# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Work: https://leibnizlegible.com/work/884859711
# Title: Traité Analytique Des Sections Coniques Et De Leur Usage Pour La Resolution Des Equations dans les Problêmes tant déterminez qu' indéterminez (shelfmark Leibn. Marg. 155)
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## Folio  -  — 884859711:0001
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DnnERIBICBEOme

## Folio  -  — 884859711:0002
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NIodOrSOCISISOIO
CotESIO
Honnodo
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1
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 nascere camroron
ibn.

## Folio  -  — 884859711:0003
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.
1III
EIMLEIBNI
ERSÄCHSISCHE LANDESBIBLIOTHE
.Mar9. 15.

## Folio  -  — 884859711:0004
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ebn. 1d1g. 153
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AAMCIDI

## Folio  -  — 884859711:0005
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## Folio  -  — 884859711:0006
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000006.jpg
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auir: Loiton. Mlar9. 12

## Folio  -  — 884859711:0007
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a
A N A L Y Y IQV F
D F S
ECTIONS COrIOVTES
RT DF LB VR VS ACF
POVR LA RESOLOTION DES FOVATIONS
dans les Problemes tant déterminez qu’indeterminez.
ODYR  OF POSTHOME
De M. L F NIAR OVIS DE LTIOSPEZAL; Academicien
TTonoraire de l’academie Royale des Sciences.
A P A R IS
La Veure de TE AN BOVDOT, Imprimeur CMae  ROi, ec de
Chez+
l’Acadomie Roiale des Sciences:
TE AN BOVDOT Fils, Imprimeur Orditane c Ca
mie Roiale des Sciences, rue S. Jacques, au Soleil dOr, pres S. Sererin.
M. D CCVII.
AVEC PRTVILEGE DV ROL.

## Folio  -  — 884859711:0008
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BIBLIOFHENLA
1A. VTA
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RSACHSISCHE LAN

## Folio  -  — 884859711:0009
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c
du
erini
A   945929 9.s
E IV RE P R F M IF R.
De la Parabole.
L IV R F SE COND.
De V Fllipse.
PaSCY
L. IV RF TR OISTEMF.
De lFsyperbole.
LIVRE ADATRIEME.
Des trois sections Coniques.
LIVRE GINOVTEME.
De la Comparaison des sections Coniques entr elles,
 de leurs Segmens.
LINRE STXTEMF.
122
Des sections Coniques considerées dans le Solide. 166
LIVRE SEDTIEME.
Des Lieux Geometriques.
LIVRE HDTLLEME.
Des Problemes indéterminés.
LIVRE NEVVTEME.
De la Construction des Ecalités.
LIVRE DTXTEME.
Des Problemes déterminés.
F I N.
206
362
B

## Folio  -  — 884859711:0010
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000010.jpg
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c 
11
lsil
ditor. Ma

## Folio  -  — 884859711:0011
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RADRTISSEMEI
E
V)
LLBR A TR F.
re C sçavant Auteur de cet
Ouorace étoit sur le point de le
donner au Public. lor (qu’il mourut
aeé seulement de quarante-trois ans:
ce fut au commencement de 1704.
Le Mlanuserit en eroit sans Preface que ce seul
Auteur pourvoit bien faire: c’est pour cela qu’il ne
s’en trouve point ici. Mais le titre suffira sans
doute aux C’onnoisseurs, pour voir de quelle con-
sequence en Céometrie est la matiere de ce Lrore;
C9 la grande repuration de MI. le Marquis de
lECopital en ce cenre, repond aussi assez, ce me
semble, de l’habileté avec laquelle jai appris
que cette matiere y est traitée. C’est ce qui m’a
determiné à imprimer ce Mlanu (erit tel qu’il éroit.
(ans autre soin que de faire en sorte qu’il le fut le

## Folio  -  — 884859711:0012
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AV F R TISS F MI E N T.
plus correctement qu’il me seroit possible, en cher-
chant quelque habile Céometre, qui voulut bien
veiller à l’impression. C’est aussi ce que la consi
deration des Sçarans pour l’Auteur, C5 l’estime
pour l’Ouvrace que plusieurs avoient déja vil en
Manuserit, m’ont fait heureusement trouver:
estime déja tellement repandue, que les empresse-
mens d’untres. erand nombre de Mlathematiciens
pour cet Ouvrace, qui pendant le cours de l’im
pression venoient me le demander avec une espece
d’impatience de le voir, sur tout les jennes Creo-
metres, qui sur ce qu’ils en avoient entendu, le
recardoient comme devant leur faciliter l’entrée à
la sublime Analrse des Infinimene pecits de
l’Auteur, m’ont forcé en quelque façon de le donner
sans la Preface que je pensois pourtant à y faire
faire, me disant qu’ils aimoient mieux s’en
passer, que d’attendre plus long-temps que la
maladie d’un des deux Géometres qui ont bien
voulu revoir les Ppreuves de cet Ourrace, ou les
affaires de l’autre, permissent à un d’eux de la
faire. Ces empressemens, les soins de ces deux
Mleßieurs, (5 les miens, me font esperer que le
Lecteur (era content e du fond de l’Ouvrace,
C5 de la maniere correcte dont il est imprimé. C’est
tout ce qu’en peut dire un homme de ma profession:
les Ceometres en juceront.
RAIFF

## Folio  -  — 884859711:0013
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AITE ANALETIOOE
DESSEOTTOHS COHIOVES,
Et de leur usace pour la Résolurion des Equations dans les
Problemes tant décerminés qu’indéterminés.
L IV R E P R E M I F R.
De la Parabole.
DF F L N Y F F O N S.
NL Pace su pa  Resle F1C, ti
BC, e WnC L Guesse 6O, entorre
que l’un de les coleson
e lons de celle ec, on prendra
Ache
un FI F MTO égal en lonoueur à
’autre coté DO de cette équerre.
l
quel l’on accachera un bout à l’ex
cremité Odecccoté DO, et l’autre
me coucee at affa. E
bout en un poine quelconque F pris Tur ce plan du me-

## Folio 2 — 884859711:0014
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L IVRE P R E N PF R.
S P’on Fait olisser le coré DO de l’équerre le lons de la
reole BC, e qu’en même cems l’on se serre d’un Ayle
M pour renir coujours le Fil cendu, ee la partie MIO toute
joince ex comme collée contre le coré OD de l’équerre;
la courbe ANI X que le Ayle M décrie dans ce moure-
ment, est une porrion de Parabole.
Si l’on renverse l’équerre de l’autre coré du poine fixe
F, on décrira en la même Façon l’autre portion ANIZ
de la même Parabole; de Porre que la ligne XAZ ne
fera qu’une même courbe qu’on appelle P’arabole.
La ligne BC dans laquelle le bord inferieur de la ré-
sle immobile BC couché le plan et le coré DO de l’é
querre GDO, eAt appellée Directrice.
Le poine Eixe F du plan, est nommé le Foyer de la Pa-
rabole.
Si l’on méne du poine Axe F, sur la directrice BC une
perpendiculaire FP. qui rencontre la parabole au poine
A; la ligne aF indetiniment prolonsée du coré de f.
est appellée l’Are de la parabole.
La lione p quadruple de AF, est appellée Parametre
de l’axc.
Toures les liones comme NID menées des poines de la
parabole perpendiculairement à l’axe, Cont appellées Or-
données à l’axe.
Toutes les liones comme MO menées des points de
la parabole parallelement à l’axe, en Pone les Diametres.
One ligne droire qui ne rencontre la parabole qu’en
un point, et qui érane continuée de pare ec d’autre n’en
tre poine dedans, mais combe au dehors, est appellée
Tansente en ce point.

## Folio 3 — 884859711:0015
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DE L A P A R A BOL F.
GOROLL ATRE I.
P. IF. suit de la definition de la Parabole, que si l’ontire
ar un de ses points quelconques us au forer P’une ligne
droite MIF, et sur la directrice BO une perpendiculaire
MD; les droices MIF, MD, leront coujours égales entre
elles. Car Si l’on rerranche du coré OD de l’équerre et
du Fil OML F qui  lui est ésal, la partie commune OM, + Déf. 1.
il est risible que les parties rectantes MD, MLF, SCTONE
coujours égales entre elles.
COR OEE AZR F TI.
2. DE. L A il est ćridene, que si l’on mêne une ligne
droite quelconque R K parallele à la directrice BC, et
que d’un. poine quelconque Ml de la parabole, on tire
sur cerre lione la perpendiculaire MK, ex au foyer la
droite MF; la difference ou la somme XD des deux
droites APF, MK, Cera coujours la même: lavoir la dit-
ference lorsque le point M combe au desous de KK, &
la Comme lor(qu’il combe au destus.
COR OLL A FRF TII.
3. LE est érident que F P est dirisée en deux parties éga.
les par la parabole au poine . Car suppolane que le
poinc as combe au poine L, la ligne MVF combe Tur AF,
_ la ligne ATD TuT AP, qui serOnt par conséquent éga-
les enere elles; puisque NIF est toujours égalc a ND, + Art. ii
en quelque endroir de la parabole que rombe le point M.
COROLLAFRE IV.
4. DE- LA OM VOIE COmMenEOn PeuE decrIrC unC PaCa
Bole X AZ, l’axe AP done le poine A est l’origine étant
donné, arec son parametre p. Car arant pris lur l’axe
2Y de part e d’autre du poine A les parties AF, AF
érales chacune au quare de Pon parameere p, e mene par
le poine P. la perpendiculaire indetinie BC TuE FF; E
l’on couche le bord inferieur d’une regle sur cerre ligne

## Folio 4 — 884859711:0016
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000016.jpg
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L ZY R E P R E M Y E R.
BC qui sere de directrice, e que par le moven d’une
equerre ODO, d d’un FI F HIO Cgal au COFĆOD, X aF-
caché par l’un de ses BOuES au FOyeE F, e par l’auEre
bouc à l’extremité O de ce même corc, l’on décrire une
Parabole XAZ comme l’on a enseioné dans la definicion
première, il est visible qu’elle sera celle qu’on demande.
Il n’est pas moins riable que plus le cocé OD de l’é-
querre X le FI OMTF (qui lui doit étre égal) sera lons.
plus aussi la portion de la parabole qu’on décrira sera
grande; de Porte qu’on la peur ausmenter autane que
l’on roudra, en augmentant égalemene le coté OD de
d’équerre et le HI OMF.
COR OLL A LR F V.
5. Sr d’un poine quelconque HL de la Parabole P’on
mêne une ordonnée  P a l’axc, e au Foyer F la droire
MLF; il est clair que cetre lione NIF = AP - 1
puisque MIF = MD = AP - t AF, _ que AF = AF.
P R O P OSTTTON
Theoreme.
6. LE quarré d’une ordonnée quelconque MP à l’axe AP,
est écal au réctans le du parametre P, par la partie P de l’axe
prise entre son origine a es la rencontre P de l’ordonnée.
It faut pronver que MP = PX AP.
Ryanc nomme la donnée AF, m; et les indecerminées
AP, X; PNI, V: OA aUTA NIF = = M -L X, _ PF= X -m
ou m =x, selon que le poine p se croure au deslous ou au
deslus du Forer F. Or le triansle rectansle M PF donne
en l’un e l’autre CaS MIF (mm - + 2MX - + XX) == NIP.
(yy) + D F (mm = 2MX - F XX); d’ou lon eire AMX == VV.
Donc puisque Celon la se detinition p = 4m, On auTa
ausI yy =PX. Ce qu’il falloit démontrer.
Des. 1.
A1F. 3
FLC. V.
Art. 5.

## Folio 5 — 884859711:0017
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DE L A P A A A DOL L.
COROLLATRE PREMTER ET LONDAMENTAL.
7. IL est donc érident que si l’on nomme p le para-
metre de l’axe AP; chacune de ses parties AP, X; _C F16, 2.
chacune de les ordonnées correspondantes PMV, y; On
auratoujoursrr =px. Orcomme cette propriere conrient
à tous les poines de la parabole, et en décermine la po-
SITION PaF FaPPOTE à POn axC AP; il s’enluie que l’équa-
tion ry=px exprime partairement la nature de la para
bole par rappOrE à Con aXC.
C O ROLL A FRE II.
8. ST l’on mêne deux ordonnées quelconques IIP, F16. 2.
No à l’axc AP, leUrS QUaErES SEFOHE CMEPeuX Comme
les parties AP et A0 de l’axe, prilesentre son origine A
eE leS ZENCOHEreS P et O de ces mêmes Ordonnees. C apF  Art. 6.
PAE. ON:: pX AP. pX AO:: AP. AD.
COROLLATRE III.
9. Sr l’on mêne par un poine quelconque P de l’axe
AP une parallele nPMI à les ordonnées; elle rencon-
crera la parabole en deux poines is ec M ésalement éloi
SMCS de part ec d’autre du poine P, et non en daran-
cage. Car atin que les poines M ex Ms foiene à la parabole,
il faue  que les quarrés de chaque PML (y) prise de Pare + Art. 7.
ee d’aurre du point P, Coiene ésaux chacum au même
rectanole Px.
COROLL A TRE IV.
10. lF suie de ce que =ry =pX, que pluS AP (X) est + Art. 
orande, plus aussi l’ordonnée PMI (Y) prile de part et
d’autre de l’axe AP avomence, e cela à l’intini; ec qu’au
contraire plus  P (X) diminue, plus aussi l’ordonnée
PM (V) devient pecice: de Porce que AP (x) ecanenulle
Ou 2Cr0, chaque VMI (y) prise de part e d’aurre de l’axe
Ar derient austi nulle; c’est. à dire que le POint P EOM
banc en , les deux poines de rencontre M et M le reu-
ii

## Folio 6 — 884859711:0018
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000018.jpg
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L IVR E P R EM T F R.
nissent en ce poine. D’ou il est clair.
Oue S l’on mêne par l’orioine A de l’axc une lione
ZZ Parallele à ses ordonnées, elle sera cangente en A.
2.
Oue la Parabole s’éloione de pare et d’aurre de
plus en plus à l’infini de Con axe AP à COmenCeF Par
Con origine 1; X qu’ainsi toure parallele comme LNI à
l’axe AP, ne rencontre la Parabole qu’enun seul poine M.
et passe au dedans, puisque la distance de l’axe demeure
Partour la MemC.
COROLLATRE V
TI. Sr d’un poine quelconque M de la Parabole l’on
cire une parallele MIT à l’axe AP, laquelle rencontre en
Z la parallele AZ à ses ordonnées; il est clair en IEMaHE
l’ordonnée AIP, que AF == PAT (Y), _ QuC NTZ = AP
(X) =
ML (3
. puisque  pX = yY. D’ou il suic que les droites
AP Ione égales enerelles, lorsque les points Z, L POnE
égalemene éloignes du poine A; e partant que si une li-
one quelconque Mas cerminée par la parabole est cou-
péc en deux parcies égales par l’axe en D, elle sera paral-
Tele à la lione ZZ, c’est à dire qu’elle sera ordonnée de
Pare _ d’aurre d l’axc. Car ayant mene les paralleles NF.
NTL à laxe AP, il est érident que LC sera dirisée par le
milieu en A, puisque MNs P’est en P. Les droites NIF
ATL, seront donc égales encrelles comme on vient de le
prouver; et par conséquent la lione MM sera Parallele
ZL
COR OLE A FRE VI
12. lr suie de ce que toures les perpendiculaires
NIPMI a l’axe AP, terminées de part e d’autre par la pa-
rabole, lont coupées par le milieu en P; que l’axe dirise
la parabole en deux portions entierement érales ex lem
blablement posées de part e d’autre. Car li le plan sur
lequet elle est cracée, éroit plié le lons de l’axe enlorre
Art.
Art. 9.

## Folio 7 — 884859711:0019
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DE L A P A R A B OE F.
que les deux parcies se joignissene, il est visible que les
deux portions de la parabole comberoiene exacteene
l’une lur l’auEre.
PROPOSTTTON II
Theoreme.
T3. Sr l’on mene par l’orisine a de l’axe AP une ligne droi-
re quel conque AM dans l’un ou l’aurre des aneles PAL, PAL.
faits par l’axe AP es par la liene LL parallele à ses ordon-
nées; je dis qu’elle ira rencontrer la parabole MAM en un au–
tre point M.
AYanE pris Sux AZ de pare ou d’auere du poine A la
partie ACégale au parametre p de l’axe, e tiré GF paral.
lele à l’axe AP, et qui rencontre lalione AM (prolonsée
s’il est necessaire) au point F; on prendra sur là lione AL
du même coré ou tombe la lione AA par FaPPOTE à l’a
XC AP, la partie AL Egale OF; e a7ant eirE LM ParaL
lele à l’axc, je dis que le poine Ms oi cecre ligne rencon-
ere la droice AM, Cera à la parabole MI ANI.
Car menane aP parallele à 12, les criangles sembla
bleS FOA, AP MI, dONHEFONE FO OU AE Ou PNT. CA::
AP. PNT. FE PAFEanE P N = GA (D) X P A. La ligne
PAT sera donc une ordonnée à l’axe AP. Ce qu’il fal- = Arr. 7.
loit démontrer.
C O R OL L A F A F T.
24. DE là on voit comment l’axe AP d’une parabo
le MAM étant donné arec Con paramcere p, e ayane
mené par l’origine  de l’axe dans l’un ou l’autre des an-
eles PAE, P AE, Faits par l’axe AP e par la ligne ZL
Parallele à ses ordonnées, une ligne droice quelconque
AMI; on voit, dis je, ce qu’il faut faire pour trourer sue
cerce ligne le point M ou elle rencontie la parabolo
NC AMI.
2 -603.

## Folio 8 — 884859711:0020
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L EV R E P R E N X F R.
C OR OLL A FRE II.
15. LL est éridenc  qu’il n’y a que la lione LAF P2.
rallele aux ordonnées à l’axe AP, qui puisse ctre cangen-
ce de la parabole ar ant au poine s orioine de l’axc;
puisqu’il n’y a que cerre seule ligne qui passant par le
Poine 4, e étane continuée de Part et d’autre, ne ren-
contre la parabole en aucun autre poine, eE n’entre pas
dedans.
D E F F N F Y F ON 5.
1b. 4. a5. Si l’on mene par un point quelconque M de la parabo-
le un diameere MIO, une ordonnée MP à l’axC AP, E
une ligne droice M1Z qui coupe sur l’axe AP protonse
au dela de Conorigine , la partie AT égalc à AP; TOuTeS
les lignes droires, comme NO, menées des poines de la
Parabole parallelement à nIX, ee terminées par le dia-
metre MO, Cont appellées Ordonnées à ce diameFre.
10.
Si l’on prend la ligne grroisième proportionnelle à AY.
MT; cette ligne q lera nommée le P’arametre du diame-
Ere NO.
C OROLLAFRE I.
16. Sr Pon nomme l’indéterminée AP ou AT, X; il
est clair que MX = qX, puisque AT (X). MIZ:: NIT. 9.
C OR OLL A TR F II.
A Cause du rriangle rectangle MPZ, le quarre
NIZ (9X) = PF (4 XX) - F MV = (PX); d’ou, en divi-
TanE PaF X, L’On rirC q = 4 X - F p.
C’est à dire que le parametre q d’un diamerre quelcon-
que MO, surpasse le Paramerre p de l’axe du quadruple
de AP (X)
COROLLA TRE TTI.
18. ST Pon tire du poine M au Fover F la droite NF.
On aux2 M FY = AP- F AF. Or selon la détinition sc.
Art. 10
ArF. 7
Art. 5.

## Folio 9 — 884859711:0021
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DE LA P A R A B OE F.
le Parametre de l’axe CEanE P =4 AF, le ParaMeErC
du diametre MO sera = g = 4 AP- F 4 AF. DonC lC + Art. 17.
Parametre q d’un diamerre quelconque MO, vaut qua
cre tois la ligne M L cirée de son origine M au toyer F.
PROPOSITION IIL
Theoreme.
29. L E quarré d’une ordonnée quelconque ONV au dia- F16. 4. 5.
metre MO, est écat au rectansle du parametre 4. par la
partie MO de ce diametre, prise entre son oriziné M es la
rencontre  de l’ordonnée.
Il faut pronver que O N = GXMO.
AVane mené l’ordonnée N O à l’axe AP, laquelle
rencontre le diametre MIO au POInE R, e tiré OFY Pa.
xallele à MIP, on nommera les données AP ou AT.
X: PAT OU R O, y: e les indéterminées O R ou TIO
a; ATO Ou PFF, b; les criangles semblables ZP NF,
ORN, dONHETONE CCTLC PFOPORLIOM Z P (2 X). P MF
(y):: OR (a). R N = 27. Cela POsC.
Puisque (fi8. 4. ) N O = RO (y) = RX (.), Ou RX
52) = RC (Y), et AO = ATZ (∞ - F b) = FZO (a)
lorsque le poine N combe du coré de l’axc AP Par FaD-
Port au diameere MTO; et qu’au contraire (fiz. f.) NO
= RO (y) - + R N
24) d AO = ATZ (X- + b)-+
T2O (a), lor(qu’il combe du coré oppolé: On aura
ON =gy -+ ay aays
qua 3 d AO = X - + b -F a, (CaVOIY
=dans le premier cas, et - + dans le second. Or = A P + Ar. 8.
(∞). AO (X - F b - + a): : PM (γy). ON = py - + 6d
L a3. On formera donc en comparane ensemble ces

## Folio 10 — 884859711:0022
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F1C. 4. 5.
L TVR E P R E M F F R.
deux raleurs de ON l’égalité yy+ B p av =py +
ayy+ aagys
au; d’oit en estacane de Paxt e d’autre py L a3
dirilant pax ry, de mulciplianc par 4 XX P’OntirerAOR
(a a) =4 bx. Mais les triansles semblables NIPZ, NRO,
donnenE PZ (4 X X). O R (4 b x): : MIY = (9 X). ON
=bq = gX XO (b). Ce qu’il falloit esc.
COROLLAFRE CEENERA L.
20. (L est visible que ce qu’on a démontré dans la
propoltion premiere par rappore à l’axc AP, a les Or-
données PMI, _ à COn paFAMCErC P, s’étend par lC
moyen de cette derniere propolirion d̀ un diamerre quel-
conque MO, à ses ordonnées ON, ec à son parametre
g. Or comme les articles 7, 8, 9, 10, TI, 12, 13, 14 ec 15. CC
cirent de la premiere proposicion, ex lubsictene égale
mene, soit que les ansles 1PM Coiene droirs, ou bien
qu’ils ne le loient pas; il s’enluie que si l’on imagine dans
ces arricles que la lione AP, au lieu d’être l’axe, soic un
diamerre quelconque, qui ait pour ordonnéesles droites
PMI, ON, _ pour parametre la ligne p, ils sCrONE CnCO-
re, rrais dans cerre lupposition; car leur demonstration
demeurera la même; et il ne tauc pour s’en conraincre
entierement, que les relire en mectant partout ou le
eroure le mor d’axc, celui de diametre.
GOROLL AFRE II.
2T. GOMM E les articles 20 _ +5 Subsistent avec la
même force, lorsque la lione AP au lieu d’étre l’axe
est un diamerre quelconque, tel que MO: il s’ensuie
que la lione M T parallele aux ordonnées ON à ce dia-
metre, el cansee en M, ee qu’il n’y a que cerre seule
ligne glu puisse coucltet ld Parabole en ce point.
D’ou l’on roit que etun polnt donné sur une parabo-
le, on ne pe Melet qu’une leule CAHSCNIE.
Arc. 16.

## Folio 11 — 884859711:0023
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DE I A P A R A BOL L.
COROL L A LR F III.
22. DE-FA il est éridene selon la definition 9. que
Si l’on mene par un poine quelconque M d’une parabo-
le, une ordonnée AT P à l’axe AP, _ une ligne droire
MX qui coupe lur l’axc prolonsé du core de lon origi-
ne A, la partie AZ egale à AP; certe lione NVT lera
cansente en MI. Ex réciproquement que si la ligne MIZ
est cangente en M, et qu’on mene l’ordonnce M P à
laxe; les parries AF, aP, de l’axe seront égales en-
Erelles.
COROLLAFRE IV.
23. Sr l’on imagine dans les définitions 9 et 10, de
dans la derniere proposicion, que la ligne AP au lieu
d’etre l’axe, loit un diametre quelconque, qui aic pour
ordonnées les droites P MS, ON; ON VerFa que CCTC F16. 6.
propolition sera encore rrare, puilqu’elle se démonere.
xa de la même maniere qu’aupararane, comme il est
évidene par la seule inspection de la Hg. 6. oit les crian-
sles lemblables donnent les mêmes proportions que
dans le cas de l’axc.
D’oi il suie L. Oue le Corollaire precedent doic en-
core avoir lieu, lorsque la ligne  P au lieu d’étre l’axc,
est un diamerre quelconque. 2. Oue le diametre IIO
Deut etre l’axe dans cetre luppolicion; et qu’ainsi on
Deuc regarder l’axe comme un diamerre qui Faic arec
les ordonnées des angles droits.
PROPOSTTION
Theorème.
2.4. D+ par un point quelconque M d’une parabole, lon r1b. 7.
mene une ordonnée MP à l’axe, es une perpendiculaire MCT
à la tansente MT qui passe par le point M; je dis que la
partie PC de l’axe sera toujours écale à la moitié de son pa-
rametre P.
I1 faut prouver que PC7 = = P.

## Folio 12 — 884859711:0024
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LFVRE PR EM FER.
Car à cause des anoles droits YPNI, YHIG, On aura
TP (2X). PA(V) :: PNI (y). PO =3) = EP, en Met-
eane à la place de ry sa valeur + pX.
R OPOSITION V.
Theorème.
25. Sr par un point quelconque M d’une parabole, l’on
mene au foyer F la droite MF, un diametre MO, ex une
tansente TMS; les angles FHT, OMS, faits par la tan-
cente TMS d’un coté avec la droite MF, es de l’autre avec
le diametre MO, seront écaux entreux
Cax menant l’axe AP qui rencontre en Y la cangen
EeTMIS, e l’ordonnée MIP à l’axe; on aura = Y A- I AF
OuTF = AP - + AF OU F MS F. Lecriansle Z F M sera
donc ilolcelle; et par conséquent l’angle FY NF, ou
Con égal OMS, sera égal à l’angle FMT. Ce qu’il
falloit démontrer.
GOROLLATRE.
26. DE. L. A il est clair que la tangente ZAIS prolon.
Déc indétinimene de part et d’aurre du poine couchane
M, laisse la parabole toure entiere du coré de son Foyer
F. Ec comme cela arrire coujours en quelque endroit de
la parabole que combe le point couchane M, il s’ensuie
que certe lione courbe est concare dans toute Pon éten
due aucous de son foyer f.
P ROPOSITTON V
Probleme.
F1C. 8. 83. L). ON diametre A P avec la tangente L AL qui passe
par son orizine a, es son paramettre étant donnés; trouver
un diametre B qui fasse de part ou d’autre avec ses ordonnées,
un anzle éxal à l’ancle donné K, son origine B, es son para-
metre.
Art. 7.
E2C, 7.
Art. 22
Art. 5.

## Folio 13 — 884859711:0025
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lione AF qui fasse arec ce caerre de part ou d’autre
l’angle LL L ésal à l’aiste conné K, e crouvé  Tur = Art. 14 8
certe ligite (preterel  lalte core de  lorlqu’elle 20.
ne combe poine dans sun oi l’autre des anoles PAL
menera par le poine du milieu o de la ligne ANV, unc
parallele D au csattete P, qui rencontre la can-
 Art. 11
de pare a d’aurre à ce Matuere; e comme les lignes BO, 20.
PAMS egal à l’anole donné R ou à son complemene à
sera l’orisine de ce araelle, puisque L0 en est une  Art. 228
ordonnéc. 30. Le Parametle du diametre BO est F la + Art. 29.
A.
Lorque l’angie donne R Wes pas droic, il est clair F10. 8.
qu’on pelle mener de parc e d’auere du diameere AY
deux differentes lignes F qui Fassent avec ce diame.
cre des angles égaux à l’anglé donné R; e qu’ainsi on
Pourra coujours avoir deux solutions differentes, en ob
serrane que si l’une des deux lignes AP comboit lur la
cangente AE, le diametere donné sP latisteroit lui-
même à la question. Mais lorlque cet angle K est droit,
comme l’on ne peut mener qu’une seule ligne F qui F1O. 90
Fasse avec le diametre AP un anele droie, il s’enluie
qu’on ne peur avoir alors qu’une solucion; e qu’ain (1 F + ArT. 23.
le diametre cherché sera l’axc.
II est a remarquer que les deux diameeres BO, BV
qui Patistone au Problème lorsque l’ansle donné K n’est F1 6, 10
pas droic, sone semblablemene polés de part ec d’autre
DE LA PAR ABOZF
Ryane mené par l’orioine A du diametre donné la
PAL) le poine ns ou elle renconere la parabole, on
gente AL au poine D; e on dirisera OD par le inilieu
en B. Je dis que la lione BO est le diametre qu’on cher-
che, qu’il a pour orisine le poine B, e pour parametre
une croieme poele a BO, e04.
Car 1. La lione AM etane dirisée en deux parties ésa-
les au poine o par le diametre BO, elle sera ordonnée
AF Sont paralleles encrelles, l’angle B0 A que Fait lc
diametre BO avec son ordonnée eA lera égal à l’angle
deux droirs. 20. Le point du milieu B de la lione OD
croilième proportionnelle a BO, O

## Folio 14 — 884859711:0026
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L. IV R F P R E M L E R.
de l’axe AP, e que leurs paramerres POnE égaUX: CC
qui se voit par la construction même, en suppolant que
le diamerre donné AD fOit l’axe, et en menant deux
differentes lignes AF, AF de part e d’autre. Car les
crianoles rectanoles AZN, ALN, _ ADO, ADC
erant visiblement éraux e lemblables ener eux, les lignes
AD, AD; DC, D O; leurs moities BO, BO; et les
ordonnées OA, OL seront égalesentrelles; =_ par CON
léquent les parametres le seront aulti.
C OR OLL A F R F
28. Ir est donc éridene, 1. qu’il n’y a qu’un seul
diametre qui Fasse avec ses ordonnées des angles droits;
e qu’ainsi il ne peur y avoir qu’un seul aXc. 2. Ou’on
Deue colijours crouver deux ditterens diamerres, qui Fal-
sent arec leurs ordonnées des angles égaux à un angle
donné, lorsque cer angle n’est pas droit; que ces deux
diametres serone lemblablement polés de parr ex d’au
cre de l’axc, et qu’ils aurone des parametres égaux.
P R OPOSITION VII.
Probleme.
29. On diametre étant donné avec la tancente qui passe
par son origine, es son parametre décrire la parabole par un
mouvement continu
R F NE Y E R E M A N L E R F.
Si le diametre donné éroir l’axc, on la décriroit selon
l’article 4e; mais lor(qu’il ne l’est pas, Poic 1O le dia
metre donné, et Y MIS la rangence qui passe par son
origine MI. Cela posé.
On prendra sur le diametre MO prolonsé au delà
de lon origine M, la partie MD égale au quart de son
parametre; et on cirera une perpendiculaire indétinie
DF a AID. On menera ML F qui Fasse avec la cansen
cC ZMS un angle FMIY egal à l’ansle OMIS; et arane
pris M F ésale à MD, on décrira lelon la détinition
art. 19.
F16, 11.

## Folio  -  — 884859711:0027
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tuutiche T. pag. 14
l
CHE LANDES

## Folio  -  — 884859711:0028
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puatiniu
Mt rititttiti it sitit 1tt tt ttttti tts tttotititsiti
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atur: L0ibn. Mar9. 155,
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## Folio 15 — 884859711:0029
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DE L A P A R A BOFF.
premiere, une parabole qui air pour directrice la ligne
DF, e pour foyer le point F. Je dis qu’elle sera celle
qu’on demande.
Car, F. La ligne MCO érane perpendiculaire à la di-
rectrice DE, sera parallele à l’axe; ex par conséguene un
diametre selon la definition 7c. 2. L à ligne ZALS Sera = + Art. 25.
tangente en MI. 3. Le parametre du diamerre MIO
sera quadruple de MIF.
S E C O N DE M A N I E R F.
Soit AP le diamerre donné, e Z AZ la LaNSeNTC F16, 12.
qui passe par Con origine A. Cela polé.
Ayanc pris sur le diametre aP prolonsé au delà de Con
orioine A la parcie AO égale a lon parametre, ee mene
une droice indétinie DOD qui Fasse arec AC l’angle
A6D Csal à l’ansle 6 AL pris du même coré; on fera
mouroir une ligne droice indéfinie DM le lons de GD
coujours parallelement a AG, en entrainant par lon ex
tremité D le coré D A de l’angle D AML egal à l’angle
CAF, e mobile par Pon Commee aucour du poine fxe
1. Je dis que l’incersection continuelle M de la ligne
DML e du CDEC AML, décrira dans ce mourement la
parabole qu’on demande.
CaF MenanE NCD parallele à AZ, les ligneS NIP, OD
Teront érales encrelles; puisque l’anole APM Ou G AF
étant égal à l’anole AGD, elles seront également incli-
néesenere les paralleles OP, DMI. Or les triansles 1D,
MP A Cont semblables: car l’angle MI P A Ou C AL eAt
égal à l’angle AOD; e l’angle PM A Ou M AE C5al d̀
l’anole CLD, puisque retranchane des angles égaux
GAL, D LML, le même anele D AL, les rectes doirent
etre égaux. On aura donc 1O. GD Ou PM :: PNI. AP,
ee ParEanE G AX AP = ~ M; d’ou il clair que PM est = X Art. 19. e
une ordonnée au diametre 1P qui a pour origine le 21.
POin 2, pour cangenre la ligne LAL, e pour parame
ere la ligne A6. Ce qu’il falloit, exc.
Si le diametre AP ćroic l’axe, alors les ligneSGD, F1O, 13.
+ Art. 

## Folio 16 — 884859711:0030
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L IV R F P R E N PF R.
AZ, Teroiene paralleles, e la démonstration derien-
droic plus facile; car l’on roic tout d’un coup que GD
est égale à PMI, e que les criangles rectangles AGD,
PA son lemblables; d’ou il suie A6. GL Ou P M::
PMI. AP. DOnC AGX AP = = PMI, _C.
PROPOSITION VITI.
Problème.
30. Orr diametre A P étant donné avec son parametre, es
la tancente AL qui passe par l’origine A de ce diametre; trou-
ver autant de differens points que l’on voudra de la parabole
ou (ce qui est la même chose) la décrire par plusieurs points.
P R E N F E R E NI A N E F R F.
Ayane pris sur le diamerre AP prolonge au delà de
son origine , la parcie A6 égale à son paramerre,
dirisé L6 en deux parties égales au poine D, e mené
une lione droire indetinie F perpendiculaire a AG;
on décrira d’un point C pris partout ou l’on roudra sux
D A prolongée indétiniment du core de A, comme
cenere, e du rayon CG, un arc de cercle PF qui cou-
pera le diameere AP et la perpendiculaire AF en deux
Poines P, F. On menera par le poine P une parallele
MPM à la cangence AL, Tur laquelle on prendra de
part e d’autre lesparties PHI, PAs, egales chacune à
AF. On trouvera de la même maniere autane de cou-
ple de poines Mr que l’on roudra; par lesquels on fera
Passer une ligne courbe M. AMI qui sera la parabole qu’on
demande.
Cax EOUS les arCS PF passant par le même poinc
X ayant leurs centres sur la ligne O A prolorigée, s’il
est necellaire du coré de A, auront pour diametres les
liones OP; E par conséquene la propriece de ces cercles
donnera roujours AF =G AX AP. Mais chaque PMI
est égale à la correspondante AF, ee de plusparallele
F16. 14.
Hlyp.

## Folio 17 — 884859711:0031
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DE L A P A R A BOE P.
à la cansente AZ qui passe par l’origine A du diamerre
AP; elle sera donc ordonnée a ce diameere. C’CA + Art. 19, 
pourquoi la Parabole qu’on demande, doit passer Par 21.
tous les poines M, trourés comme l’on vient d’ensei-
SneF.
II est visible qu’on peur se tromper en tracant les par-
cies de la parabole, qui joignent les POIHES ETOUrES;
mais on voit en même cemps que l’erreur ne peut ctre
sensible, lorsque ces poines lont Fort pres les uns des
autres. Ceux qui ont beloin de décrire Courent des Sec-
tions Coniques, preferent ordinairement cette metho-
de, de les décrire par plusieurs poines; parce que les
achines dont on le lere pour les decrire par un moure
ment concinu, étant composées, sone lourent fautires,
ex peu exactes dans la pratique.
SECOND E NI A N L E R F.
Avant mene par un point quelconque Z de la Fan- FL6, 15:
gente AZ, une parallele indetinie L E’au diametre AP;
On prendra sur cerre ligne e sur le diamerre AP prO-
Lonse au dela de Con origine A, les PartICS LF, FF,
EF, _C. AF, FF, FF, XC. toutes egales encr eIICS, et
de telle orandeur qu’on roudra. On marquera (UF L F,
le point Ms, en Porte que J. I loir troilième proportion-
nelle au parametre donné du diametre AP, X à la par-
Eie AF de la canoente. On cirera enfin des points A, MI,
les lignes AF, AF, AF _C. NTF, MIF, MF XC; je
dis que les poines d’interfection W, N, N c. de cha-
que AF, arec la correspondante NP F, seront tous à la
Parabole qu’on demande.
Cax menane par le poine marqué AP, et par l’un des
Poines crourez N, les liones nr P, NO Paralleles à la
TanSeNTe AZ, CE nommant A P, X; PM Ou AL, 73
AO, un O X, Z lestrianoles semblables NOA, ALC,
ec MIPF, NOF, donneront ces deux propOrtIOnS ON
(2). 0+ (4):: AZ (y). ZE O AF = 7. d MP,

## Folio 18 — 884859711:0032
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LTVR E P R E NE F B R.
(Y). PF Ou P A - F AF (X - +  2):: X e(Z). OFOu
O+ - + AF (~ - + ~). D’ou en multipliane les ExErE
mes e les Moyens, l’on Forme l’égalite wy- 1 uy =
X Z - Y uy; _ efaçant de pare et d’auere uy, e multi-
Plianc par Z il vient agy = x ZZ. qui se reduie à cette
proportion AP (X). AO (_):: NI D (yy). NO (22.
Or par la construction, le quarré de AL ou de P M,
est cgal au rectanole de la partie AP du diametre don-
Art. r9. e HC, par Con parametre. Cetre ligne P MI Pera donc une
ordonnée au diametre AP; _ par conseguent ON en
+Arr. 8. 8 Pera  une autre. Ainsi le poine a sera l’um des poines de
la parabole qui combene d’un coré du diameere AP:
pour les avoir de l’autre, il n’y a qu’à prendre lur les
droitesindeAnies ZF, AF, les parties egales LP, PF,
_EC. AF, FF, _C. de l’auere corć des pointS L, A.
Si au lieu du parametre du diametre AP que l’on
suppose ici donné, l’on aroir un des poines M de la pa-
rabole; ce qui arrire Couvent: il n’y auroit qu’à mener
par ce poine, une parallele indétinie LP, au diametre
P, e acherer le rette comme cy- dedus.
2F.
2d0.

## Folio  -  — 884859711:0033
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Fig. 9.
4
lanche 2. pag. 18.

## Folio  -  — 884859711:0034
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et
MtIIIIII
 10
a
r  ee e  pe p epa    e e EBB B B IIBE VI I 1 
Mt ttittttuttttttattttt 1111ltt 1 11 11 1 11111111 1 111t 1 1111 111tt1 111Bt 1111t11A11 111Bt 1111111
EDWILHELM
NIEDERSACHSISCHE LANDESBIBLIOTHEK
eeeeeeeeeeeea
Signatur: Loitn. Mar9. 155, I
 ei
ee e
ee
ee

## Folio 19 — 884859711:0035
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 L. 1. L 22+ 8C
2.LACLL OND.
De enipse.
D E F F N F F FO N S.
YANT actache sur un plan les deux bours d’un Fil F16. 26.
RFMIF, en deux pOInES F, f, done la distance Ff Poit
moindre que la longueur du fil, on se serrira d’un stile
T, pour cenir ce fil coujours cendu; ex conduilant ce
tile autour de ces deux poines, en Porte qu’il rerienne au
même point d’ou il éroit parti: cestile décrira dans ce
mourement, une ligne courbe, qui sera nommée Ellipse.
Les deux points Ares F, f, lone nommés les deux
Foyers.
La lione Aa, qui passe par les deux FOyers F, f, et
qui est terminée de pare ex d’autre par l’Fllipse, est ap-
Pellée de premier ou le grand AXC.
Le poine C, qui dirile par le milieu le premier AXC
a, est nommé le Centre de P’Fllipse.
Lalione Bb, menée par le Centre C, perpendicu-
Lairement au premier AXC Aa, e terminće de part et
d’autre par l’Ellipse, est appellée le second ou le petit Axe.
Les deux AXeS Aa, Bb, Ton appellez ensemble,
Conjueués: de Corte que le premier Axe Aa, est dic
conjuoué au second Bb; et réciproquement le second
Bb, conjugué au premier Aa.
Les lignes XP, AIK, menćes des poines MT de l’FI.
lipse parallelemene à l’un des Axes, et terminées par
is

## Folio 20 — 884859711:0036
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000036.jpg
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LFVRE SECOND.
l’auere, Pone appellées Ordonnées a cet autre AxC: ainsi
MI P est Ordonnée à l’AXC Aa, _ NIR à l’AXC Bb.
La croisième proportionnelle aux deux AZCS, CA ap-
pellée Parametre de celui qui est le premier cerme de
la proportion. Ainsi si l’on Fait comme le premier AXC
Aa, est au second Axe Bb, de même le second Bb.
 une troisème proportionnelle p; cerre ligne p sera le
Parametre du premier AXC.
Touces les lignes droites qui passene par le centre C,
e qui lont terminées de part et d’aurre par l’Ellipse,
10.
Cone appellées Diametres.
Une ligne droite qui ne rencontre l’Fllipse qu’en un
scul point, et qui étane continuée de part ex d’autre.
n’entre point dedans, mais combe au dehors, est ap-
PellCe Tangente en CC POInE.
RL E M A R OV F.
3I. S+ Pon conçoit que les deux FOyerS F, f, e le Cen
tre C Le reiinissent en un seul poine; il est visible que
lEllipse se chansera alors en un Cercle qui aura pour
raron la droire CMr, égale à la moitié de la corde
CMO, atcachée par ces deux bouts au poine C, qui en
sera le centre. On pourra donc considérer un cercle
comme une espece particulière d’Ellipse, dans laquelle
la distance des Foyers est nulle; de POrte que FOuE ce
qu’on démoncrera dans la luire de l’Elliple, telle que
puisse erre la distance de ces deux Foyers, le peut aussi
appliquer au cercle, en suppolant que certe distance
devienne nuIlC.
COROLL A IRE I.
32. x suie de la définition premiere, que si l’on mene
d’un point quelconque ML de l’Ellipse, aux deux Foyers
P, f, les droires ILF, Mfi leur comme lera coujours
la MEME.
16, Y
F16, 16.

## Folio 21 — 884859711:0037
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000037.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
DE L E ELE P SF.
COROELA TR E II.
33. LORsovE le point us combe en A, il est visi-
ble que MTF deviene AF, e que Mf derient Af:
de même lorsque le point _s combe en a, il est encore
visible que MF derient a F, e que Mf devient af. On
aura donc AF. + Af, On 2AF 1 Ff = a F- t af, ou
2af - F fF; _L PATEANE AF = af. Dou il suic:
1. Oue la Tomme des deux droires MIF, MIf, eA
coujours egale au premier aze Aa, puisque MIF- L NF
Af Y AF = A
2. Oue la distance F f des Forers, est divisée en deux
parcies esales par le cenere C, puilque C  = A F Ou
CF=Ca - af ou Cf.
COROLLATRE TII
34. Sr de l’extremité B du second axe Bb, l’on mene
aux deux Foyers F, f, les droites BF, Bf; il est clair
que les triansles rectangles BOF, BOF, lerOnE ĆgauX;
ec qu’ainsi l’hypochenule BF, est égale à l’autre hypo-
chenule Bf: ec Par consequent BF, ou BF =C A ou
Ca puisque  BF- + Bf = Aa. On proure de même  Art. 33.
que Fb ou bf ==C A ou Ca. D’ou l’on voit:
10. Oue le second axe Bb, est dirisé en deux parries
érales par le cenere C; car lescriangles rectanoles FCB,
FCB leront égaux, puisqu’ils onc des liypochenules
egales FB, Fb, _ lC COTC FC commun.
2. Oue le second axe Bb, es toujours moindre que
le premier L a; puisque la moitié BC étant l’un des
cocez du trianole rectanole BOF, sera moindre que son
hirpochenuse BF, qui est ćgale à la moirié C A du pre-
Ier aZC Aa.
3. Oue ( l’on décrie de l’une des extremiter B du
Peric ou second axe Bb comme centre, et du raron
BF égal à C A, moitié du premier ou grand axc Aa,
un cercle; il coupera ce grand axe en deux POINESF, f,
qui serone les deux toyers de l’Ellipse.
C iji

## Folio 22 — 884859711:0038
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000038.jpg
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L FD R F S FCO N D.
COROLZAFRE IV.
35. LEs mêmes choles ctan posées, ( l’on nomme
C A ou BF, 1; CF, m; le criansle rectansle BCF, don-
DeTa BC = + + =mm. OF AF = + = m, XC F a = 1 - t m.
_E PaTEANE A F X F a ==+Y =mm. Dou il est erident que
le quarré de la moitié C B du pecit axe Bb, est égal au
rectansle de AF par Pa parcies du grand axc Aa, pri-
ses enere l’un des Foyers F, ee les deux extremices, A, a.
C O ROLL A F R F V
36. Ix Pera Facile à presene de décrire une Fllipse done
les deux aZes Aa, Bb, TONE dONMCZ. CAF QYANE EFOUVE
Tur le premier ou grand axe Aa, les FOYeES F, f, On aC.
cachera dans ces poines, les exeremités d’un Fil F MI f
dont la longueur égalera celle de cer axe; ee arant de-
crit par le moren de ce Fl, une Elliple comme l’On a Cn-
seioné dans la détinition premiere, il est ćrident qu’elle
sera celle qu’on demande.
RO P OSFFTON
Theoreme.
37- SF l’on mene l’ordonnée MLP au premier ou erand aX
Ra, es qu’on prenne sur cet axe la partie AD égale à NIF;
Fe dis que C A. CF:: CP. CD.
Ayant nommé, comme aupararane, les données C A.
+; CF, m; e de plus les indeterminces CP, X; PMI, y5
e l’inconnue CD, Z: il peut arriver deux differens cas.
Premier cas. Lorsque le point P combe au destus du
Centre C. Comme P F est coujours moindre que Pf; il
s’ensuit que NVF ou AD lera moindre que ar fou a D;
c’est pourquoi AD ou MI F = 1 = Z, aD ou MIf = +
FZ, FP = =m = X Ou X = m (Selon que le POINE P EOM.
De au destous ou au delsus du FOyCE P), Pf == X - + m
Or les triansles rectanoles MPF, MPf, donnenE ++-
Art. 34.
F1C. 16.

## Folio 23 — 884859711:0039
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DE LE L L F PS E.
2FZ FZZ = - yy - Lmm = 2m X - F ∞ X, _ 1Y- +. 21Z - 1
ZZ =- yy - FMM - F 2M X - L X X. Donc a l’on retranchC
par ordre chaque membre de la premiere ćgalicé de
ceux de la seconde, on aura 4+Z= 4 m X; d’ou l’on ti.
XCOD (Z) =
Second cas. Lorlque le poine P combe au desous du
centre C, comme L s est Toujours plus grande que Pf,
il s’ensuit que MF ou AD, lera plus grande que MIf
ou a D: c’est pourquoi AD on MIF =t - F Z, a D Ou
MIf =- +
 VF = = ∞ - + m, Pf = = X = m oum - X (sC-
lon que le poine D combe au dessons ou au dessus du
Foyer f). Or les criansles rectansles NIPF, MIPF, don-
HenL +t - F 2tZ - + ZZ -- VV - + mm - Y 2m X - F X X, EC
+1- 21Z. +ZZ --yy - tmm = 2m X - F X X. DOnC SI l’OM
retranche par ordre chaque membre de la seconde ésali-
cé de ceux de la premiere, on aura +FZ= 4mx; d’ou l’on
FITC CHCOTECD (Z) = . Par conséquene en l’un d
PaUEre CaS, On aura C A (+). CF (M) :: CP (X).
CD (Z). Ce qu’il falloit démontrer.
C OR OLL A F R E
38. IL est donc érident que si l’on nomme les données
CA Ou Ca, L; CF ou CF, m; e l’indeterminée CP, X;
On aura FoujOURS NF =-+ - mX
de Mf = - 1- 1 mn lorL
que le point P combe au dellus du centre C: e qu’au-
CONETAITC ON AUFA MF =1 -1 , ec MIf =1 -m, lOr(
qu’il combe au deNtous.
PROPOSTTTON II.
Thcorème.
39. L. e quarré d’une ordonnée que lconque MP à l’axe Aa
est au rectane le de AP par Pa parties de cet axe, comme le
quarré de son conjueué Bb, est au quarré de l’ase Ad.

## Folio 24 — 884859711:0040
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
L TVRE SECOND.
Il faut prouver que PM. A P X P 2:: BB. A2.
Les mêmes choles étant polées que dans l’article pre
cedent, si l’on met dans l’égalité 11-F 21Z + ZZ = yy
=+mm F 2M X- LX x que l’on atrourée par le moyen
du crianole rectanele MIPF, à la place de Z la valeux
mX
On formera toujours celle-ci 1+gy = + 4 - t tX X-
MmFF -tmmXX, laquelle étane réduite à unC PrOPOF.
Ar. 35. tion, donne PMI (∞Y). APX Pa (FF = X X) :: BC.
(1t = mm). CA (11) :: Bb. Aa. Ce qu’il fal. 86.
COR OEL A FRF I.
40. SF Pon mene une ordonnée NLK à l’aurre aXC
Bb, lequel j’appelle 2c, il est clair que ALK == CP (X),
de que CK == PN (y). OE = PN (yy). APXP
(EF = X X):: BB (4CC). Aa (4FF). EE PAFEANE 4 CC
X X = = 4 CCFF = 4+Fry; ce qui donne cette proportion
MK (X X). BRXKB (CC -gy):: Aa (487). Bb2
l4CC).
C’est à dire que le quarré d’une ordonnée quelcon
que MIK à l’axe Bb, CA au rectanole de BR par K B
parcies de cer axe, comme le quarré de Con conjusue
a, est au quarré de l’axe Bb.
COROLLAFRE F ONDAMENTAL.
AT. ST Pon nomme l’un ou l’autre aXC Aa, 21; POn
conjuoué Bb, 2c; Con parametre p; chacune de les or-
données PM, v; chacune de les parties C P prises en
tre le centre e les rencontres des ordonnées, X; on
Art. 3). aura = FOujourS PN (yy). APX Pa (FF = X X):: BB
(4cC). Aa (41Y):: P. Aa (26). Puilque selon la défi.
nicion du Parametre, Aa (2+). Bb (2C):: Bb (2C).
P=
C. D’ou en mulcipliane d’abord les exrremes de
les moyens de la propoxtion yy. 1t = X X :: 466. 47+, dc
ensuice
Art. 37
Art. 39.
F26, 18.
9.

## Folio 25 — 884859711:0041
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000041.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
DE L F L. L Y P S F.
ensuice de l’autre p. 1D =X X :: p. 2 +. L’On tire yy == cc
CeXX
e py = = p+ - r. Or comme cette proprieté
conviene éralement à cons les points de l’Elliple, et
qu’elle en decermine la posicion par rappore aux deux
axCs conjugues Aa, Bb; il s’enluit que l’équation py
CCXX
=cc-
Ou yy = = pr-r exprime partaitement
la nature de l’Esliple par rapport a (CS aXCS.
COROLLAFRE TII.
42. ST l’on mene deux ordonnées quelconques NIX,
NO, à l’axc Aa; leurs quarres seront entreux comme
les rectanoles AP X Pa, AOXO a, des parties de cet
axe, faites par la renconere de cesmêmes ordonnées;
Car Bb. Aa:: PNL. APXPA:: ON. AOZOa. EE + Art. 39.
PaTtanE PNI. ON:: APX Pa. AOXOa.
C OROL L A TR F IV.
43. Sr P’on mene par un poine quelconque P de l’un
des axes conjuoués Aa, une parallele nns à l’autre
axC Bb; elle rencontrera l’Ellipse en deux poines NI, MI,
egalement cloignes de part et d’autre du POinEP, ex nOn
en darantase. Car atin que les points NI, M, Coient à lFI.
liple, il tauc que les quarres de PML (V) prise de Pare + Art. A7.
et d’autre de l’axe Aa, Coient égaux chacun à la même
Tuantite cc- ccxn
COROLLATREV
44. LE suie de ce que = py =cc - c, que pluS CP + Art AT.
(x) Prise de Part et d’autre du CCHErE C aUSmenTE,
plus chaque ordonnée PMS (Y) prise de part e d’autrC
de l’un ou de l’aurre axe Aa, diminue; de POrte que OP (X)
etant égale à CA ou Ca (1), chaque PMI (y) deviene
alors nulle ou ZCrO: ex qu’au contraire plus CP (X) de-
vient pecice, plus aultichaque ordonnée PM (y) prile

## Folio 26 — 884859711:0042
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000042.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
LTYRF SE COND.
de part et d’autre de l’axe Ad augmenre; de lorte que
O~ (X) derenanc zero, chaque PMI (Y), qui eAt alors
CB ou Cb (c), tera la plus grande des ordonnees. D’oit
il est clair.
10. Oue S l’on mene par les extremités B, b, de l’un
des axes conjuoués, des paralleles à l’autre; elles leront
TangenteS Cn CeS POIHES.
2. Oue l’Ellipse s’éloione de part et d’aurre de plus
en plus de l’un ou de l’autre aze Aa, en COMMeNCANE PaF
l’extremicé A, julqu’à ce qu’elle renconere son conjuoué
Bb; apres quoi elle ra toujours en s’approchant dume
me axe Aa, jusqu’à ce qu’elle le rencontre en lon autre
exTrCmITE a.
COROLLATRE VI.
45. IL. Suit encore de ce que = py = cc-- ccxt, que 11
l’on prend les poines P, P, également éloignés de part
ec d’autre du centre C, leS OrdonnCeS PNT, PMI, SCTONE
égales. D’oi il est évidene que si une ligne quelconque
MLML, terminée par l’Elliple, est coupée en deux cga-
lement par l’un des axes conjuoues Bb en un poine R au-
ere que le centre; elle sera parallele a l’auere Aa. C ar
menane les paralleles MIP, AZP, à l’axe Bb, la lione PP
sera dirisée par le milieu en C, puisque NINT Velt Cn K;
et partane les ordonnées. PMI, PM seront egales. L2
droice MMS sera donc parallele à l’axc Aa.
COROLLATRE VTI.
46. ST Pon conçoir que le plan sur lequel l’Fllipse
est cracée. Poie plié le lons d’un des axes Bb, en COrEe
que les deux parties se joignene; il est clair que les deux
demi- Fllipses B Ab, Bab, comberone éxactement l’une sur
l’autre; sçavoir, les poines A, NI, _C. TuF a, NI, Qc. puis
que coures les perpendiculaires Aa, NMI, _EC. d cet axC.
lont conpéespar le milien aux POines C, K, XC. D’ou il est
rilible que l’Elliple est coupce par les deux axes en qua
Art. 41.
+eF. 45.

## Folio 27 — 884859711:0043
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000043.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
DE L F L E Z P S F.
ere portions partaitement égales ex uniformes, qui ne
different ener elles que par leur Cicuation.
PROPOSITION TII.
Theorèmme.
47. Or V’on mene par l’une des extremités A de l’un des F1C. 20.
axes Aa, une ligne droite quelconque AM dans l’un des an-
Eles AAL, aAL, faits par cet axe, ex par la liene LAL. pa-
rallelé à son conjurué Bb; je dis qu’elle rencontrera l’Ellipse
en un autre point M.
AYAnE PriS suT AZ de ParE ou d’aurre du point A,
la parcie 16 égale au parametre p de l’axe Aa, X tire
CF Parallele a cer axe, et qui rencontre la lione AMI
(prolonsée, s’il est necellaire) au point F, ou prendra
Tur la lione 1Z du même core ou combe la ligne ANI
Par FappOrE à l’axe sa, la partie AL égale a GF, d
avant cire par l’autre extremicé a de l’azc Aa la droite
à L; je dis que le poine M ou elle coupe la ligne AM,
est à l’EIlipSC NI AMI.
Cax menanc usP parallele a AZ, e nommane lescon
nuCS Aa, 26: AG, P: GF ou AF. a: e les inconnues
CP, X; PMC, y; les trianeles Cemblables ABF, NIPA,
e LAa, MPa dOnnerONE AO (P) OF (a):: MP (Y).
AD (b = X) = =. EE AZ (a). Aa (21):: PML (y). aP
(1 =F X) =
. Ex par consequent on aura coujours
APXPA (H = XX) = 2 FOit que le pOInE P combe au
destus ou au destous du centre C; d’ou l’on tire py-
p-  La ligne PML sera donc  une ordonnée d l’axe + Art. 4 2.
Aa; et partane le poine L sera à l’FIliple MI AMI. C0
qu’il falloit démontrer.
COROLLALRF I.
eLa da vod coaca ct dae acuca
EillipCe ML LML étanc donné arec Con Parametre p, et

## Folio 28 — 884859711:0044
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LTYRE SECOND.
2yanE mené par Lu des extremités A de cet axe, une
lione droice quelconque  M dans l’un ou l’aurre des
ansles a AF, a AL, LaIES Par cet axe, ec par la ligne
ZAZ Parallele à son conjugué Bb; on voit, dis-je, ce
qu’il faut faire pour crourer lur cerre ligne le point M
Ou elle rencontre l’Elliple M AMI.
C OR OLL A Y R F II.
49. IF est érident qu’il n’y a que la ligne L AF pa
rallele à l’axe Bb, qui puisse etre cangente de l’Ellipse
AAMI au poine A, l’une des extremités de son conju-
sue 1a; puilqu’il n’y a que certe scule lione, qui pas-
Pane par le point 1, ex eranc continuée de Part ec d’au-
ETC, DE La FENCONERE EH AUCUN POINE, e n’entre pas de
dans.
eROPOSITION IV.
ThCOreme.
50. lOus les diametres comme MCm, sont coupés en
deux écalement par le centre C, es ils ne renconerent l’Ellipse
qu’en deux points M, m
AYanE menc P’ordonnéc MLX, e Pris Cp égale à CP.
si l’on mene la perpendiculaire pm cerminée en mparla
droite MOm; il est evidene que les triansles CPMI
Cpm Cont semblables X égaux, ex qu’ainsi CM est égale
Arr. 45. a Cm, e PML a Pm. Ox comme = les ordonnées qui lOnE
ćgalement éloignées de part e d’autre du centre C, Pont
Ccales cntrelles, e que PM est une ordonnce, il s’en-
suit que pm sera aussi une ordonnée; e par conlequene
que le poine m est à l’Esiple.
De plus il est visible que si l’onimagine une parallele
à l’axe Bb, qui se meure de C vers A; la partie de cet
ce parallele rentermée dans l’angle ACMI, ira toujours
en augmentant à melure que CVcroit, et qu’au con-
craire la partie de cerre parallele rentermée entre le
quart d’Ellipse AM B ex l’axe CA, c’est a dire, l’ordon-
F16, 20.

## Folio 29 — 884859711:0045
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DE L F L L Y P S F.
29
néc PML= ira coujours en diminuane; d’oi il suit que = Art. 4qi
la lione droite OMI, qui passe par le CenErC, NC reNCON-
tre l’Elliple qu’en un point Ms du même core de l’axe.
e il en est de même pour le poinem pris de l’autre cote.
DOnC eEC.
D E F L N L Y F O N S.
TI.
Si l’on mene par un point quelconque ML de l’FIlip(C, F1G. 21, 27
un diameere NtCm, une ordtonnée XID à l’un ou l’auere
axC Aa, e une ligne droite M Y, en Porte que OT Foit
troisième proportionnelle à CP, CA; le diametre SC5
parallele 2 nT7, eA appellé Diametre conjurué au dia
MCErC MIm; Ec réciproquement le diametre MIm est dic
conjuoué au diametre Ss: de Porre que les deux ensem.
ble sone appellés Diametres conjueués.
T2.
Toures les lignes droites menées des points de l’Ellip.
Se parallelemene à l’un de ces deux diametres, ec termi-
nées par l’autre, Pont appellées Ordonnées d cet autre.
Ainsi NO Parallele au diametre Ss, est Ordonnée à Pon
Conjugne Mm.
La croisième proportionnelle à deux diametres con-
juoues, est appellée Parametre du premier de la propor.
tion. Ainsi la croisième proportionnelle d Mm, 55, et
appellée Parametre du diamerre M m.
COROLLATRE.
SI. St l’on nomme la donnée CA, +; e les indeter
minées CP. X; P F, 5i il est clair, selon la definition ,e
que CY (X - + 5) = =; de qu’airAt Se = 16- X  = AP X P ao

## Folio 30 — 884859711:0046
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L. TV R F SECOND.
DR OPOSTFTON V.
Theorème.
52. SF Pon mene par les extremités MI, S, de deux diame-
eres conjueues Mm, SS, deux ordonnées H P, SR, a un aXe
Aa: je dis que la partie CK de cet axe, prise entre le centre
es la rencontre de l’une des ordonnées SK, est moyenne propor-
tionnelle entre les deux parties AP, Pa, faites par la rencon-
tre de l’autre ordonnée NIP.
It faut prouver que CK == AP X Pa.
Ayanc nommé les connues CA, L; CP, X; DY, 5;et
PInCONMUE CR, m; ON LUTA A P X Pa = = FL - X X = = 5X,
_ AKXK a = - +D -- mm = = S X - L X X - MM CH IEEEaNE
pour et la raleur x x - + 5x. Cela posé, la proprieré de
L’EIlipse F dONNErA APZPa(SX). ALXKa (SX LXX mm)::
PA. KS :: ZF (55). CK (mm). a cause des erian-
oles semblables ZPHI, CKS. D’ou l’on tire en mulei
pliane les extremes e lesmovens, e en transpolane à l’Or-
dinaire, CK (mm) = su - + ssX
qu’il falloit démontrer.
6
+5 =SN= A P X Pa. Cib
COROLLAFRE.
53. POTSODE CK =10 = xX, il s’ensuie que C  -
Art. 41. CK OU ARXKa = X X, OF = C A (YY). CB (CC)::
AKXKa (X X). Sk = . Ex CA (1). CB (6C)::
APX Pa (HB = XeX ). PM = cc - ccux DCplus à cause des
criansles rectansles C PML, CKS, on aura le quarre CML ou
OV  +PM = X∞  L cC = ccu
 d le quarre CS Ou CK
FKS =1F - X x - + ccx X DONCCMI tC5 = 1b - F CC.
C’est à dire que la Comme des quarres de deux diame-
eres conjugues quelconques um, Ss, est égale à la lomme
des quarres des deux aXeS Aa, Bb.
Art. 5.
Art. 42

## Folio 31 — 884859711:0047
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DE LE EE TPS F
R OP OSTTION VI
Theoreme.
54. L E quarré d’une ordonnée que lconque OT au diame-
tre ulm, est au réctanz le de MOxOm fait des parties de ce dia-
metre; comme le quarré de son conjuzué 55, est au quarré du
même diametre MIM.
II faut prouver que ON. NIOKOm:: S5. MIm.
Ayant mene les paralleles VO, OFL, à l’azc Bb, e
la parallele OR à son conjuoué Aa, qui rencontre au
Poine s l’ordonnée NO prolonsée, s’il est necessaire;
on nommera les données CP, X; PNI, V; C A, t: PY.
Si e les indéterminées FTO OUOR, a; CFI, b; eE On
aura a cause des erianoles semblables CPML, CFTO, e
MPZ, NRO, ces deux PrOPOTTIONS OP (X). PML (Y)::
CT7 (b). F2O OU RO = =. EE ZP (5). PM (Y):: OR
(a). RX = =. Cela posé.
Puisque (S2. 2T.) NO est coujours la difterence de
RO (=), RX ( ), et CQ la Comme de CFZ (b),
FTO (a), lorsque le point W combe enere les points
NI, S, Oum, si e qu’au contraire (fc. 22.) N D estrou.
jours la Comme de RO, R N, et CO la difference de
CFF, TIO, lorsque le point N combe par tout ailleurs:
On aura N C = bbjy 2ab9y
X X
=2ab +b6; Ccavoir.  2a6
de au contraire -
SX
+ aay3
 55 e CO = ad
 ec = 2 ab dans le second cas. Ox Y + Art. 42.
APXPA (H = XX). AOXOa OU C A =CO (H =aa F 2 ab - b6)
: PAE (yy). ON - 237 = aagy =F rab2, - bb3. En compa-
u
ranc entemble ces deux valeurs du quarré de NO.
On Formera l’égalite 3byr- + 2 aby7
2tgy - aagy = + 2 abyy- lby
11
CNX
aayy
dans laquelle eftacant d’une parc le

## Folio 32 — 884859711:0048
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2
L LVRE SECOND.
Terme =L 2aby) ec de l’autre le terme L 2 abyy
 qui lui eAt
égal, puisque = 5X = + F - X X, ex divisane par gy, il viene
eit
1t aa bb
IE XX
Si l’on multiplie par xx, et qu’on cranspose bb, on
EFOUVeNQ ~QXX ∞ 2a AIXN aaxX bBI
55∞ X
ex; ee mulcipliane
de premier memibre par ssux, et le lecond par le quarré
de 1t =ux valeur de sx (ce qui le Faic en multipliane
TimpleenE le BUMCTaLCUF PaF It =X X) On aura aaxt =
+t XX = aatEXX = bbEt =WVX = t aax+- tbbtt XX; d’ou en esta
canc de part e d’autre aaxt, transposant aatexx, et di
vilanE Par tXX, l’on tirera TIO Ou OR (aa) = 1t -=XX
F bb = 2be
Maintenant si Pon nomme le demi diamerre CNt ou
Cm, Z: on aura à cause des criangles lemblables OPNI,
CFTO, CCte prOpOrtION C P (∞). C it (Z) :: CFZ (b).
an. OFles erIaN
eles semblables ORN, CKS, donnentOV. CS:: OK
(tE-- XX - +bb -
x) CK = (H - XX):: AIOXOm (= n2 ~ - bb 2 Z)
CAT (ZZ). Puisqu’en mulcipliane les extrèmes e les
movens, on troure le même produic. Donc 07
MOTOm:: C5. CN:: 55. Mm. Ce qu’il falloit exc.
COROLL ATRE GEEHERAL.
55. lL est risible que ce qu’on a démontré dans la
Propolition seconde par FappOrE aux deux aXCS Aa,
Bb, s’étend par le mozen de cetce Propolition à deux
diameeres conjuoues quelconques Mm, S5. OF comme
les articles 40, 4 1, 42, 43, 44, 45, 47, 48 ex 49, se tirene
de la seconde Provosition, ex sublistent éralement, soir
que l’anole ACD loit droit ou qu’il ne le Poit pas; il
s’entuir que si l’on suppose dans ces articles, que les lI
Qnes Aa, Bb, au lieu d’êrre les deux axes, Coiene deux
diametres
Art. 52.
rt. 52.
Art. 50.

## Folio 33 — 884859711:0049
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DE LE L L FPSF.
diametres conjuoues quelconques, ils serone encore
vrais dans cette luppolicion: car leur demonstration de-
meurera conjours la même; et il ne Faut pour s’en cOn-
rainere entieremene, que les relire en MeETanE paF COUE
Ou le troure le mor d’Axe celui de Diametre.
COR OEL A FRF TI.
56. GOMME. les articles 44 ex 49, sublictent avec la
même Force, lorlque les liones La, Bb, au lieu d’etre
Les deux axes, lont deux diametres conjugués quelcon-
ques, cels que Mm, Ssi il s’enuie que la ligne MIY
menée par le poine ns l’une des excremicés d’un diame-
ere quelconque m, parallelement à Con diametre con-
susué Ss, est cangente en MI, e qu’il n’y a que certe
Seule lione qui puisse coucher l’Elliple en ce point.
D’ou l’on roit que d’un poine donné Tur une Ellipse,
on ne peut mener qu’une seule tangente.
COROLLAFRF HII
57. DE. LA il est évidene, selon la definition PF, que
Si l’on mene par un poine quelconque ns d’une Elliple,
une ordonnée MF à l’un ou l’aucre axe sas ee qu’arane
pris CZ du coré du poine P, troisième proportionnelle
aOP, CA, on tire la droire MI T: certe lione MIY sera
cansente en MI. Ec réciproquement, que s la ligne MZ
elt tangente en M, e qu’on mene l’ordonnée MIP à
Pun ou l’autre axe Aa, les parties CP, CA, CY de cet
axe, seront en proportion seomerrique continué.
COROLLATRE IV
58. Sr l’on imagine dans les definitions TF, T2 d 13
e dans les deux dernieres Propositions, que les lignes
Aa Bb au lieu d’érre les deux axes, soiene deux dia-
metres conjuoues quelconques; on verra que ces Pro-
politions seront encore rrares, puisqu’elles se démontre.
rone de la même maniere qu’aupararane: comme il est
evidene par linspection de la fgure 23, ou les crianeles

## Folio 34 — 884859711:0050
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4
L ZVR E SECOND:
semblables donnene les mêmes proportions que dans lo
CaS des aXC5.
D’oir il suie r. Oue le Corollaire precedene doit en-
core avoir lieu, lorsque la lione Aa, au lieu d’étre un axC,
elt un diametre quelconque. 2. One les diametres con-
juoues Mm, Ss, Peurene érre les deux axes dans cetre
suppolicion; et qu’ainsi on peut regarder les deuxaxes
comme deux diamerres conjugués, qui font entreux des
angles droits.
PROPOSITION VIL.
Theoreme.
59. Or par un point quelconque d’une Fllipse qui a pour
centre le point C, l’on tire une ordonnée MIP à l’un des axes
Aa, es une perpendiculaire NIC à la tanzente MT qui passe
par le point M: je dis que CP sera toujours à PC en raison
donnée de l’axe Aa à son parametre.
Car nommant le demi axc CA ou Ca, d; e les indé.
Arc. 57. Terminées CP, X; PML, y; On auTA = CY = ==; e par-
TanE PY = - x
BlES ZPML, AE PO, donnene ZP (- ). PMCy)::
PAL (Y). PO = XyY. DOI P’ON EIRC CCLLC prOPOKtION
Hm XX
CP (X). ~C (~97
 :: APxPa (H = XX). PML (yy).
Puisqu’en multipliane les extrèmes et les moyens, on
Forme le même produit xyy. Mais le rectansle AP X Pa
Art. qY. est F au GuarrĆ PML, comme l’axc Aa est à son para
InCtre. Donc etc.
RODOSFTHON VIIL
Theoreme.
60. Sltonmene par un point quolconque ut d’une Ellipse,
une tancente TMS, S aux deux foyers F, E, les droites WF,
F2C. 24.
X86. 25.

## Folio  -  — 884859711:0051
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Planche 3. pag. 34.
5

## Folio  -  — 884859711:0052
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000052.jpg
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   2
l
1tdettt1ede
s
ll11111
FRIED WILHELM LEIBNIZ BIBI
eeeeeeeeea
Signatur: Leitn. Mlar9. 155,
IEDERSACHSISLHE LANDESBIBLIOTH

## Folio 35 — 884859711:0053
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000053.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
DE LF L L Y PS F.
MF; je dis que les angles F MT, FMS, faits parces lienes
de part es d’autre avec la tangente TMS, sont écaux entr
CUX.
Car arant mené les perpendiculaires FD, fd, lux Cet-
ce tangente; le premier axe Aa qui la rencontre en 7.
et l’ordonnée MIP à cet axc, e nommé les données
CA Ou Ca, 1; C F ou Cf, m; e l’indéterminée CP, X;
M
On auTa MF= (+ - m). Mf (t- +=):: ZF, OUCZ = + Ar 57
=) =CF (m). Zf Ou CZ (=) - F CF (m). Puisqu’en
mulcipliane les extremes e les movens, on troure le
même produic. Or les triansles semblables ZFD, TFd.
donneneZF. Zf:: FD. fd. L hypochenuse NIF du trian.
sle rectansle MDF, sera donc à l’hypochenule MIf du
triansle rectangle MIdf, comme lC COLC DF est au COTC
df; e par consequent ces deux criangles seront lembla-
bles. Les angles FND, fMId, OU PMT, fMIS, qui sOne
opposés aux cores homologues DF, df, serone donc
CTAUX CMEPeuX. Ce qu’il falloit démontrer.
COR OL L A ER F.
61. DE. LA il est éridenc que la FaNGenEC ZAI5
étant prolonoée indéfinimene de pare e d’autre du poine
touchant ML, laisse l’Flliple coute entiere du coré de les
deux FOverS P, f. Or comme cela arrire toujours en
quelque endroie de l’Fllipse que combe le point M, il
s’entuie qu’elle sera concare dans toure lon ecendue au
tour de les deux foyers, et par consequent aulti autour
de LON CenETE.
PROLOSELLOIIII
Theoreme.
62. S+ l’on mene par l’une des extremités R a un diame- l 16. 26.
ere Aa une parallele DAF à son conjurué Bb. laquelle ren-
contre deux aurres diametres conjueués quelconques M, SSy
rt. 38.

## Folio 36 — 884859711:0054
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000054.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
LFYRE SECOND.
aux points D, E; je dis que le rectansle de D A par AF, est
exat au quarré de la moirié C B du diametre Bb.
II faut prOUVer que D AZ AF =CB
AYANE MenC PAF leS CxEECMICES NC, S, des diameEres
conjuoues Mm, 55, les ordonnées MP, SK, au diame
ere Aa, on nommera les données CA, L; CB, C; e les
indéterminées CP, X; PNI, y; _ ON AUFa = CK =
APX Pa = Ht = XX; X paF cOnLCQUCNE ARX R a ouC A
Arc. 54. = Ok = X X. OF = BC (CC). C A (Y+) :: M ~ (yy).
APX PaOHCK = V. EECA (H). CB (CC):: ARXKa
(XX). KS = CCEX. DonC en exrrayane les racines quar-
FÉeS, PON EIrC CK = 2, X RS ==. Mais les triangles
Semblables CPAT, C AD, _C CKS, C AF, donnene
CP (X). PAL (y):: CA (+). AD = =. EE OK (3). XS
):: C A (1). AE = . DonC D AX AF = c0 = BC.
Ce qu’il falloit démontrer.
PROPOSITION Z.
Problème.
63. D EDZ diametres conjueués Aa, BB, d’une FIlipse
etant donnés, avec une ligne droite MCm qui passe par le
centre C; marquer sur cette ligne les points M, m, ou elleren-
contre l’Ellipse.
Ayant mené par l’une des extremités A du diameere
Aa, une parallele indétinie AD, à son conjuoué Bb.
laquelle rencontre la lione CM donnée de position au
poine D; on cirera par le poine A perpendiculairemene
Tur AD, la ligne AO egale d̀ CB, e par les PointsO, D.
la ligne OD. On décrira du raron O A un cercle qui
coupera la ligne OD en deux Poines N, n, par ou l’on
rirera des paralleles NM, nm, à la ligne OC qui joine
Art. 52.
F16,. 27.

## Folio 37 — 884859711:0055
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DE L F L L EPS F.
des ceneres de l’Elliple et du cercle. Je dis que les points
ML, m, ou ellesrencontrent la ligne CD, seront à P’FIlipse,
et décerminerone par consequent les exrremités du dia-
MCere NC Cm donné de policion.
Car menant les paralleles NTP, NO, d AD, qui ren
contrent les lignes CA, O A, auX POInES P, O; les trian-
oles semblables CDO, NIDN, _ CD A, CMP, e
ODA, ONO, donnerONEC L. CP :: CD. CMI:: OD.
ON:: O4. O0. Cest a dire, CA. OP:: O A. OO. FE PAFEANE
Si l’on mene la droire Po, elle sera parallele à OC; et
par consequene aussi à AT N suppotée parallele à OC.
Ain( les paralleles MTP, NO, Teront cgales ener ellCs.
Cela pole, si l’on nomme les données CA, L; CB ou
AO ou ON, c; _ les indéterminĆCS CP, X; PNI OU
NO, Y; On auTa C A (F). CP (X) :: O A (C). O0 = ex
Et à cause du rriangle OOW rectansle en a, le quarré
NO ou MD (yy) =ON (CC) =O
ccux ). La li-
ene MP Sera donc  une ordonnée au diameere Aa, e + Art. qY. es
par consequent le point M apparciendra à l’Fllipse qui 55.
a pour diameeres conjuoués les droites Aa, Bb. Mais a
cause des paralleles NMI, OC, nm, la lione um est di-
visée en deux également par le centre C; puisque par la
proprieté du cercle, Nn l’est au point O. Donc le poine
m appartiendra  aussi à la même Fllipse.
Si les diametres conjuonés La, Bb, étoient les deux
2xes, les paralleles Co, va, se contondroient alors avec
lesliones CA A0, qui n’en feroiene qu’une seule; ce qui
rendroit la construction e la demonstration un peu plus
Faciles.
PROPOSITION AI
Problème.
Art. 50.
64. LOZ alametres conjucues Aa, Bb, d’une Ellipse F16. 27.
etant donnés; en trouver les deux axes Mm, SS: ex démontror
qu’il n’y en peur avoir que deux.
El

## Folio 38 — 884859711:0056
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EE YR B SECOND.
Ayane mené par l’une des extremirés A du diamerre
Aa, une paxallele DP à son conjurué Bb, ontirera AO
pexpendiculaire a DF X égale d CB. Aranc joinEOC, on
menera par son poine demilieu F la ligne FC qui la cou-
pe a angles droirs, e qui renconere au point O la lione
DE, sur laquelle on prendra de pare ex d’aucre du poine
C les parties eD, CF, égales chacune a GO ou GC. Ti-
rant entin les droites CV, C F; je dis que les deux axes
Um, 55, Pone sicues sur ces droites.
Car les deux axes pourant étre recardés  comme
deux diameeres conjugues, qui FOn enereux un ansle
droic, ils renconereront la ligne DF en des poines D, P
cels que le cercle décrir de ce diametre passera par les
deux poines C, O; puisque le rectansle D AX AF CcanE
égal  au quarre de 1O, l’ansle DOF sera droic, aussi-
bien que l’ansle DOF. Or il eA cridene que c’est preci-
lémene ce que l’on vient de faire par le moyen de cecte
construction; puisque les lignes 6O, GC, GF, 6D
érant toutes égales encrelles, sont les rarons d’unmême
cercle. Mais comme il ne peur y aroir ur la ligne D P
que deux poines D, s, qui latistassene en même tempsd
ces deux condicions; sçavoir, que l’angle DOF e l’an-
ElC DOE Coiene chacun droie; il s’enluie que les diame
Eres conjugués Am, Ss, qui Fone enrreux un ansle
droir, seront les mêmes que les axes; de qu’il n’y en peur
avoir que deux,
Maincenare pous en accrminer la grandeur, il n’y a
qu’a cirer les droites OD, OF; e par LeS POIHES N, R, ou
elles rencontrent le cercle qui a pour rayon OA, mener
les paralleles NHI, RS. Car il est ćridene que les points
M, S, ou elles rencontrent les droites CD, CF, appar-
tiendront à l’Ellipse qui a pour diametres conjuoués les
lignes Aa, Bb; et qu’aint ils seront les exrremites de les
aXC5.
Art. 58.
Art. 62.
Art. 63

## Folio 39 — 884859711:0057
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000057.jpg
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DE LE LETPSF.
COR OE L A TR F.
65. Sr l’on proposoit de rrouver deux diameFres Con-
quoues um, S5, qui Aisent ener eux un angle MCS égal
d un anole donné; deux autres diametres conjugues Aa.
Bb, Ccanc donnés. Il est risible que la question le redui-
xoit a crourer sur la lione DF donnée de position; deux
POIHES D, F, cels que menant aux deux poines O, C, don-
nes hors certe lione, les droites DO, OF, CD, CF
Vangle DOF FuE droit, e l’angle DCF égal à l’angle
donné. Mais comme la Tolution de ce Problème est allez
disficile, on l’a renvorée dans le IOc Livre, e On 2
fuiri ici une autre roye, qui est plus simple; c’est de
trouver d’abord les deux axes, de de s’en lerrir ensuice
pour crourer les deux diametres conjuoues qu’on deman-
de comme l’on va enseioner dans la Propolicion (ui-
vante.
ROFOSTTTON XII
Problème.
66. L ES deux axes Aa, BB, d’une FUip se etant donnés : F10. 28. 29.
rrouver deux diametres conjurués Mm, SS, qui fassent ener-
eux l’anele MCS écal a un anele donné-
Je suppole que les diameeres nm, 55, Poient en effer
ceux qu’on demande, e qu’ils reNCONETENE aux poinES
D, F, la lione droire indétinie DF menée par l’extre-
mite A du petic axe A a parallelement au grand Bb.
Et arane ciré du centre C de l’Elliple, la ligne CF, qui
Fasse arec DF au point F l’angle CF L égal à l’angle don-
ne MOS, je nonime les données cA, 13 CB, C; AF,
ai e linconnue AF, Z ce qui donne AD -= CF + ArT. 62
=vi 1ZZ à cause du triansle rectansle C AF. Cela
Posc.
Les triangleSFFC, CFD, seron semblables; puisque
Panole au poine  est commun, et que l’ansle C P S a

## Folio 40 — 884859711:0058
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tC
L TV R E S E CO N D.
été Faic egal à l’angle NVOS: C’est pOurqUOI PF (Z a).
FO(VI +ZZ):: FC(VI +ZZ). ED (Z F =). D’ou en
multipliane les extremes ex les morens, l’on forme l’éga-
lice 22- aZ FCc- =e = 1t- FZZ; ec eAacane de ParE _
a’aurre ZZ mulcipliane entuite par Z, e divilanE PaT a,
il vieHEZZ
Z F a Z FC0 = 0. EF en Failane (pourta
cilicer le calcul) = = 2b, on chansera l’égalite pré.
cedente en celle ci 22 = 26Z - F CC == 0, Ou ZZ - 26Z 1
bb=- bb - cc; ce qui donne en extrayane de Pare de d’au-
cre la racine quarrée Z - b ou b - Z = - V bb = CC, _C PaF
conséquene l’inconnue AF (Z) = -b t vbb = cc. Voici
maintenane la construction que cerre derniere égalicé
Fournie.
AYane prolonse le perit axe aa jusqu’au point O, en
Torte que A0 soit érale à la moirie CB du grand; Poie
tiréc CF, qui Fasse arec DF menée par le poine A pa.
rallelement à Bb, l’anole CFF égal à l’angle donné.
Arant joine OF, Coiene cirées les droites OT, CG, Per.
Pendiculaires Tux OF, CF, Qui FeHCONETENE D F aUX
POInES FP, O C on n’a point marqué dans les Agures 28
ec 29, les Poines FY, 6, lur la ligne DF; Parce que ceSA-
oures auroiene eté erop grandes, et que d’ailleurs il est
Facile de les y imaginer). Soit décric du centre O, et du
raronOK, Cgal à la moitié de GFI, partie de AD prolon.
sec, comprile entre OeCFT, un arc de cercle qui coupe
DEAUX POINES K, K; X aYant pris SUT D F les partiCS RD.
KF, Cgales chacune à KO, Poient cirées par le centre C de
P’Ellipse, les droites DC, FC. Je dis que les diamerres
cherches Arm, Ss, sont sicues lur ces liones.
Car a cause des anoles droits F AC, FCG, E FAO.
FOFL; ON aUTa AC = = =, ATT = =; _ PaTFANE CFI
cc- Et
=2b. Le raron OK qui est égal à la moicié de
F26, lera donc ésal à b; et à cause du criang le rectan-

## Folio 41 — 884859711:0059
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DE L E L E F P S P:
ele OAK, On aurA AK  Vbb =CC, _ AF OU XF =F AK
=b=F Vbb =CC, _ AD OI KD. + AR =b + rbb -cc. Or
cela posé, si l’on mulciplie la valeur de F. par celle de
AD, il vienE AEX AD == Cc =CB; _ Partane F les dia  Art. 62.
MCEreS MTm, S5, lonc conjuoués. Mais le rectanole de
iAF t AD OnDF (26) Par AF- AF OU F F (B- F. Ybb -CC =a)
Cst  2bb - = 2br bb - cc - 2ab = 2bb - F 2b1 bb - cc - + 1B = CC
en mettant pour zab la valeur cc- 1t; e a cause du crianole
rectansle C AF. le quarrO CF = AF tCA = 2bb7
2brbb =cC- L1F =CC = DFXEF: CC qui dOnNe FF. FC:: EC.
FD. Ec partane les crianoles FFC, CFD, seront sembla-
bles; puisqu’ils one l’angle au poine s commun, ec que
leurs corés autour de cet anole lont proportionnels. L’an
ile MCS sera donc égal à l’angle donné CFF. C’ est ce
qui restoit à démontrer.
Maintenant pour avoir la grandeur CMI, CS, des deux
demi-diametres cherches; il n’y a qu’à cirer les lignes
OD, OF, e mener par les points NV, R, ou elles rencontre
le cercle qui a pour raron O L, les paralleles W NI, RS,
200. Caril eAt visible que les poines M, S, ou ellesren. = Art. 69-
contrent les droites CD, CF, seronc à l’Elliple, e déter.
mineront par consequent les exrremites de ces diametres.
COROLLAFRE L
67. IL suic de cerre construction, v. Ou’atin que le
Problème loic postible, il Fant que OK (
=) surpasse ou
Toit égale à AO (C); car autremene le cercle décrit du
FaYON O R, ne renconereroit la ligne D F en aucun point.
ce qui est neanmoins necessaire pour la construction.
2. Ouclorsque OK surpasse OA, On crouve toujours
par le moyen des deux points R, K, deux differens dia-
Merres conjuoues MI m, 55, qui Pacistont égalemene:
mais qu’alors le diametre 5s de la Aigure 29 est égal au
diametre NEm de la figure 28. e semblablemene pole
de l’autre coré de P’axe Aai Parce que A P de la Agure

## Folio 42 — 884859711:0060
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E LV RF SECOND.
metre Nm de la figure 29. est égal au diametre 5s de
la fieure 28. X semblablement posé de l’autre coré de
P’axe Aa; parce que AD de la tigure 29. CA Cgal à AF
de la Fioure 28. C’est à dire que les deux difterens diame
eres conjugues Im, S5, qui Paristone égaleenE au PFO
blè̂me, sone semblablement poles de part ex d’autre de
l’axe Aa, e que dans ces deux differentes politions leurs
Grandeurs demeurent la même:
30. Oue dorsque OK: =- O A, les deux poines d’inter-
section K, K, Se réiinissene au poinetouchant A; ec qu’ain-
l il n’y a alors qu’à prendre les parties AF, AD, egales
chacune à la moitié C B du orand axe: d’ou l’on voir
qu’il ne peuc r avoir alors qu’ime solucion, et que les
deux diamerres conjugues Mm, 55, qui latistone, ConE
EgaUX enEPeUX.
COR OE E A F R E. TF.
F10. 28. 298. 68. IE est clair austi que plus AF (a) est grande, plus
l’angle obtus donné C F F l’est aulti, ee plus au contraire la
ligne OK (
t
diminué: de Porte que AF étane la
plus orande qu’il est possible, l’anele obtS CFF, Pera
ausi le plus grand; e au contraire la ligne OK, lera la
moindre, c’est à dire égale à AO. Or Si l’on mene alors.
les droires Ba, ahi lestriangles rectanoles aCB, CAD
aCb, CAF, FCTOHE touS Ćgaux enreux; puisque les li-
ones; AF, AD, Conc égales chacune à la moitié CB ou
Cb de l’axe Bb, _ que C A ett égal d C a. L angle ACMI,
fera donc égal à l’anole ca B, et l’angle ACS à l’anole
Cab; ec partant l’anole donné MOS Ou CFF, sera auti
exal à l’angle Bab. D’oi l’on voic:
l. Oue lison mene de l’une des exrremités a du pe-
it axC Aa aus escremites B, b, dugrand, les lignes a B.
ab; l’ansle obcus donné CFF, doir étre égal ou moin-
Ars. 67.  esca Lalste B ab, atin que  le Problème soir postible.
.Oue torsqu’il dui est ésal, comme dans la fisurC 30.
F16, 30.
et 30.
P 26,. 30.
F16, 28, 29
_c 30.

## Folio 43 — 884859711:0061
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DE L F L L Y P SF
il n’y a que deux diamerres conjugues Mm, 55, qui Patis.
Fasene, lesquelS TONE EGAUX CnEK eUX.
30
Due Porsqu’il est moindre, comme dansles Az. 28. e
29. il y a coujours deux differens diameeres conjuoués qui
Pacistont égalemene; qu’ils sone semblablement polés de
part et d’autre du perir axe, cer avgle demeurane le me-
inC CnEr eux; e que leur grandeur demeure aussi la même
dans ces deux differentes positions.
D R OPOSTTEONXILI
Probleme.
69. D FOZ diametres conjusues A2, BB, d’une Ellipse
étant donnés; la décrire par un mouvement continu.
P R E M E E R F NI A N F E R E
On cherchera  les deux axes, e on la décrira en. + Art. 64.
Tuire Selon l’article 36.
S E CO N D E MI A N L B R F.
AYanE mene par l’une des extremités A de l’un des F1O, BI. de
diamerres donnés Aa, une perpendiculaire AFT Tur l’au - 32.
ere Bb, on prendra sur cerce lione la partie A0 de pare
ou d’aurre du poine A égale à CB. Er aiane rire la ligne
Co on tera olisser la ligne OF égale à FTO par les ex-
tremités le lone des lignes Bb, CO (prolongées de pare
e d’autre du centre C autane qu’il sera neceltaire) jus
qu’à ce qu’aprés avoir parcouru succestirement les qua-
cre ansles faies par ces deux lignes, elle rerienne dans
la même sicuarion d’ou elle étoir partie. Je dis que Si l’on
prend OM égal à Ae, le poine is décrira dans ce mou
vemene l’Ellipse requile.
Car menane OP parallele à O A, qui renconere en P
le diamerre Aa, et en O le diamerre Bb; les crianoles
semblables CTI9, COG, _ C AQ, CPO, donnerone
CO. C0:: AO Ou BNV. OP:: TTO OU BF. GO. EE par
consequene la lione PM sera parallele au diametre Bb.
Cela Pose.

## Folio 44 — 884859711:0062
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44
LTYRE SECOND.
Si l’on nomme les données C A, L; AO ou CB Ou
Cb, ci et les inconnues CP, x; PM, Yi On aUTa C L
(7) CF (X) :: AC (C). GP = =. Ex le trianele rectan-
Ele OPML donnera PM =OM =OP, c’est d̀ dire en
ocus. T a ligne PMI Ser2.
donc  une ordonnée au diamerre La dans P’Fllipse qui
a pour diametres conjugués les lignes Aa, Bb. DOnC_C.
Si les deux diametres conjugues Aa, Bb, écoiene les
deux axes, il est clair que les lignes AO, C9, tombe-
roient lur le diametre La qui seroir l’un des axes, ec que
le Doint FPcomberoit sur le centre C. D’ou l’on voit qu’il
Faudroit prendre alors OF egale à co, Comme ou dit-
Terence des deux demi axes C A CB; et la Faire glisser
par les exrremités le lons des axes Aa, Bb, prolonges
s’il est necestaire.
Comme les lignes Aa, Bb, s’entrecoupent a anoles
droits au point C; il est clair qu’en quelque liuation
que se troure la droire CF pendant qu’elle olisse le lono
de ceslignes, le cercle qui auroir certe ligne pour diame-
tre, passeroit coujours par le point C; et qu’ainsi la ligne.
CD qui passe par le point D milieu de FB, sera tou-
jours égale à DF, Puisque les lignes OD, DF, DO, le-
rone coujours des raions de ce cercle. Dela naic la des.
cription suirance.
Soiene deux lignes droites. CD, DF, égales chacunc à
la moitié de C9, Comme ou difference des deux demi-
aXes CB, C i accachées l’une à l’autre par leur extre
mité commune D, en Corce qu’elles se puillent mouroir
autour de ce point, comme les jambes d’un compas au-
tour de la cece. Soit accachée l’extremité C de la droite
CD dans le centre de l’Fllipse; et Poit encendue l’extre-
mité P de l’aurre droice FD, se mouroir le lons de l’axe
Bb, en entrainant avec etle la ligne DO mobile autour
du poine fixe C. II est clair que li l’on prend (ur FD (prO.
lonsée, s’il est necessaire) la parcie FM egale d CA, le
Art. 4l. B
516, 33.

## Folio  -  — 884859711:0063
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D
lanche 4. pag. 44
9.
ACHSISCHELANDESBIBLIO

## Folio  -  — 884859711:0064
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MIl1II
 
iMu ut  tnsit t II
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EDWILHEIM
NIEDERSACHSISCHE LANDESBIBLIOTHEK
eeeeeeeeeeeeea
27
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ignatur: Loibn. Mar9. 155, (C
e

## Folio 45 — 884859711:0065
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DE L F LL TPS F.
poine sit décrira dans. ce mouremene l’Ellipse qu’on
Cherche.
P R OPOSFYTON AIV.
Probleme.
70. DEOX diametres conjurués A2, BB, d’une Fllipse
etant donnés; la décrire par plusieurs points..
P R ENT F E R E NI A N E E R F.
Aranemené par l’une des extremités  de Pun des dia. F1C. 34
metres donnés sa, une parallele indétinie D AD à POn
conjuoué Bb, ontirera 10 perpendiculaire à AD, e C92
le a la moitié CB du diametre Bb; On joindraOC; E On
décrira un cerele du centre O, _ du raion OL. Cela faie
on menera libremene de part ex d’autre de CA, autanE
de liones CD, CD, XC. Qu’on roudra; et arant riré des
Doints D, D, _C. ou ellesrencontrent la ligne D AD, au
centre O, les lignes DO, DO XC. qui coupene la circonte.
rence du cercle auX POinES W, W, Ec. On menera des droi-
CCSNHT, NXI, Ec. ParaIleles a OC, le(GMeIleS FONCOMEFENE
aAX POINESMI, MI, SEC. Les droites correspondantes CD, CD,
_C. Tur lelquelles on marguera de l’auere core du cen-
ErC C des poines m, m _c. qui en Coiene éralement eloi.
gnes: II est éridene  que la ligne courbe qui passera par + Art. 63:
cous les points NV, NV, _C; m, m, _C. ainstroures, aura
pour diametres conjugues les droites Aa, Bb.
SECONDE NI A N FFR F.
Arane pris sur l’un des demi diametres C B, de peti- F 10, 35.
TeS PartCS CF, PF, Xc. égales entrelles, decelle gran
deur qu’on voudra, et autant que ce demi diametre en
Dourra concenir; on lui menera les perpendiculaires LD,
FD, _c, qui rencontrene la circonterence circulaire de
exite du centre C e du raion OB; aux POInES D, D, _C.
Rrantjoine AB, on tirera par celui des points F, qui est
le plus proche du cenrre C, la ligne PP Parallele à AB.
i ii

## Folio 46 — 884859711:0066
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4.C
L TYRE SECOND.
qui PenCONEre C A au poine P. On prendra sur le dia-
metre Aa de pare ex d’aurre du centre C, autane de par-
Ties PP, PP, _C. égales à CP, qu’il en pourra conteNIE;
e on menera par tous les poines P, P, _c. des paralle
les MPML, ATPMT, XC. au diametre Bb, sur chacune
desquelles on prendra de pare et d’aurre du poine P, des
Parcies PHI, PNI, égales chacune à la correspondante
F D. Je dis que la lione courbe qui passe par touS ceS
Doines MI, sera l’Elliple qu’on demande.
Car nommane les données CA, t: CB ou CD, c; d
les indéterminées CP, X; PMI, y; on aura à cause des
criangles semblables CAB, CPF, cette proportion C
(F). OB(C):: CP (X). CF = . Et à cause du criansle
CF D rectangle en P, le quarrE E L Ou PNF (yy) =
 Art. 4. CD (CC) =CF
CCKX
.La ligne PMI sera doncF une
ordonnée au diametre Aa. Et comme cetre demonstra
tion conrient à roures les lignes Pus; puisque chaque
CP est coujours à la correspondance CF, en raison de
CA a CB: il s’ensuie que la Courbe qui passe par tous les
poines il rrourés comme cy dessus, sera l’Ellipse qu’on
demande.
es 55.

## Folio 47 — 884859711:0067
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L
ROISI E NI F.
De PFyperbole.
D E F F N L F Y O N S.
YANX actaché Cur un plan en un poine f l’unc des F16. 56.
LLexcremites d’une longue reglefMO, en torte qu’elle
puille courner librement autour de ce poine fixe f, com
MC CCHErC; On accachera à CON aVErE extremité O, le
bout d’un filonrF, dont la lonoueur doit eere moin-
dre que celle de la regle, e duquel l’aurre bout lera
attaché en un autre poine F, pris aussi sur ce plan.
MaintemanE, si l’on fait tourner la reole fMO au
toux du point fixe f, et qu’en même temps l’on se Per-
ve d’un sile MI pour cenir le Al OMF, toujours égale-
ment cendu, et la Partie MIO touce jointe e comme
collée conrre le bord de la reole: la lione courbe AX
décrite dans ce mourement, est une portion d’ITyperbole
Si l’on renverse la regle de l’aurre core du point F, on
décrira de la même Corte l’autre porrion AZ de la me-
me (yperbole.
Mais, Si sans changer la longueur de la regle, ni cel
le du fl, on accache l’extremité de la reole en F, EE
celle du fil en f. on décrira en la même lorre une au
ere lione courbe xaz oppolée à la premiere XAZ, qui
est encore appellée syperbole, et les deux ensemble (OnE
nommées Cyperboles opposees.
Les deux poines fixes F, f, one nommés les Foyers.
La ligne Aa, qui passe par les deux Fovers P, f, ec qui
est cerminée de parr et d’aurre par les FIyperboles oppo-
lécs, est appollée le premier Axe.
Le point C, qui dirise par le milieu le premier aXC Aa,
eltnomme le Centre.

## Folio 48 — 884859711:0068
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L LV RE TROLSTEME.
Si l’on mene par le centre C’une perpendiculaire in-
détinie Bb au premier axe Aa; ex que du point 1, com
me;cenere, et de l’interralle CF, on décrire un arc de
cercle qui la coupe aux points B, b: la parcie Bb de cetre
perpendiculaire, est appellée le second Axe.
Les deux axes Aa, Bb, sone appellés ensemble Con-
jugués; de Porre que le premier axe Aa, est dic Conjurué
au second Bb; et reciproquement le second Bb, Conju-
que au premier Aa.
Lestignes MIP, MK, menées des poines Mr des FTy-
perboles oppolées parallelemene à l’un des axes conju-
oués, e terminées par l’autre, lont appellées Ordonnées à
CeE autrC aXC. AinTI AIP est Ordonnée au premier axe
Aa, ec MK au second Bb.
.8.
La croisième proportionnelle aux deux axes, est ap.
Pellée Parametre de celui qui est le premier terme de la
proportion. Ainsi si l’on fait comme le premier axe Aa.
est au second axe Bb, de même le second axe Bb, à
une croisié̀me proporcionnelle p; cerre ligne p sera le
Parametre du premier axc Aa.
TonFes. les liones qui pattene par le CeNEre C, CONFaP-
pellées Diametres: ceux qui rencontrent les Fyperbo-
les oppolées, premiers Diametres, et ceux qui ne les ren-
contremtpoine, quoique prolonsées à l’intini, seconds Dia-
Metres.
20
Une lione droire qui ne rencontre une YCyperbole
qu’en un seul point, et qui erant conrinuée de Parc et
d’autre, n’entre poine dedans, mais combe au dehors.
est appellée Tangente en ce point.
REMANOBL.

## Folio 49 — 884859711:0069
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DE LEIX PER BO L F.
R E M A R O D F.
71. Orr a dic dans la premiere definition que la lon- FLC. 37.
sueur du Fl FMO doit étre moindre ou plus grande que
celle de la reslefMO; done la raison est que s’il ćtoir
cgal à cerre resle, le stile Ms décriroit dans ce moure-
mene, une ligne donc tous les poines M eroiene c8,alc-
mene distanes des deux poines F, si puisque recranchant
du Fil e de la resle, la partie commune MO, les rectes
MIF, ATF, LeFOICNE FOUIOUES EZAUX CHEF euX. D’ou il est
visible que cette ligne ne seroir autre qu’une ligne droi-
ce indetinie Bb, mence perpendiculairemene à la droi
ce Ff par son poine de milieu C.
COROLLATREI.
72. Le suit de la détinicion premiere, que si l’On me- F16. 36.
ne d’un poine quelconque M, de l’une des Iyperboles
opposées, aux deux Foyers P, f, les droites IF, MIf;
leur difference sera coujours la même. Car elle serarou
jours ésale à la difference qui se rroure entre la lonoueur
de la regle et celle du Fl.
C OROLL A TRE II.
73. Lonsove le point as combe en A, il est visible
que MIF derient AF, X que MIf derient Af; et de
même, lorsque le point Mr tombe en a en décrirane
l’Eyperbole oppolée xaz: il est encore visible que MIF
derient aF, ec que MIf derient af. Donc puisque la dit.
ference de ces deux droites est par tour la même, on aura
Af- AFOI Ff - 2 AF = a F- afOU Ff = 2af; XC PaF.
TanE AF = af. D’oi il suIE:
1. Oue la distance sfdesforers, est dirisée en deux
parcies égales par le centre C; puisque C A t AF ou
CF = Ca - + af ou Cf.
Oue la difference des deux droires MF, MIF, est
coujours égale au premier axe La; puisque dans lFTy.
perbole XA2, OM 2 cOUjOUES Mf -= MLF = AF- AF OU

## Folio 50 — 884859711:0070
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C
LFV RE TR OFST EM F.
Af - af; et que dans son oppolée xaz, on a ausi cOU-
jOurS NVF - MIf = a F = afOu a F - AF.
COROLL A TRE III.
74. IE suie de la definition cinquième.
10. Oue le second axe Bb, eA dirisé en deux par-
ties égales par le centre C; car les crianeles rectanoles
ACB, ACb, seront égaux, puilqu’ils one des hypoche-
nuses erales AB, Ab, X le COFC AC COUIM.
2. Oue Si l’on prend sur le second axe Bb, la partie
CF égale à la moitié C du premier, et qu’on tire l’hy-
pothenuse AF: le second axe Bb sera plus grand, cgal,
ou moindre que le premier La; selon que la droire
CF, est plus srande, egale, ou moindre que l’hxpoche
nuse AF; parce que l’hypochenule Ab, prise coale à
OF, le trourera aussi pour lors plus grande, egale, ou
moindre que l’lypochenule AF.
30. Ouc ( l’on prend sur le premier axe Aa de pare
et d’autre du centre C, les parties CF, cf, érales cha-
cune à l’hypochenuse AB du crianole rectangle C AB,
Formé par les deux demi-axes CA, CB: les points. P, F,
Serone les deux Foyers.
COROLLATRE IV.
75. LES mêmes choses etanE polées, Si l’on nomme
CF ou AB, m; C A, ou Ca, e; le crianole rectangle
ACB, donnera BC =mm = + t. OF AF = m = + Et
F a = m - F F; _E PAFEAHE AFX F a =mm = + 1. D’ou il
est évident que le quarré de la moirié CB du Second
axe Bb, est égal au rectanole de A F par F a Parties
du premier axc Aa, priles entre l’un des Foyers F, e
ses deux extremices A, a.
COROEL A FRE V
76. (r Pera maintenant facile de décrire les Hyper-
boles oppolées done les deux axes Aa, Bb, Pone donnés.
et done l’on sçair que l’axe La doic erre le premier. Cax

## Folio 51 — 884859711:0071
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DE LTIXDERBOLE.
ayane trour u le premier axe Aa, les FOvers F, f, = Art. 74.
on actachera dans le poine F, le bout d’un FIl F MO, du
quel l’aurre bouc o, lera lié à l’extremité d’une lonoue
reole Onss, mobile ur son autre extremité fautour du
Foyerf, e dont la longueur OM f doir etre moindre ou + Art. 72.
plus erande que la longueur du Fil OMTF, de la ligne Aa.
Ayanc ensuite décrie par le moven de certe resle et de
ce Fl, deux LIyperboles oppolées PAZ, xaz, comme
l’on a enseigné dans la definition premiere, il est éridene
qu’elles aurone pour premier axc, la ligne Aa, eE pOuL
Lecond, la ligne Bb. Ft c’est ce qu’on demandoit.
Plus la resle Ouf sera longue, et plus les portions
des Fyperboles oppolées, qu’on décrira par le moyen
de certe reole, seront grandes; de lorte qu’on les peut
augmenter autant que l’on roudra, en augmentant éga
Jemene la longueur de la reste et celle du fil.
P R OPOSITTONI
Thcoreme.
y. S+ Bon mene l’ordonnée M P au premier axe Ra, es
qu’on prenne sur cet axe proloneé la partie AD écale à M f
du coté du foyer F, lorsque le point M tombe sur lFTyperbo-
LeZAZ, e du coré du forer F lorsqu’il tombe sur son oppo-
sec XaZ; je dis que CA. CF:: CP. CD.
Ayane nommé comme aupararane les données C
Ou Ca, t: CF, ou Cf, m; e de plus les indéterminces
CP, X; PMI, y; e l’inconnue CD, Z: on aura dans le
Premier CaS, AD Ou MIF = - Z - t, aD ou Mf = Z +1
FP ==X = m Ou m = x (selon que le point P comBC au
delsous ou au dessus du Foyer F), Pf = = x - F m: X dans
le second cas, AD On NIF ==- Z F +, aD ou MIf = =Z t.
FP = =X - +m, Pf = = x = m ou m - x lelon que lC POIHE
P combe au dessus ou au dessous du Foyerf.
Cela pose, le trians le rectansle MI P S donnera ZZ =  21Z
11 = yy - L xX F 2mX tmmi scaVOIr, - dansle premiet

## Folio 52 — 884859711:0072
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L IVRE TROLSFE MF.
Cas, + dansle second; ec l’autre eriangle rectanele M Df
donnera 22
= 21Z- + =  yy - F XX F 2MX - +Mm; (GaVOIF,
+ dans le premier, ex - dans le second.
Maincenant, Ei l’on recranche par ordre dans le pre-
mier cas, chaque membre de la premiere équation de
ceux de la seconde; ex au contraire dans le lecond cas,
chaque membre de la seconde de ceux de la premiere,
il vient 4+Z == 4mx; d’ou l’on rire OD (Z) - mr. DOnc
C+ (4). CF (m):: OP (X). CD (Z. Ce qu’il falloit 8c.
COROLLAFRE.
78. (L est évident que s l’on nomme les données
CA Ou Ca, iCF ou Cf, m: e l’indécerminée CP, XS
On aura COujOUES NVF = m= =1, eC AYf- m- F+, IOxL.
que le point us combe sur lTIyperbole X12, qui a
pour Foyer le POine F: eC qu’au CONETaITC ON aUFA NIF
mx
-+ t, _ NIS = m = +, lor(que le poine Mr combe
sur son oppolée raz, qui a pour torer le pointf.
PROPOSITION II.
TheOreme.
79. Le quarré d’une ordonnée quelcongue PM, au pre
mier axe Ra, est au rectanele de AP par Pa parries de cet
axe prolonsé, comme le quarré de son conjurué Bb, est au
quarré du premier axe A a.
II faut prouver que PM. APXPA:: BB. Aa
Les mêmes choses étant posées que dans la ProDO(I.
tion précédence, si l’on met dans l’équation ZZ- F 2+Z
- +F+ = =yy - + X X- F 2MX - +Mm que l’ON a CTOUréC = PaF
Je moren du trianole rectanole MPF, a la place de
Z. la valeur =, on formera toujours celle-cy tryy =
mmXx =mMFI =+YXX- F1 4, laquelle écant reduite a unc
proportion, donne PN (yy). APX P a (XX - 11)::
Art. 77.

## Folio 53 — 884859711:0073
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DE L TIY PERBOLE.
BC = (mm - 11). CA (H):: BB. Aa. Ce qu’il falloit + Act. 75.
demontrer.
COROLLA TRE I.
80. St l’on mene une ordonnée MK au Second axe
Bb, lequel j’appelle 26; il es clair que NIK == OP (X).
_E que CK. = PNL (y). OFPNI (Yy). APXPa (XX -1t)::
Bb (4CC). Aa (41t). EE parEaNE ACCXX = 4CCtt- t 4tyy3
ce qui donne cetre proportion MI K (Xx). CK - F CB
(yy - FCC):: Aa2 (421). BB (4CC).
C’est à dire que le quarre d’une ordonnée quelcon-
que MVK au Second axe Bb, est au quarré de CK, joine
au quarré de CB moitie du second axe Bb, comme lc
quarré de son conjugué Aa, est au quarré de ce second
aXC Bb.
COROLLAFRE II. FONDAMENZAL.
8T. Sr l’on nomme le premier ou second axe Aa, F+C. 38. 8
27; Ton conjugué Bb, 2c: Con parametre p; chacune
de ses ordonnées ~MI, y; ex chacunc de ses parties CP,
prises entre le cenere _ les rencontres des ordonnées,
39.
X; On auTA FOHjOUES= PNF (Yy). CP FCA (XX -7 H):: = Art. 79. de
Bb (4CC). Aa (41t):: P. Aa (21). puisque selon la de- 80.
finition du paramerre 1a (27). Bb (20):: Bb (2C).
B-
4
. ou l’on doir obserrer que c’est le signe = lOr(
que l’axe La est le premier, et qu’ainsi on peut substi-
tuer alors à la place de CP CA, le rectanele APXPa
qui lui est egal; et au contraire que c’est le signe-+
lorsque l’axe La estle second. D’ou en mulcipliane d’a-
bord les Extremes et les Moyens de la premiere Propor-
EION VY. X X F t6:: 466. 466. entuire de l’aVErC YY.
XX F 1B: : p. 21. LOn tire py =  F CC, d yq - P X -
=PL. Oe comme cerre propriecé convient éoalement à
tous les poines des EEyperboles oppolćes, et qu’elle en
iis

## Folio 54 — 884859711:0074
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54
LFVRE TROTSTE MF.
décermine la Position par FapPOrE aux axes; il s’entuie
que l’équation py = cexx
exprime partairemene la nature par raport a ses aXCS.
COROELATRE III.
82. St l’on mene deux ordonnées quelconques MP.
NO à l’axe Aa, il est clair que MP. ON:: CP +
CA. CO == CA. CAF PMI. CF F CA:: Bb. Aa::
ON. CO FC4. Donc ec.
II est bon de remarquer encore qu’on peur substituer
a la place de CP =CA, e C0 - CA, les rectanoles
APXP a, AOX Oa qui leur TOnE egauX; ce qu’il taut
coujours oblerrer dans la fuie.
COR OLL A FR F. IV.
83. St l’on mene par un point quelconque P de l’un
ou de l’autre axe Aa (prolonse lorque c’est le premier)
une parallele MPMI a son conjugué Bb; elle rencon-
crera une LIyperbole ou les Ilyperboles opposées en
deux points i, Ms, également éloignés de part et d’au-
ere du poine x, ex non en darantase. Car atin que les
poines I, MI, Poient à une YIyperbole ou aux IIyperbo-
les oppolées, il Faut  que les quarres de PML (y) pri
ses de pare e d’autre de l’axe Aa, Loiene égaux chacun
ccF t
à la même quancicé 
COR OLE A TR E V.
F1C. 38. de 84. Ir suit de ce que yy =  F CC, que plus Cx
(X) prise de part ou d’autre du centre C, devient grande.
plus aulti chaque ordonnée PMI (y) prise de Part et
d’autre de l’axe Aa, augmente, e cela d l’intini; et
qu’au concraire plus OP (X) derient pecire, plus ausi
PNL (y) diminué; de Porre que (fic. 38.) CP (X) eFaNE
égale a C. A Ou Ca (+) lorsque l’axe Aa, eA le premiet,
Art. 81.

## Folio 55 — 884859711:0075
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DE LTIZ PERBOLF
PNT (y) derient alors nulle ou ZerO; d que (f2. 39.
OP (X) étane nulle ou zero, lorsque l’axc La est le le-
cond, chaque PM (y) qui deriene alors CB ou Cb (C).
est la moindre de toures les ordonnées PMI (y) priles
de parc et d’autre du centre. D’ou il est claip.
V. Oue Si P’on mene (f3. 39.) par les extremites B, b.
du premier axe Bb, des paralleles au second Aa; elles
sCFONE LangeNTeS en ceS POInES.
2. Oue les Fyperboles oppolées s’éloionent de pare
et d’autre de plus en plus à l’infini de leurs axes conju-
dues, en commencant par les exrremités du premier:
avec certe difference neanmoins que le premier axe ren
contre chacune des FIrperboles opposées en un poine.
et qu’écant prolongé il passe au dedans; au lieu que le
second combe tout entier entre les Hyperboles oppo-
sées, ex ne les rencontre jamais, quoique prolonsé à l’in-
Fni.
COROLL A IRE VI.
85. lE luic encore de ce que yy = ccux =FCC, que A
L’on prend les points P, P, égalemene éloignés de pare
et d’autre du centre C, les Ordonnées PNI, PMI, LeFONE
égales. D’oi il est clair que si une ligne droite MI MI,
terminée par une Fyperbole ou par des FIrperboles op
Polées, est coupée en deux également par un azC Bb Cn
un poine K auere que le centre, elle sera parallele à son
conjuoué Aa. Car menant des paralleles MID, XIP, à
l’axe Bb, la lione PP, sera coupéc par le milieu en C.
puisque M Ms l’est en K; e partant les ordonnées P M,
PNT, seront égales. La droire M M Sera donc paral-
lele à l’axe Aa.
C OROLL A LRE VTI.
86. Sr l’on concoic que le plan sur lequet les FTy-
perboles opposées lont tracées, soir plié le lons de
Paxe Aa, en Porre que ses deux parcies se joionene; il
ett clair (f9. 39.) lorsque l’axe aa est le second, que les

## Folio 56 — 884859711:0076
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50
L EVRF TROES FE M P.
deux IIyperboles oppolées comberont éxactement l’une
Tur l’autre; sçaroir, les Poines B, MI, eC. Tur les points
b, ML, Xc. Puisque  toures les perpendiculaires Bb.
MMI 2 cet aXC, ione conpées par le milieu AUX POIMES
C, P, _C.
Par la même raison (fi8. 38.) lorsque l’axe L a cA lc
premier, les portions des LIyperboles opposées qui lone
de part ex d’aurre de cer axc, comberone exactement
l’une sur l’aurre.
AV E R TISS E NI E N F.
On a suiri ju lqu’ici la même methode que dans lFI-
lipse, e on auroit pui la continuer jusqu’à la fin; mais
comme il faur néceslairemene parter de cercaines lignes
particulieres à l’EIyperbole, et qu’on peur par leurmoien
prourer les mêmes choles d’une maniere plus aisée, on
a pris ce dernier parti.
DE F E N L FF O N S.
TI.
Si l’on mene du cenere C deux droires indéfinies CO;
C8. Paralleles aux liones Ab, AB, menées de l’extre-
mitE  du premier axe Aa, dux deux extremités B, b
du second: ces deux droires seront appellées les Asymp-
eotes de l’FIyperbole M AM; ex si on les prolonse indé-
Finimene de l’autre core du centre, elles seront nom-
méesles Asiymptores de l’EIyperbole oppolée MaM.
12.
Le quarre de la partie CG, ou C8, d’une alymptore,
comprile entre le centre C, ex la rencontre de la ligne
AB, ou Ab, menée de l’extremité A du premier axe, a
l’extremite B, ou b, du second, est appellé la Puissance
de lHyperbole MaM, ou de lon oppolée Mam.
Art. 83.
F16, 40
COROLLATRE L.

## Folio  -  — 884859711:0077
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Planche 5. pag. 56.
F.
D
N
D
Y
n..--... . . . ....... . .. M
-P.
1..
- - M
.. . . . . . . . . . . . . ) M
M...............................M
M..... .. . . . . . . . . . . . . . . . . ............... M
M............M
. . . . . . . .  M
35
M
t
su
..-
..

## Folio  -  — 884859711:0078
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III
lilII
MM
r  me en npu 1
M ss t A(essli
1t
11ttttt uttttttttttlt11 11tt1t1 1 111t 111 11 1111ts1
1t1 111 1t1 111t 1t 1111 1t suit
1ite
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OWIL
eeeeeeeeeeeea
7
9
Tur: Loitn. Nar9. 15.
NIEDERSACHSISCHE LANDESBIBLIOTHEK
eeeeeeeeeeee ee

## Folio 57 — 884859711:0079
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DE LFI YPER BOL L.
COROLL AFR F I.
87. IE est érident que l’angle GCG, fait par les
alymprores d’une TIyperbole, ou lon égal B Ab, estmoin-
dre, égal, ou plus grand qu’un droic; selon que le le-
cond axe Bb est moindre, égal, ou plus grand que le
premier Aa. Car lorsque le premier axe la surpasse le
Lecond Bb, la moirié CA, Curpasse la moitié CB du se
cond; e par conséquene dans le criang le rectangle C AB,
l’anole CAB est moindre qu’un demi-droit. Les deux
anSleS EGauX C AB, C Ab, qui Fonc ensemble l’anole
B Ab, seront donc moindres qu’un droic. Les deux au-
tres cas le démonerene de la même maniére.
COR OLL ATRE TI.
88. ACADSE des criangles semblables BAB, BGC.
il est clair que la liene AB est dirilée par l’alrmptoce
CO en deux parties égales au point 6, et que CO est la
moirié de Ab; puisque BC est la moitié de Bb. On
prouvera de même que Lb est dirilée par l’alymptore
Cg en deux parcies égales au point e, ee que Cq cA la
moitie de AB. Donc toutes les lignes C6, 6 4, GB,
1838A3
8b, Tont égales enerelles; puisqu’elles POne
érales chacune à la moitié de l’une ou l’aurre des lignes
AB. Ab, que l’on sçait etre éxales enerelles; suiranE
la definition se.
C OR OLLAFRE TTT.
89. L a puissance d’une Tlyperbole est égale à la qua-
erieme partie de la Comme des quarres desdeuxdemi- axcs.
Car nommant CA, ICB, C; CO, m; On aura B A =- 2m, = Art. 88.
et à cause du triangle rectangle ACB, le quarré AB.
L+mm) = H- tCC. FF pas consequen CC (mm) = m + c

## Folio 58 — 884859711:0080
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E TV RF TROFSEF M P.
PROPOSITTON ITI.
Theoreme.
90. St l’on mene par un point quelconque MI de l’une oy
de l’autre des FEyperboles opposées, une liene droite R X per-
pendiculaire au premier axe Ra qu’elle rencontre en P, es ter-
minée par les asymptotes en R ex r; je dis que le rectanele de
RMI ParMF, est écat au quarré de BC, moitié du second
axe BB.
II faut prouver que R NIXMF =- BC.
Nommane les connuis C A, +; CB, c; e les indérer-
MInÉeS CP, X; PMI, y; les criansles semblables ACB.
CPr, ec ACb, OPR, donnent C 4 (+). CB Ou Cb (C)::
OP (X). PY, OUPR = =. DOnC RM, ou PR + PM
= y; eC AEr, OU Pr =F PAI = = == y. EE pAF CON-
sequen RMX Mr- ccux
Art. 81. pour gy la raleur
Yy =BC (CC) eN MeTTanE
CCuX LCC. Ce qu’il falloit démontrer.
COROLLATRE I.
92. IL est clair que PM
moindre que PL Ou Pr (uX); EE par consequen
que tous les poines des IIyperboles oppolées, combent
dans les angles fairs par leurs alrmprotes; de Porte qu’il
n’en peut comber aucun dans les anoles d’a cote.
COROLLAFRE TI.
92. St l’on mene par deux poines quelconques M, N.
d’une LEyperbole ou des Fyperboles opposées, deux li-
ones droites Rr, K R, perpendiculaires au premier axc.
a cerminées par les asymprores: il est éridene que les
rectangleS R NIX MIr, K NX NR, Seront toujours éraux
entreux; puisqu’ils sone égaux chacum au quarré de la
F16. 40.

## Folio 59 — 884859711:0081
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DE LFIY P E R BOL F.
moitié BC du second axe Bb. D’ou l’on roit que RM.
A L:: XYR. MIY.
P R O P OSTTION IV.
TheOreme.
93. Sr l’on mene par deux points quelconques NI, VV, d’une
Fyperbole ou des FTyperboles opposées, deux droites LTH, L I.
paralleles entrelles, es terminées par les asymptotes; je dis
que les rectaneles TIMIXMR, LNXNI, seront égaux entr-
CHX.
Il faut prouver que TIMIX MIH = =LFTXTTI.
Arant mené les droites Rr, Rk, perpendiculaires au
premier axe Aa, il est clair que les criangles NIRFI,
NKL, X NIrh, Nel, Cone semblables; Dui (qu’ils TOnEFOr-
mês par des paralleles. On aura donc RNI. RN::
TTM. LN. EE NR. NEr:: NI. MTB. OE= RNI. KN :: X Art. 92
XVR. NIr. DONC FTMI. ZN:: XI. NTh. EE par consé-
QuenE FTMIXMIB =Z NXNI. Ce qu’il falloit esc.
COROLLAFRE. 1.
94. Sc P’on suppose que la ligne N Z parallele à MFF,
passe par le centre C, c’est a dire, qu’elle derienne CF:
il est clair que les deux poines L, l, le reLInIEONE au
centre C; de partant que le rectansle LNX VI, deriendra
le quarré FC. D’ou l’on voir que si l’on mene d’un
point quelconque F, de l’une des LIyperboles oppolćes
au cenere C, la droite CF, d par un autre point quel-
conque M de l’une ou de l’autre de ces Fyperboles,
une lione NI FTh, parallele a CF, e qui rencontre les
alymptoces en FY et h; le quarré de CF lera esal au
sectansle de FTMI par MIh.
COROLLAFRE TI.
25. Sc l’on mene par un point quelconque N, de
une des Fyperboles opposées, une ligne droite ZI, Fer-
minces par les a(yIPEOTeS, e qui renconre l’une ou

## Folio 60 — 884859711:0082
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60
L FVR E TR OTST F M F.
l’aurre de ces Fyperboles en un aurre poinen; les par-
cies ZW, ln, de certe droire prises entre les poines des
FIyperboles et la rencontre des alrmprores, serontésa-
les enEx CIlES. CAF HIOMIMANE LN, a; Nn, b; nL, C; On
aUTa ZWXNI (ab =F aC) = FTMXNh = ZnX BI. (bC= F aC)
d’ou l’on cire LN (a) = - ln (C).
GOROLLAFRE TII.
96. St l’on suppose dans le Corollaire précedene que
la lione Nn, cerminée par les Fyperboles oppolées,
Pasle par le centre C, c’est à dire, qu’elle derienne le
Premier diametre P. D: il est erident que les deux points
Z, l, TCFEIIHIEONE AU CeMErC C; e qu’ainsi N Z deviendra
EC, e nt, CD. Dou l’on voit que tout premier dia-
Metre DE, est dirisé en deux ésalement par le CentreC.
COROLLATRE IV.
97. St deux lignes droires Mm, Wn, paralleles en
crelles, lont terminées par une IIyperbole ou par les
LIyperboles oppolées, _renContrent une alymPEOTCaUX
poines TI, Z; je dis que les rectanoles NFIXTIm,
NZX Zn, SCTONE egaUX CMEr euX. Car prolongeant, s’il
est necessaire, ces deux lignes, jusqu’à ce qu’elles ren-
contrenc l’autre alrmproce aux poines h, l; les parties
Art. 95. MTY, mh, _ N L, nt, SerOnE égales  entr elles: de
Partane, puisque IIM X MIh =ZNXNI, il s’ensuit que
MFIX FIm = NLFLn.
LBCOTCI
F 160 41.
P R ODOSTTTON V.
pto du eroctes opposees, deux droites MfI
NVL, paralteles entrelles ex terminées par un asymptote; ex
deux autres droites WIH, NTI, aussi paralleles entrelles, ex
terminées par l’autre asymptote; je dis que les rectansles
98. S1 Von mene par deux points quelconques MI, V, d’une

## Folio 61 — 884859711:0083
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DE LTIY B ER BOLE.
TTMEMH. NLZHI, sont écaux entreux.
Certe Propolition le proure de la même maniere que
la precedente, et il n’y à rien à chanser dans la démon-
Sration.
COROLLATRE I.
99. Sr les droites MFZ, MIB, EE NZ, NI, TONE P2. F1O, 42.
ralleles aux deux alympeoces; il est clair que les paral-
lelogrames MFTCh, N ZCI, austi-bien que les trian-
oles CTTM, CZN, qui en sont les moitiés, Pone éraux
entreux; puisque les cores de ces parallelogrammes au
cour des angles egaux ILMLh, L NI, Conc réciproque
men proporrionnels.
COR OLLATRE. TI.
100. I ES mêmes choses erant posées que dans le
Corollaire précedent, il est visible que CTTZTIMI=
CEXZN: puisque dans cerre suppolicion NIh =-CFI, &
V ==OT: c’est a dire, que si l’on mene par deux points
quelconques MI, X, de l’une, ou des IIrperboles op
Dotces, deux droites MTT, XZ, paralleles à l’une des
aErmpeotes, ex cerminées par l’autre; les rectansles
CFZTTM, CEXEN, SCTONE TOujOUES CGaUX CHEPeuX; de
qu’ainsI CFT. CL:: ZN. MFI.
COROLLAERE TTI.
TOL. POISOVE l’extremité A du premier axe, est
un des poines de l’Fsyperbolc, e que la ligne AB, qui
coupcenO, l’alimprore CO, eAparallele à l’aurre alrmp.
core C8; il s’ensuie  que le rectanole CTLX FY MI seTa F Art. 100.
codjours égal au même rectansle COXCL, ou  au quar - + Art. 88.
ré CO, c’esta dire, selon la détinition r2, à la puissance de
lFyperbole. Si donc l’on nomme la donnée CG, m; et
les indererminées CTP, X; ZIM, y: on aura coujours
CTTXFTM (XY) ==CO (MM). OYCOIME CCFLC PFO
priece convient également à tous les points des FTyper-
boles oppolćes, et qu’elle en décermine la Posicion par
iiji

## Folio 62 — 884859711:0084
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L. LY R B YROISTEM P.
rapporr à les alympeoces; il s’ensuie que l’équarion
Xy =Mm eN exprimC PaTFAILCMENE La RAEUITC PAK FAP-
DOTE a leS aCYIMPEOTES.
COROLL A FRE IV.
102. LE Tuic de ce que TTMI (y) = mm
que pluSCTI
(X) augmenCe, pluIS AU CONETaIrC FZZT (y) diminué; de
TOrte que CFY (x) erane intiniment grande, TY M (V)
sera alors intiniment perice, c’est a dire, nulle ou ZCrO.
D’oi l’on roit que l’ITyperbole AMV, X Pon a(ymPEOTC
CFI. (etant prolonsees) s’approchent de plus en plus,
de Porce qu’entin leur distance deriene moindre qu’au-
cune donnée; e que cependant elles ne se peurent ja-
mais rencontrer, puisqu’elles ne se joignent que dans
l’intini ou l’on ne peur jamais arriver. Il en est demême
pOur LaUEre ACYMPEOTE C8
COROLL ATRE V.
103. F VTREcoutes leslignes qui passent par le CentreC.
2. Celles qui, comme Aa combene dans les angles Faits
par les asimptores du coté des FIyperboles, rencontrent
chacune des Fyperboles oppoléesen un seul poinc A, ou
a;e étant prolonsées, elles passent au dedans de ces IIy
perboles. Car a cause des angles OC, 3C, et de leurs
oppolés au lommet, il est clair que la ligne La, s’éloione
de plus en plus de l’un e de l’aurre alrmprote; au lieu que
Art. 102. les HIperboles oppolées s’en approchent coujours  de
plus en plus. 2. Celles qui, comme Bb, combene dans
les angles d’a coré, Fairs aulsi par les alrmpeotes, ne peu
vent jamais rencontrer les Frperboles oppolées, quoi
qu’on les prolonse à l’infini; puisqu’aucun des points des
Flyperboles  ne peut tomber dans ces angles.
D’oi l’on roit que tous les premiersdiametres, tom-
bene dans les anoles fairs par les Asymprores du coré des
FIyperboles, et que les seconds combene dansles angles
d’a Corc.
Art. 92.
Des. 9.

## Folio 63 — 884859711:0085
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DE L Il Y P E R B OL E.
COROLE A FRE VT.
104. Sr P’on mene par un poine quelconque FY, de FrC. 43.
l’une des asymprotes CF, une parallele ITNI, à l’aurre
C’es elle ne rencontrera lF Typerbole qu’enun scul poine
M; X ctant continuée, elle passera au dedtans. Car la
distance de Ce, demeure par touc la même, au lieu que
lFIyperbole s’en approche coujours de plus en plus. = Art. 102.
C OROLLATRE VII.
105. De. L A il est érident que Si par un point quel.
conque M, d’une Hyperbole, l’on mene deux droites
indétinies MFT, MTh, paralleles a les a(YIPEOTESC e, CF.
V. Tous les poines de l’Hyperbole qui lui est Oppo-
sec, comberone dans l’anole Fs MTh; puisqu’ils combene
tous dans l’angle Fair par ses alymiproces, lequel eAt + ArI. 92
rentermé dans l’angle FIMTh.
20. Les deux portions de l’FIyperbole, comberont dans
les deux anoles à coré de celui-ci; ainsi aucun de ses points
ne combera dans l’ansle oppolé au commet à l’anole
TTNIB.
. Touresleslignes qui, comme MIF, combene dans l’an
ele MTh, renconrent (étant prolonsées du coré de FY
PFIrperbole oppolée en un poine V, e passent au dedans;
puisqu’elles s’écarrent de plus en plus des droites NITI,
MTh, epar consequent de les deux asymptores qui leur
Pont paralleles: mais érane prolongées de l’autre core du
PointMs, elles enerent au dedans de l’FIyperbole qui passe
par ce poine, e ne la rencontrene jamais ailleurs.
4. Toures les lignes qui, comme Fe, combent dans
les anoles à coré de l’angle FTMTh, rencontrent les deux
alympeoces de l’HIyperbole qui passe par le poinc MI; ainsi
lorsqu’elles passene au dedans de l’une de les portions,
elles la rencontrent neceslairement en quelque poine W.
puilqu’elles ront rencontrer l’alymprore qui combe au
dehors de cerre porrion.

## Folio 64 — 884859711:0086
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LEVRE TROTS TE ME.
COROEE A ERE VTTI.
206. V. Sr P’on mene par un poine quelconque M.
d’une Eyperbole, une ligne droire Ff, qui FeNCOHEre
l’une de les alymproces au poine F, et l’une des alymp-
cores de lIsyperbole oppolée au poine f; et qu’on la
prolonse en N, en Torre que fN, Soir égale à FM: je
dis que le poine N, sera à l’HIyperbole oppolée. C ax
la lione Ff, combe dans l’anole TTMTB, _E FeNCONETC
par consequent l’EIrperbole oppolée en quelque poine
N, comme l’on vient de démonerer dans le Corollaire
Precedent. DOnC = _C.
2. Si l’on mene par un poine quelconque nV, d’une
FIyperbole, une ligne droice Fc, terminée par lesalymp-
Eores, ee qu’on prenne lur cerre ligne, la partie eN, Cga-
le à F MI: je dis que le poine N, sera encore l’un des
poines de certe FTyperbole. Cax MCMANE NIFT, paralle
Je à l’asympeore Ce, e terminée par l’aurre en H, si
P’on prend lur cetre autre alimprote, la partie CL, Cga-
le aTTF, e qu’on eire FN parallele à FTMI; on a dé-
monere dans l’arricle rog qu’elle renconerera l’IIyperbo-
le en un point N, e dans l’article 100. que ce pointsera
tel que OE On TTF. HINT:: OET Ou EL. CNs dou l’on
voit que la ligne ZW, rencontre lIIrperbole dansleme
me point ou elle rencontre la droire Fe. Mais à cause
des paralleles FTMI, CW, il est clair que eN == FMI,
puisque CZ ==FTB. DOnC _C.
P AOTOSITIONVI
Problème.
107. ’Or point donné M, sur une FTyperbole dont les
asymptotes CF, Ce, sont données; mener la tanzente DMd:
ex démontrer qu’on n’en peut mener qu’une seule.
Arant mené du poine donné M, une parallele NTI,
à l’une des a(ympeores Ce, e terminée par l’autre C F,
au point FY; on prendra sur cerre alymptote, la parcie
21
14
Art. 95.
F16. 43

## Folio 65 — 884859711:0087
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DF LTI Y PE R B OL R.
FTD érale à FYC; on tirera par le point donné MI, la
droice Dns, qui rencontre l’asymptore ce en un poine
d. Je dis en premier lieu, que cecce ligne D Md, couche-
ra PTIrperbole au poine II.
Car à caule des Trianoles semblables CDd, ETDMI;
la ligne Dd, terminée par les alrmprotes, est divilée
en deux parties érales par le point M, de même que
CD, lett en FP. Or s’il éroir possible qu’elle rencontrat
lFyperbole en un autre poine O, il est clair que Od,
seroir Egale à M D, e par consequent à M d, c’est a  Art. 95.
dire, la PartiC aU FOUE; ce qui ne pourane étre, il s’en-
suic que la lione Dasd, ne peur renconerer lT syperbole,
qu’au seul poine M. De plus, si elle passoit au dedans,
comme la lione Fe, il est risible qu’elle rencontreroit
la portion de lFIyperbole, au dedans de laquelle elle pal.
seroir en quelque PoineN; pui(qu’elleirOit, TeNCOHETer en
un poince, l’alrmpeore ce, qui combe au dehors de cer- + Art. 9Y.
ce portion. II est donc éridene que la lione D d, ne ren-
contre l’FIyperbole, qu’au seul poine MI, e qu’elle n’en-
ere point au dedans; c’est a dire, qu’elle est tansente en
CC PoinE.
Je dis en second lieu, qu’il n’y a que la seule ligne
DMd, qui puisse coucher l’EIyperbole au POInE M; CaF
(i l’on prend sur l’alympeoce CP, la partie TYF, plus
grande ou moindre que FXP, e qu’on rire par le poine
donné MI, la droite FMI, qui rencontre l’autre alimp
Eore Ce, au poince, il est clair à cause des paral-
leles NTFZ, CE, que NVF sera plus grande ou moin-
dre que Me; puisque FTF a été prile plus orande ou
moindre que FY D ou que TZC. Or cela polé, Si l’on
prend sur la plus grande parrie MLC, le Poine N, en
Porre que N e loit egale à MF, il est evident que ce
Point sera encore à lFIyperbole, et qu’ainsi la ligne FC, + Art. 10C.
ne la rouchera poinc au point M. Ce qui restoir a de
MOHETET.

## Folio 66 — 884859711:0088
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L TVRE TROZS FF M P.
R E H A R O V F.
108. Or 2 demontre dans l’arF. 102. que pluS CFY
derient slande, plus au contraire JIMI diminué; de
TOrre que CFP erane infinimene grande, JIM devient
intinimene petite, c’est à dire, nulle OU ZCTO. OFCFI
étane infiniment grande, FY D (qui lui est égale) la sera
aulti; ex par consequene les lignes NTD, FTD, qui ne sC
rencontrent que dans l’intini, pourant etre regardées
comme paralleles, comberone l’une sur l’autre; puisque
le poine M le contond alors arec le poine FT: c’est
d dire, que l’alympeore CP, étane proloneée à l’in-
fini, aussi- bien que lI syperbole, peur etre regardée com-
ie une lione qui la Couche danS TOR CZEFCMICE. II en est
de même de l’autre alrmptore ce, laquelle peut CErO
regardée comme touchane la même lIyperbole dans
PON aUEre exEremitÉ.
D’ou l’on roic que les deux a (ypEOces Peurenc etre
regardées comme des rangences infinies, qui couchene
les Fyperboles oppolées dans leurs exrremités.
OR OLL A E R E L.
189. CC OMME il n’y a que la seule ligne D M d, la
quelle étane cerminée par les asymproces, Poit coupée
en deux parties ésales au poinc M; il s’ensuie que s une
lione droite D ML d, terminée par les asympeotes d’une
EIyperbole, la rencOnEre en un Point MI, qui COuPC CeF
ce ligne droite en deux parcies ésales; elle lera tangence
de cetre Fyperbole en ce Point. PE rÉcipEOquemenE que
Si une ligne droite DMId, termince par les a(ympeores
d’une FIyperbole, là couche en un poine M; elle sera
coupéc en deux parties égales par ce Poine.
COROLLAFRE. TI
XIO. Sr pat Le poine rouchane MI d’une tangente
quelconque DMt d, terminée par les alyMPTOTES CL,
F16, 44

## Folio 67 — 884859711:0089
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DE LL= LF LRBO L P.
Cl, d’une PTyperbole, l’on mene un premier diametre
les CMD, CmF, Teron Kblables a cgaux, puilque
CMt est ésal d Cm. La Hone mE, sera donc coale a
D. On prouvera de M.Ce (a cause des crianeles
MId. C’est pourquoi la ligne Pe est dirilée en deux éga-
LemenE au Poin m; puilque D d l’est au POInE M. LC
par consequene elle sera LanSenEC Cn m.
D’oi l’on roir que les cangentes D d, ec, qui Panel
par les extremités d’un premier diametre quelconque
Mm, Tone paralleles ener elles; e de plus égales, lort
qu’elles lont cerminées par les alympeotes.
Arr. 96.
ATCm; ec que par le poine m; ou il rencontre lIIyper
bole oppolće, l’on ene e Paranete L, à la cangemce
Dd, terminée par les a(rmpeores aux Poines F, e: je dis
que cetre ligne lera cangenre au poine m. C ar les trian-
semblables a égaux CATd, Cme) que me est égale à
E E F N E F E O N 5.
Art. 209.
S’il y a aeua caectes Mm. 55, donc l’un 55, Coit F10. 14
parallele aux cangences qui pastene par les exeremités de
l’autre MIm; e de plus cerminé en S, s, par les droices
NTS, MIs, menées de l’une des extremices M du dia-
metre MIm, Parallelemene aux a(pmpeotes: ces deux
diametres MIm, Ss, serone appelles entemble conju-
Eues.
opposées parallelemene à l’un des diametres conjugués,
e cerminées par l’autre, lont nommées Ordonnées a cet
AUEFC. AInA NO, est une ordonnée au diametre Mm.
5
Si Lon prend une croilieme proportionnelle à deux
diamerres conjueués, elle sera le Parametre de celui qui
est le premier cerme de la proporrion.
Leslisues droites mences ces penus ces lisperboles

## Folio 68 — 884859711:0090
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L FVRE TROTSFE MF.
DOR OEL ATRE I.
TTI. L a definicion r3 conviene aux deux axes; puis-
que selon l’article 84. le second axe est parallele aux
cangentes qui passene par l’extremité du premier; et que
de plus, selon la détinition I1e, il est cerminé par deux
droites menées de l’une des extremirés du premier axe,
parallelemene aux alimprotes. D’ou l’on roic que les
deux axes peurent etre regardés comme deux diame-
tres conjugués qui Fone ener eux des angles droits.
COROLL A LR F II.
IT2. Comme le diametre SCs, est paraltele à la tan-
Sente DMsd, qui passe par l’une des extremicés M du dia-
MCErC NFCM, que Cette tangente rencontre leS deux
asimprores CD, Cd, de lFIyperbole, qui passe par le
DoinE ar: il s’ensuie qu’il combe dans les anoles a core
de l’ansle DCd, Fair par les alymprores de cerre IIy-
perbole; Ec qu’ainsi c’est un second diameere.
D’ou l’on roit qu’entre deux diamerres conjugués
MCm, SCs; il y en a coujours un premier MIm, et un
second 55.
COROELATRE IIL.
TI3. L E Second diametre SC5, est coupé par le mi-
lieu au centre C, e de plus égal à la cangente DMI d
qui passane par l’une des extremités M du premier dia-
metre ulm, qui lui est conjusue, est cerminée par les
asympeotes. Car d cause des paralleles MIS, Cd, eE M5.
CD; il est clair que CS est égale a M d, e C5 a NID.
Arr. 109. OL Dusa, elt dirisée en deux parties ésales au poine
couchane MI. DOnC_C.
CONOLLALRE IV
14. Drux diamectes conustes Mm, SS, CTanE
donnes, a lcachant lequel des deux est un premier dia-
metre; il ne taur pour aroir leSalympTotes CD, Cd, que

## Folio 69 — 884859711:0091
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DE L TEYPERBOLE.
cirer par le centre C, des paralleles aux deux droires
MS, MIs, menées de l’une des extremicés MI, du pre-
mier diameere MLm, aux deux excremites S, 5, du se-
cond.
EE réciproquemene les deux a(mMPEOTeS CD, Cd,
d’une FIyperbole étane données, avec l’un de les points
XI; il ne Faut pour avoir deux de ces diametres conju-
ouez ACOm, SC5, que cirer MFY Parallele à l’une des
alimpeoces Cd, qui rencontre l’autre a (ympEOTE CD en
TF; e l’arant prolongée en S, en POrte que FYS POit
egale a TY MI, mener les droires CMI, CS. Car tiraNE
MTD Parallele a OS, il est clair a cause des criangles
semblables OFTS, MITTD, que FTD est egalC a FIC;
puisque MZY est égale a FS; et qu’ainsi = MD eA + Art. 107.
Tangente en MI: d’ou il suit selon la detinition 13C, que
les lignes CM, CS, sone deux demi-diametres conju-
BUCZ.
II est donc éridene que deux diametres conjusuez
MIm, S5, étant donnés de position e de grandeur, et
Pcachant de plus lequel des deux est un premier diame-
ErC; On a les deux a(ympeores CD, Cd, avec l’un des
voines M, de l’une des Iyperboles oppolces.
Ee réciproquement que les alymptotes CD, Cd,
d’une FIyperbole érant données, arec un de les poines
MI; on a deux de les diametres conjuouez MIm, 55, de
posicion ee de grandeur; e l’on sçair lequel des deux est
un premier diametre; sçavoir, celui qui passe par le point
donne M.
COROLLATRL IV
215. On second diamerre SCs, étant donné de po-
sirion, pour en décerminer la grandeur, de trourer le
Premier diamerre Msm, qui lui est conjugué; on luime-
nera par tout ou l’on roudra au dedans de l’anole taut
par les alympeores, une parallele LI, terminée par les
alympeores en Z, l; ex par son poine de milieu O, le
premier diametre CO, qui renconcrera l’Hyperbole en

## Folio 70 — 884859711:0092
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000092.jpg
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LTVRF TROTS FB M F.
un point M, par lequel ayanc ciré les droires MS. MI S.
Paralleles aux asymprores; il est clair, selon la definirion
13E, que les poines S, s, oit elles rencontrent le second
diametre Ses, donné de polition, en décerminene la
grandeur, et que le premier diameere MOm lui eA
conjuoué. Car menane par le poine MI, la ligne Dd, Pa-
rallele à ZI, ex cerminée par les alymptoces, elle sera
coupée en deux égalemene au point Ms; puisque LI
Art. 209. l’est au point O: et Partane  elle sera tangence en M.
De.la, il est éridene qu’un second diamerre SC5,
érane donné de position, la grandeur est déterminée en
force qu’il ne peue en avoir qu’une seule; comme aussi la
grandeur ex la policion du premier diametre Mm, qui
lui est conjugue.
C OR OLL A YR F V.
126. IIn Second diametre SCs, étane donné de po-
sicion et de grandeur, avec son parametre, e la Posi
tion de les ordonnées; il sera facile de trourer de posi-
tion e de grandeur le premier diametre MIOm; qui
lui est conjuoué, arec son parametre. Car ayane mené
Par le centre C, une parallele indétinie aux ordonnées
du diameere Ss, on marquera sur cerre ligne deux poines
N, m, csalemene eloignés de part e d’autre du cenere
C, en Porce que Mm, Poic égale à la moyenne propor-
cionnelle entre le second diametre Ss, de lon parametre.
Puisayancerouré une rroilième proporrionnelle aux deux
lignes MLm, S5, il est clair, selon les détinitions r4 eC 15,
que Mm, sera le premier diamerre conjuoue au diame
Ere S5, e qu’il aura pour son parametre cerre croilié̀me
proportionnelle.
R01051I1OA VI
TheOreme.
11). L quarre d’une ordonnée quelconque ON; au pre-
mier diametre Mm, est au rectansle de MO par Om, par
F16. 44

## Folio 71 — 884859711:0093
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DE LFI F P E R BOL E
res de ce diametre prolonsé; comme le quarré de son conjueué
55, est au quarré de ce premier diametre Mm.
Il faut prouver que ON. MOKOm:: S5. Mm.
Arant mené par l’une des extremites M, du premier
diameere MIm, une parallele Dd au second diametre
Ss, cerminée par les asympeores; elle sera Fangente en
ML, Selon la definition 13C. EF par consequent = elle ler2 + Art. 109.
coupée en deux égalemene par ce point: c’est pourquoi,
si l’on prolonse l’ordonnée ON (qui lelon la detinition
14. est parallele au diametre S5) de part e d’autre du
diametre MIm, eIle FeNCOnEreTa leS aFYMPEOTeS en deu
Poines Z, l, qui seront égalemene éloignés de part _
d’aurre du poinc O. Cela posé, (oiene nommées les don-
nées CML, Ou CM, L; CS, Ou C5, Ou = NVD, Ou MI d, + Arr. 813.
c; e les indéterminées CO, X; ON, y; on aura à caule
des criansles semblables C D, COZ; CettC prOPOT-
tion: CM (+). D (C):: C0 (X). OL Ou O1 = =. DOnC
ZN ou ZO == ON = = = y, _ NI Ou OI=F NO
et =FyS EEPAFEANEZNXNI = ceam
 =Yy == = DNIXMId + Art. 90.
==cc. D’ou il Tuie que ON (Yy). MIOKOm (XX = W)::
55 (4CC). Mm (471). Puis qu’en muleipliane leS FXETE.
mes e les MOYeNS, ON TrOuve 41tYY = 4CCXX - 4CC1I.
c’est a dire (en divilane par 4 e, X cranspolane à l’ordi-
naire) l’équacion même precedence ccun
qu’il falloit démontrer.
yy ==66. C0
COROLLATRE GEHERAL.
118. IL est visible que ce qu’on a démonere dans la
Proposition seconde par Fapport aux deux axes Aa, Art. 79.
Bb, s’écend par le moven de certe Propolition à deux
diamerres conjuoues quelconques, m, S5. Ox COm
me les articles 80, 81, 82, 83, 84X85, se tirene de la
seconde Propolition, e subsistent également, soit que
Pansle ACB, toit droir ou qu’il ne de Poit pas; il s’en-

## Folio 72 — 884859711:0094
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C. TV R E TR OTSF EM F.
suit que li L’on lappose dans ces articles que les lignes Aa,
Bb, au lieu d’étre les deux axes, Poiene deux diameeres
conjusues quelconques, ces arricles lerone encore vrais
dans cerre supposicion: car leur démonstration demeu-
re coujours la même; et il ne taur pour s’en conrain-
CTCCNEICTEMENE, que leS TELITE CN MCTLANE Pax TOUE O
se rroure le mor d’Axe, celui de Diametre.
PR OPOSTTION VTII
Theorème.
TTg. SOTENT deux tansentes quelconques DF, FCF.
d’une FTyperbole MR, terminées par les asymptotes, e qui
s’entrecoupent en un point O; je dis que les cores des triansles
CDE, CFCF, autour de l’anzle commun C, sont réciproque-
ment proportionnels.
Il faut prouver que CD. CF:: C (7. CF.
Ayane mene par les poines touchans MI, A, les Pa-
ralleles MFP,  L, à l’asrmpeore CO; il est clair à cau-
se des triangles lemblables CDF, FTDHL, que CD est
double de C. FT, et C F double de HMI; paisque D B
Arr. 209. est  double de DMT. Fc à cause des crianoles sem
blables CFO, L F A, que CF CA double de CL, _C
Art. 100. double de L A; puisque FO, est double de F 1. Or
CFT. CF:: Z A. FTNT. FC parcant si l’on prend le dou-
Ble de Chaque TERMC, ON aUTA ZCFY OU CD. LCZ ou
CF:: 2L A Ou CO. ZFYML Ou CF. Ce qu’il falloit exc.
C OR OL L A LR F.
120. IE suie de cerre Proposition que les droires DO,
FF, ConE paralleles entr elles. D’ou il est évidene:
20. Oue les rriangles CDE, CFO, PONE éTAUX; CaP
les triangles FDF, FGF, qui one la même base F F
e qui POnE enere les mêmes paralleles DB, FF COne
EgaUX; Ft ParEanE, si l’on ajoure de pare de d’aurre le
Eme
F16. 45.

## Folio  -  — 884859711:0095
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..
...... .. . . .
. e
ar
2
+L
P.
Clanche 6. pag 72. ........................................
e
 T.
. Se
4.
...
.......

## Folio  -  — 884859711:0096
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  i
  s siul
III1
Mtiat seAHI
s
s
eeeeeeee
atur: Leitn. Mar9. 155, 19C
GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ BIBLIOTHEK
NIEDERSACHSISCHE LANDES

## Folio 73 — 884859711:0097
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DE LHIX P ER BOLP.
même crianele C FF, on formera les trianglesCDF,
CFG, Qqui lCTONE CGAUX CNEFeUX.
2. Oue la ligne DE, est couppéc en même raison
aux poines NI, O, que la lione FO l’est aux points A,
O. Car menant par les poines rouchans la droire MI A,
il est clair qu’elle sera parallele aux deux droites DO,
F F; puisqu’elle couppe par le milieu les droites DE.
FC, rentermées enere ces paralleles.
P R OPOSITION IX.
Theoreme.
T2T. Sr par un point quelconque MI d’une FTyperbole, F18. 46. de
l’on mene une ordonnée MP à tel de ses diametres Ra que
l’on voudra, es une tangente MT qui le rencontre en T; je
dis que CP. CA:: C R. C T. en observant que les points
P, tombent du même coté du centre C, lor(que la liene Aa
est un premier diametre; es au contraire qu’ils combent de part
es d’autre du centre, lorsque c’est un second diametre.
Premier cas. Lor(que la ligne Aa est un premier dia F26. 46.
metre. On prolonsera la cangence Ms 7 jusqu’à ce qu’el
le rencontre les alrmpeotes CD, CG, aux points D, F;
e l’ordonnée PM, jusqu’à ce qu’elle rencontre l’alump-
EocCC D au Point N; on menera enluire par le poine Ala
ligne AR, Parallele à DF, qui rencontre l’asymproce
CO au POInE K, e la tansente FC cerminée par les
asympeores, qui sera parallele = à PML, _ qui reNCONErE  Def. 14.
Qu POINE O l’aLErC LaNGCNLE DF.
Celapose, A P est a AC, On FN a FC, en raison com-
Dolee de EN à FD, ou de OnT aOD, Ou  de 0 A206, Ou + art. 120:
de FKd FG, _ de FD d FC, Ou = deFOd FC. Ox AT eA a + Art. 120.
TC, OU RE a FC, en raison composee de F K à FC, X de
EOdEC. DOnC AP. AC:: AT. TC. Puilque les raIIONS
compolances de ces deux raisons sone les mêmes; et par
conlequent 1P Y 4C ou6P. CA:: AT- + FC ou
CA. CF. Ce qui étoit proposé en premier lieu.
47.

## Folio 74 — 884859711:0098
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4
LTV R E TROZS TF M E.
Second cas. Lorsque la lione Aa est un second dia
MeErC. Ayanc mené par le centre C la ligne CK pa-
xallele à l’ordonnée PM, qui renconere l’Fsyperbole au
poine B, X la TanGeNEC MIY au poine R, ex par le poine
couchant Ms la lione M K parallele à Aa; il est clair
que CB sera le premier demi diametre conjugué au le
cond Aa, e qu’ainsi MK sera ordonnée à ce diame-
ErC.
Cela posé, si l’on nomme les données C A ou Ca,
i: CB, c; _ les indéterminées C P On NTK; X; PNI
Ou CK, y; on aura selon ce qu’on viene de démontrer
dans le premier cas, CR =- ==; _L PaFLAHE RR OU CK
CR = 37 =c Ox les exiangles semblablos XR MI,
CRZ, dOnMeNE KR (33 = =). RC ():: ML K (X).
7-
CXX
1
3y= Cc = =. CH HCCEAHE POUF yy =CC la raleur
tirée de ce que yy = + cex  + Cc. C’eAt d dire
que CP. C A:: C A. C T. Ce qui restoit a démontrer.
ROD OSIPION X.
Theorème.
1V. 46, d 222. St par un point quelconque M d’une FTyperbole qui
(9. a pour centre le point C ou même une ordonnée MP à l’un
ou à l’autre axe Aa, es une perpendiculaire MIC7 à la tan-
sente MT, laquelle passe par M: Je dis que C P sera tou-
jours à PC en la raison donnée de l’axé Ra à son Para-
metre.
Cax nommane le demi- axe C  ou C a, +; e les indé.
Art. 121. terminées CP, X; P ML, y; On aura = CY = =; EF par-
CAHE DX = ~n =1  selon que A a est le premier ou le
Second axc. Or les triangles rectangles semblables
TPML, M PO, donnent Z L
(  
. PMLy) :: PML
F16, 47.
 118.
+ Art. 80. CCXX

## Folio 75 — 884859711:0099
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(γ). PC
(X). PO
DE LTIYP ER BOL P.
TF DOIL PON FIrE CCTtE PrOPOrtiON CF
(nu = FA):: CP F CA (XX =F= ot ). PNI (gy).
puisqu’en mulcipliane les moyens ex les exrrèmes, on
crouve le même produit xyy. Nais C P =FCA est d
PNI, comme = l’axe Aa est à Con parameere. Donc + Art. BY
CP est aussi à P C en cerre même raison. Ce qu’il falloit
demonerer.
PR OPOSITION XI.
Theoreme.
223. S+ d’un point quelconque M d’une FTyperbole, l’on FLC. 54
rire à ses deux foyers F, E, les droites MIF, ME; je dis que
la tancente MY, qui passe par ce point M, divise en deux
ézalement l’anele FMF.
Car ayane mené les perpendiculaires FD, Fd, Tux
la cansence MI7; le premier axe 1a, qui passe par les
Foyers P, f, et qui rencontre la cangenre en 7: e l’oi-
donnée MIP, d CeE aXC: On nommera les données C 
ou Ca, L; CF ou CF, m; X l’indeterminée CP, X.
L’On aura M F  (mu
= 1). Mf
ma
-+7):: ZF Ou CF = Art. 78.
(m) - C7 + (==). YfOu Cf (M)- + C7
). Pui(qu’en + ArF. 121.
mulcipliane les exrrèmes ex les moyens, ou forme le
même produie. Or les triangles rectangles semblables
TFD, Yfd, dOnneNE Z F. Zf:: FD. fd. Phypoche-
nuse MTF du criangle rectangle MD F, Sera donc d
Phypochenuse prf du criangle rectansle MIdf, comme
le COrC DF est au coré df; e par consequent ces deux
crianoles serone Lemblables. Donc les angles FNID.
Fard, qui sonc oppolés aux coceshromologues DF; df,
LEFONE EGAUX CNEP euX. Ce qu’il falloit démontrer.

## Folio 76 — 884859711:0100
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L10.3
L ZVR F TRO LS L F HE B.
C OROLLA FRF.
224. DDE. L A il est évident, que la FANGCNEC NIZ
étant prolonsée indétiniment de part e d’autre du poine
couchant M, laisse PFIyperbole AMI, toute entiere du
core de son foyer incerieur F. Ec comme cela arrive tou-
jours en quelque endroit de cerre FIrperbole qu’on pren-
ne le poine ir, il est vilible qu’elle Pera concare dans
toute son étendue autour de lon Foyer interieur F.
PROPOSITION XII
Fheoreme.
125. L a difference des quarrés de deux diametres conju-
rués quelconques Mm, SS, est ézale à la difference des quar-
res des deux axes Aa, BB.
II faut prouver que CS -CM =CB =C A, ou que
CN = CS =CA -CD
Def. I2. e Si l’on mene les droites IS, AB, elles seront paral
leles à l’asymprote C8, et de plus couppées en deux ésa-
lemene par l’autre aymptore CO, aux points TI, 6;
Dez. II. 8 puisque les lignes s, Ab, lont paralleles a certe asymp.
Arc. 213.
Arto 60.
Eote, _ que les seconds diametres Ss, Bb, POnE coup-
pes en deux également au centre C: C’est pourquoi si
l’on mene sur l’alymprore C6, les perpendiculaires AF
BF, MTZ, SK, On Formera les triangles BAF, BBF
eC FTMTZ, TISK, qui serone semblables e ćgaux. Ccla
Poté, Poiene nommées les données CO ou = CA, m:
GE OU GF, a; AF ou BF, b; e les indérerminées
CFL, x; FEM, Y: ce qui donne CF =m - t a, CF =
m = a; CF- + F B ou CB =mm t2 am- + aa - + bb,
CF - + F A Ou CA =mm = 2 am - + a a - + bb. FE Par-
TANE CB =C A= 4 am. Or les criangles semblables
GAF, TIME, FournissenE C A (m). AF (B):: TINF
(y). MLZ Ou RS = . FF CA (m). GF (a) :: ZIN
23.
13.

## Folio 77 — 884859711:0101
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DE LTI X P E R BOE F.
(y). TIZ OU TFK = 27. DONCCK = x - 1 =, OZ = X
CZ - + Z HL ou CMI = ~X -
raxy
m
a2y aayy
aacyy
bbyus
um m
bbgus
mnm. Et
PATTAHECS = CM = +avy == 4 aM, CH MCLTAHE POUF xy
Ta valeur = mm. DOnC CS =CMI =CB = CA; C0 + Art. 10L.
qu’il falloit démontrer.
Si l’ansle CC8, Fair par les asympeores, etoir aigu.
au lieu que dans cerre fioure ex le raisonnement qui lui
est approprié, il est obtus; C F seroit alors plus grande
que CP, et on proureroit de la même maniere que
CA -CS =C A =CB. Mais SI langle BCG FaIE pAF
les asympeotes éroir droir, il est risible alors que les li-
ones AB, MIS, seroiene perpendiculaires Tur l’asymp.
Tore C6; e qu’ainsi les deux demi-diamerres conjugués
CNI, CS, SCTOIEHE EGAUX CHEreuX, de même que les
deux demi-axes C A, CB. Or comme alors la difteren-
ce des deux diametres conjugués MIm, Ss, est nulle.
ausi-bien que celle des deux axes Aa, Bb; il s’entuie
que cerre Proposicion elt vraie dans cous les cad.
GOROLLATRE
126. DE. LA il est évident qu’un premier diameere
quelconque um, est moindre, plus grand, ou égal au
Lecond diametre Ss, qui lui est conjugué; selon que l’an-
ele 6C8. Fait par les alymprores, est obtus, aisu, od
droit.
D E F F N T YIO N
16.
Les deux TEyperboles oppolées lont appellées Equila
teres, lorque deux de leurs diametres conjurués quel
conques sone cgaux encreux; ou bien lorsque l’anole
Fair par leurs alymptores est droir.

## Folio 78 — 884859711:0102
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LTYRE TROES TE ME.
COROLE A TRF.
127. Sc d’un poinc quelconque ML d’une LEyperbo-
le équilatere, l’on mene une ordonnée MP a tel de les
Mametres a qu’on roudca, on aura = MP =CP 
CA: sçavoir = lorsque A a est un premier diamerre:
X-+, lor(que c’est un second. Car le diametre conjugue
Art. 126. au uatC Aa  lui sera coujours égal.
F26, 53. 54.
ec 55.
PROPOSITION XIII
Problème.
128. DEOX diametres conjurués quelconques etant don-
nés, es sçachant lequel des deux est le premier; ou ce qui re-
Arc. 224. vient au même, les asymptotes CD, CF, d’une FTy perbo-
le etant données, avec un de ses points quelconques M: me-
ner deux diametres conjueués A2, Bb, qui fassent entr eux
un angle ézal à un ansle donné.
Arant couppé dans un cercle quelconque qui a pour
centre le pointo, un arc def capable de l’angle DC F
Faie par les a(ypEOTeS; on menera par le poine de mi-
lieu e, de la corde af, la ligne ec qui Fase avec cerre
corde de parc ou d’autre l’ansle dec ou fec ésal à l’an-
sle donné; et par le poinec, ou elle renconere l’arc def,
les droites cd, cf. Cela Fait, on prendra sur les alimp-
tores les parties CD, CF, érales aux cordes cd, cf; et
ayanc tire DF, l’on menera le second diametre Bb Pa-
rallele à cerre ligne, e le premier diametre La qui pal
se par Con milieu F. Je dis que ces deux diaeeres Aa,
Bb, Fonc ener eux un ansle ésal à l’anole donné, ec qu’ils
Pont conjuoués l’un à l’autre.
Car par la construction l’anole def est égal à l’anole
DCF Faie par les asymproces; e par consequent les
crianoles DOF, def e DCF, dee, TOnE égaux e Lem
blables. L’angle BCa, que font enereux les deux dia-
merres Aa, Bb, se radonc égal à l’ansle D EC ou dec
F 1C.5
118.
 Art. 8T. 89

## Folio 79 — 884859711:0103
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DE LHIYDBR BOLE.
qui a éré fait égal à l’angle donné. De plus, si l’on mene
par le poine L, que je suppose erre l’une des extremi-
tes du premier diametre La, une parallele à DF; il est
clair qu’elle sera couppée également par ce poine, puil
que D F l’est aU POINEF; e qu’ain(I  elle sCTA LaNGEHEO = Art. 109
en A; d’ou il suit que les diametres Aa, Bb, (ONE CON- F Def. 13.
jugues.
est 1.
Maincenane pour décerminer la grandeur de ces deux
diametres, oncirera par le poine donné M, une paral-
lele MIK L au premier diamerre La, laquelle rencon-
Ere l’a(ymPEOTC OD au POInE K, e l’autre alympEote
CF, prolonsce au dela du centre C, au POInEL: de aYanE
pris CA mosenne proporcionnelle enere K M, M L:
il est clair  que le point  sera l’une des extremites du  Art. 94.
premier diametre La; ec qu’ainsi menant les lignes AB,
ab paralleles aux a(YMPEOEeS CF, CD, elles  decermine. = Def. 13.
ront par leurs poines de rencontre B, b, la grandeur du
second diameire Bb.
Comme l’on peut mener deux differences lignesec, et
qui Fassene avec la corde df; de part ex d’autre des an-
Sles dec, fec, cgaux a l’ansle donné, lorsque cec angle
n’est Pas deoic; il S’en(LIE qu’On POUTRA COCIOUFS EFOUVCE
alors deux differens diametres conjuoues La Bb, qui la-
tisferont éralemene, comme l’on voit dans les Agures 54.
ec 55. Mais il est à remarquer que les diametres conju-
sues Aa Bb, de la fg. 55. Ontune polition semblable par
cappore à l’alymptore CF, à ceux de la figure 54. PaF FaP-
POrE à l’autre alympeore CD; e que leur srandeur de-
meure la même dans ces deux differentes positions. Car,
1. Menane du centreo au poine e, milieu de la
corde df, la lione oe, elle sera perpendiculaire à cette
corde, e par consequene les aneles oec, oec, leront
egaux; c’est pourquoi cirant les rayons oc, oc, les
criangles oec, oec, qui one le coré de commun, les an-
SleS Dec, oec, _ leS COLES OC, OC, ESAUX CHEF EUX, au
rone aui leux eroisié̀mes Cotésec, ec, égaux. Les crian.
les fec, dec, qui ont les cotes ef, ed, X ec, ec, e les

## Folio 80 — 884859711:0104
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BC
LTVRE TROTSY F M FE.
angles fec, dec, égaux, seront donc égaux e sembla-
bles; d’oi l’on voir que l’angle ecf, ou ECF, de la fiou
re 55. est egal à l’ansle ecd, ou FCD, de la A5. 54. e
qu’ainsi la position du diametre 1a, de la A5. 55. Par Fap-
Port à l’alimprore CF, est lemblable à celle du diameere
Aa, de la Roure 54. PaF FapPOEE à l’autre alymPEOTC CD.
2. Si l’on mene dans la Aigure 55. la lione NII,
qui tasse avec l’asymptore CF, proloneée du core du
centre O, l’anole MTTC égal à l’anole AILC OU FOF,
de la fgure 54: il est clair que les lignes MII, NTk, de
la fioure 55. Teront egales aux lignes MZ, MVR, de la H-
sure 54; puisqu’on luppole que la policion du point M
pax raPPOrE aux alimptotes, est la même dans ces
deux fioures. Or l’ansle AVIZ, complement à deux
droits de l’ansle AIO, de la Figure 55. ou de ECF de la
figure 54, est égal à l’angle M Kk, complement a deux
droies de l’ansle ECD de la tigure 55. ou de FC F de la As.
54; Ec par consequent dans fg. 55. les deuxtrianoles ZNII
kMTK, qui onc l’angle en As commun, e les angles aux
Points L, K, éraux, seront lemblables: ce qui donne cM.
NIV:: RNI. MK. EE DaFEANE LMIXNIK ==IMZ ITK Ou
LNXNIK de la Roure 54. D’ou l’on voir  que les pre-
miers demi, diametres CA, C A, des fgures 54 e55,
TOHE COaUX. II en est de même du diameere B b; puis-
que la position e la grandeur dépendone de celles du
premier diametre Aa, auquel il est conjugue.
Comme l’on ne peur mener qu’une seulelione ec, qui
Fasse avec la corde dfde part ou d’auere, un angle ćgal
F10. 56. X a l’ansle donné, lorsque cet angle est droic; il s’ensuie
qu’il n’y a que deux diamerres conjugues Aa, Bb, qui
Ar. VI. Fassent ener eux un anole droit; e qu’ainsi ils seront les
deux axes. Mais le crianole def ou DCF, étant alors
iloscelle, le premier axe Ia dirilera par le milieu l’an-
sle DCF Faic par les alymproces; d’ou l’on voic que
pour crourer de position les deux axes, il n’y a qu’à ti-
rer deux liones droices Aa, Bb, perpendiculaires Cner-
elles, donc l’une d’elles Aa, divile par le milieu l’ansle
DCt
Art. 94.
57.

## Folio  -  — 884859711:0105
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Planche 7. pag. 80.

## Folio  -  — 884859711:0106
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a     e e p  1     eF . 17    17 1   p  12  puer 11 2. 17 2 11 2 1
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iOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ BIBLIOTI
DERSACHSISCHE LANDESBIBLIOTHEK
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1. Mlar9. 155,

## Folio 81 — 884859711:0107
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DE L FLXPERDOLF.
DOF, Faic par les alvitsplotes: après quoi l’on en decer.
era la grandeur, cohime on riene de l’enleisner pour
maniere. Soic menée parse point donné ml une paralle-
lc MISL a ca cs aIPIOLES CF, eE terminée par
l’autre D au poinc LI. Sore prise Tur l’alympEore CD,
la parcie O egau ala yenne proportionnelle entre
Soic egale à CO. II est évident que les lignes C A, CB,
seront les deux demi axes de policion ex de srandeur. + Art. 1O5.
COROLLALKL.
127. IL. est donc CMelene, 10. Ou’il n’y a que deux
dliametres conjuoués qui Fassene ener eux un angle droit;
e qu’ainsi il ne peut y avoir que deux axes. 20. Ou’on
Deut coujours trourer deux differens diametres conju-
Sues qui Fassent enereux un anole égal a un anole don-
ne, lorsque cet ansle n’est pas droit; que les deux pre-
miers ont une posicion semblable paF FAPPOTE à une
alimprote, a celle des deux auEres par rappore a l’autre
alympeore; d’ou il suie qu’ils sone lemblablement polés
de part e d’aurre des deux axes, puisque les deux axes
dirisent par le milieu les angles aits par les alympEOTes;
et qu’entin leur grandeur demeure la même dans ces
deux differentes policions.
les drametres consesues.
On peut encore crourer les deux axes de cette autre
CZI, EPM: d Toit cirée par le poinc c une parallele
ABa CF, celle que chacine de les parties CA, CB,
LACOPOSELLOA XIV.
Probleme.
Be
eSox diamertes consacus quelonques etant don-
nes, es sçachant lequel des deux est le premier; ou ce qui est la
même chose  les asymprotes de deux FEyperboles opposées étant + Art. 214.
données avec un de leurs points quelconque: décrire ces LTy-
perboles par un mouvement continu.

## Folio 82 — 884859711:0108
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l 26. 58.
LZY R E TR OLS L EM F.
DR E M L ER F M A N Y E R F.
On cherchera les deux azes, comme l’on vient d’en-
seioner dans la Proposition précedente; e l’on décrira
ensuite les FIyperboles oppoléessselon l’article 76.
SE CO N D F MI A N F F R F.
Soiene Aa Bb, les diametres conjuones donnés, en.
ere lesquels le diametre Aa eA le premier; ou bien C6,
Ce. les alempeoces données, avec le poine A, un de
ceux des FIyperboles oppolces. Arant mené par le poine
donné A une parallele AO, à l’une des alymiptores C8,
e terminée par l’autre en 6, on fera olisser le long de
l’asimptore CO, indétiniment prolonsée de part et d’au-
Ere du centre C, une droite FIR egale aCG, quientrai
neca par son extremicé JY une parallele IM à l’alrmip.
Eote CE, eE Par COn aMErC CXTTEMITE R, une drOITC RA
mobile aucour du poine fixe L. Je dis que l’interlection
continuelle XI des droites AR, FYMI, décrira dans ce
mouremene les deux Liyperboles oppolées qu’on de
mande.
Car à cause des crianeles semblables XTTMI, RO A,
OI AUTA CONjOUES R FT OU CG. FIHT:: RB OU CFT. CA.
EE PaFEANE CTTXTT NI =COXO A. LC point MI PCra
donc  un des poines de lIIyperbole qui passe par le
Poine donné 1, et qui a pour almptoces les droites
données C6, C8; ou de l’Hyperbole oppolée.
PROPOSITION XV.
Probleme.
I3T. L es mêmes choses etant données que dans la Propo-
sirion precedente; décrire les FTyperboles opposées par plusieurs
points.
DR E M FE R E NI A N L E R b.
Art. XOV.
F1C, 59.
soletu C0. CL, led alslpocs aoacco, e te

## Folio 83 — 884859711:0109
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DE LTIYPERBOLE.
point donné. Ayantmené par ce point  autant de lignes
DF, DF, D F, EC. Qu’on voudra, terminées par les
alimpeoces; ec ayant pris sur ces lignes droices les parcies
FM, FM, FML, eC. C5alesa AD, AD, AD, ec; sçavoir
chacune à la correspondante: il est clair = L~. Oue les r Art. 206.
DOInES ML, MI, ML, XC, seront à l’FTyperbole qui passe
par le point A, lorsque les pOinEs F, L, F, _c, Fomben
au destous du centre. 2. Oue ces FIyperboles ont pour
alrmptores les droites CD, C F. Faisant donc passer
par tous les poines MI, AI, ML, ecc. qui combene dans
l’ansle Fair par les alymproces, une ligne courbe, et
Par LeS auEreS pOinEs MI, AI, MI, EC. qui combenedans
l’ansle opposé au Commet à celui ci, une autre ligne
courbe; ces deux lignes seront les deux Lyperboles op-
polées qu’on demande.
SE CON DE NI A N L F R F.
Soient les lignes Aa, Bb, les deux diametres conju- F1C. 60.
sues donnes, entre lelquels Aa cA le second. AYant
pris Tur le premier demi-diametre C B prolonse indeti-
nimene du Core de B, de Petites partiesCF, LF, FF.
ecc. Egales entrelles, autant ex de celle grandeur qu’on
roudra; on menera par celui des points P, qui est le
plus proche du centre C, la ligne FP parallele à B A;
ec on prendra sur le second diametre La de part e d’au-
ErC du CeHErE C, auFanE de PerITeS PaKteS OP, PP, PF
ecc, contes égales a OP, qu’il Y a de PeTITeS PaTTCS C. F.
PF, EB, _C. Ayanc ciré CD perpendiculaire e cgalc
a CB, On menera par tous les pOins P, P, P, _C, des
Paralleles MIPML, NPML, NPMI, XC, au premier dia-
metre Bb, sur chacune desquelles on prendra de parE
e d’autre du poine P, des parties P M, P M, egales
chacune à la correspondante ED. Je dis que les deux li-
dnes courbes qui passene partous lespoines ur ain(Ierou-
ves, serone les deux Tlyperboles oppolées qu’on de-
mande.
Car nommant les données C A, t; CB Ou CD, C; et

## Folio 84 — 884859711:0110
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84
LEYRE TROTSTEME.
les indecerminées CP, X; PMI, y; les criangles Pen
blables CAB, CPF, dOnHeTONE cetre proportion
CA (1). CB(C) :: CP (X). CF =  Ex a cause du
criansle ECD rectangle en C, (en imaginane chaque
tirpochenule PD qu’on a omise de peur de contusion
dans la fioure) le quarré L D Ou P ML (γy) =O F (
it
Ar. 81. 85 =FOD (CC). La ligne PM sera donc  une ordonnée
118. au second diametre La, qui à pour conjusue le pre-
P16, 6l.
Desi 26.
mier Bb; e comme cerre demonstration conviene à
toures les lignes PML, puisquo chaque CP est conjourS L
la correspondante CE, en la railon de C A à CB: il
S’enluie _c.
Lor(que les diameeres conjugués Aa, Bb, TOnECGAUX
CnEP CUX, C’est a dire , lorsque les TIyperboles qu’on de-
mande lont équilareres; la construction derient beau-
coup plus aiséc. Car arant mené CD perpendiculaire et
égate à C, X tiré par un poine quelconque P du dia-
Tieere Aa une parallele ATPML au premier diametre
Bb; il n’y aura qu’à prendre sur cetre ligne de part eE
d’autre du point P, les parries PMI, PM, égales cha-
cune à PD, pour avoir deux points des Tsyperboles op-
Polées. Car a cause du trianole PC D rectansle en C ( en
imasinane chaque hypochenuse OD) on aura coujours
PD Ou DN =CP=FOD Ou CA; EE partanE la li-
Arr. 127. BHC P AL sera une ordonnée au second diametre Aa
qui a pour conjusué le premier Bb qui lui est ésal.
F16, 62.
eE
Soient deux Hyperboles oppolces LML, am, qui
ayene pour premier axe la lione Aa, et pour lecond
axe la ligne Bb; et loient deux autres Lyperboles oppo-
(Ces BS, b5, qui ayCHE AU CONETAITE POUT PrEMIEE aXC
la ligne Bb, et pour second axe la ligne Aa: ces deux
nouvelles Iyperboles B5, b5, lonc appellees Conjusuées

## Folio 85 — 884859711:0111
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DE LIIXPERBOLE.
aux deux premieres A M, am; e les quatre ensemble
sonc appellées FIrperboles conjuruées.
GOR OEEATRE.
132. IL est clair que les lignes Ba, Ab, ConE paral
leles; puisque les droices Aa, Bb, terminées par ces li-
OHCS, SCHErCCOuPenE en deux également au point C. + Def. 4. es
D’oi il suic, selon la definition re. que l’Fyperbole B5
conjusuée à AM, a pour l’une de les alrmpeoces la ligne
Ce alimprote de l’FIyperbole Ln; e pour l’autre, la li-
one c8 autre asymproce de l’Eyperbole LM indétini-
mene prolonsée du coré de C: puisque ces deux lignes
passene par le centre C, ex lont paralleles aux deux droi-
ces Ba, BA, menées de l’extremite B du premier axc
Bb de l’Eyperbole BS aux deux exrremités A, a, du le-
cond. II est donc érident que les deux droites C6, C8.
Paralleles a Ab, AB, indetinimene prolonsées de part
et d’aucre ducenere C, Tonenon leulement les alxpEOTeS
des Fyperboles oppolées AM, am; mais ausi des deux
autres BS, b5, qui leur (OnE COnjuBUCES.
P R OPOSITION XVI.
ThCOremE.
133. Sevon mene par un doint quelconque JI d’une asymp-
tote CC commune aux deux FLy perboles AMI, BS, une pa-
rallele MS à l’autre asemptore C8; je dis qu’elle rencontrera
ces deux FTyperboles en des points M, S, qui seront également
éloienés de part es d’autre du point II.
Car, 1~. La lignC MLS reNCOnErera = Chacune des FIY. + Art. 104.
perperboles AMI, B5, en un point. 2. A cause de lTIy-
perbole AMI, le rectansle= CTTXTTMF COXO A; d 2 + Art. 101.
cause de PFIyperbole BS, le rectansle CFTXTIS =
COxOB. DOnC, puisque =OB ==C A, il s’ensuie que + Art. 88.
OTTXTTS =CFIXFL ML; EE qu’ain AITTS = YY NI. CC
qu’il falloit démontrer.
Liis

## Folio 86 — 884859711:0112
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ZTVRE TROTSTF M F.
C O R OLL A F R F I.
234. Sr l’on mene des points ML, S, des deux LIyperbo-
les AM, BS, les diametres MOm, SCs, terminés par
les deux aueres TIrperboles am b5; il est clair  que le
diametre Sssera le lecond diamerre conjuoue au premier
Nm des deux IIyperboles oppolées AM, am; e reci-
proquement que le diametre um lera le second diame-
tre conjugué au premier Ss des deux LIyperboles oppo-
Sées BS, b5. Dou l’on roit que deux diametres conju-
oues quelconques MIm, Ss, de deux FIyperboles oppo-
Sées AMI, am, sont aussi deux diametres conjugués des
deux autres FTyperboles BS, b5, qui leur sont conjuouces;
avec cerre difference que le premier diameere MI m de-
vient le second, et qu’au contraire le second Ss deriene
depremier.
GOR OEL A ER F TI.
135. DE. FA il est manifeste que les FIyperboles con
juonées B5, b5, aux deux AM, am, passene par les ex-
tremités 5, s, detous lesseconds diametres SCs de ces
TEyperboles: X réciproquement que les Isyperboles AMI,
am pallent par lesextremites MI, m detous les leconds
diametres M Cm des deux FIrperboles B5, b5, qui leux
LONE COnjuSUEeS.
Art. 214.

## Folio  -  — 884859711:0113
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Planche 8. pag. 86.
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## Folio  -  — 884859711:0114
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000114.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 8 lines, status machine
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AIED WILHELM LEIBNIZ BIBLIOTF
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HEDERSALHSISLHE LANDESBIBLIOTHEK
Signatur: Leibn. Mlar9. 155, (114)

## Folio 87 — 884859711:0115
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000115.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 28 lines, status machine
OATRIEME LIVRF.
Des trois Sections Coniques.
D E F F N E F FO N.
N ehcene par le terme general de Section Conique,
chacune des crois lignes Courbes dont l’on viene
de parter dans les Lirres precédens; sçavoir, la Para
bole, l’Ellipse, l’FTyperbole ou les Fyperboles opposées.
R OPOSTTTON L.
Theorème.
136. St par lextremité A d’un diametre quelconque Ad F 1C. 63. et
d’une Ellipse, ou d’un premier diametre a d’une FTyperbo-
le, l’on mene une parallele A C à ses ordonnées PM, qui soit
égale à son parametre; es qu’on tire de l’autre extremité a la
droite aC, qui coupe en une ordonnée quelconque PM pro-
longée s’il est necessaire: je dis que le quarré de l’ordonnée P NI
est écat au rectanele de AP par PO.
II faut PrOUVer que P M = A P X PO.
Selon les articles +F X 55. du second Lirre, 8T X FI8.
du croisième, on aura Aa. AC:: ADXP a. PNI. OF
a cause des criangles semblables a AC, a PO, il viene
Aa. AC:: Pa. PO:: APX Pa. APX PO. DONC
PMI = AP X PO. Ce qu’il falloit démontrer.
COROLLAFRE I.
137. DE-CA il est crident que le quarre d’une or
donnée quelconque PNI à un diameere Aa es cOU
jours moindre dans l’Elliple, ee coujours plus grand dans
eAyperbole, que le rectansle fair du paramerre AC
+

## Folio 88 — 884859711:0116
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
DE
L LY R E OOA T R LFM F.
par la partie AP de ce diametre, prise enere son ori-
sine ou extremité , e la rencontre  de l’ordonnée:
Art. 7. et au lieu que dans la Parabole  ils Pont égaux. Or c’est à
cause de cette propriete, que Apollonius, surnommé le
Orand Geometre, à imposé aux Sections Coniques les
nOms gne nous arons marqués: car il a roulu donner
à entendre par celui de Parabole, la justesse ou exactien-
de; par celui d’Ellipse, le deftaut ou manquemene; et
par celui dFTyperbole, l’exces qui se croure dansla com-
Paraison des quarres des ordonnées PML, avec les rec.
causles correspondans PX A6.
PROP OSITTON II.
Theorème.
Ld. L ANS une. Fllipse tout diametre A2, ex dans les
FEyperboles opposées tout premier diametre a2 est divisé en
deux écalement par le centre C, es ne rencontre la Section
qu’en deux points.
On a démontré cetre Propolition dans les articles 50
du second Lirre; 96 X 103 du croisième.
P R OP OSTTTON TII.
Thcorème.
739. Ix ne peut y avoir qu’une seule tangente L AL qui
passe par un point donné a sur une Section Conique.
Cetre Proposition le erouve demontrée dans les arri-
cles 21 du Lirre premier; 56 du Lirre lecond; et 107 du
croitième.
u2e
Theorème.
20
F26. 65
F10, 66. d
tremités R, a, d’un diametre quelconque d’une Ellipse, ou de
deuX
240. LES Tangentes L AL, lal, qui passent par les ex-

## Folio 89 — 884859711:0117
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000117.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
DES TROTS SECTIONS CONTOVES. 89
deux FTyperboles opposées; sont paralleles entrelles.
Ceci a éré démontre dans les arricles 44 X55 du Li
rre second, et 10 du Lirre croisième.
PROPOSITION V
Theorème.
T4I. Ie diametre quelconque étant donné dans l’Ellipse
ou dans les FEyperboles opposées; je dis que la position du dia-
metre qui lui est conjurué, est déterminée, de maniere qu’il ne
peut y en avoir qu’une seule.
Car 10. Si la Section eAt une Fllipse, ou qu’érane les
Elyperboles oppolées le diametre donné aa loitun pre-
mier diameere; il est clair selon l’article 56 du Lirre se-
cond, e la detinition r3c du troisième Lirre, que Con
conjusue Bb sera parallele à la cangente L AL, qui pas
se par l’une de les extremités A. DOnc F_C.
2. Si la Sectioneraneles deux PTyperboles opposćes, le
diamerre donné Bb est un second diametre; la chole a
eré demontrée dans l’arricle ers du croisième Lirre.
C OROLL A TRF.
242. IL est donc érident qu’une section Conique
étant donnée avec un de les diametres, la polition des
ordonnées à ce diamerre, sera décerminée de maniere
que chacune n’en peuc avoir qu’une seule, et qu’elles
Tont eoutes paralleles ener elles. Car elles doivent étre
Paralleles dans la Parabolea la tangente qui passe par + ArI. 21.
l’orioine du diametre donné, et dans les autres  Sections +Def. 12, II.
au diamerre conjuoué au diamerre donné.
P R OPOSITION VI.
Theoreme.
KR une Flipse tout diametre Aa, es dans
les FEyeerboles opposées tout premier diametre A2 divisé
8 24, III.
Art. 139.

## Folio 90 — 884859711:0118
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90
L TY R P V A YR LF M F.
la Section en des portions AM, am, qui étant prises de
part es d’ autre de ce diametre dans des positions contraires,
sont parsairement semblables es égales entrelles.
Car aranc pris tur le diametre Aa (prolonsé lorsqu’il
s’agit des LIrperboles oppolées,) de part et d’autre du
Arr. 45. centre C deux parties quelconques CY, Cp, égales en-
55. 85. e itelles; e mené de parr e d’autre les ordonnees PNI,
Pm, il est clair que ces ordonnées sone égales entrelles,
Arr. 142. e que les angles CPMI, Cpm, Cont CgauX. Si donc
l’on concoit que le plan cpm separé de celui qu’on voie
ici, loit place de l’autre core du diametre La dans une
Polition contraire, en Porte que la droite Cp tombe sur
CP, _ pM, TUT PMT; il est risible que le poinc a combe-
Arr. 138. ld tur le point A, X le poine m Tur lE POinE NT. EC
comme cela arrivera coujours de quelque srandeur qu’oin
puisse prendre les parties CP, Cp; il s’enlint que tous les
Poines m de la portion am, comberont exactement sur
tous les poines ns de la portion AMI; _ qu’ainsi ces
deux porcions se contondront l’une arec l’autre. Ce qu’il
falloit demontrer.
PROPOSTTTON VIL
Theoreme.
16. 60,69. 144. Sr Pon mene par un point quel conque P d’un diame-
70. 75. tre R a d’une Section Conique (proloneé lorsque la Section
etant une FTyperbole, c’est un premier diametre) une paralle-
Je MIPM aux ordonnées à ce diametre; je dis qu’elle rencon-
erera la Section en deux points WI, VI; éxalement éloienés de
part es d’autre du point P, es non en davantaze: Et récipro-
quement que si une ligne MM terminée par une Section: oni-
que est coupée en deux ézalement par un diametre Aa en un
point P, autre que le centre, elle sera parallele aux ordonnées
a ce diametre.
Coci a éré démontré dans les articles 9, rr _ 20 du
Lirre premier; 43, 45 et 55 du Lirre second; 83, 85 et
2r8 du Lirre croilième.
T18.

## Folio 91 — 884859711:0119
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DES TROTS SECTIONS CONIOVES.
COR OE E A F R E L.
245. DDE. LA il est manifeste que si une ligne quel-
conque Ms nt terminée par une Section Conique, est
coupéc en deux également par un ciametre Aa en un
point r autre que le centre; toures les paralleles a cer-
ce ligne terminées par la Section, le lerone ausi.
PROPOSITION VIIL
Problème.
246. ONE Section Conique étant donnée, en trouver un
diamerre.
Ayantmené deux droices NI M, WW, paralleles en-
Er elles, e terminées par la Section; on tirera par leurs
poines de milieu P, 9, une ligne droire A a qui sera un
diameere.
Cax  le diamerre qui passe par le poine P milieu de X Art. 145.
ALM, doic ausi passer par le poine O milieu de W X.
C OROLLA TRE I.
247. Sr l’on mene en meme corte un alere alametre
quelconque D d; il est clair que la Section conique sera
une parabole lorsque Dd est parallele à La; une Ellip- +Def. 7. I.
Se Torsque Dd rencontre La au dedans de la Section; et +Def. 9. II.
entin une LIyperboler ou les Fyperboles oppolées lors- Def.9. III.
que les diamerres Dd, Aa, lC FeNCONEreNE en un poinE
Chors de la Section; e que dans ces deux derniers cas
le point de renconere C est le centre. Cela est une luire
des detinitions des diamerres de ces croislirnes courbes.
Lor(que l’Fllipse est donnéeroute entiere, il (uHIE POuF
avoir le cenere de mener un diametre Aa; Car la gran-
deur érane décerminée par la rencontre de l’Flliple, il
n’y a qu’à le diriser par le milieu en C. II en est de même + Art. 50.
lorsque lest yperboles oppolées lone données.
Mis
+ Art. 9E

## Folio 92 — 884859711:0120
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LEVRE QUA TREEM P.
C OROLLAERE TI.
248. DE. La il suie qu’une Section Conique eranE
donnée, arec un pointo tur le mêmeplan, on peut tou-
jours mener un diamerre D d qui passe par ce point. Car
il ne faur dans la Parabole que mener par le poinedonné,
O une parallele D d à un diametre quelconque Aa; eE
dans l’Flliple, ou dans l’EIrperbole, ou dans les TIyper-
boles opposées, une ligne droice D d qui passe par le
Poine donné O, ec par le centre C que l’On aura FrOUrE
par le Corollaire precedent.
COROLLA FRE III.
249 D E TA il es evidene qu’une ligne droite ML M
ne peut rencontrer une Section Conique qu’en deux
POIES AT, MI; e jamais en darancase. Car si l’on mene
par le poine de milieu P de la ligne Mt M un diametre
Aa, il est clair selon l’article 144, qu’elle sera parallele
aux ordonnées à ce diametre; d’ou il suit selon le même
article qu’elle ne peur renconerer la Section qu’aux deux
POInES M, MI.
Si la lione droire passoic par le centre C; on auroitre
cours à l’article 138. ou cela a deja éte demOneré.
COR OEE A FRF IV.
50. ONe Ellipse ou une Fyperbole (f9. 69. 70.) étane
donnée; crourer deux de les diameeres conjuoues Aa,
Bb; ec de plus mener les alymprores. CO, C8, lorique
c’est une Iyperbole.
AYant croure un diametre Aa par le moren des deux
paralleles MMI, N N, d mené par le centre Cune pa-
Def. 12, TI. Fallele Bb, à ces deux lignes: il est clair  que les diame-
es 14. III. Cres Aa, Bb, Peront conjugués; puisque les lignes MM,
NN, etant coupées en deux également par le diametre
Art. 144. Aa AUX POIHES P, O, LETOHE Ordonnces de Pare e d’au-
tre a ce diaMeErE.

## Folio 93 — 884859711:0121
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DES TROES STCTTONS CONTOVES.
Maintenant pour mener (fiz. 70.) les alymptores C6,
CSi On Fera APX Pa. PNI:: CA. CB ou Cb. OU
ce qui est la même chose) comme la moyenne propor.
Tionnelle enere AP, Pa, est a PMI, de même C A est a
CB Ou Cb. FE ayane tire les droites AB, Ab, on leur
menera par le cenere C les paralleles indetinies Ce, C6
qui seront les alympeores cherchées. Cax il est clair que
Bb Perar la grandeur du second diametre conjugue au  Art. BI. es
premier La; ec le rette est cridene selon les détinitions L.
13 ec 14 du croisième Lirre.
DRODOSTTION IX
Problème.
I5I. TJNE Section Conique et ant donnée, avec un de ses dia-
metres Aa; trouver la position des ordonnées PM à ce diametre.
Arane mené deux paralleles au diameere donné A a F16, 68. 691
qui en Coient eoalement éloionées de Part _ d’auEre, et
qui rencontrene la Section en des poines MI, ML; je dis
que la ligne M as qui coupele diameere donné au point
P, est ordonnée de part d d’autre à ce diaetre, pour-
ru que le point p ne combe poine sur le centre.
Car par la construction la lione MI MV sera coupée en
deux écalemene par le diameere A a au poine P; _ par
70. 1
consequene elle lera x ordonnée de pare e d’autre a ce  Art. 14+.
diaeEre.
On peur toujours par cecre maniere erourer la posicion
d’une ordonnée pnt a un diamerre donné Aa. C aE V.
Dansla Parabole ex l’F Iyperbole (f2. 58. es 70.) lorsque
le diamerre donné Aa est un premier diametre; il est
clair qu’à quelque distance qu’on mene de part ec d’au-
cre les deux paralleles au diametre Aa, elles renCON- + Art. 10. 20.
creront chacune la Section en un poine MI; puisque = la 84. 8 118.
Section séloiene conjours de plus en plus à l’intini du dia-
Metre Aa. 2. Dans l’EIlipsC (f8. 69.), e dans les FIy-
perboles opposées (fig. 71.) lorsque le diametre donné
M iis
33

## Folio 94 — 884859711:0122
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94
L TY R B OD A FRF F N F.
Aa est un lecond diametre: il est clair qu’on peut coli-
jours mener deux paralleles de part et d’aurre du dia-
metre La, qui coupent la Section chacune en un poine
ar, en corce que la ligne Me al renconere le diametre
donné La en un point P autre que le centre; puilque
dans l’Ellipse = les ordonnées du diametre Aa vont rot
jours en diminuane depuis le centre C julqu’en 2, e
qu’au contraire dans les Fyperboles oppolées  elles
YOHE COnjOUES en auSENEaME a melure qu’elles s’eloji-
SMCBE AU CEHETC C.
C OR OL L A L R F I.
252. D E. LA ON EirC (fZ. 68, 69, 70.)une nouvelle ma-
Diere de mener une tangente par un point donné A Tur
Arr. 248. Uine Section Conique donnéc. Car ayant mené par ce
point un diametre Aa, e trouré une double ordonnée
+ Art. 20, 20, AL P ML à ce diametre; il est clair  que si l’on mene par
44, 55, 84, le poine A une parallele à M M, elle sera tangence
a A.
COR OLL AF R F II.
153. DE. L A On voit encore comment une Fllipse ou
les FIyperboles oppolées (fig. 69, 70, 71.) ecant données
avec un de leurs diameeres quelconques Aa: On peue
erourer le diamerre Bb qui lui est conjuoué. Car il n’y
2 qu’à mener par le cenrre C’une parallele Bb aUX OF-
données a ce diamcrre.
Ou bien; soic Bb le diametre donné, e qu’il faille
crourer son conjugué Aa. Ayant ciré Mr Ns Parallele à
Bb de cerminée par la Section, on menera par son poine
de milieu P, et le milieu C de Bb, le diamerre cherché
Aa.
COROLL A YR F III.
254. ONE IPerbOle M LM (13. 70.) clanedonnée,
avec un de ses seconds diametres Bb de polirion; en
cerminer la grandeur, et crourer en même cemps la po.
sirion de les ordonnées.
Art. 44
3
55.
+Art. 84. C
518.
A18.  bs.
Qit. 1oHl. B

## Folio 95 — 884859711:0123
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e
e
e
DES FROES SECTTONS CONTOVES. 95
On cherchera le premier diametre La conjugué au
second Bb, par le moren de la seconde maniere du
Corollaire precedene; _ ayant Faic APXPa. PMI::
CA. CB Ou CB. II est clair = que BB Pera la grandeur = Arr. 8c. 8
du Second diametre Bb, e que les ordonnées lerOnE Pa- 118.
ralleles au diametre Aa.
P R OPOSTTTON Z.
Problème.
155. D’on point donné T hors une Section Conique don- FLC. 72. 72.
néc, mener deux tancentes TM, TM, à cetre Section.
PODR EA PAR ABOEF.
AYAnE mené (f2. 72.) par le poine donné F= un dia = Arc. 148.
metre qui rencontre la Parabole au point , e pris la
partie IP égalc à A7; On tirera par le pOine PF unC + ArF. 151.
Parallelle aux ordonnées qui rencontrera = la Parabole + Art. 144.
en deux poines M, ar; par lesquels ex par le point
donné r’oncirera les droires LML, ZM, qui SCKONE  leS = Arc. 22. 88
cangentes cherchées.
POVR LELLLDSE
AVanemené (fiz. 73.) par le poine donné Y  le dia- = Art. 148.
Metre Aa, X pris CP croisième proportionnelle a CT.
CA; On menera par le poine P, une parallele auX Or-
données qui rencontrera l’Ellipse en deux poines AI, MI: F Art. 144.
par lesquels e par le point donné J’on cirera les droi-
Tes ZMI, ZML, qui leront les cansences cherchées.
PODR LTIYPERBOLE_ LES FTZPERBOLES OPPOSEES.
+ Art. 5).
AYAnEmené (f2. 74) par le poinc donné Z le diame- = Arr. 148.
cre Aa, donc on décerminera la srandeur  s’il est un + Arr. 154.
lecond diametre; on prendra eP croisième proporrion-

## Folio 96 — 884859711:0124
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C
L EY R E. DO A T R E E M F.
velle à CZ, C A (du même coré du point donné 7
par rappore au cenere, lorlque ce point rombe dans l’un
des aroles Faits par les alymproces; et du core opposé,
lor(qu’il combe dans l’un des anoles a coré): e l’onme-
nera par le point P’une parallele aux ordonnées qui ren-
contrera = l’Eyperbole ou les FIrperboles oppolées en
deux poines MI, MI; par lesquels e par le point donne
2, On tirera les droites TMI, TAT, qui Peront  les tan-
gentes cherchées.
Si le poine donné comboit lur le centre C, les deux
tangentes seroiene alors = les alymptotes CG, C3; et
on les cireroit comme l’on a enseigné dans l’arc. 150. FF
entin (i le point donne comboit Tur unC a(YMPEOLC COIE
en S, on cireroit par le point es milieu de CS, une pa-
Fallele FYNT à l’auere alympeore c6, laquelle rencon-
ereroit l’HIyperbole en un point M, par ou e par le
point donné s, on cireroit une droire SMl qui leroie
une des cansentes cherchées; e l’autre seroir l’alrmp
tore même C8 sur laquelle le troure le poinc donnés.
COROLL AF R F I.
256. CC OMME la HenC MLPML parallele aux ordon.
Art. 144. nées rencontre toujours  la Section en deux points M,
MI Cgalement éloignés de part e d’autre du point P.
e non en darantase; il s’ensuit qu’on ne peut mener
d’un poine donné Z hors une Section Conique que les
deux tangenteS YT ML, Y MT. D’ou il est ćrident que le
diametre qui passe par le poine de rencontre Yde deux
tansentes, coupe par le milieu en Pla ligne M N qui
joinc les poines couchans; et reciproquemene que le aa-
metre qui coupepar le milieuen P une lione droite MIAF
qui joine les poines touchans de deux tangentes M L,
MZ, Passe PaT LEUT POINE de TENCONErE Y.
Art. 144
+ ArF. 121.
Art. 108.
Art. 104
Art. 207
LOROL. 11.

## Folio 97 — 884859711:0125
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B
e
EF
N
4
2
DES TROIS SFCTTONS CONTOVES.
GOROLL ATRE TI.
Lovrib les cansentes de la Parabole (fe.
72.) se renconcreilt deux a deux, érane prolonoées au-
canc qu’il est necellaire. C ar (i l’on joint deux poineseou-
chans quelconques MI, MI, par une lione droice, e qu’a
pres l’avoir coupee par le milieu en P, on prenne lur le
diametre qui passe par ce poine, e qui renconere la Pa-
rahole en A, la palcie AT égale d AP; il est clair que
les deux cangentes MIT, II T, qui passent par les points
ML, ML, se ressebhtreront en ce point F.
COROLL AFR F TTI.
130. IC est encore evidene (fig. 74. ) que toutes les
cangentes dl’une lesperbole le renconerent deux a deux,
ecant pretonsces dutant qu’il est neceslaire; e coujours
au dedans de l’angle Fait par les asymprotes. Car li l’On
joinc deux poines couchans quelconques M, M, Par une
ligne droire, ex qu’après l’avoir coupée par le milieu en
P, On prenne sur le diametre qui passe Par ce PoinE et
qui rencontre lIEyperbole en a, la parcie CT croilième
proportionnelle à CP, C A; il est clair que les deux
CanGeNteS MT, MIT, LC TeNCONEreTONE en ce poinET.
lequel sera coujours au deda 1s de l’angle Fait par les + Art. 105i
aymprores, puisque le demidiamerre C A combe au
dedans de cer ansle.
COROLL ATRF IV
Loores lestangemes ue peous11).
perboles Oppolces (A8. 73. 74. ) LC TenCOntren deux à
deux, lorsque la ligne qui joine les deux poines touchans
ne passe poine par le centre: sçaroir, celles de l’Elliple
du meme COTC du centre par rapPOTE a Certe lignC, a
celles des Typerboles opposées de l’aurre cotc. Cela
le prouve par le moyen de la Proposition ey. dessus,

## Folio 98 — 884859711:0126
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98
PFYR E OD A TR FE M F.
comme l’on viene de Faire roir dans les deux Corollaires
precedens.
eROPOSTEION XL
Probleme.
160. DNE Section Conique érant donnée, en trouver un
diametre qui fasse de part ou d’autre avec ses ordonnées des an-
sles éxaux a un ansté donné.
POVR LA PAR ABOL C
Arant crouré  un de les diametres AP, on menera
FxC. 75. 76. Par Con origine A, la ligne AN, qui Fasse avec AP de
Ac. 244
F15. 77. 78.
part ou d’autre l’ansle P AN cgal à l’ansle donné, et
qui renconere la Parabole au poine V. ayanc dirisé AW
par le milieu en O, et tiré On parallelle à AP; je dis
que la ligne  D eAt le diametre qu’on cherche.
Car r. FOus les diamerres d’une Parabole derarie
étre paralleles ener eux, selon la definition septième du
premier Lirre, il s’enluie que MO sera un diametre;
Duisque AP en est un.
25. La lione A~ cerminée par la Parabole etant Cou-
Déc en deux parcies égales par le diametre MrO, elle lui
Tera  Ordonnée de Part _ d’autre.
3. A cause des paralleles NLO, AP, l’angle MIO A
que Faic le diametre MO arec son ordonnée O A, lera
Coal à l’angle PL N qui a été fait égal à l’angle donné
Donc _c.
Si l’anole donné est droic, il est manifeste que le dia-
metre MO qu’on trouvera par cetre methode lera  l’axe
de Parabole.
POVR LES ADTRES SECTTONS.
LanE erOuve un de leurs diametres Aa, et décrie
lur ce diametre de part ou d’aurre un arc de cercle AW a
79. 50. Capable de l’ansle donné ou de son complemene d deux
droits; on menera du poine N ou il renconere la Sec
+ Art. 246.
Art. 23.
Art. 146.

## Folio  -  — 884859711:0127
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a
C
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15
IC
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3
2
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e
D.. 1
d
iss
OE
M
Bs
d
Planche 9. pag. 98.
a
LANDESBIE

## Folio  -  — 884859711:0128
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000128.jpg
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Mit
NIEDERSALASISCHE LANDESBIBLIOTHEK
eeeeeeeeeeee
ibn. Mar9. 155, (12
GOTIFRIED WILHEEM LEIBNIL BIBLIOTH

## Folio 99 — 884859711:0129
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DES TROTS SECTTONS CONTODES. 99
Tion, aux deux extremités A, a, du diametre Aa, les
lignes N A, Nas par les milieux delquelles O, 9, de par
de centre C, on cirera deux diametres Mm, 55. Je dis
que chacun de les diametres fera de pare ou d’aurre arec
les ordonnées des angles égaux à l’angle donné.
Car la ligne LN cerminée par la Section, étant cou-
péc en deux ésalement au poineo par le diamerre Mm,
elle sera ordonnée de part ec d’autre à ce diametre.  Art. 144.
Or le diametre Mm es Parallele à la ligne Na, pui(qu’il
dirise par le milieu aux poines C, O, les lignes Aa, AN;
ee parcane l’ansle mo i que Fait le diametre Mm arec
Con ordonnée 10, sera esal à l’angle a N A, qui par la
construction est égal à l’angle donné, ou à son comple.
mene a deux droies. On prourera de même que le diame.
cre Ss Fait arec Con ordonnée oN un angle ćgal à l’an-
sle donné, ou à son complemenr à deux droits. Donc
_C.
Il est visible r. Oue le diametre Ss est= Conjuone au + Def. 12, II.
diameere MIm; puisqu’il est parallele à Con ordonnée es 14, III.
ON. 20. Oucles diametres conjuoues Mm, Ss, devien
nenc les deux axes, lorsque l’ansle donne est droit.
PR OPOSITION XII.
Problème.
I6I. In diametre d’une Séction Conique etant donné,
’avec son parametre, ex la position de ses ordonnées, ee sçachant
de plus si c’est un premier ou second diametre lorsqu’il s’asit de
V’FTyperbole; décrire la Section par une methode uniforme pour
toutes les trois.
D R E M E E R E NI A N F E R F.
= Art. 58.
e 120.
Pour la Parabole. AVaNE ErOuVE X PaxC AP, LOn OrI- = Art. 27.
Bine 1, e son paramerre A6 que l’on prendra sur l’axe F1C, 8I.
prolonse du core de lon orisine; on menera par le point
Oune lisne droire indetinie DD perpendiculaire à P6.

## Folio 100 — 884859711:0130
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100
L Z V RE OD A TRLEMF.
On fera mouvoir ensuice une lione droire indetinie DXI
le lons de GD coujours parallelement a AG, Cn CnErAI
nant par Con extremicé D le coré D A de l’anole droie
DAM, mobile sur son Commet A aucour de l’orioine
 de l’axc AP. Je dis que l’intersection continuelle M
de lalione DHL ex du Core AM, décrira dans ce mou-
vement la Parabole qu’on demande.
Car menane MI D perpendiculaire à l’axe, les crian-
eles rectanoles AOD, M P A, seront semblables; puil-
que chacun des angles OAD, PM A, étane joine
à l’angle PAM, vaur un droit. On aura donc A6.
GD Ou PNT :: PNT. AP. Dou il suie que PNI =
G AX AP; X qu’ain(I PMI est une  ordonnée à l’axe
On a déja donné cerre construction dans le Lirre pre-
mier axticle 29, d’une maniere qui conviene à tons les
diametres: On ne la repereici, e on ne la restraint à l’a-
XC, que pour en faire voir la liaison e le rappore qu’elle a
arec celle qu’on ra donner pour les aurres Sections.
Pour les autres Sections. Ryant erouré enere le diame-
ere donné e son paramerre une movenne proporcion-
nelle, e l’ayant placée en Porre qu’elle soit parallele aux
+Def. 13. II. Ordonnées, e coupéc en deux également par le centre;
8 15. IIT. il est clair qu’on aura deux diametres conjuoues; par le
Arr. 64. moren desquels on cherchera  les deux axes, _ en-
suite le parametre de celui des deux qu’on roudra
dans l’Fllipse, e du premier dans l’IIrperbole. Cela
Faic.
6. 82. 83. On prolonsera dans l’Ellipse, e on coupera dans
PTIyperbole l’axe Aa en O; en lorre que aG TOit a GA,
comme l’axe A a est à Con parametre. Aranc tire par le
point c une perpendiculaire indétinie D D à l’axe Aa
on fera mouroir le poine D le lons de cerre ligne, en
entrainane arec lui la ligne droire D a mobile autour de
l’extremiré a de l’axc Aa, e le coré D A de l’anole
droit D A ML mobile sur son Commet A autour de l’au-
tre extremiré A de l’axe Aa. Je dis que l’incersection
Arc. 7.
ex 128.

## Folio 101 — 884859711:0131
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DES TROTS SECTTONS CONTOVES, 1OI
continuelle AI des liones ANI, aD, décrira dans ce
mourement la Section requile.
CaF MenANE MI P perpendiculaire sur l’axC Aa, les
trianoles semblables aPMI, aGD, donnent a P. PM::
aG. GD. Or les triangles rectanoles AGD, M P A.
Tone semblables; puilque chacun des anoles GAD.
P MIA; erant joine a P’anole PAMI, vauc un droit;
LE PAFEANE AP. PMI:: GD. G A. Si donc l’on muI-
ciplie les Ancecedens et les Consequens des deux pre-
mieres raisons, par ceux de ces deux dernieres; On
aUTa a P X P A. PNI:: aGXOD. EDXO A:: a6. 64.
c’est à dire, comme l’axe La CA à PON PAFAMCEFC. DONC
eC.
II est à remarquer que plus le poine D séloigne du SI.
Poine C sur la ligne D D; plus l’angle Pa Ms augmen-
ce, e plus au concraire l’anole PAMI diminué; de POr-
ce que les liones a M, AM, deriennent paralleles dans
lFTyperbole, e se coupent ensuire de l’aurre côré de la
ligne DD, oi elles décrivent par leur incerlection con-
cinvelle lIErperbole opposce.
Si l’on conçoit dans l’Ellipse ae dans lIIrperbole, que
le point aséloigne à l’intini du point A, ou (ce qui est la
même chose) que l’axe la derienne intiniment grand; les
lignes CA, Da, quine se rencontrene que dans l’intini,
Deurent étre regardées comme paralleles: ainsi Cetre
derniere construction recombe dans le cas de la prece.
dente. C’est pourquoi l’Ellipse ou l’Erperbole devien-
droit alors une Parabole qui auroir pour parametre la li-
sne A6; Ec par consequent on peutregarder une l’ara-
bole, comme une Ellipse ou une FIyperbole dont l’axe est
intini: sçaroir, le premier dans lFIyperbole, et celui des
deux qu’on roudra dans l’Flliple.
SE CON D E M A N E E R F.
Pour la Parabole. Soit un crianele isolcelle ZY AZ, F16, 84
done l’un des corés AFY soit sirué sur le diametre don-
ne AP prolonse indetinimene de parc et d’aurre de lon
ii
rt. 42. 

## Folio 102 — 884859711:0132
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102
L LY R E GO ATR LE MI F..
orisine L, e l’autre coté AE Tur la cangente indetinie
XLL qui passe par le poine L. Soit concue la bale PTF
se mouroir coujours parallelemene à elle même en en-
crainane par l’une de les exrremités L la ligne indéfinie
ZM Parallele à AP, e par l’aurre extremité FF la li-
sne FTF Parallele à AZ et égale au parametre donné
du diamerre AP, laquelle entraine aussipar son exrremité
F la droite F A mobile aucour du poine fixe A. Je dis
que l’incersection continuelle Ms des deux droites FA,
ZMI, décrit pendane que la ligne TTZ se meut dans
l’ansle TT AL ex son oppose ou sommet; la Parabole
Ml An qu’on demande.
Car menant l’ordonnée NIV au diametre AP, les
criansles semblables AFYF, A~ NT, dOnnenE AFE ou
AZ Ou PNC. TTF:: AP. PNS, _E PaTEANE PMI =
APXTTF. DOnC = _C.
On doic obserrer que le poine Fr doic comber au de-
la de l’origine A du diametre A P; lorsque les poines
F, Z, combent de part e d’autre de ce diametre.
F1O. 85. 8V. Pour les autres Sections. La construction est la même
que pour la Parabole, à l’exception que la lione L MI
doic tourner autour de l’autre extremité a du diametre
donné a; au lieu que dans la Parabole elle lui est pa-
rallele. On suppose dans l’TIrperbole que le diameere
donné est un premier diaeeré; car si c’étoit un second,
on trouveroit selon l’article rrs du Lirre croilième, le
premier qui lui est conjuoué e Con Paramerre.
CaF MEnAnE MI D ordonnée au diametre Aa, les
triansles semblables a PNC, a AZ, _ APMI, ATIF
donnent aP. PM:: a A. AF Ou ATT. EE AP. PMI::
ATT. TPF. EE ParranE, Si l’on mulciplie les Antecedens
ec les Consequens des deux premieres raisons par ceux
des deux secondes, on aura aPxP A. PM :: a AX ATI.
Art. 41. 55. ATIXTIF:: a A. TIF. DOnC  _C.
II Faue obserrer que les points FI, a, doirene comber
de ParE e d’aurre du poine A dans l’Elliple, _ du même
coré dans l’Hyperbole, lorsque les Poines F, L, com-
Art. 7. 8
10
81. 8 118.

## Folio 103 — 884859711:0133
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en
ne
V
eb
(B
d.
es
1
X
et
e
DES FROTS SECTIONS CONTOVES. 103
bene de pare e d’aurre du diametre Aa.
COROLLALRE I.
262. DE. LA on voir comment un diametre AA ÉFANE
donné arec une de les Ordonnées PMV; On PCUE ETOU-
ver COn Parametre FYF. Car P. DanS la Parabole On F10. 84
prendra Tur le diametre LP la parcie A FF égaleA PNI:
e ayane rire la ligne FTF parallele à PMI, e terminée
en s par la ligne AMs cirée de l’orioine A du diametre
par l’extremité Ms de l’ordonnée, il est clair que cette
lione FPF sera le paramerre du diamerre A P.
20. Dans les aurres Sections, on menera par l’une des F10. 85. 86.
extremités a du diamerre donné A a la lione a MI qui
rencontre la cangente AI; qui passe par l’autre exeremi-
ce A, au Point L; e ayant pris sur le diametre A a la
partie AFT egale a AZ, on cirera FTF parallele a PMI,
laquelle rencontrant en F la ligne AM, sera le para-
meere du diametre Aa.
GOROLLATRE II.
163. On cire de la seconde maniere qu’on vient d’ex-
pliquer, une mechode unitorme et tres exacte dans la
pratique de décrire une Section Conique par plusieurs
Points. La voici dans l’Elliple: et elle serrira de Regle
pour les aurres Sections.
Aranc pris sur la cangente AZ, qui passe par l’une des P10. 87.
extremites A du diamerre donné La, la parcie AOega
le a son parametre, et mené une parallele indetinie Gs
à Aa; on cirera librement par le poine  autane de li-
dnes droites AP, AF, XC. qu’on roudra. Ayant pris lux
la cansence indétinie AL, les parties AL, AL, _C.
ecales aux correspondantes GF, G F, ecc. e mené les
droites a Z, a L, _C; je dis que les interlections MI, ML;
Xc. des droites correspondantes FA, L a, F A, Za, _C.
Terone des poines de l’Flliple qui a pour diametre la ligne
Ja, pour cansence la ligne AL, ee pour parametre du

## Folio 104 — 884859711:0134
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104
LTVR E GOA FR FE M F.
diameere Aa la lione A6. Cela est visible CH MEMANE
F FX Parallele à 4C, ee tirane la ligne FI par le poine
E correspondant au point P. Car le criangle LIAL
sera isolcelle; puisque IE est egale a GF ou ATI, X
FTF Cera égale au parametre du diametre Aa: c’est
pourquoi cerre construction retombe dans celle de la le-
conde des deux manières precedentes.
Comme les liones GF, AZ, deviennent Fore grandes,
lor(qu’il s’agit de erourer des poines M qui PoienE pro-
ches du point a; on pourra le serrir, pOUT ErOuVeE CeS
Poines, de la cangence al qui passe par l’autre extremi-
ce a du diametre La, e de la ligne sf parallele a Aa,
comme l’on voir dans cette Roure.
Si l’on mene les ordonnées NIP, NTP, ec. Paralleles
à la Fangente AZ, X qu’on les prolonse de l’autre cOre
du diametre A a en NV, MI, dc, en Porce qu’elles loiene
conpées chacune en deux également par ce diametre:
il estclair = que ces noureaux points M, M, RC, SCrONE
encore à la même Elliple.
On pourroit le serrir d’une même ourerture de com-
PaSGF OU A Z pour marquer sur les lignes OF, AL,
autanE de POINES F, F, _C, Z, L, _c, qu’on voudra;
Car Parce moren toutes ces pecites parties érant égales
ener elles, chaque OF seroit égale à la correspondanco
AZ; ce qui est le Fondemene de la démonstration.
PR OPOSITION XIII.
Theorème.
F1C. 88. 89. 264. SIX y a deux droites MIN, AR, terminées par
90. 9r. une Séction Conique, lesquelles se rencontrent en un point P
es qui soient paralleles à deux droites données de position; je
dis que le rectanele MPX PN sera roujours au rectanele
APX PR en raison donnée, en quelque endroit de la Section
que puissent tomber les droites MHI, AR.
Poba
Art. 43.

## Folio  -  — 884859711:0135
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1
3
I.
A1
es
1b
Bt
ei
Ab
M
bI
e
16
2
R
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M....
M....
M............
12. . . . . 
1 ... . . ..
is
Y
e f.  sa 67.
et sM
P su
Clanche 10. pag. 104.
LANDESBII

## Folio  -  — 884859711:0136
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000136.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 9 lines, status machine
IIIIHIIIII
l111I
sss
ttsit
FRIED WILHELM LEIBNIZ BIBLIOTHI
se
eeeeeeee
alur: Loibn. Mar9. 155, [1:
NEDERSALNSISCHE LANDESBIBLIOTHEK

## Folio 105 — 884859711:0137
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000137.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
DES PROTS SECTTONS COHIOVES, 105
PODR LA P A R A BOLF.
Soiene (fc. 88.) les eangentes CB, FB, qui se ren-
contrent au poine B, Paralleles aux droires NIN, AR:
je dis que NI PX P N. APXP R :: CB. FB.
Car ayane mené  par le poine O milieu de MN le + Art. 148.
diametre C6, e rire par son origine C la parallele C B
a NN; il est clair  qu’elle sera tangente en C. On me- = Art. 10. 
nera de la même Porre la tangente F B parallele à A R, 21.
que l’on prolonrera jusqu’à ce qu’elle rencontre le dia-
MCET CO aU POINE R; E rirant par le point couchANE P
l’Ordonnée FZ, On aUFA = KC =-CF; X par Con(C- + Art. 22 8
GuenE K B = B F. On cirera ensuite AD ordonnée, eE 23.
AF Parallele au diamerre CG, et on nommera les don-
neCS RB OU BF, m; BC, n: CK, es le paraMeEre
CF du diametre CG, p: e les indeterminées AP, X3
PNI, Y3 AD, r;CF
Celapolé, les triangles semblables KBC, APF, donne
XONE PF - n
 AF Ou DO == =: FE PaE CONSCQUeHE
CO = -  - F s, G NT On OX =y 1 n -+r, PN OUGX
+ 6~ =y - + 2na - + 273 AL PX PW = y y - + En
2nX
2ry, OM =yy. + y. F2ry- +
nn
Er
mm X X  1
m Y
Ox +CD (5). C0 (  F5):: AD (rr). OM = rr n Art. 8. C
+
(P5). Ex comparane ensemble ces deux raleurs de GM.
on tormera l’équation y y-+
+
227
3
y. + 2ry + n
nm X X
X - = X = 0, qui conrient égalemene à tous les
poines de la Parabole, lorsque la lione AR combe au
destiis du diametre C6, e que le poine d’incersection 
combe entre les pOints A, R.
Maincenane si l’on Fair dans cerre équarion y =0
on aurr (en effacane tous les eermes ou y le FenCONETC)

## Folio 106 — 884859711:0138
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000138.jpg
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106
un
nI
LTPRE QDA TRFEME.
mm X X - F n X - == X = 0. Doi l’on tirC X = emp 2mV
Et
AR; Puisque PML (Y) derenane nulle ou zero, il
est clair que AP (X) devien AR. DOnC APXPR
emp
nn
(yy- +
X
2nX
2mr
N = X X; et Par conlequenE M P XP N
y- +2ry). APX PR (emp
n
2m
::CB (nn). FB (mm). Dui(qu’en mulcipliant les ex-
cremes ec les moyens, on recroure l’équation preceden-
ce. Or comme les tangentes CB, B F demeuTeNE TOU-
jours les mêmes, en quelque endroit de la Parabole que
combene leurs paralleles MIN, AR; il s’ensiir _C.
II peut arrirer differens cas, selon les disterentes po-
sicions des droices MN, aR; mais comme la démon-
Aration demeure coujours la même, et qu’il ne peut y
aroir de chansement que dans quelques lignes, ou dans
quelques cermes qui s’éranoirissene, je ne m’arreterai
point à les expliquer en décail. On doic obserrer la me
me chose dans les deux autres Sections.
POVR LES ADTRES SECTTONS.
AYanE mené (fic. 89. 90. 9r.) les deux demi-diame-
eres CO, CB, Paralleles aux droites MIN, AR; je
dis que NTPX P N. APXPR :: CO. CB.
Soic mené le diameere CC qui aic pour double or-
donnéc M N, Tur lequel Coient abairées les droites BP,
AD, Paralleles à MN; e ayanc riré AF Parallele à
CG, loient nommées les données CB, m; BF, n; OF, e;
d le demi-diaeEre CK, 2; COn demi-COnjugNE CO, C3
e les interminées AP, X; P MI, Y; AD, r; CD, 5.
Cela pose, les criansles semblables CBF, APF, don-
REFOHEDF = =, AFOUDO = =. Par conequenE
dans lHIyperbole ou les Fyperboles oppolées (f5. 90.
_ 92.) On auTa CO = n ==s, OM Ou ON = y
2
n
=Y, PN OUCN 10P=y-+
=2Y: NIPXPN

## Folio 107 — 884859711:0139
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000139.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 56 lines, status machine
DES TROTS SECTTONS CONTOVES.
=yy- + 2na
2nr
n
2nX
Y = 2rγ, 6A =yy +
y - 22y- +
107
min X X
im X = F rr. OF  CD FCK (55 =F. tY). CG == CK = Art. 82. 8
CeX L 2esX
mm = m  +55 =F++):: AD (rT). G A = r+
CerrRX = I LemrrEX
mmss L mmet
POuT
=rr - + ceccxx - + 2ec emsx
mmsi
, CA MeEEAnE
118.
a valeur. Ex comparant ensemble ces + Art. 82. 8
deux valeurs de CM, on formera l’équationyy - + 2n, 118.
2 Y y - + nn = ccec
mme X X - ZnrI = F ZCCOS
mec X = = 0, dans la-
quelle mectant à la place de nne --ceec (a valeur cett (il
Faut imaginer lPErperbole conjuguée qui passe= par l’ex- + Art. 134.
cremité B, lorsque CB est la moicie d’un second diameere)
cirée de ce que  CF - tCK (ee - FFY). FB (nn):: + Art. 81 
CK (11). C0 (c0). On aura celle ciyy- + 2 y - 2ry 118.
+
c
mm X X = 2nrc =, rcces X = 0, qui conriene à tous les
mit
points de la Section, lorlque les poines , R, combene
de parc ex d’autre du diamerre C6, et que lepoine d’in-
cerlection P combe entre les poines A, R.
Maincenant si l’on Fait dans cetre equation y =-0, On
RUTA (en CHaGANETOUS IES FCTMES OILy LE TEHCONETC) m XX
2nrit. J. 2ccC5
mec = x == 0, d’ou l’On TIrC X = 2mMrI =L 2ccemS
CCIF
=AR; puisque PAL (y) derenane nulle ou zero, il est
clair que AP (X) deviene AR. DONC APXPR
2mnrt I 2mCceS
Cat X = X X). M PXP N (yy- + 2na
229
:: CB (mm). CO(CC). Car multipliane les exrrèmes
et les moyens de cerre proportion, on retroure l’équa-
TiOn prECEdente. OP comme les demi diaerres CO,
CB, demeurene toujours les mêmes en quelque endroie
de la Section que combene leurs paralleles ML W, AR;
il s’entuie eC.
se ne mers poine ici en partieulier le calcut pour l’EMlip-
se, parce qu’il ne differe de celui de l’Fyperbole qu’en
quelquestignes.
dis

## Folio 108 — 884859711:0140
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000140.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
L ZYR F QV A Y R YF M F.
C OROLLAFREI.
165. SIE y a deux lignes droites MN, AR, cermi-
nées par une Section Conique, lesquelles se renCOntrene
en un poine P; e qu’on mene par coue ou l’on voudea
deux autres droites FO, BD, paralleles aux deux pre-
mieres, e terminées aussi par la Section, lelquelles (e
rencontrent en un point O: il est clair que MIPX PN.
APXPR:: FOXOG. BOXOD. Car les deux droites
AR, BD, Ctant paralleles entr elles, serone paralleles
à la même droite Cz donnée de polition; comme aussi
les deux droires MIN, FO, à lamême droite cY donnée
Pareillemene de polscion.
COROLL AFRF II.
266. STE Y a deux paralleles AR, BD, terminées
par une Section Conique, lesquelles FenCONEFENE aUX
poines E, O, une ligne droite LO terminée par la même
Section; je dis que F PXFC. APXFR : : FOXOG.
BOXOD. Car concerane dans le premier Corollaire
que M N combe Tur FO, il est clair que les réctanoles
NIPXPN, APXPR, deVICMMENE PFXFO, APXFR.
COROL LA FRE TTL POVR EE CERCLE.
167. Onr peut cirer de ce Theorème la propriete
du cercle, qui est si connue de tous les Creometres; lc2
voir que l par un poine quelconque Ppris au dedans
ou au dehors d’un cercle, on mene autane de lignes
qu’on voudra AR, NIN, TYZ, Xc. terminées par la
circonterence, les rectansles APX PR, NIPX P N
TIPXPZ, _EC. (CTOHEFOUS EGAUX CHEV EUX. Car ENaHE
les demi-diametres CB, CO, CD, Xc. ParaHleles à ces
liones, il est clair par le Theorème, que tous ces rectan-
eles leront enreux, comme les quarres de ces demi-
diamerres ou raxons, lelquels par la proprieté essen
rielle du CETCIE LONE TOUS EGAUIX CnETeUX.
106
518. 92
F16, 93

## Folio 109 — 884859711:0141
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000141.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 33 lines, status machine
e
DES TROES SECTTONS CONTOVES. 109
COROLLATRE IV. POUR LA PARABOLF.
168. STE Y a une ligne droire MLN cerminée PAF F18. 94.
une Parabole, et qu’on mene par un des poines quel-
conques  de la Parabole un diamerre AF qui ren
contre cerre ligne au poine P: je dis que le rectangle
AIFXFN est cgal au rectanole de AF par le paramerre
CFI du diametre CO, qui passe par le milieu de MIN.
Car concerane dans le Theorème que AP combe luF
LX) deviene nulle
Ou ZerO, X qu’ainsi = =0. C’est pourquoi eftaçane dans
l’équation à la Parabole pr - + =n y - + 2ry - f un
2nr
mm X X
Se TONCOMEre,
on en Formera celle. ci yy - + 2ry - = x = 0. Or AF
nCTF = p, _E MIFXFX =y y - F 2ry. DONC XC.
Ce n’est que pour faire voir la généralicé du Fhea
rême, que j’en déduis cerre propriecé; car ou la peue
démonerer plus aisement Cans Y arOIT RECOUTS, Cn CCE-
CC TOrFC. OM = GCZCFY, AD Ou OF = DCXCTI.
eC PaTEANE G MI = OF OU MEXFN ==OC -DOXCFL
=AFXCTI.
CONOLLATREV. POVRLA PARABOLE.
169. V E. LA HCHCHACHC,
15. Oue s’il y a deux droires HN, PL, terminées
par une Parabole, d paralleles entrelles; et qu’on
mene par deux poines quelconques L, B, de certe Pa-
rabolé, deux diametres AF, BP, QUI TENCONETeHE CeS
lignes auX POines F, P: il est éridene, dis jc, que
MFXPN. FPXPE:: AF. BP. Car le diamerre CC
qui patte par le milieu de M N, palle aulli par le milieu

## Folio 110 — 884859711:0142
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000142.jpg
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110
L F Y R R GV A T. R L F NE F.
de FZ; e par consequent le rectangle F PXPL =
BPXOTT, de meme que MEXRN = AFXCFI.
20. Oue s’il y a une ligne droite M N terminée par
une Parabole, e qui sencontre deux de les diame
EreS AF, BK, AUX POInES F, R; On aUTA NI F X F N.
MIKXKN:: AF. BR.
30. Ouc s’il y a deux lignes droires NI N, FL, termi
nées par une Parabole, e paralleles enerelles, qui ren-
contrene un de les diametres quelconques B P auX
POInES XC, DION aUTA MIKXKN. EPXPL :: BR. BP.
COROLLALREVI. POVR LAPARABOLE.
17O. DE- LA on roit commene on pent décrire une
Parabole qui passe par trois poines donnés A, ML, W,
ex donc les diametres AF, CC, loiene paralleles à une
lione droire donnée de position; et démonerer qu’il ne
peuty en aroir qu’une seule.
Car aranc mené une ligne M N qui joigne deux des
poines donnés M, N; on cirera par le croisième A un
diametre A F parallele à la lione donnée de polition.
ee qui renconere la ligne MN au poinc e, ee par le
poine de milieu G de M N une parallele 6C a AF. On
Fera entuire NFXFN. NTOXON. Ou ONF:: AF. 6C.
Ecarant pris C FT croisième proporcionnelle aCG, G M,
on décrira  du parameere CF, e du diametre C6
dont l’origine est en C, une Parabole donc les ordon
nées loient paralleles à M N; elle latistera à la question.
Car r0. Elle passera  par les poines M, N; puisque par
la construction CTLXCO ==OM Ou ON. 20. FIIOPaL
sera par le poine A; Duilque NOXON. NIEX F N:: CO.
FA. 30. Les diametres AF, C6, teront paralleles à la
droire donnée de polition.
Comme la Parabole qui latisfair au Problème; a ne-
cellairemene pour diamerre la ligne CG, qui a pour ori
bine le point C, et pour parametre la ligne décerminée
C+Z; il s’ensuir qu’il ne peur y en avoir qu’une seule.
4
 29. C
Art. 7. 8

## Folio 111 — 884859711:0143
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at
e
V.
rit
A.
11B
n
des
Ut
Bi
C
1
D.
B
G
et
ed
DES TROTS SECTIOHS CONTOVES.
22I
GOROLLAERE VIL. PODR LA PARABOLF.
1.7T. SFF Y a deux droites AR, NV N, TerminéeS F1C. 88.
par une Parabole, lesquelles se rencontrent en un point
P; _ qu’aYaNE FAIE APXPR. MIPKPN:: AD. PF
on cire la ligne AF: je dis que cerre lione sera un dia-
etre. Car 2y ant mené les tangentes CB, FB, Paral-
leles aux droites NVN, AR, e par le point couchane
Cle diametre CO qui rencOnErC F B prolongeeen R;
On aUITA P B On KB. BC:: ADXPR. MPKPN::
AP. PF, _ Par ConsCqUeNE KB. CB:: AP. PF.
Les triangles KBC, AP F seronc donc semblables, et
leurS COTCS AF, KC, Paralleles enereux: d’ou il suie
que la lione AF qui se croure ainsi parallele au diamerre
C6, sera un diametre; puisque dans la Parabole = EOUS = Def. 7. L.
les diametres sone paralleles Cntreux.
GOROLLAFRE VTTL. POVR LA PARABOLE.
272. On cire du Corollaire precedene une maniere
de décrire une Parabole qui PaHC PaT QuaTrE POInES
donnés A, M, R, N.
Car arane joine ces quatre poines par deux droites
AR, MIN, qui S’enTrecoupenE en un poinE P, et Fait
APZPR. NIPKPN:: AP. PF; on tirera la ligne AF,
ec on décrira F une Parabole qui passe par les trois points + art. 170.
A, ML, N, e donc les diametres Toiene paralleles à la
lione AF. Elle sera celle qu’on demande; car selon le
Pheorème la ligne AP doir renconerer cerre Parabole
en un poine R, cel que AP XPR. M PXPN :: FB
Ou XB. BC:: AP. PF
Si l’on eut pris le poine P de l’aurre COrC du pOinE P, F1C, 95.
on auroir décrir une auere Parabole qui auroit encore
palsé par les quatre poines donnés. Mais l’on doir remar-
quer que lorsqu’un de ces poines F combe sur l’un des

## Folio 112 — 884859711:0144
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TT2
L IV R B GV A ZR P E M F.
poines donnés M ou V, il ne peuc y avoir qu’une Pa-
rabole qui lacisfasse; et que lorlque tous les deux com-
bene lur les poines MV, N, il n’y en peut avoir aucune:
puisqu’alors le diametre AF de la Parabole passeroit par
deux de les POInEs, ce que l’On a dEMOHErC CFIC Im
Possible.
COROLLAIRE IX.
POVR LTIZPERBOLEOD LES FIZPERBOLES OPPOSEES.
+10.90,5).
173. STE Y a une ligne droite MI N cerminée par
une Iyperbole ou par des FIyperboles oppolées, laquel.
le rencontre une alympeoce CB au poine o, et qui loie
Parallele à une ligne donnée de posicion; ec qu’on tire
par un poine quelconque A de la Section une droire
AP parallele à cerre alrmpeote, e qui rencontre au
poine P la lione MIN: je dis que le rectansle MPXPN
tera conjours au rectanele 2APx P O en raison donnée.
en quelque endroit de la Section que combene les droi-
ceS MIN, AP.
Car concerant dans le Theorème (fig. 90, 9r.) que
le demi-diamerre C B devienne une asympeore, il est
Ari. 202. Clair  qu’alors leserois cores du trianole CB F deriennene
chacun infini. C’est POUEGUOI MENANE (SC. 96. 97.) PaF
l’extremicé K du diametre L R qui passe par le milieu
de NTN, une parallele KS à NF N, qui renconere l’a-
Trmpeore CB en S, on formera un criangle CRS done
Faus les cores seront finis, e qui sera lemblable au erian-
Art. 113. OlC CBE; _E PaFEANE ON aUTA CK (Y). RS OU = CO (C)
:: CF (C). EB (n). Cc qui donne cer=nt. Si l’onmet
à la place de ce la raleur nt dans l’équation à lFsyper-
bolery. 1 = y - 2ry - 1 nns = occc
n
mnicc
X X - 2nrII= p. 20013
n
x
que l’on a crourée dans le Theorème, on en formera
celle ci gy - + 2n
2ny =
mt
Enrs =+ nes x. Or en prolonseane AD, s’il est ne
cectaire,
+ Art. 10.

## Folio 113 — 884859711:0145
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it
il
ee
e)
10
et
e
pb
V
e
s
3
ei
DES PROES SECTIONS CONTOVES. 115
cellaire, julqu’à ce qu’elle rencontre l’a(ymptore CB
en FY, les triansles semblables CAS, CDFI, don-
RETONE OK (F). RS (C):: OD (5). DFF == -. EE Par-
TANE ATY Ou PO =  =F es. On aura donC NIPXPN
M
(Yy- + 2
= y = 2ry). 2 APXP
Ert =L 2C
CB (m):: XS. CS. Puisqu’en mulcipliane les extremes
X les moyens on retroure l’éguation precédente. Or les
liones KS, CS, demeurent coujours les mêmes en
quelque endroir de la Section que combene les droices
ATN, AP; Parce que le diametre LK qui pasC Par lC
milieu de MN, passe ausi par le milieu de coutes les Pa- = ArF. 145.
ralleles à M N terminées par la Section, en quelque
endroit qu’elles se reHCONEFCNE. DONC XLC.
On peut démonerer ce Corollaire immediatemenE, FX6. 96.
ec sans avoir recours au Theorème, en cette lorte. Soient
Ies données CK = = F, RS Ou CO = =C, CS =m, _ lC5
indéterminées OD ==5, AD ou DI =-r, AP=
PMI =-y. Les criansles semblables OSK, AP F, don-
CN = y - +
: EE PaTTanECMT Ou
n = r, C6 = =  - 1 5. Or a cause destrian
eles lemblables CRS, CDFF, C69, On auTa CK (1).
RS(C) :: CD (5). DF = = :: C6 (== - +5). 6O
n
m + =. EE PATEANE AIOXON ou 6O -OM
2CC5X
mt
cC55
gy - 2cay
+2ry- + 20=- rr = AFIXFIL + Arr. 97.
Ou DFF = DF = ces, - rr; d’ou l’on tire (en effacant de
Part X d’autre co =rr, _ cranspolane d’une paTE tOUS
les cermes ou y se rencontre) cette équation py - + 2c X)
=2Yy - 2Ces~, 2erX
Mc
m laquelle etant reduite en propOr-
1) = 2ry). 2 A PX PC

## Folio 114 — 884859711:0146
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224
2C5∞
L TV R E OO A TR L EMF.
=F2rX): : XS(C). CS (m). Ce qu’il falloit de-
montrer.
Ta démonstration est la même pour les FTyperboles
opposées à quelques signeS PFES.
COROLLAERE X
PODR LFTRPERBOLE OD LES FIZPERBOLES OPPOSEES.
174. IE suic du Corollaire precedene,
r. Oue s’il y a deux droites paralleles ener elles NW
TTO, terminées par une FIyperbole ou par des Hyper-
boles oppolées, et qui rencontrent une alrmprote CS
aux Poines 9, Z; et qu’on mene par deux poines quel-
conques A, B, de la Section deux paralleles AP, BD.
a l’alymproce OS, qui renconerene ces lignes aux points
P, D: les rectanOleS NI PXPN, 2APXPO CCFONE en-
Exeux, comme les rectansles FTDKDO, 2BDKDZ; et
PaTEANE ON aUTa MI PX P N. TIDXDC:: APXPO
BDXDL
2. Oue s’il y a deux droires paralleles entr elles MIN,
TTO, terminées par une FIyperbole ou par des TIyper-
Boles opposées, _ qui TENCONEFENE UnC a(YMPEOTE CS
aux Poines O, L: ec qu’on mene par un point quelcon
que  de la Section, une parallele 1O a CS, quiren-
contre ces lignes auX POInES P, O: On aura (eM COnCe-
vane dans le cas precedene que BD combe lur AP) cet
ce proportion, NLPX P N. IOXOC:: APXPC.
AOxOT:: AP. AO. puisque. PO =OI.
30. Oue s’il y a une ligne droite FYO terminée paF
une sTyperbole ou par des Fyperboles oppolées, et qui
TEHCONEre unC a(YIMPEOTC CS en Y; e qu’on mene par
deux poines quelconques de la Section A, B, deux Pa-
ralleles AO, BD, à OS, qui rencontrent cetre lione
auX POInES O, D: On aUTa ZYOXOO. FTDXDO:.
AOXOT. BDXDT. Cela est encore une luite du pre-
miercas, en concerant que la lisne MN combe lur L26.
F16.98.

## Folio 115 — 884859711:0147
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ed
DES TROTS SECTIOHS CONTOVES, 115
COROLLAFRE XI.
275. Sr Pon conçoit qu’une ligne droite BD qui F 16, 92:
rencontre une Section Conique en deux points B, D. se
meure parallelement d elle même julqu’à ce qu’elle rase
la Section, c’est à dire, jusqu’à ce qu’elle derienne la
tangente LS: il est clair que les deux poines d’intersée-
tion B, D, se reiinissenE alONS au POINE FOUCHANE Z; et
qu’ainsi on peur considerer un point couchane comme
deux poines d’intersection qui rombene l’un sur l’aurre.
Or cela posé, on voit naiere des Corollaires 1, 2,5, 10,
Plusieurs cas done roici les principaux.
10. Sil Y a deuX EANGENTES RS, ZS, qui se renCON-
erent en un point S, et deux autres droires MIWV, AR.
paralleles à ces tangentes ex terminées par la section,
Lelquelles se rencontrent en un poine P; je dis que
NTPXPN. APZPR:: KS. ZS. Ceci a CtC déMONETE
dans le Fheorème à l’égard de la Parabole: mais pour
les aurres Sections, concerant dans le premier Corollai
re que FG EomBC Tur la LanGENTC AES, _E BD TUT Z55
il est clair que les deux poines d’incersection P, G, (C
reiinistene au poine couchane K, comme auss les deux
B, D, au point couchane L; ec qu’ainsi les rectangles
FO
C
Ox OD, deriennent les quarrez L5. L5.
2. Si dans une Fllipse ou dans des Frperboles oppo-
Sces, l’on mene une cansente 7 X parallele à RS, ex qui
FCHCONETe SZ au point X, on prourera comme dansle
nombre précedene, que NIPX PN. APXPR:: ZX.
FX. D’Ou il SuIE que RS. BS :: ZF. Z X. EEKS.
SL:: ZX. L X. C’est à dire, que si deuxtangentes pau
xalleles KS, Z X, TENCONETenE une croisième cangente
ZS AUX POInES S, X, ON aUTA KS. ZS :: Z L. Z L, OU
KS. Z F:: FS. Z X.
3. Si dans une Fllipse, dans une TIyperbole ou dans
des Hyperboles oppolées, il Y a deux LANSENtES KS,
L.S, qui le rencontrent en un point S, ee qu’on mene

## Folio 116 — 884859711:0148
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+2
LEVRE QDA TR ZL M B.
deux demi-diamerres CF, CZ paralleles a ces tangen-
ces; je dis qu’elles seront ener elles comme ces deux de
Mi-diameeres. Car selon le TheOrème CY. CZ::
AIPXPN. APXPR :: KS. ZS, selon le nombre pre-
mier. Ec par Consequent CF. CZ:: RS. ZS.
4. S’il y a deux droices AR, FC, terminées par une
Section Conique, lesquelles rencontrent deux tangentes
KL, ZO, qui leur Coient paralleles aux poines L, O; je dis
que FOxOG. LO:: KL. ATX TR. CC qui es evident
en concerant dans le premier Corollaire que BD de
vient la cangente ZO; _ NIN, la TangeNtC RL.
50. S’il y a deux paralleles AR, BD, terminées par
une Section Conique, lesquelles TenCOnErenE unC Fan-
SenEC XZY auX POInES L, FZ; je dis que KL. AIXTR ::
RTF. BTTXTTD, OU KL. KFI:: AIXTR. BFTXTID.
Ce qui est une suire du second Corollaire, en conce-
rane que la lione FO combe TUE la TaNgENLE RFI.
60. Si l’on suppole dans le nombre precedent que la Séc.
tion Conique Toir une FIyperbole, et que la tangente
TTK en soit une asymprote; les rectaneles BFIX FTD.
ATX ZR deriendTONE EGAUX CnEF CuX. Car le pOInE tOU-
Art. 208. ChanE R sera  alors infiniment éloigné des pOinEs LI, Z;
e par consequene les droites infinies PTK, YK, qui ne
differene enerelles que d’une grandeur finie FXI, doi-
vent etre regardées comme égales. Ceci a déja éré de-
moneré dans l’arricle 97. ec on nele repete ici que pour
serrir de preure à ce que l’on vient de dire, et pour
Faire voir qu’on arrire Tourent aux mêmes verités par
des roures bien differentes.
70. Sil y a deux LanGENTES RS, ZS, qui se renCON-
erent en un point S, avec une ligne droite AR termi-
néc par la Section, Parallele à l’une d’elles LS, et qui
TENCOnEre l’auErC RS en un poine L; je dis que RI.
ATXTR:: KS. L,S. Cela est visible eN CONCCVANE
dans le lecond Corollaire que les lignes FG, BD, tom-
bene sur les TAnGeNTES KS, L5.

## Folio 117 — 884859711:0149
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est
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D
et
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I
11
1
N
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M
DES PROES SECTTONS CONTOVES, 177
80. Sily a dansune FIlipse ou dans les FIyperboles oppo-
sées deux cangentes para lleles RI, Z V, qUI FeNCONEFeNE
auxpoiness, V, une lione iR cerminée par la Séctionaux
POInES R, ; je dis que RY. ATXTR :: TV. RVXVA
Cela suic encore du second Corollaire en imaoinane que
les paralleles AIN, FO, combene lur les tangentes YY
XL
9. S’il y a dans une Parabole deux parallelos NV N, F16. 94.
CFT, donc l’une loit tangente en C, e l’aurre loit ter-
minée par la Parabole; e qu’on mene par deux points
Guelconques A, B, de la Section, deux diameeres AF
BO qui rencontrene ces liones aux poines F, O: il est
clair en concerant dans les deux premiers nombres du
Corollaire sixième que P. P combe Tur la TaNSENECCFZ;
I. OnC NIFXEN. CO:: AF. BO. 2. OuCSIPON DTO
longe sA jusqu’à ce qu’elle rencontre la cansente CFL
en O, ON AUTA NIFXFN. CO:: AF. AO
10. S’il Y a deux paralleles NIN, XZ, dOnEVUnCRY FFO. 98.
couche une TIyperbole en K e rencontre une de les
a(YIMPEOTCS en S, dC l’auEre XIN est cerminée par l’une
ou par l’autre des IIyperboles opposćes, e rencontre la
même a(ymprore en O; et qu’on mene par deux points
quelconques A, B, de la Section, deux paralleles AP.
BT, à l’asymproce CS, lesquellesrencontrent ces lignes
AUZ POInES P, Z; On aura (en concerant dans leserois nom
bres du Corollaire dixième, que la sécante O FF combe
TUT la TANGENEC RZ) 1. LC ReCtanGLC NIPXPN. XZ:.
APX PO. BTXTS. 2. En prolonsCanE P A jusqu’a ce
qu’elle rENCONErC K Y en R, le réctansle I P XP N.
KR:: AP. AR. 3. LC QuarTEKZ. KR:: BZXZS.
ARXRS.
XI~. Sil y a dans les Fyperboles opposées deux Fan-
Gentes paralleles RR, Z F, qui FenCONErenE unC aIYmP-
EOTC CS AUX POinES S, V; et qu’on mene par deux poines
quelconques A, B, de la Section, deux paralleles AR,
BFa lalymprore CS lesquellesrencontrent cestangences

## Folio 118 — 884859711:0150
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L IV R B ODAYR IBIM P.
aUX POIHES R, F: On aura (en concerant dans les deux
premiers nombres du Corollaire dixième, que les deux
SCCanteS MYN, OTZ, combene sux les deux FangenteS
RR, Z F) L~. LC GUAErC RR. L F:: ARXRS. BFXFV.
2. LC GuaErE KR. ZF:: AR. AF.
PR OPOSITIONXIV.
Problème.
176. DE CRTRE une Ellipse ou deux ZTyperboles oppo-
sées autour d’un paralleloeramme donné FCTTIR, es dont
l’un de ses diametres AB parallele aux deuX CoteZ FR.
GTI, soit à son conjurué DF, en la raison donnée de M a n.
Ayane mené les liones AB, DF, qui coupent par le
milieu les cores oppolés du parallelogramme donné
FGFTK, il est clair qu’elles seront sur deux diametres
conjugués de la Section qu’on demande, et qu’ainsi leur
poinc d’incersection en lera le centre; puilque selon l’une
des condicions du Problème, les paralleles FG, KFI,
doirent étre cerminées par la Section, aussi-bien que les
deux autres paralleles FK, GFT. Or cela Posé, Si l’on
Prend AB, DE, Pour ces deux diametres conjugués, et
qu’on nomme (les points Z, O, coupent en deux parties
egalesles lignes FG, K FZ,) les données CF Ou CO, a5
Z F OU OK, b; e l’inconnuE C A Ou CB, +5On aUTa.
V. Lorsque la Section est une EIlip(C, BLXF A (H- aa)
Z F (bb):: AB. DE:: MM. nn. ECDATEANEHL = a a
mmbo
. 2. Lorsque la Section doir eere deux FIyper-
boles opposées, CL =F C (aa -F H). ZF (bb):: AB.
DF:: mm. nn, ce qui donne 11 = aa-
mmbb
nmba
nn = aa; (CaVOIr 1F = a a -
mmbb
un Ou t
AB est un premier diametre, ec 1t = mmbo = a a lorF
que c’est un second. D’ou l’on cire la construction sui-
F16,99. 100.
et 107.
Aeco 24b.
Art. 4T. C
Art. 81, 8
E

## Folio  -  — 884859711:0151
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F
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A (. . . . F
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8
lanche u. pag. 18.

## Folio  -  — 884859711:0152
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000152.jpg
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Mis
atutis
Mel
11
Msllis
I
eeue
5
tur: LCibn. Mar9. 155, [15
GOTTFRIED WILHELM LEIBNILBIBLIOTHEK
NIEDERSALHSISLHE LANDESSIDLIOTTTER

## Folio 119 — 884859711:0153
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DES TROES SECTIOHS CONIOVES, II9
vance que je distingue en trois differens cas.
Premier cas. Torlque la Section eAt une Ellipse; Poit
fait un criangle rectangle VSX done l’un des cotés
SZ = CL, _E l’aUEre SV =  FF; e foic décric du
demi diamerre C A = ZV, qui soir à Con demiconju-
duC CD, comme m est à n’une EIlipse: Je dis qu’elle
latisfera au Probleme. Cax P. LC diametre AB paral.
le aUIX COFCS FK, GFF, eA à Pon conjuoué D F, en la
raison donnée de m a n. 20. A cause du criansle Z57
réctansle en S, le quarré ZV ou C A (17) =75
(a a) - + SF 2, mmbl
mmbb
un); dE PATEANE BLXZ A (Lt = a a)
un: c’est pourquoi l’on aura BLXZ A (mnbo
nn)
CF (bb):: mm. nn:: AB. DE. D’ou l’on voit que
ZF est une ordonnée au diametre AB; e qu’ainsi la
Section passe par le poine P. On prourera de même que
la Section passera par les poines G, FP, K; puisque
OZ = -ZF =- OK = = OTI, de que CO ==-CF.
Second cas. Lorsque la Section doir erre deux PTyper-
boles opposces, ee que CL est plus grande que = LF:
Poit formé un triangle 2SV rectangle en S, donc l’un
des Cores Sr = = LF, e Phypochenuse VY == CZ;
e loiene décrites du premier demi-diametre CA =75.
qui soir à son demi-conjuoué CD, comme m est a n,
deux FIyperboles oppolces.
Troisieme cas. Lor(que la Section doir etre deux FIy-
perboles opposées, et que CL est plus perire que
nL F: On Formera un triansle ZSF rectansle en Zdone
l’un des coresZ S =CZ, de l’hypothenuse SV = m ZF
On décrira ensuire du second demi-diametre C A -ZY.
qui soir à son demi conjusué CD, comme m est a n,
deux Hyperboles oppolces.
La démonstrarion de ces deux derniers cas est sem-
blable à celle du premier; mais il FauE reMAEqUex que

## Folio 120 — 884859711:0154
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126
LEYRE GDA FR FE MF.
Torsque CZ = = EF, le Problème est imposible.
177
GOROLLAFRE I.
COMME la position des deux diamerres con-
jugues AB, DF, est décerminée, aussi- bien que leur
grandeur; puisque selon les conditions du Problème ils
doirene couper par le milieu les cores oppoles du paral.
lelogramme, ex qu’on ne troure pour le demidiametre
CA ou CB qu’une seule raleur: il s’ensuir qu’il ne peur
y aroir qu’une seule section qui latistase.
COROLE A FR F TI.
178. IDE. T A on voit commene on peut décrire une
Section Conique aucour d’un parallelogramme donné
FGFTK, Ce qui passe par un point donné MI.
Car ayant mené les deux diametres conjuoués AB
DF, qui coupene par le milieu les cores opposes du
parallelogramme, e du poine donné M l’ordonnée
MI P au diametre AB, laquelle rencontre les cotes op.
Doles FK, GFF, aux points R, 9, et la Section (que je
suppose décrice) au point W; il est clair que PN - =~M.
e qu’ainsi R N =-OM, Puisque PR = PO. Le rectan-
sle RAIXMIO Pera donc Egal au reCtanSIC R NLX R N.
Arc. 164. OFY FRXRK. ML RX R N OU R ATX ALO:: AB. DF
Ec par consequent la raison du diamerre AB parallele
aUX COTES FK, GFI, à Con conjugué D F, est donnéc,
Puilque leS rectanSIeS FRXRK, R nIX MTQ, Tonc don
nes. De plus la Section sera une EIlipse, lorsqu’entre
les deux ordonnées MIP, RO, au diametre AB, qui
combene du même coré du centre C, celle qui est 13
plus proche du centre est plus grande que la plus
éloignée; e au contraire deux FIyperboles oppolées.
lorsqu’elle est plus petire. D’ou l’on voic que cetre
question se reduir au Probleme précedent.

## Folio 121 — 884859711:0155
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con
Ieut
1d.
etsb
el
2
est
p
DES TROES SECTTONS CONIODES. I2I
Si le poine donné M comboit sur l’un des cores du
parallelogramme, prolonse a discrecion; il est clair
que ce Problème seroic alors impostible, puilque ce
core rencontreroit la Section en trois differens points; ce
qui ne peutr etre.
COROLLAFRE III.
(DE. L A O cire encore la manière de décrire
une section Conique, qui aic pour diameere une li-
one AB donnée de posicion, pour centre le poine
donné C, e pour deux ordonnées à ce diamerre les
dEOIteS MIP, KO.
Car ayant pris sur le diamerre AB la partie CF
égale a CO, _ mené L F Parallele e égale à OR; il
est clair qu’elle sera  une ordonnée au diamerre AB, = Art. 45. 55.
_ qu’ainSIPEOIONSCANE KO en TI, e FL en 6, en [OF - 85, 8 118.
Te que OFT == OK, _ ZO = PF, les droires egales e
Paralleles KFP, FO, serone  deux doubles ordonnées + Art. 144
au diamerre AB. D’ou l’on voit que la Section doit
cere decrice autour du parallelogramme FOTIK, et
passer par le poine donné Ms; ce qui le fera par le
moyen du Corollaire precedent.
Comme cerre question se reduie à celle du Corol-
laire precedent, qui se reduie au Problème; e que
seule section qu lacistasse. il s’ensuie de même qu’on
 peut décure qu’une seule section qui remplisse les
conditions de ce dernier Corollaire.
AEOTOSTTTON XV
Probleme.
Art. 149.
18O. D ECRTRE une Son Conique qui passe parcinq F1C. 102
boines donnés F,  l, l; s demontrer qu’il n’y en 103.
peut avoit qu’une seule.

## Folio 122 — 884859711:0156
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122
P TVR F GDA TR LE ME.
Ayanc joine quatre des poines donnés par deux lignes
droites FG, ATN, QuI SC TENCONETEHE AU POINE R, On
menera par le cinquieme point donne R deux droites
RD, K FI, Paralleles aux droites FG, MI N, e qui les
FCRCONEFCHE AUX POIHES F, O. On prendra sur ces deux
liones prolongées, s’il est necellaire, les points D, 1I,
TelS quE NTRZRN. BR Z RF:: NIFX FN. RFZFD. FF
FRX RO. MIRXRN:: FOXOO. TTOKOK. Cn obfer-
rane que les POInES R, D, Ou K, FP, doirene tomber
de pare et d’aurre du point de rencontre L, ou O, lorL
que les POinES NY, W, OU F, G, TOmDeME auM de PaTE
e d’autre de ce même point; e au contraire. On inc-
nera ensuice par les poines de milieu des paralleles DE,
EO, e AIN, KTT, les droites LT, AB, qui s’entre-
Arr. 179. Coupent au point c. On décrira entin = la Section Con
nique qui a pour diametre la ligne AB donnée de Pol
tion, pour centre le point donné C, ee pour ordonnées
les deux droites MIP, RO. Je dis qu’elle lacistera au
Problème, e qu’il ne peut r avoir que celle-la.
Arc. 160. Car les deux points D, FP, serone  à la Section qui
passe par les cinq poines donnes F, ML, R, G, N; e
Arr. 246. ainsi les lignes ZZ, AB, en seront  deux diameeres,
qui en décerminerone par consequent le centre par leur
poine d’incerlection C. Il est donc évident que la Section
Conique qui passe par les cinq poines donnés, doit avoir
neceltairement pour diametre la ligne AB donnée de
position, pour centre le point C, et pour ordonnées au
diametre AB les droites MIP, KO. Or comme il n’y a
qu’une seule Section Conique qui puisse remplir ces con-
ditions, il s’ensuit que ce sera celle qu’on demande, et
qu’il ne peut r aroir que celle. la.
Sil arrire que les diametres AB, Z T, Toient paral
rr. 147. ICLCS enEF euX; la Section sera alors  une Parabole qu’on
décrira par l’article 170.
47.

## Folio 123 — 884859711:0157
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LIVRF CTNTOVTEMF.
De la comparaison des Sections Coniques entr
elles, (5 de leurs Segmens.
L ENE NE I.
18F. Sr la difference de deux quandités diminué continuel-
lement, en forte qu’elle devienne enfin moindre qu’aucune eran-
deur donnée; je dis que dans cet état, ces deux quantités se
ront égales.
Car li elles ne l’éroiene pas, on pourroic altigner en-
erelles quelque difference; ce qui est contre l’hypo-
chele.
L E M M F TI.
182. S+ la raison de deux quantités est telle que l’ante-
cedent demeurant toujours le même, sa difference avec on con-
sequent diminue continuellement, en Corte qu’elle devienne enfin
moindre qu’aucune grandeur donnée; je dis que dans cet état,
ces deux quantités seront égales.
Car par le Lemme precedent, l’ancecedent Pera égal = Art. 181:
à son consequene; e ainsi les quantices donc ils expri-
ment le rappore, seront égales.
L E M M F TTI.
183. ST l’on suppose sur une liene CourbE que lconque AB FFC, 1O4
un are MVY infiniment petit, c’est à dire, moindre qu’aucune
rrandeur donnée; ex qu’on imacine par les extremités de cet are
les ordonnées NP. NO à l’axé ou diametre AC, avec les
Paralleles MR, NYS, à ce diametre: je dis que les paral-
celorramnus  VaM. LCa, pndent etre pris chatun
pour l’espace PCN I  cate as ordonnées PM
la petite drotel e pei an de la couroe MLI.
Tous les prues d’une lione courbe ou séloisnene

## Folio 124 — 884859711:0158
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124
CFVR E CINOB TEM F.
continuellemene de plus en plus de Con diametre, ou
bien s’en approchene continuellemene de plus en plus;
ou entin cecte lione courbe est compolée de plulieurs
portions, donc les unes s’éloionent de plus en plus, e
les aucres s’approchent de plus en plus de lon diameere.
Car il est évident qu’il ne peur y avoir aucune portion
dans une ligne courbe, dont tous les points soient éga
lement éloignés de son diametre; puilqu’alors cettC POT.
cion ne seroit plus courbe, mais une lisne droite paral-
lele ace diametre.
Supposons r. Oue P’arc ML N foit sur une cour-
be AAIB done tous les poines s’éloigment de plus en
plus de son diametre AC. Si l’on prend du coré du
Doinc N l’arc nTO d’une grandeur Ainie, e qu’ayant
mené l’ordonnée OF parallele à M P, on tire les droi-
tCS OD, MIE, paralleles au diamerre AO; il est clair
que l’elpace curriligne P FO M sera plus grand que le
parallelogramme inscrit P F P MI, et moindre que le
paraltelogramme circonserit P FOD. Or Si P’on ima
sine que le point o le meure luirant la courbe vers le
poinc Ml, il est rilible que le parallelogramme MEOD
qui est la difference des parallelogrammes inscries _ cir-
conscries à l’arc Ons, diminuera continuellement jusqu’à
ce qu’ertin il devienne nul ou zer0 dans l’instane que le
Poine O Parrient en MI. D’ou il suit que lorsque le poine
Oest arriré en X, c’est a dire, infiniment pres de M.
le parallelorramme NL F O D, qui derienE NI R NS, lera
moindre qu’aucune grandeur donnéc. II est donc éri-
Arr. 18L. den selon le Lemme = premier, que les parallelosram-
mes POR M, ~OVS, deviennent alors ESaUX enEI
eux; et par consequent aussi égaux chacun à l’espace
currilione PONMI. DOnC _C.
Supposons 25. Oue le Petit arc MI N Poit lur une
courbe B MC dont tous les points approchent de plus.
en plus de ceux de son diametre CO. Il est visible que
la démonstrarion demeure la même que pour le premier
cas, en oblerrane simplement que le parallelogramme

## Folio 125 — 884859711:0159
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DE LA COMPALAISON DES SECT. CONIO. 125
circonsere LONS deriene inscrit dans ce cas-ci.
Supposons 3. Qu’une ligne courbe celle que ABC,
foit composée de plusieurs portions donc les unes, com-
me AB, s’éloignene de plus en plus du diametre AC;
ec les autres au contraire, comme BG, s’en approchene
deplus en plus. Je dis que lespoines, comme B, qui Sepa-
rent ces portions, ne peuvenecomber sur les arcs MI N:
car (icelâ ecoie le point B seroic plus près du poine MI que
n’est le point N; ce qui est concre la supposicion. II est
donc érident que ce dernier cas est necesairement ren-
ferme dans l’un ou dans l’autre des deux premiers.
C OR OLL A I R F L.
184 OE. LA IL SuIE quC (I P’ON MeNC PAF TOUE ou l’ON
voudra une ordonnée C B parallele à PMI, _ qu’on
imagine que la portion de courbe AB foit dirisée en
une mulcicude infinie d’ares infinimene peries, cels que
MI N; l’elpace AC B rentermé par les droices AC, CB,
ec par la portion de courbe AB, lera egal à la comme
de tous les parallelogrammes cels que PORMI ou
POWS. Il s’ensuit de même que l’elpace NI PCB ren-
fermé par les droites MIP, PO, CB, d par la porrion
de courbe MB, sera égal à la lomme de tour ce qu’il y
aura de ces parallelogrammes dans cet espace; e de
même dans toure l’écendue de la courbe ABC.
COR OL L A F R E FI.
105. STr Y a une tioure qusconque CMDOC Fet- 116. 10s
Terméc enere deux parableles CF, DF, et qu’on imarine
par tout ou l’on voudra entre ces paralleles deux dror
TCS MO; N L, intnimene proches l’une de l’aurre, et
qui leur soiene aussi paralleles; je dis que l’espace
OMNE qu’elles couperont dans la fgure CiDOC, Pera
cgal au réctanole d’une d’elles, comme de MO, par
eur distance AL R ou OS. Car menane la perpendieu

## Folio 126 — 884859711:0160
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126
LLVR E CTN QDTF M F.
laire AB Cux les paralleles CF, DF, laquelle rencon-
tre les paralleles MO, N Z, aux points P, O; il est
Arc. 183. clair par le Lemme que l’espace PML W O eA ésal au
rectansle PARO. e l’espace POFO au rectansle
POSO; e par consequene que l’espace OMN L eA
égal au rectangle OMRS Ou OMIXP9.
C OR OLL AFR E TTI.
186. IF suic du Corollaire precedent, que s’il y a
deux figures quelconques OM DOC, FOFFTF ren-
termées enere deux paralleles CF, DF, e qui CoienE
celles qu’arant mené entre ces paralleles par cour ou
l’on roudra une lione s FI Paralleles aux droites CF,
DF; les parcies MO, GFT, de cerre ligne compriles
dans les fIoureS CMTDOC, FOFTTE, SOieHE cOU-
jours encrelles en raison donnée: il suie, dis je, que ces
deux Roures (j’encends les espaces qu’elles compren-
RenE) sont aussi encr’elles en raison donnée. Car imagi-
nant une auere parallele N R infiniment proche de MFI,
ee cirant une perpendiculaire AB Tur les paralleles CF,
DF, laquelle rencontre les paralleles MFS, NR, auX
Poines P, O; il est clair par le Corollaire precédent que
lespace omVI eA cgal au rectanole OMXP 9, e de
même que l’espace OTTKL CA egal au rectanole
BFTXPO. Ces deux espaces seront donc entreux com
ne MTO CA à GFI; e comme cela arrire toujours en
quelque endroit qu’on mene la droire MFY, il s’ensuie
que la Comme de tous les pecies espaces NI N ZO, c’est
à dire, l’elpace OM DOC Cera à la lomme de tous les
Petits espaces OTTR F, c’est à dire, à l’espace FOFIIF
en la raison donnée.
Onprourera de même que la partie M DO de la Roure
CADOC, est encore à la parcie correspondance O Fi TY
de l’auEre RIOUTC FG F FTF, en laraison donnée: comme
aussi les parcies restantes C NTO; BOTI.
II est visible que si la raison donnée est celle d’égalire,
Arc. 185

## Folio 127 — 884859711:0161
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DE LA COMPARAISON DES SECT. CONIO. 127
c’est à dire, que Si les parties NO, GFT, de la droire
MFT, PonE Toujours égales entrelles; les espaces
CMDOC, EBFFTE, _ leur parcies correspondan-
ees MDO, BFFL, _ CMO, FOTT, seront égales en-
Ex elleS.
L P AE NE E IV.
187. Sr l’on suppose sur une ligne courbe quelconque un are F1C. 106.
insiniment petit MN; ex qu’on imarine les tanzentes MT, NT,
qui se rencontrent au point Y, la soutendante NIN, ex la
droite LS perpendiculaire sur MI proloneée: je dis qu’on
peut prendre pour l’arc MIXY sa soutendante MVI, ou la som-
me des deux tanzentes MIT, NVI, ou enfin la droite MS.
Toure ligne courbe est nécessairement ou coujours
concare vers un cerrain endroit, ou compolée de plu
sieurs portions done les unes étant concares vers une
certaine pare, les autres le lone vers le coté oppolé. Or
les poines qui separent ces portions  ne peurenepoint se  Art. 183.
trourer sur les ares infinimient pecies M N: puilqu’ils (C- n. 3.
roiene plus près du poine Ms que n’est le point N; ce
qui est contre la supposicion. On peut donc coujours
suppoler que l’arc MN Fair parrie d’une courbe ou por-
tion de courbe qui est coujours concare vers un certain
COTC.
Maintenane Si l’on prend sur la courbe du coré dut
poine N, l’arc M1O d’une grandeur finie, et qu’on cire
la Coucendante OMI, la tangente O6, e la parallele OD
a NS: il est clair ro. A cause du criansle n DO rectanglc
en D, que la cangente nsD estmoindre que la Coucendan-
ce MO, e à plus Force raison moindre que l’arc MI NO; de
Porre que l’arc MINO et la Coutendante MIO PonE pluS
Erandschacun que NsD, & chacunmoindre que la Pomme
des deuxtangences MG, 06. 20. A cause de la concarice
de l’arc M NO vers lemême coté, S l’on mene par un
point quelconque W de Parc MLO une tangente T R,
les poines 7, R, ou elle rencontre les tangentes MIC
O6, leront sicuer enere les poines ML, 6,  O, 6; ainsi

## Folio 128 — 884859711:0162
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X26
L TY R E CTN QBF F M F.
l’ansle OOD, qui est externe au criansle ZOR, eAt plus
grand que l’ansle RZG Ou NYS
Ceci suppolé, si l’on mene les droites MF, MIF.
Paralleles aux TaDGeNTES OO, NY, _C qui TENCONETeNE
la drOIte DO aUX POINES F, F; ex qu’on imagine que le
point O se meure suirant la courbe versle point MI: il est
visible que l’angle OOD, ou Con égal L M D, diminuera
continuellement jusqu’à ce qu’il s’éranoiiisse dans l’ins-
Fant que le pointO parrient en MI; puisqu’alorsla can-
gente 00 le contond avec la tangence MI D: d’ou il
luic que la ligne aL P. diminue continuellemene, jusqu’à
ce qu’entin elle derienne érale a AI D dans cet instanE.
Donc lorsque le point O est arriré en N, c’est à dire,
intinimene pres du poine M, la lione ME, alors en MF,
ne sera pour lors difterence de la tangence MD, que
d’une grandeur moindre qu’aucune donnée; a Par COn
sequene = les lignes ZN, TS, donc elles expriment
le rappore, seront égales entrelles. Les deux tangentes
MIT, YN, priles ensemble, seront donc égales à la
droite MS, comme aussi à l’arc MV N, X à la CouteM
dance MI N. Ce qu’il falloit démontrer.
CO R OLL A F R F I.
1B8. P OrSOVE LAnole FATD, ou COn egal NZS, est
infinimene petue dans la supposicion que le poine N Poie
intiniment pres du point aI, il s’ensuie que dans le crian.
ele MIX N, l’angle interne N MI Z, qui est moindre que
l’exterieur X ZS, sera aussi infiniment perit, c’est à dire,
moindre qu’aucun ansle donné; e qu’ain(E On nC POUF=
ra mener par le point ns aucune ligne droite qui combe
dans l’anole LHIN. D’ou l’on voit que ces deux lignes
MT, N MI, Ce confondent ener elles, e qu’ainsi on peue
regarder une cangence comme une ligne droite qui passe
par deux poines d’une ligne courbe intinimene proches
l’un de l’autre.
OROL.
Art. 182.

## Folio 129 — 884859711:0163
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DELA CONFALAISON DES SECT. CONIO. 129
GOROLLATRETI.
189. S. l’on imagine qu’une ligne courbe quelcon-
que loit dirisée en une mulcicude infinie d’ares infini-
mentpeciestels que M N; il est clair qu’en prenane au lieu
de cesaresleurs soutendantes, on verra naitre un Pol-
sone d’une intinire de cotes, chacun infiniment petit, que
l’on pourra prendre pour la ligne courbe: puisqu’elle += Art. 187.
n’en difterera en aucune maniere. De plus les pe-
cies cores de ce Polysone érane prolonoes de parr et
d’aucre, seront les tangentes de cerre courbe; puilqu’ils
passene chacun par deux de ses poines intinimene pro-
ches l’un de l’auere.
R E M A R O V F.
190. Orr doir faire ici actention que l’idéc ou no-
eion qu’on a donnée des cansences des Sections Coni-
ques, ne convient qu’aux lignes courbes qui lont tou-
jours concares dans toure leur étendue vers le même
coce, comme Pont  ces Sections: au lieu que certe der-+ Arr. 26:
niere nocion est generale pour couces Torres de lignes 61. 124.
Comrbes. AuS est- ce elle qui sere de Fondement à la
methode des tangentes que j’ai expliquées, dans mon
Lirre des Infiniment perirs, et que j’ole assurer étre la
plus simple et la plus generale qu’on puisse Toutraiter. On
en verra un foible échantillon à la tin de ce Lirre.
D E E F N E F F O N S.
Deux legieno d ontdeso i lid tet
bad, lont appelles somblables; lor(qu’avane inscrie dans 108. 109.
l’un d’eux une ficure rectiligne quelconque BM NOD.
on peuc coujours inserire dans l’aurre une tigure rectili-
Ene semblable bmnod.
Deux Sections Coniques tone appellees Semblables;
Corsqu’ayant pris dans l’une d’elles un lesment quelcon.

## Folio 130 — 884859711:0164
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730
LTVRL CLNODTEME.
que B LD, O Puc cousouirs altioner dans l’aurre un
seomene lemblable b a d.
On appelle diametres semblables AP, ap, dans dit-
ferences Sections Coniques, ceux qui font avec leurs
ordonnées PM, Pm, lesmêmes angles APMI, apm.
C OR OLL A TR E.
TOT. L LOS chacun les COreS BMT, MIN, _C. bm,
mn, _c. deHene pecic; plus leur nombre augmente, e
plus aussi les fgures rectiliones semblables B M NOD,
bmnod, approchent des lesmens B AD, bad, ausquels
elles lone inserites; de Porre qu’elles leur devienment
Arr. 109. entin égales  lor(que chacun des cores est intinimene
t.
Pecic, e que leur nombre par consequene est infini. D’ou
il suie que les segmens lemblables B AD, bad, TOnE
CnEr eux comme les quarrés de leurs Coutendantes BD.
bd, qui Cone des cores homologues; e les portions des
courbes B AD, bad; comme ces soutendantes.
PROPOSITIONI
Theoreme.
R92. SOTENT deux ParaboleS ANT, aM, qui agent
deux diametres semblables AL, aL, sirves sur la même droi-
te, en forte que leurs ordonnées PM, DMm, soient paralleles
entrelles; ex soit marqué sur certe droite au dedans des Para-
boles un point fixe L, tel que L A soit à L a, comme le para-
metre AC du diametre AL de la P arabole AM, est au pa-
rametre 28 du diametre aL. de la Parabole 2m. Je dis que
si l’on mene du point fixe L à un point quelconque M de la
Parabole AM, une ligne droite L M; elle rencontrera l’autre
Parabole am en un point M tet que L. NI. L I :: L A. L 2.
Arane mené l’ordonnée M P, e nommé les données
A, ai La, b; 6, P; et les indererminces A P, X

## Folio 131 — 884859711:0165
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DE LA COMPARATSON DES SECT. CONTO. Y3I
PAL, y; On auTa Z A (a). Za, (b):: 46 (Y). ag -
Or S l’on prend sur le diamerre a Z de la Parabole am,
la parcie ap = -, ex qu’on mene l’ordonnée pm; il est
clair que  m =P aX aS (6bD) = bby7
aa
aa eA MeCtanE  Art. 6. 
POux pX X Ca valeur yy; e qu’ainsi pm = . DOnC PM = Ibid.
(Yd. Bm (-):: Z P (a = x ). Z P (b = = ). EC PAF CON-
sequene la ligne LMs Pallera par le poine m exrremité
de l’ordonnée pm, c’est à dire, qu’elle coupera la Pa-
rabole am en ce point. Donc à cause des crianoles lem-
blablCS ZP N, ZPM, On aUTa Z NI. Zm:: PMI (y).
DM (=):: Z A (a). Z a (b). Ce qu’il falloit démontrer.
C OR OE E A F R F I.
193. ST Pon prend dans la Parabole A AI un les-
mene quelconque B AD; _ qu’ayane mené les droites
ZB, LD, qui rencontrent l’autre Parabole am aux
Doines b, d, on cire la Poucendance bd: je dis que le sco-
mene bad de la Parabole am, est semblable au Segmene
B AD de la Parabole LMI. Car arane inscrie dans le
segmene BAD une figure rectiligne quelconque
BMI NOD, il est clair que si l’on mene les droites
ZNI, ZX, ZO, qui rencontrent l’autre Parabole aux
Poines m, n, o; les crianoles Z BMI, Zbm; Z MIN,
Lmni LNO, ZnO; LOD, Z0d; Z BD, Zbd, TerONE
semblables; e qu’ains les COreS B MI, bm; MIN, mn;
NO, no; OD, 0d: BD, bd: Teront paralleles, e tou-
Jours en même raison chacun à son correspondant;
Duilque toures les droites LB, ZNI, ZN, EO, ZD.
lone coupées en même railon aux Points b, m, n, 0, d.
D’ou l’on voir que les feures rectilignes BMNOD,
omnod. Cont semblables. Or comme il est ćridene que
cerre démonstration subsiste coujours, telle que puisse
eere la hrure rectilione inscrice dans le legment BAD;
is

## Folio 132 — 884859711:0166
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L IV R E CENODIEMF.
il s’enluit que les egmens B AD, bad, = sont sembla-
bles; e par consequent que les P’araboles AM, am, le
Conc austi.
C OR OLL A FR F II.
194. DE. L A il est évident que S l’on mene par le
Doint L une double ordonnée L F dans la Parabole AMI,
laquelle renconere l’autre Parabole am aux points e, f;
les sermens P AF, eaf, des deux Paraboles AM, am,
serone Lemblables enereux.
COROLLAFRE III.
295. LODres les Daraboles Pont semblables enee-
elles; car ( l’on prend sux deux diametres semblables de
deux differentes Paraboles, les parties AZ, aL, qui
Toient encrelles comme les parametres A6, az; ec sI l’On
conçoit que le diametre L a foit situe lur le diameere
ZA, en COrte que les POInES L, Z, combene l’un suX
l’aurre, e que leurs ordonnées PMI, Pm, Coiene paral-
leles enerelles: il est clair qu’arant mené du poine fxo
Z à un point quelconque M de la Parabole MI, unc
lione droite LMT; elle rencontrera coujours l’autre Pa-
rabole am en un poine mcet que L M. LM :: L A. Z a.
Art. 193. DOnC= eC.
COROEEATRE IV.
196. D E- LA il suie que si l’on prend sur deux dia.
metres lemblables de deux differentes Paraboles, les
parties AZ, a Z, qui foient ener elles comme les para-
metres de ces diametres, e qu’on cire par les poines
Z. E, les doubles ordonnées PF, ef: les legenS FAF,
eaf, des deux Paraboles AM, am, serone semblables
eHErCUZ.
COROL L A TR E V.
197r deux lestee dan tone lemblables
entreux, et que l’un d’eux B AD, toir le legment d’une
3
Def. 1.
Def. 2

## Folio 133 — 884859711:0167
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DE LA COMTAKATSON DES SECT. CONTO. 133
Parabole; je dis que l’aurre ba d sera le legmene d’une
autre Parabole, et qu’ainsi il n’y a Cnere TOuTeS leS COUI-
bes imaginables que des Paraboles qui puissent etre lem-
blables a une Parabole donnée. Car si l’on place le perie
Teoment b a d au dedans du srand B AD, en POrce que
les soucendances bd, BD, Coiene paralleles; _ qu’on
inscrive dans l’un ex l’aurre deux houres réctilignes quel-
conques semblables BNI NOD, bmnod: il est clair que les
cores homologues BMI, bm; MIN, mn; _c. de ces deux
fioures seront paralleles: puisque les anolesD BML, ab mi
BATN, bMn:_EC. PONE EGAUX CNEPCUX. OPMENANE LMI,
ZN, LO, par le poine de concours Z des deux droites
BB, Dd qui joirnene les extremités des soucendances
paralleles BD, b d, qui lone les deux cores homologies
donnés; ces droites LMI, LN, ZO, passeront par
les poines correspondans m, n, o, ou elles serone divi
sees en même raison que LB l’est en b, ou Z D en d;
Duisque BD. bd:: ZB. Lb :: BNC. bm: : ZHI. Em:: NIX.
Mn:: Z N. Cn:: NO. no:: ZO. E0:: OD. od.
Maincenant si l’on mene par le poine L le diametre
X A dc la Parabole 1M1; qu’on le divise en a, en la
même raison que L B l’est en b, ou FD en d; e qu’on
décrire du diametre a L, e du parametre ag qui Poit = Arr. 162
au PaTAMCEre AG, du diamerre AZ de la Parabole
AML, comme La est d̀ L A, une Parabole am dont
les ordonnées pm loient paralleles aux ordonnées PNI
de l’aurre Parabole: il est érident qu’elle passera par F Art. 1923
tons les poines b, m, n,0, d, qui divisent dans la raison
donnée de BD à b d toures les droites ZB, ZMI, ZN,
ZO, ZD. Or comme ce railonnement lubsilte toujours
tel que puisse etre le nombre des cores des Agures rec-
ciliones Temblables BAINOD, bmnod, _ de relle gran.
deur qu’ils puissent étre; il s’ensuit que la Parabole am
passe parcour par ou le legmene bad passe, et qu’ainsi ce
leoment en es une portion. Ce qu’il faltoit demontrer.
 iji

## Folio 134 — 884859711:0168
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L TVRE CEN QVLEME.
PROPOSFFION II.
Theorème.
F1C, 108. 298. SOTT une Fllipse ou FSyperbole AM qui ait pour
un de ses premiers diametres la liene AFI, ex pour parametre
de ce diametre la ligne AC; es ayant pris sur ce diametre
lprolonsé dans l’ETyperbole) un point fixe L, es divisé en
même raison aux points a, , ses parties L. A, L. II. Soit
une autre Ellipse ou FTy perbole a m qui ait pour premier dia-
metre la ligne al, pour parametre de ce diametre la ligne a5
qui soit à A CF comme ah est à ATI, es dont les ordonnées
Pm soient paralleles aux ordonnées PM de l’autre Séction
AM. Te dis que si l’on mene du point fixe L. à un point quel-
conque MI de la Séction AM, une ligne droite quelconque L. M;
elle rencontrera l’autre Section am, en un point m tel que
LM. LMm :: L A. L a: c’est à dire que toures les droites
tirées du point fixe L. aux points de la Section AM, sont divi
sees en même raison par la Séction a m.
II faut prouver que L. MI. Lm:: L A. L. a.
Ayanc mené l’ordonnée M P, et nommé les données
Z A, a: Z a, 6; ATT, 2+; e les indecerminées AP, xd
PM, Yi On auTa F  (a). Z a (b):: L FE. X h :5
FFT + Z A ou AFF(21). ZB + Za Ou ab= 26
Or S l’on prend sur le diametre ah de la Section am la
parcie ap = et qu’on mene l’ordonnée pm; il est
Arc. 42. 55. Clair = que A PXPFT(2FX =FXX). PNI (∞y):: ATI.
81. 8 118. AC:: ah. a8:: apX p B (2b6 12 = F bb 
PM - 6by9
na de
qu’ainsi pm = . DOnC PML (y). PM ():: L. P (a -- X)
ZP (B - =). Et par consequene la ligne L. ML Passera
par le point m extremicé de l’ordonnée pm, c’est d dire
qu’elle coupera la Section am en ce point. Donc à cau-
le des criansles lemblables LPM, LPM, ON aUTA
69.

## Folio 135 — 884859711:0169
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DLE A COMTRRAESON DES SECT. CONIO. 135
ZM. Em:: PAL (y. Pm ( 2 d:: Z A (a). Z. a (b). Ce qu’il
falloit démontrer.
C OR O L L A FR E I.
199. Sr l’on prend dans la Section AMI un segmenE
quelconque B LD, et qu’apant mené les droites LB.
LD, qui rencontrent l’autre Section am aux points
B, d, on cire la sourendante bd: je dis que le segmene
bad de la Section am est lemblable au segment B AD
de la Section ANT; EE PaTFAnE que SI l’on mene par le
poine L une double ordonnée s s dans la Section AM
laquelle rencontre l’aurre Section aux poines e, f; les
Segmens P AF, eaf, des deux Alliples ou des deuxIIy
Perboles AM, am, seront emblables ener eux. Cela se
proure de même que pour la Parabole dans les articles
493. e 194.
COROEL A LR E II.
200. BDres les Elliples ou FEyperboles AM, am
qui ont deux diametres semblables AFT, ah, en même
raison avec leurs parametres AC, a8, lonc semblables
entxelles. Car ( l’on prend les parties AF, aL, qui
Poient entr elles comme les diametres AFI, ah; e que
l’on concoire que le diametre ah loic sieué sur le dia-
metre AFT, en Corre que les points L, Z, combene l’un
Tur l’aurre, ec que les ordonnées pm, PMI, LoienE Pa-
ralleles encrelles: il est clair qu’ayane mené du poine
Aixe L à un poine quelconque M de la Section AML unc
ligne droice L ML, elle rencontrera roujours l’autre Sec-
tionam, en un poinem cet que L M. LM:: L A. La.
DOnC d.
COROLEALRE TTI.
ou deux Liseres LM, am, donc deux diametres lem-
blables AFI, ah, soient en même raison avee leurs pa-
Tametres A6, a8; ee qu’ayane pris les parries AL, a L
LO1. DE. LA il est évident que sil Y a deux Flliples
Art. 299.

## Folio 136 — 884859711:0170
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III
Y3C
LTVRE CTN QDTEME.
qui soient enerelles comme les diamerres ATI, ah, on
tire par les poines L, L, les doubles ordonnées FF, ef:
il est érident, dis- je, que les sermens P AF, eaf, des
deux Sections LMs, am, Cont semblables ener eux.
GOROLLAFRE IV.
202. Sr deux Teomens DAD, bad Tont semblables
CnEr eUX; e que l’un d’eux soit le seomene d’une Fillip-
se ou d’une FIyperbole LM, qui aic pour un de les diame.
tres quelconquesla ligne AFI dont le paramerre est A6;
Je dis que l’autre ba d sera le segment d’une aurre Fsliple
ou d’une autre LTyperbole am, qui aura pour l’un de les
diamerres semblables à AFZ, la lione ab qui sera en ine-
me raison arec Con paramcere ae, que I avecle sien
AO. Car ayane place le serment bad, au dedtans du
SeGIEHE B AD, en Corce que la Contendance b d Poit pa-
rallele à la Coutendance BD, e que les lignes Bb, Dd,
CONCOUTeNE en un POinE L du diametre AFI (ce qui eA
coujours possible), et inserit dans l’un ee l’aurre deux A-
oures rectiliones quelconques semblables; on prouvera
comme dans la Parabole article 197. que les droires LNI,
EN, CO, passeront par les poines correspondans m, n,
o, ou elles seront divisćes en même raison que L B l’est
en b, ou ZD en d.
Maincenane s l’on dirise les parties Z A, ZFI, du
diametre LeY aux poines a, h, en même raison que
t. 101. Z B l’est en b; e qu’on décrire  du diamerre ah et du
Parametre as qui loit au parametre AG du diamerre
AFT, comme La est a ZA, ou ah a AFT, une FIlipse ou
une lErperbole am, donc les ordonnées pm Coientparal.
leles aux ordonnées PML de l’aurre Ellipse ou FIyperbo.
Arr. 198. le AM: il est ériden qu’elle passera par tous les points
b, m, n, 0, d, qui dirisene dans la railon donnée de bd
à BD eoutes les droites ZB, ZM, ZN, ZO, ZD
Or comme ce raisonnemene subsiste conjours rel que
puisse etre le nombre des corès des tieures rectilignes
lemblables

## Folio  -  — 884859711:0171
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Fioure 99.
a . es
2
e
D N
D .... .. . . K
107.
Planche 12. pag. 196.
c
2F c) e ic
.7

## Folio  -  — 884859711:0172
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000172.jpg
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     s. A IE. sitl, At (.1 (Ac. 1. (II1I111.
MMin
ee
26
2
: LOibn. Mar9. 155, l
BOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ BIBLIOTHEK
HIEDERSÄCHSISLHE LANDESBIBLIOTHEK

## Folio 137 — 884859711:0173
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DE LA COMPARAISOH DES SECT. CONTO. 137
(emblaoes B ML LVD, bmnod, e de celle orandeur
qu’ils puissent elle,  ensuit que l’Elliple ou lIIrperbo-
le am passe par tous les mêmes poines par lelquels passe
le Tegmehe bd, et qla ce legmene en est une pOr-
Tion. Cusuoi demontrer.
OROLLAFRF V.
203. Lrencon Cridene que si deux Lllipses ou deux
Iyperboles AM, am, Pone semblables, et qu’on pren-
ne dans la Section AMs un de ses diametres quelcon-
ques AFT; il y aura coujours dans l’aurre section am
un diametre ah semblable à AFI, qui aura avec Con pa-
rametre az la même raison que AEI avec le sien AO:
e qu’ainsi les diametres semiblables AFP, ah, serONE
en même raison avec leurs diamerres conjugués. Or
comme dans une Fllipse ou FErperbole il ne peur y avoir
que deux differens diametres conjurués qui tassent en-  Art. 66.
ereux les mêmes ansles, et que ces diametres ne diffe- e 128.
rent que par leur policion, leur grandeur demeurant la
même; il s’entuie que dans les Fllipses ou lesyperboles
Lemblables cous les diametres conjugues qui FerOnt lCs
mêmes angles, seront enereux en même railon; en ob.
Terrane de prendre pour les ancécedens de ces deux
raisons les plus grands de ces deux diametres conjugues,
et pour conséquens les moindres.
PROPOSIFTON III
Theorème.
2O4. ST l’on meta dans une Section Conique deuX pa- F 1C. 100.
ralleles quelcongues BID, PF, terminées par la Section; et LI.
qu’on joigne leurs extremités par deux droites BE, Ot: je
dis que les sermens BC. B, DMCL, compris par des Por-
tions de la Section, es par les droites qui joienent les extre-
mites des paralleles, seront égaux entreux.

## Folio 138 — 884859711:0174
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(38
LEVRE CFN OVZE M F.
CaF a) aHC prOIOnSC les SoucendanEeS BF, DF, pF
qu’a ce qu’elles se reNCONEreNE en un pOint G, _ aY anE
mené par ce poinc ex par le poine de milieu FT de la li-
one BD, la droire OFY; il est clair qu’elle divisera par
le milieu en K la parallele F F a B D, comme ausI PaF
le milieu en P un autre parallele quelconque 00 à la
même lione BD. Donc la ligne FTK Pera un diamerre
qui aura pour ordonnées de part ex d’autres les paral-
leles BD, FF; _E PaFEAHE SI l’on mene par un de les
poines quelconques P une parallele à ces liones, elle
TeNCOntTerA = la Section en deux poinEs MI, MI, éoale.
mene éloignés du point P; d’oi l’on voit que les parties
MTO, OMI, de la même parallele MI AI a BD, compri
ses dans les seomens B AEB, DNIFD, COnE EoujOUES
égales enrrelles, en quelque endroir que puisse combee
cerre parallele enere les lignes BD, FF. II est donc
Arr. 186. CridenE que ces deux seDenS SCRONE EGAUX CHEPCUX.
226. 110.
Si les Poutendantes BE, D F; étoient paraileles etr
ex elles, il faudroir mener par le point de milieu FP de
la lione BD une droite IK parallele à ces loutendan-
ces, e la demonstration demeureroit coujours la même.
D R OE E A F R F I.
205. PDISOVE PML eA roujours ésale a PMI; il
s’ensuit 10. One les FrapeleS COnigUeSKFLBF; KYIDF,
TONE CGAUX CHEP CUX. 2. (LOr(que la ligne BD au lieu
de rencontrer la Section en deux poines la couche en un
POInE ) que les Triliones COnigueS AKF, AKF,
TOnE EgauX; e qu’ainsi les segmens AFMIA, AFMA.
le LOnt aussi; puisque le crianole AF F est dirisé en deux
parties égales par le diamerre AK qui passe par le mi-
lieu de PF.
COROLL A LA LL
Art. 246
Art. 144
P16, 11.
Lo. Siladectonclatac Lalabole, cle Clliple. Ou
une FIyperbole, l’on meneparles excremires des paralleles
JGIHIHHIMHIITIIIEIILHIEHMIIIII

## Folio 139 — 884859711:0175
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DE LA COMPARAISON DES SECT. CONIO.. 139
BD, F F, les droites BF, D F, QuI S’CHLFCCOUPENECH.
ere ces paralleles; les segmens BFD AB, DFB AD, se
KOnE ĆTauX entreuX. Car les triangles BFD, BFD, qui
Pone enere les mêmes paralleles BD, P F, ex qui one la
même bale BD, IONE CGAUZ CHEFeuX; e parcant s l’on
ajoute d’une part le sesment DMLFD plus le serment
BADB, et de l’aurre BM FB Cgal au SegmenE D MI F D.
plus aussi le même seomene B AD BileSTOUES BFDAAB,
DE B AD, LCTONECSAUX CMET euX.
COROLLALRE TII.
207. DE-LA ON VOIE COMENE ON PCUE COUDEF PAF FLC. II2.
un poinccoe DIus use section Conique, deux leg.
MeHS DOFD, DEBD. Cgaux chacun d un segment donné
BEDB. Car ayant ciré les droites BD, DE, e mené BC
Parallele a DE, et EF Parallele à BD, lesquelles
rencontrent la Section aux points G, F; il est clair = CM = Art. 206.
joignant la droire DF, que le segrnent DF B D est égal au
Leoment BFDB, a cause des paralleles DB, FF; e de
même enjoignant D6, que le Seoment DGFD est ćsal
au segmene B F D B, a cause des paralleles BG, DF.
Si le point donné comboic sur l’une des extremités
du segment donné que je suppole eere à prelent DOFD.
il faudroir mener par l’autre exrremité G, une parallele
GF à la cangente qui passe par le POInE D; eE TITANE Par
le DOInE F Ou Cetre Parallele rencontre la Section, e par
le poine donné D, la Toutendance D F, il est clair que le
SESMEnE DFBD sera égal au segmeHE donne DGFD.
II est vilible qu’il ne peut y aroir dans ce dernier cas
que le seul serment DF BD qui loit égal au segmene don-
RE DOFD; Puisque tout autre segmene qui aUra pOuT
l’une de les extremités le point donné D, sera plus grand
ou moindre que le segmeneD FBD, Selon que Pon autre ex-
cremite sera plusproche ou plus cloisnée du point D que
n’estle poine F. D’Oit il SuiE que si deux segmens DOFD,
DFBD, qui onc unC entremite Commune D, tONE EG auX

## Folio 140 — 884859711:0176
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140
LTYRE CTHODTF M P.
CnEF CUX; e que si l’on mene par le poine D une Parallele d
la droire GF qui joine leurs autres extremités, elle sera
TaNgenTE eN D.
GOROLLATRE IV.
208. Oe rire du Corollaire précédeneune maniere
touce nourelle e Forr aisée de mener une Tangente par
un poinc donné D Tur une Section Conique donnéc.
Car arant cire par ce poine deux droites quelconques
DB, BF, qui rencontrene la Section aux points B, P,
on menera par le point B une parallele BG a DF, e
par le poine P une parallele F F a BD, lesquelles ren-
contrene la Section aux poines 9, F, que l’on joindra
par une ligne droire 9F, à laquelle on tirera par le
poine D une parallele qui sera la cansence cherchée;
pui(que les sesimens DOFD, DFBD, étanc ésaux chacum
au même segmenE BEDB, lC SCFONE CHEPeUX.
PR OPOSITION IV.
Theorème.
1. 113. 209. S EL y a dans une Ellipse, dans une ZEyperbole;
224. 115.
ou dans les TTyperboles opposées deux lignes droites BD, PF,
paralleles entrelles ex terminées par la Section; es qu’on tire
du centre C les demi-diametres CB, CF, CD, CF; les
Secteurs Ellipriques ou FTyperboliques CBF, CDF, seront
éxaux entreux.
Car menant par les poines de milieu FZ, X, des droi-
Les BD, FF, le diametre CK, les crianoles OTTB
CTYD, _E CRF, CKF, SeFONE ETAUX CnEPeuX: puis
ou’ils orit le même Commet C, e que leurs bales FTB
TTD, X RF, K F, Cont egales. Par consequent (fig. 114. )
RTTBF- + OBE =CRF -OTTB =ORF= CTID
=KTTDF- FCDF; _ (fC, 113, TI5.) RTIBF =CBF
eTTB =FCKF = F CTTD FCRF = KHDF-
CDF. Donc puisque les Trapeles Coniques RLL BF,

## Folio 141 — 884859711:0177
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DE LA COMPALAISON DES SECT. CONTO. 14Y
RFIDF, PonE CBauX, il s’ensuie que les Secteurs EIlip. + Art. 205.
ciques ou FIyperboliques CBF, CDF, le seront auti.
C OR OLL A ER F I.
210. Sr la Section est une Fllipse, ou une LIyperbO- F1O. 113.
le; X que latione BD Parallele à F F, devienne cangen. 11g.
te en ; il est clair que les Secteurs CAF, CAF, Sc.
FONE CGAUX CHEFCuX. Car prolongeant le demi diametre
CA jusqu’à ce qu’il rencontre la lione FE F aU DOINE R,
cetre ligne lera coupéc en deux également en ce poine;
et par consequent les trianoles CKF, CKF, TCFONE
cgaux. Or les criliones Coniques AKE, AK F, le COnE
E aussI. DONC XC.
COR OLL A IR E TI.
2II. DE- L A on voit que pour diriser en deux par-
ties égales un Secteur Elliprique ou FIyperbolique quel-
conque CF F; il n’y a qu’à mener le demi-diamerre C A
qui dirise par le milieu en R la Toucendante P F de ce
Secteur. Ce qui donne encore les Secteurs CBF, CDF,
egaux cner eux, en suppolane BD parallele a FF. C aF
ayane de cerre manière les Secteurs C AF, C AF, &
CAB, CAD, CTAUIZ CnEPeUX, les SeCtEUES CBF,
CDF, qui en lone les difterences, doirent auss etre
EgaUX CMETeUX.
P R O P OST FTON V
ThCOremE.
2IL. Sorx un dem tercle ADFI, qui ait pour diametre F LC. 116.
le premier ou erand axe AFI d’une démie-Ellipse ABFI;
soit menée par un point quelconque P de l’axe AFI; une per
pendiculaire à cet axe, qui rencontre l’Ellipse au point M, e
le cercle au point N; par ou es par le centre C soient rirées
les droites CM, CH. Je dis que le Sécteur Elliprique
Art. 205.

## Folio 142 — 884859711:0178
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T4. 2
L EY R F CFN O V F E M F.
CAMI est au Secteur circulaire C AN, comme la moitié CB
du petit axe de l’Ellipse, est à la moirié C A ou CD du
grand.
Car par la proprieté  de lEIiple PM. CB::
APXPFT. ACXCFI Ou C A, e par la propriece du
cercle PN. CD:: APXPTT. ACXCFT Ou CA.
DOnC PAT. CB :: PN. CD, Ou PMI. PN:: CB.
CD. Ecentirant les racines quarrées, PMI. PW :: CB.
OD ou C A. Or comme cela arrire coujours en quel-
que endroit que combe la perpendiculaire P ML N, il
s’ensuit que l’espace EIliprique entier ABFF A est au
demi cercle AD E A, & la portion AP MM de cec el.
Pace a la portion A N du demicercle, comme CB
elt a CD ou aC L. Mais le triansle rectansle C PN CA
au criansle rectanele C P N qui a la même hauteur,
comme la base PML est à la bale PN, c’est a dire, com-
me CB eA à CD ou aC 4; ex par consequent l’espace
Elliprique AP M plus ou moins le criansle CPM ( plus
lorsque P est moindre que AC, et moins lorsqu’elle
est plus grande) c’est à dire, le Secteur Elliprique C AMI
sera à l’espace circulaire AP N plus ou moins le crian-
sle CP V, c’est à dire, au Secteur circulaire C AN,
comme CB eAt à CD ou dC L. Ce qu’il falloit démontrer.
COR OLL A FR F L
213. COmME le Secteur de cercle C AN est égal au
rectanole de l’arc AW par la moicié du raron C AOuCD;
il s’enluit que le Secteur Elliptique C Ans eA austi égal au
rectansle de ce même arc AN par la moirie de CB.
C OR OL L AIRF. II.
2T4. Oc l’on mene par un poine quelconque 6 du
rrand axe AFT autre que le point P, une perpendicu
daire d̀ cet axc, qui rencontre l’Elliple au poin L, ee le
+Art. 42. 8
Art. 186.

## Folio 143 — 884859711:0179
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DES PROES SECTIONS CONTOVES. 143
cercle au poine F; je dis que les Secteurs Fllipriques
ACF, ACML, POnE entreux, comme les Secteurs cir-
culaires AOF, AON. CaE ACMI. ACN :: CB.
CD. Fe de même ACE. ACF:: CB. CD. EE Par-
TaNE ACMI. AON:: ACF. AOF. FE ACM. ACE::
ACN. ACF. DOut l’ON VOIE que pOUE FrOuveTUn SeC
teur Fllipeique ACMI, qui soit au Secteur Elliptique
AC F en raison donnée; il n’est question que de Erou-
ver un Secteur circulaire AC N qui loit en railon don-
néc au Secteur ACF, ou ce qui est la même chole, de
diriler en raison donnéc l’arc AWF ou l’angle ACF.
P R OPOSITION VI.
Theoreme.
225. SEE y a deux demi- FFy perboles AVI, AN, ou F1C. 117.
BMI, DN, qui ayent pour centres le même point C, pour un a18.
de leurs demi-diametres la même droite CA, es pour les deux
demi-diametres conjurués au demi-diametres C R, deux droi-
tes quelconques CB. CD, sitvées sur la même ligne; es qu’on
mene par un point quelconque P du demi-diametre C A ( pro-
lonsé s’il est necessaire) une droite parallele à CD. laquelle
rencontre les TEyperboles aux points M, N; par lesquels ex
par le centre C, soient tirées les droites CM, CN: je dis
que les Secteurs FTyperbolignes C AM, CAN, ou CBNI,
CDIT, seront entreux, comme les demi-diametres conju-
gues CB. CD.
On aura par la propriecé des deux FTyperboles = Art. 81. es
NC, AN, Ou BML, D N, ces deux proportiOnS PM. 11S.
CB:: CP FCA. CA:: PN. CD. EE par consé-
quene PM. PN:: CB. CD. Ecen prenant les racines
Quarrees; PMI. PN:: OB. OD. Or comme cela arrire
coujours en quelque endroit que combe la parallele
PMN, il s’entuic  que les espaces Fyperboliques APNI, = Art. 186.
APN, ON CPNTB, CPND, FOnE CMEPeuX comme CB
est d CD. Mais lestrians les OPM, CP N, SonE en

## Folio 144 — 884859711:0180
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144
L EYRE CTNQO FE M F.
ereux, comme leurs bases P MC, P N, ( Puilqu’ils POnE
stués enere les mêmes paralleles CD, PNI, ou com-
me les demi-diametres conjuoues CB, CD. LC Parcon-
sequenE (fic. 117. d CB. CD:: CPNI = APNI. C P N
APN:: C ANI. C AN. Ou bien (f2. 118.) CB.
CD:: CP. MI B. CPMI. CPND = CPN:: CBM.
CDN. Cc qu’il falloit démontrer.
C OROLL A FRF.
216. Sr les deux demi diamerres conjugués C A.
CD. lont égaux entr eux, l’Ayperbole AW ou DN
sera equilatere. Ec si l’on aroit erouré le moyen de quar-
Ter les Secteurs IIyperboligues C A V, ou CD N, on
auroit aussi la quadrature des Secteurs C AM, Ou CB M.
qui onc pour bases des portions AM, ou B M d’une
autre IIrperbole, dont le demidiametre conjuoue CB
peut etre pris de celle grandeur qu’on veur; puilque le
rappore des Secteurs Flyperboliques C A MI, C AN, ou
CDN, CBML, etane exprimé par les droites CD, CB,
est donné. D’ou l’on roit que si l’on avoit la quadratu-
re de l’Fyperbole équilatere, on auroir aussi celle de
Art. 212. Tous les autres Flyperboles: de même qu’arane
F16. 1190
la quadrature du Cercte, on auroir celle de toutes les
EIlipsCS.
PROPOSITION VTI.
Theorème.
217. SE Von prend sur une a symptote CNT d’une FEyper-
bole F BDF, deux parties CR, CL, qui soient entrelles
en même raison que deux autres parties quelconques CC
CFI, de la même asomprote; es qu’ayant mené les paralle-
les GF, HID, RB, LE, à l’autre asemptote C P, lesquel
les rencontrent l’FTyperbole aux points P. D, B, F, on tire
les demi diametres CF, CD, CB, C F: je dis que les deux
Sécteurs

## Folio 145 — 884859711:0181
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N
B,
DE EA COMPARAISON DES SECT. CONIO. 745
Secteurs FTyperboligues CBF, CDF, seront écaux entr eux.
AYan mené les deux droires BD, FF, qui rencon-
trent les alympeotes aux points MI, O, W, P; les paral.
leles RB, FTD, donneront certe proportion, MIB. MI R::
DO. CTI. Les Paralleles Z F, O F, donneront aulli certe
aUEFC PFOPOTTION, N F. NZ:: F P. CO. FEpartan puis.
que MIB =DO, d N P = F P, il s’ensuit que WIR = CFY, + Art. 95.
ec N L ==C6. OF Par la SuPPOSITION CO Ou ZN.
CTT OU KM :: CR. CZ:: = DF. R B. RE PaTEANE LNV. X ArT. 100.
ZF:: K M. KB. DOnC les lignes NE, MB, c’est a dire,
les deux droites FF, BD, dont elles Font parties, se-
rone paralleles enerelles. Donc= les Secteurs LIyperboli - + Art. 209.
ques CBE, CDF, IONE CBAUX CnEP eUX. Ce qu’il fal. ec.
COROLLA FRE I.
218. S1 les parties CK, CZ, de l’alyMPEOLC CN,
sont en même raison que deux parties quelconques
CS, C7 de l’autre alymptoce Cr; et qu’on mene les
Daralleles RB, Z F, à l’asymprore CP, e les paralleles
SD, TF, a l’auere alpmipioce ON; il est clair que les
Sectcurs LIrperboliques CDF, CBF, seront austi égauX
CMEF CAZ. Car ayanE mene les paralleleS FC, DFT, à
l’alrmptote OP, On aura  CO. CTI:: FYD Ou CS. F Arr. 100.
GF Ou CZ :: CR, C F. DONC _C,
COROLZAFRE II.
219. St l’on prene u la même asymproce la parrie
CK croieme proportionnelle à deux parties quelcon-
ques CG, CFT; On prourera par un raisonnement sem-
blable à celui du Theorème que la ligne BF est paral-
+Hs
lele à la cangente qui passe par le POInE D; de qu’ain (I  + ArT. 210.
les Secteurs LIyperboliques CF D, CD B, PonE égaUX
enEPeuX. D’ou il luic que li l’on prend sur une alimp-
FOtC autane de parties qu’on roudra CG, OFI, CK,
CL, dcc. en proorestion seometrique conrinué, d’oit
parcene les paralleles OF, LLD, KB, LF, etc, à l’au-

## Folio 146 — 884859711:0182
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146
L FY R E C TN OV YF M P.
ere asymproce, les Secteurs Fyperboliques CF D, CDB,
CBF, _C, TEKORE FOUS EGAUX CHEPCUX.
COROLLAFRE TII.
220. D E. LA on roit que si C TY est la premiere
de deux moyennes geometriquemene proporcionnelles
enEre leS CxEFEMeS CO, CT; et qu’on tire les droites
BF, TTD, Z F, Paralleies à l’autre alympeore; le Sec-
FeUF CD F, Pera au SecteUE CF F, Comme F elt a 3. DC
même, (i CFP est la premiere de crois moyennes pro-
portionnelles entre CB, OZ; le Secteur CD R Pera au
Secteur CF F, Comme r est a 4. FE en oeneral, S la let
ere n marque un nombre entier quelconque, de que
CFT Toit la premiere d’autant de moyennes proportion-
nelles entre les exrrèmes CO, CZ, que le nombre m -i
contiene d’unités; le Secteur CDF, sera au Secteur
CFF, comme i eA au nombre m.
R E N A R QVF.
22I. Oer peur ici donner une idée Forr éxacte de
ce qu’on appelle Loçarithmes dans l’Arichmetique, et
de l’extreme Facilité qu’ils apporrent au calcul, lorsqu’il
s’agit d’operer Tur de Forts grands nombres. Voici com-
TMCHE:
Si l’on suppose que CO, exprime l’unité, e que CZ
étane decuple de CG, c’esta dire, 10, le Secteur TIyper-
bolique CFF, foit dirilé en 10000000000 parties egales.
Fc S l’on compose une cable dirisée en deux colomnes
donc la premiere renterme de luite tous les nombres
naturels X, 2, 3, 4, 5, 6, Xc. X l’autre des nombres ar-
tificiels, places vis a vis, e qui loient rels que CFI, CX-
primant un nombre quelconque naturel, le nombre ar-
tificiel placé ris a vis, exprime le nombre des parties
que le Secteur FIyperbolique CD F contienE par Fap-
pore au nombre des parties que conciene le Secteur

## Folio 147 — 884859711:0183
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DE LA COMPARATSON DES SFCT. CONTO. 147
CFF: les nombres arcificiels serone appellés les Loa
rirhmes des nombres naturels ausquels ils repondene.
Cela pole,
1. Si l’on propole de mulciplier deux nombres natu-
rels quelconques OTI, CK, l’un par l’autre, il n’y aura
qu’à prendre dans la cable leurs Logarichmes qui Cx-
iBenEles SecteurS OFD, CF B, e ajoutane entemble
ces deux Logarichmes, on aura le Logarichme qui cx-
prime le Secteur CFF, vis- à vis duquel sera placé le
nombre naturel CL produir de la mulciplication des
deux nombres CTI, CK.
20. Si l’on propose de diriser le nombre CZ par le
nombre CK, il n’y aura qu’a retrancher le Logarichme
CF B du Diriseur CR, du LOrarIEHMe C F E du nOM-
bre à diriler CZ, pour avoir le Logarichme CB F ou
CF D du quotient CFI.
30. Si l’on propose d’extraire une racine quelconque
du nombre CZ, par exemple la cubique, il n’y aura
qu’à diriler Con Logarichme CF F en erois parties éga-
les, pour avoir le Logarichme C F D vis a-ris duquel est
Placé le nombre CFF, qui cA la racine cubique cHCE-
chéc.
Tout cela est une suite de ce que les Secteurs LEyper.
Boliques CFD, CBF, Lont égaux entreux, lorlque
CO. CFT:: CK. CZ. Et que les Secteurs CFD, CDB.
CBF, XC. Pont aus éaux entreux, lorsque CO. CTT::
CTT. CK:: CK. CF:: _c. II est donc érident que par
le moyen de cette cable, on pourra abreger extreme-
ment les operations de l’Arichmecique, lorsqu’il s’agie
d’operer sur de grands nombres, comme dans les cal-
culs Astronomiques.
Comme l’on n’a pit ju squ’à PFC(CnE EFOUVeE eN NOm
bres exacts, le rappore des Sécteurs Frperboliques
CFD, CFB, _C. au SEctCUE CFF, On s’est COn-
renté d’exprimer ce rapore en nombres FOrE appro-
chans; e par le moyen de ces nombres qu’on ap-
pelle Artisicieto, et des nombres nacurels qu’on a pla-

## Folio 148 — 884859711:0184
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148
LTVR E C EN QV TE MP.
cesris. d. vis, on a composé la l’able des Logarichmes qui a
les proprietes qu’on rient d’expliquer. Or dans la (uppo.
Sicionque le SecteurOFE Logarichme de CF (10) contiene
10000000000 parties égales, on trouvera que le paral-
lelogramme COF X contient plus de 4342944818 de
ces parties, _ moins de 43429448r9. D’ou l’on voit
qu’un Secteur Iyperbolique quelconque CBF, est au
Parallelogramme COF F à peu près comme le Logari-
ehme du nombre CZ croure dans la Table, est au nOm
bre 4342944819, ex cela en prenant les Logarichmes de
dix caracteres outre la caracterictique.
PROPOSITION VIIL
Theorème.
222. STL y a sur chaque asymptote deux parties C (,
CL, e CR, CS, qui soient telles que V CG. VCL::
VCR. VCS; ex qu’on tire les droites GTF, LE, R X
SV, paralleles aux asymprotes: je dis que le Secteur CFF,
sera au Secteur CTV, comme m est a n. Les lettres m ex n
marquent des nombres entiers quelconques.
Car A P’On Fait V CO. V CF:: CO. CTT. EE V CK
VCS:: CR. CO. EE qu’on cire les droites TID, ON,
Paralleles aux alympeores; il est clair que les Secteurs
EIyperboligues CFD, OZN, SCrONE EGAUX  CnER eUX.
puilque C6. CFT:: CR. CO. Or selon la nature des
Progressions geometriques, la ligne CEs sera la premié
re d’autant de moyennes proportionnelles entre CG et
CZ que le nombre m =i contiene d’unités, e de me-
me la lione C0 sera la première d’autane de moyennes
proporcionnelles entre CR et CS que le nombre n -i
contiene d’unites. DOnCF C F F. OF D:: m. 2. EF C7X
Ou CFD. CTV :: i. n. Et par conséquene le Secteur
CFF eAt au Secteur CTV en railon compolée de m a i,
e de i a n, c’est à dire, comme le nombre m est au
nombren. Ce qu’il falloit demontrer.
F1C. 120.
Arc. 218
Art. 220.

## Folio 149 — 884859711:0185
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DE LA COMPARATSON DES SECT. CONZO. 749
COROL L A FR F.
223. De. La on roit qu’un Secteur Syperbolique
CF F étanc donné arec un point quelconque Z de lFIY-
perbole, il ne Faut pour crourer un autre point r de
la même Eyperbole, cel que le Secteur CF P. Poit au
Secteur CTY, comme mestan, que prendre CS en
Torre que VCO. VCZ:: VCR. VOS, ou (ce qui re-
vientaumême) VOG. VCF:: CR. CS. C’est a dire,
qu’il Faue prendre CS = CRX jc
c
PROPOSITION IX.
Theorème.
2A. SF l’on mene par les extremités B, F, d’un Secteur F1C. 121.
TTyperbolique quelconque CBF, les droites BR, FCY, pa-
ralleles à une a semprore CS, ex terminées par l’autre CL;
je dis que le Sécteur FEyperbolique CBF est ézal à l’espace
Byperbolique BK CTF compris entre les paralleles BR, F C7
a une asymptote CS, la partie CTX de l’autre asymptote CL
ex la portion BF de lFTyperbole.
Car l l’on retranche des triangles égaux = ORB, + Art. 99
COF, le même criangle CO A (le poine A est le poine
d’incerlection des deux droites FG, CB) et qu’on ajou-
te aux deux restes BROA, CAF, le même espace ly.
perbolique BAF, on Formera d’une part l’espaceBROF,
e de l’autre le Secteur CB F qui sELONE EGAUX CHEF CUIX.
Ce qu’il falloit démontrer.
C O R O L L A F k F l.
225. Or l’on cucmene es see O patalleres
a l’alympEote CL, _ terminees par l’alyPEOTC CS, OH
auroir proure de même que le Sécteur Fyperbolique
lls

## Folio 150 — 884859711:0186
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Y5C
LTPRE CLN OVTEM F.
CB F est égal à l’espace hyperbolique BOOF; d’ou
l’on roit que les espaces ou Trapeles hyperboliques
BKOF, BOOF, IONE EGAUX CHEP CUIX.
C OR OLL A FR F TI.
226. DD E. X A il est érident que tont ce qu’on vient de
demonerer dans les articles 217, 218, 229, 220, 221, 222,
_ 223, des Secteurs Hyperboliques, se doit aussi enten-
dre de ces sorres de Frapeles; puisqu’ils leurs Contégaux.
PROPOSTTTON X.
Theorème.
227. SOTENT deux differentes FTyperboles BNF, FIND
qui ayent les mêmes asymprotes CL. CS, ex soient menées
par deux points quelconques C, K, d’une asymptote deux pa-
ralleles (DF, KTTB, à l’autre. Fe dis que l’espace hyper-
bolique TTX (YD est à l’espace hyperbolique BK CFF, comme
la puissance de l’FTyperbole FIND, est à la puissance de
lFyperbole BMF.
Car arant mené par un poine quelconque  de la par:
eic GK, une parallele aux deux deoites GD, KTY, la-
quelle rencontre lPTyperbole BMIF au point ML, e
lIErperbole PTN D au poinc N; e nommé la puis
Pance de lFIrperbole FTND, aa; celle de lTIy
perbole BMIF, bb; e l’indéterminée CP, x; on aura
E, _ PN = = ; _E PaFEaNE PN. PM:: aa. bb.
Ox comme cela arrire coljours en quelque endroic de la
Arr. 186. Parrie GK que combe le poine P; il s’ensuic  que l’es-
pace hyperbolique TIKOD. BKOF:: ad. bb. CC
qu’il falloit démontrer.
C OROLL AFRE.
228. LORsovE les puissances des Flyperboles TIWD,
BM F, lonE ener elles, comme le nombre m est au nom
F20, 122:
Art. 102. Y PX-

## Folio 151 — 884859711:0187
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DE LA COMFARAISON DES SECT. CONIO. YGY
Bren; on pourra coujours crourer dans lFyperbole
TTND un Frapele hyperbolique RSV Y éral a un TCa
pele lyperbolique OR B F de l’autre BMI F, les droites
CO, CK, CR, érant données. Car il est clair = que lC + Arc. 222.
Trapese OKFFD est au TrapelC GK B F, comme m eA 5s 225.
an; e qu’ainsi route la difficulté se reduit a crouver dans
la même FIyperbole XIWD, le Trapese RSV T qui
Poit au Trapese OKFTD, comme le nombre n est au
nombre m: e c’est ce qui se Fera = en prenane CS, telle = A,t. 223.
que VCO. VCK:: CR. C5.
DE F E N E FE O N S.
e5 226.
Soit une ligne droire indétinie AC, qui aie pOux Ori - F10, 123.
eine le point tixe A; e loit une ligne courbe AMB
celle qu’ayant mené d’un de ses poines quelconques MV
une droite M P qui Fasse avec AC un angle donné
AP MI, E ayanc nommé les indécerminées AP, X3
PHI, y: on aicroujours a x =yy (la lecere a marque une
lione donnéc): il est clair= dans certe supposition que la + Art. 19.
ligne courbe AM B est une Parabole qui a pour dia-
metre la ligne AC, pour une ordonnée à ce diameere
la droice PMI, e pour parametre de ce diameere la don-
néc a. Mais si l’on suppole à prelene que la nature de la
courbe AM B loit exprimée par l’équarion y= a a X
Ou paT Cetre autre p=axX; cetre ligne courbe lera
nommée Parabole cubique ou du troisieme decré; parce
que celle des deux indécermineesx ou y, dont la puissance
est la plusélerée, monte au croisième degré. De même (
l’équation esty== a’ x, ouy= ax; la ligne courbe AMB
est appellée Parabole du quatrième degré; parce que l’in-
déceriminée y dont la puissance est la plus haute, monte
au quarrième deoré. II en est ainsi de toures les aurres à
l’infini.
Soit comme dans la détinicion précédente une ligne F1C, 124
droite AC qui ait poux origine le poine fixe ; ee loic

## Folio 152 — 884859711:0188
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152
LFYRE CFNOV FE M F.
une lione courbe BNI, celle qu’ayant mené d’un de les
poines quelconques M la droire M P qui Fasse avec AC
un ansle donné AP MI, e arane nommé AP, X 3
PML, V; On aic coujours xy = a a (la letere a marque
Art. 10r. une ligne donnéc): il est clair que cerre ligne courbe
sera une Eyperbole, qui aura pour l’une de les alrmp-
toces la ligne AC, ee pour l’autre, la ligne AD Paral-
tele à PMI, e dont la puissance sera le quarre a a. Mais
S l’éguation qui exprime la nature de la courbe B M ele
Xxy = a; cerre ligne courbe sera nommée TTyperbole
cubique ou du troisiéme decré, parce que le produit x xy
des deux indecerminées x _y, a trois dimensions. DC
même, ( l’équarion étoir x’y = at; la lione courbe BNI
Lexoit une FEyperbole du quatrié̀me derré; parceque le
Produit r’y a quarre dimensions. II en est ainsi de FOu-
ces les autres à l’infini.
COROLL A Y R F.
229. ST P’on suppose que la IeFFrC M MaEquE Un NOM.
bre entier quelconque qui soir l’expolant de la puissan-
ce de l’indécerminée AP (X); e de même que la lettre
n marque l’expolane de la puissance de l’autre indeter-
minéc P A (y): il est clair que l’équarion un =x m
Xanum (ou SimplemenE yn ==um, en FailanE pour abre-
ser la donnée a ==1) exprimera la nature des Parabo-
les de tous les deores à l’infini. On roit de même que
l’équation xmyn = =am.tn (ou LImplCMENE X myn = - F
en Faisane a ==1) exprime en general la nature des FIy.
perboles de rous les degres à l’intini.
COR OL L A Y R F II.
230. St l’on mene par l’origine Exe A de la lione AC
une ligne droite indefinie AD Parallele à PMI; X qu
aranE tire MS K parallele à AC, qui reNCONErC A D au
POIIE K, on nomme les indéterminees AH, X i K ML, Y ;
P10. 123
124.

## Folio 153 — 884859711:0189
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DE LA COMPARATSON DES SECT. CONTO. 153
il est clair que l’indéterminée x qui exprimoie aupara-
ranc la lione AP ou MK, deriene à prelene y; et qu’au
concrairey qui exprimoit PMs ou AK, derient à prelene
X. D’ou il CuIE.
2. Oue Si la courbe LAI B est une Parabole ordinai- F16. 123.
re, elle aura pour équation py == a X O XX ==ay, lelon
qu’on rapportera les points à ceux de la ligne AC ou
AD; e de même que la Parabole cubique qui a pour
equation y =aax lorlqu’on rapporte les pOInEs a ceux
de la lione LC, aura pour équation x==a ay lorlqu’on
les rapporce à ceux de la lione AD; _ en general que
Si la ligne courbe 1ns B a pour equationyn = xman m
étant rapportée à la liene droite AC, certe même cour
be aura pour équarion un =yman-m (l’on luppole que
n surpasse m) érant rapportée à la ligne AD.
2. Oue lEyperbole ordinaire a coujours la même F10. 124.
Equation xy=aa, loir qu’on la rapporce à la ligne AC
ou à la ligve AD; que lEEyperbole cubique qui a pour
Equation X x y = a CEaHE FaPPOTTĆC à AC, auFa POUF
eguation xyy = a écant rapportée à l’aucre ligne AD;
et en general que lEIyperbole qui a pour équation
Xmyn=am+n lor(qu’on rapporce les points à ceux de
la lione AC, aura pour équation xnym =am +n lorL-
qu’on les rapporte à ceux de la ligne AD.
COR OL L A F R L ITI.
23Y. DE. L A il est érident qu’il y a deux Paraboles
cubiques done l’une a pour équation j’=aax ou n=aay
et l’autre y == a X Xx Ou x = ayy; au lieu qu’il n’y a
qu’une seule FIrperbole cubique xxy= a ouxyy=a
Car les indérerminées x e y ne peurent etre combinées
que des quarre premieres manieres pour exprimer les
Paraboles cubiques ou du rroisième degré; et des deux
lecondes pour exprimer les Typerboles cubiques.
Ox comme les quatre premieres ésalicés appartien-
nent à deux differences courbes, et lesdeux secon-
des à la même; il s’enluit, _CC. ON PCUE ETOUVeF PaF

## Folio 154 — 884859711:0190
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000190.jpg
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154.
L IV R E CFNOD LE M E.
la même voie le nombre des Paraboles ou des FTyper-
boles du quacrième, cinquiême degre, etc.
COROLL A TR F IV.
232. T VON-SEDEEmENTPFIy perbole ordinaire a poux
alympeores les lignes droices indetinies AC, AD; mais
encore celle de tous les degrés à l’infini. Car loit l’équa-
tion generale xmyn =am +n ou yn=
a
et
+. n
PNT =y) qui exprime la nature de celle IIrperbo
le qu’on roudra, lorsqu’on rapporte ses points a ceux
de la ligne AC; il est manifecte que plus AP (X) aug.
mence, plus au contraire yn, ex par consequent PAI (y)
diminué; de Torce que x érane infinimene orande, D NI
(V) deriene nulle ou zero: c’est à dire que lTIrperbole
BMI X la ligne AC, étant prolongées l’une e l’autre à
l’intini, s’approchene coujours de plus en plus jusqu’a ce
qu’entin elles se joignent dans l’intinimême; ce qui cons-
citue l’essence d’une alympeoce. Maincenant (I l’On raD-
porte les poines de la même yperbole à ceux de la li-
ene AD, On aura xnym=amn ou ym- am +
(AK = X, K AP == y); d’oi il suiE que pluS AR (X) de-
viene grande, plus au Concraire XMI (Y) derient pecicC, e
cela à l’infini; ex qu’ainsi la ligne AD est encore une
alymprote de la même Fyperbole.
PBOPOSITTON ZI
Problème.
233. DOrx propose de mener d’un point donné Mt sur la se-
F1G. Y23. conde Parabole cubique AMB, dont la nature est exprimée
par l’equation Y == aXX, la tansente MIY.
Avanc suppose Parc as N intinimene peric, a mené NO
parallele à PMI, _ MI R Parallele à AC: le petit trian.
Dle M R N sera semblable au grand Y PM; puisque le
F16, 124.

## Folio 155 — 884859711:0191
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DE LA COMPARAISON DES SECT. CONTO. 155
pecit arC MIN peut étre resardé  comme la prolon- = Art. 189.
sation de la cangente T MI. Cela polé, on nommera la
Toutansence cherchée = P, si ex la perite droire PO ou
MIR, e; ce qui donnerA R N = 2 à cause des crian-
oles semblables ZPML, XIR N. Or S l’on met le cube
de ON (y - + =7) à la place de y dans l’équation p
=axx qui exprime la nacure de la courbe AMIB;
et à la place de xx, le quarre de A0 (X t e): il est evi-
dene qu’on Formera une équation y.- + 303 - 3ecyt
+
==a X X = F 2eaX - t eea qui exprimera lc rap-
port de AO à ON. Et Si l’on recranche par ordre des
deux membres de certe derniere équation ceux de la
premiere, e qu’on dirise ensuite PaF e, ON FrOUVeTA
5 + 3093
eeu
=== 2a X - + ea; dans laquelle efacanE
cous les termes ou e se rencontre, parce que PO (e)
étane infinimene pecite ou nulle, ces termes sone nuls
PaF FaPPOTE auX autres; il vienE enFIn 37 = = 2 a X; eC
DaxFaNE PZ (5) =
EaX == Z X CN MCTLAnE POur y3 (2 V2-
Leux a XX. Ce qu’il falloit trouver.
R E M A L D L.
verra arec eridence qu’en substicuant à la place de la puil-
Tance der, une pareille puissance dey. + , on n’a beloin
que des deux premiers termes de cette puissance. Cae
tous les autres écane mulcipliés par les puistances de e,
ils renterment chacune, ou des puistances de e, dans
la derniere équation que l’on rroure à la Fin de l’opera
tion; de doirene par conséquent etre eftaces. II en est de
même lorsqu’on Tubstitui à la place de la puistance de x
une pareille puistance de x= t e. Mais si l’on forme de luice
234. Sr P’on Faie atcention sur le calcul precedene, on

## Folio 156 — 884859711:0192
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Y5C
L TY RE CENOBIEME.
toures les puissances du binome x - +e, ON aUFA POUF
les deux premiers cermes de la seconde puiltance
X - F2Cx; de la croisième x- F3 ex x; de la quatrième
x = F 4 ex; de la cinquième x - F5Cx; X ain (i de sui-
ce à l’infini. De Corce que les deux premierstermes d’une
puissance quelconque m de x - F e, TCFONE Xm - L M e X m -
On trouvera de même que les deux premiers termes
d’une puissance quelconque n du binome y - + serONE
Vn-+ negr
C OR OL L A Y R F.
235. DDE. LA ON VOIE qLe POUF ErOUreF unC expreL
sion generale de la loutangence PF (5) des Paraboles
de tous les deores à l’intini; il n’y aura qu’à le serrir de
l’eguation generale n == xm an-m, Ou (pFeNANE a POUF
l’unicé) yn =xm qui exprime la nature de EOUTES CCS
Paraboles. Voici comment.
On metera dans l’équation generale pn = x m a la pla
ce deyn, les deux premiers termes de la puissance n de
de m, les deux premiers cermes de la puissance m de
x - F es cest a dirc, xm - L m exm - L: CC qui donnera
yn.  + ned = X m - L M C xm = L. FF recranchanE par ordre
les membres de la premiere équation de ceux de celle
ci, e dirilane enluice par e, l’on aura  =m Xm - 1; X
gn
PAFEANES == m_m -  =  Y CN MCLLANE POuF yn (a valeUE
xm
P R OPOSITION XII.
Problème.
1. D. L 236. MEVEN les rangentes des TTyperboles de 2oas les
decres à l’infini.
La même preparation étane faite que dans la propo-

## Folio 157 — 884859711:0193
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DE LA COMPARATSON DES SECT. CONIO. 157
sition precedence, on metrra dans l’équation générale
xmyn = am =n qui exprime le rapPOTE de AP (X) à
PNT (Y), à la place de am les deux premiers cermes de
la puissancem de AO (x - F e) cestadire, xm - F mexm-1;
e demême à la place de yn les deux premiers termes de
la puissance n de OX (y - -2) cest à dirc qn -ney. ce
qui par la mulciplication donne cetre auere équation
Xmyn - +M CynXm c- negnum mne egnam-L
amtn
qui exprimera le rappore de 10d ON. Ec retranchane
par ordre des deux membres de cerre derniere équa-
eion, ceux de la premiere; et dirilane enluite par cyn;
il vienE mam- nam mnexm-
équation effaçane le terme- mnexm-
aux deux autres, parce qu’il renterme dans Pon expret.
sion la ligne infinimene pecire ou nulle PO (C), on
croure en transpolane à l’ordinaire PX (5) = nX 
m X.
C OROE L A X R F.
M X M -+
237. (F est donc érident que pour mener la Tangen- F1O, 123.
ce MIT d’un point donné as sur une Parabole ou une FIY - 124.
perbole de tel degré qu’on roudra; done l’équation cAt
pour la Parabole yn==xman-m, e pour lIIyperbole
Xmyn == am + n: il ne Faut que prendre la Toutansence
PT = AP du même coré du poine A Par FAPPONE
aupoine P. lorsque c’est une Parabole; d du COTC Op-
Posé, lorsque c’est une Fyperbolo.

## Folio 158 — 884859711:0194
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000194.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
LEVRE CTNODLEME.
P R O POSITTON XITI.
Theorème.
238. SOrT comme dans la définition quatrième; une
16. 12). Parabole AM B de tel decré qu’on voudra, dont la nature est
exprimée par l’equation yn = X m 2u-m: foit menée d’un de
les points quelconques B la droite BC qui fasse avec AC l’an-
Elé donné ACB, es soit acheve le paralleloeramme ACBD.
Je dis que le parallelocramme circonserit A C BD est à l’espa-
ce Parabolique A C B M A compris par les droites RC, CB,
ex par la portion de Parabole AMB; comme m-+ n est à n.
II faut prouver que ACBD. ACBNI A :: M +NR. R.
Ayant suppose tur la portion de Parabole AATB l’arc
ar N intinimene pecit, ou si l’on aime mieux, indetini-
mene petie, c’est à dire, moindre qu’aucune portion
donnée de la Parabole, si petice qu’elle puisse Ctre; et
mené les droites MIP, N O Paralleles a BC; _ MIK,
NZ, Paralleles à AC; lelquelles Forment par leursren-
contres le petic parallelogramme MR NS: on cirera la
Fangente MlY qui renconere le diametre 0 au poine
T, par oit l’on menera une parallele à CB, qui rencon-
Ere les liones NTK, NZ, aux POinES F, C. Cela Fait,
. 169, On rezardera le pecit arc M N comme l’un des pe-
cirs cores du Polrsone qui compose la portion de Para-
bole ANs B, e la cangente as comme le prolonoe-
mene de ce pecir coce; de lorce que l’on a deux crian-
oles rectilignes N R MI, NI P Z, qui lont semblables:
c’est pOurquoi N R On ATS. R HI:: MIP. PZ OU MF.
Ee parcane le parallelosramme ~ M R O eAt égal
au parallelogramme LMSO; puilque les aneles
P AL R, F AES, IONE CgaUX, X que les COrES aU-
tour de ces ansles sont réciproquement proportionnels.
o 137. OF = AL F Ou PZ = = AP OU = NIK. Donc ausi lC P2-
rallelvoramme P ASO ou COn CsaI PNRO =
KMSF. Ex comme cela arrire toljours en quel.

## Folio  -  — 884859711:0195
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000195.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 17 lines, status machine
p
A
E1
Fig. 110.
2t
t
oss
is
B
1.
s
2.
Eam  onoit
2
Pla
pag.
SISCHE LANDESB

## Folio  -  — 884859711:0196
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000196.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 11 lines, status machine
aMtslII
111t111 11)1t1 111 11 11111 1 1tt 11)t111t1tt 115t111111 1111111 1111 111 111 11111)1 1 11 1111151111 1111111111
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GOTTFKIEDWICHECM CEIBIIZ BIBLIOTI
eeeeeeeee
ir: Loibn. MIarO. 155, 51.
IEDERSACHSISCHE LANDESBIBLIOTHEK

## Folio 159 — 884859711:0197
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000197.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
DES COMPARATSONS DES SECT. CONIO. 159
que endroir de la portion de Parabole ANI B que EOML
be le pecic arc WI Xr; il s’ensuie que la somme de tous
les peties parallelosrammes PMIRQ, c’elt a dire,  le  Arr. 184.
Frilione parabolique LCB MI A =- = AD BM A TOm-
me de tous les perirs parallelogrammes = KMI S L. On
aura donc AD B NI A. AC BMI A:: M. n. FE PAF CON-
seguene AD BNA- Y AOBM A Ou ACBD. ACBMI A::
m- + n. n. Ce qu’il falloit démontrer.
C OR OEL A LR F.
239. DE. La il est éridene que le Priligne paraboli-
que AP MC CA au parallelogramme circonlcrie APMIR,
comme n est a m -+n: X qu’ainsi le Prapese paraboli-
que MIPCB=
que ACBM A -
mtun 2BCD. 
e
mti APMK.; puis-
m LCBD, et APM = m. APMK,
PR OPOSITION ZIV.
THeOrème.
2.4O. SOxT comme l’on a expliqué dans la définition F 1C. 126.
cinquième, une FTyperbole BMO de tel dezré qu’on voudra,
dont la nature est exprimée par l’équation X  Y R = 2 m - L B:
soit menée d’un de ses points quelconques B la liene BC paral-
lele à l’une des asemptotes AD, es terminée par l’autre en
C; ex soit achevé le paralleloeramme ACBD. Je dis que ce
paralleloeramme inserit AC BD est à l’espace hyperbolique
ECBMO renfermé par la droite déterminée BC, par la li-
une CF prolongée à l’infini du côté de P, es par la portion
dFTyperbole BM O, prolonrée aussi à l’infini du coié de C;
comme M = n est a n.
II faut prouver que ACBD. F CBMO:: M - H. H.
La même préparation écant faire que dans la provo-
licion precedenre, on prouvera de la même maniere
que le pecic parallelogramme P M R Q= KMdL.

## Folio 160 — 884859711:0198
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000198.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
160
LTPRE CINOVLEME.
Or comme cela arrire toujours en quelque endroir de
la portion d’Fyperbole B MO que combe le petie arc
NFN; il s’enluie que la Comme de tous lespeties paral-
Arr. 184. Lelosrammes P ML R Q, c’est a dire, + l’espace FCBMO
.
=F AD D _O Comme de tous les peries parallelo
STaIeS =KMSL. On aura donc E ADB MO.
FCBMIO:: m. n; _E PATEANE F AD BNIO -FCBNIO,
Ou ACBD, ECBMO:: m =n. n. Ce qu’il falloit demon-
erer.
C OROLLATRE I.
24T. DDE. L A il est évident que le Prapese hyperbo-
lique CP MB =
ed
 2CBD = APMK; Puil
que FCBNCO =- = - ACBD, e que par la même
Fai ION l’espACC F P MO =  -, 2P MX.
COR OL E A L R E II.
242. DDE. F a il SuIE:
2. Ouc lorsque m surpassen; le rapport du parallelo-
sramme inscrie AOBD à l’espace FCB MO indeti-
niment ecendu du cocé de F, sera coujours exprime par
desnombres policits; ex qu’ainsi on aura toujours dans
Ce cas la quadrature absolue de cet elpace.
2. Oue lorsque m =n, ce qui arrire dans l’FIyper-
bole ordinaire; on troure que le parallelogramme
ACBD est à l’espace hyperbolique FCBMO, com
me zero est à l’unité: c’est à dire que cer elpace est
intini par rappore au parallelogramme insexit ACBD,
30. Oue lorsque m est moindre que n; le parallelo-
sramme inscrit AC BD sera à l’espace hyperbolique
FCB AIO comme un nombre negatit a un nombre po-
sitit: ce qui fait voir alors que la raison de cet espace
au parallelocramme AOBD, est pour ainsi dire plus
qu’intinie. Mais on doir remarquer dans ce dernier cas,
que

## Folio 161 — 884859711:0199
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
DE ZA COMPARALOBN DES SECT. CONTO. IBI
que l’espace hrpetbolsque rentermé par la droite DB,
Par l’alympeore AD prolongé à l’infini du coré de D,
e par lFTyperbole OM B aussi prolonoée à l’infini du
coté de B, sera au parallelogramme inscrit AOBD:
comme m est à n -m, c’est à dire, que cet espace sera
quarrable; car prenant les indeterminées (X) Tur l’a-
Tymptoce LD, au lieu qu’on les avoir priles Tur l’alrmp-
FOTC AC, l’équation à l’EIyperbole deviendra = Xnym= Art. 230.
am.
tACOP OSITION XV.
Theoreme.
243. SOrr dans l’ansle droit C AD une ligne courbe F. 16. 127.
quelconque AMI B, dont l’on sçache mener les tancentes MI Y.
es soi dans l’ancle D AFI qui est à coté de celui ci, une au-
tre ligne courbe LIFF, telle qu’ayant mené d’un de ses points
quelconques F la liene FM parallele à RC, qui rencontre en
X la liene AD, ex en M la premiere courbe AMB, ex
ayant tiré la tangente MIT qui rencontre A C au point I: on
ait toujours comme RP est à M I, ainsi une liene constante 2
qui demeure roujours la même en quelque endroit que tombe le
point F, est à KF. Fe dis que si par un point quelconque D de
la liene AD l’on mene une liene droite F. B parallele d AC
es terminie par les deux courbes; l’espace ADFFFI sera
ecal au réctanele de la courbe AMB par la constante a.
II faut prouver que AD E FII =  AM BX a.
Ayant supposé par tout ou l’on roudra sur la courbe
uI B larc MI W intiniment pecit, et mene les droites
NTF, X C, paralleles d AC, e qui rencontrenela droi-
EC AD aUX POINES R, Z, X la courbe FY F F aUX POInES
P, 6, on cirera les droites FS, MI R, paralleles à AD,
ec on prolonsera R ns jusqu’à ce qu’elle rencontre AC
en P. Cela posé, les deux criansles rectangles sembla-
bles ATDZ, N R N, donmenE MI R. MI N :: NI P ou
AA. MZ i: a, KF. LF PATCANE K F X ML R, c’est d dire,

## Folio 162 — 884859711:0200
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000200.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 35 lines, status machine
262
LTYRE CTNOBFE M E.
le petie rectansle F RLS = NINXa. OF comme cela
arrire coujours en quelque endroie de la Courbe AMIB
qu’on prenne le petie arc MV N, il s’enluie que la Pom-
Arr. 184. me de tous les peties rectangles KLS F, c’est d dire,
l’espacC ADEF F Sera ćgal à la Comme de tous les pe-
eies rectangles NI N Xa, c’est à dire, au rectanele de la
courbe LML B par la constance a. Ce qu’il falloit demon-
trer.
C OROLLATRE I.
244. DE. CA il est éridene que le rectangle de la
portion anI par la constante a, est égal à l’espace
AK F FT; et de même que le rectanole de la porrion
ML B par la même ligne a, cA égal a l’espaCE LDEF.
COROLL A LRE TI.
245. Sr l’on suppose que la Courbe AAL B Foit la
seconde Parabole cubique, qui aic pour équation
Art. 233. p = a X X (AP == X , P ML =y); OM AUTZ = DY = 2 X;
et a cause du rriansle rectansle M PZ, l’hypochenuse
AIZ =Vyy - + =X X. Mais par la proprieté de la Cour-
DC TTF F, il FaUE que ML P(y). MZ (V yy - + = ~ x)
:: a. K F. CC qui dOnnC K F = aa- 1 Dan L
Cn MCLLANE pOuE a Xx la valeur p. D’oi l’on voit que
la Courbe FYF F est dans ce cas une Parabole, qui a
pour axe la ligne AD, donc l’origine eAt au point O,
Pris de L’aVETC COFC du POINE D PAF FAPPOTEAU POIE A,
en Corte que AO = a, e dont le Parametre = 2a:
car par la proprieté de cetre Parabole le quarre de
Pordonnée K F Pera égal au rectansle de HO par le
Parametre =a, c’est à dire en termes analyeiques, I s
aa - t = ay. Or comme les Prapeles paraboliques
rE. 239. AD CFI, AK F FY, POnE Quarrables, il s’ensuit qu’on
a la réctificarion cant de la Courbe AM B, que d’une
Arr. 19.

## Folio 163 — 884859711:0201
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DE LA COMPARATSON DES SECT. CONTO. 163
de les portions quelconques AM.
Si l’on veut exprimer au juste la raleur de la porrion
AMI, on remarquera que APL est== a; puisque AFI
AOx 2 a = aa. Ainsi ayant nommé la tanSCNEC MIZ, 1;
la ligne LR Ou M P, YiON AUTA RF = =, e le Frape-
Se parabolique FX ATF OU= = FKZKO = = TIAXAO = Art. 239.
= at - + daat
3
279 2, aa = AMX a. C est à dirc en di-
visane par a, que la portion cherchée AMI = = +- + 3ac
=a. Ce qui donne cerre construction.
273
AYant mené du point donné M sur la seconde Pa
rabole cubique L B, la FaNGeNtC NYZ qui reNCON-
ere en o la liene AK menée par l’origine A de l’axe
AC perpendiculairement a cet azc, on prendra suIP CeF-
ce ligne la partie LV = = a; e ayanE tire VC paraL.
dele à ArZ qui rencontre l’axe en C, on décrira du
Centrer ex durayon V A un arc de cercle qui couperC
en X. Je dis que la portion AM de la seconde Para-
Bole cubique AM B sera cgale à la Comme des deux
droites MO, C X.
Car à caule des criansles semblables ZPMI, T AO;
il est clair que MO = = Y(5), puisque AP = = pF;
et a cause des triangles semblables NIPT, V AC, il
VIeNE NCP (γ). MZ (F):: AV (=- a). VC= 3a
PAFEaNE C T = 8at
77= 27a. DOnC _C.
PROPOSIFTON XVI.
Theorème.
179. de
2. 46. SOrE un LL Ga L. LL L, qut alt Pout F+6, 128.
centre le , es pour la moitié de son premier axe la
 ii

## Folio 164 — 884859711:0202
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164
L FV R E CL N OVF E N F.
droite CR; avec une Parabole TY CS qui ait pour axe la
liene aC prolonzée du coté de C qui en sera l’orizine, ex pour
parametre de l’axe une liene double de CA. Si l’on mene par
onpoint quelconque Y de la Parabole TYCS, une parallele
NYF à CA, qui rencontre l’FTyperbole E AF au point L, ex
son second axe CL au point L; je dis que l’espace hyperbo-
lique CL F A renfermé entre les droites AC, CL, LF, eg
la portion P A de l’Fyperbole, est écal au rectanzle de la
portion CN de la Parabole par la droite AC.
Ayant mené par un point quelconque MI de la pOr-
tion CN de la Parabole, une perpendiculaire NIG à la
tangente MIT qui passe par ce poine, cerminées l’unc
e l’autre par l’axe aux poines G, 7; e une parallele
ABa C A, qui rencontre lFIrperbole en B, et lon se-
Cond axc CF en TT: les lignes MO, TYB, SCFONECDA.
les cnerelles. Car menant l’ordonnée MV P à l’axe on
auxa Y PC =-C A; e à cause du criansle rectansle
MIPO, le quarre NIO = PN- 1 PO = CFI- +CA
Arr. 127. == FLB, à cause de lFIyperbole equilatere E AF; _
ParEaNE MIO == FT B. Or les triangles rectaneles sem-
blables ZPMI, AS PO, dOnnenE MI P OUC FL. MIT::
Arr. 143. P G OU C A. MO OU ZLB. VONC  _C.
COROLL A F R F I.
247. DE. FA il est évident que le Frapese hyper-
bolique FTZ F B est égal au rectansle de la portion
de Parabole MI N par la moicie C  du parametre de
TOn aXC.
COR OLL AIRE TI.
248. SF Pon mene dans PFsyperbole équilatere
F AF deux paralleles quelconques BD, PF; _ qu’on
eire par leurs extremités des lignes droites BM, FV
DR, FS, Paralieles à AC, lesquelles rencontrene le
Second axe de lFIyperbole aux POInEs FI, L, K, O;
la difference des rectansles ACX MN, ACXRS, sCrR
Art. 24.

## Folio 165 — 884859711:0203
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DE LA COMPARATSON DES SECT. CONTO. 165
éxale (en rirane les droites BF, DF,) à la difference
des Trapeles rectiliones TTL EB, KOFD.
Car le rectansle LCX MI N est egal au PrapesC hy- = Arr. 247.
perbolique TYL FB; e par conséquent le rectangle
LCX MI N Plus le seomene hyperbolique BF Cera cd2l
au Trapele rectiligne LTLF B: de même le rectanole
ACX KS Dlus le Segment hyperbolique D F Pera coal
au Trapese rectilione KO F D. Donc puilque les deuz
seomens lixperboliques FB, D F, IONE = EGAUX CHEK- = Art. 204.
cux, la difference des rectanoles ACX MI N, ACXRS,
Sera égale à la difference des Prapeles rectiliones TILLB,
KCOF D. Ce qu’il falloit démontrer.
COROLLATRE FTI.
249. Les enes choles étane polćes que dans le
Corollaire précedent; s Pon Fait 2 AC. LTI::
BFT- FEF. m. il est clair que le rectangle ACxm = - = LFY
XBH - F LF, c’est à dire, egal au Frapese rectiligne
TTF F B. DCMeme CE P’On FaIE L AC. KO:: KD - FFO. n.
il est clair que ACXn cst cgal au Trapese rectilione
KOF D. Par conséquene la difference des rectangles = Art. 248
ACZ NTN, ACXRS, lera égale à la difference des
rectanoles ACxm, ACXn; c’est a dire, en dirisane
par AC, que la difference des ares paraboliques MI V.
RS, sera égale à la difference des droices m, n. D’ou
l’on roir qu’on peut crourer des lignes droices égales à la
difference d’une intinité d’ares P’araboliques tels quo
M N3 40.
E uis
sA s H MNHIIHII

## Folio 166 — 884859711:0204
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16
LIV R E SIXIF N F.
Des Sections Coniques considerées dans le Solide
CTIAPETRE PREMIER.
Des trois Sections Coniques en générat.
D E, F E N FETO N S.
F2C. Lg. TNY Par UN POInE AxC S’éleré au dessus du plan d’un
cercle VIV, on fait mouvoir une ligne droite S=
indetinimene prolongée de part et d’autre du poine S,
autour de la circonterence du cercle, en forte qu’elle
Fasse un cour entier; les deux lurtaces conrexes produi-
ces par la lione droice indetinie SZ dans CC MOUreMEHE,
Lone appellces chacune separement surface Conique, et
coutes deux ensemble surfaces coniques opposées.
2.
Le poine fixe S qui est commun à l’une de à l’autre
Surtace Conique, est nommé sommet.
LeCercleV XV, Base.
Le Solide compris par la base VXV, e par la por-
cion de la Surtace Conique que cerre base coupe depuis
le Sommet S, est appellé Conc.
La lione SX menée du Sommet Sd̀ un point quel.
conque  de la base, en est un des Corés.
La ligne So menée du Sommet S du Cone par le cen-
& ere O de la bale, en est VAve.
8
On dic qu’un Cone est droit, lorsque son axe est per

## Folio 167 — 884859711:0205
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DES TROIS SECT. CONRO. EN CENERAL. 167
pendiculaire sur le plan de la bale; et au contraire qu’il
est scalene, lorlque Con axe est oblique lur ce plan.
Si l’on conpe une Surtace Conique par un plan F AB F+C, 130.
qui ne passe poine par le Sommet S, ee quine loic poine 13I. 132. )
parallele au plan de la bale VPV; là lione courbe
F AC Formée par la renconere de ce plan avec la Sur-
Face Conique, est appellée séction Conique.
Si l’on mene par le Sommet S d’un Cone, un plan
SDE parallele au plan d’une section Conique; la droice
indétinie D E Formée par la rencontre de ce plan avec
celui de la base du Cone, s’appellera Directrice.
TC
Une Section Conique F AC est appellée Parabole
lorsque la Directrice DF touche le cercle qui est la
Base du Conc: Ellipse, Tor(qu’elle combe eoure entiere
au dehors: e LIyperbole, lorqu’elle le traverle.
Mais dans ce dernier cas, s l’on prolonse le plan de P16, 132
Ia Section, il est visible qu’il renconerera la Surtace Co.
nique oppolce; et la ligne courbe K MIII Formée Par
cette rencontre, sera nommée yperbole opposée à la
premiere F A6; et les deux ensemble, Fyperboles on
sections opposées.
TI.
Si dans le plan d’une Section Conique il y a une ligne F 1C. 130.
droite qui ne la renconere qu’en un Peul poine, ec qui 131. 132
étant prolonsée indetinimene de part ee d’autre n’enere
Poine dedans, mais tombe toute entiere au dehors; cet-
ce lione lera nommée Tangente, et le point oit elle ren
contre la Section, point d’Attouchement.
C OR OEL A I R F F.
C50. Lus la lalabore tolto les Toles du Conc l16, 1300
etane prolonses indetinimene rencontreront necessaire.
mene lon plan, excepté le leul core SD tire du SOMMEES

## Folio 168 — 884859711:0206
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268
L TVR E ST Z Z E NI F.
par le pen D ou la Directrice D F touche la base;
puisqu’il n’y a que ce coré qui loir dans le plan SD P
parallele à celui de la Section, e que tous les autres
le coupene dans le point S. D’oui il est clair que la Para-
bole s’écend à l’intini, et ne renere poine en elle. MEme.
C O R O LF A F R F II.
2) L. ANs l’Ellipse tous les cores du Cone ćtane
prolonses, s’il est necessaire, rencontrent son plan;
puisque le planS D F qui lui est Parallele, cstrencon-
tre par tous dans le poine S. D’ou l’on roit qu’elleren-
terme un espace en rentrane en elle. meme.
C OROLLAFRE III.
252. ) ANsles Fyperboles oppolées tous les cores
du Conc excepte les deux SD, SF, tires du Sommee S
aux points D, F, ou la Directrice coupelabase, etane
prolonges indetiniment de part et d’autre du Sommet S,
rencontren necellairemene leur plan; puisqu’il n’y a
que ces deux cores qui rombent dans le plan S. D S Pa
rallele au plan de ces deux IIyperboles, e que tous les
autres le coupent dans le poine S. Les cocés de la POr-
eion SDV S Forment les poines de lIrperbole F A6,
et ceux de la Portion SDY P Crane prolonoés de l’autre
coré du Sommet S, Forment les poines de son oppolée
RXIFT. D’ou l’on roit que les Hyperboles oppolées
s’ecendent chacun à l’infini, ex ne FENETENE POINE eN
elles mêmes, non plus que la Parabole.
 R OP OSITION
Theoreme.
FXC. 13to
F16, 132
F10. 13
oncoude acta sursaces Conques opposeos, parun
Pu d  Gur. Passato Pat lelr dommet d, entre au dedans 3

## Folio 169 — 884859711:0207
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it
DES TROIS SECHIONS CONTO. EN GPHERAL. 169
je dis qu’il formera par sa rencontre avec ces deux Surfaces
deux lignes droites Sa, Sm, indéfiniment prolongées de part
ex d’autre du point 5.
Car soit am la commune Section du plan coupane, ee
du plan de la bale: il est clair qu’elle renCONErerA CettC
bale en deux poines a, m; puilque par la suppolition le
plan sam entre au dedans de la Curtace Conique. Or
S l’on mene les cores Sa, Sm, indétiniment prolonoés
de parc X d’aurre du Sommet S; il est évidene par la
géneration des Surtaces Coniques oppolées que ces co-
ces leront les deux communes Sections de ces deux Sur-
demontret.
C OROLLA TRB I.
34. COmmE la partie de la ligne am qui joine
les deux poines a, m, de la circonterence, tombe au
dedans de la bale, et que tout le reste de cerre ligne
combe au detiors; il s’ensuit que si l’on conçoit que le
plan Sam foic indetinimene érendu coue aurour du Som-
mec S, la partic de ce plan qui sera rentermée dans
d’ansle a Sm, et dans son opposé au Sommet, tombera
au dedans des deux Surtaces Coniques oppolées, et que
tout le recte de ce plan combera enere ou (ce qui ett la
même chole) au dehors de ces deux Surtaces.
COROLLAFRE IL.
55. DE. LA il ture que Si l’on joine deux PotnS F 16. 130.
quelconques , M, a’ une Section Conique par une
lione droire, elle sera rentermée au dedans de la Se-
ction; e qu’écant prolonsée indétinimene de ParE eE
d’autre, elle combera toute entiere au dehors. C’ax me-
nanc du Sommee S par les poines A, MI, les COTCSS a,
Sm, ec Faisane passer un plan par ces cotes; il est clair
que la ligne L T combe dans la partie de ce plan qui
ett rentermée dans l’angle asm, et que tour le rette

## Folio 170 — 884859711:0208
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70
L. ZYR B SEX FE H F.
de cerre ligne le croure dans la parrie de ce plan qui
combe dans les ansles a CoFe.
COROLLAFRE TII.
256. Srl’onmene par le Sommet S du concune ligne
Parallele à une ligne Aus terminée par une Section
Conique; il est clair par le Corollaire précedent que
cerre ligne S FP, combera dans l’un des angles a core
de l’anole aSm, c’est à dire au dehors de la lurtace Co-
nique; X qu’ainsi elle ira rencontrer le plan de la bale
en quelque point hors la circonterence du cercle, ou
bien qu’elle lui sera parallele.
COROEL A FR E IV.
257. Ix suit encore du Corollaire premier que se
l’on joint deux poines quelconques L, M, de deux IIy-
perboles oppolees par une ligne droire, elle sera renter-
méc enere ces Fyperboles; e qu’érane indétinimene
prolongée de pare et d’aurre, elle enerera au dedans.
Car menane par le Sommee S les cores Sa, Sm, qui
Pastene par les poines 1, a1, e Failane passer par ces
coces un plan indetiniment étendu tout aucour du poine
Si il est clair que la parcie de ce plan qui est rentermée
dans l’angle ISs ou combe la lione AM, est com-
prile entre ces deux Surtaces, et que la parrie du même
plan qui est rentermée enere les deux anoles a core ou
se crouvent les prolongemens de la ligne AMI, tom-
benc au dedans de ces deux Surtaces. Or comme la li-
one AMT est la commune section du plan sam avec
celui des deux FIyperboles oppolées, il s’enluit ec.
OROL L AIRL V.
L)E luic aussi des Cerercanes cenalee a qua-
erième, qu’une signe drOItC AC PCHE LEACOHEreT unC
L l6. 1360

## Folio 171 — 884859711:0209
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DeS TROES SECTHOHS CONTO. EN GENERAL.
271
Section Conique, ou les deux Ilyperboles oppolées, au
plus qu’en deux points.
PROPOSTTION II
Pheoreme.
2.59. Sen codpe l’une ou l’autre des deux Surfaces Co- F16. 129.
niques opposées, par un plan orzY parallele à la base
OV XY; je dis que la Section, qu’il forme par sa rencontre
avec la Surface Conique, est un cercle qui a pour centre le
point o, ou ce plan rencontre l’axe SO, proloneé de l’autre
coté du Sommet S, lor(qu’il est necessaire.
Car s l’on mene par un poine quelconque X de la
base au centre O le raron XO, e au Somimet Sle coré
XS qui rencontre le plan ovxy au poine x: les lignes
OX, ox seront paralleles entrelles; puisqu’elles ione
des communes Séctions de deux plans paralleles OV LV,
o0xy, par le même plan 50 F protonsé, s’il est ne-
celaire de l’anErC COEE du Sommet S. Leseriangles OSX,
oSx, Teront donc (emblables; e par consequene on
aura coujours 50. OX:: 50. ox. OF les premiers cer-
mes de cerre proportion érane par tout les mêmes, le
quatrième ox ne changera point de grandeur en quel-
que endroit que combe le point x. N’ou l’on voic que
la lione courbe vx y est la circontérence d’un cercle
qui a pour cenrre le poine on
GOROLLAFRF.
260. J2 suic de là quon peuc pracet labale a un cone
en cel endroie qu’on veue, selon qu’il est plus commo-
de. C’ett pourquoi lorsque la Section est une Parabole
ou une FTyperbole, on la place ordinairemene en lorte
qu’elle coupe la Section; mais lorique c’est une Ellipse
oi la place caneot de manière qu’elle la coupe, et can-
oc demanière qu’elle con he audeNtous.

## Folio 172 — 884859711:0210
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EL6. 136.
LYRE SLX E F M L.
LROPOSITIONIII.
Theoreme.
261. St dans le plan d’une Parabole F ACY, l’on tire par
un de ses points quelconques A vers le dedans du cone, une
ligne droite indéfinie aB parallele au coté SD qui passe par
le point D ou la Directrice DF. touche la base; je dis que
cette liene AB tombe toute entiere au dedans de la Séction,
es qu’elle ne le rencontrera jamais quoique prolonzée à l’infini
du core de B.
Cax ayanc mené par le Sommet S du conc, et par la
lione AB un plan S 2 B, il Formera par la renconere
avec la Surtace Conique deux cotés, dont l’un sera tou-
jours la ligne SD, puisque AB lui est parallele; et l’au-
cre la ligne sa qui passe par le poine A. Or le plan
DSa Tenterme cHeC les Cores SD, Sa, prolonges d
Art. 254. l’intini du coré de D d a, combe au dedans de la Sur-
tace Conique. Par consequent la ligne AB qui est cou-
jours dans ce plan, écant parallele au coté SD, com-
bera coure entiere au dedans de la Parabole, de ne la
rencontrera jamais quoique prolonsée à l’intini vers B.
P R OPOSITTON IV.
ThCOTEME.
LOL. St dans le pun d’une Parabole F AC, P’on tire
par un de ses points quelconques a vers le dedans du cone.
une liene droite A M qui ne soit point parallele au coté SD.
qui passe par le point D ou la Directrice D F. touche la base:
je dis que cette ligne etant prolonsée autant qu’il sera necessai-
re rencontrera la Parabole en quelque autre point M.
Car li l’on fait passer par le Sommet Sdu conc ee par
cerre ligne un plan S LM, il est clair qu’il entre au de-
dans de la surtace Conique, et qu’il ne pasle point par
F5 6. 2300

## Folio 173 — 884859711:0211
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DES TROES SECTTOAS CONIO. EN GENERAL. 173
le côré SD, d ou i itic que ce plan forme sur la Sur-
Face Conique = deux cores Sa, Sm, dont l’un S a passe  Art. 253.
par le poine A; et l’autre sm n’est poine parallele au
plan de la Section, puisqu’il n’y a (hyp.) qué le seul coré
SD qui lui soit parallele. Par conséquene le coré Sm
etane prolonge (s’il est necessaire) rencontrera le plan
de la Parabole en un poine M, par ou passe la ligne
AM qui est Formée par la renconere du plan a Sm avec
celui de la Parabole. Or il est visible que ce point M
est un des poines de la Parabole F AG; puilqu’il se crou
re en même cemps dans le plan de la Section, et lux
la Surtace Conique. DOnc ecc.
ACOTOSITIONV
Probleme.
20) LMENEN d’un point donné a sur une Section Coni-. 137.
AVanE mené par le pine Ae par le Somiriet S dut
cone, une lione droico S  qui rencontre le plan de la
base au point a, on cirera à cerre bale par le poine as
la Pangente Faf; de la ligne AF Formée par la ren.
contre du plan SPaf (prolonsé, s’il est nécelsaire au
delà du Sommet S) avec le plan de la Section, sera la
Pangente qu’on cherche.
Car puisque la TanGente P a f COmBC EOuLe CnEierC a
dehors de la base excepte le seul point a, il s’ensuie que
le plan S Laf prolonse indétiniment de part e d’aurre
du Sommet S ne rencontte les Surtaces Conigues op.
potées que dans la ligne sa aussi prolongée indetini-
ment de pare X d’autre du Sommet S, et que eout le
reste de ce plan tombe au dehors de ces SuITFaCeS. PAF
conséquene la ligne AF Formée par la rencontre de ce
plan avec celui de la Section, ne peur aroir de Com-
mun avec l’un ou l’aucre de ces deux Surtaces que le
ceut poin A oin la lisne sa rencomre le plan de la
que une Tangente AF
1345 1330

## Folio 174 — 884859711:0212
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000212.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
L TY R E STZ F E M F.
Section, e combe toure entiere au dehors excepré ce
DOInE. DONC RC.
COROLL A FR E I.
264. CCOMME l’on ne peuc faire passer par le poine
a de la base du conc, qu’une leule Tangente Faf; il
s’ensuit aussi que d’un poine donné I lur une Section
Conique, on ne peur mener qu’une seule Tangente
AF.
COROEL A FRF II.
265. DE. LA ontire la manière de mener une T an
sente At parallele à une ligne droire ps N donnée de
position sur le plan d’une Section Conique ou de deux
Sections oppolces. Car ayanc mené par le Sommet S du
conc, une parallele sE a MI N, elle rencontrera la Di-
rectrice D P en un poine E, ou bien elle lui lera paral-
lele; puisque cerce lione SE sera parallele au plan de
la Séction, ex combera par conséquent dans le plan
SD F. Si elle la rencontre en un poine squitombe au
dehors du cercle qui est la base du Conc: ayant mené
du poine e à ce cercle, la Tangence saf, il est claie
que le plan SLafFormera par la rencontre avec le plan
de la Section, une Tangence  F qui sera parallele à la
lione r N: puilque les deux Sections Af, SF, des
plans =Paraleles As A N SE D, coupes par le plancou-
ChanE SFaf, sont paralleles enerelles austi. bien = SF,
NVT X.
COROLLAFRE TTT.
266. Les mêmes choles érane polées que dans le
Corollaire precedent.
10. Dans la Parabole le Problème est impossible
lorsque la lione NIX donnée de position, deriene Da-
rallele au coré SD qui passe par le poine P ou la Di-
rectrice D F couche la base; car alors le point P COm-
BAHE eH D, ON NE POUTTA MeNEF PaT ce POInE d’auEre
F28. 135.

## Folio 175 — 884859711:0213
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DES TROIS SECTIONS CONTO. EN GENEKAL. 175
Tangente que la Directrice DF: e comme le plan qui
palse par le Sommet et par la Directrice D F CAt paral. = Def. 9.
lele au plan de la Parabole, il ne pourra Former par la
TenCONEre avec ce plan aucune Tangente. Mais lorsque
la liene donnéc de position, n’est poine parallele au
CdtC SD, on pourra coujours mener une Pangente AF
Parallele à certe ligne, et jamais darantase; car alOrs
le poine s combane au dehors du cercle qui est la base
du COnE, OM eN POUErA COUjOUTS meneT Eaf, ED L d
certe bale; done l’une ED E se contondane avec la Di-
rectrice, ne peur servir a trouver aucune Tangente dans
le plan de la Section; e l’autre Fa fétant differente de
la Directrice, servira conjours à crourer par la rencon-
ere du plan SFaf arec le plan de la Parabole, une
Tangente AF qui lacistera. II en est de même lorsque
la ligne S F est parallele à la Directrice, car la Pangen-
ce saf deriendra alors parallele à la Directrice; et
comme on n’en peut mener qu’une soule qui lui loit pa-
rallele, puilque la Directrice couche elle-même la bale
en un poine 1, il s’entuit etc
2. Dans lFllipse, on Pourra CONjOUES enex deUZ F 10, 7Z4.
Tangentes AF, BG, Paralleles à la ligne M N don-
néc de posicion; e par conséquene entrelles. Car tOUS
les poines de la Directrice D E combant au dehors de
la bale, on pourra coujours mener du point Pdeux lan-
genTeS Faf, FbZ, a certe bale qui ne se contondrOnE
poine avec la Directrice, e qui serviront a Former par
la rencontre des plans SCaf, SEb8, avec le plan de
la Section, deux Pangences AF, BC, qui larisferonE.
II en est de même lortque la ligne S F est parallele à la
Directrice; car au lieu des Pangentes Faf, Fb9, qui
Partent d’un point P de cecre Directrice, il n’y auroir
qu’à lui mener deux Tangences paralleles; ce qui est
coujours poltible.
30.
Dans les Fyperboles opposées le Problème est b16. 135.
impostible, lorsque le poine P combe au dedans du cer-
cercte qui eAt la base dIL CORC; PUIIGLL OMREDEULMEHEK

## Folio 176 — 884859711:0214
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17C
P TY R F SFX FE M F.
alors aucune Tangente de ce point à la bale. Mais lOrt.
qu’il combe au dehors, On POurra TOujOurS ErOuves
deux Tangentes AF, BG, paralleles à la lione NIX
donnée de position; car la Directrice DF craverlane la
base, on pourra coujours mener du point F deux Tan-
BentCS Faf, FbE, a cette base, lesquelles combent de
part e d’auere de la Directrice, d qui serVIrONE a FOT-
mer par la rencontre des plans S eaf, SEbe, avec le
plan de la Section deux Tangentes AF, BO, qui latis.
teront. II en est demême lorsque la lione S F est paral-
lele à la Directrice 1 L; car au lieu des deux Tangen-
Tes Faf, Eb2, il n’y aura qu’a mener deux Tangentes
Paralleles à la Directrice; ce qui est coujours postible.
Il est à remarquer dans ce dernier cas, que les Tan-
gentes paralleles AF, BC, apparciennen toujours aux
LErperboles opposées, a jamais à la même; ce qui est
evidene, puisque les deux Tangentes F af, Fb8, de
la base, combene necessairemene de part ex d’autre de
la Directrice DE,
C, O R O LL A E R F IV.
267. Ir. suie du Corollaire precedent:
F. Oue dans une Parabole ou PIyperbole, il ne peur
y avoir deux Pangentes qui Coiene paralleles entrelles;
et qu’au contraire dans l’Ellipse e dans les IIyperboleo
opposees, une Tansence IF, etane donnée de Poli-
EIOM, OU EA PEME COUIOUES MEMEF unC autre BG qui lui
Soit parallele.
25. Oue A la lione Ns X donnée de postion, est ter-
minée par une Section Conique, on pourra coujour me-
nex dans la Parabole, une Tangence AF qui lui soie
parallele, et dans l’Ellipse ou les Lyperboles oppolées
aeux TansenteS AF, BC; puilque la ligne S L’nenéc
Art. 256. Par le Sommet S Parallelement à MSN Tenconrera + le
plan de la base en un poine P hors la circonterence, ou
bien dui lera parallele.

## Folio [177] — 884859711:0215
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e
DES TROES SECT, CONTO, EN OPHERAL. BC
D E P E N EYY ON S.
C2.
Dansune Parabole, Si l’on mene par un de ses points F16, 133.
quelconques  vers le dedans une ligne AB parallele
au core SD qui passe par le poine D ou la Diréctrice
DE couche là bale: cetre ligne AB sera nommée Dia-
metre, e le poine A en lera l’origine.
Dans l’Ellipse ou les Fyperboles oppolées, coure F 1c. 134.
ligne droite AB, qui joine les poines d’accouche- 135.
ment de deux tangentes paralleles F, BG, est appel.
Jéc Diametre; et les points A, B, en lonc les exere-
MItES.
14
Si par un poine quelconque P de rel Diametre AB F1G. 135.
qu’on roudra d’une Section Conique, l’on cire une li - 134. 135.
one droice M ar qui rencontre la Section aux poines
M, N, X qui Poit parallele à la cangente AF qui pase
par l’orioine  de ce Diamerre dans la Parabole, et
Par l’unc ou l’autre de les exrremicés dans les autres
Sections: on dira que cerrelione ar N es Ordonnée de
PaTE X d’autre au Diametre AB, e que chacune de les
Parcies PM, ou P N, est Ordonnée a ce Diametre.
Tor(qu’un Diametre fait arec les Ordonnées desan-
Bles droirs, on l’appelle Axe.
C O R OL L A FK
268. Ix suic de la Détinicion dourième:
1. Due tous les Diametres d’une Parabole lont pa-
ralleles ener eux, puisqu’ils sont tous paralleles au né-
mecoré du conc sD qui passe par le poine D oit la Dis
rectrice D F couche la balc.
e. Oue par un poine donné sur le plan d’une Parabo-
le, on ne peur mener qu’un soul Diametre, puisqu’on
ne peur mener par ce poine qu’une leule parallele au
CotCSD.

## Folio [178] — 884859711:0216
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2 Llc 230
LEVRE STZ F E HL F.
eR OPOSTTIONM
Probleme.
269. Oes diamerre AB d’une cection Conique étant
137. 138. donné, avec une de ses ordonnées PM, décrire la Section.
FLC, 136.
Ayane faic passer par l’ordonnée P Ms un plan quel-
conque autre que le plan A P MI, on menera dans ce
Plan par le poine P’une perpendiculaire indetinie P a a
PMT: X on décrira d’un point quelconque C de cetre
lione, et du rayon CMI un cercle. Cela Fait,
1. Lorlque la Section doit être une Parabole. On
menera de l’un des poines a, D, ou le cercle coupe la
perpendiculaire P a (par exemple du poine a) par lo-
rigine A du diametre AB, la ligne a  qui FCHCONErC
en S, une ligne Dscirée de l’autre point D parallele-
MenE à AB. On décrira entuice une surtace Conique
qui aic pour commer le poines, et pour bale le cercle
D AI a N. Je dis qu’elle Formera par Ta TENCONErE aVeC
le plan APML, la Parabole cherchée MI AW. C aP
ayanc mené par les extremites du diamerre D a les pa-
xalleles D E af, a P M; il est clair qu’elles seronttan.
sentes, puilque  P as est perpendiculaire (ur D a. Ox
le plan SD  qui passe par le TOmmet S du Conc e par
la tansente N L, est parallele au plan PM, puisque
SD est parallele à 4P, e D F à P MI: d’ou il luie +
que la Section M AN Faire par le plan AP M dans la
lurtace Conique, sera une Parabole qui aura pour dia
metre la lione AB. De plus le plan eouchant Saf FOr-
Arr. 263. medans le plan A P MI F une cansence AF, qui lera
Obf. 140
parallele a PaLi puisqu’elle est la commune Section
des deux plans saf, AP ML, qui passene par les paral
lelesa f P AI: e par conléquene la ligne PM sera
ordonnée au diametre AB.
F1C. 137. 2. Torsque la Section Conique doir etre une EIiple
38.
ou une Typerbole. Onmevera des poines a, b, ou la
perpendiculaire indétinie la coupe le cerele, par lesex
+
+ Def. 10.

## Folio  -  — 884859711:0217
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.. . ..
12C
33
...---
Planche 14. pag. 178.
ACHSISCHE LANDESB

## Folio  -  — 884859711:0218
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000218.jpg
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 . H H. L MA ( p su . s s ee sue  . B. BAMMMIIMIMIIIIIII(IIIIII
GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ BIBLIOT
s
 e
eibn. Mar9. 155,
EDERSACHSISLHE LANDESBIBLIOTHEK

## Folio 179 — 884859711:0219
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
DES TROES SECL. CONFO. EN GENERAL. 179
tremités , D, au alametre AB, les droites a A, bB,
qui se rencontrent au poine 5. On décrira ensuire un
conc qui aic pour sommet le poine S, et pour bale le
cercle a NTBX. Je dis que le plan A P MI Formera dans
la Curtace de ce cone laection M 1 N qu’on deman-
de. CaF MenanE SD parallele au diamerre AB de la
Section, e qui renconere en D le diametre ab de la base,
par ou ex par lesextremités a, b, Poiene tirées les paral-
Teles DF, af, b8, d P M; il est clair que le plan SDF
sera parallele au plan a P MI, e qu’ainsi DF F sera la  Def. 9.
Directrice. Or dans l’Ellipse le point D combe lur le
diametre ab prolonge hors le cercle; puisque le dia-
metre AB de la Section, tombe dans l’angle asb Faie
par les cores du cone Sa, Sb: e au contraire dans
lFIyperbole le poine D combe au dedans du cercle;
puilqu’alors le diametre AB tombe dans l’angle aSB
qui est à coté de l’angle a 5b. D’ou il luic selon la De
finicion 10. que la Section M AN est une Elliple dans
le premier cas, e une IIyperbole dans le second. DC
plus la cansente AF qui passe par l’extremite 1 du dia-
metre AB, erant la commune Section du plau couchane
Safe du plan Coupane AP MI, qui passene par les pa-
ralleles af; P MI, lera parallele à P MI: & de même la
cangence BC étant la commune Section du plan tou-
chane Sbg ec du plan coupane AP MC, lesquels passene
par les deux paralleles be, PML, sera austi parallele à
PML. D’ou l’on voir que la ligne LB est  un diametre =Def. 13. es
qui a pour ordonnée PMI.
II peut arrirer dans l’Elliple que les lignes Aa, Bb,
Toiene paralleles entr elles; mais alors il n’y aura qu’à
Prendre pour le centre C du cercle a MIbN, cel auere
Poine qu’on roudra de la ligne ab.
D E F E N F FFO N.
16
Si par les deux poines D, F, ou la Directrice coupe
labale, lorsque la section est une Fyperbole, on cire
FFC. 139.

## Folio 180 — 884859711:0220
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000220.jpg
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Def. 9.
F 1b. 15).
100
L XVR B SFX LE MP.
deux LanSCMLS DFL, EK; e que par le Sommet 5
et ces Tansences, on Fasse passer deux plans SDFI,
SFK: les deux liones droites indetinies CTT, CK, que
ces deux plans formene par leurs rencontres arec le plan
des Hyperboles, sont appellées symprotes.
C OR OL L A E R F I.
270. Sr par un poine d’actouchemene D, l’on mene
le core DS’prolonge indéfinimene de pare e d’autre
du Sommet S: il est visible que le plan SD FY nC peuE
avoir de commun avec les deux Turtaces Coniques op-
Polées que ce côté; puisque tous les poines de la Tau-
gente L) Es combene hors la circonterence de la bale,
excepté le seul point D. Or le plan SD F qui palle par
le Sommet S’et par la Directrice DF, étant parallele
au plan des Fyperboles oppolées, les communes Séc-
tions SD, CFT, de ces deux plans avec le même plan
SDET serone paralleles enerelles; c’est pourquoi l’A-
(YIMPEOLC CFT TOmBera toute entiere au dehOrS eE entre
les deux surtaces Coniques oppolées, et laissera par consé-
quene les FIrperboles oppolées contesentieres de ParE EE
d’anEre TanS lESTENCONETeT. On prourera la même chole
dE L’aVErE ATYIPEOEC CK. Or comme les deUX ALYIPEOLCS
CTT, CK, lOnE Formées par les plans SDET, SFK, qui
combent de part e d’autre de la même surtace Conique
et de son oppolée; il s’ensuir que tous les points de PIly-
perbole F AO Pont compris dans l’angle FTCK, e que
cous les points de son oppolée combene dans l’angle qui
lui est oppole au SOmmeE.
e tdtECt
Theorème.
P’on mene une parallele B A à l’autre Asymptote CII; je dis
271. S+ parun point quelconque B d’une Asymptote CK,

## Folio  -  — 884859711:0221
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ut
Planche 15. Pay. 180
HSISCHE LAI

## Folio  -  — 884859711:0222
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000222.jpg
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qu
Pe
te
du
e
t
IIIHHIIIIII
ilsss
tt fel ls
1tte1111 tt 11 tttttiti
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11111tt11ttet111tle
MMMsIIIIHIIIIIIIIHIIIIes
eeeeee  eea
Citn. Nar9. 153
3 34
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## Folio 181 — 884859711:0223
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DES FROIS SECT. COHIO. EN CPNERAL. 181
qu’elle rencontrera l’une des Fyperboles opposces en un seul
point R, ex qu’étant prolonsée indéfiniment, elle tombera tou-
te entiere au dedans.
Puisque les deux lignes B A, SD, Pone paralleles à
la même ligne CFY, elles le seront entrelles; e ainsi
elles se crouveront dansunmême plan, lequel entrera
au dedans des deux lurtaces Coniques oppolées, puisqu’il
passe par l’un de leurs cores SD, e qu’il fair un anole
arec le planSDF qui la couche dans ce corc. LC plandes
paralleles B A,SD, Formera donc dans les deux lurtaces
Coniques, deux cores, dont l’un cAtle coréSD, de l’autre
le coré Sa, qui coupera necessairemene la lione B A en
quelque poine , puilqu’il est sirué dans le plan qui passe
par les paralleles SD, AB, ec qu’il coupe SD en 5.
Donc puisque le poine L se croure en même tempsdans
l’une des surtaces Coniques et dans le plan des Flyper-
boles, il appartiendra à l’une de ces FIrperboles. DC
plus puisque la ligne B A etane prolongée indetinimene
du coce du poine A, combe touce entiere dans le plan
DSa rentermé entre les corez DS, Sa, lorsque le
Poine A appartiene à l’IIyperbole F AG, _ dans POn
oppose au Sommet LS a lorsqu’il appartiene à l’FIyper-
bole oppolée; il est risible qu’elle combera toute enrie.
re au dedans de l’une des deux lurtaces Conigues, e
par conséquent aussi au dedans de lPsyperbole qui en
est la Section. Ce qu’il falloit démontrer.
COROLL A F R F I.
72. DDE. LA on voir qu’entre une FTyperbole F AC
_ COn AlYmPEOC CFY, on ne scauroit Faire passer au-
cune ligne parallele à cette Alympeore. Or comme la
ligne B A separe l’Fsyperbole qu’elle rencontre en deux
Portions indetinies, donc l’une tombe necessairement
toure entiere dans l’espace compris entre les paralleles
A, CFT; il s’enluie que plus C B deviendea pecite
plus le point a avancera dans cerre portion, et cela
coujours de plus en plus jusqu’à ce que CB derienne

## Folio 182 — 884859711:0224
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000224.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
182
L EY R E SFZY F M P.
plus pecice qu’aucune grandeur donnée. C’est à dire,
qu’une FIrperbole e lon ACympeoce étanc l’unec e l’au
ere continuée indétinimene, elles s’approcherone con-
jours de plus en plus, en Porte que leur distance derien-
uca entin moindre qu’aucune donnée, lans pouroir
Art. 270. neanmOLAS salaIS SC LENCONErEE.
P ROPOSITTON VIII
Problème.
273. L. ES Asymptotes CFI, CK, d’une FTyperbole
F AC étant données avec un de ses points quelconques F, de-
crire lFTy perbole.
AYanc mené par le point donné P, une ligne droite
quelconque JIK cerminée par les alympeoces, on tera
passer par certe lione un plan quelconque autre que le
plan FTOK, dans lequel on cirera par le point de mi-
lieu V de FTK une perpendiculaire indétinie MI N a
cetre ligne; e on décrira d’un de les poines quelcon-
ques O comme centre, et du rayon OF, un cercle
F MIN. On menera des points PI, K, deux Pangen-
TCS TYD, KF, a ce cercle; e par les poines d’accouche-
enS D, F, deux paralleles DS, FS, aux ACymPTOTeS
CTT, CK, Lelquelles se rencontreront en un point S;
duquel comme Sommet, on décrira une lurtace Coni-
que qui aic pour bale le cercle PML N. Je dis que cetce
surtace Conique Formera par la rencontre avec le plan
TTCK, lIIyperbole requile F AB.
II es clair par la propriete du cercle FMN; 10. Oue
la corde FO est dirisée par le milieu au poine P, par le
diametre MN qui lui est perpendiculaire; a Partant,
puisque par la construction PFY = P K, il s’ensuit que
FTT==GR, GTI=FK; ec par conlequenE G FIX FYF
==FRXK6. 2. OuCOTIXTIF = IYD, dE FKXRC
==R F, _ qu’ainsI FYD = =KF. 3. Ove SI l’on prolon-
se les Tangentes ZZD, XP, julqu’à ce qu’elles se ren-
F1C, 1400

## Folio 183 — 884859711:0225
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re.
d
DES FROESSECT. CONIO. EN GENERAL. 183
contrent en un point O, les parties DO, FO, leTONE
égales ener elles. Cc qui donne DO. FO:: D II. FK
D’oit l’on voit que la ligne D E qui joine les points d’Ac
couchemens des deux Tangentes FTD, RF, sera paral-
dele à la ligne ZIK, et le plan SD F au plan CTIK:
c’est pourquoi la ligne DF sexa = la Directrice; _ com- = Def. 9.
me elle coupe la bate en deux poines, la Séction Coni-
que F 16 Tera une Hyperbole. De plus il est éridene + Dof. 10.
que cetre IIyperbole passera par le poine donné F, puis-
que ce poinc est commun tane à la surtace Conique.
qu’au plan JTCK qui est celui de l’EIyperbole; et qu’el-
Je aura pour Alymprocesles lignes CFY, CK, puisqu’el-
les lOne les communes Sections des plans touchans = Def. 15.
SDFZ, SFK, X du plan de lIIyperbole.
S’il arriroit que les TangenteS DFY, PR, Fussent pa
ralleles encrelles, on verroit alors tout d’un coup que
les lignes DE, FTK, Seroientparalleles enerelles, puil-
que ces Tangentes sont égales; e le reste le démonere-
roic de la même maniere que ci-desus.
P RO POSTTTOH IZ
Theorème.
74. STL y a aux lienes droites NNT, AB, termi-F1C, 14I.
nées par une séction Conique ou par les Sections opposées, 142.
lesquelles serencontrent nun point P; es qui soient paralleles
à deux autres lienes, Se, SD, données de position: je dis
que le rectanele MP =P N est au rectanele APXPB, en
raison donnée; c’est à dire que la raison de ces deux rectaneles
demeure toujours la mêm, en quelque endroit que puisse rom-
Lyane mené par les patalleles SF, AI N, QSD, AB.
deux plans, ils Formerone dans le plan de la bale, deux
lieres droites enm. Da, e dans la surtace Conique
AES COFCS SMIm, SHN, S Aa, 5Bb; X leur commune
incexlection serd la SheSP p, qui renconre le plan de
ber les deux lienes MIN, AB.

## Folio 184 — 884859711:0226
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184
LTVRF SF Z L E M F.
la base au point p, ou les deux droites Fm, Da S’en-
TreCOUPeNE; par lequel je mene dans le plan S MI N la
droite FI R parallele à MV N, _ dans le plan S A Bla
droire FO Parallele à AB. Cela polé.
Les crianoles lemblables sP N, SpTF; SPW, SpK;
SP A, SpF; SPB, SpO, dONMCNE AIPXPN. TZPXPK
:: SP. Sp:: APX PB. FpXPO. EE PAFEANE ON aUTA
NIPXP X. APXPB:: CLpXPK. F pX pC. Oe la rai-
Con de FIPXPK a FpXPC, eA composée des deux rai-
POnS de TIPXPR a MpXpn, X de mpXpn ou par la
proprieté du cercle apxpb a FpX PO. Mais à cause des
crianoles semblables FZpM, SFM, _ Kpn, SFn, il
vienE TTP. mp:: S F. M F. EE PR. pn:: SF. Fn. FE CM
mulcipliane les Ancecedens et les Conséquens de ces
deux raisons, TIPXPK. MpXPN:: SE. MEXEN: ON
prourera de même à cause des crianeles semblables
Fpa, SDa, _ 6pb, SDb, QuC apXPb. FpXPC::
aDX Db. SD. II est donc érident que la raison de
AIPX P N a AP X P B, est compolée des deux raisons
de SE a MEXEn, X de a DXDbaSD; lesquelles
par la proprieré du cercle qui est la base du conc, de-
neurene coujours les mêmes en quelque endroit que
combene les droices MVN, AB, parce que les poines
F, D, ne changent point. Donc le rectansle NIPXP N
est au rectansle aPX P B en railon donnée. Ce qu’il fal. esc.
COR OL L A ER F.
275. DE. xA on voit que Sdans une Section Coni.
que, ou entre les Sections oppolces, il y a deux lignes
droites M N, OR, Paralleles entrelles e qui rencon-
EreHE auX POInES P, O une croisième lione droite AB
aulsi rerminée par la Section; on aUTd M PX PN.
ODxOR:: AP X P B. AO+OB.
F 16. 1430
14

## Folio 185 — 884859711:0227
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DES TROTS SECT. CONTO. EN GENERAL. 185
PR ODOSTTTON X
Theorème.
6. ST par un point quelconque A d’une Parabole ou F16. 145.
d’une F) Perbol M ANV, P’on tiro une ligne droite AB paraL
lele au coté du con SD, mené dans la Parabole par le point
D ou la Diréctrice touche la base, es dans lFTyperbole par
l’un des deux points ou elle la rencontre; és que par un point
quelconque P de cette ligne, l’on tire une liene MN paral
Tele à une ligne SF donnée de position, ex terminéé par la
Séction ou par les Sections opposées, avec une autre liene FCY
parallele à latiene Da commune Séction du plan S AB avec
celui de la base, es terminée par les cotés S2, SD: je dis
que la raison du rectanele. NI PX PN au rectanele FPX P CF
est donnée, c’est à dire qu’elle demeure toujours la même, en
quelque endroit de la ligne AB que tombe le point P.
Ayane mené par les paralleles SF, NIN, un plan:
il formera dans celui de la bale une lione droire Fnm;
dans la surtace Conique les cotes SMm, SNn; e dans
le plan SDa la lione Sp qui renconere la bale au
poine p, ou les lignes Em, Da, SCHERCCOUPENE, PaC
lequel je mene dans le plan S MI N la ligne TYK paFaI-
lele à MIN. Cela pose, les triangles semblables S PM,
SPZZ; SPN, SPR; SPF, Spai SPG, SP D don
NEFONE NI PX P N. TTPZPK :: SP. Sp :: FPXPB.
apxp D, ou par la proprieté du cercle mpXPN. EE Par-
EANE ON AUTA NIPXP N. FPXPO:: TIPXPK. Mp Zpn.
Mais la raison de TYPXPR ampxpn, est compolée des
deux raisons de FY p a pm, e de pR a pn, c’est à dire,
a cause des crianoles semblables FTpm, SEm, _ Rpn,
SEn, des deux raisons de SF a Fm, _ dc SF a Fn; _
PaF CONSEQUENE TYPXPK. MPXPN, OU NIPX P N.
FPZPO:: SF. M EX Fn. DOnC puiSque le POInE F ne
chanse poine en quelque endroit que l’on prenne le
Poine P, et que cous les rectansles EMX En TONE EGaUX

## Folio 186 — 884859711:0228
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186
LTVRE STZTEME.
par la propriecé du cercle; il s’ensuit que NTPKPX
est à FPX PC en raison donnée. Cc qu’il faloit démontrer.
C OROL L A ER F.
277. DE. LA il est évidene que Si par un poine
quelconque  d’une Parabole ou d’une FIrperbole
M A N, l’on mene dans la Parabole un diamerre AB,
e dans lPIyperbole une parallele AB à l’une de les
AGymprotes; X que par deux poines quelconques P, C.
de la ligne AB, l’on cire deux paralleles NTV, OR,
cerminées par la Section ou par les Sections oppolées;
On auTA NI PX P N. OOZOR:: AP. AO.
Car menane le plan S A B qui FOrMe PAF Ta TeHCON-
ere avec la Turtace Conique les cotés SD, Sa CHErO
lesquels le coré SD passera par le poine ou la Directri-
couche la base lorsque la Section est une Parabole, et
par l’un des deux poines ou la Directrice la rencontre
lorsque c’est une Iyperbole; ac errane dans le plan
S D a par les poines P, O, les droites FG, TV, Pa-
ralleles à Da: il est clair par la Propolition preceden-
LC Que MIPX P N. FPXPB:: OOXOR. TOXOV
Ec qu’ainsi MI PX P N. OOXOR:: F PXPB. TOXOY.
Or les parties P6, OV, des lignes FO, YV, Concéga
les enerelles; puisque les liones AB, SD, TOnE ParaL
leles. EE PaTEANE NY PX P N. OOXOR:: FP. ZO::
AP. AO. a cause des criangles semblables AP F,
AOT. Donc etc.
CTTA PYTRF TT.
De l’Ellipse en particulier.
DE FLNETTONS.
16. 147. tulse Hene droice indetinie 5Z qui est hors le plan
eacetee lY, le meur par un de les poines i au-
cour de la circonterence de ce cercle coujours paralle.
F16, 146.

## Folio  -  — 884859711:0229
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PN
11.
iMt
0le
sed
B1
OAt
e1
Est
b
p
s
11
e
1
3
14,2.
F
14.5.
lanche 16. pag. 186.
CHSISCHELANDESBIBLI

## Folio  -  — 884859711:0230
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s
ll
11.
EDERSACHSISCHE LANDESBIBLIOTHE
n. MarO.

## Folio 187 — 884859711:0231
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DES TROES SECT. CONIO EN CRHERAL. 187
lement à elle même, jusqu’a ce qu’elle loit revenué au
même point d’oi elle eroir partie: la LurFace Conrexe
décrire par cerre ligne S2 dans ce mourement, est ap.
Pellée Surface ylindrique.
18.
Cerre lione SZ en chaque difference position, en est
coujours appellée le Côré.
Le cercle v XV, la Base.
20.
La droite indétinie Co menée du centre C de la base
Parallelement aux corés, en cAV AXC.
2F.
Pe Solide indefini compris par la base V PY e paF
la Surtace cxlindrique, est appellé Cylindre.
2
Si l’on coupe un Cplindre par un plan qui ne Poit poine
Parallele à les cores, ni au plan de la base; la lione
courbe AM B N Formée par la renconere de ce plan
avec la Surtace cxlindrique, est appellée section cylin-
drique.
PROPOSITTON ZI.
Theoreme.
L.78. St l’on coupe un cylindre par un plan uX y Parauc FL 141
au plan de la base VZT; la Séction VXY sera un cercle qui
aura pour centre le point c ou ce plan rencontre l’axe, es pour
rayon une ligne cx écale au rayon C X de la base.
Cas menane par un poiue quelcoiue a de la sel
Tex un plan par ces deux lignes, qui Formera par la ren-
deux drbites CX. cx, paralleles enerelles; e qui sc.
ront de plus esales, puisqu’elles sont rentermées enere
Parallele à l’ase CE: Celepousquoi on potataste pal- y
rion 2xy un coce x  de lamasue, II sela
contre avec les deux plan paralleles Cr +Y, cVxy

## Folio 188 — 884859711:0232
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000232.jpg
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188
LIY R E STZ LEMF. 1
les paralleles Cc, P x. Or comme cela arrire coljours
en quelque endroit de la section oxy qu’on prenne le
Poine x, il s’enluit que couces les lignes ex menées du
Poincc, aux poines x de la Section vxy, Conc égales aux
rayons C l de la base: c’est à dire que la Section ux y
sera la circonterence d’un cercle, qui aura pour centre
le point c, ou le plan vxy renconere l’axe du cslin
dre, _ pour rayon une lione cx égale au raYON C X
de la bale. Ce qu’il falloit demontrer.
279
PROPOSITION XII.
Theoreme.
LOVTE Ellipse pent etre recardée comme une Sec-
Etion cplindrique.
Aran miené dans la bale du cone ou est produice
un Ellipse quelconque, le diamerre a b qui rencontre à
angles droirs au poine D la Directrice DB, Coient tires
Tur la surtace Conique les COrez Sa, Sb, qui renCON
crene le plan de l’Elliple aux poines A, B; et dans les
plans paralleles AATB, SDF, les droices AB, SD.
AYanE pris. D F moyenne proportionnelle entrC aD, DB,
d mené à S F les paralleles AG, BFT, Poit décrie (ux
le plan de la base du conc, un cercle qui aic pour diame-
ere la ligne OFF, e une surtace cylindrique qui aic pour
bale ce cercle, et pour cores les droires A6, BFI.
Cela polé.
Je dis que si par un poine quelconque P de la ligne
AB, l’on cire à la Directrice DF, une parallele qui
renconere la surtace Conique en M, et la Cylindrique
en O; les poines il, O, se contondrone l’un avec l’au
ere e n’en terone qu’un seul.
Car arane fait passer par cerre parallele un plan pa-
rallele au plan des deux bales tant du cone que du cy-
Art. 2, Undre, il formera sur la Curtace Conique  un cercle
K ML donc le centre sera la commune Section de ce
F16, 140.

## Folio 189 — 884859711:0233
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000233.jpg
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DES TROES SECT. COHIO, PH GEHERAL. 189
plan avec l’axe du cone, ex Tur la surtace Cylindrique=  Art. 278.
un auere cercle O MVR done le centre sera la commune
Section de ce même plan arec l’axe du cylindre. Or le
Plan Sab passe  par l’axe du cone, ee le plan AOFY B  Def. 6.
qui ne fair qu’un seul plan avec celui du crianole S ab)
Par l’axe du cylindre; e par conséquent les lignes +Def. 20.
KZ, OR, communes Sections de ces deux plans, avec le
plan parallele (à la base) qui passe par la ligne POMV, sCFONE
les diamerres de ces deux cercles; et cerre ligne PO MI
sera perpendiculaire à ces diamerres, puisqu’elle cAt Pa- + Fsyp
rallele a DF qui est perpendiculaire a ab _ a GFY quine + Lyp
Fone qu’une même ligne, à laquelle les diametres KZ =+ FLyp.
et eR qui ne tonc aussi qu’une mêmeligne, lont paral-
leles. De plus les lignes AB, SD, Cran Formées par
les renconeres du même plan Sba arec deux plans pa-
ralleles ener eux; sçavoir, le plan SD P e celui de l’FI-
liple, serone aulti paralleles enerelles. Cecibien en-
cendu,
1. Dans le conc, a cause du cercle R NPZ, OM auFa
PNI == K P X P Z; et a cause des crianoles semblables
APK, SDa _ PBF, SDb, il vienE AP. KP::
SD. aD. EE PB. PZ:: SD. Db. D’ou il Cuic que
APXPB. RPXDE OU PNI:: SD. aDX Db.
20. Dansle cylindre, à caule du cerele OOR, On aura
PO = OPX PR; X à cause des criangles semblables
APO, SDF, _ PBR, SDF. On FOrMera ceS deuX
DFOPOrtIONS A P. OP:: SD. DF. EE PB. PR:: SD.
DF. D’oi il suie que AP X P B, OPXOR Ou PO::
SD. DF Ou aDXDb. DOnC PMI == PO, e
PHI = PO. Donc les poines MI, O, le contondene l’un
avec l’aucre, ee n’en tonc qu’un seul. Donc, puisque cela
arrive coujours. en quelque endroit de la ligne AB que
l’on prenne le point P, il s’ensuic que le plan de l’Flliple
rencontre les Turtaces Coniques ex Cylindriques dans.
Les mêmes poines, et qu’ainsi toure Elliple peuttoujours
etre resardée comme une Section eylindrique.
A2 iii

## Folio 190 — 884859711:0234
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000234.jpg
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LEVR F SFZ F E M F.
A Y E R F FSS F M E N F.
Comme un Cplindre est moins composé qu’un cone,
en ce que tous les cores lont paralleles ener eux; au lieu
que dans le conc ils aboutissent tous au même poine qui
en est le commet; on a pris le parci de regarder dans ce
Chapitre, l’Elliple comme la Séction d’un cplindre. Ce
qui fait qu’on peur démonerer tout à la fois les proprie.
Les de tous LeS diaeEreS; e que le serrane ensuice dans
le conc (comme l’on verra dans le Chapiere (uIranc)
de plans Ellipriques au lieu de circulaires, on prourera
les mêmes choles dans la Parabole e Fsypertole arec
une extreme facilicé.
P R OP OSITION XTIL
Theoreme.
280. Ous les diamerres d’une Ellipse passent par un
seul es unique point, qui est celui ou le plan de l’Ellipse ren-
contre l’axe du cylindre; s y sont coupés en deux parties éza-
les.
Et réciproquement toures les lignes qui passent par ce point,
es qui sont terminées de part es d’autre par l’Ellipse; y sont
conpées en deux également, es en sont des diametres.
On nomme ce poine le Centre de l’Elliple.
10. Soic AB un diamerre quelconque, et e le poine
ou le plan de l’Elliple rencontre l’axe du cylindre. Si
l’on mene les lignes Aa, Bb, Paralleles à l’axe Cc, il
est clair X qu’elles seront des cocès de la surtace cylindri-
que, et que les deux plans FAa, GBb, qui passene
par ces deux lignes, _ par les deux cangentes AF, BB,
qui selon la détinirion des diamerres, doirent étre pa-
ralleles ener elles, serone paralleles entreux, e couche-
rone la surtace cxlindrique dans les cores Aa, Bb3
d’ou il suie que ces deux plans Formerone dans le plan
de la bale deux lignes af, b8, paralleles ener elles, et
F1C, 149.
+ Def. 20.

## Folio 191 — 884859711:0235
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000235.jpg
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DES TROIS SECT. CONTO, EN GENERAL. 19Y
qui toucheront la bale aux poines a, b, ou les cotes
Aa Bb, la TeNCONEreNE. Or il est démontré dans les
Elemens de Creometrie, que la ligne ab qui joine les
poines d’actouchemene de deux cangentes paralleles
af, b8, d’un cercle, passe par son centre c. P’arcane le
plan Lab B passera par l’axe Cc du cylindre; et la li-
one B, qui est la rencontre de ce plan avec celui de
l’Ellipse, passera par le poine C oi cet axe rencontre le
plan de l’Ellipse. De plus à cause des paralleles Aa,
Bb, Cc; il est éridene que le diamerre AB de l’EIlip.
se, est dirisé en deux également au poine C; puisque
le diamerre ab du cercle l’est au poine c qui en cst le
CCMErC. Ce qu’il falloit demontrer en premier lieu.
20. Si l’on mene par les extremités A, B, d’une lione
quelconque AB, qui passe par le poine C ou le plan
de l’Ellipse rencontre l’axe Cc du cylindre, les lignes
Aa BB, paralleles à cer axe; il estclair selon la déA-
nicion 17. de la Curtace crlindrique, qu’elles en serone des
cores, e que le plan A ab B passera par l’axe Cc du
crlindre. D’ou l’on voie que la ligne ab commune Sec
tion de ce plan ex de celui de la base, passe par le cen-
tre c de labase; e qu’ainsi, puisqu’elle y est coupéc en
deux également, la ligne B la sera aussi au poine c.
De plus les tansentes af, be, qui passene par les exere.
mices du diamerre a b écane paralleles enerelles; les
plans touchans fa A, cbB, serone paralleles entr eux,
e formeront dans le plan de l’Fllipse deux lignes pa-
ralleles AF, BG, qui la coucheront aux extremités
A, B, de la ligne AB, qui en lera par conséquene un
diametre. C’est ce qu’il falloit démonerer en second lieu.
COROELALRE
Ld1. OC.LA A CnCridene que pas un poine donné
lur le plan d’une FIipse aurre que le centre, on ne peut
faire passer qu’un seul diametre.
NIIIIIIHIII

## Folio 192 — 884859711:0236
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000236.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
EL Y R F STZ LPMI F.
Fb 243.
OPOSITTON XIV
Theoreme.
282.LODTE ordonnée NLP N de pare ex d’autre d un
diametre AB, est coupée en deux également par ce diametre en
un point P.
Et réciproquement si une ligne quelconque M P N terminée
par une Ellipse ex qui ne passe point par le centre C, est cou-
péc en deux écalement en P, par un diametre AB; elle sera
ordonnée de part es d’autre à ce diametre.
Aranc mené par les points A, B, MI, X, les corés
Aa: BbfNm, Nn, paralleles à l’axe cc du crlindre,
et quirenconerene le plan de la base aux pointsa, b, m, n;
la ligne Ppcommune Section des deux plans Aab B,
MmnNS Sera parallele aux cores du extindre, puisque
tous les cores lont paralleles entr eux. De plus le plan
Aab B Passera par l’axe ec du cylindre, puisque le dia-
metre AB passe par le poine c’oi cet axe rencontre le
Plan de l’Eliple; e il formera par conséquene dans le
Plan de la base une lione a b qui passera par le centrec,
c’est à dire, un diametre. Cela posé.
Puisque par la supposition la ligne M P N est ordon-
néc de ParE X d’autré au diameere AB, elle Pera par2I
lele aux cangentes AF, BG, qui passene par les extre-
mités de ce diametre; e par conséquene les plans tou-
Chans F Aa, G B b, Teront paralleles au plan NImnN.
Les lignes que ces trois plans formene dans le plan de
la bale; sçavoir les deux cangentes af, b8, e la lione
mn, seronc donc paralleles entrelles; et ainsi la lione
mn sera perpendiculaire au diametre ab, qui la dirise.
ra par conséquene en deux parties égales au poine p.
D’ou il suie à cause des paralleles MIm, PP, Nn, que
la ligne M N sera aussi dirisée en deux parcies ésales
au Poine P.
MainCeHANE pour prourer la conrerle, on menera
dans

## Folio 193 — 884859711:0237
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DES +ROIS SECT. COHTO. EN GENERAL, 193
dans le plan de P’Ellipse deux tansentes AF, BG,  Pa- = Art. 267.
ralleles a NI X; X aYant ciré par leurs poines d’atcou-
chemens le diamerre AB, il est clair selon les definicions
13. X 14. que cerre ligne MIN sera ordonnée de parE
ec d’autre à ce diametre, et par conséquent (selon ce
qu’on vient de demontrer) conpéc en deux également
en P Par ce même diaCEre. Ox COMME l’On ne peuE
mener par le poine P qu’un seul diametre, il S’enluie + Art. 281.
que si une ligne M N terminée par une Elliple, e qui
ne passe poine par le centre C, est coupée en deux éga-
lement en P par un diametre AB, elle lui sera ordon-
donnée de Part _ d’autre.
PR OP OSITION XV
Theorème.
283. STL y a dans une Ellipse deux diametres AB, DF; F1C. 149.
dont l’un d’eux DF. soit parallele aux T ancentes AF, BC.
qui passent par les extremités de l’autre AB: je dis récipro-
quemeni que le diametre B sera parallele aux Lansentes
qui passent par les extremités du diametre DF.
Les dleux diametres AB, DF, Pone appellés Conju.
gués l’un 2 l’autre.
AyAE mene par les points A, B, D, F, les cores
Aa, Bb, Dd; Fe, ducplindre, lesquels rencontrene le plan
de la base aux points a, b, d, e; les plans A abB,
D de E, Paslerone par l’axc ec du crlindre, puisque les
liones AB, DF, Pont des diametres de l’Elliple; e
Formerone par conséquent dans le plan de la bale, deux
diametres ab, de. Or le plan eouchane F A a etanE Pa-
rallele au plan D de F, Formera dans le plan de la bale
une Tangente af parallele au diametre de, lequel dia-
metre sera par conséquene perpendiculaire sur le dia-
metre ab. Si donc l’on mene par l’une des extremires d
du diamerre de une Tansence dh au cercle, elle sera
Parallele au diametre ab, et le plan b d D parallele au

## Folio 194 — 884859711:0238
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000238.jpg
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294
L TVR E STZE F M F.
plan Aab B: c’est pourquoi les communes Sections de
ces deux plans avec le plan de l’Ellipse, sçavoir la
Tangente DFT e le diametre AB, Pone paralleles ener-
elles. On prourera la même chole à l’écard de la Tan-
gente qui passe par l’autre extremite F du diametre
DE. DOBCEC.
COR OEL A L R F L.
284. DE. La il est évidene que s’il y a deux diame.
EreS conjugués AB, DF, dans une Fillipse; les deux
Plans qui passent par ces diametres et par l’axc Cc du
cylindre, Formerone dans le plan de la base deux dia-
metres ab, de, qui seront perpendiculaires Cner eux:
ce qui est reciproque.
COROLL A LKF TI.
285. IE Suie encore de CerrC ProPOsition que si PAF
un point quelconque P d’un diametre AB, on menc
une ordonnée M PN de pare et d’autre, elle sera paral-
lele au diametre D F qui lui est conjugué; et qu’ainsi
Art. 275. On aUTZ = ALPK P N Ou PNT. DCKCF Ou DC::
APXP B. AOXCB ou AC. CC qui donne PML.
APXPB:: DC. AC:: 4DC OU DF. 4 AC ou
AB. Cest à dire que le quarré d’une ordonnée quel-
conque MP a un diametre AB, est au rectansle
AP X PB Fait des parties de ce diamerre, comme le quar-
ré du diametre DF qui lui est conjugué, est au quarré du
diametre AB.
P R OPOSITION XVI
Theoreme.
286. Sr par un point quelconque M d’une Flipse ANB,
l’on mene une Tanzente FM C qui rencontre aux points
Fi, C, deux autres T angentes AF, B CY, paralleles entrelles:
je dis que PM. MC:: AF. BC.
16, 150

## Folio 195 — 884859711:0239
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DES TROESSECT. CONIO. EN GENERAL, 195
Ayant mené par les points d’actouchemens A, B, MI,
les cores Aa BB, um, du cylindre, et Fair passer par ces
CdTES _ par les Tansentes AF, BG, FC, lestrois plans
F Aa GBb, FMIm, Ou OMm; il est clair que les com-
munes Sections Ff, 68, des deux premiers plans arec
le troisième, serone paralleles FanE entrelles, qu’avec
les cores du cylindre; car les deux plans P MIm, FAa,
passane par les cores Mm, Aa, qui sone paralleles en-
Ex eux, leur commune Section Ff sera parallele à ces
coces; e par la même raison cq commune Section des
deux plans OBb, GIm, Pera parallele aux cores Bb,
Mm. De plus les lignes af, b5, que Forment les plans
touchansparalleles FAa, OBb, dans le plan de la bale.
en seront des Pangentes paralleles; les partiesfm, me, de
la croisième Tangente formée dans le plan de la bale par
le croisième plan touchanE PMIm, ou OMIm, PCrONE C∞a-
les (par la proprieté du cercle) aux Tangentes af, b8;
lcavoir, fin a fa, _ me a cb. Cela polc.
A cause des lignes Aa, Ff, MIm, 68, Bb; _ AF,
BO; _ af, b8, qui Cont paralleles entrelles, on aura
FNI. MIO:: fm ou fa. m8 Ou 3b:: F A. CB. Ce qu’il
falloit demontrer.
C OR OL L A I R F I.
287. Sr l’on mene par les poines d’artouchemene
A, B, des deux Pangentes paralleles ener elles AF, BC,
un diametre AB qui rencontre en Y la Tangente FMG,
e qu’on tire l’ordonnée MI P à ce diamerre: il est eri-
denie que AP. PB:: F NI. MG:: AF. BC:: AY.
BT. FE qu’ainsi PB - AP. PB:: BT - AY ou
AB. BT.
COR OEE A ERE TI.
280.  PF-L. A OMCe la Mamere iutrante de mener
d’un poinc donné nr sur une Fllipse la Pangente MIZ,
un diametre AB érane donné arec la position de ses
ordonnées.

## Folio 196 — 884859711:0240
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L ZV R E SF Z BE M F.
De lunc des extremicés B du diametre AB, Poir
cirée au poine donné M la droite B ML. Puis ayane
mené l’ordonnée MI P au diametre AB, _ pris sUF cC
diametre du coré de B la partie PFI égale 2 P A.
soit cirée FIK Parallele à PMI, renconerant la ligne
BAL CH K, PaF ou X par l’aurre extremité A soit me-
néc AR. Soic entin cirée MZ parallele à AR, elle
lera la Tangente qu’on cherche.
Car à cause des paralleles NI P, TIK, _ AR, MZ,
l’on aura BP. PFZ. Ou P A:: PML. MK :: BF. TA.
COROLL A TR F TII.
289. SIL Y a dans une FIlipse deux Tangences
MVF, NC, qui le rencontrene en un point L; je dis
que le diametre AB qui passe par le point P milieu
de la lione ar a qui joine les deux poines d’accouche-
mene, passera austi par le point Y. Car P N eAt ordon-
néc au diamerre LB de même que P M; e par consé-
Art. 287. Quene = les Fangentes MVZ, NY, iront chacune ren-
contrer ce diametre en un point T, tel que PB - AP.
PB:: B. BY; c’est a dire dans le même point.
COROLL AFRE IV.
290. Sr l’on joine dans une Ellipse les poines d’ac-
couchemens MI, N, de deux Tangentes NIF, NF,
par une lione droice M W; e qu’il y aic une croisième
Pangente P AP Parallele à MI N: je dis que les parcies
FA, AZ de cerre derniere Tangence, priles entre Pon
point d’accouchement 1 e les deux premieres, lCront
érales entr elles. Car arant mené par le poine d’acton-
chemene  le diamerre AB, il est clair que la lione
MLN est ordonnée de part et d’aurre à ce diamerre
puisqu’elle est parallele à la Tangente FL qui passe pax
son extremité A; e qu’ainsi il la coupe par le milieu en
Art. 267 L, et passe par conséquent par le poine de rencontre
de

## Folio 197 — 884859711:0241
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DES TROIS SECTTONSLLONTO. EN GENERAL. 197
T des deux Fangente ML F, N E; ou bien il leur sera
Parallele, si la lisne  LV est un diamerre. Or il eAt + Art. 283.
visible eit l’un ec l’auce Tas; que sL sera dirisé en deux
partie égales au point a par le diametre AB: puisque
MLN l’est en P par ce même diametre.
CIL APIFRF III.
De la Parabole (5 de lFlyperbole en particulier.
P R O POSITION XVII.
TheOremE.
291. D ANS une Parabole toure ordonnée NL P N de FFC. Y5E.
part es d’autre à un diametre AB, est coupée en deux écale-
ment par ce diametre au point P: ce qui est reciproque.
Ryane Faie passer par la ligne M V un plan Elliptique,
il formera dans le plan couchane SD F parallele au plan
Parabolique, une Tangente D P. Parallele a AI N. D0
plus le plan S AF mene par le Sommet S du Conc, et
par la Pansente AF qui passe par l’origine A du dia
Metre AB, Formera dans le plan Flliptique une Tan-
gente af; et la ligne D a qui joine les poines d’accouche-
mene des deux l’angentes DE, af, passera par le poine
; puisque le diametre AB eA parallele au COTCTOU
chane SD. Cela polé.
Puilque par la supposition les deux lignes AF, MIX, =Dcf. 24
sont paralleles enrrelles; il s’ensuit que la langente af, qui
est là commune Séction de deux plans qui palene par ces
deux lignes, sera parallele à M Ni ec par conléquent a DF.
D’ou l’on voit  que la ligne D a, quijoint lespoines d’ac- + Def. 13.
couchement des deux Pangences paralleles DF, af, est
un diametre de l’Elliple; e qu’ainsi la ligne MI N qui
est parallele à ces Pangences e cerminée par l’Elliple,
sera divisée en deux égalemene au poine P.
Maincenant pour prourer la converse, on menera
Bb iii
 ATT. 282.

## Folio 198 — 884859711:0242
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19c
L. EY R E SFX P E M F.
Arr. 267. Cas le plan de la Parabole une Tangente AF paral.
sele à la ligne MIW; X ayant tiré par le point d’accou-
chement A un diametre AB, il aura pour ordonnée
Parta d’autre = la ligne MI N, qu’il dirilera par con-
reguent en deux parties érales au point  selon ce qu’on
vient de démotterer. Or comme il n’y a qu’un seul dia-
Arr. 268. metre qus puisie paller par le point de milieu P de la
lione MN, il sensuie _C.
C OROLL A TRF.
292. DE. LA il est érident que Si l’on mene par deux
Poines quelconques P, 9, d’un diametre LB deux or-
données de ParE e d’auErC NI P N, OOR; on aura
Art. 277. FOUjOUES = NTPX P N Ou PNI. OOXOR Ou OO::
FL6, 151.
AP. AO.
C’est à dire que les quarres de deux ordon-
nées quelconques P MI, OD, à un diameere AB, sc-
TONE FOujoOurS entreux, comme les parcies AP, AO
de ce diameere priles depuis son origine  julqu’à ces
mêmes ordonnées.
PROPOSITION XVIII.
Theoreme.
293. Sr par un point quelconque MI d’une Parabole, l’on
mene une ordonnée  P à tel de Jes diametres AB qu’on vou-
dra, es une Tanzente NT qui rencontre en Y ce diametre
proloneé au dela de son orizine A: je dis que ses parties AP,
AT, seront écales.
La même preparation étane faite que dans la Propo-
sicion precedente, soit de plus mene par le Sommee s
du conc d par la Tangence NV7, le plan eouchane
S+ ML qui formera dans le plan FIiprique la Pangen-
cC MTFY, laquelle roncontrera le diamerre D a de l’FI-
lipse en un poine es par ou passera la ligne S7; e Poie
entin cirée la droire ZG paraliele a S A. Ceci bien en.
Arr. 287. Tendu, On aura DFZ. LLa:: DP. Pa, X (alternando)
20 

## Folio 199 — 884859711:0243
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DES TROIS SECTIONS CONTO. EN GENERAL. 199
DET. DP:: TTa. Pa. Mais a cause des paralleles
AB, SD, _ S A, ZB; il est clair que DFT. DP::
SFT. ST:: FTa. Ga. DONC FFa. Pa :: FFa. Ga. DONC
austi Pa ==Ca; de Par conléquent AP = AT. Ce qu’il
falloit démontrer.
P ROPOSTTTON XIZ.
Theorème.
294. VANS les TEyperboles opposées tout diametre AB F2C. 152.
passe par le point d’intersection C des deux asymptotes, e y
est coupé en deux écalement: ce qui est reciproque.
On nommera ce poine, Centre.
Soit FPSh une des deux communes sections du plan
parallele au plan Fyperbolique, et des deux surtaces
Coniques oppolées; e Poir l’Alymproce FOFormée par la
rencontre duplan LIpperbolique avec celuiquitouche ces
deux surtaces en cerre lione FISh. Soientmenées par les
Tangences paralleles AF, BO, qui pastent par les extre-
iices du diameere 1B, ec qui rencontrene l’Alympeote
F G auX POinES F, G, deux plans Fllipciques paralleles; ils
Formeront dans le plan couchane qui passe par le coté
TTSh, les Tangentes paralleles FFP, Ohf, e dans le
plan couchane SAF les Tansences paralleles AF, af,
Cela posé, les liones paralleles FFP, Ch, étanEren-
fermées enere les deux aurres paralleles PO, TIB, se-
rone égales entrelles; e les triangles lemblables
SFTF, SBf, _ SF A, Sfa, dOnMeTONE CettE pFOPOT.
TiOn, FIF. hf:: SF. SF:: F A. fa. EE PaTEANE TIF. FA::
hf. fa:: = h6. GB. Donc puisque ILF = =h6, il Sen- + Art. 286.
suie que AF =BO; e d cause des crianoles semblables
ACF, BCO, que AC = CB: c’est à dire que lA -
Iympeore FO passe par le poine de milieu C du diamerre
LB. On prourera de même que l’aurre Alemptoce
passera encore par le poine de milieu C du diamerre
AB; d’ou l’on voit que le diamerre AB palle par le

## Folio 200 — 884859711:0244
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F1D. 153.
200
L ZVR E SIZ Y E M F.
POIE AMITETIECIOn C des deux Asymptotes, de y est
coupe on deux parcies Csales.
Soit à present une ligne AB qui passane par le Poine
d’incerlection C des deux Alymprotes, rencontre les
Firperboles oppolées aux poines L, B. Si l’on mene par
le point a la Tangente F, _ à lTIyperbole op-
Arc. 267. potée une Tangente DO 
Parallele à AF; il est
clair parce qu’on riene de prourer que la ligne AD
qui joine les point d’accouchemens de ces deux l’angen-
ces érant un diametre, passera par le poine d’incerlection
C des ACmpeoces. Elle le contondra donc avec lalione
AB qui passe aussi  par les deux mêmes points A, C:
c’est à dire que le poine D combera sur le point B.
C’est pourquoi cerre lione AB Ceraun diametre, et par.
can conpéc en deux parties égales au point .
C OR O L T. A F R F.
293. DE. LA On roic que d’un point donné au de-
dans d’une Llyperbole, on ne peurmener qu’un scul dia
metre; puisqu’il n’y a qu’une seule ligne qui puiste pal-
lex par ce point, de par le centre.
P R O POSFFIO N XZ.
Theoreme.
296. D ANS les FTyperboles opposées toute ordonnée
MPI de part ex d’autre à un diametre AB, est coupéc en
deux écalement par ce diametre au point P: ce qui est reci-
proque.
Ayanc Fair passer par la ligne M N un plan Ellipei-
que, il formera dans les deux plans couchans S AF
SBO, deux Tansentes af, b8; et la lione ab qui joine
les poines d’actouchemens de ces deux Tangentes, étane
la commune Section du plan Flliprique ex du plan S AB.
pallera par le poinc P. Oe puilque par la supposicion
1

## Folio  -  — 884859711:0245
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Planche 17. pag. 200.

## Folio  -  — 884859711:0246
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11
lllis
M
il
CHSISCHE LANDESBIBLIC

## Folio 201 — 884859711:0247
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000247.jpg
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DES TROTS SECTIOHS COHIO. EH GENERAL. 2O4
les deuxliones AF. MI N, Pone paralleles, il s’ensuit que
la lione af qui est la commune Section de deux plans,
qui passene par ces deux liones, sera parallele a NIX.
Par la même raison la Pangence be commune Section
du plan Flliprique e du plantouchane SBC, lesquels pal.
sene par les deux paralleles MI N, BC, sera parallele
a ML N. Les deux Pansentes, af, b8, Serone donc pa-
ralleles entrelles: d’ou il luit que la ligne ab est un + Def. 13.
diamerre de l’Eslipse; e qu’ainsi la ligne MV N = CA di- = Art. 282.
rilce en deux parties égales au point P.
Maincenane pour prourer là converle, on menera
dans le plan des Fyperboles deux Tangentes AF, BC, + Art. 267.
paralleles à la ligne MI N cerminée par lIIrperbole; et
ayant ciré par leurs poines d’actouchemens le diamerre
AB, Il est clair selon la Definition quatorrié̀me, que ce
diametre aura pour ordonnée de part e d’autre la lione
MIN; e qu’airisi il la coupera selon ce qu’on le riene de
demontrer, en deux parties égales au point P. OF COm-
e il n’y a qu’un seul diametre qui puisse passer par ce  Art. 295.
poine, il s’ensuit que l unelione as N cerminée par unc
Iyperbole, est coupéc en deux cgalement en  Par un
diametre AB, elle sera ordonnée de parc et d’autre à
ce diametre.
C O R O LL A Y R F.
297. DE. FA il est érident que si l’on mene deux
ordonnées de part e d’auere NIV X, OOR, à un dia-
MeErC AB, On auTA EOUjOUES = NIPXPN. OU PMI. n Art. 275.
OesOR ou OO:: APXPB. AOX OB. C’est à dire
eEc.
DROPOSITIONZXI
Theorème.
298. St eat alo Poino queonqut t d une Ly Perbole, F16. 254.
l’on mene une Tancente MF C+ qui rencontre deux autres
Tancentes paralleles AF, BCY, auX points P, CT: je dis
que MF. MCF:: AF. BCF.
c

## Folio 202 — 884859711:0248
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20Z.
P TV RF STX EE N F.
Ayane mené deux plans Elliptiques paralleles qui pal-
tenc par les Tangentes AF, BO; ilsformerone dans le
plan couchant SMTO deux T’angenTeS FF F, hG, paral-
Teles encrelles; e le plan Elliprique qui passe par BO,
formera dans. le plan couchane S  F, une Tangente
af quirencontrera la Tansente he au point f, oi la lione
FSrenconre ce plan Ellipeique. Cela posé, les T’ansentes
af, BC, Ceronc paralleles ener elles; puisqu’elles le Lone
srr. 260 Chacune à la Pangente AF: _ PartanE  On 2ura B6.
Ch:: af. fh C. a cause des triangles lemblables Shf,
STTF, _ Saf, SAF,): AF. FFL DONC BG. AF:
Gh: FFF (à cause des crianoles semblables NTOh, MFFT,)
 NT6. NF. Ce qu’il falloit démontrer.
II est risible qu’on peur cirer de cerre Proposcion les.
mendes Corollaires, que dans l’EIliplC arc. 287, 288. 289.
e 290. c’est pourquoi je ne m’amuserai poine à les re
CLC Po
= R O POSTTLON XXII
Theoreme
SDr une liene droi. F. Cx terminée par les  simpio-
tes dune FTyperbole. la toucis en un point a; je dis que cette
signe droite y sera coupée en deux parties écales.
SOIenE MeneS pax le SOmIet S du COnC, d par les:
deuIMASyMPEOTeS CF, CO, deux plans, lesquelscoucheront
la surtace Conique dans les cotés SHT, SN, ou le
plan s S N parallele au plan IIyperbolique la rencon-
re. Soit mené un plan Flliprique qui passe par la droice
C: il Formera dans les deux plans touchans deux Tar
BEHLCS NIF, NG, e dans le plan MS N une ligne
droite: MI N parallele à sO, e qui joint les poines d’at-
couchemens. de ces deux Pansentes. Cela posé, il est.
. S. vilible que la ligne FO est: coupée en deux parrieséga.
des au poine. ; puisqu’elle touche dans ce poine l. F. llip.
Ce, autr Bien que lFlyperbalei
260 1350
Def. 26.

## Folio 203 — 884859711:0249
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IH IIISIITBIIII
DES LROIS LLCTIOHS CONTO. EN CENERAL. 203
COROLL AFRE L.
300. CCOmmE il ne peur y avoir qu’une seule ligne
FG qui passane par un poine donné  au dedans d’un
ansle FCG, e érant terminée par les corés, lOit cou-
Déc en deux également par ce point L; il s’enluit que li
une lione droite FO terminée par les Asymproces d’une
FErperbole, la rencontre en un point  qui la dirise certe
deoire FO deux parties égales, elle touchera lFTyperbole
en CC POINE.
C OROLLAFRE II.
3OT. DE. L A on voir que pourmener d’un point don-
né A Cur une HIyperbole dont les AIymPEOTeS CF, C6,
sone données, une Tangente F AO; il n’y a qu’à cirer la
lione AD parallele à l’une des AlympTOteS CG, e Ter-
minée par l’autre; e aranc pris la partie DF égale d CD.
cirer la ligne F AG: elle sera la Pangence cherchée. Cax
a cause destriansles Lemblables FCG, F D A, la ligne
FC Tera coupée par le milieu en 1; puisque CF l’est en D. X FsyP
C OROLLAFRE III.
302. Si l’on joint deux poines quelconques M, N, P16, 156.
d’une FIyperbole MI A N par une ligne droice qui ren-
contre les Alympeores aux poines YI, R; les deux parries
MIFT, WK, de cerre droite rentermées enere PTIyper-
Bole e les AErmproces, serone égales encrelles. C ar
ayant mené par le point P milieu de MTW, le diametre
CP; e par le poine A ou ce diametre rencontre PHIY-
perbole, la ligne FC parallele à NPN, e cerminée par
les Asmpeores: il est clair = que certe lione FG lera + ArL. 296.
Tangente en 1;ec par conséquent dirisée en deux par -  Art. 299.
ries egales en ce point. D’ou il est clair, à caule descrian-
oles lemblables C AF, CPFL, e C AG, CPR, que
PF= PK; e par conléquenE MFL = NR.
Sc id
HIITABIIIBLBNTTEIMIEBIE IHEHMGINABHENLIMINNHINIGHIHMEIENIHIHMAMMMIGIISIIMHIIMNII

## Folio 204 — 884859711:0250
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000250.jpg
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F26, 157.
LTVRE STZ FF M E.
C OROLL A FR F IV.
303. Sr d’unpoine donné A surune FTyperbole, l’on
tire deux droites AF, AG, terminées par les Alymp-
FOTeS; X que d’un aurre poine quelconque Ms de la me-
meFyperbole, ou de lon oppolée, on tire deux autres
droites IITZ, MIK, terminée aussi par seS AIYMPEOTCS,
ex paralleles aux deux premieres AF, AC: je dis que
F AX AO = TI NTZMK.
Car 10. Lor(que les deuxpoines , Ms, combene sur la
même FIyperbole; apantjoine ces deux points A, ML, Par
une ligne droite qui renconere les A(YIPEOLES CN P EEO.
les crianoles semblables PAF, PNIEI, _ OMK,
OAG, donneront ces deux proporcions, AF. MTT::
Art. So. AP. MI P :: M O. AO:: MK. A6. ce qui
donne, en mulcipliane les extrèmes de les moyens,
F AX AC = = TTNTXMIK.
2. TOr(que les pOints A, AL, COMBeHE Tur les deux
IIyperboles oppolées; ayane mené par le poine donné
 X par le centre C, le diametre AB, _ tire les droi-
ces BD, BF, paralleles a AP, AC, _ terminées par
les mêmes Alimprotes; il est clair que les triansles
CAF, CBD, _ C AG, CBE, seront semblables et
Arr. 294. de pluS EGAUX CNEPeuX, puisque C A =-CB. C eA
Pourquoi BD = AF, _ BF-= AG; _L PaTEANE DBXBF
== F AX AG. OF SelOn le CaS PRECEdENE R NIX NEFE
==D BXBF. DONC aUS F AX AG = =KMXNFI.
A V E R Y FS S E MI F N F.
Je laine les alres proprietes aes Alymptoces, e des
Diamerres conjuoués, parcequ’elles le cirene de celles.
ci tur le plan, comme l’on a fait dans le croisième Li
rre; mon dessein n’étane ici que de faire roirde quel-
le ucilice peut étre la consideration du Solide, pour
démonerer couc à la fois ex lans aucun calcul, les pro-
L04

## Folio 205 — 884859711:0251
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3t
esi
la
at
l
51
DES TROES SECF. CONTO. EN GENERAL. 205
priecés de tous les Diamerres, des Pangentes, e des
AlYmpEoces; d’ou dépendent toutes les autres. C’est
ce que je crois avoir execuré d’une manière Fort aisée,
et encieremene nouvelle; puisque je ne me suis point
serri de lignes coupées harmoniguement, comme OnE
Fait les Geometres Modernes apres M. Paschat e
Desarrues; ce qui les a obligés d’aroir recOurS à UN
orand nombre de Lemmes, dont les démonstrations
seules me paroillent aulsi longues que celles de tout ce
Lirre.
Edu

## Folio 206 — 884859711:0252
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20b
LIV R E SE P YI E M F
Des lieux Ceometriques.
D E F IN F X L O _ I.
NOTENT deux droires inconnues e indécerminées
DAP, PNI, qui Fassent enerelles un angle AP MI
donné ou pris a rolonté; ec donc l’une AP que j’appel-
lerai coujours x, aic un commencement Axe au point
2, e s’étende indétiniment le long d’une lione droire
donnée de position; e l’autre P Ml que je nommerai y,
en chanse continuellement, e loit coujours paralle
le a ellemême: c’est à dire que toutes les droites
PMI doirene étre paralleles encrelles. Soic de plus
une equation qui ne renterme que ces deux inconnues
x X y melées arec des connues, e qui exprime la rela-
cion de chaque indéterminée AP (X) a la correspon-
dance PMI (Y). La lione droire ou courbe qui passe
par les extremités de toures les raleurs de y, c’elt à dire,
Par tous les poines Ml, est appellée en généralun Lien
Ceometrique, et en particulier le Lieu de CetrE equa-
cion.
F+∞. 158. Supposons, par exemple, que l’équation y = doire
exprimer toujours la relation de AP (X) d P N (yY
qui font encrelles un anole donné ou pris a volonce
A P M. Ayanc pris sur la lione AP la partie AB = a,
e de B mene BF = -b parallele à P is e du même
coré; la droire indéfinie AF sera nommée en général
En Zieu Geometrique, e en particulier le Lieu de cetre
equation. Car ayanc mené d’un de ses poines quel-
conques M la droite MP parallele à B F, les crian-
les semblables BF, AP MI, donneront coujours
cerre proportion, AB (a). B E (b):: AP (X). PMI
(y) = =. Et partane la droire AP est le lieu de tous
les points M.
FL6, 158.
A5e

## Folio 207 — 884859711:0253
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DES CREDZ BEOMETRTODES.
207
De même ( yy = a a = x X exprime la relation de F16. 159.
AP à P ML, e que l’anole AP M Poit droit; la cir-
conterence d’un cercle qui a pour rayon la droite AB
a prise sur la ligne AP, sera appellée en rénéral un
Lieu Geometrique, ex en parciculier le Lieu de certe equa-
eion. Cax ayant mene d’un de les poines quelconques
Mc, la perpendiculaire MI P (y), on aura coujours par
la proprieté du cercle, P M (Yy) = DPZPB (AA= XX)
en prenanc BD pour le diametre de ce cercle. D’ou l’on
voit que la circonternce est le lieu de tous les points ML.
RE E NE A R QV F.
304. Sr apres avoir suppolé que les PML tendenE F1C. 158.
vers un certain coré de la lione AB, comme verS O, 159.
on suppole ensuite qu’elles cendent vers le coté oppo-
Ce, comme vers C; il taut remarquer que leurs raleurs
deviennene régatires de policires qu’elles ćroient, ee
qu’ainsi on 2 pourlors PA = -y. De même (I aprés
avoir suppose que les poines P combent d’un cerrain
COLC PaFFaPPOTE au POInE L, comme du cocé de B, On
Cuppole entuire qu’ils combene du coté opposé, comme
vers. D; les. AP deriendrone négarires de poltires
qu’elles écoient, e on aura par conséquene AP = =X
Les positires de ces valeurs s’appellene aussi Valeurs
nraies; e les négatires, Valeurs fausses. Or un lieu Geo-
merrique doit passer par les extremicés de conresles va-
teurs cane rraies que fausses de l’inconnuey, qui répon-
dene aux raleurs tane rraies que Fausses de l’auere incor-
DuE x. Si doric l’on mene la droite O AO parallele à
PM, un lieu Geometrique pourra se trourer dans les
quatre angles BAO, B AG, G AD, D 40, comme dans
le second exemple (fiz. 159.) ou sculemene dans quel-
ques uns de ces aneles comme dans le premier (fic. 158.)
Car suppole dans le lecond exemple, qu’on fasse d’a-
 P =X, a L ML - - Y, en prenanE le pOInE NI TuE
le quare de la circonterenco; si ensuire le poine 

## Folio 208 — 884859711:0254
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208
L IY R E SED FLEIM F.
CA pris Tur le quarEOB, On aura AP = X, d PNI - - - 15
S’il est Pris Tux DO, On aura AP = = x, de PN =- y
et entin s’il est pris Tur DO, On aura AP = = X, et
PM =Y; e il viendra coujours dans tous ces cas par la
propriecé du cercle, la même équation--aa XX; ParcC
que les quarres de=Fy _ de L x Contles mêmes danstous
ces cas, scaroiryy ec xx. De même dans le premierexem-
ple, li en prenant d’abord le point as du coré de P sur AF.
dans l’ansle OAP, on Faic AP = = X, e P M = y; CC
poine Ms pris ensuire sur F A prolongée du core de 
dans l’ansle O AD, donnera AP = - x, _ PMI =- y
e à cause des trianoles semblables ABF, AP ML, On
Formera cetre proportion AB (a). BF (b):: AP (- X)
PAL(= y) = - - =; CE PAFFANEy = =, qui est la même
Equation que l’on troure en suppolane que le Point M
combe dans l’ansle BA2.
AV ER T ES S F A E N T.
Tor(qu’il s’agira dans la suire de construire le lieu
d’une éguation donnée, on suppolera coujours que AP
(X) _ PAL (Y) Coient politires, c’est a dire que tous
les poines il combent dans le même ansle BAO. FF
on prendra pour le lieu de l’equation donnée la POr-
tion du lieu qui sera rentermée dans cet angle.
DE PF NETFON TI.
Les anciens conetes ont appelle Lieux plans, cells
qui lont des lignes droites, ou des cercles; Solides, ceux
qui sonc des Paraboles, des Elliples, ou des FIyperbo-
les. Mais les Modernes distribuene les lieux Ceomerri-
ques en differens degres: ils comprennent sous le pre-
mier tous ceux ou les inconnues x e y n’ont qu’une di-
mention dans leurs équations; Pous le lecond, Tous ceux
ou elles n’en ont que deux; ous le croisième, touS CeuX
oit elles n’en one que rrois; et ainsi de luits. Ou l’on
doie

## Folio 209 — 884859711:0255
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d
DES LPEDX GYEOMEFRIOVES.
209
doit oblerrer que les inconnuis x e y ne le doirent
point mulciplier l’une l’aurre dans le premier degre;
qu’elles ne doirene faire au plus ensenible qu’un pro-
duit de deux dimensions xy dans le second, un de erois
xxy ou xgy dans le croisième, ec.
D F F L N E F F ON III.
Les termes de l’équation d’un lieu, lone regardés
comme differens ener eux lorsque l’une ou l’autre des
inconnues x et y, ou toutes les deux jointes ensemble
s’y trouvent avec differentes dimensions. Ainsi dans le
premier degrè s l’on propole l’équationy - = - +0 =0.
les termes y, - =, c, seronc differens; e de même
X7 -- 2Cy- fu
FGX -- F BX - Bh - F II = = 0, lCS TErMeS py 2b∞) -2Cy
Fxx
Sx Fh∞, =hh - +II, Seroiene chacum differenS.
A V E R Y L SS E M P N F.
Je n’expliquerai ici en décail que les lieux du pre-
mier e du lecond derré; ce que j’en dirai donnera
Deaucoup d’ouverture pour construire des lieux plus
compoles dans les cas particuliers qui se peurent ren-
Contrer: on entrouvera même quelques exemples dans
la Tuice. Mon dessein est donc de donner dansce Livre
une methode générale pour construire les lieux du pre-
mier e du second degre, leurs equations étane données;
e de Faire voir que le premier ne renterme que la li-
one droice; e que le second ne renterme de même que
la Parabole, l’Ellipse et le Cercle, l’Hyperbole ee lesFy-
perboles oppOLECS.

## Folio 210 — 884859711:0256
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L TV R E SEPFLF N F.
D E M A e. D B.
305. In demande qu’on puisse rédtuire sous une
Fraction simple et abresée, toure quancicé liccerale
donnée, si composée qu’elle puisse eEre.
On demande par exemple, 1. Qu’on puisse pren-
as + fc 
ou les leteres
a, c, f,5 marquene des lignes données, 2. Ou’on puis-
se crouver une seule ligne droite s= 25c - bc
bb. = af 3. OIt les
tignes droices a, b, c, e, F, 8, Com données. 3. Ou’on
DuisC FTOUVeF Un quarre 1B = = 55 - ecee= cchh
b0 + as Ou les li-
SNCS. a, b, C, e, f, b, 5, Tont données; de POrte qu’on
2IF CON COEC + = V55 -cccc echh ON enSCIGHCFA au
bb + af
commencement du huicième Lirre comment cela (e
Fait.
ER OPOSETION I.
ProblemE.
306. ONSXROTRE tout lieu du premier degré, son
equation étant donnée.
Lor(que les inconnuES x ex y n’onc qu’une dimenlion
dans l’équation proposće, et que leur produit cy ne s’y
rencontre point; le lieu de cerre équation sera conjours.
une ligne droice, et on la réduira à l’une des quarre
Formules luirantes.
X. y
2.y =
-FC, 30y - = - c, 4. y - c 2
dans lerquelles on suppose que l’inconnue y soie deli-
vréc de tractions, ec que la Fraction qui malciplie l’au
ArR. 30s. tre inconnuEx Poir réduite  Tous cetre expresion-, de
cous les Termes connus POnS CeLE AutrE C.
Les mêmes choles érant posées que dans la défini-
cion premiere, on construira les lieux des trois dernie:

## Folio 211 — 884859711:0257
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DES LFEDZ GEOMETRIOVES.
2IF
res Formules de la maniere qui suie; car pour le lieu de
la premiere, on l’a déja construit dans cerre definition.
Pour construire le lieu de la seconde Formule F2∞. 160.
=
ba+c, on prendra lux la lione AP la partie AB =ai
Xarane mené les droites BF =b, AD = c, paralleles à P NI
e dumême coré, ontirera la ligne AE indétinie du core
de E, e la droice indétinie D M Parallele à AF. Je dis que
cerre ligne DMs rentermée dans l’angle P 10 Faic par là li-
one aP ee par la droire 10 menée parallelement à
PMI e du même coré, sera le lieu de cerre équation
ou Formule. Car ayanc mené d’un de ses poines quel-
conques al la ligne MP Parallele à AO et qui ren-
contre AF en F; les criangles semblables AABF, APF,
donnerone AB (a). B F (B) :: AP (X ). PF = =. RF
PartANE PAL (y) = ~ F (=) - + FNL (C).
Le lieu de la croisième Formule y == =C sC CON- F1C, 161.
AFIIFCH CCKFC POTEC. AyanE pris AB =a, _ mené les droires
BF b, AD = -c, Paralleles a PMI; ScavoIr, BF dumême
COTCque AO, _AD du corcoppOTE; on tirera par les
Points L, E, la droire AP. indetinie du coré de F, et par le
point D la liene DNs parallele à AF, X qui renconere
AP en 6. Je dis que la droire indétinie GMI renter-
méc dans l’ansle PA9, Cera le lieu qu’on cherche. C ar
on dura coliours PNL (y) = PF (=) = FN(C).
Entin pour avoir le lieu de la quatrième Formule F1O. 162.
=- c = =. Ayancpris lur AP la parcie AB = -a, _ mene.
les droites BF: - b, AD = =C, Paralleles a PMI; scaVOIF, BF.
du core opposé, e AD dumême coté que A9; on tirera
Parlespoines L, P, la ligne sF indetinie du cotc de E,
ex par le poine D la ligne Dns Parallele à AF, e qui
rencontre en C la lione 1P. Je dis que la droite DO
rentermée dans l’angle PAO. Sera le lieu cherché. C ar
yant mene d’un de les poines quelconques M la ligne
D di

## Folio 212 — 884859711:0258
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272
C TVR E SEPFTEMF.
MP Parallele a AO, _L qui FEHCOMErE AP CH F, On
aUxa TOUIOUES DML (Y) = F ML (C) = PF
à)
Si l’inconnue x n’est multipliée par aucune Fraction,
les quatre Formules précedentes se ChanGCrONE eN cel-
les-Ci.
1
=x, 2. y = =- +C, 3. y = x - c, 4. y = C = X
resquelles se construisene de la même maniere, en ob-
ferrant de prendre la droice BF égale a AB que l’OI
prend de celle grandeur qu’on reut.
R E M A R OD F.
307. lE Pent arriver que l’équation Poir un lieu a
la ligne droite, quoiqu’elle ne renterme qu’une des in-
connues x ou y; ce qui donne encore ces deux nou-
velles Formules, y =-c, X X == c.
Pour construire la premiere Formule p= = c. Lesmemes
choses érant toujours polées que dans la détinition pre-
miere; on menera par le poine fixe L, la droite AD =C
paraltele d PMs e du même coré, on tirera entuite la
droire indétinie D M parallele à AP: je dis que cerre ligne
DNs sera le lieu de l’équation propolée. Car ayant mené
d’un de sespoines quelconques M la droite IP Parallele
a AD, il est clair qu’on aura toujourS P MI (y). = AD (0).
Pour construire la seconde Formule x = =c. AyanE pris
AP ==c, on cirera la droice indétinie PM qui Fasse
avec AP l’anole AP M donné ou pris à volonté: je
dis qu’elle sera le lieu de tons les poines NI. Car ayane
mené d’un de les poines quelconques. M, la droite M1O
parallele à AP, et qui rencontre au point o l’indétinie
O Paxallele à P M; il est clair qu’on aura coujours
NTO Ou AP (X) =c, de quelque grandeur que l’On
puisse prendre PM (y).
AYER YFSSEM E N F.
Je crois qu’il est à propos pour éclairer l’esprir des
Lecteurs, ae leux donner une idée de la methode done
F2C, 163.
F1C. 264.

## Folio 213 — 884859711:0259
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DES LFEDX GEOMEPRHODES.
je rais me serrir pour la construction des lieux du se
cond deoré. Elle consilte à construire d’abord une Pa-
rabole en sorte que l’équation qui en exprime la natu-
ec loic la plus compolée qu’il se puisse, de faire enluire
la même chole dans l’Ellipse, ee dans lIsyperbole rap-
porrée à les diametres et considerée entre les alympeo-
ces; ce qui fournie des equations ou formules génerales.
P’examine ce qu’elles one chacune de parriculier, atin
qu’une équation écane propolée, je puisse connoitre à
laquelle de ces Formules eIle doit CEre FAPPOTECC; e
COmparanE entire EONS leS Termes avec ceuX de la FOK-
mulé, i’en rire la construction du lieu de cerre équation.
en oblerrane certaines remarques qui servenE pOUL FOU-
ces les Formules. Tour ceci s’éclaircira partaicemene
dans les Lemmes et Propolicions qui luirent.
LEMME FONDAMENTAL
Pour la construction des lieux à la Parabole.
308. SOTENT Comme dans la premiere definition FLC. 165.
deux lignes droires inconnues e indéterminées AP (X), 166.
PAI (y); e loiene de plus des lignes droires données
M, n, P, Y, 5. Cela POlC.
1. On prendra sux la ligne P, la partie AB = M; F18, 16G.
ayanc meme les droites B E = =n, AD = =r, Paralleles a
PM e du même cote, on cirera par le poine A la
droice AF quej’appelle e, ec par le poine D la droire in-
detinie DO Parallele à AE; sur laquelle DC aranc pris la
Partie DC==s du core de PML, on décrira du diame- = Art. 161.
ere CO qui aiE POUE PaFAMCETC CFY = =P, _ POUF OF-
données des droites paralleles à PMI, une Parabole
CM qui s’écende du même coré que AP. Je dis. que
la porrion rentermée dans l’angle P AD, Faic par la li-
onC AP, e par une ligne AD menée par le point fixe
A parallelemene à P NL S du même corC, est le lieu
de l’équation ou Formule suirante.
di

## Folio 214 — 884859711:0260
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000260.jpg
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214
gy
L ZVRE SE P TL F N F,
xg-
mm XX = 2ry - + = X- + rY =0.
X 1 p5.
Car ayanc mené d’un des poines quelconques Ml de
cerre portion de P’arabole, la ligne MP qui fasse avec AP
l’angle donné ou pris a volonce PMI,  qui rencontre les
Paralleles AE, DC, aux poines F, 6; les criangles sembla-
bles ABE, APF, donnerone ces deux proportions, AB
(m). AF (C):: AP (X). AF OU DO = =. FE AB (m).
BE(N):: AP (X). PF = n=, EC par con(equenE CM
On PNL = PF = FC = y -  =Y, _ CC Ou DG -DC
Art. 19. = ex = 5. Or la Parabole donne = OAI =COXCTI,
laquelle équation se chanse en la precedente en met-
canc pour ces lignes leurs raleurs analpriques. DOnC
_EC.
rC. 168. 2. On menera par le poine fixe A, une ligne droite
indétinie AO parallele à PMI e du même cOre; dE
ayanc pris lur cerce ligne la parcie AB =m, on cirera
BF =n parallele à AP X du même cOrĆ que PMI, &
par les poines décerminés A, F, la ligne AF que j’ap-
pelle es e ayanc pris lur AP la partie AD =-r du mé.
me core que Pas, on cirera là droite indétinie DC
Parallele à AF, sur laquelle on prendra la partie DC=5
aussi du même core de PNI. On décrira ensuire du dia
MCErE CO quI aIE POUF PAFAIEETE CFP = -B, _ POUF
ordonnées des droites paralleles à AP, une Parabole
Cns qui s’écende du même cote que 10., je dis que
la portion renfermée dans l’anole B AP, lera le lieu
de cerre leconde équation ou Formule.
un
-
25
y +xp - 0
y- + p5.
Car ayane mené d’un de ses points quelconques M,
laligne MO parallele à AP, et qui rencontre les paral.
Art. 161.

## Folio 215 — 884859711:0261
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000261.jpg
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DES LLEOX CTEOMETRTOVES.
215
teles AF, DG, aux poines F, C; les criangles lem-
blables ABE, AOF, dOnneTONE ceS deUX PFOPOT-
EIOnS, AB (M). AF (C):: AO Ou P M (Y). AF Ou DO
m. EC LB (m). BE (n):: AO (y). OF =  FF
Pax CON(EQUENEGML OU O NI =OF =FC = X-
e CG Ou DO--DC=
in = 5. Or la Parabole donne
CA ==COXCFI, laquelle équation le chanse en la
Precedence en metane pour ces lignes leurs raleurs
analyEiqUES. DOnC _EC.
COROEL A FR F.
309. (F est clair 10. Oue dans la premiere de ces
équarions ou formules, le quarré ry le troure sans
Fraction, et que dans la seconde c’est le quarré XX
2. Oue dans ces deux formules les deux quarrés yy
e xx s’y crouvene avec les mêmes lignes, en lorre que
le quarré un
n de la moirié de la Fraction = qui multi-
plic le plan xy, mulciplic l’un des quarrés Xx ou py;
d’ou il luie que si le plan xy ne se rencontroit poine
dans l’une ou l’autre de ces deux formules, le quarre
ednX X
um O
nngy
mn ne s’y rencontreroit poine non plus, puis-
qu’alors la fraction donnée  seroit nulle.
e R OPOSIFION IF
Problème.
 onoroke le lieu dune equation donnee
dans laquelle le plan X Y ne se rencontrant point, il n’y a qu’un
des deux quarrés X X  y Y 5 ou bien le plan X y S’y tet
trant, les deux quarrés ZX es y y s’y rencontrent aussi avec
les mêmes lienes, en sorre que le quarré de la moitié de la

## Folio 216 — 884859711:0262
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000262.jpg
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216
IIVR E SED FYE M P..
fraction qui multiplie XY, soit écal à celle qui multiplie le
quarré de l’une des inconnues. On suppose toujours qu’il y ait
un des quarres XX ou y y qui soit delivré de fractions.
On comparera chaque cerme de l’équation donnée.
arec celui qui lui répond dans la premiere formule du
Cemme precedent, s le quarré ry s’y rencontre lans
Fraction; ou arec celui qui lui repond dans la seconde
Formule, lorsque c’est le quarre x x. On cirera ensuite
de la comparaison de cestermes, des raleurs des quan-
cites m, n, P, r, 5, par le moyen desquelles on décrira
comme l’on a enseigne dans le Lemme (en se servane
des deux Remarques suirantes) une Parabole qui sera
le lieu cherche.
R E AR A R Q V F I.
3TI. P. ON Prendra pour AB (m) celle grandeux
policire que l’on roudra. 20. Les lignes AB (m), BF
(n) étane données, la lione AF (e) l’est austi puisque
l’anole AB F: CA donnć. 30. Torsque n =0, la lione
AF combe lur AB, c’est à dire, Tur AP dans la con-
Pruction de la premiere formule, et lur L0 dans celle de
la seconde: alorsonaura AB(m) == AF (e), puisque les
DOinES B, F se contondront alorsensemblc. 4. Porsque
la valeur de l’une des quantités nr s, eAtnéracire, il faue
prendre ou mener la ligne qu’elle exprime du cOrcOp-
posé à celui de PML; au lieu qu’il la Faur mener du
même coté, comme l’on a fait dans le Lemme, lorl-
qu’elle est positire.
R E M A R 9 ∞ F II.
312. SIX arrire que la valeur du parametre CTI
P) Soic négatire, il faudra que la Parabole s’étende
du coré opposé à celui du Lemme: c’est a dire, du coré
oppose à celui vers lequel s’érend l’indéterminée AP
dans la construction de la premiere tormule, ee l’indé-
terminée

## Folio 217 — 884859711:0263
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DES LTEDX GEOMEPRTOVES.
217
cerminée A0 dans celle de la seconde. Tout ceci s’é-
claircira partairemene par les Exemples qui luirent.
1
E X E ML P L. F (I.
313. SOrryy = 2ay - b x - + cc = 0 l’équation don-
néc, donc il taur construire le lieu.
Commele quarrery se troure ici lansfraction, je choilis
la premiere Formule du Lemme, de laquelle comparant + Art. 308.
chaque terme avec celui qui lui répond dansla proposée, n. 1.
J’airo. = =0 Parce que le planxy ne se rencOntranE poinE
dans la proposée, on doir regarder ce plan comme etane
mulciplié parzero; d’ouje cire n ==o, de par consequene =  Art. BEI:
m= e: C’est pourquoi efacane dans la formule tous les
cermes ou = se rencontre, e mettant au lieu de e sa
valeur m, je Erouve vy = 2ry - pX - + rr. F p5 =0.
2. La comparaison des termes correspondans - 2ry ec
=2 a y donne r = = a. 3. Celle de = p X _ = b x Fournie
p= - b. 4. Celle des termes ou les inconnues x eE V nC
SC TrOurenE poinE, donne entim rr- +p5= =cc, d’oi en
metrane pour rec pleurs raleurs a eb, jetires- c- aa
qui est une raleur négatire lorsque a surpasse c, comme
on le suppole ici. Je n’ai poine comparé les premiers
TermeS Y y X yY CHEPCuX; Parce qu’étant precilémene
lesmêmes, cela ne feroit rien connoiere. Or les raleurs
de n, r, P, s, étane ainsi décerminées, je construits IC n Art. 308.
lieu en me serrant de la construction  de la Formule, d n. 1I.
obserrane ce qu’il y a dans la premiere = Remarque CM + Art. 3V
Cetre POrtC.
Puilque BF (n) =0, lespoines B, L, se contondent,
de la lione AF combe = TuIF AP; c’est pourquoi je inc- = Art. 3II.
ne d’abord par le poine sixe A la ligne AD (r) = = a F1C. 167.
Parallele à PAs, e du même coté, parce que la valeur
est posicire. Je cire ensuite DG Parallele à AP, sux la-
quelle je prendo DC = ance
=5 du core oppole d
EC

## Folio 218 — 884859711:0264
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218
FENR E SEP PLE MF.: CC
PM; Parceque s. c na
75 qui est, une raleur nésacire.
Art. 16 Je décrisentin = du diametre CO (qui air pour parame-
tre la ligne CFT (p) == b, e pour ordonnées des droi-
ces paralleles à PMI) une Parabole; et je dis que les.
deux Porrions OM M, RMIS, rentermées dans l’an-
sle PAO Fait par A P X par la lione 1O menée pa-
rallelement à PMI e du même core, sera le lieu de
l’équation donnéc.
Car menane d’un de leurs poines quelconques IT, la
ligne MP qui Fasse arec AP l’ansle donné ou pris à
rolonce APML, d qui reNCONErE DO au pointC; On
aur2GM: Y a, OuGM = a = y selon que le POInE NC
combera audeus ou audessous du diametre CO3 et C0ou
Art. 17. DB. + FC D == ∞ + 2a C; e PATEaNE par la propriete
de la Parabole, OA (gy = 2ay - + a a) = COXOFF
(b∞ -- F a a = CC), c’est a dire yy = 2 ay = b x - t CCL0,
qui est l’équation donnée. DOnC _C.
R E NE A R D V F.
324. S. l’on protonse 10 de l’autre coce de ArexS
, il Faut remarquer.
P. Oue laportion indétinie Sus de la Parabole, renter.
mée dansl’anslesY, sera le lieu de coures les raleurs
Fausses ee de l’inconnuey, qui répondeneaux valeurs rraies
de l’aurre inconnui x dans l’équation donnée. Fn esfet
 l’on prend AP plus grande que 15, ec qu’on mene
Pas Parallele à X, et dumême core, laquelle rencon-
. 304. cre la porcion S M en ML; l’on aura P M = = y, d
PaTEaNE la droite GI Ou OP- + PM = a = y, ex on
recrouvera par la proprieré de la Parabole comme ci
dessus l’équarion donnée.
2. Oue la portion RCO de cette Parabole, quitombe
dans l’ansle TAO oppole au lommet à l’angle SA X,
sera le lieu de toures les raleurs rraies de l’inconnuey

## Folio 219 — 884859711:0265
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DESLFEDX CTEOMETRIODES.
219
dans l’équation donnée, qui répondene aux valeurs Faus-
les de l’autre inconnuéx; car failane AP = F - X, On Y Art. 304.
retrourera encore, équation donnee. Siinsit cup esior
30. Oue s’il comboic une portion de cerre Parabole
dans l’anole YA- F oppose au lommet à l’angle P AO,
elle seroit le lieu des raleurs Fausses de l’inconnue y qui
répondroient aux raleurs Fausses de l’aurre inconnué x.
De Torte que cerce P’arabole est le lieu complet de tou-
ces les raleurs tane vraies que Fausses de l’inconnue y.
qui répondent à toures les raleurs cane rraies que fausses
de l’aurre inconnue x, dans l’équarion donnéery- 2ay 6
bX - FCC ==0.
D’ou l’on toir que dans cet Exemple il y a deux ra-
deurs rraies PML, PNI, de l’inconnué y, qui répondene
à la même raleur rraie AP de l’autre inconnue X,
lorsque cetre lione AP est moindre que AS; qu’il y a
une raleur vraie PMI, e une Faussé - P ML, TOrIque
AP surpasse A5; qu’il n’y a qu’une raleur vraie SY
der, l’autre étant nulle ou zero, lorlque AP = AS;
qu’il y a deux valeurs rraies PMI, P M, de l’inconnue
y, qui répondent à la même raleur, tausse AP de l’in-
connue x, lorsque AP est moindré, que AF; que ces
deux raleurs deriennent égales chacune à la Tangen-
ce ZC, lorsque AP =AE; et qu’entin si l’on prenoie
A
=x) plus grande que AF, comme l’appliquée
PMs ne rencontreroir alors la Parabole en aucum point.
il s’ensuirroit qu’il n’y auroit aucune valeur rraie ou
Fausse de l’incommiey, qui put repondre à cetre raleur
Fausse =AP de l’aurre inconnue x: c’est à dire que les
valeurs de l’inconnué y deriendroient en ce cas imagi
naires.
103eOC 59) CC uet ac
ebue ceci se doir cucendre de la même manière dans
EonS les autres Exemples qei suirent, cane dans la Para-
bole que dans les autres Sections Coniques: de Porre
que la Section Conique qu’on crourera, lera non scule-
ment le lieu de toures les raleurs rraies de l’inconnue
Y PAE FaPPOPE aux raleurs redies de l’autre inconnué x
c i
NIIIIIHIIIIMIHHIIIINI

## Folio 220 — 884859711:0266
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220
L TVRE SEDTLF MF.
mais aussi celui de coutes les valeurs cane rraies que
tausses de l’inconnue y par rappOrE aux raleurs cane
rraies que Fausses de l’aurre inconnue X.
F X E M P E E TT.
315. Sorr l’équation donnée yy -+ = ∞y - + bb ~ X
F2Cy = bx - F cc =0, done il faille construire le lieu.
Comme le quarre ry est ici lans Fraction, je choilis
de même que dans l’Exemple precedene, la premiere
Ar. 308. Formule du Lemme; et j’ai par la comparaison de les
cermesarec ceux qui leur repondent dans la propolée,
2n
20 nn Ba
i d’ou entailant = m=- a, je eire n = - b.
d’ou il viene, comme ci destus, n = - b.
30. r = = = c. 4. 22r - e
== = b; eE PATEANE p. = ab- f 2bC, en
CEEaHE pOUE m n r, leuES valeUES a, =b, =c.
5. rr - F ps == CC, CC qui dOnNe s= = O, CH ICLFANE POUF
ry sa valeur cc. Or ces raleurs de m, n, r, P, 5, CFANE
Arc. 20d ain dérerminées, je construis le lieu de cerre équa-
Tion en me servane de la construction+ de la premiere
Fortule en CCTTC POFTC.
F16, 168. Ayane pris sur la ligne AP la partie AB(M) = a,
je mene les droites BE = b = - - n, AD =c - - - r pa
Talleles à PMI, e du COrC opPOlC, Parce que n = = b
X rL =c qui Pone des raleurs nésatires. Je tire ensuite
par les poines decerminés , E, la ligne 2F (e) qui est
donnée, e par le point D la ligne DO Parallele à AF.
Cela Faie comine D C(5) est nulle ou zer0, le point
. LI. C combe lur D; c’est pourquoi je décris  du diameere
c
2
DC( qui ait pour parametre DZL(
ab - 2bC
 ee POux
ordonnées des droites paralleles à PM) une Parabole;
et je dis que la portion OM rentermée dans l’ansle
PAtX, ou l’on luppole que doirent comber tous les
poims M, Ccr2 l8 lieu de lEquatiOM dOnee.
lit
Art. 312
1

## Folio  -  — 884859711:0267
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ie
160. n
P
n
158
e 161. Y
us
D
n 162.
ete dl fpe
1
164
163.
p
2l
).
44)
m
f 10 s 10
0
re s
Planche 18. pag. 220.

## Folio  -  — 884859711:0268
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000268.jpg
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GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ BIB
DERSACHSISCHEIN
eeee
Loiton. Mar9. 155

## Folio 221 — 884859711:0269
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DES LPEDZ GEOMEFRIOVES.
222
Car ayanc mené d’un de les poines quelconques M,
la ligne Ms P qui Fasse avec P l’angle donné ou pis
a volonce  PNI, e qui rencontre les paralleles AF,
DG, dux poines F, 6; les criangles semblables ABF,
APF, dOnMHETONE. ces deux proportionS, AB (a).
AE(e):: AP (X). AF Ou DO = =. EF AB (a).
. EE par conséquent OMI
ou P AL - F PF - L FC =- y - + b= - F c. Ox par la prO-
priece de la Parabole, OM =GDKDFF, c’est a dire, + Arc. 19.
en metrane les valeurs analytiques, yy- L  Xy- + B
F2Cy - bx - FCC = = 0. DONC _C.
R E M A R QVF I.
ra r. V
316. Si la ligne AP ne coupoir point la Parabole, F16. 1.
mais qu’elle la couchât ou qu’elle combât toure entiere
du detors, il s’ensuirroie qu’aucun des poines cherchés
al ne pourroit comber dans l’ansle PAFT, comme
l’on avoie supposé en faisane la construction; et qu’ain-
Si il n’y auroir aucune valeur rraie de l’inconnue y qui
répondic à une raleur rraie de l’aurre inconnué x, de
quelque grandeur qu’elle put etre.
Cerre Remarque es générale pour tous les Exem-
ples pareils à celui ci, non seulemene dans la Parabolc,
mais aussi dans les autres Sections.
R E M A R GV E II.
17. IL est à propos de remarquer que l l’on avoie
priS pour AB (m) une autre grandeur que as celle qu’el
le puc étre, les raleurs de B E (n) ec de AF (C) chan-
geroiene à la vericé: mais les FaPPONES,  demeu-
ceroient coujours les mêmes; parce que dans le crian-
sle ABL l’anele AB F est donné, comme austi la cailon
Fc iii

## Folio 222 — 884859711:0270
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222
PTV R F SEP XLEIME.
Au COTĆ AB au COTC B F, sçaroir dans cet Exemple
e
-..Or comme il n’y a que ces tailons de m m, qui
le puissent crourer dans les raleurs de P, r, si il s’en-
suir que ces raleurs demeurene coujours les memes
celle grandeur policire que l’on puisse prendre pour là
lione AB (m): de Porte qu’on n’a pris m == a que pOur
rendre la construction plus simple. Ce que l’on doie
coujours oblerrer dans la luice.
E Z E M P E E TTI.
318. On demande le lieu de l’équation donnée
b0
X X - += y X - 1
aa
Comme c’est ici le quarré ux qui est delirré de Frac.
cions, je choisis la seconde formule du Lemme; et
J’ai par la comparaison des termes correspondans,
0
o
2
= = =; d’Oit en FaICANE m = a, je tirc n = - b.
nn 1b
nma e Partant, puisque m= = a On troure com
me ci dessus n =- - b. 30, r = c. 40 2nr - 
m
2b6; ce
= b -
qui donne p= = = =, en mettane à la place de m, n, r.
Jeurs valeurs a, - b, c. 5. rr. + p 5=0; parce que dans
l’équation donnée il ne se troure poine de cermes en-
cieremenE connus, que l’on puisse COmpATEF au TeF-
merr- +ps de la Formule; ce qui donnes
esc
CA MCEEANE POUEr_C p leurS valeurs CX -  OFCCS
raleurs érant ainsi décerminées, je construis le lieu re-
quis en me serrane de la construction de la seconde
Arr. 308. Formule  du Lemme, et obserrant exactement les arti-
cles 3Tr. X 312. de la maniere qui luie.
Ayane mené par le poine sixe A, une lione indéti-
nic AC parallele à P M, je prends sur certe ligne la
Partie AB (m) =a; X du poine B je rire BF = b - - - n
Parallele à P, et du core oppole à P M, Parce que le
Arc. 308
B. 2.
F 16. 163.

## Folio 223 — 884859711:0271
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DES LTEOX GEOMETRTOVES.
223
raleur de n est nésatire; et par les poines décermines
A, F, la lione AP (e) qui elt donnéc. Ayanc pris sur
AP la partie AD (Y) =c du cocé de PM, je cire la
droire indétinie DO parallele d AF, tur laquelle je
Prends la Partie DC (5)= ect
eris entuire  du diamerre CO (qui aix pour ordonnées  Arr. 167.
des droires paralleles à AP, et pour parametre la li-
Bne CFI = = = - p) une Parabole qui s’étende du = Ar. 312.
core oppolé d celui ou setend A9 Parce que p - - b
qui est une raleur négatire. Je dis que la portion ONIR
de certe Parabole, rentermće dans l’ansle P AB, sera
le lieu qu’on cherche.
Car arane mené d’un de les poines quelconques II.
la lione MO parallele à AP, e qui rencontre les pa
ralleles AE, DO, aUXE DOIHES F, G7; les crianoles Cembla-
bles AB F, A O F, dOnMeTONE ceS deuX PFOPOKLIOMS,
B(a). AF (e):: AO OU P NI (Y). AF OuD C = 
Ec AB (a). BF (b):: AO (y). OF = . EE PaF COH-
sequent OML (OML- F FO -= F6) = ∞ - + B7
=c, 01
CM (FC -PO = OM) =0 -  = x, Selon que le pOinE
ML combe de ParE ou d’aurre du diametre CD; ec la
conpéc CGOu CD DO-
ebb
es
.Or parla propriece Arr. 19.
de la Parabole, GM =COKCFT: cest a dire, en met.
cane à la place de ces lignes leurs raleurs analptiques
X X- +
YX  1.
aa VY 2CX - + by - 2bc
rion donnéo. DOnC _C.
y =0, qui est l’équa
i
R E N A R Q V F.
19. SIL arrirese quen comparane les cermes de
l’équation donnée avec ceux de la Formule, on EroU-
vac que P = os il oA risible que la construction de la
Parabole qui en derroir étre le lieu, seroir impossible.
Mais il Faur bien remarquer que l’équation donnée le

## Folio 224 — 884859711:0272
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224
LTVRE SEPFFE M F.
peut conjoursalors abaisser en Porre que son lieu deviene
une lione droite; ce qui se voir par les formules  du
Lemme. Car effacane, par exemple, dans la premiere
les cermes oup serencontre, il viene py-
2n
2r9. +.
Xy- F n3
mim Ni
CinC GuarECC, On troure y -n= =r = - 0, Ou g = - +r,
donc le lieu est une ligne droire que l’on construira
selon l’article 306. Lamême chole arxirera de la secon-
de Formule de l’arc. 308.
E X E M P E E IV.
320. Sorr propolée l’équation XX - ay = 0, de
laquelle il Faut crourer le lieu.
Comme c’estici le quarré xx qui le troure délirré de
Fractions, je choilis là seconde Formule du Lemme; et
j’ai par la comparaison des cermes qui le répondene,
2. = =0, Parce que xy ne le croure poine dans la
propolée; d’ou je tire n =0, de par conléquene m-e.
An
nim =O, PaTCC QuE lE QUATFE YyHESY ETOUVC PASNON
pluS; d’Oit jeFirC CnCORCM=-0. 3. =-0, parce que l’incon-
nue x ne se croure point au premier degre dans la pro-
Polée: c’est pourquoi effacant dans la Formule tous les
Termes Oit  _EY SC FCHCONETENE, _E MCTLaNE pour e (a
valeur m; il viene X x = py - + p5 =- 0, donc il recte 2
comparer les cermes avec ceux qui leur répondene
dans la proposéc. 4. La comparailon des Termes - py
eE = ay dOnnenE p:= = a. 5. Puisque dans la proposće il
ne se croure aucun terme entierement connu que l’on
puisse comparer au terme ps; il s’ensuie que p5 ==-0, e
qu’ainst 5 =0. Or ces valeurs de n, r, p, 5, ainsi décer-
minées me serrent à construire le lieu qu’on deman-
de arane égard à la construction de la seconde For-
mule de l’arF. 308. _ à l’article 3Tr. en cette POrEO.
F16. 170. Puilque BF (n) =0, la ligne AE combe Tur A8
menée parallelement a PML _ du MEME COTÉ; comme
auA
Art. 308
308
Art. 31Y
Art. 3l2.

## Folio 225 — 884859711:0273
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DES LTEDX GEOMETRIODES.
225
aussi DO, Parce que AD (X) =0. OF puisque CD (5)
=0, le point e combe sur le poine D lequel combe
en a comme l’on viene de voir. Je décris donc  une X Art. 1bL.
Parabole du diametre AO,, qui aic pour parametre
ATZ (P) = a, e pour ordonnées des droires M C
paralleles à AP: je dis que la portion indétinie AML
rentermée dans l’anole PAO, est le lieu cherché.
Car ayant mené d’un de les poines quelconques MI
les droites MV P, ML O, Paralleles à AO e a AP, On
aura par la proprieté de la Parabole, GN (X X) = Art. 19.
AOX AFY (ay); _ PATEANE X X = ay =- 0, qui
étoir l’équation proposée. Ce qu’il falloit démontrer.
DE MONSTRATTON DD PROBLEME.
32l. St l’onmet dans laformule générale + a la place + Art. 308.
demnrs, p, les raleurs que l’on aura rrourées par la com-
parailon de les termes arec ceux de l’équation provolée,
celle qu’elle puisse étre, pourrei qu’elle ait les conditions
marguées dans le Probième; il est clair que cerre Formule
générale se changera en la proposée: _ Partant que si
l’onprend aussi ces raleurs dans la construction du Lem- =+ Art. 308.
me, le lieu de la Formule générale se chanoera en celui de
l’équarion proposée. Orc’estce qu’on a enseisne dansse
Problème accompasne de ses deux Remarques, comme
les Exemples precédens le Fonr asses voir. Donc _c.
LE M M E FOND AM E NY AL.
Pour la construction des lieux à l’Fllipse ou as
Cercle.
322. SOIENT encore comme dans la desinition PrC- F1C. 17L.
miere deux lignes droites inconnues ex indécerminées
AP (X). PM (y): de  piaos Hedles droires
donnees m, n, P, r, 5, t. Cela polé,

## Folio 226 — 884859711:0274
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226
L XVR E SEP F T E HE E0
On prendra sux la ligne AP, la parrie AB == m5
e ayanc mene les droites BF = =n, AD =-r, paralle.
les a PMC, d du même coce, on tirera par le poine 
la droice F qui estdonnée, e que j’appelle ei et par
le poine D, la droire indétinie DO parallele d AP, lur
laquelle on prendra la partie DC=s du cocé de PM;
ee de pare et d’aurre du poine C, les pareies CK, CL.
rr. 161. égales chacune à 1. On décrira enluire une FIlipse du
diaCEre L K (24), Qui aiE POU PaTaIICErC RTI ==P,
d pour ordonnées des droices paralleles d PM. Je
dis que la portion OmR renternrée dans l’anole PAD
Fait par la lione AP et par une ligne AD menée paF
le point fixe A parallelemene à P M e du même COTE,
sera le lieu de l’équation ou formule générale que voici
ry.
2W
y
un
mm Y ∞ = 2 rg - + = X F rr = 0.
eex
2mms
2073
2m+
pet
+
20
Carayant mené d’un despoines quelconques ML, de cee-
ce portion d’Elliple, la liene Ms P qui Fasse avec sP l’angle
donné ou pris a volonce APML, _ qui rencontre les paral.
leles AF, DG, auX PoinEs F, O; les criang les lemblables
ABE, APF, dONnerORE AFONDO- , _E PF = . ON
auxa donC C M =y - n - r, _ C6 =- - 5, OF PaF
la propriece de lEIlipse F RL (2V). RFY (B): : LGXBK OU
CK - CC (1D - 55 - + 2esX ceX
um X F 2n
=2rq - F un
DOnC _C.
m.
X tr
mm). CM (ry - = Xy
=Bes pss
ZepSX eepuX
2mt Emmt
S’il arrire que le diametre R L (Z+) e POn parame
ErC K FT (P) Coient Égaux entr euX, on aura coujours
GM = ZGXOK; d’oit il est éridene setor les Fle
mens de Geomerrie, que S l’angle CG _s est droit
PEllipse se chansera alors en un cercle qui aura pour
diametre la ligne XL.
Art. 55,

## Folio 227 — 884859711:0275
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DES LXEV~ GTEOMETRTODES.
GOROLLATRE.
323. Tr. est clair que les deux quarres yy d Xx sC
erourent coujours arec les mêmes lignes dans certe For-
mule; ec que lorsque le plan xysy rencontre, le quar-
de la moirié de la fraction = qui mulciplic ce
plan, doir être moindre que la Fraction un
mulciplie le QuarrÉ XX.
min
L eep
PROPOSTTTON MI.
Probleme.
imme qui
32.4. (ONSTROIRE le lieu d’une équation donnét;
dans laquelle les deux quarres yY es X X se rencontrent avec
les mêmes signes sans le plan Xy, ou avec ce plan, ensorte
que le quarre de la moitié de la fraction qui le multiplie.
soit moindre que la fraction qui multiplie le quarre XX. On
suppose toujours ici que le quarre yy soit délioré de frac-
Fions.
On comparera les cermes de l’équarion donnée, avec
ceux qui leur répondent dans la Formule générale du Y ArF. 322)
Lemme précedene; et on cirera de la comparaison de ces
termes, des raleurs des quantirés m, n, P, r, 5, t, par le
moyen delquelles raleurs on décrira comme l’on a ensci-
one dans ce Lemme (en oblerrant exactemene lart. 3II. )
une Ellipse qui sera le lieu cherché.
LZ E N P L F L
rion vy-
apuba Lasdaeb aans. la–
quelle le quarré de : moicié de la Fraction = ou F qui
mulciplie
Plic XX.
y, est moindre que la Fraction ? qui mulci-
La comparailon de chaque rerme de la formule générale
325. Sort propose de crouver le lieu de certe Equa-

## Folio 228 — 884859711:0276
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228
PTVR E SEP PTEMF.
Art. 322. du Lemmet avec celui qui lui repond danscerte équation,
cOnne FC. 2n
n
=1; Car n’y ayant ici aucune Fraction
liccerale qui mulciplie le plan xy, on le doit considerer
comme érant mulciplié par l’unice numerique L: de Par-
ran a l’on taiem =a, P’OnaUTAn= - = a. 20. nn
Z; d’ou l’on tire  =mm -2nn
aa
ecp
mm mme
ZCc CM MCttANE POUT
m, n, leurs radeurs a, = =a: e par conséquent p = aut
30 r = a. 4 2n 2e5
2ec
n mbI dOU CH METEANEPOUEM, n, Y,
au
leurs valeurs a, = = a, 4, 2ec3 il vienE 5. = = 2ac - 2b
50, y r - P1
t
L P == CC: _L PaFTANCL1 =55 - + 2Err 2tca
= 55 - + 4 ec = +ccoc
1a
 S EA MCLLANE POuT =, r, les raleurs
 a, qu’on leur viene de rrouver. Or les raleurs de
M, n, r, 5, +, p écant ains décerminées, je décris PFI
lipse cherchée en me serrane de la constrintion du
Arr. 322. Lemme  X de l’article 3Fr. en CerrC (OTEC.
FxC, 372. Je prens lur la ligne AP la Partie AB (m) a; et
ayanE mené parallelemene à PMI e du même core la
ligne AD (r) = a, e du coré opposé la droite BF = = a
=n parce n = - = a qui est une raleur négarire,
Je cire par le point  la droice E (e) qui est don-
néc; ec par le point D, la droice DC Parallele à AF,
sux laquelte je prends la parcie DC=
240.  2bc
au coce oppoté à P NT; e de part ec d’aucre due
Poine C, les parties CK, CF, égales chacune d̀
t = V55. 1 4e0 - +ccoe
a. Je décris ensuire une FHiple du
diaMeEre LR, qui aic poux ordonnées des droites pa
ralleles à PM, et pour parametre la ligne XFZ (P)
aat
2ec. Je dis que la porrion OM R rentermée dano
P’anote PAD, est le lieu de l’équation donnée
Cde ayane mené d’un de ses noines quelconques MI,
art. 161

## Folio 229 — 884859711:0277
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DES FFEDZ GEOMEFRTODES.
229
la ligne ML P qui Fasse arec AP l’angle donné ou pris
a volonté LDM, ee qui renconere les paralleles AF,
DG, aux poines F, C; les criansles semblables ABF,
D F donnerOnE AB (a). AF (e):: AP (X). AFOU
DC -  Ec AB (a). BF (= a):: AP (∞). PF = = x.
On aura donc OM = y - + = ~ = a; e CGOu DC (DC
 = 5, Puisque DC == =5. Or par la propriere de = Art. 55. 85
P’EIipsC RZ (2F). RFY (aar
(1t - 55 - F 2ei 2 eerr
ec):: ZGXGK Ou CK =C∞
au). GA (yy - + Xy - 2 ay - Y = ∞ X
ax - + a a). DOu en mettant à la place de 1+ =55
et de s, leurs valeurs 4 eo - 4ccee
c
F - 2ac-- 2b6
 mulei-
pliant ensuire les exrrèmes e les moyens, a dirisane de
ParE X d’autre par 27, l’on recroure l’équarion même
proposée. Donc XC.
R E N A R O D F.
326. SIL arrire que 55-1 4 ee Foit égale ou moin
dre que Accec
au il est éridene que la raleur de 1 derien
dranulle ou imaginaire; e qu’ainsi il sera pour lors im
possible de construire l’Eltiple qui derroic erre le lieu de
l’équation donnée. Fe comme cerre équation renterme
roit necellairement des contradictions, il s’ensuie qu’il ne
pourroier avoir aucune ligne qui en puic etre le lieu; c’est
a dire que contesles raleurs de l’inconnuey qui derroiene
répondre à toutes les raleurs cane vraies que fausses de
l’auere inconnue x, seroient toutes imarinaires.
47.
Ceci se voir clairement dans la Formule générase = du X Art. 322
Lemme qui, en eransposane quelques cermes, devient
ry
2pesi
2MF
n Xy = 2r4- +
oepx
nn
2nr
 X  F pg -- D  p55
Emme, dans laquelle équation le premier membre
est le quarre dey - v-r; et le second, le quarré de 
F Fiii

## Folio 230 — 884859711:0278
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230
LEYRE SEDFLF M F.
moins le quarre de 5.-.
3
mulciplié par la Fraction L. OF
il est visible que si la valeur du quarre se est nulle ou
négatire, la raleur de ce second membre lera négarire;
e qu’ainsi l’on aura dans ces deux cas un quarre, (ca-
voir le premier membre, cgal à une raleur nésarire;
ce qui est une contradiction manifecte.
F X E N P L F TI.
327. On demande le lieu de l’équation py - + -- X y
txx teg. tfx a5-o, danslaquelle on suppose luirane
b
l’aTE. 323. Que
au est moindre que la Fraction; ou r quimul.
ciplie le quarré x x; c’est à dire que b est moindre que 2a.
Lacomparaison destermes de la formule générale avec
ceux qui leur répondent dansl’équation proposée, donne
30
n
un
=; d’ou en Failant m = a, on cire n = --- = b.
cet
mm imme == F; d’OlL CR METFANE pOux m, n, leurS
valeurs a, = = b, P’on tire 2 - +aa- bb
aar bb1
2cc
2ec: e Partane
3. ∞ = = = c. 4. 5=
52. + = =V55. 1 ccec 4 4agec
ction.
bocum 2afc
4a a  bb
aaab6. Ce qui Fournit certe constru-
FLC. 173. Ayane pris sur la ligne droire indetinie A P la Par-
eie AB (m) ==a, e mene parallelemene à PMI et du
core oppose les droites BF = = b =-- n AD -- ZC-
On tirera par le poine A la droite AF (e) qui est don-
néc, ec par le poine D la droire DO Parallele à AL,
sur laquelle on prendra la partie DC(5) = b0e 2afo
4a- 66 du
core de PM, Sibc surpasse raf, comme on le suppoleici; et
du coré opposé, s’il estmoindre; ensuire on prendra de
pare et d’aurre dupoince, les parries ke CL ésales cha-
Arc. 161. CunC 2 t =V55- + eceont 4ae0o
4AA66
Colatait, on décrira r une
Art. 322.

## Folio 231 — 884859711:0279
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000279.jpg
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DES LEEDZ GEOMEFRTOVES.
231
Ellipse du diameere LK (21) qui aix pour ordonnées des droi.
cesparalleles à PM, e pour paramerre une ligneRFY (p)
 2aac - bb5
2ec
.Je dis que la portion OR sera le lieu de l’é-
guation provolée.
Car ayant mené d’un de ses poines quelconques ML, la
droire MrP qui Fasse avec AP l’ansle donné ou pris à vo.
loncé AP M, et qui rencontre les paralleles AF, LR,
AUX POIHES F, GiOA auTa PF - b
ce qui donneraMBOn MIP- FPF- tFO- y- 1 
a t ZC, d
C6 =  - 5, Ou5 - =. Or par la propriere de lEllip. + Art. 55. 8
(C LK (24). R FZ (daac bbC
ceX
2ec
a). CM (yy- + - xy- rCy-
Bbxu
4aa
bc X + =CC).
2a
CC qui (CH MEtTANE POUF 1F =55 e Poursleurs Va
leurs ccce  dasce bce rase
+aa = 66 e qua-b mulcipliane ensuire les ex-
exemes e les moyens, e dirilane par 24) donne l’é-
quation même proposée.
II est à propos de remarquer que si l’angle AF B
écoit droit, l’angle CG us le Peroit austi; e le diametre
ZK (28) seroit ésal au BATAMCEre R ZZ (+ a- bbe.
2ec
puique ee==a a - = bb à cause du criang le rectanelo
AF B. D’ou P’on voit que l’Flliple deriendroit alors
un cercle qui auroit pour rayon la deoite OR Ou CF
(+) = = V 55- + =6c - + a8; _ qu0 DC (5) =- 6c 2af
qui rend la construction beaucoup plus simple.
32.8. SOrZ
E X E N P E E FTF.
ce
proposé de erourer le lieu de l’équation
Yy = F X X = aX = = 0.
Je compare lestermes de la Formule generale, avec ceux n Art. 32
qui leur répondene dans l’équarion donnée; et j’ai
 =0, Parce que le cerme ry manquane, on le doir

## Folio 232 — 884859711:0280
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232
LLYR F SEPTFE M F.
considerer comme étane mulciplié par zero; d’ou je
EirC n = = o: _ PaTEANE M = = C. 20 un
a =1; C’est
2 dire, Z ==L en MeTtanE pour n et m leurs raleurs
Oe C: _E PaFEANE P = = 2t. 3. r=0; parce que l’incon-
nueune serrourant point au premier degré dans l’équa-
cion donnéc, on la doit aulsi considerer comme écane mul-
cipliée par zero: c’est pourquoi effaçant dans la Formule
generale  tous les termes ou =_ r sE RenCONETeNE, e
MeEEaNEPOuT e ex L leurs raleursm Xr, elle se changera
en celle-ci ry - L X x = 25 X - +F - F55 = - 0, dont il reste
a comparer les termes avec ceux de la propolée.
4. 25 = = a; _ PAFEaNE 5 = = = a. 5. 55 -2+=-0; puisqu’il
n’y apoint determes entierement connus dans l’équation
donnéc: _ PaFEANEH = = 55 = =aa; e en exrraYanE de parE
e d’autre la racine quarrée, += = = a. Or ces valeurs
érant ainsi déterminées, je construis le lieu en cerre
TOrte.
Puisque BF (n) =0, il s’ensuit que AF tombe Cu
AP, laquelle combe aussi sur DO, puisqu’on a encore
AD (r) =0; de Corte que le point D combe en A.
C’est pourquoi prenave (ur AP, la partie AO (5) = = a
du coté de Pis; et de part e d’autre du poine C, les
parties CK, CZ, égales chacune à t = = à (le poine L
combe ici sur le poine ); on décrira  du diametre AK
qui aic pour ordonnées des droices paralleles à P MI.
ee pour parametre la ligne KTZ (P) = = 21 = = a, une FI.
lipse qui sera le lieu cherché.
Car ayant mené d’un de ses poines quelconques MI la
droice MP qui Fasse avec AP l’angle donné ou pris à
votonte APM, On auTa = AR (a) RTY (a):: APXPK
(ax = XX). PN (yy). Ce qui donne py - L X X = a X = 0
Y) est évidene que Si l’anole APML eA droic, l’Fllipse
deviene alors un cercle qui a pour diametre la ligne
AK= a
REM AR 9.
Ar. 322
FrC. 174.
Art. 162.
4 Art. 55. B

## Folio 233 — 884859711:0281
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DES ZXEDZ GEOMETREOVES.
R F N A R OV F.
329. Ix peut arriver deux difterens cas, oit le lieu
de l’éguation donnée est un cercle.
Premier cas. Lorique les quarrés ry _ X X sC FrOU
vene cons deux arec les mêmes siones e sans fraction
dans une équation, ou le plan xy le croure aussi; et que
de plus l’ansle AF B est droir (ce qui arrive lorr-
qu’ayanc mené AF perpendiculaire Tur P MI la raison
e PF a AP, qui est la même que celle de BF à AB
est exprimée par la moitié de la Fraction qui mulciplic
le plan x y): le lieu de cetre équation sera coujours un
cercle comme l’on a déja vui dans l’article 324, e la
raison en est évidence par la Formule générale. Car l’on
aura par la comparaison des termes correlpondans oit
nr
eep
SE ErOUVC le QuarYE XX, certe égaliré mm Emme
T
d’ou Pontire P =mm-nn = 1, puilque à cause du crian.
SlC rectanole AF B lC quarrE mm==nn -F ec. OF Pan
ole AF B étant droie, l’ansle COnr que Fair le dia-
ANCEFC LR avec ses ordonnées sera ausI droit; _ par
conséquent puisque le diametre L K est égal à COn. pa-
TAICErC KFF, il s’ensuic que l’Elliple derient alors un
cercle.
Second cas. Lorsque les quarrés py eE XX se FrOUvenE
tous deux arec les mêmes signes et lans Fraction dans
une équation, ou le plan XY RC lC FeNCONErC PaS, _E
que de plus l’angle APM est droic: son lieu lera tou-
jours un cercle, comme l’on vient de voir dans l’arti-
cle 328; e cela se proure par le moren de la formule
generale. Car puisque le plan xy ne le troure poine
dans l’équarion donnée, la Fraction = de la formule
Sera nuIIC Ou ZCTO; _ ParEanE BF (n) = =0, _ m = c.
d’ou l’on voir. 1. Oue le diaetre LK est paral
tele à la lione AP, e qu’ainsi l’anole COni qu’il
fait arec les ordonnées étanc és al à l’ansle A P ML sera

## Folio 234 — 884859711:0282
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234
LTVR E SE P FFF NE F.
droic. 2. Oue la Fraction no
eex qui mulciplie le
mmEmm
quarré ex dans la Formule derient, et qu’ainsi On
aura L = T: c’est à dire que le diamerre LK Sera Cgab
a TON PAFAICEFC KTT. L EIlipse qui est le lieu de l’é-
quation donnée sera donc alors un cercle. Or comme
alors la Formule générale se chanse en celle-ci
Vγ - +. X N = 2 Yy = 25∞ Fpp0
+
+ 55
onpourra, si l’on veut abreger le calcus, en se serrane d’a-
bord de cerre Formule, pour crourer par la comparai
Con de lestermes avec ceux de la propolée, les raleurs de
5, 5, r, qui serrent à décrire le cercle qui en est le lieu.
LE H MT E FOND AME N Y AL.
Pour la construction des lieux à l’Elyperbole
par rapport à ses diametres.
330. LES MÊmes CHOSeS CtanE posées que dans le
F16. 175. Lemme precedent pour l’Ellipse, on décrira  du dia-
76.
MCErC ZK (2F) qui aIE POUT PaTAICIRE KFY (P), et
pour ordonnées des droices paralleles à PM, une IIY-
perbole ou deux FIyperboles opposées. Je dis que la
portion On, ou leurs portions rentermées dans l’angle
P AD Faic par la ligne AP et par une ligne AD me-
néc par le point Aixe  parallelement à ~ M et du
même corC, sera le lieu de cerre équation ou Formule.
vy
in Ny-
Bn
min X X = 2ry +  X - Y rY = 0.
cep
2mmt
20p3
x L Bt
2
es
dans laquelle on dou oblerrer qu’il Y a -+  lorlque
Art. 162

## Folio 235 — 884859711:0283
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DES LLEDX CEEOMEFRFOVES.
235
de diameere LK est un premier diametre, e - lors.
que c’est un second.
Car ayant mené d’un de les poines quelconques AI
la lione N P, qui Fasse avec AP l’anole donné ou pris
a volonté APM, e qui rencontre les paralleles AF,
DO, aux points f, 6, On aura par la propriece de l’IIr-
perbole =XL (2+). XFI(B):: CO = CK (cexx 2es_ X Art. 8I. e
+ 55 = = 1Y). GAZ = DeevX 2ep sa  B35  BA
mn X X L 22
etit
2ry- +
Emme 2m
2+ = 2+
im X - + rr. DONC _C.
mn
vy- 2n
)
218.
m Xy
S’il arrire que le diaetre RZ (2+) e Con parame-
ErC KZZ (P) ToienE égaux enereux; ltIyperbole Lera
equilatere.
C O R OL L A E R F.
332. IE est clair, 1. Oue les deux quarres py eE XX
se crouvene coujours avec differens liones dans cette
Formule, lorsque le Plan xy nC S’Y TeNCONErC POINE; Ou
bien lorsqu’il s’y trouve, d que ee
nm
2mme Curpasse mm
20. On’ils s’y peurent trourer avec les mêmes signes,
mais avec ces conditions que le plan xy SY TenCOnErC,
e que le quarré  de la moitié de la Fraction qui le
un
Leet
mulciplie, soic plus grand que la Fraction mm imme qui
mulciplie le Guarré X X.
PR OPOSILION IV.
Probleme.
332. LONSTKOTLE e Heu d une equation aonnee, dans
laquelle, ou les deux quarrés YY es XX se rencontrent ddet
differens sirnes, ou bien avec les mêmes sinnes, mais avec ces
deux conditions que le plan Xy s’y trouve, es que le quarre
de la moitié de la fraction qui le multiplie soit plus grand
+8 1

## Folio 236 — 884859711:0284
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000284.jpg
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236
L LVR E SEPFLEN B.
que la fraction qui multiplie le quarre XX. On suppose en
core ici que le quarré Y Y soit délioré de fractions.
On construie PFsyperbole qui en est le lieu, comme
l’on vient de Faire l’Elliple dans le Problème précedent
Les Exemples qui luirene le ferone roir.
E X E N P L E F.
333. SOrTy - + 2 xy - + = XX - + 2Cy = 28X - B h
o, l’équation dont il faur construire le lieu, e dans.
a surpasse
Je compare les termes de certe égnation arec ceux
qui leur répondene dans la Formule du Lemme; e j’ai
1
23
23 de PaFEANE ( L’On Fait m == a, On aura
n = - b. 20
2b61- 2asc
cep = nn
imme mm. a 2 donC = - bb - af
 3.-. Y =  - c.. 4.
2nr.
L 2ep5
6c: 3. 
2me == - 28, d’oit
CA IEEFANE POUT M, n,, r, = les raleurs que l’on riene
de TrOUVeF, On tire S= =ce- ase
55-
ceccecht
bb - as. 5. = 1b = - 55 - 2rrc 2hhic
b-as Ccaroix - + 1Tor(que le quarre ss (ur
PasTe cecc L ectih
Bb-as X = + + lor(qu’il cA moindre, ParCC que
Le quarré r doit etre positit; ce qui faie deux diffe-
renS CaS. Ox les valeurs de m, n. 3. Y, 5, t, V, etant ain B
décerminées, je construis le lieu en me réglane sur la
construction du Femme, de la manière qui. Tuit.
AYaRE Pris TUE AP, la partie AB = a et mené P2
rallelemene a P M X du coré opposé. les droites BP =- B
= =n, AD : = c = -r, je tire par les POinEs A, F, la
droite AF (e) qui est donnée, e par le point D la
droice indétinie DO parallele à AF lux laquelle je
prends la partie DC = eas + eba
B0
= =5 du coté oppose
à PMI, et de part et d’aucre du point C les parries
vC. 177.
780

## Folio 237 — 884859711:0285
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DES EFEOX GEOMEFRNODES.
237
C∞; CK, égales chacune a 1 = - V 55 = eccc = eoht
bbas
Ou Y ecco t echn =55, Selon que ss est plus srand ou
bb - af
moindre que cocct ectih
bb -af. Cela Faie, du diaCEre LK
qui aie pour ordonnées des droites paralleles a
PML, e pour parametre la ligne RTF (p) -- 2 bb1- 2afe
je décrisune Fyperbole, en obserrant que LK (fic. 17 7.)
doit être un premier diametre dans le premier cas, ec un
Second (fiz. 178.) dans le dernier. Je dis que la pOr-
tion OM Pera le lieu requis.
Car ayant mené d’un de les points quelconques MI
une paralsele A P à AD, laquelle rencontre les lignes
AB, AF, DG, aUX POIHES P, F, 6; On aUTA P F
a3 ee AF Ou DC = =. FF par ConlequeNE MC =y
+-
= -+c, C6 Out D6- FCD = e - 5, puisque
CD = -. - 5. Or par la proprieve de lFTyperbole, ZK
(21). XPY
(266- 2a5
):: C6 = CK (cex  2CsN
aa
-+55. + 1t).
X- F CC); cC
qui, en MCEFaNE pOUT 55 F +t es leurs valeurs:
ocee-) echhi bco-agc
at et 0-a mulcipliane les extrèmes e les
moyens, e divilane par 2+, donne l’équation proposće.
DOnC XC.
R B N A R O V B.
334. S’iX arrive que 55 = ccec + ectih
b6 -as; il est clair que.
la valeur de et deriene nulle ou ZerO, e qu’ainsi la
construction de lFTyperbole deriene impossible. Nais il
faue bien remarquer alors que l’éguarion propolée s’a-
baisse coljours, en Porre que son lieu, qui derroit erre
une ou deux Hyperboles opposées, derient une ou deux
lignes droites. Fn eHer dans nocre exemple on a ré
duic l’équation donnée a corte proportion ec. bb - af::
8iii

## Folio 238 — 884859711:0286
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238
CEXH
ac
2bC
2e54
L EVRE SEDTIE M P.
b
F55 -= 1t. yy - + = Xy - + = X X - + 2Cy
at
X = FcC; d’Ou, CH CFaCaNE +F qui est nul, mulei
Pliane les extremes ex les moyens, et extrayant de Part
eba
ee d’autre la racine quarrée, l’on tire cy. + - Fec
=sr bb - af, c’est a dirC CA METFANE POUF =5
sa raleur bce tago
V0 -as et diritane de pare ec d’autre P2F C,
CeTtE Equation y - + - - + c = ~ bb- as  as F b0 Ou y
-b- + abb - a5 x - + a5 = bc
B- 3b6.- a
1b. a
bas = c, qui en Failane =
28 + bc
et P = sbb = af = C) SC CHAHSCCH CCETC auErC
y== P - = X done le lieu est une ligne droice que l’on
construie selon l’article 306.
La raison de ceci est évidente par la formule géné-
rale du Lemme; car effacant dans cerre Formule le
pE
terme =  qui renterme le quarré st que l’on suppo-
se ćgal à zero ou nul, elle se change en transpolane
certains termes, et extrayane les racines quarrées, en
CCTLC aUErE Y - = X - r -   - s V P Ou s = V = ou
les inconnues x ec y ne sont plus qu’au premier degré,
e donc le lieu par conséquene deriene des lignes droi-
1CS.
E X E M P L F II.
335. On demande le lieu de l’équation donnée
Yy = X X- F 2 aY- + a x = = 0.
La comparaison des cermes correspondans donne
.
===0, parce que le terme xy ne le croure point
dans la proposée; d’ou l’on rire n =0, e par Con(E.
gueNE M = 6. 2. , =L, _ PATTAHE P =, 26. 30. r = = a.

## Folio 239 — 884859711:0287
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+
DES LIEOZ GEOMEFRIODES.
=a d’ou l’ontire s=Ea. 5. pr= F P
Pss
23)
e
e ain(I F 1t = 55 - 2WC = - = a a eN MCTTANE POUF
s leurs raleurs = a, r, = a; d’ou je connois
qu’il faur prendre dans le dernier terme de la Formu-
le =+ + _ HON P2S - F 1t, atin que la valeur de tt foit
Politire. Je construis ensuire le lieu en cetre POrre.
Puisque AD(r) == a, je mene par le Poine A FxC. 179.
parallelement à PM e du corè oppose la ligne AD ==a;
e puisque BF (n) =0, je cire par le poine D la droite
DO Parallele à AP, sur laquelle je prends la partie
DC (5) = = a du coce de PMI, e de pare e d’autre
du poine C les parties CZ, CK, égales chacune d
7 =V= aa. Ensuice du second diamerre Z K (ParCO
qu’on a pris = +t dans le dernier terme de la FOr-
mule) qui aic pour ordonnées des droices paralle-
les d PM, et pour parameere la droite RTY (P) = 21
=Z K, je décris une Ilyperbole. Je dis que la POr-
cion Ons sera le lieu qu’on cherche.
Car ayanc mené d’un de les points quelconques HI
une parallele MI P à AD, qui renconere les droires
AP, DO, 2UX POINES P, G; On aura NO = - y - Ya,
CGOu DC -DC =x ==a, e par la proprieré de
PFyperbole LK (21). XFZ (21):: C6 - + CK
(X X = a X - + = aa - + ++). CMI (yy - F 2 a p - F a a); ce
qui donne, en metrane pour et la raleur Z aa, l’équa-
tion même propolée vy - +2ay - XX - + a X = = 0.
Il est éridene que l’TIyperbole est équilatere.
R E M A R  V F.
336. L, ORSODE les deuX quarrES py XC XX se ETOI
vene avec disférens signes ec lans fraction dans une
équation, ou le plan xy ne se renconere point; Con lieu
sera coljours une Fyperbole équilatere. Car la Fxac-
tion  de la Formule sera nulle ou ZCrO; e ParEanE

## Folio 240 — 884859711:0288
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240
L LV R E S EP Z FE M F.
BF(M) =0, e m== e. Dou il suie que la Fraction n
eet
mn
Emme qui mulciplie le quarre xx dans la formule
derient. = P; _ qu’ainsi On aura = = ==F, c’est à
dire que le diametre L R sera égal à son paramerre
RFF, ou, ce qui est la même chole, que l’FTyperbole
sera équilatere. Or comme la Formule générale le chan-
sC alors en celle-ci
yy - ∞ X - 2ry - F 25 X - Frr =0.
FEF
il s’enluit qu’on peut s’en serrir d’abord pOur ErOUVeE
les valeurs de r,5, r, qui serrene à construire VIIy-
perbole équilatere qui est le lieu de l’équation données
ce qui abrese le calcul.
LE MI MI F FONDAMENTAL.
Pour la construction des lieux à lElyperbole
entre ses Asymptotes.
337. SOTEHE comme dans la désinition premiere.
deux lignes inconnues e indécerminées AP (X), PMI
(Y) qui Fassent encrelles un angle donné ou pris à vo-
Joncé AP M; e Loiene de plus des lignes droites don-
néCS M, n, P, r, 5. C ela polC.
Fx. 180. 1. On prendra sur la lione AP, la partie AB =- m; e
ayanemene les droites BF = =n, 1D= =r paralleles a PM,
et du même cocé; on cirera par le poine A la droite
AF qui est donnée, e que j’appellee, e par le poine
D la droire indétinie DG parallele à AF, lur laquel-
le ayant pris les parties DC =-5, CK == e du coré que
s’écend AP, on menera parallelemene à PMI e du
même core la droire indetinie CL, e la ligne KTI - p.
On décrira ensuire  enre les AAMPEOTeS CL, Ck,
UMS
Art. 130
132.

## Folio 241 — 884859711:0289
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DESLZEDZ GEOMETRTODES
24Y
ue Iyperbole qui passe par le poine FI. Je dis qu’elle
sera le lieu de cetre équation ou Formule.
ms
Xy -  X X  = y - + =  x - + mr.
Y X - M D
Cax CML =- y - - Y, C6=
3
n
0
=5, &e par la proprie- = Art. 101-
ce de PEsyperbole = COXOML (en3 =5y- envo, nsv
mm
m
erx - + r5) ==OKXKFZ(Cp); ce quidonne, en déli-
reanc le cerme ry de tractions, ee mettane par ordre
cous les termes, la même equation xy = = XX - ms
_cc. que Cy. desis.
2. On menera par le poine sixe A, une ligne indé- F16, 18F.
tinie 10 parallele à P M _ du même COTC; X ayAnE
pris sur certe lione la partie AB =m, on cirera BF = - n
parallele à A~ ec du même coré, et par les points de-
Termines A, F, la ligne A F. que j’appelle e; ec ayanE
pris Tux AP la partie AD =-r du CorĆ de P MI, On ci-
rera la droite indéfinie DO Parallele à AF, Tur laquel-
le on prendra les parties DO =-5, CR = = e du COTC
que s’étend PMI, X on menera parallelement à AP
X du même core, la droire indétinie CL e la lione
XFY =p. On décrira enluire  entre les a(yMPEOTeS + Art. 1500
CZ, CK, une Fyperbole qui passe par le poine FT. 13I.
Je dis qu’elle sera le lieu de cerre seconde équation ou
Formule.
Xy-
nV
m
 X- 1 ~ g - + m
qi
 MD
0
Car ayane mené d’un de ses poines quelconques M
la lione MO Parallele à AP, et qui rencontre les pa-
ralleles AF, DO, aux points F, C; lestriangles lem-
blables ABF, AOF, dOnneTONE AB (m). AF (C)::
A9Ou P M (y). AF O DO =  e AB (m). BF.
(M):: AO Ird. OF=
3. Ec par conéquent OM ==x
FTB

## Folio 242 — 884859711:0290
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242
=r
LTYRB SEP FFE M F.
DO=
=5. Or par la propriecé de lFry.
perbole COxOM =OKXRFI, ce qui donne, en met.
cant pour ces lignes leurs valeurs analyriques, ee déli
vrane le cerme xy de Fractions, la même leconde For-
mule que ci destus. DOnC _c.
GOROLLAFRE.
338. IL est clair r. Oue le Terme xy se rCHCONEre
coujours dans ces deux formules, puisque n’écane mul-
ciplié par aucune Fraction, on ne peur point la lup-
poter nulle pour le Faire éranoiiir. 2. Ou’ il ne s’y peuE
rencontrer que l’un des quarres xx ou ry, lequel sé
ranoiiir si la Fraction qui le mulciplie est nulle.
339
P ROPOSITTONV
Probleme.
Lnooree le lieu d’une équation donnée dans la
quelle le plan XY se rencontre, sans aucun des quarres XX es
Yy, ou seulement avec l’un des deux.
On délirrera le plan xy de Fractions, e on compa-
rera les termes de l’équarion donnée avec ceux qui luy
répondene dans la premiere formule lorsque le quarre
XX S’Y rencontre, et arec ceux de la seconde lorlque
c’est le quarre rr, et entin avec celle des deux qu’on
voudra lorlque Pas un des quarrés X x eE py ne S’y ErOU
ve. On cirera ensuice de la comparaison de ces termes,
des raleurs des quantités m, n, P, r, 5, par le moven
delquelles on décrira une FTyperbole entre les alrmp-
totes comme l’on a enseigné dans leLemme precedent.
en oblerrant roujours de mener ou deprendre du core
opposé à AP e à PM les lignes done les raleurs (One
nésarires. Les exemples qui luivent eclairCirOnE ces
restC5.

## Folio 243 — 884859711:0291
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DES LZED X B FOM P TRIOVPS. 243
E Z E M P L F I.
340. On demande le lieu de xy = = X X = Cg =- 0.
Comme c’est le quarré ex qui se rencontre dans
l’équation donnée, je choisis la premiere Formule, et
j’ai par la comparailon de les termes avec ceux de l
Propolee, 10.  -
n
n =- b. 20. md == C, eC PaTEANE s =  30 n = r == 0.
parce que l’inconnué x ne se rroure point au premier
degré dans l’équation donnée, e partant r-=
mrs
MeS CnEICTEIENE CONNUS; _L PATLANE p = ~ - BCC
OF
comme les raleurs de AP (m), BF (n), CD (5)
AD (Y), KFT (p) Cont coures positires, je construis le
lieu precilément comme dans le Lemme (fg. 180.) en
observane de prendre pour les lignes les raleurs que
l’on vienE de FEOUVeF.
Cax GM = y -  - b C6 Ou DC - DC - en- e
 F 15, 180:
d par la proprieté de lFTyperboleCOXGML =CRXKF)
c’est à dire, en mettane les raleurs analyriques, l’équa
rion même donnéc. DOnC ec.
E X E M P E E TI.
34T.SO1r xy - + = yy = cy- f = 0, l’Equation donE
il faut construire le lieu.
Comme c’est le quarré ry qui se troure dans l’équa
rion donnée, je choisis la seconde Formule, e j’ai par
la comparailon de les cermes arec ceux de la propolee,
ms
 et ( l’on Fait m= = a, On aura n = = b.
=0, dC PAFCANE 5= 0. 3. 7 = 6. 4. mP = f, e
EIh ii

## Folio 244 — 884859711:0292
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244
LTVRE SEP FTE M F.
PaxtanE p = L. Cc qui donne la construction Li
VanLC.
X16. 182. Ayane mené par le poine fixe A, une ligne indétinie
A0 parallele a eMs e du même coce, e ayane pris
Tur cerce ligne, la partie AB (m) =a, je FirO BF = b
=n parallele d AP et du core opposé, e par les
Poines décerminés A, F, la ligne AF (C). Je prends
Tur AP, la partie AD (Y) =c du coré de PML, X je
tire la droire indéfinie DO parallele à AF, _ Comme
les poines D, C, combene l’un sur l’autre, parce que
DO (5) =0, je prends lur cerre lione la partie DR = e
du core que s’érend PMI, e ayant mene parallelemene
a AP X du même coré la lignC KFF (p) = F et la
droice indétinie DF qui combe ici Tur AP, je dé-
CriS CnEre leS AIYIMPEOTES DZ, DK, une IIxperbole
qui passe par le poine II. Je dis qu’elle sera le lieu re-
quis.
Car ayane mené d’un de ses poines quelconques II,
la droire n O parallele à A P e qui rencontre les pa-
ralleles E, DO, aUX POIHES F, G, On aura GMI Ou
A O- tOF = FC = ~ - +  =c, DOOI AF = , et
PATEANE DOXOM = =7 -+ ∞by7  eC) =DKXKLZ ().
Ce qui donne, en délirrane le terme xy deFractions,
l’équation propolée xy- + = yy - cy - ff =0.
R F M A R O V F.
342. SE lon prend pour l’arbitraire AB (m) une
auere raleur que a, celles de OR (e) _ de KFY (p
changerone, mais les raleurs du rectansle ORX R FY
(Cp), e des droites AD (r), OD (S) demeureronE
toujours les mêmes; car elles ne renterment dans leurs
exprections que leS FAPPORES n Z qui ne chan

## Folio 245 — 884859711:0293
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DES LFEDZ GEOMETRLODES.
245
senepoine, puisque dans le criansle ABF l’angle ABF
est donné, e la railon (qui dans cer exemple cst-
du COrC AB (m) au COrC BF (n). Ox comme lFIY-
perbole qui doir passer par le poine FF, Pera coujours
la même, celle grandeur que l’on puisse donner a CR = Art. 1OH
(C) e à R FL (P), Pourru que le rectanOlC CKZRFY
demeure le même; il s’ensuie que l’on construira eou-
jours lamême yperbole, celle grandeur que l’on puil
se prendre pour l’arbirraire AB (M).
E X E M P E F IIL.
343. le faut construire le lieu de l’équation donnée
X y - ay - + bX - F CC = = 0.
Comme pas un des quarres xx e ry ne se Frouve
dans l’équation propolée, je puis prendre indifferem-
ment l’une ou l’autre des deux formules, par exemple,
la premiere, de laquelle comparant les termes avec
ceux de la propolée, j’ai 10. 2 =0, _ PAFEANE n == 0,
de m == e; je Fais m == a. 2. ms Ou 5 = a. 3. r = - - b,
Duisque 2 =0. 4. rs = mp = = CC, _ PAXEAHE p = - b
. Ox ces valeurs de m, n, r, S, P, EEane ain(I FF C, 183.
décerminées, je conttruis le lieu de la maniere qui
CUIE.
Puisque AD (r) = - b, je mene parallelement a
PM e du coré opposé la ligne AD =b; e puisque
BF (n) =0, je rire la droire indétinie DO parallele à
AP Tux laquelle ayanc pris les parties DC(5) =a,
CK (C) =m = a du coré que s’écend 1P, je rire la
droire indetinie CL, e la ligne KZF =- b - F  ---
parallele à P MI e du core oppolé. Je décris ensuire
lFsyperbole oppolée à celle qui aYanE POUT ACyMPEO-
ces les droices CL, CK, passe par le poine 51. Je die
EIh iii

## Folio 246 — 884859711:0294
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246
L FY RE SEPFFEMP.
que la porcion indétinie o as rentermée dans l’angle
AS, Faic par la droite indétinie AP e par la ligne
AS menée parallelement à PML ex du même coré, lera
le lieu cherché.
Car GML ou PO - F P NI = -  - + b _ CC ou CD
DO == a =. x, eC paF CONTEGUENE CGZG MI = ay = X y
+ab = bx = CKXKFY (a b - FCC); CC qui, en CHACANE
de pare et d’autre le rectanole ab, e cranspolant à
l’ordinaire, donne xy - ay - F b X - F cc =-0 qui eAlÉ-
quation propolée.
Il auroie écé inurile dans cet Exemple de décrire
l’EIyperbole qui passe par le poine II; car aucun de
ses poines ne pourroit comber dans l’anole PA5, ou
l’on suppole que doirene comber les points M.
R E A A R Q V F.
344. DTE arriroit qu’en comparane les cermes de
la Formule arec ceux de l’équation donnée, On CroU
vat que p ==0; on roit qu’il seroir alors impossible de
décrire l’HIrperbole qui en derroit étre le lieu, puis.
que la puistance qui est égale au rectangle pe leroie
nulle. Mais alors l’équation se pourroit coujours abail-
ser, en Torce que Con lieu deviendroit une ligne deoi-
ce; car effaçant par exemple dans la premiere Formu-
le du Lemme le cerme mp, elle devienE xy - = X X
ms
y.
n.
=X = rX -+ mr =0, qui étane dirisée pax
Art. 306. ms donne y - n - r = 0, done le lieu est une ligne
droire.
PROPOSITTON V
Problème.
845. CONSTROIREtont lieu du second degré, son équa-
dion etant donnée.

## Folio 247 — 884859711:0295
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DES CTEOZ GEOMETRTODES.
24.7
Pous les cermes de l’équarion étant mis d’un même
Coré, en Porre que l’un des membres soit zero, je dil-
tinoue deux differens cas.
Premier cas. Lor(que le plan xy ne se croure point
dans l’égnation donnéc. i. S’il n’y a que l’un des
quarres pr ou xx, le lieu sera une Parabolc. 2. Si = ArF. 310.
les deux quarrés yy eE XX S’y trouvent avec les me-
mes siones, le lieu sera une  Fllipse ou un cercle. + Art. 324.
3. Si ces deux quarres s’y rencontrent avec differens
siones, le lieu sera une FIrperbole ou deux Ilyper- + Art. 332.
boles oppolées rapportées à les diamerres.
Second cas. Torsque le plan x y se troure dans l’é-
quation donnéc. 1. Si pas un des quarres yy e X X
ne sy rencontre ou seulemene l’un des deux, le lieu
sera  une Iyperbole entre les AIYmpTOTCS. 2. Si les = Art. 339.
deux quarres ry e xx s’y crouvent avec differens si-
ores, le lieu sera = une Lrperbole rapporrée a lesdia- + Arr. 332.
MCErCS. 3. Si ceS deUX QUAETES S’Y FEHCONEreNE arec
les mêmes signes, on délirrera le quarre ry de Frac-
tions, e le lieu sera = une Parabole lorsque le quar- + Art. 310.
ré de la moicié de la Fraction qui mulciplie xy est égal
à la Fraction qui mulciplie le quarre X x; une = FIip(C + Arr. 324.
ou un cercle lor(qu’il est moindre; ec entin une = IIY - + Art. 332.
perbole ou deux FIyperboles oppolées rapportées à les
diamerres lorsqu’il est plus orand.
On décrira le lien selon l’article 310. s’il est une Pa-
rabole; lelon l’article 324. s’il est une Allipse ou un cercle;
selon l’article 332. s’il est une Fyperbole ou deux IIy
perboles oppolées rapportées à les diametres; e entin
Selon l’article 339. Si c’elt une IIyperbole enere les
AIYMPEOTeS. Tout ceci n’est qu’une suice de ces qua
ere arricles.
C OHOL L A X R E.
346. Ooe équation du lecorid deore érane don-
néc, comme la Section Conique que l’on trOure Pax

## Folio 248 — 884859711:0296
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248
L T Y R E SE D PTF N F.
Art. 314. le régles prelcrites est le lieu  de toutes les valeurs
tane rraies que fausses de l’inconnuey, qui répondene
aux valeurs tane vraies que fausses de l’autre incon-
DuE x; il s’ensuie. qu’il ne peut r avoir que cerre seule
section qui soit le lieu de l’équation donnéc.
ov
LTDLC HO1L.

## Folio  -  — 884859711:0297
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H)
Dle
seu
1
3
es
 su
Ol.
176.
Ex
4 182.
Planche 19. pag. 248.

## Folio  -  — 884859711:0298
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Mll
MIMIIIIIIIEIMIBIIBIIIIIMIIIAIIIIII
MMHB
it
t
O
+
natur: Leibn. Mar9. 155, [298)
GOTTFRIED WILHELM LEIBNIL BIBLIOTHEK
NIEDERSACHSISLHE LANDESBIBLIOTTTEK
eeeei ae

## Folio 249 — 884859711:0299
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BES PROBEEMES ENDETERMTNES.
249
EVRE HDITIEME.
Proposition generale.
347. LRODVeN le lieu d’une infinité de points qui P15. 184
ayent tous certaines conditions marquées; lorsque ce lieu ne passe
point le second derre.
1. On supposera comme connues e décerminées
deux lignes droiresinconnues e indérerminées A P (X).
P NI (Y), qui Fassent encrelles un angle AP M donné
ou pris a discretion; e dont l’une A P aic une origine
fixe e inrariable en un point L, e s’écende le long
d’une lione donnée de polition; e l’autre PMs qui de-
termine coujours par lon extremité M, l’un des points
cherches, change continuellement d’origine, e loit
coujours parallele à la même lione. 2. On cirera les aueres
lignes que l’on jusera utiles à la solurion du Problême,
et on les exprimera par deslertres; sçaroir, les connues
par les premieresleteres de l’alphaber, et les inconnues
par les dernieres. 3. On regardera la quection comme re-
Loluc, e apres en avoir parcouru coutesles conditions, on
arrirera entin d une équation qui ne rentermera que les
deux inconnuisx e pmêlées arec des connues. 4. Cette
equation dans laquelle on suppole que les inconnues x
e y ayene au plus deux dimensions, etant Formée, on en
construira le lieu selon les regles prescrites dans le Lirre
precedene; et le lieu ainsi construit reloudra la question.
Tour ceci séclaircira par les Exemples qui suirent.
E X E NA P L E I.
340. Lloodea ca  i ete pora relitet
MI, cel qu’arane mené de ce point les deux droites I F,
MC, qui Fassene sur les cores AB, AC, coujours vers
la même pare, des angles donnes M EB, MCC; la

## Folio 250 — 884859711:0300
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250
L IV R E TIOT TIEM F.
droire AI F Soic coljours à la droice MIG en la raIIOM
donnée de a à b. Ec comme il y a une intinicé de ces
poines; on demande la ligne qui les renterme touS, et
qui en est par conséquent le lieu.
Par le point M, que l’on suppole êrre un des points
cherches, ayane mené la lione M P parallele à AC; on
considerera les deux droices inconnues ex indécerminées
AP(X), PN (Y) comme connues e décerminées. On
prendra lux le Coré A B la parcie AB == a, on tirera les
droites BC, BD, Paralleles a NV F, MG, X qui ren
CONEFENE aUX POINES C, D, l’autre coré AC prolonse,
s’il est necellaire; e on nommera les connués AC, C3
BC, fi BD, S. Prelentement menane M O parallele a
AB, les triangles (emblables AC B, P MIF, ex ABD,
OMtO, donnerone ces deux proportions: AC (C). CB
(s):: ML P (Y). NF = , dc A B(4). BD(5):: MO
Ou AP (X). MC = =; ce qui Paristair à la premiere
condition du Problème, puisque les lignes MI F, MB,
lone coujours suppolées paralleles aux deux mêmes droi
Tes BC BD, qui FonEsur les Cores AB, AC, les an
slesdonnés. Or par la seconde condition qui relte à ac-
complix, il FauF que ML F (3). MC (=): : a. b; d’oit
l’on cire l’équariony =  qui renterme toutes les con
ditions du Problème, et done le lieu sera par conséquene
Arr. 300 celui que l’on cherche. II se construie= ainsi
Ayane pris sur la ligne AP, la partie AFT =b, Toie
MEDCCZZF =  PaxaIlelC à P ML et du MEme COLE, ee
soit cirée la droire indetinie F. Je dis qu’elle sera le
lieu de tous les points cherchés MI.
Car ayane mené par un de les poines quelconques I
les droires AIP, M O. Paralleles aux deux cores AC.
AB, X les droires MF, MC, paralleles a BC, BD, et
qui Font par conséquent sur les deux cores AB, AC.
les ansles donnés; on aura à caule des crians les lembla-

## Folio 251 — 884859711:0301
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000301.jpg
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DES PRODEEMES ENDETERMENES. 255
bles AFTF, APMC, Cetre proportion; AFY (B).
TTF (E):: AP (X). PNI (y) = , e à cause des
trianoles semblables ACB, PMF, _ ABD, OMC,
ces deux autres: AC (C). CB(f): : M P (E5). MIF
e+
=3; ec AB(a). BD(S):: MO Ou AP (X). MC
E. EE Pax COnSEqUeNE ML F (). MB():: a. b. Ce
qui etoic propolé.
Je n’ai resolu cerre quection par le calcul, que pour
la rapporter à la Proposition sénérale, e commencer
par des Exemples simples e aisés a en Faire voir l’appli-
cation; car on peur resoudre ce Problème lans aucun
calcut, e d’une maniere plus facile en certe Porte.
Soient tirées les droires AK, A L, qui FaSenETUF AB,
AC, les angles donnés R AB, L AC, e qui CoienE
ener elles en la railon donnée de a a b. Soiene menées
les droites K MI, Z MI, Paralleles aux cores AB, AC,
X qui lC TCNCONErenE au PoinE MS; par ou, et par le lom-
met A de l’anole donné B AC, loic cirée la lione ANI.
Je dis qu’elle sera le lieu cherche.
Car ayant mené d’un de les poines quelconques F les
droites E R, ES, Paralleles à AR, AL; on aura a cau
Ce des trianoles lemblables AF R, NI AK, _ AFS
M AE, CeS prOPOrtIONS FR. AR:: AF. AM :: F. S.
AL. EE PAFLANE ER. FS:: AR. AL:: a. b.
E Z E M PL F IT.
349. Les paralleles AB, CD, étane données de
policion; crouver le lieu de tous les poines M cellemene F2C, 186.
Places entre ces lignes, qu’arane ciré les droices MI P,
MO, qui Fassent arec elles coujours vers la même pare
des angles donnés ML P B, MOD; elles Toiene coujours
enerelles en la raison donnée de a à b.
Ayanc pris pour l’origine fixe des indécerminées AP
X), un poine quelconque  de la ligne B, e les deux
22eb 1850

## Folio 252 — 884859711:0302
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252
LEY R E TTOTTFEMF.
droites inconnues e indéterminées LP (X), P NI (y)
étane suppolées connuis e décerminées, on menera
les lignes AC, AF, Paralleles aux deux droites MIP.
MO; X on nommera les connues AC, C: AF, f: Cela
Faic, on prolongera PM julqu’à ce qu’elle rencontre
CD en t; e les criangles semblables C AF, FMC;
donnerone AC (C). AE (F): : MIF (C - 1). 11G - f 53
Or selon la condition du Problème qui reste a accom-
plir, il FauE que AL P (Y). ATO( 3):: a. b; d’oit l’on
acf
tire l’équation y =.
bca Qui renterme toutes les con-
Arr. 307. ditions du Problème, et done le lieu qui est une ligne
droire indefinie FIML menće parallelemene à AB en
act
Corte que AFZ = bt as est par conséquent le lieu
cherche.
E X E AE P L E TTI.
35O. D EOX POinES A, B, EEanE donnez, en FrOU
FFC. 187. ver un croisième M, cel qu’arant mené les droites MI A,
MTB; elles Poient coujours enerelles en raison donnée
de a à b. Ec comme il y a une infinité de ces points M,
il est quection de décrire le lieu qui les renterme EOuS.
II peut arrirer crois differens cas selon que aestmoin-
dre, plus grand, ou cgal à b.
Premier cas. Par le poine M, que je suppose erre un
de ceux qu’on cherché, ayant mené la ligne MP per-
pendiculaire sur AB (car n’y ayanc poine d’ansle donné
dans le Problème, on choisit l’angle droit comme le
plus simple), e les deux droices inconnues d indérer-
minées AP (X), P MI (y) étan suppolces connés e
dérerminées; on nommera la donnée AB, c; d a cau-
se des triangles rectangles AP ML, BP ML, on aura les
quarres AM = =X X. tYY, BM = =CC = 2CX F s X Lgy.
Or par la condition du Problème, AM (X v - L yy).
BM (CC = 2CX-  X X = F Vy):: 4 a. 66. N’oit (en mul-,

## Folio 253 — 884859711:0303
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DES DRODLEMES ENDEFEEMTHES.
253
cipliane les exrremes ex les morens ex divilant ensuite
2aacX
Par bb - a a) on forme cetre équarion yy - L X X - Y pB -ga
aacc
=0, qui renterme la condition du Problème,
ec dont le lieu qui est par conséquent celui qu’on de-
mande, se construie par le moyen de l’article 322.
(Lir. Preced.) en cetre Porre.
aac
Soic prile sur la ligne AP, la parrie AC = bb- aa du F10, 187.
Core oppolé à PML; e loic décrire du centre C, et du
FAYONCD OU CF =
abc
3= la cieconference d’un cer
cle. Je dis que la portion D MO renfermée dans l’an-
sle PAO, Fair par la ligne AP ec par la droite AO
menée parallelement à PM de du même coré, sera l0
lieu de l’équation que l’on vient de FrOuret.
Car ayant mené d’un de les poines quelconques M
la perpendiculaire M P sur AB, on aura par la PrO-
priece du cercle CD = CP OU F PXPD = P M; cest
a dire en metrant pour ces quarres leurs raleurs analy-
ciques, l’équation precedente.
Si l’on luppole à presene que les poines ns combene
dans l’angle F. L R oppose au sommet à l’angle B AO
dans lequel on a supposé en failant le calcul qu’ils éroiene
Sicues, on trouvera en Failant AP - = ~, _ P N =- - y, = Art. 304.
la même équation que ci-dessus, tant par la condition
du Problème, que par la proprieté de la portion RMF
de la même circonterence que l’on viene de décrire;
d’ou il line que cerre portion est le lieu de tous les poines
cherchés MI, torlqu’ils eombene dans l’anole R AF. EE
Si l’on suppose entin que les poines astombent dans l’an-
Ele B AK e enluice dans l’angle F AO, on trouvera de
même (en observant de Faire PNs =--y, lor(qu’il tom-
De de l’autre corc de la ligne AB; de AP = = x, IOFL
que le poine p combe de l’aurre coré du poinE AXC A)
que les Portions DR, FO, de la même circonterence
leronc les lieux de ces poines; et qu’ainsi la circonteren-
li iii

## Folio 254 — 884859711:0304
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254
LFVRE TIOTFLEME.
ce enciere qui a pour diamerre la ligne DF, est le lieu
complet de tous les poines requis MI.
Second cas. On trouvera par un raisonnemene sembla-
ble a celui du premier cas, cerre equation vy - + X X
raacae
aa bb
aacc
a-- 66 = 0, done le lieu se construie ainsI.
b. 106. Soic prile lur AP, la partie AC = uc du cdré de
a--bb
PMI; e loir décrire du centre C, et du FayOn CD ou
CF =
abc
 un cercle. Je dis que la circonterence sera
le lieu de cous les poines requis M. Cela se proure de
même que dans le premier cas.
Si l’on considere dans ces deux cas que la circonte-
rence qui a pour diameere DF, e qui est le lieu de tous
les poines cherchés M, doit couper la ligne AB en deux
Poines D, F, celS que AD. DB:: a. b, _ AF. FB::
a. b; puisque le poine M combant en D la droice ANI
derient D; ee BML, BD; X de même que le poine
Mr combane en F, la droite AMI derien AF, e BMI,
BF: On abregera de beaucoup les constructions prece-
dentes. Cax il est risible qu’arane divisé la lione AB
prolongée, du core qu’il sera necellaire, en deux poines
D, E, tels que AD. DB:: a. b, d AC. FB:: a. b; la
ligne DF sera en l’un e l’aurre cas le diametre de la
circonterence qui est le lieu cherche.
osdeme cas. L’uilque dans ce cas a = -b, l’équation
Art. 307. Precedeme le chanse en celle-ci x = =c; d’ou l’on voir
F 10,189. Que   pen P égale à la moitié de AB e qu’on
eire la droice PMs perpendiculaire sur AB, cerre ligne
PMs indésiniment prolongée de pare e d’autre, sera le
lieu de tous les poines requis Ms. Ce qui est d’ailleurs
evidene par les Flemens de Geometrie.
EX EM PLE IV.
F16. 190
da lgloclolco  lll
protonsćes de pare et d’aurre du point D, Ccanc données

## Folio 255 — 884859711:0305
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000305.jpg
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DES PROBLEMES EN DEFERMENES.
255
de pohrion Tur un plan, avec un poine C nOrs de
ces liones; loic imaginé un angle donné CEM se mou-
voir par son Commet F le lons de DF, en Torre que
TON COTE FC Qui TeNCONEre D X en W, passe coujours
par le même poine C, ex que lon autre cocé FM loit
coujours croisème proportionnel a N C, CF. On de-
mande le lieu de tous les poines sl dans ce mouve
MMCNE.
Soiene menées C  parallele à D N; X CB qui Fase
TUE D F au poinc B un angle éral à l’anole donné CEMI,
du core qu’il sera neceslaire, atin que C P combane luX
CB la droite P ML combe sur DF. Cela poté, je distin-
que la quection en crois differens cas: car ou le lommet
F. de l’angle donné CP M le meur sur la droice D F de
l’autre coré du Poine B par rappore au point A; ouen-
ere les Poines B, A;ou entin de l’aurre coté du poine
PAE FAPPOTE au POInE B.
Premier cas. Lorsque le Commiee F se meue (uE la li-
BnC D F de l’aucre coré du poine B Par rappore au poine
A. AyaHE mene du coce du poine C la ligne AO qui
Fasse Tur D F au poine A l’ansle B AO cgal à l’angle
ABC, on cirera par l’un despoines cherchés MI, que l’on
rerarde comme donné, la ligne MI P parallele à AO, e
QuI TeNCONErO DF en P; ec on aura deux criangles lembla-
BleSCDF, EPML; car les deux angles CBF, FP MI, FOnE
égaux chacun à l’angle donné CFM, & de plusles angles
BCE, PEML, Tont austi égauXenEr eux; puisque dars le
eriane le CBF l’ANGIC CXTORNCCEP OU CFM- F PEM eA
Égal aux deux internes opposes BCF CBE OUCFM. Si
donc l’on nomme les données AD, a: AB, b; BC, C3
et lesinconnues ex indécerminées AP, X; PMI, V: AF, Z3
on aura, eane à cause des paralleles DW, AC, que de
la condition du Problème, ces proporrions AD(a)
AF (Z): : C V. C F d: CF. F ML:: CB (C). F P (X = Z)::
BFC
3). PAL (Y); d’ou l’on Forme (en mulcipliane
les exerentes _ les MCs) ces deux equarions a x =a Z
Z GH, On prenane, pour abreger.
CZ et ay
HH NMIEHHLEHIMHMMHNHMANEHSHNHHHIEBBMEMIIIN

## Folio 256 — 884859711:0306
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000306.jpg
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256
PEV R E TTBFYFE M F.
=-a - + c, e Failane éranoiiir Z, se reduisent à celle. Ct
XX - =x - =F y =0 qui ne renterme plus que les incon-
nues x e y, et dont le lieu, qui est celui que l’on cher.
rt. 3lo. che, le construit = ainlI.
Soit prile Cur la ligne AP, la droire AF = = du
Core de PNL; _ ayanE mené FZ parallele à PMI, CCIE
prile lur certe ligne du core opposé à PMI, la partie
bb
FC= Soit décrire du diametre CL qui AiE POUF OFL
Sine le POinE G, POUF PaxaMEEre GTY = F, _ POuTOF
données des droices ZNI paralleles à AP, une ParabO-
le qui s’érende du côré de PNI. Je dis que la porrion
indétinie OMs rentermée dans l’anole  AO, lera le
lieu de tous les poines cherchés MI.
Car ayant mêné d’un de les points quelconques MI,
la ligne M O Parallele à P e qui renconere le dia.
MEErE CZ eN L, On auTa M Z OU PF == X - = et CF
=y - +
b
) et par la propriecé de la Parabole, M L
B6
XX -  x. + a) = LOXCLL ( y - F quo) s ce qui
en cranspolane à l’ordinaire donne l’équation xx- x
Fy =-0, qu’il falloit construire.
Second cas. L Orsque le Commet P parcoure la partie
B4. II est clair dans ce cas que les points Us tomberone
de l’autre coré de DC, puilque l’anole donné CF NI
Sera coujours plus grand que l’ansle CF P qui diminué
continuellement. C’est pourquoi j’ai PN = - y, e
comme je croure par un railonnemene semblable au
precedent, la même équation; il s’enluic que la portion
CO de la Parabole que l’on vient de décrire, sera le
lieu de cous les poines , puilqu’elle donne aussi par (2
propriece cerre même equation.
Froisiène cas. L. orlque le tommec le meur de l’aucre
COTE

## Folio 257 — 884859711:0307
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000307.jpg
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DES PRODLEMES ENDEPERMENES.
257
Core du poine L par rappore au poine B. II est clair en-
core daris ce cas que tous les poines cherches M doirene
tomber au dessous de la ligne DP; et On trouvera com
me dans le premier cas AD. AF:: CN. CF:: CF. PMI::
CB. FP. FE PartanE AD. CB:: AF. P P. Dou P’On
voit que P P est plus grande, moindre, ou égale a E A
selon que CB est plus grande, moindre, ou égale à AD;
e qu’ainsi prolongeant AO au deNTouS de D F VeES R,
tous les poines cherches M combene dans l’angle BAK
dans le premier de cestroiscas, dans son complement à
deux droirs D AK dans le second cas, et entin sur la
droite AK dans le croisième cas. Je suppole ici que CB
Foic plus grande que AD; e comme Failane PNI =- -y.
parce qu’il combe de l’autre cocc de AP, je ne trouve
plus la même équation que dans le premier cas, je ne
Fais plus d’actention à la construction de ce cas. C’est
pourquoi nommant à l’ordinaire AP, X; P M, y; j’ar-
rIVC à CCETC EqUaTION X X -L = ∞ - - 25 y =0, dans la-
quellc3 = =c- a, dont le lieu qui est celui que l’on cher-
che es une portion indetinie  nr d’une autre Parabo-
le que la precedente laquelle s’écend vers le cote oppO-
sé, et qui se construit  Cn CeFTC POFEC.
Soic prise sur AP de l’aurre coré de PM la partie
25 =- =; Coit menée 57 =- Parallele à A9, ee du
coré opposé à PMT; soir décrire du diametre YS qui
aic pour origine le point 7, pour parametre une ligne
=88, e pour ordonnées des droires paralleles a AP,
une Parabole qui s’érende du coré de PMI. Sa portion
indetinie  Ms rentermée dans l’ansle P AR sera le
lieu de tous les poines cherches M dans ce dernier cas,
ou l’on suppole que CB surpase AD.
Il est donc évidene que le lieu cherché de tous les
poines Ml est composé de deux porrions indetinies de
differences Paraboles, done l’une A6O MI s’écend du
COEC dC C, et l’aucre AM dU COTE OPPOSC, d PartenE
Art. 310:

## Folio 258 — 884859711:0308
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000308.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 42 lines, status machine
250
LTVRE TIOETPEMF.
toutes deux du poine L; car le coré OF de l’anole
donné C F. M combane Tur C A paraliele a D W, il est
clair que CN deriene intinie, e qu’ainsi F ML est nulle
ou zero, puisqu’on a tOujOURS N C. CF:: CF. FMI:
c’est à dire que le poine il se confond arec le poine F
qui combe sux le poinc D. D’ou l’on voir que AF est
une ordonnée au diametre FG, et AS au diametre s7.
ce qui donne lieu à la construction luirance qui est gc.
nerale.
Ayanc pris Tur la ligne indétinie A P de pare et d’au-
ere du point B les parties BO, BR, égales chacune à la
quatrième proportionnelle aux trois lignes D A, AB,
BC; on menera par les poines demilieu F, S, l’un de AO,
l’auere de AR, les droites FO, ST, Paralleles a AO, et
égales chacune à la croilième proportionnelle a 4 AD, et
a AB; SCaVOIF, FC du cOre oppose au point C, X S7du
même core. Cela Fait, on décrira deux differences Pa-
raboles done l’une aura pour diametre GF eC POUr OF-
donnée sA, de l’aurre pour diametre TS e pOur Or
donnée S A; je dis que leurs portions indetinies MI AGOMI
Ceront le lieu complet de tous les poines cherches M.
Car BO Ou BR = =, e PAFEaNE AF Ou = AO = = b.
b0
a
B5
; e de même A5 ou = AR -
. DOnC _C.
c
=b
On PeuE remarquer en passane que si l’angle donné,
qui se meut par lon lommet le lono de la lione DE, ccoie
égal au complemene à deux droirs de l’anole CFM, Cans
rien changer au reste; c’est à dire que les points MI tom-
BaSenE sur la ligne F ML prolongée de l’autre core du
poine P: le lieu de tous les points M seroit alors les por-
tions restantes des deux Paraboles que l’on vient de de-
exire.
Si les poines A, B, C, Écoient seues differemmene
de ce qu’on les suppole dans certe tigure, à laquelle on
 accommodé Le FRIIOMMEMENE; On arriveroIc tOujOUS

## Folio 259 — 884859711:0309
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DES PROBLEMES ENDETERMLHES. 259
comme l’on viene de faire à deux équations qui ne pour-
roient érre differentes des precedentes que par quel-
ques signes, et donc les lieux seroiene par consequent
des portions de Paraboles que l’on décriroit arec la
même Facilite.
Le Comte Roser de Vintimille a propose ce Problème
avec quelques autres dans le Tournal de Parme du mois
d’Arril de l’année 1693. Ce qui a donné occation au Pere
Saguerius de Faire imprimer un perie lirre a Milan, dans
lequel il aroue qu’il n’a pû reloudre celui-ci, quoiqu’il
Fasse asfez paroitre par la Solution des autres qu’il est
Fort verlé dans la Ceomerrie.
E X E M PLE V.
352. Ore ligne droire indétinie AP étant donnée F1C, 19Y.
de position, arec deux poines fixes A, C, l’un suF Cetre
droice, ex l’aurre au delors; loir décrite une Parabole
AAI qui aic pour parametre une lione quelconque, et
pour axe la ligne +P donc l’origine Poit en A; e Toit
menée du poine donné C une perpendiculaire CM à
certe Parabole. On demande le lieu de tous les points
MT, donc il est vilible qu’il y a une infinice; puilque
chanseant concinuellement de paramerres, on peut dé.
erire une infiniré de Paraboles differentes, qui ayene
coutes pour axes la même droire indétinie aP, done
Porigine oit coujours en A.
Ayant mené par le point donné C la perpendiculaire
CB TuF AP, e par un des poines cherchés M que l’on
resarde comme donné, les droites MIP, MIR, paralle.
les a BC, AP, e la tangente MVT; on nommera les
données AB, a; BC, b; e les inconnues e indeter.
mines AP, X; P ML, y; ce qui donne CK = b - y
MIK = a - L x. Ox par la condicion du Problème, l’an-
sle CMTZ est droit; e par consequene lestriangles rec.
cangles ZPHL, CK MI, seron semblables; car si l’on ore
des ansles droies CM Z, K MP, le même anele KMZ.
R K i)

## Folio 260 — 884859711:0310
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260
LEVRE TIOTYTE M F.
les rectes CMIR, Z MI P, SEKONEeGAUZ. DONCZDF (2X)
PNL (Y):: CK (b - y). RN (a - F X) d’ou l’on forme
en mulcipliane les extremes et les moyens cette équa-
tion yy = by - F2 ∞ x - F2a X =-0, done le lieu qui est
Arc. 322. celui qu’on demande est F une Ellipse que l’on construit
Art. 324. CM CCTTC TOTTC.
Ayant mené AD = ==b perpendiculaire à A~ _ du
coré de PMI, e riré la droire indéfinie DL parallele à
AP, On prendra lur cecrelione la parrie DF- - = a du COre
oppolé à PMI; e de part X d’autre du point E les parries
FF, EC égales chacune à V = a a - + = bb. Ensuice de
l’axC FO qui ait pour paramerre une ligne OFZ double
de FG, on décrira une Ellipse. Je dis que la Portion
AMIO rentermée dans l’anole PAD est le lieu de l’é-
quation precedente; e par consequene de tous les points
Cherches MI, lorlqu’ils combene dans cet anglc.
Cax prolonseane PMs, s’il est necellaire, julqu’à ce
qu’elle FeRCONEre l’aXC RB en L, on aura l’ordonnée
MF = = Eb = Y, _ PL = = Ea- F X, _ Par la prOpriCtE
de lFIlipse, FLXZB OU FF =EL (Ebb = a X = X X).
TN (= bb - by - Fry):: F6. GFF: : 1. 2; ce qui don-
ne en mulcipliant les extremes _ les morens = b b =- 2 a X
2 X X = = = bb - by - F y Y. DONC _C.
Si l’on suppole à present que les poines ML combene
dans les angles B ID, B AR, on trouvera coujours la
même équation que ci- dessus, tant par la condicion du
Probleme que par la proprieté de l’Elliple; en obser-
vant de taire AP =- = X, _ PNI = = - y, lorque l0
poine P combe de l’autre cocé de l’origine A, e PMI,
de l’autre coré de la lione AP. D’ou il suit que les pOr-
cions de l’Elliple, que l’on rient de décrire, rentermées
dans ces angles lone le lieu de ces points.
On doir remarguer qu’il est impostible qu’aucun des
poines cherchés M, tombe dans l’angle PAR, oppole
au Commet à l’angle B AD dans lequel est lirué le poine
donné C, d’ou doirene parrir toutes les perpendiculai
res aux Paraboles. Car si d’un poine quelconque pris
Art. 22. 

## Folio 261 — 884859711:0311
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DES PROBLEMES INDE SERMEHES.
261
dans cet anole P A R, On mene des droites cOmmme MP,
MT, perpendiculaires Tur AP X CNT, il est visible
que les poines P, Z, comberont du même core du poine
A, X par consequent que cerre lione WIZ ne POUrra
eere eangence en M comme le demande la queltion.
Si l’on suppole que AP (X) derienne nulle ou ZCrO,
l’équation precedente py - by - F 2X X - + a x =0 (C
changera en celle-ci py = by ==0, done les deux raci
nes LOnE Y = =0, e y = b; ce qui FaIE VOIT Qu’en TITANE
AO parallele e égale à BC, le lieu des points cherches
M Pallera par les deux poines 4, O. On prouvera de
mêine en suppolane que le poine P coribe de l’autre core
de l’origine A, e Failane P ( = x) = A B(a), que
ce même lieu passera par les points B, C; de Porre que
l’Alliple doit étre décrire autour du rectangle ABCO.
Ceci donne lieu à une nourelle construction que voici.
Soit formé le rectanole ABCO, e loit décrite  au- + Art. 176.
cour de ce rectansle une Ellipse, donc l’axe FO Paral.
Tele aux coces AB, OC, loit a PON paTAMCErE GTF, COm
mes est a 2. Il est crident qu’elle sera le lieu cherché.
R E N A R QVF. I.
353. Sr la nature des lignes courbesrelles que AMI
éroit exprimée par l’équation generale q==xm an-m (lC5
lettres m, n. marquene les expolans des puistances de y
X x cels qu’ils puissent étre) qui renterme  non seule- + Art. 229.
menc la P’acabule ordinaire, mais encore celles de tous
les degres à Pintini; On aurOit Z P= ( ~). P ML (Y): : + Ar. 237.
CK (b - y). KM (a - F X): ce qui donne yy - by - + = X X
1
a x =0, dont le lieu qui est celui qu’on cherctie,
est une Ellipse que l’on construira selon l’article 322. ou
bien selon l’article 176. Si l’on obserre que cerre Ellipse
doir pasler autour du rectangle donné ABCO, e que
COn aXC FO Parallele auX COTeS AB, OC, doit étre
R K iii

## Folio 262 — 884859711:0312
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262
L TY RE TID F TE F N F.
à Con parametre CZL en la raison donnée de m d n.
R F At A R OV F II.
354. St le centre F de l’Ellipse qu’on rient de décri-
re coriboit sur l’origine A de l’axe commun AP de TOu-
ces les Paraboles LM; ex l’axe FO de l’Fllipse sur l’axc
AP des Paraboles: Cette Fllipse COuperoit tOuteS CeS
differentes Paraboles à angles droits. On peut énoncer
ce Theorème de la maniere qui luit.
Soient une infinité de Paraboles comme AM de cet
deore qu’on roudra, qui ayenEtouteS Pour axe commun
la mêmelione AP, dont l’origine est toujours au même
Poine A; et loit une Flliple qui aic pour centre le poine
, _E dONE P’aXC FO GtuC (UF AP POIE à PON PaTamCErC,
comme le nombre mexpolane de la puissance de AP (X)
est aunombren expolane de la puistance de PMI (Y), dans
l’équation generale p =xm an qui exprime la nature
des Paraboles AMI. Je dis que cerre Flliple couperarou-
ces ces Paraboles à angles droits.
Par le point M, ou elle coupe celle de ces Paraboles
qu’on roudra, ayant mene la tansente MT a cetre Para-
Bole, ee MS perpendiculaire à certe cangente; il est que.
Sion de prourer que MScouche l’Ellipse au pointMI. Pour
en venir a bouc, on tirera la perpendiculaire M P Tux
l’axc, e ayant nommé les indecerminées AP, X; PNV, V3
e la donnée FG, 21; on aura par la proprieté de l’FI-
lipsC FPX PC (+F = X X). PML (Vy):: m. n, XL PaFEanE
myy =nt =nxx. Or à cause des angles droits ZPM,
AH. 257. ZMLS, il vienE Z ∞ F (= X). P ML (Y):: ~ M (Y)
P5=
un ec parconsequene 15Ou AP- tPS- nux. = myy
my
no
 = en mectant pour myy la raleur que l’on vient de
EFOUVEF nI nXX. D’Ou l’On voit que AP. AF:: AF. A5,
et qu’ainsi la ligne MLS touche l’Ellipse au point M.
Ce qu’il falloit c
F 16, 792.
FLG0 792
Art. 57.

## Folio 263 — 884859711:0313
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DES, PROBL EMES INDE TERMENES. 263
E Z E N B E F TT.
355. SOTEnx imaginées une infinité d’Fsyperboles F2O, 193.
qui avent toutes pour Alympeores communes lesmêmes
droires AP, A0, données de polition, qui font ener elles
un anole droit PAO; e Coient conceues partir d’un
point donné C une intinité de perpendiculaires comme
CMt a ces FTyperboles. On demande le lieu de tous les
poines ar, oi chacune des droites CM renconere PFIY-
perbole à laquelle elle est perpendiculaire.
Ayanc ciré les mêmes lignes que dans l’exemple pré.
cedene, et les arant nommées par les mêmes leteres
on arrivera de même a cerre proporcion ZD = (X). ~ Art. 107.
PAT (Y):: CK (b - y). X M (a = X); ce qui donne cet-
ce equation yy = by = x X - t a N = 0, dont voici  le F Art. 330.
lieu.
AyanE pris Tur l’ACympEOre LO parallele à PNI, la
parcie AD = =b, e mené D Z parallele a AP; On
prendra sur cerce lione la parcie DF = - Ea du cOcC de
PMI, e de ParE ex d’autre du Poine P, les PartieS PE F,
FO, égales chacune a V = a a - = bb ou V = bb - 2 a a se-
lon que a est plus grand ou moindre que b. On décri-
ra enluire de la ligne FG, comme premier axe dans le
premier cas, e comme lecond dans le deuxième, deux
EIrperboles opposées équilateres. Je dis que leurs por-
cions rentermées dans l’angle PIO, seronc le lieu de
cerre équation, et par consequent celui de tous lespoints
cherches NI.
Car prolongeant P ML (s’il est necessaire) jusqu’à ce
qu’elle rencontre l’axe FG, en Z, on aura l’ordonnée
On 335
NIL = Zb - y, X la PartIC F Z = X - = a; _ Par la + Art. 127.
Propriete des Fyperboles équilateres LL + P F
(X X = a X - 1. = bb) = Z AI (= bb - by- + yy). DOnCRC.
Si a
la construction precedenre n’a plus de lieu,
car la valeur du demi azC FF Ou EO deviene nuIIC. FE
comme l’equation precedence deriene celle ci yy - ay
X X - Y a X = 0, O1 yy - ay - + = a a =- x   a X- 1  aa

## Folio 264 — 884859711:0314
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264
PEVRE TIDEETF MF.
de laquelle extrarane de part e d’autre la racine quar-
rec, il viene y = Ea = - x = = a On y = X, _ E a  y = ∞
= = a Ou y = = a = x; il s’enluie que Si l’on achere lC reC-
F10, 194. canole LBCO, et qu’on rire les deux diagonales AC,
BO: elles seront le lieu de tous les poines cherchés M.
Car la diagonale LC est le lieu de la premiere équation
y =x, e l’aurre diagonale BO est le lieu de la deuxié-
mCy = = a = X.
R E A A R O V F I.
356. Sc la Bature des liones courbes qui ont pour
ACymptoces les droites AB, AO, étoit exprimée par
F+6. 193. L’équation generale  g=a n quirenterme= les FIr-
Arr. 229. Perboles de tous les degres à l’infini, on auroit Z7
Art. 287. ( X). PM (y):: CK (b - y). K ML (4. = X); ce qui
donne ry - by - = X X - + = a x =- 0, donc le lieu se con-
Ar 330. Sruie = ainsI.
Ayane crouré le poine P comme dans l’exemple, on
prendra Tur D L de ParF et d’autre du point E, les Par-
ties FF, FO, égales chacune à V = a a = = bb ou
m bb - = aas selon que naa est plus grand ou moin-
dre que mbb. Ensuire de la ligne FC comme premier
axc dans le premier cas, e comme second dans le
deuxième, qui soit à son parametre en la raison donnée
de man, on décrira deux FIyperboles opposées: leurs
portions rentermées dans l’ansse O A B seront le lieu
qu’on cherche.
Si a, b:: rm. Vn, l’équationgy by - = XX - + = aX = a
F1C. 194. Se chanse en celle-ci gy = aym = i X X - + = a X = 0
m
As  X X = = aX - + naa
am de laquel
le extrarane de pare et d’aurre la racine quarrée, il
viene

## Folio 265 — 884859711:0315
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e
DES PROBLEMES ANDEFERMENÉS. 265
vienE y - = a V = = xV 
in =  aY
EaV = - y = = V = = = a V   Ou y = a V = = x V =. Doit
il suie que ( l’on achere le rectansle ABCO, et qu’on
cire les diagonales BO, AC; ces deux lignes droires
seront le lieu de tous les poines cherches M: car la dia-
sonale AC est le lieu de la premiere équarion y =x V
e l’autre diagonale B0 le lieu de la seconde =aV
X Vn
On prouvera de même que dansVEilipse, que les HTy - FLC. 193.
perboles oppolées qui sont le lieu cherché, doivent etre
décrites autour du rectangle donné ABCO; de comme
l’axe FC, parallele aUX COceS AB, OC, doit étre à
son paramerre en la raison donnée de man, il s’enluie
qu’on peur décrire, s l’on veur, ces Hyperboles par le
moyen de l’article 176. (L IV. 4.)
R E N A R OD E TI.
357. Sr le centre F de lFyperbole BFC combOIL FXC. 193.
Tur le poine A, e Con axe FO lur la ligne AP; je dis
que cetre Pyperbole couperoit à angles droirs toures
celles qui one pour Alymptoces les droices AP, AO;
ce qu’on peuc énoncer ainsi.
Soiene une intinicé d’HIyperboles de vel degré qu’on F1∞. 195.
voudra, qui ayenE Eoutes pour Alympeoces communes
les mêmes droites AP, A0, qui font enerelles un an-
sle droit; et loit une LIrperbole ordinaire F M qui aiC 
pour centre le poine A, et donc le premier axe FO licue
lux AP, soit à Conparametre comme le nombrem expo-
lanc de la puissance de AP (x) est au nombre n expOLAnE
de la puistance de P ML (y) dans l’équation generale xm
am in qui exprime la nacure des FIyperboles MI AM.
se dis que l’Eyperbole FM coupe a ansles droirs toures
ces difterentes Hyperboles.

## Folio 266 — 884859711:0316
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266
n LFYRE IIDTFTEMES
Aranc mene par le poine M ou elle coupe celle de
ces FIyperboles qu’on roudra, une TaNSENEE MIZ a ceE
re FTyperbole, e une perpendiculaire MIS a Cecte tan
sence; il s’agit de prourer que l’angle 7MIS lera droie.
Pour le Faire, on tirera M P perpendiculaire Cur l’A-
Tmpeore AP; X ayant nommé les indéterminés AP, X3
PM, Y; X la donnée FO, 2F; on aura par la propriete
de l’EIyperbole PM CCLC PFOPOrTION F P X PO (XX It).
PM (yy):: M. n, eE PATEAHE Mgy = n X X =nEF. OF d
Art. 237. Caule des ansles drois Z P M, Z MS, il viene Z P F ( X).
PM (y):: PML (y). PS = my
nu. EC Pax COn(eqUeNE AS
Ou AP = P S= nu mgy = en MCEEaHE pOuF myy l2
MX
valeur qu’on viene de TroureE nxx=n+t. D’ou l’on
voit que AS est croisième proportionnelle à AP, AF;
ArT. 121. e qu’ainsi la hone MLS touche lFyperbole FML au
DOIVE M. Ce qu’il falloit démonirer.
EX EH P C E VII.
1b. 190. 11c 358. L a Parabole B AC érane donnée, on deman.
de le lieu de tous les poines MI, cels qu’ayane mené de
ichacum de ces poines, deux cangentes M B, MI C, a CeF
ce Parabole; l’angle B MLC qu’elles comprennene lou
toujours égal à un angle donné.
Il peur arrirer que l’angle donné B M C Toit aigu,
obcus ou deoit; ce qui Faic crois differens cas.
a Premiet cas. Lorsque l’angle donné B MIC eAt aigu.
Arr. 260. RYan mencr l’axe.  D de la Parabole donnée BAC,
qui rencontre lescangenres MIB, NIC, auX POInLS P,6,
on cirera lur cec axe des poines rouchans B, C, e du
poine de concours M, les perpendiculaires BD, CF,
ATP. FC aYANE menC AL N qui Passe sur l’axe A D Pat-
sle FNM ésal a l’ansle FMO complement à deux
droits de l’anele donné. B isC, on nonimera les incon-
nues a indecerminées AP, Xi P ML3γ; AF, 5i A6, t:

## Folio  -  — 884859711:0317
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et
89
M
se e
188.
c
e
Planche 20. pag. 266.
le

## Folio  -  — 884859711:0318
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tttit
t
i
Mtit
tttttas
sii
Attttit
tsatttt
eeaeeeee
eeeeee
e
eee eeee
Loion. Mar9. 155, [3
eeeeeeeeeeeeeeeeea
eeeeeee
GOTTFRIED WILHELM LEIBHIZ BIBLIOTH
NIEDERSALHSISLHE LANDESBIBLIOTHEK

## Folio 267 — 884859711:0319
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DES PRODEEMES ANDEFERMTNES. 267
_ le parametre de l’axc AD, scavoir, AV, a; lequel
est donné, puisque la Parabole B AC est donnéc. Ccla
posé; à cause du triangle rectangle FP AL, on aura le
Quarré FA ==55 - 25 X - F X X - F py, lequel CEANE di-
vise Par FC (5 - 7) donnera  - 2s~ - + u + gy = F H 3
caule des triansles semblables FG AT, F MI N; e PaF-
TANE DN OU FD = FN = ~ L cx -  . Je cherche
a present par le moyen de la Parabole donnée BAC
des valeurs de s - F t, St, e s - t PaF FAPPOFE a X e Y.
atin qu’étane substicuées, dans la valeur de PN, CetrC
lione ne renterme plus dans son exprection d’autres in-
connues que x e v. Cc que je Fais ainsi.
Les criangles semblables F P MV, FDB; XCPMI,
GEC, dOnmeNEF P (5 = X). PML (Y):: FD= (25). BD (V a5). = Art. 22.
EE OP (X - +). PAE (Y):: GF (2+). CF (V at). D’Ou jC + Arr. 7.
Forme ces deux equations 55 -2 ∞5 - V 5 - + X X = 0,
X 1t- 2X + - +3γ + = F X X = = 0; cest à dire (en FaITANE
p = 2X - + 2 pour Caciliter le calcul) ss p s - L X X = 0,
X+1 - p1 - F X ∞ = 0. Je recranche la seconde équation
de la premiere, eej21 5s -= 1t - p5- t pt = 0 qui CTaNE
divisée Dar s = + donne s - L + = p; _E DAPEANES =- p - +
_ 55 = = p5 - +5 = p5 = X X a cause de la premiere equa-
cion, d’ou je tire st = x x. Si l’on OrC 4 Xx valeur de
45+ de pp valeur de 55 - F 2+5 - FFF, ON FOrMeTA CnFn
cette eoalice 55 - 25+ - F +Y = pp = 4XX, _E CXEFAYANE
de part e d’aurre la racine quarrée, On auras- + =
SeP =qu_ = 1 s ou + B en Mettant pour P la valeur 2∞
+ 437
Si l’on met à present à la place de s - ++, S+, _ 5 -1,
leurs valeurs 2x - p 1, XX, de 13 sar + y7
Aa f. 1 X - E - 2N- 9.
5t
On crouvera PN
Auy-ay
avant xi. dE 
dans

## Folio 268 — 884859711:0320
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268
LZVRE TIOFTLF M P.
P’on prend sur l’axe la partie NO égale au ParamEERO
AV (a), e qu’on cire oY parallele à PML, et qui ren-
contre en 7 la droice M1 N prolongée autane qu’il Pexa
necellaire; il est visible que la ligne o7 sera donnée,
puisque dans le criansle rectangle VOY, l’angle ONZ
qui est esal à l’anole donné B AIC est donné, et que
de plus le coré N o qui est cgal au paramerre AY de
Paxe de la Parabole, eA aussi donné. Soit donc la don-
néc 9Z =b, et a caule destriansles semblables N P M,
NOT, on aura cette proportion, NP
4Xy - ay
4Vyy + ax
PAL(9):: a. b, _E PAxEaNE 4 aVyy - + a x = 4b 6= ab,
c’elt à dire en deane les incommenlurables py - = X X
+ a X  Y C
Arr. 330. Qu’on cherche) se construit  en certe Corte.
Soit prise sur l’axe AD de la Parabole, la parcie ATI
4+  du cote deP M; e de part et d’aurre du poine
26b
e
loit décrice du premier axe JR qui soit à lon parame-
ErC KZ comme a a est à bb, une IIyperbOlC K NI. Je
dis qu’elle sera le lieu de l’équation que l’on rient de
ErOuver.
CaFTTP =X = = a = = de par la proprieté de lFIy-
perbole LED =FIK (X X = = a X = 7 ~ + = a a). PM
(yy):: TK. KZ:: a a. bb; ce qui donne, en mulcipliant
les exrremes ex les moyens, l’equation precedente.
II est à propos de remarquer que dans ce Cas F V
sera coujours moindre que FP; puisque l’ansle FNMI.
qu’on a pris égal au complemene à deux droirs de l’an-
ele donné, est obtus. C’est pourquoi
4xy = a9
valeur de
FP = F N doit erre politire; et par consequene x doit
coujours surpasser ? a. D’oit l’on roit que quoiqu’il y aic
 332.

## Folio 269 — 884859711:0321
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DES PROBLEMES INDETERMENES. 269
une portion de lIIyperbole oppolée à K MI qui Coirren-
Fermée dans l’ansle L Ar Fair par la ligne AP e PaF
la droite Ar menée parallelement à PM e du même
Coté, elle ne peur pas neanmoins faire parcie du lieu des
Poines MI; Parce que AZ erant moindre que La, l’indé.
terminée AP qui seroir alors moindre que 1Z, seroit
a plus force raison moindre que = a
Second cas. Lorsque l’angle donné eAt obcus. Fn (up.
polane que les points Ms combene dans l’angle PAY,
ec par un railonnemene lemblable à celui du premier cas,
on crouvera la même équation; e par consequene la
construction du lieu demeurera la même. Nais il Faue
obserrer dans ce second cas que FN sera plus grande
que FP, e qu’ainsi la valeur
+uu= ay
qugy f av de FP = FN de-
viendra negatire; d’ou il suit que x sera toujours moin-
dre que : a, e partant que le lieu cherché lera alors la
portion de l’IIrperbole qui s’érend du même coré de la
Parabole, laquelle se croure renfermée dans cer anele
P AV. Ec comme en suppolane que les poines MI LombenE
dans l’anole D AV, on crouve encore la même equa
tion, il s’ensuit que cerre yperbole enciere sera le lieu
de tous les poines cherchés M.
De là il est évidene que si une Flyperbole X ML est le
lieu de cous les poines Ms lorsque l’ansle donné BMC
est aieu, son oppolée lera le lieu de tous ces poineslori.
que l’ansle donné sera égal au complement d deux droits
de l’ansle B at C, Parce qu’alorsles liones données a e b
qui décerminene la construction des Iyperboles demeu-
reve les mêmes.
Troisième cas. Lorlque l’ansle donne est droir. II est F 16. 196.
clair que F N est alors égale à F P, d qu’ainsi la valeur 197.
+xyu
asgys + au de F P = F N Sera nuIlC Ou ZCrO. D’OiL P’ON
voic = que A P’on prend sur l’axc A D prolonge vers IOn + Art. 306.
origine A la parcie 1P = = a, ex qu’on luimene la per-
pendiculaire in detinie PM; cerce liene qui n’ett aurre

## Folio 270 — 884859711:0322
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70
LFV R F IIOTFYE M F.
que la directrice comme l’on peur roir dans les défini-
rions de la Parabole, sera le lieu cherché.
C OR OE L A Y R F.
F10, 196, 359. Sr lon mene le demi second aXCFYO, e qu’on
cire l’hypochenule XO; les criansles rectangles XIIO.
NOT seront lemblables: car puisque le second axc cAt
moyen proportionnel enere le premier JR et Con para-
MCErE RZ, il s’ensuIE que RFT. TIO:: IK. KF:: a a.
bb, et qu’ainAXFT. TIO:: N O (a). O7 (6). L’angle
FTKO (qui selon la détinition ir. du 3. Livre, est égal
à la moicié de l’angle fait par les Asympeotes de PFIy
perbole KM) sera donc égal à l’angle ONZ, c’est à
dire, à l’angle donné B AEC; e on aura N O(a). OZ
(b):: XZZ (aavaa- + 66
260 =). 27O = asaa- F bb
NZ(Y aa- +b6):: XZY (aavaa +00
2b6
2bb
OE ( P’on pose l’hrpochemule RO du criangle rectansle
RFFO Fait par les deux demi aZCS FYK, TTO, Tur le
Premier axC LR depuis lC CCHETC FZ, en R e S; il CAt
Arc. 74. Clair = que ces deux poines seront les deux Foyers de
lFIrperbole K MI et de Pon opposée; e que R A == = a,
Puisque TYR - 23 + 166
26b _ ATT = = a- + . Dou l’On
voit que le Forer _ de PFIyperbole XM es encore le
Dof. 3. 4. 5. Foyer  de la Parabole BAC, et que Sa (a tabt
 2C. 196
77O (avac F bB):: 7Z0 (avaa bb.
mulcipliane les extrèmes ex les moyens, on forme le me-
me produit. Ce qui donne lieu à ce Theorème.
Si tur la distance SR des Fovers d’une Fyperbole
XMI, on prend du coré de S, la partie R A croisième
proportionnelle à cerre distance s’x, e à la moitié F7O
de lon second axc; et qu’arane décrit  une Parabole
B +C qui dic pour toyer le poine R, et pour axe la li-
97:
Art. 4

## Folio 271 — 884859711:0323
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DES PROBLEMES ENDETERMINES.
272
dne R donc P’origine Poic en A, on tire d’un poine
quelconque M de l’EIyperbole KMI deux cangentes
MB, NIC, a cerre Parabole: je dis que l’ansle B MC
qu’elles comprennent, sera coujours égal à la moirié de
l’avole fair par les Alymproces; e que si l’on prend le
point at sur l’Fyperbole oppolée, l’ansle compris par
les cansentes, sera toujours égal au complemene à deux
droirs de la moirié de l’ansle tair par les A(YPTOTES.
E Z E M P L F VITI.
360. re ligne droire indétinie B A P etanE don F1C. 198.
néc de position sur un plan avec deux points fIXeS A, D.
l’un sur cerre ligne de l’aurre au dehors; on demande le
lieu de eous les poines M, done la propriece loit celle
qu’ayane mené de chacun de ces poines aux deux points
fXCS A, D, les droites MI A, ATD: la ligne AM COic
coujours égale à la partie MY F. de l’autre droite D MI.
prise enere le poine as ex le Poine P ou elle TeNCONEre
la lione MP.
Du poine donné D e du poine Mr que l’on suppole
etre l’un des poines cherchés, ayan mené les perpendi
culaires BD, MI P, sur la ligne AP, on nommera les
données AB, 2a; BD, 2b; e les inconnués ec indé-
cerminées AP, X; P ML, y: _C On aur2 AP = PP; puil-
que (hyp.) AM ==MIF. Or lescriangles lemblables EBD,
F PAI, donnenE E B Ou AF - AB (2X - 2a). BD
(26):: B P (X). P ML (y). En mulcipliane donc les
extremes de les moyens, on tormera certe, équation
xy= ay =bx, qui renterme la condicion marquée dans
le Problème, et donc le lieu qui est  une Eyperbole  Arr. 337.
equilacere entre les Alymprores se construit ain fI.
Soic cirée la ligne LD que l’on dirilera par le milieu
en C, par ou l’on menera les droites CF, C6, l’une pa
callele e l’aurre perpendicutaire à A~: Poiene décrites
enere les AsymptoreSCF, CG, indetiniment prolongées
de part ee d’autre du Poine C, par les poins D, A,
+ Art. 130.
131.

## Folio 272 — 884859711:0324
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000324.jpg
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272
LIV R E TIDEFLEMF.
les denx FIyperboles oppolées DMI, A ML, qui Pone
équilateres. Je dis qu’elles seront le lieu complet de cous
les poines cherches MI.
Car les Alimptores CF, CG, dirisent les droites AB,
BD en deux parties érales auZ POInES L, R, puisque
AD est dirilée par le milieu en C; ee partane lorsque
les poines P combene sur AB prolongée indétiniment
du coré de B, comme l’on riene de luppoler en Faisane
le calcul, la ligne PZ OU CFZ == X -- a, TIAI = y -b;
art. 100. X par la propriecé  de lIIyperbole CTTXTY AI
(xy = ay = b∞ = F ab) = =C KXK D (a b): ce qui donne
Xy - ay = bX.
Si l’on suppole à presene que les poines P combene sue
B A indetiniment prolongée du coré de L, ou sur la
pareie décerminée AB; On FrOuvera coujours (en ob.
Terrane de taire AP = - = X, e PMI =-- p lorsqu’ils
combene de l’aurre coré du poine  e de la ligne AP)
la même équarion xy = ay == bx, tane par la condirion
marquée dans le Problème que par la proprieté de
PHyperbole AM ou D ML. DOnC _C.
C OROLL A TRE.
36L. DE. E a il est érident que les parties MIR,
MTS des deux droices AMI, DMI, comprises entre le
Point Msec l’une ou l’autre des ACympeoces, lont égales
CnEF eIleS: C aF V. LOrIqUe l’ASYMIPEOTC, Comme CF, est
Parallele à la ligne A, l’angle RSM estégal à l’angle
AF. MT, X l’ansle SR M à l’angle NI AF. 2. LOrIque
P’ACrmpeore, comme CO, est perpendiculaire à AP.
l’ansle RS as sera le complemene d̀ un droie de l’angle
AFML à cause du crianole rectanole SL F, X de même
l’angle SR NI ou Con oppose au iommet AR L eA lC
complemene à un droie de l’angle L AMs à caule du
erianole rectanole R A Z. Donc puisque les anoles E AMI,
AFAI, LOnE CTaUX, il s’ensuic que le triano le R AI STCTA
iloscelle, ex qu’ainsi les cores sit R, ML S, SCTONE éTaUX
CMEF CUX.
Def. 16.

## Folio 273 — 884859711:0325
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000325.jpg
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DES PRODEEMES ENDETERMEMES.
273
enEreux. Ce Corollaire nous Fournie le Fheorème sui-
vanC.
Si l’on mene d’un point quelconque as d’une FIyper-
bole éguilarere, deux droites NVD, MI A, auX extremi-
tes d’un de ses premiers diametres AD, lelquelles ren-
COnEreNE l’une Ou l’aUErC A(YMPEOTC auX POINES, R, S: je
dis que les parries MIR, MS, de ces deux droites le-
ront égales entrelles.
E X E M P L F IX.
362. D EDX cercles EOF, B N O, dont leS CeNEreS F1G, 199.
TOnEC, 4, Ccan donnes, et ayant mene par un poine quel-
conque C du cercle FOF une cangenre indetinie ONO
qui coupe l’autre cerele BNO en deux poines N, O, par
lesquels loient rirces les tangentes N AL, O M; on de-
mande le lieu de tous les points de concours MI.
Ayant rire MI P perpendiculaire sur C A, qui passe
par les centres C, A, des cercles donnés; on menera les
droites CO, AnI, qui serone paralleles, puisque l’une
e l’auere est perpendiculaire sur la même droire 6O
qu’elleS FeHCONErenE aux poines G, 9; e on nommera
les données AB Ou AO, a; CF Ou CF ou CO, b;
CA, c; e les inconnues e indérerminées AP, X 3
PM, y. Cela Faic, les criansles rectanoles semblables
AOM, AOO, dOnMeTONE A M (V XX- tyy). AO(a)::
AO (a). AG
sex-Lgy. EE menanE C FY Parallele d
60, qui rencontre en ZT, Ml A prolonsée, s’il estnecessai
re, on dura à cause des trianoles rectanoles sembla-
bles MIAP, CAFY, cette proportion: P A (X). AMI
(VXX - Fyy):: ATZ OuCO Ae (b-
Sux +gy). AC (15
ce qui donne br X x. F yy = aa- F Cx, c’est a dire, en
Orane les incommensurables, l’équation yy -+ bb-
2aac
bb
16 =o, dont le lieu est  une Parabole, une n Art. 345.
Elliple, ou une Fyperbole selon que C F (b) est es ale,
Mm

## Folio 274 — 884859711:0326
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274
L F V R B TIOTTF E M F.
plus grande, ou moindre que C  (c). Voici la constru
ction du dernier cas.
Soic prise sur la ligne AP la pareie AR 
aac
cc bB du
coré oppolé à PM; ex de Parr e d’aurre du poine R les
aab
Parties RY, R K, égales chacune d  ; de loit décri
Ee du preMIEF aXC LK Qui AIE POUF PAFAMEERC RY = 2aa
une Fyperbole. Je dis que la portion indetinie D II
rentermée dans l’anole P AD Fair par la lione AP e
par la droice AD menée parallelement à PML X du
même coté, sera le lieu de certe équation.
Car par la propriete de l’FIyperbole, X  =R I
at F raacK
(raab
12aar
ca - bb = F x X). PM Cgy) :: ZK ca- 60). X Z 
ce qui redonne l’équation precedente.
Si l’on suppose à present que les poines M combene
dans l’angle X AD qui est à coré de l’angle P AD, OM
crouvera encore (en Failant AP = =- = x) la même équa
tion; d’ou il suit que la portion dérerminée D de lFJy-
perbole LMI, avec la moirié entiere de lTIyperbole
qui lui est opposée sera le lieu de ces points, et
qu’ainsi ces deux IIyverboles oppolées compolene le
lieu complet de tous les poines cherchés MI: ou l’on
doit oblerver que la portion SYY rentermée dans le
cercle B NO est inurile, puisqu’aucun des points de
concours MI des deux tangentes NO, Osl, d̀ ce cer-
cle, ne peurene comber au dedans.
aac
II est d PFOPOS de FEMAEGUEF que R A a - bb
=V RR - + =PKXR L, COMMC P’ON VOIE eN METLANE
pour ces lignes leurs raleurs analyriques; et qu’ainse
puisque le rectangle YX X K C raur le quarré de la moi-
eié du second axe, le poine A lera  l’un des Foyers de
l’Fyperbole LM. Or puitque AY ou AR - RL
aac- aab
aa
ce = bb  c. L b de AK = AR - + RR = aac + aab
cc = bb
, il s’ersuit qu’on peur abreger la construction
Arb. 740

## Folio 275 — 884859711:0327
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DES PROBLEMES INDETERMLNES. 275
précedente en cette POrte.
Soient priles sur la ligne AC du coré de C, les parties
AY, AK, troisèmes proporrionnelles a AF(c= F b)
AB(a), _ a AF (C = b), AB (a); e Coiene décrites
du premier axe LK, et du Forer A deux IIyperboles + Arit 76.
opposées. II est éridene qu’elles seront le lieu de tous
des poines cherchés MI.
Torique CF (b) est plus grande que C A (c), la con-
Struction de l’Ellipse qui est le lieu des poines cherchés
MI, se Fera de la même maniere que pour lFIyperbole,
en oblerrane de prendre la partie AK de l’autre cote
du poine A Par FaPPOrE au point C. Et entin lorsque
CF (b) =CA (C), il n’y aura qu’a prendre surla ligne FrO. 200:
AC du coré de C, la parcie AY croilième proportion-
nelle à AF, AB, e décrire ensuire une Parabole qui
aic pour foyer le point L, et pour axe la ligne LA dont
l’origine loit en L.
GOROLLATRE T. POUR LELETPSE _E LES
TIIFD ERBOLES OPDOSLES.
363. DE LA il est ćridenc que Si de l’un des FOVCrS FYC, 195.
A d’une Allipse ou de deux HIyperboles oppolćes, donc
de premier axe cst JK, on décrit un cercle quelconque
BNO; X qu’ayant pris lurcet aze les parties AP, AF,
croisièmes proportionnelles a AK, AB, X 2 AT, AB,
(SçarOIr AF du COTC du POInE R, _ AF du cOrC
du poinc Y), on décrive du diametre P.F un cercle
EGF: il est éridene, dis je, que si l’on cire d’un poine
quelconque M de la Section, deux tangentes MI N.
AO, au cercle B N O, la ligne O N qui joine les points
couchans érane prolonsée, s’il est necellaire, couchera
coujours l’aurre cercle EG F.
COROLLAFRE II. POVR LA PARABOLE.
364. lc suic encore de la resolurion de ce Problème, F10. 200.
que Si du Foyer A d’une Parabole LM donc l’aXC L A 2
Mt m ii

## Folio 276 — 884859711:0328
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276
LTVR E FTOTFTEMF.
Con origine en L, on décrit un cercle quelconque BNO3
e qu’arant pris lur l’axe du coré de lon origine, la par-
cic AF croisième proportionnelle à AL, AB, on decri-
ve un cercle AGF du diametre AF; e qu’entin l’on
cire d’un poine quelconque M de la Parabole deux tan-
gentes AI N, MIO, au cercle B NO: la liene NO qui
joine les poines couchans, crant prolongée, s’il est ne-
cellaire, couchera coujours le cercle AOF en un poine C.
F Z E NA P EF X.
365. Dre lione droire indétinie AD erant donnée
lur un plan, arec un poine Axe shors d’elle; crouver
le lieu de cous les poines M, donc la propriete loic celle
qu’ayane mené de chacun de ces poines une perpendicu-
laixe T~ Tur AP, e au poine s’une ligne droire MIF;
la raison de MID à NIF Loic coujours la même, que cel-
le de la donnée a à la donnée b.
AYane mené du poine donné F sux la ligne AP Id
perpendiculaire FA, et du poine M que l’on luppose
étre l’un des cherches, une parallele MO a AP, On
nommera la donnée AF, c: e les inconnues ex indé-
Terminées AP, X; V NL, y: que FONE CnEFelles un an-
sle droit APMI. Ccla polé, le crianole rectanole MIOF
donne MIF == FO (CC = 2Cy - + yy) - + NO (XX), ec
à cause de la condicion marquée dans le Problème on
aura MTD (yy). MF (CC- 2Cy - F yy - LX X):: a a. bb;
d’ou (en mulcipliant les moyens e les extremes) ontire
cecce equation aapye = bbyy  2aacy. t aaXL - t aaCC = 0,
donc il s’agie maincenane de construire le lieu. POur CM
venir à bout, il faur distinguer crois differens cas selon
que a est plus grand, moindre, ou égal à b.
Premier cas. En divilant par aa - bb, On crouve cet-
ce equation yp
aa
2aac
a 5b Y -  aa  CB X X + aacC
aa- 66 == 03
. 324. done le lieu est une Ellipse r que l’on construit en cerre
fOrTe.
F16. 2OF
202. 2030

## Folio 277 — 884859711:0329
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DES PROBLEMES INDETERMENES. 277
Soic prise sur AF du coré de F, la parrie AC=
aac
aa  b0
ex ayanc mené par le point C’une parallele R FI a AP
Loiene priles lur cerre ligne de part et d’autre du poine
C, les parties CFT, CK, égales chacune à V
bba Fn
aa- bb
luice de l’axC KTT qui (OIE a CON PAFACErE R L comme
aa - bb est a aa, Coic décrice une Ellipse. Je dis qu’elle
Pera le lieu de l’équation précedente, et par conséquent
detous les poines cherches MI.
Car par la propriece de l’Elliple, X PX F FY Ou CFF
CF
bbcc
aa- bb = X X). F M
atC 2aacy
- 0b aa 56  F yy)::
RFT. KL:: a a = bb. aa; ce qui, en mulcipliane les ex-
crèmes ex les moyens, rend la même équarion que ci-
deNus.
Puisque CFF. CB :: KFZ. RF:: a a - bb. aa, il
s’ensuit que le demi- aze CB ou CD-
D F Ou DC. F CF = abc + bbC bc
abc - bbc
b0
aa- b6
abe
aa-- 66; et qu’ainsI
a6, e FB OUCB CF
aa - bb a +B. DORC DFX F B -- bbcc
aa- b6=- C+E; &
F10. 2015
partane le poinc F est r l’un des Foyers de cerre Elliple + Art. 35.
qui a pour grand axe la ligne BD. Ces remarques nouS
Fournissent une construction beaucoup plus simple que
la precedente: La voici.
Soiene priles sur F A du coré de A la parcie FB
a. AYaNE
pris DG égal à B F du coré de F; loit décrite des Fovers
F, C, e de l’axe BD une Ellipse; il est évidene qu’elle = Art. 36.
sacistera à la question.
Second cas. On aura dans ce casyy - + 2aac
arce
aa
Vb = aa V Bb. aa X X
=0, parce que a est moindre que b. Le lieu
de cerre équarion sera deux Fyperboles opposées, que
C’on pourra construire lelon l’arcicle 332. (LIV. 7. J. Apres
Mm ii

## Folio 278 — 884859711:0330
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278
LEVRE TIDFEEEM E.
avoir fait les mêmes remarques, que dans le cas pré.
cedene, on crourera cette construction.
Soient prises Tur F A du core du poine A les parties
FB=
5- + a 3 FD =
.AyanE pris DO Cgal à BF
du core oppolé au point F, Poiene décrites des Foyers
F, 6, e du premier axe BD, deux FTyperboles oppo-
(écs BML, DML. Flles seront le lieu de tous les poines
cherches MI.
Proistème cas. L’équation generale aagy-bbyy-2aacy
+ aaxX. FaaCC = = O lE CHANSCANE CH CCFEC aUErC XX- 2Cy
FCC = =0, ParCC que a = - b, Con lieu eAt une Parabole
qu’il est facile de construire selon l’article 310. (LIV. 7. )
mais on roit tout d’un coup et sans avoir beloin d’au-
cun calcul, que Si l’on décrit une Parabole qui aic pour
directrice la lione AP, e pour Foyer le poine F, selon
qu’il est enseigné dans la definition premiere du premier
Tirre; elle sera le lieu requis.
COROLLATRF. I.
bbc
366. Ix est clair dans le premier cas, que CF (au -65)
abc
abc
aac
CB (a - b0):: C D (a b3). C A ( 18): : a. b; de POM
eroure la même chose dans le lecond cas: ce qui donne
lieu à ce Theorème.
Si dans une Ellipse ou deux FIyperboles oppolćes qui
ont pour centre le poine C, pour toyers les deux points
F, C, et pour premier axe la ligne BD, on prend C A
eroisème proporcionnelle a CF, CB, du coté du Foyer
F; e qu’on mene la droice indetinie AP perpendicu-
laire sur BD: je dis que si d’un point quelconque M de
la Section, l’on rire lur AP la perpendiculaire NIP
E au FOyer F la droite NIF; la raison de MI P a NIF
sera coujours la même que du premier axe BD à la di
TaDCC FG des FOVeES.
Dans les Corollaires suirans cerre ligne droire indé-
sinie AP s’appellera Directrice à l’ésard de ces deux
F16, 202.
Arto 56.
FF6, 203
F+C, 20Y.
202

## Folio 279 — 884859711:0331
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DES PROBLEMES ENDETERMFNES.
279
Sections; austi. bien qu’à l’égard de la Parabole. D’ou
l’on voir qu’il est facile de décrire une Section conique
qui aic pour foyer un poine donné F, pour directrice
une liene donnée de position AP, et qui passe par un
poine donné M; car cirant au foyer P la ligne NIF, e
et Cur la directrice A P la perpendiculaire MIP, X nom
mane les données NTP, a; NYF, b; il n’y aura qu’a de-
crire le lieu des poines M tels que M P Poic roujours à
MTF comme a est a b.
C ORO L L A L R E TI.
367. Sr l’on joine deux poines quelconques ML, X, F10. 204.
d’une Section conique, par une ligne droice qui rencon- 205.
ere la directrice en C; et que du FOver F, ontire les droi-
teS FML, FN, FC: je dis que la ligne FC cOupC en
deux parties égales l’ansle N P EP complemene a deux
droies de l’anole N F MI, lorlque les points M, N,
combene sur une Parabole, Fllipse, ou lIyperbole; et
l’anole N F MT, lor(qu’ils combene sux deux lIyperboles
Oppolces.
Car cirane les perpendiculaires NV P, VO, sur la di
rectrice, e la ligne N D parallele à NV F; les criangles
Semblables AI P C, NOC, _ MIFC, N DC, donnene
NID. NO:: MIC. NC:: NIF. ND. EE PaTEaNE NID.
MLF:: NO. ND. Or par la propriecé de la Section
conique qui a pour directrice la ligne PO, a POur
Forer le Poine F, On aura AI P. NTF :: NO N F. LC5
liones N D, N F, seront donc égales encrelles; c’est
pourquoi dans le premier cas l’anole N D F OUCFII
Cera cgal à l’angle CF N, X dans le second l’angle FD V
ou CFMI sera egal à l’ansle OF N. Cc qu’il falloit
PEOUVeT.
C OROLL A TR E ITI.
560. Sera on vollcoclu ba Dell accilie unc 116. 264.
Parabole, Ellipse, ou Hyperbole qui passe par crois

## Folio 280 — 884859711:0332
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280
LEVRE TIOTFFE ME.
points donnés ML, N, O, X qui ait pour foyer le poine
donné F.
Soient menées par le Foyer F, les droites FC, FF,
qui dirisent par le milieu les angles NFFT, NFK, COm
plemens a deux droies des anoles donnes NIFN, OFN;
e par les PoinEs C, F, ou elles rencontrent les lignes
MIN, ON, qui joignene les poines donnés, soit cirée
une lione droice indétinie C F. Soit décrire une Section
conique qui aic pour directrice la ligne CF, pour Foree
le poine F, et qui passe par le poine M: il est clair se-
lon le Corollaire précedent qu’elle passera ausi par les
deUZ AUETES POIMES N, O.
C OROLZ A FRE IV.
16. 205. 369. Orr eire encore du Corollaire second une ma-
hiere de décrire deux LIyperboles oppolées qui ayene
pour foyer le POine F; e donc l’une d’elles passe par
deux poines donnes M, O, et l’aurre par un poine don-
HC V.
Soic menée par le point F la lione F F qui dirise par
le milieu l’angle FPFO complement à deux droies de
l’anole MFO Formé par les droites PML, FO, tirées
du POine F aux deux poines ar, O, qui doirene se ErOu-
ver dans la même FIyperbole; e Poit encore menée par
le même poine sla ligne SC, qui dirise en deux parcies
égales l’ansle As F N Formé par les droires FMI, FN,
cirées. du poine F aux deux points AI, N qui doivene
comber sur les deux PIyperboles opposées. Par les points
F, C, out les liones FF, FC, rencontrent les droites
MO, ar N, qui joignene les poines donnés, soit tirée
une ligne droire indetinie F C. Soieneentin décrites deux
Eixperboles oppolées, qui ayent pour foyer le point F,
pour directrice la ligne FC, e donc l’une d’elles passe
par le point M: il est cridene qu’elles latistone à la que.
Aion.
OROL. 

## Folio 281 — 884859711:0333
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DES PROBLEMES INDETERMFHES.
COROLE A FR F V.
281
370. L ES mêmes choles CFanE posées que dans le F1C. 204.
Corollaire second; il est visible que l’angle NTF N dif-
ference de l’ansle CFMI d de son complemene à deux
droits CFFE ou CF N, diminue à meture que le poine
W aproche du poine M; de Porre qu’il s’éranoiiit FOUE-
à Faic, lor(que le point N combe sur le poine ML. L’an-
sle CFM Cera donc égal alors à son complemene à deux
droits, ex par consequene il sera droir. Or comme la lI.
onc MIN deviene alors la cangence A1Z, puisqu’elle
Passe par deux poines infinimene proches de la courbe; n Art. 188.
on roit naiere une maniere senerale ex touce nouvelle
de mener d’un point donné Ml sur une Section conique.
une cansente MZ, un foyer P’avec l’axe qui passe par
ce forer écant donnés.
Cax ayane crouré la directrice comme il est enseigné
dans le Corollaire second, on menera du point donné
As au toyer F la droice MsF, Tur laquelle on cirera la
Derpendiculaire F Z qui rencontre la directrice en Z, Par
ou ec par le point donné M on cirera la cansente cher-
chéc M7.
E X F N P L F XL
37I. DEOX angleS X AML, XBML, mobiles auTOUE P1C, 206.
des poines tixes A, B, étant donnés tur un plan, avec
une lione droice indétinie PR qui ne passe par aucun de
ces poines; loic imaginé le poine de Concours K des deux
Cores AK, BK, le mouroir le long de la droite FK,
et foir proposé de trourer la nature de la ligne courbe
que décrit dans ce mourement le concours M des deux
AUEreS COreS A MI, BM, prolonges lorsqu’il est neces.
Paire de l’autre coré des points A, B.
Sur A B comme corde, je décris de l’autre coré du
Poine M, un arc de cercle capable d’un anele BD A
qui raille quatre droies moins les deux angles donnés
KAML, K B ML; et ayant acheré le cercle encier dont

## Folio 282 — 884859711:0334
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282
LIVRE TIOETTEME.
cet arc Fait parrie, il peuc arrirer que la droire indétinie
FK combe touce entiere au detiors de ce cercle, ou
qu’elle passe au dedans, ou entin qu’elle le couche; ce
qui fair erois differens cas que j’explique en parricu-
lier.
Premier cas. Du centre C du cercle BD AF je mene
Tux FR, la perpendiculaire C F qui lE TENCOHErC aUX
POInES D, E; ec je fais palser par le poine D (plus pro-
che de la lione FK que l’aVErE POINE F) les deux cOTeS
D A, DB, des deux angles D AP, DBO, égaux auX
angles R ANI, R B MI, lesquels cotes étane prolongés
vers D rencontrene la ligne FR aux Points O, TI. OP
par la construction l’anole BD A plus les deux angles
D AP, DBO, vaut quacre droits; e comme le même
anole BD A pluS les deux anoles D AB, D B A, vaUE
deux droies; il s’ensuie que les angles B AP, ABC,
vallene deux droies, a qu’ainsi les lignes AP, BO, IOnE
Paralleles encrelles. Cela polé.
Soit mené du point R lur les deux cores AD, BD,
les perpendiculaires RR, R S; _ des points A, MI, Tur les
deux autres cores BO, AP, les perpendiculaires AI,
MI P, Qui renCOnEreNE BO, aux poines I, O. Soientles
données FF = =a, I D = - b, BI = = c, AT = d, tC = Z
FTT=h, DO = =m, DET ==n: X leS inCONNUESFK = - Z)
AP ==X, PNI =-y; e à cause des criangles rectangles
TemblableS, GDF, GRR, On aura ceS deux prOPOr-
tiOnS: BD (M). 6F (5):: 6K (Z 5). OR - 82 88. FF
m
GD(m). DF (B):: 6R (Z 8). KR = b2- 8. Oxlescrian.
eles rectansles semblables BDF, F D , donnent aussi
CDIm). DF (b):: FD (a - b). AD- - b- b.
m dePaF.
FanE AD - + DG Ou 1G - ab - bb. + mm _ A6- +OR
Ou 2R =- ab - bb t mm t 82- 58 - ab + Bt; parce mm = bb
+88 à caule du crianole rectansle DFO. Mais leS
criangles rectangles AR K, A P M lone semblables,

## Folio  -  — 884859711:0335
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000335.jpg
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1
5)
O)
205.
Planche 21. pag. 282.
3
su
CHSISCHE LANDESBIBI

## Folio  -  — 884859711:0336
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000336.jpg
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Aps
eeeeeeeeee
ignatur: Leiton. Mar9. 155, (3
MMHIIus
MIIIt
GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ BIBLIOTHEK
NIEDERSHCNSISLHE LANDESBIBLHTHEK

## Folio 283 — 884859711:0337
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000337.jpg
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DES PROBEEMES ENDETERMFHES. 283
Cax rerranchant des angles égaux X AMI, D AP le
même anole K AP, leS resteS K AR, PAMI, PCrONE
egaux; ec par consequene AR
ab- + 82
). R X (32 38
AP (X). PML (y), d’ou P’on eirCZ = aby + bgX
bx
:3
Maincenant les criansles rectangles Lemblables YTDF
TTK S donnenE Y5 - hE + hh
3 AS =- b2 L bh
; e les
triansles rectangle semblables TY FD, E B D, donnent
DIL (nI. DF (b):: D F (a = b). DB - ab- bb. EE PaF-
Ou B5 -- ab - bb + nn. hZ- hh ab - hZ
_ BTI TIS
Parce que nn = -bb
thh à cause du criang le rectanele DFFT. Or les trian-
eles rectangles BSK, BO NI, lont lemblables; Car re-
tranchane des anoles eTaux D BO, R B MI, le même
anole D B MI, les rectes KBS, ATBO, lCrONE éTaUX;
e Pax consequenE B5 (ab- h2
n ). SX
(bx + b2
:: Be
(X = c). OM (y - t d). D’ou l’oncire Z- aby = 1h∞ + bch + abd
bx t hy- bc + bd
Comparant cerre derniere valeur de Z avec la prece-
dence, mulcipliane en croix, ee Failant pour abreger
CTT(8 - + b)=f, on arrire entin en dirisane par abf
a cetre équarion.
yy - + dy - + = X X -- = X = c
dont le lieu que l’on pourra construire selon l’arricle
324. (Liv. 7.) Sera une Elliple, parce que le cerme = X X
sera coljours precedé dans ce premier cas du Signe-+
en quelque sicvarion que le puissent trouver les points
A, B, K.
Second cas. Apres aroir nommé les lignes par les PLc. 207.
Nn ii

## Folio 284 — 884859711:0338
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000338.jpg
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284
L FVRE TIOE FY E MF.
mêmes leteres que dans le premier cas, d faie les mé.
mes raisonnemens; on arrirera à cerre équation.
gy - + dy - - X X - + = X =- 0
ha
qui ne differe de la precedente que dans quelquessignes,
et donc le lieu que l’on pourra construire selon l’article
332. (Lir. 7.) Sera coujours deux Fyperboles oppolées,
parce le rerme= x sera toujours precedé du ligne
dans ce second cas.
Comme le plan xy ne se TenCONEre POinE dans les
deux équations precedentes, et que l’ansle 1P NI est
droit; on connoir d’abord que l’un des axes de l’Elliple
dans le premier cas, et des Lyperboles oppléesdans le
second doir etre parallele aux lignes P, BQ; et qu’il
a arec Con parametre la même raison que P F (a) à
FD (6), parce que la Fraction ? Qui mulciplie le quar-
ZC X X exPrImC CC FaPPOTE.
Lorsque le poine X en parcourant la ligne indetinie
K F arrire au poine o ou cerce lione rencontre la cir-
conterence, il est clair que les COTes AML, BMI, qui
décrirene par leur point de concours M lF Iyperbole
B AMt deriennent paralleles entreux; qu’ils le CoupenE
vers le coré opposé, pendant que le POInE R PaTCOULE
la parcie OZ de la lione R F rentermée dans la circon-
ference; qu’ils deriennent encore paralleles, lorsque le
POInE X EOmBC CN Z, aprés quoi ils sC FONCONETeNE de
noureau rers le même coté. D’ou l’on voit que le point
Ms décrie l’FIrperbole B IAS, pendane que le poineK
parcoure les deux parties indétinies de la droite X F qui
combene de part ec d’aurre de la circonterence; ex qu’il
décrie Con opposée, pendane que le POInE R PAFCOUTE
la parcie OL rentermée dans la circonterence.
F10. 208. Froisième cas. Comme dans ce croisième cas la droite

## Folio 285 — 884859711:0339
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Ib
DES PROBLEMES ENDETERMENES.
285
indehnie FK couche la circonterence du cercle BD AP
en quelque poine F, il est clair que le point D des deux
autres cas le contond ici avec le poine s, et qu’ainsi les
triangles DFO, D FFF, séranoirislent: c’est pourquoi
on se servira en leur place des crianoles D AE, DBF,
de la maniere qui suit.
Soient les données AF = =a, FB = -b, FF = m.
AF = 3, BF = = h, BZ = = C, AL = = d; _C IOS INCOHHUES
F K -
Z, AP ==X, PMI = y. Les criangles rectangles
F KR, F F A COnE semblables; Car l’anOlC R F R ou Con
oppose au lommer ZF A Fair par la cangente FT et l2
corde F A, a pour melure la moirié de l’avc AF; de
même que l’ansle PF A: _C PaTTANE F F (m). E A(a)::
XF (Z). FR = -=. FC EF (m). F A (8):: FK (Z).
XR = 8. Or lescriansles rectangles semblables ARK,
APML, dOnMEnE AR OU AF- + X X (2 + 5m
.RK (8
n
AP (X). PAL (Y); d’ou P’ON EITC Z = my ON ErOU.
u
rera de même, à cause des criangles rectangles sembla-
bles EFB, FKS, que F5 =
m
ent
cause des criangles rectangles semblables BSK, BOM,
que BS ou B F - X 5 (hm -- b2
m). SX
12
:: BQ (X - c).
OM (y - + d); ce qui donne Z- hmy- L hnd
Bx ch- + bd F by
Comparane ces deux valeurs de Z mulcipliane en
CTOIZ, SE MCLEANE PAF OTdTC LeS FENIES, OI EFOUVe CCTTC
equarion gy- + dy
est
deh
ab- f. bg ) ah + bg V = 0, doDe le
lieu sera coujours une Parabole que l’on peut construi-
re selon P’article 310. (Liv. 7.) et qui aura Con axe paral-
tele aux droices AP, BO.
Il est donc éridenc 1. Oue le lieu ac cous les poines
cherchés MI sera toujours une section conique, done
l’axe ou l’un des axes sera parallele aux lignes AP, BO:
et en parciculier qu’il sera une Elliple dans le premier
Nn iii

## Folio 286 — 884859711:0340
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286
L EV RE TIOFFTE M F.
cas, deux FEyperboles opposées dans le second, e une
Parabole dans le croilième; e que dans le premier e le
Second cas, l’axe qui est parallele à AP, aura avec Ion
Parametre, la même railon que F F a FD. 2. Oue dans
le premier e le croisiéme cas les deux points AXeS , B,
autour desquels cournene les angles mobiles K AN,
X B MI comberon coujours du même coré de la lirne
FK, aulieu que dans le lecond ils peuvene comber non-
Sculement du même cote de cerre ligne, mais encore de
part e d’aurre; parce que la circonterence du cercle
AD B F Tur laquelle ils IOnE SicuES, est conpéc alorsen
deux portions par la liene FK.
R E M A R O V F L.
372. 1. Dre ligne quelconque qui passe par l’un des
poines Axes A ou B, comme iMI, éranc donnée, on
pourra coujours trouver lur certe ligne le poine M oit
elle rencontre la section qui est le lieu requis, en cetre
TOrce. Arant mene la droite AK qui fasse avec ANI
l’anole M AK éral à l’anole donné qui doir courner au-
cour du point fixe A, on menera du poine X ou elle
TeNCONEFe la dEOILC FK, par le point fixe B, l’angle
XBMLCgal à l’autre angle donné, qui doir tourner autour
de l’autre poine Axe B; e le poine M ou le cOcC BM
de cet angle rencontre la ligne M, Sera celui qu’on
cherche: 2. Lorsque le point R en parcourane la ligne
FX, se croure cellemene situé que le côré ns de l’an-
ele K M combe sur la ligne AB; il est visible que le
point de concours M des deux cores AM, BMI, tom-
De alors sur le poine B, e qu’ainsi le lieu des poines N
passe par le point fixe B; on prourera de même qu’il
vasse par le poine .
160 200. Dela on roit que pour décrire la Section conique qui
est le lieu des poines cherchés MI, sans avoir beloin des
equations precedentes, il n’y a qu’à mener comme dans
l’exemple les droices AP, AI. tux lelquelles ayane
FX6, 2060
207, 208.

## Folio 287 — 884859711:0341
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DES PROBLLMES ENDETERMENES.
287
croure, selon cerce Lemarque, les points oi elles rencon-
erene la secton, al dchere le rectansle qui a pour COTCS
ces deux lignes, il n’y aura qu’a décrire autour de ce + Art. 176.
rectansle, l’Ellipse ou les deux Fyperboles oppolées (sc- es 178.
lon que FK combe au dehors ou au dedans du cercle).
donc l’axe qui est parallele à P soic à son conjugué,
comme le quarré de P F est au quarre de DF. Si la Sec.
eion est une Parabole (ce qui arrire lorsque la ligne X F F16. 208.
couche le cercle BD 1); on erouvera Tur la ligne 
le point oi elle rencontre la Section, et on décrira se-
lon l’arricle 170. (Fir. 4.) une Parabole qui passe par
ce poine, et par les deux aurres donnés , B; _ donE
les diametres (oiene paralleles aux lignes AP, B9.
R E M A R OV F TI.
73. LORSODE Le POInE R en parcourane la lignC FFO. 209
F H, est cellemene licué que le coré AM de l’angle
K A MI combe Tur AB, il est clair non seulemene que le
poinc Ms combe en B; mais austi que le corc B NI de l’an
SlC KL B MI derient cansente en B de la ligne courbe = Art. 188.
qui eA le lieu du Poine ML, pui (que le POInE ML DCUE etrC
regarde alors comme crane intinimene pres du point B.
Dou il suie que pour mener une cangence de ce lieu en
B, il n’y a qu’à mener par le point L une ligne droite
AC qui Fasse avec B A un ansle B ACćgal à l’angle don-
HC K A MI, ee cirer ensuite une ligne BD, qui Fasse avec
BC l’anste CB D égal à l’aurre ansle donne XBML; CaP
le core BM de cer angle, qui deriene BD, couchera la
Section en B. II en est de même de l’aurre poincfixe .
Dela on cire encore une maniere tres Facile de decri- P16, 209,
re la Section conique qui est le lieu de tous les points M
sans avoir beloin des équations precedentes, ni même
d’aucum calcul. Ayant mené par le poinc fxe B unecan
genre BD, e par l’auere point fixe A une parallele AF
a cette cangente, on erouvera  sur cerre ligne le poine + Art. 372.
P ou elle renconere la Section; d l’arane divisée par le
a  LLOH cirera BFL, Cur laquelle on cherchera r 2 Art. 372.

## Folio 288 — 884859711:0342
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288
LIVR E TIB FXIEIM F.
aussi le poine G ou elle renconere la Section. Cela faie;
Arr. 162. On décrira = du diametre BG ec de l’ordonnée TY A ou
TTF, une Section conique qui Pera celle qu’on deman-
de. Car il est visible que là lione BO qui divise par le
milieu en ZF la ligne A F terminée par la Section e pa-
rallele à la cangente en B, en sera un diamerre qui auxa
pour ordonnée la ligne AFT. Ou l’on doir remarguer
que lorsque le point s combe enere les points B, C
la Section est une Elliple; que lorsqu’il combe de pare
ou d’aurre de ces deux points, ce sont deux TIyperboles
oppolées; e qu’entin lorsque la ligne BG est infinie, la
Section est une Parabole.
C OROLL A FR E I.
374. CET exemple nous Fournit le moyen de Faire
passer par quatre points donnés A, B, LT, MV, une
Section conique d’une espece décerminée.
Car 1. Soit la Section conique une Esliple, dont le
grand axe soir à son paramerre, en la raison donnée de
a a b. Je Forme le crianole ABFY, en joignant erois des
poines donnés par des lignes droires; et du quatrième
Poine Ms, je Fais passer par les poines A, B, les angles
M AK, ABK, Cgaux aux angles G ATI, RB A, com
plemenes à deux droits des angles TI AB, TIB A. Je
décris sur AB comme corde de l’aurre coré du poine.
M un arc de cercle BD A capable d’un angle qui raille
quatre droies moins les deux angles R AM, XB MI;
e du cenere C de cet arc, je décris un autre cercle dont
le FaYON CF FOit au rayon CD du premier, comme
a - F b est 2 a = b; _ du POInE de COnCOUFS K des deux
COreS AK, BK, des angles MI AR, MIBR, je tire
AnC FANGENEC K F a ce dernier cerele. Maincenant je dis
que si l’on faie mouvoir le point R le lons de la droire
indéfinie F K; le Poine de CONCOUES M des deuX aUEreS
cores LML, BML, prolonses lor(qu’il sera necestaire de
l’autre core des poines A, B, décrira dans ce moure-
mene l’Ellipse qu’on demande. Car il est éridene selon
Ce
MIIMMIIIHII
16I.
F16, 210.

## Folio  -  — 884859711:0343
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sil
e
G)
C
8
Planche 22. pag. 288.
200.
IED WILHELMLEI
CHSISCHE LANDES

## Folio  -  — 884859711:0344
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1
itH si
IM
Mitit
t s
M 
IMIIMIIIPIIHSMIIIIIIMI IIIIIIHBIII
eeeeeeeeeee
ignatur: Leiton. Mar9. 155, (3
BOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ BIBLIOTHEK
HIEDERSACHSISEHE LANDESBIBLIOTHEK

## Folio 289 — 884859711:0345
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DES PROBLEMES INDETERMENES. 289
ce qu’on a dic dans le premier cas de l’exemple, que le
lieu des poines ns sera une Ellipse, donc le grand axc
SCTa a POI PAFAMEETE COIME E F (a) a D F (b); _ de
Plus qu’elle passera par les points A, MI, B, FT, puis-
que le poine X étanc en G, le core AML combera sur
AFF, e le cOre B AI TUT BR.
20. Torlque c’est une Eyperbole ou deux TIyperbo-
les oppolées qu’il est question de décrire par quarre
Points donnés A, B, FI, M, e donc le grand axe soic
à lon parametre en la raison donnée de a a b; la con-
Aruction demeure la même, excepté que le rayon CF
du cercle concentrique au cercle BD AF, doir etre
au raron CD, comme a --b CAt à a - F b.
3. Lor(qu’il s’agit de décrire une Parabole par qua-
ere Doints donnés A, B, FI, MI. Ayant décrit comme
dans le premier cas le cercle BD AF, on menera du
DoiDEde COnCOUTS R une tangente à ce cercle, qui lera
la droire indefinie sur laquelle faisant mouvoir le poine
K, l’aurre point de concours M décrira la Parabole
qu’on demande.
Comme l’on peut mener d’un même point deuxran-
sences à un cercle, il s’enluit qu’on peur décrire deux
differentes sections coniques qui latistont égalemene
lorsque le Problème est postible; car lorsque le point
R combe au dedans du cercle qui a pour raron C’F, il
eAt visible que le Problème est impossible.
On pourra décrire la section conique par le moyen
de ses axes en se serrant de l’arricle 372. ou par le moren
d’un de ses diametres et d’une ordonnée à ce diametre.
en se Terrane de l’article 373.
COROLLAFRE II.
. Or cire encore de ceipie,  buvel. F16, 2II.
le maniere de décrire une Section conique qui palle par
cinque poines donnés A, B, II, ML, V. Car ayane joint
trois quelconques de ces POints A, B, LL, Par des

## Folio 290 — 884859711:0346
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290
L LVRE HIOEZEE M F.
liones droices, on fera passer par les autres poines MV, X,
ec par les deux poines Axes A, B, les anoles M AK,
W AS, égaux chacun à l’angle FT AG complement a
deux droies de l’angle TY AB, et les angles M BK,
NBS égaux chacun à l’angle AB R complemene à
deux droies de l’angle ABFT; _ on cirera par les
poines de concours K, S, une lione droice indétinie S, R,
Tur laquelle Failane mouvoir le poine K, il est claix que
le poine de concours Ml décrira dans ce mouvemene
la Section conique qu’on demande; puisqu’elle passera
pax les cinq poines donnes A, B, TL, M, N.

## Folio 291 — 884859711:0347
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LIVR F NF VVIF NF.
De la construction des Egalites.
P R OPOSTTTON I
Probleme.
376. GONSTROTRE tonce égalité donnée, dans laquelle
l’inconnué ne se trouve qu’au premier decré.
Soit en premier lieu l’inconnué x égale a une ou a plu-
Peurs Fractions simples, celles que, ou
_c. Arant Faic c. b:: a. l, il est clair que certe quatrié-
me proportionnelle l== =; et l l’on Fait f. l: : c. m, l’On
aura m = =t = ab; _ Failane entin g. m:: h. n, il vienE.
B=
mh abeto
qu’on aura l’inconnue x égale à l, ou a m, ou dn, _c.
selon que x sera égale à = ou à abc
F. OU a abeh
53 _C. OF
il est visible qu’en augmentane le nombre des propor-
cions, aurant qu’il lera necellaire, on Trouvera Eoujours
une lione droire égale à une fraction simple donnée,
cel que puisse êcre le nombre des dimensions de Con nu-
merateur. D’ou l’on voit que l’on pourra toljourserou-
ver une ligne x égale à une quancicé composée de plu-
leurs Fractions simples; car ayane croure en particulier
des lignes droites égales à chacune de ces fractions, il
n’y aura qu’à les ajouter, ou recrancher selon qu’il lera
marqué par les signes t ex -. Ou’il faille, par exem-
s
bs On
ajoutera les deux liones h== e l= au
à la ligne a
pour en compoter une seule, de laquelle ayant recran-
D0 i

## Folio 292 — 884859711:0348
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292
LLV R E NEOVLFN F.
ché la ligne m= ae le reste sera la raleur cherchée
de l’inconnué x, c’est à dire qu’on aura x = a = t h- + 1
M.
Soit en second lieu l’inconnue x égale à une ou à plu-
Feurs fractions compolées, c’est à dire, done les deno-
minaceurs avene plusieurs termes. On cherchera d’a-
bord, comme l’on viene d’enseigner ci dellus, une ligne
égale au dénominareur dirisé par une ligne arbirraire
Torsque chacun de lestermes, n’a que deux dimensions
par un plan lor(qu’ils en one trois, par un solide lors-
qu’ils en OnE quatre, ec; ce qui reiinira cous les termes
du dénominateur en un seul, lequel érane substitué en
leur place, changera la Fraction composée en une ou en
Plusieurs simples selon que le numerateur est composé
d’un ou de plUSeUES FerMeS; e ayanE crouvé comme
ci- dessus une ligne qui leur soit égale, elle sera celle
qu’on cherche. Ceet s’éclaircira par les exemples qui luI
VenE.
On demande une ligne x=
arem bce
60 +as Je cherche d’a-
bord une ligne m --f- +  c’est à dire égale au dénomi.
naceur af tbb dirisé par la ligne a; ce qui donne bb- taf
=am, _ aYanE trOuVé ensuire une ligne n = 25 bco
== se bce
m
am
am; il est clair que ta lione cherchée x = = n. DC
même si l’on demandoir une ligne v = a b + aucem abes
aas ccf + bsf 3 OH
erouveroic une ligne m =-a- t -  c’est a dire égale
au denominateur aaf-tces- +BF divilé par le plan af;
ce qui donne at m = a af- Fccf- Fbff & enluire une
auere ligne = a b + aacc abes- aab
afm
fm
aCC
sin m X. II CH
est ainsi de tous les aurres exemples que chacun le peur
Former a plaisIr.
Il est inaeile d’averrir que S l’on demandoir une lione
n égale d une ou à plulieurs tractions cane simples que

## Folio 293 — 884859711:0349
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000349.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
DE EA CONSTRDCTION DES RGALITES. 293
composées; il Faudroir chercher en particulier des lignes
égales à chacune de cestractions, pour les ajouter ensui-
ce ou les recrancher les unes des aurres, selon que les
signes-+ oule teroiene connoitre.
COROLLAFRE L.
377. LL. est Facile par le moyen de cerre Proposition
de TrOUVeE L. Une Fraction simple = ou = doncle déno-
minateur ou le numerateur a soit donné, égale a une
ou a plusieurs Fractions simples ou compolées; car il n’y
aura qu’à erourer une ligne x égale à la ligne a mulei-
pliće ou dirisée par ces tractions. Qu’il faille erouver
par exemple, une Fraction  cc L
j 2
afis
33 Il est visi-
ble qu’il n’y aura qu’à crourer une ligne x =acc + aff
+.
as + cs
. 20. On plan ax, done l’un des corès a est donné,
exala un ou a plusieurs plans si composés qu’ils puistene
etre; car il ne faur pour cela que crourer une ligne x
érale à tous ces plans divisés par a- 3. On solide a ax
ou abx, dont deux des cocés a, a, ou a b, lont don-
nes, égal à plusieurs solides; puil qu’il ne faut pour cela
que crouver une ligne x égale à tous ces solides divilés
par le quarre a a ou par le plari ab. 4. On sursolide
aX OU A bCX AONE ErOIS COLES a, a, a, Ou a, b, C, CONE
donnés, égal a plusieurs suxlolides; pui (qu’il ne FauE en-
core pour cela que trouver une ligne x égale à touS ceS
surlolides divisés par le cube a ou par le folide abc.
Ec il en est de même de pluheurs proctuies de cinq di-
mensions, de six ec. que l’on peut coajours reduire en
un seul done consles coces, excepre un, Poiene donnés.
EOR OL L A F R F.
uoie la outonue poc clouret un quatro
dl a Plueurs plans donnés, il les taut reiinie
Doiii

## Folio 294 — 884859711:0350
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294
L EVR P N EVV IP H F.
tous en un seul, e crourer ensuire une moyenne propor-
cionnelle entre les deux eotés; car il est clair qu’elle lera
le coré du quarré qu’on demande. Ou’il faille, par exem-
ple, ErOUVeF Un quarrE X X ==55- cee- ectibo
bb + af
(les lienes
a, b, C, e, f, h,S, Tont données), Je chercheune ligne m=
66. a poux aroir un plan em==55 - ecec- ectit
cce ebh
bb. f af e
ayanCcrOuré une morenne proportionnelle x entre les
deux COTES e, m, du plan em, il est clair que XX = = CM
=55- cee eebt
bb + as
Pour crouver une ligne x donc le quarre x Toie
égal à plusieurs sursolides donnés; je cherche, com-
me ci desus, un quarre ZZ esal à tous les sursolides
donnés dirilés par le quarré a a donné ou pris à vo-
IOncé. Je prends ensuice une morenne proportionnelle
x enere les deux lignes a e Z, X je dis qu’elle sera celle
qu’on demande; Car XX = = a Z, _, en quarrane chaque
membre, xt = a aZZ, c’est à dire xt égal à tous les
surlolides donnés.
R E H A R QV F.
379. Quoro0e la methode que l’on riene d’expli
quer soit generale pour cons les cas poltibles, il ne s’en
suic pas neanmoins qu’elle toic conjours la plus simple.
C’est pourquoi je vais donner ici des exemples particu
liers que l’on resoud d’une maniere plus ailée en s’écar-
cane un peu de la methode generale, et qui POUrTONE
serrir de merhodes pour cons les cas semblables.
1. SOIE X =
abcc aabb
abe a. Je cherche d’abord une ligne
m= = e substicuane à la place de ab la raleur cm, je
ErOUvE X = cmcomm em mm
cem +
m; d’ou je connois qu’en
FailanE c - F m. c =m:: m. n, cetce quatrième prOpOr-
tionnelle n-=x. Il est donc vilible qu’on n’a cu beloin que
de deux proporrions pour crouver la raleur dex, au lieu

## Folio 295 — 884859711:0351
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
DE LA CONSTRDCTION DES EGALEFES.
295
que si l’on cence ta methode generale, on trourera qu’il
en CauE au moins ErOIs.
20. Soic x =V a a= Fbb. Je Fais un criangle rectangle.
done l’un des Cotes ==a, ee l’autre =b; ee Con hypothe
nule sera la valeur de x. S’il Falloie crourer une ligne X
==V a a =- bb, Il N’y aUTOIE qu’a ETOUVeF unE moyen-
ne proporcionnelle x enere les deux lignes a. t b et
a =b; Car TOn quarré xx doit etre égal au produie
des extremes a a =bb. Ou bien je Fais un crionele rec-
canole dont P’hypochenuse =a, et l’un des coteS =b3
l’autre cocelera la raleur de x.
. Se prends lhypoche.
nule m d’un criangle rectangle done l’un des cores ==5
et l’aurre =20, & ayant erouré une aurre ligne n: 2
J’ai x x =mm -nn _x =-Vmm- nn que je relOuS COM
me je viens de Faire x =r a a - bb dans l’exemple pré.
cedene.
4. SOIC CHFM XX --55- ccee- echh
bb + as. Je PrendSunCMOyen-
ne proportionnelle enere les cotés a, f, du plan af,
pour avoir un quarre I=af, je croure ensuice un quar-
re mm - =bb - +I, _L Un auErC quaFTEnn = =CC- thh paF
le moyen de deux criangles rectangles, comme dans le
second exemple, de j’ay par la substicurion xx --55- cenn
nim3
e crourane entin une ligne s --, il vient x = Y 55- 88
que l’on seloud comme ci- deus.
PROPOSITION II.
Probleme.
300. LROOVEN les racines de toutes fortes d’Fcalités
du second degré.
Oucbo 16d LEaliceo dd LECOtt Mle 16 Peureta 10

## Folio 296 — 884859711:0352
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000352.jpg
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296
LFVR E NTEDV F E HF.
duire à l’une de ces deux Formes, X X =,  a X - b b =- 0, OUt
XX = F a X = + bb = 0; en crouvane une lione a egale a
coures les quancites connuës qui mulcipliene l’inconnué
Art. 378. X, ee un quarré bb esat a tous les plans enTieremenE
FY6, 2120
COnnUS. Ccla POlC.
1. SOIt X X: FaX = bb =0. Je Forme un angle droie
CAB dont l’un des Cotés CA =- 2 a, _ l’autre COTC
AB = -b; ec 2yanc mené l’hypochenule BC prolongée
au delà de C, je décris du cenere C e du rayon C A, UM
Cercle qui coupe BC en deux points L, D. Je dis que
les droites BD, BE, Cont les deux racines de l’éralice
Propolée Xx =F aX -bb: sçavOIr B F la racine vraic, et
BD la Fausse de l’égalice XX - F a x - b b =- 0, X aU CON-
craire BD la rraie e BF la Fausse de l’ésalité X X = a X
bb=
0
CaF FaITANE BF = = X, On aUTa BD ou BE. + F D
== a = + x; e ( l’On Fait BD = = = X, ON EFOUVeTA BP
Ou BD - FD = = = x = a. Donc en l’un de l’autre CaS
DBX BF = = X X - F aX = AB (bb) par la proprieté du
cercle, c’est à dire x x- F a x - bb =-0. Au contraire (1
l’on Faie BD = = X Ou B F = = = X, OR ETOUVeTA D BX BP
==X X = a X = = b b OU XX = a X = bb = 0.
FZO. 213. 2. SOIL Xx =F a X - + bb = 0. Je Forme comme dans
le premier cas, un angle droir C A B done l’un des cotés
CA == = a, X l’auErC A B = b; X ayanE mené une droi-
ce indétinie BD Parallele à C, je décris du cenere O
et du raron C. A un arc de cercle qui coupe la ligne BD
aux Poines F, D. Je dis que les droites BF, B D, LOnE
les racines de l’esalité propolee Xx =F a x  + bb = =0:
sçavoir les deux vraies de l’égalité x x = a x - F bb =- 0,
X les deux fausses de l’égalice x x + a X - + bb =- 0.
Car acherane la demi-circonference AFDFF, de
menane les paralleles PF, DG à AB; on aura en fai-
TanE BF Ou AF =x, le rectangle AFX F TY = a X
L XX = FF (bb) par la propriete du cercle. De me-
ne ll’on Fait BD on AG = = x, On aUTa AGXBTT= = a X
=X X = 6D (66): cest a dire en l’an _ l’auere
Ca5
Art. 376.

## Folio 297 — 884859711:0353
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000353.jpg
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DE LA CONSTRDCTION DES FOHLTTES
297
CaS X X = a X - F bb == 0. Si l’On veut que BF ou AF =
=X, e BD Ou AO = = = X, ON ETOUVeTA AFXFTI et
AGXBFY = = X X = aX = = FF Ou OD (bb) c’est a dire
d X - F a X - + bb = = 0.
Si le cercle qui a pour centre le point C, _ pour rayon
la droire C A, ne coupe ni ne couche la parallele BD.
ce qui arrire toujours loxlque AB Surpase C A); les
racines de l’égalite seront routes deux iniaginaires: mais
s’il la touche en un poine, les deux racines BF, BD.
deriennent égales chacune au rayon C A.
R E M A R OVF.
38L. LORSOVE dans une égalicé l’inconnué ne se
rencontre qu’au quatrième et au second degré, on peue
coujours reduire cerre égalite en une autre ou l’incon-
nuc ne monte qu’au second derré: de maniere que ces
lorres d’égalires ne passent que pour etre du lecond
degré.
Soit par exemplc 24 = a a ZZ - a a bb =-0. TC supPOsC FLC. 214
une inconnue x qui loit celle que son rectangle par la
donnée a foit égal au quarre ZZ: ce qui donne a x = ZZ
Fic mectane à la place de ZZ cerre valeur ax, _ à la pla-
ce de 24 son quarré aaxx, je chanse l’égalice donnée
Z4- a a Z Z - - a abb = = OCR CCTLC AVEFC X X = a X - bb ==0.
ou l’inconnue x ne monte qu’au second derré. P’en cher-
che les racines x, comme l’on rient d’enseioner, et pre-
nant des morennes proportionnelles entre la donnée a
e les raleurs de les racines, je dis qu’elles exprimerone
les valeurs cherchées de l’inconnue Z: ce qui est eri-
dene, puilque ZZ== a V.
PROPOSITION TIL
Probleme.
382.LRODVEN par une autre voye les racines des éca-
dités du second decré, sans qu’il soit necessaire de chançer leus
dernier terme en un quarre.

## Folio 298 — 884859711:0354
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000354.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
298
E TV R E N E VY F E N F.
10. SOIE XX = d x = bc = 0. Ayant décrit un cercle
quelconque AB D, dont le diamerre ne soic pas moin-
dre que les données a et b =c (je suppole ici que b Tur-
Passe c); on inscrira dans ce cercle, a Commencer par
un de les poines quelconques A, deux cordes AB ==a,
D =- b =c: _ ayanc prolonsé AD eN F en POrrC que
DF =C, On décrira de CON CenEre C, E du raYON CF,
un autre cercle concentrique qui COUPCAUX POINES F, F,
6, FY, les cordes AD, AB prolongées. Je dis que A6
est la rraie racine, et AFT la Fausse de l’égalité X X - F a X
=bc =0; et qu’au concraire AO es la Fausse, et ATF
est la vraie racine de X X = aX - bc = = 0.
Car AF Ou AD - + D F = - b, DF OU AF ==C, e
FaisanE AG Ou BFF == , On aUTA AFI = a - + v. OF
par la proprieté du cercle EOF FT, le rectanole E AZ AF
(bc) = O AX ATF (XX - F a X ). Si l’On FaIE à pPC(CRE
ATT = = - X, On aUTa AC ou BTT Ou ATI- AB =
=x = a, _ paF COn(CQUENE C AX ATT = = X X - F aXCOM.
me aupararane. Donc loit que l’on Fasse AC ==x Ou
ATY = = = X, ON ETOUVeTA EOUjOUES X X - Y a X -bC ==0.
On prouvera de même que AC est la racine fausse, et
ATF la vraie de l’égalite X X = a X - bc =- 0.
26, 2260 2. SOiE X x  F a x - + bc =- 0. AYanc décrie un cercle
quelconque LBD, donc le diametre ne loit pas moin-
dre que les données a e b -t c, on inferira dans ce Cer-
cle, a commencer par un de les poines quelconques A.
deux cordes AB = =a, AD = -b - F c: _ arane pris TUE
AD la partie DF ==C, On décrira de POn CeHErC C X
du raron F un autre cercle concentrique qui coupera
les cordes AD, AB, aUX POINES F, E, C, FI. IC dis
que OX AFY lont les deux racines rraies de l’égali,
FC XX = a x  F bC= 0, X les deux FauSCS dC X X F a X
Fbc=0. Cela se démonere de même que dans le pre.
mier Ca5.
Si le cercle qui a pour rayon CF ne touchoir ni ne
rencontroir la ligne B en aucun poine, il s’ensuirroie
que les deux racines de l’égalire leroient imaginaires.
F20, 215.

## Folio 299 — 884859711:0355
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DE LA CONSTRDETION DES PBALLTES. 299
AY E R YZSSEM F N F.
c’est la methode de M. Slusius p. 317
Tout l’artitice dont je me sers pour construire les éga-
lices qui n’ont qu’une inconnué, ou pour en crouver les
racines, consiste à ineroduire dans cetre égalité une nou-
velle inconnué; en Porre qu’on en puisse cirer plusieurs
équations qui rentermene chacune les deux inconnues
ee qui foiene celles que deux quelconques de ces equa-
xions rentermene ensemble touces les quantirés connues
de la propolće; car autremene en failane éranoiiir l’in-
connie nourellemene ineroduite, on ne recrouveroir pas
l’égalice proposée. Je choilis enluite entre ces equations
deux des plus simples, e en ayane construie separemene
les lieux, leurs poines d’incerlections me donnene les ra-
cines que je cherche. II y a de l’art à ineroduire l’incon-
AuE; car il Fauc que les lieux que l’on tire de la proDo-
Séc, Coiene les plus simples qu’il le puisse: par exemple.
E l’égalicé est du quacrié̀me deoré, il faut que les lieux
des equarions qu’on cire ne passe point le second degré;
que parmi ces lieux il y aic coujours un cercle comme
étane le plus simple, e aussi une Parabole, une IIyper-
bole équilatere _c. Or c’est ce que j’ai caché d’execu
cer dans les Lemmes _ les Propolitions qui luivent.
L E MI M E FOND A MIE NT AL.
Pour la construction des Fcalités du troisieme es du quatrieme
decré, par le moyen d’un cercle, es d’une Parabole donnée.
383. Sorr proposée l’égalité xt L 2b X: - F aCX X
=a a d X = a3 f =0, dans laquelle x est l’inconnué, e
a, b, c, a, f, Tone les données; ex loit supposée une aurre
inconnuey celle que son rectansle par là connué a, Poie
égal au rectangle de x - F b Par x. Cc qui donne les
equarions luirantes.
1C. ay = = X X - + bX, de laquelle quarrane chaque
membre, On trouve xt - t 2b XD = F bbX X = a ayy; de

## Folio 300 — 884859711:0356
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300
PTV R E NT EBV TF M Eo
metrane à la place de x+ - F 2b x3 Pa valeur aapy = bb xX
dans l’égalicé proposée xt ecc. on la chansera en cetre
seconde équation.
2C. gy -  ∞ X - F = X X = a  - a f = 0, dans laquelle
mettane à la place de xx la valeur ay = b xtrourée Pax
le moren de la premiere équation, 1. DanS = = X X.
20. DanS = X X. 30. DanS = bB X X - F = XX, On arrire a
ces crois difterentes equarions.
b
3c. gy - - y-Y
4c. yy-
22 - + = X X. - d X = af = 0
aa
2 N X -  Cy - - X - d X = af = 0.
5. yy- F cy -  y -  x- +   ∞ = a x = af. = 0. Si
L’on recranche de cerce cinguième équarion, la premiere
X X - F b X = ay =- 0, et qu’ensuice ou la lui ajoute, On
aura ceS deuX aUEreS.
6. 9y - + cy - - y - + a y - ∞ X - b x - - X - + = X = cb
af = 0.
7 gy - + Cg - - y - ay - F X X - F B ∞ -  ∞ - + - X
d X = af= 0.
Maincenant si l’on prend pour les inconnues x e y
deux lignes droices AP, PAs, qui fassent entr’elles un
angle quelconque LPM; il est évidene que le lieu de
la premiere équarion est  une Parabole: que celui de
la seconde peur-être une Parabole, une Elliple, ou une
FIyperbole selon que bb est egal, moindre, ou plus
grand que ac; que celui de la croisième est une Ellipse,
Arc. 328. Qui deriene un cercte x lorsque s= a et que l’anole
 319. AP Ml est droic: que celui de la quaerième est une Ilv.
Arr. 335. Perbole, qui derient équilatere  lorlque b =a: que
4 336.
celui de la cinquième est encore une Parabole: que ce-
Jui de la sixiéme est une TIyperbole équilatere: ex enfin
que le lieu de la seprième est un cercle, lorsque l’angle
APML est drOit.
Art. 320.

## Folio 301 — 884859711:0357
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DE LA CONSTRBCTION DES EGALLTES.
R E M A R GV E F.
304
384. STL y aroit = 2 b x3 dans l’Égaliré provolée au
lieu de == 2b x3, il Faudroit changer dans toures les
egnations les signes des termes ou b se reNCOMErE aVeC
une dimention impaire; et si le second cerme manquoit,
il Faudroir ettacer tous les termes ou b le croure. II en
est de même a l’égard des aurres cermes de l’égalité pro-
Polée par rappore aux lerrres c, d, f, qu’ils renterment.
Mais l’on doir remarquer que dans cous les differens
changemens qui peurent arrirer, le lieu de la premiere
équation sera une Parabole, celui de la lixième une
Eiyperbole équilatere, dt entin celui de la derniere tou
jours un cercle lorsque l’ansle APM eA droit.
R E M A R OV E IF.
385. Orr a choisi poux premiere equation X X - + b ∞
==ay, PlAEDE que XX bX = = ay ou SIPLCMENE XX = = ay 3
parce qu’en quarrane chaque membre de certe equa
tion, les deux premiers cermes du premier membre
Fone les mêmes que les deux premiers cermes de l’éga-
lité propolée x+. F 2b a3 ec, et qu’ainsi on peur les tai-
re éranoiir touE d’un coup Ce qui donne une nouvel-
le équation donc le lieu n’est que du Second degré, et
qui étane combinée en differentes tacons avec la pre-
miere, sert d̀ en trouver (comme l’on viene de voir)
plusieurs aurres, done les lieux n’écane que du seconc
deoré, se construilent aisémene, parce qu’elles ne ren-
termene point le plan xv; ex entre lelquels le lieu de la
derniere équation, est toujours un cercle, en luppo-
TanE que les inCOnMMES x ec y Fasene ener elles un angle
dxoit.

## Folio 302 — 884859711:0358
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L EV R E ZY F B Y YE M F.
P R OPOSITTONIV.
Problème.
386. PRovren les racines de l’écalité proposée Xt
F2bZ3 - F aCZX -- 22 dX - a8F =-0, par le moyen d’une
Parabole ex d’un cercle.
86. 217. Ayant pris pour les inconnues e indécerminées x _y,
les deux lignes droites AP, PMI, qui FasenE enEF eIleS
L. 310. un ansle droit APM; je conttruis  d’abord la Para-
bole qui est le lieu de la premiere équarion du Lemme,
e entuice le cercle qui estle lieu de la seprième: X leurs
interlections me servene à décourrir les difterentes va-
leurs de l’inconnue x qui ferone les racines de l’égalicé
proposée. Cela SC FaIE EH CCFTC LOTEC.
Ayant pris sur la ligne AP prolongée de l’autre coré
de  la partie AD =- =b, on menera par le poine D
une parallele à P M, Tur laquelle on prendra la partie
DC = = du coce oppolé à PM; et on décrira de l’axe
CD qui aic son orisine en C, ec donc le parametre Coie
cgal à la donnée a, une Parabole MCMI. Cela Faic on
menera par le pointtxe L une parallele 9 à PM
sur laquelle ayant pris la partie AB = = a +  = = C
= FS Pour abreser, on rirera parallelement à A P l2
droire BF = = d + = Sçavoir - -= lorsque AB --- +8
cest d dire lorsque la valeur de AB est posicive, et
+ =S Iorsque AB = - 8; en obserrane de prendre ou
mener ces deux lignes AB, BF, du core de PMT IOrF-
que leurs raleurs lont posicires, ex du coce oppolé lorl
qu’elles sont negatires. Nommane entin P A; m; on
décrira du Centre F, e du raYON P M = vmm-F af
un cercle; e menant des poines Ms ou il coupe la Para-
bole des perpendiculaires M P sur la liene AP: les pax-
302

## Folio 303 — 884859711:0359
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DE EA CONSTRDETION DES FOALITÉS, 303
eies AD de cerre ligne marquerone lesracines de l’éga-
licé, sçavoir les vraies lorlque les points P combent du
core ou l’on a suppose Put en failane la construction,
et les Fausses lorqu’ils combent du core oppolé.
Car prolonseant M a parallele à AP, e qui ren
Contre l’aZe CG au POIHE Z, On aUFA AIF ou AP
t AD = X - + = b, CZ OU MIP, F DC = y -+
a idc
par la propriecé de la Parabole MI L ==CLXa, c’est à
dixe x X - F bx - + = bb == = bb. + aY, OI X X- F bx = a y
qui est la premiere équation du Lemme: MaincenanE (I
P’on prolonse P B julqu’à ce qu’elle FeNCONETC PMT CN
R, et qu’ontire le FaOn P ML; on aura a cause du crian-
sle rectansle PR AT Le quarrE EMI = ER- + R AY
EB -F 2 E BX BR - F BR - F P NI = 2 ABL P MI
F AB = FB= + BA = + af par la construction; c’est
 dire en effacane de pare d d’aurre les quarres FB,
B  EE MCTLANE POur Z AB Ca valeur a =L 3 =C, e
POuF 2B F (a valeur 223 = d ou b -, 53
2d
a = d, ec
pOur BR Ou AP et PAs leurs valeurs x ecy, la seprie
me equation gy - + cy - ay - = y - F X x - F b x - + = X
S x = d X = af, dans laquelle si l’on met à la place
dey la valeur ur Fb crourée par la premiere equation,
d à la place de rr le quarré de Cerre valeUT, ON TeEROU-
re l’équation même propoléc x+ - F 2bX3 F aCXX = aadX
=a f=0. D’ou l’on roit que la ligne AP exprime une
racine vraie de cerre égalité.
Si l’on obserre de prendre =x pour AP e -y pour
PMI, lorsque ces lignes combene du coré opposé ou on
les a supposées en failane la construction; on crouvera
coujours par la propriecé de la Parabole la premiere
équacion, ec par la proprieré du cercle la leprieme.
DOnC _C.

## Folio 304 — 884859711:0360
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PEVRE NEDYTE M F.
GOROLLAFRE I.
387. lL. est visible qu’on rendra la construction pre-
cedence generale pour coutes les égalicés du croisième
e du quatrième degré, et qu’on y emplovera coujours
une Parabole qui ait pour le parametre de Pon axc une
ligne donnée a; li l’on oblerre 1. De mulciplier par (2
racine x l’éraliré lorsqu’elle n’est que du croisième de-
Art. 376. Fre; et de prendre une ligne = 2b égale à toures celles
Art. 377. Quimulcipliene r, un plan = ac égal à ceux qui multi-
pliene xx, un Colide a a d ésal aux Colides qui mulcipliene
oc, e entin un sursolide a3f égal aux cermes entieremene
connus de l’égalicé donnéc. 2. De changer dans les
raleurs des lignes AD, DC, AB, BF, E MI, qui dé-
cerminent la construction de la Parabole et du cercle,
les liones des termes oi b se renconere avec une dimen-
Gon impaire s’il y a = 2b x3 dans l’égalice donnée, par-
ce qu’il y avoic - F 2bx dans celle du Problème; et
d’eftacer tous les termes ou b le croure ( le terme 2 b ∞ 3
manque, parce qu’alors b =-o: comme aussi de Faire la
même chose à l’égard des cermes ou c, d, f, le rencon-
ETenE. 3. De prendre ou mener ces lignes du coré de
PNI lor(qu’elles lont politires, et du core oppolé lorl-
qu’elles sont negatires. On aura donc AD =- F =b
lcavoir = =b lortqu’il y a = F 2b x3, e- + =b lor(qu’il y
-
= =C== F 8, IcaVOIF = =C
lor(qu’il y 2 - F aCXX, X - + =C lorlque c’est = a CX X ;
BF = + = =F = d, (çavOIr = 3 lOrtque AB =- +5,
eE qu’il y a - + 26X3, ou bien lOrsque AB =-G, EE
qu’il y a = 2b x3; X au contraire + = lorique AB =
8 e qu’il y a = 2b x3, ou bien lorique AB = -8 e
qu’il y a - F 2bX (c’est à dire - - lorlque les valeurs
de AB _ AD sont l’une politire et l’autre negatire,
ex -+ .S lorsque ces raleurs sont roures deux ou polici-
YCS
MIIIMIHIIAMI IM
11I
MIIIIIIIIIIIIHIIMIIIII
304

## Folio 305 — 884859711:0361
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LAVCTION DES EOALITES. 305
res ou neoatires); comme au-+ = d lorqu’il y a
aadx, ex = = d lorlque c’est - F a a d X: _ CnAn F MP
imm-F af, sçavoir- + aflor(qu’il y a = a f, & - af
lorsque c’est-t a f. D’ou l’on tire certe construction
Feometrique qui est generale pour tous les cas.
Onc Parabole M C Ml qui a pour axe la lione C6 F16. 217.
done le parametre est égal à la ligne a, érane donnée.
de ayane reduir l’égalice proposće tous certe forme xt
F2bX F aCXX F a a d x = F a3 f = = 0; On MCNera unC
lione AB Parallele à l’axe CO qui en soit distante de 2b.
du core droic de cer axe lor(qu’il y a - F = b x dans l’é-
falice donnée, e du côre sauche lorsqu’il y a = 2b x3
On cirera par le poine A ou la lione AB rencontre la
Parabole, une perpendiculaire AD sur l’axC CC; _
On prendra lur cet axe les parties D F == = a, FO ==2CD
coujours du coré oppolé à son origine C, e la partie
GX = E C vers lon origine C Torlqu’il y a - + a CX X,
X du core opposé lorsqu’il y a = a c x x. On mene-
xa ensuire par les poines decerminés A, F, une li-
one droite indétinie AF, e par le POInE K une per-
pendiculaire à l’axe qui rencontre AF en TY; et on
prendra sur certe perpendiculaire la partie PIF = = d
du coré droic lorsqu’il y a = aa dx, et du cote sauche
dor(qu’il y a-+ a a dx. Cela Faic, on décrira un cercle
du CenEre F, _ du FaYON F M = = AF, lorlque le TeF
me af manque dans l’égalice donnée, c’est à dire, lort
qu’elle n’est que du croisième degre: mais lorsqu’elle eA
du quarrième, on prendra lapres avoir nonmé AF, m:)
le rayOn P. M =rmmLaf, sçavOIr- + a fsil Y 2 = a .f
e = af s’il y a - + a3f. Entin des poines Mou ce cercle
rencontre la Parabole donnée, menant des perpendi-
culaires MO Tur la ligne AB; elles serone les racines
de l’éralice donnée; lçavoir celles qui combene du coré
droic de cetre ligne, les rraies; ex celles qui combenE
du core rauche, les fausses.
Car prolonseane PY X julqu’à ce qu’elle rencontre la
lione AB au poine B, on 2 par la construction BK ou
DE EA COF
SIIITIIIHIMIIIIIIIIMIIIIIIIIMNIIIHAIIIIIIIMIIIIIIMIIIIINIIIIIIIIII

## Folio 306 — 884859711:0362
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306
LTPRE N EDVI E MF.
AD = = = b, ScarOIr = = b lOr (qu’il Y 2 - + 2bX e
+ = b lor(que c’est = 2bX3; e par la proprieté de la
Parabole, CD = 3 DONC DG OU DF-+ FC = = a
+
3
a3 d DK OU AB = 2 a - +  F ZC = F 8, (C2-
voir = =C lor(qu’il Y a - F aCX X, X - + =C lor(qu’il Y 2
=acxx; X l’on doic obserrer que le poine Bcombe du
core. de P M lorlque AB ==- F8, c’est à dire lorsque
la valeur est politire, e du coré oppolé lorsqu’elle est
negatire. Or à cause des criangles semblables ADF,
ABFZ, ON aUFA D F (Z a). D A (= Eb):: AB( F8)
BFT = + S (GaVOIr - + B lor sque les raleurs de AD
et de AB lonc toutes deux positires ou nesatires, de
S Tor(que l’une d’elles est posicire et l’autre negatire.
EEPATEANEBE = + 25 F = d, sçarOIr = = d lor(qu’il Y 2
aadx, et -  = d lorsqu’il Y a = F aadx; e l’on doit enCO-
re obserrer que le poine s combera du coré de PM lOrI.
que la raleur de BE estpolitire, et du core oppolé lor
qu’elle est negatire. D’ou il est éridene que par le moyen
de cerre construction on déterminera dans tous les cas
possibles coujours comme il est requis, le centre F dut
cercle.
Si le second cerme 2b x3 manguoie dans l’éralice don-
néc, il est clair que les lignes B, AF, comberoient
Tur l’axe C6, en Corte que les points A, D, le confon-
droiene arec l’origine C; puisque b =-0. Ec par conse-
quene le poine O comberoit sur le poine F, e les points
F 16. 210. FL, B, Cux le Point R: ce qui rend la construction ge-
nerale beaucoup plus simple. Car il ne Faudroit alors que
prendre sur l’axe la partie CF== a toujours versle de-
dans de la Parabole, et la partie PR = =c vers l’orioi.
ne C lor(qu’il y a = F aCX x, X du coré oppose lorsqu’il
Y a = a CX X; MeNEF RF = E d perpendiculaire à l’axe,
du core sauche lorsqu’il y a - t a a d x, et du cocé droit
Tor(qu’il y a = a a d x; X acherer le relte comme dans
la construction generale, en oblerrant qu’ici LC =M.

## Folio 307 — 884859711:0363
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DE LA CONSTRDCTION DES FGALITES. 307
De même si le terme a cxx manque, le POINE R EOM- F16: 217.
vera sur le point C; ee l c’est le cerme aadx, le centre
E du cercle combera en TI.
COROLLALREHI.
388. ON peur encore trouver une construction plus
sple pour les égalicés du croisième degre qui onE un
second Terme, en les mulcipliane par l’inconnue plus ou
moins la quantiré connui du second terme, sçaroir plus
cerre quantiré quand le second cerme est affecté du signe
_ moins cetre quantite lorsqu’il y a le Sionc- +; ce qui
donne une équation du quatrié̀me degré ou le second
cerme est éranoiii. Ou’il faille, par exemple, crourex
les racines de l’égalice du croisième degre, X =bX X
F apx - F aaq =- 0: je la mulciplie par X - F b pOuF
aroir l’égalicé du quatrième degré, xt  t apXX- t aag
+ aabq = 03
=bbXX - + abpX
dans laguelle le second terme est éranoiii; je me sers a
present de la construction que l’on vient de donner pour
ces forres d’égalices ou le lecond cerme manque, et j’ai
CK (2a L =C) = = a - +  = =P, KE (= d) = = g- +
_ le rayon du cercle FM =Vmm -bg: ce qui donne
cette construction.
Ayant mene une parallele à l’axe C D qui en foir di(- F10. 279:
cance vers le core rauche d’une lione érale à b. e gii
rencontre la Parabole au point A, je eire par l’orioine
C de l’axe la droite C, sur laquelle j’élere par son
poine de milieu o une perpendiculaire indéfinie O6 qui
rencontre l’axc au point c. Je prends sur l’axe vers lon
orioine C la partie BK = Z p, _ ayant ciré par le poine
K une perpendiculaire à l’axc qui renconere la ligne
OO au poine FI, je prends Tur cerre perpendiculaire
prolongée du core de FT la Parrie IPF = =9, ex je de-
Cris du centre F e du rayOn E. A un cercle. Je dis qu’il
coupera la Parabole en despoines M, d’ou ayant abail.
se sur l’axe des perpendiculaires MQ; celles qui seronE
41)

## Folio 308 — 884859711:0364
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308
LIVRE N EBV TE MF.
a droie, marquerone les rraies racines; et celles qui le
rone à fauche, les Fausses de l’égaliré propolée x3 =bXX
apX. Ya
1 = 0.
Car aranc mené les perpendiculaires AD, OZ, Tux
Paxe; on aura par la construction AD =-b, e par la
proprieré de la Parabole CD ==. Donc puisque C A
est dirisée par le milieu en 0, les triansles semblables
C AD, COZ, dONBETONE OE = =b, CF ==; _ a
cause des criangles rectanoles (emblables CFO, OFO,
2a). =O (= 6):: =0(:b). 26 = =a, d
par consequent CR Ou CF - + 26 -CK =- = a -1 6
2P. De plus à cause des criangles semblables 6LO,
GKFZ, ON ErOUVC KTZ = , _ KTI- FZYF OU RF
==g- +  qui cend du coré sauctre de l’axe, comme
il est prelerit dans la construction lorsqu’il y 2 - t a a d X.
LeDOInE E est donc le centre du cercle lequel doie de-
cerminer par les interlections avec la Parabole donnée
touces les racines de l’éralice du quacrième derré
Xt F apXX ZC. Or comme les racines de cerce éralicé
Tone celles de la propolée X =bxx - F apX - + aaq =- 0
avec une Fausse  D (b); il s’ensuie que ce cercle doie
passer par le poine L. DOnc _c.
On Peut encore s’alturer par le cascul que P  eAt Je
raron du cercle cherché. Car mevant EB parallele x
Paxe, on aura (à cause des criangles rectangles EBA,
E KC) les quarres des hrpochenules s =FB Bi
_E FC =CK = L KF e par consequene il s’agie de
PrOUreF que FB - + BA == ER- + RC - b9, puilqu’on
doit prendre FM = =Vmm -bg. OF eH mettanE à la
place de ces lignes de part et d’auere leurs valeurs an2
Eyciques, on erourera les mêmes quancires. Et c’est ce
qui doic arrirer, (i le rayon cherché FM == F A.
Poux rendre cerre construction generale, il faur ob

## Folio 309 — 884859711:0365
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DE LA COHSTADCTIOH DES FOALITES.
Terret, r. De mertet du core gauche de l’axe la paralle
le qus en est distance d’une lione égale a b, lorsqu’il y a
Exx dans l’égalice proposée, e du coré droitlor(qu’il
Y 2 - + bX x. 2. DC Prendre LUF L’aZCCK == = p du COrC
de lon origine C lortesuil y a - F a p x, ec du COEE OP
Pose terqu’il y a apx. 3. Deprendre IIF = = 9 du
core sauche lorsqu’il y a- r aag, ex du coré droic lorL.
qu’il y a = a ag. LOuE cela CA EFOP CrIdENE POUF M’aE
recer à le démontrer en décail.
R E M A R Q V F I.
389. IE est a propos de remarquer, ro. Oue s lecer-
ele ne coupe la Parabole donnée qu’en deux points, il
s’enluirra que l’égalicé propotée n’aura que deux raci-
nes réelles lorsqu’elle est du quarrième degré, e qu’une
seule lor(qu’elle est du troisième, et les deux autres ima-
ginaires: comme dans la figure 219. Ou le cercle ne con-
De la Parabole qu’en deux poines A, M; l’égalité x4
+ apXx = bbX X _C. n’a que deux racines reclles AD,
MtO, qui Cone routes deux Fausses, parce qu’elles com-
Benc du coré gauche de l’axc. 20. Ouc si le cerele ne
coupoir ni ne rencontroir la Parabole en aucun poine
ce qui ne peucarrirer lorsque l’égalice est du croilième
derré comme l’on voit par les constructions preceden-
cCs) les quatre racines leroient imaginaires. 3. Jue s’il
la couchoit en un poine l’égalité propolée auroit deux
racines érales chacune à la perpendiculaire menée de
cepoint; ce qui rient de ce qu’on peut considerer un
cercle qui touche une Parabole, comme s’il la coupoie
en deux poines intinimene proches l’un de l’aurre, qui
sont recardés comme réiinis dans le poine couchanes
mais alors l’égalite proposée le pourroit abaisser à une
du second degré par les resles de l’Algebre ordinaire,
de Porce qu’on n’auroir poine beloin d’une Parabole
pour en trourer les racimes.
309
24 s

## Folio 310 — 884859711:0366
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LIVRE NEOVFEME.
R E M A R O V F II.
390. Or l’on tair accention à ce qu’on démontre en
Algebre qu’en coure égalité ou le second termemanque,
 qui a coures ses racines réelles, la somme des vraies
est égale à la lomme destausses; on verra naitre ce Theo-
reme.
5863 218. S’il y a un cercle qui coupe une Parabole en quatre
Doints Mr d’oi l’on abaisse des perpendiculaires MIO Tux
l’axe CF: je dis que la Comme des perpendiculaires que
combent du core droit de l’aze, sera égale à la comme
de celles qui combent du coré gauche.
Car R l’on prend vers le dedans de la Parabole Cur
l’axe depuis lon origine e la partie CF égale la moirié
de lon parametre que j’appelle a, e qu’ayanc ciré du
centre L du cercle la perpendiculaire FK sur l’axe, on
Fase FK == = C, R F = = d FC = FM = af; il est clair
par la construction qui est à la fin  du Corollaire pre-
nier, que les perpendiculaires MSO seront les racines
de certe éralicé X + - aCX X- F aadx - F a 3 f -- 0 dans
laquelle le second cerme manque; sçavoir celles qui
combent du coce droit de l’axe, les rraies; e celles qui
combene du core gauche, les fausses. DOnc _C.
Si le cercle passoit par l’origine C de l’axe, il est vit
ble que l’une des perpendiculaires M O deviendroit
nulse ou zer0; ex qu’ainsi il y auroit alors une perpen-
diculaire d’une pare de l’axe égale aux deux autres de
l’autre part.
Si le cercle couchoit la Parabole en un point ex la
coupoir en deux aueres, il faudroit prendre le double
de la perpendiculaire menée du poine couchane; puis-
Arr. 389. Que (comme l’on viene  de dire) on peur resarder co
cercle comme s’il coupoit la Parabole en deux points
intinimene proches l’un de l’autre, lesquels se reiinisfene
au poine couchant.
Art. 387

## Folio  -  — 884859711:0367
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217
II.
Planche 23. page 310.
. . . -
Ll0.
ce
+ 
HSISCHE LANDI

## Folio  -  — 884859711:0368
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000368.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 5 lines, status machine
ss    s   ssssstt
HIEDERSALHSISCHE LANDESBIBLIOTHIEK
Loiton. Mlar9. 155, (3C
GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ BIBCITHEK
eeeeeeeeeeeeeeeeeee

## Folio 311 — 884859711:0369
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DE LA CBASFROCTION DES EBALTTES.
R E M A R OBF TTI.
39r. CCOMME l’on ne peur imaginer en Greometrie
des produies qui ayene plus de crois dimentions; puisque
de Tolide, qui est la quancicé la plus composée, n’en 2
que crois; on pourra diriser, s l’on veut, tous les ter-
mes d’une égalicé proposće qui passe le croisième degré.
par celle ligne donnée qu’on roudra, éleréc d une puit-
lance moindre d’une unité que chacun de les cermes n’a
de dimentions: ce qui ne troublera poine l’égalité, de
fera que chacun de les cermes, n’exprimera plus que des
liones droites. Soit, par exemple, l’égalicé du quatrié
ine degré x+ - L 2b X 3 - F aCX X - - a a d X. - a3f = 0; je la
dirise par a, ce qui donne 
 2b∞3
CdbX
du
==0, dont chaque cerme n’a qu’une dimension, e n’ex
prime par consequent que des liones droites. On choi-
Sc oxdinairemene la ligne qui se croure repetée le plus
Touvent dans tous les termes de l’équation propolce,
comme est ici la ligne a, et même quelquetois on la
Consentend, en la regardane comme l’unicé dans les
nombres, qui ne change rien aux quantités qu’elle mul-
riplie ou qu’elle dirile: ainsi en Failane a =-i, on écrira
X - F 2b ∞ 3. F C∞ X - d X - f = = 0, au lieu de x  F 2b X 3
FaCXX a a dX - a3f == 0 Ou de  -  2bx
euse dee
aa
at
f =0. Il en est de même des égalicés du cinquié̀me
_ du sixième degré, ec.
RLEM A R OV e IV.
292. Sr après avoir construie le cercle qui est le lieu
de la derniere équation du Lemme, on construie une
Section conique qui soit le lieu de celle aurre de les
equarions qu’on roudra; ces deux lieux déterminerone
par leurs incersections les racines de l’égaliré proposée;
dont la raison est que failane éranoiiir par le moyen de
leurs equations l’inconnue y, on rerroure l’égalice même
propolee.
3EC

## Folio 312 — 884859711:0370
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000370.jpg
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312
L XY R E N E D V FF H F.
De la il est évidene qu’on peuc construire certe éga:
lité, 1. Par le moyen d’un cercle e d’une IIyperbole
équilacere, en le serrant de la leprième et de la Cixième
equation du Lemmc. 2. Par le moren d’un cercle, dt
d’une Ellipse dont l’axe parallele à AP est à son para-
merre comme a ck à c, en se servant de la seprième et
de la croisième équation. 3. Par le moyen d’un cercle,
e d’une IIyperbole done l’axe parallele à A P est à son
Paramerre comme a a est à bb, en se servant de la seprie
me ex de la quatrième équarion. Or comme la ligne a,
dont on le lere pour reduire Tous l’expression ac cOuTeS
les quancirés qui mulcipliene xx, sous l’expresion aa d
celles qui mulcipliene x, X entin sous l’expression aif les
quancices encierement connues, est arbitraire; il s’enluie
qu’en prenant pour cerre ligne a une infinité de diffe.
rentes grandeurs, on pourra construire l’égalité propo-
Sec par le moren d’une infinité de cercles, et d’Elliples,
ou d’Elyperboles equilareres e non équilateres, EOUTCS
differences entr elles.
On a ru dans l’arricle 387. qu’en prenant pour l’uni-
ce arbitraire a le parametre de l’axe d’une Parabole
donnée, on peur en le serrant de la premiere e de la
seprième équation construire l’égalice propolée par le
moyen d’un cercle et de la Parabole donnée: e je vais
faire voir qu’en décerminant certe ligne a d’une certai-
ne maniere, on peue construire l’égalicé par le morem
d’un cercle e d’une Ellipse ou d’une Lsyperbole sembla-
ble à une Elliple ou d une LIyperbole donnée. Car la
railon de les axes érant donnée par la supposicion, la rai
Con de l’axe parallele à AP avec lon parameere sera
aussi donnée. Si donc l’on nomme cerre raison donnée
; on aura lor(qu’il s’agit de l’Fllipse = = , e par-
aCd
FanC aa = ; d’ou il suie que si l’on prend pour l’uni-
Art. 378. ce arbitraire a, la racine d’un quarré aa ćgal  à une
quancire connue ac qui multiplie xx dans l’égalicé
donnée

## Folio 313 — 884859711:0371
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000371.jpg
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DE LA CONSTRDCTION DES FOALITES. 313
donnée, e est mulcipliée parn on construira l’éralicé en
se serrant de la seprième et de la croisié̀me équation, par
lemoren d’un cercle ex d’une Fllipse dont l’axe parallele
à AP. sera à son parametre comme m est an, puisque
=. Mais lor (qu’il s’asic de l’FIyperbole, on aura
m
3
ex PATEANE a = bV; d’ou l’on roit que si l’on
prend pour l’unité a cerce valeur, et qu’on construise
l’égalire en se serrane de la seprième e de la quatrième
equation, l’axe parallele à A P de lTIyperbole qui est
le lieu de la quarrième, sera à son parametre comme m
est a n, puisque 
a. Erc’est ce qui éroir propolé.
R EM A R QVE V.
393. L.a ligne a qui faie l’oftice de l’unicé, ec qui est
arbierairz. suftic comme l’on viene de voir pour con-
struire l’égalice proposée, par le moyen d’un cercle ex
d’une Parabole donnée, ou bien par le moyen d’un cer-
cle, e d’une Ellipse, ou d’une LIyperbole semblable à
une donnée. Mais lor(qu’il est quection de la construire
par le moyen d’un cercle, ex d’une Elliple, ou d’une IIY.
perbole donnée, une seule ligne arbitraire ne (uHIE
Pas; il Faur en introduire d’autres dans l’égalité pro-
Polée, atin de pouroir les décerminer ensuite de manie.
re que la Section donnée serre. C’est ce que l’on ra exe-
cucex dans le Lemme suirane.
LEMIM F FOND AMEN FAL
Pour la construction des Ecalités du troisiéme ex du quatriéme
déeré, avec un cercle es une Ellipse, ou une FLyperbole
donnée.
394. Sorr l’égalité du quatrième degré Z- t ab ZZ
=aaCZ  a’d=0, dans laquelle les lerrres a, b, c, 4

## Folio 314 — 884859711:0372
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000372.jpg
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314
LFVR E NE B V YE M P.
marquent des lignes données, et la lerrre Z exprime les
racines inconnues de l’ésalice. Je prends une autre in-
connué x = = (la lettre fmarque une lione prile à vo-
Loncé), et substicuane a la place de Z, Z2 et 2 leurs
valeurs -, aa
ata
la CHaNSC CH CCTFC AUErC XE- L F X X - ~ x - + 2s -03
je prends une croisième inconnue pcelle qu’érane multi-
pliéc par fCon produie fy soit cgal au quarré x x de la
seconde; ce qui donne les éguations fuirances.
FE. X X - fy =0; _ substituane à la place de xx, e de
x leurs valeurs fy e fyy dans l’égalité v F  X X _C,
j’ai pour seconde équation.
25. yy - + y = Fx - + a =0, laquelle CtanE ajo1 -
céc à la premiere, donne pour eroilième équation.
35. yy - + =y - fy - F X ∞ - L x - + = = 0, donc lc
Arc. 324. lieu est  un cercle lorsque les inconnues ee indécermi
nées x ec y tont entrelles un angle droit. Se mulciplie
la premiere éguation par la fraction ? dans laquelle e
exprime une ligne celle qu’on veur de même que f, de
jai = xx -= y =0; Et ajoutane certe équarion avec la
seconde, et l’en ocane ensuire, je Forme la quatrième et
la cinquié̀me équation.
4c. yy - +  y - =y - + E ∞ x - = x - +  = 0, dOnC
Art. 324. Le lieu est  une EMlipse.
5. gy - + = y - + 2 y - 8 X X - f ∞ - +  == 0, dOBE
Art. 332. L lieu est  une Hyperbole ou les Hyperboles oppolćes
R E ME A R OV F.
395. Six arrive que quelques termes de l’égalite
propolée ayent des lignes difterens de celle. ci, ou qu’ils
 329.

## Folio 315 — 884859711:0373
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000373.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
DE LA CONSTRDCTTON DES EOALTTES.
313
manguene; les lieux de ces cinq équations seront tou-
jours neanmoins des Sections coniques de même nom:
c’est à dire que les lieux de la premiere ex de la seconde
equation serone toujours des Paraboles, celui de la
eroisième, un cercle, _C.
PROPOSTTTON V
Probleme.
396. CONSFRDTRE Vécalité du quatrième degré
2- F ab2Z = 2aCZ - + 23d =0, avec un cercle donné ex
une FEyperbole semblable à une donnée; ou avec une FCy per-
bole donnée es un cercle.
Je construis separémene les lieux de la croisième e  Art. 324
de la cinquième équation, en prenane pour les incon. es 377
nues e indérerminées x ec y les mêmes lignes AP, F1C, 220.
PMI, qui Fassent ener elles un angle droit AP MI; di e 22I.
les incersections de ces deux lieux me serrent a déter-
miner les valeurs de l’inconnue Z, de la maniere qui
TUIE.
Soit menée par le poine  origine des X, la ligne
AD=
af- b5
parallele à P NI, e du même corc lOrs-
que a surpasse b, e au contraire du core oppolé lorl
qu’il est moindre. Pc ayanc ciré la droire indetinie DOP2
Fallele à AP, Poient priles sur cerre ligne du cocé de PMI
la partie DC = =, e soic décrie du centre C X du
TaYON CF Ou CO = = VCC- + a a = 2 ab- + bb- 4ad,
un cercle. MAINEENANE ayaHE mené AFY - bs + e pa
rallele à PAI & du core oppose, soic tirée la droire in-
détinie FTK parallele à AP, Tur laquelle soiene prises
Ia Parrie FYY = = du CDEC OppOsC à PML, e de pArE
et d’autre du poine 7 les parties TK, 2Z, égales cha-
cune a L YCC =h8- + 4d8 Ou =- 1h8 = 4 d8 = cc (OM d
RF ii

## Folio 316 — 884859711:0374
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000374.jpg
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316
LPYRE N EOVTEME.
pris poux abreser h =  =5). Soir entin décrice de P’axe
Z K (qui doit eere le premier lorsque cc - + 4 d8 est plus
grand que h8, et le second lor(qu’il est moindre) qui
LOIF d ION PAFAMCErE RO commé a est a g, une IIYpCF
Bole ou les PTyperboles oppolées qui rencontrent le cer-
cle en des poines M, M, d’ou foiene abaissées des per-
pendiculaires MIP, M P, Tur la ligne P. Je dis que les
Parties AP, AP, de cerre lione seront les racines de
Veoaire   +  ∞ ∞ = F X-  as  0; en observanE
qu’elles lone vraies lorsque les poines P combene du
core ou l’on a suppose ’Ms en Failant la construction,
ec Fausses lor(qu’ils combene du corc oppole.
Car on trouvera par la propriere du cercle la croilie
me équation; ec par la propriece de l’Eyperbole, là
cinguième; et ocane la croitié̀me de la cinquième, on
aUra = y - + fy = = X x = X x = 0, d’ou l’on tire p = 
_ mettanedans l’une ou dans l’aurre de ces deux equations
à la place de y cetre raleur , et à la place de ry son
quarre, on crourera l’égalité n eec. Mais aane les
valeurs de x, on a celles de Z: puisque Z = a.
Maintenane pour lacitaire à la premiere demande du
Problème, je nomme le raron du cercle donné CF, ri
_ jai par consequene r = = VCC- + aa- 2ab- +bb 4ad;
2aY
d’oir il suir que si P’on prend f = sec t au- 1ab + 66 - 4aa 3 lc
FaYON CF ou CG du cercle qui est le lieu de la croisié.
me équation, sera égal à la donnée r. II reste à Faire que
PHrperbole soit semblable a une donnée, c’est à dire
que son premier ou lecond axe LR soir à lon parame
ErC KO en raison donnée de m à n; et il est risible qu’il
ne faut pour cela que prendre 8 = m puilque LR.
KO:: A. Z:: Wo. Bo

## Folio 317 — 884859711:0375
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000375.jpg
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DE LA CONSFRDCTION DES EOALITES. 517
Entin pour faire en Corre que lFIyperbole soit don-
néc, ou, ce qui est la même chose que son premier ou
(econd aXC LK e le Parametre XO de cet axe (OienE
égaux à des lignes données; je nomme d’abord le pre
MIEF aZC Z K, 26; TON PAFAICETE RO, p; _ j’ai RO (pY
 28 _ Z K (21) = F Vcc- F 4 d5 - h8 (il Fave se rel-
Couvenir que h = b- F 8.); ce qui donne 8 = =, e f
Secit ade -: d’Oi t’on voir que (I Cc - + 4 de surp2 AC hG
_ qu’On pFenHe pOuF S X POUF f ceS VaLeURS, ONFrOuve.
ra dans la construction de la cinguième équarion pour
le premier axe LK e lon paramerre KO leslignes dori-
BeCS 2t _ p. Mais s’il arrive que cc- F 4 de Coicmoindre
que he, il faudra nommer le second aze L K, 21; e Con
Paranietre KO, p; ce qui donne comime ci. destus
5=
213 &f
so; ou l’on doir obserrer que
2F X p ne marquene plus a presene les mêmes lignes
qu’aupararane: e s’il arrire que he, dans cerre dernie-
re luppolition ou 21 marque le second axe, surpasse
cc. F 4 d8, il est visible qu’en PTEHANE POur S e f ceS
valeurs dans la construction de la cinquié̀me équation.
on trouvera pour le second axe LR e Son Parametre
RO les lignes donnécs 2+ _ p.
II Faut bien remarquer qu’il peut arrirer que la va-
leur de fPoir imaginaire dans l’une ec dans l’autre de
ces suppositions; e alors on voit que la construction de
viene impossible du moins par cecte methode. OF Com-
Me EOUS leS AuTeUES qui S’en TOnE TerVIS aPFeS MI. SluzC
qui en est l’inventeur, la donnent pour generale; j’en
Ferai une remarque à pare, ou je ferai rois en examinane
Par ordre tous les cas qui peuvent arriver, que danscet
exemple même il peur y en avoir une intinité ou cette
mechode ne réiisiE POint.
Si c’écoiene deux IIyperboles conjuouées qui fussene
données, la construction seroir coujours pottible; car si
Rx iii

## Folio 318 — 884859711:0376
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000376.jpg
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318
LTVRE NEDVPF MF.
apresaroir nommé le premier axe d’une de cesI Typerbo.
lesZK, 25; _ Con parametre RO, p; il se trouroie que la
valeur de f=
81
que he SurpaNat cc - + 4 d8; il n’y auroir qu’à se servir
dans la construction à la place de cetre Flyperbole de la
conjuguée e de lon secondaxe, puilque le second axe
de celle.ci érant lemême que le premieraxe de l’autre, la
valeur de fne rentermeroit plus aucune contradiction. Je
dois encore avertir que s’il arrire que cc- 1 4de=-he, l’é-
quation du quarrième degre s’abaisse à une du second.
RR E M A R Q V F.
397. V. St PFtyperbole donnée est equilatere. On
aura e==a, _ on se Terrira dans la construction du Pro-
blême de Con premier axe, lorsque cc- t 4 d8 surpasse
3.
h8. c’est à dire, en mectant pour h la raleur-, de
pour e la raleur a, lorsque cc. + 4 a d Curpase b. F a;
e du second lorsqu’il est moindre. Et la construction
sera coujours possible.
2. Si le premier axe de lFsyperbole donnée surpasse
son parametre. On se servira dans la construction du
Problème de Con premier axe, lorsque cc, t 4 a d (uI-
passe b- t a; car il suic de là que cc- F 4 de Turpa sCB8.
c’est a dire (en mulcipliane par = CL MCEFAME pOuT h (a
valeur =  S) que  + + a d surpasse b- F3, puisque
dans cerre suppolirion 8 () étane moindre que a, la
quancire  - + 4 a d Cera plus grande que cc- + 4 a d, et
b- +8 sera moindre que b- t a. Au contraire lorsque
cc - + 4 a d est moindre que b - F à il Faudra se servie
du second axe; car il suie de la que cc. F 4 de est moin-
dre que h8, ou que4 a d est moindre que b- 1 8

## Folio 319 — 884859711:0377
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000377.jpg
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DE ZA CONSTRDCTION DES FOALETES.
319
puisque 27 marquane à presene le second axe qui est
moindre que son parametre p la Quantiré est ici pluS
Grande que a. D’ou l’on voir que la construction est
coujours possible, non seulemene lorsque lHyperbole
donnée est équilatere, mais encore lorsque le premier
axe est plus srand que Con parametre.
30. Si le premier axe est moindre que Con Parametre.
II Faudra necessairement lorsque cc. t 4 a d surpalse
b. ta, se serrir du premier axe; car si l’on employoir le
second, il Faudroit que cc- F 4 de fuic moindre que h8,
Ou que  - + 4 a d Fuc moindre que b - + 8; ce qui ne
peuc érre, puilque 21 qui exprimeroir alors le lecond
axe étane plus grand que p, la quantiré 8 () Seroie
moindre que a. Mais en se serrane du premier axe, il
Peut aeriver que
20
: -+ 4 a d Coic moindre que b - + 3
puisque 8 (Y) est plus grand que a; et alors il est evi-
dene que la construction du Problème deviene impossi
ble, parce que la raleur de f
(Sce. L ado = ) renterme
une contradiction. De même lorsque cc- + 4 a d est
moindre que b- t a, il faut necessairement se servir
du second axe; de comme alors la raleur de g (aP) est
2t
moindre que a, il peut arriver que a-  4 a d Poir plus
8t
Erand que b - + 8, et qu’ainsi la valeur de  sy- cam aue
Poit imaginaire.
II est donc éridene qu’il peur arriver une infiniré de
cas, ou la construction de l’égalice propolée dans le
Problème deriene impossible; e cela lorlque le premier
axe de l’Elyperbole donnée est moindre que son para-
metre, car aurrement elle recsira FOUjOUTS.

## Folio 320 — 884859711:0378
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LFYRE N ED Y FF N F.
C O R O L L A T R F I.
389. Sr l’on prenoie dans le Problème precedent
la quarrième équarion au lieu de la cinguièmé, et qu’on
Fist la construction de même en se serrane de l’Fllipse qui
est le lieu de cerre équation, au lieu de l’FTyperbole qui
est le lieu de la cinguième: il est visible que l’On con-
Aruiroie l’égalité propolée 24 ecc. par le moyen d’un cer-
cle donné e d’une Ellipse semblable à une donnée; ou
avec une Ellipse donnée e un cercle.
COROLLAFRE II.
399. IE est évidene qu’on peut rendre la construe.
tion précedente generalé pour toures Cortes d’égalités
du eroisième e du quatrieme degré, en oblerrant, po
De Faire cranoiiir le second cerme de l’égalite donnée,
lorsqu’elle en a un; de la mulciplier ensuite par la ra-
cine Z lor(qu’elle n’est que du troisième degré; d de
prendre un plan ab égal à tous les plans qui mulcipliene
Z un solidé a ac égal à tous les solides qui mulripliene
Z. de entin un Curlolide a d égal à tous les surlolides
donnés. 20. D’effacer dans les valeurs de AD, DC,
CF, AFZ, TFZ, ZK, les termes ou se troure b lorI-
que Z2 ne se rencontre point dans l’égalicé donnée,
ceux dans lesquels se rencontrent cou dlorsque le qua-
crième ou le cinquième terme manquene: e de chaniger
de honestous les termes ou b se rencontre avec une di-
mensionimpaire, si lecroisié̀me terme de l’équation don-
néc a un signe differene du croisième de la precedente;
comme aussi ceux dans le(quels c Ou d sC TeNCOHEreNE
arec une dimension impaire lorsque le quatrième ou le
cinquième cerme ont des signes differens des quatrième
_ cinquième de l’égalité précedente. 3. De prendre du
coré de PMt ces liones lorsque leurs valeurs Pont poli
rives, et du coré oppolé lorsqu’elles lOnEnegativeS.
R EM AROe

## Folio 321 — 884859711:0379
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DE LA COASTRDCTION DES LGALITES.
R E M A R OB F.
321
400. Or peut toujours rendre la construction pre.
cedente plus simple dans les égalites parriculieres qu’on
se propole de construire, en failane en Porre que a soit
égal àb; car il n’y a qu’a reduire l’égaliré donnée sous
Cetre Forme 27 + a a ZZ F a aCZ F a d =- 0, au lieu de
Certe autre Z= F ab ZZ + a aCZ F a3 d = 0. Cc qui a em-
pêché de le Faire d’abord, c’est qu’on avoit en vué de
rendre la construction du Problème generale pour tous
les cas, comme l’on riene de faire dans le Corollaire
precedent, et que pour cer estet il falloir que chaque
cerme de l’égalité rentermat des lecrres differentes b, c.
d, au premier degre.
PR OPOSITION VE
Problème.
AOL. CONSTROTRE les racines de lécalité 2 =b7,1
=2C22 - + aad2- t aahh =-0, par le moyen d’une FFy-
perbole donnée entre ses Asymptotes, ex d’un cercle.
Ayane Faie Z =, on cranstomera l’égalite donnéc F10. 222.
en cette autre x - x -  XX 1 a f X + bts = 0.
AYanc mené d’un point quelconque M de l’FIrperbole
donnée qui a pour centre le poine 1, une parallele MP
à l’une des A(ymptoces AO, X qui rencontre l’aurro
au poine P, on nommera les inconnues e indécerminées
P, X; PM, y; lesquelles Fone encrelles un angle don-
né APM, e on aura par la proprieté de l’HIyperbole
xy =mm, en suppolan que mm en soit la puistance.
Maincenant si l’on prend f = =m V ?, on aurahff=amm,
e
hitos a
2
=m = X Xyy: e mettant à la place de Bhs
2a
est le derrier rerme de l’ésalicé précedenre la raleur

## Folio 322 — 884859711:0380
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322
L TV R E N EDV E E M F.
Xxyy, _ dirisanE enIUIEC PaF XX, On FrOUVeTA X X - = ∞
-
as
au ry =0, qui se change (en MCEEAHE danS
ar a la place de x la valeur  rourée par le
moyen de l’équation xy ==mm=) en CCCECAUErE XX
Art. 328. -  x -  - 1 - y - ry y = 0, done le lieu est  un cer-
cle lorsque l’anole A P _L es droit.
Mais lorsque l’angle AP MI n’est pas droit, ou (ce
qui reviene au même) lorsque l’Fyperbole donnée n’est
Das Equilatere, il est érident que le lieu de la derniere
éguation n’est plus un cercle, mais une Flliple. C’est
pourquoi atin decrourer une équation done le lieu loie
un cercle, je prens lur l’Alymproce A la parcie AB
== 2a: X aYaHE mené B E parallele à l’aUErE ACyMPEO-
cc A0, je rire du centre s la perpendiculaire A F Tux
BF: X nommane les. données BF, E; AF, e; je mul.
ciplie l’équation xy -mm - =0, done l’HIyperbole don-
néc est le lieu, par =; ec j’ai 5 - emm =0. J’ajoute en
luite cetre équation à la precedenre lorsque l’anole faie
Par les Asympeoces est aigu, e je l’en retranche lorsqu’il
est obtus comme je le luppose dans cerre fgure: cela
me donneyy -s xy - 1 y- FX xx  tmm
Art. ZLI. done le lieu est un cercle  qui se construit ainfI.
=03
Soic prile Sux l’A(yMPEOTC AC la partie AD = 
du core opposé à PM: Poir tirée Parallelement a AF,
es du core de 2 ML Lorsque cer-
ce valeur est positire, e du cote opposé lorsqu’elle
est neratire: Enfin du centre C e du rayon CMI
=V AC- + omm soic décrit un cercle. se dis qu’il cou-
pera lFrperbole donnée et son opposée en des poines
M, d’ou asant mené des paralleles M P à l’AsympEOtE
q
3290
 329.
FXG, 222

## Folio 323 — 884859711:0381
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DE LA CONSTRDCTION DES EGALLTES. 323
AOi les parties AP de l’autre Alymptoce exprimerontles
e
racines de l’égalité x - x3 -  XX- +  x - ( hibs - 0.
Sçaroir celles qui Tont du coré de PML, les rraies; et
celles qui PonE du core opposé, les Fausses.
Cax par la proprieté du CerCle, On ErOUre CeTEC equa
rion yy = = xy- + = y - F v x -  x - e + emm = qui sc
réduir (en mectane pour xy la valeur mm) a cecte autre
X. X - = X - = - + ==y - F yy = 0, dans LaqUCILC METFAHE
entin pour y la valeur mi
bs
a ee pour ry le quarre
de cerre valeur, on retroure l’égaliré même proposée
X+ = = X3 _C.
Si l’angle fait par les Asymprotes éroit aiou; il Fau-
droit changer dans les valeurs de AD ec de CM, les (1-
ones des termes ou e se rencontre, dont la railon est
que BF (8) deriene negatire de positire qu’elle ćroit.
Mais lorsque lIIyperbole est équilacere, il Fauc efacee
les termes ou e le rencontre e mettre pour e la raleur
2a, Parce que AF. combe alors tur AB: ce qui rend
la construction beaucoup plus simple.
Forsqu’on a les differences raleurs de x, il est évidene
qu’on 2 aussi celles de Z, en Fai (anE Z = -7. Er c’eAt ce
qui étoit propolé.
COR OLL A E R F L.
402. St le dernier terme de l’égalité proposée du
quarrième degre, avoir le signe =, il est clair qu’en ope-
xant comme ci delsus, on troureroit une équation dans
laquelle le cerme ry auroit le signe-, e done le lieu par
consequent ne seroir pas un cercle, mais X une LIypeF- = Art. 332
Bole. D’oi l’on roit que cerce methode ne peut servir.
que pour les égalirés du quatrième degre qui one leur
dernier terme arec le signe. t.

## Folio 324 — 884859711:0382
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000382.jpg
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LIVRE NEOVTE MF.
COROLL A FR F II.
403. Or pourra coujours en se serrane de la me-
chode precedence, relondre toure éralicé donnée du
exoisième degré X LnX X F a pX F aaq = - 0; Par le
moyen d’une LTyperbole donnée entre les Alymptotes,
et d’un cercle. Car la mulcipliane par x- Lr lor(qu’il y
2 - F aag, et par x -r lorlque c’est = a ag, on la chan-
gera coujours en cecre aurre du quatrième degre.
X4 F BX 3 F a P X X + a aqX - + a a qr = 0,
Fg F nr
 apr
donc le dernier terme aagr aura coujours le signe-t,
e qui sera par consequent du nombre de celles qu’on
peuc construire de la maniere precedente.
Mais on abreoera beaucoup la constraction en obler-
Vanc 10. De prendre pour l’unicé arbitraire a la ligne m
racine de la puissance de lPIyperbole donnée, qui est le
lieu de l’équation xy ==mm =-aa, puilque m =- a. 2
De proticer de l’indetermineer pour égaler le dernier
cerme aagrarec a=xxyy; ce qui donne r ==. 30
Oue le cercle qui doic décerminer par les incerlections
les racines de l’égaliré coupera necellairemene l’FIyper-
Bole lorsqu’il y a = aaq, e son opposée lorsque c’est
76, 223. = F aag, en un POInE R, d’ou ayane mené une paralle.
lC RFF à lACympEOte AO, la partie AFT de l’auere
Alympeore doir erre égale à r, puilque l’égalité du qua-
exième deoré a pour une de les racines x = Fr. DC Id
on tire certe construction qu’il est facile de rendre ge-
nerale pour couces les égalicés du croisiéme degré.
Je suppose que l’angle faic par les Asymprores de llly.
perbole donnée loit aigu, ee qu’ayane pris pour l’unice
axbicraire a la racine de la puistance de lIIyperbole
donnée, on ait ré duit l’égalité donnée dutroisième de
eré lons cette expression X3 = nX X = a pX -- a ag = 0.
AYanE pris Cur l’Asymptoce AP la parcie AB = 2a, _
mené B E parallele à l’autre AIyMPTOTC AQ, on eire
324
 HuA. BSHI BIHIMIIII

## Folio 325 — 884859711:0383
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000383.jpg
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DE LA CONSERDCTION DES EGALLTES, 325
du centre A la perpendiculaire AF luX B F; eC aYaBE
pris sur O la Parrie AZ =-9 du coré de PML, Parce-
qu’il y a = a aq dans l’esalice donnée, OnTirera L K Pd-
Fallele à AP, e qui rencontre lF Iyperbole au PoinER.
Cela fair, on nommera les données BF, 8; AF, Cd
EK, ri et on prendra sur l’Asympeore AO la parrie
AD =
2g = F d POUF abreSEF, _C On FirerA DC
an- + ar. + ds parallele à AE, en obserranc de pren-
dre ou mener ces lignes du coré de P M lorlque leurs
valeurs Conc politires ex du coce opposé lor(qu’elles Pone
negatires. On décrira entin du cenere C, e du rayon
CK, un cercle qui coupera les Fyperboles oppolées en
des poines MI, d’ou ayane mené des droites M P paral
leles à l’Alymptore AO; les parties AP de l’aurre
Alymprore seront les racines de l’égaliré propolée x
n X X = a p X = a aq =0.
Car prolonseant les droires NI P, KFI, julqu’à ce
qu’elles renconrene la lione DC aussi prolonoće, s’il
est necestaire, auX POines G, F; on aurà (a caule des
criansles rectansles CFR, CO ML) ces deux égalités
GM - + CO =OM, aFK - FCF = =CR: _ PaF CON-
sequent OM + CO ==FK + CF, puisque les liones
CMI, CK, lont rayons d’un même cercle. Or par la
construction (je suppose ici pour ériter l’embarras des
Sgnes - + e -, que  - - q =- - t d, c’est a dire, que
cetre raleur est policire) OML ou PM -F PC = y
+ 8. X - + d, C6 ou DO -DC -- e - an = ar = de
FK Ou RFF, FFFF = g- + = r- t d, CF Ou CD
DF - an + ar + as er
C’est pourquoi mectane d
ea
la Place de ces lignes leurs raleurs analyriques dans l’é-
galite precedente OM - tCO = = FK = F CF, On en
formera d’abord celle. ci gy- + Z xy t 2dy- f. ~5 + e1 x X
+aa
SSiii

## Folio 326 — 884859711:0384
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326
L F V R P N EV V F F ME F.
= n _ = r ∞ = gg - + Erg - +2 d g - + 85  ee pp - nr YY
4aa
en s’épargnant la peine d’écrire de part et d’aurre les
quarres de dec de an tar + as qui se dérruisene mutuet-
lemene. Si l’on considere à presene qu’à cause de lTTy-
perbole, le rectansle xy=rq, e qu’à cause du trian-
sle rectangle AFB le quarre 4aa =-85 t ee, On
chansera l’équarion precedence en celle-ci yy- + 2 d y
F X X = n X = r∞ - g9 - F2dg =nr, dans laquelle met-
tane d’abord à la place de 2 d Ca valeur = =9, X en-
Evice à la place de y ee yy leurs raleurs et , e Or
donnane l’égalicé il viene
X = n X = a pX X - a agX - t a - 0,
r Inr + apr
qui étane dirisée par x = r, dOnNe eNFIN X =M XX = ap X
aag=-0, qu’il falloit construire.
Pour rendre cerre construction generale il Faut obser-
ver, V. De prendre la parcie AL sur l’ACymptore A0
du côré opposé à PM Tor(qu’il y a -t a ag dans l’éga-
lice donnée; et de changer de lignes les termes oi q ee
 se rencontrent dans les raleurs de AD, DC, 2. DC
changer de signes le cerme ou p le rencontre dans la va-
leur de AD Torsqu’il y a- t apx dans l’égalité donnéc,
ee de l’eftacer lorsque ce terme y manque: il Faut faire
la même chole à l’égard du cerme ou n le FenCOnEre
dans la valeur de DO, lor(qu’il y a - Fn X X. 30. DC
chanoer de sione le terme ou e se rencontre dans la va-
leux de DC, lorlque l’angle Faic par les A(ympEOres CA
obcus, ex de l’effacer lorsqu’il est droit, en oblerrane
alOrS que e = 24.
R E H A R QD F.
404. L’ALEEBRE nouS Fournie des moyens Faciles
pour cranstormer toute égalité du quatrième degré, en
une auere du même degre dont les signes des termes
soiene alcernatits. Or comme alors son dernier terme

## Folio 327 — 884859711:0385
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DE LA COASTRDCTTON DES ECALITES
327
aura coujours le ligne-L, il est visible qu’en se serrane
de cecce preparation lor (que le dernier cerme de l’égali-
ce qu’on reue construire a le signe- on rend la methode
du Problème generale pour touces lortes d’égalirés du
quarrième desré. Mais parce quetoures lesracines réelles
d’une esalicé lont rraies, lorsque les signes de les ter-
mes sone alternatits; il s’ensuie qu’on n’a beloin alors
que de lFyperbole donnée, puisque lon opposée qui ne
Pere que pour les racines fausses dévient inueile.
P ROPOSETION VIL
Probleme.
405. SOIT proposée à construire l’écalité du sixieme de
Ere X = bX - + aCX + 2 a d X - F 2 CXX - 2 FX - + 28
0, o X - bX - F CX - + dX- F CXX -- FX - + 9= -0
len sonsentendant la ligne a qui rend le nombre des dimensions
écat dans chaque terme, es que l’on recarde comme l’unité);
par le moyen d’un cercle, e d’un lieu du troisieme degre.
Je prends pour le lieu du croisième degré x= M XX
nX - F g = = p X y, dans lequel les quantirés m, n, P, 9.
que l’on recarde comme données, se doirene décermis
ner d’une maniere convenable pour lacistaire au Problé
me; ce que je fais en cetre lorte:
en quarrane chaque membre, j’ai
X5 = 2 m v5  mm Xt - +  2 m B X3 - L nB N X - 2n q V  gq = pP X ~ yy,
2n
+ 29
2 m q
e comparane les rermes = 2m X, - 2ngX, - + gg avec
leurs correspondans dans la proposée =bx, -fx, +8
je croure m = 2b, 9 == Y8, n =-
Esqi ee par conlequene
X = 2M X - 2.n gX - + g4 = x - bx - fx  18. Si lOr
mec à presene à la place de x =2m x - 2n gX + 99 Ca
raleur pPX Xyy =mmX Xc. trourée par le moyen de
l’équation precedence, et à la place de x - b x -fX
+Q la valeur =cX= dx XC. trourée par le moyen
de l’ésalice donnée, e qu’ayane dirisé PaF XX, On CranE

## Folio 328 — 884859711:0386
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000386.jpg
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328
LF V R E NY E B V PF MF.
pose coutes les quantirés d’un même coré, on formera
cetre equation
PPyy = mMX X = 2MM X = nB = 0.
+2n - 29  + 2m q
FC
- + d - FC
=Art. 328. Done le lieu sera F un cercle si la quantité C - + 2n -m m
(quimultiplie le quarré xx) est positire, e qu’onprenne pp
==c- 1
= =bb; car divi(anE PAE PP, _ Fai (aHE POUF
abreGEF 2r = 2mn. + 24 = d 8C55 =- 2mg. F c- nn  nn - 2m9 - 
On aura yy - F X X = 2YX F 55 = =0: SçaVOIr - F 5sIOrI
que 2mg. Fe Curpasse nn; e - 55, Torsqu’il est moindre.
Pour construire la ligne courbe qui est le lieu de la
premiere équarion x3 - - X X - n X + g = - - pxy, je sup-
Pole à l’ordinaire deux lignes droites inconnues e indé-
terminées AP (X), PAT (Y) qui Fassent encrelles un
angle droit APMI; e je rire par l’origine  des x, unc
ligne droite indetinie LO parallele à PMs, Tur laquelle
ayant pris du coce de PM la parrie AG=, & du core
oppose la partie GB =- 2, je mene du coré de PML la
droite BC =m perpendiculaire à AO. Cela Faic, je
décris sur un plan separé une Parabole ME M qui alE
pour parametre de Con axe la ligne p= =VC +2n mm, e
arane placé ce plan sux celui ci en Porce que l’axe de la
Parabole se contonde avec la ligne A0 e que la Para-
bole s’écende vers le core oppolé à PM, je prends lur
cet axe depuis son origine F vers le dedans de la Para-
Bole la partie FF =BO =- 2. Je me ers entin d’une
lonoue regle indefinie C F mobile aucour du poine fixe
C, e qui passe coujours par le Doine F, _ la FailanE FOUF-
ner aucour du poine c, en lorre qu’elle tasse olister la
partie FF de l’axe de la Parabolé le lone de la ligne
O. Je dis que les deux incerlections continuelles HI, MI,
de cerce reole avec la Parabole MFMS décrirone dans
ce mouremene deux lignes courbes qui lerone le lieu
qu’on
7 3290
l. 24

## Folio 329 — 884859711:0387
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000387.jpg
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DE LA CONSTRDCTION DES POALTTES.
329
qu’on demande. Car par la construction AB ou AC
CB = = --
FO= n puisque AP Ou MO, = x. Or les trianeles
Semblables FO MT, MIDC, dONMeNE FO OU FO- FF
XX
P
q
=mp). QML (X):: D M Ou PMI- AB (v-+ 2
mp
CD(m = X). Donc en multipliane les extrèmes e les
MOYCNS, ON aUTA x = M X X =nX - + g = = = pXy. FE A
l’on prend successirement les poines Ms dans les crois an-
eles qui luirene celui-ci, on trouvera toujours la même
equation, en oblerrant de Faire AP =  = X _ PM =
y lorque les poines P ex Mt combent du coté oppolé
a celui-ci: de Porte que ces deux lignes courbes, qu’on
Peut appeller conchoides paraboliques, leront le lieu com-
Plet de toutes les valeurs cant rraies que fausses de l’in-
connue y, qui répondent à touces les valeurs tant vraies
que Fausses de l’aurre inconnuex, dans l’égalicé XI =MXX
nX - + g = = - pXY.
Pour construire le cercle qui est le lieu de la leconde
Equation vy.- L X x = 2r x -F 55 = = 0, il n’y a qu’a pren-
dre lur la droire indétinie AP la partie AFI =r du
coté de PMs lorsque la raleur de rest positire, et du
coce oppolé lorsqu’elle est negatire; ensuire du cen-
ErC TF X du FaYON FT N = -Vrr F55, SçavOIr =55 lOrI-
qu’il r a.- F ss dans l’équation, e - +5slor(que c’est -5s,
décrire un cercle; car à cause dutriangle rectansle TIP MI,
On aUTA FOjOUES FTMI =FTD F PNI, c’est a dire en
mectant les raleurs analytiques, e cranspolant tons les
Termes d’un COcC yp - = X X = 2Y X - F 55 = 0.
Je dis maintenant que SI des points M ou ce cercle
rencontre les conchoides paraboliques on mene des
perpendiculaires as 0 Tur la droice indétinie AO; ces
lignes seront les racines de l’égaliré proposée: sçavoir
celles qui combent à droit, les rraies; e celles quicom-
bene à sauche, les Fausses. Cax menant des paralleles

## Folio 330 — 884859711:0388
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330
LIV R E NEOVI EIM E.
MP à AO, on ctour par la proprieté des conchoides
CerrE EquaTIOM X = M X x = n X- + g = - PX y, C est a
dire, en quarrant chaque membre, ppXXyy =- X
=2mX _C; e par la propriecé du cercle, CettC auEre
yy - F x x = 2YX =F55 =o, laquelle érant mulciplice par
pBXx dOnnC PB X Xyy = - ppX4- +2ppr X3 F pPSSX X.
Ec comparane ensemble ces deux raleurs de ppXxyy
on Formera une égalicé dans laquelle si l’on met à la pla-
ce de 2r, 55, PP, m, n, 9, LeurS raleUES, ON FCETOUVETA
l’égalice propolée x =b x _c.
S’il y avoir dans l’égalite proposée - dx3 au lieu de
+ dx3, il est visible qu’en prenanc alOrs 2r =- 2mn f 29 + d
le recte de la construction ne changeroir point, puisque
d ne le renconere que dans la valeur de r. Et comme
alors tous les siones des cermes de l’égaliré proposée (one
alternatits; c’est une maxime receue en Algebre que
couces ses racinesréelles seront vraies; c’est a dire, que lE
cetre egalité a deux racines reelles e quaere imasinaires,
les deux réelles serontrraies; Pelle en a quarre réclles e
deux imaginaires, les quatre seront rraies; X entin (IEOU-
cesles sixloncréelles, elles seront routes rraies. D’ou l’on
voit qu’onn’a beloin alors que de la conchoide qui est dé-
crice par la moitié de la Parabole qui combe du coré du
point fixe C, puisque l’autre ne lert que pour les racines
FaussCs.
S’il arrivoit que la valeur du rayon du cercle fuc nulle
ou imasinaire, ou entin si petice qu’il ne touchac, ni ne
coupât les deux conchoides en aucun point; ce seroit
une marque intaillible que toutes les racines de l’égali-
ce seroient imaginaires. S’il les coupoir en lix POIns
coutes les racines seroient réelles. Ec entin s’il ne les
coupoit qu’en quatre ou en deux, il n’Y AUTOIE que QUaETC
ou deux racines réelles, et les autres seroiene imaginaires.
II faur coujours prendre sarde que li le cercle couchoie
l’une des conchoides en quelque point, on doir resarder
cepoine comme s’il reiinistoie deux poines inAnienE pro-
ches, en forte que l’égalité propolee auroir deux racines
égales à la perpendiculaire menée de ce poine sur BF.
MHTNNTEIHEHNTZHEIIERMEEHIHEHHMEEHHEHHEHIHIEBHEEHEINEEIIBIIII

## Folio 331 — 884859711:0389
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DE EA CONSTRDCTION DES FGALITES.
R E M A R OV F, I.
33C
406. (x suir de la description des deux conchoides
Paraboliques, L. OW elles OnE pOur AImpEOte commu
ne la droice BP intiniment prolongée de part et d’autre.
2. Ouune des conchoides passe par le point Axe C, et
qu’alors la regle CF la touchera en ce poine; puisque le
point Mt se reiinissant au poine C, la resle passe par deux
poines intiniment proches de cerre ligne courbe. 3. Ouc
lorsque le poine s’combe lur B, la resle CF qui décrie
par les interlections ML, MI, avec la Parabolé les con-
choides, combe sur CB; X qu’ainsi la lione NIFMI de-
viene la double ordonnée qui pare du point F: c’est à
dire que la lione C B rencontre les conchoides en deux
Poines K, Z, tels que BK e B L lont égales chacunes
à l’ordonnée à l’axe de la Parabole qui part du poine F.
D’ou il est clair que si BC étoit égale à cerre ordonnée,
le poine K comberoit alors sur le poine C; e qu’ainsi la
lione BC qui passeroir par deux poines infinienE prO-
chesK, C de la conchoide la coucheroit en se reiinissant
eouce enciere dans le seul poine C.
II n’est pas necessaire de se serrir de la Parabole NIFML F 16. 225:
pour trourer les poines des conchoides; car ayant pris
Tur BF la partie BO égale au parametre de la Parabo-
le, e décrit d’un diamerre quelconque O R plus grand
que OB un cercle qui coupe BO auX POInES D, D; on
prendra Tur ce diametre la partie R S Egalea F F, X On
Firera par le point fixe C les deux droites CM, CMI,
paralleles à DS, DS, qui rencontrerone les paralleles
DML, D ML, a F B en des poines MV, MI, qui SCTONE aUX
deux conchoides. Car avane prolonoé CM julqu’à ce
qu’elle renCOnEre l’AIYMPEOTC BF au pOInE F; X menc
MO Parallele à BC; il est clair que les crianoles rec
cangles MOF, DBS, SCTONE égAUX, ec qu’ain (I PO
est egale a BS. OF ayant pris se S égale d FF; On
aUTa FF = F FO, OI F O = =RS - F SB OU R B; e 12
Parabole E. M qui a pour sommet le POInE F, e POuT
EEI

## Folio 332 — 884859711:0390
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332
L XV R F N E B V PE M Es
parametre une ligne ésale a. BO, passera par le poine
M; puilque par la propriecé du cercte le quarré de BD
ou 11 O, est égal au rectangle de BR Ou P O par le Pa-
rametre BO; ce que donne ausi la proprieté de la Pa-
rabole. D’oû il luit que le pOinE AS EEOUVÉ PAF CCEre
construction, n’est pas differene de celui que donneroie
l’incerlection de la resle CF avec la demie Parabole
F MI. Et c’est ce qu’il falloit démontrer.
Si le point D’étoir donné, il ne Faudroit pour avoir
le point R, que mener D R perpendiculaire a OD; et
le reste de la construction ne changeroir point.
P’avertirai ici en pastant, 1. Oue ( l’on prend sur BC
du core du point C, une partie BD égale à la vraiera-
cine de l’égalité du croisié̀me degré x3 = mX X - Emnp
==0 (les données BC = =m, FF  = = n, BO = - p); X qu’on
crouve ensuite le point as comme l’on vient d’enscigner:
ce point sera plus éloioné de la droite BC que tous les
autres points de la Porcion K MC, de Porre que la tan-
sence qui passe par ce point sera parallele à BC. 2. Oue
Si l’on prend sur BO protongée de l’autre coté du point
B, une partie BD égale à la vraie racine de l’égalicé
X3 = mnp = 0; le poine M de la conchoide qui repond
au point D, en sera le poine d’inflexion: c’est à dire, le
poine ou de concare elle devient conrexe. Comme ceci
dépend des principes que j’ai ccablis dansmon Livre des
Intiniment pecies, on doir le suppoler comme vrai, e
remetre à en chercher la raison apres avoir lu ce Lirre
ou quelque chose d’équiralene, d’autane plus que cela
est inueile pour la resolution des égalités du lixième de-
eré dont il est iei question.
R E M A R OV F II.
40). IL es visible que pour décrire les deux con-
choides patavonques, Il Fauc 10. Oue la lione BC (= b)
dic quelque grandeur, e qu’ainsi l’égalité provolée doit
aVOIT Un SCCONdTEFME. 2. Que le TETEgNe PCULetre

## Folio 333 — 884859711:0391
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DE LA CONSFRBCTION DES FOALITES.
333
nul dans l’équation x3 =M x x = n X - + g =- px y, pui(-
qu’en dirilant parx, elie deriendroir CCLEC AUErC XX MX
n-
py, done le lieu est une Parabole; d’ou il est
clair que le dernier cerme s se doir crourer dans l’égali.
ce propolée arec le ligne- +, puilque q =18.
De plus s lecerme Ex aroic le signe- +, on lui don-
neroir le signe -en chanseane aussi les signes du deuxié-
me e du quarrième terme; ce qui ne croubleroie poire
l’égalicé, mais changeroir seulemene les racines Fausses
en rraies ex les vraies en Fausses. Fc atin que le lieu de la
deuxième équation pur erre un cercle, il Faudroie que
FC((carOIE = FC lOF (qu’il Y 2 - + cx +, et = c tor (qu’il
Y a = cX 4) SurpaSTAC = bb. D’oi l’on roir que le cerme fx
anquane, il faue que le cerme ex + aic le Pione+, _
que c surpasse = bb; et que si le rerme cx manque,
doit surpasser = bb.
Il est donc évidene que ce Tont. la les condirions que
doit avoir necelairement l’égalité propolée du Cixième
deoré, atin qu’on la puisse construire immediatemene
par le moyen des conchoides paraboliques, et du cercte,
comme l’on vient de Faire la précedente.
R E A A R O D F TIF.
408. Lonsove l’égaliré donnée n’est que du cin-
guième deore, on peut louvene en l’elevant au lixieme,
lui donner en même cempstoutesles condirions neceslai
tes pour étre construice immediacement. Ln voici quel
ques exemples.
Soit 1. X = a b =0, ou l’on suppole que a surparte
B. Je mulciplie cerre égalicé par x -b, pour avoir celle
du Gxieme x = b +  -= a b X - F a bb = 0, qui a FOUEeS
les conditions requises dans la remarque précedence.
Soit 2. x = 5 a aX - +5a X = a b =0, dans laquelle
a suxpasse b. Je mulciplie cette égalité par x =- b, e j’ai
N = bX = 5aaX  + 5a a b X + 5a X X b a bX + a bb = 03
EC iii

## Folio 334 — 884859711:0392
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334
LEV R F N E D V EF M F.
qui a toutes les conditions necessaires.
Soit 3. X = a X + - 4 a aX - + 3a ∞ X - F 3 a X = a =0.
Je mulciplie cerre égaliré par x - 4a; ce qui me donne
X = 5 a X  - + 19 a3 X 3 =9 a a X X = +3 a X - F 4 a =- 0, qui
et une égalire du Cixième derré, dans laquelle touces
les conditions necelaires le reNCONEreNE.
Tlest bon d’arertir que la premiere égalité x=- a b =0
TeTE a ErOuver quatre morennes proportionnelles entre
les deux extremes A, B; que la seconde x =5a a X3 _C.
sere à diriser un angle donné en cinq parcies égales;
et enfin que la croilieme x =a X+ XC. Pere à inscrire
dans un cercle donné un Polygone regulier de onze co-
Fes: e c’est ce qu’on verra dans les arricles du Lirre lui-
rant. Je vais donner la construction de la premiere de
ces égalicés, atin qu’on la puisse comparer avec celle
qu’on croure à la tin du eroisième Lirre de la Geome-
Erie de MI. DeTCAFECS.
1b. LLD. Ayane décric une Parabole M F qui aic pour le para-
metre de Con axe une ligne p ==V aa = = bb, e pris du
coré que l’on roit dans la figure les lignes A6 =- 2
o _ UnC
lisne s= = V4 bb = a a, Ou = va a = 4bb; On décrira
d’abord une conchoide parabolique CoM (comme
l’on a enseigné dans l’article 404.) à l’aide de la Para-
Bole MF, e d’une lonoue regle CF qui tourne libre.
mene autour du poine fixe C, et qui passe toujours par
le Poine F, pendane que la partie FF de l’axe de la Pa-
rabole slisse le lons de la ligne LO; ex enluite un Cer-
cle du CenEre FL _ du raYOn TTMI =V ATI 755, Cca-
voir - + 55 lorsque 4 bb surpasse aa, et -5s lorsqu’il
est moindre. Je dis que (i des poines O, MY, ou ce cer-
cle rencontre la conchoide, on mene des perpendicu-
laires OR, NL P, TUE A P; les partICS AR, A~, PCTONE
les racines de l’égalicé xs-bx = a b x t at b b =- 0. Ccla
se proure comme dans l’arricle 404.

## Folio 335 — 884859711:0393
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5-
DE LA CONSFRDCTION DES FOALITES.
135
On peue s’épargner la peine de trourer une ligne
r
bb = a a, Ou = Vaa = 4 bb; A POn FaiE atten.
tion que le cercle décrir du centre FY, doit couper la
conchoide CO en un poine O, cel qu’ayanc mené
OR perpendiculaire Tur AP, on a la partie AR =- b;
puilque l’une desracines de cerre égaliré cA x =-b. C est
pourquoi ayant pris lur AP la parcie AR == b, _ cITC
RO perpendiculaire à AP et qui rencontre en O la con-
choide COM; il n’y a qu’à décrire du centre FI e du
tarOn FTO un cercle. Car il la coupera en un autre poine
NII tel, qu’aranc mené M1P perpendiculaire Tur AP.
la ligne P sera la plus grande des quatre movennes
proportionnelles qu’on demande. Comme le cercle dé-
crit du centre IP ne coupe la conchoide qui passe par
le point C qu’en deux pOines O, MI, _L RC FeNCOnEre
Doive l’autre; il s’enluie que l’égaliré propolée x bx
ecc. n’a que deux racines vraies AR, AP, et LeS quaErO
AUEFOS IMaSIMAITCS.
R E N A R QVE IV.
409. LORsOVE l’égalicé donnée du sixième deoré,
n’a poine les conditions necellaires pour etre construire
immediaremene par la merhode que l’on viene d’expli-
quer, ou bien qu’écane du cinquième deoré, la remar-
que précedence se croure inutile, on pourra se serrir de
la préparation qu’enseigne M. Descarres dans le croisié.
me Lirre de la Creometrie. On y croure la maniere de
transformer toure éralice du cinguième ou du sixième
deore en une autre du lixième, dans laquelle tous les
termes se rencontrent avec des signes alternatits, e ou
la quancire connue du croisième cerme surpasse le quar-
re de la moitié de la quancite connue du second: ce qui
rend la construction du Probleme generale pour toutes
Tortes d’égalices du cinquième ex du Cixième derré. Je
ne m’arrecerai point ici a expliquer certe préparation.
parce qu’elle depend de l’Algebre pure donc je n’ai poine

## Folio 336 — 884859711:0394
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336
LTVRE NEDVFE MF.
entrepris de parler, et que d’ailleurs je vais donner dans
la Propolition luirance une construction senerale pour
eoutes Portes d’écalites du ciriquié̀me et du lixième de-
oré, qui ne suppole poine d’autre prepararion que celle
de faire éranoiiir le second cerme.
PROPOSITION VIII.
Probleme.
42O. LROVreN les racines de l’égalité X -BX + = CX
+ dXX - Fx - +8= -0, par le moyen d’une premiere Pa-
rabole cubique donnee, s d’une Section conique.
F.16. 227. Soic a ay == x l’équarion done le lieu est la premiere
Parabole cubique MI AN(A~ ==X, PNI= y, AB = a).
Je mees dans l’égalité propolée à la place de x la valeur
at yy, à la place de x la raleur aaxy, et à la place de
x la raleur aay; ce qui la chanse en cerre équation du
at
da V -. Y = N ∞ = = x - + 8
Arr. 513. ==o, done le lieu est une Flipse = lorsque d Turpasse = bb,
c’elt à dire, lorsque la quanciré connue qui mulciplic xx
surpasse le quarré de la moicié de la gnantité connue qui
mulciplie x, comme je le luppose ici. Ec si l’on veut que
la ligne qui fait l’office de l’unité dans l’égalice propolée,
et qui y est Consentendue, loir égale au paramerre a de
la Parabole cubique donnée; cerre équation se chan-
seraencelle ci yy - = xy -- Cy - F = X X -- fX. + a8 = 0,
done voici la construction.
Ayanc pris sur la droire indéfinie AP la partie AB = a
on cirera parallelement à PMI e du même coreles droi-
tes BF = = = b, AD = =C: X on menera par le poine A
la droire F (e), e par le point D une parallele DO
a AF, sur laquelle on prendra du coré de PNs la parrie
DC(5)=
afe bce
audm 6b. de de part et d’auere du point e les
parcies

## Folio  -  — 884859711:0395
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219.
B. ....-. D
Planche 24. page 336.
LS. M
22T.
2
JACHSISCHE LANDESBI

## Folio  -  — 884859711:0396
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MlsIIIIIIII
ttst MHollIIII
M I
M s. Sn sll
MuIl sIII(IIII IIIIII
llII
RIED WILHELM LEIBNIZ BIB
tur: Leion. Mlar9. 155, [.
NIEDERSACHSISEHE LANDESBIBLIOTHEK
s
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eeeeeeeeeee

## Folio 337 — 884859711:0397
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000397.jpg
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DE EA CONSTRDCTION DES EOALITES.
337
PartIeS CK, CZ, égales chacune à + =V 55 - p ccee 40500
4ad- bb
Cela Fair, du diaeEre L K (2Y) qui AIE POUT PATAHCErE
une ligne KZZ = + ad 1- bb1
2ec e pour ordonnées des droi
ces paralleles à PAL, on décrira l’Ellipse cherchée.
Maincenant li des points de rencontre de cerre Flliple
avec la Parabole cubique donnée, on abaisse des lignes
NTP qui Fassent avec AP l’ansle donné ou pris à volon-
ee APML, les parties AP de la droire indétinie sur la
quelle s’écend l’indéterminée x seront les racines cher-
chées, sçaroir celles qui rombene du core ou l’on a sup.
posé PMs en failane là construction, les vraies; e celles
qui combent du côré opposé, les fausses. Car par la Dro-
prieté de la Section conique il vientry -- - xy - cy - F = XX
fx- + az =-0, e par la propriecé de la Parabole
cubique,  ==; X metcant cerre raleur à la place de
y  son quarré à la place de ry dans l’équation préce-
dence, on recroure l’égalicé donnée x=ab X = a aCX 
_c. =0.
RR E N A R OVF I.
4TI. Lovre égaliré du cinquième ou du sixième
decre érant donnée, si l’on en fair éranoiiir le second
terme, et qu’après l’aroir mulcipliée par l’inconnué x
lor(qu’elle n’est que du cinquième degré, on le serre du
Paramerre a de la Parabole cubique donnée pour redui-
re tous l’exprection a b les quancites connues qui mulci-
plient x, Pous l’expression aac celles qui mulcipliene
x Xc; il est vilible qu’en failant la substicution comme
ci-dessus, on transtormera coujours l’égalicé donnée en
un lieu du second degre. D’ou l’on voit qu’ayant une
fois décrir avec exacticude une Parabole cubique qui aie
pour parametre une ligne quelconque a, et donc l’angle
APML que Fone les appliquées PM avec le diametre
P. Peur etre pris à volonté; on pourra coujours par

## Folio 338 — 884859711:0398
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338
LIVRE NEOVTEME.
son moven, en décrirane de plus une section conique
conrenable, reloudre toutes forres d’égalites du cin-
quiè̂me e du sixième degré.
R E M A R OV F II.
412. LORSOD APRES avoir fair éranoiiir le second
cerme d’une égalité donnée du cinquième e du sixième
degré, ex l’avoir mulcipliée par l’inconnui x si elle n’est
que du cinquième; la quancice connué qui mulciplie le
quarre xx est polirire, et surpasse le quarre de la moitié
de celle qui mulciplie x: on arrivera coujours en fai-
lane la substicution par le moven de a a y == x, a unc
equation du second derré dont le lieu est une Elliple,
comme l’on a vu dans ce Problème. Or l’on pourra
TOujOUES Faire en POFEC que cerre Ellipse devienne uN
cercle, mais alors la Parabole cubique ne peut plus étre
donnéc. Voici commene il s’y faudra prendre.
Art. 378. AyanE crouré une ligne a  done le quarre de quarre
at loic égal à la quanciré connue qui mulciplic XX, on
se serrira de cerre ligne a pour reduire Tous l’exprection
ab toutes les quantices connuis qui mulcipliene at, POuS
l’exprection a ac celles qui mulcipliene x C; cC qui re-
duira l’égalicé donnée Pous cecre Forme: c  ab x F aaCX
+ a X X F a fx = aG = = 0. PE MCETANE a Vy, a aXy et
aar 2 la place de x, ~ _E X, ON EFOUVeTA CetrC équa
tion du second desré gy -F = xy. = cy - + X X + f x - F a8
Arc. 327. =0, done le lieu sera  un cercle, l l’on fait en Porte
que l’angle A F B Poit droit; ce qui est tacile en cette
maniere.
F1C. 228. Ayant pris sur la droice indétinie AP la parcie AB
==a, On décrira de certe ligne comme diaetre un
demi cercle AFB, du coré ou l’on suppole que PM
doic comber, lorsqu’il y a - = xy, e du core oppole
torsqu’il y 2- t = xy. On porrera lur la demi circonte.
x 329.

## Folio 339 — 884859711:0399
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# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
DE LA CONSLRDCTION DES LGAETTES.
339
rence de B en B, dne ligne B E = = b; X aaNE tIrC AF
(e), la lione PNI doic erre parallele à B s, e on ache-
rera le reste de la construction comme pour l’Elliple,
qui deriendra alors un cercle; puilque l’ansle CG MI
lera droir, e qu’à caule du triangle rectangle AF B il
vient ce ==a a = = bb, qui doic exprimer la raison du
diameEre L K à Con paramerre. La tioure qui est ici +
core represente la construction de l’équation py = = Xy
=cy - L X X - fX = a8 == 0, qui n’est differente de celle
du Problème qu’en ce que d ==a.
Maincenane ayane pris sur la ligne A B autane de par.
cies AP, AP, Ec. qu’on roudra, e mene des paralleles
PMI, PMT, _C. a BF; on prendra chaque P it coale
à la quatrième proportionnelle à la correlpondance Ap
e la donnée AB. Et failane passer une ligne courbe
MI Lu par tous les points M ainsi croures, il est eri-
dent qu’elle sera le lieu de l’équation x’=aay, e par
consequent la premiere Parabole cubique qui par les
poines d’incersection Ar, M, avec le cercle, servira à
décourrix les racines AP, AP, de l’égalicé propolée.
R E M A R OVF ITI.
4I3. GGOMME l’on a parlé Couvene dans ce Livre
des Paraboles de tous les degres, et qu’on vient même
d’employer la premiere Parabole cubique pour retou-
dre les égalirés du cinquième e du sixième degré; je
crois qu’il n’est pas hors de propos d’examiner les diffe-
rentes Arures qu’elles peurene avoir. Soiene donc don-
nées de polition deux lignes droices indetinies BC, DE,
qui s’entrecoupent au poine L, ee loir dans l’angle BAD F16, 229.
une Parabole  M de cel degre qu’on roudra, donc la
nacure est celle qu’aranc mene d’un de les poines quel.
conques Ms une parallele MIP a D P, qui rencontre BC
au poine P; e ayane nommé les indécerminces AP, X;
PMI, y; la donnée AB, L; On aic coUjOUES m =y (les
deurres m n marquent les expolans des puittances de
Vuis

## Folio 340 — 884859711:0400
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340
LTVRE N EDY F E M F.
X X y qui peuvent etre rels nombres posicissentiers qu’on
roudra; et l’on suppole sculemene que m lurpaDe n). FI
est éridene 10. Oue AP (X) érane nulle Ou ZCrO, PMI (Y)
lest ausTi, e que plus A P (X) CFOIE, plus auMI P MI ( )
Are. 237. ausmence; ee cela à l’intini. 20. Oue la Toutansente 1Z
 V) est coljours moindre que AP (X), puisque l’om
luppole ici quen soit moindre que m. D’ou il suie que la
Parabole AM de rel degré qu’elle puisse étre, pallera
coujours par le poine 1; qu’elle s’éloignera de plus en
plus à l’intini de la droite BC que l’on recarde comme
Ton diameere; et entin qu’elle cournera la conrexicé du
core de ce diametre. Mais comme la ligne conrbe AMI
qui tombe dans l’angle D AB, n’est qu’une portion de
cerre Parabole, il reste à examiner dans lequel des an
sles DAC, CAF, F AB, elle doir se COntInUEF; et
Pour cela il faue distinguer erois differens cas.
Premier cas. Forlque l’expolane m de la puissance de
x est un nombre pair, et l’expolanen de la puissance de
un nombre impair. La racine m de x sCra J x, e la
racine n de pr sera seulemene - F y; car Poit par exem-
Ple, m == 4. X n = = 3, il est clair que le quarre de quarre
ou la puistance quatrième de =L x eA coujours x, de
qu’il n’en est pas de même du cube de =F y; puilque le
cube de - + y esty, et celui de- y est =y. DC là il est
érident que AV (x) Peur erre policire d nesative, et
PAL (Y) coujours policire; d’ou l’on roit que la Parabo-
le aMt doit se continuer dans l’ansle D AC, qui est d
core de l’anole BAD, en Porre que Si par un poine quel
conque K de la lione AD, on cire une parallele à BC,
elle rencontrera la Parabole M ANI en deux POIHES.
MI, ML, qui serone égalemene éloignés du poine K. Telle
est la Parabole ordinaire qui est le lieu de l’équation
XX == ay, OW X x = y en Faitant le ParameEre a = 1
Second cas. Torlque les expolans m e n Cone des nom.
bres impairs. La racine m de xm lera seulemene- + c, _
de même la racine n sera-ty; mais parceque l’équarion
FL 60 2 290

## Folio 341 — 884859711:0401
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DE LA CONSTRDETION DES FOALITES.
Xm -
34F
q’est la même que xm =p, e que la racinc
m de =  est - x, ex la racinc n de =p eAt - y; il s’en-
Tuic que AP (X) Peur etre posicire et negatire de même
que PMS (y), en oblervane que lorsoue AP est polici-
ve, PNs l’est aulti, ex au contraire. D’ou l’on voic que F16. 230.
la Parabole AMI doir alors se continuer dans l’angle
CF oppole au lommet à l’angle B AD, dans une poli-
tion touce lemblable, mais renversée; en POrtC que pre
nanE AP egale à AP, C menane Pas qui Fane avec
AP l’angle APM egale à l’angle APMI; cerre ligne
PMs renconere la portion AMs qui combe dans l’angle
CAF, en un poine MI cel que PMI est cgal à P NI. Telle
est la premiere Parabole cubique x3 == a ay, Ou X3 = y
en Faisane a == 1.
Proisième cas. Lorlque l’expolane m de la puissance
de xestun nombre impair, e l’expolane n de la puistan-
ce der unnombre pair. L a racine m de n lera coujours
+ X, e la racine n de y sera =F y; car soit par exem
ple, Ans une seconde P’arabole cubique qui est le lieu
de l’équarion x3 =a ry, ou x3 = yy, il CAt clair que la F2O, 231.
racine cubique de x est sculemene. +x, e que celle
de vy est=Fy. D’ou il suie que la Parabole AMr doir le
continuer dans l’angle BAF qui est à core de l’angle
BAI; en Porte que si l’on mene par un poine quelcon-
que P de la lione A B une parallele d DF, elle rencon-
erera la Parabole entiere Mt AM en deux points M, NI,
également eloignes du poine P.
Or l’équation generale xn ==q appartiene conjours à
l’un de ces trois cas; car sim e n éroient deux nombres
pairs, on extrayeroit de pare e d’autre la racine quar-
réc autane de fois qu’il leroit postible; ce qui la redui.
roit à une équarion done l’un des expolans seroit necel.
Sairemene ipair. Fe l’on peur coujours suppoler que m
Turpassen; car s’il étoic moindre, _ qu’OD elIE pax CXCI. F 10, 232.
Ple, a a X = = y3 On crOUverOIE en TapPOTTAME les POInES
de la Parabole A N à ceux de la ligne DF, _ HO-
manE alOrS AR, X; RM, yi CCLTC AUEICEqUaTION a3==aay
ruiis

## Folio 342 — 884859711:0402
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342
ETVRF N EOYTEME.
qui exprimeroir aussi la nature de la même Parabole
ML, e dans laquelle l’expolane de la puissance de x est
plus grand que celui de la puissance de p; de Porre qu’on
pourroie faire alors le même raiIOnDCI eNE PaF FapPONE à
la lione DE, qu’on vient de faire par rappore à la lione
BC. De la il est evident que eoures les Paraboles de cel
degre qu’elles puittene etre, aurone coujours l’une des
trois Agures précedentes.
P R OPOSITION IX.
Problème.
4T4. SOrT proposée à construire l’écalité du huitieme desre
2 -bX - + CX dX5 Y CX FX- + 9XX BX 1I = -0,
dans laquelle aucun terme ne manque, par le moyen de deux lieux
Geometriques; l’un du second decré, ex l’aurre du quatrième.
AyanE priS x X = ar pour le lieu du second degré.
on substicuera à la place de x, ~, X, X, X, x, _L XX,
Peurs valeurs a y, a’ y’X, a’y, aagyX, aayy, ay X, ay, de
en prenant la droite donnée a pour l’unice, on aura
certe autre équarion g - - xy t cg d xyy- t a cyy
=afxy - + aazy = aahx- t a l =0 donc le lieu eA du
quatrième degré, e des plus simples; puilque l’une des
inconnues x n’écant qu’au premier deoré, on pourra en
décerminer tous les poines en ne le Terrane que de cer-
cles e de lignes droites.
Si l’on construie à prelene la Parabole qui est le lieu
de la premiere equation x x = = ay, et qu’ayanc pris pour
y autane de difterentes grandeurs que l’on voudra, on
décermine les valeurs de x qui leur repondene dans la
seconde équarion; le lieu qui passera par les extremités
deroures lesr, et qui lera par consequene celui de la
seconde equation, décerminera par le moyen des poines
ou il rencontre la Parabole, les valeurs cherchées des
racines de l’éguarion donnée. Ce qui est visible; puisque
mecrane dans cerre seconde équarion pour y la raleur

## Folio 343 — 884859711:0403
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XX
DE LA CONSTABCTION DES EGALITES.
343
et pour les patices de y les puistances de certe ra-
leur, on recroure lequarion donnée xd= b x _C == 0.
COROLLA TRE I.
4V. COmmE lunite a est arbirraire, on peut sup-
poler qu’elle est donnée, et qu’ainsi la P’arabole qui est
le lieu de la premiere equation x x ==ay est donnéc. OP
il est crident qu’on pourra coujours par le moyen de
cetre équation transtormer toute ćgalité du septième
ou huicième derré, en une autre équation du quarrié
me, dans laquelle l’inconnué x ne le croure qu’au pre-
mier deoré. D’ou il suie que toure égalité du seprième
ou du huitième deoré, dans laquelle ou tous les rermes
se rencontrent ou leulement une partie, le pourra cou-
jours construire par le moyen d’une Parabole donnée
et d’un lieu du quatrième deore, dans lequel l’une des
inconnues ne se Frouvera qu’au premier; et cela lans au-
ere preparation que de prendre pour l’unité le parame-
ere a de la Parabole donnée, atin de reduire Pousl’expres
sion ac les quantités connues qui mulcipliene x, POUS
l’exprection à a d celles qui mulciptiene x, etc.
COROLLATRETI.
 On prouvera dememe quetoure cralice du neu-
rieie Ouuu ateme deste le pourra coujours construi
re par le moyen d’une Parabole donnée, e d’un lieu du
cinquième derré dans lequel l’une des inconnues ne le
trourera qu’au premier degre: que les égalités de l’on-
nieme et du dourième deoré le Construirone encore par
le moyen d’une Parabole donnée, et d’un lieu du sixié.
me degré; e ainsi de suite pour les autres à l’infini.

## Folio 344 — 884859711:0404
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L ZV R E NF O V YE N F.
PR OPOSTTTON L.
Problème.
+:7. GONSFROERE V’écalité du neuvieme degre
X = bX - + CX _C =-0, dans laquelle tous les termes se
rencontrent excepté le second; par le moyen de deux lieux geo-
metriques chacun du troi sième decré.
AYanc pris x3 = aay pour l’un des lieux du troisième
degré, on substicuera à la place de x x, x XC. leurS
raleurs a’y a xyy, at yy, XC, X P’On aura pOuT l’au
ere lieu du eroisiéme degré, Cn PreNANE a pOur l’unicé;
gd.
= xyy -FCyy 8C== 0 dans lequel l’inconnué x
ne peut monter qu’au second second degré, puisqu’on
SupPose que Par tout oit il y a x dans la propolee, on
substicue a la place a ay.
Or il est risible que si l’on construit ce lieu avec la Pa-
rabole cubique, qui est le lieu de l’aurre équarion x =aay;
leurs points de rencontre décerminerone les racines de
l’égalicé donnée.
COR OLL A X R F.
418. Poore égalicé du sixième, du huirième ou
du neurième derre érant donnée, il est risible qu’aprés
avoir fait éranoiiir son second terme, e l’avoir mulci-
plice par la racine x lor(qu’elle est du huicième degré,
e par Con quarre xx lor(qu’elle n’est que du sepcième, on
la cransformera coujours en un lieu du croisiéme desré
en se serranc de l’équation x==a ay donc le lieu estune
Parabole cubique donnée, ee Failane la substicution com-
me ci dessus: de Corte que certe maniere est generale
pour touces les égalices du seprième, du huirième, ee du
neuvième derré. On trouvera de même que toure éoa-
lice du douxième deore donc le second cerme est eva-
noiii, se cransformera en un lieu du quacrième, en le
serrant encore de l’équation x=aay; comme aussi celles
di
1

## Folio 445 — 884859711:0405
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DE EA CONSTRDCTION DES FOALITES. 445
du dixième et du onzième derré en les élerant au dou-
Zieime.
Mais s l’on propose une égalice du scirième degré
dans laquelle tous les termes le rencontrent, excepte le
deuxième, on crourera qu’en se serrant du lieu du qua-
crième degré x==ay, on la cransformera en un lieu
du cinguième. On trouvera de même qu’une égalice du
vinocième deore le transtormera en un lieu du sixième,
en le serranc encore du lieu du quacrié̀me degré x=a’y;
comme aussi celles du dix-septième, dix-huicième e dix-
neurième degré: que les égalirés du vinse cinquième de-
ore danstelqueleSCOUSTES EERIES LE TCNCOHETCNE, excep-
té le deuxième, le cransformeront en un lieu du Cixième
deoré, en se serranc du lieu du cinquieme x ==ay; CO-
me aussitouces les égalites du vinge unième, vinot. croisié
me rinse. quaerième degre. Ec l’on peur continuer cerre
recherche autant qu’on roudra.
R E AE A R O ∞ F. I.
413. LL est à propos de remarquer que Si dans une
égalice du scirième deore non seulement le lecondter-
me manquoie, mais le croisième e le sixième; le lieu du
cinquième deoré lequel joine avec celui du quarrième
X =ay sert a construire l’égalicé se cransformeroit en
un du quacrième, e on peut faire des remarques sem-
blables ur les égalices des degres plusélerés. Mais quoi-
qu’il soit vrai de dire qu’une égalité du scirième degré
dans laquelle il n’y a que le deuxième terme qui man-
que, ne se peut transformer qu’en un lieu du cinguième,
Si l’on emplore à cer effet le lieu du quatrième n=a y
qui. n’a que deux cermes; on n’en doic pas conclure
en general, que les lieux les plus simples pour reloudre
une équation complerre du scizième desré, doivenc eere,
l’un du quatrième e l’autre du cinquieme. Car au COn-
traire, il me paroit évidene que si l’on se serr d’un lieu
du quacrième desré composé de plulieurs termes à la
X

## Folio 446 — 884859711:0406
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446
L TVRE NEDVIE M P.
place de x= a’y qui n’en n’a que deux, on pourra choi
sr ce lieu en Corce qu’il servira à cransformer l’égalice
complecre du scizième degré en un aurre lieu du quatrié.
me. En voici la railon. Si l’on prend deux lieux du qua-
erième degre dans l’un desquels l’inconnué x monte au
quacrième degré, e dans l’aucre l’inconnue p, il est con-
stanc par les regles de l’Algebre, qu’en failant éranoiiie
l’inconnué y par le moyen de ces deux éguations, on
arrirera a une égalité dans laquelle l’inconnue x monte-
ra au seizième degré. Or comme deux lieux du quaerié.
medeoré, peurent avoir ensemble plus de seize termes,
puilque chacun en peuc avoir quinze differens, il s’en-
Tuie qu’ils peurene concenir toutes les quanticés connués
de l’égalicé donnée: ce qui sufte pour faire voir la pol-
Sibilice de construire une égaliré completre du scizième
degré par deux lignes du quarrième.
On doic de même penter que les deux lieux les plus
simples pour construire une cgalice completre du vingcié.
me, dix neurième, et dix-septième degré, serone, l’un du
quarrième, de l’aurre du cinquième, parce que la redui-
ce de ces deux lieux moncera au vinstième degré, et
qu’ils pourrone contenir ensemble plus de cermes que la
Propolće, e rentermer par conleguent coutes les quan-
cires connues qui s’y rencontrene. Pt si l’inconnué avoie
2T, 22, 23, 24, ou 25 dimensions dans l’ésaliré propolée,
il Faudroir deux lieux de cing derres chacun. De la on
Forme la reole luivante, qui lere a crouverles degres des
deux lieux qui peuvent resondre une égalicé propolée;
en Porre qu’ils (oiene les plus simples qu’il est postible.
II Faue excraire la racine quarrée de la plus hauce di-
mension de l’inconnui. Si elle est exacte, chacun des
deux lieux doit avoir autane de degres que cette racine
conciene d’unités; e Pi elle ne l’est pas, ou le reste est
egal, ou moindre que la racine, e alors l’un des lieux
aura pour deoré le nombre de la racine, e l’aurre ce
même nombre augmencé de l’uniré: ou le reste est plus
prand que la racine, et alors chacun des deux lieux aura

## Folio 447 — 884859711:0407
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000407.jpg
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DEL A CONSTAOLAION DES EGALETES.
447
pour derré le nombré de la racine augmenté de l’unité.
Soic proxosé par exemple, de trouver les deux lieux
les plus simples, qui peurent reloudre une égalicé, dont
la plus haure dimension de l’inconnue soit de crente- sepE
derres. Comme la racine quarrée de 37 cA 6, e que le
relte, est moindre que ce nombre 6, il Faudra que l’un
des lieux soir du sixième degre, de l’aurre du septième:
on crouvera la même chose, si la plus hauce dimension
Cst 38, 39, 40, 4r _ 42. Mais si elle étoit 43, comme
la racine quarrée de 43 est 6, e que le reste 7 est plus
orand que cerce racine, il Faudroic deux lieux qui fustene
chacun du seprième degre; a il en est de même si la plus
hauce dimension ćtoir 44, 45, 46, 47, 48 ec 49.
R EM A R QVF II.
420. IL altre quelquetois qu’on peur construire
une ćgalicé donnée par le moren d’une leule et même
courbe mise en deux difterentes policions; e cest ce
qu’on verra clairemene dans cec exemple.
Soicproposée à construire l’égalice du neurième degre
x- + a x = a b ==0, dans laquelle cous lestermesmoyens
manguene excepte le penulcième. Je prends l’équation
X5 = aay, donc le lieu ekune Parabole cubique MI AMI
qui a pour parametre la lione droire donnée AB = a,
et pour appliquées des lignes droites PMI (Y) qui FOnE
arec les parcies correspondantes AP (x) de Con azc ou
diametre un anole pris a volonté APM que je suppose
ici droie; et en cubane chaque membre, j’ai x = a y3:
ce qui chanse par la substicution l’égalire propolée en
cerre équation y = a ab - aax, donc le lieu le construie
ain(I.
Soit prise Tur AP Prolonsce du core de A la partie F1C. 233
AC ==b; e ayane mené par le point C la droire indeti-
nic CK parallele a PNI, loit décrice une autre Parab0-
le cubique MTCNI qui aiE pOUT aXC CR, e pour appli.
quées des droires KML Paralleles à AP, et dont le pa-
X X ij
WHSITHIIEMBIIHHIMIIIMIBI

## Folio 448 — 884859711:0408
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000408.jpg
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448
L FY R E NEBY PF N F.
rametre CD = a. Je dis qu’elle sera le lieu requis.
Car par la construction ML K Ou C P == b = X, eC PaF
la Dropriete de la courbe CR = N KXCD, c’est à
dire en cermes analytiques p =a a b = a ax. OF il est
Evidene r. Oue (i des poines nE ou cerre derniere Para-
bole cubique MOaS rencontre l’autre M AM, On
mene des paralleles M P à O P; les parties A P exPPI
merone les racines x de l’égalicé proposée x- + a X
=a b =0. 2. Ouc les Paraboles cubigues MCM,
M AML, sont precilémene les mêmes; puisque leurs. Pa-
rametres LB, CD. Cont égaux, et que les angles APML,
CK M, que Font leurs appliquées avec leursaxes le POnE
ausFI.
La Cituarion des deux Paraboles cubiques M AMI,
MTC AL, Fait connoitre que l’égalité propolée x + aX
= a b = = 0, n’a qu’une racinC récIIC AP (X), qui eA
coujours rraie ee moindre que AC (6); de lorre que les
huic autres Conc imasinaires.
PR ODOSITTON XL
Problème.
42Y. CCONSPRDTRE toute écalité de vel degré qu’elle
puisse etre, par le moyen d’une liene droite, es d’un lieu du
même degré, duquel lieu tourefois on puisse déterminer tous les
points en n’employant que des lignes droites.
II Faur mecere le dernier terme de l’égalicé propoléo
Eout seul d’un coré es le rendant égal à touS les aUErCS,
ex diviser ensuice toure l’égaliré par la ligne qui taie l’ot-
Ece de l’unicé, repecée aucant de fois qu’il sera necestai-
re, atin que chaque terme n’exprime que des liones:
comme (i l’on propoloie x =b x - F aCX3 = aad XX - + a’ex
a f =0, On aurOit f=
B∞E
cx3 dex
en
L6. 334. CCla Faic, on prendra sur une ligne droire indétinie AB
done l’orisine tixe loit au point A, une parrie quelcon-

## Folio  -  — 884859711:0409
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22G.
I
Planche 2G. page 348.
341.
E LANDE

## Folio  -  — 884859711:0410
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ar: LeIBn. Mar9. 155, (41
A
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SOTTTRIEDWILHELM LEIBNIZ BIBLIOTHEK
NIEDERSACHSISCHE LANDESBIBLIOIHER
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## Folio 449 — 884859711:0411
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DE LA CONSTRDCTION DES EOALITES. 119
que P pour la valeur de x; ex ayant mené parallele-
ment à la ligne LC donnée de polition une droite PMI
xd
BX
Cs
daex
aa
+
et
(ce qui le peur coujours
Faire  en n’emplorane que des lignes droites), COn ex- X Art. 376.
tremicé M sera l’un des poines d’une lione courbe
AD F ML; done les interfections MI, MI, HI, EC. 2yCC
une ligne droite K Ms menée parallelemene à AB PaF
le poine K cel que AK =-f, décerminerone des parties
K NI, K AT, K MI, Ec. Qui seront les valeurs cherchées
de l’inconnue x dans l’égalicé donnée.
Car menant les droites IIP, MIP, MIP, XC. ParaI-
leles a AC, _ nommantles indecerminées AP, X; V HI, 13
on aura par la proprieté de la courbe AD F ML CCFrC
equation PII (y) =
Xe
at
3x4
1 c03 dxex
a
+
ex
a Qui
est un lieu du cinquième deoré; e par la propriecé ac
la droite XuI cetrO autre y =f. Ce qui, en substieuane
poury la valeur f, e mulcipliant par at donne l’éga-
lice même Provosce a b X + - F a CX3 - aad X - F a3 C X
=a f= = 0
Ces Porres de constructions peuvent erre cres-utiles
pour trourer les limites des égalires. Suppolons, par
exemple, qu’on aic une methode pour décerminee lur
la ligne AC les parties AF, AG, telles que les droites
FD, GF, paralleles à AB couchene la courbe en des
Poines D, E; il est clair r. Oue SI AK (f) est moin-
dre que AF e plus grande que 26, comme on le lup-
pole dans cerre tigure, l’égaliré propolée aura crois ra-
Cines vraies R NI, KHI, X MI, e les deux autres ima-
ginaires; parce que la figure de la courbe est celle que
la ligne R MC la rencontrera en crois poines, et jamais
en davantagc. 2. Oue l AK (f) est moindre que 16.
la ligne R ML coupera la courbe en cinq points; c’est à
dire que l’égaliré aura cinq racines vraies. 30. Oue (
AX Surpasse AF, l’égalite n’aura qu’une racine vraie,
e les quatre autres imaginaires. 4. Oue  AK = AF,
l’égalicé aura trois racines rraies, donr il y en aura deux
LX iii

## Folio 450 — 884859711:0412
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450
L FV R E N E OV EE M F.
érales enerelles; sçavoir FD, FD. 5o. Ec entin que si
AK = AC, l’égalice aura cinq racines vraies, dont il y
en aura deux égales, scaroir GF, GF.
La même ligne courbe ADF MI érane conrinuée du
core du poine 1, serrira à crourer les racines de l’éga-
lIEC X= bX - F a CX) = a a d XX - + aCX. + a f = 0, qui
ne differe de la précedente qu’en ce que le dernier Ter-
me a le lione-t; ce qui faic voir qu’on doit mener alors
la droite K Mr au destous de LB, puilque son lieu doir
derey =.)
R E ME A RQVF.
422. Or peut rarier la construction précedente en
differentes manieres; car au lieu du dernier terme qu’on
egale à tous les autres, on pourroit prendre rel autre
destermes qu’on voudroit, ou même deux quelconques
qui se suirene immediaremene, e les diriser ensuire d’une
maniere convenable, atin que les égalane à l’incon-
nue y, le lieu de l’équation ne fuc que du premier deoré.
Soit par exemple, l’égalicé du croisième degré Xi ab x
=a ac = 0; je Fais = - +c= ec j’ai ces deux equa-
tions x =a ay, e y =- = - F c, dont les lieux CEaNE
construis separemene donnerone les racines de l’égalicé
propolée. Voici comment.
Ayanc pris à l’ordinaire pour inconnues et indeter.
minées les deux droires AP (X), PMI (Y) qui FOnt en-
er elles un anole quelconque AP MI, Soit décrire une
premiere Parabole cubique MI Ans qui soir le lieu de
la premiere éguation x3 == a ay. Soic menée par le poine
Aorigine des x une ligne droice parallele à PM, Tur la-
quelle Coiene priles les parties AC = = b, AD = -C du
core ou s’écend PMI; _ aranc pris sur AP proloneée
du core de A la partie AB = a, soit cirée par le poine
D une parallele indétinie à BC. Je dis que Si des poines
M ou elle renconere la premiere Parabole cubique
M AM, on mene des Para lleles M P a AC; les cou-
F1C. 235.

## Folio 451 — 884859711:0413
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DE LA CONSTRDCTION DES EBALITES.
45F
Pées AP Peront les racines de l’égalite donnée x-abx
aac = 0.
Car menane DE Parallele a A P, les triangles Tem
blables B AC, D F ML, donnerOnE B A (a). AC (b)::
DE (X). FM = = e par consequen D M (y) .- 6.
Or à cause de la premiere Parabole cubique M AM,
l’on aura x’=a ay. Si donc l’on met à la place de y (2
raleur =- Fc, on recrouvera l’équation donnée x = abx
aaC = 0.
S’il y avoic-+b dans l’égalice donnée, il Fandroie
prendre AC du coré oppolé à PNI, e il en est de
même de AD lor(qu’il y a = Fc: de POFEC quC CCFtE COn-
Sruction est generale pour toure égaliré donnée du croi-
Cème degre. Car il est évidene qu’apres en avoir Faie eva-
noiiir le deuxième cerme, on peue coujours la reduire
TOus l’une de CeS FOrMeS.
Il est risible qu’on peut se servir d’une Parabole cubi-
que donnée, puisqu’il n’y a qu’à prendre l’unice arbi-
craire a Cgale a LOn PATAMCETE.
PROPOSITION XII.
Problème.
+23. APPROCHC de plus en plus à l’infini de la juste
valeat des racines d toute écaliré du troisiéme es du quatrié-
me dee des ccaltes qui passent le quatrième dezré lors-
qu’elles n’ont que deux termes: en ne se servant que de lignes
droites es de cercles
Soic donnée l’égalicé du croisième deoré x= F2a p~
aaq.- 0;je la mulciplie par x pour l’élever au quatrié
me _ cranlpolane le terme aagx, j’ai x+ = F ZaPXX == aaqX
j’ajouce de pare e dautre a app pour faire que le pre-
mier membre soit un quarre, ce qui me donne
XF 2 a PX X - + a app = a a pp - t a agX, _ CXErayanC
de part et d’auere la racine quarrée, il vient x x F a P,

## Folio 452 — 884859711:0414
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452
ELFYR E N EDYFE M F.
==arpp- tqxi eranspolane entin ap, e extrarant de nou-
reau la racine quarrée, je ErOUVe x=-V-L ap. t aV PP. FgX.
Je considere à prelene que si au lieu de la juste valeur
de la racine rraie x, je prends une orandeur qui l’ex-
cede, comme par exemple c; il s’entuit 1. Oue csurpasse
V + a p- + arpp- tgc. 2. OuCV + ap- + arpP. F9C
sera encore plus erande que la juste raleur de x. C etre
seconde proposition est visible, mais pour la premiere
elle se prouve ains.
Si l’égalice du croisème degré a- + 2 a p x, il eAt clair
Cesiene que c = F2apCC= aagc, d’ou il viene en ajoutane de
ainsi rourne part et d’aurre le quarre a app, et acherane le calcut
comme ci-dessus, c= V - ap - + arpp - Fgc. Mais lOrL
qu’il y 2 = 2 a pX, on aura en cranspolant 2 ap x e divi-
TaDE paF X cette ésalITC X ~ = 2 a p - + a d’ou il suie
aa
que si l’on met dans 2 pour x ’une valeur cplus grande
que la racine vraie de l’égalicé x3 = 2 a p X = a ag = 0,
a
la quantité 2ap- 1 a2 Pera moindre que le quarré XX
ac
puilque  est moindre que a) ec à plus forre railon
a
que le quarre cc. On aura donc cC= 2 ap- + a2, et
multipliane par cc, il viene ct = 2 apCCZ aagc, d’ou
Pon Eire (en operant comme l’on viene de Faire)
CF Vap. tarDD- Fgc. Orceci supposé, je Forme cet-
ce luice: V t ap- + arDp- tgc, V- + ap- t aVPD. 195.
V- L ap - + arpp - + 98 ec, dans laquellef exprime le
terme V. L ap - t arpp - Fgc quile precede immediace-
ment, ee demême s exprimeletermeV F ap. t ar pP 195
_C.
II est donc érident par ce que l’on viene de démon-
erer, que tous lestermes de cerre luire seront plusgrands
que la juste raleur de la rraie racinex, et qu’ils en ap-
prochent
veur dire.
curpateo

## Folio 353 — 884859711:0415
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DE LA CONSTEbCTTON DES FOALITES
353
prochent conjours de plus en plus. Je dis a presene que
Son la continue à l’intini, le cerme infinicième (s’il est
permis de s’exprimer ain(i) ou le dernier terme de cetre
suire, sera precilément égal à la raleur cherchée de l’in-
connuex. Car loit Z ce dernier terme, il est certain par
la nature de la suire qu’il approchera de plus pres de
l’inconnue x que tous les autres termes, e qu’ainsi le
cerme V. F ap. t arpp - F qZ qui le suirroic immediare.
mene, s’il n’éroit pas le dernier, ne peut ecre moindre
que lui; puisque s’il étoit moindre il approcheroit de
plus près de l’inconnue x, e seroir par consequent le
dernier terme, ce qui est contre la suppolition. Or il ne
peut erre plus grand, car on vient de démonerer que
tous les termes de la luice ront en diminuane. II Faudra
donc qu’il lui soit ésal, ec On aur2 Par COnseqUeNE
Z=-V- + ap. t arpp - F 92, c’elt à dire en Ocane les in
commenturables 23- + 2 a p Z- aag =-0, d’ou l’on voit
que 2= X. Ce qu’il falloit démontrer.
On prouvera par un raisonnement semblable, que si
l’on prend une grandeur c plus pecire que la juste valeur
de X, tous les termes de certe luite irone coujours en
ausmentant en Corte que le dernier lera precilément
eoal à la valeur cherchée de X. VOici MaInEONANE COM-
mene on peut construire par Greometrie cette luire, en
n’emplorant que des liones droites e des cercles.
Ayant mené deux liones droites indetinies BD, CP,
qui s’enerecoupent à angles droies au point A, on pren
dra sur l’une d’elles les parties AB = a, AD = p, du
même core du poine L lorsqu’il Y 2 - F2 apX, X de PaPE
e d’autre lor(qu’il y a - 2apx, comme on le luppose dans
ces deux figures; ex sur l’aurre les parties AC =-9.
AP ==C, EoujourS de parc e d’autre de poine A. AVanE
décrie du diamerre C P un demi cercle qui coupe AD
eH F, On Prendra TUT AC la partie A F égale a AF, X
On Portera TuF A D depuis le poine D vers le poine 
dans le premier cas, e vers le CDTE oppOsC dans le
37.
F26, 236.

## Folio 354 — 884859711:0416
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354
LTV R E N EDY FE M F.
Second, la parrie DO ésale a D F. On décrira entin due
diameere BO un demi cercle qui coupe AP en 0, je
dis que A0 =V ap- + arpp - tgc. Car à cause du demi
cercle CFD la ligne LF ou AF =rgc, e à cause du
criansle rectansle LA D Phypochenule FD Ou DC
=pP - +gc, de par consequent A6 =- p. F Ypp- Y9C,
et a cause du demi cercle BOG la ligne AC
==V ap - F arpp = F gc. NommanE a prelene AO, f; et
reicerant la même operation en se serrane de AO au
lieu de AP, On crouvera AR = V ap + arpP- 195.
e ensuite par le moven de AR que j’appelle 8, On crou
vera AS = -V ap - F arpp = + q3 en reirerant encore la
MEme OpCraLION: dE POTTC QUE lA CONFIHUANEAUEANE que
l’on roudra, on crouvera des lignes AP, AO, AR,
25, Xc. qui approcheront de plus en plus à l’intini de
la juste raleur de la rraie racinex de l’égalice propolée
X3= 2 a PX = a aq = 0.
II est à remarquer que l’on peur prendre d’abord pour
AP (C) celle grandeur que l’On veuE, CaF (I CCETC Gran-
deur le croure plus grande que la racine x, les autres
lignes AO, AR, A5, _c. ronctoujours en diminuane;
e au contraire ( A P eA moindre que x, ClleS IRONE en
auomentane: de forte que la vraie racine est rentermée
entre ~ de l’une de ces deux Aoures et A P de l’au-
ErC, AO _ AO, AR X AR, AS X A5. D’ou l’On
voit qu’en formant deux suites conrersentes, dans l’une
delquelles le premier terme soic plus orand que la rraie
racine, e dans l’aurre plus perie, l’on aura coujours en
prenanc les cermes correspondans de ces deux luites
des limices enere lesquelles se doit crourer cerre racine;
de force que la difference de ces limires diminué de plus
en plus à l’infini.
Si l’on demandoir les deux aurres racines de l’éraliré
Proposee x3 = 2 ap X - a ag =- 0. Nommane n la racine
approchée que l’on riene de crourer, on la resardera

## Folio 355 — 884859711:0417
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DE RA CONSTRDCTTON DES EGAEETES.
355
comme érane exacte: c’est pourquoi divisant cerre égali-
te par x = m, la dirision le fera au julte (car le rette
m3- 2apm = aa q = o, Puisqu’on suppole x = =-m), e
On aura pour quotiene l’égalité x x. F m x- +mm - 2 ap
0, dou la relolurion tournira les deux racines qu’on
demande.
Toures les ćgalices du troisième degre Deuvent se re-
duire à l’une ou à l’autre de ces deux forndes; car aprés
avoir Faic éranoiiir le second terme, s’il y avoir t a a q
en MCtEanE = aag, On ne feroit que changer les raci-
nes rraies en fausses ex les tausses en rraies. D’ou l’on
voit que les constructions precedentes (USIlENE POUT
crourer les racines approchées de toure égaliré donnée
du croisième derré. Passons maincenant au quatrième.
Soit propolée l’écalite du quatrième degré x+ =3apXX
aa qX = a3r== 0, done il taille erouver les racines ap-
prochées. Je cherche, comme l’on rient d’enseioner, les
racines approchées de l’égaliré du rroisième degré
y- 3PPy - 1 213--0
+4ary- + 8 apr
aqq
ou l’on doir observer d’écrire =2p lorsqu’il y a dans
la proposée - F 3 ap XX; - 4 ar lOr(qu’il Y 2 - t ar; ec
enfin. - 8 a pr lorlque les siones des TermeS 3 a p X X 8
ar lone differens. Je recarde ensuice l’une de ces racines
approchées, comme érane exacte, X aYanE trouvé une
ligner =-Vay + 2ap, (cavoir- +2ap lor (qu’il Y 2- 3apXX,
et = 2ap lOr (qu’il Y a - F 3 a p x x; j’ai pour les quatre
racines approchées de la propolée, celles de ces deux
egalites du Second degré X X = Vx 1 ay- + aβ aaque
2
Prendre = ap lor(qu’il y a. - 3 a p x x dans l’égalice prO-
polée, ec - + ap lor(que c’ett - + 3 a p v X) que l’on con-
Pruira aisémene en nemployane que des cercles E des
liones droites. Tout ceci n’est qu’une suice de la regle
que donne M. Delcartes dans le crorsième Lirre de (a
Cyis

## Folio 356 — 884859711:0418
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356
LLV R E NEOVLENF.
Geometrie pour reduire toure égalicé du quatrième de-
oré à une du croilième, de laquelle connoissane une des
racines, on a les quatre de la propolée; e comme cela
dépend de l’Algebre pure, je pourrois le supposer ici
comme démoneré. En voici cependant la railon en peu
de MOES.
On regarde l’égalité du quatrième degré x -3 ap X X
aagX = a r =0, comme le produic des deux planes
XX - ~ X - + ab = ac = 0 _ X X - + ~ X - + a b - + a C =- 0,
dans lesquelles les lectres v, a, b, c, marquene des in-
connués qui doirent etre décerminées dans la luire, en
Torre que le produit de ces deux écalices qui est
e
 VVXX
même propolée. Pour cela j’en compare les TereS COF
respondans, ec j’ai 1. c = =. 2. b -= 2 3a8. 30. bb = cc
== -ar, On bb = cc = F ar = - 0; C’est a dIRC CN MCCEANE
Pour b et pourc les raleurs que l’on vient de crouver et
ordonnane, l’égalité vs-bap= l sun
Si P’on Fait 20 =ay - t 2ap, on crouvera par la substi.
carion l’égalité du croisième degré
9. = 3823 + 8apr = 0, de laquelle connoissant une racinc y
4ary
2
on aurz, en prevane la racine quarrée de ay - F2ap, la
valeur de 2, _ ensuire celles de b _ de c, lelquelleS CFant
mises dans les deux cgalicés planes que l’on a lupposées
d’abord, on en formera deux aueres donc le produie lera
l’éralice même proposée, et dont la resolution par con-
Sequene Fournira les quatre racines qu’on demande. S’il
n’écoit guection que de crourer une racine rraie d’une
eoalice du quacrième degre, on pourroit la crouverim-
mediatemene par une luice en cetre lorre.
Soit x F 2 apXX == aagX - a3r = = O, ON EPOUVeTA CN
operane de même que pour le croisième derré
X =- V -= ap = F aVgX = L pp - F ar, CC qui donne, en Fai-
LAHE POUr abFESCF ZB- F AY = MI, CEHC lUIe COAVEE.

## Folio 357 — 884859711:0419
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DE LA CONSTRDCTION DES FOAEITES.
35.7
Bente c, V =F ap- F arnn- +gc, V =F ap. + avnn. + gf
V F ap - F arnn- +93. dc, done la construction n’est
differente des precedentes qu’en ce qu’il faur prendre
AF = n eC D C= -F F.
Si l’on avoit x  F 2aPXX = a agX - F a r = = O, ORETOU-
verOIt x = V F ap - F arqx- Lpp = ar, e on Formeroie
Por(que pp surpasse ar (en Fai(anE p P = ar = nn) la me
me luire conversence que ci-dessus. Mais il est a remaE-
quer que lorsqu’il Y a = F 2 ap Xx dans l’égalicé don-
néc, il FaUIE que Y qX -t pP =ar SurpassC P atin que
V - ap - F ar qX - + pp = ar valeur de la racine vraie x
ne renterme poine de contradiction; ce qui donne
xF = e par consequent il Faudra prendre cplus sran-
de que ar
Si pp est moindre que ar, l’on formera alors, en Failane
ar DP == GN, CCLTC (UITE CONVErSeNTCC, VT ap + ar 90- gn
V Fap. t args- gn, V F ap. t aVqS = gn, ec, ou
l’on doir remarquer que lorlqu’il Y a =2 a pX x danS
l’ésalice donnée, il fauc que x surpasse n ou ar ee atin
que Vap- F argX tPD ar valeur de x ne renterme
poine de contradiction, et qu’ainsi on doir prendre c
plus grand que n.
II peuc arriver lor(qu’il y a - +r dans l’égalité don-
néc que ces racines (oient coures quatre imaginaires, et
alors on combera infailliblement dans quelque contra-
diction en construilane la luite; car on n’a démontré
qu’elle est convergente qu’en suppolant qu’il y eut une
racine rraie dans l’égalité donnéc. Au recte la construe
rion de la derniere suire est un peu differente des aueres.
mais comme elle n’est pas plus difficile, je ne m’y arrE-
Terai Pa5.
Cerre methode deriene embarrassée lor(qu’on la veur
érendre à des égalices complerres qui passene le quarrié
Triis

## Folio 358 — 884859711:0420
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358
ETYRE N E O V PE M F.
me degré; c’est pourquoi je me contenterai de l’appli-
quer a une égalicé du cinquième derré qui n’a que deux
termes, et qui serrira de methode pour les autres plus
compolées qui n’onc parcillemene que deux termes.
Soic x = a b =o; mulcipliane par x, e eransposane il
vieHE x = a bX, eC extrayant la racine quarrée on aura
X = a aV bX OU X = a aXVbX, e extravane de nOu-
veau deux Fois de luite la PaCINC GVAEFCC, ON FROUVeTA
enHN X = VaVXYBK; CC QVI FOUrNIECeETe SuITC COnVeE.
Gente, C, VaVeYbC, VaVFrbS, VavEYbS, _c, done
roici la construction oeometrique.
F1∞. L Ayant mené deux lignes droires indétinies BD, CP,
qui s’entrecoupent à anoles droies au poine A, on pren-
dra sur l’une d’elles la parcie AB =- a, et Tur l’auere, les
Parties AC =-b, AP ==c, de part ec d’aurre du poine
A. Du diameere PC ayane décrie un demi-cercle qui
coupe B A prolonsée du coté de A en D,  aYaNE
pris Tur AC la partie AF = AD, on décrira du dia-
Wetre PF un autre demi-cercle qui coupe AD en C.
On décrira entin du diametre B F un croisième demi-
cercle qui coupe AP en O; il est visible que A
=Vav erbc. Nommane à presene A9, fi ec reiterant
la même operation en se serrane de 0 aulieu de AP,
OnErOUVeTA AR == VarfVbF, e de même AS =V av erbe.
Et les droites AP, AC, AR, XC. approcherone de
plus en plus à l’infini de la juste raleur de l’inconnue x
de l’égaliré donnéc x= a b =-0. Cela le proure de la
même maniere que pour les ésalires du rroisième de
BrC.
MI. Bernoulli celebre Protesseur des Machemarigues
à Bale, est l’Auteur de ces suites. On peur voir ce qu’il
en dic dans les Actes de Leipsic de l’année 1689. Pase
435.

## Folio 359 — 884859711:0421
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DL LA CONSTRBCFION DES EGALITES.
DROPOSTTTON XIII.
Problème.
5G
424 ONL Porrion de Section conique étant donnée, trou-
ver par son moyen les racines d’une écalité donnée du troisieme
ou du quatrième decré-
On a vi dans le Problème precedent qu’une égalité
du quatrième derre étant donnée, on en peur toujours
crouver une du croisième, de laquelle connoissant une
racine on a les quatre de la proposée; en ne le serrane
que de lignes droires, e de cercles. On sçaic de plus
que toute égalire du croilième degré se peut reduire
TOus Cetre FOrme X3= F 2 aP X = a ag =-0, done l’une des
racines estrraie, et les deux autres ou Fausses ou imagi-
naires. Cela pole; (Oir x3 = F 2apX - aag = 0, done il faille
crourer lesracines, par le moyen de la porrion donnée F2C. 239.
BD d’une Parabole, qui a pour axe la lione CFY donc
l’Origine est au point C. Des Poines B, D, extremites de
la portion donnée aranc mené les perpendiculaires
BG, DFT, Tur l’axc, il est manifecte que li la rraie ra-
cinc écoit plus grande que BG, de moindre que DFY
le cercle décrit du CenErC R, Frouvé come l’On a CN-
seioné à la Fin de l’article 387. pour les égalités qui n’one
Poine de lecond terme, et du rayOn FC, couperoir in-
Failliblemene la portion BD en quelque point M; d’ou
menane la perpendiculaire MVO sur l’axc, cerce ligne
Ml 9 en seroit la rraie racinc. II esc donc question lort
que ce cercle ne coupe point la portion BD, de FranS.
Former cerre égalicé en une autre done la vraie racine
Soit rentermée enere les limices BG, DFT. Pour le Fai-
re, je HBIMIC LeS MLES BG, f: DTF, E: e je (UDDO-
se oe oi al dcca ncesm, n, entre lesquelles la vraie
drc pee 8). Ce qu cone x plus grand que m de moin-
e esee n, de Musciphant chaque cerme par fex dirilane

## Folio 360 — 884859711:0422
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360
LFYR E N EB YPE MF.
par m, il vienc = plus grand que fex moindre que. Si
l’on Fair à prelent Z= e qu’on metre dans l’égalicé
XF2aPX = a aq = 0, à la place de x (a raleux , On
la cranstormera en celle. ci 27
aPF  aaqus3 - 0, GuI
mn
m
aura la rraie racine Z = = plus grande que fe moin-
dre que . D’ou il suie que si les limices m, n Etoient
celles que  fut égale ou moindre que 8, il n’y auroie
qu’à construire cerre derniere égaliré selon l’arricle 387.
pour avoir la vraie racinc AO (Z) par le moven de la
portion donnée BC. De là on cire la construction Lui-
rante.
On Fera par le Problème précedent deux suires con-
vergences qui approcheront l’une en dessus e l’autre
en destous de la vraie racine x de l’éralicé donnée
X = 2 a pX = aaq =- 0. On choisira deux cermes correl-
pondans dans ces deux luices m, n, qui Coiene rels que
Soit égale ou moindre que 8: ce qui le pourra tou
jours faire, puilque fest moindre que 8, e que la diffe-
rence qui est CnEre m _ n diminue concincellemenE à
Pintini. Cela Fair, on cranstormera l’égalice donnée en
2ap
2095
enC aUErC Z -F mn Z m =0, done l’inconnue (Cra
Z = ; e en la construisane selon la Ain de l’article
387. le cercle coupera infailliblement la portion don-
Déc BC en un poine Ms; duquel ayanc mené sur l’axe
la perpendiculaire MO, elle sera la vraie racine Z de
cerre leconde ćgalité: et Faisane ensuite x = =, CetTC
lione x sera la vraie racine de l’esalité x= FL aPX
a aq = 0.
Si l’on reur crourer les deux alles lactes de celle
egalice lorsqu’elles ne sont pasimaginaires; il n’y a qu’

## Folio 361 — 884859711:0423
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DE LA CONSTRDCTION DES EOAETTES, 36Y
la diriser par l’inconnué x moins celle que l’on viene
de décourrir pour l’abaisser à une du lecond degré,
dont on décourrira les deux racines par le moren d’un
cercle, en se serrane de l’article 380.
Tout ceci est erop évident pour m’y arreter davan-
carc, je remarquerai seulement que si la portion don-
néc BD étoit d’une Fllipse ou d’une Fyperbole, il
Faudroit se serrir de l’article 398. Ou 403. e que toute
la difficulcé se réduiroit à transformer l’égalité donnée
en une aucre, dont la vraie racine cue des limites don-
nécs: et c’est ce que l’on feroie comme dans la Para-
bole.

## Folio 362 — 884859711:0424
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62
IVRF DIXIFML
Des Problemes determines.
PROPOSITION GENERALE.
A25.  Problème de Geometrie déterminé etant propon
se en trouver la solution.
On resardera d’abord le Problème proposé comme
sil éroit resolu, e on tirera les lignes que l’on jugera
les plus propres pour faire connoirre ce qui n’est que
Suxpole. On nommera ensuice coutes ces liones (quitone
pour l’ordinaire des triangles rectangles ou Lemblables)
par des letrres de l’Alphabet, sçaroir les lignes qui lone
connues par les premiereslereres, e les lignes inconnues
Parles dernieres letrres; e on parcourra coutesles condi-
tions duProblème, en comparane cesliones entrelles dans
l’ordre le plus simple e le plus naturel qu’il sera possible:
ce qui doir serrir à former autane de differentes égalités
qu’il y a d’inconnues. On emplorera entin les regles or-
dinaires de l’Algebre pour réduire ces differentes égali.
ces à une seule dans laquelle il ne le troure plus qu’une
inconnué, e pour l’abaisser s’il se peuc a un moindre de-
oré; e l’ayanc resolue par les regles prelcrites dans le
Lirre précedent, on en cirera la solution cherchée du
Probleme. Ceci s’éclaircira partairemene par les exem
ples qui luivent.
E X F ML P L F I.
F26, 24V. 426. L a lione droire AB érane donnée, crouver
hors de cerre ligne le poine C tel qu’arane mené les
droites AC, CB; 1. La Comme de leurs quarres foit au
criansle ACB en la railon donnée de fd 8, 20. L’anole
AC B qu’elles compremnent soit ésal à l’angle donné
6DR.

## Folio 363 — 884859711:0425
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DES DROBLESMES DETERMENES.
363
Je suppose que le point C soit celui qu’on cherche, de
Je mene CFF Derpendiculaire sur AB que je dirise par
lemilieu au point F. Je nomme la donnée AFOU FB, a;
ex les inconnueS F FL, X; TTC, y; _ iai ATI = a = x
BFT =a- I x. Donc à cause des criangles rectanoles
AFTC, BETC, les quarres des hyporhenules AC=aa
=2 ax - F ∞ X - + yy, d BC = a a . - t 2 a X - LX X + yy;
_E par ConsequenE AC - F BC = 2 a a +2XX + 2p v.
Or puisque le criansle ACB = AFZCTY (ay), il s’en
suic par la premiere condition du Problème que 2a a
F 2X X - + 2yy. ay:: f. 8; ce qui donne en mulcipliane
les extremes eclesmoyens, _ diritant par 28, cette équa.
EiOn aa Y X Xx Fgy = 2 y = 2My eK PFCMANE (POUL
Ocer les Fractions) une ligne m- af.
Il reste maintenant a accomplir la seconde condition,
Eçavoir que l’angle LCB loit égal à l’angle donnéODK.
Pour y récissir, je mene d’un poine C pris a dileretion
dans la droire OD, la perpendiculaire OF Tur le COtĆ
DK, prolongée, s’il est necessaire, et du poine A la
perpendiculaire 1Z Tur le cote BC prolonse ausi, s’il
est necessaire, atin d’avoir deux crianoles rectangles
semblables ACZ, GD F, dont l’un GD F est donné.
Cela Fait, jenomme les données DF, b; FG, c; e Fai-
lant, pour abreger, BC==n, je croure à cause destrian-
eles rectansles semblables BC FT, B AL, CCS PFOPOE-
tions BC(n). CTF (y):: B A(2a). AL = . EF
BC(n). BZL (a - F ∞):: B A(24). BZ,- 2 aa t 2aY FF
Pax COnSeqUeNE OZ Ou BZ BC = 2aa + 2ax- nn DONC
puisque l’ansle AOZ doic éere esal à l’angle CDP, il
taue que C F (2aa = 2ax -nn
AE (2a3):: DF (b). F6(C);
d’ou l’on cire en mulcipliane les extremes et les movens
2aaC = F 2aCX =Cnn = 2 aby, Ces a dirC, CN MCEEANE
Pour nn la raleur aa- F 2a X - F 1 x- Fyy, cerre seconde
2

## Folio 364 — 884859711:0426
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364
LTVRE DFZPEME.
EgnatiOn a aC =CX X = Cyy =2 abye qui renterme la se
conde condition du Problème.
Comme l’on a trouré autane d’égalicés qu’il y avoie
d’inconnues, e que l’on a latistait à toures les condi-
tions du Problème; il ne faut plus que se serrir des re-
sles ordinaires de l’Algebre, pour reduire ces egalités
a une seule qui ne renterme qu’une inconnué y Ou x: de
c’est ce qu’on peut faire en certe (orte. J’ai pour premie-
re equation aa - F x x F yy =2my, e pour leconde,
a aC = C X X = cy y = 2 aby OU a a X X - g y = 2ab7; c’est
Pourquoi ajoutant ensemble d’une pare les deux premiers
membres, e de l’aurre les deux seconds, je croure 2a a
ac
2ab) - + 2my, d’oit je cire y =    en PFeNANCf = =
Ft mettane cerre raleur à la place de yet son quarré à la
Place de ry dans l’une ou l’autre des équations prece-
namm- aas a
dentes, je EFOUVC XX == mm-+ 2mf- L  _ X =
admm-- aa
m.- f
d’ou je connois que simm éroir moindre que a a -+ f lC
Problème seroir impossible. Fin voici la construction.
F16. 241. Par le poine P milieu de B aranc tiré unc perpen-
diculaire indetinie ON d AB, on menera par le poine
A la lione AMS qui Fase avec AB l’angle L AN C5al
à l’anele DOF qui est donné. Du poine M ou cecte li-
ene rencontre la perpendiculaire OV, comme centre,
et du rayon MI A, on décrira un arc de cercle ACB.
On prendra enluice Tur P M prolongéc du core de MI
la parcie MLN =m; ec ayanc joine N A, on lui menera
la perpendiculaire AO qui FeNCONErC NO au poinEO,
Par lequel on cirera une parallele à A B. Je dis que cetre
Parallele rencontrera l’arc de cercle AOB au point
cherché C.
Car ayane mene C JY perpendiculaire sur AB, il est
clair que CFT =FO== m = Duisqu’à cause des crian-
eles rectangles semblables W FA, AFO, il vienE W F
(m +f). AE (a) :: AE (a). EO = m +5. De pluS d

## Folio 365 — 884859711:0427
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DES PROBLESMES DE TERMLNES.
365
cause du cercle CM = AMI =aa- + ff; e PAPEaNE
puisque _1O =f - F m F5. il s’ensuit d cause du triar-
sle rectansle ALCO que CO OU PFF (X X) = a a 1f
2aaf
namm aass- a+
m +s mm. F 2ms + ss = mm- F ums + s. DONC _CC.
R E M A R OV F.
A27: LORSODAPRES avoir latisfair à toutes les
quections d’un Problème, on est arriré à deux équa
tions qui rentermene chacune les deux mêmes incon-
nues; il n’est pas necellaire, si l’on veur, de les reduire
a une seule qui ne renterme plus qu’une inconnue, COm
me il est prelerie dans la proposirion generale: mais l’on
peut reloudre le Problème, en construilane leparement
les lieux de ces deux équations, car leurspoines d’inter-
lection serviront à crourer les raleurs de ces deux incon-
nucs. C’est ce qui se voit clairemene dans cer exemple.
ou l’on a pris pour inconnues les droites FTT (X), FTC
(y) qui Font entrelles un ansle droit FFFC; e ou apres
avoir latistaie aux conditions requites, on est arrire à
ces deux equations aa - + X X - + yy =- 2m y, _ a a = X X
yy = = 2fy; car les cercles qui en Cont les lieux Ctane
décries Léparemene donnerone par leurs incerfections
des poines qui satisferont: voici comment.
Ayane décrie comme dans la premiere construction
l’arc de cercle ACB, on décrira du centre A, e du
rayOn AP ==m, un arc de cercle qui coupe la per-
pendiculaire PMI en P. On prendra Tur Cetre perpen
diculaire la partie FO =m du coré de l’arc AOB, et
on décrira du centre O e du rayON OC == F P, UN CeF-
cle qui coupera l’arc LO B en des poines C qui latis-
FerOnE.
Car à cause de ce dernier cercle on LUITa OC OU FD
mm= aa) = OO (mm == 2 My - + yy) - + OC (X X)
c’est a dire la premiere equation aa + x v + yy = 2myi

## Folio 366 — 884859711:0428
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366
LTVRE DFXLE MF.
ex à cause de l’aurre cercle AC D il vient MLC Ou  4
(f- + a a) = _O (f - +259 - L y y) - +OC (X ∞), c’est
à dire, la leconde equarion a a =X x - py = 2fy. D’oi
il suie que le poine cherché C se doit trouver en même
temps sur ces deux cercles, c’est à dire, qu’il doit le con-
Fondre arec leurs poines d’incerlection.
II est visible qu’il y a deux differens poines C qui Patis.
Fone à la question, lorsque ces deux cercles le Coupene
en deux points comme dans cerre Rigure; qu’il n’y en a
qu’un, lorsqu’ils se couchene; et qu’entin il n’y en peut
avoir aucun, lorsqu’ils ne se coupent ni ne le couchent.
Il Faut bien prendre carde qu’en resolvant un Problé.
me par le moren de deux lieux, on ne combe pas dans
une construction plus composée, que si étancarriré a une
seule éoaliré qui ne renterme qu’une inconnuex, on l’eue
construice selon les regles du Lirre précedent. Je m’ex-
plique: qu’il faille, par exemple, relondre un Problème
(c’est le troisième exemple qui sera proposé) donclescon-
dicions soient rentermées dans ces deux équations
be
cd cx
c = Yy =a a- t X X 5 AI l’on se serroic des
lieux de ces deux équarions, il est clair qu’il Faudroie
Arr. 306. mener une ligne droice  qui seroit le lieu de la premie-
Arc. 230. Le equation, ex décrire une FIyperboler qui seroir le
lieu de la seconde, pour avoir par leurs incerlectionsles
valeurs des deuxinconnues x et y. Mais parce qu’en réii-
nissane ces deux equacions en une seule, on troure l’é-
2ccd
raliré du Second degré X  -
ccda aa - 0
qui se construie en n’employant que des liones droites e
des cercles; ce seroir une taure considerable de se servir
d’une Ayperbole.
E X E N PL F II.
428. LP quarré ABCD erane donné; il faur menes
d’un de ses angles A la ligne droire AF, en Porte que
la partie F P comprise enere les COTES BC, CD, OppO.
332.
F 15, 242.

## Folio 367 — 884859711:0429
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DES PROBLESMES DETERMTNES.
les à cer angle soit esale à une ligne donnée b.
Je luppole que le Poine E pris lux le cocc DC prolon.
se, soit rel que la parcie F F de la ligne AF Soic égale à
2, c’est à dire que je luppose la queltion resolué; de je
nomme la donnée AB ou AD ou DC ou CB, ai
l’inconnue DF, x. Cela Fair, les crianoles semblables
EDA, FOF, dOnMenEFD (X). D A (a):: FC (X = a)
CF = 2X- aa
e le triansle rectangle EC F donne FF.
= FC - FCF = X X = 2a X - + a a - + a a x x = 2 a 3 x + at
Mais puisque par la condirion du Problème FF doir
étre égale a b, On auT2 X X 2a X - + a a - + aax X - 2a3 v + a3
=bb, Ou X  = 2 a X - = 2 a a X X = b b X X - 2 a X + a = 0.
D’ou l’on roit que la relolurion de cerre égalicé doir
Fournir pour D F (X), une raleur celle que menane la
droire F la partie P F comprise enere les Cotes CB,
DC, loic égale à la donnée b.
L’éxalite que l’on viene de erouver écane du guarrie-
me deoré, il faudroir employer pour la reloudre une
Section Conique. C’est pourquoi je dois chercler aupa-
ravane par les regles que Fournir l’Algebre, s elle ne
le peut poine abaisser à un degre plus simple, _ je FrOU
re en ettet que si l’on prend cc = aa- F bb, elle sera le
produit des deux égalices x x - + a a -- a x - - CX = =- 0, _
X X - + a a = a x - F CX =- 0, qui lone chacune du second
degré; de forte que pour avoirles quatre racines de l’é-
galicé du quarrième degré xt =2 a x XC, il ne Faut que
crouver les racines de chacune de ces deux égalices. Je
ne m’arrece poine à chercher les racines de l’éralicé X x
+ aa = a X - F Cx =o; Parce que c surpastant a, la dil-
Position des signes me Fait connoirre qu’elles POnE FOUTeS
deux Fausses: mais je croure celles de l’aurre egalite XX
+aa = a x. - CX = = 0, que je COnmOis CErC EOUTES deUX
vraies, de la maniere qui luiE.
Soit prise sur le coré AB prolonse la partie BC = c,
et soit décrir du diametre AC un demi cercle qui cou-
167

## Folio 368 — 884859711:0430
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368
EFVRE DEZTEME.
De en E le coté DO prolonsé. Je dis que ce Poine sera
celui qu’on cherche.
CaF NOIIANE D F, X; e menane la perpendiculaire
FTL, On auTa 7ZO ==a. tc = X, e par la proprieté du
cercte ATZXFZO (aX - FC∞ = X X) = E TL (a 4).
R E M A R Q V F L.
429. I ORSODAPRES avoir latistait aux conditions
d’un Problème, on arrire d une égalicé compolée qui 2
plusieurs racines réelles, il est risible qu’il n’y a qu’une
de cesracines qui exprime la valeur de l’inconnué qu’on
cherche: mais on doit bien remarquer que les autres
Deurent aussi serrir à la resolution de la quection, dans
un sens qui ne peut étre different de celui qu’on s’est
imagine que dans quelques circonstances particulieres.
Ainsi dans cec exemiple la petite racine vraie D L (X)
de l’égalicé X x =- aX = cx - t a a =- 0, donne Tur le COtE
DC un Poine L cel qu’arant mené la droite AL qui
rencontre le Core BC prolonse en R, la parcie L K eAt
cgale à la donnée b. Demême si l’on prend Bg ==c lur
le core B A prolonse vers A, e qu’on décrire du dia-
metre A8 un demi-cercle, il coupera le COte CD pro-
longe vers D aux points e, l, en lorte que De, e DI SC-
ront les deux racines Fausses de l’égalite x x - L CX = a X
+ a a = =0: X (i l’on mene les droites Ae, Ab, qui ren-
contrent le core C B prolongé aux points f, le; les droi
ces ef, Ik, seront encore chacune égale à la donnée b. De
là on peur voir que quoiqu’en relolvant le Probleme
on n’ait cu en ree que de crourer la valeur de DE, On
est cependant arriré à une égalicé donc les racines Ont
Fourni d’aurres valeurs DZ, De, DI, qui OHE tOuTeS
serri a resoudre le Problème en quelque sens.
R EM A R ODE II.
430. Srr Y a lieu de croire que l’égaliré qui renter-
me les conditions d’un Problème se peur abaisser à un
moindre

## Folio 369 — 884859711:0431
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DES PROBLESMES DE TERMENES.
369
moindre degré, il est à propos de renter d’autres voies
que celles qu’on a luiries quand même elles paroitroiene
moins nacurelles; parce qu’il arrire Couvene qu’elles con-
duilene à des egalires plus simples, et que d’ailleurs il
est astés difficile d’abaisser des egalites compolées. Voici
deux autresmanieres de relondre le Problème précedene
qui pourrone servir à Faire comprendre certe remarque.
Ayant suppose le Problème relolu, je mene FB per - F16, 242
pendiculaire Tur AF. qui rencontre le coce AB prolon-
gé en O, de je prends pour inconnues les deux droites
AF e BC que je nomme y e Z. Cela Faic, les criangles
rectaneles semblables A BF, AF. G, donnent AB (a).
2F (y):: AE (y - Fb). AG (a - F Z). EEPAFEANE vy. tbp
==aa - F a Z. Or comme j’ai deux inconnues e que le
Problème est décerminé, il Faut encore chercher une
autre égalité. Pour la crourer, je considere que FO -= AF
(y); Car menanE PFY perpendiculaire TuF AG, le crian-
ele rectansle F FYO est semblable au criangle rectanele
ABF, et de plus égal, puisque les coces homologues
AB, F TZ, TONE CGAUX CHEF euX. J’aurai donc (a caule
du crianole rectangle AFG) cerre aurre égalice aa +2aZ
2Z = 7y - + 2by = + bb- 1 yy = 2yy - + 2by- + bb
dans laquelle metcane à la place de 2yy - F 2by la valeur
2aa- F 2 a Z trourée par le moyen de la premiere ésa-
lice, il viene aa - + 2 aZ. FZZ =- 2a a- +2 aZ. F bb qui
se reduir à certe égalice cres. Cimple Z = V a a- F bb, qui
Fournic d’abord la même construction que ci delus.
AV Y R F MI A N EF R P.
egalemene lort que la houre LBOD Coic un quarre, ou
qu’elle (oicun rhombe. Ryant mené par lepoine cherché
F, que je recarde comme donné, la ligne FO qui Fasse
avec AF l’angle AFC Cgal à l’ansle donné ACF, e qui
rencontre au point e la diagonale LC prolonoée aueane
qu’il est necessaire; on aura crois criansles AC F, AFC,
A22
La maniere luirante a cela de particulier qu’elle reiissie FLC. 243:

## Folio 370 — 884859711:0432
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37C
LTVRE D FXTE MF.
GCF, qui serone semblables CnEF CUX. CaF V. L’anole
en A ćeane commun aux deux crianoles ACF, AFC.
e les angles ACF, AFG, EtanE égaUX par la CupPO-
sirion; il est visible que ces deux crianoles serone lem-
blables. 20. Le criansle ADC étane ilolcelle, l’angle
DC A Ou F CO Pera égal à l’angle D AC ou ACP, de
ajoutant de part et d’aurre le même angle FOP, l’an-
ole FCO lera égal à l’angle ACF OU AFB; X PaF-
cane puisque l’angle en C est commun, les deux criangles
AOF, FOC, Teront lemblables. Cela polé, soient les
InCOnIIS CF = = X, AC ==Z, X les données DC =a,
FF = b, AC = 6; On aUTA (à cause des paraIleleS AD,
CF,) CCETC PFOPONtION: CF (∞). F F (B):: CD (a). AF
v. Or d cause des criangles semblables ACF, AFO,
BCF, ON ErOUveTA AC(C). CF(X):: AF (=). FC
ab
. Et 16(Z. F0(): : =. C0(Z - C). DOu PON FOr-
me en mulcipliane les extrèmes e les moyens, l’égalité
aabb
2Z = cZ = qui fournie cerre construction.
AyanE mene du poine A perpendiculairemene (uE
AC la ligne AZY == =, on cirera par le poine du milieu
 de la diagonale AC la ligne FTL, e on prendra suF
cetre diagonale prolonsée du coré de C la partie 26
égale a ZFT. On décrira ensuire du centre C Xt du rayon
OF egal a AFF, un arc de cercle qui coupera le core
BC au point cherché P. Cela est éridene; puisque par
aabb
1a Construction ZZ = CZ = ∞, de que 6F = =.
E X E M PL F TII.
A3I. LROOVER sur une ligne droire indetinie D 
donnée de polition, deux poines D, P; delquels ayanc
mené à deux poines donnés O, C, hors de cerre ligne,
les droites DO, OF, DC, CF; l’angle DOP soit droit
P. XC, 243.
F 16, 244

## Folio  -  — 884859711:0433
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Planche 26. page 370
isi
2412.
43.
ERSACHSISCHE LANDESBIBLIC

## Folio  -  — 884859711:0434
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itsitiitititi i 
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tiit sitt
1uIIIIAII IIIIIBHMMIII
11
tt
Wisti1I
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ttitit it
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ignatur: Lcibn. Mar9. 155, (43
GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ BIBLIOTHEK
NEDERSALHSISCHE LANDESBIBLIOTHEK
eeeeeeeeee ea

## Folio 371 — 884859711:0435
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DES DRODLESMES DE PBRMLHES.
e l’angle DCF cgal à un angle donné Z PS.
Supposons la chole Faire, je décris du diaerre D P
un demi-cercle qui passera par le point o, puisque l’an
sle DOF est droit; a Tur la corde D F je decris un arc
de cercle capable de l’angle donné, lequel passera par
consequene par le poine C. Du poine FP centre de cet
arc, et despoints donnés O, C, je mene sur D F leSDeF
pendiculaires TTKC, O A, CB, e je nomme les données
OA, a: CB, b; AB, c; les inconnuis AK, X; KFI, V.
Cela posé, il est clair par les Elemens de Geometrie.
10. Oue le Poine R sera le milieu de la ligne DF, _ par
consequent le centre du demi-cercle DOF. 20. One A
par le Commee P de l’anole donné ZPS on mene une
perpendiculaire P C à l’un des corés PY, l’angle OP5
qu’elle fair avec l’autre coce PS, sera égal à l’anole RFFI.
Or à cause du criangle rectangle K 1O le quarré XO
OI KLF = aa - F X X, e à cause du rriangle rectanole
TTK F lC qUAEEe TTF = a a - F X X - F py: mais prolon.
SEANE FY K ju (qu’à CC qU’EIIC FENCONERC Cn R une paraI.
lele CR a DE, on aura (à cause du criangle rectanole
ORZT) le quarrE CFF = - bb - + 2by- + yy- tcc- t2CX
+. Xx. Donc puisque leslignesTTF, FTO, Cont rayons du
même cercle, on formera par la comparaison de leursra-
leurs analyciques cerre equation aa - L X X - + vy =- bb
+26y- + yy - Fcc - Y 2CX - F X X qui, en eAacane de
Pare ee d’aucre yy - L x X, et pour abreger, Failane
aa- - bb- c0
=d, se reduic à celle. Ci; y = ed- ax
Si l’on considere le chemin qu’on a fuiri pour arriver
à l’équation precedente, on verra qu’elle renterme certe
condition, sçavoir que les cercles décrits des centres
X, FZ, X des FAYONS KO, FTC, le renconerent lur la
lione D F dans les mêmes points D, P; de Porre qu’il
ne reste plus qu’à faire que l’anole RF FL (oit esal d
l’ansle OPS. POur en renir à BOUL.
AyanE pris sur la lione PO la partie PO égale d CB,
ex tiré QS Parallele au core P X, e terminée en S paF
A2 2 i)
71

## Folio 372 — 884859711:0436
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000436.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
372
LFVRF D F X FF H F.
l’aurre cote PS; il est évidene que le criangle rectanole
FK FE doic erre lemblable au criangle rectansle PCS.
e qu’ainsi, en nommant la donnée OS, f, On aUTa CCFC
PTOPOrTION; FK(VAa LXX). RFT(Y):: PO(b). 9S(F);
d’oit L’on tire y = fVaa - L X X =  . OHarTANE CHa-
que membre pour ocer les incommenturables, de met
tane par ordre l’égalicé, On FrOUVe XX=
ccs
rccd
A
=0, dont l’une des raCinCS FOUFHIFA pOE
AK (X) une raleur celle que décrirant un cercle du
CCHErC K X du TaYON KO, il coupera la ligne D P aUX
deux poines cherches D, F.
On peut erourer lesracines de cetre égalité, selon les
articles 380. Ou 382. (Lir. préced.): mais quoique les
methodes qu’on y explique (oiene cres simples eu ésard
a leur generalicé, il arrire neanmoins crés- Pouvent qu’en
considerant avec accention la nature d’une question par-
ciculiere, on croure des constructions plus Faciles. PaF
exemple, on peut remarquer ici, 10. Oue li par le point
de milieu s de la ligne OC qui joine les deux poines
donnés, on mene la perpendiculaire FO qui renCONEre
en G la lione DE donnée de position, on aura AC = d3
CAF HOMIIAnE AG, Z: les trianeles rectangles OAO,
OBC, dOnnerONE CO =ZZ- F a a _ 6C == ZZ + 2CZ
=F CC - F bb, e comparane ensemble ces deux valeurs
qui doirent erre égales encrelles, puisque le Poine
est dans la perpendiculaire FO qui dirile par le milieu
la lione OC, il vienE ZZ + a a = ZZ t2CZ tcc- + bb,
d’ou l’on cire AG (Z)-
a a - bb c -- d. 20. Oue l’égalite
20
fraa =LXX = Ca = CX qui renterme les condicions dut
Problème, se reduie à Cerre proportion; OK (d = x).
KO (Vaa- L X X):: OS(F). AB(C): de Corre que s l’on
Art. 350. dCcrie  le lieu de tous les POInEs R cels qu’arant mene
aux deux poines donnes 6, O, les droites RG, KO.
elles loienc coljours enrr’elles en la railon donnée de

## Folio 373 — 884859711:0437
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000437.jpg
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DES PROBLESMES DEPERMEHES.
7
O5 d AB; ce lieu coupera la ligne D F au poine cher-
ché K. Ce qui donne la construction luirance qui est
cres. Cimple.
Par le point de milieu F de la ligne OC qui joine les
deux poines donnes ayant mené la perpendiculaire FC,
qui rencontre en G la ligne D F donnée de position, on
divilera la ligne OO au poine M, en Corte que CMI.
MTO:: OS. AB. Ec on la prolonoera du coré de Cjul-
qu’au POinE N, en TOrTC que GN. NO:: OS. AB. Du
diameere MI W on décrira un cercle qui coupera la lione
D F en un PoinE K, duquel poine comme cenere, et du
FaYON KO ayane décrit un cercle; ce cercle renCONEre.
ra la lione D F aux deux points cherchés D, F.
Comme le cercle qui à pour diamerre la ligne MX
coupe la droite DF non seulCeNE au POINE R, mais en
core en un autre point L; il s’ensuie qu’on peur se serrir
du poine Z de même que l’On a FaiE du POINE R. POUF
erouver sur la ligne D P deux autres points qui Paciste-
TOnE egalemenE, e qu’ainsi cerre question peur avoir
deux differences solurions.
Si l’angle DCF deroir érre droir aussi bien que l’an-
sle DOE, il est clair que OS (f) deviendroie nulle, et
qu’ainsi l’égalire fraa - F X X = = cd = cX se chanoerOiE
en celle-ci cd = cx = 0, d’ou l’on rire x =d; c’est à dire
que le centre K comberoit alors sur le poinc 9. Fc si le
poine B comboit sur le poine A, l’égalicé fraa- L x X
=cd ex le chanseroir en celse- ei fra a - + X X = aa - 16
d effacane en-
suice les termes ou c(qui derient en ce cas nul) se ren-
contre; d’ou l’on voir que dans ce cas, (i du Poine O
Comme cenEre, et du FaYON OK =  on décric um
arc de cercle, il conpera la tigne DF au POiHE CherchEK.
Cecis’accorde partairemene avec les articles 66, 67, 68.
du Lirre second, d la construction generale peut sex-
vix a crouver cour d’un coup dans une Elliple dont
A2 a 11)

## Folio 374 — 884859711:0438
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000438.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
374
LFV R E D E X F E M F.
deux diametres conjuoues Contdonnes, deux autres dia.
metres conjugués qui Fassent entreux un angle donné;
ce qui dans l’art. 65. aroic été renvore ici.
E X E M P E E EV.
432.lROIS POIHES A, B, C, EtanE donnés, Cn ErOU-
ver un quarrième M, duquel ayant mené a ces points
les droites MI A, MB, MC; les difterences de l’une
d’elles aux deux autres soiene données.
Cerre question est lulceprible de crois differens cas.
Car ou les crois lienes M A, MIB, MC, TONE tOuteS
egales entrelles; ou il y en a seulemene deux qui loiene
cgales entrelles; ou entin toures les trois sont inegales
enerelles.
Premier cas. Lor(que les trois lignes M A, M B, MC,
Tone erales enerelles; ou ce qui est la même chose Ior(-
que les deux differences données lont nuIles. II est clair
que le point cherché M sera le centre du cercle qui
Passe par les crois poines donnés L, B, C.
Second cas. Lorlque deux des crois lignes M A, MIB,
MLC, comme MI A, MI B, doirent erre égales ener elles;
ou (ce qui est la même chole) lorlqu’une des differen-
ces données est nuIlc.
Ayant cire du poine donné C, la perpendiculaire C0
sur la lione AB qui joine les deux autres poines donnés A,
B; du point as que l’on suppose etre celui qu’on chercbe,
ayanemeneles droices MV, MLO, Paralleles à C0, OB; il
estclair que AP Cera égale à PB, puisque AM doit etre
égale à M B. Nommant donc les données AP Ou PB, a:
OP, b; OC, c: ANI--MIC, f; X les inconnues AML, Z
PMs, y; les criansles rectansles A~ M, MIOC, don-
nerOnE ces deux égalites ZZ = aa F yY, de Z2 2fZ
+f = cc - 2Cy - F yy - F bb; dOu en FCETANChANE PaF
ordre chaque membre de la seconde de ceux de la pre-
miere, il viene 2fZ - f = a a - cc. + 2cy- bb, qui se
reduie a cerre proporrion Z. y + na- b- c :: c. 5
De la on tire la construction suIranTE.
F1C, 245.
20. 240.

## Folio 375 — 884859711:0439
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000439.jpg
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DES PROBLESMES DE TERMFHES.
375
Soir menée par le point de milieu P de la ligne AB,
la perpendiculaire PD = aa - bb - c ts Soit divisće
Lhypochenuse AD prolongée du coré qu’il sera neces
TaITC, AUIX POINES F, F; en POTTC que AF. FD:: c. f, _
AF. FD:: c. F. Du diamerre e F loir décrie un cercle;
il coupera la ligne PD au poine cherché M.
Car arane mené la droire MI A, il est clair par la
propriete du cercle FMF,  que AM (ZI. MD = Ar. 350.
y. + aa - bb- cc. +
)::c. fi de par la propriete de la per-
pendiculaire PML, que ZZ = a a - Fy y. Ox Commeces
deux équations rentermene les condicions du Probleme,
il s’entuit ec.
Si par l’autre poine X, oi la ligne D P renCOnEre la
circonterence, on mene les droites W A, N B, NC;
les deux NA, N B, seront égales entr elles, ee la dit-
ference de chacune de ces deux droires à la croisième
NC sera egale à la donnéef; de Porre que le poine X
Cacistait aussi, mais avec cetre difference que XC est la
plus grande des erois droites W A, V B, NC, au lieu
que MC est la plus petire des erois MI A, MB, MC.
On peut encore reloudre ce second cas Tans aUCUIN F1G. 247.
calcul. Je suppose comme aupararane que AL soic le
poine cherché, e ayane tire les droires iA, MIB, MC.
je décris du centre C, de du rayon CD = ML A MIC
Un CerClC D FK F FI. Du poine Dou la lione NC Fen
contre ce cercle, je mene aux deux poines donnés A, B,
les droites D A, D B qui rencontrene le cexcle aux poines
E, F; par ou je rire les rayons PC, CF, et la corde
EF. Cela fait, puilque MC. FOD ou MD = MI A
e que les lignes CD, CF, Cont rayons d’un même cer-
cle, les triangles D HT A, DOF, seronc iloscelles; de
par consequene semblables parce que l’angle en D est
commun: c’est pourquoi les lignes CF, MI , SerONE Pa-
ralleles. On prouvera de même que les lignes CF, MIB,
seront aussi paralleles; ce qui donne D A. DF:: D NI.
DC:: DB. DF. Fe de là on voie que toute la difficulcé

## Folio 376 — 884859711:0440
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376
E TVRE DEZIE MF.
se reduie à crourer sur la circonterence du cercle
DEK F FZ, le PoinE D cel qu’ayane mené les droites
DA, D B, qui rencontrene la circonterence auxpoints
E, F; la corde CF soic parallele à la ligne AB. OF
cela se peuc faire ainsi.
Ayane décrie du poine C’un cercle qui aix pour rayon
une lione CD = AMI = ATC, X tiré AC qui renCON-
ere ce cercle aux points IC, LL; on prendrâ TuF AB I2
Partic LO quatrième proportionnelIc2 AB, ATI, AK;
e on menera du point G la Tanoente CF au cercle
EDZZFK. AyanE mene par le poine touchane s la li-
one LE qui rencontre le cercle au poine D, on tirera
DC. Tur laquelle on prendra le point Mt cel que DMI.
DC:: D A. D F. Je dis qu’il sera celui qu’on cherche.
Car par la propriecé du cercle DFKFFZ le rectansle
TT AX AK = = D AX AF; Et paF consequenE B A. AD::
AF. AC: c’est pourquoi les criansles D AB, G AF,
qui ont l’angle en scommun, ec les corès autour de
cet angle reciproquemene proportionnels, seront sem-
blables. L’ansle AEO sera donc égal à l’ansle ABD;
mais cet ansle LFO érane Fair par la cansente FC de
par la corde De prolonsée du coté de E, a pour me-
sure la moirié de l’arc D F. II sera donc égal (en cixanE
par le point Fou la lione D B renconere la circonteren-
ce, la Corde F F) à l’angle DFE; e par consequent les
liones FF, AB, Ceron Paralleles cnerelles. Or par la
construction DC. DM :: DF. E A:: DF. FB. LCS
criangles DMI A, D M B, Seron donc iloscelles; puil
que les criansles DCE, DCF, qui leur lont sembla-
Bles Conciloscelles. Les lignes A Ar, ATB, SerOnEdonC
ésales chacune a DML, d par consequene entrelles; e
de plus AM ou DM surpassera M C de la grandeur
donnée CD. Ec c’est ce qui éroir propolé.
F10. 248. Froisième cas. Lorsque les trois liones M A, M B,
tC, Conc inegales enerelles. Du poine donné C, je
mene la perpendiculaire CO sur la ligne A B qui joine
les deuX AUEreS pOinES donnES; de du POine M, que je
suppole

## Folio 377 — 884859711:0441
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000441.jpg
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DES PROBLESMES DE PERMFNES.
377
suppose erre celui qu’on demande, les perpendiculaires
M P, MI 9. Tur les lignes AB, C0. Je nomme les don-
nées AO, a:OB, b; CO, c: AMI MIB, d: AMI NIC, (
d les inCOnnUCS OP, X; P NI, y; AM, Z: ce qui
donne AP = = a - F X, BP = - b - X, CO = - c - y, BMI
Z- d, CM = =Z f. Par le moyen des trianeles rectan-
oles APML, BPMI, COMI, je troure lestrois equations
Tuirantes; la premiere, ZZ = - a a - t2 a x- L XX- F pV; la
deuxième, 2Z 2dZ- Fdd -- bb - 2bX - t X x. tyy; la croisié
WC, 22 252. If= cc- 2Cy. LVy. tXx; e recranchant par
ordre les membres des deux dernieres de ceux de la pre-
miere, je forme une quatrième, e une cinguié̀me equa-
cion; sçavoir la quarrieme, 2d Z- dd =aa  bb - F2aX - F2bX,
e la cinquième, 2fZ f = =aa - cc- t2ax. t2Cy. JC mers dans
la premiere équation à la place de ry le quarre de la va-
leur deperourée par lemoren de la cinquié̀me; e ensuite
à la place de x la valeur crourée par le moren de la qua-
erième, e à la place de xx le quarre de cetre valeur:
ce qui donne entin une esalicé ou il n’y a plus d’incon
nues que la senle Z qui ne monte qu’au quarré. C es.
pourquoi on la pourra coujours reloudre en n’employane
que des lignes droites et des cercles, comme l’on a cn-
leione dans les articles 380, ou 382 (Lir. preced.) Or
ayane la raleur de l’inconnue Z, il est Facile de Frouver
le poine cherché MI; car il lera dans l’incerlection de
deux arcs de cercle, donc l’un aura pour centre le poine
, et pour raron la ligne N (Z); d l’autre pour cen-
tre le point B, et pour rayon laligne BNI (Z = d).
On roir assés qu’en acherant le calcul, on leroit ar-
rire a une égalité du deuxième degré qui auroit renter-
mé dans les termes des quantités tres compolées; de
Porte que pour les réiinir Tous des expressions simples,
comme le demandene les articles 380, X382, on auroie
beloin d’un orand nombre d’operations; ce qui rendroit
la construction erés longue. C’est pourquoi on le servira
de celle ci par le moyen de laquelle on reduit ce cas au
precedent.

## Folio 378 — 884859711:0442
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000442.jpg
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78
LFVRE DFXFE N F.
F15. 249. Les deux droites AB, AC, qui joignene les points
donnés ecant dirisées par le milieu aux deux poines
D, F, d ayane mené du poine M que je suppole etre
celui qu’on cherche, les perpendiculaires M P, MC,
sur ces deux lignes; on nommera les données AB, 2a3
BC, 2b; AML = MB, 2C; AAY = NTC, 2d; X les in-
Connues DP, ~; FO, V. Cela posé, si l’on nomme 21 la
Tomme inconnué des deux droires AML, B MI; la pluS
orande AML (era t - FC X la moindre B MI sera F = c.
Or les criansles rectansles APML, BPAL, donnent
PMI = MI- AP =BN - B~ c’est a dire en Ter-
mes analyciques 1t - F 2Ct - YCC = a a = 2 a X  x X = t L
2Ct - + CC = a a - F 2 a X = X x, d’ou l’on tire + = = 3
dE Par ConsequenE A ML (7 - +C) = = - F C. On ErOU-
vera de même par le moyen des deux criangles rectan-
sles AOML, COM, que AM = - -+ d; ce qui, en
comparane ensemble les deux raleurs de AML, donne
certe equation =- + c = 7 - F d, Ou = = 7- + d - c
 -+ f, en faisane pour abreger d = c == f. D’ou il est
clair que le point cherché ML doic étre tel qu’ayane
mené les pervendiculaires ML P, M O, sur les deux
droites AB, AC; on ait cetre équation = -7- + f.
ou ce qui revient au même cete proportion X.
y -+ :: b. =. Or cela suftic pour crouver la construc-
tion suivance.
Arant joine les poines donnés par les deux droices
AB, AC. e dirisé ces droites par le milieu aux poines
D, F; on prendra lur AC du coré du poine a la parrie
FK = ; dE aYAHEtire suT AB, AC, les perpendi
culaires DO, KS, qui se TeNCONEreHE au point IY
on menera dans l’anole OFTS la droice FPM qui Poic
le lieu des poines M, cels qu’apant tiré de chacun d’eux

## Folio 379 — 884859711:0443
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000443.jpg
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DES P ROBLESMES DETERMEHES.
379
les perpendiculaires ALO, M R, Tur lesCOteS FYO, TISi
la droice M0 loit coujours à la droire M R, en la rai-
Con donnée de b a 2. Ensuice l’on cirera AF perpen-
diculaire (ur ZTMI, e l’ayane prolonsée en C en POrte
que FG Toit égale à AF, on crourera par le lecond cas
le poine MV, cel qu’arant mené les droites M A, 11G,
NFC; les deux M A, MTC, Poient égales encr elles, _
la difference de MI A à MFC soit la donnée 2d. Je dis
qu’il laristera a la question.
Car par la propriete de la deoire ZY MI, on aura tou-
jOurs MO ou DP (X). ML R Ou OK (y - + f):: b. 
e par consequene le poine L se doit ErOUveF danS CeFTC
lione. II sera donc également éloigné des poines A, 6;
mais de plus la difference de AML à MC doit cere la
donnéc 2d. DOnC _C.
R E N A ROV F.
433. Sr au lieu que dans cer exemple, les deux diffe-
rences de l’une de ceserois droites MI A, ATB, NTC, aux
deux autres Pont données; on vouloit à prelent que ceful
sent les deux lommes de l’une de ces droires arec chacune
des deux aueres, ou bien la comme de l’une d’elles avec
une autre et la difference de la même avec la croisié̀me:
la quection n’en deriendroit pas plus difficile, e on
pourroit toujours la reloudre par les mêmes metho-
des. Ce que je n’expliquerai poine en décail, atin de
laisser quelque chose à l’industrie des Lecteurs.
COROLLAFREL
cercle qui couche erois cercles donnés.
Car Poient les points A, B, C, les centres des cercles F15. 250
donnés, e le point Mr celui du cercle qu’on cherche,
lequel touche les cercles donnés aux DOInES D, F, F,
du core que l’on roir dans la figure. Soient les rayons
Bbb ij
434. DELA On voit comment on peut décrire un

## Folio 380 — 884859711:0444
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380
LTVRE D PX PE M F.
des cercles donnes AD = a, BF = b, CF == c; e le
raron du cercle qu’on cherche ND ou MIF Ou AIF
=Z. Cela polé, on aura AN =- Z- F a, MIB =-Z. tb,
MO- =Z  c; e PaTtanE ANI MB = a - b, AIB NC
-b - F c, AM AIC == a - F c. Dou il eA CridenE que
la quection le reduit à trourer un poine M, duquel
ayanE mené auX trois poines donnés A, B, C, les droi-
tes M A, M B, MC, leurs diftferences loient dOnnCCS.
GOROLLATRE TI.
435. DE LA On cire encore la maniere de décrire
une Section conique qui aic pour forer un poine donné
F, qui passe par deux autres points donnés B, C, de
qui couche une lione droice D F donnée de Polition.
On doit distinsuer ici deux differens cas, doncle pre-
mier est, lOrsque les ErOis pOinES donnés F, B, C, FOm
bene du même coré de la droice indétinie D L; e le se-
cond lorsqu’ils rombene de part et d’autre.
FXC, 25F. Premier cas. AyanE mené FD perpendiculaire (yp
DF, et l’ayane prolongée en A en Porre que D A IOit
égale d̀ D F; On cirera les droites FB, FC. ON ETOU.
vera le poine a cel que la difference de AM X BMI
soit égale a LB, e celle de AM _ M C égale d FC. On
+ Des. L. II. décrira enluire  une Section conique qui aic pour les
es 1. III. deux foyers les Poines P, M, et pour l’axe qui passe par
les forers une ligne égale à aM. Je dis qu’elle sera cel-
le qu’on cherche.
CaF 10. LC poinE F ou la ligne AML FenCONErC La
deoite D F CA à la Section, puilque FP étanc ésale a
AF, On aura dans l’Ellipse la Comme des droites PP,
FMI, e dans l’I syperbole la difference égale à l’axe qui
passe par les fovers; et par la même railon les poines
B, C, TeronE aussi dans la Section. 2. Par la Construc.
tion les angles FF D, DF A, IONE EGAUX CNEPeUX; et
par consequene la ligne FD CA= TANSCNEC CN E.
Il fauc remarquer dans ce cas que lorlqu’on cherche
F16, 251.
2
Art. 60
x 123.

## Folio 381 — 884859711:0445
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DES PRODLESMES DE PFRMENES.
38F
le Foyer M du même coré du Forer donné F par rap-
Pore à ligne DF, la Section qu’on croure est une FIlip-
Te; au lieu qu’elle sera une Ilyperbole ou deux Ilyper-
boles oppolées, lor(qu’on le cherchera de l’autre coré.
Secondcas. II est Eridene que dans ce dernier cas itne F 1C. 252
peut y avoir d’Ellipse qui latistasse, mais seulement deux
Flyperboles oppolces. Pour les ErOuver; ayanE menE
comme dans le premier cas FD perpendiculaire sur
DE, et l’ayane prolongée en A en Porte que D A POic
égale à D F; on cherchera le poine Ms cel que la lomme
de AMLX BMS soic égale à la donnée FB, e la differen
ce de AML e M C soir égale à la donnée F C. On décri.
ra entin deux Fyperboles oppolées qui ayenE pour
torers les deux poines F, M, et donc le premier axc
loic égal à LM1. Je dis qu’elles ont les conditions re-
quises.
Car L. Le poine F, oit la ligne AMl rencontre la li-
one DF, lera à l’une de ces deux IIyperboles, puilque
FF etant égale à  F, la difference des droitesF L, NIF,
sera egale d AMI valeur du premier axc; _ par la Me-
ne raison les points B, C, Teront a ces IIyperboles. 20
La ligne DE sera F cansente en P, puilque par la COn- = ArT. 123.
Struction les aneles AFD, D F F, IONE CGAUX CNEP CUIZ.
Si le poine Ocomboir du même coté du poine B Par
rappore à la ligne DF, la lomme des deux deoites Inr
e MIC seroit égale à la donnée FC; au lieu que c’est
la difference lorsque les points B, C, tombene de pare
ec d’aurre de la ligne DF, comme l’on a lupposé dans
cetre Agure.
Si l’on proposoir de décrire une Section conique qui
eut pour forer un poine donné, pour cangentes deux li-
ones données depolition, et qui pastat par un autre poite
donné; on trouveroit par le moren de ces deux liones
deux poines comme l’on viene de faire le poine A, det
quels ayant mené deux droires qui aboucislene à l’autre
foyer qu’on cherche, elles doirent étre égalesenerelles,
et leur difference ou leur lomme arec celle qui pare du
Bbb iii

## Folio 382 — 884859711:0446
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000446.jpg
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382
LTVRE DIZ T E M P.
poine ou doit passer la Section et qui aboucit au même
foyer, Cera coujours donnée: de Porre qu’on pourra ton
jours resoudre la quection par le moyen de l’Exemple
precedent, e de (a Remarque. Ensin s’il falloit décrire
une Section qui touchât trois liones données de polition,
et qui cut pour forer un point donné; on trouveroit par
Je moren de ces crois lignes crois poines comme l’on a
Fait le poine A par le moren de la lione D F dans les
deux cas precedens, et le centre du cercle qui pasteroie
par ces trois poines, seroir l’aurre foyer de la Section,
laquelle auroit pour premier axe une ligne égale au rayon
de ce cercle.
On doit obterrer dans tous ces differens cas, que sile
poine cherché M éroir intinimene éloigné du poine F;
la Section deriendroit alors une Parabole dont les dia-
metres leroient paralleles aux lignes, qui, continuées a
l’infini, abouciroiene au point cherche.
16. 2530
I Z F NL P L F V.
436. ONE Parabole N CS érant donnée avec un
de leS arCS MIN; crOuver un autre arc RS qui loit à
l’arc MI X, en raison donnée de nombre a nombre.
Avanc prolonsé l’axc de la Parabole du coré de lon
orioine C julques en , en Porre que C  Poit égal à la
moitié de lon paramerre, et décrit une Fyperbole équi-
LatOrE F A F qui aic pour centre le poine C et pour la
moicié de Con premier axe la lione CA; on menera pa-
Fallemene à l’axe C A les droites MV B, V F, RD, 5F,
qui rencontrene le second axe aux POInES TL, Z, K, O,
Xt l’FIyperbole aux poines B, E, D, F, delquels on ti-
rera lur les A(ymproces les perpendiculaires BP, PO
DG, FI. Cela taie, il est visible que le rectangle ACXNIX
Arr. 246. u r le Prapele hyperbolique FTBFL est egal au Secteur
hroerbolique CBF plus le criansle OL F. moins le crian-
sle CFTB; e de mmêine que ACXRS = =CDF + COF
CKD. Or suppolant que la railon donnée de l’are

## Folio 383 — 884859711:0447
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DES PROBLESMES DE TERMZHES.
383
NIN à l’arC RS Coic comme m est a n, les lCFErES m et
n expriquene des nombres entiers quelconques) on aura
par la condicion du Probleme AOK NI W ou CBF
FCFF =CTIB. ACXRSOUCDF- FCOF =CKD::
m. n, _ par conlequent nOBF - LnCFF= nOTTB
mCD F. FmCOF = mCKD. Si donc l’on nomme
les données CP, b; CO, c; l’inconnue CO, x; et qu’on
prenne CY = x V , il est clair  que le Secteur hyper -  Art. 223.
Boligue CBF. CDF:: m. n, _ qu’ain(InCBF == MCDF;
d’ou l’on roit que l’égalicé précedence se change en cel-
le-Ci nOZF = nCTTB = =m COF- mCKD qui nC
renterme plus d’elpaces hyperboliques, mais senlemene
des triangles rectangles dont il s’agir maintenant de
trourer les raleurs analyriques.
Les droites CP, FYB, Forment en s’entrecoupane
au poine N deux criangles rectangles VFIO, VPB, qui
Cone semblables; puisque les angles en P erant oppolés
au fommer TOnt CGauX; ce qui donne YIV: CV:: VP.
VB, e en mulcipliane les extremes e les moyens
TTVXVB =CYXFP. De plus à cause de lFTyperbOle
équilatere F AF, l’ansle VO AOuOVTT = eAt demi + Def. 16.
droit, e par consequent le criangle rectanele CTTV MI.
estiloscelle, aussi- bien que son semblablerPB, ce qui
donne VD =- PB, CTT =-TIV, X Or =CTI- + TIV
==2FTT. Donc le quadruple du criangle rectanele
CTTB, Cest a dire 2CTTXTIB == 2TIVXTIV + VB
== 2LLV - FZTTVXVB ==OY L2CVXVD = CY
+ZOVXVP LVD - YP =CP. PB, puisque CY
t2CVXVP- L V P eA le quarre de CV - LVP Ou
de CP. Fc par consequene le criangle CTTD =- = CP
 PB. On prouvera de même que le crianole C P F
CO= = OF, que le trianslc CKD = - = 06
GV, e entin que le criangle COF = - = CT = = TF
C’est pourquoi nommane aa la puistance de l’Fyperbole,

## Folio 384 — 884859711:0448
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384
LFVR E D FZ T E M F.
=OE=
 le triansle
c le criangle CKD = = X N qu le
Arr. r01. Friansle COF =
ac
a
u m 2n
VEin
= TF=
aa
a+ in Ben
au c; puisque = PB
im B
= V =: _L MCETanE ces raleUES
à la place des criangles qu’elles exprimene dans l’égalité
NCZE =nCFTB = mM COF = MCKD, ON CN FORMCFA
m 12
e
V.
cellC. Ci = nXCC  - - bb - + p = = M X X X V p n  a
c2
=X X - + = qui se reduie, en operant selon les resles
LX
ordinaires de l’Algebre, à cerre ésaliré du deuxième
desre +1 - na . = nobecuo obu vbm X x- + a V  =0, dOnE
mbbceX Vcn B2n
La relolution doic Fournir pour CG (x) une raleur relle
Qu’en PFeNaNE CT = = x V, ec tiranc les perpendicu-
laires OD, PF, qui rencontrent l’Hyperbole equilate.
re auX POInES D, F; l’arc RS que les paralleles DR,
FS à l’axe coupene tur la Parabole, sera à l’arc NI N
en la raison donnée de n à m.
Tlest 2 propos de remarquer, 10. Oue le second terme
de cerre égalice est roujours negatit, parce que CO(c)
Turpalle CP (b); _ qu’ain(I ces deux raCINES (CFONEEOLTeS
deux vraies ou coures deux imaginaires, selon que la moi-
cié de la grandeur connue au second terme est plus gran-
de ou moindre que a a V= racine quarrée du dernier
Terme: ce qui est une suire de la resolucion des égalités
du second degre. 2. Oue CO (XX) ćtanc une des ra-
cines de cerre égalité, TF en sera l’aurre. Car puisque
aa
b
Art. 101. CT == X V 5, il s’enluiE = que YF = = V -. Or on SCaIF
que le dernier cerme d’une égalicé, est le produie de les
pacines. Si donc on dirile le dernier cerme à V de
l’égalicé

## Folio  -  — 884859711:0449
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16
24G.
Planche 27. page 384.

## Folio  -  — 884859711:0450
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000450.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 13 lines, status machine
fli
l  (HMHuII
MH.MIIIII
MHIMHIIIII
Ni111
1
MIIIMIIIIIHI
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
DWILHELMLEI
NIEDERSACHSISCHE LANDESBIBLIOTHEK
ea
e
patur: Leiton. Mar9. 155,

## Folio 385 — 884859711:0451
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000451.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 46 lines, status machine
DES PROBLESMES DF PFRM FN F S.
385
l’écaliré precedente, par le quarré CO (X ∞) que l’on
suppose étre l’une de les deux racines; l’autre sera
n BZn
 n qui est le quarre de FJ. D’ou l’on voir que si l’On
Prend sur les deux Alympeores les parties C6, CT, éga-
Les aux deuxracines de l’égalicé précedente; e qu’ayane
ciré les Paralleles GD, TF, auX ASympEOtes, On mene
Par les Points D, F, ou elles rencontrent l’hyperbole
equilatere F A F, les paralleles DR, FS, à l’axe: elles
couperont sur la Parabole l’arc cherché RS.
Si m=n, l’équation generale se changera en celle ci
x-
bbcc at
X X - + a166
==0, dont les deux racines FOur.
nissenE CO (X) = - b == CP, _ CZ (X) - aa = OF;
d’ou il SIIE qu’oOn ErOUre par lEUF MOYEN Un AEC RS,
lemblablement posé de l’autre coré de l’axe, par rap.
POrt à l’arc MIN. Ox comme l’on sçair d’ailleurs  que + Art. 86.
les deux ares RS, MI N, etant semblablement polés de
DaFE _E d’AUETC de l’AXC IONE EGRUX CHET CUX, Cela Perr à
confirmer les raisonnemens que l’on riene de Faire. De
là il est aisé de conclure qu’un arc parabolique NI X
EEanE donne, ON N’EN PCNE EFOUVEF AUCUN aVEre RS qui
Soit plus proche ou plus éloigné de l’origine C de l’axc
e qui lui Toit égal; sans supposer la quadrature de quel-
que Secteur hyperbolique, ou (ce qui reviene au même)
la rectification de quelque arc parabolique.
Sim =- 1 _n = 2, ORAUTa ∞ 22166 -2 ccb+
e + BbcC XX + at b1
0
_  m = = 2 X n = = 3, ou, ce qui est la même chose, (I
l’arC RS doit étre à l’arc NI N comme z elt d 2, on
ETOUVCNA X+ 3a 2 = 3bBCEXBCC b3
2c = 2ccb3
atb.
X X - +  = 0; et la re-
Tolution de ces égalices fournira celle du Problème. II
en est de même des aurres valeurs de m ec n.
MI. Bernoulli celebre Professeur des Machemariques a
Croninoue, a resolu le premier ce Problème d’une ma-
niere differente de celleci. On peut roir ce qu’il en die
dans les Actes de Leipsic de l’année 2698. P. 261.
CC

## Folio 386 — 884859711:0452
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000452.jpg
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386
L FV R E DT X TE M F.
E X E M P LE VI.
437. IN angle B AC étane donné avecun poine D
au dedans de cet angle; décrire un cercle qui passe par
le poine donné D, qui couche le coré AB en quelque
POinE P, et qui coupe sur l’aurre coré LC une partie
Oe égale a une ligne donnée 2a.
Ayane supposé le Problème resolu, on menera du
poine donné D, la lione D. + qui passe par le Commet A
de l’angle donné, la ligne DP qui passe par le point
couchant P ex rencontre en FY le COEC AC prolonse,
la ligne DE Parallele à AC, e la perpendiculaire DB
Tur le coré AB: e ayane dirisé la partie interceptee
OC (24) par le milieu en q on nommera les incon-
McS AP, X; AO, Z; DFI, t; e les données AF, m;
AB, S; BD, b; DF, f; AD, n. Cela Fait, OM aUT2 PaF
la propriete du cercle, A (X X) =C AX 1O ou AC
(Z2) = O0 (a a), _ PaPEANEZ Z =- X x- t a a. DC DIUS
les criangles semblables DED, PATI, donnen AP
(m). AP (X):: DFF (F). FF P = = . EE PF (m = X).
ED(S):: AP (X). ATT = F. DONC YIO = Z
+ n e CTEXHIO Ou YIO - 9O = ZZ + 2su2
fxx
m - = = a a = X X - + 2fuZ
m. X
Arr
M- X
m = X (CH MEELAnE
Pour Z2 la valeur x x t a 4) = DFIXZZ∞ (1) par la
Proprieté du cercle; c’est à dire qu’en divisane par s
on aura cetre égalité v + 2f2
+  = = OF
m.
PD Ou DFZ =ZZD = m. =  _ (à cause du rriangle
rectane le DBP) CON quarrE mmH = imoo L HEX = XX - 2GX
um
+38 F bb == x X 2GX - L n EA CETanE pOur bb- +gC
la valeur nn; d’ou l’on cire
mxx-2emx. + mnn
m- X
   mu 3 e mulcipliane PAF m = X, et
F16, 254.

## Folio 387 — 884859711:0453
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DES PROBLESMES DEPERMLHES.
eransposane le terme
387
Il vieHE M X = X X - + 2fZ
max-emu si. t mun man-mmu nux t mun puilque a
cause du criangle rectansle DEB on trouve f = - bb- + 88
=22m - L mM ==nn = 28M. + mm: Cest a dire, parce
que la dirision le Fait au juste, mX = X X - + 2fZ = - m X
Fnn OU 2fZ = =X X - 2mX. tnn. Ouarrane entin cha-
que membre, e mettant pour ZZ la valeur X X- t a a,
on aura certe égalite
X+- 4M X + 4mMXX- amnnx- + n
t
+ 2nn
4aaff
qui est du quatrième degre, et done les racines que l’on
crourera par le mozen d’un cercle ex d’une l’arabole
donnée ou de celle autre Section conique qu’on voudra
doirent Fournir pour AP (X) des raleurs celles que me-
nanc P u perpendiculaire sur AP, TiranE PD, _ Fai-
Tanc l’ansle PD N égal à l’angle D P MI, le point MI, ou
se renconerene les cores D nr. Par du criansle iloscel.
le DPMI, Toir le centre du cercle cherché, qui aura pour
raron la droite MIP on NFD. Ou bien si l’on prend syr
Je coce AB la partie AP = =X, e lux l’autrE COTE AC
la partie AO =-VXX - t aa, X qu’on mene luT CCS CO-
ces les perpendiculaires PML, OMI; le poine M ou elles
Ce rencontrent, sera le centre du cercle qu’on demande.
Comme rien n’est plus propre à donner de l’ouver-
cure à l’esprit, que de faire voir les differens chemins
qu’on peur suirre pour arriver à la connoiltance de la
même verité; je rais donner une autre maniere de re-
Toudre cetre quection, qui me paroic encore plus natu-
relle que la precedente.
AYAnE suppOse que le pOinE AL Poit le CenEre
du cercle cherché, on menera les perpendiculaires
NIP, MCO, Tur les cores de l’angle donné B AC, e les
Paralleles MIF, NIG, à ces cotes; e du poine donné
D, On tirera les paralleles DB, DE, DR, a NIP
MF, AB. On nommera enluice les données DB, b:
CCC 1)

## Folio 388 — 884859711:0454
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388
EIVR E DFZIE MF.
BF, C: DF, F; AB, 5; AF, m; AD, n; _ les IA
Connes AP, X; PML Ou MTD, y; X On aura P B ou
DR = Z = X, MK = - y - b: ce qui donne (d cause dit
criansle rectansle MKD) lÉquarion yy = 88= 28 X
-+ XX- Fyy - 2by - + bb, d’ou l’ontire y-
un er
ave -250. + bb  8e
 CN MCEEaHE pOUF Bb - F8E Ca raleUF nN.
Or d cause des crianoles semblables DBF, AIPF, OI
a cette proportion DB (b). BE (C):: 2 AL (y). PF
=cs; de à cause des
criansles semblables DBE, AIOG, DF (S). DB (b)
:: 116 (3
9). MO=
b.
; Dore puilque par les
conditions du Problème, il fFaut que eC moirié
de la partie interceptée OC soit égalé à la ligne don-
néc a, e que les droites MC _ MVP FoienE rayons
d’unmême cercle cherché; il vient MC = 0bu v-2b027 +. ccgy
+ aa = ALF (Yy), e ulciplianE Pax f On auTA bbXK
=2bCxy - + CCyy- + a a ff = ffyy = 6b9y- + ccyy
eN MEELAnE pOur s la valeur bb - + cC, c’est à dire
fX X - = aaff == CCX x - + 2bCX y - + bbyy, en esta-
CanE de ParE e d’aUErC CCYY, XL MCLLAHE pOUT bbX V
la raleur ffX X = ccx x; ce qui donne par l’extraction de
la racine quarréC, fY XX- Faa = CX - Fby - 2ca - 25X + nv. L. nn
en metrane pour y la valeur ruer tm, et entin Al’On
CE POuF E =cCa raleur M, On FrOUverA la même ega
Lice que ci dessus 2fVX ∞ - + a a = ~ ∞ = 2 m ∞ - + nn.
Voici encore une nouvelle maniere de reloudre cetto
quection, qui donne d’abord une construction fort ailée;
mais qui démande la description de deux Paraboles. 10. JC
cherche le lieu des poines M, tels qu’apane mené de cha-
cun de cespoines au point donné D une ligne droire ND.
e sur la lione AB donnée de polition la perpendiculai
re NCP; ces deux lignes MSD, MIP, LoienE coujours
égales ener elles: et je rois lans aucun calcul que c’est
Art. 1o

## Folio 389 — 884859711:0455
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000455.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
DES DROBLESMES DEFERMFNES.
389
la Parabole qui a pour Forer le poine D, et pour direc
erice la lione AB. 2. Je cherche le lieu des points M,
cels qu’aranc décrie de chacun de ces poines un cercle
qui passe par le poine donné D; ce cercle coupe sur la
liene AE donnée de polition, la partie oC égale a une
lione donnée 2a. Je mene à cet eftet du poine donné D
la perpendiculaire D Z Tur AF, et d’un des points cher.
ches al que je regarde comme donné, les perpendiculai
res MLR, AO, TuE DZ, AC: & ayant nommé les in-
connuis _ indeTerminĆCS DR, X; R NI, y; qui FONE
entrelles un ansle droit DR MV, d la connué DF, b;
j’ai à cause du rriansle rectansle NL R D lC quarrĆ NLD
=XX -F Vy, et 2 cause du triangle rectansle MOC, lC
Quarre NC =MO (bb = 2b~ - F XX) - + OC (a a). Oe
les lignes AVD, MC, Cran raxons du même cercle
Pont egales enerelles, e par consequene X X - +. py = bb
2b X - F. X X - F a a, Ou y y = - bb - F a a = 2bX. Si dOnc
l’on construie la Parabole qui est le lieu de cerre equa-
tion, il est visible qu’elle passera par le CeHErC ML du
cercle qu’on demande: mais la Parabole qui a pour
Forer le poine D e pour directrice la liene  B devant
aussi paster par ce centre, il s’enluit que le centre du cer-
ele cherche le trouvera dans l’incerlection de ces deux
Paraboles.
E X E M P L F VIT.
438. e cercle qui a pour centre le poine A et
pour rayon la droite AMI, écane donné, avec deux
PoinEs F, F, sur le même plan; crourer lur la circon
terence au dedans de l’angle L A F, le poine ML cel
qu’ayane mené les droites AM, F M, FM; les deux
anstes AML F, AMI F, COIENE EGAUX CMEPeuX.
Si les lignes AF, AF, étoienc égales entrelles, il est
visible que la ligne qui diriseroir par le milieu l’angle
F AF, couperoit la circonterence dans le poine qu’on
demande. C’est pourquoi on luppolera que ces deux li-
snes lont mesales, et meme pour criter la contulion
Ccc iii
 Let1550

## Folio 390 — 884859711:0456
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390
L FVRE D F Z TF M F.
que c’est la lione F qui est moindre que la ligne AF.
Or cela polé, je reloudsce Problème en deux difteren-
Les manieres.
PR EM L E R E NI A N YER F.
Arane suppose que le point Ms soit celui qu’on cher-
che, on menera les droires MB, ATD, qui FassenE suE
AF, AF, des angles MB A, MD A, cgaux aux angles
AMLF, AMIE, _E PaF CONSCQUENECHEr eUX; et à cause
des crianeles semblables AFHI, ANCB, _ AFMI,
AND, On aura ces deux proportions AF. AMI:: A MI.
AB. EE AF. AMI:: ANT. AD. Donc puisque les li-
ones AF, AF, lont données avec le rayon AML, les
Parties AB, AD, des droites AF, AF, le sCTONE
ausSi. Maintenane, si l’on mene les droites MP, MC.
Paralleles à AF, AF; les criangles BPML, DOM sC-
rone semblables, puisque les ansles APM, AOM,
Lont égaux, comme aulsi les ansles PBMI, ODMI, com-
plemens à deux droirs des angles égaux, M BA, ND A;
EE PaFEANE Si l’on nomme les données AB, a; AD, b:
e les inconnues AP Ou OML, X: PNTOU AO, y; on aura
BP (Xx = a). PM (y):: DO(y -6). OM (X):: cequidonne
(en mulcipliane les extremes ex les moyens) certe équation
Art. 330. XX - aX =- yy - by, Ou yy - by = XX - t a x =- 0, donc le
licu est une FIyperbole équilarere qui se construie ainfI.
Soient priles sur les lignes AF, AP. les parties AB,
AD, croisièmes proporcionnelles a AF, AML, _ 2 AF,
AMI: Poit rirée par le point C milieu de BD une ligne
droire indefinie C FY parallele à A B, sux laquelle Toie
prise la parEIC CK = V = bb == a a (la ligne AD (b) Sera
plus grande que B L (a), puilqu’on a luppole que AF.
est moindre que AF): soit décrite une lIrperbole équi-
lacere qui aic pour centre le poine c, et pour la moirié
d’un second diamerre la droire CX, done les ordonnées
FTAE Soiene paralleles à AD. Je dis qu’elle rencOnErera
la circonference du cercle donné, au point cherché M.
Car menanE C L parallele  AD, il est clair que les

## Folio 391 — 884859711:0457
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DES PROBLESMES DE TERMFNES
397
lignes CFT, CL, diriseront par le milieu les droites
AD, AB, auX POIDES O, L; puisque le point C coupe
en deux parcies égales la ligne B D, ec qu’ainsi C FT ou
AP = AL = ∞ = = a, TTM OU PN- AO = - y = = b. OF
Par la proprieté de l’Hlyperbole équilatere, LL II =CFY
+CK, c’est à dire en cerines analyriques py - by
+ = bb ==X X = a X- + = a a - + = bb - = a a; d’ou l’on eire
l’équation ry = by = x x. = a x, qui écant reduite en prO-
portion, donne BP (x = a). PML (Y) :: D O(y- b). OME
(X). Donc puisque les angles BPHL, DOML, IONE
egaux, e que les cores autour de ces angles lone pro-
portionnels; les criangles BPMI, DOM, seront lem-
blables, e par consequent l’angle nBP sera ccal à l’an-
ele AD O, X leurs complemens à deux droirs ABMI,
ADML, TCTONE CGaUX. Mais puisque AB. ANI:: ANI.
AF, _ AD. AM:: AM. AF, les crianoles ABNI.
AMIF, _ AD M, ANC F, Seront semblables. L’anole
ABas sera donc cgal à l’angle A MI F, d l’anole AD MI
à l’ansle AN F; X par consequent les ansles ANIF.
ANY F, TETONE EGAUX CHEP euX, pui(qu’on viene de prou-
ver que les angles AB ML, AD M, lC TONE.
On prouvera de même que lHyperbole oppolée à
celle-ei coupera la circonterence au dedans de l’anole
opposé au Commet à l’angle S A F, en un poinc NI cel
qu’ayanc mené les droires AMI, NF, NTF; les anoles
MF, A et F, TCTONE EGAUX CNEF euX: comme ausI
que ces deux (Iyperboles équilateres oppolées coupe-
ront la circonterence au dedans des anoles qui POnt à
core de ces deux ci, chacune en un point M cel qu’ayane
mené les droites MA, MIF, N F: l’angle AASF Per2
égal au complemene à deux droirs de l’angle ANIP.
Si l’on prend sur CZ la partie CO cgal a OK, il est
clair que CO sera la moicié du premier diamerre con- =Def. 16.
juoue d CK, X qu’ainsi x l’une des Asymproces de ces TII.
deux FIyperboles sera parallele a RC. Or danslerrian. = Art. 1I4.
ole ilolcelle SCK, l’anole externe 6C0 ou son égal
B AD rauc les deux incernes opposes, c’est d dire le dou-

## Folio 392 — 884859711:0458
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392
L FVRE D L ZFE M F.
Ble de l’angle COK. Donc puisque les lignes CG, AD,
Lone paralleles, il s’enluie que la lione RG _ paF CON
sequent l’une des Asymptores sera parallele à la ligne
oui divile par le milieu l’angle D AB. Deplus il est evi-
dene que la ligne +D est une double ordonnée au le
cond diametre CX, puisque OD ou OA (= bb) =C0
(= a4) - F CK (= bb = = a a); et qu’ainsi l’une des TTyPer-
boles équilateres opposées passe par le poine D, e l’au-
ere par le point A. Ces deux remarques donnene lieu a
une nourelle construction qui est plus simple que la pre.
cedente: la voici.
20. 250 Ayanc pris sur les lignes AF, AF, les parties AB,
AD, croilièmes proporcionnelles a AF, A M, _ a AF,
AMI; On menera par le poine de milieu C de la ligne
BD deux droices indefinies CTZ, CK, l’une parallele
ec l’aurre perpendiculaire à la ligne AP, qui divile par
le milieu l’angle donné E L P. On décrira ensuite entre
ces deux lignes comme AIymPEOTeS, par les POInES D,
A, deux Lyperboles oppolces, qui couperont la circon-
ference du cercle donné en des points M cels qu’ayane
mené les droites M A, ME, MIF; les deux angles
ANTF, AMIF, TerOnE Ćgaux entr eux lorsque le point
d’incerlection as combe dans l’angle L A F ou dans son
oppose au lommer; et l’angle AML L Pera égal au COM-
plemene à deux droits de l’angle 1M F lorsqu’il cOm-
be dans l’un ou dans l’autre des angles a COFC.
On n’est arriré à cetre derniere construction qu’en
suppolant la premiere qui est Fondée sur le calcul, e en
Failane ensuice des remarques qui lont assésrecherchées.
II est cependanc Facile de la dEONETeF TOuE d’uN COUP,
Si l’on faic accention à une propriere de lHyperbole
equilatere qui se troure dans l’article 361. (Lir. VIII.)
e qui d’ailleurs se peur aisément prouver. Car SI l’on
mene du poine ML oi l’FIrperbole equilatere D ML ren-
contre la circonterence du cercle donné, aux deux ex-
cremices B, D, du premier diametre BD, les droires
BM, DM.

## Folio  -  — 884859711:0459
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Planche 28. page 392.
GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ
DERSACHSISCHE LANDESBIBLIOTF

## Folio  -  — 884859711:0460
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000460.jpg
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l  el HH
. 1    H  B. HII. fel si. B1  11 )1 B1t1. st t et
l
isi
Eibn. Mlar9. 155,
OTIFRIED WILHELM LAIBNIZ BIBLIOTH
DERSACHSISEHE LANDESBIBLIOTHEKI

## Folio 393 — 884859711:0461
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DES DRODLESMES DE FERMINES.
393
BML, DNL, QuI FeNCONETeNE l’AIYMPEOTC CYY auX
Poines O, Z, e la ligne aP qui lui est parallele aux
Poines S, R; il est clair selon cer article, que MO est
Ćgal à ATZ, e qu’ainsi l’angle MIOL Ou NISR ou
BS 1 est Cgal à l’angle M LO Ou DR A. Mais par la
construction l’angle B AS eA égal à l’angle D AR, puil-
que la ligne aP dirise par le milieu l’angle F AF. PaF-
eant les angles restans AB N, AD MI, dans les deux
criangles ABS, AD R, leront égaux entreux; d’ou il
luic que les ansles AMF, AMF, le POnE auisH. FF
c’est ce qui ctoir proposé.
On peut crouver tacilemene par le moren de cecte
derniere construction, une égalicé eres simple qui ne
renterme qu’une seule inconnué, e doncla construction
qui le pourra faire par telle section conique qu’on vou-
dra suirant les reoles prescrices dans le Lirre precedent,
Fournira la relolurion du Probleme. Soit menée à cet
effet du poine as la lione is P Parallele à l’alympeoce
CK, et qui rencontre l’autre ACymptoce C EY au poine
FI; e loient nommées les données ANI, a: AK, b;
CK, c; X les inconnuis AP, X; PNI, y. C ela poté,
on aura par la proprieré du cercle l’équation x x= + py
=aa, et par la proprieré des Fyperboles oppolces l’au- = Art. 100.
ere equation CFTZ FFM (Xy - Cx - by . FbC) = CKXK A
(bc); ce qui donne xy = cx - by =-0, d’ou l’on tire
V:
.Mettant le quarré de cerre raleur à la place
de ry dans la premiere equation Xx ty y = aa, e Opc-
rant à l’ordinaire on formera cerre éxaliré du quatrié-
me degre x+ = 2b x - + bbX X - + 2 a ab X - a a bb =- b.
 +CC
adt
OF S l’on mene du centre C des PTyperboles perpendi-
culairemene à AC la ligne CO qui rencontre la circon-
ference au point 6; lestriansles rectansles ACO, AKC,
donnerOnE CC= 46 = AC = AN (a a) - AK (bb)
CX (CC). C’est pourquoi nommane la donnée CG, mi
Dda

## Folio 394 — 884859711:0462
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000462.jpg
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394
ETRE DEZTEME.
on changera l’égaliré precedente en celle-ci x  = 2B∞
=mm X X = F 2 a ab X = a a b b == 0, dans laquelle les don-
nécs sont le raron AM (a), les lignes AK (B), CK (C)
CO (m), e l’inconnue x exprimé des raleurs de Ap
celles que menant les perpendiculaires PML, elles ren
contreront la circonterence aux poines cherchés.
Pour distinguer entre les deux poines ou chaque per-
pendiculaire Pas coupe la circonterence du cercle, ce-
lui qui sere à la queltion presente; il faue observer de
ener PNt du côre ou l’on a supposé que comboit le
Doine Ms par rappore à la ligne LP en Failane le calcul,
Porsque la raleur, qu’on a trourée ci dessus est posi-
eire, c’elt à dire, lorsque x est en même temps vraie
ee plus grande que b, ou bien lorsqu’elle est tausse; et
au concraire il la Faut mener du core opposé, lorlque
La, raleur est negatire, c’est à dire, lorsque x est en
même tempsrraie et moindre que b.
SE CO N D F MI A N L E R F.
F16. 257. Ayant mené par le poine cherché is que l’on resar-
de comme donné la droite M D. perpendiculaire au
FaYON ANL, e par le point D ou elle rencontre AF la
droite OFF Parallele à AMI, laquelle rencontre en JV
la ligne MIF, ec en O la lione F ML prolongée qui cou-
De en C la droice AF; on aura à cause des triangles
Temblables F AML, FDFF, Cetre proportion: AMI. DFT::
AF. FD. EE a cause des crianoles SemBlables C A MI,
CDO, CetTC autre, AMI. DO:: AC. CD. Or la ligne
DG est égale à DFT, puisque par la condition du Pro-
blême les angles AMIF, AMI P, derant etre égaux,
les angles D WI FY, D NG, le seront aui. DOnC AF.
FD:: AC. CD, a AF- FFD. AF:: AC. + CDOu
AD. AC. Cela posé, soiene menées FB, MP, per
pendiculaires suF AF, e M O perpendiculaire suF PB:
ex Loient nommées les données AM, ai AB, b; BF, 63

## Folio 395 — 884859711:0463
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DES PROBLESMES DE FERMLNES.
395
AF, d; e les inconnues AP, X; P MI, y. Les triangles
rectanoles Temblables A PML, A NCD, donnerOnt A P
(X). ANL (a):: AML (a). AD =  EE PaTEANE FD = d
aa
NCTONE EO OU FB =MIP (C = y). OMI ou AP AB
F PC = ex. - b3
Donc AC ou AP
e mettant dans la proportion prece-
dence AF - L F D. AF:: AD. AC à la place de ces
liones leurs raleurs analyriques, on formera (en mulei-
pliant les moyens _ les Cxtremes) cetre équation 2CdXX
=aa Cx = 2 b d X p- F a aby - t a a dy = a a dc, qui se
reduit en dirilant par 2c d, ex en Fai(ane (Pour abreger)
b - F d = f, a CCTTC aUErC XX - - yX -
ac
X-
aas
2cd γ Eaa
=0, dont le lieu qui estune FTyperbole enere ses ASymP-
cores étant construie selon l’article 339. (Lir. VTI.) cou-
pera la circonterence du cercle au poine cherché HI.
Si l’on veut avoir une égalicé qui ne renterme que
linconnue x, on se serrira de l’équation au cercle XX
+. py= aa dans laquelle meteant à la place de py le
quarre de ptrourée par le moyen de l’équation préce-
denre on arrirera d’ une écalicé du quacrième degré
qui ne rentermera que l’inconnue x, et dont l’une des
racines exprimera la raleur de la cherchée AP.
E X E M PEF VTII.
439. ON cercle qui a pour centre le Point A EFANE P16. 258.
donné arec deuX aUEreS POIHES F, F; ErOurer TuT la Cir-
conterence le point Ms cel qu’arant mene les droires
AAT, NF, NTF; le sinus droic de l’anole AMI F COit
au sinus droir de l’angle AMF, en la raison donnée de
M a n.
Je relouds certe queltion en crois ditterences manie-
rC5.
Ddd

## Folio 396 — 884859711:0464
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000464.jpg
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CFYRE D LZY E MF.
PR E NL F E R E MI A N FE R F.
Ayanc pris sur les droires données AF, AF, les Par-
cies AB, AD, croiliémes proportionnelles a AF, AMI,
_ a AF, AMT; on menera du point cherché M que
l’on regarde comme donné les droites M B, MD, les
perpendiculaires MLG, MIFZ, TUE AF, AF, e les Pa-
ralleles M P, MIC, a AF, AF. Avane pris sur B MI
la partie BK egale à DMI, on cirera du poine R ICs
drOIteS RO, XL, Paralleles a NTG, MI P, et du poine
donné D la perpendiculaire D C Tur A F. Cela Faic, les
crianoles (emblables B NIO, BKO, donnene BMI. BR
ou DNL:: M6. KO. Or par la condicion du Problé-
MC M. n :: KO. MCFT; puISque PFENANE D AL POuE
rayon ou linus eocal, les droites KO, NIFY, seront les
Sinus droies des anoles HT BF, NTDF, ou de leurS COm-
Plemens à deux droits MB A, MD A, égaux par la
construction aux angles ANVF, AMF. Donc en mul-
cipliane par ordre les anrecedens de les consequens de
ces deux prOPOrTIOnS, On auTa M XB MI. nX MD::
NTOKKLO. KOKHTT:: MB. MTTT:: NIP. MIO. a
cause des criangles semblables M PO, MOTI. Cela
Dolé.
On nommera les données AD, a: AC, b;
CD, C: AB, d: AMI, X; X les inconnués A P ou
MO, X; PMI ou AO, y; de les criansles semblables
ADC, PAO, OMFY AONHETONE PO = =, M1C
NC = =, OTF = =, TIM = = AO = x 1 2, 6B
Ou AB - A6 = d - x - 23, DZZ Ou 1O. 1 OYI
AD = y - + = a: e à cause des triangles rectan.
Bles BGML, DFTM, On auTa BNI ou BC- +OMI
ab
== X X - + = X y - + b63) - 2d  -- -- y - + da - + 33 = XX

## Folio 397 — 884859711:0465
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000465.jpg
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DES PROBLESMES DE TERMLNES.
3:7
6b- Fcc la valeur aa à cause du criansle rectansle
CD; e de même DML =-yy - + = xy- + XX = 2ay
=2bX - F a a. Or par la proprieré du cercle, le quarré
AM IrY) = 46 (XX + = xy - + bby- + OM (cegy
aa
a
==X X - + = Xy - Lyy CH MCTEANE pOuF bb- FCC(a VX-
leur a a. Si donc l’on substitue dans les raleurs de BN
e de D_ d la place de py- + = x y - F XX Cette va-
leur rr, et que pour abreger on Fase rr- + d d = f X
y
pr- + aa = 85, on crourera BN = V f = 2d X = 2ba
_c DAL = YGG =2ay = 2bx. Substicuane entin ces va-
leurs à la place de B M _ de DM dans la proporcion
MX BAL. nX DMI:: AIP (Y). MTO (X) que P’ON a ErOU-
réc cidessus; ex maltipliane les extremes ec les moyens.
on formera cetre équarion mx Vf - 2d X - 2bd
=nyrEE 2ay = 26X de laqueIle quarrane chaque mem-
bre, e failant eranoiiir l’inconnué y par le moyen de
l’équation au cercle xx- r = xy- t py =rr, on arrive
ra à une éxalite du sixième degré qui ne rentermera
plus que l’inconnue x, et qui érane resolue selon les re-
oles du Lirre precedent, donnera pour AP (y) une
valeur celle que menane PMI Parallele à AF, le poine
Ms ou cette ligne rencontrera la circonterence, sera
celui qu’on cherche.
Si l’on suppose que m=n, il est ćrident que les anoles
MBF, AIDP, leront égaux; e qu’ainsi les anoles
ABAI, AD MI, Ou AMIF, AMI E, le seront auTr.
D’ou l’on voir que le Problème précedent n’est qu’un
cas particulier de celuici.
S E CO NDE MI A N Y BR F.
Ayaut joine Les uca to abes f, f, PaF unC F1C. 259:
Dddiii

## Folio 398 — 884859711:0466
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000466.jpg
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398
ELNILZTVREDFZFE MF.
lione droire, on tirera du centre donné A les droices
AD, AP, l’une perpendiculaire et l’aurre parallele à
certe ligne, ec par le poine cherché M que l’on resarde
comme donné la parallele PO à AD, On menera ausI
du même poine AI, le FaYOn A NL QuI FeNCOHErC F F
en O, dt les droites FML, F MI, Tur lelquelles on abai
sera des poines O, F, B, les perpendiculaires O9, OTL,
e FO, F B. Cela Fait, les criansles semblables EOG,
EFC, e FFB, FOTF, dONMCTONE FO. FF:: 0O.
FC. EE FF. FO:: EB. OTZ, _ PaFLaNE EOXFF.
FFX FO OU FO. FO:: OGZBF. CFKOFL, Cett a
dire en raison compolée de OG à OTT, ou de m à n
Duisqu’en Prenant MIO pour le rayon ou sinus total,
les droices OG, OFF, Conc les sinus droits des angles
FAIO, F MO, complemens à deux droits des angles
AMF, AM F), _ de BF a CF ou de FMI a NIF 2
cause descriangles rectanoles (emblables BNF, OMIF.
On aura dOnC FO. FO:: MX E ML. nXMIF. Cela
Polé.
On nommera les données AD ou PO, a; FD, b;
DE, ci AM, ri e lesinconnues AP, X; PMI, Y; e On
aura à cause des criangles lemblables AP MI, ADO,
CCEEC pTOPOrtION, ML P (Y). AP (X):: AD (a). DO
ad
=F. EE PAPEARE EO =
6g- 
s
criangles rectane les LAIO, FAIO, dOnnenEEAL =FC
(bb - F 2bX - F X X)- + MO (aa 2ay - L yy) = f. +2bX
2ay (CH MCLEANE POUF X X. F yy la valeur rr a cause
du criang le rectans le AP ML, ee Failant pour abreger
aa - F bb - F rr = f) eC de MEMe F ML = FO (C6 26∞
+ X X) - + MC (a a - 24y - F yy) =-88 - 2CX 2ay en
MCEEANE POUF XX- F py la valeurrr, e Failane pour
abreger aa- tcc- F rr =-88. Si dans la proporrion
precedente FO. FO:: MX F ML. nX MIF, on mec à la
place de ces lignes les raleurs analyriques que l’on viene
de trouver, et qu’on mulciplie les excremes et lesmorens,

## Folio  -  — 884859711:0467
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es
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Planche 29. page 398
56
DWILHEL
ERSACHSISCHE LANDESBIBLIC

## Folio  -  — 884859711:0468
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OTTFRIED WILHELM LEIBI
2
DERSACHSISCHE LANDESBIBLIOTHEK
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ir: Leion. Marg. 1.

## Folio 399 — 884859711:0469
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DES PROBLESMES DFPERMFNES.
399
On FOrMerA Cetre equation bny - = anX VEG = 2CX = 2 a y
==mCY =- ma xVf - F 2bX = 2ay, de laquesle quarrane
chaque membre e Faisane éranoiiir l’inConnuc y par le
moyen de l’équation au cercle Xx- L py=rr, on arri-
vera encore a une esalice du sixième deoré, dont la re.
Solution Fournira pour AP (X) une raleurrelle que me-
nanc la perpendiculaire PMI, elle ira couper la circon-
ference au point cherché MI.
Cest a peu près de CCtrC FaCON que MI. DCICarteS re-
Toud cerre question dans la loixance cinquième de les
LCTEreS TOM. 3. EIlC lui aVOIE etE proPOsĆC PaT M. de
Roberval, d’une maniere qui paroic differente de celle.
ci, mais qui dans le Fond rerient à la même chose.
FROESTEME NIA NFERE.
Soient décrits des diametres AF, AF, deux cercles F1O. 260.
ARZ, AST, sux lesquels foiene portées depuis le poine
A deux cordes quelconques 1R, AS, qui FOienE EOu-
jours entrelles en la railon donnée de m’a ni ex loiene
tirées les droites FR, FS, qui s’entrecoupent au poine
M. Je dis que la ligne courbe AM, qui est le lieu de
Tous les poines M ainsi troures, coupera le cercle don
né (done le centre est en A) au poine cherché M.
Cax cirant AMI ex le prenant pour rayon ou linus
Eocal, il est clair que la corde AR est le linus droit de
l’anole AMI F, e la corde AS le linus droit de l’an-
stC AMIF.
II es a propos de remarquer 1. Oue cetre construc-
rion a cela de parriculier, qu’elle ne réiissie pas seule-
mene lor(qu’il s’agit de crourer le poine M sur la circon-
ference d’un cercle dont le centre est en , mais enco-
re lur celle lione courbe qu’on roudra. 2. OW’ayane
trouré deux poines de ce lieu de la maniere que l’on
viene d’enseigner, les plus proches que l’on pourra de
la lione courbe donnée, il suffic d’en cracer la portion
qui joine ces deux poines; ce qui rend la pracique de

## Folio 400 — 884859711:0470
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400
ETVRE DFXFEME.
cerre construction Fort aiséc. 30. Oue le lieu de tous les
poines as ainsi crouvés est du quarrième degré, comme
il est facile de voir par le calcul de la seconde maniere,
en observane de ne poine substicuer dans les raleurs de
E M X F as à la place de X x - F py le quarre rr que
l’oneroure par le lieu au cercle ce qui donnera pour l’é-
quation de celicunby = +nax VC = X - 1 a - y = mcy maX
Vb. + C- F a- y, dOnE leS INCONHUIES X _E y IONteNE aU
quatrième deoré, lorlqu’elle est délirrée d’incommen-
lurables. 4. Due ce n’est pas une Faure legere en Geo-
merrie, Selon M. Descarces, d’employer une ligne cOur-
betrop compolée pour reloudre un Problème; de lor-
ce que selon lui, on doit preterer à cerre derniere Polu-
cion les deux precedentes, oit les deux lieux qu’on a
ExOUvéS, e qui détermineroiene par leur incersection
avec la circonterence donnée, le poine cherché, ne
Cone que du croisième derré. II me paroit neanmoins
que là facilicé d’une construction e la simplicité peu-
vene récompenser en quelque Corte ce dettaue, et c’est
ce qu’on verra encore dans l’exemple qui luit.
E X E M P L E IZ.
ErE. 261. 44O. DDIVFSER un crianele scalene donné ABC
en quatre parcies égales, par deux lignes droites DE,
FC, qui s’entrecoupene à angles droirs au poine FF.
Si l’on fair accention sur la nacure de ce Probleme,
on verra r. Oue deux des extremicés D, F des deux
deoites DF, FO, Le crouvent neceslairement (ur l’un
des cores AC du criansle donné ABC, et que leurs
deux autres extremités E, G, se trouvene chacune sux
chacum des deux aueres cores BC, B 4. 2. One les
deux poines cherches D, F, doirent aroir deux con-
ditions, donc la premiere est que les lignes DF, FC,
qui dirisene chacune le criansle ABC en deux par-
ties égales, s’entrecoupene à angles droirs en un poine

## Folio 401 — 884859711:0471
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DES DRODLESMES DE PERMENES.
AOr
FI; ee la seconde qu’elles Formene arec les deux autree
cotes du criansle donné, un quadrilatere BGFY F qui
Coit la quatrieme parcie du crianole ABC. Cela posé.
Soient menées Tur le coré AC les perpendiculaires
GT, BK, F. L, e loient nommées les données AC, 2a;
BR, b; AK, C; KC, di _ les inconnues AF, X; CD, V.
Puisque le criangle AOF, ou GTXE AF doit etre la
moirié du criangle ABC (ab), il s’ensuit que C7= 2
ec par la même raison PZ == =. Or les crianoles sem-
blables CBK, CFL, _ ABK, AGL, dOnMenE BK (b).
ab
EL (,) :: Ck(d 1. CZ - -. EEBK(B). 6+ ():: AK (.
AE == =. EE PaTEANE DE OU CD =CZ = y.  FI
Ou AF.  AT = x -=. Mais lescriansles rectansleS DFL,
FCY, Lone semblables ener eux; puisque chacun d’eux
est seriblable au même crianole FDFF, qui est rectan-
sle en FT selon la condicion du Problème qui demande
que les deux ligneS DE, FG, s’encrecoupene a anoles
droics. On aura donc FZ (-=). ZD (3- ad
IXX= ac
at
FL
7. 2O(=); ce qui donne, en mulcipliane les ex-
crèmes d les moyens, cetre equation Xxyy =acyy
a dXX - + aacd = aabb, OU X X = a CX, y - a d = a abb.
qui renterme la premiere condition du Problème; de
Torre qu’il ne rette plus qu’à accomplir la seconde; (ca-
voir que le crapele BOFLE loir le quare du criansle don.
ne ABC.
Pour en renir d bout. Du poine d’incersection FT des
deux droices DF, FC, Poient menées aux crois angles
du crianole ABC, les lignes TI A, FTC, FTB; X on
aUFa V~. FD (X - +y = 2a). AF (X):: FFTD(= ab). FIIA
abx
or + 4y -8. Fc parcane le criansle AY =6 ou le crian.
le FC A moins le criangle FFI A = = ab - -
abx
+n + 17- 2a
FCC

## Folio 402 — 884859711:0472
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000472.jpg
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407
.A.
L FVRE D FXIE MF.
:: A6. BB:: AF1B
2bxy - 2aby - + 4 aab
4v. + 43
a
abx + 2aby 4aa8.
4X + 47- 8a
 OREFOUVETA Pax un
raisonnement semblable que le crianole TIF B =
byg - 5aby + 2b xg- 2abX  4aab
4∞ + 47. 8a
Maincenane si l’on ajoute
ensemble les criangles FTOB, TIFB, on formera le
quadrilarere FTOBF qui doir erre egal à la quantiré = ab
quatrième parcie du triangle ABC: ce qui donne pour
la seconde equation x x- + yy - + 4 Xy - 8 a x = 8 ay
+ 10aa = = 0.
Si l’on fait éranoiiir par le moyen de ces deux équa-
tions l’inconnue y, on arrivera à une égalité du huicié.
me degré qui rentermera toures les conditions du Pro-
blème, e dans laquelle il n’y aura plus qu’une scule in-
COnnuE x; de Porre que toure la difticulcé est reduice à
crourer les racines de cetre égalicé. Ec c’est ce qu’on
Deut faire par le moen de deux lieux du croisié̀me de-
ore, comme l’on a enleioné dans les articles +17, _ 418
(Lir. preced.) Mais comme la construction de ces lieux
derient Fore embarrassće e d’une longueur inluportable
dans la prarique, à cause de la mulcicude des cermes de
leurs équations, il est beaucoup plus nacurel de construire
séparement les lieux des deux équations que l’on vient de
former, quoique l’un d’eux loir du quarrième degré et par-
consequent plus compolé, car l’autre n’écane que du se-
cond récompense ce deftaue, e d’ailleurs la facilicé de
la construction doir décerminer en la Fareur: voici com-
mene elle se fait.
Ayane mené deux lignes droires indétinies AB, AC,
qui tonc entrelles un ansle droit B AC; on prolonsera
BA eN F, en COTTC que AF = =V aC, e C A en F, en
Porre que AF =V a d. Ayane pris lur AC une partie
quelconque AP, on décrira du centre P de l’incerralle
AP un arc de cercle qui coupe AC en G; _ aYAHE
Pris AFT, en Corce que le rectangle FY Ax AG Poit égal
au criansle donné B LC, on prendra lur AB la parrie
B7IB = buu - cabu
F16, 262.

## Folio 403 — 884859711:0473
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DES PROBLESMES DETERMLNÉS.
403
AO = FFT. On menera enluite les droites PNI, OMI,
Paralleles à AB, AC, lesquelles s’entrecoupent en un
POinE AL; & ayant trouré en la même Porte une infini-
té d’autres poines cels que ML, On FerA PaNeF pAF tOUS
ces poines une ligne courbe K NI L. Cela Faic, on pren-
dra ur la diagonale AD du quarré ABDC, qui a
pour core la ligne AC cgal au coré AC du criangle
donné ABC, les parties AT== AD, et DS == = AD
e on décrira du premier axe 7S qui soit à Con parame-
tre comme r est à;, une IIyperbole OSR. Je dis a pre-
sent que li l’on mene du poine Mr ou je suppose qu’elle
rencontre la ligne courbe R MI Z au dedans du quarre
ABDC, la perpendiculaire NTP suE AC, _ qu’on
prenne lur le coré AC du criangle ABC, les parties
AF = AP, _ CD = PM; leS POINES F, D, SCTONE
cels qu’arane mené (ce qui est Facile) les deux droires
FG, DF, qui dirise chacune lerriangle ABC en deux
parties égales; elles s’entrecouperone à angles droics,
 le Partaseront en quatre parties égales.
CaF NOMIANE AP, X: PMT, y; on aura à cause des
criansses F AG, FATZ, rectansles en 4, le quarre
AO = EO (X X) = AF (aC), e le quarre AIL =FII
(yy) = AF (a d). Or puisque par la construction le rec.
tansle FT AX AC est cgal au criangle donné B AC (ab)
il s’entuie que TY I X AC (yy = adX XX aC) = a a bb.
La lione courbe K ML F Pera donc le lieu de cerre equa.
tion qui est la premiere des deux que l’on riene de crou.
rer; e par consequent la proprieté sera relle que si l’on
mene d’un de ses points quelconques M pris au dedans
du quarré AB DC, une perpendiculaire MP Cur AC,
et qu’on prenne sur le coré AO du criangle donné ABC,
les parties AF = AP, _ CD = - P M; les droiteS FO,
DF qui dirise chacune par le milieu le criansle ABC,
s’entrecouperone à angles dronts au poine FI.
De plus si d’un point quelconqué M de lF Typerbole
OSR, on mene la perpendiculaire MLV sur Con premier
Fcc id

## Folio 404 — 884859711:0474
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000474.jpg
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404
LTVRE. DF X YE MF.
axe 7S, e qu’on prolonse Pus jusqu’à ce qu’elle ren-
contre la diasonale AD au poine X; les criangles rec.
cansles _ iloscelles AP. V, MIV X, donnerOMEI. VZ::
AP OU P X (X). A X = XV2, XCVL. T:: M X (X - y).
Mx Ou YX=
S23 eE PATEANE AY ou A X - XY
1. Or par la construction AD = 2 ar2 puilque
C == 2a, _ PaF ConSCqUenEZ S On DZ -DS = = aVZ.
On aura doncLV ou AV - A7- ~ +, 2a
382
12 e YS
ee par la propriece de lFTy-
perbole ZVXF S (3ur f 62y + 3yy - 16au 1649 + 10aa). HLV
(Xiy 133): : 2. 3, c’est d dire, comme le premier axe
ZS est à son paramerre: ce qui donne en mulcipliane les
exErEImeS X leS IOYeNS CetrC equatION XX- + yy- + 4Xyy
8 a x - 8ay - + 10aa = = 0. LFIyPerbole OSR en lera
donc le lieu, e joiiira par consequent de cerre proprie-
cé; sçavoir que si l’on mene d’un de ses poines quelcon-
ques M pris au dedans du quarré ABDC, une per-
Pendiculaire at e Tur AC, e qu’on prenne lur le core
AC du criansle donné ABC, les parties AF = AP
eE CD = = P M; les droites FG, DF, qui dirise chacune
par le milieu le criansle A BC, le COUPeTONE en Quatre
parcies egales.
Maincenane puisque le point ar se trouve en me-
me temps sur la ligne courbe XMTL, e Tur l’HIyper-
bole OS R; il s’enluie que les points D, F, pris lur le
core AC du criansle donné, auront austi en même
cemps les deux condicions requises. Er c’est ce qui croir
propole.
S’il arriroit que les deux courbes OSR, R NZ, ne
se rencontrassent poine au dedans du quarre ABD C.
ce seroic une marque infaillible qu’on auroir faic une
supposicion Fausse, scavoir que les deux extremites , P.
le rencourrent tur le core AC. C’est pourquoi il tau

## Folio 405 — 884859711:0475
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000475.jpg
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DES PRODLESMES DE TERMENES.
405
droie les supposer Tur l’un des deux autres cores, e re-
comencer le calcul, en faisane des raisonnemens sem-
blables aux precedens, pour avoir une construction par
rappore à ce noureau core. Mais l l’on fait les crois re-
marques suirances, il sera aisé de prevoir lequel descrois
cores on doir prendre pour celui sur lequeltombene les
deux excremirés D, F, atin d’avoir Curemene une solu-
tion, ec de n’être pas obligé de recommencer.
La premiere eAt que CF.
aabb
4aa ac
1aaad Faci ce qui le voit en metrane dans yy
aabb
un - ac  a d à la place de P (X) Ca raleur AC (24)
_ danS X x =
aabb
=id t ac à la place de AC (Y) Pa va-
Ieur AB (24). La seconde consiste en ce que CR ==V2aa
==BO; ce qui se croure en mettant dans l’autre équa-
TiOn X x - 1 vV - + 4 x V = 8 a x - 8 aV- F 10aa = = 0 dOnE
Je lieu est lFTrperbole OSR, d’abord à la place de
AP (X) Pa valeur AC (2a), e ensuire à la place de
AO (Y) la valeur AB(2a). La croisième se tire de ce
qu’en suppOTAnE AX (C) moindre que CK (d) comme
aabb
on le faic ici, il s’ensuie que BK lqua- ad t ac) est
veut que RK
Aa ac t a d). Or cela pose, Si l’on
aabb
gaau ad F ac) soic moindre que BO
(2 a aI, ON EFOUVEFA CH MEFTANE pOuF d la valeuF 2A -C
e operant à l’ordinaire que bb -t cc doir erre moindre
que 4aa, c’est à dire, que le coré A B du triangle don-
né ABC doit être moindre que le coté AC: X si l’on
aahb
veut que le quarre CL
lina ac F ad) Coic plus grand
que CR (2 a a), ON EFOUVCEA eN MeCTanE POur C(a Va-
deur 2 a = d e operant à l’ordinaire que le Coré BC
(Vbb - F a d) doir surpasser le Core AC (2a). Mais il
eAt visible que BK étanc moindre que BO et CF plus
grande que CR, les deux lignes courbes KM L, OMR,
Eeciii

## Folio 406 — 884859711:0476
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406
PEVRE DTXTE ME.
se coupent necelsairement au dedans du quarré ABDC.
D’ou il suie que si le criano le donné ABC a cousles an
gles aigus, et qu’on prenne pour le core AC lur lequel
on suppose que les deux POines F, D, lC TeNCOHETENE,
celui des trois dont la grandeur est moxenne entre les
deux aurres e pour le core LB le plus petie, le Pro-
blème aura coujours necessairemene une solurion, puis-
qu’alors (fic. 26r.) le Poine R se crourera enere les points
A, C, de que AK est moindre que AC, comme l’on a
supposé en Failane le calcul lur lequel tout ce raisonne-
ment est fondé. On trourera en la même Porte que (
le criangle donné est rectansle ou obcus- angle, e qu’on
prenne pour le coré C Tur lequel doirene comber les
deux exeremités D, F, le core moren, on aura coujours
une Colurion; de lorte que cerre remarque est generale
pour couces lortes de criangles.
On voit dans la fgure 262. que l’FIrperbole OSR e
la courbe RMIL se coupene non sculemene dans un
point M, au dedans du quarré ABDC, comme le
demande le Problème; mais encore en un autre poine
Ms au dehors de ce quarre. Or si l’on veut sçavoir quelle
peut erre l’uciliré de cer aurre poine, on trouvera qu’il
donne une des resolutions du Problème luirane, done
celui-ci n’est qu’un cas particulier.
F7G. L. Trouver suE le COTĆAC du crianole donné ABC,
deux poines F, D, tels qu’arant mené les droites FO,
DF, qui Font arec les deux autres corés AB, BC, les
triangles FOA, DEC, égaux chacun à la moirie du
crianole ABC: les lignes FG, D F, s’entrecoupent d
angles droies au poine FI, e le quadrilatere BOTTP
Poir ćgal au quare du crianele ABC.
116. 263. d Car lorsque le poine d’incersection Ml combe au de
dans du quarré AB DC, il est clair que lesliones AP
Pas Ceront chacune moindre que le coré AC, e qu’ain-
S les Poines F, D, qu’elleS deFeTMIHENE LOMBCTONETOUS
deux enere les poines A, C; ce qui reloud le Problème
énonce commé l’on a fair au commencement. Mais
262.
ee

## Folio 407 — 884859711:0477
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DES PROBLESMES DE TERMLNES.
407
lorsque le poine r combe au dehors du quarré, com- P16. 23. de
me alors l’une des lignes AP, PML est moindre que Pon 24.
Coré AC, e l’aurre plus grande; il s’entuir que l’un des
Doines F, D, combe sur le core AC du criangle donné,
et l’autre sur ce même core prolonee; ce qui donne une
auere solution du Problème énoncé comme l’on viene
de faire en dernier lieu.
E X E N P L E X.
44I. One secclon conique M A N étane donnée.
avec un poine S hors de son plan pour le Commet du
conc donc elle est la Section; on demande la position
du cercle MT a N qui en estla basc.
Je distingue cerre question en deux differens cas, done
le premier est lor(que la Section donnée est une P’arabo-
le, e le second lorsque c’est une Fllipse ou une YIyper-
bolc.
Premier cas. La quection se reduie a ErOUVeK TUF la F16. 264.
Parabole, le point  cel qu’ayane mené de ce poine le
diametre AP avec la ligne AS; du poine s la ligne SD
parallele à P; d d’un poine quelconque P du diame-
Ere AP, une ordonnée PMI à ce diamerre dans le plan
de la Parabole, e une perpendiculaire a D a CeFEC OF-
donnée dans le plan du crianole DS A, qui renCOnEre
les Cores SA, SD, auX pOInES a, D: le quarré de PMt
Poit égal au rectansle a P X PD. Car décrirane dans le
plan a P_s un cercle qui aic pour diametre a D, il eA
clair qu’il passera par le poine Mr, puisque l’angle APMI
est droir, X que PML == a PXPD, qui est la proprieté
essentielle du cercle; c’est pourquoi menant le diamerre
PA. e cirant de l’extremiré D, du diamerre D a du
cercle une parallele DS à P A, qui renCOnErE a A me-
néc de Pon aurre extremité a par l’origine A du diame.
ErC AP, en un poine S, le conc qui a pour lommet ce
poine, et pour Base le cerele Ns A N, FOrmera = paF + Art. 269.
la rencontre avec le plan aPM la Parabole même

## Folio 408 — 884859711:0478
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000478.jpg
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408
EFVRE DEXRE ME.
donnée MLAX. Voici comment on peut crouver le
poine A.
Soic  le parametre inconnu du diamerre AP, e l’on
aura par la propriece de la Parabole, PNI =APXV:
mais pour lacisfaire au Problème, il Faur que lM
==aPXPD. DONC aPZPD = APXv; ce qui donne
cerre proportion AP. Pa:: PD. V, qui se change en
menane 10 parallele à D a en cerre aurre SO. AO::
PD Ou AO. V, _ PaFTaNE SOXV = AO.
Maincenane pour trouver les valeurs analytiques de
cestignes, je mene du point donné S Tur le plan de la
Parabole la perpendiculaire SF, e du poine s’ou elle
rencontre ce plan, sur l’axc BC la perpendiculaire PC,
qui rencontre le diametre AP en II. Je tire du poine 
l’ordonnée AR à l’axc, e la perpendiculaire AO à la
cangente 4Z, lC(queIleS reNCONETeNE en F X C la li-
Onc FO menée par le poine F Parallelemene à l’axc.
Pélere entin du poine o une perpendiculaire 00 Tur le
plan de la Parabole, qui renconerera 5D dans le même
Doinc O, ou la ligne 10 parallele à a D la rencontre.
Car la cangence C étane parallele à l’ordonnée PNI
qui est perpendiculaire sur a D, l’angle L AO lera droit
auM bien que l’ansle L AO, et ainsi le plan e A0 sera
rerpendiculaire lur AZ, e lur le plan de la Parabole
qui passe par cerce ligne; c’est pourquoi la ligne eo
perpendiculaire à ce plan se crourera dans le plan OA0,
e renconerera par consequene la lione SD dans le me-
me poine O, oi le plan 0 A0, c’est à dire, la lione
AO Parallele à a D la rencontre. II est à remarquer que
touces ces lignes excepcé les deux FS, 9, lont dans
le plan de la Parabole. Cela polé.
se nomme les données SF Ou QO, ai FG, OURF,
bi GB, ci le parametre de l’axe, pi et les inconnués
BK, X; R A Ou CFY, y; e j’ai à caule des criangles sem-
blables AKT, AF Q, cerre proporion AR (y). XZ
(= P):: 2F (b - + y). EO = 2- t EP: ce qui donne L
cause

## Folio  -  — 884859711:0479
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62
rete
L
d

## Folio  -  — 884859711:0480
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000480.jpg
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I elu  II HCIII IIIIBIAHIIIIIIMIIIIIIIIIIMIIIIMIIIIHIIIIISAMSEIMIIIM
1III
 m mpt
ia e e  B it  itie oEiBiE 1
GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ BIBLIOTI
DERSACHSISCHELA
s
 e 
eibn. Mar9. 155.

## Folio 409 — 884859711:0481
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DES PROBLESMES DE TERMENES.
409
caule des criangles AF. 9, 400. rectansses en Fe 8.
le quarré A0 ou AE - + L9- 190=
bbrp + bPF
+= pp - F bb- F 2by - F 9y- t a a. Or le paramerre du
diamerre AP (çavOIFV = = p + + X = p- + +B, en MeE Y Art. 17.
FANE POuT X la valeuF ; e SO Ou FC ou OB - + BK
+ FO== C - + X - +  - + = p = - c - + Y3 - + P - + = p.
Mertant donc ces raleurs analyriques à la place des li-
ones qu’elles exprimene dans l’égalice AO ==SOxV,
On ErOUVeTA br -+  + = Pp- + bb- + 2by - + gy + aa
493
=cp- +gy - + bve - + : pB - + +37 - + 23 - + 2by - + 29y
c’est à dire en effaçane de parr e d’autre les quantités
qui se crouvent les mêmes, lubsticuant pour py la va-
leur px, X operant enluice à l’ordinaire;
X - F CX X - + = Cp X -  = bb p =0
+ EP
 = a a
+ 20 BY
done la rraie racine que l’on peur crouver par lemoyen = + Art. 387.
de la Parabole même donnée, exprimera la valeur de
l’inconnué BK, qui sert à décerminer le point  cel
qu’on le demande.
Second cas. Toure la difficulce COnsicte à EFOUVeF TUF F1C. 265.
lIIyperbole donnée MI AN, le poinc + cel qu’ayant
mené le diametre AB avec les lignes S Aa, BSb; _
par un de les poines quelconques P, du diametre AB
une ordonnée PMs dans le plan de lTIyperbole, ec une
perpendiculaire ab à certe ordonnée dans le plan du
crianole aSb: on aic le quarré PA egal au rectanole
aPXPb. Cela le proure de même que dans la Parabole,
e roici ce qu’il faut faire pour crourer le point A.
Soit  le diametre conjuqué au diamerre AB, X
Coient menées dans le plan du criangle aSb, les lignes
AO parallele à ab, e O2 parallele à AB qui renCON
Ei FC

## Folio 410 — 884859711:0482
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000482.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
410
ETVRE DFZLE MF.
Ere S A eA Z; _ l’On aura AP X P B à PM ou Cà cause
du cercle) à aPxPb, en raison compolée de AP à P a,
On ZO2O A, et de PB à Pb, ou de B A à AO; c’est à
dire, comme ZOX AB est à AO. Or par la propriete
de PTTyperbole, APXPB. PMI:: AB. VD; et PaF-
EanE ZOx AB. AO:: AB. VD = AB+AC. Ce qui don
ZC
nC OZ. AB, Ou OS. SB:: AV. VV.
Maincenanc pour erourer les raleurs analytiques, canE
de la raison de OS à SB, que des quarrez 1O X VV:
je mene du poine donné S, la ligne sF perpendiculai
re lur le plan des Frperboles; du poine F oit elle ren-
contre ce plan, la perpendiculaire FG à l’axe DR qui
est donné de polition et de orandeur, puilque les FIy
perboles sone données; e du poine cherché A, l’ordon-
néc K à l’axe, ec la perpendiculaire AZ à la tangen-
ce AL, lesquelles rencontrene la ligne B F aux poines
F, O. Je cire entin B FY parallele à l’aze qui FeNCONEre
GF en X, TY Parallele a BF qui TeNCONErC AF CM
e BD, OR, Perpendiculaires tur l’axe; et ayanE
éleré 00 perpendiculaire sur le plan de lHyperbole,
On prourera comme dans la Parabole qu’elle rencontre.
ra la ligne BS au même poine O, ou là ligne AO paral-
lele a ab la renconere. II Cs À FCMAFGUEE que TOUTCS CeS
liones excepté les deux FS, 00, font dans le plan des
LIyperboles. Cela polé.
SOienE nOmMéCS SF = =a, FC =-b, 6O =-C, le pre-
mier axe ==2d, le second ==2f, les inconnues C F ou
CD = =X, AK OU BD OI O X ON RTT =y; e l’on aura
DK Ou BFF == 2X, DG Ou B L = = c- L x, BK == x = C,
ZK = , e AY OU VZK- F A K =Vyy -+ fn
E Vdd X X - F (f X L. - d CH MeCtanE pOuF yy La va-
=f. Or les crianeles semblables BXP, BTIF.
ZXV donMenE B. Y (C- L X). X F (b - y):: B FL (2X ).
Are. BE. LCux = a

## Folio 411 — 884859711:0483
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000483.jpg
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DES PROBLESMES DETERMENES.
(44). XY - b5 - sry
LP = 2b- 243 :: ZR
a
AF On AK FRTT- LFTF = 26~ - 2cy
X Y - cd y + d dxy- + ssxy - bs( X
41T
cdd-  dar; eE PATEAHE
 +c, ee AY OU AR
cad t dux: mais à cause des triansles
semblables AVT, AFO, X ATK, OYR, il viene
AY. AT:: AE. AO = 20(X , 205) Y adi 1 ffax - d 2
dary L fuy- bssx + cddys d AT.
TK:: OT. TR:: AT- F 2
XR =
2b ff x X - 2 cff x 9
ddxy L F ~ g + Bf ∞ = c d dy DR On DX L R RXF8
d d X y -  Fx y - b ffX - c d d y 
2 a d d x y  2 aff x y
adxy. L Xy - bX L cddys = 9O, puisque DO. DR::
BF. BC:: FS. O0; et à cause du trianole rectan-
ole A00, le quarré 1O ou 10. +00=
2bsx - = 20f3 l x ddra - + fx - 121- F 2adury + 2assuz . DC pluS
adru = Pry = bsfv-  cady 1
50. SB:: FO. FB:: 6R. CD, _ 2~ =  4 X X - + 4)y _ Art. 225.
+4 ff- 4 d d Ou 4. X X - 4. d d -  4s X
dd
Si donc l’on met dans la proporcion S0. SB:: 40
20, à la place cane de la raiton de S0 a SB Ou CK a
GD, que des quarres 1O e v0, les raleurs analyci-
ques que l’on viene de crourer, on formera en mulci-
pliane les extremes e les moyens certe ćonliré
2bf - F 2C)y  X adXX - + fXX = d1 - + 2ad d. Xy - + 2-H~y1
=ddvy- + Axy- + bffx - cddy lXddxy +fxy- bfx tcddy
X A X X. 1 2
dem
-4 d a, dans laquelle tous les termes oup
Perencontrera au premier degresefacerOnE; _ MCETanEa
la place du quarré yy la valeur u
=f, ON ETOUVENA
bbd x +- + 2bbdd fX  - + bbf ∞  - bb d X X = ccd E X X
BBF a = ∞ ∞ - cCF a = XX - FCCF aE - + CCd  = ddXX
+ fXX  d aadd = ccdd X da x t 2ffx - t = x = a XX
=2d d ff x X - f X Xl qui se chanse en Failant pour abre.
FFF+

## Folio 412 — 884859711:0484
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000484.jpg
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4 Y2
L ZVRE DIXTE MF.
ver ad -+f = mm, bb - + cc = nn, a a . + dd - + CC = rr
en Cete autre bb m X-mmnnd X x - t cemmd
==mmxX =ddrr X  x =m XX qui se reduic enFM en
Fai(anE X X == d Z a cerre égalicé du eroisième degre
t
=
dont l’une des racines; sçaroir celle qui est plus grande
que d, est celle que prenant une morenne proportion-
nelle CHEre CetrE racine e d moicié du premier aXC;
cetre moxenne proportionnelle exprime la valeur de
CK qui sert à décerminer le poine cherché A. On
pourrâ se serrir de lPyperbole même donnée pour
crourer les racines de cerce ćgalice, par le moren des
articles 396, e 399. du Lirre precedent.
Lorsque C6 (c) =-0, c’est a dire, lorlque le poine
F combe sur le Second axe; il est visible que cetre éga-
lice se change en une aurre du second degré, puisque
le dernier cerme étane nul, elle se divise par Z. Mais
TOrsque FG (b) =0, ce qui arrive lorlque le poine s
abbZ2
combe sur le premier axe; le terme
l’égaliré precedence, et un qui est bh-+ cc devienEcc; ce
quitair qu’elle se peur diriser par Z- d, ec qu’elle se reduie
par consequene à celle- ci ZZ n Z- + cet
der
N’est encore que du Second degre. LnAn (i l’On FaIE danS
cette derniere égalite c=0; ce qui doit arriver lorlque
le poine L combe sur le centre C, puilqu’alors les li-
a
ones b e c deriennent chacune nulles; ON AUTA Z = mm
et PartanE d. Z Ou ∞ X = ddie, dc N = = d V aa. + ddt
rnm
aa + f
Il est inurile d’avertir que le Problème se retoud par
nno

## Folio  -  — 884859711:0485
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000485.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 4 lines, status machine
igure A
2ge 413.
Msi
sitsi

## Folio  -  — 884859711:0486
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000486.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 1 line, status machine
RSÄCHSISCHE LANDESBIBLIOTI

## Folio 413 — 884859711:0487
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000487.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
DES PROBLESMES DEPERMENÉS.
4. 13
la même roie dans l’Ellipse, n’y ayanc de changement
que dans quelques signeS. Mais On PCuE coujOUES FaP-
Porter, s l’on veut, ce second cas au premier, de la.
maniere qui suIE.
Ayant mené par un poine quelconque B de l’une des F1c. A.
IIyperboles données, une cangence BC; e ayane faie
paster par certe cangente, e par le Commer donné S,
un plan OBS: Soit mené par coue ou l’on voudra, un
auEre plan FTKZ Parallele à celui-ci. Je dis qu’il FOr-
mera dans la surtace conique, décrire par une lione
droire indétinie actachée en S, et mui aucour de lHLy
perbole oppolée M AN, une lione courbe TPK C qui
Tera une Parabole; de Porre que toure la difficulté est
reduice au cas precedent. Car lupposane que le cercle
DTTMNE Toit la base du conc, qui a pour POrimet le
poine S, e pour Section lFlyperbole ML AN avec POn
opposée; il est clair que le plan C B Stouchant les deux
Turtaces coniques opposées qui ont pour bale ce cercle;
dans le COrc BSD, Formera dans le plan de la basc.
une lione droico D P. qui couchera cerre base en un poiné
D. Or comme certe ligne CA la directrice paF FAPPOTE
a la Section F KC, il s’entuie selon la definition dixié
me du Lirre V P. que cerre Section sera une Parabole.
Ce Problème a cte tres celebre du remps de M. Del.
CarTeS, X l’on en a trouré une Tolution parmi les Ma
nuseries, qui est imprimée à la fI de la 75 LCrere du
3 tome. Si l’on reur le donner la peine de comparer (a
Solution avec la mienne, on verra que non seulemene
elle est moins naturelle puisqu’elle ne ra pas aroit au
bue, mais encore qu’elle est beaucoup plus embarrassée.
Aussi ne donne e’il poine l’analyse du cas oii la Section
ek une Fllipse ou une Psyperbole; et il se contenre d’al-
furer que l’éoalicé qui renterme les condicions du Pro
blême, ne doir pas passer le quatrième degré.

## Folio 414 — 884859711:0488
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000488.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
L LY R E DFZLE N F.
L E M N F. T.
442. Sr par l’extremité B d’un diametre AB, l’on mene
LB7. L0 une corde quelconque BP qui termine l’are A D moindre que
la demie circonference; ex qu’ayant pris par tout ou l’on vou-
dra deux ares contieus F. F, FCF, égaux chacun à l’a C AD,
on tire les cordes BP, BF, BC: je dis que la corde du mi-
lieu BF est à la somme ou à la difference de ses deux voisines
BE, BC, comme le rayon CB est à la corde BD: sçavoir
à la somme lorsque l’oricine commune B des cordes BD, BP,
BF, BCF, ne tombe sur pas un des deux arCS FF, FC; ex
au contraire à la difference, lorsqu’il tombe sur l’un ou l’autre
de ces deux ares.
Car Poit du cenere F, e du rayon FB, décrit un arc
de cercle qui coupe la corde BO prolonsée, s’il est ne-
cesstaire, au poinE FT, pour avoir une crianole isoscelle
BFTF, qui sera semblable au crianole isolcelle DCB;
puisque l’angle FBFT a pour mesure la moirié de l’arc
F G écal à l’arc AD, donc la moirié est ausi la melure
de l’angle CBD. On aura donc FB. BFT:: CB. BD,
de Porre qu’il ne reste qu’à démonerer que la lione B FI
est la somme des deux cordes BF, BG, dans le premier
Cas, e leur difference dans le Second. Pour le Faire.
Soiene tirées les cordes FF, FG, X on aura deux
criangles BF F, FFTC, qui seront semblables _ égaUX.
Car dans le premier cas l’angle FTT B Ou FTYC, eA
égal à l’angle F B FY qui vaur l’angle FBF, puisque les
ATCS FO, FF, Pone égaux; e de plus l’angle BFF eAt
Ćgal à l’anole FOFI, puisqu’ils one chacum pour mesu-
re la moicié du même arc RF; ex parcane l’ansle OFII
est Cgal à l’angle F F B. OF leS COLES FF, FG, e FB,
PFT, CONE EGAUX enEP eUX. Le COTCOFY sera donc égal
au COTC BE. DOnC _C.
F16. 267. Ou prouverd a peu près de même dans le second cas
que les CaSSTTO, FB s, sone semblables et
égaux, a qu’aii la ligne BFI est la difference des
deux cordes 6b, L
414
F16, 266.
=76. 266.
168.

## Folio 415 — 884859711:0489
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000489.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
DES PRODLESMES DETERMTHES.
L E ML M F II.
4.43.S u Table dont le premier rans parallele
renfermant le nombre 2, es le second la letrre Z; le troisieme
XX -2 soit le produit du second par X, moins le premier, je
quatrième X - 3 X soit le produit du troisieme par X, moins le
second, le cinquiéme Z = 4 X X -  2 soit le produit du qua-
trième par X moins, le troiséme, ex ainsi de suire à l’infini.
Soit de plus un arc de cercle quelconque AR divisé en autant
de parties écales qu’on voudra, aux points D, F, F, (F, _C. F +C: 269.
Je dis que si le premier rans 2 de la Table exprime la valeur 270.
du diametre BA, ex le second ranz X celle de la premiere
corde BD; le troisiéme ranz XX - 2 exprimera la valeur de
la seconde corde BF, le quatrieme rane X - 3X celle de la troi-
siè̂me corde BF, ex ainsi de suite jusqu’à la derniere BR;
en observant que ces cordes deviennent necatives, lor(qu’elles
passent de l’autre coié du point B.
9
l X
+
X X  2
Table pour la division des ares de
N
cercle en parties égales.
6∞ 7 - + 9X X -
+ 14 X = 7 X
1Xd = 8 x  - + 2O X 4 = 16 XX- + 2
2O) L∞3 = 9 X 7 - + 27X - 3O x - + 9X
Ir Fx0 = +O~ - + 35 X  = 5OX  + 25XX = 2
12) TX = TRX- + 4 4 X-
13C IX2 = FZX
X
+55X = 1 TX
+ 5 4 X - 1I2X - F 1O5K - 36XX - + 2
14 LX = 23 ∞ - + 65∞ = 156V - + 182X -9LXx- F 13X
Car V. Lox(que Parc A R est moindre que la demie F10. 269.
Circonterence A D B: S l’on mulciplie une corde quel-
COnque BF par x; e qu’on recranche de ce produie la
corde B F qui la precede, on aura la corde BC qui la
suie immediacement, puisque selon le Lemme prece-

## Folio 416 — 884859711:0490
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000490.jpg
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416
L FVRE DEXTEMF.
dent CB (1). BD (X):: BF. BF + BO = X BF, &
PaTEANE BO = = X BF = BF. DONC XC.
20. Lorsque l’arc AR est plus orand que la demie cir-
Conference  D B; il eAt vilible que l’origine commune
B de touces les cordes le crouvera necessairement lux
l’une des parties égales comme OFY, dans lelquelles l’arc
AR est dirisé. Or l’on prouvera comme dans le premier
cas que le croisième rans de la Table exprime la valeur
de BF, le quatrième celle de BF, e ainsi de suire jus-
qu’à BC:: mais il reste à démontrer que le rans qui suit
celui qui exorime la corde BG, n’exprimera poine la ra-
Leur de -+ B +, mais celle de-BFT; e de même que
le rans qui lui ce dernier exprime la valeur de =BL.
X ainsi de luire ju squ’a - BR.
Selon la Formarion de la Table, le rans qui suit celui
qui exprime Bc; est x BC - BF. Or par le Lemme
CB(1). BD(∞):: B6. BF- BTF, X ParEAnE = BTY
=X BC - BF; c’est à dire que - Be raur le ranS Pa.
rallele de la Table qui suir immediacemene celui qui ex-
prime la valeur de BG. Mais selon la formation de la
même Table, le rans qui suic celui qui raut -BFY es
=X B Y = BG valeur de BT, puisque selon le Lemme
X BFY == BT = BC: & de même le rang qui suic celui
qui vave = B J est selon la Formation de cetre même
Table = x BT- + BFY valeur de la corde nesatire -BP,
puisque selon le Temme x BI =BL- + BFT. Or il eAt
visible qu’il en est de même de routes les cordes qui lui-
vene BL julqu’à BR; ee c’est ce qui restoir a démon-
Erer.
COROZLA +RF 1.
444. DE Ta il est évidene que si Parc AR est di-
visé en cinq parcies égales, le sixième rane de Table
X =5X -1 5x exprimera la raleur de la corde BR
qui Concend l’arc B R difference de l’arc AR et de la
demie circonference AD B; que s’il éroic divisé en seDE
parries éxales, le huicième rans leroir la raleur de BR.
FLC, 270.
20. 269.
10.

## Folio 417 — 884859711:0491
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000491.jpg
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DES PROBLESMES DE PERMENES.
417
E en general qu’il faur auomenter d’une unité le nom-
bre des parties égales, afin d’avoir le rans de la T’able
qui raue BR: en obserrant que le rayOn CB =1,
que la premiere corde BD =x, e que la derniere COr.
de B K est nesatire lorsque l’arc  R est plus grand que
la demie circonterence.
GOROLLATRE TI.
44.5. Os rosc par la composicion de cerre Table,
0. Oue le nombre 2 est le premier cerme de chaque
rans perpendiculaire. 3. Oue les coeficiens de tous les
autres cermes du premier rans perpendiculaire Pone
égaux à l’unité. 39. Oue le coeticiene d’un cerme quel-
conque de rel rans perpendiculaire qu’on voudra, est
coujours égal au coeticient d’un pareil cerme dans le
rane perpendiculaire à gauche, plus au coeficient du
cerme qui est au dessus de lui: c’est à dire, par exemple,
que le cochcienc 14. du quatrième terme i4 x du croi
sième rans perpendiculaire, est égal au coeticient 5 du
quatrième cerme 5x3 du deuxième rans perpendiculai
re qui est le rans à gauche, plus au coeticiene 9 du Fer.
me 9 xx qui est au dessus du terme 14 x.
R F M A ROV F.
AAOr P’on conmvoit à diriser la circonterence FτO. 270.
en parties égales auX arCS AD, DF, Xc. au de la du
poine R; il est clair que les rangs paralleles de la Pable
qui luivene celui qui exprime =BR continuéroient
à exprimer par ordre touces les cordesnégatires qui lui-
vroiene BR, jusqu’à ce que repassant le poine B elles
rederiendroient encore négatires; et ainsi de luite al-
cernativement posicires et nesatires, autant de fois
qu’elles passeroient le poine B jusqu’à l’infini.
785

## Folio 418 — 884859711:0492
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L EY RE D EX E F M L.
E Z E NE P F E I.
447. CoveER un arc de cercle donné AR, Ct
autant de parries esaleS AD, DF, FF, FG, eC. qu’on
voudra.
F1C, 269. Arane mené le diametre AB e la corde BR, et
nommé le raron donné C  ou CB, J; la corde don-
néc BR, a; on Formera une éralice dont le premier
membre sera le rans parallele de la Table qui surpasse
d’une uniré le nombre des parcies egales, et le second
Cera Fa; sçavoir. 1 a lorlque l’arc AR est moindre
que la demie circonterence, e -a lor(qu’il est plus
Frand. Or il est visible selon l’arricle 443. que la relolu-
tion de cetre ésalicé doit Fournir pour l’une de les raci
nes x, une raleur B D celle qu’ayant décrit du point B
comme centre et de l’intervalle BD un arc de cercle,
il coupera sur l’arc donné AR la premiere des parties
coales cherchées AD.
Ou’il faille, par exemple; diviser l’arc donné AR en
crois parties egales; On FrOUVeTA X3 =3 x ==- Fa, dOne
l’une des racines BD cerminera la premiere des erois
parties égales qu’on demande. S’il Falloir diriser l’arc
AR en cinq parries égales, on aUFOIE X =s X + 5∞
=Fa; e de même, s’il falloit diriser en sepe, il vien-
droit x = 7 x- + 14 X  - 7 X = -F a: dC TOPTE QuCEOUTO
la difficulce le reduie à trouver les racines de ces érali-
ces. Or c’est ce qu’on a enseigne dans le Lirre prece-
den. DOnC RC.
II est à remassder que ces ccastes lone les plus sinu
ples qu’il est postible, lorsque le nombre des parcies ega-
les est un nombre premier. Mais lorqu’il est composé
de deux ou plusieurs nombres premiers, on dirilera d’a-
bord l’arc donné en autant de parties égales que l’un de
cesnombres a d’unirés, e ensuire la premiere de ces
parcies en autane de parties égales que l’un des nombres
restans a d’unicés, ex ainsi de luire jusqu’à ce qu’on aie
Epuisé tous les nombres premiers, donc le produit For-
18
270.

## Folio 419 — 884859711:0493
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DES PROBLESMES DETERMENES. 419
me le nombre donné; ce qui donnera entin la premie
re des parties ésales qu’on cherche: E l’on veut, par
exemple, diriler l’arc AR en trence parties égales, il
Faudra d’abord le diriser en cinq, entuice la premiere
de ces cinq parties en crois, et entin la premiere de ces
trois en deux, pour avoir la crentième parcie qu’on de
mande, de cela parce que 30 =5X3X2.
R E M A R O V F I.
448. D eox poines donnés A, R, Tur la circonte- F1O. 270.
rence d’un cercle en décerminent non seulement deux 271. 272. dc.
arcs, dont l’un AR est moindre que la demie circonte.
rence, e l’autre ABR plus grand; mais encore une
infinité de portions, done les unes Pont la circonteren-
ce entiere plus l’arc AR, deux fois la circonterence
plus l’arc AR, trois fois la circonference plus l’arc AR
Xc. X les autres sont la circonterence entiere plus l’arc
AB R, deux Fois la circonterence plus l’arc AB R, trois
Fois la circonterence plus l’arc -2 BR ec; donc la raison
est que la circonterence d’un cercle renerane en elle-
même, on peut considerer certe ligne courbe comme
Faisane une infinicé de revolutions autour d’elle même.
Si donc l’on nomme l’arc AR, d; la circonterence en-
ciere c; l’arc AB R sera c- d ex l’on aura ces deux lui-
TC5,
1C. d, c. F d, 2c = d, 3c. = d, 4c + d, 5c. F d, 6c. = d, 7c = d, 8c + d, exc
20 c- d, 20 d, 3c- d, 4c d, 50 d, 60 - d, 7c- d, 8c- d, es c.
qui exprimene par ordre toures les portions de circon-
ferences terminées par les deux Points A, R. Cela
Dose.
Si l’arc AD est une aliquote quelconque de l’arc
AR moindre que la demie circonterence; e qu’ayane
inscrie dans le cerele un poligone DEFOFT XC. d’un
Pareil nombre de cotes à commencer par le Point D.
on cire de l’excremicé B du diametre AB aux anoles
du polisone les cordes BD, BF, B6, B1Z ec:
6581

## Folio 420 — 884859711:0494
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4.20
L FV R E D FX PE H F.
je dis qu’elles terminent des aliquores pareilles de Fons
les termes de ces deux luites, done l’origine Aixe estcou-
Jours au poine L.
Car COIE pOur Axer les idćes l’arC AD = =d; il eA
clair que Parc ADF = = VarC ADFF =
2c  d
ParC ADEFC = 3 +  PATC ADEFOTT +C F d qui PONE
les cinguièmes parties ou les aliquores pareilles des cing
premiers termes de la premiere luice. Or si l’on dirise rel
autre de les termes qu’on voudra par 5, il est vilible que
le quoriene renferme au juste un certain nombre de foisla
circonterence entiere plus une des cinq fractions prece-
dences. Donc puisque la corde qui termmine un arc, dont
l’origine est en A, est la même que celle qui termine
cet arc plus la circonterence reperée autant de fois qu’on
reut, il s’enluie que les cordes BD, BE, BF, BC,
BFT, cerminene les cinquié̀mes parties de tous les ter-
mes de la premiere suice. On prouvera de la même ma-
niere que les ares ATI, ATTB, ATIOF, ATIGFF
AFIGF FD Tont les cinquièmes parties des cinq pre-
miers cermes de la seconde suire, et qu’ainsi les cordes
BFT, BO, BF, BE, BD, cerminent les cinquiémes par-
ties de tous les cermes de la seconde luice. Mais il vilible
que cerre démonstration se peur appliguer à relle autre
aliguore qu’on rondra de l’arc AR. DONC_C.
De là il suie que s l’on réiinie les deux suites prece-
dentes en une leule d, c-== d, 20 = d, 3c = F d eC; les deux
cordes roitines de part e d’autre de la plus orande ou
premiere BD qui Termine l’aliquote AD de larC AR
inoindre que la demie circonterence, termineront des
aliguores pareilles du second cerme c=Fd de la luite;
que les deux cordes roitines de celles-ci terminerone des
aliquores pareilles du troisiéme terme 20 =F d de la luire;
et ains a linfni de deuz en deux jusqu’aux derrrieres
lorsque l’aliquore est impaire, et jusqu’à la derniere lors-
qu’elle est paire. RinA TOrsque l’arC AD = = AR; les
cordes BE, B FY, terminene les deux ares ADF, AIL,
16. 271
F1C, 273.
24.

## Folio 421 — 884859711:0495
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DES PROBLESMES ENDETERMENES.
42Y
cinquiemes parries du second rerme c=F d de la sutire.
c’est; dire de la circonterence plus l’arc AR, e de la
circonterence moins cet arc; les deux cordes BF, BC,
voisines de celles-ci terInerONE deuX AECS ADPF,
A77G, qui sonc les cinquièmes parcies du croisième
TexMC 2C-F d de la Sirice: e de même torsque l’arc A D
==AR; les deux cordes BF, BK, voisines de PaxE et
d’aurre de la premiere ou plus grande BD cerminene
les deuX arCS ADF, AK, qui lont les sixièmes parties
du Second terme c= F d; les deux cordes BF, BFL, voi-
Sines de ces deux-ci cerminene les deux arcs AD P F.
AKFY, Sixièmes parcies du croisième Terme 2C 7 d; et
enfn la derniere corde BO Termine les deux arCS
ADFFO, AK FTO, Cixièmes parties du quatrième
TermC 3C - d.
On entend dans les remarques suirantes par cordes
impaires, celles qui erane priles de pare e d’aurre de la
premiere ou plus grandé BD, se crourene dans des
lieux impairs a commencer par cerre plus grande; e
par cordes paires, celles qui etant priles de pare e d’aurre
de la même B D, se crourent dans des lieux pairs. AInST
lOrsque l’arc AD == = AR; les cordes BD, BF, BC
TOne des cordes impaires, e les cordes BF, BFF, des
cordes paires: et de même lorsque l’arc AD = = AR;
les cordes BD, BF, BFZ, TonE des cordes impaires,
e les cotes B F, BK, BG, Pone des cordes paires.
R EM A ROVF FF.
449. Mlarc etline aliquore quelconque de F10, 277.
Parc AR moindre que la demie circonterence AR B; 274
e qu’ayane inserie dans le cercle à commencer par le
poine D, un poligone D E FOTY ecc. d’un pareil nom
bre de cores on rire de l’extremite B du diameere AB
aux angles du polisone les cordes BD, BF, BF, BC.
BFT XC: je dis que les cordes impaires torsque larc
D est une aliquore impaire de l’arc AR, ex leurs quar-
788ii

## Folio 422 — 884859711:0496
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422
LLVRF DCX FE M F.
res lor(qu’il en est une aliquore paire, expriment les ra-
cines rraies de l’égaliré qu’on troure en égalant à la gran.
deur positire-t a, le rans parallele de la Table done
l’expolane surpasse d’une unité le nombre des corés du
polisone; ex que les cordes paires dans le premier Cas,
_ leurs quarrés dans le second, exprimene les racines
rraies de l’autre égalicé qu’on croure en égalane à la
randeur negatire =a, le même rans parallele de la
lable.
Soit, par exemple, l’arc AD = = = AR; je dis que les
cordes impaires BD, BF, BG, lont les racines rraies
de l’égalice x =5x - F5 X == a, et que les cordes paires
52C. 172. DL, DCL, Lohc les racines rraies de l’autre égalite
X =5~ - F5X = = = a. Si l’arC AD = E AR; leS QuaFFCS
des cordes impaires BD, BF, BFF, Serone les racines
vraies de l’égalité x = 6x = F 9 x x - 2 = a, e lCS Quar-
res des cordes paires BF, BK, BG, serone les racines
vraies de l’autre égalicé xo -6x+ - F 9 X X = 2 = = a.
Car si l’on propole de diriler la circonterence entie-
re repetée un certain nombre de fois plus ou moins l’arc
AR, en parties égales donc la premiere soit moindre
que la demie circonterence, il est clair selon l’article
444. Qu’on formera la même Pable que pour la dirision
de l’arc AR: en obserrant que les cordes doirent chan-
ger necellairemene une fois de ligne (arant que d’arriver
à la derniere BR) lor(que la circonterence n’est repetée
qu’une fois, par ce que l’origine commune B de toutes
le troure sur l’une des parties egales; que les cordes doi-
vene changer deux fois de signes, lorsque la circonte-
rence eA reperée deux Fois, parce que l’origine B se
exourenecellairemene sur deux desparties égales; qu’elles
doirent changerrrois fois, lorsque la circonterence est re-
peceerroistois, parce que l’origine B se troure lur erois
parties égales, ex ainsi de luire. La corde B R sera donc
Dolicire lor(qu’il s’agic de diriler en parties ésales l’arc AR
e la circonterence reperée un nombre pair de Fois plus
ou moins l’arc AR; ex negatire lorsque la circonteren-
+C0 17I.

## Folio 423 — 884859711:0497
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DES DEOLLAMES DEPERMZNES.
ce est repecće u ommbre impair de fois: c’est à dire que
dans le pretines Cas bH aost égaler le rans parallele de
la Table à la grandeur posicire - t a. FE paF COnSeqUEnE
les cordes impaires ou leurs quarres serone les racines
rraies de l’aurre ésalice done l’un des membres est =a.
Ce qu’il falloit exc.
R E M A R OV F IIL.
45O. LES mêmes choses CFaNE POséeS, (I V’arC AD FLC. 272
elt un aliquore impaire de l’arc AR; il est clair par l’in (- 273.
pection de la Table, que tous les termes pairs, c’est à
dire, le deuxième, quatrième, sixième _c, excepré le
dernier cerme a, manquent roujours dans les deux eoa-
lices qu’on croure selon la remarque precedente. Or
l’on sçait en Algebre, qu’en chanseant de signes lestermes
Pairs d’une égalicé, on ne fait qu’en changer les racines
vraies en fausses e les Fausses en rraies. D’ou il suit que
les cordes paires qui lone des racines vraies de l’égalité
done l’un des membres est = a, deviendrone des racines
Fausses de l’auere égaliré donc l’un des membres est- F a.
Par exemple sI l’arc AD == = AR; les cordes impaires
BD, BF, BC, seront les racines rraies de l’égalice
∞ = 5~ - F 5X = a, e les cordes paires BF, B FY, CM
Terone les racines Fausses.
On peuc cirer de ces deux dernieres Remarques plu.
Sieurs Theoremes la plupare encieremene noureaux,
couchane l’inscriprion des polisones reguliers; si l’on
Faic actention que la grandeur connue du second cerme
d’une égaliré renterme la Comme de les racines, que
celle du croisième cerme renterme la lomme des plans
alternarits de les racines, que celle du quacrième terme
renterme la Comme des solides alcernarits _c, ec entin
que le dernier cerme est cgal au produit de toutes les
racines les unes par les aurres. P’en merrrai ici quarre
des principaux, apres avoir fair la remarque luirance
qui peur étre de quelque urilité.
23

## Folio 424 — 884859711:0498
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000498.jpg
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LIVRE DFXLEME.
R E M A R OVE IV.
45T. Les mêmes choles érant posées que dansla RC.
marque precedente, ou l’on veur que l’aliquote AD
de l’arc R Coit impaire; je dis qu’entre les cordesren-
fermées dans la demie circonterence AR B qui contient
l’arC AR, la derniere on plus perice BF Coutend un arc
BF qui est à l’arc B R, en même railon que l’arc AD
a l’arc AR.
Car loit l’arc AD la cinquième partie de l’arc AR,
de par conlequent l’arc DF la cinquième parrie de la
circonterense; il est clair que la demie circonterence
AR B contiendra deux Fois e demie l’arc DF; c’est a
dire, deux fois l’arc DF ou bien l’arc DPF plus la cin-
quième partie de la demie circonterence. Donc l’arc
AD plus l’arc B F vaut la cinquième partie de la demic
CircOnterence AR B. Doncpuisque LD est la cinquième
Parcie de l’arc AR, il s’ensuie que BF sera ausi la cin-
quième partie de l’arc B R complemene à deux droits
de l’arc AR. Mais ce que l’on vient de démontrer sub-
silte avec la même force, soit que l’arc AD loit la cin-
quième partie de l’arc AR, ou bien une autre aliguoce
quelconque impaire. On a donc eu raison de dire en sc-
neral eC.
De là on voit que si l’on nomme b la corde B R d’un
axc quelconque BR moindre que la demie circonteren-
ce, dont le rayon est r; et que l’on forme une égalité
dont l’un desmembres soit b, et l’autre le rans parallele
de la Table qui surpasse d’une unité le nombre des par-
ties egales dans lesquelles l’arc BR doir ecre divilé: cet-
re égalité aura pour l’une de les racines la corde BF
de la premiere de les parties, _ par consequent pour
une autre de les racines, la corde BC de la premiere
d’un pareil nombre de parties égales de l’arc B AR
complement 2 quarre droirs de l’are B.
PHEOK. L
272.
42.4

## Folio 425 — 884859711:0499
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000499.jpg
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DES PRODLESMES DE TERMLNES.
TH EOR ESM E I.
425
452. St l’on inserit au dedans d’un cercle un polizone re -F 16. 271.
culier quelconque D P F C7 JI _C d’un nombre impair de cotés;
es qu’on tire d’un point quelconque B de la circonference à tous
les ansles. du polisone des cordes BD, BF, BF, BCF, BFI,
_C: je dis,
r0. Oue la somme des cordes impaires BD, BF, BC ec.
à commencer par la plus grande BD sera toujours écale à la
somme des cordes paires BF, BFI eC; c’est à dire que la plus
petise corde BF =BF - + BD = BFI- FD C _C =-0.
Car menane le diametre B A, e prenant l’arc AR
qui contienne l’arc AD autant de fois que le polisone
a de cores, il est clair comme l’on vient de voir que l
l’on nomme la corde BR, a; ex le raYON C A OuCB, I;
les cordes impaires BD, BF, BG GC, seront les racines
vraies, et les cordes paires BF, BFY ∞C, les racines
fausses de l’égalicé qui a pour l’un de ses membres- t a.
Or puisque le second cerine, qui selon qu’on démonere
en Algebre contiene la Comme des racines, manque tou.
jours dans cetre égaliré; il s’enluit _c.
2. Oue si l’on mene le diametre B A, es qu’ayant pris l’are
AR qui contienne l’arc A D autant de fois que le policone a
de cotés, on tire la corde BR: le produit BDZBFXBFZBCFX
BFI XC de toures les cordes BD, BF, BF, BG, BII XC
les unes par les autres, sera toujours éxal au produit de la cor-
de BR par une puissance du rayon C A qui ait pour exposant
le nombre des cordes =1.
Car ce dernier produie raur le membre a; puisque
BR = a, e qu’on prend dans la Pable pour l’unicé le
rayOn C . Or comme le terme a est coujours le der-
nier cerme de l’égalicé qui a pour les racines toures les
cordes BD, BF, BF, BG, BFY ec, e que le dernier
terme d’une écalité contiene toujours selon ce qu’on
démontre en Algebre le produir de roures les racines:
It S’en(uIE XC.

## Folio 426 — 884859711:0500
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L F V R E D F Z F E H F.
T H E O R E S M E TI.
10. 273. 453. Sr Pon divise une demie circonference AFB en un
nombre quelconque impair de parries égales, dont les deux
premieres soient l’are AF, les quatre premieres l’are APF,
es ainsi de suite de deux en deux jusqu’à la derniere; es qu’on
tire les cordes BF, BF 8cC: je dis.
10
Oue la premiere de ces cordes BF, moins la seconde
BF, plus la troisième, moins la quatrième exc, jusqu’à la
derniere inclusivement; est toujours écale au rayon.
20. Oue le produit BPX BF _c de toutes les cordes lesunes
par les autres, est écale à une puissance convenable du rayon.
Ainsi dans cet exemple ou le nombre des divisions est s, e out
il n’y a par consequent que deux cordes BF, BF; on aura
2. BF  BF = CA. 2. BEXBF =CA.
Car inscrirane dans le cercle entier le poligone regu-
lier FF G FF donc le nombre des COTES SOit egal au nOm-
bre des dirisions a commencer par le poine A; e tirane
de l’autre extremité B du diamerre A B à cove les an
oles de ce polisone des cordes BD, BF, BTI, BF,
BG exC; il est clair P. Oue la plus grande de ces COr-
des BD est égale au diamerre BA, e qu’ains l’arC AD
écant nul ou ZerO, l’arc AR le sera aussi; d’ou l’on voie
que la corde B R lera ausi égale au diamerre BA. 2.
Oue les cordes BF, BEI, BF, BG ExC Etant prises
deux à deux Cont égales ener elles. Or cela pose, s l’on
applique le Theorème précedent à ce cas parriculier on
en verra naiere celui ci. DOnCREC.
TET EOR ES N E IFT.
454. Sr l’on inscrit au dedans d’un cercle un policone re-
culier que lconque D F F C+FI R eC, dont le nombre des cotés
soit pair; es que d’un point quelconque B de la circonference,
on tire à tous les ancles de ce polisone des cordes BD, BF,
BF, BG, BFI, BK _C: je dis.
2. Oue la somme tant des quarrés des cordes impaires BD,
126
F16, 272.

## Folio 427 — 884859711:0501
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000501.jpg
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DES PROBLESMES DETERMLNES.
427
BF, BFT, que des cordes paires BF, BCF, BR, est écale
au quarré du rayon C B pris autant de fois que le polisone a
de cotés.
Car menant le diamerre B A, _ prenane l’arc AR
qui contienne l’arc AD autane de fois que le polisone
a de cotes; il est clair X qu’en nommane la corde BR, a;  Art. 449.
e le raron CA ou CB, T; les quarres des cordes im-
paires BD, BF, BFT EC, Teront les racines rraies de
l’égalité donc l’un des membres est - t a; e que les
quarres des cordes paires BF, BK, BG exc, seront les
racines rraies de l’autre égalice done l’un des membres
est =a. Or le coeficiene du Second terme de chacune
de ces deux éralices qui conciene la Comme de leurs ra-
cines, est toujours égal au quarre du PayOn priS aUFANE
de fois que le polisone a de cotés, comme l’on voit
dans la Table. DOnC _C.
2. Oue si l’on mene le diametre B A; es qu’ayant pris l’are
AR qui contienne autant de fois l’are AD que le policone a
de côtés, on tire la corde BR: le produit BDZBF LBFT ec
des quarres des cordes impaires, est ésal au produit de
B A= L BR par une puissance convenable du rayon, sçavoir
BA - + BR lorsque le nombre des cotés du polizone est sim-
plement pair, ex B A = BR lorsqu’il est pairement pair,
c’est à dire, divisible par 4; es le produit BL = BE XBK _C
des cordes paires, est écal au produit de BA + BR par la
même puissance du rayon, sçavoir B A - B R dans le premier
cas es BA - + BR dans le second.
Car nommane BR, a; et le razon CA, L; il es clair
que les quarres des cordes impaires BD, BF, BFLOC,
Lont les racines d’une ésalité qui a coujours pour dernier
cerme 2=F a c’est a dire B A. F BR; e de plus que les
quarres des cordes paires BF, BG; BK exc, COnc les
racines de l’aurre esalité qui a coujours pour dernier
Terme 2 t a c’est à dire B A + BR. Or comme le der-
nier cerme d’une égalité contiene coujours le produie
de toures les racines, il s’enluie _c.
tuh is

## Folio 428 — 884859711:0502
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LFYRE DEXTEME.
CO R OE L A FR F.
455. DE FA il est évidene 1o. Oue la somme des
quarres de toures les cordes tant paires qu’impaires,
est égal au quarre du raron mulciplié par le double du
nombre des cores du polisone, c’est à dire ici que BL
+ BF. + BD - + BK- t BTT + BC = 12 CA. 2.
Oue la difference des quarrés des cordes impaires avec
les quarres des cordes paires, est coljours ésale à 2er0,
cest a dire, que BF - BF +BD. BR t BFI- BO
0. 3. Oue le produie des quarres des cordes impaires
plus celui des quarres des cordes paires, est égal au qua-
druple d’une puissance pareille durayon; c’est a dire, que
BF ZBD ZBFL  +BF XBK XBC = 4C A. 4. Onela
difference de ces deux produies, est égale au double de
la corde BR mulciplice par une puistance conrenable
du rayon; en obserrane que le produie du quarré des
cordes impaires, surpasse celui des quarrés des cordes
paires, lorique le nombre des corés du poligone est sim-
plement pair, ec au contraire qu’il est moindre, lort
qu’il est pairement pair: c’est à dire ici, que DF XBD
XBFL = DE XBK XBO =LBRXCA. 4. Oue lC PFO-
duic des quarres de coutes les cordes cant paires qu’im.
Paires les uns par les aurres sera coujours ésal au produie
de BA = BR = B A = BRx BA + BR = AR a CaISC
de l’anole droic AR B, par une puistance conrenable
du rarON: C’est à dire, en extraranE de parE X d’auEre
les racines quarrées, que le produit de toures les cordes
est Csal au produie de la corde R par une puistance
du raron moindre d’une unicé que le nombre des COr-
des; par exemple ici, BFZ BEX BDX BKX BTIABC
num L Lad
PN EOR ES EME IV.
nombre quelconque pair de parties égales, dont la premiere
F1C. 2750 456. St l’on divise une demie circonference ADB en un

## Folio 429 — 884859711:0503
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DES DRODLESMES DETERMEMÉS. 429
soit Vare AD, les trois premieres P’are ADF, les cinq pre
mieres l’are AD FF, es ainsi de suite de deux en deux jus-
qu’à la derniere; ex qu’on tire les cordes BD, BF, BF eC:
je dis.
1. Oue la somme des quarrés de ces cordes est écale au
quarré du rayon pris autant de fois qu’il y a de divisions. C’est
à dire ici, ou le nombre des divisions est 6, que BD- L BF.
+ BF =6CA.
2. Oue le produit des quarrés de ces cordes les uns par les
autres, vaut le double de la puissance convenable du rayon.
Ains BD XBE XBF =2C A, e par consequent BDXBF.
XBL = CA XVZ.
Car inscrirane dans le cercle enrier un poligone regu-
lier DEFG FT K, donc le nombre des coresloir égal au
nombre des dirisions, a commencer par la premiere D;
e tirant de l’extremicé B du diametre AB, a tous les
angles de ce poligone, des cordes BD, BK, BE, BFI,
BF, FO: il est clair que les cordes BD, BR, BF, BFF,
BF, BC esc, etane priles deux a deux Cont cgales entr-
elles; e parcane que si l’on applique les articles premier
e troisième du Corollaire précedene a ce cas particu
lier, on en verra nalere ce THCOTEME.
E X E N P L E ZII.
457. LNSCRTRE dans un cercle donné, un poligon
regulier quelconque, donc le nombre des corés Toit
donné.
Onpeur resarder ce Probleme, COMMENETANEQL’UN FYC, 275
cas particulier de l’exemple precedent. Car l l’on (up-
pose que la corde BR devienne nulle ou zero, il s’en-
luie que l’arc AR qu’elle cermine deriendra la demie
circonterence. Or si l’on propote de diriser la circonte-
rence entiere en un nombre quelconque de parties éga-
les; il est erident qu’en dirilane la demie circonterence
dans ce même nombre, et premane la seconde corde au
TThB iis

## Folio 430 — 884859711:0504
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430
LTVRE D FZFE MF.
lieu de la premiere, elle terminera la premiere despar-
ties demandées. Par exemple, si l’on dirise la demie cir-
F16, 276. Conterence D B en sept parties egales AD, DE, FF,
FO, GFT, FTT, TB; la leconde corde BF terminera
Parc AF qui est la seprième partie de la circonterence
entiere. D’ou l’on voit qu’en égalant à 2cro le rane pa-
rallele de la Table qui Turpasse d’une unité le nombre
des corés du polisone, on Formera une égaliré dont la
plus grande des racines x exprimera la valeur de la Cor-
de BD qui termine l’arc AD moicié de l’arc cherché
Art. 442. AF. Mais = CB (+). BD(X):: BD (X). BE-+ BA.
e par consequene si l’on nomme la seconde corde BF,
Z; On aUTa XX =Z - F 2. Si donc l’on fait éranoiir paF
le moren de cetre égaliré l’inconnue x dans la prece-
dente, on en formera une nourelle dont la plus grande
racine Z exprimera la corde B F qui cermine l’arc cher-
ché AF. Ain( dans norre exemple, en égalanE à ZCrO
le huicième rans parallele e dirilant par x, je trouve
certe cgalité x = 7X - F TAXX = 7 =-0, dans laquelle
mectane à la place de Xx (a valeur Z - F2, à la place de
x le quarre de cerre raleur _c. je la change en certe
AVErC Z =ZZ - 2Z. F 1 =-0, done la plus grande des
racines Z exprime la raleur de la corde BF qui termine
l’arc AF septième partie de la circonterence entiere.
Voici maintenane une maniere generale de Frouver
immediacement coutes ces égalites lorsque le nombre
des cotes du polisone est impair qui est le seul cas ne-
cellaire; puisque s’il étoir pair, on le reduiroit toujours
en le dirilane par 2, aurane de fois qu’il seroit postible,
en un nombre impair dans lequel arant partasé la cir-
conference, on auroit par la bissection d’une des parties
egales, réirerée autant qu’il seroir necessaire, l’arc qu’on
demande.
Soit construite une Fable dans laquelle le premier
rans parallele étane 1, e le second Z 1; le croisième
2Z= Z 1 Soic égal au produie du second par Z, moins le
premier; le quatrième Z= 22- 22 t1 soit égal au pro-

## Folio 431 — 884859711:0505
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DES PROBLESMES DETERMEHES.
437
duit du croitieme par Z, moins le second; e ainsi à l’in-
fini. SoitFormée une éralicé dont l’un des Inebres erane
2er0. l’aurre soit le rans parallele de la Table, qui aie
pour expolane la plus erande moirié du nombre des co-
ces du polisone. Je dis que la plus grande des racines Z
de cetre égalité, terminera un arc qui aura pour corde,
le core cherche du poligone.
Table pour l’inscription des poligones
reculiers dans le cercbe.
t
3Z
-+6ZZ -3Z - 1
+10Z
6ZZ- 4Z - + 1
 +15Z7 - 1023--10Z7. 1 4Z  tX
172- 12127 -2577 207. +1072 15Z 1
Ouil faille, par exemple, inscrire dans un cerele un
hepcasone. Je prends le quatrième rano parallele de la
Table, parce que 4 est la plus grande moitie de 7, _ lĆ.
salanE a ZCrO jai 23 - 22 - 22 +1=-0, done la plus
orande racine Z exprimera la raleur de la corde BF
qui cermine P’arc AP Sepcième partie de la circonteren-
ce entiere. Pour le Prourer.
Soit un arc de cercle AR moindre que la demic cir - F16. 275.
conterence, dirisé en un nombre quelconque impair, de
parties egales aUZ POInES D, F, F, G exc: _ Toientme
nées de l’extremicé B du diametre B A, les cordes BD,
BF, BF, BC exc, jusqu’à la derniere BR. AranE pris
Parc AS égal à l’arc D, Poit cirée la corde BS, _
Toiene nommées la premiere corde BD ou BS, X; ec
la Ceconde BF, Z. Cela posé, on aura selon le Lemme
CB (T). BF(Z):: BD (X). BF - + BS. FE par conse.
quene BF = = X Z - ∞. DC même CB (L). BF (Z):: BF.
BD. FBFL. Ec par consequene B1L = ZBF BD; de

## Folio 432 — 884859711:0506
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432
ETYR E DFZ TE M F.
MEmC CnCOre CB (F). BF (Z):: BTT. BF- + BR, et
PaFEANE BR == ZBFT- BF: c’est à dire, que la cinquième
corde BF eR égale au produie de la rroisième BF PaFZ
moinsla premiere BD; que la seprième B a est ésale au
produie de la cinquième BFT par Z, moins la croilième
BF; e ain(i à l’infini de contesles cordes impaires. D’ou
l’on voit que Si l’on construie une Pable done le premier
rans éranex, e le second x Z x; le troibeme X ZZ - XZ
x soit cgal au produit du second par Z. moins le pre-
mier; le quatrieme XZ = xZZ - 2xZ- FI Toit cgal au
produit du croisième par Z moins le second; et ain(i à
l’intini: les ranos de cerre Pable exprimeront par ordre
coutes les cordes impaires BD, BF, BFT, BR, de l’arc
AR. Or les ranos de cerre Table n’étane autres que
ceux de la precedence mulcipliez chacun par x, il s’en-
Suic qu’en supposane que la derniere cordé B R derien.
F10. 276. nenulle ou zero (ce qui arrire lorsque l’arc  X deviene
la demie circonterence,) e Failane ce qu’on viene de
prelerire, on aura une égalicé done l’inconnue Z expri-
mera la seconde corde B F qui cermine l’arc AF qui est
contenu autant de fois dans la circonterence entiere,
que l’arc AD qui en est la moirié, l’est dans la demie
circonterence.
II Faut remarquer ro. Oue les égalicés qu’on troure
de cerce maniere lont les plus simples qu’il est postible,
lorsque le nombre des coré̀s du poligone est un nombre
premier: mais que lorsqu’il est composé de deux ou de
plusieurs nombres premiers, il Faudra diriler d’abord la
circonterence entiere en aurant de parries égales que
le plus orand de ces nombres a d’unités, ex ensuice une
de ces parties en aurane de parties égales que l’un des
nombres restans a d’unités, e continuer jusqu’à ce que
tous les nombres premiers qui composent le nombre
donné des cores du poligone Coiene epuilés. 2. Ou’en-
era les cordes qui partene du poine B, ee qui IOneren-
fermées dans la demie circonterence AF B; les impai-
res a commencer par la plus grande DE sont les racines
vrates,

## Folio 433 — 884859711:0507
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DES LAODDEMES DETERMENES.
rraies, et les paires les Fausses des égalités qu’on trou
ve par cerre methode: ain(i les cordes BF, BZ; PONE
les deux racines rraies de l’égalite 22- 22- 22 11 ==0,
de la corde BC en est la Fauste. 3. Ou’entre les racines
de ces forces d’égalices, la plus pecire est la corde d’un
arc qui est la moirié de celui qu’on cherche: c’est à dire
dans cerre exemple, que la plus pecice racine BY de l’é
salité 2 22 27 F1 = -0, es la corde d’un arc B L qui
est la quatorzième parrie de la circonterence.
R E M A R O V F.
450. C en Muble dans certe derniere Fable, que
rous lescermes du premier e du second rans perpendicu-
laire ont chacun pour coeticient l’unicé; que ceux du
Froisième e du quarrième rans one pour coeticiens les
nombres nacurels 1, 2, 3, 4dc, qui se Formene par l’ad-
dicion continuelle des unices; que ceux du cinguième e
du Eixiemerans onc pour coeticiens les nombres triansu-
laires F, 3, 6, 10, ecc qui se Formene par l’addition conci-
nuelse des nombres naturels; que ceux du sepcième de
du huicième rans ont pour coeticiens les nombres pi-
ramidaux 1, 4, 10ec, qui se formene par l’addicion con-
cinuelle des triangulaires; ex ainsi à l’infini de deux en
deux des nombres d’un ordre superieur qui se Formene
par l’addirion continuelle de ceux du dernier ordre.
L F MI NI F Y
459. S) a fat un dent cercle AF B deux ares esaUX F.16, 277.
AD, PF, dont l’un AD ait son commencement en l’une des
extremités A du diametre AB, es l’autre PF soit pris par
tout ou l’on voudra; x qu’on tire les cordes BD, BF, BF.
eg AD, AF, A F: je dis, V. One ABZBF = - BDX BF
ADXAF. 20. GnC ABZ AF =- BDXAF - F ADFBF.
Car les crois criansles rectansles ADO (le point 
est ici le poinc d’incersection des cordes BD, AF), AFB,

## Folio 434 — 884859711:0508
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434.
L EVRE D LX F E M F.
BF G TOnE Semblables enEr euX; puisque l’angle AC D
ou BCF ayant pour meture la moirié des deux arcs
BF, AD, CA egal à l’ansle BAF qui a aussi pour me-
Ture la moitié des deuz arCS BF, FF, Ou AD. Si donc
l’on nomme le diametre AB, T; les cordes BD, X;
AD, Y; BF, V; AF, Z OB QUT2 L. BF (~). F A(Z::
AD (7). D6 = =, _C PaFEANE BG Ou BD =DO =X
. 20. AB (2). BF (~):: BC (∞ - ). BX = Vx
YZ c’est à dire (puisque AB = +) que ABX BF
=BDXBF- -ADX AF. CC qu’il Falloit deOnETeF
en premier lieu.
MainCenanE B F (2). B A (1):: AD (Y). AC = 2. EF
AB (1). AF(Z):: B6 (∞ - 3=). CF = xZ - =; et
PaFtaNE AC- + GF Ou AF ==XZ
3 - + 2 = x Z- 121,
puisqu’à cause du criangle rectanele AFB On crOuve
=ZZ ==vV; c’est à dire que AF on A BX AF = BD
X AF - + AD X BF. FF C’elt ce qui restoit a dCMONETeF.
E E NE M F TT.
46O. SOer formée une Table, dont le premier ranz pa-
rallele étant composé de deux parties Z e Y tous les autres
le soient aussi selon cette recle; la premiere partie de tel rans
parallele qu’on voudra, vaur la premiere parrie du ranz paralle
le qui le pricede immediarement, multipliée par Z moins la
seconde partie du même rans multipliée par y: es la seconde
partie vaut la même premiere partie multipliée par Y, plus
la même seconde multipliée par X. Soit de plus un arc de cercle
F15. 278. Quelconque AR moindre que la demie circonference divisé en
autant de parries écales qu’on voudra, aux points D, F, F.
C, ec. Fe dis que si le dia netre AB =L, es les deux pre-
mieres cordes BD =Z, AD =y; toutes les autres cordes
BF, BF, BCY _C, seront exprimces par les premieres parties
du deuxiéme, troisième, quatrième, 5c. rans parallele, 

## Folio 435 — 884859711:0509
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DES PROBLEMES DE TERMENES.
435
les aurres cordes correspondantes AF, AF, ACY, _C, par
les secondes parties des mêmes ranzs. Ainsi B C+ étant la qua-
trième corde, vaut la premiere parrie X 6y7XX- + y du
quatrième rans parallele, e sa correspondante A C+ vaut la
seconde partie 4)X- 4) X du même rans.
60
X 3 - 10y7∞3-3) 
∞ 6- 1599 2 1 -+ 1574 ∞X - yC
70 ∞ 7 - 219y ∞3 - L 3594∞3 - 796∞
2yX
39 X. X - 93
4yX 3 - 473X
59X + -- 2073 XX L y5
6yx 5 - 2073 x3 -  695∞
79X7 = 3593∞4 -+ - 2195 X X - X. F
Car il est clair selon le Lemme precedene que le pro-
duit d’une corde quelconque B F par la premiere corde
BD (X), moins le produie de la corde correspondance
AF, par l’aurre premiere corde AD (y) exprime la va-
leur de la corde BG qui luit immediatemene B F; _ auAI
que la corde AO vauE BF X AD (y) - + AFZ BD (X).
DONC RC.
COROLL A FR F.
462. Sr l’on ajoure ensemble les deux parties de
chaque rans parallele de la Pable precedente, en met-
tant par ordre tous les termes qui les compolene selon
les differens deorez des puissances de X; On FORMCFA CCF
ce nouvelle Table qui contiendra par ordre les cermes
de contesles puiltances du binome x - F y: en obserrant
que le premier e le secondcerme doirene eere pris aHir-
matiremene, le rroitième ee le quatrième negacirement,
e dinsi alternaciremene de deux en deux jusqu’au der-
nier. Ainsi le croisième rans parallele conciendra
~ - F 3y X x =- 3yy X. -y; c’est à dire le cube du binome
X -F y, donc on prend les deux premiers cermes aHir-
macirement, ec les deux derniers nesatirement: de me-
me le cinquième rans parallele contiendra x 5y X
1Oyy ∞. = 10g. x x = F 5y. X- t y, qui est la cinquieme
∞+ - 69yX X- F 94

## Folio 436 — 884859711:0510
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436
LTVRE DEZ FE MF.
puistance du binome x - F y, done le premier et le second
Terme sone pris affirmaciremene, le croinème e le quatrié-
menesatiremene, le cinquième et le lixième attirmatire
menc; et il en est ainsi de tous les autres rarss à l’infine.
. +
2
X X. F2YX = yy
x 1 ss LOy XX - + 5y x - + y
x5 - F 6yx 15Yy∞  20y X 3 F15y XX- + 6y5∞ - y
x - + 7yX 219yX -35y X 4- + 35y ∞ - + 2Lgr~X 7y X- y
Car E l’on Fais aecention à la maniere done la Table
precedence eA FOrmée, On verra que tonS les cermes de
Chacun de ses ranos paralleles (OnE FOrmés par ceux du
rans parallele qui le precede, mulciples par x et par V,
ex joines par des signes-+ et =, en celle Porre que les
termes des deux parties qui composent chaque rans,
érant mis par ordre, selon les differens degres de l’in-
connué x, il y a de luice deux lignes -t, e apres derix
Siones -; & ainsi alcernatirement jusqu’au dernier.
RL E NT A R OVF.
462. JL CIE va dans cerre derniere Table, que
eous les cermes du premier rang perpendiculaire, ON
chacun pour coeficient l’unicé; que ceux du second rane
ont pour coeficiens les nombres nacurels 1, 2, 3, 4 _C,
qui se Formene par l’addicion continuelle des unités;
que Ceux du exoisiéme FANG ONE pour cOcFcienS lES NOM-
bres criangulaires 1, 3, 6, 10_C, qui le FOrMEHE paF
l’addicion continuelle des nombres naturels; que ceux
du guarrième rang ont pour cocticiens les nombres pi-
ramidaux 1, 4, 10, 20 Ecc, qui le forment par l’addicion
continuelle des criangulaires; ec ainsi à l’infini de rane
et rans en arancane rers la droire, les nombres d’un
X 3 - + 3YXX 3γγ∞- y
X 4 - F 4yx - 6yyXX - 473X-+ q

## Folio 437 — 884859711:0511
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DES PROBLEMES DETERMTNES.
437
ordre superieur, le Formene par l’addirion concinuelle de
ceux de l’ordre immediatement precedent.
E Z E M P L E XII.
463. On arc de cercle A R étane donné; le diri P28. 278.
ter en autane de parries égales qu’on roudra, aux poines
D, E, F, C8c; par une mechode difterente de celle
de l’exemple dixième.
Ayane nommé le diamerre AB, r; les cordes don-
nées BR, a; AR, b; qui terminene l’arc donné AR;
et les cordes inconnues B D, X; A D, y: GLI TerMIHCHE
l’arc cherché AD; on élevera le binome x Ly a une
puissance done l’expolane soit égal au nombre des diri.
Sions. On Formera deux égalices, dont la premiere aura
pour l’un de les membres la donnée a, e pour l’aurre
tous les termes impairs de la puissance de x- L y, joints
par des Signes -+ e - alternatits; e la seconde aura
pour l’un de les membres la donnée b, ee pOur l’auErC
tous les aueres cermes de la même puissance du binome
x-Fy Joines encore entemble par des siones alcernarits
+ et . On tera éranoiir l’une ou l’auere des incon-
nues x our, par le moyen de l’égalicé xx = - 1 - py ou
yy =- 1= X X, qui se tire du criangle AD B rectangle en
D: ce qui donnera entin une derniere égalicé ou il n’y
aura qu’une seule inconnue x ou p, donc la resolutioi
Fournira la valeur de cerre inconnué B D ou AD qui
termine l’arc cherché AD.
Ouil faille, par exemple diriser l’arc cherché AR
en sepe parties égales, aux POInES D, FE, F, 6, TI, 2.
Je prends la sepcième puictance x - + 7y ~ - F 2TVy X
F359 ∞  - F 35yx3 - +2EVX X - + 7yX - L y du binome
X - + y, de laquelle je forme les deux cgalices a = x
=21yX - + 359 4 x - 7 y X, _ b = 7Y~ - 35 yX - F 2LY3XX
p. Ec Faisane éranoiiir dans la premiere de ces deux
égalités l’inconnui r, ou dans la leconde l’inconnue x,
par le moyen de l’égalitégy =L = X X OU ~ ~ = 1 - yy.
lii

## Folio 438 — 884859711:0512
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138
LTY R F D FX L E MF.
je forme l’une de ces deux nourelles égalites a =-64 x
112 ∞ - + 56∞3 - 7 X Ou b =- 7y - 567- Y 112] = 63y qui
ne renterme plus qu’une seule inconnué, e donc la re-
solution qui le fera selon les regles du Lirre précedene,
Fournira pour l’une de les racines x ou y une valeur
BD ou D qui serrira à décerminer la premiere des
parties égales demandées. Tout cela es une luice des
deux articles precedens.
II est à remarquer que Si Parc AR éroir plus grand
que la demie circonterence, celle des deux ésalitespre-
cedentes qui a pour l’un de les membres - t b sert Cga-
lement laris y rien changer, mais dans l’autre il Faue
chanoer le membre-F a en =a; done la raison est que
la Corde B R (a) passant de l’autre coré du poine B de-
viene negatire de posicire qu’elle éroit, au lieu que la
corde AR ve repâssane poine de l’aurre coré du POInE
A demeure coujours politire.
L E NI M F L.
464. VOF daus un quarre guidibin  oos on
remplisse de la lettre a, toutes les cellules du premier rans pa
rallele; de la letrre D, toures les cellules du premier rans
perpendiculaire, excepté la premiere; es ensuite toutes les au-
rres cellules par le moyen de certe recle; c’est à sçavoir qu’une
cellule doit toujours etre écale à celle qui est au dessus plus
à celle qui est à cauche: de certe sorte on aura le quarré de
cellules qu’on voit ici. Or cela posé;
6a  4b
10a -= 106
10a u
20a - F 150
354 216
2.1a mns
56a j 286
a. = 46 5a - F 10b T5a f 20b 35a  356) 70a + 56b 126a- L 84b
-5b 6a  156) 2T =  35b 56a 70b 126a - - 126b 252a - = 210b
3. b) au+ bb. 7a f 216) 28amf. 56b 844 - = 1266)210a f 252b 462a + 462b)
Je dis qu’une cellule quelconque est éeale à la cellabe qut est
6.
3b
44 6

## Folio 439 — 884859711:0513
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000513.jpg
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DES PROBLEMES DETERMENES.
439
à cauche plus à coutes celles qui sont au dessus: c’est à dire,
par exemple, que la quatrième cellule 42 - + 6b du troisié-
me rans perpendiculaire, est écale à la cellule a = F 3b qui est
à cauche, ex qui par consequent est la quatrième du second
rane perpendiculaire, plus a toures les autres a - + 2b, a. Fb,
a qui sont au dessus d’elle dans ce second rane.
Car (uppolane que a, c, d, e, exprimene les quatre
premieres cellules du second rans perpendiculaire, et
a, f, 2 h, les quatre premiers du croisiéme rans, on
aura par la Formation du quarre de cellules h ==e- F8.
5 =
tf, f- F c- t a, a ParTaNE B =- e. 1 d. tc. + a;
ce qu’il Falloie prouver. Or il est visible que cerre de
monstration se peut appliquer à cel nombre de cellules
qu’on roudra de deux ranss perpendiculaires roisins.
DOnC _C.
C OROLLATRE.
465. P’orsove tontes les celtules excepré celles du
premierrans parallele ex celle du premierrans perpendi-
culaire, lont compolées de deux cermes dans le premier
desquels se croure la lecrre a, et dans le lecond la lec-
ere b; il s’entuie 10. Oue le cerme oi se croure la lerrre
a, est éral au cerme ou le croure la même letrre a dans
la celtule à gauche, plus à tous les cermes oit elle se ren-
contre dans les celtules qui Pone au desus de celle-ci.
2. Oue le cerme ou le troure la letrre b, es égal au Fer-
me ou se croure la même lecrre b dans dans la cellule a
gauche, plus à tous ceux ou elle se croure dans les cel-
lules qui sone au dessus. Ainsi le cerme r5a de la cinquié-
me cellule du quarrième rans perpendiculaire, est égal
au terme sa de la cellule a sauche, plus aux rermes 4a,
3a, 2a, 1a, qui se crourene dans les cellules qui Pone
au dessus de celle.ci; et de même 20b est esal au terme
20b de la cellule à gauche, plus auX cermes 66, 36, 1b,
de toutes les celtules qui sone au destus.

## Folio 440 — 884859711:0514
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000514.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
L ZVR E DFXFE MF.
L E MM F TT.
466. Sc l’on multiplie le terme ou se trouve la lettre 2 dans
une cellule quelconque, par la somme des exposans de son rans
parallele es de son rans perpendiculaire moins 2, ex qu’on divise
le produit par l’exposant de son rans perpendiculaire moinsr; je
dis que le quotient sera ézal à ce terme plus à tous ceux qui
sont au dessus de lui: c’est à dire, par exemple, que si l’on mul-
siplie le terme 15a de la cinquiéme cellule du quatriéme rans
perpendiculaire par 5- Y 4 = 2 = 7, e qu’on divisé le pro-
duit par 4 = 1 = = 3; le quotient 35 a sera écal au terme 15 a
plus à tous les autres 1Oa, 6 a, 3 a, ra, qui sont au dessus
de lui.
Cela est risible dans coures les celtules du deuxième
rans perpendiculaire, pui(qu’elles contiennent toutes
le même terme ra. Or je rais démonerer que suppole
que cetre proprieté se renconere dans un TanS perpen-
diculaire quelconque, elle se troure necessairemene dans
celui qui est à droir; d’ou il suirra que puisqu’elle le
troure dans le deuxième rans perpendiculaire, elle sera
ausi dans le eroisié̀me, que puisqu’elle se renconere dans
dans le croisième, elle sera aussi dans le quatrième, et
ainsi de luice à l’intini. Pour le prourer.
Soient a, e, c, d, e, fexc, autane de termes qu’on
roudra de ceux ou se croure la letere a; dans un rans
perpendiculaire quelconque à commencer par le pre-
mmier; a, E, h, k, l, ec un pareil nombre de termes du
rans qui est à droir à commencer aussi par le premier.
Soit de plus m égale à la lomme des expolans moins
2 des ranss perpendiculaire e parallele de la celtule
ou se troure le cermes; ee régale à l’expolant moins L
du rans perpendiculaire de certe celtule. Par la suppo-
Arr. 464. OM  f. -f- + e - + d- + c - + a = = l, - e = e - + d
+ c. F a = k,  d = d. + c, + a = B,
c = = c. t a
a = a. DOnC l-+ k - + b- +8- + a = = f
tt

## Folio 441 — 884859711:0515
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000515.jpg
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DES PROBLEMES DE TERMLHES.
m-
e-
m- 2
a
m- 3
m-- 4
a
442
Xf-+C
+ d - + c - Y a, - = x TC - +2d - + 3C - + 4a = - = l,  = X R
Fh - FG- F a CN IEEFANE POUT f- F e- 1 d - FC - F a
(a valeur L, X pour 10 - F 2d - F 3c - + 4 a (a valeurk- + B
-+8 - F a: transpolane d’une pare l de de l’auere = -X k
+h- tg- F a, On aura =F  X R th- +g- + a =- m -  1
mulcipliane de pare ex d’autre par , divitanE paFr- L F.
ee ajoutane de pare ee d’aurre l, il vient enfin m F LI =
Lk - F B- F g- t a. Mais comme le rans perpendicu-
laire de la cellule ou se croure l, surpasse d’une uniré
celui de la cellule ou se troure f, ec que leur rans pa-
rallele demeure le même; il est éridene que la proprie-
te marquée pour chaque cerme ou le crouve la lecrre a
dans un rans perpendiculaire quelconque, convient
aui au cerme ldu rano perpendiculaire qui est a droic.
De plus puisque cerre demonstracion subsiste également
cel que puisse erre le nombre de cermes des deux ranes
perpendiculaires roisins, il s’ensuie que ce que l’on viene
de monerer par rappore au cerme , sera vrai aussi a l’é-
sard de tout aurre de son rans perpendiculaire.
Si l’on suppole à presene que n exprime en general
l’exposane d’un rans parallele quelconque autre que le
premier, on verra que la premiere cellule de ce rans ne
renterme aucun cerme ou la letere a le rencontre; que
la seconde renterme coujours ca; que si l’on mulciplie
Ia PaF
= on aura: a pour le rerme ou le
troure la lerrre a dans la croisième cellule; e de même
que s l’on mulciplie = a Par  + 3-
ax
+
n- +C
pour le cerme ou le croure a dans la quarrié
me cellule: de Porre que certe luireO, 1a, = a,
1
n. + x n + i
a
n +. 1 n t2 , n 1
n. 1 1
R K K

## Folio 442 — 884859711:0516
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000516.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 38 lines, status machine
44. 2
LTPRE DTXFE ME.
par ordre tous les cermes ou le troure la letere a, dans
Les cellules du rans parallele done n est l’expolant. Ain(I
AI n = = 5, la luice O, Ta, 5a, 15a, 35a exc, exprimera par
ordre tous les termes ou le troure la lerrre a dans les
cellules du cinquième rans parallele.
L E M A E TTT.
467.Sr l’onmultiplie le terme ou se trouve la lestre D dans
une cellule quelconque, par la somme des exposans de son rans
parallele e de son rans perpendiculaire moins 2, es qu’on divisé
de produit par l’exposant de son rans perpendiculaire; je dis que
le quotient sera écal à ce terme plus à tous ceux qui sont au
dessus de lui: c’est à dire, par exemple, que s l’on multiplie
le terme 10b de la cinquiéme cellule du troisiéme rane perpen-
diculaire par 5 - +3- -2 =-6, ex qu’on divise le produit par
3, on aura 20b pour la fomme du terme 10b, Cs de tous les
autres 6b, 3b, +b, qui sont au dessus de lui:
Il est risible que cecre proprieré se renconere dans le
premier rans perpendiculaire on conresles cellules ren-
fermene la même valeur rb, excepté la premiere dans
laquelle la lecrre b ne se renconere point. Or de cela
seul l’on prouvera comme l’on riene de faire dans le
Lemme precedene à l’égard des cermes qui lont multi-
ples de, a, qu’elle se doir rencontrer dans le second
rans perpendiculaire, dans le troisième, dans le qua-
crieme, et ainsi dans tous les aurres à l’infrni. D’ou l’On
conclura que sin designe l’expolane d’un rans parallele
quelconque autre que le premier; la suite 1b b,
X = B  X = X n +
n
p L
n nfu n2 BeC, CX-
primera par ordre tous les cermes ou le rroure la lerrre
bdans tes cellules du rang parallele dont n est l’expotane.
RINSI (I n = 5, ta suice rb, 4b, 10b, 20b, 35b exc, expri-
mera par ordre tous les termes out le troure b dans le
cinquième rans parallele.

## Folio 443 — 884859711:0517
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000517.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
DES PRODLEMES DETERMLHES.
C O.ROEL A FR F.
468. IF suie de ces deux derniers Lemmes, que si
l’on ajoute par ordre tous les termes de cerre luite à
ceux de la precedente, on en formera une, 1b, 2a,
n
X
M
=b, = a- +=  X =
n
 n + 2
tL n- E n n
n
. +1
n  2 b, eC; ou en
abregeane l’exprection, b, a - +  = b, a- + = = bx = a
n-+
n
bx
n. Lc
n- +, p
a - +. = = bX = X n t 2, n F 2 eg C. Qui
exprimera par ordre toutes les cellules durans parallele
de la Table doncn est l’expolant.
D’ou l’on roit que par le moyen de cecce luite, on
Deut trourer tout d’un coup celle cellule qu’on roudra,
les exposans de Con rans parallele e perpendiculaire
ecanc donnés; puisque prenant dans la luite generale le
cerme qui répond à l’expolant du rans perpendiculaire,
c’est à dire, le quatrième cerme, ( le rans perpendicu-
daire est le quatrième, le cinquième; s’il est le cinquié
me _c, e mettane dans ce terme à la place de n l’ex-
polane du rans parallele, on aura la cellule que l’on
cherche. Oue l’on demande, par exemple, la cinquié
me cellule du quatrième rans perpendiculaire; ayanE
n
3à la
place den l’expolane 5 du rans parallele de la cellule,
On Crouvera a - F = bZ 15, c’est a dire, 15a - F 20b POur
cerre cellule; et il en est ainli de toutes les aurres.
L E M N F IV
469. S+ l’on fait 2 = 2 8 b = = 1 dans le quarre de cel
lules de l’article 464, on le chanzera en celui-ci; duquel je dis
que le premier rans parallele contient de suite les premiers ter-
mes de tous les ranzs perpendiculaires de la Table de l’article
443; le second rans parallele, les seconds termes; le troisieme
K k K ii
13

## Folio 444 — 884859711:0518
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000518.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
4+4
LEV R E DEZYE M F.
rans, les troisiémes termes; ex ainsi de suite à l’infini.
5
6.
+
4.
2. 30
3.
de2C
182
7. 2181351212(294167211386)
Cela est une luire naturelle de l’arricle 445, e de la
Formation du quarre de celtules de l’arricle 464. expli-
quéc dans ce même arricle e dans le fuirant 465.
GOROLLALRE.
470. S+ P’on Fair b = 1 ex a = 2 dans la suire ge-
nerale de l’arricle 468. b, a. + = b, a. + - bx -
a +  bX 2 X
X n. LY n
n2
B
n +
e
 a - + - bX = X n +. L  n. + 2 eC :
. F1 n. F3 n n +5
n X nF  n. t2 eC, par le moyen de la-
quelle on trourera tout d’un coup le coeficiene de cel
terme qu’on roudra de la Table de l’arricle +43, Ton
rans perpendiculaire e le quantième qu’il Y occupe
etanE donnés. Voici la regle.
On prendra dans cerre luire le terme qui répond au
rans perpendiculaire donné, c’est à dire le croilième, le
c’est le troisième rans, le quacrième, si c’est le quarrié
MC ecC; e ayane mis dans ce terme à la place de n le
nombre qui expose le quantième du terme dans POn
rans perpendiculaire, c’est à dire + s’il est le quacrieme,
5, S’il est le cinquième _c, on aura le coeticiene qu’on
cherche. Si l’on demande, par exemple, le coeticiene
du quatrième cerme s4x du croilième rans perpendicu

## Folio 445 — 884859711:0519
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000519.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 34 lines, status machine
DES PROBLEMES DETERMLNES.
n
443
laire; on mecrra dans le croisiéme cerme X d la
place de n le nombre 4, ee l’on aura 14 pour le coef-
ciene cherche.
Car L’expolant du rans perpendiculaire du coeticient
pris dans là Table de l’arricle 443, est le même que l’ex-
polane du rans perpendiculaire du quarré de celtules
de l’arcicle précedene; ex le quantié̀me que ce coeticiene
occupe dans Con rans perpendiculaire, est l’expolane du
rans parallele du quarre de celtules. D’ou l’on voit que
cetre regle n’est qu’une application de celle de l’arricle
468, a ce cas particulier ou a =- 2 _ b === 1.
L E M M F V.
+7L. Si onmet r à la place de b, dans le quarré de
celtules de l’article 464; on le chancera en celui-ci, dont je dis
que les ranes perpendiculaires contiennent par ordre tous les
nombres qu’on appelle Fiourés: sçavoir le premier ranz les
nombres du premier ordre qui sont les unités, le second rane les
nombres naturels ou dn second ordre qui se forment par l’addi-
rion continuelle des unités, le troiscéme ranz les nombres trian-
eulaires ou du troisieme ordre qui se forment par l’addition con-
rinuelle des naturels, le quatrième les nombres piramidaux
ou du quatrième ordre qui se forment par l’addirion continuelle
des triangulaires, ex ainsi à l’infini.
.
7
2
210
252502
7.  +(712884+10(4621924
Car lelon le même article 464, Claque Cetale ett
 H H 11i

## Folio 446 — 884859711:0520
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000520.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
446
L LY R E D EXLE M F.
éxale à celte qui est à sauche, plus à roures les aueres
qui sont au dectus.
M. Paschal a Fair un Fraicé qui a pour cirre Friangle
Arichmerique, dans lequel il considere les proprietés de
ces nombres, e faic voir qu’ils sone d’un erés grandusa-
se dans plusieurs quections d’Arichmetique.
C ORO L L A FR F.
472. Si L’on Fait a = L et b == r dans la suite genera-
le de l’arricle 468. b, a- t = - b, a t - bx -, a- +   bx
X
+
3
n. + 2, n +3 eCC; On chansera
a - + -  bX - Z
EA CCFLE AUERE F, n, = X n +L n
n- F 2  n. f 2 n  n +. ∞
n. L  X n. F3 SCC, qui Servira a FTOUVeF tOnt d’un couP
cel nombre tisuré qu’on roudra, son ordre étant donné
arec le quancième qu’il y occupe. Voici comment.
On prendra dans certe derniere luite le cerme qui ré.
pond à l’ordre donné, c’est à dire le croisième, si c’est le
Eroilème ordre, le quatrième, si c’est le quarrième or-
dre Xc; e ayant mis à la place de n le nombre qui ex-
pole le quantième du nombre hiouré, c’est a dire 4, s’il
doic etre le quatrième, 5, s’il doir erre le cinquième dc,
on aura ce nombre. Ou’il faille, par exemple crourer le
cinquième nombre du quatrième ordre; je mets dans le
quatrième cerme ~X ==X == de la suire à la place
de n le nombre 5, et j’ai 35 pour le nombre cherché.
Ceci n’est aurre chole que l’application de la reglede
l’arricle 468. à ce cas parriculier.
L KDBLFM 3I.
473. Sorx proposé de prouver une suite generale, qui ex
pme par orare tous les ternes d’un tans futani quoib
que de la Table de la division des ares de l’article 443.

## Folio 447 — 884859711:0521
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000521.jpg
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DES BRODLEMES DETERMTHES.
447
Comme le croisième terme d’un rang perpendiculai-
re quelconque de cerre Table, répond coujours au pre-
mier du rans qui est a droit; il s’enluit que si m- F i Cx-
prime en seneral l’exposant du rans parallele, il Faudea
crourer dans le premier rans perpendiculaire, le coeti.
ciene du terme dont le quancième cA m- FF; dans le
deuxième, le coeficiene du terme done le quancième est
m- F1 = 2 ou m--1; dans le troisième, le coeticiene du
cerme done le quancième est m-1 - 2 Ou m -3, _x ainsi
de suite en diminuane roujours de 2 le quantième du cer-
me, a meture que le rans perpendiculaire avance vers
la droite. II Faudra donc selon la resle de l’article 470.
metere dans le second cerme  a la place de n le nom.
brem-2; dans le croisième terme  F X = d la place
de nle nombre m 3; dans le quatrième terme n L,
Fà la place de n le nomibre m -5; dans le cinquième
n. +Z X = X n F2, n. +2 a la place den le nombre m-7:
XC: ce qui donnera pour la luire des cochciens L, m,
m
M- 3 m
m. - 5  m - 4 m m - 7 m - 6
m - 3, _c.
Ox comme les signes des cermes d’un rans parallele
quelconque de la lable lone coujours alcernarits; de que
le premier cerme est coujours l’inconnuex élerée d une
puissance donr l’expolane est moindre d’une uniré que
celui du rans parallele; et que tous les autres cermes
renterment des puistances de x done les expolans dimi-
nuene continuellement de 2, en obserrane que x =1:
il s’ensuie qu’on aura Xnm x -, + 
m. 3
X m- 1-
m 5 m 4 m- 6 - 1  Z m - 7 m- - 6 m-  m- 8 eCC.
pour l’exprestion senerale du rans parallele de la Fable,
donc l’expotane est m- F 1. Ce qui éroir proposé.
Tor(qu’on a les premiers cermes de ces lorres de sui-
(es, il est facile d’obserrer la loy qui y reGHC PAT TOUE,

## Folio 448 — 884859711:0522
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000522.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
448
L LV R F DTZ YE M F.
e qui sere à les continuer autane que l’on reut. Si l’on
suppose, par exemple, dans celleci, que rexprime le
quancième du terme dont on veut avoir le cocfi-
cient; il sera exprimé par la Fraction generale
mxm  rEm - r- - IXM- Y- 2 e9c
=EXr = 2XI = gur - 4 8 en observane que le numera-
ceur a le denominateur doirene avoir chaCun aUEaNE
de cermes, que le nombrer-i contiene d’unicés. AinAI
lr =5, on aura pour le coeticient du cinquiémererme,
la traction mum-sum -6um - 2 : (1r = 4, On aUra num -qum -5
3X2X1
AX3XZXI
TI Faue remarguer que le nombre destermes de cetre
suire est coujours décerminé, de Porce qu’il est égal à la
plus grande moicié de l’expolant du rans parallele qu’el
le exprime, lorsque cec exposane est impair, et à la moi-
eié au juste lorsqu’il est pair. Ainsi elle n’a que croister-
mes, lor(qu’elle exprime le cinquième ou le sixième rans
Parallele, elle n’en a que quatre, lor(qu’elle exprime le
Sepcième ou le huicième rans parallele, etc.
PR OBE E ME TI.
474. SOrx proposé de trouverune suite generale, qui ex
prime par ordre tous les termes de tel rans paralle le qu’on vou-
dra, de la Table de l’inscriprion des polizones reguliers de
l’arricle 457.
Comme le second cerme de chaque rano perpendi.
culaire repond au premier de celui qui est a droit, il
Arc. 458. S’en(VIE  que Si m =F L est l’expolane d’un rariq paralle-
le quelconque de cerre Table, les coeficiens des quatre
premieEs TermeS de CC TANS SCTONEF, T, m =F, m = 2;
le coeticiene du cinquié̀me cerme sera le nombre crian-
Ar. 472. Sulaire done le quancième est m -3, c’est d dire  m-
Xm; celui du sixième rang sera le nomtire crianou-
; celui du septième cerme serane nombre pira-
midai

## Folio 449 — 884859711:0523
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DES PROBLESMES DETERMENPS
449
midal done le quantième eAt m -5, c’est à dire 
m- 4 m - 3. celui du huitième terme sera le nombre
piramidal done le quantième est m -6, c’est à dire
m6 m 5
m-
nombre du cinquième ordre done le quantième est
m = 7, C’est a dire m - 7 X m-- 6 X m- 
im- + _ ainsi
X
à l’infini. Si donc l’on joint à ces coeticiens les puistan-
ces de Z qu’ils affectene, en faisant preceder le second et
lecroisième terme du signe-, le quarrième e le cinquié
me du signe -t, le sixième e le septième du Signc =, X
ainsi alcernatirement de deux en deux; on aura cetre
Suire generale 2n - 2 -1 - m = 1Z - - + m - 2 Z m - 3
m 3 m - 2 q M + -  m - 4 m - 3 = m - 5 - m- 5 m-
X
M - 3 m- 6  n- 6 m- 5 m 4  m- 7
M. 7 m-6
m-5  m- 4 m.- 8 ec, qui exprime par ordre tous les
termes du rans parallele de la Table de l’article 457
dont l’expolane est m- L F: ou l’on doit observer de ne
prendre qu’autant de cermes que le nombre m- +r
contient d’unités.
PROBLESME TTI.
475. LRoOreN une suite generale, qui exprime par
ordre, les coeficiens de tous les termes, de tel rane parallele
qu’on voudra, de la Z able de l’article 460; ou lce qui est la
même chose) d’une puissance quelconque du binome X- L y.
Soit en general m l’expolant d’un rans parallele quel
conque de cerre Table, il est clair que les coeficiens
des deux premiers cermes de ce rans serone coujours   Art. 462.
T, m: e comme le second terme de chaque rans perpen-
diculaire à commencer par le second, répond au pre-
mier terme du rans qui est à droit, il s’ensuit que le
coeficient du troisieme cerme du rans parallele lera  + Arc. 462.

## Folio 450 — 884859711:0524
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450
EFV R E D EX T E M F.
le nombre criansulaire dont le quancième est m =r,
+ Arc. 472. c’est à dire Y
 X =; que celui du quatrième terme
sera le nombre piramidal dont le quantième est m = 2,
Cest à dire= = X m
n
cerme sera le nombre du cinquième ordre dont le quan-
tième est m = 3, c’est a dirc m - 3 = m- 1 m. - 1 X m. e
ainsi à l’intini. On aura donc pour la suice senerale
qu’on demande L, m, = X 
m-  m - 2 m - 3 eC.
m m- +
X=
COROLL AIR F.
M. 2 m
E
476. DELA il suic que X F yn = am F = y e
mxm = 1
2X2
VY Xm = 2 = = m Xm = L X m = 2 q5 X m = 3.
LX 2 X3
+ mum - c m - 22m - 3  , st - 4 = mam - Eu  - 2m - 3Xm = 4 y
1X2X3X4
m 5 _EC.
IXZX3X4Y5
PR OBL E S M E IV.
477. LRODVEE une équation generale qui serve a
diviser un are de cercle donné AR, en autant de partie ésa
les qu’on voudra
PR E AE FE R F MI A N PER F.
FFC. 279. Soit en generat m le nombre des parties égales, l’arc
D la premiere de ces parties; soit tiré le diametre
AB, _ les cordes BD, BR; e foit le rayon C A Ou
CB ==+, la corde donnée B R =, la corde cherchée
Ap. 444.  D = v. On auTA =  a = X m - m Xm -. - + mum- 3 ∞ M. - 4
XI
mum- eum - +
3XIX2
Xm 6 - + mum 7 Xm - 6Xm - 5 X m 8 _C;
AXTXZX3
sçavoir- + a lorsque l’arc donné AR est moindre que
la demie circonterence, et =a lortqu’il est plus grand)

## Folio  -  — 884859711:0525
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270.
..... .      . . - - -
T
..
XC
... .
69.
2 76.
79.

## Folio  -  — 884859711:0526
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000526.jpg
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HIEDERSACHSISCHE LANDESBIBLIOTH
eeeea
: Leibn. Mar9. 15E

## Folio 451 — 884859711:0527
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DES DROBEESMES DE FERMFNES.
45I
pour l’équation generale qu’on demande; de laquelle
il ne faut prendre qu’autane de termes, que la moirié
du nombre m lor(qu’il est pair, ou la plus grande moi
eie lor(qu’il est impair contiene d’unités; parce que le
cerme qui suirroit seroit nul ou 2CrO.
Si m =- 5, il viene F a = = x - 5 x - F5 X; SI m = 7.
OM ErOUvC =F a == X  = 7 X - F Y4 X = 7 X.
SECONDE MI A N LE R F.
Soit ciré le diametre AB, e les cordes BR, AR,
BD, AD, qui cerminene l’arc donné AR, e l’arC
cherché AD. Soir m le nombre des parties égales, le
diametre AB =- r, les cordes données BR = a,
AR =- b; ex les cordes inconnues BD =X, AD = y
On aura  ces deux égalires generales F a = x n + Art. 463.
b-
mem- +
EX2 VyX m   - + mXm = Lxm = 2Xm - 3 ot x m- + eC, 475.
2X 2X3 X4
 y oem -  - mn X m - 1x m - 2 yd ∞ 1 - - 1
LX 2 X 3
mum - eum = 2 um = 3 um -. 4 g xm -5 ec, dans lesquel
EX 2 X3 X 45
les mectant à la place de m, le nombre de parties éga-
les dans lesquelles l’arc AR doit étre divisé, il en
viene deux autres particulieres, dont la relolution Four-
nit la raleur cherchée de la corde BD (X) ou AD (y).
apres avoir Fait éranoiiir l’inconnue y ou x, par le
moyen de l’équation ry = = L = X X OU X X = 1 - yy.
Soit par exemple m ==y. On aura =F a == ~ - 21Yy X
F35y x = 7y X, e b = 7y X -= 35y x  1 12V’ X X- g7
et l’on acherera le reste comme dans l’arricle 462.
PROBLESME V.
478. LROOreN e équation generale, qui serve a F1C. 289.
inscrire dans un cetile donné, un polisone regulier quelconque
ADEFOTIK _C.
Soit tire le diamerre AB, X la corde BD qui tet
minene le premier coré du poligone; soir le rayon

## Folio 452 — 884859711:0528
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452
LTVR E D EZY E M F.
donné C  ou CB =F, la corde inconnué BD = Z
et en general m la plus pecice moicié du nombre des
cores du polisone; que je suppose eere impair. On
Art. 457. auT2 = 0 = Z u - 2  -. - m - 1 2  - + m -2 2  -1 - 1 m 3
m = 2 qm- 4 - m - 4
m
=3 = m-5 m = 5  m = = X
m- 3 = m - 6 - + m - 6 m - 5 m- 4  m -, - + m - 7 = m- 6
Xm 5= m- 4 qm - 8 XC, POUr l’équation generale
qu’on demande; de laquelle il ne fauc prendre qu’au.
eane de cermes que le nombre m-Fr conciene d’uni-
tes, parce que celui qui suirroie seroit nul ou ZCrO.
Soit par exemple 7 le nombre des cores du poligo.
ne a interire, On aura m ==3; EE PAFLANE O= Z- 22
=2Z. F 2, donc la plus grande racine Z exprimera la
corde BD, qui cermine l’arc AD, qui a pour corde
le premier coré AD du polisonc. DC même (i le nom-
bre des cores est Ir, on aura m =-5; _ par consequent
l’équation generale derient o=2- 2 42- + 322
=3Z. T, done la plus grande des racines est Z == BD.
PROBLESME VI.
16. 281. 479. OIVISEN un anglé donné en un nombre quelcon-
que impair de parties écales, par le moyen d’un instrument.
1. Soit propolé de diriser l’angle donné ECF eu
erois parries egales. II Faur avoir un rhombe ABCD,
done les quatre cores foient mobiles autour de les qua-
ere angles, ex duquel les deux corés AB, AD, Coient
indetinimene prolonoes vers I _ Z; accacher l’angle
C du rhombe, dans le sommet C de l’angle donné
FCF; marquer Tur les Cotes CF, CF, les POIDES P, F
EH TOrEC que C F EE CF Poient égales chacune au COTC
CB ou OD ou D A ou A B du rhombe. Cela faic, il
Faut ourrir ou resserrer les cores AX, 4Z, de l’angle
BAD. en torce qu’ils pattene par les pOints F, P; et
282.

## Folio 453 — 884859711:0529
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DES PROBLESMES DE PERMLNES.
453
Panole B 1D Cera la croisième partie de l’angle FCF.
Car les criangles ABC, BO s, etant ilolcelles, l’an-
ele externe C B F ou Pon Ćgal C F B, qui vaut les deux
internes oppolés B AC, BC A, sera double de l’angle
B AC; e dans le criansle PC A, l’angle externC FCY,
qui raut l’ansle CF A plus l’angle B AC, sera criple
de l’ansle B AC. On démontrera de même que l’an-
oje FCY est eriple de l’anole DLC. D’ou il suie que
l’ansle donné FC F est criple de l’angle BAD. Ce qu’il
falloit exc.
20. Soit proposé de diriser l’ansle donné LIGK, en FLO. 283.
cinq parties cgales. On accachera dans l’angle C du 284.
rhombe ABCD de l’instrumene précedent, un auere
rhombe CFOF, dont les cotés leront égaux à ceux du
premier e mobiles aussi autour de leurs angles. On Ai-
chera l’angle 6 de ce dernier rhombe, dans le Commet
C de l’angle donné FTOK; et arant pris sur les corés
de cet angle les parties CTT, GK, égales chacune au
COTCOF dc Lun deo chombes, on ouvrira on Fermera
l’ansle XAZ mobile autour du poine A, en Porre que
ses Cores AX, AZ, touchene les angles F, F, e paL
SeHE en meme TempS par leS POIHES aRgueS TI, K. Je
dis que l’ansle XAZ ou B A D sera la cinquième par-
eie cherchée de l’angle donné TIGK.
Car ayanc mene dans le rhombe ABC D la diago-
nale AC, prolonsée indetinimene vers V; elle passera
par le point G, puilque les angles FCY, FOY, CtanE
Eriples des anoles égaux BAC, DAC, serOnE ausi
COAUZ CnEF euX. Or dans le triangle FO A, l’angle ex
FerNC FZ FC, qui raut les deux incernes oppolés BAC,
FOA, Ou FCY (à cause du criangle iloscelle CFO
sera quadruple de l’anole BAC. FE partant dans le
crianole AFYG, l’anole exTerne ZTOY, qui vaut les
deux incernes oppoles BAC, GTI A OUOFFY (2 Cay-
se du criangle isoscelle FOTY) sera le quincuple de l’an-
sle BAC. On prourera de même que l’angle ZGV
sera quincuple de l’ansle D AC; d’ou il est évident
L.I

## Folio 454 — 884859711:0530
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454
LEVRE DFX TE M F.
que l’angle entier FVOK sera quintuple de l’angle en.
cier B AD Ou X AZ.
S’il falloit diriser un ansle donné en sepe parties éga-
les, il n’y aura qu’à joindre aux deux rhombes prece-
dens, un croisième rhombe égal e construie de la me-
me maniere; e ainsi de suire de deux en deux. Car la
pracique et la démonstrarion se fera coljours de la me-
me maviere.
EX E N P L F.
480. PRODVER entre deux liones données d e b,
autant de moyennes proportionnelles qu’on roudea.
Soit l’inconnué x la premiere des moyennes propor-
tionnelles qu’il est queltion de trourer; de l’on aura la
a
progrettion seometrique continué a, X, à  au a5 a eC,
de laguelle on prendra le cerme done le guancième Tur-
Passe de 2 le nombre donné des moyennes proporcion-
nelles, e l’égalane à la donnée b on formera une éga-
liré, done la resolurion fournira la valeur de l’incon-
nue x qui est la premiere des morennes proporcionelles
que l’on cherche.
Ou il faille, par exemple, crouver deux moyennes
proporcionnelles. On prendra dans la progrestion geo-
metrique le quatrième terme =, qui étane égalé à la
ligne b, donne x=a ab; e de même si l’on demande
quarre movennes proportionnelles, l’on aura x=a b.
D’oi il est Facile de voir que sin marque en general le
nombre des moyennes proportionnelles qu’il fauc erou-
ver entre les données a e b, on aura x t. = ab
pour l’égalicé generale qu’il faur resondre. Or cela
Pole.
Soit V. X7 =a b qui serr à trourer seire moyennes
proportionnelles. Je mulciplie les deux membres de
cerre égalice par x, atin d’avoir x =abx, dont la
plus hauce dimension 20 est le produic des deux nom-
bres 4 et 5 qui se suirem immediaremenr. Je prends l’é-

## Folio 455 — 884859711:0531
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M
DES PROBLESMES DE TERMLHES.
455
quation x=ay; ce qui donne en élerane chaque
membre à la puistance quatrième x = ay = a bX
d’ou je cire une autre équation p==bx, done le lieu
étant construit séparémene, donnera par son intexsec.
tion avec celui de la suppolée x=ay, la valeur de
linconnue x. Ou bien je prends l’équation x==a y,
donc j’élere chaque membre à la quatrième puistance;
ee les mulcipliane ensuite pax X, j’ai x = ay x = ab
d’ou je tire p’x = a b, donc le lieu érane construit sC-
Parement arec celui de l’équation x =a’y donnera
par son incerlection la raleur cherchée de l’inconnuex.
Soit 20. X ==a  b qui PCTE a EFOUVeL Erence moyenneS
proportionnelles. Je mulciplie de Pare et d’auere par x
aAIn d’avoir x= a B X, done la plus hance dimension
36 est le quarre de 6: c’est pourquoi Failant x = a’y
eE prenant de pare e d’aurre la sixième puissance, j’ai
X= 43= a b, d’ou je tire xo = by done le lieu
étane construie séxarement avec celui de l’équation que
j’ai prise d’abord x= ay donnera par Con incerfection
la valeur de l’inconnue x. Ou bien ayant pris comme
ci- dessus l’équarion x= a’y, je l’élere à la cinguième
puissance, e la mulcipliane enluire par X, j’ai x= aSyX
a b, ce qui donne pX = a b. D’ou l’on voit que
le lieu de l’équation x =a’y, étane construie separe-
ment avec le lieu de l’autre equation p’v = a b, don-
nera la relolution de l’égalicé propolée x = a b; de
forre que l’on peuc choisir enere les deux lieux y =bx
ou y’x = a’b, celui qu’on jugera le plus simple. II en
est ainsi de tous les autres exemples qu’on peur se For-
mer d plaisir.
II est à remarquer que si la dimension de l’inconnué
x n’écoit pas un nombre premier, l’égalice propolée se
pourroir coujours abaisser. Si l’on avoit, par exemple,
x== a b, qui sert a crourer huit mozennes proportion
nelles; on crouveroit en excrayane de parc ee d’aucre la
racine cubique x =V a b. Or atin que le nombre a b
Toit un cube, il n’y a qu’à erourer une ligne Z done le
III
JIIIIIHIEHIIIHIHLTMIHEMILIMMIBIIINIHIBIIBIIMIIEHEMBIIIIMIMIII
WIIIIII

## Folio 456 — 884859711:0532
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L FVRE D L X F E NF.
cube 2=a ab, ou ce qui est la même chole de crou.
ver entre a e b deux morennes proportionnelles; car
mectane à la place de aab la raleur Z On aura x = a 2
Ou X =a Z, de Porre qu’en resolrant ces deux éralités
2 =aab, e enluire x == a a Z qui ne COnE que du croi
heme deoré, on crouvera la raleur de l’inconé x, qui
est la premiere des huic morennes proportionnelles en-
ere les extremes a e b. De même si l’on avoit x = ab
qui sert a crourer creize moyennes proportionnelles, il
riendroit en extrarane de part ex d’autre la racine quar-
réc X =V a b. Or atin que ra b loic un quarre, il Faue
erourer une ligne Z dont le quarré ZZ =- ab; car sub-
Sicuane à la place de ab, le quarre ZZ dans l’égalice
propolée, On aura x = =a ZZ OW X = a Z; c’est pOUT.
quoi il n’y aura qu’à reloudre d’abord l’égalité du se-
cond deoré 22== ab, e ensuice celle du seprième
x =
On doir encore remarquer que ces Portes d’éga-
lices qui serrene à trouver des moyennes proportion.
nelles, ex done la dimension de l’inconnue est un nOm-
bre premier, n’ont qu’une racine réelle de toures les
aurres imaginaires; dont la raison est qu’il ne peut y
avoir qu’une seule ligne qui soit la premiere des moren-
nes proportionnelles cherchées.
R E M A R QVF.
48I. ON peut resoudre le Problème précedent par
le moyen d’un instrument seometrique dont la con-
Struction est celle. Soiene deux lignes indetinies XY,
YZ, mobiles aueour du point V, en Corte qu’elles se
puissene ourrir e fermer. Soit acrachée à un point quel-
conque fixe B du coré V X, une perpendiculaire indé.
finie BC sur ce coré, laquelle chasse derane elle (pen-
dane que l’anole XV Z s’ourre) par le poine C ou elle
rencontre l’autre core YZ, la perpendiculaire indé
tirnie CD sur ce dernier cdrC; qui chasse de même
PAF
156
F16. 285.

## Folio 457 — 884859711:0533
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DES PROBLESMES DE PERMLHES. 457
par le point D ou elle rencontre le CotéV X, la per-
pendiculaire indéfinie DF; qui chasse encore de même
par le poine P ou elle rencontre le cOté YZ, la per-
pendiculaire indetinie P F; qui chassera par le point F
ou elle rencontre le core V, la perpendiculaire FC;
qui chasse encore par le point G ou elle rencontre le
Coce VZ, la perpendiculaire OTI; e ainsi de luice à
l’infini, en augmentant autane que l’on roudra le nom-
bre des perpendiculaires Tur les cotes VY X YZ. Cela
Faie, Coit propolé, par exemple, de crourer quatre
movennes proportionnelles entre les deux lignes droi-
res données a et b. AYane pris Tur le coréYZ la Par-
eie YO quatrième proporcionnelle aux trois liones a, b,
YB, On ourrira le coré X Y de l’instrumene, jusqu’à ce
que la cinquième perpendiculaire FG (parce qu’il eAt
quection de crourer quatre moyennes proportionnelles)
passe par le point 6; et alors les lignes YC, YD, YP,
YF, seront leo quatre moyennes proportionnelles entre
les exeremes YB, YG; e Partane la quarrieme pro-
portionnelle aux rrois lignes YB, XC, a sera la pre-
miere des quarre moyennes proportionnelles deman-
décs.
Car les criangles rectangles YBC, YCD, YDF
VFF, Y FO, etant tous semblables; leurs cotes VB,
YC, YD, YE, YF, YC, leront en progrection geome.
erique continue. DOnC _C.
II est clair que pendant que l’ansle L V Z s’ourre de
Dlus en plus, le poine B décric un arc de cercle AB;
_ que les incerfections continvelles D, F, TY, des per-
pendiculaires CD, PF, GFT, TUT le COTC PZ, avec
l’auEre COTĆ V X, décrivent des lignes courbes AD,
AF, AFT, qui TEEVeHE à FrOuver autane de movennes
Proportionnelles qu’on voudra. Car sI l’on décrit, par
exemple, du diametre V F un demi cercle, il coupera
la courbe + D en un poine D, cel que s D est la secOn
de des deux moyennes proportionnelles, enere les ex-
Mmm

## Folio 458 — 884859711:0534
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458
LIVRE DEX TEME.
ExEmes VB ON V A e V F; e de même (i P’On décriCUM
demi cercle du diamerre VG, il coupera la ligne cour-
De AF Cn Un POinE F, cel que Y F est la derniere des
quatre morennes proportionnelles entre Y A e YC RC.
Sur quoi il est a propos de remarquer que la ligne
courbe AD est du quarrième degré; la ligne courbe
AF du huicième; la courbe AFF du Scizième XC; ce
que je proure ainlI.
Soient r les inconnues e indécerminées YC = y
CD = =V, VD = = Z, e la connué Y A ou VB =- a, On
aura à cause des triangles rectangles semblables VCD.
YBC, certe equation VB (4) = == e à cause du
criansle rectangle XOD cerre arre yy- + X X = ZZ,
dans laquelle mettane à la place de Z la valeur  trou
véc par le moyen de la premiere équation, il viene
aary ==X  = a a XX; ce qui fait voir que la courbe
AD est un lieu du quaerié̀me deoré. Soiene 2 les in-
connues e indéterminées Y F = - X, PF = y, YF
et la conme V A Ou VB =a; on aura à cause des
criangles rectansles semblables YPF, VFD, YDC.
ZCB, cette équation YB (a) ==, e à cause du
triandle rectansle Y FF CetTC autre py - Y X X = Z2,
dans laquelle Failane éranoiiir l’inconnue Z Par le
moren de la premiere éguation, e ocant les incom-
mensurables, On ErOuve a ay- F3aaX Xy + 3a a x py
F a aX =x 3; d’oi l’on roit que la courbe AF eA un
lieu du huitième degré. On prouvera de même que
la courbe AFT est un lieu du Scixième degré _c.
Maincenane puisque selon l’exemple On PeUE ETOU
rer deux morennes proportionnelles, en n’employane
que deux liones du second degré; quatre movennes
proportionnelles, en se servant d’un lieu du second
deoré, de d’un aurre du croisième; au lieu qu’ici il
faur dans le premier cas un lieu du quarrième, qui

## Folio  -  — 884859711:0535
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lanche 32. page 45d

## Folio  -  — 884859711:0536
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s
tttt tit atittat ittsititibe sletesthte sul l sbi  pitisiis s
MIIissiBIIIBIIIIIIsen sbe et  selBAIe s s
 uat
Cibn. Mar9. 155,
GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ BIBLIOTHEK
NIEDERSACHSISCHE LANDESBIBLIOTHEK

## Folio 459 — 884859711:0537
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DES P ROBLESMES DETERMLNES.
459
eAt. la ligne AD, X un lieu du second qui est le cer-
cle YDF; de dans le second un lieu du huicième, (ca-
voir; la ligne courbe AF, e un lieu du second, (Ga.
voir le cercle VFO: il s’ensuie que ces lignes Cour-
bes AD, AF, ATT, Cone beaucoup troP composées
pour reloudre ce Problème. Cependant la Facilice de
la construction, e de la démonstration, récompense
en quelque Torte ce destaut.
EAD ZES A CORR IG FR.
D ASC 137 à la marse de l’Art. 204, au lieu de F15. 100.
ITT. lisez, FFG, FIO, TFI.
PaZ. 148, liz. 9, au lieu de CL, lisez, CK.
PaZ. 215, lis. den. lignes, lisez, Signes.
PaZ. 263, liz. L, au lieu de PXEMPLE II. liseZ, FXEN-
PL F VI.
PaZ. 264, vis à vis de la liz. 24, à la maree, au lieu de
ArT. 287, lisez, APL. 237.
PAG. 293, sur la fin, COROLLATRE, liseZ, COROLLAIREII.
Pa5. 320, lig. 2, au lieu de, 389, lisez. 398.
Pac. 32T, lig. 16, construire, lisez, TrOuver.
PaG. 348, au lien de, L.16. 334. lisez, L16. 234.
M mm is

## Folio 460 — 884859711:0538
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T F F C E DV ROY.
OVIS PAR LA GRACE DE DTED ROY DE FR ANCF
LSET DE NTAVARRE: A noS amez d feaux Conseillers les
GenS FenanS nos Cours de Parlemene, Mairres des Reguères ordi-
naires de norre HIOrel, Grand Conseit, Prevdt de Paris, BaillitS,
Senechaux, leurs Licurenans Cirils, et aurres nos justiciers qu’il
apparciendea: SALOT. Norre Academie Royale des Sciences NTOUS
ayane eres humblemene Fair expoler, que depuis qu’il Nous a plu
lur donner par un Reglement noureau de nourelles marques de
noere affection, Elle s’est appliquée avec plus de loin à culcirer les
Sciences qui Fone l’objer de les exercices; enforre qu’ourre les Ou-
rrages qu’Flle a déja donnez au public, EIle seroir en érat d’en pro-
duire encore d’aurres, s’il Nous plailoir luy accorder de nourelles
Ferrres de Privilege, acrendu que celles que Nous luy arOnS ACCOF
dées en datre du 6. Arril 1699. n’ayane poine de cems limité, OnE
éré déclarées nulles par un Arrest de nôtre Conseit d’Ftat du 13. du
mols d’Aous dernier. EF delirane donner à ladire Academic en
Corps, e en parriculier à chacun de ceux qui la compolenE, toutes
les Facilirer et les movens qui peuvene contribuer a rendre leurSEra-
vaux uriles au public; NTous arons permis dE PETICETONS PaF CeS
Presentes à ladice Academie, de Faire imprimer, rendre et debirer
dans tons les lieux de norre obéilsance, par cel Imprimeur qu’Elle
roudra choisr, en celle Forme, maroe, caractere, e autant de Fois
que bon luy lemblera: Foutes les Recherches on Observations jour-
nalieres, e Relations annuelles de tout ce qui aura éré fait dans les
ABemblées de l’Academie Royale des Sciences; comme au les Ou-
vraces, Memoires ou Traitez de chacun des particuliers qui la com-
posent, e generalement tour ce que ladice Academie roudra Faire
paroirre sous lon nom, lor (qu’aprés aroir examiné de approuré lel-
dies Ourrages aux cermes de l’arricle XXX. dudic Reglemene, elle
les jugera dignes d’erre imprimez: _ ce pendant le rems de dix
années consecurires, à comprer du jour de la darre deldites Pre-
Tences. Failons erés expresses deffenses à cous Imprimeurs. Librai-
res, d à coures Portes de pertonnes de quelque qualicé d condirion
que ce loic, d’imprimer, Faire imprimer en cour ni en parrie, aun
cun des Ourrages imprimez par l’Imprimeur de ladice Academie:
come ausi d’en introduire, rendre e debirer d’imprelon erran-
gere dans nÖtre ROyaume PanS le consentemene par écrie de ladire
Academie ou de les ayans caule, à peine contre chacun des contre-
venans de contilcation des Fxemplaires concretaies au protir de Lon-

## Folio 461 — 884859711:0539
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dix Imprimeur, de crois mille lirres d’amende, done un ciers à lHId.
cel- Dieu de Paris, un riers audie Imprimeur, ee l’aurre ciers au Dé-
nonciateur, e de tous dépens, dommages de incerests: a condirion
que ces Prelences Peront enregistrées cour au long sur le Registre de
la Communante des Imprimeurs-Libraires de Paris, ee ce dans crois
mois de ce jour: Oue limpression de chacun desdies Ourrages lera
Faire dans norre Royaume d non ailleurs, e ce en bon papier et
en beaux caracteres, contormemene aux Reglemens de la Librairie;
e qu’arane que de les expoler en vence il en sera mis de chacun
deux Exemplaires dans nörre Bibliocheque publique, un dans celle
de nôrre Chaceau du Lourre, ec un dans celle de norre cres-cher
ee Fcal Cheralier Chancelier de Prance le heur Phelyppeaux Comre
de Ponccharerain Commandeur de nos Ordres, le tour à peine de
nullice des Presences; du contenu desquelles Vous mandons dt en
joignons de Faire jouir ladice Academie ou les ayans caule pleine-
enE e paisiblemene, CanS ConHrir qu’il leur (OIE FRIE AUCUN CTOU-
ble ou empechemens. Voulons que la copie deldices Presences qui
Tera imprimée au commencemene ou à la Ain deldies Ourrages loit
cenué pour duémene signitiée, et qu’aux copies collationnées par
l’un de nos amez ex feaux Conseillers et Secrecaires Foy Poir ajouirée
comme à l’original: Commandons au premier noere Fruistier ou
Sergene de Faire pour l’execurion d’icelles eous actes reguis ee ne-
cectaires FanS auere permission, et nonobstane Clameur de FIATO,
Charere NTormande _ LCFEreS d CC CONTTAIECS : CAR rel est nOrre
plaisir. DONNE à Verlailles le neurième jour de Perrier, l’an de
grace mille sept cens quarre, ee de norre Regne le Poixance de unié-
me. Par le Roy en Con Conseil, LF COMTF.
L’Academie Royale des Sciences par déliberarion du 13. Ferriex
1704. a cedé le present Pririlege a Tean BOVDOT son Libeaire,
pour en joiiir conformémene au Prairé Faic par l’Academie avec le-
dic Boudor le 13. Juiller 1699. En Foy de quoy j’ay sione, à Parisce
15. Ferrier 1704.
FONZENELLE, Secretaire de l’Academie
Royale des Sciences.
Recistré sur le Fiore de la Communanté des Libraires es Impri-
meurs de Paris. Numero CVr pace 136. conformément aux Reglemens,
es nocamment à l’Arrest du Conseil du 13. Aoust dernier. A Paris,
Cb 83. 2 bete 2tdau
eo litt le 23 m
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## Folio 462 — 884859711:0540
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ERSÄCHSISCHE LANDESBIBLIOT
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## Folio 463 — 884859711:0541
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Mar9. 155, (547

## Folio 464 — 884859711:0542
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000542.jpg
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ERSÄCHSISCHE LANDESBIBI

## Folio 465 — 884859711:0543
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000543.jpg
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Cibn. Mar9. 155, (543) -

## Folio 466 — 884859711:0544
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155, (544

## Folio 467 — 884859711:0545
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B Hannover
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## Folio 468 — 884859711:0546
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/884859711/jpgs/default/00000546.jpg
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