Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 2, 1, fol. 252v

Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German. Mean line confidence on this page: 0.91.

Original at the GWLB · Page image · Annotations (IIIF) · Download text

One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 253r); this page is its left half.

The machine reads it as

1. Ex his apparet ratio quadrandi Figuras, quas Harmonicas voco, id est quarum applicatae sunt Harmoniae
2. proportionales. Nota, cum ut ab Hugenio aliisque doctissimis viris observatum est, si sit aliquod solygonum regulare
3. quantitates harmonice proporcionales. Quod si jaim postremum hoc rursus alii circulo, scilicet duplo minori cr-
4. cum scriptum intelligatur, continuabitur haec series harmonica in infinitum. Quod si jam communis Numerator invenia
5. tur, poterit inveniri hujus serei summa. Jam summa omnium circulorum quibus haec polygona circum scripta intelliguntur,
6. non ascendit ad solidum, quia circuli sunt A propessionis arithmetiae, quare hanc quoque summam potysgonorum necesse
7. est non ascendere ad solidum. Quid ergo ? erit dimensio quaedam media inter solidum et non salidum planum. M nec hoc esse
8. potest, cum ducto numeralore in aliam quantitatem, perpetuo, seu si per lineam quandam multiplicetur Tota summa, seu
9. quilibet terminus ascendat ad solidum. A Haec ergo accurabius exculieada. Forte utrumque planum. Sed hic rorsus malum.
10. eum alioquin fractiones Arthe Geometice proportionalis summari possint, harmonice non possint. Haec ergo accuratur
11. exintienda cum constet illos curculos summari posse, aedibite est possit Him summari progressivilla harmonica
12. polygonorum, (ivento scilice communi numeratore) poterit etiam summari series hifferentarum inter circulos et
13. Nota si sit Polys gonum (regulare) Erculotirento circumscriptum, aliud duplum trabens laterum numerum, inscriptum,
14. illa polygo polysgona
15. teilium inscriplum simile puori circumscripto, termini sunt geometrice proportionales. Hinc summa eorum
16. in infinilum facile haberi potest. Diff Hinc inta summa progressionis Geometricae septaratiui, et
17. harmoniae separatui, differentia harum duarum summarum aequabitur summae differentiarum inter
18. omnia B. et omnia β. seu inter omnia corcumscripta, Polygona circumscripta, et omnia Polygona
19. iiscripla, numgro laterum in progressione subdupla continue decrescente. Idem est in Perimetris.
20. A vero differentia ristarum inter B et B. summa aliunde nota est, aequatur nempe summae ipsorium inscriplor
21. seu β. quia sunt dimidia circum scriptogumus hese necesse est haberi harmonicorum summam, etsi
22. aliter inveniri non potuisset, eodem modo iivenietur terminorum harmonicorum summa, quando adjungi
23. poterit ejusmodi geometrica, cujus ope hrm harmonica ipsa, detegatur
24. Ii ista sorit harmonica, 1. . L. 2. 4 +
25. seu numerus infinities infinitus
26. Nominator communis est num quadratum divisores arithmetice
27. ipse Nominator commanis, 1. est numerus
28. a
29. a
30. a a a
31. 1B 20 38 40 50 60.
32. Erescentes sunt numeri finiti omnes finiti pariteratque infinili, arithmetice proportionales inter 1. et numerum infinitam
33. rum unitatum determinatum . Quod semper necesse est qui sit v.g. S. ertque haec progressio revera.
34. a
35. et. Est autem D. quadrntillum infinite parvum. St est Numerus horum quadratillorum lineam
36. a a
37. tam complentium Nisi autem linea quaedam data exposita sit,
38. impossibilis est esta inquisitio Hinc appare istam seriem a a a a
39. si0 36.
40. 16
41. 28
42. in Aritudetica
43. etc. penitus matura differre, usque adco, ut etsi prior . ..
44. s0
45. 9
46. 30
47. etc. ab ista.
48. dividatur per
49. non tamen inde fiat posterior quod tamen necessarium videri posset. Ratio est, quia in posteriote ubi d
50. 2
51. nulla est determinata quantitas infinitarum unitatum ac proinde nec numerus ipse infinitarum unitatum
52. Magnitud
53. nec eurum uni ea ipsa unitas, et res ab Arithmetiea Continuorum ad Authmeticam param revocata
54. est, tum enim vero, apparet in hac poderiore L L divisores semper esse finitos, in omne
55. infinitum quod non est in Aithmetica infinitorum contiuorum. Rem sic ostendo A EE E
56. sit recta AB on partes in finitas punctis C. divisa, et si d qod sit aliud quoddam
57. D). quod divisum intelligatur primum per lincam AB, deinde per quamlibet CB. et summa quoritur
58. mnium productorum, quae totidem linea sunt. Divisio enim quadrati per lineam dat lineam.
59. Colidem inquam lineae sunt, quandocunque numerus ill punctorum (CC) in dividentem incidens, estifinitus. Vides ergo
60. spatinm
61. divitores istos omnes a nobis assignabiles esse infinitas, demtis r aggregatum punctorum vel quadratillo
62. cum infinitorum. Si tamen cogites te incipere a parte B. et primum um pun lineam mujus puncti
63. sumere, deiide duorum punctorum, postea trium punctorum, et ita porro nunquam egodieris ipso
64. puncto B. seu latere quod ratilli, eritque sumum omnium abscedes, nisi quantitate quavis data minorem
65. quae quidem portio lineae, et quadratillo latere infinities major, et tamen adhuc linea assignabiri
66. infinities minor. AAtque pro summa productorum per omnes divisores finitos producet quadratum
67. sed cujus crassities, infinities minu est latere quadratillia quodli Jam si quadratillo uno, vel duobus vel tribus velimus
68. dividere quodratum, necesse est id exporrigi in longitudinem infinitam ut scilicet accipiat latituimem
69. quodratilli, et tunc inferendo illi hanc lalitudinem relicta sola longitudine, divisimus per quadra-
70. tillum, eodem modo dividemus per duplum quadrali si in longitudinem infiutam quidem, sed
71. doni dimidiam vel triculem etc prioris exporrexerimus. Summa omnium linearum infinite
72. latitudim infinities infinite parvae, longtudinis infinitae, usque adeo ut differentiae quoque earum sint
73. longitudmis infinitae, do erit ploductum hujus divisiiis omni summae omnium quotienlum divisorum
74. finilopum productorum quae non nisi differentia nefinite parvn aberi ab ipso quadrato. Nor
75. persequerer ista, quae in nimeam subtilitatem evanescere videntur, nisi necessaria cedidistemus
76. ad lollendam quandam difficultatem, quae omnes meas lirca Authimeticam infinitorum
77. rationes aliquando, turbatist. sit ses
78. nmum est, per
79. 2d
80. harmoni a i mrimgs cutond
81. a a ista enim divisione summae, quae utique
82. e 60 4- 48 velsoi a = 19), 57
83. st linea
84. si 8. re tes tua si praeiur ques in dut
85. De Admiran.
86. dis Aritime.
87. ticae infi.
88. nitorum
89. Parateris

Cite

Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 2, 1, fol. 252v. Machine transcription, not an edition: Leibniz Legible (model FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44). https://leibnizlegible.com/page/00067993:0506?run=44