Leibniz Legible

Machine transcription of the Leibniz Nachlass

Search the Nachlass

Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 3 B 19, fol. 2r

Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German. Mean line confidence on this page: 0.81.

Original at the GWLB · Page image · Annotations (IIIF) · Download text

The same scan is also registered as fol. 4v; its text is given once, here.

The machine reads it as

  1. invenire tres numeros, ut duorum quorumlibet, summa
  2. et differentia sint quadrati.
  3. tres numeri eraesiti. Ix. iy. 1)
  4. ixtlysia +2x + 1yH b ixs) ae-iy ixsi +br ig
  5. Ex aequatione 3 et A, ponendo + + fiet a b + 2ty. Ponator
  6. af b + e. fiet ex 6. (Brbe +e ) + 2iy. adeoque Bf iy - e. et
  7. per 7. et 9. ap Y + e. et a 1 + iy + C. quem valorem
  8. ipsius a inserendo in aq. 3. ffict: ix () t +
  9. Ponamus porro 1y + in () c2.
  10. et 1y- 1Z d. et cs )d +f
  11. redibit calculus similis priori, in locum literarum x. y. a. b. e. o dine
  12. substituendo literas y. Z. c. d. f, singulis singulas, fiet
  13. ( 12+ F. et d) iz - 5. et 15 id 2 + f
  14. Denique eodem modo ponendo: IX + iq g2 ix - iq Bt2. et 9F h 2m
  15. scilicet pro X. y. 4. b. e. substituendo X. Z. 9. h. m. habebimus:
  16. dei iZ + m. ti iZ - m.
  17. Aequemus inter se duos ipsius IX valores ex aeg. 11. et 23. fiet
  18. + m 1 X + E. Ponatur 1y (2s) 1Z +9. fiet.
  19. 20 (1) + 2129 + 9 +
  20. in 4q u7. erat iyr 12 + 3
  21. et ex 25, 19 47 + 89. 1t supro
  22. Tres Numeri X. V. y. Maxinus X proximus y. minimus Z.
  23. inae donditio ix+ iy a.
  24. 1x- 19 fib e verit exfi a- 19. ex 2. erit btrg.
  25. Simiet seami ees aequando valores aequalinlen3 et 4. fiet: a Vfi 1y. 2. ergo 1XA 1b.
  26. erati sa u i dmra et esi
  27. a. b ∞ +1257 5 a b- 127 4. Ergo ex7. eui 17) 5 a v
  28. et ex 3. erit 17 ∞ a. b = d2. aequatido valores 9 et 10. enit d fi a- b.
  29. aet Z t. fier ex 12. iZ ( g. et ex 13 fiet
  30. Z H) et- H. quos duos valores aequando, sil 14. et 1c. fies
  31. jam considerandum est sex omnino fuisse conditiones, et
  32. tres inventas citeras, X. y. Z. verum ob conditiones restantes,
  33. tres ad huc inveniendas esse uteras meam restant autem nobi
  34. dua aequationes resolvendae, 11. et 16. ideo invenienda est ad huc
  35. una, ut in summa habeamus tres adhue aequationes, quarum ope tres etiam
  36. litene inveniantur; facte autem alias adhuc aequationes inveniemus ipsius
  37. valores 10 et 9. confeoendo cum valoribus 1+ et 15. quod cum pluribu
  38. Rieu possit modis, faciamus omnibus, quibus fieri potest. ac primum ex 10 2+ 14
  39. - b - d pi g- a - b, sive
  40. 2 g2+ d2. et ex 10 et 15 fiet
  41. 2 - 1 - d. p a + V2 - h. set h p b + 42. Porro ex 9 et 15 fict
  42. c- + 2 + V-hi seu C +t ti a. Denique ex 9 et 14. fiet
  43. C a ab pg - a- 1. seu 1+ c f 9. Cum ergo quatur invenerimus
  44. aequatines tam oniulicas, quam sunt 17. 18. 19. 20. tres ex illis, o issis
  45. aequationibus 11. et 16. qua in ipsis virtute continentur, adaibire sse
  46. 20. et notemus, in qualibet earum esse literam
  47. quae sit in nulla duarum reliquarum, hurum ergo literarum monadicarum
  48. natorem quaerere utile erit, quia ita substitntiones vitabimus. Itaque
  49. ex 19 eut h 1a- e. ex 17 eit ap Fa g et ex 20 denique
  50. bp Yg. e quod ut in numeris exequi liceat, primum resumto valore
  51. hfi saC seu h Tare, arc. ponanus a+C fe: et a -C1 851
  52. erit h f sel. et ax 2c erit afi se -c. et ex 23 eit a s1 +C quos
  53. duos valores aequando erit fe f1C et a se+ f
  54. protees h. 9. c. 5 el ap tum o.
  55. itaq ordine sinibendu, siteno ita otabit
  56. hpi fel. ai sezs
  57. dstump abi maemp
  58. aqu mncame sdireme
  59. Ubi tros cterae, a. c. g. duos halur esiatores niter se aequandos, ac pimum
  60. aequando duos valores ipsius g, fiet
  61. n e. aequando duos valores
  62. S Denique excollatis duobus valoribus ipsius a, fiet
  63. 1E. er ipius
  64. ne ngl. J. Ducantur aequations
  65. 35 et 36 in se invicen, fiet + 65) p . s. qui valo iptis. F. Si priori
  66. in aeq. 37. reperta comparetur, invenietur
  67. tis conditionis includens, haec: e
  68. multiplicatione per crucem, fiet:
  69. er sess ,
  70. denique aequatioe omnes problema
  71. ns et s eret
  72. (ernere esre es. C eru 1s Ps )
  73. ps Ex es. Quae aequatio post tot
  74. ambages satis adhuc simplex omnes calculi conditiones includit. Quam ut
  75. a literarum superstuarum inutili multitudine purgenus faciamus ()er
  76. ries, fiet: nos ertens ers eose es
  77. per spaqu. f( , (t adeoque diudent. dec per es n, fiet ~Bv + r B( + 1.
  78. si Aequatio novissima, ac simplicissima, satva ad huc summ
  79. universalitate, omnes problematis conditiones includens. Quod si ego
  80. aequationi 45 satisfiat in numeris, solutum erit problema
  81. ut fieb, eam ita aequi pollenter scribamus. Dpe BV 4
  82. _B+ 1. Haque enim ipsi 45 coincidit. Eam porro it
  83. duas: Bv + P + 2BβV 1. et +20BV 862
  84. ex 47. extateum fici c Lon ffl. Ia 18. quidendo fict: quosa p
  85. =23 eni Bfi. . et ex socris f 2 B quius duotus ipsins vutoi
  86. aequar, fiert PA Sv 2V. sive signo (Y) + aeq, quiq ipsu B
  87. ambige esse Totest spmenque compendioae per novum F ixpresse
  88. qud d m paco et lnci + t e eol.
  89. i uepe ipo to sin
  90. Ae proinde nisi forte in nihilo minores cita inestatur, erit problemati, particulariter quidem
  91. Satisfactum tamen. Et supererunt quatuor mimimum casus, ob ob explicationes fignorum F (+
  92. a se invicem independentes modo ut dixi nihiso minores non obstent, et error calculi abfuerit.
  93. Sinumcrqu faciams jum f esse C F sives (4) + s + et (+ D p X1.
  94. Nnc secundum inventos valores litera; quasitas retragado ordine explicemus:
  95. et ex S2. cus Bfi) 442. Manentibusque e. AM. pro aubitio, erit exB 41, 1e
  96. et ex42. (+D In
  97. i f(+B25. Sed hiac hari absudum orietur in aequa
  98. tionibus 35, 36. alusque frei enim v.g 4 0. adeoque suppossitio 58. et quae ex ea sequuntur
  99. non procedit. Resensdum ergo ad aeq) 57. videndumque an non formula 2)3+7 aequari
  100. posit quadrato hac enim neafatione ablolutum erir problema.
  101. ap. p si F sin fad s
  102. .V. tro uit Y + ∞Y.
  103. Tantum ergo superest, ut quaeratur
  104. numerus quadrato- quadratus sive integer, sive fractus, qui octonari: additus facsat
  105. Quadralum, vel quod idem est quaeritur Quadrato quadratus qui alteriu quaprato-
  106. ie
  107. quadrato integro octuplicato additus faciat quadratum
  108. 8 167 1s positis interis, erit + 85 aequanius quadrato seu +8 Zo sed
  109. hoc sed hoc tantisper dilato videamus an non aequatio 65 aliter possit, formaeni, sit
  110. Y e s + + et pro V N ponamus 6V. fiei 2)- VCi) F o
  111. sit V Ss + 8 ~ + c0. et ~, 71) vs + 1 7 + et ex rg. 71.
  112. fiei: 232X3 + 3d 97 +36 3 20, + 3S X 8 7 + 38 X C 46 d sG 3c0, + 5 43 Gcorisuin
  113. = 5 s -97 - co Fj F) vN rVN Z + 2Vp S x ∞7 + 245 4 r5
  114. Ub. par videtur ratio issam se en an simplicem gradum redigendum eligamus, electa
  115. ergo si destruere debemus, omnes formulas, in quibus nulla est N, fietque:
  116. 297 +69540, +6 Xc5 1cod 93. - co =, v 3 + 21 d F S seodem modo destruema
  117. omnes formutas in quibs tola suc simplex sed quoniam haec destructio rursus difficilis, ideo resuma
  118. hun pus itinem 7B: eamque ita scrbumus: 83 co- n id sit c h
  119. XB fiis, 85 F 5+- nt sit ha amplius Z fi 5i = 3= C2 dcgnimi utrobisue poteri
  120. aequalio, sed non ideo soluta erit. Res autem huc redito tenique , ut indeniamus quadrato-
  121. itii, quod vereor ut fieri
  122. possit. ed s si retineamus o, faciamique Z
  123. 861435 +a _ 4 . 43a
  124. _A 41 a + tum qr eg. 78. pers
  125. poterit utraque aequationis ans dividi per per - βV. et scribis AB v o
  126. i3, e
  127. componatur cum 83, fer v B + ZOV+B dividatur
  128. 5g. 83. per _B, et componatur nisus cum g per 20 f + BV + Z1-r.
  129. Ubi jmluge pro arbitrio fieri possunt positiones quarum utraque probtema in finitis
  130. Sovit modds Sonamus scilicet
  131. elitque B vo
  132. E cud in adx 85. Dectabet 1nD.. 3Y
  133. Ubi se una tandem offert positio, ut faciumus p
  134. seu Bp r vel B(E 4 . quo sosito in aeq. 85 oestmetur βV. restabitque tantum
  135. et ex dicta aq. 85, fiet 2~ H F + L. seu v + doque vB quaeramusjum
  136. (p a et fici: d ( 1+ gre. su 418 2 +6 ac derque ent
  137. +18 + 8
  138. 8+1B- 1. seu C
  139. per hes aequationes 8F 82. 86 aepects nationaliter tubus literis
  140. ipsis esse salisfactum, adeoque et aequatium 45. omne problematis conditiones involventi
  141. quae ipsi (81 aequivalet. Et solutiones habentur infinitae pro varis explicationibus
  142. arbitrasiae residuae . Sdstu superest it jam qualores omnium literarum
  143. vesigenus, atque dd pitito mintes isierae arbilgente oue erpesumiinsesig
  144. Ergo ex 41. 43. 45. eut 1 +e
  145. PB F 17 8s nr C. 290. c
  146. Si men seront s s ar B 20. ndr
  147. ep se ed p se o
  148. cex hragor ain a tm enomen
  149. op e ion B ni iei
  150. Sed vide obsego, quam sulbitie it erroc irresserit, ex eorum nunero qui difficillime caventur. Nimiru
  151. 4g. 90+ cvel datis vatorem. (2 seu Hg. 91. vel dat 8-1 p0. seu 8p1. Nos elegimus valorem
  152. E. sed id hoc toco non licet, nam quia indeninus VB) = = per 88 ideo inserendo in ag. 45 hunc valorem
  153. Ein alternabilem, F cum ubi sit Dv, it est 1. fist ex coq. 45 ( Br D B (1 adeoque
  154. V + b +1. adde 88. et B manebit arbitrania
  155. fient e et
  156. ed experus ipse
  157. em t Y et T. aequales mundem 34. et 27 et C
  158. i
  159. lesse
  160. Cxo absurdam est ob aequationem 7. non ergo procedit positio 86. redeamus plonde
  161. ad aeg. 83. 84. 85; ubi illud tentum nota verimus, mupo serum utile, ut antequam
  162. reteogredete ultima redeamus explicando, videamus an intermedus et quidem proximus
  163. satisfactum. Itaque semper quaedam velut periodi in calculo constituendae, quibus absolutis particula
  164. ex examina rctimenda, vitandis erroribus. ex 84. eit v- β + XBD +ZBB = ade oque ert
  165. 6 7+ p 918 e
  166. Sato B. mis ex 3 es v 28 ( -. adeoque uutilicando
  167. pertmen for. 1XB+ B - 3. 9. BG, - (5. 8 a 30 ( Z. 8a p 60B 1
  168. ubi si iterum ponerenus BBF +1. rediremus ad prirca seu ad aeq. 97. Videndum au liceat facere
  169. ita eniom in aeq. og. omnis B destruotur Quare-
  170. de quation B1. in peris satis faciat tantum
  171. Epotectate est. sit enim +. B + d B
  172. opus + 3 3 aequari quadrato. Hac vero denique in
  173. Z2A2. fiet 1 Z+1F ZD et E
  174. nitu semper negativa. si tigissemus 3) a 6 ( + 2Ba + a2 fier
  175. sive oid
  176. esi 2taN
  177. El19)ZB destructis scilitet
  178. V -1 e. 2 noc ium 38
  179. et fiatl BV +1 aequ. B(4) v
  180. ex 2bvasi ptibuit
  181. aL pone Baqusv. et pF βn
  182. va ita ex 114. 116. vel 121. 1E ex
  183. et jam deprehendo, erit enim B loco r ZH p
  184. suclis omnibus ad conv. divis. et hune Abjiciendo
  185. siui
  186. Antequam pergeremus + ad aeg. 119. i
  187. i Noi pulus enim cavi
  188. itit os t ri satis s te
  189. eli i itis pe
  190. di eenuer aliis iatalegu
  191. puo varm es dies fatiu et cup aqutius
  192. alao 2otuose cae
  193. B 1=1. id est B - 1 ⊓ 137-1

Cite

Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 3 B 19, fol. 2r. Machine transcription, not an edition: Leibniz Legible (model FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74). https://leibnizlegible.com/page/00068268:0003?run=74