Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 12, 1, fol. 243r
Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German. Mean line confidence on this page: 0.90.
Original at the GWLB · Page image · Annotations (IIIF) · Download text
One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 244v); this page is its right half.
The machine reads it as
- Numeri progosionis Harmonicae. et propicetates quae
- tione ogervatae
- +. Z1Z I eotum progressionis Harmonicae natura est,
- ut s tribus quibus libet po
- sumtis terminis continuis, sit primus ad tertium ut differentia pri et secundi
- Algebraicip eset erit: a H = et a, b-BCp, a, C- _C et . 147
- em cujus aequationis ope, quarere
- possumus valorem vel a. vel b. vel 5. sed satius quarere valorem ipsius
- sive medii, nam nulla est ratio cun alter ex tremorum prae altero
- eligatur, itaque D (, 4, C. id est medius trium terminorum progressionis
- harmonicae est duplus facti ex extremis, divisi per summan
- quaeramus et extremos, erit scilicet a , b, F
- c ex 21 b eri 3,
- b Ergo assamento a.
- Ea b sui
- Ea -b sive reducendo ad unum numeratorem, quod
- etiam aliquando, utile est, quemadmodum alias ad unum Nominata
- ab sunt, autem b. a. 2a- b Termini progressionis
- Arithmeticae nam duplus medius, aequatur summ
- Nd mediorarmona rac reciprocum est extremorum. E prolarbi
- Divisius omnibus per ab, sir:
- aeb ab - ab
- hinc Ap a b. et AA
- frei B2,
- sit, quartus Continguate hujus progression
- quartus appellendo secundum
- fiis quartus
- AeB
- et CH B- 18
- a2b. Ergo b- debet esse cubus.
- quod praestabitur si ponpem a H 1. et b p 1 erit enim
- 1I 2aVb
- 2a- b e Qui phimmus est casus, et oritur progressio bar monica
- prima 1. 1. 1. ate proxituus gradus est, ut ponendo b1
- fiat a e 5. et fiet:
- tiplicando per abris, fier+
- etc sive omnia mi
- sed quoniam srogressio quaelibet eadem manet si tata per aliquam
- quantitatem dividatur, ideo
- et tocum dividendo per ab, fiet.
- Quaritur C. quamsic inoericum:
- a resumendo: ab:
- L. L b sit quantus drminus
- 1
- Ba Agrab Ex A. B
- in progessione Htarmonica Ternum decremcentis fit enim quartus ex secundo et tertio, ut tertius exprimo et secundo, ergo inserendo
- valores A et C. In valore C, fiet
- fiet ergo progressio hermonica:
- + a - 2b, - a 5 3a - 2b
- 2a - 3a -2b 4a - 5b
- id est s ejus Termini sunt fractiones quorum Nominatores sunt pro
- quae hoc praestaret, si nesciremus esse tammoni ai gressionis Arithineticae incipienitis a a b. et continue crescen-
- tis defferentia
- Unde paret ettam omnes posibiles pro-
- gressiones harmonicas, enumerari posse, qui a a. et b. sumi possunt
- mo arbitrio modo a, major quam b. Deinde sequitur hinc
- Progostionem Numerorum integiorum harmonicorum non posse continua
- in intmitum. Nam ut in integris exhibeatur progressio harmonica
- reducendae sunt fractiones ad communem denominatorem.
- quo abjecto habebuntur numeri progressionis harmonicae integri
- Sed patet eos longe alios fieri pront alius atque alius sumitur denominaton
- alius autem alius oritur denominator, quando aliae atque aliae sumuntur fra-
- ctiones, quod fit, quando nunc plures nunc pauciores fractiones assri
- muntum. Hinc difficillimae tractationis haec progressio ist, ob continuam
- variationem, ut tamen in ejus natuoram in integris per compendiisas.
- inductiones inquirer possimus, operae pretium erit ordine enumerare omne
- series integrorum harmonicorum afinitas, quae ex infinita unica fractioni
- L = etc. fieri possunt. D Ex. primo sit 1. ex duobus
- primisibjecto communi denominatore, et reducento ad nmrctionem 2. 1. extrib
- primis, 6. 3. 2. x. u expressa in Tabula adjecta per , ex quatuor prim
- 24. 11. 8. 6. expressa in Tabula adjecta per 6. Atque ita continuari
- rabule tre ushis mu aet riet enencues is serenicanm
- 120 t 18 500
- 120 144 180 240 360 720
- 36 0 120 360
- 12 24, 60 240
- 72065168 1260 1650250
- Zo et bo bdo 22o sequ
- ad differentiam secun 1 tertii: 4 b ees b. 7 aut characreres,
- Bs d
- 6 Ot10d qo 1080
- Differentiae sunt, primi secundi terti gtat,
- Notandam Tabula 20
- Tabun fi contilulaie potest, si
- quo includuntur laes, rectis aa
- Incrementa primi secundi tertii grais quae
- recument primi secundi tertic guadus quae
- includuntur rectis Cc. (1) (C) etc.
- differentiae incrementa, decrementa, sim
- pliciler, significant ea quae primi gradus
- differentiae primae, incrementis, secundis, 2da
- tertus coincidunt, sive generaliter, series
- thorczontales coincidunt obliquis decremen
- alibus; in progressione harmonica.
- difficile foret a priori in venire progrestionem
- in serie qualibet
- incrementali termini ab extremis
- aequidistantes coincidunt.
- intinuatio Tabulae per series, seu
- progressio progressionum harmonicarum
- sive serierum. Series sequels tret ex prae
- cedente, si ultimus praecedentis, fiat primus
- sequentis ex reliqui sequentis, suit ommnes saisite
- aalem ordine seriei hespon-
- dentem, multiplicati, ut est tertia in
- ordine, adeoque naturalis ei respondens, sive ordmalis
- ejus, 3. primus ejus Terminus est 2. maximus seriet
- praecedentis, sequentes, 3. 5. sunt facti exter-
- minis seriei praecedentis, 1. 2. in ordinalem
- continunta Tabule per incrementa, seu progosio
- progressionum incrementalium,
- lallum procedentie serioc prin
- alimedium pusque secu
- rmaset quordieitt
Cite
Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 12, 1, fol. 243r. Machine transcription, not an edition: Leibniz Legible (model FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74). https://leibnizlegible.com/page/00068194:0485?run=74