habentur.
Tunctam CB, secet, in C, recta DC expotuis paralela. Positisque ut prius
BI = a (quam praelumo ad ealdem iptius C. B parres cum D; adeoque E ad con-
crarias partes comringat, id indicabir radicis a valor negatirus:)  CHI = r a:
Dono BC =k, CC == 5, (quam suppono citra C; adeoque, E ulira Cn ralorem,
habebit negatirum,) e CD = 1.
t
1
Tum (propier parallelas) si suxponantur L, F, ad casdem partes rectae BC
erit
Ot BC, ad CC: sie BT =CH, ad GD - CHI.
Hoc est R. 8 :: a = ra . 1 = ra.
Adeoque R1 - rka = 5a - r 5a. HOC est, k1 - 8a - r 8 a + r k a.
Et
Sin Supponatur H ad contrarias partes: Frit,
Ot BC, ad GC: sic BI F CFI, ad CD F C. FI.
Hoc est k.
8:: a + ra. 1 + ra.
Adeoque kI + rEa = 8a = r5a. HOC est K1 = 5 a + r5a - rk a.
l
r8 = rk

## Folio 226 — 851708439:0250
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000250.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
L C
1
R A.
Vel, junctim utraquem
Adeoque
R. 8:: a Fra. 1+  a.
El FYka = 5a FY8a. HOC C K= 8a FrC a = rta.
8Fr8Frk
Sic; _ sE BC = k = 9. CC. = 8 = 7. CD = 1 = 55. - -. Fum
Et similiter in aliis casibus.
Verum A R = 12, 8 = 4. 1 =
Badicum alcera erit 6 = 28. PrOprer Z1 = 48. _ 8 - r8 + rk = 8.
Allera 28, adenque Insinita. PTOPIer KI = 48. & 8 + rB = r k = 0.
Ouipre cum IDH Foret eadem cum D C intinice producta.
Fx Pariter concinget, quoties GB ad G C, cMt ut F ad r.
Si D et C coincidant: erit DC = 1 =0; Adeoque de BI = 0. de consequen.
ter, veraque radicum eranescet; punctis LH, cum BC, coincidentibus.
Similicerque judicandum erit, prour res tulerit, in aliis casibus.
Denique s rectae (potirione datae) BL, CFI, non modo parallelx sine, sed
coincidant (in eadem recta infinita jacentes:) coincident iem LEI puncta. Nam
recta a D (puncto extra illam) non potelt eam nili in unico puncto secare.
(Idemque casus est cum lupra memorato, ubi B aut C coincidit eum A.)
Ouod commune punctum PEI cadere supponemus ultra B vertus C; (adeo-
que, si citra contingac, hoc indicabit valor nesatirus radicis a =BT.)
Cimque, etiam lic, cadere possit rel citra C vel ilera C; ergo (positis, ut
Prius, BC =E, BI = a, _ CH =CT = r a;) habebitur,
eriori catu, L - a = ra; adeoque P = a. + r ay e
Posteriori calu, a - k = r a; adeoque a - r a = k, et-
Hoc et; In priori calus L F r. 2:: k. a.
In polteriori,
F= Y. I:: R. a.
Ouo quidem casu posteriori; si sie r minus quam F; cadet punetum LH
(PrOUE Fupponitr) ultra C. (DEODEEF E = r quantitateM POLIEIVaM:) A vero
Dlus quam L; cader punctum LH (contra quam supponitus) citra C, imo
Ciera B, (PrOPter F =r negatiram quanticatem:) Sn r = F, (adeoque F = r =0,
exit hic calus (Polterior) impossibilis, (Propter a = B F intinam.) Duippe li
e (Dolitira quancicas) ver policiram diridatur, Ouociens (seu tractionis ra-
lor) est policira quancitas: li per negatiram, negarira: Intinita vero, si per O.
Sie, SiBC = k = 6, de r - 1. Tum erie; in priori calu 2. + p. = 3: e a = 
In posteriori, + =r = 3: e a = 12.
Siu BC = k = 6, et r = 2. Tum, in catu prioris L = r = 3: 8 a = 3, =2.
In polteriori, F - r = - T: d
Erk
. = 20

## Folio 227 — 851708439:0251
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000251.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
d
Cap. L. V.
L. G F B R A.
Siu B = 6, e r = 2. Tum, in casu prioris + = r = 2: e a = 5, = 3
In Posteriori, F -r =O: _ a = 8 intinia.
Acque sie quidem Fet, ubicunque assionetur D punctum, exera BC rectam yF.
cunque productam. Nam direrta policio puncti D, non ommino alticit aequa-
tionem.
Si vero astignetur D ubiris in (intinita) recta BC: calis est indetermina.
cus. Ouippe tum (ubicunque in illa intinita recta altionencur ea B C. puncta)
punctorum PII ucrumris (puta Y) ubiris in ea recta altignes: atque tum aC
(prortum vel recrortum pro arbierio) lumas (in eadem recta) CII, qua TIF
ad altumptam BI, in ratione r ad. F: Puta ut Z ad E, aut 2 ad T, aut F ad F, auL
alia quaris ratione data. Nam neque diverta policio puncti D, nec diverta lon-
sicudo rectae BC, mutationem ullam interr. Noucra enim asticie aequationon,
Ouippe recta a D (ubiris in illa recta intinica) ad omnia ejuldem puncta per
Fine et.
Acque hi quidem casus polleriores omnes; quamris sub problemate generatitet
propolico cadant ut catus speciales; lune tamen (propter appolitas conditiones)
Timolicioris natura, nec cam altam postulane Aguationem. iss cis
Hoc interim eso Specimen, Alsebra Carriosi ad rem Cieometricam acconmo.
datae, exhibeo in re tacili, ne Lectori molestiam crearem: Quod autem ea possit
rebus lonse ditticilioribus accommodari, Pacis comprobavic Cartesius qui eandem
quaectionibus Paris invricaris achibuit.
Ouibus autem eam ipse Farriosus acthibuerat rebus rel Geometrieis vel Philo.
Tophicis, (erac enim iple in uirisque verlacus) non raleo dicere. Varia quidem
ille scriplerat, quae Warnerus item edenda in animo hrabuit: Algebramque hane
Nidit ut Prodromum ad alia quae Dost cranc in sCCULITA. Sed, Warnero MO-
tuo, cum reliqua CTarrioci, cum iptius W arveri Ceripra auc latent, auc perierunt.
de Aquationis Biquadrataa
Cartesii regula
in duas duaatabbs rescatiora.
rat, Cartesio ira placuisse comperimus, ut in ejus Geometria, (Vallice pri-
mum cdica, Anno 1637; _ Post Latine, à Franeiseo Schootenio, Anno
+b43; iterum que Anno 1659,) eadem plane retineac: Clarriorum quali in omni
Bus
AS FTarriori promoriones Alsebrae, Statumque ad quem cam ille perduxe

## Folio 228 — 851708439:0252
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000252.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
GF
B
Regula excipias) quod sic pure Aleebricum.
metricas alignor accommodationes: ut ante HuM Vieta, Cculaus, Custredus
aliique; e post illum alii. Cumgue IaC SIL LC PLL La LPanciscus
Schoremus, (vir modectus, industrIUS, _ LCLCH LILaLHCMIALCa C a(F ClLUS:)
rariis Practatibus (cum suis, cum aliorum, cma Cartesiana ab ipso
edira subjunctis. Verum de hoc non c agltut. sel de pura Alsebla, abitracte
Tuant ille rem accommodat.
Onam tamen habet ille Regulam (quam in FTarrioto non reperio:) De dilio-
venda aequatione Biquacratiea (cui acct Lecu TerS) in duas Ouactrati
hus lib. 2. Pa8. 353.  Vieta alteo, delCtO an alHI.
Carcesii Regula cA ad hunc LCHILM.
7
ap. L
bus Sceutus; vix quicquam de IHO IIIPCTAGOCHS (H UNat  GUIa LHOX CICMUS
Hlabet quidem ille, Ffectiones Creometricas, Algebraeque ad provolitiones GCo-
contiderata: omnique maceria paricer applicabili: quam, ab Llarrioto tracticam, ad
eas; ope aequarionis Cubiea ex radice plana. Quod es ante cum fecerant Bombel-
Pro expotica aequatione Biquadratica,
= _ . . . p X X . . . g 3
Duao subllitu Quadraricas,
+ N X = Y d +
FX N FY  13)..
In quibus urrisque p rerinet Puum tionum (+ aut -) quod in Biquadratica ha-
huerat. Sedq in priori (ubi habetur =y x) signum rerinet quod in Biquadra-
tiea habuerat; ar in polteriori (ubi habetur. L y x) altumit lignum contrarium.
Sed ad has relolvendas, inreniendus elt ralor iphius y; hanc cubicam relolrendo,
... 2P)  ppyy - 99.
In qua 2p tignum recilet quod in biquadrarica habuerat p: sed 4r concrarium alTii-
mit ejus quod habueratr.
Oua mechodo hanc inrenerat regulam, non dicit. Sed nec cam demonstrat.
Sed ex Tarrioti principiis eam Facile deducas. Ouod ego pridem feci, (anno
2648) in Epistola ad D. Johannem Smith, (matheleos cum Protestorem Cantabri-
Rae) hujus regulae fundamencum a me Sciscitantem.
erxelumendum est ex LCarriori methodo (quam _ Cartesius sequitIr) For elle
in quaque aequatione radices (reales auc imaginarias) quor sune in ejus supreme
termino (rite ordinato) dimentiones; factumque ex his continue mulciplicatis, est
absoluta magnicudo data. FI, Superiores aequationes ex inferioribus (incer le mul-
tiplicatis) componi, easdem radices habentibus: Adeoque in illas (apra divitione)
resolri posse.
Ex hisposiris, consequetur: Siqua Facta L GatiS, aut ex ractieibus composi
cum, sic racionale; erit absolura magnicdinis datxe Divisor, auc aliquora pars. A-
deoque Facto centamine (pro cujusque Pagacitate) numqua pars aliquota leu diri.
Tor absoluia magnictusiis In aequatione conspolta, fieri poltic absoluca magnicudo
aequationis intertors re limplieis, LIVe MS compolica,) qua expolicam diri-
caus exguirendu. A Il hoc concingat; cerlum M, cum aequacionem dividen-
cem cum aO Vca Componentes ese expolicae aequationis. Oua in re, criam
Puca, si proponatur haec aequatio (quae est Cubicarum quinta,
dato a - bca -  bCa = 0.
Si tenramina tiane, de  = b, a = C) aU a a = b d a = 6 c (qua non TuccedunE)

## Folio 229 — 851708439:0253
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000253.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
Cap. L
L L GC B L A.
a a = b6 = O, PFOAITE a = a = O, (_ A DEL saM LaL CLBUO, ProdiMIE Illa:) a.
deoque utramque esse expolux parrem componentem.
aut a. = du aa = BC, (quarum utraque succedet:) reperietur, divitione facta per
aa =- B6) aaa = d aa - bc a + bc a (a - d
Ca
va
FBCa
a
Sie in nuMEFIS;
a a 4a = 20aa a = 35 a a - 50a = 24. = 0.
Oux est Biquadraticarum prima; POsitis L, 2, 3, 4 PrO a, B, C, d. ABsoluI ma-
Enicudinis 24 dirisores Tunt F, 2, 3, 4, 6, 8, F2, 24. Pentata diritione pex a -- F,
= 29 a = 3, a = 43 a a = 3a  2, aa- 4∞ Y 3, a a = 5a  4, aa = 54 + 67
aa= 6a + 8, aa = 7a + 12, aa a - 6a a Y ITa = 6, a a a = 7 a a = T4. a - 8,
aua -- 8 aa = F9a -- T2, aa4 - 9a a + 26a - 24; reperietur rem rite luccedere:
Onde concludendum erit earum quam libet aequationis expolita componentes elle:
tactaque per unam aliquam divisione (Duta per a a = 5 a + 6,) prodibit alia (ut
2a = 5a + 4 = 0) quae cum illa expolicam componet.
aa - 5 a + 6) a a aa = +0a a a. + 35 a d = 50 a = 24. (a 4 - 5 a. + 4
aa a a = 5a a a  6aa
5aa a + 29 a a - 50 a + 24
5a aa + 25a a = 30a
 4aa - 20 a  24
+ 44 4 = 20a + 24
00 00 00
Fstque haec mechodus Patis expedita, ubi reperiri potest aequatio simplex, seu bi-
membris aliqua, qua expolitam dividat. Ouoniam absoluca magnicudo ut pluri.
mum, non multos habet dirisores, ut non lic locus mulris centaminibus.
Sed ubi talis aequatio bimembris non occurrit; magni laboris eslet omnia tentare;
nisi subreniat aliquod quo hac in re dirisamur.
Cui rei interric ea Bombellii (quod Sciam) primo, e post Pietae, distolurio
Biquadraricae in duas Duacratieas; e tandem haec Cartesii Regula, quam jam spe-
ciarim consideramus.
1. Cerrum est, Ci aequatio Biquadrarica sic ex binis quadracieis compolica, id ad
hujusmodi forman tieri;
tod..- 1b l... d = C
b 1b c00 16 eb... eb a
aa aa... Ma a a. .. b a a. .. b n a. . . D a = 0.
.A a d ... d a a... dM a
. mnaa
2 Suvvonimus ilem (per ante tradita) aequationes lic praeparatas este, ut tam
aa in quacraticis, quam a aaa in biquadrarica, habeane lignum. +.
3. Omoniam supponitur terminus secundus (a aa) in biquadratica, (s non
ab orine detuerir, laltem) sacie ablatus: Oportet m e n cum inter le aequales
elte, cum habere contraria signa. Secusenim, non eranesceret ille cerminus.
4. Ponamus igitur (quo ealdem cum illo liceras adhibeamus) -- y dc F y PrO
M en; et x Pro a; e pro Coettcientibus, leu nocarum magnituau lil 4o
que termino aexregatis, p, g.r. Quo reducuntur omnia ad hanc torman:

## Folio 230 — 851708439:0254
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000254.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
L C F. BR A.
L ~ X - 9 X 8
NX +)
-
8d =c
+ N X X X 8b ~ X 8bY b 606d
8da X B dY X
F _ X N N 6P ∞ N Bgib 61 =0.
ap. L
Obi primus terminus habet F (guia tactus ex L in f:) Secundus dect,
(PrOPteE = y a3 ec F y a Se mutuo perimentes;) In certio, ry habet signum
(quod sire Fuerit  Lre =, Pro eo Donimus 8; _ B PrO CONTTaTIO:) la
quarco, b retinet quod habuerattignum (quia Fc ex b in F y:) sed d altu-
mie contrarium (proxter mulciplicationem in = y ).. Atque hactenus res constans
elt, quaecunque tuerint signa iplarum p, q r, magnicudinum.
5. Jam reco, li habeatur F r; indicio clt, iplarum b, a, (in Ouadraticis)
Tiona fuisse similia, (secus enim, non Foret in biguadrarica f B d =- - f r.) Adeo-
que in cermino certio (quippe lecundus decst) 8 b e 8 d ligna icidem lune
limilia. Fc propterea (cum sIE8 B 8 d - py = 8p) erit 8p + Yy = 8b.. 8d.
(HlOc CHF L B. f a si Fuerie F p; ec - b - d li tuerie = p: indeque con(tat
num B, a habuerine ucraque F, an utraque ..) EEt in quario cermino 8 b
Ba (quia b ducta in F yx, recinec cuum signum sed mutatur signum ipsius d
propier ductum in = y v) Adeoque (proprer 8by . . . 8 dy = 89) eric DG
= 3B.. 8d.. (Ft PrOPterea, L p q habeane idem signum, B major est; sed d
major si habuerine illae Cena COntraria.) Adeoque p F pY est summa, et 2
ditterentia, et fr rectangulum, duarum b d seclusis Tixnis. Hoc ct; Si fuc.
it + B.
(quia tC ex = y in F y;) b _ a idem quod habuerant in quadraticis
X - y X+
x x + y v
d =- c
Fs
+ X e X d on es
+d N d dY _
N N
FX N ∞ x F p ~ ~ =qX F r =0
Sin laerre = p; ctu
F N ib ib   = p N N
 + bd
9N + r =
t
propierca 6p F y y elle duarum b d disterenciam. (Farumque Masorem elle
altirmatiram si hrabeatur. + p; sed minorem, si - p.) EC Z. carundem sum.
mam, (adeoque + b, = a, s sic + g; ted - b, + a _ = g.) Ft = 1,
rectangulum. HOc cll; l1 + b,= d.
8. Sin habeatur =r: indicio est iplarum D d siena fuiste contraria. FL
bN N N F b  N  bY X - ba
VN X  dy
F  X X ~  = p W X + q∞ - r =

## Folio 231 — 851708439:0255
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000255.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
Cap. L. V.
Sin = b, = a; erit
F~ _ N N = + B ~ N = q 3 - r = 0
Fabemus itaque utroque casu, (hoc est, sive sE = r, Sire = r,) duarum
aq (sectulis Signis,) summam, ditterentiam, ee rectansulum: modo cognics
Sc iplius y valor. Nempe, in priori catu, p F y y est duarum lumma, d
2 disserentia: In Polteriori, p F y y disterentia, et 2 summa: et in utroque r
rectansulum.
8. Cum iiaque sic uccunque, duarum B. f yy ee Z, altera summa, altera dit.
Ferentia, duarum b d; harum semi summa cum semi difterentia, est duarum b d
major; et semi summa dempra semi disterentia, duarum minor. Hoc est duarum,
8p + 1Y + 2.)  c+ rrr. . SpY + q
8p + Yγ
27
25 Hoc M 2 4+ 9p7.. 80y -q
altera est B, altera a, _ proprerea carundem rectangulum + B d = L r.
Hoc est Frrrrrr.. S2Pyrry + PPYY = 99=8r.
Hoc est = y.. 82p p  ppyy = 49 =0.
84rY Y
Obi go semper habet signum = (quia sic ex L in +:) pp signum  (quia
ex tignis similibus:) p retinet quod habuerat signum: led r (proprer cranspo-
sicionem) signum Tuum mutat.
O. Si isitur, resolvendo hanc aequationem Cubicam ex radice plana py; ha-
beamus valorem ipsius y: Habentur inde dux quadratiex, (nimirum, propter
82 P + :Y +, =b, d.) Puta
eteii ajo sispitie etes 
= DEO X N = y N. . B
= a x f y ~ + 2yy.. 83p.. Pro v x + y ~.. d
OBi p rerinet in utraque quadratiea suum quod in biquadratiea signum habue.
TaL: Sed q in priori retinee, in posteriori mucat.
20. Tlarum quadraticarum radices bis binae; sunt aequationis biquadratiea ra-
dices quaternae.
HIaec ego sutius et parricularim expolui (quae reticere maluit Cartesius) quo
hujus Resula origo percipiatur, methodulque pateat ejusmodi plures invellisandi.
Porest aurem idem sic brerius exhiberi.
Potiro 8 pro respectiris sienis iplarum B, d (sive Sine F sive =, Timilia aut
dissimilia,d et B pro concrariis, (et paricer alibi:) Compolicio sie instituetur.
A E C F B R A
F ib X -
0
b X a
X = bd
X X + YX
N N X X -
et ib ib cso

## Folio 232 — 851708439:0256
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000256.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
LL l. Cc L. B, a 11.
_ X = y X
xX
8b =0
1X
i -=c
iX N a
CaL.
666a L 180 1y + 8p = 8b +8a.
VVX X SbY X
Sb∞ X E d Y X
8d X_
X X X X Opa 69b 61 - .
6b +Bd = 8b - 8a
Adeoque yy + 3p + 3 = 82B. Et 3y 82P 2 = 8b.
ry +.8p - 3 = 82 d.
2Yy 82P = =8d.
Taque (cognico valore y) habentur B, d cum suis sienis. Iplaque aequationes
quadratica;
a v - pX + 9y 8. P 5 = v v - y ~ 8b = 0.
a x + r ~ + 2yY 83P  =  v + p ~ 8a = 0.
OBi Zyy semper habet F: de 3p rerinet sienum quod habuerat p: sed g in priori
(in qua habetur =y x e b) rerinet quod habuerar lignum; in polteriori (in qua
habetur F y x et du) mucat signum.
Sic autem invenieur y.
Ouonimr + . 13 3i p 82 Vry 8py 84 = 8a
+3yγ 8: p 32 WWY BPY 82 -8d.
Ereo, horum rectangulum
p S2p + pPYY = 92- 508 d = 8r.
Hoc ett Y 628) f8873 =44- 64).
HOc est y 82p V = pPy y = 99 =0.
8i4r y y
Ob1 Y sadet F; 2p retitet Suum quod Lab P. P habet +: 94 habet =;
et ar signum concrarium ei quod hrabuit r; in biguadrarica
d
Hujusque aequationis cubica solurione habetur vatot, ejusque ope, aequationes
binae quadrariea, quae uni biquadrariea aequipollent. Ouxe cum Carcesu 
conveniunt.
A P. LVI.
De Reca  MMC Bartholini, aliisque.
quationibus compoticis. Ouas (inper alia le Ia) CdICIE firan-
ciseus Sehoorenius (sive Van Schooten) cu abiue monulatione, aut indicata
Raeter eam Cartesii Regulam, modo memoratam; ejulmodi plures alias era-
didie Johannes FTuddenius (Tive Van FJuade) Belsa, pro diltolvendis Ai
mectiodo qua ad eas perremeric.
Dua
11

## Folio 233 — 851708439:0257
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000257.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
eN P
i(1
A L G F B R A.
Oux quidem Repulae sunt oprimi usus inresolvendis squacionibus alcioribus
Sed nimia Foret dixrestio (cum multae Cint) eas hic parciculatim recentere.
Pares habet Merrius (Anslus) in Fractacu nondum ediro; una cum Demon-
Scrationibus succincte adjunetis, methodoque qua ipsas ex Charrioti placicis (jam
supra craditis) deduxerie. De quibus item jam lupra diximus.
Ec quidem haud sperarerim alia AIGebrK pUrA incrementa, quam quae Funda-
mentis illis ab FTarrioto jactis, ec 2 Cartesio altumpris, nitantuE.
Sed largus adhue suppecit campus ampliandi, et exemplificandi; quo Creneralia
illa ad parriculares calus accommodentur. Ouod ut alibi factum elt, sic speciarim
in Reculis modo dictis, pro dissolvendis aequationibus compotiris, lire ad simpli
ciores reducendis ex quibus illa componuntur. Duibus et plures achuc addi poltunt.
Verum, si generalis excogitaremr methodus, inveniendi, in magnicudine pluri-
membri per Species delionata, Dirisores omnes quorum illa capax est, (pariter ac
in Numero expolito inveniendi Dirilores omnes aut partes Aliquotas:) Hoc de
Aquationibus dissolrendis arriticium, Foret Tub illa generali casus particularis.
Frasmius Bartholinus, rarias item extribuie Regulas, (parrim (uas, parti CX
D. de Beanne,) de Limitibus Aquationum determinandis. Ouae res etiamnum pro-
MOVCTI MCFCTIE.
Sune et alia incrementa plurima, qua (post Rrichmeticam speciosam a Vietaeo
incroductam) nacta est AIgebra. Praesertim in hac ad Ouaestiones Ceometricas ac.
commodanda, alialque plurimas inguilitiones non absimiles. Guarum rerum ma-
sna suppetit copia in seriptoribus Machematieis ex eo tempore conspicienda.
Talia Cunc quae haber Renatus Franciseus Stusius, Canonicus Leodiensis, (vie
apprime subcilis ee ingeniolus) in Mesolabo Tuo, aliisque Capitibus cidem annexis.
Hlabet icem pluxima Franciscus Schootenius, alique Authores ab ipso editi in Tua
Geometria Cartesiana; aliisque ab ipso libris edicis.
Trem Christianus Flaeenius (vir icem subrilis e curiosus) in operibus aliquam.
muleis ab ipso editis.
Trem D. P. de Fermat, Suprema Curid Tolosana nuper Prates, in Suis ad Dio-
phantum noris, aliisque.
EE Cauce horum plurimos) Pecres Zerieonius, in suo Cursut Mathematico; alii.
que plurimi.
AEque ex nostris, (praetex Ouxhtredum Tharriotum, de Warnerum ante me
mOratOS) Laacus Barrovius, S. T. D. nuper Matheleos PTOLCHOT Luc asianus apud
Cantabrisienses, Collesii Trinitatis dicti ibidem Prxeses, (Vir alia item liceratura
cumulatissimus, ut ex seripeis ejus Theologicis quae extant liquet,) in Pralectio
nibus ejus Machemacieis, alisque ab ipso eduis, (magna varierate et Tubcilitate re
Fertis,) rem eandem multum promorit.
Johannes Kerseius item, in Mebra sua, duobus Toluminibus edica, quibus hanc
arcem fuse alque dilucide radic; et abstrusa Diophanri Problemaca, magna perspi
cuitate exponi.
Ex D. Secbas Narc non iud pridem AItronomix PrOFeltor Savitianus, Ovona,
nuver Exileopus Sarisburiensis: Et D. Christophorus WVren LqueS AuratS, nuper
ravilianus Altroniomix Proteltor, de nunc Regiorum Aditiciorum Superritor Oe
neralis: FL (qui utrisque Luccelsic) F. dreardus Bernara S. T. D. Astronomia
nuperrime Proteltor Savitianus. Viri, cum in alia literatura, cum in ASebTA, 1O12-
que Mathesi optime instructi. Dictisque Astronomix Protesoribus (Bernar do Sponte
recedente) succedie David Creeorius (Scotus) Medicina Doctor, Jacobi Nepos.
Onibus accenseo Johannem Casree Oxonienlem; qui est sciencia Machematica
penicius instructus, aliisque insticuendis (jara a muleis aunis) bonam operam
collocarit.
Tem Joannes Tellius, et Tsauciss Vereronis, de quibus postea dicturi sumus Fu-
sins. EF D. Carolus ScaroronsB, Eques Auatus, _ Medicinae DoctOr, quique fuie
duobus Resibus Carcto secundo, _ Jacobo Secundo, Medicus Primarius: Qui, quam-
vis nihil hactenus cdiderit, est camen (fuique a multis annis) subcili ingenio, e
Matheleos pericisTS. EC D. Gulielmus Vice comes Brouneker (Vir Subcitiltimo
in hujusmodi rebus inxenio) Resiae Societatis, Londini, (per plures annos) Pra
Se5. D. Farardus Davenantius, S. P. D. Eccleliae Sarisburiensis nuper CanonicuS.
Facobus Greeorius (Seoto. BrItanNIS,) Licolaus Mercator, Johannes C.ollins, Ldmun-
dus FTaller. Lhomas Strode, Thomas Baker, Michaet Ddarey, Josexhus Rapison, Ada-
mus
Cap. L. VI.

## Folio 234 — 851708439:0258
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000258.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
G F. B
mus Marcindale, Cilberius Clarte, NV. FTanbury; Tiem Cuihielmus Molie
San Ceoreius Ast, (Dublinienses Fiberni;) aliique ex noctris, lem candem Peripiis.
vartum edicis, parcim nondum edicis, promorerunt maxime.
Flisaddendi lunc, Clandius Midoreius, Cregorius a Sancto Vincentio, Lalovera
Dulbialaus, Rebervallius. Pascalius, Pivianus, atque ex exteris alii: Dui quamris
in editis luis operibus expreltam Algebrae mentionem non Faciunt (led daca
Opela celare malune;) Patis tamen ex re ipla liquer, eadem eos plurimum ulos elle,
in eis inveniendis, quae alias (hoc celato) demonstrando oltendunt. Quod d
Stuscus Fecir in Mesolabi sui edicione prima; cujus F dirione secunda, ostendie, ex
quibus principiis Analyticis ea deduzerat. Vr _ Nerotonus noster in nupero
opere, quo Motus Caeleltes ad leses Staticas Fixixic. Aliique mulri, Architectorum
. T
CUIX DEGIatIS.
nitatus qus construcla ucan aleta subauetis quibus i conuen va.
A P. LVTV
De Alcebra D. Torans Pollii; eo speciatim de
Problematis imperfecte determinatis.
O Ogehtredum de Tharriotum, es ex nosris Johannes Pelbus 5. Y. D. in hrac
liceratura jam a lonso rempore verlacistimus, jam nuper anno 1685, Lon
dini, mortuns Penex. Non mulca autem (quae pocuic optime) eypis edidic.
Extac tamen ejuldem Tractatus, lingua Germanica primum editus, Lisuri, anno
2659; Subnomine Rhonii, qui ejusdem otim fuerat discipulus. Idemque (vel ip(I.
US magna parS) in Anglicanam lineuam convertus à Thoma Brancker, MI. A. Cx
Collegio Froniens dicto, Onomae; acque ab ipso Z ellio recognitus et non parum
immucars; Londini editus est d Mose Disc Bibliopola, 2668: Tub ruulo Introdu
ctionis in Aeebram.
Flabet ille mehodum, sibi peculiarem, accommodandi Algebram ad rarii generis
Problemata; adjuncto ad marginem Indice torius procestus. Ouam rectius intelli
Ses ex ejuldem specimine mox exhibendo, quam (absque illo) rerbis commode
Dollu explicari.
Acque, incer alia ollendit quomodo de exposito Problemace judicium laciendum,
elt, num plene determinatum sic, aur non sic. Nimirum (si eso illum recte alle
quor) ad lunc senitum:
Sinumerus Dacorum (inter se independencium) minor lic quam Duaesitorum:
quaeltio plene decerminata non est; sed est Solutionum innumerabilium capax.
Si vero Datorum ee Duaesitorum numerus HL aequalis; quaeltio pertecte deter
minatur: Nimirum, ad unam aliquam, vel decerminatum Solutionum numerum;
puta ad duas, cres, plurclve, pro numero dimentionum in aequatione conrua.
Duod si data plura sine quam quaesita; superAua sunt ea quae exluperant; d
calia Tortan uc exeteris sine contraria, nec cum eis poltint consiltere, adeoque Pro-
blema reddane imposibile.
Ouo easu aurem Ouastio lic expolica, est impersecte decerminata; postunt es
quae delune Data, ita pro arbirio suxpleri, ut praelenci Inguilicioni expedire maxi
me ridebitur: Sed inra certos limites, ee sic condicionaca, ut expolice Ouactionis
natura poltulat. Poltunt enim exposixe quaestioni cales annecti conditiones, quae
quamvis cam non absolure decerminene restringant camen, et quacancenus limitent.
Verbi gracia: Si quaeratur, Ouis sic numerus (inteser) qui poltic (absque Fra
ctione) divici per 3) 4 e 5: Solutiones Cuncinnumexx: nimirum, numerus 60,
Si pecacur divilibilis pel 2, 3, 4 d 5: numeri 2 mencio, rectundat plane; ur qui
I 4 inetuditur.
Si peratur quis numerus impar lie rea divisibilis: Haec ra Conduio est plane in-
conerua, ec reliquis incontittens; cum numerus impar non pollic per 2, auc 4.
hujusque loliscipli omnes.
absque tractione divici.

## Folio 235 — 851708439:0259
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000259.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
Cap. L. VII
A L G F B R A.
Si pecatur, Ouis numerus quadratus sie postic dividi: Faec incerpotica condicie
qualtionem reltrinsir, sed non decerminat. Sunt enim innumeri duadrati qui sic
possunt dividi: Nimirum, numerus 000, hujusque per quadrarum mulcipli omnes
Sin quaeratur, Ouis sic minimus numerus qui sic possic diridi: Determina
cur quaestio ad numerum 60.
Pariter; pro decerminando Triansulo, reguiritur, ut data sine tria latera, pur
an b, 6, aur quod his datis aequipolleat. Requiritur igitus, ut data Pria linc:
quo illud determinetur.
Si itague data tancum sint a, B, latera; postum, pro certio c, latus adt libi-
tum altumere, (quod cum daris a, b, contineat iriangulum:) Cum hac tamen
conditione, quod altumpeum lacus illud sic linea recta. (Ouippe, hoc innuitur
ivso Triansuh nominE, prour ab Fuctide detinitur.) Tiem, quod duabus daris
rectis, simul sumpris, minor sic; sed major quam earum ditterentia: puca, mi-
nOr quam a f B, sed major quam a = b; (secus enim non conticietr criangu-
lum.) Sed (intra hos timites) quaelibet altiini potest recta, pro defectu deter-
minationis tertia.
Sed si, Praeter a, b, detur certium aliquod (ab illis independens) quo c de
terminetur; quaestio est pertecte determinata. Vr puta, SI detur aneulus ipLIS a b.
comprehentus (nam lic determinabuntur extrema puncta rectae c.) Vel ratio quae
litae c, ad datam a, aut b, (aut horum Timile,) quippe hinc determinabitur ip (IlIs
c lonsitudo. Sed non ex ratione iplius a ad b: quoniam haec non est nova
determinatio, sed in daris a X b neluditr.
Si, Praeter datas an b, requIraEUE UE Friangulum sE acutanentum, vel ut SL
obtusansulum: HToc quaestionem restrinsit, sed non determinat. Nam rarietas
achuc innumera relinquitur pro lonsicudine lateris c.
Si requiratur, ut criangulum sE Rectanentum: determinatur ad duos ca(uIS.
Nam vel ille rectus angulus continchitur datis an 3, (quo casu, propter angu
lum datum, dantur extrema puncta cercii lateris, adeoque ipsa c recta:) re
datarum lonsior (ue a) erit trianguli quaeliti Dyporenula (rectum subtendens
angulum) quo calu certium lacus determinabitur. Aut etiam, l a, b lint inter
se aequales, determinatur ad calum unum; quippe tum necesse est ut ha contineant
angulum illum rectum.
Si, datis an b, requiratur ut triangulum sic aequilaterum: cum vel res deter-
minatur, (S sint a- b, inter se aequales, _ VExIrIS c tertia;) rel (Si Tint a, b,
inaequales) catus est impottibilis.
Si reqUITatur ut sit aequicrurum; sineque an b, inaquales: OpOrtetC carum al-
ceri aequalem sumi. Sin aequales sinc a b; ea condicio est supertua; ut quae ipsis
datis an b, includitur.
Fujusmodi indererminatae quaectiones, sunt, muleae ex Diophanti quaectionibus
Numericis. Mustaque harum similes, quae (ad imicationem Diophanti) cracta-
runt Vietam Cartepus, Pellius, Fermarius, Freniclius, Billius, aliique.
Harumque indeterminatarum quaestionum solutiones: vel cales sunt ut casus
omnes pollibiles comprehendane: Ot puta, cum dicitur numerum 60, hujusque
mulciplos omnes, nec ullos alios inteoros, posse per 3, 4, et 5, (absque tractio-
nC) diridi. Ouo casu quaectionem dixerim pertecte Toluram.
Vel, tales ut respontum extribeant unum, aut plura Fortan aliquoe, sed non
omnia. Ve puta si quaeratur, (quod dici (olet) Friangulum rectangulum in
numeris extibere, (hoc est, tres numeros cales extribere, ut quadratum unius,
duorum reliquorum quadratis simul sumptis, aeguetur:) ee respondeatur, nume
r05 3, 4, 5, hoc praestare: Sed ee iplorum aequimuliiplos quolque. Continet hoc
respontum soluriones innumeras, nec tamen omnes. NaM PrXteY expOsitOS, de
eorum aeguimulciplos, suppetunt innumera numerorum triades quae hoc praelta-
bunc. Ouo casu problema vere Tolri dixerim, led non perfecte solvi.
Perfectior, hujus qualiri solutio cst quam habet Pellus (probl. 27. pas. 86.)
aliique. Numirum s altumpea sine latera in hujusmodi ratione, c0 = d d.
C6 = a d. 2C4. FTOC est, Ut AUOTM QUOTUVIS GLAcTATOTM NUIIETOEUI
summa, ee disferentia, ee duptum rectaneuli sub eorum lateribas. Ouippe sic
sumpei numeri, nec ulti alii, extribebunt (quod aiune) criangulum rectancutum
in numeris. Hoc est, his calibus, nec aliis, lacera Frianguli rectanguli crunc
inces se commenturabilia.
Sunt

## Folio 236 — 851708439:0260
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000260.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
ed et da ta 2t
Lp. L. l l.
Sunt autem ejulmodi impersecta solutiones, plurimae ex illis quas habet Dio-
phansus, reliquique (illum imitati) auchores modo memorari. Obi tocum latet
artiticium, in prudenti delectu magnicudinum pro arbitrio sumendarum, loco
deticientis alicujus decerminationis: ita nimirum, uc, in proceltu operis, magni-
cudines aliquae le mutuo destruant, indeque hac aequationis deprectio ad inferio-
rem gradtum; vel in commodiori laltem torma compareat aequatio, quam fOree
li non ita fuerit prudenter tractata.
Fujulmodi Soluriones Pasacirarem aronune in exquirenda substicatione com
moda (pro deticiente decerminatione:) sed quaestionem DFOPOLITaM NOM Per-
fecte Tolrunt. Ec quidem, ubi itiusmodi inquilicio facienda est in ordine ad
aliud quid porro inrestisandum; ommino fieri porest uc nullum ex responsis sic
excositaris praesenti sutticiar occationi. Ouod mox de Allieationis Resula olten-
Turi Cumus.
IRiusmodi naque Regulae, sunc quaestionum solutiones impertectae; responta
Forlan aliqua suppeditantes, sed non omnia; nec ullum torce illorum quae Pra.
Tens postulat occatio.
Acque hoc potissimum nomine, minus deamare soleo istiusnodi quaestiones,
carumque Tolutiones lic exeositatas, (apud Diophantum aliosque,) quae rem
quaelicam impersecte solrune: uc qua accurationem Machematicam minus (a-
Diunt.
Fas autem nema (quod sciam) Felicius expediric quam Kersaeus nolter, in
Peebrae Cue volumine sccundo. Obi Diophanti, Billii, aliorumque, problemata
iltinsmodi, urcunque intricata, distincte et dilucide enodarie: es tanta felicitate,
uc via  eut eeo in polleriat n hac arena le laciser.
Obi aucem ejusmodi quaectionum solurio pertecta est e justis limitibus de
terminata, (ita uc ad omnia relponsa poslibilia, nec ultra, se extendat,) adt eam
percingis accurationem quam poltulat Machelis, non minus quam ubi quaeltio
vel unum patitur, vel cercum numerum Responsorum. Suntque ejuldem naTuXX
rales inquisiriones cum cis qua Loca dixerunt VetereS.
P. L
De Alligationis Recula; prout ea vulso traci solet, es
prout a Bacheto perficitur.
Flieationis (quae dicicur) Reglila, prour in libris Arichmerieis vuleo tra
dicur, est insigne spectten (quod moco dixi) Problematis impertecte
soluci. VE qua Relpontum nunc singulare, nunc aliquammulta exti
bec lec  omnia; e lxpe He unum quidem eorum quae praesenti competat
Exemplum elto lamitraris haec Duatco; Aneilla empium miltitur 20 Mites
s pretio sineulas: Quaeritur, quot cususque generis emendae sint  Flanc elle
Allieationis quaectionem manitestut etl; Plinirum, quomodo moderandus sic cu-
julisde generis numerus (precio inaequali,) ue aequiDolLCanE ExDOSItO pretio me-
dio. Cui quidem responlum exhibebie Alligacionis Reguta in numeris tracts:
sed non (quod hic desideratur) in integris.
Numerus omnium prOpOlitus, est 20: Pret medium quod imperatur, est
unius allis.. LRca data inaequalia, sune, unum sperato majus, 4 altium; et
mnora duo, E e 4 altis. Hlaec dara preria sunt (per Regulam Alisationis) sic
alliganda, seu invicem comparanda singula, majus cum minore; seu excestirum
cum deticience aliquo. Quod quidem nonnunquam (ubi tum excestira tum
deticiencia plura Sinc) Pluribus modis fieri poreit. Hlic aucem, cum precium
excelsirum sic unicum, unico modo tiec; quia ceeteium urumque non aliud
hadene excestirum quicum comparencur, quau Hoc unicum; cum quo itaque
comparandum exit vTuIGuE Luque hac comparacione rulliruenda, (sie enim
docet
Ocealion.
20 Asibus: Anseres pretio quaruor assatt Coturnices semissis, Maudas quadran

## Folio 237 — 851708439:0261
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000261.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
Cap. LVIII.
alcernarim lune adleribendi, (excellus adveilo Id quod ett minoris precii, ee
detectus ex adverso ejus quod est majoris precii,) quorcunque tieri concinsat
allirationes. Aeque cum demum; ut lumma ommrum aitlerentarum, ad nIC
rum expelitum; sic ditterentia (leu ditterentiarum lumma li plures LinC) cuique
generi adseripia, ad sumendorum ex eo genere numerum. Ouippe hic est illius
Regula renor. HOc est, in praesenci casu, F (Z. f 8 + 3
74 ad 20:
sic (3 f Z =) F2 ad 353, numerum Anlerum; et sic 3, ad 85, numerum Co.
curnicum; _ Sic item 3, ad 88, numerum Alaudarum. Fsque haec uniea lo-
lucio quam haec extribet Reguda.
Numerus omnium, 20.
Medium pretium, T.
339 1 1329 (Anserum.
43 Coturnicum.
20
Interea tamen (praeter alias innumeras in numeris Fraetis) admittie ea quastio
hane Colutionem in integris;
Anseres.
3. Pretiu 12.
Coturnices 25. Pretium 72.
Alaudae
2. Prerium 3.
20
Simileque ostendi porest in aliis hujusce Regula exemplis. Obi plura nonnun.
quam suppetune Responla, sed nunquam omnia.
Impertectionem hujus Regulae nocarit Bachetus, in nocis ad Duast. 4 T. lib. q.
Diophanti. Eique medelam supplet, sua Methodo, ex principiis Algebra pericam.
Cujus exemplum unum aut alterum hic Cubjunso. FCque ea ad omnes hujusmodi
calus applicabilis; Led majore cum difticultate, prout creseit numerus terminorum.
Primus cst ille idem casus quem modo memini; sed quem ille aliis verbis expo-
nic; ad hunc sentum: Numerum 20 in tres partes ila dividere, ut prima in a du-
cta, secunda in Z tertia in Z conficiant 20. Solutio ejus elt ad hunc sentum. Fsto
pars priman, erso dux reliquae Tunc 20 =n, (adeoque n minus quam 20.) Cumque
prima in 4u lit 4. n; Crgo 20 = 4n, sunc z secundae, e = tertiae. (Adeoque 4n minus
Et quam 20, _en minus quam 5.) Cumque sic 20 = 4. n = = Sec. + à certix; hujus
quadruplum 80 - 26n, concinebit certiam semel, e secundam bis. Unde Ei sub.
Catur (20 = n) Summa secundae _ tertIX; Retiduu 60 = L5 n, erit secunda SC.
mel. (Adeoque L5n minus quam 60, ec n minus quan 4.) Aique cum demum
hoC ex 20 -n (summa veriusque) subductum, relinquii cerriam = +4 n = 40.
deoque g0 minus quam 24n, ec n plusquam 25.) Cumque nulla POrtO OcCuT
ros limitandi occalio; numerus quilibet (inceser tractulre aut Turdus) qui minor
sic quam q e major quam 25, altumi porest pron parte prima. Aique tum 60 -
E5n pro secunda; et 24n - 40, Pro tertia. Oux est pertecta jualici solutio,
E inera justos terminos dimitatio. EAt autem, incra dictos limites, rnuIS nuIerUS
intever, nimirum z, ue qui major est quam 25 sed minor quam 4.
Crelcente autem numero terminorum, procestus co fit perplexior, sed cildem
nixus principiis. Oc in exemplo ibidem sequente; Numerum 200 ila dividere in
quatuor partes a, b, 6, d, ut sit 3a = b + 35 F Z d = 200. Solurio ejus ad hunc sen-
tum breviter exponetur: Ouoniam 100 = a f b. F c. f d; erso 100 - a = b +
c. F a. (adeoque a minor quam 100.) Et quoniam 3 a f b + 35 + ; d = 100,
ergo 100 = 3a = b  36 +; a. (adeoque 3 a minus quam 20O, et a inUS quam
p =353.) LCLH LLMPEO 10O = a Gito, diricatur in B, c, d. EFBO 100. 
2 = b Fc + d, hoc elt 100 = a - b = 6 Y d. (adeoque a INUIS qua 10O. b
_e b minus quam 100 - a.) Tta tamen UE SIE 20O = 3 a = b + 3C F 7d: hoc
eltus 100 = 3 a = B = = c f 74. (adeoque b, inuS quaM 100 = 3 a, e 3a
minus quam 100 =B, E a minus quam 335 - = b.) Ductisque omnibus in 7.
tiet
A L L _ ILA.
docet regula,) Fxcessis majoris (supra medium pretium) d minoris defectus,
Pretia inaequalia. Disserentiae. Numerus. Pretium.
83
20
uccarum.

## Folio 238 — 851708439:0262
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000262.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
L G F B R A.
Cap. LIX.
30 = 20b.) Dirisi(que omnibus pel 5, sNl 240 -- 8 a -- Zb == c. (adeoque 8 a
Quam 30, quancumris exiguum lupportacu b.) Subducto isitur hoc ralore c
ex 100 - a
Fiet 700 = 2F a = 7 B = 2 c f d. Indeque Subductis 200 = a = B = c + 
manebit 600 - 20a = 6b = 36. (adeoque 6 b minus quam 600 = 2: a ec b
MinuS quaM F0O - 3Z a: item 20 a minus quam 500 = Gb, e a mInUS quam
c  manebit 7a F 5 b = 240 = d. (ad coque 7a + 3b, el
non hinc orieue nora limitario; nam quancumris exionum lic id quo a deticie
lumas licet quidlibet quod minus tc quam 200 - 35 a, hoc est, quam 35 e. EHte
C= f (Tumpro f quoris quod minus sic quam
EC.) Pro C, lumas 240 - 8 a - 23b, hoc cAt
(lublticucis, pro a ec b, eorum raloribus) 23f. FL
pro an lumas - 140 f 7 a  FEb; hoc ese (Tubsti-
curis valoribus a, b,) 70 = 23C - 23f. Ouxe cA
problematis plena Tolurio, de justa decerminatio:
Responsa continens innumera, prout (intra coster.
Bachetus exhibet, in incegris, responla 8+
Sed Allisarionis regula, ctra hujus quaetiti, non nisi unicam (reapse) (0
lutionem exhibei; cum nonnisi unicum lic precnum, lipra
medium, cum quo alligari, poltunt pretia detectira (quae
med.o lunc minora) ablque ulla variacione. Adeoque a, C, d
in eadem utcunque lune proportione; nimirum uc 19, 28
28. Et quamris b (cujus precium idem est cum medio
possit cum relseuorum vel quibulris, vel etiam omnibus al
ligari: Potele quidem hoc omnium ageresacum augere (ad
iendo plus imnusre magnicudinis medii pretii;) non ta-
men hoc mucat luiequam in reliquorum inter le pro-
Portione, in guo contultu cocum Allisationis mysterium.
Stura pollent inde huc transterri exempla: Ted haec Lufi-
ciane ad ualeandum, quid incertic inter solutionem reram,
et Tolutionem pertectam.
minus quam 240 - = b, e a minus quam 30 - 7 b, ut PriuS; eC certe minus
Plusquam 240, 8 a. L = b plus quat 20.) Sumendum itaque pro an quidlibet
minus quam 30. (Ouamris enim oporreac ette, uc prius, inuS quam 30 = 20b
a 30, DocesE camen 2 b eo minus tumi, cum sic b quoad parritatem indeterminata.)
Elto isitur 30 - e = a (sumpto e quoris quod minus sit quam 30.) PrOB
b. + 6. + d
minos) pro arbitrio sumas a e, f.
Duibus addas, in tractis, quolthet
2..
a 37
E A P. L + L
Methodi Pelliana Specimen.
So mechodus Lemuna melius percipiatur, liber hic subjuneere exemplum
Exponic ille primicus, cotidem distinctis lineis, omnia Ouaectionis Data
seu datas aequariones, (i C adt NuM. F, 2, 3, 4.) cilque ex adverto, in remo
riore margine, omnia Quaesita, condem irem dietinetis lineis, e  contingat Oua.
Eita Datis este plura; tOT quor opus est relinquit ad calcem Datarum loca vacus
Acteriseo notata, (ut num. 5, 6, 7.) Oux nocane, quaestionem catenus ete in-
determinatam; adeoque ror polle polt altumi (suo 10co) politiones pro libitu
(UC Num. +3, 27, 29:) ita tamen conditionatas ut patiuntur conditiones qua
ationi annexae, quae illam (ur ance dictum est) quadamenus limicane, sed non
absolute determinant.
Tum procedie, arsumentando a daris, ad novas aequationes exquirendas, eo
ordine quo expedire visum cst, (uc Num. 8, 9, 10, ecc.) Omnes aequationes
numerans (in media. columella) quo volsint commodis ettari. Nocaique bre
ribus indiciis (in remotiore margine) ex qua praecedentium, d qua arprimen
catione, intertur ea quae ex adrerto est aequatio.
Siguando
unum prout apud iptum comparet

## Folio 239 — 851708439:0263
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000263.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
Cap. L IX.
A L G F B L 1.
Siquando visum est novum incroducere symbolum, seu novum characterem
pro anteposscis sed nondum cognitis; notat, ad marginem, hinc exorrum esse vo-
rum Ouxlicum; vE Num. ZY, F2. Fc ubi (pro defectu decerminationis debita
positionem pro libier actumit; notat, ad marginem, pro quo detectu hane sibi
Lumit libertacem; uc Num. 13, 27, 29. Ec ubi in proceltu operis, quaelitorum
aliquod innoteseit; liceram minusculam exinde commutat in majusculam; quo
Pateat (inspectu) eam magnitudinem jam esse cognitam: ut LTLM. 57, 58, ec
NVocx quas adhibet; praeter Ouchiredi, +
= x:: = V (pro Additione
Subductione, Mulciplicatione, Proportionalicate, s qualicate, et Radicalicate;) de
Farriosi = = (DEO Majoritate, e Minoritate;) luntu :- pro Diritione; e
u pro Inrolutione e Frolutione (ut loquitur;) hoc est, pro Constructione
Pocectatis ex radice data; et Excractione Radicis ex data poreltate: (puta ∞ 2
∞Z, c. pro Ouadratione, Cubatione, _c; et un 2, u 3, _c. pro extractione ra-
dieis Ouadraticae, Cubica, _c.) et ... Pro sireo, seu illationis nOta. Numeri-
que in remociore margine 2, 3, 4, ecc. innuunc uc plurimum aequationem ali
quam antecedentem eo numero nocatam, qua hic citatur. Ubi autem pro nume
ris absoluris occurrunt, punctulo superne volico id infinuatur. Obi arguit ex
termini unius plurrumre transpositione in aequatione alia; si unus aliquis ter-
minus transponitur, id innuitur noca L Peu = (prout contigerit comunis ad
dicio aut subductio) adjuncto termino siC tran(pOSICO; (I verO plUTeS LInE Cran
sponendi (nec locus lic scribendis omnibus) notis = simplicirer potitis ea
Flurium cerminorum cranspolicio innuitur.
Sic (in praesenti quaestione) a =  (a aquatuE cuinam :) innuie a ete quaelico-
rum unum, seu magnicudinem cujus ralor quaeritur. Cumque hujusmodi occur-
runt septem, data vero nonnili guatuor: Num. 5, 6, 7. Lor ponuntur alterismi quor
desunt data; Post citandi NumI. X3, T7, 20. Pro adlumendis cocidem polirionibus
n arbierarie liumpras, led
exquirendas,e in ordine ad primicus quasica detesenda. Num. 8. add - 2, nOLaL, CX
ad Tubducendum ese separatim utramque parrem aequacionis secunda. Num. 14
TTO 3, A quat. FF, utraque pars cubanda. NVum. 19. 18, T4, FX duabus parci-
bus Aqu. 28, lubducendae dux partes A. 9. 24. NTum. 22. Lequitur ex 8 e LO com
Paratis. Num. 25. ex addiris A.quationibus 22 + 23 + 24. LIum. 28. 27: 1
Utrague pars A. 9. 27. Per ndiriditur. Num. 33. 32 = 50p, uirique parti Aqu.
32, acdicur 20p. Num. 34. 33 : FO. UtraquE PArS LA qu. 33. diriditur per (nu-
merum) 10, suspenso ad troncem punctulo. Num. 37. probatione non indidet.
cum se probet ex calculo. Num. 55. 54 uo 2. excrahitur uerinque radix quadrarica
AquaT. 54. Num. 56. 55XTO utraque parS A. qu. 55. mulciplIeaII per (nume
Tum) 2O. Num. 83. 82 f F, ex A.qu. 82, transpolicis aliquoc terminis, indeque
tactis communibus acdicionibus. NTum. 89. 88. f = ex A. qu. 88. transpolicis aliguior
cerminis, indeque factis urinque parrim addicionibus, parem subdluctionibus. Num.
90. 89 + 121, AEquationi 80, additur (nOn aequatiO, 12F, Sec, PrOpter apicem
in vertice) nuneruS ab(OlULS F2T. Ft limiliter alibi.
Ouod aucem hic habetur Exemplum, est illius Probl. ILXVIII (Tuis ipsius ver-
bis.) Duae est ejus secunda Colucio QuaStionis F9. lib. 5. Diophanti. Nimirum,
Invenire ires numeros, quorum sineuli separatim subducti ex cubo summa
omnium, relinquant totidem numeros cubos.
Let et
=eec
-58c
4 = 888

## Folio 240 — 851708439:0264
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000264.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 86 lines, status machine
240
EF83
120 3
T30 3
6(X
170
18- 1
18 -
18-
8,F
8, 20
10, 2T
A L G F B R A.
1E4eCC =- ppp - 3ppn + 3pnn = nn
Cap. l.lA.
25fFf = DPD F 22 pP n = 48 pnn + 64n nn
16858= d unn
C7SIC a = 4n
18 4 a a = 64. n n n
20d d a - eec = 65 nnn
20a d d - ff5 = + 48 p n n - 22P Pn  PPF
22 d d d = 888 = 56n n n
22. a = = 65nnn - 3pn n + 3Pp n = pPP
23b = + 48pnn = F2Ppn + pPP
246 = 56n n n
22 +2372425a + b +c = 222nnn + 45 pnn = 3
F, 2
26, 27
27
290.
28-
3F
26 a = +2 Fnnn  45 pnn = Op PN
2.7 X2. Fn n B  45 pnn = OppN == 4 n
28 12 + nn + 45 Pn = 9Pp = 4
29SIt FTn + p:
30 c22 nn + 22. pn + P p = 4
3223np - 1OpP
32 23 n -- 2Op =-0
32 + 10P 332.3n = 10P
33 -= 20.
34. = n
12, 35
34p -
- 23,
20 10
35p - n = 23
360 - 3 
C
10
37 4 n = 40n
0
37 = 34 38 4. n - p - 27
(22, 38 395 = =2 n
23
108-
O
c
10
3603 42cec - 2137 nnm
3003
400 3
18
1000
42555 -4923nnn
43858 =
1000
Boconnn
1000
13
122 d d -64000 nun
T005
44 = 4c 45 a a 4 = e ec = 628O3NNM
1000
41 = 42 16a a d - f55 - 50087 n nn
1000
44 = 43 47 2 a a - 585 -5600OnNn
8, 45
97 46
48sa - 61803 unn
1000
40b-500d7 unn
1000
100O
10,4
Ca

## Folio 241 — 851708439:0265
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000265.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 102 lines, status machine
Cap. IIX.
1.des
A L C F B R A.
(10, 47 bob- 56000nnn 104
1000
18 + 40 +5052 a + b4c-
F, 5F
52, 27
53: 1
54 uo 2
5GX7O
ase . iii
33
52. a =
27680 un
5 1000
c100
53)L768Onnn
5a
100 C=4. X idi
17689nN . 000,0
100 
4 0005
5)(331 1-0
a corl bice ruilla
56C33 n = 20
CD e
d
 ct e
NI
(e7 N = 20 11 O Wonelea cnd Cr 130  orb :2d.
ui
133
as riet
plesligit cmiB
lat reuss si e estu ui
57X2 582N = = = 1113 c 13 1 il ( eit S. Etur
58.
ee
60∞ 3
183
594N =   etq A det.
5
1X ~ 133
= 2.
ea sa 
L+ 9IG B. SITOIEISI
se
20 d235 C: cuire 1  trque vect
NN
8
1000 2352637
Seloct ct  seit eue pe) see
Responla.
Beci2
ans iis  eri  sec  agit
IIt
18, 61
10, 67
ict
50, 67
17,58
Lorm 36, 60
o
30, 60
(62A
62803X8 1 3404424 N Sllitri3.  eritoc
2352637
2352637
63B- 50087 8 472696
relit sp 3.
2352637 12352637 l surit camerr lono 
64C - 5600028 448000
65D-
2352637 2352637
133
66F= orei nte 9i sit p. ta 1
(33
eiviire qur
67F = 34e c st ti est estis
F35 sest molli viter
68∞ - 40
69e -
5
a cocoe enim.
dice id.
 l cud
133   iden ic. .
Probationes. 
62. +63 +64 70A + B. f C = 2425120
2352637
2425120 17689280 80
2352637 276Dgr133 133
Ah
I.
cetsecis
tc est
de
 si ilcne
vil.
13, 5E
343 60

## Folio 242 — 851708439:0266
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000266.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
16503
660 3
67
A L G F. B R A.
DDD
12000
35263
4 F F
235263
d4
2352631
ap. L. IX
00
2352637
62 76512000- 494424 = 1757C
77512000-=472696=39304
2 = 64 17d51200D= 44800O =64000
Pellius ibidem haec addit.
a In Francisei Schootemii libro, Sectiones Mescellaneae dicto, Lue duni Bataverum
7657 edito, Sect. 23. haec habetur Ouaestio cum unica Tolutione; quam se ait
desumpsisle ex Epistola Ludoiphi van Ceuten ad Vicholaum van P er sim Cexioca.
Fudolphi proceltus idem tere est cum mechodo supratradita; ejusque valores ipsa-
Crum A. B, C, D, L F, C, iidem cum hisce; nis quod Faciat C = 298. (Quod
e prehimendum est, ponentis 240 pro 40; quod in iterata editione emendatur.)
a Probabile elt, plura cum quasiisle relponla, led deliisse priusquam cà invene.
a ric decerritum numeris lubinde prorenientibus qui sinc minores quam 0.
a Si in Aquatione 29, PFO FEn f EP = 2, seribatur TZn = 2p = 2, (8
ac hoc potito procedatur ut prius:) prodibit d d d minus quam a, adeoque
e =
2=. Si Ccribatur Ex n = Op = 2, prodibit a d d minus quam B; indeque
T45
af = - E. Dc Ludolphum putes, bona tancum tortuna, incer duos holce
 Seopulos Felicirer narigalte, ricatis utrinque numeris negatiris, adeoque in eam
politionem incidisse Fortuito, qua numeros sibi exhibeat policivos omnes. Inde.
a que sibi sumpserit sic concludendi anlam; Constat ereonumeros rite esse inventos:
Cujus rei soll Deo debetur eloria. Schoot. pag. 436. Lin. X.
aFinc cst quod Nicholaus van Persim, rem magnam se praesticisse putarerit,
 quod unam aehuc aliam respontionem invenerir: quam lic exhibet Sehootenus;
le nimirum,
15817 825000
86526834967
0568+52000
8925T20000
8652583496; 86526834967
Sed nihil addic de methodo investixandi: Deque constac Schootenium ipLum ExA.
ec minaste, num verae line necne hae relpontiones.
a Sed ex ipso aspectu manisestum est, non ex oprimis fuiste illius exquirendime.
a hodum; uc quae illum dedluxeric ad Fractiones tam magnis numeris exprimen.
es das: cum adix incerim mechodi responsa suppedicarene numeris mulco Breriori.
(6 bI1S.
a Methocus ea quam ipsi indicastet Ludosphas, tacili addicione promora, ipsi
a subministrasset responsa in Fractionibus innumera, exclusis numeristum surdis
CC FUIM AEGALIVIS.
a Pro excludendis negatiris, cgo lic procedo.
a Investigationem supra policam prolequendo; pro Aquatione 29, tranc substi.
o EEn F 8 P = F 2, vel = 2. Aeque cum inquiro. Ouis numerus este pol.
sic ralor Q, quo cum e cum f. major Lit quam o. Aique in eum tinem relumo
anrexolitas equaciones, rI, 12, 28; indeque sic arguo.
72
GE

## Folio 243 — 851708439:0267
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000267.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 85 lines, status machine
Cap. L. IX.
2G
700
28 -80
8F.
82. p. 4
83
86 = 1
88 +-
80-F X22
90 u 2
OF = LI
9I = 2
93,94
95, 90
95, 06
ScOp. 2ud
12, 99
200- p
A L, G F B R A.
TX)C = p - n
T2 f = 4. n - p
28F2F nn + 45n p - 9pp = 4
79EFn + 93 = = 2, n = 2.
80 T2Tnn + 22gn p.  qqpP = 4
8145 n p = 9 pp = 22. 9n p = q9pp =0
8245 n = 9p  22Gn - 99p =0
8345 n - 22gn = 9p. + 99P
841. B:: 9 + 99. 45 = 22.9
ScopuS FuS) 85)C =0
T2, 85
84, 87
92, 9
84
86p = n = 0
87 P = n
889 + 99 = 45 = 22.9
8999 F229 = 36
9099 + 22.9 = T2F = 757
drG = (F = +, aut =, V157
92 = - 1F + V 257
93 = - IF - V 157
04V 257 = 12. 529964 896
95 _ = - F T. 529964. 19c
96 = - 2 3. 529964. (gC
97 Fireo Q inter = 2, 3 C, 8 = 231 C, tacit F. =0
982 non incra hos limites, FacitF. = 0.
005-0
2004. n = p ==0
10T 4 n - p
2024. n. p: : 36 +499. 45 = 22.9
TOT, 202 20336- + 499 = 45 = 22.9
103 + - 104+99 + 229 =9= 3
(2+ 257
204 +  105499 +229 +
105 au 2 (106 29 +
1206 -: 2. 1079 +
107-- 2 108)2=
et
107 - - (109)2-
+ + vel = Y 157
+ vel = V 157
12 = Y 157
Et = Y 25)
05 -: 4 (1102 == + 0, 3824DT(9C.
05  4 1II 2- - 5. 8824 dF 3c.
TTO TIE (FE3 Arso Q inter + 33 e3C. e = 5  Facit F = 0
TTO, TEF FT3 Q non intra hos limites, Facit F=0.
977E12, 224 FrCO, cum K, cuI F, = O; si sumatur ~
inter = L. 529964 856, et + 0. 382497, 896. vel
Inter - 5. 88249F 89C,  - 23. 529964, 19c.
224 (er5, 2 porest este r, vel fractio quaeris incer 2, 323964
124
9,382481
2,000000 C, 00000C
226Q Doccs este, quilibet ex 28 incegris, inter = 5, 5 - 24: vel
quaevis tractio inter
127 Verbi graria, F5t0
-5,882OT
23, 529964. (96.
2,00000 C, _b= 2, 00000D
9 = 3, ut quae est sractio, brevibus numeris scripa, proxime
MInOF quaM T. 529 8c. vel
=6, ue qui est nreper prorimus poe - 5. 882 10.
Fracte

## Folio 244 — 851708439:0268
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000268.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
LL G F B R A.
Cap. L. X.
Factenus Fellius. Oui deinceps proleguitur duas illas posiciones proxime me-
moratas. Ouibus tamen recitandis luperledeo.
Procedit porro ad Pabulas construendas; quarum ope magna Responlorum va-
rietas prompre Suppeditetr. Sed quae jam diximus lufficiant ad lpecimen FX-
nibendum methodi Pethanae.
De hoc aurem specimine, hoc vitum est annotare, ut praecipuum hujus pro-
celsus arciticium. Nimirum; Ad aequationeS TY, 72, 23, 17, 29; ubi substituta
seligic pro aliis quanciraribus exhibendis: Non id uceunque factum elt, et line
delectu: sed Cumma cum cura.
Ad Aqu. TY, exhiber p cum F; Sed, cum signo =, ad A. qu. 22. F0 finc,
ut cum hae post comparandae veniune, ad Aqu. 24, L5; iterumque ad Aqu.
79, 20, 22, 23: = p et = p. se mutuo deltruant; eoque A. quatio Cubica ad
Ouadraticam deprimatur: Tndeque ad AEqu. 25, o(cacerasque quxe hinc depen-
denc) p. non compareat: Et proinde ad A qu. 28. dispareat etiam n, et aequatio
dehine tiac Ouactratica.
Tum harum ODe (M, B,) expungiE, ad AE qu. TF, +2, 13, nOtaS C, 5,8; et 2d
AEG1I. X7. nocam d. VE jam postine maenicudines omnes Tolis n, p, explicari:
et hae solae jam maneant inquirendae; _, Post Agu. 34, Tola n. Aeque his iplis
inveniendis, novam ad sumit politionem ad AEqu. 25. indeque expungit p A qu. 34
Et candem A qu. 57. habetur N pertecte cognica; e hujus open reliquae omnes
Tuo ordinc.
Trem, A.qu. F2, 27, DonituE 4 n; _ 2. n AE qV. Z3; _ Fn AIGu. ZT, co Finc
uc ad AIgu. 20, eranelcat n, d ad A. qu. 28, habeantur 12L n n, et 4 numeri
quadrari.
Tum ad AgV. 20. POnit FT n ∞ 2 (eorum quadratorum radices) ut harum
quadrata (Aqu. 30.) possine (AR. qu. 3T.) destruere limilia quae fuerant ad Ai. gu. 28.
Nam ablque hujulmodi provida caurela, hand facile procelterit opus. Vbi au-
tem artifieio opus elt, indieio est has Tolutiones, utut veras, impertectas ette, nec
ad omnes calus se exrendere. Ouod Hc in Diophanteis Cuxltionibus ec Soln-
tionibus quamplurimis, aliisque ad earum imitationem Formatis. In quibus pex-
cipuum negorii mysterium consiltic in hujulmodi cauris provisionibus qua re-
Eponta extribeane casibus nonnullis, nec omnibus tamen, accommoda.
Verum quidem est, Fellium in Additamentis AEgu. 79, _c. lacis determinasse
magnicudinem q. quae sic coefticiens iptus p, A 9. 29. Policis eis limitibus quos
ultra curare non possit (manennbus ante Pbliris) adlumi q: e cousque solutio
elt pertecta, non innumeras tantum sec no omnes solutiones exhibens. Sed
IlIa ance POTITa AEGV. TE, 72, F2, 27 manem adhue indeterminata; innumeras act
mucentia varietates; pro quarum linsulIS, Rori ponendi erune limites magnicu.
dinis g. Dux omnia ad pertectam lolulonem decerminanda TOreHE.
Scd ee Fabellas subjungie ille (quas eso, brevicatis causa, hic Omitto) qui
bus ad alios iem calus linilalos procedicur. Ouas, qui voler apud eum
Specimen aliud Methodi PeHIana.
quaerat.
O0 mechodus Pelliana plenius explicetur, t tric subjungere exemplum
aliud (ad suorum imitationem; Ouactionem exhibens, nOn (ue Crat
Ella alia) indeterminatam, led (Cx SC) pertecte determinatam. Ouam
teracura varia perituS.
mihi dudum proxotuit, D. Silas Pitus Chiliarcha (Regii Cubiculi tum minister
vir ingeniolus, rerum Civilium et Milicarium gnarus, et in Macheti aliaque li.
aa
16
Pofitis 36b F aC = 27 Ouruc   b7.
ab=
LLBBLEMa.
24.4

## Folio 245 — 851708439:0269
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000269.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 78 lines, status machine
C. aP. LoLL.
A T. G F B R A.
Et pecebatur, uc parcibus Calcem decimalibus numerorum valorem rero proximum
extiberem.
Caui (liceris ad cum scriptis Junii 12. 1662) hanc dedi Respontionem.
a = 295255 +)
Sune numeri 3b = 5, 3692 = E proxime.
c= 3, 2406 -
Sune utique, illorun numerorum, haec Ouadraca ee Rectangula;
2a = 6, 3782 + Bb = 8, 816E = cC = 10, 50Y5
60 = 9, 6220 = a0 = 8, 284. F = ab = 7, 4987-
aa tBC = 16, 0002 = bb. f a6 = 17, 0002 - cc F ab = 18, 0002
Proceltum operis (quoniam a Chiliarcha intellexeram, Ouaestionem a D. Pethio
Fuisse primicus propolitum) in Pelliana Forma (cui altuererat Chiliareha) siC
univertaliter expolui; prout in schediasmatis meis reperio.
raa FbC=
2bb+ a6 == M
3C6 = ab == n
1+ - a a 4 bC
2 = a6 5 bb =- M = aC
(3 = a b (66c = n = a b
3bbCC =1I- 2laa = aaaa
8bbcc = n bb - = a bbb
01I = 21 a a = a a a a = nbB = a bbb
202bBB = nbB -II + 2la a = a 2 aa
FT abBB = m a b = a a bc
13 Xbb - 11. + 2. l aa = a a a a = m ab = a abc
232 aBC = 1 a a - a a a a
mab = 13 Fam ab = a aBC = m ab = l a a = a a a a
27X2 12
18∞2
18X 19
25Mbb - 1V = 21a a = a a a a = m ab - 1a a + a a aa
26nbB - m ab = 2 a a a a = 3l a a F 11
13b = = V. Mmaa, 2aa. a. a - 3l a a + 1I. ma
4. 3 B
mat V: mmaa +8n a = +2 In a a + 4 IIn
182nb = m a = V: 8nae L mmaa = +2 Inaa F q. UIn.
594 n n bb = 8n a = 2 m m a a = 22. In a a + 4. VIn
+ 2 m a V: 8n a = m m a a = +2 ln a a = 4 VIn:
(208n V = 24 mn a = 4 m a = 36 l mna F +2IImna
pluIS: 8n at = 4M m a a = 22 In a a  4. IIM:
in: = V: 8n at  m m a a =- +2 In a a = 4IIn:
4X8N a (2F8n aBC = 8 n la = 8n a
2X8n B 2281 b = 8n abC = 8 mn B
20, 21, 22 (238 mn b = 24 mn ad = 4 m a - 8n a = 36 mna f 12 Amna F 8 n. 1
e
DlIIS: 8n at = 4. m m a a = =2 In a a Y 4VIn:
in: =V: 8 n at  m m a a = +2 In a a = 4 VIn.
T8x q mun 248 M N3 b = 4 mmn n a = 4 mnn V: 8n a + mmaa- L2 aa + 41
23, 24
2602
AO2
26, 27
C.02
2524. mn a + 4. m. ad = 8 n a = 36I mna = +2IImna + 8 n  1
amnna =: - 8 na - 4mmaa + 12. In a a - 4 IIn + 4. M n n
in: =V: 8n a = mm a a = +2 In a a F 4 IIn:
266 mna L m a = 2. n a = 9 Imna = 3 Amna  2n la immnna (A.)
=: = 2. n at = m. m B a + 3I n a a - IV n = B N n: (A)
in: = V: 8n at F m m a a = 22 l n a a F 4 UIn: (F)
P27A, 9 = A 9X L. 9
28Ag = anna = 12 In ad = 4 m na F 13 UInna = 6Immna
=m a = 4mn a = 61 nn a a = 2IImm n a a + 6imn aa
2M 1H. a a + 1 n = 2. II m n + m n
2DF 4 = 8u a + mmaa = 12 ln a a + m maa. + 4Y In
HIH 3
+
6X0V
5:
10,
4. X a a
12
15-+
2.4.3
28 425
26 RCTOL.
23-

## Folio 246 — 851708439:0270
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000270.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 84 lines, status machine
2.46
e lea L
Cap. L. A.
- 20811 l2) 1m1
21 +36Imn
=M
=20m n
EBuro BosguL9 = 32n a = 24+ n a = 264 IIn ad - 25 2  n. d
50
= F2 M m = 28l m n
F13212n at = 3613n a a = 416n
54. Bm n = 9I4M n - 81= MB
+61mn + 4813 1  + 41Im 1
FO4. VVMn = TOYIm n
30l md nd = 22 lM n
m n
+8 m n
+M n
18I M 1
60Imn
26m n
4n
A, ∞3
A 9=36mmnna = 108Immuna F 7 UImmnna
 T2 M h
e4. M n
5423 m n’ a
+ 6lI m n
8IIm 
=22 l m 1
+
2m n
2 n
Ine a
mn+
n
2n
n
m= 1
M n
3615n a a
3613M n
F4
+3
6yi
MH
1. 9t
a
F X2 V mn
6IIM n
+IIn
Imn
=252F 1
F 36Im n
+ M. n
= 232 P n a
56IIM 11
3312 a = 81 a a +
+ 8LM n
+ m n
Mn =- ZIIMH 1 8b M B =2 M n
a8n t 86b1b 
1
2n
1 811  = =bM n
66 c - 3673C
281Imn  26l Mn
LCt s
= 4Im = 4VVm = 8 Um n
4In = 4VIN
F 2 M2 n - 8IM n
idE agtationem ilam Per et = 210 + 4 11 =0, (CujuS ra.
dix C = 2 l, acque cum locum habet cum 2 l = 2 a ay ade0que b
rel c =0.) Onde prodibit,
5tC 91C. = 11C + 27
mn + 5Imn = 4. IIM H
m L Z m n
Ouxe est aequario Biquadratica, ex planis radicibus quatuor, quae Tune
cocidem ralores iplius ce Peu 2 aa: adeoque iplius a valores luny
octo. Oui (numerica exexesi inventi) colidem extibebune valores B
Per A.quat. 27. coridemque 0 =  per A quat. 4.
d
D
lid

## Folio 247 — 851708439:0271
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000271.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
Cap. L. XI.
L L G F. B R A
AP. LXI.
Idem alias explicatum.
Ladem solucio, rem ipsam quod spectat, in Forma ordinaria sIC ExpOnatK.
FOHS B M 13 P 26, 27, 18. Potoque processu in Sectiones Partico,
 quo melius citentur. Ex altumpta Pethi noca Diritionis, -:, ut vicentur
aliquories linea duplices, quae in diritione ad tractionis formam exposita Fy-
Pochetas Turbant.
(aa = bc = 1)
Politis Lbb F ac = m  Ouaeruntur numeri a, b,6.
5c + ab = n
e
Y. Ouoniam aa = BC = I: ErBO BC =I = aA; EF C (= BC -: B) = 1 = aa:
: b. Lt c6 = 1 = 21aa + at: -. bb.
2. Ouoniam c5 = ab =n: FrBO 56 = n = a b.
A9eo que l eyb.
nbD - ab: -- 60.
4. FL PrOpterea II - 2la a. + at = n bB - ab.
5. FF nbb - I1 + 21aa - a = ab. EC nbb - 11 + 2la a - a: a b.
bb.
6. Sed BB = ac = m. Adeoque BB = m = ac.
7. Fr30 nbB -1I + 2laa = a: : ab, = m = a6.
8. Scd (per 52) c = 1 - aa: -: B. Adeoque ac = la - a : : b. PL m - ac
=m -: Ia = a: -: v. = m b- 1a + a:  b. = m a b - 1a a + at: -. a b.
9. FrGO nB -11 + 21a a = at: =: a b, (= m - ac) = m a b - 1 a a + at:
 ab. EL nb -11 + 2l a a -, a = m a b - 1aa + a.
20. HoC CA, nV = m ab. = 2 a - 3laa + 11. Seu b. -ma 9. - 24 - 3 laa t 1
TF. Cujus Aquacionis, Racix attirmaciva, est
b = V.
mmaa p 3. a = 31 a a + 11.
4nn
ma
-
2n
ma. =V: 8n a = +21n a a F m m a a. + 4. IIn: 
(Sed ee radicem habet Negatiram, ma =V: _cc. quam suo loco contiderabimus.)
22. Flujusque quadratum bb =
8n a = 12I n a a = 2m aa + 4 VIn, +. 2 m a v: 8n a  12I n a a = m aa + 4 IIN:
4.Bn
2Ina = 2n a
13. LC a6
Ma  V: 8n a = T2In a a + mmaa + 4ln:
24. Sed (horum duorum axgresatum) BB = ac = M. ErSO
(dmae = 2naa t 2mmaa F 4 IIM, + 2mavs: 8 nae -12 maat mnua F. 41:
2Ina = 2n a a a
Ma + V: 8n a = 22ln a a + m m a a + 4VIN:
DluS:
mo = 2
15. CbC

## Folio 248 — 851708439:0272
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000272.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
A _ C E B R A.
dp. L XI.
75. Hoc est; Reduetis omnibus ad communem denominatorem (An n in M a
F V: 8n a2 = +2 In a a - = m m a a F 4VIn:) eoque Tublato;
4mmnna  4mnnV: 8n a = +2 In a a  mm a a f 4. VIn: =
524.mn a = 36Imn a = 4m a - 8n a = L2IIm n a = 8In a:
EDluS: 8n a = +2 In a a F 4. m m a a = 4. 1Jn, in V: 8n a  - +2 ln a a t mmaa.  AIl.
76. Et (traniponendo q. m mnn a)
24 mn a = 36Im n a  4 m a= 8 n’ a F (2IIm n a = 8I n a = 4 m n a-
8n a + T2In a a am a a 4VIn + a mnn: in V. 8n a2 - = 2 naa  m’ aa l 4Un.
27. EL (aequalicer vrinque dividendo) dai s seiet custs
24mn a = 36Imna + 4m a = 8n a F =2VImna + 8In a = 4 m n a
end +12lnaa ammaa 4uIn + 4mnn
=V: 8n a = =2 In a a F m ma a + 4Iln.
28. FL (abbreviando tractionem per 4)
3Iiset L1S IB CIOC
omna =oimnai + m a = 2 n a F 3UImna 2IWa = mmnna (A.
Lna F 3tMaa=M Itn Mnn
=V: 8n a = +2 In a q. + mma a. + 4VIn: (Y: F. 4.)
10. Tum, verinque quadrando, (quo tollatur noca racticalicatis;) pula
K. a = F q. Trerumque restimendo mulciplicationem, A. g = A g X F. g.
19
20. Sicfet A9 = 4 nn a = +2 Inna = ammna F 13Vnnae =oImmna
+ m a = 4 m n 3 a = 61 n n a a = 21 M M n ∞a + 6l m W a a = 2 m n n a a
+ 12nn- 2 lVm n + m m N.
2F. EEEg = Bna L T2Inaa Lmmaa F 4Iv.
22. Ft factum ex his, AgXF 9 =
32 n’ a 2 = 244 a = 264 I a = 252 2 n a + +321 n a - 36P n’ aa + 4 len
+ 36 m n = 208Im n + LT7 Im n- 54Pmn + Obm n- 8bmn
EHon = Lolmn + Oumen + 48lmn + aumn
32 F Son-04Umn= ToUmn
 30m n = Z2 Im  13 0
2Om n = 2wn + mere
 8m n
36 m n a = +08 m n’a =. L27 Um n’a = 54 Pm n’ a + 9bm n’ aa V
 22 mn
6Umn
t
L
mo
= 28Imen + CUmn F T2BMn
Bohmut
m
26m n
L 22. Men
8In
2 Mn
+ 4m v
4.n
25 EC A9-
24. M1
+ 4. n
4M 1
 men
=48 lm
24. Cum itaque sic A 9 X F. 9 = A. G; Tublato hoc ex illo, restat.
32 n a - 244m a  f 264U ad  25 2B n ad  232V1 a = 36P. n aa + 4 Pe 1 =
8mn + 36Imn- soumn + 36l mn- 8ann
mn + eImn = 4mn + aumn
4 + 8n - 4Un
 4mn = 8m 1
midituline 0.
25. Omniaque diridendo per 32. n
1 + 33a = 8 a f 33 A a = 8P aa F 8 
mn = 3mn - d Umm + 3Bmm = = Vn
FM. +
21 +
ZIm
EIm + Umen
M = Z IIm
 3mene = = men
20. POHtO.
2. 416

## Folio 249 — 851708439:0273
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000273.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
p
stmi
2M1
Cap. L. XI.
L L. C l 1 a as
26. Poticoque (quo tollantur Fractiones) e = 2 a; prodibit
2 - 9100 + 33110 - 631 et + 66 P et - 361 e + 8Y =c
mn + olmn = 281Imn + 36B mn = +6 A m
m + 4Vm - 4IVm = 8IIm n
n + 4Vn - 4 Vln
 2 M n = 8I m n
27 Flabet haec aequatio omnino sex radices planas, cocidem valores et exhiben-
tes, (quod patet CX e, sexta porestate radicis e:) quorum lalrem unus aliquis
lnon et plures) praesenci inserriet occationi. Porelt autem in duas aequationes
Resolri, s per c = 4 Lec + 4 I =0 dividatur. Cujus procestus sequitur.
Aquatio Diridenda.
) = 91eo = 33110 = 63P e +66 H et - 36Bc + 81 = 0 (4
Diridens.
Mn + dIMn = 28IYmn + 36BM n = 16H Mn
m = 4Im = 4IIm + 8IIm n
n
+ 4In = 4IIN
 2 m n = 8lm n
Orcira.
et = 4VC + 41V = 0. 9 et - 51e + 9I1 et - 7B e + 2 =0
mn +5Imn - 4VImn
M  2. M n
Dividens. Diridenda
c = 4 15 + 4 12) et = 91 e + 33710 8c.
Ortira.
F ed
Mn
(Ablac. e2 = 4. le = 410
Rctid. - 510 = 2911e - 63b  8c.
Mn  9Imn
=5tC ABIaL. 520 = 20 = 20V C
Relid.
mn. = olmn. 28IMm
= OItC = 43BCs +661 e _c.
+
M  qb M
+ 4.In
n n
P c + 361 c
4. L M n = 4 Umn
= 30 B e = 36 Be _
5Imn = 24 Unin = 36Pmn
4Vm qumi
4.LN = 4. Im
2 m n = 8 Im n
281 c - 28Bc
20 lmn + 20 Pmn
4.lM
4. UM
I
2V ∞ = 8B 8 = 81
4Umn. = 26BnM - 26 VMI
2V et = 8B e - 8t
4. Amn + 261  T6Mn
2 m n = 8 Im 11 F omn
2mn= 8 m n + 8mn
243
dirt

## Folio 250 — 851708439:0274
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000274.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
 1.
(et = 4 Ve e F 4 VP = O) DEXLenEL COMTCMIE Occasioni. Sunt enim illX, c = 21, 8
2=21 (inter se aequales, proprer Cacacu scu Coetticientis 2 ly aequale ablo.
tione provonencis) a b, 6, numeri Policiri.
ed - 5105 + 9IV et = 7D ee-
mn + 5Imn = 4 IIM n
orcira,
Lia D. LLLL.
28. Diritione sic expedita, Aquatio composica in duas resolvitur; quaruin alle.
ram Dividentem voco, alteram MvaM. LFIOT, ex ex illis radicibus planis, Du-
aS continet; Polterior, reliquas OuatuOr. Sed neurra duarum in Dividente
lucae magnicudini 4. II.) FF propterca (cum, per constructionem, (I c = 2 a
21= 2a a, _V = a a. Omod Heri non potelt (prOpter V = aa = bc) nili tE
b0 =0. Quod exposica Ouxstio non permictic. Prxsimuntur enim (ex inten.
29. Rellacixicur, uc quaelica radix lic talem una illarum quatuor in aequatione
274-
1 2 1 1110
30. Agnatio haec Biquacratica, non facile diriditur in duas Ouadraricas, (tal-
tem non universaliter, prour in Specrebus comparet; utuctieri pollit ue in parcieu-
laribus quibusdam calitus hrujusmodi diritioni locus ese Doltic.) Oporcebu isi
cur (numerica excsc) Vatblem Vero proximum exquirere: arque ex Duacuor
(quad continet) radicibus, calu egere (unam vel plures) qua praelenti negorio
22. Cumque sic invencus elt ralor radieis ee; habemus ralorem a a = Z e c.
adeoque a = V : ee. Oui unus est ex numeris qualitis. Indeque habentur b,
ma f. Y: oKa. = + 2 Inaa t mmaa + 4 VIn:
2In = 2n a a
ma = V: 8na = +2 Inaa +mmaa F q Un:
32. Vel Cic. Ouoniam a a f bc = 1, adeoque 1 - a a = bc, 8 a = a = aVb.
Trerumque bb. f aC = m, ad eoque m = B b = ac, _ mb - B3 = a bc: Fr~O
mb -- b =1a = a. Cum itaque innoreseant m, L,a; habebimus b, relotrendo
33. Flujus aequationts Cubica radix (falrem ex tribus una,) est b quaesitorum
34. Tum, propter aa F b6 =1; adeoque I - a a = - b c; habetur certius c =
Ace Heo quaelivi an b, 6.
lic accommoda.
_ C, Per STF, e 23. Nimirum,
hane Cubicam A quationem m B - B =- la = a3
tD. LX
numerorum secundus.
Generalis Inguisitionis accommodatio ad casum
praeset.
numeri politiri
Racedentia duo capua (diverta describendi torma) Ouaeltionis solurio.
nem Generalem exponunt. Cum hac Salcem limicatione, uE FinE a, b, C,
Libet jam, generalem illam Tolurionem, expoulo carus Palllea accomtuo.
dare, (quod ului este polli specimltis loco, pro lml i allis problemaris ac.
commodatione.) Obi (pro commodiori Curatione) Sectionum numeros (capire
praecedence inchoatos) COnnamUS.
35. Outa

## Folio 251 — 851708439:0275
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000275.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
pot
Tenu
naben
CusII.
3 UIa 1 = 16.
ErsO 1I = 256.
11I = 4096.
La L. C  B a 2
M = 17
mm = 289.
M = 49T3.
8
5832.
Imn = 4890
Mt H =. 320
n
mn = 206.
4 - 65536. IImn = 78336. m n = 93636.
Adeoque 51 =80. 911 = 2304. -71 = - 28672. +21:
=inn = 306. + 5Imn = = 24480. = 4rn-
= 1998. = m
1321.
24937.
FE Propterea, et -51e + 911 et = 71 e + 214 =
Fitus
Puca,
=mn + 5Imn - +umn
m + 2m n
e - 80c F 7998 et = 24937 e +5000 =0.
e = Be +Ce = De +F =0.
36. Aquationis hujus Biquadratiea sune omnino quatuor radices plane
ee = 34, 83
ec = 327 06.
Cc = 12, 756C Droxime.
ee = 0, 352)
Nam C, per numerolam exegetin, inveniamus radicem unam, puta eC = +2,7564
Et hujus ope (ne sit opus, pro singulis, Biquacraricam relolvere) aequatio ad
Cubicam deprimatur (tres reliquas radices continentem,) puca
e - 805. + 29985 - 14337 e + 5000 - 5 - 7 6, 24365. + 1140, 22 14 8 - 392. -0
et = F297564
Acque cum (per similem exeselin numerolam) hujus unam radicem invenis.
muS, puta c=0, 35T. Et hujus dein ope (ne Cubicam uerum relolrere AC
OpuS) ad Ouacraticam deprimatur; Duta
e = 67, 2436 0 + 1240, 2224 e - 392 = 0 - 66, 892 8 + 1716,733. =0
=0, 352
Habebit haec Ouadratiea duas Radices, ee = 34, 83, & ee = 32, 06 proxime
27. Ex quatuor his radicibus (ne lingulas incerti prolequamur) manifestum
est majores duas 347 83, e 32,06, inutiles tore praesenti negotio (dummodo
supponatur quaeltio ad numeros positivos restrinsi.) Nam, CI ée sic vel 34, 83
vel 22 06; erio (hujus semistis) a an vel 47, 4 X5, vel Faltem 16,030. Ouod
tieri non porest, cum (it (ex hypocheti) aa + b0 = 26; ad eoque a a = 16 - bc;
minor quam 16.
38. Omnium minima, ec = 0, 35F, utui esse porest. Nam pOtico aa =
(= ec =) 0, 1755: Reperientur B ee c, quaectioni Patis facientes, hoc modo. Si
a a == 0, 2755; adeoque b0 (= +6 = a a) = 25, 8245: duetis omnibus in a =
0, 4590, tiet ab0 == 6, 6305. Cunque lit (per 52,) M B = b = abc, hoc est
27b - B3 = 6, 6305: hujus Aquationis radix, exhibebie valorem B. Habet au
tem ea (praeter negaciram, b = = 4, 3058, quam sexonimus, propier suppolitos
4- b, C; nuMerOS BOlitIrOS;) duas radices atITatraS, B = 3, 9122, e b =
0,3936.
Ouarum una ului estè porest. Nam L B = 3, 9122; erie o = (
15, 8245
39222
40448; _ CC = 16, 3612; db ab = (18 - 60 -) 1, 6388; d = - 576388
= 3, 922 + = b = 3, 922. Quod Catis convenit.
34790
Altera
37972
34
4913.
1. 1d1L2
F 5003

## Folio 252 — 851708439:0276
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000276.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 113 lines, status machine
A L C F B R A.
Cap. L. XII.
AIETA VerO nOn ConveniE. Nam S B = 0, 3936; cm 0 - (, - 15, 8245 -
33930
40, 20; _ c0 = 2616, 040 = 18 = ab. Quod fieri non porett; dummodo a, b,
sint numeri positiri.
39. Similiter reperietur radix reliqua ului esse. Nimirum e e = +2, 756 proxime.
Quam prosequi libet ad majorem acltue accurationem; concinuala exeseli ad plures
locos partium decimalium.
40. squatio isitur expendendam haec est
Putas
c - 80c + 7998 et - 24937 8 + 5000 =0
et = BC5 + C et = DC + F =0.
HOc est, = et + Be = C e + DC = F.
Et radicis membra A. F F. = e2. Extractio sic procedet.
Resolrendum 0, 5000. (12. 7564, 417 9, 4480, 744 a a = 6. 3782, 2089, 7240, 372
-8,
29,98
A94 AIVI. = 10536. 4681,
Dirito
et ABlat. Y
Resid. =
14337
2,957
24570
D.
ablat.
Retid.
3.908
Es
80
13+337
3 d
96c
640
87
3534
10038. 
4
e
29. 38
33456.0
3
BAC
dA
CiA4
28. dec
34 38. 4
A23. 36
10, 404
OI
Bt
373566.4
979. 2
+792. C
T4TT. 2C
27. 44
455.
8T. 93537 
oa
FgC
2C. AF
CAC
BagF
BBAF. G
SFC
3737. 341,
(7
4 ACF
6AgFq
4 AF.C
E
2 C AH
CRG
298, 6559,6000
EBAGH
8BAFG
BFC
De
AC
B AG
3BAC
3
1998,
36).080C7
3048,
3,648
3. 27
409. 6766,C
4 ACF
6AgF
4 AFC
F9
2 CAF
CF
625.
it
63,5
. 9950.
3BAC
3BA
AL
1800
6200,
6. 85
00, 00
264. 5973,0627,
3BA9F
3BAF
BEC
34, 0585, 9375,0000,
8. 2906, 8750,0 4Ac
7537,50 6A4

## Folio 253 — 851708439:0277
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000277.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 148 lines, status machine
GaD. L. XII.
 50. 9490, 0
79,98
= 39, 0750,000
 24. 937
 L G  B a s1.
5, 100 4. A
306000,
B,C
2CA
3BA9
3B
Divis. = 5. 2876, 0084, 6001, (6
49. 744F, 2500, 4. ACF
35F, F350,00 6AGFq
 TTOL,600 4 AFC
- 305. 6940,0
719, 28
3+296, F.99
F 234,0000,000
. TTOF,6000,
32728,0
L 89, 622.
2 C AF.
3BAGE
3BAF4
BEC
AblaC. = 3F. 7230,0023,296,
Relid. = 2. 3355,9351, 27047
Diris. -
CEg
DE
. 8302,3975,0886, 4 AC
97692932, 6A9
52, 4 A
5. 0972, 976 2Ca
7998,
3. 9051,7286,10 3BA9
3306+,440 3BA
T. 4937
80, B
. 5266,636..... (4
3. 3209,5900,3546, 4 ACF
F,5620,6975, 6AgF.9
33265, 4 AFC
= 20. 3891,904.
. . ., R99
3,7966,
2C AF
CEq
+ 25. 6206, 9745,60 3BAGF
4,8983, 040 3BAFq
+ 5. 9748,
35F20 BFC
AbIac. = 2. 2246,4400, 2206,
AClid. .... 2209,4952,0498,
DE
830,3278,5679, 4AC
9.1635, 6A9
.. . . - 4 A
509745744 2CA
19, 58
3905, + 277,8304, 3BA9
2433
30,6254, 3BA
.0528,65747.
332. 1, 2724, 2717, 4A CF
256, 2167, 6A9F. 4
Diris.
2. 0389, 8297,6
329,68
F F. 562.L, 67L1,3216
469, 6458.
Ablat. = - 2+24,6286, 6008,
l.
94,8664,44 80,
52,8656,8...
83,0325,6677,
976,
509, 7473,42
1998,
390,54.4. 2, 2754
0306+,
52,6656, 6076
4AFC
2C AF
CE
SBAGF
3BAt9
BFC
DE
qACF
6AgL
2 CAF
EC
3BAGF
BBAFC
DE
et Lac
247,37
4.29, 304.147
8, 3032, 5863,
6AC
50,974350247
39,0544, 2607
24,937
30,
592865, 6798,
(
58, 1228, 1045,
478,
356,62.3136765.
379,
e CA
3BA4
3BA
273,3810,0214
62500,
3ACF
6AGF9
2 C AF
CE9
3BAGF
3BF
51103 54d7
3033, 2600, 4AC
6A4
2043353
49947,6665,
319054,433
2+333
3331437420,
35286,56797
2CA
3BA9
3BA
7,4729,3400, 4 ACt
45, 8772,6693,
6AGFC
2CAF
16,
35, 2489, 8985, 3BA9F.
(37 3dL
CFC
334433.-
4,7579, 1707
2366, 7758,
830,

## Folio 254 — 851708439:0278
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000278.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
AE C F
830, 3260,
50979474. F,
390
33
28, 6568
6272
+ 248C
52,6657
212, 4627
29685
4 AC
2
XI
Resid.
vis
esid.
E
Di
Ablac.
Retid.
Diris.
Ablat.
Resid.
Diris.
AbIac. = 42, 29257
4F. Hlabetur (hac inquisirione) ec = +2. 7564, 4179,4480,744)
Adeoque
Flujulque radix,
42. EL PrOpteream
aa (= = e0) = 6. 3782, 2089, 7240, 372 E Proxime.
a = 2. 5255, 1398, 6744, 258
26a = 40, 4082, 2378,7906,528
a a a =-- 76, 2082,8608,6524,432
16a = a a a = 24. 2999, 3770, 1382,096 = 27b -866.
43. Elabet haec aequario Cubica omnino ires Dadlices: Onam Necarivam
=- 4. 707634: (quam jam seponimus, urpore Aftirmatiras inquirentes:) Ft
AFirmaciras duas, b = 1. 738481, e b = 2, 969753, proxime.
44. Farum una reperitur inutilis. Ouixpe, cum lic a a = 6. 37822.1, adeoque
B0 = (16 = 42) =: 9. 622779: Si FCB = 2. 73848L; erit 0 = ( - 9. 621779
2. 738487
5. 5345893: adeoque 05 = 30. 6316763. Ouod Fieri non Potest; PrOpier CC =
18 = ab, minorem quam 18.
45. Restat igitur ut ex cribus (aequationis cubicx) radicibus, praesenti competat
negorio haec unica, B == 2. 969253 proxime. Fadem ipla nimirum quam (absque
hac aequatione cubica) suppeditat 53r. Sed hac libuit ria procedere, ut hinc osten-
dam, aequationem istiumodi, utue svem Facere rideatur plurium respontorum
(Propter plures radices) reaple camen unicam extribere, cum radices reliquae sint
inuciles. Ouod iptum in aliis item casibus evenire solet, ubi altior aequatio acti-
ec interior.
46. Cum iraque hic sic iptius b rator ille, qui praesenti convenic occationi: li
bet hanc radticem ulterius prolequi (simili exiractione) ad majorem adhue accu-
rationem. Aquatio icaque jam contideranda, haec est,
euta,
C b - B3 = 1
Potitisque radieis quaerendae memibris A F P. = B; Sic procedic opus.
Relolvendum; 24. 293, 337, 701, 382, 80b, (2. 360, 152, 762
Divitor + 16
Ablac.  26
Retid. = 1.
2.8C
848,
Ablat
.089.

## Folio 255 — 851708439:0279
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000279.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 116 lines, status machine
A F G L B R A.
Ablac. = 18, 895, 245, 564, 8.
Relid. = 7, 262, 624,64, 192,
29644,759,079,737.
39,075
513,313,558, F1B,
4364,654,
Ablac. = 6,613, 317, 922, 722.
ReLid. -
olalo
648, 293, 142340
3264 4 7632,677
1
0434.
89C
1,586,856,196,065
1,02
= 22967
8E, 436, 953, 288.
32T1, 580,c343693
3+36,
7C
75,580,835, 2637
5,856,076,623
2,64437603440
3544,7604407
75,868,502,000.
10,2
3287,5251334
92649476,4)
34q
3AGF
et
6
Cap. LsL II.
Ablac.  2. 089
Resid. -- - 61F,06
. 252
Viris. -. 08
T. 513, 8
31, 32
F. 02
2. 10
Ablat. =. 525,:
Relid. -
Divil.
Ablat.
Resid. -
85, 72
26,284, 8
398
d, 293,..
.236,563,2
3710, 28
34,28.
729
234437
296449466,
Diru.
blac. 5 -
Relid. -
divil.
Ablat. 
Relicd.
eL
t
3566, 836,2.2.8, L327
AFG
Ablac
Abla
Re
399C
39443577,3.
3496751292467 84
3A4
3A
9264, 466,644,3
3690, 73
2, 322, 333, 222,5 3A9F
3AF4
29268, 25
125, BC
bi
Ablac
Relid.
VruI.
AblaF.
2694473555, 167,5 3A9 Diris.
89 907, 45 3A Ablat.
347 5 49,875,
3026, 456,757,029,000, Relid.
Cn F Relid.-
Diris.
(L Ablat.
52,895, 24
5,D 3AgF. Retid. -
629, 803AF q DiriI.
FC
26, 44.73604,336,
5,668,56296917
4,+76,045,
98,030, 289.
93447,604
028, 44. F,
10, 848
19449760,
152,7C7
1476.
904
4860
158T
13500643
12
0
18, (85cc.
47. Alabe.

## Folio 256 — 851708439:0280
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000280.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
L. le L. B a A.
Lap. Lill.
47. Flabemus ixitur (hac inguisitione) 6 = 2. 969, 152, 766,619, 640.
48. Hinc candem habetur c. Cum enim Tit (ex hypocheli) au = b0 = 16; a.
deo que 16 - au. = bc; 
Adeoque 
aa
5aa
 = c: Inventis prius a, b, TIc habetur c.
+ 16.
- 6. 378, 220, 897, 240, 3727
16 = aa = 9. 621,779, 1027759,628 =b6
9. 622, 7,9, 202,759, 628,
 = 2. 969, 252, 768, 619, 848, = 3. 240, 580,681, 677, 274, =6.
48. Invenimus ilaque (quod imperacum exac) ires numeros a, b, c. Nimirum
a = 2. 525, 543, 986, 744, +58,)
b =. 2. 969, 152, 768, 679, 848, = proxime.
6= 3. 240,580, 68F, 617, 1747d
50. Ft prastane quaesitum, ut ex calculo paret.
aa = 6. 378, 220,897,240, 37
b6 = 9. 622, 779,10277597626,
aa f b0 = 76, 000, 000, 000,000,000,
Bb = 8. 825, 868, 163, 402,909,
ab = 8. 1647 232, 836,597,0931
bb - ac = 17, 000,000,000,000,002,
60 = 20. 5OF, 363,+54,070,430,
ab = 7. 496, 636, 545, 929,5673
66 + ab = 27. 999,999, 999, 900, 997 = 18. proxime.
SI. His ita expeditis, pro unanumerorum triade, an B, C; qui ab ee = 12. 7564,
derirancur: Ejusdem alterum valorem ee =0. 35F, pariter prosequemur; quem
item (538) invenimus negocio accommodum. Sed (neiterum lit OpuS, aqua
tionem Biquadracicam resolvere) ad majorem accurationem cum reducemis, ope
raloris jam invenri.
52. Ope equationis (5 40) jam inventa, ec = +2. 7564, 4179, 4180, +:
Biquadraricam (5 35,) e = 80  = 1998et -= 14937 e 4 5000 =0, deprime
mus ad Cubicam. Hoc modo;
53. A. quatio Dividens, = ec = 12, 756, 442, 794, 480, = 0.)
Dividendam
= 14937, 000,000, 0e
+ 5000, 000,000, = 0. (9)
67. -35 58, 205, 52 + 1240. 21 2, 463, 70C - 392. 958, 829,9-0.
67. 243,556, 205, 52 e5 = 7998,000,000,00e _c.
67. 243,558, 205,532. C 4 857. 788, 536, 308,
2240, 2 1163,706 = ec.
24337,000,000,0c, + _c.
F1140. 211, 463,79C- 24545. 041, 270, 2 0
397. 958,829, 9e + _c.
) et = 80. 000, 000, 000, 00 c f. 7998, 000,000, 00 et
Ortida
8e
Diridend. e = 80.000, 000, 000,00c, 8c.
Resid.
Ablac.
Relid.
anct
Ablat. C = 12. 756, 441, 794, 48 e
Ablat.
Refid.
F 1140. 2C13463,70-
Relia.

## Folio 257 — 851708439:0281
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000281.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 122 lines, status machine
pe
Cap. L. XII. A L G E B R A.
Relid.
AblaF.
Relid.,
= 39c. 958, 820, 9 e2 +5000,000,000,
= 392. 958, 829, 9 e +4999. 999,999,
= 0, 000, 00F,
54. Aquacionis Cubicae sic inventae, eam (ex tribus) radicem (plenius decex
minandam) Prosequemur, quam (ad 5 38) invenimus praesemti negorio accom
modam; nimirum ee =0. 35F, proxime. HIoc modo;
55. Aquatio resolvenca,
es - 67. 243, 558, 205, 5 et f 1140. 212, 463,7 e - 392. 958, 829,95 =0.
Pata es = Be
HIOc ett, 0 = BCt = C e = D.
+C5
20.
Fc radicis invenienda membra (ut prius) A. F P. = e. Res sic procedet.
c
Retolr. + 39r, 958, 829,950, (0. 350,967546.
=FT4. O2F, F46, 370,
6727435, 5627
Diritor. + 213.3....
027
F 342,063, 439, 120,
6, 05F, 920,236,
Ablat. =336. 038, 518, 872,
Retid. + 55, 920,322,076,
27)
= Ex. 402, T24,537
.4.33, 465,349,
6,7241356,
Divil. = 10. 904. ...
1335
2925
T25,
L 57. 070, 573,185,
2. 0273306,746
. 168, 108,696,
AbIat. F 54. 84 1,032, 543,
RCTd. = X. 979, 278,535,
Divis. f 1. 09....
Resid. = X. 079,278,5357
36,750,
Ca
BA4
Diris. +
10
L24, O2T, 146,
43707,049.
2
3
Ac
3A9
Ablat.
Retid.
di  0. 275, 493,5231
42,363, 1429
4467,
+. 984, 104009;
+. 095, 274,526,
2BAF
3FC
Able
RC
3A
2Ba
3AGF.
3AC4
RC
C
LBAF.
BFG
3A
3A
2BA
AbI
Retic
DiV
D
ABI4
F
36943
+ 22,402915.
3472,9233
29,55I.
OE, 2X6, 9T7,
31775,3229
30
1470,723
731318037
369.
10,2. l 2
7202
931373
58C
7 98F,4.80
330, 4. 16;
133
3A9
28a
BAF.G
2B AH.
BEC
ag
AF
43,735.
6, 4 2.1.
CF Rcdd. -
6,560,
3T393
LCre.
56. Flabe.
+
3AgF. Diris.
EC
2,0937
. 109
3530, 10,
3850,
2. 026, F90, 3 17
3AF G Ablat.

## Folio 258 — 851708439:0282
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000282.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
A L G F B R A.
56. Hlabetur (hac inquititione) ee = 0. 350,987,046,)
Adeoque, a a = (3 ee =) 0. 175, 493, 523,C Proxime.
e a = 0. 4+8, 919,470,
57. Invento autem valore a; habetur B; vel per numericani solutionem al.
terius aequationis Cubicae, (propter 16a = a = F7B - B,) ut Factum est 5 42
_ seggue.. Vet (quod malim) per quadratieam aequationem 5 20, L1, memora.
cam; ii insinuatum est 53T.
ma t Y. 8n a = 12 na + m a + 4 V. N:
HOC elt, (PrOpter I = 26, M = 27, n = 18,)
17 a. + Y. 241 a - 3167 a = 28432.
59. Fst autem (8 56) a = 0. 428, 919, 470,
a = O. T75, 493,5233
AdeOque a =0. 030, 797,976,63
ErxO + 18432 = F 18432.
+ 24+ a = = 4. 434,908, 635,
316744 = - 555. 787,987,
+ 17880. 646, 92. 2,
Cujus Radix quadraciea = 133. 718, 536, 191,
  a =  7. 121,630,99
240, 840, 267,18 = 36b.
Adeoque 3. 912, 226,866, = b.
60. Coenirilque a, B, hrabetur c --
HOC est, B0 = 26 - a 4 = 15. 824,506, A Y7-
+ b = 3, 912, 226,866,
4. 044, 884,670, = 6.
62. Fabemus icaque secundam numerorum triadem, PrO a, B,c. Nimirum,
a = 0, 4 +8, O20, 170,)
b = 3, 922,226,866, = PrOximE.
c= 4. 044,864,67073
62. Et praestant quaeticum; ut ex caleuto patet. Nimirum,
aa = 0. 175, 493,523,
b0 = 15. 8241506  17
aa = b0 = 26.
bb = 25. 305, 5L9, 052,
2. 694, 480, 94.29
bb + ac = 26. 999,999, 994,
 CC = 26. 362,092,9947
ab = 2. 638,908,0057
cc + ab = 17. 999,999, 999,
PTOXImC.
58. Fhabemus itaque, 6 TF.
a   alib
63. Supertune adhuc (ascactonis Biquactraticae 5) Malls ua: Mad (3
37) lepoluimus, uc praelenu resorio minus interrientes; eo quod aa extubeant
Masorent
e

## Folio 259 — 851708439:0283
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000283.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
Cap. L. XII.
A L G F B R A.
majorem quam l, quem praesumit Ouaestio minorem CNe, DFOPTCE aa = BC = I. LI2.
benc tamen etiam illx, ad plenam Oualtionis Colurionem, utum suum. Ouamris
enim rideatur Ouxstio numeros Aftirmativos respicere: postunt tamen Negaciri
eolutiris intermixci rem imperatam praectare, quibus negatiris inveniendis, usii
crunt ha radices. Ouas itaque paulo accuratius determinabimus.
64. In huncsinem; aquarionem Cubicam 555 memoratam, ope radicis ibidem
invencae, ad Ouacracieam deprimemus; religuas radices duas concinentem.
ee - 0. 350, 987,046, =0)
30 -67. 243,558, 205, 5 ct = +140, 2, LF, 463, 7 es - 397, 958, 829, 93 (8
e6 = 0. 350, 987,046,
=66. 892,572, 160, ct + 23.478, 25, 9ee
= 1216.733,037, 8ec = 39+. 958,830, 1
Relid.
3 (∞t  66. 892,571, 160, ec F 1Y16. 733, 037, 8 =0.
Puta, c = BeC
C
65. Hujus aequationis Ouadratiea, radices dua sunc; Nimirum.
cec =34. 832, 280, 28.
=B =Y: 2B4 =C: = eo. Hoc ett 2ec = 32. 060, 290, 88.
Caa = 77. 426, 140, 14.
Flarumque semistes aa = 26. 030, 145A 4.
a
=B9 = = +218, 654,OT9, F 34. 832, 280, 28 = ec. Summa
C = = 2T16. 733,037.8
33. 446, 285, 58 = =B
V: 2. 920,981,3: = T. 385,994, 70
 32. 060 290,88 = c0. Distereniia.
66. Tlarum prior, ee = 34. 832, 280, 28
exhibet. aa = F7. 426, 140, 14
Adeoque a = 4. 273,264,926,
d a -393.32(,931+
67. Est aurem (uc558, 59,) m = 17. 2n = 36. 8n = 244. 22. I - nm = 3167.
4.1IN = 28432.
EE (PerS FF) ma. = V: 8n a = +2 Inaa = mm a a + 4 VIn: = 2 n b.
Hoc cst,
alta = L 18432.
 8na = + 1442 = + 43678. 358, 982, t
T2Ia + M a - - 3167a- 55156. 915, 823,4.
V: 6933. 443, 158, 8: = 83. 387,308, 140,
Ma = 27a- 70. 945,503, 742
Adeoque 154. 332, 81 1, 823 = 4. 287, 322, 553. = b.
56.
68. Invenris aucem a, B; habetur ( ut prius ) 0 ==
lOC eltus
1= = 16.
=aa = - 17. 4. 16, 140, 14
=2. 416, 140, 14 = Bc
F 4. 287,022955 = b
0. 330,332,8157 =6.
60. Hlabemus ieague jam testia vices numeroB a, b, c. Nimirum
R. K 2
11
15 4.332d Ct, oti nb =3o

## Folio 260 — 851708439:0284
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000284.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
 2 a 1.
=4. 273, 264, 926,
4. 2.87,02.29553,E P1OXIC.
Cap. L. XII.
. 3301331,6157
10. Et praestanr quaesicum: ut ex calculo pacet. Nimirum
au =- f 27. 426, C40, Fq4.
bc = = 2. 416, 140, 14
aa = bc = +6.
bb = + 28. 378,5C
C
2. 378, 562.137
bb + ac = 17.
c0 == = 6, F09, T19, 14
ab = = 27. 890,880,85
cc = ab = 27. 999, 999, 93)
proxime.
71. Ouippe, hoc casu, cancundem est, sumere
aa + Bc = 26. Bb + ac = 17. 60 = ab = 28. Per C NegatirM;
FE aa  b0 = 16. bb - ac = 27. Cc f ab = 2B. Der C ASirmacirum.
72. Similicer; s paricer consideremus posteriorem duarum radieum 565:
Nimirum ee = 32, 060,290,88
Ouippetum aa == 26, 030, 145,44
Adeoque a = 4. 003, 766407
At at = 256. 965,562,63
73. Verum, cum, pro radice b, aequationis quadrariex G10,
ma = V: 8n a : = +2 In a a = mm a a + 4IIn: = 2. n b.
Oux vel attirmatira est vel negatira, prout L aut = nora radicalitatis praetisi-
cur: Sumenda ell, non (uc hactenus) altirmatira, sed nexacira radix: quo ha.
beatur valor b negarirus. Nimirum,
ma = Y: 8n a = 22. Inaa = m maa = 4 VIn: = 2 nB.
74. Sic habemus,
4VIn = = 18432.
= 8n a = 244 at = = 37003, 04F,05
=22 In a a + mmac = 167 aa = 50767. 470, 62
4667. 570, 44
75. Adeoque -V : 4667. 57044: = - 68. 319, 619, 72
=m a = 17 a = + 68. 064,028,92
2. n b = 36b = - 0. 255,590, 80
Adeoque b = = 0. 007,099744)
36. Inventis aurem a, B; habetur (uc prius) c - . . Ninicum,
26.
2b. 6503t4371t
9. 030, 145, 44 = + 4. 245, 989,3 =5.
0. 007,099,74
77. Flabemus uaque jam quarca vice, numeros a, B, 6: Nimirum
e
aa=
a = + 4. 003,766,407
= d. C BB74q C prO.
= =4. 2437909, 3
78. Ht

## Folio 261 — 851708439:0285
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000285.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
cun
A L G F. B R A.
38. Et praestant quaesitum, ut ex calculo patet. Nempe,
aa = = 16. 030,145,44.
B6 = = 9. 030, 145744
aa = b0 = + 16.
2b = = 0. 000, 050, 4
ac = = 16. 999, 948,3  proxime.
bb f ac = = 76. 999, 999,7
c6 = = 18, 028, 425, 2.
ab = = 0, 028,  25, 2
cc = ab = 18.
70. Nam hic etiam, idem ralent,
au = bc = 26. bb = ac = 27. 5c + ab = 28. per B Negatirum et
aa - b6 = 26. bb + ac = 17. 66 = ab = 18. Per B AAirmatirum.
80. Ilis peractis, jam libet retrospicere ad ea quae aut fecimus aut consulco omi-
Simus, in ante traditis; ue justam eorum consequentiam consideremus.
Si primus ralor aa (54 F. inventus) ad quadraticam aequationem (5 FO, XZ,)
exigeretur (uc factum est in cribus reliquis, ) pro inveniendo b: idem prodiret va-
lor, qui prius, per aequationem Cubicam.
BF. Ntam, (1 aa = 6. 378, 320,897, 24.
Adeoque
Tum
a == 2. 525,5F3,986,7443
Ft a =40, 681, 701, 8+3,95
4M = = 28432
+8na = 1442 = = 5858, 165, 06+, 22
+2na + mma -- 3167a4 --- 20+99,825,581,56
Y: + 40∞. 339, 479, 66. = 63. 955, 761, 805, 6
 ma = 42. 933,737,774,6
b = 2. 969, 1 52,768, 6 - 2 1b = 106. 389, 139,670, 2
2n = 36.
Onde reliqua consequuntur, ut ad 5 47, 48, 43, 50.
82. Si vero sumatur radix Negatira; _, prO ma F V: _c, sumatur 2 nb =
ma - V: 8n a = 22 In a + m a f 4 IIn: res non succedet. Hoc est
Siu = 42, 933,737,7746
63. 955,762,695,6
36.) = 2F. 022, 024, 121, 0 = 36 b (= 0. 583, 345, 124,5 = h
Tum
26 - a4 = 6. 378, 220,897, 2 = bc
-0. 583, 345, T+4,5 = B.
Adeoque bb = 0. 340, 997, 896,7
ac = - 4 2. 623, 393, 278,7
=26. 477, 197,709, 9 = 6.
EE Cc = 275, 438, 044, 371
ab = -- T. 474,76L,553,
bb - ac = - 4 2. 272,404,3827 66 + ab = 270. 023, 282, 818,
Ouxe non Pacistaciune quae sito.
83. Similiter, in secundo valore ad = 0. 175, 493,523,; Si pro Atiematira
radice (859 invenca) siumatur Nexacira. Nimirum,
Si DrO M a = 7. 12.F, 630, 99
+ 133. 718, 536, 29
36.) 240. 840, 167, 18 (+ 3, 912, 226, 866, -b.
Scltalii m a = 7. 131, 630, 99
=133, 718,536, 19
36.) = 126, 596, 305, 20 (= 3. 526, 580, 700, = 8.
cum
ntel f.  L d L. L 0

## Folio 262 — 851708439:0286
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000286.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
A V. L B L A.
Tum 20 - aa = 25. 824, 506, 477, = b6
3. 3267360,700, = 
4. 499, 369, 666, = c.
Adeoque bb = = 22. 366,339, 82 Et c0 = = 20, 249,726, 995,
ab = - 2. 865, 724, 9F
ab = = 2. 473, 1647 C237
6b = ac = + 70. 481, 2 24 9E cc + ab = + 18. 776,562, 8727
Ouxe non Patistacinne quaesico.
84. Similiter, in tertio ralore a = +7, 4 F6, +40, F4, adeoque a = 4. 273, 264
926. Si pro altirmacira radice (567 inventa) sumatur regatira: res non lucce.
dec; Hoc est,
Si PrO ma = 70. 945,503, 7427
Sumatur
F 83. 387,306, 240,
36.) + 254. 332,611,662, (+4. 287,022,522, = 6.
ma = 70. 945,503,14 23
83. 387,306, 5407
36.) = 22, 44. 1, 804,358, (= 0. 345,605, 678, = b.
Tum 26 - aa = - 2. 426, 140, 14 = b0
-0. 345.,605,68 - b  + 4. 0975600 =0
Adeoque bb = f 0. 179,443, 284,5 Et 66 = 16, 790,002, 23
ac =- - F 27. 200,205,099,5 ab = = 1. 44. 2, 304,05
bb + ac = + 17. 2F9,648, 3847 cc + ab = 25. 347,697, 18
Ouxe non Patisfaciunt guaesito.
85. Denique, in quarto valore an = +6, 030, 145, + 4; adeoque a = 4. 003
766,407: Si pro negarira radice (5 75 inventa) sumatur aftirmatira, (retento,
ut prius, altirmaciro ralore an) res non succecter. Hoc ett
Si pro ma = 68. 064, 028, 92
-68. 379, 629,72
36.) = 0. 255,590,80 (0, 007,099, 744 = b.
Sumatur ma = 68, 064, 028, 02
F 68. 379,619,72
36.) = 236. 383,648,64 (+ 3. 788, 438, 684, = b.
3. 1007456,60 =6 = = 0. 007, 957, 22.8, =6.
Adeoque bb = 14. 352, 237,358, FLCC = 0, 000,063, 3 F7
ac = 0. 037, 858, 3667
ab = 15, 168,007,524
1b. + ac = 24. 320, 378, 492, cc + ab = 25. 268, 070, 84 ,
Ouae non Cacistaciunt quaesico.
86. Pro nquatione igitur 5 40, (quae est Biquadratica ex raclice plana. ) Oua.
tuor invenimus valores ce, uciles omnes: (quorum semilles, lunc ralores aa:
quorum lingulis apcarimus respectiros ralores b e c; nunc afirmatiros, nuNC ne-
iros; led retento ubic
quod, ad plenam problematis solurionem, non sulticiet aequatio interior quam est
Biguacrarica.
87. Constat item ad singulos valores a, non alios admici posse ralores B dt C, quam
quos altignarimus. Ouamris enim Guadrarica aequatio 5 10, (pro invenienda b
exa dato) spem facere videatur plures Pore, propier illius duplicem radicem: al-
tera tamen duarum semper est inucilis. Vu, pro singudis raloribus a; jam octen.
dimus.
Cap. L. XII
80. Ldent

## Folio 263 — 851708439:0287
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000287.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
Cap. L. XII.
A L G F B R A.
88. Idem raler in Aquatione Cubica (5 32.) ex cujus radicibus tribus, non-
nisi una est ucilis.
Sumpto enim (per S 4 F) a a = 6. 378, 220, 897, 24;
Tum cst (Per 532) 16a = a = 17b - b
THOc est (per 5 42) 24. 299, 937,70F, 382, = 27b = b.
Cujus aequationis cubica racicem unam jam invenimus (5 46;) candem ni-
mirum quam (SBF) invenimus per aequationem quadraticam, b =2. 969, 152,
768,6. Sed religua sune inutiles.
80. Nam hujus, ope (ne opus sit radices reliquas simili refolutione cubiex
aquationis exquirere) cubica ad quacracicam deprimetur: Nimirum,
B - 2.969, 152,768,6):
1B. = 27B = 24. 299, 937,704,382, =0 (3
5 (bB + 2.969, 252, 768,620, b -8. 184, 137, 836,597, =0.
PuIa, Bb + Cb. -
D
0.
∞. Hujusque emergentis aequationis quadracieae, dux sunt radices; astirmacira
altera, altera negativa.
Nimirum, B = - =C F V: ZC.9. F D:
FOc est, B = - 2. 484576, 384, 310, = 3. 223,057,380,415.
HHoc est, B = = 2. 738, 480,996, 105. P.t B = - 4,707,633, 764, 725.
Or. Farum priorem, qua est attirmacira, jam expendimus 5 44, ee invenimus
inutilem.
Ouoniam posito a a =- 6. 378, 22.2;
Adeoque BC (= 16 - a4) = 9, 621,779:
Si TIL B = 2. 738,48T;
Fric c =
9.622,170, = 5.534,59; 8t 00 = 30.631, 68.
2. 738, 481,
Ouod Fieri non Bocelt; modo a et b (adeoque ab) sint Bolitiri; PrOPter
66 (== 18 -- a b) minorem quam. 18.
Sed neque tieri porest (manemre b attirmatiro) eiamli loret a nexacirus; puca
= - 2.525,514.
Ouippe cum,
B:
F ab =
66 F ab (= 18) =,26. 24. F, T2.
3. Farundem posterior, quae negacira est, exhiberet b negatirum; nempe
= = 4. 707,633,769,955. Adeoque
26 = aa = 9. 621, 179, 102, 760, = Bc
4. 707,633,769,055, = 
Sed, ex caleuto, reperietur inurilis. Ouippe tum,
aa = 6. 378, 220, 897, 24
BC- 9. 62 +,7799102,76
aa F bc =16.
Acque hactenus recte. Sed tertium membrum Fallit. Nempe
65 = + 4. 177,393,879, 2.3
ab == = 11. 889, 194, 917, 28
66 F ab (= 18) = - 7. 7L1,8O2,038,095
C6 = 30. 637,68
4. 390,56
F = L. d431001 3366, 714, =c.
= 22, 161, 825,662,7
a6 = - 5. 162, 615, 662
6b  at = 17.
93. Similiter

## Folio 264 — 851708439:0288
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000288.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
A L G F B R A.
Cdp. L.
93. Similiter; sumpto (per 556) secundo valore 4a = 0. 175, 483, 523;
Adeoque a = 0. 4 18, 979, 47; 8 a = 0. 073, 527,65; et 16 a =- 6. 702, 7LI, 5:
Erit (per 532,) 26 a = a = 6. 629, 193, d = 17b - b.
94. Cumque (559) invenimus unum ralorem B = 3. 972, 226, 866; hujus ope,
deprimetur Cubica ad Ouadraticam aequationem, reliquas radices duas conrinen-
tem. Hoc modo,
Pata
b = 3. 912,226,9=.0)
)b3 = 27B + 6.629, 193, 9 =0 (4
 (Bb + 3. 912, 226, 9b = 2. 604,480, 9 =0.
bB + Cb = D = 0
O5. Hujus aequationis quacrariex, duxe lune radices;
Nimirum,
b = = 3C = Y: a C.9. + D.
Hoc C(t; = T. 956, 173,5 = 2. 349,65T, 2.
Hoc elb; + 0. 393,5377 =B. EL - 4. 305, 764, 7 = B.
Sed veraque inurilis.
96. Ptam, POTIIO B = O. 303,537,7: ExIE
1 - a a = bc = +5, 8247506,5
b = 0. 393,53737 40. 210,897, 8.
Adeoque a = 0. 275, 493,5 FF bb = O. 154, 87,2,0
16= 15. 824506,5
aa fb5- = 16.
ab - 16. 845, T28,0
1 - 44 = bc = 25. 824, 506,5 = - 3. 675, 190, 8
FL aa = 0,. F75, + 93,5 Et vb = 18, 539,609,0
b6 = 25. 824, 506,5
Sed 5c=- X616, 926, 229,5
ab- 0. 16476666
bb + ac = 17.  cc + abl = 18 =) 1627 081, 160, c
97. F. L, POLtO B = - 4. 305, 764, 7. Erit
b= 4. 305,764,7
aa + b5 = 26.
ab =- 2. 539,609,0
bb + ac = 27.
cc ab (= 18)= 1X. 703,258,7
38. Similicer; Tumpro (per 566,) cerrio ralore a a = 27 416, 140, 14;
Adeoque a = 4. L73, 264, 926; _ 16a = 66.772, 238, 8; e a = 72. 682, 566,8.
FrIL. 16a - a = - 5. 909,928, 0 = 77b - b.
99. Cujus (per 567) radicem unam invenimus B = 4. 287, 022, 55. Fujusque
ope, Cubica ad Quacraricam, sic deprimetur;
Puta
b = 4. 2.87, 022,55 =0)
=)b3 - 27B = 5.909,928,0 =0 (1
Y (bB. + 4. 287, 022, 55b. = 1. 378,562  =0
bb + Cb + D =0
200. Cujus aequarionis quactratiea, dux sunc radices; utraque Nexacira.
ZCFV: =C9 - D:
HOc est, b = - 2. 243, 51X, 28 = 1. 793, 342,75
Hoc est, - 0. 350, 168, 52 = 3. EF -3. 936, 854,03 =b.
Tuucilis utraque.
TOT. Nam, DOSUO b = =0. 350, 168, 52:
Prit c = 16 - aa = bc-
2.416, 140, 24 = + 4. 041, 16746.
0350,168, 52
264
Sel bb - 13.507,02793
ab = - 2. 803,768,6
Adeoque

## Folio 265 — 851708439:0289
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000289.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
6.9
on
13.
1.8
Cap. L. XTI.
A L G F B R A.
Adeoque a = x7, 4 26, 540, 14 F L BB = O. F22, 618,0
B0=- L. 416, 240, 14 a0 - 16. 877,382,0
aa f b0== 26.
Bb + ac = X7.
202. FL, POsItO b - -- 3,936,854,0.
Exit c=
26 - a a = b0 = - 2. 4. 76, 140, 14
D
= - 3.936,854,03
Sed ca = 26. 355,290, 4
ab = T. 462,546,0
co tabl = 18) = 24833, 41
=0. 359,713,65.
Adeoque a = 17. 456, 240, C4 ELBB = 25. 438, 8F9,7 Sed 66 = O. 129,59,,
b0= =L. 426, 140, 14 ab +L. 50L, L8613
aa F B= 16.
bb. + ac = F7.
ab - 16. 429,5349
c6 + ab(= 18) =. - 26. 300, 14 5, 0
703. Tandem, sumpio (Der 572) quarco ralore aa = 16. 030, 145, 44:
Adeoque a = 4. 003, 766, 4; e 26a = 64. 060, 262,5; et ad = 64. 180, 957, 8:
Frie 26a = a = = 0. +20,695, 3 = 17b - B3.
204. Fabemus aurem (per 575) valorem unum b = 0.907,099.7: Cujus ope,
sic deprimitur aquatio cubica ad quadraticam:
Puta
b - 0007,099, 7 =0)
)63 - 27B =0. 720,695,3 =0 (4
 (38-0007, 099, 74 b - 26. 999,94 d, d = 0.
bb = Cb - D = 0.
205. Cujus duae radices sunt F ZC = V: Z C9 + D: = b.
HOC est, b = + 0.003,549, d =L 4. 123, 1O2, 2.
Hloc est, b = + 4. 226, 651, L; e b = - 4. L 29, 552,3.
Tnucilis utraque.
206. Nam, polico B = 4. 126, 65F,0;
Exic 26 = a a = bc = - 0.030, 445 + = - 0007,305,1. = c.
b = = 4. +26, 65F, C
Adeoque a = 76. 030, T45, 44. FLBB = 17, 029, 248,
B5- 0. 030, 145,44 ac = 0. 029, 248
au Fb0 = 26.
Bb + ac = 27.
107. EE, Polito B = = 4. 179, 55T,3:
16 -- aa = b6 = - 0. 030, 145, 4 = + 8.007,317, 7 =6.
B = - 4. +79, 55L,3
Adeoque a == 16. 030, 145, 44 FL Bb -= 26, 970, 702,
66 = 0. 030, 24544. ac = 0. 029, 298
au + B0 -- 16.
Bb + ac - 17.
ab - 10. 4.93,721,
cc +at (= 18) = 26. 493, 677,6
208. Constat igitur, ex jam octentis; sumpeo quoris ralore a (primo, secundo,
certio, quarcore,) ralorem b (sire per quadracicam, sive per cubicam aequatio
nem, quaesicum,) nonnisi unicum este, (cum radices religuae sine inuriles:) Et
consequenter, ralorem c, unicum item este: Et propterea, potiorem else procel.
Tum per quadratieam (ue simpliciorem) quam per cubicam aequationem.
209. Sed pro valoribus aan (qui omnino quatuor sunt, et uiles omnes;)
manitestum est eguationem principalem (quae quaestionem universaliter com
plectitur, in omni sua rarietate) limpliciorem esse non posse quam biquadra-
ricam; (uc est ea in 529, et 35: nulla enim, hac simplicior, quatuor radices
continet.
T10. Constat porro; equationis hujus biquadratieae, oportere, raclicem planam
cAte (hoc eltu duarum dimentionum) ur elt aa: quo pollic a in singulis du-
Dlicem
A6 = 0.000,053,4
ab- 16.52.2, 146,7
6c + ab( = 18) = 16. 522, 200, 1
dell C0= 0.000,053,4

## Folio 266 — 851708439:0290
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000290.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
AE C F B R A.
L.
260
plicem ratorem Portiri, altirmatirum et negacirum. Nam, ucrumris ponamus
C.= a aut = a) prodibic F aa. (Et limilicer de bb et 66; lire abeant b, c7
= aut =.) Aeque idem per omnia prodibit, li prour in a mutatur lignum .
Pariter in b d c mutetur. Nam, mutacis omnium tignis, cadem, qua prius,
erunt Duadrata e Rectangula, _e cum eisdem signis: Ur qua non tam depen-
dene exL aut - in hoc aut illo componentium, quam ex eo quod lInE in uErO-
que componence similia aut dissimilia. Nam = in , non minus quaM + in +,
tacie f: _ f in -, pariter ac = in f Facit -.
TET. Sic, in primo valore a a = 6.378, 22Z; Perinde est sire dicacur,
a = + 2.525, 524. B = + 2.969, 153. c = + 3. 240,582.
Sire a = - 2.525, 514. b = = 2. 969,153. 6 = - 3, 240,587.
Eq in secundo valore a a = 0. 175, 493:
Sive a = F0. 4. 18, 979. b = = 3.952, 227. c = + 4044, 885.
Sive a = = 0. 418, 919. b = - 3.972,227. 6 =. 4. 044, 885.
Irem, in certio valore a a = 17. 426, 240:
Sive a = F 4. 273, 265. b = + 4. 287, 023. c = -0. 330,332.
Sive a = = 4. 173, 265. b = - 4. 287,023. 6 = + 0. 330,332.
In quarco denique ralore a 4 = 16.030, 145:
Sive a = + 4003,766. B = -0007,100. C = = 4. 245, 989.
Sire a = = 4. 003,766. B == + 0007, 100. c = - 4. 245, 989.
Nam, mroris modo, eadem prodibun tiena f =, planorum aa, bb, c0, ab, ac, b5.
FFZ. Atque hoc quidem ex ipsa quaestionis nacura directe segnitur. Cum enim
in Ouactione nil aliud dacum sic quam eria planorum aggresata, a a = bc,
Bb = a5, Cc = ab; atque, hris datis, numeri seu quantitates simplices, an b, c
Dossine esse vel aftrmacirae omnes, vel omnes negacira, vel mixtae: Hlinc oriun-
Tur (prout variari pollune Ligna  -) catus oeto; quibus rariori poltunt ligna
simplicium quanticacum an b, c; et rectansulorum, ab, ac, bc, manenribus a an
bb, 6c atticmaciris. Nimicur
Simplices quancirates.
Ouadrara et Rectangnla.
a a  BC =- 1. bB + aC = M.
aa  B7 = l. BB-+- a7 = M
3
a a - 67
BB = a7
BB- = ay
B- a 3
3B- a3
BB = a3
BB = ay
BB F a y
T13: Lcopet nos octo caltto supponere oporrebit radices octo pro valoribus
a exprimendis; attirmatiras quatuor, et totidem negatiras.
rra. Cum vero hi calus octo, binatim sumpri, eadem habeane quacratorum et
rectangulorum signa; Nimirum L ec VIII. IF _ VII. III de VI. IV et V. (in
quibus, binarim lumpris, non alia occurrie disterentia, quam quod unius signa
pro simplicibus quancicaribus tinc in aliero mutata omnia, led eadem ucrobique
quadratorum de rectangulorum signa:) Hinc manilesto lequitUT; DtuIE pro a
sinc valores octo, PFO aA VaIOrES CrUNE NON NIEI quaTUOT. Quod itaque Dostu
lac aequarionem tiguadraticam, sed ex radice plana, pro aa; quarum quaelibet
DrO a duas continet F a e = a adeoque omnino octo.
225. Sec, quamvis hoc problema, absolure contideracum concineat hos octo
Calus,
+
b = 1
Y.
Valore
= a, = B, +
et et  By
 B3
B.
a a - B
diverlis
TIbUS.
VIII.  an 1n 5. a 117

## Folio 267 — 851708439:0291
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000291.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
C aP. L
casus, seu bis quatuor: tieri tamen potest, ut (pro datis magnitudinibus l, M, 1.
rariatis) unus aut alter horum caluum concinsat impossibilis.
TT6. Verbi gracia: In praelenti quaeltione, Calibus II et VII, Patistacie certins
ralor aa; qui pro a, b, c, exhivet + an F. B, = 2, vel (mucacis omnium lignis)
B, = 7. Calibus TTI et VI, SatistaciE valOr quartuS; qui prO a, B, c, extri
Det - a = B, f 7, vel (muLatiS omnium SignIS) a F B
V. Scd casi
bus IV e V, nullus respondec ralor (ut qui, prout hic extribentur l M, n Tune
impossibiles; ut mox ostendetr;) unde AE uE CasuIS Y et VIII, duplicem COr-
tiantur responsionem. Verique enim Patisfacie cum primus cum secundus valor
aa: ubi pro an b, c, extibentur vel f an = B, f 7, rel (mucacis omnium signis)
777. Ouod autem, prout hic extibentur Bm, n (nimirum 46, F7, 28,) CatuIS
V e V sinc impossibiles; sic pacebit. Cum sic ex hypocheti, aa f b0 = 26, hoc
est (catu IV et V) oc = B7 = 26; erit necellario By minus quam 16. Sed ec, Cx
hypocheli, bb = ac = 27; hoc est (his calibus) BB -- ay = 27; adeoque BB pluIS
quam 17, B Dlulquam V 17. Trem, ex hypocheli, cc + ab == 18; hoc elt (his
calibus) n = aB = 2B; adeoque in plusquam 18, ec 2 plusquam V 18. ET, Con
sequenter, By Plusquam V 17 in V 18. Sed V 17 in V 1B, eAt plusquam V 16 in
V16, hoc cl 16. Ergo, multo magis By plus ct quam 16. Sed et, per ante olten-
la idem By minus ese quam 16. Fllet isicur cum plus cum minus quam 16, quod
elt impolsibile. Sum ergo Calus IV et V impollibiles, ur erat attirmatum. Hloc
elt; Polito ralore a aftirmatiro, et b, c, negatiris, (aut, contra, illo negatiro et
his altirmatiris,) tieri non porest ue line aa f b0 == 26, bb = ac == 17, ec cC.  ab
= 18. Ouippe, rerera poliris his aggregatis, = a qui quaeritur Catu IV degene-
xat (praeter expectationem) in = a; e = a catu V, degenerat in f a. (Prout
Expe concinsit in aliis aequationibus, ubi pro qualica radice aftirmatira, prodit ne
sacira, e vice verta.) Indeque pro catu LV e V, prodeune catus V LLL  I; qui
itaque deminam Colutionem TOELInREE.
Fr8. Idem aliis item casibus contingere potest, pro divertimode variaris l, m, n,
daris: e Similiter demonstrabitur.
TF9. Sed monendum porro; Praeter hos octo calus, alios adhue este quatuor
Teubis binos, ad absolutam Problemaris solutionem spectantes, (qui tamen pTOUE
myn hic altignancur, sunt impossibiles,) manence ralore aa attirmativo. Ouippe
sire ponatur a altirmacirus, live nesatirus, pocest auc b aut c eranescere, leu ni-
hilo aequari; mancucibuo hu meu nn altirmatirio. Onde hi quatuor oriuneur calus:
Simplices quancicates. Ouadiata et Rectane ula.
an b367
Valores TX. = an 0, f y
prodi- X.
e, 0, - 7
versis )XI. = a, = B, 0
aa  Bc = 1. bb. = ac = m. Cc = ab = n.
au +0 = 1. 0 = ay = m. W = 0 = 1
2a =0
ac +0
CaTIbuS. (X II. = ebu =B, O a F0
3= 6
720. Fis quator catibus conreniunt duae radices planae aequationis biquadratiea
+== + ee f 4Vh (quam, ut inurilem quaestiOni prONL Crat prOPOSIta, LevosvimuS
528; quippehi calus omnes sunc impossibiles, polucis pro , m, n, numeris 16, 27
28.). Oux tamen aequatio quadratiea, una cum biquadratiea 5 29, complent Oua-
deatocubicam5 26 (radicum Cex planarum) ut liguet ex analysi 5 27 Cujus lex
radices planae, seu ralores ee (quorum semistes tune ralores au, bis toridem extri-
bentes valores a,) supuedicant duo decim ralores a pro catibus his duodecim, seu
bis Penis.
F2T. Nam aequarionis et = 4 lec + 4. IV radices dux (ut ostensum est 528)
sunt inter Le aequales ee = 2l, ee = 2l; horumque Lemistes a a = l, au = l. Adeo.
que a = = V G a = = - VI, c = Y V a =- Vh Pro quatuor hisce calibus. Oui
que his raloribus an conreniunt respectire ralores b ee c haberi poltunt ut prius, auc
adhuc expeditius ue mox docebitur.
222. Hi, qui contineere poltune, casus duodecim (manentibus valoribus l, m, n,
altirmatiris; quod hactenus SupponimuS:) totidem requirune ralores a. OuOS Cx.
hibere non porest una ulla aequatio quae simplicior est quam Ouacratocubica ex sa.
dice
LL L G F B R A.

## Folio 268 — 851708439:0292
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000292.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
L. C F B R A.
ap. L. XII.
impolsibiles, pro raria politione datorum  myn; adeoque, Ila  las Lact
ces inutiles.
28,) hincpatet. Ouoniam, ubicunque hoc conmeru alter duorum m, n, CIl IC
In casu ZI _ ZII, propter cranelcentem c (adeoque ac, 66, 66,) erit l=aa
M = = bb, n = ab = VIm. HIOC aurem, cum in expolitis numeriS 16, 27, 18, (prO
BM, n) nON ConcinSat; certum CA, CaTUS COS, PFOUE jaM ExPONUINEIE L, M, M, Im-
poltibilese.
am a (3 25) ejulque ricarius e(S20) insrediuneur aequationem principalem
dice plana; qualis est illa 5 26. Sed ex illis, nunc hi, nunc illi casus, cradunt
223. Ouod autem polteriores calus quatuor, Proce fas ponuneur l, M, n, (16,
27, 18,) sine impossibiles, (adeoque, qa cos spectat agualio, secle Lepolta 527
dius prOxOrtIOnALI HILeL CII  h n cuos reliquos: Nimirum, In Calu IZ e X
propter cranescentem b, (adeo que ab, 66, 60,) exit l = aa, n = 66, m = ac = V In
F24. Hinc igitur, ubi caluum horum aliquis continei, (hoc elb, utri vel l, M, n
vel hn m lunt Conue Proporcionales,) exvedita paret methodus pro inveni
endis an b, c. Slt enim in omnibus aa =; adeoque a = F VI: Adeoque II
T25. Sed ec rerum clt, si = Vnn, (hoc elt, lim, n, line continue propor-
m = VIn, exIL B =O, 6=VN: SIn = VIM, Crib = VN, C=O.
tionales,) unus crium eranelcet; nimirum, inus vatoruum aa =-0. (adeoque
a = + 0, a= = 0, erunt duo ex duodecim valoribus a.) Sed hic calus non cle
Iltam non insrediuntur b, c.
vac aequationem ad alciorem gradum, (quod Faciunt B == F0, 80 = = =,) quoni
T26. Nam quandocunque hoe concingit (quod sic unus ratorum aa = 0,) erit
ec = 2 aa = 0 unus raloru e  aa  Ca G29,
=51C + 9It 8 = 71II e = 2 P =0
obie3FBH 4b0sb0
ut 2M 16
betur ee eraneleant, quancum ad hunc ralorem,) prodibit terminus absolutus
212 -= 4.VImn F2mmnn =0. Quod sempertc, in omni aequatione, ubi id
dicis unus valor =0. (Fonimirum quod terminus absolutus est factus a continua
mulciplicatione omnium ralorum inter sc; quorum SI unus lic on etiam o erit qui
Factus est.) Adeoque de ejus semissis 1 = 2 IImn = mmnn -0. Hujusque la
tuS quadraticum IV = m n = O. FF VI = mn. Adeoque Y =V m n. lE propterea
(eximenco ex quacraciea ralorem ee =0) aequatio ad cubicam redtisetur (dirsils
Md
ET proxcerea (eum sit unus valorum ex = 0; adeoque omnia memibra quibus ha-
omnibus per ee) 
e = 51 et + 9It e
M H + 5lm 1
127. FF (C Conver(O) C 1 = Vmn: tm II = mn; e I1 = m n = 0; d
deprimitur, reliquos tres valores ee continentem; ut (upra( 53, 5
ig 33. ub sulteleca
si duo ralores ee sic craneleant; redisetur ad quadraticam. L. L HC POH1.
728. Pro hoc ratore an = = ee =9; valoteS B_G reperTUMCL U PTIUO, LMIIIH.
rum (per S XY) B =m a + V: 8M a = 12 In a a. + m a + 4 11
Prex eranelcentem an clli Luis mulcixlis omnibus) b=
etiam (ut S +23, 124, 125;) Propcex eranescenem a ladeoque aa, ab, a5,) exic
M == bb, n = ec; ad eo jue b = V m, c = Y n. (Dui quidem ralores indisterenter
Cumi poltunc astirmatiri auc negacivi, b = = i m, c = Va ac poltularerit occa
(i0.) Idem aurem urroris moco prorenic valor: pulas  = V m. hoc et (ductis
verisque
EL Propteres
A - 2.7 Lmn. + mm n n = C, C. Z. l = 4. bL Mn = 2. mm n n = C
cranelcente termino ultimo, carerilque per ee dirisis) biguadrarica in Cubican
Vat

## Folio 269 — 851708439:0293
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000293.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
Cap. L. XII.
A L G F B R A.
urisque in Vn) I =Y mn. Ouod rerum est propter Y (ex hypocheti) medium
Proportionalem inter m e n.
Oyomodocunque isitue concingit, tres datos lm,n, quocunque ordine, conti
nue proporcionales elte, unus quatcorum a, b, c, ett = 0. Nempe, a Ei l medius ett;
e B, G m meduurs; 8c A n Ac medius.
729. Non erit neceltarium hic nocare, uenorum catum, quod fieri etiam po-
test ut trium an b, C, duo rel omnes craneseant, seu sinc nihilo aequales. Ouipve
nihil de noro hinc consequitur, nisi quod hoc calu duo vel omnes datorum L. M, n
pariter eranescent. Pt Liguis omnium non eraneseit, obrium est obserratu quis
Ille est, et quancus. Nempe, vel a = V I, vel b = V m, vel C =V M; PEOUL Con-
tigexit.
F30. Denique nocandum exit: Ouoniam dati B m, n, proponuntur, ab orieine aF
Firmaciri, (neque erat datorum quiequam mutandum:) in toro igitur procestu
praesumuntur tales esse (adeoque rel addendi vel subducendi, prove innuunE praetixa
Tiena:) e non suppolicioni contraria. Guod tamen in quatitis a, b, 6, (xepe Con-
rinsir. Saepe enim quae quaeritur (aut praelumitur) radix aftirmatira, prodic ne
saura; et vice versa. Adeoque, inter calus postibiles, non eos enumerarimus
Quibus EriuM L, M, B, umuS aur plures sinc negatiri.
E3F. Pocitautem, ab origine, sic proponi quaestio, uehorum unus aut plures
Forent negatiri. Puta, SI a = f a, b = -B, c = f y. Ouippe tum FOret b0 =
=By; Possitque tantus esse ue praerateat aftirmatiro aa: adeoque au - bc = a -
Verum hoc non cst ex rariecare catuum seu radicum qualicarum de-
terminandum; Sed est pars Datorum. Sed in Ouxtiris a, b, c, non rantum lingu
lorum magnicudines, led ec Signa, + =, Tunt guxsItOruM paLS.
232. Duo catu aurem datorum P,m, n, unus aut plures altignantur negatiri;
(quod ex propolita quaectione cacim liquet:) Inquilicio ab origine sic insticuenda
erieur his positionibus consruar. Ouod camen non aliter diftert à jam cradiis pro
altirmatiris, quam quod, ubi horum aliquis ponitur nesatirus, puca =1; ubique
mucanda sune Cigna in L, P, B, ecc. ubi numerus dimentionum elt impar: led reci-
nenda in P, B, 1, Ec. ubi dimentionum numerus est par. Quod de = Idicitur, p2-
riter incelligendum est de =m, 8 =n. Si vero plures ex his ponantur negaciri,
Duta =- I, e --n; eadem tamen ratio obserranda cst; nempe, li factum Cx nco2-
ciris (sirc ejuldem lire direrlarum Specierum) inter le continue mulciplicatis, di-
mensiones habeant numero pares; recinetur idem signum quod Foret si ponerentur
altirmaciri: mutatur autem li dimentiones sine numero impares. Puca, pro.  IIn.
ponendum (s sit - 18c - n) -- IIn: Sed, pro. + In rerinendum etiamnum L In.
Ratio omnium lxc ett: Ouoniam =in-(quoreunque fuerint, et sire ejuldem
sire diverlarum specierum) concinue ducti; si sint numero pares, tantundem
praectane ac cocidem f in =: COnTa verO, Li Sine numero impares.
F33. Acque jam, expolicum Problema prolecurus Tum, per omnes ejus casis e
varietates, ad absolutam ec universalem corundem determinationem. Onod ideo fu-
fius ec explicacius factum est, uc speciminis loco sic pro aliis ejulmodi Problemarie
incricatioribus pariter examinandis et prolequendis.
234. Nocandum denique; in toto hoc proceltu, numeros l, m, n, reputandos
esse duarum dimensionum, qualium an b, c, Tunt unius. (Ouod monco nequis su-
spicetur me heterosenea heterogeneis comparale.) Ouod pariter de e intelligen-
dum FOret, SI (526) DrO eC = Z aa DoTuisem C = 2 aa (quo sequationes quadra-
rica ec biguacratica 5 27, ex radiee plaua, speciem prae se ferrent similium ex ra-
dice limplice; sed quae reapse toret plana.) Ec quidem, Si libuisset (pro speciebus
modernorum) rem expoluilte (ad morem vecerum) lineis de figuris: Fxponendi
Forent a B, C, per lineas, praeterrim rectas; l m, n, (e e pro 2 aa) per figuras
planas (puca, quadrata, parallelogramma, rectangula, dec.) Lalrem superticiales; 
Si quando ad tres dimentiones alcendatur, per cubos, prismata, parellelipipeda, alia-
re solida: Obi ad plures ascenditur, res Foret curbatior; Sed uccunque exponenda
per lincas, superticies, aut solida sumpta in ratione (lineis, si libet, planis, Colidis-
re exponenda) ex rationibus duabus, cribus, pluribulve (similiter exposiris) com-
Dolita: Oux omnia nos (simplicistime) per Species exposuimus, hoc est repEX
sencarimus. Sicubi, in mulciplici calculo, numerum pro numero poluerim, aut
Cso aut poBraphus; condonet lector Et emendet.

## Folio 270 — 851708439:0294
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000294.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
L Ce L B R A.
Ci A P. LXILI.
alia methodus pro eisdem duaestionibus.
n
Raeter Merhodum superioris Capicis, (quae absoluta est de unirertalis;) li.
bec aliam hic subjunsere; quae quamris minus sit artificialis, Tuum tamen
ulum habet in calibus parcicularibus non contemnendum: praelerrim ubi
non requiritur plena determinatio caluum omnium possibilium; nec exigitur ap.
proximatio in lonsiusculis numeris plurium locorum parcium decimatium, sed
Paucorum Paltem.
Restringenda primum erit quaestio intra quosdam limices, quos suppedicabunt
quactionis circumstantia bene perpensa: Deinde incra hos limites tentamina quae
dam lacienda: Paque denique concinue corrisenda prour ancecedencium succestus
indicaverit.
Florum specimina extribebo quadam in quaestione jam proposira; non quidem
quati ea omnia sinc necessaria, sed quae subministrat quaeltio, ex quibus ea seligat
lagax explorator qua magis centuerit expedire. Ouaestio.
at- L Bc = 26,
FCrtts 560 = ac = 17 E Ouaruntur numexi a, B, C.
66 + ab = 18
Invelligatio.
T. Ouoniam au F 0b = 10, L. 130 16 - au = bc. P. t 16 a - ad =
66 + ab = 18
27 -- bb = ac
18 - c0 = ab
2. Frium a, B, c, Hulli duo sunt inter se requales.
Non a = b. Ouia tum ac = be = bb = ac. HOC cst, 16 = 27.
aa  bc = c6 + ab
bb + ac = cc + ab
3. Numerus C Cs criumi maximus.
Nam Posico minimo
Eri
medio
maxime
Oudoeatum minimi cum
L. AGGrexatum, au: F: a0. F 20B f BB f ay. F B7: Rectangulo reliquorum.
a FB
bb = ac = L7
a.  B
FB. +3
27b - b=
18C -- c3 =
5 abc
16 = 18.
= 18
Ouacratum medii cum
II. A8SLCS. au F LaB F BB: f: aa f ab f ay: Rectangulo reliquorum.
a = B Ouadrat maximi eilla
et  Bf 3
F B-
B =2
TII. ABBICZ. a F 2a3 F BB f 2 47 f2B7 + 37: f: ac f aB: Rectans. reliquorum.
Cumque haec tria ABBregata separatim aeguentur nuniCL L L6, 27, L8, (LIIIIIIINUI
minimo, medium medio, maximum maximo;) sicque certium (quo häbetur maxi-
mi quadratum cum rectansulo rellguorum) aggregatum manifesto maximum;
(nam primo mapto CtL Pet  a V. F B7 - y: sccundo, Der a y - 2 B
E.s ergo tertium illud aquale 18 = cc F a b. Adeoque  (cujus quadratum inibi
continetur) est numerorum qua sitorum maximus.
4. Numerus B est medius, et a minimus.
Cum

## Folio 271 — 851708439:0295
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000295.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
Cap. L. XIII.
A E G F B R A.
Cum enim reoregata uia (tribus 26, 27, 28, aequalia) sine in proxrestione A.
richmerica: Si inde subducatur, quod est omnium commune, 2 a a f 2 a B- f BP
ay: Relidua irem erun in progressione arichmetica, et in eodem cum intexris
ordinc. HTOC est B y, _ a B, e a B f a y f 2B7 = y v. Ouorum cum ultimum sit ma-
nitesto maximum (uc quod duo reliqua contineat e plus intuper: ) Frso vel By
vel aB est medium. Sed non B y. (Ouippe cum Foret hujus duplum duobus re-
liquis aequale; hoc est 2By = 2 a B -f ay = 2βy f 77; tOtM parEI.) EsL erxO
aB reliduorum medium. Ideoque secundum agcregatum (cujus hoc est reliduum)
elt axoregatorum medium in progressione arictmctiea: adeoque idem cum bb. + ac
= T7. EF prOPcerea b = a f B = a + B medius numerorum quaelicorum; et a mini-
MuS.
5. Excettus axoregari secundi supra primum, est, aβ - By = F.
Tertii supra secundum,
Tercii Cupra primum,
ay + 287 + 77 = 2.
aB F ay L By f y7 =2
Nam Cubduicto quod est omnium commune, 2 aa f 2 aB f ay FBB, relidua SUNE
B7, aB, aB f a 7 = 2B7 +77; quorum difterentix exdem sunt qua numerorum
26, 17, 28.
6. F.A a B = ay + 387 f 77. FF aB - 2By = ay + By + 77 = cY
Cum enim (IC e B = By = F = a 7 f 2By + 77: Si utrinque addatur rel subduca-
TUT Bγ, res parebic. L stque a L B f 7 = 6.
7. El Za = c - b. Adeoque = a + B = 6; _ b = 6 - - = a.
Ouiprecum aB = 2B7 (= 6y) sit policira quantiras; adeoque _ 0. - 27: erit
= 2 7, e = a = 7, hoc elt = a = c -- B.
8. F.I bc = 8. a a =- 8. AdCOquC a = (V 8 = 2V 2 =) 2. 628427.
Nam, PrOpEeE C = b = an CA B6 = aa. RL, PropieE aa  bC = 16,
eAt bC= 15, a a = 5; Teu BC =8, a a - 8. Ouod actirmatur.
9. FA ab - 9. 66 = 9. Adeoque c = 3.
NaM, PTOPET C = B = an et c6 = ab. FL, prOPter 6C + ab = 18,
est ab = (12 =) 9. 66 = (5 =) 9. Ouod altirmatur.
10. FIt cC = =B. Adeoque c = (V 18 = 3V 2 =) 4. 24264. F.
PFOPIET CC = 18 = ab.
FT. Es Bb = 76. Adeoque b - 4. FL aC = 1.
NTam, PrOPICE B =C; Adeoque BB = BC (= +6 = aC) =16: RL, PrOPLeK
bB + ac = 27, Cst ac = 1.
F2. F. IL aC = T2. Bb = 5. Adeoque B = (V5 =) 2. 236068.
Nam, PEOPteK a = 2 V 2, _ c =3V 2: Clt ac = 12. FL, Propter bb + ac == 27,
est bb + 5
F3. FIt aa = 18. LF a = (SV 2 =) 0.235702.
6 = 3V2
a =
(312 =) 3N 2. Et aa = 1b
T4. FIt bb = a a = F. Dimirum = + L BC.
Nam Bb = ac = aa - B0 = (17 = 16 =) T. EC, PTOBtET B = a, adeoque
B0 = a6, est bb + b0 - aa - b0 (= bB = aa) = T. Nimirum F F BC, PFOPEer
=a:
25. CC -BB = F. Nimirum, = X + 7a.
Nam cc = ab -= bb = ac (= 28 = +7) = L. AdEOque, PTOPTeT C (= B)
=b + 7, est 66 F a6 = bb = ac (= c0 - bb) = T. Nimiru, = F + 7a.
26. CC = a a = 2. Niminm, = 2 FBB + 7b. Vel 2 FBC- 7 7 a.
Nam c0 f ab - aa - b6 (= 18 = 26) = 2. FL, DFOPteTC(= a) = a + B + 7,
cA cc = bC = a a - BC (= 6C = a a) = 2. NiIruI, = 2 f Bb + , b.
Vel lic. PrOpter B = a F B, _c = b f y = a = B. f y, est b0 = ab + BB. + 3b.
Adeogne BC = a B = BB = y b, EC.
Vet Sic. Bb = a a F F F BC. F+C0 = BB + + + 7 a = a a + 2 F Bc +. 7 a, ec.
27. PosTune hujusmodi plures limitationes d circumctantiis quaestionis obser-
rari. Acque ex his illisre limicationibus dirigi vostumus in cencaminibus Fa
ciendis intra limites sie inrentos: eisque tentaminibus corrisendis prout facta
deprehendantur aue majora julto aue minora. Pari modo ac in quorientum
membris inveltisandis, aut mebris radicum lire simplicium poceltatum, (ire
aequacionum attectarum. Ouamvis enim hujusmodi processus sozusmoi, sive con-
fcturates,

## Folio 272 — 851708439:0296
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000296.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
A L. G F B R H.
jecturales, minus arciticiosi censeantur in practica Geometria; (puta, ( varHIS
Circini tencaminibus exploremus aceus crilectionem aut quinquileetionem, crro-
res continue corrigendo:) in operationibus tamen Arichmetieis (saltem quae re
Colucirae sunc) processis hujusmodi e admitrendi sunt es neceltarii. Adeoque
quamris in Diulciplicatione ee Poceltatum constructione (qua lune operationes
Synthetiex) directe procedere soleamus, absque praeriis conjecturis, (puta, mul-
tiplicando 12 per 3, atumo ter F0, quod el 30; _ ter 2, quod elt 6; quae
addita faciunt 36:) In Diritione tamen ex radicum Extractione (qua funt ope
rationes Analycicae) procedimus pederentim, per varia tentamina; (puta, Ii qua
ratur, quoties 2 in 36; invenio explorando, rerbi gratia, Si decies dIXerO, 1O X 2
=20, quod minus est quam 36; si vicies, erit 20 x 2 = 43, quod nimium cst;
adeoque dempro, quod heri Dotelt, decuplo = 20, reltare rideo 16: Quaeroque
Porro, quoties in hoc reliduo haberi postic 2; rideoque quod nories haberi non porest,
quia 9x 2 = 1B; lepries aurem porelt, quia 7 X 2 = 24, ec reltat 2; adeoque
lemel acthue pluries haberi porest 2 in 16, hoc est octies; concludo igitur ha-
beri polle decres et octies, seu vicibus 18.) Ec quidem, si in Dirisione pro.
celsus hic tit rire admittendus, imo necestarius; certe multo magis admittendus
eric in operationibus analytieis intricatioribus; quales funt radicum extractiones,
sive ex porestatibus simplicibus, live attectis regnationibus; alixque non minus
incricata.
18. Cum itaque jam invenerim (59, 20,) valorem c majorem este quam 3
Ted minorem quam 42, Doltem inera hos limites centamina Tacere, et continue
propius accedere ad rerum ralorem; indeque de a et b decerminandis proce.
dere.
29. Sed cum hactenus ab a inceperim; libet id icem hic Facere, quamvis hu-
jus viderim limites magis diltantes. OE qui (per 5 8, (3,) minor ell quam V 8.
Ted major quam V 1s. Adeoque inter 2. 9, e 0.25. Onde sic procecimus.
20. Duoniam (per 58) aa - 8: PonC a == 7. 9; 2deoque (per S 14, 15
bb = 8.9; Pt 66 = 9. 9; b = 2.98 +; 0 = 3. 14 f: adeoque b0 = 9. 35 +; E1
aa = bc(= 26) = 27. 25 +. Ouod nimium elt. ErsO a a -7. 5
2T. POnC an = 7. 5; adeoque bB = 8.5; _CC = 9.5; b = 2. 9F +; 0 = 3.08-f.
adeoque B0 = 8. 96 =; FF a a f bC (= 16) = 16 46 +. Ouod minum est.
ErgO aa - 7.5
22. POnC a 4 =7. (hoc est, a = 2. 646 -) Adeoque Bb = 8. 60 = 9. B = 2.
B-F; 6= 3. b0= 8. 4 -]: a a f bC (= +6) = 25. 4 (quod hactenus Fieri pO
telt. ) Imo B0 (= 26 -- aa) = 9. bc -- b =- c =3. 2
66 (= 9) =10. 2 -
(quod hactenus Fieri porest.) Adeoque 18 = cc = ab (=
7. 8 +: F.C
= 2.9 f. Et quoniam hoc (quantum adhue liguet) tieri
Porest (nam per politionem b = 2. 8
Ponamus POrrO BB(= 8.) =8. 2; (adeoque b = 2. 86 f.) Unde sequitur
66 = 9. 2; e C = 3.03 -f. EE quoniaM BC (= 26 - a a) = 0, LFSO C(= bC -: B
3. 14 F; Et60=9.88. Adeoque ab (= +8 - c6) = 8. T2; FF b = 3. 07:
Dlulquam ponitur. Ponebatur erso b julto minor.
Ponamus erso bB =8.5, (adeoque b = 2. 925 +) unde Sequitur c0 = d.5:
EE (DTOPIeE BC = 9,) CxIt bC - b = 6 = 3.087 -; FLCC == 9.53 =: FYBC
ab (= 18 - cc) = 8. 47 +; Adeoque ab -: a = b = 3. 20; plus Polico. F. rBO
(Si manCaE a uE priuS) ausendus est B.
POnaIUS ergO bb = 8. 6, (adeoque b = 2. 93 -:) unde, (CqUITUI CC = 9.6
Et (DEOPter BC =9.) FrIt bC-: b = 6 = 3.07 -; RE 00 = d. 42 =: Sed esset
C0 = 9. 6: (Ergo Dolitus es bb nimius, unde provenic cc julto, minor.) AE
hoc polito, cxic ab (= 18 - c0) = 8. 58 +. Adeoque ab =: a = b = 3. 2
plus posico: esser igitur (manente a) augendus. Sed et jam oltensus est justo
major. Non ell isitur a a = 7, (quod ponitur) sed adtiue minuendus.
23. POnE 44 = 6= = 6.5; (adeoque a = 2. 550- ;) EFBC (= 16 = a. a
9.5 (de quaerendi u 3, C, ea Taltem incer se dictancia uE sit cC = bb = 2.
ErgO (per 5 143 15,) bb = 7. 5; (adeo que B = 2. 739 = ;) EF c0 = 8. 5: Tmo
per 69,) 60 = 9:  3. Ec quidem (a lic polito) c = (V b0 =) 3.08. +
=ab.
; 60 = 12. 034; ab (= 18 - 66) = 5. 966:
Cuisue nihil huic conlatiu haclenus compareat: LONAIUS POrrO B (= 2. 739
a
Item, C (= Bc - : B) - 3. 469
= 2. 340

## Folio 273 — 851708439:0297
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000297.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
1
Cap. I. XIII. A L G F B R A.
=2.9: adeoque bb = 8. 41; 5 (= Bc -: B) = 3.276; 60 = 10.732; ab (= 18- 6c)
7. 260; FF b = 2. 85T; minus quam ponebatur.
POnamUS ergo B (= 2. 9) = 3. adeoque c (= BC -: B) = 3. 167; 60 = 70.
028; ab = 7. 972; b = 3. 127: plus quam poncbatur; adeoque b = 3. Mi
nuendus.
Ponamus itaque B (= 3. Sed = 2. 9) =2. 95; (adeoque ob =8, 702:) Fr∞O
(= bC -: b) = 3. 220; 60 = F0. 37C; a b = 7. 629: b = 2.992; plus posito.
Ersob =2. 95 minuendus. Scd, hoc manente, erit ac = 8. F98; adeoque (DFOPTCE
Bb =8. 702,) 3b + a6 = 26. 900 - 17. adeoque a manente, auxendus cHet b.
Sed e a manence minuendus etat. Frgo, a a = 63 non constabit; sed minuen-
dus est, quo augeatur Bc.
24. POnC a (=2.549,) =2. 5; adeoque a a = 6. 25, = 64; b0 = 9.75; Tum
est b =, e c =, (Vb6 =) 3. T225.
PonamuS B = 3, 12; adeoque 6 (= BC=: B,) = 3. 126; Bb = 9.73; C5 =9.78
Sed esset cC - bb = T.
Ponamus B = 3. F; Tum c (= 3. 245) =V FO. _ B = V9. ErgO B adhuc
nimius, ee c justo minor.
PonamuS b = 3 = V 9. TUM C = 3. 25; CC = 20,5625; ab (= 28 = cC)
27. 4375; b = 2.975. Ergo jam c nimius, et B justo minor.
PonamuS B = 3. 02: Tum 6 = 3. 228; CC == 10. 423; ab = 7.577; b = 3,O3F.
Firgo c debito minor.
Ponamus b = 3OF: Tum C =3, 2392; 60 = 104924; ab = 75076; b =3.
003. Frso B debito minor.
Ergo (BC SC ManEHLC) est B = 3. Or, debito minor; et c = 3. 228, debito mi-
NOT. Scd, his manentibus, BB = 9, 06OT; _ ac = 8.070; adeoque bb + ac
=47, 43 = 17. Erso b0 sic conttare non potelt, sed minuendus est, quo a a
angeatur.
25. PonC a (= 2.549, Sed = 2. 5,) = 2. 52; adeoque a a = 6. 3504; _ bc
=9. 6496, (minus quam prius:) ee quarendi lunc b, c.
POnamUS B = 2.95; Tum C = 3. 27L; _C6 =20,699; ab = 7. 301; b =2. 807:
Frso b ponebatur debito minor.
Ponamus B = 2. 08: Tum C = 3, 238F; 60 = 104853; ab = 7. 5247; b =2.
082. Erso B Donitur debito major.
Ponamus igitur B = 2. 975: Tum c = 3. 2435; 60 == 10.5203; ab = 7. 4797;
D = 2.968; ergo B ponitur jucto minor.
Scd Potito b =2. 975; et 0 = 3. 2387; (mrisque justo minoribus;) ee retento
b0 = 9.6496: erit bb = 8. 8506; e ac = 8. 1599: Adeoque bb + ac = 17.
OTOS = 17. Fr3OBC =9.6496; _ 44 = 6.3504.
26. POnC a = 2.525; adeoque a a = 6. 375625; b0 = 9. 624375.
PonamuS B == 2. 97; adeoque c == 3. 24053; 66 = 20.5020; ab = 7. 4990;
b = 2.9699.
Sed bb = 8. 8209; ac = 8. 1823; bB + ac = 27. 0032. FrCO a = 2.525.
37. POnC a = 2. 5255; adeoque aa = 6. 37875025; b0 = 9,62784975.
Donamus B == 2.96918: Tum C -= 3. 24057475; 60 = 10.507323; ab- 7. 498677;
B = 2. 969285; nimius.
DS b = 2. 969278: Tum c = 3. 24057604; 00 = +0,50T339; ab = 7.
49866T; b = 2. 9697788; aliquanto nimius.
Scd, hoc posiro; erit bb =- 8. 816028; ac = 8. +840777; bo- = ac == 47, 000095:
Freo aq aliquanto major, sed pauxillo major, quam 2. 5255. Nam
POLito a = 2. 5255 +
Frit ac = 6. 37815 +
b6 = 9. 62165 -
16,00000
b = 2. 969778-
bb = 8, 826018 L
ac =- 8. 184077. 7
L1. 600095 +
ab = 7. 408661-
18,000000
6 = 3. 240577-
60 = +0. 501339+
Saliem aa  6. 378131
b0 = 0. 62 162 Y
15. 99977+
C6 = 20. 3013331
1b = 7. 498659
17. 999998 +

## Folio 274 — 851708439:0298
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000298.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
ea  de l. 1 a 10
Cdp. LXIV
jorem accurationem OBcC.
Poruimus item, per majores laleus tent co peduxie, seet ou Plactenim
Er quidem si hoc non censeatur Paris accuratum; potuimus, pari procestu, ma-
procedere, ut modus approximandi meliUS PETCIPCTCTY.
DOluaS.
ei A P. TXIV.
De eis g Loca diverunt Ventos.
Dhanc, Problematum imperlecte decerminatorum doctrinam (quxe propter
Datorum detectum, cunc solucionum innumerabilium capacia,) spectant
ea qua Veceres rocasune Looca; ut ubi arunt aset rerou aranvouds.
Hoc cst, Problemata (Gieometrica) cum lacicudine quadam proposita, ita nimi-
rum ut solurio non ad unum alsquod punctum, auc cercum punctorum numerum
Orpote cum quaectioni lactstactum lic per punctum, quodris in quadam recta
(terminata seu incerminata,) aur in Circuli Deripheria, aut FNipseos, Parabola
FIsperbolaere curra, ecc. Qui loci ad lineam dicebaneur; et speciacim ad lincam
rectam, auc ad Circulum, (sus dicebantur loci plani,) aut ad Fslipsin, Parabolam.
Fyperbolamre, (qui c2 sonai dicebantur,) aur ad lineas adhue masis con-
Auc per punctum quodris is sapertieie (plana auE CurVa, terminata aue inter-
minata;) diciturque locus ad supersiciem; Auc denique per punetum quodris in
Solido; (pura, Cubo, LGCamide, Sc.) diciturque locus ad Solidum.
texempli Gratia; Data recta (terminata) ut AB, pun
ctum invenire, unde demissa in eam perpendicularis sit me-
dia propertionalis inter seementa datae. ITic (ut docet Ku
rocius lub inicium commentarii in spollonii conica) Cieome.
eris dicebatur Locus. Fo quod, non unum aliquod punctum
(aut certus punctorum mumerus) propolito Pacistacit; (ed
Integer Locus, (omniaque in eo puncta:) Nimirum Circum.
Ferentia Circuli diametro A B deleripei. Nam, _ d quoris
ejus puncto C, in diametrum AB demittatur perpendicularis C P, erit ca (per
3 Sexri Fuclidis) mellia proportionalis inter diametri legmenta AP, PB.
Similuer, haec altera, ibidem memorata, provolitio;
Data recta (terminata) AB, invenire punctum P, unde
quae ad datae extrema dueantur rectae P A, PB, sint inter
aequales. Duippe non unum aliquod punctum, sed
omnia perpendicularis super data punctum medium M
crecta, (urcunque in utramvis partem productae) Patil.
faciune quaelito; per 4 primi Kuchdis.
Aique illa altera, ibidem ex aliero spossonii libro ci
tata, cui citulus aranuopde ronos. (indeque, quamris liber
tic deperditus, propolirio illa conserratur;) ad hunc sentum.
Datis duobus panctis (ue A, B,) terrium invenire (ut D,) unde recta ad
data puncta ductae (De, DB,) sint in data ratione
Nam, si data illa ratio lE rario Aiqualitatis, Puncti quaesiti locus et, Perpen
dicularis recta tuper rectae (jungentis data puncta) punctum medium crecta;
Si vero, data, sit ratio Lnaequalitatis; docet (ex spottonio) locum illum cAte
determinetur, sed ad omnia intra cerrum sparium puncta se extendat.
cc jam octentum est.
Circuli Peripheriam.
Duod occationem secit huie Problemati.
datis duobus punctis Cut A, B,) circulum desctat  a lagus peri-
pheriae punctis sineulis, recta un data ductae (DA, DB,) sint in data Tnaequa-
litatis racione. Dilerre aurem dieitur Tnaequalitatis; quontam, l aequalitatis racio
data sic, non erit locus ille Peripheria, sed intinita recta perpendicularis.
H0.

## Folio 275 — 851708439:0299
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000299.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
e
A E G F B R A.
Hoc problema solrerunt Futoeius ibidem; Ousheredus in Claris (X prOp. 23.
Cap. L. XIV.
d Forte alii.
licione analycica; primo quidem, num calis duei polluc circulus; deinde quomodo
ducatur.
Cap. F9. _ Gatitaus in Dialosis pas. 45. EL (si bene memini) Carrescus alicubi:
Fxo idem (speciminis loco pro similibus alis) ab origine examinabo; inqui
e ROBF. F. M A.
Datis (in plano) duobus punctis, AB; ita describere (in eodem pland) cireg
lum D D, ut, ad ejusdem peripheriae punctum quodvis D, ductae rectae AD, BD,
sint in data ratione, in (majoris) ad (minorem) n.
IN V F S FTC A FIO.
Puta Factum ee: EF SE C centrum talis cireuli.
Tum (proxter data puncta A, B,) dacur AB recta: FF (propter datam ratio.
nem m ad n) punctum E. quo circulus eam secat Cuc quod eAt unum punctorum
D; adeoque dantur eriam A F, BE, rectae.
ea
PonatuE AF. = a. BF (= -) = B. AB(= a F B) = 5, TummX. a- B= d.
disserentix. Adcoque a- d - b.
Tom (prOPter AF. BE:: AD. BD.) est, alternatim, AF. AD:: BF. BD.
Esto:: T. V. Adeoque AD = ay. BD = bY.
Ft (quia AD, BD, non posime ese MInOreS quaM AF, BF; adeoque y non
minor quam L,) Donamus (ob commodiorem calculum) y y
e
Incelligatur a D (rbicunque) in AB (productam li opus) perpendicularis
DP. Sumptilque (ad oppolitas parres rectae AB,) AD = Ad; adeoque BD == Bd;
criansula ad oppolitas rectae AB Partes (propter aequalia latera, et aequales ansu.
los respectire) erune similia ee aequalia: Adeoque DPd una recta, bilecta in P.
a recta AB (continuata li OpuS) ad angulos rectos; in qua igitur, continnata est
C centrum: EC diameter F. C F (cujus punctum P est aliud punctum D) jacebic
ad partes B, (non ad partes A:) Secus enim B F Foret major quam A H; id est
(in hoc catu) BD quam AD; contra quam supponitur.
POnatur DP = p. PF = c. Adeoque AP = a F C. BP = B cC. (difterentia
duarum B,c; HOc CsE B = C, auFC= b, PEOUT b aut C major est.) Valores aurem
Y, en P, Cy rariabune, prout alibi acque alibi Cumitur D punctum.
Et ponacur radins CD (= CF = CF) = r. AdeOque L F = 2r.
Tum est, pP = (Q. DP = Q AD - Q. AP = a apy -8. 4 + c: = a ayy = aa
22C - 66 =) aa6 = 2a6 - 66.
MI m 2

## Folio 276 — 851708439:0300
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000300.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
E G E B R A.
ap. L. XII
DP = 2BD = QBP = b Byp = 2: b .c. = Dbpy - b.
20b bb = 000120b = 66
eB = (R DP = EP APF = 0 i2 21 - 0 -) 2Y5 - 50
Ergo (deletis - c5 ubique) a a c = 240 = bbc f 2b0 = 2Y6.
Et (transponendo) a ac - bbe = 246 = 2b6.
Et c at
BB
2a. = 26e
2.
c
de
ErgO dre (= 2r6 == a a C = 2a6) = aaC = a de (PFOPteF de = 26.) FF
dr=aa - a d.
Hoc cst, r =
e
m
EC = CD.
Invenimus igitur cum Cennum cum Radium peripheriae DD, ad cujus singula
puncta cocunt AD, BD, ut crat imperatum.
Ouodque non aliud aliquod (in eodem plano) punctum sit (Prxterquam PC.
ripheria DD puncta) ad quod coire porsunt (ab A, B, Punetis) tales recta; ta
cile demonstratu elt ex 7 primi Fuclidis. Adeoque hac peripheria, locus e (et
adaequatus LOcus) talium occurluum in eodem plano.
Si autem eadem peripheria, circa F F axem conversa, describat sphaericam si-
perticiem: lingula hujus superticiei puncta praestabune quasicum. Ouique jam
elt locus ad circumserentiam cireull, cune tier locus ad sphaericam superfiiem.
CONSTRVOTTO.
Si sumatur itaque (in AB) ut m F n ad m SIC AB aet AF: Trerumque, ut
M = n ad nn HC AE ad FC: Centro C, dittantia CL, deteripta peripheria L.DD,
Cst LOcus ImPCratuS.
E. X E M P L. V M.
Si sit m adn ut Z ad 2; sirque AB = +5: Tum eric AF = 3 AB = 3; e
BE = 2 AB =6. Et nE (3 = 2 =) F, ad 2; SC CrIE AF = 9, ad FC = 78.
AdCOGuE AC = Z7; BC = 12; L. P = 36; AE = 45; BF = 30.
DE Y E R M P N A F1O.
Y. Manisestum ellu ex Analyli; oportere rationem dacam m 2d n, este inaqua.
litaris racionem. Nam, PEOPIeE r =  a; hOc est, ut m - n adt n (seu ut
a = b adt 3) sic a (= AF.) ad r = CD: E eNet m = n adeoque m = n = O: F0-
Fet r = FC infinita. Hoc est; quae pralumitur circuli circumserencia L.D D, de
generarer in (perpendicularem) rectam infinitam.
2. Omnium, AD  BD in ratione data, brerissimas esse AE, BF: (nam, hisce
breviores, non perrinserent ab A ad B:) omniumque lonsillimas AF, BF: (nam
si forent his longiores, et in ea ratione earum disterentia major Foret quam latus
AB, ut cui jam aequatur; adeoque non possent ad D coirc: quoniam, AB F BD
simul, non minores esse debene quam AD.) Veroque calu, (breviltimarum, intellige,
ee longistimarum,) degenerat criangulum ABD, in lineam rectam; cadence
BD in ipsa AB salcem producta. Priori quidem, per replicarionem (ipsius
BD super BA) in BF: Polteriori, per explicationem (iplius BD in conci-
nuatione rectae AB) in BF.
Libet hic subjungere Problema quoddam, non magni quidem momenti, nec
magnae disticulcacis; led spcciminis loco pro ejusmodi Lurellisacionibus insticuendis.

## Folio 277 — 851708439:0301
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000301.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
A L G F B R A
PROBL EMA.
Norem numeros digitales, +, 2, 3, 4 5, 6, 7, 8, 9, cotidem sedibus in a b
Forma quadrata postis, ut a b, C, d e, f, 8, By 2 eo ordine disponere, ut
omnes friades in lingulis seriebus tranlrerlis, crectis, et decultantibus po-
it an b, cn e dn cn 5y e 6.b, 2 iem an d,8  b7 en B, e 6, fy j; icem
que an cy  et c, en 8 lint inter se aequales.
TNVESTTC A FTO.
d e
6
E. Cum Sedibus a, B, 6, d, Cy S, 8, B, i, qui ponendi sunt numeri sint, ex hypotheti
2, 293, 4, 5, 6, 78, 9: erit omnium lumna, quocunque ordine dispolicorum,
15 = x + 2 f 3 f 4 f 5 f 6 + 7 + 8 f 0. Ouod addendo patebit.
2. Cum omnes ti, tantundem line ac cres criades in an b, c,  d e, f, 8, b, 1;
quod inspectu patet:) etiam hae criades timul sumpeae, sunc icidem 45.
3. Cumque tixe tres Line, ex hypothesi, inter se aequales; erie carum quaelibet
25; uepore triens numeri 45, quod diridendo patebit.
4. Cumque triades reliquae, in a d, 8,  b, e, 1,  6, f, 1,  a e, 1,  6, C, 87
Emes singulacim sumprae, earum singulis (ex hypochest) aequales: eriam harum
Singula LUnE F5.
5. Cum in quatuor harum criadum (quod in spectu patet) an e, 1, de b, e, B, de
Cy en 8, ee du e f, reperiatur e: numerus his singulis exemprus relinquet couidem.
aequales dyactas an in e b, B, et 6, 8, et dn f; quarum quaelibet erit +5 = e.
6. Suncque hae quatuor criades limul tumpiie, 60; urpore quater L5; quod mul.
tiplicando patebit.
7. Sed et his continentur, numeruse quater, reliquique octo digiti semel singuli
(quod inspectu patet:) hoc Cst omnes norem Lemel _E POFKO C LT.
8. Cumque sInE (uc Supra) omnes norem semet sumpti 45; crunce ter sumpti,
15: Utporé 60. 45
8. Adeoque e semel sumptus est 5; mrpore triens numeri 15.
10. Erso numerus ine (centro omnium) ponendus, est 5: reliquique à b
octo dixiu ponendi in orbita. Sed, quo ordine, sic porro investisabitur. d5
TF. Reperiuntur in orbita (quod in spectu patet) quatuor (ICS anSu- S B 2
angulares a, c, 8, in Timili (respectu tocius) politu, adeoque (dum acthuc
racui lunc ec inoccupati) indisferenter sumendi: cotidenique in lateribus inter-
medii b, a, f, B, Timili item (respectu tocius) potitu, adeoque (dum acthue va-
cui) inditserenter lumendi.
12. Numerus erso ( verbi sracia) = (in orbira ponendus) ponendus est, vel in
una aliqua sedium angularium, (adeoque in earum quacunque cum indisterenter
se habeant) puta ina: rel in incermediarum aliqua (adeoque in carum quaris)
ut d.
23. Esto (R Fieri porest) F in a, sim angulari.
r4. Frso in i (ticu huic diametraliter oppolito) ponendus erit nume. F B c
ruso: ut qui cum 2, complear in a et i dyadem 10; et ambo, cum s in e, d 5)
criadem 15.
F5. Cumque jam reperiatur o in sicu angulari duobus lateribus commu-
ni 9, f. c, et 9, h, 8; e quidem indisterenter se habentibus respectu hactenus posi-
torum: Donendi erunt in eorum alterutro, puta in c, f; non quidem P, aut 5, aut
9; qui sedes sias jam nacti sunc; quoniam, cum novem disici line (ex hypochesi)
rocidem distinctis sedibus ponendi, non porest idem numerus duas occu-
pare: Sed neque 8, aut 7; quoniam O cum uirOris HOEUM nUICTUI F5 Su. FB 4
verabie: Sed neque numerus 6; quia 9 et 6 cum quoris certio Tupera- 4 5 2
buINCL5. FrSO, Si ullis ponendi essent in c, s, numeri (qui soli super. S B d
Funt) 4, eE2.
26. Sed neque sic tieri potest; Tum quia, eodem argumento, iidem forent in
h, adeoque binas sedes occuparet uterque, quod (per jam dicta) fierinon de
bec: Tum quia, POSito utOris, DuTA 4 inC; non supperis numerus in b ponendus
qui cum 4. _ F (nedum qui cum 2 et Y) compleat F5, quod oporcuit.
27. Cumque eadem pariter arguentur, quocunque alio sicu angulari DOnatuE F:
contlatnumerum c non ponendum elte in cuu aliquo ansulasi.
Mm 3
28. Filto
apante.

## Folio 278 — 851708439:0302
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000302.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
+ L C F B R A.
ap.
28. F.lto jam, li tieri porest, + in sim aliquo lateris intermedio; puta in a
19. ErSO in f (situi oppOlito) ponendus numerus 9; (uc qui cum +
compleat a f, dyadlem t0, adeoque ambo cums compleant criadem 15.
a  6
20. Cumque huic o utrinque adjacent (quod inspectu patet) duo Tius S2
angulares C, 2, ponendi lune in his, non quidem L, 5, 5, 8, 7 aut 6, (ob
modo dicta,) sed, si ullin 4 et 2. Dc perinde est, uter utro lOCO DONatUT, PrOPtCF
Similem uiriusque licum respectu cocius et hactenus politorum.
2T. Flto 4 inc, _ 2 in i: qui, cum 9, complent 15.
3E. ErGo, in stibus hisce oppotucis, 6 ins; e B in a. quo complem
cur dyades 4 f 6 = 10; et 8 f 2 = +0: adeoque criades 4 f 5 + c
25; d 8 +5 + 2 = 25; simulque d + x + 6 = 15
23. Supersune adhuc 3 8 7, ponendi in B. e h, complentes dya-
dem 3 + 7 = 20. adeoque complences eryadem 3 f 5. f 7 = 15
24. Ft quidem 3 in b, quo compleacur trias 8 t 3 f 4 = 25. adeo
que 7 in h, quo compleacur iryas6 f 7 F 2 == F5. ut oportuit.
25. Paria prodirene, si ponerentur 2 in c, dt 4 in L. Ouippe cum vo.
nendus eller B in s, de 6 na; de conteguener  in b, de 3 in b
38. Cunquie paria arguerenur, eildem passibuis, s numerus c, qui jam ponitur
in an poneretur in alio cujutris laceris loeo intermedio b, f, aui h, (ob limilem
omnuum licum respectu cotius,) Careraque qua inde limiliter conlequerentur: Con.
Aruclio Patet. Nmicum
cON5 F RVC7 +C
Si ponatur s in e (loco omnium medio:) e x in cujulris laceris L0c0 6 F8
intermedio; eigue ex adrerso numerus g: e huic utrinque 4 ex 2; e
his ex adrerso respective 6e 8, e cundem 3 inter 8 et 4, acque 7 inter 2 9 4
6_ 2: res tora ex voco succedet.
SOHO L. YV M.
Pariter procederet si sumeretur inicium a quoris alio horum numerorum, in orbita
Donendorum. Cum hoc salcem discrimine: Nimirum, si ordiamur ab F, 3, 7, auL 9
(numeris imparibus;) repexientur illi, non in sicu aliquo angulari ponendi, sed in
cujulvis laceris loco incermedio, (uc speciarim de x jam oltensum elt:) Sin ab 2,
q6, auc 8, (numeris paribus) ordiamur; reperientur hi non ponendi in alicujus
lateris loco incermedio; sed in angulari quoris. Cateraque pari ordine prolequenda
(Plurague HMMOaL BTOBlemata, apu DI CM LCPCLIad.
Necmulcum his absimilem fuisse suspicor methodum Analyseos apud reteres;
pro invellixandis Problemacum solucionibus.
Sudd sam inreltigando prosecuri sumus sumpio inicio (LIL S L2.) d MMICtO L:
ut prius; proutres ipla diriger.
Lempla Locorum alia.
lectionum Machematicarum Lib. VII. AoI de his agituT.) Fc apud
 Franciscum Schoolemum, i dectionibus M)ceutlo  1657 Calls,
(Inter quas est quae dicitur Apollonii Pereaei loca plana restituta:) acque, actuie
cutius, in Commencariis suIS H a Cat cat Cto. alO 16+9; 1
quorum
Viusmodi txempla plura, habentur apud Pappum Mexanarinum Col-

## Folio 279 — 851708439:0303
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000303.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
pan1
cncus
Cap. L. XV.
A l le l  l 11.
quorum iterata cditione, anno 2659, Tubjunsi Pa5. 235, ex meis unum, quod
dit le d me accepisse anre tres annos, (intellise, antequam ea seripsit, sed plures
aurequam ea estent eypis edica,) in Epistola nimirum ad illum scripia P eb. 25, 2652
(Scilo Anglixe) responsoria ad suam Jan. 6. (Scilo noro) scripram. Ad hunc
lensum:
D R ODL E N A.
Deso cireulo (cujus Centrum C Racus A; Punctoque A ubivis in eodem
plano assienato (sive intra sive extra datum circulum,) per quod transeat recta
circumferentiam secans in B, D: Invenire punctum F. (aut etiam talia quotli-
vet,) per quod si transeat recta secans eircumferentiam illam in L, M: Quadra-
rum distantiae AF, aequale erit vel summa vel differentia Rectaneulorum LaF.M,
HIOC Ct, D A F == L P EMI F E BAD.
649.
CONSFRVCF1O.
praectabunE quaelCu.
Si Diametro AC, describatur circumterentia circuli AFC, ejusque LanBENS PAF
perinque continuata intinite: Singula hujus Circumferentix e Pangeniis puncta
Nempe; Si A Sc intra circulum datum; _ P in
T. AF. C, circumterentia ducta,
(OLEM = LBAD.
2. F A C, tangente intra 7 circulum LTuMD AF = Z C BAD = ∞L. FM.
3. FF, Cx F, cangente extra S datum;
Si A sic extra circulum datum; ee F. in
P AF, tangente descripta,
CGBAD FGL BM.
5. F AC, CIrCUISCTENITA exIa Z circulum L cuM B A F. = Z = BAB = ∞ L. F. M
6. FCC, circumterentia intra S datuu
GBAD + GL, EM.
(∞L EM = = BAD

## Folio 280 — 851708439:0304
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000304.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
260
A L B L. B R H. Cap. L. .
Si altignetur A in ipsa dati circuli circumterencia; perinde est ad urrumvis ca-
Cum referatur (ubi inera, vel ubi extra:) Et Similiter li actisnatur A in cenro C;
aut Ti R. in circumterentia vel cenero circuli dati, vel cum A coincidat. Onippe
nulla hine evenit variario, vel in constructione rel in demonstratione, a calibus
expolitis; nili quod magnicudinum aliquae cranelcant seu in nihilum degenerent.
Sulticit igitur hos sex calus memoratos demonstrare.
DH M DHSLKAL1O.
Recta AC, F. C, (produerae) Secenc circumterentiam dacam, in HR, S P. Tum,
In primo catu,
OLFM = (∞SF F2
DVR FitCO,
 BAD = (GTIA R~ = BB BACO=) GR DRC HALC, d, 5C2
ErBO EL. AM = ∞BAD
In secundo catum
G BAD = (DTTAK
AAF.
I FM == (∞SF: T. =ck- oL CS eRL,
FxGO EBAD = ∞L F M
In certio casu,
GBAD = (= HAR
DLFM = (∞SF Td -BFC -BR
treO GBAD F GL. P.M
B AF.
a 35C3.
534
E L
dy 36C3
en 6C2
DR - B A CD.
IDR -AAC
)02C tOAC= CK.
OAL
Tre quarto catus
∞L. F. N =
GSF. Y0
=BAD = (L HIAYd-
CIB GL.RM = EBAD
2R
DAF-
A
BAC - ARC.
AF.
= ARC.

## Folio 281 — 851708439:0305
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000305.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
C ap. L. XV.
In quinto casi
GBAD = (GHAKO =BAC =BRC =) DAE f BE.C -∞H.
DL K M = (∞SF Td =
Ergo EBAD = GL FM
In Sexto cali
OBAD = (BHAKO =RAC = BRC =) OAE + GK. C - BRC.
DL EN = (~SFF2 =
ErSO EBAD F GLEM
Ouod erat demonstrandum.
ettu Udode
AL.
Si autem jam supponatur, Planum hoc integrum circa AXem AC (continua.
cum) conrerti: tum punctum quodris in AFC sphaerica Superticie, e in F. AF
intinito plano cansente, similiter praestabit qualitum. Adeoque, qui anre fuit
locus ad Circumferentiam Circuli e Rectam Tansentem, jam tiet locus ad Super-
ficiem Spharicam e Planum Tansens.
Aliaque multa, ex eo tempore, tunt edita de Locis Geometricis; praelerrim in
ordine ad Aquationum Tolutiones Greometricas, carum que limires decerminandos:
Oux apud eos conspiciantur qui de Limitibus Squationum Scriplerunt.
Figo salrem duo subjungam, (alterum de Parabola, e de Hyperbola alterum,)
e ex urisque compoticum.
PR OBE E M A.
Data recta terminata FO, punctum S invenire (seu ralia quoslibet) unde in
daram (productam si opus) demissa perpendiculari S X (trianeulum faciente
Rd rectaneulum, rectarum FS, SR, summa vel differentiam aequet ipsam F0.
HOc cstu FO = FSLSR.
CONSTRVCFIO.
Esto F Focus parabolae, FO ejusdem ordinaca, A vertex: singula curra puncta
practant quaelicum. Nempe, s si S supra O, erit FO = PS + SR: si intra,
exIt FO =FS - SR.
DE M O NSPR A FIO
Ponatur enim. Parameter seu Lacus rectum I; erit
orso (ex natura Parabolae, ejusque FOci) AF =
HO = 3V. PONatIE FD (= = RS) ==a; EEDA (= PA
FFD = = I Fa) = e. FrIt erGO FR (=- D6) = V et
=V:  H = ab. Adeoque FS9 (= F R9 F SR9
=2 II = a I F aa: Ejusque radix FS = 3l = a. HIOC CAt,
FS = = I - a A sic S supra O; adeoque FS = SR
ZY = FO: velu AIS sIt intra O, FS = 31 L a
adeoque FS =SR = =l = FO. Priique Jocas ad
Parabolam.
Ouod si supponatur, cirea FO ut axem, convecti Planum: erie locus ad ju
persicrem solidi parabolici. Ouxe superticies, erit conrexa, quatenus ab ASO
(Tupra FO) describitur: Sed concara, quatenus ab OS (intra F O) deteribitur.
Idem comtinget facta convertione cirea axem AF: Nisi quod, cum, tota Cuper-
Ficies descripta, Futura sit Conrexa: FF PrO FO recta (in quam caclat perpendieu-
laris FR,) Substimendum sic FO planum, convertione rectae factam.
COROLL AR PV M.
Si contideretur FSR ue lemillis triansuli aequieruru verticet habentis :
Haec omnia criansula aequierura (sumpro S ubiris in superiori sesmento AO)
erunt
A L. _ F B R A.
AEC = ERC
AAF

## Folio 282 — 851708439:0306
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000306.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
L O F B L H.
Cap. L. X1.
crunt inter Se Iloperimetra: cotulque ambitus (nimirum, Cummas batis inteela
Duod Si fumatur S in sexmenio interiori OS (intra FO;) cum ditterentia
balis et binorum crurum (tumirum, duorum crurum excectus lupra balin) exut
PR OBL E N A.
Dato quadrato seu paralleloerammo AF RV; invenire (sub eodem ansulo
AF R) paralle loerammum Ld (seu talia quollibet) aequale dato.
CONSTRDOTIO, ET DEMONSTRATIO.
TnETa ASyMPEOLAS F A, F R, describatur (Dex V )
hyperbolâ VS. Singula hujus puncta praestane quae I
tum. (Nota enim elt hyperbolae aftectio, quod omnia
inter alympiocas ee curram inferipta parallelogramma
Punc inter se aequalia.) Fsque Locus ad Byperbolam.
Duod titiat plani circa ucramris alymptotarum con-
vertio; exit locus ad superficiem solidi hyperbolici.
OROL L A R FV M.
Si anontus A F R sE rectuS, _ (ducta diagonali FS) ConsideretIr F S R ut se
mistis crianguli aequieruri, verticem habentis f: Ilac omnia triangula aeguierura
erunc inter se aequalia. DEpore aequalium criansulorum dupla.
COR OL L A R IV M.
Ex horum Problematum proxime memoratorum Lo-
lutione, hoc sequitur Corollarium: Si sit Li, focus pa-
rabola, e centrum hyperbola, se mutuo in S V in
cersecantium; Fantque FSS, FV v, triangula aequi-
crura: crunt ca (proprer hyperbolam) aequalia,
e (propter Parabolam) iloperimetra. Ouod primus
ini intinvarit D. Christophorus Wren, Eques Au
ratus, Altronomix dudum Profestor Oxonise nune
Cumque ad cundem Focum duei poltus Parabolae innumerae; atque ad harum
singulas intinieax numero LIyperbolxe, quarum cenera sinc idem Focus: hinc patet
rarietatem esse posse duplicirer intinicam, binorum ejusmodi criansulorum xequieru-
rium, qua de aequalia line et iloperimerra: idque inrariaro puneto F, aut FSI
plano, siture recta P A in eo plano; quorum incerim lingulorum variatio intini
iam achue rariationem inducat. Sed et haec porro intinities achue rariari vol
Tune, si omittatur ea conditio, quod sint aquierura. Ouippe cum nora semi para
bola, cum nora Lyperbola, noras achue portiones exhribebunt (ex oppolita recta
perpendicularis L. R parte) hujusmodi criansulorum aequalium et iloperimetorum,
ucur nod aequierurium, intinities rariatas.
HTuc spectac Problema illud quod narrat Franciseus Schootenius lin Sectionum
Miscellunearum duodecima, anno L03) Culcarum,) Parisiis Tuiste publice propo
SituM, ANNO 1633. (an. 1634,) acque d Cartesio Tolurum. Invenire duo trianeula
aequierura ejusdem areae e ambitus; sed cum hac porro restrictione, ul eorum sin
sula latera e perpendiculares sint inter je ut numerus ad numerum. Oux quidem
conditio, restringic quadancenus quaestionem; sed non ica determinat, quin eriam-
num Capax (IL SOLUTIOMUMI innumeraruM.
Solutionem hujus Problematis subjunsit IBldem Schootenius, ad mentem (credo)
Cartesii; Onam ipsam (rerentis cildem licerss Cymibolicis) ad luam methodum
TCCBIE Pellus (ABBCOId Ila loblematEZZIX,) ee tusius prosecutus, cst. F.8O
candem, paulo concractiuo, ad Pellianam mectodum hic extubeo.
et duorum Crurum) 2FS = ZSR =2FO
2F5= 25R = 2FO
Editiciorum Regiorum Generalis Supervilor.

## Folio 283 — 851708439:0307
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000307.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
A L G E B R A.
EAODEEM A
Invenire duo trianeula aequierura, ejusdem Area e ambitus; quorumque sin
eula latera  perpendicutares sie dini sn nordo an seherum.
Pextumo, utnotum: Duo Frianguli Rectanguli latera sint inter se ut Numerus
ad Numerum; ponenda Tunc, uc Duorum numerorum quadratorum, Summa, Ditte
rentia, ee duplum (ut Laceribus Rectangulum. PUta, aa = bb, aa - bb, 2 ab;
seu tek + d au kl = d dn 2R d. Quapropier ic Donuntur, A. qu. Y, 293; 6,7, 8.
a= 2
6
TT ve
X=
13-
7T4. XF5
8, C4, 25
) +)AB(= c) = aa f 3b.:. AB9(= ec) = at = 2. aabb f 3
2 AD(=f) = 2 ab: AD4(- Ss) = 4 aabb
3BD (= 5) = aa - bb: BD9(= es =) at -- 2 aabb + B1)
4 AB. F AD(= e + s) = aa f 3b. + 2. ab = = Ambic.
5(ADTBD (= (8) = 22b -- 2ab3 = AreK.
SperFie.
6FC (=)) = kL + ad :: F69(= 11 = v + 2 Redd f d
ZFF (= m) = 2kd: FFI9 (mm) = 4 te k d d
SCFI (= n) = k ad: GFI9 (nn) = P - 2. ka d f a
oFC. F FH(= 7H m) =k t aa + 2td = ; Ambit.
TOFFTX OLL (=mn) = 21 d - 2 kd = AreX.
T2 aa. = Bb + 2 ab = k = dd + 2X d
122a3b - 2ab = 2. ked - 2. keas 5 Per Pcobl.
13a + B = k F d
14 2. = _ = R: aa. = 2 ar F ~x = kR
25b = N = d: bb - 2b∞ + X X = adt
26FLI (= 214)-2ab 2ax + 2B∞ - 2~X
+rGFH(= bk- ad) = aa BB + 2ax L 2B∞
e pec His.
26n 27, 18F FCH = 2a2-22  + 6a B ~- 6aax X 2ab + 6abb r. - 2b. r + 6bb. X. V
70, 12
= 4 a43 - 4b∞3 = (242 a - 2ka = ) 2 a b - 2ab.
12 - 18 (c9 aav f qbe + baata  60ba v. + 2a v. + 2b. 1. - 6aabs. - 6abb 1. = 0
19-:: + ax. + 4b4 20 ~X + 3as = 3b X + :aa - 2ab + : bb =0
20 = (2T ~~ + 3aX 3b2 = 3aa t 2ab- .bb. Erso (complendo Ouactratum)
ea  T4 ab f. bb
22 vo sesta + ; a - 1b = LY ac + 14 ab. +bb = V. na + 24 ab + bb:
NN2
Sniver.

## Folio 284 — 851708439:0308
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000308.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
284
ce L b L A.
ap. LLLV.
Univertalet Radicem Afsirmativam hic prolequitur Sehoctem
us; e negaciram nesiisH. Pellus etiam Lecativam prolequitur:
Sua pro a lublluuemus v, in lequentibus.
30
V: aa F c4. ab F bb:
a + 3b - Y: aa + 24 ab + Bb.
Cumque Tic aa = x4 ab f 3b = (aa f 2ab. f Bb -) 8. a. f B: POnaIUS
26V: aa + 24ab + 6b: = a + B + C.: - V: aa f +4 ab + Bb:  - a B - c
27 ac + 2 ab = bb + 2 ac + 2bc + c6 = aa + F4 ab + bb
282.bc + 66 = +2. ab = 2 ac
2 bc-  66
20a=
12b - 2C
30aa =- bb = 0: aa = bb: a = b = 0.
3E Onilibet erso numerus pro B ee c Tumi potelt modo a extureat
major quam b. Clactenus Schoorenius. Pellius limicacionem (ic Fere
prOlegLItIE.
2BC cC
32 (2B - 25
20
332bC. + 66 = 126b - 2b0 - 0. : 12bb = 2bc: 12b = 2c : b = te: 26 = 5.
344. bc +50 = +2 bb: Complendo Ouacratum
34 C. 8. 35 +bb = 4. b0 + 66 = 16Bb
362.b f 6 = 4b: 6 = 2.b.
376 = 2 b= Z6.
38) Cum erso, ab initio, quaTITA SInE OLatuOE a, B, L, d. Data vero
nonnisi duo (quod quaelica triansula line cum area tum ambitu
aequalia): postunt (manente a adhue quaerenda) Tubstiti b, c,
pro arbirrio, dummodo litc = 2b = 36. FreO
39 Sumpro, pro B, numero quoris; Tumendus csE c, major quam
2b, sed minor quam 6b.
10 Sumpco, pro c, numeco quoris; tumendus est b, minor quam i C,
Ced major quam 56.
Posteriorem valorem x, quem (distinctionis gratia) nos y dicimus; neglexerat
Schoorenius, (ut qui pro Base extibCreE quantitarem negatiram.) Sed Pellus e
Sumit. Indeque pro ke, d, novos ralores exhribet, quos nos L, un dicemus. Ferrium-
que conticit triansulum, in quo, prO FC, FFI, CiFT, Tubstinemus P O = p, SP ==9)
S =r. Ouod, cum semi balis g prodeat negatira quanciras, sieu inverto ponen-
dum judico, (propter contraria signa Balis _ Alcicudinis): auc etiam ut triangu-
lum bitidum, cujus membra diverso lieu ponantur, crura e balin habens altirmari.
ran sed alticudinem nesaciram: Sed prius praetero. Ouo quadanenus exhibeamus in
tigura, quod extribet (in analy (1) quanciras negatira. Cumque Crura et Balis contra-
ria habeant ligna: Semi ambitus, hoc est unius cruris de semi haleos agpregatum.
erit (hoc calu) caucundem ac, seclusis signis, eorum ditterentia; Peu excelliis cru-
ris supra semibalin sectulis signis.
Focumque hocnesorium prolequitur Pellius per multa Folia; novamque de syo
solutionem Luhjicir ejuldem Problemaris, Probl. ZXX. Tertiamque ejusdem, Probl.
XXXI, Led ablque hoc quod lacera sine commenturabilia. Singulisque multas inse.
ric Tabellas, pro Colurionibus plurimis expedice exhibendis in numeris non adeo
magnis. Oux, hic omilta, quarat apud cum qui haec deliderat.
Libet tamen hic subjungere (quam omitrir ille) Probarionem in Speciebus, unde
pateleat numeros sic sumpros, criangula aequiccura extibere ejusdem tum AreX
cum Ambicus.
Sumpris,
2
2
12b
83 +
3C
=

## Folio 285 — 851708439:0309
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000309.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
Cap. L. XV.
A L G F B R A.
Sumpris, nimirum, pro arbitrio B, C, sic limitaris ut docetur AP quat. 38, 39, 40. Caetera
sc procedunt.
20 HA = EBCHCC. B = 12BB -- 2BC , C. = 1 2DC = 2CC.
T2B- 2C
24, 26, 4 2 42X (=.
25, 26, 4 7 43) 2 (=
12 B = 2C.
T2B = 2C.
3a. + 3b + a = B. Fc, 22BB -CC.
22B - 2C
3a. + 30 + a - b - 0)6BB - 6BC - : CC.
24,4. , + 2 4+ R (= a + x
24 4. C 3) 45)F (= a +)
15,+ E, 12 46D(= b -.
25,4E, 13 47V (= b -)
4. 29 42 4348
E2DB F ZDC
22B = 2C
6BB - +BC F = CC
+2B = 2C
2BC. L CC
12B = 2C
6BB F 4BC F ZCC
+2B- 2C
126 -2C
A = 2BC f CC. X = +2BB - CC. Y = 6BB - 6BC - = CC
1 45, 46) HoC est, B = 12BB - 2BC. R = 12BB + 2BC. T =6BB - 4BC: + : CC.
1.
C = F2BC - 2CC. D= 2BC + CC. V= = 6BB F ABC f ZCC.
Cum communi denominatore 12B = 2C.
40 AA =gBBCC + ABCB + C. AA FBB = c4+B, 48B. C. t SBBCC ] +BC5L C1.
BB--14+B.- 48BC. + +BBCC. AA- BB- 144B, + 48BC Y ABC3 + C+
2 AB = 48BC F I6BBCC - 4BC.
Cum communi denominatore T44BB - 48BC + + CC.
SOKK = 141 B f 48B.C + ABBCC. KK + DD- 141B + 48B.C. t BBBCC- ABC fC
DD-- +BBCC ABC fC. KK DDF4AB + 18B.C, Y ABC- C+
EKD = - +8B. C + 20BBCC + ABC. Cum eodem communi denominatore
57IF = 36B. - +8B. C + 22BBCC 4BC + : C.. LP L WV = 72B. + 44BBCC+; C.
VV = 36B3 f40B C ] 22BBCC ] +BC +. (+. YT VV = 96BC 8BC.
eTD = 72B, -2OBBCC +; C. Cum eodem acthue communi denominatore.
1505+52AA + BB f 2AB = KK + DD f EKD = FF + WV + 2 TV = ; Ambic.
19505
= r4+ B. F 24 BBCC F Ca. Cum eodem communi denominatore.
532NB - 2AB, (= A A - BB in 2AB) =ZK D- ZRD =2FO-2TV3 = Arex.
= - 6922B C F 1344 BC3 f TT2B.C =4 BC. Cum denomina.
lore 20736B - 23824BC. F 3456BBCC -38+B0 + 16C.
Frujusmodi trinorum Friangulorum mulca Dellius extibet specimina; quorum deseri-
bant paurea. Obi en hp, est crus; F,m, 9. semi balis; s, n, r, alicudo, in suis respectire cri-
areulis: et a b; d; ce; altumpcorum quadratorum lacera; Dura au = bb = e; ec in
religuis similiter.
8
29
203
677 705
6082
802 - 8c
d8 2C
[278]F201X02
386336]590, 2
3
23:
709(660]259(22 231112  2153(2((14043 )= c2531 148077
Oui plura Dec apa Lem Bide quaerat, Pa5. 266, 267. Primum horum cum Schoo-
seni are. Carcesii numeris coincidil; quanum ad duo prima EiaBUa: tertium rero trian
sulum hi nesligune.
n
FA

## Folio 286 — 851708439:0310
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000310.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
Est urique 29 f 20 = 37 = 72 =562 = 75 = 43, sene anbitus.
FF 2OXZF = T2X35
2X56 ==420, s
a.
C
est Negatire, criangulum inversum repraelentans, proxrer cerla ligna Balis e
 G E B R A.
Sed Area tercia interprecanda
Alicudinis.) Ex in carello pattut. Alque ae AIS Mactenls.
LL L. L V
De Quadratis Nesaltos, corumque Radicibus dictis
MaemaruS.
FTperius, in Solucione quarundam Aquationum Ouadraliearum de Cytier.
rum, tacta elt menis de Quadratis Necativis corunque Radicibus Tmasi-
nariis dici solitis; Plotu contradistinguuntur Radicibus Realibus, sire aftre.
macirae hae sint sive nesatirae. Sed quorum pleniorem cractationem in hunc lo-
Elxe quancicates Lmaemarlae (ex Tuxposita radice quadtrati Necarivi oriuncae,)
reputarteur indicare (quoces continsunt) provolicum catum Impossibilem cse.
Duod _ verum etu secundum primam Prietamque nocionem rei proposicae.
Fieri enim non porest ut numerus aliquis (sire astirmacirus lire negacirus) in se
ductus, conticiat (verbi gratia) = 4. Ouippe lieno. similia (sire linc f Cive -)
semper conticiunt ; adeoge  4.
Sed e ommino impossibile est, quancitatem ullam (utut non sic negatirum
quadratum) necasivam esse. Impostibile enim est ut ulla maenitado lit minus
quam nibil, aue ullus numerus, paucior quam 0.
Nec tamen est ea suppolitio (quanciratis Hegatirae) aut imurilis aue absurda:
modo recte incelligatur. Ouamris enim, quoad puram Nocationem Algebricam,
innuere rideatur noca - magnicudinem qua minor sic quam nihil; cum tamen
Phylicam subit considerarionem, magnicudinem non minus Realem denorat, quam
ipsum F; sed sensu suppolitioni contrario interpretandam.
Verbi gratia: Si quis promoveri suppOnatuF (DuL ab A ad B) 5 pasTibus;
atque tum retrOcedere (d B ad C) paltibus 2; aique cum interroset quispiam,
Ouanto promorior Tir (in C) quam ubi fuerit in A. Dicetur 3 Pallibus promo.
cum rejecimus.
LIOr.- ETOpteL 5
Passibus 8; aEgue cum interrOSCF quIS, a (In D) promocior quam in A:
respondebitur -- 3 pasTibuS, (DrOPter 5 =8 = =3.) LOC e, 3 pallibus minus
Promotus: Duippe hoc incellisitur, cum promoreri dicient passibus
Ouamris enim, Atricto sentu, non pottit esse spdctum quod lc cribus paltibus mi.
nus quam nihil: adeoque, quantum ad rectam AB prorsum, calus sic impossibi
lis. Si tamen (concra suppolicionem) incellisatur, ab A, secta illa continuata
retrorsum; reverietur, 3 passibus retro ab A, punctum D, c quo (quali pror-
Tum) quarebatur. Adeoque, processisse passibus = 3, cancundem cst dc 3 passi.
bus retrocessisse; sire minus else promocum 3 PassIOHS quam ubi fuerie in A
Adeoque quaestioni non cancum respondetur Nesare. Non omnino este
(quod supponebatur) promoriorem: Sed porro (contra Gca lupponebatur)
pallibus minus. promotum. Indeque, Punctum Do s catur, hoc
calum responso = 3; quam, calu priori, responso. f 3. NOn qui prorsum
Sed retrorsum. Veroque scilicet modo designacur, in recta n CCLLIII pun-
ccum, ec quidem unicum. Similiterque continsit in aaIS omnibus La
ceralibus dictis, ut quae uniex radieis tunc capaces. Qdd ee communiter admicri
Tolet abique Tolaecilinio.
Si autem, postuam procelterie (ab A ad B) 5 paltibus; retrocedat (a B ad D)
u.

## Folio 287 — 851708439:0311
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000311.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
Cap. L. 4V II.
A E C F B R A.
Ouodque in rectis admiti solet lineis; pariter ee in Planis suxerticiebus (ea-
dem ratione) admitti debet.
Verbi gratia: Si lupponatur nos, uno in loco, d Mari lucratos cAe 30 (quas
dicimus) Acras terra; abstulisse autem a nobis Mare, alio in lOCO, 20 ACraS
Ouaratur aurem, Ouantum, justo computo, censendium sit nos lueratos esse :
Respondebitr, 50 acras, (Cu -F 1O, (PrOPICF 30 = 20 =-TO:) sive (quod tan-
cundem est) Perticas quadratas 1600. (Ouippe Rectangulum 40 perricas lonsum,
ec 4 lacum; hoc est, 160 pertica quadracae; Anslis censetur Ara LerTX:) adeo
que ACra FO, Tunt percica quadrata 1600.) Quod quidem spatium, si qua
drata forma jaceat, lacus habebit 40 verticas lonsas, auc etiam (si admittatur
radix negativa) -40.
Si aurem jam certio loco auterat Mare Aeras alias 20, idemque quod prius
interrosetur: Respondebitur, Lueratos nos ese = TO ACrAS (PFOPTCF 30 = 20
20 = = 20;) seu 20 aeris minus quam nihil: Peu = 1600 perticas. Ouod
tancundem ct ac nos perdidisse 20 acras, seu 260O perticas quadratas.
Acque hactenus nihil nora disticultatis obortum est, praeter id quod ante
acciderat, (supponendo quantitatem negaciram, scu minorem quam nihil;) nisi
quod V 2600 ambisuum sic; pollicque ret de f 40 vel de = 40 expOnI; AM
utriusque quadratum erit 1600.
Jam vero, si suipponatur hoc spacium, = 2600 perticas, Peu 160O perticas de
perditas, quadrata torma jacere; annon habiturum elt lacus quadraricum Lt, (I.
quod habeat, quodnam exit Cerre, nec erir f 40, nec --40; nam horum u-
crumris quadracum exhibebit f 1600, (nOn = 1600.) Sed potiuS V = 1600,
(radix suppolicicia quadrati negatiri,) Ceu (quod tancundem cst) FO V = 26, vel
20V - 4 aut 40 V
Pariter; Plani Negaciri puta = BC, radtix quadrarica est V =Bc. NTam.
prout nec b nec c diridi poltunt in duo componentia aequalia, quo ex liea (quod
aiunt) eximantur; ita nec potelt signum -; adeoque omnibus pratisenda est
noca radicalicatis. Ouod et jam olim fecerat Tharriotus, cum plani negaciri
adddad radicem tacie V = daddda; ue jam supra ostentum est, suo loco
Ouo calu, V innuet mediam provorrionalem incer Policiram et Negaciram
quancitatem. Nam prout V bc Genificat mediam proportionalem inter ( b et Lc
auE etiam inter = b e =c, (quorum utrumris, mulciplicando, Faciet L BC:
ita V = bc sisniticabit mediam proporcionalem inter = b et - c, vel inter = b
ec =c; quorum utrumvis mulciplicando faciet = Bc. Et hoc quidem, quan-
cum ad considerationem pure Algebricam, veram exhibet notionem Imaginarix
Radieis V = bc.
For Lde in Creometria
Jod diximus de V = bc in Algebra (ut meclia proporconalt inter quanti-
tatem policiram et negacivam) pocelt eriam Cicometets decommodari.
Verbi gracia. Si lumatur AB
=b prottum, et AC = F c cursum, in
Code PlaHO, et A Gua ab hIS concinetuT
quactacum scu sectatz ulum, BC =. + b0;
DEOPTeE MMILIa Bona in F: Similiterque
SI TimanEUE (LitibuS ContrariiS) AB =
retrortum, et A7 = -c deortum; erit qua-
deatum Ceu rectansulum B7 = = b6, (prO-
pier ligna adhuc Limilia, = I =,) led
Ticu diameltice COnTraTIO.
Si vero lumatur AB = = b (ut prius)
prortum, sed A7 = - c deortum; erit By
bc (propier concraria signa F in -
Titim

## Folio 288 — 851708439:0312
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000312.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 70 lines, status machine
l F C F B _ A.
sicit Guidem, non diametrice contrario, led subconcrario; Prortum (ue prius) ab
A, led deortum: similiterque li Lumact AB = --B recrortum, et AC
(i Prius) Curtum; exit BC = - b6 (proper contraria signa - in F) licu irem
Ciibconerario; Tursum (uc prius) sed retrortum.
Flabetur itaque (uccunque sumantur a, B,) Ouadratum, Peu Rectangulum, (in
eodem Plano) reale: Attirmauirum qusder s ligna sine Cimilia; sed siuui diame
trice concrario ( sic utrobique =, illi qui foret si urrobique f: Nesatirum vero
acnmilia; e situ subeoncrario; eltpe, tes prortum sed deortum, vel Turlun
led retrortum.
CuP. I XVII
Verbi pratia; Si prorsum ab A Sumatur AB = f B.
de prorsum adtue (in eadem recta) BC = - C: TIE
que AC (= AB F BC = - = B F c) diameter CIF-
culi: erit sinus rectus, seu media proporrionalis,
C= V=
Sin retrorlum ab A (adeoque cum contrario si3nO)
Sumatur - AB =- - B; ec, a B prortum, BC = + c
manenre eadem circuli diametro AC -- - AB L BC
Fc: erit Tansens, seu media proporvona-
is BP =
1
lalcem productam. Ipsumque (a cenerum O) criangulum OBP rectangulum,
quod prius crar rectangulum ad B, tiet (calu polteriori) rectangulum ad P.
quam pbelat LCalta.
Ponamus jam (majoris illustrationis gratia)
suver rectam potitione datam AC, criangulum
consticutum ABP, cujus datum sic crus alterum
AP = 20; una cum (angulo PAB, adeoque)
alcicudine PC = 12; reliquique cruris lonsitu
dine PB = L5: e quarendum sic punctum B,
seu balis AB longinido.
25. Ouaque Negatiras
POnamUS jam AP = 25, PC = F2, (adeoque AC
14+: = V8F =- + 9,) e PB = 20
adeoque BC - V: 400 - 294: = Y256 = t 16:
Punc erit AB = 9. f 16 =  25; vel AB == 9- +6
7: altera altrematira, altera Nesatira. Tidem.
que ratores plOnIbunE SI SUMatIE AC = V 8F
sed alternatis signis. Nempe AB = - 9 = 16 = f
Verum,
Idem fere conspicietur, si, pro quadratis his Ere rectanculis, tumantur medix
proportionales ut horum planorum radices; quarum itaque norus orietur carun-
dem sIcuS, prouc signa Cune Cimilia auc distimilia.
c
Adeoque V. F Bc signiticabie Sinum rectum, e V - bc Pansencem, ejusdem
(in eodem circulo) ArcuS AP; ab eodem P puncto ad candem AC diametrum
aitterentiam Fore 256 (= 400 144) = AC9
Drout sinnere libeat radicem aftirmatiran, vel negatiram. Tibet jam aftirmatiram
lumere; adeoque AC (prortum ab A)
dICamuS F 9, auc -9; adeoque vel Protum à C, vel rerortum, pro arbitrie
lumendam. Vnde duplex oricir lonsituao ccta AB; nimirum AB = +6, F9 = 25;
Attirmatira ucraque.
F
rentia C B9
Mlanifestum est (PrOPteT A P g = 400, _ PC 9 == 244) horum quadratorum
Adeoque AC (= V 256) = f +6G vel  26; prorsum vel retrortum ab A,
F 2C
Tum, proxier datum BPq = 225, _ PCq = F4+; horum quadratorum diste-
(225 = 244 =) 8T. Adeoque CB = V 8F; quam indisserente
AUE AB
Ouod si ante Tumere libuistet, recrorsum ab A, AC -  - +6: FOret AB = - 70
22.
ab A) in eadem expolita AC recta intinita
Et hujusmodi sunt A quationes omnes guadraticae, in quibus Radices Sunc RCa
les Chire sine attirmatira ambae, sire amba Resatirae, sire altera aftirmatira
altera Aexacira) absque ulla inde impossibilicare alia quam (quod in laceralibue
AF
Et in caluum horit LulIS Hadcu D punctum (aut prortum aut retrorum
item aequacionibus contingit) quod Radicum rel alcera Vet UtTaque nOnnuI

## Folio 289 — 851708439:0313
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000313.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
A L G F B R A
Verum, I ponamus AP = 20, PB = +2, PC = +5, (adeoque AC = V 775:
Ubi subductum fuerit DCg = 225, ex PB9 = 544, quo habeatur BCq; prodibie
Cap. I. XVII.
residuum negatirum, 144 = 225 = =, 8F = BC.9. (Ouod rocat Bombellius pin
di meno, plus e minori. )
Adeoque BCq erit quidem duorum PBq PCq disterentia: Led difterentia ne-
sacira, =8E: DFOPteT PC (quae minor supponebatur) majorem quam PB. LL
Triangulum PBC, rectanguum quidem, led non (quod supponebatur) ad C,
Sed adt B.
Indeque duplex (ut ance) prodibit ralor rectae AB, nempe, V 175, F V -= 8Z;
et V275, = V = 8T. Sed nora hinc emergit impossibilitas in Algebra, (PrXtCF
eam quae etiam Lateralibus aequationibus elt communis, quantitatem Negativam,
Seu minorem quam nihil,). nimirum Radicem quadraticam magnitudinis negativa:
quae stricto sentu haberi non pocest, ne suppolita quidem nesatira magnicudine:
quippe, sire supponatur ea radix nesatira, sire policira, quadratum faltem, ex
hac in se ductâ (propter similia Signa) prodiret attirmacirum.
Norague haec in Aloebra impossibilitas, parilem arguit in Greometria impossibi.
litatem casus prOpOTtI. Nempe, non polle punctum B usquam reveriri (quod
supponebatur) in AC recta, utcunque in utramris partem producta.
Duo tamen (etiam hic) puncta B designantur, excra quidem eam lineam, sed
in eodem plano; ad quorum utrumris si ducantur AB PB rectae, habebitur Prian-
sulum succedaneum; cujus latera AP PB sine qualia imperantur, angulusque
PAC; sed es imperata alticudo PC, non quidem lupra AB (quae supponebatur cum
ACi coincidere) sed lalrem supra AC ad quam Factus elt ansulus imperacus; duo.
rumque quadratorum PB4, PCq ditterentia cAt CB9.
Ex proue, in calu primo, duo ralores AB (altirmatiri) simul exhibent du-
plum rectae AC, (16 F d, F 16 - 9, = 16 f 16 = 32;) Sic hie, V 175 + V -81,
+YI
=82, = 2 V 175
Tremque, in Figura, quamvis non ipta AB AB dux rectae (quae cata primo
jacebant in ipla AC. recta) ipta tamen quibus imminent AB AB rectae ictinoera-
phica, simul aequant duplum iptius AC: Hoc est, si uriris iptarum AB, adjun
vatur Ba reliqua aequalis ee cum sua declivitate, tota AC a (punctorum A ∞
distancia) erit recta aequalis duplae AC, prour in primo catu AC. a.
Praecipuum diserimem hoc est; quod, in catu primo, jacentibus in AC recta
punctis B B, rectae AB AB eadem sunc cum rectis ichnographicis AB AB; Sed
non item in calu ulcimo, ubi B B puncta punctis ichnographicis BB super emi-
nenE, (nempe, quancum est sinus vertus ipsius ArcuS CB, diametrO P C deseripiis)
quo casus reddatur possibilis: sed utrobique a C a (linea ichmograptiica iplius
A Ba) aequatur duplae AC.
Prout 1Bitur, cum aequationis quadratiex radlix prodie negacira; dicendum
(verbi Gratia) Punctum B (PrO eo stacu) haberi non Dose (ut supponicur) in
exPOTITZ AC prorsum; posse tamen recrorlum ab A in eadem recta: Hsic vero
(ac radice quadrati negatiri) dicendum; Non haberi quidem posse punctum B
(uE exat SupPOSicum) in AC recta (vel ane rel retrO;) posse camen (in eodem
plano) Supra rectam illam.
Haec eso Tusius prolecutus sum, quoniam nova est (quantum Scio) haec no-
tio; nec viderim quomodo dilucidius possem eam explicare, aut (quas vocant)
radices imasinarias aequationum quactratiearum: quales quidem lunt quae hic
extribenCur.
Verbi

## Folio 290 — 851708439:0314
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000314.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
L G F B
Verbi gratia: Rquationis hujuS a a = 2 a V 275 + 250 =0, ladices duxe tunt
75= V - 8
et A = Y 175 - V - 81,
PTOXIME PrOPOSItO.) Ouippe si ab 175 (quacato lemi coefticientis medii ter-
mini) auteratur absoluta quantitas 256, restabit =8+: Cujus itaque radix
quadratica V = 82, addita rel dempra Le. CC, exhibet aequationis
radicem a = V 275 = V = 8F. Fodem plarC MOO quo in Aquatione a a -
32a F 175 =0, A ab 256 (quadratO TCMI-CDCIACLLMLS 1O) autETaTIF, (ablolut2
in catu primo.
D. LXV
ui lunt ralores AB in casu
quantitas) 275, restabit f 82; cujus Laca 3, aca Vet dempta coetticiencis
32 dimidio, exhibet 26 F9; hoc cA = 25 aut. + 7, qui sunc ralores rectae AB
l L. MLbHII.
ffectiones Ceomerricae his accommodatae.
Scentum est, capice praecedeme, Ouic, in Cieometria, respondeat Radici
Exponendae jam sunc, tfectiones quaedam Cieometricae ae resolurio.
nem quacratiearum aequationum speclantes, qua radices habeane (quas VOCANL)
Genuina consticurio hujumodi aequationis. aa f. b a + a = 0, haec cst. CoeHi.
ciens B, Cst. Summa duarum quancitatum, quarum Rectan
sulum est a quancitas absoluta. Quod in magnicudini-
bus haud aptius explicabitur, quam ( Aat V
A a
diameter circuli, cui accommodetur V a (=- BS) ut I.
nus rectus, seu ordinatim applicata. F.P urique haec una
ex nocissimis Circuli affectionibus, quod sinus rectus, seu
ordinatim ad diametrum applicata, est media proporrio.
nalis inter diametri (quae dirimic) Termenta duo.
PoteCE autem BS (ejuldem lonsicudinis) indisserenter fumi ex veraris parte
rectae CT cenero insistentis. Hlabemus iraque, in Diametro, duo puncta BB
(duobus in Pemicircumferentia S S punctis respondentia) quorum utrumris dixi-
mic diamerrum in duo segmenta AB Ba; quae sunt quae sica radices dux. ACIr-
macira utraque, vel utraque Nesatira, prouc in Aquarione habetur =b a, vel
Ba
Prout autem creseit rectae B S longimdo, ita provius accedit (ex utravis parte)
B ad C; adeoque decrescit C B co tnus, seu lemi differentia radicum.
Ouoniam vero BS major esse non potest quam CY lemi-diameter: Guando
igitur V a major est quam =B, calus ille, sccundum hane constructionem, est im
Possibilis.
T. Tlujus icaque AEquationis, a a FB a F a = 0, Ceometrica F. Aectio (VE CuM
casus possibiles cum impossibiles una comprehendam; hoc est, quibus a auE non
TIE, auc Hl lasor quam = bb;) talis este poterie.
Super AC a = b, bisecta in C, erivatur perpendicularis C. P = V a; Sumplaque
PB = Z b, tiac (in ucramris parcem ipsius. C. P) criansutum PBC reclangulum.
Cujus itaque rectus angulus erir vel ad C vel ad B, PrOut PB aut PC major
est; adeoque BCi erut vel sinus vel Tangens (ad Radium PB) in PC cer-
minata.
tibus sic constructis; recta AB Ba sunc duo ralores a; uterque attir.
mativis H (in aequatione) HL, = Ba; uterque negatiruS, II sIE L Ba: lunE
que sur diei solent) Reales, s rectus angulus t ad C; Lmasinarii, 
Vrroque
quadrati nesatiri in AIgebra
imaeinarias, a quadraris lezaliris oriundas.

## Folio 291 — 851708439:0315
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000315.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
nide
EAD. L. XVIII. A L G E B R A.
B B FunE qua detiBNaE AXC aGUaLIO.
In primo catu; AB a est una linea recta, cademque cum AC a.
In Posteriori casu; AB a tali ad B angulo incurratuE, ut punctorum A a di-
ctancia aequer rectam ACa; qua est linea ichnographica, in quam R ichnogra.
Phice projiciatur AB a puncta B B in subjecta BB cadent.
Si isitur, in Problemate unde haec emergit aequacio, supponatur ABa una
rectam auc punctum B in ipsa A C a recta, aut cum B coincidere, aut AC a ∞ qua
lis 20DresatO AB LBa aut aliud quid quod horum aliquod ineludat: Indicat
haec constructio, calum (sic intellectum) impossibilem elle; sed e, quomodo
remperandus Lic uc trac Polsibilis.
Incer hanc impossibilicacem, camque quae lateralibus etiam aequationibus clt
communis, haec elt difterentia. Ouando in xquatione laterali, prodit radicis va-
te
2
Lor nesatirus; cantundem est ac dicere, Non poste quidem (rerbi sracia) im-
peratum punctum B haberi (in expolica AC recta) DrorTum (VE LUPPONITUE,)
Sed Retrortum ab A haberi posse in extribica distantia. Ouando vero in xqua
tione quadratica prodir, non quidem rator Negatirus, (quod huie cum laterati
est commune,) sed (qui dici (olet) valor imasinarius (uc est quadrati nesauvi,
radix imaginaria;) cantundem est ac dicere; Non posse haberi imperatum pun-
ctum B in AC (uccunque prodlucta) quod praesimitur; posse autem (extra eam
lineam) in eodem plano haberi, intra suprare illam Lineam.
Vroque cal C au C sire ad B sic rectus angius) porest punctum B
ad utramris parcem rectae PC) inditterenter sumi, simili sti. Duoque puncta
avenque Aiquationis Ouadratiex Forma, a a = ba = a = 0, lic limplicissime
construitur. Sumpris C. A, vel CP, = 2b; e PB =V ae; angulum rectum ad
P constimentibus: FypOtenuCa BC continuata, sccabit cireulum P A a in Ra:
cruntque desideratae radices AB, Ba; inter quas B P tansens est media proportio.
nalis, ec Aa earum ditterentia sectulis signis. Sed radicum altera exponenda
aftirmatire, altera negarire. (Quoniam si AB incelligatur prortum, erit B e
retrorsum: Si illa setrortum; haec, prortum.) Nimirum, F AB, =B a C M2-
beatur (in Aquatione) = ba; sed = AB, = B a li habeatur -- ba: adeo que
Aa utriusque serratis signis aggregatum.
Fstque haec, hujus Forma, constructio maxime naturalis: propter BP (eXITa
circulum) mediam proporcionalem inter radices astirmatiram et negatiram: PrOUE
in illa alcera, P B (intra circulum) erat media proporrionalis vel inter actirmati.
ras ambas, rel ambas negatiras.
Sed haec constructio, ad hunc locum, haud spectat: Ouoniam, in hac AE qua-
tionis forma, nunquam perrenietur ad hujulmodi valores imasinarios. Nam
BP = Y a cujuseunque lonsiudinis, porest urcunque daci circuli Tansens ese:
0
2
sed

## Folio 292 — 851708439:0316
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000316.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
L. G F B R A.
ed non porest ea semper esse (quod H alteL IOTIA LUPDOHIIHL) daci circuli
Cap. T. XIX.
Impditibilis.
Ordinata, seu Sinus rectus; unde prorenit ea (de qua jam agitur) constructio
A P. Y
IX
Une _ alia qua huc reterantur ERectiones CCOMeHICa, (sed quas non
Aliae quae huc spectant Constructiones Ceometricae.
Peaeculero illi quam in peaecedente capice cradidi,) quibus imaginarii valo.
res hi urcunque explicentur: Quales Tunt quae seguuntur.
TI. Cum A quationis hujuIS a a = b a F a =0 naturalis
e
hoc utcunque accommodetur, supponenda exit CP
RereL. EL pro Co. LImW St sCl BC = V: = bb a:
(radice Oirallrari AHirmattvi) habeatur FangenS
constructio (proue jam oltentum c() hac SIC: In cir-
culo cujus radius siE CA, vel CF, = ZB; Sinus rectus
SB = V ae Secabit Diametrum AB a = b in duo segmenta
AB, Ba (qui Lut sB a Valores.) Cujus Co. FinuS
(Tcu sinus complementi) SP Icu BC = V: Z bb - a: con
cinue decreseir, prour B punctum proxius accedit ad C,
Facto V a = = b) coincidune B C puncta, ee P Y
inclinata jacere, ut (pro linu) in Sccantem dege-
ulterius crescar ae ue major tiat quam a bb; adcoque non postit este
ae linus rectus, nec CP erecta insictere quin superet T circuli verticem: Quo
Duod quile Guacatum Negacirum oltendit men-
=V: 4bb- ae radix quadrari Negaciri; co
quod sic (ex hypochesi) a major quam = bb. (Ouip.
De cale supponendum est Tansentis Ouadratum,
ubi quadracum sinus habeatur pro Actirmatiro.)
Tus Fat poltibilis.
prer impolsibilicatem) illi degenerdu.
turam impossibilitatis proxosici catus: hoc elt, Ouanio majus TII ae quam ut ca.
Adeo uc, pro Sinu et Co finu, substimantur Secans et Tangens, in quas (PrO.
= AC. = 3b, deteribatur clelo, eb (qui in calu pollibili sinus
TII. Vet idem hoc modo explicetur. Ouam-
quam V a (si major Sic quam = b) non poNTIE
intra semi circulum in eodem plano jacere: sI
tamen super hoc semicirculo erisi incelligatur
semi eylindrus, cujus alticudo lic TP=
Bb =a, (aut V: a bb =a radix Negacivi
quacrati:) CP = Vae erir (in hoc Cylin-
dro) obliqua linea cujus Fundus (Peu batis
horizoncaliS) (It CF = 3b. Rectaeque FF
quadratum exie impolsibilitatis mensura.
Duxe non alirer dittert d priore constructione,
quam
X
radioque P
elC) sach tier ejuldem circuli Lansens.
hoc reapse diltere d priori constructione. Ouipre s inibi Centro P

## Folio 293 — 851708439:0317
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000317.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
ee
AL CF
quam quod criangulum C F P quod jacebat illic in eodem plano, hic elevatur
Cap. L. +LIX.
in Cylindro.
drus secetur plano APa: F. Hipleos, hac lectione lacta
Temissis axis brevioris exit AC = =b, et longioris
CP = V ae; ejusque lupra balm eleratio TP = V
2bb + ∞: Ceu TP = V: = bb - a, radix qua
draci negaciri. Oux a priore constructione parum
distert.
V. Vel Sc. Si pro semicirculo, substicuatur se
mi-eslipLiS AT a cujus lemi axis minor CT:
semiaxis major A C = V ae (cui aequalis cA T I distantia conjusati verticis a
toco Ellipseos; est ulique, ex natura E.Hipleos E AF = F LL:) exit CF = V:
-=bb + a seu (radix quadraci negatiri) V: a bB = a. FUClas L C F quX
R
IV. Vel sic etiam. Si se Conuctus semiertin-
in Circulo coincidumt (cum Focus circuli non alius sic qutam centrum) idem
que sune, jam tiune (degenerante Circulo in FIlipsin) Pusicta CIa. Si HadCd
cur ET =CY, degenerabit haec FIliplis in Circulum.
VI. Idem sc concipiatur. Facto A a = B F.L
lipleos axe breriore, et AB =V a distantia vercicis
utriuvis d Foco; habetur CB = V: = = bb. + a,
seu (radix quadrati negatiri) V: 2bb - a. Men-
Turam exhribens impossibilicatis, seu patentem Flia-
cum requilitum quo casus deveniat postibilis. OUae
constructio non mulcum dittert a pracedente.
Casus hic haud alirer differt a primo omnium
(praecedente Capite exposito) quam uc casus parri
cularis d generali. (Ouippe CB, qua ibidem cum
basi AC a angulum quemcunque Faciat, hie exigitur
ad angulos rectos.) Et quidem constructio hac,
cum praecedencibus quatuor, ejulmodi pralertim ca-
sus respiciune, in quibus imasinarix radices dux sup.
ponuntur inter se aquales.
VII. EsF e alia constructio, non abtimilis pa.
curx a praecedentibus. Nimirum; Si SIE V a ma-
jor quam = b; adeoque non polticBS eNe linus rectus,
Teu ordinata in circulo: Si camen, pro circulo illo,
Tubstitmatur concentrica hyperbola aequilatera; exit
BS ordinata in hac hyperbola ad conjusatum axem,
Paltem procractum.
Nam quadratum rectae CB est (in hac typerbola-
non minus quam in circulo,) ditterentia quadrato
rum rectarum CF e BS (est enim, in hac Fy
perbola, BS = BT.) Hoc eltu ditterentia iplorum
bB e a. Sed BS, in hyperbola, est duarum major; in circulo, minor.
Adeoque aequatio quadratica, impossibilis facta, hoc faltem innuit; Id quod
in Circuto supponebatur, habendum esse in Fyperbola.
Acque hic quidem, quories a (hoc eAt BS4) majus est quam = bb; hoc cst
quadrarum rectae BS majus quam duplum quacrati rectae CY; hoc et, BS
recta (Teu, huic aequalis, BT) major quam P A: punctum B cadet (extra li-
mites Aa) in conjusato axe protracto.
VIII. Vel eciam (absque constructa Fyberbola,) Sumatur TB = V a. OuX
quidem conttructio, cum secunda superius tradtica, coincidit. Nam ZB, CB,

## Folio 294 — 851708439:0318
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000318.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
Cap. L. XIX
LR. Aut etiam, acdhibita hyperbola, idem sic
alias CxPONatUT. Si SUIPpONaLUE (uE PriUS) cir
culi cliameter Ae == AB f Ba (qui sunt duc
valores radicis a) quibus sic media proportio.
nalis BS ==V ae; licque BS major quam u
Postit intra circulum erecta contiltere: porest
tamen consistere ut ordinata in collaterali Fy.
perbola verrieis opposui; estque media propor
tionalis inter AB, Ba guarum aggregacum elt
AaZ carumque rectangulum A B a = B59 (nOn
minus in hyverbola quam in Citeulo:) Duoniam, cum AB major est quam A a
recta Ba recrocectio, adeoque tuc quanticas negatira: Ideoque BSq elt negacirum
(5 mediam proporcionalem incer altirmativam  AB, C
Z. Vel etiam (absque constructa FTyperbola,) Si, Pro
Fyperbola ordinata BS, Sumatur BP circuli Langens; nE
quae ipsi BS. Ordinata sic aequalis; (cA utique iptiS AB BC
media proporcionalis; iplumque BP quadracum, aequale
rectansulo ABa.) Acque cum coincidit haec construetio
cum ea qua in tine superioris Capitis exhibetur, pro. al
tera aequationis torma aa FBa - a C ==O. Adeoque A
jam sic ditterencia duarum AB Ba Sectulis Signis, qua suP
Doneretur Cumma: Auc etiam Asgregacum earum cum signis
contrariis, quae similia supponebantur: Indeque haec torma in illam alceram de-
Generat.
Paret igitur, quod in omnibus sEguationibus, sive Laceralibus Are Ouadra-
ticis, quae stricto sensu et primo intuitu rideantur impossibiles; admittenda crit
micisacio aliqua quo cradtant Postibiles; in qua quidem mitisata interpretatione
Dollunt adhuc ului este. Puta,
F. Admitendo ralorem negatirum, pro eo qui praesumebatur aftirmatirus.
Ouod aequationibus Pateralibus commune cAt cum illis superiorum ordinum.
2. Admittendo punctum in eodem plano, intra vel supra expolitam rectam;
quod in ea recta praelumebatur. Or in prima constructione quadraticarum ima-
sinariarum.
3. Adminendo Fangencem _ Secancem, pro Sinu e Co. sinu. Ve in secunda
ee octara carundem constructione.
q. Admicendo punctum supra vel intra expositum planum, pro eo quod in
eodem supponebatur. Ur in certia carundem constructione
5. Adminendo planum inclinacum, pro FTorizoncali plano. Uc in carundem
constructione quarta
6. Admintendo FIliptin, loco circuli, in codem plano. Vr in constructione
guinta.
7. Distrahendo Focos Fllipseos d Centro; qui in circulo, prae (uCbaNEIX Cum
cencro coincidere. r in constructionibus quinta e sexta
8. Admictendo Typerbolam, loco circuli. VE in Seprima et nona.
9. Admiccendo agxresatum signorum dissimilium, pro similium aserex atO. VV
in nona et decima.
In quibus omnibus (aliisque similibus) Solutio huc redit: Expolitum casum
elle, quoad rigorem, impossibilem; sed, admissis hujusmodi micisationibus, sic
construi posse.
Ouxe quidem soluriones, praeterquam quod ostendant casum expoticum, summo
rigore sumprum, impossibilem ese: ostendune eriam gractum impoltibilicaris; e
quo sublaco, possibiles cractan.
Simulque ad eas operationes, locO exposita succedaneas digicum incendunt, quae
utilia ea detesane, quae ut erat primuns propolica, non erant obria.
Hinc Cape fic, quodu ubi circulus praesumebatur, reperietur F. sipsis vel Lly-
derbola; quae postine iterum in Parabolam, auc Friangulum, aue exiam lincam
Rectam quandoque deseneTAIE; pTOuE quanricacum aliquae, quae praesumebancur,
inter
in hac, menturam extribene impollibilitatis.
O F B R A
in hac, exdem sune cum CP, T P, in illa. Aeque cum FP in illa, cum CP
quadratum, propter
Bae negativam.

## Folio 295 — 851708439:0319
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000319.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
e
Cap. IL. X L.
A L G F B R A.
inter overandum eranescune, aut in conditionem prxsumpix contrariam degene
rant. Cujusmodi calus in Geometria paltim occurrunt.
Vocum hoc totum quiequid cst quod de constructionibus seu estectionibiis Geo-
meericis jam diximus, est a praesenci negorio alienum. Ouippe id hic agitur ut
puram Aloebram prouc a natiris suis principiis emergit consideremus, abitractam
d GCOMCErIA aLGHC scelo quibus accommodari potest.
fF Quidem, prout ila commactacu, cold qua ia agllatio ctandus emer
 et imaginatio quancilatio Aecalivae. d la duaaraticis DOrTO
Racieis quadraticae quantitatis Recativa; leu mecae proportionalis inter positi-
vam  necarivam quantilatem.
C A L. LiLL.
SEquationum Cubicarum e Biquadraticarum Con-
structio Ceometrica.
Onstructiones Geometricas in ance tradicis, ut plurimum, consulto decli-
navimus; uc qua puram non cam Algebram Capiunt, quam ejus ad Cico
ametriam accommoclationem; hujutre ad illam. Cum tamen eo jam ali-
quories dixressi sumus: liber, uno adhue aur altero pastus disrediendo procedere
Creometrica construetio aequationum qua quadraticam non excedunt, incellectu
facilis est ex jam tradicis. Siquis autem eam plenius extribitam velit; Cetaldum
adear, qui de hujusmodi rebus jam dudum scriplic; aut (ne plures nominem)
quxe nuper seripsie Kersaeus noster. Pocestque hoc tocum peragi Gcometrice
Srictissimo sentu; seu (prout olim loquebantur) oDe Resula  Circini; hoc
est, solo Rectarum linearum e Circulorum deseriptione, ab sque curris ulterius
compotitis.
Si vero equatio Cubiea CE, aut Biquadratica; opus erit (Prxeter rectas e peri
pherias) Caltem Coni sectione aliqua: Sin altioris acttrue ordinis, (puta, qua ae
quincam aut sexcam poreltatem alcendar) opus erit curra masis adhu composita:
vel salcem (quod incellectum relim, quamris non meminerim hanc limitationem
ab aliis interponi solitam) pro curra sic magis compolica, pluribus coni sectio-
nibus. Ouippe duarum coni sectionum ope, construi porerii aequatio ad quin-
tam sextamre poteltarem alcendens.
Fic quidem in altioribus aequationibus, opus erit lineis masis actue compositis,
aut majore saltem compotitione linearum.
Pro aequationibus quae quadraticam superant sed Biquadraticam non excedunt.
Dro Cubicis nimirum ee Biquadratieis,) Generalem tradidic construendi metho
dum Carresius (suub finem certix partis Ceometriae sux) per intersectionem Circuli
et Parabolae. Sec, abjecto prius (oe calculi) secundo termino.
Thomas Baterus nocter, in Tua Clavi Ceometrica idem praestat generalicer (simili
Parabolae e Circuli interlectione) ab(que ca praeparatoria secundi termini abje-
ctione, (vel, si id maris, abjectionem hanc iplo opere Geometrico peraxit:) Ad
hibita nimirum Parabolae diametro quaris; ubi Cartesius Tolum adhibuit AXem.
Td cgo dudum praeltiteram (in Prxtatione ad tractatum quendam de Proportio-
nibus, anno 1657 Cditum) interlectione Rectae linex et Paraboloideos Cubica.
Sed, supposita reductione aequationis Biquadratiex ad Cubicam; hujusque ab-
jectione secundi termini.
Corsesii mechodum non repeto; upore in Creometria Lua, quae passim extat, con-
spiciendam; e qua in ea Baberi concinetur ut casus parricularis sub Bateri sC.
nerali.
Meaq exat hujusinodi.
Temma. Pratumo (uEnOTuM) A quationes Diquadratieas reduci posse ad Cu-
vicas; et Cubicas omnes (abjecto secundo termino) ad duarum harum Formarum
alteram,
R = m  -. = 1.
A 4 M a = - 1
Constructio

## Folio 296 — 851708439:0320
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000320.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 10 lines, status machine
296
ad cundem Axem inverse positarum; AL. A Communis Vertex, e LAI tangens
communis. Sumptoque ad libitum, axis aliquo pancto P; et ordinatim in seripta
BP_; hujusque tangente a F, producto axi occurreme ut L, Quod punctum com-
modistime habetur, sumpta A L = 2 AP: ) LsaC una Lra (quantum opus est
Conata) omnino omnibus utriusque forma aequationbus et Hel.
A L C F B R A. CaP. L XX.
Constructio generatis. Duarum Paraboloidium Cubicarum (ejusdem Parametri)
ca Fangente) ut v= ad hc a F, ad LH; (citd L Hn  n; ledt calla
Constructio parrieularis. Pro eatu quovis particulari exposico; sumatur (in

## Folio 297 — 851708439:0321
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000321.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
 L+ LL.
A L G F B R A.
E = n:) EE HY (axi paralleta) seCaNS, in Y, FANSENLEM TAT: FE YCC
(ipsi a F parallela) axem in C secans; e curram a A aO (semet aut pluries ut
concigerie) in O; curramque alterne politam B A Bco, in co.
Elis peractis: Ouxelihet rectarum CO (sire plures sint, sire unica,) est Xqua-
tionis in priori forma Radix; et Cco (quae nonnisi unica est realis) in Forma
posteriori. Suntque racices hae AFirmacirae, ubi O vel co sunt infra TAT; He-
sacirae, ubi supra.
5C0I
aF. FF = F C.
n
:: V= L. R sprioris
8 m
Demonstrationem non repeto; cirato loco perendam.
Eaequarionis.
Sune autem Radices GO ternae, dummodo continsit C inter A F (dux aHix-
matirae ec una negatira;) vel (sumpto x cancundem intra A; quancum est F Su.
PEa A,) inter A _ (una aftirmativa _ dux negatira.) Sed binx, quories 
cadit in P (propter duas actirmatiras in contactu coincidentes) aut in _ (proPrer
coincidentes duas negatiras.) Et binae limiliter s contingat CF in A (altera attir.
matira, altera negacira) cranescente terria, es aequatione Cubica in Ouadraticam
degenerante. Sed (realis) unica, si CE tuerit supra F (quo catu exit nesatira)
vel intra _ (quo calu erit attirmatira;) duabus reliquis existentibus imaginariis,
rectaque oppolitam Paraboloidem intactam praetereunte.) Ex Cc semper unica
(ob parem rationem) duabus reliquis semper imaxinariis existentibus; Fltque
traec unica AHirmativa, si Sic C intra A; Led Negauira, C Cupra. Ilarumque de-
terminationum rario, ex inspectu Schematis, latis patet.
Objectio. Contra hanc Construetionem Objici Polse praerideo; Duod, ad Pro-
blema quod per Coni sectionem construi pOsTic, acttibeam ego lineam maxis
Compoticam.
Responsio. At haec objectio (hoc in. catu) me non multum movet; quo
niam id compentatum est proprer adhibitam Rectam lineam loco Circuli. Unde
tc ut haec constructio non magis sic compotica, quam ubi Circulus secat Pa-
rabolam.
Duod ut explicem (quia nora videatur haec nocio, uur contideratione diena)
eso C computo. Lineam rectam (hoc in catu) astimo eanquam unius gracus:
Circulum, duorum; Sectionem conicam, trium; Lineamque uno achue pradu
magis compolicam (inter quas Paraboloides cubica cst limplicistima) quatuor:
_ LIC POrTO: Et duarum ex his quarumris incersectionem, tocidem gradtuum
AuoF Cunc simul ueriusque. Verbi gratia. Laceralis aequario (cujus radix uinica
CAt) duarum rectarum intersectione decerminatur; quae elt composicio ex F. F L =, 2.
Ouadratica (cujus binxe sunt radices) intersectione Rectae ee Circuli; puca
2 = 3
Aequationem Cubicam (cujus radices cernae Lunc) expecter quis
solrendam (pari analogia) per incersectionem duorum circulorum ( propter
+2 = 4) seu recta et lectionis coniexe (propter L = 3 = 4,) nili quod
nec circulus circulum, nec recta coni sectionem, secare poltit in pluribus quam
duobus punctis: adeoque ad hanc (non minus quam ae biquadraticam) promo.
venda erit compolicio uno adhue gractu; ut construenda sic vel interlectione
conilectionis cum circulo (propter 3. F 2. =5;) aut Paraholoidis Paliem cubica
(lineare non minus compotiia) cum linea recta (hoc est, 4 = F = 5.) Ouam
exo compolitionem (ob caulam actignatam) non magis compolitam repulo,
ouam est illa per intersectionem conisectionis d circuli. Aique hac hacte.
Bateri mechodus (propter quam hoc interponO CapuE) jam sequicur.
AIIS.
supponit ille, aequationes suus (ad Cartesii aliorumque tormam) sic de-
signari;
Cubicam,
Biquadraricam, X2. B ~. G H N. Y. N. 5 =0
Obi B, 9. 1, Sy sunc noca quancicares; x racix quaesita.
13. P N N. 4 ~. r =0

## Folio 298 — 851708439:0322
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000322.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
3
A L G E B R A.
Cap. L. XXL.
Elas omnes ille construie, ope uniex alicujus Parabola; cujus ParametC
(seu latus rectum) Ari CoMrCH appellat L. = Z; (eo Fine ut potestates
omnes iptins Y, pullam inter operandum creent molestiam;) axisque verticem
conlticuit a. Sed A, verricem Diametri cujulris (sire axis lit sire alia quaeris)
quam AD appellac, quam speciarim achibet prouc expolica aequatio postulat.
Parabolam hane secar aut tansit Circulus (cujus centrum FI) in tocidem
punctis quor sunt aequationis exposiiae Radices Reales (non imaginariae,) quas
detienane coridem Rectae a Sectionis seu Conractus punctis in AD perpendi
cutares.
Diametrum AD sic determinat. Inscribatur Parabolae, ad angulos axi rectos,
B A. = Z p; cujus punctum A (ad dextram nostram) cst. Vertex diametri AD,
axi parallelae. (Hloc est, diametrum illam altumit, cujus ab axe distantia (IE Z P,
seu = pL: Ouod aequiralet Carrelianx abjectioni secundi termini.) Adeoque 11
=o; hoc est, li secundus terminus desir, (qui Cartesir casus est, post abjectum
liquis erat secundum terminum;) diameter A D cum axe coincidit (punctis B A
cum ipso a coincidencibus, cranelcenre distancia;) sin aesic p, alia est ab axe
diameter AD.
In hac diametro, determinatur punctum D, per rectae AD longitudinem; &
(in recta huic perpendiculari) punctum FI (cenerum quaeticum) per longicu
dineme rectae D H; lecundum (quam rocat) Resulam centralem. Nimirum,
esis
5.
 2. P + e + 22
6l3
+L
d =DHL.
In cujus Regula PriOrE Parre; L signitieat Deorsum ab A; _ =, Sarsum
Adeoque D est in AD (prorracta li opus) intra vel supra punetum A, prout
magnicudines notatae sgno F, aut Ggno =, majores fuerint.
In posteriore parte; + signiticat vertus linistram noltram; e -, vertus dex-
cram. Adeoque HI est sinistrortum ret suistrortum ab A D, prouc magnicudines
AAtirmacirae auc Negacirae praeralene.
lol

## Folio 299 — 851708439:0323
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000323.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
Cap. L. X A.
A B G F B R A.
Et in utraque parte, s P, 9, auE r, LiL = O; membrum quo reveritur ea
magnitudo, eranescit, seu F =0
Sienaque in hac Resula sic disponic. Magnicudo p signum retinet quod
habuerat in aequatione exposica: q contrarium signum Torcitur ei quod habue.
Tat In expOSica aequatione: r semper habet F, nili cum p, r, dissimilia COrtiun
tur Tigna; quo calur habet signum
Contro Fica decerminato; Radius (seu punctum per quod cranscat circum.
Ferentia) sic habeTIT.
Tuncatur HA. Ouae s Cubica sE aequatio (hoc est, si s detic) Radius eric:
transeunre circumterentia per A.
Sin Biquadrarica sic; e habeatur = s: sumatur in AFT (urinque, si OpuS
Eic producta) ex uno latere AF = Z; _ ex alierO, AR = 7. AIque diame.
Ero TK delcribatur semicireutus: de A L (ipsi YK perpendicularis) secans peri-
pheriam in L. (HOc est, lic AF, Sic erecta, media proporcionalis inter AL e
AR. ) Et per L. crantibit peripheria.
Si vero, in Bignadratica, habeatur L s: cum diametro FF A alius adhue de-
Scribendus est semicirenlus; eique aptanda AZ = A L. (Nam, hoc casu, qua-
dratum AL. Seu AZ Tuberatendum est ex quadrato AHI; quod, in casu priori, ad
dendum erat.) Ec peripheria per Z cransibie.
Denique, Centro H, describatur NM circulus, transiens per A, vel L, vel Z.
DEOnt casus poltularerie: Dui Parabolam sccet tangatre in punctis quatuor, cri-
bus, duobus, unico, auc nullo. Focidemque erunt aequationis expolitae Radices
Reales; coridem delisnatae rectis perpendicularibus a punctis illis ad AD: Puca
NO ad Tinistram, _ M O ad dexrram rectae AD. Aique ex his quidem;
Si desit p, Sed habeatur = r: erune NO altirmatirae, e MO negatire.
Si trabeatur = p: erune NO attirmatirae, et MO negacirae. Contra vero si
habeatur f p.
Estque haec summa tocius constructionis.
Flujus vero Demonstracio; Variaque Figura hinc oriundae pro varia posicione
punctorum D FI (deortum, Tursum, dexcrortum, auc Siniltrortum;) ee prouc una
pluretre magnitudines desint, aut rarie signentur; methodusque hanc investi-
sandi constructionem (quam ee in alcioribus aequacionibus persequi licebit:)
apud Auchorem iptum videaner.
Fibet hic extibere, Constructionem quandam Geometricam A quationum Oua-
draricarum; quam mihri nuper extribuie (uE reM nOvam) dum haec in editione
Anglicana sub prelo erant, Venerabilis Vir Thomas Strode (de Maperton in Co.
mitacu Dorsetensi) Armiser; suis verbis (Lacine reddiris) una cum Fpiltola
mea responloria Doltero mane reposita.
Reverendo Viro, D. Tohanni Wallis, S. T. D. Ovoniae.
Dabam Maperionae, Norenb. 3. 2684.
Kererehde Vir,
Seio mihi nupet pastug soidenuo nau Guendam qui mibi dere
bat, in eximio suo De Arichmerica Intinitorum Tractatu) favor: facit
ut nn refsueiam, inctusam chartam ribi exbibere. Duippe si ribi grata
esse possit res ua renuro, ut est Problemaris Plani sclaa Linearis, non dubite
quin haec ita sit futura. E ulique methdads Baecprout mihi santem dcactu
plane nova; e quidem quam sperat pesst sacrus. (Liequd enin est Tabiuus.
ghaem inciderim Surdi Radicem unversalem, quam haec methodus milsi noit
suxpechtaverit; veur Problemata apud me habeam plusquam 2,, quae Prian-
eula spectant, surdas un versales contimentia, quarum non pauca ei 5 aut 6 mem
quam Frianculum Isosceles constr.) sque tam universants, et i in unant
bris constituantur.
Pr0.

## Folio 300 — 851708439:0324
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000324.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
Problema primum vuleare est; sed non uu adus Resolvendi. Secundum no-
ap. L.AA.
vum est, tum ipsum Problema, tum es Resolutio; quam duobus modis absolvi
ut ostendam, Problemata multa posse, per hanc methodum, variis modis persici
Tertium subjunni, jam primitus exeositatum postquam praecedentia descripta
fuerant.
Tuus ad ofticia,
Thomas Strode.
CA puncto D, ducancur dux rectae, ut
ec DF DV, qua parallela sint lateribus AC
ccCB per qua Transire praesenciatur recta
ec dividens OD. Dividatur CB in C, in ra
aetione e ad l; ut sIt R. L:: CB. C C. Tun
E DaLIE FG. FF huic parallela duCatT AF
a Fiatque F. II = 4 CV. Centris C ec II,
ae distantia CF, ducantur arcus duo se mu-
cino intertecantes in WV. Fiacque L N
WV. Bisccetur CN in O. Ec jungatur
cOD. Tum eric, criangulum ACB, 20
c P CO triansulum, ut R ad l; PTOUL eraL
II. Friangillum ABC in duo membra
a requalia diriere, recta qua parallela sII
ec lateri BC; IId. tamen ut ad criangulum
cs incerius ANF, reliquatur communis adi-
cc cuS, lateri AB adjacens, quale est PL BF
ac paralleloorammum (cujus dari supponi-
cc Eue BL latuS;) Licque ANF triangulum
ae xequale crapezio CLPH.
Bisccetur CB in D; et BI. in R. Fiac-
ae que DMT =- BL. Centrisque M e D, di-
aestantia DR, ducantur areus duo le mutro
a incersecantes in O. Fiat C F = CO; 8
e GF. parallela rectae C A; _ NF ipsI BC; e PL ipsi BA
Paraltela. Erirque criangulum ANE aequale EaperiO CL PN; PTOut erat
ae Vel sic alias. Diseca F. D in R. FL COV
a einnetur DC ad A; UE BIE C A = ZCD
a Cenris A et D, distantia CR, ducancur
ac greus duo se mutuo incerfecantes in L.
cc Fiiac CT= C F: _ TO = L, R. DUCALIE
aOMI parallela recta C P: et MN rectae
DC: _ LP rectae FD Parallela. FxItque
ec Triangulum N F M aquale Fraperio
NCCF PHI; Uc crat imperatum.
Solruntur haec Problemata ODe Pri
anguli Floscelis. Nam, in Fisura prima,
Foret CWHI TIolceles Priansulum Si du
cerentur lacera CW, FIN. Ex similicer.
in secunda, NOD: ec in tertia, AFD
ac Inguirenda igitur erir Proprietas II0-
cc fcctio Friangul. Ouae haec clt. Si recta d
ec Vertice Balin diricat in duo segmenta
ae inaequalia; puca, uc BH. dividit AC balin
cc in F: Tum rectae BF. quadratum, una
ec cum segmentorum rectangulo AFC; X
eC quantur quadrato rectae BA. (F (tO a BH,
=AE, n FC, b= BA: erit ad  I. bb.)
A L C F B R A.
transeunte, ia diridere, ul u  Patione l ad 1.
+T. Friangulum ABC, recta OD, per datum extra criangulum D punctum
CC IMDCTaTM.
se imperatum.

## Folio 301 — 851708439:0325
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000325.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
C aD. L. L.
A L G F B R A.
CFix quadratum lateris BA, minus rectansulo AEC, aequale quadrato BE. (HOC
a C, bb - 1n = d d.)
a Adeoque; Si Ouadratum (ut BF. 9) Rectangulo (A FC) augeatur; tum
a fi F disterentia lacerum rectanguli (F. H = n ∞ l.) Est Balis crianguli iloscelis,
c ue F BF: e BF, BF, = d; ejuldem Crura: EF B A = b, quaesita radix qua
cc drati. Si Ouadratum (B A9) Rectangulo (A F. F) minuatur: tum AC. Pumma
aJrerum rectanguli, est FCoscelis Frianguli BalIS: _ BA, BC, = B, ejusdem
CCrUTa: S BF = a, recta quae sita
ae Non opus est ut demonstrem a d = In = bb. Sed exposicis Fisuris rem ac.
cc commodabo.
a in prima AGurA: Facto CF. CG: : CA. CF. FAO 1 =CF, et m = CV.
AcFC POnatur a =OC. Tt haec prodibir analosia
2. T: : FF, V (FF + 4.M+). a = OC.
a TTabetur igitur, in Surdo hoc, quadratum +L, cujus lacS + = d = C F; et
ac rectaneulum 4 m L, Cujus latera t =- 1 =CF, _ 4 m = n = FII: FLCII - n- 1
a cs balis crianguli ilolcelis CWFI; ejusque latera CW, CHI, = CK = 1. Adeo.
que FW =F N =V: Ht + 4mF. Et CN = F + V: 11 + 4m t. Ouae bisecta
et in O, extribet CO =3+ = ZV: F+ = 4 m L. UE perebatuE.
a in secunda figura: Elto c = CB; h = BA; d = BL. Tum, re rite ordi-
ee nata, reperietu,
c. B: : 6 - : d - Y (360. + ; d d = c d). a = BF.
a Surdum hoc constat ex quadrato 266 = = d a - =6 d; cujus radix eft 36 -
12  = DR =d: e rectanguto +6c = =Cd; cujus latTA Z C = CD = n, 
c2 = a = CM = b. FrSO BaLS NID = d = n - 1 =BI. FF CO --CF = V
cFCC + =44 = 6d. EtVC =- BR = =d. EL CC = V: 366 + 2dd - cd: +=d.
aFF BG =BC. GC =6 = 3d = Y: 266 + 7ad - cd. Et BC. B A:: BC.
 BF = a. quod petebatI.
c In tertia tgura: FstO c = DC; B = DP; d = DL. POnatuT a =DM. Tum
c. B: : C = 3 a = V (365 = = a d =c4). a = DNI.
a (Fadem Analogia quae prius:)
a Surdum hoc V: 2Cc + = a a = cd: constat ex quacrato c0 + a d d = C d,
ec (cnjus lacus est c = Za = b =-CR = A L;) minus rectangulo +cC, cujus la-
a Fera C = C D =, B, _ 26 =- C A = n. Et AD =c + 26 = 1. F n est basiS eri-
cc angulI AF D. ErSO CF =OI = V: 260 + +dd = cd. EFCO =V: 36C + d d
c - 6d: + 3d. Et DO = CD - CO = 6 = 3 d - V: 360 + = 4d - cd. Et
CD. FD::
D0.
DM.
c. B :: c - 3a = V: 500 = = d a = c d. a. quod Detebatur.
aTII. Invenire mediam proportionalem incer duas rectas; absque Perpendi.
a cxlario crectione.
a Suno r = 8, et 5 = 2, rectae datae.
aTiaC AF == r = 8. F. C = r - 5 = 6. Centris
c A _e C, distantia AB = r = 8, ducantuE DECUS
ae duo se munuio intersecances in B. JunSaTUT F B. Fst
HC ea = Vr5 quaesita.
a Demonstratio. Rectansulo rs addatur rr = rr.
arum V: rr F r5 =rr: elb qualita recta. Fic uti-
 que habetur quadratum nr, minucum rectangulo rr = rs, cujus latera r. = 1
cer = 5 = n = 6. PrBO inveniet BE. Nam Si jungantur AB, BC, habetur J ri
anoulum ilolceles.
exorest icidem tieri addendo 5s = ss iplirS. Seet tum (apenumeTO non Con-
Scinset intra conditionem requititam.
Ad hanc Fxistolam (resperi acceptam) mittebam, postero Mane, Responto.
riam. In qua; incactis manencibus (pTOUT eaS acceperam) propolitionibus par-
ticularim expolicis: ad principale quaelicum (de usu Priansuli A.quieruris) sic
erat relpontum.
em

## Folio 302 — 851708439:0326
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000326.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
A L 6C B L A.
Venerabili Viro, Thomae Strode Armisero; Mapertona
Oxonii, Noremb. 12. 1684.
Fiteras cuas humanultimas, Novemb. 3. dacas, hesterna nocte aCceptaS,
Onam trabes de LTangulo Aiquieruri Speculationem, aenolco re-
aram esse e Panam. Posseque Non incommode ad Geomerricam Constructionem
ac Aiguarionis Guadratica accommodari. Ex, consequenter, ad Problemata (re
a Etas Srectantia) qua quaacas Aiguationes non excedunt. Ec quidem in
 recepia trujulmodi aegualutum constructione rirmalirer (quod aiunc) conti
Ouippe cales Agllationes omnes, ad. harum Formarum alceram reducuncur:
I. Rg +ZR = - A.
TI. Rq F ZR = + N.
aDBi Z est Summa, X Diltelencia, duarum Magnicudinum, quarum A major
cC. F minor, A rectangulum. Ec quaelibet hujusmodi Aquatio duas habet Ra
ac dices, a, F: Ouxe Tunc Attirmacira amba, aut ambae Negatirx, ut in forma
a Priori; Vel, aliera Alaira, altera Lesatira, ut in forma Posteriori.
a omniumque Resolurio, hoc sundamento nicieur; L = X
7
A.
= . Seu (quod eodem recidir)
Adeoque, in priori Forma, ctis Z e A, habetIr Z = V: Z 9 - 4 A. FF
cin posteriori Formai datis X et A, habetur Z =V: X9 F + A. Flabitisque
in ero Dorletenti.
e
Cap. L. XX.
avc. - 52 = Y: 2 24 - ~: = - A. - F
I. + ; X = Y: 2 X9 + s: = + A. -F.
Vcl. = 5 X F V: 2 X9 + A: = = A. + F.
Vel (recrortum) = F. D, = DA, Negacir. In posteriori
L. D. Vel fDF.
B
Tuaque Constructio (per Triangulum A.
quierure) est omnino cactem: nili quod, pre
communi Centro C, adhibeas cu punctum quod
is (prone Forre contiserit) in perpendiculari
C. V. Acque cum, habita differentia quadrato-
TUM RECTaTUM AV, BV; adeoque d rectaruM
BBC; (Nam quadrata illarum, eadem funt
cum
L. + 37. F v: 324 - 2: = + A. + F.
Clarissime Vi
rependo gratias.
ec petur.
t AC
29 - X9 = 4 A
Z _ X, habenEE A, F.
cc Fi D; habetur inde CD, Semillis recla VV. Dataque B D, ejulre semistis CD
ic una cum DF; exhibet rectam C f, Semiltem rectae AF.
Astirmatirxe amba.
Forma; Radice
F BL
omniumque Cieometrica Constructio hoc uno Schemate continetur. In que
a duorum Semicirculorum Concencricorum, Z. Cst diameter majoris, X minoris
a _ Y A. elt, in altero sinus rectus in alcero Pangens, (ut BC seu DF.) Cu
ae jus ope una cum Diametro (seu Semi diametro) unius, habetur altexius Di2
ameter (Teu Semi dliameter.) Puta SI detUE AF, ejusre semissis C F; simulque
cEt quidem, in priori forma: Radices R sunc L AD, F DF, (prortum

## Folio 303 — 851708439:0327
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000327.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
c
est
Cap. LXXI.
ccovadratorum ope, una cum ucriulris latere (A C vel B Cy hoc CA Z Z vel Z X
a trabetur reliqui latus; omniaque puncta LlD DC: eademque quae prius R2
a dices. Ouarum nune hiaec, nunc illa, sorr quaelitum; ee aliquando utraque.
a rommodari potest porelt e reliqua. Hoc est, in aequationibus Guadraticis
A B E E B R A.
a cum quadraris harum, auctis communi quadrato rectae CV; quod quidem, com-
i mure auomentum, quadratorum differentiam non immutat; ) nimirum A, (hoc
a est, rectangulo ABF, seu ADK, seu quadrato rectae DF:) Fujus disterentia
ec Cum icaque Constructio cd Calere  (TCapse) cum hac: Ohicunque aliela
ec quibuscunque; et Probleia  H alio alete 
AP. La
Luus de a
Johannes W allis.
De ladicibus impossibilibus atiorum Aequationum.
Ouatio Cubica hihil habet peculiaris impossibilicatis (hoc nomine) ut.
La Cubus Necatirus, Radicem habet Nesatiram, non minus quam
actirmatirus AFirmaciram. (Fst utique - 2 radix Cubi - 8, ut cst L 2
Cubi f 8.) Idemque pariter incellisendum est de porestate Ouinta, Scprima,
_ sequentibus, in quibus numerus dimentionum cst. Impar.
Eaque quae censetur impossibilicas propter Radices (quas Vocant) 2masina-
rias, oritur ex Impossibili, Ouadratica aequarione, indeque deriratur ad luperiores
aequationes quas insreditur hujusmodi Impossibilis Ouadratica.
Ft, consequenter, quot Impossitiles Ouacrariex Superiorem aliquam compo.
nunc aequationem; coridem sunc Imasinariarum Radicum Paria.
Adeoque in Aiquatione Ouadratica; Radises Imaginarix sunt rel Dua, vel
Nulla.
In Cubica, similiter; vel Dux, vel Nulla, (non vel Unica, vel Fernae.)
In Biquadratica; vel Nullae, vel Dux, rel Ouatuor. Et limiliter in ca quin-
que dimensionum.
In aequatione Sex dimentionum; Nulla, DUX, ONatHIOF, aut Sex. Ec in. CC.
quentibus similiter pro Tuo cuju (que numero dimentionum.
Adeoque in harum nulla (aliare qualibet) vel Unica est, vel Fernae, vel
Ouinae, aut alias numero, impari nominandaet
b.1 1.
tra Dudelraricam.
Recapitulatio dictorum de onta Guao S
arudrearum ex Cubrecno.
1
ed
1
Thec jam summatim Recolligere eorum praecipua quae ante tradita Tunt
de Relolutione Aiquationum Duacraticarum et Cubicarum.
Aquatio Ouadratiea reduei temper porest (per ante eradita) 20
harum quatuor tormarum aliquam; quibus aelteripiae sunt suxe cujusque Ra
alco.
Aqua.

## Folio 304 — 851708439:0328
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000328.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
A L. _ F B L A.
Aiquationes.
a a = 2 b a - a = 0.
aa +2ba = a =0
a4 - 2. b a + a = 0.
aa = 2ba + a = 0.
Racices.
= B F V: BB- F a.
-b =F Y: bb + a.
Major, Afirmatira.
Major, Negatira.
FB F V: BB -a. Veraque AFirmatira.
=b = Y: BB -a. Vicaque Nexacira.
Vel (potiris 8 pro sieno cujulris membri, sive si f sire =; _ B pro con.
trario) ad hanc Unicam, (in qua s tit b = 0, decst cerminus medius.)
aa 8ba 8a =0. SB = V: BB Ba: =0.
In quatuor formarum duabus posterioribus, contingere potest ut Radices sint
(quae dici Solenc) Lmaginariae. Sed, in duabus prioribus, semper TUML Reates:
Afirmacira puta, vel Negatira
Acque ad ealdem tormas spectane requationes omnes, in quibus funt (ut Ouch-
credus loquitur) tres termini aequaliter ascendentes in scala. Hoc est; in quibus
numeri dimentionum isnorae maxnicudinis sunc in Prosrestione Arichmetica. Puta,
27 τ, O. aut 43 2, 0. aut 6, 3, 6. Ft Similiter.
Ouales fune
AUE
Similesque.
cece... . 2bec.... a =0.
po ..-. 2b.... 0.
Oux quidem non alix sunt quam Aguationes Ouactraticae, ex Radice plana,
Tolidas pluriumre dimentionum.
Nam, POSIEO de = a, aut p = a; aequatio est, ut PriuS,
Fjusque Radix,
aa 82ba 8a =0.
8b = V: BB Ra: = a = eC = yyy.
Ouod si porro desideretur iplorum c, y, valor simplex; habebitur extrahendo
radicem consruan, iplorum e’e, yyy, c. (puta quadraricam, cubicam, aliamre,
Prout numerus dimentionum poltulac.) Adeoque
V2. 3B = V: BB Ba. = Y a -.
V. 3b = V: Db Ba. = V a = y.
Et in aliis similirer.
Aquatio Cubica, Radicem semper habet, faltem Unam, Realem: Reliqualque
duas, vel Reales ambas, vel ambas Tmaginarias. Poteltque (abjecto, liquis l le-
cundo cermino) ad harum quatuor formarum aliquam reduci.
AEquacio.
Radix.
e + 3ba = 24 =0. f V3. + a = V: ad = bbb. - 13. - d  V. alt 1000. - d.
aaa = 3ba + 2d = 0. - 3. + d + V: dd  B0b. + v. = a + V: dd + b0b. = a
aua = 3Ba = 2d = 0. + 13. + d. F V: da = b63. + V. + a - V: dd - 0bb. = a-
aud  3ba = 24 = 0. = 1. + d = V: dd - b66.  V. + a - Y: ad - b86. = a
Oua Radix semper Realis ell (attirmativa auc necacira:) quamvis in duabus
Formis posterioribus (quories obb major est quam ad) utrumque membrum (se
Paracim sumptum) Sic Imasinarium; (eo quod V: ad - bbb: Et, hoc eatu, radix
Ouacrati Pregatiri.) Nam, hoc non obstance, (membris imaginariis se mutuo
propter contraria ligna destruencibus,) Aepreacum (sive Attirmarirum sire NC.
tl
pacirum)
Vel (Dotiris S _ B ut prius) ad has duas Formas reduCentUT.
Cap. L. XXII.

## Folio 305 — 851708439:0329
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000329.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
Cap. L. XXCII.
A L G F B R A.
aca. f. 3ba 82d = 0. 3vV. = d. F V: da + Bbb. SV. = d = V: dd. F bbb. = a.
aaa - 3ba 82d = 0. 8V. + d + V: ad - bb6. 8V. + d - Y: da - vbb. = a
Oux Radix temper Realis est; quamvis, in polleriori forma, utrunque mem.
teum est. Imaginarium, quoties bbb major elt quam dd.
Aeque cum demum, uno valore Radicis a lic invento; Dura a = 8 Z: duo re
ligui in hac Ouactratica aequatione concinentur:
aa 82a + = = 0. 83B + Y: 3 22- 2.
Cujus quidem aequacionis quadraricae Raclices, cum sune imaginaria, quando
major est quam +. 22. Duod semper concingic in hac Ouachraciea, quando id
non ante conciserat in binis Membris radicis ante inventx.
Fstque haec breris Synopsis plenaria Solutionis Aquationum omnium Ouadrati.
carum es Cubiearum: cum qualitate seu conditione Radicum luarum pro lingulis
calibus: Puta, quae linc ACirmatirx, quae Negatirae; quae Reales, et quae Imagi.
naria.
Ouomodo Biquadratiex postine, ope Cubicae, ad Ouadraticas reduei; Pupra Era.
dicum cst.
Ouxe suncillis altiores; possune, in multis calibus, ad simpliciores aequationes
reduci ex quibus componuntur. Sed quomodo id tiat (alias quam factis Tentami-
nibus interiorum ordinum) operolius cst quam uctrie inlcracur. Ouam ad rem
=uademi aliorumque Mechodi, apprime conducun.
Aquationes autem omnes (non impossibiles) cujuscunque Forma, Tubeunt J. c.
ses Numerosa Lxegeseos; seu Extratiendi (in numeris) Radices 
quationum (concinue Palcem approximando;) a Vietao Carrioco, Ous trrede, alii
que traditas.
Dequibus nos in superioribus egimus; cum exponendo Praecepta; cum varia
(prouc culerit occalio) Exempla extribendo. Ouod tamen Forma planistima tactum
elt (quo procestusratio melius percipiatur) omissis (quxe exhiberi pollenc) ope
rationum compendiis (quae sibi comminisei polsunt alii alia, ex his principiis deri-
rata) necgorem in lonsum producerem.
e 2 L. aII.
  Lubissbio.
Sverest, ut de Serredas Lats LBtoU Salt aiet lolent) velba laciam;
quam exiltimd  Cala elle rerum harum prombloten. Sut ducem
Ouantitatum seu Magnuc Ocala Series leu Progrelliones, certo Or-
dine procedentes, et coe abplopinquantes, quae, si supponantur in intinitnt
continuatae, futurae suneaquales quae sitae magnicudini.
precium eric, de Arichmetica Intinuorum aliquid praetari.
Acque in hunc sinem piaemicendum aliquid de Methodo Fxhaustionum (quam
vocant) qua nicuntur: methodoque Indivisibilium d Cavallerio incroducta, (qux
non alia c quam Fxhauctionum mechodus compendiolior;) nostraque Arithme-
sica Insinitorum, qua Mechodus Indiritibilium promovetur.
Fuctides (def. 3. lib. 5. Elementorum) Rationem detinit Duarum maenitudi
in Speculatio haec (DTOuL ea jam PICHHOVCHL CCEPIC) OHSMe auXII à mea Infi
nicorum Trichmetisa (. aBHO 1656 catc,) Ellam pronretu slegii aliquoi ex
nostracibus Viri, quamris parum acthue sic quod ea de re Typis editum existat.
Ouam igicur de Serrebus Intinitis specucatl leta quo melius incellisalno, l
num Thomocenearum, unius ad alteram, Relationem illam quae est secundum Oue-
supliciiater Crel, E maris, uantus .) Adeoqie 1ola Mdencmes L0.
Mosenea

## Folio 306 — 851708439:0330
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000330.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
A L O F B R a
mogenea, (seu quae sune ejuIdem naturX) Tune Pationis seu (quXe Ciceronis JOX
CIE PTOCTRCO Norc) Proportionis capaces. Idemque def. 5, (prout d Clavio nume.
ratur, aliisque post illum,) vel (uc in GraCO) def. 4. Flomoceneas maenitudi
nes, seu (quod tancundem elt) Rationis inter se capaces, detinit, cas elte, quarum
utravis sic multiplicari possit ut reliquam superet, Fr, consequenter, nulla porelt
esse magnieudo (cujuscunque severis) cam exigua, quin postic mulciplicando tieri
major quacunque ejusdem generis magnicudine, quancumris magna. (Ouod Fu
cldes iple (ex ea detinirione) altumir, in demonstratione prop. 8. lib. 5. e alibi.)
Et quodcunque tam exiouum aut nihil est in cujuscunque generis maenicudine, ue
non polsic mulriplicando majus tieri quam expolira magnirudo; elt, in Co genere
magnicudinis, Nihil, Ceu Non-quantum.
Dico, in eo genere maenitudinis. Ouoniam, in alio genere, Tuam adhue habere
Potestmagnimidinem, seu Ouanciratem.
Verbi gratia. Linea, uccunque longa, cum nullam habeat F acicudinem, adeo-
que urcunque mulciplicata nunquam indetiet Laca; (Nam, Nihil, urcunque mul-
ciplicatum manee adhue Nihil: ec, Nihil lacicudinis, urcunque mulciplicarum,
erie adhue Nihil Lacicudinis:) est, ad Superficiem, Flecerogenea. Ec quancumris
habeat Longicudinis; Arex camen, seu magnicudinis superticialis, nihil habet. FL
nuda Linea (lacicudinis expers) etiam (i ad mulca Milliaria continuetur, nunquam
conticiet Jugerum PerrX
EC pari catione, Supersicies (nOn minus quam Linea) est, ad Solidum hece-
Fogenca.
Sic Vumerus est, ad Zongirudinem heteroseneus; de utrumque ad Poncus: at-
que haec omnia, ad Temputs, etc.
Ouamris enim haec sinsula habeant, in Tuo genere, Magnitudinem: non tamen
Tunt, ad altera comparata, Racionis capacia. Nullus enim narum numerus COn
ticiet Foram; nec ullus Florarum numerus conticiet Onam. EL Supersicies, quam.
ris Longicudinem habeat, adeoque possit esse secundum longicudinem suam (sim
pliciter consideratam) lonsitudini Linex Flomogenea, (eique rel aqualis vel in-
aequalis; Poltque urraque sic mulciplicari uc reliquam superet;) Cum tamen, ex
adrerso, Linea nihil habeat Laciendinis; adeoque area nihil,s seu magnicudinis
Superticialis, (quae ita poslic mulciplicari ve aliguot terrae Jugera (uperet;) Funt
isitur Tleterosenexe magnicudines Linca es Supertieies. Ouamris enim exposir
Juseri longicudo ita Mulciplicari possit ut Scadium seu MTilliare Puperet; Millare
tamen seu Scadium (cum nihil hrabeat Lacicudinis) non ita mulciplicari potestut
Lacius sic seu Amplius Najusre quam terrae Jugerum. Cum tamen magnicudines
Flomogenex, per illam Fuctidis Detinitionem, lic inter se comparari debeant, ut
Dollit Orraris sic mulciplicari ut reliquam luperet.
Oux camen non ita intelligenda sunt, quali FTomogeneitatis natura ee esenia in
hoc consiltac: (quippe Detinitiones Mathematicae non ica stricte sumendae lunt,
quali Essenciam rei Phylicam semper detiniant:) Sed, quod hoc tic Proprium con
vertibile (ue loguuntur L osici,) unde Caris determinari poltic, quanam sinc illa
Magnicudines quas censeri volumus Flomogeneas;  quae non sint.
Sic cum Archimedes definire rideatur Lineam Rectam: cam quae sit Brevissima
inter data Puncta: Non eam Rectituminis ellentiam Phylicam definit; quam ne
cellarium ejusdem Consequens seu Concomitans, cercumque Cricerium quo determi-
MaTI PONIC.
Pariterque Fuctides, cum Parallelas detinie Lineas Rectas (in eodem plano
quae, utcunque producantur, nunquam concurrent: non censendus ett naturane
Parallelisimi exponere (qua in Squidistantia magis consillit) sed ejuldem Con
comitans neceltarium; quod sic sulticiens Criterium quo determinetur, quae Recta
sinc (apud illum) centendae Parallelae. Et quamris Circulis aliaere currae, possine
(propier aequalem ubique incer se distantiam) pro Parallelis haberi; non tamen
luncillae Paralleta qudo MC detm et de quibus (in sequencibus) verba factuxus
Cumque ille Friansuan  quod tribus Rectis continetur: manifestum ests
Frianeus VoCC, HOI act ap A LHICIMS CMda esse quam Rectilinea Trraneula.
o spilarica altare uica, Guas e haec, lecundum rim rocis, Prian-
Paricer que cum Concrt  snarum delinur illes ed cncumlatione Trianeuli aui
Paralle
cap. L
ut ille, auc Facere censendus lt.
sula vere sinc, e ab alus alibs lic diei (oleanc.)

## Folio 307 — 851708439:0331
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000331.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
Cap. L. XXIII.
A L G F. B R A.
Paralleloerammi Rectilinei: Patet Fuclidem incelligendum este de Frectis tantum
Conis et Cplindris; non de Scalenis. Ouamris apud spollonium, aliosque aliquot
voces illae eriam de Scalenis line incellisendae; et proprerea, apud IIIOs, aliter deti-
miuneur Conus et Cylindrus.
Arque hic itidem; Fomoseneas ille magnituidines (seu, quae sine Rationis incer
se capaces) non per Phylicam duorercias ellentiam, sed per talem Characteristicam
seu Cricerium, unde lacis determinari postic quae centenda sint HIOMOBCHEX, e
qua non CInt.
Et, paulo post, Proportionalia detinit per Consequens sive Cricerium Pacis remo.
cum a Proporcionalicatis natura: Sed (milsa disceptatione de proporcionalitaris
notione Mecaphytica) quod Paris disterminet, quae ille Proportionalium nomine
relic incellisi ab illis quae non velit.
Ouod ideo factum est (tum his tum aliis casibus consimilibus) quoniam hujus
modi Character (cum opus fueric) Facilius demonstrari POTCTIE (nON FATO) de
expolico subjecto, quam Mecaphysica L.Centia; (quae de ipsa Forre non lic litis
experS, es aegre demonstretmr.) Sic, verbi gracia, Rectarum non concurrentia taci-
lius probatu ridebatur Fuclidi, quam earum aequalis ubique distantia: adeoque per
illam pocis quam hanc detinirie Parallelas. Et (non disceptando num aliae lint
Parallela linex praeter halce Rectas,) Susticit, quod ille per parallelas non aliastrie
incelligat. Cumque magnicudines FTomogeneas detinic eas quarum utraque possit
sic multipticari ut reliquam superet; nil porro probandum haber (quo consternium
Hlomogenex linc, aut non line, expolitx magnicudines) quam quod possint aut
non polline sic mulciplicari. Aeque haec ita distinete monenda duxi, uc videat Lc.
etor, quibus de causis. Veceres Machematiei lic detinirerint nonnulla, quae Mecaphy
Licus Force alicer detinienda censear. Ouippe cum, alio et alio intuitu, res detmlat
Accaphysicus et Mathematicus, utrique permittendum est. ut Cuis ulibus incenti fint.
Dum hanc LTomogeneorum nocionem prosequitur Fuctdes; Cum ad lib. 20.
pervencum est, ubi de Ouancicacibus seu Magnicudinibus Incommensurabilibus aBICuI.
quae quamris Fsomosenea sine adeoque Proportionis capaces; cum camen Com
mensurabiles non lint, non postit carum inter se ratio seu proporcio reris Numeris.
Pricte Tumptis, extriberi:) Cumque, libris sequentibus, treguenS OCCITTaL OcCaLO
eas magnitudines inter se conterendi, quarum aequalicas non ita facile oltendatur
directa Demonstratione: Hloc sibi sumit (hisce calibus) procelsus Fundamencum;
Maenitudines eas (seu Ouancitates) quarum differentia probetur minor quavis
assienabili, Niquales esse. Ouippe, li inaquales; poterit carum Dilterentia, quan-
cumris exigua, sic mulciplicari uc utramris luperet: lin ita non pollit, nulla est
Acque hoc quidem (ab sque novo Poltulato, quod Clavius nulla necestitate prxe
mitcit libro Decimo,) ex illa LJomogeneorum detinitione modo memorara, alumie
Finctides in demonstrarione prOP. T. lib. F0. ELCmentOrUM: (quod de ante fecerat
ad prop. 8. lib. 5.)
Nimirum; Fposiris duabus magnitudinibus inaequatibus, Ut AB et C; Si ab
AB majore, auferatur plusquam dimidium: e à residuo, plusquam dimidium:
 sic semper: Restabit randem Maenicudo quae minor erit quam C minor exposi-
Tarum.
Ouod sic demonstrat. Nam (inguic) C multiplicata, tandem major fiet quam
AB. Ouod quidem altumit, (non ex noro Clarii postulaco, Sed) virrure 5. del. 5.
(Nam li AB et C magnitudines sint, de inaequa
les: rationem inter se habene, Palcem lnaequalitatis
rationem, per 3 det. 5. Er consequenter, per 
det. 5, utraris ita mulciplicari potelt uc reliquam
tuperet.) Duo quidem astumpio, sic procedit.
Fsto sec multiplicata. Sitque D F. ipsius C musti-
pla (puca cripla) major quam est AB. Ft divida
tur in partes quae sint sineula ipsi C aequales, ul
us dimidtato BLL: aique ad A d) plus quam hujus alttoc .
sic semper, usque dum ipsius AB partitiones sint numero tolham quor fant ps ct
DE. SuntO AI, KIT, HIB, rocidem quot sunt DF, FG, GF. Cidinqu si et
constructione) DF major quam AB: atque a DF auferatur L. , non plus quant
ejus dimidium; auseralur auiemu ab A B Cpusquam dimidium bujus ) BF: illi.
DF, LC, GF. Sit auferu ab AB plusquam ipsi-

## Folio 308 — 851708439:0332
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000332.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
Cap. L. XXIII.
resiauum AH. (Aique lic porro precedendum erie, quorcunque adhue lupertimt
parteS.) Sed D F est (per constructionem) ipsi C aequalis. Fireo C major est
quam AR. FVEd A L (residuum exposita AD) minor est quam C (expositarum
maenicudinum Mnor.) Quod erat probandum. Lque idem inquit) similiter pro-
babitur, si abcata sint Dimidia, (non, prusguam dimidia.
Sed E vera tOrEE prOPOLILIO, L prO Z LUeTCtUE Z autZ, (aliare pars hujus-
modis) e sic comtinue. OuippeEi (rerbigraria) auteratur ? (e sic continue,
Reliduum primum erit Z; sccundum Zx Z: terrium ZX X Z; e lic porro, doncctan-
dem reltet magnicudo quaris alsignata minor. Similiterque Ei Cumatur L aut parS
adhuC MINOI.
Elmulio adhuc magis, si continue Lumacur. 5, aue segmentum aliud majus guam
E. CuipDe, po Coste3, Scrcul Pimum est 3; secundum, Ex3; terrium
minoris: Cur jubet ille, ue antetatur concinue plusquam dimidium : quals siquid eo
RcDondeo. Si propolicionem Haste Propcet se praecipue incenderat. Fuclides: non
dimidulm Cuis ee sic semper, ec. Hut clam adhue univerlalius; Si d Toco aute
Lemma ad ulteriores usris. EL OD Cal Cauat non omné illud hic dicit, quod dici
caute abstinet ab eis unirertatius propems quam crat ad rem suam necestarium.
Duod moneo, nequis cum negalle puret aur ignorasse illorum universalitatem, qua
minus univer saliter prOnunCIAC; aut neleire, quae tacet. Sed hoc obiter.
Praesentis rei exemplum hoc esto. In Segmento
Circuli ABC; inscripcum Friangulum AC B (c.
jusdem basis et alcicudinis) cst plusquam dimidi-
um, (eAt enim dimidium circum leripei paralselo-
Grammi:) hoc isitur exempro, relidua segmenta
AC, CB, Simul Sumpta, Tunc minus quam dimidi
um. Similicerque, inleripra Frianouta ADC _
CFB, tunc plusquam dimidium illorum sesmen
seementi ab inscripta Figura rectiinea) minus sic quoris altignato.
Ac verO, si requiratur ue inferibantur Priansula (super eas bales) qua LIE
praecise dimidia illorum Segmentorum, (aut
eorum certa pars aliqua) id xere obtinebitur.
Prudenter itaque factum est, ut illud Lemma sic
verbis exponatur, ue apristime postic his ulibus
accommodari.
Propolitione hac (sic accommodata) nicitur
ea (quae dici (olet) Methodus Pxhaustionum.
Oua pastim uuntuX Ruclides, Archimedes
aliique Machematici; cum Veteres tum RCCen
LIOTES.) Cujus Specimen extribere liber (illu
Sracionis gratia) ex Archimedis Prop. 2. de
Dimensione Circuli. Nimirum:
Circulus aequalis est Lrianeulo Rectaneulo,
cujus
A L C L. L R A.
major est quam AFI; e a DC aufertur non plusquam ejus dimidium) GF:
sed ab AFL (plusquam ejus dimidium) LIK: Fest iertur residuum D P majus quamt
us isitur residuum ED, majus erit hujus residuo FI A. Tcerminque: quoniam DC
XZX =; e lic porro.
Allumit aurem ille Z; non ex necessirate, Led pro arbitrio suo: quoniam hOC
commoatus applicabitur ubi hac proxosicione opus erit.
minus auteratur, non Cuticeret.
quaris minorem.
Sed propolitionem hane intenderat Luchdes non tam proprer se iptam, sed ut
Vicetur torlan; si ablatio iman MMHICIE, (ipso Fatence,) aue criam adhuc
dubicandum elt quin dixisset pocius, Si d coto auteratur lui dimidium, et d reliduo
racur pars ui provorrionalis; es a Reliduo, limilis pars sui proportionalis, aut etiam
major; e lic concinue; ec. Nam, cllam e, perrenietur tandem ad partem data
Docuillet; Ced cancundem, ec in tali forma, ut aprissime poset ad eos ulus accom
modari. Similemque caurionem passim adhibet in aliis Lemmaris exponendis. Kc
torum; adeoque residua segmenta quatuOT AD, DC, CF, P B, Simul sumpra, LUNE
minus quam dimidium primi relidui. Et Sic continue: UE tandem perveniatur ad
relidua segmenta tam exigua ut eorum aggresatum (hoc est, disterentia expoI

## Folio 309 — 851708439:0333
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000333.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
L G F.
cujus Fatera aneulum rectum contnentia, aequalia sunt, alterum Semidiametro.
alterum Perimetro istius Circuli. Ouod, expositi Lemmatis ope, sic demonstrat.
Sunto ABC. D circulus, _ F. trianeulum, ut supponitur. Fluie (inquic) Tri-
anculo aequalis est ille Circulus. (Neque Major, neque MinOT.)
isto enim si fieri potest, Major ille circulus trianeulo. Sitque RC quadratum
inscriptum. Sintque arcus continue bisecti, (ee Tic Porro, prour jam octensum cst.)
Fit seementa residua (per F C 20) minora simul quam excessus quo supponitur Cireu-
Ius excedere trianculum. Freo, su inscripta fieura rectilinea est trianeulo major.
Jam vero, a centro N, esto N Z ad inscriptae Rectilineae perimetrum recta per-
pendicularis. Duae (cum minor sit semidiametro circuli) minor est altero laterum
continentium Trianculi rectum aneulum. Et Perimeter inscriptae fieurae rectilinea
utpote Circuli perimetro minor) minor eorum reliquo. Ft, consequenter; illa Re-
Etilinea minor trianeulo. Quod est absurdum. (Nam ante praetumebatur Major.)
Fisto cum, si fieri potest. Circulus ille Trianeulo minor. Eit circum scribatur dua-
aratum. Sinique arcus continue bisecti. Et, per visectionum puncta Tancentes
ductae. (LE lic Porro, uc in figura.) Fest icitur OAR ansulus rectus: adeoque
OR major quam MR: (sunt utique RM _ R A aegnates.) Freo Trianculum
ROF est plusquam dimidium sieuirae OF A MI. FF Sic Continue. Pruntque tandem
(Per TC2O) residin Sectores, quales P. F A, minus quam excessus quo supponitur
Trianculum excedere Circulum. Sideoque circumseripta rectilinea minor erit expe-
sito crianeulo F. Dud est absurdum. Major enim est: propter L A aequalem ca
thetotrianeuti, e perimetrum (rectilinea circum (Cripca) majorem base trianeuli-
Major enim elt perimerro circuli cui circum sexibitur.)
Circulus ieitur (cum neque major sit neque minor) aequalis est Frianculo F.
Nonendum hic est (quoniam id usui erit in sequentibus) quam tacile potit
eludi haec demonstrario (alixque huic similes;) Si objiciendum toret (quod vult
Clavius in alio catu) aut Circulum majorem esse Friangulo, aue Friangulum cir-
culo, Aliquanto quidem: Sed illud Aliquantum eam elle exiguum, ut lIE (PTOBEeF
parricarem) Heceroseneum, nullaque mulciplicarione reddi postic vel Circulo vel
Friansulo aequale auc majus. Adeoque non cadat sub propolitione FCFO, qua ni-
titur ea demonttracio. Sed hujusmodi objectio nihili est, et contemnend.
Ad eundem modum (cum hoc srchimedeo) Colenne est, cum apud Veteres cum
Recentiores Geometras; dum altignare Patasune tigura Curritinex, aut Solidi RO-
cundi, magnitudinem, (aliisque calibus non absimilibus;) Duo hoc demonstrent.
oltendere, Duod exhiberi poltic, cum figura Inscripta (quae itaque minor est,) tum
Circumseripta (quxe itaque major est,) quae rantillo inter se disterant (adeoque
minus utraque ab expolto Curritineo) uc difterentia minor sic quaris altienabili.
Indeque concludunt, eam este magnicudinem expatiiae figura quae astignatur.
Ouippe quae nec minor elt,. nec major; per altignabilem quamvis magnitudinem.
Fix hoc Funclamento; Approximationes Continuae omnes, in quibus appropingua-
tio sie continue Fic, ut distancia eandem proveniat quaris altisnabili minor; Cen-
Tendae sune, si in infinicum torene continuandae, candem coiturae. Disserencia tan-
dem in nihilum eranescenre, seu (quod ceomerristancundem cst) in quaris al
sisnabiliminorem.
Sic Lyperbola ejusque Nsimptora, censendae Tune si in infinicum continuentur
Coiturx. Similiterque Conchoeides ejusque Regula. PArItTQUE ALyMMPTOIX omnes
in Geometria, quarum ingens elle pocerie mulciendo.
Dico autem diserre (quod apprime notandum est) Sic continue approxinquan-
dum else, ut distancia, teu disterencia, candem prodeat quavis assienabili mnor.
Ouippe, nisi hoc interponatur, tieri omnino porest in intinitum appropinquatio,
quae tamen non censenda siceranitura.
Verbi Gracia. Si exira Fyverbola AO ASympTOtam C M ducatur huic parallela
recta

## Folio 310 — 851708439:0334
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000334.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
P B 
Cap.
cum elt, Hyperbolam, non minus adt Latallelam tranc, quam ad Asympiocam si-
am, continue appropinquacuram. in intmitum: nec tamen censenda lune tandem
Corurae; Sed diltantia leniver futura est major, Palcem non minor, quam est A-
Cymptorae distantia ab illa Parallela: cum FIyperbola, eriam in infinitum continua
carem, adeoque occursum cum Alymproca, cediri tandem supponatur in Conjusata
Hiyverbola: Duo casu quidem suppotico, occurret huie parallela Fyperbola con
Isata; Oux non incommode centeri polest pars Systematis Fyperbolici, ex, qua
ruor Frperbolis conjusatis compositi, ut est Fllipss Circulutre ex quatuor Curvis
areubus lemutuo continuantibus: Or iit FISura C ap. 93.
si in intinicum continuentur, libi invicem et cum Alympioris rectis coire. NOn
choaris est inaequalicas, propter spacia hyperbolarum divertarum curris incer-
jecta, persererabie (ex quidem ausebitur)
in progrettu: Nec unquam eo pertinget,
ue ditterencia (IC, quam data MInOE. ACa-
men; si intra caldem Alymptoras rectas,
Plures plurelque continue incerpolitas incet
lisamus Eyperbolas Asymptotas, quae (de
crescente tranfrersa diametro) continue pro-
DiuS accedant ad eas Alymprotas rectas:
spatia, his curris et rectis illis interjecta,
continue decrelcere manifectum est, iia ut
CaI proveniat spatium dato MIIIIIS; adeoque, extraucta intinitate, ulcimam
hyperbolam cum rectis Asymptocis coincidere; spatiumque hac ultima hyperbola
inclusum, idem tore cum Priansulo ACymprocis rectis inclulo. Sire, quod idem
elt; Hyperbolarum inera caldem rectas Alymproras describendarum leries, decre-
Scente continue diametro trantrerta, et tandem cranescente, degenerabit tandem
in Triansulum: quo continue proxiuis accedunt, prour decreseut crantverta dia-
MetET. EF quidem, si supponatur Hyperbola cujus cranlrersa diameter sit D =0.
haec FI perbola est Friangulum.
Hlac igiur condicione omnino opus ett; quod ita continue appropinguetur, ut
differentia randem fucura sit quavis assrenadi mnor. Sed, hac caurione incerjectar
valer IIIa de continne approxinguantibus FLOPBLITIO.
Hine est, quod Circulus censendus est coincidere, cum (Inscripto, vel Circum
Seciplo) Polysono regulari lacerum numero intinicorum. Aliaque similia.
Polculacum hoc, (Duod, Duarum Maeniadinum Lnaequalium, excessus ma
joris supra minorem non possit esse tam parvus, quin possit ila Mulcipiieari ul
utramvis superet, ahande quadis esasae feneris maenitudinem,) Non Lu
clides cancum (ex del. 5. lib. 5.) Sed Archimedes pallim altiunic, prour fext oc
aic ipsen anie ipsum Calum) non poile dune Maenitudines inaequales rau
rille
recta P; quae una cum Fyperbola, suxponatur in infinicum concinuanda: Cer-
ta, nunquam transicura sic Alymprotam Cuam. Saltem, nl, post decurlam intini
Pariter in. HIyperbolx PlanO. Si intra caIdem AIMPEOtaS reCtaS, CM, CM
intellisantur deleribi plures Lyperbolae Asempocx; quae omnes intelligenda sunt
tamen censenda erunt Spatia FIyperbolica, ucut in intinicum continuata, aut I.
ter se, aur cum Priansulo ACymptotis interjecto, aequalia. Sed ea qua in in-
calio, in quocunque genere magnicudinis. Vr (in praetarione ad Cuam Para
bolae Eudraturam,) de Spatus maequatibus: LGue IMdicat, id ipsum (ab sque
omni letpulo) ab alus ante Ceomectes upacite ume, probando, Circulos esse
in Dupilala ratime Diametrorum suarum: Sphaerasque in Avium suorum ra
tione Spheata; item, Ppramidem esse trientem Prymaris, e Conum Cylindri
ejusdent basis e altitudinis. Ouodque Propositiones sic demonstratae, non mi-
nus pro demonsiratis habitae sunt, apud Cicometras, quam in quibus demonstran-
als hoc temma non adhibetur. Idemque (in praetatione lua ad librum de Lineis
decratibas) Doltulatu de Lineis inaequatibus, e maqualibus spatiis. EL (in prie
tatione sua ad librum de Sphaera e Cylinaro,) de Lineis, Superficrebus, e S0
nais inagualibus. Et (in PrO. 2. ejusdem libri) idem probac univerlalirer, de
Maenicudinibus quibuscunque: Nimirum, sxpositis duabus maenitudinibus na-
quatibus (cujuscunque Beneris) assumi posse duas Lineas, quarum major ad mi-
norem, proportionem habeat minorem, quam habet maenitudinum illarum major
ad minorem. Maniteltum icaque elt, ex opinione Archimedis (aliorumque, ue

## Folio 311 — 851708439:0335
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000335.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
CaD. L XXIV.
A L G F B R A.
eillo inter se disterre, quin possic carum disserentia sic mulciplicari ut major eva-
dac carum veraris, aut alia quaris quae ad illas ullam habeat proporcionem.
Consequenter ad hanc nocionem (quod Suppolica magnicudo cujuscunque
generis, quae probari porest minor quaris astignabili, nullam habet in eo se
nere magnicudinem; quaeque cancillo disterunt, ommino non disterunt:) ego an
rehrac, in cractatu de meuto Contactus (anno 2656, inter alia cdito) oltendi
cum Delerario contra Clavrum) quod (qui supponitur) Aneulus contactus est
nullius magnicudinis angulus; eltque ad angutum realem (sire rectilineum, sive
curritineum, sire mixtum,) ut o ad numerum; aut ut Punctum ad Lincam
(quod e Clavius admicrere videtur in Scholio luo ad prop. 8. lib. 5. Fuchais.
Ouod quidem cum videatur nonnullis Paradtoxum, fuitque Objectionibus aliquor
impecitum; Putarerim hic loci nonnihil addidisse quo diluantur objectiones illa.
Sed cum illa videretur nimia digressio: rejicere vitum est (cum aliis cracta-
tiunculis) ad Appendicem, huic operi subjectam.
C A P. LXAI
De Carallerii methodo Indivisibilium.
Exhodus Fahaustionum (per continuam Inscriprionem de Circumseri-
prionem tisurarum, doncc earum inter se difterentia cractat quaris al
Lsignabili minor) est aliquanto deformata, in ea qua dici jam Tolet C eo-
metria Indivisibitium Ccu Meihodus Indivisibilium: A Bonaventura Cavallerio
primitus incroducta, in tractatu ab ipso primum cdito, AnnO 2635: LF potL.
modum a Foricettio illustrata in operibus suis Anno 1644 cdiris: EL porro ab
ipso Cavallerio, in alio Fraetatu ab illo cdico, Anno 1647. EAque ab aliis, post
ea tempora, agnita e approbata.
Estque haec, reapse, non alia ab antiquiori Extrauctionum methodo, (ab AN
tiguis pariter et Recentioribus admicta,) eodem nixa fundamento, et inde demon-
Prabilis: Sed aliquanto detormata, es obscurius quidem, sed compendiolius era-
dita. Quod ego antehac octendi, in principio C ap. 4. tractatus De Motu,
Secundum hanc Mechodum, consideratur Linea, quali ex innumerabili Puncto.
rum multicudine constans; Supersicies, Linearum (rectarum aut currarum ut oc-
calio culeric;) Solidum, Planorum, aliarumre Superticierum, ue res postula.
verIt.
Auc circulus (Forre) ex innumeris Sectoribus, sire Priangulis: Sphaera, ex
innumeris exramidibus: Sumiliaque prout constructori cuilibet expedire vide
BituIE.
Sic (verbi Gratia) tupponendo Parabolam APBB, ex
innumeris Rectis contici, bali BB parallelis, quarum una
sic P P; acque Friangulum inscripeum (ejuldem balis de
alticudinis) ex cocidem quarum una sIc TY; es cireum
Scriptum Rectansulum seu Parallelosrammum ex tocidem
quarum una sit CC. Jam, si probetur, Rectas illas omnes
PP in Parabola, ad omnes FJ in criangulo, esse ut 4
ad 3; e ad omnes CC in Parallelosrammo, ut 2 2d 3
Tinc concluditur, Parabolam ad Friansulum este ut 4 ad
3; e ad Parallelogrammum, ut 2 ad 3.
Pariterone in Solidis: Supponendo Conocidem Parabolicam ex innumeris Cic-
culis contici, quorum unus sit PP; et inscriptum Conum ex cotidem, quorum
unus sir T P; e circumseriptum Cxlindeum ex coridem, quorum unus (L CC:
Jam si protetur omnes illos circulos PP, ad omnes J F, este ut 3 ad 2; alque
ad omnes CC, ut 3 ad 6: Hlinc concluditur, Conocidem Parabolicam, in cildem
racionibus esse ad Conum et Cslindrum.
Similicerque, in alis calibus, de superticiebus, solidis, aliitre magricudinibus
quibuscunque.
Sar

## Folio 312 — 851708439:0336
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000336.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
L C F B R L
Cap. I. XXIV
Jam vero haec non ua intellisenda sune (quamris verba lic lonare videan
Cur,) quals Lanea illae (quarum nulla est Lacicudo) complere possent Super-
ficiem; aue Superticies planx aliare (quarum nulla elE crattiries) complere S0-
lidum: Sed, per Lineas, intelligendxe crune minucula Superticies (ejuldem cum
lineis illis lonsitudinis, sed lacicudinis exioua,) quarum omnium (quoccunque
tuerinc) lacicudines simul sumprae, alcicudinem aequenc illius figurae quam lupo.
muntur complere.
Et limiliter, per Superticies illas Circulotre, intellivenda sune Prilmata CY.
lindrire, ea tenuitare, ue simul omnium Crastiies seu Alcicudo, aequalis sIt AI-
cicudini illius solidi quod Cupponuntur complere.
Cum ipicur dicitur, Parabola, Priangutum, aur Parallelogrammum, ex totidem
Lineis constare; auc Solidum ex tocidem Circulis; (Similiaque:) tantundem cst
aclI diceretur, Constare quidem illa ex coridem tenuibus Parallelogrammis, Soli-
dumque ex cocidem tenuibus Cylindrulis, (pariterque de aliis,) uc eorum omnium
(quoreunque Fuerinc) alcicudines limul sumpex aequales sint alcicudini illius Fgu
rae quam componunt.
Jam quidem verum est; Ejusmodi minuta Parallelogramma complere porte ex-
acte grandius illud quod componune Parallelogrammum, Cy lindrulosque Cylin-
drum, etiam secundum Coeomerricum rigorem. Scd in Triansulo P’arabolave,
aut in Cono seu Conocide, id quidem tieri exacte non porest: (ut qua ex Pa-
rallelosrammis aur Cstindrulis non componuntuT.) Actamen catenus verum est;
posse quidem ex ejulmodi Parallelogrammis contiei liguram Friangulo seu P’ara-
bolae inscribendam aut circumseribendam, et ex Cylindrulis inleribendam aut
circumleribendam Cono vel Conocidi, quae ab illis difterat maonicudine qua
minor Cic quaris astignabili: es quidem quae ita continue minuatur, prout au
secur Parallelogrammorum illorum aut Cylindrulorum numerus; adeoque li haec
Cuipponantur intinite multa, erit ea difterentia intinite exigua, adeoque cranitura.
Sic (verbi gratia) Supposiris in Friangulo rectis bali Parallelis (aequalibus
incorraIlis dissiris) uE O, E, 2, 3, 4 5, ecc. Si harum lingulis, excepta maxima.
interne subjungatur Parallelogrammum (tantae lacicudinis quantum est rectarum
interrallum;) trabebitur tigura Inseripra: si singulis excepta minima, superne
apcetur cale Parallelogrammum; habebitur ligura Circumseripea. Ouarum quidem
Pisurarum (Inseripex et Circum seripexe) ditterentia inter le non cst major (d
ab ipso Priangulo acthue minor) quam cst Paralselogrammum illud quod ad.
jacet rectarum maximae: Cum interim sic augeri porest rectarum numerus (adeoque
minui lacitudo Paralleloerammi) ue tandem fiat Parallelogrammum illud dato
minus. Sec gedem li rectarum lingulis (HOI exceptis minima maximare) apte-
cur suuu Parallelosrammum: Figurxe lic consecta alcicudo, ab alcicudine expoTitX
non plus disteret, quam est unius Parallelogrammorum alticudo; qua (SuPDOTIcS
rectis numero intinitis) minor erit quaris astignabili.
Adeoque, omnes hujusmodi trianguli Rectae; hoc est, omnia illa P’arallet0e
ma his rectis adjacencia, (sre eximatur, sire non eximatur, minimum maximum
ve;) dummodo supponantur illa numero infinica: differunt dato minus ab expo
Sico Priangulo. (Pariterque in aliis casibus non absimilibus, de Superticiebus, se
liditre.) Ouxe non alia eAt quam Extaustionum meo  IniS exPOlIca,
et compendiotius
m
POlLI

## Folio 313 — 851708439:0337
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000337.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
LL L  F B R A.
ap. I
Porest iditur haec loquehdi Formula (recte incellecta) cuto adhDet, u Tal
ouidem _ latis demonttattra. Cu LoH alia lc reaple, (utut compenaiolus ex
Atque sic celebris illa Archimedis propolicio; Sphaerant
esse Duos Frientes Cylindri circumscripri; tacile demon-
ltrabitur. Suppolicis enim (uc in tigura) Cylindro, HC
mispliario, ec inverso Cono, ejuldem balis de alticudinis,
Planis secaribali parallelis, quorum unum sC CSKDC,
Ouoniam quadrarum recta SD, MM (ubique) aequale
quadrato rectae (OS seu) GD, dempto quadrato (OD
(eu) DK; EL. Consequenter (.cum Circuli lune inter se ue Semidiametrorum quadra-
+omnes Circuli complences Hemispaerium, aequales omnibus complenribus
Cylindrum, dempeis omnibus complentibus Conum: FrgO, CyInaus dempto
Cono, est aequalis Flemisphario. Pr consequenter (cum Conus sic Cylnat cri
ensemphatu c Duo Eee Efut libi cireumleripit. ADHC 1O1
Sphara, duo criences Cylindri crreumleput oplala.
volita,) quam recepta dudum methodus Exhauctionum.
E A P. LXX
De Arithmetica Infinitorum.
Z eodem tumclamento cum E xhaustionum methodo, seu continuis ApprOxi.
 mationibus: Otensum c, in mea Insinitorum Trithmorica;
Primo; Ouod in serie magnitudinum, in Arichmerica Proprestione (ab 0
Leu nihilo exorla,) ut o, L, 27 3, 4, 5, ec. quarum ultima Cic L, ee mulcitudo seu nu-
merus terminorum m: Axresaum omnium est Z m l; hoc c, semillis cocidem
maximae aequalium.
Onde intertur; Friangulum este semiltem Parallelogrammi ejuldem balis de alcitu-
dinis. Tcem, Conceidem Parabolicam, semillem esse Cylindri. Aliaque ejulmodi
Deinde; Illorum omnium quadrata, si sint numero linita, majora tinul elle
quam sm lh (xiencem conidem maximo aequalium;) excellum vero temper ette
21
mII rel (DOTiton =m = E,) = mIL, Icu . (eam partem coridem maxi.
nost
6m0
mo aequalium, qux est F iptiusOn.) Hoc est, Si n== m = + (numerus cermi-
norum dempro uno, seu terminorum consequencium 0) lit L; summa est 5 F s ipfi.
us m II: S1 n = 2; summa cll = f i2 ipsius m II: Sin = 3; Tumma 5- f ,8 ejuldem
mil; ec. Dui quidem excellits s, in res ec. ita conrinue decrelcune, prouc ause.
tur numerus cerminorum inter o et l incerjectorum, ut candem tiac. = minor pro.
porcio quaris altignabili; e, si in intinicum continuetur, cranescaE.
Adeoque, Omnia Ouadrara ejusmodi seriei intinicae, 5 m 11. + = mII, tancundem
erunt atque  m II Hoc est, Friens coridem maximo aequalium.
prove hine intertur; Conumaut Pyramidem, este, FPriencem Cylindri aut Pris
matis. ejusdem balis ee alticudinis. Ttem, Complementum Parabolae, crientem esse
circumscripii Pacalleloeramm. Et Pacabolam iplam, este ejuldem Duos cientes.
Aliaque ejusmodi.
Sumilier; Ouoniam omnes Cubi corundem 0, 1, 2, 3, 4,5, ec. sune plusquam
mtII; nimirum = m III + = m III: Hloc est; Sin = +; + + : iptius m III: Si
n = 2; a F si ejusdemm IIl; Sin = 3; a +  ejuldem, c. P. Xcettu = hic con.
tinue decrescente prout augetur n, uc tandem tiat minor quaris parce altienabili:
Si iaque numerus cerminorum supponatur intinitus; censendus est excestus ille
cranelcere.
Adeoque;

## Folio 314 — 851708439:0338
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000338.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
A L C F B R A. C ap. I. XXV
Adeoque; Cuborum iltorum intinica series, eric = m III: Bars quarra coridem
maximo aequalium.
Acquetime intertur; Parabolocidis Cubiea complementum este, a Parallelogramt
mi circum seripei: Iplamque isicur Paraboloeidem, & ejusdem Parallelosrammi. A.
liaque similia
Similiter; Ouoniam Series Biquadratorum, aliorumque ascendentium ad pocelta-
tem Onintam, Sextam, Seprimam, sc. Pune plusquam 5, 5, 7, 3 _c. Seriem totidem
maximo xqualium; Ped excectus continue decre(eit prout ausetur numerus termino-
rum, e tandem eraneseit: Sune isitur series illae, si supponantur in infinitum con-
tinuatae, 3,5,  e ec. cocidem maximo aequalium.
Nimirum; Deo Biquaceacis, si series sinica sie, Aeerexacum est = m H . f. 3= ma
+
SM mb. HoC Cs = + 3 +
dem maximo aequalium.
T2. n nB
qualium.
2
+
=
Teriei cori-
Z21
ero Sexranis (hoc est Ouadratis Cuborum, seu Cubis Ouadratorum) ABBrCSA-
cum cs = mF j- 5 mI + m V-
143
gnr
zunn
p1-
genun
42. n n B n H
mF. Seu (Posito I = n, ) : mV + 2 m B + 3 m B = , m B = i- m V + 42 m 1:
(dt pariter in aliis.) Hoc ett, =-
an hnn hmun aennuu a nmun
ipEUS m P, leu Periei tocidem maximo equalium.
Et pro aliis porestacibus similiter; ue ibidem docetur.
Obi maniteltum est, quod (prout numerus terminorum creteic) exceltus su-
Pras 33 2 5, 6, 7 (e lic de exeteris) ita concinue decreseit uc tandem tiac quoris
altignabili minor, adeoque si in intinicum concinuetur eraneleit.
Hoc est (univertim) Ot F, ad exponentem respectivae potestatis (sen numerum
dimentionum) uno auctum: Sic est bujusmodi insinita series pro ea potestate, ad
seriem totidem maximo aequalium.
Duod incellectum relim, non cancum de (expositorum drichmetice proporrio.
nalium) Ouadraris, Cubis, caeterisque poreltaribus ascendentibis: sed de Corun-
dem radicibus Ouadrarieis, Cubicis, dec. item de Compotiris ex his auc illis aut
uerisque; e horum omnium Reciprocis. Intellisendo, per Exponencem Lateris,
Ouacrati, Cubi, ecc. numeros inceeros, 1, 2, 3, Scc. Radicum vero Ouadraricarum.
Cubicarum, ecc. numeros Fractos, Z, Z, _c. FF Compolitorum; puta, Radicum qua
dracicarum Cuborum, Radicum cubicarum Biquadratorum, _tc. 3, 3, c. F.L Rcci.
Procarum,
Hinc ibidem intertur: Ouadratura Parabolarum et Parabolocidium omnium;
Magnicudo Spaciorum Spiralium; Trem Figurarum incerminatarum, quarum Lon-
gicudo supponacur intinica sed Area tinica; Kigurarum icem solidarum incermina-
TaruIM. Aliaque hujusmodi mulra.
Vel etiam (mittis nominibus Ouadtratorum, Cuborum, _c.) idem sic exponatur
simplicius, et univertalius. Series maenicudinum seu quancitatum (numero infi
niearum) in ratione simplan Duplicata, Triplicata aliasve mulciplicata, Arithme
iice proportionatium 0, L, 2, 3, 4, dec. (incellectis rocibus Duplicata, Priplicara
Mulciplicata, ecc. eo tentu quo detiniunrus ab F velide, 50 det. lib. 5. quo vocibus
jam ulitatis Ouadraci, Cubi, ee caererarum porestatum aequipollent:) aut Subdu-
plicata, Subtripticata, aliasve Submultiplicata; aut Subduplicata triplicatae vel
Subcriplicatae, aliasve composita; aut in barum quarumvis Reciproca; aut in (eo
rundem 0, 2, 27 3, 4, 8c.) ratione sic a numeris inteeris, fractis, surais, vel neca
tivis denominanda: est ad seriem totidem Srimo aequalium; ut 2, ad seriei expo-
nentem uno auetum.
Potestares.

## Folio 315 — 851708439:0339
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000339.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
Poceltates. Exponentes. Rationes.
Cap. LXXV.
Vaca = ava
Va =aaVa
au
al l a A
13
ad 
12 Seu 2. 3.
 3. 4.
: 2. 5.
2. 33 : : 3. 10.
F
.. L. +
in
F. 23 :: 3. 8.
Edi
elco
F. T.+ V
c.
Fosdem Indices seu Exponentes rerinet Vir Claristimus Isaacts NerToN (Ma-
cheseos Proteltor erudicissimus in Celeberrima Aeademia Cancabrisiensi) in Nota
tione Tua. Oui
PrO F. a. aa. aau. Va. V’a. Vaua. .
Va
adhibet a. a. a . a. az. a3. a3. a  a 2. _c.
Similiterque in magnicudinibus Compotitis seu Plurimembris;
Deo Q: RR = aa: V: RR - aa. eec.
actibet RR = a aj  eii R R = a a (2. _c.
Ouam amplae lacicudinis sit hac una Propolicio; quamque innumerabilem in se
continet mulcicudinem earum rerum quae lingulatim censebantur olim protunda
speculaciones et latis stupendae; dudum ostendi: extribito amplo specimine ca-
tuum ictiusmodi, cum in crichmetiea Infinitorum: cum in eractatu de Cycloide,
quique illi subjunsitur de Curvarum linearum e superficierum Rectificatione 
Complanatione; in Mechanicis item, sive De Motu Practatu (Cap. 5. Scc.) acque
alibi pallim. Ouod et plerique omnes harum rerum Cudiosi jam intelligunt, e
sponte admittunt. Ouaeque in concrarium a nonnullis objiciuntur, sune nullius
momenti: neque me magis Ceriunt quam Fuolidem, Archimedem, et exeteros qui uls
Cunc mechodo Extraustionum.
seuil

## Folio 316 — 851708439:0340
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000340.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
A P. LA LVI.
Flujus ad Coni sectanes accommodatio; aliaque Solida
Plano secta.
temonanter ad hatue doctrinam sic tradicam; F. xhibui dudum in Tra
Ctatu brevi (una cum Prithmetica Infinitorum edito) Compendiolam
quidem, sed _ perspicuam, tradicionem doctrinx de Sectionibus Coniois
(proue diei Colent) Peu Curris ex superticie Conica plano secta oriundis; tigu-
risque quae hujusmodi Curris cerminantur; aliisque quae eo spectant.
Oux quidem doctrina, tam perplexa ee iniricata tuu ance habita; uc plurimis
Mathesm aftectantes, inde tuerint decerriri; difficultarem insuperabilem Formidan.
tes. Ft quidem eo usque, ue ob tranc (credo) causam, perierint posteriores qua-
cuor libri Conieorum Spollonii Pereaei, (quippe, ex octo quos scriplir ille, non
nili quatuor supertune: ) cum non tuerint qui operx pretium pucaverine coldem
(Parum intelloctos) exscribendo ad posteros transinictere.
Verum quidem cst; doetrinam illam magna cum subcilicate, e protunda cru-
dicione, accurate tradiram elle ab spollonio, (qui nomen inde obcin ic Maeni
Geometrae:) Dux ab aliis anre illum tuerar admodum impertecte tradita.
Ouipre, qui ante cum tuerant, videntur, non alium Conum considerasse quam
Conum Frectum (ab Fuclide detinitum,) non item Scalenum. Nec, in uno
Conorum genere, plures quam unum sectionum genus: Nimirum, Parabolam in
Cono Rectanculari dicto, (cujus sectio per axem foret Prianculum habens in
Coni Vertice Angulum Rectum:) TErperbolam in Cono Obtusanculari dicto.
(cujus sectio per axem habeat ad Coni verricem angulum Obtusum:) FL, FP
lipsin in Cono (ob similem causam) Acutanculari dicto.
Acque hinc clt, quod Archimedis liber, Duadratura Parabolae jam dicta, P ara-
bolam non illam dieut, Led Rectanenti Coni Sectionem. Onippe, nomen Parabola
nondum obcinuerat ea sectio, ancequam id ab spoltonio tuerat eidem inditum:
qui icidem ostenderat eam in omni Conorum genere (non minus quam Rectan-
sulari) repercum iri. Paricerque de iis quibus LEyperbolae et Lllipseos nomen
indidic.
Ft quidem merito centeri posset ille, Maenus Geometra, ec prodisiolae tum
etrancalia cum Memorix vir; si Posibile puremus, ut pocuerir ille propolitiones
cas et demonstrationes perplexas, eo ordine invenire quo ad nos perreniunt;
absque ejusmodi aliqua Inveniendi Arte, qualis est quam nos silsebram dici
MUS. 11
Sunc aurem in hrac Conicorum doctrina, dux res (admodum diver (X) Separa-
im considerandae. Primo, OuX FiGUTX aut CurVX linex OriUntE ex Sectione
Coni (et Cylindei similuer) Plano facta, pro raria Plani posicione. Sccundo
Ouanam est nacura illarum Pigurarum sire Currarum lincarum, simpliciter consi.
deralatum, absque respectu habito ad suppolitam hane sectionem Cont.
Primum lorum quod spectat; Congruum plane est, et omnino necectarium,
Solidum iptum considerare (quod ab spollonio factum est,) indeque demonstrare,
qualis fucura lu Figura Peu Curra lined tali sectione oriunda.
Adeoque Seire demonstrat spollonius Pereaus; Si Conus plano secetur, oriun-
dao inde (prater Trianeutum ee Circulum) eres illas, Parabolam, Lyperbolam
ee Fillipsin; non alias. Et Serenus Antinsensis; ( Cytinarus plano sccerur, ori-
undam inde (prater Cheuulum e PalacetoSrammum) Fillipsin Lolam: atque hanc
Cunque Parabolam, LEyperbolum e Allipsin, Lic a Sectione Coni deriraverin;
etiam ab ipso Cono demontuant (et scire quidem) sectionum harum Nacuram
(FF Claudius Midoretas, u Apollonu doctimam in arctiorem aliquanto For.
mam concraxic, id ipsum sib. albet proposicum.)
Rrationem
pln ejusdem ese natura cun Ca quae sic sectione COnI:
et AFectiones

## Folio 317 — 851708439:0341
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000341.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
Cap. L. XXVI.
A L G F B R A.
Pacionem cur sic procesterine hanc tuiste judico. Cum Fuchdes (in Polularis
libri primi) Solam Rectae linea e Circuli constructionem postulareric: id quod
his duobus construi non posset (hoc est, ope Reculae e Circini, ab sque alio in-
strumento,) dicebatur Geomerrice fieri non Polle; quipDe Veteres, Det Geome-
tricam constructionem, id intelligebant quod lic conttrui pollet. Adeoque Du
plicationem Cubi, e Frisectionem Aneuli, Similiaque, dicebant, Geomerrice teri
non posse.
Cum vero Fuclides ad Solidorum libros perrenic; novum ibi (caeite) intro-
ducit Postulacum: nimirum, Pani conversionem. Et (hoC suppolo) Conunt
construi convertione Rectansuli Frianguli; et Cyiindrum, conversione Rectan
suli Paralleloscammi; Sphaeramque, convertione Semicireysi.
Oui vero (quas dicimus) Conicas Sectiones sibi considerandas proposierunt:
cum perspexerint non posle illas his modis construi, (quipue Resula et Circint
construi non poltunt illa Currae; Sed neque Conversione plani:) necectarium libi
viderunt (pro illis construendis) aliud porro altumere P’oltulatum: Adeoque in
hunc tinem introduxerunt Solidi Sectionem a Plano factam- Aliique, in alios
tines, alias iticem constructiones admilerunt. Ve Prchimedes, Compositionem Mo-
ruum: Puta; motum Rectae, Pimulque mocum Puneti in ea recta lic mota; pto
construenda linea Spirali, cum qua est in Plano, tum qua est circa Cxlindrum.
Aliique alia.
Cum ieaque hane sectionem Solidi plano lactam considerarerime ui limplicitti-
mam harum Currarum constructionem seu ettectionem; Polleque per talem Coni
sectionem has omnes contici: hanc altimplerune; indeque has Curras Coni sectio-
nes appellabant: acque ex Cono demonstrare lategerunt carundem aftectiones.
Acque hinc orcus elt processus ille saris inrieatus quo hac in re uli funt Apollo.
nius, aliique Conicorum scriptores. Oui quamris perplexus quidem sit; est la
men naturalis, ec ab ea constructione sennine deductus.
Sed praeter supposicam hanc Linex l’isuraere conttructionem, est porro aliquid
in lic constructa natura, quod potest abstracte ab ea constructione considerari:
quodque eam comicatur etiam alias construCtaM quam vE SUPPONIEuT. Verbi sIa
ita: Circulus (secundum Fuctiais Constructionem) ralis eAt figura ut qua de
seribi postit circumducta recta (donec eo redeat unde moveri CaperaT) Cjus ex
tremum unum maneat fixum (eo loci quod Cencrum dicimus) reliquumque (in
eodem plano) deseribat Currat; (quam dicimus CirCum (CFENEIAM.) Sed e Porest
Circulus alicer construi (monstrante Spollonio) Sectione Coni plano bali paral-
telo: Ve (ut oltendit Screnus) Sectione Ostindri plano itidem bali parallelo:
Vol etiam (quod ostenduns alii) Sectione Spharae plano uceunque polito. A1
interim omnes li Circuli (uicunque constructi) ejuldem sunt naturae, caldemque
habene altectiones eo spectantes. Idemque de Friangulo auc Parallelosrammo
dicendum oric: Sire construaneur (ut Fuclides docet) ductu Rectarum in Plano:
sive secto Cono per axem, aut alias per Verticem, pro Friangulo; auc secto
Cxlindro per axeu auc sicu huie parallelo, pro Parallelogrammo.
tistque hoc, Secundum illud qualicum quod in Conr sectionibus consideran-
dum dixi. Nimirum, Guxnam Tic carum nacura, abstracte considerata, ab hac
quae supponitur constructione: quaeque eas ubique comitatur utcunque con-
Sructas.
Fr poo ihidem (breritet sed perspicue) contiderari; eximendo eas d Cono,
ee abstracte considerando ut tiguras in Plano deseripias, absque illis ermi Cone
implicationibus. 111i.
Sed e simul ostendiu Fds iplas Pisuras sic in Plano abstracte consideratass cat
dem este cum illis Sectione Coni Factis.
Ouam commodum BI, Coniestum Elementa Be abstracte cradere, tacile ver
cipiane quibus libicum exit haec tea cum eis quae ab aliis ante cradita FueManE
comparare. 1. Non seio camen id d quoris (me priore) actencatum suiste. PSec.
Post id tempus Toannes de Wure tale quid deprestus elt quod Francisens Sehoo
tenius inter alia edidir in secunica parte (ua Creometria Carrestanae, AnNO 1850.
Idem eso timiliter post praectiri, in Sectionihus alcerius solidi magis actiue
compotiri, (cui Gono cunei nomen feci,) in brevi Fractam huie operi lubjuncto.
Arque, ael candem lorms poreries cui iet libicum eties altorum dolicorum se
ctiones contiderare.
tiAtque

## Folio 318 — 851708439:0342
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000342.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
C aD. LLX
inquisitionis subjectum, et de quo spectatim quaritur, ab eis materia implica
tionibus (alienis quidem et accidentariis) quae in praesenti calu e particulari
constrictione lunt cum qualico principali COMCNa.
quod lpsi putane, masis Geometricum) Linearum _ FIgUTaTUI MAGRUIM aPPa
Intinicorum Arichmetd.
A L GAF B R A.
Alque ob hanc rationem, cum altos videam (quo quid grancius appareat; ,
lalum aftectare: Matim eso (cum lixc line plane accidentaria) rem univerta.
luis demonstrare, ex abstracta Proporcu consideratione, et regularium PrO-
grectionum. Ononiam DeMonstrationes Arichmetieae (ex proportionum natura
Petitae) mazis Abstractae TuI, alesque magis universaliter applicandae; prouc
Fstque haec Abstractio Mathemarica (prout loquuntur Schola) eximii utis
in omnigenis rebus Machematiets: IH qua, Separanus id quod elt particularis
calus rarii postularerine. Ad quod quidem cso praecipue intencus eram in hac
L. L.X L V
Ejusdem ad Rectificandas Curvas Lineas, e Supersi
cres Carvas Complanandas. Accommodatio.
A Candem doctrinam Prolequens; Fas Series seu Progrectiones in mea
Arichmetica Intinitorum abstracte consideratas, achibeo (inter alia) ad
 Lineas Curras Rectiticandas, et Curras Superticies Complanandas: Oui-
bus non minus accommodari possune illae Series, quam ad Figuras Currilincas
Ouadrandas. Ouippe exdem ipsae methodi quibus (hujus ope doctrina) Figurae
Currilinex ad Rectilineas redueuneur: pariter inserriene (li rite achibeantur)
Dro reducendis Curris Lineis ad Rectas; Currisque Superticiebus ad Planas.
Flujus exo specimen primus insinuari in Fribus Propolicionibus, in Scholio,
DrOD. 38. Rrichmerica Intinitorum.
Ouippe cgo cum animadrerti; quod, E Cur-
ra lic tuerir consticuta, uc ordinatarum ad axem
ditserentiae (sire ad concaram live ad con-
vexam Currae Partem) aequalibus intersticiis
Tumprarum, sint uc Raclices Ouadracicae nume
rorum in drichmerica Progrestione, ut V o
V E, V2, V 3, SC. (pTOuE sune ordinacx in
Parabola,) adeoque iplarum quadrata, ut 0,
29 3, _c. IIxc quadeata, aucta quadrato
communis interralli ordinatarum, (puta, 49 qua
drato numeri, 2,) crune aequalia quadratis lub.
tenlarum porciuncularum Currae his ordinatis
incerjectarum; quae Iaque crunt ut quadrata
rum in ejusdem Parabola TTUNCO; DUTa, ut 4, 5, 6, 7, ec. Oua qui-
Non aurem cum temporis latis considerareram, cujus senelss torer illa Curra
Cunque non tum vacabat (currence prelo, operisque ursencibus, dum haec pri
Sequente AnnO 2657 Guilielmus Leit, Lquicis Pauli Alius, (hoc indiciume
nactus,)
cum omnium Tubrenlarum harum, sel Porriuncularum Currae. ) Duxe quidem
ratio (cum nOta AE Parabola quadratuTA) CIL BOT FaLIO.
ulim cositabancum) rem prellius ursele. Spechra lalrem aliquor quae huc ien
debane (curris quibusdam inter se comparaiis) extibere contencus; poseque cur
vam rectae aequalem dari, aperto protiteri, et demonstrare, (quod ibi factum est;
LCHT (PTOUTMINC CTaL) cructam actiue st impetlectam ibidem reliqui; post aliquando
ordir
dem subrenx in parcibus intinire exiguis, censendae Tunc cum CUEIX POrtiunCU
lis coincidere. Adeoque erunt uc ordinaca in irunco ejuldem Parabolae. F1
consequenter, Vc talis Parabola, ad ejusdem Pruncum quendam aequialtum; lic
erit BaliS (seu axerexacum omnium ditterentiarum) ad Curram; (leus ad agxrepa.
relumendam. Prouc ibidem liquet, in Prichmetica Insinitorum, AnnO 1656 edita

## Folio 319 — 851708439:0343
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000343.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
Cap. I. XXVII.
A L G F B R A.
nactus,) Curram istiusmodi a se constructam, aequalem esse exposicae rectae, de
monstrabat: e post eum, alii: D. Christophorus Wren; D. Vice comes Brouncher
D. R00 e e50, (E non ec alii.) Sed, cujus naturae fuerit ea Curra, nondum
animadrerrerant illi (nec crane solicici) donec eso, inspecto operis procestu
indicabam. Paraboloeidem ctC; eique nomen teci, Paraboloeidis Semicubicalis:
In qua nimirum, Cubi Ordinatarum (a curra convexa ad tansentem verticis.
Ut aXem) sune ut Ouacrata Diamerorum (in illo axe) interceptarum: Adeoque
ipsa Ordinatae in Diametrorum illarum ratione Friplicoca subduplicatae, seu Sub
duxlicata triplicatae. Sumpto autem Axe altero, ad Curra Concaram partem, Or.
dinata ad hunc axem erunt in Diametrorum (ibidem) intercepcarum ratione Sub.
eriplicatae duplicata, seu Duplicatae Cubriplicata.
Estque Velius hic (quancum cgo quidem seio.) primus omnium qui Curram
altignaric Rectae aqualem; quem stacim excipiebant (uc diximus) aliis ex Gre-
samensi Societate (quae poltea Socieras Regia dici ccepic) cui Socierari res ea
stacim crat indicata, aique ab illis agnita et approbata, et publice pastim nOL.
Non ignoro quidem, Clar. Christianum lucenium (ad prop. 9. parris cerrix
Cui Tioroloeri Oscillatorii) Subdubicare num Neilius eo tempore Curram illam
Rectiticaverit, an eo rantum prope accellerit. Sed res erat nocoria, plurimisque
ROta (AE quae Fuerat in SoCietarE Greshamensi palam expolica,) acque a muleis
Dostmodum eodem anno demonstrata, uc res cum esse nova delierit. AIque FIU
genius ipse (literis mox ea occatione seripris) hanc luam suspicionem eito re.
cractaric: _, expressis verbis permilir, ue seripris publice editis res ea Nehio de-
nuo altereretur. Cua occalione Pres illae Epistola (Brounekeri, Wrennii, mea-
que) Philosophicis Transactionibus inscrebantur, mense Novembri, Anni 1673.
Polt hoc a Nehro primo indicatum, acque ab aliis contirmatum; Sequenre
anno 2658, idem D. Christophorus iren, ollendic, Cycloidis Curvam ette Tui
avis duadruplam. Ouod e alii postmodum paricer demonstrarun. F. Atque
haec (quantum scio) Secunda Curra cui rectam quispiam altignarie requalem.
Sequente AnnO 165O, D. Fleuraet incidic in ejusdem Currae rectificarionem,
quam ance rectificarerant Nelius, aliique. (Neleius forte quid apud nos tactum
tuerat; Calrem Curram luam non animadrercens eandem illam eAe quam IOF no-
Pracium rectiticaverant.) Ouam Feuraerii rectiticationem eodem anno edidit
Franciseus Schootenius in parre prima (uae Ceometriae Carte sianae.
Ouorum omnium particularem Narrarionem extribui, in Fractacu (eodem anno
2650 edito) De Rectificatione Curvarum, (Practatui de C xeloide Lubjuncto:) in-
dicaca limus Mechodo, pro rectiticandis aliis innumeris; lecundum doctrinam in
mea Infinitorum Prithmetica expolitam. Simulque ostendi methodum; pro Cur-
vis Superticiebus Complanaudis: qualium ibidem extribetur magna copia.
Tandem, D. Fermat, anno 2660, in Fractatu ejus eodem Anno edito; (ite
rumque, inter iplius Posthuma Opera Mathematiea, ANnO 1679:) cui citulus
De Curvarum linearum cum Rectis compararione: Fandem iplam Rectiticat Cur-
ram, quam Netius ance, de (post eum) alii cam mulci, rectiticaverant. Nimi-
rum (ut suis verbis id exponam) eam Parabolam, in qua Cubi applicatarum ad
axem, sunt inter se, ut duadrata portionum Avis; Cuc lua verba lunt in calce
prop. 2.) Sed hoc limul addic (Tub Finem pFOV. 5.) Fx una hac Curva derivari e
formari alias numero insinitas, non solum ab ipsa, sed inter se specie differentes,
quae tamen sineula rectis datis aequales esse demonstrentur.
Scd haec Curra Tua (uruc id ipse Forre nescirerit) non alia est quam illa Nelii;
quae est (ut supra dictum) Parabolocides, cujus ordinatae (ad axem ad concavan
CUEVR ParteM pOLitum) lune in axium incerceptorum ratione Subtriplicata dupli-
catae. Acque innumerabiles illae (quas dicit) Curva ab illa differentes specre, non
aliae sunc quam eadem ipsa Curva, seu ejuldem currae partes, sumpro initio ab
aliis acque aliis in ea Punetis. Ouod eso stacim animadverri, ubi Fractatum il
lum inspexerim (d D. Renelmo Dieby, cum primum prodierit ad me miltum) quod.
que (intra biduum) liceris ad eundem Disbaeum L.quirem (d quo libeum accepe.
Peram) Pariscis rum agencem leripeis (e cum D. Fermatio communicandis) indi-
cabam: Se qui intermedius erat in ea Literarum communieatione quae tum inter-
cellu inter D. Fremat, e D. Frenicle ex una parte, atque D. Vicc Comitem Brounc-
ter e Me ex alia parre; cuique cum illi, cum nos, liceras communicandas dedi-
mus. Ouarum. ampla habetur copia in meo commereio sipistolico, ANNO 2658
cdico.
duam

## Folio 320 — 851708439:0344
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000344.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
A L G F B R A. Cap. L. XXVII.
Ouam quidem Epistolam, quoniam post seripra est quam ederetur illud Com.
mercium, libet hic verbatim inserere.
Ulustrisimo Nobilissimo que Viro, D. KenelmoDisby,
Egniti Anclo.
Auxeusti 24. 2660. Londini.
Edebam eso nudius tertus Lettharii quod miseras acutum opas; quo Ccr-
vam Paraboloeidem, quam eso Semicubicalem appello, (cujus Ordinatim
axplicatae sunt in Diametrorum ratione Subtriplicatae-duplicata,) aequa
tem Recta ostena. Quod abie quiuem  Ceometrice (ut sua solet) peraeit.
Onunt autem est aut alterum, quod monendum duxi.
Primum quidem, Landem ipsam Curvam Rectae aequalem, primus (credo)
omnium ostendit Guilichmus Nelius, Lignitis Pauli filus; suamque hujus demon-
strationem jam Anno 1657 divuleaverat: quod e a plurisus apud nos post illum
demonstratum est, e passim nocum. Id ipsum deinde, post annum circiter, ab
Fseuratio Batavo peractum est, quod (nescius, puto, quid apud nos factum fue-
rat) iteratae suae Carcesiani Operis Fditioni subjunait Schoorenius. Landemque
rem in Fpistola, quam Tractatui de Crcloide (anno praeterito a me edito) subjunxi,
fusius prosceutus sum. Duae tamen omnia cum Fermatio, credo, minime innotue
rint, non mirum est si ipse se primum invenisse putaverit.
alterum est, duod, cum (praeter Primas illas) Secundas, Tertias, duartas,
aliasque in infinitum a Primis derivatas, in Dissertatione sua memoratas, quas ilem
a Primis Specie disterentes appellat, Rectis aequales dederit: Non videtur Vir acu-
tissimus animadverrisse, non alias illas esse Curvas, a Primis diversas: sed carum-
dem partes, ab alis ahisque punctis incheatas. Quod sic brevi demonstro.
Esto, in ipsius FI3. LT. Paraboloeides sua demi cubicalis, cujus Vertex A, Latus-
rectum AD, quod sit, verbi eratia D: (quae nempe Recta in Quadratum inter-
ceptae diametri ducta, Solidum efficiat Cubo orainatim applicatae aequalem,) sirque
semibasis P. P. Formentur que ad mentem suam LS, L R, P. Ln Secunda, Lerrian
Mlustristime Vic,
 Duarra, ab illa Prima derivatae. Fxponatur autem Parabola Cd, Cujus Latus-
rectum C H sit 4 (nert 3ra  D.) Sumprisque lin Diamecro) C X aequall
Lateri

## Folio 321 — 851708439:0345
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000345.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
Cap. L. XXVII.
A L G F B R A.
Pateri recto, ex C T ejusdem quadrupta, continuentur Z O ∞ ZD, quarum utra
que sit semi basi P. F aequalis. Ft ordinatim applicentur K L, OP, Y F, 0 a
Fsis ita admentem suam constructis: assumo, tanquam ab ipso demonstratum,
Curva AE parriculas, quontumvis minutas, (vel potius harum Tansentes,) re-
Etis diametro paralletis abseissas, respectivis in Trunco Parabolieo K LPO ordina-
tim applicatis proportionales esse: (nempe Curvae particulas, sive Barum Tancen-
tes ad correspondentes partieulas Basis, ita esse, ut sunt respectivae Ordinacim
axplicatae in Parabola ad suum Latus rectum:) Ttem Curvae L. F. partieulas, re-
spectivis in Trunco T r aB ordinarim applicatis similiter proporiionates.
Tiis positis; AF. Curva eousque deorsum continuetur donec basin P. r aequalem
Babeat toti R D. Paque ita in es divisa, ut in CY dividitur RD, crieantur inde
perpendiculares; quarum altera occurret Curvae in P; occurrat altera in 2.
Manifestum est, ex suis demonstratis, ut AF. Curva Trunco K IPO sic Cur-
vam AV Frunco K LnB correspondere, e partes partibus. Adeoque l. T Curvam
Trunco OPTI, D Curvam rV Trunco Y YNB. e partes partibus respective.
Sed eidem Y F aD Frunco similiter correspondet L. F. Curva, (quod ex illo
supra ostensum est,) e partes partibus. Preo (per ipsius concessa e demonstra-
ta) Curva L. P. eadem est atque FV.
Et similiter, ostendetur: Si sumeretur e 5 dupla rectae CTFI (e or ut prius
aequalis rectae E. F,) esset 2V Curva eadem atque RF. Sin V. 5 rectae CFI a.
qualis, esset r0 eadem atque SP. Pt in reliquis similiter.
Non sunt ieitur F.S, H. R, P. L, alia ab A F. Curvae, specie distincta; sed ejus-
dem continuatae, aliae atque aliae partes.
atque haec sunt, Vir Elustrissime, quae impraesentiarum monenda duxi. Caete-
rum Fale, Yir Ellustrissime. Juoque faveas,
Obterrantissimo e
Derinctistimo
7OTI. M
Cui Epistola cum subjungeretur Epilogus intra scriptus: liber ec illum hic
Tubjungere: Ouamris ille ad hunc locum non proprie spectet; Respiciatque Do-
eius D. Frenictium quam D. Fermatium.
Dmeam Circuli Ouadraturam quod spectatus quam (ex mea Arichmetica
Intinitorum pesitam) sub finem PDilE. XXIII, sic desienaveram: Ve Fa-
 ctum ex quadraris numerorum imparium 3, 5, 7, 9, ecc. in infinitum, ac
factum ex eildem quadratis unitare minutis; Sic Ouacratum Diametri, ad aream
Circuli. Puta, ut OX25 X 4DXBFXL2T, Bc. in infinitum; ad 8 X 24. X 48 X 8OX
220, 3c. in infinitum. (Quae quadraturae meae nonnisi pars est: quatenus nempe
ad numeros absolutos reduci possit.) Dusd repenit Freniclius, Ilanc aliam non este
quam Methodum Approximandi, qualis est illa Archimedis per Inscripras e Cir-
cumscriptas; ec, ut nunquam perrenturi sumus ad illud Intinitum, ita nec ad per
sectam Circuli Ouacraturam hac via pertinsemus: Omnino verum est, prout hic
per numeros absolutos desienatur. Sieut nec potest numerus Surdus, puta V2,
aliter desienari in numeris absolutis, quam simili approximatione in insinitum: puta
per Onitatem cum annexis partibus decimalibus, ut 2. 4. F4 2. L356 ~C. (comtimu
ando radieis quadratiea extractionem in infinitum.) Nec tamen culpandus ille erit
qui valorem numeri Surdi V2, numeris absoluris sic desienandum diverit: Quoni-
amue ut numeris absoluris perfecte desienetur (aliter quam per approximationem)
numerorum natura non patitur; Duique illud fieri postulat, postulat a SraTor.
Edemque  hic obrinet. Demonstraveram enim (Arichm. Infin. prop. 189, 190,
bujusque Scholio) primus credo omnium, fortase e solus: Rationem Quadrati ad
Circulum inscriptum, talem esse, ut nec numeris absoluris exprimi possit, nec etiam
Radicibus surais (puta Quadratieis, Cabieis, Biquadratiois, Bc.) sed neque ulla
adhue recepta sequationum formula: Quippe ad hoc requiritur, ut nunerus Tm-
par in duos inteeros aequales dividatur; atque ut Aquationis formula reperiatur
Laterali e Quadraticae intermedia; adérque, quae Radices habeat plures quam
umam sed pareiores quam duas. Duorum utrumque est Impossibile. Quod autem

## Folio 322 — 851708439:0346
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000346.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
L G L D L A
CaP. L. XX
beatur, ostensum est ibuat L 193, L94. noem memorat D. F’erma-
Ei rectas curvis aequales; jam consideravimus.
in radice surda desienanda fit; nempe, ut, quod exacte fieri non possit, nota aliqua
insimuetur quasi factum: puta V2, aut YLXZ quo sienificetur terminus interme-
dius inter Fe 2 In ferre continue proportionatium L, 2, 4, 6, O. Qua t continua
multiplicatione per communem Multiplcatorem 2. Idem hic faciendum ostendi-
mus; nempe, cum demonstrarum fu, Kalionem Cieul ad Quddrari 
este ut Fad Terminum intermediun iter L e 3M )et EC 1, 23 8348, dC. qua
fit continua Mulcipicatione (non quidem per eundem continuum Multiplicatorem,
ut in continue roportionalibus, sed) numerorum FY3X3 LC; poterit ille (ad
Formam medu proportionalis inter E8 2, puta V FX 2,) si ucunque iss
est ut F ad YLX2, sic) Circulus ad duadratum Diament ut L ad M T3. dua
vera est Circu quadratura in Numeris, qualehas a numerorum natura path
duam ad numeros absolutos (per continuam approxinationem) sic reduvi posse
 F(3 (vel alia forma simili.) Pt propterea (prout latus ad diaeonium quadrate
ut dictum est, ibidem aemonstravimus, prop. X9l. Duomodo autem in Lineis exhi-
Sed dd ermatii Curras redeo.
Praeter Cas, quas rocat Primarias Curras, (ut AF in Cua figura prima, cujus
VexTex A,) quae non alixe sunc quam Nehi Pacabolocides: Alras inde deriratas
dicir quas vocat Secundas, Tertias, duartas, . LS t  
Eas ab F, puncto Bus,) quas hoc characrere designat; st erteaut a quodis basis
puncto rectam ut AMOVX axi paralbela: NO secundae est aequatis  LI
primae;  NV terriae, ipsi . secundae;  NX quariae, ipsi P. V tertiae
e sic alinceps in infinitum. Ilas Curras repucat ille ut specie disferentes ab
H. A: Cum tamen non aliae sinE quam partes ejuldem continuatae, (ab allo algu
aliis punclis inchoata:) ut jam ostendi. Nec magis dicentua ut e ac.
rentes, quam ejusdem Parabolae alia acque alia seomenta.
Sed et, ad calcem ejusdem Dissercationis (quam, in subjecta Appendice, late
prosequitur,) Alias adtrue extribet Curras; limiliter a Curra recue A u ctant
illa alterx a Batis puncto F, deriratas; quas hoc Charactere na, i-
rum, A quovis in Ave puncto, ut D, ducatur recta L basi parallela: sit-
que DI secundae, aequal Est  p D etria, est AL secunaae;
e sic deinceps in infinitum. RIque Na curva alia sune inquit, non tantum
ab AOC specie differentes, sed etiam ab illis alteris (fisurae praecedentis) 
basis puncto F deriratis. Flujusmodi, inquil, ones Curva non solam specie
inter se,  a prima AOC different, sed etiam ab is quas ex parte basis su-
pra essximus (lese, essinximus.) Cun lalien non alix lint lix omnes, quam
ejuldem generis Parabolocides. Hoc est, S eorum una lc ea quae nobis dicitur
Paraboloerdes Semicubicalis; Sic erunt iIIx omnes (De Mlea il suber ille:
cum hoc solo diserimine; quod Latus Rectum s I sucu aivertum; nimi-
rum, in ca incer se ratione qua sune illae (ad idem pudelu) Ordinata DO,
DE, DC, seu BC, BF, BF. Ouod non magis rartat Latabtoas senus seu spe-
ciem; quam, in communi Parabola, aliud acque aliud lacus ecu Tattat Ldra
bolae speciem. Adeoque Netius, ec post illum alii dum docent harum unius
rectiticationem, etiam omnium rectificationem docent: Pariter dc Arehmedes
dum unius Parabolae quadraturam docet, etiam omitias scculaturam docet, quan
LaCHaque LIE ParamCLIL AC LIS. RectL raTICCAS.
Lta

## Folio 323 — 851708439:0347
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000347.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
Cap. L XXVIII. A B OF B E A.
Nolim incerim eso D. Fermanii inventum depretiare; aut illius ejusdem De.
monstrationem. Sed lubens admicio inventum illud ingeniolum esse, ejusque il
lius demonstrariones sanas Tolidasque; (nisi quod Curras illas habeat pro specie
differentibus, quxe sunt reapse eadem ipla.) Neque etiam ipsi virio dare, quod
alii ipso priores idem praellicerine. Auc etiam quod habuerie ipse (saltem h-
buisse pocheric) primam hujus inventi Ansam seu incimationem ex mea (quam
depreciatum ic) Arichmetiea Infinitorum, quam ipsum legisse certum est.
Actamen Lectoris incerim judicio permitro (qui illius cum nostris comparare
dionabitur demonstrationem;) Annon una quaelibet illarum Frium Demonstra
tionum, quas (pro eadem curra rectiticanda) in supra memorato Practacu ipse
recitarerim; quarum longissima non exccdie duas pasinas (uc lognuntur) in
guarto; omnesque tres vix ultra quatuor paginas; eam plena, clara, ee perspicua
Tic mentique Lectoris Machematiei vel modice periti tam plene laristaciat; quam
longus ille ipsius procettus, qui plusquam decupto (nedum visecuplo) excedic
tres illas omnes limul LumptaS.
Ouod cum ita Sic; non video cur depreciacum ire debeat Vir Tlustricimus
breriores hasce methodos prae lua prolixiori. (Oua de re, plura mox dicenda
CruNE.) FBO certe Demoultrationem, modo (ic tirma, cogens, et perspieud, eo
vociorem habere soleo quod Breris sic.
Sed nec culpx intimulandus eram, quod ostenderim quibus pastibus ad nottra
pervenerim, possicque alius ad inventa similia pervenire. Certus sum, quod, post
ineroductas hujusinodi methodos, majores progrestus fecie Mathelis hoc uno le-
culo, quam in praeceritis multis.
Mechodos, inquam, cales; quales Tunc Vietaei _ aliorum Arithmetica Spe-
ciosa; Tharriori nova Nquationum cradicio, quam et Carresius amplectirur, alii-
que; Cavallerii Mechodus Indivisibilium, a Torricellio aliilque promoca e illultrata:
ne e meam annumerem Lrihmeticam Trfinitorum, cujus (nequicquam refra
santibus nonnullis, nec multis tamen,) utus esso non contemnendos, colque lare
patentes, etiam nolentes agnoscunt; eaque ipsi (cacite) ucuncur. Eis urigue
Mechodis, talia qua olim censebantur, lingula, egregia inventa et Cacis miranda-
jam innumera sponte prodeunt, directo Calculo, simul et universaliter demon-
ltrata.
Nec dubito, quin id quod eso (loco citato) insinvarerim, antam dederit,
non Velio tancum noltro, sed dt (mediare vel immediate) eis omnibus qui ex
eo tempore Curris Rectiticandis operam dederine, (cum nihil tale ancea quil
quam aggrestus Fuerit.) Acque id ipsum quod censer Fugenius antam eu-
ratio dedisse inveniendi (post Netium) rectam aequalem Curra; nimirum, quod
oltenderit ucenius, Curram Conocidis Paraboliei superticiem Cireulo aequalem;
Ouam hoc directe sequatur ex mea methodo, oltendi Epistola prirata ad illum
scripta (suae respontoria anno 2659 ea de re leriplae) aliaque (eodem anno edica,)
practatui de Cycloide subjecla.
De Demonstratoondas in rithmetica insinttorum
aahibitrs.
Rovoluiones iu iea Rruhmecica Intinutorum nonnullas, oltenderam C80
Der cucluctioneM. Quae methodus est plana, obria, se tacils: a quo
TleS res mibI reguari ordine procedumr et obserram tacili (quod hie tic,)
Parisfactoria et taltem cM NOn est animus carillaner; lunulque ostendie verain
inreltigandi mechodum. Clod uihi quidem omnisso gratius est, quam operolx
Demonstrationes ApasoBa, (aet absurdum seu impollibile deducentes) quod
masis altectare ridentur nonnulli: Quodque Vereribus in ulu tuit, ob rationes
quae (magna ex Parte) jam delieruniu poll introductas LISUTaS LUeTATIAS, 
a eali Speciolam.
Siquis

## Folio 324 — 851708439:0348
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000348.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
Y. C 1. V L 2. Cu. L15
TI.
Perplexo linearum ec tigurarum apparatu.
Siquis hujusmodi Demonstrationes, eo quod absque Figurarum d Lincatuut
Dompa procedant; minoris xstimet: C80 plane secus lenrio. Ouamvis enim Fi.
Surae Lineaque descripix, omnino icessarix rideantur, quoties Propolitionis re:
ritas dependet a positione Locast: possintque etiam uliri esse juranda Phan-
catia, (dum id oculo subjicitur, verbi gratia, in unO quanEILALS genere, puta
in Lineis, quod abstracte rerum cll de omne genus quancitatibus:) Obi tamen
veritas Propolitionis dependet ex era Numeri seu Proportionis natura, (aliil.
que non minus quantitatibus quals Lneis Figuritre convenit:) nacuralius illuc
de magis genuine ex Numerorum aut Rationum natura demonstratur, absque
Verbi gratia. Ubi probandum tuerie, quod P’er quatuor sunt Duodecim, (tive
Sire de Algelis, lire de aliis quibutris rebus quae sunt numerabi-
LeS;) mulco aptius id Ac, et magis genuine, ex Nu.
merorum et Mulriplicationis natura; quam , de
Seripto Rectansulo Paralselogrammo, cujus Lacitudo
lic Onciarum trium, ex Lonsicudo Onciarum quatuor,
octendatur, Aream cse unciarum quadraticarum duo-
decim. Ouamris enim hoc verum C; est tamen om
nInO PEXter propolitum: neque hinc probabitur P’et
quatuor Angelos, esse duodecim Angelos, (ubi nihit est Lincarum, Onciarumm
Parallelarum, aut Rectorum ansulorum;) neque etiam quod tres drachma (quae
dicuntur) moneta Anslicanae, conticiunt (quem vocant) nummum Solidum:
de ne quidem, quod Per quatuor milliaria conticiunt Duodecum Milliaria, (quam-
vis enim hic Linex sunc, nihil camen Arex, aut superticialis magnicudinis.) Et
vel maxime, hoc tantum probat; nimirum, Propolicionem illam esse, uno laltem
calu, veram: quae etiam in aliis omnibus, est univertaliter vera. Neque po-
test inde probari haec universalis proposicio, nili id aliunde altumendo (ex Nu
merorum e Rationum natura) quod univertali probanda sufticeret etiam abs.
que illa parciculari.
Atque hoc eso erimium Algebrae privilesium existimo, quod ca Proporriones
abstracte considerat (non ad Lineas, Figuras, aliare particularia subjecta restrictas,)
adeoque ad omne genus magnitudinum, ut occalio poltulet, pariter applica
biles.
Siquis autem necestarium putarerit, aut operae pretium, ut illae ipta propo-
Sitiones, quas ego per Inductionem probareram, lolenniori forma demonstren-
TuT: Libet, ex Archimede demonstracionem unius extribere; qua speciminis loco
Dostic esse, volentibus imitari. IIlius nempe qua spectat Aggresatum seu Sum-
nam Duactratorum ex Arichmetice proporrionalibus ab o inchoatis, (Ut ∞, 1, 27
3. D Xc.) Quam summam exo dixeram esle : m 1I. + F m1I. HoC est, cer.
tiam partem coridem maximo aequalium; simulque cam parcem coridem aequa-
lium maximo, quae ad ea eAt uc E ad sexcuplum numeri terminorum unc
dempto.
E.Atque haec propolitio; rem ipsam quod spectat, eadem cum ArcBimeais PFOD. FO.
de lineis Spiralibus; nisi quod mea leries inchoetur ab o, illius aurem ab L, leu
ca magnitudine quae cst, illius progrestionis arichmeticae, communis Exceltus:
quodque ille speciatim ad Lineas accommodat (uE Tuis rebUIS COnDTUUI) Cso ad
omne genus magnicudinum, Arichmetice proportionaliim, inditterenter axplico.
P ROPOSF FFD.
de FTominibus
hmedis PrOPOlitio haec est: Fspositis Guoteunque Rectis, aequaliter exce-
dentibus in continua proeressione, quarum communis excessus sit aequalis illarum
minimae; totidemque aliis quarum quaelibet sit aequalis illarum maxima: dua-
drata harum omnium aequalium; simul cum uno adbue tali quadrato: e Rectan-
sulo quod contineatur ab illa minima, rectaque illis omnibus inaequalibus exposi
tis aequali; sunt triptum omnium quadratorum illarum inaequalium primum ex-
positarum sue aequaliter excedentium. Ouam e8o propolitionem sic expono.
Sunco magniudines quodibet in proxrectione aculecica, a, b, c, d e; eu2
EUIrE

## Folio 325 — 851708439:0349
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000349.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
rum sic a maxima, e minima, idemque communis excestus; omniumque nume.
rus n: Est, inquam, naa, = a an F e in a f b F c + d f en = 3 in a a + bb
+c6+ dd + c6.
DE M ONS TR A FFO
Adeoque na C = a a.
Tiem, a =d = C 6 + 20 = a + 30 = c + 4c.
TToc est, a = B + e = c = d = d f c = c + b.
Adeoque, na = a + 2.B + 2c + 2.a + 2c.
1t
aa = F Bb = + 65 = + ad = + ec
ec + ad + cc + 60
+2Cb + 2dc + 25d = 2 bC
+aa = aa...
..
aa +bB +cc + ad  eet = E
 nac =  + ee + ad + cc +bb5
l1805
 2eb F 246 f 2Cd f 2be = e
a= 2eb + 4ec + 6ed  8ec = B
B = e in, 2b + 45 + 6d. + 8e
F c in, .. . . . a F b f c.  a  e
7 = e in a + 3b +50+ 7d. + ge
=d
Le in, a F 2B = 2c + 2 a = 2C (= na C) = a l 2
Lc in,. .. b + 26 2 d + 2c =
e In, . . . . . . . c.  2. d  2.C =
e in, . . . . . . . . .. d.  2c =
Fc in, . . . . . .
....
e:
= aa = bb + cc + ad + eet
8 =. 2a a f 2. bb + 260 + 2d d = 2eC)
n = 3 a a F 3bb. = 300 + 3 a a F 3ec =d
B = 3 1 aa + bb + c0 + a d + cc=
e =n aa, F a an F c in, a f. b. + c + d + c.
duod erac demonstrandum.
LGIIILIEZL
COROLL ARLVH.
C3 in, aa + b + ec + ad fcCZ
1. c in a. = b + c + a + e = (e in a + 2B. +25 + 2 d + 20 = a a =) 2 aa.
Hoc ct; Duoniam (quo tiat omnium criplum) actumendum aliquid ett, sed
minuS quam 3a a.
Arehimedes Ec enuneiat. Freo, quadrata omnium aequalium maxima, minus
Cunt quam trictum quadratorum illarum inaequalium, (nimirum, quia altumendum
aliquid est quo tiac criplum,) sed minus quam criptum omnium exc epto quadrate
maxima (quoniam, quod sic altumitur est minus quam criplum maximi quadravi.)
Duodque de quadratis aieitur, pariter valet de aliis fieuris inter se somilibus, ait
eas rectas similiter descriptis: (co quod Fgura planae similes sime inter se uE
quadrata lacerum homolosorum,) Ec talibus erat ille. Post usurus.
Monendum hic est (quo constet archimedis propotirionem cum mea coinci.
derc) quod Arehimeais illud naa F aa idem est cum meo m LL (adeoque F ejus-
dem est = ; m 1I.) Nam illiusn F F est meum m, (qui repuro = O in nu-
mero terminorum meorum qui in numero cerminorum Archimedis non numera-
tuT.) Ejusque a est meum h (maximus terminorum acictumetice prOpOrtiOna-
rimm. ) Fjulque e in a + b +c + a + e, idem est cum meo 3 m. 1, ladteoque
5
S ejuldem
Cap. L. XXVIIT. A L G F B R A.
Nam ne = a.
2
Trem
bb

## Folio 326 — 851708439:0350
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000350.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
A L C F B R A C aP.
eiuldene, est = = m. II: ) Nam summa proprestionis arictmerice a. + b. + c
=a. =e (potiro termino minimo aequali communi excestiri, numeroque termi-
norum ni) vel (quod canundem eMt) à f b =c. F a F e F o(policoo pro termino,
minimo, et mulcicudine terminorum m = n F 2,) est a F , seu 3 ma; acque
hoc in e ductum, est = m ac: acque hoc (proptier ne = a, ddeoque c = =) est
I aan hoc est. = m VI. Adeoque eadem est, reapse, illius proposicio cum mea,
ueut aliter enunciara.
Verum quidem est (nec pudet laceri) quod, cum primum descripli illam Ln.
Finitorum Rrichmericam, tam novirius eram Machemacieus, uc Archimedis librum
illum non leserim. Sed in illum prius incidi quam librum meum ediderim. Neque
tum displicuu, nostram illam cum hac Archiniedea propolitione coincidere.
Hluic aliam Tubjunsic provolicionem irchimedes (Drop. TI. de Lineis Spirali-
bus) quae rem eandem spectat; netrpe Quadrata rectarum Arichmetice proporiio-
nalium, sed ab (que illa restrictione, quod minima sit aequalis excessin communi:
Docelt utique vel major esse vel minor quam ille communis excellus. Ouod di-
m non vic
2
mantianore.
eique satrem) ad hoc actenti FIICFIE. Sed e verba et Schemata lic aptane, quasi
etiam hanc progreltionem cenluerint Paltem partem esse ejulmodi progreltionis cu.
jus minimus terminus Ec communi excestui aequalis. Cum tamen id poussimum 282.
cur hac propositione, ut, ope praecedentis in qua progressionis Arithmetica mini-
mus terminus est aequalis communi exceltui, res eadem amplietur ad eas item pro-
grelliones quibus hoc non concinsit; qualibus crac ille polt uturus.
P R O P OS T F FO.
Propoticio ejus hac est; Frpositis quostibet rectis aequaliter excedenibus in con-
tinua proeressione; aliisque rocidem minus una, quarum quaelibet sit aequalis illa
rum maximae: Duadrata barum omnium aequalium, ad quadrata omnium illarum
inaequalium (sic aequaliter excedentium) excepta Minima; Minorem habent pro-
pertionem, quam quadratum maxima, ad Lecrecatum Rectaneuli sub maxima e
minima, tertiae que partis duadrati Facessus quo maxima excedit minimam; Ma-
jorem vero, ad quadrata illarum omnium inaqualium (sic aequaliter ex cedentium)
excepta Maxima. Ouam cso sC expOnO.
Sumcomagnitudines quorlibet in prooressione Arichmetica, a f f, b L f, c = 5,
d- F
F: Quarum maxima lic a -F f, minima f, et communis exceltus e,
qui tive lic ipsi f aequalis, sire non, perinde cst,) numerusque omnium n + L = m.
Pum est,
nO: a + 5. 58. a + 5, 10. 0 +5, +Oc + 5, t : a + s, t Dc+5, . . . . .. =2::
.. . :.. ,d: b  f, t d. C. + 5,  d: d + f,  d: C + 5, + O:s,
:: 9: a + 5. s in a = 5, +
DE MI O NS F R A F IO.
HIoc Cu (ductis uerisque in n)
a:: n:
D:C + F. d1), f6: C +7
e = =n aa Det Coroll. PFOp. Praeced
153t dC + 5,+9d+5,+ O:e+s, es,=
n + 2
+20
da
20] + 20f +24
2d.
es = na f, Dropret 
=Z NAa, DEF COT. DEOD. PPXC
naf, propter
=20 =n a. ut ostendicur ad prOP. pracect.

## Folio 327 — 851708439:0351
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000351.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
Cap. L XXVIII. A L C F B R A.
FIae Demonstrationes sune, rem iplam quod spectar, eadem ipla cum Archimedeis
ibidem traditis, sed aliter exprelsa, ec in aliam formam redactae. Duipre cum illa.
prout apud irchimedem habentur, lacis perplexx rideantur, et quas Lectoris
mens parum exercitari haud facile capiar; eas in hane Synoplin redesi (quo me-
Iins deulo Tubjiciantur,) ad id rOSaLIS a D. Carolo Scarboroneh Equite (Medicinx
Doctore, e Screnistimi Regis Anslix Medico primario) Viro harum rerum peri-
tistimo: ea (que ad cum cransnisi Londinum in liceris Noremb. 22. 267T, dacis:
Tumulque Archimedis aliud perplexum Lemma, prop. 9. lecundi libri Tsorropico-
rum. Duod (quamris alio spectat) libet hic cum reliquis subjungere.
PROPOSFFIO.
Archimedis propolicio haec est: Si exponantur quatuor rectae in continua propor-
tione: quamque habet rationem earum minima, ad excessum quo maxima excedit
minimam, ealem habeat ascumpta recta ad tres quintas excessus quo maxima ex-
cedit tertiam: quamque habet rationem secrecarum manimae aupla, e secundae
quadruplae,  sextuplae tertiae, e tripla quariae; ad aecreeatum quintuplae maxi-
ma e decuplae secunda, e decupla tertia, e quintupla quartae; eam babeat
assumpta alia ad excessum quo proportionalium maxima excedit tertiam: Assumpiae
illae duae rectae sunt simul aequales duabus quintis maximae proportionatium.
Ouam ego propolitionem (sive de lineis, sive de aliis quibutris magnicudinibus
incer sc homogeneis,) Sic universaliter expono:
Sunto continue provortionales, aaaaac, ace, ee c.
Sicque, et. a = e:: Baa. a = a CC In 3.
E 2a + 4 aac. + 6 aec + 3 cec. 5ana + 20 auc + 10 ace + 5 cec:: eaa. aaa - aec.
Tum est, Ba a = 6aa = = a a a.
Hocele, (proprex analoBias,)
aaa - aee
aua = eec in 3 eec (= baa)
aua - aec, in 2 aau. + 4 auc + 6 aec + 3cC C (= caa)
== aa.
5aaa + 10aa0 = 10 aec.  5 eec
qua- aee
Hoc est (diritis omnibus per
3 eec 2aua + 4 aae = 6 aec = 3 eee
2 aaa
aaa = eee aua  2 aae + 2 aec  eec aaa = acc
Hoc est, (reductis omnibus ad communem denominatorem, coque sublato,)
Z eec in a - ae (= 3 a 3 - 3 ac3) in a3 = 2aae + 2 aec + e.
+2a + 4 aue + 6av + 30, in (a = e in a - ace =) a aec- a e. + act. 5
+ 3a  = 6a  + 6ae + 3a
22 + 440 + 6a ee = 3 c
3a103 - 6a e -6aue - 3ac
24 ee = 40e3 - 64 - 3 at e
= 22 C3 - 445 - 64 c = 3 a e
+ 2003 + 4 0e5 + 6aac2 + 3ac
a = 2a + 44 = 4u’ee . . . . - 400 = 40e = 2a e = B
P = 2a in a = e (= 24 - 20 e ) in a + 2aue + 2 ace + c = 7
2ad = 4aee = 4a ec = 24 8
-24C - 400 - 4a e = 20 
= 24 + 40c + 4a’ee . . . . . . - 400 - 4 4tc - 2a 8 -
Eorum

## Folio 328 — 851708439:0352
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000352.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
A L G F B a A. Cap.  eeto
TIorum trium Lemmatum (quorum opem in sequencibus adhibet ibidem Archi-
medes) Demonserationes, prout apud eum habentur (absque Symholorum opc
quibus jam urimur) Patis pexplexae videntur de intricarx: Quas itaque in hanc for-
mam redesi quo melius percipiantur. Ouod Speciminis loco factum elt, ut octen-
datur quomodo perplexae Veterum demonstrationes jam postint commodius expli-
cari. Ouas (primo incuitu) miretur quis quibus illi mechodis excogicarerint: e
quam prodisiolis phantalix viribus res tam remoix connecterentur in demonstra-
xionibus concinnandis; nili habuerint (quod clam nobis celabane) aliquid nostrae
Algebra analosum. Ouanto aurem commodo adhibeantur hodiernae methodi.
Facile perspiciat qui demonstrationes halce, ue ab Archimede traditas, cum cildem
conculerit uc a nobis explicatis.
Sed ex cribus his propoticionibus, ea praecipue hie incenditur quae est trium
Prima. Obi ab Archimede demonstratur ea propolicio, quam ec ego adhibeo, pro
colligenda summa Ouadratorum, magnicudinum in progreltione Rrichmerica Po.
Eitarum. Cujus demonstrationem hic apposii speciminis loco ut eam imitentur,
quibus id opera pretium ridebicur, similiter collisendis Cubis, Biquadratis, caere
risque Poceltatibus, magnicudinum arichimetice provortionalium, numero Finitarum.
Duam rem hic alcipse prolequi non libet.
Actamen, quo pateat rem illam imirabilem este, ex quomodo id fat, juvat aliud
adhuc exemplum acthibere, in limili Collectione Cuborum, ad eam Forman quam
ex Archimede expotui pro colligenda Duadratorum Tumma.
eR0P05LFLD.
Sunco magnitudines quolsioet Arihmetlce proportionales an b,6, a C, Guatut
maxima a minima e; cademque communis excestus; omniumque numerus n:
Tum cst naaa, + aa a + e in2aa = 2bb f 200 F 2 d d F 2ce, t ee In 2b
+ 46 f 6d f 8c. = 4. In a + 33 + c + 4 + e
D F MI O N S Y R A F FO.
NamnC = a. 1a C = aa. n a a C = a a a 4. ec.
Et a = b F e = c F a = a + c = e f b. Or Supra ad pr. 20. Spir. Archim.
Ergo aaa = = Bbb = + ccc = + a d d = + eee
eec + ddd + c06 + bbb
=36Cd = 3d4c. = 3C eb
+ 3b ec + 30a d + 346c + 3CbD
36be
Similiter, 3a a + 300+36c 3dd  3ee = a
Faa, F e in a f d F6 F d F c. VE Tupra
Et horum summa = n a a a:
na
ErSC
B-
3
et
lllcoeb
F ein... b + c= d  e5.
3 = n a a + 2 a a. per supra ostenta ad 5.
21 80naa = 5 xaa = 3bb + 356. + 3 d a + 3 ec
 eim... b. + c + d F C
b  5Cb = 3dd F 3ec.
c-
BBB
aaa = aa a
aa
cec add cCC-
3b ee- 36 d d F 3
6bbc+ 6 c6a =6 adc.
e in 6bb - +2Cc + 28 ad +
FCM.... 294 + 26b. +
3bbc = 3ccd  3dd6
66bc +2CCC + 28ade 
2CC 2ad +
eA et
=e in 29a f 86b + 54Cc = 2044 + 26 e
= ee in . . . . . . 2b + 46 + 6d  8c

## Folio 329 — 851708439:0353
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000353.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
le
s
Cap. LXXVIII. A C GE B R A.
e in 2 a a + 6bb +60c +6d a +6cc2
Fee in . . . . 2b + 26 + 2 d + 2c 5 = (2n a a b - ) L. l l 1
FC in .. . . 2b6 + 600 + 64 4 + 6ce2
ee in . . . . . . . . . 26 + 24 + 2e.
Fe In . . . . . . . . . 260 +6ad + 6e02=
=ee in ....
Fe IM ....
ec in..
CFe in ... .
2d
 2C
.. 2 d d. + 6ec
1 = 2 a3 = 2 B3 + 203 = 2d3 = 2032
1 = 2 a + 2B5 + 2c3 = 2 43 f 2C5
e
... 26C =
n = 4 a + 4 b3 + 4c + 443 + 40 = 1
e = 4 in a f B + 63 + a3 + e =
 = 5 maaan f auam F e in 2. aa = 2. bb. f 2. 60 = 2 dd = 2 ec 2
eo in. . . . 2 b + 45 + 64 + 8C5
Ouod erat demonstrandum.
Nocandum hic (quo constet provotitionem hanc cum mea coincidere) quod
naaa + aa a (prOpteF m = n F F, et l = a) idem et eum milh, (adeoque 
illius est = mIII.)
+ce in . . . . . 2b + 40 + 6d + 8cf idem et cum m 1
Et C in 2aa F 2Bb + 26C =2 d d F 2 ecz
adeoque à eju(dem, est = mIII.
Nam (per propotitionem ante demonstratam) 2 a a = 2bB = 26c + 2 d d
F 2 Ce, = Zna a, = 3a an = 3 e in a f b +c + d f c.
Sed a F b. f c F d + e, cst a. = c in 3n, = : n a + = n C = 3 n a. + : a.
Atque hoc in 3e, ct ; n a c  3aC = 5 aa = 3ac.
Ouod additum ipsi 3 n a a = 3aan Facit 3 na a = a a + 3 4 e, (= 2 a a = 2. bb
F 266 = 2d d F 2 ec.)
Acque hoc omne in e, est 3 naac F aac = 3acc.
trem, ee in 2b f4c f 6a = 8 ey seu 2ec in B F26. f 3 4. + 4 0, est 2ec
in B F c + d Fc
Lc = a F e
F a + e
F e
Hoc est (potito e = F,) 2 ec in Pyramidalem numerum, cujus latus est
p = n - T. Vel (Dolito e alterius valoris) in talem pyramidalem numerum
ductum in e.
Falis aurem psramidalis nueruS (PrOuE demonstrari in prOP. 176, 277,
666 + 36b +20
Sico p = n = 2, est  P + 3Pp. + 2P et
Acque hoc in 2eC, sic pPP F 3 PP + 2p in 3 eec.
HIoc est (restimendo n = L PrO P,)
n = 3nn = 3n - + + 3nn - 6n. + 3 + 2n = 2 (= n = 1) i1 3 C cc.
HOc CAt = n e = 2 Me. HOC ettus : MaC = = acc.
Ouod addicum ancedicto 3 naa C + aa e. = 3aec, Caeit naae + a a e. HOC
est m a a en seu  aaa. Duod iptum est meum r = 11I.

## Folio 330 — 851708439:0354
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000354.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
A L G F B R A. C aP. LXXIX.
En consequenter, naaan + auan + c in 200 = 2bb + 200 +2 d a + 2 ec,
Fec in 2b f 45 f 62 = Be, in ea nocaione; seu mIII + = III, in aliera,
est quadruplum cuborum omnium a a a = BBB + c0c + d d d + e ec.
Acque inde interri poterie, pro Cubis, tale Corollarium quale est illud, pro
Ouadearis, ad prOP. 20. Spiralium Archimedis. Similisque propolitio cum ejus
DEOP. CT. (ubi terminus minimus Arichmecice proportionalium non est aequalis
communi excestui;) in ordine ad procestum per extauctionem, cum opus fue.
it.
Fodemque modo eftormari poterune Demonstrationes, pro colligenda summa
Biquadratorum, Supersolidorum, et superiorum Poreltatum; prour hic HC PrO
Duadraris _ Cubis.
Oui autem concenti erunt mea per Inductionem methodo, (de deductionibus
inde Factis,) eam videant in Arithmetica Infinitorum, DrOD. L, 2, 29, 20, 39, 40,
182, ec.
A P. LXXIX
D. Feratii Caceptionibus respondetur.
napiti praecedenti (ance plures alittos magna ex parre conseripio) occalio
nem fecit, non nuperus D. Bullialai cractatus (cum non edicus) Ad A
rithmeticam Insinitorum aICtuS: Sed Exceptiones aliquae D. de Fermat
(quae videantur in meo Commet Ca Spisiolico, E PIIL. 4 +2, 47. cum meis ad cas
Relponsionibus Epist. 5, 6.) Non quali doctrina inibi eradita auc nOn vera LE, aut
quem aftectarune alii: ) Pet spectes, Notas, Icu Symbola; (quae tamen me-
Fietaer, Ouehtredi, Tharrion, Carus, Schootenn, Stusir, e aliorum, liguet:)
quodque nonnullas inibi propositiones per Inductionem (prout eas exquiliveram
demonttrarerim: Cum interim existimet ille (Led d eso eriam, idemque in ipso
overe aliquories diserre dixerim,) Demonstrari potuilse propositiones illas (ut
loquitur ille) via ordinaria, lesitima, e Archimedea: Secundum Methodum VC
ceribus uturpatam. (Dum vero addir, id tieri poste verbis multo paucioribus.
quam in meo libro factum est; exculacum me hâbebic, si nondum huic allen-
ltat.)
Adeoque petit (FpilL. 47.) ut velim sepositis cantisper Speciebus Aalyseos
tim elecantia e construendi e demonstrandi, cui praecipue operam de derant e-
morem Veterum. Ei, quomodo  hc, octendisse Franciscum Schootenium, ia-
ctati
non utilis, (quorum utrumque admitrie ille:) Sed, quod demonstrandi methodus
oreris fuerii de compendiola (absque prolixo Linearum _ Figurarum apparat.
hodus, post incroduetam Prithmericam Speciosam, Pallim recepta est; uE, Seriptis
ceres. Et (Epist. 22.) inlinuat se cum primum vacaverit, ostenturum se quo
ula acare nondum concigi.) Et ullatur me, mechiodum illam per Locas
Mebricas, mechodo Vererum praetulisse
strando neutiquam averlari. Quodque lic poruerine demonstrari propolitiones
illa, nec cxo nesciverim; sed (locis tum ciratis) expresse dixerim aliquories
led de eaulas indicarerim, cur ego breviorem methodum ut pocorem achibue.
rim. Sin velir ipse hanc libi operam dare, ue Methodo, quae sibi potior vi
detur, idem praestetur; id sibi liberum esse: Icd, ne id ipsi torec necestarium,
hoc ance praesticum elle, d Cavallerio in ABIO De usu Indivisibinum in F0-
testatibus Cossicis. Sed neque rem esse ditticilem (riro Matheleos modice De.
Problemata Cieometrica via Luchdeana  Mpolloniana exequi, ne pereat paula-
modo id tiat, tum Flecantius, tum paucioribus verbis, VCLCEUM MOVC. (Sed
Onibus respontum cst; Me Vecerum Eleganciam in Construendo et Demon-
FItO) ex hujusmodi procettu per Hocus Alesebricas, demonstrationes elicere ad

## Folio 331 — 851708439:0355
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000355.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
Cap. L, XXIX. A L. O F B R A.
ctacu singulari, in sux Geometriae Carresianae parre secunda. Me vero, brevio-
rem illam methodum habuilte pociorem, quia sic pocuerim breri compendio ea
continuo ordine tradere, qua alias forent (majori eum pompa ee Tolennitate)
in plura Lemmata et pexparatorias Propoliiones disperrienda. Ouod quamvis
ausustius inspectu foret, minus tamen crudiendo Lectori inserviret.
Verum ridetur Vir Ilustrissimus omnino non animadrerriste quis fuerit il
lius Libri Scopus. Oui non cam erat mechodum cradere pro demonttrandis re
bus jam cognutis, (quo pocistimum collimat quam ille commendat methodus;
quam mechodum Iuvestieandi res actue isnotas; Ouam veteres Audiole reti
Cebane. Nam agnoleit ille (Epist. 12.) hujusmodi mechocum, modo caute au
hibicam, tali scopo inserrire posse: Adeoque non debuit, eam sic achibitam
culpare. Non ignoraric enim Vir Mllultrissimus id Recentioribus AIsebra sexipto
ribus propolitum este, Investisandi methodos patefacere, quas (ut Taera myste
ria) recicebant Veteres. Adeoque laudem pocius meruerim, quam ut eo nomine
intimularer culpae, quod non cancum ostenderim ea esse vera quae cradiderim;
sed etiam quomodo ad ea perrenerim, postitque alius (pari methodo) ad alia li.
militer perrenire.
Proceltum aurem per Inductionem, admitie ilse ut bonam Investieandi me
chodum; (adeoque non eo nomine ricuperandum.) Sin dubium luboriatur.
num certa sint qua sic inibi demonstrantur: Octentum elt, Capire praecedente
quomodo quis posti cadem demonstrare (ur loquitur ille) via ordinaria, legitima
 Archimedea, leu a la mode d’Archimede. Hlabentur enim ibi Demonstratio.
nes Archimedeis limillima, tali occatione achibitis.
Sed nec animadverriste ridetur Vir TIustriltimus, dum meam per Inductionem
demonstracionem ricuperat, es emendare lacagit; luam iplius quam lubltitm
non aliam elle quam demonstrationem per Inductionem, nec mea meliorem. Pro
bonit enim ille, Lxempli sratia, prosrestionem Arichmeticam
Duinque terminorum, ab o inchoacum; Oltenditque, LOnSO Per
inteoram paginam procestu, (quod ipso incuitu manifeltum Foret
cuiquam Progressionem Arichmetieam intellisenti,) quod (i ter-
minorum horum quilibee auteratur a termino qui sIE COrumM
0. a. B. c. d
+
d. d. d. d
6
P. a. 0
maximo aequalis, reliduos fore eoldem iplos (contrario ordinc) cum progrectione
expolita; (adeoque itramris esse dimidiam coridem maximo aequalIII.) Sed
sublumendum porro nobis relinquit (absque quo demonstratio est incompleta,
Idemque similiter ostendetur, exposiris terminis Sex, Septem, Oeto, aut aliis quoi-
libet. Jam, Si hoc acdacur (aut Tubincellectum putetur,) Fequid aliud ctt ar-
dumentum ejus quam Inductio. Si vero non addatur (nec Tubintellisatur)
Probatio non cst univertalis, sed de unico faltem Lremplo; quod argUMent
est Inductione intirmius. Lectoris igirur judicio permitio, annon mea per In-
ductionem Iuvestisatio, aequali saltem si non meliori jure admitenda lic quam
ejus per Inductionem Demonstratio. Nimirum, haec mea. Si inquiratur, duam
rationem habeat Series Lateralium, seu srihmetice proporcionalium (seu lecun-
dum naturalem numerorum consecutionem,) ab o incheata; ad seriem totidem
maximo aequalium: Reperiemus, quod 0 = + = Z est semissis ipsius 2 X F; e
0 L F = 2 = 3; semissis ipsius 3X 2; ( 0 F F = 2 = 3 = 6, est semissis
ipsius 4 X 3; hoc est, semissis accreeari rotidem maximo aequalium; e sic semper
quotcunque fuerint termini. Pocuillem tateor, addidisse (si paeclantice agendum
tore pucarerim) Prout manisesto liquet Lironi curvis Prichmetieo, qui novit sum-
mam Arithmetisae proeressionis collieere: (acque cum completa tuillet, extra ca-
villationem, demonstratio.) Sed non video, quod Colicus fuerit Luetides LaI
paectantice agere; Certe, non Archimectes, ad quem provocat Vir Tlustristimus:
Sed nocas praesumunt pallim Propolitiones plurimas quarum veriras sic quatr
harum minus obria; haud necellarium putances ad tales minurias descendere
quae auc estent obrixe, aut quas ciro quilibet absque illorum ope nOverit prO
barc.
Rem iptam quod spectat; FBO certe Lnauctionem existimo eeregiam Investi
sandi methodum: ut quae mulcories nos manuducit ad generalis Resula detectio
nem; auc eo faltem proxime condueit. EF quories ejulmodi Inguiticionis exitus
rem oblerracu obriam paretacir: non es necesle (utur iptiuS seS capax (IC) ul.
reriorem demonstrationem exguiere.
Ailestte

## Folio 332 — 851708439:0356
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000356.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
F
A.
Atque sic quidem cuto Fiet quories ejusmodi Inquisirione regularis aliqua L1OS] CL
lio (cujuscunque naturae) emersit, codem continuo ordine procedens; et in qua
nullus lic suspicioni locus quin eodem ordine procettura (IL.
Verbi gracia; Plerisque quos vidi Machemacicis existimatum cli, em e
nime dubiam (nec ulteriore demonstratione indigere) In conua CellC Late
ralium (seu numerorum naturali ordine procedentium) ab O InCnoala, MIC
rentias aequales etse, (adeoque difterenrias secundas, Ten diHCTENCATUI CIHCIEn.
tladus esse =0;) e Ouacratorum ex his disterentias secundas aGuates CttC, (aelco
que tertias = 0;) ee Cuborum tertias xquales este; Biguactatctum, quaxtas; e
he deinceps: Eo quod id, experimento aliquatenus Lacto sic esse deprehentum Lt
a iluna nddu
2
3
D24
0
2C
390 121
50
360
180
750
600
+20
3F25
76
2230 120
Lit6 5 et
26807
Ouod si porro ooterremus; Ilas aequales Differencias oriri ex continua Mulcipli-
catione mumeTOrUM F, 2, 3, 4, 5, EcC. NimiruM, F. FXZ =2, 2X3 =-6, 6X
24. 24X5 = 720. _ Sic deinceps: Etiam hoc puremus non intirmum; cum nulla
appareat ratio cur luspicemur id non continue procetturum: Scd potius, Tubeste
quidem, in Numerorum nacura, id unde haec Consccutio oriatur: Quod possint
illi redetentim consequi (quousque libi ritum erir expedire) qui relint hune la-
vorem Tubire.
Jam rero, liquis volet, quo luxe Patisfaciat curiolitari, hujus exquirendi laborem
Tubire; atque cum, quo aliis item Patisfaciar, magnum conseribero Volumen, quo
vedetentim ostendat (solenni demonstrationum pompa;) Primo quidem, quod
hoc ralet in Pateralibus (quod ex natura Progreltionis Arichmeticae probaturus
CsF;) Secundo, idem eriam in Ouadrarieis ralere (quod demonstraturus cst. ex
natura numerorum Ouadratorum, eorumque constructione;) Pertio (in ejuldem
Fractatus libro cerrio,) idem in Cubicis ostendere (ex natura st constructione
numerorum Cubieorum;) Aeque cum demum (in quarto, quinto, et sexto libro,)
idem oltendere in Biquadraris, Supersolidis, e Sex dimentionum Pocestatibus: (10.
toque processu, mulias obiter occurrentes speculationes non inelesantes nocare;
qua magno numerO se SpOnTC OferenE:) Ft POLt concludat (nam eo tandem de
veniendum eric, ne in intinicum procedatur,) Idemque in sequentibus Pocestati-
bus merito expectandum, aut praesumendum: (quo randem Inductionem ab (0
vat:) Hujus, inquam, (quihoc volet) Dilisentiae, Labori, et Patienciae, multum
debetimus; mulcasque hinc cumulate oriundas propolitiones elegances huic acce
pas teremus. Plerique tamen huic supexsedere labori mallent; et sponte le otte.
renei Oblerrationi acquieleere: Talcem non depreciatum ire illius sagaciratem qui
hoc primus detexerie.
Idemque dicendum Foret de simili procesti Numerorum, quas Oneias vocant:
quxe praetisi solent concinue proportionalibus in construendis Ouacratis, Cubis
reliquisque Porcllaribus, d Radice Binomia oriundis; puca ab a + c.
3
OF

## Folio 333 — 851708439:0357
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000357.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
La a a
Ta
a
ac
42a a
34 e0
e
e
C
2Ta
7.
te
Nimirum, FTas Vucias ubique agpregatas esse ex duabus Vneiis praecedentis Or.
dinis, sic Tumpeis ut in adjuncto Schemare. Li concinue proportionales cujusque
ordinis, factas ex porestatibus a in uno, et poreltatibus e in altero, terminorum
adjacentium in ordine praecedente. Verbi gratia: Secunda proportionalis in pote.
Ptace Biguadratica a a a e, COmpONIEuE ex a a a (ipsius a poteltate in prima pro.
porcionali Ordinis Cubici) ec e (ipsins e porestate in secunda proportionali ejus
dem Ordinis Cubici.) Fc 4 (numerus praetixus secundae proportionali ordinis Di.
quadrarici) aggresatus Cx x ec 3 praetixis prima e secundae proporciohatium ante.
cedentis ordims Cubici. LF Ric ubigue
Jam rero, haec lingula poltunt separatim demonstrari mulciplicatione speciola
radicis a f e in se unde prodibir Guadratum aa F 2 dc F ec; hujusque IVCrUM
in a F e, unde prodibit Cubus aaa f 3 aae f 3 aee f eec: FL LIC POEYO, Per Con-
cinuam Inductionem quousque libet. Plerique camen quos c80 vidi M
polt Inductionem aliquatenus continuatam (nihil quicquam ridences cur subdubi
cetur quin res sit lic concinue proceltura) contenti lunc (ob sei eridentiam) uni-
verlaliter concludere; Zdemque similiter contineet in sequentibus P ote Statibus. EL
hujusmodi Inductio centica est hactemus (iis quibus non ct animus carillandi)
justa Arsumentatio.
Siquis autem huic acquiescendum non puucer; porerit ille, continue mulrinli-
cando pera Fe quousque libet; tandem concludere, parciculariter, rem eousque
veram esse: Ibique Tubsiltere, cicra conclutionem univertalem.
Idemque dicendum est de omnibus quibus eso uror Inductionibus. Ouas c8o
semver eousque prolequor (regulari Demonstrarione, ubi res non cst tam conspi-
cuaq uc ea rideatur non indisere,) donec emergat regularis aliqua de ordinata con-
secutio; _ quidem, ut plurimum, arictmerica Prosreltio. In qua quidem, ut Catis
evidenci, acquieseo; cum nulla sublit suspicio ne non (c continue proceltura.
Fcquidem, absque hoc, oporrebit (in hujusmodi rebus) contentos esse P’artieu-
lari Conclusione; nec ad Ceneralem procedere. Hoc aurem admilto (quod de pal.
sim admini (olet) concludere licebit Oniversaliter.
Sic, verbi pratia; Postquam ostenderim; In serie Lateralium (seu Arictmetice
proportionalium) ab 0 iuchoata summam cerminorum; duorum, trium, quatuor,
quinque, aur sex, semper este Semissem coridem maximo aequalium; nec ulluIS SE
dubitandi praetexius, quin idem sic in terminis septem, octo, novem, pluributre:
concludo idem fucurum esse quoteunque fuerinttermini, etiam numero infinici.
Tiem; In serie Ouadracorum ex illis; poltquam oltenderim, in cerminis 273, 43
56, summam cse majorem criente coridem maximo aequalium; et excettum lem.
per elle parcem Aliquotam maximi a sexcupto numeri terminorum minus uno de
nominatam: (puca, si numerus terminorum HC 2, exit Cumma, 3 F SMaXII tOtes
sumpti; si cerminorum numerus sic 3, Tumma eric 5. f +: (i 4 summa 3 F i8; 5, Cum
ma 3 = 34; _ SiC POrrO:) Concludendum erie universaliter (cum mulla sic rario
dubicandi de reliquis) Idem futurum quotcunque fuerint termini. Cumquo P. X.
celtus ille, Dro crelcente numero terminorum, tandem tuuris sit insinite exieuus
seui omni daco minor;) concludendum est (secundum mechodum L xhaustionum)

## Folio 334 — 851708439:0358
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000358.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
A E. C F B R A C aP. LXXIX.
literminorum numetus supponatur Intinitus, Fxceltum illum L ranescere; _ pro-
greltionis ejusmodi intinix Aggresatum, aequale trienti maximi cories sumpri
Similiter; Postquam ostensum elt, in Serie Cuborum ex eisdem, summam omni.
Um, PTOuFanSetEE numerusterminorum, ita continve approvinquare ad quadran-
tem cocidem maximo aequalium, UE exCCSTUS tandeM FUIEATUS SIE datO MInOT; _ Bi
quadratorum ad J; Supersolidorum, ad Z; E sie porro quousque libet inquiticio.
nem prolequi; (nec ulla sublie dubitandi rario de reliquis:) rem Patis derectam
elle judicemus, id unirersaliter rerum esse de hujusmoci progressionibus sic in in-
tinitum continuatis, summam corius equalem esse (aur intinire exiguo inde distare)
aliquorae parei coridem maximo xqualium, denominatx ab F Xponente Porelta
(cocidem Masimo aequaliium;) de sic deinceps in infinicum.
Olla de re liquis dubicet, Pocerie ille, secundum methodum Capite praecedence
Postquam autem hujulmodi Oniversale aliquod, pro raco habitum tuerir d a
probato: omnino aequum est ut pariter admittantur quae inde per justam conte.
quentiam deducantur.
Verbi gracia: Ab eo quod supra monicum est (cui e omnes, quantum scio, a(.
sentiuntur;) nimirum, In sexie Laceralium (ab 0 inchoaca) ditterentias primas
aequales elle; et uacalleo secuedo, Ca alo e o:
Idem merico concludatur de Aiquationibus Afectis, coridem dimentionum. Puta:
Si Proponatur Aquario Biguadrarica, a  2 a + 4 a  3 an aequalis Dato D: d
radix a luccellire exponatur de 0, 1, 27 3, 4, 5, 6, ec. Valores iplius D, his re
spondentes, habebunc quartas ditterentias incer se aquales, non minus quam (i Foret
simplex aequatio Biquadrarica at ==D. Cujus quidem ratio ex ante polito manife.
Lcum ctb.
at = 2 a + 4 + 3a = D.
0+ 0+ 0 + 0=
+
2 + 4 +
16 + 26 + 16 + 6 =
8c F 54 F 36 + 9 = 180
256  128 f 64 + 12 = 46C
530
120
625 F 250 + 100 + 25 = 900 370
900
1296 + 432 f 244 F 18 ==2890
Nam quantum ad 3 ay aequales sunt disterentia primae; adeoque lecuncae, terriae, et
quarrae cranescunt in 0. F.x quantum ad 4 a an secundae disterentia sunt aquales:
adeoque eranescunt terrix e quartae. Ouantum ad 2 a cerrix sune aquales; a-
deoque CranCsCunE quarIX in O. PF PrOpterea, quarto in loco, nuILa SUPerTUINE
disserentiae praeter eas quae oriuntur a raloribus iplIuS at; quae iraque (ut in biqua
dratica simplici) sunc aequales; pariter acli lequencia meraibia 2 a + 4 a a. = 3 a
omnino decssene.
Pariter, Si adimictatur mea generalis Regula, ut Paris demonstraca; Ouod hujus.
cice proportionalium, est, ad terminum maximum cories sumpeum, ut L ad expo
mentem pocestatis uno auctum: Omnia quae hunc lesicime deducuntur Consequen.
eia, sunt paricer lesicime demonstrata. Non obstantibus qua a Fermatio objiciun.
cur de procestu per Inductionem: Ouxe incerim ab aliis Ccometeis paltim admic
ritur; eltque in trequenti usu,
Sumhocasimus; lihsee usele Keipontum quod uper darum est (polt
haec Anolice edita) Scrupulo cuidam qui subortus est non nemini, de Scriebus 
ruhmetisa Insinitorum incer se comparatis: Inde porictimum orto, quod non la.
(seu numero dimentionum) secundum quam proceditur, Uno auctum. HIoc ett,
in Progressione Laceralium, Z; Ouadratorum, Z; Cuborum, Z; Biguadratorum :
indicatam, id Archimedeomore demonstrare, quousque libet; ibique lubtistere.
+
c
24

## Folio 335 — 851708439:0359
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000359.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
Cap. L. XXIX. A L O F B R A.
ris attenderit ille ad haec duo. Alcerum, nimirum; quod in scriebus nostris dat
Cupponitur terminus cum Primus, tum Otrimus; auctulque numerus terminorum
oriri supponitur a mulcicudine cerminorum interjectorum. AIterum; quod de Ra
tione hie agieur, non de Diterentia comparatorum.
Exempli oratia: Cum dacuin Priangulum cum Parallelosrammo circum scripio
comparamus; dari supponitur, non modo Punctum Verricis, sed etiam Balis uiri
que communis, es communis alcicudo. Fx, pro aequalicer aucto rectarum incerje.
ctarum numero, minui supponitur singularum crasticies seu altirudo. Nam, quae
Rectae dici solent figuram complentes, limt porius renuia Parallelosramma, (rectis
illis proporcionalia) quorum limul omnium Cxalticies seu Alcirudo, aequetur AILi.
cudini L’IBUITX.
Non incerim difticeor, quin augeri continue possie Frianguli Balis, vel Alcitudo,
vel utrumque; uc lit, dacum Friangulum, quancumris Lacum, et Duantumris
Alcum. (Ouod interim praelentis conlideracionis non est: in qua cerminus ulcimus
dari SUPPONIuT, Pariter ac primuS.) Sed, dum hocFC, pariter augentur Parallelo-
grammi circum lcripei Balis ec Alcicudo. Indeque aurebitur quidem eorum Ditte-
renia, Sed Racio manet cadem. Ouippe eadem est Racio Frianguli, sive magni,
sire parri, ad sibi circum seripcum Parallelogrammum; utur auctis tisuris, augeatur
carum Luletelta
Sequitur aurem Claristimi Scurmii Epistola, lcrupulum illum (non suum, sed
alterius cujuspiam,) proxonentis; meaque Responsoria.
Reverendo, Clarisimo, Doctissimoque Viro, D. Johanni
Wallisio, SS. Phcol. Doctori,  Mathematum Pro-
fessori in Licademia Ononiensi Celebratisimo:
Fautori suo Observando;
Johannes Christophorus Scurmius,
5.
OX parum equidem mibi gratulatus sum, cum humanissimas Tuas ad
me hieras, anni superioris Mense Septembri Oxonia scriptas, sub ipsum
exitum ejus anni accepissem; quod in Mathematiei insienitissimi ac toto
orbe celeberrimi amicitiam etiam ultro admitti bonori mibi ducerem haut exievo. Et
sane, si praevenire in hoc commercio literario non sum ausus, praeventum respondere
uantoerus, faleor, omnino decuit. Aiquam jamen hinc meae cardicati paratam
auud re fore veniam speravi, si rescivisses, ex humeri periculosa luxatione neptum
me primum, deinde in hunc fere diem corpidum saltem, ad quavis obeunda mune
ra corporis quodam vitio (quod animum ipsum una tansebat) urbanitatis e ami-
citiae leges neclexisse: De munusculo levidensi (parte Collesii experimentalis LZ,)
non est quod habeas gratias ullas; quandoquidem pro Prolemxi Flarmonicis esresie
a Te illustratis plurimum ribi dudum debui, ac debeo etiamnum plurimum. Quam-
obrem quando partem L, ejusdem Collesii Te non vidisse, et si videre cupientem,
coenosco: curabo, ut haec etiam, qua lieuerit primum occasione, per nostros Merca-
tores ad Te emiltatur; si nihil aliud, animum saltem tibi inser viendi cupidum com-
probatura. Caterum eadem nobis est e communis querela de Bibliopolis, quo fit ul
vestra quoque aut non deserantur ad nos, aut insenti sint redimenda pretio. Con-
tieit tamen bactenus eruditissima T ua seripean Amisorum indultu, evolvere, ut puto,
pleraque omma. Ac nuper adeo scruputus aliquis cirea Intinitorum Arichmeticam
ab Aimico quodam injectus est; quem un recté exemerim, aut qu’id in responso meo
desiderari queat, ut judicares, (videbatur enim ad Je praecipue haec res pertinere,
controversiam ipsam infra subjuncere bisce meis consultum duxi. Vale, Vir Cele-
berrime, e ive porro, maeno Mlathematum incremento. Siqua re quoque tuis in-
sereit Cohais possum, utere me qua so pronutu e arbitrio ZuB.
LL. L6er Pb

## Folio 336 — 851708439:0360
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000360.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
G F B R A.
LNcerpta ex literis Mense Maio 2685. Lipsia ad me (SturmIum) datis.
Non postum non tuper Dubio quodam Te consulere, quod erolrenci Arichime.
ricam Intinitorum Claristimi N allisii Tubnatum est. Emunciat ille, prop. 2T. Seri-
em infinitam quantitatum in duplicata ratione Arithmetice proportionalium, con
rinue crescentium, e a puncto seuo inchoatarum, subtriplam esse seriei totidem
quantitatum, maximae aequalium. Idque utloler Inductione probat; expolicis
aliquonsque ejusmodi seriebus, iisque inter se collatis. Fx quibus comparet, que
lonsiustales series extendantur, eo proxinquius rationem carum accedere ad Sub.
riplam memoratam; adeo uc tandem excellus ille, prioris seriei super certiam Par
Tem Posterioris, eraturus sic quovis actignabili minor. F xempli gratia; Exposutis
Excellus est 5 summae seriei secunela
D + 9
+9 + 26 = 30
16 + 10+ 10 104 10-00
eC.
eC.
a aque hie, rerum quidem est Fxceltum hunc sub ratione ad seriem posterio
a rem consideratum continue minore acque minore tractione exprimi; uE S in in.
aefinicum sic imminui incelligatur, tandem (juxta  alliscum) CVanICuTUSFIT. AF
rero, quia idem excestus, quo longius excurrunt series, absoluta sua quancitate
Contimia incrementa Cumic, (ex inductione enim patet cresoere cundem per nume-
ros Rrithimetice proportionales, qui a 3 per singulas terrias alturgunt) non latis
 comprehendo, quomodo excellis ille, in intinitum rerera crescens, in anpicta DeO
mecrica pro nihilo reputari possit; utut quantitatem ejus relatam (rationem ejus
a sic liceat appellare) contingat relut expirare, hoc cst nihilo aequiralere. Ouem-
admodum enim alias, Geometrica v. 8. rocunditas Perrae non est; quae Phylicis
asperitatibus decurpatur, licet hae Sphaera rationem quam minimum aut nihiltur
Bent: Sic nec hic existimem Geomeiricam _ reram haberi debere serierum harum
rationem, ubi demio carum alteri (primae scilicet) insenti (quia intinito) nu
mero (hoc ett, excettu super : sccunda) parcium, ex quibus utraque conctac, ea
demum ratio exacta reddicur, etc
Responsum meum ad propolicum dubium. CIncellise Scurmii ad L iptiensem.)
Duibus equidem eso quod reponam pro Clarissimo Wallisio, praeter haec nihil ha-
beo. Non exceltum illum seriei prioris super partem tertiam posterioris (utpore
revera in infinitum crescentem) sed ejus Rationem seu quantitatem Relatam
uni recte loqueris ex ipsemet concedis, ad eandem parcem tertiam vel ad ipsam
eotam seriem posteriorem (urpote in infinitum decrescentem) pro nibilo randem
reputari pesse, e hoc sufficere ad salvandam demonstrationem; illud autem non
requiri. Nimirum excessus ille Rationis, quam habet series prior ad seriem poste
riorem, in continvatione serierum maeis masisque decreseit un infinitum, (non ob
Stante quod seriei prioris, super serier secundae partem tertiam, absolute e perpe.
tuo creseat;) siveu excessus ille absolute semper crescit, sed cum perpetuo interim
habitudinis excessivae decremento. Dura nimirum (quod inprimis altendendum
excessus quidem ille supra partem tertiam seriei posterioris creseit per numeros
33 3ec. Sed ipsa pars tercia mulio must crescit per 13, 25, 3, eC. ita ut ratie
priorum
Id quod hoc etiam modo porro declarabo. In primo cajum summa seriei prima
2, ad summam seriei secunda 2n debebat esse ut Z adt 3, sed est ut  ad 3: adeo-
que excessus 2. In secundo casu, 5 ad 22, debebat esse ut Y ad 3; sed (utrin-
que

## Folio 337 — 851708439:0361
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000361.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
Cap. L. X XIL. A I. C F B R A.
que dividendo per q) est ut 14 adt 3, excessi jam existente non nist ; ex unitate
In tertio casi, +4 adt 36 acbebat esse ut L ad 3; sed (utrinque dividendo per 12)
deprebenditur esse ut 16 ad 3: excessu jam existente nonnisi  unitatis. En quarte
casu 30 ad 80, debebat esse ut T ad 3; sed (urinque dividendo per 38) reperitur
esse ut 23 ad 3: In quinto casum 55, ad 150, dedebat esse ut L ad 3: sed lutringue
dividendo per 50) reperitur esse ul T1o ad 3; c. Ira ratione serierum in insi-
nitum continuatarum infinities prope ad rationem subtriplam accedente, tandemque
(si locum camen hic habeat vocula tandem) in ipsam subtriptam abeunte.
siquidem, ne quidquam dissimulem, excessus ille rationis, etiam relative solum
modo dicto spectatus, videri ramen potest semper esse achue aliquid unitati adhae-
rens, quantumcunque imminutissimum, quod abjicere tamen oporteat, ut ratio suh-
cripla exacta habeatur; atque adeo pristinum dubium animo scrupiloso subinde
rursum obviare, nisi Infinitatis ratio illud e hoc una quasi submereat e ab-
sorbeat.
duod si grave non est, eam etiam demonstrationem, qua eso soles idem Theo-
rema firmare, quaeque ab isto tuo scruxulo libera, ut opinor, prorsus est, hie subji-
ciam. Assumptis, exempli gratia tribus proeressionis terminis F, 4 9; reperio
summam borum ad summam totidem maxima aequalium esse ut 24 adt 27: boc
est (utrinque dividendo per d) Ut X  3, seu 18, ad 3; hoc est, ut, 2 + 3 F 18
ad 3. Duplicato deinde terminorum numero, prior Or ad posteriorem 216, (divi-
dendo utrinque per 72) ut F F L = 12 ad 3. Porro duplicato terminerum nu-
mero, summa prior 650, ad posteriorem 1728, (dividendo utrinque per 576) ut
+ 5 + 320 ad 3, Oc. Decrescentibus ita perpetuo acharentibus unitati fra-
ctionibus, prioribus parte sui aimidia posterioribus dodrante seu Z; ita ut sum-
ma infinitae proeressionis, ad summam totidem maximo termino aequatium, sit
evidentissime ut X  2 + 2d ad 3.
56.
Hhoc est, ut F ad 3. Duia : = 2 = 3 = io C. in insinitum est = 0. F 18 -. )
288O. in infinicum aequivalet similiter nibilo.
dua quidem postrema duo supposita facile demonstro per ipsam reculam ad
dendi ceometrice proportionatia. Nam si in serie ratione dupla proeredientium
 = 3  is Bc. (Terminis adeo inter = e o interjacentibus infinitis) terminum
ordine inverso primum, nempe o, subtraxero ab ultimo   residuum = divisero
per nomen rationis unitate minulum, hoc est per 2; habebo summam omnium
intermediorum 3, 16 32, _c. aegualem Z. Quare addito ultimo, qui etiam est 
summa in universum omnium erit : atque adeo = -  - 8 - 16 c. erit = = 
boc est, = 0. Similiter in serie ratione quadrupla proeredientium Z F 208 F 13 eg.
in insiniium (interjacentibus adeo inter B e o terminis infinitis) si terminum
hunc ordine inverso primum, nempe o, subtraxero ex ultimo J e residuum X di
visero per nomen rationis unitate minutum, hoc est per 3: habebo summam in
termediorum, = i; additoque ullimo  saumma in universum omnium erit  b0c
est id duare 10 12 308 = 113= Bc. est idem quod 16 ies hoc est =0. IIa
etenus Clarissimus Scurmius.
Cui sic Responsum est.
Clarissimo Spectatissimoque Piro Domino Johanni Christo.
phoro Sturmio, Philosophiae es Matheseos Prosesso.
ri Celeberrimo in Inclita Academia Altortina.
Johannes Wallis, Ceometriae Profestor Sarilianus Oxonia.
Tanii 25. 1686. St. vet. Ovonia.
Ccevi hodie (DH Celeberrime) literas mas humanistimas (quibus dies
cscrixtionis non est ad seriptus) a Claristino Viro, mihique Amicistimo,
D. Theodoro Llauben Londur cransimistas. Mihique sraculor quod licera
Mea

## Folio 338 — 851708439:0362
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000362.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
IL L O F B R A C aP. L. XXIX.
a mex Seprembri mense superioris anni (eodem meciance Vico Claristimo) ad Fe
adata, Libi non displicuerint; calcique xstimaveris noltram amiciriam; quam
as ante demerueris illute com, a Porro demericurum polliceris. Condoleo autem
gratulor: diuque spero conralicurum, magno bonarum lirerarum emolumento.
De tamen in Procemio mulcus lim; feltino ad ea quae petunt cuae LiterX.
Onibus ais, Scrupulum obortum non nemini, de mea probatione prop. 2 L.. Arith-
meticae Irfinitorum. Nempe, Si supponatur series quantitatum, numero insini-
rarum, in duplicate ratione srithmetice proportionalium, ob o inchoatarum; erit
ea Sabtripla colidem maximae aequalium. Ouod ex praecedente demonstro;
Ouia, prour numerus cerminorum creseit, ita continue proxius ad Subcriplam
cc rationem acceditur, ut exceltus tucurus sit omni dato minor; adeoque, si in in-
aFinitum continuetur, randem sic cranicurus. Idem timilirer probaremr, de De
fectu decrelcente, si inchoetur leries ab F, prout hic ab o: Ouod ibidem osten-
ec ditur in Schol. prop. 182.
a Probatio huic par esset, de Hyperbola Tuaque ACymptota, SI SIC argUCreM;
a Ouia corcum cst, quo lonsius concinuatur ucraque, ita continuo convergere duas
ec lineas, ut distantia candem minor hac daca quaris: Erso, S LUPPONanCuE in
intinicum continnatae, eranescer ea distanera, lineaeque libi OCCUEECNE muTHO.
(Nec obstac, quod ab aliis probetur, nunguam occurturas: nam hoc eo Fc, quod
ccnunquam vervenietur in intinicum.) Ouam consequentiam nemo, credo, mihi
ce nerabic, qui Fahaustionum doctrinam Luchdi, Archimeci, reliquisque Mathe.
ce macieis tamiliarem, non repudiat. Requid enim aliud est quod asit Archimedes,
cc inseribendo (rel circumicribendo) regularia Polrgona Circulo; indeque argu-
cc endo, Ouoniam quo plura tuerine horum Polysonorum Latera, eo propius ac
a cedit continuo cum Area cum Ambitus Polrgoni, ad Aream Ambicumque Circuli;
ac ita ut disteremia randem futura SE quaris data minor: Erso, Si in intinitum sup.
xonatur continuari procellus, coincidet tum Area cum Ambitus Polygoni (late
rum numero infinitorum) cum Arca e Ambitu Circuli. Et quidem, Cx X prOP
et decimi Fuclidis, (qua nicitur Fxhaustionum doctrina) demonstrabitur univer-
faliter; Ouae ita continuo convergumt, uc fucura sit ditterencia minor quaris data,
ea, H in intinicum concintuantur, coincident.
Cum isitur, qui hunc scrupulum injicit, agnoscir ultro, (ut prop. 20. demion-
stratum,) Rationem ita ad Subtriplam continuo conrergere, ut eam Cuperatura
ec sic excellu qui quoris dato minor lit: Non video quid ulera haereat. Rationem
c inquam: Non enim hie agitur de serierum Ditterentia (Subductione xstimanda,
Sed de carundem Rarione (diritione xestimanda.) Quod a Te optime obserratum
cst. Ec quidem quod tu hinc, prome, dignacus es respondere; mihi cerre vide.
a pux tam exacte serrpulo Paristacere, ut non rideam quid porro dictu sE OpAS.
Addo tamen. (quod cum qui hoc objicit non animadrerrisse credo) Scries no
Atras (quod ex roco operis proceltu liquet) tales este, ut non modo terminus mi-
Enimus (quem o reterr) sed de Maximus, dacus cst: F.I creleens mulriendo, de inter
DoluS MCIHSCnda ell. Adesque Exceltus supra Sutcriplum, non (quod putasse ri
e derur ille) in infinitum revera crescit, led decreleit pro crescente numero tex-
ec minorum
Duve in Schemace, llatt rectillo percipiab.

## Folio 339 — 851708439:0363
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000363.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
Cap. I. XXIX
A L G E B R A.
a dunco in Cono Circuli quortibet aegnalibus interrallis distici; eilque insisten
tes Cylindruli aequealciu (adeoque in Circulorum fuorum ratione,) tiguram ex
Clindrulis Cono circumleripiam complentes, (adeoque Cono majorem:) quo-
rm minius puncto Vercicis insistar (adeoque O reterat;) Basi vero MaimuS.
Toridemque maximo aquales, complentes Cylindrum (figura ex cylinarulis)
circum seriptm. Dui quidem Circuli (adeoque cxlindruli aequealti his circulis
E insistentes) Tune, in Cono, in duplicata ratione diametrorum; qua Tunc ut
(0, F, 2, ec. In Cytindro aurem, maximo aequales omnes. Dico; li Cstindeuli
sine utrobiquebini; ratio eorum in Cono, ad eos qui in Cylindro, crit ut
(0 + T = X, ac Y F F = 2. Si tErMI; erHNC UI 0 F L + 4 = 5, 2d 4 + 4
= 4 = = +2. Si quaternI; ut 0 F 5 f 4 + 9 = 24, 2d 9 + 9 + 9 + 9= 36
cc si quini; ut 0 f F F 4 1 9 F 16 = 30, 2d 16 f 167 16f 16 + 16 =80.
a si seni; ut 0 f F F 4 + 9 f 16 f 25 = 55, 2d 25 f25 7 25 +25 + 25 + 25
c =25O. Ec lic POrrO: Ratione ita ad Suberiplam continuO ConvergenLe, uE
c excellus cractat dato minor; (quod prop. 29, 20, ostensum clt.) Ergo (per
aExtaustionum doctrinam) concinuato in intinitum procestu, cranescet. Ouod
crac demonstrandum. Nec rideo, in re manitelta, cur quis haerCAE.
ec Terum quidem est, Rationem ab inicio majorem esse quam Tuberiplam (et
sie quidem oportuit; quia fieura ex Cplincrulis circum seripta Cono, est Cono
e major:) Sed continuo decreleit pronr creleir Cylindeulorum numerus; (de Sic
CEODOEHIE; quia sic, tigura ex Cylindrulis cireumseripta Cono, propius accedie ad
aConum:) donec (aucto in intinicum Cylindeulorum nUMerO) eranescat; (A.
oura circumleripta, cum candem, cum Cono, coincidente.) Ouodque hic ipe.
e cracim de Cono demonstratur; ibidem (Arichmerice) demonttratur univerla-
eliter.
apiec Fraudi este debuir (Clar. Viro qui haec objicir) quod sic exeurritur ad
ec plures e majores numeros: quia in Majoribus numeris pocest elle minor Ratio:
c(ficut in ligura ex Cytindrulis Cono circum seripta, quo plures tunc Cylindeuli,
cc siint quidem extra Conum plures excessus, sed minus excessuum; quia plures
a minuculi, minus sunc, quam pauciores maeni:) Patio aucem est quam hic rena-
e mur, (non vel mulcicudo vel magnicudo numerorum quibus Ratio illa deligna-
CTIT:) Fa nempe Ratio, quae est inter Aecreeatum Crescentium, et Aecreeatum
Aqualium.
a Sed nimius videor. Tu aucem Vire _ Vale (Vir celeberrime) Tuoque Fare.
Cum aurem ego liceris illis raptim respondebam (nec lonsa disquititione opus
erat:) Non pucabam ad singulas minutias descendendum. Sec, missis reliquis, ad
ea respondebam quae summani nesorii spectare videbantur.
Aloguimomultem Cl. Sturmium (quod ee racite intinuatum est) id eum Amico
dubitanci concessisse, quod ego non concelterim; nimirum, Fxcessum seriei pri-
nae supra trientem secundae, revera in infinitum crescere. Id autem secus cst. Nam
datis (quod supponitur) terminis primo es ulcimo; excessirs ille concinue de-
creseit pro crelcence numero terminorum interjectorum. Idqne eo uique ut eva-
dut tandem, ciera intinicarem, dato minor. Adeoque censendus est, intinitate per-
acta, eranescere. Sed hoc, ad praetens negorium, (quod dt ipse nocaI,) nOn Crat
dictu necellarium.
Trem; Cum rectistime respondisser; Non hie de serierum Fxcessit Teu Differen-
tia inguiri, led de earum inter se Ratione: atque hanc, legirime demonstraliet, ica
ad subrriplam concinue conversere, ur inde distet (cura intinitatem) daco minus:
Subdubitare caridem videtur, propier aliquid adhus Onitati achaerens, quantumeun
que minutum. Sed nihil inde metuendum erat. Nam hoc semper elle oportet in
omnibus Pxhaustionibus: eo quod nunquam perrenietur ad Intinitum. Sic cum
sirchimedes Polvoonum circulo inseribic, aliudque circum scribit; eric in altero,
quamcunque multorum lacerum, aliquid defectus; in aliero, aliquid excessus:
quamdiu tint Rectilinea Polysona: Led illud Aliquid perpetuo decreleit, prO cre-
icence numero laterum, ut candem eractar (etiam cicra infinitatem) dato minus:
Nec prius tamen deponetur quam, intinitate peracta, degenerare cenleatur Rectili.
neum in Currilincum. Id aurem cum Futurum concluditur, CI, dum adhuc ma-
nec Rectilineum, illud Aliquia perreniac ad dato minus. Fe similiter in omnibus
s eutdet lit lide t lad lld.
Cunque

## Folio 340 — 851708439:0364
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000364.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
Cumque Vir Cl. aliam Pacagir demonstrationem extibere, a sic ab eo scrupulo
libera: In 1d Ipsum (incautus) incidie. Mmrenu concnua bilectione, 2, 2 a Z
lT. C F R R A. CaP. L XXIX.
_C. tandem DEN VENEIM AL IPPOMI au S, Gu I Alins prosrectionis terminus ulei-
mus: Id nunguam tiet; sed eo tandem pervenietur, ut mac distet dato minus.
Ouippe si, comtinue hisecando, toret tandem o Mlus prosfetionis terminus ali-
quis: tum LOC abO, Conud duplatione, perreletur ad expolitum i
unde caepcunt erac. Ac0, leu Nihul, quancumris mulupcaul e hiet Aliquid:
adeoque Aliquie nulla Diritione, uccunque concultata, seuuselu ad Iihil. Pocest
quidem, Subetactione, ab Aliquo perreniri ad Nihil; a scuttione, d Nihilo ad
Aliguid: Scd Orriaendo, a MMMBHICAHOD, Le HOH MCI. Ouodque de Bisectione
dictum est, idem de Ouacrisectione, altaVCLImHI MNTONC incellixendum cAt.
Nerum ueraque Cl. Vari Demonstratio, hoc non obltance terupusO, ralida est _
tirma; eodem tundamento nixa quo nituntur omnes H xhaultIOneS.
Delique; Ouo omnis (siquis achuc reltat) Scrupulns eximatuE; RemIEaL, IL
libet Vir Clarissimus Amicum cuum dubitancem, ad Schonu prop. LOL. Arith. In
fin. pag. 258. Flam prout, ad PFOD. 19, 20, 21. HabECur Inductio rationum P XCC
dentium luberiplam, led quarum excessus continue decteleie; ita in dicto Scholio,
Similem conspiciat LMductiONCM a HIIBCIPIA BCHCICMH sed Guatum Defectus Pa-
riter decreseit in mitum. Ft iclobislie Ha Concinue acceditur ad subcriplam, ut
por: adeoque, caacta intinitalem centeut elt cranescere. Iuchoamine illic
Fixceltus illic, et hie Defectus, creniac tandem, etiam citra Intinitarem, dato mi-
tacto ab F, ut ance ab 0. Nimirum,
c
Cui conveniunt adjuncix Figurx. In quibus, pro truncato capite (quo inei-
viaeur ab Z,) cancundem Intra batuls conuatu Lsatsu, adeoque Conus
quem hoc criansulum repraesentat; quo locus sit ubi inscribatur, illic Parallelo-
crammum, hic Cytindrus bali conreniens; qua quaten cum Fruncatio, tum Con-
rinvatio, tranfacta intinitare, una cum Detectu, eranelcun
Cumque cum Excessus excedentium, tum Detectus dete d Cocue de.
creleat, ue cirra infinitatem, eveniat daco minor; censendus elt, intinitate trans.
acta, Craneseere. Omippe, quod cst omni expolitam quata LCE MS
ee omniinde dele asios et apoticae Aquale.
Cum

## Folio 341 — 851708439:0365
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000365.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
d . d L .
A L. C F B R A.
Cumigicur ostentorum unrumris mihi sufticiac; mirum est, si simul verumque
non lacistaciat vel maxime scrupulo(0.
Vrrumvis, inquam, mihi sutticic. Nam si concinue conrersencium in intmitum
ad expolitam quamcitatem; vel Excestus, vel Detectus, cractat (cirra intinitarem)
dato minor: censendus est (intiitare transacta) cranelcere.
Dico, conversensium in insimirum. Nam tieri porest uc convergentia sic quae ali
quando cesser, facto crantitu in oppolicam parrem, (ut cum duae rectae ita conver
Zane ut se tandem decussent.) Sed, si in insinitum ita conversane, ut tandem dato
minus distene, nec tamen cura intinicarem coeane, (prouc tir in Fyperbola ad su
a ACympcotam;) censenda elb ca dictantia (intinitare tranfacta) tandem, eva
nescere. Sed, cura intinitarem, necelle est uc aliquid iltius sive Fxcettus Lire, De
FeCtuS maneat (quanculum cunque (Ic;) nam, nili hoc lic, non porest fieri conver-
centia in insinitum. Adeoque tanum abest ue demonstrationi ofticiac exiguus, iste
Eire Excestus sire Detectus decrescens, (quod metuisse ridetur Vir Clarisimus,) ux
sit ad eam neceslarius; cum alias non tieri pollet perpetua decrescentia. Quod eo
magis diferte moneo, quoniam alios etiam viderim (qui ad Fxtrauctionum nacur
ram non lacis accenderine) ad eundem lapidem oftendere proctives.
rum.
 A P. LLR d
De D. Bullialdi Fractatu Ad Arithimeticam
Intinitorum.
VM Practatus hic sub Prelo erat (Anno X68+) magnaque ex parte ab-
Solunis; accepi, Farore Clar. Viri D. Tsimaetis Bultialai ad me tranlmis
Tumr ipsius acutum opus, tum nuper edicum, Ad rithmeticam Insinito-
In quo, de mea Srithmetica Infinitorum, ejulque Auchore, non tantum hono.
ritice loguitur: Sed e, amplo Volumine, Commentarium in cam conseriptut; mul,
EOrUM annOrum OpuS. Ibique reapse oltendie, quod ego breriter insinvareram.
Nimirum; id quod eso paucis Schedis descripleram, maceriam suppeditaturum (si
in lonsum procrahendum sit pro more superiorum seculorum) prolixo Volumini.
Ouod ia pollet in lonsum procrahi (in Detinitiones, Lemmata, Problemata
Thieoremata, Corollaria, varialque ordine Propotiriones distinetum,) eso in ipso
operis decurtu intinvareram aliquories. Ouodque E cgo id aggrederer, rem in
magnam molem abituram.
Scd metuebam eso, ne nora Mechodus, sic prorracta, Lectorem deterreret; aut
Patisaret Caltem inchoantem, ne dimidia parte perlecta.
Pucabam isicur me rem Lectori gratam praesticurum, in arctum concrahendo.
summamque eorum quae dicenda haberem, quam possem brevicer extribendo; una
cum mechodo eadem ampliandi, e ad varios utus (ut occalio tulerit) accommo-
dandi: Lectoris ipsius judicio permitrens, (prour ipsi risum toret, et, si restic
meruerit,) eadem auc ampliare aut illustrare.
Nec quidem ridebam, ex eis quae perleseram (neque enim inceorum Volumen
C POtCraM perCurrere,) quod Doetrinam inibi cradicam rejiciat Vir Clarisimus
aut vicuperet, sire uc minus Canam, sire ut non utilem; (sed summe comprobat;)
neque etiam meam per Inductionem demonstrandi mechodum, uc non susticientem:
Sed admirrie votius, eaque acquieleit.
Onamris enim demonstret ipse, sua Methodo, Serierum sic ordinatarum (sire
tinicarum, sire intinicarum) agresata, ca este qua altignareram cso: ubi nume-
rus dimentionum (seu Progrestionis exponens) (IE, E, 2, 3, 4, 5, aut 6; (Wltra
non procedens:) Si tamen Exponens ille, scu numerus dimentionum secundun
quas proceditur, major fuerit, (puta, 2, 8, O, ecc.) auc incermedius aliquis (ut
Ey 3, CC. ) aut magis adhue incrieatus (ut V 2, V3, Scc.) Oporrebit vel ejusmodi pro-
orettiones omnes leponere, (sire ut non uriles, live uc nondum demonstratas;) vel
inductioni sux tractenus comprobarae, coronidem subnectere (mex limilem) act
nuncsentum: Nimirum, Cumque jam probatum sit, ejasmodt series Infinitas, ab
O incboa-

## Folio 342 — 851708439:0366
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000366.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
Cap. L. X XX
tem Proeressionis uno auctum: (nec ulla ratio dubitandi appareat, qu’in idem fu
curum sit de Potestatibus superioribus, aut intermediis:) Tuto concludamus univer-
A L G F. B R A.
saliter, idem pariter futurum esse in cjusmodi qualibet progressione, quemeunque
habeat Lxponentem Pocestatis secundum quam proceditur.. Flic utique clE, quare-
nus eeo eum incelliso, illius operis ScopuS.
Adeogue Doctrinam inibi craditam admicir ille, ut Canam Solidamque (e quidem
laucac uE corepiam et summe ucilem;) methodumque demonstrandi per Inductio-
nem admutir etiam ut sufficienrem, (eam candem adhibens ipse,) ucue liram exi
imet poriorem. Ilud cancummodo lubindicans; quali Doetrinam sic inventam,
apprime ucilem, eso minus honoritice tractarerim quam res ipsa meruerit: dunt
contentus fuerim eam breviter et suceinete cradere (Led de lic alii Polene AIgebri-
Ata,) absque Colenniori pompa et apparatu (quam magis altectant alii,) unde Or
liber) aggredi. Oui mactn plibus aethuc roluminibus subministrent.
Kgo incerun Doetrinam hanc (de Serie.
bus talcem simplicibus) Patis firmaram judi-
co; sire per ca quae primitus extribebam.
Sire qua nune addidi, sive quae Clar. BuL
halaus in ejusdem contirmationem contu-
lic. Procedo isitur (sequente capite) ad
duarum pluriumve ejulmodi sexierum con-
nexiones Per  et-
Incerim tamen, cum (postquam ca qua
jam dicta Tune seriplerim, de Anslicana
lingua ediderim,) in ejus PFOP. 14
25.
26, partis sccundae dibri quinei Cubi de
Paraboloeide Cubiea agitur) Palica repere
rim quae me spectane; libet hac pauca ad.
ROTarC.
Cum eso Parabolocidem Cubicalem sic
detinireram, ut Ordinatas habeat DO (seu
AC) in Subcriplicata ratione DiametrOruM
InterCEptarum AD, seu CO: (adeoque has
in earum ratione Friplicata:) Conttructio
ejus (per inventa puncta quorlibet) Fa
cilis elL, (nec opus erir ambase longa.)
Duippe sumpris, in Conrinsente Vercieis
ACCC, punctis C quodibet, (aequaliter
aut inaequalicer inter le disticis,) quibus ap
Plicentur (diametro ADD paralleIX) 10-
cidem rectae C.O, in rectarum AC ratione
criplicata,
O inchoatas, ubi Prooressionis F aporens est 0, 2 2, 3, 45, 6, esse ad terminum
maximum toties sumptum, ut 2, ad 2, 29 3, 4 5, 6, 7; hoc est, ut 2 ad Losponen
natius e magis aususte procnet; Inuque in conspectum produceret Propositio.
nes plurumas elegantes (ur Lemmata, Corollaria, similiaque, propositiones prin-
cipalesltipantia,) quae in compendiolo ploceltu latent ablconditae.
SCepto,) rem am ampliando, illustrando e ornando; Lectorique extribendo et
demomtrando propolitiones elesantes rarias inibi latences.
mendlem: Eis poustimum quibus hujusmodi proceltus explicati magis placent.
Mathematicus exresius, similem in se tulcsperet laborem, pariter ampliandi e illu-
Strandi Tractatus illos alios, quos (Arueticam Intinirorum prolequendo) po-
Rectisicandis e Complanandis, ee De Motu: Ouibusmagna copia hujusmodi re
rum Ceomerricarum limili Mechodo conterrim congeritur. Ouippe cum Fractatus
Specimen in hoc uno exhibicum) aliis permittere (quibus orium est, animusque
Tunc igitur ille mihis operique meo, honorem extribet (labore grari in le su-
Estigitur cur ego ei ob hos Iuscepros labores revendam grates. Folque aliis com
Non postum interim expetere, (neque enim par ct) uc idem Vi Clarillimus, et
Ttea Serip(I. Nimirum, De Cpeloide, De Cissoide, De Lineis e superficiebus curvis
ille breris tam grandi Volumini mareriam Lubministraverie: tierinon porest, quin
voluminolum opus Foret, reliquos similicer ampliare. Sed (reventis sratiis ob
pariter labore simili se exercendi) idem in illis omnibus, corumre aliquibus, (A

## Folio 343 — 851708439:0367
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000367.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
Cap. L. XXX.
A L G F B R A.
triplicata, (hoc Cs, ut CO, CO, sine uc Cubi rectarum AC, AC,) crantibie
Der OO puncta, imperata CUIEVA AOO.
Cumque hujus lacus rectum V dixerim; cujus quadratum II, in diametrum
interceptam A C = d ductum, aequale sic ipli z, Cubo ordinata DO =p
HOc est 1Ia = p. Nemo non ridet, datis d _ p, haberi Cacim 11 = P
Hloc est; s cujulris Ordinatae Cubus applicetur ad suam Diametrum interceptam
(leu per eam dividatur) habetur quactracum Parameri Peu Laceris recti. Ve non Lit
OpuS Cur queratur (ad prOV. X5. ) me nec inquisiville hoc, nec praesticisse.
Cunque, Algebrae speciosae calculo, demonstrareram (quod aenoseit ip(e) L’an-
gentem a F (ad extremum Ordinatx P a) Occurturam in P, dIaMCtO P A COn-
Einuatae, si sumatur A F = 2 P A, Leu P F = 3 P A: non est cur queratur ille
(ad prOP. 26.) id d me Creometrice non efectum esse. Neque enim id d me ibi
agebatUT, ut docerem quo pacto Demonstrationes Algebrica ad Ffectiones Geo-
metricas revOCentUT. Sed neque id minus demonstratum existimo, quod speciolo
calculo demonstretur. (Ouippe eso demonstrationes Arichmeticas, ubi suppecunt,
Geometricis lonse praeculero; uc limpliciores, masis abstractas, magisque univer-
Cales.) Siquis aliulmodi demonstrationes altecter (ee abundarerit otio) per me
licet, accommodet ipse.
Ouod pariter relpontum esto sicubi alias (quod Forre tat) paria conquera-
.
u
Ouod autem animadverrie ille, de Parabolocidis hujus DiametrO; CgO ant NOTA-
veram eeemendaveram, libro dudum edito.
Ouam ille menorat (adt PrOP. 26.) Parabolam Cubicam Michaclis Mecti Ric-
eii Cardinalis: alia illa est ab ca quam cgo Parabolocidem Cubicalem appello (cu-
jus Ordinatarum Cubi sint Diametris interceptis proportionales:) nempe, ea quam
eso alibi (Cupra, Cap. 77.) appello Semicubicalem: (cujus eso cum aream Fipu-
ra, cum longicudinem Curra, alibi dimensus Tum:) Ouod ipte non videtur ani-
madvertisse. Cujus nimirum Ordinatae sint in diamerrorum ratione subtripticatae-
dupticata, (hoc est, Cubi ordinacarum, quadratis Diamerrorum, proportionales:
nut etiam in sub duplicatae tripicata. Nam eadem Curra verumque admcit Chata-
cterem: cum hoc Calcem dilerimine, quod alter respiciat diametrum ad Concavam
currae partem politam; alter, diametrum (qua ee l’ansens elt) ad curra partem
Conrexam: quales Tunt (in parabola quadratica) Diameter communiter dicta, et
Pansens Verticis. Ouae ad diametrum illam applicancur Ordinaca, lune in diame.
trorum incerceptarum ratione Subduplicata; quae ad Fansentem verricis (uc dia-
metrum) applicaneur, sunc in incerceptarum racione Duplicata. Lrpariter in aliis
curris. Duod nescio an ante me nocaverine alii.
Estiusque Parabolocidis Semicubicalis cum Area, cum Fangens, eildem lesibus
Tubsunc quas de Parabolis ee Parabolocidibus univertim cradidi. F. lt urique ad Pa-
rallelogrammum circum seriptum, area tigurae ad COnCaVaM CUEVa parrem pOsita, ut
ads; qua ad parcem converam, ut 2 ad5. (Nempe, uirobique, ut L ad expo-
pencem seriei plus uno: illic quidem uc F ad 3. F T, Teu 3 ad 5; hic, uc F ad 3 f F,
Teu 2 ad 5.) Ft P F (diameter producta tansenti OCCUETenS) ad P A (diame.
trum) ut 3 ad 2. Trem CC (Tegmentum Pangentis in vertice, OCCUTYenS tANBCNEI
aF in G) ad C A Teu a P, ut 2 ad 3. (Nempe; illic ut 3 adt 1, Ceu 3 ad 2; hie
vero, uc Z ad L, Peu 2 ac 3.) Sed et Curram iplam, ad Diametrum, esse ostendi-
mus (prout supra dictum elt, Cap. 77.) in ratione cognita; nimirum, ut est Para-
bola truncus ad parabolam, (notus ad nocam.) Oux prima est curra cui ostende.
ric quispiam aequalem rectam. Sed de his hactenus; ne nimius sim.

## Folio 344 — 851708439:0368
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000368.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
C F
i LL L. LL C LL
De duabus aut pluribus Seriebus connexis.
Adem de Seriebus Infinicis doctrina, est (in Intinitorum Arichmetica) Dua-
L. bus pluributre Scriebus accommodata, per = aut = connexis.
Verbi gratia. Series Laceratium,
aucta Seric Duadratorum.
da7.= 0ad
cdF + 2da
2.dT + 4 dc
3dT + 9dd
ecc.
_C.
Vsque ad DZ + DD
Summa, 3mDZ  : n D∞.
Nam Od F F d Y 2 a_C. CHL (Per GCHETALEM MCaM PTOPOTILONC SUPTA Ea-
dicam) = = m D. Adeoque 04 + E4Y + 2 d  ec. = =m DT. Oua CAt
cumma prioris columna. Irem Odd F E d d  4d d ec. = = m D D. OuIX est
summa posterioris columna. Ergo Zm D T + Zm D D est Cumma limul urri
usque.
Dux quidem Ouancitates Tunc ut Ouadrata Ordinatarum in Hyperhola: ni.
mirum
a d
L: VBI L, 2, (lacus Rectum de Prantvertum) sune quamica.
tes permanentes in eadem typerbola. Sed d (diameter intercepta) variabilis.
pro alio atque alio applicationis puncto. Oux itaque s succestire Tumpea SE
Ut O, F, 27 3, ec. Teu Od, F d 2 d, 3 d, Cc. quarum maxima sic D, Segmenti Dia-
meter; Ouaceara Ordinatarum aequalibus intersticiis sumprarum figuram complen-
tium; erit series quanticatum in ratione jam expolita. Pe, consequenter, lic crunt
Circuli complentes Conoeidem Cyperbolicam (urpore in diametrorum seu semi-
diametrorum ratione duplieata, sre uE Carum quadrata.) Sunt autem toridem
complentes Cylindrum circumleriptum (ejusdem basis ex alticudinis) maximo x
quales tinguli. Erso: Conoeides Fyperbolica, ad ejuldem balis e alcicudinis CY.
lindrum; est, uc illorum summa ad Tummam Borum; Peu, ut illi omnes. ad maxi-
mum cocies sumprum. HIOC e, ut Em DZ =5m DD, ad m D Z ; m D D;
hoc cst, uc 3Y + 3D ad Y  7
Fc, consequenter; Si sumatur D = Y; erit Conocides ad Colindrum, ut
28
ad 2; hoc elt, ut 5 ad +2. Si D = Z T, TuM CM 3 2 +. 5D
Y) ad F-
27 =3F,) ut 33d 3, leu 4 ad 9. FL Lmi.
licer de aliis casibus judicandum.
Similiter; Si Scries Lateralium muletetur
Serie Ouadtratorum. Prout sunt Ouadeata
Ordinacarum in FllipC, Circulore.
5d L  Da et
ecc.
ec
V(que ad DY = DD
Summa :m D T =- : mDD
0a2
EaL = Tdc
=4. dc
L. (quo casu ballo Cll ataaimus paralle.
lorum in Conoeide seu Spharoeide Circulorum, per Centrum trantiens,) Cru
Fst ixicur Elliprica Conocides, ad ejusdem balis de alticudinis Cylindrum; ut
Et, consequenter; Si suau D=
Em DE. = =m DD, ad n DZ = m DD: (en :Y = = D ad 
Seli 2 dd 3. Adeoque i L Mabet Hemilphaerium Lei CCphaeroeides, ad ipli
Careum.

## Folio 345 — 851708439:0369
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000369.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 70 lines, status machine
C.aD. L.L LLLL1.
Circumscripcum Cylindrum, ejuldem balis e alcicucinis. LF, consequenter, I
cota Sphara seu Sphxerocides, ad libi circumleripium Cylincrum.
Si D = = T; rum Z2
D
2Z,) ut 5 ad 9. Adeoque Lic erit PorrIO Ua SpMara leu Spharocideos, ad
libi circum scripcum Cylindrum, ejuldem balis e alECHMI.
Si D = 27; um = L = = 2
ut + ad T; hoc eltus aqualis. Acque sic crit porrio sphalae seu Sphaerocideos, ac
Cxlindrum (parcim in scripcum parcim circum (eriptum) eslitcten bals ee alcirudi.
nI5. Nimirum, F. xcetibus porrionis extra Cylindrum, compenlancibus delectus
intra Cylindeum.
ut = ad 0. Onippe cum, Bale in punctum degenerance, Cylindrus evanescir in 0.
Sed D major quam L, non potelt esse, proplet lisura nacuram. Quoniam
intercepta Diameter in Fllipli Circulore, non porelt elle major quam franlverla
diameter; adeoque nec in Sphaera aut Sphaerocide.
Dc quidem si (contra Pigura naturam) major supponatur; Llliplis Circululve
(hoc calu) desenerabis in Hyperbolam (cujus Vertex exit oppolitus vertex l
lipseos Circulire;) Sed Y e L exdem quae prius.
Verbi eratia; Si A D (incercepra diameter) minor sit quam A a (diameter
tranverta,) rectangulum ADa, vel erit Ouadrato DP. ordinata in Circulo auE
Flliple aequale, vel illud Paltem re-
praelentabic. Sin AD, quae suppo-
nitus minor, lic force major quam
potito D.
ti
C) quacratum negaurum; ejulque radix V: - 7Z7.
edia PrOPOrLOHatS inter .  A D _ = D a, (xetO.
cum ad Flliplut Circuluire, impollibilem elle; led quae poltibilis cradet substi.
tuta Fyperbola pro Circulo. Rectis A D, Da (quae supponebantur partes ipsius A a)
jam exiltencibus radicihus smaginariis hujus impolsibilis Aiquationis quacrariea
aa = + a +- 27 = 0; cujus radices erun 3 1 = V - 2 1 + = =
31. Ouod qui
dem obiter octendic modum commodum delignandi hujusmodi quantitates imagi-
nariaS.
Tix maena quidem copia hujusmodi Serierum Connexarum (sive uE ApprePALa
sive nt Relidua) per ligna f -, ibi disentiuneur; multa que Speculationes non
injucundae, inde deduetae; plures quidem quam hic par est recentere. Postunque
alia innumera pariter deduci.
In Seriebus hujusmodi sic connexis (sire Aggregatis sire Reliduis) facile ilem colli-
situr Series Duadratorum ex his, _ Cuborum, aliarum que consequentium Poceltatum.
Acque hae quidem non raro in regularem aliquam proprestionem concidunt, quae
Facile obserrari potic, e continuari; lirque obserratu non injucunda. Guarum
ego magnam ibi copiam extribui.
Verbi pratia. In una jam memoratarum, 7 d = a d (sumpra a luccestive pro
Og F, 2, 3, ec. quarum maxima sit D = Z;) aggresacum omnium ad YY tocies
sumpium; icem Ageresatum omnium Ouadratorum ex illis, Cuborum, dec. ad ipsi-
us LY Quadratum, Cubum, ecc. rories lumprum; erit ur hrie subjicitur:
l. a L = dd. ec.
2d 7- 3
aeea A.
Si D = Z; cum 3Z - 3 D (= 22 - 37 = 5F,) ad Z- D (= 7 - 7 =0
Ra adeoque D cadat ulrra a; cum
rectansulum AD a, erit aquale
quadrato D FI ordinatae in FIyper.
bola, vel illud repraelentabic.
27.
cum exit dE- da
cedente D a 2 D, quae supponebatur procedere.) Unde concludetur, rem, quan-
C. d2= ad.
l6 9
140
5 57 819 610 lul
TX2X3X4
5X6X 7 XBX9
ec
F2346X7
2T- ad. 8. d1 = c
2 X 3 4. X5 2X3 4X5 6x7 2X 3 4X5 6X 7 8XG
ue

## Folio 346 — 851708439:0370
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000370.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
E G E B R A C aP.
Fsque hoc ita incelligendum; si eonsque plocedac d ut habeatur maxima D =
Y; hoc est, S consideretur corus Semicirentus, seu SeMrelliplis, ulque ad extre.
mum punctum Franlrersa Diametri. Ouod s non ulterius procedatur quam aet
leomentum aliquod Semicirculi, aux Semi iIPrCOS, cujus intercepta diameter D.
mInOE sic quam T; hoc casu, omnium Aggresatum, elt ad coridem D Y: e Oua-
dratorum asgresatum ad totidem Ouacrara iptius D L, (d H do Exteris) in ca
ratione quae hic indicatur. Idemque intellisendum est aliis casibus consimilibus:
Duod semet monitum esto. Nam hujutmont erhodi Ouadrandi, Cubandi, ec.
paritet accommodandae crunt eorum Segmentis, de ipsi Circulo, Semicirculo, aut
Ouacranti: Paritergue de Flliplibus et Fyperbolis.
Similiter; Series hujusmodi R R - cC; qua lunt ut Ouadrata ordinatarum in
Guadrante Circuli rel Eslipseos, inchoando à Cencto. (sicur R R F CC TUnE UE
Quacrata Ordinatarum in FIrperbola, a curra conrexa ad conjuoatum axem: ) co.
tum lumma, ad R R cocies lumpeum; ee Ouadratorum, Cuborum, Scc. ad cotidem
Ouadrata, Cubos, ecc. ipsius R R; (sumpEIS C TucceHIrC prO O, F, 2, 3, dC. maXI
moque C = R;) cunc uc trie indicalus:
RR
. A = 6b. ec.
2L 4 L 0x8
3= 323. ec
atut
Mulraeqe aliae hujulmodi Prosrectiones sunt ibidem conspicienda.
Adeoque; Si Particulae cujusois Maenitudinis seu duantitatis (cujulennque
generis) desienari possint per continuam seriem maenicudinum: sive Niqualium
(ut lunt ordinatae in P’arallelogrammo, aut minuta Parallelogramma qua per has ordi
natAS rePrResentantIF;) aut in proeressione srithmetica crelcentium aut decrescen-
tium, (uc funt ordinara in Friangulo, ejusre Trunco; aut Plana in Conocide Pa-
rabolica;) aut ut hujusimodi arithmetice proportionalium Potestates aliquae (ut
Ouadrata, Cubi, eateraeque poteltates ordinatarum in Priangulo, aut Parabolocide
Planave in Cono, Pyramide, ee Parabolocidibus innumeris, generis Parabolici;)
aui ut earum Radieales potestates, (ue funt Ordinatae in P’arabola, e Paraboloci
dibus innumeris;) aut ut Summae vel Differentia (duarum pluriumre) Bujus-
modi Serierum, (ut sime Ouadrata ordinatarum in Circulo, F. Iipsi, auc Hlyperbola;
St Plana in Spsara, Spharoctae, al Conoeide ex talibus tormata;) aut ut pote-
States qua libet ejusmodi Summarum seu Differentiarum (alix quam Ractices Oni-
vertales;) aut ut sutum quander agauer respective) aucta nel diminuta,
multiplicatae aut divisa; aut ut oriunda a (duabus pluributre) talibus seriebus
(respective) multiplicatis aut divisis per quamvis aliam (alicer quam inverle
mulciplicando aur diridendo seriem crescentem per seriem decrelcentem;) pos
sintve, praeparatoria aliqua operatione, (puta, Diritione, Excractione radicum, Rc-
solurione aequationum, aliave,) ad hujusmodi desienationem reduei: LLa omnes
maenitudines seu quantitates, possunt, per han eeneralem Reculam, reperi.
Inmajorem evidentiam hujus rei; quaniae sc. veilitatis sic haec Infinitorum me-
Calta fonnnes Casieet; M. A. Aulaeque Cervina dla, in Oxoniensi Acade
mia, Vice principalis. Duo breriter ee dilucide (secundum hane mechodum
Sua Cicometriae my Atexia centica olim luerinc.
Scriptum

## Folio 347 — 851708439:0371
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000371.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
Cap. L XXXI. A L G F B R L
Scriptum D. Johannis Cialivell.
Symbola, quibus hie Mtor.
b. BaIIS.
5. Vel o. Superficies curra Sphaerae Coni vel Cylincri.
r. Radius Circuli. Pura baleos Coni vel Cylindri.
c. Circumterentia.
. CirculuS.
D. AB: Area circuli cujus radius AB.
O. Perimeter.
I. Fatus Coni vel Cytindri.
p. Perpendicularis ad Balem.
II Parallela.
a Priangulum
n. Numerus Elementorum, quorum a minimum, ca maximum.
Suppono continuum ex parcibus indirisibilibus rel intinite exiguis constare
tanquam ex elementis.
Duo sensu Linea constat ex punctis; Superticies ex Lineis parallelis, et Solidum
ex limilibus parallelis Superticiebus. Er li per Flementa Perpendicularis ducatur,
numerus Flementorum idem erit ac numerus punctorum in Perpendiculari.
Sic Paralleloerammum, Prisma, vel Cylindrus constat ex Elementis basi aequa
libus parallelis es limilibus. Priangulum ex lineis basi parallelis, Arichmerice
proportionalibus: quales etiam funt circuli qui consticuunt Conocides Paraboli-
cum, e Perimecri ex quibus constat area Circuli, vel superticies Coni IPoscclis.
Cylindrus icem concipi porest uc constatus ex curris Superticiebus Cylindricie
ejusdem axis ee alcitudinis, qua itaque (unt inter se uc Perimetri quibus intistunt.
Sed quo Cacim pareat qualia F. lementa incellisenda relim in lequentibus; cg0
numerum Fdemencorum semper praemicto, eique subjunso Batin seu ElemenCuI
maximu. F. 8. Sphaeram dico =Z rs, ubi s innuic. F’ixuram dissolri in super.
ficies concentricas, quarum numerus sit Ractiusr. Sic ubi dicitur conus ett = = pb.
innuit b conum constare ex planis parallelis et similibus bali, quorum numierus
est perpendicularis p.
Si Elementa sint aequalia, axoresatum est aequale uni Elemento ducto in nu
merum omnium. Erso Parallelosrammum, Prilina vel Cylindrus est = p b. P. L
Cylindri luperficies curra 0 = 16.
Series Primanorum, hoc est cerminorum in proporrione Rrichimetica existen.
ium, cst = n x  . Sed cerminus medius est = =  . ErgO CorOna, vel
Annulus planus, duabus concencricis Perimerris cerminatus est = F acicudini ductae
in Perimetrum mediam. Ec trustum Conocidis Parabolici est aequale alcicudini
ductae in Circulum nedium. Friangulum cst = = p B. Circulus est = = r c.
Coni Hoscelis ct = = 10. Cylindrus est = = r0.
Series Secundanorum, i. c. terminorum proportiona-
tium quadracis Arichmetice proporcionalium, quorum
numerus est intinicus, et cerminus minimus o, est = 5 n co
Froo Prramis vel Conus et 3 p b: dc Sphaera est Z rs
Si 5+ dimidium Quacraci Circulo inseripei, e CY
dimidium Circum (cripei, FOtentE CIrCA aXeM HC: PrO.
ducetur Cplindrus Sphaerae Inseripcus, et alter Circum.
TCriptus.
Chuories ioicur dicitur Corona cujutvis lincaexura DE
intelligenda est Corona d rotatione linea DB genita. Sic
ubi dicitur conus CHY, incellise conum genitum d ro-
cacione crianguli CTT, cirea axem CII.
FILIBILUE COrONa db =  (ad) cb -  ab = DC
=Dan: parItEr COrOna DB = ( A H; eC. FrBO
Scurella M bBFIT = ConOCHIT = = Cstindri CA LM
ErBO Sphaera = 3 Cy lindri Cucumseripei.
L ANGMLUS.
I. Perpendicularis.

## Folio 348 — 851708439:0372
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000372.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
Cap. L. XXX
= Sphaera = 3 Cplindei = 3  = 3 10. FrEO s =. hoc et Superticies Sphae
SSplara = 0 Colindri = 10 = 2rC = 4 . hOc Cs Superticies Sphara est
Fota oCslindri. sSphaerae. . 4 C + 2.1. 4 3: : 6. 4: : 3. 2. Adeo ut C7.
Partes Cylindei interceptX panIS BaI varaIleliS SeIgnIAILETR TUNE COrrCLDOn-
dentium Sphaera Sectorum (su est, Cylindrus genitus convertione Parallelo.
Grammi LD da est 3 Seclorto Solidi BCB.) Nam Frustum Scurellae MDB
=3 Lubi Cplincrici DE; Ex ConuS C AB = Z Cylindri C B. ErgO SectOr CBM
Cylindri CD. Paricer Sctor CbM = Z Cylindri C d. Frso etiam Sector
= Sectori Sphaerae = Z CHI. = 2 = . ErBO a = 8. hoc elE partes Su-
perticierum Sphaerae de Cylinder absciltae planis Basi parallelis sune aequales: pucd
Superticies Bb = Superticiei Da =O CMIXD a. Hinc lequitur Superticies 5
Zonarum esse propotoaleo luis Alcicudinibus, ret scomentis AXiS SpHRTX inter.
CeDtis.
oCotindri Circumteripri. deylindri Intcripii: : CM 4. C P4: : 2. F. FT C.
lindeus Circumleripeus. St In(cripE: : CN. C P3:: 2V 2. +
Sulperticies Coniei Rhono CMHI Sphaera Inseripri cAt =M HL XOCM; e
Conici Rhombi Inleripi. o Coniei Rhombi Circumleripii:: C Fg. C 19: : Z. 2.
Et Conicus Rhombus Inicripcus. Con Rhom circum (C:: C F3. CC3:: F, 2 V 2
Secs Sphaerae =GFIxO CMI, e Sphara = ZHIGX D CM. ErgO sSphaTA.
Khombi Enser.:: GH. MH:: V2. L. FE Sphaera. Con Rhomb Inseripr::
Si F F C dimidium Friansuli tlopleuri Circulo tn-
Ceripei, e AD B dimidium Circum leripti rorentur circa
AB: producetur Conus Aquilaterus Sphaerae Inscriptus,
et alter Circumseripeus.
oConiFEO = ZOEGKHF, ee B Balis = ZOECK
(F G =) ZF F. ErGO ∞ = 2b. FrGO tOI 0 = 3b.
Hoc elt; tuperticies curra clt dupla baseos, adeoque
tota superficies est baleos cripla.
L. CDB = 30 = L. F. BD. ErgOH. D =-LB =-FC.
FrBODCD = 4 CF. = sSphaTR. ErGOSSpMTA.
b Coni Circumse:: CCD. (O BD =)  CD OCB::
. 3. ErgO sSptaera. tOC 0 Con Circum (C:: 4. 9
Et Sphaera. Con Circumle: : Z C B X S. 3 C BXEOE0:
4. 9. Adeo ut Conus Circumle. Sphaer. :: 9. 4. Soli-
ditate e Superticie. firgo Conus Circumser. Cylindeus Circumse. Sphaera::
9. 6. 4:. Solatcare limul e Superticie. Adeoque Archimedis ratio Sclquialiera
concinuatur in Cono s. guilatero, quod primus demonstravic . F asques in Appen.
dice ad Geomerrix Elementa.
Coni Circumsc. o Con Inter:: BDg. CF. 9: : 4. F. EC Conus Circumle.
Con Inter:: BD3. C F, 3: : 8. F
Si Sphaera cidem inseribantur et circum (eritrantur Ai quilaterus Conus, Cstin-
drus, et Conicus Rhombus: iplorum Superticies de Solidicates se invicem habie.
bune, ut numeri sequentes: Ouod eric maniteltum si binae qua que anre ostensarum
Rationum reducantur ad candem denominationem: Onde emersent 30 adhuc
alia Theoremata; ee quidem primaria eorum quae Torricelius demonttravit de So
lidis Spharalibus: Indeque Facile deducencur reliqua.
Superficies
Solidicaes Coni Aquilateri Circum le. Cy lindri Circumsc Rhombi Circumsc. Spha-
ra. Cylindri Interipii: Rhonibi Insc. Coni Insc. Sunt : . L. H8. 3L.Y L. 52. 12f2. 10. 8
Coroll. Sphaera. Rhonb Circumse. : : r. Y 2. Tolidicate sinul de superticie.
L G F B L 1.
xe est aequalis cuerae Superticiei Cylindri Cireum seripei
quadrupta Cui maximi circuli.
CBb = = Cytindri a D.
lindrus circum scripcus. SpI. . 3. 2. Soliditare simul ec Superticie.
Soliduas = 3 FTGX D CM.

## Folio 349 — 851708439:0373
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000373.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
Cap. L XXXI.
A E G F B R A.
Si ACF Semisesmencum Circuli (cujus Radius AC, Diame.
teT AS,) FOTEUE CIrCA A F: produCETIX Spharx Segmentum
cujus Flementa func O HIB, O D l ac. Scd DHB = D AB
OAHI, eCD DE =O AV. = D AD. e d HC ==C AC
() A F. AF serieS (O AB, O AF, O AG:: AB 9, AE9.
AG9:: ASXATT, ASKAD, ASXAF:: A LB AD, AF, hoc est sC
ries Primanorum: ideoque =O AG X Z A F. HC O AFI, G) AD,
 AF, Scc. Clt series Secundanorum: ideoque elt =- AFX ZO AF.
tergo Segmencum Sphaerae cst ; A F X:  A G = 3O AF: =
E A F X: O FG F 3O A F. (Id quod elt cheorema jam ulur-
Dacum in menturanda Corona Aheui Cerrisiarii.) = 3 A F X:
C
OFC F IAFH X, LSOFC =IOF Cn AF~ (3Vd f AP)
quod ipsum cst Theorema Archimedis, cognita diametro. Mnod tamen (cum
praesimat diametrum cognitam) minus est ulii accommodum quam iliud alterum.
De Erusto Eyramidis eet Coni.
Sunto A, B, C, D, F, _C. Flemenca Segmeni Frianguli Rectan-. r. . 7F. - - - . . .
suli Parallela bali: Elemeneorum Ouadraca constimune trultum:
F
Pyramidis Ouadrara. Sincb, c, d, X esc. complementa legmenci .. . d . . ... -. 7..
ad parallelosrammum. Sitque A L P = Z. Fum
B9 = AA - 2 Ab F Bb, Scd Series AA, AA, AA, est AEquali- 1. C. . C...
Cq = AA - 2Ac = cc C um, ideoque = p AA. Series Z. AB, ib - - . - - .
Oc. usque ad E 2 AC, ec. Cst Primanorum ideoque
F9 = AA 2AX + XX) = 2p A Z = pAX. SeriCSBB, CC, dec. eAt
Sccuntanorum, Ideoque =-5p XX. ErgO Frultum Pyramidis
e
Ouadratae est = p X: AA - AX f G ZX = pX: AF. + SXX (quod FIL THCOreMA
DrIMUM) = SpX: 3AE + XX = (prOPIEE XX = A A - 2 AF f LF) 3PX: A9
FAF F Pg (Theorema Sccundum) = SpX: Z. A f P. 9 (Fheorema cerrium)
=3PX: LF + A9 (TheOremA quarII) 5 pX Z9 = AE. (T heorema quincum)
vel = : p, 2 44 + 2E2 + 2AF = 1 pr. 29 + A9 L E9 (heorema Sextum.)
Si Fructum Fueric Coni, positis A, P. diameeris Balium: Coliditas per Pheorema.
cum superiorum quodris inventa ducatur in 253. Pariterque mulciplicando per 2
LiOS aPEOS NUMETOS, Pheoremata applicentur Pyramidlibus quamlibet Polvedris. V).
tiigue crunt in Menturandis ratis Cerrisiariis (Anstis Fonnis dictis,) ec Arbo.
rum cruncis.
De Trusto Sphaeroidis:
Sit CBF quadrans FMip(COS, cujus semiaxes CB, CF, ee semipara.
ODt
1OCB- DCD
metri ad CB racio lic uE L act L, FrGOC NIE =, K CCB GCN E
OCiII)
OCB dC
Erxo Frullum Sphaeroidis cst = =- pr: D CB - ; D CC -
= +2OCB. + =OCB - =O CO = 5 pr: 2OCF + OHC
Ouod ipsum est cheorema ab Ouchereso primo, jamque ab aliis adhibicum invenienda
capacitaci Doliorum.
De Trusto Fusi Parabolici.
Sic Parabolae axis A, et ad axem Axplicata P divisa in parres aequa.
les innumeras; pes rectas B, C, F, ec. axi paralelas; quarum disse.
rEnEIX ab A CIMC n, 2 Bcc. uIque ad X.
EroO B9 = 19 = 2 A1 F B n
C9 = A9 = 2 Am = m m
_c. ulque ad
F.g = A9 - 2 A N + N X
Sed series Aq, Aqe ecc. Cs Aqualium, ad eoque = p Ag. F.1
2 A m, ec. eA Secunctanorum; proptet rectasn, m, dec. in dupli
co

## Folio 350 — 851708439:0374
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000374.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
L G E B R A: CaP. L XZXI.
cata ratione distantiarum ab ANC, erEO = p X Z A Z. Ft Sexies un, mm, dec. est ONar
ranorum, ideoque = L p XZ. EroO FTustum Prramidoidis constans ex AG B9. Ec.
XX = EpX: 2 RA F FF = 2XX. Argo li leomencum Parabola absciltum recta
AXI paralLela FOTTIE Cirea OrdinALIIII APplICaram P, trustum acuri Parabolici Co-
nocidis, (vel uc aliis dicitur) Funt Lalavortei inde genitum, est = 3 pX: 2 A F O F
=3 X. Adeo uc trustum Fus Parabolici minus sic trusto Spharoidis ejuldem
balis et alcicudinis desectu2 (.) L X3 L. V.l Doliorum capacitacem vero propius lape
dat, quam Theorema Ouehtredi qui ponit Dolia elle Frusta Sphaerocidium, vel A
liorum qui supponune este truica conscidium Parabolicorum, vel denique Aliorum
elt = pX: A A = Z AX  ZZ~ =- 3 pK: ZXX F ZAA F (AA = 2 AX =)FL
qui habent Dolia pro trustis Conorum.
De Oneulis Cxtinaricis.
Sic A BCD porcio baleos Cylindri recti, cujus latS
C. D concipiatur perpendiculare basi A BC: e pEr DuN-
cta AB D agacur planum abscindens Ongulam ABDC.
Friangulum icaque BC D intelligendum est perpendieu-
larc bali AB C: Concipe eriam puncta c 8 p Ec. in Lub.
limi Cupra H, C, P, ecc. Ergo Ongula conttabit ex limili.
bus criangulis rectansulIs TIF C, M G8, NP P, dcc.::
HIF. q MCq, APq Scc. Ideoque li balis A CB Cic P’acab0-
la: ceir Ongula = =ABX ABCD. Si batIS si F L
liplis, Onsula exic = 3 AB x ABCD. Si basis Lic TTy Per.
bola cujus diameter cransversa c +: Onsula erie
= AB =ABKABCD. Ouae cubacura est Vneu.
larum Cylindri Parabolici, F.Iiprici et Hyperbolici, a
Grez. a S. Pincentio inventa, de ab A. P acquet in Cylindricis turse demonitrata: Idem
Vero ante hOS PExstItiE Dolter RuharduS bius (Teu Wbice) in Tuo Temisphae-
rio aissecto. Facem methodo alta plurima. Ongula vel Ongularum Frulta planis
abscilla plano BCD parallelis menlurentur: Si lumma Seriei HEq, MGG, NPq, eC
Pollinrehiri. Poceltque adhiveri pro menturando. decliri fundo ralis Cerriliarii.
Elementa curra Superticiei Ongula ANP TUnE F C, CY8, _C.:: TIF, MG, dc.
:: OHC, OMG, Sc. Ex quibus constiuitur Superticies Conoidis rocatione Figuia
AECB circa AB peniui Ereo. Vngulae = p us Convidis. Ideogue SI A NP sit
semiseementum Circuli, Conocides erie scementum Sphaera, et Ingula
XOAPK=
ciei Oa  CHCMaLIS.
PC
2n P = P P. quae est Ouacracura Superti.
Clrolb. Si R P sic = P P, oECIC Summa Cinuum reCtOruM in AECU AP, cumque
=AAXAB - R. C. linui verso ducto in Radium.
De Aonularibus, propositione s A. Paequeri demonstrarae ex centro Cravilaris.
Sit PZ F PD, _ quaevis FiGUTAD HI L. AXem ha-
benS AIM TD P. Solidum rocundum à Figura
DHE cirea rectam PZ rotata senirum, dicitur
Annulus: e Speciacim Annulus dicitur Circula-
ris, Parabolicus, Fllipricus, Lyperbolicus, prout
Fieura genurix elt Circulus, Parabola, Elliplis
vel Froverbola. Si Annuli PoluSP E in ipsa Fi-
vicaris in circumrolulio LISuX: eric Annulus =   Der invema Guldini e
W altisii.
SnPrOAP=
E AP
ep.
Surae perimetro, annulus dicitur Clausus uc F. F P: SI P sic extra perimetrum, An
nulus dicitur Patens ut DFIE. Pars interior Annuli dicitur, qua genita est d
Parte Fipurae interiore MIHIC, exterior qua ab exreriore MI FLD
Sit D = Figurxe genetrici DHR, ec =Peripnera quam deseribic centrum Gra-

## Folio 351 — 851708439:0375
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000375.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
Cap. LXXXI. A E G F B R A.
Wallisii. Vel Sic. Sic quaeris recta CZ. IIDP, et puncta C Nabaxehine inde X
quidistantes, erit 0Z. O F02N = 20ZC =2 v. Hoc est summa peripherix cu-
julvis excerioris et respectirae incerioris est = 2. 2. Numerus harum Summarum est
. Ergo annulus est = 2 x = = ∞8.
Omnis Annuli pars exterior excedit interiorem, duplo rocundi Solidi à Figura
genitrice circa Cuum axem circumacta geniti. Dem. In quavis Z. C. II PMI Cuman-
tur puncta quaeris C N hinc inde ab axe C. MI aequidiltantia, ergo OZ G - 0Z V
=oCN = 2 OCN. Pariter peripheria omnis exterioris exceltus supra correspon-
dentem interiorem est duplus peripheria per punctum exterius de interius cranse.
untis centrumque in axe habentis.
Omnis Annulus Fllipricus (quo nomine comprehendo etiam Circularem) est
ad Sphaerocides FHipleos senicrieis, ur Peripheria media ad Z crasticudinis Annuli.
IJOc CAt _~. PX Z D L:: V. ZDF.
Annulus Parabolicus Clausus est ad genitricis Parabola Conoeides, ut 16 ad 3
Sic enim F. F P Parabola. Ergo Annulus e_ = = F BX E PXOPB. Et Conocicles eIt
=ZF BX Z H. P XOP B. Rrgo AnnuluS. ConOcid:: 3. 8:: 16. 3.
Annutus Parabolicus Patens est ad genitricis Parabolae Conocides, ut r8 semidia-
metri rerolutionis centri graritatis, ad triplam lemilacitudinem. Sit enim D FPF Para-
vola. Ergo Annulus BD =D EXZFIMXOPM. Lt Conocides cA ==Z LIMX = DH.
XOE MI. Ergo Annulus. Conoeid:: ZOPBE. Z OE MI:: T6 PMI. ZEMI.
Annuli Parabolici Clausi pars exterior elt ad interiorem: : FL. 5. nam ParS CX-
cerior = interiori f 2 Conoeid, = inc + (2X38 Annul = 8 Annuli =) 3 ext + 8
InC. ErgOZ ext = s inC. erSO CXF. InL:: FF. 5.
annuli EIliprici pars excerior = inceriori + (2 Sphaerocid =) 223 = x Annul.
EIBOCXE = inC = 4 - = x: exF = inc: hoc est ext - ins. exL F inc: : 4= . vel ext
inC: : 30 -f 4 DF. 3~-- 4DF. Ideoque liquis dac rationem Annuli EIipeici ad
Sphaerocides; vel partis Annuli Elliprici exterioris ad interiorem, dabir Circuli Oua-
draturam.
Sit Figurae genicricis Perimeter s: erit Annuli F. Mipcici superticies =- f .
Annuli Superticies exterior excedit interiorem, dupla superticie Conocideos Pigu-
rae genitricis; oPD =OPF = 2OMF. _C.
Coroll. Annuli Circularis superficies exterior excedic inceriorem, dupla superti-
cie Sphaerae, hoc est octuplo Circuli genitoris.
Annuli Circularis Superticies est ad Circulum genitorem, ut 20 ad radium Cir-
cui genitoris; ideoque ad superticiem Sphaerae, ut a ad diametrum genicoris: )
2Yf:: v. ZY:: 2. ∞. r.
Ponacur P = Superticiei exceriori annuli Circularis. F.180 : r. ~ :: O. P. + 1 =
interiori
2F. = BC. E180~C =, B- +r . ErBOF. I: : rF. rL: : a + 4r C. a
e T. F. 8(.
r I. F 4. 7.C
4r :: v + 4 r. a - 4 r. Proinde E. - T. F. = L: : 8r. 2∞:: 41. v.
Frso quisquis invenit rationem Superticiei annuli Circularis ad Superticiem
Sphaerae; vel ad Criculum genicorem; vel racionem superticiei excerioris ad in.
teriorem: inveniet Circuli Duacraturam.

## Folio 352 — 851708439:0376
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000376.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
LRFII
P
AXXII
De Radicibus Oniversalibus Serierum Connexarum;
in ordine ad Duadraturam Circuli
 illipseos.
N Scriebus Connexis, (Capire Prxcedente memoracis;) quamris Facile sic ad
LPari Facilitare de Seres Maacum Onversalium recedere licet. Ouales Lunt,
Verbi gratia,
V: OdF = 0da
d
et
aT = 9dd:
Ouadrara, Cubos, caererasque Poteltates conteuees Pecete. LNOn CateM
V: RR -0
V: R R - - FCC.
I: RR = 4CC:
J: X R = 9CC:
CC.
Onarum priores, tunc, ut Ordinaca in Semiciremto, seu semiellixli, ab uno Dia
merri exrremo ad alcerum: Polteriores Cunc, uc Ordinacx in Circuli Kllipseotre
Ouadrante, a Centro ad Semidiametri excremum. Lxedemque, cum f loco -
Hyperbola conveniunt
Si icaque eadem tacilitare ostenderetur, Ouxe sit ratio Seriei Radieum Oniversa
lium, ad maximam cories Cumptam; ue factum est in Seriebus Simplicibus, tum pro
Porestatibus Cuperioribus, tum pro Radicibus; e quidem in Seriebus Connexis ubi
Radices Dniversales non interreniune: Absolua Foret Onadratura Cireuli, EI.
lipleos, et Hyperbolae; non minus quam Parabolae e Parabolocidum omnium. Pa-
riterque Pigurarum aliarum
Ouod ut consequi poltem, subiic aliquando cogicatio adhibendi Oushtredi regu-
lam (supra memoratam,) pro excrahenda Raclice Ouacrati Binomii. Ouippe l
hoc torte erenirec ab (que nora inrolutione Radicum Vniverlalium, res toret ab.
Tolura. Sed cum res ea non ex animo succederet, ab illa inquilitione destiti. Ouip.
De, per illam methodum; Foret,
Y. d7 = dd: = , =FY
2-
ETV: RPL00: =    + Y: R - e:
RR - Y: ∞ - 0:
Ouod cum magis implicacum sic quam prius, rem eam ulira prolequi non LibuIE.
Occurrebat iem animo methodus alia. Nimirum, cum viderem Oncias (quas
vocane) pro sinsulis porestaribus (uc L a F Fe pro L aterali; 7a a + 2 ac + ec
pro Ouadratica; +4a 2 = 3a aC = 3ac e = T e ee pro Cubica; e Sic deinccps;)
ua consticuras etse, ut, poluco 2 in primo loco, succederet loco secundo exponens
Poteltatis (ue F in lacerali; 2 in quadrarica; 3 in Cubica; et sic deinceps: ) in-
quirendum cogirabam, quo ordine ad sequentes Oncias procederetur. Ouippe, li
hoc constaret, res in procliri ridebatur. Nam, pro Radice quadratica, post r
primo loco ponendum, segueretur (pro exponente seriei) : Ponendum loco le
cundo. Sed quid ponendum Foret loco rertio (siquis (ic) non Luceurrebat. Imo
cum riderim, pro laterali, F a F Fe duos tancum locos comparere; pro Guadia-
cica Faa F 2 ae F ec, cres: pro Cubica, quatuor; et sic deMICCpS: P1O Latera
lium radice quadratica, videbacur (secundum illam analosiam) plures quidem
quam unum locum, led pauciores quam duos astignandos; nimirum, quo res ter-
minetur, ut in receptis Poreltacibus (per numeros incesrosindicandis) tieri vide
bam. Nam, de incerminata serie Onclarum non habebatur consideratio; ulpore
Jua praetenti cum negorio non conveniebat. Adeoque huie inquilicioni (tunc aliis
Taltarus) desiltebam. Sed eam rem Paris Feliciter prosccurus ett Vir Cl. Isaacus
Veretonus (ur post dicerur; ) Non quidem serie cerminata (quae quarebatur, led
Mabert
_c
ad

## Folio 353 — 851708439:0377
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000377.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
Cap. L XXXIII. LL B G F B R A.
habert non pocure,) sed interminata serie. Dequa non eram ego tum Follicims
demonstrasse contentus, Decerminatam aliquam Racionem allignari non polse.
Duae alia fecerim tencamina, per Progrestionum Regularium Inrerpolationem
(aut aliter) alibi cradita, non hic repeto.
C A P. LXXXHI.
Ouadratura Circuli, non desienanda secundum ullum
antea receptum numeros Notandi modum.
a0 tandem ea inquisitione derentum cst, ut constaret, proportionem guali-
 tam (pro Radicibus Onivertalibus Scrierum connexarum) talem ette, ut
 non possic ea numeris exhiberi secundum ullum ante recepeum NumerOs
Norandi modum. Fit Spcciarim illam pro Circuli Ouadratura.
Ouippe quo hoc tieree, requilicum Foret (proue ibi Prop. 289, 200, ostensum
Cst.) Ve numerus Impar in duos aequales Incegros dirideretur, (quod plane tieri
non porelt:) Sc Aquationum (communiter receptarum) Forma inquireretur, A
qualium d Laterali intermedia; similiter que intermedia Laterali et Ouadraricae,
iiem Ouadraticae e Cubica, et de caeteris pariter. Oux quidem recepta Aquatio-
num tormula non admittune.
Hinc curo concludendum erit; Ouadraturam Circuli in numeris, secundum ante
hrac receptas Pocacionum Formulass extriberi non posse. Ec quidem, quo ea Pro-
porcio exprimatur, necestarium eric terminum intermedium delignare, non quidem
in Progrestione Greometrica (utinter L et 2, inter 2 8 4, ec. in progrectione 1.
2, 4, 8, ec.) ubi progrestio concinuatur per cundem aliquem communem Mulci-
plICatOrEM (UE FX2X2X 2 8C.) Sed in Progrectione aliqua Lsypereeometrica; in
qua Mulciplicator continue creseit (aut decreseit) aequaliter; UE in E, 2, 6, 29
720, dC. Pami (quod ibi demonstratur, prop. T2F. _ alibi.) Circulus ad Ouadra.
cum diametri; cst, ue + ad terminum intermedium inter F X Z in hac progressione,
E, 238, 128 c. quae tic continue mulciplicando FX 3 X ZX ZX _c. hoc elL LXLZX F 8
XFSX CEC. Ouem terminum ibidem appello ∞. FL, ue terminus ille intermedius D.
ad F, tic est Ouacrarum diametri ad Circulum. Oux est vera Circuli Ouadratura,
quatenus Numerorum natura patitur.
Neque omnino mirum est talem hic oriri impossibilitarem. Nam idem in omni-
bus Arichmerica partibus Resoluriris contingit. Pro quarum plerisque, jamdudum
proritum est de Nocationibus illud impossibile signantibus. Verbi graria.
Additio, est opcracio Synchetica, seu Compolicira: Numeroque cuitibet posiri.
ro, addi pocest politirus quilibet, absque ulla oriunda impostibilitate: ut 3 F 2
=2 + 3. Sed Subtractio est operatio Analycica, seu Retolurira: In qua
nonnunquam concinsit casis Possibilis; ut cum numerus proponieur minor a ing-
jore subducendus; ut3 = 2 = F: Sed ec nonnunquam casus Impostibilis; cum ma-
jor proponice subducendus à minore; ut 2 = 3. Ouo casu dudum provisum elt
de Nocatione, qua hane denotet impossibilicatem (ejulque mensuram impossibili.
catis) praetixa Nesationis nota -; UC = + = 2 = 3. Oua innUIEE, MinuS quam
Vibil: ec quidem, quanto minus id (II.
Niulciplicario item, est operatio Syncheriea seu Compositira: Oua numerus
(inceser) quilibet porest mulciplicari per (incegrum) quemlibet; absque ulla
inde oriunda impollibilicate, quin productus item numerO. (inteGrO) exprimatuE,
(Nam Numerus, prima acceptatione, de Colis Inceeris incelligitur:) ut 3X2 = 6.
Sed Dirilio, est, operatio Resolutira: qua concnsir casus, nune Poltibilis, ut
3)6 (2; hoc est 6 per 3 dirisus extriber 2, numerum intesrum: nune ImpOTI-
bilis; uc, si numerus 2 sit per 3 diridendus; hoc est, in rres aquales intexros
parciendus; quod numerOruI MaTUITA NON PaTIEuT. Sed de hic provisum cst de
commoda Nocatione; qua numerus (qui dicitur) Fractus indieatur, ut 3) 2. (Z
Involutio; seu constructio porestatum, Ouadrati, Cubi, aec. est operatio Com-
positira. Pc quicunque numerus (cabilis) exponatur ut Radix, hujus dari po.
reric Ouacratum; Cubus, caereraque poreltates, ab (que ulla inde oriunda imposti
bilITaTe:

## Folio 354 — 851708439:0378
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000378.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
L DL D L a. CaP. L. X2
bilitate; aE 3X3 == 9, 2X 2 X 2 = 8. Sed Lvoluco, leu (qua. dieitur) lxtractio
Radicis, est. Analyciea scu Relolucira. EAtque aliquando Pollibitis; ut Ouacrari d,
Radix est 3; e Cubi 8, Radix 2. Sed aliquando impolsibilis; uc numeri B ra
dix Ouachrarica, ee numeri 9 radix Cubica.  Nullus enim est (ettabilis) nume-
rus (ne quidem tractus) qui Ouadrarice mulciplicatus conticiat 8, aue Cubice
mulciplicatus conticiar 9. Sed ee hoc etiam calu de commoda Notatione provi-
tum est, praefixa nota Radicalitatis; puta pro radice Ouactrarica V auE V 9, PrO
Cubica VC, _e Pariter pro reliquis; quas Radices Surdas vocant; ut V 4 8.
VC9, _c. Ouo Signiticetur numerus (Tuppolicicius) qui quadratice mulciplica-
ius, conticiar 8; aue, Cubice mulciplicaus, conticiat 9; cum ramen rerera. ralis
numerus nutlus SIC.
Farumque Impostibilitatum lingulae, Cuam libi peculiarem habent indicationen,
quam religuarum nulla supplebit. Verbi graria; Surda Radix (uE V 2) non
expOnetE per (ettabilem) numerum quemris, sre tractum sive negaTIrUM;
Sed poltulabi radicalicatis notam V, aur huic aequipollencem. Pt de reliquis pa-
riter.
Sic Aiguarionum (ruloO ReCepTaTUM) Formatio; Laceralis, Onadratiea, Ci-
bica, aut luperiorum poteltatum; est operatio Compositira. Ex quacunque ex-
Dolita Radice, utur in quoris jam dictarum impostibilitatum genere; puca Ne-
satira, Practa, aue eriam Radice Curda (quae cst media proporcionalis incer nume.
ros ehtabiles, ane inter ettabilem e talem proporcionalem, ecc.) porerir inde For-
mari cujuseun Baalo a eartam ab(que ulla inde orrunda impossibili-
tate (in numero producendo) alia quam qualis erar in expolia Radice, aut
masnicuidinibus daris. Sed hujusmodi Aquationum Resolurio, seu Radicis unde
oritur inquilirio utut aliquando sic possibilis; est aliquando Impossibilis (nova
impoltibilitate;) uc qua non aliam Radicem admictant (politiram auc negatiram)
quam quae dici solene Imaginarix: Peu Ouacratorum Negatirorum Radices.
AICIH, In VaTUI GeNCTIS PFOGrelHOMbIS. ExpoSiEX continuario, auc etiam cer.
minorum aliquot tuis in locis exemprio, (quod est opus compolicirum;) nihil im
Dossibilitacis indueit quod in exposica non tuit. Sed terminorum inverpolatio,
(quod Resolurirum opus clL,) id non raro inducic.
Exempli gratia.
tionis opS est) lis non erit. (Sed in Decrelcence, quod es Subductionis opuS,
Perreniri Pocerit ad numoros NesatrOS.) Item exempris (julto ordine) termi-
communis Fixceltus F, jam Hel Z R, aut 3 F, aue alius mulciplus pro numero
cerminorum limul eximendorum. Ouod est Mulciplicationis OpuS.
Expolita Propreltione Rrichmetica, Cretcenle; De Continuatione (quod Addi-
nis aliquor (singulis, binis, terniS, SCc.) nil aliud tic quam quod qui prius crat
A. A + P. A F 2 F. A  3F. 2 = 4 F A = 5k. A + 6F. C..
F
+4
AF 6F. 8C.
A6L. 196.
E auc EP, aut alius submulciplus pro numero terminorum eodem Loco inter.
vor. Quod etl DIrIOnIS OpuS.
Sed interpolatis coridem terminis: qui prius erat communis ExCeNuS F, jam fiet
A + 2 F. 16
1+ 2. F. .
1+ 3F. A + F. A + 3F. A + 3F. 1L. 06.
Onde provenire poterit impostibilicas, quae in expolica _o erat: nimirum, sI F.
non sic numerus capax illius diritionis qua supponitur: Scd non alia quam qua
elt ex impollib co, adC elE numerus fractus, ella
32. 4. 43. 5. 

## Folio 355 — 851708439:0379
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000379.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
Cap. LXXXIII. A L C L B R A.
Sic, expolira Progrestione Geometriea crescente: De ejusdem Concinuatione
(quod est concinux Mulciplicationis opus) lis non erit. (In decrescente, quod est
Diritionis opus, res secus elt.) Sed neque de eximendis (justo ordine) cermi
nis aliquoc. Ouippe nihil hic norum oritur nili quod jam progressio tac in pro-
portione duplicata, criplicata, auc pluries mulciplicata, ejus qux PPIIIS CraF; hoc
estu pro communi mulciplicatore, seu exponence communis rationis R, habebitur
R2, aut R3, aut alia ejusdem R pocestas.
A. AA. AP AP AR. AR. AR, B0.
1.
AR.
AR.
AR. e.
AR. 8c.
Sed interpolatis coridem terminis: qui prius erat rationis Fsponens R, jam Fec
V R, auE V CR, auc alias pro numero sinul incerpolitorum cerminorum.
AVR.
AR.
AR.
ARVR.
ARR. e8C.
AR R. 19c.
A. AV R. AVRR. AR. AR V R. AR VRR. AR R. VC.
Onde nora oriri ponerit impossibilicas, quae in expolica non erat; nimirum, si s
non sic ejus generis numerus tiguratus quem lupponie laec Radicum extractio.
Sed non alia quam quae oricur ab hac impollibili exiractione; hoc ele, Surda Ra-
dix. Puta
12.
V2.
+V2
2. V2. V 4. 2. 2. V 2. 2V4. 4. 4 V2. 4V 4. 8. 8c.
Adeoque nulla hactenus comparet impossibilicas, alia quam de cujus Noratione
jam prospectum elb. Pura = 2. 3. Y2. Y - 2. FF simulia.
Ouod si nora comminiscamur Progrestionum genera (qualia excogirari por
Tunt innumera) quibus alciores adhue sint Composiionum gradus: novx pariter
in eis Relolrendis Suborientur impostibilicaces (dum supponuntur intermedii ter.
mini, quOS NuETOTU, Propris dictOTM, nATIIZ NON PacitI;) de quibus com
pendio nocandis non elt hactenus prolpectum. (Lt concinue nOrX novxque in
intinitum.) Pro quibus igitur, ubi opus fuerit, vel nora comminiscenda Tune
Nocationum indicia, vel contentos esse oporrebit rem verbis prolixioribus expo-
nere. Duod cum tic; id non minus Gieometrice explicatum censendum erie, quam
cum in Geometrica progrestione F, 2, 4, 8, ecc. Terminum (inettabilem) ipsis
Fe2 incerponendum, rel rocidem verbis exponimus, vel (Pro more jam re
cepro) hac noca breviter delignamus, V 2.
Talis erit prosrelsio quam Lsuperseometricam dicere licehrie (ue quae Caeometri-
cam gradu compolitionis superat, sicut progresionem Arichmeticam Cuperat Ceo.
metrica vulso dicta.) Oux continue mulriplicando procedie, non per cundem
Mulciplicatorem communem (uE Geometrica) Sed per Mulciplicatores continue
cxelcentes, aridmerice proporcionales. Oualis eAt
F. 2. 6. 24. 120. 720. 5040. 40320. dc.
Ouxe componitur concinuemulciplicando, FX2X3 X4 Z5 XGX7 LB, _c. Ouippe
qui in tali prosrestione supponendus erit terminus inter L ec 2 incerponendus;
neque cAt FZ (UE in L, 2, 3, _C. prosrectione arichmetica;) neque YZ (WEIn L, 2,
q Sc. prosrectione geometrica;) sed alius aliquis pro quo designando nondum elt
vuleo recevra Nora compendiola. Et cali cermino nobis opus erit pro numerota
Circuli quadratura: ut loco cicau demonstratum elt.
Pariter; Receptas hrabemus. lin AlGebra) Aquationum formas; Laterales,
Ouacrarieas, Cubicas, Biquactraticas, alia sque ordine sequentes d Porestatibus lupe
rioribus denominatas: (quarum exponentes linc, pro numero dimentionum, 1, 2.
334 eC.) Sed de Aquationum gradtibus incermediis, non fuerunc hactenus soliciu
Algebrilta.

## Folio 356 — 851708439:0380
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000380.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
L C F B R A. CaP. L XXXIV
Alsebrilta. VE qua expOnentS habeantZ, 3, 2, 3, ecc. aut etiam aliter inter 6, l, L
3, 4, eC. interponendos. Ouibus detignentur Aquationes inter Cubicas de Cna-
drancas intermedix, item inter Ouadraricas ee Laterales, similesque, e ctatim,
receptaruII.
inter Laterales de Monadicas; Ouippe talem hic reguisitam esse demonstrarimus
prop. 284, 189. Arith. Infin. quae exponentem habeat Z. Cumque hujusmodi Aqua
tiones, secundum receptas tactens TOLMIUTaS SaBCTI nOn pOLLnE; aLIS OpUS CTIE
notationibus (PTO MICTOTa deLIBNALIONE BIODOEHOMIS quXHIEX) quam LuNE vel
Nacurales numeri, vel numeri Negaciri, aut Fracti, aut (quae dici Polent) Radices
Turdae (medias proportionales delignantes,) aut receptarum Aquarionum Racices
aur etiam (quae dici Colent) Tutasata Lacies Pollibitium aquation VLO
L A L. LXXXIV.
udem er interpolationem exhibita,
continue Appronimando.
AM vero, prour in ali Ouanciratibus Incommenturabilibus usu Ec: Nimi-
rum; cum illa veris numeris extriberi non postint accurare; postimus tamen,
continue approximando, tam prope ad verum accedere, ut ditterentia lic qua-
vis altignata minor. (Or in radieis surda exrractione, per locos decimales
continuara quousque libet, jam tieri Colet.) Idem hic fieri polle demonstrarimus.
Falis est ea delignatio quam ego ihi exhibeo: Obi octendo, terminum quem modo
dixerimo, huic aequalem esse; Nimirum,
3X3X5X5X7X7LOX OXTEKTEXTZXL3X dc.
2X4X4 XOX6XBLBXIOXTOKLZX L2. X T4 X _C.
Hoc est, L X 3  23 1 98 . 3 -. 1o X tBBX dec. in intinicum.
Obi Numeratores continue multiplicandi, sunt quadrati numerorum imparium
5373 8, 22, 23, etc. Denominatores vero iidem Guadrari unicace minuri. Ouxe
CA Infinita Series Convereens.
Vel etiam, quod eodem recidie;
TX FBX F 24 Z X aBX L Bo Z Y 1eo X L 16BX dC
Nel (Dolito pro termino primo A, secundo B, tertio C, ecC.)
F + 3 A F 2a B + ad C., F ed D + 12o F. + 168 F F _c.
Adeoque, per concinuam Addicionem vartis aliguotae termini proxime inreni,
procedendum erit ad quam velimus accurationem.
Falis icem est illa Honoracistimi D. Vicecominis Brouneker (ibidlem MCMTOTtA)
Approximatio. Oua ostenditur, magnicudini cidem B, aequalem este
2 ac. La Micum.
Obi cujusque Fractionis Denominator est numerus 2, c adscela tractione con.
cinue tracta: Numeratores n atals CTOrum L PaL LM 33 537,9, ec.
Sux ett alia convereens detres infnuta.
Dico igitur; Circulum, c  Quaceatum, elle, ut L all L 18+ 34 X 98X Eo X _C.
AlE MMHUm.

## Folio 357 — 851708439:0381
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000381.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
Ca)
Vet ut 2 ad F =3
2 F eec. in intinicum.
Ouomodo Approximationes hx invenia fuerint, per Interpolationem seriei
363 303 103 _C. (Teu F, 6, 30, 240, _C.) Tremque Seriei X, 3, 3, 13, 30t, dc
lVC 2, 2, 83 963 3, e c.) Ouarum constructio, aliaque quae eo spectane, 2b1
deM declarancur: Prolixius est quam ut hie inserantur.
la L L. LALLV.
Appronimandi Methodus D. Tlaaci Nowton.
Am Tupra nocatum est (ex mea Rrichmeriea Intinicorum) Seriem Con-
nexam in hac Forma, R R = cC, (ut Ouadrata Ordinatarum in Ouadrance
Circuli vel Elipleos,) cum Duadraris, Cubis, exeterisque Potestatibus; AS
gresata nobis exhibere, in hac Forma.
qualia. Series Ouadraca. Cubi
F - 3 2 - 3 + 5. 2 - 3 + 3 + 3.
Biguadraca.
Cc.
F- 3 +5 - 4 + 5. ec
Oux quidem Aepregatarum series, si incerpolari postic; terminus ipLis Z et Z-.
incerponendus, extribere debet aggregatum seriei Radicum universalium; seu
V: RR = cC: Oua TunE ip(X Ordinatx Ouadrantem complentes.
In ordinc autem ad hanc inquisitionem faciendam; Manifetum est, Fractio-
num Denominatores (in lingulis aggregaris) esse Arichmetice proportionales. In
quibus isitur incerpolandis, nulla est disticultrs.
Manilestum iem estu carum Dumeratores, eos este numeros quos Uneias ro-
cat Onsheredus; praetixas Continue proporrionalibus in Formandis Poccstaribus ex
Radice Binomian (ut T a = F e, Fa a = 2 a C = ZC e, 2424 = 3 a aC + 3a ec
=ZCCC, eC.) HOc estu ut Poreltates iplius F F I. HOC eltu F. F, F. 1, 2, F
2, 3, 3,F. T, 4967 49 T. ecc.
Ft conseguenter; qui interponendo cermino convenirent Numeratores, debe.
rent esse ii numeri qui Oncias constituerent ipsius V: F F F.
Tales aucem nacura numerorum, in ordinaria Nocationis Forma, non suppedi.
tF. Cum enim forma (verbi gratia) pro Cubicis sIE memBEOrU QUaLUOF; Dro
Ouadratieis, trium; pro Lareralibus, duorum; e pro squalibus; unius Uni-
caris, (ee limilicer in aliis Pocestatibus;) praelagiendum Foret (secundum hanc
analosiam) quod, pro Radicibus Ouachracieis Laceralium, adhibenda torene, Plura
quidem membra quam Onum, sed Pauciora quam Duo. Duod cum manifestum
sit fieri non posse: desperandum ridebatur de illa Inquisitione. Pt quidem, quan-
tum ad determinatam leriem, non immerito.
Sed Vir Cl. Tsaacus NeretoM, Matheseos ProFeTTOr Cantabrieiae, (in Epistola
quadam Tua Octob. 24. 2676. Scripta) hoc suppeditarit: Non quidem in serie
ierminata (quae non pocell haberi) led in serie incerminata, conciuue. appropin.
quante.
Manifestum enim est, ipso incuitu, primum in ejusmodi lerie cerminum esse
2; Secundum vero, ipsius Pocestatis Lxponentem (ut F Pro laceralis 2 PrO qua
dratica, 3 pro Cubica, e sic deinceps,) quem rocat m; adeoqueu pro Radice
quadratiea Lateralium Z.
Oblerrac deinde seguemes muveros, ab his primis, hac concinua mulciplica
tione derirari;

## Folio 358 — 851708439:0382
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000382.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
A L C F B R A. C aD. L XXXV.
mD m 1 m 2 m - 3 m 4 m E  ec
Flac continua Mulciplicatio; pro Latere, Ouadrato, Cubo, exeterisque poresta
tibus ordine sequentibus; se cito decerminabir; in cerco terminorum numero, cui
que Pocestati conveniente. Fxempli gracia:
n
Pro Ouadrato; terminus primus est Z; secundus, m --2, seu EX = 2
cercius, 2   = = 1: quo rerminatus series. (Nam, S procederene, Foret
m
=0; unde et sequentes omnes = 0.) Numeri itaque TunE F, 2, F.
Pro Cubo; cerminus primus est L; Secundus m = 3, Teu FX   =3; FCr
M.
tius, 3=  = = 3; quartus 3 X . - - = = Z: OUO TerMINatUE SCTIES; (PrOPTET
m
L n  - 3 = 0. ) Numerique habentur 1, 3, 3, 2.
Similicer, pro Biguadrato, (ubi m = 4) reperientur numeri F, 4, 6, 4 
Pariterque pro poceltaribus sequenribus exponencem habencibus numerum in
cegrum.
Sed ubi Exponens est numerus Fractus; procestus non cerminabicur, sed pro.
cedet in intinitum.
Sie in calu praetenci, pro Radice Duacrariea Laceralis; cujus exponens ett
= m. Procestus hic erit;
M- D m E m 2 m 3 m  x dec
Hoc Cstu Z1 2=  , 3 =  2 2  2 3 n 2 +  dc.
HOC ee LX  x = 3 _ = 34 = 8 x = 1 X c.
Onde oriuntur hi numeris
Vel
2. = 8. = a8. = 3en. + 3oio. c.
+. 2. - 8. + 26. - 228. + 7. _c.
Similiter, pro incermedia incer Laleralem et Ouacraticam, m = 3. Adeoque
2 = 4  de
HOc cstu 2X 3 X 4 X = 8 X = 3 x = X X 8C.
Onde oriuntur numeri,
E. 
ab . + 3. = . c.
Seu 2. 3. 8. = 16. + 38. = 236. c.
Et paricer pro aliis Pocestatibus incermediis.
Elujus racio manifesta est. Nam, FI m SIEOg F, 2, 3, 4 aut alius numerus in-
ceger; post quem secuturus est -0,
2
=37 = 43 ecc. maniteltum
Cst, citius aut serius, Fucurum este m - n =0, quo terminabitur procestits.
Sin m Sic, 2, 2, 3, auc alius numerus tractus; hie, cum = 0, = 2, = 2, 8c.
muneitati

## Folio 359 — 851708439:0383
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000383.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
Cap. LXXXVI. A L C F B R C
nunguam praestabie m = m =0; sed (hoc praetermitso) cransibitur ad numeros nC.
sacires, in intinicum procecuros.
Cum igicur, pro serie V: PR =cc: numeros habeamus (modo InVentOS)
=5. = a3. = 362. + 36,3. _c. Dui sic itidem lune exprimendi,
2.
2 X 4. 2 X 4 X6 2X4. X6XB 2X4X6XBXFO
dec
Oui locos suppleuri sunc Numeracorum pro membris quaesuae seriei intinica: Oui
bus Denominatores jam ante habuimus 1, 3, 5, 7, 9, FF, ecc. in progrettione A-
richmerica: Intinita igitur series pro quadratura Ouadrancis Circuli, (cujus Ra
dium ponimus = r, adeoque Onadratum ejusdem = +, e de reliquis Poceltarit1s
similiter, ne operam nobis Facellar dirisio per R, R R, _C.) Polico SignO - l0c0
secundo (propter RR - cc connexum per lignum =) et, volt, alterne   nisi
cum signum- in numeris modo inrentis commutet L in -; (unde reaple contin-
sic signa post primum omnia esse =,) Faliserit,
243 2X4XG 2X4RBX7 2RAXBKBKO REHNSNBLIONFF
ec.
Eademque convenit ipsi V: R R F CC: (quae Hyperbolam spectat:) cum hoc
Cola divertitate, quod (prOpter R R F CC connexam SignO F) Signa qude ante
Fuerane alterne F -, jam line omnio f futura; nisi cum, propier - in numeris
modo inventis, mucanda sine in -. Onde provenie, pro H perbola,
c + 223 224 45 2X4 X6~Z ZKAROKBKO ZKAROKBKEOKEF 
Adeoque, ut prior illa series est ad F, sic Onadrans Circuli ad R R, AuL Oua-
grans Fllipleos ad circum seriptum Parallelogrammum.
Fr, ut series Polterior cst ad X, sic quadrans Hyperbola (externa) Rectangula
aeguilatera (cujus intercepra diamerer aequalis elt semisti diametri crantrerlae, scu
R = Z T,) ad R R (inscripcum quadratum;) vel (si Fyperbola non lic aequila-
cera et rectangula) ad (inscripcum) paralselogrammum, cujus latera lunt Conju-
Baca Semidiameeri.
Simili mechodo, altignari porest Intinita Series pro Ascregato omnium V: d7
ad: aliilque similibus. Similes que hic adhibenda sune accommodationes, prout
supra inlinuatum est, pro Sesmenris; ubi non cousque procedius ut (I d==,
auEC= R.
Comautem perspexerit ille, hujusmodi procestus, per Interpolationem, Operotos
esC: porius existimarie, alias methodos achibere, ope Diritionis, de Exeractionis
Radicis in Speciebus; De quibus polt dicendum exii.
Aique hinc oricur (qui jam dicitur) procectus per Series Insinitas ( quas inero.
anxie Neretonus) ejusque lingulis membris applicaca nostra Srithmetiea Infinito-
rum Ouadraturas exhibet Fisurarum omnium quae sic reduei postune ad Seriem
Infinicam. Sed et aliarum Inquiticionum Aesresatum, simili ordine proceden-
cium, peut Fieuras Geometricas non specten. Duippe Fieurarum Quadratura
non est nili Ciasus parsicularis tub illa Generali Inquititione.
F
Methodus Approximandi, secundum c.
SF alia methodus approximandis speciarim pro Circulo, (led qua alS
 Curris aecommodari potelt, lic mutata, ue cujusque Currae natura postu-
Llatu) jam olim ab Achimede aclhibica; quam L’an Culen, Snellius, aliique,
PrOMOVETUNE: Per continuam Areus Sectionem, et Chordarum Tansentiunque
accommodationem ad eas Peripheriaxe portiones.
Secundum

## Folio 360 — 851708439:0384
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000384.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
A L G E B R A.
Secundum haneMethodum, Archimedes (in libro de Dimensione Cireuti) in-
seribendo ee circumleribendo Polvoonum laterum o6 (hoc ell, quater concinue
bilecando sextantem corius Circumterentix) inrenie Circumferentiae ad Diame
erum rarionem, minorem esse quam ad 33 ad T, Sed majorem quam 378 ad F. POF-
serque, eandem prosequendo Mechodum, rem ad majorem accurationem perduxisse,
quousque libueric. Ouod Catenius, Snellius, aliique, ulterius prosecuri sunE.
Sed _ post Archimedem, alii jam olim (utue adminorem, credo, accuratio.
nem quam recentiores) eandem prosecuri sunt mechodum; ut Apollonius Pereaeus.
in ejus Ocrtoboo (qui ad nostras manus non pervenit) _ Philo Gedurensis: Ouod
celtatur Futocius, lub tinem Commentarii Cui in Archimedis Dimensionem Circuli:
Fortalle de alii.
Notandum hic est; quod, S dari supponatur Cireuli Radius seu Semidiameter,
dabumtur etiam (per Laclidis doctrinam) latera rariorum Circulo inferiptorum
Polygonorum, seu Vaciorum Areuum subtensa. Videlicet,
Potito Circuli Radio;
Diameter, Teu subrenta? Circumterentia, est
Chorda, seu subrenta, ? Circumterentia
Subcenta ; Circumserenris
Subrensa Z Circumterentix
Subrensa 5 Circumterentia
Subtenta, d Circumterenciae
Obi Si pOnatuE R = F; erit 2R = 2; RV3 = Y3; RV2 = Y 2; et de re.
liquis similiter.
Pollumus isieur, initio tacto a quaris harum subrensarum, procedere, per con-
cinuam Arcus bisectionem, ad partes Aliquotas quam libueri exisuas, carumque
Subtentas; quarum quaelibet, in illius aliquora partis Exponentem dueta, extibe.
bit Perimetrum inseripei Polysoni Regularis toridem laterum; quxe quidem Perime.
TET, PTONE augeCE nuMerUS Laterum, ita continue magis appropinguat ad justam
perimetrum leu Circumterentiam Circuli; porestque ita prove accedere ut defectus
minor sic quoris assionaco.
Similique methodo, inreniri poterunt Fangentes, quae sic mulciplicatxe Perime.
crum Circuli TuperenE E xcesTu qui minor Ti quoris astionato.
Verum quidem elt; eodem perveniri polle per Prilectiones, Oninguisectiones,
aliatre; si ram expedira suppeterene mechodi pro his Sectionibus quam est ea pro
Bisectione. Sed illae non luppecunt; nec expectanda Tunc. Docet quidem Fucti
des, arcum Bilccare Geometrice; Sed non ita Prisccare, ecc. P’oreltque Bisectio AI-
sebrice pentici, resolrendo squationem Ouacraticam, absque ope altioris xqua-
tionis; led non ita Frisectio, uinguilectio, aliaere, quam qua continne bisceando
tienc. Adeoque centicum est commodistimum per continuam Bilectionem PrOCe.
dere; de quidem initio facto a subrensa Sextantis, qua est ipsa Semi- diamicter.
Regula pro Bisectione arensangulire, haec est; (potiris r pro Radie, eE B pro
subrenta arcus bisecandi, et a pro subtensa dimidii arcus, 4 r ra a = a = r r bb;
adeoque (relolrendo aequationem.)
2rr =V: 4rrrr - rr BB: =aa; e V: 2 rr = V: 4r a = r r bb; = a
Veletiam, (si arcus tisecandus sic major quam semicircum serentia,)
Err. + V: Arrer =rrbb: = aai d V: 2 rr. L V: 4rrer = rr BB: = a.
Archimedes inicium sumptic ab r Tubrenta sexiantis; indeque (concinue bise-
cando) ad Tubcensas parris 13 243 a8 et 5, procedic. Ouarum lingulae in exponen.
rem partis ductae, conrinue propius accedunc ad Cirermterenlia menturam. Lloc
et, (Policor = E,) Subcenta
ap
SextanEIS,

## Folio 361 — 851708439:0385
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000385.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
Cap. L XXXVII. A E C F B R A.
Sextantis, seuscircumterentix subtenta,
Partis duodecima, seu 
V
V: 2
2
2.
V: 2. + V: 2
V. 2
Partis 2a
Partis as
Partis e
V. 2 = V. 2. + V. 2 f V. 2 F V. 27
V: 2 - V: 2 + V: 2
V: 2 = V: 2 + V: 2 + V: 2
ec.
1: 2-
V: 2 F V. 2 + V
V: 2 + Y: 2 f V: 2 +
Si libet d Diametro inicium Funtere, quae est Tubcensa Semicircumterentix, seu
Ctotius: res Sic procedit. Subcenta
Semicireum terentiae, seu L tOrius
Ouadrantis seu 4
Partis s
V: 2 = V: 2. -
V. 2  V. 2
V: 2 = Y: 2 = V: 2. + V: 2 + V: 2
V
V: 2 = V: 2 + V: 2 F V: 2 + V: 2 7 V: 2 + V:
F28
250
V: 2 = Y: 2 f V: 2 f Y: 2 F Y: 2 + V: 2 = V: 2 =Y2512
ec.
Et similiter, E sumeretur initiumi a Subcensa parris Ouintae, Decimx, dc. res
pariter procedet, sed cum majore molestia, provier illarum subcenlarum deligna.
tionem magis perplexam.
Parilis proceltus accommodari porest Fansencibus arcuum bilecandorum, pro
Figuris Circumseripeis. Sed haec sufticiant.
Fujusmodi Methodum aggrestus olim est Antipho, (ut ex Aristotele liquer in pe
Phylicorum, e Simplieii commencariis in illum locum;) Nempe, inseripio Poly.
sono plurimorum lacerum in Circulo dato, eisque continue mulciplicaris, uc 2d
ipsum Circulum continuo accederet. Ouam Mechodum ibidem rejieit Aristoteles:
non quidem quasi non esset legicima Mechodus Approvimandi; Led quod ita nun-
quam perreniretur ad perfectam Circuli quadraturam: F.0 quod rectâ linea quan.
immris exigua (qualis fucura sic quae exit Polysoni Lacus quamlibet ulcorum 1
cerum) nunquam eratura sic Peripheria pars. Verum eandem adhibee Archime-
des, non ut jultam Circuli Ouactracuram, sed ur legirimum Approximandi modum.
Ci AP. IXXXMI.
Appronimatio per Divisionem e Radicum Patra
ctionem in Speciebus.
Vlei alii excogitari posTunc Approximationum modi. Sed qui maxime genui-
pus videtur (quique in recepriori usu cst) cM per Diritionem, aue LXIra-
ctionem Radicum (simplicium auc attectarum aequationum) in Speciebus.
Mod Divilio in Speciebus perasi postic, ex iildem principiis quibus peragicur in
Numeris, jam dudum ostendi, in Operis Arithmetiei Cap. 20.
Idem ostenturus de Radicum Lxtractione Li eo ulque processiltet opus illud.
Sed Extractio Radicum, cotaque de Surdis operatio, ibidem reserrata erat ad AleC.
brae cractatum (ut quae eo spectabat;) quem non ira mulco post edendum puta.
veram ut secundam partem ejus Operis Srithmetiei. Sed alia quae interrenerunt,
ejus editionem hactenus protelarune.
jam vero; ue in ordinaria Diritione numerosa, quo casu Dirisor non est ali
quoca pars Diridendi, opus (si non Practione terminetur) procelturum est mul.
TOtICS
384
68
c
ec.
Vei jam ridimus.

## Folio 362 — 851708439:0386
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000386.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
E C E B R A. Cap. LXXX
tories (in partibus decimalibus) in intinitum; (quod pariter incellisendum est de
parcibus Sexascinalibus, aliare lracctonum, in quacunque proportione, concinua
progreltione.) Idem in Speciebus expectandum cst, quo calu Dirilor non sic in-
Htar Partis Aliquocx; nimirum, vel terminanda exit Fractione, (quod uc ibidem
ostenlum est, vars TOrmIS delIOMaML Poterit:) vel in infinitum procedet.
cujus est extrahenda RadiX, nOn CIL TUI BCHCMIS FIUTaLS; (hoc est non Ouadra-
extrahienda; c dealuslimuliter.) Duo calut ioremus rel procettum terminare Fra-
ctione aligua (quae a vero ratore non multum recedit;) vel operationem conti-
nuare (in intIMILU PTOCCHUTAM) quousque ridebitur expedire; ut habeamus va-
Arichmericis suls) ducuns doclleture, M Paltibus Decmalibus perasendum, (quos
rata.
Idemqu continset in Extractione Radicum, IIL NmerIS; quo calu Numerus
tus, cum exrratenda est Pacta Cuautalica; au NOn Cubus, cum Cubica radix elt
Iorem quam LibIIETIEVeTO pTOPinGUUMI. Scod AcbdranS Duclaeus, Ramus, (in
RCCENLIOTES BIUFII SCCUTI LUINC;) aliique in PatHBUS SCFaSCtunasIBUS; qui ejul.
dem nacura procestis est, sed magis perplexus. ec alslet espectandum et
in Speciebus, o  Specte Ga Co Bedere Figu.
Porro: Lieut in tali processi infinito seu incerminato, per partes Decimales aut
mae, ecc. ec scrupuli Primi, Sccundi, Peccus el. Lane lereta, omn Kacces
Ouadrata, Cubi, ecc. pro radice, 3, aut 5, Simitire. Ruc Onitas dirisa per ejulmodi
Lalctous Duadrata, Cubos, ecc. pre clance esdez edt e e spoclebus; Porca
Sexasclimales, aut in alia progrectione vorttas; Palles ecuna, Cemlera, Mille.
Radlice a vel ; procettus pariter , eec abura ueo, Guarune
Denominatores Cint, an itos au cel. A  at HL. VetBL Gracia,
aet aaa
Ouae jam diei caeperune Insinila Deries.
P.
XXXVIII
+
Fxempla Serierum à Didgut Scandari
libe
P
ni
M.
Ejusmodi Serierum Intinicarum, a Diritione oriundarum, aliquot Speci.
mina dudum exhibus u Pere Aruhmerico (anno 1657 Cdico) Cap. 33.
Verbi oratia: Sic exo Regulaut pro invenienda Summa Cicometriex Progrestio.
Ih CDoticis A pro cermino minimo; R pro com.
muni Mulciplicatore, seu F. Puctie Racionis communis; L pro numero termino.
L3 F Ly f2
rum; ee S pro Lumma Omnium;)
Demonstro; sola divitione ipsius
E = F DEE R = E: Obi, prO
Ouoriente, extribetur tota ProBret.
Ro, inverlo ordinc.
VEputa; Si numerus termino.
rum (E4; R. - 2 dirila Per R -- +.
exhibet duocientem R -R f R
LC: Oux elt tota progretio, FI
suppOnatI 2 == T.
Vel etiam.
di  Sc alia quancitas, illae in A
ducta sunc cora progrestio; nimi-
rum AR + AR + AR F 1. Ouo
termi-
R -.

## Folio 363 — 851708439:0387
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000387.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
terminatur procetiIs, prOpter = F
in magnitudine Dividenda.
Ouod Si, in magnicudine divi-
denda, decstet  T: Pt, conse
quenter, Relidua in imo tuisset  ,
uibi jam habeeur 00: ovus in infi-
nitum procederet.
Vel sic, univertaliter; Si divi
denda sit R = L, per R = F: Duo.
tiens erit P
L R
ecc. donee terminus ulrimus (c L L;
qui (propter - L in magnieudine
dividenda) Diritionem terminabit.
Vel, S ibidem decset = 7; R di-
rila Per R = T, Ouocientem extri.
beret procetturum in intinitum.
Acque hinc habebitur Summa
Proorectionis Geomerriea in intini-
tum continuanda; Duxe, (I sic progressio Decrescens, aequabitur finitxe magnitu-
dini. Dua de re alibi dictum elt, in Fractatu breri, cujus Synoptis habetur pro-
De calcem hujus Tractatus.
AK
Nam, polico termino matimo V = AP.  = =
VR
ABoregatum omnium est.
Similiter, per Colam Divisionem in Speciebus ibidem octenditur (cap. 20.)
aa  et
= a. + c.   = a a + ac. + ec. =  = ad + aac + acc + cec.
_c. Hoc CMt; Si disserentia Ouadratorum, Cuborum, aut consequentium pore.
statum dyorum expolitarum magnicudinum; dividatur per disterentiam illarum
expositarum magnicudinum; prodibit aggregatum coridem continue proportiona.
lium, (quoc lune in illis poreltatibus dimentiones) in ratione expolicarum illa
rum masnicudinum. Dummodo, inquam, (nam id intellectum rolo) potestates
illae sinc intesra poceltates, a numeris integris 2, 3, 4, 5, ec. denominandae; non
his intermediae, a Fractionibus denominanda, uc V a =V e, aut V a = V e,
Similetre. Ouippe, hoc casu Dirilio non terminanda foret
Idem evenirers. S caliii Poceltarum Ditterencia, modo dimentionum in eis
numerus sIt par; aue Pocestatum lum.
m2. modo dimensionum numetus LL  a = C) a= et (a, = aa C, = ac e, =8.
Impar; dividatur per expolicarum sum.
nam a f e. Cum hac lola diverlitate,
quod cermini in Ouorience signandie
at = a e
e
runt alterne, Tignis f de  Selpeloce etsitie
Obi icem manifestum clt, quod si
duarum poteltatum posterior decstet;
Ouociens in infinitum procederet. VI,
in exemplo jam extribico, si pro at
et proponeretur diridenda at; RC.
Cidua in imo (guae jam elt 00) Fo-
a
deriu
rec + A. IFI, procedence opere, Quoriens torer
aee
a= aac + acc = C + = + = f Rc. in intinicum.
  aa
ec
_c. c.
 ae R = AK:
ac
aae0 +
Cap. LXXXVTII. A L a F
Mulco maxis id Foret, 11, Po Lceca Guadratorum, cuborum, dec. diridenda
DrONOnCretuE carundem potestatum Summa, per illam expolitarum ditterentiam.
Puta; lin PrO at = et dividenda sic at f et per a = e. OuipPE MM, DEO 00,
haberetur in imO 2 et. OuorienIquE PIOdICI,

## Folio 364 — 851708439:0388
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000388.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
L GE B R A. Cap. L XXXIX.
a = aac + ab -
 = ec. in intinicum.
Obi, praeter intinitam seriem proportionalium a diritione iptius a oriundarum,
accederet alia a dirisione iptius e similicer oriundarum; ex quibus, poltquam
Concmrrun, Runc 2 + 2, 8ec.
Similia (mucacis mucandis) in alis casibus contingent.
Pura
Sed
+c
+
aa - a c + ec.
=aa - ac F ee-
ec
Si Va diridenda sit per a = e; Ouoriens prodibir,
Si Va = Ve HC AIIaAEUE; res pariter in infinitum procedet, (quia nunquam
pervenietur ad Subducendam qua destruatur - Ve:) Sedrum, pro lerie proxi
me memorata, (oriunda ab va per a - e dirita,) accedet alia oriunda ab = Vc
dirisa per a - e seu =e. f a. Nimirum
 eve eeve e
ec. intiniie
Quorum omnium, sumiliumque, evidens et racio.
Va  ava t aava t a  dec. in intinium
LP.
X
Hujus Collatio cum Reductione Fractionum ad Decimales
 dexacesimates.
Ac in Speciebus Diritio, ejuldem naturae est (sed maxis Oniversalis)
cu Reductione (in numeris) Fractionum Vulsarium ad Decimales.
Ouam rem hic palilo Fulius prolequi liber, quoniam nescio an quisquam
me prior, eam dutinele examinaverit. Delinis ea aliquando in determinato Ouo.
tienre, Ut Z -F0, 5. 5= 6, 2. 10 = 0, 1. 4 6, 25. 6=0, 125. 20=6, 25. 15=3
Duod cum concingit, et non alias, quando (tractione ad minimos terminos re
ducta) Denominator (Tcu Dlritor) componitur ex non aliis primis numeris
quam 2 e5; ex quibus s0 componitur.
Sin Denominacor (Fractionis lic reductae) ex aliis componacur primis, quam
2 8 5, Ouoriens elt interminata. VF Z = 0, 3333 ec. 3 = 0,6666 ec. 1 =0
0009C. 2 = 0, 1818 _C. 13 = 0; 076923,0769_C.  = 0; 148, 148, 248, ec.
27 = 0; 0549054, ec.
In quo casu; haec semper occurrie concinnicas; nimirum, quod, post pro.
celtum aliquatenus continuatum, redeunt iidem numeri, et codem ordine circu-
lantur quo vrius. 1
Aliquando quidem, repetita cadera tgura lingulart;  IIL 3, 5. Aliquando,
binis liguris; ve in +, . Auc ternis; uc in 7, 57. Aut pluribus; ut in ,
Sed semper, si non cirius, pott coc locos uno minus quoc lune in Dirisore Vnicates.
Verbi

## Folio 365 — 851708439:0389
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000389.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
Cap. L XXXIX. A L G E B R A.
Verbi gratia, 7 = 0; 242857, E4 _C. Ouippe cum Diritor est 7, numerUS RC
liduus, est temper eo minor; adeoque I, 2, 3, 4, 5, aur 6. Adeo ut seprimo Cal-
tem loco, si non prius, necesse ese uc unus reliduorum secunda vice redeat; e
eodem qui prius redeunre Reliduo, etiam exdem in Ouoriente redibunt figura.
BE Sic semper.
Numerus ixicur figurarum sic in cireuicu redeuntium, nunquam major este
porest quam lunt Onicates, in dirisore, uno minus. Sed Eapenumero est hu-
jus numeri Aliquota pars; aue minor aliquis numerus, qui non sic illius pars
aliguora.
Ouando autem hoc contingie quo cerri simus: reducta prius Fractione ad
minimos cerminos; dividendus porro est Denominator (sic reductae) Fractionis.
(quoties tieri porelt) per 2 et 5, componentes numeri 10. Oui si tum Fiac
999, 999, ec. (ex solis tiguris 9 repetitis,) aut aliquora pars talis mumeri: Ouor
sunt ibidem repetica tisurae 9, in cali numero primum occurrente, tordem erunt
hujusmodi circulationis fgura.
Sic, S Fractionis Dirilor seu Denominator, Fc 9, 3,6 (= 2X3,) 72 (= 2
X 2 X 3,) 15 (= 5 X3,) esc. Circulario est tixurarum Cingularium. Quoniam
in 9, haec figura non nili semel occurrit; et 3 est aliquoca pars ip(uIS 9; e 6,
22, F5, tiunc ex 3 ducto in 2, aut 5, (qui lunt componentes numeri 10) sc
mel aut pluries.
Si SIE 99, TE, 22 (= 2 X 1Y,) 33, 55 (= 5 XT2,) 66 (= 2X33,) etc. Cir
culatio est tirurarum binarum: Quoniam 90 delcribitur tigura 9 bis polita:
Tuncque 2F, 33, aliquocae partes numeri 99: et 22, 55, 66, tiune mulciplicando
earum aliquam per 2 auc 5. Non hic annumero 9 et 3, quamvis etiam hae sint
numeri 09 aliquotae parces; quoniam hae spectant ad claltem pracedentem; adeo
que admitrunc circulationem, non modo binarum fisurarum, sed eriam lingula-
rium.
Si Dirisor (sic reductae tractionis) Fit 999, 2754 (= 2 X 27,) 135 (= 5X27,)
37 74 (= 2 X 37,) ec. Circulatio est figurarum Frium.
Si F3; est figurarum 6, (qui est senuictis numeri 12 = +3 = +;) quoniam
23 accurare diridic, seu est aliquora pars numeri, 999999; in quo lexies seribi-
tuE 9, non aucem alterius numeri per 9 paucies seriptam delignati.
Si 2C; qui non es numerus primus; circulatio elt tigurarum 6; qui tamen
non est aliquora pars numeri 20, = 2F = I. Ouia 2Y elE aliquOta DaTS NU.
meri 000099.
Vel EC; quoniam ZF componitur ex 3X 7. Ouorum 7 vostulat Cut prius)
circulationem figurarum 6; e 3, figurxe singularis seu unius, quae est aliquora
pars 6; adeoque, sexies repeticus, una terminabitur cum circulatione 6 loco.
TUM.
Similiter; 77 = 7XFI: Ouoniam 2F requirit circulationem locorum 2, quae
cst aliquota pars locorum 6, quos poltulat 7; Ergo illius circulationes tres, (I
mul cerminabiuntur cum una circulatione locorum 6, quor potulat numerus ,
Trem 259 =7X37; quoniam 37 postulat circulationem locorum 3, qua est
aliquota pars loeorum s, quor postulai numerus 7: dua circulationes illius, simul
terminantur cum una circulatione hujus; adeoque  hic, circulatio eft 6 l0co.
rum. Pariterque in aliis casibus similibus.
Sed, si componentes numeriprimi (alii quam 2 _ 5) cales sine ut reguirant.
circulationes tot locorum, uc unius circulario non sic aliquora pars alterius; tum,
quamvis una sic pauciorum locorum, compotica tamen circulatio plurium erie
Jocorum, quam quot postulat componentium alcer; nimirum, tor locorum quoc est
numerus quem componencium uterque divictat.
Verbi pratia: TF postulat circulationem Locorum 2; e 37, locOrum 3: FrBO
407 = =E x 37, plurium locorum circulationem postulabie quam vel 2 vel 3; ni
mirum, locorum 6; qui est minimus numerus dirisibilis per 2 8c 3. F0 tcilicet
Fine, ut dux circulationes unius una cerminentur cum iribus alcerius.
Similicer, pro 297 =1 LX27. Ouia 27 (utue non sie numerus primus) re-
quirit circulationem LocOrum 3; et EY LOCOEUIM Z; ergO 297 == LZX27, cireu
lationem 6 locorum.
Pariterque judicandum est de aliis numeris composiris.
Oux camen omnia non sic incelligenda sumc, quali haec cireylatio semper in-
Cipiat

## Folio 366 — 851708439:0390
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000390.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
ax
Ca10
cipiat a primo loco parcium decimalium. Nam quories Divitor seu Denomina-
cor reducta tractionis COMPONIEIX CX 2 auF5, aut uuriulris aliqua pocestate; non
ante incipie circulacio quam post unum auc plures locos parrium decimalium;
hoc est, non ancequam horum componencium intluentia celtarerit. Hoc et;
non nili post tor locos, quor lune dimentiones numerorum 2 auts ingredientes
hanc compositionem.
Sic 3 ==0, 416666 8c. Nam diridere 5 per 12 (= 4 X 3,) cancundem est ac divi-
dere, primo per 4 e post per 3. Dirilio autem per 4, dat quocientem termina-
cum, ad duos locos decimalium tractionum extendentem, 3 = 2, 25. Oui porroper
3 dirisus, extribet 333 =0, 1 16666 etc. Oua itaque dirisio per 3, non prius ette-
ctum Cuum TOrritur, quam ad cerrium locum decimalium pervenitur, quando prio-
ris quorientis figura signiticacirae deticiune: acque tum luccedie singularis figurx
Circulatio; prone exisit dirilor. 3.
Sic 73 = 0, =3333 ec. HOc est, (PrOpter 25 = 5X 3,) 3 =0, 4; 835 =0, 13333
dec.
FF 48 = 0; 803,575428, 572428, 57 _C. PFOPTET 56 = 8Y7 = 2X2 X2X7. F. R.
que 23-5, 625; et 766=0, 803, 571428, 57E4 dC. Fc in aliis similicer
Acque hactenus de Circulationum limiribus dietum est; aliguanto Fulius uc ae re
nova.
Concinnitas autem haec quae in Diritione interminata comparet, (numeris cildem
continua Circulatione redeuncibus in Ouocienre,) non expectanda ct in FXEra-
etione Radicum (Guadraricae, Cubiea, et Tuperiorum Poreltarum) ne quidem in
Numeris. Quamris enim Surda Radix, in parcibus Decimalibus continuata, con-
tinuo appropinquar ad jultum ralorem, in intinitum: Non tamen eadem tigurx
continua Circulatione redeumr eodem ordine; quod in Dirisione tic. Sed incerto
plane ordine. OrV 2 = T. 4242T, 3564 +. Ouod tamen non impedie quin hujus.
modi approximatio in usum cuto admittatur; e, si supponatur in intinitum concinu.
ata, censenda cM aequalis tucura radici furda quaelitae; non minus quam, 0, 33333
Oc. in insimium, cenletur aequalis iplI 3.
Duod de parcihus Decimalibus dictum cA; pariter accommodari potest (lerimu-
catione) ad Fractiones Scragelimales, seu (ur etiam dici Tolent) Phyficas Peu A-
Aronomicas, quas (polt Liolentaum) masis astectarun, per aliquoc secula, Ante
6
L. G H B R A
cellores HBIBII. Quarum Diritiones nonnun quam decerminato quociente ablolrun-
cus nonnunquam in infinitum procedunt.
Id saltem interest; quod, quae diximus de 2 _ (CoHDOHEHCDUS 10,) corumque.
Dorestaribus; ea hic incelligenda crunt de 2, 3, ∞ 5, (componenribus 60) e pore-
Llabus Rorum. Ouodque dictum clt de 9, e 90, 8 999, ec. Hlic incelligenda
crunt de 50, e 59,59 e 59, 50,50 e linilibus.
Ec similiter judicandum eric (miltali ucatS) de atis quibutris Lractionum
Progrestionibus, ubi Denominatorum valor Concuc CetCtest CCtLA pTOPOrTIONC.
Id aurem hic poristimum spectatur; quod clm SIaOI prOcCHUS, in Nume
ris, ver parres Decimales, et Sexasetimales, in infinitum continualtelao, cu . Di
visione, cum Radicum Extractione, similibusque Operacionibus, communi ommum
consensu, turo admittatur; idem in specdus on erit retusiendus, scd pro lesici-
mo habendus.
Fijusdem accommodatio ad Quadratur ant oa.
Mercator, e PSO ParItEr. PrOnt tracur in ejus Locarithmotechnia, prOP.
T7. EF in Transactionibus Philosophicis Londinen libas, Pro Menle Aueusti
anno 2668. Meoque DC Motu Tractatu C. aD. 5. prop. 32. Paricerque (quod audio)
Veretonus jam ante.
Ojusmodi Mechodos ae quadracuram Hyperbolae accommodavic D. Nlicolatis
Duxe restue redic. Policis in a BS F Mlleripio paralle alto incer Hsp
Lata

## Folio 367 — 851708439:0391
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000391.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
Cap. XC..
A L G F B R A.
lam ejusque A Symprotas) AB = 2, vet = + AB; et A Badt AD, uE F ad d: Tum
erit, Tumpto D ulera B,
BSFID = d = = a2 + 3a3 - = 42 + 5 43 = 545 + dc.
Velus lumploD clltati
BSAID = a + 342 +34 F 44 + 54 764 F dc.
Prior, elt. Mercacoris teries; Posterior, meq. Ouae Tueric Neruroni, non vidi.
Nam Ordinatae in exteriore Fyperbola ABSHHY (ut ostenderam Arishi. Entinae
prop. 94, 95,) est Series Reciprocarum Arithmeticae proeressionis, Teu Cut loquun-
2d 
 _C. Atque interipta Pa-
rallelogramma ABS, AD FL, _c. inter se aequalia, (quorum quodvis dicatur A B.)
Si itaque sumatur AILitudo AB = A; _ BasiS BS =B, e Bd = d A, (TmPIZ
a pro cali parte ipsius F, qualis est B d ipsius B A. ) Pum exir, Ad = A F d 
(PrOut D Sumitur supra vel. intra B:) de dh --
A+ d A
FF 28 = B in
+ F a + d d = d + a _c. Ouod patet, dividendo L per 2 Z d.
tic consequenter, (I expOna.
cur a Succelsre DeF, O, F, 2, 3,
An Ccc. quarum maxima sIE BD
=D. Tum erune Ordinatae
Bdus
2F4) F (2, L dg Y d d, = a, + a, 8c.
2 + d. L ad = d f _ = d3 + _c.
T F 24 = 44d = 84 - 164 = 324 = ec.
F = 3d = 9dd = 27d = 82d = 243d + dec.
ec. usque ad ulrimam
2F D FDDFB + D F D + _c.
t
_c.
Adeoque (per meam mechodum Intinicorum supra declaratam, seu Propolicio.
nem univertalem inde deductam,) Summa columnae primae (quae est Series ter-
minorum Aqualium, quarum quilibet cAt I, erit tories F; hoc est m (mul-
cicudo cerminorum:) Summa columna secundae (quxe est series Lateralium) est
semiltis coridem maximo aequalium, adeoque : m D: Summa terriae (qua est. qua-
deatorum) eriens coridem maximo aequalium; hoc cst : m D D: Et similiter,
Summa OuarEa, Lm D: Summa OUINtX, =M D: SexIa, SI D3; et sic dein.
ceps. Adeoque omnes Ordinata dh; hoc elt planum BSHD, est
B in m L: m D + : m D D F: m D + : in D. LEm D + ec.
a d F d a d
audd.
IIOc

## Folio 368 — 851708439:0392
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000392.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
L G F B R A.
Cap. XC
Hoc est; (Tubstituendo BD = D coram alticudinem, pro in mumero partium,)
B in D F Z D = 3 D3 F E∞ f = D5 + 5D5 f _c.
Ubis S Supponatur BD minor quam BA; D erit Fractio minor quam Z; (r2.
tionem extribens quam habet BD ad B A;) e consequenter, D, D3, _c. conci-
nue decrescunt, ut candem cradtant minora quoris altignato, adeoque candem nesligi
DoTTint.
Hoc autem semper contingit, quando sumitur D, a puncto B versus centrum
A, ut BD minor sIC quam B A, (adeoque D MINOT quaM T.) Sec nON ita
semper, quando Tumitur D ultra B. Ouod item tardius conreroit.
Ob quam rarionem (inter alias) malim ego (cum liberum sic utram eligam)
duarum Ordinatarum quibus porrio terminatur (BS _ D FI) eam appellare BS
quae est remotior ab A; _ D LL propiorem. UE sit DBSFI = D f 5∞2 + 2∞
F+D eC. Posuto Parallelogrammo AS (- A IY
Si alteram methodum sEqUaUE (Tumpro D utera B,) remedium aliquod adhi.
bendum eric, quoties DB major est quam B A.
Fadem methodus continue approximandi (per Onocientes Diritionum infinite
continuandarum; eilque accommodatam meam Infinicorum methodum, ut in FTy-
perbola Factum cs:) Facile accommoctabitur eis aliis Eguris quas ego Reciprocas
Voco: Duarum Ordinata Func Reciprocae ad cas quae lunc in Duplicata, Pripli-
cata alialre Mulciplicata, aut Submulciplicata, proporcione, Arichmetice propor-
tionalium.
Sed sulticiat Specimen extribuiste in carum una. Prxtertim cum alias metho.
dos extribuerim (Arith. Enfin. prop. 202, F04n 205,) pro quadrandis reliquis, abf.
que hac luterminata Dirilione.
Eyperbola Ouadraturam aliam exhibuit FTonoratistimus Vice comes Brounker.
quae habetur Philosophisis Transactionibus Londinentibus, Num. 34. pro mense
Aprilis 2668. Ouam itaque non hic rCPCtO.
A P. XCI
Doctrina Serierum Infinitarum, ulterius a
D. Nertono promota.
propolica, per regularem serient seu oeonem Guasiltatum, continue appro
Fvercamur jam eo unde aIsre lumus. Approximationes illae Cin A.
richmetica Intinitorum) lupra memorarx (pro Circulo, FIlipli, et Iy.
a perbola;) occationem fecerunt aliis (ut supra insinuatum ellu) ulterius
in eam rem inguirendi; similesque approximationes exquirendi in casibus aliis.
Oux jam diei caeperunt Insinitae Series, aut Series Convergentes, aliitre nomi
FIM.
nibus cantundem indicantibus. Quibus innuitur, Delignatio alicujus Ouantitaris
pinquancem ad expositam, quae si in intinitum continvetur censenda elt pro-
Dolitae aequalis. Onamris sio ustum, hac de re, hactenus tueru ab UIS C
Inter ea qua cgo hoc in genere consperi: Non alium video qui speculationet
hanc lubcilius prosecurus est, ee cum metiori succectu, quam Vir Clar. Isaacils
Vereton, Macheleos Protestor meriristimus in Celeberrima Academia Cantabi
siensi. Oui cirea annum (ut conjicio) 7664 aut 2665 speculationem hanc magna
lagacitate prolecutus est; (sed eam per aliguot annos ad alia sudia arocatus uI
termiserat speculationem.) Quod innocuit mihi ex duabus Lpiltolis ab eo ad
Clar. Virum D. FTenricum Oldenbureium, (Regix Socieraris Londimentis cum Sc.
crecarium) ea de re Scripris (23 Junii et 24 Auceusti anni. 2,) SetctaH He
EIx Communicandis, quas inde mihi impercirit Oldenbuns eseioe quidetu
scriptas, de luce publica dignistimas. In quarum poreete a le 00 Fetum
Cantabrisiae eraltanrem (quod accidic anno 1665) d Cantabrioia excedencem,
clate

## Folio 369 — 851708439:0393
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000393.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
Cu. LCil.
a  t dad
honc speculationem incerrupiste. Cumque eam Post relumpturus crat, circa an
num 167F; animo cdendi ca quae hac de re inveltisarerat; una cum Nora ejus
De Refractione Luminis Theoria: Alia cum accicterune, quibus hoc impectiium
est
dixhibet ille (in his Liceris) non cancum Approximationes mulcas parriculari
buo calitus accommodatas; sed generales Methodos Regulalre, calibus innumeris
Facile applicabiles: Inde deduet portinc ad libirum hujusmodi Series seu Pro.
prectiones incerminata; ec quidem magna varietate pro eodem catu. Specimina
fimul exhibens quomodo accommodari possine hujulnodi Progreltiones; Pio re
Etiticandis Fineis Curris (Geometricis, ec Mechanicis;) Pro quadrandis Piguris
Currilineis; Pro invenienda longitudine expolici ArcuS, ex dacis Chordis, Sini
butre Rectis aut Vertisz _ horum paricer ex caris Arcubus; Pro Loparichimis ad
Numeros accommodandis; et his ad illos; Aliisque in Macheti inquilicionibus
latis perplexis.
Oua in re ucicur ille non rancum Divisione in Speciebus (ut lupra ostentum
est.) Sed in Speciebus itidem Fxcractione Radicum, Ouadraricarum, Cubicarum,
consequentiumque Poreltarum, de Incermediarum; cum in simplicibus s quario
nibus, cum in Afectis.
Ouomodo hanc achibuerie Mechodum pro seriebus Incerpolandis; jaur supra
ostentum elt. Indicando Oncias (quas vocant) seu numeros praetixos pocelta-
cum Membris, d Radice Binomia procreatarum, (quarum poreltarum respectirum
Esponencem vocat m,) oriri ex hujusmodi concinua mulciplicatione,
0. m + m 2 m 3 m 4 , ecc.
Oui quidem procellus; ( m (exponens porestatis) sit numerus Integer; se.
iplum decerminabit, polt certum loeorum numerum cuique porestati conrenien-
cem; redeunte r, unde inceperat. Sed, _ m sic Fractio; crantibitur in intini.
tum per numeros neratiros.
Contequenter ad hac: Cum invenerit numeros ei poceltati consruentes, quam
per V4 designare Colemus (cujus exponens ct. m = 5) hos ette,
5. + 16. = 130. - 3 = c.
Hlos accommodat, exempli gratia, ad meam illam seriem (pro quacrando Circulum
ejusre Duadrancem) V: R R = c5. Vel (polIIO R = L;) V: L = cc. Invenic.
que Y: P - 66: = x- 38C= 50 = 1s5 c. Dux quidem, in se mulciplicata,
restituit X =56. Or ex subjecto procettu liguer.
2 = cc (4, = 266, = 60, - 60, ac
F BC5-
ec. .
s
cd
3∞ c
dc.
dec
el-
AEque ex hoc procestu (aliisque contimilIS nACIITX) hoc Theorema dedue,
pro hujusmodi ExcractionibuS;
3
M-- n
A
ec
∞ + ~81m -∞ 
rectas inde Formanda, aut Radix ejusmodi Porestatis extrahenda: P CA primus ter-
minus ejulmodi expolica quanitalis. Z, ett reliduum ejuldem per e diritum.
Vbi L. F 2 elt expolica Glasenao Cusito Lacs eut extranenda, aut aliqua PO.

## Folio 370 — 851708439:0394
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000394.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
L ld L a a
id P. 2LC1L
EF = Exponens Radicis seu Dimentionis quaesicae. Hoc elt, in praeseni calu, 1.
Fltque P f PO cancundem ac P musciplicatum per J. F O. Paricerque A F AO = A
in F +O. Et sic in reliquis.
Nocandum incerim, nequid perperam incelligatur, quod, cum consuetum sit
Exponencem porestaris, seu numerum dimentionum, Foura minuscula, ad Fron-
tem Licera suspenta, signiticare, (uc a pro aaa;) idem hic Fractione fic, ubi
ExpOnenS non est Integer numerus, ut aZ prO Va aa; qua Fractio lic incelli-
genda est qua cota ad trontem luspenderetur: Gonificatque Exponentem istius po
cellaris, (non adjunctam tractionem, quati eset a f 3.) Ideique incellisendum
c passim in sequencibus, ubi tale quid occurrit. Ro quod non suppetat (pa-
eium tori Factioni ad troncem suspendenda; quae igitur ad latIS PONILIE.
Monendum item (quod ipsc in illis Liceris diterte monet) Neretonum, prO mOre
Tuo, cum hic cum alibi lape, nudis liceris delignare quancitates suis Sienis (sire
 sire) aftectas. Roque compendio calus plures in unum compinoere; qui
alias forene in rarios disperriendi. Ouod ni secilter; haec (inquic) Ona Regulam
diridenda Forec (pro rarietate Signorum f =) in RegUIaS 32
Sccundum hane Methodum; Si expolicx cujulris Ouancitatis quaeratur Onadra-
tum, Cubus, auc suxerior aliqua Porestas, quae exponencem habeat numerum Ince-
SFUM: RCPETICTUX, PTO Ca, SCTIES TETMINaTA IOE MEMIHTOFLM QUO quXLIEX pOte
ltatis ratio postulat; (Duta, Pro Latere, 2; Pro Duadrato, 3; Pro CHbO, 4, ec.
Si vero Radix, aur Intermedia poteltas aliqua quaratur, cujus Exponens cst Fra.
ctio, seu numerus Inreger cum adjuncta Fractione, (ut 2, 17, 25, _c. aUE 3,
13, ec. HIOc eltu 3, 333, _c. 3 333,3, _c.) Reperietur, pro ca, series Intinita, leu In-
terminata; eousque continuanda, ut cuique libueru, aut expedire ridebitur. EE
quo lonsius continuatur, eo magis exacte exhibet quaelitam Ouantitatem.
Flujus procestus, varia exhibet Prempla: quae, quia nondum edita sunt, libec hic
transeribere.
Exemplum L. V: cc. + ~ v; seu cc +  xj, -
2500 c Wam, hoc calu, est P = cc. 8. - =. m - 1. 1 - 2. AC =
=5c) =c. B(= = 18).
26
C (=
2n
BC) =
Exemplum 1I. v: ∞. + C X - 43: seu ~. L a X = 13 ) 1.
=20 N N + 4c2 _6 = 2 a10
256d
+ 8c.
c.
Duod manitestum eries substicutis T = m. 5 = n. c3 = ~. FL 5) C2 N = ~3 (8
Auc eriam, substicuamus, = _3 = P, e - v) e x + c (Q. Friique V: c3 + cx
ar+0 20 r a +40  + 00
25 43
+ _c.
Prior poticio porior est, li sic a valde parra; posterior, (i valde magna.
Exemplum III.
V: gd = aag: i Hloc est N Xgd = aay) . = N im - F
877 F ecc. Nam hic P =y3. 
3hOC C. B(=
m- L. sta (=
Enemplum IV. Radix Cubica iquadrari ex al t C; noc est a + cj3. P d 3
d= d.
_C. Nam P = a. 4) 0 (8 n = 4. n = 3. A C=
135
e
26
lc
6c3 16C3
1285)
Exemplum

## Folio 371 — 851708439:0395
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000395.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
Cap. XCII.
A L G F B R A.
Exemplum V. Ad cundem modum Formentur Pocestates Simplices: Puta Super.
Solidum seu Porestas quinta, ipsius d F e. FToc est, d F el3, Teu d F el Z. Ntam
D = d. d) e (d. m = 5. n = L. A (= ~ =) = a. B (= = A&) = 5 a  c.
C = 20 d ec. D = 10a40. F. = 5d e. F = e3.  (=  = 5  F 8) =0
Hocest,  f ∞ 3 = 25 +5 drc + 20d ec + 20ade + 5de + C.
Exemplum VI. Imo de nuda Divisio (sire simplex sive reperita) per candem
Regulam perficietur. Vt,; Hoc est a + et , vel d. + e) =. Nam tum
P = d. a) e (2. m = - 1. n = 2. A(= X = + = 2) = a : seu =. BC-
48 = = E2 , n =) = =. EF similiter C. = . D = =. _c. Hoc CM;
e
+ c.
d F C d ad  
Exemplum VII. Similicer a. F et 3. Hoc est; Unitas cer divisa per d f c.
Seu per Cubum iptiu d. F C: Est - -
36
a
6ec 10C + dec
a3
a
Exemplum VIII. FC N x d F et  HoC ett, N diritum per Radicem Cubi.
ee
24 c:
d3 343 0d3 81 4is  c
5
cam iptius a + c. FAt N: X -
Exemplumi LX. FF N xd f et 3. HOC ell, N diritum per Radicem SuPer.
3C, 12CC  52C3
+ _c.
EAt N in:
Exper eandem Regulam poltumus tam in Numeris, quam speciebus, peragere
Generationem Pocestatum; Divitionem per Poreltates, aut per quancitates Radica.
les; et Fxtractionem Radicum superiorum Pocestarum; de similia.
C A P.
Fujus Applicatio ad Circuuns Ls.
OAquam invenimus (ue in superiore Capite) in Serie aliqua (terminata
vel incerminata) valorem nius calium Guatcatum: LOLIUS, ex Colle.
ctione talium Serierum, illarum Agoresarum invenire (per Arichmetieam
Intinicorum supra dectacacam, ) auc Aream quam illa repraesencant: P odem modo
quo supra in Diritione factum est.
Exempli sratia. Inrenire A8.
Gregatum Radicum nirersaliun
Seriei supra memorata, V: RR. 66.
quX TunE ut DF. ordinata in
Ouadrance Circuli rel F. Iip (EOS,
incipiendo d Centro.
Omilla Incerpolatione Seriei,
13 37 25) 2023943 CCc. (quae Tupra
cradtira ell, pro incermedio ter.

## Folio 372 — 851708439:0396
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000396.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
LE G E B R A.
Cap. XC II
mino inter x de Z inveniendo:) Ile directe agcredicur iplam V: R R = CC: EX.
cratiendo (in speciebus) Radicem Ouacraticam ipsius R R -56. Famque in
renit,
V: RR = cc: = R - ECC 20
7c6
10
2Y 812
2R 8N 26B Y28N 256 N 2024 sei 
Ouxe constat ex serie continue. proportionalium (cujus communis Mulciplicator est
Rsi) ducta (respective) in seriem numerorum continue emergentium ex con.
cinua Mulciplicatione hie subjectam
 F2
8 4 70 2 123 dec.
Indeque cxo pariter concludo F. P (= CB - DF) =
508 7C10 27C 12
2R BR 16N  128_ 256X 2024 A1 ec.
EF CONSEGLEHLEI; Fxponendo c LuCCCsIre pEr S, F, 2, 3, dec. quarum maxima
sic CD =C: ABCrCgatum omnium V: R R = cC: Portionem BCDF. complenti
um; erie per meam mechodum Intinitorum,
m R. = ZMCC TM C TMC 5M C mC
22 m C 12
3XZR SIBR ZHISR ONIZBRI AIHSSR T3X1O24 RI dc:
Nam primi omnes cermini R sunc leries Aiqualium, qui icaque sune coridem
R, Seu m R: Omnes secumci , series Ouactracorum, qui ilaque lune ) coridem
mCC
maximo aequalium; hoc est,
3X2 k
Omnes terrii, series Biquacdiatorim, adeoque
3 coridem aequalium maximo; hoc est-mCa
terpretando e successire per 0, 2, 2, 3, c. erit ce feries Ouadratorum; e, Biqua-
dratorum; c Sexranorum, Sec. Et singulorum mulciplicatio auc dirisio per ean-
dem magnicudinem, seu seriem aequalium; ut 2R, 8 R3, timilemre; PrOPOrtO.
REM NON IIMUTaE.
HOc est; POlta SemidiametrO TraNIVerta C A = R = F (quo R ejusque POL.
Ctates omnes curo omitrantur;) et distantia d CenrO CD = C = m; habebitur,
C = 3C3 = ad C.3 = rin C = 1i3 C - 26i5 C. 1 = 1 2 C. _C.
Oux Series, in intinicum concinuata, aequabie Planum BCDE, POsico Duacrato
AC in Circulo, ee Paralleloerammo AC B in FIlipII, = +.
Adeoque Prilineum F. P B =
SC F a5C3 + in C + 13, C3 + 102C + il C.13 c.
Ft speciatim, Pro loto Ouadranie; Propier C. = _ = L, unde craveseunt c
ejusque omnes porestates: OTT, ad
2 - 3 = 40 = 12 13. = 20t5 = 1ii dc.
Sic est, in Circulo, Ouadratum Racdti ad Ouacrancem Circuli; adeoque Ouadra.
cum Diametri ad Circulum: EF, in ElipE, paralleloerammum quadrami eireum.
Teriprum, ad Ouadrancem; e Ellipl circumteriprum, ad F.liptin.
Ec, ad trilineum ABP, uE F ad
5 F ad F in F 11c F 3016 F iniiz _c.

## Folio 373 — 851708439:0397
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000397.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
Cap. XCTTI.
L G F B R
A P. XCLII
Fjusaem ippliuda un too.
Duoniam est V: RR +66:
R
Les
c
et 62
Imilicer; pro Ordinatis ad Conjis alat Canierrum, Ay perbola: Lxo lic arxuo.
ed
1CC F et
ac.
2k 8R 26_. 22b_ 256 k 1024 A
PorIO BCDH, in exteriore Hyperbola, simili procestir (posita Semi diametro
tran(verta C A = = R = L; distantIaque d CenEO CD = C ==M, ) reperietuT,
C +5C = a C = iin C.) = r5. C3 f 20t6 6 - 1 C 13 dec.
Adeoque Frilineum IBP =
3C3 = ad C. 3 f ri C. = 1132 C. 3 f 2610C 1 - +3 C. 13 c.
FE speciatim; Si cerminetur portio ad AH; hoc est, adt Conjueatum verricem
A: Tum, propIer C. = R = Z, ejusque igitur poteltates Singulas = T, tOL POr-
lio BC A H in hyberbola (quae respondet Ouadrani Fllipseos Circulire, ): F.
rit, UE F ad
2 + 6= ao F rin = 3a F 20i5 = 1 i c.
Sic Ouadratum Semiaxis cransverti, in Eyperbola rectaneula aequilatera; de Pa-
ralleloxrammum inseriptum A C B P in alia quaris Hyperbola, ad quadrancalem
Fyperbolam BC A II.
Et, ad ejusdem Prilineum HBP; ut X ad
3 = ao f 2ie= 232  30i0= oo ec.
Hoc non aliter distert ab eo quod de Circulo et Erlipsi craditum est; quam
quod ponitur. = pro - in alcernis locis secundo, quarto, e consequentibus locis
parihus, pro hyperbola exterioris porrione BCDH; sed in locis imparibus, pro
irilineo BPH. Ouod hinc oritur; quia communis Mulciplicatoi in concinue
e
proporcionalibus tueric, ilie - pi hie vero. +
RR
a 24
Nam

## Folio 374 — 851708439:0398
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000398.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
A L G F. B K A.
Nam P primus terminus, concinue mulciplicatus per -
 R  X 
Xi tacit
 + p + peo + po t sos +
13
pro c.
 facie
Numerique inde facti concinua mulciplicatione subleriptorum,
4 6 8 20 22 ec.
(Ubi Fractionum Numeratores concinue decreseunt per 2; de Denominatores
crefeumE per 2;) TunE
2 +
=25 + 105 -945
2 8 18 384 3845 46080 ec.
Oui respectire ducti in eas continue proporrionalium series, (primus terminus
in prinum, secundus in secundum, eec.) Faciunt in priore serie, qua respicit
DE in Elliple,
R
24 8 R
30
75C8
705610
+8R 384R 384OR 40000 dec.
In posteriore rero, quae respieit DF in Hyperbola,
R, FE
366
250, 205∞10
945 c2
24 BR  4BR 38+ R1  384 N 46080 _1v dc.
Oux series eadem ipsae sunt quas prius habuimus, nisi quod illic tractiones ali.
quor abbreriaix fuerint, sed eodem ralore.
Eu contequentes, earum disserentiae; hoc el, rectae FHI (= F P F P FT) in
figura sequence, Tune
duplae ipsarum CC f 35 105 c
Hoc est
2_ 48R 3840R ec.
L 35, 105Ct
Vet (abbreviando scactiones, E P. +
 BF  128 B + dcc
EE Trilineum EBF (= F BP + HBP) = 5C + .C) + nos C. + c.
EE Trilineum ABH, = 3 F ,5 F b F etc.
Ouxe omnia apprime congruunt duarum tarum Figurarum naturis. Ouippe
inter Fyperbolam e Flliplin, haec est praecipua ditterentia; quod quatuor Hy.
atuT, (nec nisi in infinitum continuatae cen-
sendx sunE OCCurrerC; quaeque cum sibi proxima, _ UITagUE CUM AIYMPIOTa:)
Sed quatuor areus Circuli Fllipseotre
nceS, Sient ad eoldem pertinent guacuor FTyperbolae conjugata,) intrortum
Hectuntur, _ se UTO CONTINUANE. ETinc FIc, quod harum Acurarum aftectio.
nes, sunc uc plurimum exdem; nisi quod, ubi disterunem in alcera + habetur,
it
Cap. XCI
945512

## Folio 375 — 851708439:0399
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000399.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
Cap. XCTTI
= F B
in allera -. Ouod alibi, in tractacu de Conicis Sectionibus, dudum uel
Hoc quo melius explicem libet inde mutuari sequentem figuran.
aL.
In qua EIipfis, e quatuor Conjusata Byverbolx (sre Systema TEyperboli
cum,) idem habent Centrum; eoldem Conjugatos Axes tran(verlos; eoldem item
Verrices et Parametros ad eos axes spectanies. Sed INtExCCDTS DiaMCLTOS, 2d
eos vertices pertinentes, in altera Prorsum, in altera Retrortum aestimandas. Oujn-
Deu in Hyperbola, Diameter qux Incercepta diei Colet, ett diametri Frantverlae
concinuatio: Sed in Flipsi Circulore, Super Pransvertam replicatur. Onde ori-
cur Sionorum L = variatio. EL, in Elliple, Diametri Mechae (hoc est, con-
jusata Aiquales,) sune, si continuentur, Dingonales Rectansuli, quod (per Arium
vertices) Ellipli circumscribitur, ee Syltemati Fyperbolico inseribitur: Faedem,
Porro concinuaa, sunc harum Hyperbolarum AlyMPIOIX.
Fc quidem si (contra Fllip (eos naturam) Supponamus AD (diametrum in-
terceptam) lonsiorem quam est (crantrersa) A an (unde Rectangulum AD a, tiac
planum Negatirum, = f ADX = Da;) PrO DE quae supponitur ordinaca in
Ellipti; habebitur Dh, ordinata in oppotica Hyperbola. Guae quidem DI, cst
suxpolicirium Lacus (seu Lacus Lmasinarium vulso dictum) Ouadraci Negaciri:
n esE DE verum latus quacrati AHirmaciri. (Depote quarum Onacliata, sune
Rectansulis A Da proportionalia.) Suntque illa, medix proportionales, in Hy
perbola incer rectas altirmaciram et Negativam; sed, in F)ipsi incer duas AAI.
matiras.
sic quidem, si Flliptis sic Aiguilacera ee Rectangula; hoc est, s Ares conjueati
(qui lune Latus Rectum e Fransiersum; seu Parameter de Pransversa Diame.
TeF) sinc aequales; Hoc est, si Flliplis illa sit Circulus, (nam, ue Parallelosram.
mum rectangulum et aequilaterum, est Ouactratum; sic EIliplis rectaneula ee aequi-
latera, est Circulus:) Tum etiam correspondens Lyperbola erie rectangula d
aequilatera; e rectarum DE, Dh, quadrata (non cantum proporrionalia, dect )
aequalia rectangulis AD a. Ouod idem continset, S Caltem Aiquales sint conju-
Satae Diametri; quamvis non (uE conjusati AXes) ad anoulos rectos positX.
Oux omnia (ouamris, hie loci, Disreltio videatur,) Esui iamen elte poleruns
ad hacum Fixurarum naciran seruinum fecte inrellixenelat caculmque incer se
convenieuriam de discrepantiam.
Acque ita exo Clar. Neretoni mentem hac in re, his binis liceris indicalam; co-
natus Tum sideliter, et quam potuerim dilucide, explicare. Non quidem omnia
quae ibidem habencur exhibendo (es enim uiraque epistola bene lonsa) vec suis
verbis

## Folio 376 — 851708439:0400
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000400.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
Cap
verbis Ouiuta, Core temper ordine quo illic comparent. Sed prout expedire vi
Cum erat; meis intermilta. Adeoque distinctas opcrariones distincte et separatim
ostendi: quas si complicatas cradere voluistem, Lectori Facecteret negorium per-
plexas extricare
Summa rei huc redit. Si character maenicudinis singularis, sic simplex Peu uni-
membris (da reniam verbo) puta, an a, a a, _c. Seu porestas aliqua magnitudi-
niS quaeLIEX, PeF O, L, 2, 3, dc. successire explicandae, Aporepatum omnium per
rationem quam habene ad tocidem ultima aequalium, habetur per meam Arith.
meticam Infinitorum. Nempe, ut Y ad exponencem potectatis uno auctu.
Idem similiter habebitur, S (loco Boteltatis) habeatur Radix aliqua, ut V a,
Vca V9qa _c. hoc est Va, V a, V a c. aut al =, a13, a) a, ec. dum-
modo lingularis sic ea quantitas a, non pluximembris.
Idem Similicer habebitur s plurimembris sic ea quanitas, modo ea membra
distincta sint et non communi radicalitaris rinculo complexa; pura R L CC, aUF
a F = ad: quippe cum pocest ea regula singulis membris separatim adtriberi.
Auc eciam, li tali vinculo complicara quantitas sic sui generis figurata; hoc est.
ex qua Radix imperata postic in Speciebus extrati; Duta V: II = 2 l a + a a:
Scu 1I= 2la = a a(3: quippe hoc cancundem est ac 1 = a
Sed e sic haberi porele, s quantitatis ejusmodi plurimembris quaeratur Mua-
dratum, Cubus, aliare similis poreltas; Dura O: a X =dd; hoc ett (in Clar. Neu-
coni notatione) dZ = d d l 2 auc d 2 = d a P; modo n sic numerus (aftirmati-
vus) inceser. Nempe mulciplicando expolucam quancicarem secundum exisentiam
exponentis m; puta, quadrando, cubando, ecc. PrOUL m TIE, 2, 3, cc. membris-
que quanciraris inde provenientis achibendo lingulatim eam regulam. Ouxe qui-
dem exo omnia in Lrithmetica Infinitorum oltenderam; prour hic lupra C ap. 8F.
ostentum est.
Fx quidem si quancitatis ejusmodi exponens sic numerus Fractus, puca
a2= aa)= aue 4Z = da pr; porest id facis explicari (uc jam dictum est)
quantum ad m; (numerum intesrum astirmatirum) qui est construendae Potella.
eis index; sed quancum ad n (qui est index Radicis Onirersalis eliciendae) hx
ret aqua. DeC Potest (A quancicas illa plurimembris, non sE iltius generis Rou-
rata) haec surda Radix sie explicari, determinata aliqua quanritare, cui adhiberi
Doslic ea Regula. Ouod iridem eoo in Srithmetica Infinitorum oltenderam.
Non quod exo nelcirerim Diritionem ex Radicum Lxtractionem posse in specie.
bus institui: Sed quod in hujulmodi casibus, res abitura sic in infinitum. Pariter
ac Ei velim Fractionem Z ad decimalem redisere, 0. 3333 _c. aut numeri non- qua-
drati 2 radicem quadeaticam exquirere L. 4 F42 dc. Ouo quidem continue proviue
accedere poltimus, sed nunquam eo perrenire. Oudrebam aurem cgo ibidem de
terminatam aliquam quancieatem absolute extribendam: Ouam cum extriberi non
posse ostenderam, contentos esse oporrere dixi concinuis approximationibus. Oua-
les cso aliquas ibidem extribui, aliasque anre octenderant alii, pluresque alias extri-
bicum iri posse innumeras non eric dubicandum.
Cum isitur hoc non alicer expediri posste constet quam Axproximando: F. xtri.
buit Clar. Veresonus, hanc Regulam generalem in cum finem, quae cum constru-
enclis Poreltaribus, cum E. liciendis Racicibus quancicatis plurimembris in terriae, qua
in Sexiem vet Terminacam rel Incerminalam exeat, prourres culeric.
e F PC)
2+
D + e
timue. Ouippe concinua aaditio mulcipli per O, tancundem cs ac continua
Mulsipticatio Der F  9. Sed malebat ille in Additionis forma rem exhibere, quam
Mulciplicacionis. Lt L, A. F AO tancundem est acque A in E + C; et
Cujus quidem seriei lingulis mCnOIS (Pro Agcresato obtinendo) singularim
achibenda ese mea Regula Tupra. tadica; quoulque serlicet expedire censebicur, uc
DOTTinE
Sic in lequentibus

## Folio 377 — 851708439:0401
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000401.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
C ap. XC. LL+.
A L G F B R A.
postine reliqua (quati contemnendae magnicudinis) curo neglisi. Prout jam explica
tum est.
Ouod si relimus haec omnia in unam Kegulam compingere (quo res perplexior
videatur, indeque masis miranda,) pro literis A, B, C, ec. Tuos valores concinue
Tubsticiendo, lingulilque membris, nostram regulam achibendo; res hue redibit;
Nempe reltituendo valores iplarum A, B, C, _C. (quarum qua libet innuic mem
brum illud quod ante praeceserat,) Fet
n
m
m
OF
m mu  M , id = 3 me n. +. 2 mn  m
2nn
6n
m = 6m n = TEm n = 6m n OP  + Sec.
m
24. t
m  m =mn, m = 3mon + 2 mn
Vel, P; pluis  P
2 p
6W
m =6m n = LE m N = 6 m V L dc
24. n
Acque tum demum (quo habeatur omnium Rggregatum) diridendo omnia
p-
(secundum nostram regulam) per = F 2, hoc est,   ; seu (quod cancundem
est) mulciplicando omnia per - -: fiet
m. F n 
5-
1
L ∞
M
in m, m =mn, m = 3 m. n. + 2 m n
2. R B
m = 6m n L FF M  - 6m n
24. V
+ dec
Auc eciam alias prorc cuiquam placuerie nocacionis formant in aliame immutare
his aequiralentem; quod rariis modis tieri porest.
Oui quidem Asgregatum collisendi proceltus sic implicatus, idem est qui prior
magis distincte proxolicus: quem cgo itaque priorem huie implicatae (pro more
meo) praeculerim: Ot qui in Ceripris meis, lataso, Lectorem edocere poiius quam
mirabundum reddere.
Aliam ejusmodi non absimilem Nocationem complicatam habret D. David Creso-
rius, Medicina Doctor et Collega meus mericistimus. De qua mox dicetur, suis
verbis.
Haberque alias Clar. Neceronus (in Liveris supra memorais.) aabue perplexio-
res, eo quod sint magis Generales, e ad plures calus pertinsant: Ouas esO in Fdi-
tione Anglicana praeceribam (specimina quaedlam illic extribere contentus,) nonni-
hil tamen de illarum aliquibus (Bost incerjecta quaedam) intra dicturus. Interim
Clarissimo Viro Johanni Wallisio S. T. D. Ceometria
Prosessori Saviliano.
Darid Cregorie S. D.
Illo ad ce Vir mertio celeberrime illustratura Mechodum meam Guactra-
CarHI exempia, ut postis(li sic placeat) ea inserere Operi tuo quo AIBC
d bram immorrateu, Britanniam Algebraicam reddis.
AnnO 268B edidit Archibataas Pitearnius HI. D. nune in Academia Lugduno.
Batara Medicina PFOFEHOF, SCMCcua quam Solurionem Problematis de Trerentori.
bus dixit, in qua mechodum ae d me inventam, cujus ope series dereguntur,
3bB
quibus
D. Cregorii Forma hie lequitur.

## Folio 378 — 851708439:0402
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000402.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
aP.
X
quibus intinita numero Currae ee spatia iis ee rectis contenta nullius mechrodi ha-
ctenus cognita lesibus Tubjecta mensurantur. De mechodo aurem illa (cui expli-
canda exempla haec inserriunt) quae suftecerit dixisle, paucis rerbis accipe
Sic ut in memorato claclac Ma Ccoua abscista X. Applicaia live figura
tes indeterminati. Si ja figurae ea LC naLIIa UE L, Sic aequalis B Z C ubi r’nume
rum tractum aeque ac ulleorum repraleMtat.) Vel etiam si L. aequalis lic quancirari
ex hujusinodi pluribus compositae, quibulcunque tandem modis ad hanc tormam
reducacur, tigurae dimentio habebsu ex MI quae Geomeeris jam Catis innoreleunt.
Acreliquae omnes Hsurx tales lunc, ue carum Aiguariones extribere poltume valo-
rem sux applicatae vel per terminos duos aut tresel. IHb vinculo aut fiono quo-
dam radicali comprehettos, ret per formulam plutes hisce similes continentem.
Nam li unicus sic Tub rinettio letuS, cum casu praedicto coincidit.
Si Aquario lisura plla Vatorem Applicata cuovus terminis vinculo inclusis
extribeat, nempe, Si L. xequalis sit B. X. X S X.. H A erit areae Figurae aequalis Series
sequens,. (C. S An - A)
N - R- F(XBAd 2 x X
N. - R-- F (X2L V. R- Z(XB A2X 3X ~ in+
WNV+ RF  ~MN+ _F L-AI MN F RF L (LMN L R L L n ILMN L RH L 2 N
F Sc: dempro ultimo seriei abrumpentis termino ducto in  F L.
Hlinc reio patet teriem hanc abrumpi quacraturamque extribere, cum P +. Z Xqua
tur Nvel 2 Nvel 3 Nec id estcum   = est numerus inceger e politirus. Nam in
illo casu vel NV - R- F vel 2 N- R- Z, ret sequentium aliquis eric nihilo aequalis:
unde es tocus terminus cujus compotitionem ingredirur, craneseir, et abrumpitur Se
ries, nec unquam denno incipir, cum idem illud omnes insequentes terminos afticiat.
Inde cuiris vel mediocricer in Creometricis verlato manitectum tiet, quot infi
nitates Currarum nullis ante cognitis modis tractabilium Ouadraturas luas terminis
numero finitis exprimendas Facile sine larsitura.
Sit in exemplum primum sixura mensuranda cujus natura hac aequacione exprimi-
mitur, 7e X2-
+D X- 2D AC X + D 12 =0, quae lacis facile in hanc
mutabitur P= X - D A = V 4. D X. et inde in hanc tormulam canoni accommo.
dacam, s =  2 n 2 + 2 X : l= ubi B = D2, R = - 3, 8 = 2, N = 3, M = 5, cum.
que   = ie numerus incexer ec posicirus, sigura menturabitur cerminis numero
tinitis; abrumpente serie siapte natura infinita; et quidem post terminum primum,
cum secundus reliquique insequentes alticiantur muluplicatione quancicaris N =R
=2, quae in figura propolica est nihilo aequalis, et per Canonem, qualica figura est
A. = 2 X 23D3: - 3DE A3, sire aequalis 3 V A.D. +6 ∞ D X f 12 AD P + 8D ~)
Pr. nacur in aliud exemplum Curra A C cujus axis A B productus in punctum
L C F B R A
M N + R F F
XX
dacum

## Folio 379 — 851708439:0403
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000403.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
Cap. XCIII.
A L G F B R A.
datium E; Sirque Currx Ca natura, ut ducta vicunque applicata BC, junctaque recta
AC; item deleripro Semicirculo a B P. diametro, cujus circumterenEIX OCcurTAF DH
recta normalis rectae A F ab ejus medio puncto D excitata, recta juncta F B Faciac
ansulum P B A aequalem ansulo B A C. Ouaritur dimentio spatii ABC sub qu2-
buS reCtS A B, BC, SE CUEra AC comprehenti. Si A D vel DF. VOCCTT C. AB
i BC, L.; EX nacura Cueva invenierur A quacio ad illam, C. L. 3 f s. = X = C X3.
sive L = VC
aur in Canonis Forma L. = C 3 XX C. + X 3, ubi B = Ci2, K
1
oe
=2, 5 = 1, N =  M - ; Cumque P) = Et numerus inteser et posicirus, Series
genio suo intinica abrumpicur, et quidem post cerminum secundum, cum P +
Cicbinacius; ee tieouiae valor exprimerur cerminis numero siniis. Siquidem drea
per supra teripium Canonem interius demonstrandum aequalis sic C f X] 2 in:
C  XX, = EKCLACI: dempio -  n C 2. Hoc elt aequalio Y C + X. i:
FF 2
F313
3C2X - 3C3]: + 3C Sive Area aqualis 3 Y C X = 3C, X2 F4C] + 3C
In pracedencibus exemplis Series in Canone intinica, quam Pactorem Univerta-
lem apvellaris, post primum aut secundum terminum abrumpitur; in sequente vero
ad tertium exeurrit. Si D5F, 3 = P ZXI- C3X, live in tormula Canoni
apta L = = urC: F.  X = C 1, ubi B =  0 R = 2, 5 = F, N = 1, M-:
R q 1
Cumque hic etiam = = Sic inceser d posicirus, Figurx ralor terminis numero Li.
nicis exprimi poreric; erit urique per supraseripiam seriem L. = X = C, p in:
2X2
OC3X
27Cr
27 cr1C
20DF2 35D Fa 140 D F6 2g0D F6
Postea ostenditur quomodo haec eadem series inserriat, si contingat M esse n-
merum incesrum se policirum; monstracque sumendum elte supra seriptae Seriei ter.
minorum numerum aequalem M F F, de quancicatis S X. + 
expantae
sire eroluca primum cerminum in omnes L’actoris Onivertalis cerminos allumpros
ducendum, sccundum in omnes dempro ulcimo, tertium in omnes dempro ylrimo
et penulcimo _c. In isto ehim catu ubi M, elt numerus integer et potitirus, Sc.
ries non abrumpitur, sed ii termini qui ex ulteriori quam quae praeseripra est mul.
ciplicatione oriuntur, craneseunt.
Proponatur in exemplum figura in qua L. = N X. X2 f A, exie per seriem supra-
Seripram Area aequalis X2 F A) 3 X 2 + 2A X 2 - 38 A X  + _c. Sed
tric ralor minus consruere videtur huie tigura, cum sE quodammodo intini.
csus quia Serieo Factoris Onivertalis non ur in exemplis praecedentibus abrumpicur
per mechodos camen lacis notas, L iBurA aguOuT Z X + 3 2X., Sed si Seriei fi-
Drateripex sumantue cermini duo, quoniam M. F F et binarius, e tiac pu)t.
plicatio ut dictum, producetur verus atea ralor: ec quae ex lublequenium ter-
ininorum mulciplicacione oriuntur quancicates se inricem collune, nt ex ipta ope
ratione institura patet.
Cnoni subjunaitur modus achmodum nacuralis illum invehiendi. Factor enim
universalis, sive Series illa in cujus lingulos terminos ducenda elt quancitas Hxec
SXn F m = E facillime invenitur, divicendo nea valorem intinita Serie
signiticatum (quem per nostram Mechodum in Lxercicatione anno 1084 edita in-
venire proelioe est) per hane quanticacem S X. f  m F 2 eriam in seriem
infinicam retoluram. Pacet enim ex mulciplicatione Lactoris Oniverlalis sie in.
venii

## Folio 380 — 851708439:0404
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000404.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
A E _L B L A.
venet in 5 X.
DEOduct alcam: quod crac demonstrandum.
Nempe Mechodum hanc cuivis tormulae, quanrumvis mulcos sub rineulo cerminos
terenti polle axplicari, adeo uc si quis diritionis haud opcrola negorium in se
sulceperit, Carionem quadracuras cujuris currilinei generis innumeras impertien-
tem nullo fere negorio sic clicimrris. Illum vero qui intiniti nomit quactrandi
laborem non refigier, monemus ne ad inferiores tormulas cractandas animum ad
siciar; cum Canon superioris cujulris tormula, interioris Canonem complectatur.
ex: Er: Canon superius tradicus interiorem ponendo 1 = 0. Er cum Lactoris
universalis Series in hoc catu ultra primum cerminum nunquam producatur, quia
quilibet insequens afficicur mulciplicatione per A, hinc Duic Methodus noltra
Ouadracurarum anno 1664. Calld.
Restat uc ex hac mechodo ad hujulce Serici exemplum, et alix pro Formulis
Cuperioribus supputentur ec publici juris tiane cum praeter demonstrationem (ui
maxime naturalem, ejus ope Pisura cujulris propolitae area terminis nUIerO
finitis extribeacur, li quidem talis decur, (serie alias intinira in hoc calu abrum
Dence) quod polt aequationem rite es debico ordine disposicam facile ec uno oculi
obcutu apparet, uc luperius oltentum; vel cum illud consequi non detur, tioura
natura prohibente, salcem intinita series prodeat, quae tisurae propolica aequalis est
cujus cocterminos quor proxotuo conreniune altumere licet.
Acque haec cA illa Mechodus quant a ine invencam extribuie in ilto tractatulo
Piccarnius, cujusque opc quam descripti intinitam Scriem invenire pertaeile est
Tranc ille Scrieim cum Toli mihui notam pucabat, at paullo Dost releirie Scriem
eandem prius nocam fuisse Cummo illi Philoropno e Creometrae D. Zsaaco Neretono
qui ad eans diverla methodo ante, ut opinOT, perrenerat. Profecto reipubliex li-
Eeraria interelt, ne Mechodus illa ameius premaum, led porius ut cditione matura
non minus innocelear Mechodus Veretoniana, quam hactenus innocuit noltra.
Et hucusque in explicanda Mechodo nostra progrestus est Pitcarnius, non ex-
istimans addi cum debuisse aliam conditionem, qua polica reliquis licet abnuentibus
tigura menluratur terminis numero tiniris. tam cum nelciam an ulli peius fuerie
noca, nune subjicianm, Nam si L. = B. X ~ S X. F AI, exie eriam L. = B X tnm
s
SXm
A + SX = Bn AX + 3
non sic nunerus intexer, et ramer
minis numero finicis exprimi porest.
1. S.+ AX= il.
+c + M N
N au
calis sic, Figurxe dimensio ler-
A
Exemplo sic sixura in qua L. X. = A X - N, sive L3 =  X
tiac Feura
=, adeoquc
= = Ab ubi R = - 3, N = 2, M = :, e quamvis in
non sic inceges ee poluivus (sed = 3) cuu ramen C + L + MN
calto H AMrum Onitas, tigurae Area Finicam exprettionem admiltet; ac ad luperio.
rum normam mucanda erit aequatio, tisura naciram denocans, exicgue L= N X
 + 2I ea ope Theorematis invenca aequalis L AX 17 
A acrasde reductione uri decet, exit FBWIX PrOPOTIC Area
Post demonstratam Mechodum, generalia quaedam HIIC aLIMENEIA NOTANEIE.
dric
Dat. Oabata  Sill 2692
A
X.)=

## Folio 381 — 851708439:0405
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000405.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
Cap. XC.
A L O.F _ C
rum Affectarum. Aequationum.
VIIx Series, e qusde saut emoraris abstrutiores, qua conspicienda
uo Leccetoni Rpiltolis: Aliaeque innumerae limili methodo ex
ded ec aliam habet mecodum P. Xirahendi Radices (sire in Numeris, sire in Spe.
ciebus, cum Simplicium cum AHectatum  Quationum; dirersam ab ea qua utuneur
Vieta Ouchtredus, TCarriotus, aligue. Onam ut pociorem hie adhibet, quoniam
ita Sexies Intinitae celerius Conrergunt; quam in eis per Dirisionem, aue receptio.
Ex eildem quali principiis quibus nicitur proceltis ille quo mor ego in Commer-
Sumpto uno Membro quaa Magnicudinis sic ut magis expedire videbitur
(nam vatsetati loctsC,) quod appellemus 2; inrenimus (procellu Qualtionis
MaTUEX CongruO) hoc (linon lic qualico aequale) vel julto Majus else vel justo
Minus. Si lic; elto ille sire excellus live defectus F B: cujus limili procettu qua
rimus magutuem. Acque si adhuc tueric aliquis exceltus aut detectus; esto
Duo qua exhibet ille exempla, sune alcerum in Numeris, alterum in Specie
BIIS. In priori; Radicem LLLHALIONIS p3L 2y5 =0, invenit = 2,00455+d
in posteriori; Radicem Aslarionis y + a ry + aay - n -2a =0, invelue
Nova Methodus extrahendi Radices tum Simplicium
eildem principiis deduci poterunt.
rem Radlicum Extractionem.
cio Epistolico, FpilL. 27, 29; pro solvendo limili problemate. Nimirum, hoc modo;
11
FC; e lC POrIO.
a
F3F N
12 aa
16384 a
0.
5092
0, 06. 1rF X, 2 c11. F 6.
F O, quiidc
O
olii 1BEC
1un er didnd ssili c
Summi
0,06
Summe
f0,00+
6700
F 2720060000.1111
6300544.652.
6514
et
lPet
F 0, 00FH 0,039. +
+0,06+ + x2, 239+6,341q
0, 0000062 0, 00Or et
0,000642 +11, 2
+ 0,00018370,068
49,00054tc
11
10 3ic
C WdeESISI Sets) Oeis Ell  L1IGEI. I CEIA LI MLSIAE
   sB .) A er. M Bb B) 3 7  e  is (qi
 ShlEI  ediB C): Ota CoVIG
olli

## Folio 382 — 851708439:0406
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000406.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
82
idp. XCI
R
10385a
1090 
16 N
c
e
N ec
ee
4096d
a 16304a
In priori Diasrammace. Sumpto L pro primo membro Radicis; ponic cocan
in columna prima) 2 + p = r. Acque cum prosequendo hun raterem (in co
lumna tertia) prone postulat propolica aequatio (in columna secunda:) valorum
summam collisi. Cum quam procedit u prius pro inveniendis retiquis membris,
P3G,Y, c.
Oux quidemmembra (in prima columna) exquiruntur lingula, dividendo pri-
num cerminum Summae leu Rogregari proxime praecedentis, per Co. eticientem (C.
cundi termini ejusdem summx. Fltque ea Tumma, Rggresammi ralorum in terria
columna, sic Formatorum uc indicat eolumna secunda. Oux columna contiltit ex
membris provolica, aequationis, aut ejus quam Proerearerat pracedens operatio.
Arque rum demum Nesacirorum lumma ex summa AHirmacirorum dedlucta, relin.
quic Radicem quaesitam.
Necmulio ablimilicer exquiruntur padicis membra in secundo diagrammate.
Praecipua difticultas est, in invenietido primo termino scu membro Radicis. PrO
quo, habet ille methodum generatem; quam hic insoram. Sect _e l mistrat alia com.
pendia; quae hic omitram: Ouoniam id folum hic agitur, uc generalem processum
hic oltendam, ab sque scrupulola inquilitione in meelia particularia, quae calibus qui-
buldam torre emersentibus porsinc nonnunquam esse expeditiora.
ni) Parallelosrammum, ut BAC: Chjus lacus A C dirictatuT in EOF quOL Opus
erit parces aequales: Ouibus perpendiculares erigancur, quas decultent alix, cocm.
que
Generalis illa Mechodus haec est. Deteribit ille primo (aut deleripeum suppo.

## Folio 383 — 851708439:0407
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000407.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
Cap. XC.t.
A L G F B R A.
que in TOFquOE opuS erit Spaciola paralle logramma diridat: Ouorum lingula intelli-
sancur denominationes ferciri d dimensionibus duarum indetinitarum quantitacum.
uEN Cy; ordine procedendo (uc in figura) ab a termino. Ouarum y denoret
radticem extrahendam; et , alteram indetinicam ex cujus porestatibus consticu-
enda C Serics.
Ouando proxonitur Aquacio; Nocat ille cellulas cas seu spatiola, quibus
respondent linguli Aquationis cermini. Regulamque admoret, ut DF, ad duo
aut forre plura spatiola sic notata; quorum unum sic intimum in latere AB, aliud
(aut torie plura) quod Regulam in eo sicu concingat. Acque tum leligit cos
in aequatione cerminos, qui cellulis sie Regulam concingentibus conveniunt, (omif-
sis eis omnibus quae supra Regulam intactam jacent:) acque inde quarir magni.
cudinem in Quocience leu Racice exquirenda ponendam.
Sic, Pro extrahenda Radice y, hujus aequationis, go - 5 ∞ gd + = p - 7a N2 ge
=6a _ = BB~ =0. Cellutis sic ut dictum est notatis; Regulam admoret ad
D (qux elt ima cellula lateri AB contigua,) circa D rorandam (ab A ver siS C)
donec aliam sic nocatam collulam (unam aut plures) contingat. Acque hrie qui
dem continsit Fres; quibus respondene N, X N Y Y, et y. Fx his ergo termi-
nIS g = 7 a a X N. Y Y F 6 a N3, qua =-O, (et porro, li placet, ad hos reductis
25 - 702 + 6 ==0; Doluo y ==~V a X,) quaerendo ralorem y; occurrit ralor
quadruplex; F V a x, = V aN, = V2a N, = V2 a x. Ouorum quiris altumi
Poterit pro primo cermino Ouotientis; prouc aliam aliamre racticem prolequi libet.
Ad hanc Formam; A: quatio Cupra memorara, p + a N y = a ay = N3 - 2. a =0
extribet = 2 a F 2 a ay ) a=0; adeoque v = a proxime. Sumpco itaque a
Pro Primo cermino valoris y; ponendi tunc reliqui omnes =p; adeoque
Poltune hie nonnunguam occurrere disticultates aliquoc; sed quas prudens Le.
Etor Pagacirare lua superare posse credendus elt.
Reliqui termini q, r, s, Cec. paricer inveniri porerune ex aequationibus secunda,
terria, exeterisque sequentibus, uc p ex prima; led majore Pacilirate, uc jam octen-
Cum est.
EX Aquationibus sic reductis in Series Intinitas; exquirit ille Aream tigurarum
currilincarum; Linearum currarum lonsicudinem; masnicudinem ee Tuperticiem
Solidorum; item Segmenta hujusmodi Linearum, Superticierum, et Solidorum;
omniumque Centra CTraritatis.
Idem praestat (sed methodo hac magis adhuc prOmOta) eriam de Curris Me.
chanicis; qua hujulmodi sequationes non admittunt.
Fgus Paemno cutiis casibus accommodata.
Xempla husus Methodi extribet mulca: Ouorum ego aliquor hic tran.
seribo. In quorum quibusdam, pro Seriei inventx Terminis seu Mem
Labris, primo, lecundo, terrio, et sequentibus, (ne Frequenti reperitione opus
SIC) adhibet LiteraS A, B, C, D, ec.
Exemplum L. Dato Sint (recto aut verso,) Arcum invenire. Sit radiusr, Si.
nus rectus a. ArCuS erit
=x F 6ET 40m 112r
3X3X V A
F _c. Hoc est,
SX N N
6X7XrY
1
Ek3XYY
trem; sic Diamerer a; Sinus versus x. AreuS CtH
443+

## Folio 384 — 851708439:0408
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000408.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
=d 2 ~ =
L G L B K A.
Z
X 3
LidD. Lli
6 a :  40au t 1r2 a; t dee Hloc et
= Y da in: F + ~ - L 3 ~ N, 5 X A N
640d TT2 a  F ec.
(Nocandum aucem, quod supra monicum est, quod 3, 3, 3, ec. ponuntur hic
pro Exponencibus dimentionum ipsorum X, an ecc. Et similiter, in sequenri.
bus, uibi calia OcCUTEUNE.)
Exemplum TI. Areu dato, invenire Sinum, rectum aut versum. Sic Racdiusr,
ArcuS Z. Sinus rectus est,
6rr 1OF 5640r 3628875 = _c. Hoc elt
22
C ecc.
 lc.
Exemplum TI. Dato Areu, alium in data ratione invenire. Sic Diameter d
Dati arcus chorda _; areus quasituS Sic ad dacum, ut n ad X. Chorda quaesiti exie
=n x
O= nn
4.X5ad
rB
25.  nn
627 ad  C
40- nn
rr Buorr
El otus vettuo,
2433 720r 4032 r F _c. Hoc clt,
21
aure suari suori uber
lin 3 e a
3X = n n
TOXIT4   8c.
Nocandum hic, si n sic numerus Impar, Series erit finita; et quod inde pro.
ditus idem quod in Algebra communi pro mulciplicando ansulo per numerum n.
Exemplum NV. Si in AB utrovis Arium Fllipsis
ADB, (cujus Cenrum C, e avis alter DIL
datum sit punctum F, circa quod recta F. C (FL
lipsi occurrens in G) feratur motu anculari: Da-
ta area Sectoris Flliptici BP G; invenire Cit per-
pendrcularem axi AB. Sic BC =9. DC =1
F.B =C. EC duplum APCa BEC, = 2. Tum
et GF,
= 26093 + 50499+ - 225911
5040 r5 L
Ouxe est Solutio Repterram Problemaris Astronomici.
Enemplum V. In cacem Filipsc; politis CD = r. CD) C. B4 (8. et CF = 1.
Arous Klliptieus DC, est
1t
6pp  120 pt F

## Folio 385 — 851708439:0409
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000409.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
Cap. XC V.
X +
ce
t XOrE
E C F B R A:
24rrC
10c 28r0
28 p3 C3
2.2 246
24 rr ∞ 22VC
112 6 46Yc 60
21526 352r0
2816C10
_C.
In hoc Schemate, Numerales Coeficientes terminorum in linea prima (5) 103 24) CuL.)
sunt in Progrestione Flarmonica (quorum denominatores lunt in progrectione
Arichmetica.) Ec numerales coetticientes omnium intra positorum, in quaque
columna, oriuntur d concinua mulciplicatione polirarum in prima lIea, per Ter.
minos hujus progrectioniS.
En-
3n -
n
n-
Thi n desienat numerum dimentionum ipsius c in Denominatore supremi termini.
Progrestiones reliquae lune obria.
Porro. Policis BF = v; der pro FIipseos Parametro teu Fatere Recto; e
Y) AB (e. Arus Flliptieus BC, et
= 20 _t + ec.
F 30c
23e0
et
y
=Vrx; in, 2, + 2
1SCCC
12
9re
Adeoque: Pro invenienda Perimetro cocius Fllipleos; Biseca CB ip F; ac.
que tum, per procettum priorem, quare arcum DC; et accum BC, Per PO.
Steriorem.
Exemplum VI. Contra vero: Dato Area elliptico D C: invenire inum C F.
Sit CD =r. CD) CiB9(6. EF ArCUSDC = 2. ExIE Sinus C. F
a 42076
483
5040C
_c.
Ouodque de Fllivsi dictum est, tacile applicabitur Hyperbolae; solummodo mu-
caris Sixnis ixlorum c et c ubi dimentionum numerus ett lupal
Exemplum

## Folio 386 — 851708439:0410
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000410.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
86
L G F B R A.
Exemplum VII. Fsto C. F. Byperbola; cujus Asymptota AD AF; e angulus
AD rectus: Epsique D a perpendiculares ac libilui BCn DL. LOS AB = a,
BC = b, es area BCF D = Z. Frit BD
ecc
Cit
ab. 24 a B 220 aB
HOnC hujUS ALILIMACLCA PLOSTCIHIOMIS, L9 27 39 49 5, etc.
Arque hine; Dato Locarithmo, Envenitur Numerus cui convenit.
Obi numerales Coesticientes denominatorum, oriuntur d continua mulciplica.
ExempluM VYIT. Sit V DF (qux dicitur) Linea
Duadratria. Cujus Velcex V. Centrum A. Semidia.
meter circuli cui conrettu, A. Hi. Ec Angulus V AH re
ctus. Sitque DB perpendicularis ad libitum, ab VF
CUEVa, a AF. EFD Prancens, occurrens ipti A V
inT. Poliris AV = a. AB = v. Erit BD,
EL Arca AV
E Lus VD = a
X
225 a 6615 a
c
604. 1
ec
FF contra: Daris BD, aut
7 aut area AVDB, aut
Arcur D; invenietur X = AB;
relolrendo Afectas illas A qua-
tiOnCS.
Exemplum IX. Sit AFB Spha-
rocides, (facta convertione FI.
lipseos A F. D circa axem AB;
4 43
27aa 2025 a 803025 a 
B quam sebent quatuor plana; nui-
cum AB pel adeM; DC cidem
paralela, CDC aseu Vccato aut alg ilos rectos; e PCc iph parallela. Positis, re.
cta CD = a CF = e
AC
y. Ti C CdPBarderdis seementum
quatuor pranto inter etan C,
2C X y

## Folio 387 — 851708439:0411
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000411.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
Cap. LIC
= + 26 1Y-
20
56 a
L G F B R A.
6
60
i
5a
160C9
3663 a a
5C~
76a
ec.
Eri mimerales Coefticientes terminorum in suprema linea (2, - =, - 10,
576, ec. in insinitum,) oriuntur a continua mulciplicatione primi 2, Dex termi
nostrujus progrectionis,
= THZ EX3 345 5X7 7 Y 9
2X 34 X 5 6X7 BKG FOXFF
_c
Pc numerales Coefficientes descendentium terminorum in quaque columna, in infi
nicum; oriuncur d continua mulciplicatione supremi; nimirum,
In prima columna, per candem progresionem.
XF 3X3 5X5 7X7
In Secuncam per hanei 2 n 3 4 n 5 6x 7, 829 dc.
XF 5X3 7X5. 0XZ
In terria, pex HanC, 2 X 3 4 X 5 6X 7 8Xg .
XF, ZX3 9X5 TTX7
In quarta, per haner 2 x 3 4 X5 6Z7 8XO
XF OKZ TEX5 Y3X7
In quinca, per hanen 2 x 3 4x 5 6n 7 8X9
Et sic porro in infinitum.
_c.
dec.
simili modo, postunt mulcorum aliorum Solidorum Segmenta detienari; eorum.
que ralores exprimi per hujusmodi series numerales, regulari ordine procedentes
In Problematis perplexioribus, in quibus haberi non poterunt hujusmodi se.
ries, sive per Diritionem, sire per P. xeractionem radicum A quarionum simplicium
aut aftectarum: alciores achue methodi procectuum actribenda Tunt. Ouales ha-
bere se duas ait: alteram Fxpediriorem, alieram magis Creneralem.
Sed e alias item methodos innuit obrinendi series Conrergentes; quarum de
nonnullas exhibet: Sed quasego, ne prolixior sim, omitto.
Per has methodos; Duando Problema reductum fuerit ad hujusmodi Seriem,
infinite continuandam; muliae approximationes, ului commoda, tacile obtineantur,
ec labore non magno, dua alias agre obcineantur, magno cemporis de laboris impendio.
Hlujus Specimen exhiber in exemplo subjecto, pro Circuli Ouadratura; cum illo
Clarist. Christiani FLugenii, super idem subjectum, comparando.
Exemplum Z. Data cujusvis Arcus chorda A, areusque dimidii chorda B; Lnve-
nire arous loneitudinem, proxime. Ponatur arcuS = Z; et circuli racius = r: tM
(per ea quae lupra ostenla lunc) habemuo ( duplum linum aecub 3. 2)
dc
_C.
FCB =
4X6rr 4X4 X T2O74
2 X16XOY anotLa
Pum

## Folio 388 — 851708439:0412
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000412.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
rum mulciplica B in n (numerum Sicticium,) et ex Producto deme A: et Relidui
secundum terminum
est
2XT6X6TY
de prodibit n =. 8, ec 8B = A = 3
A
B R
ap. XCV.
4X6r p AO eranescat) Ponc = 0. Vn.
: HOc CA 3
64. X F2O pe
= a 2  3 -
Xime. Ouippe Error ( in excestu) non
680  = _c. Fs..
Fxemplum XI. Ttem, In areus BB
Sinu verso A D indefinite producto, in-
venire punctum  unde ductae rectae
EB, CB, abscindant (in Taneente)
Le R.C, arcui aequalem proxime. Flto
Circuli centrum C; Diameter AR = a;
2d Sa 1042
+. 343
c.
5 a 3 L 8c
643 40a3 2Y2 43
Et AE = DB. AD:: AF. AC. Adeoque AC,
=3a - 2 _ -
12HE + ec
POnamuS erBO AC = 3 a = = N.
=a 27 PrO.
que idem cum illo LSusenii TheOre.
mate.
ee sinus versus AD = v. Tum CA DB (=V: d ∞ - X N:)
= a + ~ 2
Et AE (= AB)
Exirque icerum, DC (= 3 a - 54). DB:: D A. AF - DB.
EFBO AF -DB -- 2 ~ 2  ∞Z p 23X3 + ec
34= 543 30042
Adete DB; cricque AF. = a = _ 3 +  2 p. 343.
6d = 40 a3 220043
26 X 2 + Rc.
Deme hoc ex valore AF. prius invento; Residuus est errOr
525 d3
ErsO; ip A C, Tumptis AE = = DA; _ RC = HC: Rect EBF GbC ab
Scindent F C proxime aequalem arcui B A B. GLIDDC CrTOT non major CsL quam
26~
25 d V a v = _c. Oui mulco minor elt quam LLusenii.
Sin ponamus 7 A K. 3AH:: DH. n. alque tum SuMAtIE KC = CF - n,
error erit multo adtue minor.
Ouo itaque Mechanice designemus segmentum circuli B A b: Reducatur primo
Area, in seriem intinicam. Puca, qualis hraec est,
BBA = 3 4 3 ∞3 - 2 _ 3 ∞3
XZ = _c.
5 d = T443 3643
arque tum exquiratur aliqua Mechanica constructio, qua quam proxime exprima.
cur: Puta, qualis haec ct.
Ducatur A B recta: Fritque sexmentum B AB = 3 A B F BD, in Z AD, proxi.
me: Ouippe errOr non major erit quam  V a s = ec. in detectu.
Vet adhuc proxius. Bilecta AD in F; ducatur recta BF: exiique
4BF

## Folio 389 — 851708439:0413
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000413.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
Cap. XCV.
4.BF - F A B
A L G F B R A.
LX4. AD: FrrOre non majore existence quam  V a N, sC
560 aa
Oui semper minor erit quam r_ totius segmenti, etiamli Sesmentum illud Foret
Semicirculus.
Similicer, in Flipse vel Hyperbola B AB; cujus Vertex A, e illetvis axium
AK, et FacuS rectum AP: Sumatur prO F IIpH, PC = = AD J FDAR ZLAF
Sed, Dro Hyperbola, PC = = AP f 2DAK. f 2F AP p A P. Lcctase  BB
FOAK
abscindet Fansencem AF, proxime aequalem arcui Elliprico, vel Hyperbolico
AB; modo non Tu arcus valde magnus.
Tiem, pro Area segmenci Fyperbolici BD A.
TnDP, Sumatur DNT = 3ADC
+ AK
Frectisque in
D _M perpendicularibus, DB, NN, secanti
bus in B_ N Semicirculum diaetro AP de
seriprum. Sic exic F. A N F A B
Proxime. Vel actrue propius; Si sumatur DM =
SAD9
A F; acquerum 2FAN + 4 AB ,4AD = BBA,
DrOXIe.
Sine adhiic (in eisdem Schedis) multa alia contimilis natuTX. Ttem (aBuId
extCTOS) Libnitius _ Chirnhausius nonnihil hujusmodi praesticerune; (qui de
hac re scriplerant, uei audio, ad D. Oldenburcium Liceras aliquas, sed quas ego
non vidius) ec (apud nos) facobus Gresorius, et Nicolaus Mercator. Sed quae
Tune (ut plurimum) nonnisi Casus aliquot particulares, intra ambicum genera-
lium Regularum Veretom.
Fale est illud Zibninii, edicum in Actis Fruditorum Zipsiensium pro mense
Febraario, 2682. Obi ostenditur (inter alia) Quadratum Diametri ette ad A.
ream Ciireuli,
DC x ad F - 3 f 3 - 3 + 3 = et f 15- 5 + ri = is ec. in infinitum.
Oux quidem est Conversens Series (sed tarde conrersens) quae tandem perdu-
cet ad Difterentiam data minorem.
Veretonus (in dicta E pistola Oetob. 24. +676.) tantundem extibet in simili
ferie. sed cum aliis signis. Ouippe in Leibniti serie Tigna L = alternantuF
cingulis locis, sed in Vereroni serie in binis quibusque. Sic Scilicet: POnatuE
Chorda Arcus quactrantalis in Circulo = Z, adeoque Circuli diameter = Y2. LOn.
vicudo quactrancalis arcus exit,
= 5 + 5 = 5 - 3 + 5 f  = 1n = 1 + ec.
Arcusque dimidii = = f 15 - 53 + ias _c.
Oux non minus simplices sune quam illa Leibnitii, _ magis COnrerBUnI.
An aucem harum omnium ulla porior sic pro Ouactratura Cliculi Approximatio,
quam ea quam eso primus extribui, Lectoris elto judicium. Nempe; ut r ad
3Z3Y5YSY7XZXOX OXTEXLTXL3X23
2 X 4. X 4. X6XBXBXBX IOX IOX T2. X I2 X T4.
EC
HIoc Cl, 2d F X 8 X 32 X ad X 3b X Yio X 76B _C.
Seu 1 + 3A f= B F ao C F os D. = iio L + 1oo F _C.
Dum haec sub prelo crant (in Fdirione Anglicana) prodiit eodem anno 1684,
Fdinburei; Fractatus consimilis naturae, Davidis Gresorii (qui et Facobi Cre-
eorii NePOS ex Fratre; et Macheleos tunc Protestor Kainburei; nunc Collesa
meus meritistimus Oronia, Protestor ACtronomix;) cui Piculus Pvereitatio nova
de Dimensione Ficurarum. Vbi plura suppecune fexempla hujusmodi procestium.
E90 aurem hic Specimina tancum exhibui iltius Doctrinae, quam speraverim Nere.
CC3
tonum
TO AK
AP.

## Folio 390 — 851708439:0414
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000414.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
AI C F B R A.
l.ap. ACa
conum iptum aliquando futius craditurum. EF quidem audio illum hujusmodi
aliquid ereto paracum habuisse, AnO 267E: sed quod (intorcunio quodam)
Hammis periit.
Neque est, cur nos male habeat, si nonnunquam (in extrahendis Radicibus
Aftectarum Aiguationum, aliisque casibus perplexis) membra Seriei non obser
ventur ita resulari ordine procedere, ue in aliis (eis praesertim quae Diritione ori
untur:) Ouoniam (uc supra notatum est) ea concinnitas (figurarum carundem
ordine redeuneium) non expectanda est in Surdarum Radicum extractione, qua
conspicitur in Fractionibus rulsaribus ad Decimales reducendis. Onippe Radi
cum Excractio (sire Simplicium sire Affectarum Aequationum) est Operatio ma-
8is incricata quam Dirilio.
Atque haec tunt quae, ex memoratis Nereroni liceris excerpra, interveram in
Editione Anolicana 2685. Omissis muleis aliis inihi nocatm dipnis: F0 quod lpe-
raverim Claristimum Virum roluisse cum illa cum alia qua apud iplum premit
cdidise.
Cum vero illud nondum secerie; libet corum nonnulla hic attingere, ne Be.
FeANE.
Clarissimus Neresonus in Fpiltola sua ad D. Olderbureium OEt. 24. 1676. data,
Teribit se tunc comporem Fuisle methodi cujusdam qua Stusius Currarum cansen-
tes ducit, sed qua Slutiana generalior  u u enim non haereri ac aqua-
tiones radicalibus unam vel urramque indetinitam quancitarem (Ordinatam scili.
cet e AbScissam) involvencibus uccuss alteclas; sed absque aliqua calium ae
quationum reductione (qua opus plerumque redderet immentum) tangentem con-
festim duei. Nec in tancentibus tantum d maximis minimisque determinandis,
Sed eciam in quadratura curvarum ee quaectionibus quibusdam aliis hanc metho.
dum locum habere. Nam e ejus beneticio se generalia quaedam de Ouadratura
Currarum Theoremata inrenisse; quorum Primum est hujusmodi.
Ad Curram aliquam quadrandam sic 2 abseilta currae, et d2 X C = f 2) or.
dinatim apxplicata termino absciltae normalirer insistens. Ubi litera d, e, f deno.
tanc quastiber quancitates datas, es B, n n indices seu exponentes dignitacum quibus
actixae sunc, nempe B een indices dignitatum iplius 2 et n indicem dignitatis bino-
mii e + f3 PaC = r
area Currae exit
+ r = 5. = 2c + 53
=8. p 1 = n = 4. F. L
Obi Q ducitur in seriem cocam subleguentem; et A, B, C, D, _c. denotanc cermi-
nos seriei proxime anrecedtenres, nempe A cerminum primum ?, B cerminum se
cundum  n  , e sie deinceps. Haec series ubi r fractio eltys vel numerus
negacirus, continuatur in infinicum: ubi veror inrecer cst de altirmatirus, con-
tinciatur ad tOF terminos tantum quot sunt unitates in eodem r, et lic exhribet
deometricam quadraturam Currr
Ouadrandi Curras per hanc seriem exempla quatuor subjunsic (quae brevitacis
Eratia praetermicto,) e incer ea duos este calus in omni curra rencandos dieit. Nam
Ordinatam d 2 X C. L f 2) reduei poste ad havic Formam d 2 F
Xf + C2
et in hoc catu f scribendum esse in Serie vel FHeOremate PTO C, e C PrOf, e - n
PrOn, _ D- pna prO B. EC Si feries in neutro casu abrumpatus es tnica cractat,
concludit Curram ex carum numero este gux non poltum seometrice quadrart.
Flanc

## Folio 391 — 851708439:0415
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000415.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
C
L. G F B R 1.
Fanc enim regulam, quantum animadrerrii, exhibere in aequationibus finicis areas
omnium geometricam quadraturam admietentium curvatemm Guat OTCMTaLHI
auplicatx constant ex poreltaribus, radicibus rel quibuslibet dignicatibus binomii
cujuscunque. Et quando hujulmodi Curra non porest geometrice quadraris esse
ad manus alia Theoremata pro comparatione ejus cum Conieis Sectionibus vet
alcem cum aliis tiguris simplicistimis, quibuscum porest; comparari: Ad quod
rusticere etiam hoc iplum jam deseripium Theorema Si debite ConCinHetUE,
AnnIS aliquoc post scriptam hanc E pistolam claplIS. D. David Crecorius M. V.
tunc Macheleos. Protellot Cunoceensis, nunc Collesa meus dignistuus, Lven
GIaIGLaM TETMIIIIS CoPTCKIOId involucam; eamque D. Archibaldus Luu-
nius, diebus cribus chellet res Guactlor antequam Veresonianam viderant, II I-
cem cdidic. Nam D. Sossannes Ctas, qui in Academia Cantabrisienst Cum D.
V
alias concinnalle. sanque iIn Lateris ad inC datIS AUB. 27, C SepI. 17. 1692.
seribit progrestiones esse horum Theorematum in intinium pergentes; qua ca-
men omnia  suscudu Leorematis generalioribus comprehiendi postunt.
hujusque c f f2 +82 = Fh23 f aec. vel pro eorum quoclibet, scribantur
 et R relpectire; nempe  pro primis ee R pro secundis: Tic autem Ordi-
nacim axplicata 2 Fx OR 2, _ BOnatuF = = r, r + a- s, s f n = 1, 5 + A = v ec.
erit area CurVa
per aliam methodum (uti audio) seriem ejusdem generis cum hacce Veretoniana,
Neretono conrecacus tuctaus c setLCM Ceo LBL Vuictat, Poltulabat à LVeretono per
Epistolam, ut is exemplar seriei suxe ad iplum cunc P. alnbursi commorancem multe.
Fatie seriem. D. Veretonus Theorema primum vocat. Dieir enim sC pro Cur-
rec, ut cum Grecoriana conterri pollet.
ris quarum Ordinatae ex Prinomiis conslantur, et pro aliis perplexioribus, regulas
Si Currae abscissa (ic 2 ec pro terminis hujus seriei a f B2 fC22  a23 f _.
Ubi A B, C, dc. denocant coesticientes datas terminorum seriei cum sienis suis,
nempe A primi cermini coetticientem =, B sccundi cocticie
Sc deinceps.
Oua methodo in hujusmodi series incidit, minime explieuit. Fandem tamen
liceris quibusdam celarit, quae recto ordine disposirae conticiune hanc sencenciam,
Data aequatione Auentes quotcunque quantitates involvente, puxiones invenire: 
vice versa. Per suentes quantitates intellisit indeterminatas, id cst quae in Bene-
ratione Currarum per motum localem perpetuo ausentur vel diminuuntur, et
per earum puxionem incellisic celeritarem incrementi vel decrementi. Nam quam-
vis puentes quantitates d carum staviones prima tronte conceptu disticiles vi-
deantur, (solent enim nora ditticilius concipi,) carundem tamen nocionem eito
Faciliorem craturam pucat, quam sic nocio momentorum aut parrium minimarum
vel disserentiarum insinite parvarum; proprerea quod tigurarum ee quancitacum
generatio per motum continuum magis naturalis est e Facilius concipitur, et Sche.
mata in hac methodo solent esse simpliciora, quam in illa partium. Attamen non
neslisit Theoriam talium partium, led ea etiam ucitur quoties ipsa vel opus bre.
rius reddit ec magis perspieuum, rel ad rimandas Auxionum proporciones con-
ducit. Abscilsam Cuere aliamre aliquam quancitarem Auentem, unitormiter au-
peri supponii ec pro ejus Huxione unitatem ponic; pro reliquis autem quantita.
tibus
e

## Folio 392 — 851708439:0416
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000416.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
A E G F B R A.
Cap. XC. V
cibus Auentibus iplas ponit quancitates punctis nocatas in hunc modum. Sint
V, X, Y, 2 Auentes quantitates, _ earum Auxiones his notis 2, N, 7, 2, designa-
buncur respectire. Ec quoniam lx Auxiones sunc eciam indeterminacx quanti
tates, et perpetua mutatione redduntur majores vel minores, considerat relocitates
quibus augentur rel diminuuntur tanquam carum Auxiones, es punctis binis no-
tat in hunc modum i, i, j _ _ perpetuum incrementum vel decreMenEuM
harum Auxionum considerat ut iptarum Auxiones, ec punctis rernis _C nOtat
V, X, Y, 2, de harum Duxiones punctis quaternis sic v, N, y, 2. Oua ratione o
est Auxio quanticatis v, e i Duxio iptius v, de i Auxio ipsius v. Ft si quantita-
tes Auentes vet tractae tunc vel turcae, Auxiones carum siC nOtaI. OUaHEITatuI
 Vaa nu, Auxiones sunc: e Vaci xu, ee tarum Auxiones sune
: et Vaa x et lic pOrrO. His autem expolicis mechodum Tuam in PrO.
Doticione hacce problematiea tundat.
P R O B. I.
Daca aquatione, suenies quoicunque quanticates involvente, invenire puixiones.
SOLV FFO
Mulcixlicetur qualibet aequationis terminus separacim per indices singulos dieni-
tatum, quantitatum omnium Auentium, qua in termino illo continentur; de in
lingulis mulciplicationibus mucetur lacus unum disnitatis in ejus Auxionem; et
aggrepacum productorum omnium sub propriis signIS COMPONEt. aequationem nO.
ram, qua relationem Auxionum inrolret.
E X PL IC A F1D.
Sinta, B, C, a Rc. quancicates determinatae d immutabiles; _ proponatur X-
quatio quaeris quantirates Aventes 2 y, N, _c. inrolvens, puta N = x p y - ( a a Z
b. =0. Mulciplicentur cermini primo per indices dignitatum iplius x in iplis
concentarum respectire; et in qualiber mulciplicatione pro uno latere dignitatis
(hoc est pro n unius dimentionis,) scribatur a ee summa productorum exit
3 X x =  y Y. Idem Fac in y e producetur =2. N y y. Iden fiac in Z, ee produce.
cur = a a 2. Summa productorum omnium aguetur nihilo; et habebicus aequatio
3 i  = ary - 2~gy + aa 2 = 0. Dico quod haec erie aequavio relationem
Auxionum inrolrens.
St MO_S L_ A L Ld.
Sit enim S GuaEas SuInite parra, Ce LInE OZ, 0y, Ox Synchrona momenta lei
incrementa momentanea quantitatum Auentium Z, y e _: e hae quancitares proxi-
mo temporis momento Dex accestum incrementorum momentaneorum cracent
2 F 02, y F oy, N =Ox: quxe in aequatione prima PrO B,Y _  lexiprae, dant
hanc aequationem dd = 3 d X O v F 3~ 00 X x = 3 ~ 0 = b y y = xOyy - 2Xoyy
abbsbdtad 17+a2t+4tdtb  o. Subaue d
GlaliBnEM

## Folio 393 — 851708439:0417
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000417.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
Cap. XC.Y.
A L C E B R A.
quationem primam, ee residuum divisum per D erit 3 N N = 3~ N 0 N F ∞3 00 = vyy
-2ryy = 2rory + voyy + i ojy + n a 2 = 0. Ferminos mulciplicaios
Per oranquam intinice parvos dele, et manebie sequatio 3 i  = W yy - 2 X y Y
= a42 = 0. D. F. D.
si
Simili mechodo aequatio vd = X y y F a a V a X - yy - b = 0. Pradit 3 X 2X
vyy = 2 ~ Vy + aa V a x yy = 0. Obi siAuxionem V a x = y y eliminare
velis, Done V aX =y y = 2, et per consequens à N -y y = 2, e Propolicio dahie
a - 277 = 222, id est 2 v - 279 = 2 seu 
2V a X -
Ex inde aequacio primo invenca Fit 3, ~e V = v y 7 = 2 a
Et eadem methodo pergere licet ad Auxiones secundas ac cerrias. Ponatur d ejua
iio 273 - 2 f ad = 0, e Propolirio inde dabit 2y3 f 32y7 - 422 =0,
EE haec aequatio per operationem repeticam eradet 2 7 f 62yy = 32y y +
62p12 - 4∞2 = +2 ∞ ∞ = 0,  Sic deinceps.
Ec applicetur haec mechodus ad quadtraturam Currarum, D. NVervtonus pro Auxio.
ne ableilsae unitormi polica, unicaiem altumit; et ordinacam ponit pro Auxione
pram detinit; e inde colligendo earum Auxiones obtinet aquac
guamris altum.
relatio inter abseistam ec ordinaram detinitur; de tum demum ad quacrandas Cur.
ras esticit ut haec aequatio Formam quamris desideratam acquirat. Pt hac metho.
do dicit se compuro breriltimo et Facillimo Pheoremata sinpra polita invenisse. Sed
et cadem mechodo comparat direrlas curras incer se, ponendo scilicet carum ox.
dinatas fuxionibus abscillarum reciproce proportionales.
Sub finem Epistola anni 1676 leribit etiam Problema decerminandi Curras per
conditiones tansentium, (quod Feibnitius, inversum de tansentibus Problea
axpellat) in sua pocestare este, ina cum aliis difticilioribus; ad quae solvenda se
psum este dicit duplici mechodo, una concinniore, altera generaliore; de ucramque
liceris transpolitis celat: qux in ordinem redacta hanc sententiam extribent. Ona
mostedus consistit in F xractione stuentis quantitatis ex aequatione simul involvente
paxionem ejus. Alera tantum in assumptione seriei pro quantilate qualibet in
coenita ex qua caetera commode derivari possunt, Et in collatione terminorum pe-
molororum aequationis resultantis ad ervendos terminos assumpta Seriei. Platum
mechodorum Secunda ex verbis jam recicaris ab sque ulteriore explicatione inccllis
pocelt; priorem ab Auchore jam accexi ue sequitur.
Hm methodus, ait ejusdem est generis cum ea pro extrahendo radices ex aqua
ripnibus aftectis superiis deseripta. Ponc quod Problema relolrendum reducatur
ad aequacionem Ruentes quanticaces, de 2 una cum earum Duxionibus i ee x invol.
vencem, et quod Duxio iptius z unitormis lic. Oc haec Auxio ex aeguatione exa.
DesCqF pro ea Donatur unicas, d manebit aequatio (olas y 2 de y involrens, quam
Resolvendam vocat. Proponitur, invencio ipsius r in Serie intinita convetgence, qu’ad
solam Z involvet. Hoc in aliquibus aequationibus impossibile est, in aliis prapara
tionem aequationum requirit, ubi rero directe contici possit resolucio est hujusmodi.
P R OB. II
Fa aequatione fuxionem radieis invelvente radicem extrahere.
RB

## Folio 394 — 851708439:0418
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000418.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
l L G E B K
1D. X
RE SOL V FFO.
Fermini omnes, ex eodem aequationis latere consistentes, aequentur nihilo, et ipsa-
rum y ec y diguicates (s opus sic) exalcentur rel deprimantur, sic ur carum indi-
ceo nec alicubi negaciri sine, nec tamen altiores quam ad hunc effectum requiri.
tur; _ SIE L ~ terminus intimae dignicaris corum qui neque Der y neque Per ejus
Auxionem ; neque per earum dignicacem quamvis mulciplicantur. Sic L 2 qe y ter.
minus alius quilibet, ee omnes ordine terminos percurrendo collige ex lingulis seor-
sin numerum . l te sic, utcoc habeas ejulmodi numeros quor sunc cermini.
Florum numerorum maximus rocetuer, ec ~ eric dignitas primi termini SerieiPro
ejus coetticiente ponatur a, ee in xquatione quae resolvenda dicitur sexibe a s prOy, et
va Z = = prOy; ac termini omnes resultantes in quibus 2 ejuldem est dignieatis
ac in cermino k2, sub propriis signis collecti, ponantur aequales nihilo. Nam haec
aquatio debire redicta dabic coetticientem a. Sic habes a ~ cerminum primum Sc.
riei.
OPER A F IO S F CV N D A.
ero reliquis omnibus hiujus seriei cerminis nondum invenris pone p, et habe.
bis Aquationem y = a _ + p, e inde eriam per Prob. L. A quationem y = va 2 - 
LP. In resolrenda, proy de y seribe hos eorum ralores et habebis Resolvendam
noram, ubi posticium praeltat ipsiusr: et ex hac Resolrenda primum exerates
cerminum Seriei peodem modo aique terminum primum seriei cociusy = a ~ = P
ex Relolrenda prima excraxisti.
OPFRATIO TERETA ET SEQDENTES.
Dein tertiam Relolvendam eadem ratione invenias acque secundam invenisti, de
ex ea terminum tertium Seriei corins extrahes. Ex similiter Resolvendam guartam
invenies, ee ex ea quartum Seriei terminum, et hic in intinitum. Series aurem AC
invena erit radix Aiquationis quam exiratiere oporcuit.
E. Z E M P L V M
Ex Aquatione g2 2 = 2 y - d d 2 2. + d 2 V =0, excrahenda sic radix y.
Ponc B = L, e Aquatio cradet ge - 2 y - d d f 22 = 0, quae est Resolvenda.
sam vero cerminus intimus in quo nec y neque y reperitur, ett a d, qui iphi k2
aquatus dac a = 0. Ferminis relignis p, = 22 y pone J2HaB qualem successi-
re de inde in primo calu habebis p. = 0, a. = 2, B = 0, et in iccundo v. = 2.
a =0 _B = F. Ec hinc =  F  EC in primo casu o, in secundo = +. Unde
a.f
vell o, et a3 der a = LTunc a A O; quarum ultine dua a e 0 in Retolrenda
PEOy D i scripie, produenne aa. f. 0 ~ = dd. L d2; de cermini a a de - dd in
quibus index dignicatis & Mt a seu 0, posici aquales nihilo danc a = d. Unde pri
mis Seriei terminus a 2 cradic d.
OPERATTO SECONDA.
Proterminisreliquis pone p, et habebis aequationem y = d. + p, et inde (per
Prob.

## Folio 395 — 851708439:0419
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000419.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
Cap. XCV.
A L G F B R A.
Prob. L. Jy = p; qui valores in Resolvenda proy de y substicuri dane Retolven.
dam novam 3. a p. + pp = 3 2 B + a 2 = 0 uibi p et p rices Tubeune iplarum y ec y.
Terminus unicus in quo nec p neque p reperitur est d 2, qui cum cermino L ~, colla-
tS dac a. = r. Ferminis reliquis 2 d p, p p ec - 2 Z p Done I ZV pe p aequalem
succestire; et inde in primo casu habebis N =0, a = L eB =0; in lccundo
p. = 0, a = 2, _B = 0; _ in certio p. = 2, 4. = 0, _ B = +. Ft hinc 2 = 1 + C
c. + e
eradit in primo catu r, in lecundo :, in cerrio o. Unde r est F, _ a 2 ev a = = F
sune a Z ee a. Fermini duo ultimi a Z de a in Retolvenda pro p e p respectire
seripei, produeunt 2. d a Z + a 23 = a23 + d L. Ec termini 2 d a Z ec d 2 in qui-
busindex dignicaris Z est n seu x, polici aequales nihilo, dant a = - 3. Onde
a 2 cerminus primus Sexiei p fic - 5 2.
OPERATIO PERTIA
Prorerminis reliquis nondum inventis pone q ee habebis aequationem p = - 32 +9,
e inde (per Prob. F.) p = = = F q: qui valores pro p et p inRelolvenda novissi-
ma substicuri producune Resolvendam novam 2dg - 29 + 99 322 - 22g = 0.
Obi qeeq vices supplent iptorum y ec y. Ferminus unieus in quo neque gnec q
reperitur est 3Z2, qui cu kZ collacus dat a = 2. Terminis reliquis 2dg, - 29.
Fg9 - Z 2 gpone 12V g q aqualem succeltire; dt inde in primo cati tabe
bis p =0, a = 2, _B = O: in secundo, H = L, a = F, B = O; In CexTIO, ( = 9
a = 2, B = 0; in quario 1. = 2, a = 0, B = +: et inde
=p +
a. + 
B eradic in primo
casu 2, in secundo tertio _E quarIO F. Echiner est 2, vel a 2 _ v a Z = F sunt
a2 _ 2 a Z: qui valores in Resolvenda pro q de q substicur danc 2 d a 22 = a2
F aa 22 +32 Z = 2 a2; ee termini 2 d a 2 2 f Z Z 2) in quibus index dignitatis Z
esta seu 2, posici aequales nihilo; dane a = = 3. Unde a 2 rerminus primus
Scriei q eradie-
OPERATIO OVARFA
ve
Pro religuis Seriei terminis nondum inventis poner, de habebois aequationes
F 2r
8 Lr, 8g = - =, + r; e inde Retolrendam noram 2. ar Y 8
22 322Y + rr = 2 ZI = 0; e ex ea per Mechodum superiorem
64. d d
3
habebis - 2 = cerminum prinuina Serieii r. l Er sie pergitur in infinicum. C
T6a
Est ixicur radix extratenda y = d L p = a L 3 2 + g = d - : 2 -3
= a - 3 2 -3
923
8d 16da
2
8 d
+r
=etc. Ec operationem concinvando procucere li
cet radicem ad cerminos plures. L s los is uinslestes
Ddd 2

## Folio 396 — 851708439:0420
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000420.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
 E G F B R A.
Cap. XC. V
Ex eadem mechodo, dieir Nereronus, radices aequationum, Auxiones secundas
cextiaS, quartas, (Y, V, V) alia sque involventium, extrahi posse.
Elis uritur radicum excractionibus ubi aliae Mechodi nil prosunt. Nam in Fxi-
Ctola praedicta anni r676 docet, quod in Solutione problematum de tansentibus in-
vertorum, catus aligui dantur in quibus haec Mechodus generalis non requiritur:
e particulariter si in criangulo rectanonto quod ab ordinata, tangente, de interja-
cenre parre abseissae, constimitur, relatio duorum quorumlibet c lateribus tribus
per aequationem quamris detiniatur; Problema absque Wechodo hacce generali (ol.
ri polerit.
Methodi aurem hx omnes tam particulares quam generalis collectim Cumpta,
Tolucionem exhihent Sccundae parcis problematis, quod Veretonus sub inicio istius
Existola his verbis provotuit. Data aequatione quotcunque puentes quantitates
involvente puxiones invenire; e vice versa. Nam cora Puxionum Nechodus in hu-
jus directa et inversa solutione consistic. Fuic Methodo attinis est cum Methodus
ditterentialis Leibnisii, cum ueraque antiquior illa quam DJS. Barrore in Lectioni.
bus Cieometricis expoluit. Onod agnitum est in Actis Leipsicis (AnnO 169T
mense Tan.) d quodam qui mechodum adhibet Leibnitii Timilem. Ouodque ab his
duobus est superaddicum, est tormularum Analyseos brevium et commodarum
aclapcario illius Pheoriis. Pc quidem superstruuncur omnes Arithmetica Infinitorum.
Merbodus D. Tosephri Raphson.
Fxhodum aliam Veroronianae non absimilem, extibet D. Tosephus Raphson
in libro tuo nuper edito, Lonaini, Anno 2690. Cui TuuluS, Nalysis
Sequationum Onversalis; seu ad Sequationes Agebraicas resolvendas
Methodus Generalis es Papedita: ex nova Infinitarum Serierum doctrina dedu
Ta  Demonstrata. Cusio specimen milui suis rerbis nuper extibicum, libet trie
In squacione quavis exlibica; exempli eracia, in sepere Biquadralico,
at F d a -  la = ba = p
Tubjumgerem
ee dividatur ignota quantitas a In duas partes; puta 8 = _ = c
L Exinde componac Lheorema crenerale Precaum,
a88e  3d8 eb  3de N N + d X N N
CX X
Ouo facto, rejiciantur Potestates omnes secundi membri a tam purx quam
ec coelticientibus complicatae, excepra (cum tuis coeHicienchus) prima; unde pIO.
reniet Aquacio liniplex, quam roco Convereencem;
558 =4888~ = 688 N X = 48 N N
2
3.
N
68C
=4888 N
3488 _
Qua olua a Pheorema hujulce methodi undamene
d
45 13085 26840
dalt.
quod etiam Convereens. Voco.
Elis ica peractis: ad Resolucionem Numerolam hoc modo derenitur. Sic A qua.
rio praecedens in Numeris,
aaaa

## Folio 397 — 851708439:0421
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000421.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 104 lines, status machine
A L. G F. B R A.
= ∞ a a a - = 56a a a = 2680a a + 20+60a == 40320.
 (Oux, potico Circuli Racio = 2, Arcum Ouacrantalem exhibet.)
a Imprimis eruacur Latus primum Cinsulare, methodo rel Lietaea rel quaris alia:
c (ut eriam 2d sibicum sumatuE, mox corrigendum.) Sit 2 = e.
Oxeratione secundum Canonem peracta, emerBent
pro Dividendo, 6288. 0 (0. 4 = x prima.
Dro Divisore, 14080.
a Oux quidem x, Addacur rel Subducatur (prour exigit signum f ret -)
Cpriori numero 2, tietque 2. 4 = g nOVX.
cc
a Cum qua eadem repetatur operatio; provenientque
pro Dividendo, 23008.0000 (.067= N Secunda.
Pro Divisore, 87T. 8336
as Indeque 2. 467 = 8 certix. Lc, reiterato procestu,
Pro Dividendo, 72833. 3.... . . (. 0004788 = N tertia.
DrO Divisore, 6. 14463T787921
a Indeque 2. 4674788 =g quarrae, seu (si ulcerius procedere non libet) = a.
a (Cujus radix quadratica F. 57OB2F, RquatUIE APCUI.)
a Tnhacmechodo; altumpro quocunque numero = e primae, seu primo lateri
ae singulari, ad reram tandem radicem converser, (sed eo celerius, quo lumitur vero
ae provior;) quod in libro meo demonstratum est.
a Subjunguncue item Canones Directorii, Theorematis conficiendis inservientes,
a (expeditioris praxeos gratia,) in quoque Aquationum genere. In quibus, C0.
ajumna vrior, Fheorematis Dividendum continet; Polterior Divisorem. Sed DI
cc videndo addendus est Numerus absolurus, ee mutanda tune signa (propter
ae pranspositionem) Sequencium membrorum Diridendi, (Sed non item Diriloris)
c in concraria eorum quae sunt in squarione.
Si termini aliqui in Aiquatione desunt; correspondences termini in Canone omit.
a pendi exune, (uipote qui nihilo aequantur.)
a Si vel in Dividendo vel Diritore, partes Negatira A Ctirmacivis praevaleant
a poltunt (sed id necesse non est) mutari ligna omnia cum Dividendi cum Divi
a Foris, quo praeraleant aftirmatirx.
cc Subjecti Canones, hi Cunt.
Pro Oundraricis. Pro Cubicis.
188 2685.4.
e2o Biquadracieis.
8855 1965)
050 550
Cap. XCV.
58 35,5 1.
85886650000
188888568888
ProPoreHaLC SexCL.
e
 d
Pro pocaltale seprima.
88888857888888
390000665000
18585 1555
4885
98
(88358
a383e
BEe
PTO POTEHAEE HOn2.
588888838 958356688
88888888808888888
70838888
5888888
4888888
50500
adc
588
503858
Pro porestare Duinca.
30588 58888)
558
68
a
68e88
1565
Proporestare Octava.
4 600
3588
885000000550005)
68888888 7b888888
(888888 6088585
498883
8888
1588
t83
ProPorectare Decima.
5885888005 10888888888
b888885588
558588888
8858588
888588
8888
888
88
MSE
9b88888883
86883883
6488855
5. +58583X.
+.B888
il
2BC
14885565
67358853
565888
+L888
38

## Folio 398 — 851708439:0422
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000422.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
L C
 E. B R
idt . LLC.V
que de DD. Deviono e Raphiono hactenus.
hie ea repetere quae hac de re dudum lesipserim ad Clarissimum Virum D. FTenri
cum Older. Uu Regalis Societatis Londini Secretarium; ab ipso cdica in P bi-
losophicis Transactionibus pro Mense Martio 1672.
Abes hic (Clarissime Vir) eorum summam (Ptrictim traditam) quae Fu-
tius seripleram, meas de l’ancenttous Methodos spectantia; duas poristi.
mum quibus praesertim utor; alcetam in Speciebus, alceram in Lineis; u
Exposica Curra Aa (puta Parabola Fie. E) quam in a
tansat a F, Mlametro V D A occurrens in F; ordinacim
eplicentur a V, e DO P currae in O ee tangenti in I
DeCurrenS. P’onatur aurem V a =B
Y A = v, V L =
=an adCOqueD A = - V = a, DF
s
propler similia crians ula) V F. D L:: Y a. D T.
liem, si rangens sit ulira curram, D P = DO; si ci
Era DT = DO: Nempe, DT =DO S intelliratIIE D
in V; leau li exIra V, D P vel DO major, prout tangens
est ultra citrare curram. Acque hactenus univerlaliter.
Tum, habita ipsius DO ccaione quae sit expolicae curva accommodaca;
(ruta, in Parabola, proprer AV. AD:: V ag. DOg =  V: DO- B =:
sine debica reductio, (Putau Proptes   b = BY  adleoque  L 25 a + a
f2 v =2f0 a = va 2 = f2V= f a; deleris utrinque aequalibus; hoc
ot, iis omnibus in quibus a non conspicitur; exeterisque per L a diritis:
2fV= v a
Fandem (qui mechodi nuclens est) posiro D in V, (quo sit a = 0, adcoque
craneseant iplius mulcipla omnia) aequatio extibetir  qualicam (pura 2 f v =va
2 fV = f2, adeoque 2V =
Flane (Locis citatis) accommodatam videas Parabolae, EIlips, Cireulore, Hy.
perbola Paraboloidibus omnibus, (quibus et harum Rcciprocas accenseo,) atque
alibi aliis.
Cissoidi l Fis2.) sic accommodes. F. st (per
Cap. 5. pr. 29. de Mocu) Y a = b = 5 = YvB
(Politospro tinu recto in circulo generante,
cujus ractiusr, SIUIS ver (US 2, _2r -v =1
e B- v = 2V,) adeoque (sublticuris v= a
PCo v, de B = a pCOB, d Y: vb+ 2 X a = a2:
(= D0) = (DT
bsta
27
Voh
Ergo (sumptis quadratis, de mulciplican.
do decultarim,) f2 v3 b + 6f2 v3 Ba
(2~t Ba = 4f22 Ba = V3 B = 2f v ha  vB a = 2f 2 ~ Na
+ 41
Cum vero in his (incer alia) de Tansentibus ducendis sermo tactus sie, libet
Methodi duae pro Curvarum Fangentibus.
ramque generali Forma Facile explicabilem.
Priorem adhibeo Con. Sect. prop. 23, 30, 36, 46, 43, et pastim alibi. Oux haec cst.
F
2vB a =

## Folio 399 — 851708439:0423
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000423.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
p
l L G F B R A.
X a  4f ~+ ∞ d = 2. D d 1 ) D a F2f0 = a3 - vt at: lem (deleris 
C aP. LC. V.
B = 5
ris.) FXemp Scalla,
trinque aequalibus, exterisque per =Va aIVLHS) =0] V B a =7 = ba 1 4) VB
= 4 f2 Vha 2 = 2fv = B = v B a = 2f2v3 ∞ = 4 fv3 N a f 203 X a2 =f
23a = 2fV3 a 2 = 23a3. Denique (Dolico D in V, quo eraneleat a cum luis
mulciplis, CxetCLIque DEI 2) d C) e aeseat 2) B =) d=vh, adeoque
2B - v = F + B = 3r-
V
Idem succedet, Tumpta, DrO V A, diametro Y A, (cuitangens OcCurrat in ∞)
aliare. Ttem, (I EXPOnEretUT curra qua ordinatas non habear, sed qua his requi-
Polleane; ut lute  Spat, crescentes radii.
Sed e calculi magnâ pars praeverti porelt; omistis ab initio (urpote post reji.
bus nec a conlpicuu n I a ducendi (upore aequalibus ulrinque proditu-
ciendis) terminis iis ubi hrabetur a 2 rel superior hujus porestas; iiem iis in qui-
e
E
a(3
In Conchoide, (F 5. 3.) cujus ordinata V M a constat ex sinu recto Y M = 5
=V Vb, et tangente M a = CH = - r, (GLL CD = CA = r, adeogue CL - A5.)
+
Taliem = = e (Potito CP = 5:) adeoque V a = B - 5. f = r -   = 5 = = 5. sal.
rem   E s =  s = = V vB (Potico a f 5 = n.) FrBO D F- =  B-
+ a
Yob = DO =  F  Y: vb = 2∞ a -: (omitto a2, quia post delendum, in-
F
deque oriunda, e sic semper:) e, sumpis quadrais,
52 + 25a vt
n2vb +2n2 N a F 2n v Ba = (hoc est, = supram sed = intea, punctum Rexus
F2. N a -
contrarii.) FL decultatim mulciplicando; omissis (ut praecipitur) f 2 _ 2 n2 vb
utrobique, omnibusque a= mulciplis; exeterisque per = a divilis; 2 fn = v6x 2 -2f.
= V BX = = 2 f2 n 2 ∞ 3 = 2 f2 nV B X 2: adeoque ( polico D in V,) nvBX
=fn vh + fnx2 = Fvh~ = f ur = - fvh~ C propier vB + x 2 = 52 + x=
= r2,) ef.
VB = 5
ar2 - v B 2
In Fisura Fansentium (F1 5. 4.) quae d Conchoide distert, exempro quadrance
Scltore,

## Folio 400 — 851708439:0424
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000424.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
ap.
gentore; idem exit procellus, nili quod propier Vo -M0. = = s (nOn = sy) B10.
dibit (sive in primaria, sive in prorcacta concractare,) S=
= 5
 ∞
In Fisura Secantium (F18. 5..) PFOPter
Ya = b = -; etll D
== D P. adeoques = _.
Cumque hxC Curr~ SiC FTyperbola (per
pr. 30. Cap. 5. _ pr. T. Cap. 25. de Motum)
Cujus ACympIOcE CA, C B: cadem tan
SenS habetur per pr. 36. C.on. sect. Cum
que ordinalae ad asymprotas (DeL pr. 94, 95, Arith. Infin.) Sinc series Reciprosa Pri-
manorum (gua ad Palaberbetum genus spectar, verticem habens C, exponentem
T,) habetur eadem tangens per prop. 49. Con. Sect. (cadenque est expedica
mechodus pro hyperbola cujulris tangente per alimptoram invenienda.) Ouippe
in Paraboloidibus omnibus, ut intercepta diameter V C, ad V F, Sic F ad eXpO
nencem: hoc est, in praesenti casu, uc r ad -- +; adeoque V C = V H, Scd (prO-
Peer contraria Cigna L --) ad contrarias partes.
Nocandum hic; in Parabola, Paraboloide, Fyperbola, F. IlipF, Scc. Figurare Si-
nuum (rectorum, verlorumre,) Arcuum, Fansencium, Sccantrum, ecc. aliare cu-
jus constructio eAt Similaris; protractio contractiore tisura (seu mutatio Laterie
recti, aut quod hujus instar elt,) non mutat punctum f, (eo quod Latus rectum
aequationem qua soscuem S’aeterminat non ingrediatur, utut eam ingredia
tux quae decerminat lonsitudinem Va mucerque angulos ad a e F:) Sed ubi con
structio est Dissimilaris, ut in Creloide de Conchoide (propter ordinatam illic ex
Sinu ec Arou, hic ex Sinu de Fansente, contlatam,) aliisque ictiusmodi, res secus
CA: eo quod una pars (uE Arcus in Cycloide e Pangens in Conchoide ) protra-
hitur concrahiturre, manente alcera (puta, in utrisque Sinu recto) ut in primaria
Idemque dicendum de Angulo applicationis (adV,) Cujus mueatio nOn MUtaE
longicudinem V F, Sed neque Va, quia neutrius ingredicur aequationem. Atque
rinctic, quod in tigura Scalena, qua ordinatas contrarias, utrinque ad V policas.
spectane tansentes, utut inaequales, in eodem Pconveniant. Sed et (ut hoc obiter
moneam) quacratorum asgresarum habent idem acque in crecta; nempe sempex
Estque haec mihi methodus pro Maximis e Minimis in omne genus quautica.
LibuS.
Methodus altera (secundum tradita de Aneuloe Contactus de Arichm. Tnfin. ) Cur-
vam considerat ranquam ex parrientis contlatam intinice exiguis, sed cerram posi-
tionem habentibus; candem nempe ( proprer contactus ansulum sire nullius
magnicudinis sire infinire exiguxe) cum recta ibidem cansente: adeoque cum hac
(respectu cujulris rectae) Pariter dectivem, (uc est Montis A a f8. 1, 2, dectiricas
in a eadem quae ralisenis a P.) Cujus ergo quaeque partieula (per Cap. 2. de Motu)
est in ea ratione masis lonsa (. quam est respectira exposix rectae parcicula Xeque
alta) qua estminus dectiris; puta a T quan V. D: Onde, provier mucatam in
singulis punctis decliritatem, oritur series lonsicudinum inaqualium in curra, se
riet aequalium in recta, respondens; currae ad rectam rationem extribens. Aique
hinc mechodus mea pro curvis rectiscandis, (schol. prop. 38. M. Insin. inlinuara,
quiam prosequor cractatu de Eudaiou, item de motu cap. 5. prop. 23. B Segg. Cujus
aliqua pars esthac de Pangentibus, ut quae non tocam decliriratum leriem per-
pendit, sed eam quxe est in expoluo puncto.
Flanc respectiram parricularum longimidinem, alii alias in sinuacuM CunE (MOLI
Torinsecus altumpeo) per moruum quibus transisantur isoxpover celerirarem. (Ouip
De idem est, in Mocu, Ceuccdo, alque lac, in Situ (propier polirionem obti
quat LCu MIMIS declirem) respectira Loneido.) Apcillime quidem in lineis à
motu primitus oriundis, (puta Cycloide, Conchoide, Spirali, Duacratrice, _c.) nec
inepte in aliis, quae finsi lalrem postunt iltiusmodimocibus deleribi.
eraesumo aurem (ex prop. 25. Cap. 2. de motu) eam este currx in quoris puncto
dire

## Folio 401 — 851708439:0425
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000425.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
Cap. XCV.
A L G F B R A.
direetionem, adeoque e dectiritatem, quae est rectae ibidem Cangents: Item (ex
prop. 6. cap. 20.) Motus compoliti directionem esse in Diagonio parallelopramm,
cujus latera et anguli exhibeant componentium celeritates et directiones.
Incellisatur jam (Fis. T.) A a Parabola, deleribi motu compoluo, ex aequabili se.
cundum A Z vel Va, e aequaliter accelerato secundum AV vet Le cujus itaque
particula iooXeorot (ver pY. 3. cap. X0. de Motu) Lunc series Priluanorum, quxe ad
seriem toridem ulcima aequalium, (hoc est, ad rectam ioexsoror cclericate  a ac
ouisira cranlisendam,) est ut L ad 2, (per Arith. Infin. pr. 64. vel pr. T. Cap. 5. de
Mot.) Adeoque, Tumpea VF = 2Y A, et complero FV au parallelosranimo:
juncta a f. est Pangens.
Idem similicer obtinehicur in Pacaboloidibus quibuscunque, oDC PrOP. 2, 5, 6, 2.
de NOt.
Aeque inde Facile (vel ex ildem principiis) oltendicur; si incellieatur Fix
AT. Lic consticuta, ut momenta (relpectu A H) ordinatarum YV, y co, Cint iplis
Ya yO, ordinatis proporcionalia; erunt Celeritates acquisitae in a, O, Peu V, D
polica A Y linea mocus aequabilis) rectis Lv, yc, proportionales: Et conse
quenter, uc A. Y Cillarum asgresatum) ad A F. Y (aggresatum tocidem maxi
mae aequalium,) sic V A (ageregacum celeritarum seu parricularum crescentium)
ad (asgresatum coridem maximae aequalium ) V F.
Spiratis AS a (fie. 6.) punctum a designatur
moti compolito ex recto per Aa, e circulari per
Va aequabilibus urrisque e iooxeorois. Erso, Cumpra
circuli tangente av == a V, ee completo Aav t
Parallelosrammo; juncta a F Spiralem cangCt.
Unde sacim emersit Archimedea quadratura
(sire Circuli Aire Sectoris cujulris) Proprer AF
Sin motmum alter, puta A a, Sic acceleratus ve
retardatus; pro a A, lumenda erit a B (in ea
ad illam racione quam illa poltulat acceleratio sei
retardatio,) eritque diagonium aB, Tansens qua
lita.
Ruadratricis A a B (FC. 3.) punctum a designa
tur mocu compolito ex recto per va, ee circulari
in Y a (aequabilibus et 100reoros.) Erso, Cumpea
cansente a V = aY, e complero parallelopram
mo VavF, juneta a F tanset Quadrarricem
Acque hinc alia quadratura, per Tangenten
quadratricis, propter vF = a V = a Y
IIla per quadracricis Basin, sic elicitur. Policis
CA= r AO = 9, XL - X OR- -a. KrIt (prOpter
Ouacratricis constructionem) AO. RQ:: A C.
aF = - r: : YZ. aZ = = X. EAtque a Z = a V
sumpro ubiris in A B puncto a praecerquam il
B, quo casu (eranelcente vtraque) exit a L. = a H.
adeoque X = r; hoc ct, YZ = X B = AC
Sed _v P. communis tansens
utrique CurVX ZB, AB.
Creloidis (Fic. 8.) punctum
a delcrihitur motu composito, ex
recto in a V, ee circulari in a B
(aequabitibus _ aeque velocibus.)
Erso, sumpra tansente av = a.
e completo l’avsi parallelo.
srammo, juncta a F Cycloidem
tanset. H.c quidem, propter ANS
aV (= aB1
2vaV, Occurret circuli aB crectae
diaMELTOI rertice.

## Folio 402 — 851708439:0426
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000426.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
i. LCit
L G F B L A.
In Fieura Arcuum, Sinuumve,
fis. 9.) procedendum in in Cy.
cloide, nili quod (propter exem
prum Cemicirculum genitorem) pro
tansente av illic (quae hic clt. a 7)
Tumenda erit crecta av aequealta.
Conchoidis (fie. 3.) punctum a
detignatur mocu compoliIO, ex a
quabili circulari in a B (hujulre
tangente av) ee recto in a Y ac
celerato pro incremento tangenti
um: qua quidem accelerario du
Plex el, altera propter dectivica.
ris angulum B0 Y, hoc cst, va Y,
continue crelcentem; altera prop.
cet Lact  Lccantem protractionem, continue item crescentem. Proprer prio-
rem, ducta tansente av (quae occurrat in v regulx CFI,) recta vE (parallela re-
etx PFTa,) Occurrat a Y in C: Propter Polteriorem; cadem vE prOrracta OCCUTTAL
tansenti verticis in Z: indeque Z L, rectae va X Parallela; adeoque a Y = X 7
aS:: CM. CS:: P P.. PII. Compleco denique Z avF parallelosrammo, junera a f
tanoet conchoidem.
In secundariis (ubi non est C P =C A,) Sumenda erit a V ad jam delignatam,
ut clt C P ad C A.
In Fioura Tansentium (Ag. 4.) proxter exemptum Conchoidi quadrantem
genicorem, pro tansene av illic (quae hic et a.r) sumenda erir erectâ av aeque.
alta.
Pluribus exemplis proterendis supersedeo. Moneo tamen, utramvis Mecho.
dum, utut tansentibus rectis hic accommodatam, extendi posse ad mucuum Cur-
varum ractum. Puta; ( pro F V a criangulo (fis. 4, 5,) incellisatur Hyperbola;
recta DP, quae hie insignitur charactere qui triangulo conveniat, subire cum de-
bebit characterem Fyperboles; cujus vertex P simili procectu quaratur. Simi.
lisque in polteriori methodo accommodandus est linearum duetus. Et quidem,
cum curram Aa tangens recta a F, sic etiam tansens communis currarum om.
nium, expositam ibidem tangentium; prout hic, ex data A a curra quaeritur recta
aF, lic ex hac daca (per eandem mechodum inrertam) quaerenda erit alia can.
sens curram modo Patis sic determinata.
Sed ampliandum non cA. Tu itaque Vale: sit siliet
In secundariis (concracta protractare) Sumenda erit av ad a V, in ea racione
major minorre, qua est celeritas mocus ciroularis ad celeritatem recti.
Oxoniae dic 15.
Febr. X67T.
Fulio
Johannes W allis.

## Folio 403 — 851708439:0427
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000427.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
ap. XC
C. LL L. XCVI.
De Insinitis Proeressionibus Ceometricis.
D hune locum spectane Geometricae Proeressiones Infinitae; Hloc est, Pro
crestiones Greomerricae in intinitum continuatae; quarum Summa non-
L nunquam est Ouantitas Finita.
Primus quod seiam hanc speculationem axgrestiis est Drchimedes, in ejus (pront
nunc diei contuerit) Quadratura Parabolae, Peu (ut tunc dicebatur) Sectionis
Rectaneuli Coni. (Vir lcupenda lagacitatis; qui prima fundamenta poluit prope
omnium Inrencionum de quibus promorendis gloriatur praesens xtas.) Saltem
nisi huc reteramus Luclidis mechodum Fxhaustionum, propositione L. lib. 10.
Fundatam.
Idem subjectum prolCeutuS eAt Torricellius, in luo De dimensione Parabolae
FractatuI; (LemM. 24, 25, 26, 27.) Anno 2644 Edico. Vbi demonstrat Va-
riarum Prosrectionum intinite concinuandarum, Cummam esse Finitam; _, gux
nam ea l. Icemque Fractatu Cuo de Solido FEperbolico Acuto, (cum reliquis
edico.) Ubi ostendit, esse posse Corpus Infinite Loneum, Led Maenitudinis
Finita. Cujulmodi cso plurimas Figuras alias, tum planas cum solidas, ostendi,
in mea srithmerica Enfinitorum, et m. Commercio ipistolico.
Port illum, icem, Crceorius de Sancto Pincentio, rem candem de Prosrestio-
nibus Intinitis considerarie in magno Cuo Opere De Quadratura Circuli; Anno
7647 Cdito. Vc crraverit Tacquetus, cum dixerit Crecorium de Sancto V’incentio
primum fuisse qui speculationem de Insinitis Prooressionibus tractarerit. Nam
priores id tecerune laltem Archimedes e Torricellius; Nelcio an alii.
Fiandem exo Speculationem (occatione sumpta a lecto Forricellio) magis uni
vertalirer cractare liu aggrectus; (Tub eo tempore quo sub manibus erar srith.
mecica Infinitorum;) eamque jam ante multos annos in hanc quali Propolitio.
num Forman redesi.
PrOP. F. Si expOSIE Ouancitatis (cujuscunque generis) Tumatur Dimidium:
pujusque icerum Dimidium; iterumque Dimidium hujus; et lic porro in infini-
cum: Summa omnium N. qualis fiet exposica Ouancirati. Eloc cll, E F a F 5 F is
_c. = T. Quod Inductione Patet, ad A.
2 Si lumatur expolicae Ouancicaris minus quam Dimidium; hujusque (in ea-
dem ratione) minus quam dimidium; et sic deinceps in intinitum: Summa om.
nium minor erii expolica quantitate. Et, Speciatim,
.Si Cumatur expolica Priens; hujusque iterum Priens; dt lic semper: Sum
mo omnium aequabit Semistem expolica. HOc ell; 5 F 3 f , f si ec. = 5. OC
ad B.
Si TumatuE ParS Ouarta; hujusque iIErUM parS OHATTA. EL sic Temper;
Summa xquabit Prientem exposia. HIOc cst = f,  f  dc. = =. VF ad C.
5. Si Sumatur pars Duinta; hujusque ilerum pars Ouinta; e Sic temper: Sum-
ma aequabie Ouadrancem exposica. HoC clt, 5 F a5 F iis F 6is ec. = +. VI
adt D
6. Si sumatur pars Sexta, hujusque iterum pars Sexta, et Sic semper: Summa
aequabic expolicae parcem Ouincam. HOc elt, 3 F 35 F 3is ecc. = h. Oc ad F.
7. Si Tumatur pars Deciman hujusque irerum pars Decima, de sic semper: Sum-
ma sequabic exposica parcem Nonam. Hoc clt, io F rad F 10o ec. = 5. VE
ad F.
8. EE (univertaliter,) Si sumatur pars denominata ab a; hujulque icerum pars
denominaca ab a: e sic temper: Pora progreltio exit expoluae pars denominaca
ab a = 5. HIOC Cst, = f = +  ec.

## Folio 404 — 851708439:0428
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000428.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 120 lines, status machine
0
O3I
02562
0078F
00397-
00295
00098 -
00040-
00024.+
000r2 
00006+
00003
00002
-00002-
99990 + =
00006.
c
2
9000
00002. +
T2
0777C
04665+
2799
07680-
01008-
90605-
00363-
00218-
0
00078-
00047-
00028+
.000T7-
100010
00006.
00004. -
.00002.-
O0OOr-
000Or-
2. 49999 +-
1000Or-
5
26667 -
00463 -
00077+
OOOT2
00002 
19909=
66667-
44444 +
2.9630 -
19753. +
13160
0870 +
05853
03902-
0260F
0T734.
,OTT56 
.0077T -
00524 -
00345
00228
00252
.O0T0L
00068 -
000.
.D0OOr
48
00045+
.33333 7
TTTET.
03704.-
O+235 -
.004 FF 
00T37 +
00046-
.00015+
00005 7
00002 -
49999+ = 2
00030
60020 4
00013 +
064
0625
02562 +
.00391-
00098 -
00024 7
00006 +
00002 -
.0236
.O2024
004.10-
00164 -
.00066
.00026 +
00010 
00004+
00002 -
.6C30C4
.00003-
00002 -
000Or.
,000Or
33333 F =5. 66666. F = 3. 2. 90999 + =2.
Demonstracio. Nam quicunque sit numerus a, quo denominatur pars Aliquota;
summa omnium est Geomerrica Progressio decrescens; cujus ulcumus terminus
aaaa _C. (Propter Denominatorem intinice magnum) eris intinite exiguus. F.A
autem summa Geomerriea Pcoprestionis, (ut in Opere Arichmetico demonttravi)
e-
=(Voliis V pro cermino maximo, A pro minimo, R prO com.
muni mulciplicatore seu exponence Rationis communis, e SPro Summa PrO.
grectionis.) Hoc est
R =F R - + Cum itaque, progrectione in infinitum con-
rinuaca, cerminus ulcimus A Fucurus sic intinire exisuus; e consequenter
00009-
00000

## Folio 405 — 851708439:0429
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000429.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
Cap. XCVI.
A F G F B R A
R == eraniturus: Summa progrectionis (hoc casut)
=Y.
X RR X t ec. (Ouod parebic Diridendto V P
Adeoque (dirisis adhue omnibus per K) exit
R = L.
 RPEP + eec. Hoc est (posiis, ut in proprettione nolla, V = 2, _ R = a.)
-= + - F
exit =  =  a a a aa 
Idem brerius demonstrabitur, per Solam Dirisionem in Speciebus. Ouippe Si
dividatur F Per a-Z; prodibie OuorienS = f = f - =- Rec. in infinitum.
aa
9. Idem ralet (rircure generalis demonstrationis) etiam li, pars assumpta, non
Sit Aliquota parS: Puta, SI Lumatur Z ((eu 8) expOTuIX; hujusque irerum Z; 8
sic semper. DuippC 3 cancunde ell ac Z aerila pet Z; (eu Z -, Z. adeoque
Tumma  =
=3=. 66666 +. Oc adC.
20. Similicer; Si sumacur i expoticae, hujusque icerum B; et e semper: Sum
ma erit - =
3) 10,-
= 7 =. 42857 . Vr ad FI.
EF. Si tumacur plulquam dimidium; hujusque (in cadem proporcione ) plul.
quam dimidium; e sic semper: Summa cocius progrectionis erit major quant ex
polita Ouantitas. Sed in tali proporcione ut in prop. 8. ostonditur. Speciatim,
72. Si Lumatur Z expoliex; hujulque icerum Z; et sic Temper: (HToc CA
7 = 3 _C.) Summa aequabit duplum expota. Hoc est, 3 F 5 . 8 _0. = 2.
UE ad T.
23. Si Sumatur 3 (seu 6) expOLiI; hujusque 3; e sic semper: Summa xqua-
Bic 3 exposica. (Nam F -., 3 -= T. = F - 3, = 3) HOC est 3 f 3 f 33 + 8c0.
VE ad X.
Eq. Ex SC semper; quaecunque fitexic proporrio Minoritatis, seu (ut loquun-
FE) minoris inagnalitaris; HIOC est, A LMREE expOsita pars quae SiC uE F ad
plusquam T; et sic temper in eadem proporrione: Summa corius proerestionis
in intinitum contimuatae, erit quantitas Finita: Sed major quam expolica, (i parS
sumpra sic major quam dimidia; minor, si minor; aequalis, si aequalis. Et lem
per, ut F ad a = 2; live a sic integer, tractus, turdutre. H00 cAt (potiro a = 2
= e,) erit = expOTica quaniravis.
25. Si dua hujusmodi Progrestiones componantur: Hoc est (verbi gracia)
Si sumatur = unius quancicacis ducta in = alcerius; iterumgue = iltius parcis in
hujus; de sic temper: Summa progrestionis sic compolica, =X =, +
aa =5b
ab-
Dola ex duabus expositis, puca AxB. Nam hic etiam pars altumpra est :
hujusque icerum =; et sic semper. Adcoque Summa corius es L = AB.
Acque hic erie nocatu dienum; Flujusmodi Progressionis summam, non incom.
mode desienari posse, per Rectam in excerna Cyperbola, utriris Asimprocarum
parallelam. Or (in fipura jam ance delexipea) sit StF hyperbola, inter Alympotas
AB, A F. Jam si supponatur expolica Magnitudo m = DFI, (vel, E expolita
magnitudo non sit P inea recta, per ealem uccunque repra(enIETUT,) hanc in
Ecribo parallelam ipsi AF. Et hujus parcem astignarum primo sumendam
ce:

## Folio 406 — 851708439:0430
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000430.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
X
= am = B5. Quam item inscribo ipt AF parallelam; (intra DFL, hoc
CH Longius ab AF; quia, per constructionem, praesumitur minor quam DEL, ut-
Doce iptius pars aliqua.) Pum, in BA ( quam DonO == +) Sumo B d = d; hoc
estu talem parcem iptius B A == T, qualis cA BS iplius DII, seu am iplius m.
Tum (quia inseripca Parallelogramma AS, AII, c. Punt omnia inter se x
qualia, quod notum est ex natura Fyperbolx; adeoque corum Latera reciproce
proporcionalia;) OE Ad = F = a ad AB = L; Sic est BS = d m, ad dH =
am
=am + a am + d aam + Sc. Quod diridendo patebie. Nam si di-
vidatur am per X = d, Ouociens erie a m. L. d am. + d aam + eec. seu m in
a. + a a + a d a = ec. Hoc est, m in = +. = + - F etc. Aique hoc = n
a
Adeoque recta dh est proprectionis summa; E supponatur d supra B, ver-
FuS A.
Si vero sumatur d intra B; Tum est Ad = + f d: Adeoque F f a) a m
Cam- aam + a d a m - a m f _c. Ouod dividendo patebit. Ouod iidem
est aggresacum progrestionis Creometrica, cujus termini sunt d=d d, d- a 4.
a3 = a5 _c. Obi communis mulciplicator clt (nOn, ut prius d, Ced) dd.
Auc (quod eodem recidis) est disferentia duarum progressionum, d + a3 + a3 + ec.
e a d. + 42. + d6 Y _c. Sed hoc obiter.
26. Si = sic proporcio Aqualicatis, aut Majoricaris, (hoc est, si a sit aequalis
Seu major quam L:) Manifestum est, Summam tuturam infinice. magnam. Nam,
Summa magnitudinum aequalium numero infinitarum, erit necestario Intinita;
mulco magis si lumantur coridem plusquam aequalia.
17. Si = proportio minoricatis, componatur (ut prop. 15.) cum proporcione
majoricaris, puca =; e =L ejuldem cum = hujus; e sic semper: Siique b minor
quam a: Compotia proprestio
a
b
aa t  dc.) eric aetrue magnicudinis Fi.
B
106d
Eic magnicudinis intinica. ) Nam =, seu  , est proporcio minoricacis.
28. Sin B Ec aequalis vel major quam a: Summa compotix eric magnicudinis
intinicae, (Der proP. 18.) Nam, hoc calu, eric = proporcio aequalicais, auF ma.
joricacis.

## Folio 407 — 851708439:0431
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000431.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 76 lines, status machine
Cap. XCVI.
A E G F B R R.
29. Si ab expolica maeniveline, sumatue = corius; iterumgues t residuji; ee sic
Temper: Parces lic sumpra aequabune comm: seu (quod cancundem e) retiduum
minus erit quoris altionabili. Nam, verbi pracie Fst0 = = z; hoc densfio, mo.
nebit 2: demptoque porro ? hujus residui, manebir Z istius residuis hoc, est Z  2.
dempeoque Z hujus, reliduum cercium exit Z secundi: hoc cA, ZX Z X Z. Ft Cc Lem
ver. Ouod iditur (cum (c Geometrica Progressio decrescens in intinitum,) can-
dem eranescet; erirque reliduum minus quoris astisnabili.
20. Vet lie, univertaliter. Ponamus, a = L = 0. Tum, demipto =, reliduum
erir =. Demproque = hujus, manebit ejusdem =, hoc elt; - x = tOtius : et Sic
deincepsy = X = X -, eC. Seu
e e
a aa  c. Cum irague, per constructionem,
sic = minus quam F: Floc, per continuam in se mulciplicationem, candem Fet
minus altignabisi.  ae sedes est 1B: Sedi B CBiSe .. 
21. Idem sic ostenclatur. = cocius, est : et retiduum est : = hujus, ost
a a
ee
aa aua
Et sic deinceps. Sed cst = + = f = p ecc L dec. = + = 2. Nam hec, ad
ee
e
ea
aa aaa aa a a
= + = _c. (singula ad singula, adeoque omnia adt omnia,) sunt ut
act
F ad c. Cum itaque sint (per supra demonstrata) .
e
C
= -: erunt = + = + = + dec. = : - +.
a = c
 aco aa a
Similiter ostendetur: (DOsito ab = + =1:)
= 2. Est enim hoc, ad = f 27
ab a abb a b
= 2) ut Z ad I: adeoque j = 2.
Fheus oe
11, 5:
Trerumque: Posito b - + = f; erit
enim ad  = p 1 f. +. dc.
Temper. 
= +-
t
ab aab
L ac.
+ = +ec. =
rir
A
 +
a b
es FCi
1) ab,s - 2
mb
Bu eE SEsE 
2E. Si duae proxiecstiones sie componancur, ut sumacut in una  coriuis A. hu.
jusque E; hujusque ilerum =; e Ac temper: In allera,  COciuS. B; e  relidui
sit cic 
 cn
5
iterumque = secundi relidui; et lic temper: Agoresatum composiia progrestionis
aguabie =  aB. Nam posterior progrestio =. +  +  + c. rC.
ab - b
gesie
1F
F 1XC 1
spectire mulciplicata in praecedentem = f - . -
dideid
a aa a
la is sl
h
eF ida e
c. conticie   à a bV
= 2 = 2. FdL
iire
 ut 2 ad f. Et SC

## Folio 408 — 851708439:0432
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000432.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
E G F B R A.
ab-
c
b + F
-
Af. LLl.V1.
est enim, ad 
ad f.
+ ec.
23. Simile judicium taciencu CH (mutaris mutandis) de aliis PFOSTCHIOMS
ab b+i
Bus ComponLI. L.xempli gratia,
2b+
et similiter in aliis.
24. Ft consequenter ad hac: Si in exposica recta A; sumatur A; hujusque
ierum = adjungatur, hoc est = ; ierumque = hujus, hoc est -= A; de sic
semper: Foca linea sic proportionaliter aucta, erir Longicudinis finitx, s sic a
major quam L; intinitx, _ aequalis; et plusquam intinicae ( sIc a minor quam L.
Nimirum,  A. Htoc ett; _ GF a = 3, eris Z A. Si a = Z; erit ad A, ut
22d3 - + = 2; Tcu 2 ad Y; hoC est 2 A. Si a = 3; erit ad , ut F ad 3 - +
3: seu 3 ad 23 hoc eAt 3 A. Si a = Z; Wt F ad 18 - + = 10: Peu 10 ad T
hoc elt 20  Si a = F; erit ad  UE L ad F = T = o: hoc eltu d  infinite
Longa. Si a = E; TUM (PTOPTET 3= F = = 2) exit ad _ ut X ad = Z; (eu 2
ad = +, (potitira ad negatiram,) hoc est - , plusquam infinite longa. Si
a = 3; tum (DEOPIEF 4 = 2 = - 4) exit ad A, uE 2 ad - 3, seu 4 2. = 3;
hoc eter = A. Et sic seiper.
25. Si supponacur Planum, ex Pacalletoerammis constatum; quorum Alciu.
et 4 aly
1
que tum =, tum rationes minoricatis; hoc est, tum a tum B, major quam L;
adeoque e ab: Suye ipta Paralleloeramma,  AB, - AB,   AB, dec.
aab
Potunque Planum ex iptis conttatum, AB, siniiae masnicudinis.
26. Sin utraque sic ratio majoriratis; hoc est, tum a tum B, mInOF quaM L;
adeoque e ab: Plani magnicudo exit plusquam intinita. PTOPIEE ab = L quan.
titatem negatiram.
27. Si Maquo Sic ratio agualicatis; hoc cA, Him a = 2, tum B == F, adeoque
ab =
28 Si altera sic, aequalicaris; pura, aliirudinis rario, L ad a: Altera (puta B2
(is) x ad B minoricaris; Planum -= AB, erie magnicudinis Finicae. Ouoniam,
 ad aB; hoc est (prOPIeX a = +,) a ad B, cs racio minoricaris.
29. Si altera, pura Xad an H aequalicatis ratio, alcera majoricatis, puta B ad 1.
Magni.
l

## Folio 409 — 851708439:0433
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000433.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
finica
pine
Cap. XCTI.
A L G F B R. A.
Magnicudo eric plusguam sinica. Nam proporcio composica =   -
Majoritatis.
Cst
30. Si altera (puca alcicudinis) sie minoricaris racio, ue + ad a; alcera (puta
balis) Majoricaris, ut B ad L: Magnicudo plani erit Pinita, aut Infinita, auE
plusquam infinica; prouc b minor est, aut aequalio, auc majoi quam a. Ouia,
pro illa rarieralen composica ratio = X; =  ia erit rel minoricacis, rel aequalica
tiS, vel majoritatis.
31. Similicer; Si solidum supponatur ex Pacallelepipedis constari; quorum
a BB ec. Lacicudines, = B,  B,  BC. CaL.
V
Ciries, = Cg =C  Cn dec. Si proporciones illa, F ad an _ ad B, et ad c,
Cine rationes minoricaris omnes, aue omnes equalicaris, auc majoricaris omnes;
auc parrim iltius, parcim illius, parcim hujus in quacunque rarietate: Magni-
cudo Solidi =- ABC, erit rel finica, vel intinica, vel plusquam intinita,
abc-
prout compolita ratio F ad abc, est vel minoritaris, vel aequalitatis, vel majo-
ritatis ratio; adeoque abc = T, major quam o, aut =0, aut minoe quam 0..
32. Acque hinc tieri porest; uc magvicudo Solidi - = ABC, tinica hit;
ab0
quamris rel Lonsicuinis, vet Focicudinis, vel Crasticiei, vel ex duabus compo-
Cica, (Dutam A, aut, = - B, aut -  C aut   AB,) Se vel inF-
nica, vel plusquam Intinica: Nimirum, s reliqua, vel compotia ex reliquis, prae.
valeat. EF Contra; quamris harum una aut duae sinc finita, Dotelt Solidi magni.
cudo esse rel intinita vel plusquam intinita.
Idemgue incelligendum est, de aliis rationibus compotieis, in ejusmodi aliis pro.
Grectionibus.
33. Si in Parallelexipedis (ex quibus constari supponitur Solidum) Longi-
cudines sic sumaneur; = A; acque cum = residui; indeque = secundiretidui; et sie
Temper: Hoc CAt (DOEILO a = Z = e,) = A, = A,
EB, et  relidtui, e Re Temper : hoc eA (potico b - + = f,) 7 B,
6bE0b
c Ft ccabities similicer, =C; et  residui; et sie semper: hoc est, (potico
C - + = 83) = Cy cb
a a bbCC
C6
 4BC, dc. dolidum seu Agprexutum ex Mis, cric
ABC. FS enim, uE L ad ese, Gc illud ad e1 8
abc = et
3f3
2b0
at
FF8S ABC.
ABCn aabbcc
2d B3 ∞ 2BC, e= et5) abc, = L abc ef.
aBC
34. Si in Parallelexipedis illis, sumantur longitudines = ; hujusque E; trujus.
que ierum L; et sic Temper: Hoc ett,  M a  A c. Laticudines vero,
a a
B, et  reliduis et = secinei residuis, et Se temper: hoc CA, 7 B, G B,  B. c.
F

## Folio 410 — 851708439:0434
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000434.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
L C F B R.
Et Crattiries (verbi eratia) inter se squales. Magnicudo Solidis erie,  ABC.
Sunc enim ipta Parallelexipedla,  ABC  ABC  ABC, dec. Ou
Tunc (singula ad fingula, adeoque omnia ad omnia,) ut 2 ac f, 2d  ABC,
aabue aBC. + d y aBC. + dec. = -  - aBC - -
5)
F aBC.
35. Ad eundem modum Faciendum eric judicium, de aliis hujulmodi compo-
ficionibus proportionum, in Progrectionibus Intinitis. Acque in hujusmodi tor-
miS
abc.
rune sinirae, intinita, aue plusquam intinitae; DrOut abC = ef8, auc ab -F,
Timiletre, Tunt Majores, Aequales, aut Minores, quam 0.
Tlanc c5o Speculationem tusins prosecurus sum, quia muliis modis utui elle
Potelt in xllimatione facienda de Fguris quae producuntur (ue dici jam Polet)
Ductu Plani in Planum; hoc est, ducendo lineas unius plani, in lineas alterius
plani, (ejuldem uc plurimum alticudinis) respectire sumptas. Icem in judicio
taciendo de liguris oriundis ex compotirione duarum pluriumre prosrectionum;
ande
Sed Magnicudines Finiix: Oualis cst ea quam exponit Torricellius, vocarque
Solidum FEyperbolicum Acutum; cujulmodi eso plurimas considerari in srith
metica insinitorum, et in Commereio sipistoliso cum D. Fermat, aliisque. Et in
aliis consimilis nacurx speculationibus.
Interim, hoc torum, non nili Specimen est, eorum quae magna rarietate pote
ric quis proleous prout occalio milerie cui id opus videbicur.
C A P. XCVI
Enemplisicatio Methodi praecedentis, occasione
Fpistolae Cl. Viri, P. Bertet.
Reculationem illam, Capite praecedente expolitam, De Progrectionibus Gieo-
 metrieis in intinicum continuatis; e Composita ex duabus pluributre hu-
uodi Progrectionibus: In usum eso rerocari, occatione Lpistola cujus
dam, ad me seripiae, d Clarissimo Viro, P. Bertet, C Soc. Jel.
Cuippe cum ille animadrerterie, apud Crecorium San Lincentianum, ubi agieux
de Ductu Plani in Planum; proceltum a meo divertum: Nimirum; quod Creso
rius ille rariarum Pigurarum alticudines diridat in partes GeOMCtICC PTOPOTHIO.
nales; quas eso diridere soleo (uc plurimum) in partes aequales: Spérabat Vir
CI. Fieri Forre posse, ut, ove talium sectionum, eo perveniatur; quo; secundum
meam mechodum, perrenire non potuerit. Meamque ea de re senienciam, literis
humanistimis, perebat. Oux hic leguuncur.
a mo Fruditissimo Matheseos Prosessori
D. Y. Walis. Oxonium.
Poncitarae ad Paritios, Z DCC. 1671.
Vir Claristime,
cripseram ante sex metss pistolam ad D. V. In Gun Leus quadam
Cometricas Libi Cieometrarum bujus aecatis facile principi, proponebam: ut
aliquid lucis exquirerem circa ea quae per me ipse assequi non potueram. L’a
ctum est, nescio quo casum ut haec Lpistola mtercideret.
Nime

## Folio 411 — 851708439:0435
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000435.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
A L G F B R A.
Tunc, quoniam ruri vitam hie deso quamquam brevi redicurus Parisios CAM F
Cap. ALVII
minentissime Cardinale Bultionio, nactus tantisper otii, sorip si opusculum contra by-
duamguam autem careo e libris  seripiis, occurrit cosicatum Ccometricum
quod mihi inciderat priusquam divinum ruum opus Arichmet. Enfinicorun perut
rissem. Hhoc vero est hujusimodi
Si densr Fieurae quaelibet super eadem Basi e ejusdem Mitudinis, intellie
curque Ais divisus in quaxiam ratione Geometrica continua, cujus terminatio sit
porhe sin Cartest, quoi dicor prodibit in lucem.
vertes Freurae: Dico, Pieuram unam toties aliam continere, quoties ratio partium
unius Fieura inter se comparatarum continet rationem partium alterius Preurae
ipter se. Verbi eratia S Lyoatious ue auttu utaobus Lat
us, Guotres ratio a ad B unius est Mulciplicata rationis partis a ad param B at
terius; sed reciproce sumpea. Verbieratia Ratio partium Frianeulr est dupaomt
rationis partium Rectaneuni: Ereo reciproce, Rectanculum duplum est Trianau
Ita potest L abolae oujustibet  runet quaas g.  C M  it
rabiti opere fucillime praestitum est.
En hoc tamen haec mea Methodus non omnino videtur contemnenda; quod ipse
Fieurarum quantitatem dimetraris. et rationem quam habent sineulae ad Rectas-
+
ex altero
et et
eutum, e Trilineum,
Byperbolae, in qua ranala  o fant recre in ratione sub duplicata par-
tium a Centro T Erperbolae sumplarum  Lptoro seu in ave AB. Ft sic de ca-
bere ut seriem parlam ipsius Fieurae.
in ratione aliqua quae exprimi possit. Ipse vero duntaxat Methodum innueris di-
metiendi Fieutus quarum Sanala ad iipientes sint in ferie Arithmetica, I, 27
reperiri posset, non solum Fieuras Directas metiendi, sed forte etiam eas quas Cre-
eorius a S. Vincentio bocat Subcontrattus, ( quo si bene memini, relicta est
Circuli duadratura a ct d D: V.  a de parcer. II quemadmodum Tri-
linei Friansuli, e Farabola  Converdis Lrilnearis, Priansularis (seu Coni,
J Paraboliei ratio nullo necotio reperitur; ita etiam, si reperiri pesset ratio solido-
rum quae fuunt ex ductu Frilinei, Trianguli ex Parabolae subcontrarie positorum
absolura esset Creun Quadratura. Ratio autem Ordinatarum in Trilineo, nempe
sulum; eso vero independenter a RCn Slatum earum rationem inter se inve-
niam. Verbieralta. Da ypioru nn gunum dera TErperbolae, sed pscu
teris Fieuris. (Nocam Rectansula ingera ut Cabumscripta in reuran se ha-
alterum est; Duod quameunque tandem jurdam rationem habeant Ordinatae in
qualibet Freura, quae applicantur parsibus vis drvisi ut supra in aliqua ratione
continua, non minus reperire possum quantitatem Fisurae, quam si Ordinatae sint
3. 4, Vel ut eorum radices aut potestates.
Haec cum nuper animo versarem, succurrit mihi subobseura coeitatio: Dua via
GF, CD, CH Tories est Mulciplicata rationis ordinata
in Triata o
EL, M N, quosies haec ullima est Mulciplieata rationis Ordinatarum in ul abol
FF

## Folio 412 — 851708439:0436
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000436.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
L
XO, PO, RS: Paris vero partium vel Rectangulorum AB in Trilineo, ad ratio-
nem Lectaneulorum AB in Trianculo; e rursus ratio partium AB in Frianculo
ad rationem partium A B in Parabola; non sunt aeque Multiplicatae una alterius.
quamvis denominatores rationis inter lineas ordinatas servent eandem proportionem,
quam habent denominatores rationis inter rectaneula vel partes AB istarum L’ieu-
LL 6t
rarum.
Observavi praeterea: quoties in Freuris directis tribus, ratio ordinatarum unius
toties est Mulcipticata rationis ordinatarum alterius, quoties ratio ordinatatan se
cundae est Mulciplicata rationis ordinatarum tertiae:; tunc Fieuras esse As
Proporrionales; ut Trilineum, Triansulus, e Parabola: At compar at a nbet se
rationes partium sive Rectansulorum AB, sunt TTartna d Uss
rationis simplicis.
Ocredeam ad propositum. Demonstui tectus a S. Vincentio Rectansulum
iitudinem L. P, e sic de caeteris, non dico haec solida eandem rationem habitura
quam habebant Rectangula: sed, ut supra observavi, denominatores harum rationun
Solidorum erunt proportionales denominatoribus rationum quas habebant Rectan-
sula: At rationes Rectaneulorum erant aeque Multiplicatae una alterius; quod non
amplius convenit solidis.
duemadmodum aurem, si subdivideretur suptum in Preuris directis, Ais YZ
proportionaliter in punctis VV, ratio applicatarum esset semper una aeque Multi-
in aliqua ratione continua Axis C X vel LL L, in subcontrariis esset ratio Rectan-
sulorum aeque Mulliplicata invicem in tribus Freuris in infinitum.
Ded duo videntur obstare mensurae Sonc ocus Fenat en ductu subcontrario. Pri-
mo quod rationes Linearum e Solidorum in Fieuris directis sit semper una eadem
que ratio: At in Fieuris subcontrariis, semper sit mutata. Onde, quamvis in hoc
conveniant, ut rationes duscon patclum antus, rationibus baseon partium alterius
comparatae, sint sineulae aqui mata sensttatdm; non tamen sunt omnes si
miles rationes continua. Praelerea in Freuris directis, ita se habent porrimes Li
sura incercepia inter ordinatas, ut Rectaneula insoripta aut circum scripta inter or-
dinatas intercepta: At idem  cestuat  folcus ierceptis incer ordinatus
in Fieuris subcontrariis, quae non habent eandem rationem ac Parallelipipe da quae
inscribi au cum scribi intellie erentur.
Tamen quia (ut alicuhi D. V. observat) aliquando infinita series tollit irratio-
nalitatem Singularum partium; dubitavi an vere tres illa Fieurae subcontrariae es-
dem basest.
sularis subcontrarii, servata eadem racione quae eral incer Rectaneuta griora ejus.
dem
ACB ad Rectaneulum D P. P habere rationem aeque Multiplicatam rationis Re
inter Rectaneula NO P, G RS. Quod pMa CX FTY OZ aequales, divisae sint
in aliqua ratione continua cujus Termnun pt X TT; intellieantur que fieri solida
per auctum Rectaneulorum A C B in anM C F,  Rectangul D L. F per at
Etanculi. CTII ad Rectaneulum PI. M, ut haec est alterius rationis Multiplicata
sent inter se scrichmetice proporcionales, ut sunt directa, modo re durantur ad ean-
Lercur, quandoquidem in postrema Fieura, nota est quantuas souut L s soncr X
quorum assumo solam medioratem, se d bases seu Rectaneuta ACB GII L, non sunt
aequata RectaneutoNOP; intellisantur ereo poni aequatra e continvetur eadem
prorsus ratio infinita quae anteaeret, in Rectaneulis ACD DF F ecc. in trilineo
 pariter posita basi seu Rectaneulo C IL I Frianeuli, aeguun Rectaneulo seu base
OP, intellicatur fieri applicalio Rectaneulorum in punctis L. e V solidi Trian

## Folio 413 — 851708439:0437
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000437.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
A L G F B R A.
dem Fieurae Friangularis. Certe Solida ista duo nova, habebunt semper in quibu
cunque suis Rectaneulis ad Avem applicatis, rationes aeque Mulciplieatas ut erant
antea inter istas Tres Fieuras.
Tam vero inveniatur quantitas novorum istorum solidorum: si ut est Rectaneulum
AC B ad Rectaneulum NOP, ita fiat solicium A Z B crilineare ad novum solidum
trilineare: rursus que siat ut Rectaneulum EI I ad Rectaneulum N O P, ita soli-
dum C YI Trianculare ad novum solidum Prianculare Pietum; denique inventa
quantitate duorum novorum solidorum Frilinearis  Friancularis futorum: Dico-
Tertiam quantitarem Prithmetice Proportionalem fore solidum Parabolieum subcon-
trarium quaesitum.
Dicone inguam optando e divinando, non demonstrando. Tuum erit, V ir illustris-
sime, detecere Paraloeismum sine dubio latitantem.
Fxpectamus avidissime opera rua in Flollandia recens eypis Fdita. Nihil hic no-
vi extudit Mathesis.
Cueduni, Pater Claudius Francileus de Chales edit cursum interrum Mathe-
maticum: non, ut est Cursus Schotri interpolatoris; sed cursum absoluium, Cila-
rum ac ubique novis demonstrationibus illustratum. Delineavit idem Author
Nauticas Mediterranei Chartas reformatas, quae melis restris necessariae essent:
Sed nondum invenit artificem qui laminis aeneis velit incidere.
Sdisicatur hic Parisiis Observatoria Arx insienis Reciis Sumpribus; jam in eo
domicilio habitare incipit D. Cassini.
Missus est Cranibureum D. Picart, ut loci situm observaret,  Felipsin nupe-
ram aspiceret in eo loco ubi Ficho Brahe suas omnes Ob servationes pereoit. Nondum
reseivi qui d novi attulerit.
Non hic habeo ad manum observationes ultimae illius Fctipseos, quae variis in lo-
eis peractae sunt; quas mictam quamprimum ad D. Collins sibi communicandas.
nem. Tabulae Wineii e Prutenica satis quadrarunt
usu praeter clipseos f
ationibus. Sed
aberrarunt.
nam, Disci
putum P. Jacobi de Billy. Proponit ille nostris Geometris varias duastiones, sed ha-
ctenus insolutas, quod ad earum solutionem nolint, ut aiunt, animum adjicere.
P. Pardies Cataloeum Stellarum novum aereis laminis incidit: Sed novo projectie.
nis genere in plano descriptarum, e ad usum facillima e accommodatissima me-
+hod0.
Nibit aucio novi ex Tcalia praeter mirabilia Pelescopia Patris Gotienes: Cujus
Opticam Manuser. amicus quidam meus qui profectus est in Anelam ostendet
DColins; cui readidit librum Goometricum Patris Pardies, quamquam eum dumi
nactus non fuerit.
Audiam libenter siquid novi prodierit apud vestros; quorum inventa ranti facio,
ut Anelica Lineua addiscenda operam navarim, ut possem opera vestra perlecere,
quae nunc fere sine adjutore intelliso,  Callice reado.
Proponam interdum dubia mea D. V. Ac siquid hac in parte quae ad Mathesim
spectat possim D. V. inservire, habebit nutibus fuis
Aadictissimum Serrum
TOELANNEM BLK L L L.
Cdp. LtLI
Fumnistimis hisce Liceris cum retpoVam: non videbatur necellarium, ad
riltimum respondebam, quo maxime spectate VDatur Vir Claristunus. Nimirum;
Tinsula inibi concenta particulatim descendere. Sed (intactis reliquis) ad id po-
Ouales oriundae forene Series, si ita Sectxe estent Figurae, et sic Mulciplicara, ut in-
nuerat ipse. Respondebam isicur, prouc hic lequiur.
Clarissimo

## Folio 414 — 851708439:0438
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000438.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
A L G F B R A
Cap. XCVII.
Clarissimo Doctissimoque Viro, D. Joanni Bertet, Parisis.
Clale Vir.
OLonla, OCl. 19. 1072.
Vod meam Infinitorum Arichmeticam tanti aestimaveris, eratias habeo.
Literas tuas quod attinet (Decemb. P. Pentisarae datas;) Parabolas qui-
dem eeo, Paraboloeides, aliasque ad eandem familiam spectantes Fisuras
concipio (in srithm. Infin.) tanquam (parallelis) sectas in parces aque altas.
Non quod alias sectiones respuerim (nam e alias passim adhibeo) se d hane ut sim-
Plieissimamt eleserim. Adeoque Preurae partes habeam (nempe Paralle toeramma in-
terjecta) ipsis (quibus adjacent) Ordinatis propertionales: Ot non sit opus, pro.
pter Aticuamum considerationem (cum sit in omnibus eadem) caleula perplexio-
Ft Quidem s
nmino faciendum esset, si Atitudines sumerentur inae qualeS
Indic
-3. c
rem reddere; quod
que surdus, ut Y 2. e~c. perinde est: quod monmmus ad
Eve numerus utcun.
Cnsn. PFOP. C
Et
verteris.
Velmipe semper, posito Zudice, tet tun tu hatitet d Eteero, Fracto, Seur-
drveu aut Nesalivo;) erit tota series  vet correspondentis seriei aequa-
lium; seu, in hoc casi, Paralle toerammi Cireum sorixri (Si Index seu Fxponens sit
Affirmativns,) vel (Si ecations) Inscripti.
Farumque ad invisem raiiones nullo negolio obtinentur: Nempe ut. ad
sivent c = F ad 5. = Z; quisunque fuerint S,  numeri, (Enteeri, Fracti, Sur-
dive, aut Negativi.
Sed e porro advertendum erit: Mle non de Fieuris rantum (nedum sie ad Avem
positis,) Sed de omne genus duantitatibus indiscriminatim, (pata, Lineis, Supetsi
crebus, Solidis, Rectis, Flanis, Curvis, Ponderibus, Momentis. Temporibus, Cele-
ricatibus, _cc.) tractationem illam instituisse; quibus omnibus, pro re nata, series
illa pariter accommodandae crunt. Adeoque nulla erat mihii, iu Propositionibus se-
neralibus, vel Aris, vel Sectionum Axis, facienda mentio.
duod si secrissem Arem Fisaratum carundem in alia proportione, puta, ut partes
ecc. hmetice Proportionales: adeoque
PPrOP. T. 28, 8 alibi. Orut ru id force non animad
De Mota Cap. 5. det. 1, 2
Ais essent, verbi eratim dt 17 3,
distantiae a vertice ut X, 43 3, 10, _c. Serues Decundanorum, ( ut Parabolam specia-
im Sectam videas, Arith. Infin. PCOP. 243 56,33350; e de Curvarum Fduses
rum series admodum ab illo naus celis diversae, e masis composica.
33 de Motu Cap. 5. Prop. 28. Cap. 10. PF. 7, 8, Cap. 25. PL. T.  alibi
F18. 24
idemque eeneratiter moneo ad Def. C ap. 4. de Motu.) Forent earundem Fieura-
uta 2n
2eulo,
ter. 2
um Laritudines (ut dis
verlise) in verie Secindanorum; e Alcitudines Cut quadratorum differentias.
ias

## Folio 415 — 851708439:0439
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000439.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
Cap. AOrII.
sit universaliter, Inden est mei duplus uno auctus. Nempe, si lndex in sectione
mea sit S; erit in Bac 2. 5. + +. Adeoque Series, est  seriei Se qualium.
Duaeque Series comparatae, quae habeant indices Ordinatarum S, L; erunt ad invi-
cem ut =  = ad 2  =: hoc est, eut 21 + 2 ac 2 5. + 2; seu vt r. + 2 ac 3. + 2,
ut priuts.
Neque est quod haereas, si Seriem lverbi cratia) Primanorum, nunc dicamns
Ut O, F, 29 33 4CC; nuno Ut 2, 27 3, 43 5, CC; nunc ut 2, F32932943 c; seu
2, 3,5, Z, 9, dc. Duippe haec omnia, in Serie infinita, coincidunt; pariter at que
Txpositae Fieurae coincidunt Inscripta, Circumscripta, e Intermedia omnes; Se-
Etionibus ad minutissima continuatis. Ormoneo ad Schol. PFOD. 182. ArithM. In-
fin. e ad PTOP. T. C aP. 5. de Motu.
Ponamus jam (quod tu vis) Sectos esse Aes, carundem Picurarum secundum
racionem aliquam Gieomecricam concincum; purca Lriplam. Nempe, Y AV B,
A L G F B R
in Serie Primanorum; erunt illa interjecta P aralleloeramma (seu partes Fieura)
Series (ex duabus illis composau eccuorum. Similiiet spena (un puiu-
modi Sectione) Parallen tonato Deries Primanorum, (qua apo  estA
qualium:) Parabola Secundanorutm quae est, apud me Subsclandanrum:) Re
ciproca Parabolae, SEqualium, (qua est, apud me Reciproca subsecundanorum:)
VC, V D, 8c. ut 2y 3 2y 5 ay 2i 2 36. Pett 2 7) 2 5. seut 23 7 3∞3 33r 
Adeogue AB, BC, CD, 86. WI = a = X =, =    3C. seu
2 a
Et Bases, in Frianeulo quideml Diumetris P roportionates) ut b, 
3 313 31343.
In Parabola (in sub duplicata ratione Diametrorum ut B, bY L, BY =, bY
373
In Parabolae complemento (in duplicata ratione diametrorum) ut b
3X3X3X3X3
2 a
3 323 3ugK3
se
dec
323X3
dec
32332323+3
3 dc. Adeoque interjecta Paralleloeramma, (seu, ut tu loqueris,
parces Fieura) AB, BY, C5, ac. in ratione ex bascum e alticudinum composita) in
2ab 2ab 2ab
2 a b
2 db
3133X3V: 3x3.
_C. In Parabola Complemento, ut 2 a b
3X3X3V: 32343.
2 ab
2ab
2 ab
3X3X3 3Y3X3X3X3X3
_c. Adeoque P eura inscripta, in Trianeclo, erit. (cir.
323X3L3X3 L3X3X323
cumscripei P aralle loerammi ab,)- - 2 seu ; in Parabola, ; in P ara
bolae Complemento,
= 36 = 13
Et universaliter, si sit ratio V B ad V Aeut X ad 2 (Enteerum, Fractum, Sar dum

## Folio 416 — 851708439:0440
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000440.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
A L V F B R A.
Cap. XCVII.
ve quemlibet,) Fieura ex Paralleloer ammis inseripta, erit, in Triansulo = 2b; in
Parabola ab; in Complemento Parabolae  ab. Duod, alibi demon-
stracum, (Nempe, ad PrOB. 8, et 15, cap. Praeced. hujus, ) lonsius est quam ul hic
commode inseratur.
loc est, Posito 2. = 4; erit in Parabolae complemento, E; in Triansulo, 3: in
Parabolan 7. P0 sito 2. - 9; erit b 283 28. Posito 2. = 200; erit gn rn 4 9 2 33. Lt in
aliis casibus similiter.
Sed, quo propius 2. superat X, eo propius accedet Freura inseripta ad expositam. Adeoque,
posito, verbi gratia, 2. == Z. 00O2OOOT, (quadrato numero, quo sit V2 non Surdus; nempe
V. c. = 2. 0OOT;) erit in P arabola Complemento, 5. 9002, 00OL,
In Frianecuto D. D002, 00OT,
0.0004,0006,0004,0007
00006,0025, 0020,0025,000, 000L
is
In Parabola
0.0002,0001,
93003,00O3, ODOT. Dux pro
vime accedunt, ad 3, 23; quae est vera ratio Fieurarum expositarum. Duod masis
achue patebit, si pro 2. 000T, sumeretur 2. 000000OL; aut si plures achue Ciphrae
quotlibet interponerentur locis Fractionum decimalium.
Verum schujusmodi Fieurae concipiantur insemet inverse positae (seu,ut tu loque
ris subcontrarie, ductae: Ducentur, non quidem planum in planum, quo fiat pla-
eeeee
noplanum, sed Ordinatae in Ordinatas respective sumptas, (manente ubique quae
erius erat communi alsicudine.) Iloc est,  BB Bectaneulum, in Mricudimem B A,
 Sie in caeteris.
(Sua itaque Atitudo, si foret, ut apudme ubique eadem; neglei jure posset; ut
sola haberetur Rectaneulorum consideratio: Tlic vero, quoniam est alibi alia, ad caler-
lum revocanda est.)
Veletiam AB Paralleloerammum, in Suanem B B, e sie in reliquis. ZLoC
estus ABxBBrBB, BCKCYKCC, CDKDdXDd, BC.
Adeoque parces Solidi adjacentis Trianeulo;
,88c. seu = = in 2- =
=2 ec. Hoc est, 2 = 
+= 76 3 Bc.) minus, 
minus.
3 - 2
Adjacentis Complemento P arabolae
D
2 3+  2 9 2 2,C. sect  =9: 2 - 2. + 20 : 2. = 1.
u : 23 - 2. 8c. THoC est,  = in2 - 22 + X, F, 10 in 24 = 22
+2, 4   in 2 = 22 + 1, B0. Htoe est 
3c. bc est, omninoz-
2+2 - 2

## Folio 417 — 851708439:0441
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000441.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
Cap. XC. 1
23 - 72 = 2 23 = 22 + L - 1
Duorum sum
Adjacentis Parabot
 L. a 2a li22 ut Z
Luc Dua summa aequatur Surdo alieni novi generis adhue Anonvme
2
In casi Friameclorum, pro  = 2 - = 3 babemas nost.
Incasu complementerum Parabolae; pro =. =  22. -
7 -  habemus nos
3. (Ad quas, rationes Sectioni tua accommodatae, eo propius accedunt, quo 2 pro-
pius superat T.)
In casu Parabolarum: pro Surdo illo Anongmo habemus =: proque hoc ureunque
desienando, quos proeresus fecimus, videas ad Aric hm. Lnsir. pEOP. 166, 3 se
quentes.
Sin sibi aabue spes estus in seriebus adhue perplexioribus (propter interjectorum
Solidorum altitudines inaequales,) rem felicius assequendam quam eeo in simpli-
cioribus (propter sumptas alritudines aequales) assecutus fuerim; per me liceat in-
avibus. Fique inquisitioni Bactenus eeo tibi viam praeparavi, interje
ibas ratiores (pro quabunqua
Qvis Sectione in Geometrica ratione continua) exhibendo.
Metuo autem ne eo semper res redeat (quocunque le vertas) ut incidas in de-
riem Radicum Oniversalium, Spotomarum (Si Circulum aut F. llipsen secteris,) vel
(A FExperbolam) Binomiorum. Fit quidem cum eso simplicioribn
avia devenerim, haud sperandum videtur ut perplexiores sectanti felicius res sue-
cedat.
duam autem istiusmodi Deries Racticum Oniversalium, ad coneruum Seriem A-
qualium, rationem habeat: nec numeris veris, nec etiam Bactenus receptis Surdis
Radicibus, explicari posse; jam satis demonstrasse videamur, ad PCOP. 189, 19.
Arichm. Infin. Dmippe, quo id fiat, ostendimus, dividi oportere numerum imparem in
duos aequales inteeros: P.t A quationum ordinem inquirendum, qui sit Laterali
bus e Duadratieis incermedius, (Babeatque radises plures quam unam, e pau-
cipres quam duas:) Duorum utrumque est advrator. Sed aliusmodi Surdum coeitan-
dum, adhuc Anourmum.
duicujusmodi situ illic explicavimus: F+ (DrOP. seq.) ostendimus, quomodo pos-
sit, concinua approvimatione, veris numeris quam provrme explicari ejus valor; (non
minus quam valor Radieis Surdae Y 2.)
O+ id solum supersit, ut inter se conveniat Mathematieis, quo velint charactere
Surdum illum desienare, puta, illo quem ibidem exbibemus, m +13; vel alio quovis–
(prout jam convenit medium proportionalem inter = 8 2, charactere Y EX2, vel Y 2
insinuare.)
Arque eo saltem rem illam ulterius proveri quam a Ccresorio San. V incentiano sa
ctum est. (quui illie, si memini, ubi cu dicis, consistit.) Di multa quidem habet no-
viscum communia; quamquam cum non ante viderim, quam seripserim Tractatum
illum. Sed neque dum evolvere contisit; utut eum satis aestimo, saviusque statue
rim evolvendum. Nec dubito quin quae de continue proportionatium terminationibus
habet, nostris consentiant; utut ad manum non sit liber quem consulam, atque ex in-
ventis meis propriis ea de duxerim.
aque hac sune, Vir Clarissime, quae ad quae sita rua reponenda censui.
Tuus ad Officia,
OHANNES N AL CLS.
 L. le L LL A.
Hoc

## Folio 418 — 851708439:0442
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000442.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
SL L G F B R A.
C ap. X
Hoc ego Specimen, ex LuerIs ad P. Bertet, hic inserendum pucabam; quo
oltendam, Guotbdo Dos Lal CCnerats de Proeressionibus Infinitis Doctrina-
ea quae, in praecedente Capite, ABaC CaIM; decomate SC.
2d Calus Particulares accommodari. Aeque, ad cundem modum, non erit ditticile.
Catio, ad Lisuras Llanas, Solidalre; alialre Ouantitates cusuteumque EMeIo.
C A P. XCVII.
Methodus Approximandi, in Quaestionibus Numerali-
bus; occasione Problematis Fermatiani.
Kiulquam hanc de Llogrestionibus doctrinam conctudo, libet hic sub.
junsere aliam Approximandi Formam; quae quamris non in intinitum pro.
cedat; aliquando tamen Cat lonoa erie priulquam determineeur.
Ejuldem sere Formae videatur, cum ca de Invenienda maxima communi Men-
sura Ouantitatum Commenturabilium; quam docet Fuclides; prop. 3. lb. 20. F
lementorum; estque in Frequenti utu apud Arichmecicos, pro Abbreviandis Fra-
ctionibus; Secundum prop. 2. lib. 7. FI. Sed aliquanco intricatior, quia in per-
plexioribus inguilicionibus acthibita. Sicur eA ea D. Nerotoni Lupra rnemorata, In
Tua Mechodo pro exquirendis Aquacionum Radicibus.
Hluic antam dedie Problema quoddam Iustristimi Viri, D. de Fermat; quod
Omnibus in Furopa Machematieis, prorocando, propotui, anno 1657. VI re.
Fere Freniclius, in lua Solutione.
Problemata duo Numericam ranguam insolubilia, Caltis, Anets, FTollandis, nec-
non caeteris Furopae Mathematicis proposita, a D. de Fermat, in suprema Polosa
cum Curia Senatore, Castris ad D. Claudium Matrinum Laurenderium Doctorem
Medicum transmissan 3 Nonas Januarii 2657; abcepia vero 22. Kal. Febr.
Fc mihi nominarim,
Proponatur, si placet, Wallisio, e reliquis Anelia Mathematieis sequens duastio
numeriea;
Envenire Cubum, qui additus omnibus suis parcibus aliquotis confieiat duadra
cum. Exempl eratia, Numerus 343 est Cabus a latere 7. Omnes ipsius partes
aliquotae sunt 2, 7, 48, quae adjuncta ipsi 343, conficiunt numerum 400, qui est
Duadratus a latere 20. Quaeritur alius Cubus numerus ejusdem natura.
Duaricur eciam numerus duadratus, qui additus suis parcibus aliquotis confi.
ciat Cabum.
Cum hac Epigraphe,
Tlas soltiones expectamus. Duas si Anelia, aut Callia Deteiea  Cetica non
dederint: dabit Callia Narbonensis. Fasque in pienus nascentis amiciviae, D.
Dicoy offeret  dicabit.
Incerum ealdem Quaestiones D. Boret, d D. de Fermat, ad D. Frenictiam mi-
sit; cum hac Monitione, Monsieur de Fermat a voulut ecrire ces questions, qu’il
n’a encore proposées à personne,  vous estes par ainsi le primier qui les pourra pre-
poser à tous les Mathematiciens de Paris, dITollande, d’Aeleterre, ec
Huic Hlonoracissimus D. Viee comes Brouneker, lubicaneum prorinus extribuit
Responsum,
ERO n dacus numerus quilibet (Ouadratus, aue non Ouadratus; Inteser, aut
Fractus;) Lirque q quiliber Ouadratus (Intep er aut Fractus) pro libicu lumprue
cujus radix r. Sique d (= qc. n) disterenria duorum q ee ni (pula d = g n
seu n -q. Prour conriseric q vel n major clle:) Tum est
quaeticus Ouadratus. Nam
 Fc. =71  =  12 29ut nm-99729 m
49 29n. + nn
Etn 9+
99 29n  n qun qun

## Folio 419 — 851708439:0443
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000443.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
Cap. XCVIII.
A L G F B R A.
Dux quidem Regula, le breriter demonltrata, exhubet, non modo Ouadratos
innumeros (quod pecebatur) sed ommino omnes pollibiles (inceoros tractotre)
qui praestant quaelicum. CO et alia mea mechodus non abtimilis.) Ouod d me
demonstratum elt, in commereio pistolico, Epist. 26.
Fademque Regula paricer ralebic, l Pro assumpta Onitate, diceretur assump
dato quovis quadrato, puca bb: Nili quod, pro 49, cum dicendum Foret 49bb.
Atque cum (uC priUS)
n  4 2 bb, +Bb, =
4t4
qt
60 = 4qu + 49 2gn + n2. v0 = a 
Alcera regrila quam dixi, eodem spectans, et pariter unirertalis; est hujus.
modi: Fsto
n numerus quilibet datus,
a quilibet pro libitu sumpeus, qui dividens
q quadratum quemtibet; exhribeat
m quociencem Diritionis. a) g (M.
P quilibet pro libitu supeus.
o quoriens ejusdem n per 4 p diviti. 4 p) m (0.
a (=0ac pn) disserentia duorum oa e pn, ucerris major fueric.
Tum est  quadracus quaesicuo: qui nempe ip n ductus unicace deficiat. d
quadeato. Idemqne in datum quadratum BB ductus, erit actue numerus qua-
dratus; acque, in n duetus, astumpto BB, Fiet iterum quactratus.
Demonstratio, praecedenci similis erit; quia (per constructionem) ma = g
Post hoc ita tolutum; A proponente eandem declaratum clt, (quod tamen
primicus non dictum erat) relle se ue Problema de solis inteeris intelligatur.
Ouadratus aucem, Eic prodiens, non raro Fractus (II.
Adeoque jam Ouxlitum est, Idem in inteeris praestare.
Huie Respontum est; Primo; Pimitandum jam else, datumn (quod et Factum
est) ad numerum non Ouacratum; (qua limitatione in Fractis nOn OpuS CrAL.)
Nam, Sin Sic quadracus, idem in alium quadratum (inteorum) ductus, erit ad
huc quadratus integer. Oui non porest ab alio quactrato (inteoro) unitace dif
Ferre.
Responsum est porro; Ouadratum sic inventum, semper Fore Incesrum, quan-
do ad est aliquora pars ipsius 49; adeoque d iptius 2r.
Sed quoniam 2r pottic este numerus fractus, etiam, cum ct intexer. 181.
cur pro r jam substituimus -; adeoque g = ; EL a (= 9 - n) = =  - n. A.
deoque, pro 2r per d dirito, jam = diridimus per n u -: seu (ductis nurisque
in rr) dividimus 2 sr per urr 155.
Si ioitur invenire possinus, quocunque modo, aliquod ipsius n (dati non-
quadrati) mulciplum ver numerum aliquem quacratum; quod mulciplum ab
alio aliquo quadrato (sire majore sre minore) disterat parce aliquota dupli
rectansuli Tub Ouadratorum horum radicibus, (puta si nrr ci5 s. TC aliquora
pars iptius 2rs;) Tum, hoc duplum rectangulum, per illam disterenciam diri-
sum, est Radix quaesiti Oundrati in integris.
Onoque rali invenco, quomodo hine derirentur innumeri, ibidem tuse octen.
Cum etti Fipist. 24) 27, 18, 19.
acl

## Folio 420 — 851708439:0444
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000444.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
A L C F B _ A.
Cap. LICit HI.
20
Duo autem calis repettatur nus (unde alii derirentur) plures ostendi metho.
dos, locis cicaris. Sed, quam praetero, acque hie ML LAtAaISHIA PLOPOL LL LIIIIH
bus inguisitionibus imitandum, cs ea D. Vice Comiris Bronneker; quam Cumma-
nim exhibeo (prouc eam ab illo acceperam) ad Finem Fpist. 27. et tuliuis expono,
Epist. 19.
Mechodus ea, calis clt.
Esto, verbi gratia, propositus non quadratus n = 13, _C quacratuIS quaeltuIS aa.
Ergonaa F F = F3 a a F T, est numerus quadratus integer: Cujus Radix, ma-
nitelto, major est quam 3 an sed minor quam 4 a. F. Ho 3 a = v.
Tum cA 23aa F + =9aa + 6 ab + bb.
HIOc est 4aa F L - 6ab = bb
Ergo
Elto
Hoc ct 206+406 + F = 3bb
2D = a = b
a = b + 6. FrSO
4bb + 8bc + 406 + L = 6b
Sad. + 6aC+ 566+ 1 = 4dd. F 4aC sut)
260 f26d F 466 f + = 3c5+
30c  1 = 4c d = 3 a d
2dc = 3ec = X = 4 d d
a
2e0 + 2Cf + 3eC = L = 4 ee
ec + F = 6cf + 4ff
+2 45
3655 + 2258 + 88 + 1 = 36f5 +C
88
ErgO
sh = 88 + 5= 465 105b + 4Bb)
358 + c=25b + 4 hB
s
E
3hB + 6b1 + 397 1 = 2. BB. F 263 + 4. 11)
461 + 355 + 2 = 3bb
Et similicer procedendum erit pro quovis alio propotico numero non. quadrato.
Si Mechodi deseriprio haec videatur nimis brevis quam ut tacile incelligatur; sic
plenius explicetur.
Duoniam n = 23 esL RUETUIS PTOPOLtIS non. quadratus, qui in a a (quadracum.
quaelicm) mulciplicatus, atumpro 2, taciat, nd d F l- L5l d F L HUIMCrIIM
quadracum in incegris: Manitectum est (primo incuitu) quod quadracus hic mi-
nOr.

## Folio 421 — 851708439:0445
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000445.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
Cap. XCVIII.
A L G F B R A.
nor est quam O: 4 an = +6aa; Sed major quam : 3 a, = 9aa. (Ouippe, cum
aq per constructionem, sic integer; manifestum est 26 a a = 13 a a = + = 9aa.
Fsto isitur vel O: 3 a = B, vel : 4a - b. (Orsic b ditterentia radicis quadrati
guae(IE a radice quadrati vel proxime minoris, vel proxime majoris.) Ouorum
cum utrumvis pro libitu sumi porerie; lihet hic prius illud lumere; uc sic b ditse
rentia radicis quaesita a racice quadrati proxime minoris; (de pariter in seguenei-
bus, quo procestus sit magis unitormis;) nimirum C: 3 a f b.
Fum, prOPter 13aa F F = (9: 34 + B: =) 9aa + 6ab = Bb; hoc est
(rejectis utrinque aequalibus) 4aa F T = 6 a b = bb. Inde paret b minorem
este quam an led majorem quam Z a. Nam Si b = a; cum 3 a. = b = 4 a; quod
nimium est; (et mulio masis, L Foret B = a.) Sin b = Z an adeoque 2. b = a; cum
propter aequationem 4 a a = F = 6 a b F bb jam inventam) F6bB f F 29112.
ret (12bb = bb =) =3bb; quod est justo minus. Frgo 2 b = a = b. Hocelt
minox cs a quam 2b, Sed major quam b.
Esto igitur a = b. F c. Adeoque (propter aequationem 4 a a F + =- 6 a b (- BB
jam inrentam) 4 bb + 8bc + 46c + F = 6bb + 6bc + bb. HIoc cs (reje
ctis verinque aequalibus) 260 + 4c6 = X = 3bb. Unde colligitur (eodem
modo quo prius) 2C = b = 6
Fstob =c F d. Ondecolligitur (ut in operatione praecedente) 2 d = c = d.
Trerungue, polito c = d f e, reperietE 2C = d = C
Tum, Polito a = e f f, reperitur ee f F = 6 ef. F 4fF, indeque concludi-
TuTZ f = e = 6f. Nam SI C = 7 f; FOret (6ef + 4ff = 42f5 + 4ff =) 4655.
aequale (cc = T =) 40FF. + E: led minus cst. Sin e = 6f; toret (6ef + 4f
=3655 + 4Fs =) 4055, aequale (cc F F =) 36f] + F: sed plus est. FrZO C
major quam 6f, sed minor quam 7f. Ex Similier procedendum cst in sequenri
buS.
Tam rero, ne nimis operosum sic, multa facere tentamina pro exquirendis Limi-
ctansulo praetixus (ue hic 6, praetixus rectangulo ef) dividatur
quadrato (limitando) praetixum (ue hic per r, qui praetigitur, aut
LIMETUS FC-
nitur, quadrato limitando ce,) prodibit in Ouocience limitum alter, vel huic lal.
tem numerus ralde ricinus. Vi, in casu praesenti, 5 = 6, indicat 6 f limitum alte-
rum, aut huic saltem vicinum. Fc, Facto centamine, reperietur 6 f julto minor, de
2f julto major. Limicandum isitur 2f = e = 6f. Pariterque in casibus aljis
Jam rero; cum sint difterentia b, c, d, ecc. (per constructionem) numeri in-
tesri, e continue decrescentes: necesse elt, uc, vel procestus in intinitum exeat (de
quo, in sequente capice dicturi Lumus,) rel tandem (Taltem cum ad 2 derentum
est) prodibis ditterencia quae sic aliquora pars proxime praecedentis, liqua lIC. (F. X
eildem fere principiis, uc quum quaericur maximus communis diritor duorum pu-
merorum expolitorum, per prop. 2. F. L. 7. quem hic procetus imitatur.) FL quan-
do hoc concinsic, licebirpro limicibus (ut hie, 2f = e = 6f,) Aiquatitatem astu-
mere. Ochie factum est, cum perrenitur ad 4h). + 31) + F = 3Bb. Obi
Cumpro B = 2. j. (nam majorem el(C quam; patet per aequationem praecedentem)
habebitur 8j) = 3J) = E( = 22;) F E) = 227i. Ouodtieri omnino pocelt li
POnatur; = 2, adeoque _j; = T. Atque tum, TuMPEO; = +, HabCatT (FCCTO.
cedendo) ralores, h,8, S, C, d, c, b, _ tandem a = 180, Cut in operatione expoli-
ta;) cujus quadratus ductus in 13, tiee altumpra unitare, numerus quadra
TUS.
Si proassumpraunitate, diceretur, assumpto quadrato dato, puta 4; proceltiis
idem Foret nisi quod, ab inicio, pro F F, ponendum ellet = 4, d sic in leguenci.
bus: atque randem prO)) = T, prodiret;j = 4; adeoquej = 2. Fr (retrocedendo)
DrO a = 28O, prodirCt a =360 ==18OX2.
Acque haec sufficiant procestui explicando.
Supersint aurem Compendia raria, pro abhreriando opere. Praelertim cum pro.
cestus alioqui in loneum prodiret.
Primum hoc est. Cum in proceltu jam expolico, ubi ad limices deventum cst.
limitem ubigue minorem acthibuimus (additamento huic facto:) Poteramus (si
libuerit) majorem ubique acthibuiste (ablatione inde facta:) Sed expedicius est,
pro opere abbreviando, ut nunc hunc nunc illum achibeamus, prour hic aue ille
videbitur julto propiOF.

## Folio 422 — 851708439:0446
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000446.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 86 lines, status machine
LL. G L B R A.
134a = 2 = 16a a - 8 ab. = BB
8 ab = bb = 3a a -
2b
200b+ 6b0 - b0 = 12bb + 12bc + 5c0-
3bb + F = 4 bc + 36C
6d = 3a d f. x = 866 = 46d + 3c
ad
64 d 2 = 16 de + ec  L - 04. d a = 0 de = 3 a d
3a d = F = 8de = ec
12eC + 12cf + 3ff + 1 = 26CC + 8cf - ee
10L57
f=300-
l266 -- +
60
8d
180
Cap. XCVTII.
Sic, in calu jam expolto;
Duoniam 26aa = 13 aa F Y
Daa; adeoque radix veca
Ticminor quam 4 an led major
quam 3a; Bonebam = 5 a  b.
Sec Cum 26aa, mInuS excC
cllbus sclati D ibit cltate ad 13 a
IT; compendiosius Forec, ra.
dicem poluile= 4 a- b; ade
que 13A  L -- 26 4a - 8ab
=bb: FC Ctransponendo)
8 ab - bb =- 3aa L. Vnde pro.
aIreL 36= a= 2.6. Tum
quoniam hic, 2 b propius ad vc.
rum accedit quam 3 b, DOnO
a - 2b f6. t HC POLIO, 46
in operatione adjuncta. Ouod
tacit procestum, terria Fere par
ce breriorem. Prodicque s=T.
IL. adeoque à (=- 2. b  C)
=28O, uEprius. Jui praeltat,
uE imperatum Cxat, n a a == L3
XF8OX18O = 427200= 649
X649, T. Dui igicur, actump.
(- 20f
C(--8d C) = 38. B(= 20- d)
to T, erit Ouadratus.
Ouo autem pateat, hance.
hodum ralere, non modo pro exguirendis numeris parris, aut medioeribus, (qua-
lis elt 280, hujutre quadratus:) extribetur (spist. F9.) exemplum pro inreniendo
quadrato, qui conreniat non quadrato 209. Oui maximus est omnium quos, in
Inquisitione Cua, asgrestus elt Frenictius; quemque latecur le non inrenire poruilte,
Sed d Fermatio edoetum este.
n = 10C
F.
Da
Da a -F F = 20 ab +. B6
2
b
209a a F F = 200a
3663  3660 7960 f 1 = 406b-  2066
2006+ 90
=
c
66 -
2
0543.
12
025
6233472406
16026875123
6385090375C
a = 66664 433249
a = 2b +6 = 25240424455500
5498
1382567863
  C = 7807569584602
6460- 26Cd L 9CC =- 806C- 400d
2.4. 6d.
5dd=
c
d. +C
6
iC Ottulleus
Atus in 109 (qui eric Figuracum 29) uno adcico, conticier quacrarum; cujus ra.
dix erie tigurarum 25.
Numeroque a sic invento (fixurarum La) Guacratus esed (latum 27) du-
Idem

## Folio 423 — 851708439:0447
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000447.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
Cap. ZCVHII
A L G E B R A.
Idem peractum est (F. pist. 17.) alia Methodo; (sed _ haC pOterat nOn NI
nuS;) pro non quadrato 249. Obi reperitur a = 2FF376T02O, (figurarum +O
cujus quactracus (figurarum F9, ) a a = 4467985649675440400, ductus in 240
CIL UnO MINOY quam 6657298678020446+96OF (qui c(t tiguraruI Z F) quadrats
mumeri 2580274. F449, tGUTATUM FF.
Secundum Compendium (in muliis calibus, prxesertim ubi procestus in longum
exCUEFeret) opus achuc, dimidia fere parce, abbreviat.
Devendet autem ab hac Regula ante tradita; Si propositus non quadratus, per
quadratum aliquem multiplicatus differat ab alio quadrato (sive majore sire mino-
Fe) aliquota parte dupli rectaneuli sub Radicibus horum quadratorum; duotiens il
lius per banc divisi est radia quadrati quaesiti. Puta 2rs per nrr i ss diritum.
Ouod continsere necesse est (uc alias (xpe, sic Palrem) quotiescunque illa ditteren-
eia est F, auT2. (Nam E diridet omnem Incegrum; e 2 omnem numerum parem
adeoque 2r5.) Quandocunque isicur (in procettu) occurrit expoliri non qua-
drati mulciplus per numerum quadrarum, excedens quadratum alium per 2, aut 2;
aut a cali deticiens per 2; Pollumus, hujus ope, talem mulciplum invenire qui qua
drato minor est Der L. Ouod lape occurrit, es tum praecipue quando tali auxilio
Opus erit.
Sic, mumerus 2 (hoc est 2X F) excedit L, peF Z; adeOque 2X FXF = 2 (hOc
est 2r5) dirisus per F, est 2 = a; _ 2aa = = 8 est uno minor quam 9, qui
elt quadratus. Idemque 2 (hoc ct 2XT) est duobus minor quam q, quadra-
CuS: ErGO ZXFX2 == 4 diritus per 2, exhibet 2 = a, ut prius. Sic 3 (hoc est
3XF) excedic quadratum i, numero 2: AdeOque 2X LX I = 2, dirilus Per 2
extribet r = a. Idemque 3 (Ceu 3X F) est uno minor quam q, quadratus; adeo.
que a = 2. Tem SX F excedit 4n Per T; AdeOque Z X TX 2 = 4 dirituS Per I.
extribet 4 =- a: ec 5x4 X 4 = = 8O =n a a, eA uno minor quam BT, quadratus nu-
meri 9. Irem 6XF exCCdIC 4, PET 2: FYSO 2 X FX 2 =4, diritus per 2, extribe
2 = a: e 6x 4 = 24 cA unO minOF quam 25, quacratis. ITCM 7 XF, =9
ErBO 2XZX3 =6, per 2 dirisus extibet 3 = a. IIem BXI 9 E: ErCO T= a
Trem TOXF = TO = 9 FT: ErGO QXZX3 =6, dirisuS per 1, cA 6 =a. F
TTXF = 9 + 2: FrSO 2X LX 3 =6, divitus per 2, extibet 3 = a. P L 12X 4 = 48
49 = +; FrBO 2 = a. Item 2X9 = 16 + 2: ErgO 2X3X4 = 24; e 24 = 12
=a; _ naa == 2XT2X 12 = 288, est uno minor quam 289 =17X17. Pa
rirerque Het in majoribus.
Sic, verbi graria, Dolito n = =3; inventum est (in posteriori procettu pro hoc
numero) 3Bb F F = 4 bC F 306; adeoque 26 = b = c. Sin d principio pone.
retE = F, PrO F F; tOret 3bb = + = 4 b6 f 35c; adeoque 2. c = b. (Ouippe
cum 126C = F =855. + 360 = 2ZCC, quod omnino erit (I pOnatur 66 = F.
Firoo c = F, B (= 26) 2, e a (= 2b +0) = 5. Cujus quadratus 25, ductus
in 2Z, est 325, qui uno excedit 324, quadracum numeri 18. Adeoque 2X5 X18
=+80 =a; exic (per eam regulam) radix alterius quadrati qui ductus in X3,
uno deficiet d quadrato.
Similiter; Posico n = +09: continuato opere pro eo numero ut supra octen
ditur, pervenietur ad hane aequationem 16 k  F 5II = 9kP = 2; adeoque
31 = k = 21. Sin 2 principio pONCTetIE = F, DrO f F; prodiret 16 kI f 51B
=Okk FF; adeoque l =21: Policoque K = +, (d retrocedendo,) habebicur
2 =85F525, ubi jam est m; cujus quadratus ductus in 13, uno excederet qua
dratum (continuaio opere non nili ad I, quod jam concinuatur ad y:) Ft opC
hujus a succectanei, habebitur verus a = 151404 2445510O, cujus quactratus in
209 ductus uno deficiet d quadrato.
Similiter; Si n = 433. Potio ab inirio 433 a a F + = 44F a a f 42 ab + bb:
perrenietur, concinuato opere, 2d 800 = T = 38 0P F 9p p: adeoque 5p =o= 4p
Ergo, si ab initio ponererur 433 a a = F; prodiistet 800 = + = 380p = 9pP
e 5 p = 0. Atque habebitur Succedancus a = 347483377; cujus quactratns
120744697297324+29 ductus in 433, Facier 52282459327243347857, qui uni-
tate excedit quadracum numeri 7230660684. Adeoque 5025068784834899736
(duplum rectansulum radicum; leu quod tantundem est, id per X divitum,)
est veruS a quaesitus: Cujus quadiatuS, 252513262923220958589839396
27172869696,

## Folio 424 — 851708439:0448
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000448.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
Cap. XC. VIII.
17772869696, (Figurarum 38) ductus in 433
exhibet 209338799545754675069400458542358
52578368, (tigurarum 4T) qui no desicit à qua-
draco numeri 204564907854286695713. AEque
tam rastus numerus (abunde major quam Arehi-
medeus numerus arenarum, quae cotius mundi mo-
lem lonse superarent, etiam secundum Fypoche.
Em Pristarehi, quam Coxernicanam jam dicimus;
detesitur proceltu politionum L5. Oui numETUS
(433) est postremus erium (240, 209, 4 33,) quos
nobis uc insuperabiles propotuir Fermatius. Quos
omnes ibidem expedirimus pist. 17, 29.
Eadem mechodo, expedimus duos illos alteros
L5F e 313) quos, uc extra poceltatem noltram,
Dlopoluerat Freniclius C Fipist. 26.) quibus ia la
323x O: 18T9380158504100: F L. = 9: 32+88F20829734849.
Pariterque Fet, expolito quovis numero non quadrato.
Onoque a lic invenco; reperietur Sccundus, codem Compendio; hujusque ope
Tercius: e sic in intinicum. Nam na an jam invencus, uno delicit d quadrato,
puta IV. Ideoque (per hanc Regulam). 2a1 (seu, quod idem est, hic per dit.
terenciam F diritus) extribet secundum a; et hic (smiliter) Fexrium; et he
semper.
Verum hoc Compendium, quamvis extribeat a numero intinitos, non tamen
omnes; led per saltus procedet.
Tercium Compendium; (quod paricer valicurum exie, si libeat secundum omic.
tere;) hoc est. Cum rentum est ad primum a (aut criam succedaneum a) ubi
anre substiuimus ulrimam differentiam = +; Si libeat, hujus loco, supponere
difterentiam illam majorem quam T; operatio Cimiliter procedet ut prius, donec
perrenitur 2d secundum a: Aique, E cum etiam supponamus differentiam (non
=T, Ted) majorem quam 2, (quod pariter, pro libitu heri pocerit) procedetur
ad Terrium; et lic ad Ouarrum; et sic porro quousque libet.
Sic; Dolto, ut prius, n = 23: Cum rentum
Mt ad 4ef + 3Ff = 3ee= T; Postimusque (ut
Fupra) Ponere e =2f (suppolio f = L;) et hC
recrocedere ad d ==5, (quem jam dicimus an seu
succedaneum a) indeque ad a = 280 (quem jam
dicimus A:) Si suppOnamUS (quod pariter LCCL)
f = Z; tum erit e = 2f. F. (0 C- 2f- 8 (prOuL
ance Fuit B = 2c - d) e sic deinceps; ulque
ad B, B, 3, C, (de ultra si libeat) ut in adjuncto
Schemare. Obi a B, 7 denocane (qualem roca
uS) a Succedancum: (ut SIt n ∞  - Z, Xqua
lis quadrato:) Sed A, B, C, denOtanE verum a
quorum quilibet extibet (quod efisCbaTUF) n a a
F aequalem quadrato.
Obi (ipso incuicu) est obserracu obrium, quod
in singulis stadiis (ut ab a ad A, ab A ad B, d β
ad B, _ Sic deinceps) cadem OCCUIERIE procelIIS
Forma; (puta d = 2 e L f, Prout elt a =2b +C:
TIem e = 2f = 8, DrOUL Cst B == 2C- d: TIEM-
que f =8e = B, Drout elt c = 8 d - c: e fic
ubique,) doncc libeat procettui tinem imponere,
ut hic Factum est ad r, 5. Quod reddic procectus
comcinuationem, post primum a valde tacilem;
sola repericione similium Muleonum, Reciionium, et subductionum, uo
+.24
L C F B R A
5
N:
8
0322 +2
66490233
0 = a = 347483377 ristactum eA F. pist. 27. 29.
252XO: 240634693: + 5. = 9: 1728148040.
ec
ogie
062237
elC.
10326454C
prrto.
dect

## Folio 425 — 851708439:0449
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000449.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
Cap. XCVIII.
A L G F B R H.
Sed et hic monendum est, quod (per Regulam antecedentem) ut ab a deri
vabicur A; SiC B, ab A; et C, ab B; e D ab B; et Fn 2 7; c, de b
POrTO. Sed e ita nonnunquam contingat, ue in
procestu, an B, 7. ec. non compareant: Sed (0li L- 21.
A, B, C, ec. OE puta Si PONaTUIF N - = 3, aWC n
aliisque calibus non paucis. Ouod tamen procestus
non officit.
Ouarto. Si n (non quadratus propolitus) nor
sie RUMeTUS PrimuS (uE cranE jam memorati F3
209, F49, 252, 3T3, 433,) sea numerus compoti
tus (uE eAt 2F = 3X 7,) Idem compendium, see
cum leri aliqua mucatione, locum habebit. Nan
tieri pocest (quod moco dictum cst) ut a B, 7 ec
nOn ComparEant. AUI, S Compareant, ut nad
non excedat quadrarum justa unitate; sed alia par
re alignota dupli rectanguli. Ouo casu formae pro
an B, y Ecc. utur inter le similes, non semper simi-
les sint illis pro A, B, C, ec. VF, in adjuncto
Schemate, PrO n =2T. Alixque Fortan occurrent
rarietates, sed quae procellum minime impediant.
Ouintum compendium est (quod habetur FP. 24, _ 27.) Pro inrenienda con-
cinua serie quacratorum, polt duos primores ut
lupra inventos. F. Co n propolicus non quadratus; r in L
r radix primi quadrati ut prius inventi: ec + =2V:
Mrr. + L. Tum est talis radix primar seur in L;
secunda, rin L; terua r in 27 = T; et Tic deinccps,
ut in adjuncta Tabella. Obi numeri in prima co-
lumma praetixi (Palrem Cubincellecti) Tunt Mona
dici, seu Onitates; in secunda, Laterales; in ter-
tia, Friangulares; in quarta, Pyramidales, (ex
continua additione Friangularium oriundi;) et lic
POrrO. Vel Sic; S prO L, Lt = +, P = 2t, eC. BONANIIE, L, U _, _C. Tum est
et = tt - F, ∞ = F1 = t, Y = + ∞ = 1, 2 = 1Y = N eC.et HC etiam; PO-
sico, verbi gracia, n = 3: Tum est hujusmodi series, facta ex hac continur mut
ciplicatione;
3 in 1: FX3+X33X315X335X3267X eC.
Si n = 2; FuM
2 in C: 2X5 FX5EH5 33XGIBZHS I X _C.
Poricerque in aliis casibus. Obi cermini primus et secundus inveniuneur ut prius;
reliqui continuantur hoc ordine; nimirum, Numerator adjunctae Fractionis sem-
Der aquat Denominatorem Cuum minus denominatore proxime praecedentis. De-
nOminACOE verO, aequaE numeratorem termini proxime pracedentis in tractionem
impropriam converli.
Compendium Sextum, hoc clt. Inventa (ut in compendio proxime praece.
dente, aue aliter utcunque,) cali serie prO exPOTitO non quactraco; puta PrO
n =2: postumus inde similem seriem eruere pro ejusdem muleiplo per quem-
vis numerum quadratum; Duca per mm, ut nmm; pro inveniendo nmmaa.
Nimirum, dividendo seriem Raclicum jam inventam, per n radicem talis qua-
draci; (hoc est ex radicibus illis eas qua sunt hrujulmodi divisionis capaces:
quod contingit nonnunquam in lingulis locis, nonnunquam alcerne in locis le
cundis, cerriis, quactitre, ec.) ad hanc torman;
c
45108. C
EC

## Folio 426 — 851708439:0450
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000450.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 70 lines, status machine
28, 1
329 in 
3X33
eec
_c
50, In C: F4 X 297 ZX 297 138XCCC.
729 In 9: 2X 337X 333X 332135 X _C
98, in : TOX F97 ZX 197 298X_EC.
128, I O: SFX _C
1629 In : 154O X _
XT97 ZX L97 138X _C.
242 IN : T26OXEEC.
288, 1 C: L453 + n 333435 1155  C
:
18, in 
329 IM
50, In C
38, in 
d
Hoc est.
T27 70, 408, 2378, 15000,80
34, 1789, 6736, dc
A
ec
ec.
3ug i
200, in 
+20, L
262, IM :
200, in .
242, IC.
208, in 8:
2
34
4626, cc.
3465, c
772,ec
2310, ec
2980,_C.
2540, _C.
1386,c.
1260, _c.
FY55, _c.
Multa alia compendia, seu expediri procestus Merhodi, ibidem conspiciantur:
Multaque alia in praxi se otteranc, sicui ritum est hanc Inquiticionem ultra pro.
e
requi.
Ouxe Fuerine autem Fermatii aut Frenichi methodi, ego plane neleio. Onamvis
enim haec aliaque (quae praestitimus) a nobis (provocando) creserunt; non ta-
men dienati sunc (ut ut id aliquando polliceri viderentur) nobis indicare, quibus
mechodis proceslerine iph haec Cua Problemata perticiendi; Praecer impertectam
maneam que indicationem quam exhibet D. Frenichius (in libello hac occatione ab
ipso conseripto, cui ciculus Solutio duorum Problematum circa numeros Cubos 
Quadratos, quae tanguam insolubilia universis Furopae Mathematicis a Clarissimo
Viro D. Fermat, sunt proposita; ec.) paucorum ex eis quae hic plenius de pertecte
craduntur. Onde iuto concludamus ( pro more quo uli sune in hilCC COnCERtatO.
nibus) non eis suppetere methodos nostris meliores. Ouipue, li suppeterent, non
dubium est quin eas celebrassent ut nostris praestanciores. Sed cum viderint nos,
absque illorum auxilio, methodos invenisse Palcem aequales, si non e meliores,
Tuis: Tuas reticere maluerunE.
Id autem gnod hic porissimum specto, non tam est ut huie uni Ouactioni latis.
Faciam (quae Forre rix hoc meruerit,) quam ut Mechodum ostendam qua hujulmodi
Ouaestiones Numeriex (aue etiam his perplexiores) Polvri portint per continuan
axproximationem, donec ad coincidentiam deventum est, eriam absque procellu in
intinitum. Sed quod intinita serie, poterie continuari.
Unum acthuc superest de hac quaectione (quod ec supra intinuatum est.) Nimi.
rum, Num pro omni exposito non quadrato, talis reperiri pollit uactratus, qui in
cum ductus unitace deticiat ab alio quadrato. Ouod sequence Capite contiderabi.
tur. Duod aurem, l unus postic, possine innumeri, sam ostensum ett; et quomodo
id tat.

## Folio 427 — 851708439:0451
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000451.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
CaP. ACIX.
L C.
C AL P. XCIX.
Fadem porro continuata.
Ropolitio Capitis praecedentis haec eAt; P. rposito quovis numero non quadrato
(in inteeris,) uEn; sunt (in inteeris) quadrati numero infiniti, ut a a:
qui si mulcipticentur per expositum non quadratum, e productus auecatur
Onitate; fiet numerus quadratus: Puta n a a = T = IV. PheOrema PrOPONICUE
demonstrandum; et Problema (quomodo reperiantur illi Ouadrati pro, expolico
quoris Non. quacrato) solvendum.
Id aurem huc ulque consideratum est Capire praecedente. Nimirum,
Hoc, saltem in numeris tractis, univertaliter rerum esse, (tales quadratos haberi
Polle,) quicunque sic numerus propotitus, Guadracis aut Non quadrarus; Inre.
ser aut Fractus: Nec opus esse ut limitetur ad Non- quadratoS
In Inccoris aucom (prout Problema post expoticum est) id fieri non polse; Hist
Dro expolico Non quacrato.
Ouo calu autem Onus aliquis Ouacratus ralis haberi poller; rales innumeros, leu
numero intinicos, haberi polle: _, Quomodo reperiantur.
Tiem; Suxpolico quod in Inceoris unus hujusmodi Ouadratus sc possibilis; Me.
chodus ostenditur, Dua certo possit talis inveniri; et, consequenter, tales innu-
meri, certo ordine.
Id aurem ultra considerandum reltat; Num praeseripta Methodus talem semper
sic exhibitura; an tieri poltic (pront in quarenda maxima communi mentura mas-
nicudinum incommensurabilium fieri necesse est) uc aliquando excursura SIEIM
intinitum.
Hloc ego primum, analyrica inreltigatione, inquiram, humtieri posic: de post,
Tyncherice, demonstrabo, sic _le.
IN V F S F FG A FFO.
LELI3CILCIISI
Sisic n a a.= L, ( PrOUE SuxpOnituT) Ouadratus in Incesris: cum (radix ejus)
Y: naa = 2: exic numerus Inceger. Idemque major quam a V nn Sed MinOF quam
avn. F. Nam quadracus prioris estnaa; posteriorisna a f F +
4naa
Ex quoniam numeri a, n, sunc (per constructionem) Incegri: exic (disteren.
ria limitum d 2av 1
aset sriti
E consequentes, V: n a a = T: erit Intesex proxime major quam (Surdus)
2aNN
Esto m numerus Inteser proxime major quam Vn;
hujusque ad illum complementum p. = m = V n = +
Adeogue ipsius a Vn complementum ad am exie
ap = am = a V V.
Estos numerus inteser proxime major quam (Surdus)
2V n.
Ec quoniam ax (complemencum surdi ad am) po-
cest elte major quam L; (quamris enim p sit minor
quam x, potest ap eodem major elle;) Fso 2 inte.
Ser proxime minor quam a p. Dui iaque; ab eo demptus, relinquer ipsius a V n
complemencum ad I(inceorum co proxime majorem) ap 2 = Y arn zarn
Ponamus r - Adeoque-=
2aYn = ap - 2. Lb4t 1b= 1. 
TAh 2
deoque

## Folio 428 — 851708439:0452
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000452.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
A L G F B B A.
Cap. XCIX.
deoque (per doctrinam aequationum) a - V.3 F apr. + 2. Fr p - V. 2 t ger. + 2
Sed (ut prius) 2 = ap. Adeoque = = p.
Ergo = =p - V. 20 + apr: + 2. Arque hitune limices
Sedhoc, omnino non estimpossihile. Nam, Sic Lumi pottunt Z, a, duo numeri
rationales incegri, ut sic = minor quam p, sed rancillo deticiat, ut desectus (IL altie.
naco minor. Adeoque cam exieuus, ur V: 2 2. + 4pr: F = sic eo major. Calus ereo
temper est pottibilis. Nam, aequacionum in hac Torma, Radix (attiemmaciva) nun.
quam est impossibilis.
Si de astumpro Lemmace dubitetur; sic demonstrabitur.
Certum est, numeros incesros z, a, Sic lumi posse, ur = sic Fractio (in rationali.
bus) minor quam propoticus (irrationalis) P; Led co tam prove acceclas, ut de.
tectus s daco minor. Fisto minuus hic detectus y. Adeoque = F y = p. Requiri.
cux porro, ue t  + y (= p) - v. 2~ + 4pr: + 2. Fsto  L y + x (- p + v)
Y: 22 + 4pr: + 3
a
2+v Y. 22 + 4Br: + 2
Ec22 + 20 = Y: 32. + 4 pr: + 2. Ec ~ +20
=V: 2~ f 4pr. EF (Tumpeis quadratis) 22 f 4 2V + 402 = 22 F 4 pr. HIoC
Cll; 2V + vv = pr. Adeoque (quicunque fuerit ralor 2 actiratirUS,) erit
V: 22 + 4pr:
Tumprum.
2 =v. Ouod omnino est possibile. Adeoque Lemma benC aL.
Si Forre contiperie (quod aliguando contingat) 3 == 0; (ut puca quando a p non
est major quam L;) hoc neuriquam turbat proceltum; quippe, eo calu, ralor Z ubi.
que cranelcet.
DE MON SF R AF 1O.
Cum numerus n TIC ( ex hyporheti) non quacratus: erit (radix ejus) Vn Curdus.
Ectom numerus intexer proxime major quam (surcus) Vn. adeoque exceltus,
minor quam I. Hloc ell, m = Y n = +.
POnamS B = M = VN. FIY =
eodem major. Hoc CM, = = p = Y: 22. + 4pr: + 
jam demonstratum est.
2a
v. 22. + 4pr: + 4
24
Tum, proptes = = B; adeoque 2 = ap: eric a p - 2 policira quanricas, seu ma.
Jor quam 0.
tem, propior p - Y: 2. 2. +. 4 pr: + 2
erit 2 ap = V: 22 + + Dr: + 2. EC
2ap = 2 = Y: 22 = 4 Pr. Adeoque (sumpris quadraris) 4. a a pB = 4 a p 2. f 2 2
=28. + 4Pr. EL 4 aa PB = 4 a P Z = 4PY. HOC est, aap- a2 r. FC ap. 2 =.
Hoc

## Folio 429 — 851708439:0453
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000453.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
C ap. C.
A L G F B R A.
FrBOam 2=aVN rayn
HoC e, ap - 2 = - ; Ceu am- a Vn - 2 2a
24V
Sed (ut prius) ax = 2, hoc estam = a Vn -- 2, Cs potitir quanticas. Adeo.
que am~ = a V n.
Cum ilague a m = 2 (quem jam vocemus Y) SIL nIeTUS intCBCT (PrOPIeE a, M,
Zy inteoroS,) et major quam a V n, sed minor quam a V n F -. Quadratus c.
2aV+
jusdem eric inteser; et quidem major quamnaa (= O: a Y n:) sed minor quam
y:) inter quos non alius intercedit inteser
quamna a L F: F rBO, Ouactratus numeri I = a m = 2, est idem ipse cumnaa f F.
Oui iraque elt numerus quacratus.
Certum igitur est, vro quovis exposico non quadraco incegro, haberi poste qua-
dratum integrum a a, (qui faciat n a a F F numerum quadratum) adeoque tales
innumeros: Ouod crat demonstrandum. Ouomodo aurem reveriantur; jam olten-
Tum est.
Pollem (ex hac constructione) mechodum aliam oltendere, pro talibus inveni-
endis; nimirum ita lumendo z, an ut hic reguiritur: mediaque octendere pro his
ita Tumendis.
Sed Tusticit ea quae supra traditur. Et huic cum Problemati tum Theoremari
abunde Paristactum est; nec libet ultra prolequi. Sicui id libeac; per me licet.
Hloc incerim esto specimen parilis adhibenda methodi in aliis istiusmodi inquisi.
tionibus.
Arque hactenus ea fere cradidi quae in Editione Anslicana (AnnO +685) compa.
rebAHE. Nili quod non pauca pastim inscruerim, pro occatione data, quae Lectori
pucarerim non displicicura.
Libet achuc Exempla porro quaedam subjunsere praecepra lupra tradica exercen-
diu quae post illa F. dica Ouxliris mihii propotiris relponsa dedis aliaque nonnulla si.
milis nacura miscellanea cum ante conliderata.
De Charta Lautica, ut a Cl. Viro Fdardo Wrighe
emendata: Ft Meridianorum ibidem Divisione.
Simulque de decantium  Fancentium Collectione
Dissertatio.
Orum quae hie dicentur, quae fleric occalio paucis praetari libet.
Fransmisir ad me (eum literis siis ad me datis Londini, Sept. 30, 1685.)
Nauca quidam Lmamensis (miti quidem ignots; sed in Arte, credo,
ua non imperitus;) Exercitationem quandam ab ipso conscriptam qua agebatur;
de libro quodam Clarissimi Doctissimique quondan Viri P. duvardi Wrieht, (cui
Ficulus, Frrorum quorundam in re Nauciea Correctio) Anno Dominl 2590 An
Elice cdito.
In quo aeitur, incer alia, de Corrigenda Charca Naurica: F. a nimirum in qua
Circuli Meridiani Solebant ancea (quibuscam de Caulis) siru parallelo deseribi;
sed in quibus sradtus Lacicudinis erant aequalibus incerrallis inter se diltiui. Ouxe
quidem Lacicudinum incerralla Claristimus Vir (nec sine ratione) existimabat
(manencibus Mericianis parallelis) ea proportione augenda porius ette, qua (proP.
ter Meridianos parallelo5) ausebantur ibidem gradus Lonsicudinis. Quod quo
pacto Fieri commode posset, exponit in eo tractatu W riebius ille. Ouem (non
rite incellectum) erravisse pucabat hic Londinensis, lapius ipse. Petebat autem
ue Fxercicatione lua pertecta, vellem iphi indicare, siquid ab iplo errarum de-
prehenderem.
ELMM 3

## Folio 430 — 851708439:0454
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000454.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
A L G F B R A.
Cap. C.
Cui ego (liceris ad cum datis OcZob. 5. 7685) oltendi megexara Tua quaedam,
quibus tactum est ut errarerit ipse: quod nec ille (monitus) disticebatur. Oux
nam aurem ea tuerine non opus est ut hic repecam. Non enim id hic agitur
ut auc rirum iptum (alias bene mericum) auE ejuS mesSaaTa EXBONA.
Ne aurem in mendis Tolummodo inguirendis versari viderer; Literis sequen-
tibus Oct. 28. 2685 ad cum daris rem cocum ab origine repetens, explicabam.
Ouod cum nec aliis ingracum Fore censebatur, Philosopbicis Transactionibus. L.On
dimenlibus, pro Mente Novembri 1685, infercum etat: prouc (L acine reddicum
hic sequitur.
Epistola a Reverendo Viro D. Johanne WV allis, S. T. D. Ceometriae Pro-
fessore Sariliano in Academia Oxonien. 6 Recalis Societatis Lon-
dini Socio; ad Dn. R. NV. conseripca; de Secantium Collectionem veraque
Meridianorum divisione in Charcâ Lautica.
TOm veus Ingnisirio, (de Summa seu, AeBresatO Sccancium) jam nuper
Fuerie renorata: liber eam ab initio revocare, eique Tolutionem commo-
d dam subjunsere. Inicio a generali Praeparatione facto, camque praesenci
Calui accommodando.
PRA PARATTO CFNFPAL. 1S.
2. Cum linex Currae non pari facilitate qua Rectae tractari soleant: Veteres,
ubi de Figuris quae lineis Curris (una vel pluribus) terminarentur (lire Conca
vis AVC COnVeXIS) agendum FOTCC; (UE A F R F, tig. L. 2.) Tolebane hanc qua
seguitur accommodationem (sed pluribus modis prout mileric occalio variacam)
in sublidium adrocare. Nimirum,
2. Rectis parallelis, ut A P, BG, CHI, _c. (interstiriis aequalibus aue inaequa-
libus, prout res culerit, potis,) expolicam Fisuram (curra curritre cermina.
tam) in Scementa quoc opus videbatue, vel diximebane vel dirempiam suppo.
nebant.
3. Francque haec segmenta coridem uno minus, quor crant illae Rectae pa-
rallelae.
4. Singulis his parallelis Rectis, excepta unica, sua accommodabane Parallelo.
Sramma, lacicudines habentia (aequales inricem rel inaquales) quale crat cujus-
que Parallela incerrallum a proxime sequente. Onde conticeretur Adseripra f.
sura ex Paralleloerammis constans.
5. Ft quidem L a parallelarum Maxima inicium sumeretur (neglecta minima)
figura prodiret Circumseripia (ut Fis. T.) adeoque Major quam expolica Cur-
vilinca.
6. Sin d Minima sumeretur inicium (adeoque negligeretur maxima) figura
prodirer Inlcripia (ac t18. 2.) et Propterea Minor quam quae crat expotita.
7. Sed prout legmentorum numerus Augeretur, (adeoque minuerencur Paral.
leloerammorum Lacirudines) disterentia Circumserixia ab Inscripra (adeoque
uiriutris ab Fxpolita) concimue Decrelceret; idque acteo uc caudem tucura lic
minor quam astignata quaeris.
8. Aique hinc Fxbaustionum (quae dicitur) mechodum desivabant.
9. Ubi autem Parallelogrammorum Lacicudines, seu Parallelarum incercapedi.
nes, non considerabantur, sed solummodo Lonsitudines; (seu, quod cancindem
est, si lacirudines illae censebantur inter se aequales, sinsulxque =L:) Archime.
des (pro tixuris Inseripris et Circumscripris) dicere Colebat, omnes excepta maxi-
man ee omnes excepta minima. OF in PFOP. II. de Linea Spirat.
CASDS DARTZCVL ARLS.
nos omnes ad Polum coire, (uc P. P, F. P, tig, 3.) unde tit uc Circuli ad A qua
torem Paralleli, quo sune ad Polum propiores, conrinue decreseant:
+I. Adeoque in hujusmodi Paralsetis, unus quisque Lonsicudinis cradus, mi
NOY
20. Onamgnam ixicus omnino conster, in Clobo Ferrestri, Circulos Meridia-

## Folio 431 — 851708439:0455
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000455.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 9 lines, status machine
6
e
Cap. C. A L C E B R A.
Fig 21
L
Ld. B C b  A B C
Fig 4
+
nOr

## Folio 432 — 851708439:0456
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000456.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
L L.  L B l 1.
Cap. C.
nor lit quam Giradus Fonsimdinis in A. quacore, seu unus Cradus Lacicudinis:
22. Idque in ea ratione qua est Co. finus (seu Sinus complementi) Lacienai-
nis (qua est Paralseli iltius Semidiameter) ad Semidiametrum Clobu Peu Ai-
quatoris:
23. Vitum tamen erat (quibusdam de Cautis) Meridianos hos, in Charta Pau-
rica, per Rectas Parallelas delignare: UE F. P, P. P.
F4. Indeque Parallelorum A quatori quilibet (UE L A) repraesentatur, in Char-
ta Naurica, (ut Ja,) ue aequalis Aquarori P F; gradusque lonsicucimIs i illo,
aequalis gradui lonsicudinis in squatore.
75. Flnc factum est, ut quilibet Congidinis gradus in hisce Parallelis, in ea
ratione ultra justam (uam prOPOrtiOneM ANGCTetUT, qua Circulus AquatOF (auE
in eo Gradus) major est quam Parallelus ille, (hujutre Ciradus.)
26. Interea tamen, in Anriquioribus illis Charris nautieis, gradus Pacirudinis
repraesencari solebane ubique, (prour ipsi in se Tunc) cum inter se aequales, tum
aequales illis in Aquatore.
27. Flinc erenit, inter alia incommoda, (quod notat Vir Cl. J Lvardus Wrieht
in lua Frrorum in re Nautica Correctione, Anno 259O primum edita,) quoci
in designandis locis ab Aiquatore lonsius remotis, magna lic corundem in illis
Charcis distortio; adeo ue (verbi gracia) Insula in lacicudine graduum 60 ab A
quatore lita, (ubi Paralleli Radius non nili dimidius sic Radii A quatoris) longi
cudinem habitura sic (ab Oriente ad Occidentem) in ratione ad lacicudinem Cuam
(ab Australi parte ad Seprenrionalem) duplo majorem quam revera (II.
28. Duo itaque huic, aliisque item incommodis, quadantenus Tuhveniatur:
Tuadet Vriehtus, uc (manencibus, ut prius, Meridianis incer se Parallelis) sra-
dus Laricudinis, in locis ab Aequatore remoris in eadem ratione prOrrahaNEUT.
qua procrahuntur ibidem gradus Longitudinis.
29. Hoc CF; VE est Co.sinus Faricudinis (qui est Paralleli istins Racius) 2c
Radium Globi (sou Aquatoris,) ita Foret gradus Lacicudinis (qui utique est
aequalis gradui Longitudinis in Aquatore) ad gractum Lacicudinis ibidem pro-
tractum; e sic in Charca repraesentandum.
20. Hoc est; ubique in ea ratione quam habet Secans (iltius Laciendinis) ad
Radium. Nam, ut Co Snus, ad Ractium; Sic Radtius, ad Secantem (.eju Idem AF-
cus Angulire;) uc tig. 4
2. R.: R. S
2F. Ob hanc igitur rationem; Cujutris Paralleli Potitio Peu Sits in Charra
Paurica, in ea deberet esle distantia ab Aguatore, cum coridem Gradlibus seu
Minuris Aquinoctialibus comparata (quor tunt Lacicudinis illi;) ut sunE Se
cantes illae omnes (aequalibus interrallis in Areu TumPEX) ad Radium cories
Tumpeum.
22. Hoc autem (quod VVriehtus ibidem notaL) aequipollet Projectioni Super-
Ficiei Sphariex (potiro oculo in centro) in Concaram superticiem Cylindei,
Tuper nscu praum (alt lecios angulos) crecti
23. Ec Meridianorum divisionem repraesentat Superticies Clindrica, Super ar-
Cujus quidem Projectionis (seu portionis Cylindrica Superticiei) Alcicudo sI
(ad singuta puncta balis circularis) aequalis Secanti Lacicudinis iltius puneti:
hoc est, Secanti iltius Laceus euou enculo Merictiano) distat illud punctum
ab Aquatore. VTLG. . M. CL C planum Meridiani, ejusque arcus ah A
quatore ad Polum, L. P: cujus porrioni E L insiIE R E L. S Cylindricx super
ficiei portio, alticudinem ubiris hrabens L. S aequalem cangeni aecus L. L; de
sic ubique.
24. Projectio haec (seu porrio superticiei CyAndricx) si in planum expan-
Poticae,
datur, eadem exic cum Figura Plalca, Cujus BaliS sit aequalis arcui quactrancali in
Lectam extenso (ssuere Portioni) cui orainatim applicentur perpendiculares
recta, secantibus illis (respective) aequales: Ouarum minima (qua Aquatorem
respicic) aequetur Radio; reliqua concistue creleant, donec quae Polum respicit
sic lonpicudinis infinita. Or fg. 6
25. UF igitIE, FRsL.: (Fixura Secantium ad ansutos rectos insistentium
rectae E L quae aequalis sic areui Lacicudinis propoita in rectam extento,) ad
E R RL. (Rectanentum Cuper eandem batin cujus alcicudo lu ubique F R aequa
lis Ractio;) Sic est ad E. L. (dreum Aquatoris aequalem areui Latieudinis ex

## Folio 433 — 851708439:0457
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000457.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
C ap. C.
A L G E B R A.
DOtix,) hujus paralleli distantia ab Agnatore in Chacta Naucica desipnanda.
26. Ouo haec distantia reperiatur, pro fingulis Cradibus ee Minutis Pavitudi-
nis; Wriehtus (ut qui modus sic maxime obrius) continue Addit Secantes om
neS (PrONE in CanONE FrIGONOMCtRiCO OCCMTTUINE) a principio Canonis, ulque ad
Gradtum seu Minutum. Lacicudinis propolta.
27. Flarumque omnium ABBTCBaTUM, ExCePta Maxima, (ne quod figurae In-
Seriptae re(pondeat) est justo Minus: Ommium vero, excepra Minima, AgorCo2
cum, (ue quod respondeat Figurx Circum seripia) est Fulto. Majus; (quodu qui
dem ille actriber:) Veroris autem ad justum proxius accederet, si (his omnibis
omilsis) sumerentur Intermediae; hoc eltu Pangences pro Minuris L, 13, 23, 35, 8c
vel (pro duplis horum) F, 3, 5, 7, dec. (quae cum Radio cocies sumpeo. com-
ParentuT.). Sed e harum Regresarum (cum lic. ad Currx Conrexam applicatho)
erit adhuc justo MinUS. 
28. Sed horum modorum quilibet est ad rein praesentem latis accuratIS; eum
inde non oriatur in Charca sensibilis differenria.
29. Sicui libeat majorem in his accurationem adhibere; monet Oushtredus,
(sed ec idem ante monverat Vrichtus) diridendum esse Arcum in partes adhuc
minutiores quam sunt Gractus et Scrupuli primi; ec, quae hisce congruunt, quae-
rendas esse (caleculo) Secantes.
30. Polt introductam srithmeticam Infinitorum, et (huie consequentem)
doctrinam Serierum Intinitarum (pro Calibus ilsis qui alias ad determinatam
proportionem haud pervenirent,) Lxcogitata lune Mechodi pro quadrandis hu-
sulmodi aliquoc figuris: et, Spociatim, Exteriore Hyperbola (per modum conci
nux approximationis) ope Serierum intinicarum. VE in Transactionibus Fhi.
losophicis, num. 38. promense Augulto 2668; meoque libro De Motum Cap. 5.
DFOD. 3T.
32. Aeque in harum imirationem, deliderari a nonnullis video, uc consimilis
pro hac Secancium figura adinvemiatur Ouacracura, per Series Intinitas.
32. Duo autem id jam tiat: Ponamus circusi Ractium, R; ATCUIquC auE An-
culi sinum rectum, S: ec sinum Vertum, V: Co Tinum (seu linum Complementi
=R = Y =Y: Rg. 5g: Secantem, s; Tangentem Z. F18. 4.
33. Tum erit, 2. R: : R. S. HOC est, Z) R (s = =; SccanS.
DR
35. Jam, dividi supponatur Radius C P, F18. 2. in partes aequales numero In.
smicas, (quacum quatibet sic L _, pars Raci intinicelima;) superque Mas erixi
Cotinus Fatitudinum L. A. 1, 3C MMPHECIOEI cveri  MANIMOME
26. Tum erunt Sinus Lacicudinum, in progrectione. Rrichimerica, seu (ut 10.
qui Colenc) Arichmerice proponionales.
37. Fr Secantes his respondentes, L. s =
38. Verum Secantes lx (sinibus rectis in progressione prictmerica poliis re-
Spondentes) non sunt ila qua aequalibus incerrallis insictunt extenso arcui Oua-
drantali, F 18. 6.
20. Sed quae diltaneis inaequalibus infistunc eidem Areui excenso: pinitum,
ictis illius punctis, quorum sinus recti, (dum tuerat curra) tuerant in Proeret.
sione Arichimetica. OF F18. 8
40. Cuo iaque habeatur magnicudo figurx R L L. s. Fi8. 6. quae eadem est
CUM RE Ls F18. 8, (modo sic E. L. ejusdem in utraque loneicudinis; utcun-
que inaequalis sic in hac et ilsa Sccantium numerus:) norandum eAt decantes
Ellas Fig. 8, utut inaequalibus incerrallis policas, casdem esse cum iis P18. 7
in distanciis aequalibus, quae dinibus rectis in proeressione Arichimorica con
reniunt.
4T. Ia aurem intervalla (seu batis sexmenta) Fis. 8. eadem ipla sunc, cum
incerceptis arcubus (seu Areus segmentis,) in Fis. 7. Nam baliS illa, non alia
et quam Arcus hic in rectam excensus.
42
INique

## Folio 434 — 851708439:0458
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000458.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
ap. C
lL G F B R A.
42. IIlique Areus (in parribus infinite extB) habendi lunc quasi coinciden-
18
tes cum portionibus Fangentium incer ealdem Ordinatas interccpeis. Or in
43 Hloc est; cum portionibus Pansentium Lacicudinis.
cudinum Pansentes, ad Sinus Tucs.
45. Quo itaque habeatur interceptorum Patallelosrammorum (seu SCsmen.
torum Fipurx) vera magnitudo: Vel proctanenda funt aequalia baliS Segments
aequalia trant illis in Fis. 8.
irahenda erune Secantes in eadlem ratione; (Nam, urrovis modo, intercepta Rect.
tam; quae (loco Sccantis) Basi intistal aqualiter dirita.
Fig. 7 (in ea ratione quam habent Lespectirae Tangenres ad Juum Sinum,) ue
44. Sunique lx Fansencium portiones, ad aqualia batis Segmenta, uc Laci
46. Vet (quod tantundem Vatel) LClCHCS aegutalibus interraliS FiGIER Z, PrO-
angula seu Parallelogramma aequaliter ausebuntur: ) VE L. M Fi8. 9.
47. Nempe; Or Sinus (lacicuuuss) au l’ansentem Tuam; sic Secans ad Ouar.
 = S. , L.8. 5
+.
e F ec
48. Oux ieaque TuHE, ut OrdinatX
 Llguta, quam roco (Arithmet. In
fin. PrOD. 104,) ex Reciprocis Secun-
danorum. Sumpris nimirum quadratis
2 In ordine Secusidanorum; seu ue lune
49. Hloc allem (Propter 23 = R
Sinulque S’in progrectione
ArichmLCa) reducitur (diridendo
in hanc Seriem Intinitam.
Arichmetice procedentium Ouadrara
52:
2
50. HIoc est (DOlItO R = F)
F = 52 f 54 f 5 dc
SF. Tunque (secundum Arictmericam Intinitorum) incerprecandus est S Tuc.
celtire per F5, 2 5, 3 s, erc. donec perrenitur ad s’maximum; qui itaque re-
peasencar numerum omnium
52. Jam vero; Duoniam primum membrum repraesentat seriem Aqualium;
secundum, Secundanorum; terrium, Ouartanorum; de sic deinceps: Primum ita-
que membrum mulciplicandum cst per S; secundum, per 3 S; cerrium, Pet Z ai
quartum, per Z Si et lic deinceps
53. Fritque omnium Ascresatum,
5. +5 5. +5 51 + ; 5 +5 5 _C. = F CLA, FiBD. = F RsL. P1E6.
54. Arque haec Series (Propter S semper minorem quam R = L,) cousque
concinuari poterit, donec poreltas aliqua iptius S tam tueric exisua; ut tum
ipta cum quae hanc sequuntur, cuto poltine neplioi
55. Jam tandem, quo tixec (ad Wriehri mencem) accommodentur, ad Char-
tam Nauricam: Data Paralleli propotiri Latitudine; quaerendus est (in Canone
Prigonometrico) Lacicudinis illius Sinus rectus; de huic equalis sumenda C L. =. S
Et hujus ope quarenda magnicudo iptius E. C. P. MI F18. 9. FTOC cst, ipsUS RF L
F18. 8. Hoc est, RFLS PI8. 6. AIque cum; DE RRL F (seu Radius cories
Cumprus) ad R E Ls (ABGregatum Secantium cousque;) lc crit AreuS A qua
toris (aequalis areur Lacitudinis prODOLICX,) ad distanciam Paralleli (lacicudi
nem illam in Charta designantis) ab A: quacoris linca. Quod erat inquiren.
dum.
56. Idem similicer obrineri Doceric, sumpris sinibus Versis in progrectione
Arichmerica.
dc

## Folio 435 — 851708439:0459
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000459.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
Cap. C1.
A L G F B R A.
Arichmetica. Ntam Ei Sinus Recti ( ut hic) incipiendo ab Aquatore sint H
progrestione Arichmetica, ut 1, 27 3, ec. tum Sinus Verti, incipiendo a Pola
ut qui sunt Rectorum relidui ad Radium) sic item crun.
COLLFOTTO ZANGENTIOM
57. Fadtem similiter accommodari Boltine (quamquam id non sic praesentis
negorii) ad Aexrexatum Tansentium, Arcui in parces aequales dirilo respon.
dentium.
58. Sunc enim Fangentes illae Arcui sic diriso respondentes : sumpris S
in progrestione Arithmetica.
50. AEque tum procracta Base (ut in F18. 8.) vel FangenK (ut in FIB. 9.)
in ratione Tansencis ad Sinum Tuum; crie
SR
5. = C: : 2i. R)
SR SR 5R
60. Onde (diridendo) habebitur haec Series.
S
d
5
5
S. t p L pr t po t ∞o + dec.
62. HIOc CAt (DOLItO R = +)
S + 53 + 53 + 52 + 5 f _c. R- 8) SX (5
62. Cujus membra respectire multiplicata
Per 35, 45, 65, 55, 105, ec. exhibebunt
552 + 454 + 5,55 f 558 f, 5 510 f _c.
Ouod est Aggregatum Tansentium respon.
denrium Arcui cujus Sinus rectis cA S.
63. Oua quidem methodus, Specimen ese
pocerit procectuum in aliis contimilis natu.
ex calibus.
Atque tactenus Fpistola illa. Cur autem (.
mili modo non collegerim Aegregatum Si-
nuum Rectorum (pront hric tactum est de
Secantibus et Pansentibus) caula est, Ouia
id jamdudum praeltiteram in Mechanica mea,
sire De Mo Fractatu Cap. V. FrOp. T2.
F. N. N. O. T. Scerumque Prop. 27. M. N. O. O. T. Nimirum, in Fieura Simum
Rectorum (cujus Ordinarim axplicati sunc Sinus Recti torius Semicirculi) policis
pro Radio R, pro Sinu Recto s, Vro verso v, prohujus a radio Ditterentia _; FI-
oura Sinuum Rectorum (scu Sinuum illorum Collectio) pro toco Semicirculo est
2R2. Pro uno Ouadrante R2. Pro parte aliqua (sire Semicireuli sire Ouadran-
is) a minimo inchoata v R = P + x P (prout minor est aut majos quadrante.)
Pro quadrantis parte d Maximo inchoatu  R. Pro incerjecta aliqua parce d R:
Tumpto a pro Alcicudine Portionis in crecto AxC circuli menturanda; seu Dilteren.
tia Sinuum Vertorum, extremis iptuls porcionis sinibus Rectis convenientium; aut
Dictancia (in diauerto cui insiltunc) duorum finuum Rectorum expoticam por.
cionem terminantium.
Poltquam aurem ea (ut dictum est) typis erant edica; rOBacuS porro cram (lice.
ris ad me. DeC. 17. CCriptis) ut ABGregatI S- f 5 53 f 5, 55 f 7 S Sc. F xemplum
in Numeris exhiberem. Simulque, ut idem praestarem in alia re non abtimili
Nemve; In Alecbra mea Cap. 95. exponitur tlyperbola C l, Cujus A symprocue
d 1
+ dcc

## Folio 436 — 851708439:0460
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000460.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 88 lines, status machine
ap. C.
AD A F angulum contineant F AD rectum;
lintque ipsi AD perpendiculares ad libicum
BC DE. Policis jam A B = _, BC. = b,
e area BC H D = 3: FA BD =
2
D 2abb Baabo 24c. b  120a83 + dc.
(Fiune aurem Denominacorum coefticientes
numeri ex continua mulciplicatione nume-
TOTUI F, 2, 3, 4,5, eC.) Pecebatur autem uC
hianc etiam leriem rellem cso numeris ex.
Donerc.
His cxo Ouaticis, respondi, lingua AN
Slicana, Dec. 2F. 1685. ad hunc tere fen.
iminis loco LTujunsere, Latine recdicum.)
Fsto provolira Latitudo, grad. 30. Aacoque (posito R == T, ) Sinus Lalicudinis
0. 5(= 2. ) ejusque quadratum 52 =-0. 25 (-- 2.). Per quod si continue mul-
aplicetu d; Mabevru 8,830, ecc. F’actisque relpectire Dirilonibus, habentur
L l L. B L A
Lunt. (Ouod Sp
Literis ad me datis Dec. 17. hoc habeas relpontum.
3078723
O7953T-
004883
D+22F
1000305 +
1000076
29) 513 =. 0000019+
13
15) S
17) S1
TT)
. 4.16667
C. OOTTTOT.
(. 00021707
(. 0000444. -
(.0000094
(. 0000020 
(. 0000004
(. 000000r4
349306+
.00625
FC ergo, hoc calus 0.540306F = L. C. L. MI H9. 9. = R L L S H8. 6. Secantium
ibidem ABOregaT. Et R R L. E fIg. 6. (factum ex RF =R = 5. in arcum La
cicudinis grac. 30. hoc cAt, in 0.5235988: Nam qualium Radius est L. talium ar-
cus grad. 30. clF0. 5235988 proxime: per Cusenii numeros: ) elt 0. 9235988, qux
est lumma Ractis cocies sumpri. Adeoque ut, 6.5235988, 2d 0.5493067: Sic grad.
30 in Aquatore, ad distantiam inde Paralseli graduum 30, in Charra Nautica.
Ecto jam provolita Lacitudo, graduum 45. Tum exit 5L07072068 proxime.
RC S2=0. 5 (= 5.) e consequenter,
7071068-
887
85
627
X38FT-
0006905.
0003453 -
0001726 +
0000863
29) 023 =. 0000432-
531 = 0000216 -
==. 0000108.
0000054
)531 =. 0000027
(. 000072.7 -
(. 0000329 -
.0000250-+
.0000069
(. 0000032.
.0000025
(. 0000007-
. 0000003 +
(.0000002 -
(, 00000Or-
.8813736
25
27
X
(. 7072068-
11785TF :
.0553553 -
OLLb269
.0040105
.0020088+
(. 1006409-
. 6003663
l. 0001025-
RF5O:

## Folio 437 — 851708439:0461
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000461.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 76 lines, status machine
CaP. C.
A L G F B R A.
Frog. TF 0.7853982. (lacicudinis arcus grad. 45.) ad 0. 8823736: Sic grad.
45 in Aquatore, ad diltantiam inde Paralleli Gract, 453 in charta Nautie
In calibus rero ubi Miulciplicationes occurrunt non tam tacile veragendae; J0
Sarichmorum ope poterunt expedicius inveniri Pocestatum Logaritimi; iique
Pabellae ope) in numeros naturales conversi, diridendi erunt.
Sic pro Latuucine sract. 20. POliio R = T. Sinus erir 5 =. 3420202. Fujus
LOBarIChmUIS, 2. 53405+5: Flujus duplus T. 068+030, cst Logarichmus quadrari
52. Lujusque concinua additione (P. Ocarichmo iptius S,) habentur Losarictmi
pocestatum 5, 53, 5, dec. Ouigue Loxariitmis hris respondent numeri nacurales,
diridendi CxUNE PeT (7 3, 5, 7 eC.
Dirisores. Losarichmi. Dumeri.
E) 5 7. 5340525. 3420202
3) S3
S
S
2: 6021545
5. 6702575
v400088.
. 004680F +
4. 7383605.0005475 -
5) 53 5. 8064635. 000064. F+
TZ) S 6. 8745665,0000075 -
T3) 515 7. 9426695, 0000009-
Duorientes.
C. 3420202
C. 0233363 -
l. 0009360 +
(. 0000782+
(. 0000071+
l. 0000007.
l. 9000001 L
3563786
Vrisitur 0. 3400669 (lacicudinis arcus gract. 20.) ad 0.3563786: Sic grac. 20.
in Aquatore, ad dillanciam inde (in Charca Praurica) paralleli graduum 20.
Ad alteram quaestionem quod spectat, dc B D = 2 +
2
2
q..l2
(ubi numeri +, 2,6, 24, F20, _c. Eune concinua muleixlicatione numerorum , 2.
3, 4, 5, ecc.) Ouxe est D. Nerotoni Proxolirio. Hoc etto exemplum;
POnamuS a = 10, b ==8, 2 = 16. Tum erit
2 a b) 2 (= 0. 2
6a2 B3) 2 (= 0, 0733333 
24 a b2) 2 (= 0, 0006667-
120 at B5) 25 (== 0.0000267.
2.
2.) 0. 4
16)0. 08
24)0. 016
720)0, 0032
(0. 8000267
720n B) 2 (==0. 0000009  720)0, 00064 (0. 0000009.
BD = 2. 2 240276
BD = 2. 2140276
Ouae quidem (prouc numeri hic ponunclé) sie Pacile compuientur. Duoniam
2 == 26, 8 b =8; erir
e (Crgeer
8 = 2. Hujusque Oyactrata, Cubi, et sequentes
vocestateo, (Hoc ett, 4. 8, 26, dec. ) cune . 
5
 an ai a dic. hoc Cl, vec 2, 10, 100, 200B, dc) sume . ab abo gollc. Dua
porco per +, 2, 6, 24, ec. divisa; exhibent qualica membra, quocum nesrexacum
aquatur quaelna recta BD.
Si autem dati numeri a, b, 2, mminus commode Contineane: plila, a = 13. B  . 7
E +F: poteri mulciplicaresi caedium, losatiitmorum ope lerari; sie ninirum
Procedendo.
A FoParichmo numeri 2, Tubtrahatur L. ogarichmus numeri b: acque cum con-
cinue procedatur; Addendo semper primum hunc Reliduum PoBarichmum, e
Suberatiendo (Luo ordine) Posarictimos nUeTOruM 2 a, 3 a, 4 a, ec. Numeri
que Reliduis L opacitmis jespoydenies, tunt miembca qualsicum tiexiexacum con
irvencia.
(0. 07333337
(0. 0006667-
L.054

## Folio 438 — 851708439:0462
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000462.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
A E C E B R
E
Logarichmi. Numeri.
e
Clid. 0. 7962946
+0, 2962940
ACl. 2. 9776159
Lcl.
0. 7962940
591064
5. 5820459
+ 0, 2962946
4. 0631572
F0, 1962940
Act. 6. 4463 185
0, 2962946
13.
tel.
176003:
0. 09437
T, 8F2923.
0. 0038269
9. 000116
0,0000028
CaP
226a
0, 0000001-
2. 6703517 - = BD.
Nocandum autem est (in his processibus) Obi Ablationis nOta  LNZaLIIIIL
Characleristiex supra serb, incelligitur afticere solam Characteristicam (non
item Logarichmi reliquum,) Tolusque hic numerus est ablacirus, (manente reliquo
Losarichmi politiro.) Sed ubi Characteristica Praetisirur ablarionis HOL; tOTum
alticit Losarichmum: qui itaque totus est auterendus.
Arque haec sunt quae urique Guaesiro Latistaciant.
720 a V
8020946
Ret. 8. 7507185
A P.
Frojectorum.
De Mensura Resistentiae Medii in Motu
Anc Ouaestionem sic dudum absolvimus, prouc habetur in Transactionibus
Y. Ouod ab Aere (Pariterque de aliis Mediis) notabilis Driatur RCL.
Itencia Corporibus in eo moris (indeque Celeritacum ee Virium imminurio,) ab
omnibus in consesso elt. FAque Fxperimento comprobatum. Ouippe Li hocnOn
Foret; Globus ex Formento luu Florirontali projectus (cadem manente Celeri
pare et Vi non minuta) pariter feriret objectum Murum (sicu perpendiculart ere
ctum) in distancia quancumris magna, atque in propinguo. Cujus concrarium
experimur quocidie.
 Dell qula Lloportione haec trat Relillencia (indeque Celericatis et Virium im
minutio) haud Pacis accurate videtur ancehrac tyisse examinacum. Onde est quod
Mocus Projectorum (sectusa hac Resistentix consideratione) repurari soleat line.
am Paraboscal cete. A qua Osauur ex Uniformi seu aeque Celeri mocu in
linca Projectionis, e Ccltale unisormitet accelerata in linea DElCCALUS: LX qui-
hus Meibus inter se compolicis oritur Parabola.
3. Duo aurem hanc Compullationem commodius lasticuam; hoc Lemma pri
MIuS PEemiEtO, (uc quod omnium, qux contidcranti occurrunt, rationi maxime
cororum videatur, ubi pedem primo tigam,) Ouod Resistentia (cateris paribus)
Tit Celeruari proportionalis. Ouippe cum in dupla Ceteritate, amorenda erie
(eodem tempore) dupla Moles Aeris obltancis (quod Duplum eAt impedimencum;)
Philosophicis, Pro Men(e Tanuario _c. 1676.

## Folio 439 — 851708439:0463
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000463.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
Cap. C I.
A L G F B R
2
in tripla Celeritate tripla Moles; ee in aliis proporconitus simitstet. Dco alren
diterre caeteris paribus: Ouippe nemo dubitat qu’in Figura Situsque rariario, et in-
censirae Craritatis, aliarumque Circumstanciarum, mulcum Faciane ad P’acilicandum
aue Impediendum mocum.
4. Ponamus jam Vim imprestam adeoque (si nulla Foret retistentia) Celeritatem.
UIE F: _ Resistenciam ut r: (quam Vi minorem esse cerrum elt, secus enim Impe.
dimento non praeraleret Vis, ut tiat MotuS.) Et propterea vis FHectira primomo-
mento reputanda exic F = r; Hoc est, cantundem quanto Vis imprella superat Im.
Dedimentum.
5. EMO, uE F = rad 2, C F ad m: (adcoque m major quam L.)
6. Ergo Vis etectira (adeoque Celeriras) est in primo momenco, = ejusdem
quod Foret si nulla eltet resictentia.
7. Oux quidem = estitem Vis Residua post primum Momentum: AEque Hxc
Vis residua (cadem de cauta) proportionaliter minuenda erir secundo momento:
deinceps in intinitum.
primicus imprella ViS. FL
mmim. Pro quarto, . Et Lic
8. Cum longicudo Motus, aequali tempore peracti, sic celeritari proporrionalis:
Linex Mocus, his cemporibus aequalibus respondentes, crune ut-
ejuldem quod Forent eisdem temporibus, si nulla tuistet resistentia
c
9. Es igicur txec Prosrestio Cicometrica; e quidem (propcer m majorem quam
T) continue decrelcens.
20. Flaec Progressio Decrescens intinite continuata, (eo loci in puncto quieris
terminanda ubi supponitur expirare motus,) est tamen Magnicudinis Finica; s
quidem -ejuldem quod tanto tempore Foret sinulla tuisset retiltentia. Ouod
a me demonstracum est Asebrae Cap. 96. prop. 8. Nam (quod alibi demonstrareram)
summa seu Rxeregaum Ceometrica Proprettionis est -
R = +
(DOtito V pro
cermino maximo, A pro minimo, et R pro continuo Mulciplicatore.) FIOC est
L.. F.st auiem in hoc casu (Si Supponatur Pcoprettio in intinitum con-
rinuata) rerminus miniimus  intinice exisu.
uS, Seu =0. Et consequenter eranescit;
cocumque nrexatum Fit = . Hoc cAt
(quod divito V R per R = L parebic) Y +
+ P X L  + _c. =   (incipiendo pro.
Grectionem ab V = L.) Hoc eAt (diritis omni.
bus per R, quo proprestio incipiat ab
catu nosro (propter V = F, d R = m:
     A + eecu Hoc est, in
m mm mo + ec. = im-
53
eet
L clus CAstademquoa
toret si nulla tuister resistenria.

## Folio 440 — 851708439:0464
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000464.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
ipSuS DF.
Cap. Cil.
hujus, continua proportione secta.
Duod ibidem demonstratur, ad prop. 25
Flto enim S FP hyperbola incer ACymp
TOtaS AB, AF; Scque DHI ordinata
in exteriore hyperbola ipsI AF Paral.
lela; quae repraesentet Vim imprectam
nondum diminuram, seu lineam cali
tempore deseribendam celeritate quae
huie non minurae Vi respondeat. Sic.
que ordinata BS, = ejusdem. OuX ica.
que cum minor sic quam DFI (mpote
iphus parei aequalis) remorior crit ab
A F. In A B (quam pOnO == F
Sc B d talis ejus pars qualis est BS ipA.
uS DFI. Cumque (ut nocum est) omnia
in exteriore hyperbolâ Parallelogramma, ut A S,
AII, ec. sinE Enter se aequalia; adeoque e0.
ec. rum lacera reciproce proporrionalia: FrBO, ut
Ad = + = = (sumpea Bd a B rertuS A) ad
AB = F; sc BS = = DH, ad dH: quae est
iague = - = iptius DH. Hoc est C quod di-
M
videndo X per m = x parebit) m um
 _c. iptuS DH.
ren d lumacur Bd ulira B: tum, ut Ad
 au AB = E (rel ut m + L ad m; d
n + X
in mn m
22. Sit calis ordinata dh, aut (huie
aequalis in ACymptota) AH, ita di.
vila in Lg MI, N, _c. (rectis ip(I AB
Parallelis, occurrentibus Fyperbolae
ZD G,M, D, _CC.) UtFL, L. M, MN, ec.
Fnc inter se u mne m. dc. Hoc
est, ita continue decrescentes, ut quae
libet anrecedens sic ad conlequenrem
Suam ut X ad, Teu ut m ad F.
2Z. FIOC FEL L LMAnIUE AF, AL.
AN, ec. in cali proportione. Nam
c
G E B R A.
EE. Haec intinita proerestio commode designacur per Ordinatam in exceriore
Hyperbola, uni ACymprorarum parallelam; ejulque membra per respectiva membra
=7 .
um
im n
m
Nc.
Sunro enim A, B, C, D, dec. tales propoxtionales;
Larumque differentix an b, by .
continue proportionalium difteremrix sunt ilem proportionales, et in eadem pro.
Poccione
HlOC

## Folio 441 — 851708439:0465
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000465.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
Cap. C I.
A L O F B R A.
Hoc ese A = B = a. B - C = b. C -D = c. _c.
Tum, propter A. B. C. D. Sc. continue proportionales;
Hoc cll A. B:: B. C:: C. D:: 8c.
Ex (diridendo) A = B. B:: B = C. C:: C. - D. D:: 8c.
HIOc est, a. B: : b. C:: 6. D:: ec.
Et (alterne) a. b. 6. _c:: B. C. D. _c:: A. B. C. _c.
Hoc est, in concinua proporione ue A ad B, auc ut m ad F.
74. Hoc facto: Spatia Fsyperboliea FI, L m, MI n, ecc. Tunc inter se aequalia.
Prout demonstravit Gregorius de Sancto Vincentio. FAque pasTim reCeptu.
25. Adeoque FI, L. m, Mn, ecC. commode repraesentent aequalia tempora, qui-
bus perasantur longicudines inaquales rectis F L, L M, MN, _c. deligNatA.
76. EE quoniam hxe sunE numero infinitx (utut Ainitae magnicudini aequales
Omnes) Duratio cst infinita. Et conlequenter imprelsa ris, motusque inde oriun-
dus, nunquam penicus exrinsuendus (absque alio adhuc impedimento,) sed ad
A perpetuo appropinquabie, ad inltar Atympeotarum.
27. Sunt erso lpacia PI, Fm, Fn, ecC. Losarichmorum instar, in Arithme.
tica progrestione crescentia; correspondentia rectis AE, AL, AM, _c. auE
FL, L. MI, MN, _c. in Geometrica progretione decrescentibus.
 nm rt
terminarae ad A: F.S erO (per S FO) eorum A∞PresatuM F A, seu dh, adt DEI
cancundem lonsicudinis quantum eodem tempore perageretur a Vi imprella non
dliminuca) uc clt L ad m - L = n
20. Si itaque Tumatur, ut L ac n, SIC A F ad DFI; reprasencabie haec longi-
cudinem eodem tempore expediendam Vi cali non diminuta.
20. Aeque si talis D EI dividi lupponatur in aequales partes innumeras (adeo.
que intinice exiguas,) respondebune ha roridem parcibus inaequalibus in F A,
vel hd.
2F. Sed, quxe sit ratio r ad F, aut (quae hinc dependet) + = r ad L, seu F
ad m; restat Experimento inquirendum.
22. Si progrellio non in intinicum concinuetur; sed detinat (Duca) ad N,
sicque ejus minimus cerinus A = MN: Tum CL  - F m  mm L mot dec.
auterendum exic  (ut ad 5 20,) HOc est (quod dividendo pacebic) F +=
+ = f dc. HOc est (in praesenti casit) = f
M
Aggregatum exie.
M
mn
F-
m
mn t 1
+ _tc. = =
Arque hactenus considerarimus lineam Projectionis, in qua (seclusa medii re-
Ciltencia) mocus repucatur Onitormis, aequales lonsicudines aequalibus tempori
bus 2b(OIrenS.
Consideranda renit linea Descensus.
23. In Descentu Grarium, lingulis momeniis temporis, superacdi =
suxponitur norus impullus a Ciraritace ci qui ante FUCrat: AIque
horum singulis (sectula consideracione Retiltentia medii) aequaliter
procedere (a luis respectire principiis) per luccedencia temporis mo-
men YTF. hic (in lineis erectis leu columeslis) T F F F _cc.
E. F Y 80. + F _C. F ec. Er lic continue, ut in linea Projectio.
niS.
etc
24. Hinc oritur (in lineis Fransversis) pro primo momento cemporis, X:
pro secundo, T f F; pro tertio; L F F F F e Sic porro in profrectione Arich.
metica: Or Ordinatae in Friansulo aequalibus intervallis distirae.
25. Faliaque sune continua incrementa diametri, seu Ordinatarum in exteriore
Parabola correspondentes Ordinaris incerioribus (seu sesmencis Fansenris in
K H K
vertice)

## Folio 442 — 851708439:0466
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000466.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
lL G F B R A.
Cap.
vertice) aequaliter crelcentbus. Ouod nocum et, d communiter receptum.
26. Si Relistentia Aerts hic in considerationem reniac: pro lingulis his pro-
grectionibus aequalibus, substimenda erit progressio Gconetrica decrelcens, ad
cundem modu (e Propter caldem causas) ue in linea Projectionis.
27. Flinc oritur, pro primo momento =; pro secundo
in mei pro cerrio = +  +  _c. FF propierea calis
erit Descensus Corporis oraris Tua praritate cadentis. Sup.
Polico linsulos Graritatis Impultus inter se aequales csle.
28. FToc est (in A9. 2.) uE FL, FM, F N, _cc. in linca
Descentus, correspondentis ipsis FL, L. M, M B ecc. in linea
Pxojectionis.
29. Ac, quamris progrectiones illae pro linea Projectionis,
m m m sint Similes hisce lingulis pro linea Delcentus: non tamen inde
Ec. . _c.
concludendum eric  in una aqualem ette ipsi= in alcera:
Sed in linea Projectionis (pura) =f (calis pars impresta Vis, ee Celexiracis huic
correspondencis:) in linea Descentus,  s (calis pars Impulsus à Gravicate
oriundi.)
30. Ila quidem in linea Descensus (ejuldem Corporis) aequales sune inter se
omnes; E0 quod s (novus impulsus à Graricate) supponitur in lingulis mo-
mentis idem leu aequipollens.
3T. Ouxe autem lic proportio iptius f ad 8 (hoc est, imprestae Vis ad Grarica.
eis impullum in lingulis corporibus) restat experimento inguirendum.
32. Proportio haec ubi comperta fuerit pro una aliqua nora Vi: cadem inde
habebitur pro Vi quaris alia (cujus ad hanc Rario cst coenita) in eodem Uni-
formi Medio.
33. Atque hac coonica pro uno Medio; cadem inde cognolcetur pro alio
quoris, cujus Resistentia ad. Rehistentiam hujus Rationem habeat nocam.
34. Si corpus Grare Deortum Vi projiciatur in recta Perpendiculari, Descensus
ejus (secundum hanc hypochesin) erit in ratione
(Vis imprestae,) auctis iptis
3 c. iptius f
m m mo t im + ime + mo ecc. iplius e (impul.
sus d Graritate,) Per S7; _527. E0 quod uraque vires sint hic conjuncta.
35. Si lic perpendicularis projectio Surtum: Ascensus erit in rarione priore.
dempra polteriore. Ouoniam impultus craricatis est hic concrarius imprella
36. Adeoque quum primum hic impulsis posterior (continne crescens) priori
(concinue décrescenci) aequalis tac; desinie Ascentus; indeque Descenditur in
ea ratione qua posterior impecus priorem luperat.
37. In projectione Horizoncali, aut etiam Obliqua: Si rectae Tanseni cujus
inerementa sunc ut P L, F M, FH, Sc. hoc clt, uc = f _c. applicenur Ordi-
naEX (in angulo inclinationi coneruO) cujus incremema sint itE FL, FM,
FH, _c. hoc cst u  S SC. Curra quae motui sic compotico convenit, ca est
secundum quam censendum est Projectum moveri.
38. HIXC Curra (hactenus innominis) rocetur Linea Projectorum (uvore
secundum quam Projecta moveri censenda crunt,) quae Parabolam, sed deforma
tam, remuletur. Cujus Latus Rectum variabitur pro varia ratione f adt 
30. Celericas e Fendencia (seu Directio) pro singulis Currae punctis, deter-
minacur ticu recta Fansentis in illo puncto.
40. Maxi.

## Folio 443 — 851708439:0467
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000467.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
Cap. C il.
A F G F B R A.
40. Marimoque Impetu id Objectum serie, quod est huic Tangenti ad rectos
ansulos, in expotiro puncto.
4T. Si projectio (527) non in intinitum continuetur, sed cerminetur (puta)
ad N, ne ultimus cerminus in prima columna seu serie crecta sit a; adeoque sc
cundus man tertius mma, _c. (quippe cum quaelibet eransversa series terminos
uno pauciores habeat quam proxime praecedens;) cum (ob cautam 522. alti-
Snatam,) aGBreSata Columnarum (seu serierum erectarum) CxuNE =  = ma
F =mma e sic deinceps, ulque dum (iptius a mulciplo jam Pacto = +, )
progreltio expiret.
12. Sune autem haec omnia decrementa an man mma, ec. idem ac termini
ColMNA PrIX FetrOrtum Sumpri. Est enim a corundem ultimus, ma penulci-
mus, e lic deinceps.
43. Elque aggresatum omnium Numeratorum, complum iptius 2, quot est
numerus cerminorum (Duta 5) dempta columna prima: hoc est + - = , Teu
nF = F + a
nt -  +
n. H
Acque hoc iterum per communem Denominatorem n dirisum, FE.
Adeoque
=7-
pxS est linea Descentus suapre gravicate.
44. Si itaque hoc Addatur Vi projicienti Deorsum in perpendiculo; vel Subi-
Aaliacur Vi surtum pcojierenci; hoc est ipti   S: Detcentio (in catu priori)
2f. +
nnSi e (in BOlteriOrI) ACCensus =   nt = 2 + a
Es, in casu polteriori, cum pars Ablacira facta est aequalis Potuira, Ascentus
jam ad summium prorectus ell; atque deinde (parte ablatira nUnC POSItIVE PXX.
valente) Descensus incipit, inde continuandus.
45. In projectione Horiconcali, auc Obliqua; sumpta in linea projectionis
5, indeque (pro daco projectionis angulo)  s in linea Detcensis:
nn
punctum Curra his congruens est locus projecti pro eo momento.
46. Incerim non cum nelcius Objectionum quibus est obnoxius hic calcutus:
sire in procestu operis, sire in ipsa suppoticione. Sed non videbam quomodo
id praecareri postet, quin eraderee computatio mulio adhue perplexior. FF qui
dem in re ram incricata, quaeque ex Obserrationibus Phylieis magna ex parre de
pendeatu difticile eric omnimodam accurationem allequi quae nulla indigeat mi-
rigatione.
47. Pouisset icem nonnihil adjici de Fxperimentis quae sueseruncur instimenda
ad 52F d 31. Sed id Forte Patis rempeltirum erir polt deliberationem habitam de
methodo ilthaee instimendi.
48. Idem dicendum erie de variatis Resistentiis pro rarietate Corporum per
idem Medium latorum, cum ratione Graricaris. (sire extentire sive intensi
re considerala,) tum ratione Fisurae, Siculque in motu. De quibus hacte-
nus nullam habuimus contiderationem, sed haec omnia pariter se habentia sup.
Poluimus.
49. Calculus ille 64F, 427 43, indicatus, potest (S id desideretur) per Li-
neas et sparia exponi seu repraesentari. Ablacira a ma mma, ecc. (cum
idem sint acque columna prima recrortum Tumpta) per segmenta recta N L
(inchoando ab N) in Fis. 2. e 3: adeoque per Parallelosramma basi in-
Listenria, altumpea communi alcicudine Fh, Peu NO. Ouorum aggresatum cst
Ah vel F O. Et + tocies sumprum, per coridem aequalia spatia luper Ca
dem base, incer easdem parallelas ad hyperbolam cerminatas, quorum a
Erexacum est hF NOn. Inde A Subtrahatur ageregatum AblatIVOTUM FO:
reliduum crilineum hOn Descentum extribebit a Graricate ortum.
50. LCIIC.

## Folio 444 — 851708439:0468
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000468.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
A
1
P. C
50. Huie d Craritate impulsui, s adjungatur qui est a Vi projiciente; qui sit
ad Craritatis impulsum uc hR ad h F (lire sE major, minor, rel aequalis) in
cadem recta: eaedem varallela determinant proporcionalia parallelosramma quo.
rum agoregatum K .
SI. Et Propterea; li projectio haec sic perpendicularis Deortum: cum H R LN
(hujus cum praecedente aggresatum) repraesentabie Descensum.
52. Si sic perpendicularis Surtum; horum Ditterentia mocum extribebit: qui,
quamdiu KG majus est quam hOn, est Ascendens; Sed Descendens quando est
nOn majus quam P O: estque tunc in summa altitudine quando sunt aequalia.
53. Si projectio non hiac in Perpendiculo, sed aut FTorizontalis sit aut Obli-
qua: tum KO repraesentat Fansentem Currae, et hen Ordinacam ad eam
Tangentem, pro aaco HIISIIO.
54. Verum eso praecedentem Calculum lonse praetulero huic in Figura re-
praesentationi. Ouoniam in hujusmodi inquilicionibus Machematicis, malim cgo
separatim exponere (quantum Feri potest) id quod nudas Proportiones speciaum
spectat illucque considerare ut abstractum a Lincis; Planis, aliare maceria, quibul.
cum complicatur.
Quod aurem de Objectionibus supra memoratis diximus, ne illud sine causa di-
ctum videacur, has ipse praesentio polle Reri.
Verbi gracia. Cum ego primicus supposuerim, Medii Relistentiam, Celeritari MOtuIS
proportionalem, (eo quod in Dupla celeritate dupla moles aeris obtiltentis sc amo-
venda; et in aliis proportionibus limiliter) acque ex hoc suppolico procedat calentus.
Dixerie Forre aliquis, non cam Proportionalem esse, quam in proporcione Duplica-
ata; eo quod non modo Duplum Aeris sic amorendum, sed et Dupla Celeritare amo-
rendum; unde oriacur impedtimencum Duxli Duplum. (Pc in aliis proportionibus
similiter.) Ouod ue cgo non stacim dixerim (quia non illud reris Duplum, 10t0
irinere procrudendum elt, sed Palcem hac illac Leparandum,) ita nec percinaeiter
negarero; sed a nExco, (uE quod Sic quaelicum Physicum porins quam Machemari.
cum.) Duod si quis ita malic dicere; sic ordinandus erie caleutus (mutaris mu-
tandis) ne huie suppolico congrua, (quod non eric Factu difticile iis qui hujus.
modi calculis sint parum exereitaci:) Ec uhi ego simplicem Fy perbolam acthibue
rim (in qua Ordinacae guxe sine ad Asymprotam parallelae sunc dictanciis a vertice
reciproce proportionales,) Substicuendus exit Ayperbolaster, qui Orclnatas habeat
Sccundanorum Reciprocas, seu Ouadratorum diltantiarum 2 V errice (quales cg0
Arith. Infin. prOP. 102. ecc. considerareram, ec quadraturam tradici, illis Conveni-
encem.) Pocest isicur uriris suppolico (prour quis maluic huie aur illiporius
avere) calcutus pari modo insticui
Porro; procedu hic calculus (sire huie sire illi supposico accommodatus) de
Reliltencia quiae oritur cum in linea Projectionis, cum linea Descentus; qua(I MO
bile in utraque ferretur: Cum tamen in neurra feracur mobile, sed in linea curra ;
quae cum brerior sic quam illa dua recta, etiam Relstencia minor inibi tucura eAt
duam liper duas rectas ferrecur; quod caleulus praetumic.
AliaquC

## Folio 445 — 851708439:0469
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000469.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
Cap. C.II.
A L ∞ E B R A.
Aliaque force minucula concingane, quibus si parcieulatim cavendum Force, a.
jorem subcilitarem exigeret calculus quam quis exrecter in Ouxsito Physico; in quo
tam mulca reniunt solo Fexperimento decerminanda.
Ad eam autem Ouxltionem quam proposuit non nemo; Annon Relistentia
Medii in ea semper ratione minuat impullum Corporis in eo lati, qua cM. Medtii
Entensiva Craritas (seu, prouc jam dici ecexic, graritas specisican) ad eam qua
est Corporis in co lati; (Ouippe, si Sic, ulteriori Obserratione non CritO.
DUS.)
Eoo id nemriquam admittendum judico. Mulca enim alia sunt qux hac in re
sub considerationem reniume, praeter hane medii (quam rOcant) Specitieam, sou
Incentiram GTraritacem.
Nedium Viscidum Crastumre (utut aequali Graritate incensira) magis re-
sistit mocui quam magis Fluidum Penvere. 
Sagitra acuata facilius pertorabit Aerem, quam Felum Crasso capire (medum
forma Cubica Sphaericare) utue ejuldem Graricatis.
Conus item Pyramitre praecunce Verrice, quam Bale praecunte.
Multaeque alix considerandae reniunt circumlantia, quas cgo omnes praectulas
relim 5 48 Cub ea Formula caeteris paribus.
Ac hoc pucarerim admittendum; nempe, Dirersa Media, pariter Auida, (reli.
quisque circumstantiis pariter se habentibus) in ea ratione magis impedire qua
tine incensire Crariora. Ouoniam est, in eadem ratione, Ponderotius Corpus
amorendum eadem Vi. Ouod unum eorum est quae insinvata relim, (33.
Trem, Crarius projectile jam in mocu exiltens, (dummodo aque relox luc, cae
ceraque omnia paricer, se habencia,) ca ratione Fortius fertur per idem Medium,
qua est incentire Crarius. Ouonian in ea ratione major CAt vis Peu IMPCtUS,
pro amorendo eodem Obice. Ouod unum est COruM qua inmit 5 32
Sed ubi est horum aliorumre plurium complicatio, quorum omnia fint alicu-
jus momenti in hoc negocio; habenda est omnium juncta contideratio, uc con-
sruum inde tiat judicium.
De Sole, Lunave, prope Forizontem apparente majore,
qua d siio Lato quisa ptrca.
sic Disquiticioni antam fecit Lpistola quaedam D. S’amundi LLalley, 1d
me Recalis Societatis nomine rogantis: Anno 2687. Cui ad hunc sen.
Ium Responsum est.
Ad Inguissonea illam, quam ais in Resali Socierare nuper conlideratam; d
de qua Clariddimos illos Vuos subenter audituros, ais, Ouid esd sentiam; M
mirum; Onde fiat quod Sol Lunave, prope Torizontem. Major videatur nuds
oeulo, quam cum inde fuerit remotior; non autem, si Instrumentis Astronomicis
observetur: IIaC hablas.
Annos plus minus uacasa D. Damuet Poster, (tunc Altronomia Lrotellor in
Conleoro Cresbamense Lou) alceu Cd d Le rerba habur, Alleruque tide
Tua (ex propriis, credo, iplius Oblerracionibus; quippo cso illud nunquam ex
plorareram;) Apparentem eorum Magnicudinem, Instrumentis Astronomicis exa
minatam luccunque alicer judicet Phiancalia) majorem non deprehendi prove
Horizoncem, quam in altiore posicione. Ouod se alii plucimi ex obserrationi-
Inquisicio. haec omniao Lora Aol ell. Sed (quod bene memini) jam ante
bus luis contirmant.
lo2)
aeque exo quidem ea de re nequiequam dubico. Convenic enim (ni fal.

## Folio 446 — 851708439:0470
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000470.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
L G F. B R L
Tor) apud omnes, quod Retractio prope Florizonrem, utur (quoad apparenti.
am) rei vitae Alcicudinem immuter, non tamen mutat Azimuchum.
Nec quidem tieri porest alicer. Ouippe, cum hoc aequalirer respiciat omnia
FTorizontis puncta; quantacunque fuerie Retractio, non porest hinc Hlorizon reddi
major quam Circulus Inceger: ue non (c locus, quantum ad Amplicudinem Ho-
rixontalem, quo res vila repraesentari postic oculo in majori angulo Hlorizon-
tali (quiequid Ec dc Alticudine rei; ex eo quod Retractio non aequaliter afticiat
partes omnes in Circulo Alticudinis.) Neque ulla ratio cA cur (proprer RC.
tractionem) Florizontis pars una loco luo detrudat aliam, magis quam haec illam.
In Alticudine vero res secus est: Nam dum, per Retractionem, pars circuli
verticalis Florizonti propior Augetur, pars inde remotior Contrahitur: led quan-
cum ad, Azimuthium, seu licum Horizontalem, id tieri non porelt.
Verum quidem est, quod in Perspicillis Ocularibus, res paulo aliter concin-
Sic: ue quae visum objectum undequaque ampliane, (indeque partes adjacentes
regunc.) Sed in Retractione d raporibus Amosphaera oborca (dummodo partes
omnes Llorizontis inde sint aequaliter aftectae) non porelt pars una quoad LIori
rontalem Lacicudinem ampliari (quiequid sic de Alcicudine) quin aliam loco
Pellat: et, cur haec pars pocius quam illa .
Nisi dicemus (quod Forre dici porerit, si res illud exigat,) Ouod Radii cor-
Doris lucidi, se undiquaque expandune, in praejudicium parcium adjacentium ab-
Scuriorum, quae inde ObregunIur.
Sed modo verum sic (quod ego credim proctivis tum, usquedum conrarium
Experimenio fueric comprobatum) quod Solis Lunare apparens Diameier LIo-
rizoncalis, Iustrumento accurate oblerraca, non major deprehendatur quam in
altiori positione; (Forisontalis inquam Diameter, seu qua Forizonci parallela
est; nam Frecta diameter, in circulo ad Florizontem recto, porelt quidem per
Retractionem rariari; indeque reddi, non major, sed minor prope Forizoncem,
quam in sicu alciori; unde Solis Flliprici proxe Horizoncem conspecti nomen:)
Si, inquam, verum sIt, Apparentem Solis Lunaere diametrum Horirontalem, in.
Rrumento captam, non majorem esse prove FTorizontem quam in altiore potitione:
Fgo quidem existimo, imasinariam illam magnitudinem quam luggeric Phancatia
Propetsorizontem, non aliam esse quam deceprionem Oeuli; seu Phancaliae DO-
tiuS.
Certum enim est, Phancaliam non aestimare objecti visi magnicudinem, ex
Solo Anoulo ad ocutum facto; Sed ex hoc cum (uppolita distancia COmpAraTO.
Verum quidem cl, exceris paribus, nos judicare, majus illud elie quod vi-
detur ab oculo Tub majori angulo: Sed non ita semper, si repucetur in minori
distantia.
Verbi gratia; Si per Fenestrae transennam, seu minoremr aliquam aperturam.
Aditicium conspiciamus, pura Cencum passibus inde distans: AEditicium hoc
(utut sub minori angulo vitum) non minus judicabitur quam cst Pranlenna
illa per quam prolpicimus; (neque haec illo major, quia sub majori angulo vi
detur:) Sed Phantalia comparariram Facie aestimationem ex Ansgulo de Diltan-
ria junetim contideratis.
Adeoque; Si res dux sint lub eodem rel aequalibus angulis conspectae, sit autem
aliquid quod Phancalia susgerat earum unam quam alceram esse in majori di.
stantia, majorem illam esse judicabie Phantasia.
Sed et certum est, magnum esse in aestimandis distantiis arGUMenEM ex re-
bus conspectis incermedus inter oculum et rem visam. Ouippe non potell
non Phantalia imasinando concipere intercapedinem his omnibus recipiendis
latis amplam.
Einc est, quod E quid conspiciamus per vercices duorum montium, inter
quos jacet vallis ampla sed non conspecta; non dubium est quin illud mulco
Proxius apparebit quam s vallem icem interjectam inspiceremus; Censebitur uri.
que quati paulo ultra citeriorem monrem Onod  procedamus ad cicerioris
moncis verricem, quo incerjectam vallem simul conspiciamus; remotius jam
Fe uem Ct, quod Sol occlacs, nobis appareat quasi in extremo risibilis 170.
rizontis: quia nihil inter illud et Solem conspicitur. Iplumque Caelum, caclem
ratione, videcur quali visibili Horiconti concisuum.
Cunique
quam ante apparebit.

## Folio 447 — 851708439:0471
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000471.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
Cap. C1
L O E B R A
Cumgne Sol Lunare est prope FTorizontem, interjacentes conspicimus Montes
Valles, Planicies, Sytras, Flurios, rariolque CapOS, et ABrOS; aut hisce conti
milia, prout se habet locus ubi nOS MOTaIUE; qua Phancaliae noltra imprimun
Ideam intercapedinis horum capacis. Si aurem torre contigerie, alicubi locorum
Dolitis, actu ea non conspici (quod objiciune aliqui): cum tamen eis conspici
endis assueci simus, susserit Memoria ralem incercapedinem qualis esse solet ritis
bilis FTorizontis.
Cum aucem Sol Lunare sic in alliori ab Plorironce siu: nihil incerjectum con-
Spicimus (li nubes et rolueres excixiamus) quod imprimat Phancalix nostra Ide
am canex diltantia.
Fdeoque, quamvis verobique conspiciantur sub eodem angulo, non tamen ap.
parene Phantalia noltra ut in eadem distantia, et propterea non ejusdem magni-
iudinis: Sed prope Florizontem ut majores, tanquam in majore distancia, quam
cum conspiciunur AltiOreS.
Verum quidem est, quod, in distanriis parris, aut medioeribus, (praeter hanc
ab incerjeetis xstimationem) habet aliunde Oculus media astimandi distanciam.
Ve puca, cum jam ance cognoleamus magnitudinem rei rilae, cui altueleimus; puta
Tominis, Arboris, Aditicii, aliorumre hujusmodi: Si tale quid nobis appareat
sub angulo parro, indestinctum, et obscuris coloribus; praesumit Phantalia tantam
esse diltanciam quanta reguiritus uc res sic appareat. Quod shoc, ope Velesco-
Diu repraesencetur ut sub majori ansulo, magisque distinctum: concipicur ctiam,
ut in minori distantia.
Sed res omnino secus est, ubi non ex nora magnitudine conjicimus distantiam,
Sed ex distancia suppoluca collisimus magnicudinem; ut in praelenti negorio.
Hlinc tu, quod rarii homines, pro dirersa quam supponunt clonsatione, varie
judicant, ee mulcum direrto. Puca, A duo Rultici aliire hisrebus minus allueu,
Tuerine de duabus Scellis indicaris interrosati, quancum inter se distare rideantur;
respondebit Porre alter, unum Pedem; alter, incexram Vinam, vel achue magis.
Sic alter Solem aestimabir Palmaris magnicudinis; alter, Pedatis; vel adhuc ma-
jorem. Scerque pro ea quam Phancalia Pusgerie elonsatione.
Porro: Tlabemus irem in binis Oculis (cum res utroque conspicitur) rationem
astimandi quam procul quid abest. (F. stque hoc praecipuum illud, licet pauci ad
hoc acrendunt, unde nos astimamus distantias.) Nimirum; ab eodem Objecto
duo distincti Coni rituales terminantur in binis oculis; quorum Axes bini, pro
diverta distanria, alium acque alium continenc angulum in Objecto terminatum:
Acutiorem in remociori diltancia, in propiori magis Obculum.
Origicur Objectum utroque Oculo distincte percipiatur; eo sim ponendi (une.
oculi ut ueriusque Puxilla arem Coni risuatis recipiat ad angulos rectos. Ouod,
pro dirersa distancia ejusdem objecti, divertam poltulat oculorum positionem.
duod manifecte perspiciamus, si acrente incucamur digicum nostrum (aut aliud
aliquodminucum objectum) ance oculos politum, per duorum auc trium pollicum
lacitudinem remotum; et mox actente intueamur aliud per totidem ulnas in cadem
linea distans; alque hoc alternatim aliquories. Ouippe manifesto deprehende
mus, quod dum horum alterum intente conspicimus, alierum vel non omnino, vel
contule videamus; quamris ucxumque lic directe ante oculos positum. Et quidem
dum incuicus artentionem ab uno ad alterum permuramus, manifecto persentiemus
Oculorum mocum (musculorum oDe) à licu alcero ad alterum.
Acgue ex hoc diverto sicu Oculorum, ad claram visionem requisito, actimamus
objecti elongationem; longo ulit ad hoc actueri.
Alque tinc tic, quod qui unius Oculorum ulum amiserine, magnum inde subeant
incommodum in aestimandis diltanciis, prX EO quOd BOLCTINEQUUI UITOGUC NLErenEuT.
Finc elt quod de Lusono quodam (in bello nostro Cirili noca lama Colonel.
10) nunciacum est: Nempe, poltquam ille accepto rulnere Oculorum altero pri-
vatus Crat, Crarque ex vulnere lanatus sed non resticutus Oculus, accessit ille
(quumprimum conratuic) ad Phamesis rixam ( quod tieri solet) cymbulam con-
scenturus; cui cum pedem interre paratus erat, errante pede (propier distantiam
non recte aestimatam) in Aumen cecidic. Duippe distanriam ille urroque oculo
explorare soluns, nondum didicerat cam unico laris aestimare.
Idemque experimento rulxari, et tantum non ludiero, saris notum est: Nimi
rum, sulpensa ex cenui silo re quadam parra, in distantia non masna, jubetur quis
exDC

## Folio 448 — 851708439:0472
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000472.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
L.G L. b L A.
experiri an possit, oectorum aliero ctauso, pendulum hoc objectum cransverto di.
Sico accingere: quod ille le contestim tactirum non dubitans, errore crebro (nunc
ulera nunc citra transeunre digito) ridendum se exponit; rix randem post plura
rencamina rem actingens. Dieo aurem tranverso dieito; nam digito directe ab
oculo ad objectum laco id tieri non elt ditticile, quippe taec directio non disticilius
(imo melius) uno oculo quam utroque Fic, quod Coltimando latis obserratur.
AC vero, quando clonsatio tam in immentum exerererie, ut axes illi riluales
sinc plane paralleli, vel ita ad parallelismum accedune ut inde distingui vix auEne
rix postine, hoc adminiculum plane peric; indeque hoc Solum colligere licet, quod
ralde procul (C; Sed non, Guain procul.
Hine cst, quod incuicus nolter nullo modo poltic distinonere distantiam Luna,
a diltantia reliquorum Planetarum, auc etiam scellarum FIXarum: Sed vilui appa-
rene nostro equaliter elongari omnes; (uruc aliunde incelligamus distanciarum il-
larum immanem esle difterentiam:) L0 quod Parallaxis (Euta loqui liceat)  di-
verta binorum oculorum polirione oriunda, omnino craneleir, licque inoblerrabi-
lis in dultaneiis mulco adhuc minorious.
Sed (ut redleamus ad id quod prae manibus elt:) Onamris in parris dictanciis
postimus ex nota rei conspecta marnitudine de distantiis judicare; de, in medio.
cribus, a parallaxi quae oritur ex binorum Oculorum incerstino: actamen criam
haec posterior haud longius quam ad visibilem Hlorizoncem cerreltrem (s Taluem
coulque) percinsere censenda eris; tocumque quod ultra est, ommino elt pro de-
derdico.
Cum icaque jam nihit hic rellet quo Phanicasia jurari possie in xestimanda distan.
cia praecerquam Objecta intermedia: ubi hac intermedia apparent oculo conspicua
(gllod tic cum Sol et Luna lunc prope Lsorizontem;) diltantiam censebit Phan
calia majorem quam ubi non comparene, (puca, cum Sol e Luna (unt remorio.
resab Hlorizonce:) d consequenter (quamris sub eodem angulo appareanE utrO-
bigue) majores tamen censebit Phancalia cum sunE FTOTIZONEI pTODIOTCS. AIque
lane c8o, hujus Phanomeni, exiltimo veram esse caulam.
Non ionoro ab aliis alias altionari causas hujus Phenomeni; e Speciarim a
Cussenao Ampliarionem Pupillae; _ a D. Molineux et Casvello noltro mutacam
Oculi Figuram. Nempe quod propier mlus Laminis prope FTorizontem non tan-
cum amplietur Pupilla, led e relaxerur Oculus, masisque ad planum accedar seu
portionem majoris Sphaera, indeque majorem imprimat in Recina figuram. NOn
meam CGOPrODOnerem.
Exculacum interim me haberi velim. Ei in aliquibus longius excurrerim. Ouam-
quam enim dictorum nonnulla omitri Forte cuco poruerine, quancum ad rem prx-
factura sic Phancalia de Maslicudinibus de Distanciis.
autem id mihi erat provositum, ue contra aliorum sententias disputarem, sed ut
lenem: non tamen aliena sunc d Visionis nesotio, nec ab atimatione quam inde
De Viribus chatu fadis indentae, Faperimentum.
Xperimencum hoc, quamvis ad Alsebram non directe percineae, ne tamen
hic locum inter olia Corciatur non video quid impeaat.
In Conventu quodam Philosophico, Oonix haberi solico ctaris diebus
cum sermones forre facti tunc, de providae Nacurx supplemenio ex sentuum uno
ejus quod in altero forte deticic; Fxempla quaedam allata erant eo spectancia.
Sipore quod Cxcimulti, Auditu Pacture melius instriet, aleant ex Vocis te
nore, aut incestus modo, adremantes homines distinguese, elius quam possint
in tenebris qui oculis gaudent; aliaque palpando aptu cceete, auc viam ex
plorare, quam possent oeulis clautis alii. Pariterque, qul Surdt lune, postint
Visu Facture subrilius ue, quam qui mellus aurul.

## Folio 449 — 851708439:0473
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000473.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
Cap. C. II
A L G F B R s
Et quidem expertus nori Surdum quendam qui oculorum beneticio sic usus
clt, ut vix pocuillemus de quoquam (non exira captum tuum) colloquendo verba
Facere, quin illi suboleret mulcum illius quod diceretur; et quidem si exrra xedes
in platea Currus aut Plaustrum prope accederet inconspectum, ille Ctarim id in-
nVETCE (FOrr citius quam nos audicu persentisceremus) et Patis diltinsueret
Plaustrum sIC, an Currus, (eriam dum nobis in dubio esset) ex tremore Felluris
ractu sibi cognito: Atque, in hominum curba Zonaini ambulantium, si Equo
Currulre a cerso accederet, id ipse stacim persentisceret, indeque sibi (non
monitus) careret; quod cum ego aliquando miratus cum; innuebat ille, id ex
terra cremore sbi constare, cum sic adesse quidem, tum quam prope ad cuu
Sc accesturus, ue inde sibi nihil estet periculi; etiam ubi eso nili respiciendo
vix pucarerim me securum.
Verum id non inde solum crenire censendum cst, quod naturae benetieio reli-
qui sensus sine per se Acuriores, quain Forene si qui decst non deeslet, (quam
quam ne hoc etiam nesererim aliquando contingere) quoniam horum similia
contingunt eis qui ante Viderine Audirerinere; nec erant natu Caci aue Surdis
sed calu aliquo sic facti: Sed quod magis sint exercirati, uluque exculti, illo
rum sentus illi; quodque sinc ii animo magis incento ad sentuum qui lune su
perstites objecta, eaque distinctius obterrent, quam quibus id non opus ester, sensit
illo praediris quo ipli carene. Dequis enim noctrum, qui auditu id altequimur,
tam Lubeiliter ad tremorem cerrae acenderet, ue de adrentu ee distantia curris equi.
ve in procinctu sibi Patis constarer; cum inde possimus auditu potins monitis
retrolpiciendo carere: Aut etiam, qui colloquentes audic, ita ad lingulos corpo-
ris seltus aliatre circumstantias sic actentus ester, ue inde discat quid sic de quo
colloquium instituitur Eequis item qui oculis gaudet, ita esset ad singulas rie
qua incedendum cs minurias incentus, ue palpando sibi viam inveltiser? Ouippe
cum haec alias poltic expeditius alsequi, neslisit ca quae non line difticultate
possent eadem edocere. Neque id co tic quod non poiuerit, ( Foret neceste, ila
sensus suos alios excolere uc id sibi praestene quod aliis hoc indiscncibus praestant
Tui: Sed quod non arduis se astretaciant quibus praesto sunt media taciliora
Pariter atque ii qui manibus carent, pedum utuntur ministerio ad ea perticienda
ec quidem latis actabre nonnunquam, quae, s adettene manus, ne conarentur
quidem.
Sed e (quod suggerebam ego) etiam qui Oculos habent Patis propitios, res
tamen qux actenta mente perticienda sunt, folicius expedire poltune nocturnis
renebris, aut etiam incerdiu claulis oculis, quo rirentur arocamenta. Ouod
ecio Experimento a me facto contirmaturus, indicari, me nocte mera pere.
sisse Operationes Arichmetieas in Numeris mulco majoribus quam quis speret
clara luce fieri posse.
Ineidit haec discepratio in diem Marrii 24, 2683. Cumque animadrerterim
dictorum nonnulla praesentium quibusdam mira rila, ea de re porro sciscitanti
bus; Congrelsu proximo (Marrii 3T. 2685.) rem seripro extribebam ad hunc
Tenlum.
Cum ancehiac, curiositatis gratia, tentarerim aliquando quousque vis Memo-
rix mihi suppeteret ad peragendas Operationes Arichmetieas, (puta Mulciplica
tionem, Dirilionem, Radicum Excractionem, Timiletre,) absque ope Calaini d
Acramenti, aut quae horum instar TunE: Remque Patis succedere deprehenderim
Cverbi gratia) in extrahenda Radice Duacratiea, ex Numero Aguris 8, 10, 12
aut etiam pluribus seripto: procedere vilum est pederentim (non quidem uno
impetu, eodemque tempore, sed successire, pluribus incerrallis,) idem experiri
(nec sine succestu) in numeris (quod aiunt) locorum 20, 30, 40. Nec tamen
it curiosus eram, ut numeros quos ita tractareram seripto contienarem; (utpore
oux curiositatis res erat, obiter facta, nec ulceriori ului Futura;) Donec pere.
frinus quidam nomine Johannes Georeius Pelstover, Resiomontanus Borussus.
me visere dienatus est, deque hujulmodi rebus sermones aliqui intercesernE
Ouod tactum est Februarii 28, 1670. Stilo anelia. Ouo rempore distinebar
ero lonsa ex severq saris Febre quartana, quae me corripuerat sub finem Septem-
bris praecedentis, detinuiique me (quati per annum integrum) ad ulque sequen-
ad depremibris mentem; quae tecit vi plures exo noctes (runcum non) insommes
iransexexim.
Letedat

## Folio 450 — 851708439:0474
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000474.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
A L C F B R A
Perebat ille Patis instanter, ne vellem eso aliquos ex illis numeris quos ica
tractareram indicare. Quod quidem eo rempore (ob rationem modo dictam)
tacere non potui; nili quod Dec. 22. 1669, nocturnis tenebris excraxerim Radi-
cem quadracicam numeri z. cum Fubjunctis Ciphris Fractionum decimalium (ut l0-
quuntur) locos occupantihus; quam Fxtractionem continuaveram ad risinut loca
tractionum decimalium. Nimirum
T. 73205,08075,68877, 29353, fere.
Oux est Radix quadrarica numeri 3. cum subjunctis cixtris quadrasinta,
8. 00000, 00000,00000,00000,00000,00000,00000,00000.
Duod quidem torre seripio consignareram, eo quod V3 Sit numerus surdus qui
posser laepius in ulum venire. Sed addidi, calia me posse facere quando li
buerit.
Cumque urxeret ille ut dienarex in sui gratiam hoc Facere: Fgo eadem nocte
(in renebris decumbens, sola Fretus memoria) hunc mihi provoTui (uE FOrte
Obciseric) Locorum 53, numerUIM, 2, 468T, 3579, FOT2, T4TT, 13T5, 1618, 20177
292T, 2224, 262.6, 3023, 23219 L951
Cujus radicem quadraticam (locorum 27) deprehendis
257, 2030, 1687, 2482, 8058, 1715, 2271, fere
Non alia ulus excrahendi methodo, quam qua apud Vietam, Oueheredum, alio(que
est ulrtata.
Flos numeros cum exo Memorix intixeram (eandem opcrationem semet acque
irerum succeltiris noctibus repetendo,) quando ad me repeciro risum rediit Marrir
=T lubsequence, eos ipsi ex Memoria dictabam ab iplo delcribendos, acque an
veri ellenc examinandos; nec eos ante descripseram ipse, sed cum demum scripro
mandari.
Ttanc ille rem (quod intellexi postea) cum D. Oldenbursio communicarit
a quo tuerat mihi commendatus: Cui et eso, ab ipso rogatus, idem poltea re.
Detebam.
An eso me hac aetate spondere debeam paria lacturum, taud auclacter dixe.
rim, cum aetare prorectiore minus tirma sic memoria. Putarerim autem me,
occatione data, etiamnum paria, si non aequalia, praeltare poHC. Sed ex eo rem-
Pore nil tale (in tam vactis numeris) aggreus sum: uc qui jam cum latis com-
verrum habuerim, Memoriam, non intirmam, aliquandiu similibus altuetam, et
latis intentam, plus posse in hujulmodi negorio praectare, quam quis prima rice
SDeraverit.
Et quidem ego (expertus loquor) res Machematicas, etiam subrilistimas, Lon-
saque consequentiarum serie connexas, e Demonstrationes bene longas, de la-
as intricatas, hand felicius expedio quam octe lilente, ec meris renebris; quando
nihil adest quod aures Oculotre alio abripiat, quin possim tota mentis atten
tione illis incumbere; cocunque rei ambitum, etiam late parentem, una quasi
Synopli animo praelencent lete, camque sic Enodare e Ordinare, ut alias vix
Doterim.
aP.
De Fuliana Periodo, Disquisitio Csronn
VB Anno Auxe Christiana 1652, (vel non ica mulio poth,) De Anni nu-
mero in Periodo Tuliana inveniendo, ex datis Numeris in Cyelis Lunari, So
lari, acque Indictionum, interrosatus: rem ab OriSIHC LPCIEHS; aIque LX.
emplis, quam Praceptis, mechodum inguirendi, ejusque compendia PrO tC nata,
telicius explicarum ii ratuo; male qa eutut cdateripli Mechodum.
Exvotuo Anno, qui si (verbi pracia) in Cycto Solari, Anaco, 22; Lumari, 14:
Endictionum, 2: quaricur, quocus sicille Annus Periodi Juliana
Crelus Solaris, elt Periodus annorum 28; quo tempore ules Luterarum D0.
minicalium varietates absolvuntur. Onoque ablocuo, altel Collmuo incipit.
Cyclus

## Folio 451 — 851708439:0475
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000475.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
Cap. C1Y
A F C F B R
Cyelis Lunaris, est Periodus AnnOruM LO; quo rempore Lunationum rarietates
intelliguntur absolvi. Onoque absoluco, alter continuo incipit.
Cyclus Indictionum, est Periodus Annorum L5; ab Indictionibus Romanis, Or-
cum habens. Unoque absoluto, alter incipit.
Intellisuntur aurem omnes hi Cyeli eodem aliquando anno incexisse. Oui an-
nus, cum in lingulis illis Crelis sic primus; primus icem habetur Periodi Julianae
ex tribus illis compolitae: qua coc annorum esse incelligitur, ue, illa ablolura, tres
illi Creli Cinul irerum eodem olim anno lint incepturi.
Ouum aurem 28, F9, 25, numeri fint inter se primi; fieri non potest, ut
una aliquando incipientes, limul terminentur, nisi absoluta annorum Periodo ab
his omnibus composita; nempe annorum 7980 = 28X T9X 25; ut qui minimus
Tit Numerus qui per 28, τ9, e 25, dividipoltie, per Prop. 38. F.l. 7. Fuchais.
Expolito jam Anno quolibet Periodi Fulianaeipura 632r: Ouocus
sic ille Annus in singulis illis Cyelis, inveltisare, tacile est. Nam
Dirilo 632F Per 28; Guotiens 225, oltendit Cyclos Solares
intesros 225 jam transiiste: Et Residuus post dirisionem Nume.
EIIS 2F, ostendit annum 22, Cyeli jam currentis 226.
Trem diriso 632F per 19; Duoriens 332, oltendit Cyclos Lu-
nares inceoros 332 jam trantiiste; et Reliduus 13, indicat se.
quentis Cyeli annum 13.
Similiter, Divito632Y per 25, Ouoriens 42Y, ostendit 101
Crclos Indictionum integros absolutos; et Reliduus 6, indicat
sequentis annum.
naris, 23; e Indictionum, 0.
Fxpolito vero, Ouocus sic annus aliquis in singulis Periodis So-
lari, Lunari, e Indictionum; Ouocis sit ille annus Periodi Ju-
liana, inveltigare; (quod imperat hoc Problema:) non ila La-
cile CAt. Sic camen tiet.
+ (2
_2 B X(2.2.5
2 888
Sit (verbi gracia) Annus 22, in Cyclo Solari; 24, in Lunari; 7, Indictio.
num.
E. Proprer annum 22 Cycli Solaris; manitestum est annum expositum, este vel
annum 22 primi Cyeli (adeoque et 22 Periodi fuliana,) vel alterius alicujus post
unum pluretre inceoros absolutos: Adeoque (proprer integram Periodum anno.
rum 28) in serie Arichmetice proportionati ab 22, COnLInUO auGmEnIO 2B, PFO-
grediente. Nempe, 22. 50. 78, 106. 134. 262. 190, 218. 246. 274. 302. 330.358.
386. 4.X4u 442. 470, 800.
T Propier annum L4. Cyeti Funaris, (cujus tora Periodus elt 29;) paricer ma-
nisestum ett eundem annum este in ferie Arichmerica ab T4 continuo auement
19, prosrediente; Nempe, 14. 33. 52. 75. 90, 896. Adeoque hujus eo aliquo anno
qui lic cum serie priori communis.
TIT. Proptes seriei primae numeros omnes pares; manisestum est, nonnisi aller-
nos quosque numeros secundx seriei usui elle Doste; nempe 14, 52,90, 190. OuX
itaque est series ab 24, continuo ausmento 38 = +9x 2, proprediens. PuLa 14.
52. 90, +28, 266, 204. 242. 280. 328. 356. 394. 432. 470,190.
IV. Cum Numerus 470 tic urique leriei primx de certia, communis; Adeoque
maniseltum sic, cum annum Periodi fulianae este, cum 22 Cgeli Solaris, cum X4
Lunaris; Nec illud (Propter 28 _ r0 numeros inter e primos) iterum rCCUTTaL
nisi post annos 532 = 28 X 19, continue recurrentes: Manifestum est, quaelicum
annum este in serie Arictmerica quaerendum, ab 470, concinuo aueMEnCO 532, PrO.
rediente. Puta 470, 2002, 2534, 2066, 2598, 3730, 3662, 886.
V. Propter Annum Indictionis 7, (cujus tota Periodus est 25;) Duaerendus est
idem Numerus in serie ab 7 continuo ausmento 15, progrediente. NemDC 7, 22,
3752, 890. Adeoque in hujus aliquo numero qui sic seriei quarca communis.
VI. Cum rero, propter seriem quarcam ex Colis numeris paribus, nonnisi alterni
numeri in serie quinca ului esse postint; puta 22, 52, 896. Dux CAt Series ab 22,
continuo augmento 30 = 25 r 2, prosrediens: Fric in hac serie numerus quaesi.
11IS.
et X X(423

## Folio 452 — 851708439:0476
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000476.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
L G E B R
Cap. C IV.
HS. PAT 22, 52, 82, T22, 875. Adeoque hujus numerus aliquis, qui seriei quarrae
communis est.
VIT. Cum Periei sextae numeri omnes binario terminentur; constat quartae n-
meros illos solos esse utiles, qui binario item terminantur: Oui, cum nonnisi
guinco quolibet ab 1002 loco recurrant, incident in seriem ab 1002, continuo aus-
mento 2660=532 X 5, proeredientem. NTempe 1002, 3662,6332, 890.
VIII. Examinatis iortur sixillatim seriei septimae numeris, an etiam seriei PexEx
conreniant; hoc est, an per 30 dirili relinquant 22; invenietur mumerO 6322 h0c
conrenire. Oui itaque cum seriebus omnibus communis Sie, Numerus CAt quae(ItS
Periodi Julianae. Quod erat propolitum.
Compendio fieri porest haec ultima examinatio; li, Cumpeis indiseriminatim
(neglecto ordine) noris numerorum, inreltigetur num, abjectis z quocies tieri
Doceltu Tupertie r. (id ucique tieri debet, propier 30 per 3 divilibilem, et 22. =317.
F 1.) Ouod in 1002 non contingit, (nam F f 2 = 3;) nec in 3662 (nam ab.
sectio 3, 6, 6, reltane 2:) sed in 6322 id evenic; nam, abjectis 6, 3, restanc 2 + 2
Idem sumpris alio ordine tribus periodis efficietur: Puta, Solari, Indictionum,
e Lunari. Nempe,
Propter Cycli Solaris annum 22; erie in Perie 22,50, 78, 890.
TI. Proprer Indictionum annum Z; erit in (eric 7, 22
dec
TIT. PFOPTEF 22 in utraque Perie repertum; exit in serie hinc concinuanda, con.
tinuo augmento, 420 = 28 X 15. Puta 2.27 44 2, 862, 2282, 2702, 2122,254.2
2962733629 38027 42.2.27 46439 5062754829590296322,96.
IV. Propter Creli Lunaris annum r4; idem erit in seric ab Tq, concinuo aug.
mento F9, progrediente. Puta, F4733, 52771, 90, 109, 128, 247, 266, 185, 204,
223324298
V. Cum vero, propter seriem tertiam, binario debeat terminari; qui nonnisi de
cimo quoqne loco ab 52 recurrat, erit idem in serie ab 52 continuo ausmento
T9O == TOX TO proOrediente. Nempe 52, 242, 4327 622, 812, 1002, F192, 1382,
F572, +762, 2952,2T429 23327 25229 2722,290273092, 32829 347293662938527
4042, 4232, 4422, 46227 4602, 4892, 5262, 5372,5562, 5752, 5942, 6132, 6322
C
Adeoque 6322 huic serici cum religuis communis, est Periodi Juliana AN.
mus quaelicus.
Similiter, Tumpris hoc Ordine Crelis; Lunari, Indictionum, Solari.
T. Propter Celi Lunaris annum Z4; erit in Peric 14, 33, 52, 88c.
TI. Proprer annum Indictionum Z; in Ceric 7, 22, 37, 52, 06.
III. PFOPIEr 52 in veraque serie repertum; erit in ferie ab 52 continuo aus-
mento 285 == 25 X LO, prosrediente. NempC 52, 337, 622,907, 1792, 60.
IV. Propier Cyeli Solaris annum 22; exit in lerie 22, 50, 78, 106, 134, 162,
V Provter leriem quartam ex solis paribus; in Cellla Coliuciles crunt alter-
ni numeri; adeoque quae ab 52, augmento continuo 570 = 285 X2 PTOBrC.
ditur series. Nempe 52, 622, 2+92, 2762, 2332, 2802, 3472, 4042, 4612, 5182,
5752,6322
VI. Propter seriem quintam binario ubique terminatam; Sumendus erit in quar-
ta nonnisi ab 22 quincis quisque continue numerus, adéoque concinue addendi
240. = 28X5. Nempe 22, 162, 302,442, 582, 722, 862, 1002, 2442, 2282,
24229 25629 2702, 1842, 1982, 2.+22, 2262, 2402, 2542, 2682, 2822, 2962, 3102,
3242 3382,35229 3662, 3802, 3942, 4082, 4222, 4362, 45029. 464294782, 4922
5062, 5202, 53429 54829 5622,5762,5902,6042,6782,6322,89.
Adeoque 6322, cum in lingulis seriebus occurrat, est Periodi fulianae Annus
quaeticus.
Ectimiliter, non magna mutatione procedelaum et quo ese luman.
lariu Lumari: vel denique Indictionum, Lunari, Solari. Et parites, mutaris mu-
candis, quocusquisque Annus in lingulis Perioclis exponatur.
Idem

## Folio 453 — 851708439:0477
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000477.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
A Y C F B
Edem Compendiosius.
Ne aurem necelte sic series istiusmodi in grandioribus numeris conticere; id com.
Dendiolius sic lieri polL.
T. Propter Cyeli Solaris numerum 22, cujus Periodus est 28; intelligenda exie
series, ab 22 inchoaca: Nempe 22, 50, 78, 8c. continue addendo 28, hoc cM
29 + 9
TI. Vel (hujus 10c0) 37 12, 27 2F, F, 10, (d, (Vet) 29, 9, 18, 8, 27,7, 16,6.
75,5, 24 30. Nempe (neglectis semper F9) addicis concinue o, et quoties lunma
ultra 20 (integram Periodum Lunarem) excurrer, abjiciendo r9. (Or trabeatur
Annus CVeli Lunaris currencis, qui currentis cujusque Cyeli Solaris anno 22 rC-
(Dondeat.) FCque eo ulque continuanda haec series, donec expolitus Creli Lung.
ris NueTUS, PuIL 24, OcCurrat. (Non Posse aurem ulira lOCOS L9 excurrere quin
in seredibit; manifeltum clt.. )
TII. Cum expolicus Cycli Lunaris Numerus 14, Serici secunda loco F7e OcCur-
rat; id indicio elt, anno 22, Cveli Solaris 27 currentis, annum r4 Cveli Luna-
ris, convenire: Hloc est, Anno Periodi Tulianx 470 = 448 (=- 28X 16) + 22
Cungue hOC NON ILCTUM RECUETAL (pFOPier 28, e F9, numeros inter se primos
nisi postannos exinde elaplos532 = 2B x +9, _ Sic deinccps; (quae est Periodus
Dionyliana, ex Solari et Lunari compolita: ) Incellisenda erit leries, ab 470 (hoc
ClTS X3I, =5,) concinuo auemenio 532 progrediens; Nempe 470, 1002, 2534)
De
IV. Vel (hujus l0co) 5, F2, 4, +E, 3, 20, 27 9, F,8, (0, vel) 25, 7, 80. Nempe
(neclectis Numeri 25 mulciplicibus) a Numero s ordiendo, et continue addendo
;e, quoties lumma ulera 25 (inceoram Indictionum Periodum.) excurrit, ab
jiciendo 25. Fstque cousque continuanda haec series, doneC OCCUTTAL exPOTITS
Ercti Indictionum numerus, pura 7. CNon posse aurem ultra loca L5 exCUErerE,
quin in se redibic; constat.)
V. Cumque in serie quaria, expositus Cycli Indictionum numerus 7, lOcOF2 Oc.
currat, adeoque serici certix eidem loco respondeat; hoc cHt, numero 6322 = 5852
=532X FF) = 47O: Indicio est, Periodi Fuliana annum 6322, non modo Cy
eli Solaris esse annum 22, e Lunaris r4, (quod omnibus leriei certix commune
est,) Sed e Indictionis 7. Onod inrestisat crat propositum.
Idem similiter tiet, quocunque ordine sumantur Cycti, Duta, Lunari, Solari,
Indictionum.
I. Propter Cycli Lunarisannum F4, (cujus tota Periodus est F9;) Incellixenda
est Periodus ab T4 inchoata; Duta 24, 33, 52, e95. addendo continue r9.
II. Vel (hujus l0co) 14,5, 24 25, 6, 25, F6, 7, 26, 27, 8, 27, 18, 9, (0, vel)
28, 29, 10, I, 20, TF, 29 21, 129 3, 22, 85. Nempe, quocies lumma excrescit ultra
28(Ciclum Solarem incesriim) abjectis 28. Elque haec series (quae ulira 28 10-
cos excurrere non potestus, quin in le recurret,) cousque laltem continuanda, do-
REC OCCUETAL ExpOSituS Ciycti Solaris numCrUS 22.
TTI. Cumque hic numerus occurrat, in serie sccunda, loco 25: cidem relpon
det, in serIC PEIIa MUIIeTIS 470 = 456 (= 19 X 24) + 54. Et procedendum
ut in ordine proxime prxecedente.
Vel sumantur hocordine; Solari, Indictionum, Lunari.
I. Propter Cveli Solaris numerum 22. Incellisatus (uc prius) Series, 22, 50,
78, 8c. Addiris continue 28 = 25 f +3.
II. Vel (hujus 10c0) 23 533, E, T4, 12, 86. Nempe (neglectis semper 15)
addicis continue +3; ee quoties summa ulira 25 (periodum Indictionum inte
eram) exereseis abjiciendo 15. Fltque cousque continuanda series (quae ultra
E5 loca non porest exCUTTerE,) dOnCC expOtuS Cyeli Indictionum numerus oc.
curra
llla
E CIILITI
TII. Cumque hic jam primo cacim loco conspiciatur; indicio cst, quod qui
huic respondet in prima lerie numerus 22, annum designat qui Lic tum 22 in Cy.
elo Solari, cum n in Crelo Indictionum. Cumque hOC nON ItETUM LCCUTrAE NIE
post annos +20 = 28 x F5: Incelligenda elt Series 22, 442, 862, 8c. additis con-
rinue 420, h0c elt 19x22y F. 2.
aP. C

## Folio 454 — 851708439:0478
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000478.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
lL G F B R A.
C ap. C. +1.
TV. Vel (hujus 10c0) 3, 5, 23 93 FE, 23, 25, 27, (0, vel) 19, 27 4
6
8, 20, 12, 24, _c. Nempe (neglectis 20, ejusque mulciplicibus) inchoando. a
3 (PrOPTET 22 = F9 Y 3) addiris concinue 2; _, quocies summa excurrit ulera
29 (Crelum Lunarem inceorum) abjiciendo r0. Acque hoc cousque doncc oc
currat expolicus Cfeli Lunaris numerus; puta 14. (Nec Docest haec Series ultra
loca 29 excurrere.)
V. Cumque illic OccurraL Z4, lOCO 26; cui respondet in Serie tertia numerus
6322 == 6300 (= 4 20 X 15) + 22: Frit 6322 Periodi Fuliana annus qualitus.
Similiter, Tumpris hoc ordine Crelis; Indictionum, Solari, Lunari.
P. Propter Creli Indictionum annum 7; Incellipitur Series 7, 22, 37 52789c.
additis continue 15.
II. Vel (hujus l0co) 7, 223 9, 24, FF, 26, 89c. Nempe, rejectis, ex sum-
ma 28, quories hunc numerum excedit: Idque consque falcem donec exposits
Creli Solaris numeruS, PuTa 223 OccurraT. Oui cum hic occurrat loco secundo;
cuiresponder in serie prima item 22; procedendum ut in exemplo prOxime PrX.
cedente.
Trem, Cumpris hoc ordine Crelis; Lunari, Indictionum, Solari.
T. Propter Cyeli Lunaris numerum 4; Incellisatur series X43 33, 52, 896.
Addicis continue 19; hoc cA, 15 F 4.
TI. Vel (hujus loco) 143 3, 7, TE, (0, vel ) 25, 4, 890. Nempe (neglectis
25) concinue addiris 4; ec, uvi summa excrescir ulera 15 (erelum Indictionum
incegrum) abjiciendo es: Pousque Paltem donec occurrat expolitus Creli Indi-
etionum numerus; putd 7.
TII. Cumque hic numerus occurrat loco certio; cui in serie prima respondet
52: Incelligenda serios 52, 337, 622, 890. additis continue 285 = F9X Lf: hoc
elt 28 X 10,
IV. Vel (hujus loco) 24, 2, 6, 27, 26, 21, 26, 3, 8, 43,, 28, 23, (0, vet)
287 5, 20, 25, 20, 25, 29 77 X2, 27, 22,86. Nempe (neslectis 28, ejulque
mulciplis) inchoando a 24 (propter 52 = 28 f 24) addicis concinue5; et
quocies summa exereseit alera 28 (inceorum Cyclum Solarem) abjiciendo 28. Id.
que cousque donce occurrat expositus Cyeli Solarisnumerus; puta 22.
V. Cumque hic numerus 22, loco 23 conspiciatur; cui relpondet in serie ter-
tia, numerus 6322 = 6270 (= 285 X 22) + 52: Prichie, numerus in Perio.
do fuliana quaeticuS.
Denique, Sumptis hoc ordine Cyclis; Indictionum, Funari, Solari.
L. Propier Cyeli Indictionum numerum Z: Incetlisenda eAt Lexies 7, 22, 37,52,
e3c. additis COnFInUC 25.
IP. Vet (hujus 10co) 7, 3, 18, 24) 20, 6, 8c. Nempe, quories summa ex
cedit x9. (Cyclum Lunarem) abjiciendo r9. Aique hoc eousque, donec occurrat
expolicus Creli Lumaris numerus; Duca 24. Oui cum hric conspiciatur loco
quarco, cni in prima serie responder 52; procedendum uc in exemplo proxime
praecedente.
Eadem methodo procedendum, (I, ultra hostres Cyclos, etiam quartus, quintIS,
pluretre accederent; et quareretur Annus Periodi ex omnibus composiia.
Hlincelicitur (inter alia) haec breris Legula.
T. Expotico numero Cyeli Solaris (vel illius excessui supra 19, Si hunc nume
rum eXCCdaE,) addamur continue 9, (abjectis semper FG, quories ultra hunc nu-
merum excurrituI,) donce occurrat expolitus Cyeli Lunaris numorus. Sie habe.
tur series numerorum in Cyelo Lunari, exposiro Cyeli Solaris numero (in fuc.
celtiris periodis recurrenti) respondent
LI. Per numerum locorum hujus seriei, uno minus, mulcipticentur 28, et Facto
addatur exposinis Crcli Solaris numerus. Sic habetur numerus in Periodo Diony.
Tiana qualiber, urrisque simul Ciyclorum Solaris de Lumaris numeris expolitis re
spondens.
25, Crel dividacur numerus ille per i5;) et Reliduo CAre Subductionis sire
Diritio.
Lal. Lx invento illo Cseli Dionstian numero, abselatu Guolles lieii porell

## Folio 455 — 851708439:0479
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000479.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
Cap. C.V
A L G F B R A.
Dirisionis,) rel ip(I Z5 F residuus Sic 0, addantur Coc B Cabsecls LCMpet 15
quocies ultra hunc numerum excurritur,) doncc occurrat expolitus Cireli Inaletio-
Creli Dionyliani numero (in successiris Periodis secuen) respondentium.
IV. Per numerum locorum hujus seriet, u us, PICenTuIE 532; d
num nuerus. Sic habetur Teries Mumeto i eseto utonm invento
tacto addatur inrencus Cyel sa .S  LCLABCL SuaM
MIIMCNUS quasItuS.
Peratio sabsabobct.
Cyct. 
CVel. D. 39t2, E, LL, F, TO, F9, D, L8, 8, E7,7, 16, 6, 15, 5, 24
CVcl. Dionys. 47C
Cyct. Lndict. 59896.
Eycl. Dionys.
Ciyet Indict.
5, 22,42
5,7
riod. fll. 6322
28
8
5:
 A P. CV
Pro Distantiis Cometarum investicandis, Problema.
OC Prohlema (prout hie intra elucidatum est) communicareram ali-
quando (ab ipso rosatus) cum Fgresio Viro D. Johanni Collins, Lon-
dinensi; (qui cum erat rerum Machemacicarum pericus ipse, tum carum
sedulus promotor;) in Fpistola ad eum Ceripra Martii 25. 2677. quam ille Dolt
edendam curarit AnNO 1678, prout hic sequitur.
Clarissimo Viro, D. Johanni Conins S.
Martii 25, 2677.
Anre Annos plus minus guindecim (si bene memini) aut etiam plures (anno
circiter 7662, aut 2662,) Problema (quod memoras) inreltisandum mihi pro-
Potuie Vir insignistimus D. Christophorus Wrem, Altronomix (cum temporis)
apud nos Protettor Savilianus; ut quod ului foret, Cometarum à Ferra dictan.
eis inrestieandis (ab ipso alias, ni Fallor inrestixatum.) Quodque tum culit
ille respontum, jam libet (ex Adrertariis descriptum) Tibi eriam quaerenci tiic
revoncre.
Problema.
E9My B.)
Lxporis, in eodem Lla quaruor Rectis positione dallo (u B. A, BL, C
DF Fis. L.) Duintam invenire (ut AFCHI) quae ab expoticis ita secetur, Fis. T.
ue incerjecta sexmenca sint in racione daca: (pura, AP, AC, AHB in ratione
detIO.

## Folio 456 — 851708439:0480
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000480.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
Cap. C V.
L G F B R A
Solustio.
Incelligatur factum quod portulatur. Lt in expolitarum alteram, ut B A ducta
incellisantur perpendiculares EF, CM, FTN. Reliquaque expolicae l l, CC,
DF ipsi BA occurrenres in B, C, D.
Ponamus.
(BF, FF:: 5. L.
FF =C. AF = a. BC == 6. BD = 4. Lb BCAL. MC: : 8
L
(DH. XHI:: B. 2
GM =m e. AM = m a. C F =c + ) c.
HIN = n C. AN =na
DE = f c. F. HI = a t ma. CF NIF CHI. DL- DF- FH.
DA=BnC.
DF. = a 1fC.
CM = emC. F. N =- a  na. c) se a ma- eme. Bnc: d fe- a na
IH Sia- a  ma. a F na = d  f0 - no
c+fe-8
+F
1+ se - bne
IF
Conamus deinde (ad abbreviandum Calculum) m. f L = k, _ n. = L = 1.
Freo.
1C +IFe- te m e = Za L EfC = RBnC
u et  dse
sdelde
I5=ebn + 18m
Elabetur BIIIX quanEILaS C = F F: Adeoque Punctum F; et inde Puncta reti.
qua, iplaque AF CFF quaesta.
Nocandum interim, pro vario situ Punctorum C, D, ad B, A, rariari tigna
F -: Tra tamen ut Calculus nihilo inde eraturus st perplexior; sed eodem
plane modo procecturus.
euncta A, E, MI D cundem inter se ordinem retinene, quem A, F, G, H;
qui ex datis Ctacim constat. Pro rario autem illorum situ, Aquationes conspi.
cientum in hac rarietate Tubleripta; nempe,
Oido.
NH. A
H AN
e. NA
F. NTA
 ei
HCF. A
F
DF
D
AEquatio
ma-
a
1
na = E EMI
 dia
Excipiendus aurem ett 2 Caleulo supraposito calus inus aut alter: Nempe
ubi expolitarum quatuor Rectarum, rel ternae, vel bis baas unt invicem Pa
erit Problema in omni ratione expolica possibile. Ouoniam C LALAHCHIMIUS
decerminabit duorum segmentorum ad inricem rationem; et Guslleu ommium
quaruor Paralletismus, decerminabit omnium segmentorum inter le rarionem. Sin
habeantur bis bina Parallela, nulla omnium cibuS FEsu BCIet.
dchohunt

## Folio 457 — 851708439:0481
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000481.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
Cap. C. V.
Fig. C
A Y C F B K A.
 C B a s 
Fig. 4.
Ei
Fig. 2.
Fig. 5.
es se 
is e
Fig. 8.
Fig. 6.
c ds E  u
LguG.)
c es ee oura le e cava se
i
Fig 10. F
sed
F R ND
i
Ct
Frg. 21.
Fi9. 3.
Fig. 22.
i
L19. 13.
E......-... 
ap di c
driti.
Llg. 24..
g
Mmm
5

## Folio 458 — 851708439:0482
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000482.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
Figu
DC D a V
93.
FIg. 7.
Fig 20. F
AE G F B R A. Cap. C V.
Fig. 5.
Fig. 2. q
e  se
Fig. 3.
esse
Es se
Fig. 6.
ese 0 cot e un
7s
C
Fig. 8. A.
Fig. 9.:)
e cruia se
gc
2FSA F 
o
s
3
e
a
ix
...
58
Elg. 13.
ax d 
Frg. 29
s
s
21g. 2
1

## Folio 459 — 851708439:0483
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000483.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
ap. C. V
L L _ E B R A.
Scholium.
Sin libeat rarios catus sigillatim expendere; Sc esto.
Si expolicarum duae sint Parallelae; puta BF, DC; (F25. 2.) quas secent reli- F. 2
quae DB A, C. HI: Pacilior achuc est operatio. Nam, propter datam rationem
EF ad GA, (adeoque DB adt D A,) habetur inde Punetum A. TIM, propter
datam rationem FC ad FII, (adeoque ey ad oFI,) habetur inde punctum FI.
Adeoque recta AF CHI.
Si expoticarum ires sine Parallelae; puta BF, C. G, DH; (F15. 3.) quas secet F1C. 3
B A: ratio sesmentorum FG, F FI, non est pro arbitrio astignabilis, sed deter-
minatur; quippe eadem erit atque BC, BD. Irem, proprer datam rationem aliam;
puta C F ad C A, adeoque (qua eadem cAt) CB ad CA; habetur punctum A.
Sed sola recta AP CFI, non decerminatur. Ouippe recta quaeris ab A ducta
(expolicas Secans) praeltat quaesicum.
Si exposicae quatuor sinc omnes Parallelae (ut Fi3. 4.) non porest alia actignari F15. . 4
racio postibilis, praeter eam quae est distanciarum quas habene ipsae inter se ex
polutae rectae. Ouippe quacunque recta. cas secet, legmenta interjecta habebit in
ea ratione.
Si expolicarum quatuoe, bis binae sinc Parallela; pura BF, DG; _ BA, CHL, F18. 5
Fie. 5.) Potest quidem ratio quaeris assionari; led, in constructione, nulla
omnium reliquas eres secabir. Verum, hujus loco, tacilior succeder constructio.
Nempe (uc modo ottentum cAt) proxier datam rationem CH ad CA, (adeo.
que DB ad. DA,) habetur punctum A. Tcem PrOpter daram ratiOnem AFL
ad AF, (ad eoque BC ad BF,) habecur punctum V. Adeoque quaelita recta
Duod autem auinet ad signa f = (in constructione generati) quae pro v2-
rio sicu Licerarum muranda exunt: nequid acthue incercum maneat, hoc mo.
nemus.
+. Ouantum ad quanticates F MI _ F N: Cum sic punctorum A, F, G, Y, F re. 6
inter se ordo, ex datis segmentorum inter se rationibus notus; litque idem orde
punctorum A, E, M, N; (ut per sC Patet:) ctiam Borum ordo paritEr nOLIS
erit: Acque inde Ggnorum + ratio. Nempe,
SI SIE F AG, FEA, GFA. TIM F AFI, PHA, HF A. Adeoque F. AM, fic. 7
EMA, ME A. EL P AN, F N A, NE A. FM est, F A f AM, F A -- AM
NA =E A. F. N CA E A f AN, E A - AN, AN = F. A. FIOC est a Y man
a = M a
M a = a.
a f. n a
F19. 6, 7, 8, 0, +2
20
F18. 2D, 17, 22. F18. 2, 3. F18. 1, 6, 7, 8,9, 10. FIB. FF, 12. F18. 29 3
Ouodcunque autem horum contiserit, DonamuS F. MI = a + M a = k a, C FN
=a + na =la. Sire quod eodem recidii, Y + M = k, dc + + n = 1.
2. Ouancum ad CF = sc S b, e DF = sC Sd; in quorum utroque triplex f.i8. 8
catus OccurriE; puta, fe + 0, fe 6, 6 - fe; item 5e + d, fe - du d= fc
Cum incertum sic ex datis (donee: Analy Ei decesdeur) ucrum P. contingit ultia B
(puta dCXITONSuM) an ex Parre concraria; adeoque utrum ponendum (ic L fe, an
fe: Ponamus, ad libitum, verumris; Duca, ultra B dexirortum, BF. = l. fe: Fi5. 9
(Onde S continoat contrarium este verum, id indicabic quancicas se candem
prodiens negatira; adeoque sius suppolicioni concrario sumenda.) Adeoque cri-
plex hic calus, ad duplicem rectixioir. Nempe, C P. =BF LBC =f0 L6. HIOC F18. 10
, CH = BF L CF = feiC; AI CONtInSaL C Hnistrortum d B, non ad c25
Partes ad quas Supponitur C: et BF. = C F = f0  C, sI CUPPONaNtUE F d C. ad
caldem parres a B: ec quanquam tieri porest ut hoc calii C concingat, non modo Fres. LY
ultra B, Scd _ ulera F; hôc tamen Calculum non omnino curbat; quippe hoc
Tolum inde consequitur, quod BP. L BC = fe C Fiet revera quantitas necacira.
MmM2

## Folio 460 — 851708439:0484
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000484.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
A L G F B R A.
Ec similiter DF = BF L BD = fe Fd; (quod eodem plane modo intellixendum
et, ue de CF. jam dictum est.) Pieri aurem porest, ut calus alter de C Con
ringas alter de D: Duta, Si C lic dexerortum d B, e D Cinistrortum; (vel con-
Era.) Ouippe tuM CxiF C F = BF BC =fC -C: _EDF =BF + BD = fe 1
Oux omnia, pro situ punctorum B, C, D, ipso starim intmicu determinentur.
3. Ouantuim ad CM e DH: Id quidem incertum est (donec AnalySi id con-
ACC) an Futurum SIE CM =CF L FM, an CF -R M: (de Similiter de DN.)
Duoniam, licet ordo lirerarum A, F, MC, N inter sc; decerminatur ex ordinc
literarum A, F, G, FI; camen, an prorlum, an recrortum, sumendus (IL; non Con-
Etac, priusquam conster an A sic ulera vel citra punctum E; (urrumris enim
contingere porest, pro rariis rationibus assignaris, etiam eodem manente puncto F.)
Constat autem verum NI eE YI sinc ad caldem utraque, an ad ContrariaS PaTIES
Fis. 22. Licebit isitur, pro arbitrio, ponere (verbi Gratia) C M = C F f F M vel = CF
=EMI; (ee deinde DM, vel eodem, vel concrario signo, prouc Fuerint tum
CM, cum D N, vel utraque ad casdem, vel utraque ad contrarias partes iptuS F;
vel illa quidem ad contrarias, haec ad easdem; vel contra.) Nihil aucem hinc
obreniet incommodi: quippe id Solum Aec (A Concrario SIgnO quam ReVeTA SIF
supponatur,) quod, pro Ja, proveniet verobique -a. Semper utique hac
proveniet xquatio,
16=kd
In qua xquatione, A Fractionis Numerator de Denominator Fat vel uterque
altirmativus, vel uTErqUE neSATIVUS, exIE e quancicas atturmacira: tun tuerit eorum
altirmatirus alter, alier negatirus, erit e quantias neratira; et propterea litu lup-
poticioni contrario lumenda: Pura, SI F Supponatur in BF supra B A, contineet
rerera in ejus continuatione intra BA: d COntrA.
In Figuris 6,7,8, 9, 20, LF, +2 (exreris manentibus) F A varium sicum ob.
tinet. Nempe, P18. 6. cacit extra H; F18. 7, 8. inter L _ B; (illic post, tic
ante, incersectiones rectarum C G, DH;) L19. 9, inter B et C. Fi8. 10. inter C
e D. Fis. II. ultra D. Fig. 12. plures casus extibencur. Reliquis Figuris, alii
Tubinde calus exhibentur.
Intersectiones rectarum C G, DF, expositarum, antequam ad quaesiram quintam
perveniane, indicancur ex alio ordine punetorum A, F, C, FI, quam est puncto.
rum A, B, C, D. Ouod ipso Schemacum incuicu manilestum eAt.
Idem Problema alias constructum.
Fixpolitis, in eodem Plano (+ 2. LZ.) Gualuor Rectis; BA, de (huic in B, C, D
OCCUEEenteS) B P, C G, DHI; potitione dacis: Ouaeritur Ouinta, ut F AGH, qua
expolicas in P, A, C, H, ira secet uc Incersesmenta sine in ratione daca; pura,
AF, AC, AFI, in racione I, m, n
Constructio.
Cap. CV.
terlermentis; guorum ratid d bido lupponuntur dari. Unde ducancur fF355)BB
ipsi B a Parallelae, expolris AF, A Ci, AFI, occurrenres in f, e, B
Ouxe quidem puncta si tuerine in eadem recta; habetur qualitum. Ouippe
hujus recta sexmenca, erunt (propter parallelas) suis respectire alcirudinibus, hoc
est, iplarum parallelarum diltanciis, proporcionales; adeoque in ratione data.
In recta intinica (quae expoticam A B ucunque secet; puca in ay) sumancur,
af, ae. ah, in eadem ratione, et col one, cum ipts AF, AC, AtG in
E. 13. Si vero non tuerine ipta s, P, B, in una cademque recta, Talem erumc Bs, C
habebune incerlegmentis As, AC, AFI, provocconao. Quo calu
Sungantur f8, fh, secances iptam B A In y, 8; quae   CallCH la.
Acque in eadem secentur (respectire) BC, BD, I F, 4. Luta, uc F A, ad AC
DB, ipsis BF, CC, DI proporcionales: quipve tum hae, cum illa alticdines
tione (ab ipla AB) secta cru qua CCa LC l LC) I A.
Ocinde
sic F2 ad 28, e BF ad FC: et ut F A ad ALL, SC f d ad. d h, et Ba ad AD

## Folio 461 — 851708439:0485
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000485.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
Cap. C.t
A L G F B R A.
Deinde sumantur, ut as minus F y, ad AF; sic Bf ad BF, et C. 5 ad C. C, vel
DEI ad DFI. Juncta FG, rel FH, erir ipla F AG FI qualita. Ouippe, hoc
catum ipla sy puncta (quae alibi diverta cunc) coincident in eodem A puncto.
AF. AC. AHT (:: Z. m. 3) :: 2 F, 28, ah.
AF. AC: : aF. 28: : 7F. 78:: F B. FC.
AF. AH:: aF. ah:: dF. SH:: AB. AD.
OS =FY. AF::BF. BF:: C8. CC:: Db. DH
Scbolicim.
Ratio hujus operationis, haec est: Ouoniam, sumpro ubivis, in BF, puncto F:
sumi poterit (modo jam indicato) punctum sin CCm quo ducta recta fe, recta
AB Occurrens in y segmenta habebit y f, y 8, iptis AF, AG, proportionalia
Irem in DH Cumetur punctum h, quo ducta fh, rectae B A occurrens in 5
Segmenta Faciet Sf, sh, iplis AF, AHI, proportionalia. Id solum dec ad
Tolrendum Problema, uc ipta sy puneta coincidant: Ouod cum in unico puncto
contingat; illud sic porro inveltisabitur.
Nempe, vel sumpto alio quoris in BF puncto f, et huic respondentibus e, b:
unde nora eriam emergene v, s: Vel (quod eodem recidic) dirila recta BC IM F.
sicur diridenda erat f5 in y; e BD in a, sicur diridenda erat fh in d. (Ouod
tantundem est acque li intelligatur rectae BF punctum fin iplo B; quo catu
incelligenda erit sB, in CD.) Cum ixitur id quaratur, ut punctis AF vel s
coincidentibus, cranclear distancia illa ar seu Sy: C unique fuerie, Cumpro (in B F
puncto B, distantia AP; Cumpro vero puncto s, distancia Sy, minor quam AF.
(donec, puncto stranseresso punctum i. diltantia icerum continuo cxelcat,) can-
10 scilicet quanto punctum s’appropinquarerit puncto r; hoc est, quanto minor
est Sy quam AF, seu (quod potius dixerim) ry quam as: Sicque hOC DC.
crementum (quod mox probandum erit) proporcionale ipfi Bf rectae ; (Cou
quod idem elt, recta C5, vel Dh: quippe has invicem Proportionales elle, es
jam dictis Patis constat:) Frie, ut AS == Fy, ad AF; sic Bf ad BF. HIOC eAt:
si diltancia AF, proprer iplam Bf, minuatur quantuur clt A8 =Py; eranc(Cet
roca Ar (coincidencibus aF punctis) potito f in F; Cumpra scilicer BF ad Bf.
in ea ratione qua cA aP act AF =- sy, Tcu pocins LS = FY
(Dico aucem AS = P y Porius quam AF = Sy; ut perinde st Cire ica Cuma-
eur S, ut s crantiverir y, necne. Onanquam enim inde mutetur licus puncti. H:
nempe, si crantirerie exic P citra f; sin minus, ultra: Proportio camien Bf. a
BF utrobique manet, si dicamus aS = P y; non aurem A dICatuE AF - = 8 g.i s1SI
enim AS =F y minor sIC quam AP, erit f citra F; Si major, ulera; SI aqualiS,
coincident.)
Si vero comingae, COnra quam supponitur Py majorem eses qua a (adeo
que as -Fy quancitarem esse nesaciram, seu minorem quam nihil;) Indicio
hoc erir, non lumendum esse punctum F ad eas d B partes prouc erar suxposicum
(puca sursum rextus f;) Sed ad partes contrarias; Duca in fB deortum con.
einuata.
Ouod vero silceximus demonstrandum; nemipe, quod Occrementa AS L FY
sine ipsis BF rectis proportionalia; sc octenditur.
Sumantur in BF (F15. 14.) quodibet purcta s; de, in DH, coridem quXe F18. 14
illis correspondeant puncta h. Frunt (proprer sumiles sectiones rectaruum fh
adeoque adricdines proportionales) recta Dh iptis Bf proportionales. Sec Si
(propter similem ubique sectionem rectarum BD in a, de fh adeoque en in 8)
CrunE pbiane ex es ipsis BD, Bd proportionales. HTOC ot. DB F BC pE DM
op es pB L BC- AS (= SG) iptis BD, B a proportionales. FrgO. (di-
videndo) Be = D n e BC =AS, sire (mutatis signis) Dn = Be et Ad = Be
iildem BD, Ba proporcionales. Sunt aurem (ur modo demonttratum cst) nun
Dn cum BC 2deoque Dn - BC, ip(iS BF proportionales: FrBO e AS -- BC;
ideoque et as (quia B C) tune iptis Bf proporcionales.
M m m 3

## Folio 462 — 851708439:0486
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000486.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
L G F B R A.
Cap. C
1
FFI. F A. AH: : fB. f8. PB:: en. ed, 8n:: BD. BA. AD.
Bc:: 6d. 18
BD. BA:: en (= DBH BC - Dn). es (= aB. + Bc -a 5):: Dn = BC. 25 = BC
Bf. Bf:: Be. Be:: Dh. DB:. 21. M.. B 66. D 66.. 1d = Bc. 23
c8. 25. Eodem modo ostenderur, rectas quoilibet ry iptis Bf respectise sumprie pro.
portionales cAC.
PG. F A. AG: : fe. fY. 78:: em. cy. 2m:: BC. BF. FC.
BC. BF:: em (= CB F Bc - Cm). ey (= FB F BC -Fy):: Cm- Be. Fy Bc.
Bf. BF:: BC. B0::C8. C8:: C m. C m: : C m Bc. Cm BC: : Fy- BC. Py Be
Erso (proporcionalium ditterentia) a5 =F q iiidem Bf proporcionales erunt.
Duod demonstrandum suscepimus. 
Bf. B5: : (18. 18: : F7 (7: :) 45 = Fy. 15 - 17
Pro rario sieu punctorum B, C, D; item pro rario ordine punctorum A, F, C, II;
oriuntur raria lignorum + mucationes: sed idem manebir Demonstrationis
procectus eodem plane modo quo in priori methodo oltentum, elt.
Trem, ob expolitarum duarum pluriumve paralletitmum, exdem mutationes ob.
reniene, qua lupra cradtuncur; unde ee mechodi abbreriationes exdem. Vtnon
TIc opus eadem repererC.
A P. C
tricos  Rectam Diaeonalem.
11
DMmodus diridendi Arcum in P imbo Ouadrantis, aliutre consimilis 
Prumenti, per Circulos concentricos es diagonalem Rectam, jamdudum
tueric de etiamnum est in ulum receptus; de quo tamen obortus est ali-
quando scruxulus, num illi Cireust concentrici debeant esse distanciis inter le A qua
libus, an in alia quapiam Ratione: Libet hic subjungere quod hac de re ad Cla
Celederrimo FruditisgerirO, TOTT ANNTFIEVLLLO
231)
1103 il
Oxonie Dec. 31. 1673.
rendastrabeo; meo scilicet, e corius Academix; proxter duo dona data Oreano-
graphiae cuae nuper cdiex texemplaria, Clarissimi OIdenbureii cura cracica. Ouc
reponendum. Oui Tuo propiered alque Academix nomine grates rependi roluit:
Divisio Arcus in limbo duadrantis per Circulos Concen-
rissimumSevelium aliquando seripserim, prout hic lequitur.
mon Consul DantiscanO T OHL AMH FS N AL. Z 15 5.
hique vices luas hac in re permitu.
Sed e est cur communi omnium Liceratorum nomine, rebus praeserrim Cceli-
cis addictorum, reddam gratias; cum ob immensos lac Fu LCHEIS
crogatos, tam pretiolam conguirendo Supellectilem AO SaBICC HIC
descriptam; cum ob indetestos labores, intomtles nocles, culque occupatistimos,
Duplici Paltem nomine, (Claristime Celeberrimeque Vir,) Gratias Tibi rese.
rum alterum, mihi destinacum, exosculatus; alterum Insignissimo VIe. C ancellario
cradici in Boaleiana Bibliocheca (cum reliquis studiorum cuorum monumentis)
Cutertibus acquirendis Obserracionibus Iupensos; quarum rim igentem, Thelau
rum

## Folio 463 — 851708439:0487
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000487.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
Cap. CVI.
A E. G F B X A.
rum sumru Rurum ee Marsariras pretiosum, Frudito Orbi jam ante dederis, pluIIa
dacurus indies. Verum non estut sporem, me verbis aequare posse cua merita; qui
ex priraco penu sumprus plane Resios crogalti; onusque suscepisti non inteliciet,
Terculeis humeris (ne Aclanceis dicam) Formidandum.
Operis partem maximam jam crolvi; miratus inibi tantae molis Instrumento.
rum ingeniosum regimen; e subcilissimam Diritionum adminiltractorem; cum
pari dilisencia conjunctam in. Regulis et Dioperis Colicite curancls. Fc quidem
si hoc deesset reliquus in calsum cederet labor; quippe, exieuus et rix cricabilis
in Regulis auT Dioperis erroi, corum instrumentum riciares, omnelque inticeret
Obterraciones.
Sed singulis immorari non licet. Unum tamen est quod attingam breviter;
Nempe, Divisiones per lineas Diagonales, circulos in Limbo concentricos inter-
Sccances. Flanc Diridendi methodum, jamdiu receptam, ipse recines; ee quidem
merito; Circulolque hos concentricos, aequalibus interrallis disjunctos habes. Ouod
quamris in exiguorum, aut eriam mediverium, Instrumentorum Limbis latiori-
BuS, aliquid erroris possic inducere; in Puis tamen tantae amplicudinis Instru-
mentis, cum limbis exiguae lacicuidinis, (quod de tu recte mones,) nihil quic
quam exit discriminis quod in sentus incurrere postit.
Ilac tamen occasione libet hic subjicere quod ea de re jam olim (circa Annum
2650, auc 26SF,) medicacus tum; atque apud Adverlaria mea jam reperio.
Nempe; siquis vellet minoris Instrumenti Limibum latiorem lineis Diagonalibus
Ec diridere; quibus interrallis oporteat concentricos illos Circulos disponere, uc An-
gulos invicem aequales detixnarent illa circulorum cum rrantrersali incersectiones;
calculo Prisonometrico determinare.
Diritio Arcus in Fimbo Onadrantis (aliutre ejus.
modi Instrumenti) per Circulos Concentricos, de Re
etam Diaconalem.
Sit Lacmdo Limbi (RL =) L. Radtius cireu-
li incimi (AR =) R; extimi (AZ = AL =
C. = R = Z; continentes angulum (R AZ =) A;
dividendum in parres quorlibet aequales (quarum
MICrIIS n,) Rectis a, b, C, _cc. (quarum longitu-
do quaeritur,) Facientibus, ad RZ diagonalem,
AngulOS a, B, 7, ec. Adeoque RAa =  .
R 1 =  2 R AC =  , _C. SIIGNe ARL =O, e9
AZ. R = 
Daris ergo Cruribus R, Z, cum Angulo contento
A (adeoque reliquorum umma O FV,) inveni-
untur reliqui, (O obtusus, V acutus) Nam
Z. + R. Z. - R: : lan8; -  ~ rang; . -
FF=
t
Deinde; Cogniris Angulis O, d  A, (adeoque
religuo an) cum incerjecto Latere R; haberur L. a.
tus a. Nempe,
Sir; a.
R.. dim; O.
Eitus pari modo, ex cosi
y i
c.
Praxis.
52
Sit R = Z. Z = 0, 2. 2 = 1, 2. A = 10. L1BO O.  V = 17
89,55. LUI
Et
B1Z. + R = 2, 2. dd Z. = R = 0.

## Folio 464 — 851708439:0488
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000488.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 83 lines, status machine
LL C F B R A.
Sic TanS; .. 667, 5486693. 2 62, 5044427 = la15; . Cui respon.
det Angulus 89, 5, 0, 17, prOxime. ErG  + 2 + =  -O = 179, 0,d, 17 7
tere. Cujus Sinus o,or7ASFF: nempe idem cum linu 8, 50,50, 43
Deinde; secandus sic Angulus , in r0 partes, quorum quaelibet 1. Ouaerun.
tux isiCE, a, b, C, a en F, 8, B, 1. Nempe,
2360000= 6 169
Sina (8, 58, 5943, 10, 9171603. R = +:: Sin: O = O, DL745LI. L, 01694= 4.
75C
Sin. B (0,5759, 43,) 0,0168694. R = F:: Sin; O =0, OF7 45TT. 1,03448- b. (816
Sinir (0,56,59, 43,) 0,0265780. R = L:: Sin; O =0, O2745TL. 1, 05264. 6
Sin; d (0, 55, 50, 43,) 0,9162877.
Sini (0, 54,59, 43,) 0,0759969
Si
Sinn (0, 52, 50, 43,) 0,0754752.
Sin. D (0,52, 59, 43,) O,O25T243
Sinis (0, 50, 59, 43,) 0, 0148335.
Praxis altera.
2,07T44  a
1,09O9T =0.
2, T2L10-)
T, F3206=
13F5383 = 6
2,17647= 1.
7,20000-7
2880
313
Sit R = 1. L =0, 1. L. =1, C. A= 10. L. 180F = 179,56. = - 89. 55.
cujus Tansens 687,5488693. EC, ut 2, 1. ad 0, 1: : sic 687, 5488693. aet
32,74042235 = cang; Br. 88, 15, r, 57 +. = tang; - -. Fr50  F ~ +
=O = er; 178, 10, L7572. Cujus Complementum ad Semicirculum, Sc. F, 48,
58, 213. Cujus Sinus 0,0379827. ErSO,
2,00000= P:
Sin; B(= 2, 47, 58, 22) == 3T4023) 329827(F, 01852 =- b.
Sin; y (= 2, 46, 58, 23) = 3T2203) 379827 (2,02803 =c.
Sin, S (= F, 45, 58, 232) =308208) 329827 (1,03773 = d.
Sin; 2 (-= 2,44, 58, 22) = 305290) 3T9827 (1,04762 = c.
302343)
290475
296567)
293660)
290752)
(1905769 =5.
(1,06796 = 8
Or8
6
34 77
70
d
1891
1007 20
1027 20
(2,07843 =- B, 2047)
(2, 0BOTT =  2068
2. 2
(F, 10000 = L τ080
e
Flactenus Advertaria nostra. Obi duos casus expendimus: Nempe, cum L ati
cudo Limbi ponitur pars Duinta, et pars Decima, brerioris Radii; e angulus di
videndus, 20 minuta prima: Fanta Fere cneiBcia quantum feret vulgaris Canon
Frigonometrieus. Et quidem ultima Onitas in ambisuo est; nunc justo major,
nunc justominor. Radium autem (ut cgo Toleo) Facio F; (non, ue plerumque t
2000090O;) quo omnes Mulciplicationes e Diritiones per Radium Paciendae prae
cidantur. Adeoque Sinus habeo pro partibus Decimalibus; quibus itaque, cum
opus ell, Ciphras praemitto, quo de Unius Integri loco conster
Simili procestu utendum erit, mutacis mutandio, si L acicudo L imbi sumatur in
alia quaris proportione de Kaast consicudinem.
Sed commontus crut (ad ricandam molelian coltes quaeettet partem proportio-
nalem) uttumatur ansulus O commodae na MHaIS (Jultis minutis primis de
cerminandae, absque annexis sccundis cerciitre;) acque lla quaratus Ractii maxi
nt e longitudo, eodem modo quo reliquorum a, b, c, . Puca, Ly in Praxi polte.
Tlore, Tumpto ut prius R = 2, ec Angulo, A = 10, Luacur Angulus O, (non
Gth Illic prodit X78, 20, L,572, Sed potinis) 278, 20; cujus complemencum
2, 50; hujusque sinus in iplo Canone habetur 0,05 19022; et reliquorum item,
B, 7,5, _c. Sinus similiter ibiidem sladebuntur; ut una tantum Diritione opus
lic pro lingulis exhibendis; ipsaque Ractu L lonsicudo, non quidem praecise ut
PriuS F, L; Ped huic proxima (qua iraque sumenda Cric) 2,09996. Nempe,
Sin
19
90
17+
264
Sin; a (= X, 48, 58 23) = 326920) 310827 (1,00918 = a.

## Folio 465 — 851708439:0489
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000489.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 91 lines, status machine
AD. C.
cle L D a A.
2,00000, = R.
Sir; e = 2, 49, = 3+
1.
3
3T9922 (F,00927, = a.
Sin, B = 2, 48, = 3+4108) 3+9922 (5,01851, = b
3
SIn; 7 = +, 47, = 3FT200) 319922. (2, 02803,-
305365
302478
299570
296662.
293755
290847
204
105
c
(08821
(2, 09996, = k = 2
Similiter omnino res succedet, EI Tumptis Radiis R, Z, cum Angulo , quaera-
mus V, ee Ractios incermedios; aut, Cumpro Radio Z, cum Angulis BV, qua-
rancur R, et Radii incermedii. 11.
Verums si Limbi Lacituclo lic Radii nonnisi pars Frieelima, Ouaclraselima, aut
adhue minor; acque Angulus diridendus, non quidem 10 minuta priman led toti-
dem secunda, leu minor adhue: subrilior res elt quam ut rulsaris Canon Friso.
nometricus hic achibeatur, es quae omnem sensum fusit; ipsique Circuli concen.
crici distantiis aqualibus, quantum sensu pollumus distinguere, invicem disjuncti:
quippe unius Pollicis parsmillelima, nedum decies aut centiesmillesima; minor est
discrepantia quam ut tensu percipi potu.
Sed nimius cum in re leri. Felicem itaque jam ineuntem Annum comprecatus,
lonsa sequencium serie continuandum, Valere jubeo.
Ejunc calculum accommodemus Flevelii magno Searanti Aineo, (quo ille po-
tissimum Instrumento uritur,) Cujus Ractius cA plusquam P
dum 6; ansulus
ad Centrum A (cujus arcus in Limbo diridendus est) minutorum s, in partes
aquales quinque Diasonali recta diridendus, ope Circulorum o concentricorum;
Limbi laciendo est quali semi uneia aur paulo major; hoc ett, Racii pars ian
proxime.
Demus autem (ne Instrumento videamus nimis Carere) Limbi latitudinem
CsC  Radii, (radii circuli incimi parcem Centelinam, aut etiam aliquanto ma-
jorem.) Adeoque ponamus angulum ad batim obculum O, (Diagonali recta,
et Circuli incimi Racio, comprehentum) graduum 172. (cujus tinus idem elt
qui gradtuum 8.) LL Propcerea V, angulus ad balin acucus (Diagonali recta, et
Circuli exrimi Radio, comprehensus) erit graduum 2, 55, (propter angulum
A, minutorum s.) Acque ad Circulum secundum, (CU CXLIMO PIOXImUM, (PrOP.
Ter A jam minutorum 4) graduum 7. 56. Ad certium; grad. 7. 57. Ad quar.
tum; erad. 7. 58. Ad quintum (scu intimo proximum) Seac. 7. 50. Aique (P0.
Sico Circuli intimi Radio, 1, 00000) hinc exploremus reliquorum circulorum Racios.
Tum (per illum Frisonometria catum, quo Datis duobus ad basin ansulis
cum latere eorum uni opposito, duaeritur latus oppositum reliquo;) erit, VE Si
nus anculorum V (in suis respectire circulis) ad Sinum aneusi O (Orad. 272. vel
8.) Su Pacsius intimi circuli (angulo V oppolicus) ad religuorum respective
Circulorum Ractios (opDolitos angulIS O.)
Hloc est; Polico incimi circuli Radio, 1. seu +, 000d0: reliqui sie reperiencur;
Anguli. SinuS. 5. 172, Teu 8. Racius.
2388850, 139L73F:: 2,00000.
Minimus.
1,00000
2,002073-
2,004 F53 +
2,00625
360835
307046 
Radtius maximus.
DisterenEa.
002073 -
00208+
002093-
db210
s
308293) 359922 (1,037727 = a
(2,04760,
(2,05767, =)
(T, 06794, =
(1,0784E,
1007
2
XC. 1
1380208
377
T385070.
1383089.
(130690b, = 2
0021+
Obi (facto Calcuto quan alCa P Pet VSaleM SiCII Canonent,)
Disserentia Raciorum, hoc cA, Circulorum Interralla, tam prove ad aequalita
tem accedum, uc non ditterani plusquam centies millesima parre Racti minimis
N nn
(qu

## Folio 466 — 851708439:0490
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000490.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
4
50
(qui est Cirenli incimi) estque cora limbi lacicudo (Kaetori cuni ee maximi
Tentia, ). Or046 - aliquanto major quam Centesma pars minimi Radii.
rum (inter Circulos ConcentrCOS) Oeea  leperabit 0 uns lncia,
A L G F B R A.
cap. C.VI
Hoc est; Polito Radio Circuli Eneimi, Pedum 6, aur Onciarum 72: Tuterrallo-
(quae cA quali o unus nerae) cul multus sensus pocerit diltinguere.
 Cidorcno eresato lubpermenbu.
OC codLpeu hic insero, non quod consimilis naturae siC cum
A Id debeo Pom Reverendo admodum Viro, D. Narcisso Marst cum
Oxoniae degenti, mine Archiepiscopo Cassatensi in Flibernia, qui id mini mon-
TErarIC BeS LIMO 167O, I tem novam, quam tum ante eres annos obserrare.
TAHE (OHMILIIII, eCCO, PIHML) D. Cnitielmus Noble ex Collegio Mertonensi, e
D. Thomus LeotC Collesio adhami, Ononiae; d quidem per le uterque, aliero
non conseio.
Jam elimnocum et, e Pallim obserratum, ( quod memini jam ante 60 annos
mihi monstracum, cum puero,) quod, si Chorda Mulica, in Inltrumento quopiam
(ut Feri Colet) centa, Pollice seu plectro percutiatur, alia Chorda (sire in eodem
lire in alio Tultrumento non lonse distito) ita tenla ut priori lic Onisona, aut ei
Dia Pason concinat (Oetavam nos dichus) ccuorem concipiet; dum alix non
ita renlae hand sie alticiantur. Ouod indicar, impolita huic chorda Festuca te-
nuire Papyro, quam excuriee haec chorda cremula. Ouod itaque novum non est.
Cujus caula haec existimatur. Nimirum, quod chorda uccunque ronta, certum ha-
beat cremoris seu vibracionis gradum pro illo gradu centionis, (chorda intentioro,
celerius de spissius vibrance, ) quem tremorem impereit Aeri circumposito, d Aex
chordae alteri ita tensx ur similem cremorem apta sic recipere, non aurem aliis non
Ala lCHLIS.
Sed neque norum est, Chordam aliquaH I IIII BCclo pereuctam, non clarum
Conum edere, sed contusum aue horriclum, salcem auribus ingratum. Unde cst
caeteris; lec, ne percat.
quod percus orea Cuorca, Non si sus meco, sca propius ad Magadem (Ponti-
calum noltri vocant,) ubi Ponus clarior d Grattor CXalITT.
Ouod antem ut Novum Luveraddo, Hoc et. Non tam coram Chordam perculla
contonam (puca Dia pason, cui proportionem Dupiam assignanc NIusici) FIC cre.
mere; quam iptius Membra, quae sunc percustae Onisona.
Verbi gracia. Sit A C chorcla, dia pason acurior quamay; adeoque hujus di
midiis a B Bx Onisona, li Magadio (Fret nos diemnis) in P Susslaminata Cit seu im-
Decita. Si jam libera manente ∞y (aperta nos dicimIS) percutiatur A C; cre-
morem concipiet ucerque semistis reliquae (a.B, e B7.) sed non irem punctum
B medium. Duod oculo conspicuum erie, li papuri parrictila laXC CITCUMPONALIE
chordae ay, et lence moreatur (de loco in locum) per chorda ey consitudinem,
Similiter. Sit AD chorda dia pason e dia pente acuo Gllae auodecimam
nos dicimus) cui proportionem Triplam astienant, auloque Onisona singulis
Trientibus hujus separacim sumptis. Si jali manente ao libeta, perculiatur AB;
tICtIF.
conance chorca AC. Ouippe in B puncto manebit inconcusla, led alibi diseu-
uilo AreneS ab, BZ, Ydi MemOem concipienE   ted non neur ipla 
PunEta.

## Folio 467 — 851708439:0491
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000491.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
puncto. Ouod similiier oculo Fiet conspieuum, circumpolica (ut prius) PapyrI
pariicula, quae huc illue moreatur per chola aoe.
F.lto limiliter A F. chorda discha pason acurior quam aE (acum quintam
VOCANE leu duplam octavam;) cui altisnatur proxortio suadrupia, Lellbis dupsa
Dux elt icaque a C Ouadranre reliquae. Simitet But (proriora
Cap
huc illuc charculae parcicula) tremere Lngulos a B, B7, 78, dE Guadrantes, non au-
cem quacrilectionis puncta β, 7,d
Ecto jam ACi ca pente deulos suant an; acque illa in D bilecta, haec crilecta
in yc. Cui PropOEtIOnem allignant sesquialteram Teu ut 3 ad 2. Itiulque demit
sis est Onitonus Trienci hujus. Dum illa pereuritur Chorda, cremorem concipi.
ene Cinsuli Priences hujus; sed non ipsa crilectionis puncta y E. Dumque hXC
percuricur, paricer cremene illius verque semissis, sed non bilectionis punetum D.
Ouod (uc prius) oculo tier conspieuum.
Idem concineet in aliis Consonanciis; led minus nocabile, prour auxerur divilio.
BLII MLIIMEFUS.
Sed e hoc Porro nocarimus, (quod de olim tuerat obserratum,) Si chorda quX.
piam, uc a 7, medio sui puncto B PercuciatuE; cujus itaque duo menibra TUNE
incer se Omlona: non clarum, sed contutum e ineratum edet lonum. Sed et
(quod nelcio an alii olim obserrarerinc) idem continser si chorda as in irile
ctionis punctis B auE Y perCUTIatE; Cum sic membrorum alterum ad religuum
(Duta a y ad 7 d vel Bs ad aB) consonantia dia pason. Pariterque ( a E percuria
tur in B vel S, ut pars alcera lic reliquae Friplai lonerque dia pason cum diapente.
Aut eciam, SI a3 perCutiatuE in B vel e ut pars altera Tit reliquae Ouadrupla, (0.
necque dis dia pason: Vel in 7 auc s ue alcera sic alcerius selqui aliera, lonergue
Dia pente. Duipue omnibus his calibus, Conus tiet inconditus ec ingratus: led
minus id erir obterrabile, prour Conlonancia lunt ignobiliores.
Ouorum omnium cadem estrario; Ninirum propier parcium Vnisonarum vi
braciones conremporaneas (quarum iraque alia alii cremorem incuric;) sed cur-
batur hic consentus, curbato puncto quod debet quiescere.
Nocarimus porro, talem consensum mucuumque tremorem, non cantum inter
chordas ex Incestinis factas incer se comparatas; sed ii his cum OrganO PNeU.
parico lonos edente consonos. Sed non ita perspicue cum chordis Mecallinis Cla
vichordii. Ouod lire sic propier distimilem cexcuram in Mecaltinis, ab ea gux
elt in Incestinaceis; sive quod Mecallinae utut aerem non minus acriter feriant, ii-
nus torre dittuliro mocu, qui ieaque minus concuriat remoriorem chordam; live
aliunde id fiat, eso haud tacile determinavero.
Duod aurem Organa Pneumarica late Tuum distribuune tremOrem, (ac ROtuI
cll. Ouippe non caro cactu persenciseimus scamna de seditia, quibus insidemus
auc incumbimus, nocabiliter commoreri ad coneruos lonos ab Organo Pueumatico
cdicos: non minus (imomasis) quam ab Inltrumento chordis instructo.
Ec quidem audiri (sed non audacter allero) Vicrum (qualia lunc ex quibus
bibimus) subcile cenveque, aliquando ruprum tuisse lonim Pubxe BUCCinAVE prO.
Dius acmox, strenue et concinue (per tempus lonsiusculum) intlalae, Tonu
edencis contonum cinnici iptius VIIXI.
Sed, quicquid id sic, non dubium clt quin Organa Pncumaciea eos edanE LOnOS,
qui Pidibus ex incestinis factis (rire centis) rremorem incuriane.
2 2
Dudli

## Folio 468 — 851708439:0492
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000492.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
L Ci C B l 1.
Cap. CVIII.
Ouod autem hic poristimum spicto, quodque novum autumo, est id de tremen-
tibus chordae partibus Onisonis, dum puncta diritionum quieseunt.
E A P. CVITI.
DeStellarum fixarum Parallaxi, Observanda.
NOM in speculationem quandam Opricam supra inciderim; libet cidem
aliam subjungere: De Scellarum Fixarum Parallaxi. Ouam ante
A annos quadraginra (auc plus eo) cum D. Setho Wara eum AAronOmiR
Protellore Savitiano (Post Sarisburiensi Epileopo) communicareram (ut quae ad
Altronomiam pocius quam Creometriam spectat,) et post cum aliis; et speciacim
jam ance muleos annos cum D. Johanne Casivet (harum rerum perito,) aique ille
cum aliis.
Calilaeus ubi de Systemate Mundi agitur, inter alia, de hacee Parallaxi verba
Facit. Ouippe si circa Solem feratur Fellus in magno Orhe annuo, mirum est ni
Pro diverlis Anni remporibus Tenciacur intienis illarum Parallaxis, prouc in aliis ac-
que aliis illius Orbis parcibus feracur Pellus. Duod quidem omnino certum cst
tore, si non immanis illarum a nobis Diltancia impedirer; es quidem tanta ut
Drx illa, cocus Orbis Annuus quali pro Nihilo sic habendus, aut contemnendae lal-
rem magnicudinis haud obterrabilis.
Incerum neleio an quisquam hactenus tam curiosus fuerie Obserrator, qui illam
cerro deprehenderit. Id suo tempore non tuiste factum, queltus cM Calilaeus:
quod tieri tamen posse, ridetur exiltimare, mediaque proponic quibus id tat. Ouod-
que ille queltus est, etiamnum querimur, nec tamen pro deplorato habemus.
Non interim ienoro e Nostris aliquos laudandam operam huic negorio impen-
disse: Et speciarim D. Robertum Flook; quin oDe Camerae obsCuratX, quo Per te-
sulas posser incerdin Telescopio notare Scellas non procul à Verrice cranseun-
tes, sibi vilus est nonnihil discriminis obserrasse divertis anni temporibus; quod
Scripio cairo indicarie: Sed ab opere prius delticic, quam inde cerri quicquam
concludere potuerit.
Paricerque D. Johannes Flamstea, ACEconomuS Regius Grenovici, ex imo prO.
Fundi putei (quod audio) cale quid libi vitus est similiter obserrasse: Sed e
ille opere impertecto destirit.
Ouo aurem illud telicins exquiratur, plura tunc ad quae intentos esse oportet
qui illud moliuntur. Onibus neslectis, mecuendum est ne operam ludant.
Fc primo quidem, haud pucandum videtur Fixas omnes eadem esse a nobis
diltantia. Ouippe quod centicum olim tuerie scellas omnes in Octara (quae
dicitmr) Sphaera tixas aequaliter d Mundi CenErO remOtAS esse; omnino BratIS
dicitur, nec porest ullo modo id nobis certo constare: Sed alias aliis mulio re-
moriores, et quidem immani disterentia, porius putandum videatur. Adeoque
majorem esse (caereris paribus) proxiorum (si qua sic) Parallaxin, et tacilius ob
serrabilem. Nam, aucta diltancia, minuitur ParallaxIs.
Duo dato; omnino conjiciendum ridetur, Propiores illas este quae videntur
Majores. Ec propterea, non indiseriminatim, led de illis porius instimendas elle
Oblerrationes. Posleque in illis Force deprehendi parallavin, quam in Minutiori
Dus, pere Remocioribus, Frultra Gua TaMUIS.
Nocandum porre; rem aliter se habere prouc in alio acque alio siu respectu
Eelipricae contiltar Scella. Ouippe (quod ibidem oltendit Galilaus) Scellarum
in Felipeica politarum, nullam hinc oriundam Parallaxin; Ouippe dum Pellus
in Fclipciexe plavo moretus, propius remotiusre abesse postut a Scellis in codem
Plano positis (unde illa Majores Minoresve videaneur; sed rantillo uc illa magni
cudinis ditterentia non siE MetTabHI;) Sed Vitionis Angulus (unde oriatur
Parallaxis) nON UTaTT: Et quidem vix ullam in illis quae sune prope Relipri
eam: Sed in illis maximam (si qua (iC) qua Tunc (extra Planum illud) circa
Fclipriex Polum. Fx his isicur seligenda tunc aliquae scellarum maxime conspi-
cuarum de quibus insciruatur Oblerratio.
Pro.

## Folio 469 — 851708439:0493
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000493.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
Cap. CVIII.
L C F B. R A.
Proponit in hunc Finem Calitaeus, ue Instrumentorum Machematieorum loco
(guxe paria non existimat nesorio cam subrili,) Oblerrationes Fant Per Monis
cujuspiam lacus (per aliquor milliaria remoti,) auc etiam A dificii cujulpiam re-
mori lacus perpendiculare, auc crecti Poltis, aliutre sieni perpendicularis, a lon-
dinquo conspiciendi, ope Pelelcopii cujuspiam eximii: Fc notetur d quo loco vi-
cicatur Sionum illud tegere Scellam aliquam (commode seligendam) cm temporis
occidentem: Ibique nocam aliquam tisat stabilem, ee permanentem. Indeque
postmodum de rempore in cempus oblerret num illa Scella deprehendatur que
Id Dexcram sire ad Sinistram parcem iltius remori signi occidere. Ouippe calis
obserrandi modus vicem suppleiet Instrumenti, cujus cancus sic Radius quanta est
illa distancia.
Num aucem ille poltea hoc in praxin redeserit, eso non audio. Memoque ne
disticultates aliqua sint oboriturae qua proceltum impediant. Maxime, ob RC.
fractionem prove Horizontem Patis nocabilem, ob quam Scella ad occalum ver.
sentes vix conspiciantur, intra paucos ab Horizonce gradus; ut corum Occatus
haud potuerie oblerrari.
Sualerim eso uc id exploretur pocius per Azimuchum (uE IOguUnEuE) Scella-
rum Circum polarium, e quidem eximiarum. Ouippe si illarum AICeudo MC.
ridionalis, supra intrare Polum Mundi, alia acque alia fueric diverlis anni rem-
Poribus, (ubi Retiactioni locus ette postit,) parilis erit ditterentia in illarum
Amplicudine maxima leu Arimutho Orienrem aur Occidentem verlus, ubi Re.
tractio nihil etficit.
Ouamris enim fieri possie ue Scella, in eodem Arimucho polica, Elarior Hu.
miliorre videri poltic, prouc rariatur Aimosphaerx Retractio, nulla tamen AZI-
muchri hinc oricur variacio; quod facir uc certior sic per Azimuthum quam per
Alcicudinem Obserracio.
Fit quidem huc spectase videtmr Catilaus (Drout ego falcem conjicio) dum
Amplicudinem Orciram aut Occiduam Scellae nocandaM MONCL.
Nec tamen videtur animadrertisse Retractionem etiam hic se intinuare, non mo-
done postic (ue jam dictum est) Occatus ipse rideri (ob raporum interjacen-
tium dentitatem,) sed eriam ne possie ipsum Occasus momentum certo determi.
nari, qui (proprer retractionem) serius accidisse censebitur quam id revera sic.
Oua res, in tam subrili negorio, alicujus momenei esse poterit. Verum hoc in
Amplicudine Aximuchi maximi Circum polaris Scellae locum non habet, ut quae
eadem eric quantacunque (it aut non sic Retractio.
Accedis etiam, quod hic Delectus Fieri Postit stellae cujulris commodae huic
negotio; uod in Obserratione ex protundo puceo tacienda tieri non porest:
unde alixe non possime spectari stellae quam quae proxime Verricem noltrum tran-
seune; quae minuculae torre tuerine, adeoqne cum obserracu difficiliores, tum re-
motiores praelumenda.
Non autem cso rem hanc ad Vnam aliquam Scellam coereuero. Suppetunt enim
Plurimae. Incer quas est iplaPolaris Scella, aliaque plures in utraque Vrla, e
circum vicinis AAris, Paltem Secunda magnicudinis, (eltque illa in Fumero Mi.
poris Vrla ad Polum F.clipricx Paris vicina.) F.I, in regionibus quxe ad Austrum
magis vergunt quam haec nostra, Lucida Lyrae (Primxe magnicudinis Scella) Pol-
sic huic ului Catis este opporcuna: Ouam et in hujusmodi usus seleserat Cati.
laeus.
Si autem in una aliqua non Paris successerie res tentata, tentanda est alia, et Tur-
Tus alia. Ouipre tieri omnino potest, ut alia habear alia non hrabeat nocabilem
Parallaxin.
Hlanc aurem speculationem (ucuc jam olim conceptam) Fateor eso me in praxin
minime redesisse, ut qui commodis ad id instrumentis desticurus lim, calibusque
obserrationibus minus racarerim. Sed illis porius commendari quibus id est ne.
gorii quique ralibus magis tuerinc alliieri. Nec dittido quin si praeserrim qui
Dioperis Felescopicis sunt altuetacti, mechodum aliquando aliquam latis aceura.
tam acttibicuri sine pro hujusmodi Maximis L. lonsationibus laris praecile oblervan.
dis, (sive ver remocum aliquod perpendiculare lignum, sive per Lences Felelco.
picas debica inter se distantia tirmirer tixas, sire alias ut cuixiam expedire vide
BItuIT;) Duibus ego rem commendacam relinquo.

## Folio 470 — 851708439:0494
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000494.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 32 lines, status machine
L C F. B R A.
Cap. C1X.
Perforatio Cubi, alterum ipsi aequalem recipiens.
Rupertus Princeps Palatinus, dum in Aula Kexis Anglix Caroti II. ver-
Tabatur, Vir magno ingenio de Pagacitate, attumail alquando, omnino
tieri polse (de polico pisnore se tacturum Lulcepit) ue aequalium Cui-
borum, per toramen in eorum altero lacillu, caliseat aluet. Ouod e ipsum, au
dio, praltume. Id quomoct nals sam tumms oltenturi.
P R O B L F. M A.
seat relgutio Lnteger.
Duorum Cuborum inter se aequatium, alterum sie Liveavare, ut per eum tran-
LVT1O
TIT = T. Hluic aequalis excaratus ABB Ci, incelligatur Sphara inlexiptus, Dia-
mecrum habenti (Cubi Diagonio aqualem) B F. = V 3 == X. 7320508 proxime.
Sic Inceori (reliquum crantituri) BatIS, LLLL L. Guaac, Casus Lau
Cujus Circulus madimus (per oppolicos angulos B F trantiens) polos habeat an-
sulum A, _ (latentem) huic oppositum. Cuboque in Circuli planum projecto;
anoulo a centrum occupante, alii BCD F. P C. perimetrum accingant Lateribus
interjectis inseriptum fexagonum regulare Formantibus, in tres Lhombos (tori-
dem quadeata repraesentantes) dirilum. Ouorum icaque latera singula, Uc A B
(quae in Cubo Firerant L,) erunt (Sic projecta) = V 3 = 0. 8660254 (demidiamerro
Sphaera, Circulire in ea maximi, aequalia:) Adeoque Semisses AP = LB = = Y3
0. 4330227. Et Balis Diagonium DF vel CC (inseripri Prisoni latus) 3 1. 500000;
hujusque semissis P C = 3 =0, 7500000.
Incelligatur denique, eidem Circuli plano, recte insistens Cubus ille alcer inte.
ctus: cujus Basis congruat Ouadraco IIL KL, hujusque punctum medium cencro
A. Laterique HIF (EPLG C. Parallelo) insistat normalis a Cenro A M (= = LII)
=0. 5000000. Iplunque L acuS HI I OcCurTat (productum) perimetro Flexa.
soni in 99
Dico: Planis, ad Circuli planum rectis, perimetro Ouadrati HPK L insisteni-
bus, lactum iri Cubi B E pertorationem, per quam cranseat ELl cubus integcr.
DuipPe

## Folio 471 — 851708439:0495
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000495.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
Cap. CX.
A E. C F. B D
Ouippe cum sic, uc B P (= + V 5)ad BM (= AB - AN = = V3 = = = 0. 3660254:)
SiC PC (= 2) ad MO -
=EV3 = 0. 6339746: ma-
IOT erie MO quam MH = 3 = 0.500000O. Adeoque punctum EL intra perime.
trum Fexagoni. Similicer oltendentur reliqua puncta P K L. intra candem peri-
metrum. Adeoque tota pertoracio erit incra Cubi Colidum. Ouod erat facien-
dum.
Ouo aurem Facilius res ad praxin redigatur: Sic rEDCrIanCIE punCta OR M.
Nempe, ut BP (-= +V 3) adt BBL (= = V 3 - 3) sic BC (= EY 3) ad B (vet
E C) = V 3 = F =0. 7320508, I Projectione; HIOC eM, BC (== L) ad BC
vel E ) = 2 = ZV 3 ==0. 8452995 -, in CubO.
Trem, ut PC (= 2) act MH (= 5) SCBC (= = V 3) ad BR (vet A R, vel
ER) = LY 3 -70. 577503, in Projectione: HOc eltu BC ( + X. 1) ad PB (vel
A R vel R. R) = 3 =0, 6666667 -, in CubO.
Venigue, uc AB (= ,. H 3) ad A M (= 3) in Ptojectione; ic AB (= 5.) ad
ANI = = =15Y 3 = 0. 5773503, in Cubo.
-
dmmA
Tunctilque in Cubi supertcie rectis OM O, DO; _ R RR, se mucuo decuffan.
ribus in HERL.; (cimliterque in arerla Cybi parcC;) Exempio quod elt iprra
HITKL, habebitur pertoratio quaesica.
Rectae in Cubo.
eesi HOetS
Ab == 1.0000000
C.L= BR= A l == 0. 6666667.
BO- F F. O=-0. 8452995 -
AM =- 0. 5773503 -
e A P. CX.
Creloidis seementum aequale fieurae Rectilinea
NnO 26Z5, Fulit die  humanicer me invisere dignacus est Orona, Cla
rictimus Vir D. Fsirnhans (Anolus Churnhouse leriberet,) literis V. OL
denbur ei mihri commendatus.
Oui (incer alia) mirari se dixit D. Fsusenium (in (uo L Toroloeio Oscillatorio)
ateruisse (Sed sine Demonstratione) Tnvenisse le Dimensionem absoluram Porcio
nis Creloidis, quae recta basi parallela abscinditur per punctum Aris quod quaria
ejus parte a ertice abest: Quae nimirum portio aequatur dimidio FLeNaSOnO aquI
latero, intra Circulum Cienitorem deseripto.
Reserebam c8o; Rem omnino veram este, prout tradit Clarilsimus LTusenius.
Eq ne ultra dubitet eo quod non ibidem demonstrecur; Oltendebam illi, tunc
unum esse calum eorum qua cgo Onivertalicer decerminareram et demonstrare
ram, (in Tractatu de C Yeloide 8 23; et de Motum Cap. 5. PrOD. 20. 5B.) Idque
erenire ex eo quod AEquarionis membra quae Peripheriam spectabant se mucno
DerIMErEnE. EAque ejuldem quasi nacura cum Ouacratura Lunulae aut Securictae.
Ouiooe cum sic (ut ibi ostensum est generaliter) Semieycloidis seemencum
BV A == - = e R (= - 5a R + 35 R) + a v + 3 5V; si Tumacur v = E R, mani-
teltum est - = a R, _ = aV (= = Z a P) se muruo perimere; reliquaque f =5R +
(350 =) + 25 X, = 3 5 _, sparium rectilineum delignare. (De quo jam anie
serioleram Prafatione de Creloide, pas. Penula. tanquam d D. Christophoro Wren
Pariter inveneo, (et credo, prius invento,) ut ec de aliis porcionibus planis
colidisque, quae Parallelosrammis, Pacallelexipedisque, XquenCUT.) PB aurem R
circuli Pacius, a ArCuS, sSinus rectus, D Vertus, et e = a = s. Hlujulque Cy.
noplin illi propeciem leripro rradidius in hac torima.
Cigclb1.

## Folio 472 — 851708439:0496
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000496.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
Cycloid. 
Cap. 5. de Mor pr. 20. SB.
ap.
bbA =- 26VA -
+2
v + aR
- 
POTICO AV (= 2) = ZR.
Adeoque s( br C 13.
altaY 3.
ABBa -
ile a
Conter cum Llusemi Lorologio OCcillatorio, pas. 60. L8  B5A
Ouod autem ille vocat Centrum Oscillationis id cA quod cgo Centrum Percus-
Sionis dixeram (De motus 10ro Capire undecimo.) Suippe res cactem clt. de qua Mer.
que diximus.
Videm De Cycloide Praetat. pas. penuile 
C A P. C
Ci.
Cd = (BV = VZ RR =) = RVZ.
De Complicatis uctabos.
Ordanus, in libro de Subtilitate, inter alIao (quas vocat) Subtilitates
Tnutiles (ut qua act rem Duestuariam non spectane, sed sua se Subtilitate
commendant ut Cunc plurimae Speculationes Mathematicae,) hanc memo.
rat quam sumus cradicuri. Sed tam obseure, ut, qui rem non aliunde noveric, haud
tacile conjecerit quid rei sit quod velit. Ouod ideo factum puto, quod non 
ita Facile rocum operis procellum rerbis explicare; quod nos utcunque tacere conati
sumus. Fr quamquam Disitis pocius quam Calamo expedienda LIE, (ut AIGChEX
nomen huic haud torre concesseris,) tancae camen Subcilitatis res est, e AIGCbrX
suppar, ut non retusiam hie ei locum concedere. Vc quae in Compositione d
Relolucione (pura Pexendo et Retexendo) TOta vertatuT. Ouam Veculta Lic Hac
res, haud dixerim; sed Cardani Calrem aecace nocam eAe, Catis constat: Neque eam
ille ut rem a se exeogiratam cractie, led uc ante cognitam.
eR A P A R A Y +0.
Paranca primum est Lamina Metallina (puTa Ferrea) Foraminibas percula
quotris; (pura Norem, L. 2. 3. 4. 5. 6. 3. 8. 9.) rocundis, aequalibus, et aeque disticis
in eadem recta.
Torum fingulis aptandus est (ex simiti Metallo) Clavus; CratTo Capice (ne por.
Eit hoc per Foramen cransire) led cenui Scapo, qui minor sic quau LOraminIS ca.
nuli L aciludo minor luc quam Lonsiudo Clari, sed major quam Dillancia F’Or2.
Minum.
Palutaous e pollic in eo turtun acortum, et quaquarertum lacte vell. Cujus
Apea (Teu Cuspis) ita replicetur, uc (Ocello tacto) Annulum recipiat retineat.
oue, in eo facile mobilem, ita latueH uc inde non excicat aue CatatUT. Cujus An-

## Folio 473 — 851708439:0497
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000497.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
A L
3 F
Cap. C + LI.
Annulum suum (quem rocetus L) leciprat, alistue el, i Caat aut exi.
macur AnnulUS.
Foramini 2. Tuus itidem inferatur Clarus, qui eriam per (praecedentem) An
nulum Pcranseat, acque cum replicetur, luumque recipiat recineatque Annu-
Jum FI.
Similiterque reliquis Foraminibus suus cuique Clarus sic interatur, uc (exceptO
primo) per praecedentem Annulum etiam exanseat, Cuumque recipiat; qui omnes
Annuli (excepio ultimo) sequentem complectantur Clarum. Duos Annulos in-
verso ordine rocemus A, B, C, D, E, F, C, Hl, J. Relque Sic conspiciecur;
Ea vero sic componantur, et implicentur. Nimirum,
Foramini X. luus indacur Clarus: hujusque Apex (sic inditi) ita replicetur ve
Paranda denique est alia Lamina Lvcavata, quam seum vocant, Teu Orbit
Tum, (Cardanus, Si bene memini, Naviculam appellat,) quam licera O sigitamus
eadem Lonsicudine cum praecedente, seu porius aliquanco lonsior: Sca O La
duo limul annus (lccundum plandete a) Cun Car E CACHIIS,
juxim ascendet.
tior quam ut postic per annulum canue. Lattla que Caritatis ut per eam possine
Fis ita Paratis; Reguiritur, Ve sic imponatur ACUS, Ut per OmNeS tTAMICaL AN-
milos, omnes ita  tiplecleto. Alie u (sic implicata) inde dc.
OMPOSI
mum ExpediatIF.
A per O.
ODeF A.
8. T. Imponatur An LL; M LIbUS auobuS;
Ouod sic incellise; Inseratur Annulus A (secundum Planiciem Tuam) una cum ex.
cremotut Clari per Caricacem helloteu Oebreult: Lubgce lus LEPHCACO AH.
100
nuton

## Folio 474 — 851708439:0498
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000498.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
L G E B R
ap. C. XI
nulo, transeat Frons Orbiculi O per A. (Ouorum tamen motuum Dosterior, L
procellu operis, aliquando poterie omitti; puta, cum annulus Lic replcatus, l
Statim explicanaus.) Frirque res imperata, hactenus peracta, L biculus
O transie per Annulum A, hujusque Clarum complectitur. Ouod de religuls AM.
mulis Clarilque luis ordine perasendum ell.
5. 2. Imponatur B; his quatuor motibus,
de A
Dex B, A.
Incellixe; Recratratur O de A, _ ASCCHdaL B per O, Franseatque demum  Per
BS R; hoc es, Replicetur (Cuper Froncem O) annulus B, et demunt i ucpriuo.
EAque restactenus peracta; Nempe, transir O per A et B, horumque Claros coul
plecttur.
5. 3. Imponatur C. Ouod ut trat, (motibus octo,)
x. Deponatur a, his moribus duobus,
O de A
A de O
HIoc ett; Retrahatur O de A, et per O detrudatur A. 
Tum O deB)
C Per O E moribus 4.
Oper C, B.
EE imponatur A, uE ad 5 F. (moribus duobus.)
(Obi 8. Incieat praecepta pro Imponendis Annulis;  pro Deponendis; e sic in
sequenibus.) Estque res tractenus peracta; Nempe Ocransir per A B, C; e com.
plectitur eorum Cilaros.
54. Imponatur D. Quod tiet motibus sexdecim.
cer2. Deponancur B ecc. mocibus lex. Nempe,
O de A, _ B.)
B de O
Over A.
moribus 4.
Et deponatur A uE  X. (moribus duobus.)
Cumque jam Tolus superest (proxime anterior) annulus Cy (guipre, donec eo per-
venicur, trultra centemus Ascensum D, X paricer in sequentibus)
Tum

## Folio 475 — 851708439:0499
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000499.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
A L _ E B R A.
O de C.
D per O. E motibus quatuor.
O Per D, C.
Fc Imponancur A B, ut SL, 2. motibus teX.
AEque jamm EaHIIL  Det A, B, C, D; e complectitur eorum ClaVOS.
83. latu L. moribus 32. Nempe
Z. Deponantur C. ecc. motibus rq. Nempe
Deponatur A uc F, moribus duobus.
Tum O de B, C.)
C de O. E moribus quatuor.
ODer B.
Et imponatur A (ut S F) motibus duobus.
EF Deponancur B _C. ut 2 (moribus (eX) ue Cotus FuverLit D.
Tum O de D.7
F. per O. E mocibus quatyor.
O Der E, D.)
Fit imponantur A, B, C, (moribus quatuordecim) ut 5 1, 2, 3.
Acque jam _a O pex A, B, Cy D, F; et complectitur eorum Claros.
. 6. Importa F. Mocibus 64. Ouod ut tiat
 4. Deponantur D Scc. Mocibus 30. Nimirum
Deponantus B ec. mocibus SCx. Ut  2.
Tum O de C, D.)
D de O. E moribus quatuor.
ODer C.
Imponantur A, B, motibus SCx, utS F, 2.
Deponantur C dcC. moribus 24. UL 1 3. ut Folus supextit. P..
Tum O de F. 
F per O. C moribus 4.
O per F, F. 3
FEimponantur A, B, C, D, moribus 30. per 5 L, 2, 3,4
anque tran sit O per A, B, C, D, E, F; et complectitur corum Clavos.
57. Imponatur C. motibus F28. Quod ue tratu
SS. DepOnantuT E, Ecc. moribus 62. Nimirum
Deponaneur C, ecc. motibus L4, Ut  3.
Tum O de D, F.)
F de 9. Z moribuo 4.
ODeFD.
Imponantur A, B, C, mocibus r4. UES F, 2, 3
Deponantur D eec. moribus 30, ut nn q ut Tolus Supertic F.
Tum O de F. 
G per O. C motibus 4.
O per C, F.
Ec imponantur A, B, Cy D, E. (moribus 62) Per S F, 2, 3, 4,5.
Transitque O per A, B, Cy D, E, F, C; e eorum Claros complectitur.
58. ImpVHaLL LL, aOribuS 256. Quod uc tiatus
000 2
Cap. CXI.
Tum

## Folio 476 — 851708439:0500
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000500.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
L. 6 L B L A.
6. Deponatur F, motibus 126. Nimirum
Deponantur B, ec. MOUbuS 30, Ut  4.
Tum O de F, F.)
F de O. E motibus 4.
D Per F.
TMPONANtUE A, B, C, D, motibus 30. UE S L, 2, 3, 4
Deponantur F. Scc. moribus 62, ut 5. ut solus supertit 6.
Tum O de C.
HI per O. E motibus 4.
Oper HI, C.)
FL imponaneur A, B, C, D, F, F, moribus +26. UEB F, 2,3, 4,5, 6.
Bt EaMIE O per A, B, C, D, F, F, G, FI: corumque complectitur claros.
59. Imponatur I. motibus 5F2. Ouod ut trat,
e 7. Deponantur C ecc. moribus 254. Nimirum
Deponantur F. Scc. moribus 62. ut  5.
Fum O de F, C.)
Ee per O. E motibus 4.
O Dex F. 3
Imponantur A, B, C, D, E, moribus 62. UtS1, 2, 3, 4,5
Et dexonancur Fetc. motibus 126, Ut  5. Et superett Colus FI.
Tum O de FI. )
T Der O. E moribus 4.
Over I, TI. )
Ex Imponantur A, B, C, D, E, F, C, motibus 254. UE 6. +9 29 3,4, 5, 6, J.
Tamque per omnes Annulos A, B, C, D, E, H, G, FI, L, transit Orbiculus O, co.
rumque omnium Claros complectitur. Sed nondum est in Ptacu implicaciltimo;
sed cum demum cum paratur ad recipiendum alium (EI segueretur) Annulum.
510. Paretur ad sequencia, motibus 52T. HOc cA,
co8. Deponatur II, moribus 520. Nimirum
Deponacur P, moribus 126, uc 1 6.
Tum de (, fl.
Et de b. E mocibus 4.
per C. 3
EmPONAnEUE A, B, C, B, E, b, mOtBIS +26, per 6 1, 273, 435, 6.
EF dexonantur C Ecc. motibus 254, ut ∞ 7. Soque jam Luperest L.
Tum O de T, motm uno. Hoc cst, retrahatur O de ly ut locus
Cap. CXI.
six ascentiri sequentis AnnuII R RGII CHeI, Palieque procedendum Foret ue in
tionem.
praecedentibus. Sed, cum nultus R sequatur, res jam est in implicacillimo statu
quo per hos expolucos Annulos teri porelt. Et procedend en al Kelolu.

## Folio 477 — 851708439:0501
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000501.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
Cap. CXII.
 L. G F B R
lLSOLBY+C
Reponatur (unde retracta ett) I L, o MHO.
FE REPONAHEE A, B, C, D, F, F, C, TI; moribus 5TO. Per SX, 2, 3,475, 6, 7,8.
9. Depoatu L; moribus 512. Quod ut tat,
Dexonantur Ci, ecc. mocibus 254. UE con 7. ut L0L2 Lupertint L, LL.
Reciruantur quae proxime sunc deposica, moribus SFT. Nimirum
Tum Oac H, T.)
L de O. E motibus 4.
O per LI.
EE rCPONaNEUE A, B, C, D, C, H, C, motbUIS 234, Per B 1, 2,3,4,5,6,7.
Annulo Y sic depotuto; reliqui luo ordine LI, C, F, L, D, C, B, A, limiliier de
ponendi erunc, ut 58, 7, 6, 5, 43 3, 2, 2 jam ostensum ett.
Numeri moruum quibus imponuncur et Deponuncur Annulis sie se habent.
Adeoque implicantur Annuli MoribuS 2533
Explicantur cocidem 1533
Omnino 3066
Nocandum incerim, quod, in toro operis procelti, nonnunquam omitti potest
MOTuSUnUS aut alter. Or puca, cum juberur A Tursum imponi, clacimque Deponi;
Docerit uterque omitti.
Possimique aliquando mocus duo simul peragi. Viputa, cum A de B vel EI
mul Tnmiccuncur Turtum, vel simul Demictuneur. Tremgue, cum O per B, A,
rel C, B, simut immiccicur; auc inde simul recrahicur, similiaque. Oux praxi
OcCurVenE.
Denique; Ne sit necelte hOS MOS omnes Memoria simul retinere quo res
imperata praesterur, lxc duo Monica libet subjungere, ad quae siquis satis sit at-
tentus res opporcune succeder; ee liquando Labyrncho quis (errore aliquo Facto)
EC senciat implicitum, corum opc le excricabit; dubiunque (si quod Occurrat)
Tolvet.
E. Nullus Annulorum vel sursum immiui vel Deponi pocest, nili (ex anteri-
bus) qui est proxime anterior, acque hic Tolus, Supertic. Puta, si velim annu.
lu P. vel Immittere vel Deponere; Opus est ut D jam Fmineat: lecus enim
(cum Clarus D annulo F. COntInCatuT) non pocest Annulus F absque Claro D
vel alcendere ret Descendere. Ec quidem (ex ancerioribus) D solus: Ouippe si
O00

## Folio 478 — 851708439:0502
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000502.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
F B R A
Cap. C XIB
CB auE A Emineane, eorum Clavi (Calla L potiti) non permictent Ut F 22.
2. Si Annulus Immitrendus, aut Oemictendus, sic loco impari constitutus; De.
muttendi lunc luo ordine omnes anteriores locis Imparibus: Et concra, (1 locc
pari. Puta, S Demicrendus C, orem aeperendi lune A, C, F. Sin Demicten-
dus sir H depori curanallm elt luo ordinen B, D, l. Ec in reliquis limiluer.
nulus per Orbiculi Frontem O vel Replicetur vel Explicetur.
a La l.
Problema FlocCtinum, de mira lempli l’estu
dine duadrabili.
Ibet hic subjungere, Coronidis loco, Problema quoddam (interrentu Cla-
TNIMNL VUL D. Cmhelmi Prideeman) ad me crantmistum, de mira cujus-
dam Lempli Lesclure Ouadrabili, meamque ejusdem Solurionem, cum
D. Carem Orraseman ad me L Pistola, Cxat (L arine reddita) ad hunc senTum;
Reverendo Viro, D. WallisS. T. D. Geometriae
Prosessori, Oxonix.
Aueusti 30. 2692.
Tneaam chartulam (Reverende Vir Florenia mihi missam, ut ad te dese-
rac ae qua sememum tuam expetunt,) cum his accipies. Cun si tibi visum
fuerit responsi aliquid reponere, id eso curabo Plorentiam remittendum.
Inctuta charcula, haec exat.
Tuus ad ofticia,
Dic 4 April. 1692.
Euihielmus Brideeman.
A DI TOMA GHOMETETCOM
CDF. MTRO OFTETCIO TESTODEMIS
OVADRABECIO AEMISPHARLCA.
cD. PTO LLSCL PDSILLO GEOMETRA.
Propolicum.
_ Cajus Divinatio, a sectetis arcibus illustrium malistarum vieentis
aev expectatur, quod in Ceometriae pura historia tantummodo versatus,
Tubjuncto Scholio eam explicante.
at ad tam reconditâ videatur invalidus.
Cicometriet est capat.
Ner venerabilia erudicae olim Grxecix Monumenta, ex tal a, perpetuo
equidem duraturum, Tetm auxIIEuM, Schnographia Circulari
EAL. MI A GE OM E FRL A. dicatum, quod, a Fectudine incus pertecte
tremisphaerica, operitur: Sed n Hac, reheltrarum quaccuor aguales alca (circum,
e lupra balim hemispiata PS dipolitarum) cali contisuratione, amplicudine,
rantaque industria, ac  acumine sunt extructae, ue, his decractis, superstes
curra Festudinis lupeliicies, preciolo opere muliro ormaca, Fecrasonismi vele
 a.

## Folio 479 — 851708439:0503
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000503.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
A L G F B R A.
EEONXrItIE mOO, gux sit, qua methodo, quare arte, pars illa hemilpheerica
a suverticiei currae quadrabilis, censae ad instar Carbali, vel curgidi Vel naucici
ab Archirecto illo Geomerra Tuerit altécura. ee cui demum plano geometrice qua
ce deabili sic aequalis.
CY Raelencis Anigmatis enodatio (quod spectat ad hujus admirabilis Forniois.
a rum Constructionem expeditissimam, tum Ouacraturam) S F. R F. N ISSTMO
EC F F R DTNANDO MAGNO PDINCIPI ETRVRIA, Scien
ec piarum, eE nobiLIOruM APTIUM CVL. TORL, AC PA TRONO GENF.
ec ROS. FSSTMO, ab eodem Anismarista collata jam est; qui quidem simul non
ec dubitat quin hoc iplum Anigma a Singulis, licerario in Orbe degentibus hodie.
ec praeclariltimis Analystis, Tu Ctarim divinaturum, proprias quadrationes imperti-
a endo singularis Teltudinis hujus cetragonisinica ac hemilphaera dillectae: Sed
a ixsorum lolummodo peracutas indasines, mulciplice (que indultrias ad hoc unum,
a idemque seometrieum collimantes, impatienter expectat, ut hine, qui temere
a contumelias in Geometriam jacere audent, lilere dilcant; vel porius maxima cum
a vocC CXClaMENE. OFI W HTCA VEROROM SEISCETABTLTOM
HSCTENFTA a DIVENA in Hlominum ME NTE intusa, ut haec,
a imperriis, mutabilibus, Fallacibusque contempris, xcerna ilta, quae TEmpCr, ec u-
e niculque u Eallem, tancum appetat, nilque aliud unquam masis innocuum
Cui sic respontum est.
Clarissmorro, D. Cuilicimo Pontio, Melice Bridseman.
Johannes Walis. S.
Oxonix, Sept. 2. 2692.
Ccepi, Vir Clarissime, nudius terrius (noctu decubiturus) Lateras ruas
priaie datas Londini (Aueusti 30 sera nocte:) quibus heri non vacabat.
atias occupato respondere: Fisque inclusam Charculam, eypis impressam
cui asseriptus est dies 4 APrIl. 2692. Quam ais Florentia le accexisse mibi mit-
tendam. Cun responsum meum expetis, quod Plorentiam te remissurum polli-
CeriS.
Continet ea Charcula Aniema Geometrieum, quo d (verborum involueris exem
prum) hoc innuere judico Problema; Ab Flemisptaerii curra Supertieie, SeBMenLa
quatuos incer se aequalia lic amputare, uc reliquum sic Perragonitmi capax.
Simulque videtur innuere, In veteris Cracix monumentis etiamnum extare
quiduiam quo illud frat.
Hhoc esse existimo Fippoeratis Chii Ouadraturam Lunula.
Quippe cum archimedes demonstravit, Curram Flemilphaerii supertiesem sequa
lem auobus Circulis ejuldem Sphaera maximis, (id est quatuor Semicireulis;)
Decuisgue Fippoerates Chius Lunulam quadrare quandam: Si sineulis Flemi-
Iphaeriei hujusce Fornicis quadrantibus, tantundem eximatur, quanto defieit a Se-
micircuto ea Lunula; Reliquum aequabitur duadrato, quod Circulo Sphaerae maxi-
mo (eui pie insistit Fornix LLemisphaeriens) inscribatur.
Sic habes, Ver Clarissime, rum Ainiematis F. nodationem, rum Solutionem PEO.
blematis.
Si tamen praeter AEnemaricam Problematis involutionem, sub sit aliquid (d
Templo) Lustoricum: puraverim eso, S. Soptix (quod est Constancinoxoli)
Templum hic insinuatum.
Cap. C.XII
SCHOL LVM
feire petscrat.
Per Flappocratis Chii Duadraturam Lamulae (L Phylicorum Aristotelis, de
Simplisii in cum locum Commenrariis, indieacam,) Si temicireulo ABD, in duos
qua

## Folio 480 — 851708439:0504
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000504.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
A L G E B R A.
Cap. CXII.
quaatates ACD BCD dirisO, aptetE A D Subrensa quadrantalis arcus, radio
CF Bilecta In FI: _ CeNErO FT Ecribatur TemicireMLUS ADF: FrIt (prOPter qua-
dracum rectae AD subduplum quadraci rectae AB) semicirculus AD L Cubdu-
QuE COMMUI lEgMentO AD F) relidua Lunula A F DE reliduo PriangutO ADC
aequalis. Lalesque quatuor Lunula, talibus quatuor Friangulis; hoc ct, Jua-
draco tor circulo inscripro ADBG.
IOITO; per Archimedis demonstrata; A quatur SpharX SuperFcieS, quatLIOF
Circulis in ea Sphaera Plaximis. Adeoque Flemisphaerii Superticies curva, tali-
Dus quaruor Semicireulis: calisque superticies HlemiphaeriCK Guadrans, unI LemI
Circulus A DBC elto jam Balis Femispharieae Puperficiei crrx: cujus po-
lus P, axis C P, plano balis perpendicularis, eju sque quadtrans unus LH, gu
Platio H. PC per axem cranleua BHICCCtUT.
peripheria P, expolicus arCU a.
+d0
circulo.
plus semicireut ABD; adeoque quadranti ACD aequalis. Et (dempto utrin-
Ponantur item (ob commodiorem calculum) Circuti radius R, diameter D = 2 R,
Poticoque quadrantati aieut DF A = a = = P; est TCMICHCHIUS XBB = 1 a
superticies hemisphaericae currae, aequali semicirculo ABD) quo reliduum xeque
eur expolico criangulo ADC
Ouod quum rariis modis tieri possit; per ca quae nos dudum docuimus anno
2659 (ad calcem Fractatus de Crcloide, cum EdicI, pa8. F22 inserenda ad 668)
iterumque AnnO 267O (in Fractatus de Motu Capie V, PrOD. 24.) de Fieura
Planan aequali cuivis in supersieie Spharica fieura, circulis quibusvis (sive maxi-
mis sive minotibus) terminatae. Sic tiat limplicissime:
Cum supertieier Sphaericae legmenta, Palattesto practto abseicta, sinc Axis segmen-
eis proporconalia (quod de expolica quadtrantalis Cunei superticie D P A Pariter
valet:) Si sumatuT, in axe CP, ut semicirculus Z RP, ad semicirculum dempto
triansulo Z R~ = = RD; hoc est, ut D ad P = D: sic CP ad C l: (sive.
quod cancundem elt, uc D ad D, sic CP ad PY:) planum per YL bali pa-
rallelum, abscindet hujus superticiei currae porcionem volo adjacentem, aequalem
criangulo ADC. Ouod cum, in reliquis superticiei currae quadrancibus, paxi-
ex hac: aequabitur tocum Abscittum (Polo adjacens) tori Ouadrato bati in-
scripto: Et lic centum ue oporitt. Ouod crat taciendum.
Vel sic brerius. FH Elemisphaerii superticies curra (urpore duobus circulis
maximis aequalis) = P P. Ouadracum circulo maximo inscripium, = 2. L R = RD.
Aludque ad hoc, ut P ad D. Adeoque (propcer segmenia superticiei parallelis
Planis abseissa, segmentis axis proporcionalia) Cumpris C P ad P Y uc P ad D, eric
cum cota supertictes =  L, cu pbilto ad Polum, plano L. L abscista, = R2d
quacrato bali inseripro. Sao ctat Lacienaum.
a RE: criangulum ADC = 3 R = = RD; reliquumque lemicireuli (dempto
hoc criangulo) a RP = =PD; cui aequale auterendum est ex DP A (quadrante

## Folio 481 — 851708439:0505
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000505.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
Cap. C LII
A L G F B R A.
Si dicatur; Processum hic este ex praesumpta Circuli Ouadratura, aut ratione
quam habet circuli Perimeter ad Diametrum: Id ommino verum elt. Sed non
est objiciendum. Ouia non postulat Mniena propolitum, ur Flemisphaericae su-
perticiei portiones Abscissae, (quas Fenestras vocat) sed ut portio superstes, st
Pecragonismi capax. Et quidem si urrumque poltularet, postularet Circuli qua-
araturam absolure Geometricam: quod haberi non posse Patis constat.
Oxiticium quod spectat; Super balem planam, extra balem Flemisphaerii po-
Eitam, sed ipsi contisuam; cujus duo latera in ansulum cocant ad A, iNEra PrO-
eractas D A G A reCtaS, (quo Fenestrarum quas vocat uerinque adjacentium Liber
prospectus pateat non impedicus,) extruatur Moles Paris tirma; ita quidem ut
alturgente Pructura, prominear ejus Acies, angulo sultulta, circuli areum etticiens
qualis est DZ, ad alcirudinem Z alturgens. Ft similiter ad religuos angulos
D B G. Atque his demum srueturis (quali cocidem Columnis) ad cam al.
ricudinem provectis, imponatur Peltudo, sic intus excarata ut polcit Flemispha.
rica superticies. Adeoque tocum opus imperatum absolvitur.
A L I FE R.
Idem fiet (, pro Ouacrato bati inscripto, exponatur Ouadratum quodvis Q
(quodminus sic quam Femisphaerica Superticies curra.) Ouipre si sumatur, ue
R~ (hemisphaerica luperticies curra) ad Q e (expolicum Duadratum,) sic
CD (axis hemisphaerii) ad PY (axis portionem polo adjacentem;) planum Z. Y
basi parallelum) abseindet portionem luperticiei sphaeriex Terragonismi capa.
cem: Orpote aequalem exposiio quadrato Z X
AL. L F E R
Idem sic alirer absolri potelt; Sed majori Colicitudinc.
Cum sic (ut jam ostentum cst) Flemisphaerica Superticiei currx Ouactrans
OP A, aequalis Semicirculo ABD; ejusque legmenta planis bali parallelis abscista
Teomentis AXiS proportionalia: Sumatur in DP quadrantali arcu, arcus P Sra
duum 60; (quod nuihi Casveltus susgerit.) Polo P descripcus Circulus QTS bi-
lecabit Axem (propter linum verlum grad. 60. = = R:) adeoque Quadrantem he-
milphaerica superticici curvae DP A dirimet in duo lesmenta inter sc aequalia
Ouorum alterum, DO TS A guadrilineum, aequat quadrantem circularem B C Y
reliquumque Fritineum PO LS aequat quadrantem ACD. Onde l pOrrO au-
FETaEUE O RS T bilineum, aequale legmento circuli AD E: reliquum erilineum
PORS, aequabic A DC criansulum. Paliaque quatuor, in quatuor Quactrancibus
Hlemisphaerii, aquabum Ouactracum bali inseriprum. Hlabebicur aurem illud Bili-
neum per ea quae nos dudum docuimus locis modo citatis.
Idem universalius sic tiet.
Sumpio Dubiris in areu DZ (ne major sic D O quam DZ;) FE, Ouanco de-
ticic quadrilineum DO FS A d coco auterendo, tancundem suppleat Bilineum
ORST: Reliquum aequabie A D C criangulum.
FF quidem, si sumatuE Q in D (quo craneseat Onadrilineum) Cumendum
erie Bilineum aequale tori auterendo. Sin lumatur Q in Z. (ur Bilineo non
SIE OpuS) aquabicur Ouadrilincum tori auterendo.
Fademque omnia (de Ouacrilineo et Bilineo qua simul compleant totum
auterendum) pariter accommodanda erunc (muratis mutandis) LI, Pro Ouadrato
basi inserixio substitatur O quadracum quodris; quod tota superticie curra
hemPaLICa non I majus.
Sed quum processus hic (de bitineo sumendo) sic paulo operotior; sufsicir
limpliciorem praxin achibuille.
M ON IY V M
Poltquam hac scxivra fuerant, erantque sub prelo, reseiri candem huie ei
act Lloblemati Responlum dedute Cl. Virum D. Lerbtation sd  sctis
Capsicto

## Folio 482 — 851708439:0506
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000506.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
A L, C F B R A.
Cap. C A.
Lipsieis comparere pro Mense Junio 1692. Ouod secit ue prelum Suslaminan.
dum curarerim per aliquot Sexrimanas donee illud conspicerem; quod xore
eandem obtinui (nam apud Bibliopolas nostros liber non exstabat) exeunte
Decembri nostro. Videoque Cl. Virum juxra mecum sentire, non esse Pro-
blema Determinatum, Sed mille modis (nedum intinitis) solubile. Mechodum
ejus non repeto. Ouam ibi quaerat Lector, e utramque  libet conterat. Ci
cac ille Tuam Geometriam Incomparabilium, _ malysin Insinitorum, in Actis
Fruaitorum exstantes; sed quas ego nondum vidi (nam eorum libri sero ad
nOS perreniune,) nec tamen inde minus xstimo; Ced tanco Viro dignas prxe
Lumo. Ec quidem, si cempori vidissem, pocuiltem cum Veretoni et Grecorir
mechodis (his Forre non absimiles) noltris insernille Cap. 93. Sed, cum alibi
exstene, id minus erie opus. Est ejus Solurio Problematis (latis ingenio(a) ex
comparatis Cuperticiebus Sphaerica ec Cylindrica, acgue Onoularum doctrina (quas
e nos alibi cractarimus) perita; _ secundum Tndivisibitium mechodum demon-
Atraca; (aliis incerim achibicis lineis quam Circularibus;) eodem die praestica
Cuc in re non admodum difticili) quo acceperit Problema. Nec in Proble.
mace requiri existimat (uei nec es0) ut partes sbscissae sed Talrem ut pats
Residua lic Ouadrabilis.
Acque hic tandem pedem tico, huic de Meebra Tractatui Finem imponens.
Ouem eo porius sulcepi (ad id FOSaCS) uE meam tidem liberem, quam sub
tinem mex Matheseos Oniversatis Teu Operis Arithmerici (Anno 2656 cditi) Fe
cisse ridear. Pucabam utique, tum temporis, ejusdem operis Partem Secundam
me provediem editurum, in qua de Agebra agCrCTT. Sed alia incerrenietant
negotia quae me alio abripiebant, ne illi me stacim applicuerim. Fc quidem,
quum id aliquandiu dilacum fuerat, videbam incerim eorum ab aliis multa tra-
dita quae coo dicturus eram, ue inde res minus necellaria videretur. Pandem
vero hanc operam aooreltus Tum, quam (urcunque absolutam) erpis commisi
nelice edendam; quod ideo poristimum factum cst ut Nostris aliquatenus fave-
rem, quorum non panci (qui linguam Latinam minus torre calleant) funt re-
rum Machemariearum Patis gnari; Oux prodiic incunte AnnO 2685. Cumque id
overis etiam Exteris non displicuisse deprehenderim, Larine pariter edendum
centui.

## Folio  -  — 851708439:0507
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000507.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 10 lines, status machine
 b
x
e
DNIMAEMCLIONIBUS
ALTERDATIONIBUS,
Hi.
PARTIBOS ALTOVOTIS.
ractatus.
Anno 1685. Anglice Editus.
ePP =

## Folio  -  — 851708439:0508
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000508.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 1 line, status machine
2s

## Folio 485 — 851708439:0509
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000509.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
GOMBINATIONIBUS
AL TFRNATIONIBOS,
artibus Aliquotio
483
L A P. I.
De Farietate Flectionum, in Sumendis es Relinquendis
Ono aut Pluribus, certo numero Propositorum.
VO melius intelligatur quod est proxositum: Fxponi supponamus Cal-
culos, aut res alias, certo numero; puta Seprem, a b c defe: Ouxeri-
tur, Ouoe modis, aut quanta rarietate, sumi possine inde, Singula; aut
Bina, ut an b, 6, d c. vel ab, ac, a d, bc, b d _c. Aut Terna, utabc, ab d.
ac d. b de, _cc. Aut Ouaterna, Ouina, _c. Aut Omnia, aue NuIla. Et similiter l
alius aliguis rerum numerus exponatur.
In ordine ad hujus quaesiti Solutionem; libets hic praemittere Fabellam quandam,
F.X Arithmetica Infinitorum prop. 232, 169, 183, 289, ec. pecitam: Ad quam
sapius respiciendum exit in sequentibus.
Mona
Laterales.
Lliangulares.
Pyramidales.
LTIaMS. LetanO
Frians. Pyram.
Pyram. Pyram.
Relinquenda.
8 9TC
6(10, +3 212
1020355
35(7C
156
De cujus Fabella constructione, norandum est, Duoc, potitis in prima linea
omnium in linca proxime lupertolh Cose. L. XeI Sratia. Pro cribus primo-
ribus in Tuprema linea, F, Z, F; habetur ( tub eorum ulcimo ) 3 = L. F L F L. LF
simulicer, 10c0 prorimo, 4. = F. F + F L F f. Lu hc  caterto. dtlex, um H.
neis
transverla Tolis Onicaribus, Numeri sequentes, in quoque loco, sunt Agoregaci

## Folio 486 — 851708439:0510
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000510.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
GIOMBENATIONES, FP
veis sequentibus. Du, in linea certia, pro cribus primoribus secundae Lincae, 2, 2, 3,
habetur (sub horum ulrimo) 6 = + F 2 7 3. Et sic ubique.
Elis praemistis: Sequuntur Propolitiones
2. Maniteltum est, quod Si sumendum sit Nultum, (adeoque relinquenda
Omnia:) Unicus hrie calus eris, quicunque lic rerum expolitarum numerus. (Ouip
De nullus hic est Variecari locus.) HToc indicatur (in Pabella) in trantverla Li
nea prima, (ex adverso nOEX ∞,) ubi numeri omnes sunt Monadici, Peu Oni
Lates.
2. Idem continger, si sumenda Omnia (adeoque NTulla relinguenda;) Nam ne-
que hic est ullus varietari lOcuS, quocennque sE numerus expolicorum a b, c, ec.
Ouod indicatur in Pabellx Columna (erecta) prima: (subjecta notX O:) in qua
numeri omnes funt item Monadici.
3. Si sumendum Onum: manifestum est tor esse catus, Peu elisendi varietates;
quor luntres expolita. Namhoc Onum, Porelt esse expoticorum quodris. Puta,
a, b, 6, d, e, F, 5. Ouod indicatur in secunda linea crantversa (ex adverlo numeri
C,) ubi habentur Numeri in nacurali ordine consequentes, 1, 2, 3, ec. quos La
terales dicimus.
4. Idemque continzet, Ei (Timmpeis reliquis) Onum reliquendum Fic. Nanite-
ltum enim elt tor este calus relinguendi unum, quoc sumendi unum. VL abc a
f, abcd c8, a bc df8, a bc et 8, a b d efe, ac defe, bc d ef8, Ouod
indicatur in Columna lecunda, numero + subjecta. Ubi numeri Tunt item Late-
rates.
5. St Sumenda Duo: manitettum est, primum a combinari posse cum sequen-
tium tingulis, ut ab, ac, a d, a c, af, a8; quarum
6 itaque combinationum numerus, elt uno minor quam
exDOlIEOrUM nUMErUS. Pocest icem sccundum b (onis-
la ejus cum a combinatione, uIE PrIUS Sumpta; PFOPICE
ba eandem cum ab;) cum sequentium lineulis com-
binari; utbc, B d, b c, bf, be: quarum combinationum
numerus eft uno adtrue minor; hoc es minor duobus
quam eAt numerus expoluorum. Similiter c, Comiltis
ejus cum a eb, combinationibus, propter ca, cb, ea(-
aCM CHII aC, bC, jam TumpeS,) combinari pocerit cum sequentium lingulis, ut
6. au cC, 6F, 6e; adeoque cocies quor est expolitorum numerus, minus tribus. Et
quareum a (omictis da ab, dc, urpore cisdem cum a du b du c d, jam Tumptis)
combinori pocelteum lequencibus e, f, 8; hoc ett, rocies quov est numerus expoli
torum, minus quatuor; ut de, d f, de. EL Similiter de Oninto e Sexto, ee liqua
Plura Ene, quorum lingulis corannumerandae sune combinationes una minus quam
DrOXImE PrECEdenEI; donec ad = tandem deveniatur: ut e f, e8, ilem f8. Adeo-
que numerus harum Combinacionum omnium, elt asgresatus omnium numerorum
in eadem linea ancecedentium illum qui cs numerus expolicorum. Hoc est, in
Praelenti casum 6 F 5. F 4 f 3 f 2 + 2 = 2r. Cui respondet, in Tabellae linea
tranlrersa terria (adverta numero 2,) numerus Trianeularis 2F. Tubjectus nume-
eo6qui est unominor quam numerus expolitorum. Sunt ucique rales numeri Pri
angulares, aequales asgregato Fateratium, cousque. Et universaliter, (quicun-
que sic mimerus expolitorum,) numerus Binatim Cumprorum, est Numerus Tri-
ansularis, cujus latus est unominus, quam numerus expositorum.
6. Idem continget li sumenda sunt omnia praeter duo, Ceu relinquenda duo. F0.
tidem enim Cunt calus relinguendi duo, quoc lunc sumendi duo. Hoc cA (utrobi-
que) TOL quoL CsEnuMerUS Priansularis, cujus lacuS esL UnO MInUS Quam numeruS
expolitorum. Id indicatur in Labellae Columna certia, (numero 2 Tubjecta,) cu-
sus nume Ilclem Tunc qui in certia Lnea llatverla.
Si sumenda Fria: manilestum cst ab (primum cum secundo) combinari
hunterus expolitorum: Oua lasue Toc Lriadas extribene, ut abc, ab d, ab e,
ab), ab8. Tiem ac (primum cu leto) combinari posse (omilta combina
minus TribUS; UE aCdue BC C, aC), ac e. FE smiliter, a cum sequentibus, Hoc
est ad, aeq as, combinari polcuit singula cum suis respectire sequencibus, ura
dad
ab ac a d ac
bc b + be1
EF
atue posse cum quovis sequentium; quae lunc coridem minus duobus quoc est
rione acb, upore eadem cum ad,) cum lequentibus a, en f,5, (uno pauciori
buS quaH PrIIS,) qua IOL Las ELaCaS extibeNE quOE elL HUIMCTIIS ExPOSIEOTIM

## Folio 487 — 851708439:0511
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000511.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
Cap. 1.
PARTES ALTOVOTF.
das exhribentia Una continue pauciores quam
proxime praecedens, donec ad e derencum clb. V1 ab0 ab d abe ab
ade adf, a d8,  acf, ac 8, et randem af8.  1 ac d ac c ac
(Incipiendas ab as non accenseo; quia polt s non.
et quod lequatur.) Duorum omnium ASSICS2.
tum, est numerus Friansularis (uipore 289rC92
tus laceralium) cujus lacus eR minus duobus quam
numerus expolicorum. Hoc ettu in praesenti calu,
 4 + 3 + 2 + F = 25. Oui est numerus triansularis cujus latus cA
(minus duobus quam 7 nuIeeUS exPOLITOTuM.) Ouas omnes Friactas ingre.
CIEUT a.
Similiter, Comissis criadibus omnibus quas a ingredicus, uc jam sumptis,) bc
(seccundum cum cercio) combinari poltunt cum sequencium singulis d, e, f;
eoc exhibentia criactas quoc prius ac, (qua cum cisdem
fuerane combinata;) hoc eltus tot quoc est numerus bcd bce bcf
expetuorum minus Pribus. Irem bd, b e, bf, quot 1 b de b0
ante ad, ac, af. Oux novum extribent numerum
Priangularem, cujus lacus elt uno minus quam ante.
FIOC Cltus 4 F 3 F 2 +5= 10, cujus latIS 4 =
Duas omnes triodas ingreditur b.
Sumiliter oltendetur, quod (omissis eis quas ingrediuntur a es b) criades in
quibus c praecedit, numerum criansularem exhibebunt cujus latus elt uno adhue
inus. Kc Sic continue decrescendo donec ad x pervenitur. Or 3 f 2 + 1 =6
numerus cransularis cujus latuS 3. EC 2 f F ==3, Cujus latuS 2. Ex randem L,
cujus lacus icidem cst F.
cdo cas cd5. 3
c ef 60
aes as
FTorumque omnium Friangularium Aoprexatum est 35, numeris F pramidatis
qui lin linea quarca) Subest numero F5; Triangularium maximo; cujus latus est
minus duobus quam numerus expositorum. HToc CA, numerus
Dpramidatis cujus latus est minus Duobus quam numerus
expositorum. Acque coridem Tunt Priades quae haberi posune
in cali numero expolitorum. Hoc est, in praelenti casu
25 + 10 76 7 3 + F=35. Ouod indicatur in Pabella linea
Quarca (adrerta numero 3,) quae est Numerorum Pyrami-
dalium.
8 Idem continget si sumenda sine omnia praeter Tria seu
5
Tria relinquenda. Ouippe cot sune casus Rélinguendi iria, quor eria Sumendi
Relictis serlicet ubique duxe ante Tumebantur, et sumpris quae relinguebantur.
Acque ut indicabatur illud quarta Linea, (nuImerO 3 ad ver (a) Sic HOC, quarEa
Cotumna; quae Tubest mumero 3.
0. Si sumenda Duatuor. Pum toc modis haberi poltine Ouaterna, ab a in-
choata quoc poltune formari Friaces ex seguentibus, (PuTa B, 6, d, C, F,8;
Eloc CAt, (per 57.) quor est numerus Pyramidalis cujus lacus elt minus dobus
quam horum nuMerUS; hoc est, minus TribuS quaM RUMEFUS ExPOSITOTUM. Id ele
in casu praesenti, 20; numerus prramidalis cujus lacus est 4. = 7
Similuer, (omisso a) Pollunt eum bcor Forimari Quaterniones, quot haberi por.
Tunc erraces in reliquis, puta C, a, e, 5,5; Hoc est, numerus Pyramidalis cujus latus
elt uno minus quam prorime praecedens. Hoc ee in pralenti ealus 18; cujue
L.acus 3 =
TIem, (omistis a, B,) toc cum e Formari postunt quaterniones, quot iriades ex
sequentibus, (ut an e, 5,83) FHoc est, Pyramidalis numerus, laceris actruc uno
MINOTIS. Puta 4., cujuS latUIS 2. Ft lic deinceps, donec ad F perrentum
H.
Hlocumque omnium Pycamidalium aessexucum, ill numerus quaticus. Eloc
2
e
433, 2

## Folio 488 — 851708439:0512
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000512.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
CiOMBIHATIOHES, FT
20 C nuMeTUS IM CMC linea (numero 4 adrerta) quae Subest Pymidalium
20 horum maximo. FAque numerus Trianculi triancularis dictus, cujus latus
4
elt minus tribus quam numerus expolicorum. Hloc est, in praesenti casu
(ubi expositorum numerus est 7,) 20 + 20 + 4 + X = 35, Friansuli cri
angularis mumerus, laceris 4 = 7 - 3. Focidemque sumi postunt dirersi
Duaterniones, ubi numell expositorum cl 7.
(Sicui non placet nomen numeri Frianeuli Triangularis, Frianculi. P pramida-
ls; Prramidi prramidalis, ee seguentium; cgo non repuono quin ille alia impo-
nac nomina pro arbitrio luo. Fgo hisutor, quae apud alios reverio.)
Ouod autem idem hic continsir numerus Ouaternionum, qui ante tuerat Fria-
dum; causa est; Ouia, cum numerus exposicorum estz; idem est sumere 4; 8
sumere omnia praeter Z; Cujus CatuS, FOF OcCurrunE varietates (per Spraeced.) quot
Tunc sumendi 3.
20. Idem continget (ob causas anre dictas) Si Sumenda sint omnia praeter 4.
Acque uc indicabatur illud in Ouinca Linea (ex adverlo numeri 4;) Sic hoc, in
Duinca Columna (numero 4 lubjecta,) cujus numeri iidem Cune qui habencur in
quinca Linca.
TT. Simili procestir ostendetur, quod, Si Sumenda sune duinque, (aur Ommia
25
22
praeter Duinque;) LOL CrunE varietates duinorum ( aue omnium dempris
Ouinis) quor est ABPregatum numerorum OninIX LinCX (GUInLVe CO-
Lumnx) quorum maximi lacus lic minus Quaternario quam numerus expoli-
corum. Hlocele, numerus  lexra Linca (quae elt Frianculi prramidalium.
Ca adverto numeri 5,) cess lacus lic minus quaternario quam HUMCrUS exPO-
Tiorum. (Sel us es huic respondens in lexta Columna, Tubjecta numero
) Hloc elt, in praesenti calus 15 f 5 Y I = 2T, cujus lacus cAt 3 =
Idem numerus qui ance occurrebat pro lumendis 2, aut omnibus praeter 2. Propter
Similiterque; S Tumenda Sex (Seu omnia praeter Sex,) varietates Senorum (auE
omnium dempris Senis) cocidem crunt quot est aggresatum numerorum lextae li-
nea, sextaere Columna, consque continuatorum donec ulcimi latus ( minus
6 quinario quam numerus expolitorum; hoc est, numerus illi maximo subjectus
 in linea Seprima (qua est P rramidi prramidalium, ex ad verto numori 6,) aut
 le respondens in sepcima Coruta, numero 6 subjecta.
Similiterque pro Cumendis 7, 8, ecc. (aur omnibus praeter 7, 8, etc.) rarieta-
cum numerus habetur in lineis concinue sequentibus, ita concinuatis ut Lacus ul.
timi numeri sic minus uno, qual  Cd proxime Luperiori.
Sic, in praesenti casu (ubi numerus expositorum elt 7) numerus pro Senis (u
mendis, elt 6 f F = 7: Ppramidi prramidalis numerus, lateris 2 = 7 - 5. PrO
Tumendis Septenis, est F: Trianeuhi crianculi prramidalis, cujus lacus F = 7 - 6
Sed lumendis Octonis, Vovenis, aut pluribus, locus non est, in praesenti catu, ubi
numerus expoluorum ponitur Septem.
22. Omnes hi Varietacum numeri, reperientur inpraemissa Tabella, (Patis con-
tinuata,) in serie numerorum oblique descendencium; ea nempe ubi in secunda
Tinea transversa, iterumque in secunda columna crecta (quae TunE numerorum
Laceralium) habetur numerus Expolicorum. Oe, in praesenti casu (ubi nume-
rus expolitorum ponitur septem) in obliquo descentu per lacerales 7 Cin linca
secunda, _ secunda columna,) transcunre, habentur numeri X, 7, 2F, 35, 35, 21,
B F, exprimentes numerum rarietatum pro lumendis (auc relinguendIS,) 0, 2,
29 3, 435367. Similiterque pro alio quors hero, expositorum.
13. Numerique hi ( quod inspectu patEt) iidem TunE quas CniaS VOCAnE, PrX
Politas Proporrionalibus in constimendis respectiris Porestatibus ex Ractice Bino-
mia. Seu (qu tancundem est) respectra Lotestares radicis Binomiae L f F.
Hloc est Laclion Sculcatum Clbuio, Bslladratum, e consequenes poreltates, pro
radice F. L L (conliderata uc Bnomia) prout expolicorum numerus ellys 27 273,
25. Daco isitur quocunque unelo expolitorum: Ouaeratus numerus ille in Sc.
cunda
5
24. Fabella sic inchoata, facile concinnatur quousque libet. Nam numerus in
quoque loco, elt agoresatus duorum numerorum adjacentium, quorum alter elt
Prokime superior in eadem coluulla, aecet ploxne aillecedens in cadem linea. VL
15 =5 + 20. 20 = 10 f 10. 35 = 20f F5. EF SC IN CXTETIS.

## Folio 489 — 851708439:0513
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000513.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
Ca
D. I
PARTFS ALTOVOFL.
cunda Linca (quae est Faceralium) et in secunda iridem columna: Ouo facto
habentur in obliqua serie per illos cranscunte, numeri rarietatum pro lumendis
indeo, L, 2, 374u etC. prout Index à latere monstrat; aut sumendis omnibus praeter
O, X, 29 2, 4 CC. prout monstrar Index Cuperne DOTCs.
26. Ouod si delideretur ASgregatum omnium harum rarictacum, pro actionato
quoris MMerO expOTuOrum: habebitur illud addendo numeros hujusmodi leriei
obliguae. Pura pro calu praesente 7 exposuorum, L + 7 + 22 + 35 +35 + 22
T28.
27. Cui quidem numerus aBGregatUS, est semper numeri 2 (seu L = X) ea
Poreltas qua est coridem dimentionum quoc est numerus expolitorum (Icu ea po-
testas cujus exponens est ille numerus; ) seu productus ex tocidem binariis continue
mulciplicatis; Scu + tocies continue duplicatus. Vr, in praetenci casu, 2 X2 X2 Z
2X2 X2X2 = T2B, SCU FXZXZX2XZ X2XZX2 = +28. HIOC ett, PrO expOLIHO,
cstF: (Nam, hoccalii tancundem est omnia sumere, e omnia relinquere; adeo-
que caluS UniCUS.) PTO T, HabCTUE LatUS F F F = 2, (sumpto aue relicto hoc
unO.) PrO Z, Ouadratum F. f 2 + T = 4. PrO3, Cubus F f 3 + 3 ] F =8. PrO
4, Biquadratum L. F 4 + 6. + 4 + T = 26. Et lic de caereris.
28. Hlactenus considerarimus rarietates catuum pro sumendis aut relinquendis,
Nullo, no, Duobus, Tribus, Scc. Pro altignato quoris numero rerum expolitarum:
nulla habita consideratione Ordinis quo sumuntur; ita nimirum ut a bc, a c b, b ac,
bea, _cc. pro eodem habeantur. Si vero raria Alcernatio, scu Ordinis mutatio, repu
tanda Tc dirersos casus creare: Hoc considerandum erit Capite lequente; ubi de
Alternationibus asendum erit. Aequecum, s expolitorum duo plurare quali pro
eodem lumenda crunt, aut alterum pro altero inditterenter ponendum; quanta
inde fucura sic varictatum diminurio, ibidem considerabitur.
Z2. Si per Combinationis vocem hic incellisenda sic, sumptio duorum, Pluri-
umre, (non autem Nullius, aut Vnius; ) cum ex numero caluum ante traditorum,
subducendi erunt tot quor est numerus expoticorum (pro illis lingulatim Cumen-
dis) e in super unus (pro lumendo nullo;) et (his dempris) reliqui sune Casus
Combinationum eo sentu. Ouamris enim vox Combinatio (d Binis dicta) Atricto
Tentu Binis tantum sumendis conreniat; communi tamen acceptione, etiam plu-
rium connexioni Polet artribui: plure (que contcederatos, combinari dicimus.
20. Si, ex ante dicto caluum numero, exempram relimus Sumptionem Nullius, (quia
tancundem est nullum sumere, ee non sumere;) cum uno minuendus erit ille numerus.
Acque cum habebitur numerus casuum lumendi unum plurave. Acque idem
estnumerus Divisorum numeri composici ex cocidem diversis numeris Prunis inter
Sc ductis, (exempio tamen numero r, cum ex numeris primis, tum ex divisoribus,)
nempe quories sumi poltet aut corum unus aliquis singulatim, aut factus ex duobus
pluribulre illorum. Cum vero F sic etiam Dirisor; li hunc (prius demprum) re-
sticuamus; idem eric Diritorum numerus, qui anre crat Sumotionum numerus, in S
pracedente.
22. Indeque si unum porro eximamus (qui facto ex omnibus illis Primis inter
se continue ductis respondeat) habebicur numerus Aliquotarum Parrium numeri
sic compotuti. (Flt enim numerus Aliquotarum Partium uno minor quam nume.
rus Dirilorum: eo quod, numerus ipse tocus, censeri soleat sui Dirilor, led non
sui Pars aliquota.) Et quidem, Si, locorotius compotici (quae lui parsnon cst)
TEPONAIUIS NUMETUI F (PriuS exemprum) cumque accenseamus reliquis partibus
aliquoris; tor erunt parres aliquor (hac COmPUTACA) quor ance diximus Diriso.
reS CxCCPIOL.
Eibet hac oceatione, dum de Combinationibus agitur; hic subjuneere Resulam
Combinationis quam habet Cmilielmus Buclaus, Anslus, in Arictimetica sua, verti-
bus seripta, ante annos plus minus 290; qua ad calcem Losica Johannis Seatoni
Tubiicitur in Fidicione Cantabrieiensi, ante annos quasi 60. (Sed mendose:) Con-
sonam Doctrina de Combinationibus supra tracicae, quam eeo publieis Praelectio.
nibus expotui Oronia, AnniS 1671, 2672.
Reoula

## Folio 490 — 851708439:0514
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000514.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
CIOMBENATCONES, EX
Cap. I.
Regula Combinacionis.
Quot fuerint Numeri, quos Combinare velimus;
ot lint e Series, quibus est proportio Dupla:
duarum principium ducatur sempet ab no.
Omnes has Series conjunse per Adactionem.
Producto numerum, quos Combinatio constat,
Auser. Quod superest, numerum citat; unde patebit
duot faciant numeros distinctos, unalgut squis
Propositos numeros velit in se multiplicare.
Si nihil a summa praedicta surripiatur:
Restabunt partes Aliquotae, quae numerabunt
Tllum, qui numeros est inter Maximus omnes,
Fx ductu in sese numerorum provemenem.
Incerpunctiones (quae maxime tuerant deprarata) ego lic reltuur, ue sentut
riorum qui opus hoc pridem cranleripserant. Nempe, vectu secundo, pro sunt
reltituo sint. EE, verlu tertio, pro principio revono princium. LI, vertu quinco
numerum pro numeros: non enim plures numet ca ua led unuS nI.
MCTUS, qui CCFTerUM COmBINaTACUI MIIMErUS.
Tlanc Regulam, qua (proprer curbatam incerpunctionem, et qui IrRCPCerANE
errores, nedum alias) obleura videbatur, perebat a me D Gcoreius Fairfax (qui
cum Machelin docebat Oroniae) ut secundum AuchotIS heen ex PLICatCM. Cut
Tum Auchoris planius exprimat.
maxime ConVentre BdEbatHT. L.F ETTata LIEuII, quae vel Preli Fuerant, vel Libra
itaque perenti hanc dedi (Sept. 12. 1674.) Explicationem: Ouae, aliis rerbis sen
Ecopenci tunconumeri guctenet comotanat. Fula guunguoi quod rocerlo
abc abcd
ab d
abc
aCd
c
abce
ab dc
acde
Bcd
abcac
tC CdC
20 10
a Scribantur, cultinctis lineis, coridem numeri, proportione dupla crescentes, ab
TlOTuM LIIMA (3Z) est numerus E ectionum seu Sumprionum, quibus inde
a sumi possine, diverlis modis, unus pluxcsve
a Hinc suberatiatur (5) numerus combinandorum. Eo seilicet quod coc modis
a sumi possic unus lingularis; quae Combinatio non est.
Rcliduus (26) octendic, Ouor modis Combinari possint: Hoc est Duo plu.
resre Cumi.
 Adeoque, Ouor haberi postine Facti, sire Producti, ex duobus pluributre in-
at per se mulciplicatis.
 Sed illa tumma (3F) absque hac facta sbrractione, ostendit, OVOt Cinc AII-
quocx parres qua metientur productorum paximum (nempe eum qui fic ex pro.
potiris omnibus inter se continue mulciplicaris) a b cde. Ouixre omnes ha
Tumpriones, Tunc Aliguorx Partes iptius a bc d e, praecer ultimam, (qui est ipse
POIS,) e hujus loco, occurrit E, quae est icem aliquota pars: Vr numerus P’ar-
ec tium aliquorarum, idem sic qui numerus Sumprionum.
Verum hic incellisendum (quod debuerat Regrila monuisse) Quod numeri
c6 qu1I
bZ INCHOaCI

## Folio 491 — 851708439:0515
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000515.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 76 lines, status machine
Cap. II.
PARTES ALTOVOTA.
ae qui sic Combinandi proPC, SIIL SIIIILCLL FLAML (alH qnam F,) atque in-
c per se diversi omnes. Nam, si eorum ullus sic numerus Compolicus, aut ex pri-
b mIs alquS biS Pluricere lanacue; Lccula, a laliolo Llslolto, ibi rated
De Uernationibus, seu mutati Ordinis varietatibus,
rerum certo numero propositarum;
agrammatismis.
F Suxponatur certus aliquis rerum expositarum numerus, incer se diverlarum.
Duta, an B, C, a, C, eec. Ouaritur; Duor modis postit carum Ordo rariari;
 Lxempli gracia. Ouanta ordinis rarietate pullari poltime Campana Ouin.
que, Sex, plurclre cerro numero. Auc, Duor modis (Anagrammarum instar) PrO
variato ordine dilponi pollune toridem Litera, inter se diver(x.
T. Si expolica AI res Onica, ue a: manitectum est, mucato ordini
locum non elle. Ordo isitur est L.
2. Si DUO ExPONANEUE; uE a, B: manifestum irem est, duos ordines
haberi posse; non plures. Nempe ab, b a. HlOc elt, ZX2.
3. Si exponantur Tria; uta, b, C: Tum, incipiendo ab an duo reli
quaqe B, c, Dolunc (per 52) duobus modis Tubjunsi, uc 36, cb, in-
deque duas Oriri rarietates (ab a inchoatas) abc, ac b, nec plures.
Similiterque, incipiendo a b, reliqua a B, coudem modis variari pol-
Tunc; unde habeantur b ac, bca. Locidemque a c inchoan
DC Cab, cba. Adeoque omnino, Per Dua rarietates. HOC esI LX =
4. Si Duatuor exponantur; ut a, B, c, d. Tum, incipienido ab a, reli-
qua cria diponi postint (per5 praeced.) Smodis.  Et (cadem ratio.
ne) cocidem erunt rarietares, incipiendo a b: Pocidemque incipiendo
a c; Focidenque a d. Adeoque omnino Quater Sex, (eu 24. FIoc
elt, numerus praecedenti calui respondens, cocies sumprus quot lunt
res expotX. LIOc Clb. LX 2 X 3, X 4, == 6 x 4 = 24
5. Similiterque ostendetur; quod numerus ille 34, ductus in 5, hoc
cAt 24 X5 = 120 = =FX 2 X 3 x 4 X 5, est numerus Alternationum (seu
mutaci Ordinis rarietates) pro rebus Quinque exposiris. (Seu, varie
tacum numerus pro pulsancis Ouinque Campanis.) Nam quodliber
horum Ouinque porerit primo locoponi, e pro lingulissic volicis
reliqua GuatUOE adMIIENI Z4 VaTICLAICS, DEF SPacCd. HLOC est omnL
no, Juinquies 24
E, imiliter oltendetur, quod numerus hic 120, ductus in 6, extii
bebic numerum Alcernacionum pro 6 rebus expoticis. Et Sic porro,
continue mulciplicando per 7, 8, 9, _c.
6. Hloc est: Ouorcunque numeri, in naturali consecurione positi,
incixiendo ab F, continue mulciplicari; extribent Alternationum nn-
merum (seu mutati ordinis rarietates) quarum capaces lune toridem
res quoc cs ultimus sic mulciplicatorum numerus. Exempli gratia
Numerus variecatum pro pullandis Ouinque Campanis, Cst FY2YZ X4 Y5
= 120. FE, pro pullandis SCK, F X 2 X 3X 4 Z 5X 6 = 720. PrO Sep
tem, 720x 7 = 5040. Pro Octo, 5040X8 = 4032O. FL LIC POrTO,
Scousque libet.
Consonaniei ad haec, Johannes Cerardus Vossius (vie lummus)
Cap. 7. de Scientis Maihematiois; docet, Ouod, Si FTospes aliquis
ramdiu excipiat 7 Advenas, quam poltint lingulis diebus mutato or
dine considere: id extensurum ese ad Annos r4. (Incelise, fere.
Nimirum, Dieo 5040; Hoc est, Annos r4, dempris diebus 73, auc74
prout incidere conriserit annos Biltesciles.
bca
ab
ba
2 + 3 =C
abcd
abdc
acbd
ac ab
2dcb
adbc
baca
adc
BCad
bcd4
bdac
ab
Caab
Cbad
cbda
cd ab
caba
dabc
ac

## Folio 492 — 851708439:0516
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000516.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
GIOMBENATIONES, ET
. Hic Alternationum nUMerUS, PrO CTEICenEEMUMEIO rerum expOLtarum, ad
valtam Mulcicudinem pertinget ulera quam quis sperarerit.
Exempli gratia. Literae quae apud nos numetantur 24. tot mutati ordinis va-
rietates admictent; ut Si toridem Campana lecundum omnes rarietates illas pul-
landae sinc; id non peractum Foret (monente Docluno ossio, eodem l0c0,) a
principio Orbis Condiri, ad hunc ulque diem. Addo; uno ne quidem id Fucurum,
Si pro singulis FTora Minuris, tactenus praetericis, praereriistent Decies Millena
Mca AMo. Cllod compiltando parebii.
ap. II.
Lit L AnnO
503 a les
eab
Lqo
30
525960 Minura.
1n 6000 Annis
3255760000 Minuta
25778800000 Alternationes
525960 MIn. In L ANNO.
54020000000
8766 FIOrE
BC
3097680c
47900760C
622, 7020800
87F78291200
2307674368000
2
3
24
15
2002278088800016
355687428096000 17
6402373705728000) 10
122645 10040663260019
243290200617604000020
5109094217170944000021
TT24000727777607680000 22
2585202673888497664000023
620448401733239439360000124
82999+764BGGOGGOGGD9900
Potito enim quod ab Orbe condito huc ulque cAuxerint Anni 6000; e in Fin-
sulis annis 365 = Dies, (quorum utrumque est plus justo.) Frunt, in quoque
AnnO, FX 8766, Minuta 525960. FrsO in Annis 6000, Minura horaria
3255760000. Ponamus in horum Minuristingulis transisi Alterna Ones 5; ade0.
que (PrOPter Campanas 24) PulSS +20 succestive (quod eriam plus justo vide.
FUIT.) POto ergo tempore tactenus elap(o, peraserenEuE Alcernationes F5778800000.
Si POrrO Bonamus tot annos CHuxiste, quot eAAuxernnEMlinuta horaria; adeoque
mulciplicemus numerum jam invencum, per numerum Minutorum unius anni,
525960: prodibie numerus 82990+7648000000. Acque hunc candem mulciplice.
mus per 10000000 (decies millena millia, seu decem milliones,) prodibit non
plus quam 829901764800009D00DODOD; qui mulco minor et quam,
620448402733239439360000 numerus Alcernationum in pulsandis Campanis 24.
Imo si procederennis non ultra Campanas F4; singulisque minuris Aorariis auri.
bueremus AIternationES FO, (hoc clt, Pulsus 24O:) Numerus Minutorum hiS CX-
rediendis requitirus Foret, 8717829120, (nempe, pars decima numeri Alcernatio.
num.) Oui est plusquam duxio (sere criplo) major, quam est numerus Minuco.
rum in 6000 Annis. Polcererque plusquam sexdecim Mille Annos, (imo plut-
quam 26575 annOS) quo Peras antuE F4 Campanarum Alternationes omnes.
8. Hlinc liquet, Ouor modis rariari possint exposiri Nominis Vocabulive litera,
dummo
quibus Ocilia reterrencur, rejectis reliquis. P rempli Gratia. VO+ RO M A, qua
cuOi Hcris seripra, admilie vactaiones 24 = L X 2 ~ 3 x 4.
RO M a
7420092
788940
L33
6
788940
8299017648000000
16000000

## Folio 493 — 851708439:0517
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000517.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 125 lines, status machine
Cap. II.
L AA L2D LLL +OEOF AF.
Roma orma
MMFOd
QFOM
 La
XMOa
Fm20
FaOM
Oaem
J aMO OaMI
I aOF
amOr.
Ex quibus, hrabentur Lacinx roces Seprem uriles; nimirum Roma, ramo, oram.
morau maro, armo, amor. Religuxe Forma sune inutiles; urpore nullas roces extri.
bences notae ligniticationis in illa Lingua.
9. Si vero una plurelre licerarum pluries OCCurraNE; nICrUS Anagrammatum,
seu Alternacionum, sic exhibitus; Diridendus erit per Numerum, Numerolve,
quos poltulant illae Repecitiones. Nimirum, si eadem Litera bis occurrat; divi-
dendus erir numerus ille per 2: EIter, Per O: SI quater, per 24: ec sic pOrro, Sc-
cundum variecates quarum capax est ille Expolitorum numerus. Nam, (I a b xC-
putentur proeodem: tum, ubi (caeteris manentibus) ab et b a reputandae cAene
BInX rarietares, nunc crunt unica; adeoque, Casuum numerus, dimidius exit ejus
qui secus eller. Similiter (caeterismanentibus) abc ubique Sex exhiberene ra-
rictates, prour ea locos inter se commutarent: Sin pro eodem habeantur, degene-
ranc Bxe Sex rarietates in Unicam; unde varietatum omnium numerus tc SeXE
plo minor. Pariterque li a bc d diverta sine; rarietates extribebune 24; qua, A
Pro eodem habeantur, degenerane in Unicam. Ec, E plures litera lie repetita
compareant, congrua pro lingulis achibenda erit Dirilio.
Eixempli gratia. Vox M F DS F S, Cex literis scribitur. Oux si eRene omnes in-
per Le diverla, AITErNaLIONCS FOTENE Z2O == FX2 X Z X 4 X5 X 6. Sed propter lireram e
bis occurrentem, diridendus erit ille numerus per 2. (Nam (I, LOCOCC, DONaNTUT
En, TUM M ESSnS CCmnS SES CrUNE dux FOFIX, qua jam COICIdUNE In UnaI
messes; ee sic ubique.) Tterumque, propter liceram s ter occurrentem, dividet.
dus POrro erit per 6. (Nam si eres illa ellent diversa, exhiberene, caereris manan
ribus, tex calus, qui jam coincidune omnes in 555.) Ft quoniam ucrumque hic
concinsic, dividendus exit 72O, LuI Per 2, TUm Per 6. Erunique rarierates di
2C
verlae 216 = 60.
mecsss emesss
M CSCSS
Me5 5e5
meSSSC
M SCCSS
Mseses
ISCSSC
MSSCCS
MSSeSe
CmSCSS
CMSSCS
CMSSSC
CCmSSS
CCSMSS
CCSSMS
CC5SSM
CSmess
MSSSCC CSMSES
CddSC1
SMeSCS
SMeSSC
SMSCCS
SMSeSC
SMSSCC
SCmeSs
dCC15d
SCC5HIS
SCC5Sm
Sesmes
SCSMSC
SeSCMS
SeSeSm
SCSSMC
SCSSCM
111ed
SSCM CS
SSCmSC
SSCCHIS
SScesm
555ICC
SSSCMC
SSMCSC SSSCCM
Ex quibus omnibus, praeter ixsum messes, nullum comparet utile Anagramma.
Similiter octenderur, Literas a BbCcc d d d d variationes admittere
EX2 XZXAXSX6X 7XBXOXYO = 3628800
2X6X24 = 288
= +2600. Ltabbcc d a rariattores
+r2u 3uqu 5 u6V, = 504 = 630. EL acabbecs, L22 3 uqu s 16 27, 18 = 40320 - 560. Si.
2X272 =8
militerque in aliis.
Cx246 = 72.
22. Conversa hujus, usui item exie: Cum id quod consideratum tuie ue unum
idemque pluries repeticum, poltea diltinguendum reneric. Ouippe cum, nume-
rus auce invencus, ita mulciplicandus erit ue numerus rerum lic diltinguendarum
Dostulat.
Sic vox messes modo considerata; ubi sss contiderantur ut eadem licera tet
posita, e ce ut eadem bis polita, numerus rarietatum inde prorenit 60: Si 555
24
1
dictin.
a
m0
Mera
a0LM
aOMF
xOaM Oram
Omra
1IOaF
Mard
et tit 
OM aF
CdMSSC
eSCMSS
CSCSIS
CoC5SM
CSSMCS
CSSMSC
CSSCMS
eSSCSI
C5oSuC
Sncess
SCMSeS
SSMSCC
SSCSMC
SCMSSC
SseSCM

## Folio 494 — 851708439:0518
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000518.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 97 lines, status machine
CiOM DTAATIONES, ET Lap. I1.
d4
distinouantur in tres valores; e ec in duos; numerus rarietatum inde oriundus,
CriL 60X6X2 ==720
Sic Pessius Cap. 7. De Scienciis Mathematicis; dicie hunc vertum
Recn lest, solus Ju, dux, fons, mons, spes, pax, petram C horistus.
(qui rocibus undecim constat) conrerti poste (ab(olute) vicibus 39976800; at
que, ita ut serrentur leges Hexametri rersus, vicibus 3628800. Dixillet pocius.
vicibus 3265920. Nempe; o monolylaba (qua poltunt promileue luas sedes mu.
care) rariari poltune ricibus 362880. FL, Christus, capax elt sedium 9 (nOn 10
utille computat.) Pocelt enim poni sede prima, secunda, terria, quartu, guinta,
lexta, septima, octara, (Ted non nona, auc decima,) iterumque ultima. PL VOX pe.
tra determinatur ad sedem qua proxime anrecedir postremum Spondieum.
Ric item hunc versum,
Tot ribi sant dotes, virso, quot sydera ccel,
converriposte absolure, vicibus 40320; Sed ita ue versus conservetur, vicibus
2022. Duod quidem rerum est. (Lc audiri quidem, ni male memini, non nemi
nem, librum conseriplisse, in landem B. Virginis, quo vertus ille cor modis tuerir
rariatus; quo numero censeri lolebant, secundum veteres Catalogos, Scellae FiXa.)
Sedrerum iem est, polle vertum illum muleo pluribus modis rariari, servaris le
sibus Flexametri vertus. Nimirum vicibus 2628, recenca quancitare ulcimae (yt.
labae in rocibus sibi _ vireo: Vicibusque 468 mutaca quantitare iilarum (y Ilaba-
rum, virso sibi. Adeoque omnino, ricibus 3096. Quod parehit ex adjuncto Sche
male, ejulque breri Explicatione, seu Demonltrarione. Ouod lic intellisendum cst.
VoceS toT, sunt, quot, quae lupplere pollune altera alcerius locum, hoc (0l0 Or-
dine ponuntur (vertu F, 2, 3, dec.) quali unum casum exhibentes: sed capaces
Tunc 6 rarietatum; quem ealum roco a =6. Similites dotes, virso, calo; quem
calum roco b =6. Tierumque tot sibi, sidera; locum permutare pollunt; quem
catum roco0 = 2. Cumque hi omnes occurrunt vertu primo; has varietates sic
exprimo, ab0 = 72 = 6x6x2. Et limilicer ip reliquis; ut in Schemate indicatur.
Dui quidem Indices Fingulatim exponuntur intra.
Caluum Varietates.
2. Tot sibi sunt dotes vireo quot sydera caeto
quot
dotes sunt
dotes
quot
quot
dotes
vireo
vireo
quot dotes cibi
vis
doces ribi sunt son eo
quot
vireo
quot
tibi
virso
Tibi
quot
vireo
sune vireo quot ribi
sunt
dotes
vireo sibi
aotes
quot
sunt
dotes
quot
dotes vireo ribi
quot sydera caeto.
dotes
quot
quot
dotes sydera caeto vireo sibi
caeto sunt
Ndera
caelo
Un
14. Tot sunt
doces
unt
dotes sunt
1T. Vireo ribi Eot
0
sunt
Z.F. Sydera 10t
dotes sunt
elo
es 201
sunt
abc == 72
2bCd =
2CC = TT5
abcf = +
2V
262
Eibi vit 8o.
Gaet.
D. 2628
3096
Indicum
vire
dotes
ribi va

## Folio 495 — 851708439:0519
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000519.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
Cap. IIL. PARTES ALTOUOFF.
Tot, sunt, quotu
tot ribi Syderam
Indicum Explicatio.
tot tibi, sunt quotus dotes, virso, caelo,
dotes, virso, ccelo,
tot ribi, vireo
C= 120 - 24 = 12OX3 =96.
(quia eot tibi, non porest, ue reliqua, supplere locum rocis caeto.)
tot tibi, aotes,
quot tibi, sydera,
s
-73.
tot sunt, dotes, virso, caeto,
(quia quando sot sunt, aue huie aequipollens sunt quos, immediare praecedie
sibi, quae est quarta pars caluum quos s respieu; rum tot sibi et sydera lo-
cum permutabunt; quod catui praecedenti Cuperaddic Z.)
tot sant ( sunt quotus) dotes, vireo, cceto,
1 = 9.
(quia aotes, virso, caeto, quae sub B continentur, postune singula sedes permu-
care cum tot sunt; unde oritur mulciplicatio per 4 seu eripli addicio illi quod
ante tuic, ut ad 8; e Z iltius cripli, seu 7 quadrupli, ut ad h; hoc elt, addicio
quadrupli, seu mulciplicatio per 5: lrerumque, quodlibet eorum sedes permI
tabit cum sunt quot; unde oritur alia quadrupli additio: ExGO, PrOPter u
crumque, Addicio Oetupli, seu Mulciplicatio per 9.)
dotes, sunt quot, vireo, ccelo,
R = 24 -- 6 = 24 xZ = 28.
Couia, si sunt quos locum occuver vocis dotes, coincidet cum aliguor calibus
vertuS 3.)
quot ribi, syderam
tot suntu dotes, caelo
dotes, caeto,
Sideran caelo,
= 2
n - 6
virso, quot ribius
dores, sunt quot, caeto
Eot simbus doces, sxderaiscelen 4 = 24.
Interim ego non certo pollicebor, alios non elle calus quos eso omiserim.
quis sigui tine, his addendi crune: sed neque, nullos horum bis indicatos este:
quod _ si cO1 crunc huic numero eximendi. Non rideo tamen, actruc, eorum
utrumris accidere.
26.
24
i A P. ILL.
De Divisoribus, e Partibus Aliquotis, nu-
meri propositi.
ER Numerum, hic incellioo numerum Inceorum, ut 2, 2, 3, 4, 5, c.
Non Fractum, ut Z, 3, 2, 3, etc. aut MIXTIm, LZ, 25, 33, etc.
nedum Surdum, ut V2, V5, V6, V22, _c.
2. Per Divisorem, hic incelliso Inceorum, qui talem numerum metiatur; Hoc
est, qui semel aut pluries sumptus iplum aequer. Sic numeri 6, Diritores Tunt
292, 3, 6: Ouoniam 6 semet Liiptis, ec 3 bis, e e ter, _. F Sexies TupTS,
aGuanE 6.
2) 6(6 2)6(3 3)6 (2 6) 6(F. 6 = 276 = 243 = 322 =6x2.
3. Per numeri Parrem Aliguotam, incelliso, talem Diritorem qui sic ipso mi-
nOc. VE numeri 6, partes aliquota TIINE F, 2, 3; non aurem 6. Ouamris enim
6Tic sui Dirisor, non tamen lui aliquota Pars censeri Colet, eo quod rox Pars
innuat aliquid Poto minus.
4. ErEO, numerus Parcium Aliquocarum, A semper uno minor quam numerus
Diri.

## Folio 496 — 851708439:0520
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000520.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
ADM DLNATIONES, ET Lidp. III
Dirriorull. Ouoniam Diritores MILS, UnO exCePTO, TunE Partes AliquotX;
omnesque Partes Allquota lunt Dirilores, ee Porro unus.
5. Adeoque, Dato numero virisorum, datur numerus Aliquotarum Parcium;
e contra, Dato hoc, datur ille. Sic, numeri 6, Dirilores funt 4; d Partes A-
liquota 3, hoc est 4 - r. Cumque hae Sint Z, erune illi 4 = 3 F F.
6. Manifeltum elt, numeri x, Parrem Aliquotam nullam esse; quia nullus cst
numerus ipso minor: Diritorem aurem unieum; nempe, iptum E; quia sC Me.
citur ipse, adcogu  IUI OTrITOT.
7. Ourlibet alius numerus Frimus, leu Incompotitus, Parcem Alignocam ha-
bet Unicam; Dirilores aurem Duos. Ouippe numerum Primum, dicimus, quem
(praeter se ipsum) nullus alius metitur Numerus quam Unitas. VF 2, 3, 5, 7, FL, dC.
Duorum quemlibet mecitur ipse, et unitas; non alius quilibet numerus. Adeo
que, Dirilores habet Duos; sed Partem Aliquocam, Vnicam.
8. Potestas quaelibet, seu Cradus, numeri Primi, (excepta Onitate, quam II
sequentibus ubique exclulam volumus,) coc habet Parres AliguotaS, quor habet
Dimentiones, (Teu, quotus est ille gradtus iltius numeri Primi,) de Dirilores, uno
plures. Sic (potiris, an B, c, ecc. tocidem numeris Primis;) habet a diritores duos
(T et a;) de a Teu a a, tres habet, (L, a, aa;) et ad leu aaa, quatuOr (I, a-
aan a;) Et sic deinceps. Nam L, omnelque gradus iltius porestatis (ipsa non
altiores) ipsam diridune; nec ullus alius numerus, si a sic numerus Primus. Iloc
eH, uno plures quam est RMmexuS dimentIONU. EX quibus, DivisOE MaximuS
(cum sic ipsC FOcS,) non est illius numeri Aliquoca PaES; adeoque ParteS AIi-
quoca corum sune quot su s. Sic, numeri 8 (qui cA Cubus nu-
meri 2.) Oritores lunt Duatuor (1, 27 4, 8;) Aliquorx Partes Tunt Pres (1, 2, 4.
Numeri BF (qui est Biquadratus numeri 3,) Diritores sunt Ouinque (1, 3, 9, 27, 8T,)
Uno plures quam numerus Dimentionum: Aliquota Partes Ouatuor (1, 3,9, 27,
rocidem quor sunt Dimentiones. Hoc cst; ejulinodi Biquadrari a aa a Diritores
TUInE L, ay aa, aa a, a aaa; Partes AliguOLX, F, a, a a, a a a: EL Sic Temper. Ouam-
vis enim Poteltas ipla, non accensetur parcibus cui Aliquoris; accedie (illius l0c0)
Tores, quol est numerus Diritorum s, ductus in numerum Diritorum hu
vident a b. Hoe e, omnes Drbres iptius a, ducti in omnes Dirisores iptius
9. St numerus Primus, eutre Pocellas aliqua, mulciplicetur per alium nume
jus: adeoque Partes Aliguoras, una BactCIOTCS.
b arient a b.
Tupernumeraria F, quae Facie ut Aliquotae P’arres toridem line quot Dimentiones.
rum Primum, hujulre aliquam Porestatem: numerus Productus, tot habet Diri
ExepL pratia. Sunto an b, duo nume emmi inter se diversi; (puta 2, 3:)
Forunque aliquae porestares a, B, (puta 8, 9:) Pactusque ex illis a3 b, (puta
2 =8x9.) Cum itaque Prioris Dirilores T, an aa, aaa (hoc Cl L, 2, 4, 8,)
diridant a (hoc est 8;) non solum hi, seu, (quod tantundem est) hi in 
ducti; sed etiam horum snonti, ducti in 3, de in bb, (hoc cst, in 3, 8 9,) di-
Divitores iptius a
ducti I L.
Tidem Diritores
i in B
Tidem ducti
260
Numerus
e

## Folio 497 — 851708439:0521
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000521.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 77 lines, status machine
NIeruS CSO BIMI STIOE compoliti a b, est numerus omniiim ,
an aa aaa (HOC. elt 4,) ductus in numerum omnium 2, B, bb, (hoc clt, 3:
Hloc elt 4 XZ = F2. FF paTtCS ALIGUIOEX FF.
70. Si Factus ex mulcplicatione numerorum Primorum, inter se dirertorum,
corunve Poceltatum quarumris; porro mulciplicandus sic in alium numerum
Primum, ab illis divertum, hujulre ullam Pocestatem: Numerus Divitorum hu-
jus nori Producti, tocidem crune quoc est numerus Diritorum prioris Producti,
ductus in numerum Dirilorum hujus novi Mulciplicantis.
Exempli sratia. Numerus Dirilorum Producti jam memorati a B = 72, est X2,
(ut jam oltensum est:) Si jam mulciplicetur hie per alium numerum primum
UE C (puta 5,) ab ipsis an b, dirertum, (cujus Dirilores Tunt duo, F _c:) Di
vilores Producti hujus a B c (hoc ct, 72X5 == 360,) CrUNE 12X2 = 24. Ni-
mirum, omnes illi (ante inventi) qui diridunt a B, dirident etiam a b c; Teu
(quod idem est) omnes illi mulciplicati per r, qui est unus Dirilorum ipsius 6:
Atque etiam iidem mulciplicaci per c (alterum Dirilorem ipsius c,) qui cocidem
erune: Adeoque, simul utrique, erune Bis coridem; hoc eA, T2X2 = 24. Nimi
rum L, a aa aaa: b, ab, a ab, aa ab; bb, abb, a abb, aa abb: c, ac,
a C aaaC; b6, abc, a abc, aaabc; bbc, abbc, a abbc, aa abbc. HOc
Cltus X, 2947 8; 3,6, F2924; 9, 28, 36, 72: 5, 20, 20, 40; 15, 30, 60, 120;
45, 90, 180, 360.
Acque (, loco novi Multiplicatoris c = 5, TImatIIE CC = 25, aUIECCC = F25:
(quorum numerus Diritorum Tunc 3, aut q;) numerus Dirilorum novi Producti
a b c aut a B c3, exit proinde T2X3 = 36, aut 12X 4 = 48. (Er Similiter pro
quaris alia poceltare iplius c.) Ouippe jam, non modo illi Diritores iplius a B2
mulciplicati per E, e per c; Sed cciam iidem mulciplicati per c0, (qui funt ter-
cia rice coridem,) crunc Dirilores iplius a33 62; sidemque mulciplicati in 6CC
(qui sunc quarra rice cocidem) crunt Diritores ipsius a b c3.
aaCC 200
aaaCC 200)
Cap. TII. PARLCS ABLBaOIA.
2ac
a a ab 24
a abb 30.
abb +
aaaC 40
a abc
1n Ab6 22
a
aCC
et b
et et 1e
a  abb 72) alolob db 360.
ad bbb 300
aaab0c 600)
1BCC 25C
bbcC 225
abbcc 450
a abbcC 900C
C66 125)
a66C 250
aaCCC 500C4
Aa_CGC 200O)
nt 4 bb66 1000.
0666 375)
1bb666 750C
WBCCC F5OOE
 cal b bb. 300
BBCEB TerC
a00bcb 2250C
ac 4b66bc 9000
aabbccc 4500C
Idem similiter ostendetur, Si norus ille Productus ad B C (cujus Divisores Tunt.
24) mulciplicandus sit per a auc d d, ec. Nimirum Diritores ipsius a lCd.
Crunt 24 X 2 = 48; ipEuS a3 b C d, 24 X 3 =72. FL Sic deinceps.
RuE etiam (quod eodem recidit) si a V (cujus Divitores Lunt +2 = 4 X3,)
mulciplicetur per ca (cujus Diritores sune 4 = 2X 2,) aut per c d d (cujus DI-
vitores TuNE2X3 =6:) Ouippe cum Diritores iplius a b C d CrUNE +2X 4 = 48.
iptiusque a B C d d, Crunt X2X6 = 72, Ut DEIUS.
Idemque similiter ralebis, quorcunque sinc numeri Primi inter se direrti, de
quaecunque pocestates ejusmodi Primorum, qua sic inter se concinue mulciplican-
tur: Dummodo, inguam, (cui caure accendendum est) Primi illiy an b, 6, d, 8c.
Enc inter se divers omnes.
FT. Si numerus ntcunque compOTItuS, Porro mulciplicandus sIL Der unum ex
Primis illis ex quibus jam componitur, aut per hujus Primi Potestatem aliguam;
numerus Dirisorum inde oriundus, ille exir qui toret si Primus ille COF POrrO
RFE
sradtibus

## Folio 498 — 851708439:0522
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000522.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
COMBINATIONES, PT
Cap. TII.
Gradibus Fuisset promocus, quor sune hujus novi mulciplicatoris dimentiones.
Verbi gratia. Si fuerint c, a, idem primus numerus: Cum, PrO Cd Cujus Di
vilores, E Fuissene direr( Forent 4 = 2X2, (T, C, a0d;) jam Tumendus crit c6,
cujus Diritores Tunt 3, (F, 6, 60:) Ouia c, a, qui alias forene dirilores diverli,
jam sunc unus idemque. Adeoque iptius a b ∞ a, hoc est (PTOPTCFC = d,) a B C
Diritores, jam crunt (nOn, ut PriUS, T2X4 = 48, Sed) X2X 3 = 36. Similier,
li ad b c, mulciplicandus sic per a2, Crque d =b. Ouippe jam ad b c d, idem
est ac a V C; ejusque DiriTOrES, nOn 4X 3X2Z3 = 72, (UE PrIS) (cd 4 X5X 2. =40.
Paricerque in aliis casibus; prout est per se manifeltum.
T2. HL universaliter, Si fiat Numerus, ex continua Mulciplicatione quorcun-
que numerorum Primorum (inter se diversorum) aut quarumvis Potestatum la
Tium Primorum: Numerus Divisorum numeri sie compositi, componitur (conti
nua mulciplicatione) ex Primorum illorum, eorumve Potestatum sic cempositarum,
Exponencibus; Ono (Sineulatim) auctis. Idemque Divisorum numerus, uno mi-
nutus, est numerus Aliquotarum Parcium ejusdem. Ouod unum Theorema, con-
tinet in se tocam tere Doctrinam de Parribus Aliquoris.
Verbi gracia. Numeri a B C d, compositionem ingrediuntur quatuor numeri
Primi a, B, 6, d, corumque diverta Poceltates; quarum Exponences Tunt 3, 2, 2, 7.
Lidemque Singulacim uno aucti, Fiunc 4, 3, 2, 2. Ouis concinue mulciplicati, extri
DenE 4ZZ X ZX2 = 4B numerum DivIIOrum: Adeoque 48 - + = 4 7, numerum
Aliguorarum Parcium ejusdem. (Similiterque pro aliis numeris urcunque compotr.
tis.) Ouod ex anre Demonstraris manifestum cAt.
Elinc sequencium Problematum Solutiones eliciantur.
23. Expolico quovis numero; inrenire, quor habeat ille Dirisores, e Partes
AliguotaS.
Concinue Diridatur numerus expositus (et Ouociences inde emergentes) per
Cos numeros Primos (corumre Potestates) per quos elt dirisibilis; donec ad 1
verrenitur. Ouo inde pateat, ex quor Prims mimeris, et quibus eorum Potelta.
tibus, componitur expolitus. Duo tacto; habetur numerus Dirisorum, et Parcium
Aliquotarum; per provolitionem praecedentem.
Verbi gratia. Sic numerus expositus 5940. Onem, Facto centamine, inveniemus
continue dirisibilem per 2 bis, Dex 3 TeT, Dex S SCMel, ( DeT 7 HON OmNINO,) et
Per 12 Semel.
21)5)31313)212)5940 (2970(2485 (405 (+65 (55(FY (Z.
Adeoque sic detienari polte, a D C d. Obi quatuor occurrunenumeri Primi a, b,
C, a, Ita prOOTI UE EXponentes habeant 2, 3, T, F; qui, uno singularim aucti, tiunt
3,4, 27 2; qui concinue mulciplicati, Faciunt 3 X4 Z2X 2 = 98. Oui itaque est
numerus Diritorum, ec 47 numerus Aliquocarum partium; per praecedentem.
24. Expolico quoris numero; Invenire, Ouinam sint ejus Diritores, ee Qua
Paries Aliquora
Fiac exploracio (ut in praecedence) ex quibus numeris Primis, de quibus eorum
Pocestatibus, componatur expositus, (examine a minimis inchoato, auc alio quo-
vis ordine siquis POtiOr OCCUTTaT.) Tum, Cumpio uno aliquo ex illis Primis, ad
quemennque cradum eleretur; ordine ponantur Dirisores omnes illius gradus.
Deinde mulciplicentur omnes illi Diritores per lingulos Dirilores iltius gradus ad
quem eleratur alius aliquis Primorum ex quibus expotitus componitur; f’actique,
erunt expolici numeri Dirilores. Omnelque Dirilores hactenus inrenci, mulri.
plicenu Pet lingulos Dirisores illius stactis ad quem ascendit Percius aliquis ex
Primis componencibus. Px sic ad Ouartum procedatur, _ Porro l plures inI:
Prour ad 5 20 tactum eMt. Omnetque sic oriuneli numeri, sunc Dirilores expotui.
Ommesque, excepro ipso Poco, sunt ejusdem Parres Aliguota.
Sic, PTONUIMETO 36O =2X2X2X323X5 = 8X9X5; Duta a V C. Omnes Di
vitores ipsiuS ad = 8, TUINEY, a, aa, a aa; hoc est, 1, 2, 4, 8. Mudciplicencur hi
per singulos Divilores ipsius B =9; qui sunc L, B, bb; Hoc ett 5, 3, 9. Omnelque
hactenus invenci, per Dirisores iptuus c; qui sune F, C; hoc elt 1, 5. Fr lic Ha-
vencur omnes Diritores numeri expotuci 360.

## Folio 499 — 851708439:0523
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000523.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 78 lines, status machine
 l l 2210
AL IOUOTL
ib
b
a a bb
b ib a
aa ab
6
ab6
A a6
a a a6
a abc, a a 4b6
bbc abb6 aabb6 a44bbc
C
15 30. 60 120
45 90 180 360
Fix similiter procedendum erii, quicunque numerus proponitur, et quomodocun.
que compolitus.
Sed e idem peragi porest, muleis aliis methodis, (non enim ad cundem semper
modum procedendi limitamur,) qua ad eundem exitum perducane. Dummodo id
semper oblerretur (quaccurque ethoco procedtamus) uE fIanEuE Omnes nu-
meri Primi qui compolicum incrediuntur, omnesque illorum Ceradus seu Potelta-
ces qua expolicum componunt, et omnes quae inde tieri vollunt Combinationes.
Ouo aurem certiores limus, nullas omiltas ette; commodum erit, s non hoc, (al-
cem aliquo regulari ordine procedere, unde appareat quando habentur omnes. Dua-
les, in leguencibus, occurrant aliae tOrmae.
25. Numerum invenire, (e rales quorlibet,) qui cacum habeat numerum Di.
vitorum, ec Aliquocarum parrium: Ec quor tormis cales numeri haberi poltine:
Duis item Ticminimus in quaque forma; e, Ouis omnium minimus.
Numerus Aliquotarum Partium propolicus, auscatur Vno, uc habeatur nmmerus
Dirilorum. Tum perpendatur, quor modis delisnarr possic hic Dirilorum nume.
TUS, per numeroS inceoros; sire per unum aliquem, lire per duos pluretre inter
se mulciplicaros, (prout intra Fusius docebitur 5 27, 28.) fit quor modis hoc tieri
Porelt, Tondem Tunr Forma numerorum qui expolicum habeane numerum Diri-
JOcum. Numrum, E pro lingulis Inceoris per quos delignatur ille numeruS, EOTI
dem Fumaneur numeri Primi, incer Se diverli; calesque horum Cradus Peu Porecta-
TeS, GuarUIM F. sponentes (int uno minores quam illi quos repraesentene Interri
Ouippe hae Pcicmorum poreltates lic inter se Compolicae, uc componuneur illi Ince-
Exi Expolicum numerum designantes, Formas exhivebunt, quxe Dirisorum tabeant
NIIMCEUM reGUILICUM.
Exempli GracIa. Si requiratur Numerus qui Partes Aliquotas habeat 99; adeo-
que D. VIIOres 200. Pocett hic numerus, sire per unum incesrum, live per inteoros
incer se compoluos, tus lorem modis delignari; 100 = 50X 2 == 25X 4 == 25 X 2
X 2 = 2045 = TOX 1O = TOX5Y2 =5 X5X 4 = 5X 5 X 2 X 2. Pocidemque LOr-
Mae numCrOTuM exunE, habencium r00 Dirilores Teu 99 Par-
tes Aliquoas. Nimirum, li, pro linsulis L’ormis quibus ita
designatur numerus 200, lumantur (inter se componen-
di coridem Primi inter se diversi, quor sunt in illa de-
Fienatione numers Inteori; iique elerentur, ad illum re-
Spectire gradum quisque, qui Exponencem habear uno mino.
rem quam est ille Primus quem hic reprasentat. Puta, a
ad B, a t B, a  bC, ab, a b, a V6, a BC, at B Cd. Oui-
cunque Lnc illi primis a, b, 6, d incer se diverti. Prove Da
25X2XZ d + BC
TOXTO ab
FOXSX2 a B+C
545X 4. at bt C3
FeC CxS Z2. Non aurem alix FOrmae. Ouod pariter inde 5XG X 2H2 a VC4
ostendetur, liqua praetendatur alia. Verbi gratia. Siqua af-
Tienecur forma, in qua (quaecunque alia ingrediantur) habeatur simplex Ouadra.
cus alicujus numeri primi (qualis hic nOn COmparet) PuT C. Iam, quicunque fic
numerus quam reliqui delignent componentes, erit ille (Propter e2) Priplicandus
ver 50.) Scd TOO nON Cs ullius inceori Friplus (ue qui non est per 3 dirisibi
lis:) adeoque non porest lic delignari. Er limilicer oltendetur (mucatis mucandis)
de quaris alia forma quae sit ab altignaris direrta.
Jam pro inveniendo minimo in quaque torma, qui coridem habeae Divitores:
NIL POrTO rEGLITITE, quamL UL DrO an B, 6, d, aUE GLOEquOL occurrant plures, cocidem
altismenuE ex PrimiS. minimi, uC 2, 3, 5, 7, ecc. atque, ex his, minor Temper 2F-
tionetur ilsi laca ubi plures habentur dimentiones. Ouxe res per se estlaris mani
felta. Sic, verbi gralia, pro Forma a V C; manitectum elt, minorem oriundum nume
ru SI DIO a, B, C, VONantuE 2, 3, 5, QuaM LI PONanEUE 2, 3,7, auE3, 7, PF, aliive nu-
meri. Et quidem, policis illis, minorem si ponaIC a = 3, b = 3, c =5; quam
RFF Z
TOO 1d9
5OX 2 a13B
25XL
a2+ B
20X5 a3 b4

## Folio 500 — 851708439:0524
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000524.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 74 lines, status machine
Dc
C ORBL A A LIONFS, LF
Cap. cl.
Si aliter diltribuantur: eo quod, in compoticione, a plures habitura est dimentiones
quam b, e b quam6.
Cumque appareat, quinam sit in quaque torma minimus; Facile determinabitur,
vel iplo inspectu, quis sicminimus omnium. Vr, in catu praesenti; potuuis a = 2
=3, 6 = 5, d = 7: Facile eAt judicatu, quod at 326d; hoc cst I6XBLX 5 X7
==45360, eltminimus omnium, quorum dirilorum numerus FIL 20O. FIt ucigne
ad at b 53, Ut a ad c2, hoc elt 7 ac9. FF, ad a b2C, ut d = 7 act a3 = 32. FC ad
a bd, uC Cd = 35 dll 4 V=7770. El pariter de religuis.
Et quidem, uc plurimum, illi numeri MIores Sunt, quos plures ingrediuneur
Primi; quam quos ingrediuntur pauciores sed in gracibus altioribus; ut ab = 6
minor quam a =8, quorum ucerque habet dirilores quatuor. Verum id non setm-
Der obtinet, nam a3 B == 8X 3 = = 24, minox cAt quam a bC = 2X 3X 5 = 30, quaM-
vis, in ureoque, numerus Dirilorum sic 8. Nam, hic, unus gradus majoris primi
c = 5, Praepollet duobus gradibusminoris primi, a a =- 4
16. FlinCitem patet, Obi numerus Dirilorum est Impar, numerum illum esse
Ouadratum; ec contra, Numeri Duadrati, Dirilores esse numero Impares. Trem,
Numeri non quadrati, Dirilores elle numero Pares; et Cujus Dirilores Tunc n
mero Pares, illum elle numerum nont-quaaratum.
Etam omnis Dirilor, nunterum diriu Mecitur per altum Biriorem, (quorum
Cum UnuS pro DiriIOre HabETIT, alter CMH CHOCCHS,) excepta Cola Radice Ou2
dratica; ubi Cuoriens idem erir qui Birilor. Mes Bicur Diritores aliis guon
cunque tues, binacim, seu per parta, Prececne; numerum inde Parem consti-
euentes: Duibus s accedat Raclix Duadrarica (quod Guadratis omnibus conrin-
sit, ec his Tolis,) hic Solicarius Dirisor, Facie ic simul omnium numerus (IL Im.
Dac.
aabb
36c
A6
30 aab
E a a abb0
3 20 abb
a a bb
a a a bc
abb
aa abb
a abc
e
AaaC
2abb
3
a 4 ab
30
27. Expolico quoris numero; Invenire, Ouor modis postir ille detienari per nu-
merosincesros; lire per unicum aliquem, sive per duos pluretre incex se multi.
Plicatos.
Inveniacur primo (per 5 24) quinam uinc expositi numert DI.
vilores. Oui deinde considerentur singulatim (incipiendo ab co.
rum maximo, et sic ad minores descendendo; ut serrato hOC OF
dine, melius careatur nequi omittantur; Palrem serrato cali adi-
quo ordine quo id careatur:) ec Inquiratur, quis numeruS cum
quoque (Juo ordine) compolicus expolitum conticiat; qui si tue
360
16OX2
120X.
DOXx
Sc
36X1C
6X57
Els pollic per Incegros delignari.
(Pet S I4 inventi) Tunt 300, 100, 12, 90, 12, 00, 45, 40, 36.
30, 24, 20, 18, 25, 12, 20, 9,8, 6, 5, 43 3, 29 F. Prima igitue de
I iple compolicus, resolvatur hic limilitet i Luos cemponen-
ces, el lie vorro, quamdiu componens ipte  CompotiIS: Oc
tandem, percurtis omnibus, odi Occurrant omnes quiblIs exposi-
Exempli gracia. L. IO MUetUS EXPOHCIS 560. Csu VIOTES
Hat E FEL 366, (ICU 360X 1.) Lum 100X2. 126X3. 9OXC
d BoPt  222,50RZX2. Pum 7225, 00X6. et (prO
X2 XL9) 43 24X2. 45X 2.X Z XZ. TUM 4OX9. et (propte
8 = 54571402543. LM 3621B. C C 10=5
367542.
Pter 6 = 3X2,) 6OX3X2. Tum 45 x8. e (PrOPteT B = q

## Folio 501 — 851708439:0525
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000525.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 100 lines, status machine
Cap. TTI.
PARTES AELOUOTK.
36X5X2. TUM 3OXT2. _ (DTOPICE 12 =6X2 = 4 X3
=3X2X2,) 30X6X2. 3OX4X3, 3OX342X2. Tun
24 X F5. EE (PFOPTeE L5 ==5X 3,) 24. X5X 3. TUM 2OX F8.
EE (PFOPTCF 18 == 9X2 = 6X3 == 3X3X27) 2OX9Y2.
2OX6X Z. 2OX ZX 3 X 2. Tum (omitto 18X 20, urpote eodem
Cum 20x+8; d selolvendo 20 == 1OX2 =5X 4 =- 5X2. X2.
28XTOXZ, +8XSX4. Z8X5X2X2. Tum (omisto Z5 X 24
uE eodem Cu 24. X L5, e lic ubique cum major nueruS Le
quitur minorem; e setolvendo 24 = 12X 2 = 8X 3 = = 6x 4
=6X2X2 = 4 X 3X2 = 3X2. X 2. X2,) T5XT2 X2. L5XBX3
25X6X 4. F5X6XZX2. T5 X 4X 3X 2. FS X3X2 X 2 X2. SI
militer (omistis PrO numero 12, eis combinationibus qux
jaM OCCUTFEFUNE) T2X (30 == T5X2 =) TOX3, T2. X6X5
TZX5 X 3X 2. SimIiter TOX (36 = TBX2 = F2X 3 =) OX4
ZOXOXZXZ. TOXSX6. LOXOL3X2. IOHA X3X3, LOX3X3Y2X2.
TUM 9X (40 == 20X2 = = FOX4 =) 8XG. OXS X4 X2
9X5XZX2X 2. TUI B X (45 =) 5X3X3. Pum 6X (60 =
6X5X2. 6X5XA X3, 6X5X3X2 X2. Landem 5X (72 =-
A. X 3X 3X 2. 5X 3X ZX 2 X 2 X 2. DIVIIOTES aUTEM 4, 3, 2, 29
nullos exhibent calus noros; cum eorum quilibet lit minor
quam 5, nec pollune absque hoc aut aliquo majori numero
conticere 360. TIla itaque Formxe (numero 52) lune omnes
forma quibus designari postic numeruS 360, per nIMCrOS in-
ECOTOS, ut imperatum elt. Onomodo aurem ad lingulas has
formas accommodari poltunt coridem torma numerorum qui
habeane Dirilores 360, jam ance oltencum cAt S F5. Verbi
FTaTIan DIOS XZ X 3 X2 X 2 X 2y a bC d ef. Et EC de exteris.
Cur autem omiserim, verbi SraLIa, 5X72, 5X36X2,
5X24X 3, 5YFBX4, SXIBXZ X2, 5XT2X6, SXT2 X3X2,
S. XOXB, SXDK4X2,5XOXZX2X2, 5XBXZX3, 5N6XOX2,
5XOX4 X3, 5XOX 3X2 X 29 aliaque hujulmodi; manifecta clt
Cauta: OLIa NEMDE NUMeI 72, 36, 24, L8, C=, 9, 8, 6, Ci majo-
res lint quam 5; omnes combinationes quas hi ingrediuneur.
jam ante habita Luerant. P. A ucique 5 X72, cadem Cum2 7 2 X 5;
et sic de reliquis. Focusque procestiis ita ordinatus elt, ut
quandocunque numErUS major secucurus toret minorem, scia-
mus calum hunc aur praeceltilie, aut laltem debuisse praecedere.
3OXT2
F2X) L5A2
TOXO X4.
TOXGX2X2
1026L5KZ
6202512
O25X4 X3
6X5X3LL AZ
SXA X 3X3 XB
5X3X3XZ XZ X Z
Non aucem necesse cst, ut hunc semper serremus ordinem: idem enim obtine.
bitur, quacunque methodo procedatur, modo lacis inde constet lumpras elle combi-
nationes omnes, nullis praetermillIs.
78. Idem sic obcinebitur. Si reguisitus Diritorum numerus, ejutre POrmA, I12
ver Species desisnetur, uc inde appareat, qua torma componatur ipse ab cum in-
oredientibus Primis. Puta SI ponatur a B C PrO nuerO 36O = 2X2X2X3Y375
autpro alio quoris numero qui componitur ex tercio sradu unius Primi, de lecundo
altexius, cum certio numero Primo.
Ouamris enim non hic doccamur procedere (ut prius) a majori ad minorem
continuo ordine, (eo quod secundus aut terrius gradus minoris numeri Primi, pol-
sic esse non major quam majoris Primi primus gradus;) OCCurreHE camen sidem
omnes, urut alio ordine.
sanque commodum erie (inchoando ab Z) Species iplas (seu Symbola) su
mere primo Singulatim, (uc an b, 6, 8c.) eo ordine quo in AIphabeto OcCuT
FunE: Acque cum Binacim, (uE aan aB, ac, bb, _cc.) praemictis eis qui ab a inci-
Diunc (ec quidem primo loco a an ante ab; et hoc ante ac, &e sic ordine, ut apuel
Lexicoeraphos utu venic;) Deinde qui a B incipiune; acque hric (omitto ba, ut-
voce eodem cum ab,) incipiatur a bb, vel (Si hic non occurric) a bc, de lic de
incepo: Deinde Ternatim, Ouaternatim, de se deinceps, uc culeric occatio; ser
vato, prour casus permiseris ordine Alphaberico; quo careatur nequi omittan
TT. Poto, ex rdverso cuique Dirifori, Dirilore correspondente; qui cum ipso
conticiar (mulciplicando) Numerum exposirum. Puta, ex adverso iptius a an P0.
Lito abbc, qui cum illo conticiat a a abbc. Ft in reliquis limilicer.
I X 3
3046XL
304. X3
OX3LL XZ
F3
2OX18
+ X) X Z
2OX9X2
20X6X3
LDX TOXZ
OX5 X 4
5X8X 3
T5 X6X4
2OX3X3XZ
TBX5X2 X Z
5XT2 X2
25Z6X2X2
25 X4 X 3 X 2
25X3X2. X2. X Z
T2XIOX3
72 XGX5
TOX6X6
TOX4 X3X 3
2OX3X3X Z.X =
OXBXG
945 X 4. X Z
OX 5X Z X Z. X 2
8X5L3X3

## Folio 502 — 851708439:0526
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000526.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 135 lines, status machine
GOMBLNATION BS, P X
abc
ab
Vet sic porius
aa abdc
2a bbc
aa abC
e
abb6
aabc
a abb
aa aC
aa ab
B0
C
aac abb
Atque hoc cousque prosequendum est, donec in adrersa serie, idem OccurraV
(modo expolicus numerus su quadratus,) vel (si non quadracus) is qui proxime
secuturus erat in eadem Peric. (Vchic, ex adverto a ac, habetur ab b, qui lecu-
curus crat in prima lerie deorsum concinvanda.) Ntam, ubi eO perVeniUS, ji qui
Sccucuri crant in prima serie deortum continuanda, segnuntur (in eodem ordine
Tursum ascendendo) in serie secunda, donce ad numerum exposicum pervenieur.
Ouando omnes Divisores lunc ica ordine dilpoliti: cum (a POltremO InCHOANLCS.
S Continue retrocedentes) pollimus quemque cum oppolico luo componere, (ut
cbb aa an cbbaaxan cb aa a XB, _c. ) Ec ubi componencium pollerior, elt ipse
CBBaaa
CbbaaXa
Cbaa aXB
bbaAAXC
cbbaraa
XAX a
Cbaaxba
XBXa
BbaaKCa
Ca a a XbB
XBX
baaaxbe
Xb
cbbxaaa
2X a
XaXCKC
Cb aXba a
Xb aX a
XaAXB
XBXAXC
BbaKCNA
XCaXC
XaBXC
XCXaX a
CAAXBBXA
300
EBX 1OX2.
T8X4 X5
IBKGX2X2
20X9X2
d24X5XZ
DX5XZX2X 2.
20X6X6
TOX6X3X2
TOX4 X3X3
2OX3X3X 2. X 2
6X6X5X 2
6X 4 X 5X3
6XSXZX2X2
4X5X3X3X 2
CXbXBZ AZAXa 5XZX3X2.XZX 2
compotitus; retolvendus hic erit in suos componentes; (Ut cbb aXaA,
CbBaxaxa, SC.) Et sic concinue donce ad Primos perrencum ost.
Ouando autem Diritores omnes polterioris seriei lic expedirimus, lnan, ante
nihil est periculi,) carendum nequae ex compolicionibus jam sumpris, denuo si-
mantur in alio ordine: quae, cum ita secunda vice occurrun, praetereundae SunE.
Adeoque, quum ad c a a perrencum est; non hunc compono cum toto bb a qui
C illi oppolicus, (quia bb a jam ance in considerationem venerac, omnelque qua-
rum capax erat compoticiones Lubierat;) sed cum omnibus iplius bb a componen-
rivus, qui nondum suerane ita considerati. Cumque ad cb perventum est; omilto
nOn
16OXZ
2OX3X3X2
T2 XF5X2.
T2 XIOX3
c2
T2X5X3XZ
8X15X3
8X9X
8X5X3
T5 X6X 4
20X6X3
T5X6XZ X =
25X4. X3X =
25X3X2 X 2. X 2
9x10K4
DXTOXZ. X2
00x4
9OX2. X2
60X6
6OX3X2
36XX0
36X5X2
40X9
40X3X 3
eq XL5
24. X5X:
E
45X4. X 2
45X23
3OXI2
3023X L XL
I2DX
Xb aXB
XbXBXa
XCaXB
XbaXC
CCXBXC
2aaXCBXB
(bbXC
XCXbXB
cbxbaXaA
XAXa
Xa a XBXa
XbXaX a
BbXCaXAA
aXa
XA AZCXa
CXAXAX
C axb aXB a
2 XBXb
XbXBX
BaXBAKC. X a
aaXCXB
CCXBXaXa
aaXCXBXBX a
BaaLCbXa
306X2
S4 X3
L0X20

## Folio 503 — 851708439:0527
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000527.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 76 lines, status machine
Cap. TII.
PARTES ALTOVOTA.
non modo tocum baaa (qui est ei ex adverso) sed e componentes omnes eri
membres; quia non modo omnes quadrimemibres, sed ee trimembres omnes ante
ruerane expedica, quam ad cb bimembrem perrencum erat. Cum ad ca perreni
TUIT. OmiEO CAxbBXaa, _C. quia bb, jam Fuerac considerata. Cumque ad B a
pervenio, omitto compolitiones omnes quas insrediuntur cb, bb, c’ an qui ance sub
exaIEN reneranE. Similiterque quum ventum elt ad a a, e c, omitto bimem.
bres omnes qui cum his componi postene, upore jam consideratos. Prout in adjun-
eto Schemate comparet.
Dollquam aurem has omnes Compotiriones in Speciebus sunt extibitae; illis ex
adverlo potui Numeros cildem relpondentes. Oui quidem iidem ipsi funt qui
habentur 6 27; Sed non eodem ordine. Ouoniam hic, in dirigendo ordine, Le-
cucus cum F’ormam Compolitionis; illic rero, Majoritate nerOrum compo.
nentium.
Tim vero, post jacta Fundamenta hujus de Dirisoribus et Aliquoris Parribur
Doctrinae: Lexempla quaedam subjunsere libet Operationum aliquor eo spectan-
cium.
19. Numeri XTOBBO, OuOE Sunt DiritoreS, e ALIgUOIX ParteSD EF quinam
iIII:
Numerus xr0BBo sic divisus ut ad 5 +3 cocetur; retolritur in hos Primos nu.
MerOS, 2, 29 27 27 27 3, 3,577, TI. Adeoque cAt in hac Fora a V c d e.
2F) 7) 5) 3) 3) 2) 2) 2) 2) 2) =2088O (5541O (27720 (23860 (6930
(3465 (1255 (385 (77 (ZF (F.
Vel, Lieuic prima vice finalem ciphram abjicere; proque illa duos Dirisores
Seribere, 5, 2. Arque cum, quoniam obrium elt conspectui, F1088 per I2 divi
Tibilem elsc; dirilorem ET adCcribere, (quia SiC citius pervenitur ad parrOS nU
MerOS:) e Ouotientem 1008, Per 2 _ 3 diridere, quoties id tieri poltic, (nem-
Per per 2 quinquies, et per 3 bis;) quo facto ad udrimum aivitorem 7 perre
NIEUE.
Auc eriam, (quoniam hoc iiem obrium ett,) TT08B per D dividere, (quoniam
tiox absque locorum ratione habica, timul addicx, funt per o dirisibiles:
vel abjectis 9 quories fieri poreltu nihil superest; prout in examine Mulciplica
tionis et Diritions Aeri Soler.) Auc etiam, cadem rarione, id fieri licuit cum ad
2008 pervencum erat. Auc similem captare abbreriandi operis antam, prout
conspectui occurrit. Non enim retere, quo ordine Componentes Primos exquira.
mus, modo habeamus omnes.
Cunque numerus sic retolutus compareat in hac Forma, a bC a e: Mani-
fectum est (per S =2) Diritorum numerum esse 6X 3X2 X2X2 = 59g. adeoque
numerum Parcium Aliquorarum etfe 544 = L = 43. Fosque Diritores (secun.
dum methodum 8 L8 expoicam) hos elle.
F20880
55440
36960
aa a a abBCaC
a a a abbcac
Lital s
75840
10080
aaaaabcdc
aaa abde
27, 2C
28480
+1088
7020
5046
2.32
8
8360
320
26
40
a a a a abbc
aa a a abbc a
adadbcdc
aaaaolde
aHDDaC
tbib 1b 1bb0bC
Aa d aDbCd
aaaaaCa
aa aabde
a 2 a a ab6
aa aa abc a
aa a a abbc
aa a a a b b a
aa A A abbC

## Folio 504 — 851708439:0528
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000528.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 188 lines, status machine
104
CiOMBINATIORES, ET Cap. III.
aaa
aab
aac
aad
aac
2b
8
12
.
23860
9240
5544
3960
2520
6760
3696
2640
1680
2584
2008
720
2464
2760
T120
2056
672
400
288
6930
4620
2772
2980
aabbcde
.aa abc de
aaabbdc
aaabbcc
aaabbcd
aaaacdc
aaa ab de
aaa abcc
aa a abcd
aaaabbc
aaaa00d
aa aabbc
20
7
58
10
105
105
40
08
30
60
13
24C
220
308
30
126
198
AC
adc
bCa
Bac
cde
aaa
aaab
aaac
aaad
aaac
a abb
a abc
a abd
aabe
aacd
aaCC
aade
abbc
abbd
abbc
abcd
abcC
ab de
ac de
BBC4
bbcc
bbdc
bcde
aa a a a
aaaaB
aaaaC
aaaad
a aaac
aa abb
2aabC
aa abd
aaabc
Baacd
_ aa6C
aadc
12
240
30
402
495
193
(20
168
16
280
816
440
aaaaadc
adaadcc
dadaacd
dS
eo
aaaaadc
aaaa ab
aaaa abc
raaaabb
abbcde
abcdc
a abbde
aabbce
aabbcd
aaacde
aa ab dc
aaabce
aa abc
a a abbc
aa abb d
aa a bbc
aaaadc
aaaaCc
aaaaca
aaaabc
aa a ab
aaa a bc
2
aaab
bE
ac
10
aa a a ac
aaaa ab
bbcdc
abcde
abbdc
abbcc
abbca
aac dc
a abd6
aa bc0
aabea
aabbc
a abbd
a abBC
7260
3080
1048
2320
840
792.
504
360
2232
880
560
528
240
14
24
160
96
3465
1386
310
53
99C
254C
924
660
12
Fidem

## Folio 505 — 851708439:0529
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000529.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 169 lines, status machine
ap. IIL. PARTES ALTOUOFA.
Tidem, secundum Majoricarem numerorum dispotii, sic se habent.
55440
36960
27720
22176
18480
25640
T3060
aaa aabbcac
a a a a bbcdc
aaa a abcdc
aa abbcde
aa a a abbde
aaaabcde
aaaaabbc0
aabbcde
aaaaac de
aaaabbde
aaa a abbcd
aa abcde
aaa abbcc
aaaaabdc
abbcde
aaaac de
aa abbde
aaaaabcc
aaa abbc d
aabcde
a a abbcc
aa a abdc
bbcdc
a a a a aBcd
a a a a abbc
aaacdc
a abbde
aaaabcc
aa abbca
aaaadc
abcdc
aa a a abbd
aabbce
aa ab de
aaaaaCC
aaa abc d
aaa abbe
aacdc
aaaa abbc
abbde
aaabcc
A abbc a
aaaade
bcde
aa aaac d
aaaaabe
aaa abb a
abbcc
aab dc
aaaac0
aa abca
aa abbc
F2088O
10080
12320
. 12088
9240
7920
7392
693C
6160
554
52.8
504
4620
3960
3606
5465
3360
3768
5080
277
264C
252C
240
2310
2016
2980
2048
1600
1564
1360
25c
144
138C
1320
(26c
123
215
TF29
1056
1008
90
D24
880
840
70.
7
5
ab
aab
Aaaa
abb
aac
aa ab
a a d
ab6
aa a a a
cd
a abb
aaaC
abd
aac
bbc
aaaab
aaad
aabc
bb
abc
aC a
aa abb
aaaac
a ab d
aaac
abbc
aaaa ab
bbe
bcd
a6e
aa a aa
aaabc
abb0
aabe
a ac d
aaaabb
ade
aaaa4c. 100.
Bcc
a 4 abd
205
T1O
IXZ
T20
726
232
240
244
254
265
100
720
ac dc
a a a abbc
693
673
660
aabcC
bbde
aaaaabd
6

## Folio 506 — 851708439:0530
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000530.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 177 lines, status machine
CiOMBLNATIONES, ET Cap. IIL.
aaa_C 176
a abbc
abbc
abcd
aaCC
aaa aa d
bdc
aa a abc
a abbd
aaabe
aaacd
2a 2 2 abb
aade
bbcd
180
. 198
abce
250
220
224
237
240
252.
264.
280
288
630 abbcd
616
560
528
504
405
480
462
440
420
396
385
aaade
aaaaCd
aaaabc
a a abBd
bbcc
aaa a abc
abde
aaacC
aabed
aabbc
cde
. 308. 360. a a abbc
325. 252
aaaaac
330 336 aaa ab d
20. Numerorum (verbi pratia) habentium +2 Divisores; extribere omnes
Formas; omnelque in quaque forma Numeros non majores quam 2048 (qui cst
minimus omnium in suprema FOrma) secundum 6 F5, 18.
Omnes modi quibus per Incesros detienari porelt r2, (uc ad 5 27, 28,) Tunchis
2 = -6x2 =-4 X3 = - 3X 2 X2. Dui has exhibent Formas numerorum habentium
r2 Diritores; a, a b, a b, a b6. Arque lecundum has omnes, Numeri fune qui
SEgLUNTUE; nUMETO ZTI.
2048.
32X 3-
32X 5 = 160
96
224
IT-
13
28
352
ett
8
376
690
888
D52
32
 37
t
L 43:
47
X 53-
X 59=
X 6T =
43X 2=
5:
X 29 = 928
186
25
7= a
eBC.
c
72
84 9=
X 25:
XT2 T = 868
X169 == 1352.
27X
25 == 615
49 =
2.3
125X 4 = 500
d= = TF25
343X 4 = 7372
X 49 = 392
108
13.
256
204
22C
27C
342
1
192
516
564
708
Da
852
70
46
de
= 1068
64
XTOF == T2T2
X2O3 = 1236
X1O7 = +284
X+09 =- 1308
XLT3 = 1356
XF27 = 2524
XEZE = 1572
X137 = 2644
X139 = 1668
x249 = 1788
AXSF == EBLZ
X157 = 2884
X263 == 2950
X167 =- 2004
X5X 7 = 240
c
2.2C
C 13 = 260
7 = 34C
1D = 380
3 = 460
T=
580
620
= = 82c
13 = 86c
O40
1065
59 = 11BO
220
340
X42C
= 246C
O:
58C
83 = 166C
89=
78C
7940
XFOF == 202C
= 308
d=
13 =
364
4. 76
532
642
29 = 812
3T = 868
7= 1036
AC = 124 8
X43
423X 5 = 60

## Folio 507 — 851708439:0531
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000531.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 133 lines, status machine
en f. LLL. PARFES ALLOUOFA.
X 43 = 1204
X 47 = F316
X 53 = 2484
X 5O = 1652
X 6F = 2708
X 67 = 1876
X 72 = 2988
X 173 = 2044
+XTLX 23 = 572.
 17 =- 748
X 29 =- 836
X 23 == FOF2
X 29 == 1272
X 3F = 2364
37 = 5628
x 4. F = 1804
X 43 = 1892
LXF3X 27 = 884
X TD = 988
X 23 == TT96
X 29 = 1508
X 3F = 16T2
X 37 = 1924
4X L7X 19 == 1292
X 23 = +564
X 29 == 2972
AXF9X 23 = 1748
DX 2 X 5 = dC
 7 = 126
X TF = 298
X 13 = 234
X 17
306
X T9 = 342
x 32
X 4. F = 738
x 47
53
X 50 = 1062
X 6F = 1098
 7X = 1270
 73 = 13+4
79 =
242 2
2 83 = T494
X 89 = 16O2
X 97 = T749
XTOF = 1818
XTO3 = 1854
X707 = 7926
X1OO == 7962
XIF3 = 2034
9x5 x 7 = 315
X+3 =
585
29 = 85
c 23 = 1035
c29 =
1305
X3F = 2399
x37
 1665
X 4. F = 1845
+
935
c +L = 693
X +3 =- 810
X F7 = 207
X 19 = T197
X 23 = T445
X 20 == 2827
x 3F = 195:
TT X F3 = 1287
X 27 == 1683
X 29 = 188T
DXI3X T7 = 1989
25X2 X 3 = 250
25X3
29 =
SC
c
50
950
C23 = FT50
X 29 = 1450
X 3F = 2550
l37 = 2850
2.
825
7
X X7 == X273
X TO
22
25X7 X TF =
4.d X Z. X
3 =
e X
XI.
=
=
CFr =
42
2
2925
290
2078
2274
266C
X 19 = 2862
4.OX 3 X 5 =
73.
CTF = X6T7
F3 = = ZOT
ZZ. F X2 X 3 = 726
== X2T0
7 == 1694
825
X 5 = 2690
TE L
X 23 = 424
X 29 == 522
558
X 37 = 666
X 43 = 114
dAc
Ste
X 67  L200
(2LA5K
169X2X 3 = XO14
2.69X 2. X 3 == +734
(I
Tidem

## Folio 508 — 851708439:0532
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000532.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 187 lines, status machine
LIOMBINAXLOLIO2L
Cap HII.
lidem secuncum majoricatem numerorum dilpoliu, lic le habe.
7220
T236
1274
2504
2508
2524
1550
2572
4
2C
E
15
TC
9
d
36
+8C
490
492
F
2
660
804
820
82
99
990
2DC
204
18+2
18F5
18T8
2827
1843
285C
1OFZ
103
2O3C
1014
2060
1062
2068
1078
207L
2098
ZF25
1275
2276
1278
T284
1287
T292
1305
1308
23T2
2324
1326
1323
2340
X352.
1356
2564
2580
1002
26T2
2617
2628
2644
1652
1600
1665
1600
2668
1683
2854
1862
2876
188T
2884
1088
2892
2L
2924
2927
1926
1940
1952
35
Eit
23
eu
26c
27
290
de
34
348
1284
1796
1157
2204
1200
F2F0
22. X2.
1460
2484
2694
170L
1706
2725
2734
7740
2748
1780
1788
1950
2962
1972
2988
1989
2004.
2020
2034
352. 650. 340. 1215. 1494. 2804. 2044.
2048
22. Numeri qui (pro magnitudine su2) plures habent Dirisores, pluresque
Parces aliquotus; Solici sunt prae eaceris eligi, ut ului commodiores; praesertim
cum Frequens Et occalio res lic designatas parciendi.
Elinc est quod Denarius Anslicus (a Venne) dividi solet in quatuor Oua-
drantes (FFarthingB,) e fere quodlibet Incesrum in quatuor item Ouadrances
variis nominibus appellatos,) Ouoniam Frequens elt occasio dividendi in Semistes,
e Semistium Semilles. Flinc item Romanorum As seu Libra, ue de quam nos di-
cimus Fibram Trojani ponderis (a Wonno. ALcOD. veIBE,) dividitur in T2 On
cias (DDunceB :) _ Solidus Anglicus (a Ghillins) in 12 DenariOS: _ PeS (a AFDDE)
in r2 Pollices sen Vncias (JncheB :) et Zodiacus in T2 Signa; e AnnuS in X2
Menses: Ouia commode porelt hic Numerus distribui, non rancum in Semilles, de
Ouadrantes; sed et in Trientes, Sexranues, et Uneias: Porest enim dividi Der 2
bis, e Porro per 3 lemel.
Post numerum 12, eligi Polet numeris 50, ut ului aporime commodus: ue qui
dirisibilis sIC non tantum per +2, hujusque Dirilores omnes; led DOETO PeF 5,
(factolque ex hoc, de Diriloribus numeri 12.) adminic enim Dirilores Duo-
decim, +, 2, 3, 4, 5, 6, 20, 12, 15, 20, 30, 60. Fs enim concinue divisibilis per
2Bis, Der Z Temel _ Per 5 Temel Rigne ob hanc caulam Ptolemaeus, aliique
Post illum, Sexagenariam diritionem adhibent; Dividences Foram, Cradum, alia-
Inteora, in 50 Minura prima, ec horum quodque in 60 Secunda, et liC POrro
transcuntes ad Terria, Ouarca, d lic deinceps. Chinenses irem sire Cachaii, AN.
noS Tuos, aliaque, numerant per Reroluciones Sexagenarias.
Post hunc; sequitur numerus 360; qui dividitur adhuc per 2 e 3 una vice
pluries quam 60; adeoque admittis divisores Visinci quatIOE; 1, 2, 3, 4, 5, 6.
3, 9, 20, 22, 15, 28, 20, 24330, 367 40, 45, 60, 72, 90, 220, 180, 360. Atque in
FOL
564
580
58
62
63
37
644
836
846
850
852
860
2248
868
876
884
928
2953
940
1304
1372
2376
TF50
2764
2395
2690
1420
L42.2.
2425
1096
2780
2448
L+SC

## Folio 509 — 851708439:0533
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000533.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 95 lines, status machine
18
Cap. HII. PAR TES ALTOUOTL
tOL Parres seu Cradus dividi Tolet Ambitus Circuli; Sinsulique porro gradus in
Minuta prima, secunda, certia, et Tic Porro, concinua Diritione Sexagenaria
Libra Monetaria Anslicana, (a Donno Btertins,) dividitur in Solidos.
(BGlinga) 20 = 425. (Oui numerus est continue divisibilis per 2 bi5, 
ver 5 Semel.) Non quod hiC (IC POtIOT nIIMETUS quaM T2 == 4. X 3, (nam di
rilio in Fres parces aequales, commodior est, e trequentioris ulus, quam in Ouin-
que;) Sed quoniam nUCTUS T2 jam crat adhibitus in colligendis DCHaLHS L2 HI
iinum Solidum. Tdeoque, hoc polico, commodius exat ut liac allera colectio
(Solidorum in Libram monecariam) tierer per 20; ue hinc haberi possit divisio
per s Licuru propier illam, dirilio per 3: Adeoque jam utraque habeatur. Scd
prior illa (collectio r2 Denariorum in unum Solidum) praecelsic; cum quia po-
tior est, (adleoque minutioribus particulis colligendis achibita;) cum quià (hujus
ODe) eadem: Priparcitio accommodatur etiam monecariae Libra. Nam Priens Li-
brae monccaria, quam Nobilem dicimus (a seoble) est 6. S; e Bes seu DuO
Priences, quam dicimus Marcam (a Bart) Cst F3 4. Adeoque jam (prRetCK
illam dirilionem Denarii in a Guadrantes) numerus Denariorum in Libra mo-
neraria, est 72X2O = 240. Oui numerus (diritibilis per 2 quater, e insuper
per 3 et 5 Semet,) admictit 20 Diritores, F, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 129 15, 26, 20.
24, 30, 40, 48, 60, 80, 220, 240. Nec ullus numerus, qui non lic iplo major;
admitcit plures. Fltque haec commodissima di-
Aribucio Nummi in ulus ordinarios. Praeser. Numeri.  Diril.
tim cum porro habeacur (pro rebus minucissi.
mis) parcitio Denarii in 4. Ouadrantes. ((uo.
rum numerus, in ipsa Libra, Cl 96O == 2X2.
X2 X 2 X 2 XZ X3X 5.) Ouippe jam habetuE;
prima vice, Ouadrancum in Denarium collectio
per 4; lecunda vice, Denariorum in Solidum,
per 12 = 4.X 3; e certia rice, Solidorum in
Libram, Der 20 = 4 X5.
Labet, hac occatione, Tabellam annectere,
qua continet (columna prima) Numeros om-
nes qui coc habene Dirilores quoc habene nulli
alri qui non sint iplis majores: (ulque ad
665280, qui Diritores habet 224;) Et (co.
lumna mecia) quor habeat eorum quisque Di
visores; Ec (ulcima demum columna) qualis
sit cujusque Compolicio; Hoc CAt, CX quOL MUI.
meris primis, et quibus eorum poceltatibus.
COmpONUNEUT aureM OmneS (EXCCDIO Z) ex nuI-
MerIS PrIIIS 27 3, 5, 7, TZ, (quOS VOCO a, b,
c, de C) corumque poteltacibus; nullis admissis
504
2500
aliis primis. Plures vero ejusmodi non OccuF- 10980
runt, nili admisso iiem f == 23. Ex his iteM 25F2C
nonnulli ita sune constiuri, ue nullus trabicu. 20760
rus sit plures Dirilores, non modo qui non (IC 25200
iplis major, sed neque qui non (ic Duplo 1a- 27720
IOr. Nimieum 2, 27 6, 12, 60, 360, 2520. Sed 45360
nulli alii nisi polt longum incerrallum.
22. Pro expedica Colucione quarundam ex his
O
55440
Ouaeltionibus, (ut ad 6 23, 24, 27, 18:) Con- 83160
venie, ut praecto T Pabella numerorum Pri 170880
morum; (ue inde cito dignoleatur, per quos 266Z20
numeros facienda (inC. imperata PenTAIINa, PTO 22176C
inveniendis Dirisoribus. Pc quoniam, in MaB 277200
nis numeris, laboriolum FOTeL per omnes contI.
332640
nuo ordine numeros Primos centamen inftituc 108960
rc; commodum item crit, cito relcilcere, per
55440C
quem Primum majores numeri Compolui pol. 665280
linc diridi.
22A
Compolirio.
Iu hunc sinem; Maniteltum est, Pares omnes posse per 2 dirici. Fx quidem
80
DC
Dc
84
280
24C
360
720
100
208
840
T260
1000
2520
62
a bC dc
F20
128
244
200
168
160
192
200
2+6

## Folio 510 — 851708439:0534
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000534.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
LOMBENAFTOHES,
Si GUOTENS HML OCTHdUS LE eriam Pax numerus, porest hic item per 2 diridi;
ee lic continue, quamdiu provenit, pro Ouotiente, numerus Par.
Patet item, quod numeri omnes in s desinentes, sune dirisibiles per 5. Et qui
dem qui detinunt in Ciphra o, dirisibiles per 2 e 5, et toties per ucrumque quoe
sune terminales Ciphea
Nocum item est (ex communi praxi in Fxamine Mulciplicacionis ee Diritionis.)
Ouod, si Figura numeri cujuspiam promiseue addicxe (nulla consideratione ha-
bica locorum in quibus contictunt) summam conticiant quae sic per o dirisibilis,
(seu abjectis o quocies tieri portic nihil super(I,) numerus ille est item Per 9
dirilibilis. VE puta 29097; in quo (neslecto numero o qui bis occurrit) Tunc
reliqui 2 +7 =9. Adeoque, his rejectis, nihil superelt. Onde concluditur, nu-
merum 29097 este divisibilem per 0.
X3
Addo Porro (quod non memini ridiste me ab alio quoris ante nOLaTum) idem
pariter ralere de numero 3. Nimirum, Si numeri cujuspiam fisuris promilene
lumpris, abjecto quories tieri pottc 3, nihil supertuc; numerus ille cAt per 3 di-
visibilis; alioqui non est. VEputa 530967; in quo, neslectis cernariis, senariis,
E nOvenariis, quOrquOE SinE, (ut qui line criparcibiles omnes,) reliqui 5 f7 =+2
elt numerus item eriparcibilis; (sire, quod eodem recidic, +- f 2 = 3:) unde II
quer, numerum 530967 dirilibilem esse (utur non per 9) Faltem Per 3.
Flujus autem, ee praecedentis Obserrari, una est cademque cauta. Duoniam,
cum locorum valores continue creleunt in rarione decupta; abjecto ex lingulis
Denis, quocies id fieri pocest, sirc 3, Sire o, Supertunc tocidem Onitates. Post
rejectum ergo 0 auc 3 quories tieri porelt tancundem reltat, sIVe CX F, 2, 5, ec
TiC CX XO, 20, 50, _C. aut 100, 200, 500, 8c. id Fat. Adeoque, quancum ad
hoc, perinde cst quo loco reveriatur tigura quaeque.
23. Prater haec Obserrata: Flabetur ad calcem AIgebCa. D. Johannis P elb.
(quam ex Cermanico sermone in Anglicanum convertit Thomas Branker, non
incontulto ipso Pellio, ediditque Londini, Anno 2668.) Tabella compendiaria
Dro numeris omnibus Imparibus (nOn in s terminatis) nuMeTO X00, 00O, mI
noribus. Oua octenditur, quinam ex illis sine numeri Primi, seu Incompotui;
et quis minimus ex Primis numeris Compolitum quemque diridat.
Adeoque, propotico quocunque Numero; poltquam ille, quories tieri Bocest,
Der 2 e 5 (auc etiam per 3 Ei libet) diritus Tuerit; s numerus hinc oriundus
non excedat 100,000; ostendir ea Fabula, per quem deinde dirisibilis sIc ille nu-
merus, e lic continue, donee ad InCOMPOHEU DErVeNIEUT.
Cur in ea Fabella omierat ille numeroS PareS, de in 5 delinentes; causa patet:
Ouippe quod absque ope Tabellae, manifestum c, iplo incuitus dirisibiles este,
illos ver 2, h0s pet5
Potuiller ilem, pari causa, omisille omnes qui sune per 3 dirisibiles, (quia pol
set hocu ex tiguris uc dictum est promiscue addiris llarim innotescere;) nisi quod
Sic Pertindc e Labela CouUS ordo.
Sa vero, cum magni momenti FE, uc husmo Labetta cum accurare Compu-
tentuT, tum pari cura Imprimantur, (quoniam quae hic contineane menda haud
Facile OBIETVEHMLII _ CMILMICHCL LCLOII oculo:) KgO tocam Pabellam illam ac
eutate exammari (eadem methodo se eodemt labore ac li ab oxioine conditurus
ellem;) Inrenioque fuisse magna cura e computatam de imprellam: FrrOreS Ca-
men aliquos (sed paucos) irrepsisse. Ouorum plerique nocancur in Frracorum
Cataloso, simul edito. Sed praeter eos, hos qui sequuneur obterrari: quosu quo
Lectorem eodem examinandi labore sublerem, libuit hic subjungere. Ouibus
emenctatis (eilque quae in Erracorum CacalosO HOTautUT) Y abellam illam aceu.
ratam fore existimo, et omni errore vacuam.

## Folio 511 — 851708439:0535
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000535.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
d
P. I
PARTES ALTOVOFA.
12d. NVum. I~rO (P onc
Pas) Num. 1 Pro Peona
24
30767
2098
1OC
334
eE
3
3
5560
6070
607
079
376:
4004.3
4059C
75.
4758.
46T95
3394
26154448
Pas. 7. in margine (polt 43) PrO 37 DONC 47.
Ope hujus Tabea; SI Proxonatur numerus 539454600; Facile resolvetur hie
in Primos illos ex quibus componitr. Nam primo, propter duas Ciptras Fina-
les, manitectum est, abscistis Ciphris, bis per 2, ec bis per 5, diridi polse. Tum,
quia, post abscistas Ciphras has, numerus adhuc Par est, potest tertia vice per 2
diridi; indeque CmCrSCL 2697273. Tum, si numerus hic Pabella limites non
excederet; quari porer inde, quis Primus numerus iplum dividat. Sed, quoniam
major est quam uc ibidem hrabeatur; invenio, consideratione habita, quod ex fi-
suris ejus promiscue sumpris, abjecto 9 quories tieri porest nihil supereste; adeo-
que polle illum per odiridi. Duo facto, quotiencem 299697 Timiliter examino.
invenioque, post abjectum o quories tieri possie, Tupereste 6; adeoque illum divi-
sibilem adtue esse, non quidem per o, led salcem per 3:  Ouotientem tore
99899; qui jam intra Pabella limites reducitur. Adeoque (abique Pencamine
Facto per numCrOS 7, FP, F3, Erc.) invenio, inspecta Tabella, Poste hunc Per 283
diridis (non autem per minorem Primum;) e quorientem Fore 353, alium Pri
mum. Indeque concludo, resolrendum numerum 53945460O == Z X Z. X 2. X 3X 5
X3X5X5 X283X353.
Si autem, pro 99899, prodiistet numerus major quam quo extendit Pabella, et
qui per 2, 5, aut 3, non possit diridi: oporteret (pro defectu Tabula Patis am
DlX) centamen Facere per Sequentes numeros PrimOs, 7, TY, F3, _cc. donec, ope
calium tentaminum, reducatur intra Pabellae limites. Verum, si nullus interea
dirisor occurrat antequam ad talem Primum perreniatur qui major sit radice
quadratica numeri examinandi; concludendum erie, cum esse Numerum Primum,
nec posse ulcerius resolvi.
+. 
t
0056
659
8699
037
94765
1d, 9670G
feut
it
e
A P. L
D. Fermarii Produmata, de Divisoribus  Partiou.
Aliguotis.
D hnnc locum perculet solucio talium Ouaitionum, quales sunt quas
de Parribus Luoris) V. Claristimus D. de termat, in luprema Curia
Thololana LTatCo (ur rem arduam, et unde se pluris aestimandum ro-
luic,) omnibus Furopa Machemaricis, e mihi nominacim, seripio edito propo.
Tuic: _ D. Frenictius, Se illas Tolvere pocuisse, non parum sloriatur. Ur videre
est ex eorum Epistolis, qua in meo Commercio Fpistolieo habentur, P pilt. F, LF,
22, 25, 26, 3C, 33. Ec in Frenislii libro, hac occatione ediro, cui Tirulus,, 50-
latio

## Folio 512 — 851708439:0536
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000536.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
CiOMBLH A FION F S, B Y
lutio duorum Problematum, cirea numeros Cubos ex Quadratos, quae, tanquam In-
solubilia universis Furopae Mathematicis a Clarissimo Viro D. Fermar sunt pro-
posita 86. a D. B. F. D. B. inventa, ec. (HOC ett, a Domino B. Frenicte de
Bessy;) Parisiis, apud Johannem Lanslois, ec. 1657.
Atque jam nuper, inter D. Fermatii Opera Polthuma, Post ejus mortem edita;
hanc ejus Provocationem, (una cum aliis ejus Liceris eo spectanribus, ) Lditor,
his verbis denuo piomuleat,
Problemata proposita a D. Fermat.
Proponacur (si placet) Wattisio, e reliquis netiae Machemaricis, sequens
duaestio umerica.
Invenire Cubum, qui additus omnibus suis Partisus Aliquotis, conficiat dua-
diaum. Fempli sratia, Numerus 343 est Cubus a latere 7. Omnes ipsius par-
tes aliquotae sunt 2, 7, 43, qua adjuncta ipsi 343, consiciunt numerum 400.
qui est duadratus a latere 20. Quaeritur alius Cabus numerus ejusdem na-
Turae.
duaeritur etiam numerus Duadratus, qui addicus suis partibus aliquotis con-
ficiat Cubum.
Elas solutiones expectamns. Duas si snelia aut Galliae Bolerca e Celtica
non dederit, Dabit Gallia Narbonensis: F’asque in pienus nascentis amicitia
D. Dueby offeret e dicabit
Verum Fdicor ille (cum varias ibi Literas, hac de re tum d Fermario, enm
ad cam seripeas, inlerir,) non cam candide mecum csite rideacur, quod meas ce-
laverie, quibus Ouxlicis his (aliisque) laristaetum erar; dut iplas f’ermatii, qui-
bus aenoseir ille me illud praesticille. Ouxe rideantur in meo Commercio pisto.
lico, Epilb. 23, 28, 29, 47, e alibi.
Etis cgo duabus Ouactionihus, adjuuxi cerriam, contunilis naturx.
Invenire duos numeros Quadratos, qui partibus suis aliquotis additi, eandem
efficiant Summam. Fxemps eratia, 16 f8 + +. Y 2 + r = 31 = = 25 + 5 + T.
Inveniantur ejusmodi alii duo
Pocum MyCterium Solrendi has (ee hisce limiles) Oualtiones, aperui ibidem
FgO, LpIIF. 23. Onod cocum dependet ex eis quae hic tradita lunt, capite pra-
cedente, 58, 9, 20, L
2
Nimirum F. Numerus acdicus omnibus suis partibus aliquotis, tantundem ett,
ac Diritorum ejus omnium AgGregatM. 2. Dirilores omnes cujusris Potestatis
numeri Peimi (uc a) est Prosrellio Cieometrica ab r ad porectarem illam usque;
(puta, pocestario a Dirisores, TunL L, a, a a a, at, a.) 3. Summa igitur hu-
julmodi Progrettionis Ccomerriex, est Agoregacum illorum Diritorum omnium.
Agoreoatum hujusmodi commode detignabitur, in hunc Finem, per numeros
Primos ex quibus (concinue mulsiplicatis) componicur; uc F F 2 F 4 + 8 = 15
3x5. 5. Dirilores omnes cujulcunque Poceltatis cujutris numeri Primi, ducti
(Singularim) in omnes Divisores cujuseunque Poceltaris alcerius numeri PrI
mi exhibent omnes Dirisores compoliri ex illis Porestatibus. 6. Adeoque,
Priorum illorum Asgresatum, ductum in Polteriorum Rexregatum, extribet AB
sregatum dirisorum numeri ita compotiti. Nam (per communem praxin Mul-
ciplicationis) omnia memora unius Numeri seu Aggresari, separatim ducta in
omnia menibra alterius, tancundem Tune ac Tocum illius, in Tocum hujus.
7. Erso, Primi componentes hoc Olrimum Rxresatum, iidem sunc cum Primis
componencibus illa Duo AGGrCBaTA. 8. Idenique paricer concludetur, SI quX
cunque Pocestas Terrii, Ouarti, alceriulre adtruc numeri Primi, concinue mulci
plicetur Cu deccdencous. Dummodo Primi illi omnes linc inter se divertis
non antecedencium aliquis refecitus. Ouippe, si hoc concinsat sequenda TunE
Exempli gratia. EIEO a = 2, ddeoque a = 32. Omnes hujus Divilores (Lel
+2 + 4. + 8 + 16
Et elto b = 3, adeoque B0 =8T. Et hujus Diritores
omnes r. + b F bb +B3 f _ = 2 + 3F9 +27 - 87 = 12F = 1LXIF. ErGO, A8.
S SIriIOru nuICHL d D CL 63XBI = 3XZXZ, XFIXFF. EAo item
= 5; adeoque c3 = +25. LBlegacum Divisorum hujus, est F L c fcc Lc
F2X2 X3XL3. ErsO, ApBregacum Diritorum
numeri
monita S FT. Capitis praecedentis.
Divisorum ABGrESATUI) TunE X Y a F a a + a 1 a f a
X3X7.
5 F 23 + 12
 2

## Folio 513 — 851708439:0537
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000537.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
Cap. L1. L ARTES ALTCHOFL.
numeri a BHC, CCL 63 X TZL ~ E56 = 3 Y ZXZ, XTEXEZ, XZX2XZXZ3: leu
2Z2 X ZXZXZX7XTEXTEXT3. Et Sic porro prouc opus tuerit.
Cumque hoc Cnirerlaliter obrineat, quocunque catu: P’acilis erit ejus applica
tio, ad particulares casus propolitos, aliolre horum similes.
Fxempli eratia.
Y. Primum Ouxsicum hoc Cs: Invenire numerum Cubum, qui additus omnibus
sui Parcibus sliquotis consiciat Duadratum. HToc est, Cujus Dirritorum ABBECga
cum SIE NUMErUS OuadratIIS.
Maniteltum hic elt, oporrere Cubum quiaesicum esse, vel Cubum alicujus numeri
Primi (seu talis Primi cubum secundum, cerrium, quartum, aliumre consequen-
tem; hoc est, ejus Porectarem aliquam cujus F. xponens sic dirilibilis per 3:) aur
Compolitum ex continua mulciplicatione calium Cuborum (primorum, lecundo.
rum, tertiorum, aliorumre) duorum pluxiumre numerorum Primorum. Ouippe
tales omnes, et Toli cales, Tune Cubi.
Si itaque reperiatur Cubus (primus, secundus, terrius, aliusre,) cujuspiam nu-
meri Primi, habens Dirisorum Aggresatum per Primos ex quibus commponitur ita
delignandum, uc Primi illi omnes per Paria procedant, (hoc cst, ita ut primo-
rum quisque occurrat vicibus numero paribus;) manitestum cltu tale ABGreSatuI
esse numerum Cuadracum: Adeoque cuhum illum talem esse qualis requiritur.
Falis Cubus est 343 = 7XZXZ; cujus Diritores Tune X f 7. F 49 + 343
400 = 2OX 20 = 2X2 XQ X 2 X 5 XG: qui eCtu quadraTUS nUMeRI 20 = 2 X 2. X5
Sed hujulmodi Cubus simplex non occurret alius, saltem non nili post longum in-
cervalium.
Ouando Cubi (primi, sccundi, certiis aliire,) variorum Primorum, non habene
etti
cua Dirilorum AgGresaca, ita per Primorum P’aria desio
uanda: Pocest camen Com
Dolicus ex duobus, cribus, pluribulre calibus, concinue musciplicaris (qui iciclem
Cubus eric) habere Dirisorum luorum Agoregacum (quod elt compotitum ex
Axoresatis illis continue mulciplicatis) sic delignandum: Nimirum, si Cubi sic
componendi ita eligantur, uc Primi qui in delignandis Aggregatorum aliquibus
tune Tolitarii, comies sibi acquirant ex similibus qui in aliis Aggregatorum oc-
currunt icidem Colitarii.
Sic; pro Cubo numeri 47, Diritorum Agoresatum (numeris Primis desiena
TUM) ClE2X2 X2 X Q XZXZXSXF3XT7; Guod (praeter paria) Solicarios habet
2, 3,5, 23, 17. Cum quo si componatur Cubus numeri 5, qui Diritorum Apore
BatI HaBEE LXZ XZXF3; FTic (Praeter seminum 2,) occurrunt Colirarii 3, 73
qui (comites Facti prius Colitariis 3, 23,) relinguune jam Colitarios 2,5, 17. Si
cum, prius sumpri, componantur porro cum Cubo numeri 13, qui Dirilorum Ag.
pregatum habet 2X 2 X 5 X7, 27; comites habentur prius Solitariis 5, r7; Sed FolI.
caris CupertunF2, 7. Tum, pro cubonumeri 4T, habetur dirilorum aggregatum
2X2X3X7X29x29; ubi (praeter paria) habentur Colicarii 3, 7: unde prius soli-
cario 7 habebitur comes; scd Colicarii Cupertunt 2, 3. Adeoque, pro Cubo numeri
17XSX FZXAE, habentur (praeter Paria) Colitarii 2, 3. Ouibus suppedicari pos
sunt comires his binis modis:
Pro Cubo numeri EF, divilorum agoregatum elL Z XQX2X3XST. OBi (PEeteK
Paria) habentur Colicarii 2, 3, 62. Unde numeris, 2, 3, habentur comites, sed
manet sF Solicarius. Tum pro Cubo numeri 27 (seu rertio cubo numeri 3) habe-
CUIT RBOFEGATIM ZXZ XLLX FLXOT. Obi (praecer paria) Suppedtirabitur comes pri
US COLITarIO CF. Adeoque jam, PFO CuBO MUICFI 47 XSX EZXAT XFZX27 (seu
27XSXIZXFZX4FX47,) Agoregatum diriloruM elL ZY2Y2Y2 X2X3X5 X1Z
X17, XZ X2XZRL3, XZXZ XSX7XI7, XZ XZX3X7XZ9X29, X2XZXZ X3X6F
X2XZXFFX FLXST. Seu (reductis in ordinem numeris primis) 2X2 XZ XZ X2 X
2XZX2X2 XZ. XZ XL X2XQXZ XQ X3YZYZYZX SXGXI XIXLFXIFXI3YY3 XY
N27X29X29Y6ZX6T. Obi habetur 2 Sexdecies; 3 quater; 5, D 2F, 13, 17, 29.
OE, bis. Fx quibusisitur continue mulciplicaris orictur numerus Ouadratus.

## Folio 514 — 851708439:0538
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000538.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
Cap. IV
AOMBCAALIOHLS, LI
47)242Z 2L 2Z 2R3L5XE3X27
2 X2 X 3XIZ
LX2
5X
L.k 2. X 33
2X2X 2X 3X6Y
23
4F
CT
27 12X2XLLXILXOY
Similiter; Ticum Cubo numeri 47XS XFZ XAF (prius posito,) CompOnantur
Cubi numerorum 2, 8 3, quibus COmPCTUINE AGGrCSAta 3X5, _ 2X2X2X5; Ba-
bencur (praeter paria) Solicarii 2 8 3. Unde pridem Colitariis 2 _ 3, Suppeditan-
tur comites. Adeoque pro Cubo numeri compotici 47 X5 XFZX4FX 2 X3, (seu
B X3X5 X X3X 4FX 47,) habentur (in compotico Dirilorum agpregaco) primi
componentes, 2 quatuordecies; 3 et 5 quater; 7, 23, 27 e 29 bis. Ex quibus isi.
cur continue mulciplicaris, oritur numerus Quadratus.
47 I2X2XZX 2X 2X3X5XT3XL7
2 XZ. X3
23
23 2Z2X5X 7
42 )2X2X 3X 7X29X29
3 22 2 x2 X 5.
Oui duo Cubis sic compositi, si porro componantur singulatim cum cubo nu-
meri7, (qui est ad eorum utrumque primus,) orientur actue alii duo Cubi; in
quibus Rsoregata dirisorum habebunt porro (praeter primos jam expolicos) 2
quater, _ 5 bIS; (pFOpter F F 7 + 49 + 343 = 400 = 2X2X2X2X5X5.) Onde
prodibune itidem numeri quadrati.
Flabeneur itaque jam Ouinque Cubi, in quibus Diritorum aggresata sunt nu-
meri Ouadrati.
2 X
Radices Cuborum.
27 X5 X TEX T3 X 4. L X 47
2X 3X 5 X T3X 4. F X 47.
27 XS X Z XTZX L3 X 4. F X 47
2. X3X 5 X 7X T3 X 4FX 47.
Racices Ouacratorum.
2X (octiCS) XZXZKSXZXFLXFZXP7X29X6T.
2X (septCS) X3LZXSXSX ZXZ3XZ7X20
2X (deCIES) X3XZXSXSX ZXTLXTZXL7 X29X6L
2X (nOvieS) X3ZZXSZSX SX ZXEZXT7X29.
In ouibus omnibus Cubum acibeo nullius numeri Primi non minoris quam
200. Nec ullius primi cubum compotitum, alium quam certium cubum nuext 3,
seu cubum numeri 27.
Simili modo (sed non nisi adtibitis cubis aliorum primorum, qui fune centena.
rio majores, aue minorum falcem aliis ciitis compositis,) reperiri postunt alii
Cubi, quales requiruntur: Sc ibidem ostentum est E pist. 23 828. Ouales sunE
Tat sEGLINEE;
Radices Cuborum.
29X25
2X3XSXT3XF7XZTX4FXT9Y
2XZXSX ZXT3XT7X3LX4
3X3X3Z SXEFXT3XT7X3LX 4. L
PX3X3X
5X ZXTLXL3X L) L5LL4IXL
27X3FX47XTOI
AXZ7X3CX47 X X9I.
2
93
Radices

## Folio 515 — 851708439:0539
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000539.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
Cap. IV. PARTES ALTOUOTA.
Radices Guadratorum.
2X (auedbsieS) X3Z3R3XSYSH7ZE3XX7X29X 29X37.
2X (quatuor deCieS) X 3 X 3X Z X 5XS X SX ZXF3XT7X29X29 X 3Y
2X (Tredecres) X3XZXZXSXZ XFTXTZXF7X29X29X37X6T.
2X (quindeciCS) X3XZYZXSXSX7 XZEXT3X 17X29X29X 37X6I.
2X (decies) X3X3XS XYZXY7XZ9X37.
2X (duodecies) X3X3X5X5ZF3XT7X29X37.
Tn quibus omnibus nullum adhibeo cubum numeri primi, non minoris quam
200: Nec horum alium cubum compolicum quam certium numeri 3, seu cubum
numeri 27. Non postunt aurem (his serratis limitibus) plures haberi cubi ou-
leS reqUITNEIE. (Sed, ampliaris limicibus, possunt plures.) Saltem nili me Fal-
lic memoria; qui puto me (eum haec Tub consideratione Fuerant) calus omnes
expendisse.
In ordine ad hujusmodi Cubos exquirendos; omnino expedit ad manum ha.
bere Tabellam quae contineat numerorum Cubos (ec quidem, minorum Paltem
cubos sccundos, terrios, auc aehuc plures,) Leu Cuborum horum Radices; cum ad-
junctis (corum cuique) Asoresacis Dirilorum luorum, per numeros Primos (ex
quibus componuntur) designatis.
FF, quo Lectorem onere sublerem Tabellam ejusmodi denuo componendi; li.
bet hie subjunsere eam quam ipse, hac occasione, compolui.
Radices
Cuborum.
Aexresara Divitorum.
83
12
ZXFTX
81O7
3X5XL7X25.
(2XZ X 5
1093
2XZXTEXTZX6F
79726+
2XZ X 3 XI.
+
2X3XEEX7ZX523
2X2 X 2 X Z. X 5 X C
2XZXQXZX6T
2XZ X5X 7X17
2X2X 3X3 X5X2O
2 XZ XZ XG X TBF
2X2 X2X2X3X5 X53
2 X 2 X 3 X 5 X 4.2. L
2X2 XZ X2 X2 X2 X 1313
2XZ X5 X 2603
2X 2 X ZX 7 X 29X29
2XZ XZ XGXGXTFX 37
2X ZX2 XZXZ X3XS X F3XI
2XZXZX3X3X5X28I
2X2. X 2 X3X5X I74. F
2X2X3ZX 186Y
2X2X2X5X17X449
2X2XZ AZ XZ XZX252F
2XZ X5XX3X37 X4F
QXZXZXZ XQX5 XZTZI
2X2RZK3 X5~ Z L 1315
EE 2
2X2 LZ XZXZX5 X L7 ~4L ~ 193

## Folio 516 — 851708439:0540
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000540.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 78 lines, status machine
CiOMBLNATNOACS LL
Hacices
Cuborun.
89
20
27
Ageresata Diritorum.
162
167
2Z2X3X3X5XL7X235
2X2X5X7X7X 94. Y
2XZX3X TZX5TOY
2.X 2. X 2
2
2XZX37
3
19X+277
2X2. X 2. X 2 X 2 L 2. X 2.X 2
1229
3X187
16762
21
265
2. X2 X2. X 3X7 X278G
2X3X5(X2
2X2X
XSX
13X76381
EXSRTZXXOO
x3X5X
0
75
X162
82
c0.
193
197
ea X Lu k3 k 3 43 a qed2
299 2X2X2 X2X5 X5 X198OL
A 48 13
2. X Z.X G X 5XG X
Sis in Ouxctione propotica, postulatum Fuisset, ut Dirisorum Axpresatum Fo-
ret (non quidem Numerus Guadrats, (ed) quadrari Duplus, Friplus, alialve
Mulciplus: Idem plane procestus Foret (eademque inserriret Pabella;) nisi quod
tum, Oporteret Asoresacum esse divilibile per 2, 3, aliumre quilquis Foret iltius
mulcipli exponentem, reliquique Primi agcresatum illud componentes per P’aria
procederent; hoc elt, occurrne eorum quisque vieibus numero paribus.
Sic, EI quaeratur quadrati Decuplus: Cubus numeri 3 hoc praestabit: Ubi eom.
PATCE ABGrESatUM ZX2X2X5; hoc est, Praeter 2X5 = 20, habetur 2 bis.
Si quadrati Ouadruplus quaratuE (qui iraque erit ipse OuadratIS;) CubuS nu-
meri 7 hoc praeltac: ubi AgorCBatum habeTUIT 2X2X2X2X5X5. Vnde sI ext.
mantur 2X2 = 4, reliqui 2X2ZGXG OCCUErunE irem per Paria. Idemque Pra.
Etabic quilibet Ouadratus Par; ut qui est per a divisibilis.
Si quaeratur quadrati Sexcuplus; Cabus numeri 27 X ex id praectabit. Obi A3.
GTEGATUIM HABETUT ZXZXIZX ZZXOT, XQXZXZYZXOT. OuIpDC, exempiS 2X 3
=6, reliqui binatim procedunc. Idemque (Pari de causa) praestabit cubus nu
mert 2X3. Obi Agoregacum HabetUT 3X5, XZX2X2X 5. Similirerque aliis ca-
Sibus non ablimilibus.
Sin calis requiratur quacraci mulciplus, ut nullum reperiri postit divisorum AS
Gregatum (Calrem non intra cerros limites) quod, per exponencem mulcipli di
visum, relinquat reliquos componentes Primos per paria constituros; erii calus
ille (Paltem intra illos limites) impoltibilis.
ET puca; Si poltuletur Onadrari Mulciplus per 23, 43, aut 47; e quidem, in-
tra limites Tabellae hic exposira: manitectum elt, quod (absque altumpris aliorum
Primorum Cubis, auc horum Cubis aliis,) ralis haberi Cubus non pottit. Nam,
intes Primos hxC aECreSata ComponenteS, nuMeri 43 _ 47 nON OCCUTTUNE: EF
numerus 23, guamris ibidem sentet Careat, (nec pluries,) nempe ad Cubum
meri 137: Sociatur illic cum numero, +877, qui non alibi comparet, adeoque
non porelt sibi parem aequirere, per ullam expolicorum Agorceatorum Composi
onem. Adeoque calus ille elt (incra limites hujus Fabella) impossibilis Idem-
tic
S Bcenas Polet a Prucus. Non eslu iquam, poltibilis ille calus, incra
lnnites hujus P’abella. Ouod a Pel univertum numerorum ambicum
DEOELES HIIBOHIBII, alitactut esse Duro quam i quispiam id attirmare postic. Sed
ee hic recordandum cst, quod ante monuimus; Non debere plures ejuldem Primi
Cubos (Duca, cubum primum et terrium, auc secundum cum alio quoris, ejus.
dem Numeri Primi,) eandem compotitionem ingredi.
II. Sc.

## Folio 517 — 851708439:0541
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000541.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
Cap. IV.
PARTES ALTOVOTA.
TI. Secunda Ouaestio haec est; Invenire numerum duadratum, qui adaitus
omnibus suis partibus Aliquotis, confisiat Cabum. Hoc et; cujus Diritorum Ae
Ercsacum sic numerus Cuhus.
EItque hic icem Procestus plane similis praecedenti: Nisi quod jam opus erit Ta-
Della numerorum Ouadratorum (ur illic Cuborum,) adjunetis, cuique
en Diritorum
Tuorum AgoresaLS, per numeros Primos (d quibus incex se mulciplicatis compo-
puntur) desienatis: Acque hic tales exquirendi erune, rel ita componendo confi-
ciendi, ut Pruni AgOregata componentes (non Binacim ur Ilic, Sed) Fernatim com.
PaTCANE. FIOC est, ut quilibet PrimOrUM SIC COPONENLIUI ABBTESATI, OCCUIETAE
vicibus Fernis, Senis, Novenis, auc secundum alium aliquem nunierum per 3 di-
visibilem.
Sed quamris Processus plane similis sII; non tamen est tam facilis Succestus quam
in quaectione praecedente. Ouia non ram prompre accommodentur componentes
Ternatim lumendi, quam Binatim.
Arque, ob eandem rationem; E Biquadrati, Supersolidi, aliire numeri in su-
periori aliquo gradu consticuri, conticiendi forent; procedendi modus idem ad.
huc cHet, Sed labor exquirendi minus expeditus.
Talem Onadratorum Fabellam (quoniam ad manum est) libet hic subjun-
gere; quo Lector lubleretur onere similem denuo compurandi, sicui sIE animus
le in talibus quaestionibus exercere.
Radices Oua.) Aggresata Diritorum.
drarornm.
= 7X73
= 23X89
8T9F EF
F3T97T
TZF = IFX
709=
EL
984. T == 13X757
88573 = 23x3651
78F = =TLX7L
1953
280
137257 ==29X 473.
67256Or = 3x3X+925Ik1603
T:
18
16105 =- 5X 322F
3094. F
8874. F
38F
3X6F
13756L = I5IX3
75
87F = +3X67
993 = 3X 331
T407 = 3X7 X6
272
1893 = 32631
Y 2257=37x6)
T2
25C
2
24.
81
2.
T25
625
34
24
T21
169
289
301
2s
+
32767= 773EX15
48828T =F9X3FX820
Radices

## Folio 518 — 851708439:0542
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000542.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 95 lines, status machine
CIOMBTHATTOHES, BT CapIV.
Radices Dua) Axxrexata Diritorum.
dratorum.
53 2863 = 7x409
354F
62 3783 == 3X13X97
4557 == ZX7 XZX3Y
13
5403 == 3X 1BOF
632F = 3X7X7 X 43
83 6973 = 19X367
80c+
1OL 10303
107
108
TT3
T3E 27293
137
24d
9507 = 3X3269 1101
203  1O7[3 =~3X3572
EI9OT= 3X7237L
12883 ==F3499Y
127 26257 = 3X542
28907 =7X374 13
a 23L 24
1112=
730 XO46F = 3XT3X499
22351 =
2X3793
25T 22953 =3X 7 X 1693
257 24807 = 3x8269
267 28057
3222X = 7 x 4603
32943 =3X79XT39 10
36673=7XF3XX3X3Y
37443 = 3X7XX783
39007 =19X2053
398OF = 3X 73267
44733 =3XT3X31257
49953 = 3X7665T
51757 =-73X709
52672 == 3X97 XT8T
54523 = 7X7789
5736T ==F9X3OT9
58323 =- 3X 19417
63253 = 43 X 147)
66307 =-6TX108,
69433 == 7X7XT3XT08
2263T=, 13Z37XE5F
237T3 = 3X24572
77007 = 32773667
29243 =- T09X727
80373 = 3 2 732307
86243
94557 = 3X437733
07033 == F9X51O7
323 38283 = 3XT8TXFBY
100807 ==7X F44OF
3X45+603
163 26733 - 527 k19X67
T79
173 30703
187
TOT
793
297
299
2 F7
223
2.27
220
233
239
24. F
25Y
25
263
269
27L
273
281
283
293
307
3T2
377
33T 169803 = 32723+33
337 11300)=
347 226157
349 2-21)2 - 3X 19X2145
353 224963 =- 1976577
359 12924. l = 7x 37 x495
X15L2521
R2

## Folio 519 — 851708439:0543
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000543.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 90 lines, status machine
Cap. IV.
PAR TES AELOUOTF.
Hauces Oua.) Aporesata Divilorum.
OTATOTUM.
367
37
37G
383
389
397
402
409
475
427
43
43
43G
44
44
452
46L
463
46
47
487
4DF
135037 == 7X TOFXTOF
139503 =3X7X7XL3X7
F44OZT = 3X6TX787
247073
76769+ = 3255897
27598=- 13XL3537
186793 =7x67X397
187923 =3X37X1695
193T6Z== 3X3LX3FXC)
196075
213083 =13X37X443
214833 == 3X T9X3769
218557 == 29XT1503
22992T = 43 X 5347
237657 == ZX7XFT317
247573 = 37X6529
490 l 2495OT == 3X7 X 1O9XTOO
Manifectum aurem est, ipso intuieu, quod (modo intra limites hujus Tabcllae
regotio. Ouo-
niam mulci ex numeris primis (inter ABGregata) non niSI (EMEL COMPATENE. VF
POtc, 5, 293 72, 89, 10E, 139, T92, 307, 331, 397,409, 443, 572, 637, 709, 727.
733,757, 2873 829, 883, 9T2, 992, 1063, 2087, 2327, 2472, 2693, 1699, 2723.
1783, 1801, 2053, 2083, 2143, 2801, 3019, 3769, 3193, 3221, 3542, 3572, 3667,
3769, 3852, 4603, 4733, 5207,5173,5233,5347,5419,6529,657737789,8022
8F9F, 8269, 9967, 70303, F2327, 17503, 23267, 13537, 14402, 26652, 17293,
29442, 29535, 21673, 23029, 2457F, 28057, 30203, 3094T, 55897, 5922.1,
86243, 8874F, F3107E, 247073, 296693. Alii bis tancum (HOn tEE,) VIpOtC 23.
79, 367, 499; 2093. Adeoque nulla compositione (incra hos limites) postunt
conticere Cubum. Fe propterea Ouadrati omnes, quos hi respiciunt, rejiciendi
sunc, ut hric inuciles. Nimirum Quadrati nUMerOruM 32, 64, 256, 27, 81, 243,
25, 125, 625, 493 343, 2407, 121, 169, 27, 289, 361, 23, 32, 42, 43, 53, 59,71,
73,83,89,97,221, 203, 109, 123, 127, F3E, 139, 149, 252, 257, 267,273, 279,
T8E, 293, 297, 299, 223, 227, 233, 239, 241, 252, 257, 272, 277, 282, 283, 293.
307, 322, 327333233373347, 349, 353, 359, 3673 379,383, 389, 397, 402, 409.
4T9, 422, 432,4.333443, 449, 457, 462, 463, 467, 479, 487,492. (Ec quadratus
numesi F, estad hanc rem nullius usus; quia mulciplicatione per L, nulla Hc
alreratio.) Atque, his sepositis, seponendi item erune Ouadrati nUICTOruM F28,
9, F3, 47 6F, 79, 229, 269: Ononiam, in illis qui (post ante sepolitos) jam Cir-
verlunt, 43 non nisi lemel occurrit; e 27, 67, 97, 25F, non nisi bis. RE, his le-
Potitis, sevonendi item erune Ouactrati MUIMETOTUIM X37, 2TL, 3F3; quoniam, in
Sic relictis; 37, 18F, non nili bis OCCUEUnE. Et (SepOtItO Ou. Z37) seponendi
CTUNE quadratI NUIETOruM 16, 373; propter 73 non nisi bis OCCurrentem.
Adeoque jam pauci supersunt considerandi. Nimirum quacrati numeroruM 2
438, 3,5, 7 2F, 19, 29, 3767, 207,163, 292, 263, 439, 490. Ouis cum Aogre
Bacis luis, sic se habetr.
25T7LT = 7 X2T673
258007 = 3X3+X1699
164203 -- 7X23029
277663 == 3X5922.L
20205T =97X 2083
209307 =-3X779967
TT 7XT9
79(3X227
29]2326
67
3X77. 67
3X7X7X3
3X79
207l 7X73X127
263(3X7XF9X6
1927 2 23a 25432
263,7X7X 13X 20G
439 3X3EX3FX67
499(3X7 XTOOX70G

## Folio 520 — 851708439:0544
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000544.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 81 lines, status machine
GIOMBTNA LLONES, ET
Cidp11.
In quibus, nullus est nunctorum pruorum (in Rogresatis) qui non Talcem
ter comparet. Nempe 3 Sepries, 7undecies, 23 et 3F LCXICS, 67 Guater; 19, 109.
T27, ter.
. Ex his, primo loco considerare libet numerum
(27. Ouoniam hic non niss cribus locis occurrit; nimi-
rum ad quadTATOS HUMETOTUM 8, F9, F07. Oui itaque vel
sumendi lune omnes, vel omnes omncendi
Si Tumantur omnes: tum, ad Onadratum numeri 107
inducitur 23. Oui itaque vel sexmplandus est; admltis
POrrO Ouadratis MUMCTORUM 3, 20, 29T, 263, (quibus (0-
Lis LOCI OCCUTFIE.) Vel Talcem Priplandus. Vide B, C
B. Si altumancur Su. 3, 29, 192, 263; allumendus
item erit 9. 499; Propter 109 jam comparentem, nec ali-
Sed et 57 comparet lemel; qui itaque eriplandus exit;
nempe allumpus duobus ex his cribus Du. 37, 263, 439
Adeoque vel 9. 163. Cum uno ex reliquis; vel (hoc
C. Si altumatur 9. 163; cum (propter Fonic com-
Parentem ) Simul altumendi Tunc 9. 7 e FF. _ (pro al
rCr0) vel . 37. vel (. 439. Vide D, F.
O
Si pro alcero Lumatur 1. 37: jam habebieur 3
quinquies. Oui itaque lemet acthue inducendus ett, quo habeatur sexies.
10
29
263
499
4391
Non aurem id tiec ex L. 430 Cimul admisto; quia siC
inducetur 67 quarta rice; Quod non permictendum cst ni
Ergo (si ommino) Cumendus erit (cum Ou. 37.) 9. 67
Sed neque hoc tieri polelt: quia jam hrahebitur 7 decies
nec tamen potest duodecies. Omittendus ergo clt 9. 37
E. Videndum itaque, num (0.
misto 9. 37) altiui POsTiE (cum
1. 263.) 9. 439. secus enim omit.
tendus cxit O. 163
Retento 9. 763, (adeoque . 73
EE, propter r9 non alibi comparen.
tem:) s2 aCTumatuT 9. 439. TTabC
bitur 3 quinquies. Oui itaque semet
adhuc adhibendus est.
Non autem ex . 37, (uepote jam
exetuIo.) ErsO (SI omnino) ex .
67: non enim alibi habebitur.
Sed jam HabCtUE ZF quatEF, nec
tamen porest sexies, nili admictan-
cur 9. 4, et 9. 5. Ouorum qui-
dem alter (Q. 5) admicci pocest:
Sed non 1. 4, ue qui continetur in
O. 8. Non potst isitur vel . 37, vel O. 430 cum .
F. Prolpiciendum ergo, num omisto 9, 263, (adeo-
que 1. 7, 72,) altumendi (int O. 37e439
Sed jam (Pratet Celnarim PolITOS) habetur 3 quarra vice, (unde habebitur Tri.
plus Cubi, s talis quaereret;) sed dect 3 bis adtuc, quo habeatur sexies, et
compleat cubum.
Sed neuter haberi porest aut ex 9. 7, aut 9. 263, (ut qui simul jam rejecti
TUnE;) ee Calcem non uterque ex 9. 67, qui Tolus uperett
Non ergo sexcuplandus Z3 in A repertus.
10
19
26
495
163
43013
unde criplicandum.
2
E
e
26
19
163
omisso) duo reliqui. Vide C, F
li pollet (quod non porest) haberi sexies
e
10
13, 20
32 D 209, 20
263, admitur
27 37, 67

## Folio 521 — 851708439:0545
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000545.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 111 lines, status machine
Cap. IV.
l AR TES ABIQUOT F.
C. Si Palrem criplari POSTIE MMETUS F3 in A repertS, act
O. 207. Id tiet uno ex his quatuor modis; riz. ACumpeis
O. 3 _ 29; vel O. 3 et 263: vel 9. 29 e 263; vel 
2OF Tolo. (Non aurem ex simul omnibus, per jam osten (a.)
Vidc H, C, V, a.
TT. T. Si primo modo. Tum, ad 9. 29, introducitur 67.
Oui (ut ter habeatur) inducendi crune duo exhis cribus,
2. 37,263, 439. Adeoque rel O. 163 cum uno ex reli-
quiS; vel (hoc omisso) reliqui duo, . 37 e 430. Vide
C, M.
T. Si O, 763 sIC unuS; tum (Propter F9 ibi compa-
rencem) cimul inducendi Tunc 9. 7, ec FT; simulque rel . 37, vel 9. 439.
Vide K, L.
R. Si Cimul inducatur . 37; cum habebitur 3 jam quar-
ta vice: Adeoque bis porro lumendus, quo hrabeatur
(CX 1C5.
Sed neuter haberi potest ex 9. 439; Ouia sic inducere.
EUT 67 Guarta vice.
ErSO (H omnino) bis sumendus est 3, ex 967, et
499. EE (prOPTer 109 bis comparentem) allumendus cst
2. 263.
Jam autem hrabebitur 23 quarta vice; Adeoque (vcta-
Beatur Sexies) altumendus cst O. XOT.
AC rero jam hahebitur 2 decies; Ouod Faciendum non
est nisi Pollet (quod non Docolt) haberi duodecies. Omit.
Lendus er BO est 2. 37.
L. Videndum itaque, num (omitso . 37.) Tumi poF
SIE (Cum O. 163.) 9. 439.
RerentO C 163 (adeoque 9. 7 _ TE,) si altumattir
2430; habebicur 3 jam quarca viee. Oui iraque bis por.
ro inducendus est quo habeatur Pezies.
Scd non ex O. 37, (upore modo rejecto, de qui intro-
duceret 67 jam quarta vicee;) Erso (li omnino) ex
67 ∞ 400. Onde limul inducetur 1. 263. adeoque et O.
792. UE prius.
Id si tiac; jam habebitur 3F quarta vice. Oui jeaque
bis porro inducendus est quo habcatur (exics. Hic aucem 499 (3, 7, 109 7V
non aliti comparet quam ad . 4 et . 5. Ouorum qui 263 7,7, L5, 109
dem alier admitri pocest (O. 5.) Sed non uterque; Quia 19Y (2, 15, 13, 3F
O. 4 Concinetur in O 8. EF PTOPterCA O. 163 Omitten.
d118.
H. Prospiciendum erso, an (omilto 9. 263, adeoque
97, _t TF,) recentis O. 3 e 29, alliimendi (inc D. 37, et
430, pro numero 67 criplando. Secus enim primus modus
non procecit.
Cunque jam 3r habetur bis, habendus exit cerria vice.
Non autem ex O. 4; uc qui concinetur in 9. 8. Adeoque
nec quarca vice admiti debet, cum (exelulo  4) non
4
3
Doltic sexies. Sumendus erso erir vet ex 9. 5, vel 1. 67, vel 438 3, 34, 31,67)
D TOT. vide N, O, P.
NV. Si ex O. 5 Detatur 3F (quod Feri potest;) decrit
tamen alter 7; ur qui adhuc non nisi bis habetur.
Hlic autem non lumendus eric ex 9. 2, ut qui ineluditur in O. 8. Neque ex
2. 263, urpore jam rejecto. Neque ex O. TI, ut qui excluditur una cum 
263. HCaVC ex O, 67, aut O. TOF (una cum O. 5) quia SiC indUICCEUE 3 F quar-
ia vice Neque ex 9. 499, quia non porest hie consiltere absque 9. 263. Ne-
que ex his urisque simul, quia Sic habebitur7 quinquies; nec tamen porelt sexies,
propier jam exclutos exreros ubi Z comparet. Omitrendus erso exie. 1. 5.
V uu
G
107
2
12.7
F27
77F3, T27
23,67
163 3, 7, 79, 67
B, 10
79. 79
33 736
37
439 13,32, 37,67
8) T2.)
20 3, +27
107. 77 13, 227
20
1
13, 67
163, 3,7, 29,67
E
4.99
263
19
337, 67
33 D D
3377 109, 709
2, 7, T3, 709
T9F17, T3, 13,3
25
12
33 227
L213, 127
29
13, 67
163 3,7, 29, 67
TF
3
TC
79 29
333F, 37,67
3377 733
8 . X27
293, 72.7
107
2, 43, 727
29,23, 67
2 6

## Folio 522 — 851708439:0546
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000546.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 97 lines, status machine
43
TOL
26
aOM BLA AI+ON L d, CL
Cdp. LV
O. Si (omisto 1. 5) quaeraEUT 3F CX 9. 67. Flabe.
bitur 7 jam quarta vice. Adeoque bis porro inducendus estet.
Sed non ex 9. 2, aut 9. 263, auc 9. FF, ob modo di
eta. NeqHC ex O. FOT (una cum 9. 67) quia lic induce
TUE ZF quaETA vIcC. Neque ex 9. 263, quia non porcl
hric consistere absque 9. 400. Neque ex utrisque limul
quia sic trabebitur 7 sepries; nec tamen porelt novies pro
ter exclusos exteros ubi comparet 7. Rrgo etiam omitteu-
dus est 9. 67.
P. Videndum ergo, num (omistis O. 5, e O. 67,)
haberi possit ille 32, ex 9, XO1.
Verum, hoc potito jam inducetur F3 quarta ee quinta
vice. Oui ne habeatur lexies, altumendus erit 0. 263, 
mulque (propter r00 ibi comparentem) 9. 409
Tam vero (praeter ternatim CumpTOS) HaBCtUE Z quarta
vice: (Oui itaque non cubum extribet, sed Friplum Cubi,
si ille peteretur:) DecH ergo 3 bis adhue sumendus, quo
habeatur sexies, e cubum compleat.
Hhaberi aurem neurer potelt ex 9. 7, aut 263, (utpote
jam rejectis in M; ) Sed neque ex 9. 67, (uc qui quarcum
interret 3F;) Racoque (cum alibi non compareac) non omnino
Et propcerca primus modus (in C propolitus) non succedic; nimirum sumendi
2. 3. e . 29.
207
263
49
26.
483
3. 2. Secundus modus supplendi 23 bis (prout exisit .
207, I G.) est ex 9. 38 9. 263.
Flic autem (propcer 109 ibi comparentem) simul intro-
ducet 9. 490
Etquoniam 3 jam inter axprepata bis comparet, haben-
dus cric lalrem terr a rice. Idque vel ex 1. 7, aut 1. 163;
vel ex 1. 37, aut 2. 439; vel ex 9. 67. VideR, S, Y
R. Sed non ex 17 aut 263; quia ucerris horum intro-
duceret reliquum, simulque Q. Er; proprer 29 in his Colis
comparencem.
EI Propter 63 sic introductum, inducendus hic eric bis
Dorro, quo habeatur ter.
Sed non ex O. 29 (quippe qui jam excluditur in P, ut
cum 3 non sumendus:) FrsO (si omnino) ex . 37, 89. 439.
Sin hoc Hac; habebitur Z jam sexies, (e pluries haberinon deber, nili pollet
novies.) Echabebitur7 jam sepries; adeoque bis porro habendus ellet, quo ha-
bereturnories.
Non autem ex . 2; ut qui ineluditur in . 8.
NCC CX O. FOT; ut qui meroduceret +3 jam quarta e quinta vice; qui sextum
erso poltularet; qui non alibi comparet quam ad 9. 29 jam rejectum, uc cum 9. 3
non lumendum.
19
207
263
492
439
Frso (Si omnino) ex 9. 67. Sed neque hoc fieri porest,
propter 3 jam sepries incroductum, qui tamen nories haberi
non pocelt.
Et consequentex terrius 3 (qui ad O decrat) non Cup
Plebitur ex . 7, aur Q. 163
S. Sin, his omistis, Tumeretur certius ille 3, Cx O. 37
aut 0. 439: Oterris horum (propter 87) introduceret re-
liquum; simulque requireret alium vel ex . 29, vel 9. 163;
quorum uterque jam rejectus est. AIter in P, alter in R.
Sin, tus icem omissis (umeretur certius ille 3 Cx 9. 67
Hic inroduceret 32. Oui icaque criplandus erit: adeoque
bis porro Tumendus.
Sed non ex  4, ut qui includicur in O. 8.
NCC Cx D. LOF; quoniam hic inErOdUCCTCL F3 jam quarra
e quia NeC; qui ICAqUE SCXTI REGUITETET Ex P. 29 jam
Nec
3
10
LG
31 3F, 37, 67
B7, 13, 20
4993,7 209, 20
2:
7, 13, 12
7, 2723, 70
377, 209, 10
2o
203
6
3, +27
(3, T2
3, 7 209
7
3, 31, 37,6
+
3, 7 109, 109
ecto
127

## Folio 523 — 851708439:0547
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000547.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 104 lines, status machine
CaD. IV. PARTES ALTOVOTF.
Nec ex 9. 439; qui (PTOPIeE 67) SEVOCaret . 29, aut O. 37, aut 9. 163,
jam rejectos in P, R, 5.
Nec ex O. 5. Ouia, quamris hinc suppeteret 3F sccundus, decsTet tamen tertius
non alibi habendus.
Cumque non aliunde haberi postit certius ille 3, in O quaesicus: Secundus ille
modus (supplendi 13 bis, Cx . 3e G. 263) non succedet.
V. 3. Fercius modus (in Cc propolicus) iriplandi 13 (qui ad 9. F07 COm.
PaTCE,) sC CX(. 298263.
DBI SImUL (DTOPTEE Z09) altiendus erit 9. 499.
Jamque habetur 13 cer; neque pluries habendus erie, cum
non polsit sexies, propier rejectum O. 3; ut CuI 9. 29,
aut O. 263, non consiltentem.
Sed et 67 comparet semel; qui itaque triplandus erit;
altumptis duobus ex his eribus, 1. 37, 263, 439. Adeo.
que vel 9. 263 (adeoque . 7 e FT.) cum uno ex reti.
quis: rel (omilto 9. 263.) duobus reliquis . 37. 8 439.
Vide X. L, 2.
X. Si (cum . 263 adeoque O. 7 ec FF.) Tumatur 9.
37: cum habebitur 3 quinquies, adeoque semel achuc fu-
mendis exit, quo habeatur Cexies.
Scdnon ex 9. 439, quia lic introducetur 67 quarta vice.
Erso (Tiommino) ex . 67.
L3
107
29
263
400
263
127
B3 L53 227
13967
7 2, L3,200
33 23 169, X0O
Sed neque Sic; quoniam lic introduceretur (praeter ternatim sumpto5) 3F semet;
qui itaque bis porro lumendus Foret.
Scd non ex C. 4; ut qui ineludicur in 9. 8.
Neque Cx 2. 439; (ubi bis habetur;) oh modo dicta.
Eix F3 porrobis.
HE quamris ex . 5, haberi possit semel; non camen bis
Non ergo hic altumendus cM 9. 163 cum (: 37.
P. Si (cum 1. 163, adeoque . 7 et FT) liumatur .
439: Flabebitur jam 3 quinquies; adeoque semel porro su-
mendus cHer, quo habeatur Cexies. 
Non autem ex 0. 37, urpore jam rejecto, uc cum 1. 165
non consistente; e qui ineroduceret 67 quarta vicc.
Ergo (Rommino) ex . 67.
Sed neque sic. Ouia jam habebitur 7 octies, adeoque
Temel adhue sumendus est, quo habeatur nories.
Scdnon ex . 2, ut qui includitur in 9. 8.
Nec ex . 37. ob modo dicta.
Nec denique ex O. TOF, propter r3 sic introducendum
L7
Cs
quarta et quinca vice; cum tâmen sexies haberi non potti 29Z  BF3, 13, 3F
ob dicta in V.
Ergo nec hic altumendus est 9. 763, cum O. 439.
Z. Prospiciendum erso, num (omisto 1. 263, adeoque O. 7 ec FL. ) actumendi
TInc 9. 37C B. 439.
Sed jam habebitur 3 quarta vice; erso vis porro Tumen.
dus erit, quo habeatur fexies.
Neuter autem haberi Poterit Cx 9, 7 aut 9. 263, urpote
jam rejectis: neque aliunde suppetir (praeter jam admis.
8) 127
107
29
(05) quam ad 9. 67; unde saliem non bis haberi P0- 263
test.
Ergonec sic supplebicur 67 in V bis desideratus. LLpFOP.
terea non succeditrertius modus in C. propolitus.
∞. 4. Ouartus qui superest modus (in C propOTitus)
490
4393731951301
criplandi r3 qui ad 9. 207 comparet; est ex O. F9F, sol0. Qui itaque FInOn
succedit, rejieiendi sunc . 8, 19, 107, in quibus solis occurrit 127.
67
33127
3377,3F
3,7, 19, 67
3, 19
3
337367
29
263
499
163
12
53F27
13
23,67
737, 23, 209
33 7, 109, 709
337, 49, 67
83 377 32,67
B3
737, 32
8
3, T27
23T3, F27
3
6
7 7, F3,209
3, 73 T09, 109
531367

## Folio 524 — 851708439:0548
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000548.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 91 lines, status machine
ADMBENATTONES, FF
Cap. IV.
Si autem (rejectis . 3, 29, 263,) Tumatur (cum 9. 8,
29) 207,) 9. TOT, (ubi bis habetuIr 23:) Comparebit ibi
3E semel, qui itaque (quo cripletur) bis porro tumendus
exit.
Sednon ex O. 4, ut qui includie in O. 8.
Adeogue (si omnino) vel ex C 430, (ubi bis occurric)
vel ex O. 5 e 67. VideB, 7.
B. Si Cx 9. 439; TM (PFOPTer 67 hiC COMPATENLEM)
Tumendus hic exic porro bis.
Sed non ex 1. 29. uipore jam rejecto.
Erso (S omnino) ex  37 _9 163. Ouorum po.
ACTIOT (PrOPTeF FO ibI Comparentem) Simul induCet O. 7, ec O. FI.
Sed jam habebitur 3 quinqures; adeoque semel adhue achibendus cric quo ha-
beatur sexies.
Non autem ex O. 430, ut qui (propter 209) rerocaret 0. 263 jam rejectum.
Ergo (si omnino) ex 9. 67. Sed neque Tic. Ouia jam habebitur 7 sepries, cum
interim non possitnories; Propter . 2 inclutum in 9. 8; ec . 263 jam rejectum.
8
19
207
19Y
263 jam resectum.
3. Omillo er8o . 439; ridendum an bis haberi postit
3TCX C). 5_67.
Sed jam habebitur 7 quarer: adeoque bis porro Cumendus
exit, quo habeatur sexies.
Non aurem ex 2. 2, uc qui includitur in 1. 8.
NCque ex 9. 37, auc 263: ut qui jam excluli Cunt una
cum L. 439.
NeC ex Q. TZ; uE qui (PrOPtCY 19) revocaiet .
EF PrOPterCa, Cum negue HII GIaLCS modus succedtat in G propolits, non cri-
Plabitur 23 prout ibi requiritur: nedum sexcuplabicur, uc in B. Adeoque plane
rejiciendi Tunt 9. 8, 19, 107
Rejectis erxo (ut dictum elt) 9. 8, 29, 207; ut praesenti negorio non accommo.
dis: considerandi vorro restane, hu qui sequuntur,
27 5+7 16
1633X7829X67 4353X3FX3FX67
T9E]7XZ3XT3X3F 499(3XZXXO9X1O9
6)3X7X7X3F 2637X7XL3X109
5. Fx his, primo considerabimus numerum 209; quip.
ve qui comparet semel ad 9. 263, e bis ad 9. 400, nec
alibi: Frgo hi duo rel simul acthibendi sune, vel limul re-
jiciendi.
Si limul TuAnEuT: cum, quia 23 jam Semet Comparet,
Tumendus exic hic porro bis; quo cripletur. Idque vel ex
2. 3, 29; vel ex 9. For Colo. Ouippe jam F3 non nili
quinquies omnino comparet. Vide, E, 1
Sl ex 9. 3_ 29: cum, Propter 57 Temel comparentem,
bisporro lumendus erit, C duobus ex his eribus, 2. 37
2033438. ley
L. Su H 2. 37 e 263. AdCOqHe (PTOPTeK 19
ibi comparente) allumendi erunt . p _ LY.
Acque jam habetur (prxeter cernatim Tumptos) 3 quarca
rice. (Indeque IpPedicatur Cubi Friplus, si hic petere
tur:) sed bis porro lumendus etlet quo haberetur sexies, et
(Suxpejam non nili lexies omnino habetur.) Sed non lic;
2. Suno illis 9. 37 _ 439. Unde bis inducitur 32;
LAC A LIamUS ex 1. 67: jam inducetur 3 quarta vice.
Oui icaque bis porto endus eet ex O. 7. _ 163.
(non
2
5
L3
8
10
T9I
435
103
67
Neque ex 9. 499; ut qui (PrOPteF 109) serocaret 9. 263 jam rejectum.
263
323 217X19
263
7
109
3773209, 205
67
43937 32, 32,67
T3, 209
3, 7, 209, 20
7
263
495
6
263312,19, 6
29 23X67
compleretur Cubus. Ldque (H omnino) Cx . 67, e 430
DTOPIEF 67 jam quarta vice incroductum.
qui itaque semel adhuc est inducendus.

## Folio 525 — 851708439:0549
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000549.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 98 lines, status machine
Cap. IV.
PARTES ALIOUOFF.
(non enim alibi habebitur.) Sec sic inducetur quaxtUS 67; Crarque 1. 263 jam
ante Sexotitus.
Si ex O. FOT; tum inducetur 263 (7, 7, 13, 209
23 quarta et quinta vice; nec ta- 409 3, 7 209, 209
men sexies tabebitur.
Si ex 9. 4 aut5: urerris HOrIM 29 13, 67
(PrXTEE ternatim POlitOS) relin- 37
33 7, 67
queret adhuc 7 quarca vice poli 439 3, 32, 37, 67
cum; (qui non cubum, sed sepeu- 29E 7, 233 13, 3F
plum cubi inde extiberet, Ei talis
GuarerEtT:) dcest icaque 7 bis adhue sumendus, quo com-
pleatur CubuS.
263
Sednemter hOrum Cx 17. 67, aUE TOF, (Mpote jam reje. 163 3,3, 29, 67
ctis;) Dec ex D. 163, (ut qui introduceret quartum
67, eAtque ante rejectus.) Adeoque (Li ommino) Cx O. 2_ O. TY.
Sed neque lic; quia tum (PrOPtCE 29) inducendi eAlenE
O. 7 e 163; indeque jam habebitur 67 quarta vice.
8. 3. Sunco denique 1. 263 et 9. 438; unce habeatur
67 adhuc bis.
Sed tum (PrOPtEE D jam comparentem) simul altii-
mendi erunt . 7, e 9. TF. Er (propter 3 jam quater achi.
hicuum) altumendi eAent 9. 67 et . 37 jam rejectus. Hxc
isitur non succedunt.
1. Videndum ergo, num (omissis C. 3, e 29) Tup.
Plendus sc b15 23 (qui in sdelideracur) ex D. FOT (0l0.
Cumque sic ineroducitur 32 semet; idem clt bis pOrro in-
ducends. Iaque vel ex 2. 439; C ubi bis habetur:) vel
(ab (que hoc) aliunde. Vide n V.
v. Si allumatur 1. 439: tum, Dropter 67 ibi compa.
rentem, idem elt bis porro inducendus. Sed non Cx . 29,
(ue qui jam rejicitur, ee qui introduceret quartum 13;)
ErgO, ex d. 37, e 163.
Hlic aurem comparet 19, qui itaque (quo tripletur) (i-
mul incroducit 1. 7, e TT.
Tanque habecur 2 Sepries; adeoque bis porro habendus
exit. Et habetur 3 quinquies, adeoque semel porro haben-
dus exit, SuppICBILIE AULEM UTETqNO CX 9. 67; aIquC ex
hoc solo, quia non aliunde habebitur 3.
409
430
Habetur aucem 3F jam quarra vice; adeoque bis porro adhibendus. Ouod Fiet
Cx G. 4. e 2. 5.
Adeoque jam Cubum habemus qualis requiritur. Cujus componentes TunEZ nO.
viesu 3 et 3E lexies; 13, 79, 67, ec 109, Ter. Quadratus autem unde oritur, est
GNadTATIS MIMETI A. Z5X 7XTLX37 X67XT63ZF9T X263X
439X499. Ouacraci aurem reliqui, qui hanc compolicio.
nem non ingrediuneur, sune Ouadrari numerorum 2, 3, 29.
N. Ec quidem Si ex his (absque illis) sic Formari potlet
alius Cubus; etiam hrie talis foret qualis desideratur. Sed
29 113,67
ee (cum hic Foret ad illum Primus,) composicus ex his duobus, tertium extribe.
rec. Verum hoc tieri non porest; cum nullus numerorum Primorum his adjacen-
Eium ter compareat.
e. Despiciendum rectat; num, sexolico O. 430, Pottic aliunde suppleri bis 3F,
qui (in c) Solitarius comparet ad Q. T9T.
Maniteltum aurem est (proprer lic sepoticum O. 439.) Sexonendos ilem . 37,
e 9. 263. (propter 67 in his comparentem) niti Cx D. 29
haberi postit (cum illis) TexLIIIS 67.
263]237323, 109
Verum hoc non tiet, quoniam sic introduceretur quar- 499
TIS L3, dum tamen nOn SupPetanE duo plures quo FIaNE EOF
SeX.
37
Sic autem sepOFito 9. 263; seponendi pariter crunt (pro. 163
Pcer X9 ibi COmpaTenTEM) O. 3_F TT.
3, 7, 209, 109
7323, F3, 37
337367
377759, 67
29 23,6
Adeoque
43D
27 23 F3, 209
33 77 109, 200
33 313 317 67
3
2L 12, 19
400
263 737, 13, 109
499 3,7, 109, 109
29
13, 67
263 3, 7 X9, 67
439
37327 3X, 67
1F7, 19
23 7, T3, T09
337, 209, 209
23 F33 +3, 3
3732, 82,67
7.
337, 29, 67
263
263

## Folio 526 — 851708439:0550
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000550.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 80 lines, status machine
COMBLHATIONES, EF Cap. I1.
Adeoque Toli jam remanent, 1. 2, 4, 5, 67, Pro (upplen-
499 3,7, 209, 200 ab+ bis quemhabemus semel; 8c 7 bis, quem habemus
TOT(7, F3, E3, 3F quater; _3 bis, quem habemus semet.
Tamque 32 bis luppleri posset ex 9. 4 et 9. 5. Sed cum
nulli porro sumendi Forent, quia 9. 2 ineluditur in 4;
de O. 67, guartum inErOduCereL 3F.
Auc poltet ille 32 bis suppleri ex eorum altero (BUL2
2. 5,) una cum 1. 67. Acque sic Supplebitur Z L BIS, e7 bis, e3 semel. Sed
decrit alius 3, (qui ex reliquis 9. 2, e 9. 4, non supplebitur.) procomplendo
Cubo. Adeoque hinc habebitur, non Cubus, scd Z Cubi.
Nullus ergo cubus alius (praeter jam alsignatum) habebitur; retenris (quod
jem Tuppoluimus) numeris 109, T09, 209.
Seponamus ergo numerum r09, adeoque Onadratos numerorum 263, 400, ubi
reperitur ille. Ec videamus num ex religuis calis haberi possie Cubus. IIli autem
hicunt,
263]7 73 13, 709
3
37737
15313 29](23,67
67(357513F
T9T(2, C3, (3, 32
2 1X(7,7 37(3,7,67 263(3,2, 19,67 438 3,3+,31,67
v. Ex his, consideremus, primo loco, numerum 29; qui cex occuerie, nec plu-
ries; nimirum ad 9. 7 ZY, 263. Oui itaque vel simul altimmendi Pune, vel simut
rejiciendi.
E. Si SimuLaCTIMAnEIE: FUM, PrOPter 67 Semel com-
parentem, habendus hic erit porro his. Idque vel ex .
78 9. 439. Vel ex 9. 37, e. 29; vel ex O. 29 8
O. 439. Vide 0, 7, P
Si ex O. 37 e 9. 430; inducetur 3 quarta vice;
quod tieri non debet, cum non his Porro uppetat quo sexies
habeatur.
r. Si ex O 37, e O. 29: inducetur 23 Temel; adeoque
(quo tripletur) inducendus est porro bis.
Pocest autem. ex 9. 3, interri secunda rice: sed tum,
non poterit tercia rice interri, nilI item quarta, CX O. FDI.
ubi bis habetur.
Misso isitur 9. 3, Fumendus erit (SI omnino) ex 9.
29E, bis.
Jam autem inducetur quarta vice; adeoque requiretT
quincus de sextuIS.
Ouorum quidem quintus suppleri potelt ex 9. 2; sed
cum sextus non habebitur ab(que seprimo, ex 9. 57, ubi bis
habetur
Misto isitur 9. 2, Tumendus est (R omnino) ex 8.
67.
Verum hic, praeter secundum 3F (cui tertius Tociari B0-
terit ex 9. 4, aut 5,) habetur 3 quarta vice, (non Cubum
exhibens, led Cubicriplum,) nec suppetunt duo plures quo habeatur sexies.
Seponendus ergo clt. 9. 37; ut qui nec cum 1. 439, nec O. 29, Tociari Poterit.
163
25
138
333
19F7, 13, 23
5. Si (hoc Seposito) TUMatuT 67 BIS; CX O. 29, Et.
439. habebitur 23 Semel; adeoque bis porro lumendus erit.
Non autem ex . 3, quoniam (ve Lupra) si hinc sumatur
Sccundus, non hatrebicur cerrius absque quarto.
Ergo (seposito . 3,) ex  702, bis Lumendus est 13;
Limulque 7, 8c 3r, qui item decrant.
Adeoque jam Cubum secundum habemus qualis peteba-
TUT: Ouem componune, 3, 7, +3, 29, 32,67, cer lumpri.
Er Ouadratus unde Oritur, est OUAclTATIS NUIMCTI Z L FL X29X 163 X F9T X 439. Non
durem hic cum ance invenco (inn) compositus, cercium conticient calem; quia
no etC IHC ad illUM pTIIUS.
Si autem ex reliquis. 9. 2, 4, 3, 5, 37,67, qui hanc non ingrediuntur com-
positionem
262
6
43d 3331931,67
163
25
163
20)
3
29, 67
3, 7, 29,67
16

## Folio 527 — 851708439:0551
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000551.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 90 lines, status machine
Cap. IV.
PARTES AETOD
positionem, certius Formari poltet calis; hic eriam eum se.
cundo compolitus (ad quem Primus cA) quartum conti-
Cevet.
Verum id tieri non potest. Onia nullus Primorum ad-
jacentium tex OCCUTTIC, PrXTEK Z _ 3F. Nec porest uter-
ris horum cer Cumi, quin simul altumatur 3, qui non tri-
Plabitur.
Adeoque retentO FD (quod jam suppotuimus,) non alius inde habebitur Cu-
bus delideratus, praeter jam exposicos.
Sexonamus itaque jan numerum XO, adeoque 1, 2, FF, 263, ubi repCTItE. FF
videamus num ex reliduis calis haberi potsic cubus. IIIi aurem Lune qui sequUInEIE.
3)F3
2923,67
5(3F 37(3,7,67
673,7,733F
F9T17, T3, 13,3F
435(333(93F67
5. Flic autem ter comparet 67, nec pluries; nimirum
ad 9. 29, 37, 439. Ouiitaque sumendi sunt omnes, ret
omnes rejiciendi.
Cumque his comparet z bis; adeoque altumendus erie ter-
tiuS Cx O. 67
Scd _ r3 comparet semel; cui secundus achiberi posset
Cx O 3; led EM TCTEIUS nON HaBETCtUT ab SquE qUIaEEO ex
2. 192. Milo autem 9. 3. habebitur 23 bis, Cx G. X9F.
2913367
Sed cum habebitur 3E quater. Dui irague bis porro lumendus exit ex l. 4
Habetur ilem 7 quater; qui camen non porro vis habebitur quo habeatur sexies;
ec ne quidem semel, cum non sic altumendus 9. 2, uc qui continetur in jam aF-
Cumpto 4
Adeoque habebitur, retento 67, non Cubus, sed Faltem Ciubi sepcuplus.
Seponamus erso numerum 67, adeoque . 29, 37, 439, ubi reperitur. Adeo.
que jam ti supertunt,
213 4(3F 3(13 513F 6713,7, 7, 3F XOT(7, 23, 23, 31
2. FX his, Seponendus erit 9. 67; eo quod 3 non nisi lemel occurrat; e Con-
Tequenter (propter7 cum non nisi bis comparentem) 9. 2, et TOT. Ec in refi-
duis (∞ 3, 4 5.) numeruS +3 non nisi lemel occurrit, et 3r bis. Adeoque non
hinc expectandus cst alius ejusmodi Cubus.
Concludimus erso (probe consideraris omnibus,) quod (intra limites expOTira
Tabellae) duos habemus (nec plures) Quadratos quales requiruntur; nempe, in
quibus Agoregatum Dirilorum sic numerus CubuS.
Ouorum alter est, OuadratuS nUMETI 4XSXZXTZXZ7
X67XL63XF9FX263X439X 499. Cujus Dirilorum aggre.
Pacum elt CubuS NUMCTI 3X3X7X7X7XL3XLOXZZX3F
X67X 109
AIter est; OUadraHIS MUIErI Z X ZZ X29XX6ZXT9Z X 4 39.
Cujus Dirisorum aggregatum est Cubus numeri 3X7 XT3
XFOXZTX67.
Si cui operae pretium ridebitur plures exquirere; am
plianda erie Tabella ad plures numeros primos, aut plu.
res Ouadraricas poteltates horum primorum.
Facile, quidem toret, rem ut magis stupendam extribere,
(quod d alii Forte torene Facturi,) S (celata methodo
qua huc vervenerim) eas tancum mulciplicationes pere.
serim quae hic indicantur; acque, in numeris illis Pat ra-
Itis, exhibuerim duos illos Ouadratos, una cum Cubis
205
29
inde emersentibus: altirmando incerim, quod (incra limi. 163
LeS ExPOLIEOS) non alius haberi posset Ouadratus (prXtCK FOY
12239 4373
hosce Pacis magnos) qui partibus suis Aliquoris acdicus con. 439 3, 3F, 37, 67
ticiat Cubum.
7
67 337, 7, 37
B
331367
+3
67
19t
37317 37,67
7, 23, 23, 3t
3137331
67
163
337,6
33 77
33 D 19, 67
7, 233 13, 32
777, 23, 700
33 37, 3+767
192
438
489 3, 7 209, 109
2
13967
3, 7, 29, 67
au

## Folio 528 — 851708439:0552
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000552.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
GIOMBTHATIONES, FI
V.
Aut ellai _ (his expolicis) Tolenniter provocarim, omnes in Callia Mache.
maticos (et nominatim Fermatium, Fienicliumque,) Fercium (incra hos limi-
res) invenire.
Vecum hoc Lectori atconirum faciendo magis conduceret, quam cdocendo. Ma.
lim autem cgo (in eis quae in publieum CMIIO) Lectori paretacere, quibus cgo
Passibus perrenerim (Poslirque, si placeat, ipse pervenire) ad ea quae tracuneur;
Lectoris commodum magis altectans, quam oltencationem.
Atque hic pariter monere liceat (prour ad praececencem quaectionem factum est;)
eadem mechodo procedendum ese, li (pro Cubo) Peceretur ut Dirilorum ABGrC
Bacum sic Cubi criplum, aue alias mulciplum, vel Tub mulciplum, (Falcem quo
catu res non est impossibilis;) Cujus rei quaedam specimina (in operis procestu)
inlinvari; pluraque licuit intinualse, si opus eslet.
Sed carendum cAt ne exisatur Cubi Duplum, Ouadruplum, Sexcuplum alialve
mulciplum per numerum Parem. Ouippe hoc impoltibile torct.
Cum enim quaelibet cujulris numeri primi poreltas Ouadrarica (sive sic ejus
quadracum primum, secundum, cercium, aliudre sublequens Ouadratum) Dirilo.
res habeat cum r, cum ejuldem primi sractus omnes cousque (verbi gracia, a
diritores habebit 2, a, a an a, a, a, a:) lincque hi (exelulo X) in quaque P0-
restate quactrariea numero pares, (de horum quilibet vel par vel impar, prout est
ille numerus primus a; nimirum pares omnes li a lic 2, led impares omnes A a
SIC impaT;) et, consequenter, accresatum omnium excluso Y, nUMCTUS PaT,
(quippe, cum imparium numerus Dar, limut addici, conticiene Parem; tum pa-
rium item: ) Si huic aggregato accedtat item E; tiac omnium dirilorum a59rC8a-
cum numeruS imPar, (nam numerUS Par, uno auetus, HICE IMPaY;) qui IaquC nOn
vorest eHe ulius Cubi (in inceoris) Duplus, Guadruplus, alialre mulciplus per
numerum parem.
Idemque similiter ralebir de potestacibus quadracieis numeri compoliti. Ou0.
niam (uc supra eraditum est) Ageregatum dirilorum numeri Compolicis com
Donitur ex numerorum componentium Rggresacis dirilorum inter se continue
ductis. Ouae quidem Agoresata, pro sinsulis componentium, cum line (uc jam
ostentum cst) numeri Impares; erit cciam, factum ex his lic concinue ductis,
nUmerUS ImPar. Ntam impar in imparem ductus (_ SiC Continve) Temper prO-
dueit Imparem: Adeoque non duplum, criplum, aliumre mulciplum per nume.
rum parem, ullius numeri integri; nedum incesri Cubi.
In praecedente Oualtione, de poreltate Cubiea quae dirilorum aggresatum ha-
beac numerum Ouadearum (aut expolitum quadrari mulciplum,) hoc non vale
bic. Illic enim Aggregacum illud porelt cse nunc Par nunC Impar nuMerUS.
Sed cuH Hac diverlitare. Si a (IIIC FLIUS MIMErUS) SIC 2; hujus gradus
omnes crune numeri Pares; adeoque e eorum aggregacum, numerus par; quibus
Si addacuis L, HCE OmMIII ABGrESALIII numerUS Impar. Sedt Si a sic 3 (aliulve
numerus impar,) ee cubus inde orcus sic primus, certius, quintus, Caltutre loco
impari,) dimentionum numerum habens 2, 0, 25, Caliumre numerum imparem;
numerus diritorum, excluso x, erit impar; adeoquo altuimpro T, tiet par. Sin 
sic impar, e Clris  etto  secundus, quartus, sexrus, aliusre loco paris
(dimentionum numerum habenS 6, 12, 18, altumre parem; adeoque tam, qua
drats HC quam CuBUS;) CIOTM MMHCLIIS, CACLCO L, erit par; COruMqUC 28-
gresactum item numerus par; adeoque, altumpto L, deC impar.
Et consonanter judicandum erie, de comsponito ex hujusmodi AggresatIS. Nam
Si omnia sFCeSata ConPOHCHCa. LMI AH sPates; etiam quod ex hS ContI
nue mulciplicatis componitur eric numerus impar: Sin unum aliquodu ex com
ciplicaris cric numerus pas.
bicum ell, ulterius promorere.
TII. Tercia quaeltio quam eso his duohus acelidi, non novam in se continet
dilticultacem. Sed explorando interviret, num termatius luarum Ouaeltionum
Aislletium persecte incellexerir; al tote I eas catu ineideric. Ouppe, l cas
men rem, ex EpilL. 37 videtur non cam lacilem inrehille. Adeoque quam ille
solutionem invenerit, celare maluit quam nobis Malcale. Deque ulquam nobis
Ponentibus aggregatis lic numerus pal, cuac composicum ex his concinue mul.
Ad subciliorem hujus rei decerminationem, non descendo. Porerie cui id lu.-
Iple pertecte incellererir; necesse cst ut hanc maena tacilicare Tolvat. Ouam ca
indicat, num luas ipse quaestiones has solrere noverit.

## Folio 529 — 851708439:0553
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000553.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
Cap. IV.
DAR FES ALICUOTF.
Frenichus quidem, cum hanc, cum illas solrebat. Sed nusquam indieat qui
bus mechodis id pertecerit. Quod tacie ut purem, suas nostris methodis non
tuisle praestanciores.
Ouxestio illa sic le habuir; Invenire duos numeros Quadratos, qui additi suis
partibus Aliquotis eandem consiciant summam; (seu, qui Dirisorum Tuorum A5.
Grexata habeant incer se aequalia:) FNempli eratian 16 f 8 f 4 = 2 + 2 = 3L
=25 + 5.  2. Inveniantur tales alii duo.
jam aurem maniteltum est (ex ante tradicis) Expolitorum 46, et 25, mulei.
plum per quadracum quemris qui sic ad eorum utrumris primus, (DUIa Per 9, 49
121, Ec.) imperacum practare. Nam mulciplum iplius 3F, per aggrexatum di
rilorum cujulris calis quadrati, erit aggresacum dirilorum utriulvis horum (16
_ 25) mulciplicati per illum quadratum. Exempli gratia; Ouoniam 9 f 3 L F
= 53; erBO 3FX F3 = 403, et aggregacum dirilorum, cum quadrati 16x9= 1443
cum quadrati 25X9 = 225.
Sin relimus alios quam expOStorum 26 X 25 aequimultiplos: Id Fiac adhibita
praecedente Ouadratorum Pabella. In qua, quoniam, praeter expositos numero-
rum 4 ec 5 quadratos, non alii occurrune quadrati limplices, aequalia dirilorum
aggregaui habentes: sic componendi erunt duo pluretre quadrati, ut aequalia pro-
deanc acgregara dirisorum. Orputa, Ouadraci numerorum
2XZ9X29
29x67
ZX3XSH37G3XZXZXI3X3 LX67
3X 8X3753X7XF3X67XF27
7X8X29X67
3EAREEREOKZZ 33X3X7EZREZKTOKZEX67XI27
7X8X29X67
3RGKLLRIDY3353X3XZX7XY3XE9X3LX87 ~ 27
Oui omnes oriuntur ex compositione Ouadratorum ex numeris Primis cente-
naxio minoribus; adhibiris numeri 2 Quadraris secundo d tertio.
Plura autem hujusmodi Ouadratorum paria, intra expolitos limites, non repe.
riencur; nili mulciplicando uerumque quadratum, in aliquo Pari ante politorum.
per quadratum aliquem qui Cic eorum ucrique primus: Hloc aurem pro arbitrio
tieri porelt modis innumeris. Puca, quia Ouadrata numerorum 4 et 5, taliter (e
habenc; calicer item se habebune quadrata numerorum 3 x 4 = 12, e 3X5 = 15
TIEM NUMCTOTUM 3ZAZTT = F32 _E 3XSXXF =165. Ec limiliter mille modis.
Sed ampliacis limieibus, ad alios numeros primos, aliasque primorum horum
Dorstates quadraticas, plura hujusmodi paria (eriam absque admisso communi
mulciplicatore) haberi postime innumera.
Simili mechodo, Ferni, Ouaterni, pluresre Ouadrati tales haberi poterunt,
aequalia dirilorum agoregata habentes. Et quidem, inter jam exposicos, habentur
Terni. Non quidem singuli singulis primi; Led ita ut nullus sic communis di-
vilor qui omnes diridat.
7X8X29X67
ZRARTEXTOX37E3X3ZZR7XYZXTGX3FX67XY27.
3X5XLFXZOX 37
Argue ampliacis limicibus, plures haberi porsune quadrati, (magna coxia,) qui
Binacim, Fernatim, Ouaternacim, auc pluries sumpti, aequalia Dirisorum habeane
AGOrCSata. Ouod quilibet experimento comperiat, qui (ne ultra vasetIT) 10.
cam illam Ouadratorum cabellam (ad numeros primos Ouingenario minores (C
extendenrem) sedulo perpendat, ut eso cam ejus parrem examinari qua ad Pri.
mos Centenario minores extenditur.
Ptures hujusmodi Ouxctiones non libet hic expendere. Oui id rolet, ejuL.
dem nacura plurimas eadem methodo poterit expedire.

## Folio  -  — 851708439:0554
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000554.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 2 lines, status machine
III
t   sut ot a t  t    s to ti ete te    t d dat tatat ata  t  tat e   

## Folio  -  — 851708439:0555
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000555.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 5 lines, status machine
A N O UL A R I B U S
ractatus.
Anno 1685 Anslice editus.
TONTBUS
16 

## Folio  -  — 851708439:0556
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000556.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 1 line, status machine
de

## Folio 533 — 851708439:0557
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000557.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
et l. f 12 L 1 et 5
E
cooclbba
C A P.
De Duplicatione e Bisectione Areus vel Anculi.
Trculi Radius vocetuE R; Diameter 2 R: Subrenta areUS LIIHBII A
vel E): Duplis B; Friplis C; Ouadrupli, D; OuintuplB ; d SC
deinceps. Pronnunquam camen cildem nominibus rOCenEE ArcuS
A ipsi quorum Subren sx sune A, F, eC. Sed id ea caucione HCI, UE nOn
Et inde metus HrrOrIS.
2. Obi Areus Subrenta vocatur A, etto Sinus Vertis V:
ubi Subtensa E, Sinus V exsus VT.) ui ductus in Reliduum
Diametri (2R - V) exhibet2RV - V q quadratum Sinus
Recti. (Or quae eA Media provortionalis inter Segmenta Dia-
mecri quibus insstit; per 13 Fl. 6.) HTOc Cst (O: = B:) O12-
dracum Sinus recti, vel semisubrenta Dupli arcus. Id elt,
ZRV = V9 = Q: ZB: = = B9.
3. Si huic addlatur V q ( quadratum Sinus V erH) FL2 R V
(=5B9 + V9) = A9. (EE Pari ratiOnC 2RV = F. 9.) HoC etts
4. Subtensa Areus, est media proportionatis inter Diametrum ex sinum Vei-
Sum.
S. IEem; BEOpTeE LR V = Aq; FreO (dividendto NTInGuE peT ZR) FI 
=V. EC (Tumpris quacraris)
A94
4R9
A94
quadratum tinus Recti, A 9 -.
P. 9c
eR
=Y9. Quod demprum ex A q, relinquic
=D: 2B. CEE Cmilices, =  = V; 8 P95
+R9
= 09: &t F. 4 = GRg Q: LB. ) HOC est
4R4
S. Si a quadrato Subcensae, auseratur, ejusdem Biquadratum per quadratum
Diumerri divisum; Residuum, est, Quadratum sinus Recti. Tlujusque radix
quadratica est sinus ipse. Fujusque dupla est subtensa Duxh areus. Fit, sub-
rensa areus est mediu proportionalis inter Diumetrum ex simum Persum.
A94
7. Icem; Duia A9
==B9: Frgo (hujus quadruplum) 4. A9 - -
E90
A44: = B. (E, similitee, V: 4 F. 9 - 7
R9
AC
Z X X 3
R29
= B4
2: =. B.) Hoc est;

## Folio 534 — 851708439:0558
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000558.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
S E C F LO N Y B u S C ap. I
8. Si a quadruplo Duadrati subtensae, auferatur Biquadratum ejusdem per qua-
aratum Radii divisum: Residuum est quadratum subtensa Dupli areus: Lujus
que latus quadraticum est ipsa subtensa.
3. Est aurem V: 4 A9 - 444: (= B) = ,+AGR9- 199.
=A9: -
R9
Hoc est,
R4
A
V: 4. R 9
20. Rectangulum subtensarum Areus, ejusque Residu ad Semi cireuitum, laut
Frcessus supre Semieireurcum) per Radium divisum; aequole est subrensae Du
Dl areus.
TF. Ouia
=B; erBO AF = RB = 2RX Z B. Et, R. A:: F. B. Cunque
RE contineant angulum rectum (urpote angulum in semicireulo) FrsO,
T2. In Trianculo rectaneulo, Rectanculum Crurum continentium anculum re-
ctum, aequatur Rectansulo TEypotenusa rectaque in eam P erpendicularis ab an-
sulo recto demissae. EL
23. Ot Racius ad Subtensam areus; sic subtensa Differentiae ejusdem a semi-
circuitum est ad subtensam areus Dupti.
24. Onia B tubrenta dupli arcus, inditterenter Tubrendit duos areus qui simul
complent inceoram circumterentiam: Ergo ucriulris semistis haberi porelt pro
Simplo arcu cujus ille est Duplus. Frgo necesse cst uc haec Aquario duas ha-
beac (altirmatiras) Radices. Ouarum majorem rocabimus A, MINOREM L. Adeo-
que V: 4 Ag - 424: = B = Y : 4. F. 9 -
24. Hoc est
R
25. Arous quilibet, residuusque ad semicircumferentiam, (sed ex ejusdem ex-
cessus supra semicircumferentiam, e utervis una pluribusve semicircumferentiis
auctus,  eandem postulant subtensam arcus dupli. Ouippe in omnibus hilce ca-
Tibus, subcenla areus simpli erit vel A, vel F.
A94
A44. (=B) = Y: 4F9- =42: Adeoque 4 A g -
RC
RG
. (= B4) =4Fg - = 2: EF4 AgR9 - A99 (= BgR4) = 4 F gR9
= K99. ErBO Ccransponendo) 4 A gR9 - 4 F. gR 9 = A99 - F, 49. EI
(dividendo per A9 - P. g urrinque) 4 R9 = (2 49 = F. 99
et
A9- F9
=) A9 F F. g. HIOC
27. Quadratum Diametri, aequale est differentiae Biquadratorum subtensarum
duorum arcuum qui simul complent semicircumferentiam, divisae per differentiam
duadratorum earundem. Idemque aequale est Summae quadratorum carundem
Subtensarum. Hloc est (quoniam A L. concinene angulum rectum,)
28. In Friansulo Rectaneulo, quadratum Ly potenusae (4. R 9) aequale est qua-
aratis Laterum continentium ansulum rectum (R g. + F. 9) simul sumptis.
29. Vel Sic; per nocum Lemma Pcolemxi (Si quadraneu
Ium Circulo inseribatur: Rectanculum Diasonatium, aequatur
duobus simul rectaneulis oppositorum Laterum:) Ouoniam B
est communis subtensa duorum segmentorum, quae simul com
plent integram circumterentiam; quorum iiaque semiltes com-
plent semi circumferentiam: Si circulo inscribatur Ouadran-
sulum cujus opposita Lacera Tint A, A; _ L, F: DiasonaleS
crunc Diametri, 2 R, 2R. P. E, consequenter, 4 R 9 = A9 f L. 4.
 Prius.
20. LrGO; Datis Racio (R) e subrensa Arcus (A vel E) habetur subtensa
arcus Dupli, (B.) Oux est Dupleatio sreus vel Angeli. Nam, datis R, A.
trabetur L. = V: 4 R g = A9. (Vel, Dacis B, C, haberur A = V: 4 R9- F. 9.)
Coeniriique R, A, E, habetur B = AL
, Per GD.
21. Datis Radio B,  B subtensa Dupti arcus; habetur inde subtensa Sim.
Ph3

## Folio 535 — 851708439:0559
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000559.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 70 lines, status machine
Cap. I.
A N C U L A R C B U 5.
eli; A vel F. Oux est Arcus Aneulive Bssectio. Nam, per 5 24. Y: 4 A g -
=B = V: 4F q-
Aeet
R9
L4. Adeoque 4 R g Ag - A 44 (= R9B9) = 4 R gC g
=F. 99. Fujusque Aquationis Radices 2Rg = V: 4 R 99 = R gB9: = 2R9
FRV: 4Rg = B9: = A q vel F. 9. Ouorum Radices quadratiex Tunt A, vel P.
22. Hinc facilis Se ofere Mechodus, Gieometrice construendi Resoluiionem aequa-
tionum Biquadraticarum; seu Quadraticarum ex radice
Plana; cujus suprema potestas est Necativa. (Incellise,
sensu Ouehtredi; qui aequationes ordnando, magnitu-
dinem absolute cognitam ponere lolet ACtirmaciram, et
per se; reliquasque ad oppotiram aequationis partem.
Puta, R9Bg = 4 RgAg- A99; ret (polico P =
2B,) 4RGP g = 4R9A9 - A99. Nam, diridendo
terminum absolurum RgBg seu L R gPq per eo efticientem termini medii, sic
=B9 Seu P q ejusque radix =B Peu P. Ouae Si Perpendicularis Matuatur Cuper dia-
MetEUM 2 R (radicem quadraticam co etticientis,) recta per ejus verticem, dia.
tvecro parallela, (li Aquario non sic impostibilis) secabie circulum, vel Talrem
canget. A quo sectionis leu ractus puncto, rectae ad diametri extrema ductae, sunt
A, F; duae Racices hujus (ambisuae) aequationis Biquadratiea: vel, si libet hane
appellare Aquationem Duadraricam radieis Plana; latera quadratiea planarum ra.
dicum hujus aequationis quadraticx.
23. Eltque haec constructio eadem cum Resolurione hujus Problematis; In Jri-
ansulo Rectansulo, daris Flypocenusa, rectagne in eam Perpendiculari ab ansulo
atera: e s id porro exisatur, Aneulos,  Ly
potenusae scementa, treamque trianculi, == =R B (Cu P R.
24. Vet Lic. Cognitis R e B (ut ad 5 22:) Radio R describatur circulus, cui
inscribatur chorda B, aliaque per hujus punctum medium ad angulos rectos; (qua
illam hisecabit, criique circuli diamerer: ) ee ab hujus utroque extremo, ad 
crumvis excremum ipsius B, ducantur A, E; ut priuS. Ellque haec constructio
praecedente pocior, propter incerrimmdinem praecili puncti contactus, aut sectionis,
Praetertim ubi tansitur aut oblique sCcatuF CuEVA.
25. Si porro delideretur, uc pariter extribeam Constructionem Aquationis Bi-
quadratica (Ceu Ouadrariex ex radice Plana) cujus suprema potestas sit Afsrma-
riva. (Seuc ea lic hic Digrectio, ut de omnia qua sequuneur u(que ad 5 35.) Sic
tiat. Sunto A: quationes A 99 - V gA g = V gF g = P94 F V gP9. Ouaeum
Radices (attirmatira) sunc Ag e P g: (adeoque V q V gF q ee consequenter
F q sunc quancitates cognita. ) Ergo (per cransposirionem) A9q = P49 = YgH9
849 P9d = Y C
A9 F P9
ErgO A9 - V 9 = P9, e Pq F V g = A g. EF (mulciplicando) A 99 - V 9A9
=AgPg = P44 F V gP9 = V gE9.
A9 - V 9 = Pg
X A9
A9 = P9. F V9
PC
A99 - Y 4A9 = A gPg = - e99 F VgPq = VGE 9.
26. Aiquario igitur propotica (divitis omnibus per V G) huc redie
A 4c
AqPC
Ag =
=E. 4 =
P
=P. 9 =
P4
TC
+Pg. HoC est, 499
Y, 73-
A9 Pd
l F V X.. Ouarum Radlices (altirmarivxe) sunt73 
Nimirum, V.: F 9 + : V 4: F EY = 2; et Y: P. 9 + : V4: - : Y =  7. Ouxe du-
Etae in V (magnitudinem notam) Fiune A q P 9. Nimirum, Y V: F. 9 F : V g
FLV 4 = A9; FF YV: F 4 F EV9: = LV q = P9. EI, CONSEQUENIEE, A es
mecia proporconalis incer V e V: F 4 + : V 4: F i V. EL P, media proporriona.
lis inter V, et Y: F 4 + s V9: = =Y. LNBO,
2.X. AGla
M u 

## Folio 536 — 851708439:0560
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000560.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
E C Y 1O N I B U S C ap. I
27. Aquatione proposica in harum utravis Forma, Ag9 - V 9A g = V gF. 9
=P99 = V gP g: cerminus absolurus (VgE 4) Der Co etticien  cer-
mini (V9) divisus, extribet F. q: Eujus Radix quadratica (F.) si perpendicularis
Eiltatur extremo recta qua aequalis sic (V) laceri quadratieo Co etticientis; quae
diameter esto ejus circuli quem cangie ea perpendicularis: Eodem Centro cum hoc
circulo, ee super eandem Diametrum continuaram, deseribatur, per verricem isti-
us perpendicularis, circulus secundus. Diameter hujus secundi Cireuli, secatur
ab ea perpendiculari (P.) in duo sexmenta; quae sunt Radices (atirmacirae) ha.
rum Aquacionum. Nimirum V = (7, ec V + V = 27
28. Vel (omilta de seripeione secundi cirenli) a Vertice perpendicularis, in re-
cta per centrum primi, quae circumferentiam ejus sccabie in duobus punctis; ad
propiorem sectionem cAV = =; ad remoriorem, V f V - 33
20. Tlae dux Radices inter se multiplicatae, aequabune absolucum cerminum
AgP9
==R 9. Ec ductae in V, Fune Ag P 4. Vel Sic; P est media provorrio.
nalis incer V A V; d A, incer V, et V F V. Vel sic; P est media proporriona.
lis incer V et V = 22; et (propier A9 = P 4 F V ∞525, ) A es Hy porenula
in Friangulo rectangulo ad crura P, V. FAtque haec methodus non contemmenda,
Deo Solutione Squationis Duadraticae ex radice Plana, cujus supremus terminus
est Affirmatious. Toca constructio Geometrica, Pacis paret ex Fisuris apposicis. In
quibus tamen Cireusi (ut plurimum) Demonstrationi pocius inserviunr quam sunt
Constructioni necectarii.
30. POrTO. FR (per 525) Eg = =72 f Pg = Vg + Pg. EL A9 = P9L Y9.
EreO A ec P. sunc Crura irianguli rectanguli, cujus Hyporenula sit V L V; quam
in haec lesmenca dirimit P in eam perpendicularis.
3F. Ab eadem ergo constructione, habemus Geometricam Constructionem hujus
Problematis; In trianeulo rectaneulo, datis crurum altero P, e hypotenusae ses
mento remotiore V; invenire reliquum scementum V. FC (H id pOErO eXISAtUIE,
zocam V + V, e perpendicularem P,  erus reliquum A, tocumque P riaveu-
Tum.
32. Hlabemus inde etiam hanc analogiam; V. P:: A (= V: P9 F V 9: ). F.
FC V. A:: PC
EV: A9 - V9:). F. Vet SC; Vg. P9:: Pg = V9. E.9. Ft
Vg. Ag:: A9- Y g. F. 4.
33. Freo; Si tiat V radius cireuli; erit A LeCaNS, P tan-
Sens, _e P parallela sinui recto (in contraria policione) ab
extremo tangentis ad diametrum productam. Si tat A Pa-
dius; cum exie P sinus rectus de L. tansens ejuldem areus:
e V sinus complemenii, seu disserencia inter ractum et Ci
num vectum. Esinc ergO,
34. Datis ransente E, 5 sinu complementi Y; Babetur sinus rectus P, B. ra-
dius A. Sed 525 et quae inde huc ulque habenuir, lunc Digcellio.
Si

## Folio 537 — 851708439:0561
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000561.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
Cap. II.
A N C U L A R T B
35. Si in Semicireulo diametri 2 R, inscribatur Pib.
tensa Dupli arcus B: Perpendicularis ab hujus medio
Duncto, dirimet arcum lemicirculi in duo segmenta
(cujus subrentae sine A, F,) quorum utrumris est arcuS
Simplus cujus Duplo subcendit B. HToc, quantum ad F
manitestum est Cx 4 F. L. F. _ 28 F.L. 3: _ quantum ad
A, CX S F5 hujuS.
36. Sed _ (cadem ratione) AICUS. B (disterentia areuum A, F,) de B (duxtuS
veriusris) habebune, s duplentur, eandem subtentam dupli arcus. Hoc cll.
Duplus dupii (ueriulris arcuum complencium lemicircumterentiam) e duxtus
ejus arcus que differunt, eandem habebunt subtensam.
37. Si arcus Duplandus, sic cocius veripheria Friens, Syb.
censa Dupli est aequalis subrensae Simpli arcus. Nam eadem 
subtensa quae ex una parre lubrendit uni crienti, subtendie ex
altera parte duobus. HToc est, per 57, 4. A9 -
p 47 (=B9
== A9. Adcoque (per transpoTitionem) 3A g =
3R9 = A9. HOC Cst,
38 Quadratum subtensae Frientis torius Circumferentiae, (seu quadratum lateris
inseripei Prianculi aequilateri,) aequatur Triplo quadrati Ractii.
39. POrrO; Cum eadem sic Pubrenta dupli crientis, e dupli sextantis, (nam
Triens dt Sextans complent Semillem torius circumferentiae; 3. f 5 =Z:) Ouadra
cum subcentx sextantis (F. 9) est difterencia quadratorum lubrensa crientis (A9,)
_ (DiameErI, TCu) Tubiena Semicircumterencix. HOc est, 4R g - A g =F 9
HOc et (per 6 praeced.) 4 Lg - 3R 4 == R 9 = F 9. F. F F = R. HIOC Cs,
40. Subtensa Sextantis (seu lacus inseripii Fexasoni aquilaceri) est aequalis
Ractio.
Ci A P. II.
De Triplicatione  Prisectione Arous vel Aneula
F circulo inseribatur Ouadrilaterum, cujus tria 12-
FerA SInE A, A, A, (TubcenCae Simpli arcuS,) d quar
cum C (Tubrensa Fripli,) Diagonales erunt B, B:
Tubcensae Duplorum. OE patet. Sed patet eriam, quod (hoc
calu) arcus A, minor elt quam Friens torius cireumse.
TenLI.
Cumque Rectanoulum diagonalium sit aequale, duobus
rectangulis oppolicorum lacerum; erit Bg = A 9 + AC
Adeoque B4 - Ag = AC. E, B9- A4 = c-
HIoc est,
64 A
3. Duadrarum subtensa Dupti areus; aequale est quadrato subtensa Simpli ar-
cus (minoris triente totius circumferentia)  rectaneuto subtensarum simpii e
Tripli arcus. Adeoque
Duadrarum subiensae Dupti arcus, dempto quadtrato subsensae simpli areus
(criente minoris) aequatur rectaneulo subtensarum Tripti e Simpli areus. Pt
COnSEQLENEEF.
5. Si quadratum suibtensa Dupli areus, dempto quadrato subtensa areus Sim.
pli dividatur per subtensam simpli arcus: prodibit subtensa areus Tripli.
6. Ouia (Der 52)
q- A
A = C: de, B. f A in B - A, aequacur B9 - A 4
(quod musciplicando patebic.) FrsO A. B. f A: :B - A. Ci. HOC est,

## Folio 538 — 851708439:0562
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000562.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
DE SE C F 1O N L B u S Cap. II.
7. Vt subtensa Simpli areus (triente minoris) ad summam subtensarum Sim-
Dli e Dupli; sic est excessus subtensae Dupli supra subtentam Simpli, ad subten.
Jam Tripi.
8. Trem; Ouia (per 57 Cap. praeced.) B4 = 4 A4 -
(= AC) = 3A9 -
est
A9C
B9 - A
R9. EL PrOBIerCA
A44. F180 B9 - 19
R9
AC
3A -
R9
=C. HlOC
9. Tripium subiensae areus (triente minoris) dempto ejusdem Calbo per qua
aratum raci diviso: aequatur subtensae areus Triph.
20. Sed cum eadem subrenta C, subrendic etiam alceri segmenco ejusdem eic.
culi, subrentam crieniis hujus segmenti vocemus F. Fric igituIr S. A -
E C
Rq
C
RC
TF. EE quoniam CrES aECNS A, A, A; CE trES ATCS E, E, E; complent cocam
circumterenciam, (ut Patet: ) erso, A lemel, et R. Correl, complent crientem 10-
LIuIS. EL PrOPICrea,
22. Aeus criente circumferentiae minor,  residuus ad crientem, (A et F.)
eandem habent subtensam Fripli areus.
23. Ouoniam (ue jam oscentum Clt) 3 a -
=3E = = C: Adeoq: 3RgA
RC
RC
AC= 3RgF = R. c: Et (cransponendo) 3R9A = 3 RgF. = AC = F c.
Ereo (divideneo per A = F umingue) 3Rg (= 319A = 3R9F) AC - FC
A - F
=Ag f A F F F. 9. Ouod patebit, dividendo AC = FC per A = F; auc mul.
ciplicando A - F per A g F AF F F 9
24. Sed (per 6 37, 38, Cap. praeced. ) 3Rq cMt quadracum Cubcen (ae Friencis;
hoc Cst (per S TF HujuS) Tummx areuum A e R. Fr9O
25. Duadratum subtensae Trientis (seu criplum quadrari Raciii) aequatur Qua-
dratis subtensarum duorum arcuum trientem complentium, e carum Rectaneuto.
HToc elt (potico T pro subrensa crientis circumterentiae,) T4 (=- 3R9) =A4
AF  H,9
26. Sed angulus quem A E concinent (urpore Anoutus in Prience circuli, duo.
bus triencibus intiltens) est angulus gractuum 120. FrGO (Per S15)
27. In trianculo rectilineo, cujus anculus unus est erad. 220; Duadratum sub-
tensae hujus aneuli, aequatur quadratis crurum continentium, corumque rectaneulo.
Ouippe si cale criangulum inseribatur Circulo; balis hujus crianeulis erit subcenta
trieneis circumterenciae, Peu V 3R 9.
18. Si cireulo interibaur Ouadrilaterum, cujus cria la
TeTA SINE A, E, A, (Sen K, A, F,) d quartum L: Veraque
diagonalium (ver S LZ) est Y, Cutensa erientis. FrSO
per d +3, 14, 25,) Z F Y A9 (= Z A f F, 9)
ZR9 = A g. f AH. F F 9. FE, CONSeqUentEF Z. L = A H.
= F 4 e Z A = A9 + AC: Adeoque Z = A F L.
FErSO,
70. Si acerecato duorum areuum R, E, (trientem com
plencium,) addatur tercius utrivis eorum aequalis: Z. suib.
tensa aecregati omnium borum niun, aequatur summa
20. Sed eadem subtenta L lubrenaie ex una parce crienei aucto areu A, et
ex altera parte crienti auel ate L; (uE patet:) HoC Cst, arcui qui tanto exce
dic trientem (auc a duobus ribus detieic) quanto arcus A vel L detieit a
2.2. Aecreeatum subtensarum duorum areuum, qui sinul complent trientem
circumferentrae; aequatur fadnsa alterius areus qui ranto excedit rrientem
(seu defieit a duobus crientibus) quanto ucervis eorum a triente deficit.
22. Idem
subtensarum istorum duorum. Hloc CAt, Z == A f F.
eriette. FrgO,

## Folio 539 — 851708439:0563
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000563.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
Cap. II. A N G U L. A R L _ Ct 5
22. Idem Cimiliter concludatur, si inscribatur Ouadrilare.
rum cujus oppolita latera Cint A, P, es L, T, et diasonales Y
Ouippe cum YA F YE = LZ; adeoque A f F. = 
UE PELUS.
23. Si ucerris arcuum quibus Z. Subrendie (criente major,
Sed minor duobus crientibus) cripletur; subrenta cripli hu-
jus, eadem cst cum subrenta eripli A vel E. Nlam criplum ar-
cus trience majoris, aquatur cribus crientibus (seu toti cir-
cumterencia) et criplo excestus supra crientem. (Ouippe l
= A cripletur, tiet F. Y 3 A. ). Et quoniam, cum eotam circusrimus circumte
rentiam, coderenimus unde primum orsi fumus; totum hoc (quantum ad hanc
rem) cancundem est ac nihil; totaque acquirenda distancia ell criplus ille excestus:
Ec tanca praecise quanta toret Ei exceltus Lolummodo rer lumeretur.
21. Verbi gratia: Si Arcus cui subtendie
Z. lc B78 (puta, triens auctus arcu B,) cui
sccundus addatur ips aequalis SeO: 20orC.
sacum liorum B7 ssB est arcus expositi Du-
DluS, hujusque subrensa B, seu BO: (quae eAt
etiam subrensa ditterencia arcuum A, F.) Sin
his duobus addatur cerrius utrivis aequalis
Dy i cum eAB7 SEDyn Priplus expolit Byd:
_ tubeenla hujus Pripli (hoc cll, recta 2
principio ad tinem eripli arcus ducta) clt
B1 =C; eadem ipsa qua subrendic criplo F..
25. Idem Similitex proveniret, Si Tumere.
tur arcus criplandus BO8s (hoc eAt, eriens
auctus arCu A) cui similiter Subcendic Z
Nam, lumpro secundo huic aequalin Sn yBD;
aggregacus ex his B68du y B6 (major quam
una circumferentia incegra) elt arcus ExpO-
sici Duplus; cui inidem lubrendic B, n prius: Onibus si certius addatur utrivis
aequalis B8 s n Friptus arcus cst BBES~ y BDESu: Fujusque Subrensa, uc prius,
Bn Peu C. Fadem ipla quae subcendit triplo A. FrSO,
26. Triplum areus iriente majoris, eandem subtensam habet quam Friptum F.x
cessus ejusdem supra crientem. Idemque (eademratione) valet de arcubus qui
majores tint quam duo, eres, pluretre Prientes.
27. Nocandum aurem, hoc calu; Nimirum s areus criplandus sIe major exiente.
sed duobus crientibus minor, (sin major sic duohus erientibus, sed minor toro cir-
cuitu, perinde est ac si esset uno minor:) subcenta Dupli minor est quam simpli-
Nam, hoc catu, arcus a semicircumterentia diftere, exceltu vel defectu, minori
quam est semitriens, seu 5 torius cireuitus. F.so ille sire excessiis sire detectus X.
Si ergo ? = X Lc arcus simplus; duplus erit F F 2. X. Cujus subtenta (sire majo-
ris sire mmoris inceera rerolurione) cadem cru qua iplius 2 Z. Cum isitur X
minor lic quam s adleoque 2Z minor quam Z; hujus subtenta minor erit quam
Subrensa trienis. Sed lubrenta iplius Z F X ( qui minus a semicircuieu dittert quam
triens, propies X minorem quam 3,) major eric quam triencis. Nam rectarum cir-
culo inscriptarum, ea minor elt quae est remotior a centro, seu d recta per centrum.
Erso, hoc casum subrenta dupli (urpore remorior d centro) minor cst quam sub-
censa simpli. Pariterque judicandum eric in aliis calibus consimilibus.
28. Supposico igimes ut prius, B4 = A4 = C; hoc est (in casu praesenti)
B9- 7.
= C: erie C quanticas Negacira (BTOPtex Z. 9 majus quam B4.) Vet,
Si ponacur C attirmatira, erie Z. Negatira. Ouippe cum B9 -Z. 9 sit quantitas
negacira (proprer plus a minori suberactum,) erit _ Z C. (= B4 -. Z 9) quan-
itas Negatira; adeoque iplarum Z, C, signa dissimilia (in altera -F, in altera -. )
Vel erram, uc omnia linc altiematira, pro B9 -Z. 4 ponendum L. 4 = B4 =Z C.
EcZ 9 =B9 F Z.C.
29. Idem ex Dinerammale patet. Vb, ob hane eaulam, concineie Z. Z ( teu es 

## Folio 540 — 851708439:0564
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000564.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
F S E C Y EO N E B U S. C ap. II.
Bn) cTediasonales; et B B, itemque Z C, oppotica latera: Adeoque Z g = B9 F
2.C; teu 2.4 = B9 = Z C; e L9- B9
=7 - =7 = C. Hoc est,
30. Duadratum subtensae Simpli areus, triente majoris sed minoris duobus crien-
ribus:; aequatur quadrato subtensae areus Duxti, e rectansulo subtensarum simpli
e Triph. EF
3F. Qgadratum subtensae areus dimpli, (triente majoris, sed minoris duobus tri-
entibus,) dempto quadrato subtensae areus Dupli; aequatur reciansulo subtensarum
arcuum simplie Tripti Adeoque
32. Si quadratum subtensae areus Simpti (triente majoris sed minoris duobus
erientibus) dempto quadrato subtensae areus Dupsi: dividatur per subtensam areus
Simpli: prodibit subtensa Tripti areus. (Sin per Tubrentam arcus eripli divida.
Eur; prodibic subrensa timpli.) Vel,
33. Si a subtensa arcus Simpli (triente majoris sed minoris duobus trientibus)
auferatur quadratum subtensa Dupli arcus divisum per subtensam Simpli; prodibit
subiensa Fripli. Dur itaque minor erie, hoc calu, quam tubcenta simpli.
34. Sed quoniam est = 4
9 = C; (euZ) Z. 9 -B4(C: estque 29 - B9 =
Z. = B, in Z = B: Flabetur inde haec Analogia, Z. Z FB:: Z = B. C. TIOC
A
35. Vt subtensa areus Simpli (majoris triente sed duobus criencibus minoris)
ad Aecreearum subtensarum simpli e dupli: sic est s’xcessus subtensa simpli supra
subtensam dupli, ad subtensam tripli.
36. Cum vero (u Cuc jam oltentum cM) Z. g = B9 = Z. C; sitque (per 6 7,8,
Cap. praecect.) B9 = 4 2. 9 -
299
R9 329: FF Z 4 - B
44: E,80Z. 9 - B4 (=29 - 429 + -
R
7c
R9 3Z = C. HOC est.
R9.
37. Si a Cubo subtensae simpli areus (triente majoris e duibus crientibus mi-
noris) per quadratum radii diviso; auseratur istius subtensae Fripla: prodibit sub.
tensa arcus Triph.
38. Si arcus criplandus sic major duobus crientibus (sed minor toto cireuirm)
perinde est ac si ellet uno criente minor. (Nam reliduus ad torum cireuieum, cut
icidem subcendit, est eriente minor.) Adeoque eadem chorda (puta A vel F.)
Pariter Subtendit arcui duobus crientibus majori, ac minori uno criente.
30. Si arcus eriplandus sic ipse Priens corius cireuitus; perinde est ad uerumris
caluum reseratuE, (sive ad eum ubi supponitur major, sive ad eum ubi supponi-
tur minor irience.) Idemque contingu, si supponatur aequalis duobus pluribulve
erientibus, auc uni pluxibutre rerolurionibus integris.
40. Si arcus criplandus sic major una pluribusve rerolucionibus integris; sub.
tensa eadem erit cum subrensa Exceltus supra illas incegras revolutiones; de limi-
licer consideranda. Oux ita per se patenc, ne demonstratione non indiseant.
42. Dux separatim cradtica Cunt de criplicatione areus crience minoris, ee cripli-
catione areus criente majoris led minoris duobus trientibus, (ad guorum casuum
alcerum reserri posse areus omnes, jam oltentum est;) Sic poltune junctim iradi;
42. Differentia quadratorum subtensarum arcuum Simpli e Duxti C utrumvis
majus fuerie,) aequatur Rectaneulo subtensarum Simpl  Fripli. (P er 6 4 et 3T.)
Hloc elt, B9 A9 = AC: SZ 9 = B9 =ZC. Adeoque,
43. Si Differentia quadiatorum subtensarum arcuum simpli e dupli, dividatur
per subtensam Simpli: prodibit subtensa Tripli. Si per Tubientam cripli dividatur;
prodibie subrenta Simpli. (Per 5 5, 32.) Hoc est; B9.
Acem, Bg- A g
=A. FC Z 4- BC
= Z. Trem,
A4
C=
L9 = B9
4+. O subtensa areus Simpli, ad Aecreeatum subtensarum simpl e dupli; sut
harum Differentia, ad subtensam Fripti. (Per 57 ec 35.) HOC eM, A. B. f. A ::
B = A. C. EF Z. 7, + B:: Z - B. C
45. Jam vero, cum (per 522, 26,) hitres arcus A, F, Z, E criptentur, candem
trabicuri

## Folio 541 — 851708439:0565
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000565.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
Cap. II. A N G W L A R L B It 8.
trabicuri sunc subrentam eripli C: Hrinc manisestum est, quod, Squationes bu.
de
jusmodi, quae criplicationem arcus spectant, 3O i F =C; Tres habere debent
Racices; UE A, F, Z. Nam harum quaelibet, triplicarione facta, eandem tabitu.
rx tunt subrentam areus exipli C. Sed luhhac conditione; Obi A, F, sunt racices
affirmativa, erit L. necariva: EL conera, ubi haec est affirmativan erunt illa Nesa
- 2. Scd in hac, X
rea 3A -
F. C
- = 3F. - -
R9 = C=
R=C; radices erune, + A, = F,
R9 = 32. Ft ConseguentEE 3 A R 9 - AC
= 3E Rg = EC =C R9 = Z. C = 3ZR9.
46. Cum igicur sIC3 AR g = A C = Z C-- 37. R9; e (tran Sponendo) 3Z R9
F3ARg =ZC + Ac: Frit item (diridendo per Z. F A ucrinque) 3R9
LC F AC
P
=2.9 - Z. A + A9. (Nam Z + A in Z 9 - Z A f A q aquac
Z. C. F AC; quod musriplicando patebit: EE, Contra, Si hoc per eorum utrumris
diridatur; Quociens exhibebit reliquum; quod parebic diridendo.) Similiter;
Ouia 3E R9 - FC = ZC- 3Z.R9; FrBO, 3Z R9 F 3L Rg = L. C. f P. C. FL
3R9(=
4
LC F F C
Z FF) = Z. 9 - Z F. + F9. HOC Cst,
tia; seu quorum alter tanto excedit trientem quanto alter a triente defieit: Qua-
arata subtensurum, dempro carundem so
eb
subtensae trientis seu, triplo quadrati radit. Hloc et L Z9 = Z. A F A9 = 3R9
=T9= Z 9 - L. C = L. 9.
48. Sed angulus cruribus Z. A, vel Z. F, contentus, (chordae F intistens,) est
anculus eract. 60. (urpore angulus in peripheria insistens arcut pradt. 120.) FF
DrOPICrCa,
40. In trianculo rectilineo, cujus unus aneulus est erad. 60; Quadratum lateris
huic ansulo oppositi, aequatur duobus quadratis crurum continentium, dempto rectan-
culo eorundem crurum. (Nam quodlibet cale criansulum, porest sic inseribi circu
10.) Hloc est, Z. 9 = Z. A F A9, CCu Z 9 - Z F. F F ∞ =F9 = 3R9.
50. Fadem quae 5 45, et sequentibus hucusque, cradun-
cur; pollimt item hoc alio modo interri. Guoniam (Der
525) A9. f AC. F F.9 = 3R 9. EF (Der STB aUE 2I,
Z = a + L. Aaeoque Z 9 = A9 F 2 AF F F 9: FL Z
= A9 F AF; (_Z F. = AF F F9). FrBOZ 9= ZF
= A F F F g; (_ Z. 9 - ZF = A9. F A F). EF, COn
seguenter, Z. 9 -- Z. A F Ag (vel Z. 9 - Z C F FC
=A9 F AF F E 9 = 3R9. Ondereliqua intereniur ut
PrIUS.
L A9. f 2AF. F F. 9 =. + 2. 9
A9- AF.
f A9
A
14
FA9F AE F Pg- tZ9 ZA + A9 + A4 F AF + E9 = +29 ZL. +F9.
ST. PorrO: Ouoniam lut prius
Fc
Zc = AC
AC = F. C
A - F = A9 F AF + E9 = 3R9 =
= 2.9 -Z. A + A9 = Z. 9 - Z. F. +. F. 9-
Eequentia inferamus Pheoremata.
Z.C  L.C
7 FF.: Flinc
52. Differentia cuborum duorum Crurum continentium angulum eraduum 220
divisa per Differencium corundem erurum; aequatur quadraco Basis cui inst.
stunt.
53. diM
L A9 +
e let

## Folio 542 — 851708439:0566
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000566.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
E. S E C Y 1 O N F B u S Cap. II.
53. Sin angulus contentus sit graduum 60; tum Summa cuborum Crurum, di-
visa per eorundem crurum Summam, aequatur quadrato Basis. Trem,
54. Differentia crurum continentium ansulum erad. L20, ducta in quadratum
basis; aequatur Differentiae cuborum eorundem crurum.
55. Sin anculus contentus sit erad. 60; tum Summa crurum ducta in quadra-
cum basis; aquatur summa cuborum corundem crurum.
56. Porro; Duoniam 3 A -
AC
P G (aUT3F-
F1BO, 3 A -C = =
c
R 9) =C: e
c
R9 (e 3F - C =
RG
32. C:
9 = 32 + C. Ideoque
R9) e
57. Differentia inter tripiam subtensam arcus simpli, triente minoris, e sub-
rensam tripli arcus; aequatur cubo subtensae areus simpli per quadratum radit di
viso. PL consequenter, Differentia illa ducta in quadratum radi, aequatur illi
Cubo.
58. Summa triplae subtensae arcus sumpti, triente majoris sed minoris duobus
trientibus, e subsensae triph arcus; aequatur cubo subtensae arcus simpli per qua
dracum racii diviso, EL, consequemer, summa illa in quadratum radi ducta a
quatur illi C ubo.
59. Ouoniam (uc supra ostentum est) 3 A - 2 C = 3 F. - = C = c =
RC
R q
T. C
Rq
3Z: TCu 3 A R q = A C = 3F Rg FC = CR9 =- Z C- 3Z R9: LrgO
Data subrensa arcus (ut A, F, auc Z,) cum circuli radio R; habetur inde subtensa
cripli arcus C. Oux est Triplcatio Arous Aneulive.
60. Et COntra; Datis circuli radio R,  subtensa tripli arcus C, habetur sub.
tensa simpli, A, E, aucZ. Resolvendo talem Aquationem cubicam. Oux est Lri-
sectio areus angulive.
62. Sed _ vice versa, Fujusmodi Squationes Cubicae resolvi possunt, per
Trisectionem areus. Fsto enim A quatio cubica in hac Forma; 3FE q A - AC,
(vel 3RgF = F. C,) = RgCi; cujus radix A, vel B, quaricur. Jam (I R (Fa-
dix quadratiea cerrix partis co. esticientis) fiac cireuti radius (hoc est, V3 =R:)
eique circulo inscribatur C, quae oritur ex absoluto cermino diriso per crientem
cochicientis, (hoc est
4C
RC
= C:) e uterris arcuum quibus subtendit hxc
chorda dividatur in tres parres aequales: Chorda quae harum uni Tubrendic est
(attirmacira) Radix aequationis expotua. Ouxe ilaque duas habebic radices AF.
tirmatiras; puta A _ F.
62. Sed ee aliam Radicem Negatiram habet: Ouxe est subtenta uriusris ar-
cuum (quibus A vel P subtendir) aucti crience corius circumterentia, puta L.
Dico, uriusvis eorum arcuum: Nam eadem chorda, quae, ex una parte, subtendit
erienti aucto areu A; tubtendir, ex altera parte, trienti aucto areu R.
62. Sin aequario (IC in hac FOrmA; Z C =ZR gZ =C: processis idem crit
per omnia; nisi quod jam Airmacira radix erir unica, Z; de Negacira dua,
e t
64. Sed uroque casi obserrandum CA; Quod Chorda C. non sit major quam
2R. (Nam si hoc contingat non poterit C, uipore diametro major, circulo in-
Scribi.) Seu (quod tancundem est) Duod Quadratum semissis termini absoluri,
non sit majus quam Cubus trientis eo efficientis termini medii. Ouippe cum
eriens co etticientis cermini medii sit R q, ejusque cnbus R CC: de SemillIS ablo-
luci cermini sic Z R gC, hujusque quadratum = R g9C9: Si quacracum hoc, Sic
majus illo cubo; adeoque (dividendo per R gq ucrinque) = Cq plulquam R9;
e (Tumpris radicibus quadracieis) : C major quam R; tm exit C major quaM
2 R, quae est circuli diameter; adeoque non porerit circulo inferibi. F.L prOP.
rerea, Cum hoc contineit, non possunt solvi bujusmodi aequationes per trisectionem
areus. Potunt autem Der (quaS YOCANE) Resulas Cardani: quod alibt ollene;
Sed quarum consideratio non cs hujus loci.
65. Si areus criplandus sic Friens circumterentix, (aut duo tes, quatuor,
Plurelre cxienres;) arcus Friptus eric integra rerolurio, Caut dua, iesu quacuoi,
pluretre

## Folio 543 — 851708439:0567
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000567.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
Cap. II. A N G U L A R I B _ 5.
pluretre rerolutiones intesra.) Fx cripti subrenta, nihil erit, seu punctum v.
nieum: (cum principium ee finis hujus arcus sint idem punctum.) Ioc est;
A C
3A -
3F.
(aut3F = R9) =C (= Rg 32) =0. Adeoque 3 A = AC
2
F. C ZC
R9
Ba RG = 3Z. AdeOquE 3R9 = A9 = F. 9 = Z. 9. Hoc est (quod
et supra ostentum est,)
66. Duadratum subtensae Frientis (seu laceris inseripei erianguli aequilateri)
aequarur Lribus quadratis Racii.
67. Si areus triplandus sic circumterentixe Ouadrans:
Mamitestum elt, lubrentam Pripli, aequalem este sub.
renlae Simpli. (Nam eadem chorda qua, ex una partes
subcendic iribus quadrantibus; Tubrendit, ex altera par-
cen Quadranci unico.) Hoc est, 3A -
c
RC
=c = n
Adeoque 2 A = p = 0. EF ZR9 = A 9. H0c
ectus
68. Quadratum subtensae Duadrantis circumferen-
tiae (seu laceris quactraci cireulo inseripti) aequatur Duobus quadratis Radii.
69. Idem interri porest ex bisectione semi cireumterentixe. Nam cum ejus sub.
FenTa Sc ZR; adeoque (per 59, Cap. praeced.) 2R = B = = V: 4 R 9 = A 9.
AE
Vet (DOLIIO aceU L. pro residuo quacrancis ae semi circulum) 2R =  . Vet
(quoniam est, hoc calu, F. = A,) 2R =  : FrBO, 2R9 = A G uc priuS. F. C
A = RV2.
=0 Sed si areus Triplandus sic semiciremnterentia (adeog; iriente major;) Cubrenta
cripli, cadtem eric cum subcenta simpli; sed eum conrario lisno, (ver G 2.8;) ad eoquesper
5367) g 32 = C = Z: HOC est, p  = 4 Z; seu Z. C = 4 Z. R4; et Z. 4
= 4R29; 8 Z. =2R. Ouxe est, radix cerria, seu negatira, aequationis ante me.
MOrata 3A -,  - = C. = A. FAque haec negatira radix = Z. == - 2 R, aequalis
le
duabus altirmatiris (sed sub concrario signo) A = R, _ F. = R. Ouarum u-
naque Sencanci subrendie, quo semi ciscumterencia unum rrienrem supera, et de
ficit d duobus.
nc. POrrO; cum eadem subrensa modo memorata, C = A = R V 2, Subtendie
non tantum ex una parte, triplo quadrantis; sed etiam, ex alcera parte, quadranti
Simplier: eriam hujus pxienci subcendie ejuldem xquacionis racix altera F; hoc
est, arcui eractuum 30. HOC est, 3F. -
C =C = A
7. FE quoniam (per 5 25) Ag. L AF F F. 4 = 3R9: _ (per 567) A9
= 2R g: ErBO AF F E. G = R9. Et (relolvendo hanc aequarionem) L. = V
ZA9 + Rg: = 5 A. HOC est (DrOPter A9 = 2 R 4; adeoque a Ag = 3R 9 et
EA = Y = R9;) F = V3R4 =V: R9 = 13
ER (-
V2. V3 = F (: : 2. 16 - 12) :: R. F.. HOC ct,
=VER.) Adeoque
73. Vi subcensa quadrantis, ad subtensam trientis dempio racio; sic est Ra
dius, ad subtensam demi sevtantis; Teu arcus graduum 30. Vet,
4. OElacus (inseripti) Fetraconi, ad differentiam laterum Prisoni e Flexa
eomi: sie raaius, ad latus Dodecasomi. Incellise, de Fsuris aequilateris inscripris.
Ec limilicer in seguenribus, ubi timiles occurrune loquendi Formulae.
75.

## Folio 544 — 851708439:0568
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000568.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
E
S E C Y 1O N s B u S Cap. III.
75. Ee quoniam (uc prius) P = 13 , = R: F180, Eg - + = 2 Y3R9-2RG
=R9VZ, vel 2 =Y3 in Rg. Adeoque, 7. 2 = Y3:: Rg. F 9. HIOC est,
26. Ot Radius, ad excessum Diametri supra subtensam erad. 220; (leu supra
latus inseripei Prisoni;) sic quadratum Radii ad quadratum subtensae graduum 30,
seu lateris Dodecagoni. Adeoque, cum ratio R9 adt Lq Sic duplicata racionis R ad F;
7. Ratio Racii ad differentiam Diametri e lateris inscripii Frieoni; est au
plicata rationis Radii, ad latus inscripri Dodecaeoni. EL propierca,
78. Radius (Seu latus Llexaeom), e latus Dodecasoni,  excessus Diametri
Supra latus Trieoni, sunt continue proportionalia.
79. EG quia 2 = V 3 in Rg, = 2R - R V Z, In R: ErOO Frcessus Diametri
supra subtensam Trientis, ductus in Radium; aequatur quadrato subtensae erad. 30.
seu Semisextantis.
80. Eadem reperientur, bisecando Sextantem, (nam quactrantis triens, et sex.
tantis femis, idem (UnE:) Hloc modo;
8T. Si ponatur P pro Tubrensa gractuum 30, e A pro subtensa residui ad semi-
circumterenciam seu gradtuum 250: Tum, quia subrenta sextancis seu dupli arcus
E, est R; FIBO (per B 24 cap. praced) B4 = R 9 - 4+ 2949- A99 - 4R9+ 4 F99
EER99 = 4 RgAg - A99 = 4RgF. 9 - F 99. EF (resolvendo aquationeM)
2R9 = Y3R99 = 2Rg LR9V3 = 2 = VY3 in R9 = 2R LR V 3 in R = A9, e
F.9. Hoc e,
82. Quadrata subtensarum graduum 250, e eraduum 30; aequantur, illud qui-
dem summa, hec autem Differentia, Diametri  Lateris inscripri Frieoni, in
Radium ducta.
83. Tuem; Cum C = A = R V 2 subcendat, tum criplo arcus A graduum 90,
cum criplo arcuS E gradtuum 30: ErBOZ. (= A f E = RY2 + V3, =R -13F=P
est subcensa crientis auctiareu A vel L. HOC est, tam Graduum 210 = 120 f 90.
quam gradtuum 150 == 120 + 30. Ouod ante conclutum eratsBT. Wam Z. hic
loci, idem est cum A illic; e Z9( ut illic A9) = 2 = V 3 in R 9.
84. Idem eriam alias invenietur, subducto (2 = V 3 in R 9) quadrato subten-
(x graduum 30, ex (4 R 9) quadrato diametri. Ouoniam 150 F 30 == 280 Gra
dus, complent semicircuicum. Nam E ex 4 R q Tubducamus 2 R 9 - R qV 3, ma
nebic 2R g F RqV 3, seu 2 f V 3 in R q quadracum subtenta graduum 150:
adeoque et gradtuum 270.
i A C. 1LL.
De. duadrupaata Suut 
Sreus deb Lineu.
E. C L Circulo inseribatur Ouadellaterum, cujus Opposica Fatera sine A, A, C.
il
tenta simplorum arcuum) e B, D, (suibrenta dupli e quacruplI;) Diaso
nales erunEC, C, (Suhrentae criplorum.) Ot patet
Sed _e etiam patet, arcum A, hoc casu, inOrem
ese Ouadrante Circumterentia integra
2. Erso (proprer rectangulum diagonalium X
quale duobus rectangulis laterum opP
C4 = A q = B D. Adeoque
F
AC
= B. Hoc est,
torum)
Ludaratum subtensa Lripi urbud dempia
quadrato subtentae simpli arcus, quadrante mino-
S; aequatur Rectaneulo subtensarum dupli ex tri-
BI. Litus DC
cum alteram diritum, extribet reliquam.
4. Sec

## Folio 545 — 851708439:0569
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000569.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
Cap. III.  AN OUL A R IB IS.
4. Sed C f A in C = A, aquat C g = Ag. FrGO, B. C F A:: C = A. D
FTocclt,
5. Ot subtensa Dupli areus, ad seresatum subtensarum tripti ex simpti (qua
drante minoris:) su est Fcessus subtensa cripli supra subtensam simpti, ad sub-
tensam duadruxh.
AC
6. EF quoniam (per G8 cap. praeced. ) C = 3 A - : adeoque C4= 9 A9
6A99, ACC
R4 R99
-by 8 = bY = B7081 
8R49Ag -6Rg A99 + ACC = BD.
R99
R
6A44, AcC
R9  R99
7. Scd (per 57 8t 9 Cap. 2. ) B =  Y: 4. R g - Ag. Adeoque C9= A4-
2R9A = AG
RC
 i.Z. t C 
de
Y: 4Rq = Ag: = D. Nam sI Cg = A9:
BRG9Ag69499 t ACC
dividatur per p, hoc PR94 A - 6RgAC + A9C.
2c
C
R94
Sed cum haec ulcima divilio tacta Cic
per 4 R 9 = A9, quae (sccundum valorem B) tacienda erat per hujus radicem
quadracieam, ergo restimenda est mulciplicario per hane radicem; unde HL
2R9A - AC
RC
Y: 4R4 - 49: = B.
8. Aigue cum, converta aequalitate in analosiam; RC. 2 R q A = Ac:: V:
4R9 = Ag. D. HIOC est
O. VI Cubus radu; ad subtensam areus simpli, quadrante minoris, ductam in
duptum quadrati ractii, minutam cubo ejusdem subtensa: su est subtensa areus
residui ad semicireuitum; ad subtensam arous quadrupli.
20. Vel sic, (divisis primis duobus cerminis per R q;) R. 2 A -   : : V: 4. R9
R9
= A4. D. HIoc el
TF. St Radius, ad dupium subtensae simpli areus (quadrante minoris) dempto
cubo illius subtensae per quadratum radii diviso: sic est subtensa arcus residur ad se-
micircuitum, ad subtensam arcus duadrupl.
= C Api FAB0,
13. Vt Radius, au excessum subtensae tripli areus supra subcensam simplis qua
drante minoris: sic est subtensa areus residui ad semieircurcum, ad subcensam ar-
eus quadrapii.
 ies   
24. Idem sic etiam demonstrabitur. Ouoniam (per 59 Cap. 1. d F V: 4. R9-
sit
A9: =
AV: 4Rg = Aa = B, est subicuta duxti accus A: F180 (per enc.
dem racionem )= V: 4 Rg- B9: = D, est subrenta dupli aicus B; hoc est, qua.
drupli areus A.
AC
25. Et quoniam B9 = 4 A 4 = X q: EIGO, prO 4 Rq = B 4 ponacur 4. R g
4. A 9 +
ER4-A4
seu FR99 = 4. R9 A 9 + A4
199
R9
R9
Fujusque radix quadratica
(= Y: 4. R4 - B9:) ducta in . A V: 4 R 9 - Ag:
2R4A = AC
B
) extribet
RC = Y: 4 R9 -A9: = (p V: 4 R4 - B4: =) D. uE priuS.
222
26. Potest

## Folio 546 — 851708439:0570
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000570.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
Cdp. III.
26. Porest item (simili succettu) ita inseribi
quadrilaterum, uc sInE A, D, et A, B, oppolia la
cera; d B, C, diagonales. Nam cum BC - BA
=D A. Adeoque 2A -
c
E (= C = A) in
=) = V: 4 Rg = A 9: aquabunt D A. HOC cA,
EgNG = A4G Y: 4Rg - A9: = DA. EI
2R9A -= AC
2C
EV: 4Rg = Ag: = D. ut prius.
Sed de hoc, plura dicera CTUnES 86 _ sequentibus.
27. CumL verO (Fic. [5) cae D Tubcendie non tancum quadruplo arcus A,
sed eriam quadruxlo arcus F, (qui eum areu A complet quadrancem circumte.
rentiae:) similicer octendetur quod =
_R9A = A C
R9
eL
V: 4 R9 - Ag. Adcoque
28. Areus quadrante minor, bujusque ad quadrantem residuus, eandem habent
subtensam quadrupli, D. Ideoque A, L, tunc ictius aequationis dux radices actir-
matira.
29. Sed e alixe duxe sunt ejusdem aequarionis ra-
dices, (sed negarirae ambae, ne post patebic,) quas
rocabimus P, S. Quarum altera Lubrendie qua-
dranti aucto arcu A; altera, quadranti aucto areu
F. Manifeltum enim est (per ca quae dicta Cunt,
523 cap. praeced.) quod etiam, pro his, eadem erie
Tubrenta quadrupli, quae cst pro arcubus A _F.
Nam quater = L A, est L Y 4 A; cujus itaque ea-
dem erir Puticensa quae cst ip(Ius q A. Et Cimiliter,
quater à f F, elb F F 4 F; cujus igitur eadem exie
lubrenta qua est ipsius 4 F. Idemque (cadem ra-
tione) continset, Ei duo tres, plurelre quadran-
tes, similiter augeantur. Ecconlequenter.
20. Sreus quadrante major (aut etiam duobus, eribus, pluribusre quadranti-
Dus major) eandem habet subtensam areus quadrupli, quam habet ejus excessus su-
pra quadrantem; (aut supra duos illos, cres, pluresre quadrantes.)
2F. Sed eadem P, Subcendic, tum quadranci aucto arcu A, cum eribus quadranci-
bus eodem dempro; item semicireumterentiae (seu duobus quadrancibus) aucto
arCUIF, core dempio. (quod inspectu schematis patebir.) Et Similiter, S subtendit
cum quadranti aucto areu F, cum tribus quactrancibus eodem dempto; item semi-
circumterentiae (seu duobus quadrancibus) addico vel dempto areu A.
22. Ouod autem P, S, lint radices Negatirx; Sic parebit. Supposico enim, rerbi
Sraciam quod sic Z R 9P
P
EY: 4Rg - P9: = D; liigue P subrenta areuS qua.
drance majoris, (sed minoris cribus quadrancibus; secusenim, cancundem est ac li
ellet uno quadrance minor: Nam eadem chorda quae subrendir arcui cribus quadran-
tibus majori, subtendie icem, ex contraria parre, arcui uno quadrance minori.
Erit P, hoc calum major quam Y 2 R G subcen sa quadrantis (uIpOte centrO propi-
Or.) ErsOZR9 = P q Cnegacira quantitas (PrOpter plus ex minori lubera.
ctum;) Oportet isitur uc P sic etiam nesativa; quo PONIE Z R 9P = P C (ex duo.
rum negarirorum mulciplicatione factum) tieri quanticas aftirmatira; adeoque et
2R9P- PC
RC =V: 4R9 = P9: = D, paricer altirmacira. Ouodque de P dictum
eltu paricer valet de S.
23. Sin libear ponere P altirmatiram; cum eric
ERGP -PC
RC
ReBATIVA.
x10115

## Folio 547 — 851708439:0571
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000571.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
Cap. TII.
A N GU L A R FB IS.
negaCiVA. EL propterea (muracis senis) P C - 2R45
RC
attirmacira. Fc similiter de S. Sed de his plura post dicenda.
24. Sed, qua ratione haec aequavio 24A- N
RC
N. 4R2g. A7= D, au+ =RGE FC
4R g = F q; =D; habet duas radices actirmatiras A, F, e duas nesatiras P,
S: cadem racione, aequatio P C -, 2. R 9Y
RC
Rc
AR9 = S9; habebir duas negatiras, A, E; de duas altirmativas P, 5.
25. Si jam consideremus quadrilaterum cujus opposica latera TUINE A, A, XCF, P:
tum (P: OpteF arCUS A, F, complentes quadrantem) diagonales crunt , O, lub.
censa quadrancis (seu latera inseripri quadtrati;) adeoque (per 558, Cap. Prae.
ced.) 9 = 2R4; _Q = Y2R9 = RV2.
229 --19
26. FL prOPterea  4 = A9= 2R9. A9 = FP. Et consequenter,
e 2R9 - A4-
t
27. Sed eadem P Subtendit etiam semicireumtereneia dempto areU L. ELproP.
Lq AC
28. Ec (eadem ratione) Suimpro quactrilatero cujus opposita latera TUINEE, F, ec
A, S: diagonales lunt () == V ZR 9. Adcoque Og = F 9 = 2 R9- F 9 == AS.
Et proprecea (cum areus A, S, compleanc semicircum serentiam) V: R 9. A9.
2R9 = F 4
A =; EL Y: 4R4- 59: = A = ZR9 = FG
29. Jam veco, cum sic (ut in 527) Y: 4. R q L F. 9: = D = E.R 4 = A 4
Fx-
30, 4 g - Eg = Pg = + 99 = qRG AG F A42. EC preperCa ARAF 9
=F. 99 = V gF g = 4 R9g - 4. R 9A9. F A99. Ft A94 F C99 = 4 AgR9
= 4 F 4Rg = 4 R 49. Ec limiliter, propcer V: 4. R g = A9: = 5 - 2R9 = L 9
cric 4 Rg - 1g = 59 - + R94= 4RgFG+ E44: FLARGA9- 199 =
Sgng = 4 R99 = + R9F. g = E99: EF 4R9A9. + 4 RGF9 -+R99=
A99 f. F99.
30. Jam verO, Crura A, C, continene angulum sesquiquacrantalem, seu graduum
735. (Oc qui est angulus in peripheria insistens arcui irium quacrancum.) E
Opterea,
2I. In crianeulo rectilineo, cujus aneulus in verrice est eraduum 135; si duptum
aecresati quadratorum crurum (2. A9 + 2 F. 9) dempto quadrato basis ( 4 = 2. R 4)
aucatur in quadratum basis (2. R g.) Productum hujus (4 A 4 R 4 F + F g R 9 -
A. R49 = 2. A9 + 2 F. 9- ZRg: in 2 R 4) aeguatur crurum biquadratis, (A 49
LF. 99)
32. Tlinc ergo paree, Commoda Mecbodus Aadendi Biquadrata.
33. Subductio Biquadratorum, pari methodo (parUI MULata) peragi DOtCA.
Sed commodior methodus illud perasendi, est, Mulciptrcando summam quadrato-
rum per eorundem differentiam. Nam A9 = E. q in A9 = F 9 = A 99 - E44.
Sed ea speculatio non est hujus loci.
34. Item; In tali trianeulo (cujus angulus in vertice est graduum 235) SE
duplum acereeari quadratorum crurum, ducatur in quadratum basis: Productum
aequatur Rquadraris omnium laterum. Cum enim sic 4 AgR 4 F + F. 9R 9-
C49 =) 4. R99 = A99 f C. 99; erit A99 + E44 F e42 = 4 A 4R4
F 4C9Rg = 2A4 + 2L. 9 in (2R9 =) 99.
35. Trem; Duia. (ut ostensum clt. 527, 28,
ERG= AA -- Y: 4B9- xq.
ade0guC

## Folio 548 — 851708439:0572
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000572.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
DE SECTTONEDUS. Cap. III.
aecoque + R 44 - 4 RgAq + A44 = E9 = +R9 - P4; et + R44 - AR 9A4
+ A99 = PGEq = 4 PgRg -P94. ErSO, P99 + A99 = + P4R4 + 4 AgR9
=4R94. EL, Sumiliter, PrOPIeE
R9 = P. 4 = A = Y: 4R9 -59: acteo.
gue +R94 = + RAF 4 + E 44 = Ag = 4 R4 = 59; et 4 R49 = 4 R 9F4
FF99 =SgAg = +R959- 599: Fres 594 + E. 49 = + R954 + ARGF4
4R99.
36. Sed cum A, P, cum F, S, concinene anoulum semiguadrantalem, Peu gra-
duum 45. (Ve qui est angulus in peripheria insistens accui quactrancali.) Lt
angulorum ad balin alter elt obcusus. F15O,
37. In crianeclo rectilineo, cujus aneutus in vertice est eraduum 45, seu recti
semis, e ansulorum ad basin alter obtusus: Si auplum acoreeari quadratorum
crurum (UC 2 Pg L 2 A 9) dempto quadrato basis (Og == 2R9) ducatur in
quadratum basis (2 R 9:) Produetum (4. P 9R9. f 4. AgR9 - + H 99 = 2P9
F 2 A 9 = 2R9 in 2R9) aequatur crurum biquadratis, (P49. F A94.) Si-
milicer, 254 + 2P.9 2Rg in 2R4 = 45gR9 F 4 Li gR4 4R49 = 599
+ P 99.
38. Arque hrinc paret Alia methodus Radendi Biquadrata.
30. Trem: In tali trianculo, cujus anculus in vertico est graduum 45,  an-
eutorum ad basin alter obtusus: Si duptum aecrecati quadratorum crurum, duea
cur in quadratum vasis: Productum aequatur Biquadratis omnium laterum. Nam
proprer 4P9k9 F 4A929- 4R99 = P99. f Agg: tirgo P99  A99. 
+R99 =) 44 = 4 PgR4 + 4 AgR9 = 2P9 f 2Ag m (2 R9 =) 99
EC, proxter 4S9R9 F 4FgR9 - 4R99 =-599 F F99; Frgo599. f E99. 
(4R99 =) 999 = 459R9 F 4 F. 9R9 = 259 f 2F9 in (2R9 =) 99
40. POrrO: Si circulo inscribatur quadrilaterum,
cujus oppolica latera Finc S, A, e Q, Q; e diago-
nales P, P, (ut in Schemate:) Fum, P4- (99=)
2R9 = SA. FrGO = 2= 2R4=5 = Y: 4R9
A9. E, P9 - ZRa = A = Y: 4 Rg- 54.
ErBO P94 = 4PgR4 + 4 R44 = 59 = 4R4
19. F, P49 + PgR4+ +R42 = 19 = 4 24
=S9. EL, consequenter, P g9 - 4 P gR q. F 4 R94
=A959 = 4 R9A9 - A99 = 4 R959 599
4T. Acque, eadem ratione, Si quadrilacerum inseribatur cujus opposica lacera
SinE E, P,  G, Q; e diagonales 5, S: Tum 59- (99 =) 2R9 = F. P.
Frgo 54
R
= P = Y: 4Rg - E9. E, D9- 2R4 = F = 1: 4Rg - P4:
Ere0 344= +5quq + 4RG4 - Cg - 4Rg- Pg. F, 394 45924 + + R94
=P9 = 4 R9 = F g. ET ConSeqUentr, 599 = 4SgRg F 4R99 = PGF. 9
qPgRq= egq = 4E9R9 -- 1.99.
42. FF uroquE modo concludetur, 599 F P99 = 45qR9 F 4 PqR9
4R49.
43. Sed P, S, continent semiltem recti anguli, seu angulum graduum 45;
(ur qui est anculus in peripheria insistens areui quadrancali;) ansulique ad bâlin
Tunc acuci ambo: F. r80,
44. In trianeulo rectilineo, cujus aneulus in vertice est eraduum 45, e uterque
ad basin acutus: Si duplum accreeati quadratorum crurum (ut 2. 59 = 2 P 4)
dempto quadrato basis (O 4 =. 2 L 9) duvacur in quadiacum basis (2 R 4) 210.
ductum
ti
Iu
C
ae

## Folio 549 — 851708439:0573
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000573.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
Cap. III
AN GAE A R EBI5.
ductum (459R9 + + PgRg = 4 R99 = 259 + 2P9 = 2Rg in 2R4) a
quatur Biquacratis crurum, (549 = P49.)
45. F.Aque hac Tertia methodus Aadendi Bignadrata.
46. Irem; In tali triansulo (cujus angulus in verrice est gradtuum 45,  uter
que ad basim acurus:) Si duplum assreeati quadratorum crurum, ducatur in
quodratum basis: Productum aequatur Biquadratis omnium laterum. Cum enim
lic 599 + P99 = 459R9 f 4 P gR9 = 4R99; erit ereo 594 F P99 
(4R49 =) 94 = 454R9 f + P9R9 = 259 f 2P9 1 2R9.
47. FIxC Theoremata Seorsim demonstrata; sve angulus ad verticem LIE BC2-
duum 135, live graduum 45; ee sire ansulorum ad balin sic alier obcusus, sire
REErque aCutS, hoc c, lire criangulum lic obtusangulum, sive acuranoulum
(quorum urxiris reteramus rectangulum) ad haec generalia rerocemus.
48. In trianeulo rectilineo, cujus aneulus in verrice sit vel graduum 135, vet
eraduum 45; duplum aecresati quadratorum crurum, dempto quadrato basis, du
etum in quadratum basis; aequatur biquadratis crurum. (Per 531, 37,44.) Ouae
est Addirio Biquadratorum.
43. Fdemque duplum agcrecati quadratorum crurum, ductum in quadratum
vasis; aequatur omnium laterum Biquadratis. (ver 6 34, 39, 46.)
50. PorrO; AE quatio illa (529) + AgR9. F + F gR9- + R99 = A99+ P99
(aliaque huic limilia 5 35, 42;) elt squatio Ouadratica ex Radice Plana: Cu
jus raclix ct 2 Rq; et, co efticiens medii termini 2 Ag F 2 F. 9; qua itaque aequa-
TuE TumIX duacum quancitatum quarum rectansutum aequatur termino absoluto
A99 f H. 99.
5F. Si iaque eam tractemus pro more aliarum aequationum ejusdem Forma:
adeoque ab A99 F 2 AgF g F P. gq (quadrato semi coetticiencis) auteramus
cerminum absolutum) A99. F P gq: reliduum est 2 AgF. 9. Cujus radix qua
dratica V 2 A gE g = A F V 2, addita vel dempra semi coesticienti, extribet hujus
aequationis Radicem, A9 f H. g = A F. V 2 = 2 R9 = 9.
52. Sed hujus ambigux aequacionis, manitestum est, radicem Majorem eligen
dam clic, pro calu 520; quoniam angulus in verrice (Srac. 135) est recto ma-
jor; adeoque quactratum balis 99, majus esse debet, quam duo quactrata crurum
Ag = R. 9. Ideoque A9 L F g F AE V 2 = 2 R 9 = 9. HOC cst,
53. Si quadrais crarum continentium ansulum sesquiquadrantalem (seu era-
duum 235) addatur rectaneulum eorundem crurum in Y2 ductum; aecresatum
aequatur quadrato basis.
S. Simuliter oltendeur; quod Aiquaciones 535, Eunc icem quadraciea Xqua.
tiones ex ractice plana 2 R 9: Puta, P99 F A99 = q P gR 9 F + A 9R9 4R99.
ec 594 + F99 = 4SgR9 F 4 FgR9 - 4R99: FF IIla 8 42; 599 + P9c
=45qR9 F + PgRg - 4R99. Sed in his omnibus, maniseltum ct, eli-
sendam este (aequationis ambisux) radicem Minorem (non majorem, ut 552.
eo guod ansulus in verrice (srad. 45.) est recto minor; adeoque quadrarum balis
minus esse debet quam duorum crurum quadrata. Adeoque earum radices TuE
P9 = A9 - P AY2 = 2R9, 859 F F9 -SF. V2 2R4, _cS9 + Pg- SPY2
= 2Rg = 9. Hoe est,
55. Si a quadratis crarum concinenrium anculum eractuum 45 (seu recti semis
Tem) auseratur eorundem crurum rectansulum in V 2 ductum; Residuum aequa
cur quadrato basis.
50. Vel utraque cheoremala HC ComsMEaS; Si quaatals etmi onmi
angulum erad. 135, addatur: vel conrinentium aneulum erad. 45, auferatur: eo
rundemerurum rectansulum in V2 auetum: quod prodit, aequabitur quadrato ba-
Sid. Det 3 35155
57. Vetum.

## Folio 550 — 851708439:0574
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000574.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
DE SECTIOHIBUS
Cap. TII.
57. Verum hic proxime notandum c; F, P, (quarum areus complene lemi-
circumterentiam,) et A, S, similiter, (per S9 Cap. L. ) candem poltulati ubleH.
tam duxli areus; C adteoque mulco magis eandem quadrupli.) HOC Cst, =  L est
subrenta dupli AcCuIF, XP: FT = subrenta dupli decus M, et 5.
58. Subrensa isitur tripli arcus F, (quadrante minoris, adeoque multo magis
minoris trience,) est, per 52, 5, cap. Praeced P AF. = R 94
tentam simpli arcus F.
R4
59. Sed eadem subren (a tripli arcus, per 58, 9, cap. praececl. est 3 R GF. = FC
60. ErEO = DE = RGF. -P gF
POF
R9
R9
Ec
R9
E) - 3RgF. - F. C,
R9
R9 (= 3F -
= + L. - F et asereeacum subcentarum tripli de simpli areus.
EC
R
DEt
6r. Ouod etiam sic alias probetur. Ononiam P q. L R. 4 = 4 R g (PTOpter an-
gulum in lemicirento); adeoque P9 = 4 Rg - F. 9, e PgF = 4 R gH. = F. C,
CAPAE = RAE =3 RGF. = FC. FHGB, CAV LGF -3R9F -F C st
subrenta cripli accus; _t PAP. - 4 R 9F - CC
ec simpli.
R9  R9
29 129
Rg) est subrenta rripli accus A: F1
carum cripti ec simpli.
9A
R9
axgregatum subcentarum cripli
G2 B eatem raione, d9A = R9 A, - 89 a
1c
3Rga - ne (- 3A -
R9
R9 = +A- AC aeeregacum subren.
R9
63. Elt aurem arcus P (quadrans auctus areu A, majore sui SCBIENIO) major
quam criens sed minor duobus eriencibus; adeoque subiripti arcus hrujus (per 529,
32 cap. praeced.) R4P = F. gP
R4
64 EGORAP- EqC
i et (per 537 cap. praced.)
= P -. E. 4P, eC = 3RaP
R4
R4
c = 3R9P
R9
Pc
R9 32) est
Tubten(a
las
t v
l. II
61. ded
lve
ept
lue
cea

## Folio 551 — 851708439:0575
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000575.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
Cap. TTI.
AN GUL A RFBUS.
Tubrensa eripli areus; et 4 P-
P
RG
R9
cripli: Hoc est, excetus Tubrena Simpli lupra Subrensam cripli.
65. Sed arcus S (quadrans auctus minore sui LCgmentO F.) cum BONE CATo vel
minor vel major triente, PrOuLarCUS F. est major rel minor quam 3 gradus: Sub.
Aa
censa cripliareus erieu vel-
A95
Si major, 5 -
Sc
R4
- 5 = 35 - =, h arcus S sit minor criene, vet,
R
A95
RC
= 45 - =- erit vel
Summa (ut560, 62, 62) vel Disterentia (ut 564) subrentarum simpli ee dupli;
Prout S major eltaut minor triente.
66. POrrO: Cum ance oltensum sIE (52) quod, in quadruplatione areus, qua-
drante Ninoris, SIcC g = Ag = BD; eo quod subrenta Tripli major st quam
subrensa Simpli; adeoque C, C, diagonales, et A, A, latera oppolica: Jam Si arcus
quadruplandus sic Major quadrante (sed minor eribus quactrancibus) ut SuNEar-
cus P e S; Tubrensa Simpli major elt quam Tubrensa Fripli. Iam, potito arcu
simpli = Z A (es A minus quam Z); eriplus exit Z F 3 A; hujusque subrenta cadem
cum Cubtenta areus Z F 3 R. (nam incegra rerolumo, hoc catunil ralet.) Atque
hic (quamdiu A manet minor quam +) remocior erit (vel in defectu rel in ex
cellu) a semicircumterentia (adeoque minorem chordam poltulabit) quam = F A.
67. Acque hinc Fc, quod, in hoc catu, P, P, (aut S, S,) tume diasonales; et
C, C, oppolita latera. E consequenter, Pg - C9 = BD, (et 59 - C9 = bD.
Adeoque 2 C9 - D - 39= C9. Hoc es
58. Duadrarum subtensae arcus quadrante majoris, sed minoris tribus quadran-
sibus; dempto quadrato tripli arcus: aequatur rectaneuto subt
ec
quadrupti.  Adeoque per harum utramris dirilum, exhibet reliqu
69. Sed P F C in P = C, aequat P 9 - C 9. Adeoque B. P F C:: P = C. D.
(e similiter, B. S FC:: 5 - c. D.) HOC est,
70. Vt subtensa dupli arous, ad Aeereeatum subtensarum tripli e simpii (qua-
drante majoris, sed minoris tribus quadrantibus:) sic earundem Disferentia, ad
subtensam Qua drupti.
7E. Cum igicur subcenta cripli arcus P = = F A C crience majoris) sIC
eCC 6P 42 F 9Pq: Si HOC auFeratUIE ex
= 3P; cujus quodratum est
R9q R9
Pq reliduumque (P q - C 9 =
PCC
SPa4 = 8 P 4) dividatur per
R92  R4
B = = V: 4Rg - P9: (ue supra, 87 Factum est catu limili; ) prodibir
e9 = C9 - Pc = 2R9
RC
per =; et quoriens hujus per 4 R 9 = P q seu per = P 4 = 4 R 9; et randem
resticuatur mulciplicatio per V: 4 R g - P 9.
72. Et proprerea (mutata aequalicare in analogiam) RC. PC = ZRqP: : V:
4R q - P g. D.
23. Idem continget s SumatuT arCUS S = 2 F F. Ouamvis enim tieri possic ut
sit vel major vel minor trienLC, PTOuL P. CA major vel minor quam 30 practus; adeo-
que subtenta cripli, vel = = 35, vel 35 =: Non tamen inde quiequam,
hoc calu, mutatum erir; quoniam, ucroris modo, hujus quadracum eric idem. A.
BC- ZR95
RC
-S9: = D. Et RC, SC = 2R95:: V: 4Rg - 59. D. HOCCst
74. OE cabus racii; ad subtensam areus, quadrante majoris sed tribus qua
drantibus

## Folio 552 — 851708439:0576
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000576.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
DE DECTIONIBUS
Cap. TII.
drantibus minoris, ductam in quadratum sui demptis duobus quadraris radii: sie
est subtensa differentiae a semicircumferentia (sive in excectu tire in detectu;) ad
subcensam arcus duadrupli.
75. Vel Cc: R.  = 2P:: F. D. Vel R. dC = 25:: A. D. HOC et,
76. Bt Radius; ad Cubum subtensae areus majoris quadrante sed minoris cri-
bus quadrantibus, divisum per quadratum radii, dempto auplo subtensa: sic est
subtensa Differentiae a semicircumferentia; ad subtensam arcus duadrupli.
SC
C = 2P = C = P: EL (Si arCUS S EE major trIenL)
Rg 25 =C + S. ErSO, R. P + C:: F. D. (A R. 5 f c:: A. D. Hoc est,
78. e+ Radius; ad Recreeatum subtensarum areus tripti e simpli (majoris
triente, e minoris duobus trientibus;) si est subtensa Differentiae hujus areus a
semicircumferentia ad subtensam arcus Duadruph.
79. Sin arcus S, ucut major quactranre, sic minor crience; auc major duobus
eriencibus, sce nribus quacrancibus minor: Tum est p= = 25 =5 c. Adeo.
que R. S = C:: A. D. HIOC CA,
80. Ot Radius; ad subtensam arcus majoris quadrante, sed minoris triente,
(vel duobus trientibus majoris, sed minoris tribus, quadrantibus, dempta sub-
tensa tripli arcus: sic est subtensa Differentia hujus arcus a semicircumferentia
ad subtensam arcus duadrupl.
8I. Duae omnia sunc ab ipso Schemate manifesta. Obi chorda D, Subtendit
quadeupto arcuum A, E, P, S: et B subtendit duplo areuum E, P; et b dupto
areuum A, 5.
BE. Et in Ouadrilatero cujus latera B, D, sunc opposica et paralleta: _t C, C,
Oppolica; et P, P, rectae diagonales; Pq= Cg =BD; e Pg C4 = D. E
Timiliter, in Ouacrilatero ubi latera B D Func oppotica ee parallela; e CC latera
opposica; ee 55 diaeonales: 59 - c9 = bD, et 39 = C9 - D
83. Fr in eadem figura F9, ubi non tantum P, Sed _ arcuS S, Supponitur major
criente; duxe chordae S, S, (pariter ac P, P,) secane chorcam D.
84. Sed in altera tigura 20; ubi arcus S supponi.
tur major quacirante led minor triente; catus est
aliquanco diversus. Nam hic, areu b (Tubrenta
dupli arcus S) jacente ex altero latere ipsius D
(Tubrenlae quadrupli,) chorda D a chordis S non
LCCatuI.
85. Sed res eodem recidit: Nlam dua chordae
S S (live secem tive non secent chordam D)
cum non ingrediantur inseriptum quadrilaterum
(sed Tolummodo ostendunt b subrentam esse dupli
aECUS) CxIL utCUnque S9 - C9 = bD.
86. Eadem quae prius, postine alices demon-
Itrari (_ quidem commodius) hoc modo: Ni
mirum, (I, pro quadrilatero cujus quatuor latera
e dux diagonales TunE A, A, C, C, B, D; su
anEUIE A, A, B, B, C, D: (TumpciS TubtensIS Tim-
pli de dupli arcus bis; de cripli quadruplique se
mel:) cum eadem fere rarietate qua prius. Nam
R7. Si subrensa sumpli arcus A (vel F.) Sic mi-
nOx quadrante: cum A, B, _ A, D, crunt latera
oppolica; e B, C, diagonales. Adeoque CB = AB
= AD. EL Con sequienet 2 A -
=C- A
in

## Folio 553 — 851708439:0577
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000577.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
Cap. III.
ANOUL AR TBIS.
in (B =) = Y: 4R4 - A4: aequabic AD. HOC est 2 R9 Aq - A94
4R9 = Ag: = A D. EF ZR9A = AC
V: 4Rg = A9: = D, ut prius. EE
RC
DEE Candtem rationem, CB - E B = L. D = ZRGE9 - F 44 5: 4. Rg = Fg.
c
2RGF = FC +: 4Rg - E 9. = D.
RC
38. Si Hic D (vel 5) Sutrensa simpli quadrante
majoris, aur etiam majoris criente, (sed duobus crien-
tibus minoris:) Tum B, C, et B, P, (auE B, S,) c.
runt opPOlita latera; e D, P, (seu D, S,) diagona
Les. Et proprerea BC. F BP = P D, (teu BC = B5
= 2P (= C.  P
=SD.) E consequenter, R
in (B =) = Y: 4R9 = P 9: aequabit PD. HOC
est, P44 = 2 RgP4 Y: 4. R4 - P9: = PD. Pt
RC
PC = ZR9P
RC
V: 4 R9 = P9: = D; uc prius. AEque eadem ratione, BC F B5
= SD (A SC accus S major triente;) FE SC = 2R45
RC
80. Sed, Si arcuS S sc major quadrante sed criente
minor: (aut arcus P major duobus crientibus. Sed
minor tribus quadrantibus:) Tum B, C, e D, S
sunc oppotua lacera; et B, S, diagonales. Adeoque
B5 = BC = SD. Ft, ConSEquentEF, 25 -
RC
(= 5 = C) in (B =) = V: 4 R9 - 59: = 5D.
Hoc es 2R959 -5441: 4R9 - 59: = 5D.
C
EF ZR45 -SC
RC
RC
(E sit arcus P major duobus rriencibus; quod cancundem est dc si estet uno mi-
E RGP = PC
RC V: 4R9 - Pg: = D.
90. A quibus omnibus, hioc oritur Theorema generale: Rectansulum subten-
sarum areus simpli e quadruxti; aequatur subtensae dupsi ducta in excessum
subtensae tripl supra subtentam simpli, si hic sit quadrance minor, aut major tri-
bus quadrantibus; vel in excessum subtensae simpli (si sit major quadrante sed
rriente minor, aut major duobus trientibus sed minor tribus quadrantibus) supra
subtensam cripli; vel denique, in summam subcensarum tripli ex simpli, si sit hic
major triente sed minor duobus trientibus. Hloc Cst; AD = B in
C =A; SI arCUS A EIL minOr quadrance aut major tribus quadrantibus.
A -C: Ei sit major quadrance sed minor criente; auc major duobus trienti.
bus sed minor cribus quadrantibus.
A. F C; Ii sic major triente, Led minor duobus criencbus.
OT. EE, universaliter,
2R9A ∞ AC
RC
rentia inter 2 Rq AC AC (quorum illud majus est, (i arcus simplex Fic quadrante
minOr, aut major iribus quactrancibus; sed hic, l Conra;) divisa per RC, ducatur
in V: 4 Rg - Aq: Productum aequatur D, subtensae areus quadrupti.
A 2 a 2
92. Ft
V. 4k9- 59: = D.
ZXIF

## Folio 554 — 851708439:0578
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000578.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
DE SECTIONTBUS
Cap. I11
9E. EE propterea, R C. 2 RgA B AC:: V: 4 R g = Ag. D. HOC cll,
93. Si cubus radii; ad sondum subtensae simpli areus ductae in disserentiam
inter quaaratum sin e duplum quadrati radii: Sic subtensa differentia istius ar-
cus sumpl à semieircumferentia, ad subtensam areus qua-
drupl.
94. Pamque, Ouod ante dictum cM, 5 Y5 Cap. T. Ouod
subrenta arcus, se relidui ad semicircumterenciam (auE eX-
cettus supra circumterentiam) eandem habebune subrentam
dupli arcus: Pancundem est ac si diceretur;  quovis cir-
cumferentiae puncto, Duae subtensa ductae ad Duo inscriptae
diametri excrema (u A, L,) eandem habebunt (B) subter
sam areus Dupt
95. Ouodque dictum cs _ 12, +6, cap. praeced. Onod
subrensa arcus crience minoris, ejusque ad criencem relidui
(uE A, F,) _ eriencis vcrovis eorum aucti (uE Z,) can-
dem habebunt Cubcentam Pripli: Tancundem est dc f di-
CerCtUE; A quovis circumferentiae puncto, Tres subtensae
ductae ad Tres angulos inscripei (regularis) Trieoni, (ut
A, E, Z:) eandem habebunt (C) subtensam areus Pri-
96. Ouodque dictum est supra, 5 +8, 20. Quod Tubrenta ar-
cus quadrante minoris, ejusque relidus ad quadrancem, (ut A,
E, ) e quadrantis urroris eorum aueti (WEP, S,) eandem ha-
bebune subrensam quadrupli arcus: Fantundem est ac li dice.
retuX, Aquovis circumferentiae puncto quatuor subiensa du-
Et ae ad duatuor angulos inscripi (recularis) Tetragoni, (UE
A, E, P, S,) eandem habebunt (D) subtensam aveus Quadiu.
pl
97. Idemque valee, respective, in alis arcuum mulciplica.
cionibus. Or duinque Tubrensae a quoris cireumferentia pun-
cto ad Ouinque angulos inscripri (regularis) Pentagoni; e Sex, ad Sex Hexa-
soni angulos; _cc. eandem habebune subrentam areus Ouincuplis Sexcupti, dc.
Nam haec omnia nituntur eodem communi principio; Duod Semicircumterentia
duplicata, Friens criplicacus, Guadrans quadruplicatus, Juintans quincuplicatus,
Sextans sexcuplicatus, ee Sic deinceps, unam conticiunt rerolutionem integram;
quae, in hoc negorio, nihilo aequiralet; quippe eodem perrenietur unde incaeptum
erat, ut Colius Fxcellus contiderario habeatur. E, proprerea, universalicer va-
lebic.
08. A quovis eircumserentiae puncto, duae, tres, quatuor, quinque, sex, pluresve
subvensae ductae, ad totidem extrema Diametri, ansulosve (resularis) Trieoni, Le-
traconi, Pentasoni, Flexaeoni, ahusve Polyconi, ulcungne inscripri; eandem habe-
bunt subtensam ansuli per eum (respective) numerum multiplicati. PL PrOPIeICa
99. Aiquatio pertinens ad hujusmodi areus anoulive Multiplicationem aut de
Sionem, tot habebit radices (astirmAtiVaS auE necacIVAS) quot innuit sxponens
istius multiplicationis aut sectionis. Puca, duas pro bilectione, rres pro crilectione,
quatuor pro quadrilectione, quinque pro quinquilectione, et lic deincers.
700. Ft, consequenter, Jales Siquationes resolvi possunt, per talem respective
sectionem ansuli. Prour supra nocacum eAt, 56L cap. praeced. de Trisectione ansuli.

## Folio 555 — 851708439:0579
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000579.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
Cap. IV.
222l 2a22 et id.
CF
De duintuplatione es Duinquisectione
Areus vel euli.
F. F TCirculo inseribiatur Ouadrilaterum, cujus latera A, F, (MMhFeNIX AFCUS N
Opli ee quincupli) sinc Parallela; e B, B, (Tubtenta duplorum) iem op.
potita: Diagonales crunt C, C, (Tubrenta eri
Plorum;) uc ex Figura pater. Sed patet eriam,
quod, hoc cari arcus A minor est Ouintante
(seu parre quinea) corius circumterentix.
2. Frso (cum Rectangulum Diagonalium
aequale LiE duobus rectangulIS oppolcorum L. 2-
terum) C9 - B9 = - A H. FF, cadem ratio.
nC, C9 -- b9 = V, V. HIOC Cl,
3. Quadrarum subtensae T. iphi areus, Dempto
duadrato subtensae arcus Dupli: aequatur Re-
Etaneulo subtensarum Simpli (quintante mino.
ris) e duintuph.
4. Adeoque; si per harum utramvis divida
tur: exhibebit religuam. Hoc est, Cg = B
= F: 8 C9 = B4 = A. FC similicer, =9 = b4.
5. Sed C F B in C =B aequat C9 - B9. Adeoquem A. C F B: : C -B. F.
Hocest,
6. Ot subtensa Simpli arcus, quintante minoris, ad Aecrecatum subtensarum
Tripli e Duphi; sie est Facessus subtensa tripli supra subtensam duxle, ad sublen-
jam duintuxii.
7. Et quoniam, (per 58 cap. 2. ) C = 3 A = R9
6A99, ACC
R9 FR99. Ft (Der S7 cap. F. ) B9 = 4 A9
R9 R99 AF. Ft5A = S AC, Agc
5A9- 5444, ACc
Hoc est,
adeot e 4= 3 A e
194
R9
L. 16O, C9 B9=
Rq  Rgg =F = 5F - 5 F. C, F 4C
R9 F R94
8. Si auintuplo subtensae areus quintante minoris, Dempes quincuxlo cubi ejus-
dem subrensae per quadratum radii diviso, Aadatur (quadricubus, seu) super solidus
ejusdem subten sae per biquadratum racii divisus: Prodibit subtensa Kuntuph areus.
9. Idem sic alias elicietur: Sumpro Ouadri-
latero, cujus opposita lacera sInE A, A, et P, C:
e diagonales D, D. Adeoque D9 = A9 =
CF. Ec similiter, 09 F. 9 = cF. Hoc ett,
TO: Quadratum subtensa Quadrupli areus,
Dempto quadrato subtensae Simpli, (duintante
minoris. Aequatur Rectaneulo subtensarum
Tripii C Duintupli. Ec per ucramris diritum,
exhribet reliquam.
EE. Fx quoniam D + A in D = A, aequat
D9 = A9; ergo, C. D + A:: D - A. F. Si-
militer, c. d f. F:: D - P. F. Hocest,
22. Vi subtensa Fripi arcus, ad Aeeresa-
rum subtensarum Duadruph, e Simpli (Duin-
rante minoris;) sic est earandem Differentia, ad subtensam duintupli.
A a aa2
F: _ C9 =b9
. Sed

## Folio 556 — 851708439:0580
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000580.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 79 lines, status machine
DE SECTLONIBAS Cap. IV.
3. Sed (per 57 cap. Praeced.
qA = AC
RC
V: 4Rg - A9: = D. Adeoque
I6RCCA9 - 20R99 A99. = BR9 ACC = Aceq = D9. Hinc si auteratur A 4; fic
25A9- 20499
RG
3RGA = AC
R9
UE prius.
RCC
BACC
Accq
R99 RCC
=D9 = A9 = C F. Acque hoc divitum per
exhriber s. R99A - 5 RGAC + ACq - F - SRGgE. -5 RIEC. f F c4
R94
R42
24. Idem cercio modo sic clicietur. In-
scripeo Ouadrilarero, cujus Oppolica latera
LInE A, C, _ A, F; _ DiaGonalcSB, D. Adco.
que AC F AV =BD: EEBD = AC = AF.
Ac Similicer, bd - cF. = F. F. Hoc elt,
25. Rectanculum subtensarum arcuum Du-
Pli  duadrupli: Dempto Rectanculo subten-
sarum Simpli (quintante minoris)  Priphi:
Niquatur Rectaneulo subrensarum Simpli es
Duintupli. E.c per ucramris dirisum, extribee
reliquam.
26. ErcO, A. B:: D: C F F. ELF. b:: D.
c Y F. HlocClt
27. Ve subtensa Simpli areus (quiniante mi-
noris,) ad sibiensam Dapu. Sic est subtensa Quadrupli, ad Mereeatum subtensa
rum dimph  Lacupl.
22919 - A92 ia gR29 - A9.
R94
2R9A- AC
R99
RC
AC
R4
adleoque A C - 3RGA9 = A 49 - 3RG9Aq = RGA44. EYBOBD - AC=
RC
R99
SRg4AG- 5RgA94 F ACB = AF. P, 5R99A - 5 RgAC + A C9-
R99
F - 5R4gF - 5RgF C + P. C Q ut prius.
R94
R44
29. Vet hie compunemus Duoniam A C. + AP = BD - B(99 A9 - 029 499 + AcC
R94
ut prius. ErGO BD BR99A - sRgAC t AC9 = C + F. Ielcoque (lubelucto C. =
R9
R94
Rg9A - , RGACt Aeq = p. - sRGGHE-sRqPCF FCL, neprius.
R49
R99
20. Idem, quarta vice sc elicietur. Inferip.
eo Ouadeilatero cujus opposita Lacera (nc B,
F, e B, A: e Diagonales C, D. Adeoque
BA + BF =CD: EtCD =BA =BF. (LL
CD=BC
similiter CD = bF. = BF. ) FL B
Hloc est
2T. Rectaneulum subtensarum areuum Tri-
pli e duadrupti, Dempro Rectangulo subtensa-
rum Dupli e Simpli (quintante minoris:
Sequatur Rectaneulo subtensarum Duxii e3
Duincupli. Ec per ucramris diritum, extribet
reliquam.
AC
XdVTI
22. Et propierea, B. C:: D. A F F. FLV. C:: B. B F P. HOC est,
23. 61
1
48
que
a

## Folio 557 — 851708439:0581
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000581.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
Cap. IV.
A N GUL AR FB IS.
23. Or subtensa areus Duxli, ad subtensam Fript: su subiensa Duadrupti ad
Aegreeatum subtensarum simpli (quintante minoris) e duincupti.
iec D - 2 R4A = Ac
3RqA- AC
24. Sed C -
R9
C
R9
6R99A4 -5 R9H99 L Aec Y: 4 R 4 = A g. Similicer, B = f Y. 4R9- A9. adeoque
Rc9
BA = = 2 Y: 4 R4 Ag L LPTOPteTCA CD. BA - BF. - 5R49A9- 5R9A99 + AcC
RC9
4R9 - A9. FF (dividendo per B = p Y: +R4-- Ag. veringue) 5R99A - 5RgAC + Acq
F
SRggF = sRGF C +. FCG. ut prius.
R99
R44
25. Vel sic idem COMpULMUS. Ouoniam B A uf B F = C D =
6R99A9. - 5R9 A94 + ACC
RC9
urinque) eric CD -629 A- sRgne + AcA = A + F. F, 349 A- sRgAe + Aeq
=F. UE priuS.
R99
R94
26. Vel Sic. Ouoniam B A F BF = C. D; adeoque = C = A F F. Trem D =
2R4A = A
RC
R9
;tacit
Et SRg9A = 5 RgAC + ACA =F. ut prius.
R94
R99
=2R4 - A9
RG
23. Sin arcus quincuplandus sic Ouintanscircumterentiae; (aut etiam duo plu-
retre quintantes;) Et, consequenter, arcus quincuplus sic incegra Rerolutio (aut.
plures inccsrae Reroluciones:) Subienta Ouincupli eranelcet, vel nihilo aequa
BituE.
28. Adeoque, hoc casiu, 5 R9gA - , RgAC F ACG = F = 0. FL SRGG A = sRGAC
R99
= AC9 =O. EFSR99 -5R gA9 F A 99 = 0. Scu5 R99 = 5 R9A9 - A99.
A99 SRA4 A99
R4 R R9. Ouxe est Quadrarica A: qua-
iio, cujus Radix et =2, e Coefficiens medii cermini 5 R, et Ouauvicas abso.
Iuta 5R4.
29. Ergo (Resolrendo hane Aquationem) Z R = V: ZR 9 = 5R9: =
ER LYZR9 -3
VER-
30. Cujus squationis ambiguae, Minor Radix est hic elixenda; (ut post pa.
cebic.) HHoc eA S= RG = A9. Adeoque RY S = V = (= R V: Y2 ~Y5 = 1:) =A,
Eubrenta Ouincantis. Hoc Ct
37. Ractius ductas in V aequatur dubtensa mao sedt eta
duum 72.
2
32. Idem

## Folio 558 — 851708439:0582
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000582.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
SEcltodIBaS
RC
6A9. F
24
CaP. LY.
32. Idem sic alias inferetur. Si Circulo in-
Teribatur aequilaterum Pentasonum; cujus la-
LUS A reoutetur subcenta arcus Simpli: Mani-
Feltum elt subrentam Dupli ee subrensam Fripli,
eandem esse. Nam eadem Chorda quX, ex uno
latere, subcendit Duplo; subtendit, ex alio la-
cere, Triplo quincantis. Adeoque = V: 419-
A9: = B = C - 3RgA = AC HoC eA Y:
R9
4R9 - A9: - 3R9= 19. EL 4R9- 19-
DR49 -= 6K9A9 + A92 = ) 9R4 -
Rg; e Sic porro, ut supra, 528.
24
p44 = 0. Ideoque 5R 9 = 5 A4 -
L
Rg. ErGO SR4 - 5A9 +
4
33. Cumque sit (uc jam ostentum est) V: 4 R9 - Ag: - 3R9 A4 -, p 19
Hlac ereo Tubcenta eric Sesqui quincantis (seu rrium decimarum,) hoc est gractu.
um 108: upore, qui cum Duincante, complet Semi circumterentiam. Iloc ett.
34. Differentia quadratorum subtensarum Trientis e Duintantis, per Radium
divisa; squatur subtensae Sesqui quintantis, seu eraduum 108. Nam 3 R9 est
quadrarum subrentae Friencis; et A9, Ouincancis: et horum ditterentia 3 R4
A4 per radium R dirila, est illa Cubrenta. Vet sic;
35. Si ex Fripto Radii,s 3R; Subducatur Quadratum subtensae Duintantis divi-
sum per Radium: Prodibit subtensa Sesqui quintantis, seu graduum 208.
BR-
36. Scd Ouadratum subtentae Ouincantis sic diritum, est (ut Tupra, 530,)
V
=R; quod ex 3R lubeluctum, relinquit L ER; subrentaur Set.
qui quintantis, seu gractuum 208.
37. Jam s Secetur Radius in extrema ee media proportione (per TF F. L. 2.)
seementum majus eris VR; cui s addatur radius L R; habetur V 5  =R
Subrenta gractuum 20B ut priuS. FrBO,
38. Si Radii extrema e media proportione secti Seementum majus, lori radio
addatur; Aecrecarum aequabit subiensam eraduum 108.
39. POrrO: Si Pentagoni sic inscripri Latus A, Consideretur ut subcen la areuS
Simpli, eadem etiam erie subiensa Ouadrupli. Nam eadem Chorda, quae Cx una
Parte Tubcendis Uni Duintanci, subtendit, ex altera parte, Ouacuor Guincantibus.
40. Ergo, in hoc catu, A = D - 2 R9 A = AC
Y: 4 R9 = A 9. FC (mulcipli-
cando per RC mringue) RCA = 2R g A = AC, in V: 4 Rg - Aq. Hoc ett,
RC = 2Rg = Ag in V: 4 R9 - Ag. EC (Sumptis quadratis) RCC = 16RCC
=20Rg4A9 F 8R9A99 = ACc. HIOC CA, L5RCC = 20R99A9 F BR9199
ACC=
4F. Duod S haec ulcima A.quatio divicatur per 3 Rq - A 9 = 3. prodibie A.-
quatiosR49- 5R9A9 F A99 =0.
3l4

## Folio 559 — 851708439:0583
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000583.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
Cap. LV.
LLL GUL A RIBIB.
319 - 19 =0)25RCC 20R99AGLBR9199- ACC- O(SR94 - 5 R919 + 199 -0.
ISRCC SR99A9
=F5R99A9 Y 8R9A99- ACC
25R9GA9 +5R9A94
+ 3R9149 ACC
+3R9A9u ACC
00
+2. FrBO, 3R 9 = A 9 est una Planarum Radicum istius s.quationis: ade0-
que RV 3 = A, quae est subtenla Frientis. Ouod quidem verum est; quoniam
etiam Frientis quadruplus, eandem habet subtentam cum limplo Triente.
12. Sunt autem de alix duxe ejusdem Aiguationis Ractices Plana, quas conri-
net Ortira A. quatio SR 99 = 5R9 R 9 f A 99 = 0. Seu SR94 = 5R9A9- A99.
Nimicum 3 R4 F V. 3 R49- 2 49. -5=5 R9 = 19.
4q. Minor carum, VE Rg = A q est Ouadratum subtentae Ouintantis; leu
erad. 72. ut prins.
45. Major, S = VERq est Ouadracum subtentae Biguinanis, sed et Fri.
quincantis; (ur post videbitur.) Hloc est, graduum 24+ et gractuum 226. Nam
ec horum arcuum quadrupli, eandem subrentam habene cum simplis. Nam
EX4 = 8 = c f. 3. FF 3x4 = 5 = 2 fE. Ohi Excestus polt integras Revolu-
tiones (qua hic nitili TUnC) Tunc Z auEZ; quorum eandem esse subtenlam osten.
sum est 32; RePC cam 2pla quae CA areus simpli Z aUtZ.
46. Cumque sic (ut oltentum est)  V5 R g = ag Quadtacum subremta
Onimanris; Ouadeatum subrenta Residui ad Semicireuicum eric 4R9 - 5 = V 3Rg
=VS R9. Ouod est ixitur Ouadratum subtensae graduum 108 (= 180
= 72.) Fujusque Radix Ouadratica V5 F =ER (=. V.3ER 9:) est ipla Sub.
centa. Ouod de supra ostentum erat.
47. Cumque V =R sic Subtenta gractuum 208; hoc est, praduum 18
supra Ouadrantem: Fsto haec Subrenta S, e subtenta graduum 18 (qui est
Exceltus supra Ouacrantem) B. Ergo (per 5 54. Cap. praeced.) Sg f F9
=SFY 2 = 2R9. Adeoque S9 - 2Rg = FSV2 - Lg. FF (Retolvendo
Aquationem) 35V2 FV: 2Rg - =Sg: = H. Obi minor Radix eligenda est,
quoniam L est minor duarum S, F; quibus uerisque convenir haec A. quatio.
18. Sed (ut ostentum est) 5 = V5 F ER: Adeoque = S12 -Y +0 F V2B.
Et 59 = 3 = VE RG; FL Proptetea 2RG - , 59 - 5 = VE RG (semissio Du2.
draci subrenta Onincamis) cujus Raclie quadrarica est V. 5. V5: R. F1B0 (cum
minor racie hie sic elieneta) Y10. + 12 - 2 V. 5 - 15: R = F, e Subtenta
Eractuum 18.
40. Fst autem Areus graduum 28, Complementum Ouintantis ad Ouadrantem.
FrgO, Si subtensa Ouimtancis sey gradtuum 72 (quadrante MIOrIs) DONatIE ut
Prius A = R Y 5 = V5; ee subtenta Complemenii hujus ad Quadrancem (Bra
duum

## Folio 560 — 851708439:0584
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000584.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
DE SECTIONEBUS.
Cap. IV.
duum 18) POnatuE F.: Tum (per 5 52. Cap. praeced.) A9 f F9 F AF V2 -= 2B9.
ErGO E 9 = AEVZ =2R9 = Ag. EF (Resolrendo Aquationem) V: ZA9
F 2Rg - A9: (= V: 2R 9 = 5A9:
= =AV 2 = F
50. Sed A9 = 5= VRq: adeoque ZRg = ; Ag - 3 = V5 RG (Semis qua.
drati subtentae Sesquiquintantis seu graduum 108;) hujusque Radix quacracica
=R9 =  20F 12 R. FCS AY2 = AY: = RY5=15 -Y: 5 - 15: P
Crgo. Y 20 F 12 - 2Y. 5 = v5: R = F, Subienta erachum 18: ue prius. Hloc
cAt,
5T. Subtensa Sesquiquintantis, seu graduum 208 (quod est Majus Segmen-
tum Radii extrema e media proportione secti, ipso Radio aucrum,) Ducta in
Y2, (nam YS F =RV2 = YF0 +
=R;) Dempta subtensa Duintantis dudia
item in Y 2, (nam R V3= = in V2, =RV: 5 - V5:) Sequatur Duplo sub-
rensae sraduum 28. Elujusque Semis, est ipla Subcenta. Vet
52. Differentia Subtensarum Sesqui quintantis e Duintantis (Peu gractuum
108 de readuum 72) Divisa per Y2: Squatur Subtensae eraduum 18. TTOC
CA Disterentia illa est porestare dupla (seu Duplum porcst) hujus subcentae:
Peu Ouadratum illius est Duplum Ouadrari hujus.
53. Sed, Subsensa duintantis e Sesquiquintantis (hoc est graduum 72 8
graduum 108, qui simul complent Semicircumterentiam) inter se Multiplicatae
(seu harum Rectansutum) per radium divisae: sequant Subtensam Dupli ar-
cus utriusvis. Nam (per 6 0. Cap. T. ) H) A F (B. HIOC el, Subcentam ora-
duum 244, e Subtenlam gractuum 226. HIoc cst, Biguincantis, aut Priguintan-
iis; (quorum subtensa CMt cadem.) HOC est, =  VEV: 5 = VS R 9
=R B + V5, v V5 = Ry5 +V5 HoC C
54. Padius ductus in V3; Sguatur subtensae sive Biguincantis, sive
Triquintantis. Hloc est, Subtenx gractuum 244 aut Gractuum 226.
55. Hujusque Ouacracum, Subduetum ex Ouacraco Diametri, relinquit
ER4) Ouadratum Subcentae graduum 36; (quanto gractus +4+ deticiunt
d Semicireumterentia, _ gradtus 226 candem superant: Nam 180 = 144 = 36
= 216 - 180.) Ejulque Radix quadtacica est ipta subtenta, Y. 3=  5 R4.
15
R. HoC eAt,
56. Seementum Majus Radii extrema ex media proporcione secti, est Subcensa
eraduum 36. Hloc elt, Semiquintantis, seu Laceris inseripei Decasoni.
57. Sed ostentum est (5 38) si hoc Radio addatur, (hoc est Subren(a Bra-
duum 60, seu Laceri inseripei FTexagoni,) Fiet Subrenla gradtuum 108, Teu Tel.
qui quintancis. Ergo,
58. Recresatum Subtensarum eraduum 36, e graduum 60 (hoc est, L ale.
rum Decagoni ee Fexagoni) Siquatur subtensae gractuum 208; hoc eAt, Sel
quiquincantis, seu Prium Decimarum.
59. Si ereo Subtentae practuum 36, Y5 = = R, aditacur Subtenta exaduum 208,
=R; sC YSRq seu RY 5. HOc est,
60. u-

## Folio 561 — 851708439:0585
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000585.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
C
C. aP. LV
60. Subtensae Semiquintantis (Teu gradium 36.) e Sesquiquintantis (leu
Graduum 208) simul additae, possunt duincuplum Radii. (Hoc elt, Ouadrarum
Nepregati aequarur Duinque Quactaris Ractii.) Num  = R + Y5+
LR =RYS.
62. Farungue Differentia aequatur Radio. Nam V5 F = X - V5 = +
E=F
62. Farunque Rectanenlum, aquatur Duadiato Radii. Nam Y5 + 2
V5 = = p = R4.
63. Et Summa Duadratorum illarum, aequatur FTripto Quadrari Ractii; (Teu
Duadrato Lateris inseripii Frieoni.) Hoc est, 3 F VSRg. + 3= VER9 = 3Rg.
64. F.c Differentia Duadratorum illarum, porest Duincuplum Biquadrati Ra-
sii (leum aequatur duinque Diquadratis Radii.) Nam 3 F VE Rg - 3 = V R 4
=RqVS = VSR94.
65. Trem, Summa Duadratorum subtensarum Duintantis e Biguintantis, (seu
Graduum 72, _ graduum 241) est Duincupium Qundrari Racii. Nam ?- =R 9
VSR9 = 5R4.
66. Et Forundem Disserentia porest Dmincuxium Biquadrari Radii. Nam,
VS R9 -5 VER9 = RqV5 = YSR99.
67. FE Forundem Recianeulum, est duincuxium Biquadrari Ractii. Nam
ER9uS =VER9 =5R99.
58. Flabemus isitur (ut separatim demonstratum Cst) has Subtentas, his Ar.
cubus (seu porcionibus corius Circumterenrix) respondentes.
Subcentae.
RY5+ V5
Cradus. Partes tOriUS.
36. 324
72. 288
208, 252
244. 216
100.
10. 10
 cimisi methodo reperientur Subtensae parcium 10n 20, 28, 2, torius Cir-
cumserentiae, (ut et partium 33, 30, 28, 16.) Nam iptius ; Reliduum ad Oua-
drancem (auc iplarum io Fixcellus supra Ouacranem) est s; Adeoque hujus Sub.
CenTa est Y 2O = V2 =2V:5 =V.
s. 3 + 15: = 1: 5- 15. p: vel RV: 2 - p + r9
rancundem est,s
Reti.
duumque hujus ad Semicircumterentiam, est 8; Cujus ergo Subtensa est
Y 4 +. V: 10 + 215, seu RV. 2 + v  F 13. scem iplis is Residuum ad
bbbd
Oua.
A N GUL A R FB US

## Folio 562 — 851708439:0586
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000586.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
DE SEOTIONTBUS
Cap. IV.
Ouadrantem (seu iplarum Z F. XcesuS Supra Ouadrancem) est . 8: Cujus icague
Subrenta est Y: 5 FV5: = Y: 3 - Y5: B, seu 2 V: 5 = Y5: = Y 10 + 12,
Hujusque ad Semi circumterentiam Resduum est 3; Cujus Subrenta isicur est
R, 4 F Y: 20-15:, (eu RV: 2 + v 3 15. Nam, hujusmodi casibus, idem
valor porest variis Formis designari. (Oux omnia computando Facile prohentur,
Sicue in ancecedentibus sape tactum elt; similiaque Corollaria inde deduci.) Hlo-
rumque Relidua ad inceoram Circumterenciam (38, 18, 36, 163) caldem habent
Subten(aS.
70. Jam igicur habemus, Subrensas Arenum, porcionumre Circumterentix Lo-
immon prout lequicue;
0. 360
18. 343
36. 324
54. 306
72. 288
90. 270
108. 252
126. 23
144. 22
262, 298
180
ZI. Sin hi Arcus omnes comparentur eum Trience; corumque sic compara.
eorum Summa et Ditterentia obserrencur: Flabebimus inde Subcensas acthuc plu.
rimaS; Dex ea quX tracuntur 5 15, 47 Cap. 2. Verbi sracia,
72. Ponamus Subientam pracduum 72, A = R Y ; ee Subientam Bra.
duum 48 (= +20 -72) E. TUm (per 5 L5. Cap. 2.) A 9 f AF f F9 = 3R9:
Adeoque AF F E 9 = 3Rg = A 9. FF (Relolvendo AAquarionem) V: à A4
+ 3Rg = Ag: (= Y: 3R9 - ZAg:) = = A = F.
23. Sed A = R V
ec Ag -
ER9. ErGO L = Y: 3R4 - 3
49: - : 4 - 1: 2 t 313 29: = v: =- 5: R9: -
V.  + 315: Y: 5- 15: -
r: 18 + 675: - r: 20 - 215: p- Y 15. f 13-1: 20-215:R, Subrenta
Eractuum 48, adéoque praduum 312.
24. Similicer: FAo (Ut prius) A Tubrenta practuum 72; de Z. Tubrenta pra.
duum 292 (= x20 + 72.) Tum (per 547. Cap. 2.) Z. 9 = AL. f A9 = 3R9:
EFZ.9 = AL. = 3Rg- A9. FL (helolvendo Aquationem) V. 3 R9- 3A9:
+ 3A
V: 3 + Y5: = Y: 5 = 15: x
=2X
Y. 5 + Y5: = Y. 3- 15x
R V 5= V2
a V 2
F21
L Y4 + Y: 20 -215:
5 + 15
R , 4 F Y: 10 + 215.
d2

## Folio 563 — 851708439:0587
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000587.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
Cap. IV
+ 3 A - 7 = 1. d
A N G U L A R IB U 5.
315R9: + Y: 5 V5R9: = Y: 28. + 615: + Y: 20 - 215: p.
Y25 +Y3. + v.: 20 = 21 5. R, Subiensa sracluum 292, adteoque et praduum 168.
Hoc ettus
75. Si Subtensae Frientis, austae majore sui Seemento extrema e media pro
pertione secta: Addatur, vel Sabtrabatur, Subtensa Duintantis: Prodibit, Ad
dendo duptum subtensae graduum 268, 8292; Subtrabendo vero, duplum Sub.
tensae graduum 48, ∞ 372. Vel SC,
76. Si Majori Seemento Subtensae Frientis, extrema ex media proportione sectae:
Addatur. Summa vel Differentia, subtensarum Trientis e Duintantis: Prodibit
Duplum subtensae, casit Priore, sraduum 2688, 29Z; casu Desterire, eraduum
48, 8 312. Nam, Y:  t3 SR9: = Y: 3  33R4: -- = Y: 3 +15 3R4:
V5 
Y3RQ est Sumis Tubrensae Friencis (Y 3 R 9) auctae majore sui les.
er
menco sic lecta. EF Y: R9: = = RV  13, ell Semis subrentae Ouin-
TanCIS.
27. Tx Ouadrata harum Subcentarum, Suberacta ex + R Q; exhibent Ouadiata
Subentarum, Luarum a Semicircumterencia Ditterenciarum. Hoc clt, Gractuum 12-
_ 232 (quibus 268 e 48 deticiune a Semicircumterentia; _ quibus 192 e 312
CanCEM CxCCcUINC. ) Nam +2 = 18O - 168 = 792 - 18O. F. L 232 = 18O - 48
= 3F2, = 180.
78. Trem; Subrensa Biguintancis, seu gracuum 144, (quae etiam est Subcen sa
Friguincantis, seu Graduum 226,) Frience majoris; ponacur Z. = R Y5 F V5
Ex Subcen (a graduum 96 = = 216 - +20 = 240 = 744, DOnatUY A: Pt SubTen Ca
oradtuum 24 = 14+ = 120 = 240 =216 DOnatuIE F. ErSO (per 5 47. Cap. 2
L.9 - Z. A + A9 = Z 9 - Z F. F F. g = 3R 9. LE (PrOPTCF Z 9 majus quat
3R4) Z4 - 3R9 = Z. A- A9 = ZF = F 9. FE (Relolvendo A quationem)
32 =V: aZ. 9 - Z. 4 + 3R9: = 3 Z = V: 3R9 = 2Z. 9: (= A vel F
= 3 R YS + 15 + = R 19 = 315 -Y
5  V5
Y: 10 + 215: = V: 18 -6 15: R, Subienta pracduum ob si connectanur pec +;
vel eractuum 24 si ver -. Hoc est, priori cati V: 10. + 2Y 5: + Y 15 = 13P
e posteriori catu, V. 20 + 215: = Y 25. F 1 3R. Hoc cs
70. Si Sabtensae Biquincantis, Addatur, vel Suberabatur, Majus Seementum
Subienlae Trientis, extrema  media proportione sectae: Prodibit, Priore casum
Subtensa eraduum 96,  264; Posteriore casun eractuum 24,  336.
80. Fx per has iterum (subirahendo quadraca subrentarum suarum à 4 R g)
habemus Guadeaca subrenlarum Dilterentiarum Luarum d Semicircumterentia, sive
in Excessi live in Detectu. Ducas gractuum 84. = 180 - 96 = 264 = 180, e
Sradtuum 156 = 180 - 24 = 336 = 180.
8F Aeque Ci similiter comparemus reliquas quae 570 habencur, cum Subtenta
Triencis; Llabebimus inde Subcentas Arcuum hic sequenrium;
B0bb2,
Gradus

## Folio 564 — 851708439:0588
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000588.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 79 lines, status machine
64
SECTLONTBUS
120 - 208 = 12
120-
26E
124
348.
274
330. 210
12.
228
246
294.
ap. IV
+
+
+20
120 
5C
120 + 54 = 274
eic
24) ei d
2.76.
258.
240.
222.
282
300
318
204. 336
186. 354)
82. Flabemus itaque (per has, ealque 5 70) Subrentas pro quibusque Senis
sradibus torus Circumterencia; Lt, consequenter, pro Sinibus rectis (qui sunE
harum Subcentarum semisses) pro quibusque Fernis gradibus Semi circumteren-
cix. Idque per Solutionem A. quationum Colummodo Guacraticarum: ABIque OpC
Cubicarum aliarumre superiorum A quationum. Acque inter has incerponi pol-
Redeamus jam, ad Inguisicionem priorem, his aliquatenus interruptam.
83. Aquatio pridem prOBOSItA 5, 7, PrO AF.
cus Ouinquisectione, 5 A - 5AC
AC4
R9 R99
=F:
Praeter duas primarias Radices A, F.; Fres ali.
aS COntinet (per 5 98, 99, Cap. praeced. ) qua
relpiciune Fres alias Chordas (ab eodem pun-
eto unde ducuntur A, F,) ad Fres reliquas in-
Teripei Pencasoni angulos ductas. Ouas voce.
muS L, NI, N. Ouacum L. Subcendit Omincan-
tem auCtuM arCU A, (vel Friguincantem au-
Etu aECU F.) N tubcendie Onintantem au-
Etum areu F, (vel Friguintancem auctum areu
A. ) M Tubrendic Biguintantem auctum utrovis
arcuum A vel P; (aut Priguintantem utroris
minurm.) Nam hi arcus omnes, si quintu
plentur, eandem habehunt Oninctpli Subrentam F, quam habenE AECUS A, vel F,
84. F. X cribus his, S SuppOnanCE A, E, radices ACirMALIVX; CrUNEL, X N,
Dexarirae; sed M Altirmacira. E contra; _ suxponantur A, E, NegacirX; erun
85. Duando Areus Simplus est duintante
Minor (seu Major Duatuor duintantibus;)
aut Duobus quintantibus Major, sed Minor
Tribus: Subtensa Tripli major est quam Du-
Ph. Contra vero: si sit Major Ono, sed Minor
Duobus; aut Tribus Major, sed Minor quam
Quatuor. Ouod considerane lacis obvium elt;
poceltque similicer demonstrari, prout lupra
tactum est casibus contimilibus; acque hic in.
Fa, 993, ec.
86. EF propterea; Si A (vel F.) Sic Lubcen-
Ca Simpli arcus; erit Cg - B9 = AF, (aut
E9 -- bg = F F,) quanCItaS AAIPALIVA. PFO.
uc cAt 6Z
87. Ex similiter, E M sC sublela Simpli (majoris Duobus quincancibus, sed
minoris Fribus,) Cg - B4 = M F, eric nem Altirmarira quanticas.
264
de
Tune quorlibet, per concinuam arcuum Bilectionem.
quincuplati.
88. Sed
LE Attir; _ t Nexarira. Nam,

## Folio 565 — 851708439:0589
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000589.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
Cap. IV
AN GULARTBUS
88. Sed, Quando Areus Simplus, est uno Duintante major, sed minor Duobus,
aut major Fribus, sed minor quam Quaruor: Subtensa Dupli, major est quan
Triph.
80. Adeoque, S Subtensa Simpli Sic N; tum C q - Bg = N F, erit quancitas
Negatira.
90. FF Similiter, Si subtensa Simpli SIEL:
cum erit C.9 -B9 = L. F quantitas NCga.
civa.
OT. OE isicur tianc tam L, NV, quam F, AHF-
matirx: Aiquationes sic crunt ordinandx
B9 - C.9 =- NF, eB4 C9 --T. F. Oux l
ita ponantur, reliquae Fres Radices, crunt NC.
Satira.
92 Sed, (F18. 29) si areus Simplus, sit ipse
Duntans, (aut Duo, Fres, pluretre Ouin-
TancCS,) subtensae Duphie Triph, squales e-
rant. Adeoque (posico V vel X pro Tubtenla
Simpli) crit C9u B9 =V F =0. _ C90B9
=ZF =0. Subcenta Ouincupli (hoc catu)
eraneleente.
93. Ouod autem pro ArCubuS A, E, M, Subtensa Pripli major est quam Duvsi
(TalTem NOn minOx;) Led contra, pro Arcubus L, NV: eA, consideranti, Patis ob.
rium. Nam, S AECUS A, vel F, Sic GradtuU FO; erit B20, C, 30: Si A FIt 20
exit B40, C60: Si A (ic 40; erit B80, C +2O: Si A (IC 6O; CFIL B F2O, C 180.
Acque hactenus nihil est dubii; quia nondum cranlivimus semi circum serenciam:
e donec eo pervenimus, prout crelcunt ArCUS, creleunt irem Chorda.) Si A sit
70; erit B140 = 180 =40, C 210 = 280 f30; Adeoque Chorda arCUS C, UEUL
semi circumterentia majoris, major est quam Chorda arcus B, quiaminus distar ille
2 Semi circumterentia, seu gradibus 180; (nam hie minus excedie, quam ille deti-
cit.) Acque lic, donec derencum est ad grad. 72 (Teu = corius) pro areu Sim
plo: cum vero est B 144 = 180- 36, _ C 276 = 180 f 36; ubi Distantix d Se-
micircumferentia lune aequales; adeoque et aequales Chordae. Sed postquam pra
cergressi sumus Ouintancem; Chorda Pripli minor tic quam Dupti. Nam Si Sim-
pluo ArCuS SIC N = 5 F P. = 73; exit B 146 = 280- 34, C 219 = 180 + 39
qui itaque magis excedir r80, quam inde deticit B; adeoque minorem habet Chor-
dam. Similiter; Si arcus NY FIt80; eric B 16O = +80 - 20, C 240 = 183 7 60.
Si N Sic 90; erit B 180, C 270 = 280 f90. Si N(IC ZOO, erIEB 200 = 580 f 20
= 360 = 260, C 300 = 180 7 120 =360 --60. Vbi Friplus remotior cAt &
Semi circum terentia, urpote eam magis excedens; ec provior ad integram Rerolu.
tionem (aux nihilo aequipollet) vepore ad eam masis appropinquans; adeoque
Pripli Chorda minor est quam Dupli. Sic si N vet L Fit 108; Bell 216 = 180
+ 36 = 360 - 244 C 324 = 360 - 36 = 180 + 544. Si L. = ; Y A FIE 120,
Crit B 240 = 780. f60 =360 = +20, C 360. Adeoque arcus B Chorda major.
Arque sic eric donec derenum sit ad gradtus 144 (seu 3) ubi iverum tiunt xqua-
Bbbb:
des

## Folio 566 — 851708439:0590
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000590.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
 OBCLIONIBUS
les; Duppe cu erit B288 = 160 + 208 =360 -7 2, e C432 = 360 + 72
=543 = 108; quI tanto luperac incesram Rerolutionem, quanco alcer inde de
ticir; tancoque deticir d Fereia Semicircumterentia, quanco alter Cuperac Primam:
Adeoque Chordas habene aequales. Sed pollea; Chorca Friplisic ierum major
quam Dupli. Ntam ( MI areus timplus (IC 145; erie B 290 = 180- F 110 = 36C
70, e C 435 = 360 +
10 = 205. Si MI lic 15O; Crit B300 = 360
60, C450 = 360 + 90. Si M lic 180; eric B 360, C540 = 360 + 180. S1
M (IC 200; erir B 400 = 360 f 40, C600 =360 + 240. Vbi aieus C, upOtC
remotior ab incegra Rerolurione, majorem postulat Chordam. Et sic porro, do-
nec rencum est ad oradus 226. Ten 2 corins Circumterencix; ubi Chordae arcuum
B d C nerum tiune aequales: ErI enim B 432 = 360 + 72, de C 648 = 72C
=72: Obi arcus B tanto excedic primam Rerolutionem, quanco C deticit d se
cunda: Adeoque postulant aequales Chordas. Poltea vero, AreuS L, N, d grac.
2162d 288, ealdem habent chordas cum L, N, a orad. 24 4 recror(um ad 72; (ut
Doce illorum Complementa ad incegram Rerolucionem,) adeoque caldem, cum
illis, habene Dupli et Tripli Chordas: ec propierea (uc illic) chordae Dupli ma-
jores erunc quam Pripli. Inde vero ad 360 (quae elt incesra Rerolucio) Chordae
Tunc eadem cum Chordis arcuum A et F, cum illi sinchorum Complementa ad
incesram Rerolurionem; adeoque hic (uc illic) Chorda Pripti major quam Du-
DlI.
34. Ouxe omnia dependene ab hac una Cenerali contideratione, (quae aequali-
ter reSpICIE omnes hujulmodi AFCUL COPATaTOneS; quam itaque lemel mOn-
ne Fusticioc;) Nimirim.
35. Areus qui aequaliter distant a principio aut fine, unius pluriumve Revolulio.
num inteorarum: aequales habent Subtensas, (nam, eadem Chorda indisterenter
subcendic eas ambas, vel omnes.) Sed qui a tali principio fineve minus distant,
Minores habent Chordas. Ot quae proxius accedunt ad Punetum, Peu 0.
96. Trem, Aeus qui aequaliter distant (sire in Fxcectu sive in Detectu) a Se-
micircumferentiis L, 3, 5, aliisve numero Imparibus; Aquales habent Subtensas:
(nam, e hic, eadem Chorda lubrendit eas ambas aut omnes.) Sed qui ab illis
Semicircum ferentiis minus distant; Majores habent Subtensas: Ut quae propins
accecune ad Diametrum (seu chordam gractuum 180) qua cst omnium maxima.
97. Manitestum isitur elt; Duod, li Areus Li. vel A non TIC major quam ora-
dus 60, adeoque Priplus non major quam Semicireuicus; Subcenta Pripli (uE
Dore propius illuc accedentis) major eric quam subtenta Dupli. Pt quamris A
major sic quam 60 gradus, subcensa Pripli major erir, donec Priplus tanto excC.
dic Semicirenicum, quanio Duplus inde detieir. Hoc clt, donce 2Z a aequet gra-
dus 280, seu lemicirenimm. Hoc c, doncc A = 3, seu grad. 72. Ouodque di-
ctum elt de arcubus P. ee A minoribus quam ; cocius circuicus, pariter valet de
E = T = A, qui caldem chordas habent quaS L. d A; C0-
rumque Dupli ee Pripli caldem quas Dupli ee Pripli horium.
98. Sed li Simplus ArCUS N vel L, exCcdIE: COTIUS CITCUICUS; puta Z L F. vel
F A: subrenla Dupli lonsior eric. Cum enum subcenla iptius 3, cadem SIC CUM
Lubren (a 3 = + = 3: Subcenta 2N =3 f 2 F, (UEPOTC PEODIUS ad ; acccdenis
Major eru quam illa subcensa arcus 3: donec 2 N vel 2L = 3; hoc cst, donec N
vel L. = a, Seu gract. 90. Sed Tubtenta arcus 3N = 3 f 3 P, eric eadem MInOr.
uipore propius accedentis ad L incegram Revolucionem. Lt quidlem abi 2 L. exce-
dic Z, actamen 3 L minorem habebu Chordam, uIPOIC prOpILIS accedenS adt L RC.
rolutionem; donce eam aequet: Hocelt, doncc 3 L =- 1, d P, = 3 lcu Grac. 120,
Fc quidem polthac, donec 3 L. canco exccdI L, Guanco 2 L inde deticit. Hoc est.
donec 23L. = 1, Ceu 1
3; seu gracl. T44. Sed eum (ne prius A vel N =
aequales crune Chordae. Gura cum, duplus ell 3 = + -- 5, FripluS 5 = 1 + 3
Duodque dictum eMt de N.
FF, e L. = ; + A; paricer valet de N = 3 + A
auc L. = 3. F F. (HOc est 2 = H, Seu L = L.) upoic caldem eum illis Chorcas
habencibus.
99. Sece mpo aleuo M, eACcdIC Z; puca = L l: Cloca L A
fiet major quam Dupli. Ouippe cum Priplum iplius 3 tanco excedit L, quanco
Duplum ejuldem inde deticu, Friplum iptius Z f P magis excecet (uEpOt prO
Pius accedens ad cerriam semi circumterenciam) de Duplum minus detieur, (pro-
pius accedens ad F rerolucionem,) conce 3 M = 3, hoc cMl M = Z seu Grad. 180.
Quodque

## Folio 567 — 851708439:0591
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000591.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 78 lines, status machine
Cap. IV.
A NGUL A R EBU S.
Ouodgue dictum est de NI = 3. F E minore quam Z, Pariier valet de M = = L A
=: = F majore quam L. Oc qui tanto excedir lemicireuitum quanto ille deticit.
200. Manitestum isicur cst, quod pro Arcubus A, E, minoribus quam L, aut
majoribus quam Z (Sed minoribus coro circuie; ) irem prO ATCU MI, majori quam
E led minori quam z: Chorda Pripli, major est quam Duplin per 597, 90. Sec
proarenbus L, B, majoribus quam ; Sed minoribus quam Z, auc majoribus quam
e sed minoribus quam 3: Chorda Dupli major est quam Friplis per 508. Sin Sun-
pluS ArCUS BE5, 5, 3, 3, (aut ultus Ouintantis mulciplus:) aequales lunc Chordx
Dupli e Pripli. Lademque Mechodus acthiheri porest in aliis similibus Rrcuum
e Chordarum comparationibus.
FOL. Tamque ut redeamus eo unde digresti Lumus 5 92. Quod parricularicer
cradicum est, Porest sic Generalicer comprehendi. Nimirum, (posico O pro sut
centa simpli accub) Cqu. B9 = OF, per 5 85, 88, 92. F, C9u B9
F.
Equ. B9 = D. Hoc est,
202. Differentia Ruacratorum Subiensarum arcuum Dupli e Fripii; Sequa
cur Rectanculo Subtensarum Simplie Duintupli. Ft per utramvis divisa, exbi
vel reliquam. (Dua proxolicio Generalis est ad eam 63.) Nimirum, Si O exvo.
natur de A, E, M; rum Cg -B9 = OF, e
B
B9 - C9 = OF, _
=C
B4 = P. Side L, N; cum
4 = F. Si vero de V, X; rum B9 u Cg = VP = 0
B9uC9 - F =0. AucBqu Cg =XF = 0. X, Bqu C 9
Et
703. Trem; Cum sic C q0 B9 = C f B in C o B. Fst er80 O. C F B:: C o B. F
(Enponendo C iB per C = B, pro A, E., M: led per B= C, proLy N.)
HIOC est,
204. Ot Subtensa Simpli areus, ad Aeereeatum subtensarum Duph e Pripti:
sic harum Differentia, ad subtensam duintupli. Ouae est Generalis propoticio
2d cam 56.
205. Sed (per 5 45 Cap. 2,) C = 390
6094
Occ
 adleoque C9 = 909
RG
R9 R99. EF (Per S7 Cap. 2,)B = V: 409-
Oqc
049
RGi adeoque B 9 =
404 = p. Unde valorem obrinetimus iptius Cqu Bg = OF, e
pro singulis casibus. Nimirum,
ade
206. Si arcuS O sic minor quam Z, aur major quam Z; (hoc est, 2 principio act
Grac. 72, e d grad. 288 ad 360.) Aut major quam ? sed minor quam Z (hoc est,
2 prac. 244 adt 226.) Tum estOF =C g -B9 = 9O9-
044 -509-
R9
5099, Occ
R9 R99. EtF = 50
Bendum Dex A, P, V.
50c
6094
R4
Ocq
Occ
R94
R9 R94
400
Et O expo.
207. Sin Arcus O Grmajor quam : sed minor quam Z, aue major quam 3 lec
minor quam Z; (hoc eAt d gract. 72 ad 144, auc a gtadt. 216 ad 288.) Tum est
OF = Bg - C9 = 40 9 -
042 - 909.
RG
6044
R9 R99
Occ
R9 TR99
5094 OCC EIF = - 50 +5OC 004
y N
R9 R99
Et O exponendum per
208. HOC CME (ut reducantur omnia ad brerem Synoptin,)
Prad

## Folio 568 — 851708439:0592
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000592.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
a stad. 0 ad 36.
E SECTIONL
D. IV.
dLC LCc
R9 F R99
c acq
Scad. 324 del 360.
268... 324
208.... 144.
5T. +
A erad. ra.. . . 280. + 5MI -
R9. RgC
c-
NC9
l9 R94
c 1,c9.
R9 R99
NC
ACq
R9 = R9q
A Bract. 180... 216.
E pro communi cermino, seu puncto connerionis, horum Incervallorum; per.
inde cst ad vcrumris urrinque positorum reFCraTIE. PULa, Pro grad. 36, sive ad
E sire ad A: F.F pro Or. 72, lire ad Alre ad HI. EL PEO CxICrIS ParitEY.
209. Tlinc sequitur Oumeuplex AEquario, Radices Ouinque continens. SRGGF.
SRGL. C. F F C9 = 5Rg9A -- sR9AC F AC9 = (RgqF =) -- sR99V
FSRgHC- NC9 = - sRg9L FSRgL C- LC9= fSR94M - SRGNC
+ MC9.
EE Jam, quoniam sR g9A = sR qA C + A Cq = SRgAF LS RgEC. L KCq; d,
transponendo, sAgqA - sRggF ==sRgAC = SRgCC - AC9 Y F Cg. FrgO(omni-
buS per A = C diritis) 5R99 - AC = F. C
A- F.
TTI. Sed (per 13, 24, 25, Cap. 2,
AC -FC
tC - F C
A = F
NCg= L Cg.
=A9. + AE + Eg - 3 RQ. FI8O
ACG LCA = 10R94.
A F
Deq - FCat Hioc est
ACg FCA = A99 + ACF +
A9E9F AEC + R. 44. ErG0, A99. + A CF. + AgEq F AEC f F99 = 10R99.
223. Seclangulus cruribus A, F, concencus; est gractuum r4 4. Vipoto angulus
in Peripheria in Ciltens arcui gractuum 288, seu Z tocius. F. r8O,
224. Disserenia Duadricuborum (seu Supersolidorum) crurum continentium
angulum eraduum 244: Divisa per differentiam Crurum: Squatur 10 Biquadra-
iis Radii circuli circum seripti. (PexS XTT. ) HOCCA, (per S TI2.)
775. Biquadrata Crurum concinencium angulum graduum 244 una cum Fribus
mediis Proportionalibus inter ea Biquadrata: S quantur 20 Biquadratis Radi
Circuli circumseripti.
226. FIt aurem hujus Frianguli Batis, Lacus inseripei Pentasoni regularis, sive
subrenta Bcadtuum 72. Adeoque (per 53 F) CAtRV =. Dujusque quadracum
  1E R g. Fr viquadtarum eMt 30 = 10 1E 299 - 15 - 5 Y5 X 44. 0u0d
elt, act 20RqG, ut 2 3 ad 10; Teu, u1 3 - Y5 ad 4. F1B0,
227. Differentia Duadricuborum crurum continencium angulum eraduum 1447
Divisa per Differentiam eorundem Crurum: Deu, Biquadrata crurum continenti-
um illum meulum, una cum Tribus Mediis proporcionalibus inter illa Biquadrata:
Sunc, ad Diquadratum Basis illum anculum subiendencis, ut 4 ad 3- 15.
12B. Trem; Ouia (per 5109, )5R gGHI - s RgMC L MC9 = (R g9F =)
SRG9A -= 5R9AC F AC9, (eltque M major quam A: ) FFBO, UE in 8 LTO,
TTT.
2... 288.
16... 252

## Folio 569 — 851708439:0593
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000593.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
CaD. LY.
TTF, TL2,) SR99 =
tae
A N G UE A R TB U5.
N = A SRg MCq = AC9
NC -AC
M = A = L5R99 - NCq-AC
M - A
NCq - ACA = FOR99 = M g9 F M CA F M gA9 f N A c. F A99.
EC-
MI. A
TTO. EF Ccadem ratione) 5R99 =
25R99 -
N = F 5Rg-
MC9 = F. C9
M = F
MCq = EC9 = MCq = FC4 = 1OR49 = Hgq. + HOL. f H9EG
N = F.
FMEC F F 94.
M = F
720. Tiem; quia (PerS F09,) - 5R99L F5RGL C = L Cg =(R99F =
=sR9qN F5RgNC = NC9. EC (mutatis omnibus signis) SRggL
=sRgL. c = L c9 =5R99N = 5RgNC F NC9. (FAque L major quam
N.) ErBO (uE inS F1B) 5R99 =-
L. c9-Nc4
L NC F N99.
et
L.c9- 1c9
 5R9- LC9 = Hca
T2F. Suncque anguli contenti cruribus M, A; _ NTF; _E L, N: anguli er2-
duum7 2: (urpore anguli in Peripheria insistentes Arcui gradtuum 244, seu Z cir-
cumterentia. ) Fc quidem, quancum ad M, F; angulorum alter ad Balin estOb.
culus: Sec, quantum ad M, A; acuri omnes: (F0 quod hic sic angulus in majori
Scemento, ille minori, quam est Semicirculus:) d quantum ad L, N, omnes ilem
aCuri. ErSO (ut in S ZT4, XT5,
122. Disserentia Duadricuborum Crurum continentium anculum erad. 72. Di-
visa per Differentiam eorundem Crurum: Aquatur 20 Biquadratis Racii circuli
circumseripti. Et
F23. Diquadrata Crurum continentium Anculum eraduum 72: una cum Fribus
Medus proportionalibus inter ea Biquadrata: Aquantur 20 Biquadratis Radit
circuli circumseripti.
224. Verum hujus crianguli Batis (subrendens Angulo sractuum 72) est Syh
centa Biguineantis, aut Friquintantis; hoc est Z = erac. F44 auC3 = eFad. 2. 16. OUIX
est (Per 554)RV =. Hujusque Ouadracum est 5E R q; et Biquadratum
30. = 20Y5 R q9 = =5 F 5V ER 99. Ouod est, ad 10R99 ut 25 +5Y 5 ad 10i
Seu 3 F V 5 ad 4. FrSO,
725. Differentia Duadricuborum Crurum continentium angulum erad. 72. D-
visa per Differentiam corundem Crurum:; Seu, Biquadrata Crurum continentium
illum Aneulum, una cum Tribus Mediis proportionalibus inter illa Biquadrata;
Sunt, ad Biquadrarum Basis illum Anculum subtendentis, ut 4. ad 3 + Y5.
726. Trem; Guia (per 5+09,) SR99A - 5R9AC F A c9 = (R 99F =
=sRggI. FsRgL, C- LCq; (estque L major quam A:) Erso (cransponendo)
sRggL FSRg4A = 5RgL. C FSRgAC =L C9. Ac9. EL (omnibus
Per F. F A diritis) 5R99-
l.c + AC5R9- L c4 + ACG
L F B
227. Sed (per 546, 47 Cap. 2,
deoque
F A
C. C + AC = L. 9 - L. A + A9 = 3R9; 2.
+ A
L. C. F AC s R9 = 15RG9. FIBO, SR49 = 25 R90
C. + A
L. c9 F ACa = +OR49.
L. F A
228. Tcem; quia (ue Diridendo patebit
L. C9. = AC4 HoC est
LL
L eg + A Cg - 199 - L CA + 2929
= L. AC. F A 99. FrBOL.99 -L. cA F L. 9A9- L. AC F A99 = 1OR99.
+29. Sed Angulus Cruribus L, A, concencus, est gradtuum 36. (Vr qui est An.
Cccc
Sulus

## Folio 570 — 851708439:0594
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000594.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
DE SECTIOHTBUS
Cap. IV.
Sulus in Peripheria intistens Arcui gractuum 72, seu Z corius. ) Et reliquorum alter
elt Obcusus.
730. Idemque (eadem ratione) dicendum elt de N, P; quod de L, A.
23T. Trem; quia similiter (per 5109,) SRggMI =SRgMC + MC9 =
(R99F =) - - sRg9N F5R gNC =NC9; (eItqUEM majoT quaM N:) F.rGO
leodem procest) M C4 = NC9
M f N = LOR99 =M99 -MCN. F H9N9 = MNC
F NC9. FAque Angulus Cruribus M, N, concencus, sradtuum 36. Et reliquo-
rum alter Obculus.
232. Er similiter per omnia (cadem ratione) de M, L, dicendum: nisi quod,
trie, anguli omnes sinc ACutI.
733. Acquehitunt omnes Casus qui concingere poltune ubi Angulus in Ver-
rice elt graduum 36. Nam Angulus Crurum V, X; reducendus elt ad A, L: EL
angulus Crurum Z, X; ad L, M. Idemque incellisendum est in aliis calibus ubi
A le excendit ad corum Ouincantem, cranescente K. HrBO,
134. Summa duadricuborum Crurum continentium sinculum eraduum 36, Di.
visa per Summam corundem Crurum; Aquatur 20 Biquadratis Radii Circuli
circumscripii, (ver 6 127, 230, 23F, 232.) HL
135. Biquadrata Crurum continentium Anculum eraduum 36: Ona cum Me-
dio proportionali inter eadem Biquadrata; Dempris Primo e Terrio rrium Me-
diorum inter eadem proportionalium: S quatur 20 Biquadratis Radii Circuli
circum seripii.
236. Sed Batis Subrendens huic Angulo graduum 36, est Lacus inseripei Pen-
tagoni regularis, (uE in 5 F16,) cujus Biquactracum est ad 1O R 44, uI 3 - V5
ad 4. LrSO,
237. Summa Duadricuborum crurum continentium Angulum eraduum 36, Di
visa per Summam eorundem Crurum; Vel Biquadrata Crurum continentium
talem Anculum, Ona cum Medio proxortionali inter eadem Biquadrata, Demptis
Primo e Certio trium Mediorum inter eadem proporiionalium: sunt, ad Diqua-
dratum Basis anculum illum subtendentis: ut 4, ad 3 - 15.
138 Trem: Ouia (per 5 109) SR99A = sR gAC F AC9 == (R 99F =)
SR99N -FSRgNC = NVC9; (eltque N major quam A:) LrgO (ut in
5126, dc.)
I A94.
J. F AC
LA
= 1OR99 = N99 = NCA F N9A9 = NAC
239. Ex similiter; Ouia SR gGF -SRGLC F ECq = (R99F =) -5R99L.
FSRGL. C = L. C9: (eAque L. major quam L. :) F.150 L CG F LC4 = LOR44
=L.99 = L. cF F L. gE g - L C.C F F, 99.
+ E
240. Sed Anguli Crurum B, A; de L, E; Tunc Anculi praduum 108. (Cum
sinc Anguli in Peripheria, insiltentes Arcui graduum 276, Ten Z COLIIS.) ErBO,
24.T. Summa Duadricuborum Crurum continentium aneulum eraduum 108,
Divisa per Summam eorundem Crurum:; Aquatur 20 Biquadraiis Radii cir-
e
culi circumseripti. Et
242. Diquadrata Crurum continentium angulum sracuum 208; Ena cum
Medio proporiionali inter eadem Biquadrata: Demptis Primo D Tertio trium
Mediorum inter eadem proportionalium: Aquantur 20 Biquadratis Radu cir-
culi circumseripii.
143. Sed Balis subrendens huic Angulo graduum 108, est Subcenta Biguincan.
is, iemque Friguincancis; hoc clt, Z vel 3 cocius Circumterentia. Adeoque
Cuc in 5 124) elt ad 2OR99; ut 3 f V5, ad 4. F1BO,
244. Summa Duadricuborum Crurum continentium Aneulum sractuum 208,
Divisa per Summam eorundem Crurum: Vel, Diquadrara Crurum continen-
rium talem Aneulum; Ona cum Medio proportionali inter eadem Biquadra-
ta: Dempiis Primo _ Tertio irium Mediorum incer eadem proporcimalium:
sunt, ad Biquadratum Basis illum Aneulum subtendentis; ut 4, ad 3  V5.
245. Pollunque hac Pacricularia Pheoremata; in haec quae lequuntur Genc.
ralia, sic compinei; Nimirum,
146. Disse

## Folio 571 — 851708439:0595
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000595.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
Cid . L
ANGULARIBUS.
246. Differentia Quadricuborum Crurum continentium eulum eraduum 244.
aut 22. Divisa per Differentiam eorundem Crurum: Vel Summa duadricube
rum Cirurum continentium inculum craduum 36, aut 208; Divisa per Sum
mam eorundem Crurum: Seu (quod eodem recidie,) Biquadrata Crurum lin
priori casut) Ona cum Tribus Mechis proportionalibus inter ea Biquadrata; AUI
(in posteriori casi) Biguadrata Crurum, Ona cum Medio proportionali inter ea-
dem Biquadrata, Dempris Primo e Tertio erium Mediorum inter eadem pro-
portionatium: equantuir 20 Biquadratis Radii circuli cireumscripii. Atque, Llaec
ad Biquadrata Basium suarum, respective sumptarum subtendentium neulum
ractuum 244. aut 36: Sunt, ut 4 ad 3 = V5: Sed subtendentium Anculum
oraduum 72, aut 208; ut 4 ad 3 = V 5. AUE, ut 8 ad 6 - 2Y 5; e 8 ac
6. L 2V 5. Hoc cA, in Duplicata ratione ipsiuS, 2V 2 2d V5 - + = V: 6 - 2 V5:
ixliulque 2V 2 ad V5 F L = V: 6 + 2V 5.
247. Paque L alera, concinenr hos qui sequuncur angulos;
Fatera. Gradus.
1 F
H, A.
MI, F.
1I.
244.
Lacera. Cradus. Latera. Olacilio.
L, A.)
1.
M, L. C
At N.
16.
Ex quibus, Ouatuor priora Paria, sunc signorum similium: Sex Polleriora,
Dissimilium.
243. Fadem Aiquationes, postime sic eriam considerari. Ouoniam (per S FTO,)
SRg4A -- 5RgGH. = sA9 AC - 5RGF C - Ac9. F H C9. FrgO (diri(IS
omnibus Der A = R, ILCXILINGUE pEr SRG,) erit R9 = A 9 f AH + F9-
a94 F ACF + AgF 9 + a P C + F. 49. Ee (per cranspoluionem)
5R9.
A9. F AF. F E g - R q in SRg = A99 f. ACF f AgF g f. F 9G.
F49. EC similiter; (quoniam M, A; et M, L; e Ly H; trabene icem similia.
Signa)
M9 L MA F A9 =RG in SRg; = M99. L MCA L M9 Aq F M AC F A99.
MI9 F MIE f L. 9. R q in S RG; = BI99 LMCF F M9F 9 Y MEC F E99.
L. 9 F L. N F N9 Rg in 5R 9; = L, 99 + L. CN + L. 9N4 + L. NC + 199.
25O. ErCO, In Trianeule Rectilineo, cujus Crura coniinent Aneulum praduum
24q (UE A, L.;) aut 72, (uE MI, A; vel M, E; vel Ly H;) Si duadrata Cru
rum, corumque Rectansulum, Dempio Quadrato Racii circuli circumseripti: Du-
cantur in uincuplum Quadrari ejusdem Radii: Quod prodit, aequabitur Biqua-
dratis Crurum, una cum Fribus Mediis proporsionalibus inter eadem Biqua.
arata.
25I. Similicer ostendecur (ubi siena Crurum sume Distimilia) quod,
L9 - L A F A9 = R g in SRg: = F 99 - Z CA F L gA9 - L. AC f A99.
Ng = NF F F g - 2 9 in s Rg: = N 99 = NCE F NgEq- NEC + F99
Mg -NIL F L. 9 = R4, in 5R9: =M 99- M CL f MGL, 9- NLCI L99.
NEg - MN F N9 = R9, in sRg: =M99 = MCN. F MGN9 MNCF N99.
N9 - NA f A9 = RG, in 5Rg: = N g9 - NCA + N9A9 NAC + A99.
L. 9 - L. F = F. 9 = R9 in 5R9: = L. 99 = L CF + L. gF 9 L. FC + F99.
52. ErGO, In Trianeulo Rectilineo, cujus Crura continent Angulum graduum
36, (uE L, A; vet N E; vel M, L; vel M, N;) aut 108, (ut H, A; vel
nE; Si Ouadrata Crurum, Dempris corundem Rectansulo e Duadrato Ra-
du circuli circum soriori: Dusantur in Dcintuplum Duadran ejusdem Radii: Quod
prodit, aequabitur Diguadratis Crurum, Ona cum Medio proportionali inter ea-
dem L2
porcionatium.
CCC2
253. Tamgue
8
A.
F. 5

## Folio 572 — 851708439:0596
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000596.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
Cdp. IV.
DFCLLOAFBIS
253. Tamque haec tora Caluum varietas, et
Consequentuum inde deductorum, (a 5 83.
huc ulque,) oritur d Prima Constructione SI,
aliisque huic Analogis: Vhi Sex rectae (qua-
tuOr Lacera, duasque Diagonales, inseripei Oua
drilateri constiuences,) lunc F, A; B, B; C, C
Ex quibus, nonnunquam C, C, Tunt Diago-
nales; e B, B, oppolica Lacera: Nonnun
quam C, C, Tunc Oppolita Latera; e B, B,
Diagonales; PrOut C, auc B, major esse con.
TiBerIE.
254. Sed pari methodo, parum mutara, ea-
dem pleraque inferamus, (similiaque inde Con-
sequencia, auc iIlIS Analosa, cum simili Ca-
Tuum divertitare,) d Sccunda Constructione,
59. Obi sex Recta, Ouacrilaterum relpicien.
tC5, Tunc P, C; A, A; D, D. Ex quibuS, nOn
nunguam D, D, fune Diagonales; e A, A,
oxpolica Latera: Nonnunquam D, D, OppoTIa
Lacera; _ A, A, (auc qua hrarum vicem lup
Plenc) Diasonales; Prouc D, auc A, (leu qu
hrujus ricem lupplene E, L M, _,) est ma-
1Or.
25S. EE (consonanter ad haec) Propositio.
nes illa in 5 10 et 12, Polunt sic Genera-
lius tradti: Nimirum,
256. Differentia Duadratorum Subtensarum
arcuum duadrupli e Simpli: Aiquatur Re-
crara ulo Subtensarum FripH e Suncuphi. Ec per utramvis Divila, extribet Reli-
quam. Tiem,
257. Ot Subtensa areus Fripa, ad Summam subtensarum Quadrupti e Sim-
 da curum etente nu Dubtensam Duintuph.
258. Simuluer, d Ferria Constructione 514.
Obi Sex illae Rectae Lime P, A; C, A; B, D.
Ouodque de his tradicur 5 15, 27, de Areu
Ouincance minore; lic univerlalius cradtatur,
259. Differentia Rectaneulorum Subten(a-
rum arcuum Dupli ex Duadruph; atque Sub-
tensarum Simphi es Tripli: Squatur Rect
ansulo Subtensarum Simpli e Duintupli. Et
Der ucramvis Dirila, extribet RClquaM. Ft,
160. Ot Subcensa arcus simpli, ad subten-
sam Dupti: sic est subcensa duadrupti, ad
Summam vel Ditferentiam subtensarum Tri-
pli e duincupli: prout conticerit B, D, Diaco-
nales esse vel opposita Latera.
26T. Sumilirer d Ouarca Constructione, 520.
Vb1 Sex illae Rectae, lanc P, B; A, B; C, D
Ouodque de illis cradicur 522, 23; lic Oni.
verlalius cradatur;
262. Difserencia Rectaneulorum Subtensa-
rum arcuum Tripli e duadruph; atque sub
tensarum Simpli e Dupli: Sequatur Rect.
aneulo Subtensarum Dupli e duincupli. Ft
Der ucramvis Dirita, extibet ReliquaM. FL
263. Ot Subtensa arcus Dupii ad subten-
Jam Tripu: Sic subtensa duacrupli ad Sum-
mam vel Differentiam subcensarum Simpl e
duntupti: prout C, D, sunt Diagonales vel
onvosita Latera.
264. F. t
Ded

## Folio 573 — 851708439:0597
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000597.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
Cap. V.
25, FF 2 Cingulis harum Constructionum, derirari poterit tanta CaTuUM 
Conlequentium vatieras, (Fisuraque tormari huic diver(itati CongruX;) uc 583
de lequencibus, tir d Constructione Prima. Sed hisce particularim recentendis
abstinco; id eorum industria permiccens, quibus libicum est (exercirii sui Bra-
iia) has ica prosequi prouc eso constructionem Primam prosecutus sum.
De Sextuplatione es Sextisectione Arcus Del neuli. A.
Insq; consequentibus Multiplicationibus e Sectionibus.
T. CEcundum easdem Methodos, inrestisari postune sexruplatio, Sepruplatio,
et consequentes Areus Anoulire Mulciplicationes. Vr et corum Sexti
a sectiones, Seprifectiones, e consequentes Sectiones. Ouas cgo faltem
breriter actingam.
2. Sextuplatio haberi porest, Priplando Duplum, vel Duplando Triplum. F,F
Sextileetio, Bilecando Suberiplum, vel Prisecando Subduplum. Ut per se patet.
Idemque valet, mucatis mutanais, in aliis Mulciplicationibus et Sectionibus, d
numero Compotico denominatis. Nam Mulciplicationes et Sectiones, successive
factae, prout postulant numeri Componentes talem Compotuum; tancundem lunt
acli una vice per Compolirum tierent.
3. Si auTEM NON FOTET SEX nuerUIS CompOTitIS, aut SI SiC tractetur qual non
FOVET: Porest tamen Sexcuplacio ee Sextisectio, pariter praectari, ue in ante tra-
ditis Calibus tactum cst. Nimieum,
4. Si Circulo inscribatur Ouadrilaterum; Cujus opposita Latera Sint B, B.
subcenta Dupli arcus; _ B, C, subrentx Dupli e Sexcupli; e Diagonales D, D
subrentae Ouadrupli: Tum Dg- B9 = BC. Ec B) D9- B9 (C.
AN GUL AR TBHS.
XLC Z FIL.
V
c.
EFD) F9 = A9 (G.
Vel; Sunto oppolica Latera 1 B; _ C
A, DF = A
3 = CC. EF C) DF = AB(C.
XEV
Sunte OpDOLIta Lateta A, A; et D, C; et Diagonales F, F. Tum est
C; et Diagonales D, P. Tum
aLXVI
Vel; Sunco opposita Latera, A, C; d
F = AC = BC. Et B) CF = AC (6.
Cbb3
6. e Dine onaleo C, P. Xum C.
8. Adeoque

## Folio 574 — 851708439:0598
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000598.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
F.
SFCTTONTBUS.
8. Adeoque D9 =B9 = CF - C A. Per 54, 7
Cap. V
9. Vel; Sunco oppolica Lacera A, C; et A, D;  Diasonales B, L. Til et,
BF = AD = AG. EF A) BF - AD (C
20. Vel; Sumco oppotica L atera B, C; de A, C,  Dinconales C, D. Tum
TT. Adcoque BF = AD = CD- BC. Der 69, 10.
22. Maniteltum cst; hine interri posse, Aquationes d Analosias magno n-
mero: Magnamque Pheorematum variccarem, pro vullecate Catuum; pariter ac
in Capicibus praecedent bus factum est. Sed eis parciclachu recentendis abstinco.
23. Scd a Tinslilis harum Constructionum (valoribus B, C, D, L vels
CognItIS per ance cradita,) habebimus (Aiquationibus rite ordinaris:)
3
12RCCA = 191GGHCY8R9AC9 = AC99
Y ACCCCG.
= ACCCC.
elt, CD = BC = AC. FL A
Vet, GRCqV: +R4
Acqr: 4Rq = A9:
A9: = +2RCCA = FORg9AC F 8R9AC9 = ACG9. EE (Sumptis OM2-
draris) +VGRCCCC =GGRCCgqA9 = 1A+LCCCCA9= 456RCC99A99
tS53RCCqACC = 328RCCACC9 f 102 R99ACC99 = 26R9ACCCC
14. Hloc est (omnibus per 4 R g = A9 cHHS,) RCC99C9 = 36RCC9GA9
105 Rcc9A94 F 21Z RCCACC = 54 R49ACC9 F 12R9ACC99
15. Tujus Aquationis sunc omnino Sex Radices planae, toridem planis A9 re.
spondenres; quarum Radices quadrarieae sunc ip(a A. Ouxe sune cotidem Recta
ab uno aliquo Circumterentiae Puncto, ad Sex Angulos inseripri regularis FlCNa
soni alclae. Adeoque, una aliqua carum cognita, habeneur Reliqua. LF LimI-
licer in aliis ejulmodi Aquationibus
16. LX quibus, DUx Mimm_ A, F, (quae Tubrendune, ex uno latere, Arcui
Sextance Mmori; _, ex altero lacere, Areui quinque sextancibus Majori:) Dua-
que Marimae, X, Z, (quae Subcendune ArcubuIS qui sunc Majores quam Duo Sex-
tances, sed MinOreS qua OUALIOT SEKIanIES,) tunE ractICCS ABITIAHVA; (PrOpter
Luvientam Dupli, minorem tubcenta Ouacrupli; adcoque Dg = Bq quancicaiem
Armatiram:). Sed incermedix Duae L, K, ( qua subcendune, ex uno latere, AI-
cubus qui Majores sunt Uno Sextante led Minores duobus; ex altero lacere, ArCU.
bilo

## Folio 575 — 851708439:0599
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000599.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
Cap. 1
AN GUL A RTBUS.
buS qui Majores sunE quam GUatIOF SEXtaNEES; et Minores quam Ouinque;) sunt
NegacIVX; (propur D minorem quam B; adeoque D9- B4 quancicatem Ne
SacLVa:) Dumimodo, in omnibus reputetur C ACirmacira.
17. St Arcus Sexcuplandus Cic ipse Sexcans, (aur duo pluresre SextanteS;) Per-
inde est ad utrumris caluum, vrrinque adjacentium reteratur DuLa 5 =5=0
Ouod pariter. incellisendum est in omnibus casibus similis natUICA.) FL quan-
docunque hoc concinsic, Una ex sex Radicibus eranescir; seu tr aequalis Ni-
trito.
78. Peo Sepuplatione de Seprisectione Arens vel Anguli: FTabebimus, (prout
Onadritacera rariis modis inscribuntur,) Subtentam Sexcupli H =  4= C.9
ves La 2
vel
Cg A9, OB -FA OC DA, OD. CA, CF BA
vel.
V
ve
29. Ex quarum A quacionum singulis (cogniris per ante tradica valoribus B,
C, D, F, C,) habebimus C aequacionibus rice ocdinacis) H = 7 A - = + AC
7ACq ACq9
Rgq RCC. Seu RCCtI. = 7 RCCA = 24R99AC + 7 RG ACq = AC99.
R4
20. Hujus A quationis Radices Seprem; Tunt toridem Rectae, ab uno aliquo Cir.
cumtereneae Puncto, ad Seprem Angulos inscripei regularis Hleprasoni ducta.
21. Elarum Radicum (polita LI attirmacira) Dua Minimx, Tunc AFirmatirx:
Dua magnicudine proxima, NegaciVA; Dua proxima, AAirmacirae; e omnium
Maxima, Nesaciva
22. Fc simili modo procedendum eric, quontque libet; investieando sequentes
Mulciplicationes e Sectiones, opC Antecedentium.
23. Omneique illae quX denOIInANEE a nUIETO COMPOTItO, (UE TuNC 4 = 2X2
6 = 223, 8 = 2x4 = 2x2 X2, similelque,) commodius perticiuneur (salcem in
Sectionibus, si non de Mulciplicarionibus,) duabus pluribusre opcrationibus, pro.
uc isid ean numeri Componentes illum C ompolitum.
24. Sed cum ha, cum illa quae denominantur a numeris Ineompositis (ut 3, 5,
7 TE, Ec.) Postunt (calia interibendo Ouadrilatera) ad tales A quationes reduci,
qua LOL ContincanE Radices, quor est numerus ille 2 quo calis Mulciplicario, aut
Sectio deNOMIMACUE.
25. Ec quidem ubi Denominatio est d numero Pari; crune illae Radices Pla-
na; quarum racticum Radix quadrarica est Subcensa quae (Ita.
26. Sed quae denominantur à numero Empari, hrabene, pro Radicibus, iplas
Subtentas.
27. Alque ex his Radicibus (utroris catu) Duae Minimae (quas eoo ut praeci.
Duas Racices repuIO) sunc Aftirmaciva, (dummodo subcenta Muscipli semper
ponatur Altirmatira:) Dua proxime Majores, Negatira; Dux post has magni-
Eudine proximae, ACtirmatira; ec sic deinceps alternatim procedendo quamdiu
suppecunt Radtices; nili quod, ubi numerus est Impar, maxima omnium exit Sinsu-
laris; reliquis per Paria procedentibus.
Aeque in his quidem (Sea ec in aliis quae sequuntur) Ous htredi methodum se
cucus sum; Ouppe cum haec primo scribebam (A. D. 2648,) Ouchtredum jam
cum legeram (novirius Alsebrilta) Sed FTarriotum nondum (nedum Cartesum,
ejusre editorem Schootenium.) Et Ouehtredum imitatus (a quo didiceram,) haec
excudebam. Arque hinc eliciebam (quod ante luspicatiar) Superiorum Aquatio-
num Racices este plures, pro numero Dimentionum: Tcengue, Methodum retol
rendi Cubicas Aquationes per Prilectionem Anguli; eas nimirum in quibus, post
ejectionem Secundi cermini, Coetticiens Pertii elt A. q F N. F P. 9: Falque in qui-
bus Coetticiens ille est 3 A, ejuldem alias quasdam aequationes proleeurus (prout
alibr dictum est) Regularum Cardani tum neseius. Frantque hac Exercitationum
mearum (hoc in genere) primitiae. Ouas, eodem AnnO 1648, cum D. Joanne
Smith (Macheleos tunc apud Cantabrisienses Proteltore) communicabam; cui
non dilplicuerune. Oua seguuntur Capira, lunc aliquanco terius seripta.

## Folio 576 — 851708439:0600
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000600.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
DE SECTIOHTBUS
ap. Vd.
diversitate Anculi in ertue.
L. Elebris illa Pythasorae propolicio (qua est 47 F. L. x. Euclidis) de Oua-
De varia Proportione Basis ad Crura Frianculi, pro
cibus: Occationem mihi fecerune, sem eam paulo tusius considerandi. Ouod la-
2. Siu qui Cruribus C, D,
concinetur AnguluS A, SIC RC.
Etus Teu Graduum 00: de Per-
pendicularis C inde demilla
secet Basin B in duo Scementa
Frratgula hinc oriun
drato Balis, aequali Ouadracis Crurum continencium angulum Rectum:
 Duxque Fuchais aliae (prOP. 12, 23. F. L. 2.) De Excellu (SI AnguluS
CONFENES SIE OBCTUS,) de Detectu (H RCuTUS) Ouadratorum Crurum ad Oua
deatum BasIS Comparatorum: FF Propositiones aliquot in Capicibus hic anceceden.
limilia. Propter unum Aneu
lum communem; Alcerum,
rectum; adeoque Perrium ter-
eio xequalem. Ergo
da (laceribus suis delignata)
nCC, GSD, TUnE tOtI CDB
ctum est Propolicionibus aliquor hic sequencibus.
B. C.:
B. D:: D. 8.
deoq
BH
D9 =1
C9. F D9 = B, F B5 = B in (n- f 8 = )B, = Bg. HocC
Et propterea,
Leu gractuum 90.
3. Si Angulus A in vertice, sit pradtuum F20, Peu Z Recti; indeque demistae dua
rectae C, T, taciant ad Batin Angulos ipsi A aequales: Duo Prianoula n GC, FS D,
Duadratum Basis aequatur Daadratis Crurum continentium Anculum Rectum
TunE tOCI C DB limitia, (proxeer unum angulum communem, alterum ipsi A
aequalem, adeoque tercium aequalem tertio:) Cum Messeco Friangulo GF i
Aquilatero. (Proprer urrumque angulorum au Bat, Stac 6. 1 120;
ad eoque certium iem gradtuum 60.) Et Basis B = n f s f p. F r8O,
d. 5.
C9 =- Bx
(F1BOZ D9 =BSE Ft propterea
CD= B
B. C:: C. X.
B. C:: D. F = C-= H. 3
C4+D9+ CD=b1+ 65161 B in (x f d  p =) B D Lad
Duadratum Basis, Ansulo eraduum 220 subtendentis, Aquatur Quadratis Cru-
rum, eorumque Rectansulo.
4. S
ur

## Folio 577 — 851708439:0601
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000601.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
ANGUL A R FBVS.
4. Si Angulus A Sc Graduum 60, seu 3 Recti: indeque demistae C, F, anoulos
Cap. VI.
ad Balin (. protonsalail) Laclati p  asemo. Le (ut prius) criangula
XGC, FSD, sunt ipsi CDB similia; _ CF e triangulum Aiquilaterum, (cum
illis plus minutre communicans, prour tuerine in criansulo exposico anguli ad
balin:) Balisque B = 1 f d - p (seu r = p. f. 8.) FrSO,
B. C:: C. ~
B. D:: D. S
(C9 = B+.
EEF= D9 =B5. E
B. C:: D. F,  C = _. ) CCD = BH. )
Fx propterea C9 F Dq = CD = B, f BS- B, = B inca 1 5 - 1 =) B, = Bg HIOC Ct,
Duadratum Basis, ansulo graduum 60 subtendentis, Squatur Quadraris Cru
rum, dempto corundem Rectaneulo.
Nocandum hic; quod per n incelligo balin crurum C, G; per S, batin crurum
D, F; per u, balin crurum G, F; _ per B, batIn CruITUI C, D; Ouxe SeMPEF
Xqnat n L S Fu, utcunque partes lae immisceantur. Et quidem, pro +u (ubi
angulus A elt obcutus) res est conspectui masis obria: Sec, Pro -V. (ubi A ClB
ACuTUS) res aliquanco est perplexior, e consideratione indlisens: Sed utroque
catu pariter vera. Nempen pro A obrulo, B = 1 f d F H: Pro A acuro, n + 5-u:
5. Si A sitc gracluum L35,
seu Z Recti. FF G, F, (ductae ut
prius) ansulos ad balin taci.
anc ipsi a aequales: Priangula
nGC, FSD, erunt ipli CDB
similia: EF OFP. A. quicrurum;
cujus anguli ad Balin sunt gra-
ul. 2sB Ot1 11  1133
15
duum 45 (180 = 235:) Adeoque angulus in Vertice (quem V appello) cradu-
um 90 (= 180- 45 = 45.) Lt prOpterea (Per S 2) H 4 = 269; d e = C V 2.
EL Balis B = n F d  V. PN5D. , l cis lo custicton inpitor s t
B. C: C. X.
B. D: D. 5.
CC9 = - BK.
C ee dB9 =B5.
B. C: D. F = C. 3
DCD = BC
(CDVZ= = BV.
Ex propterea, C9 + D4 F CDY 2. = B. + Bd. + B, = B in (+ S. + p =)B,  b9. Hloc elt,
duadrarum Basis, subtendentis Aneulo eractuum 135; Squatur Duadraris
Crurum, Ona cum corundem Rectaneul in Y2 ducto.
Dddd

## Folio 578 — 851708439:0602
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000602.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
SECTIOALBAS
ap. VI
6. Si A Sic gradtuum 45, seu : Recti.
Similiter oltendetur (propter B = n-
dC9 + D9 - CD V 2 =-B
+ Bd - Bu -- B in (n + d 
B
1G. Iloc Cll,
duadratum Basis, Subtendentis An-
So Stucamt 45; Niquatur duadratis
rurum Dempto corundem Lcctute  Et
V2 ducto.
7. Fe, universalicer; Onicungue (IL A
angulus; simili processu demonstrabi.
TUIT.
B9 = C9 + D9+ = CD. HOC ett
duadratum Basis trianeuli (quicunque sit angulus A in Vertice) Aiquatur
duadratis Crurum; Adchto (Si A sit recto major) vel Dempto (si recto minor)
Plano, quod sit ad Crurum Rectanulum; ut Recta (in basis linea) intercepta in
ter duas Rectas a Vertice demissas, facientes eum basis linea ansules ipsi A aequa-
B. FujuS FXchipla varia extribituti sumus in Capire sequente; ubi hoc Gene.
rale Theorema, Calibus Parclcularibus, applicatur. Ouod item ulcerius promore.
D. Datis Cireuli Racio, C duorum Areu-
um Subtensis; Datur etiam Subtensa Aecre-
sari arcuum. Sunto Aecuum illorum subtensa
datae A, F. Dantur ergo Subtentae Reliduorum
ad Semicirculum. Puta a = = V: 4 R9 - A9: _
E= V: 4Rg - F 9. Frso, inscripro Ouadrila-
tero cujus oppolita Latera Lint A, E; _F, a:
Ona Diasonalium cAt Diameter = 2R; aliera
est Subrenta Aggresati; Duta S. =
Ac. L F a
20. Fisdem datis: Datur etiam Subtensa
Differentiae datorum srcuum. Nam cognitis,
Ut DetuS, A, a; R, E; 2R: Hlabetr (rite in.
seripio Ouadrilatero.) Subrenta Disterencia;
pura X =4.
TT. Patet item, per ante cradita; Idem Eri-
angulum CPu, paricet inservire AnsuIO EIa-
duum +20, ec oradtuum 50: Iiem, Angulo gractuum 235, de graduum 45: LF (-
milites pro duobus quibutris angulis, quorum alter tanco Suveent Onadrantem.
GIAHIB AITET IMAC DEFLIE. Nam AnGuILS V est urrobique idem FF Anouli 2d
Basis, Hoc Tolo alsterunt s quod in altero angulus ExternuS, in altero InternuS
(qui est reliqui Reliduum ad duos rectos) aequatur angulo Cruribus C, D, com.
Prehento.
22. Hinc seguicur. Duorum Aneclorum, quorum unius crura aequantur re-
spectivis Cruribus alterius: Forunque aneutorum unus tanto Fxcedit rectum
quanto alser inde Deficit: Duadratum Basis in altero ranto Fxcedit Duacrata
Crurum; quanto, in altero inde Deficit.
23. EF, conlequenter; In quovis Trianeulo Rectineo, ulcunque nclnato;
duadrata avis ( seu Diametri) e Semibasis, bis sumpta: Aiquantur Qua
dratis Crurum. Sunco enim C, C, duxe Baleos Semilles; et D, Diameter leu
anis crianeoli (incelliee, Rectam a Verrice ad Balis punctum medium:) ec
3, B
les: est ad utramvis sie demissarum.
tur, per duas hic sequentes Propolitiones.

## Folio 579 — 851708439:0603
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000603.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
Cap. 1L.
AN G U L A R LBUS.
B, B, duo Crura. Manifestum elt, quod duorum An-
Sulorum d Diametro hac ad Balin Factorum (quo-
rum alter est alterius Reliduum ad duos Rectos,
AlEeF FaNEO ExCedit quanto alter Deticit d Recto.
Adeoque Ouadracum Cruris unius, puta Bq; tanto
Fxcectie, quanco Ouadratum alterius, puta B9, de
ficit a D9 L C9. FE Propterea, duo Limul, B9 ]
B9 = 2 D 9 + 2 C9.
T4. FVSO; Fisdem manentibus, Base e Diame-
tro Trraneuli, utcunque varie inclinatis: Idem ma-
net Recrecatum Duadratorum Crurum.
25. Idem incellisendum est, de Quadratis Fansentium Parabolae, FTyperbola
Fllipseos, (aliusre Currae Diamerrum et Ordinatas habentis,) ab Ordinatae cuju-
vis duobus Putremis, ad punctum Diametri (productae ( OpuS) in que occur-
runt Tancentes illae.
26. Idem limiliter accommodabitur Segmentis (talium Crurum leu Fangenti-
um) abscissis recta Basi parallela. Nimirum, Quadrata talium Seementorum
(Parallelis ulis IntCTCEPEOTuM) simul sumpta (eodem manente Fraperii AXC)
tantundem sunt: Ere crecta sinc illa Frapezia, live urcunque Inclinata. Nam ta-
lia Segmenca sune Poris suis Proporrionalia.
C A P. VI
Praecedentium Aplicatio ad partieulares Casus:
E. (IF Angulus A sic Rectus, seu praduum 90: C, F, coincidun; d 1 = 0.
DAdcoque = CD = 0. FL consequenter (per 57. Capiris praecedentis)
B9 = (C9 + D9+ = CD =) C9 + D9.
2. Si A = 220 grad. Fric V (angulus cruribus G, F, COnteNMIS) =60 gr.
Cut qui semper ct is quo disterune 2 A, a duobus rectis.) Et consequenter
EFu criansulum Aiquilacerum (nam e tales crune anguli ad batiu, quorum
uterris cst Reliduus ipsius A ad duos Rectos.) Rt PFOPTCrCA I = G. EF
B9 = C9 + D9 F CD.
3. Si A = 60 gr. Frit ilem V = 60 Br. FL p. = C. (NL prius.) Adeoque
B9 = C9 F D9- CD.
4. Si A = 135. Erit V = 90. Adeoque (per 5 F.) ug = C 9 = F9 hoc est
(prOPTCT ( = E,) _9 = 2CF9, et H = C V2. Adeoque B9 = C9 F D9FCDN2.
5. Si A = 45. Eric ilem V = 00. Adeoque (ut prius) H. = G. V 2. FG con.
sequenter, B9 = C.4 +D4 - CDV 2.
6. Si A = 150 (Tum V = +20. Adeoque (Per S2.) _9 = C9. f F9. F CF:
Zhoc ct (PrOPIET C = C,) _ 4 = 3C9; _ N = CV 3. EF
7. Si A = 30 (B9 = C9 + D9= CDV3.
8. Si A = 257Z (Tum V = 135. Et R =CV: 2 F V2: (Der 6 4.) ErBO
d. Si A = 2257B9 = C4 + DgLCDY: 2 +. 12.
20. Si A = 12235 Tum V = 45. EC P = G V: 2 = Y2: (Per 85.) ErGO
F2. Si A = 67 : B4 = C4. F D4LCDV: 2 =Y2.
Dddd2

## Folio 580 — 851708439:0604
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000604.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
DEHSECTIONIBUS Cap. VII.
12. Si A = 165 (Tum V = 250. FL H = GV: 2 + V 3: (Der 56.) FrBO
13. Si A= 15 2B4 = C9 + D4L (CDY: 2 + 13: -) 16+ 12
24. Si A = 105 (Tum V = 30. Et _ = G V: 2 - Y 3: (per SZ.) ErGO
25. Si4 = 75 289 = C9. + D9= (CDY: 2 -13: =) =
5 - V
VZCD.
(Tum V = 165. EE (per 5 12, ) ∞ = 6Y: 2 + Y: 2 + Y3.
16. Si A = 1722) =CV: 2 + V6+ Y.
22. SIA= 2. 2 + Y. 2 + Y3. =) CDr. 2+ Y6 + 12
(Tum V = 25. EL (per 6 13,) _ = G V: 2 - V: 2 + V3.
28. Si A = 97 3) = CV: 2-
29. Si A = 82 3
16+ Y=
2 + Y3 =) CDY: 2- Y6+ Y2
(Tum V = 205, Et (Per 5 24,) _ = C V: 2 + V: 2 = Y 3
20. Si A = 242 5) = C Y: 2 + Y= V2. Et B9 = C9 + D9+ (CDV: 2I V:
22. SiA = 3 : 2 - 13. =) CDY. 24Y6-12
Tum V = 75. FF (per 8 25, ) _ = C V: 2. -V: 2 -Y 3.
22. Si A = 127 2) = 61: 2 - 16 -1 2 e. B9 = C9 + D9= (CDY: 2 V:
23. Si A = 523 2 - Y 3. = ) CDV: 2 -16-12
Ec similirer procelendum erit ad minores ArcuS, determinandos per gradtuum
Oyadrances. Nam prout hic, OD0 6 4, 5, F2, 23, 54, 25, perticiuntur 58, 9, 10,
2F, 16, 57, 28, 29, 29, 27, 22, 23, ubi proceditur ad Dimidios gradus: Ita, h2.
ruta
ultra li libet
PorrO: ANumpro (uc alibi probaio,) quod subrenta praduum 36, seu L acus
inseripei regularis Decaponi, sic VS = = R (per 3 F. 23, aut 4 FL. 24. aut
555, 56, CaB. 4. hujus. ). Sic inde procedimus.
e0
24. Si A = 108
25. Si A =, 72
(Tum Y = 36. FC ∞ = 15- +6 =c,3-15 = bY.
2-25FE Et B9- C4+9= (CDV. 2
CDr 3= 15=
0
(Tum V = 208. Et _ (per 5 24,) OY: 2 +
26. di A = 244
27. Si A = 36
CY3+ 15 v5 +
2415-2. = e0v5 +V5
15+ LCD
28. Si
380
id
12S
113
13
Aid
131
18
ee
ABX
a
l
u
idia

## Folio 581 — 851708439:0605
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000605.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
t
-
Cap. VII. ANGUTARTBUS.
(Tum Y = 72. EL (per 8 25) e = C V: 2 -15 = 2
28. Si A = +26
29 Si A = 54
=CV:  V. EcB9 = Cq = Dg= (CDY: 2-15 = =.
Cor:- V5
30. Si A = 162 (Tum V = 244. FE (Per 526,) u = C V: 2 + Y5 + 2
32. SiA = 28 (=C Y FV5. EF B9 = C9 + Dg= CD,5+ V5
32. Si A = 153 (Tum V = 126. EF (per 528,) _ = G V: 2 + V3= V3. EC
33. Si A = 27 (B9 = C9 + D9+ CDV. 2 + Y 13
34 Si A = 117 CTum V = 54. FL (Dec 529,) p = C Y: 2 - Y == 13. EI
35. Si A =- 63 (B9 = C9 F DqFCDV: 2-,5=V5.
36. Si A = 17L (Tum Y = 162. EE (ver 530,). 1 = C. V: 2. f 15F 15. EF
37. SiA = 9 (B9= C9 + D9FCDY: 2 + Y = + 15.
38. Si A = 99 (Tum V = 18. EF (Per 53F,) p = C. V: 2 - 15+ V5. Et
30. SiA = BF (B9 = C4. + D9 F CDV: 2 - 15 +. 15
40. Si A = 166= (Tum V = 153, BE (per 532,) p. = G. V: 2 + V: 2.  15 = V5
+T. Si A = 23: (BF B9 = C 4. + D A = C.D V: 2 F V: 2 + YS=15
42. Si A = 103= (Tum V = 27. Et (per B 33,) N = GV: 2 Y: 2 + 15 15.
43. Si A = 363 (FF B9. = C9. + DgF CDV: 2 -Y: 2+,5- 13
4+. Si A = 248= CTum V = +F7. EF consequentes (per 5 34,) B4 = C9
45. Si A = 31: Z+ Dg+ CD V. 2 + Y. 2 - v 15
45. Si A = T2F ZC TuM V = 63. EF (per 5 35,) Bg = C9 + D9L CDV:
47. Si 4 = 58 ) 2 - Y: 2 - 15 = 13
a8. Si A = 175 = ( Fum V = 17F., FE (per 5 36,) B9= C9+ D9L CDV:
40. Si A = 4 = 2 + V. 2 + r + 15
58. dt
Dddd3

## Folio 582 — 851708439:0606
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000606.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
DE SFOTIONTBUS
Cap. VII.
50. Si A = 943(Fum V = 9. FF (Per 5 37,) Bg = C9 + D9L CDV:
SI. Si A = 85 : 72- Y: 2 + 15 + V5
52. Si A = +393 (Tum V = 99. EF (per 5 38,) B9 = C9 F D9LCDV:
53. Si A = 403) 2 + Y: 2-,5 + 15
54. Si A = 130Z (TuM V = BF. Et (per 5 39,) B9 = C9 + DqL CDV:
55. Si A = 493)2 - V: 2 - y5F 15
Et Cimiliter, ope 640, 47, ac. procedendum erit ad Arcus determinandos per
Craduum Ouadrantes; et ulterius A libet.
Tiem; Cum Subtenta Gractuum 72, sC R V 3= E; ee Subten Fa gractuum 60,
=R: Collisamus inde Subtentam Disserencia corundem, seu gractuum 12. Ni-
mirum, R in Y 25 3V5 - 3tV5; sea Y. 30 -6Y5: -Y5 -
Eic procecamus.
= R. Inde
56. Si A = 96 CTum V = +2. Adeoque B 4 = C 9 + D 9 +
57. Si a = 84 ZY. 30-615: -15 =2CD.
(Tum V = 96. Et (per 5 56,) B9 = Cg F Dg = (CDV:
58. Si A = 138 2 + V. 30-615:-15-1
CDr 2 15 t Y: 30- 615:
53. Si A = 42 Y 15 - 13 + 1: 20 + 215: cD.
Tum V = 84. EL (per 5 57) B9 = Cg F D9 = (CDV:
60. Si A = 1322 Y: 30-615: - 15-
CDY dtYS V. 30 615.
62. Si A = 48 Y. 30 +615: - 15 + 2CD.
Tum V = 238. EK (per 558,) B9-Cg f D9= (CDV: 2 + V:
62. Si A = 159) 2+ V: 30-615: -Y5.
t
63. Si A = 25
: =CDr: 2+, 7 V5+V: 30- 615-
CDr SFr. 25 - 13 + v. 10 +215:
(Tum V = 42. Fc (per 559,) B9 = C9 f Dg + (CDV: 2. V.
4. SLA = 112) 2+ Y: 30-615: -15 - 2 -CDY: 2 ,2 15tV: 30- 615. =
65. Si A = 69
CD, 3- Y15 + 13 = Y: 10 + 215:
(Tum V = 132. Ec (ver 560,)B9 = Cg f DgL (CDV: 2 F V:
66. Si A = +582
1. 30-615: 15-2
 CDY. 2+ Y. 8. V: 30 615: +15 +
Si. SiA = 24) = CDr. 2+Y tV5. V. s0- 6Y 5:,  r30+615: 15.+C
CDr ~ 15 + Y. 30 +615: -, v. 30- 6y5. + 15+L CD
68. Si
20
.8
u
1
12
1
n

## Folio 583 — 851708439:0607
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000607.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
1D
1+D
Cap. VII.
AN GUL AR IBIS.
(Tam V = 48. FF (PeF S6F,) B9 = Cq +D9 = (CDV: 2 V. 2-
Y. 30 615: Y5- 2 -CDY. 2 Y d- v. 30-615: + 15. +1
68. Si A = 1 24) = CDV: 2 =Y ~ +Y5 =Y: 30-615. =CDV: 2-
69. Si A = 66 Y: 30 + 615: - 15 + 2 = CD 13 = Y5 = Y: 30 +615:
Y25 F Y3 - Y: 20- 215: CD.
70. Si A = 169:E TUM V = F59. FE (per 562,) B9 =CqF D9F CDV:
72. Si A = 20 =2 f vd + V25 = V3 + V: 10 + 2Y5:
72. Si R = 70O=CTuM V = 2T. EC (per 563,) B9 = C9 F D9FCDV: 2-
23. Si A = 30 = 7Y D = Y 25 = 13 + Y: 10+215:
74. Si A = 145ECTUM V = TET. EE (per 564,) B9 =C9 F D9LCDV:
5. Si A = 34372+V~= Y E5 + Y 3-= Y: 20 +215:
76. Si A = F24 = CTUM V = 69. Ft (per 565,) B9 = Cg F D9F CDV: 2 -
27. Si A = 5557Y 8 = Y 25 + Y3= Y: 10+ 215:
Tum V = 256. FF (per 566,) B9 = C9 = D9 + (CDV: 2. L
38. Si A = 168) Y: 30 615: +r5+ = = CDY~ + Y5 + Y: 30=615:
79. Si A = 12) v. 30 +615: + Y5 = = CD.
rum Y = 24. FE (per 567,) B9 = Ca + D9 + (CBY: 2-
80. Si A = 102 V: 30 =6Y5: +Y5 +2
BE. Si A = 78 Y: 10 + 215: - Y 25 + V3CD.
82. Si A = 147 (Tum V = 224. F (per 568,) B9 = C9. F Dg = (CDV: 2+
83. St A = 33 3V15 + Y3 aY: 10 215
=DCDY t 15+13. Y. 16215.
84. Si A = 123 (Tum Y = 66. FL (per 569,) B9 = Cg. + D9= (CDV: 2-
85. Si A = 57 3Y25 + Y3 Y. 10215: =) CDr 3 Y15 13 + Y. 10-215:
(Tum V = 568. EF (per 578,) B9 = C.9. F D9 F (CDV: 2]
86. Si A = 174) 1. 30 +615: +15= L = CDV  F V5 + Y: 30 +6115
87. Si A = 6 Y15 =Y3 + Y: 20-215:cD
=
88. Si A = TAF C Tum V = 102. FF (per 580,) B9 = Cg. F D9= (CDV: 2 +
39. di a = 39 3V. 10+ 21 3. 115 +13
dCD, 8 +V3 Y15 + Y: 10f215:
90. 5L

## Folio 584 — 851708439:0608
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000608.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
584
DE SECTTONIDUS Cap. VII.
90. Si A = 129 CTum V = 78. FL (per 581,) B9 = C9 F D9= (CDV:2 -
92. Si A = 5~ 3V. 20 +215. 115+13 =) CD,  13+Y15 Y. 104215.
92. Si A = 163 : C Tum V = 247. EE (per 582,) B9 = Cq. F DqL CDV: 2. +
33. SiA = 26:7, 8FV3 + Y15 = Y: 10 - 215:
O4. Si A = 106ZF Fum V = 33. EE( per 83,) B9 = Cg FD9FCDV: 2-
95. Si A = 735) , + Y3 + Y15 = Y: 20= 215:
96. Si A = ESFZCTum V = 123, Ec (per 58+,) B9 = Cq F D9F CDV: 2+.
97. SiA = 28; 7, 3 = Y3- Y15 + Y: 10 -215:
58. Si A = 1283C Tum V = 57. FC (per 585,) B9 = C9 F DqFCDV. 2-
93. Si A = 62 37, 3= 13= Y15 + Y: 10- 215:
200. Si A = 7 - eFuM V = 2Z4. EE (per 586,) B9 = Cq. F DgF(CDV: 2 +
20c. Si A = 3 3Y 15+13 + Y. 10 215. =) CDY d +Y3+Y25+ Y. 10- 215:
102. SiA = 93 CTum V = 6. PL (per 587,) B9 = Cg F Dq= (CDV: 2-
203. SiA = 8, 3Y25+ 13+ V: 10215:
=) CDY  13 V15 - Y: 10 215:
204. Si A = 1603 (Tum V = x4F. FL (per 588,) B9 = C9 F DgL CDV: 2 F
205. Si A = 29:7,d +13 - Y 15 + V. 20+215:
106. Si A = 109 = (Tum V = 39. Et (per 589,) B9 = C9 F D9= CDV: 2 -
207. Si A = 70: 7,  +Y3 =Y 15 + Y: 20 +215:
208. Si A = 254 ZC Tum V = 139. EE (per 590,) B9 = C9. F D9F CDV: 2 +
209. Si A = 25571 Y3 = Y25 - V: 10 +215:
26
LIO. SIA = T25ZCFum V = 5E. FF (per 592,) B4 = C9+ D9LCDV: 2-
TTZ. Si A = 643),3 13 + Y25 - Y: 20 + 2Y5:
212. Si A = 1 38; Ctum V = 177. EE (per 5100, 1B9 = Cg. + B9ZCDV: 2 +
123. Si A = 433,  =Y3 + Y25 F V: 10 - 2Y5:
Fr4. Si A = OE3CFum V = 3. FL (per 510T,) B9 = Cq. F D9L CDV: 2-
225. Si A = 88, 7y 3 FY3 + Y 15 + Y: 10 =215:
216. SiA = 136 : CTum V = 33. EL (per 5 102,) B9 = C9. FD9 = CDV: 2 +
217. SIA = 432), ~=13=Y25 =Y: 20- 215:
228. SiA = 133, C Tum V = 87. EC (per 5103)B9 = Cg. + DgF CDV: 2-
F19. Si A = 46 :3Y 8 = 13 =125 = Y: 10 215.
Et
1
1
a
1
l
1ot
1H
M
Mal
2
PlurC
B

## Folio 585 — 851708439:0609
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000609.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
Cap. V
LLA GUL AR FBI S.
FLMMIlIter, ODC 6 30,1, _C. 92, 93, _C. 2047 205, _C. (uF 2d 523 dCHI CIL
procedere licebit ad Arcus per Guacrantes graduum determinandos. LF ulera li
LLDCL.
Nos aurem Dimidiis gradibus concenti, hic subsistimus: cum jam Subren Fas axta-
rimus  Selgui Bractibuo LOHUS demletcumtereme adeoque d torius Cix-
cmetenta.,
De Canone Subtensarum e Sinuum: Tancentium
item  Secantium.
L.L ea quae Capire praecedente tradita LunE: Facile est construere Cano-
tem Subrelidrum seu Chordarum, per Surdas Radices delignatarum, ad
singulos Selqui gradus torius Semicirculi. Ouarum Semistes sune Sinus
Recti pro lingulis gradtuum Dodrancibus torius Ouadrancis.
Indeque, ( opuS Sic, deduci postunt Fangentium et Secantium Canones, Sur-
dis irem Radicibus delisnatarum.
EE carundem ope, poterit quispiam C. cui id lubitum est) vel novos Canones,
Numeris Absoluris, rero proximis, condere; aut jam conditos examinare.
Nam pro qualibet Subtenla, ordine quarenda, non nis una Radicis extractione
opus erit, (e Paepe ne hac quidem;) Sed quod reliquum est operis solis Adcicioni.
bus ee Subductionibus perasitur; aut salrem Dirisionibus per 2 aut 4.
Exempli gratia. Posito Circuli Radio R = +. Tum (propter Radios omnes
in eodem Circulo inter (e aequales) C =D = 1. Ec Cimiliter Cq- D9--CD =- L.
Pricque B subrensa anguli propoli.
ErSO (per S F Cap. praced.) Ouadratum Subtentae graduum 00, est Bg =
Cg. FD9 = F F F = 2. Iplaque subrensa B = V 2. Oux habetur unica exira-
etione quadrarieae Radicis numeri 2; concinuandae quousque libet in partibus deci-
malibus. PuTaVZ ==F, 42421356 Y Proxime.
Trem (per 52 ejusdem) Ouadratum Subrenia gractuum 120, est B9 = C. 9. f
D9  CD =L F 5 F 5 = 3. Iplaque Subcena B =V 3. Ouxe similicer habetur
unica excractione radicis numeri 3. Puta V 3 = L. 7320508F- proxime.
Ouadratum Subrenx graduum 60, cst (per 53) B9 = Cq + D4 - CD 
= F = + = F. Adeoque Subtensa B = X.
Catera vide pas. 500. post Tabellam, hic inserenda.
Sequitur Canon, seu Fabula, Subtentarum radicibus surdis desixnatarum, pro
singulis Sesqui gradibus rorius Semicireuli, (adeoque d pro Reliduis ad Circu-
lum inceorum, quorum subtenta exdem sunc cum hisce.) Posito Radio R = F.
ad eoque C =D = +. Trengue C9 =Dg =C D = L. QuibUS PPXMILUNEuE;
in marxine, sectiones Capicio praececencis unde derirantur.
rac.

## Folio 586 — 851708439:0610
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000610.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
DE SECTTONIBUS Cap. VIII.
S jorad.,
0.0.
Subrena.
213) 15 Y: 2 - Y. 2 + r8 +Y15 + 13 + Y: 10-215:
202
3 V: 2 -18 +Y15 + Y3 + Y. 10-2Y5:
43 43 V: 2 - Y: 2 + V: 2 + ,5+ Y5
87
17
6 y8 - Y 15 -13-Y: 10 -215:
22 Y. 2 - Y: 2 + Y: 2. + Y3 = Y: 2- 14 + Y6 + Y2
37 dV: 2 -Y: 2 + 15+ Y5
72 203 V: 2 - Y: 2 + v8 +Y 25 = Y3 + Y: 20 + 2Y5:
73
12 V: 30-6V5: - 15 = +
41 132 V: 2- V: 2 + V: 2 + 15=15
13 25 V: 2 -Y: 2 + Y3. = 1 4 = 16-Y2
33 265 V: 2 - V: 2 + Y3F Y 15 + Y3 = Y: 20-2V5:
3F
18) Y: 2 -Y5 =15. -Y20+ 12-21. 5-15:
105) 152 V: 2 - Y: 2 + y3= Y25 + 13 + Y: 20-215:
63) 21 Y: 2 - ,8 + Y 25 =13 + V. 10 + 215:
9
67
223 V: 2 - V: 2 L V 2.
24 Y. 20 +215. =25 + 13.
203 25: v: 2 - Y: 2. + v8 + Y 15 - 13 - 1: 10 + 215.
33 27 Y: 2 - Y: 2 + Y5 = 15
or 26: Y. 2. - 1. 2. + v d = Y 25 - 13 + v: 10- 215:
7
30 V: 2 - Y3: -16=Y2
45 352 V: 2. - v: 2 + V: 2 - 1 15
83 33 V: 2 - Y8 =V25 + Y3= Y: 10-215:
25) 34 V: 2 - Y: 2. + Y~ = Y25 + Y3- Y: 10 + 215.
27 36 13=15 15 = E
21 3: v. 2 - 1. 2+ 1: 2 - 13. = 1: 2 - , 2 + 16- Y 2
80) 30 V. 2- y -Y15 + 13 + Y: 20+ 215.
53 403 V: 2 - Y: 2 + v. 2 -, 5+ Y5
50 42 y3 = Y 25 + Y3 - Y: 10 + 215:
227 43: V: 2 - Y: 2 + yd= Y 15 - 13-1: 10- 215:
5 45 V: 2 = Y2.
5TI2
11

## Folio 587 — 851708439:0611
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000611.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
CM
115
e
1
Cap. VTII. AN GULARFBUS. 1C1
5 jGracd. 1
1802.
ste Subrentae.
112 138: r: 2 + r: 2 + y 8 = r 15 + Y3 + V: 20 -215.
200) 277 V. 2 + v8 = 125 + 13 + Y. 10- 215:
48 1753 V: 2 = V: 2 F Y: 2 +,5 + V5
8s 224 (V8 + VE5 F V 3 = V: 20 = 2Y5:
+
16 272: 4: 2 + Y: 2 + Y: 2 + 13. = Y: 2. + r+ + V8+ 12
36 27E V: 2 + V: 2 + 15 + V5
20 160 Y: 2. + v: 2 + Y8 FY 15 = 13. + V: 10 +215:
78 208 V: 25 + Y3 + Y: 10 =215:
40 (2662 Y: 2 = V: 2 + V: 2 +15= Y 5
12 265 V: 2 + V: 2 + V3. = 14 F V6 + V2
92 263: v: 2 + v: 2+, 8 + Y25 + 13 - Y: 10-215:
30 162 v: 2 + y5 F Y5- Y20 + V2 + 21:5 - 15:
109 1603 r: 2 = r: 2. +, 3 - Y 25 + 13 + Y: 10 - 215:
62 250 V: 2 + Y ~ F Y 15 = 13 + Y: 10 + 2Y5:
8 257E V: 2 + V: 2 + V2.
66 256
Y. 30+6Y5: + V5 = 2
108 1542 v. 2. + v. 2 + v 8 + Y25 - 13 - Y. 20 + 215:
32253 (V: 2 + V: 2 + 15 =V5.
36) 251: Y: 2 +v: 2 + y 8 - Y 15 - 13 + Y: 20 - 215
6 150 (Y: 2 + Y3. = Y6 + Y2
44 2483 V: 2 + V: 2 + V: 2 - 15 = 13
82) 147 v: 2 + v d F Y 15 + 13- Y: 10-215:
24 245i Y: 2. + v: 3. + Y8 - 125 + 13 - r. 10 +215
26 244 V5 + V5
20 142 Y: 2 + v. 2 + v: 2 - 13. = Y: 2 + r2 F 16-12
88) 241 V: 2. + Y3 = Y 15 + V3 + V: 20 + 215:
52 1302 V: 2 + V: 2 = Y: 2 - 15 + Y5
58) +38
8 + Y15 - 13+ Y: 20+215.
210 136. r: 2 + Y. 2 + Y d = Y 15 - 13 - 1: 20-215
4 135 V: 2 + V2.
ECCC2

## Folio 588 — 851708439:0612
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000612.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
DE SECTIONTBRS Cap. VIII.
5 jCract. 1
tur Subtenla.
5 45 V: 2 = Y2:
tr
110 463 Y: 2 - Y: 2. Y ~ - Y15=13-1: 10-215:
62 48 (VX5 = Y3 - Y: 10- 215:
55) 482 Y : 2 - 1 : 2-Y: 2 - 15+V5
DE SE V: 2 -,d = Y25 - Y3 - Y.: 20 + 215:
erln
23 522 V: 2 -Y: 2 - Y: 2 - Y 3. = Y: 2 -Y4 16+ Y2
29 54 (Y: 2 - Y5 = Y5
77 552 Y: 2 - Y: 2 - y d - Y 25 + Y3= Y: 20 + 215:
85 57 Y: 2 - , 8 = Y 15 -13 + Y: 10 - 215:
47 583 V: 2 - Y: 2 - Y : 2 - Y 5 Y5
3 60 X.
00 615 r. 2 - Y. 2 - 1 3 = Y 25- 13 + Y: 20 - 215:
35 63 Y: 2 - 1: 2 - 13 Y5
212 643 Y: 2 - Y: 2 - 1 d + Y 15 - 13- Y: 20 + 215:
60 66 ,8 = Y25 = Y3 + Y: 10- 215:
22 673 V: 2 = V: 2 - V 2.
65 60 Y: 2 - , 3 = v 25 + Y3 - Y: 20 + 215:
207 705 Y: 2 - Y: 2- , 8- Y25 + 13 + Y. 20 + 215.
25 72 15= Y5
35 732 Y. 2 - Y. 2- 8 + Y15 + 13 - Y: 20 - 215.
25 25 V: 2. - Y: 2 - Y3. = , 4 Y6+ Y2
43 763 V: 2 - Y: 2- Y: 2 + 15 V5
82 28 18 F Y 25 = Y3- Y. 20 + 2Y5:
3
3) 702 Y: 2 - Y: 2 - 1 = + Y25 - 13 + Y: 10+215:
30 82 V: 2 -V: 2 -+5+ V5
29 823 Y: 2 - Y: 2 - Y. 2 + Y3. = Y: 2- 14- Y6- 12
37 84 (V: 30 +6Y5. = Y5 + +
52 85: V: 2 - Y: 2 - Y: 2+ 15 + Y5
103 87 Y: 2 - ,d = Y 25- 13- Y: 10 - 215:
125) 88: Y: 2 - v: 2 - 1 8 + Y 15 + Y3 + Y. 10 - 215:
2 30 Y2.
588
Eap
11

## Folio 589 — 851708439:0613
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000613.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
1l5
161
s
CaD. VITI ANGULARTBUS.
SjGrac. 
ve
4) 235 V: 2. F V2.
Subten (a.
ele
218135: r. 2 + Y: 2 - , 8 - Y25 - 13- 1: 10 - 215.
60) 232 Y. 30=6Y5: + 15 + 2
de
au 54) 130: v: 2. + Y: 2- Y: 2 - 15+ 13
00) 129 Y: 2 + r 8 LY 25 -13 - Y. 10 + 215:
 (32 127: v. 2 + Y: 2 - Y. 2 - 13. = v. 2 + 7 4= 16. + 12
28 +26 V: 2 + 15=15
n
a
ta
3 = Y15. + Y3= Y: 20 +2Y5:
84 223 Y: 2 + y  = Y 15 - Y3 + Y. 10-215:
46 1215 V: 2 = V: 2 - Y: 2 - 15 Y3
2 720 V3.
08 128, Y: 2 + Y: 2 - s d- Y25 - 13 + Y: 10-215.
34 227 V: 2 + v: 2 - 15 = 15
270 2252 V: 2 = Y: 2 -, 8 = Y 15 - Y3 =Y: 20+2V5:
68 224 r8 = Y25 + 13 - Y. 10- 21
10 +T23 V: 2 4 V: 2 - V2.
cllis deu
64 XEE Y: 2. + Y ~ = Y 25 + Y3 - Y: 20 + 2Y5: dic
 206) 200: Y: 2 + Y: 2 - 1 8 - Y 15 + Y3 + Y; 20 + 215:
12
24) 238 13 + V5 -Y5 +F
ci
24 206:) Y: 2. + r: 2 - 1 3 + Y25 + Y3 - Y: 10-215:
24 205 Y: 2 + Y: 2- 13. = v 4 + V6= Y2  
42 2035) V: 2 = Y: 2 - Y: 2 f Y5=V
80) 202 Y  =Y 25. + 13 + V: 10 + 215:
72 1005 V: 2 + Y: 2- ,3 + Y25 - Y 3 + v. 10 + 2Y5:
not
li
38 90 V: 2 + Y: 2 - 15+ V5
meatmis
iect 
28 97: Y: 2 + Y: 2 - v: 2 + Y3. = Y: 2 + 1 4 = Y6- 12
56) 06 r 25 = Y3 + Y. 10 + 215:
50 943 V: 2 + V: 2 = V: 2 + Y5F.
102 93 V: 2. +V
AE 1
8 - 115 - 13 - Y: 20 -215.
u a 8+ Y25 + V3 + Y: 20 -215
124 9r3 V: 2. + V: 2 =V
E CCC3
2 90 Y2.   un
ee
Guachratum

## Folio 590 — 851708439:0614
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000614.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 78 lines, status machine
DE OBCLIOAIBUS
Ca
Vide paz. 585.
Ouadratum Subtensae graduum 135 elt (per 54) Bg = C9 F D9 + CDV Z
c.  N 2 == 2 f V2. Quod habetur addendo 2, valori jam invento (S F)
ipsiuS V 2. HIOC ClL, 2 f V2 = 3, 4F422356 ] proxime Adeoque per unicam
Excractionem Radicishujus numeri, habetur ipsa Subrensa gractuum 135. Nimi-
rum B = (V: 2 + V 2: = V 3. 41422356 + ==) 2. 84775906Z proxime.
Ttem (per 55) Ouadracum Subrensa graduum 45, est Bg - C 9 F D 9 -
CDV2-
T F T = V 2 = 2 = V 2. TIOC CAt, (Suberacto de 2, ralore ipsIuS V 2
jam invento,) B9 = 0. 585786433 prosime. ujusque Radix quadrarica, jam
extrahenda, est B = V: 2 - V 2: =0. 765366863 PCOXImC.
Et (per 56) Ouadratum Subrensa graduum 150, cst B9 f C9 + CD Y 3
F F F F V 3=-2 f V 3. Ouod habecur addendo 2, valori ipsus V 3 jam
invento. Hoc est, B9 = = 3. 73205081 =. Cujus Racix (jam excrahenda) est
B = Y: 2 fY3: =2. 93185165 + proxime.
Vel Sic. Duoniam V: 2 + Y 3: =
Z. (Ouod patebie vel hunc numerum
quadrando, vel extrahendo Radicem Binomii 2 L V Z.) Elabetur autem jam ante
ralor iplius V 2 = F. 47422356 +: PC (per extractionem unam jam Faciendam)
V6 = 2. 44948974 +. (Oux etiam haberi porelt mulciplicando valores Y 2e
Y 3 jam cognOS; quia V 2X V 3 = Y 6.) ErBO V6 + Y 2 = 3. 8637,0330 +.
Fujusque Semictis est Y5 F Y 2 = +. 93+85265 +, ut prius.
Sic (per 57) Ouadratum Subtentae graduum 30, est B9. f Cg - CDV
= 2 = V 3 = =0. 26794919 -. Ouod habetur sola subductio.
ne iptius V 3, jam inventa, ex numero 2. Cujus radix quadratiea (jam exrrahenda)
est quaelica lubrensa B = V: 2 = Y 3: =0. 51763809 proxime.
Vel lic, (ablque nova Radieis extractione, ) Duoniam Y: 2 - Y 3: -16- 12
coenicique jam Tunt ralores V6 _ V 2: Hlabetur (Tola Subductione) 16 = V2
= 2. 03527628 proxime; hujusque semistis
Prius.
Ec pariter in reliquis, (sumpris propotitionibus seu sectionibus eo ordine quo
trabeneur capire praecedence,) non nili una Radicis Extractione opus erie (aurne
hac quidem) pro exguirendis eo ordine subrensis lingulis.
Ouibus quidem lutcentis sic habiris, carum Semistes sunc sinus Recti pro dimi.
diis Accubus Angulitre. Verbi graciam
AFCUS.
Gractus. 90
220
60
Subcenla.
T. 42421356 7
F. 73205081-
F. 00000000
135 2. 84775906
45 . 76536687-
SinuS.
0. 70710678 +
0. 86602540 3
0. 50000000
0. 92387953
0. 3826834. 3
150 X. 93165165 + 0. 96592582 3
0. 25887904 3
ATCUS.
45 Gradus.
50
30
67
22
75
25
Et simili modo procedenau et PtO delignandis (per Radices Surd3s) subten-
sis Arcuum acthuc minorum; Per concinuam Angulorum Bifectionem; Oua.
rum Semilles tunc Sinus Arcuum dimidiorum.
Sed, pro delionando Integro Canonc Subtentarum de Sinuum; pro singulis
Gracibus, de graduum Sexagelimis seu Minucis primis: Opus adhuC CFiC ( PratEK
Radicum harum Ouadrariearum Lixractionem in Numeris) duabus Prifectionibus
arcuum, ex una unsuectone.
Cum enim procellus huc ulque tracticus, non ultra se extendic quam ad Sub.
rentas Sesqui GracltuII, a de Sinus Vocrancum, seu minutoruI 45 = 3Y325:
Follumus hine (duabus crisectionibus, et ua ouinguilectione) perrenire ad Si-
num rectum unius Mues Pu. Sed non, solis Bisectionibus, ee operationibus
inde deduetis.
Illis aurem opetaltois He Delactis; reliduum operis pertCIETUT, OBC5 O, 10,
Capicis
O O. 51763609

## Folio 591 — 851708439:0615
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000615.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
Cap. VIII. ANGULARTBOS.
Capitis Sexri; primo inveniendis subrentis ReGregatorum e Disterentiarum AF-
cuum quorum Subtensa jam innoceseunt.
Corniris (ut jam ostentum cs) Arcus, Angulire Sinu Recto; Cuna cum
Circuli Radio:) Fansens, Sccans, _ sinus Vertus; cum ejuldem, cum ejus Com-
plemenci ad Guadrancem; inde facile derirantur per nocas Methodos.
Ouem in finem; libet hice subjungere Aquipollentiam seu Loodirauiar variarum
Delignationum pro earum sinsulis inter le cognationibus. Quam, ance multos
annos, in hanc tormam redezi; d D. Johanne Collinio ad id FogatIS.
Fsto R, radtius; S, Sinus rectus; Z, co sinus, seu linus complementi; T, cay-
BenS; 7, Co tangens; S, secans; 6, c0 secans; V, SnuS. VextuS: v LInuS- Versus
complementi. Pum erits
5 = v. R - 2. - - - = v. R.  5. - =
Z.R
R
V. R 52:-
V: R3-. 52: -
SR F
SR
R
F
YR. J. F: =
TR
V.X Ir:
Z. R
V. R 2: = 5 V: R - 5: = 1: 8 - R: -
R0V R00 Y: 20R -V.
R
2
=Y: S. - B:
V: 62 = R:
V: R F T3. = Rn Y = Y: 20R - 5
V: R S: = V: R = 22: = Y: s
R~V RCYV: EVR =V..
EiR
J. R 5.: =V. R + F: = V. R + -: = - v: 2 . + R =: -
TR YR B
Yo- P: 5 V.R- 2: S= V: R- 2.-
1
TR
V.N+ r: = Rvo = V: 2VR -V
= = V: R- 23: -
V: R- 22. =
SR
s
E
F
V.R 23. = V. R f r: V: R F
rR
R
23
P3
P2
Si RBV Y: 20R -v:
== V. P +R2:
R=
P3
 Y.R 8: 25V.R S. =F Ru Y. EVR V.
SR
V.p -. B.
Y = RF E. R F V: R -8: =R + q =RF s. R f 73. RF = R +
XR
=R F J. P L5:
=R F =R F V: 0 = R: =R + V: 20R - 8:
 =R+ S = R. + Y. R - 23: =R+ =RF s. R. f. g5. =R
=R +
TF
V. R. f. Y
= e + =
=RF  =R F Y: s -R: =R + V: 2VR -Y:
P. R.
lu

## Folio 592 — 851708439:0616
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000616.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
E dECF10HBS
Demonstratio horum omnium Fa-
cile deriracur ab inspectu Schematis;
cum Losistica Speciola; e Substicur
tione Equipollentium Designatio.
num.
Sinus, Tangentes, de Secantes; ex-
dem TUnE pro Areu quoris, ejulque
Reliduo ad Semicircumterentiam. Sed
sinus Vertus, est in altero Ditteren.
cia, in altero summa, Racit et C0.
finus.
Libet hic subjungere, hac occatione, Propolitionem elecantem, quam mihi de-
monstrandam miccebat D. Gcoreius Fairsax, Vir ingeniolus, de Machelios peri-
cus: Ouxe quamris non suc huic rei peculiaris (sed alibi etiam, in Projectionibus,
ucilis;) non camen aliena cst a praelenci negorio, liquando Linea Sinuum, L’an-
sencium, Secancium, aliarumre ad Circulum spectancium, projicienda reniat in
Lineam aliam.
Accevi dic Saturni SepF. X9, 1674, resperi (inclusam Existolae eodem die seri-
Pex) provolirionem illam pridie (ut videtur) Scriptam; Ouam die Lunae se.
quente Sept. 2F. conliderandam suscepi; ejusque (qua perebatur) Demonttrario.
nem eodem die reddidi. Prouc hic seguuntur.
P R OBL E. M A.
Seantur CZ CB aneulum quemtibet facientes BCZ;  ad unam Ba-
Drum linearum CB, dueo quameunque Parallelam (quam Primam voc0) S Y.
In C B imprimo punctum quodlibet a, unde ad quaelibet Z _ Z in CZ assum-
Pta auCO AZ AZ, quae secabunt Parallelam (primam) in K ( I.
Dividatur KL. quomodocunque, pura more Lineae Sinuum, si ipsa RL. sit Si-
nus TOTUS.
Sed hic (tollenda consusionis, ex vilandae prolixitatis causa) Dividatur, in-
quam, LL. visariam in C puncto: e qucta AG secet Z Z in Y.
In eadem C. B, sumo aliud quodlibet punctum B, ducendo BZ BZ, quae secent
parallelam Primam, in M eg FI
Siu inquam, dividatur M H bisariam in L (qualiter ante secabatur K L. in Cc ;)
Dico, quod BI transibit per Y
Praeterea; Duc ad libirum alium quameunque Rectam, puta CF, ab aneulari
puncto C. F) ad hanc due etiam ubicunque Parallelam (Sccundam) V V. Ft a
puncto D ad libitum assumpio, in nova hac recta C F, emittantur ad pristina illa
puncta X Z, recta DX DZ, quae Secunda huie P arallela occurrant in punctis
O8 P. Secetur OP visariam (rursus) in F.
Duofacto: Dico iterum, DV etiam per Y transire.
Denique: Si aliud quodvis Punctum, puta ipsum E, elieatur in recta C DF.;
 si iterum ab E ad priora illa puncta X e L. ejiciantur rectae F. X F. Z, quae
YV (secundam Parallelam) in  _ R (quorum EI est punctus medius) inter-
secabunt:
Dico, e E. H per vecus illud punctum, nimirum Y, cransire. Sic in Caeteris.
Ot vero bae nudae asseverationes nostrae (quae nimium remeraria alioquin vide
ancur) Demonstratione aligua Cicometiica Cerroboreneur, summopere exoprac,
Ccorxius Lairtax.
Sept. 18, 1674.

## Folio 593 — 851708439:0617
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000617.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
Cap. VTII. ANGULARLBUS.
Propotitionem sic Demonstro.
VM KL recta, sit rectae
aAB parallela quaeris (quip
pe parallelas omnes, cruribus
AX AZ interceptas, similiter
secabit A T recta,) eam sumo
quae per Z transit: adeoque, pro
KL, habeo XI, (punctis XB
coincidentibus:) quam in 8 ut-
canque secet a lrecta.
Tiem, pro M N (coincidenti.
Dus HZ) habeo Z n. Quae sit in
i similiter secta ac fuerat XL
.
ist E
In quacunque itaque ratione sit
Zn ad XL, in eadem erit Z.
ad Z8. Functis que Bi IZ, in
eadem erunt (propter communes
allitudines) triancula XBn
ZBI, ad XAI ZAG; item
XZn X XI, ad XZIXT8,
respective. Adeoque e XBR.
ZZn simul, hoc est Z BL, ad
X AI Z Z. L simul, BOC est Z A Z
Tiem ZBI X Ti simul, hoc est
ZBIZ, ad X A8 X T8 simul
hoc est X A T. Adeoque simili-
ter secatur triansulum X BZ. per
lineam (ex rectis compositam)
Bi Y, atque Z AZ. per AB L rectam. Sed e similiter sccatur idem Z BZ per
BY rectam, (propter communis Basis communem sectimem T.) Quod fieri non
potest nisi B L recia per i transeat, sitque Bi L una recta. Rectaisitur BI, sie di-
videns Zn ut rectam ZI diviserat R5, transit per 2.
Pariter de puncto D, sumpta OP in ea parallela quae per X transit (coinciden-
sibus OX:) Secetur X D inF, ut secta est XL in 8; at que juneantur DF FY.
Propter parallelas, tum C A XI, EUI CD XD; erunt, tum AZ. in I, tum
DZ in p, similiter sectae, atque CT. in Z.
Sunt ereotrianeulorum X A L Z A 8 ZZ I X Y8 altitudines, in eadem inter
seratione, ac alcitudines trianeulorum Z DD ZDE ZT. D Z LF: sed ex (propter
Bases XI X P similiter sectas in 8 e L) bases item habent in eadem inter se ra-
tione. Preo e triansula trianculis sunt inter se in eadem ratione. Adeoque Z A 8
XY8 simul, hoc est Z A T, in eadem ratione ad X AI ZZI simul, hoc est
XAZ; qua X DFX FF simul, BOC est XDEL, ad ZDD XZ P simul, hoc est
XDT. Pt propterea in eadem ratione secatur triansulum X AL. per  l rectam,
atque rriansulum XD Z. per lineam ( ex rectis compositam) DFT. Sed  Si
militer secatur idem XDT. per D T rectam. (Quod fieri non potest nisi DV
recta per F transeat, sitque DFL una recta.) Rectaieitur DF si dividens X P in
F, ut X I dividitur in 8, transit per X.
Ldemque de puncto P. eC. Similiter demonstrabitur.
D SCPE. 21. 1974.
soll. Nallis.

## Folio 594 — 851708439:0618
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000618.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
DC LTONI
 LLP. L2.
Comparatione.
De Inculorum cum Arcubus quibus insistunt
cemtillam aucribuit ipse cextus Fuctiais, PrOp. 33. lib. 6. Saltem si propoliionis
hujus excrema clansula non (ic Zheonis, duc alterius cujusdam AHumenCI. Sed
e Archimedi, PrOP. L. de Dimensione Cirbuli, VOx Louds (Sector) accribuieur
consprehenso. Nec video cur Archimeats cextum Collicitare debcamus. VE nOn
it de voce licigandum, Si laxiore sentus de quoris Frilineo uturpetur, quod dua
bus Rectis concinetur ec Arcu circuli (aliutre currae) live Concaro lire Con-
vexo; dummodo Paris conster quid qulo ea voce incellectum velic.
Circuli consticucus elt, (sire intra Cire eera Circulum,) nunc dicendum erit. Nec
Vod Sectorum Aneuli sunt proporcionales Areubus quibus insistant; sive
sint anguli ad Centrum, sive Aneuli ad Circumserentiam: Ouodque
Aneulus ad Centrum, est Duplus Anculi ad Circumferentiam, eidem
Idem aurem de trujulmodi Ansulo, qut hec ad Cencrum nec ad Circumterentiam
est, quod leiam, qui rem hanc considerandam (uscepit. Ouam itaque speculatio.
2. Si Circuli Diametro D F, accommo.
detur, ad centrum C, angulus B AD: AF-
cus incercepcus BD, elt angulo proporcio.
nalis. (Per 26, 27. T.l. 3. C 33 FI. 6, FU
cliais.) HIOc CH, AECUS InTErCEPTuS BD
est ea pars cotius Circumterencix; quae ett
Angulus A, quatuOr RectorUM. EF prO-
Pierea Angulus A, dici solet cocidem Gra-
duum, quoc est ArCUS BD.
3. Si BA D A Crura continencia talem
aneulum, post decussationem in C Factam,
angulum Vercicalem R Formancia, continu-
entur ad oppolicam Circumterencia partem.
ATCUS INtETCEDEUS G F aequalis erit (per
52) ipIIBD, (Propter angulum verricalem B, ipti A aequalem.) Pe, consequen-
ter, Arcuum illorum Aggresacum BD Y C F ett veriulris Duplum. HOc etb,
BD F GF
D
4. Si ad F Diametri extremum, Formecur similis AnguluS A: AECUS intErCePCUIS
HD, eAt duplus ipsius BD. HOC cs, HD =BD FGF = 2BD. Ouontam
(per 20 EL. 3,) Angulus in Centro est duplus Anguli in Circumterencia, cidem
arcui insistencie
Vel sic: Duoniam (per constructionem) PHI, GCB, sunc Parallela, (utvOrC
aequales ansulos ad F D Faciences:) Adeoque HB = PC = BD: EHt, conseguen.
ier, HID = HIB F BD =- F G ] BD = -2BD. Per 63
5. Si ad aliud quodris ejusdem Diametri punctum K, intra circulum, Formetur
similis angulus A, ejusque Vercicalis F: DuOTUM incercEptOrum Areuum aBBTC.
Sacum F L. F ND elt duplum iptius BD. HIOCest FF ] ND = FC + BD -
2BD. Nam (ducta recta AM) duo incerni anguli F N L F M FD, aequan-
TUE ExtCEnO MIKD = A =FIF 1
(qui elt angulus in Circumterencia:) Adeo.
que ArcuS iptis oppotici PJ. = MD, simul aequancur areui huie oppolico
HD = 2BD. Per 64
Veltic: Duoniam FHL LM TunE Parallelae (urpore aequales angulos ad FD
Facientes;) EreO L L. = HM, e YL + MD = LM f WD = HID = 2BD. per 64
srcui insistentis: Jam olim ab Fuctide demonstracum est; eltque ab omnibus re-
cepcum. Ec quamris Sectoris nomen, Famoliori Gigniticatu, de eis qui ad Cencrum
lune, pocissimum uturpetur; tamen illis icem qui ad Circumterenciam FuINE, Vo-
Frilinco, extra circulum posico, duabus rectis ee Conrexo Areu quibus insiltune
nem libet sequentibus aliguot propolicionibus ulcerius prolequi.

## Folio 595 — 851708439:0619
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000619.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 27 lines, status machine
C ap. 1X.
eidem IID (eu ZBD. Nam PO FFI lun parallela curpore aequales angulos
Facientes ad D Fproctuccum;) Adeogue PI =O HI. LE PEOPterCA OD = PV
=DD - OH = ID = 2 BD. Per 8 4.
. Fadem paricer ralebune, etiam si Crurum neutrum transeat per Centrum.
ladeoque nec luper Diametrum jaceat;) Ouod, pro divertis casibus, speciarim
Oltendam.
e Si MF. un Facianc ad B, ubiris Inira Circulum, Angulum NI R u: Esto 2d
Concrum Ansulus huic aequalis BCB, cujus crura sint illius Cruribus parallela.
Perque angulare punctum I, ducatur PPD diameter. Tum erit (per 55
ND. F L H = 2BD: FFAD F AF = 2BD. Ergo (Summa vel Difterencia)
M e (= MD F ND) F L. a (= L. F +AF) = (2BD F 2BD =) 2BB.
A N G UF A R FBUS.
6. Si ad punctum N in Draeto Producta, LXtra Circulum, similis FOrmCtIE
Ansulus A: Differentia duorum Arcit cm, VD = P H, aequatux
9. Similiter: Si PTEn Sc Angulus in Circumterentia: F.C, ad Centrum, cidem
timile BCB; hujusque Crura Cruribus illius Parallela: L.L L CD cancter. Lu
per 84) HD = 2BD; e n D = 2BV. L(= AB =nB) = (25D
2 B =) 2BB.
0. Idem intelligendum, Ei Crurum alterum Circumferentiam in L cansat (punctis
 Acoincidencibus; Arcuque PH eranescente; Arcuque incu n eodem
Nam e nic FIF D = 2 B
HIEn (IED =n FD) = (2BD + 2BD =) 2BB.
PFOPICKCA
2BD. I
existenre cum P n.
Simt.

## Folio 596 — 851708439:0620
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000620.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
DE
SECTTOHEBUS.
Cap. IX.
2F. Similiter: Si ONX Sic Angulus Fxera circulum; ejusque Crura Circumse.
rentiam secent in P r. Sicque ad Centrum Angulus similicer sIcus BCB: e
VFD diameter producta. Fum (per 56,) OD = PF = 2B
=2BD. ErgO, OD =XD, dempris P F F n F, aequabun 2BD = 2
d
l
D = 2BB.
cer, sed Fansat. Nam cum, punctis P Q, auc n X auc ucrisque, coincidenti
buS; CxTCrA PTOCCdEHL uE PriuS. Nam etiamnum OD - P F = Z BD; et XB-
nF = 2BD. L130(summa ret ditterencia) QX P n = ZBB.
22. Idem intelligendum elt li Crutum alterum vel vcrumgie C Heutum non Se.
leurite
23. Sed, S Crurum alterum, vel ucrumque, Circulum transeat, (eum neque
secans, neque tangens;) Id ad praesens negorium non spectat. Ouippe talis An-
sulus non infiltic arcui Circulari
Oux itaque particulatim ostenta sune; huic Generali aequipollent:
24. Si Circulus secetur (AULTANSaCE) duabus Rectis, angulum facientibus,
(adeoque, S contmmentur, se muruo deculsancibus:) Segresatum (h Interlectio
lic Tnera Circulum) vel Differentia (R EXera) duorum Arcuum ipsis (A OpuS,
productis,) interceptorum: vel (B incerlectio sic in ipta Cireum ferentia) Arcus
unicus ipsis interceptus; Aquatur Duplo Areus intercepri Cruribus aneuili a-
quasis ad centrum posit. (L . (1 E 5= CL i 15 siit 1B
 . L Cl e)
Libet hic subjungere Responsa mea ad Problemata quaedam ex Callia de Beleio
ad Societatem Recram Lonaini missa; quae ee ipla Circulares AreUS respiCILnE.
Non quod ea sinc vel magni (quancum rideo) momenei, vel masna disticulta-
tis: sed quod uc calia fuerinc Societati Resix proposica; aeque ab eis mitii deman-
data; quibus obcemperandum centui.
s
1
ec
D
a
le

## Folio 597 — 851708439:0621
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000621.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
CaP. LL.
ANGULARFBUS.
C. AP. X.
De Problemate quodam Gallicand.
Tceris ad me suis Concini datis Dec. 70, 2667, D. Flenricus Oldenbureins
(Resix Socieraris Londini tunc Sceretarius) ad me transmisie Problema
quoddam Callicanum, Parisiis ad se miltuum (d D. Francisco du Laurens,
quod audio, propoticum) Regia Socierati extribendum. F. X cujus Solutione egre.
sias melcio quas Circuli proprietates novas, hactenus incognitas, detectum iri
praecendebatur. Duibus ego lueris (Dec. 12. recepris) postridie sic respondebam.
Decemb. 13. 4667.
Problema quod spectat, his verbis pro-
volicum, Numero datis Circuli C BD ra-
dio C C, ex inscripta BD, extra circu
tum porrecta ad libitum, ita tamen ut ad
ductam C F acta paralbela BT circuli cir-
cumferentiam secet in puncto Z: Verum
(non autem vero proximum, quod per Si
ncvum Canones facile fieri pocest) valorem
exbibere lineae BX.
HOc est (si cgo iplius mentem Cacis
2(equox) Datis maenitudine (numeris
desienata) tribus hisce rectis: nempe
Circuli BD C cum racio C C, tum inscripta BD, tum hujus (ad libitum protra.
Eta) continuatione DF; cui occurrat in F recta à centro C F, e huis parallela in-
tellieatur inscripta BX: Quaritur ipsius BX verus valor.
1 1
i
S FC SOF, V O. lonc1
Datis numeris r = C G, 2 B = BD, _CfH DF: Fric quadratum semissis
BY
 - 4. 72 B + 4 - 2 r bf + 4Bf + Bf
 1 72 + 2bf +5.
1 = 2b2 LBf
. Hujusque radix quadraciea
Y: r f 265 f. p= = LBL. Ouod erat inquicendum.
a LI D F Nt O N SFR A F IO.
SunIOCG =OD LCY =Y. BF = F. D = ;BD = B.
10
11
DF =f. id
BC 1D C B.ID eret Si
i BA = AY = EBY = CH=
Angulique C F B, C AB, B H C, recti.
ETnCFF = B. + f. BF = 2615.
EFg B + 2bs + s. BF9 4b. + 4051 s
CKgL CDq FDg r2- B2.
CFg- CKq. f FHG- =r  + 2b5+f2.
trem, in similibus Triangulis CP F, BFIP,
CF. CF:: BF. BH = C A.
AdeOg; CFG. CFg:: BF9. BH9 =CA9. IoC est
H EFF3

## Folio 598 — 851708439:0622
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000622.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
DE SECTIONIBUS
p + 235. +. 52. p - v.: ab + abs. + 2. q v + 4u 25 4 , es - qu - 485 - v. p.
(BH9 = C A9 = C Y9 = A Y9 =) ,2 - p. RrBO
+
4reb + 4u2bf + , 2s2 - 4u - 4b35 - v25 = 1 4 + 21 265 4 1 252 - ,2,2- 2B fy 2 - f2
HIOC est, que V + 21 2b5 - 48 - 4B5 - Bp = ,2
p - 20
R. C, 14 = 4r 2b2 + 4V 21bf 4 48f 4 3fr = r y2 4 2b fy2 4 fr g
Ldcoque  1r  + 48- 21285+ 405 + 352
n + 205+
Flabes itaque Problema, eo Talrem sensu quo (utut Patis obseure proposicum)
incelligendum existimo, constructum e demonstratum.
Altimo autem eres rectas C G, BD, DF, daras esse. Ouoniam, nisi hoc velit
Problema, auc salcem quod huic sic ioosravor, Pocerit eAe B X cujulcunque longicu-
dinis quXe SIc dliaMCErO minOF.
Ouanam aucem sunc illa Circuli proprierates norae, hinc detegende, quae non
aliunde haberi pollune, nondum allequor. Vale.
HTS ABSOLVFIS
Tandum peritur, S+ B Y sit rationalis.
R E S P O N D F. O.
I. Si illud velit Problemarista; omnino impertecte propolicum est Problema-
auc etiam imperire. Ouippe roces illa verum valorem exhibere nil cale signiti-
cant. Dixiller porius, numerorationali exhibere; Faltem numero exhibere; et nOn
simpliciter exhibere.
2. Si per Rationalem incellisir (sentu Fuclideo) rectam quae sic Talcem Poten-
tia commensurabilis; jam praelticum est. Ouippe li r, b, f, (numeris defignata)
linc Commensurabiles (uE numerus ad numerum,) exit p (prout hic desionatum)
eorum duadratis commensurabile. Ouod inspectu patet.
3. Si per rationalem incellisit Zonsitudine commensurabilem; id imperite peti
cur. Ouippe datis CG, BD, DF, decerminatur rectae B Y longicudo; Sire (C po-
centia cancum, tive consitudine commenturabilis: uc non sic nobis liberum alteru-
crum eligere.
4. Si vule, Tolas CO, ee BD, maenicudine daras este, de non carundem alcerius
concinuationem, (quo punctum Pdecerminetur, auc radii CG, potitio:) Ouxelicum
est tacilius quam quod Machemarieum decear (uc arcuum) proponere. Ouippe
nulla sumi Docest inseripea B X (modo ipsa non sic Diameter) qua non lic ali-
cui Diametro parallela, cui occurrat alicubi (incra, vel exira Circulum, si utra.
QuC COnCINUCTIT) Data BD
5. Sin porro Petatur, uc, Poticis C G, B D, Commensurabilibus, sic cisdem com-
mensurabilis B Y: eodem res redit, nili quod cum incerponendum erit datis com-
mensurabilis. Ouippe huc redie Problema; Data, in dato circulo, inscripta BD
(quae non sic diameter) aliam huic conterminam (ee commensurabilem) BL in-
scribere. Problema constructu Facile: quod nemo nesciat. il
6. Si tandem velic, ue occursus P sit, non intra, sed (productarum) extra Cir-
culum: Tumenda est B Y minor quam B D.
Summarim dico: Poceric elte B Y quantalibet (rationalis) quae sit Diometro
minor; saltem, qua minor sit quam BD
Orandus est in polterum hic Problemarista, si plura nobis propolicurus est Pro-
blemata, sicrem expona, uc ex verbis ejus constet, duae data sint, et Duid quae-
sicum: Oc non hariolari cancum oporreat, quid laciendum velit.
d. L-
=v. Ouod erat demonstrandum.

## Folio 599 — 851708439:0623
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000623.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 31 lines, status machine
NOUL AR TB
S
Odinns erdnbos C Missis.
LICNI aB COIICI S. Mdenbureio ad me datis Dec. 8, 2668, accepi (dic 20)
Haa Cla Problemata Jacobi a W assenaer, ad Reeram Societatem c
Beleio milla. Lram auce Problemata brerillime deleripra, limusque ad
seripta Schemata. L90 speus Schemata retinco integra, addiers de meo quibuldam
rectis punctatis. In Propostionibus, ab inspectu schematum, Lubintelligenda
quaedam suppleo, uneis inctula. Licerisque dictis sic respondebam.
Dec. 12, 2668.
Ouod altimet ael Problemata iria Jacobi a W assenaer, quae abtrinc biduo d IC LC.
cexi: hoc habeas Responsum.
sera ejus convexicas in D; ubinam illa sit ut L ansens sic in D. viz. quaenam lon-
ertudo DF.
Primum hoc elt. In a Conchoidis Cibbositas seu Converitas est. Quaoritur al
Dico. Nocum est, in Conchoide, utrinque à Verrice A, dari punctum quod.
dam, ut P, in quo incipi Conchoides conrexitatem suam murare. In hoc Puncto
vulla est Tanscns, (sed, hujus loco, Secans; qua ex Fangente extrinsecus paxtis
Superioris, ec Tansente intrinsecus partis Interioris currae componitur:) Led, ex-
ira hoc punctum P, ubiris Tumi potest punctum D, (quippenullum non Conrexi.
tarem siram habet, quam tansac recta.) Fc quidem s Lumatur proxius ad A
tangens erit supra curram; Premorius, intra curvam. Ilud autem punctum P
onomodo reperiatur, samdudum docui D. Fusenius, in libeo Demaenicudine
Circuli; ec D. Schootenius in Noris ad Carcesii Geometriam, pag. 258 (Fdicionis
Anni 165O) Ft quidem, Pro dato Puncto Fangentem ducere; vel quae tuic sc
ad angulos rectos; ibidem docetur, pas. 249. Sin illud velic Proponens, ut Far-
sens in D ita se habeat, ut quomodocunque producta, nusquam occurrat Con-
choidi eamque secer, (quod capriosum ester:) Dico, istiusmodi punctum D nus.
quam (exirapunctum A) reperiri. Saltem nili quis relic Regulam BP. tangen.
rem diei Conchoidis in intinicum concinvatae.
Lertim

## Folio 600 — 851708439:0624
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000624.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
600
DE SECTIOHTBUS Cap. XI.
Terrium hoc est. Sit DG Byperbola; A E parallela ipsi BHL P ACympToIX: 7
Invenire punctum E, ex loncitudinem ipsius FF, (cencrum scilicet et radium
circuliper L  Uae u at LH sit ad  ut 2 ad L.
Dico. Si (in AGMPTOTa BC, uccunque producta) sumpto ubivis puncto K,
Tumacur ipsi B R aquat L, e ducantur KF HIC (parallela alteri AIsiplo-
ex BA) syperbola occurrences in I C; es jungatur IE recta: Ouxe hujus
puncto medio insiltit perpendicularis, secabit rectam A F. in puncto F. Junclaque
E F, habetur recta quae sica. Demonstratio Facilior est quam ut de BCal aPPOnL.
Videatur, ex adseripio Schemate, solam spectari rectam A F. quae interipro ua-
drato ABCD adjacet. Sed constructio mea pariter procedit ubicunque in A.
sympeota BA, Sumatur punctum A.
Secundum est paulo adhuc abstrutius; (quod itaque in postremum locum lC.
jeci.) Si ucique se habet. Sit AB (parabola) latus Terum. Laaraur B f scrreul
TadiuS) ita ut lareuS) B C. sit a gumes es CD Pae CHeltatl.)
Incelligantur demitti perpendiculares C C DFI; jungique BC BD rectae.
Ponantur aurem AB = h, BF = 1, BC = B, BD = C, BH = y, DH = d.
CC =a; adeoque (Timus dupli arens) d - = E Y: P - a: e d - 4 1 a = + a
Ponatur ilem BC = C; adeoque (prOpter BG, GC, GF, : :, hoc est c, a
Er = e
a = 2Ye= e; de B (= a + e) =2re. Ergo (quadratum Lub.
rensae dupli atcus) ~ = (4
B2
813C
41
=) 8r0 = 45.
liem (propter BF, BD, BHL :: , hoc C 21, L, y ::. ,y =
=
+e-
Tum (propier Parabolam) AC. AH.: C C9. DHg. Hoc est
15 (1+ -144e- : : (a. 4 -~’ a 44
LirsO
c
li
H
de
211
e
8e
Ea
deu

## Folio 601 — 851708439:0625
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000625.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
0
Cap. XI.
AN GUL A R TBHS.
Ergo (factum ab exeremis Facto a mediis.)
4dr = 8Ire + 4Ve + 4r e - 8re + 40 = Ir + 4 re e = 2. r e.
Adeoque 37, = - 8Ir C - 6r e + 41e = 4c =0.
Et (ductis omnibus in 3Y)
9P r = 24 Pre = 28Ir C = T2. P e + +210 =0.
Seu 9P r = 24 P re = 18Ir C = - 12 P e - 2210.
FL (addiris utringue X6P C F 24 103 = 9 et)
Op r= = 24 P r0 = 181r e = 26V 02 = 241 03 + 9 et = 4 V e + 1210 +9et..
Et (Tumpris radicibus) 3Ir - 41e - 30 = 210 + 30.
HIOc Cst, 31r - 61c - 6e = 0. Seu 3 Ir - 1e = e =0.
Et (resolrendo aquationem)
V: 2 Ir. + R2: - 1
Ir +B, = IY: 2Ir. + P:
Estaurem (ut supra ostentum) a = 2r e - e.
Sed et (proxter Parabolam) at =  + lc.
ErBO 2rC = e = P f le. HOc est 2r 0 = c -f 1e f P.
Seu (propter ralorem e modo inventum)
V. 2 + P: - 2 (-  +P, = W. 21 + P: W. 2r + p: - P
HIOc CA, 2r V: 2Vr = r: = 2Ir. =rr. L 2V.
Sei ZIr = 2P = (2r V: 2Vr f P: =) V: 82B - q. P r2.
Et (sumpris quaceatis) 9Vre = 12 Vr. + 4. N = 81ro + 4. P qu
Adeoque OIr F F2 P r = 4 B = 8 r3 f 4Ir2.
HIOc Cst, 8r - 5Ir - +2 Pr = 4B = 0.
Oux quidem Aquatio Cubica, ordinata de resoluta, extrihet r=
YC: 574F + 961243. =V C: 5742 = 961242: 1. Quod erat quaesitum.
Et quidem, Si Donatur latus rectum l =L; erit circuli radius r =- X. 68863)
proxime.
Fieri Forre Porest ue ad hanc (vel similem) aequationem, paulo expeditius per.
veniatur. Sed haec sufticiant raprim scribenti. Vale.
188E
1F21

## Folio  -  — 851708439:0626
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000626.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 5 lines, status machine
es
mondru ane
i
Loitn.
e

## Folio  -  — 851708439:0627
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000627.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 10 lines, status machine
Fi
LAAALO CONTAOTUS
F. 
LMTCIRCULI
Tractatus.
AnnO 1656 Editus:
EJVSQVF
H F F N S IO
Edita Anno 1685.
16862

## Folio  -  — 851708439:0628
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000628.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 12 lines, status machine
ea
 et
au
Mec
Mei
C
e
1
e
eu
m
le

## Folio 605 — 851708439:0629
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000629.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
GVI C
YT A
TVS
L LL L L LC 
Disquisitio Geometrica.
Ci A P.
Ansa e status Controversiae.
Voniam illi, quae sequitur, Controvertix an sam dedit Propolco LB Li.
bri 3Fuclidis; illam integram primum apponendam duxi, ejusque de-
monstrationis summam.
HE in capiensco TY xnAY es dedus an dugas ayoum ENTOS ESErAI rS nn   
lc raEo ro E cdcias n  eecas eea deia  nusucira y n  nuuxntu gcorta,
rons dEcias gcorias duzes pi cor 62 V. n 3 Norm Encicor.
cc Ouxe circuli diametro (AB) ad angulos rectos ab excremitate ducitur recta
a (A P) cadit extra circulum. 2. FL in lo-
a cum qui inter rectam (AP) et peripheriam
CC (DE R) incerjicitur, altera recta (ut F A)
a non cadet: 3 FF Semicirculi angulus (F. A C)
et major est omni angulo acuto rectilineo: L. RC.
ae liguus autem (P A P) minor.
aNam P S caderet perpendicularis illa intra
a circulum, ue AD (vel etiam s jaceret in ipsa
a peripheria) essent anguli D A C, ADC, aequa
a les, per sCL, ideoque uterque rectus; Contra
1 27 CT. 2Si recta PA (incer peripheriam et
ac xerpendicularem P A) cadere poNit, dueatur
a ad illam perpendicularis ex CentrO C F C; quo-
ae niam igitur angulus rectus CC A major est
a acuto C. A F ( ut qui pars et recti C AP,) elet, Pex ZDCF, latus CC minus
a quam C. A, hoc CAt, mInUS qua C F, pars Tui. ParS 3_ 4 SEGUUINEuX ex Le.
ac cunda.
Occalione sumpra ab hac Fuclidis Propolitione, graris orta cAt Controvertia
(quod mirum e, in re pure Geomerrica,) incer Peletarium ee Clarium; qua,
quod seiam, nondum unanimi Mathemaricorum consentu determinationem na-
eta est.
Primus, quod seiam, Peletarius aleruie, Angulum qui dicitur Contactus, Teu
concineentix, non esse revera Aneulum, nec omnino Quantitarem; sed Rectam,
oux Cirentum tansit, cum Peripheria coincidere, non aurem ad illam inclinari;
Anculum autem semicireuli omnino Rectum esse, e recto rectilineo aequalem.
Concra, Clarius alteric, illum vere Angulum esse, et quidem Ouancitarem in infi-
nirum divisibilem, non quidem per lineam rectam, ac laltem per Peripheriam ma-
joris circuli; minorem tamen quam est ullus rectilineus postibilis: Angulum vero
Semicirculi minorem esse ansulo recto rectilinco, majorem tamen quoris rectilinco
RCUEO.

## Folio 606 — 851708439:0630
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000630.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
Controversiam Banc ab Fuctide diremptam non esse.
L. L. VD aurem exo primum praemonendum esse judico; Concrovertiam hane
ab Fuelide dirempcam non este, (quanquam ex illius principiis dirimi posse
an non dubitem.) Probat enim Ruclides, de recte quidem, anoulum semicireut
majorem esse omni Acuro rectitineo; an vero sic Recto rectilineo vel minor vet
equalis, non dieit: urrumris aurem dicatur, manet Ruclidei dicti vericas, modo
non sit aeuto minor: Trem, Angulum concactus (nempe liguis lic) minorem esse
omni rectilineo, quia scilicet nec aequalis, nec major clt; at vero, an tic omnino
guantitas neene, non dicir; nec quidem, Si dixisser, poster allaca demonstracio id
contirmare: nam ee illud quod alterit verum manet, eciamsi suppolieus ille angu-
Jus concactus nihil lic; quod enim omnino nihil clt, elt cerre omni policira quan-
citate minus. Si rero voluisser Euclides altirmalle, Angulum lemicirculi minorem
quidem esse quam est rectus rectilineus, majorem autem quoris acuro rectilineo;
oporcuister illum verumque membrum probasle: nempe, non modo ansulum Femi-
circuli majorem ette omni acuto rectilineo (quod quidem verum elt de recto re-
etilineo, auc etiam obcuso:;) sed et minorem recto elle; hoc aUteM NCC PEOBAL
Fuclides, nec quidem omnino alterit. Fir similiter de Angulo Contactus; si astir-
masse voluister, angulum qui dicitur Contactus, vere quidem Angulum esse, et re-
vera Ouancum, minorem tamen omni acuro rectilineo; oportuistet utrumque
membrum proballe. Ac ille solummodo probat, Angulum contactus lalcem mino.
rem omni angulo rectilineo; an rero lic rerera Ouantus necne, nec probat, nec
altirmat, sed prortus lilet. Non autem putandus elt Euclides, acurissimus demon-
Rracor, qui ne ullum paralosimum ulquam admisie, (farente ipso Ramo, qui ca-
men facetur se dedita opera illud quaelivisse, quique, ut nocum et, lac leverus,
nequid orarius dicam, in Fuclidem judex erat,) non pucandus, inquam, est Ru-
elides, iantam musoeiar admirrere rotuisse, uc ubi duo Pac distincta propoticionis
membra (vel,  placer, duas propoliciones) attirmare rolueris, non nili iptorum
unum demonltraret.
Ac vero, quanquam Evclides neutrum horum dixerit, nempe, nec angulum se.
nicirculi minorem esse recto rectilineo, nec etiam angulum contactus esse revera
quancum, oppolitam camen opinionem, quamris tortalle non verbis Fuclidis, ipsius
tamen sententia contrariam esse, contendir Clavius. Si enim, inquie, Fuclides
sensisset anculum contactus nihil prorsus esse, e anculum semicireuli aequalem
recto rectilineo: quidu obsecro, tantopere desudasset, ut demonstraret ansulu con-
ractus esse minorem omni acuto rectilineo, ansulum vero semicireuli majorem? Quid
enim clarius, quam, Nihib, curusmoc est angulus contactus ex Peletarii sententra
minus esse quocunque aneulo. Quid quoque maris perspicuum, quam, aneulum re-
Etum, qualem ponit P eletarius ansulum semicirculi, majorem esse quolibet acuto?
Verum eso, quae estec Duclidis hac in re sencencia, non obstante hoc Clavii ra
ciocinio, Fateor me non latis alsequi. Fuclides cerre, quod seiam, siam hac de re
sencentiam nusquam protere. Illam rero ex Clarii raciocinio Paris pacescere PTOT.
tus nego. Cerrum enim elt, Euelidem aliquando minus alterere, quam et allerere
pocuillet, et ipse senferic; live quod nondum opusellet corum quod senserit pro-
ducendi, sire quod nondum ex praedemonstraris commode oltendi posser, sive alia
Fortan aliquando de caula. Exempli Locd Huc propoliciones 26 8 27 primi.
Prop. 16. lic CA, Friansul uno latere producto, externus angulus utrolibet interno
e opposito major est. An vero ex hac proposicionis Torma dicendum elt, (juXta
quod Clarius hic arguic de ansulo conractus) Si Pendes sensisset anculum ex
27 haeC Clt, Trianeuli duo aneun fatt duobus rectis minores omnisariam sumpti:
AE (suxca Clarii ratioeimum) Si Ruelides sensisset, ires simuil aneulos aequari
duobus
ternum aequalem esse duobus internis oppostus snul sumpls, quid, obsecro, tanto-
Pere desudasset, ut demonstraret utrovis majorent esse. Qula ci clarius est, quam
quod duobus simul sumptis est aequale, eorum utrovis peillarim majus esse: Pcop.

## Folio 607 — 851708439:0631
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000631.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
CaF
E O N Y A C F U 8.
duobus rectis, quid obsecro, tantopere desudasset, ut demonstraret, eorum duos mi-
nores esse duobus recs quid enim maeis perspicuum, quam, quod tribus sinul
e est eorum duodus esse majus: An aurem hine concludere licet, vel, An-
sulum externum non elle aequalem duobus internis oppolicis limul sumpeis  ret
Tres ansulos trianscli rectilinei non esse aequales duobus rectis vel, luclidem
non ita lentille: Lo, hans e la utraque sic elle, et Luelidem illud non
jonoralle Liquet Cx 3LC L. UI LTa _ AHD IAMEM L ACMOMICLaMCHII. Sed a etiamit
leritime actaca. recum Gutuem ettet, Luee Ca  se Sena ACaM HIE
nuo expoluisse. Pariter _ de 26c3 dicendum est. AAirmat Scilicet Fuclides
Angulum lemicirculi majorem esse quolihet acuro rectilineo, Angulum vero con-
ractus quolibet acuro rectilineo minorem: quod aurem acrinet ad controvertiam
DElCTATII LCeF _ ClariuM, PTOrLUIS FACCI, neque LUam LEnEENEam OMMIMO ExPO-
nesat; ansulum item contactus neque negat, neque altirmat, vere quantum
eAC.
Sed e eodem modo abstinet in 3r e3 (ubi tamen locus estet opportunus suam
cadere sencentiam proterendi:) actirmat enim,  Aneulum in semicireulo, re-
 Etum esse; in sermento majori, minorem recto: in minori seemento, majorem; item
a gnoulum majoris sermenti majorem recto; minoris, minorem; angulus aurem
semicirculi quancus lic (quamris illud Ctacim exspectandum esset) non dicit, sed
caute abstinet, sire quod ipsi Fortan rix constiterir quid crat dicendum, sire quod
non praesto tuerit demonstratio qua siam sentenciam contirmaret. Sed e reteres
(quod seiam) omnes (praeter unum Proclum) ea de re prortus tacent.
Non difficeor quidem Recentiorum aliquor, magnos viros, e ex reteribus FOr-
casse nonnullos (Talcem Proclum) de ansulo contactus ita loguutos esse, acliha-
beret ansuli quancitarem; adeoque de ansulo lemicirculi tanquam minori quam
estangulus rectus rectilineus. Sed argumentis hac in re agendum est, non aucho-
ricatibus: praeserrim cum ex receribus nemo, quod seiam, quidquam hac in re de-
monstrasse repertus (L.
Drovolitio haec 32. acce so Caeh ellent 16 ec 17 vel minus rera, vel minus
nic; ansulum nempe semicirculi recto rectilineo aequalem, neque air, neque
Aneuli Dlani natura e definitio explicantur.
T rem isitur concroverlam penicius aggrediar, inchoandum cxit a natI-
ea euli plani; quem Evclides Cic detinit 8 d F. C Aneulus planus est
ae murua rniors, seu inclinatio, duarum linearum in plano sese tancentium
a (axtoudicor) e non in directum positarum.
Deletarius hanc detinitionem paulo immutatam mallet; ut nempe de linearum
mucuo sele secantium concur su tancum incelligatur. Verum nulla necestitas cogit
hujusmodi mucationem Fieri. Ouamris enim, juxta Peletarium, Tolas illas lineas
ansulum concinere, dicendum sit, qua, s producantur, se mutuo SecabunE: nOn
tamen minus rerum erii, juxca eadem principia, caldem Tolum lineas mucuo incli
natas ConCurrere: Juae enim luadenr, circumterentiam eum recta contingente an-
culum non concinere; eadem etiam suadebune, has lineas mutuo inclinatas
non cse: Tta ut non lic opus, ob hane sencenciam, Fuclidis detinirionem mu-
care.
In Frelidie vero detinitione, notandum est primo, duarum linearum mucuam
union. seu inclinationem ad inricem, requiri. Ideoque Equae linCX COnCUETanE, nec
tamen inclinentur ad inricem, angulum non constiuene, quia nempeangulus, ex
detinitione, est linearum murua inclinatio.
Deinde rero, non quaeris linearum inclinatio, Angulus dicitur: Sed linearum
concurrentium, sive se muruo tansentium arsoutirar. (nam in teadus apud Fuclidem
dicitur de quocunque tactu, scu concurrentia; at epurlcadu de contactu nor eto-
ului, qualis detinitur 2 et 3dd3.) Quamris enim linex distantes in codem
Planon

## Folio 608 — 851708439:0632
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000632.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
1 a 1O
Cap. TII.
Plano, inCtMatL de LNIVCEML aiei pONInE, ut B, C; non la-
men angulum COnTEIEMUnE, nISI CONCUETaNE.
Fc quidem iplae concurrences linex, quamvis TOtX FOr-
Pan inclinentur ad inricem; angulum tamen non alibi
quam in ipto puncto concurlus tormant. Verbi gracia,
lineae A F pars quaelibet ad lineam A FI inclinatur; at non
harum linearum parces qualibet, puca F H, GIL, angu.
lum FOrmane; sed carum tancum extrema, in communi
Duneto A concurrentia: EF quidem quantacunque vrriulris pars alia abscindatur,
modo tantillum supersie ne concurtus conservecur, angulus omnino invariatus ma-
nec; idem enim omnino ansulus eft qui cruribus A F, P. FL, ec qui cruribus AF,
A C, continetur.
Non isitur ex linearum concurrentium inelinatione qualiber, judicatur AnSu-
Dus, (si nempe ita se habeant linea concurrentes, ut hic magis, illic minus incli-
nenEuT,) Sed ex illa quam Corciuntur inclinatione in ipso concursus puncto. Idco-
que angulus, quem tacir perimerer Hexagoni ABCD L H cum recta AD, nON
aestimandus est ex quacunque inclinatione quam haber perimeter in quacunque sui
Parre ad Fectam AD (puca in Parce BC (sed ex ea quam habet in punctis ConCUE.
Tus A, D. lic ansulus quem tacie cunt lecta CFI, non ex inclinatione quam ubi-
vis habet perimerer ad illam rectam, (Pelca quam habet in parcibus AB, vel F. D,)
Ec quamris dici postie, Perimetrum Hlexagoni deseripei, non ehe lineam unam,
Sed ex rariis (puta A B, BC, CD, DE, E L, F A,) aggregatam; ideoque Falla-
tur: Idem camen ommino erenie, lin pro perimetro tigurae rectilinea, ponatur
peripheria, vel alia linea curra; ejus inclinacio ad quamris rectam proposicam
non eadem manet (proue in rectistieri Colet) Sed in lingulis punctis variatur,
quamris incerim linea aec curra, pro unica linea hateatur. Non enim periphe.
rix Teementum BC ( auc qua libet ipsius ParS)
eandem inclinationem habet ad rectam AD.
quam habet ipsius peripheriae segmencum A B
auc quaeris hujus pars,) ad eandem rectam:
Patet enim, iplius segmenti BC licum magis
ad parallelilinum accedere, at segmenti AB prO.
Dius ad perpendiculum: Angulus aucem quem
tacie ea peripheria Cum DiaMCLO A D, nNOn
aeltimandus et secundum inclinationem ser-
menci BC (auc alicujus in eo parcicula,) led
secundum illam quam hrabet perimerer in lui
parcieula concisua, seu pocius in ipso puncto
concurtus.
Delique, additmr in illa dcMictore Cuclidea, phrasis haec, un ex Eudcias necudcor,
non in directum positarum: unde innuicur, liners in directum potiras, angulum
non comprehendere. Non autem rule Euelides, per lineas in direcium positas,
lineas cancummo seclas comcalaou sere duo legmenta concioua ejuldem rectae:
Sic enim concinnara peripheria, in lingulis Tui punctis, anculum formare dicenda
elter, quodtamen nec Fuelides, nec alii Tolent aftirmare: Sed per lineas in dire-
Etum positas, eas incellisic, quae lese mutuo continuare diei postune ut exinde una
linca tiat. Aique hactenuo Anguli plani nacuram, quancum opus videcus, expli.
avi.
See quam habet in ipsis punctis concursus C, FI.
cia nonvenrorcos commitri, si de esaene ejusmodi perimerri ad rectam quaera-
H81

## Folio 609 — 851708439:0633
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000633.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
L .O N Y A C F U S.
C.
Preumentum primum, ab Anculi plani nacut a Pelum.
FS praelibatis, rideamus quid in hac concrovextia Mque  pouH.
Cui angulum semicirenti recto rectilinco minorem allexumE, nitunEIE
communi huie nocioni, Potum est majus sua parte, vel pars toto minor.
AC inguium semicirculi Ansulus C AE, Mt pars angulirecti rectilinei C AP;
ergo est recto minor; et quidem tanto minor
quantus cst angulus interjectus F AP, qui
est angulus contactus.
Peletarius concra, negat angulum semicir-
culi minorem esse recto rectilineo, aue recti
parcem esse, sed tori recto aequalem; guia Pet-
licet angulus contactus (qui auterri supponi
Eur ex recto, ut restet ansulus semicireuli)
est non angulus, ejusque quancicas nulla: at
qui autere angulum cancummodo imaginarium,
ille nihil autere, et ejusmodi imaginaria abla-
tione quancitas non ommino minuitur, sed ea.
dem, quae prius crat, inrariata manet.
Cardo isitur controverlix hic est, An qui dicitur Angult contactus sIE vere
Ansulus, reramque ansuli quancicarem habear, ut rult Clarius; vel rerera nOn
ansulus, uc rule Pelecarius, sed tancum ansulus imasinarius, qui veram ansuli
quancitatem nullam habeat.
Vrhoc explicacius daret Peserarius, hujulmodi diagramma proxonic. Duabus re.
Etis AB, CD, se mucuo secantibus in puncto E ad angulos rectos; s incelliratur
recta CD, puncto E. Rxo, circumrotri, ubi pervenerit ad licum PC, ex angulis
rectis tiune obliqui (hinc acuri, illine obculi,)
qui tient adhuc magis obliqui cum perventum
erie ad licum TIK, es Sic deinceps, donec per-
veniatur ad AB; cunc enim cellabit incerle.
ctio, e Timul angulus eranescer, quoniam non
jam ad rectam A B inclinabitur, sed in ipla ja
cebicimmerla.
Neque secus, inguit est in curro. Si enim
DE, recta per cenirum, peripheriam BAC se.
cans in puncto A, Tuper eo circumducatur per
puncta FGFI, tiene anguli continue varii eum
Deripheria donec, cellance sectione, linea F. D
tacta lic P. R, ac tansat circulum. Aeque jam
linea F D vel P. R non inclinata incelligitur,
Sed immersa in ipsa B A C peripheria, quan-
cum ad angulum actinee, non aliter quam si ipsa
BA C esset linea recta.
TIlud, credo, rule Peletarius; Rectam P D,
cum perrentum cst ad GIcum P R, (ubi desinie
Peripheriam lecare, et tacta est tangens,) nOn
jam inclinari ad peripheriam, sed Super iplam
aenares jacere, e cum ipla coincidere, coulque
Scilicet dum peripheria supponitur eandem in-
clinationem retinere quam habuic in ipto pun-
cto A: Ouod autem poltea quali resiliat veri-
Pheria d recta F. K, ideo factum est, quia peri-
pheria Cuam inclinationem (ut _ alix CurrX)
Lubinde per singula puncta mutat, adeoque ipsi
us inclinacio, quae in puncto A nulla erat, quum
AIh
um

## Folio 610 — 851708439:0634
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000634.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
Cap. IV.
et ei
primum ab eo puncto recestum est, sic aliqua, qua Ce H ceps concinuo variatur.
omne lque postibiles rariationes admircit.
Hoc aurem Forcalle melius concipietur, l, pro circuli peripheria, substimamus
Surae rectilinea perimerrum: li IBICIIF D F,
Perimetrum Flexasoni secans ad angulos rectos
in puncto A, luper illo circumdueatur per puncta
E, G, EI, angulos continuo magis obliguos fa-
ciec ulque dum ad sITUMm P R pervenIat, hic
enim celtat sectio, ee eranescit angulus: ipla
enim E K in Hexagoni perimerro auxiras jacet,
ee cum ipsa coincidic; non tamen cum 1OIa
Perimetro, (neque quidem ipsa cora, li laltem
PrOduCatuE,) Sed cum ilta PCrIMEITI pArtC MN
quae eandem retinee inclinationem quae tuic in
puneto A; ac vero quum primum perimeter
tuam inclinationem ucaE, in punctis M, V,
delerit Cacim rectam perimeter ee ab illa relilit,
Tuamque Tubinde inclinationem aliquories mu-
tis O, P, Q, L: adeoque Meatio perimerri respectu recta tansentis
contingit in lingulio punctis: unde secta F. K, qua tiguram rectilincam concingie
concinuatione) ibi nullus etC ansutus, Celt enim ansulus mucua ConCurreneII
cactus, nulla est inclinacio, (uc ex praeexplicatis patet;) ergo nullus ab iplis tic
ansulus. Angulus isitur, qui Comaccuselicitur, elt angulus cancum imaginarius,
Ad ulceriorem contirmaciolem minoris propolicionis in hoc arsumento, praeter ea
quae jam dicta (une, pocerit ee hoc, (i opus (IC,
E brericer aajungi. Si circumducta semi diamerer
CB: cirea cenerum C, extremo luo puneto B, de-
seribat peripheriam BF AN; punctum B mOtI
suo ante contactum in puncto A verget ad rectam
tanGentem AP, post contactum ab illa relitit, ac
in ipso contactus puncto inditserenter se habet ad
utrumque, nec appropinguat enim nec clonsatur,
Sed neque rectam cransie, concinuatur camen uni-
tormiter mocus: ac mocus inrariacus, qui ad al.
signatam in eodem plano rectam neque accedat,
neque ab ea recedat, neque camen cranscae, quo
pacto inclinatus diei postir, non video; (neque
enim vertum inclinat, neque recrorsum, nec ta-
men crantie,) vel ehi prope linearum coincidenciam, vel salcem parallelilinum,
teri diceHeH CtIL.
Su aurem secus senciune, idem ridentur attirmate, (nc tamiliari utar instan.
cia,) acli dicerene amtutancem in cireulo Horizoncali a puncto Meridionali N
Cubi Orientem vertus spectar) donec continuaco irinere per punctum Orientale
A, ad puncta B, D, Perreniac (ubi Occidencem vertis spectat,) nec camen inte.
rim unguam directe spectet Sepcentrionem. Nam siquando directe spectet Sep.
TENETIHEM, CrII cerre cum in puncto A existii, (pesus enim aspectus ad Orien
tem declinat, postea vero ad Occidencem,) li vero in puncto a directe spectet
septentrionem, (neque ad Orientem neque ad Occidentem declinans,) erit cerre in
illo puncto A cendencia circuli (cujus ductum segnitur incedens) verlus punctum
P, (nam recta A P eric linea mericionalis, uc quae lincam Orienris et Occidencis
a
tum non concinsit nili in unico puneto, plique Tol annercos coincidie, adcoque
rat in pur
Propotui.
E K, qua in puncto A nulla erar, tic Tubinde alia acque alia. Oex autem in ti-
Sura rectilinea contingie inclinacions in singulis laceribus variacio, ca in circulo
per inceOruM lacISM N, C cum quo nullum isitur angulum Facie,) cadem cireu-
angulum non LaCII. ACque Ia SCa Lelecarii, quanta potui perspicuitaie,
Elis ita explicaris, hoc modo licebit argumencu tormare. Ubi linearum con-
inclinacio, per 8 d T.) ac circumterentia ad rectam cansenrem, in puncto con-
non vereangulus. Ouod erat otenacau.
currentium nulla elt inclinacio, (sire propter coincidenciam illud tiac, Cire Propter

## Folio 611 — 851708439:0635
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000635.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
C O N Y A C I at s.
AB eran(versim secat ad angulos rectos,) adeoque in illo puncto eadem erit ten-
dentia tam circumterentix quam rectae rangentis; nullus isitur anguus, sed linea-
rum coincidencia.
Sed oponiam sententia isthaee Pelerarii xorius antehac altensum invenit: Pex-
ter ea quae dicta lune, quxe quidem veram e genuinam rei caulam ridentur conti-
nere adeoque a priori demonstrare; Alias adhuc aliquor demonstrationes adjun-
gendas dux, partim a Pelerario allatas, partim à me additas. Non quod velim
lingula quae inter Pelerarium _e Clarium asirantur examinare; quae scilicet vel mi
nus caute ab hoc aut illo efferuntur, aut ad hominem dicta lunc, porius quam ad
rem; sed ea tolum quae arsumentorum rires exhibent, iplamque rem controver.
lam propius accingunt.
Cia V. V.
Treumentum secundum; Obi, ac t t o rereia.
Elecarii arsumentum primum, quo altentum cogere conatur, de Cut ptac
Duas vires auribuit, est enazogn, seu deductio ad absurdum, live impolsi.
hile: nicitur autem propolitioni primae decimi Euclidis, quae haec ell, Fro-
positis duabus masnitudinibus inaequalibus, si a majori auferatur majus quam di-
midium, es item aresiduo majus quam dimidium, idque continue fiat: relinque
tur tandem magnitudo aliqua minor maenitudine minore proposita. Inde concli-
dic Peletarius, quod li angulus concaetus F. AP, ec rectilineus H, sint propolia
quancirares inxquales, sirque angulus rectili-
neus angulo contactus major; si ab ansulo
rectilineo auteratur (vel lemistis, vel) plus-
quam lemissis, e deinde relidui (lemillis, aut)
Dlusquam semistis, et lic deinceps; tandem re
linquetur angulus rectilineus (nempe, si sc
ctiones rectis lineis tiebant) angulo contactus
minor: Ac hoc tieri non posse demonstravie
Fuclides 16C3. Non Tunc isitur angulus
contactus et rectilineus dua inaequales quanti-
cateS (ut supponebatur;) sed eorum alter
non quantitas. Angulus igitur contactus (nam
de rectilinco non cst quaeltio) est non quantus, sire non angulus; quod crat osten-
dendum.
Arque eodem modo arguere licebit ex 2. primi Archimedis, de Sphaera ee Cstin-
dro: qua provolitio haec est, Datis duabus maenitudinibus inaequalibus, possibile
est duas rectas describere, quarum minor ad majorem, rationem habebit minorem,
quam habet magnicudo minor ad majorem. Si aurem postibiles sint dux rectae li-
nea, quarum haec ad illam minorem rarionem habebic, quam habet angulus con-
ractus, ad rectilincum (quod omnino dicendum etL, per hanc Propolitionem, si
ansulus contactus lit vere quanciras,) cerce ansulus contactus non erit omni an-
rulo rectilineo possibili minor: quum possic ansulus rectilincus in infinitum di-
vidi, per gCF, non minus quam recta linea.
Sed de Euclides, e Archimedes, passim hoc altimunt in demonstrationibus quali
per se nocum, e postulandum; quantitatem minorem tories multiplicari posse, ut
quamvis assenatam majorem superet. Ergo, ee angulus contactus (si laltem (E
omnino quantus) cories mulciplicari porest, ut angulum quemris rectilineum su-
Peret; non esset isitur (quod iamen elle demonttrarit Fuctides) omni postibili
rectilineo minor.
Ouid autem Clarius ad haec. Nempe aic, Proposirionem illam Euclidis intelliei
de illis quantiracibus quae sunt eju sdem generis, de quarum uraris mulciplicata al-
teram excedere voltit; quod de ansulo contactus et rectilineo dici non porest, cum
angulus contactus quancumvis mulciplicatus angulum rectilineum superare neque
at. (Acque idem, credo, dicturus eller de memorata propositione Acchimedis, (I
AIh hH 2
illam

## Folio 612 — 851708439:0636
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000636.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
N C U L O
C ap. V.
illam adduxisset Peletaris.) Magniudines aurem illas, quarum altera mulcipli-
cata reliquam luperare neguie, non censendas elle, ait, ejuldem generis, quod ad
proportionem acciner, licer sub eodem senere quanciraris, hoc elt, tub longicudine,
auc lacirudine, aue protundicare, auc numero, collocencur.
Suibus eso haec habeo qua reGCTAMI.
P Facendum est propolitiones illas, de quidem omnes alias ubi de proportionibus
asitur, incelligendas esse de quancicaribus cancum homogeneis. Neque enim Pele-
carius, nec, credo, quisquam alius, Onancicares Flecerogencas sic comparari pollé
diceret. Ouis enim unquam aftirmaric, anguli ad Superticiem, Numeri aet Mas-
nicudinem, Linex ad Solidum, ultam racionem esle  AuE quidem HCcerOgenCO
rum unum altero vel majus esle, vel minus, vel ipsi aequale Vel etium addi aut
subduci posse. Nam quancirares Hleterogenex, non modo lunt aoupuersoi, (quod
e inter LTomogeneas etiam non raro accidis, ut ex Decimo Luelidis maniteltum
cA,) sed de plane aoiuBantos. Acque illud lacis innuie Rvelides in Rarionis detini-
tione, 3d5, quum ai ese, duarum maenisudinum (ouorereor) ejusdem seneris,
mutuam quandam secundum quantitatem habitudinem.
Verum 2. Dicoego omnes omnino angulos planos, sive rectilinei sine, sive
currilinei, live miltis Hlomogeneos esse, ee quidem quamcunque racionem ad alios
altignandos Tubire posse; sire aequalicaris, sire inaqualicaris, racionalis, sive irra-
cionalis. Ouid enim impedir quo minus ita se res habeat. auc quidnam illud clt
unde hanc erceogerciar Orixt supponanus:
De Angulis Rectilineis incer se res est in contesto: nemo enim unquam dubi-
caric ansulos rectilincos in quaris postibili ratione tieri posle d quainvis revera
nondum methodus conster, (neque tortan unquam constabit,) qua poltimus da-
rum anpulum rectilineum in daca ratione (Greometrice) secare.
De Angulis irem currilineis, rem etiam non nesandam existimo: postune enim
currilinet ad invicem rel aequales altignari, vel inequales. Arque idem etiam, de
angulis mistis incer se, dici pocerit.
Imo vero ee angulo rectilinco cuitibet postibili, postibile est de curvilineum X.
qualem altienare: pront ipse Clarius, ex PrO-
clo, demonstrar, ad 5d5. FM enim, exempli
gracia, ansulus currilineus D A R, aequalis
rectilineo B AC: Fc pari modo, enivis recti-
lineo astignabili, alsignabilis est aequalis Cur.
vilineus: ideoque d currilinei, non modo in-
ter se, sed e cum rectilineis, quamlibet altigna-
bilem racionem subire poltune, quam ipsi lubi-
linei inter SC: NOn BItUE Curritas crurum eresozerciar angulorum
inducet, quin postine adtue ad rectililleos rationem sire proportionem habere.
Ac Forcaltis dicetur, Duamris verum illud sic de rectilineis de currilineis quibus-
calu rutet Le, AoH lacien na et il iu angulis mictis.
Imo vero in angulis mistis illud eriam ve
eum est, non modo R ad currilincos, verum
etiam E 2d rectilineos COmPATCNEUE. Nam,
duobus se mucuo contingencibus circulis, fal-
cem aequalibus, G A, D A, quorum cMaM V.
crumque concinsit, in eodem puncto A, rC-
Eta PA; ne quidem ipse ClaviuS nesabiE an-
gulum contactus mistilineum G A P, ((I mo-
do lic ansulus) semissem esse ansuli contaetus
currilinei G A D, semissis aucem ad Cuum in-
mutilincus (si falcem ansuli concactus une dece ansuli, uc rule Clarius,) Tunt
Duod l angulus, qui dicirur cotcactus revera non luc ansuto, (prOuT CBO,
ctionum puncta, recta ducatur; maniteltum est, lieri curvilineos angulos misti-
lineorum
re voltune
reorum veram este rationem, velle albllabit. Angulus isicur curvilineus e
homosenei, ee rera racionis ad invicem capaces.
cum Velecario, existimo;) actamen curristuet cum mistis nihilominus homosenei
erunt. Nam si duo circuli, falcem aquales, le muruo secent, et, per duo le

## Folio 613 — 851708439:0637
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000637.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
C O N F A C F U 5.
lineorum duplos, tam qui curris convexis, quam qui curris
concaris, continentur. Poceltisitur currilineus, ad angu-
tum miltum veram rarionem habere; adeoque ips Facente
Clario, elt homogeneus.
Sed e porelt angulus mistus etiam ad rectilineum ratio.
dem habere; quod nec Clarium tuisse negaturum exiltimo.
Nam recta ((I non quae tangit, (altem) qua secat periphe.
riam, angulum cum peripheria (cam intra quam exira) mi
Icum tacie, qui eric ansulo rectilinco, Calcem aliquo, major;
qui quidem muluplicatus porerit de quemris astignacum an-
sulum rectilincum superare, (d contra, rectilineus hunC)
dcoque, tacence ipso Clario, abyor éxon, dicendus exit, per 5 d 5. Exempli Bra-
tia. Si peripheriam l. A, recta S A leceL, P a rangat, in puncto A; eric angulus
ristus Li AS vel aequalis rel laltem major ansulo rectilinco P AS; d Propierea
vocerit mulciplicatus quemris angulum rectilineum superare, non minus quam iple
P A5, (ec rectilincus illum, ) icieoque ad quemris angulum rectilineum rationem
habebic, Der 5d5. Prit isitur angulus miltus F. AS, rectilinco homogenens:
cur isicur ec miltus E AP (si quidem sic ansulus) non esset homogeneus, noi
viclco: crura Liquidem vel eadem habent, vel quam
Eimillima, nec alicer ditterunt quam quod magis
aut minus diraricentur. Sed d eodem modo ta-
eile oltendi porelt, omnes alios angulos, sire recti.
lineos sire currilineos sire miltos, (si angulum
contactus excipias) et quidem sire peripheriis
live aliis curris formentur, tales esse quales ne qui-
dem Clarius nesarer cuiris angulo rectitinco et
homogeneos esse et quidem noyor excu; soli siqui
dem ansuli contactuum, sccundum illum, func
guidem anguli plani, nec tamen aliis quibusris
lire rectilineis sire currilineis lire miltis homo-
genei: Unde aurem illa, quam Comniat, Ercsogeret
Oriatur, neque porelt ille ullatenus ostendere, ne-
queeso vel somniare. Non neso quidem illum hac in re aliquid conaris sed co-
nacu planc irxiro: videamus tamen quid illud est.
LaP. 11.
Faceptionibus Clavii respondetut.
6O inquie CarIS, ansulos illos, (continsencix sciliset de rectilineum)
Fjusdem esse seneris necavi, hac solum de causa, quod anculus contactus
aquantumvis multiplicatus anculum acutum rectilineum superare nequeat.
AE inquam eso, Idem omnino sequi, s angulus contactus Pacuatur (non qui
dem ansulus heterogeneus, Sed) non angulus. Nam, quod nihil anguli habet,
onantumris mulciplicetur, nunquam constituet angulum: cadem nempe ratione
qua Ciphra, quancumris mulciplicata, nunquam consticuet Numerum. ANumit
aurem Clarius, illud nempe quod crat probandum, Angulum contactus esse vere
anoutum: acque, hoc quali concesso, conatur ostendere, Hererogeneum elle, (al-
FM quod ad FaTIONE accineT; eo nempe quod angulus homogenCUS nON SE per
5 d5. F.80 quidem detinitionem Ructidis (cui iplius arsumentum innicieur) Fa-
eile concedo, et pro veristima alterrione aenoleo; nempe Rationem habere inter
se magnitudines dicuntur, quae possunt multiplieatae se mutuo superare:  Con
eea, Maenitudines, quae non possunt, quantumvis multiplicatae, se mutuo superare,
non dicenda sunt rationem inter se habere; sed pro heteroseneis habendae Tunc.
Non isicur altirmo angulum contactus de rectilineum esse quancitates homogencas,
Ed nec heceroxencas, ted eorum alterum quanciratem este. alierum non elte. AE
HIHhH 3
que

## Folio 614 — 851708439:0638
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000638.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
+
N G V L0
que illud antea dixerat Deletarius, nec tamen quidquam Colidae rationis altert Cla-
rius, qua concrarium oltendat.
Ouod enim dieit, ex detinitione anguli plani, se aneulus planus essiciatur,
sufficere duas lineas in plano ad invicem inclinari, non aurem requiri, ut je mutuo
secent. F90 illud Fateor; sed nego peripheriam ee rectam cangentem ad invicem
inclinari, taliem quoad punctum concursus; coincidune enim, non inclinaneur.
Agnosco etiam (quod alibi aic) aneulum consistere in unico puncto, e linearum
inclinatione quae non indirectum jacent; verum lincas tras inclinari non agnolco.
Sed de cum Peletario astirmo, eas solum lineas inclinari (in puncto concurtus)
quae, si producantur, se mucuo sccabunc: neque conrarium Cdarius oltendic
uspiam.
 inquit, Recta finica C infinica ideo non censentur ejusdem generis, cum al
tera ad alteram proportionem non habeat, quamvis sub eodem senere maenicudims,
nempe linea recta, comprehendantur.
Respondeo Propolicio Archimedis procedie de duabus magnicudinibus inaequali-
bus datis, (so pugedior ariocor Sodericr,) Et similirer Luelidis F C 2O de duabus magnI-
cudinibus inaqualibus propositis, (so urredr ariocor enneucor.) AC vero quis dedit
unquam, vel proposuis, lineam infinitam. Ouod enim (magnicudine) datur, eo
ipso quod datur, elt Finitum.
Fareor quidem diei Tolere, Finici ad infinitum nullam este proportionem. Sed
inquam; per insinitum, cune incellisi, vel indeterminatum auc indefinitum; vel
quid Posirive insinitum, quod nullos admitcit cerminos.
Priori sentu Euclides in Z2CF, de pastim alibi, rocem illam fumie, dum juber
rectam intinitum ducere, rel ducam rectam in infinitum producere. Non enim
illud vule ut lineam quis duceret, qua, cum ducta Fuerit, sic intinita; elser enim
hoc impossibile, ee poltularo secundo contrarium, cujus camen vi ejusdem conseru-
etio juberi Tolet: led ut linea quantum libet lonsa ducatur. Et hoc sentu, verum
quidem ct, Ouancicaris indecerminarae ad decerminatam, nullam elle decermina-
cam proporcionem, sed rasam lalcem, qualis est ipsa quancicas. Ac linea recta
dum indeterminata est, data non est; hoc est, magnicudine data non elt, licer
potitione dari possit; Linea isitur indeterminata, magnitudo data, non ct; LF
ad praesens negorium non spectat: linea vero data, elt determinace magnicudinis,
_, ad aliam quamris datam, decerminatam habet rationem.
Posteriori sensu, prout Insinitum signiticat id quod positive infinitum sit, 2dco.
que omnes cerminos possibiles actu excedat; ego plane nego, ejusmodi rectam in-
fimitam omnino dari polse: adeoque nihil mirum videbicur, Ouancicacis imposti.
bilis impossibilem esle rationem, seu proportionem; quod aucem impossibile clt
illud non est; adeoque cum intiniti ad tinicum ratio lic impoltibilis, ejusmodi rario
nulla elt, sire non est. Ac incerim, magnicudinum inaequalium datarum, ratio
etiam datur, (Der Y. DaT. F velid.) e propierea, h ansulus contactus de rectili-
neus linc quancicates inaequales vere dacae, dabitur eriam corum racio; ec quidem, (
anguli sine, erunt homogenei.
Denique (uenihil praeteream, d Clavio allatum, quod alicujus momenti, hac
inre, videri possic) hujusmodi tortan raciocinium ex iptius dictis (pa8. 262.) col.
lisi porerit. Si duorum angulorum mutuo applicatorum duo crura homolosa in-
ricem congruant, reliqua vero duo crura non congruant, illi anguli non sunE X
quales: At anguli contactus erus alterum, nempe recta concingens, anguli rectili-
nei cruri superimpotitum, congruere porest, ac incerim erus reliquum reliquo cxuri
nON CONSTUEt (quia CUEVuIM EECtONON CONSTUE;) Ergo nulli angulo rectilinco
equalis est angulus conactus; adeoque nec ullam habebic ad ansulos rectilineos
rationem.
Ila  recta lecance comprehentum) non tlus quam L. A P (angulum conca-
Ccus) non modo nulli ansulo rectilineo postibili aqualem esse (quia nempe (
Cto alcerum AS, anouli rectilinei cruri alcerutri Liperponatur d congruat, re
lignum tamen A F reliquo congruere non poreE) quod forre concederet Clari
us: verum propierea nullam elte racionem hujus ad illum, nempe anguli E. AS
Retpondeo r. Fodem argumento seguletetT Clats angul L. AS (DCLMHC.

## Folio 615 — 851708439:0639
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000639.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
Cap. 1ll.
O N I
8.
ad quemris possibilem rectilineum; quod 12.
men ne quidem Clarius diceret; non enim ne-
sare pollet angulum F. AS, Taltem multiplica-
tum, posse angulum rectilineum, salcem ali-
quem, uperare; praesercim cum citra dubium
SIc, ipsum F. AS ansulum miltum, rectilineo
P AS vel majorem else vel laltem aegualem.
Aroumentum isitur allatum, ne quiclem Clario
judice, quicquam praectabit.
VE aurem non lolum recorqueam arpumen-
cum, sed e nodum solram; Respondeo 2. Ve.
rum quidem elte, quod, si duorum angulorum
aequalium duo crura homoloza congruant, consruent etiam de reliqua duo crura,
camdiu scilicet quam eorum urrumque candem rerinet inclinationem, qua fuie in
ipso puncto concursus (vel etiam ubi utrumque simul aeque ab illa inclinacione
deflectat:) ac vero si alterum suam quam in puncto concurtus habuit inclinatio.
nem retincas, reliquum vero Tuam mutet, illa non diucius COnGPHENE. AE verO
hoc in angulis miltis (sire angulis contactus sire aliis) a rectilineos comparatis
perpecuo accidie; propterea quod curra inclinationem suam in Cingulis punctis
mutet, recta rero eandem semper inelinationem retineat; adeoque quamris carum
in iplo contactus puncto eadem luerie inclinatio, poltquam tamen ab eo recestum
elt, tiunt earum inclinationes ad inricem alia acque alia. Non isitur sequitur, an
sulum miltum angulo rectilineo aequalem esse non posle, quamris non utraque eo-
TUm Crura, extra punctum contactus, COnGrUaNE. Aequeita ea quae Clavius ad-
duxit, uc probec ansulum contactus de rectilincum hererogeneos elle, e non ejul-
dem generis ut inter eos aliquam rarionem elte dicatur, Caris retessi judico; adeo-
que nihil supereste quo minus argumentum ex Lc +0 delimprum lesitime con-
cludat.
Anculorum Planorum ouornia confirmatur.
Frum nequis existimet, id facis non elte, ea quae in concrarium allata funt
retellisse; nili ee aftirmacire concludam, ansulum contactus, si quidem
angulus lic, reliquis angulis planis, es nominatim rectilineis, homore.
neum esse: SiC ArGUMEnLOT.
 Ouae mucuo poltint rel addi rel auterri; ea non sunt heterogenea: (Ouis
enim unquam Lineam Solido, aut Superticiem Numero, rel addi polle, vel auterri
dixit. Poltunt quidem doixuersa, sire incommenturabilia, invicem de addi de au-
terri, uc in Binomiis ec Aporomis nocum est, ee passim in X Fuclidis: Fleteroge.
nea veronon poltune, sed plane Tunt aou Banra.) AC angulus contactus, si quidem
sic angulus, e secto auterri porest, ut mancat angulus semicireuli internus; d
recto adjungi potelt, uc tiac angulus semicirculi excernus: (atque idem oltendi
porest li ad alios quotris ansulos planos comparetur:) Non eltisitur Heterose.
neUS.
Fujus autem argumenti vires, vel quod Peletarius monuerie, vel quod ipse prae-
TenserIE COnatuE Clarius quancum porest, trultra tamen, declinare. Ideoque
Decac se Angulum contaetus alterere rectilinco limpliciter Hlererogeneum else, led
quidammodo diversi generis, (eo nempe quod angulum rectilineum quancumris
mulciplicacus superare nequeat:) d, licet quoad alia homogeneus TE, non censeri
tamen ejusdem seneris quod ad proportionem altinet. At vero quo pacto ea, gux
quoad alia sunc homogenea, line quoad rationem heterosenea, eso plane non vi
deo. Encsides certe 3 d5, ubi Rationem delinir, Homogenea, non dubitat esse,
quoadrationem homogenea: PP enim, inquie, noye ratio, so urredior ouogercor n r
MRINOTa coesS atAmNa XoidoXcos, duarum maenicudinum, ejusdem generis, mulua
quaedum secundum quanticatem habitudo. (Becineo Clavii incerprerationem, ne
videat

## Folio 616 — 851708439:0640
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000640.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
A N G U L O
ap. VII.
videar velle Frultra litigare.) Siquae igitur duae quanritates homoyenex sine
(Po Ctarius BH Sat HOS elle ansulos) carum mucua ad inricem quoac
quancitarem habicudo Ratio dicitur.
Ou autem actinet ad ejulinodi quancirates homoceneas, sive ejuldem se
neris, quarum altera quancumris mulciplicata reliquam nunquam suverabic: L. V-
elides nullas agnoleir tales este; led errus alterie, 5 d5, GURnEILateS OmNeS, Qua-
rum una ad alieram Rationem habere dicendae TuMF, (hoc clL, per 3 d 5, omnes
quancitotes hornoeeneas,) ica elle consticuras, ne mulsiplicata se mutus superare
posint. FC Propierca, in 2 C 20, illud poltulacum altumie, quali per se nocum
quodque demonstratione non indigeac. Duantitatem quamlibet minorem torres
multiplicari posse, ut tandem majorem quamtibet assienatam superet. Nam in ipla
constructione seu naondi ad illam demonstrationem, llacim Jubet Maenitudinem
minorem assienatam toties multiplicare, donee majorem assienatam superet; qual
quidem illud tieri posle nemo dubicarerit. Ec similiter Archimedes pastim. AF
neque Fnelides neque Arch. medes, illud tieri posse, in aliis tire angulis live quan-
ciracibus, magis quam in ipso ansulo contactus, usquam oltendic. Vel isicur u
niversalicer verum elt, ee postulandum, Duamlibet quancicarem minorem tories
Poste mulciplicari ut quamlibet majorem altignatam superet; vel lalcem Puelides
auc Archimedes illud specialicer de gnibulitam quanciracibus demonstrallene, qui
bus illud convenic, ec non canquam univerlalicer verum de per le conniciim Do
Bulaltene. P’ocerat etiam Clarius meminille, se Euelidem reprehendille, quod axio.
mate =F (vel, secundum alios, postulaco 5) altumplerie, duas recias ad invicem
in eodem plano inclinatas, si producantur, tandem concurrere; quoniam hoc, quam-
vis verum lic, non camen gracis allumendum erat sed demonstrandum, ideo nempe
quia in lineis curris hoc non constat (de quibus nec Fuclides illud allexir.) Ideo.
que Clarius ad 28 c L illud demonstrar; iis tamen ibidem altumpeis qua d
nihilo minus dubia Punc, et quae eodem ipso nomine sunt reprehendenda. Ouamm
julta aurem ilta (ic Puelidis reprehenlio, non hic vacat inguirere: at laltem ea-
dem racione, ne dieam lonoe majori, reprehendendus eser tam ille quam AF-
Chimedes, li modo hoc poltulatum, quod indiseriminatim altimicur, non cllet uni-
verlaliter rerum: acque Clarius, Ruelidis reprehentor, illud ((i pollet) demon-
trasset de aliis omnibus quancitatibus rerum else, quamris de angulis contactuum
verum non lic. Ouodli neque Clarius, neque quilpiam alius porerit demonstrare,
aliis quancicaribus magis illud conrenire quam hujusmodi angulis, (si Palcem line
anguli ee verequanci;) concedendum erie illud univertaliuer verum ele, PrONE
Ruclices _e ArchMedCS HCCMEI TeMIIIC.
e Sic ulterius arguo, Dux quancicates, quarum alcera major alcera minor est,
sune incer se FLomogeneae, de quidem (si illud incerponere necelte sic) quoad Ra-
sionem homogenee: Sed ansulus concactus, si quidem sic angulus, e angulus qui
vis rectilineus, ejulmodi lune quancicates. Frgo. Propolicionem minorem demon-
strac P.uclides 16C3. Major propolicio pariter videtur indubitata. Nam quae racio.
nem habene ad inricem lunchomogenca, per 3 d5. AC quae se habene ad invi
cem ut majus ee minus, ea Calcem ad inricem Racionem habent. Jui enim Heri
Porclt uc quancitas quancitace minor sic, in nulla tamen Racione minor  Imo
reco, Duancitatem quancitare minorem elle, nec camen ad illam Racionem habere,
est concradictio in adjecto; nam ipsum minus esse eltrationem habere. Acque hoc
quidlem ne ipse Clavius negare debet; nam et ille Proporcionem sive Rationen
(quae apud illum cancundem signiticane, ideoque de hrie pallim promiseue ulurpan
Tur) dividit in proportionem Aqualicatis de proportionem lnaequaliratis, ee hanc
icerum subdiridu in proportionem Majoris Maequalitatis, ee Minoris Inaequalicatis,
tive Majorialis ee Minoricaris: Adeo uc Gurequid sic alceri vel Aequale vel Ina
quale, quicquid altero Majus est rel Minus, illud salcem Racionem habet. Si igitur
angulus contactus lic revera Angulus, suque assgulo rectilineo Minor, habebic dc
ulum racionem MinoricatIS, livC MinorIS lnaequalicaris; OUX auem ratiOnen
habene, ea pollune mulciplicata le mucuo superare: AC angulus contactus, quan-
cumris mulciplicatus, rectilineum non superabie; ideoque nec rationem ad illum
Habet; quarE nEC CIE qUanEITAS MInOE, neC quICEI OIMINO QUANLITaS
Fluie argumento nihil omnino ell quod Clarium oppotuille reperio; eluctarem
tamen legerat ubi hoc innuitur, (laudar enim) adeoque hane ditticultarem non
cam BCraviE qual CaviE; nili pocius diet pocerie, non illi incubuiste
Illau

## Folio 617 — 851708439:0641
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000641.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
C ap. YL
C. O N Y A C F U 5.
illas disticuleares solriste, quas, quamris ipse noverit, Pelecarius camen non ob.
seccrie.
AC FIuCTas Candalla, ad 26C3, Fatetur quidem rationem inaequalitatis conce.
dendiam esse inter angulum concactus ee rectilineum: rerum laxiorem else hanc
proporcionem, ait, qua intercedere porest inter illa quae lunc direrli generis; at
vero particularem cercamque rationem inter ea cancum intercedere qua poltune mul-
ciplicara se mutuo (uperare.
AcesO, quortum se torqueant Mathemarici, ut subtertugia tam tenuia tanrO
nerocio exquirant, certe non rideo; cum possene haec omnia gux urgentur incom-
moda tacillimo negocio deritare, modo laceri vellentus prouc res et, Ansulum
contactus else rerera non angulum.
Clarius aurem, quamris l’lullatem legerat, adeoque iptius relponsum huic diffi-
culcaci riderat, maller tamen (uc ridetur) toram hane difficulrarem ditimulare.
quam tam lere respontum obcendere, dum camen quicquam forrassé solidius quod
opponeret non habuit.
Flussaci rero tic respondeo. Nobis quidem sutticere modo concedatur ratio
inaegualiraris: Non enim postulat rel Euelidis vel Archimedis propolicio, cui in-
nicieur arsumentum, uc propoliex magnicudines lint in cerra aliqua ratione inaequa
les, (puca in rarione mulciplici, Tuperparticulari, ecc.) sed tolummodo, ut hra-
heane rationem inaequalitaris: Datis (inquiune) duabus magnitudinibus inaequa-
libus, 3C.
Haec aucem cum scripleram, Flulsatem paulo accuratius intuitus, comparatis
item quae ipse alibi habet ad 3 d5 e 2 c r0; video illum, per rationem incertam,
confusam indecerminatam, nihil aliud velle, quam aéensor anovor, surdam vel ir-
rationatem: adeoque concedic ille id quod jam contendimus, nempe anculum con-
factus ad aneulum rectilincum rationem habere proprie dictam (modo scilicer
quantitatem esse constet) illaum scilicet quam vule si
(adeoque illum hac in se adrerlarium non habeo:) irrarionalem camen else hane
rationem existimat, nec veris numeris explicabilem. Sed ee altirmar, angutum
contactus veram ansuli quancitarem habere, eamque quantitatem talem esle, quae
mulciplicaca quancirarem anguli rectilinei superare poterit; non quidem manente
angulo contactus, sed muaco angulo contactus in rectilineum; eodem scilicet
modo quo ansulus rectilineus acurus ita mulciplieari potellus ut (mutata tamen
specie anguli) rectum luperare possit: FE, quo sensu acutus rectilineus est mi-
nor omni recto vel obculo pollibili, eodem (nec alio) et ansulum contactus esse
minorem omni acuro poltibili, polle tamen (mutata ansuli specie) mulciplica.
cum acuro rectilineo majorem Eeri, sicur de acurus rectilineus (mutata Specie an-
guli) mulciplicacus eracir recto major, auc etiam obculo. Ac hac quomodo cum
s, quae ab Luelide demonstrantur ad 16 c3, constare poterune, ipse viderit.
Verum si canci illud elle putet vel Ftultas, vel guispiam alius, ue non modo
ostendantur hae magnicudines (si Palrem utraque Tuc vere magnimdo) inaequales.
sed et in certa aliqua ratione inaequales, Talcem rel rationali vel irrationali; F80
hoc tacise probaturus sum sequenti argumento.
oTritur, dimitcamus aliquantisper anculum concactus F A P, _ tractemits a
culum lemicireuli: P. A, inquam, ansulus semicirculi P. A Ci non modo alicui an-
sulo rectilineo inaequalis, led et in certa aliqua
ratione inaequalis; talem salrem rationem ha-
becu qualem vule Puclides in 5 df: Potest c.
nim, salrem mulciplicatus, angulum rectum re.
Etilineum superare. Ouod neque Clarius neque
quisquam alius negabit. Adeoque angulus lC.
nicirculi, Parence Clario, ad angulum rectum
rectilincum, rarionem certam ee determinatam
haber quamris illa Fortalle cognita non LIF.
AE per 5Datorum Euclidis, Si magnitudo
ad sui aliquam partem habeat rationem datam.
etiam ad reliquam habebit rationem datam:
adeoque si angulus rectus rectilineus PAC, ad sui partem, nempe angulum semi-
circuli F AC (S Palrem ansulus semicirculi Sic iplius pars, ec non porius ipse 10.
rus) rationem dacam habeat, habebit et racionem dacam ad parcem religua E. A P
aIBIIum

## Folio 618 — 851708439:0642
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000642.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
Cdp. 1ICl.
N C a
beatu quippe certam ee decerminatam, habebit de ad hunc rarionem dabilemm, cer-
tam puta de decerminatam. Ouod oltendendum Cxat.
Denique, quoniam ideo praelerrim Clarius angulum concactus rectilineis homo-
geneum elle non purat, neque ad illos rarionem ullam habere, quod nusli rectilI
neo pollibili aequalis else polsic; (quanquam illud lere sic arsumeneum; nam, verbi
sracia, V2 nulli numero aequalis clt, auc esse porest, cum sic lacus Purdum, non
tamen elt plane hecerogeneum quid, neque nullam ommino rationem habet quam-
vis nOn, uE loguuntur, racionalem:) conabor urcunque _ illud probare; nempe
Angulum contactus, si vere sic angulus, elle rectilineo alicui possibili aequalem,
sequene argumenio.
4 Octensum est supra, angulum currilineum F. AS, rectilineo cuiris homore.
neum elle, acque ad illum racionem proprie dictam habere, per 5d5, quia pocelt
alcem mulciplicaens, rectilineum superare. Si vero lic rectilineis homogeneus, 2-
dcoque v. 8. ad rectum rectilincum veram rationem habeat, eric salcem alieui recti-
lineo aequalis: eric enim vel hic aliquanta pars recti, vel rectus hujus, vel deni-
que erunc aequales: angulos aurem rectilineos ad inricem in quacunque ratione
consticuros in rerum nacura pollibiles esse, rix quisquam Machemaricus nesabic;
cum illud omni quancicari concinux, proxcer iptius dirisibilicarem in intinuum,
Competere receptum sIc; acque hoc, si non Clarius, Talcem L lultas expreste agnol
ci, in iis qua decimo Fuclidis praemicrie. Elto isicur ansulo misto L. AS, Xqua-
lis rectilineus 2a0: est aurem hric vel aequalis ipli P AS, vel falcem iplo major,
(minor enim else non pocelt, quoniam PA, cum cansens CI, exera peripheriam
cactat, per 16C3.) Si aequalis licu conceditur quod erac probandum, nempe ansu-
Lum CaS, HOc CIF F AS, aequalem ese ip(I P AS, ideoque angulum P. A P nihil ellc:
Siverocas sicipso P AS major, auteratur inde r as ipli P A S aequalis, Per 23CT, e
manebic a 2 ipsi F A P aequalis, per 3 Cr, hoc est angulus rectilineus ansulo con-
tactus aequalis. Ac dicetur, Fnelidem demonstralle hoc esse impossibile, uc angui-
lus contactus sic rectilineo aequalis. Recte quidem; acque illud c8o agnolco. Sed
inde lic dispuro; li angulus concactus sic vere angulus, erir alicui rectilineo aequa-
lis, per ea quae jam demonstrarimus: Ac nulli rectilinco elt aequalis, per Ca qua
demonstrat Luelides 16C3: Eroo non el rere anoulus. ou eda scia
Acque hactenus principale Pelerarii aroumentum, ex FC x0 desumptum, ab iis
Gux in concrarium afteruncur vindica, aleo i ipsius sequela inconculla mancat;
alque limul angulos planos tam currilineos quam miltos rectilineis homogeneos
oltendi.
angulum concactus: Et quidem, pari de cauta, si ad illum racionem dabilem hra-
Honoratissimi Lqus . enetei Sari Lest.
moncum hac En re.
Savitu (Patrom teu tundacoris nostri Muniticencissimi) Schedsalmata
Ihet tandem hie subjungere, quae inter Flonoratistimi Equicis, D. Frenriei
d alicubis de quancicacibus Homogeneis, reperio, inter seripia quaedam illius
imperfecta nondum dixelta, de mentiratione Circuli, (quae, ue videtur, advertus
fosephi Scahseri Cyelometrica inchoaverat,) de Ammonio, qui enculs quadratu-
TAM, PrODICE aroccorogerciur linearum rectae e currae, impoltibilem elle Patavie Pa
eronus ille noster (qui duos Machematum Proteltores publicos tuis cempribus insti
TuI) idemque acuriltimus Machematieus, haec habet; cc Sculcistius LtUS, vE
ellapud simplicium, pucavit ideo cireulum quadrart non polte, quod non ho
moscnex estenr recta linea de circularis. Ouo quid dici pocuillet ep. Quid 3
e non ea proprie homogenea PunE, quae e vroBeC Majora LunE ali alIIS, et prO.
ec peie minora. Verbipraria; Linea e Supertietes hecerogenea Lune hc Superti.
es diei pocest supertieie, nec lupe BPore, neque enim unel le proporcionem
ac cies d Corpus, e plane àouuBra, neque enim linea proprie vel major vel minor

## Folio 619 — 851708439:0643
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000643.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
CaP. lLL.
C. O N Y A C F V 5.
habent aut hrabere postunt. Nam, ut aic Magilter noster, rationem habere inter
se masnitudines dicuntur qua pollune mulciplicatae se invicem excedere. Sed
quadracum circulo inscriptum minus estu proprie et non namzensnus loquendo
_ circum (eripeum majus. EL de proportione rectae linex d circumterentia
oltendie Archimedes, circumterentiam minorem esse quam 37 diametri, inajorem
vero quam 3,2. Ec quidem omnis linca omni linex elt duorerns. Nemo ctiam
unguam doctus dubicarit, in rerum nacura este quadrarum circulo dato aequale.
ersi in eo inreltisando si omness decelas, l. c. per circulum et rectam lineac
sicarunt omnes pene ram antiqui quam recentiores, non agno camen Luccellu,
ecli alii aliis tuerine feliciores.
Ex his liquer, juxta Fonoratistimi Savilii sententiam, omnino absurdum esse.
ea pro Flecerogeneis haberi, qua proprie majora lunc alia aliis, et proprie mi-
nOra. Non tamen distunulabo, illum de angulo contactus et semicirculi ali-
quanculum halicalle; (ee quid candem conclulurus tuiset, Ei, re ature pensitata.
inceptam illam dilquilitionem pertecisser, non autim allerere;) nam e hac ac
marginem adscriplerar, Ouamris de angulis nesarocidis e numunais posset esse
qualtio, quimihi ridentur proprie nozor exew vess emmna per 3 d5. nam proprie
alier minor est omni acuro rectilinco, e alter major: neque tamen porest ncealoes
ac sis, urcunque mulciplicatus, vel minimum excedere rectilineum, quia minimus
rectilineus porest intinite diridi. Sed S ltarim subjungit. def. 3 8 5V libri ir
reconciliabiles. Fr quidem eso idem prorsus lencio; nempe, li llacuatur angulum
contactus veram anguli quancitarem hrabere, detinitiones illas duas limul constare
non polle: At, si concedatur, ansulum illum veram anguli quancitarem non
trabere, led esse angulum tancummodo imaginarium; neque inter le pugnabune
detinitiones ilIX, REquE CUm TSC3 aUL FC TO, aut cum alia quaris quam rel apuc
Fuclidem rel archimedem (ne plures nominem) ulxiam exltare seio.
Areumentum tertium; ab aequalibus smiiut psta
torum ansulis desumptum.
Equitur aliud Pelerarii argumentum examinandum. Iud veto huic Lem-
maci innicitur, nempe, Anculos similium scementorum, saltem semuireulo-
D. rumm esse aequales. Cujus Lemmatis reritarem mox examinabumus. Inte-
rim, eo quali concelso, haec inde deducit Peletarius Theoremata
2. Contactus circulorum interior, quantitas non est. Nam P semicirculorum an-
suli CAD, Ci AF, sint aequales, contactus in-
cerior D A L. quancicas non erit, quoniam sire
addatur, sire auteratur, quantitatem datam non
immutat.
2. Contactus linea rectae cum circule, quan-
ciras non est. Nam E angulus D A P sit quan-
cicas, partes habebit, ideoque diritibilis erit;
nempe rel per rectam ut l’A, quodtieri non
Posse oltendir Fuclides 26C3; vel falcem per
curram, puta P. A circumterentiam majoris cir-
culi, uti ponit Clarius; Led neque per hanc,
quia D A F: non est quancitas, ut jam ostentum
est: Sed neque per aliam curram, qua non sit peripheria; Si enim peripheris
Ii A, angulum D A P non diridat, nihil est quod suadeat hoc maxis ticci polte
per aliam quamris curram.
3. Contactus circulorum exterior, quancitas non est. Cum enim neC E. A P, nec
G AP, sic quancitas, (per praeced. ) RequE exit P. A Ci quancitas, eorum scilicet 25.
Sregatum.
+. Aneuli qui sune a diumetro e peripberia, sive incra sive extra eireulum, recti
sumt

## Folio 620 — 851708439:0644
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000644.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
C u 1.
sunt, e rectis rectilineis aequales. NaM, CUM D A P nOn SIL quanCIaS, erunt
anguli D A C, D AK, aequales rectis rectilineis P AC, P A K.
Hlac Fheoremaca, ex illo Lemmare concello, sac cridenei consecutione interri,
non negat Clarius, neque alii credo negabune. Fora lis elt de vericace illius L.em
macis; An leilicer Aneuli similium seementorum, salcem semicirculorum, sint a
quales. Hoc Clarius negar. Videamus isitur quid in illius detentionem adduet
DOHIC.
Ouitt aurem ipse Pelerarius adduxir in ejus adversus Clarium Apologis, neseio
quidem, quoniam illam apologiam nondum mihi contisit videre. Ac in iplIUIS
commentario quodam De contactulinearum, (ubi cadem tere habeneur quae e iI
commencariis ejus in Euelidem ad 26c3, cum aligua camen accestione,) nonnulla
protere, quibus iltius Lemmacis veritatem adlETHErE CONALIT; OUX MOX CXAII-
nabiaS.
Pramiceic aurem, ZZC pronunciatum, pro principio Geometries merito haberi posse.
Ec quidem mihi non iniguum videme postulatum, uE COnCCdaTE; (quanqUaM
non ienorem illud ob praelentem concroverliam, rix alia quidem cauta, in dubium
vocarI.) Non enum cgo. omnino rideo, quo pacto tigura similes dici poltunt,
nili et homolosa lacera trabeane proporrionalia, de limiliter ad invicem (ita: AL,
gnonam pacto, quae angulos inaquales taciume, adeoque inaquales habent ad in-
vicem inclinaciones, incerim limiticer lica dicancur, ego prortus non incelliso.
In tiguris rectilineis, nemo dubitas, rariacionem angulorum mutare speciem ti-
fura, (non ene alicer dittere Rehombus a Ouadraio:) e, figurarum specie data-
cum ansulos cciam dari, (per det. 3. Dacorum Lvelicis:) ee quare illud in curvi-
Liners et mitis tiguris non obcinerer, ula rario altignari porelt. Adeoque Temi-
circuli, nili aquales habeanr ansulos, tigura similes diei non deberent.
Acramen, e conra, sitigurae dua ita line constitura, ue in illis rectae omnes limi-
licer polux, sine (respectire SumPEX) proportionales, quomodocunque ducantur:
corum lacera ee angulos omnes limiliter volira elle, quis dubicaree. Nisi enim li-
mulis ellet linearum incer se Cicus acque curratura (sed in hac ansult acuriores, d
major Hexuum currarura, in illa secus) imposlibile cAt, uc inseripea in una tisura,
proporcionales line limiliter inseripeis in reliqua: ue per le ridetur lacis manité
Itum viro Mtachemacico. AC vero in semicirculis omnibus, (auc eciam sesmen-
eis aliis quibuleunque timilibus,) recta limilicer inscripea lunt inter sC PFOPOE.
cionales; ec quidem, proporcionalium Tubcentarum, limiles areus Tunt etiam pro
porcionales, i Mathemactets omnibus en nocistimum: ideoque de limiles in omni-
bus curraturas, e anculos aequales, videtur omnino dicendum cAe.
Non ienoro quidem Rvelidem alicer tiguras similes rectilineas, alicer Cimilia
circulorum scgmema detiniriste. Nempe Similes fieurae rectilineae desimiuntur.
qua anculos sicillatim aequales habent, e latera qua circa aequales aneulos pro-
portionalia. L d 6. Similia vero circulrum seementa detinit, non quidem ex aequa-
licate ansulorum quos habent, sed quos capiunt: 20 d 3. Non quasi limiscum
seomentorum ansuli ettent inaquales; sed quoniam, ubi poltea de similicudine
sesmencorum asendum esser, Facilius elter quanticacem an suli in sesenIO, quam
anguls TComenE, deMOMMUarC.
Et quidem cerrissimum est; Puclidem ea necnieca detinicionibus insererC, nON
semper quae rei nacuram intime speclene, sed quae secucuris demonstracionibus me
lius Cublerriane. tirempli gracia. In MIE. des. primi, dotinitur PoraHIelimuS rC
ctarum, ex non concurrentia, quamvis insinile utrinque produeancur; quod qui-
dem in lineis rectis ejuldem plani, lac intallibile elt criterium paralletisini: hoc
autem necrierer prae aliis selegie uc eo melius interrirer ea detiniero demonttration
DEOD. 27 C F ubl primo de parallehimo agendum ellel. HC Mierim nemo du
bitare PoletIE, quin aequalis ubiquo ab invicem distantia proprus spectet paralle
litum nacuram, licee iplius propolico minus torcalle CoNVenITEL. Nam cereiltimuI
e mulca non concurrentia non cartien else paralela, ut liquel ex rcelis non in eo-
dem plano, icem ex ctreutis qui ia duei pollune, ul neque line concencriei, neque
Camen le mucuo lecene ium ex conchoide cum sua recta, ee ex linea hyperbolies
Cum ta ooournorces aliique muLEIS. AC Patallehmus  S quidistantra, vel idem
Tue, vel cerre se mumo semper comitant. Auue lelem de aliis non paveis de
Alque illud proculdubio dicendum eriu de smulicudine ASUTAEII. Quamvis
CMIMI
tincionibus dicendum esse, nemo, quirem serio perpendu, dubitare pocerit.

## Folio 621 — 851708439:0645
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000645.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
Cap. Z
N F A C F U 5.
enim Rvelides ex re Pua LMIIC dUXCLI LIIHLICLLIIEM aMEL LILIULIO SCCLLICIS, alI-
ier in circulorum seomentis delinire, quo melius scilicer secucura demonstrario.
Res procederent: Actamen non dubitandum elt eandem urrobique communem si
milicudinis norionem, tam Fuclidem quam alios Geometras habuisse, licer non eo-
dem temper medio eadem Facilitare poster utrobique pro re nata demonstrari Fi
suras enim similes esse (sire rectilinca Ant, sire currilinea, sire milta; sive
iem planae, lire sibbae, live concara; sire denique Tupesticiales, sive Colida) nil
aliud in univertum elt, quam, earum Cinsulas parres homologas similiter tam ad
sc inricem quam ad toram liras else: Fit quicunque hoc demonttrarerit de quibutris
tiguris, quocunque demum medio id tiat, demonttrabit illas similes esse. Non enim
similicudo de simiibus rectilineis, ec similibus currilineis Aquiroce pralucacu,
inclinatio, auc limilis inter le Policio,) in ipla communi Simicuus C II-
cludatur; non estet iniquum poltulatum ut hoc pro prineipio ver le noto conce
datur, (uipoce quod ex mera terminorum explicacione imediare recultat,) simili-
um fi urarum ansules esse aequales.
(lecundtum aliam acque aliam ligniticationem) Scd plane uniroce.
Cum igitur angulorum aequalicas, (line qua hec eadem eric partium ad invicem
A P. X
Similium seementorum angulos aequales esse.
uerius confirmatur.
Tamris autem haec aequalitas angilorum in FgurIS LIMILIBUS, Paris videatur
maniteste in ipla Similituainis norione concineri, ul salu dictum est.
adeoque veritatem illius asterrionis, Semivirculorum ansulos aequales esse
tanguam pronunciari sua luce noti concedendam esse: Actamen, quoniam, ob
praelentem controvertiam, illud in dubium vOCaEE; arculIE PCICLaIIS HOHMMNA
quibus sententiam suam hac in re contirmarer. Ouae Sicui Fortan, ptour ab ipso
Deoteruncur, minus Cacistaciant, conabor illa et explicare e contrrtale, aliaque
Prout res tulerit adjunsere. Ouanquam non ignorem eo difficiliorem MMMTIneU.
hicuram provinciam, quo minus dister astercio probanda à principio per le conce.
dendo, quali Tua luce cosno. Ouando enim de hujusmodi propolionBUS, Qua
vel principia sunc vel principiis proxima, oritur controverha; difteil LC pesICII.
Medium quo probetur, quod sit ipsa re probanda minus dubium: CuM LaMEN AIII
ex praeconcestis et orioribus nulla procedat legirinsa arsumentatio. Non tamen
ob have ditticulcatem quicquam distido rem illam faris Gcomerrice demonstrandam
Fore.
 Areumentum detumam ex +0d 3, quae est similium segmentorum detino.
dimilia circuli sermenta sunt, quae aneulos caxiunt aequales; aut, in quibus an-
euli sunt inter se aequales. Pelerarius hinc urset, eadem analosta et sesmentorum
angulos aequales censendos esse non minus quam aneulos in seementis: Hoc ett,
qua ratione anguli rectiliniei ABC, a By, in similibus seementis aequales AnE ha
bendi, eadem e angulos mistos BC A, Bya, item
B AC, Ba7, aequales etiam habendos este. Ouod
eso quidem rerum etse non dubito. Nam nit
peripheriae ABCy aBY, condem habeane inclina-
tionem ad Tuas TubtensaS AC; a y, non crunt ad
illas limilicer politae, adeoque neque tigurxe Cimi-
les erunt. Ac si eadem urrobique inclinacio, cum
e idem uerobique angulus per det. anguli plani.
2 Sed quoniam Duclides in hac 20d3 illud
non enres de angulis seomentorum, led de ansu-
lis in seomentis, verba tacie; cgo inde paulo ali-
ter argumencum insticuam, allumpTa CHaM ZLC 3,
nempe, In ciroulo, qui in eodem seemento sunt, aneuli sunt inter se aequales.
Onde sequicur, angulum ABC cancundem prorsus ette ubicunque in ea peri.
Phesta

## Folio 622 — 851708439:0646
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000646.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
Cap. X.
puncto A manente, circunduet; adeoque peri
pheriam lecare in variis suecestire punetis B,
B, B, ec. Hc ab his punctis sectionum rectas
BC, BC, BC, dec. duci, ad idem punctum C.
Manitectum elt, prouc punetum B ad punctum C
propius accedis, rectam A B lonsiorem tieri (mo-
do seementum provolitum non excedat semicir-
culum) e BC breriorem, (angulo incerim ABC
nOn UTaTO,) usque dum recta AB ad iplam
AC accedence, idem tiac punctum B e C, hoc
etu recta BC in unicum peripherix punctum de-
genereu, adeoque recta B C. (quanca quanra (IC)
sacere lupponatur in ipsa peripheria; adeoque recta AB, aet licum AC delata
eordem nune angulos cum peripheria Facie, quos prius fecerat cum recta BC pro
ducta, nempe angulum ABC, ejusque residuum ad duos rectos; hoc elt, angulum
interiorem (qui est oppolici segmenti angulus) eundem cum angulo ABC, ac
que (eadem ratione) angulum superiorem eundem cum ipsius complemenco ad
duos rectos. Sed de idem prorsus creniret in simili segmento a By adeoque de
illic aB, ad sicum a delaca, eordem angulos tacic ad peripheriam quos prius tece
Tat ad yB (utera punctum B productam) hoc cst, cos quos AB ad rectam BC
(productam) Fecit. Adeoque limilium Lesmentorum ABC, aB7, licet inxqua
lium, (quod etiam oppolitis eorum sesmencis accidic) anguli lunt aequales. Ou0d
erat demonstrandum.
Acque etiam eadem opera demonstratum elt, Si segmenta illa similia sine semi-
circulis eorum angulos aequales esse rectis rectilincis; erit enim in lemicireulo,
tam angulus ABC, quam iplius reliduum ad duos rectos, angulus rectus.
Trem, in universum, angulus in segmento, aequalis elt angulo Termenti oppo.
Titi. Seu, quod idem est, Angulus in peripheria segmento insiltens, est aequalis
angulo iltius segmenci cui intictit.
2 Idem sic crincitur. angulus B AC tancus est quantus semissis peripherix
BC, per 20 c3, (hoc est, angulus B A C est ad gnatuor rectos, ut semilsis peri-
Pheriae BC, ad incegri circuli peripheriam.) Ideoque si coulque diraricentur
AB, AC, donec iplum B (sectionis punctum) perveniet ad punctum A, (ipla
que AB degeneret in punctum,) crir angulo B AC opposicus, incerer semicireu-
Ius; ideoque angulus B A C rectus cst. EL, quoniam idem accideret in quovis le-
micirculo, isicur anguli semicirculorum (unt aequales, nempe recti omnes. Sed et
idem oltendi porest, eriam in aliis similibus segmentis. Frgo similium legmento.
rum ansuli sunt aequales; canci nempe quancus fuarum peripheriarum semilles.
4 Ide hoe lubao provacite. Ouoniam in lemicirculo angulus AB C rectus
ct, per 3YC3; ideoque auli B AC, BC A, Fumul, aequales recto per 32CL:
Si isitur recta AB moreacim ulque dum perreniac ad sicum AC, angulus B A C
eranelese sire nullus exit, que BC A (qui jam tic angulus semicirculi) rectus
erit; nam quod autertur ansulo B AC, addicur angulo BC A, ut nemve ambo
aequencur uni recto. Arque iem ostendi pocelt in alis segmenus similibus; nam
DeT 32C F, erunc B AC, BC A, simul, aequales reliduo anguli AB C ad duos rectos;
ideoque cum ABC, in eode vel similibus segmencis, semper idem maneat, exit
Tumma angulorum BC A, B A C, eadem; adeoque cum BAC prorsus eraneseit, exie
religuus BC A ipli summae aequalis Similium isitur sesmentorum anguli sunt aequales.
5 Idem arguo ex nacura Parallelitmi. Nam, ductio
pluribus circulis concenericis, recta per centrum illos
lecans tacier angulos alternos aequales. Ideo femicireu-
lorum anguli A, a, quamris inaqualium aequales TUnE.
Dicecur Fortan, illud quidem valere in paralletis re
Etis, Per 29CL. non aucem in lineis curris urur paral.
delis
Respondeo; Mlud quidem speciacim ab Fuelide de
monstrari de parallelis rectis: Ac vero non minus re
cum elt de paralletis, quibuscunque. Non enim hoc
Orieur
et l 1.
pheria sumatur punctum B, cundem nempe cum eo qui est in simili scemenco
aBY. Elis policis, supponamus rectam A B (quancum opus elt prolOnGALM)

## Folio 623 — 851708439:0647
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000647.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
JeM
iell
Cap. L2.
C. O N F A C
oritur ex linearum recticudine, sed ex earum parallelismo. Hujus entu acettonis
rera causa haec cAt: quoniam s, rerbi pratia, recta B, B, Parallelae lint, c d-
qualicer ubique ab inricem diltanres: Achoc non het nili quanta (E uniuS ver-
lus alteram inclinatio, tanca sic et hujus ab illa reclina-
tio: li enim recta B ad rectam B masis inclinet, quam
tiaec ab illa reclinat, erit carum ad invicem appropin-
quatio; li contra, elonsatio; non aurem eadem manebit
diltantia. Sed e idem omnino sequeretur in curris:
Nam, Si peripheria a (sie. praeced.) magis inclinet ad
Deripheriam A, Guam haec ab illa reclinat, vel contra;
necesse eru uc earum distancia ab inricem mutetur, ne-
que constans maneat; quod tamen earum parallelismus
supponit. Cum isitur eadem sic urrobique affectionis
hujus causa, eadem erie utrobique affectio, sire in rectis sire in curris; nempe
recta parallelas secans angulos alcernos aequales faciet: Et proxrerea, ansuli Cermi-
circulorum, ucur inaequalium, aequales exint.
6 Addo etiam; cum illud in tiguris aliis regularibus omnibus accidat, ut nem-
De in tiguris Timilihus recta similicer potua aequales respectire angulos cum peri-
merris taciane; non credendum est illud in circulis secus esse: Eadem enim cst
ommino ratio in tiruriserium, quatuor, quinque, sex, aur quorriscunque laterum,
Sive linc numero tinita sire infinita; adeoque e in circulo.
Veristimum quidem est, ejusmodi affectiones, qua, in figuris regularibus, quo-
ad menturam decrescunt, prour laterum numerus augetur, aut contra; eas in cir-
culo (qui est quali polysonon intinitorum lacerum) prorlus cranelcere. Vr,
verbi sraria, ditserentia rectarum quae a cencro ad lacera perpendiculariter ducun-
cur, ab iplis rectis qua d cencro ad angulos ducuntur; hoc est, rectarum d cen
tro breviltima et lonsissima disterencia: (ideoque es ditterencia similium Fipura
rum circum seripix et inseriprae eidem circulo:) est enim (caceris paribus) In Fi-
guris plurium lacerum minor difterentia; adeoque in circulo nulla. Trem, in A.
suris plurium lacerum, anguli in perimetro majores sunt quam qui in perimetris
lacerum pauciorum, adeoque in circulo eraneleunt, cujustoca perimerer est ideo
una linea, indirectum polica, licet non recta. Arjue idem in limilibus aliis afte.
Etionibus ostendere licerer.
Acaftectiones ejusmodi qua aequaliter se habene, de invariare in figuris omni-
bus regularibus, sire sinc plurium sire pauciorum lacerum, aqualiter etiam se ha-
bebunc in circulo, tire polrsono lacerum numero intinitorum. Quxe enim non
omnino dependent a laterum numero, sed a tisurx regularitate, codem prortus
modo se ubique habebune. Verbi gracia. Rectangulum, recta d centro ad perime
trum perpendiculari, et semisse perumetri, contentum, aequatur area Figura repu-
Paris quotcunque laterum; ut nocum est: ideoque ee in circulo illud obrinet;
quod ostendie Archimedes lib. de dimentione circuli. Irem Polygona similia sunt
ad inricem in duplicam ratione homologorum lacerum, (rel etiam rectarum qua-
rumris limiliter positarum,) Per 20C6: Sed de idem de circulis verum est, per
2CT2. Trem, Pyramis elt eriens prismatis in bali de alcitudine iildem rel aequa-
libus consticuri: sed _ eadem est rario Coni ad Cylindrum, Per TOC F2. AEque
idem prorsus liceret ostendere in aliis affectionibus innumeris; qua, si omnibus
tiguris rectilineis resularibus quorcunque lacerum indiseximinarim conveniane, uul
la consideratione habita ad lacerum numerum, exdem et circulis pariter conve-
nient. Adeoque cum in aliis fisuris quibuleunque similibus, utcunque inaequa
libus, recta similiter poliix similes cum perimetro angulos Faciant; quidni d
idem de circulis, auc circulorum segmentis dicendum cller + praeserrim eum nihril
solicdx rationis in cantrarium adduet possit.
5.

## Folio 624 — 851708439:0648
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000648.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
Vod enim in concrarium ollendi solec, hoc unieum est; Angulum Cemi-
circuli minoris, uc D AC, Ideo minorem videri quam est anculus semicir-
culi majoris P A C, quia minor peripheria incortum recedens d majori
tacim relilie, adeoque partem Tolummodo an-
suli P AC videtur abscindere, qua igituF 1O1O
minor eric: Et quidem angulus concactus (cum
linca recta LAnGCNCC) P A P, cadem de caula
minor videtur quam angulus conractus D A P,
cum hujus crura masis videaneur divaricari e
ab inricem relitire.
Verum hoc, si recte perpendatur, nihil Cua-
dec in concrarium eorum quae a nobis prote
runcur. Non enim magnicudo ansuli altimanda
In A: gnorum Perimetri de se mutmo delerunt,
de rectam tangemem P A, quum primum Cuam
quam in A habCBanE InCLIIaLIONeM MULANE: 21
NON PEOPTerCa anculi C AD, C A F C RC vel
inter se ditterunt vel ab ip(o C A P. CAcque idem
omnino erenier sire recta C A sic Hexasoni la
ceri perpendicularis, vel ad alium quemvis ansuI
LCM COMCICIITa, Moclo similiter vosua sic in lin
Su LVUIIS.) Ouoe autem de Hexaronis octen-
AILIL; HIMMIHIELCFCHITCL, (I, pro LCxASONIS, Ha-
merentur alia fienex similee auxelibeceunque la
TeTM; Hoe enim, in tiguris similibus, rectae
et Ponca, aequales cum perimecro ansulos
licet peripheria, proxierea quod luam inclinacionem in lingulis punctis muren,
ltacim post concaetus punctum le mucuo delerant: non camen in iplo contactus
puncto variam habuite ineacem ret e agutales cum recta Per COruI
centra tranteunce secilse, aut eltatus cum alia quavis recla timilicer polita, centen-
dum elt Acque tactenus de aequalitale angulorum, similium segmentorum, dixi
AUIS.
Objectioni in contrarium respondetur.
Adeoque angulus E A P minor elE angulo LHL (fe 1BCZ,) non quod illius
crura minus diraricentur exera punctum contactus, (Hat L, P, magis distane
quam P, P,) Sed propter minorem melinationem, leu pouus concidencum, linea.
rum L A, P A, in iplo puncto A. Inguam, in ipso punCLD A: Nam, quamvis, ut
ostend Luclides, incer rectam l’A de Peripheriam L H, alId lecla, ut LA, cadere
non PotC; hoc et, qua minorem habeat IMCHaCONEM al rectam P A quam ha-
Bet peripheria P. A. Accamen hoc de alio quoro ptelo praeter iptum A dici non
Docelt; nullum enim aliud est punctum astignabise I CHEra R. A, inter quod eC rC.
Etam P A non polsic alia recta cadere. Nam quodemee altignetur punctum
(quod non core lalcem Temicireulo aitet ab H,) POuTII ab eo ad rectam PA recta
duci, quae e exera peripheriam cacet (rerbi sracla, euta Perspietiam cansic in
Duneto altignato) ec cum recta P’A (laliem procucta) corteuecei, qua camen ab alia
Ctum P A cader
Addo eriam, ejusmodi divaricationem ConDIeL II ALIIS Houris reoularibus se MUI-
est ex ea quam hrabene crura diraricatione live in diverta cendentia exera
punctum concurtus, sed ex ea quam habene inclinacionem in ipto concurtus puncto.
recta uc P A poreric secari; qua ixicus incer altignacum peripheriae punctum et se.
tuo concingencibus. Oc in Hesasonis D A, L. A, C A, se mucuo concingencibus
Facinne. Idem igitur de de circulis se muuo concinsencibus censendum est: Naus
A811I

## Folio 625 — 851708439:0649
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000649.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
N Y A C
i AP.
Arcumentum quartum, seu Arcumentorum Clasis quar-
a Dma quod omni positiva quantitate minus
est, est non quantum.
Djungam aliud Arsumencum, seu pocius aliam Arsumentorum claDem. PFX
 micam camen hoc sire Axioma Sire Poltulacum.
Quod est omni positiva Duantitate minus, illud est non quantum.
Acque hoc rel expresse altumitur, vel saltem tacite praesumitur; non modo apud
Archimedem passim, in libris De Sphaera e Cytindro, De dimentione Circuli, De
quadratura Parabolae, De lineis Spiralibus, De aequiponderantibus, etc. Sed et pat
tim apud Euclidem, uc in 2 CT2, 1BC 12, aliisque propoliionibus innumeris; et
quidem in iis sere omnibus qua demonstrantur per deductionem ad absurdum sen
impossibile.
Exemplum esto x Archim. De dimensione circuli; in hunc sentum: Circulus ae-
qualis est triangulo rectaneulo, cujus laterum anculum rectum comprehendentium
alterum quidem aequatur circuli semidiametro, alterum vero ejusdem peripheria.
Francaurem propolicionem hoc modo demonstrat: Si enim criangulum illud lit
vel majus vel minus circulo proposito; esto, inquir disterentia aequalis spatio
verbi gracia) A, aut alii cuiris altionaro. Athoc, inquie fieri non porelt; Ouo-
niam possibile elt figuram rectilineam circulo inscribere (quae isitur circulo mi-
nOx erit,) quae tamen ab illo triangulo minus deticiat quam elt lpacium astienatum A
quanculumcunque sic; item figuram rectilineam circuto circumleribere (quae igitur
major exic,) qux tamen triangulum illud minus excedar quam est altisnatum (pa-
cium A, quanculumcunque demum Tc; (quorum urrumque ab eo demonstratur:)
Non est igitur criangulum illud vel majus rel minus, quam circulus provolitus,
spatio quoris altisnabili quanculumcunque sc; F. S igitur aequale.
Ac vero, quam facile eller et hanc et innumeras alias demonstrationes cludere
Si modo dicere licear, Disterentiam illam este quidem omni altignabili quantitare
minorem, non tamen nullam; ideoque nec quancitares propoliras este sequales.
Vel iditur concedendum est, demonstrationem illam Archimedis, alialque ejus-
modi innumeras, apud omnes Cicomerras recepras, Cophilticas esse _ plane Fallaces;
quod neminem lobrium dicturum existimo: rel, quod porius allerendum erie, Dit
trentiam illam, qua est omni altignahili spatio minor, nullam esse: hoc est, Ouod
omni altignabili quantitate minus est, id nihil est, sire non quancum.
Hoc aurem quod postulatur concelio, sic licebit argumentari.
r Substiamus aliquantisper, pro circulo, Polroonum regulare rectilineum
circulo inseripcum quotriscunque laterum. Fstoque numeruslaterum quantumli-
Bet magnUS, N; exitque idem numerus angulorum Perimetri, (tor enim sunt an-
suli quor latera,) quorum angulorum omnium axgrexatum exit aquale angulis re-
etis 2N = 4 (per ea quae habet Clarius ad 32 C L) nempe bistor angulis rectis,
dempris quatuor, quoc sunc sixurae latera; Freo angulus quilibet .   uminsre.
eti: hunc autem bisecat recta a CenEO; quae igitur angulum cum perimetro f-
cit = = unius recti, vel F - =; hoc est, angulum rectum dempio  recti:
Disterencia ixicur istius ab angulo recto tanto minor est, quanto numerus late.
rum major; cum isicur numerus lacerum augeri possic in intinicum, ita ec diste
rencia iltius anculi a recto in intinitum minui, in eadem semper satione qua
numerus laterum augetur. Ideoque in Polyoono intinitorum laterum, istius
anguli disterentia ab angulo recto est intinie parra, (nam s sit N intinirum
cH
exit

## Folio 626 — 851708439:0650
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000650.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
N C u L
exie  intinice parvu; ) AC, quod es intinice parrum, illud est omni poticiva
quantitale minus, ideoque de non quancum. Jam vero Polrgonum intinicorum
lacerum, vel circulus Mll, vel salcem cirenlo inseripeibile: Si prius; crit isitur
differentia anguli semicireuli ab angulo recto infinite parva, Si polterius; exit ea
difierehtia adhue minor, (nam lacus polrooni circulo inseripri, cum extremitato
diameltu angulum facie minorem quam tacie peripheria cum eadem diametri extre
mitate, ideoque magis a recto detieir quam angulus Semicireuli.) Ouod vero vel
intinite parrum elt, vel (steri Possic) minus quam infinue parvum, illud est
omni policira quancitare miuS adeoque non quancum AnOuLUS IDICUT CONta-
Ctus, quae est ditterencia anguli semicireuli ab aneulo recto rectilineo, est non-
2 Porest d idem paricer oltendi hoc modo. Si tigura cujusvis regularis singu-
la laFETA DEOdVCANEUE (vertuS unam PaTTEM) FenE EOF anguli ExTCRNI quOL luNE
lacera; quorum omnium aeBresatum aquatur quacuor rectis (per ca quae habet
Clavius aet 32 C2) ideoque corum quilibet,  quacu
ox rectorum. Supponamus jam, ut prius, Polygo-
num intinicorumacerum; eric isitur iltius angulus
ExTErNuS, (A = = recti) quacuor rectorum pars in-
Finice parva, (nam Si Sit N intinita, eric = intinice
Parrum. ) Fs autem hic angulus, vel ille angulus
contactus de quo loquimur (li nempe polysonum in-
finicorum lacerum habeatur pro circulo,) vel Caltem
illo major (per 26C3:) Si prius dicatur; ett angulus conractus intinite parvus:
Si posterius, elt achue minor: AF quod vel intinue parrum ell, vel minus quam
intinice parrum, illud est omni policira quancitare minus, ideoque non quantum.
Est ipitur angulus contactus non quantus. Ouod crat octendendum.
3 Ouoniam magnicudo anguli tam exterNI A, quam interni ejusre semittis
CAL, aeltimanda sic ex numero laterum, (uc oltentum est) adeoque Agura re-
sulares eundem lacerum numerum habentes habeant etiam ejulinodi angulos aequa
les: si concipiatur circulus uc Polysonum intinitorum laterum, concipienda Tunt
intinita lacera unius circuli eor quocintinica illa lacera alcerius circusi, (secus enim
non eltent circuli figurx similes,) ee consequenter erun ram anguli contactus X
quales quam anguli semicirculorum; (quod supra aliis argumencis contendi-
mus:) Onde sequetur, Angulos contactus esse non quancos; uc supra etiam osten-
Tum elt.
q Idem alicer Sic parehie. Si a cenrro Polygoni regularis (vel, quod idem elt
circuli circum (eripii,) ducacur recta ad Polysoni perumetrum duos ucrinque angu
l0s aequales faciens, exit illa vel laceri perpendicularis, ucC L, vel d fionrae an
sulum ducta ut C A; (nam, licubi alias attea, manitestum est anrulos obliquos
tieri, de inaequales.) Manitectum etiam est, disterentiam rectorum CA. CF, lem
per minui, pronc numerus lacerum augetur, ulque dum candem in Polygono in
tinitorum lacerum, sive Circulo, Sic vel intinite parra vel nulla: Sed hoc obiter
Supponamus jam, uc prius, pro circulo Polysonum intinitorum lacerum: Ouoni-
am aucelt radius cum peripheria angulos tact aquales, (ue manifeltum eAt,) con-
cipienidus elt vel uc recta CL. (ad mediunt Lalets,) vel uc C A ( ad angulum:
Si prius supponatur, erunc anguti recti; (nam recta a cenro ad medium lateris
Polysotu regularis ansulos rectos tacuc:) St polletius: salcem (cum omnes ractiu
Tinc aequates, adeoque C A, CL aquales:) erunt anguli C. A L, C. L. A, aequalce
Der SCL; idcoque d uterque rect: (AnguluS auteM A CL nullus erie, sed ip la
Crura AC, L. C, coincident.) Scrumris isiur supponatur, erit angulus semieir.
culi seclo rectitineo equalis, epopterea angulus concactus elL nON GUAnTUS. Ouod
5 Subjungam huic arxumeni clta lane sxeculationem non absimilis natura
St angulus concactus L. A L H ere ansulus; rum de reliduus ad duos rectos eru
vere
quancus. Ouod erat demonstrandum.
crat demonstrandum.

## Folio 627 — 851708439:0651
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000651.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
in LMI
Lid P. LCcCL.
vere angulus, nempe F. A P, vel P AN, qui concitetur recta tangente s peri-
Pheria lemicirculi remorioris, pura T A et AF, vel L A C AHI, neque crunt
linea T A, AP, aut P A, ALB, in directum polica, (nai e   B.
Tita non continene angulum, per 8 d T.) Aty
hoc concelso, multo masis dicendum eslet duas
Deripherias N A, A E, ansulum continere; est
enim curratura N A H. dupia curratura TA F.
Duod si N AF. non sic angulus, sed una linea
continuata sive in directum posita (prout con-
cedi solet ab omnibus; quis enim dixerit in
singulis peripheriae punctis ansulum Formari?)
neque exir Y A F, ret P AN ansulus, sed po-
tius linea in directum Dolita; EF conlequenter
Reque PAF aut T A N angulus erit, SCd pO-
tius linex coincidences, quancum scilicet ad
iplum punctum contactus aermet.
Acque hinc obiter discere licer, quo pacto dux distimiles linea, pula CuIra C
recta, vel peripheria et parabola, vel etiam peripheriae majoris et minoris circuli,
aUE etiaM CONVexa es concara, erc. continuari possine. Quod monuisse Tusticit.
6Nocum elt, aream tigurae regularis quoreunque laterum aeguate e seclal-
sulo, quod lemiperimetro et recta a centro ad perimecrum Derpendiculari conti-
necur; (Im recta illa non sit ad perimetrum perpendicularis, leu ad angulos re-
etos, secus exiT.) Ac idem olrendir Archimedes, (prop. L. de dimensione circuli) de
circulo; nempe arcam circuli aequalem esse rectansulo, lubradio et semiperipheria
contento; Flt isitur radius ad peripheriam perpendicularis, sire ad angulos rectos.
Si enim ansulus radio e peripheria comprehentus, minor ehet recto rectilineo
cet area circuliminor quam ejusmodi parallelogrammum rectansulum. Nam il.
lud quidem univertaliter verum elt; Si dua rectae, quarum alcera est lemiperime
ter tigura regularis, altera recta ad latus iptius quodliber quocunque ansulo du
itaqe parallelosrammum eodem angulo concincant; erit hoc parallelosrammum.
area sstius tigurae regularis aquale, (ur probari porelt ex 35C1.) Cum isitur pa
rallelogrammum radio (hoc elt, recta d centro) ex semiperipheria comprehensum
quod area circuli aequatur, sic rectangulum; maniteltum elt, et angulos quos illa
recta a centro ad peripheriam tacie, rectos esse e rectis rectilineis aequales. Ouod
crat ostendendum.
C O N Y A C Y u 5.
I.
e
Treumentum quintum: ex proportione eda
nescente, deductum.
 Equitur aliud argumentum. Cui hoc Temma PrXPOHCHLILH C, Si duae
quantitates simul proportionaliter vel crescunt vel decrescunt; ubi earum una
reducta est ad nibilum seu non quantum, etiam  reliqua ad mibilum seu
non quantum reducitur.
Exemplum hoc csto. Recta AB, A C, angulum A utcunque taciant; iplique AB
ubiris insistat BC angulum ABC rectum Faciens,
vel Elibet, alium ad libitum.) Jam si Suppon2-
tur BC recta, super rectam AB moreri inrariato
angulo ABC; prout punctum B remotius vel
propius distar a puncto A, in eadem ratione recta
B C augetur vel minuitur, per 4 c6. Ouoniam ixi-
Tur AB. AB:: BC. BC proporcionales Tunt, ubi
cunque sumatur punctum B; si inquam, punctum
B sumatur idem quod A, adeoque distantia AB
nulla Sic, (proxrer coincidentiam punctorum A, B,)
eriam e longicudo linea BC nulla erit. Ouoe si opus eM, probari poterie
K HK K 2

## Folio 628 — 851708439:0652
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000652.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
V L 0
Cap. XIIL.
ex 26C6. Ex quidem licet alibi alia siE ratIORECla AB adt B C quam ad B,, 1a-
men SiB astignetur in ipso A, tam BC quam B7 simtter in punctum degenerant.
Exemplum aliud hoc esto. GuOniaM, II SCCL CB, MAnCML CeNEO C, circum-
celcunt, per 33CD. Obi C B perrenerit ad I
cum C A, adeoque (propter coincidenciam pun-
etorum BA,) Deripheria craneleat, sive dege.
neret in punctum; eciam craneseie ansulus
BC a, ee degenerat in non angulum: LC, COn-
era, ubi hoctic, illud Hiet. Ouod etiam probart
Pout per 76C8.
Acque idem pari modo hiec in aliis duabus
quanticacibus quibulris, qua timul vel creleunt
vel decreleune proporrionaliter. Prout liguet
ex illa propoticione 16c6. Onamris enim ca
speciauum de rectis lineis ab Fuelide de astirme.
tur e demonltretur; actamen idem nON MINUS
rius ratione duplicata; Tunc c.
nim diametri ad invicem, non
uc iplae ordinacim applicata,
led ue ordinacim applicatarum
quadrata, (PrOUC nOM CAL
ex principiis Conieis, ) nem-
DC AD. AD:: OD9. OD9.
Si camen punctum D actigne
cur in iplo Parabola VereICC
Sed de idem evenier in Hyperbola, vet Cipli, aliare ejusmodi curra; ubi tamen
ratio diamerri ad ordinatim apprcaa agis achuc elt incricata. Adeo ut Lem-
pendicularis, adeoque peripheriam A B. D coninsens in puncto A, unde ducta recta
AB (quancum opus es excena) COnCUrraL Cum DC.
ripheria ubiris in B: circumducta jam recta AB sC.
cabic peripheriam in variis succestive punctis quo-
rum quodris B insisniatur: semper dutem Hoc tran-
Ticu, peripheria B A Sc anculus rectilineus B A P pro.
portionaluer timul tam creseune quam decrescunt.
per 32C3, e33 c6. Ideoque, ubi punctum B ad
iplum A perreneri, adeoque peripheria BA eva
nelcat e suttus eractal magnicudinis, limul etiam an gulus B AP eranescer ec nul.
lustiet, sire nullius magnicdinis. F. H aurem, hoc in casu, ansulus ille BAP, vel
ipse
volvatur; angulus BC A, d periplietla B _ proporcionaliter vel crescunt vel de
verum elle de quibulris quatnor proportionalibus nende dubicat, cum idem sub.
Sic in omnibus tindamentum: unde nocissima illa regula, quae Aurea dici Colet,
originet ducit; quia nempe, ex quacuor proporcionalibus, quod tic ex mucuo ductu
mediorum, aequatur facto ex mucuo ductu excremorum. Ldeoque (i mediorum al-
cerum sic ciptra seu non quancum, necelle est ut de excremorum alcerum sic eciam
ciphra seu non quancum: secus enim ea aqualitas tactorum non prodibit.
imo idem etiam ommino accidir, non modo ubi eadtem est utriulque quanticaris
crelcendi e decrescendi ratio, sed eriam ubi incremener  decrementi racio in una
quancitate elt rarionis quae in alia quanEITaLE rePerItuE, duplicata vel triplicata
(vel alio etiam aliquo modo immutata:) ue liguer in Parabola. Ouoniam enim
ordinacim applicatae in eadem Parabola cresenne e decrescune, non quidem in ca-
dem ratione cum diametris, sed in lubduplicaca rarione diametrorum: ideo ca-
men, ubi harum alceruera redisitur ad non quancum, etiam reliqua ad non- quantum
redigetur. Verbi gracia, Ouoniam in Parabola A O prouc Diametri punctum D
aliuc acque aliud altumitur, ita tam Diameter AD, quam ordinacim applicata OD.
DrEVIOL est aut longior: non laten aue  eadem ratione, sed altera in alte.
A, D,) etiam ee ordinatim applicaca OD nulla eru, sive nullius longicudinis; ut
matis veritas abunde constet
A, 2c
Patet.
Ota diameter A D nulla sic (propter coincidenciam punctorum
Eis potiris; Lie procedit argumencum. Sit recta P A excremo diametri AD per:

## Folio 629 — 851708439:0653
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000653.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
1II
t
ON I a C F l 5.
ipse angutus contactus, vel salcem non iplo minor; Frso angulus contactus nul-
S CIC magnicudinis, sire non angulus. Quod crar demonstrandum.
AP. X
Arcumentum sextum; ex Opticis petitum
ectionibus Concis.
Onet hic tandem Clarius, es quidem recte, Ld quod de angulo contactus,
qui fit in circulis, docetur:; verum etiam esse de anculo contactus, qui in
conieis sectionibus efficitur: Or enim demonstrat Apollonius P ereaeus lib.
L. Pro. 52. In locum, qui inter coni sectionem  rectam lineam tansentem interji-
citur, altera recta line a non cadit: Aique adeo angulus ille contacius minor etiam
est omni acuto rectilineo, e reliquus aneulus ex recto (si nimirum ex puncio con-
tactus ad lineam tancentem excitatur perpendicularis) omni acuto rectilineo major.
Hhoc eso quidem tanquam reristimum agnosco, non modo de sectionibus conicis.
sed e aliis quibulvis curris: nempe angulum contactus, qui ad illas etticitur, mi
norem esle omni angulo acuro, uepore qui sir non angulus; reliquum vero ad re
etum, majorem esse omni acuto rectilineo, est enim rectus, e recto rectilineo aequo
lis: elt enim hic eadem ratio quae in circulo. Ac hic, inquie, major absurditas ax-
paret, quoad sensum, in ea Fillipsi quae perexienam habet laticudinem, e in ea FIy
perbola quae fere linea recta esse videatur: valde enim inaequales cernuntur anculi
ad verticem illius Flipsis e TEyperbolae constituri. Verum c8o neque majoren
absurditarem neque omnino ullam hic conspicio. Ouamris enim crurum divarica
eio extra punctum contactus raria rideatur; in ipso tamen contactus punctonon
ME varia lincarum inclinatio, nec quidem omnino ulta. FL, si nihil absurdi sIF
lineas contisuas in ipso contactus puncto, aequaliter omnes distare, (hoc est, non
omnino,) licet exera illud punctum carum distantix (pro raria iptarum dirarica
tione) varix sinC; cur magis ablurdum esset, earum omnium inclinationes, in pun-
Eto contactus, aequales esse (hoc est, nullas) licet alibi sint admodun oS: LLIC
etiam (quoniam ad senlus judicium tit provocatio) cur magis incredibile existimem,
acuram illam Ellipsin, ec obculam Fyverbolam, in ipsis contactuum punctis, ad re-
ctas tangentes parirer non inclinari, quamris poltea rarie diraricetu, Guaut,
caldem pariter Tuas rectas non nili in unico puncto contingere. Nam ee hoc e
sui non masis credibile ridebitur; neque tamen Clarius, credto, negaret.
Ononiam vero de contactibus in Coni sectionibus mentionem LaCT CTaVIIS, vi-
debimus ec illic omnia nostra sentencix consentanca. Inltantiam delumam ex Opri
cis; quae haec csto
Fradic Vicellio, lih. 5. ProP. 2. Aneulos incidentiae e reslexionis, aequales invi-
cem esse, in speculis quibuscanque, sive planis sive concavis sive convevis: AIque
illud etiam agnoscune Oprici omnes. Sed ec idem Vicellio, lib. 9. pr. 43. Ostendic,
In speculo concavo parabolico radios omnes, qui in illud ubivis incidunt axi paralleti,
ad unicum idemque punctum, qui Focus dici solet, reftecti: Duod d post illumm
agnoscune alii Optici. Hoc autem ut demonstret, ostendic, ex Apollonio, lineam
incidenca, et lineam reflectionis ad Focum, ansulos
aequales cum recta continsente Facere. Verbi Graria.
Sit punctum objecti O, unde ad speculi punctum P
ducatur recta OP, axi parallela: inde autem ad Fo-
cum P F: Frunc anguli OPT, FPC, (cum recta
eansente C D Y facti) aequales; ut VitellIO eK A∞OI-
lonio demonstrar; ideoque, inquie, ressexio tiet ad
punctum F: acque idem tiet quodeunque LE pun-
ctum lpeculi P, in quod radius OP axi paralletus
incidere. Ac oporcuit octendisse, non tam angulos O PF, P PC, ad contir.
eenrem factos, aequales este; quam OPB, F P A, ad speculum Eactos, aequales ette;
angulum nempe incidentiae es reflectionis in speculo. V’el isitur aequalitas anoulo.
rum ad rectam concinsentem, candem inlest aequalicalem angulorum ad speculum;
K k K 3
re

## Folio 630 — 851708439:0654
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000654.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
Cap. XY.
si ce ut li
vel demonstratio non procedit. Cum ieur demonstratio haec pro legitima solcat,
quod sciam, ab omnibus haberi; diccse est eandem utrobique esse aequalicacem
DuS nOn vtraque congruere; nam l angulus altex alteri (UDETPONAEUE, quamVI
CongruEre BOLTInE CTUTA L L, LC, allatM PB, P A, non congruent, neque alcerum
in alcero jacebit, sed cota P B, 10lo puncto P excepIO
caderinter ipsas PC P A, ut nemo non concedet,
qui Parabola nacuram lacis incelligic. Unde etiam
manitelto liquer, crura illa, qua exera punctum con-
cursus rarie diraricantur, posse tamen aequales aH.
Sulos concinere.
Verum liguis diceret (contra Vicellionem, aliol
que Opricos) Radium OP, non reflecti ad punctum
 praecile (quamris aet illud proxime) eo quod
existimet angulum O PB, angulo  P A, non praecile aqualem, sed aliquantillo ma-
jorem, proxierea quod ansulus ablacus B P P, angulo ablaco A PC, minor videa
cur: Sic retutandi crunr. Si non de punetum Phac reflexio; clto, litieri pottie, ad
punctum aliud aliquod interius in axc altignandum, (nam ad aliquod salcem axis
punctum reltexionem tieri, nemo dubicabie,) Suque illud punctum G, uc candem
angulus reslexionis A P C, tiac aequalis ansulo incidenciae O P B. PrIL CrSO angu
lus rectilincus b P C, disterencia ansulorum F P A, C P A, Tcu F P A, OPB, 2dc0.
que angulOruM A PC, BPF; quod tieri non porelt, cum lic horum uterris omni
angulo rectilineo possibili minor: non porelt enim alia recta inter rectam contin.
gentel es coni sectionem cadere, per 32 IID. L. Apol. Non ergo tur retlexio ad ,
ergo ad b; ideoque tam anguli A PH, BPO, quam CL L, LFO, func aquales;
ideoque AF C, BF Lvel salcem aequales, vel pocus nulli. Tdem igitur ec de angulis
contactuum in Conieis lectionibus verum elt non minus quam in cireulis. Sed e
argumentorum praecedentium aliquor de sectionibus conicis, aliitre curris, Pariter
acque de circulis concludunt.
Postquam hoc torum negorium absolveram, admonuie me (quod ante neleie
bam) Claristimus Vir D. Sethus Wara, apa llos attronomix Protellor Savihianus,
innui; adeo uc eam quam subjunxi concrittationem non ommino inurilem tuiste,
Ideoque cum aequales sInE tam O P P, P P C, anguli ad concinsentem, quam OP B,
FP A, anguli ad speculum; erunc etiam (per 3 axioma primi Fuelidis) anguli
CPA, TPB, vel aequales, vel porius nulli. AC maniteltum est etiam, crura cruri-
sracionem ue minus lutticientem improvalle, ca quictens de causa quam et cso jam
Led plane neceltariam, jam TCDCTLAMI.
dignistimus Collesa meus, Cabbaim,  Loro luo de Meceoris, Vicellionis demon-
Ci A L. LV
Clavii Corollariis respondetur.
Enique mysteria aliquoc suc adjungic Clarius, quati ex Evelidis provolicio.
He, pront ab iplo est Mellecta emergencia. VE illud Cardani;
Lotest aliqua quantitas continue d insinile aueeri, altera vero infinite mi
nui; e tamen auementum illius, quancumcunque sit, minus semper erit decremente
Bujus: propterea nempe quod angulus contactus quancumris mulciplicatuS, MINOL
sic anouto quoris rectilineo quancumris diminuro.
liem illud ex Campano: Transiri posse a minori ad majus, vel contram e per
omnia media, nec tamen per aequale. Onod cancundem est acsi diceret crectum
quemris in plano Horiconcali stancem, polle dexcrortum ab Orience ad Occiden-
rem taciem convertere, nec tamen incerim ad Meridiem convertam habeat
ActXC, ee siqua sunc similia, cum aliud non habeane tundamencum, quam quod
Tuxponane, meulum contactus vere quantitatem esse, ulceriore returatione non in-
digent. Sulticicenim demonstraste, (quod abunde factum ette judico.) Anculum
contactus esse non ansulum, teu non quantum; e proxierea, Anculum Semicireuli
D E P F N
aequalem esse recto rectitinet.

## Folio 631 — 851708439:0655
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000655.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
7
 L52 A LC L R CD L T.
Anno 1685 cdita.
E A L.
Angulus Contactus, est nullius Maenitudinis.
Ecundum Doctrinam, Capite 73. Fractatus de Meebra traditam; Ouod.
In cujuscunque generis Magnicudinibus (seu Onancitatibus) id quod De.
monstrari Potes Minus esse quovis aspenabili, est revera (in illo genere
Ouancicatis) Nullius Maenicudinis: (Ononiam, si ullam habeat in cd
genere Magnicudinem; Dosset sic Mulciplicari, ue vel Maximam Cxcedat:) DC.
monstrareram eso, in Fractam de Aneuto Contactus, e Semicireum, (Anno 1656
Edito,) cum Peletario contra Clavium; Ouod (qui dici Colet) anculus Conta-
ctus (seu Continsentix) est nullius Magnituainis: Sed, ad Angulum realem
(sire Rectilineum, sire Currilineum, sire Mistum; qui sic ipse ullius Magnicu-
dinis,) uc 0 (Ciphra) ad Numerum. Eu, consequenter, Quod Aneulus Semi-
circulius est aequalis Recto rectilineo.
Demonltrarerat Ructides, PrOD. 26. Fl. 3. uod,
Si, super extremu Diametri circularis B A, eri-
catur Perpendicularis AP; jacebit haeC tota ex
era Circulum. HIoc e, Iplius nulla pars (nam
Punctum non est ParS Linex) ret Inera cireu-
Jum, vel in ejus Circumterentia jacebit: Sed, in
unico puncto Panget Tolummodo; non circulum
secabic (VEuE Concinuata) ut D A vel SA. AF
que, in loco (rnco) intra hanc e Circumferen-
tam DE. A, non cadet alia recta, uE F A. (Ouip.
De, _ sic; cum recta d Centro in hanc perpendi-
cularis, ut C C, Subrendens angulo ACuTO C A F:
brerior estet quam C A Subrendens recto CC A;
hoc est, brevior quam C F. pars sui, AI C SIE
excea Circulum.). EF ProPterea, Isulus Semicireuli C AF, est Major quovis
Aneulo Acuto; Religuusque F A P, quovis Minor. Oux quidem Fuclidis De-
monltrario est ab omnibus admiltâ uc minime dubia. Ideinque demonstrat .
pollonius Persaus, de Concactu Coni sectionis, prop. 32. lib. Z. Idemque com
muniter recextum est, de Contactu cujulris Linex Curra.
Non aucem hoc ita incelligendum elt, quasi non posset cadere recta, uE F A, in-
Era P A pervendicularem e aliquam partem Circumterentia. Manifectum enim
elt inter p A et DE, cadere posse rectam. Fc quidem nullum elt Circumferen-
cix punctum, praeter iptum A, inter quod ec Tangenrem non poltit Recta cadere.
Sed, Ouod non postir cadere incer Tangentem P A e totam Circumteren-
tiam D E. A; quin, salrem alicubi, priusquam ad A perreniac, Circumserenciam
illam
t

## Folio 632 — 851708439:0656
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000656.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
N G U L. O
. I.
illam secabit. F consequenter, quod Circumterentia pars aliqua, puncto A ad.
jacens, (iplis P A et P A incerjacens) angulum faciet (Ei aliguem) minorem ipso
F A P; hoc est, minorem gnoris Rectilineo, urcunque MInUTO. RL, consequen.
ter, Angulum Semicireuli D AC, a recto rectilineo minus deticere quam parce lui
quantumris exigua, seu infinite parra: Hhoc est (quod nos dicimus) plane HI
nilo: EC, propterca, Angulum Semicirculi aequalem elle Recto Rectilinco.
Suntque, in Fractatu illo, alia (magno numero) Argumenta quae idem crin-
cun. Ombus hie reperendis superledeo. Ouae, cui id libicum est, ibidem
quaerat.
Sune quidem, apud GrXCOS, Proctus (eC, quancum seio, ille Tolus;) de, apud
Facinos, Clavius, ec cum eo alii, (nec Omnes tamen,) qui angulum Contactus,
senciune, alicujus esse Magnicudinis; minorem autem quoris poltibili Rectilinco.
alii aurem mulei ca de re cacene. Alii nobiscum senciunE. FC quidem co-
rum plerique qui concra senciunt (Talcem qui ante Peletarium Fuerune,) viden-
cur id vel praesupponere (quali id alii Sencirenc) vel per nadverrentiam ad-
mittere (ablque ulla ratione cur ica sencirene, aur ulla conlideratione quid in
concrarium dici poller.) Sed Clavius (quem itaque diserce nomino) id consulio
altirmar, et contra Peletarium arguit.
Ouid Fuctides ea de re senterit; ipse nusquam diferre astirmat. (Sed, per
Ca qua EradiE pFOD. F. FI. 20, nobiscum sentire, arguendum elt; prouc ibidem
Ostendimus.) Nec etiam spollonius averre dieic quid senleric. Sed uterque caure
abstinet. Nec Aeutum (rcoriar) vocant, Ced ronor, Locum.
Sed hoc Tolummodo dicune (alter de Contactu Circuli, alier de Contactu
Coni-sectionis) Minorem saltem esse quovis possibili Rectilineo. ulut intinire exi-
duo. Num autem Posiciram habeac Anguli Magnicudinem, neurer dici. HL
quidem cgo plane sentio, quod nullam habuiste policiram magnicudinem, uterque
senserit.
Sed, inquit Clavius; Si senserit Fuctides aut nihil elle, aue nullius magniendi-
nis; quid opus erat uc sibi tacelterit negocium probandi, minorem esse quovis Re-
Etilineo; e, quod sic Angulus Semicirculi, quoris Acuro Rectilinco Major: e
non pocius aperce dixeric, Illum quidem Hihili esse; Hunc vero, aequalem Recto
Rcetilineo. Ouippe s lic; ca altera probatione non indisuerit.
Fgo autem, contra; Mulcas Tubesse raciones existimo, cur, quamris ita senserit,
id tamen aperte pronunciando abstinuerit; contentus, id non nesalle. Nimirum,
vel quod id probare non postic; vel nondum: Vel, quod id propolico suo non
Fuerir necelsatium, aue hic non locus proprius illud faciendi.
Senlic ille, proculdubio, id ipsum de Contactu Coni secti is, aliutre currX,
quod hrie altirmat de Conractu Circuli. Non dicir tamen, quoniam res ca non
erat hujus loci. Ft spollonius, quamris id dieat de Coni-sectionibus (quoniam de
his agebat ille;) de aliis camen Curris (de quibus id pariter rerum erac) nihil
dicit; ucpole de quibus ibi non ogebatur.
Fuclides PaTHIET, PTOP. 26. EI. T. contentus est dixisse, Quod si Triansuli
latus unum producatur, neulus externus est utrovis internorum oppositorum ma-
jor: Cum tamen ille cunc noveric (e Dost demonstrac, prop. 32. FI. Z.) utroque
simul aequalem esse. Non metuens hanc Clavii cavillam, Si noverie elle UITIL
que limul aequalem, quid dictu opus erat, uEroris ele majorem .
EF DFOP. 17. EL. F. COntenES est dixille Duos quolvis Aneulos Trianeuli, Mi
nores esse duobus Rectis. Sed quid opus erat (dieat Clavius) dixiste duos quos-
vis minores esse, si noverie, senseriere, rres omnes limul sumpios aequates esse
duobus rectis. Allattien ellac HC noric ipse, (WE PrOP. 32. F.L. X. Liquet;) de
Cumque non hic porueric tam commode probare (quod polt probaturus erat,
Tres internos Aquales elle duobus Rectis: Ilis dumaltut impraesenciarum ab
renee, ulque dum postic commode probare; ope propotorum quarundam in-
Perum probandarum. Sed, quod jam alelit opus ctal altirmal ille, e demonstrai.
Nimirum, particularia illa, quae non nisi pars ctane Generalium polt cradendo.
rum; Ouia scilicet parricularibus illis jam opus erat, ancequam opporcunum estet
Generalia probare: Duod nisi toret; parcicularibus illis probandis abllinuittet, ut
minus neceltariis polt ea generalia (quibus hac concinerencur) probata.
Nec
Probare pocur; sed nondum.
BrOP. 32,) vel, ansulum externum duobus oppolucis Mletnis ualem este; Vel.

## Folio 633 — 851708439:0657
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000657.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
C
N T A C T U 5.
Nec quidquam sere frequentius est, apud Fuctidem, aliosque Geometras; quam
parcicularia cradere quibus ltarim opus est, quorum Ceneralia sune icidem vera:
sed quae vel nondum probari pollunt (leci polt porerunc) vel ad rem praelen
tem non lune neceltaria.
Si iltinsmodi generalia nondum probari postine, sed post Futura sunc esiri.
remous erie opporcunum eadem suo loco post probandi, antequam snc ului 29-
hibenda. Ouomodo sC res habet in PFOP. 16, 27, FL. T. jam mox ulurpandis.
adeoque speciarim probandis; sed postea generalius exponendis ad prop. 32, ejus
dem. Aliisque mulris iltiusmodi, quas recentere non elt necelle
Si vero generales ejusmodi propoliriones, neque post erunt ad rem eam de qua
agitur necellaria; cuco poltunt non ditterri cantum, scd omitti. Talia lunt (ne
plura nominem) qua ad Scalenum Conum Cytindrumre spectant; De quibus
cum non acturus tuerir Luctides; tales habet ille Coni Cylindrique Detinitio.
nes, qua solis Lrectis (non item Inclinaris) conreniunt. Mulcasque propolicio.
nes de illis speciarim demonttrar, quae de Inclinatis icidem rera Tunt.
Acque ita se res haber in praelenti nesorio. Jam mox opus Foret hujulmodi
Propositione, Ouod, qui supponitur Angulus contactus, eslet, Paltem MINOE quo-
vis Rectilineo. Quod praelenti negorio lutticeret: Hloc igitur probat. EL pluS
eo nON CTAE OpuS. Num aurem, qui tam eriguus cA, vel ullam habeac, vel
non habeac, magnicudinem: non atirmat, uc quod atiratu non CraE nC.
celte.
Et quamvis senserit, aut probe noveric, nullius este magnicudinis: NOn camen
hic illud attirmandum erac, quia nondum commode demonserari Doltet, anTC tra-
dicam prov. T. Fl. 20. (qua nicitur methodus Fxhraultionum:) Hratque proprerea
saltem Disserendum. Lc quidem, Dolt illam cradicam, nihil crac de hoc Con-
ractu dicturus; adeoque nulla incidebac occalio hranc Nullitatem demonstrandi
Pocuisset quidem, post illam propositionem cradicam (si libuisset, d justa po-
Atutasset occasio,) illius ope, demonstrasse. (quod secit Pelerarius,) hunc else
Nullius magnicudinis ansulum. (Or quod estillius Propolirionis Consectarium.)
Sed supertluum illud toret. (Orpore qui in Univertali continetur calus SpC
cialis.) Ouipre cum ille ostenderat unirertim (quod ibidem tactum cst) Dua-
rum maenitudinum inaequalium (cujuscunque seneris) Differentiam (quantum-
vis exiguam) sic multiplicari posse ut utramvis superet: L, consequenter, (quae
est Fixtrauctionum Doetrina) eas magnicudines, quarum difterentia non porest
lic mulciplicari, non ese masnitudines Tnaequales: Supertluum Foret, id de An-
sulis speciarim probare, quod univertim demonstraverat de cujuscunque generis
Magnitudinibus. Eequis enim non poller hinc jure subtumere: Sed Ieulus
Semicireuli, e rectus Rectilineus, sunt Maenitudines, inter quas quae suxponi-
tur Differentia (Angulus Continsenria dictus) non potest. su multiplicari, (quod
jam anre probatum fuCTAE PTOP. 16. F.L. 3.) Preo non sunt illa, maenicudines
enaequales. AEquales igirur tunc. Ec, qui supponitur unius supra alierum F.X-
celtus, (qui Angulus Conractus dicirur,) nullus elt, scu nullius maxuicudinis
Angulus.
Sed e idem, ( libuisset, potuerat cirius demonstrare; si voluisset Extrauctio.
num doctrinam prius cradere. Non Forre, ad prop. 76. F.I. 3. Cubi de Contactu
ABitT;) Led Polt Detinitionem 5. lib. 5. (cujus consectarium est ea doctrina;)
anam Detinitionem alsumplerat in Demonstratione prop. 8. Fl. 5. Sed cum ma-
Jueric Fxhauctionum doctrinam ad lib. 20. relesare; non commode poruir hanc
nullitarem Anguli Contactus prius demonstrare: crarque, post, Superctuum.
Verum, si pucarerit ille (quod senciunc hi,) volueritque actirmare (quod nui-
quam tacit,) angulum Contactus, ucut Rectilineo minorem, habere tamen ali-
quam anguli magnicudinem posiciram: Oportuilset hoc Demonstrare. (Quod
neque Facu, neque agpreditur, sed neque ulpiam attirmat.) Ab(que hoc enim,
tam marea toret ejus Demonstratio (urpore in eadem Forma) acti probatum iret.
O(Ciobram) habere quidem positivam maenicudinem, sed quovis possibili Nu-
mero (inceoro fractore) Minorem: HOc utus argumento, Duoniam omnis N
merus, utcunque minutus, est illa Major: (Nec porest illa, ureunque Mulcipli.
cata, numerum minurissimum aequare, nedum superare.) Quod prohat quidem
parcem polteriorem (omni numero minorem esse;) parcem vero priorem (quod
policiram habeac magnicudinem) non probat. Luclides ixieur (qui non solet
tam
Cap

## Folio 634 — 851708439:0658
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000658.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
2D. l2
tam maneas achibere Demonstrationes) non centendus MM, Cat atC AOCLIL
interri potelt.
nam, quam nec attirmac, nec probandam suscipit, et qua d dictis suis nullatenus
Objectionibus Clarii Respondetur.
Raecipuum Pelerarii Argumencum (quod per se sutticic). ad probandum
Angulum Concactus nullius esse Magnicudinis, angulumque Semicircuti
 aqualem Recto Rectilinco: DETUMITUE ex PrOP. L. FL. 10. Propositis dua-
bus maenimainibus inaequalibus; Si a majori auferatur plusquam dimidiun; e
a Residuo, plusquam aumidium: e su semper: Manebit eandem magnicudo mi-
nor, quam est minor propositarum. Ad cujus Demonstrationem, altumit (cx
det. 5. EI. 5.) Nullam cujusvis Maenisudinis partem tam exieuam esse posse
quin ita possit mulsiplicari, ut Totum aequet superetve. (Ouod de prius allumple
rac ad probacionem prov. 8. F.L. 5.) Onde intert Pelecarius; Ouoai cum AN-
sulus Concingencia, quae supponitur Rectilinei pars, Tuc lalcem cam exisuus ut
nulla Mulciplicatione lieri poltit siqualis aue Major quam Roctilincus; liaec pars
suppolica, nihil est. Omppe, si ullius esser Magnicudinis, lic pollet mulciplicari
Idem limilicer argui pocelt ex prop. 2. lib. L. Archimedis, de Sphaera e Cplin-
dro. Nimirum, Datis duabus marnitudinibus inaequalibus; ita deseribi pescunt
duae Rectae, ut harum minor ad majorem, minorem habeat rationem, quam habet
datarum Magnitudinum minor ad majorem. Si isitur (quod volune illi) An
sulus Concactus sic Rectilinei pars; adeoque ipso minor: Pion porest (A lc ul
lius magnicudinis) cam parrus esse, quin ejus ad tocum ratio (aUL etiam minOr
quam haec) possit extriberi in Rectis Lineis: Adeoque pottic ille lic mulciplicari
ut superet Rectilineum. (Nam id, in Lineis Rectis, Lic fieri polle, nemo dubi-
Eat.) Sect in contello elt, id tieri non polle. Non eA ergo ullius magnitu.
diniS.
Clavius, ad hoc Argumencum, nihil habet quod reponat, quam, Ouod Magni-
cudines comparaca (Angulus Contactus, et Rectilineus,) Sine Magnicudines L7C-
EerOBenCa; AdEOGIK PTOBOTEIONIS InCAPACES; quX (per prOP. 3. LL. 5.) est inter
Lolas Hlomogeneas
Re mirum cL, quod Zocum de Pars sui, sine Flecerogenea: Imo, quod Y0.
cum et Ablacum, sed non Reliquum, sine ad eandem magnicudinem Hlomogenca:
quod (inquam) Angulus Rectilineus Sic HOmOgenCUS cumI adt EOTIM C A P, cum
ad ejus partem C A L, Scd non ad parcem reliquam H. A P
Sec inquir ille, Ansutus Contactus F AP, est Pars cam exigua, uc non potII
ulla Mulciplicatione Aeri vel aequalis vel major F010. Adeoque (ver def. 5. f. L. 5.)
non porest esle HOmOSCHCA. Aique, quod MC, propcer banc solam causam, aP
Dellal Leteroceneum
Ac incerim, haud credi porest quin ipse viderit, Fuie Excexcioni locum non
elle concra angulum Semicirenli C A F. (Nam non est hic tam parruS quin
Postic Musciplicacus Feri major quam C A P.) Num isitur dicendum crie, RC.
liguum P A P propter Solam parricacem tieri Herecogeneum Praesercim cum Pra
cipuns sespus Lic illarum Luchdis e Archamas propositionum (quod nec ipse
ditticetur,) uc oltendarum, Nullam parceu cal parvam elle polle Cl uIam Aa.
beat magnieudinem) uc inde hiac incapax hujusmodi Musciplicationis. Imo re
20, hoc iptum (quod rutc) Heceroseveum, si cancillo ausCatuE (MOTO crure
A P ad AS) mox eric Homoseneum, (quippe cum tier capax hujusmodi Mulci
Plicacionis.) AC CEFIE AdeIEIO NOVX PArEIS P AS, non PoreH Naturam mutare
iPliuS E AP, uc jam tiac alius Generis magnicudo pars haec quam ante tuerie;
uE, inquam, jam factum sic Fomoeeneum quod ance tuerit Fleteroceneum. (Non
aliter, incellise, quam ue ihit cl ad Aliquid LICtCxOSeHCHM.) ParvitaS M
rac quidem Menscuam sed non Nacuram Cevusve Magnicdinio seu Rei Magna
E.

## Folio 635 — 851708439:0659
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000659.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
elle Maenum Fleteroeeneum, Sed Non maenum. Acque ditterre Hlunc ee angulum
Realem, uc Nihil et Aliquid. Nam, Magnicudinis, pars nulla tam esse porest
parra, quin mulciplicando tieri poltic aequalis aut major quam illa cujus elt pare.
EEnili hOC admIETatuT; ruIE Fota Fxhrauctionum doctrina. Requid enim dictu
Facilius cum erie, Ouam, (rerbigratia) Circulum de Frianculum illud (cui De-
monstrat Archimedes; cali argumento, Circulum aequalem elle) aliquanto differre.
sed hoc Aliquantum est. tam exiguum, ut inde tiac LLeterogeneum; nec poltu mui
tiplicando fieri eorum alterutro Majus aut Aiquale. Aeque cum concludat Te
teroeeneum id else quo ditterunt, co quod non postie sic mulciplicari. Guippe Lc
sc habet res inter nOS. Nam ob hanc solam causam, inquit, (quod non lic poltit
mulciplicari) appellat Feteroseneum: Cum, ob eam iptam caulam, rectius con-
T. F.L. 10. Pecitas, ur Insutticlenles, (quas camen ille pastim admicrit uc validas,
cum Eine cidlem Carisla omnes obnoxix: Vel, Peletarii Demonstrationem agno-
tum e unam Lartem Angulo Rectilineo FTomogeneum esse: led non ex Religuum.
Nam inculum Semicirculi, e Rectum rectilineum, non potest non admittere
Flomoreneos ese, (cum sic mulciplicari possit uterris ue reliquum TUperCE,) (Cd
non anculum Contactus. HToc est, Tocum ee Ablarum sed non ec Religuum
Trem, Tnaquales Semicirculos (utue Fisuras Similes) Aneulos habere non simi-
res, 8 naequales. Vulcenim (duorum Circulorum) Contactum D AF, anou-
lum elle alicujus magnicudinis, non minus quam E. A P, D AG, C AP. F. AquC
omnium eadem ratio.
II
a1 L AC L Ut 5.
multo minus Taturao o, Cenusve.
Rectius inde arguiliet; hunc (quem rulc) angulum Contactus, non quidem
Et Curvicas mutare porelt illius Fiemram seu Speciem; Sed non duantitatem.
clusilter e LCon guumum.
Ororrebic isitr ut rel rejiciat ClavimS AUSMLHOCIL DCIOMILLacONeS omnes, ab prOV
Seat valica; B ereta CIb.
Ec quidem hoc Argumento se sla contusclum rcet, i cosatus aamittere, lo-
Irem; Transiri posse, motu continuo, a Minori ad Majus, (atque d Majori ad
Minus,)  per omnia Media, nec interim perveniri ad Siquale. Puta, mota recta
AF, ad AP, e AS. Obi ab Acuro rectilinco D AC (qui est angulo Semic-
culi minox) transitur ad Rectum rectilincum P A C, indeque ad obtusum SA C
qui eltuorIS majoE,) nec interum perrenitur ad aequalem ansulo semicireuli.
Pariterque serrocedendo; pura ab E A V ad S A R.
Aliaque his limilia. Oux omnia agnoseit este Paradora. Dixiltet porius bsurda-
Aliud repero Arsumencum (quo hoc plenius appareat) ab iplo Clavio mutua-
cum. Docet illem (ad prop. 32. FI. 2. Fuctidis,) de rere quidem; Quod, Poly-
soni cujusvis si sinsula latera producantur (ad eal-
dem partes omnia:) Omnes externi Anculi simul
sumpti aequantur Quaruor Rectis.
Onde sic arguo. Si Polysonum illud sic Fisura
Regularis, (adeoque omnes Anguli inter se aequa-
les;) eric eorum quilibet (ut F AS,) aliquota
Pars iplius 4. R (quatuor rectorum) denominata ab
n (omnium numero.) Ioc est = R. AEque, S P A
sit ad anoulos rectos ipse C A (rectae à Centro ad
unum Angulorum,) bisecabit illa calem Angulum,
Cut PateL. ) FriiguEC PrTOPterea F AP = = P.

## Folio 636 — 851708439:0660
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000660.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
A N G V L0
Cap. II.
Si itaque Polysoni Lacera supponancur numero intinica; tum L A S CxIL pars
infinitesima, Qualuor Rectorum; de l A P pars insinicesima (leu intinire exigua)
Duorum Rectorum. Hoc elt, (Dolico co pro insinito) = R, e = R.
Jamque hoc Polrgonum lacerum numero intinicorum; vel erit Circulus, vel ad
Circulum proxime acceder. tc quoniam Circuli Radius lacie ad Perimetrum vel
angulos Rectos, vel lalrem ucrinque Aequales: Contideranans erit, vel ut C C
(perpendicularis d Cenero regularis Polysoni ad unum Laterum;) vel uc C A (ab
eodem Cenrro ad unum AnGuLOTUM.) Nam in nullo alio catu Recta d CenTrO
taciet ad Perimetrum regularis Polrgoni aequales Angulos. Ouippe Anguli ad
quodris aliud Perimecri punetum crum Obliqui de Inaquales.
Flacumque duacum, CC est breristima, d C A longiltima, omnium a Cenero ad
Perimeerum ductarum. FB, prouc creleit Larerum numerus, ica provius hae ad A-
qualitatem accedune. Si illa line intinice mulca, hae intinice prope accedune ad Ai-
qualitarem. Ee, in Circulo, aequales lunc ee coincidenes. Sed, quamvis revera
caedem, considerari poltunt quali diverlae.
Si in Circulo, contideretur punctum Contactus uE A F, unum Pacerum, inti-
nice Brerium; cum clt Fansens CH concinuario hujus Laceris (non angulum
cum illo taciens, sed in illo immerta; nam F GHI clt non- Ansulus,) e CG HI
(quem Raclius ad Fangencem Facic) est Angulus Rectus: proucnos attirmamus.
Si Punetum illud Concactus contideretur, non uE A L L atuS, Sed uc A punctum
ansulare Polysoni (lacera F A A B connectens;) cum cMt Angulus concactus
P AP = = R intinice exieuns; et angulus Semicireuli CAF = R - = P infini.
ce prope ad angulum Rectum rectilineum.
Si jam, Lacera infinise mulia unius Polyeoni, admicrantur coridem este quor in-
finite multa alcerius: cum lunc Semicirculorum omnium anguli incer le aequa-
les. (Concra quam vulc Clavius.) Nam cujuslibet Semicirculis tire magni sire
Parri, si contideretur ut cale Polysonum, Angulus est R = = R; hOC Cs,  = R;
hoc cst, in ea ratione ad Rectum rectilineum, quam habent Infinita minus auobus
ad Insinita. Ac Clavius (arsumencis Pelerarii constrictus) cogitur tateri, (secundum
sen Ca lua) Tnaequalium Semicirculorum Anculos, non Aquales esse. Puta, C AF
angulum majoris Semicireuli, majorem elle, quam minoris angulum C A D; tantO
nimirum quancus elt Angulus D AL, quem ille rulc alieujus este magnicudinis
Angulum.
Sed porro; Onamdiu Cireulus contideratur ue Patroonum Rectilineum lace-
cum intinice muliorum: centendus ctE, in quoris lui puncto A, angulum FaCerCUE
P AH, duplum anguli C A F; hoc cIL 2 R - = X. Cumque sic hoc punctum A,
quodris Perimerri putietum; suoponendus est in quovis Circumterencia puncto
calis AngutUS.
Si velimus ieie uc hi Anguli infinice mulei craneleate, de Polysoni Chacte
nus luppolici Rcetilinei) Perimeter, degeneret in Concinuam curram Circularem
ablque omni angulo: cum ille angulus Concactus qui (pro illa consideratione)
octenlis est insinice parvus, jam erie minor quam intinite parrus; adcoque nullus.
Nam, cum L A N angulus elle de sInet per Consinuationem, etiam F A P ansuluS
eHe delinit per Immersionem.
Incer alia quae in Tractatu ilIO OCCUrTUNE ArgumenCA, Onum erat ex Opticis pe
titum. Ouod hic repetendum erie, quoniam de illo post occurrent dicenda aliqua
Respicir aurem poristumum Contactus ad Coni sectiones tactos.
Docet Vicellio, (Drop. 2. lit. 5.) Angulum Encidentia e Anculum Reftectio.
nis, aequales inter se esse, in cujuscunque generis speculis; sive Dlana sint, sive
Concava, sive ConVexA. Eique contentiune Opticorum seripiores alu. Idenque
docet (Prop. 43. lib. 9.) En concavo Speculo Parabolico, Radios incidentes Avi
parallelos, reftecti omnes ad punctum unicum, quem Locum vocant. Cui itidem
consentiune Opricorum scriptores alii. Ouo aurem hoc probet, Oltendic, ex A.
pollonio, Duod Racius incidens (axi pacallelus) OP, Ractulque hine ad tocum
rellexus
2a

## Folio 637 — 851708439:0661
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000661.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
nl
Ci O N T A C F I 5.
reflexs P Fi aequales faciunt Angulos ad rectam Contingentem C P L. HlOc et
OPT = FFC. (Oux ab omnibus Opticorum scriproribus admicri lolet it sula p
bacio; quippe qui radium d currae puncto reftexum, unanimi consentu altimane
secundum quod toret li dTangence in illo puncto reflecteretur; lingula curra pun-
eta repirantes eandem Decliricatem, Directionem, et Inclinationem habere, quam
habet Fangens in illo puncto.) Verum, uc demonstratio rite procedere censeatur, re-
purandum erie, hinc sequi, Idem pariter ad Speculum contingere; Hoc est
OPB = F P A. Ouod Si tiac; oporrebit Contactus Angulos, vel nullos eltes vet
salcem A. quales. Hoc eltu BPT = APC. Ouippe s ab A qualibus A qualia
auteraneur; Residua (Equa SInE) erun A qualia.
Si ab Aqualibus . . . . . OP Y = FPC.
Auterantur A. qualia.... O P B = F P A
Rectabune A qualia,.. .. BP F = A PC
Sire icaque ucrinque nihil sint; id cst quod nos
ASTIEaIUS: Sire linc Aequalia; etiam hoc sust-
cit ad everrendam corum sententiam. Nam, si
angulus B P F replicari intelligatur super A P C, ita ur P T congruat rectae PC.
cercum est (ex natura ParabolX) erus reliquum PB caturum elle totum intra P C
_ P A. Si isitur (ne intigura anrecedente) Contactus F. AP (circuli majoris
minor sic quam (minoris) DAP, eo quod P A cadat inter D A et P A, (quae Cola
cauta estcur id attirmanc:) idem ee hic valebit (quia P B cadet inter P C _ AC,)
concra AE qualitarem qua ance ostensa est neceltaria.
Si, quo hoc cricene, dicane, elle quidem B P P aliquanto minorem quam APC;
adeoque (quo ansulus incidencia es ansulus Rellexionis sint aequales) radium
Rellexum O P cadere, non quidem in iptum F Focum, sed paulo interius; ita prope
ramen ue differentia sit rix obserrabilis:
F8o lic urgeo. Flto illud punctum C; paulo intra F.
Tumest, BPO = (A PO = =) APF L FPC
HIOc cAt, TPO- TPB = CPF = CPA F FPC
Sed CA, TPO = CDF
ErgO, CPF - TPB=CPF = CPA + FPC
HIOC estus CPA - TPB = FPC.
Verum hoc este non porest. Ouoniam Angulus Contactus quilibet (multo ma-
sis, duorum Dilterencia) elt, in contelto, minor quovis postibili angulo Rectilinco.
Ooorcetisitur uc OP reffectatur, d Curra, non ad C sed ad F. Adeoque anguli
Contactus LPB CP A sinc incex sC aequales. HOc est (in praesenti calu) vex.
que aequalis Wihilo.
C aV. III.
A L. TI.
Oojectionibus Leoraudi Respondelut.
Dstquam ea (quoad (CHTAHI) qua I CaplC praecedente habentur, (aliaque
mulea eo spectantia) cdideram Anno 1656, in Fractatu jam memorato D
eulo Contactus e Semicireuli; Adrertus ea quae Objecerat Clavius Contra
Pelerarium: Invenio Leotandum (seluicam) Sutcepiste Detentionem (con. se-
suica) Clavii: In CVclomathia Cua, AnnO 2662 Edita. Nimirum, quod (non
obstantibus qua eso dixeram) Angulus Contactus habear positivam Magnicudinem.
EC, Areulus Semicireuli LIE minor Recto Rectilineo. Ibi sinscomio e Tacqueto
(Seliricis icidem) se opponit; quorum sensa, hac inre, cum luis non consistunt.
Praecerierane aliquoc Anni, polt librum illum edirum, priulquam iptum viderim.
cum viderim auicun scripli ad iptum Leocandum Exutolami illi Responsoriam.
Quam

## Folio 638 — 851708439:0662
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000662.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
Cap. III
N G U L 
nia, Febr. 17. 2667. Siito Ancliae.
Sios clansmitit (a me rOsatuS) ad Aicum quendam Cuum; Oui ad Odenburerum
mictatul. Num eam acceverit Zeorandus, neleio; ut qui ca de re n POCal
Edicurus aliquando crat halte Rpiltolam; vel per le, vel cum ants lu u
Onam D. ZTenrieus Oldenbursius (Regalis Societatis L ondini SCCrCTATIS) Pari-
releripsie, Epistolam illam se accepisse, de curacurum se ue ad Zeoraudum crant-
diri. Sed, non ita mulio polt, nunciacum est Leoraudum obiiste.
rempus edicis. Cui eiculum hunc teceram; Johannis W allis, S. T. D. Geometriae
Professoris Saviliani, in Celeberrima Academia Oxoniensi; Tractatus sui, De An-
sulo Contactus e Semicirculi: Desensio: Laversus Vhnemu Lectauat, cipi
natis, Rxceptiones: In Fpistola ad eundem Vincentium Leotaudum scripta, Ab
Cum vero ejuldem Edicio hactenus dilata sic; Sirque hie locus opporcunuS: cai
hic subjunso prour ea lueru ad iplum Leotandum (exipra.
Claristimo Viro
NIIANTIO L HC
D E L D IL Z N a Y1
ANNLS I AL L Co, OmCII, D.
Oxonix, Feb. 27. 2667. Stilo Anglia.
NCZDT, Vir Clarissime, nudius terrius, in Cyclomachiam tuam; ante
quinque annos, ue videtur, impressam; se d nuperrime (quantum audio) huc
 aluram. Duam insplerendam obculit Mnicus quidam meus, harum rarum
peritus; eo praesertum nomine, quod me ibidem animadverterit à le nolatum.
Quoa fecit ut ad ejusdem Librum Secundum, qui me spectare dicebatur, me sta-
tim converterim; omissis Primo e Tertio, quibus de aliis rebus acitur.
Duid fecit, ut me ibidem in arenam vocaveris, nescio; neque solicitus inquiro
Moteste forsan culeris (ueut vos inter vos dissentire non iniquum judiceris) quod
contra clarium vestrum (Fesuitam) eso (non Zesuita) nonnulla scripserim. Adeo
que vestra interesse putaveris, ut ex vestra Societate non nemo causam ejus (sive
justam sive injustam) ulcunque defendendam susciperet. Duod lamen non erat
necesse ut contra me faceres, qui non soleo Clavii vestri imguus este aestimator:
Cujus etiam causam (ut e Cregorii San. Vincenciani vestri) contra Meibomium
susceperim; eumque alias, prout res tulerit, passim desendo. Duanquam enim in
Relicionis necotio nos a vobis diversa sentiamus, non proinde necesse erit, ut dissen-
tiamus in Mathematieis: Obi non Aurhoritatibus res acenda est; sed Demonstra-
tionibus.
Vel fieri potest, ut controversus quae Libi cum Afalcomio ruo intercesserant
implicitus, non commode ce expedire posse putaveris, nisi ee me sumul in parte
vocaveris; oum ea, quae de Angulo Contactus es Semicireuli scripseram, GresOrI
de Sancto Vincencio, Ayneomii, _ Facqueri, placitis quibusdam a se oppuena-
is, favere vidéantur. Queque si prius vicisses, sut sortasse posset, ut inde ab
fnuisses plane, e ne aynicomiuin tuum eu de re solieitasses: (utut ubi temere
forsan manum conseruisses, desensionem malueris utcunque mon, quam vider
palinodiam canere.) Duippe quam suscepisti contra Ciresorii de S. Vincentie
quadraturas controversiam, non minus felieiter expeaire poruisses, licet hanc in
raclam praeteriisses; quae cum illa connexd non est: Praeserrim, ubi sequiorem
partem tuendam susceperis; cum, in ea de quadraturis, posiorem suscexisse vi-
dearis. Duanquam enim eso Gresorium San. Vincencianum, proMathematico
minime imporuo babeam; ut qui multa es acure e solide scripserit; (cujusque
causam, ut dictum est, contra Meibomium, ne rosatus quidem, susceperim:) Qua-
C
draturas tamen absolvisse non existimo.
r’el denique (quod porius sperudet) sine parcium stuaidi helo vericatis in
ruitu
utqu

## Folio 639 — 851708439:0663
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000663.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
C
Ci O N F A C T I 5.
ruitu porueris hoc fecisse: Eadem libertate, qua  eeo soleo ab aliis nonnun
quam in paucis discedere, quos alias defendendos existimo: Praeserrim cum te a
probris, ut plurimum, abstinuisse videam.
duieguid sit; qua contra me multis scripseris, paueis diluenda visum est: Ne-
que enim prolixa Refutatione opus erit; sed potius brevibus Stricturis.
duippe in ancustum res redacta est: Num scilicet Angulus Contineentiae sive
Concactus, ad Anculum Rectilineum (aut etiam ad alios Curvilineos ex Mxtos
comparatus, pro tomoseneo habendus sit, an pro Hlecerogeneo (saltem quoad
Rationem)  nullius Rationis caxaci.
Rcippe in Boc unico, e Tu e Clarius Praesidium collocatis, e speratis sy-
rum: contia ea in contrarium prolara Areumenta, quae atias (ne vobis quidem
diffitentibus) Demonstrativa habenda erunt. Si enim  Quaneus fuerit (quod
2os vulis)  Ansulo Rectilineo FTomogenens; non erit quod Absuida illa possi-
sis declinure, quae non modo Peletarius  F80, (ne Sarilium porro es Vieram
memorem) sed e Vestrates San. Vincencianus, Aynscomius, e FacquetS, Cu-
mulate vobis objeiunt.
duam quidem rem, quanquam in meo De Angulo Contactus et Semicireuli
TraCLatu, CaP. 5, 6, 7, Oc. me satis confecisse puro, ni praejudicium tibi ocules per-
strinxisset: duonum ramen tu illud nondum assequi videri velis, te sequar, ut
quae superest caliso, si fieri possit, etiam a cuis oeutis discutiatur.
Proposuionem tuam primam eso Bactenus concedo: Nempe, Quo jure quis
Ouaniicatem intinice exienlam Imaginari velic, eodem ec intinire diminuram ima
sinandam permittere debeat. Idque utroque sensio, quo Infiniti vox solet oc
currere.
Si enim, per Intinicum intellisatur Indetinitum, seu quantumlibet maenum:
quo sensum axud Ccometras, Recta Infinita hoc est, quantumlibet lonea, vel quan-
tum opus est lonea, vel ducta supponitur, vel ducenda praescribitur: duo jure
Rectam quantumtioet Lonsam possibilem esse ponimus, eodem e quantumlibet
Brevem possibilem esse, concedendum erit. Suippe prout suxponitur Continuum
posse in Infinicum continuari, ita e in Infinitum dividi; hoc est, nulles vel Con-
linuationis vet Divisionis staros esse terminos, ultra quos procedi sit impossibile
Si vero, per Intinitum, intellicatur id quod sit absolure Intinitum Actu
(puta quod totam pessibilitarem habeat in actum reductam:) Ptiam hic concedo–
quo jure quis, hoc sensu imasinari velit InfiniteMasnum, etiam Infinite. P ar-
cum Imasinandum esse. Sedu Imaginandum potius dico, quam Dacum iri.
Ad Secundam Propositionem quod spectat; Concedo, Intiniri ad Pinicum, nul
Jam este lFinicam ) Racionem: (Neque etiam Indefiniti ad Definitum rationem
Desinita.) Dico tamen: Quo jure quis Ouanrum Intinitum imasinari velit
eodem e Intiniram Pationem imaenandam este. Adeoque, Infiniti ad Fini-
cum aut etium Finiri ad Infinite exieuum, rationem esse dico Intinite Magnam:
Finiti ad Infinicum, vel etiam Infinite exisui ad Finitum, rationem Intinire
exipom. Neque tibi in contrarium suppetias feret quinta Definitio quinti Lu
cldis: Dicam urique, Insinile exiem Infinite.Mulciplum, expositum quodois F
nitum aequare vosse, nedum suverare. Atque e8o pari jure admittendum postu
labo Infinite Mulciplum, quo tu vel Infinite. Magnum vel Infinite exieuum.
Dum autem quaris, num Racionalis furura sit haec Ratio, an lerationalis:
Verumvis dieas, perinde est: (quixxe, quodcunque fuerit hoc Enfinitum, quod
ad Finitum unum habiturum est lationem Pationalem; idem ad Finitum aliud
Rationem habebit Trracionalem; modo illa Finita duo, Rationem habeant ad in-
vicem Errationalem:) FLujusmodi siquidem minutias omnes, absorbet ipsa Insi-
nitudo. Aque perinde est aesi peteres, si quis imasinari velit Numerum In-
fuiitum, num fucurus sit ille Par an Impar. V et Pripartibilis, an secus: c
 interim, quo jure ru vel Infinite Maenum, vel Infinite. Parvum imasinabe-
ris; eodem ille, Vet Insinite Multum, vel etiam Infinite. Paucum (ipsa Onitate
in Fractiones divisa) imasinabitur.
Ad FroB. 3. Concedo, Ouancitares etiam Finiras este, quarum nulla porest ette
ad invicem Ratio. Tales utique sunt quantitates quae sunt ad invicem Fetero-
eenea, puta Linea  Planum, Planum e Solidum, Linea , Solidum: ilem
meutus e Zinea Aneulus e Suxersieres, Linea  Tempus, Tempus e Pon
dus, atque bujusimedi alia cum Fleceroeeneis compareta.

## Folio 640 — 851708439:0664
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000664.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
N C u L
Est ulique Ratio (per des. 3. FL. 5.) Homogeneorum ea relatio quae est 
STa. Hlomogenea Sco, seu lquod per def. 3. tantondem valet) Racionem
invicet Habencia, sant (per acs. 5.) ea quae Mulciplicara poltune le mucuo su-
DeraTE. Duoniam itaque LEa Temporis, urcunque Mulciplicata, nunquam aequa-
bit vel suderabit Librai Londclts. oia e Libra, seu Lempus e Pondus, Lle-
teroeend. Cenenda erunt, aceoq ue non Rationem ad invicem habentia. atque de
reliquis similiter. Fstque Bac unica Hlomogeneorum desinitio, qua apud Pucli-
Fline discas, Curvam quamvis ex Rectam, utut Dissimiles, Zlomoseneas ta-
men esse; quoniam exposita Curva quaevis ita Mulciplicari potest, ut expositam
quaniis Rectam superet; e vice versa. Sic Curvilineum e Rectilineum; puta
Circulum e Duadratum: Fxpositus utique Circulus si exposito duadrato nondum
major sit, erit saltem ipsius Duplum, Triptum, vel aliud aliquod Mulciptum, qua
drato illo majus; e vice versa. Lineam vero e Supersiciem Fleteroceneas este;
quoniam Zinea, cum nihil habeat Laricudinis, quantumvis Mulsiplicata, nec dum
habebic: (quippe nibili Duplum, seu alias Mulciplum, est adhue nibil;) adeoque
nec fiet Superficies.
atque hine speciarim discas, Aneulos Planos omnes, sive sint Rectilinei, sive
Curvilinei, sive Misti, (qui ullius sint Maenicudinis,) invicem Thomozeneos esse
Sunt utique vel squales, vel Majores, vel Minores exposito Rectilinco; e qui-
dem si Minores, possunt saltem Multiplicari Majores fieri:  vice versa. (uod
ne tu quidem de quovis necaveris, excepio solo Aneulo Contactus.) Cumque tu
hoc in Aneulo Contactus desideratum animadvertis; id non eo fit quod Lleteroge-
neus sit, sed quod non sit duantus.
Miror autem eso te, hominem Mathematicum, existimare posse, tum totum An-
sulum Rectum, rum (quem hujus partem esse vis) Anculum Semicireuli, cuivis
Recto FTomozeneum (per 5 def. 5.) reliquum vero quem facis Anculum Contactus
Fleterozeneum esse. Duasi quidem fieri possit, ut e Potum, e Ablatum, sed non
e Keliquum, eidem alicui sit Llomoveneum.
Cum vero tu existimas, Ouancitacum inricem Homogenearum, alias habere, alias
non habere, rationem ad invicem; at que has ab illis Fuclicem definitione 5. dister-
minasse: Thoc ipsum est quod e Clamio primum, atque post illum Tibi, aliisque
multis fraudi fuit. Euclides ulique jam ante (def. 3.) cum Raciones omnes,
Hlomosencorum elle; cum e Hlomogeneorum omnium, este ad invicem Rationem,
non minus definiverat. Duoniam vero Flomogenei vocem, non prius ab illo usurpa-
tam, nedum in superioribus definitam, sed quae desinitione omnino indieeret, hie
usurpaverit; hane alteram Hlomogencorum, seu (quod ipsi est ioostravor) Racio-
nem ad invicem hrabencium, definitionem subjunsit. (duae e in Craecis Codieibus
immediate subjuncitur Terriae; cur autem Clavius hane quintam fecerit, interpo-
sita duarta quae est in Craecis Octava, eso noscio.) Fuclides itaque, neque ob eum
finem quem tu insinuas, neque frustra camen, sed justis de causis hane quintam in-
terposuit desinitionem. Nempe, ut quid per Hlomovenca seu Rationem invice ha-
bencia Penficatum veut, defintret.
Sed e per hanc ipsam Desinitionem, ea per L Prop. 20. determinat. Tlomoce
nei cujusvis nullam esse posse tam exieuam parcem, quae Mulciplieata non possit 10
tum superare.
Dua itaque iu hic ex Aynscomio habes, Suppono, inter duas Magnicudines eAe
aliquam Racionem, idem esse ac, duas Magnicudines secundum quancicarem (nare
mainomra) polle comparari: Kursum, illas Magnicudines sic polle comparari de
quibus dici porest, haec major auc minor estilla: Unde consequens est, Magnitu
dines illas, fcaca cL. 3. 103. CHel. Gurmodi ette, uc una aliquories sumpra POsIC
alceram aeguale vel superare: Adeo sunt e veritati e Luelidis menti consonan ut
quo le vertas cunque nunquam sis evasurus.
Propositionem quartam, (quae est Kuctidis Desimitio Anguli Plani) eso admitto.
uoau Angulus Planus, est duarum lincacum in plano se mucuo cangencium, de
Non in directum jacencium, altettus ad alceram inclinacio.
adeoque haec saltem tria requiri quato, Quod in Plano lineae se mutuo raneant.
vel in adectum jaceant, (ut cum anu sit alcerius continuatio,) vel nulla sit ad in-
ne datcatio, (ut in Laluusmo, e cum altera alteri immersitur;) Aneu
Tum
dem uspiam extat.
Duod ad invicem inclinentur, Duodque non in directum jaceant: Et propterea, si

## Folio 641 — 851708439:0665
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000665.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
C O N F A C F V S.
Jum ve pullum feri, vel nullius Maenicudinis: Sede horum alterum continecta
quoties ita concurrunt lineae, ut, licet continuentur, se mutuo non secabunt: F
propterea Contactus neulum nullius esse Maenitudinis.
Verbi eratia: Paralbelae rectae AB, CD, Anculum
non constituunt, tum quia nondum je mutuo taneunt, tum
quia nulla est alterius ad alteram inclinatio, sed Paralle-
lisimus.
Si vero AB, retento Parallelismo, deorsum ferri intelli-
satur donec ipsi C. D occurrat: Tactus quidem fiet, sed
non Ansulus: propter nullam alterius ad alteram inclina
rionem: Nec, utcunque continvata, se mutuo secabunt,
sed altera alteri immereetur.
Sin, eodem retento Paralletisimo, transferri intelligatur AB in situm D F:
Tactus etiam sic fiet, non autem Anculus, cum altera sit alterius continuatio.
Fadem vero AB, O (non Parallela) FG, invicem inclinantur; sed Ansu-
lum non constituunt, quia nondum se mutuo taneunt.
Sin, eadem retenta inclinatione, sur sum moveatur AB vet FC acsum, donec
invicem occurrant: Angulus fiet: (erit utique linearum occurrentium, nec in di
rectum positarum, Tuolnatio.) Sed e, propter illam ad invicem inclinationem,
si continuentur se mutuo secabunt.
In lineis Curvis, cum Curva Rectae non possit concruere, eadem tamen Analosia
accommodanda erit.
Recta TTTR, sub sit L MIVV Semicirculus; cujus supremum punctum, re-
Et aeque TYZ K pronimum, sit MI. Manifestum est, tum varias Peripheriae partes
varium respectu ipsius LLT K rectae sicum habere, rum quae propius sunt ad M
propius ad Parallelisimum accedere; ejusque propterea in ipso M situm, Paralle
lisimi instor habendum: rectamque LLLK, utpote
huic sirni Parallelam, si retento hoc Parallelisino
deorsum ferri intellicamus, donec in M peripheriae
occurrat; non tam secabit illa peripheriam, aut ad
illam inclinabitur, quam super ipsum M punctum
anaireos jacebit, eulum vel nullum vel nullius
Maenitudinis efficiens, (pariter atque AB recta
ad rectam C. D demissa,  propter nullam utrobique
inclinationem. (Quem nullius Maenitudinis An-
sulum, angulum Contactus dicunt.) Si vero ulte-
rius adhue demittatur eadem FTL  recta; in vinis subinde punctis, (sed ubi aliuse
est Peripheriae situs, ad illam rectam, quam in M fuerat) secabit; Aneulos faci-
ens Rectilineis vel aequales vel proportionates.
Miraris autem tu (PaS. 209.) Fancae apud Me Auchoriratis esse Peletarium,
ut cum eo ausim attirmare, (eas solas Lineas inctinari in puncto concurtuS, quae
si producancur, se mucuo secabunt,) quam cum Fuclide senrire ( duas quastiber
lineas quomodocunque concurentes, muruo inclinari; sive, quod idem est, An-
sulum constituere.
Feo vero Peletarii Auchoricace non movéor, (ut neque Claviis) sed Areumentis,
erei necessitate.
Miror autem eso re existimare posse, Puclidem sencire, duas quaslibet lineas
quomodocunque concurrentesmutiio inclinari, seu (ut ais) quod idem est Angu-
lum constimere. F80 (cum Fuctide) duos casus excipio: Immersionem  C. on-
tinuationem: (propter nullam utrobique Enclinationem, se d pocius Parallelismum.)
Si feratur AB in situm C. D, non Angulum cum hac faciet (sattem nullius Mae-
nitudinis,) sed immersionem: Si ad situm DF: non aneulum, sed Continua-
tienem: Si ad situm his intermedium; partim immereetur, parcim continuabit
ipsam CD: Angulum certe non constituet (saltem nen ullius Maenimdinis) in
sensu Fucliais, (qui non per Tansencum cactum, sed per Fansencium inclinatio.
nem, desinit Aneuum) cum nulla sit concurrentium Euclinatio. Tu si secus sen-
tias, fruere cuo sensit.
ded  se male habet, (pas. 266.) quod diverim eso, Recentiorum aliquot mag
nOS viroS, _ ex receribus Forcasse nonnullos, de Aeulo Contactus ita locutos esse,
ac si haberet Aneuli quantitatem; non diverim Omnes. Alque exclamas, No.
M mm m
tum
Cap

## Folio 642 — 851708439:0666
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000666.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
A N 6 l L.0
ap. 1L.
cum elto ac detinitum, Omnes Geometras cum Anciguos cum Recenciores, verita.
eis es obserrantia gracia, Ruelidis senrencia lubseriplise.
Festina lente, Vir Clarissime; (quippe haec ana Coreiar potius sonant atque jactan-
tiam, quam Mathematicam Demonstrationem.) Lune Omnia Omnium, tum An
tiquorum sum Recenciorum, seripta lesisti: Omminque ibidem lecta, rum animad-
vertisti probe, tum probe meministi: Leocerte, qui nec Omnia Legi, nec Lecto-
rum omnia Memini, cautius loqui soleo. Sed nec Oblerrancix oracia, sed Veritatis
e Demonstrationum, soleo Geometris subscribere. Tuforte Clavio. Observantiae
sratia; eso Pelerario, Veritatis tancum eratia subseribo.
duaenam autem fuerit luelidis sencencia, non dum inter te e me convenit. Led
Fuelidem saltem, eo Apollonium, ex meis partibus stare existimo. Demonstrant
urique Aneutum Contactus (ille ad Circulos, hic ad Sectiones Conicas) saltem
Minorem esle quam intinire exiouum, (neque ulpiam dicunt, aliquid habere Mae-
nicudinis.) Duod autem tale est, eso quidem (Luctidis authoritate fretus, Des.
5. FL. 5. 6 Prop. 2. FL. 20.) Non quancum esse existimo.
Verum quidem est, Fuclidem non totidem verbis pro me pronunciasse: Nequid
tamen in contrarium dicat (nedum demonstret) caute abstinet, tum ad PrOp. 16.
tum ad Prop. 32. Fib. 3. (quod Capite 2. ostenderam.) Atque Areumentis ali-
unde ex eopetitis, ad meas partes trahetur.
Caeterique Craeci (quantum seio) omnes, uno excepto, vel de hoc necotio plane
tacent, vel ita cauce pronunciant, ut meis pocius partibus favere videantur.
Tusi uno illo plures ex Craecis noveris, (quos eeo vel non lesi, vel non animad
verti, vel non memini) qui Ansulum Contactus positive quantum esse, aperte
dixerint: Opitulare, quaeso, nescientiae mea: mihique benienus indica. Fieri qui
dem potest ut plures sint, (ideoque dixi, Forrasse nonnullos:) L8o, praeter uni-
cum, neminem novi.
Lx Recentioribus Latinis, plures aenosco tecum sentire: Non Omnes tamen.
Duippe praeter Peletarium (quem mihi, credo, concedes) Tres saltem ex tuis, San-
VinCenTIanUS, AynscomiuS, atque TaCqueTIS, (quos ut maenos viros praedicas)
secus atque ru sentiunt: Atque ex ahis, SAVTT. IVS saltem B VIK P A
(Piri certe ruis non minores) quibus ex Fluctaram addas (nobilem Fuclidis Zn-
Terprecem.) Dui quamvis non eodem modo se omnes expediant, a Te tamen Omnes
diversa sentiunt (alque a Clario Luo. Alque in hoc saltem omnes consentiunt
mecum: duod impossibile est, ut e Anculus contactus positivam habeat Aneuli
Maenitudinem, quae tamen uecunque Mulciplicata nunquam vel minimum aequet
rectitineum, nedum excedat: e simul constent Def. 5. L ib. 5. 8 Prop. T. Lib. 10.
cum Def. 3. Fib. 5. Fuclidis
Sed e Caropiricos, ad unum omnes, existimo ex meis partibus este. Duippe
qui e uno ore consentire videntur, Anculum Tncidentiae e Anculum Restectionis
aequales esse, cum qui ad speculum frunt, cum qui ad Planum Tancens. Quod
fieri non potest, nisi vel Aneuli Contactus nullius sine Maenicudinis, vel lemper a
quales: Quorum utrumvis, in speculis Parabolicis, Fllipticis, Lyperbolicis, e
(praeter Sphaerien) curvis omnibus, sibi pariter adversantur, at que pro me conclu
dunt.
Dum vero ru (Pas. 232.) negas, in bujusmodi Curvis speculis Angulum Re-
fexionis neulo Incidentia aequalem esse: Tu cerre primuses qui hoc dixeris, nec
eris audiendus.
Obi vero tu Fuclidem existimas (Pac. 264.) ne syllabam quidem Derperam
cradidisse: Sed nec Librarios quicquam vel addidisse vel immutasse, (quod Tac-
quecum subdubitasse dicis, Pac. 200.) sed ersa hunc Cicometrix parencem obser-
rantiores semper fuiste, quam uc ejus opus tam absolucum quoquo modo cemerare
non vererentur, (Pa8. 204.) Na su bomo credulus es atque dncdis, qui hac sentis
(quod ilaque in Theoloricis minus mirabor. Videris su certe, Luclidis Codices
Manuseriptos minquam vidisse: (quorum vix duos reperias, qui non ab invicem
mulium differunt:) sed neque Cracum edicum: Cujus editor saepius innuit, tum
Codices suos variasse (ut ne de ordine vel numero propositionum semper consenti-
ant) Cum se nonnunquat aeter omnium quos habuit Codicum fidem, nonnulla
cmmutasse.
Feo certe Fuctidem, siguis utcus, maxime veneror, (nec apud eum quiequam
seio cui non assentior; tantum abest ut me nectecti Euclidis insemulasse debeas.)
Aenoseo

## Folio 643 — 851708439:0667
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000667.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
L O N Y A C F It 3.
Aenoscoutique Cend eometram:; sed e Tominem, nec debrra sor. Quod verone
Sillabam posuerit ipse, quae posit in melius mutari; neque librariorum vel incuria
vel audacia mutatum quicquam: Rhetorice forson dici poterit; certe non Geome-
trice. Duippe ego non pauca (in libris quos habemus)  omissa,  addita, e Joco
mota nullus dubito.
sit quanquam mihi non necesse sit, ad rem praesentem, ut haec dicam; cum ni-
hil apud Luclidem occurrat quod mihi adversatur, (nisi tu Clavii paraphrasin es
additamenta pro Puctide Babeas:) Qua tamen vel maxime interest haec dicere-
Nisi enim e 5. Def. 5. 8 T. Prop. 20. obliterentur, tua constare non poterunt.
Aa Prop. 5. Concedo cibi, Ansulo comperere duanciratum AHectiones: Sed 
exo tibi permitto, ut duancitatem rotunde appelles. Quo verbonunc vulso dicimus
quod Fuclides perde dixerit. Cum enim Anculi sint ad invicem Rationum capa-
ces; etiam voron dicendi erunt, per 3. Def. 5. Fi.
Ad Prop. 6. Feo tibi non concedo, eum Aneulum majorem statim esse, cujus
crura post aliquam a puncto concursus distantiam, magis divaricantur: (manise
stum urique est, Acurum rectilineum, minorem sic futurum Aneulo Contactus:
Nist, retenta ea quae in concursi fuerat directione utriusque, idem fiat. Rationes
eso in meis Cap. 3. 8 4. attuli: Nec opus est ut hue repetam; cum tu nihil hic af
fers quod eorum vires imminuat.
deoque ( Prop. 7. Ot falsam rejicio: Puisque Gregorio e Aynscomio hacte
nus saliem assentior, uc impossibile dicam ansulo Conractus positivam Magnicudi-
nem concessum iri, quin Geomecrica Principia deltruantur, (ut autem aliis aneu-
lis vera Magnitudo concedatur, nihil impedit.) Forumque Areumenti aciem (quo
probant, Semicirculorum omnium Aneulos aequales esse, adeoque e Contactus An
culos vel saltem aequales esse vel pocins nullius Maenitudinis) tu nullis viribus
obtundes.
Duod utique ru opponis (Pac. 277.) In exhaustionibus, Cubi plus quam dimi-
dium aufertur, atque ex residuo plus quam dimidium, atque sic deinceps) subtra
ctiones illas, non pro suo Demonstratoris arbitrio, sed arbitrio Adversarii iniri de
bere: Ridiculum est sophisma. Duotusquisque (quaeso) est, ex Demonstratoribus
per exhoustiones, qui adversarium consulit, quo pacto velit ille ablationes fieri
um Aichimedes; in Dimentione Circuli. vel in Guadratura Parabola: vel de
Sphaera _ Cylindio: vel uspiam alibi, hoc facit. Num Euclides: Num quispiam
alius, seu veterum seu recentiorum: Apase has ineptias. Consule tu primamt de
cimi Fuclidis, e discas inde exhaustiones ineundi methodum.
Prop. 8. Duae Magnicudines inaquales, quarum diserimen tale elt, uc quantum
libet Mulciplicacum neutram postir superare rel adaequare; nullam inter le ratio
nem habere postune: Si pronullam inter se rationem habere poltunt; dixisses,
sune impolsibiles; vera fuisset propositio; quam demonstrasses ex Prop. T. F.l. 10.
Sed proit cu illam enuncias, absurda est, e sun destructiva
Ruippe qua Magnicudires inaquales sunt, Rationem habent. Ipsa enim inaqua-
litas est ratio.
Ipsaque illarum Disterentia (quod tu Diserimen vocas) qua alsera alteram su
perat: Alomoseneas esse indicat. Feteroeenea quippe inter se non comparantur:
et die tu S pessis, quo excessu, Flora Temporis. Superat Libram Ponderis:
Neque aa supponit Euclides, (Prop. T. FI. 20. ) quam ut Magnicudines lint
inaequales, quo affirmet, tum iplas, tum earum per continuam subductionem ortas
Ditterentias, ita Mulciplicari posse ut utramvis superent. Duippe si inaequales
sint, Rationem habent; adeoque per 3. Def. 5. Sunt Homosenex, (tum ipsa qui-
dem, tum partes sua,) adeoque poterit utriusois quae libet partieula sie Multiplicari-
ut reliquam apetcu Pet 5. Def. 5
Dico, per 5. Del. 5. Non per postulatum lib. 20. Duippe quod ru memoras libri
decimi poltulatum, non Euclidis est, sed Clarii, postulatum: Pt quidem plane su
per stuum. Continetur ulique in 5. Def. 5. Ft non nisi ob hanc definitionem perperam
Mellectam a Clavio insertum.
Dum vero tu Propositionem, ut a le propositam, in lineis demonstrare sataeis, ope
ram ludis. Impossibile usique est, ut sit lineae pars aliqua (nisi ru Punctum vis
esse Parrem linea) quae vel ad totam vel ad reliquam (Flomocenea ad Jlomocene-
am) non habeat Rationem, vel etiam cantilla sit, ut non possit mulsiplicata totan
Superare: per Drop. 2. Fdl. 10. vel 5. Def. 5.
ML M M 1 2.
Duodque
a

## Folio 644 — 851708439:0668
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000668.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
et et ea
Rcidque Lu San. Vincentianum E. Aynscomium sibi persuasum habere dicis, Duas
quallibet Magnicudines, quibus compecir inter se comparari secundum majus e
minus, eo iplo rationem aliquam incer le habere, adeoque debere, per Det. 5. Se
mucuo superare SI (xepinS reDCtAnET: Omnino verum est. Quodque tu in contra-
rium profers, nullius est momenti.
Elud speciacim quod habes, de Hlomogeneis quoad quanticatem, sed non quoad
rationem; haberi forsan possit inter Sophistarum norouarias, acura distinctio, (ubi
verbis tantum aeitur) sed non in Geometrarum sehola; ubi non nuda vocabula jed
rerum pondera e demonstrationes spectantur. Nam eo ipso quod sint, quoad quan.
cicacem Blomogenea, rationem habent, per 3. Def. 5.
Item inaequalia elle, nec tamen Racionem habere, est contradictio in terminis.
(Nisi quo sensu nihil ex aliquid sunt inaequalia.
Tiem Datis Magnicudinibus, datur eorum Ratio; Dalaque Ratione Fotius ad
Partem juam, datur ejusdeme ad Reliquam Ratio: per F. _ 5. Datorum FU
Cldis.
Etem Aneulus Rectus ad Anculum Semicirculi, etiam te judice, rationem ha-
bere debet, per 5. Def. 5.) quoniam utervis ita mulciplicari porest ut reliquum
superet: Sed e per tuam hanc, Prop. 8. Rationem non haberet, ulpote quorum
differentia (quam tufacis Anculum Contactus) non posest ita mulciplicari ut u
trumvis superet. TTabebit icitur, ex non habebit: Quod est Absurdum.
Prop. D. Vera est, Si Aad B rationem habeat, atque B ad C, etiam A ad C: ra-
tionem habebit, sed 3 ad B + C. (sunt ulique omnes Llomoe ene.) Sed mihi non
essicit.
Prop. 20. Anguli Segmencorum similium nullam inter se rationem habere postunt.
Falsa est. Sunt ulique Aquales. Duod quidem, in Circulis Aqualibus: ipse fate-
heris. Feo etiam in Circulis inaequalibus affirmo: Nec tu potis eris refutare. (Pro-
positiones utrque praecedentes aliquot unde hoc infors, nihili sunt.) Sed e possunt
multipiicati se mutuo superare: Freorationem habent; per 5. Def. 5.
ProP. FT. Anculi duorum termencorum inaqualium ejuldem Circuli; de legmen-
corum dissimilium in Circulis divexsis; rationem inter le habere non poltune: Pat
sa est. Possunt urique mulciplicati se mutuo superare: Freo Rationem habent; per 5.
Def. 5. Demonstracio rua nihili est; quia fucilibus superstruitur.
Prop. 12. 83 23. Verae sunt: Sed mihi non officiunt.
Prop. 24. Dua Desinitio est: e Prop. 25. Duae illi accommodatur: satis inter se
conveniunt: Sed non cum alierum loquendi formulis. Sed mibi non officiunt.
Prop. 26. Nullus Angulus diverta speciei lineis comprehensus, ad alium quem-
vis Angulum, Racionem ullam habere porest: Omninc falsa est: Tum quia futili-
bus superstuitur:; tum propter 5. Def. 5. Cerrum utique est, ita mulciplicari pesse
utrumvis comparatorum, ut reliquum superet.
Vides itaque, quam ampla seces propositionum falsarum, (etiam contra 5. Def. 5.
ruo sen su intellectam) ex infelici cuo tolio pultulaverit. Puo inquam: Duanquam enim
Clavius ribi in aliquibus praeiverit: non tamen sustinuit ille tot monstra proferre.
Dic ieitur in posterum, quod ommino dicendum est: Aneuli Contactus Magnicudi-
nem nullam esse: alque videbis haec omnia monstra procinus disparere, ommaque in
Geometria belle convenire.
et si cuid malis, dic esse Minorem quam intinice exiguum; urpote minimo possi
bili Rectulneo minorem; (quod ab Luchde demonstratum esse, ne ru neçaveris) quoa
mibi perende satisfaciet. Duippe, quod demorgialum est, minus esse quam infinite
exieuum, haberi solet pro non quanto un de tora La Baustionum doctrina pendet
el etiam, (quo ribi maxime faveam) si circulum Badet vis pro Polyeono Rectili-
neo laterum numero infinitorum: e Tansentem, pld recta per Polyeoni Ansulum
transcante, rectae ab ejus Centro P erpendiculari: Du nulum Concactus esse, Intr.
nicetimam parcem duorum Rectorum: (seu 2 P.) uppe Lantus erit uterque Aneu
ras externus contactu illo factus; per Calculum a Me, C. ap. 12. insticutum. (Ru
Tamen minor esse debet, certe non major, angulus Contactus Circuli.
Terum si ru hoc dixeris; duhetiam erit, Peripheriam Circuli non habendam
Pro una linea in directum continuata, (prout ru, P aC. 221.) Sed, rotidem Anculorum
aGuu Clobus rectis dempra a parce quacuor rectorum, (vel 2 R ∞ R.)
Siit
esse quol est Laterum: Thoc est, in quovis Peripheriae puncto Angulum constitui-
Ruippe rantus erie quilibet Ansulus isticis P’oysoni.

## Folio 645 — 851708439:0669
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000669.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
oumta
O N T A C L ut 5.
Sin tu velis (ut Pac. 22F.) ut haec napno aru ea cripheria, evanescere cen-
cum ado crura Aneuli Rectilinei explicabu desan nsio, fiunt continua recta:
pariter censendus ea arctnas cul Comutas ansas, quast complicatis cruribus.
etiam in non anculum, seu Anculum nullius maenitudinis, transire. Dumque
Peripheria pro una continuata lnea censeatur; censendus erit Anculus Contactus
pro non aneulo.
Arsumenta mea non repeto:; (ex Tractatu meo de Angulo Conractus petenda
ut quae adhue inconcussa manent, nec opus habent ut denuo statuminentur. Nam
praeter quasdam verborum captiunculas, quae nullius momenti sunt, neque respon-
sionem merentur) totum illud, quod tu contra eorum aliqua (omissis reliquis ) mo-
vere satasis, hoc unico nititur fundamento, Quod l ex 5. Def. 5. perperam intel-
lecta) existimes, Mtagnicudinum inricem Homogenearum (etiam tinitarum) alias
habere, alias non hrabere, rationem ad invicem.. Quod quidem fundamentum
cum in praecedentibus sub versum sit, plurimisque absurdis sravatum, quae tu ut
justas inde consequentias deducis; quae huis juxerstruuntur, simul ruunt.
Sednes Areumenta nova superaddo (quae tamen in promptu sunt) utpote suxer-
vacanea; cum res ipsa jam abunde sit confecta.
Fhanc unam tamen, de novo, adjunsam demonstrationem.
seatur in Non Anculum, se d continuam ejusdem lineae directionem, (pariter atque
Curvam quamvis AF, recta contineens AT, Aneulum Contactus faciat F. AF:
qui immotus maneat. Aque huic concruus, motu continuo ferri intellieatur, a situt
G AR, per D 2S, ad F. AT, porreque ad F AV. Manifestum est, (propcer
Aneulos Carvilineos C. AD, D AF, F AF, aequales rectilineis R A5, 5A2.
TAV) quantum hoc moru rectae AR, demitur anculo R AT rancundem motu
curvae AC. continuo demi ansulo C. AT: torisque tandem demptis, transitum iri
ad aneulos ex contraria parte positos, ut Y AV, Y AF. Fiet autem hie transitus
(ab anento a sinistra ad aneutum a dextra) rotis demptis, vel eodem utrobique
momento; adeoque (propier aequales utrobique ablationés) aequales ab initio fue-
rint C. AT, P AT, (utpote aequalibus ablationibus absumpri) e propterea C. A R
nullius maenitudinis, (quod nos dicimus;) vel non eodem momento. Quo autem
menento AR ad AE pervenit, (adeoque AC. ad AF.) exhauritur aneclus
P AT: Si autem non eodem momento exhauritur totus C. AT: esto hoc paulo se-
rius, (quippe citius fieri, ne tu diveris) recta AR existente in AX, (quippe re-
Nam A transise, necesse erit, cum serius sit quam dum AR fuerit in AF
e AC in AG. Arit isitur aneulus C. A X seu F. AZ, (quo C. AF superat re-
Etilineum R AT) aequalis ipsi F. AC seu  AX: Anculus Contactus, rectilineo:
Duod est absurdum.  Podem ieitur momento fit utrobique transitus: Adeoque an-
culus Contactus est nullius magnitudinis. Duod erat demonstrandum.
Tu interim, vr Clarissime, aequo animo feras velim, quod non iniquo rapiim exa-
ravi.
Vale.
MIm M I 5

## Folio 646 — 851708439:0670
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000670.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
Idem plenius Illustratum.
Scentum est, Capicibus andeledentibus, Ouod (qui dici Tolet) Aneulers
Contactus est nuus Laenitudinis, (ee non pars Recti Rectilinci,) ab
eo communi Principio, Ouod Nulla pars Maenitudinis cujuscunque
Dolest esse tam Parva, quin possit sie Mulciplicari ut Potam aequet superetve.
Ouoll ab Fuctide diserre altirmacu, def. 5. F1. 5. Indeque aAUMIEUT, ad prOp. 8.
5. e prop. T. FL. 20, de alibr. Lltque ab omnibus Geometris admiltum, qui
Exhraitionum mechodum pre sulta Demonstrasione agnoleunt.
Ey, consequenter, Aeulus Demariculi, non est Pars, sed Tocum, Recti Recti-
linei. LL Propterea, Omnes Demicirculorum Anculi sunt inter se Aquales:
Pariter ac aci Similium Fremarum Anguli Homolosi: Ouarum quidem figura-
rum Anguli FTomologi, si non Cunc Aiquales; neque ipIX Tunc LiguTa Si-
miles.
Nec dubico quin, olim aliquando, (ubi temporis aliquid incercelterie pro de-
vonendis praejudiciis; aur suboleleat alia generatio a praejudiciis libera;) univer-
sim admitretur haec doctrina; non minus quam nunc admictitur; Spharas omnes
Circulosque (Tire majores lire minores) pariter in uno Puncto Dlanum contineere.
(Ouod guamris rudi Vulgo videatur Paradorum, nemo tamen Geometrarum de
eo dubitat.) Auc etiam, quod Sine, Nsymptotae Lineae, quae, in eodem plano, ad
se invicem ita continue appropinquant, ut distantia tandem futura sit quavis da-
ta minor, nec tamen unquam occursurae sunt utcunque producantur. (Ouod uE-
cunque Paradorum rulso rideatur, admiccunt tamen GCOMECEK.)
Verum (tanta est praejudicii vis) hoc de Anguli Contactus Nullitare (urcun-
que Demonstrarum) Paradoxum achue (muleis) habetur. Ouippe, Onde Fa-
etum et, LAG, lc A D vel AF curra retusiat a tangente AP, aut altera
Conabor icaque hoc Praejudicium amovere, veram hujus apparentia causam
explicando.
Oricur hoc, inquam, d Flexione, non d Fractione. Ouod sic explico
Recta LInCa, UE A P p; quam lupponamus in litu Per-
Dendiculari ad AC rectam; porelt sicum hunc mutare
(quond aliquam sui parrem) a Perpendiculari puta ad
Parallelum; vel una Fractione, uc in B; vel Fractionibus
Pluribus, ue in D, E. (tactis, in singulis F ractionibus, 10.
eidem Angulis; rerenca incerim, in singulis parcibus, re-
eticudine Tua:) vel (ab(que Fractione) Flexione conci-
nUa, UE AF. POst quas (S alia non succedat Fractio
Flexiore) FG FHI BI, manebune ipsi A C. ParalCla;
sec Ap perpendicularis, uc prius
Si Fractionibus hoc tiac (una pluribusve,) cocidem o-
riuntur Anguli quoc sunc Fracturae. FTorumque Ansu-
lorum Incernorum quilibet, aequatur Duobus Rectis dem-
Do Angulo FxternO. Oui quidem ExterNUS AngulUS
ostendie, quanto recta (hac Fractione) Oeclinat ab ea Di.
rectione quam ance habielat. Mleique hi Fxcerni anguli, simul sumpri, (unus
pluretre, pauci mulcire, aequales  MMaequales,) sunc Mentura tocius Declina-
tionis a ltu primo. Ouae, in calu propolico, elt unus angulus Rectus. Ouippe
Ineurratio, unde oriatur linea Curra;) haec Flexio seu Incurvatio cA (quan-
cum ad Dectinacionem) aequiralens cor cancisque Fractionibus (uni pluribulve)
gux calem proereassent Declinationem. Omnelque anguli ENteri D E, (Eive
plureS
ab alcera, si angulum non FaCiANE CUM A P, vel inter (C.
lantundem Declinat Parallela d Lerpendiculari.
Sin Flexione tiac, (ubi nulla est L’ ractio, quae Angulum etticiat; sed conrinua

## Folio 647 — 851708439:0671
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000671.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
C O N Y A C F U S.
plures sire pauciores,) auc eriam Vnieus B (illis simul sumpris aequalis,) est Nien-
Tura Flexionis arcus AF; nimirum, quanco (haC CurratuTa) Dellectitur seu
Declinatur in F, ab ea Potitione seu Directione quae Fuerat in A. Oux DC
Aexio, tancundem plane est in similibus Arcubus lire majoris sire minoris Cir-
culi.
Tamque s considerentur hujusmodi Areus Circulares, quali facti d CertO nu-
mero (tinito vel intinito) Rectarum Pinearum; coculque Flexus Peu Curratura
Ouadrantalis Arcus (prour hic) ut aequipolsens uni Ansulo Recto; et Plexus ille
Luxponatur Onitormis, pront est in Circulo: Tum oportebie cuilibet Puncto
Flexurae eam pariem Anguli Recti auribuere quae denominetur à cali numero (fi-
nico vel intinito) quoc sunt illae Recta ex quibus supponitur Arcus consari.
Adeoque si numerus supponatur Intinicus, eric = R, intinicetima pars anguli
Recti. Aeque talis erie Angulus Contactus ad singula puncta hujulmodi Poly.
soni Rectilinearis; cujus Ouadrans supponitur ex Rectis Lineis intinice muliis
constare. Idemque eric, in lingulis punctis, (urinque,) detectus Anguli Incerni
a duobus rectis.
Si vero consideretur hujulmodi Areus Circularis (prout rerera considerari de-
BCc) non quidem ut ex Lineis Rectis (quamris intinire mulcis) contlacus; led
ex una continua Curra (absque ulla l’ractione vet Angulo) cujus nulla pars,
uccunque minuta, lit Recta: Tum erit angulus ille Incernus, ommino nullus,
(PrOPter unam continuam Lineam, quamris Curram;) FF propterea ansuluS LX.
cernus (qui est Ansulus Contactus) simul Evanescer. (Hlic quidem ver Immer-
Tionem, uc ille per Concinuationem.) EEt prout (per hanc concinuam Llexio.
nem) quodris Curra Punctum noram obtinet Directionem: Sic ea Directio, in
singulis punctis, eadem est cum directione Recta in illo puncto Tangentis. Di
rectio puncti A, eadem est cum directione Tangencis AP; et puneti F, cadem
quae iplius FCF.
Ac si A F nullum saciac angulum cum AP; unde est (inguiune) quod ab
hac retuxiae.
Fst, inquam. (ut prius,) non per Fractionem, unde oriatur ad illam Anou
Jus: Led per Flexionem, unde fir linea Curra. Cercumque clt (Per DemOn.
stracionem Fuclidis) duei posse Rectam a puncto Contactus, quae minus retir-
siat a Pansence AP, quam inde retusit AD curra; dum incerim angulum Ma-
jorem facir. Adeoque, Arguere simpliciter à Deflexione (Dolt aliquam Diltan.
tiam) ad probandum Angulum (in ipso Puncto Contactus) clt L’allax Argu.
mentum.
Verum E (quod modo dictum est) Deflexio eadem sic sire in majoribus sive
in minoribus Circulis: Unde tic quod, in Minoribus Circulis, Curra celerius
retugiat, quam in Majoribus.
Respondeo; Ouia Minor Circumterentia est Magis CurVa. Habet enim Lan-
fundem Curvitatis, Sed in minori Lonsitudine. Adeoque, quamris, quoad Quan-
ritatem, habent (extensire) Tantundem Curvitatis; est tamen, quoad dualita-
tem (minor peripheria) Intensius Curva:; Teu proportionaliter magis Curr2.
Ouo sensu dicimus Plumbum este Lieno Cravius (utur urrumque sit, verbi era
tia Cencipondium;) ut quod habeat, in aequali Mole, plus Ponderis; seu, in
minori Mole, Pondus aequale. Seu, ue loquuntur Scholaltici, Incensire srarius,
quamris non Errensire: (Oux Cravitas Intensiva, jam dici caepit a nonnullis,
Cravicas Specisica.) Fc similiter, Minor Peripheria, cum habeat Pancundem
Curraturx, in Minori Consitudine, est, Incensive, magis. Curra.
Virumque sic explicare conabor. FsO L. F, L G, aut L. FI, PolysOnum RC.
gulare; pura Fexasonum: Sirque CL. perpendicularis à Centro ad unum L a-
terum: EF LM Laceris ejusdem Productio; quae Faciar, ut ad B, ansulum F. X.
ternum. Manitectum est CI. esse perpendicularem ad L. B, e consequenter ad
TM: Faciens CLB auE C. L. M angulum rectum; _ BLM non angulum:
(propier directionem iptius L. B eandem iplam qua est iplius L. M.) Acta-
mien Perimeter L. BH (cum aliquanto procesterit) retuxit resilic, seu dectinat

## Folio 648 — 851708439:0672
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000672.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
Cap. IV.
ab L. M; angulum externum B taCIENS. Ma-
niteltum icem elt, quod L Ci, L. H, Pariter
retiliune; ee quidem cicius quam LHI.
(quoniam illa lune similia Polysona, led
Mmora.) Anculi aurem texterni lunc (cum
Numero cum Magnicudine) in omnibus X-
quales. (Adeoque, in omnibus, cancundem
Declinationis d prima POFicionc.) AC ince
rim Perimeter minoris Polygoni merito d
cacur (incensire) maxis tracta; quoniam
habet cancundem P’ractionis in Minori L Ou-
sicudine; ee minora inter. alta InCEF AngII
lum et Angulum; adeoque tracta cst in
Breriora Fragmenca.
Tam, si horum alicuis ut L F, cireum-
Scribacur Circulus AF, (trantiens per A in
CT producta;) Manitestum est, Tangencem A P parallelam else ipti L. MI.
Ouod Si huie limilicer inseribatur Polroonum Plurium Larerum; hujus L atus
jacebit inter I. M de AP, uerique Parallelum. EL, quo Plurium laierum hoc
tuerit Polygonum; eo Brerius erie hoc Lacus, iplique A P propius; minorque
txcernus angulus qualis cAt B. Ouare, S Supponancur Lacera intinice mulca;
erit Lacus illud intinice brere, de intinice prope ad A, angulusque excernus in-
tinice parvus. Sed Dircctio seu Tendencia calis Lateris (uccunque ParVI) ejuF
que Produetio, eadem achuc exit; hoc elt, ipsi L. M seu AP parallela. AIque
hoc Fucurum est, quamdin supponitur Lacus illud recinere quidquam RCCLIC.
dinis, quancumris Brere (IL.
Sin Porro (qui noster calus est) tale Latus (infinite breve) supponatur de-
generare in Punctum, et Polygonum illud in Circulum; Punctum illud erit A,
ejulque Directio (ee Productio secundum hanc Directionem) jam crie, non can-
cum in licu Parallelo ips AP, uc in reliquis; sed ip(I AP coincidens; AnSu
lusque Concactus (ipsi B respondens) qui prius erat intinite F. xisuUS, jam erit
Nullus. Adeoque Polygoni angulus Internus jam extinguitur, Concinuatione
(qua aequipollet Duobus Rectis:) _ FxTernuS, Immertione (seu coalitione L. a-
terum continentium) qua aequipoller non Angulo. EC CL eundem jam tacie
Angulum ad Perimerrum Circulis in A; quem ance fecerat ad Perimetrum P0.
lygoni, in L
Fa igitur Resilicio sen DCAeKIO CUEVR A P PEu A D a FanSentC A P, non
est Ftectus Declinacionis sen Diverticaris directionis (quae elt ad anoulum el
Sencialis) ictius Curra in puncto A, ab illa Fangence, (nam eadem ct;) sed
Curritaris, seu Flexus Curra; quae in singulis punetis suam murat Directio.
nCM.
Et consequenter (quod est illud alcerum cujus explicacionem hie appredior)
Prour Curra illa est maxis minutre Curvam incentive; sic est illa Dellexio seu
Relilicio masis minutre Conspicua.
Hinc elt, quod, qui existimant hanc Currxe Resiticionem seu DeHexionem
elle verum angulum; dicune angulum Contactus D AP (minoris Circuli)
neulum majorem elle quam E. A P (majoris,) e ucrumque quam L’AP: Cum
rectius dicerent, Curram D a masis Curvam esse (incentive) quam L A, et
hranc quam P A. Nam Aneusi sune, in eis omnibus, pariter Nihil: Sed gradus
Curvitatis mulcum diverti. Pancundem urique Curricacis in Breriori Linea,
lacie Curvedinis Gradum majorem: Or cancundem Caloris, in minori mote, la
cic intensius Calidum, Ieu majorem gradum Caloris.
Sin, loco Fangentis AP, sumatur SecanS AS, reS paulo variatuIr. Nam SAD
seu SAF oIt verus Angulus, ipsi S A P aequalis. EF RChilicio Fic PArCIM DC.
tlexione iptius A D seu A F ab AP, parcim Dcclinatione seu ditterencia Di.
rectionis AP seu AD (quae et eadtem cum AP) ab AS. Nam Linea qua-
vis quae Curram secat, eundem anculum cum ea tacie de cum Fansence in co
Puncto.
l it le

## Folio 649 — 851708439:0673
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000673.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
Ac
Peltia
N T A C
De Compositione Maenitudinum.
S A. de Curritace dicta lunt, Capire praecedente, in ordine ad Angulum
Contactus, occasionem praebene ulterius inquirendi in naturam Curricaris
Cujus neglectus, occalionem fecir disticuleatis ejus quam in hac re plu-
rimi apprehenderint. Ouam ue commodius discuriam, non inutile erit contide-
ratione quadam Mecaphylica Guancitares expendere carum que raria genera.
Macheleos Subjectum, censeri Tolet Quantitas. Er, Speciarim Gcometria.
Quantitas Continua; qua consideratur Quantum quid SE, cui Maenicudinis no-
men cribuimus. Trithmeticae aurem altignamus Quantitatem Discretam (seu discon-
tinuam,) Dua contideratur Quos Ceu Quam multa lint, qua proponuntur. Onde
Multituainis (leu umeri) nomen trahut originem.
Sed non ita ad subjectum Tuum determinantur Rrithmerica e Greometria, quin
Exepe inter se milceantur. Nam Magnicudines (carumque Partes) tam Numerari lo-
lent quam Menturari. FF, Conra, non retuximus numerum Maonum dicere, aut
Magnam Mulcitudinem. Numerosque contideramus ut MagnoS et ParVOS, nOn
minus quam alias Magnicudines. Fc quidem Greometrix Fuctidis magna Pars CirCa
Numeros vertatur. Ft Arichmecica Cimiliter, prour eam hodie cractamus, non pa.
rum alticit Greometriam.
Verum quidem est, Arichmeticam, prOut vocem eam Vereres, restricto sentu,
Colebant ulurpare, ad Tolos Numeros quos Integros dicimus coerceri videbatur.
Nam Onitas (uores) censebatur Indiridua; Numerusque (aecuos) censebatur
(porascor ande) ex Tolis Onitatibus (una pluribusre) constare. Adeoque Aritt.
metica ad Tolos Incegros le extendere censebatur. P.F siquando Vnitas in l’artes divi-
denda Foret (quas jam Fractiones, Minurias, seu numeros Practos dicimus,) Z0-
eistica (nonsun) dicebatur harum cractatio, prour ab srithmetica distinguebatur.
Ouod ex Furocio aliilque seriptoribus Ciracis liquet.
Cum vero, nunc dierum, Arichmetices nomen, non ad Fractos tantum sed ad
Surdos irem. Numeros extendi soleat; et Diophanti Libri, de ea quam Meebram
jam diCimuS, diCANEUL ASIecir BBNIa, Rerum Arithmeticarum Libri; et quae
jam dicitur Prithmetica Speciosa, ad omnia videatur se extendere quae Rationis
seu Proporcionis lunc capacia: Llaud tacile eric ipsi Limites altignare; aui, quo per-
tingere non liceat, detinire.
Maenitudo, quod Geomecria subjectum censetur, incelligi poristimum solet, de
tamolioribus illis Continux Ouanciratis tribus Speciebus, Linea, Superticie et 5o.
lida magnrcudine. Sed non ita ad has determinatur, quin ad alia se extendat Guan-
ia; Puca Tempus, Pondus, Vires, Mocum, Celeritatem, Accclerationem, aliaque
multa praeter eas quae reputantur poristima Ouancitatis Spccies; quae Magnitudines
famoliori ligniticatu diei solent.
Et quidem, apud Fuclidem, uerode (Magnicudo) cadem lacicudine ulurpatur,
qua nunc dierum duantitas. Nempe, proomni eo de quo dici lolet Porum et
Pars, N quale aut Tnaequale, Majus aur Minus. Llam ubieunque est Majus et MinuS
LNeilcr _ peicor) necelle est ibi sic minde, aliquid maenituaimis. Aique lic et
Fuclides ubique intellisendus.
Tolaque Magnicudines Ceu Ouantitaces Tamotiores, Linea, Superticies, ee Solida
magnicudo, qua Praecipua repurantur Cieometrix subjecta; non solummodo per le
contideranda suni, sed ratione Affectionum seu Accidentium eo spectantium.
Docemur enim, in scienciis speculatiris, consideranda elle, Subjectum, Princi
pia, ec Aftectiones. Hoc eltu Subjectum ipsum circa quod verlantur; Affectiones
sire Accidencia quibus illud subelt; Principiaque unde oriuneur haec Accidencia
seu atectiones.
Tales lum dehoe subjecto Afectiones; Recticudo, Curritas; Politio, Anou-
lusu Frectio, Obliquicas, Lnedinatio, Rectinacio, Dectinacio; P’isura, Plana, Conca.
NI N MD
va

## Folio 650 — 851708439:0674
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000674.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
u L
ra Convexa, rarieque Flexa; Aiqualitas, Inaequalitas, Ratio; Similitudo, Disi-
milicudo; aliaque: Jux quamris in aliis Praedicamencis reperianeur, TunE Tamen
Ouantitatis, ejusque specierum, Afectiones.
Ouod ne cui mirum rideatur; iplius Substantix Corporex (quod Phylices lub.
jectum Cst) affectiones, manifeltum cAt reperiri in aliis d Subltancia Praedicamen.
t1S.
Ouamris igitur Geometrix Subjectum sit Ouancicas; dum camen hoc subjectum.
prolequimur, Ctarim cranscundum erie d Praedicamento (quod dicitur) Orantica
Eis, ad Praedlicamenta Oualicaris, Sicus, Relacionis, aliaque, uc postulat occatio.
Sic verbi gracia, Ouamris Linea, Superticies, e Solida magnicudo, sine Ouan-
citares, vel (si maris) Ouanta: cum tamen devencum est ad Rectum, Currum,
Planum Concarum, Conrexum, Rocundum, Onadeacum, Friangulum, Sphaericum,
Cubicum, Timiliague; haec omnia censenda lune Oualicares; percinenique ad Ouar-
tam (quam rocanc) Speciem Gualicaris; qua diei Toler P’orma de Pigura. Cunique
ad Angulos derencum est, Rectum, Obliguum, Acucum, Obcusum, L rectum, Scale-
num, Inelinacum, Reclinacum, Oeclinatum, limiliaque: jam cranlicur ad Praedica-
mentum Sicus seu Poticionis; quippe haec omnia non aliud sune quam unius ad aliud
variae POTICITX. Ec cum devencum est ad AEquale, Tnaequale, Simile, Dissimile, e
quae lunc hujulmodi; jam perrenitur ad Praediermentum Relacionis. Iplamque
Racionem scu Proportonem, non retisit Fuctides Oualicacibus accensere: H.A,
inquie, noca géors, seu qualiter se habet hoc ad illud; urpore Ouancicacum incer se
comparacarum Oualitas. L Aque Analogia, Peu Proporiio, aur (ue Loguuntur alii)
Proportionalicas, Rationum Similituao: ec Similicudo omnis in Gualiratibus tum-
dacur. Poceltque cum Racio, cum Angulus, ad Guartam speciem Oualitaris reter-
ri. Nam ex Ratione, e Posirione, Pocissimum consticuieur Lieura; hujulque va-
rix Species, ex earum varietate.
Cumenim, verbi graria, consideratr AGeF ICU CaMpUIS, UE MagNUS, ParVUS,
Duum Centumre Jugerum; ejusdem Ouaneitas consideratur: (ee secundum hanc
considerationem dicuneur magnicudines A.quales _ Inaequales; quae GuanEtaLem
spectant, Cuncque Relationes in Ouancirare tindata:) Cum vero idem considera-
ET UE ROcundUS, OuadraLS, FrianguluS, PlanUS, MOntTUS, AIpCF, HTOrriduS, LI.
miliaque; Ouanci hujus Oualicas spectatur; nempe Fisura: (et secundum hanc
contiderationem Magnicudines dicuneur Similes aue Diltimiles; quae Oualitatem
respicinne, uc quae lune Relaciones in Oualicare timdacae.) SE polline dua Nlagni-
cudines Aguales ette, sed non Similes; Similesirem, sed non quales. Alcerum
utique ex Ouancitate dependee, alierum ex Oualicare, (noior gua,) Ouali SIt FI.
BUITa.
Prxterea. PToUL Ouancirates Tuas habent Onalitates; Sic ee Oualitates hxe Firam
hatent Onancicarem; secundum quam Menturae Subjicinneur, ut alia Ouanca. Sic,
verbi gracia, Calorem esse Oualitarem, nemo neleic: Cune tamen Gradus caloris,
(secundum quos corpus aliud alio Calidius dicieur; e, in varia Racione calidius;)
Adcoque Calor, hac contideratione, Ouancus erir; ee Mentura CapaX, ut alIa
Ouanta: Fritque Calidum uE quacuor (ne loguuneur) ad Calidum ue duo, in ia-
tione Dupla; acgue ad Calidum ur octo, in racione Subdupla. Sic Gravicas, seu
Pondus, est Oualitas: Iuscipie autem plus de minus; (eltque ea ratione Ouan-
LUM;) Fc quidem duplici respectu, Extentire (uc loguuntur) uc cum Pondo di-
cimus Oncia grarius; ee Incentire, uc cum Plumbum dicicur srarius Subere. (Oude
gravicas Specisica nonnullis jam diei caepic; quali neseiencibus, salcem non adver-
rencibus, quod id iplum anie diceretur pravicas Lntensiva; UIE nOn siC OpuS InCTO-
ducto novo vocabulo, e minus apio.) EAque, in uroque respectu, ProportiO.
nis capax. Icem VelOcitaS in MOtI est Oualitas: haber tamen suam Ouancicatem,
eclelum sca s untes e ao Veloctor, de in cali Rarione velocior. Tcem
Curritas, in linca, est Oualicas: Sed suam habet OuaMcatem: EuM EXIenLIVC COn-
Hacrata, (puca, Semicircumterentia plus habet Curricatis quam ejuldem periphe.
rix Guacrans;) cum Incentire, (uE ArCuS minOrIS Cicut incentius CurruS cst
quam limilis Arcus majoris cireuti; uc qua cancundem habet Curricacis in minori
Consiudine;) eAtque in utraque contideratione capax ProporcionIS, ut alia
Ouanta: Sic Angulus, Teu Clinatio (ator,) sive Catas censeacur, adl Figuram
reterenda; live Poticio, uc ad praedicamencum Sicus lpectans; Cuam habet Ouanti-
cacem; sccundum quam Angulus Angulo major minorve dicitur; plurelve aut
Pauciores

## Folio 651 — 851708439:0675
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000675.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
 O N Y A C I
pauciores habens ciradus diraricationis; atque in tali Rarione major minorre
Hloc eso tulius prosceurus sum, ue amoream errorem cui proclires animadvert
nonnullos; quali Demonstracio, alioqui bona, eludi postit, copratentu, quod ca
Xes de qua asitur non ad duancitaris praedicamentum primario ipecter, led ad aliud
aliquod; pura, ad Oualicaris, Sieus, aliudre Praedicamentum. Ouasi, verbi ora
cia, Proporcionum leges, quae in Lineis valent, non pariter raleane in Angulis:
coquod Angutus ad Figuram, aut Situm, referendus EE, non ad Quancitarem.
Idem dicendum de Velocitare, Curritate, Calore, Viribus, Pondere, timilibusque.
qua Qualicares LuAE. Nam ad quodeunque praedicumencum (lire Subltantia live
Accidencium) res ea de qua agitur perrincac ex nacura lua; ea tamen, quatenus elE
Menlurxe et Proportionis capax, ad Ouancitarem percinet: Ec quodcunque alio
Majus elt, hraber cerre aliquid Maenitudinis (urgidous) secundum quod siC com
parari potcle; adeoque caldem leses lubire debet quibus aliae Magnicudines lunc
ObnOxIX. FAque Angulus Duatuor gracuum non minus Duplus ansuli Duorum
gractuum: quam elt Recta Duatuor pedes lonza, Dupla recta Duospedes lonex:
Venc Linea Tic Duantitas Arietissuno Pentu; Angulus autem, Policio leu Situs: non
ex tamolioribus magnicudinis speciebus una. Parirerque de aliis à Proporcinne du-
etis Argumencis judicandum.
Polt lic expolicam nocionem Magnismainis, Sen (u Fuclideo, (quod Muchness
recte dicamus Anglice,) seu (uc jam dici Tolet) Quanticaris; quod omne iltud
InAMIE de quo per Duam (Adrerbium Comparationis) quari lolet, de unde vox
ipla Quantum formatur: Proxime despiciendum erie, de duarum pluriumve
Maenicudinum Compolicione; et Magnicudine ex rali Compositione oriunda.
Cbi per Compositionem, non incelliso (quod rox ea nonnunquam ligniticat)
Addicionem: Vi, cum Ponsicudo Fonsicudini addita tacit (majorem) Longici-
dinem; (Duca, linea pedalis bipedtali Addica tacir exipedalem.) Ouippe, SIC, Cc-
rus magnicudinis non variatur; nam etiamnum munet Longicudo: Major qui-
dem, sed Hlomogenca.
Neque etiam hic incelligo Mulciplicationem, proprio senti incellectam; hoc est.
mulciplicacionem per Numerum: OF, cum VIna ver 3 mulciplicara tir Pres VI
Ax, leu Priplum ulnxe. Hloc enim rix aliud est quam Compendiola Additio. Non
hinc oricur norum Cenus magnicudinis, led masnicudo expolica Ilomosenea, in
data Ratione. Nam Triulnium non minus est lonsicudo, quam una ma, led in
ratione tripla. Ec Libra pariter Pondus est ac Oncia; Sed in ratione 12 ad F, leu
(ut alibi) 10 ad r. EF Hora, Dies, AnnuS, sunc paricer Fempus, seu Duratio;
led raria inter le Ratione.
Sed per Compositionem hie incelliseo Ductum Maenicudinis in Maenitudinem;
ec quidem in aliam à Numero, sou quod elt Numero Homogencum.
Onamris enim Ducere et Mulsipticare non raro promiseue ulurpentur, alterum
pro altero: elt corum nocio, stricte lumptorum, muleum diverla.
Nam, expolicam magnicudinem Mussiplare (sentu Arichmetico Tumprum) no-
vam. superaddit Proporrionem, Led non Dimentionem noram. Vepote Cu Mil.
liare, per 200 mulciplicatum, tir 200 Milliaria: quod elt criamnum L onsicudo ut
ance tuis es exposico Flomoseneum: Wihil Laricudinis acquiritur, aue Magnidi-
nis Superticialis. Acque hoc, quancumris mulriplicacum, nunquam efficiet Juoe-
rum Perra, aur huic tier Llomogeneum. FAtque haec rera nocio Mulciplicationis:
quando, in 5 det. 5 Euelidis, FLomosenea hoc cricerio decerminantur, quod pollit
urrumris ita mulciplicari uc reliquum superet.
Sed Expolitam magnicudinem in aliam Ducere, non cs aliam producere, ex
Dolica Homoseneam, quae sic ad expolicam in data Racione, sed expolica novan
Dumentionem superacdere quae in expolica non erat; adeoque magnicudinem creare
qua lic exposica Flererosenca. Ouali magnimdinis in magnicudinem super saetario
Dq cum Longicudo in Lonsicudinem Ducta, Producic magninidinem Superticia-
rem; acque hac icerum in Lonsicudinem ducta, magnicudinem Solidam extribebic.
Oux omnia sunt inter le Heterogenca.
Sic verbi eracia, li Longicudni 40 Perriearum, superinducamus Laricudinem
4 Percicarum, tic terrae juserum Anglica
num ( Seram dieimus:) quae est Superti.
cialis Area, utriris componentium Flece.
rosenea. Nam ex Recta in Rectam ducta,

## Folio 652 — 851708439:0676
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000676.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
0
ap. V
MCLFUI. Dicimus itaque; 40 P erticae (non quieteM pet numerum a. Mulciplicace,
1002C
cudinum Compositionem; quamvis Sic, in harus Scnerious quibusdam, cerminus ab
ipla Pracura rei policus, ulera quem non crit procedendum. In contideratione ca-
men Machemarica, quae Magnicudines uc d materia abltraclas comterat, solumque
Rationum compotitionem compucar; nullis limicibus coerceMur.
ut Policionem quidem habens, sed Magnicudinem nullam. Adeoque in Pradica-
10F Led) in 4 P erticas Ducta tinnE 160 V ertica
quadratae; qua Mmentura fuseri Anslica-
MI. Hoc elt, 40 PX4 P = 16OPP, TCU 16OP9.
Pac reco; quancum ad hujulmodi Magni
Sic, in Magnicudine extentira (Ariclo sentu Lpla) Consideramus punctum A.
menco OBi, de Praedicamento Situs, Locum Habel; (porelt enim oltendi Obiliu, et
quem ad alia Sicum habeat puncl A.) Sed non in Pradicamenco duantitatis;
quia Magnicudinem non habet. St Fuclum hoc supponamus per 100 Mulcipli
Calt; etiamnum nihil Magnicudinis habebie, (nam Cenries
Nibil, elt achue Nibit:) Sed li huic Puneto A Superindu-
CamIS Longicudinem, ut AB; HC Finea, quae elt Vnius
Dimentionis quanciras. Acque haec porro li per Numerum
Mulciplicetur, manet achue unius dimentionis Linea,
(nam 100 OIna, elt perinde Linea ac + Olna; de timiliter
in calibus seguencibus.) Sed Si huic Linea ( lonsicudinem
habenci) Cuperinducamus Lacicudinem AB, scu BC, (qua
cocam lonsicudinem aequalirer atticiac,) habetur Superti
cies ABCD, quancicas Duarum Dimentionum (utpote
Lonsicudinem habens es Lacicudinem,) ec ad Lineam IIC.
terogenea: per 5 det. 5 Ruclidis. Onamris enim luperti-
ciei hujus Lonsido de mulciplicari postit ut expotiiam Lineam superet; Linea
tamen Ia (per Nunterum) Musciplicarinon porest ue Lacicudinem acquirat; 2
deoque (.quancutvis L onsa Fiac) Superticialem Aream hâhebic nullam. Similiter,
li huic Superticiei superindueatur Crasticies A F. seu BF, (qua cocam illam Super-
ticiem ABC D aequalicer afticiat;) prodibir Solida magnicudo DV; Prium Di-
mentionum,. (uc quae praecer superticiei Lonsicudinem et Lacicuainem, jam aequi-
hric Cralsiciem,) Alque cum Linea cum Superticiei Heterogenca; cum enim ea-
rum neuira quiequam habeat Crasticiei; nec habehune uccunque tuerint (per nu-
merum) Mulciplicatae. Nam Nibit crassitiei, ULuEMIHIES REPETITUM, CTIAMMUM CFIE
NVibil Crassitier.
Ouando aurem hue deventum est, determinatur hic Procectus quancum ad Di-
mentiones Locales. Nam rei Nacura non permictic locum spaciumve pluribus L. X
tentionibus Localibus. Pocest quidem, harum quae libet, quancumris mulciplicari, at-
que in omnes partes produci, led alteri inducendae locus non est, cum lx (PrO.
ductae) omne complebunt spacium. Adeoque, quancum act Locales dimentiones,
hic siltendum erit.
Sed solidum hoc, quamvis Fxcentionem Localem non admiucae, admiccet tamen
aliarum Magnicudinum superinductionem. Porest enim, verbi sracia, Solidum hoc
Ponderis elle capax, seu Ciraritacis, (quae aequalicer alticiar Solidi partes omnes, ut
Cralticies omnes partes Superticiei.) Adeoque hoc Solidum CraVe, PEXtCK treS
illas, puca L. A C, longicidinis, aliicudinis, et cralticiei dimentiones, quartam Gra-
vicatis acquitirit C; exicque hoc corpus Grare, quacuor dimentionum magnitudo.
L ACG Ouodsi hoc Corpus Crave conlideratur adhue uc in MOt; adeoque ma-
Jorum minorumre Virium, proue majori minorire Velocitate fertur; jam quintam
habebit Velocicatis dimentionem V: Fricque Cravis sic moci Vis, inllac magnic-
dinis Ouinque dimentionum L. AC C V. Postunque plures aettue cimilicer superin-
duei magnicudinum considerationes; adeoque de plures Dimentiones, Prout Occa-
o pollita set.

## Folio 653 — 851708439:0677
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000677.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
p
Inceptiva Marnitudinum.
YF D nondum ad id perrencumest quod huic nesorio poristimam lucem afte.
 raC. Id aurem jam sequitur.
Nonnulla Cune quae quamris in aliquo genere magnidinum Nibil ad.
huc Cune, Tunt camen in proxima pollibilitare uc line Aliquid. Oux id ipsim 2d-
huc non Tunc, Sed tantum non; uepore in pocentia proxima ut id (InE, e ipsius
quali Inchoamina: Non quidem ue primum quod sic (prour loquuntur Schola) sed
Oimnum quod non. Jux itaque recte dicantur Tuchoativa Peu Incepriva Corum
ad quae lune in proxima postibilitate.
Sic punctum A. quamris nihil habeat Magnicudinis; li tamen consideretur
uc in ordine ad Mocum, est in proxima possibilitate ad Longicudinem, ejulque
Encepeirum. Nam si tantillum promoreatur, describet Lincam. Lineaque AB.
gnamris Arex Cuperticialis nihil habeat; li tamen consideretur ue in ordinc
ad mocum versiis D C, est in proxima potentia ex quali inceprira Superficici.
Nam quamprimum moretur deteribie Superticiem. AIque ABCD Superticies,
qua nihil adhuc haber Soliditatis; E tamen consideretur ut in ordine ad motum
vertus P. L, et in proxima porentia ec quasi Incepcira Solidae magnitudinis; guam
Et actu creac quum primum LIC MOVCLIE.
Similiter, si AB AC rectae contineane angulum. TTunc angulum Formari di-
cimus in ipso angulari puncto A; acque cancundem esse ive
brevia (inc Sire Longa, aequalia vel inaequalia, Crura concinen-
ria; ec quaecunque tuerit crurum inclinatio (nniors) Peu CTradtus
Diraricationis in ipso Angulari puncto, talem ese Angulum;
calemque permanere, quomodocunque crurum alrerum, rel utrumque, poltea
Fransi, Recci, currari, continuari, aut curtari contigerit. Angulusque his cruribus ta-
etus, seu gradus diraricationis; quamvis nullam achuc dictantiam in ipso angulari
puncto crearerit, est tamen Incepcirus Distancia: ec quamprimum ab ipso puncto
angulari procestum elt, actualicer distane crura. Ansulusque ille (hoc est, diversa
directio puncti A, Prout in A B consideratur, ab ea quam habet ut in AC consi-
deracum) est Inchoamen distancix, seu diroricationis, quamris ea diraricatio non-
dum inceperie. Paque diltantia, est adhue nulla, sen non distantia, ut quae adhue
CA (ucloquuntur) in fieri, non in facto esse.
Verum haec tnecpura, seu Inchoatira, quamris nihil adhue habene ejus cujus
Tunc Incepcira: PollunE tamen, uc Inceptira, suam habere magnitudinem; idque
in ea ratione qua post lunc operatira: corumque gradus Pollibilicatis, idem qui
mox erit Actiritatis gractus.
Sic, verbi Bracia; li ponatur AB bisecta in M; recta AB, AM, Superticia-
lis arca pariter Nihil habent: (I FaMeN COnSIdCTENEE UE
Incepcira parallelosrammi per motum laceralem rerlus
DC, possibilitas rectae AB est dupla postibilitaris recta
AM: Ouoniam, quum promorentur ad DC; dum A B
recta deleribit parallelogrammum BD, A M describit M D.
prioris semilsem; toroque icinere, deseribit illa Tuperticiem
duplam ejus quam haec describit; adeoque est in dupla
racione Descripturiens, Seu Inchoatira luperticiei.
Similiter; Plana ABCD et AMND, sunE, quantum
ad solidam magnicudinem, paricer Nihil: Tune tamen Tn.
cepcira; ec quidem illud, ad hoc comparatum, in ratione
Dupla. Nam dum AC deseribit B F, A N describit MF,
prioris Temissem. Pocoque icinere, deseribit illud Du
plum ejus quod ab hoc describitur. Adeoque est in du-
pla ratione Incextirum.
Eodem
N AB:

## Folio 654 — 851708439:0678
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000678.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
N G V L O
Eodem modo; si AB, AC, anigulum concineanc B AC, quem bilicet AD
recta: Angulus hic (seu gradtus atraricarionis) Diltanua non elt, led Incepcivus
diltancix. Adeoque, quamvis, in iplo angulari pun-
eto, TUM CrUTUm AB A C, cUM CrUTUIM AB AV
diltancia sen divaricacio paricer nulla sIC; DEOUL ca-
men sune Incepeira diltancix leu divaricacionis (qua
elt Anguli rera nocio;) illorum eradus divaricatio-
nis (quem Aneutum dicimus) et horum DupluS.
Nam dum aequirune illa diltanciam BC, aCGLLIPUNE
haec (in eodem arcu menturandam) BD, prioris le
millem: aeque in eadem ratione per tocum iter concinuum. Aeque hoc iptum
et quod volumus, dum angulum B A C duplum dicimus anguli B A D. HOC
est, posicio recta AB ad AC (in ipso A puncto) comparaca ad eam qua cst
ejusdem AB ad AD, calis elt, uc illic duplo magis divaricetur quam HiC; leu
duplam acquirane diltanciam, aequalicer producta, arcu menturandam.
Acgue hic quidem, quamris AB A C (PaTITETqLE A B AD) non coro icinere
Anculum dieantur consticuere (scd in ipto cancum A puncto;) tamen (li re-
Eta line, adeoque directionem Tuam non IULeNC) candem unior leu Inclinacio-
nem recinent coco icinere, quam in A habuerune: hoc ell, in ca ratione divari
CaNdO DENTeVETANE qUa CADCTANE. EE quamvis mucetur phraleologis (ab AN-
sulo ad Inclinacionem) eadem tamen nocio ANCE.
Eodem modo explicanda elt Celericas Peu Velocicas in mocu. Quae quancum
ad L onsicudinem nihil decerminare signiticar; sed Lolummodo Racionem leu
PFOPOTEIONEM Qua PFOMOVCTIE reS mOTa. Et prour Angulus (pro diverla ra
tionc) Mt Incepeirus Distancia, sic est Celeritas expediundae Longicudinis in-
ceptira. Similicerque Punctum, pro diverlo gradtu celeritaris, elt in ca ratione
deleripeirum Linex seu Longicucinis.
Fistqne haec eadem nocio quam volune Philosophi in recepra distinctione rei
Incensive de Fxrensive contiderata. Mocu cardo iranlisi Bocelt (tempOre Con
tinuo) Longitndo Major, Excenlire; led, Incensive, asIS DPOMOVeTIE LES CC
leriori mom, quanculacunque longicudine. IIla consideratione L. Onsius move.
tur; hac, Celerius. Sic, Rectae ab eodem puncto excunues, in minori angulo,
Dollune (magis productae) majori incercapedine diltare: sed, in majori angulo,
(ucur breriores,) proporcionaliter dirarieantur masis, seu lecundum majorem
diraricationis gradtum. Idemque de Pondere seu Graritare, Curritate, aluIque
Oualicacibus jucticandum, Incentire auc Exrentire conlideracis.
POTTO; PTOUE, in Mom, Celericas est Incepura Lonsicudinis percurrendae:
Ira Acceleratio est Inceprira Celeritacis. Ec prone ab exigua vel nulla Diltan-
ria, procedicur (in certa proporcione) ad magnam Distanciam (sieur, d distancia
nulta, in ansulari pusselo A, perrenitur diraricando ad BC;) sic ab exiguo vel
nullo Celetllaris gradu, perrenieur (cerra racione accelerarionis) ad celericaris
Geadum lacis magnum.
Sed haec omnia (SI Fulel ExCipiaS) Suam habene respectire Magnicudine
seu Ouancicarem, secundu esuam lunc menitura capacia; quamris unum sic alce.
rius Tneloatirum canCIM (non ejus pars aliqua,) acque hoc alcerum, cerrii. VE
Acceleratio, Celeritaris; e haec Lonsicudinis percurrenda.
ac rire considerata, non parum luminis lunc allacura Paradoxo quod huic
Dico isitur; Angulus non es Distancia (ut nec, in motI, Celericas est L On-
S Perelta.) Sed elt Incepcivus Distancia; oltendens Divaricacionis, Decli-
nationis, seu Decliricaris gracum: Puta, SCCuM-
dum quam Rarionem seu Proporcionem, recta AC
(verbi praria) divarientur, declinat deviac rece
die ab AB. EC quamvis ipsiuS AC ab AB DI.
Canria sic alia arque alia in variis sur parcibus (Tin-
sulis tui punctis novam acquirencibus diltancium)
Nihilo orsq sed continve crelcens: Decliricas 1a-
men eadem est ubique, (distanciis cB, cb, provor.
tionalibus abigue existencibus, ipsis 20 A0 longi.
cudinibus;) Onamdiu Ecilice AC candtem recinet Dircetionem quam in A haluerac
dec
discurtui ministrarse Occationem.
en

## Folio 655 — 851708439:0679
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000679.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
c
 ON L 2 CL t 3.
Sed si AC directionem suam mine, ec puta (in e pucu ad eC ad CiD:
mutatur item Declirstas. Ouippe jum Occliricas leu Oeclinario iplius C ab
AB, alia est ab ea qua inde tuerac iplius ACC; ficque aue major aut minor,
DTOut CD cadir ultra cicrare ACc. Angulusque Decliritatis seu Declinationis
jam est CCD (Tumpra CC ipsi AB parallela adeoque eandem cum illa dire.
etionem habente) quae ante fuerat GCC, seu B AC.
Ec sicuc ibi mucari porest Distancia, vel per Salcus (ue in Ab,
ce, cf, C;) vel Cradatim, per concinuam declinationem, (ut
in ACC;) e horum utrumque sumat inicium, vel à Nihilo
(ut in A,) vel ab Aliquo, (uc in c.) Sic et variari potelt DC.
clinatio; Vel per Saltus sen Fractiones (unam pluselre) an
gulos rectilineos Facientes, (uc in ABCDE F;) vel, Crrada-
um, per continuam Flexionem, (ut in una ContInUa CUEVa
A GF;) ec utrumque horum inicium lumat rel d Nihilo, uc in
A puneto; ret ab Aliquo, uc in punctis B et b.
Dico porro; Ouod Dellexio illa (qua recedit Curra dPangente sua, quem An.
sulum Contactus rulso dicunt) non est Angulus Peu Declinario, (uc nec, in
motu, accelerario elt Ceteritas:) Sed es Declinationis Inceptira; curricatis Cira-
dum ostendens; Hoc cst, in qua ratione seu proportione recedir à Rectirudine, seu
ab ea Directione quam in puncto contactus habuit.
Et sicur ibi crura AB A C ansulum continentia, habene, in iplo Ansulari pun-
eto, Distantiae nihil; sed aliquid Anguli seu Declinationis, quae elt Inceptira
distancia: Sic AB tangens ec curra AGhabent, in puncto Conractus, nihil An-
suli seu Declinationis, (qua est mutatae Directionis mentura,) eadem existente
directione Currae, in illo puncto, atque Tansentis; habetur aurem aliquid DC.
Aexionis seu Curricacis, quae est Dectiritacis Inceptira.
E prouc illic; Distancia in A, a nihilo orsa, creseir proporcionaliter; quam
diu A C retinet eandem Occliritarem: Ita hic, Decliricas in A, a nihilo orta
crescit provortionaliter; quamdiu ACF F curra retinet (quod in Circulo FC) cun-
dem gradum CurricatIs.
FF. Drour illic, crelcens distancia, quamdiu erus utrumque manet rectum, (AuE
etiam aeque curratum) creseir provortionaliter; sed non itu, E crus alterum tran-
SaTUY aut incurretur (quo rarietur Decliritas,) altero manenre recto; (aur aliter
inCurVaTO:) Sic hic; quamdiu curritas est uniformis (ue fit in cireulo) De
cliritas ipla (a nihilo orta in Contactus puncto) creseie proportionaliter, (ut
creseir currae lonsicudo;) sed non ica, si gradus Curritatis rarietur (ut tic in
Parabola) quo tiac Curritas non DniTormis. EL prout haec difformis Cueritas
magis magisque perplexa tic, (uc in Hyperbolis, Flliplibus, currisque magis ad
huo compolicis,) ua Dectiruacis incrementum masis magilque a proportionalitate
recedit.
Trerunque; ue in angulis Rectilineis, Declinatio manet eadem in suO tOIO
cujusque anguli decursu; distanciaque in singulis, a nihilo exorla, in cadem
proportione continue crescit: sed in ansulis variis inter se comparatis, varia est
Decliritas seu Declinatio, (sicur variari Polene alia magnicudinum genera,) in
magna proportionum varietate: Sic, in Onitormi Curra, quamris idem sic in
lingulis sui partibus gradus Curritaris; sirgue Declivicatis pradus, a nihilo orta,
crelcens proportionaliter: in rariis tamen incer se comparatis Deflexionibus, va-
riancur Curricaris gractus (prour in aliis fic magnicudinum generibus) in magna
provortionum rarietate.
Exempli oracia. In angulis rectilineis B A C BA D (CILTAHLCALUIIL LACEpLVS)
Occliricas rectae ACC Ctel esto ab bB aca) et  i tut Pat lolto
CadCM ;

## Folio 656 — 851708439:0680
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000680.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
c
eadem; de limiliter ipsius A d D rectae: Trem distantiae cb, cb, CB, (d nihilo
Ortae,) Tunt longicudinibus AC, A C, AC, proporcionales: distantia que ab, d b, DB
(a nihilo icem ortae) proporcionales longicudinibus A d, A d, AD: Sed Anguli
(Seu Decliritacum gradtus) BA C, BA D, variaNEUE; polLIInEque MaGMA PTODOT-
rionum variecare diversi esse. Similiter, ArCUS CirculareS A D, A K, a tangente
AP deflectentes (angulorum seu declinationum Incepeiri,) Cune unitormes, uter-
que in singulis lui parcibus eundem habens curritacis gradtum; luncque cum de
eliritates in a a D punctis (2 nihilo ortae) proportionales longicudinibus Ad
A d AD; cum dectiricares in e e R punctis (a nihilo icidem or(ae) propor.
tionales lonsicudinibus AC AC A F. Sed eorum incer se comparati gradus Cur-
vicacis, sunc diversi, (poltunique in quacunque proportione variari:) Nempe,
Circuli minoris ArCUS est magis CurVUS, (ue qui cancundem curricaris habet in
minori lonsicudine, adeoque est incentive curriOr,) de quidem in ea ratione ma-
Sis currus, qua brerior est circuli diameter, auc chorda simili areui Cubrendens.
(Sunc utique curritacum gradus, reciproce proportionales longicudinibus Diame.
irorum, chordarumre arcuum limilium, ipsilre arcubus limilibus.) Lc quamris,
in ipso Concactus puncto, Decliritas urriusque sic paricer nulla; CurviTatIS camen
gradus aliquis clt, (de divertus in uno, ab eo qui est in altero;) luamque habet
magnicudinem, sed marnicudini Angulari BCTCEOBENCAM: PaTITEF ac AnguIUS
(seu gradus Oecliritaris) de Diltancia, Cune Hcterogenea; Celericas item, _ per-
cursa Consicudo; item Receleratio, e Celeritas; Linca icem de Superticies; Su
perticies, et Solidum; similicerque de aliis. Oua luam habene linsula Magni
cudinem; Cuneque alia aliorum Incepuira; led nihil habent illius imagnicudinis
cujus sunt Incepcira.
Dicetur Fortan; Clavio mecum jam conrenire; contra quem hactenus dispu-
cacum cst: Vule ucique Clavius, Angulum Contactus, aliquam habere Magnicu.
dinem, sed Ansulo Rectilineo Hecerogeneam, nec ullius ad hunc proportionis ca-
pacem.
Cui respondeo; Mihi cum Clavio hactenus convenire (de conreniste Semper;)
Ouod, quem ille rocat angulum Concactus, nil aliud elt quam quod cgo voco
Gradum Curritaris; quae quidem Curricas, quamris Oualicas lic, calis camen
Oualicas elt, ut qua tuam habeat Ouancicarem seu Magnicudinem, mensurxe de
proportionis capacem. Quodque haec Curritas, est ad Anguli magnicudinem IIC.
cerosenea, seu alius generis magnicudo: (uc est recta ad planum, aut nihil ad
aliquid:) adeoque non capax ultius ad angulum proporcionis; nec porelt, uteun-
que mulciplicaca, angulum aequare auc Cuperare.
In hoc aurem diltencimne: Ouod velic ille Anculum Contactus, talem este
Ouancitarem, ut quae sic Pars anguli recti rectilinei; partemque residuam (qui est
ansulus semicirculi) Minorem elle toro recto rectilineo: Forumque alios aliis
minores elle; indeque Angulos Semicirculorum inaqualium inaquales elte: An-
sulumque Concaetus non alio nomine Hlecerogeneum eHe ad angulum Rectili.
neum quam quod sic ejus pars valde minuca.
Contra FBO; Angulum Concactus dictum, nego eltc parcem anguli Rectilinci;
(Tieut nego Punctum esse Parrem Linex, auc Kectam Plani.) EC quidem sI PArS
CAEL, e ParS Relidua tOcO minor; toret, inquam, cum haec cum iII cori 110.
mogenea: Polletque sic mulciplicari ue cocum superet, (quippe sic semper porest
duarum inaequalium magnimdinum mInOT, DEr PrOp. L. F.I. 20. Euelidis:) Nec
Pocelt ulla pars magnicudinis cujusque cam elle exigua ut non postit ica mulci
plicari; siere ideo tanrum Heccrogenea, quod Parra lic. Cum camen in contello
est, angulum Concactus dictum, non polle lic mulciplicari, uc vel minimum recti.
Licet aescet luperetre.
Non estisicur ille, inquam ego, Pars anguli rectilinci, aue huie Fomogeneus;
(Sed hujus cancum Incepcuriens, uc Punctum Lincx.) Néque est angulus Semicir
culi Minor recto rectilineo; led eidem aequalis; Omnesque lemicirculorum angulis
aequales incer se; (uc lunc omnium tigurarum similium anguli homclosi.) Et
quamvis habeat ea Deftexio (quam vocane Angulum concactus) suam aliquam
magnicudinem (secundum quam mulciplicari dividi, auveri, minuire postit, in
quacunque ratione,) non tamen hoc aliud clt quam Curvicas Linca, (quae pocest
elte, in quacunque ratione, masis minulve curra,) sed magnicudinis angularis ni
hit habet. Sicur Recta, ucuc luam habet magnicudinem, areae tamen superticialis
nihil

## Folio 657 — 851708439:0681
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000681.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
ea
OAL A C L I 5
Bitrit haber; ue nec Superticies quicquam Solidx magnicudinis; acque in aliis IM
ceperis pariter. Sc guens allcer loqui ad mentem Clavii, cancundem clt act
dicereus, Circumterentiam esse Parrem area Circularis, sed cam exiguam ur nulls
mulcipeleatione ters Porr Tori aequalis, care major: arexque Roliquum, Circuti
Pariem esse non iplum Focum. Cum tamen communis rox lic omnium Mathema
ticorum, ec Punetum esse Parrem Lincxe; nec Lineam, Superticiei; nec Superti
eiem, Solidi; nec Celeritarem, percurlx Consicudinis; nec Accelerationem, Cele
ritatis; hec Ciphram, Numeri; nec angulum, Distantix Crurum; adeoque nec
Curritarem, Anguli partem: led hac omnia ad eas magnicudines quarum lune In
cepcira, uc Nihil ad Aliquid. Acque ita ese demonstrantur, Ouia non pollunt lic
multiplicart uc ASuen Spelentre.
Aique hic obITeF nOcemuS; Aliam censendam esse Rationem Infiniti ad Finitum:
Se Finisi ad Nibil. Nam = Cvacs cujuspiam intinicesima) siec (intinica mulei.
plicacione) cori aequalis: Secl = (pars cujuspiam nulla) non pocest ulla mulcipli.
catione fieri Aliquid.
Aiguc haec sullicrane ad Ansuli Conlactus veram Nocionem explicandam; alias.
que huic limiles.
De Compositione Motuum.
Onlequentes ad ea quae in superiore Capire tradita funt, De Componendie
Maenituarnibus, (lire ejuldem sire rariorum generum,) non crit incon
sruum de Motibus compositis hic agere, et quid inde Resultet considerare
Duamvis rerera haec alia sic Compositio, ab ea quam supra diximus Magnicudinum
Si supponatur Lunctum secundum eandem Directionemmoreri; (puta ab A
directe verlus B, aut d C rersus D,) lineam describet Rectam;
sire celeri Are cardo moiu seratur, aequabili rel inxquabili.
Drpore, si ab A ad B, feratur motu xequabili seu unitormi,
(hoc estus ita uc in aequalibus cemporibus aequalia absolvat spa-
ia,) motu cardo celerire, eandem serrabic rectam AB; Sed mo-
in celeri eandem absolret breriori tempore; cardo, majori: Hloc
est; dupla celexicate, dimidio cempore; e sic proportionaliter.
Si hujusmodi mocus AE. quabilis, celeritace WE FC, componi
fuxponatur, cum alio item Aquabili, celeritare ut 2c, Secun-
dum eandem directionem: L inea motus non mutabitur, sed (0-
4
lommodo Cradus celeritatis. Hloc est, erit adtine NOcIS aequa s
bilis, es in eadem linca; sedceleritate ut 3C = τC f 20.
Si mocus non lic Aiquabilis, sed Rcceleratus; in ratione, pu-
ed pumerorum Ouadratorum, (qualis reputari solet Delcensus 16)
Grarium, absolvens in uno tempore longinudinem L, duobus 4 cri-
R
DuS O, in quatHOF F6, UT d C ad D: Fcretur adhuc in linea recta, led celeritate continue
creleente. Potest tamen eadem lonsitudo eodem tempore absolvi, quo fieret
aequabili mo; Celeritate ad tinem compensante carditatem quae erat in initio. Sed
cum hoc Hc; E uterque motus continuetur, motus acceleratus de exterO praetergre.
dictur aquabilem.
Arque simorus hic Acceleratus, cum alio componatur, secundum candem dire-
ctionem, et ab eodem principio, et in eadem accelerationis. Forma: motus compo-
Litus eandem retinebit rectam, es eandem accelerationis Formam, sed novum
aequiret celeritaris gradtum; puta, ut 36 = +0 F 26. Iloc clt, celeritas in quo-
vis puncto, puta in D, crit cripla ejus quae ance forer in illo puncto; es lic ubigue.
Adeoque cora linea AD, perasetur (urur in eadem accelerarionis Forma) in lut
cripio cempOrE. Puca, li ante perasebat longicudinem L l in rCmIPOTC LL, e 41
000
n
SupCKatatIOHCM.

## Folio 658 — 851708439:0682
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000682.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
la
AL N G u 10
ia. 121.
in 21, c9tI31, a 161II42; Sam Peraste 1tI 31, 4tI31, 8rl3h101
in 3F.
etionem) qui sic vel aequabilis; vel inaeguabilis, sed secundum aliam ACceleratO-
etum est: pariter incellisendum elt, procujulque calus exipenca, de iribus plust.
busre ita COLMPOMHS.
Si VeTOMOTS Ile ACCeLETALIS, COIMPOHACI CUM AHO (RCCHTaCI CaLiCCI aLC.
nis aut Recardationis Formam; aut qui lumat accelerationis inicium (quali d ni
hilo) in alio puncto quam C, unde prior ille mocus accelerationis inirium Cump.
Tisse TUPBOnITE: NIOCIIS COMIPOMCAS CaHACI AaMIIC TCMIMCOTE rectam, (nihil enim
est ouo inde divertatur,) sed nec eandem celeritaten, Hec canseem accelerationis
tormam: led ita rariacam ucramque, ue mocus illi componences poltulaverin.
Quodque de duobus mocibus, lecundum eandem directionem, lic compotts 
Caodsi in mocibus compoticis, Dircetio unius componencium HE irecle co
Tum: ) Linea mocus eadem erie; led Ccetales de Aecelerationum Forma, ita ra-
riabuncur uc mocuum componentim Lactones Bolaret.
Si motus componentes non sinc secundum unam eandemque lineam Directionis
omnes; sed secundum rectas se mutuo intersecantes; Linea motus compose eI
nulla illarum: Sed alia aliqua, recta auc curra; prouc Componche Directiones
e Celeritares poltulaverint.
cibus aque velox:) linca compotui mocus crit licelasre agates C Iaqualco
incer les componch celeriates.
traria directioni alterius, pula altes a C ad Ddeorlum, alcerius a Dad C LuI-
Si duo componences sint requabiles amho, ( hoc elt, ucerque in lingulis Cui par-
cancundem terecur Tursum ad F C: cumgne prorlum perventur ad BD, tancun-
dem Curtum pervenietur ad CD; e sic ubigue. Rc Conlequenter (PTOPIEE A LL3
ABD, criangula similia, upore rectansula aequierura,) semper exic in AD diasd.
nio quadrati.
Sin Angulus C A B (quo lineae directionum cocunc) tir Obliguus; aur celeri
cates Inaequales, Duta, alLETA UE ZC, AILCTA UE ZC: FrUNE adhuC (proprer angulOS
ad F e B aequales, e crura proporcionalia,) criangula A E P, ABD, Timili2. L.F
consequenter, mocus adhue eric in A D diagonio P’arallelogrammi.
Lio, limocus illi neque st ad ansulos seclos conlicu, nec aque celeres;
nec etiam aequabilis ncerque; si tamen line Similares, (hoc elt, B eadem Sic in V-
erisque torma accelerationis aue retardationis; puca, in racione numerorum qua-
draticorum utraque, ee limilicer ordiens,) moins Compoticus erie adhuc in Linca
Recta, (nimirum, in eadem diaxonali A D,) ee Celericas limilaris (Ted nOn aqua-
lis) urrivis componentium. Nam AE F, A BD, crunc adhue Similia Friangula;
propeer lateta pouu a conceMlos ansulos aequales.
Sccli componentes molus lunc viltimilares, (quienigue  angulus ad A,) linea
mocus Compolici erit Curra.
Exempli gracia; Si mocus prortum, ab A ad B, sic Ai quatils, (quocunque era.
du celericaris,) mous dver ab A de C, aguatiter crelcens, ur in ratione
numerorum Guadratieorum, (qualis repucari solet Delcenus Grarium,) linea
COMPOTIE MOCS A F D erit Parabola. Acque calis repucari solec (Proxime) nO.
tus Grarium Projectorum, (Duta, Gilobi ex Bombarda projecti,) compolicus ex
motu à projicienie imprello, (qui repucatur aequabilis,) mocuque nacurali Grari-
um Delcendencium (qui sepucari tolet aqualirer acceteraTUIS,) adeOque MOTUS
Composicus
Tugne C: AB angulus rectus: Manifectum ell, quod, dum prorlum sertur ad P P,
Exempli pratia. Si punctum A, Ferri suxponatur (pro duplici impul(u) PFOE-
Tum versus B, ec Furlum vertus C, Mocouque c aquabilibus, cum aequalibus;

## Folio 659 — 851708439:0683
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000683.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
ON Y A C Y u S
compotiius in linea Parabolica. Incellige, Ouatenus motus ab Aeris resiltentid
 Lub CCLI.
EF in lingulis hujus curra punctis, Directio (seu Tendentia) motus Compo-
Eci (quae in lingulis punctis rariatur, ut rariatur gradus Decliritaris in Curra
qualibet,) eadem est acque Fangentis in illo Puncto; ue PP, pro puncto quod
ab hac tangitur in F. FF comparacira celeriras in hoc puncto F, ad eam quae est
in AB, est ut portio recta TT ad portionem rectae AB, seu F B, eildem pa-
ralielis E F, E. F, interceptam.
Prout aurem hic habemus motum ex duobus compositum; postumus similiter
Compolicum hunc cum Pertio adhue componere; et deinde cum Guarto; et C
porro uc opus fuerit.
Neque hoc tancum in lineis ejusdem Plani fieri porest, sed es Planorum direr.
Forum, auc spatiis Solidis.
Fxempli sratia. Si moribus (anrecedentis Fisura) ab A ad B, atque ab A ad
C, (unde relultat AD diasonium Ouactrati,) Perrius supponatur aeque velox, ab
eodem A puncto, ad planum illud perpendicularis: linea motus ex cribus his com-
polici, erit Diaxonium Cubi: Vel, (a celeritates non Tuntaquales, auc anguli
non recti,) Diagonium Parallelepipedi. Vel, (si motus illi non sunc Similares,)
Curraaliqua, rel in eodem plano, vel non in eodem plano, prout contiserit.
Porro; lieum ex daris Componentibus, inquiritur linca mocus Compotuci: Sic
ex data linea motus Composici, unoque mocuum componentium; inquiritur (s
duo (InE) mocus alter; vel (si plures quam duo) compolicus ex reliquis.
Nam, li AD ec AB Cinc (longicudine S poticione) dara, dacur item BD PCu A C,
quae cum AB continet Parallelogrammum; (nimirum si sC A D recta;) quae ex
tribet cum Directionem, cum gractum Celeritatis, in altero componente. Tcem, II
habeatur longicudo AB, ec inclinationis ansulus (C AB, aut DB A,) hujus ad
alterum componentem A C rel BD, _ (D AB) ejusdem ad (A D) lineam mOLIS.
compositi: habetur inde lonsitudo AC aut B D; seu compararira Celericas unius
motus ad celericarem alterius.
Si vero motus componentes sine Dissimilares, adeoque compotui motus linea
Curra; investixatio erit aliquanto intricatior.
Sic, in Parabola modo deseripia: Si habeantur Fangens A B (linea mots aequa
bilis) aut CD basIS; e A F D parabola (quae est linea motus compotici;) cum
poticione cum magnicudine datxe: Flabetur inde BD hoc est AC (longicudine
et positione) una cum ansulis B AC, ACD; adeoque AC directio reliqui
00002
morus:

## Folio 660 — 851708439:0684
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000684.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
d
MOtIS: acque (ex natura Parabolae, quaNOta SUPPONItT,) iltius mOcuS
nacura (nimirum, quod sic mocus aequaliter acceleratus, seu in ratione nu-
merorum quadratieorum;) acque (ex lonsicudinibus A C, AB, comparatis) DrO.
Porcio celeritatis in ABOreSaTO, (hoc elt, AgGresaci omnium celeritatum in AC,
ad asgregatum omnium in AB.) Ouamris enim in AC celeritares non TUNE Cx.
dem ubique; lunc camen, simul sumpexe, aequiralentes aequahili mocui qui in eo.
dem cempore describeret A C rectam: (Similicer ac omnes illius Currae Directio-
nes, utcunque rariacae, ee cum rariis celeritaribus, fune, simul lumpra, aequiralen-
tes directioni recta AD cum ea celeritare unitormi quam ejus ad A B ratio deter-
minet: nam ueraque, eodem cempore, ad idem D punctum pertingunc.) Fc quan-
cum ad distribucionem variarum Directionum, variarum que celericacum pro lingu-
lis ejus parciculis: Directio ejus in lingulis punctis ea et quae Fangencis in illo
puncto, (ansulo concactus nullius exilteme magnicudinis,) ut T F pro puncto
H; de Celeriras in eodem puncto, ad celericarem in A B, ut porrio tangentis YI,
ad F F porcionem iplius AB, cildem parallelis inCErCCPEaM. L.L SiC ubigue.
Si vero, pro D A luibrensa, FUMATIT DEY (tangenS in D) concinuaca, donce
CONCINUALA C A OcCUTraL: haec (cum ansulo ad C, e lonsicudine CD) exhibebic
punctum A; unde provenicter ille mocus, l: celeritates toro decursu cadem Fuissent
quae Cunc in D punclo: adeoque de lonsicudo recta LIC, ejusque comparacira cele.
ritas ad celericacem in recta AB vel CD.
Si compolicio toret magis perplexa; adeoque, pro A FD parabola, curra ma-
sis compolica: Inveltisacio urcunque toret expolicx contormis (lic variata ut
Linearum Mocuumque nacura postulet,) sed magis incricata. Ac mihi non hic
propoticum elt, uerem hanc tule prosequar, secundum omnes quae contingere pol.
sinc caluum rarietates: Ced ejus lpecimen exhibere quod alii (si quibus id libitum
tueric) prolequantur.
Jam rero, prour hactenus considerarimus Mocus ex Rectilineis compositos,
(quipre cales sunt componentes omnes hactenus memorati:) nocandum porro
crie, compositiones pariter tieri polle mocuum rectilineorum cum curvilineis, ee
currilineorum incer se; ee ucrobique rel Similaribus rel Distimilaribus; quoulque
libet variacis, in intinitum. Semperque, quo incricacior ett Compolicio, eo per-
Plexior eric Resolurio.
Foo ex muleis recentebo paucas, ea (que tamotiores compotitiones, ac vulgo notas.
Prima est Felieis sire Spiralis Archimedeae; qua oritur ex moru Puneti per li
neam Rectam, dum ipsa Cut Radius) extremo lui puncto manente, Circulum de-
Feribic: verisque moribus aequabilitus seu unitormibus existentibus, de in eodem
plano.
Alia eA Cochleae, sive Spiratis cirea extinarum, quae oricur ex moeu Puncti in
Recta, dum ipsa circa Arem fertur, Cylindricam deseribens Superficiem; veroque
motu aequabili existence, sed non in uno eodemque plano. Et quidem si estin-
drus (sic delexipius) Rectus sic, Curra hac (de quidem haec Cola, praeter Circuli
Peripheriam,) est nitormis curra; hoc es, cujus sinoulae parces linoulis congru-
ene (ue in cochleis rulsaribus;) sed non ica si suc in superticie Cylindri scaleni seu
inclinaci.
Alia (magis adhue composica) est Spiratis cirea Conum, praeserrim rectum;
quae orieur ex moribus recto de circulari, uc in illa cirea Cylindrum, una CuM
rertio icem recto quali in Radio Circuli. Seu (quod eodem recidic) si duobus
mocibus Spiralis Archimedea in Plano, accedat terrius eidem plano Rectus. Sed
haec spiralis, non elt (ue illa cirea exlindrum) Unitormis seu sibi in singulis sui
parcibus congruens. Et quidem, si Conus circa quem deseribitur, Rectus non fIE
Led Scalenus; constructio erit actue perplexior.
Alia (incricarior achue) elt Spiralis cirea Sphaeram: Oux oritur ex cireulari
mocu plani circa Axem, una cum alio motu circulari qui sic priori ad ansulos re-
etos. Vel etiam (nam plura tunc genera Spiralium cirea Spharam) ex plani monr
circulari circa Arem, una cum mocu recto eidem plano ad angulos rectos, (Xqua-
bilibus uerisque,) certioque ut in Radio circuli secundum racionem ordinatarum
in cuecso. Vel adhuc aliter, proul Constructori placuexic.
Poltunque ha omnes mulcis modis rariari, si pro mocibus qui hic praesumun
tur AEguabiles, lubltiruantur Accelerari aut Retardaci, secundum varias tormas.
Alia curra, motu composito deseripia, cA Quadratrix (Dinostrati) quae Orieur ex
MOTI

## Folio 661 — 851708439:0685
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000685.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
La D. 1L
mocu Circulari (ut Radii circa centrum,) una cum motu parallelo descendentis
Recta; urroque aequabili et in eodem plano.
Alia est (Nicomedis) Conchoeides; quae oritur ex (aequabili) motu circulari Ra-
dii circa centrum, una cum prolonsatione radii (sic mor) in ratione rectarum
Secantium: in eodem itidem Plano.
Alia es qua Erclois dicitur, (item Prochocides vel Cyelocides;) quae oritur a
mou compolio ex Circulari rectae ut circa centrum, iltiusque centri promotione
in recta linea; urroque aequabili es in eodem plano. Oualis eAt quam deseribie
punctum in orbica rota, luper planum morentis, rectamque lubjectam una revo.
lutione mecientis orbitx aequalem. Crelois inquam, pocius quam Creloeides; quia nOn
tam Creli formis est leu Circulo. similis, quam a Circulo oriunda.
Multxque alixe lunt ejusmodi Curra, sire à Veceribus inventx, sive d Recen.
cioribus excogirara, es indies excositandae, pro libitu cujusque Constructoris.
Non aurem mihi animus elt, aue has omnes, aut harum ullas, lare prosequi,
pro subjectae materix capacirare. Libet tamen nonnulla norare de harum prima:
quae est Spiralis Archimedea: quam excogicarit Archimedes in ordine ad Circuli
Ouadraturam. Idque eo poriltime facio; quoniam incidi nonnunquam in bona
notae Ceometras, qui maxime mirari func, quo mentis nitu, aut miro phantaliae motu,
in hanc inciderit speculationem Archimedes, de Circulo hujus opc Currae quadrando-
Oua de re, li meae conjecturae locus sII, (res alioqui abstrutas vilas ad prima
principia e quam postim simplicissima rerocare laepe Patagenris.) id ex tali specu-
latione ortum Fuiste puro (Palrem oriri poruisse) qualis est quam modo expoluimus,
Pro invenienda longicudine unius mocuum componentium, ex data longicudine
reliqui componentis, una cum inclinatione (componentis dati) ad duos alteros;
n quaelitum.
Supponatur isitur Spiralis B C A descripia, aeguabili motu Puneti Z B ad A, in
radio BA, dum circumfertur hic Radius, circa B ut Cencrum, circulum deleri-
bens AF L A. VeL (LuPTO FCITOF.
Cum motu) sic AGB SpiralIS, de.
seripta mocu puncti ab A ad B,
dum B A (ceniro B) describit cir-
culum AY P.
Manifestum est (in hac posterio.
si constructione) quod ACF B est Vi-
nea compoliti mocus; cujus dire.
ctio, in A, eadem est quae Pangen-
tiS AHI; ejusque in eo puncto Cc-
leritas, eadem ac li movisset aequa-
bilirer in AIlrecta. Onulquemo.
cuum componencium elt aequabilis
rectilineus ab A ad B, ejusque di-
rectio AB. Ec componentium al-
ter, est in A F P A aequabilis Cir-
cularis, ca celeritate quae sc ad ce-
leritatem in AB, ut Perimeter C ir-
culi (quae ab altero describitur) ad
Radium AB (d reliquo motu de
scriptum, eodem tempore;) mocul-
que hujus cireularis directio in A
puncto, eadem elt arque tansentis
AC, aut (quae huic Parallela SIF)
BE; hoc Ct, ad angulos rectos ipsi AB. Similiterque in toto procestu; recto
A B ubique secante, ad angulos rectos, respectirum Circulum; cum scilicet quem
eo loci deseriberet punetum movens.
Fc consequenter; ubi A FL (linca directionis mots compotiti) secatBFL (Vi.
neam directionis componentis quaesiti) determinatur lonsitudo rectae BHI; pun-
ctum HI indicans, unde incepille mocum oporruisser, si eadem tuissent Directiones
et Celeritares toro procellu, quae lunc in A puncto.
Hoc est (secundum, irchimedis Loquendi Formulam) AII (tanGenS CUrVA
Spiralis in tine primae circulationis) abseindic in BH (quxe est in spiralis prin.
00003
cipio
i O N Y A C Y I 5.

## Folio 662 — 851708439:0686
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000686.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
A N G U L 0
cipio B, ad rectos angulos ipti B A principio circulacionis,) rectam BH, aequa.
lem perimetro circuli cujus radius elt B A.
tadem speculacio paricer accommodabicur cuiris puncto Spiralis; puca a ubi
mocus puncti B peresir Ba criencem rectae B A; adeoque Ba peresiI aa exien
tem luae circulationis; in positione B a jam existens. Directio igItuF MOcuS COm-
Posici, eadem elt ac an tangeneis spiralem in a; unusque componenrium cAt B a:
ee componencium alter elt 2g; cujus directio in a eadem est quae tangentis ay,
vel (huic parallelae) Bn (quae elt in B, perpendicularis linex circulanci in hoc
Titu;) ubi isieur haec occurrie cangenti an decerminatur punctum n unde in-
cepisle oporimister mocum, si coco proceltu eadem Fuisset Celeritas, e cadem
Directio, quae est in a puncto. Hloc elt, decerminatur longiendo areus a a =Bn:
Dui (hic) est eriens corius circumterencix a aa, iplaque aa a criens circumte.
rencia AV. F A. Ec similiter, serraca proportione, pro quoris puncto Spiralis,
sire primae, sire secunda, sive alius cujulris circulationis.
Acque haec quidem mihi videcur vera nocio, unde derivarie Archimedes (Tal-
tem derivare porviltet) Speculationem hanc, de Ouadrando Circulo, opc Spi
ralis linex. Ouamris eam, in Demonstracionum cenore, Cudio occultaverit.
Fadem nocio, leri mutatione, accommodari porest ad lineam Duadratricem:
Pro invenienda Circuli Ouadratura, ope Fangencis Ouadratricem.
acque ab cisdem principiis derirari pocerunt alia speculationes innumerae; prO
inveniendis mocuum Compolicionibus, opC Fansencium; ee Fangencium, ope
mocuum compotucorum: quibus persequendis hic non vacat.
Poltquam ea quae supra habentur fuerant Anglice edita; interrogatus eram ab
erudico Viro, D. Johanne Perts, de Linea Quadratrice, cujus hic tacta elt men-
rio: Cujus itaque Literas (quarenus hue spectant) meunque ad eas relventum
(cum huic nesorio non sic alienum) libet hic subjicere.
Extractum ex literis D. Johannis Pertes ad me datis,
Rererende Vir,
Apr. 28. 2690.
Oamvis a plurimis cum nostris, tum exteris, Piris crudisis Te consulencibus,
frequentes accipias literas; Consido tamen, bonitace tua fretus, quod etiam a
Firone Mathematico missas non aversaberis. Ausus itaque sum obnixe petere ut
(cum vacaverit) dienari velis, in uno aut altero negotio quod sibi propositurus, sum
mibi opiculari. Videram aliquando, apud Clarium, Lineae Ouadratricis constru-
Etionem e proprietates; dua res mibi non parum placuit; eique, demonstratione
sua coactus, assensus sum. Post quam autem tuam lexerim Rrichmecieam Intinico.
rum, aliaque in Alsebra tua breviter insinuata, subit existimare demonstrandi me-
thodum qua Clarius utitur (nesantem reducendo ad absurdum) eo potius specta-
re, ut ad assensum cogat admirantem; quam ut Lectorem doceat, qua arte pro-
prietates illae primitus fuerint excoeitarae, saltem pocuissent excoeitari. Quod se
ita sit; supplex oro, ut Demonstrationes Tuas, carundem proprietarum istius Li
neae cujus in Meebra tua mentionem alicubi facis, (sed ita breviter, ut exo, novi-
tius adhue in hisce studus, vix satis assequar,) velis imperiie,
(Reverende Vir)
Tui AudioEissimo
SeteAAALLAAD.
Duibus eso literis sic respondi
Oxonia, Maii, 27. 4690.
Teris cuis (Frudite Vi ) Laptd 28 datis, sed sero ad me delatis, sic respon-
adendum censul
De Ouacratrice Dinostrari quia set serit Clavius, (quod sant a mutis annis
niore lest) esd non pe diiuu memini. Nec iamen libet jam eum consulere, ne
Turbet

## Folio 663 — 851708439:0687
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000687.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
puoto
C aD. VII.
 1LL2CL Si
curbet illua mei proprias cocitationes. Sed nec id opus est, dum ipsiis Curvae con-
structionem (unde facile derivanda sint ejusdem affectiones praecipuae) memoria
sat fixam habeo. Quae est hujusmodi.
Si quadrato AC. D F, (F18. T.) centro C, cireuli quadrans inseribatur C AD:
Atque intellieatur AF. recta (aequabili motu parallelo) deorsum ferri ad C. D.
dum raaius C. A (motuitem aequabili) circulando percurrat quadrantem illum
puncto suo A deseribens peripheriam quadrantalem AP D: Aque per omnia pun-
Eta 2, quibus sic descendens recta (puta in situ S Z) intersécat circulantem ra-
aium C. 3P, ducatur curva Q T: haec est quae dicitur Guadratrix Dinoltrari.
Faxe qua constructione, haec manis esto consequuntur.
2. Quam rationem habet celeritas puneti A descendentis per ASC, ad celeritatem
ejusdem circulantis per AP D; ea est ratio radii AC, ad quadrantalem periphe-
riam AP D. Ut quae eodem tempore percurratur ae quabili motu.
2. Item (ob eandem causam,) Duam det rationem AS, sive ad AC, sive ad
aliam AS; eam habet respectivus arcus a l, sive ad AD, sive ad alium (re-
spective sumpium) AP. Adeoque (ut qui sunt arcubus illis proportionales) An-
eulus AC a, sive ad duadrantatem AC.T, sive ad alium (respective sumptum) AC. d.
3. Or isitur habeatur ansulus AC. d in data ratione, sive ad quadrantalem AC. I
aut ACD, sive ad alium AC.  darum: sumenda est recta AS in eadem ratione,
sive ad ASC, sive ad datam AS: atque ab S puncto sic invento, ducenda S (re-
Et a AF parallela) quadratricem secans in Q; duetaque C. d rectan exhibebit AC. d
aneulum quaesitum.
4. Duodque de C. AD quadrante dictum est: idem similiter ostendetur, si (F15. 2.)
continuetur circulatio quadrantalis AD, ad ulque semicircularem AD F: vel ad
inteeram circulationem, redeunte  per D l’ad  unde moveri caeperat; (aut etiam
ultra:) simulque A, per C ad  delatan redeat per C. ad situm pristinum in A: (ite-
rumque, si opus sit, similiter eat redeat que quoties opus fuerit:) continuata simul
quadratrice per reliquos quadrantes. Quippe hoc faciendum erit, si quaeratur ansu-
lus, aut ansulorum asere soa, quod plus sit quam vel recti duo, vel eriam quatvor.
Cunque ais me duadratribs tusos, in Acebra mea, alicubi mentionem facere
cum, credo, vis Appenaicis locum, qui est in Detentione tractatus de Angulo Con-
tactus, Cap. VIL. Odi asitur de Compositione Motuum: atque ostenditur, quod Oi
motus compositus C duobus Componentibus oritur; Datis horum trium duobus qui
Quor
busvis, reliquus inveniatur.

## Folio 664 — 851708439:0688
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000688.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
A N G W L O, eTC.
Cap. VII.
Quod quidem setres illi sunt omnes rectilinei, facile sit: Duippe rancundem est
ac Trianeuli rectilinei datis duobus lateribus (cum aneulo contento) tertium invenire.
Ferum, si illorum unus vel alter sit curvilinens, (quod in duadratricis constru-
ctione continsit,) hoc adhibendum est subsidium: ninirum, Eu motibus curvilineis,
directio e celeritas, pro quovis curvae puncto, ea censenda est quae est rectae ran-
sentis in eo punsto. Adeoque, si hoc consideretur; nimirum, A quo puncto istius
tancentis, ea celeritate, in illo tempore, eo possit perveniri: inde habebitur loneuudo
curva in qua motus ea celeritate perficeretur. Quod pluribus exemplis ibidem osten-
ditur.
FToc lineae Duadratrici pluribus modis accommodari posest, prout alia atque alia
ejusdem puncta consideremus.
2. Ordiamur a puncto A(P18. T.) quod commune est Circule, Duadratrici, e De-
scensin recto. Descensus ejus ad C, est motus rectilineus aequabitis, (hoc est, qui ae
qualibus temporibus aequalia absolvit spatia:) Rejusdem in peripherid motus, est
aequabilis circularis; sed cujus directioe celeritas censenda est eadem quae est ibi
dem tancentis AF aut (hrire parallela) C D: Fjusdem in quadratrice motus, est,
ex duobus illis composirus; sed cajus directio e celeritas (quantum ad punctum
illud) eadem est quae cancentis eamrecta puta AC. Dua rectae CD protractae
occurrens in C, abseindis rectam C. G aequalem poripheriae quadrancali AD; ulpote
eodem tempore, eadem celeritate, percursa
2. Similiter ostendetur; Si S producta videm tancenti occurrat in Z: habebi-
tur ST recta aequalis peripheriae At
2. Sumatur Duactratricis punctum aliquod intermedium : (F18. 3.) Censenda
est ejus directio e celcritas (quantum ad hoc punctum) eadem quae tancentis ibi-
demrectae NVQ FT: Fjusque motus componitur, ex Descensit ( non quidem puncti
 sed) puncti B, (nisi dicere malis, puncti A ad B promori motu inae quabili) jam
ad  delapsi, indeque recta descendentis ad R: Motuque circulari (non quidem
puncti P, in extremitare rachii C. P, sed) puncti Q, ubi illam intersecat Sd (nisi
malis dicere, puncti Y ad d retraciae motu inaequabili, peripheriam describentis
Ta K, (minori celerirate quam fuerat AP D, propter brevioremradium:) Cujus
ibidem directio e celeritas eadem est quae hanc Lancentis L. d M, aut huic parallelae
R LI. Cui occurris, in TI, quadratricis tansens N  FY, abscindens rectam R IL
aequalem aicut dk.
4. Similiter ostendetur, recta B N (eidem P. d M parallela rancenti Quadratri-
eis occurrens in NV,) aequalis arein ~ L.
5. Sumatur demque punctum (F18. 2.) Z, quadratricis terminus: cujus (in illo
puncto) tancens T X eadem est cum tancente quadrantis TV; eo aequalis utraque
descensin recto AC: Indeque similiter ostendetur, aequalis arcui YV. Duippe
cum circuli cansens, non jam decusat (ut prius) rectam descensus, sed in ea jacet,
O ransens quadratricis similiter,) ipsum Xpunctum, est illud in circulum tan
eente punctum, unde (non modo perveniri posset, sed) actu pervenitur, aequabili
moturecto, ad J; quo ab Y pervenitur, eodem rempore, eadem celeritate, aequabili
motu circulari.
6. Fhinc sequitur: Radium C. A seu C. P, medium proportionalem esse inter CL
e AD. duippe, ut radius C. T, ad sua peripheriae quadrantem Y T, hoc est ac
LX seu C. A; su radius C. A seu C. P, ad peripberiae sua quadrantem AD. Adeo
que factum ex C. J ( distancia termini duadratrieis acentro) in AD (peripheriae
quadtantem) aequatur quadrato Radii.
Sed cum, ad punctum L, nulla sit (in constructione) descendentis rectae AF. (ad
situm C. D jam delatae) cum circulante C. P (eodem item delata) intersectio, (sed
coincidentia,) punctum illud ea constructione non determinatur. Adeoque, ex cireute
quadratura, allunde EdE ictau Pocras determinandum erit, quam ex hoc illa.
Funs
TOHANNES. W AL. L. 2S.
Luinterim Y al.

## Folio 665 — 851708439:0689
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000689.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
L Ib. 6. F,UCLTDIS,
OlociltLaLIOCOMLaLCiA.
Onoratistimus S A V TT. TVS (ame non sine Ilonoris praetatione no-
minandus) in luis ad Fuclidem Lecturis, Duos memorat Naevos (Pal-
tem pro calibus habitos) in pulcherrimo Corpore Flementorum Fucli.
dis; quos Tuis recommendat Proteltoribus eximendos. Nimirum duin-
tam Desinitionem libri Sexti: ec Postulatum Duintum Ceu (ut alii nu-
Metant) Avioma Indecimum. Ouas elte Propositiones Demonstrabiles concendune
nonnulli, non gratis issumendas.
Verum eso harum neurram culpandam censeo.
DeF. 5. lIb. 6. SIC se habet, Noyos en Noycor orgnésadas n’égera drar cs 3 nogcor mnmermlos
TONaNOeioU nouoot ma. (in quibusdam Codicibus, male habetur nvas pro nvé.
Ubi nihil video difticultatis, nili quod non laris animadrerterint lire Lectores live
Interpreces, quid apud Fuclidem ligniticer manoms, tum hic, cum in det. 3. Lib. 5
Dequibus eximustulius (cum alibi, cm) CapP. 29, 20, cactans de Asebra. Si
non c opus hic eadem prolixe repetere.
Summa rei huc redic. In Rationis detinitione (quae est det. 3. lib. 5.) Royos B3
So peredior ouogercor n X= mAINOTUTa ceES drinNe o gesiS nOn exponenda elL Not q’ors
(quod apud plures reperio) habitudo quae dam, (quali FOrCF XoiS n5,) Sed potius
Der mos exe, qualiter se habent: (Ec quidem nous giois non alirer difCrI. d mos exci
quam ut Lomen Verbale à Verbo (uo.) FC x manora non tam signiticat secun
dum quanticarem, quam secundum quantuplicitatem. Fs urique Ratio, ea maeni-
fudinum homoeenearum inter se Relario (Teu Fabicudo) qua mnuitur quomodo se
habet altera ad alteram, secundum duantuplicitatem considerata. Hoc ell duotupla
sic, seu potius Quantupla, aliera alterius. Ouod sic incellectum rolo: Nimirum.
Prout Pars Aliquanta distinsui Polet d parte Aliquota; sic c80 (quae Tunt carum
Correlaca) Aiquantuplum ab Aliquorupto distinouo. Ot Quantuplum lit VOX
Creneralis, cujus Quocuplum lic una Species, cui Multiplum relpondeat.
Faque Duantuplivitas eXDOni Tolet per (quem dicimus) Fxponentem Rationis;
hoc cseper eum numerum (seu quod numero elt homogeneum) unde Denominari
Colet aut Fxponi Racio, (ut est Rarionis Dupla, numerud 2; Friplae, 3: Sub-
duplae, 2; Subtripla, 3i sesquialterius, 2 = seu Z: et rationis A ad B, Z. ) Nempe
Quoriens, qui ex Antecedente per Consequentem divisa oritur; quique in Conse-
quentem ductus Antecedentem facit. Oux Relacio apud Craecos innui Tolet ter-
minatione aorr, apud Lacinos cerminatione plum, apud Nos terminarione. Eolo
Dicic aurem Fuclides mamorila pocius quam nooomla (hoc es, quantuplum porins
quam quotuxlum,) ut rox excendi pollic ad omne genus Rationes, non minus quam
Mulciptorum, aut quorum Ratio potit Veris Numeris exponi.
Et quidem haesitaret nemo de tentu rocis, si diceretur Ratio, ea (Magnicudi-
num homosencarum) Relatio (seu LLabitudo) qua innuicur qualicer se habet al.
3
rer2

## Folio 666 — 851708439:0690
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000690.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
PbSFOLALUM DUTNTAM.
tera ad alteram sic considerata, ux lecundum quam quaericur Duocuptal seu quam mul-
sipta) lit alcera alterius. Requis enim non facile concipie quanam lic en Norio (Peu
COnCEPTUIS) quam mente lua concipis, quum, quaerene Quoruplum lic hoc illius, re-
Ipondetur, illius esse Duptum, Friplum Dimidium, aue cale quid. AIque Kuchdes.
li de Colis Mulsiptorum racionibus agendum torer, id lacis lorre selicuer explicalset
r ro nosanter dicendo, aue r nostra. Verum ille non de Mulsiplorum tancum
rationibus acturus crar, sed submulciplorum, alialve (secundum ejulnodi nocio-
nem) quomodocunque consticutorum, racionibus; qua non veris cancum nume
riS ExPONUNEUE, Sed ulCunque aéerrois CTIAMI. AdCOGUC NON PET MOET HaNC nO-
tionem delignat (leu nosadaoma) Ced per mininorra; quali Lacine dicendum lo
rec, non duocuptum (ue in Mulciplis) sed auancuptum; puca cui relponderetur
non modo per duplum, criplum, _cc. Ced per dimidium, quadrantem, sosquialterum.
duplum cum semisse, auc eciam quantuplum est duacraii Dinconium Laleris sui
due quancuptus est Circuli ambitus Diametri suae, aliitre mille modis. Adeoque,
loco reltriclioris vocis moemros leu moumoorles, ampliorem achibet mninonoS. CC.
neralem illam nocionem innuens, cujus Malciplum suc una species.
Eodem sen su incelligenda est vox mamoms, in det. 5. lib. 6. Ngos en abycon ogneidu
negorus, drar ai Y Rycor XIXETS, noaM SC nona. Oua lic exponenca clt,
Ratio ex rationibus Componi (ovracida) dicitur, quando harum Lxponentes, inter
se mulcipticati, illius faciunt sexponentem. Vertigracia; Racio quam habet Du-
plum Tripli, sic Componi dicecur ex Kacionibus Dupt de Tripti. OuipDe Duplum
habec Fxponencem 2; Friplum, 3: Duptum Triph, 2. X 3. Neque aliud rult haec
detinicio, quam uc doceas, per hane locurionem Rationem ex duphe tripli rationi-
bus compositam, (quarum Fxponences (unE 28Z,) incellectum iri, eam quam
habet Duplum Tripii, (cujus exponens (ic 2X 3. ) Acque in aliis similicer ejulimodi
Formulis. Non aurem quam habene Duptum ex Triptum simul addica.
Ubi caure diltinonie sivelides, inter ovynciode et ouvridecdus. Ouae voces quamris
apud alios torre (ee tortan apud Fuctidem alibi) pro eodem habeantur, dt ucram-
que Lacini Componi reddant; diverlo camen senti incellissendae lunc. Ouippe ouv-
ndecu de compolitione per achtionem incelligenda est, uc quum Duptum e Tri-
plum taciune Dcincuptum, propier 2 f 3 = 5, (quo lensu noro ouvdem detiniverat
Euclides, det. 24. lib. 5.) Sed oinedus de Compotitione per Mulciplcationem, ut
quum Duplum Fript lacit Sexcupluum, DCOPLCE 2X3 =-6. Quod hac detinirione
docetur.
Non elt ibitur cur quilpiam cauletur hane elle Propositionem Demonstrabitem
Cmaxis quam tunc altae Detiniciones omnes) cum nitul hic doccatur aliue, quam,
quo sentu vetic ille locutionem hane incellisendam.
Ouippe Desinicio apud Machemarieos, non idem sienitient quod apud furistas
Sententia Desniciva leu Decretoria (qua fus rei decernicur seu Pacuitur:) led Vo
eis Phraleolre sentum exponit, quo eam hie intelligi velie Detinicor; quod pro
debicrio luo quilque lacir; aliique aliter eandem Pocem non raro detiniune.
Nultus leicur eltu in hac detinicione, vel Navas eximendus, vel eluenca A
euila.
Objierat hic Torce aliquis; Ouod Duptum Triphi elt locurio bene nora lee Torte
Rorior quam illa altera) ve non sit opus Fucliai novam hrie loguendi tormislan
introducere, Rationem ex rationibus Dupli e Fripli compositam.
Ouod quidem verum estei si omnes omnino Rationes lua sibi imposica haberent
Nomina, (ut hrabene Rationes Dupti ee Tripii) qua ica poslene compotii Sedres
ommino secus cst: Tunique plurimarum Racionum Nonmna Pacis implicala; plu-
relque acthue Racioneo imposica libi Nomina nondum habens (nec olim habicur:)
uc ommino expediat, communem aliquam locucionis tormutam achibere, omnibus
Paricer appreaoe, Guaten  suondes aehibet, d quomodo incellisenda lit
Fatis explicat.  FCquidem (uc de Racionibus aéehrois dictis caceam) multo com
invelus diei netrio non facebitur, in ratione ex racionibus 7 ad 32, 8 13 ad 28
composica; (hoc est, f X 38) quam l diceretur, Sub quadruplum supercriparciens.
seprimas Sub. dupli superbiparciencis decimas terrias: quae cancundem lixnitienre
docet haec Delinucio. Rique dohishractenus.
Accedo

## Folio 667 — 851708439:0691
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000691.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
POS T UF, A F u Mt
Caeds ad alcerum illud de Postulato Ruinto, seu Ariomate Ondecimo: de quo
limus aliquanco Fulius dicturi
TIIud autem ita est Hat car eis Nocodetas, ddeia Ea rdis Erlos n, 205 Stit ra au
nucon guorias, No dedior cacestoras noin, exetioa a dDeio un cxcreor oa  a ucen
cioir cit Z dedior enarores. Si in duas rectas AB CD recta incidens L aneulos in-
terro. es ex eadem parte BP. F D FF duobus rectis minores fecerit; dua ae
recta AB C.D in infinitum continuatae, ex ea parte concurrent qua sunt illi duo
aneculi duobus rectis minores. Puca, in P, ulira puncta B. D: Non aurem ad partes
a C producta.
Ouod hoc omnino Verum (ic, nemo est qui am-
BigIc. Sed, hoc concello, Ptolemaus, Creminus,
Proctus, allique, cum ex Anciquistum ex Recencio-
rIbUS GCOMEETIS, ex Principiorum numero Elimi-
nandum censenc; non quati non sic Verum (quip.
DC in hoc contentiune omnes); Sed quod De-
monstrari oporrueric, nec ur sua luce cam clacum praesumi ut demonttratione non
indiscat.
Anic autem quam ad hoc disquirendum descendo, libet (in limine) de Ticulo
nonnihil prataei; eo quod alii iit Postulatum, alii ur axioma censent. Nec enim
omnibus conrenit an ad illorum an ad horum classem Tu reterendum: eo nimi-
rum quod, quid interlie Arioma _ Postulatum, non consentiant.
Sune qui lraec inter le ita difterre sentiunt ue Theorema d Problema. Ouippe
Theorema VOCaNE, quo quid uEV erum ACIrMaEuT, e Demonstrandum proponiti;
Problema vero, quo quid proxonitur Construendum, ec quomodo id tiar docetur. PL.
consruenter ad lixe, Aviomata leu norras erroias (communes Notiones) praelibanda
volune Theorematis, ut per le noca, e demonstratione non indigentia, unde alia
probentur AFtirmata. Duippe quod, nili ex quibusdam
nihil Probari Pollic. Postulata rero seu aimuara praemilla volune construendie
Problematis, uc res Factu taciles; et quas, qui porestesticere, postic carym ope do-
ceri Difticiliora Construere. Puta qui noverit Inter data puncta Rectam ducere
Et Rectam ductam continuare: PL, Dato Centro e Intervallo Circulum describere:
Poterit ille alia construenda doceri. Adeoque haec Pria recentent ut Postulata.
Ouique ita incer Axiomata e Postulata distinguune, hoc Ptacum habent pro Axie
mate; ut quod rem attirmat uE Veram, non proPonit UE Faciendam. Vocanique
Axioma Ondecimum. Pariter que judicant de Axiomate Decimo, nempe quod An-
suli Recti omnes sunt inter se aequales; tiemque de Duodecimo, nunirum quod
Dua Rectae Spatium non comprehendunt.
Alii concra sic malunt distinsuere. Nempe, Axiomata seu Communes Notio-
nes, cas este volune, qua lunc omni materix Machematieae Communes; pVTa Nu
mero Tempori, Ponderi, Morui, aliisque omnibus quae Maenitudinis Peu duanti-
ratis naturam Corciuntur, proque Matheseos subjecto cenlert Tolent: Amuara
vero seu Postulata, censeri volune ea quae ad Magnituainem, Aricto senlui LuMPTaM,
speciatim spectane; cam nempe quae localem Latensimem habene, uc lunt Linea,
Supersiies, et Corpus, quaeque haec respiciunt. Onasi quidem Id roluerie Fuch
des, ut praeter Communes Notiones quae Omnigenas Quantitates spectant, quaedam
line peculiariter Postulanda de Magnicudine Frtensiva. Adeoque huc reterunt,
non tancum Fria prima Postulata (Gua mOcO MEMOTAViUS) Sed de quae alii vo
cant Axiomata, Decimum, Ondecimum, e Duodecimum: his dicta Postulaca
Quarrum, Duintum, e Sexrum. Poque ordine d Procto recenlentur, in fuis ac
Fiuelidem Commencariis. Volunque pariter, in Pribus illis Postulatis primori
bus, non id Fuctidem poltulare, ui quis ea possit facere, led ut ea Tinc factu pos
sibilia; hoc est, Inier data puncta Rectam duei Posse; Rectamque ductam posse
quantumlibet in directum Produci: Circulumque posse Centro quovis e quovis In
Tervallo describi. Ve haec sinc ariomata non minus quam reliqua, led Deculiare
subjectum spectancia; non omnibus communia.
Acque hinc est quod sffarum hoc de quo agicur, aliis dicatur Ondecimum
arioma; aliis Postulatum Duintum. Nec mulcum interest, ucrumris dicatur.
Id incerim Objici posse videatur; quod Axioma (quod dicirur) Octarum
eset cgopuoins,) Lxtensiva Maenituaim videatur peculiare; ra conquo  ortes ex ceninnae-
ion etdimois ti. (Duae inter se Coneruunt, sunt inter se aequalia.) Duomodo enim
AerE
DUIN FUM.

## Folio 668 — 851708439:0692
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000692.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
POSTULA TUM GUTNTUM.
tieri porest alterius ad alterum applicatio, nil tuerit Fxcensio localis  HOC ramen
omnes Ariomatis accensene, non Postulatis.
Sed huic reponi porest; Non de congruencia tantum Locasi hoc incellisendum
Axioma; Sed de quaris alIa COnGNUENEII. Onippe Siduo Tempora, duo MOCS,
duo Numeri, duo Pondera, aliare quaeris Onanca, ita se trabeane ue Unius Singula
singulis AlteriuS CongruanE; erit d Pocum Poci aequale; per hOC AXIOMA COn-
SrVEnCIR. Puca, SI A = o, B = B, C = 7, eec; erit Porum A F B f C ec. 1011
 + B + yeC. 29
e
Ex quidem in iptis Magnicudinibus Excentiris, non ita res incelligenda est, qua-
E actu requiratur spplicatio Localis (uc qua non semper haberi pouult; de quidem,
Si haberi posset, eslet haec nimis cracta probatio pro Demonstratione Machema-
rica:) Sed RI Ita COpATAE reS SInE, uE, li sic Forent applicaIX, Conpruerent; hinc
demonstrabitur AEqualicas. Pura, si ica line comparari Circulus Areticus d ANtar-
etieus, uc li Centrum Cenero accommodari incellisatur, ee Planum Plano, reliqua
congruerent Puneta; erunc illi (per ipnscorlus) aequales, urur alter alteri non act.
moreatur, sed toro caelo distent.
Et quidem, quamris mihi non displiceac prior illa distriburio Postulatorum de
Axiomacum, (uc qua cum Problemacum de Theorematum distributione non male
conreniat;) Vecerum tamen auchoricas, ee praeserrim Procli, qui alicer ea diltri-
buerune, tacie uc porius pucarerim hanc polteriorem distributionem Fuctidis in-
centioni rectius conrenire. Sed cuique liberum elt quam velic distriburionem re-
cinere: Fc quidem, si communi nomine dicerencur omnia vel Axiomata, vel Postu-
lata, non canci res est uc de ea simus admodum Colicici.
Sed eo redeamus unde digressi Tumus. Ouod Verum sic hoc Fcatum, nemo ditti-
EeTuT. Non autem gratis Allumendum, Sed Probandum fuille, concendune aliqui;
duplici Caltem ArgumentO: Sed quOrUM RCUEruM me mOVCL.
Potest (inquiunt) Demonstrari; ideoque Debet, de non ut Princixium pri.
mum altumi, quali foret Indemonstrabile.
Verum illi non Paris actendune, inter has Communes Noriones, (cum ab Fuclide,
cum ab iplis qui hoc objiciunc) recenteri, non modo eas quae ommino demonstrari
non possunt, sed quae Palcem demonstratione non indieent. Eequis enim non vi-
dec, (Axioma Sexcum) aequalium Dupla, inter se esse Aiqualia, demonstrari
Dolle (ex Secundo) Propier Siqualia aequalibus addita Sed de qui hoc Etatum
demonttrari posse concendune (talcem quos eso ridi) non illud praestantnisI aF-
Tumpeis aliis quae sunt hoc ipso nihil clariora. Vel ipicur tacendum illis crie, hoc
Fueliai concedendum, vel aliud quid hujus loco, quod non lic magis clarum, PiX
Tumendum.
Objiciune porro; Vuur hoeverum lit de Fineis Rectis (nempe Dccurtiras elle
candem, qua conversune Rectae) cum camen id de Pineis universim non (it
rerum (ur de Curvis cum Rectis, auc cum aliis Curvis, nocum est,) id de Rectis
probandum erit quod non elt de Lineis universalicer verum.
Sed e hic in eundem ipti laxidem impingune, dum alliimune (ne plura nomi-
nem) quod Duae Rectae non comprebendunt Spatium, quod de Lineis univertim ne
ixsi dixerinc. Cerrum urique ett duas Carvas, auc etiam Onam, polle Spatium
comprehendere.
Mitri cerce restam videtur clara, ut de ea nemo (qui rem sectace perpendic)
merico dubitet (maxis quam Aneulos rectos omnes este inter se aequales) si dicacur,
Duae Recta (in eodemt plano) Conversentes, (si faiis concinvencur)
et quidem Ab ea parte qua Convereunt, (non ea qua divaricantur).
Si quaeratus perte unum censendae sine Conversentes d Ea5 dicimus,
In quas recta incidens duos internos (ex eadem parre) Areulos faciat
Ouippe S AB maxis Tnelinatad CD quam haec
ab illa Reclinat; hoc cL, si A B magis vergat ad
ED quam haec ab illa retusiat, merico dicaneur in-
vicem Convereentes; nec video quo Charactere pol.
sic haec Conversentia aprius deseribi, quam quod il
los ansules sacrat minores duobus rectis.
Cum
tandem occurrent
minores duobus rectis

## Folio 669 — 851708439:0693
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000693.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
POSTULATUM
DUEN FUM.
Cum igitur luce lua Pat clarum videatur, sie conversentes rectas tandem coitit
ras (quod nemo lanus dubicabir,) Citque hoc apeum nsmietor de rectis converoen-
sibus, (quod aneuli sic Facti line minores duobus rectis:) Non rideo quin hoc
Euclidis Postulanti, merito concedatur.
Si phancaliam cujuspiam curber, quod (in codem sermone) pro Conversentibus
insercerit Puclides harum Definitionem: Porerit ipse se inde lacis expedire, rem
reparatim considerando prour hic provonitur.
F∞0 cerre haud difficilis concellerim. Ouippe qui mente Patis concipie, quid
sic rectum esse, e quid in directum procedere (cortum continuo tendens, ab ea
qua caeperat Directione nulquam derians, quod in Curra non tit,) non porerit
dubitare, quin, li Rectae Tint, Tinque in eodem Plano, e Convereentes, e in di-
rectum procedane (idem altera alcerius punctum concinuo respicientes, eoque cot
limances,) non, inquam, dubitare poterit, quin l in infinitum. (aur laltem quan-
rum opus eltu) lic cortum continuentur, occurrent tandem, utraque ad punetum
illud quo concinuo collimabat pertingens.
Sed quicquid lic; Cum tamen aliquor magni Viri senserint, si non Necesse,
Taltem Aiquum esle ur demonstretur, ipsique id aggrelti lint; inrer quos clt P10-
lmaens (reterence Procto) et, polt cum, Proctus iple, et inter Recenciores (ne
plures memorem) Clavius, (quorum demonstrationes apud Proclum, et Clavium
rideas,) ec Thomas Oliver Anslus in scripio (Anno 1604) cdiro; es Forlan
alii; acque (inter Arabes) Amaririus quidam (reterente Savilio,) quis aurem ille
Sic, auc quaenam ejus demonstratio, ego nelcio; et Nasaradinus quidam, cujus
Arabica Pdirio (Roma imprecta) extar: libet ee meam hue symholam conterre.
Fo poultunum quod luo Protessori Cieomerrix hoc commendarerie Savilius. HF
primo quidem Nasar eddini demonstrationem (opc Clarissimi Viri Pdreardi
Pocock S. T. D. Linguarum Oxientalium, et speciacim Arabicxe, Profesoris simme
Periti) Lacinitate donatam, primo proteram: e meam post subjungam
Pasar eddini Demonstracio, InTeF PrOP. 28 et 29 Fuchidis incerpolita, Ec se
trabet: Prout eam cgo publicis Praelectionibus Oxonix, FCb. 7. 1652 (stilo An.
Elix) extribebam.
Nasaraddimi Demonstratio.
Nunc (inguit) locus est demonstrandi illud, quod in Commentariis ad hujus
libri principium promilimus. Illa autem (Demonstratio) cribus Praemissis (seu
Lemmacibus) innuitur, et cribus suppolicionibus (seu Calibus. )
Lemma primum. Si quaeliber duae rectae in eodem plano polita (quales sunt
AB CD) in quas rectae (uC E. F GHI IR LM NO)
ita incidune, uc carum linsulae perpendiculares sine rectae
CD; rectam autem AB ita secent, ut angulorum alter
acucus situ alter obculus; omnes puta acuri ad partes BD
obcusi aurem ad partes AC: Dico, duas illas rectas AB C D
propius semper accedere vertus partes BD, (quamdiu se mu-
tuo non secenc) et remocius distare versus partes AC: Trem,
perpendiculares illas decrescere versus BD (usque ad inter-
sectionem) augeri vero vertus AC. Perpendiculorem scilicet P. F longiorem ente
perpendiculari Cr LI, hanc lonsiorem quam L K, et hancirem quam L. M, carique
longiorem quam NO; contra vero, perpendicularem NO breriorem quam est
perpendicularis L. M, quae icem brerior elt perpendieulari TK, ee Lic deinceps.
liem, s lingula recta, in duas illas rectas incidences, perpendiculares sint
carum alteri, acque inter se continuo crescane prout propius ad unas partes dug-
rum illarum rectarum allumantur, decreleant vero prour propius ad alteras partes;
etiam illae duxe rectae remotius ab invicem abscedune ex ea parte ubi perpendicula-
res illa lonsiores tiunc; propius aurem ex altera parre ubi scilicet perpendiculares
breviores tunc, usque dum se mucuo incerlecane duxe illa rectae quae transeune
per lineas illarum alteri perpendiculares; eam nempe ad anxulos rectos secantes;
gua etiam illarum perpendicularium singulis nec annuet nec abnuet (sed et
iPtIS perpendicularis exit.) Perpendicularium aurem illarum qualibet resignam
duarum illarum rectarum lecabit ansulis duobus (inaequalibus  allero acuto, al-
cero obtuso: omnesque anguli illi acuri versus eas parres erunu qua propius acce.
dunt

## Folio 670 — 851708439:0694
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000694.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
EoBLULATUM CuTNTUM.
dunt dua illae rectae, omnes auce illi anouli ohcuti verlus eas partes qua masis dila-
taNEUT: Caque recta ad perpendicularium lingulas propendebie (leu inclinabitur)
CX CA PaETE QUa DEODIHS ACCCOLINE (illae dux sccta,) reclinabie vero ab carum
Suneque hae dux provocttiones manitelta; acque d quibusdam Gicometris tam
receribuS qua RECCNEIOTIBUS IId BTUEPanEUE _E qua pro manileltis sime habendae.
Fsto. Ac, inquam, ecquis non facinus conceperie ut clarum, Duas rectas (in
eodem plano) convergences, candem (si producaneur) occurturas, quam hunc
Lemma secundum: Si qualibet dux rectae ab ejusdem rectae extremis, ee ad
caldem parces ductae, ipsi tinc perpendiculares, acque inter le aequales; carumque
extrema jungantur recta; angulorum ab his perpendicularibus cum recta carum
excrema junsente factorum, ucerque rectus CrII.
Sic recta AB, duxeque perpendiculares aequales AC BD,
quarum duo puncta excremA C D recta jUNSANEUr. DicO,
ucrumque ansulorum ACD BDC rectum clIC.
Demonstracio. Si enim angulus A CD rectus non sit,
erit vel acutus rel obcusus. Si acucus lic; cum linex AB CD
appropinguabune ex parce D, ee perpendicularis AC majOF
eric perpendiculari BD (per Lemma primum.) Sunc aucem (ex lypocheli)
aequales; quod est impollibile. Si vero obculustic; cum dua linex AB CD di-
lacabuneur ex parce D, de Perpendicularis A C brerior erir perpendiculari BD, (per
LemA PFHIUM.) FC suncaquales (ex hypocheli; J quod elt impossibile. FIL ersso
angutus AC DrccS. Acque eodem modo probabitur angulum BDC rectum
CAC.
Demonstrario. Si CnM C DNON IIL IpI AB aequalis, erie vel minor, vel major.
Si minor hI necelle ett ac duae linca AC B D appropinguenE ex parce C, se di-
latentur ex parte B, Scque angulus ABD vel B A C acurus; ideoque anguluS
CDB rel angulus ACD obculus eric; (per secundam parcem Lemmaris primi;)
Sune aurem recti. Ouod est impossibile. Sin CD major sic quam AB, cum dua
lInca AC B D applovinguabune ex parre D de dilaTaBUNEUE ex parre C; ideoque
vel angutus CDB vel A CD acntus erit, acque A BD vel B AC obcutuS: (per
secundam partem Lemmatis primi;) Sunt aurem recti. Ouod est impossibile.
Lemma cerrium. In omni triangulo rectilineo, tres anguli aequancur duobus
reCLIS.
2. Sic angulus ABC (crianguli AC B) rectus. Dico,
Tangulos) BAC e BC a aequari recto.
Demonstratio. Frigatur a puncto C perpendicularis CD
lateri BC (per pFOV. 12.) ee abscindatur C D aequalis ipsi
AB, (Der PF. 3.) d jungantur puncta AD linca recta:
adeoque linea a D aequalis eric linex BC, de anontus ADC
rectus, (per L emma 2.) Ideoque cum duo lacera A B BC
e aligulus ABC (ErtanSM ADC) aeuancur duobus laceribus AD DC e an-
culo ADC (quodlibet LHO OFOM) ErII (Per prOP. 4.) angulus ACD aequa-
lis angulo BAO. EIEquo angulus BCD (qui aequalis clt duobus anoulis BC A
DCA) scclis; idebGue duo anguli BA C BC A aequancur angulo recto; ut L.
quet. Duod crac demonstrandum.
2. Sic angulus ille (AB C) obcuSuS. Dico cres angulos
(crianguli A BC) aequales elle duobus rectis.
Demonltracio. Cum sic angulus A BC obusis; sineque duo
anguli cujutris crianguli minores duobus rectis, (Der pF. L7:)
eriE erBO ACB acucus. Aeque si s in rectam) recta iCicat,
duo qui orinneur ansult atabee duobus rectis, (per pr. 23.) EH aurem an
sulus ACB aentS; ergo an ipsi deinceps poticus obcusus crir. Ideoque
si a Piciclo A duCaTuT PerpenaCatI AD, in lacS BC (pEF pF. 12,) nOn PO.
TetL ia incidere in VErUMVIS B B C; (si secus enim, ellec anguluS ABC
vel ACB rectus; at non etc.) Lice incidere poult inera duo puneta B C, aue
in lacus BC productum ex parte C; (sie enim neceslario segueretur, crianonli
duos angulos, nempe ABD ADB; auc duos anguloS quorUM unuS siL ACD
langulo
singulis ex ca parie qua (duxe illae rectae) magis dilatanCUI.
rocum apparatum.
Dico etiam lineam C D aequalem esse linea AB.

## Folio 671 — 851708439:0695
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000695.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
D, 
eest et
ce
Canri e la cies Focus) ale reto ausulo ABC, majores elle duobus
reCtis: TIMI AnEI MINOTES, (Der PTOP. X7.) Cadac ergo in lacus illud (BC
Dol
iplius productionem ex parre B. Prunt ergo aggregaca tam angulorum duorum
IA B ABD, quam (duorum angulorum) D AC ACD, aequalia dubbus le
etis, (per primam parrem hujus Lemmatis. ) Ideoque abjiciendo angulum com-
munem D A B, manebit angulus ABD aequalis duobus angulis BAC AC. V
Sune aurem duo ansuli ABD ABC, aequales duobus rectis (PEr PFOP. 13.
Ergo es ansulus ABC, cum duobus angulis B AC. ACB, aequabuntur duobus
rectis. Quod erat probandum.
3. Sine anguli (erianguli ABC) omnes acuci. DicO, AN-
sulos hujus criansuli aquales este duobus rectis.
Dmonstratio. Dermacur a Paa a perpendicularis AD in
latus BC (Per PFOP. T2.) Non cadet aurem illa in ucrumris
punctorum B C, (sic enim idem ansulus ellet et rectus e acu-
tus:) neque in iplam BC Polt ipsius productionem ex utraris
Parre; lic enim criansuli duo anguli majores essent duobus rectis,
nemve duo anguli ABD ADB, aut ACD ADC: Tum aucem minores duo-
DuS rectis, (per prop. T7.) Cadet ergo inter puncta B C. Sic autem duo an-
suti ABD BAD erunc recto aequales; item duo anguli ACD C AD aequa
les recto, (per primam partem hujus Lemmaris.) Ergo ansuli omnes crianguli
ABC aquantur duobus rectis. Quod erat probandum.
Etis Lemmatibus ira contirmatis: Dieo, lint duae rectae (in quas recta cadat) A B
C D; rectaque in has incidens P F, ipsalque secans in punctis P C. Sintque duo
anguli BE F OFTE minores duobus rectis; Fieri non porest quin vel corum
aler roctus erit ex reliquus acutns, vel ucerque aeucus, rel alier obtusus reliquu
que acucus: IPIae duae linex juxra cres hasce suppositiones ((eu calus) S prO-
ducancur in directum ad partes B D in intinicum, COnCUEreNE.
Demonstratio. L. Sic ansulus B F: C acucus e angulus DCP rectus. Suma
eur utriris in recta B E punctum G unde ducatur recta CFF perpendicularis
recta B F (ver PTOV. 12.) Oud vel coincider cum recta CD, vel cader ali
cubi inter puncta C. F, aut inter puncta P C, vel in puncto extra potito ex
DartC F.
Quarta aurem haec suxpolicia est impoltibilis. Secus enim sequeretur duos
angulos (II F. CF. EI (irianguli CHIF.) majores esse duotus rectis (Forer enim
GF. EL obculuS, pex PrOP. X3.) Quod ell impoltibile.
1
POOTUE ALUM CULHFU
fem; lineum CD, s proditeame in dicectum ex parce D, Acurrere rectae A B
juxta primam suppoticionem, manisestum cst.
Fuxca secundam vero supposicionem; impoltibile
elt uE recta CD occurrat rectae GFI. Si TecuS C.
nim, cadat in punctum s, eruneque duo anguli (eri-
anruli orimndi) nempe sCFI SHC aequales duo-
BuS reCtis; TunE aUTeM MInOreS, (DEF PTOP. L7.
Ouod est impossibile. Neque occurret (recta CD
rectae L C; (sequeretur enim necellario, duas rectas
comprehendere superticiem.) Necesle ett igitur ut
Occurrac rectae AB. (Ouippe cum C, D recta sC
criansulo inclusa, non potest in intinicum concinuari, quin alicubi criangulo
exeat.
sunia cerciam vero suppolicionem: Duplicerur (seu iverecur aux reperacur )
.

## Folio 672 — 851708439:0696
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000696.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
OSTUL ATUM GUTNTUM.
HIE Succeltiris rieibus, donec maior Fiac quam linea F C: sincque illae linex
EHI ITK RM MO. Abscindantur etiam d recta BC, recta quarum singula
sint aequales rectae F. G (per prop. 3.) Nempe lineae GF TL L N, quarum nu
merus simul cum G F, aequalis sic numero diritionum Pseu SEBMENTOFUM) rect
F O. Tum ex puncto F erisatur perpendicularis R P (per prop. TT.) e abscin-
datuIE PF aequalis ipsi GHI (per PrOP. 3.) e jungantur puncta PC linca rC-
eta. Fricque ucerque angulus P. PG PGHI rectus; lacusque PC aequale laveri
E II, (per Lem. 2.) Ducacur a puncto I perpendicularis Ln in lacus L. F (per
DFOD. 12.) EC, quia rectae L B F F dilatantur ex parce B, de perpendicularis
Tu major erit perpendiculari GHI (per L eM. T.) Abscindatur inde recta Xi
aequalis rectae GHL (per PTOP. 3.) ee jungantur puncta  linea recla: Frit
que ansulorum IICI nn C uterque rectus, e lacus IIn aequale lateri CX
(per L. CM. 2.) Frac aurem ee angulus HICP rectus, lineaque PG ex adverso
responder lateri Gr. Ergo linea L’n el uta secta (per prop. 74. ) Cumque
siE angulus C x_ TCcIS, _I _ AIBMIS _n I item reCtUS (peF PEOD. 1Z.) e
anguli rerticales PGF ~ GI aequales (per PrOP. 25.) ElIque lacIS F C (cri
anguli GF P) aequale laceri GI (crianguli Cn I. ) trgo (per prOP. 26.) lacuS
PG aquatUT laterI G X, de latuS FTK aquatuE lateri G x; ergo lacus FIN aequa-
cur laceri PG. Ergo lacus F. HY aequatur lateri Hn. Ideoque perpendicularis Ln
cadic in punctum L linca F. F.
Trem ducacur ex puncto L perpendicularis L V in laFS E F (per pP. X2.) Sc
abscindacur recta su aequalis rectae LK, per pr. 3. (Plt enim recta L. p Lonsior
quam recla TK, per L eM. Y.) S jungancur puncta Pe linea recta. Krunc ergo an-
sulorum ILP V S L uterque rectus, _ latus Ru aequale lateri L8 (Der L eM. 2.)
Producatur aurem in directum perpendicularis C HI ex parce C in intinitum. In-
dequo abscindtacur IIR aequalis ipli TK (per pr. 3.) e junsantur puncta R L II.
nea recta. FrunC CrBO anSulOruM HIR I K LR uterque rectus, de latus HI K ae qua
Le lateri RL (per Lem. 2.) Acque, cum angulus AS L rectus sic, eric etiam ansu-
dus LsL. rectus (per. pr. 23.) Cum erso sunc duo anguli CR L LeL, ucerque re
etus, ec duo ansuli G LR et L aequales (Per PrOP. 15.) duoque lacera IC IL.
aequalia: Frit (Der PTOP. 26.) lacus Le (criansuli LeL.) aequale laceri LR (tri-
anguli TRG.) ErgO _EHIK aqUIaTuT ipEI LC, _ L p aequacur eciam ivsi Fe Ideo-
que HIK aequatur ipsiK p. Firso perpendicularis L. p cadic in punctum M linea
H. F.
Dellide, producatur in directum L P ex parte LSu intinitum: Indeque absein-
dacur KS aequalis ipsi M L. (per pr. 3.) e junganur puncta L. S linca recta.
Adeoque uterque angulorum KSL. M L. S rectus erii, de lacuS K M aequale lacerI
SL. (per L. eM. 2.) Ducatur item 2 puncto N perpendicularis N co in LacLS P F
(DeT PE. 22.) EL (cum sic N a lonsiOE quam ML, per L CM. L.) ableincatur
inde recta oc aequalis rectae L. M (ver pr. 3.) _ jungantur puncta L o linea recta.
Adeoque uterque angulorum M L. 0 ad L. rectus erit (ideoque linea 50 exit una
recta, per PrOP. 14.) de lacuS Ma aquale lateri L. 0 (per Lem. 2.) Cum aurem lic
auxutus a0S rectus, exic eciam angulus L. 0 N icclus; lunique ansuli SL. L NL 0
incer sc aequales (per prop. 25.) de duo latera IL. L. N itcm aqualIa. LIBO
(DeT DTOP. 26.) lacus L. 0 aequatur laceri L. S. Ideoque L atuS I M aequatur lateri
Mco (per ea quae superius dicla C.) Perpendicularis ixicur Na cacliC IN pun-
Lineaixitur CD includicur Alet alas perpendiculares L. MI AO. EE li produ-
catur in directum ex parre D, non porelt ucrivis perpendicularium L. M NO oc.
CUFFETC.
ecu O rectae L. Y
cutre
10C
e

## Folio 673 — 851708439:0697
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000697.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
POSTLLATUM
Currete. (Secusenim, occurrat in puncto s, ideoque in criansulo s CO vel SCM
duo anguli aequales ellent duobus rectis, nempe anguli SMIC SCM, vel SCO
sOC; ac duo quilibet anguli in criansulo mINOTeS fUINE (PeF PE. 27.) Quod c
impolsibile. Frgo linea C. D occurret ipli AB
2. Suxponamus ucrumque angulorum BEC DCF.
acurum elle. Ergo, cum angulus DCE acutus Cir
exit angulus DC F obrusus (per PrOP. F3.) AC
punctum C ducatur CC perpendicularis rectae F Fi
Ex PaRCE D ( DeT PrOD. XF.) quix cadet intex latera
CD ec C F; ec producta in directum ex parte G
occurret rectae AB (per pracedentem supposicio.
nem.) Occurrat isitur in puncto C. Si igitur recta
C. D in directum producatur ex PartC D, OCCUIEreF
rectae AB incer puncta F. C. Duodmaniteltum Mlt: quia impossibile est duas rectas
comprehendere superticiem.
3. Supponamus angulum BF. C acutum este, et
angulum DC F obculum. Frgo (cum duo anguli
BEC DCE minores sint duobus rectis; atque duo
anguli, DCF cum eo qui deinceps ponitur simul
sumpri aequentur duobus rectis, per prop. 13.) an.
sulus ad C qui deinceps ponitur angulo D CF, ma-
Jor elt angulo BE C. Sumatur ubiris in recta FC
punctum C: a quo ducatur perpendicularis GF)
ad rectam E B, (Per PFOP. F2.) Non cader autem
in punctum F; (quod maniteltum est:) Nec in
lineam AF; (secus enim criansuli duo ansuli ma-
jores eent duobus rectis; et jam demonttrarum est.
DrOp. 27, minores este: Quod est impostibile.) Cadat ergo in punctum HL: EC pro.
ducatur in directum recta LIC ex parre Crusque ad R. Cum vero angulus GHF
(qui rectus est) cum angulo P. C LI, minores sunt duobus rectis (per PFOP. 17.
angulusque F GHI (qui acutus est) aequetur angulo CER (DEr PrOP. L5.) an
pululque C. deinceps positus angulo D C F. recto minor sir: Frit uterque angulo-
rum C.CrK, _C (qui deinceps ponitur angulo DC. P) acucus elt. Ideoque dux
lincae GK DC, producta ex parte K, COnCurrenE, (per supposicionem secun-
dam.) Concurranc isitur in puncto R. FF (cum tres anguli cujuris crianguli
rectilinei aequentur duobus rectis; angulique P. G IY COR equales sinE, peF proP
25. Ec angulus EC. IE major angulo CF. HL;) Angulus ergo E. HLCF (qui rectus
elt) major elt angulo CFR C, (quia cres anguli cujulris crianguli rectilinei aequan-
cur duobus rectis, per Lem. 3.) Fst erBo (GKC) acucus. Elt aurem angulus
BHK rectus (DEF PTOP. F3.) cum erso producantur rectae AB CD ad partes B D.
concurrent (per suppolitionem primam) ex una parce iptius linea (F LI quae in
cidic in duas illas rectas. Quod erat demonstrandum. Arque hadtenus Nasaractins
Arabis, Demonleratio.
Et jam (inguic) redeamus ad contimandum Pcoposiiones Libri ec.
Fanc Nasaradimi demonstrationem (Patis inxeniotam) visum est axporere, ut
specimen methodi prabum in demonstrando. Vidi insuper (indieante eodem D.
POcOCkIO) in alio Arabico MS, duas alias (huic non mulcum absimiles) ejusdem
Postulari quinti Demonstrationes; sed quae nunc ad manum non Tunt. Ioc aurem
omnium commune cst, quod, dum Fuchai haud Faciles Postulandum concesserint.
Duas in eodem plano rectas convereentes, si producantur, tandem coituras: AIV
munc ips, hujus loco, aliud aliquod (nedum plura) Postularum (unde illud
operole demonstrenc) quod non minus difticile conceltu videatur. Quo contir-
marior tactus sum, immerico suexillarum iri Fuclidem proprer hoc (non iniguum)
Poctulatum.
Cum vero tor magnis Viis (. Veterihus paricer ec Recentioribus) rilum fueric
hoc pensum accredi: Cunque id Proteltoribus suis hoc commendarum reliquerit
Elonoracistimus S AV IL. IV S: Libec et meam hic subjungere Demonttrarionem.
DDCmMOT.

## Folio 674 — 851708439:0698
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000698.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
POSTALAFAM OUTNTAM.
Demonstratio Poctulari Ouinei Fuclidis.
In publieis Comitiorum Pesperiis Oxoniae, (suli 22, 2663) Habila.
Torum est, cum Vererum aliguos, tum de Recehciorum, Li uelidem culpae itti.
mulacte quod Postularum Duintum, auc (DrouE Lognunine alii) Axioma
Ondecimum, vel (neClavius numerat) Axioma Decimum Tercum, Poltulaverie
absque Demonstracione concedendum: Onod (ue exiltumane illi) Demonsttalle
oportnit. Ideo praesereim quod altiimar ille ue lua luce clarum, de lineis Rectis:
quod de Lineis in univertum, non clt Vecum. Ocuc etim de lineis Rcelis sit
univertalicer verum quod altirmae, Nimirutm,
Si in duas rectas rectameidat, aneulos internos es ad easdem parres,
duobus rectis minores faciens: duas illas rectas in insinitum continua
cas, invicem occurrere: ad eas parces ubi sunt illi aveul auobus rectis
minores:
De lineis tamen Curris non etit univertaliter verum. Poltutit urique vel dux
Currae, vel Recta e Curra, concipuo semiper axproxinguare, hec camen unquatt
Coirc.
Verum qui hoc in Fuclide culpane, alletiunt ipE ue plutimium (Talcem quo5 Ha-
etenns examinavi) quo hoc demonstrene alia ejus loco quae mihi quidem nihilo
tacilius concedenda videntur quam id iplum quod postulae Kuchdes. Et quide
in illum quem ritare rellene seopulum non raro impingunt: Prasumentes scillcet
illud de lineis Rectis ur indubitate verum, quod de Lureis in universim non ett
verum. Prouenos alibi octenditmus.
EBo quidem Fuctiai haud ditticilis concelterim quod Poltulat. Non modoquod
qua ab aliis atteruntur Demonltrationes in idem impingane quod in illo culpanes
vel Taltem quod nihilo clarius sic quod ipA postulant: Sed, quod aue hoc omnino
Doltulandum videatur, aue Palcem hujus loco aliud aliquid postulandum; Vel de-
hique quod (si vel maxime concedacur Demonstrabile) nOn ea LaNEU qua HUL
lo modo demonttrari postune, sed de qua adeo lunc sua luce clata uE demOMCEta.
tione non indiseane pro Principiis haberi soleant. Cercum enim est, Axiomacum
reliquorum nonnulla, eriam Demonstrari polle. Quod, li opus tueril, ollentu nOn
elt distieile
Otum iamen coc ancehac illius Demonstrationem axpreltos videam, quasi de-
monstracione aliqua indipuisse existiment: Vilum elt ee nostram Symbolam adji-
cere; expercuri, num quam nos alterimus demonttracionem, minus adtue cx
ceptions ic obnoxia quam quas tractenus acculerunt alii.
Nos iaque Lemmacum aliquor practruendorum ope propolii demonstracto.
et  aspredimur.
I. Si finita recta, in recta infinica jacens,
in directum continuetur: etiam continuata in
in eadem recta infinita jacebit.
Esto P AC F intinica recta, ee, in Ca jacens AC Fnica
recta, continuetur in directum act y: Dico, LOcam ACY, hoc est A C concinuacam
in ipla A C F recta intinita jacere. Cum enim lic, exhypocheli, AC F una recta
erit CF ipsi AC in directum polica. Sed d (pFOPter A C indirectUM CON
cinuatam ad 7) etiam Cy est ipli AC in directum polita Adeoque in EpLa
CF jacel. (Nam, ad idem ejuldem rectae ExXCTEMUI, non posse alias alque alias
rectas in directum Doni; praesmunt omnes. EAtque idem lere quod, ex Procto,
Clavius Facie AXiOma DCCInUIM.) Sed de AC in eadem A C F jaCeL, ex HyPO-
chell. L012 iBICH AC7, hoc et AC concinuala, in eadem a C. V intinla jacet.
Duod erat demonttiandum.
LI. Si finita recta, in recta infinica jacens, in directam quantum.
libet promoveri incellicatur; etiam promota jacebit in eadem recta
Elo AC Maita tecla, i A P. iminica jacens. et promoveri incellieatur in
directum ex parre C. Promoio Scilicet puncto A in a _ C ih 3. DICO, rectam
ay Hoc CM AC promotam, jacere in eadem a b recta intinita. Facet enim CY
in recta AC. concinuata. (Ponirur enim C. punctum indirectum promoveri; h0c
est
infinita.

## Folio 675 — 851708439:0699
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000699.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
POSTUL ATUM
OuINTu
1
est in recta AC continuata.) Adeoque in ACF recta intinita. (per L em. I.
Similiter ee a, in eadem AC. (salrem continuata) sacebit. (Ponitur enim, se
cundum eandem AC rectam, in direetum promoreri punctum A,) adeoque in
eadem A C. F recta intinita. Ee limilicer de quoris alio recta AC PrOIOLX,
puncto intermedio oltenderur. Pota isitur ay, hoc ett recta AC promota, jacet
in eadem AC F recta intinita. Ouod erac demonstrandum. Aeque idem simili.
ter oltenderetur, li ad partes A promoreretur eadem A C. recta.
Neque hic obstatu quod motum rectae, in demonstrationibus, nondum adtri.
tuille rideatur Ruclides. Nec inter Poltulata sua hujus mencionem tecerit. Nam
qua ratione Mocum Circuli postea adhibet in detinitione Sphaerae; et motum Fri
anguli in detinitione Coni; ee morum Rectansuli in detinitione Cylindri; ca-
dem poterat ee mocum Recta, li opus elter, in demonttrationibus adhibere. Ouod
e Archimedes, Apollonius, aliique Greomerrae paltim taciunt. Imo et Kucldes
ipse (jam Ctacim ab inicio) in demonstratione provolitionis quaVIX Per epapuoylu
cum rectarum mocum achibet, cum ec invariato angulo; quatenus seilicet ad Epap
norluo requiritur. (Neque alio senlit Recta moveri incellisitur in propositione no-
Itra.) Adde, quod in Poltularo Tertio, (Dato centro ex intervallo, Circulum
describere,) hociplum peaelumitur. Supponitur enim (in constructione Circuli)
circumduetu Radii (manence in Centro illius extremo uno) planum circuli de
scribi. Quod monco, ne videar cgo (neglecta sereritare demonstrationum Ku-
clidearum) nora Poltulata (praeter ea quae admittit Fuctides) hic introducere.
TTI. Si finitae rectae, in recta infinita jacenti, insistat recta Ansu-
rum cum ea faciens; facit haec, cum recta illa infinita, eundem An-
sulum.
EMO EAF recta intinica, de in cajacens AC tinita
recta, cui insictat AB recta, ansulum cum illa faciens
BAC: Facit (inquam) eadem AB recta, cum recta
AF intinica, cundem angulum. Cum enim ACi recta,
in recta AF jaceat, lirque B A communis; TUnE B A C B A F (per condruen-
tiam) idem angulus. Quod crat demonstrandum.
IV. Si in recta infinita, finita recta jacens, in directum promoveatur:
es huic insistens recta, non variato ancule, simul feratur: facit haec, ad
rectam illam infinitam, eosdem (seu aequales) ubique ancules.
Tn F. A F intinita recta, promoreatur in directum
qua in ea jacet AC tinita recta; e huic intistens re-
cta AB Cimul feratur, ansulo invariato B AC; do-
nec, Promota AC in Cicum ay, feratur simul AB
in aB: Dico, angulum B a H, angulo B A C. seu B AF,
aequalem elle. Cum enim A C promota, sic jam in a y, quae (per LCtl. 2.) in A F
recta intinita jacet; _ (ex hypocheli) angulus BA C, hoc est B0 7, inrariats
maneat; Cumque (per Lemr. 3.) congruat hic inrariatus angulus, primo quidem
cum angulo B A F, deinde cum angulo Ba P: CTUNE prOpterca BA F Ba F an-
suli, incer se aequales. Ouod erat demonstrandum. Idem similicer ostendetur de
uorpulo ens Ba A, aequali angulo BAF.
V. Si in duas rectas recta incidens, ansulos internos e ad easdem partes
faciat minores duobus rectis: aneulus externus (utrivis adjacens) opposiso
interno major est.
In duas rectas AB CD recta incidens A C F angulos
internos Faciat, ad caldem partes, BAC DC A, mino.
res duobus rectis: Dico, angulum externum, pUta DC Fi
(internO DC A adjacentem Ep Eis) oppolico interno
BAC majorem esse. Sunc enim duo simul anguli DC A
DCF duobus rectis aequales (per 13 CF.) Ac duo simul
incerni DCA BAC tunc (ex hypocheli) duobus rectis minores. Sublato igi-
cur uerinque communi angulo DC A, reliquus DCF, reliquo B A C, majox exit.
Quod crac demonstrandum.
Astirmo autem hic (in demonstrationem) prop. 23. libri primi Flementorum;
Duoniam, urur ea posterior sit Poltulato quinto, tamen anterior elt propositione
29 lib. F. in cujus demonstratione primum adhibetur hoc postulatum; adeoque ve-
rus locus illud demonstrandi (. (alrem Cat OPPOrTuNuS) est polLPFOP. 28. POICTUNE
24
22
que

## Folio 676 — 851708439:0700
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000700.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
Dolicioni Cublerriens) li id opus eset.
OSTULATUM OAIN TUM.
que praecedentes omnes, vel earum qualibet, in demonstrationem rice adhiberi.
Duin ee pollet ea prop. 13 Cr, cirius demonstrari (ur aliud Lemma pralenti pro.
VI. Tisdem positis; Si recta interjacens, ut AC, in directum promovea-
eur in sium a y (ita ut punctum a jam cum C. coincidat) e simul fe
ratur AB (manente aneulo B C. invariato) in situm aB: Dico, totam
Cumenim (per Lem. 2.) jaceatay, hoc est Cy
in CF, _ (per L. Cm. 3 e 4.) angulusB AC, hocct
B A F, aequalis angulo Ba L, hoc est BC H; lirgue
ver L em. 5.) ansulus B AC angulo D CL minOL:
LEciam BC F angulus eodem D C F angulo mInOF
erit. Adeoque recta CB, hoc elt abrecla, eXIra C D reclam cOI CacliT. (L ot a
inquam; Non porestenim alibi, quant in C puncto, eidem CD IICrUM OCCUEFCTC,
per poltularum seu axioma ullauum, ne duae rectae spacium comprehenderent.)
VII. Tisdem positis: Acorectam aB, hoc est AB promotam, rectam
CD prius secare quam punctum a ad C. perveniat.
Cum enim (per L em. 6.) ubi punctum a adC
perrenia, cora aB recta rectam CD crantiveric:
Accesse ct uc vel coca simul, vel parciculacim
cransiveric. Ac cora simul crantire non porelt;
sic enim recta a B in ipla CD aliguando jaceret,
adeoque DC F angulus angulo Ba l COnGNHCTeE
(majorminori) quod elt impossibile. Fransicioi
tur particulatim; hoc est, rectam CD aliquando secat; dum scilicet iplius pars
aliqua transirit, sed non es tot. Hoc eMt (per L em. 6.) priulquam punetum à
ad punctum C perrenerit. Ouod crat demonstrandum.
VIII. Pralumo candem (ex praesuppolica Racionum natura tanquam cognita, et
Fisurarum Similium detinitione) uc communem notionem,
Datae cuicunque Fieurae, Similem aliam cujuscunque maenitudinis pessi-
bilem esse.
Hoc enim (propter quancicates continuas in intinitum divisibiles, paricer acque in
intinicum auxibiles) videtur ex ipsa Ouancitaris natura Auere; tiouram scilicer quam
libet concinue poste (recenta figura Specie) cum minui, cum auveri in intinitum.
Acque hoc revera (ucur inobserraci, nec ipli tortan animadverientes) praetu-
munc omnes; d, cum aliis, Fuctides iple. Dum enim Poltulat, Dato centro e
intervallo circulum describere; Praelumie, circulum cujuscunque magnicudinis, vel
quocunque racio, polsibilem esse: Ouodque Pralumit postetreri, Postulat ce Polle
tacere. Lt quanquam non paricer aequum esset postulacum, Cuiris tiourx datae, (I.
milem re posse (non dum edoctum) super data recta construere: Posibile FaMEN
elle, hoc tieri; de tigura quacunque non minus Praesumendum exit, quam de Cir-
culo. Non enim, proprer aliquod Circulo prae careris tiguris Deculiare, hOc Con-
tingie, ut recenta specie sur continue postic in quamvis magnicudinem quocri mi-
nuire; Sed propier Continui nacuram, quae reliquis cum Cireulo Figuris elt com-
munis; Adeoque de illis piricer praetumi pocest, postibilem elle (recenca specie)
continuam in intinicum auctionem vel minurioneim.
Nec obltat Pexesumprioni huic nostrae, Ouod Proporcionalium definicio, e (gua
hanc suxponic) detinirio Similium Figurarum, nondum crane ab Fuchide cracia,
(sed alcera libro Ominco, altera Sexro, post cradendae:) Porerat enim Luclides, (
expedire rilum esser, ucramque libro Primo praemitille.
LX. Lemmatum horuittope, quaelicum principale sic demonstro: Nimirum,
Si in duas rectas recla meidens, aneulos internos e ad casdem partes
faciat minctes duobus rectis: Duae illae rectae in infinitum producta, in
vicem occurrent, ad eas parces ubi sunt illi duo aneuli duobus rectis mi-
nores
SInE dux illa rectae AB CD, in quas incidat recta intinita AC F, anouilo5
faciens incernos et ad ealdem parres B A C. D C A minores tumul lumpios duobus
rectis:
rectam a B, hoc est AB promotam, cadere exira C. D.
Ouoderat demonstrandum.

## Folio 677 — 851708439:0701
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000701.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
acetc
POSTUL ATAM s
rectis: Dico, duas illas AB CD rectas, si in intini-
cum producantur, inricem occurturas, et quidem
ad eas recta AF parces ubi sunc illi duo anguli.
Intelligatur enim in directum promoreri AC recta
incerjacens, in aC F recta intinica; et huic infi
Itens AB, manence angulo B AC inrariato; simul
ferri donce aB, hoc elt AB promota; rectam
C. D (juxca Lemma 7) secer, puta in puncto r. Fricisitur r C a triangulum.
cui simile (propter L. CM. 8.) Postibile est tieri cujuscunque magnitudinis. Pol
sibile est isicur, Tuper C A rectam, construi Friangulum, limile criangulo n Co
tuper Ca balin constituro. Incelligatur iraque hoc tieri: lirque iIlud PC A iri
angulum.
Neque hic obstat, quod, Super datam rectam, criangulum constitmere dato si.
mile, nondum docuerat Fuctides: Nam multa palsim in aad. ad demonstra.
tiones Pheorematum (utur in Problematum constructione lecus CC) tieri polle
praelumuntur, ee supponuntur facta, qua quomodo tiant Cicometrice, nondum
Eraditur. Oualia lune, Inter duas rectas datas duae media proportionales; Ttem
Perimetro Circuli aequalis recta; aliaque innumera. De quibus non sCCuS prOCC.
dune Fheorematum demonstrationes, quam si constructio Geometrica maxime con-
Itaret. Ec lignis probatum iret, Circulum Ancareticum Arctico aequalem esse
Propter Congruentiam; quoniam, s incelligatur Centrum centro, et Planum plano
applicari; Perimeter perimetro (propter radiorum aequaliratem) e circulus cir-
culo congruerent. Nemo hanc, ut demonstrationem illesitimam merito repudia
rec eo quod Gcometrice nondum constet, quo quis polset modo, Aretico AN
careticum circulum admovere. Sulticie, ita comparatos esse hosee circulos, ut, (I
admorerentur, consruere lic neceste. Nec secus hic procedit demonstratio; (dum-
modo quod tactum incellisitur, PC A criangulum, tieri Posse constec:) quam
Tic prolequimur.
Cum isitur sC P C A triansulUM; OCCuErunE invicem duIX rCCtX C P AP (per
detinitionem Trianguli) in puncto P. Cumque sic criangulum PC a limile eri-
angulo rC a (per constructionem) fune e anguli angulis, finguli singulis re
spectire sumpeis, aequales; (per detinitionem figurarum Similium rectilincarum.)
Aqualis isirur est angulus PC A ansulo x Can hoc elt DC A ansulo: Adeoque
recta CP, in ipla recta CD (producta) jacet. (Si enim ulera cireave jaceret
CP recta, major Foret vel minor angulus PC A ansulo DC A, qui demonstracur
aequalis.) Icem, angulus P AC, aequalis est angulo r a C. Flt autem cidem r a C
anoulo, hoc est angulo Ba F, aequalis angulus B A H, vel B A C, (per L CM. 3. e 4.
est igitur et angulus B A C angulo P AC aequalis. Facet isitur AP recta in
recta AB producta: (si enim ulera citrare jaceret, inxquales torene anguli BAC
PAC, qui demonstrantur aequales.) Est igitur eadem recta AP, aique AB pro-
ducta. Irem eadem recta CP, acque C D producta. COCunE autem AP et CP
in puncto P (uc jam ostentum elt;) cocunt isitur et AB CD producta. Ft qui-
dem in eodem P puncto; hoc elt ad cas partes rectae F A F ubi sunc illi duo an-
guli duobus rectis minores. Quod erat demonstrandum.
Hlanc eso demonstrationem prolecutus tum, secundum Arictistimas demonstranci
leges; Fuclidem imitatus: Ne sic quod ad jultam demonstrationem desiderari cau-
Setur etiam Sererus centor. Verum exo tantum abest ut Fuctidem culpem quod
ipse non demonstraverit, ut neque culparerim si plura adhuc, indemonstrata.
postulalset. Puta, si poltulaster (cum Archimede) Lineam Rectam, omnium in-
ter eadem punctan esse Brevissimam: (quo non toret opus, post underisinti pro-
politiones, demonstrare, Frianeuli duo lateram simul sumpta reliquo esse majora.)
Aliaque quae sint sua luve clara.
Sed Fuclides id sibi propoticum tabuisse videtur, ut, quam paucissimis po.
stulatis, reliqua demonstraret tirmistimis consequentiis. (Inde Factum est ut sibi
non raro tacellac negorium ea probandi quae nemo non gratis concellerit.)
Ft
quidem, in omni probatione (in quacunque materia) praesumendum est aliquid.
Nam, nili ex praelumpris (seu praeconceltis aut ante probatis) nulla Fic probatio.
FIaC aucem praesinmenda, quamris ab aliis Scripioribus (de rebus aliis) non lo-
leant diserce recenteri (quod ab Fuctide factum est;) calia ramen sacite prae sa
muns

## Folio 678 — 851708439:0702
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000702.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
LodLoBRLUM CuTALUM.
munt alii ucut inoblerrari. Sed de Fuclides ipse, in procestu operis, praeter haec
diterte memorata (ut praecipua de masis nocabilia) alia, sive ex inspeciu Schematis,
lire aliunde manitelta, passim praesUIE; Sed qua REMO FOTEE REGAEUEUS. PalIa PUNE
(quod ubique praefumieur) cancundem este Totum, d Partes omnes simul sumptas,
(unde, quod P’arcibus limul omnibus aquale probatur, concluditur aequale POci.)
Trem, quod in sineulis Casibus verum esse demonstratur, id universaliter verum
elle; (puca, quod compecit criangulo Rectaneulo, Acutanculo, d Obrusaneulo, id
Omni compecii Frianeulo Rectilinco; eo quod non alia sint Perangula Rectilinca:)
Pariterque quod F _ F TunE 2; quod 4 _ F Tune quinque: limiliaque; quae cu-
riolus Lector paltim obserree, sed culpaverie nemo. (l’acco, quod morum X lani
praelumis in detinitione Spharae, Coni, Cylincri, quod nec detiniverac, nec pollu-
Taverat:) Et quidem si achuc plura vel cacie praesumpserat vel dileruum postula
verat (quae Cua luce clara linc) non torer inde culpandus; nedum cum Doltula.
verit Duas Rectas (in eodem plano) Convergentes, tandem coituras.
Sed de hoc addo. Fuclides (quancum mihi quidlem ridetur) non tam propter id
quod Poltulatur, hoc erriis incerponit Poltulatum; quam propier id quod non po.
ltulatur. (Ne rideacur plus julto poltulasse.) Requis enim elt qui hoc sacite prae-
sumenti (ne monenci quidem) non concellerit d Sec, li nocarerit torre quilpiam,
quod Ruelides in sequencibus incer demonstrandum tacise praesunnit, expolicas qual-
damlineas, li producancur, candem occurturas; de dubicareri, Num, de Duatenus,
hoc permicendum lic: Euclides hic explicice monet, Ouid liu de Onacenus, quod
libi praelumenci concedendum poltulac. Non quidem de quibuscunque Lmeis hOc
voltular, sed Calcem Rectis. (Cerrum enim elt, Curras lic concinuari polle quan-
cumlibet ut nunquam CoeanE.) Nec etiam de Rectis omnibus, led in eodem plano
Dolicis. (Ouippe rectas, non in eodem plano, etiam aliguatenus appropinquaMes,
ita se habere polle certum clt, uc concinuata se mutuo transcane, elonseniur po.
Aea, nEC InCETIm OCCUTTANE.) Neque de calibus quostibet, sed lalcem de duabus.
(Nam, verbi gratia, Fres recta, ucuc in eodem plano polux, non procinus in eo-
dem aliquo puncto concurrent Omnes; sed earum duae qualibet in eodem puncto;
certia torce non in eodem cum duabus illis, sed cum carum altera in puncto le
cundo, cum reliqua in certio, non in eodem omnes.) Nec eriam de utcunque po-
Licis in eodem plano, sed de convergentibus; hoc el, in quas si recta inciderit an-
sulos internos ad easdem partes duos faciet minores duobus rectis. (OuipDe quae
non convergentes, sed parallelae fune, non coibunt.) Sed de hae dux, nondum
Forre cocuni, sed si producantur coibune. Nec etiam quomodocunque producta
(DNTA LIAU CONLIHLIANEE CUEVeNEUE) Sed Si producantur in directum. Sed nec
quanculum cunque producantur, sed in infinirum producta (Cilcem quancum opus
erit.) Nec etiam, liad alteras tancum parces produeaneur (puca, qua masis di-
raricantur,) Scd, li utringue sic produenneur, coibune. Nec camen coibune urin-
que, sed (ad alceras laltem partes) coibunt. Non quidem inditterenter ad urras-
vis, sed ad eas parces qua Punc illi duo anguli minores duobus rectis. Aque hOc
tiftatum sic limitatum, nemo elt qui non debeae concedele. Vel lantum exculvan-
dus est Euclides, Sed laucandus, qui cam distinete quid velic expoluerie. NeMD;
Linea (non quaelibet, Led Talcem) rectae (non quocliber Led) aua (nOn ut
cunque lita, Sed) in eodem plano (nec lic urcunque, (cd uc) in quasrecta Mcans
aneulos inernos e ad easdem parses faciat minores duobus rectis, (nonc o
Cocun led) Si producantur (non urcunque, (ed) in directum, (nec quanlum.
cunque, Led) in insinicum; tandem coibunt (non quidem de uiralque parces lic
incidentis rectae, nec ad ucralris indisteremer, sel) ad cas partes ubi sunt illi duo
anculi minores duobus rectis. Ouoe opt comio idelum juaico.
Acquehaec, in Fnelidis riculletas, lutticiane.
1D1

## Folio  -  — 851708439:0703
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000703.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 14 lines, status machine
quile
51
11
OrO. CUNEUS:
5. F. V
COrpuS partim CONOM Partim CDNKOM
repraesentans, Greometrice consideratum.
 P I
S Y O L A
A D
F O N O R A BEL FM E QV LFBM
D. ROB F RTV M M OR AT.
April. 3. 2662.
Anno 2685 Anslice editum.

## Folio  -  — 851708439:0704
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000704.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 30 lines, status machine
Hono
us
a
1P0
ti
el
Haet ex
sect
quem
ue
pende
Gua
Mentes
11
lecrui
oic e
hanc
Cin
Eltace
ibl1M
(0
Iua
dcaca
set
si
qua
um
iutt
pnei
Duon

## Folio 681 — 851708439:0705
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000705.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
O N I - C, U N F.  5.
FTO N O R A NDO VIRC
OBLRTO MOR AE, LGu LaIO.
Ostquam L ondino domum redierim, tempus aliquod impendi, considerando
Solidam Lineasque eorum sectione factas: Duae onorarissimo D. Vice Co-
misi Brouncker, Tibique, (in Bospitio tuo, me praesente,) exbibuit nuper.
∞. ....... Pet; Omus ex Commissaris Resus pro re Navali; Idenque peri-
tissimus Naupeeus.
Corporum expositorum forma haec erat. Super plana Basi, qui Circuli Quadrans
erat, ut in duadrantali Cono, vel extindro,) erectum insistebat Solidum; cujus
Allitudo (pro arbitrio sumenda) erat, in bis, dupla Radii Quadrantis istius Circu-
laris: Et a sineulis Peripheria duadrantalis punctis, ductae ad verticem rectae
coibant, non in Puncto (ut in Apice Coni,) nec in Quadrante parallelo (ut in
Quadrantali Cylindro,) sed in Linea recta ut in acie Cunei. Quamobrem ei no-
men feci Cono. Cunei; ut qui in Base Conum repraesentet; in Vertice, Cuneum
Solidi bujus Sectiones, a Planis vario situ positis factas; recte conjiciebat ille
plures exhibituras maena varietate lineas Curvas; diversas ab illis quas extibet
Coni sectio. Duarum nonnullas existimabat, usui futuras in condendis Navibus.
In quem finem considerandas proposint.
duoniam autem operosum existimabat (prout revera foret) talia Solida primum
dedolare, eaque Planis diverso situ positis post secare: hoc artisicium inseniose exco-
EItaVIE, quo huic incommodo subveniret. Nimirum, asseres varios, ex ixno so
lido, exacte complanatos, molli Glutine conclutinandos curavit. Duorum quidem
alii aequali forent ubique crassirudine: parallela plana exhibituri: ahi in aciem
desinentes; quorum facres in rectam lineam coirent. Priores ita consturinari cu–
ravit ut plana parallela exhiberent; Posteriores, ita ut in communem ansulum coi-
rent eorum acies. Asseribus si conclutinatis formatum solidum: exasciandum ita
curavit e dedolandum, ut ad formam destinatam reduberetur. Duo facto: Glutine
tandem souro in aqua repida, dissociati asseres extibebant, faciebus suis, Curvas
eas quas in solidi superficie acceperant, quaeque ex secto solido forent oriundae. Ta-
les erant quos nobis ostendit asseres; qui conjuncti, componebant solidum; e, sepa-
rati, Curvas sectione factas ostendebant.
Non id hic aeitur, ut ejus Artisicium eeo depreciatum eam. Quod e inceniose
excoeitatum est, e affabre peractum. Sed nec Tibi displiciturum credo, nec IUi
si easdem conspiciaris Curvas, in Plano descriptas, certa methedo; quae dectione
Solidi forent oriundae.
Illud icitur horum Sebediasmatum opus est: ut Curvarum illarum vera natura
exhibeatur; modique eas describendi in Plano, absque Solidi Sectione.
duod eo potius suscepi, quoniam boc solidum est de novo excocitatum, quod ne-
scio an quisquam prior considerandum proposuorit. Aque exemplo sit, aliis ejus
modi solidis considerandis, siquando postulaverit occasio.
Si praeter eas sectiones, quas ipse jam considerandas exposiit, aliae sint sive
Bujus sive aliorum solidorum quae usui fore judicaverit; possunt ex illa pariter
absque actuali sectione Soliai) Curvis in Dlane descriptis exhiberi.
Num quae autem ex his, e quanam illa, aut quaenam portiones earundem
Architecturae Lavali promovenda poterunt inservire; eso me judicem non ausim
interponere; sed haruim rerum pericis permitio judicandum.
Tuus ad oficia,
FIONOLaHCE VIE,
oa APF. 3.
1602.
STLAtL  I C L.FS.

## Folio 682 — 851708439:0706
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000706.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
682
COro-  CDALS.
Fg. 1.   . (F9. 2.  
1 Fig. 3.
F29.8.
fig. 9.
F1g. 5.
Figb.
d
id
epI
1e
111
quac
elu
deun
Muet
quact
dua
colidum
00
Prumo
alter
 eo
dem
nucli
mue
e
8
eC
la
dis
b1

## Folio 683 — 851708439:0707
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000707.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
Corpus part OM partim CC
repraesentans, Creometrice consideratum.
Sectimes CONO- CVNL. B
Ectangulo CDBA. Fig. T. ad rectos angulos crixatur Circuli Oua-
drans COD; junctaque  A complearur Triangulum rectangulum
COA. Scipponantur item a lingulis punctis Peripherix Guadrantalis
DQ, ad respectira puncta rectae B A, in planis Triangulo CO A
Parailelis, ductae rectae Sa, Curram superticiem complenres DS. ( A a B. I Solidum
lic terminatum, vocamus, Cono cuneum.
iolsso
2. A quadrancali Conon in hoc dittert; Ouod, quae hie est linea recta AB, est
illic Punctum unicum: Propter rectas omnes, ab S ductas, in A puncto verticis
COCHNLCS.
A Cuneo aurem, inhoc distert; Ouod, qui hic est circuti Ouacrans C. OD,
etE illic Rectangulum Parallelogrammum.
4. A quadrancali Cylindro, dittere; Quod, quae hic cstrecta Linca AB, est issic
Circuli Ouadrans, aequalis de paralsela ip(i C OD.
5. Solidum hoc, Planis in rario sicu potiris, lectum; extribebit, in curra Su-
perticie DO AB, rarias masna diverlirare Lincarum tormas. lexempli gratia.
6. Primo. Si secetur Plano RS a, Parallelo ip(i C. 9 A triangulo; linea S a exit
(per constructionem) Recta. Adeoque, Hyporenusa crianguli rectanguli S R a.
7. Ecu consequenter; Cono- cuncus hic, est aequalis Semulti quadrantalis Cylin-
dri ejuldem Balis ec Alticudinis. Nam lingula Friansyla SR a in Cono cuneo
sunc dimidia Rectansulorum respectire tumpiorum ip Cytincro; adeoque porum
eorius dimidium.
8. Magnicudines inibi concenras, ego sic per Species delixno,
CS =CD = R.
CR ==C.
RS =5 = V: R LC
Ra == C A = A. 1 C 17iil.L.
CellASi
c
8. 2
5a = V: A + 5. = V: 2 + R L 0.
9. Faec Triangula (Planis aequaliter invicem distiris Facta,) projecta in Pla-
num C O A, cui parallela Cunt; comparebunt, ut in Projectione prima, Fis. 16.
Ouxe sic delineatur. Deseribatur Friangulum AC C, limite e xquale illi in 50.
lico. e C. OD circuli Duactrans. Diridatur C D in quortibet parres aequales in
punctis R. Ad quorum lingula, ductis Ordinaris RS; his aequales sumantur, in
rectque CO, rectae C su RS. Juncti(que AS, Friansula S R A vel sC A in hoc Pla.
no, reoraelentant Friangula S R a in Solido.
20 Si siovonacur Solidum deortum continuari, intra Ouadrantalem Balin, eti-
am Frianoula smilicer continuanda eruns. Paricerque, Si luxponatur Turlum con-
cinuari, (Dost decullationem in AB,) ut tir in Conis opposiis.
EX. Magnicudines in hac Projectione, lic detigno in Speciebus,
RFFFZ

## Folio 684 — 851708439:0708
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000708.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
684
O N O - C, W N F 1 5.
c0-0
= 1
-
=V
n -0
22.  All Ct o, 46, bbtI A = l, A = 2.
CR
O. +
d. 625
O. 9
0. 866 +
6. 78T-
6. 6br. +
2
236+
2. 2.22 
2. 204 7
2. 179+
2. 106-
6. 404. +
L. 650
23. Secundo. Si secetur plano E dq parallelo quadrancali Bal CDO Fic. T.
Curra do geric Ellipls. Nam, Si secari supponacur Planum hoc, Friangulorum
aliquo ips CO A parallelorum: cum, ut A C ad A F, Teu a R ad 28; sic C ad
F. 9; _RS ad e0. EL consequenter, (cum Ordinata 50 fine ipsis RS ordinatis
in Circulo proporrionales,) erir Edq quacrans E. lip sEOS, Bt est CDC circuli quadrans.
24. Magnicudines sic detigno, in Speciebuo,
0. 875
CO D = 11.
Cik =C
R5 = -5 = V: R - c
F. = F
AC. AF:: C9 (= E8). GF:: RS. 50.
Lloce R. C: V: R . V: R 6.
Adeoque, 50=  Y: X L c
25. Fdiptes hae, (E abscindantur Planis aequati incersticio distiris) in Ouadran-
tem CDC (cui parallelae sunt) projecta, comparebunt ut in secunda Projectio.
ne, FI8. 27. Ouxe sic delineatur. Deleribatur COD quadrans, aequalis illi in
Solido. Fr diridatur CO in quodibet partes aequales, in punctis q; singulaque
 de
funet
Ps
Ordinata RS (huic parallelae) in punetis o: per quae si deseribantur Elliples uu
Do9; tx in Plano repraesentabune tocidem in Solido d5g.
76. Si ppolatu Solau, acortum continuari, itra Ouacrantalem BaLin puo
CDO; parallelae Sectiones etiam acthue Elliples erune: Sed cum hac disterencia,
C.D qua jam cst dimidia Diametri longioris, cum erie lemistis Diametri brevioris
in EdlipC: quales sunt in F18. 17. qua lunc ulera circularem Ouadrancem DC.
Et si Colidum concinvetur Cursum (polt decullationem in A B,) simileS OCCUPTeNE
Ellipses in Solido oppotico
17. Magnicudines in hao Projectione, sic desieno, in Spectebus,
l.1
L. 18
deon
votua
13. M
u
L. L:: N: X
B.F
28. Tn

## Folio 685 — 851708439:0709
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000709.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 81 lines, status machine
Li O N C
-
 U N F U S.
28. In Numeris, IC. LoIId R = +. A= 2.
F. 936
0. 277-
0. 433 
0. 650
O. 866
T. 083-
T. 299 +
T. 516 -
F. 732 
79. Tertio. Si secetur Plano cZog, parallelo Rectaneulo CDB A
Fic. 2. Currae haec exit proprietas. Ductis Friangulis ut in Schemate; Frit, VE
SR (ordinata d quoris punctorum S, in areu Z. ;) ad 08, Peu L. P (ordinatam
2 Z, ubi planum cZ. 9 secat quadrantalem arcum:) sic elt aR seu AC (tOL
alcicudo,) ad 28 seu a0 (distanciam punctio a plano A aa parallelo Quadranti
CDO. ) PFOPtETARS, 055, Timilia triangula.
20. Magnicudines sic designo, in Speciebus,
CO = CD = R.
CP=
CiR = c.
2. = e0 = V: N = C 2
RS =  V: N - c
R a =
C A
A.
RS. R2: : 50 (= D Z,). 8a = 52.
V: R = c. A:: V: R = C 2. AV
5a == 82 = t
X
c3
R
2Y. FIX Currae (Si planis tiant aequali intersticio dilticis) projectae in Rectan.
outum (cui sune Parallela) CDB A: comparebune it in Percia Projectione
Fie. 28. Oux sic delincatur. Describatur Rectangulum C DB A (simile de aequale
ilII in Solido): EF Ouadrans C DO. Diridatur CC in quorlibet partes aquales
in punctis c. Et describantur Sinus seu Ordinatae c Z, cum co. sinibus Z. P. Tum,
si supponantur a lingulis punctis R in recta CD, recta R0 a parallelae ipA C A
secances quadrantem D in S, ee A B in a:) acque inibi, VF RS ad PZ; sic
AC (= aR) ad a0. Cvrrae q0P. in plano, reprasentabune relpectiras 90S in
Solido. Obinotandum; ut Rectae 5050 in prxcedente Projectiones Sic 2000 in
hac, secantur in partes aequales.
22. Prout Solidum potest pro libitu concinuari deortum, uera Ouactrancatet
Balin C D9. Sic ee Curra qoP continuari poltunt infinico. Fruntque, lic con
rinuatae, cum inter le, cum ad continuatam rectam BD Alymptora. Atque, A Soli.
dum concinvetur turlum, post decullationem in AB; abscindene eadem plana, in
oppolito Solido, Oppotiras Sectiones hilce similes.
23. Maxnicudines in Projectione, sic detisno, in Speciebus,
CD = a.
0. 242
8. 484. +
6. 726
0. 968.
F. 2T0 
c. 4) = +
Co
T. 694 +
 
 = 5 = V: R
SR = 5 = V: R 6
AC=
1
SR. Z P:: AC(= a R). 20.
0, 165
-
96
D. 66T
d
827-
0. 992 +
174
c. 323 -
5. ad:: A. = A.
2 - 2
P C
V: R
CXXY 3
A = L
n. LM

## Folio 686 — 851708439:0710
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000710.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
666
a e   C. l3.
24. In Numeris SC. POtico R = F. A = 2.
25.
0. 516. +
c. 033 -
T. 548 +
2. 064 -
20
0. 577+
255
L. st
25. Duarto. Si secetur plano COd, F15. 3. quod sit Perpendiculare Rectan.
gulo CDB A, cranseatque per centrum C, de punctum d quodris in latere D B:
Currae proprietas haec exir. Secetur planum hoc in so, d quoris criangulorum RSa,
ips CO A parallelorum. Tum est V7 A C Seu a R, ad aP; Sic RS, ad p0. Sed
Ponsicudo ap, sic prius inrenienda: V CD, ad CR; Peu C d, ad Ce; Sic dD,
ade R: Ouae a coca Alcicudine subducta, (auc illi adelica, si supponatur e sumenda
in concinvatione iptius dC ultra C,) exhibet consicudinem iptius 2P.
26. Magnicudines in hac Sectione, sic deligno i Speciebus,
CD = R.
CR = c.
RS = V: P - c2.
AC = 2R = A.
D-
CD. CR:: Cd. CP:: d D. eR.
R. 6
eR =
1. b. f b.
aP = a R FRP = A =
aR(= A C). aP:: RS. P5.
A. A+ =B:: Y: R - e.
al
 c
R ZCB
V. 2 = 6.
19.
0
56 -
2. 268-
3. 024 -
F. 732 +
Infin.
L
En.
Twitt.
Ensc.
27. Din secetur plano LOh, f0. qu Quod per COcrantiens, secet punctum B
haec erit. Sccetur planum, ue prius, inpo, 2 quoris criangulorum RS a ipSiC. 
parallelorum. Zum ell, O1b a ad ba; teun bC adbe; seu ut AC (seu 2R)
ad aP: Sic Rd, adt 16.
(laceris AB) priusquam percineat ad d lateris DB produeti: Curva proprictas
28. In Speciebus, C,
D = A.
RS = V: R-
A = 1 = C.
Pa = = V: N - c
:. Y: N - c2  Y. X -c
EV: N-
bA. b4:. C( aR). ap: . 25. 50.
29. Vel Eltati; concinuata l. b, AB1CE decet D B (concinuacam) un d: BlOPOF.
tio exic ut prius, 525, 26.
30. Sed

## Folio 687 — 851708439:0711
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000711.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
Ci O N O - C. V N F. U 5.
30. Sed, cum hac divertitate; quod Curra O ob d, secabit axem suum in B,
eique iterum occurret in d: (parre bd jam exiltente ex oppolito axis latere,
Planique ABDC, in opposico Solido.) Et, consonanter, (proprer R P, hoc casu,
majorem quam a R;) erunt ap, e p0, quancitates negatira; cadente ap ulera
verticem AB, qua cadere supponitur citra verricem: EF eo intra planum ABDC,
quae supra planum cadere lupponitur.
32. In horum caluum utroque (sire Cd secet, sire non sccet rerticet A B,)
rectae dC continuata (parili respondentes continuationi Solidi) iterum occur-
rent axi siio continuato in S(tanto ultra C, quanto est d cirra.) Sed ordinata
in hac concinuatione majores erunt quam illae quae ad dD pertinent: F0 quod
2 CD Turtum, Tolidi crasticies decrescit; sed inde deoxtum, crescit. FL Conso-
nantET, a P, quae inter AB e CD est minor quam a R, (e, supra AB, negatira
quantitasu) eadem intra C. D tic major quam aR. (Secance dC rectam DCi in
C.) Nam illic cH aP = a R -- Rp; hic verO 2P = a R F R P.
32. LIX Curra, utroque casu, (sire Cd secet, sire non secet, verticem AB,)
Si lacus DB dividi supponatur in partes aequales a rectis C d; e projiciantur
currae in unum idemque planum: comparebunt ut in projectione uarta, Fis. 19.
Ubi Axes dC continuantur ad s; acque cum (quo vitetur contusio in Schemate)
remorentur, a litu suo in Plano ABDC, ee collocantur in recta A C continuara:
e Ordinata po ad eos applicantur in ca politione; in tali proportione ad RS.
qua est ap ad aR seu AC. Arque ita diltribuuntur, aliqua ad unum, aliquae ad
alterum latus rectae ADC, ut ricetur contulio alioqui oriunda, ( tOL CurrX se
muruo incerlecarent omnes in eodem a puncto, prater alias irem intersectiones
alibi faciendas.
35. Maenicudines in hac Projectione, sic detieno in Speciebus.
= R.
25 == V: R-
CD. CR:: Dd. R5.
AC. 2P:: R5. P0.
.A+ F:: V: X-
AR F Cb
V:  - c
21. In Numeris (DOSitO R = +, _ A = 2,) Semiaxes sex Currarum in Sche
mare descriptarum (quarum prima est Circumterentia circuli) hi sunt;
VT. 25
T. F1803+
T. 4. F4. 2.F = 1. 80278 -
227607 = 260258. +
Ordinata vero, Si Supponantur Semtares diridi in quacuor partes aequales,
Tunt na;

## Folio 688 — 851708439:0712
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000712.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 106 lines, status machine
O N
C. U N F
0.667 + 0.537 + 0413 +
0.866. f 0.758 - 0.650 -
0.54+ 7
0.968 f 0.908 - 0. 847 = 8. 707 = 0.726 4
0068. f 2029 - 2089 -
0.866 7 0.974 +
2.083-
7. 494 
0.662 f 0.785 + 0.909 + 2.033+ L. 156 = L. 262-
Si vero supponancur (pro accuraciori Currarum deseriprione) Seni axes di-
vidi in partes 16 (adeOquC aNES incesri in PaTICS 32) Ordinacae eo spectanies
CxUNE Ha PFOXIC.
11.
10.
O. 3487 02665 0. +840 0. +033 00217
O. 484F 0. 3782 0.2723 0. 1664
0. 5830 0.4645 0. 346r 0.2272
0.6624 0.5374 0. 4 143
00605
0. 2894 0. 1054
O. 7262 0. 6024 0. 4765 0. 3527 0,2269
0.7806 0.6586 0.5367 0.4247 O. 2921
0. 8268 0.7105 0.5943 0. 4780 0.502)
0. 8660 0.7578 0. 6469. 0. 5413 0. 4330
0. 8992 0.8009 0.7025 0.6042 0.5058
0.9270 0. 8407 0.7532 0.6663 0.5794
0. 0490 0. 8757 0., 8015
0. 7273
0.653+
0.9682 0.9077 0. 8472 0.7867 0, 7262
0.9823 0.9362 0. 8902 0. 844F 0.798L
0. 9922, 0.9672 0. 930Y, 0,899+ 0.8682
0.9980 0.9824 0.9668 0.9573 0.9357
0.9980 1.0736 1.0292 T.0448 1.0604
0.9922 T.0232 2.0542 T,0852 T. F162
0.5823 2.0283 1.0743 T. 1204 7, 1664
0.9682 1.0288 1.0893 T. 1498 T. 2103
0.9400 1.024 + 2.0983 7. 1726, T. 2468
0.9270 2.0239 1.1008
0.8992 0.9976, 1.0959
1. 1877 T.2746
L. F943
1. 292
0.8660 0.9743 1.0825 7. 1908 T. 2900
0. 8268 0.94 3E 2.0593
2. 1756 T.2019
0.7806 0. 9026 2.0246 7. 1465 1. 2679
0. 7262 0.8510 0.9758 7. 1006 T, 2254
0.6624 0. 7854 09095 1.0335 F. 1575
0.5830 0.7024 0. 8+980.9382 1.0566
0.484 0.5000 06959 0.8018 0.9077
0. 348T 0. 4297 0.5272 0.5928 0.5744
0.041 +
25
IFT.
0.165 +
O. 433 7
0289 +
9.666-
1.27F2
1. 4077
2210 +
7.299 +
L. 150-
6.0454
OOr
+0.0413
O. 102L
O. T702
O. 2454
0. 3248
0. 4074
O. 4925
0.5789
0.6657
O. 7520
0. 837E
O. 92OF
2.0760
T. T472
T. 2 ]25
T. 2708
T. 3210
T. 3616
T. 3910
T. 4073
T. 408T
1. 3800
T. 3502
F. 2815
T. 1750
T. 0736
0. 2560
O, 2093
-00508
culari ad lcctatisun DDe secante AC MI quoris puncto c, et AG in 9:
Currae Doq haec erit proprietaS. Secetur Planum hoc a quors  LH
RSa, in Pο: eritque OF AC. leu aR, ad RS; si aP, ad 20. Ft longitdo
25. Dginto. Si secetur plano DogC, Fiz. 5. tranleunce per D, de perpendi-
i lupponalur De continuat ullla cn adeoque concinsat l Ubla Ci; cum eriE
DR =DC + CR
ap sic prius invenienda; OF DC, ad DR; seu DC ad DO; sic C ua lP: qua
subducta ab a R, relinquet ap = d R = RP; Aique hic DH CI. Sed
30. Magit1.

## Folio 689 — 851708439:0713
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000713.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
C. O N O - C, W N F. U 5.
36. Magnicudines hujus Sectionis, sic deo occs,
R2-
DC. DR:: DC. DP:: CC. RP.
P.
aR = AC =
R. R FC
2 P = aR - Rp = A -  +
aR. aP:: RS. p0.
A. A-
EB:: V: P - 8.
AR = bR = bC
dA =DC
27. Si planum hoc (per D cransiens) secet punctum aliquod b, in recta AB,
priusquam pertinsat ad c in continuatione rectae CA, Vic. 6: Currae proprietas
haec Crit. Secetur planum hoc, uc prius, in eo, a quoris criangulorum RSa.
Frirgue, OT bB ad ba; seu OFBD ad be; Ieu, OF BD (Teu 2 F ) ad 2P: Sic
RS ad Ps.
38. In SpeciEbuS, Sic;
26
= s
BB. 6a:: bD. bp:: BD (== A C = = a 1). aP: . 15. p0.
V::
A:: V: 
c
V. ad
b.
 a
20. Vet eriam; concinuata DB donec SCCEt C. A (continaCaM) in C; prOpor
tiones crunt ut prius, in 535, 36.
40. Sed cum hac diverticate; Curra Dobq Sccabit axem suum in B; eriegue
pars bq ad concrarium latus axis, planique ABDC, in oppolico Solido. FL, Con-
TOnanIET, (PTOPEEF RP majorem, hoc catu, quam a R) crune ap e es quancita.
tes Negatirae: Cadente ap ultra verricem AB, qua SupponitE CuTa; e ps intra
planum ABDC, quae lupponitur Tupra.
AF. Veroque calu (sire DC Sccet, sire non secet verricem AB,) CurVX D∞C
Continuarae (prour continuari supponitur Colidum) occurrent icerum axibus suis
(Concinuatis) in s; tanco ulera c, quanto D est cira. EE si incerim AXis DS SC
cet verricem BA, ejulre concinuationem ultra A; curra secabic in eodem puncto
Axem suum, ec (iranticu tacto ad larus opposicum) eidem icerum occurret in S.
42. FIx Currae, uroque calu, (live De secer, sire non secet rectam BA,) si
recta C A diridatur in aequales partes d rectis DC; &e projiciantur Curra in idem
aliquod planum: comparebum uc in Ouinca Projectione, F15. 20. Ubi recta DC
concinuala ad s, remorentur a sede lua in plano ABCD (pro virancta contu
lione

## Folio 690 — 851708439:0714
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000714.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 131 lines, status machine
 O N O - C. W N F U 5.
tione in Scheate) ee collocantur omnes in recta C A continuara; e rectae po ap.
plicantur ad eas ue Ordinatae in hac poticione; in cali ratione ad RS, ut LunL a P
id 2R.
43. Magnicudines, in hac projectione, lic designo in Speciebus:
CD = X
CR = c.
RS = V: R - c.
aR = AC = A.
DC. DR:: DC. DP:: C.C. R P.
R. R+C::
Re = = =CB.
2e = aR = R = A -
aR. ap:: R5, P0.
A. A - =  B: : Y: R. -
b
1- b_ LBC Y. p. = c.
44. In Numeris (positis R = Z, A = 2,) Semiares sex Currarum DC in
Schemate descriptarum, ejusdem (une lonsicudinis cum C d5 34.
Et Ordinaca (si Semi axes dividantur in 4 partes aequales, adeoque axes ipst in
8) hae sune, proxime,
ld.
O.667
0.866
0.968
0.068
0.866
O.66+
0.620
0.758
0.787
0.75
0.666
0. 54. F
O.372
TII.
0.579
O. 65C
0.605
0.5
0.363
O, 2 17
Si vero (quo accuratius deseribantur currae, divictantur Semi axes in partes 16
(adeoque Axes ip ( in 32) ordinatae erunt qua sequuntur, proxime.
II.
10.
III.
P0.
0. 348F 0. 3426 0. 3372
0. 484F 0. 4690 0. 4530
0.5830 0.5556
0.5283
0.6624 0. 62OF 0.5787
0.7262 0.6696 0.6230
0.7806 0. 7075 0. 6343
0. 8268 0.7364 0. 6459
0. 3660 0.7578 0. 6495
0. 8992 0.7728 0.6463
0.9270 0.7822 0.6373
0. 9409 0.7866 0, 6234
0.9682 0.7867 0.6052
8. 9823 0.7827 9.5832
IV.
0.
e
0.3378
O. 4387
0.5010
V.
20.
V. X - 0
AR - D R + BC
O. 25
0.060
0. 108
0.083 = 0. 207
0.
O. 2. 42
O. 4.33
- 0. 496
O. 45
O. 325
0.06+
O. 25
- 0. 545
O. 75E
- 0. 785
c
0. 496
O. 4.33
C. 2
O.537
0.54. L
O. 424
2
0.3200
60. 4085
6. 440L
0. 3263
O. 42.36
O. 4736
6.3374
6.5564
6.56T1
0.5555
O.5473
O. 5199
O. 4925
0.4601
O. 4236
. 4900
0. 465+
O. 4330
0. 3934
0. 3476
0. 2960
O. 242F
0. 445.
O. 4. 14C
0. 374
O. 324. 8
O. 2670
O. 202 8
O. 1330
03837 0. 1842 1. 0153
O. 454.7
00605
0. 4960
0. 4880
D. 9922
il

## Folio 691 — 851708439:0715
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000715.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 121 lines, status machine
DE
C O N 0-
0.9922 0.7750 0.558F
0.9980 0.764F O. 5302
c.
O. 75
0.9980 0.7329
0.9922 0. 7F3F
0.9823
0.5
0. 4678
O. 434. F
0.6006 0. 3900
0.9682 0.6657
O. 363T
0.9499 0. 6382 0., 3265
0. 92 70
0. 8992
06084 0. 2897
O.5761
0.8660 0. 5413
0. 8268 0.5038
0.7806 0. 4635
O. 7262
O. 4F97
O. 2529
O. 2765
O. 1809
O. 2463
O. LF32
0. 6624 O. 372.F 0.0827
0.5830 0. 3788 6,0546
O. 4.B4. F O. 2572. 0.0303
C U N F I 5.
0. 34 FF 0. 1240 -0,095
O. 2963
O. 25
O. 2027
O. 7550
O. 1074
00605
O. OT48
--0.0290
- 0.07+3
= 0. 1083
 O. T4. 2. L
--0, F708
= 0. 1933
- 0. 2067
=0. 2095
0.0624 - 0. 1715
=0. 1967 = 6. 4236 -0.6505
0. 348F O. 1795 9,0109 = 0. 1577 = 0. 3263 =0. 4949
.
45. Sexto. Si secetur plano B gC, transcunte per B, F78. 7. perpendiculari re.
Etanoulo AB DC, _ Sccante lacus A C in c, e quodris triangulorum RSa in po:
Currae proprietas haec eric; VH AC PCU a R, ad aP; Sic RS, ad es. Fc longicudo
iptius ap sic prius invenienda; Or B A, ad B a; lcu BC ad B P; Sic AC ad 2P.
46. In Speciebus, sic;
AB =- CD = = R.
A 2 = CR = c.
RS = V: X = c
2R = AC = A.
AC = a
BA. B2:: BC. BP:: AC, 2 P.
R. R FC::
2p =
2F
aR (= AC). ap:: R5: p0.
R:
 a:: V: R - c2.
e
R FC
+ av: X - c.
2F aV: R - 8
47. Si vero planum hoc (per B trantiens) secet DC in quovis puncto P prius-
quam perrinsar ad c in continuatione iplius A C; Curra proprictas haec exit; Se-
cetur idem Planum (ut prius) a quoris Priangulorum RS a, IPSC. O A parallelo-
rum; exirque OF DP, ad DR; seu, SEBP, ad Be; CCU AR (= AC) ad 2 P; SiC RS, a d P0.
48. In Speciebus, Lic:
CD = R.
=
C
CR = 6.
RS = V: R - c2
DP = R = C = Y.
DR = R - c = v.
AC:
A
DE. DR:: BP. BP: : aR (= BD = AC). ap:: R5. p0.
R C. R c: : Y. v:: A.  A= ∞ A:: V: R - 8.
2 P =
R.
Y: N - c.
6. 184. 2.
b. 24. 2F
O. 2969
O. 25
--0. 4.758
-0. 5446
- 0. 6085
0.
+=
-0.0624 = 0. 3275
O. 1240 = 0. 403r
-0. 3476
6. 3954
6. 4530
0. 465T
- 0.6663
= O.7166
-- 0. 7578
=-0. 7880
c. 4880 - 0. 8057
- 0. 4998 - 0. 804.3
 0. 4960 - 0.7854
= 0.430
. 13 1
V: X= c
=V:  - 6: =
9. Ves

## Folio 692 — 851708439:0716
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000716.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 78 lines, status machine
43. Vel etiam; continnata D P, donec SCCCT A C (Continvatam) in C: PFO-
Portiones erune, uc prius, 545, 46.
50. Sed in hac Sectione; Curra non sccat Arem Cuum in P (ut in duabus
proxime memoratis in b,) Sed permanet ex eodem ejus lacere, donec axi iterum
OCCUTTAE (AI CONTINUETT) in B. FF (SI SIC CONLIHUECIX) pro D R = R - c, habe.
bicur) DR = R F c, ubi punctum R est ulera rectam AC. FC Similiter, Si pOst.
quam BC secuerit AC in c, secet iiem ipsius DC continuationem in P; PFO
DP = R - C, habebitur D P = R + C.
5I. In ucroque catu, (sire BC secer A C supra sive inFra punCtuM C,) CUIEVX
BsC continuarae (pro pari concinuacione Solidi,) Occurrene iterum Aribus Tuis
(continuatis) in B: taneo ulera c, quanto est B citra c. Sed ex eodem axis latere
permanene, absque ejusdem sectione interea, uc in duabus proxime memoratis de-
etionibus.
52. Et utrogue casu (sire B C Secer, live non secet, rectam DC,) Curra BSCB,
transtatae ad unum idemque planum, (si diridatur AC in parces aequales in pun-
Etis C,) comparebune uc in Sexta Projectione, Fie. 2F. UBi linea BC continuan-
cux ad B; de cum (quo vicetur contulio in Schemate) craneteruneur a proprio (uo
sicu in plano ABDC, ad rectam AC concinuatam: Rectaeque pa cildem (in
hoc licu) applicantur ut Ordinaca, in tali proportione ad RS, ut 2P ad aR.
53. Magnicudines in hac Projectione, sic deligno in Speciebus;
i O N 0 - C. U N F u 5.
AB = CD.
A.
=C R = c.
RS =V:
DR = R FC =V.
2R = AC = A.
BA. Ba.. BC. bp:: Ac.s
l. R+6 -
AR (= AC). 2P.. 15. 50.
1
FC a:: V: X - 0
R FC
R
X aV: P = c: =
-0
aV: X -c
2.
V: K = C
24. In Numeris (POlitO R = F, A = 2,) Semmtaxes Mnqe Cra
Exhemate delcriptarum, sunc ejusdem lonoicudinis cum C d,  DC, 534, 44; 
quod prima caruur (qua ell cireuli Circumterenria) hic omiltatur: pro qua, hoc
calu, toret recta linea, coincidens axi suo B A.
Bc.
BC.
BC.
2. 12803 T.4742F 2. 80278 2. 23607 2.09258
Et Sdinacue, li supponaneur Semi ases dividi in 4 partes aequales, adeoque Axeo
ibli in B: FrunE
d. 2
O. 325
O. 289
O. 2 T7
0.362
0605
0.650
0.750
d. 325
0.543
0.908
O. 974
0868
D. 72
T. 2T0
2. 290
1. X57
O. 207
0. 54Y
0.908
5
X. 513
X. 624
2. 44.
6
00
O. 165
O. 124
Vel

## Folio 693 — 851708439:0717
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000717.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 177 lines, status machine
ulaen edi et io
Veh quo accurarius describantur Currae, si diricantur Semi axes in Partes 26;
2deoque axes ipsi in 52: Ordinata erunE,
0.0054
O. OF5I
0.0273
O. 0414
0,0566
0.0732
0.0004
O. +083
O. T265
O. F448
O. 1633
O. I8T5
O, 1995
O. 2 F 70
O. 2339
O. 25
O. 265F
O. 2790
O, 2976
O. 3020
O. 3F17
0. 3187
0. 3232
O. 3248
O. 3230
O. 3F7I
0. 3065
0. 2804
O. 264. F
O. 2260
O. 1686
O. d1B9
0.0303
O. 15.
0.0827
6. F732
O. F465
O. 1800
O. 2105
O. 2529
O. 2697
O. 3265
0. 363+
O. 3990
O. 434. 2
0. 4678
O.5
0.5302
O. 558F
0.5832
0. 6052
O. 6234
0. 6373
0.6463
O. 649)
0.645d
O.6343
O.6T30
0.5787
0.5283
O. 4539
O. 332
0
0.016)
O. 045
C. 0820
∞T24
O. 1698
O. 2195
O. 2713
O. 3248
O. 379+
O. 4343
0. 4898
0. 5440
0.5986
O. 65TY
O.7020
O. 75
6.795
O. 837+
O. 8748
0. 9077
O. 935F
0.9560
0.9695
O. 9743
0. 9680
0. 9514
O. 9795
O. 86BF
0.7925
0.6808
0.5058
0.
L. 29T9
T. 2686
F. 2260
T. 1575
1.0566
0.9077
0.6744
0. 643
55. Seprimo. Si sCCCtT planO A o d tranSCunte per A, Fi5. 8. perpendiculari
cectangulo AB DC, secante latus BD in d, e quodris criansulorum RSa in po:
Curra do A proprictas hac erit. VF AC Teu 2 R ad aP; Sic R S ad Ps. FF 2P
sic prius invenienda; Ot AB ad Aa; Teu Ad ad AP; Sic Bd ad 2P.
56. In Speciebus, lic;
00278
0.0605
O. 1693
O. 1654
O. 2264
O. 2927
0. 3677
O. 4330
0.5050
0.5794
O. 7262
0. 790L
0.6531
6. 608T
0.9357
1.0604
L. L10L
T. 1664
F. 2F05
T. 24.06
T. 2) 47
X. 2926
T. 2990
D = B
5
V: X - c.
2B=
R = AC=
+.
8d-
a.
AB. Aa:: CD. Ci R:: Bd. ap.
R. c::
R (= A C). 2P:: R5. p0.
0.0272
O.075C
O. 2300
O. 2000
O. 2830
0. 3656
0. 452Y
0. 54. L 3
O. 632
O. 72.4 2
O. 8163
0. 9077
0. 9976
X.0852
T. 26G6
T. 3255
T.39)L
F. 4505
T. 5+2G
T. 5585
T. 593:
T. 6158
T. 6238
T. 6+48
T.5857
F. 5325
T. 4468
T. 3208
T. [34 7
Y: N - c.
F:: V: R - c.
 -c

## Folio 694 — 851708439:0718
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000718.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
O N O - C. U N F I 5.
57. Si planum hOC (per A EanTenS) secet rectam C D, I alu PHNCIO P
anrequam ad d perreniat in (continuata) BD, Fic. 9. Curra Ps hac
erit. Secetur planum idem (uE prius) a quoris ertatigulorum LSa; CAcque. VF
CP ad CR; seu OF AP ad AP; Teu aR (= AC) ad aP. vd 10 udt 10.
58. In Speciebus, AC;
= 0
RS = V: R = c
AR = AC:
CP. CR:: AP. A R: : a l (= AC). 2P: : 
2. =1.: Y: R - 8.  V: R - 0
59. Vel etiam; Continuata AP, donec secet BD (continuatam) in d: PTOBOT.
TiOneS exUNE, uE priuS, 5 55, 56.
60. In Sectione hac; Curra d= A non sCCaL Axem Cuum in P (ut in Sectione
quarta e quinca, in b;) Sed permanet ex eodem ejus latere, (supra planum
ABDC) donec eidem occurrat in A. Si vero lupponatur Solidum turtum con-
tinvari in Ce oppolito: Curra secabit axem Tuum in A; indeque ex latere con-
trario (intra planum AB D C:) concinuabitur, donec eidem iterum occurrat in S.
Rtque in ea continatione, prO C R = f C, habebieur CR = = c; (quia jam R
cadic ex contraria parte puncti C, in recta DC continuatione. RL consequen-
cer, Ordinatae ultra A, (utpore ex contraria parte,) incerprecandae Tunt Nesa-
cive, cum Signo -; ue qua cira sune, interprecanda sunc Actirmatire, cum
Signo +.
6T. Vrrogne catu, (Tire A d Secet, sive non Secet, CD, ut in P; hoc est
sire punctum d cadat supra, sire intra D;) Currae do R concinuatae (pro simili
concinuatione Solidi,) secabunt axem Tuum in A; eigne (Continuato) Occurrent
icerum in S: tanto ulEra A, quanco d est cirra. Ordinataque ultra A; cadem ip (X
crunt qua citra; sed cum contrario signorum + -.
62. Curraeque do As, in unum idemgne plantum cranstatae, (Si diridi Suppona-
tur BD in partes aequales in punctis d,) comparebune uc in Seprima Projectione,
F18: 22. Obi recta d A concinuaneur ad s: acque cum cransteruneur (quo ritetur
contulio) a proprio suo sicu in ABDC plano, ad rectam A C ContInIALaM. RC.
etaeque eo eildem ordinarim axplicancur in hac posicione, in ea ratione ad RS, qua
est 2e ad a R.
63. Magnicudines in hac Projectione, sic detieno in Speciebus;
AB = CD = K
CR = +
1
R =
Ab. Aa:: CD. CR:: Bd. a
aR (-
64. In

## Folio 695 — 851708439:0719
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000719.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 169 lines, status machine
1e
u
C. 0 N O - C. W N F U 5.
64. In Numeris (PoLO A= L, - 2y) sentades Gusue Ccrarum in
Schemate descriptarum, Ac, ejudem lunc lonsiudinis cum BC, 554.
T. F2803
d.
2.. L . L
T.
LC.
L. 60276
T. 23607
2.
2. 69258
Ft ordinata, s diridantur Semi axes in 4. partes aequales, adeoque Axes ipsi im
; HX CrUNE
O. L2. 
O. 108
O. O6I
-0. 061
-O. 108
O. T2.4
Vel (quo accuratius deseribantur CurrX) Si diridantur Semi axes in Bartes 16,
adteoque AXeS ip(I In 32; OrdIMALA ETUHE guX LEGLUINEE;
T.
TIT.
5.
0.2447
O.3777
O. 3552
O. 3720
0. 3748
IV
c
O
-O. T27
O. 2 7
=O. L.H.C
0. 1E
-O. 325
2
O. L
0.32
O
-0. 303
2
0. 62
O. 2.6
O. 2. 1
O. F2. Y
O. 325
O. 182
--O. 372
O. 2325
O. 1067
6. 1738
3. (210
LO.
6. 16T5
.1507
1.93
1. 460
+0.
-00468
O. 2.4. L. L
O. F84. 2
O. 1240
0.
0.0624
--0. 1240
O. 407G
D. 5293
0. 592L
O. 62.0
O. 624c
0. 6005
O. 58T4
0.54. L
O. 4918
O. 4348
O. 37T
O. 3020
O. 2302
O. T550
tc
0.0780
O. 155C
O. 2.307
O. 3020
O. 37TY
=O. 434
D. 4916
O.54. F3
+ 0.5814
0.0816
O. 1059
O. T784
O. F240
O. F250
O, 1220
O. F263
O. 2083
0. 0984.
0.0869
0.0742
0.0605
0.0460
O.0310
O.0156
+0.
O, 1052
C. 2368
O. 2400
O.2499
O. 2440
-0.0156 = 0.0372
0.0605 = O. T210 - 0. 1815
-0.0742. - 0. 1484.
0.0669 - C. 1738
0.0984 = 0. 1967
0. 1083 = 0. 2765
-0. T163 - 0. 2325
0. 27)L
0. 324.8
0. 3488
-07220 =0. 2440 - 0.3660 6. 4880
O+250 = 0. 2499. = 0. 3740
O. T240 =0. 2480 =0. 3720 = 0. 4960 -0. 6200
-O. F184 = 0. 2368- 3. 3552. - 0. 4.737
6.592F
-O. F059 =0. 2118 =0. 3777 -0. 42.36 -0.5295
0.0826 -0. 1632 =0. 2447 - 0. 3263 -3. 4079
O. 3263
O. 4. 236
. 3
0.0780
O. 4960
O. 4098
3. 4880
O. 465F
O. 4330
O. 3934
0. 346
O. 2060
0.0624
O, 2 F78
0.3660
O. 3488
0. 3248
O. 2165
O. 295F
O. 1484.
O. 2607
O. 2,2. 26
O.002F
0.0620
O. O3T2
-0. 0310 -0.0620 -0. 0930
0. 0460 = 0.092F - 0. 1383 - 0. 1642
-O. 24.2. F
-0. 2969
-0. 3476
O. 3934
O. 4330
--0. 2.226
-- 0. 2607
= O. 465F
-0. 6099
-0. 4098 -0. 6248

## Folio 696 — 851708439:0720
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000720.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 26 lines, status machine
696
F1g. X -
S.
C O N O - C V N E U 8.
Frg. XIX
Figs. XC.
L. XIIX.
FIg. XV.
0
2g. 2LY.
de
e
60
la1a1
l
1
Di
lenra
10
1B
c
aua
111
a
tus
=1+

## Folio 697 — 851708439:0721
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000721.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
C 0 N 0 = C, U N F I 5.
Obi obiter nocandum, hujus Sectionis Curras esse inter se similes; carumque
Ordinatas, respectire Cumptas, proportionales; iplis, nimirum, Bd proportionales.
65. Sune et plures ejuldem Solidi Sectiones. Sed hae Septem Lunt qux tum pro-
Donebantur contideranda; quas itaque jam consideralse Lifficiat.
66. Verum, ex his, Ouatuor poltremx (alixque his non mulcum diver(ae) ca-
dune omnes Tub una Generali, uc ejusdem casus Parciculares. Quod uc melius per-
cipiatur; libet jam Solidum complere (salcem iplius Semillem,) quod hactenus ut
Ouadrantale considerarimus. Supponemus irem Solidum hoc (intra balin circu-
larem) dcortum continuari quousque opus erit. Idenque Cursum continuari (post
decullationem in AB) prout Tolene Oppolici Coni conliderari.
67. Supponamus itaque, F15. 20. CentrO C, Diametro AD, describi Circuium
ASOD. RF C. D, diamerro a C D perpendicilarem, diridere lemicirculum AOD
in duos Ouadrantes: Ft, Circuli plano, ad rectos ansulos intictere AD BB rectan.
gulum, in duas partes aequoles dirilum a recta CA: Adeoque, juncta OA, Pri
ansutum CO A, erir ad rectos angulos urrique Plano. Irem, a lingulis punctis Sy
in perimetro hujus Circuli, ad respectira puncta a, duci rectas S a, complentes
ad urramque taciem Rectanguli) curram superticiem ASDBB. Ilae duae super
ticies Curra, una cum circuliplano, Solidum continent, quem Cono. cuneum ap.
pello; ex Ouacuor Colidis Ouadrantalibus conflatum, qualia 5 F deseriplimus. 50-
lidumque hoc, ejusque oppolicum; post decullationem in BB, tactum; conrinuari
lupponimus prout opustuerit.
68. Si Solidum hoc secetur. Plano quod sic perpendiculare Rectangulo ADBB:
Sectio iltius Plani cum hoc Rectanguto; Vel erir ipsi BD parallela; atque cum le-
Etio erie Friangulum Rectangulum, ue in casu nostro primo, 56. Vel, parallela
recta DA; acque cum Sectio exu FIlipIis, uc in calui secundo, 5 F3. (et quidem Cir-
culus, si lic in ipla DA; e linea recta, si in BB.) Vel Calcem Oblique secabie ovro-
sita duo latera B∞, BD, (Si OpuS, Produeta,) in s, d. Ouam rectam Sd appello
Diametrum Peu Axem Curra, sectione Solidi tacta.
60. Atque Subhoc casu ultimo, cadune quatuor postremae Sectionum ante me-
oratarum, (quarta, quinta, sexta e Septima,) ue inspecto Schemate liquet. VBi
Cd CB, Cb, respondent sectioni Ouartae: AB, AC, NA; sectioni Ouinta: BC.
BC, BF; sectioni SexIX: et AS, A ∞, AF; sectioni SeprIIK. CurVaS aurEM, qua
his Diameeris respondent, omisi: ur qua (si describerentur) nimiam crearene, in
Schemate, lincarum contutionem.
70. Tam vero, in quaris harum DIAMEtTOTUM S d, FC. TF, dato quovis Pun
eto; Ordinata ad hoc punctum applicanda, seu Alcitudo Currae Cuper hoc vrn.
ctum; Sic inrenitur Gcomerrice. Per datum punctum e, duci (UpPONatuE recta
aPR, rectae BD parallela; secans BB in a, e AD in R: Super quam erisi sup.
ponatur perpendiculare Planum; secans semicirculum in RS; et solidum in aLS
triangulo rectilinco rectangulo: In quo, ducta po, ipsIRS parallela, pervendien-
Paris erit plano Rectanguli, ue elt recta RS. Adeoque s est punctum illud in
Curra Superticie, quod puncto p supereminet. Per quod itaque trantit Curra linea,
cujus Axis trantie per p. Adeoque po est Ordinata ad punctum illud ei diametri seu
AXCOS dd.
27 Adeoque, datop puncto, dantur irem a e R; de consequenter RS ordinata
seu Sinus rectus, puncto R respondens in Semicirculo ASD. AEque TM, (PrO.
Pter aRS, apo Timilia criangula.) V7 aR ad 2P, sic cA RS ad p5
72. Si ergo inventis, hoc modo, tor quor opts videhitur punctis  Cedmetrice:
Curra per haec (Mechanice) ducta, cst ea qua ad Axem d’d pertinet.
72. Calculus Arichmericus, Sic perticiatur. Supponatur A D diridi in quot ODIIS
videbitur partes aequales in punctis R. Rectaeque R a (productae si opus) dirident
sd in toridem aequales partes in punctis p. LI Si a puncto d, aucatur ipsi AD
parallela de, secans AB in c; e a punctis e, rectae pE, eidem AD parallela OCCyr-
rentes eidem AB in E: Paraliela er, rectam se secabune in coridem aequales
DaTECS.
74. PONantur jam ( pro commodiori calculo) AD = D. AR = d. de --- s2.
 = a. (Adeoque d d = V: D F N. _ Se = Y: d F a.) BA = A (alcieudo
ipsius BB verrieis supra balin AD.) FES B = a (alcitudo iplius BB verticis solidis
supra s’interiorem verricem Currae.) Tum erunc eB = a = 2; _ cB = 0. - 0; al-
cicudines rexricis BB supCa C, C, LCu d, P. (FrSO, quando A, c, majores sunc quam
EEF
a; quan.

## Folio 698 — 851708439:0722
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000722.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
C. O N O - C. U N F, U 5.
a; QuanTIIaLES ~ == 52, a = 0, erun Negatira; adeoque e, e, sypra Verticem eB,
in oppolico Solido.) KC RD = D = d. Adeoque RS = V: d D - d: media
proporcionalis inter a R, RD; hoc clL, inTeT d, D - d.
75. Tum, proprer a RS, ap5 similia eriansula, (liree Sicintra, sive Fupra BB:)
et aR SCuBA, ad ap sCUBE: dic eAt RSa4 PS. HOC Clt; OE A ad a = co; Sic
Y: 2D - ~: ad  = Y: 2D - d. Oux est ixiur longiudo reclae po.
76. Si igicur, in Plano, describatur recta equalis ipli sd, in 10c aequales par-
tes dirisa (pront supponicur) in punctise: de super his exisantur perpendiculares
iplis eo sic inventis aquales; (ita camen ue Onancitares BCGATIVX Ex CONTTATIA
rectae parre applicentr): Curra per punctao in plano deleripra, CongrueL CUN
ea qua in Solido sectione tir. Adeoqne porst, ablque actuali solici sectione,
Curra sic deseribi in Plano; ee curlibet proportioni Alcicudinis ad balin Colidi ac-
commodari; de cuicungue poticioni diametri sd in Solidi rectanoulo a D BB.
7. Calculus hric, accommodacus Circulari bali ASD, parier accommodari
porlt Parabola, Fyperbola, aliire Curra cuicunque, cujus AXISSIcAD, de Ver
TexA: Si PEO V: 4Z = 42: (quae hic est Ordinaca Circuli, Donacur Ordinata al.
cerius illius CurrX. Puta,  V: d L: pro Parabola. FL =  V: d L. + 2, d:
ProHyperbola, (poticis D pro diametro cansverta, _ L. prO L alerCrectO. ) FLL.
milicer pro aliis Curris.
8. Acque ob hanc cautam, libuic punctum R designare per distanciam ejus d A
pocius quam per ejus d C distanciam prorsum ee recrortum: ee puncta e per eorum
2 s distantiam, quam d c. Quod alias perinde licuit.
70. Sin ita libuerie aelignare; ut sit C = C R, (adcoque RS = V: R - c2:); ee
a = Ac (alcicndo rercieis BB supra C): de co dilterencia aleicudinum iptuus BB (u-
Pra B et Supra c: Tum est ap = a - co pro punctis e in c d supra punctum c; sed
ap = a = a pro illis intrac, in cs. Adeoque po =  =  Y: R - 8.
80. Si vero ponatur a = B d, alcitudo ipsius B supra d, Superiorem Verricem
Currae; (quae itaque eric quanticas Negacira quories B cadic intra d:) Lt c ditte-
rencia hujus alcicudinis ab illa in s: Procellus idem exic qui prius, ni quod cumm
Proa = a, ponenda erit a. f a = ap: Adeoque p0 =   V: dD - d. Fs timi-
liver si at sit vercex Pacabola, Hyperbolae, aliutre curva, cujus Axis ds oblique
descendat.
B1. Siquis malit Organice, quam per Caleulum, invenire ordinatas po ad da-
ram Diamierrum a D in cali Solido percinenres, et in daco siu: Id commode tiac
hoc modo;
82. Primo; Deteripia, pro libitus recta L. M Fis. 12, dividacur, in punctis en
in quoclibet parces inaequales, uc linea Ordinatarum aequalibus incersticiis policarum
in Ouadrante Circuli; (prouc dividitur recta CO, in punetis S, in Projectione
prima, Li8. 26.) FC ex adverla parre puncti M, Sic diridatur a M in partes cocidem.
Ec super punctis singulis e, M, erigantur perpendiculares; ucrinque concinuanda
prout opus tuerit. Oux quidem generalis constructio, catui cuilibet est pariter
applicabilis; poreltque, semet descripta, pluribus succeltire applicari.
83. Tum; Supponacur, in expolico Solido F1s. 1Z, SL, ipsi A D parallela, se
Cans A C in F. Li C q iptC.O parallela, secans AO in 9. Duo suppolco; lu-
matur in perpendiculari ad M F18. 72, recta M R, aequalis ipsi L q in lolido. FL
deseribancur recta P a, P. L. HI rectae abscindene, in caereris parallelis, rectas 5S
aequales Ordinaris illius F. Dipseos in Solido Fis. TF, cujus AXis est dL. Ouales
sunc Ro in secunda ProjeCtIOnC (15. 17.
84. Similiter; Supponatur, in Solido Fic. IF, d c, ipsi D a parallela, SecanS
CA, ejutre concinnationem, inn: de nq ipsi CO parallela, lecans A, ejulre
continuationem, in 9. Et hoc suppotuo: fumatur in perpendiculari ad MI, Fie.
22, 23, recta Mn aequalis ipsinq in Solido; (ex eodem latero iptIUS AML cum
ME, aut latere conrario, pronc d ex s’Sune ex eodem latere, aut oppoliris, iptus
BB.) Et describantur rectae na, nL. Elae recta abscindene in eaeceris paral.
lelis

## Folio 699 — 851708439:0723
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000723.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
Det 
C O N O - C, W N F 1 5.
letis rectas eo aequales Ordinatis illius Elliplis in Solido FIS. XE, cujus AXiS
CIEnd
85. Tum diridatur Pn in rOF aequales parres in punctis co, quot sunt partes in-
aquales in a L. EE a Sinsulis punctis co, ducantur rectae ad n aut L respectire. HX re-
cta abscindene in respectiris parallelis 85, (primam in prima, secundam in secun.
da, e sic deinceps; numerando puncta co ab E, ec parallelas ab ;) rectas 50 aequa
les quasitis Ordinatis in Curra propolita.
86. Denique. Ducatur recta S d F19. 24, 25, aequalis ilsi in Solido, gux elL pro-
POLiX Currae diameter. Ec diridatur, in punctiss, in cocidem aequales partes, quot
tune inaequales in n F. Et ad lingula haec puncta p, applicentur ad angulos rectos
rectae 50, aequales illis super rectam a L. constituris, (ex eodem vel concrariis 12.
ceribus iplius sd, prouctime illae ad a L.) Ft, per punctas, ducatur (ductu re-
sulari) Curra qua ab illis indicatur. P ltque haec Curra, cadem ipla quae prodi-
ret expolici Solidi sectione, a Plano quod rectae sd insiltat ad rectos angulos Re.
Etangito ADBB.
87. IdCM DErFICCTEEUE, OpC unIIS TrIanGIIORM AMIF. F15. 13. Parallelis inibi
bis sumpris (propter ealdem in urroque Guadrante Ordinacus;) e dividendo F.n
in toridem parres quot prius.
88. Si Batis ASD sic FMiplis; proceltus idem erit ac pro Circulo. Si autem Lic
Parabola, Fyperbolas aliare Curra: Rectan L, qua jam diriditur ut L inca OF.
dinacarum in Circulo aequalibus intersticiis sumprarum; cum dividenda erit ut li
nea ordimatarum limiliter Cumptarum in ca Parabola, Hyperbola, aliave Cuira;
CujuS AXIS Sic A D. Religuulque procestis exiona mutatione pertieietur.
80. In toro aurem tactenus Progrectu supponimus Paralle logrammum ABDC
esse Rectansulum; _ Ouadrantem CD O, cidem insiltere ad angulos rectos; et
Priansula AC, aRS, urisque planis illis recta; adeoque expolicum Solidum,
Frectum este, non Scalenum: Planumque quo Tolidum hoc
rectos eidem Parallelogrammo AB D C insiltere. Sin aliquod eorum qua luppo.
nunus Rectangula, toret Obliquangulum; Sectiones inde prodeuntes, torent ali-
quatenus ab his diversa; pariter ac Sectiones Coni Scaleni, aur Lrecti sectiones
obliquae, divertae sunt a Rectis Sectionibus Coni Recti. Sec dehis Casibus nolo
ultra procedere: Contencus Sectiones Perpendiculares Frecti Solidi consideralte.

## Folio 700 — 851708439:0724
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000724.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 10 lines, status machine
  N O - C, U N L. 1 5.
asa
Fig. 17.
Lr0sClC.C. 
1O0
l
Fig.18. Project. 3.
E
Fig. Z2VI.
Project. c.

## Folio 701 — 851708439:0725
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000725.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 8 lines, status machine
e
rigus Preicata.
2 b6a a
d
c
CONO- CUNEULS. 70c
d
e

## Folio 702 — 851708439:0726
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000726.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 3 lines, status machine
702
CONO - CUNE US.
F19. 20. Lr0) ect. 5.

## Folio 703 — 851708439:0727
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000727.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 4 lines, status machine
LORTOLC EEHKLS
um uommnum e
Fig. 22. Project. 6.
10h.

## Folio 704 — 851708439:0728
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000728.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 7 lines, status machine
70+
CONO-CUINEUS.
Fets. 22.
FrOject. 7.
+
F F. F
e

## Folio  -  — 851708439:0729
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000729.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 9 lines, status machine
DESOUTSTTTO GEOMEERTCA:
Pncenomenis Experimento Comprobatis Stabilita.
Rcgali primum Societati (pro Naturali cogni-
tione promorenda) Condini, expolita NVOV.
T2. 1674. atque tum Catim corum decreto
(lingua Anglicana) Trpis cdita: Praelectio.
nibus poltmodum Creometricis Oxoniae (AN-
no sequente) aliquanto fusius explicata.
EA

## Folio  -  — 851708439:0730
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000730.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 21 lines, status machine
N. B.
Ilterratio haec (ad roturum Socieraris Rexiae Londini) primitus seripia eracus
occatione duorum Lractalitum a Doctistimo simul de Honorando Viro D.
Masrhaeo FTale, Equire Ruraco, Capiali Judici (Consulcistimo quidem d IntC-
Serrimo) in Curia primum Communis Banci dicta, Peu Communium Placitorum:
deinde in Scaccarii Curia; et tandem in Curia Banci Reci, Ieu Placitorum coram
ipse Rece renendorum, adeoque Capitali anelia fustitiario. Ouorum alter inseri-
bicur, Tencamen de Graricacione aur non Graricarione Flurdorum Corporum,
(An Fessay rouchine the Gravication or non-Gravitation of Lluid Bodies, and ibe
Reasons tbereos, 2673.) Alcer; Ditticiles Nuex, seu Obserrationes de EXperI
menco Torricelliano, (Observations touchine the Torricellian Fxperiment; and
the varions Solutions of the same; especiauy touchine the Weieht and lasticir
of the Air.) Ad quos Tractatus, hic sape respicitur; qui citantur nominibus
Tentaminis, e Observationum. Idemque Fercium (sed (erius) cdidit AnnO 1677.
(Dolt editam hanc Diltertationem; aliaque D. FTenrici Mori Adnotamenta in prio.
res duos.) Cui Ticulus Obserrariones de Principiis Mocuum localium; et spe-
ciacim de Raretactione de Condenlatione: Ona cum Replicatione ad Adnotamenta
quaedam de Graritate Fluidorum; (Observations touchine the Principles of Local
Motion: and especially toucbine Rarefaction and Condensation: Zocether Weith a
Riepts cd cerlam Remarts loulbes ihe Cravitation of Fluia s.) Duae, quo hac
rectius incelliganrur, monenda ula.

## Folio 707 — 851708439:0731
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000731.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
F. Graricatione, et Descensu Grarium, acturi sumus; praeserrim in
in medio Fluido: rariaque explicaturi Phoenomena quae ad FIydro-
Catica spectant.
Fst autem cum ipsa Ccraritas, tum quae ad hanc spectant Phoeno.
mena, Colo Experimento nobis noca, acque inde deducta ratiocina-
tione. Non urique ex eis est aftectionibus Mecaphylicis, quae solo ratiocinio, abL
que experimento Physico, dignosci poltunt.
Cunque experimento potisimum nobis innotescant, cum existentia, tum natura
Graritatis: vilum est Experimentorum aliquot, seu Phaenomenum, inductione
rem explicare. Oipore quod cum Regix Societatis instituro (quorum rovatu haec
primitus seripra elt E.xercitatio) optime quadrar qui eas pocistimum disserrationes
Philosophicas sibi ofterendas exoptant, qua vel a Factis Rxperimentis originem su-
munt, vel ad tacienda riam parant.
Cum rero ampla sIc, variaque, Graritaris speculario; acque innumera quoridio
ulu veniant Phaenomena quae huuc spectant; lne ee ea porro dieam, quae Sudio-
sus exquiruntur:) Ego ex mulcis pauca pucari seligenda; quae de simpliciora sint,
e in suo genere minus perplexa; (quo magis perspicua lic es dilucidior illatorum
ratio;) quaeque vel quocidiano utu comperta linc, rel Facili possint experimento
(Sicui id opus ridebitur) comprobari.
De Gravicatis natura, aue quae hinc oritur Graritationis; Ouid sic, aut, Inde
orra; non libet anxia disquitirione hic inquirere. Ouixpe illud Phylicae porius
disquititionis opus est quam Machemarica. Puta, Num lic a Oualitare intus in-
nata; quod rolune Peripatetici, es rora antiquior Philolophia: An a vi quadam
Magneuca, seu quae hujus instar lc, qua Perra ad se alliciat quae sibi sunt FTomo-
renea; quod Cilberri nostri placicis, qui de Magnete Scripsr (ee quidem oprime,
consencire videatur; Peu Verulamni etiam, atque post illos aliorum: an demum a
Prestu aliquo superne, quo depellantur quae dicimus Gravia; (cui Farere ridetur
aliquando Cartesius:) sire, ut Caelestibus minus Ilomosenea aur parum amica:
sire, (quod coo porius dixerim,) propter ATheris rim Flalticam, lui expantionem
affectantis, adeoque a se revellentis qua hanc impediant, quaeque, cum lint ipla
minus elaltica, minus proxcerea se cutari raleant ne repellantur: OuX CxterIS
non iniguior rideri poltic sententia: Fr quidem quae, sic exerera, in molem ali-
quando conslomerata fuerine; eadem ri uncequaque aequalires comprecta, impedi-
untur ne ab se invicem reliliane, acherire unde expulla tuerant se denuo immisce-
anF. vel, E id quadantenus actentetur (quod intra Armospharam, quam rocant
FOrte Fc) noram repullam pariantur. Verum cgo me in hac lice, ob causam modo
dictam, non interpono arbitrum.
Praelumo Calcem, (quod quoridiana docet experientia,) este quidem (undecun.
que demum fuerit,) in mundo Palrem nostro sublunari, cale quid quod Cravitatem
dicimus, indeque orcam Graricationem; qua, quae dicimus Ciraria, naturali quali
propentione deorsum teruntur, (cerram rersus, ejusre Centrum;) nisi praeraleure
ri aliqua, saltem aequiralence, impectita.
Mocum hunc deortum, Descensum dicimus; nitumque ad illum, Cravicasio.
Puun 2
nem

## Folio 708 — 851708439:0732
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000732.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
+ D
V IY A F F
nem; principiumque illud quo nisus hie seu conacus oritur, Cravitatem dieimus.
Dicimulque Corpora magis minusve Gravia, prour in se plus minutre Graricatis
habent.
Hoc aurem duxliei Palrem ratione Colet incellisi; Excensire scilicet, vel Inten-
sire; quod ec de aliis Oualicacibus distingui Coler: (Ovalicaris Ouantitarem respi.
cir illud; hoc vero, Gradum qualitatis.)
Fxtensive gravius dicimus, quod plus habet ponderis seu gravitatis absolute
contideratum: quo sensu dicinus Libram quam Vneiam praviorem; (REHE ex plU-
mis illa Sir, haec ex plumbo;) nullo respectu ad molem habico: hoc est, MajoreI
habet Graricaris duantitatem.
Intensive eravius id dicitur, quod pro molis ratione plus habet ponderis, utut
minus tortalle simpliciter consideratum; quo sensu Plumbum dicinus Subere seu
Cortice GrarilIs, _ Hydraroyrum aqua Foncana; ueur illud, exigua mole Cumptum,
minus pendeat, quam hoc majori mole: hoc ell, majorem habet gravitaris Gra-
dum. Acque hoc eltquod, nunc dierum, Specisice eravius dici lolet; ee pravitatis
Cradus, Specisica eravitas.
Sic de Calore Tolene, in Scholis, distinguere: cum Candentis Ferri exiguam par-
ticulam, Incensire Calidiorem dicune, quam Picionem ardentem Paris grandem;
ucurhic, pluscaloris, Rxcensire Cumpri, habere pottit. Aique de aliis qualicatibus
limilicer.
Nec incerim cuiquam mirum rideatur, aur solaecilinum olens, quod Qualitatis
quantitatem dixerim: Nam, ubicunque est Plus _ Minus; ibi est Ouancum: qui-
que Plus Caloris dicir, dicir caloris Duancum. Scd hoc obiter.
Dicebam aucem, ee contulco dicebam, me Gravitasionem appellare, Nisum illum
seu Conatum ad mocum deortum; utue impedimenei forte lacis ralidi interrencu,
impediatur grare ne actu descendat. Acque hoc pariter admiccunt alii, (qui in aliis
Forte secus acque ego sentiune,) dum volunt, (Pentam. D. 10, 59. Observat. P. 23)
30.) non Notum tantum, led ee Conatum ad Motum, Gravirationem dici, de Catis
apce. Hloc aurem erac mihi diferre detiniendum, ne perperam intelligenda forent
qua post dicentur. Addo tamen; hoc Descendendi conamen, parem ad A(cen-
tum avertionem seu concra nitum, es quidem aequali vi InNVETC: e utrunque,
pariter censendum, effectum Graricatis.
Gravicationem hanc, seu Pondus etiam, (si Cienus spectems,) est Pirium ali-
qua, Peu Pocentia Species. Quod moneo; quoniam, cum Racio seu Proportio
nonnili incer Hlomogenea Lic, seu qua Tunc ejusdem generis, (detinience Fuclide,
3 def. 5.) non immerico quaeri polle ridetur, ad quod duantorum genus reteren-
dum sic Pondus seu Graritas, ue constet quae quibus comparari polsint, ee invi-
cem conterri. Cumque ad Virium senus reterri dico Pondus, seu Graritatem: id
rolo; quod non modo Pondus cum P’ondere conterri postit (quali pondera pon-
deribus Tolis ellene homogenea, uc lune Tempora cemporibus Solis;) sed de cum
alia vi qualibet. Adeoque ris humana, ris vencorum, aue alia quaeliber, cum ri
ponderis expolici, haud inepre Tolet comparori; dieique vel aequalis, rel major,
vel minor ca, ee quidem in quacunque racione prouc res concigerit. Sic pondus
riribus majus dicimus, cui terendo pares non sumus: et rim ponderi aequalem,
quae par est terendo.
Cravicacioni iraque opponi poreste non modo contracia pravicacio; sed vis alia
quaeris, qua tic ne Graritas eftectum Cuum Porriatur.
Iaque in duplici ratione; nempe, vel tanquam Pis Contraria, (quX OTuM CON
trarium moliatur;) vel tanquam nudum Impedimen
tum, (quod, ab sque nitu ad mocum concrarium, impe-
dic Solummodo ne hic tiac:) qua quidem consideratio.
nes dux, quamquam expolito mocui adrersentur utra.
que, habene camen inter se disterentiam latis nocabilem,
_ quidem oppido animadrercendam.
Sic, verbi gracia, in exposica Libra, seu Bilance:
Fie. T.) Scaricacioni Lancis A, seu ponderis in ea suI.
Penli, adrerlatur concraria graricacio oppolia Lancis
B, ponderitre inibi Culpensi: es quidem (modo jusum
iplum,
Fig

## Folio 709 — 851708439:0733
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000733.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
H, Y C R A Y I Y A Y Y O N F.
ipsum, relignaque omnia Bilancis armamenta Pat Firma SINE) descentum illius ves
PrOrsuS impediet (si sic pondere aequalis;) vel Calrem recardabit (s minOT;
auc etiam (si major fuerit) Turtum rapiet.
Sed de cidem delcensui adrertabitur, vis alia sursum trabens, duc quae hoc Cal-
tem moliatur: puta ris manus humanae, quae superne polica Curtum rellat, aue
quae est hujusmodi. Oux quidem, (cum siE vis contraria, seu CONETA- nITENS,) P
ponderi tu aequalis, descentum impediet; li minor, cardabit;  major, actoller:
Non quidem taciendo ne graritet, sed ne descendat; hoc elt, ne sraritario et
Tuum Tortiacur eAectum, quem, nisi hoc estet, toret habitura.
Idem dicendum exit, de vi humana aliare quaris, qua lanei subjecta Curtum
nicacur, lancemque simul eo proerusum cat: ad vexlatur urique gravitarioni ea vis,
tanqua vis contraria. Acque similirer de alia quaris ri contra nitence judican
dum erit.
Verum cidem Descensui adrertatur, ipsius fugi (2 quo dependet Lanx) cum
Firmitas, cum RigOT: non quidem ut vis alio nitens, sed uc Impedimentum.
Ouippe si cam inturmum estet jugum ut rumperetur, auc cam Dexilé ut Currare.
cur, Laux A descenderet; eo Calrem ulque donec aliunde impediretur.
Sed ec F’unium quibus lanx pendet, non quidem Risor, (perinde enim clt, ad
hunc effectum, an rigidi sint an Rexiles illi Funes,) ac Palrem L’irmicas, impedimenco
est ne lanz deorlum teratur: Ouippe, rupris funibus, lanx decideret; sed de laxa
tis, seu in lonsum procractis, aliquatenus descenderer lans ea, usque dum non pol-
line eo pondere porro protrahi.
Ex quidem, manentibus, in luo robore, bilancis armamentis omnibus; descentui
Porest impedimento eAsc, Tubjectum Lanci Fulerum: Ouippe E lanix ea Tuhjecto
inliltat marmoreo Parimento, Ceu Pabulato Pacis tirmo; duricies de firmitas illius
quo nicitur fuleri, impediunt quo minus deortum feratur lanx ea, ctiam rupris
Toris quo sustinetur, jusore ex quo dependet.
Idemque aliquarenus dicendum erit de Medio Crasto, aut viscido, d delcendenre
pondere pertranscundo. Ouippe haec medii crassicies ee tenacitas spcciem quan-
dam seu gradum Soliditaris reterunt; mediumque carenus est minus Auidum, adeo-
que minus apcum ut per ipsum descendat grare. Delcentum itaque, sI nON per
omnia impeciat cardabit laltem: quatenus scilicet, huic separando, riribus opus
exIL.
Tlaec autem omnia, posterius memorata, descensui adrertantur, non quidem ut
Vires contrarix, alio nitentes; sed simpliciter ue Impedimenta. Ouxe quidem, 
sacis firma sint e ralida, impedient Descensum: non tamen, ctiam sI plusquam
facis, Alcentum molientur. Ouippe Parimentum, rerbi gratia, quod Millipondio
ferendo par sic; non tamen incunibens onus surlum projiciet si Polo Bipondio one.
retur. Verum de Viribus contrariis, seu contra nicentibus, secus (C res habet; nam
verbi gratia) Millipondium in adverta lance, non modo Bipondium sustinchit,
quod tacit Parimenrum) Sed Turtum rapiet, (quod parimento non sic, utuc part
terendo Miltipondio.) Arque in reliquis pariter.
Verum, quod de medio cralto et renaci jam modo dictum est, quod Scilicet cate.
nus adversetur Descentui, tanquam Impedimentum, non tanquam Contraria vis:
IIlud de medio (Ei quod (ic) pertecte Lluido, non pariter obrinet. Ouippe hoc
cum suxponatur in omni sui puncto parcibile, absque ulla ad separationem aver-
sione; s Descensui adrerletur, adrerlatur ut Vis contraria, non uc nudum Im-
Dedimentum.
Advertatur, inquam, ut Vis contraria, seu contra nitens Graricatio: Ouippe
quum ipsum grare , Descensum sraritate lua molitur; saltem, ut quem haber
sicum conserret, nec tursum feratur; quod camen tieri opus eric, Si, locum ejus
occupamre, descendente per illud grari, pellatur inde _ excrudatur. Non autem
uc impedimentum merum; urpore quod nec Polidum, nec turmum sc; sed pertecte
Ruidum suoponitur, nullamque ne separetur habens avertionem. Mocui quidem
adverlatur, ne loco pellatur luo; sed non ita partium ab inricem separarioni, ut
quae nulla incer se cohatione praeditX PrXlIINEUE.
Acque de hujusmodi Graribus, qua ee Fluida funt pocissimum dicturus sum:
De Solidis autem, seu tirmis et contistentibus corporibus, rix aliter quam ut Flui-
dorum doctrina elucidetur.

## Folio 710 — 851708439:0734
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000734.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
Si quis contta objiciat, Lusumodi Corpora perfecte Auida nusquam reperiri:
Sed, vel (quod volune scomistae) ea quae Fluida vulgo dicimus, non alia
esle quam Solidorum (utur minutorum) corpusculorum conseriem; quae Cuam
nabene lingula tiguram propriam, exiguam licer; nec ulla inter se concinuitare
conjuncta line, sed contisua tancum; neque aliter disserat moles aquea (verbi gra-
tia) ab acerro Friciei, vel salcem Parinae, aut Similaginis, quam quod ex minori-
bus illa constet corpulenlis, tormacis camen, quam hie acervus; aique ita Fipura-
eis, ne nullis uneis nullis aspericacibus implicentur, ne expedicistime postine, plobu-
lorum instar policissimorum, per se mutuo labi: Vel, ( secusTir, suncque Huido-
rum partes inter se continux, quod volune Peripatetici, (non contisua tancum,
utur tacile separabiles; nonnihil tamen viseolicatis habeane quo invicem conx-
reanE:
Siguis, inquam, hraec objiciat; nolo eso hac de re nune temporis lirem movere,
(uc quae Phylica elt concrorertia, non Machemarica.) Id mihi susticie, ut detini-
verim quid ego per Corpus liquidum seu Auidum incelliso: Fc quo quid proxius
ad has condiciones accellerit, eo propius accedit ad perfecte Auidi nacuram. FL
quidem licubi viscolicas ea cancilla sic ue rix aue ne rix sensu percipiatur, (ut in
subcilistimis liguoribus, iplore aere xethereo;) merito poterie negligi, de nullius
instar haberi. Raque quae tierir, si validior non sic quam ue ab incumbente pon-
dere Frangi polsit aut luperari; descensum quidem recardare porerie, non impedire.
Duippe, per medium riscidum, cardius sublidic; Cublidie camen, Grave.
tlt aucem in omnibus omnino sraribus, (sire Firma (inc Cire Lluida,) aeque in
cingulis eorum particulis, innata quali propensio ad Descensum; Directum qui
dem, si tieri porest; sn minus, Obliquum; es quidem secundum omnem Dectiri-
catis gradum.
In omnibus, inguam; ire Firmis sire Fluidis. (Nam ee Flumen per declire
Nontis decurrit; de Globulus pariter; palusque stans humi inclinatus, nisi tulero
Fustineatur, decidet ad latus, cum non postit recta (ublidere.) Ouod quidem co
disereius moneo; quoniam nonnullos video, Graricationem. in F luidis Laceralem
animadrertere, magnique facere, quali Fluidis tancum Deculiarem, (Observat. P.
22, 23, Tentam. Cap. 8. p. 61, 62, 63,64,65, 66, _c.) non item in Colidis: Cum
tamen ee his _ illis pariter sIE CBIMInIS.
Id alcem interest; quod Fluidorum partes Facile dissiliane, variasque in plagas
Ferantur: Solidorum non item; sed junetim moventur, sire hac sive illac: Flabent
tamen cum horum cum illorum lingula particula nilum deortum; cogne qua pol-
Cune morentur: recta quidem, si dabicur; sin minus, lalcem oblique li vel lic pol-
TINL.
Sed mistis solidis, de Iluidis praeterrim dicturi sumus.
De Fluidis aurem, hoc est (prae exeteris) Phaenomenon primarium, d maxime
nocabile. Nempe, Corpora suida, (Sihi permilta, nec aliunde turbata,) sua se cra-
vitate ad Zibellam reducent; hoc elt, ad horizoncale planum (Peu quod ad len-
cum cale sic) reducent supremam cui Fuperticiem; eamque retinebunt si vel omnino
pressa non sint, vel sint per omnem sui amplitudinem aequaliter presca.
Sic, rerbi sracia, si Lluidi superticies, quacunque de causa, undulara fuerie, ut
(Fi5. 2.) ABAB; Subsidene prominentia A, et cavitateS B
viemas replebune, donec ad libellam in L. F. Perrema.
tUT. Oux est PhanOmeni parS prIOT.
Hoc, inguam, Heri quocidiana docet experientia;
quocies aqua curbata, commoca, et undulaca, libi candem
permilla, ad quiecem se redueie in Licu horizontali. Sibi,
inquam, permista: quippe, dum qualtatuII, aUE externa
ri quaris curbatur, secus est; non suapre natura, led
propier rim excernam, impecumve aliunde impreltum:
Sed depotuo hoc impetu e vi excerna, suapre praritate
ad aequilibrium seu libellata redibie, Tublidencibus prominenciis, e caritacibus re-
partes superiores, le dilacando ampliabune; detluenique ad laterus qua vid patet,
Plello.
Hloc autem ex duplici principio CoBIE: P’arcim quod, qua Bhene Auidi

## Folio 711 — 851708439:0735
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000735.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
Directo
in caritatum lOCa dEPTEIHOTA: PATLIM GuO SLarIEAL IIIa PTOMIMenCIBIIS THBICCLA
Partibus, ne magis oncrata, derrudent (eoque proirudene) caricaribus lubjecta,
urxore minus onerata: quo al i subsidane illa, haec alturganE.
Verum quidem est; li caricacum Cumma (intra libel.
lam P. F. F8. 3. Polica) lolulo cocrceanitur ne poltint altur.
sere quae his Lubiceta Tune; nest nili caularum harum
priorem locum obtinere: hoc C, Parres prominentiores
Tuper Culcacam Tuperticiem destuentes, caritates illas im-
plebune: Ouod ridere clt, uot persuentes aquae, ripis
superaris, in aridam detsucte, luleolque implentes,
omniaque ad aquabilem rectecentes superticiem; non
actursentibus quidem, sed epletis locis declirioribus.
tim terri in dectiriora loca: Loca locum obcinebue caularum pollerior (uE F15. 4. 5.)
F
CF R A V
F A Y I O N F
Contra vero; si pronmeles fuidi partes luperiores.
cribis coerceantur (’uno pluributre,) limilire tolido, ne postint disluere, et lacera-
FI
Ouoa ec in siphonibus inversis ridere est. OuiDDC CUM qua CONFIHCTUE CMinen.
ciori cubo, ditluere non pollu aqua in ricinas parces depreltiores, cubi laceribus
praepedita; deprimit tamen sibi subjectus partes magis oneratas, tacitque ue alitri
aliae minus onerara alturgane, donec ad libellam Leu aeguilibrium res redacta LIE.
(Dummodo salrem iplae non cohibeantur Luperne, ne alTUTSANE.)
Ac vero, in eo calu qui prae manihus elt, dum cora Auidi superticies undulata
sic undequaque libera, (neque cohibitis prominenciis ne disttuane, neque carica
tum imis ne altursanc,) caularum veraque locum habene, lumnque Cortientur
effectum; ec urrinque iet ut res ad aequilibrium sensim redeat.
Non enim agir Nacura per Electionem; sed ad ultimum ririum: nec uno solo.
sed quibus porest omnibus modis operatur; dummodo tamen tales non sint, ut
unus alteri adrexletur. Sic urique ridemus, pertulis in eodem rale duobus tora-
minibus, (ad lacus altero, altero in tundo,) aquam ueroque limul cAuenten.
Pariterque hictieri judicandum est; nempe Auidi partes eminentiores A, (FIC. 2.
parcim Auxu lacerali, parcim directo preltu deortum, (cum neutrum impediatur,)
replecum ire caritates, B.
Verum quidem est: Solidum tirmumque Corpus, si gemina pateret via, non ca-
menutraque terri: Cuippe cum partes habeat ita cotnexas invicem et coharen
ces, uc se direlli non parianeur, quo partim huc partim illue serri possie Folidum,
cocumque simul ucroque terri lic impossibilo,) necesse ct, un cum unica ria terri
Dosi, ea Feratur qua porior est; hoc est, quae est dectirior.
AE verO COrpuS Ruidum, veut non postue totum ucraque terri, porelt tamen
(propcer partes in lingulis cui punctis inricem separabiles) parcim hue ferri, par.
rim illuc; adeoquo (quod erat propolitum) ueroquo nitu se ad libellam Teu aequi-
librium redigere. Elque tixec (ut dictum cMt) Phaenomeni Pars PriOE.
Sequitur pars aliera: Nempe, Corpus Auidum ad fI.
cum horizoncalem sive lua vi sic reductum live Sc aliu
unde consticurum (uc Fis. 6.) hune sicum, si Sibi permitca-
tur, retinebit.
Si sibi, inguam, permitratur: hoc cst, li neque cx-
cerno prettu, neque ante consepco impetu, aliare timili
cauta, alio adisatur; sirum quem habet horizoncalem
recinebic.
Ieque sire Superne non omnino prematur, sive in
omnibus sui partibus prematux aequaliter.
Ouippe

## Folio 712 — 851708439:0736
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000736.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
Ouippe si prior contingat calus, quod non prematur omnino; nils c quou
quierem quam jam nactum est decurbet mocumque indueat: Si poltertor, quod 
omnibus lui parcibus prematur aequalicer; nihil cleur tac quam illaDaes Potus
sublidat, alturgatre, quo sicus Horironcalis decurbetur. Aqualis enum ubique
Prellus, omnia in aequilibrio derinebit; non minus quam oppolicx in libra lances
aequaliter scarata se mucuo decinene in aeguilibrio; pariterque a Cal
vires morrices invicem aequales. Ouxe elt expoliri Phanchent pals Potlettot, guo-
ricllatia item experientia comprobata.
Verum si in aliqua sui parte, ut D (F18. 7. 8.) prematur, ee non in reliquis; vet
in D masis quam in reliquis; (_ illud incumbence pondere, sive alia quavis vi
morrice vel ddlisente Hac;) Pars ea prelta, vel magis prella, deprimetur; quaque
non prelia sunc, vel sullls precta, altulgent: propier ririum morricium pocentio.
opponi volleut rim concrariam, sed e pondus cum alia quaris ri urgente com
parari polle, cire rel aequalem elle rel inaequalem; inaequalium rero, Fortiorem re.
liquae vraratele.
ostentum elt; pariter obcinet de alio quoris horizontali plano uc LG, inCra C Or-
Dus Auidum. Ouippesiomnes Cui partes, sire d partibus Auidi Cuperioribus, live
aliunde, premantur aequalicer; eundem quem habene sicum retinebunt, proprer
concrarias vires, inricem aequales, se mutuo in aequili-
brio decinences. Sin alix aliis, undecunque Fat, Fortius
premantur; hae reliquis praeralebune, casque loco de
Turbabune (u0.
Idem concinset in Siphone inverto (Fic. 9.) Ouippe SI
altius emineat Fluidum in crurum alcero, ut A, quam
in reliquo B; Sublider illud, acque alturget hoc, donec
ad Aquilibrium redigatur, seu Horizontale planum, in
L. F: acque, ita consticmcum, in eo sieu consistee, nisI
aliunde vis accedat qua mocum interat.
Pariterque in Aqualh aliore rale xoltrato, (F15. 20.) ucur enim plus Auidi in Valis
Caro concineatur (simpliciter consideracum) quam in
Postro; non tamen hoc impedie quin ad libellam le re-
dueac luidum graritare lua: Nempe si aleins emineat
ouod est in ratis caro quam quod in rostro; sublidet
illud acque hoc alturget: sin quod in rostro alcius (I
quam quod in vase, lublider illud (ucur mole minus)
acque hoc alturget; donec ad libellam redigatur, i L.L:
ibique, nisi aliunde curbetur, consiltet.
Cauta corius Phaenomeni, (nisi daca opera rem faci.
modo lumma superticies, sed d aeeris hure subjectum LTorizoncale PlaHUM, X.
qualicer in omnibus lui parcibus premitur; adleoque, cum nulla caceris torrius ur-
seacur, non est cur hac pocius quam illa alceri praepolleat, camque poris sic loco
Dellere.
Idque
rum praeralenciam. Ouippe jam supra ostentum est, non modo pondus ponderi
Duod autem de Fuprema liquidi luvertiele, sell horizontali plano L. F. (F18. 7, 8)
F
lem perplexam reddere Patasamus,) per Se patet
Onippe, dum Fluidum (unitormiter grare) aet libellam consistie in L. F, non

## Folio 713 — 851708439:0737
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000737.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
IIMCCIII
eiCiu
F, 1
CFR A V F Y A Y F O N F.
Idque eodem plane principio, quo, oppolicarum laneium aequaliter oneratarum,
neutra descendat cleraca reliqua; sed iuraque se mucuo decinene in aequilibrios
Onamguam enim ponderat utraque, neurra tamen praeponderat. Nam nulla porest
VIS Otrix, nisi qua Fortior cst, contra nitencem loco pellere.
Ouodque de binis lancibus dicitur, paricer obtinet s terna plurare opposiris vi-
ribus libi Concra nitantur invicem. Puta, s Sphaera Colida, aue Pabulacum pla-
num, Centro graritatis suspensum incellisatur: Duippe, cum ex omni parte (IE
aequalicer libracum, in nullam propendebie, immocum manens. Ec Auidum pari-
cer, cum lic ex omni parce aequaliter prestum.
Ac rero E Fluidum sic alibi Alcius, alibi Depressius; puta Alrius in A, depres
sius in B: Partes quae ipsi A lublunt, masis oncrantur, adeoque majori ri urgen-
tur, quam quae (in eodem plano horizoncali poliea) Tublunc ipli B; adleoque,
praeporenciores cum lint, reliquas loco Dellent.
Idque eodem principio, quo, lancium inxqualiter oncratarum, ca qua inagis
oneratur A, seliquae B, praeralebic, camque (Contranitentem licet) Tursum ra-
Piet. Onamquam enim sraritat utraque, descensum appetens; praeralet ea tamen
quae praegrarITat. Nlam, ririum morricium inricem oppolitarum, quae Forrior est
debiliorem rincit, ee renitentem adigir in obsequium.
Ouod ipsum ridere cst, ubi cerna plurare (singula Tingulis) contranituneur. Sie
(rerbi gratia) Tabulatum, aliudre Corpus Polidum, a puncto (quod sui Cen-
irum graviratis non (it) Suspensum, nec ex omni parte aequaliter libratum; in cas
Partes, prae cateris omnibus, teretur descendendo, qua grarius elt; partibus lerio.
ribus (ucur renitencibus) Cursum raptis: donec ad aeguilibrium derematur. lt
Ruidum pariter, qua parce Forrius ursetur descendie, Turtum procrutis partibus mi-
nus prectis: ulque dum ad libellam reduetis parcibus omnibus, perreniatur ad aequi-
librium.
Alque ex hac causa, sic parelacta, omnia provemodum in Fydrostatieis phaeno-
MCMA OTIUNEUE.
Verum (ne in seguentibus oboriri pollic cuiquam dubicatio,) Monendum cAt.
Fa quae de Crarium Huidorum Libella, seu Forizontali situ, dicta Punt, non ita
incellisenda esse, quali Auida Corpora sic semper se ad libellam accommodarent in
Tummorisore Machematico, ut ne cantillum inde declinarene unquam. Quamquam
enim id omnino futurum Forer, Ei praeter ea quae jam accisimus nihil interremret aliud:
TTon disticendum tamen est, ob alia qua se adiniscent P’hylica accidentia, nonnihit
ab hac ampiPcia Machematica nonnunquam remitrendum ese; sicumque Auidorum,
etiam in quiere politorum, non esse semper praecise horizontalem; aut etiam, ho-
rizontalis cum Fuerit, exera hunc sicum Auida, se lua sponte proripere. Cujul
modi casus aliquos, non omnibus Fortan animadrer sos, operx pretium ritum est
breriter inLinuare.
2. Ex primo quidem, Aquae guctam notare licer, in Liecum decidentem, conrexam
superticiem non raro retinere, neque se Ctatim in plamim expandere.
2. Et quidem, E in liccum pulrerem subriliorem decidar, ridebimus se quali in
sphaeram colligere.
Sive haec trant quod habeat aqua eriam limpidistima nonnihil in se viseolicatis
ne facile separentur ipsius parres; sire quod sicei contactum Fusiat, neque huic
se tacile accommodet; non disputo.
3. Idemque in Lydrarorro videre est (ob timilem Forraste causam) quod in slo.
bulos se solet colligere: ee quamquam ex particulisminurissimis conster, maxime.
oue (ne loguuntur) Volacilibus, (quod ex sublimationibus aliisque Chymieis
overationibus latis compertum cst;) non tamen se Facile in planum expandit, sed
floholam videtur altectare figuram; utur insionem habeat graricarem, unde porius
exspectandum sit ut co masis disAueret.
i Acque hoc in Hydrarorro praelerrim norandum cst; quod, in rase vitreo,
auc viereo tubo, se ditticulier admodum accommodet superticiei ruri; quod aver-
latur pocius, ejusque conractum retusit. Onde est, quod, ritreo rase concentum,
non planam habeac superticiem (quam in Auido, insigni sraritare praedito, porius
exPectEMUS,) Sed nocabiliter Conrexam; Foltamque circumcirca politam in tOt
circuim riro proximam. Et quidem, si, in staenaurem Mercurium, mibum vi
X X XX
treum

## Folio 714 — 851708439:0738
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000738.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
EF R A V I Y A FF
creum immiccamus, ridebimuscum incra cum exera cubum hujulmodi Foltam Facis
conspicuam.
Hoc autem non eo fic quod gravicas hanc aftectet suiperficiem (quae Docius Fa-
ceret ur se expanderet Auidum) sed quod (ob caulam neleio quam Phylicam) con-
tactum rieri tugiae.
5. Idem, ob limilem causam, videre est in Aqua corporis unctuoli seu adiposi
concactum fugiente, eodem modo quo concactum Vicei tusic HIydrarsrrum.
6. Oleumque paricer, ob causam non ablimilem, haud tacile pacieur ut se com-
milceat Aqua.
7. Contra vero; Si Aqua vati certo nicidoque ir fundatur, cui nihil adhaereat
unctuosum, adiposum, auc oleosum; Aquae superticies non erie pertecte plana, led
nec (ut FIydrarorri) convexa, sed aliquarenus concara; in medio scilicet quam
ad lacera depreslior. Ouod quamquam non admodum sic conspicuum, uc primo in-
CHIEI ROECTIT; accuratUS camen noranti deprehendetur.
Cujus causa, non ab ipta Auidi pravicare perenda cl; sed porius, quod ineum-
benS Aer (PEOPTeF ramOSaS quas in sC parceS habCrE PONTIE VEME minutissimas) non
ita facile prompreque pocelt ad latera se accommodare arque ad medium. Sic
ucique si spinarum tascienlus aperei valis grandiuseuli lummo imponatur, aue Tum-
mo minoris ralis lana Vellus, videbimus in medio deprestius tieri quam ad la-
cera.
Adde etiam quod ralis ese Dolic (ob hanc ipsam caulam) Reris natura, ut disti-
cilius se possic valis laceribus accommodare quam posTit Aqua: (Flycrarsrrum
rero ditticilius quam aer ipsc. ) Videbimus urique nonnunquam Aquam in minu-
ciora spacia rimulasque Pele inlinuare, quam iplum Aerem; eolque poros subire
quos Aer ipse non penetrat. Oleumque iptum, (ucur riscolius rideatur, nec ita
tacile separabile,) per eas deprehendetur rimulas transire, quas nec ACetUM tran
sibie, nec (ni fallor) Aqua pura, nedum Aer. Ouppe Phiala Vitrea; leviter
Tracta ee rimulam palta, ita tamen ve Acecum concineac ipsi immiltum; Oleum
non ita recinebie, quin per rimulam sese insinvando sensim cransibit.
8. Quodque de Aqua jam monnimus, mundo vali certoque immilta, deprestiorem
habitura superticiem; Fallor an idem in Flydrarsyro deprehendatur immilso rati
aureo, aue incus deauraco. Vene enim Conractum Vicri (ue modo dictum cM)
retusiat; Aurs tamen concactum apperir ee amplectitur, eique ita se sponce appli-
eat accommodatque (quum pratum acciseric,) ut non tam corpus contiguum quam
concinuum plane videatur, ilele que abltersi vix auc ne rix omnino postit, ut vel
ipHC OpuS sC vel aqua FONH (UE LOguNNEUE) quo separeNEUT. Non mirum iiaque
 liquando rasculo aureo vel deauraro immictum lic, ue, subsidente medio, aNur-
O. Porro, Si viereum cubulum, exilem valde, (capil.
larem vocane Vicrarii, ita procractum ue capillimagni
cudinem vix SuperCL,) in Aqua COnSLILaMUS, (UETIN-
que apertam,) ut C A Fi8. 5. Conspicietur Aqua Sen(im
le intinuare ad pollicum aliquoc alcicudinem supra
stagnantis aqua luperticiem, (ex quidem eo alcius quo
Tubcilior est cubus,) non alia vi prelta quam sui ipLIUS
pondere de incumbentis aeris: puta ad A.
2O. Et quidem, Si jaccac hujulmodi mmbulus, vel
tuo pondere vel alias lic inCurVaTIS, u siptionem
micetur: Prostuet inde, eriam absque luctu, Burcacim aqua; pari modo at
que ab aliis siphonibus luetu Colet Relici; ascendente
incerim aqua supra liquoris, interius stagnancis, super.
ticiem.
Ouorum haec este caula ridetur; quod non ita pol.
sic commode se Aer insinvare in oriticiO exTETHO, UE
prectu suo (de incumbentis Aunosphaera) prohibeat
aquam intra subeuntem, ab aere patenre, ILaBnANCIS aqua
superticici incumbence, propullam.
Er. Similique caulae pronus sum uc auribuam alcen-
sum nutricii succi, in arboribus quibuldam praealtis
(pedum puca 40, 50, Pluttumve,) per subuiles poros sele intinuancis; ulira quam
incumbenis
eanc margines ad auri Contactum.

## Folio 715 — 851708439:0739
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000739.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
1211II2)
Hydi
DeO
deacur
fi, 7
ER A V I F A F T O N F.
incumbencis Ainosphaerae prestii propelli soler aqua in Anctiis, aliisque iltiusmoc
Orxanis, guae uetu censeri Solent aquam elicere. Non negem tamen quin Valvu-
larum policura, aliorumque in arborum Anatome nondum animadrerlorum, (olim
torce reperiendorum,) eo poltie conducere.
12. Pandem (ne caedio lim recensendis omnibus,) in moris luidis, priulguam
ad quierem se reducant, notare licet non raro undulationem quandam Leu ReCIpTO-
cationem aliquandiu repetitam, qua nunc intra, nunc supra, jultam alcicudinem
conspiciantur. Duod in lixperimenti, Toricelliani vulso dicti, administratione,
obserrare clt. Ouippe, cum tubus, Flydraroyro prius repletus, inverritur; oriti
crumque intra lagnancis Fydrarorri superticiem aperitur, quo (quatenus opus
exit) eluere pollic nonnihil cubo contenti: cAuente (cum impetu) Tubcus FV
dearsyro, majori in copia quam par elt, sublidit plus julto superticies Hlydraroyri
in cubo relidui; mox, julto alcius recurrie ascendendo; atque sic porro lublultar
aliquories reciproeo moru, donec tandem (impetu devolico) julta consiltie alci-
tidine.
23. Idem obserrare est, in qualtaro rase lonziusculo; instar Cymbulae aqua re
pleca, (maris Auxum ec reltuxum aemulantis:) nempe, nunc ad proram aqua
Tublili relicta puppi; nunc ad puppem, prora relicta; nec nili polt longam mO-
ruum reciprocarionem candem quieleit.
Ouxe quidem reciprocationes, nunc intra nunc supra jultam alcirudinem, codem
nicuntur principio quo ribrationes Penculi: gnod motu reciproco nunc ulera nunc
citra perpendiculum terrur; non graritate lua limpliciter considerara (quae in iplo
rerpendiculo pendulum decineret nili quid aliud incerreniret;) Scd propier jam
concractum Impecum, quo tic uc grare, jam in mocu politum, perleveret ea mo-
verc qua caeperat; eoque sentim extraulto, revertitur graritate lua ad perpendicu-
lum; led ec, propier norum hoc mocu concraetum impecum, ultra tertur: atque
sic aliquories antequam consiltat. Parirerque concinsir in F’luidorum parili mo-
Eu reCIpEOCO.
Verum haec omnia, et siqua sinc horum similia, nobis impraesenciarum distimu-
landa LUME, aue neclisenda; utpore quae ab aliis oriuntur accidentibus quam qua
prae manibus hatemus consideranda. Nos urique, miltis aliis accidencibus, conti-
derandum proponimus, quid su quod ex Fluidorum Ciraritate cum L luiditate con-
juncta, leorlim ab aliis accidentibus, oriturum lic. Dicimusque (quod quoridiana
docer experiencia) Corpus Auidum, graritare sua (nis quid aliud interveniret)
se ad libellam redueturum; eoque litu (nili excerna vi curbatum) Cuo se libra
mento conserraturum: Aique ex hoc Phaenomeno excera tere omnia, quae Flydro-
slarica spectane, deducenda TUnE.
Objiciat hic Force aliquis; Duod Aqua in Aquam
non graritee; (acque de aliis liquidis limiliter:) eo
quod Flementum (quod aiunt) non cravitet in pro-
orio loco. Acque hinc est (inguiunc) quod, Aquae Tub.
jectus Vrinacor, non senciat incumbentis Aquae POn.
duS. (F18. FT.)
uic Objectioni anrequam directe respondeam, di
cendum est; Principium quo nititur illud, Flemen-
cum in proprio loco non cravitare, prima intentione HOc
concum ligniticalle: Nempe, Cum nisus Crarium (it Ad terrae Centrum; ubi eo
vervencum tueris, auc illic policum Cirare, non ultra teretur (nili aliunde prectum)
Gravitate propria, aut motum inde molietur; (hoc urique eller, non. Id Centrum,
sed Centro moveri.) Pariierque; (i aliud quodeunque Corpus, ad certum ali-
quem cerminum, natura sua cendat; deceltum inde non altectabie cadem sponte
tua, (quippe hoc estet, concra nacuram tuam Ferri:) Adeoque, Si Feratur ulera, ab
alia id caula tactum iri, neceltum crit. Sic, agiratum Funipendulum, ubi ultra
perpendiculum oscillando tertur; à pura gravirare, simpliciter considerata, id Fa-
ctum elte, non dicendum erit; (quippe Gcraritas locum imum appetir, adeoque in
perpendiculo consisteret;) Sed ab Impetu jam impresso ab antecedente mOtI. AEque
hractenus Principium illud omnino idmicrendum est; Corpus quodpiam, ubi in
termino suo quem sua nuuca appetie policum est, non affectare sponte lua ut trine
Feratur.
X X X 2.

## Folio 716 — 851708439:0740
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000740.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
tentum decorquent hoc ettatum ab eo quem voluerune hujus Auchores primi.
quam elte in proprio loco: Le speciacim, Num Aquam in Pilema pentili, in
Prxalta Turris (verbi gracia) lummo tastigio curiole condica, in proprio loco
consticuram dicerene Ouippe, si lic; cum, aperco Tubeus toramine, estundi non
deberet; vevore quod, lic polica, non gravicer. Si non lic in proprio loco; cum
Fallic hraec rario: Nam neque in hac pilcina magis senriet Vrinacor onus incum
bentis Aquae, quam in imo Flumine. Non itaque ob hanc cautam, (quod Aqua
sic in proprio loco,) sed ob aliquam (quaecunque demum tucric) caula OxItUI,
quod aqua pondus non lentiatur.
non Gravitare clamitant; hoc Palcem le dieune incellectum relle, Non gravitare
Fluidum, in corpus quod illo l censire grarius; seu (ue Logui jam aant)
diversa sentrre in nonnultis; led non item ab Archimede.
Feratur. Oui vera hoc ad praesentem ealum accommodatum eunc; in alium lonee
Deinde, Interrogatos velim eos qui sic arguune; Ouid sic (corun Tetttu) A.
Cle itaque quo ricent scopulum, (e huic timiles;) Dum Aquam in (uo loco
specitice grarius. Acque hoc quidem quocunque dettum loco policum sic; live
luo, sire non Tuo: VE jam de Joco proprio non limus Porto LOHCI. LC IS
Tententia, sic expotix, me accommodo.
Dico aurem neque hoc ralere. Ec quidem juXta meCUM PenEIE (ne nOVILa VL
deatur mea semrencia, aut Anti- peripatetica,) Archimedes iple; enrcos alterens, e
Pro Postulaco habens, parces Auidi Superiores in libi subjectas Starcale. L. 161O
noec 3 oxrulicor (lic Scrabo) seu 7 E isaros oxruicor (Cic Pappis) telt (rellee
Commancino) De insidentibus humido; (Suppolicione leu Poltuta .) L
natur, iquie humidi eam esse naturam, ut partibus ipsius aequaliter jacentibus
ee contindatis inter sese, minus pressa a macis pressa expellatir: unaquaeque aut
tem pars ejus premitur humido supra ipsum existente ad perpendhcutum. eod
(ex Commandino) lic GFaCC rerEIE RIVaLCS (OTRCUS enIM ATCHIMICCI CEXTIS
NON CXTaL) Tnondido 3 Ezes rOIOTar QoI Eiuer, cdsC Z avr uceecor eE ior nepdcor n
ouvgouicr Ex anuncor éxastor memcoor od  paor ncodi, Enb cad EnaSOV se
aur ps, niEerat o 3 iget 8 orros imip auro rara neide.or. Nec aliam tuilte Arilo-
celis sententiam, laris contido. Ec quidem si tuiller alia; auchorttatem Archime
dis, ipsius etiam Ariltorelis auchorirati, hac in re, merito praluerim. Ouam ne
que Aucor trie rejieit (Tentam. P. 4.) Ouippe cum mmedem (de Insiden.
sibus humido,) Mersennum eex Stevinum, una laudaverac; ab his duobus ait le
Subjectas aucem humidi partes ab incumbencibus grarari, (ne longe abcaltus,
Familiari docemur experimENCO. Nam, S VOLIUM CETMHATHUI al VaS aMIIICI II
quore replecum, existomio instructum HIC: (ut PrC. L2, LZ.) manitestum cst, ma
T. 12
10 pe et pectori purgue, protupiurum liguorem, aperco prope tundum
epistomio; quam si in medio, auc prope summum, sicum fuerie existomiuit. I
sisque, si plenum fueric dolium, quam si semiracuum, auc pene extaultum. O1dd
indicio est; humidi parces oriticio proximas, Cuperiorum prettu urgeri: 8. quo
Pluribus ursentur, Forcius crumpunt.
Et quidem (quod Oenopolis nocum) idem Vini Dolium, aperto prove tundum
Foramine, spiricuolius de magis viridum eminie vinum, quam li propius à lummo
aperiatur. Cujus alia non videtur este causa, quam quod Aerex parcieula (aliaere
Elactie) arctius illie comprimaneue, quam prope summum.
Fslgue

## Folio 717 — 851708439:0741
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000741.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
l1, 5
CF R A Y F F A F
Fstque oculis conspienum; si quando in Duido obserrentur, generatae in imo
bullulae, ad summum emersere; sensim grandeseune emersendo. P0 scilicet, quod,
quo alrius alcenderint, CO MINUS COMPPIIANEE.
Sin dicat quis, non in subjectas partes graricare Tummum liguorem, sed in ex-
ternum aerem epistomio proximum: inane hoc nonseiuror cll. Ouippe luperiores
liguoris partes non aliter premunt remotum aerem, quam premendo quod inter.
medium cst: licur, in conterta hominum curba, domo concluta; pro toribus stan-
rem non alirer ursene alii lonsius remoti; quam intermedios ursendo: neque aliter
perrica procrudimus quod in pertiex excremo elt, quam iptam protrudendo perci
cam: nec alicer F’uni connexa ratimus, quam lunen iptum eratiendo.
Verum hic (quod obiter moneam) inter Trusionem de Tractionem, diserimen
incercedis Pacis notabile. Ouippe ad Frusionem Custicit ut res procrusa Talrem sit
Conrisua, urur Connexa non tuerit: Sed, ad Fractionem, Connexione opus est.
ec quidem lacis tirma; (secus enim, dirupto rinculo, minime trahetur OMS.) Lx
quidem, ad Lancem deprimendam, sutticie Arenae Moles; Sed non item, ad retra
hendam, Lultieit ex arena linc calee Funiculus.
EE PrODterCa; Francisei Lini Funiculus (quo Fsperimentum, P’orricellianum
dictum, explicare Patasit,) non Cola Conciguicate, sed e Textura opus habet,
quae robur es tirmitatem conterat: Oua line, Luspentum Hy draroreum minime
tustinebit.
Onin imo; E Fractioni Cucticiane (quod volune illi) Fluidi parcieulae, quan.
culumcunque connesa: mulco magis et ad Prusionem ralebunt; hoc est, ut alix
in alias Graritent; quod nos dicimus.
Fst ixicur incellectu mulco Facilius, (in Siptone inverso Fic. 9.
Agna in A clatiorem, scaritate Cua premendo posse procrudere
tumiliorem in B, (quo tiat Aquilibrium: ) quam, uc Aer in F
alcendens, Turtum traheret aquam in B, (nullo libi vinculo
COnnexam,) atque haec similiter aquam in A CraHeret deOrTuM.
Ouippe ad Prutionem illam suctieie, partium Conriguitas; ad
Fractionem hanc, Connexione parcium opus est, et quidem
OImnIU.
EE ProPterCa; Si daremus, Funiculum imaginarium Lini (K
verus sic) Pariter ad explicandum Phaenomenon (per viam
Fractionis) ralere: Cum tamen ea per P rusionem Hy pochelis, (iplis Fatetibus,)
rantundem praestet; (Observat. P. 7.) multo cerre pocior elt haec IIy pochelis, quam
quae Tractionem inducir per F’uniculum imaginarium (ex Arenis dICaM: aM) eX
Aihilis contextum.
Ouinporro; Ab erudito Scriptore vnpero, qui celato nomine duos edidit Anoli-
cana lingua Fractatus (quorum alceri Puulus, De Gravitatione ex Non gravitatione
Fluidorum Tenramen; alceri, Difficiles Nueae, seu De Torricelliane Experimento
Observata;) quibus Lini tuetur Funiculum, noltrae que
Hrpocheli adversatur: conceltum interim habemus;
Non Aquam modo, sed ec Olcum in A tubo (Fic. 5.
Aquam in B Curtum adixere: aue etiam (existence A
mbo, aqua vacuo,) si supertunderetur Oleum in B,
adactum iri Aquam in A cubum; non ad Libellam (HO-
rizontalem) sed ad Aquilibrium: hoc cst (ut Siris utar
verbis) ad eam allitudinis in Tubo proporiionem, qua
aequipolleat ponderi parilis Cptindri ex Oleo: caulanique
eandem iplam quam nos altignat, Dispari seilicet pressit
Morum exisente, seu Llevationem Aquae, qua parte minus premitur. (Observ.
D. 75, 26.
Hic iiaque ridemus, Lerius in Grarius gravitare; Oleum, in Aquam: neque
id ad Pondus tantum (prout ipse distinguit Observ. P. F4y +6, 32.) Sed _ adt Mo-
cum: (iplo ibidem tatente:) hoc elt, (uc ego loqui malim) non Graritac modo,
Sed d PrRegraVItaI; non Ponderat taucum sed e Prxponderat. Adeoque perie
ea quam praecendun Norio, De Fluido in Corpus specitice gravius, aut xque srare,
non graritante.
A X X X 3
F
MamitelEu

## Folio 718 — 851708439:0742
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000742.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
a A VIT A Y F
ClL, ut aqualis sic ubique prellis.) Nam, quae ita Lubum est, Olei luperticies,
(urpore specitice levioris,) aliquano alciOr erH quam (quae extra ct) luperti
eies Aqua. _ tanco quidem alcior quancum ad Aguilibitum Cutticiac: (ip10 1b1-
dem alterente.) Concra vero, polico extra cubum Oleo, ee Aqua incra; altiOr
Idem creniree, polito In B Hydeareyro, de intra A cubum Agna vel Oleo,
aliore Fluido leriort. Aquae Libra cubo intula, consistet quidem ipla multo al
Lior (uepore plus spacii OccupanS,) Sed STaGHANTEM
intra Mercurium cantundem elevabit, quancum FUpCE
intula Nereurii Libra; nullo habico relpectu ad lpc-
citicam (quam vocant) sire Graritacem live Leritatem.
Paricerque; onulta Naris (fis. 8.) eandem occupat
in mari profunditarem, (cocidem onulta Cencipondiis,)
sire Lieno tueric onulta live Plumbo: (veue illud (pe.
citice Lerius lic, hoc Grarius, quam Aqua:) nec ali-
cer li Aqua Vino, aliore l’luido oncretur; moclo pOn.
dus idem lic.
FE Lieni crabem (FiC. 3.) Aqua specitice leviorem,
non tamen in aque lumma luperticie Huicare videmus,
(quod toree, li non in aquam gravitaret;) led quadan-
cenus immersi; ad eam nempe protundicarem, uc tanci
dem aquae spatium occupet, quancum ipti lic pondere
aequale: hoc clt, doncc Hlorizontale planum, per imum
Ligni cransiens, sic in omnibus sui partibus pariter one.
racum, Ligno partim, partim Aqua.
Ouxe quidem Experimenta omnia, acque horum simi-
lia, cum sine nocillima, acque apud omnes in contesso,
notionem illam, de non Graritatione Auidorum in corpora specitice graviora, pe
NICUS CVETENE. FC quidem le (Tentam. P. 24.) dilerre agnolcit; Aerem, ve-
sica inclusum, in Aquam eraottare. Pariterque, (Observat. P. T2, F3.) non disti-
tetur (quod tiaec crincunt LX Perimenta,) Gravia, P’ondere aequasia, utut Specisica
Gravitate disscrentia, Fluat superficiem aequaliter onerare.
Eorum aucem vis quo declinetur; jam dicicur; Veut
majorem non habeat Oleum vel Aqua Pubi A (F13. 5.)
speciticam Gravitarem; majorem camen huis contert
Cravitationem Accidentalem, superior Positio, supra
quam habet quod in subjecto ase continetur; (Observ.
P. 13.) acque hinc esse volune, quod hoc ab illo de-
Prinracur.
Verum incerim non animadvercie Auchor ille, eadem
Se opera id Subrertere, quod coro suo Capite certio con-
Structum ic: Nempe, quod (F28. 24.) C in D non era-
vitet, nec D in F; hoc est, quod Aqua parteS SuDC.
riores, in Interiores sibi subjectas, non Gravicent. Ouip.
Des li mera Superior Positio FaCIAE uE pravitet; neque
ad Pondus cancum, led de ad Motum; tieri non Doiest
quin C in D gravieE, e D in B, concra quam ille con-
tendic
Fc quidem, hoc daco, oporcebic aquam inceslino
mom perpecuo curbari; parcibus Aguae superioribus in
sibi subjectas praegraricancibus, casque loco pellenribus:
ionemm cbullience; partibus intra caletactis, adeoque Tacls sevioribus, in luperiorum
locum concinuo alcendenetolts. O Blen inquam, subjectum; quippe, si iene
supra posito terreleat Aqua, non idem, credo, continget.) Ouem camen fuidorum
inteslinum mocum concinuum, pro Absurdo habet idem Auctoi, Observat. p. 34.
CNon
Manifestum icem inde est; Non tam ad Libellam (seu ad licum FTorizontalem
aeque alcum,) quam ad Aequilibrium, seu Aiquipondium, accendendum elle, (hoc
erit quae elt exera Tubum Superticies, acque in ea proporcione altior.
hand secus ac, ob aliam cautam, concinsit in Aqua terrida, propier subjectum
la
11
e
le cid
vero
lon
de
Neque
lociclium
diando
Bravi
intia

## Folio 719 — 851708439:0743
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000743.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
H, Y G R A V IY A F 1ON
(Non interim ignoro, quod FIonorabilis Boytius noster, hujusmodi per-
pecuum mocum inceltinum in Lluidi particulis lacuic; Phmaique hanc esse rule
naturam (peciticam, prout a Fixo diltinguitur; quod Eluidi parciculae perpetuo
motur inceltino verteneur; F’ixi, non item. Verum id aliis de causis latuit: qua
rem praesencem non actingunt.)
Non Tutum itaque est Ancasonilta noltro, (uc quod ltabilita lua directe Tub.
VerTaL,) uE Cravitationi tantum Aecidentariae, ob superiorem Positionem, ascribat
Ea PHXNOMENA.
Sed neque Sanum est.
Verum quidem est: Diversum sicum seu Potitionem, eidem Ponderi non raro
conterre Diverlum Momentum Peu Ponderationem.
Verbi gratia. Pondus in C (Fis. 25.) majoris erit Mo-
menci, quam idem in II volicum Non quod illic Alcius
Cic: Sed, quoniam in eo litu descenturum sc descentu
Recto seu Perpendiculari; in alcero, descentu Obliquo
et minus Dectiri; proprer Planum cui incumbit Obli-
quum, quo. Vis minuitur; et quidem eo masis, quo
magis elt Obliquum.
Pondu sque in P aut P. Qmiescens, minoris est ad Li-
bram Momenti, quam si ab A ad F. jam nunc Decide-
rit: _ quidem minoris adhue, quam s ab A ad F De-
ciderit: atque minoris adhuc quam si inde Foret vi Dejectum. Non propter atio
rem Situm, Tedpropter majorem conceptum impetum.
Idemque in E vel t, masis Ponderabic, quam in Pvel IE. Ouoniam P vel P tan.
quam ex A Tuspenta, d LibEA CeNITO C FemOTIUS LI(DENdUNEIE, quam Y auF R (u
Ipenla exD.
Diverla urique Posiio, his in calibus, aliisque multis horum similibus, variam
conteit eidem Ponderi Vim Accidentariam, a situ oriundam.
AC VerO Utior Positio, eo tancum quod Alrior, nihil novi Fmolumenti contert.
aut Momentimajoris. Pondus in E, tancundem praecise ponderabit, quantum idem
in F: Idemque tancundem in I, quancum in R: utue alciora sine R. ec L, quam
F _K. Ouippe Fili, quo pendet Crare, Longicudo auc Breritas, caceris pari
bus, neque Augerneque Minuit Ponderis Momencum. Ori consenciunt Ones;
et quocidiana docet experientia.
Ouando igitur Aqua vel Oleum, Tubo A (Fis. 5.) intulum, in subjectam aquam
in B graritat, camque loco suo Fmotam cosit altursere; Phiaenomeni caula non
est, Duod, in a politum, proprer altiorem sicum, plusponderet, quam tantun-
dem in B ponderaret: Scd, Quod, quae Tubo Tublunt partes C, plus operantur
(propies incumbens grare C A) quam reliquae in eodem LTorizontali Plano BB;
unde, deprectis quae sunc in C, Turlum adigancur varces F luidi in BB.
Sed contra hanc nostram Explicarionem, hoc urget tanquam magni ponderis
Experimentum; (Observ. P. 43, ecc.) Patella plumbo eaec. repleta quae in Aere
suspensan puta in A (L18. 26.) pendebat Oncias 78; eadem, in Aqua suspensen pen-
debat uneias 68= proxime: idque (cum exigua Calcem
difterentia, quam exculat ille,) sive immersa ad alti-
tudinem pollicum 40 aut 25, ut in C; sive pollicum tan-
rummodo 22, aut vel unius, u in D. (Nec mulco secis
Tentam. P. 8F, 82.)
Obi deminum explicare lacasie Phaenomenon: Primo,
Cur minus in Aqua penderer quam in Aere: Secundo,
Cur in Aqua, ad rarias protinditates submerta, Xe qua..
licer penderet.
Cur in Aqua minus Graritet quam in AerC; causam rejieit in Resistentiam 
Crassituainem AGuX. L.F (DaS. Y9.) Si Aqua suxersiciem, inquic, palma feriamus,
eondem fere resistentiam sentiemus acsi percusserimus tabellam lieneam.
Obi, per Resistentiam e Crassitudinem, li intelligat Viscositatem, Peu partium
cohaerentiam ne separentur: ad rem praesencem non spectat. Duippe, hac ratione,
habe-

## Folio 720 — 851708439:0744
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000744.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
l A
L a L 1.
HabEBITIF Catenus Calquam corpuS Firmum de Consiltens; non ue Fluidum, qua-
lia jam contiderarimuS.
Sin incelligae Resistentiam ne loco penatur sud, aut sursum adicatur, quo locus
Fiat Parellae descendenti: idem nobiseum aic. Haec enim Resistentia, C Gravica-
tio; qua Ponderi descendencis Patellae Concra ponderat, eoque minuit ejuldem
Pra ponderanciam. Fadem plane ratione qua Lanx adverla B, gravicatione lua,
relistie descensui Lancis A: quippe non porest A Descendere, quin ACcendat B,
cui adversatur B graritate (ua. Pariterque, cum nequeat Patella descendere, nili
Tursum adigendo tancundem Aquae: quancum luo Alcentur resistie, tancundem re-
Siltir Delcentui Patella; hoc elt, toro pondere surtum adisendae Aquae: e Per-
inde valee acli advertae Lanei B cancundem Aqua ImPONCTCTUT. Ec canco praecise
minus pendet ilt Aqua, quam ill ACrC.
Duod aurem spectat ad magnam illam Resistentiam, quam seneit Palma FOrtiteF
Dercuciencis Aquam: Contiderandum est; non modo, GUanCUM SIE POnduS AGuIX
loco movendae; sed e Onanta Celeritare lic movenda, quo locus tiat Manui ea ve-
locitace supervenienci. Ouemadmodum, si Pondus, (verbi gratia, Decem libra-
rum,) in libero aere de tilo pendeac; lerissimo quidem Digici cactu l’arde mo-
rebitur: Sin idem velis Decupla Celeritate morere, Vi Decupla opus eric: (Idem-
que si manu Ccleri Forcicer terias; id, quod molli ractui tacile cestic absque ulla no-
tabili relistencia; ictui teriencis torriter, torcicer obltabir:) Non quidem, quod
Pondus jam al Decuplo cravius, aut Decuplo masis reliltat Moini: Sed quia
Decupto Ceterior mocui, relillat Decuplo macis. Jam vero, teriencis ictum quod
spectat; Ouanta Vi opus I quo tancundem Aqua MOVCatuI, tanta Celexitare.
qua opus elt uc Manuicam veloelles uprenienu ria pareat; Tancam huie ietur
Resiltentiam exhibebit Aqua, Graritare Tua; (ab (que suppolicitia Crassiudinis seu
Viscicia Lenacitaris lioplemento;) i n sic mirum lacis esse tactui notabilem.
In Calu rero qui prae manibus et; Ouantum in aqua pendeat Parella: TIOc
Tolum Conliderandum venie, Suanooceli in adverla lance polico aequiponde.
ret, aut plaeponderet, polluque Guamlibet carde) elerare:; Non, Ouanta Celeri
Ciu) Cux tancundem in D pendeat Pacelta (submerta Pollices L2 aut Z,) acque (sub.
ue cancundem, inguam, pendere debet. Ouippe
Pancundem in Aqua pendet Cirare quodvis, Ouanto
Gravius est quam cancundem aqua. Tanto enim ma
eis oncrat sibi subjectas partes, quam  hujus LOcuM
luppleret Aqua.
Verbi eratia. Si Planum 5S (A3. 26.) sit omnibus
sui parcibus aequaliter preltum; perinde elte, in contet
I0 ett acli non omnino premeretur: (quippe jam nitris
est, cur haec pocius quam illa pars alturgat: quod qui-
CCX) dem connsie si sic ejusdem ponderis D acque cadem
quod in D; ita, quod in n cea P plus Donteerat, quam, quod ins; d
quidem, Lanto plus. RdCogue, gaCumqe HHCTI in D Pragravicatio, eadem exit
et Pragraricacio in C. (Bilance vero, nonnisi Pexgravicatio pondeTaTP.) Pariter
ne
tate FleVabIE: REque ad hOC quIdE AMMICS A Pondus Elerans, vel cancillo gra-
rius IIC Pondere sublerando. Ouxe autem ex Viscolitare est Resiltentia, (modo
ranca Non sic ut descensum omnino collac) mut quidem Celeritarem Descentus
Ted non Minuie descendentis Pondus. Lancundem Ponderis (in adrersa lance
Elerabit, led Pardius, in Viscido Auido sulpensum Cirare, quam in Auido Ligui
diore; modo eadtem lic urriusque Auidi incensira Gravicas.
25 auT 4
Altera quaesici pars est, (quam ille in hoc Experimento porissimum respi
merla Dol
in C; F18. 16.
dere in allrersa lance B lubleretur, facileet sub onere, de D Lublidet. AEque Tan
undem praecise sublerando sutticier in C. Hocel; caltcuinidem praecile pendebii
om idem, live in D, sive in C, sire in quars alla Juerie alticudine Tubmerla.
AC, inguitille, si incumbens Aqua in Pondus DGraricer magis achue srarita-
bIE (urpoce in majore alcieudine) quae in C pondus inculHBH.
Ommino, inguam, verum ct. Sed ue, quod in Cincumore plus ponderat quam
Aquae moles. SIn DSC GraVIUIS; tano plaGraVatuE hoc Onere, pars subjecta
quam SI (hoc Sublato) hujus locum occlparet Aqua. Adeoque, nisI aquali pOn

## Folio 721 — 851708439:0745
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000745.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
Hi, 17
CE R A V Y Y A Y 1O N
ac, SI TanX A, lanci B praeponderet, Uneiis 5; et utrique pariter adjiciantur Vn.
cix TO: etiamnum, Onciis 5 (nec pluribus) eidem B praeponderabit A. Nitil
ataque nobis ofticit, ab hoc Phanomeno, deductum Argumentum.
Nec magis raler, quam achibee, solurio. Nempe, Quod tantundem Aquae de
loco suo sursum adiert Patella, live in hac sire in illa ltatione.
AC inquam, hoc omnino secus ct. Ouippe, dum columna a C, (F15. 26.) quo
Fiat Patellx locus, aquam de C in n detrudit; ca qua in n Fuerar, quo libi locus
Suppetar, Turlum adisie eorum id quod libi incumbie, na: pariter ac, a D, Curtum
adicsic (quod ipti sincumbit) S’a. Non itaque tancundem, veroque calus TIr-
Tum pellitur: (sed hic, Sa; illic, na.) Adeoque nec Patella, nili luppetias nacta
ab incumbente Aqua, cancundem penderet utroque licu: contra quam ipsius docet
Experimencum. Ouod icaque ipsi adversatuI.
Sed palmarium et maxime speciolum quod in contrarium ursetur Areumencum,
hocest. Nempe, Ouod, Aquae subjectus Prinator (FI8. LI.) incumbentis aquae
pondus non sentiat: Ouare rero: (inguiune,) nisi quod, Corpus humanum cum
cravius sit quam ejusdem molis aquam haec in illud non eravitet?
Verum hxec est (quod aiune) non causa pro causa.
Si quaesicum tuistet, Cur ab Aqua non Sustineatur (aut etiam sursum Adieatur)
Corpus TTumanum, instar tantidem Ligni: allata ratio recte raleret; nempe, Hoc
cotieri, quod non majori ri deortum nitatur tancundem Aqua, quam Corpus il
lud; adeoque non valear Aqua Corpus illud loco pellere Turtum adigendo. Nitus
urique, nilu contrario, nili majori, non superatur.
Obi vero quaeritur, Cur pondus illud non sentiat homo; hoc est, Cur Dolorem
inde aue Laesionem nOn PatiaTUT: allaca causa (quod Aqua sic Llomine specitice
lerior) non susticit. Nam,
2. Fadem ratione, nec incumbentis Lieni onus sentiret Fomo, ut quod ipto sit
Specitice Lerius. Sentu tamen experimur, Hlomines non Ligno minus, quam
Plumbo, deprimi; modo pondere Linc aqualia.
Sin dicatur, Hoc co tieri, quoa, utur Flomo non SIE, SIL tamen Aer CirCUMPOSILIS,
Ligno Lerior. Elt inquam: Sed hinc secuturum dico, (per eorum placita,) Prel
lum quidem Laceralem, in Aquam; Sed non Directum seu Perpendicularem, in FTO.
minem. Ec quidem, si Colo tenus aqua merseretur Hlomo; humeris tamen luis
impolicum onus ligneum nihilominus senciret, quamquam es ipsc, et sibi circum-
potita, sint Ligno specitice grarioro. Onusque hoc Aqualiter sentiet, acti (Lioni
loco) Plumbum imponeretur ejusdem ponderis; modo line utraque in AerC, eXTra
Aquam, polita. Non tic isicur, ob circumsacentem Aerem, quod Lignum illud in
Tiominem graricet.
2. Ouamquam verum sie, cotum Fominem (simul sumptum) grariorem este
quam cancundem Agux: Cuntramen, iplius P’arres aliquae, Aqua leriores; quaeque,
a reliquis disjuncta, aquae supernatarenE; (utut, grarioribus connexa, sublidant;
instar Ligni Plumbo alligati.) Ft proprerca, ha Palcem parres omnes, deberent
prectum tentire, indeque orcum dolorem; Si tantum a gravicace specitica toret haec
indolentia. Ouod tamen secus erenire, certum est.
3. Si Hydraroyro, quod grarius est Ruidum, immerseretur homo: Turtum qui-
dem adiseretur prettu tuidi; non camen onus incumbenris Auidi magis sentiret,
quam si Aquae pondus idem sustineret.
Ouod quidem experimentum, utut de coro Flomine in Fydraroyro ditticilius ad-
ministretur, quam in Aqua; de parce tamen line magna ditticulrare adhiberi pore-
rit. Immilla liguidem in Flydrarorrum manus humana, non magis eo se comprel
Cam sencier, quam Ei in aequipollentem Aquae protunditatem immerseretur; (hoc elt,
in protunditarem in Aqua quali quatuor decuplam, ejus quae fuerac in HydrargyrO.)
Tiem; Muscae, Papiliones, aliaque istiulmodi Animalcula, Fydrarsyro immer-
ta; prelsu non incereunt, magis quam in Aqua, sed ad summum emersunt illaela.
Vefrustea sinc, qui exiltimant, ab Aquae tancum specitica seu incentrra leritate
tieri hranc indolenciam; cum Ruidorum specitice grariorum, si non ee grariorum
absoluce, pondus non magis senriatur.
4. LOHaLHIS

## Folio 722 — 851708439:0746
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000746.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
a
e
Y F
Ponamus, IVertum Sixtonem (Fic. 27.) ab A ad B rC.
plecum FIydrarss, indeque ad C Aqua quancum susticiat ad
aequilibrium cum Flydeareyro in A. Si jam (quod ucroque le-
vius clt) Superintundacur Oleum, in A: quaro, annon IIy-
drarorrum, in A, 2 Tupertulo Oleo deprimetur, turtum actacto
quod elt in B _ C Huido: Ommino tec. Ouare vero. Nam
Oleum (per eorum principia) non graricabie in AB, HydraT
Sgrum; led neque (quod aiumc) mediare in BC, Aquam; (Nam
ee haec, ec illud, specitice grarius est quam Oleum:) ImO VerO,
Ted nec in Rerem lupra C policum, ueur Oleo leriorem: quip.
De, quod est in D A olcum, humiliori jam sicu poticum est; adeoque Aeris lipra
C voliti locum non altectabic. Per eorum itaque Principia, non omnino sravita
rec; cum nihil Tic, iplo humilius, quod eo lerius lic, in quod gravitet.
OGOd ANTEM BTAVILEE, OMMINO CerNIMUS; cocumque illud A B C loco CO DelaL:
etiam non obstance (liquid hoc alicujus elle rolune momenti) superiori licu In C,
majoreque gravicare specitica.
Acque incerea remporis, Animalculum in BC, illaesum manebic; quamvis at
TIC, qua urgeatur, non modo Cravitatio ad Pondus, led d Gravitatio adt Morum.
Vaneleir isiur (quam perhibenc) nocio, De non Graritatione Fluidi in COr-
Dus quod iplo non lic specitice lerius.
Ft quidem, (uc dicam quod res est:) Dummodo sic AB C in A quil. briO; tan-
tundem deprimerur A, 2 superintuto AD, quaecunque tuerie superintuli pravitas
specitica, li Pondus lic aequale. Guippe, Dondus Oncia, mteunque exit pondus
Uncix; Oncixque pondus, tancundem deprimet subjectum Hycrargyeum, sive sit
Vinis sire Aqua, sire Olei, sire Hydrarsrri Oncia: (nempe, coulque doncc ex
CFUTE A F, in ejusdem amplicudinis CEUS FC, derrudatur pondus aequale dimidio
ponderis luperintusi D A:) nulla consideratione habita specitica Gravicaris aut
Lericacis liquoris infuli. Sin, iptius D supra A Superior policio, alicujus esse mo-
menci censeatur; pariter censenda erit, ipsius C Dolicio utroque Superior. Neque
aliud erit, quo nicamur, ltabile tundamencum; quam quod, ubi iptius D F pondus
absolutum, majus sic quam LC, (cubi masnicudine, eaterilque, utrobique paribus
exiltentibus,) depultum erie hoc ab illo, donee ad Aquipondium dereniatur.
Verum quidem elt; Si Fluidi in AD, major ester gravicas. specitica quam IIy-
dearorri in AB, nonnihil tore (alia ratione) discriminis: Ouippe jam, oravius
Fluidum, Superius potitum, non modo Cuperne premeret, sed deliiper ingredere-
cur Ruidum lerius: Auidagne senlim loca mucarent invicem; (lieur, cum Aqua
Oleo supertunditr; sentim ubsidet Aqua, alturgente Oleo;) Ouoniam, descentu
hoc, quaelibet grarioris Auidi parcieula sublidens, aqualem levioris Auidi parrieu-
Jam sursum adigic. Sin LerIUS SE Superius Auidum; UEuE Cuperne premat suB-
jectum Auidum, lubingredi camen non poreric, quin subOreri OpOTTCAL COrPUS
ipso grarius. Acque hoc credo elt quod rellene ipsi (modo lua iplorum (en(a (a-
EB CxAINATeNE) dum aiune, Lerius in Grarius non gravicare; hoc est, nOn IIa
graritare ut superingrediendo submoveat.
Et quidem; si Oler cancum supertunderetur in A, ue valeret Fydrarorrum ut-
ira P dexellere; Olei hujus aliquic, per Hydcarerrum cransiens, in crus alcerum,
ad iptunt HIque C, perCHIBCrCL.
Acque in his quidem calibus, de horum similibus, locum habet specifica Bra-
viraris aue levitaris consideratio: Non aurem in ea qua prae manibus est contice.
ratione: Omippe Olei Uncia Superintula, cancundem praeeise deprimet A, ipsum.
que C surlum adise acli Oneia Hydrarsyri superintunderetur.
Praeter hanc autem, De Non praviratione Fluicorum in corpus ip(Is Grarius,
nocionem: Bina porro comminiletur Mechanemata Vir Frudicus, seu Indolentia
Caulas, Cur, Aquae subjectus Vrinacor, incumbentis aguae pondus non senciat.
erius hoc clt. (Tentam. P. 21. ecc.) Si incelliga.
TUIE, ex ealIS Papidibus, aue Laceribus Coetis, ablque
Caemenco, constructa moles; (UIF F18. 28.) Eximan
tur aurem, excielanere, de media Bale, Lapices ali-
quor laceretre: Non capropier lublidet (inguit)
quae hise intillic Columna 1oca; sec quod P praimidis
instar
lig. 18.

## Folio 723 — 851708439:0747
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000747.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
H, Y
CER A V I Y A Y FO N F.
instar TIC: consillente quod reliquum est, ad modum Fornieis PuCTeNTaTII. AEque
hine intere; Favides eos lateretre, de media Base exempros, non sustinuille Co.
lumnae corius omis, sed Pgramidis: Ec (exempra hac Pyramide) Columna reli-
quum perllicurum absque ulla in subjectam Caveam Gravitatione. Pa5. 23, 54
Ideinque futurum arbitratur si (Laterum aue P apidum exlorum loco) substiue
rentur Spharulae Plumbea, Frumenti Grana, aue etiam Arenae; vel minueiores
achuc Partieula; adeoque, rel ipsius squae. Ouas itaque se mutuo sustentaturas
exutimat: Ur ne quidem, Vacuatum Ovi Corticem Suppolicum, sraritando laede
ret cota MOlCS. PaS. 247 27, 29, 32, 53
Verum hic muleis nominibus trracum est. Nam
2. Male supponis, Ex eo quod, exempra media Pyramide, reliquum Columna
non decidac; Pyramidem hanc, dum acterac, nihil hujus oneris sustinuisse.
Ouod perinde elt ac (i argueret, Rx eo quod Prabs (Fis. 19.)
cribus Cotummis jam tulca, casura non esser criamli media Lub.
atu toret; nihil proinde Ponderis Tultinere Columnam hanc
eium adelt.
Auc ctiam; Ouia Tabulacum (Fi0. 20.) quinis aut senis
Fibicinibus sultulcum; Substicurum achuc (C, etiam Fublato ac
libicum ex Tibicinibus uno aliquo: nullo itague Onere GraVa-
cum esse hunc Fibicinem: EL consequenter, (cum unus hic
sic quilibet unus,) Nullum ex Tibicinibus, quicquam Oneris,
TulEImeTe.
Ouum tamen, dum omnes adlune, Puam quilque oneris par-
tem lustince, eaque reliquos Tublerat; quis hoc tublato, tor-
tius urgendi erunC; Forre, _ tatiscent. Fx quidem, Si corum quod Tubtus cst spa-
tium sic continuis Pibicinibus retercum, (sen quod eodem recidit, Continuo Cor-
pore cantae lacicudinis repletum,) tantundem oneris (scu quod tancidem instar est)
lultineret quilibet (absque aliqua nocabili disterentia) quancum id est oneris quod
sibi imminet. Oui quidem est F luidorum calus.
Hloc camen acdico. Si Fibicinum illorum unus aliquis infirmior siC quam uE
possit libi destinatam oneris partem sulterre; modo tamen reliquitanto line valen-
riores quam secus opus essec; intirmus ille non rumpetur, parre sui oneris (reli-
quorum sublidio) subleracus; (quod propter continui Pabulaci tirmitatem con-
cingic.) AC secuS SC res habet in Fluidis (proprer nullam inter se partium con-
nexIOnem:) nam liqua L’undi pars (aut etiam Laterum) intirmior sic quam ut su-
am oneris parcem sustinere raleat, (quantacunque tuerie reliquarum Valencia;
rupta L’undi parce intirma, Liquor L.Auet: trultra exspectaris (Erre a vicinis Funci
parcibus lire a Fornice Auido,) Cuppetiis.
2. Dato, quod in opere laceritio, aut ex easis lapidibus constructo, ses ita Foret
ne perhibetur: Id camen hac Cola ratione concingir, Ouoniam Laterum seu L api-
dum partes prominentes, cum reliquis tulero incumbencibus cotXrent, nec posine
nisirupio Colido Latere Lapidere decidere. Si vero pars Lateris prominens, a
parie lustenrata, tam Facile postir decidere acque d Latere Lacer nullo caemento
Tolidatus (qui Fluidorum casus est;) deciderent parces illae prominentes, non mi.
nus quam lubjecti laceres medii, tulero destituri: Adeogne, non tam PyramIS,
quam Columna decideret; auc eriam (quod Columna majus sit) Pyramidis inver(a
Frustum.
3. Ubi, d Faceribus auc Fapidibus quadratis, arguii, ad Girana Firumenti; 2t.
que hinc, ad Arenas; atque sic porro: Vacillat consequentia. Ouippe, quod in
lacioribus ralei, non pariter in corporibus minuculis ralebit. Laceresque quo bre
riores funt, eominus prominet in lingulis ordinibus.
Nimirum si, Prouc jam Se res habet, Lateris cujusque pars prominens tit (ver-
bigracia,) quacuor pollicum; sumpris Laceribus longicudinem horum dimidiamr
habencibus, pars prominens foret non nili duorum pollieum; et prOPTerCa (PO
fita urrobigue caclem craltitie) Miihsideret (eadem bale nixa) Prramis duplo na
jor, propcer duplam alcicudinem. Acque lic porro; quo minores tuerint Lacerum
Papicumre prominencia, eo major tuiura elt Tubsidens Pyramis: donec tandem,
decrescencibus continuo prominenriis uc nulla tandem lint, (qui Fluidorum calus
ClL) Prramis in Columnam (aur quod ea majus (Ic) derenerit.
Ec quidem, si (ut hic in Laterum aur Lapidum quadratorum Arue) in Feu
menci

## Folio 724 — 851708439:0748
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000748.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
ER A V E F A Y F
menci ACerrO (F1C. 2T.) parcem fundi aliquam sublarum
iveric; expercus dilcet, non Pyramidem ea bale nixam
sublidere, sed (quod Columna majus Lic) Prramidis in-
verla lructum.
Duod etiam in Cleprdris (aut Cleplammiis) quori
dic experimuT. Obi, decidente Pabulo, non cavea tor-
macur Pyramictalis, sed spacium superne mulco latius,
quam in imo.
Duoque magis ad Fluidorum nacuram accedune hu-
julmodi corporum mInuTOrum acerrI; eo magis COn
Spicietur caritas, non Cono tancum auc Pyramide, Sed Cxlindro seu Columna a-
Jor. Acque, in pertecte Lluidis, cocum cAIuet.
Ex hoc igitur Argumenco, (linon aliud quid interreniret, quod post dicetur,
Remedium,) dicendum pocius eslet, Subjectas Fluidorum partes qualvis, non m
nus quidem oneris sultinere, sed mulco plus, quam quae iplis lupereminec columna:
cum, his sublacis, plus quam ea decidat.
Sin ipse, quod aic (Zentam. P. 27, 55.) rem aliter expercus est: Nimirum,
Duum tubum eptindricum Arena repletum sustulisset, non tocum tamen dempto
fundo effluxerit, sed aliquammultum manserit suspensum: Id non eo tactum MI,
quod Arena superiores non graricarerine (lire in arenas subjectas, live in (ub-
jectum carum;) Scd, quod, contercim stipaca, mucuo compreslii le sustinuerine,
4. Hloc ipso commenco luo, Tuam iplius Tubruie FIypochelin. Concedic enim,
Aquae sicula comenta, parres omnes, tive inferiores lire superiores, ucur non in
se mucuo, in Sicula lalcem tundum graritare. P. 34, 52, 54. Ac vero, li parces illae
superiores, ut in Fornice lacericio, ita sustincantur, ue in lubjectam caream prrami-
dalem non graritene; mulco minus in L’undum huic Caro subjectum gravica.
BuInE.
FE, Si (quod ipse rule Zent. P. 25, 27, 20,) congectus Fricici acerrus, (nedum
Arenae, aut globulorum Plumbeorum,) suppolicum Ori Corricem vacuarum, non
Frangic: non eo tic, quod Friticum (CxTeFAVC) aut Gravitare aue Gravitatione de
stituacur; sed, quod ita sint inter se implicata Grana, ue non postint recta deor-
sum cadere; (quemadmodum ee implicaci sentes, se sustinerent invicem implexu
uCuO, veut graricace non delticuantur.) In Ruidis aurem res secus eAt; ut qua,
Supponuntur, absque omni nexu, in omnibus sui punctis parcibilia.
Sed, urcunque res contigerie de racuaro Ori corrice, (quem, acerro Pricici
Tubjectum, non rupcum iri concendic:) id ad rem saltem pralencem non tacir. Ouip.
De cum, Rerem Corrice contencum, (auc ipsum etiam corricem,) incumbente Pri-
lico (eaceritre) Specitice leriorem elle, in contelso lic: oporreret (etiam per lua
principia) Fricieum (execeraque) in Corricem graritare, sive propter se, sire pro-
PTET INEUS COntentum Aerem. Sin, Fornicato opere, iIIaTUS CONTEEVETE COKLEX
ne rioletur: non ob defectum Graricarionis hoc concinsit; sed quod Graritatio
illa majore ri superetur: Pariter ac, quum Grare pondus, paxillo valido suspen-
Tum, pendet; aut Lancium alcera, pondere concrario in adrerla P ance, aut (uP
Potico Fulero, Sustinetur; aliisque mille casibus concingit; quibus non coltitur
Craritacio, sed iplius effectus praepollente Vi concraria luperacur.
Mulcisigicur nominibus intirmum est commencum illud a similicudine Atruis la-
tericix Decicum.
Alcerum quod commenins est subsidium, est d Laterati Pressu quem Fluidis
omnibus competere docet: hinc urique existimat Pressum P erpendicularem re-
tringi, minuique; adeoque d Craricationem in subjecta CorpOrL. Zentam. cap. 8.
Est quidem omnino verum, Aquam per declire decurturam:
Non aucem, quacenus F Luidum; Sed, quatenuS CraVC COrpUS. Nam
e Globulum videmus (impecu nacurali, nOn minuS quam AGUaM,)
per declire Moncis decurrere; uruc non Fluidum, led corpus
Solidum. Ft Corpus Lacum, tenni tulero nixum, (F25. 22.) habet
in lingulis Tui parcibus (non minus quam Aqua ipla) prectum
Laceralem; Et quidem, si medio diseillum auc suprum tuerit, ad
UErum.
Dac. BT. _c. Observat. P. OT.
Verum ec hic etiam ex male suppotiris procedic.

## Folio 725 — 851708439:0749
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000749.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
Hi, 7
E R A V I F A YF
urumque lacus (Ruidorum instar) oblique decidet. Ouando aurem id non I,
caula est, non quod Conatu ad morum laceralem deltituatur, sed quod impeciatus
conatus ille (ne consequatur eAectum) a tortiori tirmitaris et Cohationis vi I
DeratuS: Sicut e Propensio ad descentum perpendicularem, impeditur, d praepol.
lente Fuleri sustinentis tirmitare. Fc, quemadmodum Fulerum illud, li MIS
debile tic, sub preltu Perpendiculari Facilcer; Pariter et Firmicas illa cohalionis, s
minus ralica lic quam est ad descensum Laceralem proventio,
ab hoc conaru superabitur; ruptumque solidum in partes de
cidet, pariter acque Fluidum. Ouod quotidie ridere est, cum
Tolidum sravitate lua PUMPIEUE, uE Fic. 23
COMTA VerO; Aqua Situla (aliore vale) conclusa, urue Aui
da, Conacum lareralem ralis lateribus (tanquam a praepollenre
vi) Cohibicum habet, sed non Amittit: qui et valis lacera, (I
torce minus tirma line, Perrumpic; quod et conatur laltem, uc.
cunque fuerine valida.
In omnibus igitur, sire Solidis, sire Fluidis, quaelibet parcicula suam tabet L.d.
teralem Propentionem, non minus quam Perpendicularem; licet aliquando col-
bitam: illic quidem; ob Cohaelionem partium; hic vero, ob Lacerum F irmitatem:
Vrrobique tamen, si minus valida tuerie Vis Cohibens, praepollebit ea Propentio
Laceralis, Puunque consequetur eAfectum.
Hlac aurem quae in Fluidis est Laceralis Propensio; quem-
admodum, in parcibus extremis, d valis Laceribus cohibetur;
ita, in parcibus intermediis, cohibetur eadem, iplarum inter se
mucuo nitu. Verbi graria, Prectio lateralis partis A (Fi8. 24.
sustinetur a lacerali preltu partis B; et haec ab illa: nON tan
quam a Vi majori, led ab aequali. Ouippe ParS A, non po.
Eest depellere partem B; neque haec illam; quin corpus depellat
Sibi gravitate aequale.
Parrium itaque Singularum Prestis Laterales, se mutuo susti-
nent; _e Prestus Perpendiculares, a parribus subjectis sustimentur. Acque hinc
elt, quod Parces Subjectae cancundem oneris lustinene quantum est onus Columna
Libr perpendicularicer intistentis: (pressu interim laterali in omnibus, hoc tantum
praeltante, nimirum ne a licu perpendiculari in lacus declinent partes vicina.)
Arque hoc est illud, quod modo insinuabam Remedium, ne plus onerentur sub.
jectae parces, quam coro onere incumbentis Columnae: Juippe, si partes A pressit
Laterali non diltinerent partes B; harum etiam prestus lateralis gravaret partes
ipsi A subjectas. Quod ridere est in Cleplydris; dum Arena per declivia, ad u-
num toramen medio subjectum, Auunc omnes: primo quidem quae directe immi-
nent; polt rero (his deticientibus quae ricinas distinerent) illae quxe, à Latere
oblique imminebane. Acquehinc est, quod in Acerro Pricici (Fic. 2T.) modo
memorato; quanquam, aperto toramine in imo, plus efluat quam qua superemi-
nebat Columna perpendicularis, (consuencibus in hujus sublatae locum parcibus
vicinis;) non eamen, dum haec actuit, plusoneris sultinebat fundi pars subjecta,
quam supereminentis columnae.
Neque ralet ixicur secundum ejus quod commentus est Subsidium, d̀ prestiu
Lacerali (quali minuente Perpendicularem) pecicum.
Verum, s nihil horum valeas: Onde (diceris) est, quod Aquae subjectus Vri-
nator, incumbencis onus non sentiat, in quantacunque mersus protunditare:
Respondeo. Primo; Duod nondum laris constat, hominem, in magna aqua
protundicace demerlum, non senturum incunibentis onus, aut nullius doloris con-
Leium FIITuTUM.
Audicu quidem accexi (neque est cur dittidam,) Vas Ranneum (probe obtura.
tum) in maris protundum aliquando demiltum, 2 quibusdam aliud quid explora-
curis; (Nempe, Num Calla Cc in imo Maris Aqua:) qui (Praetex expectationem)
exverti sint, rerractum Vas jam compressum, lareribus oppolicis tactis fere con-
tiovis: (Ouod a prettu ambieneis Aqua tactum este, non est quod dubitemus.)
Nec dubitandum ell, quin (mocO MEMOratuS) Vacuatus Ori cortex, sic demistuts,
Paria palturus Foret.
Audica erium aecexi; Vao YElaceum, subere obcuracum probe, in protundum
Mare
lig. 2.G

## Folio 726 — 851708439:0750
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000750.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
A Y s
mare pariter tuisse demiltum: eoque demum recracto, deprehensum fuiste Suber in
vas illud ri decrutum. Ouod tamen quo Lieret, majori vi opuS CruL quam qua va-
cuaco Ori corrici trangendo Cutticerer.
Audio etiam Gratricium noltrum, ubi commeneus fuerat mechodum respirandi
Tub Aquis, in medioeri protundirare, ope cubulorum quorundam inde ad summum
Aquae pertingencium; invenisse tamen pectus Cuum ica comprellum, ue vix aue ne
rix pocuerie spirando aerem haurire; onere sicilicet ambiencis Aquae opprelluS.
Oe non videacur admocum dubicandum, quin, in magna protunditace, lenturus
lic homo pondus incumbentis Aqua.
Non nego tamen, quin, in parra profundicate, possic quis aliquamdiu subsillere
absque nocabili aliqua laetione, auc sentu doloris, ab Aquae preltu.
Causam hujus, hanc esse existimo: Ouoniam qui est undequaque circum (epes
Fluido, (sire iplo Fuerie specitice Grarius, sive Lerius, perinde elb,) est ab omni
Parce aqualicer preltus; adeoque nullam parcium luxationem pacitur; _, propterea,
neque doloris lentum. Sed, ubi Parris Luxaclo aut Laceratio concinsie, praeler-
tim NerrOLX; DOIOT OTITIE.
Acque hinc est, quod Caro nostra, Orium duriciem, non Factu senciat, eo
quod ita sic Oibus aptata, uc nustam vel Luxationem vel Laceracionem Dariatur.
Sin Force O5 aliquod RUPaTUIE aUE L.UIXETUIE; Pationem procinus deprchende.
mus; d cactu senciemus, os illud durum de asperum.
Et quamquam Corpus corum, hujulmoci preltu, in minus spacium comprimatur;
propcer inibi Concencum Rerem, Sansuinem, aliolque Liguores Flasticos, com-
prellionis Capaces: Cum camen omnia sint aequabiliter ec mutormiter presta, abl-
que ulla parcium Nerrolarum laceratione; nihil inde Doloris percipit auc LX
tionis.
Acque hinc est, quod VacuaIIS OVi COrTEX (modo MemOTatIS) quamquam
Prettus a Corpore quod ipto tueric specitice grarius, (d quo itaque, per iplorum
principia, comprimi opOrceret,) nihil tamen inde pastus est laetionis; eo quod aequa-
liter ab omni parce prestus Fuerit.
Ouo etiam non parum conducir, Ori torma, instar concinui Fornicis rocmnda;
eoque aptior ad vim externam Fustinendam.
Ouippe quocidiano nlu experci discimus; Phialas Vicreas rocundas et Converas,
majorem rim ab exera fustinere posse, quam ab intra: FL, majorem quam quae
planis laceribus clauduntur, aut inerorsum deprestis, utur aequalem crasticiem ha-
bencibus: Aeque adhue majorem, si ex omni parce tuerint aequaliter prella, quan
A ex paucis, auc inaqualicer. (Ouorum omnium causa, ex tornicum natura, Paris
Per SE PaTCC.) Duae quidem omnia cum in Ori Corrice, ita ut dictum clt polt:o,
COnVeniaNE; eo masis valet rim illam Lultinere: Sin (verbi gracia) superne can-
tum opprimeretur, non a laceribus; Vis longe minor Corricem contringerer. Sub.
Sidio enim est ea lateralis pressio, ne d perpendieulari EMpaTUE.
Hoc eriam addo. Vtur in pertecte tluidis, nulla Heri poltic ejusmodi ArcuatiO
quae tornicis naturam extribeac: Mlt camen cale quid in Acerro Colidorum. (qua-
la Crana Friciei, aue Plumbei slobuli: atque co magis, quo majora (unL CA COF-
DOra concerraca, ee commodiori figura: Unde tieri porest nonnihil sublidii, 
torre minus valeat, corpus subjectum, suam oneris parcem sustinere. Ouemad-
modu, in supra memorato TabulatO (F18. 20.) Fibieinum aliguoc, aliquanto
Fortiores quam necelle Forer ad Tuam oneris parrem sustinendam, SupplerC POIEFUNE
defectum unius intirmis ne rumpatur, aue hujus detectu ruat catulatum.
Sec quo agis ad lluidi nacuram accedit coacervata moles illa; eo minus CrIE
hujusmodi subleramen: e quidem, in pertecte Huidis, omnino nullum.
Einc icem ell, quod Sponsia, ucur flaccida sic, de Gravicacis incensire minoris
anam et Aqua: H Fundo ralis (ne surpac) allieata tuerir: non tamen ab ineum
DenEE Aqua COpTIIEtUE. Ouoniam quae incra SponiX pOrOS Subit Aqui, pari
vi distinet Spongix lacera, qua quae exera clt M Ed comprimere.
Idemque comperimus in exempris Animalium Pulmonibus, intra Aquam demer-
lis, ibigue vi decentis: idem (per Elaterem Cirum) praestance, qui intus contine.
TT, AecC; quod, in SponSiis, Aqua; ne lacera comprimaneur; urur levior sit
Pulmo

## Folio 727 — 851708439:0751
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000751.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
Ctat
ill
e1et
H, 7
GR A V E F A Y EO N F.
Pulmo quam rancundem Aqua. Aut etiam, (Fi, discistis pulmonibus trisce, aduuu
trac Agux in spacia pridem Aere repleca,) idem in his pealtante, qua incus lusci
Ditur, P. qua, quod in Sponsiis ica demertis prultat.
Acyne eadem valet ratio, in Aeris Prestu a rivis Animalibus Ferendo. Ouipve
dum, qui intus est AeF, pari vi (per Elacerem Lium) extrorsum nicitur, qua ni-
ticur incrorlum qui extra clt; nihil inde Lalionis animali continsit. Pt; vice
versi, Prectus Aeris, per Os ee Gurur in Pectus aur Venrem detruli, non rumpit
Animalis Pectus et Lacera; propier aequipollentem ab extra prestum ab ambiente
Aere, qui vim intra Factam lustinet, ec repellit. D: Quibus tamen admodum Coli-
ciri ridentur Fuea P’acui detenlores, si Aeri concedatur (ur loquuntur) tam Pro-
dieiosa Gravicas: et de Piscibus pariter Ei concedtatur, AguX. PentaM. P. 36, 37,48
Observat. 55, 58.
Verum li Manus aue Bractrium, in Ancliam (quam rocanE) Pneumaticam im
mittatur, (quod aliquories apud noltros factum tuit,) indeque extrauriatur Aer;
(ux jam exera deticiat preslus aequipollens qui incus tactum sultineat:) Flater ille
qui est in Aere ee Sanguine aliilque inera Brachium contentis, dolorem inferet
non modieum; (Tanguine per iplam cutem tancum non crumpente:) quod ex Re-
sia noltra Societate aliquot, aliis spectantibus, aliquories experci Funt. Multaque
Animaleula ibidem polica, extraulto Aere, tuerunt Fnecta; tempore multo bre-
riori, quam quo terre poruissent Relpirationis intermistionem.
Nec ablimiliter continsit in Experimento Torricelliano (Dost explicando) si
Tubi Cummum (Fic. 36.) non sit Flermetice clautum, led Digito obcuratum; de
cidente FIydrarsyro, disiti pars concisua cumescet ec decrudetur in Tubum. Non
quod Fuea Facui, aur Funiculi prensu vellicetur sed quod, deficiente externo
prellu qui compescat, Fumores intus clastici jam tursclcane. Aliaque id genus in-
numera, quae Practu aur Suetu putantur tieri, Trulu fiune.
Idem videre c in Bullis Fitreis (renui corrice) hermetice (ut loguuntur)
Tixillatis, e inclacis Agnorum vesiculis, ob suberactum Aerem in Anclia Pneuma
rica, ab Aere interno ruptIs: Trem, in Aqua repida (ob aerem paricer suberactum)
palliente: Ec, in Sanguine (Propter lubrractum aerem) in bullas expantum:
muleilque aliis iltiusmodi Experimentis, a Borlio noltro (spectante Resia Socie.
tate) in Pncumacico tuo Instrumento factis.
Sed haec dum memoro; Ancicipare videar ea quae jam proxime dicenda reniune,
de Comprestu Corporum lasticorum.
Eximus hactenus de illiusmodi praetertim Fluidis, qualis hraberi Colet Aqua; hoc
Cst, quae Cune Compreltionis incapacia, quia non- Flastica.
Sed Fluida Flastican (qualis Aer haberi Toler,) non modo Prusionem pari (0-
IenE (HE Aqua) de loco in locum, ut ab A ad B e F (Fis. L7.) in aperto Tubo:
Sed e Compressionem in locum minorem.
Verbi GratIa. Si cbus ABC (Fig. 27.) SE in C proDC OBEITaLIS, (auc ctiam
Eermetice ligillacus,) ut A B sIc Agua, BC AeF, (aliudre Fluidum Flasticum; )
supertusio aur applicatio nori ponderis in AD (sire Auidum id lic, sire Colidum,)
facier ur alturgat B ad F; comprelso Aere, qui tuerac in BC, in lpacium P. Ci: hoc
est, eousque donee ris F laltica in B C (qua pressui AB aequipollebat) jam Fat
(ob comprectionem hanc) aequipollens preltur DB. Acque, Si plus insuper actun-
dacur in D, comprimetur P. C in locum adhuc arctiorem: acque lic POrro: l’acta
lemver vi Flastica, prettui quem sultinet, aequipollente.
Ouamdiu enim Vis Elaltica in B C debilior est; ab incumhente Pondere, seu Vi
comprimente, (tanquam a pocenciori Vin) in spacium adtue arctius adisetur.
Sin torrior sE Vis Elaltica in BC; haec ipla (ut ris Forri.
Or) expantione lui, abiget onus Comprimens. Neque
prius ad quierem res redisetur, quam tiat Vis Elastica
Preltui aequipollens.
Pariter in Solidis Flasticis. Si Camera (verbi pratia
Sic Lanae Velleribus reterra u sque ad BB (F15. 25.) et su
perinceratur plus Lanae, aut alcerius cujulris Craris
quod rel grarius rel lerius sic incenlive quam Lana,
Duca ad A A: deprimetur ea Lana (superingecto pon.

## Folio 728 — 851708439:0752
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000752.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
F
V E Y A Y F
dere) Duca ad L. F. Acque adthue magis, s plus achue superingera-
TUI.
Similiter; ABCB SIC Aer; acque hie demum Eire ab Aere superincumbence
(daro quod Aer graris lic,) sire a Tolido Pondere, aue Viachibica, (ita aptaris
omnibus uc nihil Aeris permeare, auc praetertabi Dostic,) deprimatur: adisctur
Aer in spacium arctius; puta BCB, in L. CF; eo quidem ulque doncc ACrIS Lic
comprelli Vis Flaltica, sic oneriferendo par. Ouippe donec hoc continoic; nihil
est quod obsistat arctiori adhue comprestioni.
Acque, hoc dato; Fxperimencum (quod vocant) Forricellianum, aliaque con-
similis nacurae, ex Pressu Aeris explicantur; quae olim d Fuea Vacui concinsere
censebantur.
Nam, si Graris sIt Aer; neceste est ut Gravitet: hoc elt, Delcentim MOLiaLIE
(instar aliorum Grarium;) Se actu Alsequacur, nili Vis talcem aequalis obsiltat:
Aerisque Vis Flaltica (dato quod Aer sic Corpus Elactieum) canci cenoris semper
Tic, uc aequipolleat Vi seu Ponderi comprimenci.
Ouod aurem ad Pondus Aeris spectat, ejusre Poticiram Gravitalem: Schola
quidem Peripacerica hanc non agnoleit; sed Aerem repurac policire Lerem, e
lurtum nicencem.
Sed _ alii nonnulli, id ipsum senciune, non de Acretanum, Sed ee de aliis Cor-
Poribus uccunque Graribus. Obi nos enum Policiram illis inelle Graricarem existima-
mus; e Lericarem nonnisi comparacire incellisendam pro Giraricaris inori gra-
du: illi contra, Leritarem repucant Policiram; ee Graricatem, nonnili Leritaris
minorem gractum: EL, consequenter, Graria quae dicimus corpora, non Delcensum
axpetere; sed a Lerioribus Detrudi, locum alciorem Forrius attectancibus.
Sed contra Verolque (cum hos, inquam, cum Peripatericos;) haec mihi (Philo-
Fophiam quod spectat) magna Lubolene incommoda; quae mihi ridentur, in con-
Nempe; Si motus ille Turtum sic naturalis: vel est AVerHO a CenEO, ut P er-
mino Aquo; vel Proventio ad locum alium, ut Termi-
num Adquem.
Si prius dicatur: Verum quidem est, hoc Dosito, mo.
cum iri debere, d B ad A, (Fic. 26.) rectis perpendieu-
laribus; ut CB A: neque huic adversantur Phaenomena.
Verum Ci ea sic primaria nacurae incentio, ut non sit TiC,
(sine ulta ad cercum alium locum decerminatione;) vi
deatur magis incellixibile, ut inde Derrudatur (ab aliquo
Se Forcius intromittence;) quam ue sponce Avolaret, nul-
b sibi alio quem aftectaret Permino provolico.
SI dicatur, (quod pocus vieeatur dicendum, modo Leritus sic Principium Po-
Ticirum,) quoa  altecter Alciorem, puta A. Dummodo (inguam) B AE
directe licum inter C et A, Terri quidem deberet in CB A recta perpendiculari
(tanquam ria brerissima ad A punctum.) Ac vero sicubi alias POnatuE, puta in
D: jam non in perpendiculari morebitur, ut C. DF; sed per DA, rectam obli
quam. Cui adverlancur omnia Phaenomena. Ouippe idem corpus Lere, uhicun-
que positum, recta ibidem Perpendiculari Ascendic: non minus quam, corpus CTarE,
recta perpendiculari Descendu.
Si aucem, quo hoc declinent argumentum, dixerinc; Non quidem ad certum
aliquem locum concendere, uc A vel F, determinate; Sed ad cum, quicunque LE
locum qui directe Tupereminet: Hoc, inquam, non tam dicendum est (Proprie
loguendo) Ad locum moveri, (si indifferenter le habeat sive ad A, sive ad L:)
quam A loco; hoc est, ut quam poltic procul d C absic. Ouod ipsum idem clt
cum altero supposicionis membro; conra quod ance disputacum est.
Non itaque hinc videcur verisimile, Leritatem dari POsitivaM; CUM nOn SIE
Facile altisnabile, quem habeat Ferminum Ad quem d MOtOrC prOPOTItM.
Sed milto hoc, a PhiloCophix principiis petico Argumento: ab Expeximento,
(Aerem quod spectaq) sic arBVO.
PONaEUIS
crarium, justa Argumenta.
a

## Folio 729 — 851708439:0753
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000753.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
e
Ital
10n.
ia
omnil
+
CF R aY
POnatuE AeF, in A A relica COntentus, (F18, 27.)
non GrarItet (PTOuC spLi Loquuntur,) seu (quod cso
inalim dicere) non Prae pravicet, in circumpolicum AC-
rem; Sed neque Pex. leritet: (urpore ejusdem speciticae
tire Graricatis live Levitali.) Si jam in minorem
locum, ut B B, idem COCTCCAET Aer: candem rerine.
bic sive Graritaris Lire Leritatis Ouantitarem (F. Xten
sire Tumpcam) quam DEIUIS, (GuiPDC COtIS qui FuCTaL
Aer adhuIC MAnCF; Cum tora Cua qualitate poMEIra;) led
(cum cerminis arctioribus jam contineatur,) tiec Incensire, seu (ut jam loguun.
Tur) Specitice, maxis quam ance tuir, vel Graris vel Leris; prout ea Oualicas Po-
licira, Graricas tuerie aut Leritas. (Nam, quemadmodum eadem Caloris Ouanti-
eas, in spatio minori, tacie Incensius Calidum; sic eadem quantitas Giraritatis auE
Ponderis, in spatio minori, facie Incenlius Cirare; d Leritaris, Incentius Lerc.)
AC vero in contelto est Experientia comprobance, (nec ipli difficentur, Observar.
P. 47 49, 50, 52.) Aerem comprectum (adeoque arctioribus cerminis conclusu)
Incenlire Grariorem tieri, seu (ut loguuntur) Specitice Grariorem, quam prius;
(acque ad Litram examinatum, sic deprehendi:) non Specitice Leviorem. Fst
ergo, ejus Policira Oualitas, non Leritas, sed Gravitas.
non sponte lira, sed a Grariori corpore sursum adactus; (quemadmodum altursit
Aqua, proxter inseltam Terram, aliare corpora ipsa graviora:) Experimentum
Torricellianum dictum, cum appendicibus luis, Facilem hinc Tolutionem admir-
tunt ex principiis Scacicis; ut non (it opus ad Fucam Vacui recurrere.
Nam: daco (ut lupra oltensum ct) in Rostrato Vale, aut inverso Syptone,
(F18. 28, 29.) quod Fluidum in A, gravicate sua sublidens, tacic uc actuirsat quod
A X
ejuldem tenoris cum externo Aere: adeoque talis, ut
Caritate Aeris policira sic comprobata, u Conegucite, quoe Alcenaat ACF,
Fig. 28.
21g. 2.
est in B, ad lihellam L. F: Si Rostrum illud minus altum lit Gualus ut alt L. P. Per -
cingal, tieri necesse est (nili obturetur) ut liquox eAuat.
Sm dicac quis; Caulam hujus este, quod Aer in B propter Peritatent Illam
Avolat, quem Aqua persequitur ne detur vacuum: xore astentu MCBIL, ab
iis, qui Londus et Nim comlpieuat ala  qud PlBCa _ LX
cux quam ad L. L. percingat ue BO, (F1 5. 30, 3T.) id quod in B superHueree,
crudat quod est in B.
Aeque, ob eandem iplam causam; P Rontun u aut Lubus, ante securre.
BC
A Fig. 31
jam detluee in O: Pondere nimirum Pretture in A, surtum adlactum ad B; atque
Sin
hinc detluens, graritate Tua.
I 2. L. Z.

## Folio 730 — 851708439:0754
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000754.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
R A V
Y A Y F
Sin fuerit A (F15. 32.) humilius quam B, (Pluidumque uni.
Formiter Cirare;) non valebie Pondus illud in A, (nili alias ad
fucum,) Fluidum ad B adigere; nedum tacere ue liperAuac de
detluat in O. Ouin contra; Si Fuerie ance ad B replerum: llui-
dum in BC, praepondetando recurret, de elerabit quod est in A.
Dummodo vel apercum lic oritieium in B; vel (L rCCHEVeCIE
Tubus) alcius sit O quam A: lecus enim calus occurret quem
intra considerabimus.
Si tamen AC sic Ruidum incentire Gravius, (puca Hlydrare
rum,) e CB lerius, (ML Aqua;) etAuet, vc prius, Aqua in B vel O, utue aluus
sic B quam A; cle dum major Alcicudo in B, aequipollendo compenset majo.
rem incentEre GITaVITaIeM In A.
EC, vice versa, R AC SIC (FiC. 33.) Ferius (incen-
Sive) quam CB, (Duca, li illud lic Aqua; hoc, FIydrarerrum;)
oportebie ne in ea proporcione AIcinS SIE A C quam CB,
qua hoc ct incentire Grarius quam illua; quo trac A
quilibrium, ec Fluidum ad B percingac. Sin alcius lC AC
quam in ea racione; cAvet (uc prius) Fluidum in B vet O,
ProPter Pragraricationem in A; ut non sIc opuS ad Fueam
VaCMI RCCUITTErE.
Aque tactenus ne antiquiores quidem d nobis distentiune.
DEi ad esam vacui contusiune, ubi adest Pondus conspicuum aut
Ed vero de Fuea Vaem doctrina, non nisi a Duobus (jam explicandis) EX-
perimentis (e qua ad haec rectuei postunc) antam sumplic: in quibus cum
non conspicerent Veceres Vim aliquam quae per modum Frusionis tursum adi-
seret Fluida; per modum Fractionis id explicare Pacasebane, ne daretur Va-
cuum; 2 quo (cum alia rario non OccurreBAE) Naturam Abhorrere proinde
Cxiltiabant.
Prius duorum est, quod in Suctione conspicitur; in Andliis, Syringis (embolo
instructis,) aliisque horum similibus instrumentis.
alterum, in Syphonibus; quorum ope Liguores cracuari Polene, aut de Vase in
Vas cranstundi; supra libellam (nocabili alcicudine) prius erecti.
Prius quod spectat; si rostrum Syringis Fluido immersum
EiE ut in B (Fi∞. 34.) ee recrahatur Embolum; elicietur Flui-
dum, ex B in B, alcendendo. Ouod cum lic contra Graris
naturam, nec alia conspiciatur Vis quae surlum pellac: exilti-
marunc; a Nlacura Vacuum abhorrence protectum esse, quod,
concra parcicularem lui proventionem, altursat Lluidum Gra
e. Cuiquidem Puea Lacui (prout ante dici contuerit)
Firanciseus Finus jam nuper, de post eum alii Funiculinomen
indiderune. Idemque acendum ridetur de omne senus Anctiis, aliilque Organis,
Alterum quod spectat: Si Syptonis CBO, extremum C
(FI8. 35.) Liquori tueric immertum: vent B mulco alcius (IE
quam A, Liquoris summa luperticies; si tamen O (Sy-
Phonis olculum exterius) sic humilius; quamquam non
Tua (ponte Eit CHuxuruS Liguor, si camen suctu primum
eliciatur, concinuabitur efluxus, donec eo devencum
Sic ur (sublidente A) ingrediatur Aer in C, vet humi-
lius lic A quam O. Cujus caulam (cum alia nON OC.
currat conspicua, qua sursum adigendo impellat,)
tranc else volunt, Nempe; Ouod, PAvence BO
Tuo pondere, li non sequaEECB (MCUE CONITA GIFA-
vicatis Cuae provensionet) aellum hinc oricurum, sic necelse: hoc aurem ne
tiac, cuta Crare pelcalit surtum cendere; hinc suspicancur, Bacuram a Vacuo
abhorret.
1t
Ouippe nec
vis alia quae Llurdum possit Curtum provellere.
Suctu liguores elicientibus.

## Folio 731 — 851708439:0755
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000755.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
n
CF R A Y I F A Y F O N F.
Eis quo Respondeam: Dico, primo. Cum nullum deprehendatur in Natura
Fundamentum, quo tundetur txc ’acui Abhorrentia, praeter haec (ee horum s-
milia) Experimenta; Cumque haec non aliunde constet, led huic soli Phaeno-
meno explicando Fxcosirata fuerit: Si huic Phaenomeno aliunde poltt lacis
tieri; aliaque Vis (quam ipsi non animadrertebant) oltendi, qua Grari fur-
Cum crudendo par (ic; non erit necesse, sublidium illud comminisci, aut com-
mentum admittere. Adeoque, Nlaturam à Vacuo abhorrere, vel erie graris di-
cendum, (ab (que ulla probatione lesitima qua hoc crincat;) vel alia Paltem
exquirenda crunt argumenta, quam propter quae incroducta tuerit haec doctrina.
Duippe omnes illx probationes Tublidiaria quae jam Tunt nuper excositata
omnino aliena sunt ab eis rationibus propter quas primicus incroducta clt haC
opinio.
Fg0 isitur, missa disputatione illa, Posine Nacura Vacuum admittere, an non
PolTu: hoc lalrem impraesenciarum octenturus Tum, Ouod ad Hoc negOLIUIM nOn
lic necessarium, ut Vacui Ablorrentiam statuamus.
Dico Porro; Flanc Facui Fueam non esse cautam cur in Antliis, Sypho-
nibus, et horum similibus, alturzat Liguor; Ouoniam, si Sic, oporteret hoc,
in omni quantacunque alcicudino, locum obrinere. Oporteret Ancliam, verbi
gracia, uctu Aquam posle ad Cenrenum vedum alcicudinem elicere: Ht, Sy-
Phonum ope, Aquam crantmitri volle supra Cummorum Montium Furriumre
Falcisia. Ouippe argumentum parirer obrinebit, live lic duum pedum, sire du-
centenum, Alcicudo iplius B: Ei etAuat BO, ec non succedat CB, secucurum inde
Vacuum.
Flujusque Aroumenti consequentia, tam est per le manitesta, ut non dubitare
rine luperioris leculi Philosophi, quin res ica toret. Nelcio enim an quilquan
Galilao Tuperior, de eo dubirareric; aue cerram aliquam alcicudinem decerminave
rit supra quam non possic anelia suctu Aquam haurire, aut Syphon Aquam cran
mittere. Fratque plane ex improriso, et praeter expectationem continsens, quum
(Tub finem superioris seculi) primus (quod Sciam) Galilaeus experientia depre
hendie, non posse aquam suetu acrahi altius quam Pedes, plus minus, 34. (Pe-
dem anslicanum incelliso; qui eAt Parisino aliquanco brerior; puta ut +2 ad F2. 3.)
Plus minus, inquam; non, praecise cocidem: quoniam, pro vario Aeris rempera-
mento, variat haC mentura. Ouando Aer Leris est, rix ultra pedes 32 alcen-
dec; quando Graris elt, ad pedes quali 35.
EF quidem hoc Unum Fxperimentum, Tufticie probando, Supposicitiam hanc
Fusam Vacui non esse Valoris Intiniri, sed inera certos laltem limites deter
minati.
Hac isitur occasione inductus Catilaeus, hoc sibi ridetur inquirendum pro-
potuisse, Annon ob aliam porius caulam aliquam, quam Vacui Fueam, Fa
ctum si, quod ad hanc possie et non majorem alcicudlinem Aqua suctu attrahi.
Indeque in hanc FIypochelin feliciter incidit, de Contra pondio incumbentis
ACris.
Fandem Hypochesin non infelicirer promovie Torricenius, (ee Polt cum alii.)
Ouippe, Si ex Aeris Contra pondio fiat ue ad hanc postic altirudinem e non ma-
jorem Aqua deduei; quia, nimirum, prectus incumbentis Aeris aequipollet prectui
pedum quali 34 AquX: consonum tore judicabat ut; in Liquoribus Aqua Lerio.
ribus, alcicudini majori aequipolleret; in Crarioribus, minori, quam pedum 34.
Reque ad examen deducta, sic este deprehendic: ea semper serrata proportione,
quae rariam Liguorum graricatem speciticam compensaret. (Si quando exiguum
aliquod notetur diserimen intercedere: id in rariam Aeris consticutionem, allaque
iltiusmodi Accidentia, plura quam ut hic lingulatim recenseantur, conjiciendum
exic.) Et, speciarim, Alcicudo illa quae ett, in agua, Pedum quali 34; est, in
Flydcareyro, quali Onciarum 29, Pedis Anglicani, (Intellise, 28, 29, 30, aut in-
era hos limites, pro varia Craritare incumbentis ACris.) Ouod Patis quadrat cum
Fluidorum horum speciticis Graritaribus invicem comparatis. (F. s urique Fy.
draroyrum quasi quatuor decuplo Grarius quam Aqua.) Arque ab co nomen 2C.
cexit Fxperimentum Torricellianum.
QuOd

## Folio 732 — 851708439:0756
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000756.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
Ouod quidem Fxperimentum sic Solet administrari. Tubus
Vicreus, in extremo clautus, Hydrarsyro replecus, cum demum
(obcurato interim oriticio) invercitur, ejulque oriticium in vas
Parencius FIydraroyro retercum demiecitur, de lic demertum
(Tublato dieuto, aliore obcuraculo,) aperitur. Ouo facto; Si
cari Tubi alcicudo perpendicularis (Tupra Flydeararri subtus
stagnantis superticiem) major sic quam Onciarum Pedis Angli-
cani sire Dixitorum quali 29: consilter Hydrarorrum Pubo
contencum, nec decidet.
Caulam hujus Phaenomeni, altignant illi; Ne detur Vacuum.
Ouippe Si decideret Hydraroyrum, cum superrencuro Aeri non sic adicus, insecu-
curum esset Vacuum; quod abhorret Natura.
Ouam nos causam altienamus, haec est. Ononiam Pondus incumbentis Aeris
(quem esse Cirarem lupra probacum clt) aequipollet Ponderi Disitorum FIydear-
erri plus minus 29; FIydrarsyrumque, cubo concentum, a Vicro superne clauso
(aliunde Sustentaro) ab omni alio preltu quam luo pondere detendicur: Sustine.
cur hoc a concra pondio externi Aeris, Hydearerro intra Ctagnanci incumbentis.
Sed porro; Si major fueric illa Tubi alciendo quam Onciarum quasi 29: Tubsi-
dec quadantens illud in Fubo Flydrarorrum, (parce aliqua (ubeuS CAluenLC,) do-
nec ad illam uneiarum quasi 20 alcicudinem redisatur, (puta ad L,) relicto TII-
perne inra Fubum spacio depleio. (An vero spacium iIlud Hlycraroyro vacuum
lic vacuum simplicirer; an Auido, nescio quo, impercepcibili plenum; non dil
DuTO.)
Causam cur catenus sublidat FTydrarorrum, majores antehac nostri nullam astie.
naTUNE; uc qui hujus Phaenomeni non crant omnino conteii. Existimantes Do-
eius, ne decur Vacuum, consticurum FEydrarorrum, in Pubi quancacunque alti-
cudinc.
Recenciorum aliqui (cum Cartesio) ne Vacuum admitterent, Materiam (quam
rocanc) Subtilem imaginantur (quam camen nullius sensus indicio dignolcere va-
Leamus) Poros Vicri penecrancem, quae sparium illud repleat FIydraroyro vacuum.
Verum, li postic haec maceria subcilis, Tubeundo Vitri poros, veniam tacere (abs
que metu vacui) uc carenus sublidar Hydrarerrum: Non rideo quin, magis atta-
um subeundo, reliquum eciam Lydrarsyri sublevare postiu, reniumque tacere ut
locum ad a lublictat.
Alii cum Lino, (Observat. P. 233.) existimane; Pondere Hydraroyri, Disito-
rum quali 29, parcem aliquam summa superticiei, extendi, in materiam Cubrilem,
valde renuem; ita camen ue ocum illud spacium deplecum repleat: Sed, quia, POn-
dus eo minus, non valeret sic extendere superticiem illam; hine ell, quod non
ulcerius sublidtat. Ouam quidem maceriam subeilem, sic exrentam, Funiculum ap
vellat Linus. Acque hoc tuniculo pendere finsit Hvdcarorrum luspensum. AC
vero, cur Pondus illud exiguam illam tuperticiem, iam prodisiolum in modum
excenderet de dilataret, FIydrarsrri parce reliqua manence non extensa; potius
quam Univertam molem moderate AITCHVATEE: nullam (quam memini) caulam
altignane.
Alii (Observat. D. 235 _c.) Funiculum hunc Formatum porius volune, non ex
Tumma quali FIydraroyet Superticie actenuata, led ex subcilioribus P.Muriis de Hy.
drarouri cora mole discustis, inltar Vaporis ascendencibus, cocumque illud dere
lictum sparium replencibus. Volune autem non minort pondere, quam disito.
rum LTydraroyri quali 29, fieri posse hane exprectionem seu discultionem Parcium
iilarum subulistimarum, adeoque nec intra illam alcicudinem descendere LIVdrar
Sdrum: Paricerque in aliis omnibus Liguoribus; quibus ca concedenda est aliseudo,
qua pondere aequipollear disitis Hlydraroyei quali 29. AC vero; cur ita acciderer
in omne genus Liquoribus, cujuscunque Pexturx, uc eodem plane pondere dissi-
pari postine de in rapores relolri; e non porius aliis majori aliis minori ri opus
elle, quo ca tiac distipacio, auc subciliorum parrium exprestio, prouc firmiorem àlii
alii minus tirmam, texturam Portiuntur; aue pluribus alii, alii paucioribus, parei
bus istiusmodi subcilibus reterei sinc: nullam actionane Racionem. Attamen hoc
tieri experimento constat; majorem urique Lerioribus Liquoribus alticudinem
Compe.

## Folio 733 — 851708439:0757
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000757.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
F, Y GE R A Y F F A F F O N F.
Competere; acque in ea ratione majorem, qua minor elt specisica seu incensira Gra
vicas; quo nempe tiac pondus aequipollens.
Ouam nos autem alsignamus Causam, hac elt, (quae es omnium simplicissima
de minime coacta videtur,) Nempe, proxrer Aeris Contra pondium, quod Digiris
FIydraroyri quasi 29 aquipolleat, tierin un, tancundem ponderis, cujulcunque tue
rit Liquoris, Pustinere ralear; plus aurem, non raleat lultinere; (quaecunque fuerit
Liguoris intensira Graritas, aut F’irmitas texturx:) Adeoque ad hanc sublidit al-
cicudinem, et non ultra.
Fc quidem, si Majores nostri horum tuissent conseii, quae hodierna comperit
Experientia; Nempe, Aeri inesse policiram Graritarem; e consequenter, utur ea
Fuerie exigua ad incensivam aliorum corporum graritatem comparata; magnam ta
men Aeris alcicudinem, alcicudini aliorum Duidorum minori, aequipollere posse.
(pariter ac marnam Aquae alcirudinem, minori conspicimus alcicudini Hydrarorri
aequipollentem:) non dubico quin ips, de Fusa Vacui minime soliciri, rocunde
dixiltene, Graritatem torius imminencis Reris, aequipollentem esse, ponderi Aquae
Dedum quali 34, Flydrarorrire unciarum quall 29 pedis Anglicani, acque in aliis
pPariter liquoribus pro incentira cujusque graritate: Ft, conlequenter; quum, in
Ancliis ec Syringis, Fmboli ope detendatur D (Fis. 34.) a superno Aeris prettu,
cidem aNteM eXPONatuE A; tantum hinc elacum iri ponderis (ipsi B imminen
tis,) sire Aqua, Sire Fydraroyri, sire alius cujuscunque Liquoris; quancum huie
Aeris prestiui aequipolleat: Idque eadem plane ratione; qua, (sI A e F, F18. 36,
Parites eltenr prellui Aeris expoluti,) Olei quancumcunque ipli A suvertusum, ele-
varet in P. Aquam aut Fly drarorrum ad eam usque alcicudinem quae pondere aequi-
volleat Alricudini Olei.
Fandemque racionem actignamus in cMuence Syptone. Nempe; Prelturan
Aeris in A (FiS. 35.) Flacuram Auidum ad alricudinem B, (si major haec non fue
riE quam quxe ance. cst altignata,) quod inde ad O detluet gravitate Sua. Tra tamen,
uc (rice verta) li O altius sic quam A, Aeris pressu repullum Foret, quod est in
O, ad B, (dummodo non tanta tuerie amplicudinis Fubus, ue commode posset alcen-
dens Aer liquorem delabentem praererire) indeque ad A descenderet graritate sua.
Duippe, jam, minus graritaret BO quam BA; Aeris autem presus quasi ucrobi-
que aequaliS.
Si vero Tubus ille (F13. 36.) non Se superne clantus Flermerice (hoc elt Solido
Vicro) Sed Disiro tancum obcuratus: Decidente Hydrarsyro, Disiri pars contisua
curgelcet, intra Tubi Carum adacta.
Non; quod prensu funiculi ex Mercurialibus esstuviis contexti (ut loguuntur
Opservat. P. Z6F, 274,) rellicetur: Sed, quod, (propter Digicum alias a prestit
ambientis Aeris undique comprectum, hic aurem ab eo liberum,) languis aliique
humores vicini, in locum hunc (ucminus renitentem) detrudantur, sola cute
jam distenca, (ab sque stipantis Aeris auxilio) coerciri. Duo etiam reterenda LnE
alia id senus experimenta d Lino aliisque enumerara.
Sin Tubus (Firs. 36.) non CiC (quod supponimus) aliunde sastentatus (manus
puta, similire modo,) ne superni aeris prettu urscatur; Led (lancis instar) de
Libra pendeat: tanto pondere Libram srarabit (quod Pacomate in contraria lance
Dolito aestimabicur) quantum est iphius P’ubi, inibique Tuspensi Fydraroyris Pon-
dus, plano horizontali A supereminencis. Panto enim praegraratur, Plani pars Ca
Tubo subjecta, pra aliis (huic aequalibus) ejuldem Plani parcibus. VE qua, (pra
ter superni Aeris prestum, huic cum plani reliquo communem,) Tubum sustinet
Fycearoyro retertum; tocoque hoc onere Praegraratur. Quoditaque trultra quis
UrSCaL (Observ. p. F59. ecc. ) in hujus hypocheleos praejudicium; cum illud hinc
directe consequatur: Aique a nobis ante ostentum fuerat, C.ap. F4. De Motu,
DaS. 727.
Sustentato autem aliunde (ut dictum est) Fubo: Sime major, an minor, perinde
est. Non enim Amplicudo, sed Alcicudo hic spectatur: (ne iptis quidem disticen-
ribus.) Ouippe quo Amplior est Pubus, eo majori bale sultinetur. Neque
retere, an major sic, an minos, quam religuum Plani A, ea pars quae Yubo Tubest.
22.2.

## Folio 734 — 851708439:0758
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000758.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
R A V I F A F F
Id urique Tolummodo spectatur, ut ejus omnes parces line unitormiter presta
(Tire ab incumbente Aere, sire ab Hlydrarorro incumbente,) hoc clt, aequales
aequaliter, e inaequales proporiionaliter. An aucem plures line quae ab EIydear-
SIrO, an quae ab Aere premusseur; nihil plane retere. Or trultra omnimo lic
qui quali huic hypocheli concraltum, objecerit (Observ. p. 275.) pariter susten-
tum iri in Tubo FTydrarerrum, etiam si quae extra Tubum est superficiei pars
quam attineit incumbens Aer, minor fuerit, quam cui insistit Tubus Lydrarerro
refertus. Ouippe hoc, per leses Scacieas, omnino tieri oporceM. Neque aIH-
rebitur ipse, quin candem Hasseura sic alcicudinem, externi liquoris concrapondio
sustenca Aquam in Tubis A X (Fic. 4, 5,) sive illi majorem, sire minorem, quam
Una tamen adhue superest, quam et palmariam habene, ex-
Dedienda disticulcas. Nempe; Aer in vale clausO, VEuE nOn
magnae alcicudinis (F18. 37.) Stagnancis Hydraroyri (uper-
ticiei incumbens, fultinebit (in Tubo clau (0) columnam A F,
ejuldem alcicudinis acti (Tublato vase) apercus Aer cidem
luperticiei incumberet; Cum tamen Aeris AD vale concluli
Dondus (ab externi Aeris prellu incerposico rase clauso de
ten (i) aequale non sic ponderi cOrIUS (qUAM VOCANC) AEmO
Hujus autem cautam este dicimus; non tam Aeris Pondus (simpliciter con-
Tideracu) quam Llalerem Aeris. Dui hoc habet cum omnibus aliis Filalticis com-
mune, ec Vim lempet Obcincat aequalem Preltui quem sultinet. (Elaceris autem
Vim, allam acque altaut este prour plus minulre renditur; non opus est ut
moneaul.)
EF PrOPterea, ACIIS apud nos (in ordinario statu consticuri) Elacer, A. qualis
censendus elt, Ponderi corius (quem Fultinec) incumbentis Aeris.
Duippe si minor esset (in hac tentione) Vis Aeris; Porro adhue comprimi
oporteret: li masol elet; se relaxare, id abisendo quo premicur: aequalis isitur
Duod cum ita LIC: Aer, cum hac Elateris centione, rasi inclusus; eandem vim
retinet quam ante habuie lic tentus elater; hoc c, eam qua
incumbencis Aemosphaera preltui aequipolleat.
Ouippe hoc in aliis corporibus Glasticis utu venie. Puta
sI ACB (Fic. 38.) pressu ponderis D, ad eam centionem re-
digatur quae huic ferendo par lic; acque cum, eadem manente
centione, Tublaco pondere manum ejuldem loco substituamus:
eandem rim in ManUI exerCeret, quam ante ferendo pon
dere exercebat; hoc est, rim ponderi quo ance premebatur
aequali. AEque S, Sic centum, rati (FIS. 39.) InTCraTUT: Ca
dem plane vi contra valis Lacera nicetur (expantionem (uI
moliendo,) qua prius Manui, ponderire D, contra nicebatuE:
Eademque, li huic Vi terenda paria non line, perrumpet abi
Secque.
Idemque plane hic accidit. Aer urique, prout apud nos est,
eam censionem pastus quam ei prectus Acmosphaerae intulerat,
hoc stacu vase concluditur: adeoque candem in omnes partes
prectionem exercet, quam Aimosphaera prelus exercebat; Can-
demque proinde Columnam Hlydrarsri Cultinere Poris clt.
Acque hoc ipsum mss acue manitestum redeicur: Ouoniam S (Per Anciam
Pneumaticam) pars hujus incluli Aeris extauriacur, eoque quod reliquum est Aeris
minus jam tiac comprelli: Subsidet Hydearsyrum (F18. 27.) ab L, ad F et C:
acque lic porro, pront plus achuc Aeris extaultum tuerir, de clacer Aeris relaxa-
cuS. Hloc est; quo masis Aacceseit vis ejus Flastica, eo minus oneris Lultinere
ralet.
Ouod quidem Denitus evertit quam modo memorarimus ab ipsis astignatam
caulam; Nempe, quod spacium ab FIydrareyro derelictum, renui lubstancia re-
pleacur Hydcareyro exprelta; quae poltic quidem hinc exprini pondere Lydcar-
3)FL
E
dimidiam parrem occupent plani B B.
Ephaerae. (Observat. P. 276, 277.)
elt prellut dum consiltic.

## Folio 735 — 851708439:0759
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000759.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 17 lines, status machine
H, Y C R A V I Y A Y IO N F.
Pyri 20 pollices alti, auc Aqua alta 34 Dedes, non aurem minori; adeoque sd
hane alcicudinem decidere, led non intra.
Ouipre, per Experimentum hoc novissime memoratum; dum inclusus Aer (0.
litam centionem rerinet, sultinerur. FIydraroyrum ad alcicudinem pollicum 29;
quali non posset minori pondere in subrilem hanc materiam resolri: AE vero
quum, exhausta parce, reliquus Aer intirmatur; sublider Flydrarerrum ad alcieu-
dinem pollicum 20, 20, 5, imo unius, aur ne hanc quidem; quali jam eidem resol-
vendo sutticeret pondus unius pollicis. AE, incerim, nullam pasta est mutatio.
nem Textura EIydrarsyri ab ea qua ante fuerat; sed Aeris Polummodo Tensio.
 mutata isitur AeriS Pentione seu Elarere Factum est, non ob mutacum ali-
quid in Fydrarsrro, quod nunc alcius, nunc humilius, consiltat FIydrarsrrum.
Quodque de Fxperimento Forricelliano jam dictum est, ad alia contimilia tacile
accommodabitur. En contelto ucique elt, prour in hoc Experimento explicando
valet aut non ralet nocio ea de Fuea Vacui paricer auc ralicuram aue non valien.
ram in iltiusmodi aliis. Hoc iaque explcuisse contentus, exteris persequendis
supersedeo.

## Folio 736 — 851708439:0760
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000760.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 2 lines, status machine
    e          .  . . 1 1.  .   1. .  .   . 1 2. . . 1  1. 11.1
In.

## Folio  -  — 851708439:0761
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000761.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 9 lines, status machine
en a  i 
AZPOTHESTS NOVA
In quibusdam P. piltolis ad Flonorabilem Virum D. RO.
BF RYV AT BOYLE, _ D. OLDENBVR.
GIOM scriptis; atque ab hoc anslice editis in
Fransactionibus Philosophicis Londini, prO Mensibus
Augusto 1666, e Aprili 1669.
Nuno Latine redditam es parum ancte.
A d a d d

## Folio  -  — 851708439:0762
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000762.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 23 lines, status machine
Edicoris primi PR A F ATIO.
Scus marini causa quam fuerit in Rbilosophia res abstrusae imaaeinis;
a quamque hominum mentes, etiam perspicacissimorum, dum ipsius ratio-
ainem reddere sunt aceressi, perplexas bactenus distinuerit; non est ut
multis exponam: Gratius utique opus facturus, si indicavero, Eypothesium om
nium hactenus excoeitatarum defectus, urcunque notabiles, sacaces tamen bujus
avi philosophos ab ulteriori adhue serurinio faciendo non deterruisse. Duos inter
cum insienis Mathematicus D. Johannes WV altiCius, (S. Theoloeiae Doctor, e Gco-
metriae apud Oxonienses Professor Savilianus,) senii sui, in promovenda vera
Philosophia admodum felieis, ductum secutus, studiorum suorum partem aliquam
in hoc posuerit; novamque saltem hujus Phaenomeni Expothesin, si non ipsissimam
rei causam, a communi Telluris Lunaeque Centro gravitatis petitam excoeitave
rit; quam e eoreeii aliquot eruditione Viri, ut rationi admodum consentaneam,
caleulis suis comprobarunt: Opporcunum duxi, ex Prelo hanc in publieum enit-
tere; quo e alii, harum rerum periti, commodius possint, e sedatis animis,
Conjecturam hanc (quippe ut talem exhibet Authoris modestia) examinare, sua-
que de hac sensa proferre, aut etiam quas inibi reperiunt difficultates exponere:
unde judicium rectius fieri possit (quod  Fraciatus ipse satis insinuat) num
rejicienda sit haec Fypothesis, an pro meritis comprobanda. Subjuneimus icitur
hanc illius FIrpothesin, prout eam ipse exposuerat, in sipistola, ad onorabilem Vi
rum D. Robercum Boyle, Oronii data, die 25 Aprilis 1666: 8 Societati RC.
Sia Londini, mox exhibita.
u

## Folio 739 — 851708439:0763
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000763.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
E PIS TOL A P R TNI A.
Ad FTonorabilem Virum, D. ROB F R YV N BOYLF
Armigerum, (eripta 25 Aprilis, 2666. Oxonii.
Xpetebas a me, Vir Wustristime, quum hinc Fondinum nuper disceste.
ris, quod jam aso: Nempe; uc ea quae apud Te lxepius, aliolque nonnul.
lo5, Priennio proxime Flapso, Peu Ouadriennio, De Communi Telluris
Lunaeque Centro gravitatis, verbis insinvarerim, Scripro contignarem;
quatenus scilicet inde, vel Aictus Marini causa, vel etiam perplexiorum
aliquot in re Astronomica, de Planetarum locis, Obserrationum ratio, reddi posse
videatur.
Mundana COrPOTA, COFUIGUE NOcuS, quam snt Scatieorum principiis obnoxia
eorumque les es lequantur; es quanca cum perspicnitare, atque rationis cridentia,
obscuriorum Phaenomenon pleculque, IMEra Centum plus minus proxime Elapsos
annos, Paristactum Fuerit ulira quam praecedentibus seculis Factum Fiterat: nOn OpuS
est uc apud sciencissimum Virum, cur haec probe comperta Cune, Fulius ostendam.
Ouippe ex quo Calilaus, cumque Secutus Torricellius, aliique, Principia Necha
nica difticultacibus Philosophicis Tolvendis adthibuerine; cercum est, Nacuralem
Phulolophiam, cum masis incellisibilem tuisse reddiram, tum ee majores hoc uno
seculo, quam mutris praecedentibus, tecisse progreltus.
Marinum autem Fistum quod spectat, seu Lluxum Retuxumque; hunc ita
cum Lunae motu conjunctum esse nocum est, ut Philosophi prope ad unum omnes
(quascunque alias lociarerine causas) magnam laltem caula partem alcriplerint
Luna. Ouam rel per Occultam aliquam Qualitatem: seu specialem quam habet
in humida Corpora Influentiam; aut Virturem Maeneticam aquam attrahendo,
unde sequeretur, Aquas illas maxime tlatas elle, ubi Luna proxime Vertici im
minet;) vel Gravitate Cua pressuque in Perraqueum Globum eandem deprimen-
do (unde Futura Sic Aqua, Locis eis guibus Luna imminet, maxime Deprella;) vel
alio aliquo quicunque demum sic modo, (quem alium acque alium, pro sua quil-
que sentencia, comminileuntur harum rerum indagatores;) Altuans Mare (IC
alticere; vel Mocum Cuum ita cum Nom Maris connexum habere, autumanE; uE
inconsruum plane videretur Lunaris Nocus considerationem, ab illa NOtuS Ma-
rini, penicus secludere. ACtuum utique Periodi (nequid porro dicam de illorum
in eleniluniis et Noriluniis magnitudine,) ita Lunax mocibus perpetuo intenden-
ces obserrantur; uc omnino pralumendum rideatur, Luna Marisque mocum, rel
ah altero alterum, rel ab alio aliquo communi principio ucrumque, gubernari.
Galilaeus aurem (ni tallor) omnium prinus, Perreni Motus (Diveni, Annui-
que,) hac in re rationem habendam centuit. Quo spectat peculiaris qui de hocne-
sorio habetur Dialogus, in iplius Systemate Cosmieo.
Ouod mihi quidem ranta cum ratione diei ritum est; ut, ex quo primum lege.
rim constans mihi semper in sederit opinio, Non aliunde quam ex Zelluris Mot
Praecipuam Aistus Marini caulam arceslendam esse. Ila tamen, ut neque Tunae
Motum (ob rationes jam dictas) neglivendum pucarerim; falcem in A. Ruum Pe.
riodis, aliisque Circumltantiis determinandis.
Ec quamquam Fypochelis illa Catilaei, prouc ibidem explicaeur, non sic ica nu-
meris omnibus absoluca, ut in minucioribus apicibus nulquam deticere censenda
A 22 4 4 2
1

## Folio 740 — 851708439:0764
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000764.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
AI S F U
M A R T 5.
Ie aut Oblerratis concraria: Hloc tamen Pacile condonandum erie mericissimo AU
chori, ee quidem ab(que Principalis Lypocheleos praejudicio. LIt ueique lracta
cus ille, nonnisi Fencamen Generalis Fypocheleos exhibendae; qua, quod ad par
ciculares apices, ex compleca Aictuum Hiltoria poltmodum perticienda tuic. Ouam
nec iplum habuille cerrum elt; necdum habemus laris accuratam. Ouippe, l de
Facti hiltoria Pacis constaret; neuciquam eller veritimile, ue diverta diverlorum
hominum Fypocheles coulque sibi inricem cslene concrarix, ue quo cempore alia
Aquas extibet Elacistimas, alia eodem cempore ibidem loci maxime Deprellas ex-
hiberet: pura, cum L una loco verricalis iMMInet.
Ouodque de Galilao dictum Mlt, etiam de mox dicendis incellectum relim. Ne-
que enim ica mihi perspectam proticeor Altuum Hliltoriam, uc procinus in me au-
lim Cuscipere, Generalem meam Hypochelin parcicularibus quibulque casibus me
Polle stacim accommodare. Neque etiam rem iplamr ita mihri penicus perspectam
elte, uc audaeter alteram, nullum superesse dubuandi locum. Sed Hypochesin
hanc meam, uccungue mihi veritimilem vitam, aliorum ita judiciis permitio, ut
Drout Observaris contona deprehenta Fuerie, auc secus; sic vel aclictatur, vel
plane nesligatur, eecerriori cedat. Ec quidem nisi Horcacibus cuis (quibus ut
Mandacis obcemperandum judico) exeitacus, vix cale quicquam describendum
prius Cuscepissem; quam mihi plenius constaret, Hy Pocheli cum Oblerracis conve
nirc. Ouod ee per aliquor annos poltquam id primum commencus Cum, tracte
nus neslexi; expectans liquando per ocium liceret rem cocam acthue accuratius pro-
sequi.
Verum dux sunc praesertim causa quibus indueor, ue salcem aliquid hujusinodi
praeltem.
Alcera est; Ononiam quali commune Anglorum tatum Expius deprehentum
fueric, quod dum, pro seneis modestia, invenca Cua, cuium laris teliciter excogi
tata, cousque difterune publici juris tacere, donee lereriori examini subjecta, li-
maque perpolica, consummata tandem procire possint; non tamen ita caure le ge
runt quin de illis, cum apud suOS, tm _ CXCCIOS nOn FaTO, Pacis tamiliaricer
Tubinde disserane, sensaque lua exponane. Onde tactum cst aliquories, ue alii
quibus hac ica Tubolene, audenciores torsan ee praeproperi, horum cacim aliquid,
immacurum licet, in publicum procrudunt; sloriam inde tanquam a se primitus
inventorum aucupances. Dum interim exiguum illud, quod uccunque protcere
ralene, lonse minus sic, deminus diseltum, quam quod eorum senuini AuChOrES
dudum proculisse valuillene: auc etiam actu proculerant; Si non ex prelo, at pa-
lam facis, nedum publice, de in muleorum corona. Ouod apud nostros nocilsi-
mum elt, in nuperis aliquor Invencis: Pura, DC Vasis Lymphaticis; DC Piquo-
rum injectione in venas vivorum animalium; De macula in fove observata,
unde iplius circa proprium Axem Mocus ostenditur; aliisque pulchris noltracium
TAVenEIS.
Altera, (quaeque apud me majoris torre ponderis rideacur, quamquam de prior
illa ratio non siccontemnenda,) haec est; Ononiam, quum videam memet jamjam,
Per tres aue quatuor jam claplos annos, aliorum incerrentu negoriorum impeditum,
quo minus hranc ipsam dilquititionem proleeucus tuerim, ipsanque (ncolim puca
ram) Hypochesin consummarerim; nec sciam, num non de ulrerius dStineri pol
Tim; Forcalle nec tandem quidem eandem contrmmaturus: Prospiciendum ridecur,
uE, quicquid de me humanicus accidere possit, res ipsa tamen non penicus interi
ret; quae, quicquid de me tiac, ab aliis torre merebitur promoreri.
Lxponam icaque sumimacim, Caltem apud FC, quae nostram hanc Hypochelin
generarum Spectant.
In Marinis Ailtibus; praeter ea qua plane extra ordinem censentur, unde Lnun-
dariones insoliia, et maxima Diluria non raro contingun, (quae tamen ipla torre
non ica plane Forcuita lune, uni vulso existimaneur; led ex veris moruum lesibus,
rice perventis, explicari, aut eriam praerideri pollent;) Pres salcem inlisniores
Periodos animadverio.
Prima est; Reciprocatio Diurna: Oua bis in paulo plus viginci quacuor horis
concingit Maris L LUXUS _ RCHUXUS.
Secunda CA; Periodus Menstrua: Oua seilicet Synodici Mensis spatio, puta, d
Plenilunio ad Plenitunium, Tempus Camppuxis seu Fumoris MaTINI, Per LOTuM
cranlie Noz divrsor, seu Diem Nacuralem horarum riginci quatuor.
Exempli

## Folio 741 — 851708439:0765
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000765.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
D F A S FV
Exempli gracia: Si in ipso Plenilumii dic, Aistus cumOr Seu rrmuuea alicubi
continsat in ipso Meridie; eodem loco, postridie, concinser paulo anre comple
cam horam primam; die tercio, currente hora secunda; et sic deinccps; ulque
dum, in sequence Norilunio, prorogetur ad Mediam Noetem, (alcero incerim iu-
more, qui in Plenilunio, Nocte media conciserat, jam, in Porilunio, ad Meri
diem translato:) Acque Sic porro, doncc in lequenie Plenilunio, eodem loco, -
mor idem ad Meridiem iterum concingar.
Sed e circa Norilunia de Plenilunia, concinigunt A: Itus sire Pumores maximi
atque altistimi; minimi autem, circa Lunx Ouactracuras; (illos, Sprins- Tydes;
HOS, Neap. Trdes, appellane Nostrates;) ec incermediis temporibus, proporconaliter.
Tertia Periodus est Annua: Secundum quam, ltaris anni Temporibus, Nen-
Arui ACtus maximi, lonse majores quam in aliis Anni cempellatibus contingunt.
Dux quidem Annua Tempora, repucari Colene, ipsa Aquinoctia duo: Veruum
seslicer et Aucumnale. Ac c80, ex rariorum Annorum Obserrationibus, cum
meis, cum aliorum quorum maxime intertuie hoc obserrare, (de quibus mox di-
cecur Fusius,) mentium pocius Februarii acque Novembris principia, (Ailo re-
ceri,) pro binis Aquinoctiis, reponi posse exiltimo; Calcem in oris noltris.
sam, uc Periodorum harum rationes exhibeam, Mechanicis principiis e MO-
cuum lesibus contormes; Pexsumo primum, Lemmatis loco, (quod ab Cxerci-
tatis his in rebus, nunc dierum, non disticulter concettum iri judico;) Crave
quodvis, in Notu jam positum, aptum esse, motum suum, motusque celeritatem,
continuare; si non contrario aliquo impedimento praepeditum: Sieut, ex adreilo
Corpus idem, in quiere politum, ita permanturum, nili a Motore Culticiente mocum.
Adeoque (quod experimento pallum constat,) li APserculo laerisato, seu Ja-
bulae plano, incumbens Cirare Pondus non actixum, simul aliguandiu mocum tue
ric, indeque impecum contraserit ad morum illum et
Deritare continuandum:
mocunque Planum illud subico vel sictatur vel nocabiliter recardetur: Incum-
bens Grare, prorlum in Plano illo proliliet. Sicur, ex adverto, si, cui incumbit,
Planum subito provellatur, vel nocabiliter acceleretur: Tneumbens Grare (urpote
nondum adeptum Impetum canex celeritari parem) retro relinguetur, et ad Plani
parces posteriores resilire ridebitur. Idenque qui Curru solenr rehi, experiuntur
quocidic.
AuE etiam (quo Exemplo utitur Catilaeus,) Si Vas amplum, Aqua quactante.
nus replecum, xquabili mocu aliquousque una cum aqua lacum, subito sistatur
vel recardetur: Protiliet Aqua, aique ad Anteriora Valis ascender: Contra vero-
Si Vas Cubito Celerius propellatur; Resiliet Aqua, seu rerro relinquetur, ad Po.
steriora Vatis altursens. Adeo uc Valis quo fertur, sire Acceleratio, Sire Re.
tardatio, Agua ex una parte Valis Accumulationem, adeoque ex altera Subliden.
tiam, interat: Ouxe camen postea, Craritare sua, ad libramentum reducetur.
Br, conlequenter, Si incelligatur Mare,
tanquam Incumbens Grare COrpUS, una
cum Terra mocum; nec tamen huic sic at-
tixum uc (conjunctarum parcium Colidarum
instar) cundem cum contiguis P’errxe par-
cibus Impecum necellario lubeat: Accele.
ratio vel Recardatio mocus in ea cui in-
cumbit Felluris parte, efficier in Aqua
(majorem minoremre, prour illa accele.
ratio seu retardatio major minorre fue.
EIt) ejusmodi ex una parte Acommulario.
nem ex altera subsidentiam, qualem nos
Fhuvum e Resturum Maris appellamus.
Etis Praemissis; POnamuS (cum Cati-
1a0) Felluris corpus duplici motu latum:
AITCTO, Mno; UEIn BE C. (FiS. T.) Orbe
magno, in quo Perrx Centrum B intel.
ligitur circa Solem A moreri: AIteTO, DI.
urno; quo cota Terra circa proprium
Axem moveri incelligitur; adeoque quodris in superticie Punctum, Circulum cisea
cundem Axem describere; uc D L. F C.
A 2 2 2 2 3
M A R L S.
1.
Jam

## Folio 742 — 851708439:0766
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000766.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
T U
M A R T 5.
Jam, Ei intellisatur lerra, nonnisi uno horum Mocuum terri, idque aequabili
relocitare: Aqua, ubi semel nacta fueric parem Impecum, pari cum Perra pattu
Procederet. Ouippe nulla daretur occatio, ob acccleratum vel recardatum mocum
in concigua Perrae parce, cur vel resiliendo vel proliliendo incumbens aqua in
aquam vicinam aecuimutaFEEuE.
Duoniam vero cujusque in Felluris ambieu parcieulae verus OtuS ex duobus
componitur, annuo leilicet de Diurno: (quorum quidem Annuus in BF. C, elt
quali criplus, ue Galilaeus supponic, Diurni in Terra CirculO MAXIMO, UE DP P:)
Dum punctum aliquod superticiei Felturis, circa ipsius Cencrum B, movetur d
E ad D _ F, unaque ipsum B promoretur ad C; vera expolici puneti promotio
(seu mocus in praecedencia) ex UETOquE COMPONIEIE; DUL, ex motu B ad C, a1.
que C ad B. Dum VerO EE PrOmOVCtIE per D ad R, P retro tertur per P ad 
motu concrario illi qui tic ex B ad C; adeoque vera promorio puncti P, non elt
nisi difterencia iplorum BC _ F G. Nam, praeter mocum iplius B ad C, circa
centrum A; punctum G porro promoretur quancum cMt d C ad F; d retro. FCxIIK
Dunctum P, quancum cMt ab F ad G.
Mocus icaque Diurnus, in ea Felluris parce qua Solem spectat, ut B F G, mi-
nuic progrectum mocus Annui; ee quidem omnium maxime in F: In altera vero
parce, quae Soli averta elt, uc GD B, eundem auser; idque maxime in D. HOc
elt, in tempore Diurno Demitur, in tempore Nocturno Additur, motuI ANnuO,
cancum quali quancum est GF Perrae Diameter.
Acque hinc quidem suppeceret Causa duorum sistuum in risinci quatuor FIora-
rum spario. Alcerum ucique maxima mocus Acceleratio, alterum ejuldem maxima
Recardacio extriberet.
acque hactenus quidem Paris procedic Hypochelis Cahlaei.
Verum hic deticir. Flene ucigue, juxta hanc, in una die Narurali, AiCus duo:
Ted _ eHent in E _ D; hoc est, in Meridie de Media Nocte. Cum tamen expe.
rientia celtetur, Altuum tempora, inera Sgnodici Men(iS (paTIUM, Per FOTM
roxdnuee cirenicum cransire. Cujus nullam ille rarionem astignat. Hlabet quidem
ille Periodi Menstrua considerationem aliquam, quod ad Aictuum Ouanticacem;
prout Majores Tunc aur Minores: Non aurem, quod ad Atuum TCMPOTA; PrOUE
Terius aue cicius concingune.
Huic ditticultaci quo Subreniatur; occurrie Joh. Bapristae Baliani Commentum,
(cujus meminie Ricciolus, Almageltinori FOm. L. Parc. L. lib. 4. Cap. TO. NUM. 3.
de parc. 2. lib. 9. Sect. 4. Cap. 25.) qui Ferram rule, eanquam Planecam secunda-
rium, non quidem directe circa Solem moveri; sed, cirea Lunam, dum incerim
Luna vel in Universi centro contistii, vel cirea Solem movetur: codem plane mo
doquo Terra vuloo circa Solem moveri creditur, de circa Ferram Luna.
Hloc aurem Commencum, quamquam suppedicare quidem posset timcameneum
Menstrux Periodi, Accelerationum ee Recardacionum Compolici Mocus parcium
in Telluris ambitu: Non camen facile inducar ut pro Vera Lypoches admictam.
Idque rariis de caulis: Duxe, si non Demonstracira plane, laltem generali MundL
Sultemaci unc ita contormes, uc non tacile quis contrarium lualerI.
Nam 1. Cum cerristimum Cic, (nec quilquam de hoc dubitet,) Terram Lund
mulco majorem este: Omnino improbabile elt, quod minor majorem circumterret.
Cujus concrarium videre est, non modo in Sole, qui longe major est quolibet
Planetarum qui ab illo COnVerTNEuT: Sed de in fore, qui elt suis Sacellicibus ma
IOr: EL in Sacurno, qui major elt suo, jam nuper obserraco. (Idem incellise de
religuis Sacurni Pacellicibus, post derectis quam haec seripta tuerinc. )
2. OSol pel luuim clca Proprium axem Motum, merito habECIE PTO VetZ
Cauta Phylica mocus Planetarum primariorum, quo cirea illum teruntur: Sic ParL
ratione existimandum est, Torem acque Sacurnum, simili circa (uOS AXCS MOUI
anquam Causas Phylicas, Sacellices luos cirea se converrere.
Sui guidem foris Mocus etica Arem luum, ope Macula cujusdam permunen.
eis in illo nuper observacae, decectus clt.
Similemque Sacurno motum compeceré (quo suum circumterac Sacellicem) ere.
dencum videtur.
Num Venus et Mercurius (qui nondum obtet VaHE lacellicibus Aipati) sic se
habeane, nondum pollumus, pari cercicudine, delerminare.
Sed Maccem limilicer ciica luum Arem converu, constac, ex Oblerracis D. Fooe,
Noltraris,

## Folio 743 — 851708439:0767
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000767.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
E A S E U N A R F 8
Nostratis, praeteriris Mensibus Marcio e Februario habitis; Regixque Societatr
ab illo impercicis, _ in Franfactionibus PhiloCophicis in publicum ex Prelo cdi
EiS, Apr. 2. 7666.
Cujusmodi prius idem habuerat de Tore Obferrationes, Mensc Maio 1664:
quas item Societati Regia postmodum communicarerat; quaeque in Fransactioni.
DuS Seguente Marrio edicis in publicum prodierunt.
Tam vero, quod ee Felluri competat hujulmodi circa TIUM AXem ConrectiO,
(qua e Lunam circumterre apta (it,) ex ipsius motu Diurno constat.
Nec minus certum ridetur, hujusmodi mocum Luna non competere: cum Pem-
per eadem Luna Facies nos respiciat. Duod tieri non posset ( Luna Perram
circumferret: Nili forlan diceretur, Fadem plane temporis periodo Terram cir-
cumterre, qua cirea Cuum Arem ipsa ConvertItuI: Contra quam in reliquis tic.
Ouippe Colis, Planetas circumterentis, circa Cuum Axem conversio breviori
tempore perasitur, quam est brerissima cujulris Planccarum cirea illum Periodus.
Torisque pariter Convertio, cujutris luorum Sacellicum periodo brerior cst:
Salrem s, quod nuper obserracum fuille perhibetur, sic rerum conversionis lua
tempuS.
De Sacurno quidem nondum altignatur periodus, qua cirea suum Arem con
rertitur: Led omnino rerisimile eA, breriorem hanc esse quam est Sacelliris sui
DerioduS.
Omnino iaque existimandum videtur, non quod Luna quidem, suo cireu pro-
prium axem motu, Tellurem circumterat, periodo sibi contemporanea, (quo tieri
postic ue eadem Lunx facies nos semper Spectet;) sed quod Terra potius, lua
circa proprium axem convertione, horis riointi quatuor peracta, Lunam diebus
quali risinti norem circumterat, nulla circa luum Axem conversione praeditam.
Fc quidem (quod huic cAt contorme) quod etiam qui circa Torem de Satur-
num feruncur Plaveta Secundarii, non (u Planer primarii) convertionem ul
lam circa (uoS axes obtineant.
Non isicur facile inducar ue credam, sstuum axud nos Periodum Menstruam,
per hanc Hypochelin rire explicatam.
Pociorem exiltimo Conjecturam meam (nondum enim audacter pro certo pro-
nuncio,) qua de apud te antehac egerim; quaque huic Epistola aulam dedit;
atque jam explicanda venit.
Cum Perram Lunamque constet bina cse CorpOra, ita inter Se Connexa, (seu
virture aliqua Magnerica, seu alio quocunque Vinculo id Frat, non determino;
nec opus elt, ad rem nostram, ue hric inquiram;) ut mocus eorum alter ab altero
dependeat, (Luna scilicet Terram iplam, tanquam Periodiei sui motus Centrum,
obserrance:) Non incommode considerari porerunt, ut Onum Crave, Peu gra-
vium AsSresatum, commune Centrum graritaris habens. Ouod quidem Commune
Cencrum (secundum leges Scaricas) in recta esse constar, binorum respectira
Centra connectence; lic dirita, uc diltancia sint in reciproca grarium proportione.
Fxempli gratia: Si incelligatur Lunx Magnindo (adeoque e verisimititer,
ipsuS GraritaS,) ad illam Perra, ut F ad 4T; (et quidem, praeterDEOPECF, Lleve-
lus in Tua Selenosraphia, P25. 203, CX TychonC, LIaNC HOTIM COFPOTUML PTOPOT
tionem astimae; nec OpuS ClF, ad rem praesentem, uc prorlus accuratam exquira.
muS:) Et Cencri Luna d Centro Perrx distancia, quali 50 Semidiametri Perrx:
quae non mulcum differe ab ea quam idem ibidem astimat in media distantia: ac.
curatam vero ejusdem determinationem achibere non elt necellarium, de qua
Astronomis rix. Patis conrenit:) Diltancia communis Ceniri gravicaris binorum
Corporum d Centro Perrae, cst quali a totius aistancix seu 56 lémidiametrorum:
hoc est quasi 55, seu Z, unius Temidiametri. Adeoque in AerC CITUM CFH, CXEra
Terrae superticiem, quancum est quali Friens Semidiametri Terrestris, in recta
Terrae Lunxque centra connectente.
Jam si incellisamus Ferram Lunamque junetim, ut unum crave, a Sole cireum.
Ferri in Mocus Annui Orbe Magno: xstimandus eric hic mOtIS, (juxta leses Sta
ricas, in aliis conjunctorum Corporum moribus obserratas,) ex motu Communis
amborum Ceneri grariratis. Tancum utique, in scarieis, reputatur Grrare aliquod,
seu Crarium Aggresatum, Tursum, deorsum, vel aliortum terri, quancum ipsius
Commune Cenirum Graricatis (ICMOreCUr; quomocoeunque parrum inter se litS
MUTETUIF.
Adeogue

## Folio 744 — 851708439:0768
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000768.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
Adeoque Linea Motus Annui ( Sive Circularis Cic, sive Elliprica, quod non est
hujus locidisputare,) describetur, non quidem ab ip(o PerrA CENITO, (PrOUL
ruleo existimatur, dum Terram habemus pro Planeca primario, Lunamque pro
secundario;) aut Cenero Lunx, (quod censerene illi qui Lunam habene Dro pri-
mario, Ferramque pro secundario Planeta; contra quos modo disputarimus: ) sed
d Communi PerrX L UNaGUC, NE UNIUS AOBTCTATI, CCNETO- DTAVITALIS.
Si itaque incellisatur ABCD P. (F15. 2.) Pars Orbis Annui, a communi Per-
Ex Lunaeque Ceniro graricaris deleripca, co cempore quo a Plenilunio in A, ad
proximum Norilunium in E. transitur: (guae quidem linea, quamvis sic AreUS
Circuli, vel Ellipseos, cujus Centrum incellisimus in debita distantia inferius eot
locari; cum tamen sic nonnili L TOcINS aMBICS, praeterprOpter, non incommode
per lineam rectam in Schemace exhiberi poreric:) intelligenda erunt cum Cencrum
Terra P, cum Luna C, (dUMMOdO COIUNC ambOTIM CCNErUI (IE in A H,) peri
Pherias circa commune Centrum illud deseribere. (Ouorum in Schemate, eam
Tolam delincarimus qua d Ferra cenero describitur, ue quae praelenti sustieit neso.
tio; cuiu si videbitur, Concenericam intellipas d Lunae Cenero descriptam: Cujus
etiam d P vera diltancia major censenda est quam quae in Schemate extribetur, aut
commode poruic extriberi.) Pc Similiter, P. VG HI, (f8. 3.) ab illo Novilunio
in F, ad sequens Plenilunium in I.
AB A ad H, (hoc est, d Plenilunio ad Norilunium, movetur F, in Epieyclo
Tuo, d Sole Turtum: REgue ab E ad T, (a Novilunio ad Plenilunium,) deortum
movetur, Solem versus. Trem, d C ad C, (d quacracura ulcima ad sequentem pri-
mam,) prortum moretur, secundum motum Annum: Sed d G ad C, (a quadra-
tura prima ad sequentem quacracuram ulcimam,) recrortum FExEUE, COntra motm
ANnuUM.
Manitestum icaque est, secundum tanc hypochesin; quoc, ab VIrima Ouadra.
cura ad sequentem Peimam, (nempe a C ad G, dum F est Tupra lineam OrbIS AN
nuis) morus Menstruus in Epierelo, mocn Annuo superaddic aliquid Accelera-
tionis, ee quidem maxime in iplo Novilunio, in L. A peima vero ad VIcimam
quadraturam, (nempe, a G prortum ad C, dum P est intra lineam motus Annui)
Celeritatis aliquid ab annuo moru demit, et maxime quidem in L vel A Pten
lunio.
Adeoque (quod de Calilaei principiis consonum ell) Mocus Menstrums; Addendo
vel Adimendo, mocui Annuo nonnihil celeritatis, vel recro relinguet, vel PTOF
sum praecipitabie, Felluri incumbencem Aquam; (eoque Actum seu Fumorem,
vel Accumulationem aguarum esticiet:) de maxime quidem in Noriluniis d Ple.
niluniis, quippe cum Acceleraciones _ Recardationes Continoune MaxIMX.
Acque hic quidem Mocus Meultruus, Si nihil ultra Annuo accederet, duOS tan.
cum Astus seu Fumores lingulis Menlibus extriberet, (ob Accelerationem unum,
alterum ob Recardationem mocus;) cirea Novilumia seilicet d Plenilunia; (illic
in Polteriora, hie in Aneriora. eua lque contormes Sublidentias.
Sed mocus Diurnus superaddicus, id in Menstruum etticu, quod d Galilaeo Luv.
Ponitur in Annuum esticere; nempe Acceleracioni de Recarcarioni Menstrux, adeit
adimirre nonnihil; adeoque Aictum A.ltui superadeic.
Nam,
aet
16
11
e
e
ven

## Folio 745 — 851708439:0769
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000769.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
Nam, in quacunque Epieyeli sui parte intellisatur L. Moniam, dum MOt
Meultruo movetur Centrum Perrae in
Circulo L FN, (Fig. 4.) Superticiei pun-
etum quodris mocu diurno peripheriam
circa Arem tuum deleribie, UE L. M N:
quemcunque eAectum (Acceleracirum pura
Jeu Recardatirum) mocus Menstruus POr-
Liatur; cundem Drurnus Auset quidem in
Parte L. MI N (seu pocius lNn lemicireu.
10) et maxime in M; Minuit reco in
parte L. ON (Peu IOn) de maxime in O.
Adeo ut in M ec O, (hoc est, cum Luna
in Meridiano existit vel intra vel lupra
Florizontem,) contingat Ailtus leu Ju-
mor Diurmis, quem etticir Acceleratio Peu
Recardatio maxima quam MOtuS DiurnuS
Menstruo Superadelic.
Acque haec genuina caula ridetur AstuS
Diurni. Simulque rationem extrihiet, non
modo (T) cur lingulis diebus contingat;
led B, (2) cur in hroc aur illo diei tempore; cur eriam (3) tempus HOC, InCTA Men.
sis spatium, per tocum rox eipesor tranleat; (quia nempe tempus Accelsiis Lun
ad Meridianum intra supraque Horizonrem, limiliter torum rox dipseor pereurric:)
Atque inCuper (4) SCuum Saltiorum e Remissiorum caulam, (quos Sprine- Trdes,
e LVcap. Frdes, nostrates appellane:) Ouippe quando Accelerario leu Recardario
cum Menstrua cum Diurna coincicune, (quod in Noviluniis d Pleniluniis contin-
sit,) majorem elle oportet etfectum. EC quanignam (quod dissimulandum. non
clE) contingat hoc nonnili in alrero duorum Aictuum ejusdem roz duuces, Noct, -
no scilicet in Norilunio (quando uterque mOcUS CAt AcceleraciruS,) et DivenO
in Plenilunio (quando merque ct Pardatirus:) ubi camen Altustric, duabus
Sic cocuntibus causis praecumeleir; licet in Astu sequente non utraque concurrat,
impetus tamen sic contractus sequentem Astum afficier. Iaud secus acque in re
ciprocante Grari Pendulo videre est: Omod, si, ab alciori puncto delaplum, majo.
rem arcum Cadendo describat; idem, ulera perpendiculum latum, (urue nulla,
praecer jam contractum impecum, accecat nora causa,) arcum propterea ex altera
parce majorem, etiam ACcendendo, describet. Sic aqua, in amplo rase, si Tubita
concultione in anteriora altius protiliat; eadem, ob propriam graritarem reciclen.
do, proxter impecum sic concractum (licet nora non accedac causa) aleius etiam
in polticam parrem reliliet.
Sed e hic porro notandum eric; quod Licet omnes Terreni AmbItIS parteS,
mocu Diurno circa Felluris Axem converla deseribane circulos Parallelos: nOn
tamen A quales describune; Led prove Aiquatorem majores, minores prope Polos.
Ouod caulam luppeditare porerii, cur alibi cerrarum mojores Aistus, alibi mino.
res, contingant. Verum lioc ad Parricularem Ailtuum considerationem spectat,
de qua NUNC NOn agIIIE) non ad Generalem FTyPOThCHIM.
Atque hactenus cginus de Periodis Diurna e Menstrua: Superelt, ue de Annua
similiter a8am. De qua quidem Periodo, hoc salcem constare videtur: Ouod sa-
eis quibuldam anni cemporibus, in hocaut illo lucore, Ailtus lonse majores,
quam aliaS, oblerrantur.
Acque hic mihi duplum incunibir pentum: Primum, ut Obserrata corrisam:
Dcinde, ut Phaenomeni rationes rededam.
Primum quod spectat: Jam olim obserrarum firie (cractiori saltem modo) prae-
tumidos illos ACtus, Sub Vere aique Aucumno contingere solitos. Atque hinc
paltim conclutum, (absque sereriore, ut videtur, examine,) ipsis sequinoctiorum
semporibus deberi hoc Symproma. Caulasque propterea quae truic Supposicioni
conrruane inveltigare PateSeFUNE.
Verumeeo jam a viginti plus minus annis, frequenti COnverFatione _TS suM
CUM RecolIS quibuldam Kanciani licroris: ubi ampla planicies, ab oppido Rumner
nomen Corcita, (PumnerMarsh dicta,) praealtis Valtis a Mari detenditur, ne ter-
venie stu imundetur. E.F loei ieola, quorum vivendi racio ex pascendis sie
Bbb bb
Sibus

## Folio 746 — 851708439:0770
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000770.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
1
LL A R
SIus maxin penet Obetrancistuni. Fune, (quod tacile credas, cum eorum
Canei incerti,) quibus cemporibus ab siltu maxime pericliceneur ne lubmergan-
Tur aerI. L’acentur autem uno ore omnes, lub L’ebruarii acque Novembris inciis
maxime perielitari; ab iis seilicee Actibus, qui pro Periodi Men(LEUA rACONC Pra
alci ellene, circa hac cempora concingencibus, (quos Canalemas stream, e Alb
hollana stream appellanE:) acque ab his quidem si cuu eralermes de reliquis le
lacis lecuros arbitrantur. De Menlibus incerim Marcio de Seprembri, (quibus A
quinoetia concingunc) non magis sunt quam de quoris anni cempore lolicici.
Laceor equidem me, quum primum hoc audirerim, miracum elle; de TANEUIM
non suspectum habuille erroris alicujus cum qui primus id mihi indicavit; (quam
quamnec ipse calis erac cui tacile hac in re imponi polle videbatur, ejulque plu-
rimum incertuie non ignarum elle.) Verum diucius halitare hac de re non pa-
ciebatur unanime omnium celtimonium qui liccus illud Longo cractu incolune. L.L
quamquam rei causam REC PEATENdUNE WIL2m, neC inguIFUNE; de re camen ipla
nemo omnium dubicat: riluque pocius cum acciperene, qui periculum mensibus
Dociltimum Marcio _ Seprembri ecuendum monerent.
Ipleque, ex eocempore, memini me laepius obterralse, cum Pondini, cum alibi,
(ncur minus torcasse curiotus fuerim, quam par erat, in describendis cemporibus,)
Mensibus Februario _ Novembri (sed praelerrim Novembri) Ailtus concisille
mulco quam aliis temporibus alciores.
EG Speciatim, Anno 2660 (ob Serenistimi Regis redicum Cclebri,) mense No-
vembri, canca Fuit in WV estmonasterio ob Altum incumelcenrem inundatio, uc criam
in media Placea Regia, (Kines Areet,) Vicilque prope omnibus adjacencibus
iusoque Acrio Fere tou quod Westmonasteriensi Palatio adjacet (Palbace pard;)
e pastim alibi, canta vis aquarum exat, ut ne curru quidem commode terri possem.
Acque in Novembri jam proxime clapio, Anni 1665; recens adhuc elt memo-
ria, quam tuerine praealei Aictuum cumores, non tantum in lictore Anslicano, (ubi
damna non exigua contigerune;) Ced ee magis achuc in Beleio, ubi Villas aliquor
e Oppida submersa tuerunc. Aliisque annis (ueur dies iplos non deseriplerim)
memini me saepius intiones Acuum cumores Lub illis anni temporibus observalle.
Acque haec quidem Obserrata, me per aliquor annos solicicum, tenverunt: non
modo quod receptae de Aequinoctiis opinioni ridebantur contraria; sed quoniam
non facile cogitanei occurrebat intione quiequam lub iis temporibus contingens,
cui alcribendum videretur hoc Phaenomenon. Puta; nec Aquinoctia, nec Sol.
licia; neque Solis vel Apogxum, vel Perisxum, (Peu, Aphelium Perra, auc Pe.
rihelium.) Sed neque oppolitis anni cempeltatibus (Temeltri disticis,) quod Paltem
expectandum ridebatur, contingunt. Pcenim d Novembris inicio ad inicium L’e-
bruarii, non nili Frimestre spacum: Hlinc rero ad Novembrem, Menses Novem.
Pandem Tubiit cositare (ante quacuor plus minus annos,) quod, ueur non V.
num aliquod insigne accideret cui hoc impurandum videretur: accideret camen
quiddam ex Pluribus compolicum sub ea rempora. Nempe, Vierum Nacuralium
(Seu roxdnccecor) Inaequalicas maxima; ex duabus Calcem causis oriunda. Ouarum
utraris lolicaria inaequalicarem hane in alia tempora conjiceret; sed simut vrraque,
in Haec.
Existimatur quidem vuleo; quantacunque fueric dierum Arciticialium (pront d
Noctibus distingnuneur) inaequalicas; dies tamen Nacurales (pura, a Meridie ad
Meridiem) aequales omnes esse. Cum camen probe norint Altronomi, de hoscciam
else inaequales.
Constat urique Diei Nacuralis mensura, non simpliciter ex una inceora AI quI
noctialis Circuli convertione, seu vioinei quacuor horis Aiguinoctialibus, (quas
guidem convertiones a aIS CCL POHBUS PCraBI reDUTAmUS;) Sed, cum eo AC.
ditamento quod AnnuI motus parci eo tempore peraclae respondeat. Nam, ubs
illud Circuli Aequinoctialis punctum, quod hesterno Meridie una eum Sole ad Me-
ridianum perrenerat, ad Meridianum perrenerie hodie, non camen procinus crit
Meridies, (quia Sol ibidem in Zodiaco non est hoche, ubi heri tuic; Led uno
quali gradtu, ob mOrum ANNUUM, prOMOVCTIE:) Sed expectandum exie donec
locus ille, ubi Sol hodie fuerie, ad Mecidianum perrenerii, priusquam hodie tiac
Melidies.
Hoc aurem Additamencum (quod inceorae Circuli Agninoctialis convertioni
accedic) elt duplici salceu nomine inaquale.
PruMO;
Il11
Biltim
Poeu
iva
lural
et
quid
1an1 5

## Folio 747 — 851708439:0771
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000771.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 65 lines, status machine
2
Ai E
M A R I
Primo: Ononiam Sol, ratione Apoexi et Perioxi, non omnibus Anni tempo
ribus aequales arcus Felipricae perasit unius diei spacio: Sed majores arcus in Pe,
riexo, (quod prope medium Decembris concingit;) minores in APOEXO, (quod
incidc circa medium Junii: ) uc ex l’abulis Solaris Mocus Annui, latis parebit.
Secundo; Si Solis in Peliprica motus aequalis ellet, adeoque aequalibus tempo
ribus aequales arcus trantiret: Squales tamen Areus F’elipriea, non requalibus ubi-
que relpondent Circuli Aquinoetialis partibus; secundum quas Tempora men-
Lurantur. Ouoniam Zodiaci parres aliqua, puta quae Punctis Sollticialibus pro
pius adjacene, magie ad parallelismum cum Circulo Aquinoctiali accedunt, quam
alia, puta quae proxius adjacent Punctis Aiguinoetialibus, ubi Fclipcica et Cireu-
lus Agninoctialis se muiuo incersecant. Inde Arcus Feliprica prope puncta
Sollticialia, majori Aquinoctialis areui responder, quam aequalis areus Pelipriea
prope puncta siquinoetialia. Ouod, ex Pabulis Rectarum ascentionum Solis,
ratis patebit.
Ouod ad Priorem caularum harum altinet; contingerent in Decembri Dies
Nacurales omnium Lonsiltimi, ec Brerictimi in Zunio. Fademque caula, (I Sola
spectanda ellet, DuoS item AiCtus seu Tumores Annuos eildem Mensibus exti
beret.
Ouod ad Polteriorem vero; E ea Tola spectaremr, Longissimi Dies Naturales.
in duobus Sollcitiis, adeoque in Junio et Decembri, concingerent; Brerissimi
aurem in Agumoetus, adeoque in Martio et Seprembri. Kademque caula, qua-
tuor illis remporibus, quacuor item AiCus seu Pumores annuos extriheret.
Cum aurem rera Bierum Nacuralium inaequalitas, ex cautis hisce complicatis
Oriatur; nunc una conspirantibus, nunc sibi concrariantibus MUEHO; Ouaimquam
tinsulis his cemporibus continsant rerera Dierum Nacuralium aliqua vel Inere
menra vel Decrementa, caulis luis respectiris consona, (A Ruumque torte vicili
tudines eildem contormes;) Dierum tamen Nacuralium omnium corius anni L On
gissimi simplicirer et Brerissimi, (a cautarum illarum complicatione dependentes,
circa haec ipsa temPOTa; Puca, principia Novembris _ Februarii (auE cerre non
procul inde) concinsunt; quibus ee in Lucore noltro, uc dictum ell, Maximi ob.
terrantur Aistus Annui. Ouod ex inspectis Tabulis Aiquationum Dicrum Na.
curalium constabic.
Omnino itaque existimandum judico, Periodum Aictuum Annuam, ad eandem
Causam, seu complexum Caularum, reterendam esse, cum Dierum Nacuralium In-
aequalirare. Nlam (quod de Menstrua ec Diurna prius oltentum cst) ctiam hic
habebitur Phylica Acceleratio e Recardacio motus medii Telluris: Adeoque et
Derelictio vel Praecipitacio aquarum. Quarum urraque Accumulationem seu Lu-
morem FHicic.
Verum quidem ese Longistimos hos acgne Breristimos dies, (secundum Ai
quationum Tabulas, nonnullas faltem,) incidere porius ance, quam polt, inicia
Navembris e Februarii: Nempe, verlus Octobris et fanuarii Finem. Sed de ila
nonnunquam continsunt, in eodem Licore, maximi ACus Annui. (Ec tortan
alibi alias.) Sed es necdum ita probe convenit inter Actronomos, quaenan linc
illae omnes cau(a (ee in quo gradtu) Tnaequalitatis Dierum Nacuralium, quin ad
huc incercicudinis nonnihil reltet de ipsiltimo tempore Inaequalicaris maximae. E.L
quidem, num hic morus Felturis in Ppieyclo, circa commune Cencrum- graritaris,
jam de noro incroductus, in calculum etiam non renire debeat; non jam deter-
mino: Cum Pacis jam, superque Fortan, dicta sunt pro Generalis Fypothelcos ex
plicatione. Parricularem enim ejusdem ad singulos calus accommodationem, non
jam aegredior: qua ex justis Moruum menturis olim pecenda erit, si Generalis haxc
FEypochelis ridebitur admictenda.
Hloc incerim (quo rectius incellisar) addendum est. Ouod, ubi Diurnus A. Cus
Ceu Tumor maris indileriminatim conjicitur in ea Tempora cum Luna sic in istius
loci Meridiano: incellisendum hoc est de APertO Mari; ubi spatium cAt quo Ji
bere moreatur Aqua, quali TOtuS Ferrettris Globus aqua reseretur. Ouippe in
Sinibus, Fretis, Fluminibusque, cerrissimum est, sirum licioris, aliasque causas
necellario efficere, uc Aistuum Fempora ab eis lonse diversa sinc quae in Aperro
Mari supponimus. Sed et, in Aperto Mari, Intula, Scopuli, Currences, AbysI
Breria, Caeceraque accidentia, magni momenti esse pottunE: quamquam MInOTIS
Quam SInUI EE PrEtOTUI LTUS.
Bb bb b 2
LOrro;

## Folio 748 — 851708439:0772
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000772.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
E A, S Y U M A R 1S.
POTTO; Cum ACtuum seu Fumorum tempOra, in Aperto Mari, 2 Naucis vulgo
EeNSentuE cum contingere, quum Luna tuerie in Neridiano; prour eciam noltra
rule Hypochelis: Non tamen ego ita me in ACtuum hiltoria exercicatum proti-
reor, ut aulim in me suscipere, quod hoc ubique contingar: Nedum ve jam ltacim
in me suscipiam, Tinoulis locorum caluumque varietacibus (qua ex innumeris
circumstanciis dependent) Generalem Fypochelin accommodare.
Suncque haec praecipua eorum qua de Maris Ailtu, Sccundum hanc FIypochelin,
generacim dicenda ridebantur.
Sunt alia quaedam, ad rem Astronomicam spectancia, (nisi quod Epistolae limi-
tes jam crantisse videar,) quibus haec cadem Forre, de Communi eravitatis Cen-
no, contiderario inserrire porerir. Ouodque, prima tronte, Objectio in Contra-
rium videri pocerit; pro Arsumenco torlan haberi olim merebitur, quod sua-
deat.
Existimabie Forsan aliquis; Si Ratuacur Ferra Epierelum hunc circa hoc Com-
mune graricaris Cencrum describere; curbacum iri (ob mucacum Felturis Licum)
Caelestium Mocuum apparencias; de Planecarum, Talcem quorundam, loca appa-
rencia, diverta plane tucura quam secus torent. Ouamquam enim CAM P. XISUA
Telluris translario, quam hic inducit Epierelus, (Talcem li Semidiametrum habeat,
quae major non sic quam Selgnicercia Semidiamerri Perrae,) parri admodum cset
(G ullius) momenei respectu Planetarum remoriorum; ac lalcem respectu propio.
rum nocabilis esse pOTtE.
Pollem quidem huie respondere, (quod Galilaeus Objectioni non absimili re
Ponit;) Fieri omnino polle, quod hjusmodi line exisux apparenciarum disse-
rencix, quas camen Altronomi hactenus non tam accurari tuerint ut obserra-
verint.
AC ego potius contrarium responderem. Nempe, exiguas quascam hujusmodi
ditterentias jam ab Astronomis fuisse obserratas, quarum rationem reddere vix aut
nC vix POcueFInE.
Oua de re Fhorroccium nostracem, (cundem volo, qui Vencrem obserrarit
Fub Solis diseo ETANTCUNLEM, ANnO 1639. LVovemb. 24. Scito Fuliano,) in liceris
quibuldam Cuis Altronomicis, (unde, Regix Sociecaris jultu, Excerpea quaedam
nuper Prelo parari,) sacis perplexum rideas. Oui tandem, non aliunde suppetias
nactus, ad Keppleri Fibras Amicabiles, aut simile quid, recurrere coactus est;
(quae, pro vario Lunae Ticu, nune praeter Colicum promorerene motum, nunc re-
cardarent.) Ouas Amicabiles Fibras nonnili inritus plane acque coactus am-
plectitur, (quod ec ipse proticetur:) secus tacturus si pocuisset alias minutis illis
naequalitacihus Pacistacere. Pc non dubico, quin hanc pocius de Communi Cen-
cro Graricatis considerationem amplexurus fuisser, si vel sibi ipsi renisser in men-
tem, vel quisquam eam (ugscsIIIet.
Aliosque rideas ACTONOmOS (PTONE Sua cujusque postulac Hy pothesis) ad hoc
redactos, ut Aquaciones quasdam Menstruas ineroduean, (pro Polvendis quibul-
dam in Lunari Nocu inaegualicatibus,) quae Rerolutionem Synodicam spectant,
vel ipsius ad Solem AspectuS; praeter eas quae ad Mocum Periodicum directe
Spectant.
Et quidem, quo hujusmodi inaqualitatibus Pacistiac, cum haec de communi
Perrae Lunaeque Cencro gravicatis consideratio, tam appolicum videatur remedium,
(S Talcem reperiatur Phaenomenis exacte respondere; quod nondum quidem exa-
minari, sed non videtur improbabiie;) tancum abest uc hoc pro valida in con-
crarium Objectione habeam, uc porius una sic ex rationibus quae incroducendam
Cudclean.
Onicum adhue superelt, quod Coronidis loco adjumpam. Nempe, si ob r2-
ciones jam allacas, hac de Communi Cenero graritatis Perrae Lunaque Lypo-
chelis, admicrenda videbitur: Consentaneum etiam erie, ue, de Zoue eum luis
Sacellicibus quacuor, eadem habeacur contideratio. Oua quidem, pro diverso Sa
tellictim Licu, ex Mocuum eorum rarietate ortundo, nonnihil MULarC BOLCrIC PO-
licionem foris, ratione Communis Cencri graricacis iplius foris cum Sacellicibus
Tuis. Dua tamen immutacio, cantilla Fortan erie, propter exigua Sacellitum Cor-
Pora cum Pore comparata, uc in tanca distancia oblervacum nostrum Fusiat.
Onodgue de Tove dictum el tuilque Sacellicibus: idem de Saturno eum Sa-
tellice (u0 (ab sEusenio primum derecto) incellixendum erit. SunI UliGuE OmneS

## Folio 749 — 851708439:0773
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000773.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 14 lines, status machine
1
InC
D E N, S F U MI A R F 5.
hi satellites, respectu Planetarum quibus incendunt, ut coridem Lunx respectu
Terra.
Ft quidem probe memini FTorroccium nostrum, in liceris modo memoratis, di-
sertam mentionem facere minutae cujusdam inaequalitatis in motu sacurni, cujus
nullam rationem comminisei pocuit: quasi (ut fuis verbis utar) furentutem ejus
despiceret cetricus ille Senex Sacurnus. Cui fortan inaqualitari Patistecisse potu-
isset, si cunc temporis Sacelles hic Sacurni Fuiller derectus, acque S Torroccio in men-
tem renisser hxc de Communi Centro graricaris consideratio.
Acque jam habes, TIlustrissime Vir, sententix mex hac de re rationem, (imma-
curani licel ee impolicam aetuc,) uc tibi morem perereme deseripran, alque ui
arbitrii jam tactam. Valc.

## Folio 750 — 851708439:0774
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000774.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
L A SR CV.
Ancecedentis Appendix, et simul edita:
Oua quorunctam Objectionibus Respondetur.
Id D. Odenbursium, mense Tulio, 1666 scripta.
Ccepi cuas. Acque libenter parior ue Objectiones in meam, De Astu
Maris, Hypochelin moreaneur. Ouam ideo examinandam expolui, ue,
Prout meruerie, vel Approbetur, vel Lmendetur, vel Rejiciatur.
Ad eas quas mocas ais, ordine Rcspondeo.
T. Ad primam: Duod non facile concipitur, Duomodo Duo Corpora, nul-
l0 vinculo connexa, Commune aliquod habeant Centrum eravitatis: JIOc elt (quippe
huc spectare existimo) Duomodo ita rel ABanE, vel ASanEuE, aeli connexa ellene:
Respondeo; Ditticilius quidem este duomodo hoc tiar, quam duod tat, olten-
dere. Esse quidem quod, inter Magnecem  Ferrum, Vinculi instar lic, licet id
neuriquam rideamus, ex FFectis cognolcimus.
Rcque eriam facile oltentu est, ad eandem Acum Nlagnericam, accommodari
Polle, in liu commodo, Duos Magnetes, qui Acum lic alliciane, uc ad neurrum
directe respiciar, sed ad Punctum aliquod intermedium; Ouod amborum est quasi
Commune Centrum Attractionis: Ouodque ita se habet aeli Onus aliguis Magnes
ibidem eser. Non tamen habent Magneres illi commune aliquod L’inculum; VEuE
commune Centrum Virtutis habeane, sccundum quod junetum OperaNEUT.
Fc quidem, quod Perram Lunamque (pectat; Quomodo LInE Inter SC CONHEXA,
nec oltendendum Iuscipio, nec ad rem praesentem opus cst ut id taciam. Quod
aurem ita quasi connexa sinE, (non minus quam Nagnes ee quod acrahieur Her-
rum,) apud illos in contello elt, qui eas a Sole circumterri existimane camquam
Unum seu Corpus, seu Aggregacum, cujus parces inter se debicum sicum conser-
vant. Sieur e Fupiter, cum Sacellicibus suis; acque, cum luo, Saturnus. F.H
ucique quali rinculum aliquod, quo tirur Sacellites ti Dominis incendane siris, e
tanguam Ordinata PhalanX MOVCanEUE: quamquam nos nec Vinculum illud vi-
deamus, nec audimus Mandata. Aeque hic limilicer.
2. Ad secundam; Quod apud Chas hamam, e in Tbamesis pavio, praealti A.
sus Annui circa Aquinoctia continsant; non (quod haec supponit Zy pothesis
alibi observatum esse) sub initra F’ebruarii  Novembris:
Relpondeo; l id volune qui hoc objiciune, Ouod in Aequinoctiis, e quidem
Tolis, concingunt; licque hoc, quod perhibene, verum; aliero lalcem pensi dimi
dio me exONCTanE. Ouippe cum facile respondebitur, Ah Obliquicue Zodiaei
Dendere TUMOTES AnnuOS. A qualibus urique Zodiaci parcibus, maximos quidem
prove Sollticia, se cirea Aiquinoctia minimos, AAquatoris AreuS respondere.
AC vero, praecer hanc Aiquinoctiorum, (nedum Ouacuor punctorum Cardina-
lium,) vicilticudinem, (quam ee pacieur de actirmac Hypochelis mea;) non du-
bico quin ee alia Vicillicudo Annua comperietur, quae Solis Apocxum et Perisaum
relpiciac. Fc quidem ACtuum omnium maximos repercum irt, ex uerisque caulis
cooperancibus dependere; colque (sicur e Dierum Nacuralium inaqualitatem
maximam, ex eisdem caulis dependentem,) propius ad cempora a ne delignata con-
cingere.
Obiaucem concrarium hujus Chas hama ee in Thamesis turio, oblerrari dici.
cur: F80 quidem anixo, de ad melius inguirendum remico, allentum incerea rem.
POriS

## Folio 751 — 851708439:0775
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000775.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
F.
A S F U MI A R T 5.
Poris Tuspendens, (ConsciuS quaM ex PEXCOnCEDE opinionis praejudicio hoc Facile
Dollic quis exiltimare.)
Si vero, quihoc objiciunt, ex tucuris Obserrationibus, (Post hunc a me inje.
ctum scruputum,) caure insticuendis, non ibidem invenerine Aleiores AstuS PFO-
Dius ad ovembris atque Februarii principia, quam in Martio ee Septembri; aeno-
seam hanc. Objectionem minime conremnendam elsc.
Ac incerim, eso me probe memini, non modo in lictore illo Kantiano, sed eriam
Pondimi (ad Thame sin Cici) praecumidos ACus mense Novemibri obserraste. Et
quidem eso ad recentem adhue memoriam provoco, (sive cuam iplius sire aliorum
Condini cunc agencium,) annon praecerio Novembri, quum peaalei siCtus, ad
Dubrin, Dealam, Marsatam, _ in Toco lictore Kantiano, non parum damni mul-
eis locis intulerunt, (e mulco adhuc magis in Beleio:) annon, inquam, Londini
(redum Chathamae,) Cimiles conrigerint.
Sedrerera, accurata Ephemeris, seu Commentarius, exhibens cum Alticudines,
cum Tempora incidentixe, Aistuum Cummorum ecimorum, seu AMuXuuM EERC.
Auxuum, per unum aut alterum annum continuum, Eire Chathama aue Grenovici,
seu pocius alicubi in aperto Mari, vel ad Cornubiae promoncorium, aut ad Fsiber
mia liccus Occidentale, vel ad Insulam S. Felenae, aut Bermudas, ecc. plus con-
ducerent ad hunc apicem determinandum, quam verbalis disguisicio.
3. Ad tertiam; Nempe, posito Terram Lunamque sic circa Commune Centrum
cravitatis moveri. Si altissimi Aistus contincerent in Novilunio, quum, existente
Luna in provima ad Solem distantia Terra sit in remotissima, hujusque motus
compositus maxime velox; astusque sensim decrescerent, pront Terra propius ad
Solem accedii, donec ad eum quem supponimus Annui Motus Circulum pervenit:
Cur non e porro decrescerent Astus, Tellure propius adhuc ad Solem accedente,
es decrescente adhuc compositi motus velocitate. deoque, Cur non in Novilunio
quum Compositi motus velocitas est maxima) Lumores contineerent Maximi:
minimeque in Plenilunio (ubi velocitas minima est; sed utrobique praeatti.
Relpondeo; Hluic scrupulo, in ipla Fyporheleos expolicione (s bene actende.
retur) Catis prospectum tuisse. Ouippe Pumor ille Marinus, seu Accumulatio
Aguarum, inditterencer sequi deber ex subita motus rel Acceleratione, vel RCtar
datione: (SiCuE moto Fabula plano incumbens Crare, ret Reliliet, seu porius
retro relinquetur, urpore nondum adeptum parem impetum cum subjecto Cor-
Pore, si Planum illud subito propellatur; vel, s Tubito sistatur, aut notabiliter
recardetur, Proliliet incumbens Crare, PrOPter prius Contractum impetum ad
subjecti corporis carditatem nondum accommodatum.) Cum itaque harum utraque
concinsat, utrobique continsunt Asus solito altiores: In Novilunio, ob NOtuS
Accelerationem; atque ob Kecardationem, in Plenilunio.
1. Ad quartam; Quod Fumores Menstrui non sint ubique locorum in Novilunio
J Dlenilunio; Sed, speciatim in Orientatis Tndae locis nonnullis, in Quadraturis.
Respondendum primo generatim; Duod, quancum ad particulares Aictuum va-
rietates, in lingulis Mundi parcibus; non spondeo me Ctacim polse plenam ratio.
nem exhibere: cum Tufticientem p. Cuum (aliorum que huc spectancium) LTistori
am non habeam. Ouoniam (ut Patis inLinVatUM CTAE) varii situs seu potitiones
Tittorum, Frecorum, Sinuum, Promontoriorum, Vorricum, Brerium, Curtuum,
Scatorum Vencorum, aliorumque hujusmodi, non postunt non interre, rariis in
Jocis, innumerabilem Accidencium varictacem: Juorum impossibile erie Cx JIy
pocheli Generali (quamcunque vera fuerit) pertectam rationem extibere, ab sque
particulari enumeratorum nocitia ex debira consideratione. Ouod quidem onus
Grarius est quam ut in me aulim suscipere, qui tam modice rebus ad hoc necesta-
riis instructus (UIM.
Deinde; quod ad particularem illam quam adterunt instantiam atcinet, de Tu-
moribus Nenstruis, alicubi in Tndia Orientali, ad Lunae Ouadraturas contingenri-
bus: IIoS, credo, maxime volune, qui PrODe Cambaiam acque Desu Concingun.
Oua loca, praeterquam quod lira sint in incimis valtissimorum sinuum recestibus:
adjuncta habene valtissima A. Suaria, per aliquor Milliarium Cencurias intra T er-
ram Continentem sese insinvantia; qua, quum AF: Cus abest, quali LIcCa jacenF. FF
propterea merito putari porerum Efectus Aistus Menstrui serius per aliquam.
multos dies parcieipare, quam eorum vera causa conciserat in aperto Mari. P adem
ratione qua in Freris atque arctioribus Lluminibus serius per complures horas con-
FinGUInE

## Folio 752 — 851708439:0776
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000776.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
A. S Y U M A R
Einsunt Fumores Diurni, quam in vieino Oceano. Aeque limiliter respondendum
erie, de aliis aliorum locorum Accidencibus, ex sicu locorum dependencibus; ut
Sinuum, Frecorum, Fluminum, dec.
5. Ad quincam; Quod maximi Lumores Menstrui apud nos, contineant, non
praecise in ipsis Novilumiis, e Dleniluniis sed biduo aut triduo post:
Relponsum majori cum considenca aggrederer, modo cerco mituconstaret, num
hoc in aperco Mari concingac: an cancum in L’reco noltro, sen Mari Claulo. RC.
Sponla enim non eadem fucura ellene ucroque catu.
Si enim in Preco cancum noltro id tiat, ubi Mare longo cractu Ferras inter-
Inic; de non in aperto Mari: 2 parciculari locorum licu racio pecenda crie
Verum si illua universitm per aperia Maria obcincac: reddenda exie ratio ex Cic.
nerali Hypocheli.
Dua de re donee cerrior Factus Fuero; vix Pacis constat, urri duorum caluum ac.
commodanda erit Relponlio; ne, dum ab alcero carere Hudeo, in alcerum im.
Dinsam.
Sed scio Naucarum vulsus, (epius de Fumoribus Menstruis verba tacere tanquam
ad Norilunia ee Pleniluma concinsencibus. Non tamen me propierea securum ha-
beo, quin fieri possic ue otiam in apereo Mari, pariter acque in Freco noltro, lerins
continsant. Adeoque circa Norilunia ee Plenilunia pocius dixi, quam in iplis
Noriluniis de Pleniluniis, cumores maximos concingere: Ec quidem licutii in NO.
riluniis de Plenilumiis id fieri dieo; laxiori lentu incellectum rolo, (quo sensu e
Naucas incelligendos puco, pro cirea vel prope Novilunia e Plenilunia.) Ouod
quamris terre pollic Flypochelis noltra; cum camen non Pacis mihui constet, nihil
huic hractenus luperstruendum duxi.
RevEra, LLuXUS e Retluxus aqua in concusto Vale, quamquam ex ipta con-
custione dependeat, indeque oriatur: plerumque tamen nonnili poll cempus ali-
quod maxime conspicitur. Oportet ucique, post iptum concultiOnis MOMENEUIM,
ut remporis aliquid mocui concedatur, quo Accumulatio Tumorem etficiat.
Ec quidem non elt improbabile, uc in Periodorum Cingulis hoc concedendum
FIC. Nam uE maximi FuOreS Menstrui COntinSAnE (Taltem apud nOS) aliquot
diebus post ipsa Novilunia ee Plenilunia; Sic ee maximi Fumores Diurni aliquoc
horis polt acceltum Lunae ad Meridianum: (Incelliso, in iplo quidem Occano;
nam, quancum ad lonsiora Preca e llumina, Paris constat Variecarem maximam
contingere, prour quae que loca provius auc remorius ab Occano distant: Ec quidem
Annui Tumores maximi, qui lub Novembris ee Februarii Principiis conspiciun-
cur, Terius accidune, quam (qua ab cildem cansis dependere ridetur) maxima
dierum nacuralium Inaequalitas; qua in Tanuario ee Octobri concingit.
Ac quamquam hoc, uti dictum est, admicri pollet; cum tamen nondum mihi
cerro conster, nihil hie determino. Sed cum hactenus mos obtinverie laxius lo-
quendis uc ipta Noriluniorum, Pleniluniorum, Guadrarurarum, Acceltuumque
Luna ad Meridianum cempora pro cemporibus proxe contingencibus diei sole
anC: nOn erac cur exo me rigide obstrictum putarem ab ea libertare recedere, in
nova hac Fypocheli (quae adhue sub judice est) exponenda. Verum (i F1YPO.
phesis haec quoad rei lummam admiccenda videbitur, (quod quid ni tiat non-
dum video;) de minuriis postea, ex parciculari obserratione, decerminandum
CrII.
Et quidem, si ad minucias descendere libuisset; habenda Fuistet pario tum APO-
saei se Perigaei Luna, cum Obliguiratis Orbicae Lunaris ad Fcliprieam comparacae,
ee Incersectionum quas Caput ex Candam Draconis dieune. Sed de monendum
tuistee Ferra motum Annuum acque Divenum, cum non eundem seu parallelos
Ares tabeane, se mucuo nune magis nunc minus decullare. Icem Tnundationes
Nili, aliorumque aliquoc Fluriorum, stacis Anni cemporibus tactas, ad hujulnodi
torre caulam reterri polle. P’orrallis e llacos Ventos. Sed haec intacta planC PEX
cereo, aliaque hujusmodi multa: Oux camen siquando aet parricularia devenien.
dum erie, consideranda veniene.
recuabas, responsa dederim: De Libris duobus, quos ne contulerem (quarenus
hruc spectane) monuisti, dicendum. Virumque sciticet ce monence contului, sec
neucrum prius.
Aeque jam quidem, poltquam Objectionibus quas ais mocas luile, c ree quo

## Folio 753 — 851708439:0777
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000777.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
D E. A S FV
M A R F5.
Et quidem, quod ad illum Jsaaci Vossii, quem, De Moru Maris e Ventorum,
Practarum seriplic: Ouamquam nullo modo mithi persuadere poltin quod Incen-
tes illi Maris motus omnes (caeceraque qua AuC reterE) ex Tam exieua aquarum
sexefactione sola proficiscerentur, qua vix pedem unum inceorum (ubi maxime)
in alcum surgerer Maris superticies, (ur in Cap. 72.) AuE, Nullam esse aliam Luna:
ris Motus e Menstrua. Astuum Periodi connexionem, quam mere fortuitum
Synchronisinum, (quod Capp. 26 et 18, velleridetur;) Aliaque plurima, Philo-
Lophiam spectancia, quae neuciquam adicienda rideantur: Oux camen Baber
Aictuum Hictoriam Spectancia, non displicene; Palrem li securus esse porero, quod
accurate et candide omnia cradideris, Phaenomena non ad rem licam detorquens.
Sed nihul inibi reperio, quo inducar ab Hypocheli mea rececere. Nam, polico
Edistoriea lua omnia vera elle; Ratio tamen, perpetui Marium curtus Occidentem
verlus, Vencorumque ab Orience concinue spirancium, aliorumque his similium,
intra Propicos concinsentium, verisimilius multo, et (credo) rerius, a Calilao
dudum cradira clt, a Dturno Telluris motu pecua: (cujus quidem Circuli prope
Aquatorem deseripti cum majores longe linc quam qui prope Polos, curtum illum
incra Tropicos magis conspicuum reddunt et relociorem; e consequenter, re-
curremem illum prope Polos mocum priori concrarium, proprer propentum in
Occidenrem ibidem remiltiorem:) quam reddi porerit ab exiguo illo, quem LuppO.
nIE Fossius, Fumore.
Nedum ur addam; Eam quam habet Capp. 13, ec 24, Progressivi motus rationem,
quem ad Tumorculum illum uno pede alcum conlequi debere imasinatur, acque
accelerando propasari in tam immentam prope littora plus Octoginta pecum alti-
cudinem; commencum videri adeo enorme, ut nullis Scarieorum legibus euerr
DOlIL.
Eumque quem comminiseitur Lunaris Mocus cum Menstrua Astuum vicisticu
dine Spnchronismum forcuitum, ab sque ulla Physioa connexione: Non tacile in-
ducar ut credam. Vix urique lulpicari porero, constantes hujusmodi in rerum na-
rea EHectuum Synchronilinos, quin vel alcer alterius Caula Fuerie, vel uterque à
Communi aliqua Causa dependeat. Pt, ubi tam verisimile prostat Connexionis
Phylicae Fundamencum; haud facile putarero merum esse Synchronismum.
Wice icaque; Fliltoriam ejus, cum Hypocheli mea, lacis convenire: Rationem
vero, ex mea facilius quam ex lua reddendam autumo.
Ouod ad alcerum vero, qui Gassendi elt, De Sstu Maris Tractatum spectat.
Post recenlitas aliorum opiniones; videtur ipse Galilai sententiae porius larere:
Accelerationi et Rerardationi Terreltris morus, ex Annuo es Diurno compolu,
AiCtuum caulam alleribencis.
Scd et conatur porro Pexiodi Menstrux rationem explicare, inde petendam, quod
Terra circa le convertat Lunam, sieut circa le fupiter Satellites luos; qui inte
rim una cum ipsis, ut unum ABgregatum, a Sole circumtertur. (F.x quidem, quod
Perra cum Luina sua, ut unum Aggregatum, d Sole limiliter circumteratur; illis
certe dubitandum non ridebitur, qui Copernicanam HIy pochelin admiccune, acque
hoc de fore cum suis Sacellicibus agnoseune.
AC verO, quamquam Terram e Lunam haberi relle videatur, pro duabus ejus
dem mori Agcresaci parcibus: Fxiltimat tamen (ut pridem Calilaeus) lineam
medii mocus hujus aegregaei, (quem appellat, Morum Aquabilem, e veluII
Medium,) a Ferrx Cenro deleribi, (Circa quod Cencrum, uim Pelluris Rero-
lucionem fieri, cum _ Fpicylum per Luna motum delcribi, supponit:) Non au-
rem (quod nostra rule Flypochelis) ab alio aliquo Puneto quod lic a Ceneris cum
Ferrae cum Lunae divertum; circa quod, tanguam commune pravicatis Cencrum,
cum Luna, cum et Ferrae cencrum, Luos describane Fpieyclos. Acque, ob hanc
caulam, detieir in eo quod sibi proxotuerat: nempe, per spicuam Menstrux vicisti
cudinis rationem explicare.
(Similiter criam, in ordine ad cautam vicisticudinis Annux invectigandam, con
Sideranda proponit, tum Terrae Aphelium e Perielium, cum Puncta A quino-
Etiatia e Solstitialia: Sed nihil cerri reverit quo acquieseat, aue sibi ips Patista.
ciac: adeoque rem, ut invenerat, in medio relinquit.)
Scacuiltet quidem Principiis Scacieis magis contorme, Si Fellurem et Lunam,
ranguam duas ejuldem moti Aggresdi partes, ita consideraller, (non quidem, quod
Facie ille, ut aliam in Centro  sequentem pracise revolutionem avis, aliam remo.
tius
CCCCC

## Folio 754 — 851708439:0778
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000778.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
U
M A K 1S
tius ac velut in circumserentia, Cxllimemus; Sed) VEneUIa pro Cento habere.
tur, sed exita Cenerum Accassu, ilos respectire circa Cencrum deseribens Lpicy.
cl05.
Ad eum scilicet modum, quo Bacuum cujus excremum alcerum sic altero gravi-
us, in Aere projectum, ita rocari videas, ut extremum illud quod pridem pracelle.
TaE POLLCA FEEO HaL. Genmina siguidem linea mOCUS EOEIUS COrPOTIS, non ea repu-
randa eric quae ab alteruro extremorum deseribitur; sed, quae deseribicur ab incerme.
dio quodam incer urumque puncto; eirea quod, urrumque excremorum eyrando
deseribit Rpierelum.
Ec quidem, quod rem praesentem spectat, non ille qui a Luna describicur Epiey-
elus. Ted qui d Ferra deleribitur, caulam exhribet vicillicudinis Menstrua in ParIS
mOtu. Oux eodem plane modo se haberer, dummodo Ferra sic IOVerETIE, SivC
ulpiam Luna Foret sire nuspiam: EE contra, Lunae Nocus ille, si incelligereeur Jcl.
pus recta procedere, neuriquam acticeret morum Aquarum.
Tandem vero, (polt considerationes halce Phylicas Scalieatre perpensas) cerristi.
ma Hypocheleos hujus contirmatio (modo obrineri pollic) ex Obserracionibus Cce.
lestibus depromenda cNet.
Exempligracia, (in fis. 5.) Sit S, Sol;
T, Terrae locus in Orbe ANnUO; M,
Mars in Solis oppolicione consticurus,
vel non procul inde; 3n apPaTECNSMar-
eis locus in Zodiaco ex L conspicien.
di; ibique in Plenilunio conspicietur,
existente Luna in C e Terra in c:
(acque in Novilunio similicer.) Si
vero Luna in quadracura prima incel-
ligatur in A, adeoque Perra in 2; vi
debitur Mars, non quidem in y, led
in a julto cardior: Lunaque ad B
Perreniente, adeoque Terra ad b; vi-
debitur Mars, julto adhuc cardior: do-
nec ad Plenilunium accedence Luna
in C, adeoque Ferra in C, MarS vi-
deatur in v, loco proprio, quali eslet
Ferra in P. Acubi, polt Pleniluni-
um, Luna ad D perreneric, Perraque
Propierea ad d; videbicur MarS, nOn
in 7, sed in s, justo promocior: acque
adhuc magis, accedente L una (in Oua-
dracura posteriore) ad H, Terraque ad
C; videbitur Mars ucique in E.
Si itague Mars, cum in Solis oppol
rione tuerie, inveniatur (exreris inx
qualicaribus rice compuratis) ante Plenitunium aliquanto cardior julto, de velocior
justo post Plenilunium, (ee maxime in Ouadraturis:) crir hactirmissima (ypoche
leos tujus contirmario.
Idemque (muracis mutandis) Marti accommodabitur in aliis posicionibus lito: FE
Timilicer in Planetis reliquis.
Flt autem haec Probacio, similis plane naturae cum illa, a Parallaxi T’errestri Orbis
Annui pecenda, ad probandam Hypochelin Copernicana. Nempe; li ObFInCrI DOTCEHI;
hypochelin contirmat: Sin minus; non tamen improbac: Jloc ucigue Tolum probabu,
Semidiametrum P piereli Terrestris non cancam esse ue nocabilem taciac Parallaxin.
Et quidem metuo ne hic sic exicus. Ouippe cum hujus P piereli Semictiandeter vi-
deacur (ur ex Magnicudinibus acque Distanciis L’errae Lanaque comparatis conje-
Eturam tecimus) non multo major quam ipsa Terrae Semidiameter, auc hujus quali
Selquirercia: cumque hactenus vix aur ne rix observaca tuerit Mareis respectu Per-
rae, nocabilis Parallaris, ne quidem in proxima distancia posici: metuo nC id hic Li
milicer contingat. Nec scio an religuorum Planetarum ullus, hac in re, TUTuTUS
Eu larenrior. Vale.

## Folio 755 — 851708439:0779
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000779.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
Ad D. Oldenbureium Scripta,  Martii, 1667. Stilo Mnelia
N mea (Vir Clarissime) de Marinis A Stibus Hypotheli conjicio E00 (uri
meministi) maxcimos Pumores Annuos, non in bina Aiguinoetiorum Tem
POra (circa ET Martii, _ 13 Septembris, Sc. Vec. concingentia:) neque in
Apoexi aut Perigaei Solis rempora, (circa medium Zunii e Decembris:) sed
in tempora Perisao es Aquinoetiis intermedia. (Oriuntur utique ex carundem
cautarum complicatione, cum hi Pumores Annui, cum dierum Nacuralium In-
aequalitaces maxima, sub eadem tempora contingences.) Ac speciarim ad Ran-
tiana litrora, (_ Propterea, credo, in Fluriis etiam Thamesino et Medvayano,
sub inicia Februarii e Novembris. Quod quidem Oblerraris laris respondet;
eilque nominatim qua tu modo ad dies Febr. 3, 4, 5, te Londini habuiste reters.
Dum aurem, praeterita Ailtare, in Regia Societare nostra aderam; ibidem nun-
ciacum memini, Annuos hos Pumores ad Sabrinae Flurium, e adjacentem Pon-
cem Chepstorvensem, Cub inicium Marrii e Septembris tinem, contingere Colitos,
(quos St. Davias Stream C Michaclmas Stream appellant:) non eo tempore quo
ad lictus Kantianum, (quos rocant Candlemas Scream d Allholland Scream,) Lub
initia Februarii es Novembris contingunt.
Flactenus tamen convenit; tancundem quasi Ante A: quinoetium Vernum alte-
FOS, alque alteros Polt Aiquinoetium Autumnale, utrobique contingere.
Tandem mihi narras, in proximis literis, cirea diem 22. Februarii jam elapli.
praecumidos ACtus in licrore Deronienti prope Plimutham contigisse. Hoc est
Lerius quam pro Lictore Kantiano, cirius aurem quam pro Sabrina Oltiis. Sed
e alias alibi cerrarum rarietates concingere solitas, nullus dubito.
Cur eso hujulmodi rarietatum, ubique cerrarum contingentium, causas reddere.
nolim in me Lulcipere; jam antehac dictum est aliquories: Vipore quae non tam
ex generali Lypocheli, quam ex particulari locorum et licrorum Licu, aliisque cir-
cumstanriis, mille modis rariatis, dependent.
Ouod autem ad modo memoratas attiner; haec Forre non incommode diei poterunt.
Cum cellus Diurno Motu ab Occidence Orientem vertus (pro Copernicana hy-
pocheli) cenletur converri: Aquaque propterea (quae cardius sequitur) quali
retro relicta, ab Oriente rersus Occidentem terri rideatur: maxime, intra Frovi
cos, ubi, propter Parallelos majores, Diurnus Pelluris morus et conciratior:
Ouod i. caula esse creditur, cur aura molliores, ab Orience quali quocidie
Hances, ibi cerrarum sentiri Soleant:) Ordinarius Aquarum cursus esse deber, ab
Africano lictore Americanum versus, led aquae adrerlo liciore Americano reperculle
utrinque vertus Polos dectinantes, circuit facto (Fady noltri rocant,) inde ad
Furopaeum Litus, concrario quali mocu teruntur. Vrpore ubi, propier Parallelos
minores, adeoque tardiorem Felluris mocum diurnum, non tam tortiter Occiden-
cem verlus rejiciuntur Aqua, ue ab Americano lictore repereussis retistere raleant.
TInde tic, ur maris cursus, tanquam inde ad nos delari, quali Furc. Boream spectare
debear. Indeque lactum judico quod retroeurrens hic motus, poltquam Norroe-
eiae Promontorium praeteriverit (in Sepcentrionem rejectus) in Littore Succico
_ aud inde ad Orientem porrisitur) rix ullum efticie nocabilem AStum. PEONE
eciam in mari Caspio nullus obserratur ACtus Marinus (ue quod cum OceanO nOn
conjungitur:) nec quidem nocabilis in Mari Baltico (quo per Pretum Sundicum
hauid tacile penetrat rerroeurrens Aqua quae Altum taceret:) nec (ob limilem
cautam) in Mediterranei Maris partes interiores, et Fuxino POntO.
Id autem porro inquirendum cst; Ouibus Anni temporibus curtus hic (ab
Americano lierore repereultis) Orientem ee Sepienerionem interjectus, magis ad
CCCCC2
Sepren-

## Folio 756 — 851708439:0780
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000780.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
D F A S T U M A R 15.
Sepcenrionem declinac; _e, quibus magis ad Oriencem. Ouippe (nos quod spe.
Ctac) quum magis ad Sepcenerionem declinac; in Mare Flibernicum dircete ter-
tur, adleoque ad Sabrina Oltia: Ubi aurem magis ad Oriencem versit; directe
fertue in Frecum Britannicum, adeoque ad Liccus Kancianum, de (quod vocacur)
Rumner Mars: Incerea vero, dum cursu his incermedio tercur; Devoniae lIeuS,
cractumque adjacentem, Forrius impecie: Indeque factum, ut cirius in LSibernieum
mare de Sabrina octia, serius in Mare Britannicum ee liccus Kansianum, (Post
Aquinoetium Aucumnale) percinganc Annui aeltus maximi, et incermedio cem-
Dore ad liceus Devoniense.
Animadreccendum inluper est, Felluris mocum Annuum, per Zodiacum; d
Diurnum, secundum Aguatorem; non eodem vel parallelis planis tieri: sed ad
inricem inclinari; angulum taciences graduum 233 cireiter. Sec, Fellure circa
Puncta Solsticialia verlance, mocus hi sunc quali paralleli: alibi vero, se mucuo
plus minulre decultances, prouc proxius auc remocius ab Aquinoctiis Pellus abelt.
FL consequenter, qui ab amhObUS COMPONIEIE MOTUS, (cum utroque participanS,)
prope Sollticia, in Oriencem directe cendit: alibis ad Septencrionem vel Meri-
diem vergie, de maxime circa Aquinoetia.
acque hinc tic quod Pumores Annui ad Sabrinae ORia, (prOPter Mare ZTI
bernicum, inter Furo Boream ee AultrO Zephyrum, porrectum,) propius ad A.
quinoetia concingune, sub inicium Marcii ec tinem Septembris: Sed in Lantiano
LIITOrC, (DEOPtEF Pretum Britannieum, incer Orientem de Occidencem, porrectum,)
Joneius ucrinque ab Aiguinoctiis, Tub Februarii de Novembris inicia: REque ad
Liccus Devoniense, cum cractu adtjacence, cemporibus incermediis. Ouippe in cas
parces, illis cemporibus, ab Unericano LIIIOTE ad FUIrOAUM RCCUETENS MaxIS MO.
cus, compolico Felluris mocu, detorquetur.
acque haec ell, qua Mprasenriarum occurric, hujus Phaenomeni non improba.
bII Latlo. Valc.

## Folio  -  — 851708439:0781
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000781.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 17 lines, status machine
C OM M E. R C. IV M
lAAOTTOUM.
D L
Ouactionibus quibuldam Mathematicis nuper
habitum.
Inter Nobilissimos Viros
D. Cmilielmum Vicecomitem Brouncker, Anclum
D. Keneimum Disby, F. quitem item Anclum;
D. Fermatium, in Cuprema Tholosatum Curia
Judicem Primarium;
D. Freniclium, Nobilem Parismum.
Ona Cum
D. Foh. WV allis GTeomet. Proter. Ononi.
D. Franc. a Schooten, Nath. PrOF. Lueduni Ba-
tavorum; Aliisque.
Anno 1658 primo editum.
Ccccl3

## Folio  -  — 851708439:0782
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000782.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
MIlustrissimo, Nobilissimoque Viro,
QVTTI A NC
D. D.
Johannes WVallis.
Eques Ilustrissime Nobilistimeque,
Sories apud me recoeito, quam mulsipliei me oblicatum tenes benefieio
despero plane, nec ulla mihi superest expectatio, favores tuos vel meritis
exequandi vel pares tantis benesieiis rependendi eratias. Neque tam
alus me superiorem difficultatibus fas est existimare, quam vel Ze aienis vel
Tibi debitis eratiis rependendis prorsus imparem. Insienis utique honoris loco
nec facile aestimandi, habere debeo; quod me nec expetentem, nec ad poc ponoris
aspirantem, cienatus fueris favore tur prosequi; sed  insuper me meaque aliis
summis viris ultro commendata dederis. Verum es de rebus es fama nostra non
secus fueris solicitus, eisque promovendis sedulus, quam si tua res accretur. Tuum
siquidem est, Q ibique in solidum debetur, cum quod in ruum ipsius, tum es alir
rum simul illustrium virorum commereium me advocaveris; eaque ab illis de nobis
elosia obrinueris, quae e superant quiequid eeo inde mihi expectare pessem, nedum
polliceri, quaeque mihi salvâ modestia neutiquam vendicare potero. Quamvis enim
problemata nonnulla tum Arithmetica rum Geometrica a Clarissimis Viris Per
matio e Frenielio proposita (quos, quod ais, ut summos in hisée rebus Gallia suspi
cit, ad mandatum tuum fuimus accressi, e soluta dedimus, vel TTonoratis simus
Vice comes Brouncker, vel ex ipse; non tamen ut inde vel TTercules aut Samsones
habeamur, vel ex summis bujus avi Macistris (quae nobis erubescentibus a jum-
mis viris collata vidimus encomia) ullatenus expectavimus, nedum vendicamus:
saltem eeo; (nolim etenim Vobilissimi Vice comitis, Doctissimique, meritis dero-
ratum ire.) Sed e summis hisce viris debentur eratiae (quas meo nomine re-
PonaS Or0) qui e commereio suo dionati sunt, e me humaniter acceperunt. Le-
que enim impucandum puro siquid disceptantibus durius excideric. Alque eoidem
Etem oratos velim, ut siquid vel meo vel TTonoratissimi Vice-comitis nomine liberius
protulimus, cosve non fasis pro dienitate sua compellavimus, me excusatt su
suminos viros non lubens pecearem. A Te tandem, Lques Illustrissime: quemi
fadtre luo audaciores facti, toties lassavimus, veniam pro laude pelo. Nec de-
aieneris, b, quod tua J ibi denuo porrexerim; utpote quorum pars lonce maxima
vel a te vel ad te scripia. Cui e publias dedere frallas proscemur, qui Le Tam
redulum patronum Cientis Anelicanae, deque illorum fama ram solieitum cum 
Tum alias praestitisti: Si id saltem erroris condonetur, quod me iam tenvem atque
imbellem pueilem: cum bis Athletis decertaturum evocaveris. Stut enim in prae-
Tentr necotio haud plane infeliciter rem transeeisse videamur, nolim tamen ut ex
temutatis meae modulo Aancloium olles astimentu. Pio  Ensienissine, aut
beant, morum e dienitatum istius centis ienarum, ut qui in tam Illustres e
que vidas, precor, bonarum licerat aut Sicndus ro, es Areticana senuis di
namentum.
GON.
on
eri

## Folio 759 — 851708439:0783
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000783.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
Ouaeltionibus quibusdam Mathematieis, nuper habitum.
E P ISTOL A I.
D. Vicecomitis Brouncker ad D. Joh. Wallis. Oxonium.
Z literis ruis, Vir Claristime, 22. Feb. daris, persentio quam Fibi sim ob.
Strictus, e quibus me derinctum habes obligationes crescentes indies.
Ouod enim qua in te ulus Cum libertatem benisne dignatus es interpre-
 tarius id eso justi habeo beneticii loco, quamobrem et animitus rependo
gratias. Lnelulam quam cum his habebis charculam, d D. W hite helterno dic ac.
cexi, quam ut cibi crantiniverem à me pecebat. Propolitionem exiltimo diftici.
liorem tucuram quam prima tronce rideatur; secus enim eum quem prae le terre
video ciculum vix merebitur. Ocur sic, non dubiro quin illam cto sis Tolucus;
quod ec aliquando forralte faciet
5. Martii. 2655.
Fidissimus amicus, ruique observantissimus,
Inclusa CMarta SIC CraL in SCripTa.
B ROV NC R F R.
Achallenee from M. Fermat, for D. WaliS,
With che hearey commendations of the messeneer,
YTTOM AS WITTY F.
DROPOnatuE (Si placet) Wallisio, e reliquis Anglix Machematicis, sequens qua-
Iavenire Cubum, qui addicus omnibus luis partibus aliquoris conticiat Ouadra.
cum. Exempligratia. Numerus 343 est Cubus, a latere 7. Omnes ipsius parces
aliguora LuMEF, 7, 49; quae adjunetae ipli 343, conticiune numerum 400, qui ett
quadracus a latere 20.
Ouxritur alius cubuS nUerIS ejuISde NatIEX.
Cuxritur etiam numerus Guadeatus qui addirus omnibus suis parcibus aliquoris
conticiet numerum Cubum.
FIis solutiones expectamus; quas si Anglia aut Gallix Belgica et Celriea non de
derine, dabit Callia Narbonensis, easque in pienus nascentis amiciria D. Dieby
Otteret et dicabit.
E P15IO L. A L1.
D. Joh. W allis ad D. Visecom. Brouneter. Zondimum.
Tterascuas (Flonorarissime Domine) pridie datas, hesterna nocte accepi, cum
R inclusa simul D. Fermatii Charta. Est aurem ea quaestio ejuldem fere generis
cum iis quae de numeris Perfectis (ue loguuntur) es Deticientibus aut Redundanti
bus exponi solent Problemaris, aliisque id genus, quae ad univertalem aliquam
aequationem, quae ad omnes calus respiciat, rix aut ne rix reducuntur. Ouicquid
autem id lic, cum jam me mulciplici negorio occuparistimum deprehendat, non va
car ei Ctacim altendere. Id faltem impraesentiarum habeat responti loco; Onum
eundemque numerum X, utrique quae sito satisfacere. Sed e sui similem liceat
tranc quaeltionem proponere: Invenire duos numeros quadratos, qui partibus suis
aliquotis addici, eandem efficiant summam. P. sempli gracia; 16 F 8 + 4 + 2 + r
3c = 25 F 5. F 5. Inreniantur istiusmodi alii duo. Denique lalurem Domina-
tioni Veltrae precatus optimam, ec obserranciam ofticiose restatus, me relim reputes,
Oronii MarE. 7.
TTonoratissime Domine
Dui. Y. Pervum Oosequeneissimum,
Iilo numerica.
2659.

## Folio 760 — 851708439:0784
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000784.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
O M M F R C + V M
Scarim posthas liceras, ab eodem D. Fermatio (quali polthabicis prioribus, quas
uci ridetur D. Frenichius incerca Tolverac) allaca clt ad D. Vicecom. Brouneker
quaestio cercla, cujus iiem solurionem una cum lolucionibus peacedencium, brevi
seripto ad D. W Bite (d quo acCepCraC) indicabar, eodem (nItallor) Mente Ma-
tio, (quas de idem D. I Bite Pariseos crantinilic.) Verum cum illius lcripei nul-
lum apud se recinnerie exemplar D. Zicecomes, non postumus illud hic vertacim
inserere; sed illius summa infra recensebitur spist. IX. Hsinc aurem tactum elt,
quod ulceriori praecedencium solutioni deinceps non incubuimus, uepoce quas au-
chor ipse risus est negligere, Tubsticura in carum locum tereia cui magis conticle.
bac; quam et propediem lolverat D. Vicecomes.
EPES FOL. A II
D. Pieccornitis Brouneher, ad D. Joban. W altis.
Nelusam hanc, Vir Claristime, D. Fermatii E pistolum ad Iluleriltimum equirem
D. Kenelmum Dieby conseripiam, d D. Ht Bise lulterna nocte accepi; quam de
ribi jam prima occalione daca otterendam censui. Quod nondum libi plene per-
Tualum RIE de veritare tux Ouadraturae Circuli, cgo tacile credo; Ouippe, ni tal-
Por, cractatum illum non nilileriter inspexit. Secus enim advercillee, credo, ex
PrOP. 1OT, 2O2, 203, 104, 205, concrarium illius, quod, de Hyperbolis suis Inti-
nicis verba laciens, videtur innuere, Ouod nempe Tufieuras illas non fueris con-
templatus. Oux de cenrro Graritacis, in tiguris illis habec, virum illum indicant
eam quam de illo famam accepimus merentem. Frique cibi, credo, uei ee mihri,
non ingratum, demonttrationem ridere, quique rem illam spectac, Canonem quem
innuic generalem. Denique, cum hoc quod micritur lic Aucographum, expecta-
bic credo, D. W bite uc iptum illi restuuam; remittas itagUe, O1O,
Vir Clarissime,
Amico ruo fidissimo, cuique observantissimo.
B ROONCK F R.
F P IS FOL A IV.
D. Fermatii ad D. Kenetmum Dieby Fquitem Anstum:
(praecedenti inctus2.) Parilios.
WVis que Vous roules, que les camplimenes cettene, foir faict. II me luttucl d
rous alleurer une tois pour tontes, que vous rous eltes ere (jultemene acquis ut
pouroir absolu Tur moy, de que je ne perdrar poine d’occation d vous le cel
moiener. P’ay leu lPrichmeriea Infinitorum de Wallisius, de j’en eltime beau
coup l’Autheur. Et bien que la quadrature cane des paraboles, que des hyperbo
les intinies ait ere ladele pal ces depuis torr longues années, ee que j’en aye aurres
tois enererenu l’illustre Foricelli, je ne
laisse pas d’eltimer l’invencion de W allisi.
us, qui sans doubre n’a pas sceu, que j’eulle
preoccupé lon cravail. Voiey une de med
PTOPOLITIOnS auX termes que je la CONCCUS
en l’enroyant d Foricelli. Soyent les deux
droictes SHR, _KOF. Ec soyen de
Scrices les courbes PGHIO d’un colte,
ee D ABC de l’auere, en torme d’hy-
perboles, donc les asymprotes Coyenr les
droictes premierement données. SOyenE
CHCOrOTIrĆeS AG, BH, paralleleS d SK R
TE e les droictes BN, AM, C. L. ElL, Paralle.
Co d KOF. En l’hyperbole ordina. re le
rectanele WP est escal au rectans C ML A O. Mais supposons mainrenans, que le
produiet
Condini Malt 30.
1657.
Monsieur.

## Folio 761 — 851708439:0785
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000785.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
ercce
0
E, P I S Y OL TC U H.
produict du quarre BN et de la droicte BP, Foir esgal au produict du quarré N A
e de la droicte AO. Ln ce cas la courbe sera une nourelle hyperhole, dont la
Proprieté Pera, que le Parallelosramme BI sera elgal à l’elpace compris Poubs
la balTe BFI, _ les deux courbes BADF, F F GHI qui vont a l’intini du corte
de F. Oue si le produiet du cube B N et de la droicte BP, est eseal au produict
du crbe AMI et de la droicte AO, en ce eas ce sera un autre hyperbole, donc la
proprieté sera, que le parallelogramme BI sera douhle de l’espace compris Poubs
la base BFI e les deux CourbeS en OnTaNE, ut supra. Ec par resle generale, Si le
produiet d’une ruillance de BN par une puiltance de BP, clt elgal au produiet
d’une pareille puistance de M A par une pareille de AO, en suppolant celles de
BN S M a pareilles entre elles, comme aust celles de BP e de AO aussi pa-
reilles, le parallelogramme B L sera à la fieure proloneée a l’intini, ut supran
comme la difterence de l’expolane de la puillance de Be avec l’expolant de la
puissance de BP, Cs à l’expolant de la puilsance de BP. De Porte qu’il suit dela,
qu’en l’hyperbole ordinaire, l’espace dela tigure prolonsée à l’intini n’elt poine
elgal d un espace donné, par ce que l’expolant des puistances ettant le melme 
donné aucune difference. Et pour faire que l’espace de la dite tigure prolonsée d
l’intini soit e(gal d un espace donné, il tauc que l’expotant de B N Poit plus grand
que celuy de B P. comme il est aise de remarquer. Tout cecy quoyque non li un
Deu direrlement se peuctirer du lirre de W’allisius. Mais il ne a pas taiet une spe
culation sur ces tigures, de laquelle il sera sans doubre bien aisé d’estre adverris
et qui peut passer pour un des miracles de la Creometrie. Je l’ay autretois donné à
Foricelli aully bien que la precedente. C’est comme il arrire que quelques Fois l
eipace prolonoe à l’infini, comme B A DE F CFI elt aulty intini, comme en l’hy-
perbole ordinaire, et quelques Fois tini, comme en celles done les expolants de BH
TIITIONEenE COuX de BP. On demande, (I, lors que le diet espace prolonoé d L
intini est esgal d un espace tini, il a un cenere de grarice fire e certainc. Or il ar-
rire une chose merreilleuse en cette recherche, e laquelle j’ar decourerte, de de
monstrée, cest que quelques Fois le diet espace quoyque tini n’a point de centre de
graricé fixe, et quelques tois il en a. Car par exemple, lors que le produict du
quarre BN, ee de la droicte B P cs elsal aux produicts lemblablement tires, la Hi-
SurC B ADF F. GII prolonsee à l’intini qui en ce cas elt elgal au parallelo.
eramme BT, n’à pourtant aucun centre de grarité. Mais li le produiet, par exemple
du cube BN et de la droicte BP eAt esgal aux produicts semblables et semblable.
ment cirés, en ce casron seulement l’espace de la tigure prolonsée a l’intinis est
clsal a un espace donné, qui est, comme nous aronsdi, la moicié du varallelo.
Gramme BF, mais encore cerre tigure prolongée a l’intini a un cenere de grarite
qui ra en ce cas en la ligne PF conpéc en telle Porte au poine O, que la liene PO
toir essalle à la ligne R P. Ft ce poine O Pera le dict cenrre de gravité de cerre f
sure prolonsée à l’intini. Si Monsieur W’allisius reut avoir la demonstration de
cette propolirion et de la resle generalle pour trourer les diets centres de gravicé, je
rous l’enroyeray pour luy en taire part.
Pour ce quireparde la quadrature du ccrele dans Pon diet craicté, je n’en luis pas
pleinemens persuade, car ce qui se dedtuit par comparaiton en GrCOMCITIe, n’ett
pas contiours veritable.
Jene Vous parle pas ni de rostre lirre, ni de celuy de Thomas AngluS, ne su-
tor ulira crepidam. Vous estes Courerain en Phylique, e je Vous recognois pour
cel. J’espere pourtant au premier royase Vous encretenir de la proportion que
carcent les grares dans leur descence nacurelle, de quoy vous arestraicte dans vo.
Etce lirre que M. Bocret m à Faie la laveur de me laire voir. Je suis,
A Caltres 1C2.
AVXI. 16s.
ADAdLLA
ostre trestumble,  tres.
obeissant serviteur,

## Folio 762 — 851708439:0786
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000786.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
E PIS FOL A V.
D. Joh. W allis ad illustrissimum Lquicem D. Kenetmum Dieby.
TOn lerem (Heros Nobililtime Doctistimeque) laboris mei repuco mercedem,
La quod noltras quale seunque lueubrationes cum incrospicere digneris ipse, cum
ee (quali canci ellenc) aliorum ca de re rogare sencenciam. Ouum enim celeber.
rimum Dieberi nomen, de erudicionem limacillimam, latere neminem pariancur
(uc reliqua caceam) qua in publicum emililti scripia, omnisena cruditione reter.
cistima; non parum illud laudis erie, ea enarralle, quae tanto viro, si nOn per
omnia Cacissaciane, tanci Palcem videantur uE nec contemnas penitus. Ouodque
insignem cnam elemeneiam, nobilicacis rerx comitem, ornat maxime, lacentem
Plane, cibique aliasignocum penicus, ee immerencem, hoc me honore cumulalti
Persencio ucique ex lueris illis, a Nobilistimo D. Fermatio ad ce seripris, (quas
Pro Cumma cua humanitare, curaveris per D. W hite mihi communicandas, coque
me cibi obligacum devinxeris,) cum Fermatii ea de re sencenciam rosasse, cum ee
obcinuisse.
Verum de Nobilistimo Termatio est quod debeam, ue qui cum evolvere nostra
dignacus clt, cum de eis sencenciam non line honore terre; sed de cum ea cum me
Propcerca allimare: quod quidem a canco viro, Macheleos periristimo, non elt cux
Parri taciam.
Ouod aucem existimat Vir Nobilistimus, mihi neuriquam Taboluilte, qu’id ipse
pridem de Parabolis Hyperbolitre quadrandis invenerat; id cousque verum est,
uc ne quidem, si memini, Fermatii nomen (liceac enim ignorantiam meam inge
nue fateri) prius inaudirerim, quam quae de hoc negocio cradidimus cum pridem
seripea tuerane cum de imprella; neque enim li noreram dissimulaltem. Fe quidem
beneticii loco astimo; vel hinc in tanci viri nociciam pervenisse, cancum abest ut
inventis ego luis quidquam derosacum relim: Magis ucique relim ut quae apud
Je premit inventa, (quae quidem egregia plane tore miti Facile perliadteo,) publici
juris taceret, nec invideret orbi licerato.
Ad ea incerim quae praesens extribet Existola, (Fpist. 4. d omnino parum est
quod dicam. Novas illic quas appellat Fyperbolas, d le quadracas, iplistimae TuNE
tigurae quas in mea Infinitorum drihmetica quadeandas docui prop. 202. Sieut e
quae habetur prop. 203. cM vera Hyperbola, (quod ec indicatum clt prOD. 95.)
Ouas autem exeludie ipse, tanquam Ouadratura incapaces, caldem eso exeluleram
(neque enim de aliis apud me acque illum agitur) prOD. 204. Verum e (quod
nelcio an ipsc Pacis adlverterit) AX CUEVA prOP. 2O4. non aliae Cunc ab illis pTOP.
202. Sed eadem iptistinae, ex alIeTa PATEC CONCInUQIX; quod ee insinuarimus
PrOP. 105.
Inde aurem factum sic quod ex hujusnodi figuris intinice concinuatis, alix FinE
item magnicudine intinica, aliae vero non nili tinicx, adeoque finicis spaciis aequa
les; id ixlum etiam d nobis cracticum cst in Scholio prop. TOT. ubi ni tallor, 8C.
nuina ex proxima mirandi hujus sympcomacis caula cradicur: quae num coincidat
cum ea quam Zcricellio Fermacius allignaverat, haud raleam astirmare, nili e
hanc luam noverim.
Verum si Nobilillimo Viro vitum Fuerre, vel suam Parabolarum aut Fyperbo-
larum quacrancarum mechodum indicare, vel eriam necrieror illud quo figuras ejul.
modi magnicudine intinicas a tinicis diltinsuie, veramque Sympiomacis rationem;
eric e illud mihi persracistimum. Ouanquam enim horum uirumque mea metho-
d0 ue dictum ell, Pratus; non Pattien coryte hetuns invencis arrosare lo-
Deo, veleciam indulgere, ut aliorun propiered Nes oenda duxerim.
Ouod de de eis quae cencrum graritacts sectanc incellectum velim. Ouam 10.
tam cso speculationem contulco omili. Ouanquam enim, ex cildem quibus UTOr
principiis, de praricatis cenrro cum in Parabolis omnivenis, cum ee aliis figuris
quamplurimis sire planis sire loliais, lacile esser Placuere, mihique eciam aliquan-
do in animo tuerit ad haec divertere; He tamen in Digreltionibus niruIuIS ellem.
nimilque abrumperem Fheoremacum Filum, aue perplexae maceria rarsetate nimia
lectorem enecarem; cum hac, cum aliis item speculationibus quamplurimis non
injucundis,
1i

## Folio 763 — 851708439:0787
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000787.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
P
15 LC a M.
injucundis, plane abstinendum censui, contentus interim nonnunquam, digito (in
Scholiis) intento, consulio praetermilla indieare, es non raro etiam ne hoc quidem.
Duod rero hujulmodi inrentorum Cuorum Vir Pobilissimus mihi copiam lacere.
modo illud expetam, humanistime pollicetur; hoc quidem mihi, modo illi grave
non tuerit, tore pergracistimum seiar relim; urpoce à quo nihil non accuratum,
nihil non sublime, mihi polliceor.
Ouod denique de Circuli Quadratura a nobis eradita, sibi haud usque quaque
persuasum adhuc esse subindicarerie; eo praesertim, quod quae ex comparationi-
bus in Greometria deducantur, haud ita semper succedant, quin d vericate nonnun-
quam aberrent: Fg0 quidem Facile patior Cl. V. hac ex parte luspicacem esse, do-
nec rem accuratius excusserit, ut qui noverim quam in lubrico loco res ea con-
sistat ex laplui proctiris su. Verum hoc me, hujus minime ignarum, magis ita,
que suspensum tennit ec Policitum, es quantum pocui perspicacem, per tocum iti-
neris decursum, nequid hujusmodi mihi aliquando imponat incauro, ee in deria
seducat. Duod es tanta cum caurela factum esse contido, uc nullis ulpiam hrujut.
modi comparationibus ulus fuerim, nisi quae ee Creometricum examen terre pollint,
ec quibus Tubtir justa demonstrationis fundamentum, ueut illud non prolixe sem
per prolecutus Fuerim, quo ec operoso labori nostro, et lectoris taedio, prospectum
toret: quod e, licubi quis hareat, facile supplebitur. Fc quidem, quod ad rei
lummam accinet, ne admissi crroris nimium sim solicitus, id etiam Facit, quod sI0-
noracilimus D. Guitielmus Vicecomes Bronneker, harum rerum callentilHmus, (Cu-
jus non sine honore lummo mentio tacienda crat ad prop. TOT.) calculi numerosi
examen achibens, ee ad decimum ulque locum perducens, invenit ex roto omnia
succedere. Rationem quippe Perimetri ad Diametrum inde colligie,
majorem quam 3. 24. +59, 26535,60. ]
Eminorem quam 3. 24 159, 26536, 96 +
ad Z: (qua cum numeris Ludorici van
Kulen, et aliorum, conreniume:) Sed de, in toto proceltu, alternarim nunc exce
dentem, nunc deticientem, ut oportuic: ut non duisium Tic quin co rite perre
nerim.
Atque haec sune, Feros Nobilistime, quae ad Fermatii Epistolam dicenda duxe.
rim: guae ee ipsi, si cibi risum tuerit, liceat impertire. Id Cuperest ut de hoc
quo me dignacus es honore, celtatus gracicudinem, omninque cibi selicia Precatus,
ne candem protitear,
Oxoniae suut
6. 1657.
Lodius sita Domine,
Tui observantissimum pariter e
Ebsequentissimum Zibi
D. Renetmi Dby ad D. H allis.
Most honoured and rorthy Sir,
=FYF letter Vou llare done me the FaVOUT AnA HONOUE LO IVEITE Me Ot IC
6. ot fune (Fp. 5.) came eo this town For me when L was absent trom it:
and immcllatets upon my recurn, P Was lerzed uxon by a lictenels (the reliques
Ota greater Lhad at Loctiers) Wrhich hath till noir hundered me trom sirins ron
chole humble chantis and payins you chat obliged respect wtrich L’Oire vou-
And no chac Pam soins abouc ii I Find my selt 10 tall very orr oF Whac L ci-
cher desire or oushe 10 do. FOr, secins chat che measure oF all cirilities or obli-
sations, is to be catien, cicher trom che dignity of chie person chat conterrett
them or from che merit of him chac receireth chem; Ifind in boch chose (0
huge a disproportion (in my pre(ent DCCurrenE) chac it is no obsequioutnets ot
laneuase or endearingnels oF expressions, that con ballance chem. P Will noL
cheretore embark my selF in chat impossible tast; but sceins it is mcerty yOur
Ddddd2
Eoodnels

## Folio 764 — 851708439:0788
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000788.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
C O N N F R C L U M
goodnels chathach dispoled vou co be chus Lind and tarourable 10 MC; Y Wvil
hare recourse to che Pame goodnels, in besceching vou co accepe ot che protection
Phere make rou wich all cruch and lincerier, chac as Phonour molt hissuly your
Sreat paris and orch, and che noble productions oF vour larse and lnomine
mind (irtrich makech von che honour ot our nacion, and che enry ot all ocherS,)
(o J encirle von co cherighe ot commandine alirays Wrhacloerer may depend ot
me tor vour serrice, and L ill upon all occations scal it wich as ready a per-
Formance as von ean rittr trom che most acquired triend and servane ron have.
My healch hach nOc permicced Me LO IVTITE C NTOnS. Fermat eill velterdar (MhC
Dost day For Zholose) chac L ichall hare sene him a CopY oF yOur LCLeT 1O Me.
Whac P Pall receire trom him in recurn chereot, P ill presency acquaint you
rich: and do chink ny selt very happy and much honoured co be che mediacor
ot a communication becreen erro lo greac pertonages. L make acconne M. W hitC
rill send vou che copy ot a lace lerter trom MOnL. Fermat 10 me (Si pist. IT.)
chac P non send him eo lheu my Lord Brouneker betore he conreyech iL 1o vou,
because he is mentioned in ic. L conceire chac my Lords leters vere not WveIL
translaced EO NIOnI. Fermat: BuE For his doubeing chac my L ords Solurion oF his
Problem is noc a 800d one because he maketh Aishe oF ic, is no sood argument,
ad Mons. de Frenicle hach Pherred hy experience: For, che Came Problem beins
Cheed him (as a challense 1o alI che Machemacicians ot FurODC) he save hc
person chac bronghe ic hrim, tour Solucions (in tour sereral numbers) immediauy, 
and sene him six more che nexe mornins cogecher rich a Furcher Problem BuilE
upon his, for him cosolre; irtrich L beliere may prore rery coush vork co him.
Imust noc cake leare ot vou, cill P hare spoken a rord Or cvo ot Vour Wor-
chy Colleague Doctor W ard. Te is Lome cime since L hare heard of his b00k
asainst M. LTobbeS. And M. W hite had sent ic orer hicher for me while P as in
Cansueaoc; But P had noc seen ic eill nor, chac P hare ereedily read it over
rich much content and pleature. Only, irhere he is plealed eo speak advanta-
Bioully oF me beyond my merit (exccedinsly berond ic) my bl0od still came
Wrich blustres inco my checks, chroueh srame tor nocbeins able co correspond with
ehe Idaa he raiseth ot me; and Chame beine a kind ot griet, vou will casily be-
liere chac unmericed prailes must be heary co me. Zet co contels cruly 10 vou,
Pcannor lo Car reau my felt From ranicy, as noc 1o be couched and delighced (in
a very trion manner) wich whac (0 learned and brare a man speatech faroura-
bly otme. P will end chis poine concernins him, wich bescechins you 10 pre-
lene my most humble terrice co hum (For L conceire, vou sec him otien) vich
most hearey and obliscd chantes tor his excellire civilicies co me, together wic
alturance thac P esteem and honour him rich all my hearc. Ic is a vorcho Trium
virare chac von co and Doctor Wilkins de exereile in licerature and aII chac 15
vorchr. Tour names are tamons abrond; and P hear ot von trom Funder hands;
buc trom none more larsely or more aftectionatelys chen tom M. W Bice; Whom,
vour goones tare Wo lo BC CMMC Vous, au se ansply expresserh ic upon
al occations. Buc Lam 100 ample in disturbins vour ereac and manitole em
DMents. L crare jour pardon For ic; and do alture vou chac L am, and will
erei approre my lelt
Lco Lacto e
L. LlG. 10) 1.
Worihy Sit,
Toui ose Bumole and most
obedient servant,
AL ACL. ME DICBT.

## Folio 765 — 851708439:0789
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000789.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
EPTS FOF A VII
D. Joh. W allis ad D. Kenetmum Dieby.
Rieht Lod D
Pon sighe oF jour extreamly ciril leuter of che T. ot AuBuIF, (Fp. 6.) wtich
Thad che honour cro days lince co receire trom vou, it is noc caly c0 lay
hon much JFound my selt surprized; Hnowins hon licile P had deserred trom (0
noble a hand, and hou small à Phare Was due ro me of whar ron are pleased (0
liberalles co impute. P as altramed, L contels, co chinke hou licle P durst own.
ot that honour sou put uxon me; and thould hare blushed decpls, had not che
Suddennels oF chat surpriral (0 muchi appaled me. And wrhen P’choughe oF any
reply, L tound chat son had cherein prerented me; in layins (o much oF What I
ousht to hare Caid, chac, untels I vousd transeribe and recurn vou back rour
onn ords again (tor becrer P could noc) Phad nochins leti 10 Cay. And vet
chis Idurt noc; tor tear of pollurins chat languase, Wtuch L cannor pretume 10
imitate, by (0 rude a Den. II vou ill buc tarour me lo Far, a5 1o perule chc
copy ot rour omn setter, and interpret che oreatest part chereot as Paid by me, 25
an actnoledement ot chose cirilicies rhich I could noc deserre, and a disclaim
ins otchole delerrs which L must noc own; vou will chere tind a Lecrer an liver
and in lansuase more betitting jour noble lelt, chan von can pollibly uxon ans
otter accouni expeet trom me. L’or though I do noc precend 1o any still ac Ten-
nis; vec am P very sensible, chac L must noc sulter, buc ac my grearest hazard, (0
much obsequious lansuase, and exprections ot oblisins soodnels, 1o relt at me
wichout recurnins ehiem co che lame hand trom nhence chey came: Aud choush
am not able eo recurn chem wich chac srace aud dexteriis wrherewich chey ivere
Tenc; Ter Phumbly beleech rou eo beliere, chat ic is noc tor wane ot any realir
ot attection or readine(s co serre vou, that P tall Pore ot irhat in duiy l’Oe, 10
one whom PF0 much honour. Imult confels, L could noc wichour lome pleasine
Content (neque enim mihi cornea fibra est) sec my SelF Po hishly honoured, hou-
erer undeserrine, by (0 tair a character, though much unlile me, dramn by 1o
brare a hand; (as Ladies who are lometimes pleased in secins cheir pietures Aacter
them;) and thould be extream proud ot it (ivere Inoc contcious hou lucle there
is in me t0 an Lver it,) as comins trom (o gallane a person; whole authorits is
able to sire credie co his opinion cherein.
Thole ocher tvo Genclemen nhom vou are plealed to joyn me wich in jour
sood opinion, D. Wilkins and D. Wara; TMall uxon cheir recurns hicher, 2c
quaine hor much chey are oblised to you For chat hOnOUT vOu DuE uxon chem
Pean onty ac prelent; trom those great respects Which L knou they hare For vou,
alture rou chat they are very much vour serrants. And ire must all actenou-
ledse our setres dceply indebred to M. Wbite, Wrho is pleased noc only to judec
so tarourably oF us, buc to represent us to rou in luch à Character as hach gained
us Lo adrancasious à place in rour opinion.
The problem to which rou reter, ot MonL. Fermat, as a Challence 10 all he
Machematieians OF Furope; was chac, E suppole, ot which I had trom che L.
Brouncher a copy, in chese mords,
Invenire cubum qui additus omnibus suis partibus aliquotis conficiat quacratum.
FNempli eratia, Numerus 343 est cubus, à latere 7; omnes ipsius paries aliquota
sunt 2, 7 49, quae adjuncta ipsi 343 conficiunt numerum 400, qui est quadratus
a latere 20. Quaritur alius cubus numerus ejus dem naturae.
duaeritur etiam numerus quadratus qui additus omnibus suis parcibus aliquotis
conficiat numerum Ciubum.
ftas soluriones expectamus; quas si Anglia, aut Callix Belgica e Celrica non
dederint, dabit Callia Narbonenlis, easque in pienus amisitiae nascentis D. Diotius
offeret ea dicabit.
Fo vtich L eave no ocher Tolution at che presene, Dur Lhat ihe number Z sa-
tissied both his problems. Subjoinins by as ot return, anocher ot che lite na-
cures (Which tor oustic L Huon may prove as hacd ad eicher ot tiis rvo;) vis.
Ddddd 3
Invenire

## Folio 766 — 851708439:0790
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000790.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
C. O M N F R C F U N
Invenire duos numeros quadratos, qui partibus suis aliquoris additi eandem
efficiant summam. Fxempl gratia 16 F 8 + 4 + 2 + 2 == 3r = 25 + 5 + 1.
Inveniantur ejusmodi alii duo.
Buc T added wichal, chac P looked uxon problems oF chis nature, (oF which
it is caly co contrire a great many in a Tucle cime,) co hare more in chem ot la-
bour chan cicher ol Ve or Disticuler.
Since chac cime L have (pent no Further chouphes abouc il For being jull
chen called trom home by chie deach oF a near triend: Betore L BOc home again
P understood chac my Lord Brouneker had boch relolved chole evo, and allo a
lacter problem From che Pame hand, on irhich L understood chat (varins che
Former inguiry) MonL. Fermat did lay a orcacer Irels, as more contiderable chan
chose Former. Which problem beine boch receired and antvered, betore L heard
oughe ot ic; Y conccired ic necalels For me actum acere. Whac his LordMips
Solution oF chis latter problem as, L am noc able io cell, nor so much as Wrtiat
vas che problem; noc having any Copy ot cicher. Buc L know his Fordthip (0
vell, and his peculiar dexcericy in chinss oF chac nacure; chac P hare a vers ArOnS
prelumprion oF che accurarene(s ot wtrat he doch in lueh a way.
THaE OcHer lCTLeF OF MIONI. Fermat co vour CelF, et ertrich von incimate chac L
may expect a Copy From MI. WVhite, is noc vec come at me; ies poltible ic may be
vet lodged in my L. Brounckers hand, eo irhom ic ras tirst co be communicaced.
lcan ontr, for chac and all ocher vour noble Favours, cender vou my very hum-
ble chants, heine in no capacier ot makine any valuable retaliation; Vour revard
beins onty che conscience or jour oun senerous inclination co tieap lavours on
chole trom irtiom rou can expeet no recompente,
Mallonty add aterr mords and tiss vour noble hands. And ris buc chis;
chat since rou hare been rillins co gire vour selF checrouble, and us che hOnOUT,
eF impartine papers becrixe Monl. Fermat and ny Celt, Lchoughe it noc Whony
incongruous co subjorne a Fheorem, irhieh il ic Chall (0 scem 800d tovou, vou
may cransinit eo him eo be demonstrated, noc as a challense nor as a matier ot an
extraordinary ditticuley (For P do noc cake ic (o eobe:) buc such as in che solurion
oF ic may probably Cuorestrohim (ithe knou ic noc already) a preur handlome
Speculacion, irtrich pollibly may be nocunveleome co him. Jhe Pheoreme is chis.
Sit Ppramidis vel Coni Frustum (parallelis planis abseissum;) cujus basis ma-
jor aequetur quadrato rectae R: minor, quadrato recta P.; altitudo P. Dico. Si cru-
ribus A, P, (vel his aequalibus) constituatur ansulus graduum 120; ex circum
scribatur circulus; duadratum Racii cireuli sis descripei in allitudinem frusti du
Etum (RGF) aequatur Frusto.
The Demonstration oFie, or whaterer at any eime L Prail be in any capacies 10
Terre you in; sou may command ac pleature trom him WHO ACCOUnES IL a BreaC HO.
nour  de audo be repuree,
RieBL NNoble Sit,
Tour affectionate and verr humble servant
DOTEN W ACZL5.
Oxtord Sept. 3.
EP LSFOL. A. Y LII.
Sl. Vel. 1657.
D. Pctuicis Brouneter, ad D. Joh. W allis.
Vam, Vir Claristime, quinto hujus seriptam helterno die recepi; u d illam
ad D. Kenehmum Diebr, QuX QuaM MaEUTE POLIO ad illum cran (MICEtIE
Oua AUTeM MCMOTASd D. Kenelmo Dieby ad D. W Bite millam, ue neDIS impertIa
tur, nondum accexi, neque de illa quiequam inaudireram. Obi illaut dcpero
ribi crantmutendam curabo. Incerim en ribi, quam peris, D. Fermatet Gua toeM
cerciam, meique ad illam responsi summam; (ipsa Siquidem verba nelcio exhibere,
cum corundem nullum apud me apograptum recinuerim:) quod camen fecillem li
Ducalsem D. Whise relponsum illud eadem Forma tuisse cransmicturum. Poreris, A
ribi vicebicur, Larine candem crantmitere, (L. p. 16.) ul non lib el a ldiomale
Ansli

## Folio 767 — 851708439:0791
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000791.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
E 
S F OL T C U M.
Anolicano deinceps conquerantur, vel ob illud haereant. Interea, tum ob nupe
TOSTUOS, tum et priltinos Farores, repentis gratiis; certo seus relim, quam ubs
sim,
Sept. IL. 2657.
Clarissime Vir,
smieus fidetissimus, at que
humillime servus.
BROONCKF. R.
D. Fermatii Scriptum, hoc erat: (Quod post accepi; sed his inctusam literis,
nonnisi parrem postremam; quod est ipsum Problema.)
Vastiones pure Arichmeticas vix est qui proxonat, rix qui incelligat: An-
non quia Arichmetica tuit hactenus cractata Creomerrice pocius quam ATIIM-
metice. Id Pane innuune pleraque et Veterum de Recentiorum rolumina. In-
nuic s ipse Diophantus, qui licet a Geometria paulo magis quam exteri discesle
rit, dum Analrcicen numeris tantum rationalibus adstringie: Fam tamen parrem
Geometria non omnino racare probant Paris superque Zeretica Vietxa; in quibus
Diophanci mechodus ad quantitatem continuam, ideoque ad Geometriam porrigi
Eur. Doctrinam itaque de numeris incegris, tanquam peculiare sibi vendicat A-
richmerica pacrimonium. Fam apud Fuclidem lericer duntaxat in elementis adum
Bratam; ab iis aurem qui securi sume, non lacis exculcam, (nis torte in iis Dio-
phanci libris quos injuria temporis abstulit, deliteleat,) auc promorere Audeane
aeSurriar naides auF renOrare. Ouibus ut praeriam lucem praeteramus, Theorema,
Seu Problema sequens, aut demonstrandum aut construendum proponimus. FTOC
autem si invenerine, tarebuntur hujusmodi quaestiones nec subtilicate, nec difti-
cultare, nec ratione demonstrandi, celebrioribus ex Geomerria esse inferiores.
Dato quoris numero non quadrato, dantur infiniti quadeaci qui in datum nu.
merum ducti, adscira unicare, conticiane quadratum. Fxemplum. DatuF Z, nV.
meruS non quadratus; ille duetus in quadratum r, adscita unitare, conticit q, qui
est quadratus. Icem idem 3 ductus in quadratum 26, adscita unitare, Facit 49,
qui esE quadratus. Ex Loco F e 26, Pollune alii intinici quadraci idem praestances
inveniri. Sed Canonem Creneralem, Dato quoris numero non quadrato, inquiri-
uS. Ouaeratur, rerbi sracia, quadrarus, qui ductus in 149, aUIF 109, aUF 433, 36.
adscira unicare conticiat quadracum.
E P LS LO L. A. IX.
D. Job. Wallis ad D. Renetmum Dieby.
Nobitissime Domine,
DOst nuperas meas ad Te millas (Fp. 7. ) Sept. 3. datas, Accepi ab FONOTA-
tissimo Domino, D. Vicecomite Brouncker, D. Fermatii Problema ad illum
missum, cum ipsius ejusdem solutione. Oux quia (quod Luspicaris) fieri possit
ut D. Fermatio fuerit perveram expolica, eandem placet hic subjungere, una cum
hisce Dominationi Vellux olterendam.
D. Fermatii Droblema.
Dato quoris numero non quadrato, dantur intinici quadraci qui in illum ducti,
adseita unitare, conticiant quadcatum. F. C5. 3X 16, F F. = 49 = 7X7.
Ouxricur Generalis Canon quo ejulinodi quadrari reperiantur.
Fn autem ejusmodi Canon duplex. Ater D. Vicecomitis Brouneker.
Sit N numerus datus quilibet, (quadratus aut non quadracus, integer aut ra
Ctus,) , alius quilibet quadratus (inteser aut Fractus;) cujus radix R. Sit
=O N (duorum C, H, ditterenvia; ) Puta  = N, vel N -. C Cman

## Folio 768 — 851708439:0792
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000792.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 70 lines, status machine
C O N M P R C I U M
Canon. FA Z Q (- 2R 2R.
D. = D) numecus quadtacus, qui in N ductus, adseica
unitate conticiet quadratum,
N X
D8 F 2. = +QN + Da Nam 2eN + D9- +OV + 09- 2ON + N4
e
e9 F 2QN f N9 Q F N O F N
eg - 2ON F N9 On N OaN
1g 20V + N9
Ner meus: quoad formam processus, paulo universalior; quoad numeros
autem invenios, plane idem.
Sic N, numerus datus quilibet A, quilibet ad arbierium astiimpens: per quem
O. quadratus quilibee, diridatur; quociencem extribens M. Sic P, mumerus qui-
libet; D, disterencia duorum  A n PN.
e 
D
re, conticiet quadtracum, N, M A
MgA9
D9
26P, Y EMAN. F PgN9
MgA9
16P9 LM AN + PgNG
+ 1. - MA N+ Da vum IL A N + DC
N A
+D + PN
BPN
9
ma
EtA  eN
4
Momendum denique, quod solutioni suce suibjunxit D. Vicecomes. Nempe,
Prioribus duobus D. Fermatii quaesicis, reponendum censuit, non modo nume.
rum 2, sed e (si tractiones admictancur) numerum F per cujulvis integri po-
celtatem sextam dirilum, verique qualico lacistacere; (quippe qui cum Ouadteatus
CA, cum cubus, ee parres aliquoras nullas habet:) Sed e duorum priori sacista
cere, non modo numerum 343 (quem innuie D. Fermatius) led de cundem per
cujulris inceori poceltatem sextam divisum. Puta 382. Siquidem numerus FFa-
etus, cum partes non alias habeat actuales, quam quae tori lune connomines; non
alias habebit parces aliguotas expositus cubus 34, quam 3 c, 87, qua cum iplo
24, conticiunt 10, numerum quadratum.
Elabes itaque, Vir Mlustrictime, eorum summam quae dudum de his Proble.
macis responderat FTonoraciltinus Vicecomes. Id Superest, uc liquo pacto rebus
cuis molella tueric imporruna haec incerpellatio, veniam humillimus exorem,
Oronii Sept.
27. 1657
Zustrissime Domine,
Observantissimo Pui, Zibique obstrictissimo.
EPISTOL A X.
7. WVAL. LZS.
D. Vicecom. Brouneker, ad D. Toh. Wallis.
A Ccepi, Vir Clacistime, inelusas hasee BInas Illeras, quas a D. Kenetino Dieb)
L allatas, cradebat hert D. Wbite. Ou  Ceras Mn oltendebar, quae rete-
rebone D. Frenicle Analycicen contempeur habere, lallem palmi admodum alti
mare; cumque Solville unaM ex PrOPOHHOMIOIS quas IHCHIIA LICCTA MCMOTANI,
(candem, m fallor, de qua ancetiae alarus, se nondum videraus,) ViZ.
cubes. Nempe FC;
1720 =-C9 + C10=CF + C12. 4104 = C0 + CT5 = C2 + C16.
23832 =- C 18  C20 = C2 + C24. 52032 = 6 18- fC 30 = C4 + C32.
3037
=C25 + C33 =C2 + C34. 40032 = C 16 f C33 = 69 + C 34
Treuver deux nombres cubes dont la summe soit eseal a deux autres nombres
MISu
20683 = 6. 19+C24 = C10 +C27. Verum de polleriore parts propolicio
01
et
Guet
a
poliur
au

## Folio 769 — 851708439:0793
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000793.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
l LL5LOLLC I M.
nis, VIZ. Lreuver deux nombres Cubes dont la summe soit Cube, nihil dictum
elt. Perlectis autem hisce quas mino liceris, ritum est mihi ulcimas ruas ad D.
Kenelmum Dieby rerocare, ni lalcem jam ninis sero id velim, (aeque in hunc
tinem ea de re scripsi ad D. White,) ut nempe ejusdem loco plenius respontum
habeat ad Fermatii problema, quod jam de Tolis inieoris exponit, secus quam pri-
dem tecerat. Ouid aurem mihi de hoc nesorio ritum c, brevi accipies, ab
Octob. 3. 16)7.
Amico ribe sidelssimo, simat e
devinctissimo servo,
ARODNCKL L.
 PISTOL A Z
D. Fermarii ad D. Kenelmum Dieby: quae cum sequente, pra
oac icinacda.
Monsieur,
Ay receu roltre derniere letre à la veille du dépare de M. Borel, qui ne me
e donne quali pas le loisir de rous faire un mor de response. Vos deux lettres
Ansloises n ont esté traduites par un jcune Anslois, qui elt en cette rille, et qui
n’à point cosnoistance de ces matieres; de Corre que la traduction s’est iroré I
peu incellisible, que je n’y ay peu discourrir aucun sens reslé; de ainsi je ne puis
vous reloudre, si ce my Lord à Patistaiet à mes queltions, ou non. Il me semble
pourrane au cravers l’obleurite de certe craduction bourriie, que l’Aucheur des
leures a crouré mes queltions un peu trop aisées; ce qui me taiet croire, qu’il ne
les a pas resoliies. EE paE CC qu’il pOUrrOI equiroquer tur le sens de mes PFODO.
licions, j’ay demandé un nombre cube en nombres entiers, lequel adjousté à tou-
ces ses parries aliquores tace un nombre quarré. J’as donné par exemple 343,
qui elt cube, e dussi nombre entier, lequel ajoulté à toutes les parties aliguores
Faiet 400, qui cst un nonibre quarré. Et par ce que cette quection recoit plu-
lieurs aurres Tolutions, je demande un autre nombre cube en entiers, qui joinet
a toutes les parcies aliquores tace un nomtre quarré; ter l le My Lord Brouncker
respond, qu’en entiers il n’y 2 que le leul nombre 343, qui latistace à la queltion,
je rous promets, et d luy aulti, de le delabuser en luy en extribane un autre. Je
demandois encore un quarre en entiers, qui joinet a toutes les parties aliquotes
face un cube. Pour la queltion proposée dans l’elerit Lacin, que je Vous enroyay
elle ele aulli en nombres entieres. Et partant les resolutions en Fractions (lel
quelles peurent estre d’abord tournies à quolibet de trivio Arithmetico) ne me
laristeroyent pas. Se luis arec respect,
A CaltteS lC 6.
Muta +03.
MONSZEOM
oco icsouibun e iesodeGuna
Je vous parlerai de la descente
naturelle des corps pelants, des que
j’auray un peu plis de l’oilie.
e
e
ser vieu
FFRM, +L

## Folio 770 — 851708439:0794
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000794.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
Stensieur,
N
E PIS FOL A LTI.
D. Fermatii ad D. Kenelmum Dieby.
Ay receu avec joye de Lacistaction rostre dernier pacquer, ee quand il ne con-
Lciendroit autre nourelle, que celle de rostre conraleleence, de du recour de
roltre TancE, c’est un bien l grand, de li contiderable pOur TOUS CCUX, qui aimenE
les belles letcres, qu’ils ne peurene en receroir un plaitir medioere. J’ay receu
la copie de la lerrre de Monlieur Wallis (Fp. 5.) que je eltime comme je dois,
ee j’adroiie, que les tigures sone les melnes que les miennes; de que les conclu-
tions pour leur quadrature lone aully les melmes; mais la tacon de demonstrer,
qui elt tondée sur induction plustost que sur un raitonnement a la mode dA1-
chimede, taira quelque peine aux novices, qui reulent des (yllorilines demon-
Itracits depuis le commencemene ju squ’à la tin. Cc n’elt pas que je ne l’approure,
mais touces les proposicions pourant eltre demonstrées viâ orainaria, leeima e
Archimedae a en beaucoup moins de parolles, que n’en contient son livre. Jc ne
Icay pas, pourquoy il d pretere cecre maniere par notes Algebriques à l’ancienne,
qui elt de plus conrainguance, ee plus elegance, ansi que j’elpere luy taire voir
à mon premier loisir. Je voudrois qu’en suice il cust decermine les centres de
srarice de ces hyperboles intinies en distinsuant celles qui en ont, d’avec celles
qui n’en Onc PaS: (vide Sepist. 16.) car candis qu’il dira, que la chole luy elt
coeniie, e qu’il n’en a pas roulu charger son lirre, il ne me perluadera PaS: L.C
d’autant plus, que la proposicion generalle sans demonstration me suttira de la
PaEE; EF je vous responds à l’adrance, qu’elle ne sçauroit contenir plus de huicl
ou dix lignes. Des qu’il me l’aura enroyée, je luy lairas part de ma specula-
cion sur ce subjeet, de de ma Façon de demonstrer.
Pour les queltions des nombres, j’ole Vous dire avec respect d sans rien ab.
brere de la hairce opinion, que j ay de vostre Hacion, que les deux letres de
My Lord Brounceer, quoy qu’obleures a mon elgard e mal traduices, n’en con-
ciennent point aucune solurion. Ce n’est pas que je pretende par la renouveller
les joustes de les anciens conpo de lances, que les Anglois ont aurretois tait contre
les Francois. MaiS tans soreir de la Mecaphore, j’ole Vous Coustenir, d a Vous
Monsieur, plus justemene qu’a tout autre, qui excellés aux deux meltiers, que
le halard, ec le bontreur le mellene quelquetois aux combars de leience aussy bien
qu’auX AUTTCS, EC qu’en tOut caS nOuS pourons dire, que non omnis fert omnia
ceslus. = Je Peray pourcant rari d’eltre deltrompé par cec ingenieux d (cavant
Scigneur, ee pour luy celmoioner, que noltre combat ne lera point d outrance, je
me relasche dans la question Cuirance, que je m’en ray luy propoler, de la ei
sueur de mes premieres queltions, qui ne rouloyent que des nombres enciers: il
me sustira, qu’ils loyene rationaux à la mode de Diophante. Le nom de Cet AU
cheux me donne l’Occation de Vous taire Courenir de la promehe, qu’il Vous d
pleu me Faire de recourrer quelque manuleric de cec AucheUE, quI Concienne tOUS
les creize livres, ee de m’en Faire pare, s’il vous peur comber en main. Voics
la nonvelle queltion ou pour My Lord Brouncker, au pour Monsieur W allis, que
J’cleris en Lacin Tuirane rostre ordre.
Darum numerum ex duobus numeris cubis composium dividere in duos alios
numeros cubos
Fhanc propositionem in quadraris cantum exequutus est Diophantus. In cubis
ne tencavit quidem, in is saltem libris, qui ad nos de majore ipsius opere per-
venerunt.
Exempli eracia proponatur numerus 28 ex duobus Cabis X 3 27, compositus,
oportet dictum numerum 28 in duos alios Cubos rationales dividere, e provositio-
nis solationem generaliter praestare.
Je contens, que M. Frenicle l’entreprenne, je luis pertuade, qul il ne la troi.
vera DAd H aitée, que les autres, que je scavois eltre de la jurit diction. Je l
estime extraordinairemene aulty bien que vous, mais pourtanc ce que je m’en vay
adjoulter, l’eltonnera, si vous prenes la peine de le luy communiquer. Je luy
avois elerie, qu’il n’y a qu’un seul nombre quarre en enciers, qui soinet au bi
naire

## Folio 771 — 851708439:0795
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000795.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
F, P IS FOL I C I H.
naire Face un cube, et que le dict quarre est 25, auquel si vous adjoustes 2, il se
fair 27, qui est cube. Il a peine a Croire cetre proposition nesatire, d la FrOUVe
erop hardie ee trop generalle. Mais pour augmenter Pon estonnement, je dis
que si on cherche un quarre, qui adjoulté a 4 tace un cube, il n’en erouvera ja
mais que deux en nombres entiers, sçaroir 4 e T2L; car 4 adjouste d 4, Faict 8.
qui elE cube: ec 12F adjousté a 4 Faiet 125, qui est ausi cube; mais apres cela
toure l’intinicé des nombres n’en sçauroit turnir un troiliesme, qui ait la metine
proprieté.
se ne scay ce que diront ros Anglois de ces propositions negatires, d si les
troureront erop hardies. J’arrens leur resolurion, d celle de Monsieur Frenicte
qui n’a poine relpondu a une lonsue lecrre, que M. Boret luy rendit de ma ParE:
dequor je luis Turpris, car je luy respondois exactement à toutes les. doubtes, de
Juy tailois quelque queltion de mon chet, done je artends la Polution. Je suis aree
grand respect,
A Castres te 15.
MONSZEV ,
Postre tresoumble e tres-
obeissant serviteur,
F F. R A
AOult1651.
oubliois de rous dire, que M. Boret a elerit a TOn pere, que MI. l’Ambaltadeur de
FTollande s’estonnoir, dequoy je n’avois pas respondu a Schooten qui precend
avoir relolu mes questions, et m’en aroir propole d’aurres. Mais je vous alleure,
que je n’ay rien reu de la pari, ee que li rous m’en enroyes Copie, jy respon-
dear.
l’aymis la propolition un peu plus generalle dans la pase suirance ou elle me
semble estre mieux. On la DCUE CONCeVOI POur M. Frenicte, qui aime les nombres
EnEIEIS, En CeS TErmCS.
Frourer deux nombres cubes, dont la somme loit cube: dt tourer deux nom-
bres cubes, dont la Pomme soir elgalle a deux aurres nombres cubes.
Proposunt Diophancus datum numerum quadratum in duos quadratos dividere.
Tiem, Datum numerum ex duobus quadratis compositum in duos alios quadratos
dividere.
Oucestionem autem ad Cabos evehere, nec ipse, nec Vieta tenavil.
Duidni ieitur famosam propositionem, e recentioribus reservatam analystis, ex-
pedire aut dubitemus, aut differamus.
Proponatur itaque datum numerum cubum in duos crbos rationales dividere.
Trem, Datum numerum ex duobus cubis compositum in duos alios cubos rationa-
les dividere.
Fringuiratur, quid ea de re Anelia, quid Hollandia censeat 
(Seguentem Appendicem, cum similibus aliquotus ut quae rem hic asicatam non
spectabant, in Fditione prima omisimus; sed his utcunque reponimus, ne videar
quicquam subticere velle.
tin relitanema leure ) ay crouve que je devois adjouster un mor sur le sujer
de la descente naturalle des grares.
’ay cous jours creu l’opmion de Callilée tres probable, de tres ingenieule; elle
poine pourcan demonttracion. Ec la nature, qui est mille fois plus subrile, que
les espriis des hommes, pouroir parrenir à la tin une intiniré des proportions ditte.
rences de celle de Callilée, et que l’experience ne pourroit jamais conrainere de
Faullece. C’elt ce que je me charee de demonstrer quand vous roudres. Mais
varce que la voye de Crallitéc est la plus simple, il est vray semblable, non demon-
stracirement, mais probablemene, que la nature luit cetre Porre de mouvement
Cette maciere a produir des dispures lans tin enere detunet Mons. Cassendi, 
un feluire, nommé le Pere Cazre, tur ce que ce dernier toultenoit, que les
ristelles, ou relocices des corps qui descend, sardene la proporrion des espaces par-
courus, concre le sentimene de Gallilée, qui soultient, que cette propotirion est l
absurde, que si elle estoir vraye, dsenlisirroie, que le morement le fairoic en un
instant.
eee
a

## Folio 772 — 851708439:0796
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000796.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
L. O M M F R C T U HC
Caltilée ne se concence pas d’en demeurer IZ, mais il precend demonstrer, que (
ceue propolicion eltoir vraye, le moremene le tarroir en un inltanc. La Pere
Cazré, alture que G’altilée ne l’a poine demonstrée, de Mons. Cassenci au con-
craire, que demonstration de Gaslilée elt cres partaire; LC tux cerre conceltarion ces
deux grands partonases onc taic de gros volumes, qui lallene la pacience des Lc
EteurS.
P’ayerenche couc ce ditterent en trois on quatre precs Rx premierement je laic
voire, que l’opinion du Teluice elt tauste, mais que pourrant Ciallée n’a point de
monttre, qu’elle produilic comme une consequence neccllaIre CC MOUVEIENE I.
ltancanée, de lorte qu’en cet arriele le Pere Cazré n’a poine de TORE. MaiS en lI,
Pour les mettre d’accord, et rendre en meline cemps oltice a ces deux grancs, hom-
nes (Galtilée de Caßenai) de donner du secours à la veriié, je demonttre par la
voye lesicime, et lelon la maniere d’Archimede, que li la propolicion du seluie
eltoit rraye, le mourement le Fairoir en un instane, de qu’ainli Galtitée a Cn FaION
de dire que cetre propolicion produiroit par conséquence le mouremene nltan-
tanée, quoy qu’en clleet il n’au pas demonstre la verue de cerre conlequence: ce
que j ay taiet dans mon elerir; que j’ enroyay à seu Monlieur Gassendi pendane la
rie, a doncMonlieur Carcavie (que vous croureres logé à l’hollel de Liencoure,
rue de Peine au tauxboure Sc. Ciermain) parda la copie. Si vous ares la curiolice
de la roire, je ne donce pas, qu’il ne vous la communique, des que vous luy laires
voir ma LecErC. Mon eteriE LinilIOIC par CeS MOIS, LTujus ilaque unicae demonstra-
Tionis beneficio rot e tanta praectarorum virorum volumina aut refellentur, aut inu-
Eilia e superstua efficientur.
EPESFOL A XITI.
D. Viccomilis Bruneker, ad D. Joh. Wallis.
ZD Tolum indicane, Vir Claristime, praesences licerx, inclusam quam trates Fermatis
L charcam d D. WBise mihi pertacam heri post meridiem, cibi imperciendam, cujus
nempe oblicus erat cum religuae MitterenC. Peric aurem uccum haec cum reli.
quae sibi relticuancur. Id superest ur rectamare per ea5,
Fidissimum ribis ruique observaniissimum
BROVNCKF H.
Remurques sur l Arichmetique des Infinis du S. J. Wallis.
L. Y, N Con Epistre il declare, commene il s’est mis à la recherehie de la Ouacra-
cure du Cerele, d dic que quelques verices, qui onc elte discoureries en
Cicomeuie, luy ont donne l’esperance, qu’elle le pourroit rouver. (Vide Lipist.
26.) Ces reles ton
Oue la raison des cereles infinis du Conc aux intinis du Cylindre est corniie,
scavoir celle du Conc au Cylindre, qui a meline bale de haureur: de pareillement
la raison des Diamerres des diis Cereles, sçavoir celle du Frianole, qui valle par l
Axc du Cone, au parallelorramme, qui palle par l’Axc du Cylindre.
Comme austy on à la raiion du Conoide parabolique au Cylindre circonserie, e
celle de la parabole au parallelocramme, qui pallene par leurs AXCS, qui lOnL COM
me l’altemblase des Diatreires des Cereles ntnis, qua compolene les dus lol1des.
Deplus, qu’on a aulsi troure la raison des oidonnées cant au Priangle, qu’au
Conoide parabolique, ou patabole, que lone les Diameeres des dlis Cereles.
D’ou il conclud, que puis qu’on à trore au la raiton de la Sphere au Cy
lindre cireonserit, ou celle de l’intinue des Celeles Palasseles, onu D con-
ceroir que la Sphere elt compolée, a Paleie BMude de ceux qui le Deurene
fcindre au Cylindre; on pourra aully elperer de pouroir delcourrir la railon des
ordonnées en la Sphere, ou au Cercle, d celle du Cylindre, ou Ouarré, lCavoir
la raiton des Diametres des Cereles intinis, qui compolene la Sphereu aux Diame.
ires des Cereles du Cylindre; ce qui seroir avoir la quadracure du Cercle.
Mais
Dclob. 6. 103.
1nO
eo1

## Folio 773 — 851708439:0797
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000797.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
E, P IS Y O L 1 C U M.
Mais de metine qu’on ne pourroit pas avoir la railon de tous les Diametres pris
entemble des Cereles, qui composent le Cone, d ceux du Cylindre circonserii le
on n’avoic la Quadracure du Priangle: non plus que la rarton des Diameires des
Cercles qui composent le Conoide parabolique, a ceux qui tont le Cylindre circon-
serit, si on n’avoit la Guadrature de la Parabole. Rinly on ne pourra pas cognoi-
Itre la raison des Diametres de tous les Cercles, qui compolent la Sphere, d ceux
des Cereles, qui compolent le Cylindre circonserie; li on n’a pas la Guadrature
du Cercle. Car de demander la railon, qu’il y a enere les Diametres de tous les
Cercles Paralletes, qu’on peurconceroir en la Sphere (lesquels Diametres pris
tous ensemble, ne sont aurre chole, qu’un Cerele) et ceux des Cercles, qu’on
peut teindre au Cylindre circonserit (le lquels tont un quarre circonserit audit Cer-
cle) cela n’elt aurre chole, que de demander la raison du Cercle au Guarre cir-
Conicrit. 
2. F.M la melme Fpiltre apres aroix pose une luice de nombres, (caroir X. 6. 30.
F40. 630, i demande le ceriue moyen, qui doir eltre mis enere r ec 6. Se responde,
que li on a elsard a la luire entiere des diIs nombres, On nC PEHEPOIeY AUCUIM TerME
moyen entre les duS Pet 6; pourcequ’en certe luite les nombres ne tont pas unc
proporcion continue, mais en aurant de lacons, que l’un elt comparé a l’autre,
aucane Font il de proporcions difterentes, de Porre que ce sont plulieurs proporci
ons, ou progrelsions desjoinctes, et ainly quand on prendroit un cerme moyen
CnETC FCE6, Il n aurois rien de commun aree les aurres nombres.
Toure la provorcion ou luire, qu’on Deur remarquer en ces nombres contiste
au raport, qu’onc entre eux les nombres, donc ils proviennent par mulciplication,
aux quels on roic une espece de progrestion Arichmerique; neanmoinsne lcauroir
Palter au nombres luldis en celle lorce que par icelur on puille donner un terme
moyen entre deux des nombres, qui ait COrrcIPOn
craire la proprieré melme de cette prosrestion taiet, qu’il n’y en peucavoir. Voiey
CommenL.
Les nombres donnes T. 6, 30, F40 630. Tont produis par les suirans en mulcioli-
anE E, 42, 43, 43, 42. On les equiralens 1, 4 2, 3
En ces nombres, qui lerrent a taire les donnés, il est Facile à voir, ou est le ra
POrE: II contiste aux premiers, en la scule angmentation du denominareur de la
Fraction, quiy elt joincte; ce qui tait diminiier les nombres d’autant plus, qu’ils
s’clloignent du premier cerme, Tçaroir de T. et aux 2de5 1. 8. 38. ec. (qui TOne les
MC(IES CN aULTES TerES) les numerateurs des tractions augmentent de 4, et les
denominateurs de l’unite, ce qui fait pareillement diminier les nombres, tanc plus
la prosrestion arance; en forre que cellur, qui elt le plus proche du premiei,
TETME F. TcarOir 4Z Ou 5. qui vaut 6. elt le plus grand de tO1S.
Il tauc aully remarquer, que le raporr des nombres de la dice progreclion n’arrive
pas julques au premier terme r. ou plultolt ne commence pas des le Ter. terme, maiS
au lecond seulement, qui est Paborne; De forre que l on vouloit augmenter les
termes de la dire prosrellion, en la chanseant d mettant un nombre moyen entre
le rer d le 2nd rerme, sçaroir entre re 4 Z ou 5. il ne Faudroit pas aroir escard a
T, Mais a:X autres nombres 47 43 434 2. Ou d ces autreS: qui TONC LeS ineLeS 5 15 14 18
car cerre progrellion n’auroit pas de suite, li on la commencoit par L.
Puis donc qu’il ne taut pas aroir elgard au res terme L, qui n’a rien de commun
avec les nombres de la dite progrection; mais aux aurres sculement; et qu’ils aug
mentent d melure, qu’ils approchent du rec terme L. il s’en suit, que le nombre,
qu’on prendroitentre s e 42 ou E seroit plus srand, que le du 5. ou 6. et il Fau-
droit mulciplic, le Ter cerme E, par ce nombre moven, qui seroit plus grand que 6.
pour aroII le MOyCA TerIE entrE LeS deuX premIErS deS NOMBTES PTCMICTEMENE
donnes, qui (onc L et 6. (car les diis nombres donnes L. 6. 30. 740. 630. n’ont point
d’aucre rapore ou liaiton, que celse, qu’ils empruntene de leurs mulciplicateurs,
aurrement ils n’en ont aucune) et ainly on auroit un nombre plus srand que 6,
Pour le moyenterme d’entre r, e 6. qui est ablurde.
De las’enluit, qu’on ne peut donner le moyenterme entre Let 6, en tanc qui
Tone compris en la luice ou progretion des nombres L. 6. 30. 240. 630.
On peur interer dela, que la lisne courbe VC, n’elt point elgalle en elle melme,
et qu’elle ne peur prorenir d’aucun mourement concinu, qui loit esgat ou reslé:
mais de plusieurs ditterens, Luirant Les parcies; et que c’elt une ligne composée de
2. CCCC3
Dorcions

## Folio 774 — 851708439:0798
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000798.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
 OM M E R C I U M
porcione de plusieurs courbes comprises enire les paralleles a l’axe VX de la tixure:
car en icelle il elt bien necellaire, que la movenne ligne ciréc enere là sere de la
2dc paralleles, scavoir entre F de 6, TOit moindre que S. MaIS OUETC QuC MOVEHHC
ligne seroir de ditterence longueur luirane la nature de la propriccé de cette porri
on de la courbe VC, qui n’a rien de commun avec les aucres porcions, comme à
este dic; eIle n’AUTOIT FAPOTE qu’aveC leS 2 TETIES, T. 6. d non pas avec les au-
treS, n’y avee les moyennes, qu’on auroit cirées enere deux, li on prenoir le tOuF
conjoinctement.
3. Fn la xere propol. le dic Sc. W allis propole une suice de quancices commence.
ans par o, (qui reprelence le poinc) de qui le luirene en prosrestion Arichmecique;
de cherche quelle raiton il y a enere la lomme des dites quancices, de la lomme d
autane de cermes elsaux à la plus grande des données.
Le moyen qu’il donne pour trouver cere railon cst de prendre les Tommes de
dirertes quancues de nombres commenceans par les moindres; puIs comparer les
raitons les unes aux auires, de interer de la une propolicion univertelle.
On se pouroir serrir de cerre methode, si la demonltracion de ce qui cft propole
cloit bien cachée; de qu’au pararant de s’engager à la chercher ou se voulu
alteurer d peu pres de la vericé: mais il ne s’y fauc tier que de bonne Porre, de on y
doibt apporter les precantions necellaires; car on pourroie propoler celle chole
de prendre relle resle pour la crouver, qu’elle seroir bonne a plulieurs parcieuliers,
ee neanmoins seroie tausse en effect, d non universelle; de lorce qu’il tauc eltre
Forecirconspeet pour s’en serrie; quoy qu’y apporcant la dilisence requile elle
Duille estre tore ucile, mais non pas pour prendre pour tondement de quelque sei
ence, ce qu’on enaura deduir; comme taiet le Sieur W allis; car pour ccla on ne
le doibe concenter de rien moins, que d’une demonstrarion, et principalement au
Cujeet de la propolition, dont il s’asit; donc la solurion ee demonttracion cM Fore
tacile.
Voier, comme on demonstrera, que les dices quantires proposées, estans joinctes
ensemble, tont la moicié d’aucant de quancites esgales à la plus grandes d’Icelles.
Sorene exposćes des quancires ou nombres, qui commencent par le poinc, ou par
O. d qui le luirent en procrestion Krichmenique, de loyent celles de la rre lisne.
Puilque les quantires données sont en progrestion Rrichmetique, le 3meterme B
surpallera le 2nd de pareille quaneice, que le 2nd (scavoir a) surpasse le rer qui est
O; mais l’exces de a par dellirs Oesta; de partant tonces ces quancices se turpalte-
ron l’une l’aucre de proche en proche, selon la quancire du 2nd terme a. FL SI ON
prend les quancires de 2 en 2, lailtant une d’icelles enere deux, comme lont a, c,ou
b, d de la premiere lione; leur difference sera le zme rerme, comme il est erident:
Se de metine si on les prenoir de 3, en 3; elles auroyene le qme cerme c, pour leur
difterence.
De la ils’entuit, que si on prend aurane de termes elgaux au plus grand cerme
an desquancices données, comme en la 2de tigne; leur exces par dellus les quanci-
res donées Pera elgal auX dices quantités données; comme on voir en la metione.
Car l’exces de a par destus la plus prande des quantires données, lcavoir par delIUS
du elto, qui elt le premier cerme des quantires données; l’exces du meline de pat
delliis le Terme precedance, est le 2d cerme a comme il a este monstrE; LGaVOIK
delliis B, Pera b; de ats ces autes; jusques a ce, qu’en fin elLanE aU PTCMIEK
données, ellane joinctes aux exces des quancués de la 2de ligne par deltus celles de
Id sere qu tone les données, tont la due 2dc ligne, qui a chacun de les cermes elsal
au plus grand de ceux de la pere, par catte la 2de ligne, ou le plus grand terme des
donteco, plis autane de tois, qu’lls d de cermes, sera double de la fere lixne c’clt
4. En là leconde proposicion il requiere, que le ser cerme Foito, et le 2d L. au-
F. 9. a. b. c. d. OuanEres données.
3. d. c. b. a. 0. EXces des plus grandes par desus les données.
2. d. d. d. d. Ouancires elsalles à la plus grande des données,
POur ce GuC LeS L aMCeS Ce a lone PochaineS: d entuire l’exces du d par
Terme o, l’exces de d, par dellus iceluy sera le metine d: de ainsy la ligne
a dire des quantires données. Ce qu’Il talloir demonstrer.
rremenc il dic que mederatio est dabibenda.
des exces, qui est la croisiesme, lera eseale a la rere qui concient les quantices don-
necs. Mais la rere de la 3me signe estane joinctes ensembles; scavoir les quancices
A ccta

## Folio 775 — 851708439:0799
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000799.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
Hi, P 157OL LC0 M.
A ccla je dis, que si on commence par o, quelque nombre, qu’on mette pour le
Second terme, la Commme d’aurant de Tois le plus srand terme lera tous jours double
des quanricés données; car li pour a, b, c, d; on prend quelque nombres, qu’on
rondra, qui Poyent en progreclion Arichmecique depuis le rer terme o, cela Lucce.
dera tous jours en la melme Porte ainsy qu’il a elté cy derant demonltre.
EPISTOL A XIV.
D. Vicccomitis Bruneker ad D. Zoh. W allis.
DOsEACCCPEASD. Fermarii liceras, quas ad ce nuper cransnisi, quae Problema, pri-
dem propolicum, de Tolis Inceoris exponunt; rem aliquatenus expendens, qua-
dratos quos quarie intiniros (qui in dacum non quadracum ducti adscita unitate
quadcatos conticianc) in hujulmodi lectem video concidere. Nempe
24O: 245+ X53X53, 45 18 XCBC.
SIC 8XO: FX5+X5ZX533X5 262 X9C.
lIC 28X D: 4 X 33 =X 3334 X 33 71355 X (9C.
32 X : 3X 337X3337X331135 X896.
3XO: LX3 FX33X3 15 X 334 X19.
72XG): 2 X X3 FX +3 7X 13 195 X8C.
27X9: 5X5F FX5135X (6.
43XQ: LXF3 ZX F3 +2 X T3 185 X 20.
75X D: 3X5XZX5F3Z XCC.
5XG: 4 X Z7 LX 17 1BX L7393 X eC.
20x9: 2 X 17 +X 27 1BX F7323X(C.
8OxG: FX77 +X27 48X 27393X (76.
6x9: 2 X 9+X9 18Y983,X 9886+ ∞.
24 29: XX9 + x9 32953  93 06 Y _9C.
96x9: 5x97 24 (3c.
Oi Feactionis cujusque numeraior aequat denominatorem tuum dempro, denomi-
naLOTE proxime praecedente; Denominator rero numeratorem aequat cermini proxi
me praecedentis in impropriam tractionem reducti. Copnita rero serie quae ad nu-
merum aliquem non quacracum accinet, habetur inde series quae spectet istius non-
quadrari mulciplum per quemris quadracum; scilicer dividendo seriem inventam
per radicem quacraci mulciplicancis. Primores aurem duo termini cujusque lexiet
reperiendi sunc vi Canonis nostri geteralis ; Nempe, quories D q est aliquo.
ia pars numeri 4Q, (sire D aliquota pars 2 R,) habetur inteser quadratus rem
ablolvens. HToc est, (subslicuendo = = 0, aeleoque = = R, et Bropterea
D = G e N = - i N.) quories = i n = D est aliquota pars numeri  == 2R;
ve) (ductis urisque in cz) quocies a an e= est aliquota pars numeri 2AC. EO ica-
que jam redacta elt quaestio, ut reperiatur quactratus aliquis qui in datum non qua-
dracum ductus, ab alio aliquo quadraro ditterar aliquora parte dupli rectanguli sub
radicibus. Quod inductione commode insticura in reltixari poreric. Eac lunt qua
de hoc nesorio jam occurrunt,
Octot. 22, 2657.
a Colarissime
Amco tuo sdelssimo, atquo
observantissimo,
BROV Al. R F. A.

## Folio 776 — 851708439:0800
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000800.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
O M 1
D. Joh. W altis ad D. Vicecom. Brouncker.
N Tibicandem, Vir Iustristime, quae postredicum meum, eum hinc per ali-
 quod rempus (uri nosti) abtuerim, visum est in summam redisere, ad D. Fer-
matii Animadvertiones ee Epistolas reponenda; quae, si D. V. videbicur, ad IIIu.
Hristimum Diebaeum, cui inseribuneur, possis cransmuere. Ne aucem mireris hue
omilla quaedam (In F pist. sequ. ) auc vicio verras, quae non minorismomenci vide.
ancur, tortan etiam majoris, quam quae hie habeneur nonnulla; hoc ideo Factum
ellu cum ne in volumen excreleerer Epillola, cum quia non omnia limul prodere,
neceltum duxi.
Rericere iiaque visum elt (uE d cuis incipiam) seriem illam radlieum, quam ex.
Doline mihi cua nupera epiltola, O57. 22. (Fp. 24.) conseripia, cum seilieet cum in
Procinctu eram hinc abicurus. Non quod eam ullacenus neglisendam pucaverim,
led acuminis plenam (uci cua Tolent semper ese) de lagaci cuo ingenio disnam.
Sed quia quae line illa hic habentur, rem illam videntur lacis absolvere: (non enim
quadearos omnes vostulat problema, sed lalcem intinicos;) acque hanc iplam lc-
riem, commodins tortan deinceps aliquando extribendam judico. NC TaMEN putCE
Fermatius exiltimasse nos, quos hie docemus quadracos intinicos extribere, omnino
omnes elle quae exhiberi possene; huic cavendum este duxi, plures achue, si plures
Doltuler, pollicendo.
Placuu item recicere methodos, cum cuastum et meas, quadracum primum, sive
ixtius radicem, per inductionem extribendi; cum quia, de Intinitis extribendis, vi-
debatur mihi problematis pars lonse pocior, cum praelerrim quia ridebam rix posse
methodos illas, ita uc ab aliis commode incellisaneur, perspicue cradi, sine longio.
ri verborum ec exemplorum apparatu quam terre posse ridebatur haec epistola. Sin
de hoc haereat Fermasius, Teorlim poltumus deinccps extribere. (Zd factum est F.-
Dist. XVII.) Incerim illud generacim dixisse susticiar, hoc lalem sveetandum esse,
ut D = N in O sic aliquota parS numeri ZR; SiIve n a n e, numeri 2 ac. OuipDe
cum, quadraci per Canones nostros extribici, tucuri sune incceri.
Centrum graritatis quod spectat, quod Seilicet a me exegic Fermatius (L pist. 12.)
eorum qua cibi ancehae expoliu de hocnesorio, mulca deelle vides. Et quam
prius univertalius expotueram propolicionem, jam arctius hic habes expolicam, ut
illud falcem extribeat quod pecebatur; nempe centrum sravicacis in Fermatii (uE
Loquicur) FErperbolis Infinitis, eodem licu quo eas ip le exponic. Omistis, cum
qua cencrum graritaris in Parabolis e Parabolocidibus omne genus spectabant,
(quod non DEcCbaTT;) cum qua idem in Hyperbolis illis alio sicu posies spectant,
cum et in semiparabolis auc semixarabolocidibus ut de Semitryperbolis illiusmodi
intinicis (Vide infra, post Fpist. XVI. J Ouod teci, cum ne nimius estem in iiS ex
abundanci exponendis quae praecer postulatum erant, cum quia pocius ridebatur ea-
dem Fermatio prius problemacinos extribere: ne quae quaelicis luis nihilo mihi ri
dencur interiora.
Cxrerum cocum hoc quicquid est, restro eriamnum arbierio permitto; ut ( vel
addendum vel immucandum quiequam pucaveris, id praestet intuper,
Oxoniae Lbre.
ustrissime Domine,
lumillimus Libiservus, ad
obsequendum paratissimus,
27. 103 1.
eum
lu

## Folio 777 — 851708439:0801
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000801.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
6+ +5LOLA AVI
D. Joh. Wallis ad D. Renelmum Diebj, praecedenti inclusa.
Nobitissime Domine,
DOst nuperas meas ad re lireras, mense Septembri datas PF, p. 7. J adextus sum
ab IIonoratislimo D. Prouncker, iphius Problematum Fermacianorum Colucio.
nes. Duibus inspectis, abunde contirmatus lum in ca lententia, quam in prae-
teritis ad Fe literis indicabam. Ouicquid enim sic de liceris quas Fermario tuisse
perperam expolitas insinuabas, (quas nec ridi unquam, nec seio quales Fuerint;
Solutiones lalrem eas esse comperio quae quaelitis accuratistime relpondent. Pas
itaque libuit Carim Latino Idiomate ad Pe transmictere, ne cui deinceps interpre
ratio prara traudi (It. Aeque id quidem feceram repetitis ad Te literis (Li p. 0.
eodem mense datis; sed quas, ob Fermatianas poltea receptas, rerocabam, ut ad
ea quae in his de noro lueseruntur simul responderem:
Accepi urique sequente Octobris mente, a Dominatione veltra transinictas bi-
naS D. Fermarii ad Te literas (Fp. ZF, 22. ) alteras Junii 6, alteras Augucti 15
dacas. Nec ita multo post iptius in meam Intinitorum Arichmericam Animadver.
LiOneS: (Fp. 23.) Adeo Tu me novis perpetuo cumulas beneticiis. Cum vero
nec ulla mihi spes supersic, quibus me derinctum renes, benetieiorum vinculis me
eximendi; nec aliud mihi restet quo me recipiam retugium praeter Clementiam
vestram; quam itaque oratam retim (id quod unicum haheo) humillimas ob
cancum in me Tarorem gratias acceprare, acque eodem me, immerentem licet, af
fectu prosequi, quo in me hactenus ulus fueris: non ce prolixa decinendum cen
Tui praetatione, sed ad ea me protinus accingendum qua dicenda postulant illae li
tera, ubi prius imporrunx mex loquaciratis, qua majoribus occuparum nesoriis in-
terpellem, veniam CxOraVeTO.
Conqueritur Fermatii Epistola prior, (Fp. XT. I difticultatem allequendi quid
velic Honorarisimus Vicecomes, in sua problematum solutione, ob male craductas
ex Idiomare Anglicano literas. Id aurem ne ulterius conqueratur, Idiomate L2
cino, quod traductione non indigeat te compellandum jam censui, si tibi Forte e
hasce lireras eidem communicandas rilum tuerit.
Dum vero, quancum ille (ut aic) per obscurx cranstationis nebulas allequi ra-
lec, existimat ab FTonoratissimo Domino Problemati suo minime Patistactum esse:
Figo plane contrarium censeo, nec, nili Forlan quod iptius soluriones nondum Ca
ris incellisat, nihil quicquam esse cur id rel dubiter rel distimulet.
Problema primum seminum erat.
Invenire cubum, qui additus omnibus suis parcibus aliquoris conficiat quadra-
tum. Eempli eratia: Numerus 343 est cubus a latere 7: omnes ipsus partes
aliquota sunt 2, 7, 49, quae adjunetae 343, consiciunt numerum 400, qui est qua-
dratus a latere 20. Duaritur alius cubus numerus ejusdem naturae
Quaeritur etiam numerus quadratus, qui additus omnibus siis partibus aliquotis
conficiat numerum cubum.
Htuic cgo Problemati responderam, Numerum L, utrique quaesito satisfacere:
et qui cum quadratus cst, cum cubus, e partes aliquotas nullas habet.
Hluie Solurioni subjunxit D. Vicccomes Brouncker, Id ipsum praectare (si Fractio.
nes admitantur) cum numerum F, per cujusvis interri potestatem sextam divi-
sum; cum etiam, quod ad duorum quaelicorum prius, numerum 343, sic divisum:
puca 388. Siguidem numerus tractus, cum partes non alias habeat actuales, quam
gux toci sune cognomines; non alias habebit partes aliquotas expolicus cubus
3E, quam 5+, 523 8 qua cum ipso 383, conticiune 182 numerum quadratum la-
FCxiS 28.
Cum vero jam tandem se exponit Fermatius, non alium sibi quam numerum
incegrum Catistacere: Friam sic sibi latistactum esse non erit distirendum. Ouippe
(prarer numerum 343 in problemace expolicum) non nili unum pollulatu nec
ni

## Folio 778 — 851708439:0802
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000802.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 75 lines, status machine
 O M M E R C L U M
nisi unum seiplum extribicurum Cuscixit, (Je demande un autre ec. 85il re-
spnd qu’en entiers, il n’y a que le seul nombre 243, je vous promets de le desa-
buser en luy en exhibant un autre;) hujulmodi aucem unum nos extribuimus il
teorum, nempe iptum F.
Cux plures non extribeam, Lacto el, non quod ckiltimem alium nullum elle, lea
quia nec ipse plures poltular, nec exo rem ipsam cat Cn judico (nam cut b0-
nOd) ut Tolicica rideatur nICaaCOHC AIBMa; HCCMM IIL de Ie HCFOEI LC TOTA TUnI
Anelia cum Gallia Celtica  Beleica, (quos simul omnes nominatim prorocat,)
SC TOcOS ConvertanL. NOM c Maso moen e u  late recu)
quam li ego pari ostentatione, extribicis duobus numeris quadracis, (16 ∞ 25,)
qui omnibus lui parcibus aliquocis addici Catlem ea ma (10114
= 25 + 5 f 2,) iltiusmodi duos alios quadratos extribendos, pere-
rem. Cui Colvendo accingar se, si velic, Fermatius; vel, s malic, neglisat: non
enim eso inquilicionem hanc canci puco, uc vel illum exinde periiorem elle juct.
cavero li tolveries vel secus li minus.
Daro quovis numero non quadrato dantur infiniti quadrati, qui in datam nu-
merum ducti, adseita unitate conficiant quadratum. Pxemplum: datur 3
numerus non quadratus, ille ductus in quadratum 2, adscita unitate consicit 4
qui est quadratus; item idem 3 ductus in quadratum 26, adscira unitate, facit
4, qui est quadratus: 8 10c0 = 8 26, possunt alii insinici quactrati idem prae
stances inveniri. Sed Canonem seneralem, dato quovis numero non quadrato, in
quirimus.
Flujulinodi Canonem hume adhibuit D. Vicccomes Brouneker, demonstratione
sua tirmacum. Sic N, numerus dacus quilibet, (quactrats, rel non. quadraLS;
integer vel Fractus.)
O alius quilibet quactratus, (interer aut Fractus,) cujus radix R.
D =- Q0 N; duorum , N, dilterencia, Puta O = N, vel N - 9. CanON.
Est
d9
conticiet NX
5) numerus quacracus, qui in N ductus, adseica unitate,
F F. =
a2B. + D9, numerum quadruum Num 2C+ Dy
+QN + Q4 = 2ON + N9 99 + 2ON F N9 O F N C F N
29 = 2ON F N9 99 = 2ON + N9 On N Qn N
Alium icem de meo libuit adjicere; qui quoad modum procestus, sic paulo actue
s; quond rem iptam, idem cum eo qui pracellic; demonttrucione pariler
Frmatum.
Sit N. NVumerus datus quilibet.
Canon. EIC
ciet NX
Ma
A, Duilibet ad arbitrium assumptus. Per quem
Q Duadratus quilibet dividatur; licque
M, Divisionis istius quotiens. A) O (M.
P, Numerus quilibet.
D, Disserencia duorum  A IPN.
AR
numerus quacratus, qui in N ductus, adseita unitace, conti.
MAN + D4
Ma
numerum quactracum. Nat
nan +DC
Alterum Problema sie expesitum est.
16P
19= =M A N + F419.
N9
e
10P9 4 = 2Bl AH + P94G
26Pq NQF EM AN +. P9NG
Mq
26P9 214
A + PY
A n PF
+22
Florum
qu
nem
quiai
nolI
qua
1l
1
e

## Folio 779 — 851708439:0803
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000803.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
li P
C U M
Florum utrumlibet altimat Canonem Fermarius, manitectum est rem imperatam
praestari. Sin plures adhue desideret, spondemus ei quoc rolet: sed qui jam ex-
tribicis coincident; ut qui suppedicamt non modo quadraios intinitos, led et vost-
biles omnes, rem imperatam praestantes.
Verum interim monendus est, limitationem illam, de numer o dando non qua
arato prout jam proponitur quaestio, superracancam esse; nam ee de numeris qua
dracis non minus procedit Canon, quam de non quadraris. Sed e cadem facili
tate res succederei l dixistet univerlaliter, adscito numero quovis quadrato, atque
aascita unitate; id Eiguidem Tolum supereller inlaper laciendum, nempe numerus
quadratus per praecedentes canones inventus ducendus eslet in adscilcendum illur
quadrarum. Puta, si quadratus Ile adsciscendus sic BG; in canone priore, pro
D
=sumendum cstet ZB4C
D9
in polteriori pro
NA
DC
sumendum eltet M A BC
Nam ec sic etter, num illic F G N BA. + Bg cum hic MA NBA + Bq numerus
Quadratus.
D
DC
Aeque haec ea Tunc quae in illa quam innuebam Ppistola, indicaturus eram. L’am
vero rerocandam centui propter ea quae jam tandem lusserit Fermatius; quae ta
ciume ut dietis adjiciendum nonnihil rideatur, ob noram quam adhibet limicatio
nem, in quactione uc pridem propolita minime memoratam. Nempe jam, Se lolos
quadratos inteeros voluille dicir, non item tractos: in P’ractionibus liquidem lo-
Jntiones tam in procinctu esse ue a quolibe de cririo Arichmetico suppeditari
DOCTIE.
Bene utique res est, quod jam candem persentiscat Nobilissimus Vir, quaectio
nem illam Cuam, (quam non ita pridem, ideo salcem ab FTonoracistimo Vice C0
mite non solucum judicarerii, quod non difficitis haberetur,) cam incerim este
quam quilibet de trivio srithmericus facile solvat. Ouanquam incerim dubitare
subir, num Fermatius iple, nedum quilibet de eririo Arichmetieus, ante expolicos
nostrOS Canones, Canonem generalem scirerit, qui non modo quadratos intinitos
sed et possibiles omnes cum incegros cum item tractos exhiberet; cumque talem esse
noverie demonstrare.
Ac vero hie, nescio annon merito queri liceat, nobiscum haud bene actum este.
Ouippe de Incegris, ne rei quidem in expolica quastione dictum elt; neque erat un
de illam ita incelligendam esse hariolaremur. Cum enim in lonsa quam praemiserat
pratatione, I. Fp. 8. ) Diophancum laudarerit, ejusque quaeltiones Arichmericas I
non praeculerie aequipararit saltem aliorum Creometrieis quaeliris, leque in expo-
lita quaeltione imitatum esse Diophancum protiteretur, apud quem per numeros
quadratos nusquam non incellisuntur promiscue cum inceeri cum tracti; ecquis
quaeso (qui Diophancum rel per cransennam inspexerit) luspicari pollet, vel
praeter incesros, quadraros essenullos; vel, de Tolis inceoris, qualtionem sic pro-
positam, incelligendam else. Solrimus itaque quaeltionem propositam prout rerba
Ionane, eoque sensu quo plane debuerunt intellisi: neque errore nostro factum est
quod ille, si solos inccoros intenderat, non ee Sic loguucus (II.
Ouoniam vero de Inreoris jam illam proponic quaeltionem, quam de quadratis
simpliestei, propoluerat prius; (hoc clt, solura quaeltione illa, noram proponit)
Eriam es hic illum sequi Tubet, AsGrediemur itaque hoc - Alterum Problema.
Idem in Numeris inteeris praestare.
Dicimus aurem quaectionem sic limicatam minus unirertalem este quam ut prius
FF Satrem ad numeros datos non. quadratos (quod de Permatius Facit) reltringen-
dam este, prima statim (conce patet. Si enim cum NI, cim = =, sine numeri qua.
deaci inceeri, erie e  quactracus inceper, cum iiaque et +  + L quadeacus
eAe debeau duo estenenumeri quadrati inceeri qui nonnisi unitace ab invicem di-
Ctarent; quod fieri veuciquam posse constat.
Duo aurem catu res postibilis est; extibent, nostri Canones, non quidem so.
Jos, at Calrem omnes quadratos integros. Fxhibent ucique pollibiles omnes
cum incegros cum traclos huic nesOO accommedos. Duod ne pracis dixiste
F
ridear,

## Folio 780 — 851708439:0804
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000804.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
C. O M M F R C L V N
videar, sic demonstro. Esto quacracus ille quicunque rem praeltans, F’4; exit ila.
que NFg. F F = L. q Numerus quadracus. Sumpro jam R =
= exi inguati
Fg - = quem supracradicus Canon exhibet. Fsiv enim O = R 9 
Sect e NF9+ + = L. 9 aceoque L. 9  Y = W F 9, e =
perea D (= Q n N) - L 9F2L. + r L. 9-2
2R -2
2) cit
L. 72 2L. + 2(F.
2L. Z2
= 1. Epro.
D: hoc CAF 9 - 7. Fxhiber
isitur exposicus Canon, quadratum Fg; hoc est quadratum ex iis qui rem prae-
Aene imperatam quemlibet. (arque idem eodem sere modo, mucaris murandis, ex
altero etiam canone interetur.)
Exhribet icaque Canon expoticus infinitos numeros quadratos rem imperatam prae-
Pances, ee quidem, quo calu res est possihilis (nempe si expolicus numerus sit
non quadratus) infinitos quadratos inteeros. Id Falcem superest, uc (Ic = = = F9
numerus inceper, acque ne iltiusmodi extribeancur infinici. Hloc autem uctaL, CX
intinicis quos Canon extribee, selisacur ad arbicrium unus aliquis inceser quadra-
5 rem praestans (vel eciam alio quocunque modo reperiarur;) hujus, inquam,
unius ope extribebimus alios intinicos hac methodo. Sit ille, verbi sratia, F9;
adeoque NF9 = s =F, 9; Erit 2 FL, radix alterius quadraci rem praeltancis:
atque eodem modo, ex cognito secundo, inrenietur radix quadrari cerrii; ee lic
quarei, quintis ec. in intinicum. Fxempli gracia. Ouia numerus 3, in quadracum
2 duetus, adscica unitare Facie quadratum, puta 3 X L, f X, = 4. duplum rectangu-
lum sub x de 2 (radicibus quadracorum 2 _ 4) nempCZX ZX2 = 4, elt radix novi
quadraci 26 rem praeltancis. FC quia 3X 16, + 2, = 49. erit 2X4 X7 = 56 radix
quadrati nori 3136 rem item praeltancis. LL quia 3 X 3736, + T. = 9409,
(cujus radix 97,) exit (3X56X 97 lesc) 2X56x97 = 10864, novi achue qua-
draci radix rem icem praeltanus. Ec lic lemper. Pxhibentur iaque intiniei qua
draci inceori rem praltantes.
Non incerim ignoro, praecer hos, alios item posse quadraros idem praectantes ex-
hiberi, (exempli Gracia, 3X 225, = T. = 676 ==26X26. aliosque quos icem extri-
bere vollumus intinicos,) adeoque non omnes stacim ex uno aliquo sic induci
Poste. Sed neque illud pecebatur. Non enim propolicum Crat, ue omnes gnadratos
incegros rem imperatam praeltances extriberemus; sed, uc insinitos, quod factum elt.
Sin velic achue cercia vice, quaeltionem Cuam mutacis icerum terminis proponere;
ee quadracos intesros rem imperatam praestances, non intinitos cancum, led omnino
omnes exhibendos pecere: criam ee illud extribere, si libet, poltumus.
Rem aucem licuri dictum elt, succedere, (ne gratis dixerim) sic deOnsETaLIE.
Cum supra octentum sic = cem imperaam prallace; id solum sellac curanelum
ue tic F = F anumerus incexer; adeoque de iptus radix ? = P, LivC D) ZR
(F, numerus inteser: hoc eL, ut D = N n C sic numeri Z R aliquota PatS.
Cum verotieri pollic uc 2B, adeoque et 4, non sic inceser; substicuacus, pro
Q, =;adeoque prOR, . Cric icaque O n N) ZR (F, hoc est  a N)= (F;
adeoque e ain NC2) 2aC (F. Ouories iiaque a is N e est aliguota pars numeri
2 ac, cories erit F numerus inceser. Hloc elt, quories dilterencia quadrari unius, d
quadrato alcero in numerum expoticum dueto, est aliguota pars dupli rectansuli
Tub duorum illorum quactratorum radicibus. Hloc aurem (ue mille aliis modis
concinsere porelt, ita) semper contineic, ubi dilterentia illa cA vel 2, vel L; quod
maniteltum est; quippe cum r, numeri cujulcunque inceori; cum 2, numert 24C.
erit aliquota pars. Id aurem in casu noltro contingere maniteltum ell. Cum enim
sic jurca quaellionis exipenciam, N F9 F L = L. q erit disterencta L. 9m. N F9 = 1:
adeoque
alicoque C quia
elic
qu
qu
11
quie

## Folio 781 — 851708439:0805
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000805.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
i P ISF OL I C V M.
adeoque si ver hanc disterentiam: dividatur 2 F L, quoriens erit 2 F L numerus
integer; adeoque norus numerus F rem imperatam praeltans. Acque sic semper.
Duod erat ostendendum.
Plura de hoc negocio subjungere (quanquam ad manum mulea FInt) superra-
cancum esse judico: metuo urique jam ne nimius fuerim.
Alia, quam proxoluerat quaestio, non nili sero ad meas manus perrenit: haec au-
tem crat.
Invenire duos numeros cubos quorum summa aequalis sic duobus aliis numeris
cubis. (Fpist. 1O, 12.
Hanc eso paucis ablolram. Solrit eam, uti audio, D. Frenicte rariis modis,
cujus e aliquos numeros vidi; quos cum jam acceperit Fermatius, non opus est
ut repetam. Alios itague de nostris adjiciam.
Cubus numeri 3, + Cabus numeri 36; = C ub. num. 27, = Cab. num. 30.
C. T. + C. 8. = C. 43. + C. 72.
C. T. = C. 17. = C. 73. + C, 263.
C. 43.  C. 17. = C. 8.  C. 162.
C. 8. F C. 64. = C. 36. + C. 60.
C. 3. = C. FY,. = C. TI. + C. 53
C. 5. + C. 40. =C. 22.9. + C. 313.
C1. 20. -f C. 54. = C. 38.  C. 48.
C. 60. -L C, 732. = = C. 8. L C, 236.
C. 8. = C. 63. = C. 33 f C. 0.
C. 6. F C. 10. == C. 25. +C, 107.
C. 5. f C. TT. = C. 3. + C. 133
C. 3. = C. 53. =- C. 3. FC. 5.
C. 6. = C. 48. = C. 27. +C. 45.
C. 20. = C. 85. = C. 45. + C. 75.
C. 32. +6. 66. = C. 28. + C. 68.
C. 30. + C. 66. =-C. 4. + C. 68.
C. 4. = C. 48: = C. 36. + C. 40.
C. 30. F C. 82. =C. 57. L C. 72
C. 48. + C. 99. = 6. 27. + C. 102. C. 5. + C. 60. =C. 45. +C. 50.
C. 3. + C. 6. = C. 4= = C. 5.
Ec nisi hi sulticiane numeri, extibiturus adhuc sum quotipse rolet; idque tam
facili nesorio uc unius horx spacio ausim vel centum spondere; sire integros tive
tractos pro arbitrio. Ouod adjicio ne iterum se numerostantum intesros roluillé
dicat, dum tamen in qualtione expolita nulla sic inteororum mentio.
Soluris aurem hisce quaestionibus, Si Faltem adhue vires noltras se Paris exami-
nasse putarerit, oracum velim Nobilistimum Virum, ne indigne ferat, auc etiam
quali ririum nostrarum his in rebus defectui imputer, si de hujusmodi in posterum
quaectionibus solrendis non admodum Cinus Coliciri. Ouas quidem ut ue ipse de
verit, me Talrem illis (dicam enim quodres cst) non adeo impense delectari proti-
ceor, uc rel mulcum illis impendam remporis aut laboris, vel tanti judicem, ut,
aliis neglectis inquisitionibus Geometricis quae magis placeant, ad numerotas halee
speculationes diverram. Ouod tamen non ita dictum puret, quasi exo justis ipsurs
indultria Laudibus quicquam derosatum relim, II ec has secterur iple speculationes,
rerum horcandum pocius ue liquid recondicum his in rebus invenerit, quod lum.
mae rei literaria promorendx conducar, id methodica cractatione palam aperiat:
Id salrem infinuatum relim, cum non omnibus mihi vacer aequaliter intento esle,
iis quae masis mihi animo tuerine, uluique tucura rideantur, me pocius incubitu.
rum, aliaque quae aliis tortan magis placeant ipsis permilturum, uc ec nos nostris
Tirisque alii Fruantur.
Aeque hoc quidem responsi loco dictum sic quaectionibus quas jam proponic, riz
Datum numerum Cubum in duos Cubos rationales dividere. EL, Datum numerum
Cabum ex duobus Cubis compositum in duos alios cubos rationales dividere. Ouas
quidem (i adhuc ageredi relit Lonoraristimus Vicecomes Brouneker (qui e modo
velit ascredi, non dubito quin telicirer lic assecururus, laltem quarenus rei natura
DaLIEuIE, ) (vide Fpist. 37. 39. ) vel etiam quiris alius, cgo id minime avertor; mihi
Faltem neque vacat, neque animo clt.
Ounouam enim non displicuerie lemel iterumque, cum Nobilistimus Vir illud
desideravit manus conserere, et in arenam luam descendere: ut tamen illua tem-
per Caciam, nora sque perpetuo suppultulances quastiones, aesrederemur, (quali huic
Toli racemus) non expectabii, credo, Vir Doctillimus.
Ouod et parirer dictum elto de propolicionibus luis quas jam proxonit negaciris,
s F+
Duta,

## Folio 782 — 851708439:0806
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000806.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
O M M E R C. I U M
Duta Quod praeter 25 nullus sit alius numerus quadratus inteser, qui binario
junctus efficiat cubum: Nec, praeter 45 +22, alius qui quaternario junctus essi
ciat Cabum. Dua num vera sine neene, non tum admodum Tolicicus, cum non
rideam quid inde magni ponderis dependear, adeoque nec Rudiolus inguiram. Cur
aurem eas quali mirandae aucacix res ostenter, quaque actonicos reddane vel D.
Frenictum, vel d Anelos: exo nultus video. Ouippe Frequences admodum TuNE,
nobilque tamiliares, istiusmodi decerminationes negacira. Neque majus quid auL
grandius insinuane, quam si dicerem, Cutricubum (porestacem sexram incelliso
nullum (in inceoris) esse, rel etiam Duadracum, qui numero 62 junctus etheiat
quadracum: Nec, praeter q ullum quadracum elle qui numero +2 ad dicus taciac BI
quadratum; NCC, Prater 16, ullum biguadracum else qui numero o addicus faciat
quadratum: Vel ctiam, nullos (in inceoris) Cuhos elle qui ab inricem diltene nu-
mero vicenario; nec, praecer 8 e 27, qui distene numerO, FO: Dullos item Bigua
draros (incesros) elle, quorum ab invicem difterencia lic 100, vel criam (ut lC
met dicam) ultus alius par METUS quI nOn SIE per 26 divisibilis. Cujulimod
innumeras decerminaciones negatiras in prompeu eller comminisei.
Ad meam quod actinet Arichmericam Intinitorum, quam proxime aggredicur,
Fp. 12.) Facetur ille, caldem me invenille propoliciones, quas iple; CaquO PEX
Stirisse (nili quod de Centro Graricatis nihil dixerim, de quo mox dicendum eric,)
oux iplius prima quam viderim Lpistola  Fp. 4. ) quasi Geomecria miracula pea
dicabae, nec quicquam corum eHle quae illic innuu quod non ridere est in cractatu
illo meo, prouc cicaris locis indicaveram.
Verum id illum, uei ridetur, male habet, (quo eso nie nomine nunquam cul.
vandum lore aucumareram,) quod ea mechodo ulus fucrim, non quae lolum erincat
inventorum veritacem, per demonstrationes apasosicas, sire deductiones ad impol.
sibile, qua apud Archimedem trequentes lune, (e quibus quidem uti conveniret
si vellem ut Lector magis admirecur quam incellisat;) Sed qua simul inreltisandi
ordinem oltendat.
Ouod aurem ad Archimedis exemplum provocet (quod quidem, s ca libuisset
mechodo demonstrandi procedere, me Paris detendillet;) non ignorum credo tore
doctistimo Viro, id quidem in srchimede a gravistimis viris doctissimisque maxime
deliderari, detancum non ricio verci, quoa ipse quali data opera ita occultaverit
Tua inguisicionis reltigia; quasi inridillee polteris inveltigandi artem, a quibus
tamen astensum invencis extorguere rellet. Sed nec Archimedes Tolus, verum e
recerum plerique omnes, Analycicen Cuam, ( quam habuisse, exera dubium ett,)
cousque celarune polteros, ue Recencioribus facilius jam tuerie noram (uO marIC
comminisei (quod praesenci praecericoque sccuto factum elt) quam incasasse ve.
rerem.
Grates liguidem een porius expectactem, quam ue eo nomine criminis insimula
rer, quod aperte e line tuco non modo quo perreneram, sed ee quibus passibus, in-
dicarerim; nec (quod de aliis non pauci congueruncur) poncem illum iple demo-
licum iverins quo es Humen cransieram.
Su aM MIIIBHE VI NOOHMIIS, proposicionum mearum aliquoc Archimedea
mechodo demonstrari posle; F90 illud nullus dubito: quippe illud tacile tieri polle
non uno in loco, indicari; (Arich. Intin. Pa8. 38. 83.  alibi;) sed de, cur illuc
ipse non secerim; (uc de elixendae methodi ratione non opus habeac jam candem
scilcua, cum illam cgo in operis decurtu Menedrerim.) Vix quemquam enim arb
Nor, non dieam, de crivio Arichmecieum, scu, pauIO eXCTCILALIOTEM GCOICHAIS
(nectm tancum virum) qui non pocerie ex demonstrationibus noltris, AP2SOSI
ans es Archimedeis similes facili negorio clorare. Quod autem inluper le id la
clurum polliceatur; quamquam iptius ego hac in re laborem non respucrim; cu
tamen id oneris in se suscipiat, nulla cosie Recelticas, cum id iptum, ni tallor
quod se tacturum innuit, d Cavallerio, in iptius de Osu Indivisibilium in Potestati
bus Cossicis tractatu, jam factum Fueric. Sin de luum relic calculum adjicere, non
recuso.
lacis ulicatum, de trequencius torcalle quam iple Deinia biec Blare) lanquaM
Illegirimam argumentandi Formam respuat; vel eciam (quae nusquam non nune
dierum obcinenc) nocarum Alsebriearum ulum; exo lane de APolOBI haC ex parce
rerenda
Si denique Inductionem (arsumenti genus cum Veceribus cum Recentioribus

## Folio 783 — 851708439:0807
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000807.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
H, 2
TS Y OL IC U M.
rexenda neuriquam sum Colieitus. Vrebar eso jure meo, dum qua libuit incede.
bam via, de ulatur iple so liceat, Ci malit alias incedtere, nec dubico quin, quae cul-
Dac ipsc, erunt qui laudabunt.
Ouodme autem maxime spectare rideatur unum adhiue restat, quod clt de Ceri-
ero graricatis; ut nempe fidem liberem, diluamque quod, si non impingis, suspicari
Paltem videure Vir RCurissImUS FaLCI erimen.
Dixeram utigue, in liceris meis (Fp. 5. J Junii 6. daris, quod, quamris, ex iisdem
quibus (in Arich. Intin.) utor principiis, de Craritatis Centro cum in Parabolis
omnisenis, cum in aliis tiguris quamplurimis sire planis sire Colidis facile esser Ia-
tuere; tocam tamen illam de Graritacis Cenero lpeculationem contulto omilerim,
ne in digrectionibus nimius essem. Ad haec reponit Vir Nobilistimus; haud illud
sibi perlualum iri; adeoque optasse se (quali ego illud Speciacim dixerim) me cen-
era graricatis in Fyperbolis intinitis dererminalle; ca sque quae habent disterminalte
ab iis quae non habent: Caltem ut generalem propositionem, utur citra demonstra-
cionem, transmitram vecit. Ouodni secerim, innuit, exiltimaturum se rem eam
mihiminime cognitam else (quod tamen esse, me putat inlinualle;) nec prius se
milturum Cuas quas pridem pollicicus crat speculationes (Forte ne exinde dilean
quod nescirerim prius,) quam hoc praestitero.
Fgeiam itaque quod perir Vir Nobilissimus; tum ne malae Adei merico videar
intimulari, cum uc videat, miranda quae putarerit, sibique Forlan loli peculiaria,
etiam noltra poreltaris clc. Sed ec ulera quam petit, adjungam etiam cum inrelti-
sandi mechodum cum demonstrationem more meo; ut videat quam directa me
chodo ex ea quam trado indasandi arte emersane. Neque enim ego inventorum
; nec xore teram li discat
inde Vir Doctistimus quod torte non adrerterit peius. Sed de libi acthue liberum
sciat (neque cso illum promilti, si poeniteat, poltulabo) num relit necne syr
quas innuit speculationes de demonstrandi modos impertire.
Hyperbolas suas Intinitas, non alias esse a Figuris juxta series quas Reciprocgs
appello conslatis, (et quarum quactraturam ostenderam PrOP. 102, 103, 1047 105.
Auch. Intin.) jam antehac oltendi, ec tacetur ipse.
FCto itaque ad rectam A a s intinitam, istiulmodi tigura utrinque posita, acque
ita quidem aptata uc haec illi congruat, puta AsBD ipsi A s bd. Fisura ex
utrisque contlata est ca quam appellat Fer-
matius Fyperbolam insinitam, et cujus cen-
irum Graricatis postulat.
Cum igitur rectae, ipsi A s parallelae (eum
intra cum supra) Sic leries reciproca, adeoque
indicem hrabeat negatirum, pura -p: Cum-
que item dimidia line inteoris proportionalia,
adeoque ipsarum puncta media, (hoc est, recta.
rum centra graritatis,) intellisenda lint ex
libra As sulpendi in diltantiis a puncto A
onod librae centrum jam Cupponitur) qua sint ipsis magnicudinibus proxorciona
les: Singularum momenta, quorum racio ex racionibus cum magnitudinum cum
distantiarum componitur, series erit indicem habens = 2 p. Prit itaque cum A.
sura tota, ad inseripcum parallelogrammum DB; uE F, 2d - p f F: cum omnia
Ellins momenta, ad omnia hujus, (in HOC SIE;) uE L, ad = 2 p L F. Centrum
aurem gravicatis parallelogrammi, est iptius punctum medium, (un nocum est;)
adeoque parallelogrammum DB, suspendi incellisendum est ex puncto M, medio
inter A A; cujus itaque diltancia ab A, cst AM = = A∞. Cum icaque torius F.
pura pondus in suo liru, sic ad pondus parallelogrammi in (uo, uC L, adt F = 2p:
si sumatur, in altero librae brachio, recta A P quae sit ad AMI, Wt F adt F = 2P.
parallelosrammum illud ex puncto P suspentum xquiponderabit cori figurae lus
Den (X u5 Prius. Cum itaque magnitudo tigurx torius ad magnitudinem parallelo-
Grammi, sic Ut F ad Y = p: Si tiac, ut L ad F = p, siC A P (ex una Parte) ad AC
(ex altera parte;) erit (proprer distantias magnicudinibus reciproce proxoriio.
nales) C centrum graritatis expolieae figurae intinirae, Si quod sC.
Porro, gnoniam in opcrationis procestu sumendum crat, ut X ad + = 2D. GC
AP ad AM; maniteltum est, uc habeatur punctum P, quancicarem 2p minorem este
debere

## Folio 784 — 851708439:0808
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000808.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 79 lines, status machine
O D st L L C L Ut M
erat imperatum.
dandum sic me jam epistolam non rolumen sexibere.
minus quam nihil, et proxterea punteluum P’nulquam erie, adeoque nec punctum C.
Invenimus itaque, in Fermatus hyperbolis intinicis, quorquor habene, cencrum
graritaris; ea (que quae habene ab iis quae non habene disterminarimus. Ouod
Plura addicurus eram de pravicaris cencro tum in his cum in aliis icem figuris,
variis modis constitmris: nili quod tum hOC UnUM DCTCTet FermatiUS, EUM FCCOr-
Cum vero tactenus illi obsecurus sim; ab illo vicistim rogo, ue id iptum ille
in luis hyperbolis hisce praestet, ubi dux ucrinque currae non sint ejusdem generis
hyperbolae; acque id univerlaliter. Lexempli gracia.
Si (ad mencem Fermatii) in tigura intinica ASBD,
inscribantur parallelogramma A C quorlibet; de in
tigura Asb a quodibet parallelogramma Ag; (IC-
que, illic, factum ex Cubo PG in rectam GHI
aquale tacto ex cubo BD in rectam BF; Hic verO,
factum ex lurdesolido fe in quadratum sh aequale
tacto ex Curdelolido ab in quadracum be. OUX-
ritur cocius tigura centrum graricacis Ei quod ha-
beac; de decerminare universalicer quales ex his ha-
beanc e quales non. Sin lareatur illud SC Praeltare
non posse, cgo me id tacturum spondeo. lFide
Appendicem bujus Lpistolae. )
Tandem, post reliqua, allacae mihi Tune seortum
ejuldem Fermacii in Rrichmecieam meam Intinito-
rum, AnimadrersiOnes quaLIOT. (Fp. X3. ) Sed quae curo pollem praecerire, nis
Fortan se sic neglectum pucaret Vir Mlustris. L’acile mihi persuadeo, qua illic ha-
bentur praepropere seripra esse de Festinancer, (de quae tortan iple, Si libri reliquum
achuc leserie, indicta malet:) adeo parum lapiune canei VIi acummen, funuE
aveoctorvou omnia.
F. Obis in Existola quae Arichmeriex Intinicorum praetixicur, historiam inqui-
Tirionis mex expono, et speciarim quomodo Cavallerii Mechodum Indirisibilium
ad praesens nesocium applicarerim; Nempe Licur, Racio circulorum omnium ex
quibus (ad mentem Cavaslerii) componitur Conocides Parabolicum, ad tocidem
in Crlindro, est racio iplius Conocidis ad Cylindrum; et racio quam habene omnes
eorundem diametri ad omnes horum, est ratio Parabolae ad Parallelogrammum;
(quarum urraque noca ct:) item, racio omnium circulorum in Cono ad omnes
in Cylindro elt ratio Coni ad Cylindeum; ee ratio quam habene eorum omnium
diamerri ad diametros horum est racio Prianguli ad Parallelosrammum; (quarum
item ueraque nota elt:) Ica, racio Circulorum omnium in Sphaera ad Omnes III
Cytindro elt rario Sphaera ad Cytindeum; de racio quam habene eorum omnium
diametri, ad diametros horum elt racio Circuli ad Parallelogrammum; (Ouod
nec ipse difficetur Fermatius:) harum vero cum prior jamdudum cognita tuerit
Polterior incornica, id mihi me propoluisse dixi inquirendum, num qua posten
arte, ex ea cornica, hanc, incogniiam hactenus, invelligare. Regerie Fermatius.
Ac cognosei hoc non porest, nili cognita circuli quadracura. Reetissime quidem:
nam lioc iplum ell, Circulum quadrare. L libi hoc mihi propolui ingutiendum
propeliebam inguirendam circuli quadracuta. Ouod de enreis ibidem dictum clt.
2. Cum dixerim, quaetusse me, in lerie nuntet Tum 1, 6, 30, 240, 630, dc. (Cu-
jus seriei creationem indicareram) quis suceltus eltel incerponendus cerminus inter
2,C6. Responder ille, Medium Geometrice proporcionalem rem non prallare,
ul qui reliquos progrellionis terminos non respietal. L.L recte quidem: quipre le
Ties expolita non elt series Geometrice proporcionalium, duce CemInuS me
dius qualicus non debet esse medius Gcometrice proportionals. Dia aurem hinc
interq, medium nultum convenire, quia mectus Seomecrice proportionalis non
convenic; nulla est vel umtra contequencia: Hec itasIs seciticur quam si idem
dixiller de serie 1, 6, 2Y, 26, dec. ubi nemo neleie inter r et 6, interponendum
elle medium 3i; non quldet lc mecium Cieomerrice proporcionalem, icdl u me
dium
debere quam x, (adeoque p minorem quam L) secus enim F - 2 p, vel nihil erie vel
DO
11I
de
Vu
prdi
im
olle
mo
l
ea
auIe
ect
eita
Deo
Opu
MIm
lem
etar
lec

## Folio 785 — 851708439:0809
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000809.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
IS T OL IC U M.
dium seriei conoruum, nempe (propter seriei naturam) medium Arichmerice pro
Portionalem. Similiter, in leTIE MUMCTOTuM 1, 6, T5, ecC. (qui sunc numeri Frian-
Sulares) siguis inter I et 6, e0 quod nec medius Arichmetieus (puTa 3Z) nec
etiam Cicometricus (V 6) conreniret, medium isitur seriei congruum nullum este
altirmaverit: na illum hallucinari certum elt, quippe terminus intermedius seriet
congruus est 3, numerus item Friangularis, Fieur et inter 6, et 15, interponendus
eAt 10. Ft quidem li etiam achuc quaeratur in Cerie 1, 3, 6, 10, 15, ec. quis con-
veniret cerminus intermedius inter 2 es 3, terminum illum elle 28 oltendimus
PrOD. 175. Sed e de hujusmodi serierum incerpolatione, cum per tocum librum
illum trequencistimus sic Termo, (uc quod maximum elt corius iltius libri nego-
tium,) praetertim d Schol. prop. 265. ad tinem ulque libri; impossibile esset, A
librum perleserie et vel medioeriter pensitarerit, ut de medio Geometrice propor-
tionali me loquucum esse exiltimalet. Fc quidem eandem iplam seriem F, 6, 30,
240, ec. inter alias incerpolandam suscepimus, atque inter F _ S incerponendum
elle mecium 2B, ostendimus ad prOp. 167. quid aurem innuic cerminus ille, tuse
declaratum elt ad PrOP. FOT.
3. Cum inrestigationem primi Femmaris (prop. F.) ita instimeram ut contor.
mis sit sccucuris aliis similibus lemmacum incricaciorum indasationibus PrOP. LO,
39, 43, ecc. insticuendis, eisque Facem praeterret: Ille longa disquisicione osten-
dic propolitionem illam se aliier polle demonstrare. Quod quidem cgo nullus un-
quam dubitarem. Eequis enim est vel de trivio Arithmeticus, nedum Vir tantuS;
qui nesciat summam progrectionis Arichmeriea colligere aut etiam, collixendi
methodum demonstrare. Pc quidem li me illud neserisse putarerie (quod haud
existimo) videat licet Prop. 2. Con. Sect. _ Prop. 45. Cap. 27. noltrx Matheseos
Oniversalis. Sed e incerim monendus est acurissimus Vir, eo loci me non de
quaelita in
veltisanda, si jam ellet isnoca; uc exemplo hujus inrestieationis in re facili, hyis
Timiles deinceps in re difticiliori tacilitarem. Adeoque, si apposire loqui voluisset,
ostendisset hanc non lesitimam esse in rem ignotam inquirendi methodum: Ouod
tamen non facit. Patetur enim ucilem eam este in rebus occultis inguirendis,
modo caure acttribitam. Cum itaque circuli quadraturam, quam inter exetera ve.
nabar, rem satis occultam ele non negaturum credam; neque etiam ne tam in
caure uspiam eam adtribuisse methodum ut inde laptus fuerim, insinvet; non vi
deo quo nomine hanc meam inquirendi methodum merito culpandam censeat. Si
autem rellet ut rem lesicime inventam, demonstrationibus adhuc apasosicis 
Posteriori contirmarem: cur id non secerim abunde dictum est, cum ad prop. 2. Con-
Sect. cum ad prop. 43. Arich. Lusm. rum alibi. Ouippe illud opus esse non du-
cebam; uci necdum opus esse exictimo.
4. Denique, cum ad prop. 2. innuit limitationem indebite annexam este; Omnino
errat Vir Clarissimus a mente mea, nec mea verba Patis adrertit. Ouippe c80
provolirionem illam universalirer astirmabam, es universalirer etiam (quantum
Opus exat) me demonseraste exiltimo; (emersit urique ex inguisitione praeceden-
EC:) Nempe universaliter verum elt de universalirer altirmatum, seriem Arithime.
rice proxortionalium ab 0 inchoatam (quippe quae semper eric uty O, F, 2, 3, ec.)
quicunque tuerit cerminus secundus, ad leriem coridem maximo aequalium elle ut
7dd2. Quod sine ulla limitatione rerum elt. Sed es addideram, explicationis
causa vel, li libet, inctar corollarii; Si terminorum numerus ponatur an d ter-
minus ultimus, (quicunque fuerit secundus) erit omnium Cumma = al, hoc esF
semillis numeri terminorum (Z a) in (2) terminum ultimum ductus. Acque hOC
etiam line ulla limicarione attirmatum est. Sed ec addebam pOrro, Si item terInUS
secundus Sic F, (non autem secus,) terminorum numerus eric J F 5, hoc est, uni-
tate major quam est cerminus ulcimus; adeoque  =B eric omnium summa, quip.
De hoc catu L= cancundem erit acque : a semistis numeri cerminorum, qui ila
que in Pterminum ulcimum ductus extribebit omnium summam. Atque hic qui-
dem (quod Tolum ego limitate enunciaveram) limitatione opus esse haud perne-
sabic Vic doctisimus. Ouanquam enim verum sic, progrestionis (verbi Gracia)
∞, F, 2, 3, 4 (cujus secundus terminus est L) numerum terminorum esse l F 1,
hOc
88

## Folio 786 — 851708439:0810
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000810.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
Ci O M M E R C.F Ut M
hoc est 4 f P, sire s, in alia tamen cnjus terminus secundus non sic L, puta
0, 27 4, 6, 8, numerus cerminorum non elt I F E, hoc clt 8 f 1, (ed 5  25. hoc
clt 5. Neque alium omnino sensum ferre poltune mea verta, neo nili collo admo-
dum obcorio alio decorqueri. Siquidem pollquam univertaliter altirmaveram,
Seriem Drithmerice proportionalium continue crescentem ab o inchoutam, esse ad
seriem tocidem maximo aequatium, ut 2 ad 2: Subjunxi procinus ipsillima haec
verba, Nempe, si primus terminus sit o, secundus L (nam si secus, moderatio
adbibenda erie)  alimus l; erit summa  = L: Ceric enim, eo casu, nume-
rus terminorum l. L T;) Vet (posico numero terminorum 2. quantuscunque sit ter-
minus secundus) 3aI. Ouxe adeo perspieue dicta lunc, ue mirum lic quemquam,
modo latis advertat, perperam incellexisse posse. Festinationi icaque dandum cst,
quod Vir Mustris, alioqui lacis acurus, de rerum lagrr, non luiis allicuus etl
mencem meam.
Acque haec sunt quae ad animadvertiones hasce dicenda pucaverim; ne lalem
eas contempeni habuille videar: Si enim exinde ocii quid nactus lic Termatius
eadem secundo inspiciendi, et paulo accuracius pensicandi, non dubito quin sum
ipse sibi pridem laristecerit.
Ouoniam vero lubitum Fuerie Nlobilistimo Viro in arenam provocare (quod in
liveris suis videre cst) non unum auc alcerum de GrezC Machemacieum, led TOta
cum netiam, cum Beleiam, Galliamque excepta LVarbonen si reliquam; NOn aGEC
teret, credo, si ee Paria repencamus; neque id in re lericula, Scd quim nemo non
agnoscet cum dignum rindice nodum, cum si Tolveric operae pretium. Non illam
quaectionem intelliso quam ad iplius primam reponebam, tanquam ictius Cihilem:
Elanc enim non eam elle existimo, uc anxia disquisirione digna rideatur; Neque
etiam illam de Coni Frusto; quam (uri cune indicarimus) non ve propositionem
difticilem, sed uc elegancem proxonebam: Sed neque eam modo memoratam in
iplius epistola, Nempe, exposita serie numerOrum 1, 6, 30, 240, 630, _c. termi-
num inter e e s incermedium seriei conoruum invenire; Ouamris erum luerit hoc
problema Caris arduum quum primum proponeretur, quodque Vir Nobilissimus
eriam actiuc existimae intolubile; cum tamen id in libris educis d nobis jam solu-
cum sic, non elt uc idem denuo exponamus solvendum. Sed alieram volo huie
contimilem; nempe expolica serie numerorum 1, 8336, 188, 3163 2772, c. termi-
num inter L d 3 intermedium, seriei conoruum, invenire. Ac nolim incerim existi-
mec me mecium quaerere Geomerice provortionalem, (quod videtur pridem cen
luisse) vel etiam Arichmecice proporcionalem; (quali pucem 25 auc V3, canca l0
licitudine quaerendum,) Sed medium qui sic natura Periei congruuS, coramque le-
riem respiciar. Sed neque sutticiet dixiste medium Geometrec proporcionalem,
vel etiam Arichmetice proportionalem, seriei conpruum non elle: non enim qua
ritur quis non su congruus, sed quis fiC.
Ne vero ludierum quid libi senciac proposicum, auc rem nihili: Si quasieum ille
lexicime Colverie, spondemus ei vicistim (epoecior Paris amplum) Fuverbolae qua-
dracuram: Sin illud haud praestiterie Varbonensis Caltia, praesticum illud aliquan-
do exhribebit (Favence Deo) Melia.
Verum jamdiu est quod D. V. tuierim moleltus, tantaque ua elemencia auda-
cior factus in Vrbanitaris leges peccarerim; idque consque, uc ne veniam quidem
admissi possim, sine nora cuspa, exorare. Id lalrem spei Luperelt, ue, pro insigne
vestra humanitate, quiequid elt admisti criminis eam beniena lis incerpretatione
adjuturus, ne meliori apud se quam ceipso vel mei rel genus nostrae adrocalo di-
cam, an parrono, haud lacite lim uturus. Oua spe srecus, eciamnum audeo, la
vore mo nixus, me proticeri
enstenssice dinciteu
Dosequenissimum T ibi, T uique
obser vantissimum
n
OXoniX Nov. 21.
2657.
le
10
di
Ila
lut
BIII
DOi
MuIC
lun
ce
l

## Folio 787 — 851708439:0811
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000811.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
l P15LOLCU M.
Quae de centro eravitatis superius imnuimus tanquam in P. pistola proxime
praecedente omissa, vel immutata, placuit hie subjunsere; ut res ea
tota Lectori plenius exhibeatur.
OM exigit a me Fermarius, ut in Eyperbolis Cuis Infinitis, quorquoi ha-
Lbent, cenerum graritatis extribeam; calque quae habent, ab iis quae non ha-
benc disterminem; lalcem ut generalem propolicionem, ucut citra demonstratio.
nem, cranmitram: Faciam quod pecie Vir Nobilissimus. Ec quidem, ultra quam
Poltulatu Demonstrationem adjunsam, ut rideat quam directa methodo, ex ca
quam erado indasandi arte, emersat.
Propositio haec est.
EY ad axEM AD, cujus vertX A, adjaceat (utrinque) Figura sive plana sire
Tolida, cujus ordinarim inseripex, sire rectae, sire luperticies plana similes, SInE
juxta seriem sire aqualium, sire primanorum, sccundanorum, certianorum, ec.
Eire sublecundanorum, Tubtertianorum, ecc. lire aliam quamlibet ex his ureun.
que compolitam, sive denique harum cuiliber reciprocam, (inter quas iplius Tunt
quas innuit Erperbolae Infinicae,) consticurae: li AXis A D ita in puncto C divida-
EuT, ut TII, SiCut L ad seriei iltius indicem unitate auctum, ita CD ad C A: Fxit C
Cenerum sraricatis ilcius fiourae. Ouaeque ita constitua Tune ut AXiS AD ita
diridi pollic, centrum graricatis habent; quae secus, non habent. Sic autem con.
TLitEx SunE, E Ceriei index major sic quam = L: sn secuS, nOn FUNE.
Sequitur Demonstratio.
BOnamus urique primo Verricis punctum A, in cenro Libra; LGuC AXIS AV
juxra librx Pongitudinem applicatus. Sirque seriei juxta quam procedunt or-
dinatim applicacae (lire rectae lire plana) Index p; qua propierea ad corresponden-
tem seriem aequalium erit, uc x, ad p. + F. Iplarum aurem distantias d rertice, adeo-
que a Cenero libra, diametris interceptis proxortionales esse (seu pocius caldem)
per se paretu adeoque seriem esse primanorum cujus index I. Cum itaque momen-
eorum ad inricem racio componatur ex rationibus cum magnitudinum, tum d cen-
ero librae distantiarum; Momentorum feries (quippe ex duabus illis composita) in-
dicem habebic p F X, (ex componencium serierum indicibus aggregatum.) Frit
itaque momentorum omnium aggresatum (hoc elt, Dondus rorius tisura (IC ap.
Dena) ad cocidem ultimo aequalia (hoc elt, ad tiguram correspondentem ex ae
qualibus conslatam, ex puncto D appentam) ut L ad p F 2. Si itaque in altero li
hrae brachio sumatur AP, quae licad AD, ut F, ad p f 2; aeque ex puncto P
suspendatur correspondens ea fi.
sura ex aequalibus contlata; aqui
ponderabic ea expolicae figurae pri-
micus appensa; erirque, duorum
simul sic axvensorum ponderum,
centrum sraricaris punctum A. A-
deoque tublaco aliero ex puncto
P appenso, Cumproque uc x ad
2d p F LEC A P adt AC, (hoc ctt,
ue magnicudo ad magnicudinem
sc reciproce distantia ad distan.
tiam,) erir Ccentrum gravicaris ponderis reliqui. Est aute AP=,
ErgOA C (=  RL)
L+
nus quam  L +, (DUTa = 2, - 3, c.) Erit p. Y F (puta- F f 2, 2 + r
3 + r
c.) vel o, vel minus quam o, adeoque ad s nullam habebit rationem. Inde pa-
cet determinatio.
A D.
aD, degue CD= p AD; A prOpterCa.
AC. CD:: P. F F. T. GuOI CLAL CLMAMILIANaLM. St ale D HC Vet =L, Vel MII.
Dicet

## Folio 788 — 851708439:0812
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000812.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 76 lines, status machine
O N N P R C L V M
enim ponit ille suas utrinque a diametro cerminata A D in intinicum concinuataS;
Speculationem, quam illam alteram; e, ni fallor novam: neleio enim an vel iple
queratur, hoc libi uccunque non laustacere, eo quod ille cencrum graricaris in alio
directae cujus index lic, verbi gracia, p, adeoque serier reciproca index-p; Cum.
que irem dimidia sinc inceoris provorcionalia; erunc iplarum semisses ejulmodiicem
leries eundem habens indicem = p: adeoque iplarum puncta media, hoc eAt re-
ctarum cenira graricacis, incellisenda TUINE Cx
libra as suspendi in diltanciis d Cenrro libea
A, quae linc iplis masnicudinibus proporcio.
nales. LE propterea, cum lingularum mo-
menca sinc in racione ex racionibus cum magni-
tudinum cum diltanciarum d librae Centro cOm
Potica, erunc ipsa momenca in duplicara rario.
ne magnicudinum; adeoque series reciproca
cujus index est = 2 p. Pric icaque cum tigura
coca ad inseripeum parallelOBrAMMUM; UC L,
ad =p + E: cum omnia illius menta, ad omnia hujus (in hOC CiM) ut L, ad
=2 p=+ X. FIL aUTeM (UE HOTIIIFCIL) ParaHlelOOTAMI CeNErUM praVILaTIS, IpLI
us punctum medium; adeoque inselipcum parallelogrammum luspendi incelligen-
dum erir ex puncto incer A et a medio; Duta M: ejusque d cenero libra distancia
est AM = = A A. Cum itaque corius tigura pondus in luo licu, Cic ad pondus in-
Teripei parallelogrammi in Tuo, uc Fad - 2 p  F; Si Tumatur, in alcero libea bra.
chio ultra Centru A, recta AP, qua SIC ad AMI, uL L ad - 2p = Z; Parallelo-
srammum ex puncto P Suspentum aequiponderabit exposiex ligura luspenta ucpri-
uS. Fs aurem magnicudo Agurx expolica, ad Parallelogrammi magnicudinem, ut
E ad - p f T. SI ITagUe SLMAEIK VE F, ad - p F X, SIC A P CX UnA PaTLC, ad AC
ex altera parte; (nempe dillanciae magnicudinibus reciproce proporcionales;) erit
C expolica tigurae cencrum graricaris. Pst autem AP = - ,  AM; adeoqi
AC -
A M. HOC CA, ut X - 2 p adt L = p, siC A M, ad AC.
Oporcet aurem L plus etté quam 2 p (adleoque p minus chte quam ;) secus enim
7 = 2 p nihil exie vel etiam minus quam o. DiCo iIaque
Proposicio Mera.
CL ac Arem AS intinim, cusao vercex A, urinque adjaceat tigura plana, cujus
 ad axem conjusacum D A d (utrinque terminatum de aegualuer a puncto A
medio porrectum) ordlinacim applicaca sint juxca seriem aliquam Rcciprocam (2
deoque indicem habentem nesACIruM) consticuX, (quales linc quas appellaL L ex
marius LTyporbolas Insinitas: ) Acque Tumacur, ue reciproca ictius serier index du-
plicacus unitare auctus, ad eundem indicem unitace icem auctum, sic A N (diltan-
eia vercieis, mediique puncti parallelogrammi inseripri,) ad A C (versus casdem
Partes in axC AS jacencem;) erit C exposiiae Figura (liquod Sic,) cencrum Bravi
ratis. Clabibu allem ea Cnl Blabicacis; Si feriei index major sic quam - 3; (I
hyperbora D; , o C PoncrenAM du lCclam A S, (VE nEMDC PrO-
deac tisura s pelbolica intinica acura uchie,) led lerinque ad rectam DB; (coin-
cidencibus rectis DB, dB,) uc tisura prodeac excavata. Rodem, enim modo quo
hric quaericur punctum C in recta As, quaerendum cum eller in recta DB, Calcem
producta.
Sed ucrinque ad intinitam diametrum Ad. L cencrum graricacis hoc sicu quarit.
Falemur quidem hoc verum elle. Sedteemas, nec minus curiolam hanc este
Fermatius vel quispiam alius id ancehac luscepette, Hecu allecucus FIC. Ne autem
sieu poltulet; non grarabimur ellam ex ea parre sibi Pacistacere.
Dicet Fortaltis; Hhoc pacto inveniri quidem centrum Gravicaris in iildem Rguris
(incer alias) quas ille yperbolas Insinitas vocar, sed non in eodem Licu. Non
Cum recta a as parallelae (cum intra, cum supra,) linc series reciproca seriei
lecus, hon habebul.
Nocandum aurem est, eodem plane modo omnia luccedere etiatmla duX LCt.
Sed de eadem omnia codent odo succederene in tieura ex duabus lemiparabolis,
Tive
nun
bui
eon
11
etat
avit
IICN
inti
Dec
li
dc
guna
nee
allace
cien
ade
dive

## Folio 789 — 851708439:0813
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000813.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
I, P YS Y OL I C V M.
sire semivarabolocidibus, similibus, de similicer potitis; sire ad AS tangentem in
communi vercice, sive ad DB balem communem. Lempe exit uc2 p. f F, ad p + 1:
SC ANT, ad AC; (vet DM, ad DC. )
Satis itaque superque Factum est Fermatii postulatis.
Facile autem esset ex iisdem principiis, non in Parabolis cantum aut Paraboloci.
dibus, incesris, sed e in semiparabolis, auc semiparabolocidibus centrum prarici.
eis decerminare; imo et in semisse istiulmodi figurarum quas LEyperbolas Infinitas
appellat Fermatius, (quod an ipse unquam cositarerie nescio;) puta quae rectis
AD, D B, terminatis, As intinica, ec una curra continentur. Inrento quippe
puncto C, cum in recta AD, cum in recta Ad; ubi recta hinc ducta, rectis AD
Asparallelae, se mucuo secane, habetur cenerum graricaris iltius figurae. Unde
etiam Facile colligetur, si opus est, centrum Giraritaris in figura ex hujusmodi se-
miparabolis, sire Semihyperbolis infinitis dissimilibus conslata.
Ouxque modo de ejulinodi FIyperbolis planis ostensa lunr, postunt cadem arte
2d tiguras Colidas (muratis mucandis) accommodari, quae constant ex applicacis
planis similibus paralletis ad rectas sive AD, Sive AS, Parallelas. Sed recordandum
elt, me nunc Lpistolam, non tractatum incesrum conseribere.
EPISTOL A XVTI.
D. Soh. Wallis ad D. Picccomitem Brouncher.
Mustrissime Domine;
Voniam cu illud voltulas (neque par est ue imperiis illiusmodi tuis non ob.
temperem) compingam quam pollim breviser mechodum quam in venandis
numeris, ad Problema Fermatianum solvendum requiticis, uterque hactenus adtii-
buimus: una cum ejusdem fundamento; rariisque (ubi opus exit) operationum
compendiis, siquando res alioqui in lonsum sic abitura.
Poltulat problema, ut dato quovis numero non- quadrato, (putan,) reperiatur
numerus quadratus (puta a) qui in darum numerum ductus, adscita unitate, fa
ciat quadratum, (puta _ a = F, = 12.) Sed e, ut istiusmodi quadrati d exhibe-
antur infiniti, quicun que proponatur non quadratus n.
Poltquam autem hocolim problema, (quia de numeris Integris nulla Facta Fuie
mencio,) ita Tolveramus ut omnes polsibiles cum inceoros cum tractos extibere.
mus: Se tandem exponit D. Fermatius le solos inteeros velle; adeoque petere ut
intiniti quadrasi inteeri rem praestantes extribeantur. Adeoque problema primitus
propolicum, in alium plane ltacum immutat alius plane natura. ScuE Sic, sequen-
dum duxi, ec rem innumeris integris aggrediendam. Quod ec tactum est
Exordium Tumendum existimabam ab univerali Canone pridem extibico. Nem-
Der si numerus dacus quilibet (quadracus vel non quadracus, integer ret tractus)
dicatur N, e quadratus quilibet , cujus ab H differentia dicurur D; erit =
quadratus requisitus. Quem quidem Canonem, jam ancehac demonstrarimus non
modo rerum elle, adeoque intinitos extribere, sed ec ommino omnes poltibiles qua
dratos tum intesros, tum tractos, rem imperatam praeltantes.
Hocpolico; illud solummodo (ob noram incerpoluam decerminationem) ultra
reguirimur, ut =, adeoque et ipsius radix ,, sie numeruS integer. HOC etl,
ut D sicaliguota pars numeri 2 R. Ouories enim hoc contingii; manifestum est.
quacracum, vi iltius Canonis extribitum, este numerum integrum. Et uno iltiut.
modi inceoro habito, alii prorinus intinici, ne dicam omnes, certa methodo sepe.
rieneur. St intra dicetur. Ouoniam vero, quod non distimulandum est
Fieri porelt ut 2 R lic numerus tractus, eriam ubi =  eM integer; ponamus R = 
adeoque O =  , e propterea D = Q un =  n; rancuncem ilaque erit
dividere 2. R per D, dique  per mu  sive (verilque in v duclis) 2 sr per
80063

## Folio 790 — 851708439:0814
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000814.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 74 lines, status machine
O M M E R C I U M
quadracum aliquem ducti, ab alto quoris quadraco, aliquoca pars dupli rectansuli
2sr;) duplum hoc rectangulum, per difterenciam illam diritum, quocientem ex-
DICCS. AC quo pacto unum iltiusmodi quadratum (2 quo principium Faciendum
Tic) reperiemus qui inn ductus, ab alio Glactraco ditterar aliquoca parce dupti ilti.
SuOniam expONITuE n numClUS Mlleper non quadratus, elto quadratus integer
Proxime major c2 =n + b. Adeoylle ducto numero n, in quemris quadracum,
DUta A; CHIEN A = C a = Ba. liven Oa, =9Ca, = BO a. HIOC CH, numerus
dacusn, dultus in Ouadrarum numeria; aequabitur quadrato ejusdem numeri a 10-
cies sumpri quocies indicat c lacus quadrari proxime ma-
joris numero daco, dempro ejusdem a quadraco cories
Cumpeo quoc es indicat B disterentia numeri dati d qua-
draco proxirsse majore. Lxempli gratia, (IL n = 7. 2-
deoque c =- 3 = - V 9. & B = = c = n = 2. Onicunque
Tumatur numerus a, erien a = c a = b a. tive nCa
=9ca, b0a. HIoc cA 7O a =- 3a, = 2a.
Sumpeis itaque, pro a numeris succestivis 2, 2, 3, 4,
ecc. res conspicictur uc in schemace. Ubi C maniteltum
CL) PEOPTEE numerOS a, in primo lOCO, 1, 2, 3, 4, _c.
Arichmerce proporcionales; crune, e numeri c’a in le.
cundo loco3,6,0, T2, ec. Arichmetice item proportio.
nales, quorum nempe concinuus excellis ett c =3; d de
nique in cerrio loco numeri b a; 2, 8, 18, 32, _c. (nume-
rorum quadracorum concinue sequencium aque mulcipsi)
differentias habebune Rrichmerice proportionales, (quorum
continuus exceltus est 2B.) Cum enim quadraci concinue
proximi, hanc ex concinua addicione numerorum imparium
L. F 3 Y 5 F Z _c. (uenocum est;) adeoque iplorum ditterentix concinue cre.
Teane numero binario: corundem aeque mulcipli ditteren-
cias habebune continue crescentes per aeguemulciplum nu-
meri binarii. VE patCE Acque ex hoc Fundamento de
Pendent omnes qua sequuntur analogix Arichmetice pro-
porcionaluum ul hon opus su illud idenuidem sapius in
St vero b licunitare major, manisestum est D a ellé majorem unicate; d, trustra
Taltem alius qui numerum illum, ue polt docebitur, extribebit.
In columnam autem sC.
quencem cranlibieur, Cum
primum in peaesence co-
lumnas desectas vel aquat
vel superac duplum radi
dicis adjacencis quactraci:
Tunc enim sumpta radice
proxime minore, defectus
minuenidis eric ueriusque
radicis aggregaco. O in
Q29, = 18. adjacence exemplo pro nu-
mero dato 7; TCDCTIEUE OF-
defectus
hibebit numerum inceorum, qui ractiX exie quadraci qua sici.
us Rectanguli Exponam illud itaque more HICO.
nr a5. Si itaque quocunque modo reperiatur disterencia, numeri n expotiti in
ub duorum illorum quadratorum radicibus ( puca n r i S alIGuOTA parS MUIMCTI
n a. = Dca - b a
74. = (12, = 32.
c
723. =
725. = 15, - 50
5
16 = 2
56.
db = 2
sequencibus repetere.
ficorum unum; quiDpe cum n a = c a - b a = c - 2. Quod concingir in nu-
MMerIS 3, 8, L5, _CC. qui A QUadTATO UNITaTC ACHCIMME.
quaeri ist ila columna delectus numerum L. (Hlaberi cameu ibidem quandoque po.
rest nunterus qui hunc extribeat, uc polt dicecur.
Procedendum icaque erit in columnam secundam, de deinceps in terciam, quartam
_c. ut res poltulabie; donec tandem reperiacur in aliqua coluMNa HUMCTUS L; ret
EtiS posicis, Si B = =, manitestum est numerum a = r, este quadratorum quae
18
25,- 50. =
L. -
dine certio 7 93. =99, - 18. Cum itaque x8 sic duplus radieis adjacentis 9,
proC9, = +8, substimo in columna sequente 18, - L. Obi Marim conspicitur

## Folio 791 — 851708439:0815
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000815.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
F, P ES F O L LC U M.
defectus F, quaelitus: adeoque numeri3 quacratus, est quactratorum quaelicorum
tinuS; quipue 7 23, = 7x9 = 63 = 8, - 2. Conrinuara vero cadem columna,
reperietur ordine (exto 227, = 37. Pro quo in sequence columna substiuo
276; - 4. (Ouia nempe 77, = 16. = 27 + 16 = 33 == 37 - 4. V c SC lem-
Per. Duorum enim quadracorum concinue proximorum disserentia elt utriusque
radicis aggregatum.). Obi conlpicitr 76. (= 252.) =-16, i 4. Ouia vero
defectus 4, eli aliquota pars radicis adjacentis 16, maniteltum est cundem + d For-
ciori esse aliquoram parrem duplirectanguli sub radicibus 6, e 16. Numero icaque
2X6X26 = T92, Per 4 dirilo, quoriens 48 radix est alius ex qualiris quadratis.
Nempe 748 ==7X2304 =- 16728 =-9727, = 1. Tlabecur itaque jam alius
Cx qua ILIS.
Sed es jam Cacim ab inicio, in columna prima; cum habeacur 70 2=66, - 8.
manifestum est, aefectum 8, meciri duplum rectangulum Tub 2 d 6. quippe
2X 2X6 = 24. 8) 24 (3. nempe radix quadrari luperius inventi. Sed d e
rum in eadem columna prima ordine quarto, habetur 7O4, = O12, = 32.
_ quia 2X4 X F2 (= 96) dirisus per 32, quocienrem extibet 3, habetur jam ter.
cia vice ejuldem quadrari superius invenciradix. Ouod et in eadem columna sub-
inde (aepius continget; ut adverreni patebit. Nempe locis paribus, live secundi
musciplis. Imo es jam ipso loco primo, cum habeatur; ditserentia 2, erit ea ali
quota pars dupli rectansuli 2 X ZX 3, quod ver ditterentiam illam 2 divisum, ex
hibebir, uc prius 3, radicem quadrari qualici; quod ee similiter obcinger in linsu-
lis columnae prima locis.
Nocandum autem ele, non modo ditterentias 6, 20, 14, 18, dec. in columna pri
ma; led et 8, T2, 26, 20, ec. in secunda, e 24, 18, 22, 26, ec. in tertia; (et Pa-
riter in sequencibus omnibus) Arichmetice proporcionales esse, (in lingulis uri
que communis excessus Cl 4, idem qui in columna prima:) uc facillimo nesorio
continuari possit columna quaelibet, (sine opcrola radicum cductione.) Sed ee dit-
ferentia icem oblique Tumprae, ut 10, S, ec F4, 22, e 18, 26, 24, ec. Func Arich.
metice proportionales, communis urique difterentia elt numerus 2: (quod _ mu-
caris murandis, conspicietur; quicunque fuerit numerus n expolicus:) uc facili
item nesocio hac de columna in columnam cransituS. Atque cildem de CausIS, fa-
cile erir quemris numerum in quaris columna (etiam omissis intermediis) ad ar-
birrium exhibere, adeoque operationes, uti expedire ridebitur per Caltus conti-
nuare: Juod cum nacuram progrectionis arichmerica lacis callentibus obri
um Cc, non opus est ut illud Fulius oltendam.
Ouod aurem hactenus oltendi, Tumpro quadrato c majore quam est MImerus n
expolicus: Id iplum etiam eveniet Cumpro quadraro minore. Non quidem ita ut
extribeatur ipse ltarim numerus quaesitus (uri cum primo repereus est 703-
08, = 2. ) Ced ut habeatur disterencia qua sic aliquoca pars dupsi rectanguli, (ui,
cum, quia 712 ==26, = 8, repertus est numerus 8, aliquota pars dupli rectan
guli 2X 2 x 6. unde habetur quociens 3, radix quaesici quadrati. ). Cum enim illud
tolum requiratur, ue diftereneia n r 2 e se diridat duplum rectangulum 2ns, (non
advercendo, uter duorum nr, s2, Tic numerus major) perinde erse, quancum ad hoc
negocium, num nr unitate excedat quadratum, an unicace deticiat.
Fixempli gratia, FxpOlito numexO n== +Z, reperietur ordine quinto, columna
quinta, seu Dolt Primiam quarta F3 O5. =(28, F T. Cum iraque L disterencia
numerOTUI 23∞5, et  E8, diridac duplum rectangulum 2X 5 X X8 = 28O, quo-
nOa. = DC an = b a
13l. =23. 
= 06, + 16. =
+:
C.
10, = 13
39. = +
12
+36. =918, +
tientem item exhibens 280; erit ille quadratorum quaesitorum unius radix. Vri-
que 13X 18OX28O 421200649X649, =L. (Ouod autem hactenus allumpli
o

## Folio 792 — 851708439:0816
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000816.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
Ci OM M P R C I U M
mus proc quadratum vel proxime majorem vel proxime minorem dato numero;
id arbitrarie tactum est, nulla necessitare; nam de de quoris quadrato majore vel
minore perinde procedunt omnia, duod et in sequencibus incelligendum CxIT.)
Acque hactenus lacis expediisse rideamur Problematis parcem primam. Nempe
uc unum aliquem iltinsmodi quadratum extribeamus. Impossibile enim elt, siquis
iltiusmodi omnino sic, ne non hoc pacto vel ucroris modo, vel salcem primo,
detesatur.
Ouoniam vero lonsum este postit nonnunguam opus eo perrenire nisi com-
Pendio ucamur; libet iltiulmodi compendia, ex mulcis pauca, ad lerandum caleu-
Tum, infinuare.
Onum aucem, idque eximium, jam indicarimus, nempe si difterencia n2 1 s
diridat duplum rectangulum 2rs. Quod quidem semper concinsir quando ditte.
rencia illa elt vel F vel 2, nempe (i nr vel superet vel deticiat a quadraro quo-
vis s, per numerum vel T, vel 2. Nam uC L mecieur quemris numerum, C
 2 quemris parem, adeoque 2r 5. Sed e alias laDC.
Alterum hoc esto. Ononiam ni conspiciatur B a = x, in prima columna (ut
res Ctacim ab(olracur,) ut habeatur defectus r, cranteundum eric in columnas le-
quences, unam vel plures, nei dictum elt; Ouoca vero columna hoc concingat I
conster, constabit ltacim de ractice quadraci quaetici. Cum eniim, in prima co-
lumna, radix altumpei guadrari sC Ca, in secunda ca L, in cexEIa Ca - 2, _C.
uc patet (nempe in priori torma proceltus, ubi (uIIuE C quadracus proxime ma-
jor quam n: de Forma polteriore Dolt diCecur.) Manitectum est radicem quactrari
in quaris columna coc unicacibus minorem else quam est radix quadraci in columna
prima, quoc illa locis à prima distat: quae diltantia sive ditterentia dicatur d, 2d-
eoque radix quadrati in qualibet columna ca-4. Cujus quadracm c4- 2644  d
CUm gNadTaLS C a exCCdaL MMCTO 2Cda = 42 eodem minuendus erit adjunetus
detectus B a (ut nempe verobique disterencia eadem (IC, nempe = n a2.) erie ita-
que Ba - - 2c d a f 42. Vellem aurem ne detectus lic InUEUS SIE F. POneN-
dum isicur B a - 2c d a Y d = F, d (cransponendo) d = + = 2c d a- ba.
Adeoque 7 = - =  a = a. EC (resolvendo aequationem) a =  L V:
e d - b d 4 b cd = Y. 5 d - b d +b  cd L v. nd. +
DCCE C = = n = B, adeoque c -- b = n, d c a 2 -- b d =- n d2) adeoque cognito
u COBNOTCITUT a.
Eis policis. Ve cornoleatur d quaerendum erie, (eodem modo quo prius de a
dictum cst) quis quadracus duetus in numerum ducum, allumpro numero B, ta
ciat quadracum; (ut nempe V: n a2 = b: sic numerus racionalis inceger.) Ouod
quamiris rideatur nihilo tacilius repexiri polle quam quod primum Derebatur; ca-
men hinc magnum fucurum operae compendium, cercum cAt, quia a (numerus
columnarum polt primam) minor semper eric quam a (numerus unicacum in quae
lici quadrari radice) uc per le Pacec: adeoque cicius eo pervenietme ubi habebice
delectus B, quam ubi detectus r. Fxempli gracia. FXpolico MMeTO n = 12, adco.
que 13OF, = 94 = 3. Non ante locum 180 reperiecurr desectus F. (VBI
nempe 13 ∞ 180, =0 648, = +.) adeoque a = 18O. AL reperietr detectuS
b = 3, loco lalcem 7Y (nemBC 13 G 7F, =9 256, = 3) adeoque d =72.
(qui stacim extribebic a = 28O uE priuS.) Unde manitestum elt plus dimidio
operis abscindi.
Si tamen concinsac, quod de quandoque HE UE nuMerUS a Sic primo InVENIIS
non extribeat a numerum incesrum, sed Fractum, adeoque praesenCi RESOTIO NON
accommodum; procedendum erir ad lecundum, vel etiam cercium, aliumre iltiul-
modi a qui extribeac a incesrum. Ouod de in sequencibus incelligendum exic.
Ouodsi neque haec operacionis concractio Patis expedtita rideatur; cum nonnun.
quam eeiam laris carde ad iptum a perreniatur: Feiam haec inquilicio eadem arte
adjuranda erit acque praecedens. Oui enim prius ad inveniendum a, guarebacur,
quota columna reperiendus crat imperacus defectus F; ita jam quaerendum, quota
columna reperietur defectus B. Nempe, cum (prOPICE C = n L b) (II n d = c d
=b42, Ticque Ba2 defectus julto major, (Talcem, nisi sic d = E: quippe jam
quaericur delectus B;) minuendus eric quadracus c~2, uci prius minuimus qua.
dracum

## Folio 793 — 851708439:0817
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000817.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
ad1.
F, P I S Y OL IC V H.
dratum c a nE defectus pariter minutus sic B. Sicue iaque pro quadrati radice
Ca GBIEIENIMUS Ca = d; ita jam DEO Cd LUbSEIEITaINS Cd = C, (UE SiC e nume.
rus columnam innuens qua rexeriatur defectus b.) Pric aurem, quadratorum ex
his radicibus, a. HerEMEIA 20ed = e. Dux pariter ex defectu b a Tublata relin-
quet B a = 2cCd+ = b. Adeoque e- b - 2c e d B d, 8   - 2
d d
FE (retolvendo xequationem) a = ce = Y: 5 0 - b~ + V: cet Y: ne FV:
Exempli gratia. FxpOTIIO, uE prius, n = 23: reperietur ordine vicesimo octavo;
23928, = TOF, = 9. e propterea (quia 9 = b2) eric e = 28; qui extibe.
DIE d = 7F, et a = F80. Adeoque quem laborem prius d 10c0 180, ac lOCuI 7F,
xetraxeram, jam videas ad locum 28 retractum.
Sed e eadem mechodo, etiam adhuc magis retratamus. Ouippe codem modo
oltendetur, liquando res postuler, ulterius achue concrahendum negorium. Nam
vei octendimus E a = V: nd + b:
le
cf = V: nf2 = B:
=a. 8 =V: ne + b
= cn e .6 L V. 18 + V:
= d. sua Mendecur
s.  C = V: n B + B.
8i ee CiC
deincers. OF jam eo redieatur necocium: ut in procestu ne prius inchoato, ob.
Terremus, liquando defectus Occurrat, vel F, vel 2, vel eciam alius quilibet qui
metiatur duplum reclangulum 2r s Tupra memoratum; (nam, ubi hoc occurrii
rem Racim ablolri jam lupra dictum cs;) vel eriam b, ejulre ulla pocectas, puta
32, b, ec. Obi enim occurrie defectus b, habetur d; ubi b, habetur e; 1b1 b3
tahecur f; e lic deinceps. Florum aurem uno cognito, religuos recrocedendo ex-
Tiberi latis patet; nili laltem hoc pacto prodeant numeri tracti;
sic ulterius acthue in incepio exaniine procedendum eric, uc supra monitum est.
texempli gratia. ExpOTItO, ut prius, n = 13. Conspicitur ordine undecimo, (co-
lumna polt primam quarea) 13 Q TF, =  40, - 27. adeoque (quia 27 = b
CTIE TF = F, qui extibebit e =28, adeoque d = 7E, _ a == 280. Ut Supra. Neoli-
simus aurem, in columna prima, tum defectum 3 loco primo, tum defectum 27
loco cercio, cum es, loco octaro, columna post primam cerria, detectum 9: quia
13C l. = C43 = 3
.- 6, = 22
3. =112, 27. =OTI,
=16, 48. = 15,=
21
l33 6T.  22, - 56.
26, - 39.
30,  68. = 729,9.
135 30
37,C
4T, 108. = 840, 27
quoris horum Cumpro, prodiret a numerus fractus; (nempe vel 0, vel 3, vel Fal-
tem a61) adeoque huic negocio non accommodus. Recractum itaque jam est ne-
∞ocium, a Loco 180, ad locum TF. NON aUTEM, In PERsenEI MUIMETO OXPOTILO, vI.
terius retrahetur nesocium, nisi salrem ad columnas his superiores cranseatur. Cum
enim numerus f = TF, uc jam dictum est reperietur ordine undecimo, columna
volt primam quarca: F. Il quidem s = 4 (nempe +3  4, ==  27, = = 8F) verum
in nulla ex his columnis reperiendus, sed ea quae harum prima proxime est supe
rior; quippe 17 =0a = I. (Ouod et à Forriori de lequentibus B, i, etc. judi
candu exit. ) Vel etiam 8 = 84, (quippe 13 984, == 303, = 81,) qui quidem
extribebie (non modo f = 223, Sed e) f == 1F, led (ut patet) Perius occurrie,
quam ipse f.
Nec erit Forrassis incommodum hic notare; ut ex cognito, verbi gratia, _ c08.
nolcitur a; sie vice versa ex, cognito a cognolcitur d; (et in reliquis pariter.
Ouippe, cum sie (ut supra octensum elt) b a = 26 d 4 f a = 7: erit (ordi
nando
TIhhhh

## Folio 794 — 851708439:0818
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000818.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
C O M N E R C L U M
nando de retolvendo aquaciones) um  -  a L V: n d. + B.
cum d = c a = V: n a F T. Eodem modo; Ouia B d2 = 200 d + e = b; exii,
cum d - cc = V: n03 + b
cum e = c d = V: 1242 + b. dc in reliquis similiter.
Sed de hinc etiam sequitur, B a = e, (de similicer b d = 5, Be = 8, dc.) cum
enim (u a = C4 = V. n d + B
=criiba = ca = V: n d + b: = e, (de Similic. x in rC.
liguis.) Cum hoc camen discrimine, quod, quancicaris urrobique ambigue de
Gignaca, in altera major, in alcera minor delignacio, lic praesenci negoco magis
accommoda. Nam, verbi pracia, si CUMAEUIE B a = C d - V: n d2 = b; cric a, vel
numerus tractus (nempe li b non meciatur numerum cd = V: n a 2 = B) vel (li
inceger) ciius occurret (lic ne dictum est inguirenci) quam ipse d, vel e. LF
Concra, (I pro e lumatur quancitas major, nempe ca. F V: n d2 = b. (quamquam
ee sic lic numerus inceser) serius occurret (sie inveltisanei) quam iple a, uipore
hoc major. Ouod aurem de a e e jam dictum clt, perinde eciam valet de d’de s,
item de ee 8, _c. Adeoque Si ab invenco (verbi sratia) en recrocedendum lic
ad inveniendos (per aequationes expolicas) a, an lumendae Cune quancitaces majo-
rC8; lin progrediendum ad sequentes f, 8, ec. TUIENCA QUANEITALES WINOTES, uE
praesenci negocio magis accommoca.
Onam autem operis abbreriacionem tractenus acttibuimus ubi quaericur na uni-
TacC minOr quadraco (adCOQUE LLIET C? major quam n;) eadem plane MULaLIS
mucandis, achibenca exic si quaeraTE n a Vel nn unitate major quadrato, (Tumpio
e quacraco proxime minore;) vel etiam si quaeratur na vel nre qui quacratum
Tuperet, vel ab eo deticiat, binario. (Ouanquam enim hoc pacto a non lic
quadracus primo quaelicus, eundem tamen extibebit uc lupra dictum cA.) RCS
unique ad hanc tormani procibic.
Si na a quadrato unicare
deticiac.
B cC =V: nC=  d.
b cf = V. 1). F0.
368+ V.
6) cB = Y: n h +
ac.
6) cd = V: n d  26. (a.
ce + V: n C
cf+V.
1) c8 + V: n
2
2b.
B3
2 + 2B.
6) ch = V: n B + 263.
_c.
e
+
ac.
Acque ad eandem Formam procedendum esset E invellioandus estet na quorto
numero vel d quadraco deticiens, vel quadratum luperans. (Incellioe, quatenus
res est postibilis: Non enim universaliter verum est, de quovis numero etiam non-
quadrato, ue in quadratum incesrum ductus data qualiber disterencia quactratum
aliquem vel Cuperet, vel ab co deticiat.) Ononiam vero in praesenti negotiO Cer-
cum elt cum F, cum 2, diridere quemvis 2r5, non aurem de aliis numeris id
cerco vel uniretaet contet. hs lalcem accendisse MMMetet. Aacoque si (cal-
Peret numero B (ditterentia numeri daci d quadraco aliquo minori) ejutre duplo,
rel iptius quaris porestate d numero impari denominata hujutve duplo, aur deficiat
Boltlal
Si quactacum unicate
Superet.
A V: n a - b: = cd.
V: n C2 + b2:
ac.
st bario superet.
6) V: n 4 = 2b:
V: n e
b) V: n B = 2b3:
6) cd = V. a + B. (2.
Si binario deticiat.
C _L FPTA INEILIITO) invematur na: qui d quadralo aliquo aeta Me L,
vel 2, aliare parre aliquoca dupli rectanguli sub raclicibus; vel qui d quadraco
desieiat numero B (ditterentia numeri dari a quadrato aliquo majori) ejulve qua-
ris poceltace, aut cujusris etiam poreltacis duplo; vel denique qui GaaLM su-

## Folio 795 — 851708439:0819
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000819.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
I, P IS FOF IC U N.
potestate a numero pari denominata, aur hujus duplo: Obi, inquam, horum quie-
quam continsit, habebitur vel numerus an radix quadraci qualici, rel qui illum
ltacim extibebic; vel salcem ex numeris a e, f, _c. aliquis, qui recrocedendo ex-
hibebit a; nili siquando sic inrencus a prodeat numerus tractus, quo casu ulte.
rius procedendum erit ue supra dictum.
Fxempli gratia. LXPOTIIO nuMerO n = +4D; ( TuMpIO C = 12, adeoque
B = 249- 244 ==5;) reperietur loco decimo septimo, columna tertia, lire polt
primam secunda (neque enim necelle erir ulera locum decimum leptitmum proce
cedere) T4917 =9206, F625, adeoque (Propter 625 = b) Crit 8 = 17
unde retrocedendo, reverietur f= =82, e == 397, d = 2922, e tandem a vel r=
9305; cujus quadratus inn duetus, cum quadratum unitate (uperet, (nempe
249x9305x9305 ==12900870725 =113582, + T. Cive 1s, Y L.) duplum
rectansulum 2r5 = 2 X93O5XFT3582, PeF nr2 -s=L dirilum, exhibebit
2F+3761020 = a radicem quadrati qualiti, qui in n = x43 ductus, unitate minor
erit quadrato numeri 25802745449. (Aeque id ipsum obrenistet,  neglecto
loco decimo septimo, proceltum elter ad Locum 82, vel 397, _c. ubi haberentur
5 = 82, e c = 397, _C.) Tlabemus itaque jam ordine 27, numerum illum, qui
dicta mechodo, numerum quaelicum extibet laris grandem; minimus utique ex
quadratis qualitis rem imperatam absolrentihus figuris Paltem 19 fcribendus exit:
nempe 4467985649675440400 (quadratus numeri 2F73761020, uc dictum clt)
qui in 24B duCtUS, UMIatE MINOE CTI qua 66572986789204467960L quadracs
numeris 2580T74 2449.
Acque hac de praelenti operis abbreviandi methodo, latis superque dicta videati-
cur, quanquam e haud ionorem etiam adhue plura adjunsi polle (qua et hanc
abbreriationem abbreriarene) ni mecuerem ne nimis prolixus ellem.
Pucalsem etiam e aliam adjunxisse abbreriandi mechodum. Nempe, quo pacto
possimus dietam inrestigationem per Calcus continuare; (quod, ubi res in lon-
sum sic cranticura, uti quandoque erenic, ului esse pottic;) ita quidem uc aliquan-
done centelimum quemque locum opus sic examinare. Verum illud neque mihi jam
necellum videtur, ne nimius sim; vel, Sicu insuper et illud exigas, alias fict.
Ouod superest: Expolicajam, uti fuse factum est, methodo investisandi unum
aliguem quadratum negorio accommodum, qui nempe in expolitum numerum du-
ctus, altumpra unitate, conticiat quadratum. Ostendendum insuper est, qua me-
hodo iltiulmodi intinios extribeamus, nedum omnes possibiles. Ouod tamen quam
brevissime Fet. Neque enim ego tua tibi exponendo prolixus esse debeam.
Jam supra dictum est; Ouories difterentia nre e se est aliquora pars dupli rectan-
suli 2rs; si hoc per illam diridatur, quoriens erit radix quadrari accommodi.
Esto isitur jam cognitus, (ex inreltisatione lupra tradita) unus aliquis quadratus
negorio accommodus, qui jam dicatur re. Ouoniam isitur, ex hypocheli, n r f T,
Cs numerus quadratus, dicatur s2. Cum itaque Litn V t s = 52, erit nr - s = L. RF
propcerca, cum =nullum non metiatur numerum integrum, certum est de differen-
tiam hanen r= = s = r, meciri duplum rectangulum 2r5; adeoque quoriens di
vitione emersens erit radix secundi quadrati negocio iiem accommodi. Ec codem
modo ex hoc lecundo inrestisabitur alius, et ex illo alius, e sic in intinitum.
Acque haec quidem Tolurio, quamquam abunde Caristaciat quaesiro, infinitos ilti-
ulmodi postulanti: non tamen ommino omnes pollibiles exhibet. Fxempli gratia.
Expolto numeron ==3, eric quadrati primi radix I, unde colligitur secundi xas
dix q, alque inde sequentium 56, 50864, 408855776, Scc. Cum interim alii omic-
tancur incermedii plurimi, nempe quaceati racticum harum, 25, 209, 780, 29LF,
40545, 251326,564710, 2107560, 7865521, 29354524, 109552575.
tlas aurem intermediorum ractices haec exhibebic Regula. SitM, nUMETUIS ex.
DOLCS; r radix quadract primi seu minimi (neoo.
tio accommodi) modo superius cradico jam inventi; rin F.
_c + = 2V: nr f F. erit radix primi r, vel r in F;
secundi, r in t; tertii, r in 5 =2; quarti, r’in
B = 2. 1: quinei, r I A = 35 + E; et religuorum
deinceps juxca seriem ad seripeam. (Cujus quidem
constructio etiam primo aspectu, obria est: Palrem
Si illud innuatur; numeros locis primis ad (criptos,
Tubincellectos lalrem, ese monadicos, 1, 1, 1, 80. te.
HIhhhM 2
Cuncis

## Folio 796 — 851708439:0820
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000820.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
L O M M E R C I U M
cundis lineares, E, 2, 3, 33c. ex comcinua monadieorum addicione ortos, 1 F L = 1
ecc. tertiis criansulares, 1, 3, 6, dc. ex concinua addicione lincarium L- F 2 + 3
eC. quarcis pyramidales, c, 4, 10, sec. ex concinua additione ceiangularium,
2 + 3 + 6dc. L.F sic demeeps.) Vel cciam, (I prO L, B = 2, B - 21, dC. Clacua-
muS L, 2, X, dec. Crit u = 1+ = L, X = + 1 = 1, y = 1 ~ = u, 2 = 1 y = X dec.
nempe constat quilibet ex praecedencium uleimo in s ducto, dempro penulcimo.
Vel denigue (nam de haec tortan delienacio placebic porius nonnullis) si numerus
expolicus sic verbi pracia 3; tier eadem series ad hanc tormam; (Vid. F. pist. 14. 1
3 in 9: 2X31X33 X 315 X 335X 3183, _C.
Sic expotico n = 2, tier Pexies
2 in 1: 2251 4 53~ 5B 5.  X 5 iti, c.
Ubi connitis raclicum prima de lecunda (un prius) reliquae ea ratione contlimuin.
tur, uc tractionum leguencium DmmeratOF aequec ubique denominatOrem TILIIM
dempio denOinatOrE prONImE prXCedeNCE; DENOMINAIOT AULEM RGUeE nUMEraIO.
rem cermini proxime praecedencis in impropriam tractionem reducti.
Hlac aurem ni lacis superque susliciant praelenei nerocio expediendo; criam hoc
licet adjicere. Inrenca hujusmodi serie qualiber, quae numero cuiris non quadra-
EO, DuTan = 2, conveniac; hrabentur ltacim series quae conreniane, ejuldem nu
meri per quemris quadracum mulciplo, puca n m, nempe dividendo seriem radieum
sam invencam per illius quadtraci radicem m: HoC pacto;
2, in Q: 2X5+X58X533X 538ZX 5, 183, eC.
B, in : 2X51 X 58X533 X 5 1 7 X 5, 163 C
28, in 1: 4 X331 X 3337 X 33 1135, C.
32, In 1: 3X331X3337X331155, ec.
50, in 9: 24.X F97+ X 297136, _c.
72, in 9: 2x 33+X 333 X3313), dec.
38, in 8: 1021191 X L9 , 13b. CC.
128, in G: 5FX
262, In G: 154OX
200, in 9: 7X 297 1X29713b, dc.
242, in 9: 1260X
288, in 9: 1 x 331  3334 4 3311 i, dc.
THoc est.
18,
1O:
in O
32,
nO
2
50, in 9.
10.
98, in 9.
128, in 9
162, in O
200, in O.
242, in
12,70, 408, 2378, 13860 8c
4020. c
6,35, 204, 1189, 6930. ec
136,
102,
3465. _c.
dc
31
286, .
+
18
D. c.
1980. ec.
13+. ec.
1366. ac.
7260. _c.
155. c.
TIB videre est, nunc lMSO hunc alternos, nunc certium quemque leriet nu-
merum, vel etiam quarcum, quincum, esc. diritionishujusce capacem cAe. PL Simi-
licer de aliis numeris pueteandum crit.
Sed nec incommodum erie monere, quod de supra innuimus, (quanquam d DIX
senei necocio alienum,) li i expolica qualtione, pioaceia ulateea
scito quovis numero quadrato, puta L: Teries quactraiorum quos jam inrelIs, du-
Cenda ellene in dacum illum quadracum e; (live, quod cancete atel quacla
corum radices ducenca estene in L) exempli BcacIa. Ouoniam, expolio numero

## Folio 797 — 851708439:0821
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000821.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
1VI
F P IS F OE TC U H.
n = 2, E petatur ue n a unitare deticiac a quadrato, eric n a = 2. in 9: 2, 12, 70
Scc. Si Pecerecur un na numero novenario a quadraco deficiat, eet n a =2 in
99: 27 F2, 70, ec. Duae quidem series intinicos semper quadratos exhiberet rem
imperacam praeltantes, utur non semper omnes. Verum hoc monuisse (utticiat.
Acque hac pracipua lunt eorum qua de hoc negotio dicenda putari; quae man-
datis cuis oblequens in hane collesi summam. Id Cuperest, ut (iquid admiltum (IE
quo minus omnia ex voco cuo tuerine, benignus condones; solitoque tuo larore
prolequi ne dedigneris,
OXOni DCceM. 47.
2657.
Inseenissime Done,
Dnis. Va Observantissimum,
LL. I AL. L. l d
Olquam exarareram reliqua, vilum elt ec hanc cuam subjunsere mechodum
inveltisandi primum quadeatum, alia plane forma quam quae supra habeCME.
Vid. Fpist. 29.) Esto, verbi eracia, exposicus numerus non quacratus n = 13, e
quadtacus quaelirus at, adeoque 13 a + 2 numerus quadtats. Fric
23a = 2 = 9a + 6a b + v2
LIoc est 4 a + T = 6 a b + b
est ereo 2b
= b
Tisto a = b + c. Adeoque
4b2 + 801+ 4c + 1 = 6B +
lL0c est 2bc + 46 = 2 = 3b
E
+
d
2 + 1
2d = c = d
t
d+6de  362-
2de +
d = e
67+
2c + 20
20+7
= F = 4. 4
3c2 = 2
3+
2 + 1.
B +
3
c +
+6d +
442
et
40
E
hj = 3.j
F = 3B
 3j2 f + = 2. B + 2. B)
30
Atque eodem modo procedendum erit exposito quovis numero non quacrato.
etAMAM 3

## Folio 798 — 851708439:0822
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000822.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
a OM _C L L CL C N
E P ISTOL A. XVILI.
D. Job. r allis ad D. Kenetmum Disby.
Wllustrissime Domine,
A Ccopi nudius certius, sero resperi, quem heri perlesebam, D. Frenicti de Pro-
L_ blematis Fermatianis Fractacum, 2 Dne Va, ad FlonorariI. D. Vicecomiem
Brouneker nuper crantmiltum, qui de eundem mihi dignacus est impercire: quem
nec prius videram, nec inaudireram de eo quidquam, quam ex recepeis HIOnO.
ratil. Vice Comicis liceris hoc tuerim edoctus.
Certum aurem est, ex tractam illo, Clarissimum Virum, vel non vidisse literas
noltras Parilios cibi mistas, (quod malim exiltimare,) vel parum canaide csille
(nobileum, dieam d an) cum gente noctra.
Incipic jam slacim ab insulcu in sencem nostram, nec Tolum nostram, sed Bclsas,
nedum de Gallorum Cuorum reliquos conjunsit. Fn inquie sibi, Vir TWustrissume,
Lutetia praebet quam neque Aneli tui, neque Beleae, ulque modo praestare porue-
runt Problematum solutionem: Cestit Callia Celeica palmam Narbonensi praeri-
pere, 8c. Sed de lubinde (apius lubinmmie, alios plerosque Mathematieos tam in
Anelia quam in Batavia eorum solutioni operam dare; vel etiam in his solvendis
insudare; scd de incassum ab Anelis  Batavis se expectasse, cum nihilominus
Plerique in haec insudarint; acque illiulmode alia.
De Callis Baravisque quid dicendum Cic, mea minus interest Tolicicum este, ut
qui quid apud illos tactum sic iBnOrem. De Aetis cuis ct quod dicam. Ft
primo quidem, etiamli nihil hac in re ab Anslis tactum tuissei, cux camen de
sence nostra criumphum agac nihil est; cum ne cencelimus quilque ex nolteis Ma-
Themacieus, vel haec aggrelsus est problemaca, vel de illis inaudirerat quiequam,
nedum in iis solvendis plerique insudarint. Nelcio enim, si D. Vice Com. Brouncker
ee meipsum excipias, num ex Anglis quisquam Machematieus, vel unam horulam
his Tolvendis impenderie, vel de illis omnino quidpiam cositarerit; certe quot-
quoc cgo noverim (quantum hactenus incelligo) vel ca penicus ignorarune, vel
neglisebane salcem. Non enim, si priracis forre liceris dixerit Vir Nobilissimus se
omnibus Furopae Mathematicis ea proxonere, existimandum erit eadem Catim e
omnibus innocelcere, nedum uc se protenus ad id operis accingant.
Nos aurem quod actinet duos, L’acemur equidem tieri posse ut Clarist. Vic ea
prius Colreric problemata (duo salcem priora) quam ucerris nostrum. Neque id
mirum, quippe jam duobus ante mensibus solverat (uci videtur) quam fuerint
omnino huc allaca Perhibetur enim ea jam 20 Cat. Febr. A. n. tolriste, qua
(ucur mihi videantur nominacim inseripea) neurer nostrum riderat ante 2 N0-
nas Mart. A. Vet. (nempe post 8 inceoras septimanas, biduo minus.) Ouippe
cum nuperrime Pariliis Londinum allata, Oronium paulo achuc serius cran (MH.
cebanEuT.
Ouid autem hac in re tum demum praesticimus, non opus est ut icerato mulcis
oltendam, cum id jam praecedentibus liceris noltris aliquories indicacum cibi fue-
ric. Ouia vero lpartim ea acque aliis immista, (nam de de aliis pluribus, de qui
dem majoris momenti rebus ab eodem D. Fermatio interrosari tuimus, iisque re-
spondimus,) qua de hoc negorio seripta Tuerinc, reperiantur; commodum esse
videatur eorum summam colligere, de limul conspiciendam extribere; ue videatur
quam mero ret de Hoois vel de gence nostra eriumphetur. Sed de (quia de
mora aliquories poltulat lcat) momenca remporis nocanda duximus.
Proponatur (si placet) Hallilio, e reliquis Aneliae Mathematieis sequens
Invenire Cubum, qui adaltus dous fuis parttous anquoris consiciat quadra-
Tum. LX. Gr. Numerus 345 est cubus a latere 7. omnes ipsius partes ali-
quota sunt 2, 7 40. quae acjuncta psi 242 confieiunt numerum 400. qui est
Gandratus a latere 20. Suatu altus cubus numerus ejusdem naturae.
Quaeritur etiam numeras Luadratus qui addieus omnibus suis partibus aliquo.
Llas solutiones expectamus; quas si Anglia, aut Callia Beleica,  Celliea non
dederint,
Priora duo problemata his eranc rerbis expolica.
quaestio numerica.
tis consiciat numerum Cubum.

## Folio 799 — 851708439:0823
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000823.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
I P IS TOL I C U M.
dederint, dabit Callia Narbonensis; easque in pienus nascentis amiciria Dom
DiBbY offeret  dicabit.
FIXC Charcula (ne mOTX inCHLCMUT) per D. W bite (per quem crat Parisis
ad nos deterenda) Londini cradebatur D. Vice com. Brouncker, Marcii 4. stilo ve-
teri, 2 quo postridie cransmila Oxonium appuLIE MaEC. 6. sero resperi; cui prO-
rinus reipontum dedi, per Veredarium poltridie jam multo Mane abCUINTEI LOn-
ainum perterendum. Cujus haec tere Lima.
Quaestiones expositas ejusdem fere generis esse cum iis quae de numeris Perfectis
(ut loguuntur) e Deficientibus aut Redundantibus proponuntur, quae que ad uni-
versalem aliquam aequationem, quae ad omnes casus respiciat, vix aut ne vix
reducuntur. Otrique autem satisfacere unum eundemque numerum c, ut qua
tum quadratus est, tum cubus, es partes aliquotas nullas habet. Subjuneto Cimus,
problemare, horum Cimillimo, (cui necdum quiequam relponsi nactus Cum) Zn-
verire duos numeros quadratos, qui partibus juis aliquotis addiri eandem efficiant
summam kv. er. 16 +8 +4. + 2 f 2 = 32 = 25 +5 + L. Inveniantur bujus.
modi aiii duo.
Soluciont huic nollrx, subjanxic deinceps suam Honoracillimus Vicecomes
neMDC, Non modo numerum ipsum T, sed e (si fractiones admittantur) eun
dem per cujusois inteori potestatem sextam divisum: Pt quidem, quod ad priorem
quaestionem, numerum item 343 sic divisum Puta 322. Siquidem numerus fractus
cum partes non alias habeat actuales quam quae toti sunt coenomines, non alias Ba-
bebit partes aliquotas expositus cubus 3 quam , , 8, quae cum ipso 313 con
ficiunt  numerum quadratum. Non elt itaque cur conqueratur vel D. Frenicle,
vel ctam D. Fermat, a nemine anslorum Problemati lacistactum; cum nemo
SIE (quem (c1o) Anslorum qui ca aggrellus ct, quin ee Tolverit.
Fa vero cum in prompur estet Solurio, (nec niti unus istiulmodi pCFCrCEUE,) in
immentis porro numeris ruspandum else non centui. Neque enim res ipla (non
magmi uti mihi videbatur, momenti) poltulabat, neque etiam, si vel eso maxime
vellem, tum vacabat: Ouippe occupacistimum me deprehendit ea quaestio, ad mor-
cui tracris funcra abiturIenLem.
Nondum autem a Fimere domum redux, (quod post duas, si memini, Septima-
nas contisit,) D. Vicecomitem Londini compellans, ab eodem incellexi, sc interea
remporis jam aliam ab eodem D. Fermatio quaestionem accepiste; cui, posthabiris
prioribus, (ut quas, uti jam videtur, D. Frenicte jam ance Tolverat) magis con-
tidebat Fermatius: eique se relpondisse; Tuumque ad hanc una cum praecedenti-
bus relponsum D. Wbite jam cum extribuillet; a quo, uei ridetur, Parilios Macim
micrebacur: ut neque sic cur vel hic de mora insimulemur.
Elac aurem certia quaeltio, (Dost praemictam praelarionem, Quaestiones pure Arith
meticas, vix est qui proponat, vix qui intellieat ec.) nis erat verbis expolita.
Dato quovis numero non quadrato, dantur infiniti quadrati, qui in datum nume-
rum duedi adscita unitate conficiant quadratum, ec. Sed Canonem seneralem
dato quovis numero non quadrato inguirimus, 56.
Canonem qui pecebatur generalem hunc exhibuerat FTonoracissimus Vicecomes,
demonttratione lua tirmatum. (Rp. 9. 16.
Sit _ numerus datus quilibet, quadratus vel non quadratus, inteser aut fra-
Eus.  quilibet alius quadratus, (sive intecer sive fractus.)
D = N ∞  differentia auorum N 8 O. puta N = G, vel O. -N.
Canon. Fst N X  + r, numerus quadratus. Nam
NX+
 +T
4ON + D ∞ +2ON F N O + D
e + N
O2 = 2ON. F N Q 0N On N
Solutionem hanc legirimam esse, nemo est qui dubitet, (modo incellisat:) ut
nec legicime demonstratam ese (quod tamen non pecebatur.) Siquis tamen ob
nocas Analyricas haereat: Iis habeat verbis expoliram.
Si quadrati cujusvis quadruptus, per quadratum suae a numero exposito diffe-
rentiae dividatur: prodibit quadratus requisius: qui nempe in CxpOLITUM NumeruI
ductus adscira unitate, conticiet quadratum.
Huic similem etiam alium Canonem, (sed serius, quaectionem urique tum non
inaudireram;) Parilios iple mill.

## Folio 800 — 851708439:0824
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000824.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
C. O N M F R OLV et
Sic, Nnumerus datus quilibet. a, quilibet ad arvierium assumpeus per que
Oquadratus quilibet dividatur: quotientem exhibens A: qui porro par 4 V (cu
jusvis numeri quadruptum) divisus quosientem exbibent ; sicque D duorum
OA PB, differentia. Fest, inquam,  quadracus quasicus, Nam
MAN, MAN L D. OA FIMAN LD N OALPN OA LPN
O A = LMLAN F P. N OA PN OA LVN
Verumris horum Canonum altimae Termatius, trabebit non modo quacracos
intinicos, rerum de poltibiles omnes, cum incegros, cum tractos, qui in dacum nu-
merum ducti (sire quadracum sive non quadracum, neque enim cF cur qualtio-
nem sic expolicam ad Colos non quadracos decerminet) aclena unitare conticient
quadracum. Ouod ipsum de d nobis ance hac demonstracum Mt; ad hunc mo.
dum. (sEp. 76. ) Eso quadracus ille poltibilis quicunque (rem imperatam pra-
Mans) F3. erie ieaque ex hypochelis NV F L numerus quadracus. EMtO L.. PL
Cumacur YO = R =
EHt enim O = P -
= NF. e
F. Pric inquam (junca priorem Canonem) + = = Y 2
L3 F2L +
Sect et NV + 1 = L5, adeoque L: = 1
=N. EL PTOPIeTCA D (= O iN) = LF2L + 2 2.-~
L= Adcoque (quia 2 R = =  7 =) eric =
2 (X =
ER
hoc est = = F.. quod erac demonstrandum. Acque id iptum, si opus sic, de
altero etiam Canone ollendetur.
Ollendimus itaque Canonem Generalem, qui perebatur; qui nempe Daco quo-
vis numero, quadracos extribeat numero intinicos, qui in dacum numerum ducti,
adscira unitare conticiane quadracum. Nec est cur non soluri Problematis poltu
lemur.
Octendebam etiam ex abundanti, id iptum eadem tacilicace prastari, si pro
adseica unitate dixiltee, adseito quovis numero quadrato, puca B9. NCMBC BIO
pe ronendtum etter 2 B. Sed hoc nipuru, quipre illues Colummorlo peteba.
tur quod extribuic primus Canon; qui jam Ctacim post acceptam quaestionem Pa-
rilios miccebatur, eodem (ni Fallor) Mense Marcio. Adeo ve neque non Colui
Problemacis, neque etiam mora, simus poltulandi.
Verum quidem elt, jam candem Menle Octobri, allatas elle ad me liceras,
(Rp. EF. Y quas ad B. Veltram Seriplerac Fermarius; quibus partim innuebat,
se D. Vicecomitis mentem haud Cacis allequutum, (eo quod soluriones idiomate
Anglicano seripeas, quippe ad D. Wbico virum anslum, parum incellexerie, nec
adelsee harum rerum gnarus qui tideliter expONAE;) parcim quod quaeltiones
propolicas de Tolis numeris inteeris incellectas vellet: (quod erac qualtionis Hta-
cum plane immutare; quippe de Intoeris antca ne geo quidem;) parrim erians
alia propotuit mulca, ab hoc nesorio plane aliena, quibus pariter responden.
dum erat, quod de factum cst. Eram aurem de cum cemporis parcim aliis deten-
cus negoriis, partim eriam peresre abicurus, nec ante redicum Mense Norembri
tactum vacabat huie me accingere negorio: eodem itaque mense cum ad BaC,
cum ad alia, tuse respondimus, Liceris ad ce dacis Novemb. 2F. (Fip. 26.) cum
meo cum se Honoraciltini Vicecomicis nomine: tc quidem si cancillum illud
morx, ee necellariae quidem, induloeae non elt de acttue cujus incuseur.
AC incerim, si Vir C. idioma noltrum minus incellexeries non de ideo PrO.
blema minus est TOlUE. Nec magis cuspandus crac Flonoracisimus ViccCOmes,
quod anolice scriplerie ad Virum Anolum, quam Vir Claristimus quod iptius
tere omnia eciam ad nos Callice line allata.
Ouod aurem de quadracis Inceoris jam candem illud exponac, quod de Oua.
draris simpliciter suerat propolicum: Id nohis neuciquam elt impucandum. Ne
que enim erac unde traciolaremur sic incellisendum: praesercim cum ee Diophancum
1
800

## Folio 801 — 851708439:0825
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000825.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
F, P FS F OL I C U M.
in hisce se imitatum dixerit, apud quem per numeros quadratos nusquam non
Promileue cum incerri cum tracti intelliguneur.
Sed esto, De numeris inceoris intelligantur. Dicimus e Bic Solutas esse quxe:
Stiones. Ad primam urique _ secundam, extribuimus +, numerum integrum, qui
urrigue satisfaciat. Ad certiam vero, Canonem qui petebatur extrihuimus Greneralem,
qui cum Incegros cum et Practos omnes exhibeat quadratos negorio accommodos.
Obi autem solos inteoros se roluisse dicat Fermatius, colque infinicos, (quam-
quam cso illud prius nescirerim nec quidem suspicabar,) quo illi etiam hac ex
parce latistactum Tic jam ultimis liceris Norembri daris oltensum elt.
Ostendimus nempe, propositionem sic incellectam minus univertalem elle,
quam ut prius crat propotita: e laltem ad numeros non- quadratos (quod ee fecie
Fermatius) restringendam esse. Si enim tum N, cum =, Sit numerus quadra
tus integer, erit et 4
ON
oro non poterit unitare sola ditterre.
Ostendimus item, quo casu unus aliquis quadeatus exhiberi possit rem impera-
tam praestans, eodem ee intinitos exhiberi posse; et, quo pacto ex uno cognito
alii innoteseane intiniti, icidem indicarimus. Ouod vel ipsi D. Frenicto non ingra-
cum fore credo; ut qui hoc eotum negotium (ucur in problemare praecipuum vi-
deatur) penicus omilic; neque enim de infiniris exhibendis quiequam habet vel
Theorematice demonstratum, rel Problemarice constructum; quorum nos ucrum.
que praelticimus.
Ostendimus icem quo pacto, ex intinicis quos exhibent quadratos expositi Cano-
nes nostri, intesros a tractis secernamus. Nempe quories  Cs numerus integer;
hoc est, quories D est aliquota pars numeri +Q; adeoque (sumpris radicibus) D,
vel O a N, aliquora pars numeri 2. R: vel (Tubsticuendo pro , = ade04; R =;
quia Scilicet Feri Potest ut O _x R sint numeri Fracti) n v - aliquota parS MII.
meri == hoc elt. (ductis uerisque in re) ditterentia nre e s’ aliguota pars dupli re-
ctansuli 2 sr. Ouories, inquam, hoc concinsir; quadracus quem extribet expoli-
rus canon, est numerus inceger; cujus radix -, . Hoc aurem, ut alias Paepe,
ita semper continsitubi nr an s (ditterentia facti ex numero dato, in quemris
quadracum ducto, ab alio aliquo quadrato) ctt vel E, vel 2. UF enim F diridie
quemris incesrum, ita ec 2. Calcem quemris parem, adeoque et 2r5. Ouxe quidem
una regula, lummam continet eorum omnium quae de hoc negotio D. Frenictus era-
didic. F.lE ucique numerus in ip(ius Pabellae COLUMNA quarCa, NUICTUIS r, VEpOrC
cujus quadratus in numerum n ductus ab alio aliquo quadrato, (puta se) unitare
vel binario difterat, sire excessu sive detectu, vel lalcem aliguota parte numeri
2r5; Ec inrenire Cuum columna quareae numerum; idem elt aeque invenire po-
Arumr. (Ouod incerim ille, quo pacto saL, nusquam docer; adeoque rem LOLm
non minus incolucam relinquit: exempla cancum exhibendo in singulis numeris
non quadratis ad ulque 250, regulam aurem, qua dato quoris numero perticiaturs
neuciquam extribendo, quam exisebat problema.) Oux aurem deinceps decem
continuis pasinis praecepia traduneur, unde per numerum columnae quartae reperia-
cur quaelicus columnae lecundae numerus: HOs uno hoc praecepio timul et lemet
cradimus; nCMDC  13 ∞5
imperatam efficiat.
Ouod aurem ille speciatim compendium cradit de numeris pariter paribus, Hoc
ectus per 4 dirilibilibus, (ubi numeros quarrae columuae in auxilium non adrocat,)
id nos universalicer oltendimus, non cancum de numeris per 4 dirisibilibus, sed e
Dex quemris quadTATIM.

## Folio 802 — 851708439:0826
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000826.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
C O M M F R C L U M
Oux quidem omnia, aliaque hortum spectancia, jam tusius ancehac expotui, cum
in nuperis meis ad Dm. V. mense Norembri seripeis, (Fep. 75. ) cum in iiS quas pau-
Dolt (sed N B priusquam D. Frenicti cractacum videram) Ceribebam adt D. Vicecomi
Tem Brouncker (Kp. 27.) quarum etiam exemplar cum hus accipies
Dua aurem jam dicta sunc, non eo dicta velim existimes, uc Clarissimis Nobilis
timilque Dominis, Fermatio, e Frenicto, quiequam derogacum eam, vel corum
extenuatum labores, aut in hilce rebus peririam, (quos lummos viros, uri par elt,
veneTOY,) Sed ne videas de Anelis etiam cuis non esse cur crubeleas. Ouid aurem
hac ex parce praesticimus, vel Flonoracistimus Vicecomes, qui poriores hac in re
parces sustinet vel ee cxo, ipsi luccencuriatus, Dui. VE. dijudicandum permitto.
Or qui tum
OxoniX, DCCCM. 26.
2657.
Dur. V.. Observancissimus,
7OTE A N. W
R P IS TOL A XIX
D. Zob. W allis ad D. Vicccomicem Brouneher.
P, N hic sabes, vir Ilustristime, de posteriori inductionis insticuendae mehodo
, (ide append. F pist. 27.) (quam paulo Fulius quam ancetrac tecimus expli-
candam elle ritum elt) senta nostra. Duxe quamris Tibi brericer ancehac indi-
caca, lis iple Pacis altecucus (uc cur rerbum lac crac;) cum tamen video rem iplam
aliorum icem oculis lubjiciendam, quibus eadem minus esse possine tamiliaria, ope-
ra precium esse judieo (praelercim cum ee cu idem exigere videaris) explicatius ca-
dem aliquanto aperire.
Recenco iiaque, quod prius exposuimus, exemplo; Nempe, dato numero non-
quadraco n = 23, qui in quadeatum a ducendus, unitare deticiat d quadrato; qua-
dracum illud a invenire. Ononiam ex hypocheliLZ a L + elt numerus quadra-
cus integer, (jamdiu enim est quod problema tueric de Incegris expoticum;) cer-
cum elt quadracum illum minorem elle debere quam  4 a, =- 26 a; majorem 1a-
men quam  3 a = 9a2. (quippe polito a numero incesro, certcum est 16a = 13 a
FT = O2.) Esto itaque vel : 3 a = B: vel O: q a - b: (ue sit B ditteren.
cia radieis quadraci quaelici, a radice quacdraci vel proxime majoris vel proxime mi
noris;) Ouorum cum ucrumris pro arbitrio poni poltie, poluimus priorem; adeo-
que 13 a + 1= 9: 3a + b: = 9a + 6ab. f b; ee (ablaris verinque aqualibu5)
42 +
-
Itis poticis; manifectum porro est, quancitacem B minorem esse quam a majorem
rero quam Za. (hoc elt 2B = a = b.) Si enim eset B == a, Tuistet 3 a = b == 44,
quem numerum esse justo majorem jam oltentum ct; Cst itaque B MInOC quam a.
Sin ellet b = = Z an adleoque a = 2b; eller (propier aequacionem 4 a f x = 6ah,  v
modo expolicam) 16b+ 2 = 12B + b = 13V, quod elle nullo modo poull. PAt
+ b, _ (expunetIS aqualibuS) 26C 4c7 1 = 3b. Onde colligiur (ut
prius) 26 = b = c. Acque hinc porro (polico b = c = d) sequicur 2 4 = 0 = d.
e (DOsico6 = a F C) erit 2C = d= e; (prour in operacionis exemplo prius exti-
biro videre ell.) Unde cum (Dotico d = e + f) prodeat e + 1 = 6cf + 4
cercum est de 7f = C = 65.
+ 4f) aqtatet 36)+
St enim eget 7 f, eciam 4652 (= 6 cf. + 4f
c:) defreit autete, Lin C= 6), etiam 407 (= 60
(= C. F 5) alqu superat: Major naque est e quam
Bantur, Duca 7fe 6f, inita quos eotuitabie numerus e; adeoque cacium inde obo-
Ficurum Tubmeuae: neeo metu liberetur; nocandum eric eorum alcerum tere lem-
per obcineri dirito numero qui rectansulo pratipitur, per numerum praetixum
quadraco cujus limices quaeruntur. Oc in praelenci exemplo (c + 2 = 6 ef. + 45.)
derilo
Itaque B major quam Z a. Adeoque 2B =
Lodemmodo: cum lic 2b = a = b; liberum erie slatuere vel a = 26 - c, vel
a = b = c, (uc lic c ditterencia numert a, vel a 2b ret a b;) quorum cum utrunt
vis pro arbitrio poni polsic, poluimus a = b F c, adeoque (propier aequationem
42 + + = 6a  HI CBOHIHI) et 4B + 8b0 + 40 + 2 == 6b2 + 6bc
∞equaret 40) F L=
6F, C minor quam Z f. Ec limiliter in alis
Requis tamen exillimet mulcis opus elle cencaminibus, uc istiusmat s ele.
e
num

## Folio 803 — 851708439:0827
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000827.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
E, P IS FO L I C U M.
diriso 6 per F, habetur quoriens 6; adeoque 6 f est limitum alcer; (vel Caltem
numeruS ip( quam PFOXImUS.) Er Facto rencamine, ponendo 6f pro e, adeoque
36F2 pro 6eF; erit 6ef. f 4f2 = 40 f2, qui numerus cum liC MajOr quaM
36f2+ F (= e = F,) Patet Se majorem elle quam f, sive e = 6f: quod autem sit
e= 7f similiter patet, quia polito e =7f, erit 6ef + 4f2 == 46f2, minor
quam 49f2 = F = e = L. Onde limices innoreseunt Zf = e = 6f. EE SC
alibi.
jam vero cum manifestum sic, disterentias B, 6, d, dc. rum numeros inteeros
esle, tum es continue decrelcere: eo tandem perreniri necesse erit, ut Tubsequens
aliqua ditterentia (lalcem ubi ad P perreniatur) Tic proxime pracedentis aliquota
ParS; (limilicer arque obrenire nocum cst, in abbreriandis tractionibus, sive maxi.
mo communi dirilore inveniendo, ri prop. 2 C7 Euclidis; dirisores per resi.
duos continue diridendo: quae quidem inquilicio cst huic admodum actinis.) Ouod
ubi concingir, pro limicibus ad instar  f = e= 6F, habebitur aequalitas. Sic, in
praelenci exemplo, cum perrencum est ad 4h; - = 3j = F = 3B; Tumpro B = 27
majorem enim tore quam Tj, patet ex aequatione praecedente) erit (4 Bi F 3)
L F = 8j + 3,2 + F =) 12j + 5 = (31 =) r2j, quod cum tieri polte con-
ItCE, Polico; =L; Patet inde ralor numeri j. Unde recrocedendo invenientur
valores ditterentiarum B, 5, f, e, d, 6, b, et tandem iptius a = 280, quae radix est
quadraci primitus qua liti.
Atque haec quidem ad processus Formam latis explicandam Cutticiant.
F’acile autem hinc est colligere Theorematis verirarem Dato quovis numero non-
quadrato; nempe dari aliquem quadratum qui in cum duetus adscita unitate aeque
Tur quadrato; adeoque ec insinitos, uti jam pridem demonstravimus (V id. F pist. 16. 
Hc quidem non modo adscitannitate (quod proponit Fermatius) sed et aascito
quovis numero quadrata, (quod e jam anrehac a nobis alias ostentum est.) Nam,
verbi Oratia, VE POSIIO F3 a F F aequali quadraLO; PTOVENIE LZp L E = Z2 j2 a
deoque, =L: lic si a principio poticum tuisset 13 a2 = 9, provenisset FFp 1
= 12], adeoque j = 9; (unde colligetur a retrocedendo, ut prius;) ee limiliter
quicunque alius quadratus loco r, rel o, adscilceretur.
AtverO, adscito numero quovis, Duta non quadrato, non erit univerlaliter ve-
rum. (Ouod de jam pridem diximus, atque ostentur facile cAt.) Ouo autem
catu res est pollibilis, eodem plane modo innorelcer; substiten do neBC PrO T,
numerum illum quemcunque possibilem.
Sed e porro notandum eric, eodem plane modo procedendum elle, (i pro aascito
quovis numero, dicatur, dempro quovis numero (incellise possibili.) Nempe pro
Y T, Substiuendo = + (e timiliter de quoris alio numero pollibili.) Quod oppi.
do notandum cst ob ea quae post cradentur.
Acque tractenus quidem sacis aperuisse rideamur quae ad hoc neoorium necestario
spectent. Lubet tamen alia quaedam adjicere quae ad expedicionem Faciunt.
Primo itaque, cum jam supra dictum lic, indifferenter pro arbierio poni poste d
principio, vel 13a f C ==Q: 4a - b: == 16a2 = 8 a b L B2; vel 13 aE + I =
O: 3a + b: = 9 a + 6 ab f b: Onamquam illud omnino rerum lic, expedicta
men eam politionem elisere qua habeat b minorem. adeoque in praelenti exem
plo, quoniam certum elt F3 a F L propius accedere ad 16 a quam adl 9 a, (quippe
illic ditterentia est 4 a f F hic aurem 3 a= = F,) commodius DONCtIF 13 a F F =
16a - 8 a b. + B2
Similiter, cum postea dictum est, eo quod potito 13 a - f Z = 9 a = 6ab F B2
reperiatur a major quam b acminox quam 2b, indisterenter poni potse, vel
a = 2b = 6, vel a = b =c; quamquam ec illud omnino verum sic, expedit ca
men eam eligere potirionem qua disferentia s minor cractat. Adeoque quoniam
hic patet a propius accedere ad B quam ad 2 b, commodius POnCLIE a =, b  c
quam a = 2b = 6. Duod et de reliquis item ditferentiis d, e, f, dcc. Pariter in
celligendum exit.
Rario est urrobique eadem; quippe cum id agacur ut ditterentia B, C, d, dec.
concinue decrescentes, tandem ad unitarem reducantur; id citius tec sumpris ubi-
que minoribus quam majoribus difterentiis. (Ouod quidem pariter obcineret in
abbreriandis tractionibus, sire inveniendo maximo communi dirilore, noca me-
chodo. Duod Paris quidem obrium erit adrerrenci, quamquam neseiam numquis
illud Toleat obserrare.)
R

## Folio 804 — 851708439:0828
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000828.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
004
C OM N E R CT U M
exemplo adjecto paret: Ubi eodem quo prius nIerO n = LZ expotio, calcutus
certia parte brevior est quam supra, ubi differenciae semper excestira luMeTeMEuT.
Re sie insticuta, caleuli compendium non concemmendum hinc haberi polse,
Cuippe illic adi, tuie lot ad su continuacur calerilus.
13a + 1 = 16a - 8 ab + b
5ab - v = 3 a = +
30 = a = 2b
b + c
166 + 880 - b = 128 + 126c + 30 - 1
36 +T= 4bc+3c
26= b = c
6
d
126 = 120d+ 34 Y1=88 - 40d + 30
c + + = 8cd - 3 d
8a = l = 7d
Je -e
d - e
3d +
642 - 26 de + c + 1 = 64 4  - 8dc = 3 d.
2c
2C+ f
3C=
4ef+5) 5c-
220 + 120f + 352 + + = 168 + 8ef - e
2
Or autem videatur hanc methodum utui ee, non modo ad minores vel me.
diveres cancum numeros, sed de ad valtos Paris exquirendos; id ipsum libuit ex
Deriri expolito numero non quadrato n == 109; (qui ex omnibus quos habet D.
Frenicte, maximum quadratum postulas, quemque nec inven iple, Led a V. Lit.
mas, sibi cransmillum Fatecur:) Nempe ad hane formam,
1t - 100
100a + 1 = 200 a + 20 ab +. b
92 + 1 == 20 ab + b
= 26
a 2b +c
366 436604904 1= 40206c4b
16b0+ 90 = 5b = +
= 30
b = 4c.
64c = 2604 + 9c = 800 = 40c4 + 3 8 - +
24Cd- 5d=
C= 3d
= 3d  c
c.
Unde
VolI
Gura
ade
s1
ltA
la
cel
qui
pur
Iu
Mta
sap
qua
MI
12
Op
e
Deo

## Folio 805 — 851708439:0829
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000829.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
Y OL
U M
Ohde collie
= 17 403 432
26
389
54988
2575
TC
167863
34. 7246C
TT60T6875123
563850903159
e = 1807569584602
4 C = a = 66664 274.35249
a = 2 b + c = 25F40424455100.
Videmus ilaque numerum an radicem quadcari quatiri, notis falcem e4 serixtum,
adeoque s quadratum iplum nocis salcem 27 Seribendum, (numerum facis valtum,)
policionibus nonnisi 22. investixatum. Ouam inreltigationem lacis pro rei na-
cura compendiolam esse vix erie qui difticebitur.
Verum aliud adtue superest compendium, quo non raro etiam hujus laboris
pars quasi dimidia abscindicur. Ope scilicet regulae jamdudum traciex; nempe,
si differentia numeri expositi, in quadratum aliquem ducti, ab alio quovis qua-
draio, sit aliquota pars dupti rectansuli sub quadratorum illorum radicitus; quo-
tiens divisione emereens, erit radix quadrati quaesili. Quod cum continsere ne-
ceste luc, quocies ea ditserencia elt vel F, vel 2; siquando reperiatur quadratus
qui in datum non quacratum ductus, rel alium quadratum unitate aut binario su-
peret, vel etiam binario deticiat, exinde collisi quadratum quasirum cerrum cst.
Hhoc aurem incer operandum, praelercum in longioribus numeris, ubi compendio
maxime opus elt, lapissime occurret.
Exempli GraLA, expOSicO (ut modo) n = +3: quia pOLIIO +, ∞2 L Y = 16a
- 8 a b + b, habetur aequatio, 3b +5 = 4b0 = 302 adeoque 2c = b = c; A
ab initio poticum Fuisser 13 a = F, Prodiitet 3b - + = 430 + 303 adeoque
26 = b; unde exit c = L. b = 2. a == 5. Cujus quadrats in (3 ductus unitate
superabit quadrarum numeri 18, adeoquc 180 (= 2X5 X 18) eAt veruS numerUS a
quaelicus, cujus nempe quadratus in 13 ductus, unicate minor exir quadrato nu-
meri 649.
Eodem modo; expOTito n = 109, ubi operando uE Spra (POTito 209 a f L
= +00 a = 20ab FB) perveniatur ad 16kl + 5 V = 9k - F, ad eoque 3I = P
=2I manitestum li ab initio POnCrCTI 109 a =- T, prodicurum tirisC 16 k l 1. 5 p2
= 0p f2, adeoque k = 2 I unde habetur l = L, _ (retrocedendo) a = 851525
cujus nempe quactratus in 23 ductus unitare superet quactratum, unde candem,
dicto modo, colligerur qualicus a = 25+4042.4455 200 cujus quacratus in 12
ductus unitate a quacrato deficiet. Adeoque qui ad y prius procellerat calculus
Pocerie ad L cerminari.
Sic expolito numero non quadrato 433; potito 433 a f + = 44 7 a - 42 ab. + B
operatione ut praeleribicur peracta prodibii aequatio 8 0 f. T = 38 op f 0 p. 2d
eoque 5 p = 0 = 4 P; Ergo, si poluistem ab inicio 433 a = L, prodiittet 8 0
X = 38 op. f 9 p, adeoque 5 p = 0. et PrOpterCa p = 1, 0 = 5, ec. unde
prodiret a =347483377, cujus nempe quadracus 120744697291324. 129 in 433
11iii3
ductus

## Folio 806 — 851708439:0830
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000830.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 85 lines, status machine
806
DM et L L C LU HC
ductus extriberet 52282453927143347857, qui
unitace superat quadracum nuerI 7230660684.
Adeoque 5025068734834899736 (duplum rect.
anguli Cub racieibus 34748337,87230660684)
elEnumerus a primicus qua licus: nempe cujus qua-
dracus 25252316292322095858983939677172
869696 in 433 ductus, extibebic 10933879954
575467506040015854235852578368, qui uni-
cace deticit 2 quadraco numeri 10456490785428
6695753. Ouxlicus itaque quadracus locorum
talcem 38, (numerus latis ingenS,) Polt 15 P0.
Ticiones decegitur, operacione scilicet non nili ad
P concinuata.
Acque hic quidem tixistem pedem; nili quod
5 b f b = a = 347483377. unum acthue aue alterum, mancilta loco, HOcan.
dum relter; non quidem canquam huie negotio
necellarium, sed nocam Fortan non injucundum.
Et primo quidem, quamquam (uc modo dictum est) compendium jam proxime
cradicum de inveniendo a sive a Succencuriato, (Cujus nempe quactratus In n
ductus, unitare quadratm (uDereE,) ejusque ODC, a vero, (cujus quadracus in n
ductus, unitace a quadraro deticiat,) omnino verum sie uluique accommodum:
Ti camen illud placeat neplivere, adeoque opus incepcum cousque continuare do-
nec prodeat a verum; id tacile obrinebitur (line operolo caleulo) propter cal
dem eodem ordine recurrentes aequationes. Exempli gracia. In numero priclem
expotito n = 109 ubi invencis aequacionibus quae conveniune iplIS a, B, C, d, _c.
ulque ad my (ubi habetur 857525 = a, sive a Succecaneum,) exdem ipla aequa-
LTIONES OCCMEPHNE PFO M, n, 0, P, _C. qua priuS PrO 1 b, C, d, c. (li lalcem exci
PIaS X ec y duas ulcimas in quibus lilticur; quas iplas eciam, nili illic siltere pla-
euerie aequationes, iplis L e  contormes elle oporcebit.) Poceric itaque caleu-
Jus, d principio insticucus, ad eas aequaciories inveniendas, stacim siltere, quum
Primum ad iptum L vel m, (unde scilicer a, Cire a Succencuriacum, collisitur,)
verreniatur. Fet qui hoc auxilium placuerir adhibere, pocerit ille sine magno
dispendio etiam compendium jam proxime cradicum negligere.
Alcerum, quod icem nocacum velim, hoc elt; Nempe, uti tractenus tradidimus
Formam inveltioandi quadrari primi radicem, cujus ope quadracorum deinceps
omnium in intinicum radices, juxca seriem jamdudum cradicam, tacillimo nego-
rio extibeantur: Si tamen ee seriem illam neslisere placueric, porerunt de reli-
quorum illorum quadratorum radices eadem arte (led lonsiori parum opere)
obtineri, qua de illa prima, concinuaco seilicet
opere inchoaco donce ad quadrati secundi,
cercii, quarri, _c. racicem perveniatur. Sic,
verbi gracia, Rxpolico uc TuPEA, n =- F3. VBL
verveniatur ad aequarionem hanc, 4 ef f 3s
3e= 2 collesimus superius, poni posse
e = 2f; nempe li Donacur f= 2; (unde e
recrocedendo reliquorum ralores inveltisari
mus, adcoque de iptius a quae radix est qua
draci primi.) AC verO Si pOnamUS = L, erit
C = 2f; adcoque potico e== 2f. e, proceden-
dum erie donce limilis reCurret iIeruM aqua-
20; quod tiet ubi ad h, m, pervenicur, nempe
+Im + 3m = 312 = 2, ubi polito m = 1,
Crit 1 = = 2 m = 2: unde (vecrocedendo) na-
bebitur a = 233640 radix quacrati secundi.
Sin acthue ponamus, non m = L, Sed M = 1.
Cxit I = 2M: adeoque Dotco V = 2 M n pro-
cedendum crie donee recurrat similis aequario,
Puca 4r 5. f 35 = 3r - c; unde, POLIO S- 1
Cric r = 2, e a = 303264540. Sin ponamus
= I, Procedendum uc prius, ad radicem quar-
Verum
2
56694
44.2
385
=6 = 15032212
4C + d =- b = 66490233
26454C
ec
e de deinceps quintis dec. ad Abucum.
e
nC
Ma
11
11
1
11
0
el
lui
cet
p
lu

## Folio 807 — 851708439:0831
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000831.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
qui
H, P FS F OL I C U H.
Verum de hic, uc prius, ubi ad a primum perreniatur, lerabitur calculus ob
aequationes similes Tubinde recurrentes. Ox in appolito exemplo liquet; ubi ha-
bentur cum omnes a reri (quos jam appello , B, C, cc.) cum e omnes a live a
succedanei, (quos notis a, B, 7, ecc, deligno,) pura, quorum quadrati in clatum
non quadratum ducti, unitate rel a quadrato deticinne, rel quadratum Cuperant. Si
enim, rerbi gratia, ubi jam est s = L; Bonacur f = E; ubi nunc est n habebitur
a radix prima. Sin locos = T Donatur m = =T; ubi nunc est e, habebicur a - B
radix quadrati secundi. Vei jam habetur a = C raclix quactrari tertii. Pc quidem,
concinuata limilium aequationum repecitione, habebimus D, I, F, ec. Quousque
libet. Ouod es, mutatis mutandis, de a B, 7, 5, ecc. intellisendum erit.
Obi incerim advertere licer; sicut ex cognito a per regulam Cuperius tradicam,
prodibit 2; (quia Scilicet 13X5X5, ∞ TBX 1B, = F, adeoque 2X 5X 18 == 18O -=A;)
tic ex cognito A, prodibicB; CX B, C; Cx B, D; CX V, L; ex C F, e
Acque liuie limile Exepistime continget, cum seri tamen nonnunquam discrimine.
Exempli sratia. Fxpolico non quadrato 2T; adeoque 2F a F L, = 25 a - 20 ab ( b2.
vel = 16a = 8 ab +b; prodibune illic numeri, L, 2,5, F2, vel etiam L, 2,3,5, 12; hic
rerO 2, 2,7, C2, VCL L, 295,7, T2; vel etiam F, 2,3,5, 7, F2; (prour aliis aliilque modis dif-
terentias addliciras vel ablaciras, vel miltim Tumamus;) prodibit aurem nccunque
a == +2 radix prima; seliquae que deinceps opere continuato innocescene ut prius.
Ubi nocandum erit non modo numerorum  B, C, Ccc. quadratos, in dacum 2Y
ductos unitare a quadrato deticere; sed _ mumerorum a, B, y, _c. quadratos sic du-
ctos, quadracum superare, non quidem unitare,
Led aliquora saltem parce dupli rectanguli Cub duo. N = 2L.
rum quadratorum racticibus; unde innocelece, ut
Supra, quadrars alicujus quaelici radix. Verbi gratia,
na= = 2EX2 X 2 = 84. = BC.  3 = OXC
EroO 3) 2X2XO(F2 = A radtix qua sita. PF lic
de reliquis. Nempe ex cognito a cognolcetur
A; aeque CX A, B; e CX B, C; CX B, D; Cx y F
Sc. Nec multum absimiliter in aliis numeris con-
tinget. Ouanquam ec nonnunquam Toli prodi-
bune , B, C, etc. Sed his diurius immorandum
non clt.
Acque haec Tune Insignissime Domine, quae ad
hanc etiam Problematis Fermatiani solutionem
explicandam dicenda videbancur.
Habet iaque Nobilistimus Fermatius (ut huic m = 21 = k = +45+88. C.
eandem nesocio tinem imponam) Problema Tuum,
cum mulciplici methodo, cum e adeo felicirer lo-
ecc.
_c.
Jutum, uc vixcredam, non dicam, D. Frenictum, (qui quid in hrac re peaesticerit
jam palam secit,) Ced Fermatium iptum (nequid alenus dicam) accuratius tuisse
absoluturum. Dec ese credo eur rel hic relille, sire de nobis, Dominarione Palrem
restra, Cire de genconostra Priumphum agat. Id satrem luperest, ut Dominationi
Vestrae gratulemur, qui a Nobilis. Permario ad Frastiludium (coups de lances)
lirerarium, in arenam vocacus, priseam Anslorum sloriam quam advertus callos
olim obcinuerunt, eciamnum retines illibatam: Nec ArtC, minuS quam Mart, An-
slorum Fleroas pollere indicaveris. Ec quidem cum Vir Nobilistimus, utur hac sbi
Juisque ram peculiaria pucarerie, ee aliis imperria, (quippe non omnis fert omnia
tellus) ut ab Anslis haud sperareric Tolucionem; proticeatur iamen qu’il sera
pourtant ravi d’estre destrompé par cet ingenieux e scavant Sienieur; erit cur de
ipse cibi gratuletur. Me quod aucinei, humillimas elt quod rependam gratias, quod
in Victoriae ma paslem adrocare disnatuS es,
Oxonii, fan. 20.
1657.
Ailo Anglia.
Insienissime Domine,
Fhumillimum uum, L ibique obsequten.
e
rissimum servum
=218. B
 f = 1320. B
12649
078. 3
2 k  1 - 66605

## Folio 808 — 851708439:0832
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000832.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
 M M C LC T U M
E PIS FOL. A XL.
Si
D. Vice Comilis Brouneter ad D. Job. WV allis.
D Reccired vesterday a L etter Trom S. Kenchm Dieby, wich chele incloled. In
 mine ras ontr complemenes, and a reterenee co chele. Jam noc displealed 10
Tec, chac ac last che detire Mon L. Prenicte eridency hach co oppole us in all he can,
Producech onely luch cririal objections as are 10 be lound in chele concaincd. sip.
22.) Onty Jam Porry his passion Thould mislead him inco luch uncirit exprections.
Ilis Argumenis are lo inconliderable, chac chey harely delerre ans reply: FIIS
caril ac jour solucion by chenumber Y, is very reak: F’Or chac T is noc a number
in che opinion ot lome, erery one knons; buc cher all doc know as vell, chat il
is a numiber in che opinion ot ochers. And chat boch ME Fermat (Wrtro propoled
che Probleme) and Mr. Frenicte (urtro no mateschis objection) have caken ic
tor sueh, is cridene trom cheir papers. Fhac it ras Tueh a lolurion as che Propoler
expected, nonc ean luppose; nor ras ic siven as Tuch; buc racher 1o Theu hou
calily ic mishe be solred as ic as vorded; and chac ic oughe co hare been ocher-
vile exprelled, or chac excepcion made. His cavil ac mine, procceds trom his
noc mindino che sense chereot, irhich vou did 1o tully exprels, chac ochervise he
could hare no ground tor wtrac he objcets, che aliquoce paris beins restraincd 10
che actual parts and no ochers. Thac L doch noc in erery respeet agrec wich che
instance 343, is very crue, (nOx Was chac required in che probleme:) But it IS 2S
crue, chac nonc oFhis solutions do (0 100: VOr, a5 che Cube T hach no aliquote
Paris, lo are none othis numbers, prime Cubes; as is che inltance siren 343, chc
cube ot7 a prime number. Sereralotmy triends, in irhole compans L nOW aM,
Will noc permit meco lay more, bur chac L amn
Sit
Zour most saicbsul friend and servane
BXOV NC A _ A.
Fcbr. 18. 2658.
ELISTOL A XXI
D. Kenelmi Dieby ad D. Job. W allis, pracedemi imetusan
una cum subsequente.
May seem cote one ot chose Debtors chac are run 50 tar in arrearas chey can
a nerer hope 1o lacistie cheir Credicors, nor hare contidence ce appear belore
chem. P’Or ic is nOW near a Monchs linee l reccired vour most oblisins LCUeK
ot che 3 et Sepremb. lalt, Stilo ver. (Fp. 7. ) I could mate von an exeule, (and a
eruc onc,) chac mueh ot chis time Lhare been ouc ot Town; and (o calt my (1
lence uxon charcause. Bur chat ivere noc a jultitiable exeuse. FOr, no cumult O
remorine, nor crouble ot jornerine oughe co be allored, tor a lusticient cause 10
retard chie evenciech pare ot chis cime my humble and due aetenor ledoine vour ex
celtire larour and inlimiced civilicies chis Noble and generons sellet ot foo.
My visest course chen, a5 Wellas che mol candid, is co hare recourse uneo plat
and donn righe cruch: wtrich will never fail ot bearins ouc her triend, as lons as
lor l’expected he vould send i me wichin a rerum or cro ot ihe lOll. Buc etei
alttue
Worthy Su,
his incencions are lincere ane relpeeltul. Phisplea he makech untlo vou ii my bc.
haci. Four obligins expretlions in vour Letter ivele 10 berond all BoPotOn
or pollibitur ot merie in me, chac L judeed bare and dey chants, 100 mean a rC.
in tor lo hiph a larour. LWras detirons 10 dra in anocher inco che acconn
ichme, chac mixhe olter Pomechins co von (o acceptable as mishe make my l
ter ihie releomer chac thould ultrer ic in. And accordinoly L senE uncO MOuHII.
Fermat Vour ingenions and noble Theorem, aboue che legmene ot a Pyramid Or
Lonc; encreacine him eo send me che demonstracion otic, chat L mishL CranIIHLC
10 y0u. And chercupon, cill Y Chould have his anliver, ldeterred Wricine 10yOu;

## Folio 809 — 851708439:0833
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000833.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
P IS YOL I C U M.
Tince, From rime cotime, Thare had nochins trom him buc excules, and still re-
mirtins me to che chenexe, and che next. It is erue ic came to him upon thenick
ot his remorine his seat ot Judicature From Castres L0 Tholose; Where he is Cu-
preme Judse in the Poreraion Court ot Parliament. And since chat, he hach been
tatsen up With some Capital causes ofgreat imporrance; in uhich in ihe end he
hrach siren a Famous and much applauded sentence tor theburning ot a Priest that
had abused hisfunction; irtrich is bucnemsy finistred; and execucion done ac.
cordinslr. Buc chis irhich mighe be an excule to many ocher, isnone to Mouns.
Fermat, Who is incredibly quick and smart in any chine he cateth in hand.
Theretore his not girins che demonstration ot jour Pheorem all chis while, (nox
ans ocher antiver, buc much commendine and applaudino ic, every cime  hare
irricten to him about ic) is an eridence nou ac chie lalt, char l must expect none
From him. And cheretore must not hope co have my chirst Patistied in chis par-
ticular by any ocher chen hy vour vorchy SelF: For Wrhich end, when L Mallhare
the happinels ot raitins uxon rou ac Orfora, L will humbly bes che demontera-
sion ot you. And certainls, as Coon as IMall recurn into Fneland (Wtrieh I
hope will noc be lone First) one oF che tirt journeys L incend ro mate, all be
2o chat Famous dvellins ot che Muses and protoundest sciences, chat L may chere
Winels to vou in prelence the great ralue and decp respeet I hare For vou, and
receire rhen alto che tarour ot being introduced by rou io lalute vour worchy
Noble Colleagues and Friends Dr. W illins and Dr. W ard; whom L exccedingly
RONOUE.
AS T was thus in despair oF receirins vhac I hoxed FrOM NIP. Fermat; and
therelore resolred 1o break my Cilence and humbly crave vour pardon For it, uxon
cellins vou che true caule oL ic: L reccire a neu Pavour trom vou by vour
most obligins lecrer ot the 2E ol Norember lalt, (Fp. 26. J wrtrich hrach had a
very Pon pallase tome: occasioned (a5 T understand) tirst, by my Lord Brounckere
absence trom London; and chen, by Mr. Whites; tor ic arrired hicher but by
the last POst. MIP. Frenicte was at dinner wich me when it vas broughu me: after
Which lome necelsar buline ls called me presency abroad For lome hours: durine
Which (atier havins curlorily run ic orer by ny selF) Plete ic wich him to per-
use. When Preturned home, I found he had hastily irriccen in my Chamber
(Where T Letchim) Tome reffections apon ihe tirst pare oF vour letter, in Form
oF onc come, reterrins to send or brins me his considerations upon che lacter
Part oF il, chac day serennishe: For he vas to so our of corn chè nexe mornine
For 4 Or 5 days. Lhare lons debated rich my selF Whecher I Tould send it vou
or no: he expressins cherein (o disterene a lense trom yours. Vet in che end LWO
reasons hare conrinced me chat it is belt to send it vou: The one, because ne
delirins me carnestly to do (0; IF PBould noc; and sou chereby noc knovins
irhat 10 reply cohim; he mishe mis judse jour silence eo him and please him-
SelF rich che belict oF an adrantase, thac L doube noc but vou ill (OOn per.
firade him che COntrary. The ocher is, thac che variees ot senciments be-
tween sreat and learned men, is no Imall promorion ot learnins, by girins oc
casion 10 dilplay decp and abstruse rexities. P cheretore caused my secretary 10
coppu out his letter to me (for, it vas so haltily scribled in a Lreneh hand,
that vou rould nerer hare bin able co read ic) aud here enelosed I send it you:
25 all0 L Will dohis next, as loon as l receire ic trom him
Atter (0 lons imporcunins vou ac chis cime, Pivere 100 blame, il P Furchee
prolonsed jour trouble, by matins an apolooy 10 you tor doins (0. Thebest
amends P can now matie, is not 10 vertilt in doins amils. Phere chen cut oF
inc chread, by signins my selt, as L cruly am
Noble and W’orrhy. Sit,
Paris, 6. Febr.
2658. dt. LbD.
Lour mose humble and most assectionate
servant and honorer
auca mnaat LleLo

## Folio 810 — 851708439:0834
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000834.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
OM N P R C I V M
E PISFOL A XXII.
D. de Frenicte, ad D. Kenetmun Dieby: praecedenti inctusa.
X A trandum sane mihi videtur, Vir Wllustristime, quonam pacto perici alio.
V quin Machemariei cancum hallucinaci sinc in relpontione ad duo proble-
mata numerica Claristimi Viri D. Fermat, (vide Fp. 23.) circa cubos d qua-
dracos omnibus suis parcibus aliquocis addendos, uc unicatem icerum ee certio
producere ad illa Colrenda non dubicarine, ve videre est in Lepiltola Claristimi
allisii Oxonii daca 2F Norembris (sep. 16.) quam mihi ex cua benignitate per-
lustrandam cradidisti. Ouis enim vel rulsaris ArichmeticuS, AUC POLUS CX NO-
vistimis cironibus hanc Colutionem cradere non crubeleeret Ouamris cuiam uni-
eas quaestionem pertecte solveree, cum haec omnes numerorum gradus de tiguras
In SE CONLINCAE, IE NE QUanqUa nON SIE HLICTUS, OINCS TAEN MUMCTOS, quo-
dammodo reterat; sed ne ipsa quidem unicas, his quae requiruneur lacistacere va-
lec. Haec lunc Problemata.
1. Invenire cubum qui addicus omnibus Tuis parcibus aliquoris, conticiae qua-
dracum. Exempli gracia; numerus 343 est cubus à latere 7, omnes ip(ius partes
aliquoca TunC 1, 7, 40, quae adjunetae 343, conticiune numerum 400; qui elt
Quacracus d latere 20. Ouaricur alius cubus numerus ejuldem nacuITA.
2. Ouaricur etiam numerus quadracus qui addicus omnibus suis parcibus ali
quoris conticiat Cubum.
Ouaricur igiur numerus, qui habeat parces aliquoras; sed cum numerus sit
mulciudo unITatuM, ipla UNITAS NON CrIE MINerUS; igitur unitas non solrit qua-
ItiOneM, quIa QUATIEIE NUIETUS; ec non quiris numerus, led qui habeat partes
aliquotas quae ipsi jungi postine, ee sic ejusdem nacurae ac numerus propolicus 343,
CujUS PATIES enUMETANCUT. Dux aucem Tune partes uniracis certe si nullas habet
uc iolemet N altisius lacecur, neuriquam ipta eric ejuldem nacuFX 2C 343, nume-
rus scilicet cubus qui habeae partes aliquocas, qua juncta ipli numero taciane
guacracum.
Si vero ad fractos trantire in parcibrus numerorum est animus; unitas de qui-
vis numerus intinicas habet paries (si tractiones pro parcibuS TUIIANCUE,) qua
ideo addi non pollune. Pam lonse isitur abelt d propolico, ut ltupore ee ru-
bore alticiar cancum virum huie relponto quali lolucioni non Tolum acquielcere,
sed eriam laudare ee approbare; acque insuper quod allererare ausus LiC, hanc
quam vocat lolucionem quaelicis accuracissime respondere.
Jam ad aliam solurionem 2 Nobilissimo Viro D. Brouneter per numeros Fra-
etos accedamus, e perseruremur an haec solurio sic admicrenda.
Superius enunciacum est, quod si Fractionibus locus decur in partibus, cuivis
numero, lire ille lic incesser, live sic tractus, intinicas partes polle actignari; et
ideo nulta pocerir elle parcium addicio, si enim verbi gracia pro cnbo decur 387,
quidni cum exposicis parcibus s a 23 criam , 26 b, _c. vel 53 16 B, dc. vel 518
incer iplas compucabuntur d nequaquam enim, uc tx line parres, opus elt candem
iplis denominarionem permanere. Sed poliris hisce parcibus nimtrum,   93 ne-
cellario inde aliae partes exurgCNE, e CrunE ipsI numero 2B PaTICS 34 315, qua
quidem limul junctae es cum suo numero non taciene quadracum.
Duamquam autem nulla alix ellene parces lesicima ipli 352 quam supracractila,
quae idem nomen recinenc; quis non ridet hunc numerum cundem esté, ac iplune
343 a D. Fermat dacum cum aliquancula immutatione, de omnino ab iplo de
rivacum. Si daco criansulo rectansulo 3, 4, 5: aliud cale quaereretuN, SustICCTeIC
ad legicimam solutionem, e qualem virum erudicum decer ipsius mulciplicem
6, 8, 20, exhibere. Cur aurem in eildem numeris tractis etiam numerum qua-
deacum qui junctus suis parcibus faciac cubum non expoluerit: cerce nulla alia est.
caula nisi quia D. Fermat calem quacracum pro exemplo ue in cubo non pra
buic. Jam vero cum habeat in opusculo Lacine conseripio, de cibi Vir Nobilissi.
me dedicaco, quadracum quaectioni Pacistaciens, tacile illi erit applicando quactrato
Cubos huie quadraco alios quorquot rolueric eadem via producere.
Sed neque mihi arridet causa cur plures non dederie Cabos: quia, inquie, non
plures poltulae Fermatius; uc etiam quod sua incagatione problema indisnum
cenleat;

## Folio 811 — 851708439:0835
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000835.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
I, P FS FOL I C U M.
censeat: De certe hanc postremam ipsius exculationem admicendam elle non con-
cradicerem, si huic quaeltioni non inrigilassee, et illam neslexille limulalset: de
Bune in hac ciritate praestantistimi Machematici, qui etsi nominatim ad cadem
problemata Tolvenda à D. Fermat tuerine provocati, silere tamen aluerunE,
quam incongruum quid erosare. (Solus Frenicles eadem aggrellus et, de Tolu.
tione poritus; quilque suo dono peculiari insignitur: hoc ille; alii aliis; libere
ettacum illud tacendum est, non omnia poltumus omnes) hoc vero silencium ni-
hil eorum tamae decrimenti actulit. Sed quia D. W alliscus unitarem repetitis vi.
cibus pro cubo quasiro protert; es ideo exeteros inquirere neslisat, quod Fer-
matius plures non requirat: cerre nullus datur huic exculationi locus, cum nul-
lum plane cubum cradiderie, quando unitarem obculic: tacile igitur est illud de
spicere, ad quod non poltius perrenire. Nec etiam multum convenit Mathe.
deon Protectori, conqueri cui bono sint haec problemata; nobis tortican qui nas
disciplinas non proticemur, sed in illis animi tancum Gratia exerCCMUE, hoc dictum
condonari pollet.
Eodem vero jure quaereretr ab eo, cui bono, cui urilicati in inveltisanda per
peram circuli quadratura tanco tempore insudarit, vel etiam in contexenda lua
Intinicorum Arichmetica; nequaquam enim Mechanicis usibus haec omnia inser-
vire poltunt: Sed cui bono tora pene Creomerria, de Arichmetica, R paucula quae-
dam, ee ea magistrita, et d peritis despecta, quibus Ccodaeta, Agrimenlores, Mer.
Catores, _ qui ueramque Architecturam exercent, aliique complures in fuis cal-
culis uruntur, excipias; exetera namque masis recondica, et praestantiora nonnisi
ad scienrix Cubcilitatem, ee pertectionem spectant.
Cum aucem sic proprium intellectus humani veritarem inquirere; nec aliam
ob caulam toc riri praeltantes scienciis acquirendis operam dederint: inutilis certe
dici non debet in disciplinis alicujus acquilicio reritatis.
Olcerius progrediendo, rideo ab ipso proxolicum esse problema Cacis elesans:
exquirit nempe quadratos numeros qui juncti cunctis parcibus suis aliquoris conti-
ciane eandem summam, uti Tunc 26 ee 25, quorum quilibet junctus suis partibus
Facit ZT. Sed quia videtur hoc quod illi primum fuie obriam d quasi torrnito
voltulare, non secus ac Si ipsum D. Fermat Similiter egisse pucaret in suis pro-
blematibus proponendis; quaero ab ip(o Wallisio (vide Fp. 23. 29.) an hrabeat
cales quadratos, vel Calcem an cerro leiat e démonstrarire, si tales alii quadrari
inter le primi, vel E nulli praeter 16 ex 25 in tora numerorum mulcicudine repe-
riantur; e postea responsum accipiet; non enim debet ignorare, an quae proxonit
sint impossibilia necne: nec est Machematiei, leriter, e ab (que matura inspectio-
De quae primo ip(I UE OCCUrrunE Proponere; nili Fortiran iustructionis lua Gratia,
e de eis qua trultra indagarerit, perquirat.
Exrerum si haud prospere ab ipso actum est in his prioribus, reliqua Felicio.
rem non consequantur erencum, imo etiam in pejus ruunt, dum pro solucione
multiplices quoldam numeros cradie, quod quidem nihil aliud est quam numerum
in 2, vel 3, vel alium numerum ducere, ec in hoc rires sias exercuisse ee suHi-
cienter probasse jactitat, id ee alia pleraque absona mihi facillimum foret palam
facere: Sed nunc lingula ligillatim discurere non vacac; actamen adeo me bene.
volentia, e benetieiis derinctum renes, ur nihil laboris lubtertugere ad cua man-
dara exequenda, nec desiderio cuo aliquid denesare poltim, e me semper ad cibi
obcemperandum paracissimum invenieo. Vale.
Parisis 3. Febr. 1658.

## Folio 812 — 851708439:0836
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000836.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
OM M F R C, 1
t
D. Job. W allis ad D. Kenehimum Dieby.
Ellustrissime Domine,
= Vas Parisiis Fcbr. 6. At. n. datas, ( Kip. 22. ) F cbr. 29. st. vel. decubicurus acce-
L pi, quas pridie Fondini acceptas ad me crantinilerac Hlonoraciltimus Vicceo-
mes Brouncker, una cum inclulis D. Frenieti ad ce liceris: Ouibus poltridie parave-
ram relpontum; sed cujus mistionem hactenus diltuli, eo quod aliarum lepennana
sequence micendarum spem seceras, (quas nondum accepimUS,) quibus limul re-
sponderi polle pucareram; idque eo pocius quod me Dec. 26, (f. p. 18.) aliaeque paulo
cieius d D. Vicccomite Brouneker ad Femilla, nondum (uci videcur) ad Le perve.
nistene, cum illae cux seripeae tuerane. Non pollum aurem non humillimas ob im-
mensum quo me tarore prolequeris immerenum gracias reponere; led de graculari
nobis ee Oxonio nostro, quod spem leceris Te nos meerences praesencia cua reto-
cillacurum brevi, quidoctillimum Lansbanium, ec cibi chariltimum, jam deHemus,
rix reparabile damnum; pleuricidis morbo Febr. 9. viris crepcum. Pancillum cem
Poris et quo Armachanum, Scldenum, Lansbanium, cres incomparabiles viros.
magno licerarum damno crepeos, Anglia deflererit.
Ad inclulas cuis Nobitistimi Frenck liceras (Xep. 22. ) hareo quid dicam. Si
enim conriciis asendum lic, cacere mali quam LETTaL RECIPTOCATE.
Duod numerus = parces aliquocus non habeat; nec norum cH, nec ego id nesci.
veram.
Ouod autem F, Cubus non sic, quod non sic Numerus; quamquam ab alio For-
tan id diei polle pucallem, non camen pucarerim d Freniclo dicendum; qui cundem
ipse uc Numerum extribuerat, ee quidem Cubum. Lxtribuieurique (nili ne tama
Fallic) ad aliud Fermatii problema, 2_ 1728 ut duos Cubos numeros, duobus aliis
numeris Cubis 2000 8 729 aequales. Pundem in libro cdico (quem Favore cuo
ne nuper accepille pracuS agnolCo) pac. 6. Nmmerum appellac, (sexponantur, in-
quie, duo Numeri E∞ 7 de hac ipla quaeltione verba taciens:) de quidem dua-
dracum, pac. 17 (verbis Fermatii, in ipta polterioris quaeltionis eudésc,) dua-
dratus 2 ductus in 3, adscita unitate, facit 4. Ouod de verbis luis contirmat Fre-
nictus, pas. 21. Tub tinem, id iplum alterencibus. Icerumque pa8. 23. productum,
inquie ex 5 in quadratum L. Sic Pa5. 25, lin. 29. Nimerus 7 in quadratum L du-
Etus. F.L Lin. 23. minor numerus erit quadratus nempe 9, e major erit 1Y in qua-
dratum = ductus. Fc pastim alibi. Cur vero, si Guadratum ese FaceatuE, neget d
Cubum elle; vel eciam, si Claristimis D D. Fermatio ee Frenicto cum Numerus. (IE
tum nunc Ouadeacus, nunc Cubus, nobis incerim non sic; non rideo.
Elto itaque limus, Sire ego, lire de Honoraciltimus Vicceomes, non nili Yulea-
res Arichmetiei, vel etiam ex novissimis Zironibus; ac quid mirandum lic, quie
crubescendum, quid Clarill. Virum vel Stupore assiciat, auc rubore, nos planC NON
allequimur. Propolicum urique fuerac Luvenire Cubum, qui addius omnibus suis
parcibus aliquoris conficiat duadratum. EA, inquam, L, Cubus, (Frenicto Calcem
hrabendus est Dro Cubo) idemque addicus suis parcibus aliquoris (quippe nullIs)
manec achue r; qui de Guadracus elt. Oueritur item Duacratus, qui addicus omni-
bussuis parsibus aliquoris consiciat Cubum. F.II, inquam, idem L, OuactratUS,
(Fermatio Caltem de Freniclo Guadratus erie, quippe quod ucerque (aepius actirma-
vic,) idemque addicus omnibus suis parcibus aliquoris (quippe nullis) manet ac-
tuic c, qui Cabus clt. Ouid icaque vereamur non modo iterum e terrio, verum
item gnarco de quinco si opus sic actiemare; Onum eundemque numerun L, Utri
que quae suo satisfacere. ide LPist. 26. 43.
Ouid aurem Clarissimo Viro bilem moveret, (ne compellaco quidem, nedum
lacellico, ce quicum, ubi liceras qltas caspi seripletam, miti nihil quiequam incer-
cellerat negocii; neque iplius libellum vel videram quidem auc de eo quicquam
inaudireram, tancum abielt ue quoquo modo la serim,) plane neleio. Non enum s
alium aliquem numerum expectarerie vel ipse, vel de Fermatius, quod (nultus
dubito,) vel eciam ipse (quod cum nescireram) alios dederu, igicur de aegre ter-
rene hunc ipsis ex insperaco oblatum elle, quem Ferrmacius proxonens vel non
Praeviderat,

## Folio 813 — 851708439:0837
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000837.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
E, P IS F O L. L C, U H.
praeriderat, adcoque nec praecarebat, vel nec viderat Frenictus Tolrens, adeoque
nec decexic; Vti nec praeridie Forre Fermatius (nec Frenichus detexit) quastio-
nem certiam per numeros tractos solrivolle; adcoque simpliciter quadratos pele.
bac, quum tamen rellet nonnili quadratos intesros.
Ouod de numeri Fracti parcibus aliquoris reponic Vir Cl. ad ea quae nos hypo.
thecice tancum dixeramus (nempe, si Fermatius ec in his Lupponeret parces Ii
quorasu) num calori affectuum dandum sit, an festinacioni porius non decermino:
ac certe rix putaverim Cl. V. Sedate rem penliculle, quum, pro numeri 343 parcibus
aliquoris, haberi poltulat 33, 2635, ecc. Vel eriam 32, 16, 3, ecc. non minus quatu 6 693
82. Eas enim pro parcibus aliguotis, (ne quidem in quantitare concinua, nedum
disereta,) non reputandas esse, certum eAt, cum per 3 ec 4 dd7 Fuclidis, cum Td5,
quae ad (aliquotae) partis naturam postulane uc torum metiatur, (hoc clL, ut ali-
quories accepta illud aequet,) quod in illis non obrinet. Nam, verbi pracia, nu
merus 3, sexies Tumprus, minor erit numero 343; at sepries sumpeus, eundem luve-
rabit: Non is tur hujus ille pars erie, led partes, (ue loqui lolet Kuctides,) hoc
est, aliquota pars non erit, ed salcem aliquanta et de reliquis Cimiliter. Ouod
aucem 238 Guldem numeri  partem item aliquotam esse velic; quamquam illud
meliori praetexeu diei posser, urpore quod in quancitate continua admictendum exit,
eadem ratione qua = habebiur parsnumeri T, vel3 mumeri 3: accamen in quancitare
difereta non erit admitrendum. Vri enim 343 live 343, qui Onitares numerac, sux.
Ponicisitur Onitares illas actu diseretas, non aurem d imitatum lemilles aliatre
Particulas: Sic et 33, qui numerar sexagesimas quartas, supponit quidem has sexa-
SClimaS- GuarTaS (GUIDDE LES NUIMIETATAS) actu diseretas clle, e numerabiles; non
aurem ec centelimas ricelimas octaras, quas quidem porencialicer inelle dicas ee
menturabiles, (sicuc unicacibus inlume semisses,) non actu dilcretas.
Car denique ulteriorem exposici Problematis Colutionem neslexerim; jam ali.
quocies dictum est. Ouibiis si tidem non acttibeat V. CI. rix pucandum exit uc cis.
dem repecitis lit habitmrus.
Ouoniam vero tam importunus urget ClarisT. V. ut rix opprobriis abstinent ni
Fecerim: libuit tandem (quod prius non seceram) ut libi lacistaciam, quaestionem
illam de Cubo, ad mentem tuam aggredi; ut rideat lua de parcibus aliquoris
mylleria nec nobis este imperria, nec luum illud Facile est illud despicere ad quod
non possumus pervenire identidem oggerat. Dicimus itaque,
. Crcum est cujulris numeri primi quamlibet porestarem, parcibus suis aliquo-
tis adeicam, Tummam elle Progrectionis Greometricae, (puta L, R, R, R3, R, C.) Cu-
jus primusterminus (A) elt L; Radix prosressionis lire Fxponens rationis com-
uINIS (R) iILC PrIUS RUeTUS; eE numerus terminorum (P.) unitare major
quam lxponens dicta pocestatis.
2. Cercum item est universaliter (Der pr. 68. Cap. 33. nostrae Macheseos Onirer.
Talis) Tummam Cicomerriea Progrectionis elte
RI = Z
Tu, (PEODTEE A = +) erit =
RF- +
A; adeoque in praetenti ca.
3. Trem, cum de porestate Cubicajam agitur, adeoque vel certia, sexta, nona,
aliare cujus Exponens est per cernarium diritibilis; cerrum est, Pnumerum termi-
norum (quippe unicate majorem quam est Exponens Poustaris propolica) esse 4
7, 20, aliumre qui numerum cernario divisibilem unitate superet,
4. Si itaque cujusris numeri primi poceltatem quartam, seprimam, decimam,
ECc. unitate mInTam, (RemPC RF =Z,) per cundemnumerum primum unicace
minucum (R = +) dividamis; prodibie ejuldem poceltas aliqua cubica (Duca
certia, sexca, nona, ecc.) parcibus suis omnibus aliquotis aceica.
5. Omnes igitur numeros primos, Centenario minores, ad hanc normam exi-
sens, invenio, numeri, 2, cubum parcibus suis adctium, esse L5 = 3X 5; ejusdem
cubicubum (seu poreltarem serram) sic auetum, +27 (numerum primum;) Poce.
Platem nonam sic auctam, T023 = 3X TF X 3T. Fr limilicer in reliquis, quatenus hie
exhibencur, per lactores numeros primos asgregarum illud componentes.
L1
Rat.

## Folio 814 — 851708439:0838
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000838.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 80 lines, status machine
O N M F R C Y U N
Radix. Cubus parcibus suis om. HLaI.
nibus aliquoris auctus.
323
2
31.
LXXTZX61.
1
2X3XLLX71
5X5.
2XZ X Z XZ X5X5.
1. 2X2X2X3X6F.
Cubus auctus.
3X5
2. X3X77
3X3X3X5
X2X
2Z
5
71
73
82
X5XF74F.
x2X31X186
XZXZX5X I7X4 49.
a Ln
2X2X5
2
3. 2 X2 X57
17. 2X2 X3X3X5X29.
29. 2X2 X2
8F.
83
80
23,2X2X2 XZ X3X5 X53. 97.
2
X53
7X233.
7x94+.
Acque ad eandem Formam, qui id opera precium este pucaverie, poterie vel plu-
rium numerorum primorum Cubos expendere, vel etiam horum alias pocestates
Cubicas.
6. Certum est, ex hisce cubis sic exploracis, nullum este qui solirarius rem Drxe
Habit praeter I, e cubum numeri 7. Cum enim nullus numerus primuS Praeter L,
Pocest elle quadracus, non porest alius quadracus exspectari, nili ubi omnes factores
luncgemini; quod quidem ad numerum Z videre cA, nempe 2, 2; 2, 2; 5, 5. alibi
nusquam.
7. Oc igicur habeacur alius quadratus, cubo suis parcibus aliquoris addiro aequa-
lis, (nisi plurium numerorum primorum cubos, auc horum alias poceltates, libeat
expendere) sumendus eric cubus compoticus ex duorum pluriumre numerorum
primorum cubicis poceltacibus.
8. Si duorum pluriumre numerorum primorum porestaces qualibet invicem du-
cantur, tactus parcibus fuis aliquocis auctus, aequacur tacto ex componencibus par-
cium luarum aliquocarum addicione auctis. Fxempli gratia; ( a3 + a f a ] Y
ducacur in B2- f B- f T, habebitur aggregacuM numeri ab parcibus fuis aliquoris
aucti; quod hiterum ducatur in c F L, habebitur numerus a bc parcibus fuis ali-
quoris auctus. (Duod ee univertalicer ostendi porest de duobus quiburis nu-
meris inter se primis.)
D. Cubus isitur ex duobus pluributre expotitorum cutorum (modo non ab
eodem numero primo oriundorum) compoticus, parcibus fuis aliquotis addicus.
aequabicur facto ex cubis componencibus sic auctis; exempli gracia, Ouia cutrus
numeri 2 sic auctus, est 15 = 3X5; _ numeri 3, elt 40 = 2X2 X2 X 5; igieu
cubus numeri 6 = 2X 3, lic auetus, aequabit nUMerO 600 == L5 X 4O = 3X5 XZ
X2XZX5. Et in reliquis limiliter.
20. Orisitur cubus sic compoticus, partibus suis aliquoris auctus, tiac quacra
cus; tales lumendi sunc cubi componentes, ut eorum lic auctorum omnes tacto.
res primi sinc gemini; hoc elt, uc singuli tactores primi oceurrane vicibus nume.
ro paribus.
E2. Ouoniam igitur, inter factores exposicorum cuborum sie auctorum, numeri
Primi 42, 72, 127, 237, 28L, 233, 257, 285, 425, 448, 521, 942, 2093, 2741, 1861,
252C, 3T21, 81OF, e 1053Y, nonnili semel linguli reperiancur; maniteltum est
cubos illos ubi habenEE (neMDE CUbOS NUIETOTUI [O, 20, 37, 53,59, 6F, 67,71,
23, 29,80,97 de numeri 2 cubum secundum, quarcum ee quincum; item nu-
meri 3 cutium secundum; ec numeri 5, secundum ee cerrium) stacim eliminan.
dos ue huie necorio inuriles; (nisi plures adhue cubi expendancur;) quoniam
nulla expolicorum cuborum compolicione hieri poltune remini. Sed e propter eli-
minarum cubum numeri or, etiminandus eris cubus cercius numexi 2, (quia jam
Fuctor
2. X2
De

## Folio 815 — 851708439:0839
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000839.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
1351
E P Y S F O F I C V H.
tactor 3x nusquam alias habetUr.) Ex propter hunc eliminatum, eliminandus erit
cubus numeri 43, ubi factor s2 sibi seminum non sortietur, (jam enim nusquam
alibi reperitur praeterquam ad tertium cubum numeri 3, ubi jam seminus cst.) sip
propeer hunc eliminatum, eliminandus erie ec cubus numeri 3F (ubi 37 jam erie
Lolitarius.) Denique eliminandus est cubus numeri 17; quia nusquam alibi re
Peritur 20 Colitarius. (Nam ad numerum 4F jam geminus elt.)
22. Fx reliquis qui supertune, maniteltum elt cubum numeri F, quoniam mul-
ciplicando nihil immutat, compolitioni inucilem. Tiem cubum numeri 7 (ubi 28-
cregati Factores lunc omnes gemini,) postquam alium cubum commodum alias
invenimus, utei quidem tucurum else, (quoniam ex crbus ille in hunc duetus
factum illum dabie negocio commodum, quia quadracus in quadratum duetus erit
quadratus; quod ee de duobus quibulris cubis nesorio accommodis et inter le
primis incellisendum erit;) Sexonendum camen cantisper este donec iltiusmodi
alius appareat. Ouum enim ibidem factores omnes linc jam semini, nullum alibi
factorem Colitarium geminare postunt.
23. Reliquos isicus uc sisillatim perpendamus. Ouoniam Factor 53, nuspiam
nisi ad numeros 23 et 83 conspiciatur; manitestum est, vel horum cubos com-
Donendos elte, rel ucrumque eliminandum. Ouoniam vero inter factores ad ho-
rum uerumque repertos, Timul junctos, praeter 2 sexies politum, et 3, 5, 53, bis
DeTItOS, reperiantur Colitarii 2,7, 23; quaerendi lunt aliunde tactores qui hostres
seminent. Ouia vero 13 inter Factores nondum eliminatos nusquam conspicia-
tur alibi quam ad nuerOS 47 ec 5; experiamur utrumque; quorum li neuter
succedie, eliminandus erie numerus 83, adcoque et 23.
Ad RICrU ItaGBC 47, CUM REPCTIANEUE (pEXTOE DeminOS ) 2, 2, 5, 1Z, T7
qui cribus pridem Colicariis 2, 7, 23, juneti, seminabun quidem 2, ec 23, sed
tolitarios jam exhibent 3, 5,7, 27. Hi vero juncti factoribus ad numerum 23
repertis (ubi sola spes quaerendi numero 17 Eeminum) proprer solicarios ibi-
dem 5, 7, 27, unicum 3 relinquent Colitarium. ITuic aurem Si geminum qux-
ramus ex Factoribus ad numerum 4.F, manebit illic 7 Solicarius line spe comitis:
Sin ex factoribus ad numerum 5, manebit illic 23 plane derelictus: Sin adea-
mus numerum TE, manebune illic Colicarii 2, ec 6r; quorum si polleriori comi-
tem sumamus ex cubo tertio numeri 3, manebit tamen 2 Tolicarius line (pe locii:
(quamris enim videatur prima Fronce haberi polle ex numeri 3 cubo primo, id
tieri tamen non porest, quia ejuldem numeri 3. cubus tercius jam altumpeus pri-
mum illum in le comprehendit:) Sin denique (ubi Cola spes reliqua cA) nu
merum 2 adeamus, ut quaeratur Colitario 3 comes, manebir illic Tolitarius 5; cui
Si locium quaramus a primo cubo numeri 3, (qui tolus ex nondum rejectis
spem Facit) manebir illic numerus 2 Tolicarius sine spe comiris, (non enim altumi
porest huic locius ex ejuldem numeri 3 cubo terrio, ob caulam modo dictam:)
Cum itaque aliunde spes non supertu (quod inspectis reliquis numeris patet)
constat, ex numeris 47 ec 5, primum non luccedere.
Experiendus Superele mumeruS 5; num inde Colirariis 2, 7, (3, LuprA memOra.
eis soeios habere liceat. Reperiuntur aurem illic (praeter seminos) Tolitarit 3, e 13:
qui Solicariis 2, 7 23, juncti, relinguune adhuc Colitarios 2, 3, 7. Duum vero7
nuspiam alias reperiatur nisi ad numeros 13, Ec 4Y; neurrobique haberi porest.
Si enim numerum (3 adeamus, manebir illie Tolitarius sine spe Tocii numerus 17
(Frustra siquidem numerum 4) adeamus, urpote jam rejectum.) Sin adeamus nu-
merum qI habebimus quidem illic numeris 3 ec 7 geminos, Led manebit solica.
rius 2, cui vusquam spes socii nili a numero 3 vel EL, (non autem ab utroque
SimoI:) non a 3, quia manebit illic solicarius 5, cui Si ad nUMETUM Z GuaramUS
comitem (neque enim aliunde sperandus) manebir illie Colitarius 3, ciui a nu-
mero Lr trustra quarecur locius, (nec tamen aliunde sperandus) propter 2 ibi-
dem sine spe derelinquendum: neque etiam d numero si habebitur socius Solitario
pridem 2, cum enim ibidem Colicarii erunc 3 e 62, quorum posteriori ut ut comes
fuxpedirari possit a tertio cubo numeri 3, reliquo ramen 3 locius non habebitur;
Frustra siguidem speratur a numero 2, ubi deretinquendus eset 5 Tolirarius. Cum
itaque, omnibus pensitatis, nec a numero 5, nec d numero 47, suppetias terri
posse conster; eliminandus erit numerus 83, adeoque e MLIIeTUS 23.
24. Cum ad numerU 4.7, seperiantuT (prxter Seminos) Factores solitarii,
273, 53 23, 17; quorum 13 non alibi reperiacur alias quam ad numerum 5, nec
27 alibi

## Folio 816 — 851708439:0840
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000840.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
C O M M P R C I U M
23 alibi quam ad numerum 23; manifestum est vel componendos esse cubos nu-
merorum 5, 13, _ 47, vel timul omnes eliminandos.
Cum itaque ad numerum s habeancur tactores lolicarii 3, 13; ad numerUM 13,
Tolitarii Factores 5, 7, 27; acque ad numerum qJ taclores Iolicarii 2, 3, 5, 13, 17.
ti omnes conjuncti (praeter eos qui conjunetione seminancur) Colicarios adhue
exhribent 2 e7. Cumque Z non alibi (ex nondum eliminacis) quam ad nume
rum 4+ reperiatur, componendus eriam hic eric cum cribus illis, vel omnes qua
cuor eliminandi. Cumque ad numerum 4F (pracCE geminOS) reperiancur tacto
res Tolicarii 3 ee 2, qui addui prioribus 2 e 7, geminane quidem 7, led Tolicarios
adhue extribent 2 de 3; quaerendi itaque crunc hilce comiteo. Quod quidem duo.
bus modis praectabitur; nec pluribus.
Primo quidem, ad nUmerUM EF, habentur (praeter Deminos) Soluarii tactores
2, 3, 6c; qui praedictis 2 8 3 adjuneti, iplos geminane, sed ee Tolicarium relin
QunnE 6Z, qui tamen comirem obtinebit ex cercio cubo numeri 3, ubi item 6L eAt
unieus tactor ToliTarius. Adeogne si una cum praeccdencibus quatuOE nUIMeTO
rum 5, 23, 47, 47, cubis, Componacur item cubus numeri FF, d cubus cerrius
(lire nona poreltas) numeri 3; cubus ex hac compoticione emerrens parcibus
luis omnibus aliquocis audicus, conticiet quadracum; cujus quidem tactores, primi
iidem tunc acque cuborum componencium lic auetorum omnes tactores primi:
nempe 2 Sexdecies, 3 quater, 5, 7, T2, 13, 17, 29, d 61, b15.
Sed de idem cubus sic invencus si in cubum numeri, ducacur, factus eriam de
cubus erie, de addicus suis parcibus aliguoris taciee quacracum; addet urique prio-
ris quadraci Factoribus, 2 guater, e 5 bis.
Cum vero cubus ille sic compolicus non alium ex expolicis intactum relinquat
quam cubum r (qui nihil IMMLITAE,) Se cubum numeri 2, qui parcibus fuis addi-
cuS dat 3 X5 quI numerus quadracis non elt; (cubus enim numeri 3 primus, in
terEIO CONTNETuT, adeogue non icerum componendus:) parec eundem cubum sic
compolicum non polle cum alio ex expolicis icerum componi, uc tactus suis parti
bus addicus lic quadrats.
Secundo, porelt tamen qui ex cubis nUMETOTUM 5, F3, 42, 47, COmPONICIE Cn-
bus, (ubi, uc dictum est, solicarii manene tactores 2 X 3,) alicer suppleri (omisso
nempe cubo numeri XY, adeoque e certio cubo numeri 3, qui vel, ut prius, (1-
mul Cumendi, vel simul Talcem rejiciendi erune, propier tactorem 6r non alibi re
Percum.) Cubus enim numeri 2 Supplebic tactores Colicarios Z d5; cubulque
Primus numeri 3, Supplebit Colicarios tactores 2 e5; unde solitarii pridem lacto.
res. 2 _ 3 comites nacti sune, de 5 verobique repercus gemiNaTUIT. Adeoque (I
nUerOrUM 5, 13, 41, 47, cubi, cum cubis illis numerorum 2 d 3, Componan-
cur; cubus hac compoticione emergens parcibus luis aliguoris auctus, conticiet qua-
dratum; cujus quidem tactores omnes primi, (iidem nempe eum componencium
cuborum sic auctorum primis factoribus,) CxHME 2 quacuordecies, 3 d 5, quater,
2, 13, 17, d 29, b15.
Idemque cubus in cubum numeri, ductus, alium adhue constiemet cubum ut
Suxra; qui quacraci emersentis lactoribus jam CMLeraTIS, adjunSet 2 quater, e
18.
Ouoniam vero cubus sic compotims non alios ex expolucis intallos relinquie
Praecer cubum numeri xY, qui altumi non pocelt (uc dictum est) sine cabo ter
eio numeri 3, (qui limul admicri non porelt cum ejusdem numeri Z cubo primo
qui jam ingreditur compotitionem:) manifestum elt cubum sie composicuum non
Dolle ulcerius cum ullo expolicorum cuborum componi ica uc factus Lc qualis II-
DCraCUT.
Sed e porro manisectum elt, composci (ut dictum est) cubi ex cubis nume
rorum 5, 13, 4. 1, 47, Tolicarios qui restane tactores 2. d 3, non aliunde habere
Dolle comites, quam vel ex cubo numeri EY, una cum cercio cubo numeri 3; vel
ex ellbo numeri 2 una cum muet  euoo Prno; (nulli neique supersunt aliI
praeter cubos r e 7, quorum neque alcer neque ucerque id praeltabunc:) Adeo.
que non pluribus quam dictum elt os luppse Bollunc.
25. Sin hosee cubos numerorum 5, 13, 42, 47, (quos vel simul sumendos ele,
vel simul omiccendos, jam ostendimus) omietamus: ex reliquis componi cubum
imperacum non poste constat. Cum enim (sepoticis ob causas jaM aietas cubis
numerorum L et 7) non alii supertinr quam cubi numerOTuI Z e 2Z, primoque

## Folio 817 — 851708439:0841
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000841.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
F, P L S F O L I C U M.
ee terrio numeri 3; Sumpris cubis numeri XX, _ terrio numeri 3, (qui simul vel
lumendi vel nesligendi, propter or utrohique nec alias repertum) Tolicarii mane-
bunt factores 2 e 3, quos ambos nec supplere poterit cubus numeri 2, nec ad
mirti pocet cubus numeri 2 primus, propter tertium jam admictum: Omiltis au-
tem cum cubo numeri EF, cum certio numeri 3, reliquos duos, nempe cubum nu-
meri 2, cum primo numeri 3, invicem compolitos, rem imperatam non ablolvere
certum cs; manebunt utique factores Solitarii 2 _ 3.
26. Constat iraque (perpensis omnibus) ex cubis superius expolitis, nullumm
este cubum simplicem qui parribus luis aliquoris additus conticiet quadratum, pra-
ter cubos numerorum F ec7. Sed neque cubum ullum ex his ut dictum est com-
policum id iptum praectare praeter quatuor illos jam indicatos: Guorum nempe
DrIIUS COMPONITF ex CUBIS NUIMMETOEUI 5, 43, 4.F, 47, FL, 3, 3, 3: SecunduS, CX
uildem cum cubo numeri 7: Terrius, ex cubis nuIerOTU 5, 13, 42, 47 2,3:
Ouarcus ex iildem cum cubo numeri 7
Dui plures adtue istiulmodi cubos velic, idque opera pretium Pore putarerit,
eodem modo quo nos numeros primos centenario minores expendimus, expendat
licet rel plures primos numeros, vel horum Caliem plures poteltates. Mihi laltem
sufticiat, veram inrellisandi methodum cradidisse, ur sentiar tandem Freniclus me
non ideo neslexisse prius quod eo non pocuerim perrenire.
Ad calculos aurem res redacta cum Fuerie, invenio quatuor illos cubos compoli-
20s, eoldem plane ese, (et eadem torlam mechodo iAVemIOS,) cum quatuor ilis
d D. Frenuclo exhibiris.
Exposica aurem quastione de cubo qui partibus suis aliquotis addicus conticiat
quadracum: eadem plane mechodo ucendum erii mucacis mutandis, in altera de
Ouadraco qui parcibus suis aliquoris addicus conticiat cutrum: empe numerOruM
primorum quousque libet poceltates quadraricae (secunda, quarta, sexta, _C.) Per-
pendenda, uc videatur quem illae parcibus luis aliquoris addica numerum etticiane,
e ex quibus Factoribus primis is componatur; qua tandem poreltales quadrarica ita
componendae crunt, ue factores illi primi ad eas spectantes sint (non ut prius ge-
mini (ed) cerni similes.
Sed e eadem clavis prudenter adhibica, alia iltiutmodi de parcibus aliquotis nr-
Aeria relerabit; quae ullis relinquo quibus lubicum eAt se in his nesoris ex
CrCCTE.
Ouaestionem quod atinet a me propolicam (obicer quidem, idque D. Fermatio,
nOn D. Freniclo) de duobus numeris quadratis qui partibus suis aliquotis additi
eandem efficiant summam (quales 26 et 25;) de cujus possibilitate quaerie Fre.
nictus: Ouarit, inquam, id quod petitur. Perinde urique mihi erit sive Colvat
problema, live oltendat esse insolubile, (ucrumris enim taciat, justa solutionis
locohabebitur,) sire denique plane neglisat, (neque enim ego magni momenti
rem esse judico, ut rel inde mulcum laudis acquirat (I Tolvat, vel, A secus, amic
cac.) Duoniam rero sciscitatur; sciar qualtionem a me propolicum Colubilem
este, idque mihi certo constare.
Theorema denique quod auiner a me propositum pridem (vide Fpist. 7. e9 2X. )
cujus demonstrationem (ut ais) aliunde non exspectas, acque a me experis: libee
hic subjungere cum iplum Theorema, cum ejuldem Demonstrationem.
Theorema.
Sit Dyramidis vel Coni Frustum (parallelis planis abscissum:) Cujus Basis
major, aequetur quadrato recta A; minor, quadrato rectae ; Aritudo, F.
Dico,
E craribus A, F (vel bis aequalibus) consticuatur anculus cractuum 120, 8
compleatur Trianculum, eique circumseribatur Circulus: Quadratum Racii cireuli
circumscripti, in Alicudinem Frusti ducdum, (R gF,) aequatur Frusto.
do
Del

## Folio 818 — 851708439:0842
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000842.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
M M F
e
 LV M
Demonstratio.
Disterencia rectarum _, Cy dieatur X = A = F. FLFac, W X ad F, hC A ad 5,
e F ad F. Erit S, alcieudo corius Pyramidis vel Coni: P, parcis ad verricem ab-
Scilla. Adeoque SA9, criplum corius eyramidis vel Coni; P P.g, criplum parris
abscissa; et S Ag- P F.q, retidui Fructi criplum.
Est aurem S =
criplum Fructi.
∞
E. E1BO SA- PE.q-
F.AC- FFe Nem tic
X = A F.
Sed est AC - F. C = A9 + AX. + X. 9 in A - F, F,∞O. 
= XC
AF L F g. FEPEOBUrCa A9 + AF + Fg in F, criplum Frusti.
L L
=19 +
Si aucem Formecur Friangulum uc dictum est; Ouadracum Balis Zg aequabitur
cribus 29 ) AF + Rq Simul Cumpeis. Sed de idem Z9, aequabieur 3 RG, cri
Dlo quadrato Radii circum seripei circuli, (quorum urumque llacim demonstrabi-
TuT.) Adeoque cum ZgF = 3 RG F MM criplum Fructi, cum RG L Fructo X
quale. Ouod crai proposieum.
Quod aucem probandum susceximus, A9 + AF. + F. g = Z9 = 3 Rg. Sic
Octendimus.
Si Friangulum vc dictum est cirento inscribatur; cum angulus cruribus A, K,
concencus sic angulus in Peripheria, Grac. 220, adeoque insiltat arcui graduum
240; recta Z complens criangulum eric chorda cum arcus gradtuum 240, cum et
arcus practuum 120, (retidui nempe ad incesrum cireulum: ) Adeoque latuS exIt
Frigoni regularis inseripei. FL propierea Z g == 3 RG.
Sed e A9 + AF + Xg = 3 Rg. Quod lic probatur.
Si recta Aponacur Subcenta arcus simpli, erie arcus cripli subten(a 3 A - 
RG
Sin ponatur P subrenta accus simpli, erie hujus arcus criplicati Tubren (a 3 F. - =
Est autem una eademque recta, puta C, cum Areus A criplicaci, cum criplicati ar-
cus  Tubrensa. (Cum enim arcus _ F, Timut Cumpei, compleane criencem cir-
culis ucrique criplicati complebun circulum incesrum. Adeoque quae ex una parre
Tubrendit eriplo areus  eadem recta ex altera parre Tubcendic triplo areus K,
quippe residuo ad inceerum circulum.) P. L prOpterea 3 A - - C = (C. = ) 3F.
Et ZR9A = AC = 3 RGK = RC, EL3 RG A = 3 RG F = AC = F.c. Adeo-
que 3Rg =
10 - LC
= Ag + AF + F. 9. Ouod demonstrandum sulceximus.
Vel sic brevius, (sine ope rectae Z, qua nulla necesticace sed per spieuicatis cau-
ta adcicur. )
Duoniam A - P.. F:: A.
plum vrusti.
e
et
2- 1
EN EA PEC M- EC
A F.
L X
Scd e (propter anguluum or. 120.) areus M s, Simul, complene crientem cir-
culi; eorumque cripli, circulum incesrum; qui (cripli) propcerea candem habe.
EC
bune cubrentam. Nempe 3 A -   = 3L . Aeoque 3Ag A - A0 =
3R
e
e

## Folio 819 — 851708439:0843
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000843.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
li, P
15 LOL lC Ut M.
3RGF = E6; _3Rg A - 3Rg 2. = A6 - F. 5; 8. 3Rg -
AC- F. b
krgoZRq Ptrusti eriplum, et Rq P Frusto aequale, quod erat propolitum.
Superest tandem uc prolixa imporcunicacis reniam orem; atque UE EXOrEM POx-
r0, si per te liceam, ue quem hactenus cibi demeruitti, amare adhuc ne dedieneris,
Oronii, MarI. 4.
1658. Scilo
AnsliX.
llustrissime Domine,
Flumillimum pariter, 3
devinctissimum servum,
7OTI. W AL. L. Yd.
Obi circuli quadraturam d me perperam inrestisacam in CInuat, (Fp. 2T. ) quid
sibi relic Vir Nobilissimus non laris alsequor. Ouam eso quacraturam extibur
naecerat.
Drfactum ex quadratis numerorum imparium 3, 5, 7, 9, exc. in infinitum; ad
factum ex iisdem quadratis unitate minutis; Ec quadratum diametri, ad aream
circuli.
Obicunque autem concinuam illam quadratorum mulciplicationem abrumpere li-
beat, intra hos limitesres coercebitur: Si factum ex quadratis ducatur in radicem
quadraticam unitatis auctae aliquota sui parte quae denominatur a radice ultimt
quadrati, habetur quantcas justa major: un quae denominatur ab eadem radice
unitate aucta, habebitur quancicas justa minor. Sic 0X 25 X4OXBFX V IZ 40
8x24. X48X 8O, eAt ratio major, quam quadrati ad CircuLUm; aL ∞ X 25 X 4 OX 8Y Y
Y X20 ad 8 x 24. X48X 80, estratio minor quam quadraci ad circulum.
Addo; candem esse rationem rectanguli sub conjusatis axibus, (vel etiam paralle.
logrammi cujulris circum (eripti,) ad aream L Iipleos.
Hanc quadraturam ( falsam pucarerie Vir Nobilistimus; Si Poris cAt, retellat.
Ostendar, inquam, rationem circuli ad quadeatum diametri, vel majorem ese, ve)
minorem, quam qua a nobis assignatur. Sin lerius aliquod insinuei, ob quod non
placeat; aut contemnendam pucarerit: nolo ego lua sibi verba reponere, facile est
ca despicere ad quae non datur assequi: Led illud vorius,
Siquia novisti rectius istis, Candidus imperti.
E PISTOL A XXIV.
D. Vice Comitis Brouneker ad D. Job. W allis.
Fare herewith (ent Vou a Copy OE Wtat T have wricten 10 Sc. Kenelme Dieby,
(Apist. 27.) (upon che perulal oEchese ochers From him) co be sene wich rour
Former, in case it be noc alreads gone; or at lealt 10 sollo ic. Whrich is alleime
vill norr permit me c0 lay, exceptins wtiac J mult nor torget, Aill e0 alture you
That P am,
STR,
Tour most faitbsul friend and servant
BROVNCKFR
EPISFOL A XXV.
D. Kenelimi Disby ad D. Job. W allis. Praecedenti inetusan
una cum subsequente.
Fope pou have ere chis receiredmine to vou olihe soF chis Monch (F pist. 2E. Y
in irhich Pencloled a copy oF à paper addressed 10 me chat MOnS. Frenicle
urore suddainty and immediails upon lishr otche Letter ron ere pleased 1o ho.
nour me vichal ot dc 2t Novemb. Palt J F pist. 26. ) vtich las l0 lons uxon che
Way.
d
13 Matel. 1658.

## Folio 820 — 851708439:0844
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000844.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
C O M M R R C I U M
ray. That paper concained his reflections buc upon che tirst part oF your Lelter;
che cime noc permittine him co errice more chen. The nexE mornins he LVenCOut
ot Fonntor lome days; buc ac his recuen he encreaced ot me a second perutal ot
rour lecter, and broushu ic me back che nexemornins, cogecher wich che enclosea
Paper in ansiver co che second pare ot vours: wtrich he hach Framed as choush il
ivere a chird person chac WVrOtC IE, and hach desired me co conceal his name, lest
ic miphe be chouphe he made vanier et harine some excraordinary knoledes in
a Science chac he protessech co be very ionorant ol as havine never had any Ma
Per in ic, nor haring scarce Budred ie buc meeriy plaved ich ic tor His reCrCA
cion, and co Pacistie che provention othis Genius. Buc L chac protels candor anct
open dealins in erery chins and rich erery body, rrould noclet vou remain in
che dark in tnomins irtro is vour ancagonilt, since L have tnorlecse ot him:
erho choush he pals in his oin conceit tor a very Aighe Machemacieian; vet in
chac part oFic irhich concernech numbers, all FTANCC, eVeN MOnC. Roverbal and
Mont. Fermat, (and MonI. des Carses, irtien he as alire) do aetenomledse him
cheir Malter, and Superior co ehem ac à huse diltance. And chietly, tor chac Wrtrac
chey do rich much labour, and by mans circuies and operations, he doch imme.
diauls uxon che liehe ot che queltion, and richout any operacion, as chouon he
had an incuicire knomledse ot chose chines, and all his trouble is 1o sec ic donrn
in paper. Horrerer, Idehaced much rich my selt, Wrhecher or no L Mould send
rou chelecrro lalt papers: tor choush che exprections in chem be modest and sencle
in comparison ot Wrhac learned men in chele paris do irrice one against anocher
(as vou may sec in che dispures becween Gassendus and des Cartes, Morinus anc
Cassendus des Carres and Vermat, Fermat and Fienicle) vec me chintis ches
are cartet chan e ule in tensland, or chalt L’al lure L’Thould use in che like
cale, il L ivere oF a difterene opinion. Buc chac irtrieh mainty curned che scale
Wichme, was che considerins, chac il rou did noc sec irtrat chele persons lay 10
roy and consequendy Mhould make no reply co chem, cher mighe chink chey Hac
the berter ot our Nation, and Onivertier: Wrtrich L am lure vou vill tane acoue
Mhall noc be, irtien once ron tnou irhac is objected asaint yon. And belides, L
chouphe ic belonged co chac respect P oure and protels uneo rou, chac vou thoule
be acquainced rih Whacleerer L hear concernins vou.
Le tacetet e le peclimus 1omy perin irhien l am discourtins wich vou; le
much coment Lhare, in kcepins spresent 10 my choustus (0 excellent a perlon.
Buc L mult nocbe (o mueh a selt lorer, a5 10 delishe my selFac 100 preat a charse
ot jour Culterance and reargins. P Will cheretore crouble vou no lonser For chc
presene, buc killins vour hands do cate leare and rest.
Paris, 28 F ebr. 1638.
Pour most humble and
affectionate servant,
AFNF L. MF D16BL.
MonC. Lecte delires very much 10 sec whac Paristaction vou pive 10 che 110.
bleme jour sett propolcd: (Vide L. pist. 23, 29. ) chac ihen you may sec wtiac He
Caich cOII.
E P ISTOL A. XAVI
D. de Frenicle ad D. Kenelmum Dieby.
Cancio praecerire maluillem,  Mlustristime, cxrera quae in Fpistola ClacHLII
Dnallisii Mea uetes dileurienca supersune, quam in lingulis immorari; sec
cum a ide qule d hto teliciam expectes, non aquum ettuc desiderio uo detrau.
Exponic primum Fermaltas (uc haberur in E pillola W alsisii) Theorema quod.
deris.
Sequicur aliud problema Claristime Viri D. Fermac.
cat IS verbis.
Dato quovis numero non quadrato, dantur insinus quadrati, qui ut autuint nu
merum ductr adseica unitate consiciant quadratum. Vt exemplum praebee numeri
3, qui ductus in quacracos 1, vel 26, adseica unicace conticir quactca105 4, e 49; d
aNexIC
s

## Folio 821 — 851708439:0845
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000845.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
P
S TOL IC U M.
aleric elte infinitos alios qui in 3 ducti idem praestent: quibus inveniendis legirimam
mechodum cradit  alliscus. C Kp. 26.
Ouamquam in quadratorum numero 3 inserrientium, numerum pro numero
poluerit. Sed hicerror illi condonandus est; non enim elt insciria, led incurix:
et inde prorenit quod 56x 97 non in 2 duxerit juxca segulam, led In 3. Igitur pro.
3X56X97 = 26296, Tubltiruendi TUnE 2 X 56 X 97 = 50864
Sed pace sua dixerim, hoc quidem, nempe quod lineintinii quadrati qui in 3
vel in alium numerum non quadratum dueti laade, ad scita unitare) Faciane qua-
dracum, est expoticum Pheorema, quod se demonstrasse altirmat Fermatius, et quod
attert ad exemplum tantum et ad praeparationem; non isitur elt problema quod
Lolrendum proponitur. Ouaeruntur enim quadrati qui in quemlibet numerum non
quadracum ducti adscita unitate faciane quadracum; ad instar numeri 3, qui in
quadratos F, e 16, ductus adseira unitare taeir quadratos; unde latis patet nume.
eos incesros pro quaesitis quadratis reguiri. Cerre posser exculari Waltisius,  D.
Fermat nullum exemplum; vel li in Fractis etiam ur in incegris propoluister; led
cum in inceoris Tolummodo datum sic exemplum, latis debuu incellisi solutionem
in inceoris requiri, uc ipsc poltea Fermatius aperte declararit, quarit enim numeros
quales lunt 3, e 26, appares isitur W allisium aequirocationes quarere, ut problema
eludatu ec iplum quod tacilius erat selegisse, et quod magis arduum subrertusitse.
Cum igitur requirancur numeri quadrati, et nulla alia in solurione perspiciam,
quam ipecies seu litteras et characteres quorum nonnulli mihi sunc inulirari, et
quibus numeri es quadrari reteruntur; et quadrati quaesiti minime exprimantur,
led omnes ignoci remaneant; non video quomodo qualtioni qua poltulabat cer-
105 quoldam quactraros, lit lacistactum: Fermatius enim quaerebat ad exemplum
excerorum inreniendocum, ut quadraci exhiberer
727, adscita unitare quadratos conticerene. Pt cerre si quilibet quadratus aeque
invencu facilis ester, ur in tractis erenit, nequaquam hos numeros porius quam
alios elegisset.
Sed jam ad incegros quid asterr H altisius. nullum profecto quadratum protert ex
his qui requiruntur, nempe qui in alium numerum quam in 3, d Fermatio provo.
Situm duetus alcita unitare faciat quadratum, e agnoscit cuum canonem extribere
non quidem Solos quadratos inceoros, sed omnes promilene tam interros quam fr2-
Ctos. Certe si methodum integros a fractis segregandi inrenister, proculdubio
quaectionem solvistet. (Zd factum est eadem Fpist. 16. nempe quoties a on c est
aliquota pars ipsius 2 a c. Quod aequipollet omnibus praeceptis ejus per 10 pasinas
traditis. Sed fusius sipist. 27 e T9.) Sed cum line innumeri tracti pro quoris in-
regro, ee perpauei quadraci intesri li tractis comparentur; li non adsic methodus
quaedam qua ilta segresario fieri possic, et si ralis perquisitio catu sit perficienda,
rancum eller, quam li unio rel actamas in tota maris arena conquirenda traderetur,
vel acus, uc communi tertur adagio, in ingenci toeni acervo. Si vero talem quam
dam methodum habet, cujus benetieio quadrari aliis numeris inserrientes reveriri
postine, cum in D. Frenictis opusculo lacino dentur quadrari ad tingulos nuineros
non quadratos ulque ad 250, ipse illos produeat ulque 2d 200. rel si non racat
tot numeros perquirere, in seguenci LanEUM Z5F, ne dicam 373, (Id factum est
Fpist. 27. 29.) qui quidem Forsitan rires ejuo excederet, sele exerceat Vir Claris
Sinus, alias nulquam mihi pertuasum exic ipsum problematis Tolucionem elle alte.
curum; neque illum omnes omnino quadratos pro linsulis numeris, vel lalcem
unum quaclratum pro quolibet numero praelticurum; cum unus tantum pro nume-
FOFSF, Vel 313, Doltuletur. Cum enim se demonstrare dicat, suam merhodum
omnes quadratos exhibere; nulla erie melior demonstratio quam numerorum extri-
BILIO, DTSEELI CUMI PAUCI LANCIII QuXTANEI. Vel Falcem deducar cum methodo
quaclam certa quadratos inserrientes numeris sr, ec 209, qui habentur in 22 _ 32
columna cabellae in praedicto Frenictis opusculo exhibiia; vel numeros invelliset
 columnae ejusdem cabella, quorum ope praedicti quadrati tacillime construr
poltunt; cum enim in tabella quasici quadraci habeantur, mulco minor profecto
ditticultas inerit in his qua requiruntur.
Rectac ultima Colutio D. N altisii, in qua mulcories binos cubos cadit uorum
summa aequalis est duobus aliis cubis. Hlaec quaestio Facillima esse debet, cum cu
noveris illam pluribus modis tam facile solutam esse; actamen quamquam W alti-
sius multos dederir cubos, nullos plane tracidie praecex eos quos sola mulciplica-
L. L. LLI
tione

## Folio 822 — 851708439:0846
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000846.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 80 lines, status machine
822
C O M M F R C L U M
rione auc diritione ab illis deduxic, quos a Frenicle accepeos ad iptum crantmilicti,
(Vide Fpist. 27;) e Si habeas exemplar Epiltola cux ad ipsum W allisium in qua
ipsi cubi concinebancur, facile cornosces quinque sequences Cuborum copulationes
incer ipsos cubos reperiri. Iltis aucem quinque coia cuborum leries d W allisto cala
MnIIIuII.
Cuborum radices.
1. 2 + 12 =8 4 10.
1. 2 + 16 = 9 + 15.
32. 20 + 27 = 19 + 24.
12. 2 + 34 =
3
52. 9 + 34 = 26 +33
Alia vero qua lequuntur Cuhorum copulaciones numeto 22 IIa TM Quas
Walliscus dicie a Frenioleis disterre, post quarum quamlibet volici lune numeri in-
dicances de qua ex quinque copulacionibus Fuprapolicis quaque line delumpia;
ec per quem numerum cubos d Nobilicate cua accepeos ad luorum constructionem
vel diviseric vel mulciplicaveric: nempe parcieula, in, indieat mulciplicationem, de
parriculas per, denorac divitionem.
Cuborum Radices.
30
16.
263
60
e
136
O2
1. In 3
DeT 2
4. Per 2
ex 2
in 4.
Per 5.
3. DeF 3.
n
3
C3 + C36 -
4c
48 + 90
8 +
3+
36 +
1 +
8 +
8 +
+
3
60 -
B
in 21
l 2.
iu 4.
. Vet 2.
2. I 3
4. DCt 3.
2. Dec 3.
2
in 3
2. I 5.
40
60 = 4i + 50 l 1. l 5.
+
66
18-
36 +
5. III 2
4. i 2.
1. in 4
3. In 3
Onde non est quod mireris si tam tache us ta spatio vel centum praebere
spondeat; quid enim facilius quam exisuos numeros mulciplicare vel dividere, d
certe cum unica tancum cuborum copulatione pluries milleni facillime de ablque
auplicare (dividendo) lingulos numeros cuborum radieibus, ue videre elt in le
quenci cabella, ee sic in intinirum; ubi nulla opus est vet musciplicacone vel alit.
hione, nli s tubet ad reductionem.
ullo neporio exhiberi pollune. Non enim in hac operatione major inest labor,
nec subcitiore indasatione ret icustria naec Guan Ma Terminos cu
jutibet Copua daca, L Verbi gracia, HetDC L, lL. =, 10. per singulos Or-
dine numeros, 2, 3, 4, 5, ecc. e sic ad libitum procedere: vel quod sacilius est

## Folio 823 — 851708439:0847
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000847.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
e I
SFOF YCV M.
Nuisa isicur illi necessicas inerat cam varie s illas crborum copulationes int
plicare, nili quod tucatas luas Toluriones et ex daris deductas maris latere volue.
ric; melius tuiller equidem vel de his omnino recicere, vel aliquas novas ee dd-
carum non mulciplices praestare, praesereim cum invencu Facillimae (ine, quales CunE
quae sequuntur etiam ab iplo Lrenan Prorehientes; ee in quibus a termini nul-
lam habent CommuneM menTuraM.
Cuboret RdactS.
27 + 30 = 26 + 30
+0
=
2
3c1
4 + 54
22. = 5+
30 -f 67 = 57  sE
60 = 2 L  59
42 = 69 = 56 - 62
17  10  303
76 = 48  69
15 + 80 = 54. F 7T
5F + 82 = 64 + 75
Non convenit ixitur ue in his minutistimis rebus, quae rix in parrulis laudem
2ligNam DFOMEFCTENEuE, vires Luas probacas esse jacticer, lin minus non est quod
Aclanteos aulus aggrediatur. Caterum declinalle mihi ridetur a solutione horum
problemacum in quibus nulla est ambisuitas cirea mIerOS intesroS scu tractos;
nempe, Datum numerum cubum in duos cubos rationales dividere; _ Datum nu-
merum ex duobus cubis compolicum, ut 28, in duos alios cubos rationales divi-
dere. In quibus latis apparet numeros intesros non polle quae litis semper Catis-
tacere, et idcirco Fractos etiam elte adhibendos.
FxC sunt, Vir Nobilistime: quae mihi modo in mentem venerunt cires solu.
tiones Wallisii ad Fermatii quaestiones numericas, e qua de his censean. OUxe
quidem nullo modo scribere luscepissem, nili ad obtemperandum cuis mandatis, ad
quae me temper paracistimum invenies. Vale.
Sir,
E PFSTOL A XXVII.
D. Vicecomitis Brouneber, ad D. Kenelmum Dieby.
aBout a Formiehe or chree weels tince, L received vours ol che 6. OF Febr.
L whererich zou vere plealed to honour me; For utich L most humbly
Thank rou. And vesterday L met with vOUES oF 26 Febr. 1657 1 DF. Walbis-
Wrhich rich che incloled trom Mounl. Frenicte (accordins to the liberey rou oire
Me) Phare peruled; and do chereby perceire chat che last letter trom Dr. Wallis
Rpist. 17. 18. ) ot a date L chink noc mucti lacer chanmine, irhich had chc 800d
forcune co kils rour hands; hach noc been ver reccired (choustr, in ihe ablence ot
NIT. White, DE. Farrar undercook c0 send ic lately.) P’or ochervise Pam contident
Monnl. Frenicte hact omitted che orcacest part at lealt, oF whrac he hach been
pleased co lay in boch chole papers: Because chat pretenis you a very calie, plain,
ud cercain method tor the lolrins otchat Probleme in Incegers. F’or (nocvich.
Ctandins chat Monn(. Frenicte is plealed 10 Pay, (F pist. 26.) Cum in D. Frenictis
eouseulo Lacino dentur quadrati ad sineulos numeros non quadratos usque ad 250,
ipse illos producat usque ad 200: vel si non vacat tot numeros perquirere, in sequenti
tantum 151, ne dieam 323, qui quidem forsitan vires ejus excederet, se se exerceat
Vir Clarissimus: alias, ScC.) Wichin ihe (pace oF an hour or wo ac molt chis mornins,
accordins co the method cherein delivered, L Found Fhat 373X(7270685, -- T.
=O+26862368. and cheretore hat 373X  (2 X 7170685 + 126862368 =
2829380158564160, + 1. = 32188120829134549. Wtich L choustretir 1o pre.
Tent

## Folio 824 — 851708439:0848
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000848.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
C OM M F R C L U M
Sent vou, because MonnI. Frenicle mas chence perceire, chac nochins is ancins
For che pertect lolurion ot chac Frooleme. Tcremains oncly non (Noble Sir) chac
Lallure vou, chac my t’acllet ale Mocher couldno nor any ocher can more ho-
nour and elteemrou, nor be prouder ot vour triendchip, chandoch, and is,
Sir
Tour most bumble aud mest
fairbsul servant
BROONK
E PIS FOL A XXYIII.
D. Zob. N allis ad D. Kenehmum Dieby.
Ellustrissime Vi
YTceris quibus me dixnatus es Fuis, 6 Febr. datis, ( Fipist. 22. ) limul cum Fe-
Lnicleis inclulis, (Fp 22. ) jam ance respontum dederam, quam sequences 28 Febr.
Fp. 25.) (quas hac hora accipio) ad meas manuIS PerveneranE. PersenLO aucem
(quod doleo) quas jam ancea mileram Decemb. 26. datas, (sip. 18.) ce nondum
accepisse cum ulcia ilIX CUIX MIETCreNEuT. Ouas quidem li viditlet D. Frenictus,
cercum est se liceras ipsius ulcimas, vel incesras vel maximam falcem parcem, omit
Turum Fuisse, si non e pracedentes.
D. Fermacii Problema quod spectat, De insimiis numeris quadraiis, qui in non-
quadratum ducti, unitate deficiant aquadrato, cum praetixo Theoremate. NOS e
Pheorema demonstrarimus, de Construximus Problema; (quorum VErumqUe CraE
propolicum, nobis falcem, neleio an e Freniclo; uc non lic cur illud mitri tanquam
auesorvoor objiciat: neque id in numeris Fractis cancum, sed dc in Inceoris. Polt-
quam enim de Inceoris le expoluerat fermatius, docuimus de Inceoros a Fractis le-
cernere: eaque omnia praeltiennus quae jam poltulat Frenictus; quod nec ipse dicti-
rebitur ubi liceras illas nactus FuerI Dec. 26. dacas. (KEp. 18.) Nec regulas cancum
extribuimus, (quod camen extribuisse susticeret,) sed de carundem praxin ostendi-
muS; non quidem in nuerIS 6F, 109, 127, qui tuerane, vei videcur, Freniclo pTO-
Potici; ac lalcem in numeris nihilo Facilioribus, 109, 149, 433, ( sEp. 27. 29.) qui d
termatio tuerant propolici nobis. (Fpist. 8.) Ouod d jam nuperrime praelLic D.
VICCCOIeS BrOUnCKEr I MLIIMCTO ZEZ, SEpiSt. 27.) quem uc nobis inliperabilem
provonie Freniclus. Ouod de eadem lacilicare tiec de numero L5L aut quovis alio.
Nec dubicabic Frenictus, ubi literas supra memoratas acceperic; quin nodum illum
pertecte incellisamus.
Ouodaucem l. Lxist. 26. ) innuieme, dum plures cuborum combinationes dede.
rim, qui essene bini binis aequales, nonnili paucas iltiusmodi combinationes aequa-
licer vel mulciplicalle rel diritiste: Id omnino verum clt. Neque tamen clt Cur
id in me culper, cum ec ipse mitui in eadtem semica praeireric. Numeri enim qui ad
me perterebancur canquam ab iplo extibiu, tn cranies
13 MarCM 1658.
1720 C8 + C10 = CT + C12
410+ C9 C13 C2  C 10
5832 =  10 12 -  =  C24
32832 = C18 +C30 = C4 + C32.
ec.
_c.
Ob maniteltum est numeres n Combinatione cerria ee quarta; non alios et
Puatanumciorum I Pela et seclea aequimupile. Mlati alicem illud tacie
tiac non ienorat Frenietus, sed nec nobis spero inridebit quod de iple Hoverim.
Cornua enum istiusinodi vel unica combinatione, (sire ex inspecta nunterot e
Borum cabella, sive sumpea aliqua ex iis quos indicavie Frenictus, sive quoelnque
detuium modo habeacur) intinicos procinus alios exhiberi polle cercum ell. Si
enim verbrgracia a3 f b3 = c3 = 43, eric d ad et  B3 c3 = 03 03  ~ e3, quieun.
que allimatur cubus e, incexer vel tractus. Similiter si vel unus ales cubus in
alos alios alre pocerie, poceric ee quilibot cubus dacus sic diridi; H enum verbi
Bracia

## Folio 825 — 851708439:0849
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000849.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
H, P IS YO L Y C U M.
oratia B3 = 5. = d3 erit  V e = ∞ ∞ = d8. Addo et idem obrinere in quae
Itione a me propolita. Verbi sracia. Cum 16 e 25 partibus luis aliquoris addiri
aequales summas efficiant, id iplum nOn MInuS FacIeHE 16et es 25 e quicunque
allinmacur e modo sine rum C, 16, cum e, 25, numeri incer se primi. Quod nec
D. Freniclum latere scio.
Calculi quem norat lapsum, agnolco; quem jam pridem nocareram ipse, et emen-
dareram, in Aucograptio meo (sed, ut ridetur, non in Aposrapho,) neque aliud
crac quam praeproperi currentis calami lestinacio, ec quem ex rerborum serie quili-
Dec reltituat. Sed es liquando similes reperiat, isnolcet spero. Quam veniam da-
bimus perimusque riciltim. Fc quidem simili, ni tallor laptu, in iptius Inguisiio-
nis pas. 4. Cubi secundi partes aliquoras numerat 65 3359, ubi lubstiruendus est
MUMETIS C55359. AEque hic sentenciX cenor L cctori mlul adjumenti aHert. Ne-
que porelt laplus restirui, nili ab eo qui numeri lac grandis parres aliGuOTAS HOYCTI
collisere, calculum que ab orisine repetat.
Fermacii Problema de numiero cubo qui partibus sins aliquotis additus faciat D ua-
dratum: in nuperis meis Mars. 4. daris, enueleatum dedimus, ut non st cur de
hoc haereat rir Nobilistimus. Netamen causetur acthuc me methodos tancum extri.
bere, non aurem et numeros, lalrem non à luis diverlos, libuit et 105 sex cubos
subjunsere, qui parcibus luis aliquoris addiri Faciane quadratos.
Cuborum radices.
LX3XSXT3XL7X 3TX4TXFOF. 1
2X3XSXZ ZFZXT7XZFX4FXTOF.
3X 3X3XS X LE X T3X L7X3TX 4EXTOT.
s
3X5X7 XLEXI3XT7X3TX4ZX 
T7X3FX 47XFOT.
7XI7 XZEX47XT9T.
Radtices Duadratorum.
2 (auodeieS) X3X3X3XSXSX7XT3X 17X29X29X 37.
2 quatuor decieS) X3X3XZXSXS XSX7XEZXT7 X29X29X 37.
2 Tredecies) X3X3XZXSX7 XTFXF3XL7 X29X29X37X6I.
2 (quindeCieS I X3X3 X3XSXSX7XTEXT3X L7 X29X29X37X6I.
2 decies) X3X3XSX L3XI7 X29X37.
2 (duodebres  X3X3XSXGXT3X I7 X29X37.
Addo etiam, horum secundum ee quartum Frenicti quasito de duobus cubis Cub
tinem pas. 3. Inquisitionis Cua expolicis, latistacere.
Ouid aurem eso de hujulmodi Inquisicionibus numerosis censeam, jam antehrac
dictum elt, nec repeto; ec quam inritus hue adducar. Guod tamen, eum uc im-
portunis duorum Claristimorum virorum solicitacionibus Patistacerem, cum prae-
Tercim ne cuis deellem mandaris, non crat retugiendum. Ac incerim (tantorum
pace virorum dictum elto) non rideo quin ad lolidum pracheleos protectum ina-
sis conducar, li Claristimi riri, quae sibi putane peculiaria, orbi literato metho-
dice expOnanE, quam ut quxe ipsi se putone invenilsle, proponant aliis (actum
agendo) denuo invenire; nec minus inde quam hine sloriae sint reporcacuri.
Vale, Vir Nobilistime, _ tarCTE PerSAS, OrO,
Oxonii MATL. 15.
2658. Sc. AnSL.
Fhumillimo Tuo, Tibigue
obsequentissimo servo,
TOTI. WAL. L. 25.
Sit, Fcrare pour leare co add a mord more. We have houshes of publistrine
chose Lerters itrieh hare passed oF late Between us and France, il you approve
oF it and chint ic prOper, (Wherein MI. Frenicle harins been betore hand wich
uS, Leems almost to make it neceltary:) And cherein chink ic may be tic co omit
a pallase or ervo in chole of jours, Wherein von declare à comparatire judse-
menebecveen. . . . . . and. . . . .. Wrtrich I do noc know whether vou vould
chink proper co be mace publicti. Buc il sou pleale to honour me wich zour
commands cherein, L Mall Be rery caretul eo oblerre chem.
NIm m m M
F P L

## Folio 826 — 851708439:0850
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000850.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
M N F R C
E PTS FOL R. LaCa.
D. Job. W allis ad D. Vicecomitem Brouneter.
RA Tuebam Tibi jam ance quatriduum, Vir Hlultristime, ad Sccundas D. Frenicli
LL liceras (Rp. 26.) relpontum, (Kp. 28.) eodem die quo iptas polt prancium
ACCCDETAM FAPEIM exaraCU, proxcer curlorem poltero Mane abICEUIM; neque PCF
tempus cum lieuie ce quiequam ea de re altari. Ouam ille noltra carpac, de lugislet
omnia, de concemprim habere, eu vel non monicus animadrercis; quamque illud
sine causa Facine, probe noveris. Ouod sire genio Viri dancum, sive GCnEIS, nOn
inguiro. Mitui salcem neglisenca videneur illac omnis quae tuc Spectane, ue qua
apud cordacos riros, Talcem Machemacieos, nihil lignitieane; quaque vel iplo ju-
dice, procinus crancscene quum primum liceras noltras jam pridem seripeas vi-
derie, (lalcem li ee illas Far. 20. ad ce caras (Fp. 19.) CraBlilerIS, Qua aPDCM.
dicem LIcerarUM Dec. 17. daTaTUI (SEp. 27. ) FutIUS CXPONUNC.)
Memineris, credo, quanco cum terrore, in liceris primis (Ap. 22. Y nostrum
ad primores diias Fermarii qualtiones relponlum repudiavexic; quod nempe SM-
incem extribendo nullum extribuerim vel Duadratum vel Cubu: Ouam auLem
libi parum constans lic, vides; cum liceris secundis, (sepist. 26. ) quali cavilli lui
oblicus, Onitarem ipsC nUNC pEO CabO, NuINC PrO Duadrato, jam IECrUM exHIBCAE.
Ouanca vero cum contidencia sibi pertuadeac nos, neque duas illas, nequi cciam
Fermatii cerriam luo sentu colvere pouille, rel cciamnum polte, quamque inlul-
set plane, ee criumpher, e eanquam cum pueris colludat, neque nelcis, neque
quam vana sic ea contidenca; cum eis omnibus sacistactum sic eriam ad meniem
TIam. EgO aucem caCItUS paciaE, ut recepeum ipse libi canac, ubi viderie quam
ance vietoriam cecinerie criumphum. Poceris camen novillimis meis liceris, li
torre nondum cransmileris, hos duos quos jam pecie numeros subjunsere, nequo
torlan calu praecedentes LIIera PeriexInE.
313 X O: 281938015856+260: + 5. = 9: 32188120829134849.
15Fx G: 140634693: + 1. = : 1728148040.
Sed de vides, non modo de quaestionibus Termatianis tuspicacem este Clar.
Virum, verum de de noltris. Avec urique audire, quid ipse autim alsererare de
qualtione d me obiter provolica, de duobus quadratis, qui partibus suis aliquotis
additi eundem essiciant summam; securus torlan nos adeo rerum rudes elle, uEnC
noltras ipli incelligamus. Neque id semel cancum primis liceris, (sepist. 22.) Sed
et secunda viee per Nobilissimum Diebaum CXISU, (Kpist. 25.) Ouid de hac
re dictum li ridles. Duamquam enim ego illud ad Tolventis munus percinere
pucarerim decerminare, num propolica qualtio lic Colubilis neene; quoniam ca
men id d nobis seileiatur; Relpondi jamjam, solubilem esse (Fp. 23.) (addai
etiam, si velic, solubilem ad mencem suam:) Oltendi intuper (Lp. 28. ) non
modo 16 ec 25 d me exhibitos cales elle, sed ee horum, per quemris quadracum
qui uerique prunus lieu sequimusciplices, puca 18x 9, d 25X9; Item 26X 48, e
25 X 49, dc.
Regeret Fortalle, (ue Fpist. 22.) solurionem hanc lecicimam non esse, en quae
erudicum virum deceat. AC quidni. Nempe, quia tacilis elt, nec aliud qua nu-
merum in 2 vel 3, vel alium numerum ducere, _c. AC inguam, non ideo minus
Colricur problema, quia facile Colrieur. Fc quidem, uEuE dato (ve loquIUE) tri
aneulo rectaneulo 3, 4, 5, (hoc elt cujus lacera line ad invicem in rarione nu
MerOrum 3, 4, 5,) si aliud tale quaereretm (nempe, cujus lacera numeris rationa
libus explicencur) non Custiceret Corcacle ipsius mulciplum 6, 8, 10, exhibere (quia
nempe non ellet hoc aliud specie. Friangulum, led illud iptum; quippe cujus lacera
sunc in racione numerorum 3, 43 5, lunc ee cadem in rarione 6, 8, 10, dec.) AL
tamen expolicis iribus numeris 33 4 5, quorum unius quactracus reliquorum qua-
dracos simul aequec; li rales alui quarancur: rectistime respondebitur, de adua
nncorurus, corundem duplos, criplos, quacruplos, aliotre quolris aequimulcplos id
iplum praeltare; quipue hos alios numeros elle non est qui dillicebiur. Ouique
hoc respontum nollet; vel deberet illud incipolica limuauone praectndere, vel
IMPET.
P
qu
L1V
u
bul
tete
cu
re
(MI
lun
eu

## Folio 827 — 851708439:0851
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000851.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
I, P IS FOL F C U M.
impertecte rem proposirisse censendus eritu de parum aupieas, (problemata siqui-
dem Machematica Pricti juris elle, Car norit rir Clarissimus.) Certe qui pOr-
rectam facilis responsi aulam arripit, neutiquam proprerea culpandus erie, censen.
dus pocius parum oculatus ni cernat. Fr miror quidem acumen Clarillimi viris
li non ee hoc agnoseat. Fgo certe, si id responsi porrigat ad problema nostrum,
(cum illud non prxecluserim;) tantum abest ut pro justa solutione non habeam,
uc naeqeaua sim hrabiturus ni fecerit. Perinde. utique eric acli quaerenci numerum
qui lic per 2 et 3 dirisibilis, exhibeat 126, 232, ecc. neglectis interim 6, _ 12.
Sin ipse porro interrogareris, Annon achuc alii exltent quadrati (PPaTeT 16, 25,
et horum aegnimulciplos) qui rem eandem praestent: Dicam aperce, vir TIlustristi-
me, Tibi salcem (ee quidem, si Fibi ridebitur, ne diucius illum lolicicum tenea-
mus, quin id iplum Freniclo transmittas non repuono;) alios adhue esse, ee qui-
dem quamplurimos, utut eos extribere minime teneamur. Ne tamen id gratis
dixiste ridear, Ouadrati, inguam, numerorum 8X 3X 37, _ ZX FOX20, partibus
Tuis aliquoris addiri eandem summam esticiune; (quod de paricer intelligendum exit
de iildem per quadracum quemris qui sic uerique primus mulciplicatis. ) Nempe
Duadratorum Radices.
(8: 8x3437.
Q: 2XZ9Y29.
Similiter.
(Q: 3X4 XZEXY9X37.
C~: 728X29167.
Duadrari parribus aucti.
T27XF3X3X7X67.
ZX3XF27 XF3X67.
13X3TX7XF9XZXT27X3X7X67.
3XF9XL27XL3X67X3X7X7X3L.
Sin queratur adhuc Frenictus, quod non line bini incer se primi, (quod tamen
ouid ad rem praesentem faciat, non rideo, salcem cum non lint expolicorum 16
et 25 aequimulripii, quos credo, solos, exctusos vellet) en duos alios, incex se
Primos.
(Q: 2X3Y5X37.
22: 29467.
7XTXZFX3X7X67.
Y3X67X3X7X7X3T.
Similiter de hos duos, primositem inter (c. -
(Q3XSXTEXLOX37.
Ca: 7X8x29767.
E3XZEX7XTOXZXT27X3X7X67.
3XTGXF27XT3X67X3X7X7X3I.
Sin praeter holce (acque horum mulciplos ut dictum est,) plures quis deside.
ret, eadem tere methodo quaerat licet (mucaris mutandis) qua in exquirendo cu-
bo, qui partibus luis aliquoris addicus quadratum etticiat, us FuimuS. Acque haec
quidem li quando torre riderit Frenictus, acquielcet (credo) et in polterum mi-
eius judicabit, (nec tua sibi cam purabie propria, quin eo postint alii pervenire:)
uti d jam, ni Fallor, Fermatius acquescit.
Duos autem quod spectat viros Nohilistimos, Fermarium de Freniclum, qui
buscum hactenus csimus, (ee quorum urrumque Tua tortan de nobis expectatio
tetellic;) dispari nonnihil genio (quantum ex liceris conjicio) ridentur consti-
curi. (Dabis reniam utique, s pro qua Tu Toles indulsentia tarere, libere apud
Te mencem eloquar.) Frenictum credo, Arichmeticis magis dedicum, dc qux-
stiones particulares sectantem, (quae ad Aquationem univertalem, de calus omnes
respicientem, rix aut ne vix reducantur,) speciacim qua partes aliguotas spectane;
(unde de Geometrica nostra omnia inracta Praterit: (ralemque arripit quaestionem,
sibi non propositam: I) Fermarium, Geometricis non minus exercicatum, e Canones
generales, sire unirersalia Pheoremata inquirentem; (de qui forrasse rireurem in ad.
versario lubentius sic agnituruS:) Ec quidem praritarem Fispanicam, quibus est
vicinior, masis forralse Capir alcer; Crallorum alter alaeritatem: ACutos ambos e
lummos viros lubens agnolco. Nec ramen esse credo, (quicquid de me statuatur)
cur cencem nostram habeane despicatui; nisi quod minus Forrasse simus jactabundi.
MIm m m m 2
Vides,

## Folio 828 — 851708439:0852
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000852.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
 O M M F R C I U 1
Vides, Vir Insignistime, quanca cecum ucar libertate, FavOTC NIXUS TUO, qui
Hanc permictar. Ne tamen libereacem videar in liceneiam nimiam pervertere, ut
cerius imporcunus elle delino, ubi me tuero protelluo,
Oxonii, MarL. 19.
Tlustrissime Domine,
Flumiltime Z ibi obsequencissimum,
acque observancissimum Zui
JOTL WALLIS.
1050 oello
LLMISLIa.
R P IS FOL A XXX
D. Vicccomitis Brouneker at D. Joh. W allis.
vich presenced 10 you. l’imasle fEpon che Lishe ot chem) chac MI. Frenicle
hach by hum a larse labie et evets (Squares, Cubes, dec.) wich cheir ali-
quoc ParIS in Primes; istrieh maties him ready tor any luch solurion, by almolt
a bale pectio decorcne Wd ie Method son lacels incimaced, tor che lolurion
et ele Problems, urtrich is univertallr applicable co all ot che likC NACITC. My
rrice co your Lady, and lec chis contirm unco you my beins
5A3
Tour mest faichsul friendu
and humole servant
E P IS FOL A XXXI.
D. de Fienicle ad D. Kenetmum Dieby.
BROONCKFR.
R OTunc quas d me postulalti, Eques Honoracistime, Problemaris Claristimi
Viri D. Nallisis Toluriones quaeclam, non omnes quidem quxe mihi Occurre.
rune, cum cam mulia sinc ue eas scribere non valuerim, cum enim ad paueos nu-
meros unde iptas decerperem, brevitatis caula, reducendum else caleulum aequum
esle duxerim nihilominus ex his paucis, eot d LaM VarIAS exUrGerE COmperI UE
terminum quendam eis ponere coactus tuerim, quandoquidem ex prioribus Tolu-
tionibus noras semper e varias sine modo provenire animadrerci; unde tactum
M, ut ipsas ordinc a me propolito extribere cum cuco non pocuerim, quod Deo
jurance quamprimum ticc Fale aucem crac Problema; Invenire duos quadratos
quorum sineuli guneti cunetis sins parsibus aliquoris conficiant eandem summant.
D1
a
PHese paperS (F p. 34. J beins sent me by Doctor ScarbroueB, a day lince, are tiere-
6 April. 1658.
Facium 32. Oceruncur alii similes.
DEOBIEMALE inerIE Si ulcipLICES quacTAE ACMMICAHEML. ACtamen 1PIC W allisiuS COS
recusare non poreru: cum ad problema quodcdiu L. PerMat, Cica Me
binis cubis compoticum, qui in duos alios cubos relor beat; Wt c 1720, qui
MmIHCPAS ceum ex duobus cubis +  2728 SIE COnTalUS, I duos tamen alios cubos
72) e 2000 relolvitur; cum, inguam, ad Toluctone Ms ac problematis
mulerplioes cancum acceptorum numerorum cradiderie.
Hlac isicur regula Pacillime D. N allisii problema TOlvetur. DucantUE quadraLI
26 e 25 in quemlibor alium quadracum imparem, per 5 non divilibilem, et exilt-
Senc ali duo quadrari qualtion lacistacientes. Sic quacrati nUmerOTUM (2 e 15:
ec 35: 36, 45: 44, 55: 52, 65, c. rem praeCtanE. Si enin GB Gactra
torum raq ec 225, parcibus suis jungancur, conticiene summam 403. Quactrati
784, e 2225, Faciune 1767. Duadraci 1296 8 2025, taciune Cinguli cum luis
Parcibus 375r. Fc Sic de aliis. Sed haec Tolurio est indirna Matlichac, Hec la-
lis cst quae proponi debene si hoc telle aceislalue. L dilallett e Hllu
Ec exemplum praebet quadracorum 16 8 25, quorum linguli juncti luis parcibus
Ouaeruneur igicur bini cancum alii quadrati, ee cerre nullum necocium in hoc
luc
uer
nuI
dic
le

## Folio 829 — 851708439:0853
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000853.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
p
E P IS FOL IC U M.
D. Wallisium aliud in suo problemate incendiste, et aliam solurionem expectalte,
cum huie acquiescere non debeat. Proponatur igitur problema ut sequitur. In-
renire duos quadratos incer se primos quorum linguli juncti suis parcibus taciant
eandem summam.
Sequuneur lacera quadratorum, qui quaelicum prxestant. Si enim quadratus nu-
meri 326 jungacur luis parcibus, etticier lummam 187F3F: Timiliter de quadratus
numeri 407 junctus luis parcibus dabic eandem Cummam 187F3F. HlaC verO
summa dacur in parcibus, poH sex priores quadratorum copulaciopes.
(N. B. Nameros quos ille ex plaribus inter se ductis compositos exhibuit, vi-
sum est (in Lectoris eratiam ’in componentes item resolvere, e mendis ali-
quot liberore) quo totum artificium rectius percixiat Lector,  (si libet) exa-
minure possit. 
uu Lacera Oractrarorum.  11P. 3t
326(= 2X163
407 (== TTX37)
627 (= 3XTLX19)
749(= 7X 107
251O( =- 2 XGX F5T)
1809(= 3x3x3267
T3066 (== 2 X47X139
5400L (= 3X13 X350)
T0686(= 2X3X13X137
27532
=47 23731
T463EF (= TZX 47X283)
247623 (= 13483X137)
36T232 (= 2X2X2 X2X1O7X2FY)
487173 (= L9XT37XF92)
343052 (= 2X2 X2X2 X7 X 37X83)
507459 (= 212 163X283)
724E52 (= 2X2Y2X3XTFXI3X2∞1)
219594 C (= 7XXOX47XT9F
fei iceri Summa.
aut L87 ESL (= 3Z7X7XZ9X67
FETAOB(= 2X2X2X2X3XTTX2F1)
283169 (= 7 x. 137 X X9C)
1t e
ectocs
658740 (= 3X7XP3H 19X 2271
498080+ (= 3x7X7X3LY 1093)
307464339 (= 3X7X L3XBZX6PX +99)
32485827F ( = 3XZ XI7 XL3Y37H6LX13)
241264475+3 (347XLGX37X6ZH7343671
X3X13
373F,3749, 73, 127, 160.
 S1L 7,7 13, T3
31 18, 31,37,49,73, 163.
333,77 29,10
d, 48, 67, 73, 36F, 367.
3,3
13, 13
1738 18,34, 37, 61, 127, 169.
(. Sequebantur hie aliae vinorum copulationes 27. )
Ptures alii bini quactrari reperiri possent, sed ad alia operandum est. Non
Tolum enim bini quadraci partibus luis juneti eandem summam conticere ralent;
sed etiam trini, quatrini, quini, seni, ec. idem praestare pollunt quadraci et in-
ter se primi. Trini aurem, quatrini, dc. Guadrau dicuntur inter se primi, quando
nullus numerus hos omnes dimetiri porelt SiC quadrati 9, 16, 225, 324, hic
dicuntur inter se primi, quia nulla est iplis quatuor communis mentura, quanquam
ires ex ictis habeane numerum s communetm menturam.
Frini quadrati.
Patera quadratorum.
245828(== 2XEXILX37 X151)
294867 (= 3X3X3267X2631,
307285 L=SXLL X37 ~ 157
Summa.
133151753E33 (= 3X3X7X7 X7 XTOH3L467 X 1093)
M M M M M 3
Latera

## Folio 830 — 851708439:0854
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000854.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
C O M M R R C L u M
Latera quadratorum.
589734 (= 2X27 X67X163)
62457O (= 2XSXTZX37X15F)
736263 (=272L1 237 267)
Summa.
34486304062447 (Perperam. Sed reponendum,
83296227L93F = 3X3X7Z7X7X7XTOX3LX67 X1093)
(Sequebantur aliae ternorum copulationes 26.)
Supertunt alii quamplures crini quadraci quaeltionem solvences jam quidem in-
renti, sed ob cemporis inopiam nondum ordinat, ut Pibi, Vir Nobililtime, Pra-
beri poltine; uc etiam quatrini, quini, seni, ec. quos quum paraci luerine cum
praedictis crinis accipies; incerim uc ex cunetis quos pollicicus sum unum Falcem
auc alcerum exemplum habeas, hrie quidam sunc appolici, religuos expectaturus.
Ouacrini quadraci.
Latera quacratorum.
2296( = 2X2 X2 X7 X4I, qui mumerus est erronous, pro quo reponas
2996 = 2X2X7X107
2508 (= 2X 2
10)
3235 (= 3X5XIIXX9)
3745 (= 5X7X X07)
Summa.
204212F9(= 3X7XE3XXOX3LX Y27)
(Sequebancur tres aliae quaternorum copulationes.)
Ouini quadrati.
Lacera quadracorum.
13995438L7HO(= ZRZLSLELKTSETOKBZEI37 K251)
265476277800(= 2XSXZ XTFX47X1O7 X15LX283)
167186334770 (= 2XSX 7ZL3XB3X1O7XT37XLSFI
20824277265T (= 3X3XZX7XIT X47X67 X1O7X283)
200291443443 (= 3X 3x 3X7X13267283X 107X1377
SuMMX partes.
13, 2 . 34, 37, 61, 73, 427, 361, 367, 2093, 2402.
Seni quactraci.
Latera quadracorum.
79588991I3O(= 2X3ZSXIZXY9X29X47X67X 130)
82718976OT2 (=- 2XZX3XILXXZXF9X37XTOLX359
9507520631O (= 2X5X7X2OX47X67X1O7X139)
98813F4O244 T== 2XZXZXL3X37 XXO7 XTOFX359)
103397595O15 (= 3X5XTIXL3XT9X37XTOTX359]
123516425305 (= 5X7XI3Y37 XTO7XFOLX 359)
Summa partes.
29,27,37, 62, 67, 127, 499, 061, 2197, 2402.
Seguuntur alii quadrati cam bini quam crini, etc.
Secue.

## Folio 831 — 851708439:0855
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000855.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
His P YS YOL I C V M.
Sequebantur bic Duadratorum copulationes plures (poll miste.) Nempe Pino-
rum, 6. Ternorum, 52. Quaternorumu 20. Q uinoruI, 3. Senorum. 5. Tum Bino-
rum 5. Ternorum, 5. Duaternorum, 7. Duinorum, 3. Senorum, 6. Seprenorum, 4.
OEionorum, Z. Novenorum, T. Tterumque Duinorum, L. Senorum, 3. Septenorum, 2
Octonorum, =. Novenorum, 3. Denorum, 2. Ondenorum, L. Duodenorum, 2. T re-
denorum, 2. Quatuordenorum, 2. Duindenorum, T.. Novencenorum, 2. Duibus re-
censendis singulis supersedendum duxi, ne plura folia mumeris implerem: Nume-
rare tamen visum est, ne Authori videer injurius.
Frequens quidem erat, in bis solutionibus, sive Calculi sive Calami, lapsus; sea
quem excusas ille (FD. XI. III.) ob festinationem: Leque imputandus est. Sit
quidem Lxeriptoris esse possunt aliqui. Sed recedit hic a sua recula quam nobis
proponit, nempe ut quadrati sint inter se primi. Quod in suis non fit. Duippe cum
Senos v. 8. proponit quadraros, sibi vult sufficere si sallem non unus aliquis nu-
merus omnes dividat, utut ex illis nulli duo sint inter se primi, (quad exami-
nanti patebit, nec ipse diffitetur) atque hinc est quod tam numerosa compareant
Copulationes. Sed e eeon solutionibus meis (L. P. 29.) in quacratorum radicibus
componendis, non alios adhibui numeros primos quam qui sint C’ertenario minores
(non opera pretium ratus ad majores procedere) intra quos lnnites, non plures erant
combinationes quam quas extibui. Dualem ille ne unam ex omnibus (nam omnes
examinavi) copulationem exhibet, quam non increditur primus aliquis Centenario
majorquasi, in minoribus numeris primis, res non procederet,) ad numerum us-
que 500 proxime accedens: Inde porro fit ut tam numerosa sint ipsius solutiones.)
1
E D EC Y OL A XXXTI.
D. Job. W allis ad D. Fisecomitem Brouneker.
Mustrissine Domine,
Ccevi praterica septimana, tavore cuo cransinicas, quaestionis d me dudum
 propolicae, (de duobus quacraris qui parribus suis aliquocis addici candem
etticiant summam,) Coluriones Frenicteas. Quibus percipio Nobilistimum Vieum
tum quastionem illam Colrisse, cum eo pluris mulco secilte quam facturus ipse
Fucrim.
Solucio sua prima, eadem ipsa est cum prima mearuM; Ouipue Quadratus
impar per 5 non drvisibilis, cancundem CR aique quadratus qui sit utrisque 10
 25 numerus primus.
Solutiones reliquas, ex eodem plane fonre oriundas arbitror, acque cadem
plane mechodo inventas (cerre rix meliori,) cum mearum reliquis.
Ouod autem cam numerola tuerine, non ommino mirandum etit modo tantum
huic negorio laboris impendere non dedignecur. Cum enim praesto habeac, ni
tallor, (quodque cu etiam judicas,) rabellam latis, amplam quae qu’adratos, cubos,
(torrallis et alias poceltares,) numerorum primorum (ad ulque 500 vel cti-
am ulira) parcibus suis auctos, in partibus extribeat; facile exii inde Soluriones
aliquor, modo à me nuper indieato, elicere; quas quidem ubi aliquammulras nactus
est, caldem rarie componendo, commurando commiscendo complures alias eftor.
pare polse rirum Pasacistimum, non dubitabit qui non ignorat quor mille modis
seviem auc octo licerx cransponi polline, vel cocidem cumpanae ordines imuLare.
Ouiequid Sic, cgo nullus dubito, quin mysterium illud aperuitté (quod à nobis
factum est) unde e haec ee hujusmodi alia intinica dependene problemata, res
Machemacieis non minus grata sic fucura, quam, supprecla mechodo, iltiulmodi ret
mille numeros exhibere.
Ue aurem quaestionem illam à me (non sibi) propolicam Colveret Frenictus,
neuciquam inexpectacum crat. Cum enim Fermatianas ille jamdludum lolverat,
non dubitandum crat quin ee meam, ab eodem principio dependencem cadem ta-
cilitace soluturus eAer. (Fermatius, cui erat proposita, Duas invenit (nec plures)
ejusdem solutiones, ut ex Fp. 37. liquet. Séd quae fuerint, non dicit.
Ac mallem incerim, uc id talcem laboris omisistet, quo quadratorum radices, in
Darcibus proculdubio primum inventas, concinue mulciplicando in justos numeros
redegic: quippe tanco facilius numeros ab illo exhibiios licuister, si ritum ellet,
examinare; quod jum non nili retexendo id opus suum laciendum exir: quem
quidem

## Folio 832 — 851708439:0856
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000856.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
C. O M M R R C 1 U M
quidem ego d me laborem vix imparrabo; nec enim canci exir. ( Quod Lamen
post prestici. ) Sed mecuebar Fortan ne si rem cam nude expotuillee, mechodum
inde luam edilcerem, quam mihi lperaverat ignocum clle.
Ouod aucem ipsi vilum elt quaestionem a me propolicam immutare, adjuncta
limicacione, (quam tamen ille regulam non observat, nempe, ut quadraii exti-
bendi sint incer se primi, (ne leiticet expotius 16 d 25 rem praellaneibus, corum
mulcipli per quactracum quemvis qui lic ucrisque primus, magna tacilicace exti
bereNEUE,) quamquam ego limitacionem illam plane non repucIEM; ACCAMMEN CUL
exo illam non admodum necellariam exiltimem, duo taciume. Pr. mu, quod Cx
Dolica limitario plures quam ac id opus eller quadeacos exelculat; eum cercum li
eciam coenicis 16 _ 25 rem praeltancibus, muleos achue elle quadracos, criam non
incer se primos, qui nihilo tacilius invelliseneur quam si ignorentur illi, vel cuam
alii incer se primi. Dc quidem, vel ipso judice, nihilo taCilIIIS CxGLITENTUE BX3X37,
_C 2X COX 29, vel CTIAM 3 X4X PY Z19X37, 8 7XBX29X67, a me exHIBIEI, ULLE
incer se primi non line, quam si ellenc Alcerum elt, quod quamvis Lieniclo reS
Pacilis lic; ue qui noverie, numerum compositum ex duobus pluribusve numeris i
cer se primis, porribus suis aliquoris auctum, aequalem elle composito ex nUIerIS
illis intor se primis, partibus suis auctis, (quod praecipuum Mt in itiutmoci qua
lionibus mysterium;) qui camen id nelcirerie; nitilo tacilius alIEqueCIE nuIC.
ros dacorum aequimulciplices, ut negocio accommodos, quam alios incer le primos;
qui aucem illud scirerie, non mulio disticilins mechodum allequecur alios ccra
incer se primos inveltigandi.
Ouod denique non cancum binos extribeat, sed de TernOS, quaternos, quinos, ec.
Sac novic vir Nobilistimus non norum illud esse negocium, (li laborem caleuli
excipias,) d quaestione uc d me propolica; cum eadem plane mechodo exquirendi
tinc cerni, quaterni, ecc. vel eciam cenceni, acque bini; (e quidem incer paueos illos
 me expolicos, inreniac ternos quadracos rem praeltances; neMpC 3X 4 X LL X Z9X37,
3XSXEFX19X37, 7X8X29267; quorum linguli parcibus tuis aliquocis addui,
lummam eAICIAnE 3X3XZ XZZ F3XLOX3LX67X127:) Vei nec novum cllet, li
quod de quadracis propolui, proponerem iem de cubis, vel biquadracis _c. quod.
que de lummis aequalibus, id iplum de Cummis in daca ratione (Dollibit) contli-
curis tuislet propolicum. Quamquam enim, in iltilmodi calibus, serius non raro
calculus rem imperacam aslequatur; ex eodem tamen principio lolutiones depen-
dene eadem plane mechodo inveltisandae: quod probe norit Vir AcucistimuS.
Duod de de iltiusmodi aliis quaeltionibus intinicis dictum elto.
Onicum achuo superest dicendum; Nempe me jam nuperrime ex Bacavia liceras
accepisse a V. Schootenio ad ie leriptas, quas de D. P imperciendas judico. Oui-
bus perlectis, in ea plane tum sencencia, quod Mechodus qua ulus elt D. Freniclus,
ad qualtionem Fermatianam cerciam Tolvendam, (nempe, de quadrato, quI In
dacum non quadracum duetus, tactum exhibeac qui d numero quadraco unicare de-
ticiau) mechodis hinc extribuis, polteriori salcem, interiorem ese. Tum quia vi-
deo cum ad dacum non quactracum r00 haelicalle, (quod ee ex cractatu impreto Ji
que ubi quadracum huic numero accommodum, d D. Fermat Cibi crantimillum
2c;) cum eciam quia mechodum illam, Cuci videcur) quum D. Fusenius viderat,
cam laboriolam deprehendie, uc illam aggredi relormidarerie; quum incerim noltra
canca Facilicaris res sic, uc vel breri cemporis spacio, numeros Pac vastos poris lit
extibere. Sed quum mechodum illam Frenicleam nondum ridimus, (ritum uci
que ipsi est in cractam Tuo imprecto illam recICerE,) nec aliunde quam ex Con
jecturis quiequam judicare pollim, nihil ea de re audacter pronuncio. LIteras
aurem Schootenianas quod accinet num Dai va vitum licuc noltris imprimendis
(quod ee mitu videtur haud incommodum, de ipse deliderac) incerleranur, L
Pe expecto; tacturus omnia, quam tierr pocell, ex voo cuo; ue qui lu
Mustrissime Domine,
Obsequentissimus Zibi, Zuique
observansissimus
JOTI W ALL15.
EPISTOL A
Oroniis, APC. 13.
1658.

## Folio 833 — 851708439:0857
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000857.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
 P 15LC U H.
E PISTOL A XXXIILS
Clarissione Vir,
D. Franc. Scooten ad D. W allis.
Xemplarium partis primae Operum tuorum Mathematicorum, (quorum altes
lrum mihi, Fueenio alierum à Te destinatum Fuic) quod mili destinareras,
recte d Domino Thrommio mihi tradicum elt, quare de maximas a50 gratias. D0-
Det etiam Exercitationes meas tibi non tuisse craditas, quarum exemplar, jam tunc
cum prodierant, Typographo dederam, ut illud una cum plurium exemplarium
copia Londinum micterei, ad - qui ipsum inde ad ce meo nomine Oxonia
amandaret. Caudeo plurimum eas Pibi non male placuisse, ut de quae de Rario:
ciniis in Alex ludo in tine d Nobilistimo Fueenio Tunt adjecta: cum euum super
iltis judicium prae mille aliis luculentum nobis lic celtimonium, quod tam resti-
euenda quam promorenda Machematiex uterque operam non male collocarerimus.
Pra aliis arrider mihi mucuns consentus, quem Tubinde in tuis ac meis srolvendis
animadrertere licet, ut inter alia liquer in iis, qua de Progrestionibus uterque
procilit, haud secus ac si communicatis consiliis SCripta FOTCHE.
Ouxe de Fermatii quaestionibus innuis, superiori anno omnibus FUTOPK Ma-
chematieis ad Solvendum propositis, quid nempe circa illas d me praestitum fIt,
pareis accipe. Mitit (c. anno praeterito die 26 fanuarii Parissis ad Academix
L.usd. Bacavae Macheleos Profectores Vir Mlustrissimus D. Gulielmus Boreel, Con-
Taederatarum Belsii prorinciarum ad Christianictimum Gallix Regem L egatS, I1.
terasq quihus dua includebantur quaeltiones numerica hac inscriptione: Proble-
mata duo Mathematica tanquam indissolubilia, Callis, Anstis, FTollandis, nec non
caeteris Furopae Mathematieis proposita, a D. de Permat Resis Consiliario in T olo
lano Parlamento, Castris Parisios ad D. Claudium Martinum Laurenderium Docto.
rem Medicum transmissa 3. Nonas Jancar. 2657. accepta vero 22. Kal. Febr.
Problema prius.
Invenire Cubum, qui additus omnibus suis partibus aliquotis confierat quadra-
tum: ut numerus 343 est cubus a latere 7. Omnes ejus partes aliquorae sunt
2,7, 40. quae adjuncta ipsi 343 consiciunt numerum 400. qui est quadratus à la-
tere 20. Queritur alius Cubus ejusdem natura.
Problema posterius.
Duaeritur eriam nonnerus Duadratus, qui additus omnibus suis partibus aliquo.
tis conficiat numerum Cubum.
Ouas ubi D. Gotius receperat die y Febr. ejuldem aunis pridie sc. quam Recto.
ratus Magnitici munus deponeret, me coram post aperuit dic rr ejuldem menIs.
Ouibus cune temporis sequentia respondi, atque prour illa D. Golio prius com-
municareram, recta Parilios die 27 Febr. ad memoratum D. Boreet una cum ad-
junctis diceris cransmiti; ac duobus a me ejuldem arsumenti adjunctis Problema.
Eisu D. Fermatio iterum proxonendis.
a Responsum ad quaectiones a D. de Fermat, in Parlamento Fololano Confi.
aJiorio Regio, totius Furopae Machemaricis ad Solvendum propolitas.
cc pd Solvendam primam Ouaectionem, in qua Numerus Cubus est inveniendus,
ee qui additus onibus siis partibus aliquotis conficiat Quadratum, quaero ab uni-
arate 4, 7, T0, aut 23, Pluretre numeros deinceps proportionales (augendo (0.
aeillorum numerum continue per 3) qui simul addici conticiant Duactratum nu-
amepum; exicque ultimus provorcionalium Cubus quasitus. Pro secundo auteme
e proportionalium sumo semper alium atque alium primum numerum, incipiendo
cc ab omnium minimis.
ce Sic quoniam proportionales I, 2, 4, 8. 1, 3, 9, 27. 2, 5, 25, 125. addici Fa-
ae ciune numeros 15, 40, 256, qui quadraci non sunc: hinc, prouc pro lecundis
et cujusque
N M MAM

## Folio 834 — 851708439:0858
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000858.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
 O M M F R C L U M
appinsque harum serierum altumpE primos numeros 2, 3, _ 5, altumo jam pro le-
cc cundo primum numerum 7, habeoque proporcionsles 1, 7, 48, 343. qui addiu
cc TaCtNE 400, Onacratum numerum cujus lacus elt 20. Acque lic inreno 343
 elle omnium minimum Cubum numerum, qui quae lico Pacistacie, ac ipsisimus cst
e qui a D. de Fermat M allacus. Ouoniam aurem altumendo semper alios alque
ac alios quacuor provorcionales, ucendo ad hoc ordine omnibus primis numeris d 2.
ausque ad 07, alium nullum praecer jam ostentum ottendi, laborem illos ulterius
a explorandi lubcertusi; (quandoquidem compendiosiorem viam eos cerro inveniendi
aenoscere baud potui.
a teodem modo, cum urendo Z proportionalibus 2, 2, 4, 8, 16, 32, 64. 2, 3, 9,
62, 243, 729, CC. TUMa T27, 2093, _c. non linc Ouadraci, nec id ulterIuS,
cc ob laboris moleltiam, in 2 proporcionalibus inquirere animus tuerie, declinavi
a sinul overam idem in 20, 23, 26, pluributre proporcionalibus experiri. Ica
ce ue hrinc judicare ausus sim, quod licet hujusmodi numeri (ue fane contido)
sinc intinici, non tamen quis eos ulera cerram mulcicudinem, ut puta 5 aut 6
numero, tacile sic invencurus, ex insenci illorum d se invicem distantia.
Racio aucem eordem numeros sic infallibiliter invencum iri D. de Fermat la-
rere non, pocerit, ubi incelliget me ad praedictos proportionales investisandos uci
cc hujulmodi terminis Analyereis a3 a, a2 a12, _c. auc etiam ad inveniendos nu-
CMErOS, habentS 25, 27, 39, 48, 52, 63, 69, auc 75, _c. parres aliquotas, MC Pra-
ecter illos, praecedenci modo nOcaLOS, uti niS a b, a B, a b a b a2 V
CD B ∞3, vel a13 B a B aue aD B, ec. quippe qui huic necocio, ue le. CabiS
cc numeris inveniendis intervian uciles elle poltune. Sed cum ad inveniendos
Ce qualros numeros n cermini non nili operoliores vias eoldem quaerendi signiti.
cc eenqu hand tacile crediderim, ue quis illas ingreltus eos telicius sIC obtentNS.
a Caererum nihil hic acdo, cum praeter jam indicacos modos investigandi holce nu-
ameros nulli existane, quibus ipli cerca racione inveniri queune; nill Torce D. de
a Fermat (compendia nonnulla) in Faciendis adaequationibus (quae cerre mihi
Cc + (meutiquam succedere voluerunt ) excogicaverie, quae moleltiam hujus examinis
a non parum lublerent: quae si communicarerie rem lane graciltimam facturus
Similiter ad solvendam secundam Ouactionem in qua Numerus Quadratus
cee quaeritur, qui addicus omnibus suis partibus aliquotis consicint numerum Cubum,
aQuarO 2, 5, 7, 9, TT, auC FZ, pluretre numeros ab unitace deinceps provortiona-
eo (auxendo sc illorum numerum concinue per 2) qui simul addici taciane Cu
abum, lumendo pro secundo numerum quempiam primum. Ommino uE per
C a 2. 2, a, aa, a, a. 2, a, aa, a, a, a. a. eC. indicatur. Si enim haec lumma
aCntrus numerus fuerie, eric ulcinus proporcionatium OuadracS quae sitIS. VL.
a pore ucendo ad hOc aa at a a a c. ad inveniendos numeros, habentes
12, 4, 6, 8, 20, _c. partes aliquoras. Ruc etiam praeter hos urendo aabb, ad in-
ac vemendos numeros habences 8 partes aliquocas, auc et BB ad L4 parceS, aUE
Ca BB ad 20 ParteS, auc ae B act 24 partes, auc a ab bcC vel a b b acl 26 partes,
a Rec. Sed quoniam et hi polteriores cermini non nili disticiliores modos quaerendi
cholee quacracos numeros signiticen vix credere aulim, quempiam ucendo illis
ae ad optacum tinem FeticiuS perVeNEUEUM.
Acque cum hi omnes modi existane, quibus qualitos numeros certo obtineri
a polle eridenter perspexi, modo quis ad hoc, laborem examinandi, ut Tuora Or-
dine omnes primos numeros (incipiendo ab omnium minimis) non detusiat
sperace volo hic d me Claristimi Fermacii deliderio penicus suilte facistactum.
dc ad no
Dabar L Med. Lat.
 die LJ. Leor.
a Ano 1657.
Flat 180
LY. a Dchoolen, E Acnda
Lade. Bat. Matb. L10sese.
ce dequuntur

## Folio 835 — 851708439:0859
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000859.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
P 15L O, bs C Ut M.
a Geouuntur duo Problemata D. de Fermat rurtus proposica, ejuldem
ac aroumenti.
aprimum Problema.
a Invenire duos Cubos numeros, qui simul addiri conficiant Cubum. Vet, si
a eoldem reperire non obtinsat, oltendere problema este impossibile.
c Secundum Problema.
a OMendere, utrum perfecti numeri alia ratione quam ab Fuclide tracitur prop.
cc ulc. lib. 9. Flem. hoc ett, absque progressione dupla, sint inveniendi nec ne
Acque haec quidem, quae tune respondi acque viciltim repolui.
In his aucem quaestionibus enodandis id Polummodo propoticum habui, ut mo-
dum, quo solrenda esfent, Rucori indiearem, quod lane me tecisse Pibi, Vir Per-
Spicacistime, facile erit coonolcere, cum nullum dari numerum deprehendes, qui
aliquam praedictarum condicionum (ut ex Sectione cercia mearum Exercitationum
colligere licet) non Subeat, aut per allatos modos inveniri non pCsTIt. Neque
enim tanti ipsi numeri mihi risi funi, quin ratio qua iidem certo ellent inveniendi
D. Fermatio Cutticeret. Atque hoc elt, quod praesertim etiam spectari in binis ad
junctis Problemaris, ut, si qualici d me numeri, non ottenderentur, lalcem olten-
deretur Primum ex illis Problemaribus esse impossibile, ee secundum alia nulla ra-
tione, quam ab Fuctide ostensum elt, solvi Bolse. Ad haec vero omnia nil quic-
quam, quod seiam, ab iplo Fermatio mihi relpontum elt aue certe nihil ad me
perrenit; neque etiam ullatenus ipsum ursendum duxi, ne magnam ridelicet elo.
riam ex solurione Problematis, quod nullius ulus tructutre apparet, aucupari vi
derer. Tra ut nesciam utrum D. de Fermat ea RCCCDCrIL NeC ne, _ S ReCCPCRIE
quale de iis judicium ferat. Fareor compendia, quae ad operis subleramen haud
Parum proficura credidi, illo quidem tempore mihi in mencem non veniste: quo.
cirea cunc ipsi Fermatio Signiticari (cui illa dubio procul prae aliis constabant) si
seneralia quaedam compendia circa haec cosnosceret, rem sratam facturum esse, li
robis communicare illa dignaretur.
Postquam Fermasii quaeltiones superiori modo solvillem, rilum fuit illas etiam
Clariltimo Domino Luddenio communicare atque Colrendas proponere, qui cunc
temporis Ocrajecti morabatur, ac die 23 Febr. tale mihi super eas relpontum
dedut.
a Onantum ad quaestiones a D. Fermatio propolicas, illarimque a ce inventam
asolutionem, faceo: illas quidem mihi non displicuille, sed non perinde rationem,
a qua mihi pertuadere conaris, ut et cgo carundem Tolurioni quaerenda operam
adarem: quandoquidem judicio meo, magis necellaria ac urilia minus necellariis
aac utilibus anteterenda lunc. Si enim aliquod mihri in excolenda Machesi ocium
asupertie contido id non rantum a me in lonse meilioribus impendi poste, led e
aTimul seneralioribus ac jucundioribus, quaeque ejuldem cultori ampliorem lau-
adem polliceri ridentur. Ouocirea cum id à me impetrare non potuerim, ut (o-
ajurioni horum Problemacum quarendae incumberem; volui camen nonnihil se
aposiris caereris meis studiis cu Colius causa hesternum diem iis impendere, Forre,
ac ut, si cum ad eas relpontum nondum Parilios amancasses, quae à me ad subte.
ae vamen operis inventa cent, tibi impercirem.
ae Reoula isitur quam ex muliis selesi acque ad solutionem prioris quaectionis
ee adtriberem, in qua cubus numerus est inveniendus, qui additus omnibus suus par-
a gibus aliquotis consicint quadratum, talis est: Sumatur quadratus (incipiendo ab
a omnium minimis) cujus duplum = = (it numerus primus, a quo ablato E, (
ac roliquum mulciplicetur per quadracum altumprum (seu, quod idem elt, per ma-
e jorem hujus primi numeri semissem) ee productum adleica unitate deveniat qua-
ae dracus: exie praedictus primus numerus latus cubi quae siti.
N AA AA 2
LXCtII

## Folio 836 — 851708439:0860
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000860.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
 O M M L. L CLD M
ac FxempLI BCaCIa.
O, vel major semissis pr. num.
 RadiX) ∞(Prim. num. (Prim. nuI. = +
20
27
6 per 4 dat 24, cu adi. 2, fit 25.
18
251320
100
24. 2
337
5+7
647
(1507 est lacus C.ub. qua sitt.
16 per 9 dat 144, F L-
30 per 26 dut 480, + 7
208
240
36 2520, +
40 4704 
64 6064, + 2
100 10800, + 2
12F 29040, + 1
336 160 56784, + 11 
418 225 100800, + 1
576
280 266464, + 2
646 324 209304, + 2
88c (880 44 388c80, +1
967 966 484 467544, + X
a Ouxe hie patene loca primos numeros non admicune, ut requiritur juxta regu.
aJam: Ted, quod tortan miraberis, ipsi omnes diritionem per Z vel 17 recipiunc.
ec Porro si bene compucari, liquet hic in nuNeTO L25O, L150, 1250, Ceu 2520875000
ec unum tancum cubum reperiri, ridelicet 543 (COTUM NEPC, quI NON PIXtET tCS
ee partes aliquoras sinune, cum pro iis Tolis haec resula sic accommodata:) Siquidem
e primus numerus, quem deinceps inveniremus, major elt quam +250. Cubi vero
343 lacus7 per primum quacracum elt invencum, acque hie cubus iptistimus est
aille, qui ab Aucore tuic octensus, quasico sacissaciens.
aCum isicur jam taec cua verba perpendo: Quoniam autem assumende semper
a alios atque alios quaruor proportionales, utendo ad hoc ordine omnibus primis nu-
ce meris a 2 usque ad 07, alium nullum praeter jam ostensum offendi, laborem illos
ae ulterius explorandi subterfuei, quandequidem compendiosiorem viam eos certo in-
ee veniendi aenoscere haud pocui, nullus dubico quin hac ria lacilius quis ad quaf-
ccrum sic perrencurus, quoniam ulque ad F25L circicer incra selqui horam perveni;
cc _ si quidem cacalosus cuus primorum numerorum mihi ad manum fiussee, dimi
ee dio actrue terme labori parcere poruillem. Quocirea lacile cibi erie, li operx
e precium dueas, ulcerius id in majoribus numeris experiri.
a Duo pacto aucem hunc regulam seu cationem invenerim, sequens caleutus
ae indicabic.
a TJujus aurem cubi parces aliquorae Tunc T. a. au, quae adeica ipsi a simul Fa.
es ciune 1 = a f aa + a. Id quod requicieur aequale quacraco.
413
10100
121
244
55
250
27 280
18 324
2744Y
126
ac Fisto ad cubus numerus inveniendus, et a D alleur primo numero
ae Ponatu Ilaque L F a + a a f a D L F a i bC mutt.
et diY. uerinque per L F a.
2b.
Bc ti
1. + aa D 2. + a in Bb
∞36, Teu a - 1 +
∞ Bb
ae Duonial

## Folio 837 — 851708439:0861
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000861.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
P IS FO F. lCV M
ae Ouoniam aucem a primus numerus elte debet, pocerie = dividi per 2.
cc ouae quidem tractio si ad incegrum numeruM a = F addatur, non pocest produ.
ae cere quadratum, ut requiritur, nisi ee simul ejus denominator Z a Y = Tic nume.
ccruS quadratus. Onde Pac magna tacilitas elici porest, quandoquidem primo loco
ae inveltisare suficit =a f. Z ∞ C, id ellus a. f E∞ 25, Teu a ∞ 21 = T. Tta ut
e hinc axpareat cur in Canonc dicam, Sumatur quadratus, cujus duplum = + sit
ae numerus primus; quipDE CU qui HaC CATCE PrOPriCTaLE PFXtCKINIIIO, UrpOte
a proxotico non interrienrem. Ilac inventione quaerendi laborem plurimum sub
lerare licet, non rancum in a verum etiam in caeteris.
a Arque his, rir Amicissime, in cancum tempusmeum est praetertapsum, ut rix
a de alterius Problematis solucione cibi communieatu dignum quid habuerim, uc
a nec de aliis riis hujusmodi cubos inreltisandi quam Der a, a, a, eC. au a b
ce at b, ec. quarum parces aliquorae non lunt proporcionales, uc in prioribus.
Hinc cum licerae mex jam cunc Paritios essent amandate, alque ex superiori-
bus didicissem intra F e 1520875000 nullum reperiri cubum reaeter jam oltentum
343, et quis ad eos inreltisandos jam faciliori ria (ipsius IC. a) Fuister utus:
e caeleras iplarum a, a2, ecc. aut a b3, a b, ecc. non nili ditticiliores esse exicti-
mandas, jure ab ulteriori horum numerorum disquisitione cgo juxta e D. Colus
(qui e horum Problemarum solutionem libi inreltigandam propoluerat) absti-
nendum esse durimus, bonalque horas Machemarieas alibi porius elle collocandas.
Paulo post illud tempus, o scilicer die Martii, Ilasa accepi liceras a Nobilistimo
Tueenio, quibus includebantur alia a D. Mpton Y. Cto Pariliis ad me dacae, una
cum adjuncta pasella, quam repeciie Lsusenus, lxc ad me Ccribens: Fece tibi a
Mrtonio nostro literas, itemque pasellam quam me quoque inspicere voluit, quam
ubi commodum erit, remittere ce mihi velim, propter quae sita D. de F’ermat. Oux
quidem pasella haec continebat.
PEOPOTIIE D. de Fermat omnibus Arichmetieis per Dominum Dieby.
Inrenire Cubum qui addicus omnibus suis parcibus aliquotis conticiat qua
dratum.
SE numerus 343 est Cubus a latere 7. omnes ejus partes aliguotae TunE +, 3.
43 quae adjunctae ipli 343, contieiun nunerum 400. Qui eAt quadratus d la
Tere 20.
Ouaeritur alius Cubus ejuldem naturae.
Ouaericur etiam numeriis Ouaclracus, qui addicus omnibus suis partibus aliquotis
conticiac numerum Cubum.
Mont. de Frenicle a retolu ces quaestions, et MP. Marrin qui en a les solutions les
Fait imprimer, a ce qu’on m’a dit.
Depuis peuMr. de Fermas a elerit ceey a Mr. de Frenicte.
a Tout nombre non quarre est de telle nature, qu’on peut crourer intinis quar-
a reS, par lesquels si vous mulcipliez le nombre donné, et si vous adjoustez l’unité
a au produie rienné un quarre.
a Fxemple. 3 est un nombre non quarre, lequel miusciplie par 1, qui c quarre,
et fait 3, e en prenanc l’unice fait 4. qui clt quavré.
a LC melme 3 mulciplie par 26, qui elt quavré, fait 48. et en prenant l’unité
c Fait 49, qui est quarré.
acIY ena intinis, qui mulcipliane 3, e prenant l’unué, tonc pareillement un
a nombre quarré.
a Je vous demande une reigle generale, pour, estant donné un nombre non
as quarré, trourer des quarres, qui mulcipliés par le dic nombre donné en adjou-
a Ttane l’unité Falsent des nombres quarres.
a Ouel est, par exemple, le plus peric quarre, qui mulcipliant 65, en prenant
ce P’unité tasle un quarre.
a Trem, quel est le plus petit quarre, qui mulcipliant 109, ee prenant Punité
a fasse un quarré.
a Si vous ne m’enroyes pas la solurion generale, enroyez moy la particuliere
et de ces deux nombres, que j’ay choils des plus peliis, pOur NETOUS donNer paS
ce prop de peine.
APreS
AaA A 3

## Folio 838 — 851708439:0862
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000862.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 79 lines, status machine
C O M M B R C L U M
ae Apres que j’auray recen roltre responce je vous propoleray quelque autre
c chole. Il paroilt Pans le dire que ma propolicion n’est que pour crourer des nom-
ae bres enciers, qui lacistastent à la quellion, car en cas de tractions le moindre A.
ae richmericien en riendeoir d BOuL.
A quoy M. de Frenicte a enroye l’ordre qu’ il ciene pour retoudie ces questions,
donc le caleut est exrremement 10n5.
Obi jam Hugenio de Aplonio super haec releripleram, acque D. Frenctium meo
nomine per Mxtonium curaveram otticiolistime lalucari, mili simul pac. 426. tunc
imprellam mearum Exereitationum, C qua paceree quam ipsius tuerim ltudiolus;
adeo quidem uc in hilce quaestionibus, in quibus propier alia sudia minus tem
poris impenderam, ipsi libenter palmam me concedere, celtarer. Ouibus cumre.
spondislet Mylonius die +2 apritis, misic miti poltmodum ejus respontum Haga
Fuxenius dic 2F ejusdem mentis, in quo incer alia haec regesic.
aP’envoye a Monl. de Zuplechem les pensćes de Monl. Frenicte, couchant les
a Propolitions Numeriques de Monl. de termat de vos solucions, de se prie de vous
a en taire pare. Diclae aurem lix Frenielu Cogitationes erane cales.
ae MonI. Frenicle roure que cest plucost tau, d’examiner tous les Cubes de fuite,
ce pour voir ceux qui lacistone; qui elt la queltion proposée par Mon (. de Fermat,
ae que de serrir de la mechode de M. Schoocen. Neanmoins pour s’en servir il
ae donne ce Theoreme.
a Yriy à aueune puillance dont la racine tou un nombre premier, de l’expo.
ce fanc un nombre impatrement parr, qui puille avoir un quarré pour la comme de
ae seo parcies. Donc M. Anbosen doir exclure ces nombres de la Mechode.
a ( En peuL encorC exclure Daucoup d’autres, scaroir ceux ou les proporto.
ae nelles Ton en mulciende impatte, car leur Comme ne sera POIE UN quarrC, e
a na vas belon d’eltre exantitee, s le nombre de la proporrion n’est pareil a 79,
c 799, d autres donc il se troure torr peu, se crouvanc plusieurs milliers de non-
aD avancage le lecond nombre de la proporcion concinuelle, doit estre un de
ae ceux de certe proprection, e enere ceux la il n’ y aura que CeuX qui auTONE ceS
ae Or par les lettres tinales de
ae autres proprietes des doubles
ae quarres, on peur voir ailement
qu’il n’y en a aucune qui puisse
Pacistaire oucre 7, s le cube n
ca plus de 60 lectres. II le troure
par ces deux proprieres qu’il
e n’y a que deux nombres a exa-
miner sils Tont doubles quar
res pour aller julques a la ra
cine de ce cube de 60 leures.
Et cec examen est d’ajoulter 1,
a e prendre la racine quarrée de
la moicie, car les autres ou
a Pone compoler ou leurs sinales
a monstrene qu’ils ne TOnC PaS
doubles quatres - 1.
Mounsieur Fienicle propose
ce Probleme.
c. F ouver un nombre crian-
ce gulaire, donc le sexcuple +
a bres ou il ny en a que 5 oi 6.
ae deux proprieter
XT aF. Ouc ce toit un nombre premier.
Fn celte proeression
a F a2. Ou il foir moindre de l’unicé qu’un double quarre.
6b- 2 aequates c.
OC= b aequatur d.
six fois a L aequatur b.
8119
Les nombres de la precedent postession
se crouvent encere autrement par la seule daut
tion, comme en celle, qui suit, en laquenle n
auta que coux de la cotomne l, qui on  a
vis des impacts at t vorvirne B, Glt sot Mts.
A COnsCuCtIOI aC
cette racte est asséc
Par actalition.
Car. X = 2Font 20
2
font
sont
pt1
ut 17
e foic nombre cube.
ae Je cleris de l’autre part ce
ae que j’ay pa cirer lur le champ
ae de Mon (. de Lenicle conchane
e

## Folio 839 — 851708439:0863
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000863.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
H, P IS TOE EC U M
aMonL Scheoten, _c.
ae Voiey la Lotunlon de Moni. de Frenute pour les
ac nombres fuirants.
POur 13CCt se qualse 
Pour TOc’es le quarré de
e
a les Propotitions Numeriques de Mons. de Fermat, je rous supplie d’en Faire pare
bq
e
1. de
120
2049
- 9. de
3462
66240
17663τ9049.
pour 109 il n’y en a point au deltous
de 25 letters.
POur 127 Ces(, le 9. de 4730624.
a Lequel quarre cant
diminué de X
donne le quarre
de 226153900.
COx le quarre
a Mechode de MonC. Frenicte que de 5418, TT4.18, 23718C 29728
Super haec vero Fusenius lequentia adjecit,
ac OUX ex mente D. Frenicte de quastione a Fermario propolita in meis literis
a Mrtonius adscriplit, examinanda cibi relinquo. Magna quadam compendia in
ec inveniendis cubicis iltis numeris videtur adterre, quantaque Fortasse non pura-
at ras inveniri posse. Sed quibus rationibus nitatur inquirere opera pretium est
cc AIceram qualtionem quam Fermatius propoluerat de inveniendo quadrato, qui
ac in datum numerum ductus adsumpra ad productum unitate faciat quadracum,
a ero Tolreram, canone quodam ad hoc tradito. Atque exiltimo eodem ulum elle
ae prenictum ad inveniendos numeros, quos mihi tonius mittit, Led immentu
a fiit laboris, quemque ego nequaquam Tuscipere vellem.
Aliguanto post, dic nempe +8 Maii, Milonius hujulmodi ad me dedic literas.
ae Monsieur,
a P ay Fait voir a Mon( de Frenicte vostre pecie paxir imprime dont il vous
a remereie. On de les amis veut icy taire imprimer le desti de Nons. de Fermat
cc ee la Tolution dudit Sr. de Frenicle. Ily precend joindre la vestre arec les abre-
el ∞cz, exclusions, et Theoremes de Pon ami. J’ay prié que l’on ne le tilt pas lans
a scavoir roltre rolonté, prenez done la peine de me maader par la roye de Monl.
a de Zuylechem (Duis qu’il a cetre bonté) Si vous crourerez bon d’eltre nommé,
el ou non; ou s rousne delirez pas que vollre solution toit imprimée. Je tasche.
et ray de Caire Suirre en cela rostre incention, cstane, ec.
Subtus sequencia habebantur.
aMOnL. de Frenicte rous enroye ces Theoremes sur vostre deuxietme Oue.
ac sion.
a Pour les nonibres vairs partaiis il n’y en a aveuM que ceux, qui LC HOUYeNE
e par la Methode donnée par Luclide.
ae Pour les impairs, sil y en a aueun, il doic estre mulciple d’un quarrE Pax un
ee nombre premier pairement pair plus L.
Theoreme.
c 1I n’y a aueun quarre, qui mulciplie par r0 surpalse de l’unice un quarré
e multiple par. 7.
Eis sequences literas repotui.
e Montieur
6
le

## Folio 840 — 851708439:0864
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000864.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
e M M L R C I Ut M
ae Montieu,
e Puisque vous arez en la bonce de memander, qu’un des amis de MOnC. FrC.
ae nicle veue faire imprimer le deli de Mons. de Fermat, de la Tolucion dudit Sc. de
ae Frenicte, de qu’il precend d’y joindre aultis la mienne avec les abresez, exelusi.
e ons, de Theoremes, que MonI. de Frenicle d invencé pour la raCOUTCIE; se
c n’ay pas voulu manquer de vous en remereier, de de vous clerire, que cource qu
a on en tera me lera agrecable, Poir qu’on l’imprime ou nOn. Car n’ayanE CIn
es ploye gueres de temps pour la chercher, de remarquant qu’il cuc fallu Faire
ae grande operation pour crourer ces nombres requis; je me luis contenté d’y en-
aleiener seulement les chemins, par lelquels je vorois clairement, que les melmes
a nombres, s’ils varoiene plulieurs cels, se deulsene crourer intalliblemene, en cas
ae qu’on roulust prendre la peine d’examiner generalemene de luire cous les nOn
ae bres qui y pourroyene aueunemene serrir, lans penser parcieulierement quels
ac nombres en tustene exempis, de meline comme a tait Monl. de Frenicte. De lorre
ae que ma Mechode n’ettanc que Analycique, celt a dire, expliguanE COMMENE On
ee peut par le moyen de l’Alsebre decourrir les chemins, par lelquels ces nombres
ae peuvene eltre che ches, je lerois d’aris, que, si on la veuc taire imprimer, l’on
cc y adjonstalt ces mors: Ratio Analyciea investieandi hosee numeros, inventa a
ae Francisco a Schooten ou bien, Sequitur modus investie anci hosce numeros per Al-
ec cebram, sieut eum adinvenit Fr. a Schooren. Ce qui la teroit plus recommenda-
ac Ble, serou d’y adjoulter de plus les abbresez, exclulions, d Theoremes de
a Mon( de Frenicle, altin que cela ne semble pas eltre crouve pour rien mais y
ae ferre pour embellillemene de plus grande pertection de CCre maLIerC. SC vous en
ce Paiste couc le pouroir. Dans ma solution je roudrois bien, que ces mois en tustent
avide supra. ce ettaces: : quandoquidem compendiosirem viam eos certo inveniendi aenoscere baud
ae potii. FL au lieu de Ces MOIS : nisi forte D. de Fermat compendia nonnulla in fa-
clendis adequationibus, _c. J aymerois plucolt ceux cy: NVisi forte D. de Fer-
ae mat generalia quae dam compendia in faciendis adequationibus (quae cerse mibi
es nequaguam occurerunt) excosicaveris, dec. Pn tinillant je demeure, etc.
De Terde ce
29 de May, 2657.
Onibus ita se habencibus, in lucem tandem exiic tractatus hoc cicilo: Solutio
duorum Problematum, ac. quem eundem opinor cum illo a Femihi in cuis in-
dicaco; de quo isitur par exemplarium cura supra memorari Dui Legaci Parisiis
dic 26 Octobris ad nos cransmillum est, alcerum mihi, alcerum fugenio deltina-
cum. Hlunc ubi inspexi, miracus sum Rucoris faltum, cum in iplo exordio ad
D. Dieby in hunc modum sete etterre non crubuerit.
ten sibi vir llustrissime,
Luletia praebe quam nequé Aneli cui, neque Belea usque modo praestare potue-
runt Problematum solucionem; cestit Callia Cellica palmam Parbonensi praeripere,
ecc. aliaque paltim his similia. Quali vero Reipublica incertie holee numeros
nolte, ee unusquisque hanc Tolurionem canEI FACCTE TENCaLIY, Wc nec habeat In
quo tempus ucitins collocet. Ebi ciculum incuebar, non pocvi non ommino in-
disne terre, tractacus hujus Aucorem in Tolucionem meam Inguiticionem aliquam
conseribere: liquidem Inguisitionem nullam C Gallia unquam expectareram, ac
etiam autorem cordaciorem pucabam, quam ue in cum, qui nullam ipsi, quod sci-
am, ottensam dederar, (Ted concra se illius Rudioliltimum ostenderat) circa rem
adeo inditterentem parrique momenei cale quid molireturr vel HCrI PaTCFCCE.
Paulo polt quam tractacus hic ad IanuS MeAS perVeneTAL, d CI. Tueenio FlaSa li-
teras recepi, cui, uc supra dictum tuie alcerum illius exemplar Paritiis crantmil
tum tuerac, quibus incer alia haec ad me scriplic: Lodemaca LeneM non duoito
aute quoque ab Autore missa esse. Qua cum aspicio, detiot fane aedersa homi-
num studia. Ouod aurem Autor in eo deinde innuic plerolgne NTACHCMATCOS LaNL
in Anglia quam i Balaria Hoc Froblematum solurioni opcram aales celle
quancum ad Bacaros, vix or sepat qu opeta Betin eee,
quin imo ex eltalioribus, quibus illa propolueram, licue nullum corum ulum auE
tructum agnolcebane, eciam nullum ottendi, qui sloriam inde reporcancam magni
secerie adeoque solucionis invellisandae laborem sabire rolueric.
Cum

## Folio 841 — 851708439:0865
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000865.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
F P F S FOL I C U N.
Cum itague, Vir Prxestantissime, rosas, quam candide mecum ea in re actum
Fuerie opinor id Tibi jam ex superioribus facile esse colligere; quae ideo pro-
lixius quam Forre res ipsa exigere ridetur exponere Tibi vilum fuic: praesercim
cum soluriones tuas de literas quae de hoc negocio recum intercessere, (Fieur ex cnis
inceltiso) eypis mandare decreveris. Exiltimo enim de hac, vel aliqua certe
ex his, ejusmodi esse quae ad propolicum cuum ac narracionem taciant. Cui prOpte.
rea s inserenda Fibi videbuntur, facies id quidem me haudquaquam inrito.
Oux de Saturni Lama ac tacie animadrertilti, LTugenio communieare opera
precium duxi, c quibus dilisens atque eximium cuum in his rebus sudium agno-
ieat, quibus ipse quoque, uc opinor, nunc sedulo intentus elt. Sed ne nimium
diu Te derincam, tinem jam hisce impono, taulta omnia ac prospera Pibi appre.
Catus. Vale.
Dabam Lued. Bat.
dic 28 Mariii.
nno 1658.
St. Gre8.
Pui amantissimus pariter,
at que ob servantissimus,
Fr. d Schooren.
Gratulox, ca, quae de Pappi textu ex Codd. Ciraecis MISS nocasti, conjecturis meis
ad unguem respondere. Hlac enim si ante sciriltem, operam dediltem ut ge
nuinus hic Pappi sentus una Fuisset imprestus. Ouod nunc in proximam edi-
tionem, Ei forte illa aliquando videbicur iteranda, relerrandum elt. Incerim
prohis gracias Pibi habeo, arque Deo omnium largitori ex animo ce com-
mendo. Trerum vale.
d13
E P ISFOL A XXXIV.
D. Vicecomitis Brouneter, ad D. Toh. Wallis.
Cui includebantur sequentes quatuor.
DFins in hact, TMall onely present von chis inclo led (Fpist. 35. J 2s il came
Dcomy hands, and cell rou, chac harins fully resolvd, in hisomn sense, chat
Propolition Which he seem d ro esteem as the more difticule, I look noc upon my
selF as ans as obliged co endearour che solurion otchole ocher irtrich he sends
uxon a presumption chat the tormer ras berond iny reach. Ochermise I chink
chole noc so dittieule, buc chacit I plens d and had che lealure, he mishe befully
Saristied hereir also, by
May 1.
2658.
Tour mest sanctosul sriend and servant
BROVNC A F. A
Wrhat is Paid concernine jour selF, P chink merits noc che least reply. The
Reader donbelels Will be tully latistied wich what hach boen already (aid.
E P IS TOE A XXXV.
1
D. Kenelmi Disby ad D. Vicecom. Brouncker.
Rcceiredtro daies tince che Lerrer rour L ordctrip, hach been plealed 1o Wil
me oEThe L3 March, (pist. 27. J. cogether wich cvo to me From Doctor Wat
Uisque (Fpist. 23. 28.) and one trom hun ro your Lordctip. (F p. 29. ) Isire vou
molt humble aud heares chauts For rours, wtrich Pembrace rich exccedins glact.
nels, joy, and respect; in che tirst place, for rour excelsire cirilies and kindness
tome; and in chenexi, for vour noble and learned Patisfvins Noun(. Frenicles
reguisition. Now, neicher he, nOr NounI. Fermat, will have any more ro carit
atque cither jour Lordchip, or Dr. Wallis; unto Wvhom Phare irricten ac large (con-
siderins my inabilies ot vricins much ac present) and do pretume to bes vour
carour in conrerins my Leuer ro him; irhich Ileare open, chac il vou pleale
roumas calt your eyc orer i1. In carnest (my L ord) L congraculace vict my
Whole
90000
My Lerd.

## Folio 842 — 851708439:0866
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000866.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
 M M P R C I u e
wtole heare che happy Scarrs voll are born under, chac in s0 preat a birch and
qualies, turnith rou also rich chole excellene paris ot che mind, as che eminencest
chac make Scudr and Lcarning cheir cask, may jultly envy vou tor. By my en
closed, vour Lordchip ill sec ho lacely L receired DE W allis his lormer LCers.
Wrtien sou sec Doctor F. Lpray vou reproach him torhis unscalonable caucion
in Kcepins chem (o lons byhim. IFP ivere noc quire vearied ouc (l’am vec 10
Wveak) Wich irricine my Letcer co DF. H allis, vour Lordchrip Bould noc chus ca
Sily be delirered ot my croubline vou ac chis cime; itrich, tor my mencioned
realon, Imult noc non turcher entarse, buc humblu kistins zour hand, Lrest,
My Lord,
Tour most humble and most obedient servant,
E PISTOL A XXXVI.
D. Kenehni Dieby ad D. Job. W allis. Draecedeni inctusa.
Most reorthy and honoured Sir,
Hle Leuer vou did me che Farour corrrice co me che 26. ot December lact,
L (Fp. 18. Jeame noc co my hands cill very lacely, copcctier with one chacyou
vroce aboue che lame cime 10 ny L Ord Brunckor; (Sipist. 27. J Wrtro ic leems de-
livered chem eo Dr. F. 10 send me, by realOn ThaL MT. Whise aS chen ouE ot
Ponn: And he Doctor (horerer ic came 10 pals) Kepe ic dead by him, eill 1
learing ot it sereral monchs alier, did irrire co him Por ic, and Wichal delired
him 10g0 co my Pord, and accuse himselt of his omission (chereby co diseulp me
ot any) and immediatelr co send ic me. He chereupon remicted ic co me by che
nexe Post, and cold me he had been rich my L ord co cake trom me all blame ot
neglisence or ranc ot respeet. Lprolels unco von a5 Ido al(o10 aII men cH(C;
rten che occasion presencech ic selF, chac Ldo much admire che greac Hock vou
hrave, irtrich turnithech vou (as appearech by jour suclden replies) wich such a
stranse abundance otmacter, chac in a nighus space ron deliver oue more chan
Would employ anocher man Wrhole Monchs. Se. Fierome is julely admired tor di
Spacehins in one nighe che Preacile he hach lete us asainlt Zovinian. BuE Vour
numerical antivers, are ot a subjeet, and require a mechod et handlme il, ol a Far
more disticule strain chan his iras; For, chac may be compared 10 a chrid chac is
currency and catits (pun ouc ot che Hlax chac lyech ready tor il and ot ic selt
Aiderh and prestech inco che chrid by che tacile labour ot bare curnins che Whect.
Buc erery Sroke ot vour Pen in chis occalion requirecti a nem hemine ol a regu-
Lar stone ouc ot chenhole Ouarry, co compoleche arch vou build; in che con-
cexcure ot irtrieh, and in erery scalt parcicel ot ie, chere mult be a molt exguitice
and lriet exactnels, eren 1o an invidual. Theretore ic jultly deserrech acmira
tion co sec ich wrhat case, or rather lporc von acquie vour lelt ot chele Hlereu
lean labours. Wtrich wten L look upon under hae nocion, cruly lam noc a liccle
Troubled chac L Pould hare any Chare (choueh buc meerly as a paltire instrumene) in
dearing chem uxon vou. Buc Wrhen Lriew chem by ocher lighes, and wrtich indecd
are che cruc ones (as namely, hou licele cher cost vou, and hou much che vorte
Hacion) MehSconelo l’am slad et che opposition Mhachach been unde vou.
did Cendme à Leter l Lp. 37.  lome eie aeone, in trhich he relleled upon
lome poines in lome lornel Lapersot gours; che communicatins vhescot 10 you,
ne
Paris, 4 May 2658.
RF NF. L. M D ZGB2.
uiI DC He Delles Torchem, and hon much cher will Lecoa lo che honous et Oue
noc chal L apptore che carinels chac lomecimes accompanvech dilpurs: And ElpCCI
ally in Machemarical ones (erhiere demonstration oncly is contidered) che parcies
Mhoula acend onely co che plain maccer in trand. Bur che course and seile ot chis
connry turnishech chem wich an exeule, wvtere dispucanIs nse cO DC VerY TarE, OL
racher tromard (accordins comy sente) rich one anocher. And i(VOU LVETC HOL
a ltranger, aud onc chat in ettect chey have orcac value For, cher vontd tave
been more tamiliar wich vou; For chey acconnrall chaccher lay in chis Kind, buE
a tair and ulval tamiliaries; noc ac all injurions or oltendino. Monsieur Fermat

## Folio 843 — 851708439:0867
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000867.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
F
P F S Y O LII C U M.
he reterred 10 my discretion: And as lons as chatliberes remained in me, I did
not send rou a coppy ot ic; buc nour by che lact Post he wistred me co communi-
Cate it t0 vou; and Theretore I do hererich send yon a cranseripe oF ic. Cerrainly
rou hare che Patistaction cohare che tiro sreadeltmen in France (by theconcel.
Sion of all cheeminentelt) eo deal Wichal. And Fdoube noc bur vour last L et
terS (Fp. 23, 28. ) OF chc 4. and 25. OF Mareh (Whieh P receired buc chis morn.
ins; togecher ich onc trom you acche lame eime c0 my Lord Brouncker (F p. 29)
Will makse them aud all che, rorte sire as large and as tult a deterence 10 you. lox
alchoush Phad time, linee receiring chem, buc to run chem ercedily orer, wrhercas
Tuch pieces oughr to be scrioully and leilurels considered (especially by (0 Wweak
a samester a5 lam, ac this play) vet P sec enoush ot che redundant listue in chem
to rererence, noc a rilins, buc a noon das sun in is vertical point and hishelt
Zenich. Pam contident chat ihe last Papers Wwil admit no carils against chem;
And PBaIL out oF hand impare chem wrich ereat alaeries boch co Mon(. Fermat
and to MonT. Frenicle; and wvhac returns cher MaII matie to me upon chem, L
will immediacele cransmie chem unto You. Pour precedent Letters ( Fp.  27. 18.)
chat lay (0 lons in Doctor LS hands, I sene by ihe last Polt to MOn (. Fermat:
Phach che day betore, lenc them eOMOnI. Frenicte (Who is in chis Fown, buc
my Tichnels vould noc allo me 1080 my selFro him,) and he fene me vord by
my man, char he vould ireice Pomechins to me uxon occation chereot, Which L
Biould hare betore che Post ot Pondons deparrure 10 day. L will kcep my Packet
open cill che lalt moment (which is nor tar oHl,) chac il any paper do come trom
him, Imay here inclose ic 1O VOU.
Psire rou cherelore most hmble and hearty chants For che noble demonstra-
eion rou have been plealed co send me. In carnest P am intinicely caten with it:
and (0 Jam Ture Will al men be chat see ic; Which l voule requelt jour leave
chat I mishe mate publici juris by committins it 1o che Prelo, buc chac in che
Postseripe ot rour Lecer ot che 15 ol March ( Fp. 28.) vou intimate to me chat
ron intend eo princ what hach palsed becween rou aud chele Cenclemen, br my
converance: and doins (0, Phope (and carnesely beg) chaq chis excellent pro-
duction ot jour single brain, may hare a room; irhich ill be a more decent
aud honourable one, when ic hail be accompanied with Cereral silters ot che lame
parene and aited on by a retimie out oF che l’amilies oF che evo richelt L ords
ofchis Nacion (in chis sind of realih,) chan il ic came abroad Cinsle by it selF
ichout company or actendance. A5 For irhat ron are plealed, molt cirilly and
obliginsly co ask my senciment in, uxon occalion oF vour publictrins chele L et-
cers, Imosthumbls chank rou for rour resard co me cherein, and do belcech vou
r0 leare our oF my Lecters whacloerer may be distalttul. And chis liberey L d0
not limit eo wrhac only concerns them L chere Speak OF: bue de intrear and con-
jure rouro do it also in Whatsoerer rour pen Mallinrite vou to cancel Ox COr-
reet in chole papers ot mine. Which it P could hare imaxined cher ould have
ont lired rour runnins chem orer, (and vere vricten by me as it Phad bcen at
che present spcakins wich vou,) PMould hare pertormed my respects eo you in
them with more care and hecatulnels than I did.
IF my healch and Arensch vould permit ic = should entertain vou vich many
particulars chat L must be tain 10 remit co anocher cime (althoush, indecd, you
may realonably judsc chis L etter (o lons and redious, as rather to need a pardom
For iis excels; bui Lam (0 delishred utien P converle vich you, chac l hare mucto
ado10sire orer:) For, beins buc nemly risen out ot a licknels chât contined me
near a Monch co my bed, J am able t0 vrice no lonser, chis beins che sirst cime
P hare used my pen (in any chins oF MOmenC) Lince my sertins UP. FOF, 10
MOunI. Fermat yelterday when P lene him your Letters, L was tain co ule my
Secretaries hand. P wisti you all happynels, and catins leare most respecttuly
oF you, I rest
Noble and Wortby Sir,
Tour most humible and mest affectionate
Paris, May 4.
1058.
servant ana Bonorer
RCNEMe DlCet.

## Folio 844 — 851708439:0868
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000868.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
C O M M BI R C
EPLSXOLA LRNVII
1
D. Format, ad D. Kenelmum Disby: quae, cum subsequente,
praecedenti inclusa erat.
Monsiem,
Ay receu les nourelles solurions de la propolicion de Monsieur W alliscus que
Montieur Fronicle a adjourées aux premieres. Je suis rary aussy bien que vous
de l’abondance de tercitire de Pon espric, de de la grande Facilus qu’il s’elt acquile
en cesmatiers. Je m’eltois contenre de donner deux Colutions en nombres pre
mieres entreux, de arois seulemene indique qu’on pouroit par ma methode cllen-
dre la queltion a 3. 4. 5. es plulieurs nombres de même Dacure, mais puIs que
Monsieur Frenicte m’a li arancagenlement preoccupé, je n’adjonce plus rien a lon
crarail, ee je contens que ma pecice de maiere Solurion demeuro en VoS MaINS.
Apres avoir receu la leure de Mon(. Wallisius (Fp. 16.) Je Tuis coujours Turpris
de quoy il méprise constamment tonc ce qu’il ne lcaic pas. Les queltions en nOn-
bres entiers ne lont poine de son goust. II s’imagine que je ne scay poine les
ceneres de gravirs des hyperboles intinies, ec il semble promeure lur la tin la qua-
drature del hoperbole, c’elt a dire de celle d’Apollonins; car pour coures les au-
tres ni luy, ni moy ne l’ignorons pas. Je suy relpons luccincement.
Premierement à ce qu’il dit que je lay erand cas des propolicions negatIreS,
comme qu’il n’y a que le scul quarre 25, qui adioure a 2, talle un cube en nom-
bres entiers: de encore qu’l’ n’y a que les deux quarres 4, et 12T, qui adjouces a 4
taltene des cubes aussi en enciors, il dic que ce lone des propolicions ordinaires,
e neque majus quid aut erandius insinvant, quam si dicerem cubicubum nullum
in iuteeris esse vel etiam quadratum, qui numero 62 junctus efsicint quadralum,
vel etiam nullos in inteeris cubos este qui ab invicem distent numero vicenario, nec
praetor 8∞ 27 qui distent numoro 29, ec. cujusinodi innumeras determinationes
necativas in prompru esse d comminisei. Je repons que je ne fais point cas de toure
Porce de propolicions negatires, par example celles qu’il raporce de intinies de celle
naeure, ne lone que des amulemenes d’un Arichmericien de crois jours, e leur rai-
son est d’abord connui etium lippis e consoribus: de lorce que d’en interer de
la qu’il taue faire peu de conce de touces lortes de propolitions nesatires, VoyCz
Mons. quelle Losique; mais je ne reux point d’encreprenner que celles que je
vous ay propolées tonc du hauc ellase de dignes d’eltre recherchées, c’elt que ni
luy qui s’eltime tanc ne les a pas eneores demontrées, ni Mon(. Frenicle même
que je meco au destis de luy tans luy taire corr, de ce dernier qui COnNOIL Mer-
veillensement les milteres les plus caches des nombres ne les a pas méprisćes.
Mais par ce que les nombres enciers ne plaisene pas a Mon (. W allisius, en voiey
une aucre a laquelle il pourra S’OcCuPer, e en laquelle je n’exelus point les
tractions.
I n’y a aucun criansle rectanele en nombres dont laire soit quarré.
Ec pour luy faire voir que le detaur de connoitance de ceue Porce de questions
lur tera quelquetois conceroir plus grande opinion de ses torces qu’il n’en doit
railonnablement aroir, il dic qu’il ne doure point que le my L ord Brouneker ne
relolre les deux quections, (Fp. 26.) datum numerum cubum in duos cubos ra-
tionales dividere. Ec datum numerum ex duobus cubis compositum, in duos alios
cubos rationales dividere. Je luy repons qu’il pourra paradtrancure ne se meleonter
pas en la seconde, quoy quelle Toit altez distieile, mais que pour la premiere, c’est
une de mes propolitions negatires, que ni luy ni le Scigneur Brouneker ne demon.
duil n’y a aueun cube en nombres, que puisse estre divisé en deux cubes ra
tionaux.
Pecit LbIC. Se me concence que lus du My Lord Brouneter dirilene le nom
bre 0. GuL e ComPOtC deS CA CHBCS S, ∞ Y, en deuX AUEreS CHBeS TALIONAUX
S’ils rejeltent certe propolition qui n’elt pas des plus disticiles, je n’oleras plus
leur en propoler ni en enviero mi en tractions.
Pour
cretone De Cte pas li ayiet, cut se Toulco
Pour la seconde question, elle n’est pas d’une excreme distieulle, de pout us
rémoiener que je reux même la luy provoler en cas des plus ayses en prenanE un

## Folio 845 — 851708439:0869
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000869.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
Poux son canon ad inveniendos quadratos qui aucti in datum numerum, non
quadratum aascita unitare conficiant quadrarum, je ne lcas pas pourquoy il doute,
que certe invention nous paroisse mal aysé, puisqu’il n’est poine d’Algebrilto no-
vice qui ne troure la resle d’abord. Mals ma question en entiers clt s Fore au
destus de ces pecites regles de trivio, que VIF. Frenicte l’ajusée digne de l’occuper:
et cest touc dire, II a si exactement respondu à cour le recte qui resarde les qué
stions numeriques, que j’aurois cort d’adioucer quelque chole du mien à les re-
sponles.
Pour ce qui recarde les centres de graviré des hyperboles intinies, de la recle
pour distinguer celles qui en ont de celles qui n’en ont pas, que je l’arois relolu
Pleinement, e enroyé tant à Forricelli qu’aux Geometres de Paris dix ans arane
l’imprestion du liure Trithmetica Infinitorum. S’il ne m’en veut pas croire, les
Robervals ee les Paseals, qui onc rouces mes propoticions sur ce sujer depuis plu-
licurs années le pourront delabuser.
La promesse qu’il fait sur la quadrature de P’hyperbole, s’exeeutera lans doute
come celle du cercle; la voye qu’il ciene en se serrant de certaines progrections,
inter quorum terminos interpolationem quaerit, est de ces methodes qui aboutistent
a crourer une chole ausse ditfieile que celle qu’on a pour but de chercher. OB-
seurum autem explisare per obseurius, malaeiechnia est, compe à rres bien dic
nOtre VictO. 
Mais pour luy Faire voir sque je ne manque pas de cheoremes eftectits et tres
beaux en la vericable hyperbole d’Apollonius, roier un problere dont je puis
donner la construction. (Vide Fpist. 39. 40.
Setr B1s. Ter eeerres cuitim
5eS
ti P C5 f 0V ICUt M.
aSoit l’hyperbole d’ApoItonius ABC, ses alymptotes MI N O. Soiene cirées
les deux paralleles a NO, les droites M A, HIB. Je propose la tigure AMHIB,
contenue tous l’hyperbole, de lous les droites AM, M FI, HTB. II la tauc diviser
une parallele aux bales comme R, en Porce que le segment R OH B soi au re
ItaHE AM O R en raison donnée. Ce probleme Pera construic par moy bien plu-
Rost, que MP. Wastisius ne donnera la quadrature de l’hyperbole d’Spollonius.
Fn roila de relle pour ce coup. Ce n’est pas pour taire un demêlé formé avec
Monsieur Wallisius; mais c’est seulement pour me justitier a vous; consentant
que rous ne luy enroyez que ce qu’il vous plaira du contenu en cette lettre. Je
ne répons pas aux dernieres reponles, par ce que ce n’est pas moy qui luy arois
fair les objections aulquelles il répond. se luisu
Monsieuor,
A L B012 le 7
Aurib 1658.
Potre tres bumble, e tres
derssant serviteur
XF R 
EPISTOL A XXX
Thi quidem propositum crac, vir Tustrissime ac hOnOLaCILe, nII am-
D. Frenicli au D. Lenemui LSBY.
Lr  Plius cirea ao Comeies apoce mihi fastidiolas, e d quibus multum
averlatur animus, releribere; actamen hac achue vice me haec pauca cibi insinvare
000003
debere

## Folio 846 — 851708439:0870
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000870.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
OM M F R C I U M
debere centui, ut seias Claristimum W altiscum (cognica miti jam iplius crudico.
ne) majorem mihi admirationis antam praebere, quonam pacto vir acuristimus
tancum Cui oblicus Fuerie in calibus Colucionibus cradendis, quales in praecedenci
piltola 2Y. NOr. daca ( Sp. 26. ) conspiciuneur, ee etiamnum eas adhuc pro lexi-
rinis Custincat. Caecerum non elt quod me inculee, quod exo illum, ee opera lua
despectui habeam, secus enim est, sed Ei aliam ex illo quam decebac opinionem ha.
bui, sciptum arguas ipsemet etenim hujus Fallacia caula Fuie, qui nusatoria ut ita
dicam pro seriis impercirie, Fortican quia his rebus animum serio applicare neglexe.
ric. Visis enim Cus postremis solucionibus se poltrema Lpistola, iptum jam peri-
eiltimum e mulcum perspicacem agnoleo, quamquam Cuis opinionitius de quas le
mel proculic uendis nimium altrictum, non accendendo quam tamiliare sic homt
nibus decipi, relipere vero, e imporcunam pertinacitarem abivere valde hone-
cum acque laudabile. Neque eciam exiltimet me de ipso criumphum agere, anE
illi insultare roluisse; sed respontum sux Rpiltolae non inconveniens reddidi,
E paracus Cum ei Pacistacere Cuper omnibus quae habentur in binis Lpiltolis (Lix
22. 26.) de quibus conquericur (L.p. 23. 28.) de nihil in iptis quod admiciencts
racionibus non tulciacur, et praedictae L pistolae 22. Nor. apprime non respondeat,
concineri ollendere. Faltam enim quam de illo habere debui opinionem non clt
quod mihi objicire quia non porui de illo alicer, quam ex suis operibus judicare.
tx tructibus eorum connolcets eos. Fcnon cA Machemaciens qui me miciuS quam
par erac cum ipso exisse non judicee nili ommino cacuislem. Sed equidem li quid
Mlt carillacionis in responsis, hane cerre ucilicarem acculie, uc per illam qualis sic ip(e
mihri ec aliis qui poltremam iptius L piltolam (sEp. 17. 18.) riderun parcim inno
euerie, stimulum enim illi addidie uc qualtiones accuracius inspiceret de penetraret:
per hanc enim, cerriam Fermatianam, ec Tuam possidere apparet: de duabus primis
Fermatianis amibisitur, donec eradat alium ab unicace cubum de quadratum qui cum
Tiis parcibus taciane guadratum vel cubum; (Ld fit, Kp. 23.) vel lalcem problema
Colvae in Freniclis ad Schooreniam Tolucionem Inguilicione paginis 3. & 4. concen-
cum, ee quaelicos in numeris ires cuhos de quadracum Analscieis nocis exposicis re-
Deriat. (Td sit LEp. 28.) Animadvercar etiam Clar. W alliscus, ue non Ferma-
sii Eiencium calicer aecipiae, qualilibi Cacistactum tuisse puter, ee calibus solurio
nibus acquieleat; mulco enim secus est; sed inde prodiie, quod tancum luis non
recipiendis Colucionibus cum addictum videac, uc ipsum in illarum Falsa exiltimatio-
ne, ee vano quod ab illis accepit sandio relinquere, lacius esle aNLMeE, quaM
trustra conari, ut illum ab ipsis decerreat. Ouadam aurem sunt in postrema Cl.
NNallisii P Diltola FO. Marcii daca (sEp. 29. ) in quibus mihi fincere non agere vide
cur, cum secundam ex binis meis Lepistolis de quibus supra, prima contradicere
sultinet, quia, inquie, unicarem pro cubo ee quadraco 22 recipit, se rejecir. Non enim
in L2. ( sip. 22. ) unicas pro cubo aut quadraco repudiaeur, (verba ejus haec sunt. Quae
ritur nuneruS.... Sed eum numerus sit Mulcisudo unitatum, ipsa unitas non erit nu-
perus: ieitur Onitas non solvit quaestionem, quia quaritur Numerus.) Cum
ipta communiter uc talis altumatur: Sed cum non habeac partes, hanc pro cubo
aut quadraco quaetiris (qui quidem suis parcibus jungis de ideo parces habere de
BenC) craci polle nesatur. Cum isicur in 1 nullum Cubum W alliscum cradi-
dilte perhibetur, cum unitarem obculi, luce clarius est incelligendum elle, non
quod nultus plane cubus sic Onicas, sed nussus qui qualtioni lacistaciar. Onoc
aurem spectat ad loluciones Gua late Laestes LuE, uc dd eas mulciplicacio numeri
uet in 2 vel 3 Fatticiae nelcio an in Anelia cua admit ConEVeTIE: minime
vero hic admitterencur; ee quamris verum sic problema impersecte propositu
tere, quando calis solurio ei Pacistacere porelt, si ea non sic secundum mence AU-
Thoris, accamen caliter altringendos esse Machemacieos non exiltimamus ue omnuo
accurace provonere teneantur, praelerrim cum ab crudicis craduntur qualem esse
doctistimum Fermatium non est quod in duhium reVOCCTIE, de cum aniII LaNEUM
fracia et raprim exhibentur; ad Tolvencem enim acciner justam de de se dignam (0.
lucionem impertiri: FF Ri quis serio cale problema de tam tacile solvendum alicui
proponeret, illud pro injuria sumeretur, quali cum pro imperico haberet, ad quem
calia qua nedum pueris cradi deberent, sutticere viderencur. Haec cibi vie IItuII.
indicanda pucari, uc seias quid jam de ClarilI. Waslisio censeam, de invitum ,
invitante e quali compellence, (miti enim cua desideria justa func) fee de
iptiuo L piltola cutile; intuper ee pre mol lenpt dee  um
1orc. Vale.

## Folio 847 — 851708439:0871
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000871.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
E P IS FOT. A. ZXXII.
D. Joh. Wallis ad D. Kenelmum Disby.
Vas ad me miteras, Hleros Nobilistime, Tuas literas, (Fp. 36.) Pariliis a Mari
Sc. nor. datas, accepimus Maii z, Stilo noltro: quam coo ui graculor cele-
ritarem, ita dolore Tubit quod tam carde quas ad Pemilerim eo perrenerint. Tuas
autem accepisse, cum omnino fieri non poltic quin me non modica reticiar roluptare
(urpore quum inde diseam liceat quanta me tueris benerolentia prosecutus acque
honore atteceris;) non interim dissimulandum, quin unum sic aue alterum quod
inibi me male habeat. Acque illud quidem maxime, quod adverlae tux valetudi:
nis nuncium secum ferant. Ouippe qui non ignorar in literis promorendis quan.
ES FIS, non potest non de Fe cuaque ralecudine admodum esse solicitus, ue qui
non ignoret quancum hinc dependear. Dirino incerim Numini cribuendum crit
quod in bonarum licerarum commodum, Fe Cospirem conserrarit, decori adhuc
Fucurum _ Ornamento. Dolet inluper, ubi protusas quas in me eftundis laudes
conspicio, (quod humanitari tux non meis meriris dandum Ct,) non modo om-
nino imparem me esse merendis illis, sed et rependendis quae inde debeantur pra-
tiis. Pa enim Facilitate Cili polles, onimique ad humanitaris ofticia prompricudine,
ut imprudentix plane nostra dandum (ic, si velim hac ex Parre tecum certare, cua.
que in me collara beneticia verbis aequare coner.) F’allus itaque quam lim ad hoc
imbellis, ut plane rictus succumbam, nec praeter animi humillime submissi gra-
cicudinem, quam credas velim verbis superiorem, non habeam quod rependam;
si Fasso veniam larsiri relis, nec dedioneris quem hactenus larsicus es Farore prO-
sequi; quae sequuntur reliqua paucis absolvam.
Ex quidem ad inclusas D. Frenicti liceras (Fp. 38. ) quarum humanicatem Gra
cus aenolco, rix elt quod reponam, praeter grates noltras ob eam quam de me oxi-
nionem conceperit es protiretur. Quam urique de prioribus literis lire exculato.
nem sui, live ee detentionem exhibeat, lubens admirto. Neque contendam, li
quam cso jultam noltri detentionem me acculille putarerim, importunam ille per-
cinaciam ctiamnum aurumer: vel etiam, quod an duobus primis Fermatii gux si.
eis poris lim respondere, adhue ambisar; quod tamen ubi noltras 4 e 15 Mariir
datas (Fp. 23. 28.) Perpenderit non ultra dubitabit. Sed nec dispucabo an prio-
ribus luis liceris unicarem negaverit Ouadracum esse vel Cubum. Nihil enim ho-
rum tanti est, ut cum Nobilissimo Viro de his contendam. Ad nostram autem
quod acrinet quaestionem (de Ouadraris qui partibus luis addici eandem efficiant
lummam,) Fermatio pridem obirer propolitam; video, ex literis nuperrime re
cepris (Fp. 3T.) non modo Frenictum eam Colrilse, sed e pluris longo seciste
quam ipse tacturus ellem. Neque eriam aliter exlpectandum crat, quin cam
prompeilsine solras, cum ex sildem plane principiis dependeat iltius solucio, at.
que illarum Fermatii quas pridem Colrerat.
Sed neque mulcum est quod ad D. Fermatii liceras ( Fp. 37.) reponendum ju-
dico. Salrem hac duo tufticiant. Alterum, quod, ubi intimiat ine sutcepille.
non dubirasse laltem, quin D. Vicecomes Brouneter potis sit solvere, modo velit
agerea propoltionem illam de Daso cubo in duos cubos rationales dividendo, cum
interim (uri jam altirmat) proxolirum illud sic impolsitile; adeoque me remere
Palrem et incame id tuscepilte: dicendum elt Clarillumum Virum, quod ego inibi
susceperim, impertecte admodum recitare; reticendo nempe, quod ego addideram
saltem quatenus natura rei patitur. (vide Fp. 16.) Ouod quidem ideo subjunxi
duia jam cum suspicabar, vel primo aspectu, rem esse impossibilem, (ucui cum
nondum examinarCNAM, nON CxaF cur actirmarem;) adeoque non aliam intinua
bam Colutionem quam qualem res ipla DaTITuT; (nempe, ut rem praelter li sit
possibilis, rel, si lecus, uc deprehendat impostibilitatem.) Oux quidem me con-
rectura neuriquam feteltir. Siguidem lub id tempus, id iplum mihi Pionificarit
vir Fonoracillimus, quod jam Fermatius Fuggerit; his verbis: (literis suis ad
C datis) Sir, The last mioht L received jours, ec. Tour opinion iherein concernine
MII. P’ermat is really the same reith mine, especially in relation so his last P aper, ed c.
Fiis necarive determinations are,  conceive, his sreatest etory, and cberem he
chintes himsets eobe sineular: Si sse cercainty he rould noc propose chines impossible, viz.
Datum

## Folio 848 — 851708439:0872
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000872.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
C O M N E R C L U M
640
Dacum Muuerum cubum in duos cubos rationales dividere, wehich is impossible.
(Not meddline wvich the otber, as done already, at least in severat instances, by
Mons. LTenele, as pou lenore.) ec.
Alcerum id est quod de Fyperbolis habet. Obi existimac me fidem non habere
dictis fuis de cenero Graricacis in Fyperbolis Intinicis. Quod longe secus elt.
Duippe cxo ne suspicabar quidem; quin exerie bona tide Vir Nobitissimus, cum
ea libi perspecta dixerit, ec quidem d mulcis annis; nempe, in Hlyperbolis ince
Eris; (Torcaltis etiam ec in semihyperbolis, ucur illud nondum dixerit:) Vri nec
jam luspicor, quin quam sile tubjunsit qualtionem pocis sic solrere. Sed ee alia
ee specimina non pauca jam praestitit.
quamplurima, sire de Hyperbolis, sire de aliis iiem Geometria apicibus, vel
etiam Arichmeticis, coregia Pheoremata libi praello esse nullus dubico. Guorum
Ouam aucem jam exponit quaeltionem ( sp. 37. ) nempe Lxposita vera FIYper-
bola ABC, cujus Asymptota, NM, N O; quarum alteri, puta NO, parallelae du-
metricant aupcta.
TerunE. Neque enim racat ret opeta Breltum etie duco ad singulas minurias de-
Ccendere.
Cpraecedent ua HoH abrumllem nec minus Forcaltis elexancem,) Sibi repOnerE.
CantUr M A, HIB: PropOsitum est. sieUram A M FTB, (linea ZTy perbolica C3 TrI
Bus rectis AM, MFI, HB, contentam,) recta OR (quae sit ipsis HB, M A, pa
rallela, itasecare ut secmemum RC B, ad reliquum AM OR, sit in ratione
data: Sic Colro. Si daca rario sic CMabilis, VerIS expOnacur numeris inceoris, puca
uc 3 ad 2, vel uc a ad c; acque inter rectas NVLL, NM, inveniantur coc media
proportionales (Talcem, ex LOI ea quX OpUS CrIF) suol est uiriusque numeri 28
Gregacum una MMUS, Duca 4 = 3 f 2 -- 5, vel a F C = L; GuatI cercia (sive
qua ab a denominatur) ab NVFZ; vel secunda (sire qua ab e denominacur) ab
NM; SIE N~ DICO; Rectam E R (quae a putteto L, 1BH LL B, vel M A, du-
cacur patallela) rem imperacam praeltare. Si vero daca ralto  Mmettabilis, Pocerie
id ipiuus pratcath Loxarichmorum ope, quai peaMe, utur non secundum Gco-
Reliqua quod actinet; vel jamdudum de illis dietum ete, vel oiu laltem po-
Cacerum, uc Nobilistimo Viro rices rependtam vitum clt, Oualtionem hanc
Nempe, FExposita Conchoide A O, cujus vertex A, Polus P, regula CR E (rectant
AP in puncto C secans ad ansules rectos) si centro C duentur quadrans cireul
AR

## Folio 849 — 851708439:0873
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000873.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
H, P IS TO L I C U N.
AR (versas partes OFI:) Proposium sit, Figura conchali O A R E infinitae (Vi-
neis RI recta, e conchali AO, infinitis, una cum quadrantali A R, contentae)
istiusmodi aliam (puta coapn) in data ratione describere. Nisi malit ut Theore
marice pocius exponam (ne cancum sryphos ridear proponere) ad hane Formam.
Parionem fieurae conchalis infinitae O A RHI, ad istiusmodi aliam quamcunque
coa pn, componi ex rationibus C A ad va e C. P ad n n (idem nempe denotantibus
lireris, a n, , p n, con in una tigura, acque , C, P, R, FI, O, in altera,) quancumris
immutetur ratio rectarum AC, C. P. Cujus cum inreltisationem, cum demonstra-
tionem, si expetat, extribebo.
Unicum adhuc superest, rir Mlustristime. Incelliso ex liceris cuis, Nobilistimos
ambos esse riros quibuscum hactenus esimus. Fctieri quidem ommino polle puro,
ut vir exrerus, nec rerum vel dignitacum iltius gentis laris callens, tamiliarius ali-
quando quam par est, nec Pacis torcasse pro dignitare sua, Nobilistimos Viros com-
pellarerim, sive dum meas, sire dum ec Honoratistimi Vicecomitis partes egerim.
Sin iltiusmodi quiequam peccari, inricus peccari: nec imputabunt, spero, Nobi-
Lissimi Viri, (qui in communem mecum arenam descendere dignari fuerine, sponce
Tua,) pulreri scholastico, quam Rulari, magis altuero. Quam iplam exculationem
admitas, oro, liquid iltiulmodi in TC peccarerim; Ieque enim alias me gellille
velim, quam ut deceat
Mlustrissime Vir,
Flumillimum Jui, atque obsequen.
rissimum servum
ZOTI. W AL. L. TS.
EPESTOL A XL.
D. Job. W allis ad D. Vicc. Comitem Brouneker.
Treras meas nuper scriptas, Parisios transnitrendas, Te turo accepille intellieo.
Ouas aurem d me poltulas demonstrationes eo spectantes, sic breriter accipias.
Problematis Permariani ( Fp. 37. 39.) (de spatio (Eyperbolico in data ratione di-
viaendo) solurio lic demonstratur. Sumpeis (in ACymptOtO) rectis NTI, NI.
NVK, NVQ, N C, NM, Geometrice proporcionalibus, (id punctis LI, L, R, E.
L, M, ducancur recta parallelae alceri alymproco, spacium Ly perbolicum AB IL M
in quinque parres aequales diridi, oltendu Grecorius de sancto Vincentio, libro (si
memini) decimo. Flarum itaque cum hinc dux, illinc ires reperiantur, manitectum
elt a recta e p in rarione 2 ad 3 secari. Ouod erat demonstrandum.
Nostrum aurem sire Problema, Eire Theorema, (Fp. 30.) de Figura Con-
chali; sic breriter habeas explicatum. Elto Conchoidis OO, poluS F, vertex 
norma C FY FI; quadrans circuli C. A R; ordinatim applicata qua libet in quadrante,
DM; in conchoide, D O; reliquaque ut in Schemare constructa. Ponamus jam,
ob commodiorem calculum, _IO(=C A = CR = CM) =-r. FLCD = p.
_D =c. EtCD (= p + C) = B adeoqne Z D 9 = P.
Tum Cpropier parallelas, et simulla criansula) C D. 12O: : 6. r: : P C. = p.
H =: : ~ ∞ = l. PO = - . E+ PO9 = -. Trem (per 47 eZ) C. M9 -
CDg = D Mq = r = 5. FF DO9 = PO9
Adeoque DO = = V: r - 8: -
e V: r2 -62:
p. = D M + MO. Est aurem D M = V: r = c: FrSO MO
CN. Lt 3.
1658.
Vobilissime Domine,
Eis Posicis. Si, in dirertis conchorcibusO o, maneat ultobique cacieM Guan-
citas C. (adeoque e exdemr, 5,) muLaca quantirate  C, ( puca p in ∞) exit ubi-
EPPPD
que

## Folio 850 — 851708439:0874
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000874.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
Ci O M N E R C I U M
que MO ad Ma, u Y
2d Y
C m; sive ut p adt n. Adcoque
E omnesHO ad Ma, hoc elt, propier eandem verobique alcicudinem, fisura
R M AO, adtiguram R M Aco, uC P, ad X.
Sin, manence quanitace DC == B, mucetur quancilas C  adeoque d CD:
pucarine, dec inx; erit ubique MO ad M C, u Y. p, ad Y
-
( ps1
ve ut V  ad hoc est ut r ads. (Suncenim omnes V1 - c,
ad omnes V: ep = r X: hoc elt, quacrans ad quadrancem, ut rr adee, sive in dupli-
cala racione radiorum: Icem e adiy ubique uer ad s: Adcoque omnes J: M = Cc:
. r
nt =ad =, sive ucr ad e.
Sim deniqué hiac meobique immuracio; pura cum quanciraris PC, cum C. A;
=cc
hoc est p in X, _ r IMP: Crune omnes MO, sivep, ad omnes
compotita ex pad x, acque exradp: hoc est, in rarione pr ad ne; sive, ut rectan-
Bulum ZC  ad rectangulum nna. Ouod crac oltendendum.
Acque hoc cornico; lacile erit rel tiguram conchalem X M AC in daca ratione
sccare, vel etiam aliam in daca racione construere.
Problema cercium, cujus eciam Colurionem d me peris (quod Fermarii liceras
non spectat) hoc erac. Sub inicium Februarii jam proxime clapli, amieorum non
nemo cui torce occurrebam sero relperi, quaeltionem lequentem mihi porrexit in
seripeis; quam jam nuperrime, ab eodem incelliso, erpis vulgacam esse cum hac
pigraphe; Spectatissimos viros Matheseos Professores, e alios praectaros in A-
eta Mathemasieos, ut Problema solvere dienentur, Jean de Monitere mavime de
siderat.
Fiatremis Fllipseos Diametris, distancia centri ab aliquo puncto in ave trans-
verso, ubi linea eundem secet sub aneulo dato, in numeris datis: sezmentn ejusdem
lineae (si opus est ) produeta, intra transveisinn avem e ellipsie terminata, in
oumeris invenire.
13
000.
376604.
10
roerad.
D.
Oumrumum Z BV.
D.
cbo.
seitercabar cujus eral,) Palte ae veactus expolicam, sub hac lere quae luB.
est torma (neque enim iptilluna veloue) Pollele Mane Tolvebam; Hec cram
de illa utera totiertus; (ul uae ses nee masna auicuscaus videbacur, nec momen.
Hlanc ego qualtionem, (ua Talus (neque CMI Vel Mnvebat ille, vel Cs I
C;) quam ce, quod ja auclio, varu varus modis totre
banc, ucuc eorum Coluriones nondum viderim.
Dacis, in Tellipsi extremis diametris, (vel etiaM COn
jueatis quibusvis, una cum inclinationis angule, 
2D; quarum uerivis, puta aP, occurrat in aato pancto
B, ( sive intra Fellipsim, sive etiam extra prouucta,
recta DF, Fllipsi in punctis D L occurrens: Rectas
BD, BP, investieare
a punctis D F, diametro A P, ordinatim applicenc
DE, LF. Ec ponamus (ob caleuti commodum) AL = 24,
ap
= 28; DF vel H F = a, BC-
adeo
que ctBP = c i b, ditterencia duarum BC, CF; (sup.
ponmus enim, rum lB, cum DF, cadele Apla le
etam ax; adeoque quocies D P. cactie hatia rectam a C p,
repucanda

## Folio 851 — 851708439:0875
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000875.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
H. P LSFO L I C V H.
reputanda est eo casu C. F quanticas negarira; sire quod eodem redibie, erit BF.
=c FB; quod tamen calculum non curbabit.)
Cum auiem in criansulis DBF, F BF, deneur omnes anguli, (nempe prOpter
datum ad B, ec rectum vel saltem dacum ad F,) habetur ratio lacerum ad inricem;
(ea nempe qua est linuum oppolitorum ansulorum;) Duta B F, aet D F (vel P F)
utn ad m. Adeoque cum (F BF = 6 ∞b, e D F. (ret L F) =a; F. FILn. M:: 6 1 b.
M. F.t aa - ec + bb - 2cb
C ∞b
=
nn
PorcO, cum, in Elliple, ordinatim applieata D F. vel F E, sic, vel media propor.
cionalis incer diamerri sEgmenta AE, F. P (sI nempe aC = AC,) vel Paliem, ut
a C ad AC, sic ordinatim axplicata ad illam median proporcionalem; (adeoque e
quadrata quacratis proporcionalia;) Prit ut AC = d, ad 2C = 8, sICV; A P XFE P:
ad D F. (ret F F.) = a. FF ad. Sd:: A F X F. P. aa.
Est aurem ARXEP; = E AP = C F, in ZAP F CF; = d - c, in a +c;
= dd- 66.
6
a
ErEO dd. dS:: ad = cc.
dd - c0
ad
ad
nn
e
Erit ad Sd nn = ccdS nn = cc dd min = bb damm - 2 cb damm;
Et mm bb dd = m ad 5d = 2 mmb adc - mm dd 56 - nnd dCc.
e
minbb ad- un ad dd
2 mmbad
um dd + nu 55 =num dd. + nn 5s C - c0.
Ft (relolrendo aequationem)
mmb ad =naS V: mm ad = un dS = m m B.
um dd + un ad
=C=CF.
Obi nocandum elt, quod quantitatum sic ambigue delignatarum, (per Signa +,)
major (quam respicie lignum F) denocat C l. diltantiam puncti P. remotioris a
CenETO; minor aurem (quam respicie lignum -) C F diltanciam puncti si pro-
pioris, quod quidem lupra centrum versus B Sicum est (prout lupponitr) Si
quancitas prodeat aftirmacira, nempe si m. b d major lic quam n ds V: m 4
Ln S = m b: vel ultra centrum li minor sic, adeoque quantitas prodeat nesa-
cira; rel denique, su propier carundem aequalitatem, se mucuo deltruant, adeo-
que cranescat quancitas, erit illud P in ipso centro. Sed ee Porro, (quod quan-
doque obcinger ubi B Cumitur extra elsiplim) Ei quando mmb b major sc quam
mn dd =nn Sd, adeoque aequatio cractat impollibilis; arsumentum cst, rectam
in dato ansulo, productae diametro in dato B puncto occurrencem, elliptin in-
tactam praeterire, ipsaque puncta D, F, nusquam este; sin aequales Fine, se mutuo
Periment mm bb e mim dd + un ss, rectaque lic ductâ ellipein canset qui-
dem sed non secabit, punctis D F coincidentibus. Ouxe omnia, Aquationum
nacuram callentibus, Patis obria lunt, ue non Tu opus ea Fulius explicare.
Trabicis autem punctis cum B dato, cum inrento f, habetur B F. lacus crianguli
DBE vel EBE, adeoque et (cognitis ne dictum cst omnibus ansulis) latus B D.
vel BE; (nempe, ue linus ansuli D vel F, ad linum ansuli B; sC BF, ad BD
vel BF) quod crac inguirendum.
Arque haec suncu insignissime Domine, quae, ut mandatiscuis obtemperem, extri.
bere oportuie,
Maii. 21. 2658.
Tuique e mandacorum ruorum
observantissimum,
JDEL. W AI. L. 1d.

## Folio 852 — 851708439:0876
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000876.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
OM M E R C L U M
EPISFOLA ALI.
D. Kenetimi Dieby ad D. Z h. W bile.
Nost Bonourea Sir,
Flumbly chanke vou Tor vours oFche tis oL sprit: And L alliire vou L have
L been much delighced rich chose rou chen senr me trom my Lord Brouneker
and Dr. Wallis. They have non Bhered chemletres eHfectirely (Boch ot chem)
very oreac persons. Tr hach happened lome ot che ablelt Machemacieians here have
Deen rich me lince L reccired cheir Lerters; irtrich L Mered chem, and chey
non look upon chem rich greac reneracion. Indecd ic hach been Mon L. Frenicle
chac hach occationed cheir comins co me, 10 sec chole Leccers oF cheirs chat he
Speakeh Co trixhly in commendation oF; tor, chouxh he ronld noc let any body
sec irhac he irroce in reprehention, vec he dirulsech 10 all che rorid ertrac he
Speaketh in praile, ertrieh l cake co be an argumene ol a noble mind. L leave open
my packet toDr. Walis, (FEp. 42. ) chac vou may read ii, and chen iIMPAEE ICCO
my Lord Brouncker, wrhrom, alier readins che conenis, Lbelcech 10 leal and spced
it avay coche Doctor. P iroce by che lact polt 10 his L. OrathiB, (Fp. 35.) chere.
Fore rill noc presume co crouble tim again wich a parcicular Leuuer co himlelt,
buc bescech voû 1oprelene my humble serrice 1o him. Fruly chele last LCHerS
Tromhis Lordctrip and che Doctor hare irouste a miptey chanse in mens opinions
oF chem. They are no looked uxon as che greacell Machemacicians ot MhC AGC:
And lec me cell rou chis in parcicular, Lasted MI. Frenicte hou lic weished . . . . .
in che leale against cicher ot chele, he presenclis seplyed chere us no veighine
ot chem cogecher; tor he was buc a5 a Aishe Schiolar in relpeet oF chem, chs
ereacest Malters ot che ASC. L Will hold you no lonser ac prelene, buc relt
Tour mest humble
and mest assectionate servant
KENELME DIGBY.
E P ISTOL A XI II.
D. Kenelmi Dieby ad D. Tolo. W allis.
Nest Bonoured Si,
Echoush Peoubled yon iih a lons Letter (Xp. 36.) by che last post (che
LL Tourch oF chis momh) vec l cannoc torbear buc come chus soon acain c0 la
lute von rich a neu one; irhrich is an etteet ol che excestive concene vours ot che
Tourch and tilceemh oF Mareh have siren mC, (Fp. 23. 28.) chac obligech me 10
icuels ic apain co you in a Word Or cro. In carnelt, nochins chac hach occur-
red co me chis many a day, hach been (0 plealins 1ome, as chele L etters oF yOUES,
aud irtrac rou irroce ac che lame cime comy P. Ord Brouneker, (LEp. 29.) and Wrat
his Lorachip ehen altO IVrOcC 1O me (Kp. 27.) molt learneclly and uxon protound
and subcile speculation. Tou have nor Mhered our Machemacieians here, chac
Paris May8.
1658.
dike Sampsons Vou ean cals BICak aria IIap alet AlI che PMILIIEIANS cordS and
arc non torced co allou, chac sineland verldech co no pare et che vorid in chele
noble speculacions. MonI. Frenicte nom speakech loud anei hioh, hou much ne
reverencech vour decp tnomledee, only he complainech, chac vou voule lec hin
run on (0 lone in his error, by (0 lona dallvins wich him ge it he vere 100 weake
a gamester tor vou co play vour belland strongelt asainst him. He hach DrO-
mised me chac he will send me co day a Letter e0 exprels his sencimenes In TMaL
Crain. Wherctore P Wrill keco my Packet open co che last hour (il ic thould noc
cllacco, verea cue altacu colac dacctus cnon vou aca ine dicaleleta
come betore) chac vou may hare il by chis Polt; tor l’heliere il W Hot
displealins co von 10 see (o preat a perton (in chis subject) retmomedse iruch

## Folio 853 — 851708439:0877
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000877.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 60 lines, status machine
. P 1SLOL IC U M.
es Be oyeheco do and submit Franklis co it. F hare allo sent avay vour Letters
cO MOnC. Fermat; and when L receire his sense upon chem, L ill lend it vou.
P Hiss jour hands and reltu
H OrtBY Sir,
Pour most humble
and mest obedient servant
AFNFCMF D16BF.
E P IS FOL A ZLIII.
D. Fronieli ad D. Kenelmum Dieby, praecedenti inclusa.
P Erlesi quas ad me cransmilisti vostremas Mart. 4. de 25. Clar. Wallisii Existo.
las, (LEp. 23, 2.8.) Rques illustristime es honoracistime; quibus mihi clare in
pocuit quancum nune ipse alliscus in Machemacieis disciplinis protecerie; led
Euspenlus hraerer animus dum inquiro quid morerit rirum erudicistimum, vel quid
caux ipsi fuerie uc tamdiu nobis ignotus esse voluerie, praesereim eum iplius mu-
veris lic, et ofticii scientias nocas lacere. Paceor aliquancum in ipso deceptus
Tum; sed liquid deliqui non mihi sed ipsimet elt impurandum. Qualis apparuit,
cale judicium Corricus elt; quanquam non aquo animo, led renitenci, quando ipsi
dedecori Fuic, illud proculerim. Idcirco quamdiu reprehentionibus fuir locus,
noluillem ex me iplas provenire manifeltum tieri, et delitescens non dato no-
mine pro moniionibus pocius, quam pro reprehentionibus lumi optassem; non
eso volebam videri, quamquam tune non immerito, seprehendisse virum Clarist
Ast modo quandoquidem ad approbationes cranscundum est, non jam occulte
neque renicens, sed palam et gaudens spectante tota licerarorum curma ego ipse
nominatim axparebo. De Comniance ’allisio judicium dederam, nunc aurem de
vigilance sentum lubens aperiam, sTerculem ante rideram, sed cum puellis jocan-
tem, nunc cundem incueor hidram ex monstra debellantem: levia scilicet eri.
mum ee puerilia seetantem, sed ardua demum et sisantea promentem. Ad Cla.
riltimum Schotenium quidem peculiariter spectabane de cubis suis partibus adden.
dis propolica problemata, sed anterertie vir perspicaciltimus; in his certe rires
suas probare, non in minurissimis rebus, in his et limilibus sese exercere debuit
Vir Clar. ec Actanti rircure persimilis.
Cedat jam anglix Bataria, et ipsius Lusdunum Oxronio; quamquam Callix
Narbonenlis e Celrica cum Kencio, e Oroniensi Britannicis de palma decertare,
et paribus Forliran viribus pollent concendere, ne dicam majoribus, nOn enim
meum elt cale judicium terre, sed aliis relinquendum, quamquam huc usque
puona non aequa luic; neque pari erencu decertatum.
Excerum igno(car roso Cilar. Vir S quaedam liberius quam decuit de ipso seripse.
rim. Tu nolti quidnam me ad ilta impulerit, non ad conritiis et objurpationi-
bus cum afticiendum, neque ad ipsius sloria quidguam decrahendum, Linas enim
Fxiltolas (FEp. 22. 26.) de quibus conqueritur (LEp. 23. 28.) occultas tenui, e
amicis etiam necari eas expostulancibus, et solum Walliscum  pollibile tuisset
iplas perlesisse concupiltem; a nolti inquam me lolummodo ad iptum ltimulan.
dum tecisse, uc quid in ipso rircuis elset aliquo modo comprobare vostem, e
cerre melius proballem, si cubos aure acceptas in opusculo lacino d me ribi vir
Nobitistime dédicaco soluriones cradidister, id est absque cujusquam auxilio;
N. B. Fpist. 27. cum praecedentibus, scriptae fuerunt antequam videram ipsius
librum, prout ex F. P. 28. liquet, ut non si locus huie cavilla. ) Non delunt enim
qui luspicentur, et dieant quod cum in illis reperiendis invisilarerit Clar. Walli-
sius, et labor iplius non succesterit, ut salcem aliquid qualecumque illud toret im.
vertiretur unitatem pro cubo et quacrato, numeris qui qualtionem pertecte solve.
xenc deticientibus, pro solucione proculerit; Caris enim fuir (aiune) viro perspi.
caci ver riam apertam e icer tricum ex complanacum incedere poruisse, cui ipsi
licuerit datorum cuborum parces cubicas, se eorundem cuborum parcialium sum.
mx parces inspicere; e inde haud ita ditticile tuisse. Tuam mechodum tabricare
contahulencur: (quod quidem non sir dictum quali aliquid ex elorra ipsi debica
detra
PPPPPZ
Paris May 8.
2658

## Folio 854 — 851708439:0878
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000878.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
O M M F R
V
detrahere, ant imminuere velim,) de quidem ista non ommino racioni apparenc ab.
Tona, unde conjiciune meum opusculum non parum illi protuisse in adnvenienda
Tua mechodo. Sed id quod in meis Epistolis iph W allisio concrarium de nocirum
apparuie, in ejus abiie emolumencum; nili enim puncturis quali stimulis eum ap.
Deciltem, es li unicacem suam approbaltem, Fortican sua solurione concencus, nihul
ulera tuiltet axpreltus. Nihil isicur me ulera jam incuset Vir Clar. cum ei non
parum iptum arsuendo conduxerim, ue cunctis etiam liceratis, de me porius de
illo et de caeceris bene mericum elte taceatur, quod cum praeclaram lucem postide.
ret Oxonium, de non minorem Londinum quamquam nobis acthue nebulis cectam,
eas veluri carillacionibus, reluci procellis quibuldam abegerim. Incerim non cre-
dac Clar. Wallisius me cujulquam eloria invidere, nec gencem aliquam, cuam
praelercim, despicacui habere, (vircucem reneror ubicumque fueric) imo Angliam
cuam etiam olim a me vitam speciali semper benerolentia prosecurus lum de pro-
sequor: quinimo laecicia magna Cum attectus, quod candem me cum quibuldam
aliis decexcum deprehenderim; quamquam cancilper indignatione COmocus, quod
camdin vires Cuas nobis ablcondere voluerit; neque etiam exiltimet Vir Clar. me
tanci mea tacere, quin ea pocius uc plurimum parri pendo, quo tic ue ilta in aliis
qui hilcc operam danc non reperiri lupeam, ee silonse aberrene crubelcam. Sed
de his Paris lic; nune ad ea quae scienciam spectant accedamus.
Doleo cur Clar. Vir unicacem adhuc (Fp. 23. J pro lesicima solurione nobis in-
gerat, ee accendere nolic quod si unicas, uc laepius inculcari, nultas habec partes
cerre luis parcibus jungi nequie, unicas inguic est cubus qui addicus luis parcibus
aliquoris quippenallis, manec adhue r, qui elt quactracus. Relpondco. Si unicas
Tuis parcibus addi poull cerre aliquibus; li reronullis, quomodo quibusdam . MI
ror quonam pacto rir perlpicacillimus in concradictione cam manitelta haereac:
peaelertim cum de numeris non de irracionalibus hie agacur: Si nolic admictere,
quiere sua pertruatur, nihul amplius ego circa iltud eloquar. Omistis igicur iltis
vanis ee nullius momeni concencionibus, ad detentionem cirea quae mihi objicie
vir Clar. me accinsam, e brerirer oltendam me poruisse unicacem, cubum de qua-
dracum, uc etiam numerum nuncupare, nec tamen ideo me veluci crrannidem
quandam in iptum exercuistes quali eadem ipsi non licere vellem. Vnicarem pro
cubo ee quadraco ab omnibus allumi non inticias ibo, sed de hoc non agitur, et
nunquam nesacum elt; eam autem pro numero sumi poste non conceditur, uc eciam
numeri nuncupacionem Corciri posse, cum solicaria est, concendicur; quamquam
brevicacis caula quando cum numero aliguo vel numeris reperieur, numeros in
plurali, quam cum circumlocutione, cales numeros cum unitace CacuS lic enun-
ciare. Nunc ad ea quae partes aliguocas spectane properandum. In his quae de
parcibus aliquocis acculis proxolicum mihi Colummodo fuic indicare partes aliquo-
Eas haud proprie mulcicudine cerminacas, sed intinicas, seu indetinicas tractis cribu-
endas esse, et ideo minime admiccendas: Ouod aurem =, ze in parcibus aliguoris nu-
mert  enumerarerim id teci, quia cum relacionem habeane cum (uo inCegrO per
numerum ejusdem qualicaris ac ipse numerus inceger, quisque enim elt nUerUS
cum tractis junctus, non rejiciendas existimari: quod uc clarius pareat numerus 342 cst
5 E nempe numerus 5 cum tractis si relaciri aurem parcium L, 10 8 (unC 313 313313 Teu
1723, 853, 428 nempe numeri incegri cum tractis, ee ejuldem nacurae, quam, ad
quem spectane iplae parces, numerus inceger, et adeo hi numeri eodem jure pro
parcibus lunc recipiendi quam qui d nobilittimo, de crudicistimo, ee miti honora.
cillimo D. Vicccomice Brouneker Londimensis utols ornamenco lune extribici, qui
Quidem relaciros habene d suo nomine dillidenes HCOC 343, 40, 7. qui Tunc nu-
meri incegri, cum tamen numerus propolicus sic inceser cum Fractis. Lsicur sI FIn
sulae e parcibus d me altignaris non sinc pars sed parces, nimerus exiam cujus LuNE,
non elt pars led parces. Insuper propriccatem quandam in linoulis numeris in
ceoris agnolco, qua destieuuncur expolicae a praedicto Iuimo Vicccomite par-
ces aliguorae, haec aurem elt illa propriecas, Ouxlibet pars aliquoca cujuscunque
numeri compolici, aliam habet in parcibus ejuldem numeri relaciram, vel falien
seiptam (si numerus sic quadratus) excepia unitate, Gua non partem, sed coTuM
numerum habet relacirum: in supradictis vero extribuis sceus Liu illarum enim
Drior nempe s. numerum 343; sublequens, Q numerum 49; poltrema denique 83
numerum 7, pro relaciris haber, qui quideh uteri li parces etiam este debene, sin-
Sula ex his parcibus suo erunc coro majotes.
Gratias

## Folio 855 — 851708439:0879
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000879.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
L P 15 Y0LC U M.
commillum elt acmoncetu; ris enu unquam torlican illud animadvercissem. Seis
tamen hunc laplum mis son debere rribui, cum in exemplari hunc numerum
ue apprime Clar. Walbiscus corrisue seriprum rideris. Ouamquam in calibus men-
dis non solum polle Sed etiam de lacto quandoqne incurrere non inticiar. TEa uE
non immerico rereri debeam ne in illis ad Fruditistimi W allissi quaeltionem (0l-
cionibus, quas rapcim ec ut occurrerune non pertustratas cradidi, quaedam irrepse.
rinc; ec ligua sunt, condonari mihri postulo, reros numeros pro Faltis exhibicu-
XUS.
Sed ec quandoquidem Cilar. W al. 5. cubos in r0. abcunces, ut et cg0 ipse repe-
rerie, quamquam in binis prioribus aliquantum adjucus, jam sextum omnium re
mocillimum in numeris Analscicis pas. 4. praedicti lacini opusculi contentum ac.
civiat, inluper sc quadratum secundum, sed ne grarioribus torsan occupatum (pe-
culationibus in iplorum examine lonsius decineam, hos in parcibus, ec lummarum
2d quemlibet cubum auc quadratum partialem actinencium parcibus cractam.
CCIbOTU
Parc. radICeS.
Summarum partes.
nempe cuborum parrialium cum suis parcibus:
Gratias aeD Clar. W altisco, quod me de mendo quod Typooraphorum incuria
Quadratorum
Summarum patus.
Part. Tadices.
4200
109
Sed quamdiu cna cam libenter abutar patientia, ut mmeliu ce vie Wustristime ae
mihi honoraristime ec charistune in hilce colloguits decimenm. perie illa nOn au
derem niti mulcum in cua benerolemia contiderei.
Rques Excellenvistime,
Zibi devorissimus e obsequentissimts
D. Freniele ide Aest.
E. P LS T OL A XL IV.
D. ToB. N alis adt D. Renehmum Diety.
Omillimas revendo srarias Vir Mlustristime, ob liceras cuas 8 Maii datas (F p.
42.) Quas cum inclusis Frenicteis (Fp. 43. I accepi. Quamris enim non
Porum, quibus me lallaibus oneratis, ut mihi debiras rendicare, (Eequid enim cst
in paucorum problematum lire Arithmericorum sire Geometricorum Colutione
quod illud mereatuL ?) a robis tamen uliro sic laudari, non estcur parri Faciam.
Sire

## Folio 856 — 851708439:0880
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000880.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
DM M P R C L U M
Sire enim illud ex judicio provenerie, (cujus in cancis viris non lere pondus eric)
AvC ex AHeCtU: CUM eameN d TUMIMIS VIrIS CUM AITLIIaRI CUM AIarI, UErUmquC
magni sic habendum; si alcerutrum talcem eorum spondere miti poste ridear,
non Mlt cur illud gracus non aenoleam. Gaudeo ucique li cum vocis Tuis, Lques
Illustrillime, cum Clatmorum Virorum quaelicis, haud intelicier respondimus.
Et Sigura adhue haereac cui nondum ulquequaque lacistact pucaVerInE; Cum
Deacipua tamen eorum qua tuerane propolica soluca dectimus, cum de solvendi
mechodos, (nec incerim hilee laciS VacamuS,) non canci ellE puCO uC perpecuis pro-
Peerea relucacionibus nos implicemus. Vix enim dubico quin exiltimene vel iplis
ubi reliqua viderine soluca, polle nos de ca qua lupertune, modo libeat e vacet
agereu soluca dare. Sed neque illud eledo, exigene Viri Nobilissimi. Cum enim
quaelica noltra li unum illud de Duobus quadratis qui parsibus suis aliquoris ad
dsi eandem efficiant summam excipias, cui abunde sacistactum est) néolexerint
omnia: Hon asse terre debene si de luorum aliqua praetermictam. Ne camen cer-
sirellari videar; Ad duo quae in ulcins Fetnasii liceris (sep. 37.) lupertune qua
lica, libet haec raprim reponere. Ad primum Scil. Obi pecie duos Cubos rationales
datis duobus 2∞ 8 aequales: Responceo, Cubos numeri astirmaciri 23, _ negaci
Duo aurem pacto repericubos altirmacirum, e negacrum, (live quod cancundem
elt, duorum attirmarirorum aisterenctam) duobus dacis aequales, eodem de duo at-
tirmaciri reperiendi (une, (Sed illi le prini obculerune;) Neque enim exiltima-
bic credo ru doctistimus, difticilius etle, Duos Cubosracionales invenire qui da-
nam tummam (pollibilem) esticiane; quam qui dacam habeane (Boltibilem) ditle.
renciam, (ueur nunc huc nunc illic caleuus (C proliXIOT.) Feguidem in catu ex
S=6. + T. Ec pari mechodo procedehteuta erie, quaecunque alia exponatur cubo.
Ad alcerum vero ubi exponic Pheorema demonltrandum, nempe. Nullum in nu-
meris esse Trianculum rectaneulum, cujus area sit numerus quadratus. Id lic de-
monstro. In expolico schemate (cujus constructio
Dacec) Frianguli rectansuli BC D lacera non postunt
elle numeris eltabilia, nili AD DH. Tincincer SC UE nu-
meri plani similes, (secus enim, qui ab ipsis tie, non
Crit numerus quadracus, ejulque radix BD ettabilis)
hoc est, urnumeri quadranincer sc. RIlO uE 2 aa,
2 ec. RrunE isItuT BC, CD, BB, uaa + ee, au = ee,
2ac. Adeoque C D, EBD, UE A4 = CC, aC. FC pFO.
inde (cum duorum quacralorum difterencia, acque corundem medius proporcio.
nalis, non bostine ette Pralit Lumiles) qui ab iptis tic (hoc elt area criansuli) non
Pocest elle numerus quadratus. Guod erat demonstrandum.
Ouid aurem, de nuperis nostris liceris senciac sermacius, nondum audio; de re-
liguis enim omnibus post eas NOV. 2T. datas (sp. 26.) plane alcum Silencium.
Ad postremas vero cuas liceras (Fp. 42. ) cum Frenieleis inclusIs (Fp. 43. ) ni-
hil ulera lubet praeter pracias reponere; EL uc hisce candem discepcacionibus modum
imponam, quo salcem ee tinem imponamus molestiis cuis, quem nimio nimis ha-
ctenus taciparimus; Cujus denique des, veniam supplex Oro,
vi limul junctos, aequales elle alobus L e 8. Ouippe e
rum exquirendorum sire lumma re listerencia postibilis.
volico id lolum requiritur, ue inrencantur duo cubi quorum aggregacum sic cubi
noncuplum (quod, inspecta numerorum cuborum cabella, acque achibicis quae viro
exereicaro le soonce ofterene calculi compendiis, e qualia ad Fermatii Problema
cercium jam ancehae adtribuimus, non magna distieulcaLE exquirenEuE, Si cui lbCaE
calculum insticuere;) quippe Cubi illis per hunc dirili, numerum extribebune
Oronii. Junii 20.
1658.
Lgues ustrissmm
Fhumillimo, obseguencissimo, e
devinctissimo servo.
JOTE. NAL.L1S.

## Folio 857 — 851708439:0881
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000881.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
Noble dir,
t
P 15,
etC U M.
F P LS LOL A. ALV.
D. Renelini Dieby ad D. Zch. W allis.
Receired lately From Mon(. Fermas, che enelosed iritten paper, (Ep. 46.) wvich
a detire tromhim to conreish icromy Lord Brouncker and your selF. L’hove
von have receiredmine oF che 8. (Rp. 42. ) and 25 oF Mar. A main exrand oF
ihis present Letrer is humbly co take my leare of you For lome monchs; For I am
crelons soins a journes chac will tatre up all chis summer ac che lealt. When l
return to Paris, L Will sire vou acconne ofic by presencins my humble respects
unco rou. In che mean cime L ceale turcher trouhlins rou, and remain
Noble Sir,
Pour most humble and most obedient
servant, thas hiehly Bonour et h you,
R L NF. L. M D
E PIS TOL A XL VL.
D. Fermatii ad D. Renelmum Dieby.
Praecedenca inctusa.
Llustristimos Viros Vicecomitem Brouncker de Johannem W alliscum quaectionum
numericarum a me propolitarum soluriones candem dediste lesicimas libens
agnolco, imo et saudeo. Noluerunt Viri Claristimi vel unico momento impares
Pele aut itoras quaestionibus propolitis contireri; mallem ipsos de quaestiones dignas
laboribus Anslicis ltarim agnovisse, e postquam adepri iplarum soluriones fuillent,
eriumphum eo illustriorem egisse quo cerramen magis arduum apparuisset. Concra-
rium ipsis risum elt. Id sanc glorixe Mlustristimae e Ingeniosistimae narionis con-
donandum. Verum ut deinceps ingenue utrimque asamus, latentur Cralli provosi.
iis quaestionibus satistecisse Anglos: Sed lateantur riciltim Angli quaestiones iptas
dienas tuisse quae ipsis proponerentur, nec dedignencur in Posterum nUIerOTum
incesrorum nacuram accuratius examinare e introspicere, imo de doctrinam iltam,
qua pollene insenii ri de subcilitare, propaeare. Quod ut ab illis libentius impe.
Tremus, Diophancum iplum ec celeberrimum illius interpretem Bacbetum ad aucho.
ritatem rei proxonimus. Supponit Diophantus in plerilque libri q’ee si qualtioni-
bus numerum omnem incesrum vel esle quadratum rel ex duobus auccribus aut
quatuor quadratis compotuum. Id sibi Bachetus in commencariis ad quaeltionem
3am libri qiperfecta demonstracione allequi nondum licuisse taretur. Id Renatus
ipse Descartes incognitum sibi ingenue declarat in E piltola quadam quat prOPe-
diem edendam accepimus; imo ec riam qua huc perreniacur difticillimam ee abtru-
Fistimam esse non dittitetur. Cux isitur de propolicionis illius disnitate dubice
mus, non video. Ejus tamen perfectam demonstrationem d me inventam moneo
Viros Clarissimos. Pollem e pleralque adjungere provolitiones non solum celeber-
rimas, sed ee tirmissimis demonstrationibus probatas. Fxempli caula.
Omnis numerus primus qui unitare superac quaternarii mulciplicem, est compo-
ficus ex duobus quadratis. Flujusmodi (unt5, 13, L7, 29, 37, 4.c, erc. Omnis nu-
merus primus qui unitate superat ternarii mulciplicem ele compolitus ex quadrato
et iriplo alcerius quadrati, tales Lune 7, 23, 29, 31, 37, 43, dec. Omnis numerus
primus qui vel unicate vel cernario superac octonarii mulciplicem, componitur ex
quadrato ec duplo alcerius quadrari, tales TUNE 3, 1L, 17, F9, 4. 1, 43, 8c,
Sed e praecedentem Bacheri propolitionem generalirer olim Domino de soint
Croise propoluimus, ejusque demonstrationem non ignoramus.
Omnis numerus inceger rel est criansulus, vet ex duobus, aut cribus iciansulis
compotts.
Flt quadratus vel ex duobus, tribus, auc quacuor quadratis compotics.
24949
1650.
Paris X9 Zune

## Folio 858 — 851708439:0882
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000882.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 58 lines, status machine
C. O M M R R C L U M
Est pentaxonus vel ex duobus, cribus, guacuor, auc quinque penragonis com-
DoticuS.
Est hexagonus vel ex duobus, iribus, quacuor, quinque vel fex tenneonis com-
PolicuS.
Ec sic uniformi in intinicum enunciatione.
Hlaec omnia ee alia intinica quae ad numeros incepros spectane, quaque d nobis
e invenca d generalicer dehonllraca sune, pollemus de proponcre rieis ClaristImIs,
et proxonendo negocium salcem aliquod ipsis taccstere. Sed ingenuicarem Galli-
eam lapiene maxis proxolicioncs ali quoc quarum demonstrationem a nobis cgnorari
non disticemur, licet de earum rericate nobis conster. Meminimus Archimedom
non dedignacum propolicionibus Cononis, veris quidem, sed camen indemonstratis,
ulcimam manum imponere, carumque rericacem demonttracionibus Iis lubcilisti
mis contirmare. Cur ivicur Tumile auxilium a viris Claciltimis non expectem, C0.
non scilicet Callieus ab Archimedibus AnCIIS d
P. Porestates omnes numeri 2, quarum exponences sunc cermini proprectionis
Geomecrica ejusdem numeri 2, unicace auctae lunc numeri primi.
Exponacur progrestio Gieomerriea 2. cum luis exponencibus.
2 4 8 26 32 64 128256.
Primus cerminus Z. auetus unicare tacie 3. qui est numerus primus. Secundus
TerMINUS q. auctus unicare taCIt 5. qui elL PATICEE NUMErUS PPIIUS. GUATEUS LCF-
minus 26 auctus unicace tacic x7 numerum primum. Octarus cerminus 256. auctus
unicace tacic 257. numerum primum. Sume generalicer omnes potlta Cs 2. qua-
rum exponences sunc numeri progrectionis, idem accidlec. Nam li lumas cmele de-
cimum sexcum terminum qui elt65536. ille auctus UnICaTC FaCICI 65537. BLIICrUI
primum. Hoc pacto pocelt dari de allignari nullo neGOLIO NUETUS pEimUS caco quo-
Cunque numero major. Ouaricur demonstracio illius propolicionis, pulchra lane
sed ee veriltima, cujus ope, uc jam diximus, problema alias difticillimum lolvi Ita-
eim pocelt. Dam quoris numero invenire numerum primum daco nUmerO m2-
Jorem. Hlujus claris beneticio reserabune Forcalle Viri Claristimi mylterium omne
de numeris primis, hoc est Daco numero quoris invenire via brevissima et facilli.
ma an lic peimus vel compoticus.
2. Deinde. Duplum cujustibet numeri primi unicace minoris quam mulciplex
octonarii, componitur ex cribus quadracis. Llto quilibee nUmCrUS primUS unIaLE
minor quam octonarii mulciplex, (uc Tunc Z, 23, 31, 47, dec.) eorum duplum ut
24, 46, 62, 94 componicur ex cribus quadracs. Propolicionem illam veram alle-
rimus, sed cononis modo nondum aur allerene aur demonttrance Aichi.
medc.
2. Si duo numeri primi desinentes auc in 3. auc in 7. de quaternarii mulciplicem
ternario superances inter le dueaneur. Produetum componitur ex quadraco e
quincuplo alcerius quadraci. Tales Tunc numeri 3, 2, 23, 43, 47, 67, _c. Sime
duos ex illis exempli sracia 7. e 23. quod sub iis HC XSF. COMPOHCTIE ex qua-
draco ee quineaplo alcerius quadrari; nam 8F. quadracus de quincuplum 16. aquan-
Tur 26T. Id verum allerimus generaliter, ee demonttracionem cancum expectamus.
Singutorum aurem ex ipsis quadraci componuncur ex quadcaco ee quincuplo alcerius
quadrari, quod ee demonstrandum proponitur.
Sed ne demonttracionibus nimium corcaste decste videamur, sequentem PrOpO.
licionem ee alterimus ee poltumus demonstrare.
Nullus numerus criangulus praecer unicacem aequatur numero quaceaco qua.
deaco.
Sune criangulI UE NOrUNE Omnes, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, dec. Nullus om-
nino tacta in intinicum proecellione praecec solam unicaiem exic quadraco qua
Ne aucem ad numeros incestes deticience Geometria videamur contueille, ett
aliguot propositiones Geometricas, qua Angliam invisere non crubescenc. Priores
duas ex rellicuca 2 nobis poal Enclideorum Geomerria excerp(.
Este
dratus.
MU.

## Folio 859 — 851708439:0883
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000883.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
E, P F S F OL L C. 1
Eso semicirculus ANB supex diaetTO AB.
bisecetur in N semicircumferentia AN B, e jun
ctis N A, NB, 3 punctis A e B, exCIentuE per
Dendiculares AD, BC. iptis AH, NB, aequales
Sumpro quoliber in lemicircumteren (punclo
UEE; junctis rectis DF, P. C, occurrencibus dia
mecro ip punctis Oet V. aio, Duo quadraca AV.
BO, simus sumpra, esse in omni catus aequalia qua
drato diametri A B.
Genoralius in tractatu nostro hoc problema aut
cheorema proponebamus, sed in prxlens specialet
hoc fusticit. ou
Eco paratiole quaeris ANFC, in qua sumantu
duo quaelibet puncta A e B, et chameter qua
vis MNI; Cumatur quodcunque aliud punctum
in parabole ut Cn a quo ad puncta, A ee B, jun
santur rectae diametrum secantes. In eadem lem-
per ratione lecabitur diameter. Nam sumpro alio
quoris puncto D, erit N O ad OV, uc M I ad IN.
Et semper similes abscissae a diametro, in eadem
crune ratione.
Haec d nobis et in   deou
qua apobaius pro cheoremate Frulti Conses 
FIMUS.
Sed e quae nondum ex omni parre completa sume, tentanca Anelis PFOPONCrE
non dubitamus.
Datis punctis rectis aut circulis, inrenire Parabolem quae per data puncta cran.
Peat, e daras rectas aur circulos contingat.
Dari autem quatuor ex iltis sufficit. Exempli gratia datis duobus punctis recta
Se circulo, inrenire Parabolem quae per dara puncta transear et rectam circulumque
datos continsat. Onde emersunt i5 problemata.
In EIlipsi auc Fyperbola idem proxonatur. Sed co calu debent dari quinque
aur puncta aur rectae aut circuli, aui quaedam ex istis numero quinque, et inde
emersunt 2T problemata.
Nos olim in cractatu de Contactibus sphaerieis Tiumilia in Sphaera ex pedirimus. EF
tandem telieirer problema sequens construximus.
Datis quatuor sphaeris, invenire quarcam quae quatuor datas contingat. Fracta.
tum intesrum penes Dominum de Carcavi invenies.
Monemus tancum Viros Claristimos, ut sepolutis tantisper Speciebus AnalyseOS
problemata Creometrica via Euclideana _ Apoloniana EXEQUANtI, nC PCreat pau-
lacim clesantia e construendi ee demonstrandi, cui praecipue operam dedissé Ve-
reres innuum laris d Dara Fuchais, et alii a Pappo enumerari Analy (eos libri: quos
omni ex parte jam olim supplerimus dum opccibus Vietae, Chetalai, Snellii, Tra-
cacus noltros de locis planis, de locis solicis ee linearibus, de locis ad superfiiem,
e de porisinasibus adjccimus: quos omnes haber dictus Dominus de Carcavi.
E PISFOL A XL VII
D. JoB. W altis ad D. Vicecom. Broumcker.
Elustrissime Domine,
Dorquam praecedentes liceras (44) abiolverat prelum, de caeperant cruls ar
accevi hodie, a Te cronsmistas, Mlustristimi Equiris Disbai liceras, Funri 29
dacas, (Fp. 45.) una cum inclusis D. de Fermat. P Epist. 46.) Ouas aurem me-
mOrat 25 Mau datas periisse aurumo, (ex liquid secum Ferebant) ad me Palrem Ha-
etenus non perrenerunt. Jurs autem jam accepi, proprer elesantes non paucas
Fermatii propotitiones, et le dignas, prelo stacim acque accepi subjeci, ut reliquis
299942
APPen.

## Folio 860 — 851708439:0884
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000884.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 24 lines, status machine
C O M N B R C FCU M EC.
Appendicis loco subjiciantur; in iis saltem exemplaribus quae nondum distratiun.
cur: Tum uc canci ingenii specimina ec Summo Viro diona publice innocescane, cum
ut aliimecum a Clarissimo Viro exigane qua publica luce digna apud se haclenus
premic. Cum enim summum cum in hisce rebus Virum esse abunde constet, acque
in quaestionibus numerolis quas plerique hactenus neolexerune peculiarem impen-
disle operam, aliaque insuper mulca in Geomerrieis mira subcilicare investixalle;
non permicrendum esse ridetur uc ea sibi Coli Cuisque recinene omnia, qua liceraro
orhitore pergracillima non erie dubicandum. Oua in re cum Doinacionem ve
stram d me neuriquam dillencire contido, cum nec in reddendis praciis pro ca
qua nos humanitace accepie, acque est dignacus elogio, quale ee libi vieiltim lu
bences rependimus. Responsum aucem ad haec vel omiitendum plane erie, vel lalcem
difterendum; cum jam rix perlegendi copia decur ancequam mandeneur prelo,
unde jam praecedencia crepserune. Oux jam ipse exeguueus cst, non erie necelle
uc nos actum agendo icerum inguiramus; ubi adhuo haeree, li opera nostra sibi
usui este polliu non hanc prarabimur impercire. Aeque haec quidem ubi caprim
dixerim, id falcem Superelt, uc me proticcar,
Mlustrissime Domine,
Oxomi fuli 3.
1656. al. vel.
doservantissimum Lucy atque
Obsequencissimum,
7OH. W AZEZS
50

## Folio  -  — 851708439:0885
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000885.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 8 lines, status machine
PRTGONOMETETA
F A N A F T S P H A R I C A,
S F V F  e
Methodus supputandi Ansulos et Latera
Trianculorum in Superficie Plana aut
Spharica existentium.
Succincte Pradita et Demonctrata.
cclete seel. liclast eitil L

## Folio  -  — 851708439:0886
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000886.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 24 lines, status machine
Riconometria in rebus humanis urilitas ex eo paret, quod huie innitaneur
Astronomia s Vausica e LToroeraphia, e quond oasus plurimos Ma-
Thesis reliqua. Omnes enim Fieura Rectilineae constant ex Frianculis, es
in iis requisita quaeque per numeros mullo certius quam per linearum ductum in-
vesticantur. De Priconometria Libri extant, fateor, non pauci: Sed ex bis ali-
qui nimia coxia eyronem obruunt, alii difficili brevitace diserueiant: vix quen
quam reperi, qui Theoremata praecipua omnia extribet. Thinc placuit pauca de
penu meo adjicere,  ex Friconomerris qua mibi visa sunt ucilissima selieere,
atque Vovis Demonstracionibus, ubi potiores ance tradisis menti obvenerunt, mu-
nirc. Tost quam autem Opusculum hoc primo edicum fuerat, Schediasinata ali-
quot ad metransinisis D. Thomas Baher Deronienlis, per literas mihi antea notus,
quibus summatum expenis ZBeoremata quae dam hue socctancia, quae a muliis an-
nis excoeitarat. Sex his Propesitiones paucas decerpias, sed ad meam methodum
reductas Trisonometria Spharicae subjunxi. Verum ne Auctori jam mortuo,
Geometrae e Meebristae subcitissimo, parum aequus viderer: Tractuculum ipsum
in Jucem nunc emisissem: si non sees foret fusiorem Tractutum, cujus solum Spe-
cimen penes me est, e caetera ejus MISS Mathermalica aliquando obrinendi. Sed
ex isto Specimine liqueat, quam non crita via Triconometriam excoluerit. Duum
in eo videre sit Harmontam Prisonomecria Plana e Sphaerlex, e Invenconem
duorum limul in Friangulis Sphaericis Rectangulis Ouclicorum, de Proporriones
duas, guarum vel Demonstrationem dedisse tancae lavdis fuit Cavallerio e Ouph.
eredo: Sed e fontes reclusos, unde ea alque alia plurima derivantur, e per
Aquationes AlBebricas, vix ulla ad Spharam dissicili (quod solet) attentione e
respectu demonstrantur. Vale.

## Folio 863 — 851708439:0887
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000887.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
R A. F F. R Symbola R. S. Z. s. 0. P. 7. V. v. denotania Radtium, Sinum,
Colinum, Sccanem, Colccantem, Lansentem, Corangenren sn ver-
Tum Arcus, ejusque Supplementi; atque rulso recepta illa (f = i X
 acibeneur etiam in Lcaelatu lequente.
Symbola notancia.
2. E. quiangula este.
L. Friangulum.
T.
Perpendiculare.
II. Parallela.
L.L.Lu. Angulum, AngulOS.
1. Angulum Rectum.
ZCF. Summam Crurum.
XCr. Differentiam CrurUM.
ZL. L. Summam Angulorum.
XCl.. Diterentiam Angulorum.
Chorda vel Subcenta est recta linea connectens ArCuS extremicates. OEAC est
Chorda Arcuum ABC, ADC.
Sinus Rectus qui etiam dicicur simpliciter Sinus, est perpendicularis ab uno Ar-
cus termino ad Diametrum per alterum Arcus cerminum ductam: vel est semistis
Chordae dupli ArcuS. Sic A F. est Sinus Rectus Arcuum AB, AD.
Radius vel Sinus gradtuum 90, dicitur Sinus Focus, ee est Sinuum omnium maxi-
mus: nam Sinus Arcus majoris Onadrante est minor Radio.
Sinus Vertus (Antiguis Sagitta) est pars Radii inter Arcum eo Sinum Rectum.
OE L B ost Sinus Vertus ArcuS AB, _C F D ArCUS AD.
Secans Arcus est linea recta ducta a CenErO per unum Areus terminum alque 24
Tangentem, h. c. rectam quae Fansie Circulum in extremo propiore Diametri per
alierum Areus terminum ductae; lic FM est SecanS, et BM Tansens Arcuum
AB, AD.
Disterentia Arcus d Ouadrante (sire excedar, sire deticiat) dicitur Comple-
mentum. G A est Complementum Arcuum A B, AD; _ FI A ele Complemenu si-
nuS, CP est Complementi Pansens. FP est Complemenei Secaris. Anelis I a di
citur Colinus ArCuS AB, CI Coransens, FI ColeCanS.
Disterentia Arcus a Semicirculo dicitur Supplementum.
Dars Raci inter Centrum ec Sinum Rectum est equalis Cosinui PP L EA.
Pariter FO est Colinus ArCUS DB.
MInOE
UE FB FH A eAt = FD.
 Cot et aqualis Siui Verlo:
Canonis Sinuum Pansentium e Secanrium Constructio.
Rianenti partes TUNES, nempE 3 Latera e 3 Angudi. Flarum tribus quibusvis
dacis praeter 3 Priansuli Plani Angulos, reliquae ires portunt crui; Si Radio
in quorris parces aequales diriso habeatur numerus parcium in Chordas Sinu, Pan-
vente, e Secance Arcus cujulris daci. Prolemaus eum Antiguis Diamereum Lux.
posie dirilam in partes T20; quem numerum propter multas ejus parres Asigno
ias clegit. Duoniam vero Subtenlee plurimae non potuerunt numeris sic exprimi
nisi tractis vel Curdis, qui in operacionibus multum cxedii afferunt: Recentiores Dig.
merrum diridunt in mulco plures partes, quo tractiones chordis achaerentes curius
neeliganeur. Resiomontanas, aliique tere omnes, ox quo Saraceni pro Antiguorum
Chorcio

## Folio 864 — 851708439:0888
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000888.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
864
IRLGONOMETRTA PLANA.
Codiais Tublcetn Marum semisses seu Sinus, diriau Laa 1 Palles 100
_c. adjectis quocet eitis; Suod reddic calentum mulo Lacittore pel aelto.
nes Decimales lelo Sexasctimalium inde orcas, de ex eo quoa eritatur Diritio, s
Racius sic primus in Reguta Zrium cerminus; vel mulciplicacio, E lic secundus vel
Tertius.
pernico. Calculus Sinuum de Lansencium cradicur d Rbesico, Clavio, Pitisco, Ces-
brando, Cavallerio et Snellio: nituirum en fere quae sequicur mechodo.
Modus calculandi Subcensas traditur d Pcolemaeo Reciomontano RheticO, de C0-
9. 
2. Daco Areus Sinu AE, invenire Co Finum H A.
EAg = AFG F FRg. ErBOV: F Ag- AFg: =FF = HI A. 1. C. V: R9
2. Daco Arcus Sinu A C, invenire B N Sinum dimidii AFCUS.
HTabecE PE (per Y,) adeoque BB. Tum V: AF g + F. Bg: = AB. _ ; AB
BN. 1. C. EV: 59 + V g: =-53 ArC.
3. Daco Accus Sinu BH, inreaire A F. Sinum dupli AreUS.
HabetuIE (DeC +) Co sinus FN, dc cum a F BNHC ZA ABF, eric FB. FN::
AB. A F. 1. C, R. 2. :: 25. S accus dupli.
4. Dacis SinibuS BO, x P, duorum Arcuum BB, x B, invenire xe Sinum Summa
Arcuum.
Habeneur (per E) CO sinuS FO, FP. Sed FB. FP:: BO. Pr. DC ( propter
AYEXZAFOFZANDFZAOBF) FBFO: xP. xy. Ereo cognolcencur Pi
Xy. ded Pr + x y = x P. h. C. Si denur C, C, SinuS Z Arcuum, et eorum C0 sinuS
F, 3: Sinus summx areuum eric =
CrncF
.: Paricer Sinus ditterenciae Accuum erie
5. Sit a L areus 30 praduum, de a B quilibur areus = aY, ee ab = aB; du.
eancur Sinus Bco, BK, Bd de chorda bB, de Raciusa F secans BB in e, ee bK in f.
ErBO L BbC = LBFe = L. L. F a = 30. FrBOBC = : bB = eB. ErGO 38b9 =
bcq. EreosBXY3 =b0; e Ba + eBX V 3 =- bd, hioc M, SInUS arCUS InOTIS
30 adduo linu detectus ducto in V3 (nempe 1. 732050807) cL aequalis SinuI
areus cancum 30 gradus superancis, quancum alcer detieie. Errso s invenci fuerine
Sinus usque ae 303, dabuncur reliqui ulque ad 60 per addicionem ee musciplica,
tionem in V3.
6. Propter ch = b8, eric rB F b8 =K B, host est, Sinus areus minoris 60BFa.
dibus, addico linu defectus, tacit sinum arcuscancundem 5o pradus excedencis.
Ereo

## Folio 865 — 851708439:0889
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000889.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
TRTGONOMETELA PBANA.
Ergo postquam supputaci tuerinc Sinus omnes usque ad 60, dabuneur reliqui uf.
que 2d 90 per Lolam additionem. C. 3. 5570 53 ==563.
Racius cll. = chorda 60. ergo :I = 530, et (per 2) dancur Sinus semiltium
250. 77 30. 3345. 2752730 56,25. 28, 7,30 24, 3745
17 X9521
30. 3, 30750925. 2, 457 28 77 30. 52744333 45. Adeo UE
duodecima diritione perreniamus ad Sinus qui eandem habene rarionem ac areUS.
Sinus enim penulcimus elt ultimi duplus senlibilicer; nempe poluo Radio parcium
2.00000,00000, ne una iplarum detieie Sinus penustimus a duplo ulcimi. Sed
280OX L= 30 = 2048+52,44337 45. Ergo 1800. 2048:: arc 527443
8 45. arc L:: 552744, 3345
ST.
Invento Sinu unIuS minuti, quaeraTuT (per 3) SinuS 2 minutorum; cum (ver 4)
Sinus irium; Scc. ulque ad 30. Gradus; cum (Per 5) usque ad 60. Tum (per 6) usque
2d90.
Piera ee Cellibrandus quaerunt Sinus per Sectionum angularium AnalyFin: cu-
jus loco Pitiscus e Alii quibus Agebra nOn erat aque expedica, actribent Re-
culam P’alsi.
Daris Sinibus, inveniuntur Fangentes de Secantes sic. FF. PB:: F. A. BM. ee
FF. F B:: F A. P M. _BM. BH:: F G. GI. 1. C. Z. R:: S. P, _Z. R:: R. s. _ T.
R: : R. 7. vel permutando FF.. P A:: FB. BM:: FCE. BM:: GI. VB:: VI. PM.
2. c. 2. S:: R. F:: T. R::0. s.
T. F. M M A. T.
ZVR = S9Z ArO = 3S, ArCX IZ ArC.
2. EB. BN:: AB. FB:: (= AB) BN. SFB. 1. C. Y. 52 ArC:: 53 Ac. L R. Er5O
EVR = 59: Arc.
20. Z A L. BN:: AF. AB:: BN. BA. CrBO E A ExBa =BN 9, 1. C. 3S ArC Y Y
2 AC = 592 AC.
L F. M M A TI.
=RV = 2.93  = 2S SICXT: ArC. Nam Z F D. F N:: F D. AD:: FN. FB.
ErGOZEDKEB = F NG. 2. F6. GZ:: AE. E.D. ErBOZ AFKGZ =3F. D
XF CF = F Vg.
L. F M M A IIT.
Fangentes 2 Arcuum A, B, sun suis Co. tangencibus reciproe provorrionales.
Nam L, A. R:: R. 7, A. _ T, B. R:: R. 5B. ErBOT, AXT, A = RXR = F, Bx
7, B. F18OF, A. Y, B:: 7, B. T, A.
L F. M M A IV.
Co. linus 2 Arcuum A, B sunc Secantibus reciproce proporrionales. NIam L. A. R::
R. s, A. _ Z, B. R:: R. SB. Rr8O Z A. Zy B:: s, B. Sy A.
Provorciones Prixonometrix cum Plana cum Splixriex resolvi Colent in quatuor
Axiomata seu Theoremata primaria.
avioma Primum.
In Friangulo Rectanoulo, E crus unum anguli Recti Fiat Radiue Circuli, Fs.
potenula exu Secansansuli adjacentis, ec crus alterum Pangens. Sin Fypocenula
tiat Radius, crura erunt Sinus ansulorum oppolitorum. V. 8. E AB sC Ractius,
AF. est Sccans angiili A, e B P. Fansens. Sin A F. Sic Racius, BF est Sinus anguli A,
e AB Sinus anguli F.
Deinde suppono duas quasris lineas in parribus Canonis numeratas, este sibi
proporcionales in alia quaris mensura aestimaris. C. 8. uc A. B Radius Parcium
700000, ad B P. Fansencem Anguli A (seu 30) partium 57735:: sic pedtum in A B
nuMCrS 273, 2d 523 Dedes in B L. FerC.
Ovecationum per Secantes mentionem rix feci, quia in cabulis Logaricmicis
PaTO OCCUTruNE: quas tamen E admililsem, proportiones Prisonometrix Planx e
Sphaerica magno numero possene rariari, quod praeltirie Clarius. Sed mihi sut,
ficie proportiones singulis calibus pociltimas extribuilse, quales luns quae Radium
habene in loco primo: e in hunc tinems secances semet alque verum induxi.
R PXFPF
In

## Folio 866 — 851708439:0890
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000890.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
866
IRIGONOMETETA
L+
In Triangulo Rectaneulo, angulorum Acucorum unus est Complemencum alceri.
us: ideoque daco uno dacur de alcer. Pc in Priangulo obliquangulo dacis 2 angu-
lis, vel duorum lumma, dacur cercius nempe reliduus summa ad 180.
Frianculi rectanculi casus sextem.
Data jguae Tica,
provorciones
AB. CG BF R. AB: : P, A. BF
AB. LE AF S, C. AB:
2
vel R. AB:: s, A. AI
AB. AE CE AB. R:: AB. S, F
AB. AF BF
AF. R:: AB. S, F.
R. T, A:: AB. BP
vel. V: AF F AB. ZKI
AB BF: : R F, A
AB. BK AE AB. BE:: R, P, A.
S, A. R:: BH. A F.
AC. L4 AB R. S, C:: AP. AB
axioma Sccundum.
In Friangulio univetuts lacela lunc proportionalia sinibus angulorum oppolico.
e A E. R:: BF. S, A. 5 =B L. AL:: dy A. 3, D. vel OL. S, A:: AC. 5, C.
rum. Nam demilta perpendiculari.
pac. pul.
OL. R:: BF. S, O.
Friangulorum Obliquaneutorum cafus 6.
2l. L0P1L0P.
DE. AF. A (OIOF. S, A:: AL. 5, O.
ElIC vero ex operatione non constabit an angulus
quaticus sic acucus vel obcutus: cum areui de ipsi.
us supplemenco sic idem Sinus. Species itaque an-
veltiganda.
lEricque S,O. AL. D, L. AO.
A. O. AF IOEIS, O. AR.: S, A. OF
guli ex daca aliqua ecasctonis circumltanca elt in-
DE. A AEIAOIOE S, A: AE. S, O. Tumcoenuis O e A copnoscetur LeriIS LP.
L. L
 Goe shoc
Axioma Tercium.
Dacisangulo CBB, de crurum eB, BD LoCacictimis, invenire reliquos ansu.
losC, D. Qui calus est perpenus in caleulo loci Planeta.
Dem: Suipca BH = BC, de HF == s HD, erIEBF = 3 Z CY, dCCD = 3 X C1. de
LBCH = = LLC _ LACD = =ZCL. Per A medium rectae CH ducacIEBC.
Tum penco C A radio, B A est PangenS LBL A, de AC Cl FanvenSL ACG. Sed
AE ett H ~D. eBOBR. C D:: BA. A6. 1. C. 3C1. 3461:: L3 Cla. 3ALL.
Le
Oi
vel ZCF. KC1.. 1

## Folio 867 — 851708439:0891
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000891.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
L R LGONOMEPELA CPLANA.
TTF erns inus B C ad CrIIS MajuS BD. HC RadiuS ad l’angentem arCuS; 2 910
subduetis sradtibus 45: tiac uc Radius ad Pansentem Areus reliqui, Sic Pansens
Semi summa ansulorum C, D, ad Fangencem corum semi ditterentia.
Fig. f
KF::) R. TLKTF. Unde ablato Semr recto L. RIII, scMaL LHIE = LIF. L.
Deinde R. PLTF F:: (EF. FL:: BF. LH::BC. L.H::)(per praeced. PLL. LL.
TEXLL.
B. BC. BD) C. D)BD + BC. BD BC:: L,5 cliL. op. L,.  LLOp. LUM Z L. L L = Z dilata =
1. C. L. 2Cr 2 L majori LBCD.
Iminori LBDC.
B. BC. BD) CD) Ouaerancur ansuli religui C, D, per praeced. Tum SLD. BC::
L. 2CY
1 IScB. CD.
Avioma Quartum.
In Friangulo quoris CBD demista B F. perpendiculari ad basin C. D, crit pF B,
sis C. D ad C E Summam crurum, Sic C F difterentia crurum, ad C. HI disferentiam
Segmentorum BalS.
Dem: SieBR = EBC, erGO RF = =BD. Sit R L. F _ =BK; innee 1B, II,
TE. ergo HT T BI. Ducatur K. F II HII. FrGOF F =BF. Tum BC. BD:: (RI.
BC. BD. CD) CD. CB F BD: : CD =BD. CH. tamZ CD F ZCH =CF. C
31
=CD -= ZCH = FD. Deinde CB. R:: CF. 29 . e BD. R:: F. D, Z,D.
Solucio ulcima L ractionibus Exepe implicatur: Verum tacilsus expedietur opera-
tio in Logarichmis per 4 Subjecta Theorema.
ta. Pro quorum Analyli d Demonstratione,
supponantur Ansuli qualiti Crura MI, N, BasIS
B, Seomenta balis tacta d perpendiculari P
quasico Angulo oppolica (int A, N e A nimi-
rum pront cadit intra vel extra Priangulum.
Sit Z =N f N. X -=MI e N. Z = Semi Cum.
MX 3 laterII. PUI MIMI - AA =PP =BB
MMT FNN- BB
NN -AA F 2N A. F 180
ErgOR. Z. Anguli:: M.
=:: 2BIN. MM + NN - BB. ERBOZNN.
RFEEK 2
(att

## Folio 868 — 851708439:0892
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000892.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
LRTGONOMETRTA SPHRRICA.
BB
RV
(ZMN LMM L NN = BB = D BB -XK:: R. R L Z. = p:: 3 RR. ERV = (por
temma ) 53: anguli. FrBO 4 M N. R9: : Z. 2. =BB. 2. 93 MB.: : BB - X X.
543 An8. PIZZ -BB. BB = XX:: 2.93 An8. 59  Ans: : R g. F93 AB: : 7 93
AB. Rg. KFGO
2. 4MN. Z = B: X: Z - B:: R9. Z.9= AnC. vel M N, 3x: 3 - B:: R9. 29 AC.
2. 4M N. B f X: X: B - X:: K9. 593 Ane. vel MH. 3 M: X: 2 N:: RG.
593 AB
3. Z. F B: x: Z - B. B + Z: X: B = X:: Rg. F93 A8. Vel 3X: Z -B. 3- H:
X: 3 - N:: Rg. T93 Ane
4. B + X: X: B- X. Z + B: X: Z - B:: R9. 793 AnC. velZ - M: X: 3 -N.
3X: 3 - B:: R g. 793 AnB
CorOH: PEOPICE ZZ - X X = 4MN, si dencur Ansulus de iplius balis acque
Summa vel ditterencia crurum: invemietur per haec Theoremaca quadracum ditte-
rencix vel summae: adeoque cognicis summa ee ditterentia, cognolcencur ipta
Cruca.
Si quis loco cabularum operari velic Instrumento Proportionis Calilaea
no (quod Vostracibus Sector dicitur,) vel Giunteri Linea Locarichmica: re
Solracur Theorema primum 2m n. Bb = x x:: R. V in proporiiones has duas
7
B F X. 2N:: M. 112
vel in has 2 HI. V f X.: R V 5
1
S PHI A R IC A.
TRianeulum Sphaericum est quod consticuitur incer 3 Aicus circulorum in
SpHaCA MAXIMIOTUM.
Angulus Sphaericus est mucua Inclinatio Planorum circulorum Aneu.
lum constimencium.
Affectiones Frianeulorum Sphaericorum.
2. Si Circulus in Circulum urcunque cadac, Anguli Deinceps potici sune aqua
les duobus rectis.
2. Si Circulus Circulum secec, Anousi ad vercicem sunc aequales incer sC.
3. Major Angulus in Priangulo majori laceri opponitur.
4. Tlolcelis Frianguli qui ad batin tunc anguli, incer se Cune aequales; de vicistim
S Prianguli duo anguli aequales incer se tuerime oppolica eis lacera erune aequalia.
5. Friangula mucuo AEquilarera Tunc ee mucuo Aiquiangula.
6. Si 2 Friangula habuetinc2 lacera e Angulum comprehentum respective x
qualia: Crune Priangula quond reliquas parces (nempe reliquos Angulos de cerrium
lacus) inricem aqualla.
lia: erune ee reliqua lacera de angulus in Priangulis invicem aequalia.
6. Ommis Frianguli a qua ris lacera certio Tune majora. Nlam Areus circul
maximi est breristimum incer 2 puncta spacium in Sphaerae
Superticie; uc linea recta in plano.
9. Omne lacus Frianguli Sphaeciei est minus Semicirculo.
Puca DB est minus Semicirculo DBC.
20. Anguli ad SCMICITCHIOEM ExErEMA OppOTICi, TunC in.
ter (C aequales (D ==C): quippe iiidem planis consticue.
TT. Si crurum anguli cujulris in Priangulo summa sic major aequalis vel minoe
Semicirculo: angulus ad balem incernus eric respective major aequalis vel minor
angulo externe oppolico: Adeoque angulorum duorum ad balem incernorum sum-
ma et major aequalis vel minor 2 Rcctis. Dem: S1 DB + Ba lu = = =DBC,
erit
+
608
f21. B F R.. B.
N. C:: R. V
2. st 2 Friangula cios angulos de lacus sillesscelm habuerine respectire aqua-

## Folio 869 — 851708439:0893
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000893.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 61 lines, status machine
PRTGONOMETRTA SPMLLLA.
eric BA = =- = BC, ideoque L (C) D = = -- L B AC, _ L. D F L. D AB = -
(h B AC F D AB =
2
Coroll. Si crus Triansuli IPoscelis sic = = = Ouadrance; erir angulus ad
balem = - - -
+2. Omnis Frianguli lacerum summa est circulo minor. Nam B A = BC f AC.
Froo DB L D A f BA -= DBC. F DAC.
23. Anguli Sphaerici mentura elt Circuli Arcus, inter crura de lexiptus a vertice
ansuli uc volo, et incerrallo gractuum 90.
24. Priansuli CEID laterum poli n x m
conlticuunt Priangulum quod respectu AGTID
appelletur Supplementale; propterea quod Sup.
plementa ansulorum et lacerum Prianguli
CHID sunc aqualia laceribus et ansulis Pri-
anguli NYX N.
Dem. A punctis CFTD canquam polis de.
seribantur 3 Circuli maximi Z AY, R PM N,
XBNZ; Tum YM == 90 = AX; PFODICE
AC poluM arCUS FIGT, e Z, F, PolOS aECUS
GA. ErSO MX = = AY = Supplemento ar-
cuS CA = Suppl. L HCD. Sic Z N est 90
=BX. ErgO NX =BZ = SuppI. (arCuS
BF =) LHID C. Item N P elt 90 =M R.
ErGONM = F R = Suppl. L. DTIC.
Nocandum hic, aN FM inter 3 POlOS proxiores ConIMuM, ConCtarC, CX 3
ansulis de lateribus qua sunt aequalia respectire laceribus ee angulis a GTTD ex
cepto latere maximo NIM quod est Supplemencum L maximi LI; de L F. elt
Cuppl. lateris maximi D.
F5. Frianculi cujulris cres anguli TunC = 2 1 8 -6 1. Nam NX F ZM
F NML = 4 - (PeT 12.) 2. c. 2 - -D, + 2 1 - 6, +2 1 - H = 4 -. LXBC
2 1 =D, +G, F TI. 2. Angulorum internorum limul ec externorum summa
elt = 6 -1. Eroo summa internorum est - 6 -1.
26. Frianguli angulus quilibet cum ditterentia reliquorum est =2-1. Nam
ZN ZM F MN. 2. C. 2 1 -D =2 - C, + 2  -TI. ErgoC F TID
27. Si 2 Friangula sine mutuo aequiangula, sunc eriam mutuo aequilatera. Sint
enim Friangula dara A, B, es Friangula iplis Supplementalia, a B. FrsO cum
AZB, erunc (per 24) an B, aequilatera FrSO (per 5) _ZB. ErgO (Pex 14)
A, B, sunt aequilatera.
18. Si circulorum maximorum areus diverti ducan-
tur ab eodem superticiei puncto in circulum dacum,
maximus areus is erir qui cransir per polum cireuli dati,
et huic propior major erit remotiore. Ut lic P polus
circuli C xD, et er polus circuli DP C, erir AD= AB
= AF = AC. e arcus B= C = BP = BD.
29. Circulus maximus per cireuli maximi polos du-
ctus, facit cum ipso ansulos Rectos: es vicererta l
circulus maximus (i circulo maximo perpendicularis
cransic per ipsius volos. L. PBD =- s -= P C D = P DB = x AC
20. Si ad Priansuli basem anguli sine similes B. P. Uterque aCutIS UE in AF. A F,
vel ucerque obculus ur in aB A C: perpendicularis a vertice A demisla cadet in
era Priangulum. Sin anguli ad basem sint dissimiles ut in AB AF L. B elt acu-
tuS (quippe L. P BF. est rectus,) e L. A est obtusis: perpendicularis cadit extra,
Ouineciam liquet ex eodem Schemate 9. quomodo Priansuli Rectanguli Am.
biguicaces Solrancur. Nimirum.
SO~ VF XO N F 5.
= Si prus anguli recti sIE = = d0: erit inidem angulus OppoLCuS = = 90.
Sic in ABDA, D A = arcu quadrantali D P, e L DB A est = IDBP. EF
in aBCA, LCBA est L sCBP, ut AC. = quadrancali areu PC.
RFPEY 3
2. LFOUE

## Folio 870 — 851708439:0894
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000894.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
2. TTone crura (e consequenter anguli oppole) sunc similia vel distimilia,
1
elt = 90. Sed in ABD A, hypocenula B A est = 90.
PRTGONOMETRLA SPHERICA.
hypocenula est =1
ansuli sunc similes. Sin hyporenula (ic = 90, crura Tunc dissimilia, ee anguli
distimiles.
quitur d X e 2.
5. Vicistim C crus sic simide. 
dictim. 
dissimile
Ouo melius ob oculos producantur Sinus de Cotinus, alixeque Rectae ad ArCUS
spectances, quae alias lacene intra Sphaerae Soliditarem demertae: COmpinGANEUIE AF.
cus vel semicirculi ex charta crastiore fere ad modum Sphaerae Armillaris. Sinc puca
Arcus BP, B A, et incelligacur Planum Areus majoris B P H circa axem BH co
=90. Sic in criangulis, ED A, P C A, hypocenula AF
3. Vice verta. Si hypocenula (ic = 00; crura lune similia, e bini obliqui
9. 10.
ulque converti, dum perpendicularis d P demicta ad planum B a FY incidat in ali-
quod punctum D Racii C A. Nam in co ticu eric L’AB Fean Spherieum
Deinde incelligatur PC A (Schematis 1Y) = PC A (Schemacis 1O;) de in eo
collocetur ica _ seta CalM COHBLHANE. DUCANEUE AK,
BP, LR, de c0
prima, de exinde Eloperciones pro variis Priangulo.
mecrarum methodo agaenuS procedam: incer plana
BPC, BAC lupCriOrIS SOHOI, SCacaCI Cta FI
Sura 12 Chartacca, eo  loco quem licerae indicant.
Rectangulum ad A, _ BP AypocenuIa, B A BaliS, P A Areus perpendieuLaTIS.
PF TBC: CrUNE AF, PF, PD, SinUS ArcuUm B A,
NUS R C, FC, DC. IIIS PIX
Sicis vel concepcis, illico constabune Axiomaca duo
rum Rectangulorum calibus absque novo Schemace vel
lacerum Proc aa. SEd BIE reCePEa FrIBONO.
Tum in Priangutis Acclatisulis Sphaericis PBA, _B a
eundem angulum acucum ad balem habencibus.
Aa L  Primum.
Fig. 12.
dinus lypocenularum Luns dumbus Perpendicularium proportionales. Ll.
C2OM A
PD:: XC. 25.

## Folio 871 — 851708439:0895
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000895.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
IRTGONOMETRTA SPHARLLA.
AX ZO M A Secundum.
Sinus Balium Lunc Fangencibus Perpendicularium proportionales. AF. AC::
C. a y
Sed Axiomata ista aeque explicentur ab (que Areu _a; d eorum harmonia cum
similibus in Frisonometria Plana Proportionibus pateat, ex Polo conspectu Frian-
sulorum Planorum FDP, E. AC, rectos ansulos D, A, habencium. viz.
L. PF. R:: PD. SL (PED = =) B. 1. c. S FIY.
Potenula. R:: S Perpendicularis. S L ad Basem.
2. AF. R:: ACF. TL (AF C =) B. 1. c. SBa-
FCoS. R:: F Perpendicularis. Y L. ad Balem.
Peo calibus 16 sequentibus, sit B AP Frian.
sulum Sphaericum Rectangulum, ee produeaneue
Latera, ita ut arcuS BMI, BH, AD, ND, PF,
PE, F. G, NC sinc linguli 90 graduum. Frgo
NVF elt = = BP; S complementum Lateris B A
CIE A NI = L ADMI; _C FF = LFPF = L BP A.
et ED = NM = L. B; et ans ulI adt A, BI, N, F, F,
recti.
Daca. squae, Trrangulorum Rectangulorum Pcoportiones, uma cum SC
lucionibus Ambiguitatum.
Ba. PA BF S, Da. S, A M: : 5, ∞P, S, PN C∞e aviom L.)1. c.
D
BA:: Z PA. 2, PB. 15ot. 2.
S, BML. S, BA:: Y, NN. Y, PA (per AV. 2) 1. C, R. S
IBA. PA P j:: T, B. T, PA:: (per temma 3.) 7, P A. 7B 1 Sot
BP. P
Vet R. S, P A:: 7, BA. 7, P.
B S, PF. S, PH:: Y, EF. T, ND (per AV. 2.) 1. e. R.
BP. B P l:: T, P. XBI 50l. 3.
vet R. ZBP:: P, B. 7P.
BP. P PA S, GF. S, CF:: T, F. N. T, FD. 2. C. R. Z,P:: Y, BL
BP. BBA L, P A.
vel R. ZyB:: T, BP. P, BA. ) Sol. 4.
Be P BA R. S, BP:: S, P. S, BA. (per Av. T.) 1 Sol. L. vel B
BP. B PA S, BP:: S, B. S, P A.
PA. P BP S, GL . S, OF:: Y, EN. T, VD:: ~ VD. T, EN. 2.C. R. =P 5. L ad
B1. B
:: = P A. = BP) Sol. 5. Pariter R. E, B:: FBA. FBP
eA. P B S, PF. S, PD:: S, FF. S, DN, 1.C. R. Z, P A:: 5, P.c.
BA. B P Z, B. ISol. E.
vet R. ZBA:: S, B. 29P.
BA. B ea S, BM. S, BA:: Y, MN. T, PA. I. c. R. S, BA:: T, B. 6.-
PA. P BA F, PA. 1 Sol. F.
vel R. S, P A:: T, P. T, BA.
ea. B BA R. Z, B:: (T, B. R: :) F, PA. S, BA. (per v. 2.) (Ambi5. c. Z op
BA. P PA vet R. 7, P:: T, B A. S, PA.
PA. B BP S, B. S, PA:: R. S, BP (AV. L.) IAmbis.
BA. P
vet S,P. SuB A:: R. S, BP.
PA. B P S, PD. S, PF:: S, DN. S, FF. 2. C. Z PA. R: : 2, B. S, F
BA. P B Ambie.
Vet ZBA. R:: Z, P, S, B.
Pa. BD P R. Z, BD: : (T, BP. R: : per cas. 4.) F, PA. Z, P 1 5ol. 4
BA. BP B Pariter R. 7, BP:: L, BA. Z, B.
PA. BP B S, BP. R:: S, P A. S, B. 1 Sol. 2.
BA BC P S, BP. R:: SuBA. S, P.
eA. BP BA =E, PA. R: : E, BP. Z.B A (per Cas. 1.) 1. Sol. 2.
BA. BD PA =. B A. R:: ZBP. Z9P A.
B. P BP R. FP:: (F, P. R:: per Cas. 3.) 2, B. ZG BD. (Sol. 2
B. P PA S, P. R:: =, B. =, P A. (per Cas. TL.) (Sol. 1.
BA(d, B. R.: Z, P. Z. BA.
Data. 1Gual. scal.
c. B

## Folio 872 — 851708439:0896
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000896.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
LRTGONOMETRTA SPHSERTCA.
Fig. 19.
Si Prianguli obliquangntI ZF P laclls quodris Z FI sit cir-
culi quadrans seu 90: redueatur ad a rectane e,
producendo lacus alcerum Z. P usque ad _ Tei 90, (vel qua-
e drancem decruncando Si lacus majus FuerIT.) Lum M SLLNB,
HIN est = LZ, et PN elt complemencu L~, d L. PHH
CA Compl. L Z IIV
Pem.
In Priangulis Obliquansutis detmilta Perpendiculari ad B2.
1 1.
Colinus Angulorum ad batem sunc Sinibus Angulorum ad vercicem directe pro.
porcionales. Nam per calum 2 1 a.
ZB. SEBP A:: Z P A. R:: ZyD. SDP A.
REGVL A 1I.
Cotinus Lacerum sune cotinibus batium directe proporcionales. Nam per
cal. 10.
E, BA. Z, BP:: (R. Z, PA: :) =, DA. Z, DP.
R F GV L A ITI
Sinns Batium Tangentibus angulorum ad Batem sunc reciproce proportionales.
Nam (per Aviom 2.)
S, BA. R:: Y, PA. T, B, _S, DA. R:: Y. PA. Y, D. E,BO
BBA. S, D A:: Y, D. Y, B.
R E GV L A IV.
Tangentes Lacerum cotinibus Angulorum ad Vercicem sunc reciproce pro.
portionales. Nam (per cas. 4. 1a.)
E, BP. T, PA:: R. E, BPA. _ T, DP. T, PA: : R, Z, DPA, F13O
C, BP. Y, DP. : Z. BPA. Z, BP A
A X ZO M A Tercium
In Triangulis Sphaericis univertis, Angulorum Sinus incer se sune, ut Sinus L2.
terum oppolicorum. Nam (per AV. L.)
S, BP. R: : S, PA. S, B7
et S, DP. R: : S, PA. SiD5. FsBO S, BP. S, DP:: S, D. S, B. vel (permutando)
S,BP, S, D:: S, DP. S, B.
Bac. I qu. sPropooto plo Lriangulorum obliquangus Dat.  qu. ) cal.
lorum calibus 12.
BP. VD. B D B, LB. 5, b. - 5, DC. 3,V. lssibie
B1. b. b1Pb(8, b. S, bl.: 3 B, d, lB. Ainbis.
Bc.
Casiro
111
V.
B1
Bb.
B0.
Be
BV.
eta
mi
num
de C
Sec
lB.
l
in 
Puca

## Folio 873 — 851708439:0897
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000897.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
PRTGONOMEFETA SPHARICA.
Catrs 8 Tublequentes Tolruntur, ducendo ab extremitate (P) Lateris dati cathenum
ansulo daco (B) oppotitam; cumque addendo vel Tubducendo baleos legmenca, et
Vercieis ansulos, pro diverto cacheri casu incra rel extra Priangulum.
BP. PD. B BD, R. Z, B:: F, BP. T, BA (per calum 4. + a). Demde 2l. L. 0
(Per RCG. 2.) Zy BP. ZyB A:: Zy DP. ZyDA.
Verum hic ambiguum est an cathetus cacat intra vel
exera Priangulum; nisi Species LD (B. C. UtrUM SIE
acutuS an obcusuS) aliunde cognoleatur.
BP. PD. B  R. Z, BP:: T, B. FBPA. (per casum 3. 1 2). Tum
(Per R2C9. 4.) T, DP. T, BF:: ZBP A. ZGDP
Hic etiam Cacheri calus est incertus, nisi cognoscatur
Species anguli D.
R. ZyBP:: T, B. TBPA. (per Ca5. 3. 1A.) EF (per
RCG. F.) 2,B. Sy BF A:: Z D. Su D P A. I Si B, D
Eine similes, Anoulorum BP A, DP A, Summa est
P: Iin secus, differentia est = P.
B1. B. D BD R. Z,B:: T, BP. F, BA (Per C45. 4. 11.) et (pe
RCg. 3.) T, D. T, B:: S, B A. S, D A. I Si B, D, linc
Timiles
distimiles B A + D A = BD.
B. P. BD D R. Z, BP:: T, B. ZBDA. (per C43. 3. LA.) Fum=
(PCF RCG. L.) S, BP A. Su DF A:: =, B. Z,D
aCutUS
ObtSuS
BP A SC = BPD, acque B obcusus: erit D aeutus.)
aCutIS
ACUELS
Sin BPA sIt = BPD, acque B obtulus; exit D obcusys
B. P. BP DP R. Z, BP:: Y, B. FBP A. (per Ca5. 3. -1 1.) Deine
(per RCG. 4.) Z, DP A. Zy BP A:: T, BP. T, D)
timilis
Si DP A sic diltmitis L B: erit D P. = 90.
BP. BD. B DP R. Z, B:: F, BP. T, BA (per Ca5, 4. 11.) _ (pC
RC8. 2.) EnBA. EyBP:: ZyD A. ZyDP.
Si DA si
similis, distimilis (P A vel) LB: erIE PD - = 00
BP. BD. B D R. Zy B:: T, BP. T, BA. (per Ca5. 4. -B.) tum
(Der RC8. 3.) S DA. S, BA:: L, B. F, D.
bc =, = BD: ecic D similis, dictimilis L. B.
E F. M M A V.
Sinuum verlorum 2 arcuum Ditterentis du-
Eta in = R, Cst =S semisumma arcuum XS SC.
midifferentix. Sinc enim arcus AF, AF, Si.
nuum verlorum disterentia est AG AFT == FB.
_ SZ X arcuum =FO, ec S =Z arcurim = AD.
SCd AACD ZAF E B. ErGOAC. AD:: F H.
FB. EYBOLAC RFB = ADXFO.
Si BA
BD. B. D, P
AX LO M A Duarcum.
Rectanoulum lub linibus crurum Anguli, eit ad quadcatus Ldd, ut duCle.
tia Sinuum Versorum Balis e difterentix crurum, ad Sinum Versum AngulI.
Puta enim  BETa Solidum chartaceum supra delexiprum, sicque B ansulus qua.
SFFF5
Tieus;

## Folio 874 — 851708439:0898
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000898.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
4
TRTOONOMEPETA SPHERTCA.
sicus; BA, BP (=BM) crura, P A ejusdem Batis urcunque obliqua (modo non
sic Delpenateltal 1o) platio Ba. Dcllatu ecla LPe, e 1) 16a td1b
e MF YCR. FrEO BL. = B A = L. A = V valis = V ditt er. Sed A F. AC:-
BL. CM. _ MF. aC:: RM. Ya. ErgO (proporcionis uriulque terminos homo-
10505 invicem mulciplicando) AF. 2 m F. AC na C:: (BL. XBM. Fm X y a::)
bL. ya.
C A505 XI.
Dacis cribus Frianguli Sphaeriei laceribus invenire Angulum.
D Sin er. R9:: 5: 3 bal. F Z XCr: X S: 3 baI. = = XCI: S93 Anguli.
Dem. A H X MM F. R9:: (per Axiom 4.) bL. Ya:: BL. X 3 R. Y a XF R, 1. C.
(per Lemma 5 e 1.):: S: Z bal. = h Xer: x5: 3 bal. = 3 Xer: 593 AB.
COROF L. A R ZV M. I.
Putam, n, Anguli crura, B basiS. Z. = m + n. X = n - m. 3 = 1 m + 3 n + 3 B.
Ereo D Sin cc. R9: : 5: 3 - m: X5: 3 - n. 59 3 ANS.
Eodem redeunt proportiones bina quibus ucitur Vaccus. Nempe, S, m. S: Z- 
: 5: 2 = n. A. de S, n. R:: A. Q. Tum RXG = 593 A1S.
COROLL ARZON I
Potito p = complemenco cruris m, Gunterus catum undecimum solric per
hanc simplicem proportionem. S, m. 8,n: : 2, B e S: p f. n. V Anguli. Nam
5n) RR (= 0 H. de VB _V: M = n. = Z. B ∞ =: 1 - n: = =B ∞ 3: p + n.
COROZL AR LV M 1II.
Seu Propolicio non absimilis Axiomati quarto.
D Sin er. Rg:: V Z0r = V baC. ~ Anguli. Nam Cumpeis icerum in manns
circulis CharcaCCIS, redueatur planum B P ad planum B A, ica uE constitmane cireu-
lum unieum, _ deMiCTaCuT PA Y AC. TUm BA = X A = BA. 1. c, V Z er = V
baF. Sed AL.. AC:: BR. BP.  m F. R:: BP. V ANGuH. ETBO APXIF. RG:5
(bAXBP. BP XV::) ba. v. Hine sequituT.
COROL L ARZV N IV.
D Sin Cr R9: : 5: 3Z er + 5 baC. XS: 3 Z0 = , baL.. Z. 9  AANG. NAM AF
LM F. Rg:: BR. V: : BA XSR. VX Z R. I. c. (Der Lemma 5 de 2.):: d: 3 Zer
+ 5 ba(. 25: 3Z0r = 3 bal. Z 93 An8. Hinc
COROL L A R ZV M V
33 M XS, H. R93: 8, 3X8: Z = B. 29 3 AB
EOROL
1
di
c
Un
le
lic
et
su
1
bre
l
l
a
1s
eut
v
lin
Bu

## Folio 875 — 851708439:0899
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000899.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
LRTGONOMETRTA SPHERTCA
COROLZARZON YI
(Per Corolb. 5 et T.) 5, 3X5: 3 -B, S: Z = M: X 5: Z = n:: (=. 9 Z An8.
59 2 A8. ::) Rg. F9E Ans. LIInC
COROZ Z A R ZV M VII.
5: 3 - m: X5: 3 -n. 5: 3+5: 3 - B:: R9, 79 = Anc.
COROLL ARYV N VIII.
V Z0r -V Xer. est ad Diametrum :: V baL. = V X Cr. V A. vel:: V
26r - V bal. V L. Duxe Operatio cA Fosteri per Lineam Sinuum Versorum.
Dem. (Per AV. 4.) V baC. = V XOr. V A8. :: S, MXS, n. R9:: (Per Coroll. 3.)
VZOr = V bal. V Ans. :: ((LMMIA LETMIIOTUM Z ec 5. ad lummai terminorum
2 _6. nempe) VZ. Or = V Xor. Diameer. ITinc
Z.ZCY ~ Z. Xer
COROLL ARTV N IX.
. R:: Z. bal. 0 Z. Xer V An5. vet = Z Cr e S: H f n.
R:: =. B.S: V. = n. V Ans. FIOC quidem TREOrEMA d Repterm CDC uLitacuM.
C ASVS XII.
Datis 3 lateribus Frianguli Sphaerici, inrenire Angulum.
Mutatis Angulorum e Laterum nominibus in Latera e AnguIOS, e Tumpris Co.
rundem Supplementis, Derasatur operatio ut in calu undecimo. Tum inventi
Suppleencu exIt LatuS GuaSIcu (Per Afectionem 24.) Arcubus autem et
suxplementis sunt iidem Siniis e Pangentes.
In Friangulo Rectangulo vel Ouadrantali, partes duas Angulo Recto vel Oua.
dranti proxmas cum religuarum erium complementis, Veperus appellars partes
Circulares. Ex his (i tres illae quae quastionem ingrediuntur (B. c. datae dux e
una quae sica) non SInE interrUPEX, (Angulus autem Rectus vel Ouadrans licet in-
tercedat, eas non interrumpic:) pars quae mectium obcinet locum dicitur Media, et
reliquae duae dicuntur Pxiremae coniunctae vel Proxima. Sin lic interruptio, pars
2 reliquis separata dicitur Media, ee religuae dicuntur Extrema disjunctae vel oppo.
FIca. LIis praemissis, Proportiones de Priansulis Rectangulis superius demonstrata
coibune omnes in Aequationem hanc compositam.
RxS Medix = D sub Fansenribus Fxcremarum Conjunetarum, vel = B0
Tub colinibus F. xtremarum Disjunctarum.
Propoticionem hane memoria sublerandae graria d Nepero excogitatam, variis
Friansulorum casibus applicant Cavallerius, Orsinus, Placeus; ec nostrates Crelli-
brana Ouchtred, NVoreood, W ard e W me.
In Prianoulo quovis Sphaerico D A F, duo Anorli
Recti sunt ad excellum erium Frianouli Anoulorum su
Pra duos Rectos:: UE (() Supertieies Sphaera, ad (4 1)
Friansuli superticiem quadruplam. Producta enim la-
tera se inricem rursus secene in IIBC. Tum 4 -1.
ADAF F LADF + C AFD:: C. ad Tummam BI
lineorum inter eria paria semicirculorum F A FL F DFI,
AFC ADC, DAB DEB: quae summa est = Z AVAD
L AAHD F AEBA. F ACIFD = (DTOPIET A AFID
=ABF C) 2AA FD F E superticiei Sphaera = 2a
= =C. FrBO 2 d. LLL:: 6. 6 + 4 D. Vet 2. d. LLL = 2 d:: C. 4 4.
Sic x peripheria, Circuli maximi, e P. arcus ejusdem quo tres anguli superant
2 -. ErBO = X. F.:: C. 4a. ErBO2N A = F ( = 2R +B. FrGO A = RF.
Theorema ulrimum edicum est ab Aberto Girardo, AnnO 1629. Ft C’avallerio
Anno 1632. neseio an aliquo prius. Proportiones aurem sequentes duas Cavalleri-
Us aCCePTaS reFerE Nepero, nec immerito eas dicit alia indlaginis. Vcilissima sune
calui Frianculorum Obliquansulorum decimo, _ (leri facta mutatione) octa-
ro; nempe illie ad inveniendum duos simul ad balin Angulos, hic vero duo
Finul lacera: acque ita, ur non lic opus demilta perpendiculari, rel ulla in ambi-
guicarem aecentione.
SFFCF2
Iu
s. 13

## Folio 876 — 851708439:0900
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000900.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
76
LRTGONOMETRTA SFHAHA.
In Triangulo quovis Sphaerico DCB, 2 laceribus DB, BC, de anpulo B cont
Prehenlo, dacis: invenire angulos reliquos D, C.
et 232 Cr. 23XCr:: TZL
3L Ll.
ul
33Z Cr. S3XCr:: r= L. B.
Fig. 19.
Dem. Sint A, E, C, poli lacerum DB, DC, BC. ErGO areUS AP = L. D, de ac.
cuS R. G = L C, _ areuS AG = 180 = LB. SUIDPONACME ArCUS LO = areui
E C = = aECUI EP. Tum si puncta G A O K P Scereopraphice projiciantur, recla
A R. CxIC = F, 3L D, _ AC = r, ZB, e AO = F, 3X L. L. _ AP = Y, 3L. Ll
cricque OG P lemicireulus d polo F deleripeus per C. Cenerum aucem ejus pula n.
Tum Cumpra Ba = BC = BL, de ducta DIAIEITO BI AB, d D K H B m II SHI:
exit DB = SB, _ m K = m H. _ PA = DL. SICNOTDS, FrIC an SY Z~DL. y.
aADL. KZa2SC. ErBOL. Y. Sy:: DL,. 82:: L. K. Sa. FrgO L. SIIK∞. Sed
puncta saHco Tunc in circuli peripheria, cujus Diameter est s a. trgo L. n cH =
(22S1I = -LL, SD =) R∞Y. EEGO LR ∞HI = p aN =- 1. ErgO II =-M c = MR.
Lcem nK. L. K:: (con. coR: :) T, LDS2. L, LDSL. 1. C. Z, SIn CF. X SIn CF.::
F, 3ZCr. T, 3XOr. ErgO (eriam pari racionC) Z Sin L. L. Z SIN LL:: PZ ZLL.
TZ X LL. Sed Z Sin er. Z SIn CF. :: (Z SIn LL. Z SIN LL::) Y, ZLLE. I3
ZL L. 2. 6. AK. AH:: AP. AO. FrGO _ a K F 5N HL. 5A K = 32 HL:: 3 AP F 3AO.
3AP = ZAO. 2. C. Am. M c:: AN. nC. Sed d L. mNco = L. G AN. (DMipDC B
elt polus cam circuli minoris a CL, quam maximi AG: e D est polus circuli mI-
noris cujus radius a c, e circuli maximi ducti per A F P. ) KrgO (per Z 6. K.uCl.)
ANmco ZaAnG. Ideoque aN HI c ZA AOC. _ An K coZ A A P G. FrGONC.
AHI:: AG. AO. _ RC. AK:: ACi. AP. ScdlADROZADL. K: et aS nc =A
DLK. ErGODN. 2C:: VL. (L R =) aH. d S2. Ac:: dL. (L 1 =) AK. Fr∞ODR.
DL:: (2c. X HL:: CFaL) A G. A O. d S 2. dL:: (N∞. X K:: CFAL) AO. AP. 10. 5, ZCV.
53XCY:: T Z L VerVCalIS. Y, ZX lil. e 293L61. 2, ZX CY:: Y L LVOIE. X, 3Cllao
CO ROL L A R LV M I.
In Prianculo quovis Sphaerico AFC.
F, 3baC. Y, 3ZCr:: T, EX CT. T, E X segmencorum balis, quae tiune per ar-
cum perpendicularem ab H demistum. Dico AG. A B:: AO. A d. PUTa Cn M
circulum OC P in Sphaera secare areum A C in puncto a. LrgO arcUS A d M
disterencia segmentorum balis A Ci; de postquam creulus projectus tuerie, punctum
a jacebic in peripheria OGP, cruque recta A d cangens lemiIS acCuS Ad: C
(propier punctum A extra circulum OAGP) AC. AP:: AO. Ad.
COROL L. A R TV M II.
19 bal. 19 36C1-. 23 to lt. L Z KCC.
Sed LF. AG = arcuI DB, _ LAO F. = BC.
COAOL
AG. AB: : 8 a- 8L. (UE SupCA.)

## Folio 877 — 851708439:0901
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000901.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
IRTGONOME FR IA SPH LRTCA. 877
COROL. L AR TV M TIT.
F EbaL. TZZOr :: 5 =Z. LL. 53X lilu. ACF. AO:: DR. DL. (TuPTA.)
COROLL A RZVN IY.
Si L F G A SIE ReCtuS, Crit A PY AO = AGg. B. e. In Friansulo Sphaerico
Rectansulo. P: Z FyDOC. f = Perpend.: x F: EHYBOL. = 3 P expend. = F g Z baI.
Libet hic Theoremata pauca subjungere, quae ului sine ad Circulorum diame.
eros suppucandas in Projectione Sphaerae Scereographica; vel etiam ad Pangentium
ee Sicancium Canones Facilius (E opus FuerH) condendos, aut ad examen re-
vocandos.
DaCaCuE CF TBF. _ CD =-DF =DB. RNOO LKCB
est rectus, SE LDOF = LF = LFCB. _LFCF =LB
= LDCB. ErBO LFCB =LECD = EEDC = Z COm
plementi LDC F. Iinc
T. S. arcus = Tarc. = F: arc. f Z Compl. : - T: 45 f 3
aTC.: CD F DF = EF.
2. s arc. = P arC. = F 3 Compl. = Y: 45 = Z arc. :
CD - DF = FB.
T arC. - L ∞ arC.
∞ aec. ∞ Y arC.
IIcAP SIIdAE S=
FB F FF
FH = - F B
P
Fncerpta c schedis D. Bater, ad meam me-
thodum reducta.
L. F. M M A YI
Omma Sinuum 2 arcuum. Z Sin. : : F, 3Z. arc. P, L Z arc. dinc enim areus
DEA. PA: ErIC F. C. F PH. PC -FH:. FO fFHL P. C -F L
OT:: OL. OF:: NM. NK.
L F M M A YII.
i
 2c. OV. F15. 26.
Z. Cotin. Z cotm. : : r = Z. acc. Y L X acc. Si aecus sint = 90: Alias. Z Cotin.
X cotir. : : Y E Z. ac. rZ X aC. CH + CG. CH = CC:: CH + CC
L.c CV. VH:: 0O. OF:: aN. N R.
EF M M A VTTL
7 Tansencium. X Fang. :: S, Z arc. S, Z arc. Sine eniM arCUS NA, NF,
ost PM. R m :: F. L. FL:: FC. FFL.
S aieus=
L F M. M A CX.
d. ac. n 2 1ace.
BR XFK
Nam (fis. 1.) AF. -
STTTI3
B
L. F M M 

## Folio 878 — 851708439:0902
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000902.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
LRLOBNOMEPRIA SPHERTCA
Z E M M A X
Sinus 2 areuum A, E, sunc rectangulis sub semiareuum linibus de colinibus pro.
porcionales. S, A. S, B:: (per 1Cm. 9.) S AX Z Z A. SZL XZ G F.
Z. F. M M A XI.
Fangences 2 arcuum A, E, sune rectaneulis sub iptorum sinivus et Secancibus,
proporcionales.
T, A. T, C: : 5 AXR S, P. XR
29 A
2, F i: S, A ~ Z F. 2, A X S, F. ::. S, A Xs, A. S, F. a s, P.
R K CD Z A V.
Faroenres Balium sunc Fangencibus angulorum ad verticem proporcionales.
Nam per Aviom 2
ELBP A. E, BA:: (R. S, P A::) T, DP A. F, DA.
RFig. 21. P
5, 20. S, ZCrD: 23Z. LC vercicalium. FZ X LL vert. :: r3 X L L vert. I=
Z EL VerE Dem: Per RCg 4. Y, BP. F, DB:: E, DPA. E, BPA. ErGO
E, BP F T, DP. T, BP = T, DP:: Z, DP A F =, BBA. ZDP A - = BP A.
B. 6. (per tCM. Be 7.) 5, L.CY. 5, X61. :: FEZ CL VeEL. Y ZXLL VeII.
R F GVF A VII.
FLZCY. TZXOrC: T3ZL. L ad batin,. YL X LL bal. Ideoque X, LB. 1=
Xer:: TZ X LCbaC. F3Z LL bal. Dem: S, BP. S, DP:: S, D. S, B. LFBO
SBP + S, DP. S,BP = S, DP:: S, D = S, B. S,D- S, B. ErBO (Per leMM. 6.)
BP + DP BP aDP
D + B
DaB
RE GOL A VIII.
2+Z LL Vert. TZ Z LCBAE : : FLZLL BaL PZ Z LL VerE. Nam per RCG. Y.
S, BPA. S, OPA:: ZyB, EyD. ErBO S, BPA F S, DPA. S, BP A = S, DPA::
2. B. + Z, D. Z, B = Z, D. ErGO (per tem. 8. et 7.) F BPA F DPA - BPA nDPA
Ereo ZBNB  BPANDPA.. C B+D, Bea+ DeA
D RO B L. L. M A.
BeA +DPA, BtD
In Friangulo quovis Sph. BPD, daris L P ee cruribus BP, DP, invenire 2
angulos ab batin 53Z, Cr. S3XCr: : r3 P. F3X LCbaC.
_23Z CY. 23XOr:: rZ P. T5Z. LL. baI.
Dem: Per Reg. 6. S, Z. er. S, Z er: : r= P. TLX LLVrL. 7 ErgO terminos HO.
RC3.7, T5Z0. F5X0:: TYZ CEbaI. TSXCLbaC. C mologos inricem
Reg. B. TZZ LL baI. PZXLLVeTC:: 23P. TFXLL BaI.) mulciplicando.
SierX T) ZCr. S XCrX FZ Xer:: 29= P. T93 XLL. BaI. LrBO (per JoM. T.) SGuZCr.
~. PeF
593 X∞: : r93 P. T93ZCLBaI. ErBO S, ELCr. S3 ZC:: 25P. F3XLLBaI.
R F CV Z A VI

## Folio 879 — 851708439:0903
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000903.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
PRTGONOMETETA SPHERICA.
20. Pex RCG. 6. S ZCr. SZer:: rZ P. FZZLL, VerE.
Ergo terminos ho.
RCg. 7. 73ZOr. YZZOr:: TZZLL BaC. FZZ LLbaI. Emolosos invicem
RC9. 8. TZXLLbaC. YZXLL. Vert. :: r= P. TEZLLbaT.) mulciplicando.
S, Zer X TZZer. S, XOr XYZXOr:: 79ZP. TG ZZLL baL. ErgO (per Jem. 2.)
2.92Zer. Z.9: Xor:: 7q= P. I93 DLLbaC. ErBO Z ZZCr. Z.ZXOr:: 7ZP. TZZLL. bal.
Demonstracio ilta lupponit P =Z LL Vert. 1. c. perpendicularem cadere intra
Friangulum: Sed et exdem proportiones oriuntur, li Cadat extra.
PRDBF F M A
In Triangulo quovis Sphaerico datis 2 angulis et bale incerjecta invenire latera
reliqua, vel anguli tertii crura.
S3 Z LL.SZX Luta:: T Zba(. FZ XCr.
2 32 L6. Z.3X Lab:: TXDaL. T 3Z OY.
Demonstratio nicitur iisdem Lemmaribus _ Regulis quibus praecedens. Sed et
Patimi ex praecedenre constei, si muretur criangulum ulcimum in sibi supplemen.
rale.
RF GV F A IZ.
In Triansulo quoris Sphaerico demisso a vertice arcu perpendiculari ad ba-
Tem: eric.
FF7 segmentorum batis. TZZer:: T Z Xor. T Z X segm. BaI. Nam Per RCS. 2.
ZyBP. Z,DP:: Z BA. Z,DA. ErgO Z BP F ZgDP. ZBP ∞ ZGOP:: Z BA F ZyDA.
Z, BA ∞ Z, DA. FYSO (Per Tem. 7.) =2Zer. TZXCr:: rZT Ccom. TZ Z legm
Frgo FEXer. T Z X Ccgm.:: (7 = 2er. 7ZL. SCgm. . :) F2Z Teom. YZLBr.
P ROBL F. M A.
Daris Frianguli Sphaeriei3 Lateribus, invenire angulum. Demittatur per-
pendicularis, exieque T= bal. Y LZer:: T= Xor. F, F. Tum F F 3 bal. = sCB.
mento majori. e si F = ba C. perpendicularis cadir exta Friangulum.
minori
Tum
R. 2, BP:: T, BA. Z B
e R. T, DP:: Z, D A. Z, D
intra

## Folio  -  — 851708439:0904
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000904.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
Prrata Pmendanda.
D 16. 6. W. 42. lese talec. 1. 41. celebris. p. 7. l. 14 _ MOx. p. 8. l. 10. repe
EIIaS. P. 9. l. antepen. (exipEUS. P. 23. L. 27. PasClla. P. 22. 1. 25. locorum
80,000;000,000;000,000. p. 60. 1. 22. Praeter. p. 74. 1. 37. id InUITuT. p. 76
P. 6. numerUS. P. 77. L. ancep. dici. p. 97. 1. 34. pro primo D, lege B. p. TIY. I. pen.
ContinCACF. p. FFZ. J. uI. COgniIO. p. 175, 1. 49. A =- 57. P. 728, 1. 16. Ouadea.
LICaTUM. P. 233, 1. 32. ABX AB. p. 17F. 1. 1O. habeaNC. P. 195. L. aNLCP. E9 F Z AP
P. 213, 1. 3T. Vanis. P. 215. 1. 24. ipHI. P. 219. 1. 20. ibidem cum cemporis. p. 231.
1. 5. + d XX. P. 25, 1. 24. c5 - 67. P. 252. 1. 27. pro AC, lese AC. p. 253, 1. 28.
pro 3 A CF. lesc 4 ACF. p. 270. 1. 30, 37. pro a lege a. P. 273. l. 27. auscacur. 1. 52
pro 408 lese 498. p. 203. 1. 28. mars. pro + a X legC f 4 2 X. p. 287, 1. 5. centen.
dum. p. 294. l. T. cum CB. p. 298. l. per. vel dexerortum. p. 307. 1. 2. Rcclangulr.
P. 324. l. 18. pro 42 m L lece -3 m L. l. 35. pro 3 lerc3. p. 329. l. ansepen. V’ermac
P. 345. l. 29. V: = ETY: p. 357, 1. 19. AePECNaCOTM. P. 391. 1. 27
lesc v. P. 396, 1. 28. pro a 1ec = a. p. 405. 1. 17. 3 expolica. p. 409. 1. 1. plusquam
intinica. p. 455. 1. 28. Tohanne. p. 466. l. 2. ditserencia. p. 467. 1. T. puncta. P. 477.
L. 22. 0n. p.528. l. 4. lectorem. P. 546. l. uIt. 6 p. 547. l. L. pro A9 lege P9. P. 567.
I. antep. pro +
cc
R99 lesc-
OcC
R99 P. 575. 2. 26. post AQL. Q incerpone + AF. C.
P. 582. L. 23. pro V: 25, leee Y 25. p. 600. I. ull. pro 1. + c lese l. + c. p. 711. 1. 20.
in F. L. 27. dum Y. P. 655. 1. 1. 2b cC. l. 3, 4. ACC. P. 75C. L. 28. minimigue.
P. 859. l. 37. quincum.
In Schematismis.
P. B0. in Schemate penultimo; post 3) 2 V) incerponc 2 a).
P. 288. Sehem. 2. supple O ad centrum cireuli.
P. 593. Schem. Deest n suo loco post W. St perperam scribitur n prOZ.
Rectaque OHIR prolonsanda est ad V. Fitera 1 paulo alsius promovenca
sic in recta AGB Y litera e vix comparet.
P. 654. Schem. 2. pro inferiori C ponenda C litera.
P. 659. Schem. pro Tansente P H ducenda est Y aneens DH.
P. 719, 720. F18. 16. deest D inter 58.

## Folio  -  — 851708439:0905
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000905.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 10 lines, status machine
115.
11
et t
1.1
91
pot
101
i ia psua  qatm sa   tut  a   a t   si
prntcrm icrno
iet

## Folio  -  — 851708439:0906
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000906.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 5 lines, status machine
 iot. Hottat. s. Bot do stot stot t tot ttus tet  tio tatstit tet  otot tt otat it. totitette tot ott o  Mat tit tt ltetot
ue e
e
eeeeeeeeeeeeee ea
dLLL 22.

## Folio  -  — 851708439:0907
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000907.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 4 lines, status machine
Miocorcicsisctio
londesbibliestion
HanoC
CMLB HannOver 35

## Folio  -  — 851708439:0908
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000908.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 3 lines, status machine
1
I (IIII
noatre ran

## Folio  -  — 851708439:0909
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/851708439/jpgs/default/00000909.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 97 lines, status machine
ori
e
us
u
C
osd
e
dnr
ein
s
d
ct
e
is
en
ta
d
 cum
o
t
en
a
e
dt
e
des
o
s
s
fa
m
on
oe
des
at
mehd
s
d
dac
d
C
ot
ade
 
noc
s
i
ai
u
a
u
en
s
e
e
s
s
uta
 
 
e
6
EdE
e
t
des
ed
sec
a
pata
e
d
vell
 19)
iau 
i 
un
D
e
alloralu
m m varman
ue
Le
gD
at
deq s p
n 
aee
esso
s
esta
C5
ise
eiis
du it ennt
u
e